Đề kiểm tra 45 phút Chương 5 Vectơ Sách CTST

Câu 1: Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = \frac{1}{2}\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j}.$ Tìm $k$ để vectơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{v}.$

A.
$k = 20.$
B.
$k = - 20.$
C.
$k = - 40.$
D.
$k = 40.$

Ta có:

$\overrightarrow{u} = \frac{1}{2}\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{u}\left( \frac{1}{2}; - 5 ight)$

$\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{v} = (k; - 4)$

Để $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.k + 20 = 0 \Leftrightarrow k = - 40$ .

Câu 2: Thông hiểu

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Tính độ dài $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .

A.
$\frac{a\sqrt{3}}{2}$
B.
$a\sqrt{3}$
C.
$2a$
D.
Đáp án khác

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Suy ra $\left|\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}ight|=\left|2\overrightarrow {AM}ight|=2AM$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $AMB$ . Suy ra $AM=\frac{a\sqrt3}2 \Rightarrow 2AM=a\sqrt3$ .

Câu 3: Thông hiểu

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
B.
$\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ cùng hướng.
C.
$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ cùng hướng.
D.
$\left| \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{BD} ight|.$

Mệnh đề đúng là $\left| \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{BD} ight|.$ Do độ dài hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau.

Câu 4: Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CH}$ .
B.
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}$ .
C.
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CH}$ .
D.
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}$ và $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$ .

Ta có $AH\bot BC$ và $DC\bot BC$ (do góc $\widehat{DCB}$ chắn nửa đường tròn).

Suy ra $AH \parallel DC.$

Tương tự ta cũng có $CH \parallel AD.$

Suy ra tứ giác $ADCH$ là hình bình hành. Do đó $\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}$ .

Câu 5: Vận dụng cao

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.
$M(4;0).$
B.
$M( - 4;0).$
C.
$M(16;0).$
D.
$M( - 16;0).$

Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$

Câu 6: Nhận biết

Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là

A.
$\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
B.
$\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
C.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
D.
$\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .

Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .

Câu 7: Vận dụng

Cho hình thang $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}.$
B.
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}.$
C.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight).$
D.
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight).$

Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ \ BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.\ .$ Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

$\bullet$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}$ đúng, vì $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} ight) + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MN}$

$\bullet$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}$ đúng, vì $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} ight) - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MN}$

$\bullet \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)$ đúng, vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}.$

Suy ra $2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} ight) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} ight) = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight).$

$\bullet \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$ sai, vì theo phân tích ở đáp án trên. Chọn đáp án này.

Câu 8: Nhận biết

Cho ngũ giác $ABCDE$ . Từ các đỉnh của ngũ giác đã cho có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm cuối là điểm $A$ ?

A.
$4$ .
B.
$3$ .
C.
$5$ .
D.
$6$ .

Các vectơ có điểm cuối là điểm $A$ là $\overrightarrow{BA}$ ; $\overrightarrow{CA}$ ; $\overrightarrow{DA}$ ; $\overrightarrow{EA}$ .

Câu 9: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Ba điểm $C,\ \ M,\ \ B$ thẳng hàng.
B.
$AM$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}.$
C.
$A,\ \ M$ và trọng tâm tam giác $ABC$ thẳng hàng.
D.
$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}.$

Gọi $I,\ \ G$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trọng tâm tam giác $ABC.$ Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\ \overrightarrow{MI}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ suy ra $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MI} \Rightarrow A,\ \ M,\ \ I$ thẳng hàng

Mặt khác $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC\overset{}{ightarrow}\ G \in AI.$ Do đó, ba điểm $A,\ \ M,\ \ G$ thẳng hàng.

Câu 10: Thông hiểu

Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C?

A.
4
B.
6
C.
9
D.
12

Ta có các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác ABC là:

$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \hfill \\ \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 11: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
B.
$\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
C.
$2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
D.
$\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$ Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.$

Câu 12: Nhận biết

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ ?

A.
$IA = IB.$
B.
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
C.
$\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
D.
$\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$

Điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB} \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .

Câu 13: Nhận biết

Cho $\overrightarrow{a} = (2; - 4),\ \overrightarrow{b} = ( - 5;3).$ Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.$

A.
$\overrightarrow{u} = (7; - 7).$
B.
$\overrightarrow{u} = (9; - 11).$
C.
$\overrightarrow{u} = (9; - 5).$
D.
$\overrightarrow{u} = ( - 1;5).$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 8) \\ - \overrightarrow{b} = (5; - 3) \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (4 + 5; - 8 - 3) = (9; - 11).$

Câu 14: Thông hiểu

Tổng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$ bằng vectơ nào sau đây?

A.
$\overrightarrow{MR}$ .
B.
$\overrightarrow{MN}$ .
C.
$\overrightarrow{PR}$ .
D.
$\overrightarrow{MP}$ .

Ta có

$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$

$= \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RN}$

$= \overrightarrow{MN}$ .

Câu 15: Nhận biết

Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
B.
Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
C.
Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
D.
Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.

Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn đáp án sai là: Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.

Câu 16: Nhận biết

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A(3;5),\ B(1;2),\ C(5;2).$ Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC?$

A.
$G( - 3; - 3).$
B.
$G\left( \frac{9}{2};\frac{9}{2} ight).$
C.
$G(9;9).$
D.
$G(3;3).$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \frac{3 + 1 + 5}{3} = 3 \\ y_{G} = \frac{5 + 2 + 2}{3} = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}G(3;3).$

Câu 17: Nhận biết

Cho ba điểm phân biệt $M,N,P.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho?

A.
$4$ .
B.
$5$ .
C.
$6$ .
D.
$8$ .

Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho là

$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$ .

Câu 18: Nhận biết

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
B.
$\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
C.
$\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
D.
$\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$

Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .

Câu 19: Thông hiểu

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $\ B(9;7),\ C(11; - 1).$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ AC.$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$ ?

A.
$\overrightarrow{MN} = (2; - 8).$
B.
$\overrightarrow{MN} = (1; - 4).$
C.
$\overrightarrow{MN} = (10;6).$
D.
$\overrightarrow{MN} = (5;3).$

Ta có $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(2; - 8) = (1; - 4)$ .

Câu 20: Vận dụng cao

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , lấy các điểm $P,Q,R$ lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh $BC,AC,AD$ sao cho $\widehat{PMR} = 90^{0}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR}ight|$ .

A.
$\frac{a\sqrt{5}}{2}$
B.
$\frac{a\sqrt{2}}{2}$
C.
$a\sqrt{2}$
D.
$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Hình vẽ minh họa

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt $\left| {\overrightarrow {AR} } ight| = x;\left| {\overrightarrow {BP} } ight| = y;\left| {\overrightarrow {ME} } ight| = z;\left| {\overrightarrow {EQ} } ight| = t$

Khi đó $\Delta AMR\sim\Delta BPM$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}xy = \dfrac{a^{2}}{4} \\x + y \geq 2\sqrt{xy} = a \\\end{matrix} ight.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x =y$ hay P, Q là trung điểm của BC, DA

Ta có:

$\left| \overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR} ight|^{2} = (x + y + z)^{2}+ t^{2} \geq (1 + z)^{2} + t^{2} = \left| \overrightarrow{MH}ight|$

Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.

Ta lại có: $\widehat{MDH} \approx 108^{0}\Rightarrow MH \geq MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Câu 21: Thông hiểu

Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{BC}=0$ là:

A.
một điểm
B.
đường thẳng
C.
đoạn thẳng
D.
đường tròn.

Ta có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } ight|.\left| {\overrightarrow {BC} } ight|\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = {90^0} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \Leftrightarrow MA \bot BC \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Câu 22: Nhận biết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (4; - 3)$ . Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$

A.
$\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{\sqrt{5}}{5}.$
B.
$\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
C.
$\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
D.
$\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}.$

Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 5}{\sqrt{5}.5} = \frac{- \sqrt{5}}{5}$ .

Câu 23: Nhận biết

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A(1;2), B(-1;3), C(-2;1)$ . Chọn khẳng định đúng.

A.
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
B.
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
C.
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ .
D.
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ ngược hướng.

Biểu diễn các điểm trên hệ trục tọa độ như sau:

Chọn khẳng định đúng

Ta có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {OA} = \left( {1,2} ight) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 2 + 1,1 - 3} ight) = \left( { - 1, - 2} ight) = - 1.\left( {1,2} ight) = - 1.\overrightarrow {OA} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng phương, ngược hướng.

Câu 24: Nhận biết

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và trung tuyến $AM$ . Khẳng định nào sau đây là sai.

A.
$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{0}$ .
B.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ , với mọi điểm $O$ .
C.
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .
D.
$\overrightarrow{AM} = - 2\overrightarrow{MG}$ .

Ta có $AM = 3MG$

Mặt khác $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{MG}$ ngược hướng $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{AM} = - 3\overrightarrow{MG}$ .

Câu 25: Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $A$ , đường cao $AH$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight|.$
B.
$\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}.$
C.
$\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA}.$
D.
$\left| \overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight|.$

Do $\Delta ABC$ cân tại $A$ , $AH$ là đường cao nên $H$ là trung điểm $BC$ .

Xét các đáp án:

Đáp án $\left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight|.$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| = a \\ \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = a \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight|.$

Đáp án $\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BH} \\ \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CH} = - \overrightarrow{BH} \\ \end{matrix} ight.\ .$ Do đó đáp án này sai.

Đáp án $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA}.$

Đáp án $\left| \overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight|.$ . Ta có $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} ight|$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ ).

Câu 26: Thông hiểu

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ . Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.$

A.
$\alpha = 180^{0}.$
B.
$\alpha = 0^{0}.$
C.
$\alpha = 90^{0}.$
D.
$\alpha = 45^{0}.$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ nên $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - 1 \Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 180^{o}$ .

Câu 27: Nhận biết

Cho $\overrightarrow{a} e\overrightarrow{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$ . Tìm $\overrightarrow{MN}$ .

A.
$\overrightarrow{MN}=7\overrightarrow{a}$
B.
$\overrightarrow{MN}=-5\overrightarrow{a}$
C.
$\overrightarrow{MN}=-7\overrightarrow{a}$
D.
$\overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{a}$

Ta có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a + \left( { - 4\overrightarrow a } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a - 4\overrightarrow a = 7\overrightarrow a \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 28: Thông hiểu

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;1),\ B(3;2),\ C(6;5).$ Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.
$D(4;3).$
B.
$D(3;4).$
C.
$D(4;4).$
D.
$D(8;6).$

Gọi $D(x;y).$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1) \\ \overrightarrow{DC} = (6 - x;5 - y) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\overset{}{ightarrow}\left\{\begin{matrix}2 = 6 - x \\1 = 5 - y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = 4 \\\end{matrix} ight.$ $\ \overset{}{ightarrow}D(4;4).$

Câu 29: Nhận biết

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B.
Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C.
Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D.
Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.

Vì vectơ - không cùng phương với mọi vectơ.

Câu 30: Nhận biết

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được xác định bằng công thức nào dưới đây?

A.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
B.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
C.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
D.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},$ được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .

Câu 31: Nhận biết

Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm $BC.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}.$
B.
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}.$
C.
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM}.$

Xét đáp án $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ (theo quy tắc ba điểm).

Chọn đáp án này.

Câu 32: Nhận biết

Cho M là trung điểm AB, tìm đẳng thức sai

A.
$\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{AB}=-MA \times AB$
B.
$\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=-MA\times MB$
C.
$\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AB}=AM\times AB$
D.
$\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$

Ta có: $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos180^{\circ} =-MA.MB$ .

Đáp án sai là $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$ .

Câu 33: Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ hai điểm $A(1;5),B(2;6)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ đối xứng với điểm $B$ qua $A$ ?

A.
$C(4;4)$
B.
$C(0;1)$
C.
$C( - 3;2)$
D.
$C( - 1;2)$

Gọi tọa độ điểm C là $C(x;y)$

Vì điểm $C$ đối xứng với điểm $B$ qua $A$ suy ra $A$ là trung điểm của $BC$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{- 2 + x}{2} \\5 = \dfrac{6 + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow C(4;4)$

Vậy tọa độ điểm C cần tìm là $C(4;4)$ .

Câu 34: Thông hiểu

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD}.$
B.
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$
C.
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$
D.
$\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}.$

Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD}.$ . Ta có $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ . Vậy đáp án này đúng.

Đáp án $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{AD} \\ \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AD} \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy đáp án này sai.

Đáp án $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$ Vậy đáp án này đúng.

Đáp án $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy đáp án này đúng.

Câu 35: Thông hiểu

Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đậy đúng?

A.
$\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ .
B.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .
C.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .
D.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .

Ta có tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $AD = CB$ hay $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ nên phương án $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ đúng.

Câu 36: Nhận biết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$

A.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
B.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
C.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
D.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$

Câu 37: Nhận biết

Cho hai điểm $A(4; - 1),B( - 2;5)$ . Tọa độ trung điểm của đoạn AB là:

A.
$(2;4)$
B.
$( - 3;3)$
C.
$(3; - 3)$
D.
$(1;2)$

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{4 + ( - 2)}{2} = 1 \\y_{M} = \dfrac{- 1 + 5}{2} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2)$

Câu 38: Vận dụng cao

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$

A.
$R = \frac{a}{3}.$
B.
$R = \frac{a}{9}.$
C.
$R = \frac{a}{2}.$
D.
$R = \frac{a}{6}.$

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Ta có

$2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}$ $= 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) + 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 4\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 3\left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight)+ \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} =\overrightarrow{0}.$

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $\overrightarrow{IG} +\overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} +\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}.$ $(*)$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ $\Leftrightarrow \left|9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight|$ $\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $R = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$

Câu 39: Thông hiểu

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC$

Tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \hfill \\ \Rightarrow AC = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 40: Vận dụng

Cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (4; - 2),\overrightarrow{b} = ( - 1; - 3),\overrightarrow{c} = (2;5)$ . Phân tích vectơ $\overrightarrow{b}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}\ và\ \overrightarrow{c}$ , ta được:

A.
$\overrightarrow{b} = \frac{1}{24}\overrightarrow{a} - \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .
B.
$\overrightarrow{b} = - \frac{1}{24}\overrightarrow{a} - \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .
C.
$\overrightarrow{b} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{c}$ .
D.
$\overrightarrow{b} = \frac{1}{24}\overrightarrow{a} + \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .

Giả sử $\overrightarrow{b} =m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{c} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}- 1 = 4m + 2n \\- 3 = - 2m + 5n \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{1}{24} \ = - \frac{7}{12} \\\end{matrix} ight.$ . Vậy $\overrightarrow{b} = \frac{1}{24}\overrightarrow{a} - \frac{7}{12}\overrightarrow{c}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!