Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Vectơ Sách CTST

Câu 1: Thông hiểu

Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ?

A.
$ABCD$ là hình bình hành.
B.
$ABDC$ là hình bình hành.
C.
$AC = BD.$
D.
$AB = CD.$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ABDC$ là hình bình hành.

Mặt khác, $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là $ABDC$ là hình bình hành.

Câu 2: Thông hiểu

Cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{i} + x\overrightarrow{j}$ . Xác định $x$ sao cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

A.
$x = - 1$ .
B.
$x = - \frac{1}{2}$ .
C.
$x = \frac{1}{4}$ .
D.
$x = 2$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} = (2;\ \ - 1) \\ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{i} + x\overrightarrow{j}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{v} = (1;\ \ x) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Để $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{- 1} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}.$

Câu 3: Thông hiểu

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC$

Tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \hfill \\ \Rightarrow AC = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 4: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ với $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là trung điểm của. Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$
B.
$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$
C.
$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{0}.$
D.
$\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}.$

Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

$= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}.$ . Ta có $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{PM} = - \overrightarrow{MP}.$ Chọn đáp án này.

Câu 5: Nhận biết

Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ .
B.
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ .
C.
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ .
D.
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} =2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} ight) - \left( \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB} ight)\mathbf{=}2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ sai do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ đúng do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}\mathbf{=}$ $2\overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight) = 2\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{BC}$ .

Câu 6: Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
B.
$\overrightarrow{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$
C.
$\overrightarrow{AM} = a.$
D.
$\left| \overrightarrow{AM} ight| = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên độ dài đường trung tuyến bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Chọn $\left| \overrightarrow{AM} ight| = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Câu 7: Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a} = (5;m - 7)$ và $\overrightarrow{b} = (m + 1;3)$ với $m\mathbb{\in R}$ . Tìm giá trị của tham số m để $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ ?

A.
$m = 4$
B.
$m = - 2$
C.
$m = - 13$
D.
$m = 2$

Ta có:

$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 5(m - 1) + 3.(m - 7) = 0 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 thì hai vecto đã cho vuông góc với nhau.

Câu 8: Vận dụng

Cho tứ giác $ABCD.$ Trên cạnh $AB,\ \ CD$ lấy lần lượt các điểm $M,\ \ N$ sao cho $3\ \overrightarrow{AM} = 2\ \overrightarrow{AB}$ và $3\ \overrightarrow{DN} = 2\ \overrightarrow{DC}.$ Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD},\ \ \overrightarrow{BC}.$

A.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$
B.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
C.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
D.
$\overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + 2\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} ight)$

$= \left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight) + \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{DN} + 2\overrightarrow{CN} ight).$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} + 2\ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN} + 2\ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$

Vậy $3\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + 2\ \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$

Câu 9: Vận dụng

Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$ mà $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ là :

A.
Đường tròn đường kính $AB$ .
B.
Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .
C.
Đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với $AC$ .
D.
Đường thẳng đi qua $C$ và vuông góc với $AB$ .

Ta có: $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 0$ $\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CA} ight).\overrightarrow{CB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB} = 0$ .

Tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .

Câu 10: Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?

A.
$\sqrt{15}$
B.
$2\sqrt{5}$
C.
$7\sqrt{10}$
D.
$6\sqrt{10}$

Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .

Câu 11: Nhận biết

Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\ \ AC$ của tam giác đều $ABC$ . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A.
$\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CB}.$
B.
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}.$
C.
$\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}.$
D.
$\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}.$

Cặp $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$ là cặp vectơ cùng hướng.

Câu 12: Nhận biết

Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$AB + BC = AC.$
B.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$
C.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{CA} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
D.
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC}.$

Đáp án $AB + BC = AC.$ chỉ đúng khi ba điểm $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A,\ \ C$ .

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$ đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn đáp án này.

Câu 13: Nhận biết

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ ?

A.
$IA = IB.$
B.
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
C.
$\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
D.
$\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$

Điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB} \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Câu 14: Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow{a} = ( - 5;0),\ \overrightarrow{b} = ( - 4;0)$ cùng hướng.
B.
$\overrightarrow{c} = (7;3)$ là vectơ đối của $\overrightarrow{d} = ( - 7;3).$
C.
$\overrightarrow{u} = (4;2),\ \overrightarrow{v} = (8;3)$ cùng phương.
D.
$\overrightarrow{a} = (6;3),\ \overrightarrow{b} = (2;1)$ ngược hướng.

Ta có $\overrightarrow{a} = \frac{5}{4}\overrightarrow{b}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Câu 15: Nhận biết

Cho M là trung điểm AB, tìm đẳng thức sai

A.
$\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{AB}=-MA \times AB$
B.
$\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=-MA\times MB$
C.
$\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AB}=AM\times AB$
D.
$\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$

Ta có: $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos180^{\circ} =-MA.MB$ .

Đáp án sai là $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$ .

Câu 16: Nhận biết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $P( - 3;1),Q(6; - 4)$ . Xác định tọa độ trọng tâm $H$ của tam giác $OPQ$ ?

A.
$H(9; - 5)$
B.
$H( - 1;1)$
C.
$H(1; - 1)$
D.
$H(2; - 2)$

Vì H là trọng tâm tam giác OPQ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{H} = \dfrac{x_{O} + x_{P} + x_{Q}}{3} \\y_{H} = \dfrac{y_{O} + y_{P} + y_{Q}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{H} = \dfrac{0 - 3 + 6}{3} = 1 \\y_{H} = \dfrac{0 + 1 - 4}{3} = - 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow H(1; - 1)$

Vậy trọng tâm tam giác cần tìm là $H(1; - 1)$ .

Câu 17: Nhận biết

Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A.
$(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}$
B.
$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
C.
$\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{MN}$
D.
$(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=MN^{2}-PQ^{2}$

Hệ thức sai là: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$

Vì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$ (tính chất giao hoán)

Câu 18: Thông hiểu

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(0; - 3),\ B(2;1),\ D(5;5)$ Tìm tọa độ điểm $C$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.
$C(3;1).$
B.
$C( - 3; - 1).$
C.
$C(7;9).$
D.
$C( - 7; - 9).$

Gọi $C(x;y).$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;4) \\ \overrightarrow{DC} = (x - 5;y - 5) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\overset{}{ightarrow}\left\{\begin{matrix}2 = x - 5 \\4 = y - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 7 \\y = 9 \\\end{matrix} ight.$ $\ \overset{}{ightarrow}C(7;9).$

Câu 19: Nhận biết

Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:

A.
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
B.
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
C.
$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
D.
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$

Ta có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$ (Đúng).

Câu 20: Nhận biết

Cho tam giác $ABC$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BC},\ \ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}.$ Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

A.
$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}.$
B.
$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.$
C.
$5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ - \ 10\ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.$
D.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.$

Dễ thấy $- 10\ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = - \ 2\ \left( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)\overset{}{ightarrow}$ hai vectơ $5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ - 10\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Câu 21: Nhận biết

Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là một đường trung tuyến. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ .

A.
$\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
B.
$\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
C.
$\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
D.
$\overrightarrow {AM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$ .

Câu 22: Thông hiểu

Cho tọa độ ba điểm $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ ?

A.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 16$
B.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 9$
C.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 10$
D.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 9$

Ta có: $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (4; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 4.( - 6) + ( - 3).( - 5) = - 9$

Câu 23: Vận dụng

Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
Nếu $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}.$
B.
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.$
C.
Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}.$
D.
Nếu ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C$ nằm tùy ý trên một đường thẳng thì $\left| \overrightarrow{AB} ight| + \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|.$

Với ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C$ nằm trên một đường thẳng, đẳng thức $\left| \overrightarrow{AB} ight| + \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| \Leftrightarrow AB + BC = AC$ xảy ra khi $B$ nằm giữa $A$ và $C$ .

Chọn đáp án sai là: Nếu ba điểm phân biệt $A,B,C$ nằm tùy ý trên một đường thẳng thì $\left| \overrightarrow{AB} ight| + \left|\overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{AC}ight|.$

Câu 24: Nhận biết

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}$ bằng:

A.
$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$
B.
$\overrightarrow{AB}$
C.
$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}$
D.
$\overrightarrow{CD}$

Ta có: $\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$

Câu 25: Thông hiểu

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ . Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{OD}$ là:

A.
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{CB}$ .
B.
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{DA}$ .
C.
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DA}$ .
D.
$\overrightarrow{DO},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BC}$ .

Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{OD}$ là: $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{DO},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DA}$ .

Câu 26: Thông hiểu

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm AB. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

A.
M là trung điểm BC
B.
M là trung điểm IC
C.
M là trung điểm IA
D.
M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2MC

Ta có:

I là trung điểm của AB => $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$

Khi đó:

$\begin{matrix} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \vec 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy M là trung điểm của IC.

Câu 27: Nhận biết

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
B.
$\overrightarrow{AB}=2a$
C.
$|\overrightarrow{AB}|=2a$
D.
$\overrightarrow{AB}=AB$

Theo bài ra ta có:

Tam giác ABC đều cạnh 2a => AB = BC = AC = 2a

=> $|\overrightarrow{AB}|=AB=2a$

Câu 28: Nhận biết

Cho hình bình hành $ABCD$ , vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành bằng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A.
$\overrightarrow{DC}$ .
B.
$\overrightarrow{BA}$ .
C.
$\overrightarrow{CD}$ .
D.
$\overrightarrow{AC}$ .

Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{matrix} AB = CD \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Câu 29: Nhận biết

Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ .Trong các kết quả sau đây,hãy chọn kết quả đúng.

A.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
B.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
C.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$ .
D.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ suy ra $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 0^{0}$

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos0^{o} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ nên

Câu 30: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB = 3,\ \ AC = 4$ . Tính $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight|$ .

A.
$\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2.$
B.
$\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2\sqrt{13}.$
C.
$\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 5.$
D.
$\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{13}.$

Ta có $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight| = CB = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O.$ Đẳng thức nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}.$
B.
$\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AF} ight|.$
C.
$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BC}.$
D.
$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OE}.$

Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OE}.$

Câu 32: Thông hiểu

Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
B.
$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
C.
$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
D.
3 đáp án còn lại đều sai

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight)$ $= - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = 180^\circ$ .

Suy ra $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.

Câu 33: Vận dụng cao

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , lấy các điểm $P,Q,R$ lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh $BC,AC,AD$ sao cho $\widehat{PMR} = 90^{0}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR}ight|$ .

A.
$\frac{a\sqrt{5}}{2}$
B.
$\frac{a\sqrt{2}}{2}$
C.
$a\sqrt{2}$
D.
$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Hình vẽ minh họa

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt $\left| {\overrightarrow {AR} } ight| = x;\left| {\overrightarrow {BP} } ight| = y;\left| {\overrightarrow {ME} } ight| = z;\left| {\overrightarrow {EQ} } ight| = t$

Khi đó $\Delta AMR\sim\Delta BPM$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}xy = \dfrac{a^{2}}{4} \\x + y \geq 2\sqrt{xy} = a \\\end{matrix} ight.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x =y$ hay P, Q là trung điểm của BC, DA

Ta có:

$\left| \overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR} ight|^{2} = (x + y + z)^{2}+ t^{2} \geq (1 + z)^{2} + t^{2} = \left| \overrightarrow{MH}ight|$

Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.

Ta lại có: $\widehat{MDH} \approx 108^{0}\Rightarrow MH \geq MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Câu 34: Nhận biết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tọa độ vecto $\overrightarrow{u} = - 3\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j}$ là:

A.
$\overrightarrow{u} = ( - 3;7)$
B.
$\overrightarrow{u} = (3; - 7)$
C.
$\overrightarrow{u} = (7; - 3)$
D.
$\overrightarrow{u} = ( - 7;3)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0) \\ \overrightarrow{j} = (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = - 3\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} = ( - 3;7)$ .

