Cho Hyperbol
. Hãy tìm tọa độ điểm
trên
thỏa mãn
thuộc nhánh phải và
nhỏ nhất (ngắn nhất).
Ta có:
Gọi .
Ta có: .
thuộc nhánh phải của
nên
.
nhỏ nhất bằng
khi
.
Cho Hyperbol
. Hãy tìm tọa độ điểm
trên
thỏa mãn
thuộc nhánh phải và
nhỏ nhất (ngắn nhất).
Ta có:
Gọi .
Ta có: .
thuộc nhánh phải của
nên
.
nhỏ nhất bằng
khi
.
Cho ba đường thẳng
,
,
. Phương trình đường thẳng
đi qua giao điểm của
và
, và song song với
là:
Ta có:
Vậy
Cho đường tròn
và đường thẳng
. Tìm phương trình tiếp tuyến của
vuông góc với đường thẳng
?
Ta có:
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 5
Phương trình đường thẳng vuông góc với d có dạng
tiếp xúc với
nên
Hay
Vậy phương trình tiếp tuyến của vuông góc với
là:
hoặc
.
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm vào đường thẳng ta thấy điểm thuộc đường thẳng đã cho là
.
Elip
có độ dài tiêu cự bằng:
Ta có: .
Do đó độ dài tiêu cự .
Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn có phương trình:
lần lượt là:
Tâm , bán kính
.
Phương trình đường tròn
có tâm và bán kính lần lượt là:
Ta có:
Vậy phương trình đường tròn đã cho có tâm và bán kính lần lượt là:
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Cho Elip
đi qua điểm
và có tâm sai
. Tiêu cự của
là
Gọi phương trình chính tắc của là
với
.
Vì đi qua điểm
nên
.
Lại có .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip
. Tiêu cự của (E) bằng
Phương trình chính tắc của elip có dạng: .
Do đó elip (E) có .
Tiêu cự của elip (E) bằng .
Cho Parabol
có phương trình
. Tìm đường chuẩn của
.
Từ phương trình của , ta có:
nên
.
Suy ra có tiêu điểm là
và đường chuẩn là
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, mỗi đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và chúng có cùng phương với nhau.
Trên hệ trục tọa độ cho đường tròn
. Trong các điểm sau điểm nào nằm trên đường tròn đã cho?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường tròn
ta được:
Vậy điểm thuộc đường tròn là .
Trong mặt phẳng
, cho Parabol
:
có tiêu điểm
. Tìm trên
điểm
cách
một khoảng là
.
Giả sử . Suy ra
. (1)
Từ phương trình suy ra
nên
.
Ta có: . Suy ra
. Kết hợp (1) ta có:
.
Vậy có hai điểm hoặc
thỏa mãn.
Cho Elip
và một điểm
nằm trên
Giải sử điểm
có hoành độ bằng 1. Hãy tính khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của (E).
Giả sử phương trình Ta có :
Gọi lần lượt là hai tiêu điểm của Elip
,
, ta có :
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình
. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho?
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Hãy chỉ ra vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
,
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
và
nằm cùng phía đối với
.
Khi đó điều kiện bài toán trở thành
Một Elip đi qua điểm
và có độ dài trục lớn là
. Hãy xác định phương trình chính tắc của elip đó?
Phương trình chính tắc của elip có dạng
Do (E) có độ dài trục lớn là nên
Do (E) đi qua điểm nên
Vậy phương trình chính tắc của elip là: .
Cho bốn điểm
,
,
và
. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
cắt nhau nhưng không vuông góc.
Tìm m để đường thẳng
và
tạo với nhau một góc
?
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
.
Đường tròn (C) có tâm và tiếp tuyến có dạng
Ta có
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
đi qua giao điểm của hai đường thẳng
,
và vuông góc với đường thẳng
.
Ta có
Vậy
Phương trình chính tắc của hypebol có
gấp đôi
và đi qua điểm
là:
Ta có: .
Phương trình chính tắc: .
Vì thuộc hypebol nên:
.
Do đó, phương trình chính tắc: .
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
tại điểm
.
Tâm .
Phương trình tiếp tuyến tại là:
.
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
và
.
Chọn
.
Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau.
Với giá trị nào của
thì hai đường thẳng
và
cắt nhau?
Ta có:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng
?
Kí hiệu
(i) Xét đáp án nên chọn đáp án này.
(ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án còn lại.
Cho phương trình
. Với giá trị nào của
để
là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
Ta có:
Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với đường thẳng
?
Ta cần tìm đường thẳng cắt
loại
loại
và
. Chọn
Cho phương trình
. Tìm điều kiện của
để
là phương trình đường tròn có bán kính bằng
.
Đường tròn
có tâm
và đi qua
có phương trình là:
Hay
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Hypebol?
Phương trình Hypebol có dạng
Vậy phương trình cần tìm là .
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Cho hai đường thẳng
và
với
. Nếu
vô nghiệm thì vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Số giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình .
Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì hai đường thẳng không có điểm chung, nghĩa là hai đường thẳng song song với nhau.