Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho dãy số (un) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dãy số u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn vì

    \lim\left| u_{n} ight| = lim\sqrt{n} = + \infty

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

    Xét đáp án \dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} =u_{5} + u_{10}

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = \dfrac{u_{1} + 9d + u_{1} + 29d}{2} \\u_{5} + u_{10} = u_{1} + 4d + u_{1} + 9d \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{1} + 19d \\u_{5} + u_{10} = 2u_{1} + 13d \\\end{matrix} ight.

    Xét đáp án u_{90} + u_{210} = 2u_{150}

    \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2u_{1} + 298d \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.

    Vậy hệ thức đúng là u_{90} + u_{210} = 2u_{150}

  • Câu 3: Vận dụng

    Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u9 = 5u2 và u13­ = 2u6 + 5.

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} ight)} \\ {{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} ight) + 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4{u_1} - 3d = 0} \\ {{u_1} - 2d = - 5} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {d = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 4. Giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} bằng:

    Ta gọi d là công sai của cấp số cộng.

    Khi đó:

    u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}

    = 4(4 + d) + (4 + d)(4 + 2d) + 4(4 + 2d)

    = 2d^{2} + 24d + 48 = 2(d + 6)^{2} - 24\geq - 24

    Vậy giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} là -24 đạt được khi khi d = - 6.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{2n + 1}{n +2}. Số \frac{167}{84} là số hạng thứ mấy của dãy?

    Ta có u_{n} = \frac{167}{84}\Leftrightarrow \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow84(2 + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250

    Vậy \frac{167}{84} là số hạng thứ 250 của dãy số (un)

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = cos\alpha(0 < \alpha < \pi) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}},\forall n \geq 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?

    Do 0 < α < π nên
    u_{2} = \sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{2};

    u_{3} =\sqrt{\frac{1 + cos\frac{\alpha}{2}}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{4}

    Vậy u = cos\left( \frac{\alpha}{2^{n - 1}} ight) với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

    Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).

    Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có u_{k} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight).

    Ta chứng minh u_{k + 1} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight)

    Thật vậy,

    u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 +u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}}ight)}{2}}

    = \sqrt{\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)} =cos\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)

    Từ đó ta có u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2019}} ight)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} + 5 = 2\left( u_{n} + 5 ight) \\ \end{matrix} ight.. Tính số hạng thứ 2024 của dãy số đó?

    Ta có v_{n} = u_{n} + 5, \forall n \in Ν^{*} \Rightarrow v_{n + 1} = 2v_{n}, \forall n \in Ν^{*}

    Do đó \left( v_{n} ight) là cấp số nhân với v_{1} = 6, q = 2, v_{n} = 6.q^{n - 1};

    v_{2024} = 6.2^{2023} \Rightarrow u_{2024} = 6.2^{2023} - 5.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 10: Thông hiểu

    Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5;x;y;320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    Các số hạng 5;x;y;320 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\\begin{matrix}q = \dfrac{x}{5} \\y = u_{3} = u_{1}q^{2} = \dfrac{x^{2}}{5} \\320 = u_{4} = u_{1}q^{3} = \dfrac{x^{3}}{25} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 80 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{6} = u_{1} + 5d = 5 + 5.2 = 15.

    b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1).2 = 2n + 3.

    c) Áp dụng công thức tính tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{(n - 1)n}{2}d = 5n + \frac{(n - 1)n}{2}.2 = n^{2} + 4n.

    d) Ta viết lại

    S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20}

    = \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{20} ight) - \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{9} ight)

    = S_{20} - S_{9} = 480 - 117 = 363.

  • Câu 12: Nhận biết

    Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;u_{2} = 2. Khi đó số hạng 2018 là số nào?

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 2 - ( - 2) = 4

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Rightarrow u_{2018} = u_{1} + 2017d = - 2 + 2017.4 = 8066.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân với u_{n} eq 0;n \in\mathbb{N}^{*}. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Giả sử \left( u_{n} ight) là cấp số nhân công bội q thì:

    Dãy u_{1};u_{3};u_{5} là cấp số nhân công bội q^{2}.

    Dãy 3u_{1};3u_{2};3u_{3} là cấp số nhân với công bội 2q.

    Dãy \frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}} là cấp số nhân công bội \frac{1}{q}.

    Dãy u_{1} + 2;u_{2} + 2;u_{3} +2 không là cấp số nhân.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Đáp án là:

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 18: Vận dụng

    Biết các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n

    Ta có: 

    Các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3

    \begin{matrix} C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} ight)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} ight)!}} = 2.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} = n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + \left( {{n^2} - n} ight)\left( {n - 2} ight) = 6n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 6{n^2} - 6n \hfill \\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 14n = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 0\left( {ktm} ight)} \\ {n = 2\left( {ktm} ight)} \\ {n = 7\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?

