Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 6. Xác suất có điều kiện được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một căn bệnh có 1\% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99\%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99\% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

    Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”

    Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

    Ta cần tính P\left( A|B ight) với P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left(
B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A}
ight).P\left( B|\overline{A} ight)}.

    Ta có:

    Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra: P(A) = 1\% = 0,01

    Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,01 =
0,99

    Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: P\left( B|A ight) = 99\% = 0,99

    Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - 0,99 =
0,01

    Khi đó:

    P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left(
B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A}
ight).P\left( B|\overline{A} ight)}

    \Rightarrow P\left( A|B ight) =
\frac{0,01.0,99}{0,01.0,99 + 0,99.0,01} = 0,5

    Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là 0,5.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB là hai biến cố độc lập, với P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025. Tính P\left( B|\overline{A} ight)?

    Hai biến cố \overline{A}B là hai biến cố độc lập nên P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) =
0,2025.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hai biến cố ABcủa một phép thử T. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là P\left( \left. \ A ight|B ight). Phát biểu nào sau đây đúng?

    Nếu P(B) > 0 thì P\left( \left. \ A ight|B ight) =
\frac{P(A).P\left( \left. \ B ight|A ight)}{P(B)}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”?

    Gọi H1, H2, H3 lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

    H1 – người đó trả lời “sẽ mua”

    H2 – người đó trả lời “có thể mua”

    H3 – người đó trả lời “không mua”

    H1, H2, H3 là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng \frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}

    Ta xác định được: P\left( A|H_{1} ight)
= 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) =
0,01

    Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

    P(A) = \frac{34}{200}.0,7 +
\frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268.

    Theo công thức Bayes:

    P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left(
H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P(A)} = \frac{0,17.0,7}{0,268} =
0,444 = 44,4\%.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

    a) Xác suất để có tên Anh là \frac{1}{10}.Đúng||Sai

    b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là \frac{2}{13}.Đúng||Sai

    d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

    a) Xác suất để có tên Anh là \frac{1}{10}.Đúng||Sai

    b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là \frac{2}{13}.Đúng||Sai

    d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là \frac{3}{17}.Sai||Đúng

    Gọi A là biến cố “tên là Anh”

    Gọi B là biến cố “nữ”.

    a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: P(A) = \frac{3}{10} = \frac{1}{10}.

    b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là P\left( A|B
ight)

    Ta có: P(B) = \frac{17}{30};P(A \cap B) =
\frac{1}{30}

    \Rightarrow P\left( A|B ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{17}{30}} =\dfrac{1}{17}

    c) Gọi C là biến cố “nam”.

    Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là P\left( A|C
ight)

    Ta có: P(C) = \frac{13}{30};P(A \cap C) =
\frac{2}{30}

    \Rightarrow P\left( A|C ight) =\dfrac{P(A \cap C)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{2}{30}}{\dfrac{13}{30}} =\dfrac{2}{13}.

    d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là P\left( B|A
ight),

    \Rightarrow P\left( B|A ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{3}{30}} =\frac{1}{3}.

  • Câu 6: Vận dụng

    Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0,5. Thống kê cho thấy 34\% cặp sinh đôi là trai; 30\% cặp sinh đôi là gái và 36\% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.

    Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”

    B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”

    Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên P\left( B|A ight) = 1

    Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên P\left( B|\overline{A}
ight) = P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) =
\frac{1}{2}

    Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:

    P(B) = 0,3 + 0,34 = 0,64

    \Rightarrow P\left( \overline{B} ight)
= 1 - P(B) = 0,36

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(B) = P\left( B|A ight).P(A) +
P\left( B|\overline{A} ight).P\left( \overline{A} ight)

    = P\left( B|A ight).P(A) + P\left(
B|\overline{A} ight).\left\lbrack 1 - P(A) ightbrack

    Thay số ta xác định được P(A) =
0,28.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Vận dụng cao

    Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1000 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,02

    Đáp án là:

    Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1000 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,02

    Xét các biến cố:

    A_{1}: Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

    Khi đó, ta có: P\left( A_{1} ight) =
\frac{15}{1000}; P\left(
\overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}.

    A_{2}: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

    Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn 999 sản phẩm và trong đó có 14 sản phẩm lỗi nên ta có: P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\  ight) =
\frac{14}{999}, suy ra P\left(
\overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\  ight) =
\frac{985}{999}.

    Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn 999 sản phẩm trong đó có 15sản phẩm lỗi nên ta có: P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}}
ight.\  ight) = \frac{15}{999}, suy ra P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}}
ight.\  ight) = \frac{328}{333}.

    Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

    P\left( A_{2} ight) = P\left(
A_{2}\left| A_{1} ight.\  ight).P\left( A_{1} ight) + P\left(
A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\  ight).P\left( \overline{A_{1}}
ight)

    = \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} +
\frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02.

    Đáp số: 0,02.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB, với P(A) =
0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3. Tính P\left( A|B ight)?

    Ta có: P\left( A|B ight) = \frac{P(A
\cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7}.

  • Câu 10: Vận dụng

    Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất của biến cố C: “Hai viên bi lấy ra khác màu”

    Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”

    Gọi B là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.

    Ta có:

    P(A) = \frac{4}{10} = 0,4 \Rightarrow
P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,6

    P\left( B|A ight) = \frac{4}{10} = 0,4
\Rightarrow P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight) =
0,6

    P\left( B|\overline{A} ight) =
\frac{5}{10} = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{B}|\overline{A} ight)
= 1 - P\left( B|\overline{A} ight) = 0,5

    Ta có sơ đồ cây:

    Dựa vào sơ đồ cây, ta có: P(C) = P(AB) +
P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 0,16 + 0,3 =
0,46

  • Câu 11: Nhận biết

    Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

    Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

    Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

    Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì P\left( B|A ight) = \frac{1}{6}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà giáo viên đã rút. Tính xác suất để học sinh A trả lời được câu hỏi trong phiếu.

    Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1

    E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2

    E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ

    Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc B=(E_1∩B)∪(E_2∩B)

    => P(B) = P(E_1).P(B|E_1) + P(E_2).P(B|E_2)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  P\left( {{E_1}} ight) = \frac{{C_1^1}}{{C_2^1}} = \frac{1}{2};P\left( {{E_2}} ight) = \frac{{C_1^1}}{{C_2^1}} = \frac{1}{2} \hfill \\
  P\left( {B|{E_1}} ight) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{2}{3} \hfill \\
  P\left( {B|{E_2}} ight) = \frac{{C_8^1}}{{C_9^1}} = \frac{8}{9} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Thay vào công thức ta tính được P(B) =
\frac{7}{9}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60\% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40\% chi tiết. Biết 90\% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đều đạt tiêu chuẩn và 85\% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyển một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.

    Gọi A là biến cố chi tiết lấy từ dây chuyển đạt tiêu chuẩn.

    Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

    H1 chi tiết máy do máy một sản xuất.

    H2 chi tiết máy do máy hai sản xuất.

    Như vậy xác suất để chi tiết máy dó máy một sản xuất bằng:

    P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left(
H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P\left( H_{1} ight).P\left(
A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2}
ight)}

    Theo dữ kiện đề bài cho ta có:\left\{
\begin{matrix}
P\left( H_{1} ight) = 0,6;P\left( H_{2} ight) = 0,4 \\
P\left( A|H_{1} ight) = 0,9;P\left( A|H_{2} ight) = 0,85 \\
\end{matrix} ight.

    Do đó:

    P\left( H_{1}|A ight) =
\frac{0,6.0,9}{0,6.0,9 + 0,4.0,85} = 0,614

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong \frac{1}{3} các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75\% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70\% trường hợp ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.

