Một đợt xổ số phát hành
vé, trong đó có
vé có thưởng. Một người mua
vé
. Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng
Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.
: “người đó không có vé trúng thưởng”
Ta có: khi đó
Một đợt xổ số phát hành
vé, trong đó có
vé có thưởng. Một người mua
vé
. Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng
Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.
: “người đó không có vé trúng thưởng”
Ta có: khi đó
Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là
; còn không mưa là
. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa?
Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có:
Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên
Xác suất cần tính là có:
Một chiếc hộp có
viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
. Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
. Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là:
Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là:
. Đúng||Sai
Một chiếc hộp có viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là . Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là . Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: . Đúng||Sai
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
c) Gọi A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”
Lúc này ta đi tính theo công thức:
Ta có:
.
d) A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra A là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”. Khi đó ta có:
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.
Dễ thấy . Theo công thức Bayes ta có:
Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hàng loạt một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.
Xác suất để học sinh trả lời đúng 1 câu là và trả lời sai 1 câu là
.
Gọi là số câu trả lời đúng
là số câu trả lời sai.
Số điểm học sinh đạt được là:
Học sinh nhận được điểm dưới 1 khi
Mà
Gọi là biến cố: "Học sinh trả lời đúng
câu"
là biến cố "Học sinh nhận điểm dưới 1"
Suy ra và
Mà nên
Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó
người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là
, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là
. Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.
Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.
Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”
Theo bài ta có:
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Vậy
Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là
. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là
. Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.
Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.
a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là
. Sai||Đúng
b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là
. Đúng||Sai
c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là
. Đúng||Sai
d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là
. Đúng||Sai
Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là
. Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.
Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.
a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là . Sai||Đúng
b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là . Đúng||Sai
c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là . Đúng||Sai
d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là . Đúng||Sai
Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:
a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là (nhánh
).
b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là (nhánh
).
c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt (nhánh
)
d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:
(nhánh
và nhánh
).
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có: .
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".
B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".
C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".
Ta có là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".
là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".
là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".
Vì và
là hai biến cố độc lập nên
và
là hai biến cố độc lập
Mà
.
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là
. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ M lần lượt là
và
. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ M.
Gọi A: “Học sinh được chọn là nữ” ⇒ : “Học sinh được chọn là nam”
B: “học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M”.
Từ giả thiết ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M là:
.
Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có
bóng đèn Led là màu trắng và
bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là
và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là
. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên một bóng đèn Led từ cửa hàng. Xác suất để khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng bằng bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng"
B: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A".
Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Áo sơ mi May10 trước khi xuất khẩu sang phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân
sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và
sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?
Gọi A là biến cố ”Qua được lần kiểm tra đầu tiên”
Gọi B là biên cố “Qua được lần kiểm tra thứ 2”
Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên hay ta đi tính
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
.
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai|| Đúng
d)
Sai|| Đúng
Cho hai biến cố và
, với
.
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai|| Đúng
d) Sai|| Đúng
a) Ta có:
b)
c)
d)
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:
Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi TA là biến cố “Phát được tín hiệu A ”
Gọi TB là biến cố “Phát được tín hiệu B”.
Ta cần tính ta có:
khi đó:
Theo công thức Bayes, ta có:
Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là
, còn súng mới là
. Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?
Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".
Có P(M) = 0,4 và P( ) = 0,6.
Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:
P(T | M) = 0,95; P(T | ) = 0,8.
Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra
Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Cho hai hộp đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng như sau:
Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ.
Hộp thứ hai có 3 viên vi xanh và 7 viên bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ.
Gọi A1: “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”
Và A2: “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”
Nên là hệ biến cố đầy đủ
Gọi B: “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần
Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes:
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Có 3 hộp bi:
Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.
Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.
Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng
Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để 3 bi lấy ra có 3 màu khác nhau. Trong trường hợp đó tính xác suất để 3 bi được lấy từ hộp thứ 3?
Gọi lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ
là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:
Gọi C là biến cố” 3 bi lấy ra có ba màu khác nhau”
Ta có:
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
Gọi là "đạt
học phần ở lần thi đầu".
Khi đó, tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Trong một kho rượu, số lượng rượu loại M và loại N bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai và đưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại M, 2 người kết luận rượu loại N. Hỏi khi đó xác suất chai rượu đó thuộc loại M là bao nhiêu?
Gọi A là chai rượu thuộc loại M thì tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi H là "có 3 người kết luận rượu loại M và 2 người kết luận rượu loại N".
Theo công thức toàn phần ta có:
Vậy xác suất cần tính là:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là
. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?
Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"
Ai: "Mua ở cửa hàng i"
Ta có {A1, A2, A3} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
Ta thấy rằng P(A1|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là
. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là
, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là
. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài ta có:
Cần tính xác suất là C = A|B.
Sử dụng công thức Baye ta có:
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
Vì A, B, C có vai trò như nhau nên
Để gây đột biến cho một tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen
bằng phóng xạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen
là
; do gen B là
và do cả hai gen là
. Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ có thể tác động lên gen
với xác suất
và lên gen
với xác suất
?
Gọi C là biến cố có đột biến ở tính trạng đang xét
A là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen A
B là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen B
C1 là biến cố phóng xạ chỉ tác động lên gen A
C2 là biến cố phóng xạ chỉ tác dụng lên gen B
C3 là biến cố phóng xạ tác dụng lên cả 2 gen
là biến cố phóng xạ không tác dụng lên gen nào
Khi đó hệ là một hệ đầy đủ
Mặt khác độc lập nên
Mặt khác và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:
Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi TA là biến cố “Phát được tín hiệu A ”
Gọi TB là biến cố “Phát được tín hiệu B”.
Ta cần tính ta có:
khi đó:
Một căn bệnh có
dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là
. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính
số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng
trong
trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?
Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”
Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”
Ta cần tính với
.
Ta có:
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:
Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra:
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là:
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là:
Khi đó:
Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là .
Cho hai biến cố
với
. Giá trị
bằng:
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: