Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Câu 1: Thông hiểu

Một bình đựng hạt giống có 7 hạt loại A và 6 hạt loại B. Lấy ngẫu nhiên lần thứ nhất ra 2 hạt, lần thứ hai ra một hạt. Tính xác suất để hạt giống lấy ra lần 2 là hạt loại A.

A.
$0,538$
B.
$0,475$
C.
$0,439$
D.
$0,547$

Gọi F là biến cố hạt lấy ra lần hai là loại A. H₀, H₁, H₂ lần lượt là biến cố hai hạt lấy ra lần thứ nhất có 0,1, 2 hạt loại B.

{H₀, H₁, H₂} là một hệ đầy đủ.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có

$P(F) = P\left( H_{0} ight).P\left( F|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight).P\left( F|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( F|H_{2} ight)$

$\Rightarrow P(F) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{13}^{2}}.\frac{5}{11} + \frac{C_{7}^{1}.C_{6}^{1}}{C_{13}^{2}}.\frac{6}{11} + \frac{C_{6}^{2}}{C_{13}^{2}}.\frac{7}{11} = 0,538$ .

Câu 2: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

A.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
B.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
C.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
D.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

Câu 3: Vận dụng

Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất của biến cố C: “Hai viên bi lấy ra khác màu”

A.
$0,46$
B.
$0,32$
C.
$0,15$
D.
$0,28$

Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”

Gọi B là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.

Ta có:

$P(A) = \frac{4}{10} = 0,4 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,6$

$P\left( B|A ight) = \frac{4}{10} = 0,4 \Rightarrow P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight) = 0,6$

$P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{5}{10} = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 1 - P\left( B|\overline{A} ight) = 0,5$

Ta có sơ đồ cây:

Dựa vào sơ đồ cây, ta có: $P(C) = P(AB) + P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 0,16 + 0,3 = 0,46$

Câu 4: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:

A.
$0,7$
B.
$0,4$
C.
$0,58$
D.
$0,52$

Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$

Câu 5: Thông hiểu

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng $\frac{2}{5}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng $\frac{8}{23}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng $\frac{15}{23}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng $\frac{3}{5}$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng $\frac{2}{5}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng $\frac{8}{23}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng $\frac{15}{23}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng $\frac{3}{5}$ .Sai||Đúng

Gọi A : “Học sinh được chọn giỏi môn Toán”

B: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”

Gọi C : “Học sinh được chọn không giỏi môn Toán”

D: “Học sinh được chọn không giỏi môn Văn”

Số học sinh giỏi cả 2 môn là: $23 + 20 - 35 = 8$

a) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Văn nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn là:

$P\left( A|B ight) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

b) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Toán nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán là:

$P\left( B|A ight) = \frac{8}{23}$

c) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, có đúng 8 học sinh giỏi cả Văn và Toán, nên số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là 12.

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" là:

$P\left( C|B ight) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

d) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là $23 - 8 = 15$

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" là: $P\left( D|A ight) = \frac{15}{23}$

Câu 6: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Biết $P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;$ $P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6$ . Tính $P(B)$ ?

A.
$0,36$
B.
$0,57$
C.
$0,48$
D.
$0,26$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57$

Câu 7: Thông hiểu

Giả sử $5\%$ email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là $95\%$ và có $10\%$ những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc. Các khẳng định sau đúng hay sai?

A.
Xác suất email nhận được một email rác là $0,05$ .Đúng||Sai
B.
Xác suất bị lọc của email rác là $0,93$ . Sai||Đúng
C.
Xác suất bị lọc của email rác là $0,1425$ . Đúng||Sai
D.
Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là $\frac{7}{19}$ . Sai||Đúng

a) Gọi A: “Email nhận được là email rác”.

Và B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì 5% email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là

$P(A) = 5\% = 0,05$

b) Xác suất email bị lọc của email rác là $P\left( B|A ight) = 95\% = 0,95$ .

c) Xác suất email nhận được không phải rác là $P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - 0,05 = 0,95$

Xác suất email bị lọc của email không phải rác là $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,1$

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight)P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,95.0,05 + 0,1.0,95 = 0,1425$

d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là

$P\left( A|B ight) = \frac{P\left( B|A ight).P(A)}{P(B)} = \frac{0,95.0,05}{0,1425} = \frac{1}{3}$ .

Câu 8: Vận dụng

Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là $0,7;0,8;0,9$ . Biết rằng mỗi chỗ người đó thả câu 3 lần thì chỉ có một lần câu được cá. Người đó đã câu được một con cá. Tính xác suất để con cá câu được đó ở chỗ thứ nhất.

A.
$0,574$
B.
$0,796$
C.
$0,388$
D.
$0,432$

Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.

Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.

Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.

Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là $0,8$ , nên $P\left( B|A ight) = 0,8$

P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.

Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là $\frac{1}{3}$ .

P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Trong đó:

$P\left( B|\overline{A} ight)$ là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là $0,9$ và $0,7$ nên $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,9.0,7$

$P\left( \overline{A} ight)$ là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là $\frac{2}{3}$ .

Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:

$0,8 = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{150}}.P\left( {A|B} ight)}}{{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow P\left( {A|B} ight) \approx 0,388$

Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là: $0,388$

Câu 9: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P(A.B)$ ?

A.
$\frac{5}{6}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{12}$
D.
$\frac{1}{4}$

Ta có: $P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

Câu 10: Thông hiểu

Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho $5000,3000,2000$ bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là $0,85;0,9;0,95$ . Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân

A.
$91,7\%$
B.
$83,5\%$
C.
$92,6\%$
D.
$88,5\%$

Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người

Gọi A₁ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.

A₂ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.

A₃ là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.

Khi đó: $P\left( A_{1} ight) = 0,5;P\left( A_{2} ight) = 0,3;P\left( A_{3} ight) = 0,2$

Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.

Khi đó $P\left( B|A_{1} ight) = 0,85;P\left( B|A_{2} ight) = 0,9;P\left( B|A_{3} ight) = 0,95$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,5.0,85 + 0,3.0,9 + 0,2.0,95 = 0,885$

Câu 11: Vận dụng cao

Ba người thợ cùng may một loại áo với xác suất may được sản phẩm chất lượng cao tương ứng là $0,9; 0,9 ; 0,8$ . Biết một người khi may 8 áo thì có 6 sản phẩm chất lượng cao. Tìm xác suất để người đó may 8 áo nữa thì có 6 áo chất lượng cao?

A.
$22,06\%$
B.
$20,02\%$
C.
$28,74\%$
D.
$23,18\%$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

$P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A \mid A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A \mid A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( A \mid A_{3} ight)$

$= \frac{1}{3}.C_{8}^{6}{.0,9}^{6}.{0,1}^{2} + \frac{1}{3}.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0,1}^{2} + \frac{1}{3}.C_{8}^{6}.{0,8}^{6}.{0,2}^{2}$ $\simeq 0,1971$

Gọi $B$ là "trong 8 áo sau có 6 áo chất lượng cao". Vì trong không gian điều kiện $A$ , hệ $A_{i}$ vẫn là hệ đầy đủ.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần có

$P(B) = P\left( A_{1} \mid A ight)P\left( B \mid A_{1}A ight) + P\left( A_{2} \mid A ight)P\left( B \mid A_{2}A ight) + P\left( A_{3} \mid A ight)P\left( B \mid A_{3}A ight)$

Ở đó:

$P\left( A_{1} \mid A ight) =\frac{P\left( A_{1} ight)P\left( A \mid A_{1} ight)}{P(A)} \simeq\dfrac{\dfrac{1}{3}.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0,1}^{2}}{0.1971} \simeq0,2516$

$P\left( A_{2} \mid A ight) \simeq 0,2516,\ P\left( A_{3} \mid A ight) \simeq 0,4965$

Thay vào ta tính được

$P(A) \simeq 0,2516.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0.1}^{2} + 0.2516.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0,1}^{2}$

$+ 0,4965.C_{8}^{6}.{0,8}^{6}.{0,2}^{2}$ $\simeq 0,2206$

Câu 12: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{B}|A ight)$ ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Ta có:

$P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)$

$= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}$ .

Câu 13: Vận dụng cao

Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

A.
Máy II
B.
Máy III
C.
Máy I

Gọi E₁ là biến cố phế phẩm máy số I

$\Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96$

E₂ là biến cố phế phẩm máy số II

$\Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97$

E₃ là biến cố phế phẩm máy số III

$\Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95$

Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

$P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96$

Gọi $\overline{B}$ là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt

Ta xác định được:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,04$

$P\left( E_{1}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{1} ight).P\left( \overline{B}|E_{1} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04} = 0,26$

$P\left( E_{2}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{2} ight).P\left( \overline{B}|E_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04} = 0,3$

$P\left( E_{3}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( \overline{B}|E_{3} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04} = 0,41$

Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.

Câu 14: Nhận biết

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{16}$
B.
$\frac{12}{25}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{19}{20}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}$

Câu 15: Thông hiểu

Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?

A.
$0,4$
B.
$0,7$
C.
$0,28$
D.
$0,6$

Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố A; B độc lập.

Gọi E là biến cố “thắng thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1” do A; B là hai biến cố độc lập nên:

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,7$ .

Câu 16: Thông hiểu

Có ba hộp giống nhau:

Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm.

Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính phẩm.

Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm.

Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm?

A.
$\frac{23}{36}$
B.
$\frac{8}{15}$
C.
$\frac{31}{45}$
D.
$\frac{61}{90}$

Gọi A là biến cố: “Lấy được chính phẩm”. Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với ba biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố:

$H_{1}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp I.

$H_{2}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp II.

$H_{3}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp III.

Vì theo giả thiết của bài toán, các biến cố $H_{1}$ ; $H_{2}$ ; $H_{3}$ là đồng khả năng, do đó:

$P\left( H_{1} ight) = P\left( H_{2} ight) = P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố $H_{1}$ ; $H_{2}$ ; $H_{3}$ xảy ra bằng:

$P\left( A|H_{1} ight) = \frac{6}{10};P\left( A|H_{2} ight) = \frac{10}{15};P\left( A|H_{3} ight) = \frac{15}{20}$

Do đó:

$P(A) = P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight) + P\left( H_{3} ight).P\left( A|H_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{6}{10} + \frac{1}{3}.\frac{10}{15} + \frac{1}{3}.\frac{15}{20} = \frac{124}{180} = \frac{31}{45}$

Câu 17: Nhận biết

Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

Xét các biến cố:

$A$ : "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

$B$ : "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

Xác định biến cố $E = B|A$ : "biến cố $B$ với điều kiện biết $A$ đã xảy ra".

A.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$
B.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$
C.
$E = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$
D.
$E = \left\{(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3)ight\}$

Ta có:

$A = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$

$B = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Khi biến cố $B$ xảy ra, thì không gian mẫu mới là $B$ .

Khi đó, biến cố $E = B|A = A \cap B = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Câu 18: Vận dụng

Có 3 hộp bi:

Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.

Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.

Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng

Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. Nếu bi lấy ra không là bi xanh, tính xác suất để bi đó được lấy từ hộp 2?

A.
$33,25\%$
B.
$45,12\%$
C.
$50,47\%$
D.
$39,31\%$

Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Gọi B là biến cố “Lấy được bi xanh”

Ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}.\frac{3}{12} + \frac{1}{3}.\frac{4}{15} + \frac{1}{3}.\frac{5}{18} \approx 26,48\%$

$\overline{B}$ là biến cố bi lấy ra không phải là bi xanh, ta cần tính:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( A_{2} ight).P\left( \overline{B}|A_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{\frac{1}{3}.\frac{11}{15}}{1 - 0,2648} = 33,25\%$

Câu 19: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( A|B ight)$ ?

A.
$0,7976$
B.
$0,7975$
C.
$0,2025$
D.
$0,2024$

Hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( A|B ight) = P(A) = 0,2024$ .

Câu 20: Vận dụng

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là

A.
0,9925.
B.
0,9825
C.
0,9725
D.
0,9625

Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

$\overline{B}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

$\overline{C}$ là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

$P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15$

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline{C} = \overline{A.B}$

$P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075$ .

$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.$

Câu 21: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
B.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) - P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
C.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight) - P(B).P\left( A|B ight)$ .
D.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .

Câu 22: Thông hiểu

Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng $0,85$ và $0,15$ . do có nhiễu trên đường truyền nên $\frac{1}{7}$ tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn $\frac{1}{8}$ tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:

A.
$\frac{272}{1120}$
B.
$\frac{373}{279}$
C.
$\frac{173}{279}$
D.
$\frac{272}{279}$

Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”

Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”

Gọi T_A là biến cố “Phát được tín hiệu A ”

Gọi T_B là biến cố “Phát được tín hiệu B”.

Ta cần tính $P\left( T_{A} ight)$ ta có: $\left\{\begin{matrix}P(A) = 0,85 \\P\left( T_{B}|A ight) = \dfrac{1}{7} \Rightarrow P\left( T_{A}|Aight) = 1 - \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7} \\P(B) = 0,15 \\P\left( T_{A}|B ight) = \dfrac{1}{8} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$P\left( T_{A} ight) = P(A).P\left( T_{A}|A ight) + P(B).P\left( T_{A}|B ight)$

$\Rightarrow P\left( T_{A} ight) = 0,85.\frac{6}{7} + 0,15.\frac{1}{8} = \frac{837}{1120}$

Theo công thức Bayes, ta có:

$\Rightarrow P\left( A|T_{A} ight) =\dfrac{P(A).P\left( T_{A}|A ight)}{P\left( T_{A} ight)} =\dfrac{0,85.\dfrac{6}{7}}{\dfrac{837}{1120}} = \dfrac{272}{279}$

Câu 23: Thông hiểu

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ

B là biến cố An làm đúng câu trung bình

C là biến cố An làm đúng câu khó.

Khi đó A, B, C độc lập với nhau.

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$ . Khẳng định Sai.

b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là:

$P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) + P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C). + P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight)$

$= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474$

Khẳng định Sai.

c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$

Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình. $(0,4)^{3} = 0,064$ .

Khẳng định Đúng.

d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:

TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai

$(0,15)^{4}(0,2 + 0,4 + 0,85) = 7,34.10^{- 4}$

TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình

$(0,15)^{3}.(0,6)^{2} = 1,215.10^{- 4}$

Vậy xác suất cần tìm là $0,1949\%$

Khẳng định Sai.

Câu 24: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 25: Thông hiểu

Có hai hộp bên ngoài giống nhau:

Hộp thứ nhất đựng 1 sản phẩm lỗi và 9 sản phẩm tốt.

Hộp thứ hai đựng 2 sản phẩm lỗi và 8 sản phẩm tốt.

Lấy ngẫu nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm tốt là:

A.
$0,88$
B.
$0,85$
C.
$0,83$
D.
$0,81$

Gọi A₁ là biến cố lấy sản phẩm từ hộp thứ nhất.

A₂ là biến cố lấy sản phẩm từ hộp thứ hai.

Vì chọn ngẫu nhiên nên $P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{2}$

Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt ta có:

$P\left( B|A_{1} ight) = \frac{9}{10};P\left( B|A_{2} ight) = \frac{8}{10}$

Do đó:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{2}.\frac{9}{10} + \frac{1}{2}.\frac{8}{10} = \frac{17}{20} = 0,85$

Câu 26: Vận dụng cao

Một chiếc máy bay có thể xuất hiện không phận của điểm A với xác suất là $\frac{2}{3}$ hoặc không phận của điểm B với xác suất là $\frac{1}{3}$ . Giả sử có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo để hạ máy bay như sau:

Phương án 1: 3 khẩu đặt ở điểm A và 1 khẩu đặt ở điểm B.

Phương án 2: 2 khấu đặt ở điểm A và 2 khẩu đặt ở điểm B.

Phương án 3: 1 khẩu đặt ở điểm A và 3 khẩu đặt ở điểm B.

Biết rằng xác suất bắn trúng (hạ máy bay) của mỗi khẩu bằng $0,7$ và các khẩu pháo bắn độc lập với nhau. Phương án nào xác suất bắn trúng máy bay cao nhất?

A.
Phương án 1
B.
Phương án 2
C.
Phương án 3

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{3} = 0,973$ (tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:

$P_{1} = \frac{2}{3}.0,973 + \frac{1}{3}.0,7 = 0,882$

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{2} = 0,91$

Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:

$P_{2} = \frac{2}{3}.0,91 + \frac{1}{3}.0,91 = 0,91$

Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{3} = 0,973$

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:

$P_{3} = \frac{2}{3}.0,7 + \frac{1}{3}.0,973 = 0,791$

Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.

Câu 27: Thông hiểu

Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?

A.
$\frac{28}{45}$
B.
$\frac{5}{9}$
C.
$\frac{13}{45}$
D.
$\frac{4}{15}$

Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ

Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất P(A)

Nếu gọi A_i là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).

Khi đó ta có: $A = A_1 . A_2$

Vì vậy các xác suất cần tìm là:

$P(A) = P\left( A_{1}.\ A_{2} ight) = P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight) = \frac{8}{10}.\frac{7}{9} = \frac{28}{45}$

Câu 28: Vận dụng

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”?

A.
$44,4\%$
B.
$32,5\%$
C.
$47\%$
D.
$33,5\%$

Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

H₁ – người đó trả lời “sẽ mua”

H₂ – người đó trả lời “có thể mua”

H₃ – người đó trả lời “không mua”

H₁, H₂, H₃ là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng $\frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}$

Ta xác định được: $P\left( A|H_{1} ight) = 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) = 0,01$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = \frac{34}{200}.0,7 + \frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268$ .

Theo công thức Bayes:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P(A)} = \frac{0,17.0,7}{0,268} = 0,444 = 44,4\%$ .

Câu 29: Thông hiểu

Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

a) Xác suất để có tên Anh là $\frac{1}{10}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $\frac{2}{13}$ .Đúng||Sai

d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

a) Xác suất để có tên Anh là $\frac{1}{10}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $\frac{2}{13}$ .Đúng||Sai

d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

Gọi A là biến cố “tên là Anh”

Gọi B là biến cố “nữ”.

a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: $P(A) = \frac{3}{10} = \frac{1}{10}$ .

b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $P\left( A|B ight)$

Ta có: $P(B) = \frac{17}{30};P(A \cap B) = \frac{1}{30}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{17}{30}} =\dfrac{1}{17}$

c) Gọi C là biến cố “nam”.

Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $P\left( A|C ight)$

Ta có: $P(C) = \frac{13}{30};P(A \cap C) = \frac{2}{30}$

$\Rightarrow P\left( A|C ight) =\dfrac{P(A \cap C)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{2}{30}}{\dfrac{13}{30}} =\dfrac{2}{13}$ .

d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là $P\left( B|A ight)$ ,

$\Rightarrow P\left( B|A ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{3}{30}} =\frac{1}{3}$ .

Câu 30: Vận dụng

Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?

A.
$90,85\%$
B.
$97,37\%$
C.
$95,55\%$
D.
$99,28\%$

Gọi B_i: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)

H: "Hệ thống hoạt động tốt"

Theo giả thiết, ta thấy rằng P(B_i) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và

$H = \overline{B_{1}}B_{2}B_{3} + B_{1}\overline{B_{2}}B_{3} + B_{1}B_{2}\overline{B_{3}} + B_{1}B_{2}B_{3}$

Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:

$P(H) = 3P\left( \overline{B_{1}} ight)P\left( B_{2} ight)P\left( B_{3} ight) + P\left( B_{1} ight)P\left( B_{2} ight)P\left( B_{3} ight)$

$\Rightarrow P(H) = 3.(0,95)^{2}.(0,05) + 0,95^{3} = 99,28$ .

Câu 31: Vận dụng cao

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} ight) = \frac{15}{1000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm và trong đó có $14$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{14}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{985}{999}$ .

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{15}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{328}{333}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$= \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} + \frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02$ .

Đáp số: $0,02$ .

Câu 32: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thoả mãn $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$ . Khi đó, $P(A \cap B)$ bằng:

A.
0,8.
B.
0,4.
C.
0,6.
D.
0,2.

A và B là hai biến cố độc lập nên

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2$

Câu 33: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( A|B ight)$ ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Ta có: $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7}$ .

Câu 34: Thông hiểu

Trong một kỳ thi, có $60\%$ học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên và $40\%$ học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai. Biết rằng có $20\%$ học sinh làm đúng cả hai bài toán. Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là bao nhiêu?

A.
$0,5$
B.
$0,333$
C.
$0,412$
D.
$0,235$

Gọi biến cố $A$ : "học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên"

$\Rightarrow P(A) = 60\% = 0,6$

Biến cố $B$ : "học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai”

$\Rightarrow P(B) = 40\% = 0,4$

Biến cố $A \cap B$ : "học sinh làm đúng cả hai bài toán"

$\Rightarrow P(A \cap B) = 20\% = 0,2$

Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \approx 0,333$

Câu 35: Thông hiểu

Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là $20\%$ ; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$ , trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$ . Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh T thì khả năng mà đó bị bệnh phổi là bao nhiêu $\%$ ?

A.
$15\%$
B.
$29\%$
C.
$31\%$
D.
$26\%$

Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”

Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.

Ta cần tính $P(B)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,8 \\P\left( B|A ight) = 0,7 \\P\left( B|\overline{A} ight) = 0,15 \\\end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) +P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,2..0,7 + 0,8.0,15 =0,26$

Câu 36: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{A} \cap B ight)$ ?

A.
$\frac{4}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{2}{5}$
D.
$\frac{1}{7}$

Cách 1: $P\left( \overline{A} \cap B ight) = P\left( \overline{A}|B ight).P(B)$

Mà $P\left( \overline{A}|B ight) = 1 - P\left( A|B ight) = 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1 - \frac{0,3}{0,7} = \frac{4}{7}$

Do đó: $P\left( \overline{A} \cap B ight) = P\left( \overline{A}|B ight).P(B) = \frac{4}{7}.0,7 = 0,4 = \frac{2}{5}$

Cách 2: Ta có:

$P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,3 = 0,4$ .

Câu 37: Thông hiểu

Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có $20$ sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là $18, 16, 12$ . Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?

A.
$0,6033$
B.
$0,6125$
C.
$0,6354$
D.
$0,6271$

Gọi A_i là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A|A_{1} ight) = \frac{18}{20}.\frac{18}{20}$

$P\left( A|A_{2} ight) = \frac{16}{20}.\frac{16}{20}$

$P\left( A|A_{3} ight) = \frac{12}{20}.\frac{12}{20}$

Từ đó ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight).P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{18}{20}.\frac{18}{20} + \frac{1}{3}.\frac{16}{20}.\frac{16}{20} + \frac{1}{3}.\frac{12}{20}.\frac{12}{20} = \frac{181}{300} \approx 0,6033$

Câu 38: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

A.
$P(B) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(B) = P(B).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$
C.
$P(B) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Câu 39: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,65$
C.
$0,55$
D.
$0,5$

Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$

Câu 40: Vận dụng

Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ hai.

A.
$0,385$
B.
$0,451$
C.
$0,397$
D.
$0,522$

Gọi E₁ là biến cố thầy giáo rút 2 câu thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi E₂ là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc và 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi E₃ là biến cố thầy giáo rút 2 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi C là biến cố sinh viên rút ra 2 câu thuộc từ hộp 2

$P(C) = P\left( E_{1} ight)P\left( C|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight)P\left( C|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight)P\left( C|E_{3} ight)$

Ta xác định được:

$P\left( E_{1} ight) = \frac{C_{10}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{3}{7};P\left( E_{2} ight) = \frac{C_{10}^{1}.C_{5}^{1}}{C_{15}^{2}} = \frac{10}{21}$

$P\left( E_{3} ight) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{2}{21};P\left( C|E_{1} ight) = \frac{C_{10}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{9}{11}$

$P\left( C|E_{2} ight) = \frac{C_{9}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{12}{35};P\left( C|E_{3} ight) = \frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{3}{35}$

Thay vào công thức ta suy ra kết quả $P(C) \approx 0,522$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!