     Theo bài ra ta có:

    Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 8000} \\ {d = 500} \end{array}} ight.

    => Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:

    \begin{matrix} {S_{20}} = \dfrac{{20.\left( {2{u_1} + 19.d} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{20}} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} ight) = 255000 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \cos n + \sin n. Dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với mọi n ta có:

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi \sqrt{2}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u1 = 1 và u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) (un) là dãy số bị chặn trên.

    Ta có \forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0} nên dãy số tăng.

    Vậy phát biểu (1) đúng.

    Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.

    Vậy phát biểu (2) đúng.

    Ta lại có u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

    Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

    u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}

    Mặt khác \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{1}=-3 và d=\frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong các dãy (un) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?

    Ta có:

    n2 − n + 1 < n2 + 2n + 2 (do n > 0)

    Suy ra u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1, với mọi n.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:

    Ta có: S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q} mà n = 6;q = 2;S_{n} = 189

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 - 2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{6} = 96

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;q = - 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên là 24850. Tính giá trị của biểu thức S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{48}}.{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{100}} + {u_1} = 497 \hfill \\ \Rightarrow {u_{100}} = 1 + 99d \hfill \\ \Rightarrow d = 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{50}} = 246 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có

    \begin{matrix} 5S = \dfrac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \dfrac{{{u_{49}} - {u_{48}}}}{{{u_{48}}.{u_{49}}}} + \dfrac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{50}}.{u_{49}}}} = \dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{50}}}} = 1 - \dfrac{1}{{246}} \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{49}}{{246}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight. Thỏa mãn!

    Ta xét đáp án : u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight. Loại

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 29: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình x^{3} + x^{2} + 2ax + a = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} x_{1}x_{3} = {x_{2}}^{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 1 \\ x_{1}.x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = 2a \\ x_{1}.x_{2}.x_{3} = - a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - a^{2} = {x_{2}}^{2} \\ {x_{2}}^{2} + \left( 1 + x_{2} ight)x_{2} = 2a \\ x_{1}.x_{2}.x_{3} = - a \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - a^{2} = {x_{2}}^{2} \\ x_{2} - 2 = - 2a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow - 8a^{3} = - a

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight. kiểm tra lại kết quả ta được a = - \frac{1}{2\sqrt{2}}

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 32: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{1}{3}

    => Loại đáp án A 

    Xét đáp án B: 15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 3\sqrt 2

    => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: \frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...

    {u_2} - {u_1} = \frac{1}{5} e {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}

    => Chọn đáp án C

    Xét đáp án D: \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

    => Loại đáp án D

  • Câu 33: Nhận biết

    Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 theo thứ tự tăng dần?

    Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

    Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết un = a sin(n)+b cos(n). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét |un| = |a sin(n)+b cos(n)| ≤ |a| + |b| ⇒  − (|a|+|b|) ≤ un ≤ |a| + |b|

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:

    \Rightarrow {x^2} = \left( {2x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)

    \Rightarrow {x^2} = 4{x^2} - 1

    \Rightarrow 3{x^2} = 1

    \Rightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:

    Ta có:

    Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng 3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) nên chúng lập thành cấp số cộng u_{n} = n

    ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.

    S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = 2u_{n} \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \frac{1}{2} \\u_{2} = 2u_{1} \\u_{3} = 2u_{2} \\\cdots \\u_{n} = 2u_{n - 1} \\\end{matrix} ight.

    Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots u_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n - 1} \cdot u_{1} \cdot u_{2}\ldots u_{n - 1} \Leftrightarrow u_{n} = 2^{n - 2}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Dãy số có các số hạng cho bởi - 1;1; - 1;1;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

    Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án u_{n} = 1 và u_{n} = - 1

    Ta có: u_{1} = - 1 ở các đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} và u_{n} = ( - 1)^{n + 1}

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1

    Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là u_{n} = ( - 1)^{n}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 40: Vận dụng

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 10250m^{2}, tính diện tích mặt trên cùng gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Gọi u_{0} là diện tích đế tháp và u_{n} là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n, với 1 \leq n \leq11.

    Theo giả thiết ta có: u_{n + 1} =\frac{1}{2}u_{n};\left( n \in \lbrack 0;10brack ight)

    Dãy số \left( u_{n} ight) lập thành sấp số nhân với số hạng đầu tiên là u_{0} = 10250, công sai q = \frac{1}{2}.

    Diện tích mặt trên cùng của tháp là:

    u_{11} = u_{0}.q^{11} = 10250.\left(\frac{1}{2} ight)^{11} \approx 5m^{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập