Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Câu 1: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 2: Vận dụng cao

Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?

A.
$61,73\%$
B.
$66,15\%$
C.
$60,80\%$
D.
$64,97\%$

Gọi D₁, X₁ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",

D², X₂ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".

Khi đó hệ D₁D₂, D₁X₂, X₁D₂, X₁X₂ tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{4}{7};P\left( {{D_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{3}{7} \hfill \\ P\left( {{X_1}{D_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{3}{7};P\left( {{X_1}{X_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".

Ta xác định được: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {A|{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6};P\left( {A|{D_1}{X_2}} ight) = \frac{3}{6} \hfill \\ P\left( {A|{X_1}{D_2}} ight) = \frac{5}{6};P\left( {A|{X_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

$P(A) = P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)$

$+ P\left( X_{1}D_{2} ight)P\left( A|X_{1}D_{2} ight) + P\left( X_{1}X_{2} ight)P\left( A|X_{1}X_{2} ight)$

$= \frac{4}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} + \frac{4}{6}.\frac{3}{7}.\frac{3}{6} + \frac{2}{6}.\frac{3}{7}.\frac{5}{6} + \frac{2}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} = \frac{9}{14}$

Ta cần tính xác suất $B = \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)|A$

$\Rightarrow P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)}{P(A)}$

$= \dfrac{{\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{6}.\dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{6}}}{{\dfrac{9}{{11}}}} = \dfrac{{50}}{{81}} \approx 61,73\%$

Câu 3: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:

A.
$0,7$
B.
$0,4$
C.
$0,58$
D.
$0,52$

Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$

Câu 4: Thông hiểu

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ

B là biến cố An làm đúng câu trung bình

C là biến cố An làm đúng câu khó.

Khi đó A, B, C độc lập với nhau.

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$ . Khẳng định Sai.

b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là:

$P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) + P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C). + P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight)$

$= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474$

Khẳng định Sai.

c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$

Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình. $(0,4)^{3} = 0,064$ .

Khẳng định Đúng.

d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:

TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai

$(0,15)^{4}(0,2 + 0,4 + 0,85) = 7,34.10^{- 4}$

TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình

$(0,15)^{3}.(0,6)^{2} = 1,215.10^{- 4}$

Vậy xác suất cần tìm là $0,1949\%$

Khẳng định Sai.

Câu 5: Nhận biết

Một đợt xổ số phát hành $N$ vé, trong đó có $M$ vé có thưởng. Một người mua $t$ vé $(r < N - M)$ . Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng

A.
$1 - \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
B.
$\frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
C.
$1 - \frac{C_{N}^{t}}{C_{N + M}^{t}}$
D.
$\frac{C_{N}^{t}}{C_{N + M}^{t}}$

Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.

$\overline{A}$ : “người đó không có vé trúng thưởng”

Ta có: $P\left( \overline{A} ight) = \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$ khi đó $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$

Câu 6: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( B|\overline{A} ight)$ ?

A.
$0,7976$
B.
$0,7975$
C.
$0,2025$
D.
$0,2024$

Hai biến cố $\overline{A}$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,2025$ .

Câu 7: Nhận biết

Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.

Xét các biến cố $A$ : "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"

$B$ : "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"

Xác định $B|A$ là biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra?

A.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
B.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3) ight\}$
C.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;3),(2;5) ight\}$
D.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

Do đó, không gian mẫu mới là

$\Omega' = A = \left\{ (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;1),(2;3),(2;4),(2;5) ight\}$

Biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra là:

$B|A = A \cap B = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Câu 8: Nhận biết

Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

Xét các biến cố:

$A$ : "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

$B$ : "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

Xác định biến cố $E = B|A$ : "biến cố $B$ với điều kiện biết $A$ đã xảy ra".

A.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$
B.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$
C.
$E = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$
D.
$E = \left\{(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3)ight\}$

Ta có:

$A = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$

$B = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Khi biến cố $B$ xảy ra, thì không gian mẫu mới là $B$ .

Khi đó, biến cố $E = B|A = A \cap B = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Câu 9: Thông hiểu

Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là:

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{2}{7}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{1}{7}$

Gọi A là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.

Gọi B là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.

Không gian mẫu $n(Ω )= 10.9$ cách chọn

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có cách 9 chọn, do đó: $P(A) = \frac{7.9}{9.10} = \frac{7}{10}$

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ trong 6 viên bi còn lại có 6 cách chọn, do đó: $P(A \cap B) = \frac{7.6}{10.9} = \frac{7}{15}$

Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ: $P\left(B|A ight) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} =\dfrac{\dfrac{7}{15}}{\dfrac{7}{10}} = \dfrac{2}{3}$ .

Câu 10: Vận dụng

Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cua. Xác suất câu được cua ở mỗi chỗ lần lượt là $0,6;0,7;0,8$ . Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cua. Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất?

A.
$0,6025$
B.
$0,5026$
C.
$0,4321$
D.
$0,4458$

Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là "cá câu được ở chỗ thứ i" thì hệ A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Dễ thấy $P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Gọi H là "thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cua".

Theo công thức toàn phần, ta có:

$P(H) = P\left( A_{1} ight)P\left( H|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( H|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( H|A_{3} ight)$

Ở đó $\left\{ \begin{matrix} P\left( H|A_{1} ight) = 3.0,6^{1}.0,4^{2} \\ P\left( H|A_{2} ight) = 3.0,7^{1}.0,3^{2} \\ P\left( H|A_{3} ight) = 3.0,8^{1}.0,2^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P(H) = 0,191$

Theo công thức Bayes suy ra:

$P\left( A_{1}|H ight) = \frac{P\left( A_{1} ight).P\left( H|A_{1} ight)}{P(H)} \approx 0,5026$

Câu 11: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P(A.B)$ ?

A.
$\frac{5}{6}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{12}$
D.
$\frac{1}{4}$

Ta có: $P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

Câu 12: Thông hiểu

Một hộp có 4 viên bi, mỗi viên có thể là màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để lấy được hai bi trắng.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{3}{5}$

Số lượng bi trắng và đen trong hộp chỉ có thể xảy ra 1 trong 5 trường hợp sau:

H₄: 4 bi trắng $\Rightarrow P\left( H_{4} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₃: 3 bi trắng; 1 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₂: 2 bi trắng; 2 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₁: 1 bi trắng; 3 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{1} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₀: 0 bi trắng; 4 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{0} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

Gọi biến cố A là biến cố lấy được 2 bi trắng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( A|H_{4} ight) = 1;P\left( A|H_{3} ight) =\dfrac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{2} \\P\left( A|H_{2} ight) = \dfrac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{6} \\P\left( A|H_{1} ight) = 0;P\left( A|H_{0} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

$P(A) = P\left( H_{0} ight).P\left( A|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight)P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight)P\left( A|H_{2} ight)$

$+ P\left( H_{3} ight)P\left( A|H_{3} ight) + P\left( H_{4} ight)P\left( A|H_{4} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,2.0 + 0,2.0 + 0,2.\frac{1}{6} + 0,2.\frac{1}{2} + 0,2.1 = \frac{1}{3}$

Câu 13: Thông hiểu

Có ba hộp giống nhau:

Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm.

Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính phẩm.

Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm.

Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm?

A.
$\frac{23}{36}$
B.
$\frac{8}{15}$
C.
$\frac{31}{45}$
D.
$\frac{61}{90}$

Gọi A là biến cố: “Lấy được chính phẩm”. Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với ba biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố:

$H_{1}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp I.

$H_{2}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp II.

$H_{3}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp III.

Vì theo giả thiết của bài toán, các biến cố $H_{1}$ ; $H_{2}$ ; $H_{3}$ là đồng khả năng, do đó:

$P\left( H_{1} ight) = P\left( H_{2} ight) = P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố $H_{1}$ ; $H_{2}$ ; $H_{3}$ xảy ra bằng:

$P\left( A|H_{1} ight) = \frac{6}{10};P\left( A|H_{2} ight) = \frac{10}{15};P\left( A|H_{3} ight) = \frac{15}{20}$

Do đó:

$P(A) = P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight) + P\left( H_{3} ight).P\left( A|H_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{6}{10} + \frac{1}{3}.\frac{10}{15} + \frac{1}{3}.\frac{15}{20} = \frac{124}{180} = \frac{31}{45}$

Câu 14: Thông hiểu

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( AB\overline{C} ight)$ ?

A.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2}$
B.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2}$
C.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2} - p$
D.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2} - 1$

Ta có:

$P\left( AB\overline{C} ight) = P(AB) - P(ABC) = p^{2}$ .

Câu 15: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight)$ ?

A.
$\frac{5}{12}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{1}{4}$

Ta có: $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) = \frac{1}{4}$

Câu 16: Vận dụng

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,5$ và dự án 2 là $0,6$ . Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A;B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A;B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai|| Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai|| Đúng

Đáp án là:

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là $0,5$ và dự án 2 là $0,6$ . Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A;B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A;B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai|| Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai|| Đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,5 = 0,5 \\ P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ P(A \cap B) = 0,4 \\ \end{matrix} ight.$

a) $A;B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P(A \cap B) = P(A).P(B)$

Mà $0,4 eq 0,5.0,6$ nên $A;B$ không độc lập.

b) Gọi C là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án

$P(C) = P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight)$

$= P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$

$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$

$= 0,5 + 0.6 - 2.0,4 = 0,3$ .

c) Gọi D là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$ .

d) Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{0,6 - 0,4}{0,5} = 0,4$ .

Câu 17: Vận dụng

Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 phân xưởng, phân xưởng 1 sản xuất 50% tổng số bóng đèn, phân xưởng 2 sản xuất 20% tổng số bóng đèn, phân xưởng 3 sản xuất 30% tổng số bóng đèn. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng là 2%, 3%, 4%. Tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy?

A.
$2,8\%$
B.
$5,2\%$
C.
$3,5\%$
D.
$2,3\%$

Để xác định tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy, ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng của nhà máy.

Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm

Gọi $A_{1},A_{2},A_{3}$ lần lượt là các biến cố " Chọn được sản phẩm của phân xưởng 1,2,3".

Ta có $A_{1},A_{2},A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ.

$P\left( A_{1} ight) = 0.5,P\left( A_{2} ight) = 0.2,P\left( A_{3} ight) = 0.3$

Gọi B là biến cố "Lấy được phế phẩm" ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight)P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( B|A_{3} ight)$

$= 0.5 \times 0.02 + 0.2 \times 0.03 + 0.3 \times 0.04 = 2.8\%$

Vậy tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là $2.8\%$

Câu 18: Thông hiểu

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,65$
C.
$0,86$
D.
$0,5$

Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)} = \frac{0,8.0,7}{0,65} = \frac{56}{65} \approx 0,86$

Câu 19: Thông hiểu

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $0,6$ (nhánh $O\overline{A}$ ).

b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là $0,3 = \frac{3}{10}$ (nhánh $\overline{A}B$ ).

c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt $0,4 = \frac{4}{10}$ (nhánh $AB$ )

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:

$P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36$ (nhánh $OAB$ và nhánh $O\overline{A}B$ ).

Câu 20: Vận dụng

Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Tính xác suất để viên bi đó màu đỏ?

A.
$0,51$
B.
$0,55$
C.
$0,48$
D.
$0,43$

Gọi A₁, A₂ lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì $A_{1}A_{2};\overline{A_{1}}A_{2};A_{1}\overline{A_{2}};\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}$ tạo thành một hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1}A_{2} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,2 \\ P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0,2 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:

$P\left( A|A_{1}A_{2} ight) = 1;P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,5$

$P\left( A|A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,5;P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = P\left( A_{1}A_{2} ight)P\left( A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$+ P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)$

$= 0,3.1 + 0,3.0,5 + 0,2.0,5 + 0,2.0 = 0,55$

Câu 21: Thông hiểu

Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi. Giả sử lấy được bị trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I?

A.
$\frac{5}{7}$
B.
$\frac{4}{7}$
C.
$\frac{2}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Gọi A là biến cố lấy được bi trắng

Gọi K₁ là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I

Gọi K₂ là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II

Ta xác định được:

$\left\{ \begin{gathered} P\left( {{K_1}} ight) = \frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}};P\left( {{K_2}} ight) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}} \hfill \\ P\left( {A|{E_1}} ight) = \frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}};P\left( {A|{E_2}} ight) = \frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó: $P(A) = P\left( K_{1} ight).P\left( A|K_{1} ight) + P\left( K_{2} ight).P\left( A|K_{2} ight) = \frac{7}{12}$

Vậy xác suất để lấy được bi trắng của hộp I là:

$\Rightarrow P\left( K_{1}|A ight) = \frac{P\left( K_{1} ight).P\left( A|K_{1} ight)}{P(A)} = \frac{1}{7}$

Câu 22: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{B}|A ight)$ ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Ta có:

$P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)$

$= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}$ .

Câu 23: Thông hiểu

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng $\frac{2}{5}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng $\frac{8}{23}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng $\frac{15}{23}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng $\frac{3}{5}$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng $\frac{2}{5}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng $\frac{8}{23}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng $\frac{15}{23}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng $\frac{3}{5}$ .Sai||Đúng

Gọi A : “Học sinh được chọn giỏi môn Toán”

B: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”

Gọi C : “Học sinh được chọn không giỏi môn Toán”

D: “Học sinh được chọn không giỏi môn Văn”

Số học sinh giỏi cả 2 môn là: $23 + 20 - 35 = 8$

a) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Văn nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn là:

$P\left( A|B ight) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

b) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Toán nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán là:

$P\left( B|A ight) = \frac{8}{23}$

c) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, có đúng 8 học sinh giỏi cả Văn và Toán, nên số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là 12.

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" là:

$P\left( C|B ight) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

d) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là $23 - 8 = 15$

Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" là: $P\left( D|A ight) = \frac{15}{23}$

Câu 24: Thông hiểu

Có hai hộp thuốc:

Hộp I có 2 vỉ thuốc ngoại và 5 vỉ thuốc nội.

Hộp II có 3 vỉ thuốc ngoại và 6 vỉ thuốc nội.

Từ hộp I và hộp II lần lượt lấy ra 2 vỉ thuốc và 1 vỉ thuốc. Từ 3 vỉ thuốc đó lại lấy ra một vỉ. Tính xác suất để vỉ lấy ra sau cùng là thuốc ngoại?

A.
$\frac{19}{63}$
B.
$\frac{7}{19}$
C.
$\frac{11}{21}$
D.
$\frac{5}{9}$

Gọi A₁ là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp I”

A₁ là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp II”

Ta có A₁, A₂ lập thành hệ đầy đủ các biến cố khi đó ta xác định được:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{3};P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{3}$

$P\left( B|A_{1} ight) = \frac{2}{7};P\left( B|A_{2} ight) = \frac{3}{9}$

Gọi B là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là thuốc ngoại”.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{2}{3}.\frac{2}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{9} = \frac{19}{63}$ .

Câu 25: Vận dụng cao

Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là $70\%; 75\% ; 50\%$ . Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?

A.
Cửa hàng I
B.
Cửa hàng II
C.
Cửa hàng III

Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"

A_i: "Mua ở cửa hàng i"

Ta có {A₁, A₂, A₃} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được: $P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{5} = 0,4;P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2;P\left( A_{3} ight) = \frac{2}{5} = 0,4$

$P\left( T|A_{1} ight) = 0,7;P\left( A|A_{2} ight) = 0,75;P\left( T|A_{3} ight) = 0,5$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:

$P(T) = P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(T) = 0,4.0,7 + 0,2.0,75 + 0,4.0,5 = 0,63$

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left( A_{1}|T ight) = \frac{P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,7}{0,63} = 0,4444$

$P\left( A_{21}|T ight) = \frac{P\left( A_{2} ight)P\left( T|A_{2} ight)}{P(T)} = \frac{0,2.0,75}{0,63} = 0,2381$

$P\left( A_{3}|T ight) = \frac{P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,5}{0,63} = 0,3175$

Ta thấy rằng P(A₁|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.

Câu 26: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,65$
C.
$0,55$
D.
$0,5$

Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$

Câu 27: Vận dụng cao

Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là $0,4;0,7;0,8$ . Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là $30\%$ , khi trúng 2 phát đạn là $70\%$ , còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?

A.
$86,34\%$
B.
$95,78\%$
C.
$91,12\%$
D.
$88,83\%$

Gọi $\ A_{i}$ : "Khẫu pháo thứ $i$ bắn trúng" $(i = 1,2,3$ )

$B_{k}$ : "Mục tiêu trúng $k$ phát đạn" $(k = 0,1,2,3)$

$B$ : "Mục tiêu bị tiêu diệt".

