Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Câu 1: Thông hiểu

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{1}{2}$ .Đúng||Sai

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ . Đúng||Sai

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{7}{11}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P(A) = \frac{13}{22}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{1}{2}$ .Đúng||Sai

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ . Đúng||Sai

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{7}{11}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P(A) = \frac{13}{22}$ . Đúng||Sai

a) Ta có: B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ .

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh.

Khi đó $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{6}{11}$ .

d) Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = 0,5$

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là: $P(A)$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,5.\frac{7}{11} + 0,5.\frac{6}{11} = \frac{13}{22}$ .

Câu 2: Thông hiểu

Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?

A.
$0,6$
B.
$0,7$
C.
$0,46$
D.
$0,63$

Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố $A; B$ độc lập.

Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do $A; B$ là hai biến cố độc lập nên:

$P(D) = P\left( B|A ight) = P(B) = 0,7$

Câu 3: Vận dụng cao

Một tổ có 15 sinh viên trong đó có 5 sinh viên học giỏi môn Toán. Cần chia làm 5 nhóm, mỗi nhóm 3 sinh viên. Tính xác suất để nhóm nào cũng có một sinh viên học giỏi môn Toán?

A.
$8,09\%$
B.
$12,03\%$
C.
$6,55\%$
D.
$10,35\%$

Gọi $A_{i}$ là biến cố 'nhóm thứ $i$ có 1 người giỏi Toán' và $A$ là sự kiện nhóm nào cũng có người giỏi Toán, thì dễ dàng nhận thấy:

$A = A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$

Ta có:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{5}^{1}C_{10}^{2}}{C_{15}^{3}} = \frac{45}{91}$

$P\left( A_{2} \mid A_{1} ight) = \frac{C_{4}^{1}C_{8}^{2}}{C_{12}^{3}} = \frac{28}{55}$

$P\left( A_{3} \mid A_{1}A_{2} ight) = \frac{C_{3}^{1}C_{6}^{2}}{C_{9}^{3}} = \frac{15}{28}$

$P\left( A_{4} \mid A_{1}A_{2}A_{3} ight) = \frac{C_{2}^{1}C_{4}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{3}{5}$

$P\left( A_{5} \mid A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} ight) = \frac{C_{1}^{1}C_{2}^{2}}{C_{3}^{3}} = 1$

Áp dụng công thức xác suất của tích ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} \mid A_{1} ight)P\left( A_{3} \mid A_{1}A_{2} ight)P\left( A_{4} \mid A_{1}A_{2}A_{3} ight)P\left( A_{5} \mid A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} ight)$

$= \frac{C_{5}^{1}}{C_{15}^{3}} \cdot \frac{C_{4}^{2}}{C_{12}^{3}} \cdot \frac{C_{3}^{1}}{C_{9}^{3}} \cdot \frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}} \cdot \frac{C_{1}^{2}}{C_{3}^{3}}$ $\simeq 0,0809$

Câu 4: Thông hiểu

Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có $60\%$ về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn $20\%$ số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là $80\%$ . Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là $90\%$ . Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.

A.
$0,52$
B.
$0,48$
C.
$0,41$
D.
$0,56$

Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn

$\overline{B}$ là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn

E₁ là biến cố tan học về nhà ngay $= > P\left( E_{1} ight) = 0,6,P\left( B|E_{1} ight) = 0,3$

E₂ là biến cố tan học đi chơi game $= > P\left( E_{2} ight) = 0,2,P\left( B|E_{2} ight) = 0,8$

E₃ là biến cố tan học về đi chơi với bạn $= > P\left( E_{3} ight) = 0,2,P\left( B|E_{3} ight) = 0,9$

B có thể xảy ra một trong 3 biến cố

$P(B) = P\left( E_{1} ight).P\left( B|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight).P\left( B|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)$

$= > P(B) = 0,52$

$= > P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,52 = 0,48$

Câu 5: Nhận biết

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,3;P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,4$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{3}{5}$
C.
$\frac{4}{5}$
D.
$\frac{1}{5}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,6.0,4}{0,3} = \frac{4}{5}$

Câu 6: Vận dụng

Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó $91\%$ người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là $85\%$ , nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là $7\%$ . Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.

A.
$0,93$
B.
$0,0637$
C.
$0,8463$
D.
$0,7735$

Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.

Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”

Theo bài ta có: $P(A) = 0,91;P\left( B|A ight) = 0,07;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,85$

$P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,09$

$P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 1 - P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - 0,85 = 0,15$

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Vậy $P\left( A\overline{B} ight) = 0,91.0,93 = 0,8463$

Câu 7: Thông hiểu

Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{7}{9}$
D.
$\frac{5}{9}$

Gọi C là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng”.

Gọi D là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có 9 cách chọn, do đó: $P(C) = \frac{3.9}{10.9} = \frac{3}{10}$

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, do đó: $P(C \cap D) = \frac{3.7}{10.9} = \frac{7}{30}$

Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu trắng nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là: $P\left( D|C ight) = \dfrac{P(C \cap D)}{P(C)} =\dfrac{\dfrac{7}{30}}{\dfrac{3}{10}} = \dfrac{7}{9}$ .

Câu 8: Vận dụng cao

Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.

A.
$80,12\%$
B.
$84,93\%$
C.
$88,73\%$
D.
$86,54\%$

Gọi $A_{i}$ là "đạt $i$ học phần ở lần thi đầu".

Khi đó, $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ tạo thành hệ đầy đủ và $P\left( A_{i} ight) = C_{4}^{i}.0,8^{i}.0,2^{4 - i}$

Gọi $A$ là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = \sum_{i = 0}^{4}P\left( A_{i} ight)P\left( A \mid A_{i} ight)$

$= C_{4}^{0}.0,8^{0}.0,2^{4}.\left( 0,8^{4} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{1}.0,2^{3}.\left( 0,8^{3} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{2}.0,2^{2}.\left( 0,8^{2} ight)$

$+ C_{4}^{3}.0,8^{3}.0,2^{1}.(0,8) + C_{4}^{4}.0,8^{4}.0,2^{0}.\left( 0,8^{0} ight)$

$\approx 0,8493 = 84,93\%$

Câu 9: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,65$
C.
$0,55$
D.
$0,5$

Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$

Câu 10: Thông hiểu

Áo sơ mi May10 trước khi xuất khẩu sang phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân $98\%$ sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và $95\%$ sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

A.
$\frac{95}{98}$
B.
$\frac{931}{1000}$
C.
$\frac{95}{100}$
D.
$\frac{98}{100}$

Gọi A là biến cố ”Qua được lần kiểm tra đầu tiên” $\Rightarrow P(A) = 0,98$

Gọi B là biên cố “Qua được lần kiểm tra thứ 2” $\Rightarrow P\left( B|A ight) = 0,95$

Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên hay ta đi tính $P(A \cap B)$

Ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$\Rightarrow P(A \cap B) = P\left( B|A ight).P(A) = 0,95.0,98 = \frac{931}{1000}$ .

Câu 11: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{B}|A ight)$ ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Ta có:

$P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)$

$= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}$ .

Câu 12: Thông hiểu

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $0,6$ (nhánh $O\overline{A}$ ).

b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là $0,3 = \frac{3}{10}$ (nhánh $\overline{A}B$ ).

c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt $0,4 = \frac{4}{10}$ (nhánh $AB$ )

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:

$P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36$ (nhánh $OAB$ và nhánh $O\overline{A}B$ ).

Câu 13: Vận dụng cao

Một hãng hàng không cho biết rằng $5\%$ số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán $52$ ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được $50$ khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được $51$ vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng $10\%$ ?

A.
$92,10\%$
B.
$80,54\%$
C.
$96,67\%$
D.
$79,45\%$

Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé".

Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có $P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(C) = 0,8$

Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".

Biến cố $H|A$ xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H|B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến. Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp.

Do đó để cho đơn giản ta tìm $P\left(\overline{H} ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( \overline{H}|A ight) = 0,95^{52}.0,05^{0} +52.0,95^{51}.0,05^{1} \\P\left( \overline{H}|B ight) = 0,95^{51}.0,05^{0} \\P\left( \overline{H}|C ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( \overline{H} ight) =P(A).P\left( \overline{H}|A ight) + P(B).P\left( \overline{H}|Bight) + P(C).P\left( \overline{H}|C ight)$

$\Rightarrow P\left( \overline{H} ight)= 0,1\left( 0,95^{52}.0,05^{0} + 52.0,95^{51}.0,05^{1} ight)$ $+0,1.0,95^{51}.0,05^{0} + 0,8.0 \approx 0,033$

$\Rightarrow P(H) = 1 - P\left(\overline{H} ight) \approx 0,9667 = 96,67\%$

Câu 14: Thông hiểu

Một hộp có 4 viên bi, mỗi viên có thể là màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để lấy được hai bi trắng.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{3}{5}$

Số lượng bi trắng và đen trong hộp chỉ có thể xảy ra 1 trong 5 trường hợp sau:

H₄: 4 bi trắng $\Rightarrow P\left( H_{4} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₃: 3 bi trắng; 1 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₂: 2 bi trắng; 2 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₁: 1 bi trắng; 3 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{1} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₀: 0 bi trắng; 4 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{0} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

Gọi biến cố A là biến cố lấy được 2 bi trắng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( A|H_{4} ight) = 1;P\left( A|H_{3} ight) =\dfrac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{2} \\P\left( A|H_{2} ight) = \dfrac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{6} \\P\left( A|H_{1} ight) = 0;P\left( A|H_{0} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

$P(A) = P\left( H_{0} ight).P\left( A|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight)P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight)P\left( A|H_{2} ight)$

$+ P\left( H_{3} ight)P\left( A|H_{3} ight) + P\left( H_{4} ight)P\left( A|H_{4} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,2.0 + 0,2.0 + 0,2.\frac{1}{6} + 0,2.\frac{1}{2} + 0,2.1 = \frac{1}{3}$

Câu 15: Nhận biết

Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.

Xét các biến cố $A$ : "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"

$B$ : "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"

Xác định $B|A$ là biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra?

A.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
B.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3) ight\}$
C.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;3),(2;5) ight\}$
D.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

Do đó, không gian mẫu mới là

$\Omega' = A = \left\{ (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;1),(2;3),(2;4),(2;5) ight\}$

Biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra là:

$B|A = A \cap B = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Câu 16: Thông hiểu

Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được bi trắng.

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{7}{12}$
D.
$\frac{5}{6}$

Gọi A là biến cố lấy được bi trắng

Cách 1: Ta có sơ đồ cây mô tả như sau:

$P(A) = P\left( H_{0} ight).P\left( A|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight) = \frac{7}{12}$ .

Cách 2: Gọi K₁ là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I

Gọi K₂ là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II

Ta xác định được:

$\left\{ \begin{gathered} P\left( {{K_1}} ight) = \frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}};P\left( {{K_2}} ight) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}} \hfill \\ P\left( {A|{E_1}} ight) = \frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}};P\left( {A|{E_2}} ight) = \frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó: $P(A) = P\left( K_{1} ight).P\left( A|K_{1} ight) + P\left( K_{2} ight).P\left( A|K_{2} ight) = \frac{7}{12}$

Câu 17: Thông hiểu

Một cuộc khảo sát $1000$ người về hoạt động thể dục thấy có $80\%$ số người thích đi bộ và $60\%$ thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?

A.
$0,6547$
B.
$0,3333$
C.
$0,4614$
D.
$0,5318$

Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp"

Theo giả thiết: $P(A) = 0,8' P(B) = 0,6; P(A + B) = 1$ .

Ta có:

$P\left( \bar{A}\mid B ight) = \frac{P\left( \bar{A}B ight)}{P(B)} = \frac{P(B) - P(AB)}{P(B)}$

$= \frac{P(B) + \lbrack P(A + B) - P(A) - P(B)brack}{P(B)}$

$= \frac{P(A + B) - P(A)}{P(B)} = \frac{1 - 0,8}{0,6} \simeq 0,3333$

Câu 18: Thông hiểu

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên một người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A.
$0,3$
B.
$0,03$
C.
$0,04$
D.
$0,4$

Xét các biến cố:

A: "Người được chọn mắc bệnh X"

B: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".

Theo giả thiết ta có:

$P(A) = 0,002 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,002 = 0,998$

$P\left( B|A ight) = 1;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,06$

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,002.1}{0,002.1 + 0,998.0,06} \approx 0,03$

Câu 19: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55$ . Tính $P\left( \overline{A} \cap B ight)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,4$
C.
$0,3$
D.
$0,35$

Ta có:

$P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,65 - 0,25 = 0,4$ .

Câu 20: Vận dụng

Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số chấm chẵn. Tính xác suất tổng số chấm hai lần tung bằng $4$ ?

A.
$\frac{5}{9}$
B.
$\frac{1}{18}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{1}{6}$

Gọi T_i: "Tổng số nốt hai lần tung bằng i" $(i = 1, 6)$

N_j,k: "Số nốt trên lần tung thứ j bằng k" $(j = 1, 2; k = 1, 6)$

Ta tìm

$P\left( T_{i}|N_{1,2} \cup N_{1,4} \cup N_{1,6} ight) = \frac{P\left( N_{1,2} \cup N_{2;2} ight)}{P\left(N_{1,2} \cup N_{1,4} \cup N_{1,6} ight)}$ $= \dfrac{\left( \dfrac{1}{6}ight)^{2}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{18}$

Câu 21: Vận dụng

Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 phân xưởng, phân xưởng 1 sản xuất 50% tổng số bóng đèn, phân xưởng 2 sản xuất 20% tổng số bóng đèn, phân xưởng 3 sản xuất 30% tổng số bóng đèn. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng là 2%, 3%, 4%. Tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy?

A.
$2,8\%$
B.
$5,2\%$
C.
$3,5\%$
D.
$2,3\%$

Để xác định tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy, ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng của nhà máy.

Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm

Gọi $A_{1},A_{2},A_{3}$ lần lượt là các biến cố " Chọn được sản phẩm của phân xưởng 1,2,3".

Ta có $A_{1},A_{2},A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ.

$P\left( A_{1} ight) = 0.5,P\left( A_{2} ight) = 0.2,P\left( A_{3} ight) = 0.3$

Gọi B là biến cố "Lấy được phế phẩm" ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight)P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( B|A_{3} ight)$

$= 0.5 \times 0.02 + 0.2 \times 0.03 + 0.3 \times 0.04 = 2.8\%$

Vậy tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là $2.8\%$

Câu 22: Vận dụng cao

Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?

A.
$61,73\%$
B.
$66,15\%$
C.
$60,80\%$
D.
$64,97\%$

Gọi D₁, X₁ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",

D², X₂ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".

Khi đó hệ D₁D₂, D₁X₂, X₁D₂, X₁X₂ tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{4}{7};P\left( {{D_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{3}{7} \hfill \\ P\left( {{X_1}{D_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{3}{7};P\left( {{X_1}{X_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".

Ta xác định được: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {A|{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6};P\left( {A|{D_1}{X_2}} ight) = \frac{3}{6} \hfill \\ P\left( {A|{X_1}{D_2}} ight) = \frac{5}{6};P\left( {A|{X_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

$P(A) = P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)$

$+ P\left( X_{1}D_{2} ight)P\left( A|X_{1}D_{2} ight) + P\left( X_{1}X_{2} ight)P\left( A|X_{1}X_{2} ight)$

$= \frac{4}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} + \frac{4}{6}.\frac{3}{7}.\frac{3}{6} + \frac{2}{6}.\frac{3}{7}.\frac{5}{6} + \frac{2}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} = \frac{9}{14}$

Ta cần tính xác suất $B = \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)|A$

$\Rightarrow P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)}{P(A)}$

$= \dfrac{{\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{6}.\dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{6}}}{{\dfrac{9}{{11}}}} = \dfrac{{50}}{{81}} \approx 61,73\%$

Câu 23: Nhận biết

Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

A.
$\frac{2}{6}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{2}{3}$

Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( B|A ight) = \frac{1}{6}$ .

