Bảng dưới đây thể hiện sản lượng lúa (đơn vị: tạ) của một số thửa ruộng:

Tính phương sai của mẫu số liệu.
Số trung bình của mẫu là:
.
Phương sai:
.
Bảng dưới đây thể hiện sản lượng lúa (đơn vị: tạ) của một số thửa ruộng:

Tính phương sai của mẫu số liệu.
Số trung bình của mẫu là:
.
Phương sai:
.
Biểu đồ sau biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của Nhật Bản trong giai đoạn 1990 đến 2005. Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.

Khoảng biến thiên R = 5,1 - 0,4 = 4,7.
Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Xác định số phần tử của không gian mẫu.
Không gian mẫu gồm các bộ , trong đó
.
nhận 6 giá trị,
cũng nhận 6 giá trị nên có
bộ
.
Vậy và
.
Một người thống kê lại số giày bán được trong tháng của một công ty.

Hỏi công ty nên nhập nhiều hơn loại cỡ giày nào để bán trong tháng tới?
Tháng vừa rồi, công ty bán được 70 đôi giày cỡ 40 (nhiều nhất). Đây chính là mốt.
Vậy suy ra tháng tới, công ty nên nhập thêm giày cỡ 40 để bán.
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất
lần. Số phần tử không gian mẫu là bao nhiêu?
Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có .
Số phần tử không gian mẫu là .
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: 10; 8; 6; 2; 4.
Số trung bình là
.
Phương sai là
.
Độ lệch chuẩn là .
Cho số
. Số quy tròn của số gần đúng
bằng:
Hàng lớn nhất có độ chính xác là hàng trăm nên ta quy tròn số a đến hàng nghìn.
Vậy số quy tròn của a là: .
Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng:
Số phần tử của không gian mẫu là: .
Gọi A: “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”
Suy ra : “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.
Do đó : “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có một cạnh hoặc hai cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.
Trường hợp 1: Chọn ra tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác đã cho, ta chọn ra 3 đỉnh liên tiếp của đa giác 12 cạnh. Có 12 cách.
Trường hợp 2: Chọn ra tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác đã cho, ta chọn ra 1 cạnh và 1 đỉnh không liền với 2 đỉnh của cạnh đó. Suy ra có 12 cách chọn một cạnh và cách chọn đỉnh.
Vậy có 12.8 cách.
Số phần tử của biến cố là:
.
Số phần tử của biến cố A là: .
Xác suất của biến cố A là .
Một shop bán giày thống kê số lượng giày bán trong vài ngày trong bảng sau:
|
Cỡ giày |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
|
Số lượng |
35 |
42 |
50 |
38 |
32 |
48 |
Mốt của bảng số liệu trên là:
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng số liệu
Quan sát bảng số liệu đã cho suy ra mốt của bảng số liệu là 39.
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:
Theo định nghĩa ta có phép thử ngẫu nhiên là những phép thử mà ta không thể đoán trước kết quả của nó, mặc dù đã biết được tập hợp tất cả các kết quả của phép thử đó
Đáp án "Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi." không phải phép thử vì ta có thể biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là 1 số cụ thể là tổng số bi đỏ và xanh.
Trong một hộp đựng
bi màu đỏ,
bi màu xanh và
bi vàng, lấy ngẫu nhiên
viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là:
Tổng số có viên bi.
Lấy ngẫu nhiên viên bi từ
viên có
(cách lấy).
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi :
viên bi lấy được đều có màu đỏ<img class="data-latex" data-type="2" src="https://tex.vdoc.vn?tex=%22" data-latex="" "="" alt=""">.
Lấy viên bi màu đỏ từ
viên bi màu đỏ có
.
Vậy xác suất để viên bi lấy được đều có màu đỏ là
.
Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?
Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.
Cho các mệnh đề:
i) Một túi cam nặng khoảng
.
ii) Độ dài đường chéo hình vuông cạnh bằng 1 là
.
iii) Bán kính Trái Đất khoảng
.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu số là số gần đúng?
Có hai số là số gần đúng thuộc các mệnh đề:
i) Một túi cam nặng khoảng .
iii) Bán kính Trái Đất khoảng .
Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?
Số phần tử không gian mẫu
Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: cách chọn
TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: cách chọn
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: cách
Vậy xác suất của biến cố A là:
Dưới đây là bảng thống kê số lần làm bài tập Toán của học sinh lớp 10A.

Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu này.
Cỡ mẫu số liệu này là: .
Suy ra giá trị chính giữa là giá trị ở vị trí thứ 18. Đó là số 3. Suy ra trung vị .
Trung vị của 17 giá trị bên trái là giá trị ở vị trí thứ 9. Đó là số 2. Suy ra
.
Trung vị của 17 giá trị bên phải là giá trị ở vị trí thứ 27. Đó là số 4. Suy ra
.
Trong các thí nghiệm hằng số C được xác định là 5,73675 với cận trên sai số tuyệt đối là d = 0,00421. Viết chuẩn giá trị gần đúng của C là:
Vì độ chính xác d = 0,00421 (hàng phần trăm nghìn) nên ta quy tròn số gần đúng đến hàng phần chục nghìn. Ta được: 5,7368.
Tìm trung vị của dãy số liệu 2 3 1 5 3 7 9 10.
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 1 2 3 3 5 7 9 10.
Dãy trên có hai giá trị chính giữa là 3 và 5.
Suy ra trung vị là: .
Tìm số gần đúng của a = 5,2463 với độ chính xác d = 0,001.
Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm, vậy số quy tròn của a là 5,25.
Xác suất của biến cố
kí hiệu là
. Biến cố
là biến cố đối của A, có xác suất là ![]()
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Phát biểu sai là: "Xác suất của mỗi biến cố đo lường xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng xa 1."
Số trung bình của mẫu số liệu
là:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Vậy số trung bình là 46,25.
Kết quả thống kê số tiền điện của một hộ gia đình trong 6 tháng liên tiếp (đơn vị: nghìn đồng) như sau:
. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng:
Giá trị lớn nhất bằng 350
Giá trị nhỏ nhất bằng 270
=> Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 350 – 270 = 80.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng 80.
Cho phép thử có không gian mẫu
. Cặp biến cố không đối nhau là cặp nào trong các cặp dưới đây?
Cặp biến cố không đối nhau là và
do
và
.
Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.
Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”.
Trường hợp 1: Thí sinh đó là được 8 câu (tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách chọn đáp án sai nên có cách để thí sinh đúng 8 câu.
Trường hợp 2: Thí sinh đó là được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn lại có 3 cách chọn đáp án sai nên có cách để thí sinh đúng 9 câu.
Trường hợp 3: Thí sinh đó là được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là .
Vậy xác suất cần tìm là .
Có
tấm thẻ được đánh số từ
đến
. Chọn ngẫu nhiên ra
tấm thẻ. Hãy tính xác suất để có
tấm thẻ mang số lẻ,
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
tấm thẻ mang số chia hết cho
.
Không gian mẫu là cách chọn tấm thể trong
tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là .
Gọi là biến cố
tấm thẻ mang số lẻ,
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
tấm thẻ mang số chia hết cho
. Để tìm số phần tử của
ta làm như sau
● Đầu tiên chọn tấm thẻ trong
tấm thẻ mang số lẻ, có
cách.
● Tiếp theo chọn tấm thẻ trong
tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho
), có
cách.
● Sau cùng ta chọn trong
tấm thẻ mang số chia hết cho
, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Bảng dưới đây thống kê điểm của bạn Dũng và Huy:

Hãy tính phương sai của mẫu số liệu về điểm của hai bạn, từ đó so sánh và chọn kết luận đúng.
Số trung bình của mẫu số liệu (1) và (2) là:
Phương sai của (1) là:
Phương sai của (2) là:
Vì nên bạn Huy học đều hơn bạn Dũng.
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh?
Ta có:
Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh”
Vậy .
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu:
là:
Quan sát mẫu số liệu ta thấy:
Giá trị lớn nhất là 16
Giá trị nhỏ nhất là 2
Suy ra khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 16 – 2 = 14.
Một đề thi trắc nghiệm gồm
câu, mỗi câu có bốn phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được
điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
trong
phương án ở mỗi câu. Xác suất để thí sinh đó được
điểm là bao nhiêu?
Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là .
Gọi là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm”
Tìm : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.
Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có cách.
Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có cách.
Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có cách.
Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố là
.
Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là:.
Cho giá trị gần đúng của
là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là:
Ta có suy ra sai số tuyệt đối của 0,47 là 0,001.
Số kênh của một số hãng truyền hình cáp được ghi như sau: 36 38 33 34 32 30 34 35.
Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 30 32 33 34 34 35 36 38.
Trung vị của mẫu số liệu trên là: .
Trung vị của mẫu số liệu 30 32 33 34 là: .
Trung vị của mẫu số liệu 34 35 36 38 là: .
Vậy .
Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột như sau:
21 | 17 | 22 | 18 | 20 | 17 | 15 | 13 | 15 | 20 | 15 | 12 | 18 | 17 | 25 |
17 | 21 | 15 | 12 | 18 | 16 | 23 | 14 | 18 | 19 | 13 | 16 | 19 | 18 | 17 |
Khoảng biến thiên
của mẫu số liệu trên là:
Tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột cao nhất là 25 tuổi.
Tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột thấp nhất là 12 tuổi.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:
Biết
Viết gần đúng
theo nguyên tắc làm tròn với ba chữ số thập phân và ước lượng sai số tuyệt đối.
Làm tròn với ba chữ số thập phân:
Sai số tuyệt đối:
Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.
Xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu:
?
Sắp xếp mẫu dữ liệu theo thứ tự không giảm như sau:
Ta có: suy ra trung vị bằng trung bình cộng của dữ liệu nằm ở vị trí thứ 5 và thứ 6
Vậy đáp án đúng là: .
Một hộp chứa 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ.
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi A là biến cố "tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ".
Ta có:
.
Xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ là:
.
Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ có 9 học sinh. Biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh nữ bằng
, hỏi tổ có bao nhiêu học sinh nữ?
Gọi số học sinh nữ là
Chọn bất kỳ 2 học sinh ta có cách.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là
Gọi biến cố A: “2 học sinh được chọn là 2 học sinh nữ”.
Để chọn 2 học sinh được 2 học sinh nữ có:
(cách)
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là:
Mà
Vậy có 5 học sinh nữ trong tổ.
Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để lần gieo đầu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm.
Không gian mẫu
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố: “Lần gieo đầu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm”.
Xác suất để lần gieo đầu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm là: .
Nhiệt độ của thành phố Hà Nội ghi nhận trong 10 ngày lần lượt là:
. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
Sắp xếp dãy dữ liệu theo thứ tự không giảm là:
Suy ra
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
Cho mẫu số liệu:
. Xác định phương sai của mẫu số liệu đã cho?
Ta có:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Vậy phương sai của mẫu số liệu bằng 4.
Điểm thi học kì của một học sinh như sau: 4 6 7 2 10 9 3 5 8 7 3 8.
Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
.