Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Câu 1: Nhận biết

Cho một hộp kín có 6 thẻ ngân hàng của BIDV và 4 thẻ ngân hàng của Techcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng của Techcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ngân hàng của BIDV

A.
$\frac{5}{9}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{7}{9}$
D.
$\frac{4}{9}$

Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng Techcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ngân hàng của BIDV “.

Ta cần tìm $P\left( A|B ight)$ Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Techcombank) nên $P\left( A|B ight) = \frac{4}{9}$ .

Câu 2: Thông hiểu

Trong một vùng dân cư, cứ $100$ người thì có $30$ người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là $60\%$ , trong số người không hút thuốc lá là $30\%$ . Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu?

A.
$0,203$
B.
$0,197$
C.
$0,221$
D.
$0,188$

Gọi A: "Người này hút thuốc"

B: "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có: $P(A) = 0,3;P\left( B|A ight) = 0,6;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,3$

Ta thấy rằng $A;\overline{A}$ là một hệ đầy đủ các biến cố.

Theo công thức xác suất toàn phần ta tính được:

$P(B) = P\left( B|A ight)P(A) + P\left( B|\overline{A} ight)P\left( \overline{A} ight)$

$= 0,6.0,3 + 0,3.0,7 = 0,39$

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,61$

Theo công thức Bayes, xác suất để người đó hút thuốc lá khi biết người đó không bị viêm họng là:

$P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{P\left( \overline{B}|A ight)P(A)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{0,4.0,3}{0,61} = 0,197$

Câu 3: Vận dụng

Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là $0,7$ . Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là $0,8$ . Nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là $0,2$ . Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả hai bài?

A.
$0,56$
B.
$0,14$
C.
$0,16$
D.
$0,65$

Gọi A: “Làm đúng bài thứ nhất”.

Và B: “Làm đúng bài thứ hai”

Khi đó biến cố: “làm đúng cả hai bài” là $AB$

Theo bài ta có: $P(A) = 0,7;P\left( B|A ight) = 0,8;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,2$

Do đó:

$P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,3$

$P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight) = 1 - 0,8 = 0,2$

$P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 1 - P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - 0,2 = 0,8$

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Vậy $P(AB) = 0,8.0,7 = 0,56$

Câu 4: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:

A.
$0,7$
B.
$0,4$
C.
$0,58$
D.
$0,52$

Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$

Câu 5: Vận dụng

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $2000$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} ight) = \frac{39}{2000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{1961}{2000}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm và trong đó có $38$ sản phẩm lỗi nên ta có:

$P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} ight.} ight) = \frac{{38}}{{1999}}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{1961}{1999}$ .

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $1999$ sản phẩm trong đó có $39$ sản phẩm lỗi nên ta có:

$P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{39}{1999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{1960}{1999}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$= \frac{38}{1999}.\frac{39}{2000} + \frac{39}{1999}.\frac{1961}{2000} \approx 0,02$ .

Đáp số: $0,02$ .

Câu 6: Vận dụng

Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm. Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người?

A.
$0,15$
B.
$0,4$
C.
$0,2$
D.
$0,32$

Gọi A_i: “người thứ i nhận được phiếu trúng thưởng” (i = 1, . . . , 10)

Ta có:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{10} = 0,2$

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}|A_{1} ight)P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}|\overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$\Rightarrow P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{9}.\frac{2}{10} + \frac{2}{9}.\frac{8}{10}$

$...$

$P\left( A_{10} ight) = 0,2$

Câu 7: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55$ . Tính $P(A \cap B)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,1$
C.
$0,15$
D.
$0,35$

Ta có:

$P\left( A \cap \overline{B} ight) + P(A \cap B) = P(A)$

$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) - P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,8 - 0,55 = 0,25$ .

Câu 8: Thông hiểu

Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là $0,8$ . Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?

A.
$75\%$
B.
$55\%$
C.
$68\%$
D.
$80\%$

Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, $\overline{A}$ tạo thành hệ đầy đủ

Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".

Ta có $P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.$

Tìm P(B) từ:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Rightarrow 0,9 = \frac{0,8 - 0,5\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Leftrightarrow P(B) = 0,75$

Câu 9: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}B ight)$ ?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{5}{12}$
D.
$\frac{1}{2}$

Ta có:

$P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow P\left( \overline{A}B ight) = P(B) - P(AB) = \frac{5}{12}$

Câu 10: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight)$ ?

A.
$\frac{5}{12}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{1}{4}$

Ta có: $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) = \frac{1}{4}$

Câu 11: Vận dụng

Một loài sinh vật có các kiểu gen AA, Aa, aa theo tỉ lệ: $1 : 2 : 1$ . Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen AA thì các cá thể con đều có kiểu gen AA. Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen Aa thì cá thể con có kiểu gen AA, Aa theo tỉ lệ $1 : 1$ . Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen aa thì cá thể con chỉ có các kiểu Aa. Chọn một cá thể con từ cá thể mẹ có kiểu gen AA. Tính xác suất ñể cá thể con có kiểu gen Aa.

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{3}{4}$

Gọi B là biến cố cá thể con có kiểu gen Aa

A₁ là biến cố cá thể bố có kiểu gen AA

A₂ là biến cố cá thể bố có kiểu gen Aa

A₃ là biến cố cá thể bố có kiểu gen aa

Hệ: A₁, A₂, A₃ là hệ đầy đủ

Ta xác định được:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{1}{4};P\left( A_{2} ight) = \frac{2}{4};P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{4}$

$P\left( B|A_{1} ight) = 0;P\left( B|A_{2} ight) = \frac{1}{2};P\left( B|A_{3} ight) = 1$

Do đó:

$P(B) = P\left( A_{1} ight)P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{4}.0 + \frac{2}{4}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Câu 12: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{B}|A ight)$ ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Ta có:

$P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight)$

$= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}$ .

Câu 13: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thoả mãn $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$ . Khi đó, $P(A \cap B)$ bằng:

A.
0,8.
B.
0,4.
C.
0,6.
D.
0,2.

A và B là hai biến cố độc lập nên

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2$

Câu 14: Vận dụng

Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó $91\%$ người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là $85\%$ , nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là $7\%$ . Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.

A.
$0,93$
B.
$0,0637$
C.
$0,8463$
D.
$0,7735$

Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.

Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”

Theo bài ta có: $P(A) = 0,91;P\left( B|A ight) = 0,07;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,85$

$P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,09$

$P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 1 - P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - 0,85 = 0,15$

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Vậy $P\left( A\overline{B} ight) = 0,91.0,93 = 0,8463$

Câu 15: Thông hiểu

Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ lô hàng đó. Tính xác suất để được linh kiện tốt?

A.
$0,85$
B.
$0,96$
C.
$0,92$
D.
$0,83$

Gọi E₁ là biến cố phế phẩm máy số I

$\Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96$

E₂ là biến cố phế phẩm máy số II

$\Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97$

E₃ là biến cố phế phẩm máy số III

$\Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95$

Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

$P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96$

Câu 16: Vận dụng cao

Một hãng hàng không cho biết rằng $5\%$ số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán $52$ ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được $50$ khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được $51$ vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng $10\%$ ?

A.
$92,10\%$
B.
$80,54\%$
C.
$96,67\%$
D.
$79,45\%$

Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé".

Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có $P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(C) = 0,8$

Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".

Biến cố $H|A$ xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H|B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến. Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp.

Do đó để cho đơn giản ta tìm $P\left(\overline{H} ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( \overline{H}|A ight) = 0,95^{52}.0,05^{0} +52.0,95^{51}.0,05^{1} \\P\left( \overline{H}|B ight) = 0,95^{51}.0,05^{0} \\P\left( \overline{H}|C ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( \overline{H} ight) =P(A).P\left( \overline{H}|A ight) + P(B).P\left( \overline{H}|Bight) + P(C).P\left( \overline{H}|C ight)$

$\Rightarrow P\left( \overline{H} ight)= 0,1\left( 0,95^{52}.0,05^{0} + 52.0,95^{51}.0,05^{1} ight)$ $+0,1.0,95^{51}.0,05^{0} + 0,8.0 \approx 0,033$

$\Rightarrow P(H) = 1 - P\left(\overline{H} ight) \approx 0,9667 = 96,67\%$

Câu 17: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

A.
$P(B) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(B) = P(B).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$
C.
$P(B) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Câu 18: Vận dụng

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là

A.
0,9925.
B.
0,9825
C.
0,9725
D.
0,9625

Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

$\overline{B}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

$\overline{C}$ là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

$P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15$

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline{C} = \overline{A.B}$

$P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075$ .

$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.$

Câu 19: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 30 học sinh, trong đó có 16 em học khá môn Toán, 25 em học khá môn Hóa học, 12 em học khá cả hai môn Toán và Hóa học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó học khá môn Toán biết rằng học sinh đó học khá môn Hóa học?

A.
$0,53$
B.
$0,75$
C.
$0,48$
D.
$0,84$

Gọi A: “Học sinh đó học khá môn Toán”

Và B: “Học sinh đó học khá môn Hóa học”

Theo bài ra ta có:

$P(A) = \frac{16}{30};P(B) = \frac{25}{30};P(AB) = \frac{12}{30}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{12}{25} = 0,48$

Câu 20: Thông hiểu

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm $M,N$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất $M$ và $N$ lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

$A$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $M$ ";

$B$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $N$ ".

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{A} ight) = 0,56;P\left( \overline{B} ight) = 0,62$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Đáp án là:

Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm $M,N$ khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất $M$ và $N$ lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:

$A$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $M$ ";

$B$ : "Cây phát triển bình thường trên lô đất $N$ ".

a) Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập. Đúng||Sai

b) Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap \overline{B}$ không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{A} ight) = 0,56;P\left( \overline{B} ight) = 0,62$ . Sai||Đúng

d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai

Các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B,A$ và $\overline{B}$ là độc lập vì hai lô đất khác nhau.

Hai biến cố $C = \overline{A} \cap B$ và $D = A \cap\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - 0,56 = 0,44 \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,62 = 0,38 \\ \end{matrix} ight.$ .

Xác suất để cây chi phát triển bình thường trên một lô đất là:

$P(C \cup D)$

$\ = P(C) + P(D) = P\left( \overline{A} ight) \cdot P(B) + P(A) \cdot P\left( \overline{B} ight)$

$\ = 0,44.0,62 + 0,56.0,38 = 0,4856$

Câu 21: Thông hiểu

Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có $20$ sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là $18, 16, 12$ . Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?

A.
$0,6033$
B.
$0,6125$
C.
$0,6354$
D.
$0,6271$

Gọi A_i là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A|A_{1} ight) = \frac{18}{20}.\frac{18}{20}$

$P\left( A|A_{2} ight) = \frac{16}{20}.\frac{16}{20}$

$P\left( A|A_{3} ight) = \frac{12}{20}.\frac{12}{20}$

Từ đó ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight).P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{18}{20}.\frac{18}{20} + \frac{1}{3}.\frac{16}{20}.\frac{16}{20} + \frac{1}{3}.\frac{12}{20}.\frac{12}{20} = \frac{181}{300} \approx 0,6033$

Câu 22: Nhận biết

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,3;P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,4$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{3}{5}$
C.
$\frac{4}{5}$
D.
$\frac{1}{5}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,6.0,4}{0,3} = \frac{4}{5}$

Câu 23: Nhận biết

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{16}$
B.
$\frac{12}{25}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{19}{20}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}$

Câu 24: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

A.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
B.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
C.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
D.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

Câu 25: Thông hiểu

Một chiếc hộp có $100$ viên bi, trong đó có $70$ viên bi có tô màu và $30$ viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac{3}{7}$ . Đúng||Sai

b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: $\frac{191}{330}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: $\frac{139}{330}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chiếc hộp có $100$ viên bi, trong đó có $70$ viên bi có tô màu và $30$ viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $\frac{3}{7}$ . Đúng||Sai

b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: $\frac{191}{330}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: $\frac{139}{330}$ . Đúng||Sai

Gọi A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”

Gọi B là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra B là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”.

a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là $P(B) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$ .

b) Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,3$

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{70.69}{70.99} = \frac{23}{33}$

$P\left( A|\overline{B} ight) = 1 - P\left( A|B ight) = 1 - \frac{23}{33} = \frac{10}{33}$

Sơ đồ cây cần tìm là:

c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{7}{10}.\frac{23}{33} + \frac{3}{10}.\frac{10}{33} = \frac{191}{330}$

d) A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu” suy ra A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{191}{330} = \frac{139}{330}$

Câu 26: Thông hiểu

Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt lấy từng bi. Giả sử lần đầu tiên lấy được bi trắng. Xác định xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ.

A.
$\frac{2}{9}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{8}{9}$
D.
$\frac{2}{5}$

Gọi A là biến cố lần một lấy được bi trắng.

Gọi B là biến cố lần hai lấy được bi đỏ.

Xác suất lần 2 lấy được bi đỏ khi lần 1 đã lấy được bi trắng là $P\left( B|A ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{8.9}{10.9} = \dfrac{4}{5} \\P(A \cap B) = \dfrac{8.2}{10.9} = \dfrac{8}{45} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$P\left( B|A ight) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{8}{45}}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{2}{9}$ .

Câu 27: Vận dụng cao

Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

A.
Máy II
B.
Máy III
C.
Máy I

Gọi E₁ là biến cố phế phẩm máy số I

$\Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96$

E₂ là biến cố phế phẩm máy số II

$\Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97$

E₃ là biến cố phế phẩm máy số III

$\Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95$

Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

$P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96$

Gọi $\overline{B}$ là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt

Ta xác định được:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,04$

$P\left( E_{1}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{1} ight).P\left( \overline{B}|E_{1} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04} = 0,26$

$P\left( E_{2}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{2} ight).P\left( \overline{B}|E_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04} = 0,3$

$P\left( E_{3}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( \overline{B}|E_{3} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04} = 0,41$

Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.

Câu 28: Thông hiểu

Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có $80\%$ học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là $0,6$ ; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là $0,7$ . Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

A.
$0,77$
B.
$0,52$
C.
$0,68$
D.
$0,81$

Gọi A: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”

Và B: “Học sinh đó đỗ đại học”.

Ta cần tính $P\left( A|B ight)$

Ta có: $P(A) = 0,8 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,2$

$P\left( B|A ight)$ là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = 0,6$

$P\left( B|\overline{A} ight)$ là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00

$\Rightarrow P\left( B|\overline{A} ight) = 0,7$

Thay vào công thức Bayes ta được:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,8.0,6}{0,8.0,6 + 0,2.0,7} \approx 0,77$

Câu 29: Vận dụng cao

Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hàng loạt một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.

A.
0,7124
B.
0,5256
C.
0,7336
D.
0,783

Xác suất để học sinh trả lời đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ và trả lời sai 1 câu là $\frac{3}{4}$ .

Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $\Rightarrow 10 - x$ là số câu trả lời sai.

Số điểm học sinh đạt được là: $5x - 2.(10 - x) = 7x - 20$

Học sinh nhận được điểm dưới 1 khi $7x - 20 < 1 \Leftrightarrow x < 3$

Mà $x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \in \{ 0;1;2\}$

Gọi $A_{i}(i = 0,1,2)$ là biến cố: "Học sinh trả lời đúng $i$ câu"

$A$ là biến cố "Học sinh nhận điểm dưới 1"

Suy ra $A = A_{0} \cup A_{1} \cup A_{2}$ và $P(A) = P\left( A_{0}ight) + P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)$

Mà $P\left( A_{i} ight) = C_{10}^{i}.\left( \frac{1}{4} ight)^{i}.\left( \frac{3}{4} ight)^{10 - i}$ nên $P(A) = \sum_{i = 0,}^{2}C_{10}^{i}.\left( \frac{1}{4} ight)^{i}.\left( \frac{3}{4} ight)^{10 - i} = 0,5256$

Câu 30: Vận dụng

Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 phân xưởng, phân xưởng 1 sản xuất 50% tổng số bóng đèn, phân xưởng 2 sản xuất 20% tổng số bóng đèn, phân xưởng 3 sản xuất 30% tổng số bóng đèn. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các phân xưởng là 2%, 3%, 4%. Tính tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy?

A.
$2,8\%$
B.
$5,2\%$
C.
$3,5\%$
D.
$2,3\%$

Để xác định tỷ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy, ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng của nhà máy.

Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm

Gọi $A_{1},A_{2},A_{3}$ lần lượt là các biến cố " Chọn được sản phẩm của phân xưởng 1,2,3".

Ta có $A_{1},A_{2},A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ.

$P\left( A_{1} ight) = 0.5,P\left( A_{2} ight) = 0.2,P\left( A_{3} ight) = 0.3$

Gọi B là biến cố "Lấy được phế phẩm" ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight)P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( B|A_{3} ight)$

$= 0.5 \times 0.02 + 0.2 \times 0.03 + 0.3 \times 0.04 = 2.8\%$

Vậy tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là $2.8\%$

Câu 31: Nhận biết

Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.

Xét các biến cố $A$ : "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"

$B$ : "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"

Xác định $B|A$ là biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra?

A.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
B.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3) ight\}$
C.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;3),(2;5) ight\}$
D.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

Do đó, không gian mẫu mới là

$\Omega' = A = \left\{ (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;1),(2;3),(2;4),(2;5) ight\}$

Biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra là:

$B|A = A \cap B = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Câu 32: Vận dụng cao

Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.

A.
$70,23\%$
B.
$60,34\%$
C.
$72,66\%$
D.
$65,07\%$

Gọi $A_{i}$ là "trong 5 sản phẩm cuối có $i$ chính phẩm".

Khi đó hệ $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ tạo thành hệ đầy đủ

$A_{0}$ xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.

Suy ra $P\left( A_{0} ight) = 0$

$A_{1}$ xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.

$P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{225}$

$A_{2}$ xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II

$P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{14}{225}$

$A_{3}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô $II$ hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{25}$

$A_{4}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,2$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{4} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{98}{225}$

$A_{5}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{5} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{49}{225}$

Gọi $A$ là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ

$P(\bar{A}) = \sum_{i = 0}^{5}\mspace{2mu}\mspace{2mu} P\left( A_{i} ight)P\left( \bar{A} \mid A_{i} ight)$

$= \frac{C_{5}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot 0 + \frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{1}{225} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{14}{225} + \frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{7}{25} + 0 \cdot \frac{98}{225} + 0 \cdot \frac{49}{225}$

$\simeq 0.4933$

Suy ra $P(A) = 1 - P(\bar{A}) \simeq 0,6507$ .

Câu 33: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?

A.
$0,238$
B.
$0,335$
C.
$0,412$
D.
$0,187$

Ta có: $P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$

Áp dụng công thức Bayes:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238$ .

Câu 34: Thông hiểu

Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng $0,84$ và $0,16$ . do có nhiễu trên đường truyền nên $\frac{1}{6}$ tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn $\frac{1}{8}$ tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?

A.
$\frac{5}{6}$
B.
$\frac{35}{36}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{13}{36}$

Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".

Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.

$P(A) = 0,84;P(B) = 0,16$

Gọi C là "thu được tín hiệu A". Khi đó: $P\left( C|A ight) = \frac{5}{6};P\left( C|B ight) = \frac{1}{8}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(C) = P(A).P\left( C|A ight) + P(B).P\left( C|B ight)$

$\Rightarrow P(C) = 0,84.\frac{5}{6} + 0,16.\frac{1}{8} = 0,72$ .

Ta cần tính P(A|C). Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( A|C ight) = \frac{P(A)P\left(C|A ight)}{P(C)} = \dfrac{0,84.\dfrac{5}{6}}{0,72} =\dfrac{35}{36}$

Câu 35: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55$ . Tính $P\left( \overline{A} \cap B ight)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,4$
C.
$0,3$
D.
$0,35$

Ta có:

$P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,65 - 0,25 = 0,4$ .

Câu 36: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 37: Thông hiểu

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight)$ ?

A.
$P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = 2p^{2} - p + 1$
B.
$P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = 3p^{2} + 3p - 1$
C.
$P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = 3p^{2} - 3p + 1$
D.
$P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = p^{2} + p + 3$

Ta có:

$P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = P\left( A\overline{B} ight) - P\left( A\overline{B}C ight)$

$= p(1 - p) - p^{2} = p - 2p^{2}$

Vì A, B, C có vai trò như nhau nên $P\left( A\overline{B}C ight) = P\left( AB\overline{C} ight)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = P\left( \overline{B}\overline{C} ight) - P\left( A\overline{B}\overline{C} ight)$

$= (1 - p)^{2} - p - 2p^{2} = 3p^{2} - 3p + 1$

Câu 38: Thông hiểu

Một bình đựng 5 viên bi (cùng kích cỡ và đồng chất) khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{1}{5}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{2}{5}$
D.
$\frac{1}{2}$

Cách 1:

Gọi A là biến cố “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”

Gọi B là biến cố “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”

Ta đi tính $P\left( B|A ight)$ . Ta có: $P(A) = \frac{3.4}{5.4} = \frac{3}{5};P(A \cap B) = \frac{3.2}{5.4} = \frac{3}{10}$

Do đó: $P\left( B|A ight) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{3}{5}} =\dfrac{1}{2}$

Cách 2:

Gọi C là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”.

Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2.

Do đó, xác suất cần tìm là $P(C) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Câu 39: Thông hiểu

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( AB\overline{C} ight)$ ?

A.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2}$
B.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2}$
C.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2} - p$
D.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2} - 1$

Ta có:

$P\left( AB\overline{C} ight) = P(AB) - P(ABC) = p^{2}$ .

Câu 40: Thông hiểu

Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng $\frac{5}{8}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng $\frac{3}{8}$ . Đúng||Sai

c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng $\frac{2}{5}$ . Đúng||Sai

d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng $\frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng $\frac{5}{8}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng $\frac{3}{8}$ . Đúng||Sai

c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng $\frac{2}{5}$ . Đúng||Sai

d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng $\frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

Gọi $B_{1}$ là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”

Gọi $B_{2}$ là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”

a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”

Ta có: $P(A) = P\left( B_{1} ight).P\left( A|B_{1} ight) + P\left( B_{2} ight).P\left( A|B_{2} ight)$

Mà $\left\{ \begin{matrix}P\left( B_{1} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( B_{2} ight) = \dfrac{1}{2}\\P\left( A|B_{1} ight) = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} \\P\left( A|B_{2} ight) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $P(A) = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}$

b) Ta có: $P(A) = \frac{5}{8} \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

c) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( B_{2} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( A|B_{2} ight) =\dfrac{1}{2} \\P(A) = \dfrac{5}{8} \\\end{matrix} ight.$

$P\left( B_{2}|A ight) = \frac{P\left( B_{2} ight).P\left( A|B_{2} ight)}{P(A)} = \frac{0,5.0,5}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{5}{8};P\left( \overline{A} ight) = \dfrac{3}{8} \\P\left( B_{1} ight) = \dfrac{1}{2};P\left( \overline{A}|B_{1} ight) =\dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$

$P\left( B_{1}|A ight) = \frac{P\left(B_{1} ight).P\left( \overline{A}|B_{1} ight)}{P\left( \overline{A}ight)} = \frac{0,5.0,25}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{1}{3}$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!