Cho Elip
và một điểm
nằm trên
Giải sử điểm
có hoành độ bằng 1. Hãy tính khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của (E).
Giả sử phương trình Ta có :
Gọi lần lượt là hai tiêu điểm của Elip
,
, ta có :
.
Cho Elip
và một điểm
nằm trên
Giải sử điểm
có hoành độ bằng 1. Hãy tính khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của (E).
Giả sử phương trình Ta có :
Gọi lần lượt là hai tiêu điểm của Elip
,
, ta có :
.
Cho đường thẳng
và
. Tính cosin góc tạo bởi giữa hai đường thẳng trên.
.
Với giá trị nào của
thì hai đường thẳng
và
song song?
Với loại
Với thì
Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng
?
Đường thẳng song song với đường thẳng
vì
.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
và
.
Vì nên hai đường thẳng cắt nhau.
Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là
, độ dài tiêu cự là
. Tâm sai của elip đó là
Diện tích hình chữ nhật cơ sở là , suy ra
.
Lại có .
Từ , thay vào
ta được:
.
Do đó tâm sai .
Phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
, tiếp xúc với đường thẳng
đồng thời đường tròn đi qua điểm
là:
Gọi tâm của đường tròn cần tìm là
Theo giả thiết, ta có:
Với thì đường tròn cần tìm có tâm
, bán kính
, và có phương trình là:
Với thì đường tròn cần tìm có tâm
, bán kính
, và có phương trình là:
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
Tọa độ tâm
và bán kính
của đường tròn
là:
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
với
. Giả sử
là góc hợp hai đường thẳng đã cho. Chọn kết luận đúng?
Góc giữa hai đường thẳng và
xác định bởi công thức:
Đường Hyperbol
có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây?
Ta có : . Các tiêu điểm của
là
và
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
?
Ta có: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
.
Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng
và
. Hình chữ nhật có đỉnh
. Tính diện tích của hình chữ nhật.
Đáp án: 2
Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng và
. Hình chữ nhật có đỉnh
. Tính diện tích của hình chữ nhật.
Đáp án: 2
Ta có: .
Do không thuộc hai đường thẳng
và
nên độ dài hai cạnh kề nhau của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ
đến hai đường thẳng
.
Ta có:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip
. Tiêu cự của (E) bằng
Phương trình chính tắc của elip có dạng: .
Do đó elip (E) có .
Tiêu cự của elip (E) bằng .
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
và
.
Viết phương trình đường thẳng
đi qua giao điểm hai đường thẳng
và cosin góc giữa
với đường thẳng
một góc bằng
?
Gọi A là giao điểm hai đường thẳng , khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Phương trình đường thẳng có dạng
Vì
Mặt khác
Với
Với
Vậy phương trình đường thẳng là: .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và đường thẳng
. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho?
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d và lần lượt là
.
Khi đó góc giữa hai đường thẳng là:
Vậy góc giữa hai đường thẳng là .
Cho hai điểm A(–2; 3) và B(4; –1). Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là:
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi M là trung điểm của AB với A(–2; 3) và B(4; –1).
Ta suy ra
Khi đó ta có M(1; 1).
Với A(–2; 3) và B(4; –1) ta có:
Đường thẳng d là đường trung trực của AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm M(1; 1) của AB và nhận làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra phương trình tổng quát của d là:
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và trục tung.
Chọn
.
Trong mặt phẳng tọa độ có đường thẳng
có phương trình
và đường tròn
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
tiếp xúc với đường tròn
?
Phương trình đường tròn (C) là:
Suy ra tâm đường tròn: và bán kính
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
khi và chỉ khi
Hãy xác định phương trình chính tắc của parabol
. Biết rằng
cắt đường thẳng
tại hai điểm
và
?
Phương trình chính tắc của (P) có dạng
Ta có đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm
Ta có:
Với
Với
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: .
Tọa độ tâm
và bán kính
của đường tròn
là:
Đường tròn
đi qua hai điểm
,
và có tâm
thuộc trục hoành có phương trình là:
.
Vậy đường tròn cần tìm là:
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm vào đường thẳng ta thấy điểm thuộc đường thẳng đã cho là
.
Cho đường tròn
và đường thẳng
. Tìm giá trị của tham số m để
không cắt
?
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và
Để không cắt
thì
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình
. Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:
Gọi r là bán kính đáy của tháp
Do khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp và do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.
Chọn điểm nằm trên hypebol nên ta có:
Vậy Bán kính đáy của tháp khoảng 22,25m.
Cho hai đường thẳng
và
. Khi đó hai đường thẳng này:
Ta có:
Đường tròn (C):
có tâm và bán kính lần lượt là:
Tâm và bán kính đường tròn (C) là: I(1; 3), R = 5
Đường tròn
đi qua điểm
và tiếp xúc với hai trục tọa độ
có phương trình là:
Vì thuộc góc phần tư (IV) nên
Khi đó:
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Với giá trị nào của
thì hai đường thẳng
và
song song?
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Viết phương trình đường cao
của tam giác
?
Ta có: nên đường cao AH là một vectơ pháp tuyến là
Phương trình đường cao là:
.
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình .
Phương trình chính tắc của Elip có đỉnh
và một tiêu điểm là
là
Elip có đỉnh và một tiêu điểm
.
Ta có .
Vậy phương trình .
Nhận xét nào đúng về vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
?
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Suy ra và
không cùng phương và
Suy ra hai đường thẳng cắt nhau và không vuông góc.
Cho phương trình đường thẳng
và tọa độ điểm
. Xác định tọa độ điểm
đối xứng với điểm
qua đường thẳng
?
Gọi H là chân đường cao kẻ từ điểm A đến đường thẳng (d) suy ra H(h; 5-2h)
Ta có:
Vì
A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (d).
Suy ra H là trung điểm của AA’.
Suy ra tọa độ điểm A’ là:
Vậy tọa độ điểm
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
Điều kiện để phương trình là phương trình của một đường tròn là:
Kiểm tra các đáp án ta được kết quả đúng là:
Cho parabol
. Giao điểm của
với trục hoành tại hai điểm
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
Áp dụng định lí Vi – et ta có:
Cho elip có phương trình chính tắc
. Tính tâm sai của elip.
Ta có
Tâm sai của elip là .
Cho elip đi qua điểm
và có độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục bé. Phương trình chính tắc của elip là:
Phương trình chính tắc của elip có dạng
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình chính tắc của elip là: .
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox?
Vectơ chỉ phương của trục Ox là (1; 0).