Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Câu 1: Vận dụng

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”?

A.
$44,4\%$
B.
$32,5\%$
C.
$47\%$
D.
$33,5\%$

Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

H₁ – người đó trả lời “sẽ mua”

H₂ – người đó trả lời “có thể mua”

H₃ – người đó trả lời “không mua”

H₁, H₂, H₃ là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng $\frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}$

Ta xác định được: $P\left( A|H_{1} ight) = 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) = 0,01$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = \frac{34}{200}.0,7 + \frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268$ .

Theo công thức Bayes:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P(A)} = \frac{0,17.0,7}{0,268} = 0,444 = 44,4\%$ .

Câu 2: Nhận biết

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thoả mãn $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$ . Khi đó, $P(A \cap B)$ bằng:

A.
0,8.
B.
0,4.
C.
0,6.
D.
0,2.

A và B là hai biến cố độc lập nên

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2$

Câu 3: Vận dụng

Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?

A.
$90,85\%$
B.
$97,37\%$
C.
$95,55\%$
D.
$99,28\%$

Gọi B_i: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)

H: "Hệ thống hoạt động tốt"

Theo giả thiết, ta thấy rằng P(B_i) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và

$H = \overline{B_{1}}B_{2}B_{3} + B_{1}\overline{B_{2}}B_{3} + B_{1}B_{2}\overline{B_{3}} + B_{1}B_{2}B_{3}$

Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:

$P(H) = 3P\left( \overline{B_{1}} ight)P\left( B_{2} ight)P\left( B_{3} ight) + P\left( B_{1} ight)P\left( B_{2} ight)P\left( B_{3} ight)$

$\Rightarrow P(H) = 3.(0,95)^{2}.(0,05) + 0,95^{3} = 99,28$ .

Câu 4: Thông hiểu

Một căn bệnh có $1\%$ dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\%$ . Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\%$ số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng $99$ trong $100$ trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

A.
$0,4$
B.
$0,35$
C.
$0,5$
D.
$0,65$

Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”

Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

Ta cần tính $P\left( A|B ight)$ với $P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$ .

Ta có:

Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P(A) = 1\% = 0,01$

Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,01 = 0,99$

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: $P\left( B|A ight) = 99\% = 0,99$

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: $P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - 0,99 = 0,01$

Khi đó:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,01.0,99}{0,01.0,99 + 0,99.0,01} = 0,5$

Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là $0,5$ .

Câu 5: Vận dụng cao

Một chiếc máy bay có thể xuất hiện không phận của điểm A với xác suất là $\frac{2}{3}$ hoặc không phận của điểm B với xác suất là $\frac{1}{3}$ . Giả sử có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo để hạ máy bay như sau:

Phương án 1: 3 khẩu đặt ở điểm A và 1 khẩu đặt ở điểm B.

Phương án 2: 2 khấu đặt ở điểm A và 2 khẩu đặt ở điểm B.

Phương án 3: 1 khẩu đặt ở điểm A và 3 khẩu đặt ở điểm B.

Biết rằng xác suất bắn trúng (hạ máy bay) của mỗi khẩu bằng $0,7$ và các khẩu pháo bắn độc lập với nhau. Phương án nào xác suất bắn trúng máy bay cao nhất?

A.
Phương án 1
B.
Phương án 2
C.
Phương án 3

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{3} = 0,973$ (tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:

$P_{1} = \frac{2}{3}.0,973 + \frac{1}{3}.0,7 = 0,882$

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{2} = 0,91$

Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:

$P_{2} = \frac{2}{3}.0,91 + \frac{1}{3}.0,91 = 0,91$

Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{3} = 0,973$

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:

$P_{3} = \frac{2}{3}.0,7 + \frac{1}{3}.0,973 = 0,791$

Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.

Câu 6: Thông hiểu

Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?

A.
$0,6$
B.
$0,7$
C.
$0,46$
D.
$0,63$

Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố $A; B$ độc lập.

Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do $A; B$ là hai biến cố độc lập nên:

$P(D) = P\left( B|A ight) = P(B) = 0,7$

Câu 7: Vận dụng

Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là $0,7;0,8;0,9$ . Biết rằng mỗi chỗ người đó thả câu 3 lần thì chỉ có một lần câu được cá. Người đó đã câu được một con cá. Tính xác suất để con cá câu được đó ở chỗ thứ nhất.