Câu 24: Vận dụng

Cho hai hộp đựng phiếu bốc thăm trúng thưởng giống nhau:

Hộp thứ nhất có tỉ lệ trúng thưởng bằng $\frac{3}{4}$ .

Hộp thứ hai có tỉ lệ trúng thưởng bằng $\frac{2}{3}$ .

Chọn ngẫu nhiên một thùng và lấy ngẫu nhiên một phiếu trong thùng đó thấy phiếu đó trúng thưởng. Bỏ lại phiếu trở lại thùng, từ thùng đó lấy tiếp một phiếu. Tìm xác suất để lần thứ hai cũng lấy được phiếu trúng thưởng.

A.
$60\%$
B.
$65\%$
C.
$71\%$
D.
$73\%$

Gọi A là biến cố phiếu đầu tiên lấy là phiếu trúng thưởng.

Biến cố A có thể xảy ra cùng với một trong các biến cố sau:

H₁ phiếu bốc thăm lấy ra từ thùng I.

H₂ phiếu bốc thăm lấy ra từ thùng II.

Theo công thức xác xuất toàn phần ta có:

$P(A) = P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight)$

Theo dữ kiện đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( H_{1} ight) = P\left( H_{2} ight) = \frac{1}{2} \\ P\left( A|H_{1} ight) = \frac{3}{4};P\left( A|H_{2} ight) = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Do đó: $P(A) = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{17}{24}$

Sau khi biến cố A đã xảy ra, xác suất của các biến cố $H_{1};H_{2}$ thay đổi theo công thức Bayes như sau:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P(A)} = \frac{3}{8}:\frac{17}{24} = \frac{9}{17}$

$P\left( H_{2}|A ight) = \frac{P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight)}{P(A)} = \frac{1}{3}:\frac{17}{24} = \frac{8}{17}$

Gọi B là biến cố lấy phiếu lần thứ hai là trúng thưởng.

B vẫn có thể xảy ra với một trong hai giả thiết $H_{1};H_{2}$ do đó theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( H_{1}|A ight).P\left( B|H_{1}A ight) + P\left( H_{2}|A ight).P\left( B|H_{2}A ight)$

Vì phiếu lấy lần thứ nhất bỏ trở lại thùng, do đó tỉ lệ trúng thưởng ở các thùng đó vẫn không thay đổi.

Vì thế

$P\left( B|H_{1}A ight) = \frac{3}{4};P\left( B|H_{2}A ight) = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow P(B) = \frac{9}{17}.\frac{3}{4} + \frac{8}{17}.\frac{2}{3} = \frac{145}{204} = 0,71$

Câu 25: Thông hiểu

Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là $0,8$ , còn súng mới là $0,95$ . Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?

A.
Loại mới
B.
Loại cũ

Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì $\overline{M}$ là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".

Có P(M) = 0,4 và P( $\overline{M}$ ) = 0,6.

Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:

P(T | M) = 0,95; P(T | $\overline{M}$ ) = 0,8.

Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra

$P\left( M|T ight) = \frac{P(M).P\left( T|M ight)}{P(T)} = \frac{0,38}{P(T)}$

$P\left( \overline{M}|T ight) = \frac{P\left( \overline{M} ight).P\left( T|\overline{M} ight)}{P(T)} = \frac{0,48}{P(T)}$

Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.

Câu 26: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?

A.
$0,238$
B.
$0,335$
C.
$0,412$
D.
$0,187$

Ta có: $P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$

Áp dụng công thức Bayes:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238$ .

Câu 27: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:

A.
$0,7$
B.
$0,4$
C.
$0,58$
D.
$0,52$

Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$

Câu 28: Thông hiểu

Một bình đựng hạt giống có 7 hạt loại A và 6 hạt loại B. Lấy ngẫu nhiên lần thứ nhất ra 2 hạt, lần thứ hai ra một hạt. Biết hạt giống lấy ra lần hai loại A. Tính xác suất để hai hạt lấy ra lần thứ nhất đều loại B.

A.
$0,385$
B.
$0,227$
C.
$0,416$
D.
$0,338$

Gọi F là biến cố hạt lấy ra lần hai là loại A. H₀, H₁, H₂ lần lượt là biến cố hai hạt lấy ra lần thứ nhất có 0, 1, 2 hạt loại B.

{H₀, H₁, H₂} là một hệ đầy đủ.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có

$P(F) = P\left( H_{0} ight).P\left( F|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight).P\left( F|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( F|H_{2} ight)$

$\Rightarrow P(F) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{13}^{2}}.\frac{5}{11} + \frac{C_{7}^{1}.C_{6}^{1}}{C_{13}^{2}}.\frac{6}{11} + \frac{C_{6}^{2}}{C_{13}^{2}}.\frac{7}{11} = 0,538$ .

Áp dụng công thức Bayes, ta được:

$\Rightarrow P\left( H_{2}|F ight) =\dfrac{P\left( H_{2} ight).P\left( F|H_{2} ight)}{P(F)} =\dfrac{\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{13}^{2}}.\dfrac{7}{11}}{0,538} =0,227$ .

Câu 29: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 30: Vận dụng

Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất $25\%$ , máy II sản xuất $30\%$ và máy III sản xuất $45\%$ tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là $0,1\%;0,2\%;0,4\%$ . Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất?

A.
$0,202$
B.
$0,284$
C.
$0,315$
D.
$0,226$

Gọi Ai: “Sản phẩm do máy i sản xuất”

A: “Sản phẩm là phế phẩm”

Ta có: A₁, A₂, A₃ là một hệ đầy đủ các biến cố và

$P\left( A_{1} ight) = 0,25;P\left( A_{2} ight) = 0,3;P\left( A_{3} ight) = 0,45$

$P\left( A|A_{1} ight) = 0,001;P\left( A|A_{2} ight) = 0,002;P\left( A|A_{3} ight) = 0,004$

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{3} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( A|A_{3} ight) = 0,00265$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( A_{2}|A ight) = \frac{P\left( A|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(A)} = 0,226$

Câu 31: Thông hiểu

Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng $\frac{5}{8}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng $\frac{3}{8}$ . Đúng||Sai

c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng $\frac{2}{5}$ . Đúng||Sai

d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng $\frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng $\frac{5}{8}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng $\frac{3}{8}$ . Đúng||Sai

c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng $\frac{2}{5}$ . Đúng||Sai

d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng $\frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

Gọi $B_{1}$ là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”

Gọi $B_{2}$ là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”

a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”

Ta có: $P(A) = P\left( B_{1} ight).P\left( A|B_{1} ight) + P\left( B_{2} ight).P\left( A|B_{2} ight)$

Mà $\left\{ \begin{matrix}P\left( B_{1} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( B_{2} ight) = \dfrac{1}{2}\\P\left( A|B_{1} ight) = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} \\P\left( A|B_{2} ight) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $P(A) = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}$

b) Ta có: $P(A) = \frac{5}{8} \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

c) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( B_{2} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( A|B_{2} ight) =\dfrac{1}{2} \\P(A) = \dfrac{5}{8} \\\end{matrix} ight.$

$P\left( B_{2}|A ight) = \frac{P\left( B_{2} ight).P\left( A|B_{2} ight)}{P(A)} = \frac{0,5.0,5}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{5}{8};P\left( \overline{A} ight) = \dfrac{3}{8} \\P\left( B_{1} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( \overline{A}|B_{1} ight) =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

$P\left( B_{1}|A ight) = \frac{P\left(B_{1} ight).P\left( \overline{A}|B_{1} ight)}{P\left( \overline{A}ight)} = \frac{0,5.0,25}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{1}{3}$ .

Câu 32: Vận dụng

Có 3 hộp bi:

Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.

Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.

Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng

Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để 3 bi lấy ra có 3 màu khác nhau. Trong trường hợp đó tính xác suất để 3 bi được lấy từ hộp thứ 3?

A.
$34,42\%$
B.
$42,15\%$
C.
$55,03\%$
D.
$35,41\%$

Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Gọi C là biến cố” 3 bi lấy ra có ba màu khác nhau”

Ta có:

$P(C) = P\left( A_{1} ight).P\left( C|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( C|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( C|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(C) = \frac{1}{3}.\frac{3.4.5}{C_{12}^{3}} + \frac{1}{3}.\frac{4.5.6}{C_{15}^{3}} + \frac{1}{3}.\frac{5.6.7}{C_{18}^{3}} \approx 26,46\%$

$\Rightarrow P\left( A_{3}|C ight) = \frac{P\left( A_{3} ight).P\left( C|A_{3} ight)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{3}.\frac{210}{C_{18}^{3}}}{0,2646} = 32,42\%$

Câu 33: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

A.
$P(B) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(B) = P(B).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$
C.
$P(B) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Câu 34: Thông hiểu

Trong một vùng dân cư, cứ $100$ người thì có $30$ người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là $60\%$ , trong số người không hút thuốc lá là $30\%$ . Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu?

A.
$0,203$
B.
$0,197$
C.
$0,221$
D.
$0,188$

Gọi A: "Người này hút thuốc"

B: "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có: $P(A) = 0,3;P\left( B|A ight) = 0,6;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,3$

Ta thấy rằng $A;\overline{A}$ là một hệ đầy đủ các biến cố.

Theo công thức xác suất toàn phần ta tính được:

$P(B) = P\left( B|A ight)P(A) + P\left( B|\overline{A} ight)P\left( \overline{A} ight)$

$= 0,6.0,3 + 0,3.0,7 = 0,39$

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,61$

Theo công thức Bayes, xác suất để người đó hút thuốc lá khi biết người đó không bị viêm họng là:

$P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{P\left( \overline{B}|A ight)P(A)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{0,4.0,3}{0,61} = 0,197$

Câu 35: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

A.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
B.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
C.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
D.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

Câu 36: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A} + \overline{B} ight)$ ?

A.
$\frac{5}{12}$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{1}{12}$

Ta có:

$P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

$P\left( \overline{A} + \overline{B} ight) = P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 1 - P(AB) = \frac{11}{12}$

Câu 37: Vận dụng

Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu trắng, còn lại là kẹo màu xanh. Bạn T lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó T lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo? Biết rằng xác suất T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là $\frac{1}{3}$ .

A.
$10$ viên kẹo
B.
$20$ viên kẹo
C.
$18$ viên kẹo
D.
$14$ viên kẹo

Gọi A là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ hai”.

Ta có xác suất để T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là: $\frac{1}{3}$

Gọi số kẹo ban đầu trong túi là: $n$ (viên)

Điều kiện $n \in \mathbb{N}^{*};n eq1$

Ta có: $P(A) = \frac{6}{n};P\left( B|Aight) = \frac{5}{n - 1}$

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

$P(AB) = P(A).P\left( B|A ight) =\frac{6}{n}.\frac{5}{n - 1} = \frac{30}{n^{2} - n}$

Mà $P(AB) = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{30}{n^{2} - n} =\frac{1}{3} \Leftrightarrow n^{2} - n = 90 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = - 9(ktm) \\n = 10(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.

Câu 38: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
B.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) - P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .
C.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight) - P(B).P\left( A|B ight)$ .
D.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ .

Câu 39: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( B|\overline{A} ight)$ ?

A.
$0,7976$
B.
$0,7975$
C.
$0,2025$
D.
$0,2024$

Hai biến cố $\overline{A}$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,2025$ .

Câu 40: Nhận biết

Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"

Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".

Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{3}{5}$
D.
$\frac{2}{3}$

Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.

Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.

Do đó, xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{1}{2}$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!