Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Câu 1: Vận dụng

Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là $0,7;0,8;0,9$ . Biết rằng mỗi chỗ người đó thả câu 3 lần thì chỉ có một lần câu được cá. Người đó đã câu được một con cá. Tính xác suất để con cá câu được đó ở chỗ thứ nhất.

A.
$0,574$
B.
$0,796$
C.
$0,388$
D.
$0,432$

Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.

Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.

Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.

Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là $0,8$ , nên $P\left( B|A ight) = 0,8$

P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.

Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là $\frac{1}{3}$ .

P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Trong đó:

$P\left( B|\overline{A} ight)$ là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là $0,9$ và $0,7$ nên $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,9.0,7$

$P\left( \overline{A} ight)$ là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là $\frac{2}{3}$ .

Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:

$0,8 = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{150}}.P\left( {A|B} ight)}}{{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow P\left( {A|B} ight) \approx 0,388$

Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là: $0,388$

Câu 2: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,65$
C.
$0,55$
D.
$0,5$

Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$

Câu 3: Vận dụng

Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất của biến cố C: “Hai viên bi lấy ra khác màu”

A.
$0,46$
B.
$0,32$
C.
$0,15$
D.
$0,28$

Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”

Gọi B là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.

Ta có:

$P(A) = \frac{4}{10} = 0,4 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,6$

$P\left( B|A ight) = \frac{4}{10} = 0,4 \Rightarrow P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight) = 0,6$

$P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{5}{10} = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = 1 - P\left( B|\overline{A} ight) = 0,5$

Ta có sơ đồ cây:

Dựa vào sơ đồ cây, ta có: $P(C) = P(AB) + P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 0,16 + 0,3 = 0,46$

Câu 4: Thông hiểu

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là $52\%$ . Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia lớp học bổ trợ kiến thức lần lượt là $18\%$ và $15\%$ . Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia lớp học bổ trợ kiến thức. Tính xác suất học sinh đó là nam?

A.
$\frac{207}{1230}$
B.
$\frac{207}{1250}$
C.
$\frac{10}{27}$
D.
$\frac{10}{23}$

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là các biến cố gặp được một học sinh nữ, một học sinh nam

Nên 1 2 A A, là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B “Học sinh đó tham gia lớp học bổ trợ kiến thức”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1} ight) = 52\% = 0,52 \\ P\left( A_{2} ight) = 1 - 0,52 = 0,48 \\ P\left( B|A_{1} ight) = 18\% = 0,18 \\ P\left( B|A_{2} ight) = 15\% = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,18.0,52 + 0,15.0,48 = \frac{207}{1250} = 0,1656$

Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức Bayes:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} = \frac{0,15.0,48}{0,1656} = \frac{10}{23}$

Câu 5: Nhận biết

Một đợt xổ số phát hành $N$ vé, trong đó có $M$ vé có thưởng. Một người mua $t$ vé $(r < N - M)$ . Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng

A.
$1 - \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
B.
$\frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
C.
$1 - \frac{C_{N}^{t}}{C_{N + M}^{t}}$
D.
$\frac{C_{N}^{t}}{C_{N + M}^{t}}$

Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.

$\overline{A}$ : “người đó không có vé trúng thưởng”

Ta có: $P\left( \overline{A} ight) = \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$ khi đó $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$

Câu 6: Thông hiểu

Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà giáo viên đã rút. Tính xác suất để học sinh A trả lời được câu hỏi trong phiếu.

A.
$\frac{7}{9}$
B.
$\frac{8}{9}$
C.
$\frac{2}{3}$
D.
$\frac{1}{3}$

Gọi E₁ là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1

E₂ là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2

E₁, E₂ tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ

Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc $B=(E_1∩B)∪(E_2∩B)$

$=> P(B) = P(E_1).P(B|E_1) + P(E_2).P(B|E_2)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {{E_1}} ight) = \frac{{C_1^1}}{{C_2^1}} = \frac{1}{2};P\left( {{E_2}} ight) = \frac{{C_1^1}}{{C_2^1}} = \frac{1}{2} \hfill \\ P\left( {B|{E_1}} ight) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{2}{3} \hfill \\ P\left( {B|{E_2}} ight) = \frac{{C_8^1}}{{C_9^1}} = \frac{8}{9} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Thay vào công thức ta tính được $P(B) = \frac{7}{9}$ .

Câu 7: Nhận biết

Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

A.
$\frac{2}{6}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{2}{3}$

Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( B|A ight) = \frac{1}{6}$ .

Câu 8: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 30 học sinh, trong đó có 16 em học khá môn Toán, 25 em học khá môn Hóa học, 12 em học khá cả hai môn Toán và Hóa học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó học khá môn Toán biết rằng học sinh đó học khá môn Hóa học?

A.
$0,53$
B.
$0,75$
C.
$0,48$
D.
$0,84$

Gọi A: “Học sinh đó học khá môn Toán”

Và B: “Học sinh đó học khá môn Hóa học”

Theo bài ra ta có:

$P(A) = \frac{16}{30};P(B) = \frac{25}{30};P(AB) = \frac{12}{30}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{12}{25} = 0,48$

Câu 9: Thông hiểu

Một hộp có 4 viên bi, mỗi viên có thể là màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để lấy được hai bi trắng.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{3}{5}$

Số lượng bi trắng và đen trong hộp chỉ có thể xảy ra 1 trong 5 trường hợp sau:

H₄: 4 bi trắng $\Rightarrow P\left( H_{4} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₃: 3 bi trắng; 1 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₂: 2 bi trắng; 2 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₁: 1 bi trắng; 3 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{1} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

H₀: 0 bi trắng; 4 bi đen $\Rightarrow P\left( H_{0} ight) = \frac{1}{5} = 0,2$

Gọi biến cố A là biến cố lấy được 2 bi trắng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( A|H_{4} ight) = 1;P\left( A|H_{3} ight) =\dfrac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{2} \\P\left( A|H_{2} ight) = \dfrac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{6} \\P\left( A|H_{1} ight) = 0;P\left( A|H_{0} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

$P(A) = P\left( H_{0} ight).P\left( A|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight)P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight)P\left( A|H_{2} ight)$

$+ P\left( H_{3} ight)P\left( A|H_{3} ight) + P\left( H_{4} ight)P\left( A|H_{4} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,2.0 + 0,2.0 + 0,2.\frac{1}{6} + 0,2.\frac{1}{2} + 0,2.1 = \frac{1}{3}$

Câu 10: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 11: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?

A.
$0,238$
B.
$0,335$
C.
$0,412$
D.
$0,187$

Ta có: $P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$

Áp dụng công thức Bayes:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238$ .

Câu 12: Vận dụng cao

Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?

A.
Máy II
B.
Máy III
C.
Máy I

Gọi E₁ là biến cố phế phẩm máy số I

$\Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96$

E₂ là biến cố phế phẩm máy số II

$\Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97$

E₃ là biến cố phế phẩm máy số III

$\Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95$

Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

$P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96$

Gọi $\overline{B}$ là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt

Ta xác định được:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,04$

$P\left( E_{1}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{1} ight).P\left( \overline{B}|E_{1} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{80}^{1}.0,04}{0,04} = 0,26$

$P\left( E_{2}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{2} ight).P\left( \overline{B}|E_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{120}^{1}.0,03}{0,04} = 0,3$

$P\left( E_{3}|\overline{B} ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( \overline{B}|E_{3} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{C_{100}^{1}.0,05}{0,04} = 0,41$

Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.

Câu 13: Vận dụng

Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?

A.
$\frac{7}{45}$
B.
$\frac{2}{9}$
C.
$\frac{11}{45}$
D.
$\frac{4}{15}$

Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ

B là biến cố trong 3 chứng từ rút ra, chỉ có chứng từ thứ 3 không hợp lệ.

Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất $P(A), P(B).$

Nếu gọi A_i là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).

Khi đó ta có: $A = A_1 . A_2$ và $B = A_1 . A_2 . A_3$

Vì vậy các xác suất cần tìm là:

$P(A) = P\left( A_{1}.\ A_{2} ight) = P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight) = \frac{8}{10}.\frac{7}{9} = \frac{28}{45}$

$P(B) = P\left( A_{1}.\ A_{2}.\overline{A_{3}} ight)$

$= P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight).P\left( \overline{A_{3}}|A_{1}.\ A_{2} ight)$

$= \frac{8}{10}.\frac{7}{9}.\frac{2}{8} = \frac{7}{45}$

Câu 14: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thoả mãn $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$ . Khi đó, $P(A \cap B)$ bằng:

A.
0,8.
B.
0,4.
C.
0,6.
D.
0,2.

A và B là hai biến cố độc lập nên

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2$

Câu 15: Vận dụng

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”?

A.
$44,4\%$
B.
$32,5\%$
C.
$47\%$
D.
$33,5\%$

Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

H₁ – người đó trả lời “sẽ mua”

H₂ – người đó trả lời “có thể mua”

H₃ – người đó trả lời “không mua”

H₁, H₂, H₃ là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng $\frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}$

Ta xác định được: $P\left( A|H_{1} ight) = 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) = 0,01$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = \frac{34}{200}.0,7 + \frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268$ .

Theo công thức Bayes:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P(A)} = \frac{0,17.0,7}{0,268} = 0,444 = 44,4\%$ .

Câu 16: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55$ . Tính $P(A \cap B)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,1$
C.
$0,15$
D.
$0,35$

Ta có:

$P\left( A \cap \overline{B} ight) + P(A \cap B) = P(A)$

$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) - P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,8 - 0,55 = 0,25$ .

Câu 17: Thông hiểu

Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên đạn. Tìm xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích.

A.
$0,6412$
B.
$0,5469$
C.
$0,5134$
D.
$0,6324$

Gọi B là biến cố "Cả 2 viên đạn trúng đích".

$B_{i},(i = 1,2)$ là biến cố "Chọn được i xạ thủ loại I".

$P\left( {\text{ }B}_{0} ight) =\frac{C_{8}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{28}{45};P\left( \text{ }B \mid B_{0} ight) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$

$P\left( {\text{ }B}_{1} ight) =\frac{C_{2}^{1} \cdot C_{8}^{1}}{C_{10}^{2}} = \frac{16}{45};P\left(\text{ }B \mid B_{1} ight) = 0,9 \cdot 0,7 = 0,63$

$P\left( {\text{ }B}_{2} ight) =\frac{C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{45};P\left( \text{ }B \mid B_{2} ight) = 0,9.0,9 = 0,81$

Ta có $B_{1},B_{2},B_{3}$ tạo thành họ đầy đủ các biến cố.

Áp dụng công thức, ta có

$P(\text{ }B) = P\left( {\text{ }B}_{0}ight) \cdot P\left( \text{ }B \mid B_{0} ight) + P\left( {\text{}B}_{1} ight) \cdot P\left( \text{ }B \mid B_{1} ight) + P\left({\text{ }B}_{2} ight) \cdot P\left( \text{ }B \mid B_{2}ight)$

$= \frac{28}{45} \cdot 0,49 + \frac{16}{45} \cdot 0,63 + \frac{1}{45}0,81 = 0,5469$

Câu 18: Vận dụng cao

Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là $70\%; 75\% ; 50\%$ . Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?

A.
Cửa hàng I
B.
Cửa hàng II
C.
Cửa hàng III

Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"

A_i: "Mua ở cửa hàng i"

Ta có {A₁, A₂, A₃} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được: $P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{5} = 0,4;P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2;P\left( A_{3} ight) = \frac{2}{5} = 0,4$

$P\left( T|A_{1} ight) = 0,7;P\left( A|A_{2} ight) = 0,75;P\left( T|A_{3} ight) = 0,5$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:

$P(T) = P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(T) = 0,4.0,7 + 0,2.0,75 + 0,4.0,5 = 0,63$

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left( A_{1}|T ight) = \frac{P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,7}{0,63} = 0,4444$

$P\left( A_{21}|T ight) = \frac{P\left( A_{2} ight)P\left( T|A_{2} ight)}{P(T)} = \frac{0,2.0,75}{0,63} = 0,2381$

$P\left( A_{3}|T ight) = \frac{P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,5}{0,63} = 0,3175$

Ta thấy rằng P(A₁|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.

Câu 19: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( A|B ight)$ ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{1}{7}$

Ta có: $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7}$ .

Câu 20: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:

A.
$0,7$
B.
$0,4$
C.
$0,58$
D.
$0,52$

Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$

Câu 21: Thông hiểu

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2\%$ và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên một người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A.
$0,3$
B.
$0,03$
C.
$0,04$
D.
$0,4$

Xét các biến cố:

A: "Người được chọn mắc bệnh X"

B: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".

Theo giả thiết ta có:

$P(A) = 0,002 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,002 = 0,998$

$P\left( B|A ight) = 1;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,06$

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,002.1}{0,002.1 + 0,998.0,06} \approx 0,03$

Câu 22: Vận dụng

Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là $0,8$ . Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán đúng?

A.
$77\%$
B.
$54\%$
C.
$60\%$
D.
$80\%$

Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, $\overline{A}$ tạo thành hệ đầy đủ

Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".

Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.

Tìm P(B) từ:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Rightarrow 0,9 = \frac{0,8 - 0,5\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Leftrightarrow P(B) = 0,75$

Gọi C là "chẩn đoán đúng", thì C xảy ra khi người bị bệnh được chẩn đoán có bệnh hoặc người không bị bệnh được chẩn đoán không bị bệnh. Như vậy

$C = AB + \overline{A}\overline{B}$

Hiển nhiên 2 biến cố $AB;\overline{A}\overline{B}$ xung khắc, nên ta có:

$P(C) = P\left( AB + \overline{A}\overline{B} ight)$

$= P(B)P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight)P\left( \overline{A}|\overline{B} ight)$

$= 0,75.0,9 + 0,25.0,5 = 0,8$

Câu 23: Thông hiểu

Một thùng hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 4 chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong thùng sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp?

A.
$\frac{3}{29}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{4}{30}$
D.
$\frac{2}{15}$

Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”

Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là: $P\left( B|A ight)$

Từ bài ra ta có:

$n(\Omega) = 30.29 = 870$

$n(B) = 4.29 = 116 \Rightarrow P(B) = \frac{116}{870} = \frac{2}{15}$

$n(AB) = 4.3 = 12 \Rightarrow P(AB) = \frac{12}{870} = \frac{2}{145}$

$P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{2}{145}:\frac{2}{15} = \frac{3}{29}$

Câu 24: Vận dụng cao

Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.

A.
$80,12\%$
B.
$84,93\%$
C.
$88,73\%$
D.
$86,54\%$

Gọi $A_{i}$ là "đạt $i$ học phần ở lần thi đầu".

Khi đó, $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ tạo thành hệ đầy đủ và $P\left( A_{i} ight) = C_{4}^{i}.0,8^{i}.0,2^{4 - i}$

Gọi $A$ là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = \sum_{i = 0}^{4}P\left( A_{i} ight)P\left( A \mid A_{i} ight)$

$= C_{4}^{0}.0,8^{0}.0,2^{4}.\left( 0,8^{4} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{1}.0,2^{3}.\left( 0,8^{3} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{2}.0,2^{2}.\left( 0,8^{2} ight)$

$+ C_{4}^{3}.0,8^{3}.0,2^{1}.(0,8) + C_{4}^{4}.0,8^{4}.0,2^{0}.\left( 0,8^{0} ight)$

$\approx 0,8493 = 84,93\%$

Câu 25: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

A.
$P(B) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(B) = P(B).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$
C.
$P(B) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Câu 26: Thông hiểu

Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 27: Thông hiểu

Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi trong phiếu.

A.
$0,058$
B.
$0,942$
C.
$0,745$
D.
$0,255$

Gọi E₁ là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc.

Gọi E₂ là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc.

E₁, E₂ tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ. B xảy ra với 1 trong 2 biến cố.

$B=(E_1∩B)∪(E_2∩B)$

$=> P(B)=P(E_1).P(B|E_1)+P(E_2).P(B|E_2)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {{E_1}} ight) = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{2}{3};P\left( {{E_2}} ight) = \frac{{C_5^1}}{{C_{15}^1}} = \frac{1}{3} \hfill \\ P\left( {B|{E_1}} ight) = \frac{{C_9^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{9}{{10}};P\left( {B|{E_2}} ight) = \frac{{C_8^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{4}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Thay vào công thức suy ra $P(B)=0,942$

Câu 28: Thông hiểu

Có hai hộp bên ngoài giống nhau:

Hộp thứ nhất đựng 1 sản phẩm lỗi và 9 sản phẩm tốt.

Hộp thứ hai đựng 2 sản phẩm lỗi và 8 sản phẩm tốt.

Lấy ngẫu nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm tốt là:

A.
$0,88$
B.
$0,85$
C.
$0,83$
D.
$0,81$

Gọi A₁ là biến cố lấy sản phẩm từ hộp thứ nhất.

A₂ là biến cố lấy sản phẩm từ hộp thứ hai.

Vì chọn ngẫu nhiên nên $P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{2}$

Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt ta có:

$P\left( B|A_{1} ight) = \frac{9}{10};P\left( B|A_{2} ight) = \frac{8}{10}$

Do đó:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{2}.\frac{9}{10} + \frac{1}{2}.\frac{8}{10} = \frac{17}{20} = 0,85$

Câu 29: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

A.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
B.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
C.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
D.
$P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

Câu 30: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A} + \overline{B} ight)$ ?

A.
$\frac{5}{12}$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{1}{12}$

Ta có:

$P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

$P\left( \overline{A} + \overline{B} ight) = P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 1 - P(AB) = \frac{11}{12}$

Câu 31: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Biết $P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;$ $P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6$ . Tính $P(B)$ ?

A.
$0,36$
B.
$0,57$
C.
$0,48$
D.
$0,26$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57$

Câu 32: Thông hiểu

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là $0,8$ ; hoàn thành câu trung bình là $0,6$ và hoàn thành câu khó là $0,15$ . Làm đúng mỗi một câu dễ An được $0,1$ điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được $0,25$ điểm và làm đúng mỗi câu khó An được $0,5$ điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là $72\%$ . Sai||Đúng

b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $0,45$ . Sai||Đúng

c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai

d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn $0,2\%$ . Sai||Đúng

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ

B là biến cố An làm đúng câu trung bình

C là biến cố An làm đúng câu khó.

Khi đó A, B, C độc lập với nhau.

a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$ . Khẳng định Sai.

b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là:

$P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) + P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C). + P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight)$

$= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474$

Khẳng định Sai.

c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là:

$P = P(A).P(B).P(C) = 0,072 = 7,2\%$

Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình. $(0,4)^{3} = 0,064$ .

Khẳng định Đúng.

d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:

TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai

$(0,15)^{4}(0,2 + 0,4 + 0,85) = 7,34.10^{- 4}$

TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình

$(0,15)^{3}.(0,6)^{2} = 1,215.10^{- 4}$

Vậy xác suất cần tìm là $0,1949\%$

Khẳng định Sai.

Câu 33: Vận dụng

Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có $60\%$ về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn $20\%$ số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là $80\%$ . Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là $90\%$ . Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè.

A.
$45,7\%$
B.
$37,5\%$
C.
$55,3\%$
D.
$58\%$

Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn

E₁ là biến cố tan học về nhà ngay $= > P\left( E_{1} ight) = 0,6,P\left( B|E_{1} ight) = 0,3$

E₂ là biến cố tan học đi chơi game $= > P\left( E_{2} ight) = 0,2,P\left( B|E_{2} ight) = 0,8$

E₃ là biến cố tan học về đi chơi với bạn $= > P\left( E_{3} ight) = 0,2,P\left( B|E_{3} ight) = 0,9$

B có thể xảy ra một trong 3 biến cố

$P(B) = P\left( E_{1} ight).P\left( B|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight).P\left( B|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)$

$= > P(B) = 0,52$

Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là:

$P\left( E_{3}|B ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)}{P(B)} = 0,375 = 37,5\%$

Câu 34: Vận dụng cao

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} ight) = \frac{15}{1000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm và trong đó có $14$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{14}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{985}{999}$ .

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{15}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{328}{333}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$= \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} + \frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02$ .

Đáp số: $0,02$ .

Câu 35: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight)$ ?

A.
$\frac{5}{12}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{1}{4}$

Ta có: $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) = \frac{1}{4}$

Câu 36: Thông hiểu

Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt lấy từng bi. Giả sử lần đầu tiên lấy được bi trắng. Xác định xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ.

A.
$\frac{2}{9}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{8}{9}$
D.
$\frac{2}{5}$

Gọi A là biến cố lần một lấy được bi trắng.

Gọi B là biến cố lần hai lấy được bi đỏ.

Xác suất lần 2 lấy được bi đỏ khi lần 1 đã lấy được bi trắng là $P\left( B|A ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{8.9}{10.9} = \dfrac{4}{5} \\P(A \cap B) = \dfrac{8.2}{10.9} = \dfrac{8}{45} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$P\left( B|A ight) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{8}{45}}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{2}{9}$ .

Câu 37: Vận dụng

Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu trắng, còn lại là kẹo màu xanh. Bạn T lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó T lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo? Biết rằng xác suất T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là $\frac{1}{3}$ .

A.
$10$ viên kẹo
B.
$20$ viên kẹo
C.
$18$ viên kẹo
D.
$14$ viên kẹo

Gọi A là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ hai”.

Ta có xác suất để T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là: $\frac{1}{3}$

Gọi số kẹo ban đầu trong túi là: $n$ (viên)

Điều kiện $n \in \mathbb{N}^{*};n eq1$

Ta có: $P(A) = \frac{6}{n};P\left( B|Aight) = \frac{5}{n - 1}$

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

$P(AB) = P(A).P\left( B|A ight) =\frac{6}{n}.\frac{5}{n - 1} = \frac{30}{n^{2} - n}$

Mà $P(AB) = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{30}{n^{2} - n} =\frac{1}{3} \Leftrightarrow n^{2} - n = 90 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = - 9(ktm) \\n = 10(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.

Câu 38: Nhận biết

Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.

Xét các biến cố $A$ : "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"

$B$ : "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"

Xác định $B|A$ là biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra?

A.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
B.
$B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3) ight\}$
C.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;3),(2;5) ight\}$
D.
$B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

Do đó, không gian mẫu mới là

$\Omega' = A = \left\{ (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;1),(2;3),(2;4),(2;5) ight\}$

Biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra là:

$B|A = A \cap B = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$

Câu 39: Thông hiểu

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A$ và $B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai||Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) $A$ và $B$ là hai biến độc lập. Đúng||Sai

b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là $0,3$ . Đúng||Sai

c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $0,4$ . Sai||Đúng

d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án $0,8$ . Sai||Đúng

Đề bài: $P(A) = 0,5 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,5;P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,4$

$P(A \cap B) = 0,4$

a) $A,B$ độc lập $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A).P(B)$

mà $0,4 eq 0,5.0,6$ nên $A,B$ không độc lập

b) Gọi $C$ là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án

$P(C) = P\left( A \cap \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$ $= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0,5 + 0,6 - 2.0,4 = 0,3$

c) Gọi $D$ là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1

$P(D) = P\left( B|A ight) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$

d) Gọi $E$ là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”

$P(E) = P\left( B|\overline{A} ight) = \frac{P\left( B \cap \overline{A} ight)}{P\left( \overline{A} ight)}$

$= \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P\left( \overline{A} ight)} = \frac{0,6 - 0,4}{0,5} = 0,4$

Câu 40: Thông hiểu

Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp $60\%$ chi tiết, máy thứ hai cung cấp $40\%$ chi tiết. Biết $90\%$ chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đều đạt tiêu chuẩn và $85\%$ chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyển một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.

A.
$57,6\%$
B.
$61,4\%$
C.
$73,8\%$
D.
$66,3\%$

Gọi A là biến cố chi tiết lấy từ dây chuyển đạt tiêu chuẩn.

Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

H₁ chi tiết máy do máy một sản xuất.

H₂ chi tiết máy do máy hai sản xuất.

Như vậy xác suất để chi tiết máy dó máy một sản xuất bằng:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight)}$

Theo dữ kiện đề bài cho ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( H_{1} ight) = 0,6;P\left( H_{2} ight) = 0,4 \\ P\left( A|H_{1} ight) = 0,9;P\left( A|H_{2} ight) = 0,85 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{0,6.0,9}{0,6.0,9 + 0,4.0,85} = 0,614$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!