Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm. Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người?
Gọi Ai: “người thứ i nhận được phiếu trúng thưởng” (i = 1, . . . , 10)
Ta có:
Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm. Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người?
Gọi Ai: “người thứ i nhận được phiếu trúng thưởng” (i = 1, . . . , 10)
Ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có: .
Áo sơ mi May10 trước khi xuất khẩu sang phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân
sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và
sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?
Gọi A là biến cố ”Qua được lần kiểm tra đầu tiên”
Gọi B là biên cố “Qua được lần kiểm tra thứ 2”
Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên hay ta đi tính
Ta có:
.
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách
với xác suất trúng bia là
, nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách
, nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách
. Tính xác suất để M bắn trúng bia?
Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”
Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”
Ta có:
Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:
Ta có sơ đồ cây như sau:
Xác suất để M bắn trúng bia là:
Một thùng hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 4 chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong thùng sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp?
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”
Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.
Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là:
Từ bài ra ta có:
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Một đợt xổ số phát hành
vé, trong đó có
vé có thưởng. Một người mua
vé
. Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng
Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.
: “người đó không có vé trúng thưởng”
Ta có: khi đó
Một hãng hàng không cho biết rằng
số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán
ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được
khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được
vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng
?
Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé".
Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có
Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".
Biến cố xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H|B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến. Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp.
Do đó để cho đơn giản ta tìm .
Ta có:
Do đó:
Cho hai hộp đựng phiếu bốc thăm trúng thưởng giống nhau:
Hộp thứ nhất có tỉ lệ trúng thưởng bằng
.
Hộp thứ hai có tỉ lệ trúng thưởng bằng
.
Chọn ngẫu nhiên một thùng và lấy ngẫu nhiên một phiếu trong thùng đó thấy phiếu đó trúng thưởng. Bỏ lại phiếu trở lại thùng, từ thùng đó lấy tiếp một phiếu. Tìm xác suất để lần thứ hai cũng lấy được phiếu trúng thưởng.
Gọi A là biến cố phiếu đầu tiên lấy là phiếu trúng thưởng.
Biến cố A có thể xảy ra cùng với một trong các biến cố sau:
H1 phiếu bốc thăm lấy ra từ thùng I.
H2 phiếu bốc thăm lấy ra từ thùng II.
Theo công thức xác xuất toàn phần ta có:
Theo dữ kiện đề bài ta có:
Do đó:
Sau khi biến cố A đã xảy ra, xác suất của các biến cố thay đổi theo công thức Bayes như sau:
Gọi B là biến cố lấy phiếu lần thứ hai là trúng thưởng.
B vẫn có thể xảy ra với một trong hai giả thiết do đó theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Vì phiếu lấy lần thứ nhất bỏ trở lại thùng, do đó tỉ lệ trúng thưởng ở các thùng đó vẫn không thay đổi.
Vì thế
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:
a) Xác suất để có tên Anh là
.Đúng||Sai
b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
.Sai||Đúng
c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là
.Đúng||Sai
d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là
.Sai||Đúng
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:
a) Xác suất để có tên Anh là .Đúng||Sai
b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là .Sai||Đúng
c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là .Đúng||Sai
d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là .Sai||Đúng
Gọi A là biến cố “tên là Anh”
Gọi B là biến cố “nữ”.
a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: .
b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
Ta có:
c) Gọi C là biến cố “nam”.
Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là
Ta có:
.
d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là ,
.
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
Gọi là "đạt
học phần ở lần thi đầu".
Khi đó, tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán đúng?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.
Tìm P(B) từ:
Gọi C là "chẩn đoán đúng", thì C xảy ra khi người bị bệnh được chẩn đoán có bệnh hoặc người không bị bệnh được chẩn đoán không bị bệnh. Như vậy
Hiển nhiên 2 biến cố xung khắc, nên ta có:
Một sinh viên làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là
. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là
, nhưng nếu làm sai bài thứ 1 thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là
. Tính xác suất để sinh viên làm đúng ít nhất một bài?
Gọi A1 là biến cố làm đúng bài 1
Gọi A2 là biến cố làm đúng bài 2
Làm đúng ít nhất 1 bài
Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có
bóng đèn Led là màu trắng và
bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là
và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là
. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên một bóng đèn Led từ cửa hàng. Xác suất để khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng bằng bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng"
B: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Do công thức Bayes:
Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Tìm xác suất nó là phế phẩm.
Gọi Ai là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là
; còn không mưa là
. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa?
Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có:
Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên
Xác suất cần tính là có:
Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn
theo tỉ lệ
. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là
. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.
Gọi ” Để một khách ở phòng điều hòa bị hỏng”
Gọi lần lượt là các biến cố Khách nghỉ tại ba khách sạn
.
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 0,82
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 0,82
Gọi là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và
: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”.
Dễ thấy là hai biến cố độc lập.
Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là
.
Gọi là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:
Cho hai biến cố
và
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Công thức tính xác suất của biến cố khi biết biến cố
đã xảy ra
là:
.
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
Ta cần tính xác suất
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một căn bệnh có
dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là
. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính
số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng
trong
trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?
Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”
Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”
Ta cần tính với
.
Ta có:
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:
Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra:
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là:
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là:
Khi đó:
Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là .
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.
Xét các biến cố
: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định
là biến cố
khi biết
đã xảy ra?
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
Biến cố khi biết
đã xảy ra là:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A". Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Ta cần tính P(A|C). Áp dụng công thức Bayes ta có:
Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.
Gọi Ai là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có
Gọi B là "sản phẩm do máy I sản xuất". Khi đó ta cần tính P(B|A)
Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
. Tính xác suất để
là một số nguyên dương.
Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
Biến cố : "
là một số nguyên dương".
+ Giả sử là một số nguyên dương
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm
trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có
trường hợp ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.
Gọi A là biến cố đi đường ngầm suy ra là biến cố đi đường cầu
Ta xác định được
Gọi B là "về nhà sau 6 giờ tối", ta cần tính .
Sử dụng công thức Bayes:
Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi. Giả sử lấy được bị trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I?
Gọi A là biến cố lấy được bi trắng
Gọi K1 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I
Gọi K2 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II
Ta xác định được:
Khi đó:
Vậy xác suất để lấy được bi trắng của hộp I là:
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
với
. Giá trị
bằng:
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Cho hai biến cố
có
. Xác định
?
Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:
Vì và
là hai biến cố xung khắc và
nên theo tính chất của xác suất ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: