Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Gọi B_i: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)

H: "Hệ thống hoạt động tốt"

Theo giả thiết, ta thấy rằng P(B_i) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và

Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:

.

Hai biến cố và là hai biến cố độc lập nên .

Ta có:

Số lượng bi trắng và đen trong hộp chỉ có thể xảy ra 1 trong 5 trường hợp sau:

H₄: 4 bi trắng

H₃: 3 bi trắng; 1 bi đen

H₂: 2 bi trắng; 2 bi đen

H₁: 1 bi trắng; 3 bi đen

H₀: 0 bi trắng; 4 bi đen

Gọi biến cố A là biến cố lấy được 2 bi trắng

Ta có:

Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:

Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:

Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”

Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là:

Từ bài ra ta có:

Cách 1:

Mà

Do đó:

Cách 2: Ta có:

.

Gọi A₁: “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

Và A_2: “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”

Nên là hệ biến cố đầy đủ

Gọi B: “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes:

Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

(tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:

Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:

Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.

Theo công thức Bayes ta có:

Minh họa bài toán

Gọi A là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng”

Gọi B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo xanh”

A.B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng lẫn xanh” Xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh:

Gọi F là biến cố hạt lấy ra lần hai là loại A. H₀, H₁, H₂ lần lượt là biến cố hai hạt lấy ra lần thứ nhất có 0, 1, 2 hạt loại B.

{H₀, H₁, H₂} là một hệ đầy đủ.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có

.

Áp dụng công thức Bayes, ta được:

.

Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.

Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.

Do đó, xác suất của biến cố B là: .

Gọi Ai: “Sản phẩm do máy i sản xuất”

A: “Sản phẩm là phế phẩm”

Ta có: A₁, A₂, A₃ là một hệ đầy đủ các biến cố và

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

Theo công thức Bayes ta có:

Gọi E₁ là biến cố thầy giáo rút 2 câu thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi E₂ là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc và 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi E₃ là biến cố thầy giáo rút 2 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi C là biến cố sinh viên rút ra 2 câu thuộc từ hộp 2

Ta xác định được:

Thay vào công thức ta suy ra kết quả

Theo công thức Bayes ta có:

Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"

A_i: "Mua ở cửa hàng i"

Ta có {A₁, A₂, A₃} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

Ta thấy rằng P(A₁|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.

Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.

: “người đó không có vé trúng thưởng”

Ta có: khi đó

Xét các biến cố:

A: "Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên"

B: "Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội".

Khi đó

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là:

Ta có:

.

Theo công thức Bayes ta có:

Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”

Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

Ta cần tính với .

Ta có:

Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:

Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra:

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là:

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là:

Khi đó:

Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là .

Gọi T_i: "Tổng số nốt hai lần tung bằng i"

N_j,k: "Số nốt trên lần tung thứ j bằng k"

Ta tìm

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Ta có:

Gọi A là biến cố “Sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt”

B₁ là biến cố “Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất”.

B₂ là biến cố “Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất”

Do là họ đầy đủ các biến cố.

Ta có:

Áp dụng công thức Bayes ta có:

Ta có:

.

Gọi là "trong 5 sản phẩm cuối có chính phẩm".

Khi đó hệ tạo thành hệ đầy đủ

xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.

Suy ra

xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.

xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô chính, 1 phế từ lô II

xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô chính, 2 phế từ lô hoặc 1 chính, 1 phế từ lô chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô chính từ lô II

xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô chính từ lô II

xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô chính từ lô II

Gọi là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ

Suy ra .

a) Gọi A: “Email nhận được là email rác”.

Và B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì 5% email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là

b) Xác suất email bị lọc của email rác là .

c) Xác suất email nhận được không phải rác là

Xác suất email bị lọc của email không phải rác là

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là

d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là

.

Gọi A là biến cố lần một lấy được bi trắng.

Gọi B là biến cố lần hai lấy được bi đỏ.

Xác suất lần 2 lấy được bi đỏ khi lần 1 đã lấy được bi trắng là.

Ta có:  khi đó:

.