Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Chọn đáp án sai

    Trong khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight), hàm số y = \sin x - \cos x là hàm số:

    Ta thấy:

    Trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight) hàm y =f(x)= \sin x đồng biến và hàm y= g(x)= - \cos x đồng biến

    => Trên \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight) hàm số y = \sin x - \cos x đồng biến.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho phương trình \sin x =\frac {1}{2}, nghiệm của phương trình là:

     Ta có: \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,k \in Z

  • Câu 3: Nhận biết

    Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = \sin 3x và y = \sin x bằng nhau?

     Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = x + k2\pi \hfill \\ 3x = \pi - x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 4: Nhận biết

    Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu \sin\alpha;cos\alpha cùng dấu?

    Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì \sin\alpha;cos\alpha cùng dấu

  • Câu 5: Nhận biết

    Đổi số đo của góc 70^{0} sang đơn vị radian

    Cách 1: Áp dụng công thức \mu = \frac{m.\pi}{180} với \mu tính bằng rad và m tính bằng độ.

    Khi đó:\mu = \frac{70.\pi}{180} = \frac{7.\pi}{18}

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.

    Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 =

  • Câu 6: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \cos x = - \frac{1}{2} là

    Ta có:

    \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight)

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\ \ \ \ (k \in Ζ)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}?

    Ta có: - 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - \sin x \geq 0 \\ 1 + \sin x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số được xác định khi 1 + \sin x eq 0 \Leftrightarrow x eq - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho ba góc nhọn thỏa mãn \tan\widehat{A} = \frac{1}{2};\tan\widehat{B} =\frac{1}{5};\tan\widehat{C} = \frac{1}{8}. Tính tổng số đo ba góc nhọn.

    Ta có:

    \tan\left( \widehat{A} + \widehat{B}ight) = \dfrac{\tan\widehat{A} + \tan\widehat{B}}{1 -\tan\widehat{A}.tan\widehat{B}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}}{1 -\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{5}} = \dfrac{7}{9}

    \Rightarrow \tan\left( \widehat{A} +\widehat{B} + \widehat{C} ight) = \frac{\tan\left( \widehat{A} +\widehat{B} ight) + \tan\widehat{C}}{1 - \tan\left( \widehat{A} +\widehat{B} ight).\tan\widehat{C}} = \dfrac{\dfrac{7}{9} + \dfrac{1}{8}}{1- \dfrac{7}{9}.\dfrac{1}{8}} = 1

    \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 45^{0}

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = \frac{\pi }{6}như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình 2 \sin x +1 =0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     Ta có: 2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - 1}}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

    Các cung lượng giác x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi, x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm F và E.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Nếu \alpha +\beta + \gamma = \frac{\pi}{2} và \cot\alpha + \cot\gamma = 2\cot\beta thì \cot\alpha.\cot\gamma bằng bao nhiêu?

    Từ giả thiết ta có:

    \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\Rightarrow \beta = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \gamma)

    Ta có:

    \cot\alpha + \cot\gamma =2\cot\beta

    = 2\cot\left\lbrack \frac{\pi}{2} -(\alpha + \gamma) ightbrack = 2\tan(\alpha + \gamma)

    = 2.\frac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 -\tan\alpha.\tan\gamma}

    Mặt khác

    \dfrac{\tan\alpha + \tan\gamma}{1 -\tan\alpha.\tan\gamma} = \dfrac{\dfrac{1}{\cot\alpha} +\dfrac{1}{\cot\gamma}}{1 - \dfrac{1}{\cot\alpha}.\dfrac{1}{\cot\gamma}} =\dfrac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha.\cot\gamma - 1}

    \Rightarrow \cot\alpha + \cot\gamma =2.\frac{\cot\alpha + \cot\gamma}{\cot\alpha.\cot\gamma - 1}

    \Leftrightarrow \cot\alpha.\cot\gamma - 1= 2

    \Leftrightarrow \cot\alpha.\cot\gamma =3

  • Câu 11: Nhận biết

    Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2\cos x - \sqrt 3 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có 2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Nhận thấy với nghiệm x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x không tuần hoàn. Thật vậy:

    Tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}.

    Giả sử f\left( {x + T} ight) = f\left( x ight),{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}

    \Leftrightarrow \left( {x + T} ight) + \sin \left( {x + T} ight) = x + \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}

    .\Leftrightarrow T + \sin \left( {x + T} ight) = \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}} (*)

    Cho x = 0 và x = π, ta được

    \left\{ \begin{gathered} T + \sin x = \sin 0 = 0 \hfill \\ T + \sin \left( {\pi + T} ight) = \sin \pi = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \xrightarrow{{}}2T + \sin T + \sin \left( {\pi + T} ight) = 0 \Leftrightarrow T = 0

    Điều này trái với định nghĩa là T > 0

    Vậy hàm số y = x + \sin x không phải là hàm số tuần hoàn.

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos x và y = \frac{{\sin x}}{x} không tuần hoàn.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo bằng 750. Điểm N đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ, số đo cung AN là:

    Điểm N đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ nên \widehat{AON} = 180^{0} - 75^{0} = 105^{0}

    Cung lượng giác (OA;ON) ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung (OA;ON) = - 105^{0} + k.360^{0},\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 14: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:

     Hàm số sinx là hàm số lẻ

    => Hàm số y = sin5x, y = 3sin2x, y = 4sinx là hàm số lẻ

    Xét hàm số y = |sinx| ta có:

    Hàm số có tập xác định D = R; ∀x ∈ D thì -x ∈ D

    Ta có: f(-x) = |sin⁡( -x)| = |- sinx| = |sinx|

    => f(x)= f(-x) nên hàm số y= |sinx| là hàm số chẵn

    Vậy hàm số y = |sinx| là hàm số chẵn

  • Câu 15: Vận dụng

    Tìm chu kì T của hàm số y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x

    Ta có:

    \begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}

    Hàm số y = 3.\cos6x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = - 2\cos2x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5) tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 16: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 - 2|cos3x|.

    Ta có

    \begin{matrix}- 1 \leq cos3x \leq 1 \hfill \\ \Rightarrow 0 \leq |cos3x| \leq 1 \hfill \\ \Rightarrow 0 \geq - 2|cos3x| \geq - 2 \hfill\\\end{matrix}

    \begin{matrix}\Rightarrow 1 \geq 1 - 2|cos3x| \geq - 1 \\\Rightarrow 1 \geq y \geq - 1 \hfill\\\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}M = 1 \\m = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) -\cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight).

    Ta có:

    C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) - \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    C = - 2\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4}+ x - \dfrac{\pi}{4}}{2} ight).\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4} - x +\dfrac{\pi}{4}}{2} ight)

    C = - 2\sin x.\sin\frac{\pi}{4} = -\sqrt{2}\sin x

  • Câu 19: Thông hiểu

    Hàm số y = \sin \frac{x}{5} có chu kì bằng bao nhiêu?

     Chu kì của hàm số y = \sin \frac{x}{5} là: T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| {\dfrac{1}{5}} ight|}} = 10\pi

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho \frac{\pi}{4} < x \leq \frac{3\pi}{4} và biểu thức P = \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{\pi}{4} < x \leq \frac{3\pi}{4} nên \frac{\pi}{4} < x + \frac{\pi}{4} \leq \pi

    => P = \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq 0

  • Câu 21: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2m\sin^{2}x + 4\sin x\cos x - 4\cos^{2}x = 0 vô nghiệm?

    Ta có:

    2m\sin^{2}x + 4\sin x\cos x -4\cos^{2}x = 0

    \Leftrightarrow m(1 - \cos2x) + 2\sin2x -2(1 + \cos2x) = 0

    \Leftrightarrow 2\sin2x - (m + 2)\cos2x = 2- m
    Phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow 4 +(m + 2)^{2} < (2 - m)^{2}

    \Leftrightarrow 4 + m^{2} + 4m + 4 <4 - 4m + m^{2}

    \Leftrightarrow 8m + 4 < 0\Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?

    Xét hàm số y = sinx:

    Lấy x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    \sin \left( { - x} ight) = - \sin x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - x

    Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

  • Câu 23: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thì hàm số y = tanx đồng biến.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} với - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0} là?

    4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} với - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0} là?

    4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

     Phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \sin {60^0}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = {100^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x = {160^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {50^0} + k{180^0} \hfill \\ x = {80^0} + k{180^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    • TH1: Xét nghiệm x = {50^0} + k{180^0}:

    Vì - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {50^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}

    \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \leqslant k \leqslant \frac{{13}}{{18}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {130^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {50^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    • TH2: Xét nghiệm x = {80^0} + k{180^0}:

    Vì - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {80^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}

    \Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \leqslant k \leqslant \frac{5}{9}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {100^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {80^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

     

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

    Tất các các hàm số đều có TXĐ: {\text{D}} = \mathbb{R}.

