Quy tròn số
đến hàng chục, được số
. Khi đó sai số tuyệt đối là:
Sai số tuyệt đối là:
Quy tròn số
đến hàng chục, được số
. Khi đó sai số tuyệt đối là:
Sai số tuyệt đối là:
Phương sai của một mẫu số liệu
bằng
Phương sai của một mẫu số liệu bằng bình phương của độ lệch chuẩn.
Đạt và Phong tham gia chơi trò một trò chơi đối kháng, thỏa thuận rằng ai thắng 5 ván trước là thắng chung cuộc và được hưởng toàn bộ số tiền thưởng của chương trình (không có ván nào hòa). Tuy nhiên khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi thì xảy ra sự cố kĩ thuật và chương trình buộc phải dừng lại. Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức. Hỏi phải chia số tiền thưởng như thế nào cho hợp lý (dựa trên quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng cuộc của mỗi người).
Phân tích: Đề bài cho các điều kiện khá dài dòng, ta cần đưa chúng về dạng ngắn gọn dễ hiểu hơn.
+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong và Đạt thắng trong một ván là như nhau và bằng .
+) “Khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng một ván nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 ván nữa mới đạt được.
Để xác định xác suất thắng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng”. Để Phong có thể thắng chung cuộc thì anh phải thắng Đạt 3 ván liên tiếp (vì Đạt chỉ còn một ván nữa là thắng).
Như vậy xác suất thắng cuộc của Phong là: .
Xác suất thắng cuộc của Đạt là .
Vậy Tỉ lệ chia tiền phù hợp là .
Cho A là biến cố liên quan phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng là:
Một lô sản phẩm gồm 35 sản phẩm đạt chuẩn và 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ trong hộp. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn?
Ta có:
Gọi B là biến cố cả ba sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn.
Chọn 3 trong 35 sản phẩm đạt chuẩn ta có:
Vậy xác suất của biến cố B là: .
Một lớp học có
học sinh trong đó có
cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra
học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Xác suất để chọn ra
học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên học sinh trong
học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là
học sinh được chọn luôn có
cặp anh em sinh đôi.
+ Chọn cặp em sinh đôi trong
cặp em sinh đôi, có
cách.
+ Chọn thêm học sinh trong 38 học sinh, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Cho mẫu số liệu như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:
Quan sát mẫu số liệu ta thấy:
Giá trị lớn nhất là 29.
Giá trị nhỏ nhất là 23
Suy ra khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 29 – 23 = 6.
Vậy đáp án là 6.
Cho
Hãy xác định số gần đúng
của
với độ chính xác
.
Ta có hàng của chữ số 0 đầu tiên bên trái của d là hàng phần trăm. Ta cần quy tròn đến hàng phần trăm được số gần đúng là .
Trong 9 ngày liên tiếp, số sản phẩm mà tổ sản xuất hoàn thành mỗi ngày được ghi lại như sau:
. Giá trị khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
Quan sát mẫu số liệu ta thấy:
Giá trị lớn nhất là 30
Giá trị nhỏ nhất là 21
Suy ra khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 30 – 21 = 9.
Xác định số trung vị của dãy số liệu
?
Dãy số đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Dãy số có 7 số liệu nên số trung vị đứng giữa dãy số.
Do đó số trung vị của dãy trên là 5.
Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau: “Nếu có một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ …”. Cụm từ cần điền vào chỗ trống là:
Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau: “Nếu có một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra”.
Cho số
. Số quy tròn của số gần đúng
bằng:
Hàng lớn nhất có độ chính xác là hàng trăm nên ta quy tròn số a đến hàng nghìn.
Vậy số quy tròn của a là: .
Trên kệ sách có 5 quyển sách Hóa học và 7 quyển sách Vật lí. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Xác suất để ba quyển sách lấy ra có cả sách Hóa học và Vật lí bằng:
Số phần tử không gian mẫu (lấy 3 trong 12 quyển sách)
Gọi B là biến cố lấy được 3 quyển sách có cả sách Hóa học và sách Vật lí.
Khi đó là biến cố lấy được 3 quyển sách trong đó chỉ có 1 loại sách hoặc là Hóa học hoặc là Vật lí
TH1: 2 quyển sách được chọn là sách Hóa học ta có: cách chọn.
TH2: 2 quyển sách được chọn là sách Vật lí ta có: cách chọn.
Số phần tử của biến cố là:
Vậy xác suất của biến cố B cần tìm là:
Lớp 12 có 9 học sinh giỏi, lớp 11 có 10 học sinh giỏi, lớp 10 có 3 học sinh giỏi. Chọn ngẫu nhiên hai trong số học sinh đó. Tính xác suất để cả hai học sinh đó cùng một lớp.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố cả hai học sinh được chọn từ cùng một lớp.
Chọn 2 học sinh của lớp 12, có (cách).
Chọn 2 học sinh của lớp 11, có (cách).
Chọn 2 học sinh của lớp 10, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Tiến hành đo huyết áp của 8 người ta thu được kết quả sau: 77 105 117 84 96 72 105 124.
Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 72 77 84 96 105 105 117 124.
Hai giá trị chính giữa là 96 105. Do đó .
Tứ phân vị của mẫu số liệu: 72 77 84 96 là
.
Tứ phân vị của mẫu số liệu 105 105 117 124 là:
.
Khoảng tứ phân vị .
Dự báo thời tiết trong 10 ngày tại tỉnh A được ghi lại trong bảng sau:
|
Ngày |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
|
Nhiệt độ (0C) |
24 |
25 |
26 |
27 |
27 |
26 |
27 |
21 |
19 |
18 |
Tìm phương sai của mẫu số liệu đã cho?
Ta có:
Nhiệt độ trung bình của 10 ngày là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Vậy phương sai cần tìm là .
Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?
Số phần tử không gian mẫu
Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: cách chọn
TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: cách chọn
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: cách
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số
.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ là cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng là cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi đỏ và 1 bi vàng là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng:
Số phần tử của không gian mẫu là: .
Gọi A: “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”
Suy ra : “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.
Do đó : “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có một cạnh hoặc hai cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.
Trường hợp 1: Chọn ra tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác đã cho, ta chọn ra 3 đỉnh liên tiếp của đa giác 12 cạnh. Có 12 cách.
Trường hợp 2: Chọn ra tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác đã cho, ta chọn ra 1 cạnh và 1 đỉnh không liền với 2 đỉnh của cạnh đó. Suy ra có 12 cách chọn một cạnh và cách chọn đỉnh.
Vậy có 12.8 cách.
Số phần tử của biến cố là:
.
Số phần tử của biến cố A là: .
Xác suất của biến cố A là .
Cho bảng thống kê điểm thi của 100 học sinh (thang điểm 20) trong kì thi khảo sát chất lượng đầu năm như sau:
|
Điểm |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
Số học sinh |
1 |
1 |
3 |
5 |
8 |
13 |
19 |
24 |
14 |
10 |
2 |
Giá trị của phương sai gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Điểm số trung bình của 100 học sinh là:
Giá trị phương sai của mẫu số liệu là:
Vậy phương sai cần tìm là
Một hộp chứa
quả cầu gồm
quả màu xanh và
quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời
quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để
quả cầu chọn ra cùng màu.
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là , Suy ra
.
Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra .
Xác suất của biến cố A là .
Cho bảng điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10B như sau:
|
Điểm |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Tổng |
|
Số học sinh |
2 |
8 |
7 |
10 |
8 |
3 |
2 |
N = 40 |
Tính số trung bình của mẫu số liệu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Vậy số trung bình của mẫu số liệu bằng 6,8.
Cho dãy số liệu:
![]()
![]()
Tìm giá trị bất thường của mẫu số liệu trên?
Các giá trị của mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:
Ta tìm được các tứ phân vị
Suy ra khoảng biến thiên tứ phân vị là
Suy ra các giá trị bất thường nằm ngoài đoạn
Vậy các giá trị bất thường là .
Một cái túi chứa 3 viên bi đỏ và 5 bi xanh, 6 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để 3 viên bi có cả ba màu đỏ, xanh, vàng là:
Chọn ngẫu nhiên ba viên bi =>
Gọi A là biến cố lấy được ba viên bi có cả ba màu. Khi đó:
=> Xác suất để 3 viên bi có cả ba màu là:
Cho mẫu số liệu: 17 21 35 43 8 59 72 119. Tìm tứ phân vị.
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 8 17 21 35 43 59 72 119.
Trung vị của mẫu số liệu trên là: .
Trung vị của dãy 8 17 21 35 là: .
Trung vị của dãy 43 59 72 119 là: .
Vậy .
Điểm kiểm tra môn Văn của bạn Lan là: 7; 9; 8; 9. Tính số trung bình cộng
của mẫu số liệu trên.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: .
Điều tra tiền lương một tháng của 100 người lao động trên địa bàn một xã ta có bàng phân bố tần số sau:
|
Tiền lương (VND) |
5.000.000 |
6.000.000 |
7.000.000 |
8.000.000 |
9.000.000 |
9.500.000 |
|
Tần số |
26 |
34 |
20 |
10 |
5 |
5 |
Tìm mốt của bảng phân bổ tần số trên.
Ta có giá trị 6.000.000 có tần số lớn nhất nên là mốt của bảng phân bố tần số trên.
Bảng dưới đây thống kê lại tốc độ phát triển của 1 loại vi khuẩn (đơn vị: nghìn con).

Ta nên lấy giá trị nào là giá trị đại diện của bảng trên?
Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm:
20 20 20 30 60 100 150 270 440 980
Do mẫu số liệu chứa các giá trị chênh lệch rất lớn nên không thể lấy số trung bình hoặc mốt làm giá trị đại diện.
Tứ phân vị không được coi là giá trị đại diện.
Do đó ta lấy trung vị làm giá trị đại diện. Ta có:.
Chọn đáp án: Trung vị, giá trị đại diện là 80.
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh?
Ta có:
Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh”
Vậy .
Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất
lần. Xác suất mà số chấm của hai lần gieo là như nhau là bao nhiêu?
Gọi là biến cố “Số chấm trong hai lần gieo là bằng nhau”.
.
,
.
Vậy .
Cho bảng số liệu thống kê kết quả thi chạy 100m của một nhóm học sinh (đơn vị: giây) như sau:
|
Thời gian |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
Số học sinh |
6 |
4 |
5 |
3 |
2 |
Tính thời gian chạy trung bình của nhóm học sinh đó?
Số học sinh tham gia chạy là 20 (học sinh)
Thi gian chạy trung bình của nhóm 20 học sinh là:
(giây)
Vậy thời gian chạy trung bình của nhóm học sinh bằng 13,55 giây.
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu:.
Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: .
Suy ra .
Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 3 là:
Số phàn tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 3” là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Hình dưới thống kê tỉ lệ phần trăm thất nghiệp ở một số quốc gia:

Hãy tìm giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu.
Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm:
3,2 3,6 4,4 4,5 5,0 5,4 6,0 6,7 7,0 7,2 7,7 7,8 8,4 8,6 8,7
Từ mẫu số liệu ta tính được: và
,
.
Suy ra .
Ta có:
.
Ta có:
.
Ta thấy không có số liệu nào nhỏ hơn và lớn hơn
nên mẫu không có giá trị bất thường.
Số quy tròn số
với độ chính xác
là:
Theo bài ra ta có: Độ chính xác nên ta quy tròn số đến số thập phân thứ nhất.
Vậy số quy tròn là .
Cho ba nhóm học sinh:
Nhóm 1 gồm 6 học sinh có cân nặng trung bình là 45kg.
Nhóm 2 gồm 11 học sinh có cân nặng trung bình là 50kg.
Nhóm 3 gồm 8 học sinh có cân nặng trung bình là 42kg.
Hãy tính khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh trên?
Tổng khối lượng của mỗi nhóm lần lượt là:
Khối lượng trung bình của cả ba nhóm là:
Vậy khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là .
Tìm số gần đúng của a = 3456782 với độ chính xác d = 100.
Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn a đến hàng nghìn, vậy số quy tròn của a là 3457000.
Dung tích của một nồi cơm điện là 1,1 lít ± 0,01 lít. Sai số tương đối của dung tích nồi cơm điện không vượt quá giá trị nào sau đây?
Ta có:
Sai số tương đối của dung tích nồi cơm điện là:
Vậy sai số tương đối của dung tích nồi cơm điện không vượt quá giá trị 1%
Giá của một số bó hoa (đơn vị: nghìn đồng) trong cửa hàng được thống kê như sau:
. Mốt của mẫu số liệu này là:
Bó hoa có giá 300 nghìn đồng có tần số lớn nhất nên suy ra .