Cho có
, đường cao
, đường phân giác trong
. Tọa độ điểm A là:
Ta có:
Mà
Vậy
Có => A là nghiệm của hệ phương trình
Cho có
, đường cao
, đường phân giác trong
. Tọa độ điểm A là:
Ta có:
Mà
Vậy
Có => A là nghiệm của hệ phương trình
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng
và ![]()
Elip
có tổng độ dài trục lớn và trục bé bằng:
Ta có: .
Tổng độ dài trục lớn và bé là: .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
?
Ta có:
Vậy hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
cắt nhau nhưng không vuông góc.
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng:
và
.
Ta có: . Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Tọa độ tâm
và bán kính
của đường tròn
là:
Cho hai đường thẳng
và
có phương trình lần lượt là
và
. Xét hệ
. Khi đó hai đường cắt nhau khi và chỉ khi:
Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ có nghiệm duy nhất.
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Phương trình chính tắc của đường elip với
,
là
Phương trình chính tắc .
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng
và
đến đường thẳng
bằng:
Trong mặt phẳng tọa độ
,cho tam giác
có tọa độ các điểm
. Đường thẳng
đi qua
và song song với
có phương trình tổng quát là:
Ta có:
Phương trình tổng quát AC là:
Đường thẳng song song với
nên d có dạng
Do điểm
Vậy .
Cho tọa độ hai điểm
. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
là:
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I(4; 3) và bán kính
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
Tọa độ tâm
và bán kính
của đường tròn
là:
Trong mặt phẳng
, cho tam giác
có tọa độ các điểm
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Xác định giá trị biểu thức
?
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC
Ta có:
Từ đó ta suy ra hệ phương trình:
Cho hai đường thẳng
và
với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng tạo với nhau một góc bằng nửa góc vuông?
VTPT của hai đường thẳng lần lượt là
Để hai đường thẳng tạo với nhau một góc bằng thì
Vậy .
Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Kiểm tra đường thẳng nào không chứa loại.
(Có thể kiểm tra đường thẳng nào không đi qua điểm ).
Đường thẳng
không đi qua điểm nào sau đây ?
Gọi .
Đặt Chọn
.
Cho hai đường thẳng
và
. Tìm các giá trị của tham số
để
và
hợp với nhau một góc bằng ![]()
Ta có:
Cho đường tròn
và đường thẳng
. Tìm phương trình tiếp tuyến của
song song với đường thẳng
?
Ta có: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 5
Phương trình đường thẳng song song với d có dạng
tiếp xúc với
nên
Hay
Vậy phương trình tiếp tuyến của song song với
là:
hoặc
.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn?
Phương trình có dạng
với
Ta có:
Vậy phương trình không là phương trình đường tròn.
Phương trình có dạng
với
Ta có:
Vậy phương trình không là phương trình đường tròn.
Ta có:
Vậy đường tròn có bán kính và bán kính
Phương trình không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của
khác nhau.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng
.
Elip có trục lớn gấp đôi trục bé
.
Elip có tiêu cự bằng
.
Ta có . Khi đó,
.
Phương trình chính tắc của Elip là .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Hệ số góc
của đường thẳng
là:
Ta có:
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
nên có hệ số góc
.
Vậy hệ số góc của đường thẳng là .
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
đi qua giao điểm của hai đường thẳng
,
và vuông góc với đường thẳng
.
Ta có
Vậy
Phương trình tổng quát của đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
là:
Đường thẳng đi qua điểm
và nhận
là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là .
Cho phương trình
với
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “Điểm thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi
.”
Cho parabol
. Giao điểm của
với trục hoành tại hai điểm
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
Áp dụng định lí Vi – et ta có:
Đường tròn
đi qua điểm
và tiếp xúc với đường thẳng
tại
. Phương trình của đường tròn
là:
Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng qua M vuông góc với là:
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm
với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để ba điểm
thẳng hàng?
Ta có:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương với nhau.
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi
Vậy m = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Elip?
Phương trình Elip có dạng
Vậy phương trình cần tìm là
Đường chuẩn của Parabol
là:
Từ phương trình Parabol ta có
Do đó phương trình đường chuẩn của Parabol là
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho elip
. Biết điểm
sao cho
Hãy tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ![]()
Gọi vì
(1)
Do (2)
Giải hệ gồm hai phuơng trình (1) và (2) ta đuợc
Ta có: nửa chu vi
Khoảng các từ M đến trục Ox:
Bán kính đuờng tròn nội tiếp: .
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
và
.
Trong mặt phẳng
cho các điểm
. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
là:
Gọi phương trình đường tròn là: với
Vì đường tròn đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: .
Cho hypebol (H):
. Tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực bằng:
Ta có:
Ta có: a = 6; b =3
=> Độ dài trục ảo là 6, độ dài trục thực là 12
=> Tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực là:
Với giá trị nào của
thì hai đường thẳng
và
song song?
Ta có:
Chọn
Ông Hoàng có một mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là
và
. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với Elip để làm mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức
, với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường Elip là không đáng kể.

Theo đề ta có: Diện tích là:
Vì đường tròn tiếp xúc trong, nên sẽ tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ, suy ra bán kính đường tròn: . Diện tích hình tròn
phần trồng cây lâu năm là:
Suy ra diện tích phần trồng hoa màu là: .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
có tâm
và đường thẳng
(với m là tham số). Biết đường thẳng
cắt đường tròn
tại hai điểm
phân biệt sao cho diện tích tam giác
bằng
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài?
Hình vẽ minh họa
Đường tròn (C) có tâm I(1; m) và bán kính R = 5.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Ta có IH là đường cao của tam giác IAB và
Theo bài ra ta có:
Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn có phương trình:
lần lượt là:
Tâm và bán kính đường tròn lần lượt là: I(1; 10) và R = 9
Cho phương trình Hypebol
. Độ dài trục thực của Hypebol đó là
Ta có: ta có: a = 4; b = 3
=> Độ dài trục thực của Hypebol đó là 2a = 8