Cho hai biến cố
và
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Công thức tính xác suất của biến cố khi biết biến cố
đã xảy ra
là:
.
Cho hai biến cố
và
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Công thức tính xác suất của biến cố khi biết biến cố
đã xảy ra
là:
.
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà giáo viên đã rút. Tính xác suất để học sinh A trả lời được câu hỏi trong phiếu.
Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1
E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2
E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ
Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc
Ta có:
Thay vào công thức ta tính được .
Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
Gọi Bi: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)
H: "Hệ thống hoạt động tốt"
Theo giả thiết, ta thấy rằng P(Bi) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và
Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:
.
Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.
Gọi Ai là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có
Gọi B là "sản phẩm do máy I sản xuất". Khi đó ta cần tính P(B|A)
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai là đều con trai là
và hai con đều là gái là
, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là con gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.
Gọi là 'con thứ nhất là con trai' và
là 'con thứ hai là con trai' thì theo đề bài ta có:
,
và
Ta cần tìm .
Ta có
Cho hai biến cố
với
. Giá trị
bằng:
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Một bình đựng 5 viên bi (cùng kích cỡ và đồng chất) khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu?
Cách 1:
Gọi A là biến cố “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”
Gọi B là biến cố “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”
Ta đi tính . Ta có:
Do đó:
Cách 2:
Gọi C là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”.
Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2.
Do đó, xác suất cần tìm là
Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.
Gọi là "trong 5 sản phẩm cuối có
chính phẩm".
Khi đó hệ tạo thành hệ đầy đủ
xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.
Suy ra
xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.
xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô
chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô
chính, 1 phế từ lô II
xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô
chính, 2 phế từ lô
hoặc 1 chính, 1 phế từ lô
chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô
chính từ lô II
xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô
chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô
chính từ lô II
xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô
chính từ lô II
Gọi là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ
Suy ra .
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 0,82
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 0,82
Gọi là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và
: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”.
Dễ thấy là hai biến cố độc lập.
Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là
.
Gọi là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:
Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy
thí sinh; vòng thứ hai lấy
thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy
thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại?
Gọi là "thí sinh vượt qua vòng thứ
' thì ta có
và
Gọi là biến cố thí sinh được vào đội tuyển thì
xảy ra nếu thí sinh vượt qua cả 3 vòng, nghĩa là
Gọi là biến cố "thí sinh bị loại ở vòng 2, biết thí sinh này bị loại'.
Ta biểu diễn .
vì
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.
Dễ thấy . Theo công thức Bayes ta có:
Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất
, máy II sản xuất
và máy III sản xuất
tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là
. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất?
Gọi Ai: “Sản phẩm do máy i sản xuất”
A: “Sản phẩm là phế phẩm”
Ta có: A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Theo công thức Bayes ta có:
Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là:
Gọi A là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.
Gọi B là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.
Không gian mẫu cách chọn
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có cách 9 chọn, do đó:
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ trong 6 viên bi còn lại có 6 cách chọn, do đó:
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ: .
Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng
.Đúng||Sai
b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng
. Đúng||Sai
c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng
. Đúng||Sai
d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng
. Sai||Đúng
Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng .Đúng||Sai
b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng . Đúng||Sai
c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng . Đúng||Sai
d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng . Sai||Đúng
Gọi là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”
Gọi là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”
a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”
Ta có:
Mà
Vậy
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
.
Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
Gọi là "đạt
học phần ở lần thi đầu".
Khi đó, tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.
Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.
Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?
Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm
trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có
trường hợp ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.
Gọi A là biến cố đi đường ngầm suy ra là biến cố đi đường cầu
Ta xác định được
Gọi B là "về nhà sau 6 giờ tối", ta cần tính .
Sử dụng công thức Bayes:
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là
, của máy thứ hai là
. Một lô sản phẩm gồm
sản phẩm của máy thứ nhất và
sản phẩm của máy thứ hai. Người ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiếm tra thấy là sản phẩm tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất?
Gọi A là biến cố “Sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt”
B1 là biến cố “Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất”.
B2 là biến cố “Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất”
Do là họ đầy đủ các biến cố.
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Có 3 hộp bi:
Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.
Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.
Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng
Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. Nếu bi lấy ra không là bi xanh, tính xác suất để bi đó được lấy từ hộp 2?
Gọi lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ
là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:
Gọi B là biến cố “Lấy được bi xanh”
Ta có:
là biến cố bi lấy ra không phải là bi xanh, ta cần tính:
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.
Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Do công thức Bayes:
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:
a) Xác suất để có tên Anh là
.Đúng||Sai
b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
.Sai||Đúng
c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là
.Đúng||Sai
d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là
.Sai||Đúng
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:
a) Xác suất để có tên Anh là .Đúng||Sai
b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là .Sai||Đúng
c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là .Đúng||Sai
d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là .Sai||Đúng
Gọi A là biến cố “tên là Anh”
Gọi B là biến cố “nữ”.
a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: .
b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
Ta có:
c) Gọi C là biến cố “nam”.
Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là
Ta có:
.
d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là ,
.
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Điều trị một trong 3 phương pháp cho bệnh nhân đã khỏi, tìm phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất?
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Ta có:
Vậy phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất là phương pháp III.
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.
Xét các biến cố
: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định
là biến cố
khi biết
đã xảy ra?
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
Biến cố khi biết
đã xảy ra là:
Có hai hộp thuốc:
Hộp I có 2 vỉ thuốc ngoại và 5 vỉ thuốc nội.
Hộp II có 3 vỉ thuốc ngoại và 6 vỉ thuốc nội.
Từ hộp I và hộp II lần lượt lấy ra 2 vỉ thuốc và 1 vỉ thuốc. Từ 3 vỉ thuốc đó lại lấy ra một vỉ. Tính xác suất để vỉ lấy ra sau cùng là thuốc ngoại?
Gọi A1 là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp I”
A1 là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp II”
Ta có A1, A2 lập thành hệ đầy đủ các biến cố khi đó ta xác định được:
Gọi B là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là thuốc ngoại”.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Một bình đựng hạt giống có 7 hạt loại A và 6 hạt loại B. Lấy ngẫu nhiên lần thứ nhất ra 2 hạt, lần thứ hai ra một hạt. Tính xác suất để hạt giống lấy ra lần 2 là hạt loại A.
Gọi F là biến cố hạt lấy ra lần hai là loại A. H0, H1, H2 lần lượt là biến cố hai hạt lấy ra lần thứ nhất có 0,1, 2 hạt loại B.
{H0, H1, H2} là một hệ đầy đủ.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có
.