Elip
có độ dài tiêu cự bằng:
Ta có: .
Do đó độ dài tiêu cự .
Elip
có độ dài tiêu cự bằng:
Ta có: .
Do đó độ dài tiêu cự .
Trong mặt phẳng tọa độ
, mỗi đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và chúng có cùng phương với nhau.
Cho hai đường thẳng
và
với
. Nếu
vô nghiệm thì vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Số giao điểm của hai đường thẳng đã cho là nghiệm của hệ phương trình .
Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì hai đường thẳng không có điểm chung, nghĩa là hai đường thẳng song song với nhau.
Phương trình đường tròn
có tâm và bán kính lần lượt là:
Ta có:
Vậy phương trình đường tròn đã cho có tâm và bán kính lần lượt là:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Tìm điểm
thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác
bằng ![]()
Ta có
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
là:
Gọi d là đường thẳng qua C và nhận làm vectơ chỉ phương.
Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: .
Phương trình chính tắc của đường elip với
,
là
Phương trình chính tắc .
Trong mặt phẳng
cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là:
Vậy khoảng cách cần tìm bằng 8.
Trong mặt phẳng
cho điểm
. Gọi
là hình chiếu của
lên
. Phương trình tổng quát của đường thẳng
là:
Ta có: A, B là hình chiếu của M lên Ox, Oy suy ra
Khi đó phương trình đường thẳng AB là: .
Vậy phương trình tổng quát của AB là: .
Cho hai điểm
thuộc đường tròn
. Biết tâm
của đường tròn
nằm trên đường thẳng
. Tính giá trị biểu thức
?
Tâm I của đường tròn (C) nằm trên đường thẳng nên ta có:
Hai điểm thuộc đường tròn (C) nên ta suy ra đường trung trực của đoạn thẳng AB cũng đi qua tâm I.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB => M(0; 3)
Đường trung trực AB đi qua điểm M(0; 3) và nhận là vecto pháp tuyến có phương trình
Vì trung trực AB cũng đi qua tâm I nên ta có:
Từ (*) và (**) suy ra
Viết phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
và song song với trục
.
Phương trình đường tròn
có tâm và bán kính lần lượt là:
Ta có:
Vậy phương trình đã cho tâm và bán kính lần lượt là: .
Cho ba đường thẳng
,
và
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng
và song song với
?
Đường thẳng có
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng , tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng d đi qua giao điểm M có vecto pháp tuyến
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là: hay
.
Cho hyperbol
có hai tiêu điểm là
. Tìm trên một nhánh của
tọa độ hai điểm
. Biết rằng
là tam giác đều.
Ta có :
Gọi (Do
đối xứng với nhau qua
)
đều
. Thay vào
ta có:
Vậy ,
.
Cho tam giác
có phương trình các cạnh
lần lượt là
và trực tâm
. Phương trình tổng quát của cạnh
là:
Ta có: nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình:
Ta có
Điểm
Ta có: nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:
Đường thẳng BC đi qua điểm B nhận làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
.
Cho hai đường thẳng
;
và điểm
. Phương trình đường tròn có tâm
, đi qua điểm
và tiếp xúc với
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có I là tâm đường tròn và nên
Theo giả thiết bài toán ta có:
Suy ra và bán kính
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: .
Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta có:
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng đã cho bằng 1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
tiếp xúc với đường tròn
, cắt các trục
lần lượt tại các điểm
. Tam giác
có diện tích nhỏ nhất là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của đường thẳng
và
là giao điểm của đường thẳng
và
Khi đó:
Xét tam giác OAB vuông tại O ta có:
Từ (*)
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB bằng 1.
Cho hypebol (H):
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy Hypebol (H) có tiêu cự
=> Hai tiêu điểm của (H) là:
Ta có trục thực là:
Trục ảo là:
Vậy khẳng định đúng là:" Hypebol có trục thực bằng 1".
Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua hai điểm
và
là:
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm và nhận
làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình cần tìm là: .
Cho phương trình
. Điều kiện của
để phương trình đã cho là phương trình đường tròn là
Điều kiện: .
Cho một hypebol
có hai tiêu điểm là:
Ta có:
Vậy hai tiêu điểm cần tìm là: .
Hãy xác định phương trình chính tắc của parabol
. Biết rằng
cắt đường thẳng
tại hai điểm
và
?
Phương trình chính tắc của (P) có dạng
Ta có đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm
Ta có:
Với
Với
Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là: .
Cho phương trình đường tròn
. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
?
Đường tròn (C) có tâm
Vì vuông góc với đường thẳng
nên phương trình
có dạng
Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
Với thì phương trình
là
Với thì phương trình
là
Trên hệ trục tọa độ cho đường tròn
. Trong các điểm sau điểm nào nằm trên đường tròn đã cho?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường tròn
ta được:
Vậy điểm thuộc đường tròn là .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Tìm giá trị của tham số
để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng một góc vuông?
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Kiểm tra đường thẳng nào không chứa loại.
(Có thể kiểm tra đường thẳng nào không đi qua điểm ).
Đường thẳng
tạo với đường thẳng
một góc
. Tìm hệ số góc
của đường thẳng
.
gọi
Ta có:
Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Kiểm tra đường thẳng nào không chứa loại.
Có thể kiểm tra đường thẳng nào không đi qua điểm
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
và
?
Ta có:
Vậy hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm
đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng
bằng:
Tâm sai của Hyperbol
bằng:
Ta có :
Biết parabol
có phương trình đường chuẩn là
. Phương trình chính tắc của
là:
Gọi phương trình chính tắc của Parabol là:
Parabol có phương trình đường chuẩn là: nên
Suy ra phương trình chính tắc của parabol là: .
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng
và ![]()
Ta có
Tâm của đường tròn
cách trục
một khoảng bằng:
Đường trung trực của đoạn thẳng
với
,
có một vectơ pháp tuyến là:
Gọi là trung trực đoạn AB, ta có:
Cho phương trình
với
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “Điểm thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi
.”
Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hypebol
?
Ta có : .
Tâm sai . Đường chuẩn :
và
Hãy viết phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm
và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng
.
Gọi phương trình chính tắc của Elip là với
Elip đi qua điểm
suy ra
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng
suy ra
Kết hợp với điều kiện ta được
Từ suy ra
Vậy phương trình cần tìm là