Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 6. Xác suất có điều kiện được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}. Tính P\left( \overline{A}B ight)?

    Ta có:

    P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}

    \Rightarrow P\left( \overline{A}B ight) = P(B) - P(AB) = \frac{5}{12}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Có 40 phiếu kiểm tra, mỗi phiếu có một câu hỏi, biết rằng có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu mức độ khó và 8 câu mức độ dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu mức độ khó và 15 câu mức độ dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết mức độ khó.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có 40 phiếu kiểm tra, mỗi phiếu có một câu hỏi, biết rằng có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu mức độ khó và 8 câu mức độ dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu mức độ khó và 15 câu mức độ dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết mức độ khó.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hai biến cố A và B với P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45. Tính P\left( B|A ight)?

    Ta có:

    P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    Áp dụng công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)} = \frac{0,8.0,7}{0,65} = \frac{56}{65} \approx 0,86

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là 70\%; 75\% ; 50\%. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?

    Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"

    Ai: "Mua ở cửa hàng i"

    Ta có {A1, A2, A3} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được:P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{5} = 0,4;P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2;P\left( A_{3} ight) = \frac{2}{5} = 0,4

    P\left( T|A_{1} ight) = 0,7;P\left( A|A_{2} ight) = 0,75;P\left( T|A_{3} ight) = 0,5

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:

    P(T) = P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)

    \Rightarrow P(T) = 0,4.0,7 + 0,2.0,75 + 0,4.0,5 = 0,63

    Áp dụng công thức Bayes, ta có:

    P\left( A_{1}|T ight) = \frac{P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,7}{0,63} = 0,4444

    P\left( A_{21}|T ight) = \frac{P\left( A_{2} ight)P\left( T|A_{2} ight)}{P(T)} = \frac{0,2.0,75}{0,63} = 0,2381

    P\left( A_{3}|T ight) = \frac{P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,5}{0,63} = 0,3175

    Ta thấy rằng P(A1|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.

  • Câu 5: Vận dụng

    Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa?

    Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có:

    P(AB) = 0,5;P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 0,3

    Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên

    P\left( A\overline{B} ight) = P\left( \overline{A}B ight) = \frac{1 - 0,5 - 0,3}{2} = 0,1

    Xác suất cần tính là P\left( \overline{B}|A ight) có:

    P\left( \overline{B}|A ight) = \frac{P\left( B\overline{A} ight)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{P\left( B\overline{A} ight)}{P\left( \overline{A}\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)}

    = \frac{0,1}{0,1 + 0,3} = 0,25 = 25\%

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với 0 < P(A) < 1. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

  • Câu 7: Nhận biết

    Một túi đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:

    Ta có số phần từ của không gian mẫu là n(\Omega) = C_{10}^{2} = 45.

    Gọi A: "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".

    Khi đó n(A) = C_{4}^{2} = 6.

    Vậy xác suất cần tính là P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{15}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với 0 < P(A) < 1. Biết P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6. Tính P(B)?

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57

  • Câu 9: Thông hiểu

    Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

    Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

    a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là \frac{7}{10}. Sai||Đúng

    b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là \frac{3}{10}. Đúng||Sai

    c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là \frac{4}{10}. Đúng||Sai

    d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là \frac{9}{25}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

    Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

    a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là \frac{7}{10}. Sai||Đúng

    b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là \frac{3}{10}. Đúng||Sai

    c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là \frac{4}{10}. Đúng||Sai

    d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là \frac{9}{25}. Đúng||Sai

    Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:

    a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là 0,6 (nhánh O\overline{A}).

    b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là 0,3 = \frac{3}{10} (nhánh \overline{A}B).

    c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt 0,4 = \frac{4}{10} (nhánh AB)

    d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:

    P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36(nhánh OAB và nhánh O\overline{A}B).

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3. Tính P\left( \overline{B}|A ight)?

    Ta có:

    P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)

    = 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là 0,8. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?

    Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, \overline{A} tạo thành hệ đầy đủ

    Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".

    Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.

    Tìm P(B) từ:

    P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)}{P(B)}

    \Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}

    \Rightarrow 0,9 = \frac{0,8 - 0,5\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}

    \Leftrightarrow P(B) = 0,75

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P(A) = 0,7;P\left( \overline{B} ight) = 0,6.

    a) P\left( A|B ight) = 0,6 Sai|| Đúng

    b) P\left( B|\overline{A} ight) = 0,4 Đúng||Sai

    c) P\left( \overline{A}|B ight) = 0,4 Sai|| Đúng

    d) P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 0,6 Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P(A) = 0,7;P\left( \overline{B} ight) = 0,6.

    a) P\left( A|B ight) = 0,6 Sai|| Đúng

    b) P\left( B|\overline{A} ight) = 0,4 Đúng||Sai

    c) P\left( \overline{A}|B ight) = 0,4 Sai|| Đúng

    d) P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 0,6 Đúng||Sai

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,7 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,3 \\ P\left( \overline{B} ight) = 0,6 \Rightarrow P(B) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ \end{matrix} ight.

    Do hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nên \overline{B} và A;\overline{A} và B; \overline{B} và \overline{A} độc lập với nhau.

    a) A và B là hai biến cố độc lập nên: P\left( A|B ight) = P(A) = 0,7 eq 0,6

    b) \overline{A} và B là hai biến cố độc lập nên: P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,4

    c) \overline{A} và Blà hai biến cố độc lập nên: P\left( \overline{A}|B ight) = P\left( \overline{A} ight) = 0,3 eq 0,4

    d) \overline{B} và \overline{A} là hai biến cố độc lập nên: P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = P\left( \overline{B} ight) = 0,6

  • Câu 13: Vận dụng

    Có 3 hộp bi:

    Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.

    Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.

    Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng

    Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. Nếu bi lấy ra không là bi xanh, tính xác suất để bi đó được lấy từ hộp 2?

    Gọi A_{1};A_{2};A_{3} lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ A_{1};A_{2};A_{3} là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:

    P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}

    Gọi B là biến cố “Lấy được bi xanh”

    Ta có:

    P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)

    \Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}.\frac{3}{12} + \frac{1}{3}.\frac{4}{15} + \frac{1}{3}.\frac{5}{18} \approx 26,48\%

    \overline{B} là biến cố bi lấy ra không phải là bi xanh, ta cần tính:

    P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( A_{2} ight).P\left( \overline{B}|A_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{\frac{1}{3}.\frac{11}{15}}{1 - 0,2648} = 33,25\%

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho một hộp kín có 6 thẻ ngân hàng của BIDV và 4 thẻ ngân hàng của Techcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng của Techcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ngân hàng của BIDV

    Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng Techcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ngân hàng của BIDV “.

    Ta cần tìm P\left( A|B ight) Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Techcombank) nên P\left( A|B ight) = \frac{4}{9}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4. Giá trị P(A) bằng:

    Ta có: P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight).

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A + B) = \frac{3}{4}. Tính P\left( \overline{A}.\overline{B} ight)?

    Ta có: P\left( \overline{A}.\overline{B} ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) = \frac{1}{4}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4. Tính P\left( B|A ight)?

    Ta có: P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8

    Áp dụng công thức Bayes:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238 .

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1000 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,02

    Đáp án là:

    Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1000 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,02

    Xét các biến cố:

    A_{1}: Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

    Khi đó, ta có: P\left( A_{1} ight) = \frac{15}{1000}; P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}.

    A_{2}: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

    Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn 999 sản phẩm và trong đó có 14 sản phẩm lỗi nên ta có: P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{14}{999}, suy ra P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{985}{999}.

    Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn 999 sản phẩm trong đó có 15sản phẩm lỗi nên ta có: P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{15}{999}, suy ra P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{328}{333}.

    Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

    P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)

    = \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} + \frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02.

    Đáp số: 0,02.

  • Câu 20: Vận dụng

    Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là 0,7;0,8;0,9. Biết rằng mỗi chỗ người đó thả câu 3 lần thì chỉ có một lần câu được cá. Người đó đã câu được một con cá. Tính xác suất để con cá câu được đó ở chỗ thứ nhất.

    Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.

    Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.

    Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.

    Theo công thức Bayes, ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}

    P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.

    Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là 0,8, nên P\left( B|A ight) = 0,8

    P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.

    Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là \frac{1}{3}.

    P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    Trong đó:

    P\left( B|\overline{A} ight) là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là 0,9 và 0,7 nên P\left( B|\overline{A} ight) = 0,9.0,7

    P\left( \overline{A} ight) là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là \frac{2}{3}.

    Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:

    0,8 = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{150}}.P\left( {A|B} ight)}}{{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow P\left( {A|B} ight) \approx 0,388

    Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là: 0,388

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính P(A) là:

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(A) là:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}. Tính P\left( \overline{A} + \overline{B} ight)?

    Ta có:

    P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}

    P\left( \overline{A} + \overline{B} ight) = P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 1 - P(AB) = \frac{11}{12}

  • Câu 23: Vận dụng

    Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

    Đáp án: 0,48

    Đáp án là:

    Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

    Đáp án: 0,48

    Xét các biến cố: A: “Chọn được bạn biết chơi bóng đá”

    B: “Chọn được bạn biết chơi cầu lông”

    Khi đó P(A) = \frac{27}{40} = 0,675; P(B) = \frac{25}{40} = 0,625; P(A \cup B) = 1.

    Suy ra P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,675 + 0,625 - 1 = 0,3.

    Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá, bạn đó biết chơi cầu lông là P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,625} = 0,48.

    Đáp số: 0,48.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45. Tính P(A)?

    Ta có:

    P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65

  • Câu 25: Thông hiểu

    Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên đạn. Tìm xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích.

    Gọi B là biến cố "Cả 2 viên đạn trúng đích".

    B_{i},(i = 1,2) là biến cố "Chọn được i xạ thủ loại I".

    P\left( {\text{ }B}_{0} ight) =\frac{C_{8}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{28}{45};P\left( \text{ }B \mid B_{0} ight) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49

    P\left( {\text{ }B}_{1} ight) =\frac{C_{2}^{1} \cdot C_{8}^{1}}{C_{10}^{2}} = \frac{16}{45};P\left(\text{ }B \mid B_{1} ight) = 0,9 \cdot 0,7 = 0,63

    P\left( {\text{ }B}_{2} ight) =\frac{C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{45};P\left( \text{ }B \mid B_{2} ight) = 0,9.0,9 = 0,81

    Ta có B_{1},B_{2},B_{3} tạo thành họ đầy đủ các biến cố.

    Áp dụng công thức, ta có

    P(\text{ }B) = P\left( {\text{ }B}_{0}ight) \cdot P\left( \text{ }B \mid B_{0} ight) + P\left( {\text{}B}_{1} ight) \cdot P\left( \text{ }B \mid B_{1} ight) + P\left({\text{ }B}_{2} ight) \cdot P\left( \text{ }B \mid B_{2}ight)

    = \frac{28}{45} \cdot 0,49 + \frac{16}{45} \cdot 0,63 + \frac{1}{45}0,81 = 0,5469

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Một hãng hàng không cho biết rằng 5\% số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được 50 khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10\%?

    Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé".

    Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ.

    Ta có P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(C) = 0,8

    Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".

    Biến cố H|A xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H|B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến. Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp.

    Do đó để cho đơn giản ta tìm P\left(\overline{H} ight).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}P\left( \overline{H}|A ight) = 0,95^{52}.0,05^{0} +52.0,95^{51}.0,05^{1} \\P\left( \overline{H}|B ight) = 0,95^{51}.0,05^{0} \\P\left( \overline{H}|C ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Do đó:

    P\left( \overline{H} ight) =P(A).P\left( \overline{H}|A ight) + P(B).P\left( \overline{H}|Bight) + P(C).P\left( \overline{H}|C ight)

    \Rightarrow P\left( \overline{H} ight)= 0,1\left( 0,95^{52}.0,05^{0} + 52.0,95^{51}.0,05^{1} ight)+0,1.0,95^{51}.0,05^{0} + 0,8.0 \approx 0,033

    \Rightarrow P(H) = 1 - P\left(\overline{H} ight) \approx 0,9667 = 96,67\%

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.

    Gọi A_{i} là "trong 5 sản phẩm cuối có i chính phẩm".

    Khi đó hệ A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5} tạo thành hệ đầy đủ

    A_{0} xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.

    Suy ra P\left( A_{0} ight) = 0

    A_{1} xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.

    P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{225}

    A_{2} xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô I,1 chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô I,2 chính, 1 phế từ lô II

    P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{14}{225}

    A_{3} xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô I,1 chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô I,2 chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô I,3 chính từ lô II

    P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{25}

    A_{4} xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô I,2 chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô I,3 chính từ lô II

    P\left( A_{4} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{98}{225}

    A_{5} xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô I,3 chính từ lô II

    P\left( A_{5} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{49}{225}

    Gọi A là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ

    P(\bar{A}) = \sum_{i = 0}^{5}\mspace{2mu}\mspace{2mu} P\left( A_{i} ight)P\left( \bar{A} \mid A_{i} ight)

    = \frac{C_{5}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot 0 + \frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{1}{225} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{14}{225} + \frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{7}{25} + 0 \cdot \frac{98}{225} + 0 \cdot \frac{49}{225}

    \simeq 0.4933

    Suy ra P(A) = 1 - P(\bar{A}) \simeq 0,6507.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng \frac{5}{8}.Đúng||Sai

    b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng \frac{3}{8}. Đúng||Sai

    c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng \frac{2}{5}. Đúng||Sai

    d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng \frac{5}{8}.Đúng||Sai

    b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng \frac{3}{8}. Đúng||Sai

    c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng \frac{2}{5}. Đúng||Sai

    d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    Gọi B_{1} là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”

    Gọi B_{2} là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”

    a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”

    Ta có: P(A) = P\left( B_{1} ight).P\left( A|B_{1} ight) + P\left( B_{2} ight).P\left( A|B_{2} ight)

    Mà \left\{ \begin{matrix}P\left( B_{1} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( B_{2} ight) = \dfrac{1}{2}\\P\left( A|B_{1} ight) = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} \\P\left( A|B_{2} ight) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy P(A) = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}

    b) Ta có: P(A) = \frac{5}{8} \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}

    c) Ta có: \left\{ \begin{matrix}P\left( B_{2} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( A|B_{2} ight) =\dfrac{1}{2} \\P(A) = \dfrac{5}{8} \\\end{matrix} ight.

    P\left( B_{2}|A ight) = \frac{P\left( B_{2} ight).P\left( A|B_{2} ight)}{P(A)} = \frac{0,5.0,5}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}

    d) Ta có: \left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{5}{8};P\left( \overline{A} ight) = \dfrac{3}{8} \\P\left( B_{1} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( \overline{A}|B_{1} ight) =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    P\left( B_{1}|A ight) = \frac{P\left(B_{1} ight).P\left( \overline{A}|B_{1} ight)}{P\left( \overline{A}ight)} = \frac{0,5.0,25}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{1}{3}.

  • Câu 29: Nhận biết

    Nếu hai biến cố A;B thỏa mãn P(A) = 0,3;P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,4 thì P\left( B|A ight) bằng bao nhiêu?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,6.0,4}{0,3} = \frac{4}{5}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng 0,85 và 0,15. do có nhiễu trên đường truyền nên \frac{1}{7} tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn \frac{1}{8} tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:

    Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”

    Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”

    Gọi TA là biến cố “Phát được tín hiệu A ”

    Gọi TB là biến cố “Phát được tín hiệu B”.

    Ta cần tính P\left( T_{A} ight) ta có: \left\{\begin{matrix}P(A) = 0,85 \\P\left( T_{B}|A ight) = \dfrac{1}{7} \Rightarrow P\left( T_{A}|Aight) = 1 - \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7} \\P(B) = 0,15 \\P\left( T_{A}|B ight) = \dfrac{1}{8} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    P\left( T_{A} ight) = P(A).P\left( T_{A}|A ight) + P(B).P\left( T_{A}|B ight)

    \Rightarrow P\left( T_{A} ight) = 0,85.\frac{6}{7} + 0,15.\frac{1}{8} = \frac{837}{1120}

    Theo công thức Bayes, ta có:

    \Rightarrow P\left( A|T_{A} ight) =\dfrac{P(A).P\left( T_{A}|A ight)}{P\left( T_{A} ight)} =\dfrac{0,85.\dfrac{6}{7}}{\dfrac{837}{1120}} = \dfrac{272}{279}

  • Câu 31: Vận dụng

    Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm. Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người?

    Gọi Ai: “người thứ i nhận được phiếu trúng thưởng” (i = 1, . . . , 10)

    Ta có:

    P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{10} = 0,2

    P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}|A_{1} ight)P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}|\overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{1}} ight)

    \Rightarrow P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{9}.\frac{2}{10} + \frac{2}{9}.\frac{8}{10}

    ...

    P\left( A_{10} ight) = 0,2

  • Câu 32: Thông hiểu

    Một bình đựng hạt giống có 7 hạt loại A và 6 hạt loại B. Lấy ngẫu nhiên lần thứ nhất ra 2 hạt, lần thứ hai ra một hạt. Biết hạt giống lấy ra lần hai loại A. Tính xác suất để hai hạt lấy ra lần thứ nhất đều loại B.

    Gọi F là biến cố hạt lấy ra lần hai là loại A. H0, H1, H2 lần lượt là biến cố hai hạt lấy ra lần thứ nhất có 0, 1, 2 hạt loại B.

    {H0, H1, H2} là một hệ đầy đủ.

    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có

    P(F) = P\left( H_{0} ight).P\left( F|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight).P\left( F|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( F|H_{2} ight)

    \Rightarrow P(F) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{13}^{2}}.\frac{5}{11} + \frac{C_{7}^{1}.C_{6}^{1}}{C_{13}^{2}}.\frac{6}{11} + \frac{C_{6}^{2}}{C_{13}^{2}}.\frac{7}{11} = 0,538.

    Áp dụng công thức Bayes, ta được:

    \Rightarrow P\left( H_{2}|F ight) =\dfrac{P\left( H_{2} ight).P\left( F|H_{2} ight)}{P(F)} =\dfrac{\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{13}^{2}}.\dfrac{7}{11}}{0,538} =0,227.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là P\left( \left. \ A ight|B ight). Phát biểu nào sau đây đúng?

    Công thức tính xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra\left( P(B) > 0 ight) là: P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.

    Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.

    Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.

    Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.

    Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 35: Vận dụng

    Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cua. Xác suất câu được cua ở mỗi chỗ lần lượt là 0,6;0,7;0,8. Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cua. Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất?

    Gọi A1, A2, A3 lần lượt là "cá câu được ở chỗ thứ i" thì hệ A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.

    Dễ thấy P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}

    Gọi H là "thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cua".

    Theo công thức toàn phần, ta có:

    P(H) = P\left( A_{1} ight)P\left( H|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( H|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( H|A_{3} ight)

    Ở đó \left\{ \begin{matrix} P\left( H|A_{1} ight) = 3.0,6^{1}.0,4^{2} \\ P\left( H|A_{2} ight) = 3.0,7^{1}.0,3^{2} \\ P\left( H|A_{3} ight) = 3.0,8^{1}.0,2^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P(H) = 0,191

    Theo công thức Bayes suy ra:

    P\left( A_{1}|H ight) = \frac{P\left( A_{1} ight).P\left( H|A_{1} ight)}{P(H)} \approx 0,5026

  • Câu 36: Vận dụng

    Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

    Đáp án: 0,82

    Đáp án là:

    Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

    Đáp án: 0,82

    Gọi A là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và B : "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”.

    Dễ thấy \overline{A},\overline{B} là hai biến cố độc lập.

    Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là

    P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0,2 \cdot 0,9 = 0,18.

    Gọi P là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:

    P = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0,18 = 0,82.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất để viên đạn đó trúng đích.

    Gọi A là biến cố "Viên đạn trúng đích".

    B_{1} là biến cố "Chọn xạ thủ loại I bắn".

    B_{2} là biến cố "Chọn xạ thủ loại II bắn".

    P\left( {B}_{2} ight) =\frac{8}{10} = 0,8,P\left( A \mid B_{2} ight) =0,7

    P\left( {B}_{1} ight) =\frac{2}{10} = 0,2,P\left( A \mid B_{1} ight) =0,9

    Ta có B_{1},{B}_{2} tạo thành họ đầy đủ các biến cố.

    Áp dụng công thức ta có:

    P\left( \text{ }A ight) = P\left({\text{ }B}_{1} ight)P\left( \text{ }A \mid B_{1} ight) + P\left({\text{ }B}_{2} ight)P\left( \text{ }A \mid B_{2}ight)

    = 0,2 \cdot 0,9 + 0,8 \cdot 0,7 = 0,74

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}. Tính P(A.B)?

    Ta có: P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

    a) Xác suất để có tên Anh là \frac{1}{10}.Đúng||Sai

    b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là \frac{2}{13}.Đúng||Sai

    d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

    a) Xác suất để có tên Anh là \frac{1}{10}.Đúng||Sai

    b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là \frac{2}{13}.Đúng||Sai

    d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    Gọi A là biến cố “tên là Anh”

    Gọi B là biến cố “nữ”.

    a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: P(A) = \frac{3}{10} = \frac{1}{10}.

    b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là P\left( A|B ight)

    Ta có: P(B) = \frac{17}{30};P(A \cap B) = \frac{1}{30}

    \Rightarrow P\left( A|B ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{17}{30}} =\dfrac{1}{17}

    c) Gọi C là biến cố “nam”.

    Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là P\left( A|C ight)

    Ta có: P(C) = \frac{13}{30};P(A \cap C) = \frac{2}{30}

    \Rightarrow P\left( A|C ight) =\dfrac{P(A \cap C)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{2}{30}}{\dfrac{13}{30}} =\dfrac{2}{13}.

    d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là P\left( B|A ight),

    \Rightarrow P\left( B|A ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{3}{30}} =\frac{1}{3}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng 0,84 và 0,16. do có nhiễu trên đường truyền nên \frac{1}{6} tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn \frac{1}{8} tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?

    Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".

    Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.

    P(A) = 0,84;P(B) = 0,16

    Gọi C là "thu được tín hiệu A". Khi đó: P\left( C|A ight) = \frac{5}{6};P\left( C|B ight) = \frac{1}{8}

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(C) = P(A).P\left( C|A ight) + P(B).P\left( C|B ight)

    \Rightarrow P(C) = 0,84.\frac{5}{6} + 0,16.\frac{1}{8} = 0,72.

    Ta cần tính P(A|C). Áp dụng công thức Bayes ta có:

    P\left( A|C ight) = \frac{P(A)P\left(C|A ight)}{P(C)} = \dfrac{0,84.\dfrac{5}{6}}{0,72} =\dfrac{35}{36}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 52 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập