Cho phương trình
. Tìm điều kiện của
để
là phương trình đường tròn có bán kính bằng
.
Cho phương trình
. Tìm điều kiện của
để
là phương trình đường tròn có bán kính bằng
.
Đường tròn
đi qua điểm
và tiếp xúc với hai trục tọa độ
có phương trình là:
Vì thuộc góc phần tư (IV) nên
Khi đó:
Tìm tất cả các giá trị của
để hai đường thẳng
và
trùng nhau.
Đường tròn
đi qua hai điểm
và có tâm
thuộc đường thẳng
Phương trình của đường tròn
là:
Ta có:
Vậy đường tròn cần tìm là:
Biết điểm
. Giả sử
thì khoảng cách từ điểm
đến các tiêu điểm của
bằng bao nhiêu?
Ta có: và
Có hai điểm M thỏa mãn là:
Tiêu điểm của là:
Vậy đáp án cần tìm là: và
.
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của hypebol có
gấp đôi
và đi qua điểm
là:
Ta có: .
Phương trình chính tắc: .
Vì thuộc hypebol nên:
.
Do đó, phương trình chính tắc: .
Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C):
là:
Tâm và bán kính đường tròn (C) là:
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm M(a; b)?
Vectơ chỉ phương của OM là .
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Cho phương trình
. Điều kiện của
để phương trình đã cho là phương trình đường tròn là
Điều kiện: .
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng
và
. Hình chữ nhật có đỉnh
. Tính diện tích của hình chữ nhật.
Đáp án: 2
Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng và
. Hình chữ nhật có đỉnh
. Tính diện tích của hình chữ nhật.
Đáp án: 2
Ta có: .
Do không thuộc hai đường thẳng
và
nên độ dài hai cạnh kề nhau của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ
đến hai đường thẳng
.
Ta có:
Cho tam giác
có phương trình các cạnh
lần lượt là
và trực tâm
. Phương trình tổng quát của cạnh
là:
Ta có: nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình:
Ta có
Điểm
Ta có: nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:
Đường thẳng BC đi qua điểm B nhận làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Tìm giá trị của tham số
để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng một góc vuông?
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Viết phương trình tham số của đường thẳng
có phương trình
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến là
nên có vectơ chỉ phương là:
.
Vậy phương trình tham số của là:
.
Tìm tọa độ tâm
của đường tròn đi qua ba điểm
,
,
.
Đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
có phương trình tham số là:
Ta có:
Cho Hyperbol
. Hãy tìm tọa độ điểm
trên
thỏa mãn
thuộc nhánh phải và
nhỏ nhất (ngắn nhất).
Ta có:
Gọi .
Ta có: .
thuộc nhánh phải của
nên
.
nhỏ nhất bằng
khi
.
Viết phương trình đường thẳng
đi qua giao điểm hai đường thẳng
và cosin góc giữa
với đường thẳng
một góc bằng
?
Gọi A là giao điểm hai đường thẳng , khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Phương trình đường thẳng có dạng
Vì
Mặt khác
Với
Với
Vậy phương trình đường thẳng là: .
Hypebol có nửa trục thực là
, tiêu cự bằng
có phương trình chính tắc là:
Ta có :
Phương trình chính tắc của Hyperbol là
Đường thẳng
đi qua giao điểm của hai đường thẳng
và
đồng thời tạo với đường thẳng
một góc
có phương trình:
Ta có gọi
. Khi đó
Tọa độ tâm
và bán kính
của đường tròn
là:
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Hypebol?
Phương trình Hypebol có dạng
Vậy phương trình cần tìm là .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tam giác
có
. Phương trình đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ đỉnh
của tam giác
là:
Gọi I là trung điểm của AC. Ta có:
Đường trung tuyến BI đi qua điểm B và nhận làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng là:
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là .
Trong mặt phẳng
, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?
Phương trình chính tắc của elip có dạng nên chọn phương án
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình
. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho?
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
?
Ta có: suy ra hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau.
Cho đường tròn (C) có phương trình
. Đường tròn (C) còn được viết dưới dạng nào trong các dạng dưới đây:
Ta có:
.
Cho đường thẳng
và
. Tính cosin góc tạo bởi giữa hai đường thẳng trên.
.
Cho hypebol
và đường thẳng
. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của
đến
bằng giá trị nào sau đây?
Ta có: . Suy ra 2 tiêu điểm
.
Khoảng cách từ và
đến đường thẳng
:
Do đó .
Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng
?
Kí hiệu
(i) Xét đáp án nên chọn đáp án này.
(ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án còn lại.
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng
và trục lớn bằng
.
Phương trình chính tắc của elip:
Độ dài trục lớn .
Tiêu cự .
Ta có:
Vậy phương trình chính tắc của elip là .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
với
. Giả sử
là góc hợp hai đường thẳng đã cho. Chọn kết luận đúng?
Góc giữa hai đường thẳng và
xác định bởi công thức:
Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng
và độ dài trục thực bằng
.
Ta có : .
Phương trình chính tắc
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
và
.
Chọn
.
Trong mặt phẳng
cho các điểm
. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
là:
Có , tam giác
cân tại
.
Gọi là trung điểm của
. Phương trình
là:
.
Phương trình , phương trình
:
Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Ta có:
Thay tọa độ của và
vào phương trình
và xét tích của chúng, ta được:
nên phương trình
là
.
Tọa độ của là nghiệm của hệ
.
Vậy
.
Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác là
.
Elip
có độ dài tiêu cự bằng:
Ta có: .
Do đó độ dài tiêu cự .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.