Câu 35: Thông hiểu

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

A.
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
B.
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
C.
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
D.
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

Cách 1: Giả sử I là trung điểm của BC

$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AI} \hfill \\ \end{matrix}$

Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AG = \dfrac{2}{3}AI} \\ {\overrightarrow {AG} earrow earrow \overrightarrow {AI} } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$

Cách 2: Ta có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AG} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 36: Nhận biết

Với $\overrightarrow{DE}$ (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn $ED$ được gọi là

A.
Phương của $\overrightarrow{ED}.$
B.
Hướng của $\overrightarrow{ED}.$
C.
Giá của $\overrightarrow{ED}.$
D.
Độ dài của $\overrightarrow{ED}.$

Với $\overrightarrow{DE}$ (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn $ED$ được gọi là: Độ dài của $\overrightarrow{ED}.$

Câu 37: Thông hiểu

Cho tam giác ABC có I là trung điểm của AB. Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Chọn mệnh đề đúng.

A.
$5\overrightarrow{MI} = - 3\overrightarrow{CI}$
B.
$5\overrightarrow{MI} = 3\overrightarrow{CI}$
C.
$3\overrightarrow{MI} = 5\overrightarrow{CI}$
D.
$3\overrightarrow{MI} = - 5\overrightarrow{CI}$

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}+ 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow2\overrightarrow{MI} = - 3\overrightarrow{MC}$ $\Leftrightarrow2\overrightarrow{MI} = 3\overrightarrow{IM} - 3\overrightarrow{IC}\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MI} =3\overrightarrow{CI}$ .

Câu 38: Nhận biết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$

A.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
B.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
C.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
D.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$

Câu 39: Vận dụng cao

Cho tam giác $ABC$ . Lấy các điểm $M,N$ sao cho $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0};2\overrightarrow{NA} + 3\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{BP}$ . Xác định $k$ để ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng.

A.
$k = \frac{1}{3}$
B.
$k = 3$
C.
$k = \frac{2}{3}$
D.
$k = \frac{3}{5}$

Ta có:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CP}$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} - \left( \overrightarrow{BP} - \overrightarrow{BC} ight)$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} + \left( \frac{1}{k} - 1 ight)\overrightarrow{BC}$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} + \left( \frac{1}{k} - 1 ight)\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \left( \frac{1}{k} - \frac{2}{5} ight)\overrightarrow{AC} + \left( \frac{1}{k} - 1 ight)\overrightarrow{AB}$

Để ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng thì $\exists m\mathbb{\in R}:\overrightarrow{NP} = m\overrightarrow{MN}$ hay

$\left( \frac{1}{k} - \frac{2}{5} ight)\overrightarrow{AC} + \left( \frac{1}{k} - 1 ight)\overrightarrow{AB} = \frac{3m}{5}\overrightarrow{AC} - \frac{m}{2}\overrightarrow{AB}$

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{k} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3m}{5} \\\dfrac{1}{k} - 1 = - \dfrac{m}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 4 \\k = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Câu 40: Vận dụng

Cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (4; - 2),\overrightarrow{b} = ( - 1; - 3),\overrightarrow{c} = (2;5)$ . Phân tích vectơ $\overrightarrow{b}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}\ và\ \overrightarrow{c}$ , ta được:

A.
$\overrightarrow{b} = \frac{1}{24}\overrightarrow{a} - \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .
B.
$\overrightarrow{b} = - \frac{1}{24}\overrightarrow{a} - \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .
C.
$\overrightarrow{b} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{c}$ .
D.
$\overrightarrow{b} = \frac{1}{24}\overrightarrow{a} + \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .

Giả sử $\overrightarrow{b} =m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{c} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}- 1 = 4m + 2n \\- 3 = - 2m + 5n \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{1}{24} \ = - \frac{7}{12} \\\end{matrix} ight.$ . Vậy $\overrightarrow{b} = \frac{1}{24}\overrightarrow{a} - \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!