Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …

    Dễ dàng dự đoán được un = n.

    Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

    Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

    Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k

    Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1

    Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1

    Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.

  • Câu 2: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = {( - 1)^n}.\frac{{{2^n}}}{n}. Tìm số hạng u_{3}

    Ta có:

    {u_3} = {( - 1)^3}.\frac{{{2^3}}}{3} = - \frac{8}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = - \frac{1}{2}, công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:

    Ta dùng công thức tổng quát u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}, hoặc u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2} để tính các số hạng của một cấp số cộng.

    Ta có u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{8} = 16. Tìm d;S_{10}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 1}, biết u_{k} = \frac{2}{13}. Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

    Ta có:

    u_{k} = \frac{k - 1}{k^{2} + 1} \Rightarrow \frac{k - 1}{k^{2} + 1} = \frac{2}{13} \Rightarrow k = 5 (do  k∈ℕ*)

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 5; công bội q = -2. Số hạng thứ sáu của (un) là:

    Ta có: {u_6} = {u_1}.{q^{6 - 1}} = 5.{\left( { - 2} ight)^5} = - 160

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{1}=-3 và d=\frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 12: Vận dụng

    Biết các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n

    Ta có: 

    Các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3

    \begin{matrix} C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} ight)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} ight)!}} = 2.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} = n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + \left( {{n^2} - n} ight)\left( {n - 2} ight) = 6n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 6{n^2} - 6n \hfill \\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 14n = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 0\left( {ktm} ight)} \\ {n = 2\left( {ktm} ight)} \\ {n = 7\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng

    Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là u_{n} có giá trị là bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;d = 4 \\ S_{m} = 561 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1;d = 4 \.u_{1} + \dfrac{n(n - 1)}{2}.d = 561 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow n + \frac{n^{2} - n}{2}.4 = 561

    \Leftrightarrow 2n^{2} - n - 561 = 0

    \Leftrightarrow n = 17

    \Rightarrow u_{n} = u_{17} = u_{1} + 16d = 1 + 16.4 = 65

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho tổng S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}.

    Khi đó công thức tính tổng S(n) là?

    S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}

    = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Đáp án là:

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: u_{1} = 1;d = 1;n = 10.

    Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

    S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}

    = \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55 (khúc gỗ).

  • Câu 17: Nhận biết

    Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2y bằng

    Ta có:

    x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20

    \Rightarrow 3x + 2y = 70

  • Câu 18: Nhận biết

    Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

    Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1

    Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1

    Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

    Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.

    Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

    Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + m = xn} \\ {z = x + 2m = x{n^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow m = x{n^2} - xn \hfill \\ \Rightarrow x + x{n^2} - xn = xn \hfill \\ \Rightarrow {n^2} - 2n + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 1 \Rightarrow m = 0 \Rightarrow x = y = z \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành 1 cấp số cộng: 7,14,21,..., 7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ \begin{gathered} {u_4} - {u_3} = 21 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \\ {{u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Cộng vế với vế của phương trình ta được:

    \begin{matrix} {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} - {u_1} = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 35331 - 1 = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}

     Vậy số 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số đã cho.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi hệ thức truy hồi u_{1} = 2, u_{n + 1} = 2u_{n} + 3. Giá trị của số hạng thứ 4 bằng

    Ta có:

    u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7,

    u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17,

    u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37.

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có {u_1} = 4;{u_2} = 1. Giá trị của {u_{10}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 1 - 4 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} ight) = - 23 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Vận dụng

    Với mọi số nguyên dương n, tổng S_{n}=n^{3}+11n chia hết cho:

    Với n=1 ta có: {S_1} = 1 + 11 = 12 không chia hết cho 9.

    Với n=2 ta có: {S_2} = {2^3} + 11.2 = 30 không chia hết cho 4 và 12

    Ta sẽ chứng minh S_{n}=n^{3}+11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n

    Giả sử khẳng định đúng với n=k nghĩa là {S_k} = {k^3} + 11k chia hết cho 6.

    Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n=k+1 tức là:

    {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11.\left( {k + 1} ight) cũng chia hết cho 6

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11.\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 11k} ight) + \left( {3{k^2} + 3k} ight) + 12 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 11k} ight) + 3k\left( {k + 1} ight) + 12 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có: \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 11k} ight) \vdots 6 \hfill \\ 12 \vdots 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. ta cần chứng minh 3k\left( {k + 1} ight) \vdots 6

    Thật vậy k\left( {k + 1} ight) là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên k\left( {k + 1} ight) \vdots 2

    Mặt khác 3k\left( {k + 1} ight) \vdots 3 và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 3k\left( {k + 1} ight) \vdots 6

    Vậy {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11k chia hết cho 6 hay S_{n}=n^{3}+11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{2} = - 6,u_{5} = 48. Tính S_{5}.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ u_{1}.q^{4} = 48 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ q^{3} = - 8 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Vậy S_{5} = \frac{3\left( 1 - ( - 2)^{5} ight)}{1 - ( - 2)} = 33.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2

    => u_n=2^n là cấp số nhân

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) được xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} - u_{n} = 2n - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un của dãy số là?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = u_{1} + 2.2 - 1 \\ u_{3} = u_{2} + 2.3 - 1 \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + 2.n - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

    un = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)

     = 2 + (n−1)(n+2) − n + 1

     = n2 + 1

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số cộng.

    Theo bài ra ta có:

    Dãy số đã cho là cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {{u_2} = 9} \end{array} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4} ight.

    => {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d = 4n + 1

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=4n+1

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 30: Nhận biết

    Biết ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?

    Để ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân thì m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các giá trị của m là S = - 3

  • Câu 31: Vận dụng

    Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

    Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

    Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

    …

    Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

    Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

    Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

    Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

    …

    Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

    Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong các dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dã số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án u_{n} = 2^{n} ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} > 0

    => Dãy số u_{n} = 2^{n} là dãy tăng.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = (2x - 1).(2x + 1)

    \Rightarrow x^{2} = 4x^{2} - 1

    \Rightarrow 3x^{2} = 1

    \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

  • Câu 34: Vận dụng

    Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?

    Đáp án u_n = \sin (n)  và In = (−1)n ⋅ n là các dãy không tăng, không giảm.

    Xét đáp án v_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}, ta có:

    v_{n} = 1 - \frac{2}{n + 1} \Rightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Suy ra (vn) là dãy số tăng.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC cân tại A, AH ⊥ BC. Các cạnh AB, AH, BC lập thành một cấp số nhân. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: AB = AC (tam giác ABC cân)

    Các cạnh BC, AB, AH lập thành cấp số nhân nên ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{q} = \dfrac{{BC}}{{AH}} = \dfrac{{2HC}}{{AH}} = 2\cot \widehat C} \\ {\dfrac{1}{q} = \dfrac{{AH}}{{AB}} = 2\sin \widehat B} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \cot \widehat C = \sin \widehat C \Rightarrow 2\cos \widehat C = {\sin ^2}\widehat C = 1 - {\cos ^2}\widehat C \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\widehat C - 2\cos \widehat C - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \widehat C = \sqrt 2 - 1;\left( {0 < \widehat C < {{90}^0}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \widehat C = \sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} ight)} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công bội của cấp số nhân là q = \frac{1}{{\sin \widehat C}} = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} ight)} }} = \frac{1}{2}.\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} ight)}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:

    Ta có: S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q} mà n = 6;q = 2;S_{n} = 189

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 - 2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{6} = 96

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}. Hỏi số \frac{1}{4096} là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

    Ta có: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096} là cấp số nhân với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}

    \Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight. Thỏa mãn!

    Ta xét đáp án : u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight. Loại

  • Câu 39: Thông hiểu

    Với giá trị nào của x;y thì các số hạng - 2;x; - 18;y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

    Ta có: các số hạng - 2;x; - 18;ylập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng u_{3} = 15;d = - 2. Tính u_{n}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập