Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:
Gọi A là biến có người thứ nhất bắn trúng thì là biến cố người thứ nhất bắn trượt.
Vậy ;
.
Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng và C là biến cố người thứ ba bắn trúng.
Tương tự ta có ;
;
;
.
Để hai người bắn trúng bia có các khả năng sau xảy ra:
Trường hợp 1: Người thứ nhất và thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Trường hợp 2: Người thứ nhất và thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Trường hợp 3: Người thứ hai và thứ ba bắn trúng, người thứ nhất bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: .
Một bác sĩ ghi lại độ tuổi của một số người đến khám trong bảng:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Cỡ mẫu số liệu trên là .
Thống kê lại:
Hai giá trị chính giữa của mẫu là giá trị ở vị trí thứ 15 và thứ 16. Đó là số 17 và số 17.
Suy ra trung vị
.
Một mẫu số liệu có giá trị tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba lần lượt là: . Hãy chỉ ra giá trị bất thường trong các đáp án dưới đây?
Ta có:
Vậy giá trị bất thường là .
Cho là một biến cố trong phép thử
. Xác suất của biến cố đối
liên hệ với xác suất của biến cố
được xác định theo công thức nào sau đây?
Xác suất của biến cố đối liên hệ với xác suất của biến cố
theo công thức:
Bảng dưới đây là sản lượng lúa gạo của nước ta giai đoạn 2007 – 2017 (đơn vị: triệu tấn).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
Khoảng biến thiên là .
Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột như sau:
21 | 17 | 22 | 18 | 20 | 17 | 15 | 13 | 15 | 20 | 15 | 12 | 18 | 17 | 25 |
17 | 21 | 15 | 12 | 18 | 16 | 23 | 14 | 18 | 19 | 13 | 16 | 19 | 18 | 17 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:
Tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột cao nhất là 25 tuổi.
Tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột thấp nhất là 12 tuổi.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:
Dùng máy tính cầm tay để viết quy tròn số gần đúng đến hàng phần trăm là:
Ta có: .
Chữ số hàng phần nghìn bằng 0 < 5 nên chọn .
Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.
Số phần tử không gian mẫu là: .
Gọi là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì”.
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu lá thứ nhất bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Nếu lá thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Nếu lá thứ ba bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Không thể có trường hợp hai lá thư bỏ đúng và một lá thư bỏ sai.
Cả ba lá thư đều được bỏ đúng có duy nhất cách.
.
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: .
Cách 2:
Gọi là biến cố “Không có lá thư nào được bỏ đúng phong bì”.
.
Cho số gần đúng của là
. Sai số tuyệt đối của số gần đúng này là:
Sai số tuyệt đối là:
Gọi là tập hợp các số tự nhiên gồm
chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Hãy tính xác suất để chọn được một số gồm
chữ số lẻ và chữ số
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số
là số lẻ).
Số phần tử của tập là
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Số được chọn gồm
chữ số lẻ và chữ số
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ
. Do số
luôn đứng giữa
số lẻ nên số
không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
+ Chọn trong
vị trí để xếp số
, có
cách.
+ Chọn trong
số lẻ và xếp vào
vị trí cạnh số
vừa xếp, có
cách.
+ Chọn số lẻ trong
số lẻ còn lại và chọn
số chẵn từ
sau đó xếp
số này vào
vị trí trống còn lại có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là:
Xác suất của biến cố A là: .
Để điều tra các con trong mỗi gia đình của một chung cư gồm 100 gia đình. Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 4 và thu được mẫu số liệu sau đây:
2 4 2 1 3 5 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
Cho ba chiếc hộp như sau:
Hộp 1 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng.
Hộp 2 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh.
Hộp 3 chứa 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh.
Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một viên bi và các phần tử của không gian mẫu được mô tả bằng sơ đồ sau:
Gọi A là biến cố: “Trong ba viên bi lấy ra có đúng một viên bi màu đỏ”. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A?
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 4.
Một túi đựng bi xanh và
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
bi. Xác suất lấy được toàn màu đỏ là:
Ta có số phần từ của không gian mẫu là .
Gọi : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".
Khi đó .
Vậy xác suất cần tính là .
Cho mẫu số liệu: . Số trung bình của mẫu số liệu là:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Vậy số trung bình là 8.
Một đội văn nghệ có 5 nam và 8 nữ, đội trưởng cần lập một nhóm 4 người để tham gia biểu diễn một tiết mục chính. Xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất 3 nam bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “chọn được ít nhất 3 nam”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo ba con xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 9?
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên ba mặt của ba con xúc xắc là 9”
Vì nên
Lại có
Khi đó xác suất của biến cố A là:
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố : "lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Xác suất để lần đầu xuất hiện mặt sấp là . Lần 2 và 3 thì tùy ý nên xác suất là 1.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Viết số quy tròn của đến hàng phần nghìn?
Ta có số quy tròn của đến hàng phần nghìn là
.
Nếu đơn vị đo của số liệu là kg thì đơn vị của độ lệch chuẩn là:
Nếu đơn vị đo của số liệu là thì đơn vị của độ lệch chuẩn là:
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất 1 quyển là toán là bao nhiêu?
Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là .
Số cách lấy được 3 quyển lý là .
Số cách lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa là .
Số cách lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa là .
Số cách lấy 3 quyển sách mà không có sách toán là .
Suy ra số cách lấy 3 quyển sách mà có ít nhất 1 quyển sách toán là 74 cách.
Suy ra xác suất cần tìm là .
Cho mẫu số liệu: 10; 8; 6; 2; 4. Tính phương sai của mẫu.
Số trung bình là
.
Phương sai là
.
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số chọn được chia hết cho 6 bằng:
Số phần tử trong không gian mẫu là .
Gọi A là biến cố: “số chọn được chia hết cho 6”.
Giả sử số cần tìm là .
Do số cần tìm chia hết cho 6 nên chia hết cho 2.
Do đó chọn có 4 cách.
Chọn a, b có cách. Để chọn c ta xét tổng
:
Nếu M chia cho 3 dư 0 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 1 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 2 thì suy ra có 3 cách chọn.
Do đó .
Vậy .
Số cam có trong các giỏ được ghi lại như sau: . Số trung vị của mẫu số liệu là:
Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị bằng trung bình cộng của số liệu ở vị trí thứ hai và thứ ba.
=> Số trung vị của mẫu số liệu:
Làm tròn số gần đúng với độ chính xác
?
Số gần đúng làm tròn với độ chính xác
là:
.
Một hộp chứa 7 bi xanh, 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất để được hai bi cùng màu là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy được hai bi cùng màu.
Chọn 2 bi xanh, có (cách).
Chọn 2 bi đỏ, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Cho bảng thống kê điểm kiểm tra môn Hóa học của học sinh lớp 10C như sau:
Điểm |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Số học sinh |
2 |
8 |
7 |
10 |
8 |
Tính điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 10C?
Số học sinh lớp 10C bằng: (học sinh)
Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 10C là:
Vậy điểm kiểm tra trung bình của 35 học sinh lớp 10C bằng 6,4.
Bảng dưới đây thống kê điểm Văn của lớp 11C.
Biết . Tìm trung vị của bảng số liệu.
Vì tổng số học sinh bằng 40 nên ta có: .
Thống kê lại bảng:
Hai giá trị chính giữa của mẫu số liệu là giá trị ở vị trí thứ 20 và 21. Đó là số 6 và số 6.
Suy ra trung vị .
Bảng sau đây cho ta biết số cuốn sách mà học sinh của một lớp ở trường Trung học phổ thông đã đọc:
Số sách | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
Số học sinh đọc | 10 | m | 8 | 6 | n | 3 | n = 40 |
Tìm m và n, biết phương sai của mẫu số liệu trên xấp xỉ 2,52.
Số trung bình là:
Phương sai là:
Theo bài ra ta có:
Kiểm tra được: m = 8 và n = 5 thỏa mãn.
Bảng dưới đây thống kê điểm của bạn Dũng và Huy:
Hãy tính phương sai của mẫu số liệu về điểm của hai bạn, từ đó so sánh và chọn kết luận đúng.
Số trung bình của mẫu số liệu (1) và (2) là:
Phương sai của (1) là:
Phương sai của (2) là:
Vì nên bạn Huy học đều hơn bạn Dũng.
Quy tròn số 14869 đến hàng trăm. Số gần đúng nhận được là:
Quy tròn 14869 đến hàng trăm, ta được: 14900.
Cho biểu đồ lượng mưa trung bình các tháng năm 2019 tại Thành phố Hồ Chí Minh như sau:
Mẫu số liệu nhận được từ biểu đồ trên có khoảng biến thiên là:
Quan sát biểu đồ ta thấy:
Giá trị lớn nhất là 342
Giá trị nhỏ nhất là: 4
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 342 – 4 = 338.
Lớp trưởng lớp 10A thống kê số học sinh và số cây trồng được theo từng tổ trong buổi ngoại khóa như sau:
Tổ | 1 | 2 | 3 | 4 |
Số học sinh | 11 | 10 | 12 | 10 |
Số cây | 30 | 30 | 38 | 29 |
Bạn lớp trưởng cho biết số cây mỗi bạn trong lớp trồng được đều không vượt quá 3 cây. Biết rằng bảng trên có một tổ bị thống kê sai. Tổ mà bạn lớp trưởng đã thống kê sai là:
Xét đáp án Tổ 1
Số cây tối đa tổ 1 trồng được là: 11.3 = 33 (cây)
Vì 30 (cây) < 33 (cây) nên thống kê số cây tổ 1 trồng được không sai.
Xét đáp án Tổ 2
Số cây tối đa tổ 2 trồng được là: 10.3 = 30 (cây)
Vì 30 (cây) = 30 (cây) nên thống kê số cây tổ 1 trồng được không sai.
Xét đáp án Tổ 3
Số cây tối đa tổ 3 trồng được là: 12.3 = 36 (cây)
Vì 38 (cây) > 36 (cây) nên thống kê số cây tổ 3 trồng được là sai.
Xét đáp án Tổ 4
Số cây tối đa tổ 3 trồng được là: 10.3 = 30 (cây)
Vì 29 (cây) < 30 (cây) nên thống kê số cây tổ 4 trồng được không sai.
Điểm kiểm tra môn Hóa của một nhóm gồm 9 bạn như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu trên. (làm tròn đến hàng phần chục)
Số trung bình của mẫu số liệu trên là: .
Tính chiều cao trung bình của học sinh biết chiều cao của từng học sinh được ghi lại như sau:
Chiều cao (cm) |
150 |
155 |
160 |
165 |
170 |
175 |
Số học sinh |
4 |
6 |
7 |
6 |
5 |
3 |
Chiều cao trung bình của các học sinh là:
Dự báo thời tiết trong 10 ngày tại tỉnh A được ghi lại trong bảng sau:
Ngày |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
Nhiệt độ (0C) |
24 |
25 |
26 |
27 |
27 |
26 |
27 |
21 |
19 |
18 |
Tìm phương sai của mẫu số liệu đã cho?
Ta có:
Nhiệt độ trung bình của 10 ngày là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Vậy phương sai cần tìm là .
Một hộp chứa quả cầu gồm
quả màu xanh và
quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời
quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để
quả cầu chọn ra cùng màu.
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là , Suy ra
.
Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra .
Xác suất của biến cố A là .