Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

    Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 => loại đáp án y = \sin\frac{2x}{3}, y = \sin\frac{3x}{2}

    Tại x = 3\pi thì y = 1 thay vào hai đáp án y = \cos\frac{2x}{3} và y = \cos\frac{3x}{2} thì chỉ có y = \cos\frac{2x}{3} thỏa mãn

    Vậy đồ thị ở hình vẽ đã cho là đồ thị của hàm số y = \cos\frac{2x}{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trên đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài của cung có số đo \frac{3\pi}{4}.

    Độ dài cung tròn là: l = 20.\frac{3\pi}{4} = 15\pi(cm)

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số lượng giác y =cos3x + cos5x

    Hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì T =\frac{2\pi}{3}

    Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì T =\frac{2\pi}{5}

    => Hàm số y = cos3x + cos5x tuần hoàn với chu kì là T =2\pi

  • Câu 4: Nhận biết

    Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left(k\in\mathbb{ Z} ight) được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?

    Xét theo chiều dương với k = 0,1,2,3 ta thấy cung có số đo \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left( k\mathbb{\in Z} ight) được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:

  • Câu 5: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \cos x = - \frac{1}{2} là

    Ta có:

    \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight)

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\ \ \ \ (k \in Ζ)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn cos2\alpha = - \frac{2}{3}. Tính giá trị của biểu thức P = \left( 1 + 3\sin^{2}\alphaight)\left( 1 - 4\cos^{2}a ight).

    Ta có: cos2\alpha = -\frac{2}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2\cos^{2}\alpha - 1 = - \dfrac{2}{3} \\1 - 2\sin^{2}\alpha = - \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}cos^{2}\alpha = \dfrac{1}{6} \\sin^{2}\alpha = \dfrac{5}{6} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow P = \left( 1 + 3.\frac{5}{6}ight)\left( 1 - 4.\frac{1}{6} ight) = \frac{7}{6}

  • Câu 7: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \sin x = - 1 là

    Ta có: \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    x \in \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight) \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} \in \left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2} ight) \subset \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Nên hàm số y = \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight) .

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm số nghiệm của phương trình \sin(\cos x) = 0 trên đoạn x \in \lbrack 0;2\pibrack.

    Ta có: sin(cosx) = 0 \Leftrightarrow cosx = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})

    Vì |cosx| \leq 1 nên k = 0. Do đó phương trình \Leftrightarrow cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + m\pi(m \in \mathbb{Z})

    Vì x \in \lbrack 0;2\pibrack nên x = \frac{\pi}{2},x = \frac{3\pi}{2}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo bằng 750. Điểm N đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ, số đo cung AN là:

    Điểm N đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ nên \widehat{AON} = 180^{0} - 75^{0} = 105^{0}

    Cung lượng giác (OA;ON) ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung (OA;ON) = - 105^{0} + k.360^{0},\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}?

    Ta có: - 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - \sin x \geq 0 \\ 1 + \sin x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số được xác định khi 1 + \sin x eq 0 \Leftrightarrow x eq - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 12: Nhận biết

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 có nghiệm?

     Ta có \sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}.

    Phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - 1 \leqslant \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }} \leqslant 1

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt 3 \leqslant m \leqslant 1 + \sqrt 3 \xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {0;1;2} ight\}

    Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

    Thực hiện kiểm tra đáp án ta thấy:

    Hàm số y = \cot x là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

    Hàm số y = \frac{\sin x + 1}{\cosx} không chẵn không lẻ

    Hàm số y = tan^{2}x và hàm số y = \left| \cot x ight| là hàm số chẵn.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Phương trình 2\cos^{2}x - 3\sqrt{3}\sin2x - 4\sin^{2}x = -4 có họ nghiệm là

    Ta có:

    \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

    \Rightarrow \sin^{2}x = 1 là nghiệm của phương trình.

    \cos x eq 0 : Chia 2 vế phương trình cho \cos^{2}x ta được:

    2 - 6\sqrt{3}\tan x - 4\tan^{2}x = -4\left( 1 + \tan^{2}x ight)

    \Leftrightarrow tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi.

  • Câu 15: Vận dụng

    Phương trình \frac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 có nghiệm là:

     Điều kiện xác định: 1 + \sin x.\cos x e 0

    \begin{matrix} \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Kiểm tra điều kiện ta thấy x = \frac{3\pi }{4} + k\pi thỏa mãn

    Vậy nghiệm của phương trình là: x = \frac{3\pi }{4} + k\pi

  • Câu 16: Thông hiểu

    Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12. Số đo của góc lượng giác (OG;OP) là:

    Góc lượng giác (OG;OP) chiếm \frac{1}{4} đường tròn

    => Số đo là: \frac{1}{4}.2\pi + k2\pi= \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 17: Nhận biết

    Điều kiện xác định của hàm số: y = \cos \sqrt {x - 1} là:

     Điều kiện xác định của hàm số:

    x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Giải phương trình \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}.

    Ta có

    \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \cot(3x - 1) = \cot\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \cot\left( \frac{5\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow 3x - 1 = \frac{5\pi}{6} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{18} + k\frac{\pi}{3},k\mathbb{\in Z}

  • Câu 19: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình \sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight) là? 

     Phương trình \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 5x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x

    \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin 7x

    \Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 7x = 5x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 7x = \pi - \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

    Với  0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}

    Với 0 < \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = 0 \to x = \frac{\pi }{{18}} \hfill \\ k = 1 \to x = \frac{{2\pi }}{9} \hfill \\ k = 2 \to x = \frac{{7\pi }}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Chu kì của hàm số y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight) là k\pi. Giá trị của k là:

    Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Chu kì của hàm số y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight) là k\pi. Giá trị của k là:

    Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Ta có:

    y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight) = \frac{1}{2}\sin\left( \frac{4}{5}x ight)

    Hàm số trên có chu kì là T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{\frac{4}{5}} = \frac{5\pi}{2}

    Vậy k = \frac{5}{2}.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    a) Điều kiện xác định của hàm số y = cot2xlà:

    2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    b) Ta có:

    \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi

    \Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} mà k\mathbb{\in Z} suy ra k = 1

    Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

    c) Ta có: \sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

    - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

    d) Ta có:

    \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 2.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1 - m\sin x}{\cos x+ 2}. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [0; 10] để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2?

    Ta có:

    y.(cosx + 2) = 1 – m.sinx

    => m.sinx + y.cosx = 1 – 2y

    Phương trình có nghiệm khi

    \begin{matrix}m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \\\Rightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0 \\\end{matrix}

    Nghiệm của phương trình 3y^{2} - 4y + 1 -m^{2} = 0 là x = \frac{2 \pm\sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    => \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}\leq y \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    => \min y = \frac{2 - \sqrt{3m^{2} +1}}{3}

    Theo yêu cầu bài toán ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} < - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {3{m^2} + 1} > 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \sqrt {21} } \\ {m < - \sqrt {21} } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác m thuộc đoạn [0; 10] nên m = {5; 6; 7; 8; 9; 10}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho các hàm số y = \cos x;y = \sin x;y = \tan x;y = \cot x. Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?

    Ta có:

    y = \cos x là hàm số chẵn vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cos( - x) = \cos x = f(x)

    y = \sin x là hàm số lẻ vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \sin( - x) = - \sin x = - f(x)

    y = \tan x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \tan( - x) = - \tan x = - f(x)

    y = \cot x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cot( - x) = \cot( - x) = - f(x)

  • Câu 24: Vận dụng

    Trong tam giác ABC nếu \frac{\tan\widehat{A}}{\tan\widehat{C}} =\frac{sin^{2}\widehat{A}}{sin^{2}\widehat{C}} thì tam giác ABC là tam giác gì?

    Ta có:

    \dfrac{\tan\widehat{A}}{\tan\widehat{C}}= \dfrac{\sin^{2}\widehat{A}}{\sin^{2}\widehat{C}}

    \Leftrightarrow\dfrac{\sin\widehat{A}.\cos\widehat{C}}{\cos\widehat{A}.\sin\widehat{C}} =\dfrac{\sin^{2}\widehat{A}}{\sin^{2}\widehat{C}}

    \Leftrightarrow \sin2\widehat{C} =\sin2\widehat{A}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2\widehat{C} = 2\widehat{A} \\2\widehat{C} = \pi - 2\widehat{A} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\widehat{C} = \widehat{A} \\\widehat{C} + \widehat{A} = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy tam giác ABC có thể là tam giác cân hoặc tam giác vuông.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \tan\alpha = 2. Tính giá trị biểu thức P = \frac{sin2\alpha}{cos4\alpha +1}.

    Ta có:

    P = \dfrac{\sin2\alpha}{\cos4\alpha +1}

    P =\dfrac{\sin2\alpha}{2\cos^{2}2\alpha}

    P =\tan2\alpha.\dfrac{1}{\cos2\alpha}

    P = \dfrac{2\tan\alpha}{1 -\tan^{2}\alpha}.\dfrac{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}{2\left(\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha ight)}

    P = \dfrac{2}{1 -4}.\dfrac{\tan^{2}\alpha + 1}{1 - \tan^{2}\alpha} = \dfrac{10}{9}

  • Câu 26: Vận dụng

    Cung nào sau đây có mút trùng với B hoặc B’?

    Quan sát hình vẽ ta thấy vị trí điểm B và B’ ứng với các góc \pm \frac{\pi}{2}.

    Tương ứng với đó ta được góc trùng với các vị trí B và B’ là: \alpha = \frac{\pi}{2} + k.\pi.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm tập các định D của hàm số y =\frac{1}{\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight)}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow x - \dfrac{\pi}{2} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tập xác định D=\mathbb{R}\backslash\left\{ (1 + 2k)\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z}ight\}

  • Câu 28: Vận dụng

    Đồ thị hàm số y = \sin x được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx + 1 bằng cách:

    Ta có: y = \sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)

    Tịnh tiến đồ thị y = cosx + 1 sang phải \frac{\pi}{2} ta được đồ thị hàm số y = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) + 1

    Tiếp theo tịnh tiến đồ thị y = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) + 1 xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị hàm số y = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)

    VD

     

    0

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.

    Hàm số xác định khi và chỉ khi 

    1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1 \,\,(*)

    Mà - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 nên \left( * ight) \Leftrightarrow \sin x e 1 \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm chu kì của hàm số y = \sin\left( 5x - \frac{\pi}{4} ight)?

    Hàm số y = \sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = \frac{2\pi}{|a|}

    Áp dụng công thức trên ta suy ra hàm số y = \sin\left( 5x - \frac{\pi}{4} ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{2\pi}{5}.

  • Câu 31: Vận dụng

    Phương trình \sin x = \frac 1 2 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0; 20 \pi]?

     Cách 1:

    Ta có \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. , với k \in \mathbb {Z}

    +) 0\leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{119}}{{12}}.

    Lại có k \in \mathbb {Z} nên k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}

    +)0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{115}}{{12}}.

    Lại có k \in \mathbb {Z} nên k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}

    Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn [0; 20 \pi]

    Cách 2:

    Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn [0;2\pi] phương trình \sin x = \frac 1 2 có 2 nghiệm, tương tự với \left[ {2\pi ;4\pi } ight],\;\left[ {4\pi ;6\pi } ight],...\left[ {18\pi ;20\pi } ight].

    Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên [0; 20 \pi].

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b} với k\mathbb{\in Z} và a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018. Tính S = a - b.

    Điều kiện xác định \sin 2^{2018}x eq 0

    Ta có:

    \cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}

    = \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}

    => Phương trình tương đương

    \Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x

    \Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    => \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018

  • Câu 33: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \sin x. \cos x = \frac{1}{2} là?

     Ta có: \sin x.cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính giá trị \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    Ta có:

    \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack

    = - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tất cả các nghiệm của phương trình \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) - \sqrt 3 = 0 là:

    Ta có: \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) = \sqrt 3

    \Leftrightarrow x - {15^{\text{o}}} = {30^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}

    Vậy suy ra x = {45^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}, k \in \mathbb Z

    Nghiệm của phương trình đã cho là: x = {45^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}, k \in \mathbb Z.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho bất đẳng thức \cos2A + \frac{1}{64\cos^{4}A} - (2\cos2B + 4\sin B) +\frac{13}{4} \leq 0, với A;B;C là ba góc của tam giác ABC. Khẳng định đúng là

    Ta có:

    \begin{matrix} \cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - (2\cos 2B + 4\sin B) + \dfrac{{13}}{4} \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} + 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \leqslant \dfrac{3}{4}\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

    {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \geqslant \frac{3}{4}\left( 1 ight)

    Mà 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \geqslant 0 \text{ }(2)

    Từ (*), (1) và (2) suy ra bất đẳng thức thỏa mãn khi và chỉ khi (1) và (2) xảy ra:

    \left\{ \begin{gathered} {\cos ^2}A = \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \hfill \\ \sin B = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos A = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin B = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A = {60^0} \hfill \\ B = {30^0} \hfill \\ C = {90^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy \widehat{B} + \widehat{C} =120^{0}

  • Câu 37: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số: y = \frac{1}{{\sin x}} + 3\tan x

     Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x e 0} \\ {\cos x e 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \sin x.\cos x e 0 \hfill \\ \Rightarrow \sin 2x e 0 \Rightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có: \pi rad tương ứng với 180^{0}

    => 1rad ightarrow x^{0}

    \Rightarrow x^{0} = \frac{180.1}{\pi} =\frac{180}{\pi}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0 có nghiệm?

     Phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 1} ight)\sin x = m - 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{m - 2}}{{m + 1}}

    Để phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - \,1 \leqslant \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \leqslant 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant 1 + \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \hfill \\ \frac{{m - 2}}{{m + 1}} - 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2m - 1}}{{m + 1}} \geqslant 0 \hfill \\ - \frac{3}{{m + 1}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ m < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ m > - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \geqslant \frac{1}{2}

    là giá trị cần tìm.

  • Câu 40: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thì hàm số y = tanx đồng biến.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 52 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập