Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Xét A:“Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng”.
Và B: “Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng”.
Tính P(A): Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I:
Tính : Đây là xác suất để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ trắng từ chuồng II rồi cho vào chuồng I.
Tức là có 5 con thỏ đen và 11 con thỏ trắng ở trong chuồng I
Tương tự ta có:
Tính : Đây là để lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã chọn ra 1 con thỏ đen từ chuồng II rồi cho vào chuồng I
Tức là có 6 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng ở trong chuồng I. Tương tự như trên ta có: .
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có
Tìm P(B) từ:
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có
về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn
số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là
. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là
. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay
E2 là biến cố tan học đi chơi game
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 phân xưởng, phân xưởng 1 sản xuất 50% tổng số bóng đèn, phân xưởng 2 sản xuất 20% tổng số bóng đèn, phân xưởng 3 sản xuất 30% tổng số bóng đèn. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng là 2%, 3%, 4%. Tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy?
Để xác định tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy, ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng của nhà máy.
Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm
Gọi lần lượt là các biến cố " Chọn được sản phẩm của phân xưởng 1,2,3".
Ta có là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ.
Gọi B là biến cố "Lấy được phế phẩm" ta có:
Vậy tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cửa hàng nhận trứng của ba cơ sở nuôi gà theo tỉ lệ
. Nếu tỉ lệ trứng hỏng của ba cơ sở là
thì xác suất để một quả trứng mua tại cửa hàng bị hỏng là bao nhiêu?
Khi mua một quả trứng của cửa hàng thì có một và chỉ một trong 3 biến cố xảy ra:
A1 lấy trứng của cơ sở I.
A2 lấy trứng của cơ sở II.
A3 lấy trứng của cơ sở III.
Xác suất của ba biến cố trên lần lượt là:
Gọi B là biến cố trứng mua tại cửa hàng bị hỏng.
Xác suất trứng hỏng tại ba cơ sở lần lượt là:
Do đó:
.
Cho hai biến cố
và
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Công thức tính xác suất của biến cố khi biết biến cố
đã xảy ra
là:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Tính xác suất có điều kiện
?
Ta có:
Vậy
Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là
. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là
, khi trúng 2 phát đạn là
, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?
Gọi : "Khẫu pháo thứ
bắn trúng"
)
: "Mục tiêu trúng
phát đạn"
: "Mục tiêu bị tiêu diệt".
Ta có: là một hệ đầy đủ các biến cố và
Ta có các giả thiết sau:
Từ đó, ta tính được:
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Khi đó ta có:
Do đó
Một đoàn tàu gồm
toa đỗ ở sân ga. Có
hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên
toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất
hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,62
Một đoàn tàu gồm toa đỗ ở sân ga. Có
hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên
toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất
hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,62
Không gian mẫu là số cách sắp xếp hành khách lên
toa tàu. Vì mỗi hành khách có
cách chọn toa nên có
cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất
hành khách
. Để tìm số phần tử của biến cố
ta đi tìm số phần tử của biến cố
, tức có toa không có hành khách nào bước lên tàu, có
khả năng sau:
Trường hợp thứ nhất: Có toa không có hành khách bước lên.
+) Chọn trong
toa để không có khách bước lên, có
cách.
+) Sau đó cả hành khách lên toa còn lại, có
cách.
Do đó trường hợp này có cách.
Trường hợp thứ hai: Có toa không có hành khách bước lên.
+) Chọn trong
toa để không có khách bước lên, có
cách.
+) Hai toa còn lại ta cần xếp hành khách lên và mỗi toa có ít nhất
hành khách, có
.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Tính xác suất để viên bi rút ra sau cùng màu đỏ?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là
; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được
điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là
. Sai||Đúng
b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là
. Sai||Đúng
c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn
. Sai||Đúng
Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là ; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được
điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là . Sai||Đúng
b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là . Sai||Đúng
c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn . Sai||Đúng
Gọi A là biến cố Bình làm đúng câu dễ
B là biến cố Bình làm đúng câu trung bình
C là biến cố Bình làm đúng câu khó.
Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là
.
Khẳng định sai.
b) Xác suất để Bình làm đúng 2 trong số 3 câu là
= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474
Khẳng định sai.
c) Xác suất để Bình làm đúng 3 câu đủ ba loại là:
Xác suất Bình làm sai 3 câu mức độ trung bình. .
Khẳng định đúng.
d) Để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:
TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai
TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình
Vậy xác suất cần tìm là
Khẳng định sai.
Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
. Tính xác suất để
là một số nguyên dương.
Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
Biến cố : "
là một số nguyên dương".
+ Giả sử là một số nguyên dương
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp
chi tiết, máy thứ hai cung cấp
chi tiết. Biết
chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đều đạt tiêu chuẩn và
chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyển một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.
Gọi A là biến cố chi tiết lấy từ dây chuyển đạt tiêu chuẩn.
Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.
H1 chi tiết máy do máy một sản xuất.
H2 chi tiết máy do máy hai sản xuất.
Như vậy xác suất để chi tiết máy dó máy một sản xuất bằng:
Theo dữ kiện đề bài cho ta có:
Do đó:
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán đúng?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.
Tìm P(B) từ:
Gọi C là "chẩn đoán đúng", thì C xảy ra khi người bị bệnh được chẩn đoán có bệnh hoặc người không bị bệnh được chẩn đoán không bị bệnh. Như vậy
Hiển nhiên 2 biến cố xung khắc, nên ta có:
Một đợt xổ số phát hành
vé, trong đó có
vé có thưởng. Một người mua
vé
. Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng
Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.
: “người đó không có vé trúng thưởng”
Ta có: khi đó
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.
Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .
Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hàng loạt một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.
Xác suất để học sinh trả lời đúng 1 câu là và trả lời sai 1 câu là
.
Gọi là số câu trả lời đúng
là số câu trả lời sai.
Số điểm học sinh đạt được là:
Học sinh nhận được điểm dưới 1 khi
Mà
Gọi là biến cố: "Học sinh trả lời đúng
câu"
là biến cố "Học sinh nhận điểm dưới 1"
Suy ra và
Mà nên
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi trong phiếu.
Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc.
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc.
E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ. B xảy ra với 1 trong 2 biến cố.
Ta có:
Thay vào công thức suy ra
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Một thùng hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 4 chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong thùng sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp?
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”
Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.
Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là:
Từ bài ra ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là
; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ An được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được
điểm và làm đúng mỗi câu khó An được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là
. Sai||Đúng
b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là
. Sai||Đúng
c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn
. Sai||Đúng
Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là ; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ An được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được
điểm và làm đúng mỗi câu khó An được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là . Sai||Đúng
b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là . Sai||Đúng
c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn . Sai||Đúng
Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ
B là biến cố An làm đúng câu trung bình
C là biến cố An làm đúng câu khó.
Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là:
. Khẳng định Sai.
b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là:
Khẳng định Sai.
c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là:
Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình. .
Khẳng định Đúng.
d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:
TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai
TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình
Vậy xác suất cần tìm là
Khẳng định Sai.
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
Ta cần tính xác suất
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Có 40 phiếu kiểm tra, mỗi phiếu có một câu hỏi, biết rằng có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu mức độ khó và 8 câu mức độ dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu mức độ khó và 15 câu mức độ dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết mức độ khó.
Có 40 phiếu kiểm tra, mỗi phiếu có một câu hỏi, biết rằng có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu mức độ khó và 8 câu mức độ dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu mức độ khó và 15 câu mức độ dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết mức độ khó.
Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là
. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?
Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"
Ai: "Mua ở cửa hàng i"
Ta có {A1, A2, A3} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
Ta thấy rằng P(A1|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.
Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu trắng, còn lại là kẹo màu xanh. Bạn T lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó T lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo? Biết rằng xác suất T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là
.
Gọi A là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ hai”.
Ta có xác suất để T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là:
Gọi số kẹo ban đầu trong túi là: (viên)
Điều kiện
Ta có:
Theo công thức nhân xác suất, ta có:
Mà
Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Cách 1:
Mà
Do đó:
Cách 2: Ta có:
.
Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có
sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là
. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?
Gọi Ai là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Từ đó ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A". Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Ta cần tính P(A|C). Áp dụng công thức Bayes ta có:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có: