Một túi đựng
bi xanh và
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:
Ta có số phần từ của không gian mẫu là .
Gọi : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".
Khi đó .
Vậy xác suất cần tính là .
Một túi đựng
bi xanh và
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:
Ta có số phần từ của không gian mẫu là .
Gọi : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".
Khi đó .
Vậy xác suất cần tính là .
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
Ta cần tính xác suất
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ hai.
Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 2 câu thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc và 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
Gọi E3 là biến cố thầy giáo rút 2 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
Gọi C là biến cố sinh viên rút ra 2 câu thuộc từ hộp 2
Ta xác định được:
Thay vào công thức ta suy ra kết quả
Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là
; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được
điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là
. Sai||Đúng
b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là
. Sai||Đúng
c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn
. Sai||Đúng
Bạn Bình đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để Bình hoàn thành câu dễ là ; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ bạn được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình bạn được
điểm và làm đúng mỗi câu khó bạn được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là . Sai||Đúng
b) Khi Bình làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để bạn làm đúng 2 trong số 3 câu là . Sai||Đúng
c) Khi Bình làm 3 câu thì xác suất để bạn làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất Bình làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn . Sai||Đúng
Gọi A là biến cố Bình làm đúng câu dễ
B là biến cố Bình làm đúng câu trung bình
C là biến cố Bình làm đúng câu khó.
Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để Bình làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là
.
Khẳng định sai.
b) Xác suất để Bình làm đúng 2 trong số 3 câu là
= 0,2.0,6.0,15 + 0,8.0,4.0,15 + 0,8.0,6.0,85 = 0,474
Khẳng định sai.
c) Xác suất để Bình làm đúng 3 câu đủ ba loại là:
Xác suất Bình làm sai 3 câu mức độ trung bình. .
Khẳng định đúng.
d) Để Bình làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:
TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai
TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình
Vậy xác suất cần tìm là
Khẳng định sai.
Cho hai biến cố
với
. Giá trị
bằng:
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.
Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.
Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có: .
Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng
.Đúng||Sai
b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng
. Đúng||Sai
c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng
. Đúng||Sai
d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng
. Sai||Đúng
Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng .Đúng||Sai
b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng . Đúng||Sai
c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng . Đúng||Sai
d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng . Sai||Đúng
Gọi là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”
Gọi là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”
a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”
Ta có:
Mà
Vậy
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
.
Trong danh sách sĩ số hai lớp 12 có 95 học sinh, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi kiểm tra chất lượng có 23 học sinh đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách. Tìm xác suất gọi được học sinh đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ?
Gọi A là biến cố “gọi được học sinh nữ”
Gọi B là biến cố “gọi được học sinh đạt điểm giỏi”
Ta đi tính . Ta có:
Khi đó: .
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là
.Đúng||Sai
b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là
Sai||Đúng
c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là
. Đúng||Sai
d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là
. Đúng||Sai
Một thùng có các hộp loại I và loại II, trong đó có 2 hộp loại I, mỗi hộp có 13 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm và có 3 hộp loại II, mỗi hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Số cách chọn được 2 sản phẩm tốt trong hộp loại I là .Đúng||Sai
b) Xác suất chọn được 2 phế phẩm trong hộp loại II là Sai||Đúng
c) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, xác suất để hai sản phẩm này đều tốt là . Đúng||Sai
d) Chọn ngẫu nhiên trong thùng một hộp và từ hộp đó lấy ra hai sản phẩm để kiểm tra, giả sử hai sản phẩm đó đều tốt thì xác suất để hai sản phẩm đó thuộc hộp loại I là . Đúng||Sai
a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là cách.
b) Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là cách.
Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là cách
Vậy xác suất chọn được hai phế phẩm là: .
c) Gọi A: “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.
Và B: “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.
Xác suất chọn hộp loại I là và xác suất chọn hộp loại II là
Gọi C là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.
Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là
Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là
Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là:
d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là
Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là
. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là
. Nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là
. Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả hai bài?
Gọi A: “Làm đúng bài thứ nhất”.
Và B: “Làm đúng bài thứ hai”
Khi đó biến cố: “làm đúng cả hai bài” là
Theo bài ta có:
Do đó:
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Vậy
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một đợt xổ số phát hành
vé, trong đó có
vé có thưởng. Một người mua
vé
. Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng
Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.
: “người đó không có vé trúng thưởng”
Ta có: khi đó
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Cách 1:
Mà
Do đó:
Cách 2: Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số chấm chẵn. Tính xác suất tổng số chấm hai lần tung bằng
?
Gọi Ti: "Tổng số nốt hai lần tung bằng i"
Nj,k: "Số nốt trên lần tung thứ j bằng k"
Ta tìm
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.
Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
, với
.
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai|| Đúng
d)
Sai|| Đúng
Cho hai biến cố và
, với
.
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai|| Đúng
d) Sai|| Đúng
a) Ta có:
b)
c)
d)
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất
, máy II sản xuất
và máy III sản xuất
tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là
. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất?
Gọi Ai: “Sản phẩm do máy i sản xuất”
A: “Sản phẩm là phế phẩm”
Ta có: A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Theo công thức Bayes ta có:
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Điều trị một trong 3 phương pháp cho bệnh nhân đã khỏi, tìm phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất?
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Ta có:
Vậy phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất là phương pháp III.
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
Giả sử
email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là
và có
những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Gọi A: “Email nhận được là email rác”.
Và B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.
Vì 5% email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là
b) Xác suất email bị lọc của email rác là .
c) Xác suất email nhận được không phải rác là
Xác suất email bị lọc của email không phải rác là
Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là
d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là
.
Có ba hộp giống nhau:
Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm.
Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính phẩm.
Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm.
Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm?
Gọi A là biến cố: “Lấy được chính phẩm”. Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với ba biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố:
- Sản phẩm lấy ra thuốc hộp I.
- Sản phẩm lấy ra thuốc hộp II.
- Sản phẩm lấy ra thuốc hộp III.
Vì theo giả thiết của bài toán, các biến cố ;
;
là đồng khả năng, do đó:
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố ;
;
xảy ra bằng:
Do đó:
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có
về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn
số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là
. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là
. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay
E2 là biến cố tan học đi chơi game
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Để gây đột biến cho một tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen
bằng phóng xạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen
là
; do gen B là
và do cả hai gen là
. Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ có thể tác động lên gen
với xác suất
và lên gen
với xác suất
?
Gọi C là biến cố có đột biến ở tính trạng đang xét
A là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen A
B là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen B
C1 là biến cố phóng xạ chỉ tác động lên gen A
C2 là biến cố phóng xạ chỉ tác dụng lên gen B
C3 là biến cố phóng xạ tác dụng lên cả 2 gen
là biến cố phóng xạ không tác dụng lên gen nào
Khi đó hệ là một hệ đầy đủ
Mặt khác độc lập nên
Mặt khác và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi trong phiếu.
Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc.
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc.
E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ. B xảy ra với 1 trong 2 biến cố.
Ta có:
Thay vào công thức suy ra
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.
Dễ thấy . Theo công thức Bayes ta có:
Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
Gọi là "đạt
học phần ở lần thi đầu".
Khi đó, tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm
trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có
trường hợp ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.
Gọi A là biến cố đi đường ngầm suy ra là biến cố đi đường cầu
Ta xác định được
Gọi B là "về nhà sau 6 giờ tối", ta cần tính .
Sử dụng công thức Bayes:
Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?
Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cuối tuần M đến sân chơi để bắn cung, biết khoảng cách bắn tên thay đổi liên tục và khả năng bạn M bắn trúng bia tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. M bắn lần đầu ở khoảng cách
với xác suất trúng bia là
, nếu bị trượt M bắn tiếp mũi tên thứ hai ở khoảng cách
, nếu lại trượt M bắn mũi tên thứ ba ở khoảng cách
. Tính xác suất để M bắn trúng bia?
Gọi A là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ hai”
Gọi C là biến cố “M bắn trúng bia ở lần thứ ba”
Ta có:
Vì xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn nên ta có:
Ta có sơ đồ cây như sau:
Xác suất để M bắn trúng bia là:
Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là
. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là
, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là
. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài ta có:
Cần tính xác suất là C = A|B.
Sử dụng công thức Baye ta có:
Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng?
Gọi C là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng”.
Gọi D là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có 9 cách chọn, do đó:
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, do đó:
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu trắng nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là: .