Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Nếu một cung tròn có số đo 3a^{0} thì số đo radian của nó là:

    Áp dụng công thức \mu = \frac{m.\pi}{180} tương ứng với m = 3a ta được:

    \mu = \frac{m.\pi}{180} = \frac{3a.\pi}{180} = \frac{a.\pi}{60}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    a) Điều kiện xác định của hàm số y = cot2xlà:

    2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    b) Ta có:

    \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi

    \Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} mà k\mathbb{\in Z} suy ra k = 1

    Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

    c) Ta có: \sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

    - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

    d) Ta có:

    \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 2.

  • Câu 3: Nhận biết

    Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là

    Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là luôn ngược chiều quay kim đồng hồ

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC. Khi đó D = \sin A + \sin B + \sin C tương đương với:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2} \\\dfrac{C}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{A + B}{2} \\\end{matrix} ight.\ ightarrow \left\{ \begin{matrix}\sin\dfrac{A + B}{2} = \cos\dfrac{C}{2} \\\sin\dfrac{C}{2} = \cos\dfrac{A + B}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    D = \sin A + \sin B + \sin C

    D = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A -B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}

    D = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2} +2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{C}{2}

    D = 2\cos\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A -B}{2} + \cos\frac{A + B}{2} ight)

    D =4\cos\frac{C}{2}.\cos\frac{A}{2}.\cos\frac{B}{2}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức B = \cos^{4}15^{0} - \sin^{4}15^{0} + \cos^{2}15^{0}- \sin^{2}15^{0}

    Ta có:

    B = \cos^{4}15^{0} - \sin^{4}15^{0} +\cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0}

    B = \left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0}ight)\left( \cos^{2}15^{0} + \sin^{2}15^{0} ight) + \left(\cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0} ight)

    B = \left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0}ight) + \left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0} ight)

    B = 2\left( \cos^{2}15^{0} -\sin^{2}15^{0} ight)

    B =2 \cos30^{0} =\sqrt{3}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Nếu \tan\alpha và \tan\beta là hai nghiệm của phương trình x^{2} - px + q = 0;(q eq 0) thì P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta) bằng:

    Ta có: \tan\alpha và \tan\beta là hai nghiệm của phương trình x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)nên theo định lí Vi – ét ta có: \left\{ \begin{matrix} \tan\alpha + \tan\beta = p \\ \tan\alpha.tan\beta = q \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 - q}

    Khi đó:

    P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)

    P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack

    P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}

    P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}

    P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}

    P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}

    P = 1

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = \cos 2x + \sin \frac{x}{2}

    Hàm số y = \cos 2x tuần hoàn với chu kì {T_1} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi

    Hàm số y = \sin \frac{x}{2} tuần hoàn với chu kì {T_2} = \frac{{2\pi }}{{\dfrac{1}{2}}} = 4\pi

    Suy ra hàm số y = \cos 2x + \sin \frac{x}{2} tuần hoàn với chu kì T = 4\pi

  • Câu 8: Nhận biết

    Với x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight), mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight) = \left( - \frac{\pi}{4} + 8\pi;\frac{\pi}{4} + 8\pi ight) thuộc góc phần tư thứ I và thứ II.

  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số y = 1-2\sin x+\tan x + \cot x không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hàm số xác định khi 

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chọn k = 3 \to x e \frac{{3\pi }}{2} nhưng điểm \frac{{3\pi }}{2} thuộc khoảng \left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)

    Vậy hàm số không xác định trong khoảng \left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng

    Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

    Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 => loại đáp án y = \sin\frac{2x}{3}, y = \sin\frac{3x}{2}

    Tại x = 3\pi thì y = 1 thay vào hai đáp án y = \cos\frac{2x}{3} và y = \cos\frac{3x}{2} thì chỉ có y = \cos\frac{2x}{3} thỏa mãn

    Vậy đồ thị ở hình vẽ đã cho là đồ thị của hàm số y = \cos\frac{2x}{3}

  • Câu 12: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \sin x. \cos x = \frac{1}{2} là?

     Ta có: \sin x.cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi.

  • Câu 13: Nhận biết

    Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} có bao nhiêu nghiệm?

     Phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    - Với \cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to có 6 nghiệm.

    - Với \cos 6\pi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \tocó 6 nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết rằng \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}

    \Rightarrow \frac{9\pi}{2} < 2\alpha + \frac{7\pi}{2} < 5\pi

    Xét trên đường tròn lượng giác ta thấy 2\alpha + \frac{7\pi}{2} thuộc góc phần tư thứ II nên ta có:

    \sin\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0

    \cos\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0

    \tan\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0

    \cot\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm tập các định D của hàm số y =\frac{1}{\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight)}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow x - \dfrac{\pi}{2} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tập xác định D=\mathbb{R}\backslash\left\{ (1 + 2k)\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z}ight\}

  • Câu 16: Vận dụng

    Phương trình \left( \sqrt{3}\tan x - 1 ight)\left( sin^{2}x + 1 ight) = 0 có tổng các nghiệm trên (0;\pi) bằng:

    Điều kiện xác định: \cos x eq 0 \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do sin^{2}x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R} nên phương trình đã cho tương đương với

    \sqrt{3}\tan x - 1 = 0

    \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì (0;\pi) \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2. Tính giá trị biểu thức T = \tan\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight)

    Ta có:

    T = \tan\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight)

    \Rightarrow T = \dfrac{\tan\alpha +\tan\dfrac{\pi}{4}}{1 - \tan\alpha.\tan\dfrac{\pi}{4}}

    \Rightarrow T = \frac{\tan\alpha + 1}{1- \tan\alpha}

    Theo bài ra ta có:

    \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( 2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \tan\alpha = 2

    Khi đó giá trị biểu thức T là: T = \frac{2 + 1}{1 - 2} = - 3

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho phương trình lượng giác 2cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{3} ight). Sai||Đúng

    b) Trong khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trong khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 1 nghiệm nguyên. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên ( - \pi;\pi) bằng \frac{2\pi}{3}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác 2cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{3} ight). Sai||Đúng

    b) Trong khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trong khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 1 nghiệm nguyên. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên ( - \pi;\pi) bằng \frac{2\pi}{3}. Đúng||Sai

    Phương trình  \Leftrightarrow cos(x -\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}

    \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix} ight.

    Vì x \in ( - \pi;\pi) nên:

    Với x = k2\pi ta chỉ chọn được k = 0 \Rightarrow x = 0.

    Với x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi ta chỉ chọn được k = 0 \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}.

    Vậy tổng các nghiệm bằng \frac{2\pi}{3}.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng
  • Câu 19: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} có nghiệm là ?

     Ta có: \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}

  • Câu 20: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = 3tan^{2}\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}cos^{2}\left( \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi;k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Hàm số y = cos^{2}x - \cos x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

    Ta có:

    y = cos^{2}x - \cos x = \left( \cosx - \frac{1}{2} ight)^{2} - \frac{1}{4}.

    Mà - 1 \leq \cos x \leq 1

    \begin{matrix}\Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} \leq \cos x - \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2}\\\Leftrightarrow 0 \leq \left( \cos x - \dfrac{1}{2} ight)^{2} \leq\dfrac{9}{4} \\\end{matrix}

    \begin{matrix}\Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \leq \left( \cos x - \dfrac{1}{2}ight)^{2} - \dfrac{1}{4} \leq 2 \hfill \\\Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \leq y \leq 2\overset{y\in\mathbb{Z}}{\Rightarrow}y \in \left\{ 0;1 ight\} \hfill\\\end{matrix}

    Nên có 3 giá trị thỏa mãn.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính giá trị đúng của biểu thức D = \dfrac{\tan225^{0} -\cot81^{0}.\cot69^{0}}{\cot261^{0} + \tan201^{0}}

    Ta có:

    D = \dfrac{\tan225^{0} -\cot81^{0}.\cot69^{0}}{\cot261^{0} + \tan201^{0}}

    D = \dfrac{\tan\left( 180^{0} + 45^{0}ight) - \tan 9^{0}.\cot69^{0}}{\cot\left( 180^{0} + 81^{0} ight) +\tan\left( 180^{0} + 21^{0} ight)}

    D = \dfrac{1 - \tan 9^{0}.\tan21^{0}}{\tan9^{0} + \tan21^{0}}

    D = \dfrac{1}{\tan\left( 9^{0} + 21^{0}ight)} = \frac{1}{\tan30^{0}} = \sqrt{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tập giá trị của hàm số y = {\sin ^2}x - \sin x - 1 là:

     Ta có: y = {\sin ^2}x + \sin x + 1 = {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} ight)^2} - \frac{5}{4}

    Mà \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    => - \frac{5}{4} \leqslant {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} ight)^2} - \frac{5}{4} \leqslant 1

  • Câu 24: Vận dụng

    Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9) với h tính bằng \ ^{0}C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày là:

    Do - 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t nên

    \begin{matrix}- 3 \leq 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 3 \\\Leftrightarrow 26 \leq 29 + 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 32 \\\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32 \\\end{matrix}

    Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là 32^{0}C.

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 15 + 24k(k\mathbb{\in Z})

    Do 0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow - \frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}.

    Mà k\mathbb{\in Z} nên k = 0.

    Khi đó t = 15.

    Vậy lúc 15h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.

  • Câu 25: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} là?

    \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,k \in \mathbb{Z}

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \pi rad tương ứng với 180^{0}.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Góc có số đo \frac{2.\pi}{5}đổi sang độ là:

    Cách 1: \frac{2.\pi}{5} ightarrow \frac{2.180^{0}}{5} = 72^{0}

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 3 chuyển về chế độ "độ".

    Bước 2: Bấm \frac{2.\pi}{5} SHIFT Ans 2 =

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.

    Hàm số xác định khi và chỉ khi 

    1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1 \,\,(*)

    Mà - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 nên \left( * ight) \Leftrightarrow \sin x e 1 \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 29: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình {\tan ^2}x = 3?

     Ta có {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x

    \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 3{\cos ^2}x \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1

    Vậy {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)?

    Hàm số y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) xác định khi:

    \left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \sin2x eq 0

    \Leftrightarrow 2x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 31: Vận dụng

    Tìm chu kì T của hàm số y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x

    Ta có:

    \begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}

    Hàm số y = 3.\cos6x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = - 2\cos2x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5) tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho tam giác ABC có các góc \widehat{A};\widehat{B};\widehat{C} thỏa mãn biểu thức \sin\frac{\widehat{A}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2}- \sin\frac{\widehat{B}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} =0

    \Leftrightarrow\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{A}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{A}}{2}} =\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{B}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{B}}{2}}

    \Leftrightarrow\tan\frac{\widehat{A}}{2}\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{A}}{2} ight)= \tan\frac{\widehat{B}}{2}.\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{B}}{2}ight)

    \Leftrightarrow \tan\frac{\widehat{A}}{2} = \tan\frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B}

    Vậy tam giác ABC cân.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = \sqrt 3 trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight) là?

     Phương trình \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}.

    - Với 0 < k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}} không có giá trị thỏa mãn.

    - Với 0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình 2cos (2x) =-2

    Ta có: 2 \cos 2x = -2 \Leftrightarrow \cos 2x=-1 \Leftrightarrow 2 x= \pi + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} +k \pi , \, k \in \mathbb{Z}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Phương trình \cos^{2}2x+ \cos 2x-\frac{3}{4}=0 có nghiệm là:

     \begin{matrix} {\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - \dfrac{1}{2}} ight).\left( {\cos 2x + \dfrac{3}{2}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x - \dfrac{1}{2} = 0} \\ {\cos 2x + \dfrac{3}{2} = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {tm} ight)} \\ {\cos 2x = - \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {2x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \cos x và g(x) = \sin x. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

    a) Hàm số g(x) là hàm số chẵn. Sai||Đúng

    b) Trong khoảng (0 ; 2\pi) đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai

    c) Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) + g(x) bằng 2. Sai||Đúng

    d) Hàm số y = f(x) + g(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \cos x và g(x) = \sin x. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

    a) Hàm số g(x) là hàm số chẵn. Sai||Đúng

    b) Trong khoảng (0 ; 2\pi) đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai

    c) Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) + g(x) bằng 2. Sai||Đúng

    d) Hàm số y = f(x) + g(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight). Đúng||Sai

    a) Sai

    TXĐ: D\mathbb{= R}. Do đó \forall x \in D \Rightarrow - x \in D.

    Ta có \forall x \in D:g( - x) = \sin( - x) = - \sin(x) = - g(x) \Rightarrow g(x) là hàm số lẻ.

    b) Đúng

    Phương trình \sin x = \cos x trong khoảng (0 ; 2\pi) có hai nghiệm x = \frac{\pi}{4} và x = \frac{5\pi}{4}

    c) Sai

    Ta có: y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) , mà \forall x: - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq 1

    \Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq \sqrt{2}.

    Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = \sin x + \cos x bằng \sqrt{2}, khi \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 1.

    d) Đúng

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \sin x + \cos x bằng - \sqrt{2}, khi \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 37: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức T = \sin^{2}10^{0} + \sin^{2}20^{0} + ... +\sin^{2}80^{0}

    Ta có: 10^{0} + 80^{0} = 20^{0} + 70^{0} = ... = 90^{0}

    Nên các cung lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau ta có công thức \sin\left( 90^{0} - x ight) = \cos x

    Khi đó ta có:

    T = \sin^{2}10^{0} + \sin^{2}20^{0} + ...+ \sin^{2}80^{0}

    T = \left( \sin^{2}10^{0} + \cos^{2}10^{0}ight) + \left( \sin^{2}20^{0} + \cos^{2}20^{0} ight)

    + \left(\sin^{2}30^{0} + \cos^{2}0^{0} ight) + \left( \sin^{2}40^{0} +\cos^{2}40^{0} ight)

    T = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?

    Xét hàm số y = sinx:

    Lấy x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    \sin \left( { - x} ight) = - \sin x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - x

    Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = \sin \frac{\pi }{3} có nghiệm là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = \sin \dfrac{\pi }{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Công thức đúng là: sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập