Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Hai biến cố và là hai biến cố độc lập nên .

Ta có:

Vậy

Gọi là biến cố 'nhóm thứ có 1 người giỏi Toán' và là sự kiện nhóm nào cũng có người giỏi Toán, thì dễ dàng nhận thấy:

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất của tích ta có:

Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:

Hai biến cố và là hai biến cố độc lập nên .

Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.

Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.

Do đó, xác suất của biến cố B là: .

Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”

Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”

Gọi T_A là biến cố “Phát được tín hiệu A ”

Gọi T_B là biến cố “Phát được tín hiệu B”.

Ta cần tính ta có:  khi đó:

Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.

Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.

Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.

Theo công thức Bayes, ta có:

P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.

Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là , nên

P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.

Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là .

P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:

Trong đó:

là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là và nên 

là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là .

Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:

Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là:

Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Xét A:“Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng”.

Và B: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng”.

Tính P(A): Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I:

Tính : Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I.

Tức là có 5 con thỏ đen và 11 con thỏ trắng ở trong chuồng I

Tương tự ta có:

Tính : Đây là để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ đen từ chuồng II rồi cho vào chuồng I

Tức là có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng ở trong chuồng I. Tương tự như trên ta có: .

Ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"

A_i: "Mua ở cửa hàng i"

Ta có {A₁, A₂, A₃} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

Ta thấy rằng P(A₁|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.

Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài ta có:

Cần tính xác suất là C = A|B.

Sử dụng công thức Baye ta có:

Khi mua một quả trứng của cửa hàng thì có một và chỉ một trong 3 biến cố xảy ra:

A₁ lấy trứng của cơ sở I.

A₂ lấy trứng của cơ sở II.

A₃ lấy trứng của cơ sở III.

Xác suất của ba biến cố trên lần lượt là:

Gọi B là biến cố trứng mua tại cửa hàng bị hỏng.

Xác suất trứng hỏng tại ba cơ sở lần lượt là:

Do đó:

.

Theo công thức Bayes ta có:

Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”

Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là:

Từ bài ra ta có:

Gọi A_i: “người thứ i nhận được phiếu trúng thưởng” (i = 1, . . . , 10)

Ta có:

Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:

Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ

B là biến cố trong 3 chứng từ rút ra, chỉ có chứng từ thứ 3 không hợp lệ.

Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất

Nếu gọi A_i là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).

Khi đó ta có: và

Vì vậy các xác suất cần tìm là:

Gọi ” Để một khách ở phòng điều hòa bị hỏng”

Gọi lần lượt là các biến cố Khách nghỉ tại ba khách sạn .

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

.

Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .

Ta có:

.

Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp"

Theo giả thiết: .

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

Gọi là "trong 8 áo sau có 6 áo chất lượng cao". Vì trong không gian điều kiện , hệ vẫn là hệ đầy đủ.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần có

Ở đó:

Thay vào ta tính được

Gọi lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:

Gọi C là biến cố” 3 bi lấy ra có ba màu khác nhau”

Ta có:

Gọi lần lượt là các biến cố gặp được một học sinh nữ, một học sinh nam

Nên 1 2 A A, là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B “Học sinh đó tham gia lớp học bổ trợ kiến thức”

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức Bayes:

Ta có:

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

(tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:

Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:

Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.

Ta có:

Áp dụng công thức Bayes:

.

Gọi B là biến cố "Cả 2 viên đạn trúng đích".

là biến cố "Chọn được i xạ thủ loại I".

Ta có tạo thành họ đầy đủ các biến cố.

Áp dụng công thức, ta có

Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

Do đó, không gian mẫu mới là

Biến cố khi biết đã xảy ra là:

Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có:

Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên

Xác suất cần tính là có:

Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.

: “người đó không có vé trúng thưởng”

Ta có: khi đó