    Gọi A là biến cố đi đường ngầm suy ra \overline{A} là biến cố đi đường cầu

    Ta xác định được P(A) =
\frac{1}{3};P\left( \overline{A} ight) = \frac{2}{3}

    Gọi B là "về nhà sau 6 giờ tối", ta cần tính P\left( \overline{A}|B ight).

    Sử dụng công thức Bayes:

    P\left( \overline{A}|B ight) =
\frac{P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A}
ight)}{P(B)}

    = \dfrac{\dfrac{2}{3}.0,3}{\dfrac{2}{3}.0,3+ \dfrac{1}{3}.0,25} \approx 0,7059

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hai hộp đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng như sau:

    Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ.

    Hộp thứ hai có 3 viên vi xanh và 7 viên bi đỏ.

    Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ.

    Gọi A1: “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

    Và A2: “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”

    Nên A_{1};A_{2} là hệ biến cố đầy đủ

    Gọi B: “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

    Ta có:

    P\left( A_{1} ight) =
\frac{C_{3}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{1}{3};P\left( A_{2} ight) =
\frac{C_{6}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{2}{3}

    P\left( B|A_{1} ight) =
\frac{C_{7}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{21}{55};P\left( B|A_{2} ight) =
\frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{28}{55}

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần

    P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left(
A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2}
ight)

    \Rightarrow P(B) =
\frac{1}{3}.\frac{21}{55} + \frac{2}{3}.\frac{28}{55} =
\frac{7}{15}

    Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes:

    P\left( A_{2}|B ight) = \dfrac{P\left(B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} =\dfrac{\dfrac{28}{55}.\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{15}} =\dfrac{8}{11}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với P(B) =
0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) =
0,45. Tính P(A)?

    Ta có:

    P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B)
= 1 - 0,8 = 0,2

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) +
P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 =
0,65

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với 0 <
P(B) < 1. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính P(A) là:

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(A) là:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left(
\overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong hộp có 20 nắp chai Cocacola trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng”. Bạn A được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là:

    Gọi A là biến cố “nắp đầu trúng thưởng”

    Gọi B là biến cố “nắp thứ hai trúng thưởng”

    Ta đi tìm giá trị P(A \cap
B)

    Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng do đó: P(A) = \frac{2}{20} =
\frac{1}{10}

    Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng, do đó: P\left( B|A ight) =
\frac{1}{19}

    Ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(A \cap
B)}{P(A)}

    \Rightarrow P(A \cap B) = P\left( B|A
ight).P(A) = \frac{1}{19}.\frac{1}{10} = \frac{1}{190}.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.

    Gọi A_{i} là "đạt i học phần ở lần thi đầu".

    Khi đó, A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} tạo thành hệ đầy đủ và P\left( A_{i} ight) =
C_{4}^{i}.0,8^{i}.0,2^{4 - i}

    Gọi A là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(A) = \sum_{i = 0}^{4}P\left( A_{i}
ight)P\left( A \mid A_{i} ight)

    = C_{4}^{0}.0,8^{0}.0,2^{4}.\left(
0,8^{4} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{1}.0,2^{3}.\left( 0,8^{3} ight) +
C_{4}^{2}.0,8^{2}.0,2^{2}.\left( 0,8^{2} ight)

    + C_{4}^{3}.0,8^{3}.0,2^{1}.(0,8) +
C_{4}^{4}.0,8^{4}.0,2^{0}.\left( 0,8^{0} ight)

    \approx 0,8493 = 84,93\%

  • Câu 20: Thông hiểu

    Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

    Xét A:“Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng”.

    Và B: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng”.

    Tính P(A): Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I: n(\Omega) =
C_{10}^{1};n(A) = C_{3}^{1} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{10}

    \Rightarrow P\left( \overline{A} ight)
= 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

    Tính P\left( B|A ight): Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I.

    Tức là có 5 con thỏ đen và 11 con thỏ trắng ở trong chuồng I

    Tương tự ta có: P\left( B|A ight) =
\frac{11}{16}

    Tính P\left( B|\overline{A}
ight): Đây là để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ đen từ chuồng II rồi cho vào chuồng I

    Tức là có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng ở trong chuồng I. Tương tự như trên ta có: P\left( B|\overline{A}
ight) = \frac{10}{16}.

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) +
P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    \Rightarrow P(B) =
\frac{3}{10}.\frac{11}{16} + \frac{7}{10}.\frac{10}{16} =
\frac{103}{106}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho AB là các biến cố của phép thử T. Biết rằng P(A) > 0;0 < P(B) <
1. Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left(
A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B}
ight).P\left( A|\overline{B} ight)}

  • Câu 22: Nhận biết

    Nếu hai biến cố A;B thỏa mãn P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) =
0,25 thì P\left( B|A
ight) bằng bao nhiêu?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left(
A|B ight)}{P(A)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) =
\frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?

    Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",

    D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".

    Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  P\left( {{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{4}{7};P\left( {{D_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{3}{7} \hfill \\
  P\left( {{X_1}{D_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{3}{7};P\left( {{X_1}{X_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{4}{7} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".

    Ta xác định được: \left\{ \begin{gathered}
  P\left( {A|{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6};P\left( {A|{D_1}{X_2}} ight) = \frac{3}{6} \hfill \\
  P\left( {A|{X_1}{D_2}} ight) = \frac{5}{6};P\left( {A|{X_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

    P(A) = P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left(
A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2}
ight)

    + P\left( X_{1}D_{2} ight)P\left(
A|X_{1}D_{2} ight) + P\left( X_{1}X_{2} ight)P\left( A|X_{1}X_{2}
ight)

    = \frac{4}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} +
\frac{4}{6}.\frac{3}{7}.\frac{3}{6} +
\frac{2}{6}.\frac{3}{7}.\frac{5}{6} +
\frac{2}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} = \frac{9}{14}

    Ta cần tính xác suất B = \left(
D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)|A

    \Rightarrow P(B) = \frac{P\left\lbrack
\left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)A
ightbrack}{P(A)}

    = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2}
ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( D_{1}X_{2} ight)A
ightbrack}{P(A)}

    = \frac{P\left( D_{1}D_{2}
ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left(
A|D_{1}X_{2} ight)}{P(A)}

    = \dfrac{{\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{6}.\dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{6}}}{{\dfrac{9}{{11}}}} = \dfrac{{50}}{{81}} \approx 61,73\%

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với 0 <
P(A) < 1. Biết P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6. Tính P(B)?

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left(
\overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 =
0,57

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.

    Gọi Ai là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.

    Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".

    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có

    P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left(
A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left(
A_{3} ight)P\left( A|A_{3} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,25.0,1\% +
0,3.0,2\% + 0,45.0,3\% = 0,22\%

    Gọi B là "sản phẩm do máy I sản xuất". Khi đó ta cần tính P(B|A)

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left(
A|B ight)}{P(A)} = \frac{0,25.0,1\%}{0,22\%} \approx
0,1136

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một công nhân đứng hai máy hoạt động độc lập nhau. Xác suất để máy thứ nhất, máy thứ 2 không bị hỏng trong một ca làm việc lần lượt là 0,90,8. Tính xác suất để cả 2 máy đều không bị hỏng trong một ca làm việc?

    Gọi A là biến cố cả 2 máy đều không bị hỏng trong một ca làm việc

    Theo yêu cầu của đầu bài, ta phải tính P(A)

    Nếu gọi Ai là biến cố máy thứ i không bị hỏng trong một ca làm việc với (i = 1, 2)

    Khi đó ta có: A = A_1.A_2

    Vì vậy xác suất cần tìm là: P(A) = P(A_1.A_2)

    Theo giả thiết A1, A2 là 2 biến cố độc lập với nhau nên ta có:

    P(A) = P(A_1.A_2) = P(A_1).P(A_2) = 0,72

  • Câu 27: Vận dụng

    Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

    Đáp án: 0,48

    Đáp án là:

    Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

    Đáp án: 0,48

    Xét các biến cố: A: “Chọn được bạn biết chơi bóng đá”

    B: “Chọn được bạn biết chơi cầu lông”

    Khi đó P(A) = \frac{27}{40} =
0,675; P(B) = \frac{25}{40} =
0,625; P(A \cup B) =
1.

    Suy ra P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A
\cup B) = 0,675 + 0,625 - 1 = 0,3.

    Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá, bạn đó biết chơi cầu lông là P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap
B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,625} = 0,48.

    Đáp số: 0,48.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho ba biến cố A;B;C độc lập từng đôi thỏa mãn P(A) = P(B) = P(C) =
pP(ABC) = 0. Xác định P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C}
ight)?

    Ta có:

    P\left( A\overline{B}\overline{C}
ight) = P\left( A\overline{B} ight) - P\left( A\overline{B}C
ight)

    = p(1 - p) - p^{2} = p -
2p^{2}

    Vì A, B, C có vai trò như nhau nên P\left( A\overline{B}C ight) = P\left(
AB\overline{C} ight)

    \Rightarrow P\left(
\overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = P\left(
\overline{B}\overline{C} ight) - P\left( A\overline{B}\overline{C}
ight)

    = (1 - p)^{2} - p - 2p^{2} = 3p^{2} - 3p
+ 1

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với 0 <
P(A) < 1. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left(
\overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

  • Câu 30: Vận dụng

    Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là 0,8; hoàn thành câu trung bình là 0,6 và hoàn thành câu khó là 0,15. Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được 0,1 điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được 0,25 điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được 0,5điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

    a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là 72\%. Sai||Đúng

    b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là 0,45. Sai||Đúng

    c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

    d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn 0,2\%. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là 0,8; hoàn thành câu trung bình là 0,6 và hoàn thành câu khó là 0,15. Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được 0,1 điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được 0,25 điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được 0,5điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

    a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là 72\%. Sai||Đúng

    b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là 0,45. Sai||Đúng

    c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

    d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn 0,2\%. Sai||Đúng

    Gọi A là biến cố Bình làm đúng câu dễ

    B là biến cố Bình làm đúng câu trung bình

    C là biến cố Bình làm đúng câu khó.

    Khi đó A, B, C độc lập với nhau.

    a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là

    P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 =
7,2\%.

    Khẳng định sai.

    b) Xác suất để Bình làm đúng 2 trong số 3 câu là

    P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) +
P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C) + P(A).P(B).P\left( \overline{C}
ight)

    = 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474

    Khẳng định sai.

    c) Xác suất để Bình làm đúng 3 câu đủ ba loại là:

    P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 =
7,2\%

    Xác suất Bình làm sai 3 câu mức độ trung bình. (0,4)^{3} = 0,064.

    Khẳng định đúng.

    d) Để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:

    TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai

    (0,15)^{4}(0,2 + 0,4 + 0,85) =
7,34.10^{- 4}

    TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình

    (0,15)^{3}.(0,6)^{2} = 1,215.10^{-
3}

    Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%

    Khẳng định sai.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A + B) = \frac{3}{4}. Tính P\left( \overline{A}.\overline{B}
ight)?

    Ta có: P\left( \overline{A}.\overline{B}
ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) =
\frac{1}{4}

  • Câu 32: Nhận biết

    Một đợt xổ số phát hành N vé, trong đó có M vé có thưởng. Một người mua t(r < N - M). Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng

    Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.

    \overline{A}: “người đó không có vé trúng thưởng”

    Ta có: P\left( \overline{A} ight) =
\frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}} khi đó P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 -
\frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với P(B) =
0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) =
0,4. Tính P\left( B|A
ight)?

    Ta có: P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left(
\overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8

    Áp dụng công thức Bayes:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left(
A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B}
ight).P\left( A|\overline{B} ight)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) =
\frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238 .

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cửa hàng nhận trứng của ba cơ sở nuôi gà theo tỉ lệ 25\%;35\%;40\%. Nếu tỉ lệ trứng hỏng của ba cơ sở là 5\%;4\%;2\% thì xác suất để một quả trứng mua tại cửa hàng bị hỏng là bao nhiêu?

    Khi mua một quả trứng của cửa hàng thì có một và chỉ một trong 3 biến cố xảy ra:

    A1 lấy trứng của cơ sở I.

    A2 lấy trứng của cơ sở II.

    A3 lấy trứng của cơ sở III.

    Xác suất của ba biến cố trên lần lượt là:

    P\left( A_{1} ight) = 0,25;P\left(
A_{2} ight) = 0,35;P\left( A_{3} ight) = 0,40

    Gọi B là biến cố trứng mua tại cửa hàng bị hỏng.

    Xác suất trứng hỏng tại ba cơ sở lần lượt là:

    P\left( B|A_{1} ight) = 0,05;P\left(
B|A_{2} ight) = 0,04;P\left( B|A_{3} ight) = 0,02

    Do đó:

    P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left(
B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) +
P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,25.0,05 + 0,35.0,04
+ 0,4.0,02 = 0,0345.

  • Câu 35: Nhận biết

    Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

    Xét các biến cố:

    A: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

    B: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

    Xác định biến cố E = B|A: "biến cố B với điều kiện biết A đã xảy ra".

    Ta có:

    A = \left\{
(2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}

    B = \left\{
(1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}

    Khi biến cố B xảy ra, thì không gian mẫu mới là B.

    Khi đó, biến cố E = B|A = A \cap B =
\left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}

  • Câu 36: Vận dụng

    Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ?

    Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì A_{1}A_{2};\overline{A_{1}}A_{2};A_{1}\overline{A_{2}};\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} tạo thành một hệ đầy đủ.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
P\left( A_{1}A_{2} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight) =
0,2 \\
P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,3;P\left(
\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0,2 \\
\end{matrix} ight.

    Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:

    P\left( A|A_{1}A_{2} ight) = 1;P\left(
A|\overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,5

    P\left( A|A_{1}\overline{A_{2}} ight)
= 0,5;P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) =
0

    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

    P(A) = P\left( A_{1}A_{2} ight)P\left(
A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)P\left(
A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)

    + P\left(
\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight)P\left(
A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) + P\left(
A_{1}\overline{A_{2}} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}}
ight)

    = 0,3.1 + 0,3.0,5 + 0,2.0,5 + 0,2.0 =
0,55

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là 0,4;0,7;0,8. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là 30\%, khi trúng 2 phát đạn là 70\%, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?

    Gọi \ A_{i} : "Khẫu pháo thứ i bắn trúng" (i = 1,2,3)

    B_{k} : "Mục tiêu trúng k phát đạn" (k = 0,1,2,3)

    B : "Mục tiêu bị tiêu diệt".

    Ta có: \left\{ B_{k},k = 0,1,2,3
ight\} là một hệ đầy đủ các biến cố và

    B_{0} =
\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}},\ B_{1} =
A_{1}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}} +
\overline{A_{1}}A_{2}\overline{A_{3}} +
\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}

    B_{2} = A_{1}A_{2}\overline{A_{3}} +
A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} + \overline{A_{1}}A_{2}A_{3},\ B_{3} =
A_{1}A_{2}A_{3}

    Ta có các giả thiết sau:

    P\left( A_{1} ight) = 0,4;P\left(
A_{2} ight) = 0,7;P\left( A_{3} ight) = 0,8

    P\left( B \mid B_{0} ight) = 0,P\left(
B \mid B_{1} ight) = 0,3;P\left( B \mid B_{2} ight) = 0,7;P\left( B
\mid B_{3} ight) = 1

    Từ đó, ta tính được:

    P\left( B_{0} ight) = P\left(
\overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left(
\overline{A_{3}} ight)

    = (0,6)(0,3)(0,2)

    = 0,036

    P\left( B_{1} ight) = P\left( A_{1}
ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight)
+ P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left(
\overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left(
\overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight)

    = (0,4)(0,3)(0,2) + (0,6)(0,7)(0,2) +
(0,6)(0,3)(0,8)

    = 0,252

    P\left( B_{2} ight) = P\left( A_{1}
ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left(
A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight) +
P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3}
ight)

    = (0,4)(0,7)(0,2) + (0,4)(0,3)(0,8) +
(0,6)(0,7)(0,8)

    = 0,488

    P\left( B_{3} ight) = P\left( A_{1}
ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)

    = (0,4)(0,7)(0,8)

    = 0,224

    Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

    P(B) = P\left( B \mid B_{0}
ight)P\left( B_{0} ight) + P\left( B \mid B_{1} ight)P\left( B_{1}
ight) + P\left( B \mid B_{2} ight)P\left( B_{2} ight) + P\left( B
\mid B_{3} ight)P\left( B_{3} ight)

    = 0.(0,036) + (0,3)(0,252) +
(0,7)(0,488) + 1.(0,224)

    = 0,6412

    Khi đó ta có:

    P\left( BA_{3} ight) = P\left\lbrack
BA_{3}\left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} + A_{1}\overline{A_{2}}
+ \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) ightbrack

    = P\left( A_{1}A_{2}A_{3}B ight) +
P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3}B ight) + P\left(
A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}B ight) + P\left(
\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}B ight)

    = P\left( B \mid A_{1}A_{2}A_{3}
ight)P\left( A_{1}A_{2}A_{3} ight) + P\left( B \mid
\overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3}
ight)

    + P\left( B \mid
A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}
ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}
ight)P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}
ight)

    = 1.(0,224) +
(0,7)\lbrack(0,6)(0,7)(0,8)brack +
(0,7)\lbrack(0,4)(0,3)(0,8)brack

    +
(0,3)\lbrack(0,6)(0,3)(0,8)brack

    = 0,5696

    Do đó

    P\left( A_{3} \mid B ight) =
\frac{P\left( BA_{3} ight)}{P(B)} = \frac{0,5696}{0,6412} =
0,8883

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có 60\% về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn 20\% số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là 80\%. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là 90\%. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.

    Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn

    \overline{B} là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn

    E1 là biến cố tan học về nhà ngay = > P\left( E_{1} ight) = 0,6,P\left( B|E_{1}
ight) = 0,3

    E2 là biến cố tan học đi chơi game = > P\left( E_{2} ight) = 0,2,P\left( B|E_{2}
ight) = 0,8

    E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn = > P\left( E_{3} ight) = 0,2,P\left( B|E_{3}
ight) = 0,9

    B có thể xảy ra một trong 3 biến cố

    P(B) = P\left( E_{1} ight).P\left(
B|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight).P\left( B|E_{2} ight) +
P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)

    = > P(B) = 0,52

    = > P\left( \overline{B} ight) = 1
- 0,52 = 0,48

  • Câu 39: Thông hiểu

    Một bình đựng 5 viên bi (cùng kích cỡ và đồng chất) khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu?

    Cách 1:

    Gọi A là biến cố “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”

    Gọi B là biến cố “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”

    Ta đi tính P\left( B|A ight). Ta có: P(A) = \frac{3.4}{5.4} =
\frac{3}{5};P(A \cap B) = \frac{3.2}{5.4} = \frac{3}{10}

    Do đó: P\left( B|A ight) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{3}{5}} =\dfrac{1}{2}

    Cách 2:

    Gọi C là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”.

    Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2.

    Do đó, xác suất cần tìm là P(C) =
\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) =
\frac{3}{4}. Tính P\left(
\overline{A} + \overline{B} ight)?

    Ta có:

    P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) =
\frac{1}{12}

    P\left( \overline{A} + \overline{B}
ight) = P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 1 - P(AB) =
\frac{11}{12}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 26 lượt xem
Sắp xếp theo