Đề kiểm tra 45 phút Chương 8 Đại số tổ hợp

Xếp 8 người thành hàng ngang có cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là. cách.

 Ta có: .

Vậy số hạng cần tìm là: .

Vì lẻ và không chia hết cho 5 nên có 3 cách chọn

Số các chọn các chữ số còn lại là:

Vậy số thỏa yêu cầu bài toán.

Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96.

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 0.

Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là .

Học sinh nam có 280 cách chọn

Học sinh nữ có 325 cách chọn

Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có cách.

Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.

Số cách xếp tất cả là. .

Cách 1: Số có chữ số là từ đến nên có số.

Cách 2:

Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là: , khi đó:

có cách chọn

có cách chọn

có cách chọn

Vậy có: số.

Từ giả thiết ta suy ra .

Mặt khác: nên ta có:

Suy ra: .

Số hạng tổng quát trong khai triển là: .

Hệ số của là với thỏa mãn: .

Vậy hệ số của là .

Ta có số hạng tổng quát:

Số hạng chứa nên

Vậy hệ số của trong khai triển đã cho là: .

Mỗi cách phân công bạn An, Bình, Công vào chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của phần tử. Vậy có cách.

Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng .

Vị trí A: có 9 cách chọn từ 1 đến 9 (bỏ số 0).

Vị trí B: có 10 cách chọn từ 0 đến 9.

Vị trí C: có 10 cách chọn từ 0 đến 9.

Áp dụng quy tắc nhân, có 9.10.10 = 900 (số).

Mỗi cách xếp sinh viên vào vị trí thỏa đề là một hoán vị của phần tử.

Suy ra số cách xếp là cách.

Đa giác đều có 2020 đỉnh có 1010 đường chéo qua tâm, cứ hai đường chéo qua tâm cho ta một hình chữ nhật. Vậy số cách chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật là .

Trường hợp 1: 2 nhà toán học nữ và 1 nhà vật lý nam có cách

Trường hợp 2: 1 nhà toán học nữ và 2 nhà vật lý nam có cách

Trường hợp 3: 1 nhà toán học nữ, 1 nhà toán học nam và 1 nhà vật lý nam có cách

Theo quy tắc cộng có: cách lập.

Trường hợp 1: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng ô tô: có 10 cách.

Trường hợp 2: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng tàu hỏa: có 5 cách.

Trường hợp 3: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng máy bay: có 3 cách.

Vậy số cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B là: cách

Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là: , khi đó:

có cách chọn

có cách chọn

có cách chọn

Vậy có: số.

Số cách xếp viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. .

Số cách xếp viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. .

Số cách xếp viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. .

Số cách xếp nhóm bi thành một dãy bằng. .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng cách.

Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. .

Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.

Xét khai triển .

Gọi là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có .

Ta có:

Hay .

Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.

Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.

Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.

Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.

Ta có:

Ta có:

Ta thấy không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với ta có:

Do đó hệ số của trong khai triển thành đa thức của .

.

Vậy là giá trị cần tìm.

Mỗi tập con gồm 3 phần tử của không có số là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Số tập con gồm 3 phần tử của không có số là. .

Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là học sinh.

Số cách chọn học sinh bất kì trong học sinh là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là. cách.

Vậy có cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn một học sinh để làm việc thứ nhất, có n cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ hai có n − 1 cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ ba có n − 2 cách chọn.

Do đó có n(n−1)(n−2) = 210 cách chọn.

 Số cách lập nhóm có hai học sinh là: cách

Số học sinh còn lại 8 học sinh (vì 2 học sinh lập nhóm đầu tiên)

=> Số cách lập nhóm có 3 học sinh là: cách

Số học sinh còn lại còn 5 học sinh để lập nhóm 5 học sinh 

=> Số cách lập nhóm 5 học sinh là: cách

Mà các cách lập nhóm liên quan đến nhau

=> Số cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh là

cách.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Vậy số các số tự nhiên có thể tạo thành từ tập hợp các chữ số đã cho là số.

Ta có vecto tạo thành từ hai điểm A, B ta được vecto và .

Chọn hai điểm bất kì trong 10 điểm phân biệt là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.

=> Số vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là: vecto.

 Ta có: .

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là .

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 4 cách

Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số có thể lập được là .

Ta có:

Khai triển biểu thức như sau:

Số hạng chứa nghĩa là:

=> Số hạng cần tìm là

Gọi số in trên vé có dạng

Số cách chọn là 10 ( có thể là 0).

Số cách chọn là 9.

Số cách chọn là 8.

Số cách chọn là 7.

Số cách chọn là 6.

Vậy có 10.9.8.7.6 = 30240 cách

Số hạng chứa trong khai triển là

Số hạng chứa trong khai triển là

Do đó số hạng chứa trong khai triển đã cho là:

Vậy số hạng cần tìm là .

Vì C ngồi chính giữa nên ta có 4! = 24 cách sắp xếp

Ta có công thức của số hạng tổng quát:

Số hạng chứa khi và chỉ khi .

Vậy số hạng chứa trong khai triển là .

Xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách khác nhau nằm ngang vào 8 vị trí có 8! Cách.

Ta xem 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa là một đối tượng, 5 cuốn sách Toán là năm đối tượng.

Vì vậy số hoán vị 6 đối tượng là 6!.

Số cách xếp 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa sao cho cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là 2!.

Số cách sắp xếp 8 cuốn sách sao cho cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là 6!.2!

Số cách sắp xếp 8 cuốn sách thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8! – 6!.2! = 38880 cách.

 Công thức sai là: .

 Ta có: .

Số hạng cần tìm là: .