Cho cấp số nhân
có
và công bội
. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
là
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
.
Cho cấp số nhân
có
và công bội
. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
là
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
.
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Dãy số
là cấp số nhân với
Cấp số nhân
Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là:
Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên
Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là
. Xác định công sai của cấp số cộng.
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c) Cấp số cộng
thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) Cấp số cộng thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
a) Xét dãy số đã cho ta có:
nên dãy số
không tăng không giảm.
b) đúng bằng chứng minh quy nạp.
c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là
d) Từ giả thiết ta có:
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: .
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(un) có ![]()
Ta có:
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?
Ta xét đáp án Loại
Ta xét đáp án Loại
Ta xét đáp án Thỏa mãn!
Ta xét đáp án : Loại
Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng
Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6
Theo bài ra ta có:
Vậy công sai của cấp số cộng là
Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là:
Tổng bốn số hạng ở trên là:
Cho
và
là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương
, có kết luận gì về
?
Ta có:
là một số nguyên
cũng là một số nguyên
Ta sẽ chứng minh là một số nguyên.
Ta có:
là một số nguyên
Giả sử là số nguyên với
. Ta sẽ chứng minh
cũng là số nguyên.
Ta có:
Theo giả thiết quy nạp ta có:
Vậy là một số nguyên.
Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n
Xen kẽ giữa hai số -3 và 23 n số hạng để tạo thành một cấp số cộng thì:
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án
(Loại)
Xét đáp án
(Chọn)
Xét đáp án
(Loại)
Cho cấp số cộng
. Xác định
biết rằng
?
Ta có:
Khi đó:
Suy ra
Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?
Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 lập thành một cấp số cộng nên
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết
, ta thu được kết quả?
Ta có
Mà un > 0, ∀n nên un + 1 < un, ∀n ≥ 1⇒ dãy (un) là dãy số giảm.
Vì 0 < un ≤ u1 = 2, ∀n ≥ 1 nên dãy (un) là dãy bị chặn trên.
Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là
Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Cho tam giác ABC cân tại A, AH ⊥ BC. Các cạnh AB, AH, BC lập thành một cấp số nhân. Tính công bội q của cấp số nhân đó.
Ta có: AB = AC (tam giác ABC cân)
Các cạnh BC, AB, AH lập thành cấp số nhân nên ta có hệ phương trình:
Vậy công bội của cấp số nhân là
Dãy số (un) được cho bởi
. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
...
Áp dụng phương pháp quy nạp ta có un = 2n − 1.
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Gọi
là tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân đã cho có:
Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10
Ta có:
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và công sai
. Giá trị
bằng
Áp dụng công thức số hạng tổng quát
.
Tìm m để phương trình:
có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng?
Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình
Đặt , ta được phương trình:
Ta phải tìm m sao cho (*) có hai nghiệm dương phân biệt
Khi đó (*) có 4 nghiệm là
Theo đề bài thì bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng nên
Áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình (*) ta có hệ:
Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> là một cấp số nhân với công bội là q = 5
Số hạng đầu tiên của dãy là:
Cho cấp số nhân
có
. Tính
.
Ta có
Vậy .
Công bội nguyên dương của cấp số nhân
thỏa mãn
là:
Ta có:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Ta có: không có dạng
nên không phải là cấp số cộng.
Cho dãy số (un) có u1 = 1 và
.
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) (un) là dãy số tăng.
(2) (un) là dãy số bị chặn dưới.
(3) (un) là dãy số bị chặn trên.
Ta có nên dãy số tăng.
Vậy phát biểu (1) đúng.
Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.
Vậy phát biểu (2) đúng.
Ta lại có
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:
Mặt khác
Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.
Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:
Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4
Cho dãy số
xác định bởi
. Khi đó
có giá trị bằng
Theo công thức truy hồi ta có
.
Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
Ta có: d = 6 - 1 = 5
Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> x = 6 + 5 = 11
Vậy x = 11
Trong dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Vì là các dãy dương và tăng nên
là các dãy giảm
=> Loại các đáp án
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số không phải dãy tăng.
Xét đáp án
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …
Dễ dàng dự đoán được un = n.
Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1
Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Gọi
là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Và
Cho dãy số (un) được xác định như sau
. Số hạng u11 là?
Ta có:
Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số
có số hạng tổng quát
?
Ta có:
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 5; công bội q = -2. Số hạng thứ sáu của (un) là:
Ta có: