Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 6. Xác suất có điều kiện được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp \left\{ 3^{k} \mid k \in N,1 \leq k \leq 10 ight\}. Tính xác suất để \log_{a}b là một số nguyên dương.

    Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp \left\{ 3^{k} \mid k \in N,1 \leq k \leq 10 ight\}

    Biến cố A: "\log_{a}b là một số nguyên dương".

    \Rightarrow n_{\Omega} = 10.9 = 90

    + Giả sử a = 3^{k_{1}},b = 3^{k_{2}}\left( k_{1} eq k_{2} ight) \Rightarrow log_{a}b = log_{3^{k_{1}}}\left( 3^{k_{2}} ight) = \frac{k_{2}}{k_{1}} là một số nguyên dương

    k_{2}

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2
    k_{1} 1;2;5 1;3 1;2;4

    1

    		 1;2;3

    1

    1;2

    1

    1

    \Rightarrow n_{A} = 17 \Rightarrow P(A) = \frac{n_{A}}{n_{\Omega}} = \frac{17}{90}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với 0 < P(A) < 1. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

  • Câu 3: Nhận biết

    Nếu hai biến cố A;B thỏa mãn P(A) = 0,3;P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,4 thì P\left( B|A ight) bằng bao nhiêu?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,6.0,4}{0,3} = \frac{4}{5}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52\%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia lớp học bổ trợ kiến thức lần lượt là 18\% và 15\%. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia lớp học bổ trợ kiến thức. Tính xác suất học sinh đó là nam?

    Gọi A_{1};A_{2} lần lượt là các biến cố gặp được một học sinh nữ, một học sinh nam

    Nên 1 2 A A, là hệ biến cố đầy đủ.

    Gọi B “Học sinh đó tham gia lớp học bổ trợ kiến thức”

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1} ight) = 52\% = 0,52 \\ P\left( A_{2} ight) = 1 - 0,52 = 0,48 \\ P\left( B|A_{1} ight) = 18\% = 0,18 \\ P\left( B|A_{2} ight) = 15\% = 0,15 \\ \end{matrix} ight.

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,18.0,52 + 0,15.0,48 = \frac{207}{1250} = 0,1656

    Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức Bayes:

    P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} = \frac{0,15.0,48}{0,1656} = \frac{10}{23}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight).

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?

    Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",

    D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".

    Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} P\left( {{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{4}{7};P\left( {{D_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{3}{7} \hfill \\ P\left( {{X_1}{D_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{3}{7};P\left( {{X_1}{X_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".

    Ta xác định được: \left\{ \begin{gathered} P\left( {A|{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6};P\left( {A|{D_1}{X_2}} ight) = \frac{3}{6} \hfill \\ P\left( {A|{X_1}{D_2}} ight) = \frac{5}{6};P\left( {A|{X_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

    P(A) = P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)

    + P\left( X_{1}D_{2} ight)P\left( A|X_{1}D_{2} ight) + P\left( X_{1}X_{2} ight)P\left( A|X_{1}X_{2} ight)

    = \frac{4}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} + \frac{4}{6}.\frac{3}{7}.\frac{3}{6} + \frac{2}{6}.\frac{3}{7}.\frac{5}{6} + \frac{2}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} = \frac{9}{14}

    Ta cần tính xác suất B = \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)|A

    \Rightarrow P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}

    = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}

    = \frac{P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)}{P(A)}

    = \dfrac{{\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{6}.\dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{6}}}{{\dfrac{9}{{11}}}} = \dfrac{{50}}{{81}} \approx 61,73\%

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4. Tính P\left( B|A ight)?

    Ta có: P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8

    Áp dụng công thức Bayes:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238 .

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho A và B là các biến cố của phép thử T. Biết rằng P(A) > 0;0 < P(B) < 1. Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}

  • Câu 9: Nhận biết

    Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

    Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

    Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

    Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì P\left( B|A ight) = \frac{1}{6}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà giáo viên đã rút. Tính xác suất để học sinh A trả lời được câu hỏi trong phiếu.

    Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1

    E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2

    E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ

    Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc B=(E_1∩B)∪(E_2∩B)

    => P(B) = P(E_1).P(B|E_1) + P(E_2).P(B|E_2)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} P\left( {{E_1}} ight) = \frac{{C_1^1}}{{C_2^1}} = \frac{1}{2};P\left( {{E_2}} ight) = \frac{{C_1^1}}{{C_2^1}} = \frac{1}{2} \hfill \\ P\left( {B|{E_1}} ight) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{2}{3} \hfill \\ P\left( {B|{E_2}} ight) = \frac{{C_8^1}}{{C_9^1}} = \frac{8}{9} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Thay vào công thức ta tính được P(B) = \frac{7}{9}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2\% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có 6\% những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên một người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

    Xét các biến cố:

    A: "Người được chọn mắc bệnh X"

    B: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".

    Theo giả thiết ta có:

    P(A) = 0,002 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,002 = 0,998

    P\left( B|A ight) = 1;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,06

    Theo công thức Bayes, ta có:

    P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}

    \Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,002.1}{0,002.1 + 0,998.0,06} \approx 0,03

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1000 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,02

    Đáp án là:

    Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1000 sản phẩm trong đó có 15 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,02

    Xét các biến cố:

    A_{1}: Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

    Khi đó, ta có: P\left( A_{1} ight) = \frac{15}{1000}; P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}.

    A_{2}: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

    Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn 999 sản phẩm và trong đó có 14 sản phẩm lỗi nên ta có: P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{14}{999}, suy ra P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{985}{999}.

    Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn 999 sản phẩm trong đó có 15sản phẩm lỗi nên ta có: P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{15}{999}, suy ra P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{328}{333}.

    Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

    P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)

    = \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} + \frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02.

    Đáp số: 0,02.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông T. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó. Gọi A là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”, và B là biến cố “học sinh được chọn là nam”. Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng 0,6; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0,3; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0,15. Tính P(A)?

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ P\left( A|B ight) = 0,3 \\ P\left( A|\overline{B} ight) = 0,15 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,6.0,3 + 0,4.0,15 = 0,24.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có 65\% bóng đèn Led là màu trắng và 35\% bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là 2\% và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là 3\%. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên một bóng đèn Led từ cửa hàng. Xác suất để khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng bằng bao nhiêu?

    Xét các biến cố:

    A: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng"

    B: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".

    Ta có:

    P(A) = 0,65 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,65 = 0,35

    P\left( B|A ight) = 1 - P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - 0,02 = 0,98

    P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 1 - 0,03 = 0,97

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765

  • Câu 15: Vận dụng

    Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là 0,8. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán đúng?

    Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, \overline{A} tạo thành hệ đầy đủ

    Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".

    Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.

    Tìm P(B) từ:

    P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)}{P(B)}

    \Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}

    \Rightarrow 0,9 = \frac{0,8 - 0,5\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}

    \Leftrightarrow P(B) = 0,75

    Gọi C là "chẩn đoán đúng", thì C xảy ra khi người bị bệnh được chẩn đoán có bệnh hoặc người không bị bệnh được chẩn đoán không bị bệnh. Như vậy

    C = AB + \overline{A}\overline{B}

    Hiển nhiên 2 biến cố AB;\overline{A}\overline{B}xung khắc, nên ta có:

    P(C) = P\left( AB + \overline{A}\overline{B} ight)

    = P(B)P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight)P\left( \overline{A}|\overline{B} ight)

    = 0,75.0,9 + 0,25.0,5 = 0,8

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B với 0 < P(A) < 1. Biết P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6. Tính P(B)?

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57

  • Câu 17: Vận dụng

    Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0,5. Thống kê cho thấy 34\% cặp sinh đôi là trai; 30\% cặp sinh đôi là gái và 36\% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.

    Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”

    B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”

    Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên P\left( B|A ight) = 1

    Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên P\left( B|\overline{A} ight) = P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = \frac{1}{2}

    Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:

    P(B) = 0,3 + 0,34 = 0,64

    \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,36

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(B) = P\left( B|A ight).P(A) + P\left( B|\overline{A} ight).P\left( \overline{A} ight)

    = P\left( B|A ight).P(A) + P\left( B|\overline{A} ight).\left\lbrack 1 - P(A) ightbrack

    Thay số ta xác định được P(A) = 0,28.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80\% số người thích đi bộ và 60\% thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?

    Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp"

    Theo giả thiết: P(A) = 0,8' P(B) = 0,6; P(A + B) = 1.

    Ta có:

    P\left( \bar{A}\mid B ight) = \frac{P\left( \bar{A}B ight)}{P(B)} = \frac{P(B) - P(AB)}{P(B)}

    = \frac{P(B) + \lbrack P(A + B) - P(A) - P(B)brack}{P(B)}

    = \frac{P(A + B) - P(A)}{P(B)} = \frac{1 - 0,8}{0,6} \simeq 0,3333

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025. Tính P\left( A|B ight)?

    Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nên P\left( A|B ight) = P(A) = 0,2024.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55. Tính P\left( \overline{A} \cap B ight)?

    Ta có:

    P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)

    \Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,65 - 0,25 = 0,4.

  • Câu 21: Vận dụng

    Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là

    Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

    B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

    C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

    Ta có \overline{A} là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

    \overline{B} là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

    \overline{C} là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

    P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15

    Vì A và B là hai biến cố độc lập nên \overline{A} và \overline{B} là hai biến cố độc lập

    Mà \overline{C} = \overline{A.B}

    P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075.

    \Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Có hai hộp thuốc:

    Hộp I có 2 vỉ thuốc ngoại và 5 vỉ thuốc nội.

    Hộp II có 3 vỉ thuốc ngoại và 6 vỉ thuốc nội.

    Từ hộp I và hộp II lần lượt lấy ra 2 vỉ thuốc và 1 vỉ thuốc. Từ 3 vỉ thuốc đó lại lấy ra một vỉ. Biết vỉ lấy ra sau cùng là thuốc ngoại. Tính xác suất để vỉ thuốc này thuộc hộp số II?

    Gọi A1 là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp I”

    A1 là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp II”

    Ta có A1, A2 lập thành hệ đầy đủ các biến cố khi đó ta xác định được:

    P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{3};P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{3}

    P\left( B|A_{1} ight) = \frac{2}{7};P\left( B|A_{2} ight) = \frac{3}{9}

    Gọi B là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là thuốc ngoại”.

    Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight)

    \Rightarrow P(B) = \frac{2}{3}.\frac{2}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{9} = \frac{19}{63}.

    Áp dụng công thức Bayes ta có:

    P\left( A_{2}|B ight) = \dfrac{P\left(A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight)}{P(B)} =\dfrac{\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{9}}{\dfrac{19}{63}} =\dfrac{7}{19}.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là P\left( \left. \ A ight|B ight). Phát biểu nào sau đây đúng?

    Công thức tính xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra\left( P(B) > 0 ight) là: P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Ba người thợ cùng may một loại áo với xác suất may được sản phẩm chất lượng cao tương ứng là 0,9; 0,9 ; 0,8. Biết một người khi may 8 áo thì có 6 sản phẩm chất lượng cao. Tìm xác suất để người đó may 8 áo nữa thì có 6 áo chất lượng cao?

    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ

    P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A \mid A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A \mid A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( A \mid A_{3} ight)

    = \frac{1}{3}.C_{8}^{6}{.0,9}^{6}.{0,1}^{2} + \frac{1}{3}.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0,1}^{2} + \frac{1}{3}.C_{8}^{6}.{0,8}^{6}.{0,2}^{2}\simeq 0,1971

    Gọi B là "trong 8 áo sau có 6 áo chất lượng cao". Vì trong không gian điều kiện A, hệ A_{i} vẫn là hệ đầy đủ.

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần có

    P(B) = P\left( A_{1} \mid A ight)P\left( B \mid A_{1}A ight) + P\left( A_{2} \mid A ight)P\left( B \mid A_{2}A ight) + P\left( A_{3} \mid A ight)P\left( B \mid A_{3}A ight)

    Ở đó:

    P\left( A_{1} \mid A ight) =\frac{P\left( A_{1} ight)P\left( A \mid A_{1} ight)}{P(A)} \simeq\dfrac{\dfrac{1}{3}.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0,1}^{2}}{0.1971} \simeq0,2516

    P\left( A_{2} \mid A ight) \simeq 0,2516,\ P\left( A_{3} \mid A ight) \simeq 0,4965

    Thay vào ta tính được

    P(A) \simeq 0,2516.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0.1}^{2} + 0.2516.C_{8}^{6}.{0,9}^{6}.{0,1}^{2}

    + 0,4965.C_{8}^{6}.{0,8}^{6}.{0,2}^{2}\simeq 0,2206

  • Câu 25: Thông hiểu

    Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?

    Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì \overline{M} là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".

    Có P(M) = 0,4 và P( \overline{M} ) = 0,6.

    Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:

    P(T | M) = 0,95; P(T |  \overline{M} ) = 0,8.

    Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra

    P\left( M|T ight) = \frac{P(M).P\left( T|M ight)}{P(T)} = \frac{0,38}{P(T)}

    P\left( \overline{M}|T ight) = \frac{P\left( \overline{M} ight).P\left( T|\overline{M} ight)}{P(T)} = \frac{0,48}{P(T)}

    Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60\% số viên bi màu đỏ đánh số và 50\% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.

    a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30. Đúng||Sai

    b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15. Đúng||Sai

    c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \frac{3}{5} Sai|| Đúng

    d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: \frac{7}{16}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một chiếc hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 60\% số viên bi màu đỏ đánh số và 50\% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.

    a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30. Đúng||Sai

    b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15. Đúng||Sai

    c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \frac{3}{5} Sai|| Đúng

    d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: \frac{7}{16}. Đúng||Sai

    a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 60\%.50 = 30

    b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 50\%.30 = 15

    c) Gọi A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

    Gọi B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”

    Lúc này ta đi tính P(A) theo công thức: P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} P\left( B ight) = \dfrac{{50}}{{80}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow P\left( {\overline B } ight) = 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8} \hfill \\ P\left( {A|B} ight) = 60\% = \dfrac{3}{5} \hfill \\ P\left( {A|\overline B } ight) = 100\% - 50\% = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow P(A) = \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{16}.

    d) A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra A là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”. Khi đó ta có:

    \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

  • Câu 27: Nhận biết

    Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

    Xét các biến cố:

    A: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

    B: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

    Xác định biến cố E = B|A: "biến cố B với điều kiện biết A đã xảy ra".

    Ta có:

    A = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}

    B = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}

    Khi biến cố B xảy ra, thì không gian mẫu mới là B.

    Khi đó, biến cố E = B|A = A \cap B = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là:

    Gọi A là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.

    Gọi B là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.

    Không gian mẫu n(Ω )= 10.9 cách chọn

    Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có cách 9 chọn, do đó: P(A) = \frac{7.9}{9.10} = \frac{7}{10}

    Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ trong 6 viên bi còn lại có 6 cách chọn, do đó: P(A \cap B) = \frac{7.6}{10.9} = \frac{7}{15}

    Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ: P\left(B|A ight) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} =\dfrac{\dfrac{7}{15}}{\dfrac{7}{10}} = \dfrac{2}{3}.

  • Câu 29: Vận dụng

    Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?

    Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ

    B là biến cố trong 3 chứng từ rút ra, chỉ có chứng từ thứ 3 không hợp lệ.

    Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất P(A), P(B).

    Nếu gọi Ai là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).

    Khi đó ta có: A = A_1 . A_2 và B = A_1 . A_2 . A_3

    Vì vậy các xác suất cần tìm là:

    P(A) = P\left( A_{1}.\ A_{2} ight) = P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight) = \frac{8}{10}.\frac{7}{9} = \frac{28}{45}

    P(B) = P\left( A_{1}.\ A_{2}.\overline{A_{3}} ight)

    = P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight).P\left( \overline{A_{3}}|A_{1}.\ A_{2} ight)

    = \frac{8}{10}.\frac{7}{9}.\frac{2}{8} = \frac{7}{45}

  • Câu 30: Vận dụng

    Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cua. Xác suất câu được cua ở mỗi chỗ lần lượt là 0,6;0,7;0,8. Biết rằng đến một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được một con cua. Tính xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất?

    Gọi A1, A2, A3 lần lượt là "cá câu được ở chỗ thứ i" thì hệ A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.

    Dễ thấy P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}

    Gọi H là "thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cua".

    Theo công thức toàn phần, ta có:

    P(H) = P\left( A_{1} ight)P\left( H|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( H|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( H|A_{3} ight)

    Ở đó \left\{ \begin{matrix} P\left( H|A_{1} ight) = 3.0,6^{1}.0,4^{2} \\ P\left( H|A_{2} ight) = 3.0,7^{1}.0,3^{2} \\ P\left( H|A_{3} ight) = 3.0,8^{1}.0,2^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P(H) = 0,191

    Theo công thức Bayes suy ra:

    P\left( A_{1}|H ight) = \frac{P\left( A_{1} ight).P\left( H|A_{1} ight)}{P(H)} \approx 0,5026

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}. Tính P(A.B)?

    Ta có: P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hai biến cố A;B với P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4. Giá trị P(A) bằng:

    Ta có: P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

    P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là 0,6 và dự án 2 là 0,7. Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:

    Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

    Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

    Theo đề bài ta có: \left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight. với 2 biến cố A; B độc lập.

    Gọi C là biến cố “Thắng thầu đúng 1 dự án” khi đó ta có:

    P(C) = P\left( A \cap \overline{B} + \overline{A} \cap B ight)

    = P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight)

    = P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight)P(B)

    = 0,6.0,3 + 0,4.0,7 = 0,46

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hai biến cố A và B, với P\left( \overline{A} ight) = 0,4;P(B) = 0,8;P(A \cap B) = 0,4.

    a) P(A) = 0,6;P\left( \overline{B} ight) = 0,2 Đúng||Sai

    b) P\left( A|B ight) = \frac{1}{2} Đúng||Sai

    c) P\left( \overline{B}|A ight) = \frac{2}{3} Sai|| Đúng

    d) P\left( \overline{A} \cap B ight) = \frac{3}{5} Sai|| Đúng

    Đáp án là:

    Cho hai biến cố A và B, với P\left( \overline{A} ight) = 0,4;P(B) = 0,8;P(A \cap B) = 0,4.

    a) P(A) = 0,6;P\left( \overline{B} ight) = 0,2 Đúng||Sai

    b) P\left( A|B ight) = \frac{1}{2} Đúng||Sai

    c) P\left( \overline{B}|A ight) = \frac{2}{3} Sai|| Đúng

    d) P\left( \overline{A} \cap B ight) = \frac{3}{5} Sai|| Đúng

    a) Ta có: \left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \Rightarrow P(A) = 1 - 0,4 = 0,6 \\ P(B) = 0,8 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,8 = 0,2 \\ P(A \cap B) = 0,4 \\ \end{matrix} ight.

    b) P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,8} = \frac{1}{2}

    c) P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight) = 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,4}{0,6} = \frac{1}{3}

    d) P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)

    \Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,8 - 0,4 = 0,4

  • Câu 35: Nhận biết

    Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.

    Xét các biến cố A: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"

    B: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"

    Xác định B|A là biến cố B khi biết A đã xảy ra?

    Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

    Do đó, không gian mẫu mới là

    \Omega' = A = \left\{ (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;1),(2;3),(2;4),(2;5) ight\}

    Biến cố B khi biết A đã xảy ra là:

    B|A = A \cap B = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3. Tính P\left( \overline{B}|A ight)?

    Ta có:

    P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)

    = 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}.

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

    Gọi E1 là biến cố phế phẩm máy số I

    \Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96

    E2 là biến cố phế phẩm máy số II

    \Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97

    E3 là biến cố phế phẩm máy số III

    \Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95

    Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

    Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

    P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96

    Gọi \overline{B} là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt

    Ta xác định được:

    P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,04

    P\left( E_{1}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{1} ight).P\left( \overline{B}|E_{1} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04} = 0,26

    P\left( E_{2}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{2} ight).P\left( \overline{B}|E_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04} = 0,3

    P\left( E_{3}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( \overline{B}|E_{3} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04} = 0,41

    Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hai hộp đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng như sau:

    Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ.

    Hộp thứ hai có 3 viên vi xanh và 7 viên bi đỏ.

    Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ.

    Gọi A1: “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

    Và A2: “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”

    Nên A_{1};A_{2} là hệ biến cố đầy đủ

    Gọi B: “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

    Ta có:

    P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{1}{3};P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{6}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{2}{3}

    P\left( B|A_{1} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{21}{55};P\left( B|A_{2} ight) = \frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{28}{55}

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần

    P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)

    \Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}.\frac{21}{55} + \frac{2}{3}.\frac{28}{55} = \frac{7}{15}

    Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes:

    P\left( A_{2}|B ight) = \dfrac{P\left(B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} =\dfrac{\dfrac{28}{55}.\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{15}} =\dfrac{8}{11}

  • Câu 39: Nhận biết

    Nếu hai biến cố A;B thỏa mãn P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25 thì P\left( B|A ight) bằng bao nhiêu?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là 78.Đúng||Sai

    b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là \frac{12}{15} Sai||Đúng

    c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là \frac{87}{175}. Đúng||Sai

    d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là \frac{52}{87}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là 78.Đúng||Sai

    b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là \frac{12}{15} Sai||Đúng

    c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là \frac{87}{175}. Đúng||Sai

    d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là \frac{52}{87}. Đúng||Sai

    a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là C_{13}^{2} = 78 cách.

    b) Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là C_{4}^{2} = 6 cách.

    Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là C_{10}^{2} = 45 cách

    Vậy xác suất chọn được hai phế phẩm là: \frac{6}{45} = \frac{2}{15}.

    c) Gọi A: “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

    Và B: “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

    Xác suất chọn hộp loại I là P(A) = \frac{2}{5} và xác suất chọn hộp loại II là P(B) = \frac{3}{5}

    Gọi C là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

    Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là P\left( C|A ight) = \frac{C_{13}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{26}{35}

    Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là P\left( C|B ight) = \frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{3}

    Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là:

    P(C) = P\left( C|A ight).P(A) + P\left( C|B ight).P(B)

    \Rightarrow P(C) = \frac{26}{35}.\frac{2}{5} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} = \frac{87}{175}

    d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

    P\left( A|C ight) = \dfrac{P\left( C|Aight).P(A)}{P(C)} = \dfrac{\dfrac{26}{35}.\dfrac{2}{5}}{\dfrac{87}{125}} =\dfrac{52}{87}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 38 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập