Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ tập hợp số 
. Tính xác suất để trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố: “Cả hai số lấy ra đều là số chẵn”
Suy ra xác suất của biến cố B là:
Ta có biến cố là biến cố: “Trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ”
Khi đó
Một tổ học sinh gồm 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất sao cho 2 người có cả nam và nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố 2 người được chọn có đủ nam và nữ
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Cho X = {0; 1; 2; 3; …; 15}. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp X. Xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp bằng:
Không gian mẫu có số phần tử là: (phần tử).
Ta tìm số cách lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau hoặc lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau.
Khi đó ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau.
Trong ba số lấy ra có hai số 0,1 hoặc 14, 15 khi đó số thứ ba có 13 cách lấy.
Do đó trường hợp này có: 2.13 = 26 cách lấy.
Trong ba số lấy ra không có hai số 0,1 hoặc 14, 15 khi đó ta có 13 cặp số liên tiếp nhau khác 0,1 và 14, 15, số thứ ba có 12 cách lấy. Do đó trường hợp này có: 13.12 = 156 cách lấy.
Trường hợp 2: Lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau có 14 cách lấy.
Vậy ta có 26 + 156 + 14 = 196 cách lấy ra ba số liên tiếp nhau hoặc lấy ra ba số trong đó có hai số liên tiếp nhau.
Xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp là: .
Cho giá trị gần đúng của là . Sai số tuyệt đối của số không vượt quá giá trị nào sau đây?
Sai số tuyệt đối của số là:
Suy ra sai số tuyệt đối của số không vượt quá
.
Nếu đơn vị đo của số liệu là kg thì đơn vị của độ lệch chuẩn là:
Nếu đơn vị đo của số liệu là thì đơn vị của độ lệch chuẩn là:
Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán của 20 học sinh
Điểm | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Số học sinh | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 1 |
Tìm trung vị của bảng số liệu trên.
Bảng số liệu có 20 giá trị => .
=> .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng là: "Nếu sai số tương đối của phép đo càng nhỏ thì chất lượng phép đo càng cao."
Một chiếc hộp đựng 5 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số ghi trên hai thẻ đều là số lẻ”. Tính số phần tử của biến cố A?
Số phần tử của biến cố A là:
Cho . Sai số tương đối của số gần đúng này là:
Ta có:
Kết quả kiểm tra của 40 học sinh lớp 10A được thống kê trong bảng sau:
|
Điểm |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Số học sinh |
2 |
3 |
7 |
18 |
3 |
2 |
4 |
1 |
Tìm mốt của mẫu số liệu đã cho?
Mốt của mẫu số liệu là: (vì có nhiều học sinh đạt điểm 6 nhất trong 40 học sinh).
Một bác sĩ ghi lại độ tuổi của một số người đến khám trong bảng:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Cỡ mẫu số liệu trên là .
Thống kê lại:
Hai giá trị chính giữa của mẫu là giá trị ở vị trí thứ 15 và thứ 16. Đó là số 17 và số 17.
Suy ra trung vị
.
Bảng dưới đây thống kê lại tốc độ phát triển của 1 loại vi khuẩn (đơn vị: nghìn con).
Ta nên lấy giá trị nào là giá trị đại diện của bảng trên?
Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm:
20 20 20 30 60 100 150 270 440 980
Do mẫu số liệu chứa các giá trị chênh lệch rất lớn nên không thể lấy số trung bình hoặc mốt làm giá trị đại diện.
Tứ phân vị không được coi là giá trị đại diện.
Do đó ta lấy trung vị làm giá trị đại diện. Ta có:.
Chọn đáp án: Trung vị, giá trị đại diện là 80.
Biểu đồ dưới đây thể hiện tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm trong giai đoạn 2018 – 2022:
(Nguồn: Niêm giám thống kê 2022)
Trong giai đoạn từ 2018 – 2021, năm có tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm cao nhất là?
Trong giai đoạn từ 2018 – 2021, năm 2020 có tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm cao nhất.
Số quy tròn của số gần đúng với là:
Quy tròn đến hàng trăm nên số quy tròn của số gần đúng
là:
.
Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 11 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích lần lượt là: 20; 19; 17; 21; 24; 22; 23; 16; 11; 25; 23. Tìm mốt của mẫu số liệu trên.
Số 23 xuất hiện nhiều nhất nên nó là mốt.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Vậy số trung bình là 46,25.
Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?
Số đặc trưng đo độ đo phân tán của mẫu số liệu là phương sai.
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất lần. Số phần tử không gian mẫu là bao nhiêu?
Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có .
Số phần tử không gian mẫu là .
Gieo một xúc xắc 2 lần . Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất 1 mặt 6 chấm.
Các kết quả phù hợp là: A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)}
Một shop bán giày thống kê số lượng giày bán trong vài ngày trong bảng sau:
|
Cỡ giày |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
|
Số lượng |
35 |
42 |
50 |
38 |
32 |
48 |
Mốt của bảng số liệu trên là:
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng số liệu
Quan sát bảng số liệu đã cho suy ra mốt của bảng số liệu là 39.
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: 10; 8; 6; 2; 4.
Số trung bình là
.
Phương sai là
.
Độ lệch chuẩn là .
Hai hộp chứa các thẻ được đánh số. Hộp thứ nhất chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10; hộp thứ hai chứa 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ và nhân các số trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chẵn?
Hộp thứ nhất chứa 10 thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 gồm 5 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn.
Hộp thứ hai chứa 9 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 9 gồm 5 thẻ số lẻ và 4 thẻ số chẵn.
Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 thẻ thì số cách chọn là:
Gọi biến cố A: “Tích thu được là số chẵn” khi đó ta xét 3 trường hợp sau:
TH1: Hộp thứ nhất chọn được thẻ chẵn và hộp thứ hai chọn được thẻ chẵn có: 5.4 = 20 cách.
TH2: Hộp thứ nhất chọn được thẻ chẵn và hộp thứ hai chọn được thẻ lẻ có: 5.5 = 25 cách.
TH3: Hộp thứ nhất chọn được thẻ lẻ và hộp thứ hai chọn được thẻ chẵn có: 5.4 = 20 cách.
Theo quy tắc cộng ta có:
Vậy xác suất cần tìm là:
Cho phép thử với không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Đâu không phải là cặp biến cố đối nhau.
Cặp E = {1; 4; 6} và F = {2; 3} không phải là biến cố đối.
Cho kết quả kiểm tra cân nặng của 6 học sinh nam trong lớp như sau: . Hãy xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu?
Sắp xếp mẫu dữ liệu theo thứ tự không giảm như sau:
Ta có: suy ra trung vị bằng trung bình cộng của dữ liệu nằm ở vị trí thứ 3 và thứ 4
Vậy khoảng biến thiên tứ phân vị bằng 6.
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Bảng dưới đây là sản lượng lúa gạo của nước ta giai đoạn 2007 – 2017 (đơn vị: triệu tấn).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
Khoảng biến thiên là .
Trong chiếc hộp chứa 37 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 37 (hai tấm thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ trong hộp. Xác suất để các số ghi trên ba tấm thẻ có tổng là một số chia hết cho 3 bằng bao nhiêu?
Từ 1 đến 37 có 12 số chia hết cho 3; 13 số chia cho 3 dư 1 và 12 số chia cho 3 dư 2
Số phần tử không gian mẫu là:
Để lấy được 3 tấm thẻ mà tổng các số ghi trên ba tấm thẻ chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 số đều chia hết cho 3 ta có: cách chọn.
TH2: 3 số chia 3 dư 1 ta có: cách chọn.
TH3: 3 số chia 3 dư 2 ta có: cách chọn.
TH4: 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia cho 3 dư 2 ta có: cách chọn.
Suy ra có tất cả cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy xác suất của biến cố: “Các số ghi trên ba tấm thẻ có tổng là một số chia hết cho 3” là:
Một chiếc hộp chứa 20 quả cầu gồm 8 quả màu xanh, 7 quả màu đỏ và 5 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 quả cầu từ chiếc hộp. Tính xác suất để 6 quả cầu lấy được ít nhất một quả màu đỏ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố trong 6 quả cầu lấy được ít nhất một quả đỏ.
Gọi B là biến cố trong 6 quả cầu lấy được không có quả đỏ.
Số phần tử của biến cố B là:
Xác suất của biến cố B là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Gieo ba con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau.
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố
Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
là
Suy ra
Vậy xác suất cần tính .
Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất lần. Xác suất mà số chấm của hai lần gieo là như nhau là bao nhiêu?
Gọi là biến cố “Số chấm trong hai lần gieo là bằng nhau”.
.
,
.
Vậy .
Cho đa giác đều có đỉnh. Chọn ngẫu nhiên đỉnh trong số đỉnh của đa giác. Xác suất để đỉnh được chọn là đỉnh của một tam giác vuông là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu là .
Giả sử tam giác cần lập là vuông tại
.
Chọn đỉnh của tam giác có
cách.
Để tam giác vuông tại thì cung
có số đo là
, hay
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có
cách chọn
.
Gọi là biến cố "
đỉnh được chọn là
đỉnh của một tam giác vuông"
Số phần tử của là
.
Xác suất cần tìm là .
Cho hai biểu đồ chấm như hình dưới của mẫu A và mẫu B.
Không tính toán, hãy chọn kết luận đúng.
Quan sát hai mẫu số liệu, ta thấy mẫu A có độ phân tán lớn hơn mẫu B. Suy ra mẫu A có phương sai lớn hơn. (Các số liệu ở mẫu B tập trung ở trung tâm)
Một cái túi chứa 3 viên bi đỏ và 5 bi xanh, 6 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để 3 viên bi có cả ba màu đỏ, xanh, vàng là:
Chọn ngẫu nhiên ba viên bi =>
Gọi A là biến cố lấy được ba viên bi có cả ba màu. Khi đó:
=> Xác suất để 3 viên bi có cả ba màu là:
Cho dữ liệu thống kê số vốn (đơn vị: triệu đồng) mua phân bón vụ mùa của 10 hộ nông dân ở thôn B như sau:
Tìm các giá trị bất thường của mẫu số liệu đã cho?
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
Ta xác định được các tứ phân vị:
Suy ra có hai giá trị bất thường là .
Số quy tròn số với độ chính xác là:
Theo bài ra ta có: Độ chính xác nên ta quy tròn số đến số thập phân thứ nhất.
Vậy số quy tròn là .
Cho bảng thống kê điểm thi của 100 học sinh (thang điểm 20) trong kì thi khảo sát chất lượng đầu năm như sau:
|
Điểm |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
Số học sinh |
1 |
1 |
3 |
5 |
8 |
13 |
19 |
24 |
14 |
10 |
2 |
Giá trị của phương sai gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Điểm số trung bình của 100 học sinh là:
Giá trị phương sai của mẫu số liệu là:
Vậy phương sai cần tìm là
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ trong hộp chứa 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Xác suất để ba quả cầu được chọn đều là màu xanh bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả màu xanh
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một hộp có 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 (hai quả cầu khác nhau thì đánh số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 quả cầu. Tính xác suất của biến cố B: “Tích các số trên hai quả cầu là số chẵn”?
Ta có không gian mẫu:
Biểu diễn biến cố B là:
Vậy xác suất của biến cố B cần tìm là:
Xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu: ?
Sắp xếp mẫu dữ liệu theo thứ tự không giảm như sau:
Ta có: suy ra trung vị bằng trung bình cộng của dữ liệu nằm ở vị trí thứ 5 và thứ 6
Vậy đáp án đúng là: .
Cho số gần đúng với độ chính xác . Số quy tròn của số là:
Độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn đến hàng nghìn, ta được số quy tròn là .
