Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
Gọi Bi: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)
H: "Hệ thống hoạt động tốt"
Theo giả thiết, ta thấy rằng P(Bi) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và
Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:
.
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Xác định biến cố
: "biến cố
với điều kiện biết
đã xảy ra".
Ta có:
Khi biến cố xảy ra, thì không gian mẫu mới là
.
Khi đó, biến cố
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.
Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có: .
Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?
Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ
Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất P(A)
Nếu gọi Ai là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).
Khi đó ta có:
Vì vậy các xác suất cần tìm là:
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là
và dự án 2 là
. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi
lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a)
là hai biến độc lập. Đúng||Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là
. Đúng||Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là
. Sai|| Đúng
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án
. Sai|| Đúng
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là và dự án 2 là
. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi
lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) là hai biến độc lập. Đúng||Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là . Đúng||Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là . Sai|| Đúng
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án . Sai|| Đúng
Ta có:
a) là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi
Mà nên
không độc lập.
b) Gọi C là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án
.
c) Gọi D là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1
.
d) Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”
.
Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn
theo tỉ lệ
. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là
. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.
Gọi ” Để một khách ở phòng điều hòa bị hỏng”
Gọi lần lượt là các biến cố Khách nghỉ tại ba khách sạn
.
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất của biến cố B là
.Đúng||Sai
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó
. Đúng||Sai
c) Gọi
: “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì
. Sai||Đúng
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là
. Đúng||Sai
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất của biến cố B là .Đúng||Sai
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó . Đúng||Sai
c) Gọi : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì
. Sai||Đúng
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là . Đúng||Sai
a) Ta có: B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên .
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên .
c) Gọi : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh.
Khi đó .
d) Ta có:
Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có
về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn
số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là
. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là
. Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè.
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay
E2 là biến cố tan học đi chơi game
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là:
Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra
sản phẩm trong đó có
sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,02
Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra sản phẩm trong đó có
sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,02
Xét các biến cố:
: Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.
Khi đó, ta có: ;
.
: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.
Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn sản phẩm và trong đó có
sản phẩm lỗi nên ta có:
, suy ra
.
Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn sản phẩm trong đó có
sản phẩm lỗi nên ta có:
, suy ra
.
Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:
.
Đáp số: .
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có
Tìm P(B) từ:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Cách 1:
Mà
Do đó:
Cách 2: Ta có:
.
Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là
. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là
, khi trúng 2 phát đạn là
, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?
Gọi : "Khẫu pháo thứ
bắn trúng"
)
: "Mục tiêu trúng
phát đạn"
: "Mục tiêu bị tiêu diệt".
Ta có: là một hệ đầy đủ các biến cố và
Ta có các giả thiết sau:
Từ đó, ta tính được:
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Khi đó ta có:
Do đó
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Tính xác suất có điều kiện
?
Ta có:
Vậy
Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.
Gọi là "trong 5 sản phẩm cuối có
chính phẩm".
Khi đó hệ tạo thành hệ đầy đủ
xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.
Suy ra
xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.
xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô
chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô
chính, 1 phế từ lô II
xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô
chính, 2 phế từ lô
hoặc 1 chính, 1 phế từ lô
chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô
chính từ lô II
xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô
chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô
chính từ lô II
xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô
chính từ lô II
Gọi là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ
Suy ra .
Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau. Hỏi xác suất hai đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu?
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.
Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng: (trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).
Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái” Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”
Ta có:
Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:
Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là: .
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là
; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là
, trong số người không nghiện thuốc lá là
. Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh T thì khả năng mà đó bị bệnh phổi là bao nhiêu
?
Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”
Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”
Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.
Ta cần tính
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là
. Biết rằng mỗi chỗ người đó thả câu 3 lần thì chỉ có một lần câu được cá. Người đó đã câu được một con cá. Tính xác suất để con cá câu được đó ở chỗ thứ nhất.
Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.
Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.
Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.
Theo công thức Bayes, ta có:
P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.
Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là , nên
P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.
Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là .
P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:
Trong đó:
là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là
và
nên
là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là
.
Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:
Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là:
Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
. Tính xác suất để
là một số nguyên dương.
Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
Biến cố : "
là một số nguyên dương".
+ Giả sử là một số nguyên dương
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất để viên đạn đó trúng đích.
Gọi A là biến cố "Viên đạn trúng đích".
là biến cố "Chọn xạ thủ loại I bắn".
là biến cố "Chọn xạ thủ loại II bắn".
Ta có tạo thành họ đầy đủ các biến cố.
Áp dụng công thức ta có:
Hộp I: 5 bi trắng và 5 bi đen. Hộp II: 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi từ hộp I sang hộp II. Sau đó lấy ra 1 viên bi. Giả sử lấy được bị trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I?
Gọi A là biến cố lấy được bi trắng
Gọi K1 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I
Gọi K2 là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II
Ta xác định được:
Khi đó:
Vậy xác suất để lấy được bi trắng của hộp I là:
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.
Dễ thấy . Theo công thức Bayes ta có:
Trong hộp có 20 nắp chai Cocacola trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng”. Bạn A được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là:
Gọi A là biến cố “nắp đầu trúng thưởng”
Gọi B là biến cố “nắp thứ hai trúng thưởng”
Ta đi tìm giá trị
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng do đó:
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng, do đó:
Ta có:
.
Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”?
Gọi H1, H2, H3 lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:
H1 – người đó trả lời “sẽ mua”
H2 – người đó trả lời “có thể mua”
H3 – người đó trả lời “không mua”
H1, H2, H3 là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng
Ta xác định được:
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
.
Theo công thức Bayes:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
.
a)
Sai|| Đúng
b)
Đúng||Sai
c)
Sai|| Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho hai biến cố và
là hai biến cố độc lập, với
.
a) Sai|| Đúng
b) Đúng||Sai
c) Sai|| Đúng
d) Đúng||Sai
Ta có:
Do hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
và
;
và
;
và
độc lập với nhau.
a) và
là hai biến cố độc lập nên:
b) và
là hai biến cố độc lập nên:
c) và
là hai biến cố độc lập nên:
d) và
là hai biến cố độc lập nên:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là
; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là
, trong số người không nghiện thuốc lá là
. Tính xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi?
Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”
Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”
Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.
Ta cần tính
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là
Theo công thức Bayes, ta có:
.
Như vậy trong số người bị bệnh phổi của tỉnh T có khoảng số người nghiện thuốc lá.