Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Hàm số y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

    Áp dụng công thức \sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}

    Ta có

    \sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).

    Ta có - 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị m để phương trình \sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}sin4x + m - 1
\Leftrightarrow sin4x = 2 - 2m\ (*)

    Phương trình (*) có nghiêm \Leftrightarrow - 1 \leq 2 - 2m \leq 1
\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).

    Công thức đúng là:

    \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \frac{2x-1}{{\sin x - \cos x}}

    Hàm số xác định khi

    \begin{matrix}   \Leftrightarrow \sin x - \cos x e 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \tan x e 1 \hfill \\   \Leftrightarrow x e \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Phương trình \sqrt{3} \sin 3x+\cos3x=-1

     \begin{matrix}  \sqrt 3 \sin 3x + \cos 3x =  - 1 \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x + \dfrac{1}{2}\cos 3x =  - \dfrac{1}{2} \hfill \\   \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}.\sin 3x + \sin \dfrac{\pi }{6}.\cos 3x =  - \dfrac{1}{2} \hfill \\   \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} ight) =  - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} có bao nhiêu nghiệm?

     Phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    - Với \cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x =  \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\  x =  - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\  \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered}  ight. \to có 6 nghiệm.

    - Với \cos 6\pi x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x =  \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\  x =  - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\  \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered}  ight. \tocó 6 nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức: B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a -b)

    Ta có:

    B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a +
b)\sin(a - b)

    B = \cos\left\lbrack a + b - (a - b)
ightbrack

    B = \cos2b = 1 - 2\sin^{2}b

  • Câu 8: Vận dụng

    Số nghiệm thuộc đoạn \left[ {0;15\pi } ight] của phương trình: \tan x - 1 = 0

    Điều kiện xác định x e \dfrac{\pi}{2}+k\pi,(k \in \mathbb{Z})

    \begin{matrix}  \tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \hfill \\   \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\  x \in \left[ {0;15\pi } ight];k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \leqslant 15\pi  \hfill \\   \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;...;14} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có tất cả 15 nghiệm.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách.

    Ta có: y = \sin x = \cos\left(
\frac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2}
ight)

    => Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là \frac{\pi}{2}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính giá trị \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1)
ightbrack

    Ta có:

    \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k
+ 1) ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi +
k2\pi ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi
ightbrack

    = - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = -
\frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{
\frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x +
\cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) =
\frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{
\frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x +
\cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) =
\frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    a) Điều kiện xác định của hàm số y =
cot2xlà:

    2x eq k\pi \Rightarrow x eq
\frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    b) Ta có:

    \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow
\sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \sin\left( x +
\frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} +
k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < -
\frac{\pi}{4} + k\pi < \pi

    \Rightarrow \frac{1}{4} < k <
\frac{5}{4}k\mathbb{\in
Z} suy ra k = 1

    Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

    c) Ta có: \sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow
\cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

    - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1
\Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq
1 + \sqrt{3}

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{
- 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

    d) Ta có:

    \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) =
\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) =
\sin\left( \frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3}
ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 2.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left(k\in\mathbb{ Z} ight) được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?

    Xét theo chiều dương với k =
0,1,2,3 ta thấy cung có số đo \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left(
k\mathbb{\in Z} ight) được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6}
ight)?

    Với x \in \left( -
\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)

    \begin{matrix}ightarrow 2x \in \left( - \dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{3} ight) \hfill\\ightarrow 2x + \dfrac{\pi}{6} \in \left( - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}ight) \hfill\\\end{matrix}

    Thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight) đồng biến trên khoảng \left( -
\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)

  • Câu 14: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:

     Hàm số sinx là hàm số lẻ

    => Hàm số y = sin5x, y = 3sin2x, y = 4sinx là hàm số lẻ

    Xét hàm số y = |sinx| ta có:

    Hàm số có tập xác định D = R; ∀x ∈ D thì -x ∈ D

    Ta có: f(-x) = |sin⁡( -x)| = |- sinx| = |sinx|

    => f(x)= f(-x) nên hàm số y= |sinx| là hàm số chẵn

    Vậy hàm số y = |sinx| là hàm số chẵn

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho ba góc nhọn thỏa mãn \tan\widehat{A} = \frac{1}{2};\tan\widehat{B} =\frac{1}{5};\tan\widehat{C} = \frac{1}{8}. Tính tổng số đo ba góc nhọn.

    Ta có:

    \tan\left( \widehat{A} + \widehat{B}ight) = \dfrac{\tan\widehat{A} + \tan\widehat{B}}{1 -\tan\widehat{A}.tan\widehat{B}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}}{1 -\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{5}} = \dfrac{7}{9}

    \Rightarrow \tan\left( \widehat{A} +\widehat{B} + \widehat{C} ight) = \frac{\tan\left( \widehat{A} +\widehat{B} ight) + \tan\widehat{C}}{1 - \tan\left( \widehat{A} +\widehat{B} ight).\tan\widehat{C}} = \dfrac{\dfrac{7}{9} + \dfrac{1}{8}}{1- \dfrac{7}{9}.\dfrac{1}{8}} = 1

    \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{B} +
\widehat{C} = 45^{0}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

    Ta có:

    \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình là điểm A, điểm B.

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

    Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số

    y = \sin x.\cos2x

    y = \frac{\tan x}{\tan^{2}x +1}

    y = \cos x.\sin^{3}x

    là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

    Xét hàm số y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight) ta có:

    f(x) = y = \sin^{3}x.\cos\left( x -\frac{\pi}{2} ight) = \sin^{3}x.\sin{x} = \sin^{4}x

    Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có thể hiểu như sau:

    “ Hàm số y = sinx đồng biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ II và III”.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho 2\pi < a
< \frac{5\pi}{2} . Chọn khẳng định đúng.

    Đặt a = b + 2\pi

    2\pi < a < \frac{5\pi}{2}
\Leftrightarrow 2\pi < b + 2\pi < \frac{5\pi}{2} \Leftrightarrow 0
< b < \frac{\pi}{2}

    tana = tan(b + 2\pi) = tanb >
0

    cota = \frac{1}{tana} >
0.

    Vậy \tan a > 0,\cot a > 0.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = tan2x:

    Hàm số xác định khi cos2x eq 0
\Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq
\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z}).

    Tập xác định của hàm số là: D =\mathbb{R} \setminus  \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}.

  • Câu 21: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2}
ight) thì hàm số y =
tanx đồng biến.

  • Câu 22: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \pi rad tương ứng với 180^{0}.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số lượng giác y =cos3x + cos5x

    Hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì T =\frac{2\pi}{3}

    Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì T =\frac{2\pi}{5}

    => Hàm số y = cos3x + cos5x tuần hoàn với chu kì là T =2\pi

  • Câu 24: Nhận biết

    Đổi số đo của góc 70^{0} sang đơn vị radian

    Cách 1: Áp dụng công thức \mu =
\frac{m.\pi}{180} với \mu tính bằng rad và m tính bằng độ.

    Khi đó:\mu = \frac{70.\pi}{180} =
\frac{7.\pi}{18}

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.

    Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 =

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình \cos x -m =0 vô nghiệm?

     Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.

    - Phương trình có nghiệm khi |a| \leq 1.

    - Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

    Phương trình \cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m

    Do đó, phương trình \cos x -m =0 vô nghiệm \Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  m <  - 1 \hfill \\  m > 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight..

  • Câu 26: Vận dụng

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=\sqrt{4\sin x+5} lần lượt là:

     Ta có: 

    \begin{matrix}   - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \hfill \\   \Rightarrow  - 4 \leqslant 4\sin x \leqslant 4 \hfill \\   \Rightarrow  - 4 + 5 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 4 + 5 \hfill \\   \Rightarrow 1 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 9 \hfill \\   \Rightarrow 1 \leqslant \sqrt {4\sin x + 5}  \leqslant 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Nhận biết

    Gọi x_0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Điều kiện: 1 - \sin 2x e 0 \Leftrightarrow \sin 2x e 1

    Phương trình \frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0

    \Leftrightarrow \cos 2x = 0\xrightarrow{{{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x = 1}}\left[ \begin{gathered}  \sin 2x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L) \hfill \\  \sin 2x =  - 1\,\,\,\,\,(TM) \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Cho - \frac{\pi }{4} + k\pi  > 0\xrightarrow{{}}k > \frac{1}{4}.

    Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với  k = 1 \to x = \frac{{3\pi }}{4} \in \left[ {\frac{{3\pi }}{4};\pi } ight].

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2sin^{2}x +\sqrt{3}sin2x.

    Ta có y = 2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 1 -cos2x + \sqrt{3}sin2x

    \begin{matrix}= \sqrt{3}sin2x - cos2x + 1 = 2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x -\dfrac{1}{2}cos2x ight) + 1 \\= 2\left( sin2x\cos\dfrac{\pi}{6} - \sin\dfrac{\pi}{6}cos2x ight) + 1 =2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) + 1. \\\end{matrix}

    - 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6}ight) \leq 1

    \begin{matrix}\Leftrightarrow - 1 \leq 1 + 2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) \leq3 \hfill\\\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \hfill\\\end{matrix}

    Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2{\cos ^2}x = 1?

    Ta có 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2} . Mà {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \to {\sin ^2}x = \frac{1}{2}.

    Do đó {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1. Vậy 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1.

  • Câu 30: Vận dụng

    Nếu \sin\alpha.\cos(\alpha + \beta) =\sin\beta với \alpha + \beta eq\frac{\pi}{2} + k\pi\alpha eq\frac{\pi}{2} + l\pi;\left( k;l\mathbb{\in Z} ight) thì

    Ta có:

    \begin{matrix}  \sin \alpha \cos (\alpha  + \beta ) = \sin \beta  \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin (2\alpha  + \beta ) - \dfrac{1}{2}\sin \beta  = \sin \beta  \hfill \\   \Leftrightarrow \sin (2\alpha  + \beta ) = 3\sin \beta  \hfill \\   \Leftrightarrow \sin (2\alpha  + \beta ) - \sin \beta  = \dfrac{1}{2}[\sin (2\alpha  + \beta ) + \sin \beta ] \hfill \\   \Leftrightarrow 2\cos (\alpha  + \beta ).\sin \beta  = \sin (\alpha  + \beta ).\cos \beta  \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{{\sin (\alpha  + \beta )}}{{\cos (\alpha  + \beta )}} = 2.\dfrac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }} \hfill \\   \Rightarrow \sin \alpha .\cos (\alpha  + \beta ) = \sin \beta  \hfill \\   \Leftrightarrow \tan (\alpha  + \beta ) = 2\tan \beta  \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu 0 < x < \frac{\pi }{2}

     Ta có:  y = \cos \left( {x + \pi } ight)  = -\cos x

    0 < x < \frac{\pi }{2} 

    => y = \cos \left( {x + \pi } ight) mang giá trị âm

  • Câu 32: Thông hiểu

    Hàm số y = \tan x + \cot x +
\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hàm số xác định khi và chỉ khi:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\cos x eq 0 \hfill \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow sin2x eq 0 \\\Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z}\hfill \\\end{matrix}

    Chọn k = 3 => x eq
\frac{3\pi}{2}

    Nhưng điểm \frac{3\pi}{2} thuộc khoảng (\pi + k2\pi;2\pi +
k2\pi)

    Vậy hàm số không xác định trên (\pi +
k2\pi;2\pi + k2\pi);k\mathbb{\in Z}

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Nếu \tan\alpha\tan\beta là hai nghiệm của phương trình x^{2} - px + q = 0;(q eq 0) thì P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha +
\beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta) bằng:

    Ta có: \tan\alpha\tan\beta là hai nghiệm của phương trình x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)nên theo định lí Vi – ét ta có: \left\{ \begin{matrix}
\tan\alpha + \tan\beta = p \\
\tan\alpha.tan\beta = q \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \tan(\alpha + \beta) =
\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 -
q}

    Khi đó:

    P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)

    P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack

    P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}

    P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}

    P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}

    P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}

    P = 1

  • Câu 34: Thông hiểu

    Nếu một cung tròn có số đo 3a^{0} thì số đo radian của nó là:

    Áp dụng công thức \mu =
\frac{m.\pi}{180} tương ứng với m =
3a ta được:

    \mu = \frac{m.\pi}{180} =
\frac{3a.\pi}{180} = \frac{a.\pi}{60}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức B = \cos2\alpha.\sin\alpha. Biết \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}?.

    Ta có:

    B = \cos2\alpha.\sin\alpha

    = \left( 1 - 2\sin^{2}\alphaight).\sin\alpha

    = \sin\alpha -2\sin^{3}\alpha

    \Rightarrow B = \frac{\sqrt{5}}{3} -
2.\left( \frac{\sqrt{5}}{3} ight)^{3} = -
\frac{\sqrt{5}}{27}

  • Câu 36: Nhận biết

    Phương án nào sau đây sai với mọi k\in\mathbb{ Z}?

    Ta có:

    \sin x = 0 \Leftrightarrow x =
k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy đáp án sai là: \sin x = 0
\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

  • Câu 37: Thông hiểu

    Biết \sin\alpha =
- \frac{4}{5};\left( 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2}
ight). Tính \tan\alpha?

    Ta có: 3\pi < \alpha <
\frac{7\pi}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\cos\alpha < 0 \\
\tan\alpha > 0 \\
\cot\alpha > 0 \\
\end{matrix} ight.

    Lại có \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1

    \Rightarrow \cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha = \frac{9}{25}

    \Rightarrow \cos\alpha = \pm
\frac{3}{5}

    \cos\alpha < 0 \Rightarrow
\cos\alpha = - \frac{3}{5}

    \Rightarrow \tan\alpha =
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Phương trình  \cos\frac{\pi}{3} = \cos x có nghiệm là:

    Ta có:

    \cos\frac{\pi}{3} = \cos x

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} +k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm tập nghiệm của phương trình \frac{2cosx + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sin x + 1} =
0?

    Điều kiện: \sqrt{2}\sin x + 1 eq 0
\Leftrightarrow \sin x eq - \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\x eq \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \frac{2\cos x + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sin x +1} = 0

    \Leftrightarrow 2cosx + \sqrt{2} = 0
\Leftrightarrow \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \cos x = -
\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\x = - \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi;k\mathbb{\in
Z}

    Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =
\left\{ \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 40: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình 2 \sin^{2}x-5 \sin x+3=0 thuộc \left [ 0;2\pi  ight ] là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix}  2{\sin ^2}x - 5\sin x + 3 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} ight)\left( {2\sin x - 3} ight) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin x - 1 = 0} \\   {2\sin x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\sin x = 1} \\   {\sin x = \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\  \sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: x \in \left[ {0;2\pi } ight]

    \begin{matrix}   \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \leqslant 2\pi  \hfill \\   \Rightarrow  - \dfrac{1}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{3}{4} \Rightarrow k = 0 \hfill \\ \end{matrix}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 23 lượt xem
Sắp xếp theo