Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Vectơ Sách CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 1 tiết Toán 10 Vectơ gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho hai điểm $A,\ \ B$ phân biệt và cố định, với $I$ là trung điểm của $AB.$ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight|$ là
- A.
  đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
- B.
  đường tròn đường kính $AB.$
- C.
  đường trung trực đoạn thẳng $IA.$
- D.
  đường tròn tâm $A,$ bán kính $AB.$
Chọn điểm $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $EB = 2EA \Rightarrow 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{0}.$

Chọn điểm $F$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $FA = 2FB \Rightarrow 2\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{0}.$

Ta có $\left| 2\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} +2\overrightarrow{MB} ight|$

$\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{ME}+ 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{EB}ight|$ $= \left| 2\overrightarrow{MF} + 2\overrightarrow{FB} +\overrightarrow{MF} + \overrightarrow{FA} ight|$

$\Leftrightarrow \left| 3\ \overrightarrow{ME} + \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{2\ \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB}}{︸}} ight| = \left| 3\ \overrightarrow{MF} + \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{2\ \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB}}{︸}} ight| \Leftrightarrow \left| 3\ \overrightarrow{ME} ight| = \left| 3\ \overrightarrow{MF} ight| \Leftrightarrow ME = MF.$ $\ (*)$

Vì $E,\ \ F$ là hai điểm cố định nên từ đẳng thức $(*)$ suy ra tập hợp các điểm $M$ là trung trực của đoạn thẳng $EF.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I$ cũng là trung điểm của $EF.$

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight|$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
Câu 2: Vận dụng
Cho hai điểm $B,C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = {\overrightarrow{CM}}^{2}$ là
- A.
  Đường tròn đường kính $BC$ .
- B.
  Đường tròn $(B;BC)$ .
- C.
  Đường tròn $(C;CB)$ .
- D.
  Một đường khác.
Ta có: $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} = {\overrightarrow{CM}}^{2}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB} - {\overrightarrow{CM}}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\left( \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CM} ight) = \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{MB} = 0$ .

Tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $BC$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{0}$ .

Suy ra $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Ta có: $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB}$ . Suy ra $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OB}$ đúng.

Ta có: $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} eq \overrightarrow{AB}$ . Suy ra $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB}$ sai.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ đúng.
Câu 4: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a} = (5;m - 7)$ và $\overrightarrow{b} = (m + 1;3)$ với $m\mathbb{\in R}$ . Tìm giá trị của tham số m để $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m = - 13$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 5(m - 1) + 3.(m - 7) = 0 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 thì hai vecto đã cho vuông góc với nhau.
Câu 5: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 6: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 7: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$
- C.
  $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$
Xét đáp án $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$ Ta có $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP}$ . Vậy đáp án này đúng.
Câu 8: Nhận biết
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được xác định bằng công thức nào dưới đây?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},$ được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(2; - 3),\ B(4;7).$ Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$
- A.
  $I(6;4).$
- B.
  $I(2;10).$
- C.
  $I(3;2).$
- D.
  $I(8; - 21).$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ y_{I} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}I(3;2).$
Câu 10: Nhận biết
Cho ngũ giác $ABCDE$ . Từ các đỉnh của ngũ giác đã cho có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm cuối là điểm $A$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Các vectơ có điểm cuối là điểm $A$ là $\overrightarrow{BA}$ ; $\overrightarrow{CA}$ ; $\overrightarrow{DA}$ ; $\overrightarrow{EA}$ .
Câu 11: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ , $AB = 5,AC = 1$ . Tính tọa độ điểm $D$ là chân đường phân giác góc $A$ . Biết $B(7; - 2);C(1;4)$ .
- A.
  $\left( - \frac{1}{2};\frac{11}{2} ight)$
- B.
  $(2;3)$
- C.
  $(2;0)$
- D.
  $(3;0)$
Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . Suy ra $\overrightarrow{DB} = - 5\overrightarrow{DC}$ .

Gọi $D(x;y)$ . Suy ra $\overrightarrow{DB}(7 - x; - 2 - y);\overrightarrow{DC}(1 - x;4 - y)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 7 - x = - 5(1 - x) \\ - 2 - y = - 5(4 - y) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm $D(2;3)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$ Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.$
Câu 13: Thông hiểu
Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  $ABDC$ là hình bình hành.
- C.
  $AC = BD.$
- D.
  $AB = CD.$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ABDC$ là hình bình hành.

Mặt khác, $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là $ABDC$ là hình bình hành.
Câu 14: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho các điểm $A(0;1),B(1;3),C(2;7)$ . Xác định tọa độ điểm $N$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} + 3\overrightarrow{CN}$ ?
- A.
  $N(7;5)$
- B.
  $N\left( \frac{7}{5};5 ight)$
- C.
  $N\left( - \frac{7}{5};5 ight)$
- D.
  $N(5;7)$
Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} + 3\overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{AO} + 2\overrightarrow{ON} + 3\overrightarrow{CO} + 3\overrightarrow{ON}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{ON} = \frac{1}{5}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} ight)$

$\Rightarrow N\left( \frac{1 + 6}{5};\frac{1 + 3 + 21}{5} ight) = \left( \frac{7}{5};5 ight)$
Câu 15: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{CD}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.
- B.
  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài.
- C.
  $ABCD$ là hình bình hành.
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.$
Ta có $\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC}$ . Do đó:

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng.

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài.

$ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không cùng giá.

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}.$

Chọn đáp án $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài.
Câu 16: Thông hiểu
Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $\widehat{B} = 50^{o}$ . Hệ thức nào sau đây là sai?
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} ight) = 130^{o}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} ight) = 40^{o}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = 50^{o}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} ight) = 120^{o}$ .
Vì $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} ight) = 180^{0} - \left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = 130^{o}$ nên loại $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} ight) = 130^{o}$ .

Vì $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CA} ight) = 40^{o}$ nên loại $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} ight) = 40^{o}$ .

Vì $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = \left( \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC} ight) = 50^{o}$ nên loại $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = 50^{o}$ .

Vì $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} ight) = 180^{0} - \left( \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB} ight) = 140^{o}$ nên chọn $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} ight) = 120^{o}$ .
Câu 17: Vận dụng
Cho hai điểm cố định $A,B$ ; gọi $I$ là trung điểm $AB$ . Tập hợp các điểm $M$ thoả: $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} ight|$ là:
- A.
  Đường tròn đường kính $AB$ .
- B.
  Trung trực của $AB$ .
- C.
  Đường tròn tâm $I$ , bán kính $AB$ .
- D.
  Nửa đường tròn đường kính $AB$ .
Ta có $\left| \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB} ight|$ $\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI}ight| = \left| \overrightarrow{BA} ight| \Leftrightarrow 2MI = BA$ $\Leftrightarrow MI = \frac{BA}{2}$

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho M là trung điểm AB, tìm đẳng thức sai
- A.
  $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{AB}=-MA \times AB$
- B.
  $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=-MA\times MB$
- C.
  $\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AB}=AM\times AB$
- D.
  $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$
Ta có: $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos180^{\circ} =-MA.MB$ .
Đáp án sai là $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm và $M$ là trung điểm $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}.$
- C.
  $\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG}.$
- D.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GM}.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB} \\ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MC} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}}{︸}} + 2\ \overrightarrow{GM} = 2\ \overrightarrow{GM}.$
Câu 20: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $\ B(9;7),\ C(11; - 1).$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ AC.$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = (2; - 8).$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = (1; - 4).$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = (10;6).$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = (5;3).$
Ta có $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(2; - 8) = (1; - 4)$ .
Câu 21: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 22: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBM.$
- B.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
- C.
  $M$ trùng với $C.$
- D.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow M \equiv G$ .
Câu 23: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ .Trong các kết quả sau đây,hãy chọn kết quả đúng.
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ suy ra $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 0^{0}$

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos0^{o} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ nên
Câu 24: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(3; - 4),B(7;2)$ là:
- A.
  $M(5; - 1)$
- B.
  $M(4;6)$
- C.
  $M(10; - 2)$
- D.
  $M(2;3)$
Tọa độ trung điểm M của AB là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\y_{M} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M(5; - 1)$

Vậy tọa độ trung điểm M của AB là $M(5; - 1)$ .
Câu 25: Nhận biết
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
- D.
  $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}.$
Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
Câu 26: Thông hiểu
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
- C.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AB nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ .

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ .

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ $= \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC}$

Mặt khác $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight) = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0}$ . Gọi các vectơ $\overrightarrow{\alpha};\overrightarrow{\beta};\overrightarrow{\lambda}$ theo thư tự là các vectơ có giá vuông góc với các đường thẳng $AB.AC,BC$ và $\left| \overrightarrow{\alpha} ight| = AB;\left| \overrightarrow{\beta} ight| = AC;\left| \overrightarrow{\lambda} ight| = BC$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda}$ , biết $AB = 3,AC = 4$ .
- A.
  $0$
- B.
  $5$
- C.
  $8$
- D.
  $10$
Hình vẽ minh họa:

Gọi D là điểm thuộc miền trong tam giác ABC, dựng các vectơ $\overrightarrow{\alpha} = \overrightarrow{DG};\overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DE};\overrightarrow{\lambda} = \overrightarrow{DF}$ dựng hình chữ nhật DGHE ta có: $\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DH}$

Ta lại có: $\Delta GDH = \Delta ABC \Rightarrow \widehat{GDH} = \widehat{ABC}$

Mặt khác $\widehat{GDF} + \widehat{ABC} = 180^{0}$

$\Rightarrow \widehat{GDF} + \widehat{GDH} = 180^{0}$

=> Ba điểm H, D, F thẳng hàng.

Khi đó: $\left| \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda} ight| = \left| \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{FD} ight| = \left| \overrightarrow{FH} ight| = 10$
Câu 28: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|.$
$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{CB} \Rightarrow \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ .
Câu 29: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Tìm vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là trung điểm của $AC.$
- B.
  $M$ là trung điểm của $AB.$
- C.
  $M$ là trung điểm của $BC.$
- D.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCM.$
Gọi $I$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow M$ là trung điểm $AC.$
Câu 30: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $M$ là trung điểm của $BC.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{BC}}{2}.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
Câu 31: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 32: Vận dụng
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ . Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định sai?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP}$ .
- C.
  $\left| \overrightarrow{PQ} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight|$ .
- D.
  $\left| \overrightarrow{MN} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$ .
Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ . Suy ra $MN = \frac{1}{2}AC$ hay $\left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{1}{2}\left| \overrightarrow{AC} ight|$ .

Chọn đáp án sai $\left| \overrightarrow{MN} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$ .
Câu 33: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn đáp án sai là: Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Câu 34: Nhận biết
Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ .
- A.
  $OA = OB$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BO}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$ .
Điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ khi và chỉ khi $OA = OB;\ \ \ \overrightarrow{OA}$ và ngược hướng.

Vậy $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 35: Nhận biết
Cho hai điểm $A(4; - 1),B( - 2;5)$ . Tọa độ trung điểm của đoạn AB là:
- A.
  $(2;4)$
- B.
  $( - 3;3)$
- C.
  $(3; - 3)$
- D.
  $(1;2)$
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{4 + ( - 2)}{2} = 1 \\y_{M} = \dfrac{- 1 + 5}{2} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2)$
Câu 36: Nhận biết
Cho hai điểm $A$ và $B$ phân biệt. Điều kiện để $I$ là trung điểm $AB$ là:
- A.
  $IA = IB.$
- B.
  $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$
- C.
  $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI}.$
Điều kiện để $I$ là trung điểm $AB$ là: $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}.$
Câu 37: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $M,N,P.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho?
- A.
  $4$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $8$ .
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho là

$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$ .
Câu 38: Thông hiểu
Cho tam giác đều $ABC$ với đường cao $AH$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HC}$ .
- B.
  $\left| \overrightarrow{AC} ight| = 2\left| \overrightarrow{HC} ight|$ .
- C.
  $\left| \overrightarrow{AH} ight| = \frac{\sqrt{3}}{2}\left| \overrightarrow{HC} ight|$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$ .
Chọn $\left| \overrightarrow{AC} ight| = 2\left| \overrightarrow{HC} ight|$ vì $H$ là trung điểm $AC$ và $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{HC}$ cùng hướng.
Câu 39: Thông hiểu
Cho tọa độ ba điểm $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 16$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 9$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 10$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 9$
Ta có: $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (4; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 4.( - 6) + ( - 3).( - 5) = - 9$
Câu 40: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đậy đúng?
- A.
  $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .
Ta có tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $AD = CB$ hay $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ nên phương án $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ đúng.

66 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Vectơ Sách CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!