A.
$0,574$
B.
$0,796$
C.
$0,388$
D.
$0,432$

Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.

Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.

Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.

Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là $0,8$ , nên $P\left( B|A ight) = 0,8$

P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.

Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là $\frac{1}{3}$ .

P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Trong đó:

$P\left( B|\overline{A} ight)$ là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là $0,9$ và $0,7$ nên $P\left( B|\overline{A} ight) = 0,9.0,7$

$P\left( \overline{A} ight)$ là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là $\frac{2}{3}$ .

Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:

$0,8 = \dfrac{{\dfrac{{103}}{{150}}.P\left( {A|B} ight)}}{{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow P\left( {A|B} ight) \approx 0,388$

Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là: $0,388$

Câu 8: Thông hiểu

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P\left( \overline{A} ight) = 0,4;P(B) = 0,8;P(A \cap B) = 0,4$ .

a) $P(A) = 0,6;P\left( \overline{B} ight) = 0,2$ Đúng||Sai

b) $P\left( A|B ight) = \frac{1}{2}$ Đúng||Sai

c) $P\left( \overline{B}|A ight) = \frac{2}{3}$ Sai|| Đúng

d) $P\left( \overline{A} \cap B ight) = \frac{3}{5}$ Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P\left( \overline{A} ight) = 0,4;P(B) = 0,8;P(A \cap B) = 0,4$ .

a) $P(A) = 0,6;P\left( \overline{B} ight) = 0,2$ Đúng||Sai

b) $P\left( A|B ight) = \frac{1}{2}$ Đúng||Sai

c) $P\left( \overline{B}|A ight) = \frac{2}{3}$ Sai|| Đúng

d) $P\left( \overline{A} \cap B ight) = \frac{3}{5}$ Sai|| Đúng

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \Rightarrow P(A) = 1 - 0,4 = 0,6 \\ P(B) = 0,8 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,8 = 0,2 \\ P(A \cap B) = 0,4 \\ \end{matrix} ight.$

b) $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,8} = \frac{1}{2}$

c) $P\left( \overline{B}|A ight) = 1 - P\left( B|A ight) = 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1 - \frac{0,4}{0,6} = \frac{1}{3}$

d) $P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,8 - 0,4 = 0,4$

Câu 9: Vận dụng cao

Có hai lô sản phẩm: lô I có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Sau đó từ số sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất 1 chính phẩm.

A.
$70,23\%$
B.
$60,34\%$
C.
$72,66\%$
D.
$65,07\%$

Gọi $A_{i}$ là "trong 5 sản phẩm cuối có $i$ chính phẩm".

Khi đó hệ $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$ tạo thành hệ đầy đủ

$A_{0}$ xảy ra thì phải lấy 3 phế phẩm từ lô II, điều này là không thể.

Suy ra $P\left( A_{0} ight) = 0$

$A_{1}$ xảy ra nếu lấy 2 phế từ lô I và 1 chính, 1 phế từ lô II.

$P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{225}$

$A_{2}$ xảy ra nếu lấy 1 chính, 1 phế từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II

$P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{14}{225}$

$A_{3}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,1$ chính, 2 phế từ lô $II$ hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,2$ chính, 1 phế từ lô II hoặc 2 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{7}{25}$

$A_{4}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,2$ chính, 2 phế từ lô II hoặc 1 chính, 1 phế từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{4} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{2}C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}} + \frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{98}{225}$

$A_{5}$ xảy ra nếu lấy 2 chính từ lô $I,3$ chính từ lô II

$P\left( A_{5} ight) = \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{49}{225}$

Gọi $A$ là "trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm", áp dụng công thức xác suất đầy đủ

$P(\bar{A}) = \sum_{i = 0}^{5}\mspace{2mu}\mspace{2mu} P\left( A_{i} ight)P\left( \bar{A} \mid A_{i} ight)$

$= \frac{C_{5}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot 0 + \frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{1}{225} + \frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{14}{225} + \frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}} \cdot \frac{7}{25} + 0 \cdot \frac{98}{225} + 0 \cdot \frac{49}{225}$

$\simeq 0.4933$

Suy ra $P(A) = 1 - P(\bar{A}) \simeq 0,6507$ .

Câu 10: Vận dụng

Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm. Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người?

A.
$0,15$
B.
$0,4$
C.
$0,2$
D.
$0,32$

Gọi A_i: “người thứ i nhận được phiếu trúng thưởng” (i = 1, . . . , 10)

Ta có:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{10} = 0,2$

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}|A_{1} ight)P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}|\overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$\Rightarrow P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{9}.\frac{2}{10} + \frac{2}{9}.\frac{8}{10}$

$...$

$P\left( A_{10} ight) = 0,2$

Câu 11: Thông hiểu

Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng $0,84$ và $0,16$ . do có nhiễu trên đường truyền nên $\frac{1}{6}$ tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn $\frac{1}{8}$ tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?

A.
$0,66$
B.
$0,72$
C.
$0,65$
D.
$0,79$

Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".

Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.

$P(A) = 0,84;P(B) = 0,16$

Gọi C là "thu được tín hiệu A".

Khi đó: $P\left( C|A ight) = \frac{5}{6};P\left( C|B ight) = \frac{1}{8}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(C) = P(A).P\left( C|A ight) + P(B).P\left( C|B ight)$

$\Rightarrow P(C) = 0,84.\frac{5}{6} + 0,16.\frac{1}{8} = 0,72$ .

Câu 12: Thông hiểu

Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có $20$ sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là $18, 16, 12$ . Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?

A.
$0,6033$
B.
$0,6125$
C.
$0,6354$
D.
$0,6271$

Gọi A_i là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A|A_{1} ight) = \frac{18}{20}.\frac{18}{20}$

$P\left( A|A_{2} ight) = \frac{16}{20}.\frac{16}{20}$

$P\left( A|A_{3} ight) = \frac{12}{20}.\frac{12}{20}$

Từ đó ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight).P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{18}{20}.\frac{18}{20} + \frac{1}{3}.\frac{16}{20}.\frac{16}{20} + \frac{1}{3}.\frac{12}{20}.\frac{12}{20} = \frac{181}{300} \approx 0,6033$

Câu 13: Nhận biết

Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

Xét các biến cố:

$A$ : "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

$B$ : "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

Xác định biến cố $E = B|A$ : "biến cố $B$ với điều kiện biết $A$ đã xảy ra".

A.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$
B.
$E = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$
C.
$E = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$
D.
$E = \left\{(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3)ight\}$

Ta có:

$A = \left\{ (2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}$

$B = \left\{ (1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Khi biến cố $B$ xảy ra, thì không gian mẫu mới là $B$ .

Khi đó, biến cố $E = B|A = A \cap B = \left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}$

Câu 14: Thông hiểu

Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( AB\overline{C} ight)$ ?

A.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2}$
B.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2}$
C.
$P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2} - p$
D.
$P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2} - 1$

Ta có:

$P\left( AB\overline{C} ight) = P(AB) - P(ABC) = p^{2}$ .

Câu 15: Vận dụng

Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp $\left\{ 3^{k} \mid k \in N,1 \leq k \leq 10 ight\}$ . Tính xác suất để $\log_{a}b$ là một số nguyên dương.

A.
$\frac{17}{90}$ .
B.
$\frac{17}{45}$ .
C.
$\frac{3}{10}$ .
D.
$\frac{22}{45}$ .

Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp $\left\{ 3^{k} \mid k \in N,1 \leq k \leq 10 ight\}$

Biến cố $A$ : " $\log_{a}b$ là một số nguyên dương".

$\Rightarrow n_{\Omega} = 10.9 = 90$

+ Giả sử $a = 3^{k_{1}},b = 3^{k_{2}}\left( k_{1} eq k_{2} ight) \Rightarrow log_{a}b = log_{3^{k_{1}}}\left( 3^{k_{2}} ight) = \frac{k_{2}}{k_{1}}$ là một số nguyên dương

$k_{2}$	10	9	8	7	6	5	4	3	2
$k_{1}$	$1;2;5$	$1;3$	$1;2;4$	1	$1;2;3$	1	$1;2$	1	1

$\Rightarrow n_{A} = 17 \Rightarrow P(A) = \frac{n_{A}}{n_{\Omega}} = \frac{17}{90}.$

Câu 16: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

A.
$P(B) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(B) = P(B).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$
C.
$P(B) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

Câu 17: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8;P(B) = 0,65;P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,55$ . Tính $P(A \cap B)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,1$
C.
$0,15$
D.
$0,35$

Ta có:

$P\left( A \cap \overline{B} ight) + P(A \cap B) = P(A)$

$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) - P\left( A \cap \overline{B} ight) = 0,8 - 0,55 = 0,25$ .

Câu 18: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, với $P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025$ . Tính $P\left( B|\overline{A} ight)$ ?

A.
$0,7976$
B.
$0,7975$
C.
$0,2025$
D.
$0,2024$

Hai biến cố $\overline{A}$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) = 0,2025$ .

Câu 19: Thông hiểu

Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là $20\%$ ; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$ , trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$ . Tính xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi?

A.
$\frac{7}{13}$
B.
$\frac{6}{13}$
C.
$\frac{4}{13}$
D.
$\frac{9}{13}$

Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”

Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.

Ta cần tính $P(B)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 0,8 \\ P\left( B|A ight) = 0,7 \\ P\left( B|\overline{A} ight) = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,2..0,7 + 0,8.0,15 = 0,26$

Xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là $P\left( A|B ight)$

Theo công thức Bayes, ta có:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).)P\left( B|A ight)}{P(B)} = \frac{0,2.0,7}{0,26} = \frac{7}{13}$ .

Như vậy trong số người bị bệnh phổi của tỉnh T có khoảng $\frac{7}{13}$ số người nghiện thuốc lá.

Câu 20: Vận dụng cao

Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?

A.
$61,73\%$
B.
$66,15\%$
C.
$60,80\%$
D.
$64,97\%$

Gọi D₁, X₁ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",

D², X₂ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".

Khi đó hệ D₁D₂, D₁X₂, X₁D₂, X₁X₂ tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{4}{7};P\left( {{D_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{3}{7} \hfill \\ P\left( {{X_1}{D_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{3}{7};P\left( {{X_1}{X_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".

Ta xác định được: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {A|{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6};P\left( {A|{D_1}{X_2}} ight) = \frac{3}{6} \hfill \\ P\left( {A|{X_1}{D_2}} ight) = \frac{5}{6};P\left( {A|{X_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

$P(A) = P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)$

$+ P\left( X_{1}D_{2} ight)P\left( A|X_{1}D_{2} ight) + P\left( X_{1}X_{2} ight)P\left( A|X_{1}X_{2} ight)$

$= \frac{4}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} + \frac{4}{6}.\frac{3}{7}.\frac{3}{6} + \frac{2}{6}.\frac{3}{7}.\frac{5}{6} + \frac{2}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} = \frac{9}{14}$

Ta cần tính xác suất $B = \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)|A$

$\Rightarrow P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)}{P(A)}$

$= \dfrac{{\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{6}.\dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{6}}}{{\dfrac{9}{{11}}}} = \dfrac{{50}}{{81}} \approx 61,73\%$

Câu 21: Nhận biết

Nếu hai biến cố $A;B$ thỏa mãn $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3;P\left( A|B ight) = 0,25$ thì $P\left( B|A ight)$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{16}$
B.
$\frac{12}{25}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{19}{20}$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,3.0,25}{0,4} = \frac{3}{16}$

Câu 22: Nhận biết

Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"

Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".

Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{3}{5}$
D.
$\frac{2}{3}$

Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.

Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.

Do đó, xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{1}{2}$ .

Câu 23: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(A) < 1$ . Biết $P(A) =0,1;P\left( \overline{A} ight) = 0,9;$ $P\left( B|A ight) = 0,3;P\left(B|\overline{A} ight) = 0,6$ . Tính $P(B)$ ?

A.
$0,36$
B.
$0,57$
C.
$0,48$
D.
$0,26$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 0,1.0,3 + 0,9.0,6 = 0,57$

Câu 24: Thông hiểu

Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có $60\%$ về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn $20\%$ số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là $80\%$ . Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là $90\%$ . Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.

A.
$0,52$
B.
$0,48$
C.
$0,41$
D.
$0,56$

Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn

$\overline{B}$ là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn

E₁ là biến cố tan học về nhà ngay $= > P\left( E_{1} ight) = 0,6,P\left( B|E_{1} ight) = 0,3$

E₂ là biến cố tan học đi chơi game $= > P\left( E_{2} ight) = 0,2,P\left( B|E_{2} ight) = 0,8$

E₃ là biến cố tan học về đi chơi với bạn $= > P\left( E_{3} ight) = 0,2,P\left( B|E_{3} ight) = 0,9$

B có thể xảy ra một trong 3 biến cố

$P(B) = P\left( E_{1} ight).P\left( B|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight).P\left( B|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)$

$= > P(B) = 0,52$

$= > P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,52 = 0,48$

Câu 25: Thông hiểu

Một chiếc hộp có $80$ viên bi, trong đó có $50$ viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có $60\%$ số viên bi màu đỏ đánh số và $50\%$ số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là $30$ . Đúng||Sai

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là $15$ . Đúng||Sai

c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: $\frac{3}{5}$ Sai|| Đúng

d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: $\frac{7}{16}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chiếc hộp có $80$ viên bi, trong đó có $50$ viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có $60\%$ số viên bi màu đỏ đánh số và $50\%$ số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là $30$ . Đúng||Sai

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là $15$ . Đúng||Sai

c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: $\frac{3}{5}$ Sai|| Đúng

d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: $\frac{7}{16}$ . Đúng||Sai

a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là $60\%.50 = 30$

b) Số viên bi màu vàng không đánh số là $50\%.30 = 15$

c) Gọi A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”

Gọi B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”

Lúc này ta đi tính $P(A)$ theo công thức: $P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( B ight) = \dfrac{{50}}{{80}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow P\left( {\overline B } ight) = 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8} \hfill \\ P\left( {A|B} ight) = 60\% = \dfrac{3}{5} \hfill \\ P\left( {A|\overline B } ight) = 100\% - 50\% = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P(A) = \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{16}$ .

d) A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra A là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”. Khi đó ta có:

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

Câu 26: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?

A.
$0,238$
B.
$0,335$
C.
$0,412$
D.
$0,187$

Ta có: $P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$

Áp dụng công thức Bayes:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238$ .

Câu 27: Thông hiểu

Một cuộc khảo sát $1000$ người về hoạt động thể dục thấy có $80\%$ số người thích đi bộ và $60\%$ thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?

A.
$0,6547$
B.
$0,3333$
C.
$0,4614$
D.
$0,5318$

Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp"

Theo giả thiết: $P(A) = 0,8' P(B) = 0,6; P(A + B) = 1$ .

Ta có:

$P\left( \bar{A}\mid B ight) = \frac{P\left( \bar{A}B ight)}{P(B)} = \frac{P(B) - P(AB)}{P(B)}$

$= \frac{P(B) + \lbrack P(A + B) - P(A) - P(B)brack}{P(B)}$

$= \frac{P(A + B) - P(A)}{P(B)} = \frac{1 - 0,8}{0,6} \simeq 0,3333$

Câu 28: Thông hiểu

Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Tìm xác suất nó là phế phẩm.

A.
$0,22\%$
B.
$0,27\%$
C.
$0,15\%$
D.
$0,32\%$

Gọi A_i là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

$P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,25.0,1\% + 0,3.0,2\% + 0,45.0,3\% = 0,22\%$

Câu 29: Vận dụng cao

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Đáp án là:

Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra $1000$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của biến cố: Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 0,02

Xét các biến cố:

$A_{1}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi.

Khi đó, ta có: $P\left( A_{1} ight) = \frac{15}{1000}$ ; $P\left( \overline{A_{1}} ight) = \frac{197}{200}$ .

$A_{2}$ : Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi.

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm và trong đó có $14$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{14}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| A_{1} ight.\ ight) = \frac{985}{999}$ .

Khi sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi thì còn $999$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm lỗi nên ta có: $P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{15}{999}$ , suy ra $P\left( \overline{A_{2}}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight) = \frac{328}{333}$ .

Khi đó, xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi là:

$P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{2}\left| A_{1} ight.\ ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2}\left| \overline{A_{1}} ight.\ ight).P\left( \overline{A_{1}} ight)$

$= \frac{14}{999}.\frac{15}{1000} + \frac{15}{999}.\frac{197}{200} \approx 0,02$ .

Đáp số: $0,02$ .

Câu 30: Nhận biết

Một túi đựng $6$ bi xanh và $4$ bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $2$ bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:

A.
$\frac{7}{15}$ .
B.
$\frac{7}{45}$ .
C.
$\frac{8}{15}$ .
D.
$\frac{2}{15}$ .

Ta có số phần từ của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{10}^{2} = 45$ .

Gọi $A$ : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".

Khi đó $n(A) = C_{4}^{2} = 6$ .

Vậy xác suất cần tính là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{15}$ .

Câu 31: Thông hiểu

Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là $60\%$ ; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là $20\%$ . Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi $X$ là biến cố một con bò bị bệnh bò điên, $Y$ là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.

a) $P(X) = 15.10^{- 6}$ . Đúng||Sai

b) $P(Y \mid X) = 0,06$ . Sai||Đúng

c) $P\left( Y \mid \overline{X} ight) = 0,2$ . Đúng||Sai

d) $P(Y \cap X) = 9.10^{- 7}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là $60\%$ ; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là $20\%$ . Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi $X$ là biến cố một con bò bị bệnh bò điên, $Y$ là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.

a) $P(X) = 15.10^{- 6}$ . Đúng||Sai

b) $P(Y \mid X) = 0,06$ . Sai||Đúng

c) $P\left( Y \mid \overline{X} ight) = 0,2$ . Đúng||Sai

d) $P(Y \cap X) = 9.10^{- 7}$ . Sai||Đúng

Tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên $100\ 000$ con nghĩa là $P(X) = 15.10^{- 6}$ .

Khi con bò bị bệnh bò điên, thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là 60%, nghĩa là: $P\left( Y|X ight) = 0,6.$

Khi con bò không bị bệnh, thì xác xuất để xả ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là 20%, nghĩa là $P\left( Y|\overline{X} ight) = 0,2$ . Khi đó, ta có:

$P(Y \cap X) = P\left( Y|X ight).P(X) = 0,6\ .\ 15\ .\ 10^{- 6} = 9.10^{- 6}.$

Câu 32: Thông hiểu

Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt lấy từng bi. Giả sử lần đầu tiên lấy được bi trắng. Xác định xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ.

A.
$\frac{2}{9}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{8}{9}$
D.
$\frac{2}{5}$

Gọi A là biến cố lần một lấy được bi trắng.

Gọi B là biến cố lần hai lấy được bi đỏ.

Xác suất lần 2 lấy được bi đỏ khi lần 1 đã lấy được bi trắng là $P\left( B|A ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{8.9}{10.9} = \dfrac{4}{5} \\P(A \cap B) = \dfrac{8.2}{10.9} = \dfrac{8}{45} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$P\left( B|A ight) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{8}{45}}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{2}{9}$ .

Câu 33: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,8;P\left( A|B ight) = 0,7,P\left( A|\overline{B} ight) = 0,45$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$0,25$
B.
$0,65$
C.
$0,55$
D.
$0,5$

Ta có:

$P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,8.0,7 + 0,2.0,45 = 0,65$

Câu 34: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,6;P(B) = 0,7;P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P\left( \overline{A} \cap B ight)$ ?

A.
$\frac{4}{7}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{2}{5}$
D.
$\frac{1}{7}$

Cách 1: $P\left( \overline{A} \cap B ight) = P\left( \overline{A}|B ight).P(B)$

Mà $P\left( \overline{A}|B ight) = 1 - P\left( A|B ight) = 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1 - \frac{0,3}{0,7} = \frac{4}{7}$

Do đó: $P\left( \overline{A} \cap B ight) = P\left( \overline{A}|B ight).P(B) = \frac{4}{7}.0,7 = 0,4 = \frac{2}{5}$

Cách 2: Ta có:

$P\left( \overline{A} \cap B ight) + P(A \cap B) = P(B)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A} \cap B ight) = P(B) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,3 = 0,4$ .

Câu 35: Nhận biết

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0 < P(B) < 1$ . Khi đó công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

A.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$
B.
$P(A) = P(A).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
C.
$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$
D.
$P(A) = P\left( \overline{B} ight).P\left( A|B ight) + P(B).P\left( A|\overline{B} ight)$

Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(A)$ là:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

Câu 36: Nhận biết

Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A} + \overline{B} ight)$ ?

A.
$\frac{5}{12}$
B.
$\frac{1}{4}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{1}{12}$

Ta có:

$P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

$P\left( \overline{A} + \overline{B} ight) = P\left( \overline{A}\overline{B} ight) = 1 - P(AB) = \frac{11}{12}$

Câu 37: Vận dụng

Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?

A.
$\frac{7}{45}$
B.
$\frac{2}{9}$
C.
$\frac{11}{45}$
D.
$\frac{4}{15}$

Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ

B là biến cố trong 3 chứng từ rút ra, chỉ có chứng từ thứ 3 không hợp lệ.

Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất $P(A), P(B).$

Nếu gọi A_i là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).

Khi đó ta có: $A = A_1 . A_2$ và $B = A_1 . A_2 . A_3$

Vì vậy các xác suất cần tìm là:

$P(A) = P\left( A_{1}.\ A_{2} ight) = P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight) = \frac{8}{10}.\frac{7}{9} = \frac{28}{45}$

$P(B) = P\left( A_{1}.\ A_{2}.\overline{A_{3}} ight)$

$= P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight).P\left( \overline{A_{3}}|A_{1}.\ A_{2} ight)$

$= \frac{8}{10}.\frac{7}{9}.\frac{2}{8} = \frac{7}{45}$

Câu 38: Vận dụng

Phòng thi đánh giá năng lực có 10 học sinh trong đó có 2 học sinh giỏi (trả lời 100% các câu hỏi), 3 học sinh khá (trả lời 80% các câu hỏi), 5 học sinh trung bình (trả lời 50% các câu hỏi). Gọi ngẫu nhiên một học sinh vào thi và phát đề có 4 câu hỏi (được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu). Thấy học sinh này trả lời được cả 4 câu, tính xác suất để học sinh đó là học sinh khá? Xác suất gần bằng số nào sau đây?

A.
$0,336$
B.
$0,3344$
C.
$0,337$
D.
$0,335$

Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố gọi một học sinh Giỏi, Khá, Trung Bình

Nên $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố đầy đủ.

Gọi B “học sinh đó trả lời được 4 câu hỏi”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1} ight) = \frac{C_{2}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{1}{5} \\ P\left( A_{2} ight) = \frac{C_{3}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{3}{10} \\ P\left( A_{3} ight) = \frac{C_{5}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta lại có:

2 học sinh Giỏi (trả lời 100% các câu hỏi) ⇒ Trả lời 20 câu hỏi

3 học sinh Khá (trả lời 80% các câu hỏi) ⇒ Trả lời $20.80\% = 16$ câu hỏi.

5 học sinh Trung Bình (trả lời 50% các câu hỏi) ⇒ Trả lời $20.50\% = 10$ câu hỏi.

Từ đó: $\left\{ \begin{matrix}P\left( B|A_{1} ight) = \dfrac{C_{20}^{4}}{C_{20}^{4}} = 1 \\P\left( B|A_{2} ight) = \dfrac{C_{16}^{4}}{C_{20}^{4}} =\dfrac{364}{969} \\P\left( B|A_{3} ight) = \dfrac{C_{10}^{4}}{C_{20}^{4}} = \dfrac{14}{323}\\\end{matrix} ight.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left( A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight) + P\left( B|A_{3} ight).P\left( A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = 1.\frac{1}{5} + \frac{364}{969}.\frac{3}{10} + \frac{14}{323}.\frac{1}{2} = \frac{108}{323}$

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là $P\left( A_{2}|B ight)$

Áp dụng công thức Bayes ta có:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A_{2}|B ight) =\dfrac{\dfrac{364}{969}.\dfrac{3}{10}}{\dfrac{108}{323}} = \dfrac{91}{270}\approx 0,337$

Câu 39: Thông hiểu

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông T. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó. Gọi $A$ là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”, và $B$ là biến cố “học sinh được chọn là nam”. Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng $0,6$ ; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là $0,3$ ; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là $0,15$ . Tính $P(A)$ ?

A.
$P(A) = 0,24$
B.
$P(A) = 0,44$
C.
$P(A) = 0,32$
D.
$P(A) = 0,5$

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(B) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,6 = 0,4 \\ P\left( A|B ight) = 0,3 \\ P\left( A|\overline{B} ight) = 0,15 \\ \end{matrix} ight.$