Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Tìm giá trị của tham số
để hai đường thẳng vuông góc với nhau?
Ta có:
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Tìm giá trị của tham số
để hai đường thẳng vuông góc với nhau?
Ta có:
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình chính tắc của Hypebol?
Phương trình Hypebol có dạng
Vậy phương trình cần tìm là .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip
. Tiêu cự của (E) bằng
Phương trình chính tắc của elip có dạng: .
Do đó elip (E) có .
Tiêu cự của elip (E) bằng .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
và
. Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh
bằng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x + 3y + 5 = 0 và A(1; –3). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:
Ta có: .
Một Elip đi qua điểm
và có độ dài trục lớn là
. Hãy xác định phương trình chính tắc của elip đó?
Phương trình chính tắc của elip có dạng
Do (E) có độ dài trục lớn là nên
Do (E) đi qua điểm nên
Vậy phương trình chính tắc của elip là: .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tọa độ điểm
và hai đường thẳng
;
. Một đường tròn
có tâm
thuộc đường thẳng
, đi qua điểm
và tiếp xúc với
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có đường tròn tâm I đi qua P và tiếp xúc với đường thẳng nên
Vậy khẳng định đúng là: .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
?
Ta có:
Vậy hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Viết phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và song song với trục
.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng?
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
Chọn
Cho hai đường thẳng
và
. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng đã cho?
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Ta có:
Vậy góc hợp bởi hai đường thẳng bằng .
Cho phương trình
. Tìm điều kiện của
để
là phương trình đường tròn.
Ta có:
Tâm sai của Hyperbol
bằng:
Ta có :
Một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của
?
Ta có:
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
thì sẽ có một vectơ pháp tuyến là:
Áp dụng vào bài toán ta được:
Vectơ pháp tuyến của là:
.
Trong mặt phẳng
cho các điểm
. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
là:
Có , tam giác
cân tại
.
Gọi là trung điểm của
. Phương trình
là:
.
Phương trình , phương trình
:
Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Ta có:
Thay tọa độ của và
vào phương trình
và xét tích của chúng, ta được:
nên phương trình
là
.
Tọa độ của là nghiệm của hệ
.
Vậy
.
Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác là
.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng đi qua điểm
và song song với đường thẳng
có phương trình tổng quát là:
Đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng
có nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát:
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: .
Cho đường thẳng
. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng
?
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
vì
.
Cho Hypebol
có phương trình chính tắc là
, với
. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án sai là đáp án chứa độ dài trục lớn là .
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
, cho hai đường tròn
có phương trình lần lượt là
và elip
có phương trình
. Có bao nhiêu đường tròn
có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của elip
và
tiếp xúc với hai đường tròn
,
?
Ta có có độ dài trục lớn là
.
Khi đó đường tròn có bán kính là
. Gọi
là tâm của đường tròn
.
Xét có
vuông tại
.
Ta có ,
. Khi đó điểm
thỏa mãn:
.
Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là
hoặc
.
Cho hai đường thẳng
và
với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng tạo với nhau một góc bằng nửa góc vuông?
VTPT của hai đường thẳng lần lượt là
Để hai đường thẳng tạo với nhau một góc bằng thì
Vậy .
Tìm phương trình chính tắc của parabol
biết
có tiêu điểm là
.
Gọi phương trình chính tắc của là:
.
Do tọa độ tiêu điểm nên
.
Vậy phương trình của là:
.
Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn có phương trình:
lần lượt là:
Tâm , bán kính
.
Trên mặt phẳng tọa độ
cho tọa độ hai điểm
. Tọa độ trung điểm
của
là:
Tọa độ trung điểm I của MN là:
Vậy tọa độ trung điểm của MN là: .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
và đường thẳng
. Khi đó, phương trình đường tròn
có tâm
và đi qua hai điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: Gọi I là tâm của đường tròn (C). Vì nên
Hai điểm A, B cùng thuộc đường tròn (C) nên
Suy ra
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
Cho điểm M nằm trên ∆: x + y – 1 = 0 và cách N(–1; 3) một khoảng bằng 5. Khi đó tọa độ điểm M là:
Gọi .
Vì .
Do đó .
Ta có: .
Cho đường tròn
và đường thẳng
. Tìm phương trình tiếp tuyến của
vuông góc với đường thẳng
?
Ta có:
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 5
Phương trình đường thẳng vuông góc với d có dạng
tiếp xúc với
nên
Hay
Vậy phương trình tiếp tuyến của vuông góc với
là:
hoặc
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
và
.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm
với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để ba điểm
thẳng hàng?
Ta có:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi cùng phương với nhau.
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi
Vậy m = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Đường tròn
có tâm
thuộc đường thẳng
và tiếp xúc với hai trục tọa độ có phương trình là:
Vậy phương trình các đường tròn là :
hoặc
Đâu là đường thẳng không có điểm chung với đường thẳng
?
Kí hiệu
(i) Xét đáp án: không cùng phương nên loại.
(ii) Xét đáp án: không cùng phương nên loại.
(iii) Xét đáp án: không cùng phương nên loại.
(iv) Xét đáp án:
(Chọn)
Cho Hyperbol
. Hãy tìm tọa độ điểm
trên
thỏa mãn
thuộc nhánh phải và
nhỏ nhất (ngắn nhất).
Ta có:
Gọi .
Ta có: .
thuộc nhánh phải của
nên
.
nhỏ nhất bằng
khi
.
Cho hai đường thẳng
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: suy ra
cắt
.
Vậy khẳng định đúng là: “ cắt
”.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
Loại các đáp án và
vì không có dạng
Xét đáp án: loại.
Xét đáp án : Chọn đáp án này.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
?
Ta có: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
.
Elip có một tiêu điểm
và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng
. Phương trình chính tắc của elip là:
Gọi (E) có dạng .
Theo giả thiết ta có: .
Vậy (E) cần tìm là
Cho đường tròn
, hỏi độ dài đường kính bằng bao nhiêu?
Ta có tâm . Suy ra bán kính
.
Do đó đường kính bằng .
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng
và trục lớn bằng
.
Phương trình chính tắc của elip:
Độ dài trục lớn .
Tiêu cự .
Ta có:
Vậy phương trình chính tắc của elip là .
Đường tròn
đi qua hai điểm
và có tâm
thuộc đường thẳng
Phương trình của đường tròn
là:
Ta có:
Vậy đường tròn cần tìm là: