Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Một số yếu tố thống kê và xác suất

Câu 1: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?

A.
$1$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{3}{4}$

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{9}^{3} = 84$

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu

TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: $C_{6}^{3} = 20$ cách

TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: $C_{3}^{3} = 1$ cách

$\Rightarrow n(A) = 20 + 1 = 21$

Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

Câu 2: Nhận biết

Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2023, lớp trưởng thu được kết quả như sau:

Số cuốn sách	3	4	5	6	7
Số học sinh	6	15	3	8	8

Tìm mốt của mẫu số liệu đã cho?

A.
$6$
B.
$4$
C.
$15$
D.
$5$

Mốt của mẫu số liệu là 4 (vì có tần số lớn nhất).

Câu 3: Nhận biết

Điểm kiểm tra môn Văn của bạn Lan là: 7; 9; 8; 9. Tính số trung bình cộng $\overline{x}$ của mẫu số liệu trên.

A.
$7,5$
B.
$8,25$
C.
$8,5$
D.
$8$

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: $\overline{x} = \frac{7 + 9 + 8 + 9}{4} = 8,25$ .

Câu 4: Vận dụng

Người ta phân tích thuế mặt hàng A tại 30 tỉnh một quốc gia và tính được: $Q_{1} = 26,Q_{2} = 60,Q_{3} = 100$ . Giá trị nhỏ nhất bằng 20, giá trị lớn nhất bằng 120. Chọn kết luận đúng.

A.
Tỉ lệ số tỉnh có thuế lớn hơn 26 là khoảng 50%.
B.
Khoảng tứ phân vị bằng 75.
C.
Tỉ lệ số tỉnh có thuế lớn hơn 26 là khoảng 75%.
D.
Khoảng biến thiên bằng 74.

Khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} =$ $100 - 26 = 74$ .

Khoảng biến thiên $R = 120 - 20 = 100$ .

Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị được thể hiện ở hình ảnh bên dưới:

Như vậy có khoảng 75% số tỉnh có thuế mặt hàng A lớn hơn 26.

Câu 5: Nhận biết

Xác định số trung vị của dãy số liệu $1;3;4;5;7;8;9$ ?

A.
$6$
B.
$4$
C.
$7$
D.
$5$

Dãy số đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Dãy số có 7 số liệu nên số trung vị đứng giữa dãy số.

Do đó số trung vị của dãy trên là 5.

Câu 6: Thông hiểu

Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu 1 6 4 7 8 20 15 10.

A.
$\Delta_{Q} = 7,5$
B.
$\Delta_{Q} = 9$
C.
$\Delta_{Q} = 8,5$
D.
$\Delta_{Q} = 5$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 1 4 6 7 8 10 15 20.

Hai giá trị chính giữa là 7 và 8. Suy ra trung vị $Q_{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7,5$ .

Trung vị $Q_{1}$ của mẫu 1 4 6 7 là $Q_{1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$ .

Trung vị $Q_{3}$ của mẫu 8 20 15 10 là $Q_{3} = \frac{10 + 15}{2} = 12,5$ .

Vậy khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 12,5 - 5 = 7,5$ .

Câu 7: Nhận biết

Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $4$ học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.

A.
$\frac{1}{10}$ .
B.
$\frac{1}{20}$ .
C.
$\frac{1}{130}$ .
D.
$\frac{1}{75}$ .

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{40}^{2} = 780$ .

Gọi $A$ là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có $n(A) = C_{4}^{2} = 6$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P(A) = \frac{6}{780} = \frac{1}{130}$ .

Câu 8: Nhận biết

Một hộp đựng $10$ thẻ, đánh số từ $1$ đến $10$ . Chọn ngẫu nhiên $3$ thẻ. Gọi $A$ là biến cố để tổng số của $3$ thẻ được chọn không vượt quá $8$ . Tìm số phần tử của biến cố $A$ .

A.
$2$ .
B.
$3$ .
C.
$4$ . .
D.
$5$ .

Liệt kê ta có: $A = \left\{ (1;2;3);(1;2;4);(1;2;5);(1;3;4) ight\}$ . (4 phần tử)

Câu 9: Vận dụng

Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:

A.
0,35.
B.
0,44.
C.
0,42.
D.
0,88.

Gọi A là biến có người thứ nhất bắn trúng thì $\overline{A}$ là biến cố người thứ nhất bắn trượt.

Vậy $P(A) = 0,5$ ; $P\left( \overline{A} ight) = 0,5$ .

Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng và C là biến cố người thứ ba bắn trúng.

Tương tự ta có $P(B) = 0,6$ ; $P\left( \overline{B} ight) = 0,4$ ; $P(C) = 0,7$ ; $P\left( \overline{C} ight) = 0,3$ .

Để hai người bắn trúng bia có các khả năng sau xảy ra:

Trường hợp 1: Người thứ nhất và thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight) = 0,5.0,6.0,3 = 0,09$ .

Trường hợp 2: Người thứ nhất và thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C) = 0,5.0,4.0,7 = 0,14$ .

Trường hợp 3: Người thứ hai và thứ ba bắn trúng, người thứ nhất bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) = 0,5.0,6.0,7 = 0,21$ .

Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: $0,09 + 0,14 + 0,21 = 0,44$ .

Câu 10: Nhận biết

Cho $a$ là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ . Khi đó $\Delta_{a} = \left| \overline{a} - a ight|$ gọi là:

A.
Số quy tròn của $\overline{a}$
B.
Sai số tương đối của số gần đúng $a$ .
C.
Số quy tròn của $a$
D.
Sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$ .

Ta có: $\Delta_{a} = \left| \overline{a} - a ight|$ gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$ .

Câu 11: Vận dụng

Cho tập hợp $M = \left\{ 1;2;3;4;5 ight\}$ . Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập $M$ . Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập $S$ , tính xác suất để hai số được chọn đều chia hết cho 3?

A.
$\frac{3}{5}$
B.
$\frac{46}{295}$
C.
$\frac{2}{5}$
D.
$\frac{51}{590}$

Gọi B là biến cố chọn được hai số đều chia hết cho 3

Số các số tự nhiên có 3 chữ số được lập thành từ tập M là: $A_{5}^{3} = 60$

Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{60}^{2}$

Tập các số gồm 3 chữ số tạo thành các số chia hết cho 3 là:

$\left\{ (1;2;3),(1;3;5),(2;3;4) ight\}$

Mỗi tập trên tạo thành $3!$ số chia hết cho 3 nên ta có: $3.3! = 18$ số chia hết cho 3

Khi đó $n(B) = C_{18}^{2}$

Vậy xác suất để chọn được hai số đều chia hết cho 3 từ tập S là: $p(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{C_{18}^{2}}{C_{60}^{2}} = \frac{51}{590}$

Câu 12: Thông hiểu

Cho mẫu số liệu: $5;9;8;7;10;9$ . Số trung bình của mẫu số liệu là:

A.
$8$
B.
$6$
C.
$7$
D.
$9$

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{5 + 9 + 8 + 7 + 10 + 9}{6} = 8$

Vậy số trung bình là 8.

Câu 13: Nhận biết

Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần. Gọi X là biến cố “Kết quả bốn lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố X?

A.
$X = \left\{ SSSS;NNNN ight\}$
B.
$X = \left\{ SNSN;NSNS ight\}$
C.
$X = \left\{ NNNN ight\}$
D.
$X = \left\{ SSSS ight\}$

Vì X là biến cố “Kết quả bốn lần gieo là như nhau” nên ta xác định được biến cố như sau: $X = \left\{ SSSS;NNNN ight\}$

Câu 14: Thông hiểu

Tại khoa truyền nhiễm của bệnh viện A có 12 bác sĩ và tỉ lệ bác sĩ nam và bác sĩ nữ bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên 6 bác sĩ trong khoa để lập đoàn kiểm tra truyền nhiễm trong khu vực B. Tính xác suất để 6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ?

A.
$\frac{100}{231}$
B.
$\frac{1}{924}$
C.
$\frac{5}{8316}$
D.
$\frac{5}{231}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{12}^{6} = 924$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ” là: $n(A) = C_{6}^{3}.C_{6}^{3} = 400$

Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{400}{924} = \frac{100}{231}$

Câu 15: Thông hiểu

Một túi gạo có ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0,2kg$ . Khi đó khối lượng thực của bao gạo nằm trong đoạn nào sau đây?

A.
$\lbrack 4,8;5,0brack$
B.
$\lbrack 4,9;5,1brack$
C.
$\lbrack 5;5,2brack$
D.
$\lbrack 4,8;5,2brack$

Khi một túi gạo có ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0,2kg$ thì khối lượng thực của bao gạo nằm trong đoạn $\lbrack 4,8;5,2brack$ .

Câu 16: Nhận biết

Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

A.
Độ chính xác của số quy tròn bằng một nửa đơn vị của hàng quy tròn.
B.
Độ chính xác của số quy tròn bằng một đơn vị của hàng quy tròn.
C.
Độ chính xác của số quy tròn bằng hai đơn vị của hàng quy tròn.
D.
Độ chính xác của số quy tròn bằng ba đơn vị của hàng quy tròn.

Phát biểu đúng là: "Độ chính xác của số quy tròn bằng một đơn vị của hàng quy tròn."

Câu 17: Nhận biết

Kết quả đo chiều cao của một học sinh được ghi là $175cm \pm 0,2cm$ . Điều đó có nghĩa là gì?

A.
Chiều cao đúng của học sinh là một số nằm trong khoảng từ $174,8cm$ đến $175,2cm$ .
B.
Chiều cao đúng của học sinh là một số lớn hơn $175cm$ .
C.
Chiều cao đúng của học sinh là một số nhỏ hơn $175cm$ .
D.
Chiều cao đúng của học sinh là $174,8cm$ hoặc $175,2cm$ .

Kết quả đo chiều cao của một học sinh được ghi là $175cm \pm 0,2cm$ có nghĩa là: “Chiều cao đúng của học sinh là một số nằm trong khoảng từ $174,8cm$ đến $175,2cm$ .”

Câu 18: Vận dụng

Bảng sau đây cho ta biết số cuốn sách mà học sinh của một lớp ở trường Trung học phổ thông đã đọc:

Số sách	1	2	3	4	5	6
Số học sinh đọc	10	m	8	6	n	3	n = 40

Tìm m và n, biết phương sai của mẫu số liệu trên xấp xỉ 2,52.

A.
m = 7, n = 6
B.
m = 6, n = 7
C.
m = 8, n = 5
D.
m = 5, n = 8

Số trung bình là:

$\overline x = \frac{{10.1 + 2.m + 8.3 + 4.6 + 5.n + 6.3}}{{40}} = \frac{{76 + 2m + 5n}}{{40}}$

Phương sai là:

$\begin{matrix} {S^2} = \dfrac{1}{{40}}\left( {{{10.1}^2} + m{{.2}^2} + {{8.3}^2} + {{6.4}^2} + n{{.5}^2} + {{3.6}^2}} ight) - {\left( {\dfrac{{76 + 2m + 5n}}{{40}}} ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow {S^2} = \dfrac{1}{{40}}\left( {286 + 4m + 25n} ight) - {\left( {\dfrac{{76 + 2m + 5n}}{{40}}} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}$

Theo bài ra ta có:

Kiểm tra được: m = 8 và n = 5 thỏa mãn.

Câu 19: Nhận biết

Bảng dưới đây là sản lượng lúa gạo của nước ta giai đoạn 2007 – 2017 (đơn vị: triệu tấn).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

A.
$3,19$
B.
$1,24$
C.
$2,19$
D.
$2,14$

Khoảng biến thiên là $R = 7,72 - 4,53 = 3,19$ .

Câu 20: Nhận biết

Kết quả kiểm tra cân nặng của 10 học sinh lớp 10C được liệt kê như sau: $45;46;42;50;38;42;44;42;40;60$ . Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này bằng:

A.
$20$
B.
$22$
C.
$38$
D.
$42$

Quan sát dãy số liệu ta có:

Giá trị lớn nhất bằng 60

Giá trị nhỏ nhất bằng 38

Suy ra khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 60 – 38 = 22.

Câu 21: Nhận biết

Cho một phép thử $T$ có không gian mẫu $\Omega$ . Giả thiết rằng các kết quả có thể của $T$ là đồng khả năng. Khi đó nếu $E$ là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì xác suất của $E$ (kí hiệu là $P(E)$ ) được cho bởi công thức nào sau đây? Biết rằng kí hiệu số phần tử của không gian mẫu và tập E lần lượt là $n(\Omega),n(E)$ .

A.
$P(E) = \frac{n(\Omega)}{n(E)}$
B.
$P(E) = \frac{\Omega}{E}$
C.
$P(E) = \frac{E}{\Omega}$
D.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$

Nếu E là một biến cố có liên quan đến phép thử T thì xác suất của biến cố E được xác định bởi công thức $P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$ .

Câu 22: Vận dụng

Cho dãy số liệu về chiều cao của một nhóm học sinh như sau: $160;178;150;164;168;176;156;172$ . Các tứ phân vị của mẫu số liệu là:

A.
$Q_{1} = 158;Q_{2} = 164;Q_{3} = 174$
B.
$Q_{1} = 158;Q_{2} = 166;Q_{3} = 174$
C.
$Q_{1} = 160;Q_{2} = 168;Q_{3} = 176$
D.
$Q_{1} = 150;Q_{2} = 164;Q_{3} = 178$

Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là: $150;156;160;164;168;172;176;178$

Trung vị là $Q_{2} = \frac{164 + 168}{2} = 166$

Nửa dữ liệu bên trái $Q_{2}$ là: $150;156;160;164$

Do đó $Q_{1} = \frac{156 + 160}{2} = 158$

Nửa dữ liệu bên phải $Q_{2}$ là: $168;172;176;178$

Do đó $Q_{3} = \frac{172 + 176}{2} = 174$

Câu 23: Thông hiểu

Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 4 nhân viên. Thu nhập của giám đốc là 15 triệu đồng, thu nhập của nhân viên là 5 triệu đồng. Tìm trung vị cho mẫu số liệu về lương của các thành viên trong công ty.

A.
5
B.
6
C.
10
D.
8

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 5 5 5 5 15.

Dãy trên có giá trị chính giữa bằng 5.

Vậy trung vị của mẫu số liệu trên bằng 5.

Câu 24: Nhận biết

Cho biểu đồ lượng mưa trung bình các tháng năm 2019 tại Thành phố Hồ Chí Minh như sau:

Mẫu số liệu nhận được từ biểu đồ trên có khoảng biến thiên là:

A.
$333$
B.
$338$
C.
$309$
D.
$328$

Quan sát biểu đồ ta thấy:

Giá trị lớn nhất là 342

Giá trị nhỏ nhất là: 4

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 342 – 4 = 338.

Câu 25: Thông hiểu

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

A.
$\frac{7}{8}$
B.
$\frac{5}{8}$
C.
$\frac{3}{8}$
D.
$\frac{1}{8}$

Ta có: $n(\Omega) = 2^{3} = 8$

Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

$\Rightarrow A = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;NSN;NNS ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 7$

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{7}{8}$

Câu 26: Thông hiểu

Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả sau kì thi được thống kê như sau:

Điểm	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Tần số	1	1	3	5	8	13	19	24	14	10	2

Giá trị của phương sai gần bằng:

A.
3,69
B.
3,71
C.
3,95
D.
3,96

Kết quả trung bình là:

$\overline x = \frac{{9.1 + 10.1 + 11.3 + 12.5 + 13.8 + 14.13 + 15.19 + 16.24 + 17.14 + 18.10 + 19.2}}{{100}} = 15,23$

Giá trị của phương sai là:

$\begin{matrix} {S^2} = \dfrac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1}^2 + {n_2}{x_2}^2 + {n_3}{x_4}^2 + ... + {n_k}{x_k}^2} ight) - {\left( {\overline x } ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow {S^2} = \dfrac{1}{{100}}({1.9^2} + {1.10^2} + {3.11^2} + {5.12^2} + {8.13^2} + {13.14^2} \hfill \\ + {19.15^2} + {24.16^2} + {14.17^2} + {10.18^2} + {2.19^2}) - {\left( {15,23} ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow {S^2} \approx 3,96 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 27: Thông hiểu

Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.

A.
$\frac{2808}{8215}.$
B.
$\frac{185}{209}.$
C.
$\frac{23}{209}.$
D.
$\frac{4507}{3315}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{22}^{4} = 7315$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu $''$ . Để tìm số phần tử của $A$ , ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ , với biến cố $\overline{A}$ là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\left| \Omega_{\overline{A}} ight| = C_{7}^{1}C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{4}^{1} = 840$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = |\Omega| - \left| \Omega_{\overline{A}} ight| = 6475$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{6475}{7315} = \frac{185}{209}$ .

Câu 28: Nhận biết

Gieo đồng tiền $5$ lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?

A.
$\frac{31}{32}$ . .
B.
$\frac{23}{32}$ .
C.
$\frac{13}{32}$ .
D.
$\frac{1}{32}$ .

Phép thử: Gieo đồng tiền $5$ lần cân đối và đồng chất.

Ta có $n(\Omega) = 2^{5} = 32$ .

Biến cố $A$ : Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.

$\overline{A}$ : Tất cả đều là mặt ngửa.

$n\left( \overline{A} ight) = 1$ .

$\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) = 31$ .

$\Rightarrow p(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{31}{32}$ .

Câu 29: Thông hiểu

Cho bảng điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10B như sau:

Điểm	4	5	6	7	8	9	10	Tổng
Số học sinh	2	8	7	10	8	3	2	N = 40

Tính số trung bình của mẫu số liệu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

A.
$\overline{x} = 7,0$
B.
$\overline{x} = 6,4$
C.
$\overline{x} = 6,8$
D.
$\overline{x} = 6,7$

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{2.4 + 5.8 + 6.7 + 7.10 + 8.8 + 9.3 + 10.2}{40} \approx 6,8$

Vậy số trung bình của mẫu số liệu bằng 6,8.

Câu 30: Vận dụng

Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp. Xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu là bao nhiêu?

A.
$\frac{810}{1001}.$
B.
$\frac{192}{1001}.$
C.
$\frac{5}{21}.$
D.
$\frac{17}{21}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{14}^{6} = 3003$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu $''$ . Để tìm số phần tử của biến cố $A$ ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau

TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có $C_{6}^{6} = 1$ cách.

TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có $C_{8}^{6}$ cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có $C_{11}^{6} - C_{6}^{6}$ cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có $C_{9}^{6} - C_{6}^{6}$ cách.

Do đó trường hợp này có $C_{8}^{6} + \left( C_{11}^{6} - C_{6}^{6} ight) + \left( C_{9}^{6} - C_{6}^{6} ight) = 572$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\left| \Omega_{\overline{A}} ight| = 1 + 572 = 573$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = |\Omega| - \left| \Omega_{\overline{A}} ight| = 3003 - 573 = 2430$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{2430}{3003} = \frac{810}{1001}.$ .

Câu 31: Thông hiểu

Xác suất của biến cố $A$ kí hiệu là $P(A)$ . Biến cố $\overline{A}$ là biến cố đối của A, có xác suất là $P(\overline{A})$

Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

A.
Với mọi biến cố A, $0 ≤ P(A) ≤ 1$ .
B.
$P(Ω) = 1, P(∅) = 0$ .
C.
Xác suất của mỗi biến cố đo lường xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng xa 1.
D.
$P(\overline{A})+P(A)=1.$

Phát biểu sai là: "Xác suất của mỗi biến cố đo lường xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng xa 1."

Câu 32: Nhận biết

Phương sai của một mẫu số liệu $\left \{ x_1;x_2;...;x_N ight \}$ bằng

A.
Hai lần độ lệch chuẩn
B.
Căn bậc hai của độ lệch chuẩn
C.
$\sum_{i=1}^{N}(xi-\overline{x})^{2}$
D.
Bình phương của độ lệch chuẩn

Phương sai của một mẫu số liệu $\left \{ x_1;x_2;...;x_N ight \}$ bằng bình phương của độ lệch chuẩn.

Câu 34: Nhận biết

Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của $\sqrt{3}$ chính xác đến hàng phần trăm.

A.
1,73.
B.
1,732.
C.
1,7.
D.
1,7320.

Sử dụng máy tính bỏ túi ta có $\sqrt{3}$ = 1,732050808. Do đó: Giá trị gần đúng của $\sqrt{3}$ chính xác đến hàng phần trăm là 1,73.

Câu 35: Nhận biết

Bốn quyển sách được đánh dấu bằng những chữ cái U, V, X, Y được xếp tuỳ ý trên 1 kệ sách dài. Xác suất để chúng được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái là:

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{24}$
D.
$\frac{1}{256}$

Số cách sắp xếp 4 phần tử vào dãy nằm ngang gồm 4 vị trí có $4!=24$ (cách). Suy ra $n(\Omega)=24$ .

Chỉ có duy nhất 1 cách sắp xếp 4 chữ U, V, X, Y theo thứ tự bảng chữ cái.

Vậy xác suất $P=\frac1{24}$ .

Câu 36: Vận dụng

Cho ba nhóm học sinh:

Nhóm 1 gồm 6 học sinh có cân nặng trung bình là 45kg.

Nhóm 2 gồm 11 học sinh có cân nặng trung bình là 50kg.

Nhóm 3 gồm 8 học sinh có cân nặng trung bình là 42kg.

Hãy tính khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh trên?

A.
$46kg$
B.
$46,24kg$
C.
$46,64kg$
D.
$45kg$

Tổng khối lượng của mỗi nhóm lần lượt là: $\left\{ \begin{matrix} N_{1} = 6.45kg \\ N_{2} = 11.50kg \\ N_{3} = 8.42kg \\ \end{matrix} ight.$

Khối lượng trung bình của cả ba nhóm là:

$\overline{x} = \frac{N_{1} + N_{2} + N_{3}}{6 + 8 + 11}$

$\Rightarrow \overline{x} = \frac{6.45 + 11.50 + 8.42}{25} = 46,24kg$

Vậy khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là $\overline{x} = 46,24kg$ .

Câu 37: Nhận biết

Trong một bài kiểm tra chạy của 20 học sinh, thầy giáo đã ghi lại kết quả trong bảng sau:

Thời gian (giây)	8,3	8,4	8,5	8,7	8,8
Số học sinh	2	3	9	5	1

Mốt của bảng số liệu trên là:

A.
$8,6$
B.
$8,1$
C.
$8,5$
D.
$8,4$

Quan sát bảng số liệu ta thấy:

Số học sinh đạt kết quả 8,5 giây là lớn nhất bằng 9 học sinh.

=> Mốt của bảng số liệu là 8,5.

Câu 38: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn $\lbrack 40;60brack$ . Tính xác suất của biến cố: “Chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”.

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{4}{21}$
C.
$\frac{11}{21}$
D.
$\frac{8}{21}$

Từ 40 đến 60 có 21 số nên $n(\Omega) = 21$

Các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $45;45;47;48;49;56;57;58;59$

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục” là 9.

Suy ra xác suất của biến cố cần tìm là $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

Câu 39: Thông hiểu

Kết quả khi đo chiều dài của một cây thước là $\overline{a} = 45 \pm 0,2(cm)$ . Khi đó sai số tuyệt đối của phép đo được ước lượng là:

A.
$\Delta_{a} = 0,2$
B.
$\Delta_{a} \leq0,2$
C.
$\Delta_{a} \leq -0,2$
D.
$\Delta_{a} = - 0,2$

Ta có độ dài gần đúng của cây thước là $a= 45$ với độ chính xác $d =0,2cm$

Nên sai số tuyệt đối là $\Delta_{a} \leq d= 0,2$ .

Câu 40: Vận dụng

Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp $M = \left\{ 1;2;3;...;2019 ight\}$ . Xác suất của $P$ để trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp bằng bao nhiêu?

A.
$P = \frac{677040}{679057}$ .
B.
$P = \frac{2033}{679057}$ .
C.
$P = \frac{2002}{679057}$ .
D.
$P = \frac{100}{679057}$ .

Có tất cả $C_{2019}^{3}$ cách chọn 3 số tự nhiên từ tập hợp $M = \left\{ 1;2;3;...;2019 ight\}$ .

Suy ra $n(\Omega) = C_{2019}^{3}$ .

Xét biến cố $A:$ “Chọn 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên liên tiếp”.

Ta có $\overline{A}:$ “Chọn 3 số tự nhiên sao luôn có 2 số tự nhiên liên tiếp”.

Xét các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Trong ba số chọn được chỉ có 2 số liên tiếp:

- Nếu 2 số liên tiếp là $\left\{ 1;2 ight\}$ hoặc $\left\{ 2018;2019 ight\}$ thì số thứ ba có $2019 - 3 = 2016$ cách chọn (do không tính số liên tiếp sau và trước mỗi cặp số đó).

- Nếu 2 số liên tiếp là $\left\{ 2;3 ight\}$ , $\left\{ 3;4 ight\}$ ,., $\left\{ 2017;2018 ight\}$ thì số thứ ba có $2019 - 4 = 2015$ cách chọn (do không tính 2 số liền trước và sau mỗi cặp số đó).