Ta có: $\left\{ B_{k},k = 0,1,2,3 ight\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố và

$B_{0} = \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}},\ B_{1} = A_{1}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}} + \overline{A_{1}}A_{2}\overline{A_{3}} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$

$B_{2} = A_{1}A_{2}\overline{A_{3}} + A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} + \overline{A_{1}}A_{2}A_{3},\ B_{3} = A_{1}A_{2}A_{3}$

Ta có các giả thiết sau:

$P\left( A_{1} ight) = 0,4;P\left( A_{2} ight) = 0,7;P\left( A_{3} ight) = 0,8$

$P\left( B \mid B_{0} ight) = 0,P\left( B \mid B_{1} ight) = 0,3;P\left( B \mid B_{2} ight) = 0,7;P\left( B \mid B_{3} ight) = 1$

Từ đó, ta tính được:

$P\left( B_{0} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight)$

$= (0,6)(0,3)(0,2)$

$= 0,036$

$P\left( B_{1} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,3)(0,2) + (0,6)(0,7)(0,2) + (0,6)(0,3)(0,8)$

$= 0,252$

$P\left( B_{2} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,7)(0,2) + (0,4)(0,3)(0,8) + (0,6)(0,7)(0,8)$

$= 0,488$

$P\left( B_{3} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,7)(0,8)$

$= 0,224$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(B) = P\left( B \mid B_{0} ight)P\left( B_{0} ight) + P\left( B \mid B_{1} ight)P\left( B_{1} ight) + P\left( B \mid B_{2} ight)P\left( B_{2} ight) + P\left( B \mid B_{3} ight)P\left( B_{3} ight)$

$= 0.(0,036) + (0,3)(0,252) + (0,7)(0,488) + 1.(0,224)$

$= 0,6412$

Khi đó ta có:

$P\left( BA_{3} ight) = P\left\lbrack BA_{3}\left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} + A_{1}\overline{A_{2}} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) ightbrack$

$= P\left( A_{1}A_{2}A_{3}B ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3}B ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}B ight) + P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}B ight)$

$= P\left( B \mid A_{1}A_{2}A_{3} ight)P\left( A_{1}A_{2}A_{3} ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)$

$+ P\left( B \mid A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)$

$= 1.(0,224) + (0,7)\lbrack(0,6)(0,7)(0,8)brack + (0,7)\lbrack(0,4)(0,3)(0,8)brack$

$+ (0,3)\lbrack(0,6)(0,3)(0,8)brack$

$= 0,5696$

Do đó

$P\left( A_{3} \mid B ight) = \frac{P\left( BA_{3} ight)}{P(B)} = \frac{0,5696}{0,6412} = 0,8883$

Câu 28: Thông hiểu

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) > 0;P(B) > 0$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P(A \cap B) + P\left( A \cap \overline{B} ight) = P(A)$ Đúng||Sai

b) $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$ Đúng||Sai

c) $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$ Đúng||Sai

d) $P(A) = P(A \cap B) + P\left( A \cap \overline{B} ight) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ Đúng||Sai

e) Biết $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,5$ khi đó $P(A) = 0,6$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) > 0;P(B) > 0$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P(A \cap B) + P\left( A \cap \overline{B} ight) = P(A)$ Đúng||Sai

b) $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$ Đúng||Sai

c) $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$ Đúng||Sai

d) $P(A) = P(A \cap B) + P\left( A \cap \overline{B} ight) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$ Đúng||Sai

e) Biết $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,5$ khi đó $P(A) = 0,6$ .Sai||Đúng

Các khẳng định đúng là:

a) $P(A \cap B) + P\left( A \cap \overline{B} ight) = P(A)$

b) $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

c) $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

d) $P(A) = P(A \cap B) + P\left( A \cap \overline{B} ight) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

e) Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,5 = 0,66$

Câu 29: Thông hiểu

Một thùng hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 4 chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong thùng sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp?

A.
$\frac{3}{29}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{4}{30}$
D.
$\frac{2}{15}$

Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”

Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là: $P\left( B|A ight)$

Từ bài ra ta có:

$n(\Omega) = 30.29 = 870$

$n(B) = 4.29 = 116 \Rightarrow P(B) = \frac{116}{870} = \frac{2}{15}$

$n(AB) = 4.3 = 12 \Rightarrow P(AB) = \frac{12}{870} = \frac{2}{145}$

$P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{2}{145}:\frac{2}{15} = \frac{3}{29}$

Câu 30: Thông hiểu

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{1}{2}$ .Đúng||Sai

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ . Đúng||Sai

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{7}{11}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P(A) = \frac{13}{22}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{1}{2}$ .Đúng||Sai

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ . Đúng||Sai

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{7}{11}$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $P(A) = \frac{13}{22}$ . Đúng||Sai

a) Ta có: B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên $P\left( A|B ight) = \frac{7}{11}$ .

c) Gọi $\overline{B}$ : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh.

Khi đó $P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{6}{11}$ .

d) Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = 0,5$

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là: $P(A)$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,5.\frac{7}{11} + 0,5.\frac{6}{11} = \frac{13}{22}$ .

Câu 31: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

A.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
B.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
C.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
D.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

Câu 32: Vận dụng

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} ight) = \frac{39}{2000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{1961}{2000}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm và trong đó có $38$ sản phẩm lỗi nên ta có:

$P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} ight.} ight) = \frac{{38}}{{1999}}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{1961}{1999}$ .

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi nên ta có:

$P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{39}{1999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{1960}{1999}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$= \frac{38}{1999}.\frac{39}{2000} + \frac{39}{1999}.\frac{1961}{2000} \approx 0,02$ .

Đáp số: $0,02$ .

Câu 33: Vận dụng

Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

Đáp án: 0,48

Đáp án là:

Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?

Đáp án: 0,48

Xét các biến cố: $A$ : “Chọn được bạn biết chơi bóng đá”

$B$ : “Chọn được bạn biết chơi cầu lông”

Khi đó $P(A) = \frac{27}{40} = 0,675$ ; $P(B) = \frac{25}{40} = 0,625$ ; $P(A \cup B) = 1$ .

Suy ra $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,675 + 0,625 - 1 = 0,3$ .

Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá, bạn đó biết chơi cầu lông là $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,625} = 0,48$ .

Đáp số: $0,48$ .

Câu 34: Thông hiểu

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông T. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó. Gọi $A$ là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”, và $B$ là biến cố “học sinh được chọn là nam”. Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng $0,6$ ; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là $0,3$ ; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là $0,15$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$P(A) = 0,24$
B.
$P(A) = 0,44$
C.
$P(A) = 0,32$
D.
$P(A) = 0,5$

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ P\left( A|B ight) = 0,3 \\ P\left( A|\overline{B} ight) = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,3 + 0,4.0,15 = 0,24$ .

Câu 35: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

A.
$P(B) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(B) = P(B).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$
C.
$P(B) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Câu 36: Vận dụng

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là

A.
0,9925.
B.
0,9825
C.
0,9725
D.
0,9625

Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

$\overline{B}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

$\overline{C}$ là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

$P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15$

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline{C} = \overline{A.B}$

$P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075$ .

$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.$

Câu 37: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55$ . Tính $P\left( \overline{A} \cap B ight)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,4$
C.
$0,3$
D.
$0,35$

Ta có:

$P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,65 - 0,25 = 0,4$ .

Câu 38: Nhận biết

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{16}$
B.
$\frac{12}{25}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{19}{20}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}$

Câu 39: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Biết $P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;$ $P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6$ . Tính $P(B)$ ?

A.
$0,36$
B.
$0,57$
C.
$0,48$
D.
$0,26$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57$

Câu 40: Vận dụng cao

Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách $20m$ với xác suất trúng bia là $0,5$ , nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách $30m$ , nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách $40m$ . Tính xác suất để M bắn trúng bia?

A.
$0,63$
B.
$0,45$
C.
$0,58$
D.
$0,75$

Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”

Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”

Ta có: $P(A) = 0,5$

Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}P\left( B|\overline{A} ight) = \dfrac{20.0,5}{30} = \dfrac{1}{3} \\P\left( C|\overline{A}.\overline{B} ight) = \dfrac{20.0,5}{40} =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

Ta có sơ đồ cây như sau:

Xác suất để M bắn trúng bia là:

$P(A) + P\left( \overline{A}B ight) + P\left( \overline{A}\overline{B}C ight) = 0,5 + 0,5.\frac{1}{3} + 0,5.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = 0,75$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!