Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Vectơ Sách CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 1 tiết Toán 10 Vectơ gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho tọa độ hai điểm $A(2; - 3),B(4;7)$ . Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ ?
- A.
  $I(3;2)$
- B.
  $I(8; - 2)$
- C.
  $I(2;1)$
- D.
  $I(6;4)$
Tọa độ trung điểm của AB là: $\left\{\begin{matrix}x_{I} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \\y_{I} = \dfrac{- 3 + 7}{2} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3;2)$
Câu 2: Nhận biết
Cho hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ . Xác định góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$
- A.
  $180^{\circ}$
- B.
  $0^{\circ}$
- C.
  $90^{\circ}$
- D.
  $45^{\circ}$
Ta có:
$\begin{matrix} \vec a \times \vec b = - |\vec a|.|\vec b| = |\vec a|.|\vec b|.\cos {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} ight) = {180^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
- D.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$
Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho $A(5;2),\ B(10;8).$ Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}?$
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (15;10).$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (2;4).$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (5;6).$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (50;16).$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (5;6).$
Câu 5: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
- C.
  $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
Ta có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$ (Đúng).
Câu 6: Nhận biết
Tính giá trị $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ biết rằng $\overrightarrow{a} = (1; - 3),\overrightarrow{b} = (2;5)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 13$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 17$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 40$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.2 + ( - 3).5 = - 13$
Câu 7: Thông hiểu
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
- C.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AB nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ .

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ .

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ $= \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC}$

Mặt khác $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight) = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Cho $\overrightarrow{OM} = ( - 2; - 1)$ , $\overrightarrow{ON} = (3; - 1)$ . Tính góc của $\left( \overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON} ight)$ .
- A.
  ${135}^{\mathbf{o}}$ .
- B.
  ${45}^{\mathbf{o}}$ .
- C.
  ${-135}^{\mathbf{o}}$ .
- D.
  ${125}^{\mathbf{o}}$ .
Ta có $\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON} ight) =\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\overrightarrow{|ON|}}$ $= \frac{-5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON} ight) = 135^{o}$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD, với giao điểm hai đường chéo I. Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BI}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$
- C.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ (2 vectơ đối nhau).
Câu 10: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có tọa độ ba đỉnh $A(1;2),B(3; - 2),C(2;3)$ . Trọng tâm G của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(2;1)$
- B.
  $G(4;0)$
- C.
  $G\left( 3;\frac{3}{2} ight)$
- D.
  $G(6;3)$
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ G là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2} = x_{G} \\\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2} = y_{G} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{G} = 2 \\y_{G} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1)$
Câu 11: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; -1)\ và\ \overrightarrow{v} = ( - 1;2)$ đối nhau.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; -1)\ và\ \overrightarrow{v} = ( - 2; - 1)$ đối nhau.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; -1)\ và\ \overrightarrow{v} = ( - 2;1)$ đối nhau.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; -1)\ và\ \overrightarrow{v} = (2;1)$ đối nhau.
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; - 1) = -( - 2;1) = - \overrightarrow{v}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đối nhau.
Câu 12: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ , kẻ đường cao $AH$ và $AH = 3,cos\widehat{ACB} = \frac{3}{5};tan\widehat{ABC} = 3$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $K$ là điểm thỏa mãn $KA = \frac{5}{2}$ và $\left| \overrightarrow{KA} - \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{CK} ight|$ . Khi đó độ dài vectơ $\overrightarrow{MK}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2\sqrt{5}$
- B.
  $\sqrt{10}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, ta có:

$\left| \overrightarrow{KA} - \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{CK} ight|$

$\Rightarrow KE = CK$

Nên K thuộc đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng CE, mặt khác $KA = \frac{5}{2}$

Suy ra K là giao điểm của a và đường tròn tâm A bán kính $KA = \frac{5}{2}$ .

Điểm K cần tìm là N hoặc P

Ta có: $MK = MP = AB = \sqrt{10}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ cùng hướng.
- C.
  $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ cùng hướng.
- D.
  $\left| \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{BD} ight|.$
Mệnh đề đúng là $\left| \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{BD} ight|.$ Do độ dài hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau.
Câu 14: Nhận biết
Cho tam giác $ABC.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh $A,\ B,\ C?$
- A.
  $3.$
- B.
  $6.$
- C.
  $4.$
- D.
  $9.$
Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{BA},\ \ \overrightarrow{BC},\ \ \overrightarrow{CB},\ \ \overrightarrow{CA},\ \ \overrightarrow{AC}.$
Câu 15: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Tìm vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là trung điểm của $AC.$
- B.
  $M$ là trung điểm của $AB.$
- C.
  $M$ là trung điểm của $BC.$
- D.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCM.$
Gọi $I$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow M$ là trung điểm $AC.$
Câu 16: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $M$ là trung điểm của $BC.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{BC}}{2}.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
Câu 17: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = a.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AM} ight| = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên độ dài đường trung tuyến bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Chọn $\left| \overrightarrow{AM} ight| = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Câu 18: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ , biết rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ .
- A.
  quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{3}$ .
- B.
  quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{4}$ .
- C.
  quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{9}$ .
- D.
  quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{2}$ .
Với điểm I thỏa mãn giả thiết, ta có:

$2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}$ $= 9\overrightarrow{MI} +(2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC}) =9\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AB}$ nên

$|2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}| = |\overrightarrow{MB} -\overrightarrow{MA}|$ $\Leftrightarrow |9\overrightarrow{MI}| =|\overrightarrow{AB}| \Leftrightarrow MI = \frac{AB}{9}$

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính $\frac{AB}{9}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| > 0.$
- D.
  $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vectơ.
Chọn $\left| \overrightarrow{AB} ight| > 0.$

Vì có thể xảy ra trường hợp $\left| \overrightarrow{AB} ight| = 0 \Leftrightarrow A \equiv B.$
Câu 21: Nhận biết
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (1;3),\ \ \overrightarrow{b}= ( - 2;1)$ . Tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ là:
- A.
  1
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
Ta có $\overrightarrow{a} =(1;3),\overrightarrow{b} = ( - 2;1)$ , suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.( - 2) +3.1 = 1$ .
Câu 22: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài.
- B.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
- C.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng.
- D.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Theo định nghĩa, hai véctơ bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện:

+) Cùng hướng

+) Cùng độ dài.

Chọn đáp án: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Câu 23: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A( - 2;2),\ B(3;5)$ và trọng tâm là gốc tọa độ $O(0;0).$ Tìm tọa độ đỉnh $C$ ?
- A.
  $C( - 1; - 7).$
- B.
  $C(2; - 2).$
- C.
  $C( - 3; - 5).$
- D.
  $C(1;7).$
Gọi $C(x;y)$ .

Vì $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} \frac{- 2 + 3 + x}{3} = 0 \\ \frac{2 + 5 + y}{3} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{\leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 24: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là một đường trung tuyến. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ .
- A.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- B.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- C.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- D.
  $\overrightarrow {AM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$ .
Câu 25: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBM.$
- B.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
- C.
  $M$ trùng với $C.$
- D.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow M \equiv G$ .
Câu 26: Nhận biết
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A(1;2), B(-1;3), C(-2;1)$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
- B.
  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
- C.
  $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ ngược hướng.
Biểu diễn các điểm trên hệ trục tọa độ như sau:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {OA} = \left( {1,2} ight) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 2 + 1,1 - 3} ight) = \left( { - 1, - 2} ight) = - 1.\left( {1,2} ight) = - 1.\overrightarrow {OA} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng phương, ngược hướng.
Câu 27: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ , điểm I thoả mãn: $5\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB}$ . Nếu $\overrightarrow{IA} = m\overrightarrow{IM} + n\overrightarrow{IB}$ thì cặp số $(m;n)$ bằng:
- A.
  $\left( \frac{3}{5};\frac{2}{5} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{2}{5};\frac{3}{5} ight)$ .
- C.
  $\left( - \frac{3}{5};\frac{2}{5} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{3}{5}; - \frac{2}{5} ight)$ .
Ta có:

$5\overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow 5\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IA} ight) = 2\left( \overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB} ight)$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{IA} =3\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IB} \Leftrightarrow\overrightarrow{IA} = \frac{3}{5}\overrightarrow{IM} +\frac{2}{5}\overrightarrow{IB}$ .
Câu 28: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ . Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.|\overrightarrow{b}|$ .
- A.
  $\alpha = 180^{\circ}$ .
- B.
  $\alpha = 0^{\circ}$ .
- C.
  $\alpha = 90^{\circ}$ .
- D.
  $\alpha = 45^{\circ}$ .
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b}ight|.\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ .

Mà theo giả thiết $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left|\overrightarrow{a} ight|.|\overrightarrow{b}|$

Suy ra $\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - 1\longrightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) =180^{\circ}$
Câu 29: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 30: Nhận biết
Với $\overrightarrow{DE}$ (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn $ED$ được gọi là
- A.
  Phương của $\overrightarrow{ED}.$
- B.
  Hướng của $\overrightarrow{ED}.$
- C.
  Giá của $\overrightarrow{ED}.$
- D.
  Độ dài của $\overrightarrow{ED}.$
Với $\overrightarrow{DE}$ (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn $ED$ được gọi là: Độ dài của $\overrightarrow{ED}.$
Câu 31: Nhận biết
Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ ?
- A.
  $IA = IB.$
- B.
  $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$
Điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB} \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{b}=8\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$ . Kết luận nào sau đây sai?
- A.
  $\vec a.\vec b = 0$
- B.
  $\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$
- C.
  $|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|=0$
- D.
  $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=0$
Ta có:
$\begin{matrix} \vec a = 3\vec i + 6\vec j \Rightarrow \vec a = \left( {3;6} ight) \hfill \\ \vec b = 8\vec i - 4\vec j \Rightarrow \vec b = \left( {8; - 4} ight) \hfill \\ \Rightarrow \vec a.\vec b = 3.8 + \left( { - 4} ight).6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\vec a.\vec b} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow \vec a \bot \vec b \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy kết luận sai là: $|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|=0$
Câu 33: Thông hiểu
Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ . Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{ED}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OF}$ , $\overrightarrow{DE}$ .
- C.
  $\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{DE}$ .
- D.
  $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{OF}$ .
Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ là: $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{OF}$ .
Câu 34: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
- A.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\overrightarrow{u} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Ta có $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} = - \frac{1}{6}\left( 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b} ight) = - \frac{1}{6}\overrightarrow{u}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là cùng phương.

Chọn đáp án $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Câu 35: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|.$
- D.
  $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC}.$
Tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Do đó, $H$ là trung điểm $BC$ .

Ta có:

$AB = AC \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$

$H$ là trung điểm $BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB} \\ \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC} \\ \end{matrix} ight.$ .

Chọn đáp án sai là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 36: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ , $AB = 5,AC = 1$ . Tính tọa độ điểm $D$ là chân đường phân giác góc $A$ . Biết $B(7; - 2);C(1;4)$ .
- A.
  $\left( - \frac{1}{2};\frac{11}{2} ight)$
- B.
  $(2;3)$
- C.
  $(2;0)$
- D.
  $(3;0)$
Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . Suy ra $\overrightarrow{DB} = - 5\overrightarrow{DC}$ .

Gọi $D(x;y)$ . Suy ra $\overrightarrow{DB}(7 - x; - 2 - y);\overrightarrow{DC}(1 - x;4 - y)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 7 - x = - 5(1 - x) \\ - 2 - y = - 5(4 - y) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm $D(2;3)$ .
Câu 37: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ tìm điểm $M$ thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm $N( - \ 1;4)$ bằng $2\sqrt{5}.$
- A.
  $M(1;0).$
- B.
  $M(1;0),M( - 3;0).$
- C.
  $M(3;0).$
- D.
  $M(1;0),M(3;0).$
Vì $M \in Ox \Rightarrow M(a;0)$ .

Ta có: $\overrightarrow{MN} = ( - 1 - a;4) \Rightarrow \left| \overrightarrow{MN} ight| = \sqrt{( - 1 - a)^{2} + 4^{2}}$ .

Ta có: $\left| \overrightarrow{MN} ight| = 2\sqrt{5} \Leftrightarrow a^{2} + 2a + 1 + 16 = 20$ $\Leftrightarrow a^{2} + 2a - 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 1 \Rightarrow M(1;0) \\ a = - 3 \Rightarrow M( - 3;0) \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 38: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ của tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ .
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\mathbf{)}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
Câu 39: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$ Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.$
Câu 40: Thông hiểu
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$
- A.
  3
- B.
  4
- C.
  5
- D.
  6.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC$
Tam giác ABC vuông tại A ta có:
$\begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \hfill \\ \Rightarrow AC = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

16 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Vectơ Sách CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!