Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho góc lượng giác \alpha thỏa mãn \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi và \sin\alpha = \frac{4}{5}. Tính F = \sin2(\alpha + \pi)

    Ta có:

    F = \sin2(\alpha + \pi)

    = \sin(2\alpha + 2\pi)

    = \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha

    Từ hệ thức \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha= 1

    \Rightarrow \cos\alpha = \pm \sqrt{1 -\sin^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}

    Do \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi nên \cos\alpha = - \frac{3}{5}

    Thay \sin\alpha = \frac{4}{5};\cos\alpha =- \frac{3}{5} vào biểu thức ta được:

    F = 2.\frac{4}{5}.\left( - \frac{3}{5} ight) = - \frac{24}{25}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f(x) = \tan x là:

    Ta có: f(x) = \tan x xác định khi và chỉ khi

    \cos x eq 0

    \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là: \mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Thu gọn biểu thức A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight) thu được kết quả là:

    Áp dụng công thức về cung liên kết ta có:

    \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight) = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = \sin( - x) = - \sin x

    \sin(\pi - x) = \sin x

    \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \pi + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight)

    = - \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = - \sin( - x) = \sin x

    \sin(\pi + x) = - \sin x

    Suy ra:

    A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight)

    A = - \sin x + \sin x + \sin x - \sin x = 0

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho tam giác ABC có các góc \widehat{A};\widehat{B};\widehat{C} thỏa mãn biểu thức \sin\frac{\widehat{A}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2}- \sin\frac{\widehat{B}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} =0

    \Leftrightarrow\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{A}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{A}}{2}} =\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{B}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{B}}{2}}

    \Leftrightarrow\tan\frac{\widehat{A}}{2}\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{A}}{2} ight)= \tan\frac{\widehat{B}}{2}.\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{B}}{2}ight)

    \Leftrightarrow \tan\frac{\widehat{A}}{2} = \tan\frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B}

    Vậy tam giác ABC cân.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = tan2x:

    Hàm số xác định khi cos2x eq 0 \Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z}).

    Tập xác định của hàm số là: D =\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong các hàm sau hàm nào là hàm số chẵn?

    Xét hàm số y = -cosx

    Lấy x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    - \cos \left( { - x} ight) = - \cos x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    => Hàm số y = -cosx là hàm số chẵn.

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm chu kì T của hàm số y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x

    Ta có:

    \begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}

    Hàm số y = 3.\cos6x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = - 2\cos2x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5) tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 8: Nhận biết

    Phương án nào sau đây sai với mọi k\in\mathbb{ Z}?

    Ta có:

    \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy đáp án sai là: \sin x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tất cả các nghiệm của phương trình tan (x) = cot (x) là?

     Điều kiện \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\, \Leftrightarrow \sin 2x e 0\, \Leftrightarrow x e m\frac{\pi }{2}\,{\text{ , }}m \in \mathbb{Z}

    \tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} ight) thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 10: Nhận biết

    Với x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight), mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight) = \left( - \frac{\pi}{4} + 8\pi;\frac{\pi}{4} + 8\pi ight) thuộc góc phần tư thứ I và thứ II.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) = 1.

    Ta có \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) = 1

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Theo công thức cộng

    \cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm tập giá trị của hàm số y = 5\sin x - 12\cos x?

    Ta có:

    y = 5\sin x - 12\cos x

    =>y = 13\left( \frac{5\sin x - 12\cos x}{13}ight)

    => y = 13\left( \sin\alpha.\sin x -\cos\alpha.\cos x ight)

    y = 13cos(x + \alpha) (với \sin\alpha = \frac{5}{13};\cos\alpha =\frac{12}{13})

    Lại có:

    - 1 \leq \cos(x + \alpha) \leq 1

    \Leftrightarrow - 13 \leq 13cos(x + \alpha) \leq 13

    \Leftrightarrow - 13 \leq y \leq 13

    Vậy tập giá trị của hàm số là \lbrack - 13;13brack

  • Câu 14: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình \sin \left( {\frac{{2x}}{3} + \frac{\pi }{3}} ight) = 0 là

     Ta có \sin \left( {\frac{{2x}}{3} + \frac{\pi }{3}} ight) = 0

    \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} + \frac{\pi }{3} = k\pi

    \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = - \frac{\pi }{3} + k\pi

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    a) Điều kiện xác định của hàm số y = cot2xlà:

    2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    b) Ta có:

    \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi

    \Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} mà k\mathbb{\in Z} suy ra k = 1

    Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

    c) Ta có: \sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

    - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

    d) Ta có:

    \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 2.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}là?

     Ta có:   \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

     

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình \left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 nhận x = \frac{\pi }{{12}} làm nghiệm. 

     Vì x = \frac{\pi }{{12}}là một nghiệm của phương trình \left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1nên ta có:

    \left( {m - 2} ight).\sin \frac{{2\pi }}{{12}} = m + 1

    \Leftrightarrow \frac{{m - 2}}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \Leftrightarrow m = - \,4.

    Vậy m = - 4 là giá trị cần tìm.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho phương trình \cos^{2}2x = m + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

    Ta có:

    0 \leq \cos^{2}2x \leq 1 \Leftrightarrow0 \leq m + 1 \leq 1

    \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0 thì phương trình có nghiệm.

  • Câu 19: Vận dụng

    Tổng các nghiệm của phương trình \cos 2x - \sin 2x = 1 trong khoảng \left ( 0;2\pi  ight ) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \cos 2x - \sin 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Xét nghiệm x = k\pi

    Do x \in \left ( 0;2\pi ight ) => 0 < k\pi < 2\pi \Rightarrow k = 1

    => x = \pi

    Xét nghiệm {x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }

    Do x \in \left ( 0;2\pi ight )

    \begin{matrix} 0 < - \dfrac{\pi }{4} + k\pi < 2\pi \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} ight\} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}} \\ {k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{4}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: \frac{14\pi}{4}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3sinx + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với m thuộc tập số nguyên

    Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m

  • Câu 21: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cot\ x = \frac{\sqrt{3}}{3} có nghiệm là:

    Ta có

    \cot x = \frac{\sqrt{3}}{3}

    \Leftrightarrow \cot x = \cot\left( \frac{\pi}{3} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 22: Thông hiểu

    Biết rằng \frac{\sin\dfrac{\pi}{9} +\sin\dfrac{5\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9}} = \tan\left(\dfrac{m\pi}{n} ight) với m,n\in\mathbb{ N} và \frac{m}{n} tối giản. Khi đó kết quả nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \frac{\sin\dfrac{\pi}{9} +\sin\dfrac{5\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9}} =\frac{2\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\left( - \dfrac{2\pi}{9}ight)}{2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left( - \dfrac{2\pi}{9} ight)} =\tan\left( \dfrac{\pi}{3} ight)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1 \\ n = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n - m = 2

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 có nghiệm:

     Đặt t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)

    => \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

    Phương trình trở thành:

    \begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do  {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy để phương trình có nghiệm

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)

    Hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.

  • Câu 25: Vận dụng

    Trên đường tròn với điểm gốc là A. Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60^{0}. Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy, số đo cung AN là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \widehat{AOM} = 60^{0};\widehat{MON} = 60^{0}

    => \widehat{AON} = 120^{0}

    Khi đó số đo cung AN bằng 120^{0}.

  • Câu 26: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức T = \sin^{2}10^{0} + \sin^{2}20^{0} + ... +\sin^{2}80^{0}

    Ta có: 10^{0} + 80^{0} = 20^{0} + 70^{0} = ... = 90^{0}

    Nên các cung lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau ta có công thức \sin\left( 90^{0} - x ight) = \cos x

    Khi đó ta có:

    T = \sin^{2}10^{0} + \sin^{2}20^{0} + ...+ \sin^{2}80^{0}

    T = \left( \sin^{2}10^{0} + \cos^{2}10^{0}ight) + \left( \sin^{2}20^{0} + \cos^{2}20^{0} ight)

    + \left(\sin^{2}30^{0} + \cos^{2}0^{0} ight) + \left( \sin^{2}40^{0} +\cos^{2}40^{0} ight)

    T = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

  • Câu 27: Thông hiểu

    Biến đổi thành tích biểu thức \frac{sin7\alpha - sin5\alpha}{sin7\alpha + sin5\alpha} ta được

    Ta có \frac{sin7\alpha - sin5\alpha}{sin7\alpha + sin5\alpha} = \frac{2cos6\alpha \cdot sin\alpha}{2sin6\alpha \cdot cos\alpha} = \cot{6\alpha}.tan\alpha

  • Câu 28: Thông hiểu

    Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1+ \cos a - 2\sin^{2}2a}. Đơn giản biểu thức P ta được:

    Ta có:

    P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1 +\cos a - 2\sin^{2}2a}

    P = \frac{\sin2a + 2\cos4a.\sin a}{\cos4a +\cos a}

    P = \frac{2\sin a\cos a +2\cos4a.\sin a}{\cos4a + \cos a}

    P = \frac{2\sin a\left( \cos a + \cos4aight)}{\cos a + \cos4a}

    P = 2\sin a

  • Câu 29: Vận dụng

    Tập giá trị của hàm số y = \frac{\sin3x -2\cos3x + 10}{6\cos x\cos2x - 4\cos^{3}x + 3} có bao nhiêu số nguyên?

    Ta có:

    y = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{6cosxcos2x - 4cos^{3}x + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{3(cos3x + \cos x) - (cos3x + 3cosx) + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{2cos3x + 3}

    \Leftrightarrow (2\cos3x + 3)y = \sin3x -2\cos3x + 10

    \Leftrightarrow (2y + 2)cos3x - sin3x = 10 - 3y

    Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

    (2y + 2)^{2} + ( - 1)^{2} \geq (10 - 3y)^{2}

    \Leftrightarrow 4y^{2} + 8y + 4 + 1 \geq 100 - 60y + 9y^{2}

    \Leftrightarrow 5y^{2} - 68y + 95 \leq 0

    \Leftrightarrow \frac{34 - \sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34 + \sqrt{681}}{5}.

    Mà y\mathbb{\in Z} nên y = \{ 2;3;4;\ldots;12\}.

    Vậy tập giá trị của y có 11 số nguyên.

  • Câu 30: Nhận biết

    Hàm số y = 1-2\sin x+\tan x + \cot x không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hàm số xác định khi 

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chọn k = 3 \to x e \frac{{3\pi }}{2} nhưng điểm \frac{{3\pi }}{2} thuộc khoảng \left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)

    Vậy hàm số không xác định trong khoảng \left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)

  • Câu 31: Nhận biết

    Hàm số y = \cos x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức: B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a -b)

    Ta có:

    B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a - b)

    B = \cos\left\lbrack a + b - (a - b) ightbrack

    B = \cos2b = 1 - 2\sin^{2}b

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một đường tròn có đường kính bằng 20cm. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 35^{0} (lấy 2 chữ số thập phân).

    Cung có số đo 35^{0} thì có số đó radian là \alpha = \frac{35\pi}{180} = \frac{7\pi}{36}

    Bán kính đường tròn R = \frac{20}{2} = 10cm

    => l = R.\alpha = 10.\frac{7\pi}{36} \approx 6,11cm

  • Câu 34: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình \sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight) là? 

     Phương trình \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 5x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x

    \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin 7x

    \Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 7x = 5x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 7x = \pi - \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

    Với  0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}

    Với 0 < \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = 0 \to x = \frac{\pi }{{18}} \hfill \\ k = 1 \to x = \frac{{2\pi }}{9} \hfill \\ k = 2 \to x = \frac{{7\pi }}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Nếu \alpha +\beta + \gamma = \frac{\pi}{2} và \cot\alpha + \cot\gamma = 2\cot\beta thì \cot\alpha.\cot\gamma bằng bao nhiêu?

    Từ giả thiết ta có:

    \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\Rightarrow \beta = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \gamma)

    Ta có:

    \cot\alpha + \cot\gamma =2\cot\beta

    = 2\cot\left\lbrack \frac{\pi}{2} -(\alpha + \gamma) ightbrack = 2\tan(\alpha + \gamma)

    = 2.\frac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 -\tan\alpha.\tan\gamma}

    Mặt khác

    \dfrac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 -\tan\alpha.\tan\gamma} = \dfrac{\dfrac{1}{\cot\alpha} +\dfrac{1}{\cot\gamma}}{1 - \dfrac{1}{\cot\alpha}.\dfrac{1}{\cot\gamma}} =\dfrac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha.\cot\gamma - 1}

    \Rightarrow \cot\alpha + \cot\gamma =2.\frac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha.\cot\gamma - 1}

    \Leftrightarrow \cot\alpha.\cot\gamma - 1= 2

    \Leftrightarrow \cot\alpha.\cot\gamma =3

  • Câu 36: Thông hiểu

    Phương trình lượng giác \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) có nghiệm là:

     \begin{matrix} \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{3} = - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nghiệm phương trình là: \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)

    Ta có:

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    = \sqrt{2}\cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} - x ight) ightbrack

    = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)

    Vậy có hai đồng nhất thức.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} là?

    \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,k \in \mathbb{Z}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức A = \cos^{6}15^{0} - \sin^{6}15^{0}

    Ta có:

    \cos^{6}\alpha -\sin^{6}\alpha

    = \left( \cos^{2}\alpha ight)^{3} -\left( \sin^{2}\alpha ight)^{3}

    = \left( \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alphaight)\left( \cos^{4}\alpha + \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alpha +\sin^{4}\alpha ight)

    = \cos2\alpha.\left\lbrack \left(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ight)^{2} - \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alphaightbrack

    = \cos2\alpha.\left( 1^{2} -\dfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha ight)

    Khi đó:

    A = \cos^{6}15^{0} -\sin^{6}15^{0}

    A = \cos30^{0}.\left( 1 -\dfrac{1}{4}\sin^{2}30^{0} ight)

    A = \frac{\sqrt{3}}{2}.\left( 1 - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} ight) = \frac{15\sqrt{3}}{32}

  • Câu 40: Nhận biết

    Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được 1 vòng trong 0,1giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 6,28

    Đáp án là:

    Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được 1 vòng trong 0,1giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 6,28

    Số đo góc quay của 1 vòng là 2\pi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập