Cho đường tròn (C) có phương trình
. Đường tròn (C) còn được viết dưới dạng nào trong các dạng dưới đây:
Ta có:
.
Cho đường tròn (C) có phương trình
. Đường tròn (C) còn được viết dưới dạng nào trong các dạng dưới đây:
Ta có:
.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn
tại điểm
là:
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 5
Điểm
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d nhận là vecto pháp tuyến.
Vậy d có phương trình hay
.
Cho hình elip có phương trình
. Hình elip có tiêu cự trục lớn bằng:
Ta có:
Độ dài trục lớn là:
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng
?
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Hãy chỉ ra vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
.
Cho hai đường thẳng
và
. Khi đó hai đường thẳng này:
Ta có:
Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình
. Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:
Gọi r là bán kính đáy của tháp
Do khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp và do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.
Chọn điểm nằm trên hypebol nên ta có:
Vậy Bán kính đáy của tháp khoảng 22,25m.
Phương trình chính tắc của đường tròn tâm
và bán kính
là:
Phương trình đường tròn có dạng
Vì phương trình đường tròn cần tìm có tâm và bán kính
nên phương trình cần tìm là:
Đường tròn (C):
có tâm và bán kính lần lượt là:
Tâm và bán kính đường tròn (C) là: I(1; 3), R = 5
Cho Hypebol
có phương trình chính tắc là
, với
. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng là: Với
, tâm sai của hypebol là
.
Biết parabol
có phương trình đường chuẩn là
. Phương trình chính tắc của
là:
Gọi phương trình chính tắc của Parabol là:
Parabol có phương trình đường chuẩn là: nên
Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
Một Elip đi qua điểm
và có độ dài trục lớn là
. Hãy xác định phương trình chính tắc của elip đó?
Phương trình chính tắc của elip có dạng
Do (E) có độ dài trục lớn là nên
Do (E) đi qua điểm nên
Vậy phương trình chính tắc của elip là: .
Cho hai đường tròn
và
. Tìm giá trị tham số m để hai đường tròn tiếp xúc nhau?
Dễ thấy đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1
Đường tròn (C’) có tâm I(m + 1; -2m) và bán kính
Ta thấy:
điểm O nằm trong đường tròn tâm I suy ra (C) và (C’) chỉ có thể tiếp xúc trong với nhau.
Điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc trong là:
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn điều kiện là: hoặc
.
VD
1
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
đi qua giao điểm của hai đường thẳng
,
và vuông góc với đường thẳng
.
Ta có
Vậy
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
song song nhau. Đường thẳng vừa song song và cách đều với
là:
Phương trình nào dưới đây đi qua hai điểm
là:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là:
hay
.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
. Biết rằng
đi qua điểm
cắt đường thẳng
tại điểm
có
sao cho
?
Gọi là giao điểm của
và
.
Suy ra
Theo giả thiết ta có:
Khi đó
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho elip
(với
). Biết
là hai tiêu điểm. Cho điểm M di động trên
. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
.
Vì nên
.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(– 3; 2) và B(1; 4).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là (2; 1).
Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng
?
Chọn
.
Trong mặt phẳng
có đường thẳng
đi qua điểm
và tạo với đường thẳng
một góc bằng
. Biết rằng
có dạng
và
. Tính tổng hai giá trị
và
?
Gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng là:
Ta có:
Vậy ta có phương trình của là:
và
Vậy
Đường elip
có tiêu cự bằng
Ta có: ,
nên
.
Tiêu cự của elip là .
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và trục hoành.
Chọn
Cho elip
có độ dài trục lớn gấp hai lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng
. Viết phương
trình của
?
Ta có:
Mà .
Vậy phương trình :
.
Đường tròn (C):
viết được dưới dạng:
Từ phương trình đường tròn ta suy ra:
Vậy phương trình tổng quát
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Hệ số góc
của đường thẳng
là:
Ta có:
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
nên có hệ số góc
.
Vậy hệ số góc của đường thẳng là .
Cho hai đường thẳng
và
. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng đã cho?
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Ta có:
Vậy góc hợp bởi hai đường thẳng bằng .
Trong mặt phẳng
cho hai điểm
. Viết phương trình đường tròn
đi qua hai điểm
, biết rằng tâm đường tròn thuộc trục hoành?
Gọi I là tâm đường tròn
Tâm đường tròn thuộc trục hoành nên
Đường tròn đi qua hai điểm nên ta có:
Vậy đường tròn có tâm
và bán kính
Vậy phương trình đường tròn là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
là:
Gọi d là đường thẳng qua C và nhận làm vectơ chỉ phương.
Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
,
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
và đoạn thẳng
có điểm chung.
Đoạn thẳng và
có điểm chung khi và chỉ khi hai điểm
nằm khác phía so với đường thẳng
. Ta có:
Trong mặt phẳng
, cho điểm
và đường thẳng
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng (d) là:
.
Phương trình của đường thẳng (d) song song với (d’): 6x + 8y – 1 = 0 và cách (d’) một đoạn bằng 2 là:
(d’) có vectơ pháp tuyến là
Vì (d) // (d’) nên (d) cũng nhận làm vectơ pháp tuyến.
Do đó phương trình (d) có dạng:
Chọn
Vì nên khoảng cách giữa (d) và (d’) chính là
.
Do đó
hoặc
(nhận vì 19 ≠ –1) hoặc c = –21 (nhận vì –21 ≠ –1).
Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:
và
.
Cho hai đường thẳng
;
và điểm
. Phương trình đường tròn có tâm
, đi qua điểm
và tiếp xúc với
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có I là tâm đường tròn và nên
Theo giả thiết bài toán ta có:
Suy ra và bán kính
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và đường thẳng
. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho?
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d và lần lượt là
.
Khi đó góc giữa hai đường thẳng là:
Vậy góc giữa hai đường thẳng là .
Đường tròn
có tâm
thuộc đường thẳng
, bán kính
và tiếp xúc với đường thẳng
. Biết tâm
có hoành độ dương. Phương trình của đường tròn
là:
.
Vậy phương trình đường tròn là:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
và
nằm cùng phía đối với
.
Ta có: .
Để A, B nằm cùng phía đối với thì:
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và trục tung.
Chọn
.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Elip?
Phương trình Elip có dạng
Vậy phương trình cần tìm là
Cho phương trình Hypebol
. Độ dài trục thực của Hypebol đó là
Ta có: ta có: a = 4; b = 3
=> Độ dài trục thực của Hypebol đó là 2a = 8