    Do đó \forall x \in {\text{D}} \Rightarrow - x \in {\text{D}}{\text{.}}

    Bây giờ ta kiểm tra f\left( { - x} ight) = f\left( x ight) hoặc f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight).

     Với y = f\left( x ight) = - \,\,\sin x. Ta có

    f\left( { - x} ight) = - \,\,\sin \left( { - x} ight) = \sin x = - \left( { - \sin x} ight)

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)

    Suy ra hàm số là hàm số lẻ.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x - \sin x. . Ta có

    f\left( { - x} ight) = \cos \left( { - x} ight) - \sin \left( { - x} ight) = \cos x + \sin x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) e \left\{ { - f\left( x ight),f\left( x ight)} ight\}

    Suy ra hàm số không chẵn không lẻ.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x + {\sin ^2}x. Ta có

    f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight) + {\sin ^2}\left( { - \,x} ight)

    = \cos \left( { - \,x} ight) + {\left[ {\sin \left( { - \,x} ight)} ight]^2}

    = \cos x + {\left[ { - \sin x} ight]^2} = \cos x + {\sin ^2}x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    Suy ra hàm số là hàm số chẵn.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x\sin x. Ta có

    f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight).\sin \left( { - \,x} ight) = - \cos x\sin x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)

     Suy ra hàm số là hàm số lẻ.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Đổi số đo của góc \frac{\pi}{12}rad sang đơn vị độ, phút, giây

    Cách 1: Từ công thức \alpha = \frac{m\pi}{180} \Rightarrow m = \left( \frac{\alpha.180}{\pi} ight)^{0}khi đó:

    m = \left( \dfrac{\dfrac{\pi}{12}.180}{\pi}ight)^{0} = 15^{0}

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

    Bước 2. Bấm (shift π ÷12) shift DRG 2 =

  • Câu 27: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \sin x. \cos x = \frac{1}{2} là?

     Ta có: \sin x.cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho phương trình lượng giác 4cos2x = m - 1\ \ (*)

    a) Với m = 5, phương trình (*) có nghiệm là x = k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight) Đúng||Sai

    b) Với m = 3, phương trình (*) có một nghiệm là x = \frac{\pi}{6} Đúng||Sai

    c) Với m = - 3 thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn \lbrack 0;2\pibrack là 3. Sai||Đúng

    d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác 4cos2x = m - 1\ \ (*)

    a) Với m = 5, phương trình (*) có nghiệm là x = k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight) Đúng||Sai

    b) Với m = 3, phương trình (*) có một nghiệm là x = \frac{\pi}{6} Đúng||Sai

    c) Với m = - 3 thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn \lbrack 0;2\pibrack là 3. Sai||Đúng

    d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng

    Thay m = 5 vào (*) ta được:

    4cos2x = 4 \Leftrightarrow cos2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Thay m = 3 vào (*) ta được:

    4cos2x = 2 \Leftrightarrow cos2x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = - \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Với k = 0 thì phương trình có nghiệm x = \frac{\pi}{6} .

    Thay m = - 3 vào (*) ta được:

    4cos2x = - 4 \Leftrightarrow cos2x = - 1

    \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì xét nghiệm trên đoạn \lbrack 0;2\pibrack nên ta có:

    0 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}

    Mà k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = \left\{ 0;1 ight\}

    Vậy với m = - 3 thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn \lbrack 0;2\pibrack là 2.

    d) Ta có: 4cos2x = m - 1 \Leftrightarrow cos2x = \frac{m - 1}{4}

    Để phương trình có nghiệm thì - 1 \leq \frac{m - 1}{4} \leq 1 \Leftrightarrow - 4 \leq m - 1 \leq 4

    \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 5 mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5 ight\}

    Vậy số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 10.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2. Tính giá trị biểu thưc P = \tan\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight).

    Theo bài ra ta có:

    \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( \pi + \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \tan\alpha = 2

    P = \tan\left( \alpha + \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 -\tan\alpha.\tan\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{2 + 1}{1 - 2} = - 3

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC. Khi đó D = \sin A + \sin B + \sin C tương đương với:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2} \\\dfrac{C}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{A + B}{2} \\\end{matrix} ight.\ ightarrow \left\{ \begin{matrix}\sin\dfrac{A + B}{2} = \cos\dfrac{C}{2} \\\sin\dfrac{C}{2} = \cos\dfrac{A + B}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    D = \sin A + \sin B + \sin C

    D = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A -B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}

    D = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2} +2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{C}{2}

    D = 2\cos\frac{C}{2}\left( \cos\frac{A -B}{2} + \cos\frac{A + B}{2} ight)

    D =4\cos\frac{C}{2}.\cos\frac{A}{2}.\cos\frac{B}{2}

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Công thức đúng là: sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha

  • Câu 32: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

    Nhắc lại lý thuyết:

    Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f\left( x ight) và p > 0, ta có:

    + Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( x ight) + p.

    + Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( x ight) - p

    + Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( {x + p} ight)

    + Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( {x - p} ight)

    Vậy đồ thị hàm số y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) được suy từ đồ thị hàm số y = \cos x bằng cách tịnh tiến sang phải \frac{\pi }{2} đơn vị.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \pi \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{B} = \pi - \widehat{C}

    Do đó \cos\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) = \cos\left( \pi - \widehat{C} ight) = - \cos\widehat{C}

    Vậy khẳng định sai là: \cos\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) = \cos\widehat{C}

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x};g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} có tập xác định D=\mathbb{ R}

    Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

    f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)

    Vậy f(x) là hàm số chẵn

    Tương tự xét hàm số g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x};D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

    \begin{matrix}g( - x) = \dfrac{\left| \sin( - 2x) ight| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( -x)}\hfill \\= \dfrac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x) \hfill\\\end{matrix}

    Vậy g(x) là hàm số chẵn.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

    Thực hiện kiểm tra đáp án ta thấy:

    Hàm số y = \cot x là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

    Hàm số y = \frac{\sin x + 1}{\cosx} không chẵn không lẻ

    Hàm số y = tan^{2}x và hàm số y = \left| \cot x ight| là hàm số chẵn.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Phương trình nào sau đây luôn vô nghiệm.

    Ta có:

    2019\sin x = 2020

    \Rightarrow \sin x = \frac{2020}{2019} > 1

    => Phương trình vô nghiệm.

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3{\sin ^2}x = {\cos ^2}x ?

     Ta có 3{\sin ^2}x = {\cos ^2}x. Chi hai vế phương trình cho {\sin ^2}x, ta được {\cot ^2}x = 3.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?

    Ta có:

    Hàm số y = \sin x.cos3x có tập xác định D\mathbb{= R} nên \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R} và

    y( - x) = \sin( - x).\cos( -3x) = - \sin x.\cos3x = - y(x)

    Suy ra hàm số y = \sin x.\cos3x là hàm số lẻ.

    Hàm số y = \cos2x là hàm số chẵn vì tập xác định D\mathbb{= R} nên \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R} và

    y( - x) = \cos( - 2x) = cos2x = y(x)

    Tương tự ta có hàm số y = \sin x là hàm số lẻ, hàm số y = \sin x + \cos x không chẵn cũng không lẻ.

  • Câu 40: Vận dụng

    Tại thủ đô A số giờ có ánh sáng mặt trời trong ngày thứ x (ở đây x là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhận được cho bởi công thức:

    T(x) = 12 + 2,83sin\left( \frac{2\pi x}{365} - \frac{32}{73} ight) với x\mathbb{\in Z};0 < x < 365.

    Hỏi vào ngày nào trong năm thì thủ đô A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

    Thủ đô A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

    12 + 2,83sin\left( \frac{2\pi x}{365} - \frac{32}{73} ight) = 10

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{2\pi x}{365} - \frac{32}{73} ight) = \frac{- 200}{283}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\dfrac{2\pi x}{365} - \dfrac{32}{73} \approx - 0,78 + k2\pi \\\dfrac{2\pi x}{365} - \dfrac{32}{73} \approx 3,93 + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \approx 34,49 + 365\pi \\ x \approx 308,30 + 365\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x\mathbb{\in Z};0 < x < 365 nên k = 0 suy ra \left\lbrack \begin{matrix} x \approx 34,69 \\ x \approx 308,30 \\ \end{matrix} ight..

    Như vậy vào khoảng ngày thứ 34 của năm tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố A sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 44 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập