Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 2: Nhận biết

    Dãy số nào là cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}} (loại)

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}(loại)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2(thỏa mãn)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n} (loại)

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31

  • Câu 4: Nhận biết

    Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Số hạng âm trong dãy số x1; x2; x3; …; xn với x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} là?

    Ta có c_{n + 5}^{4} = \frac{(n + 5)(n +4)(n + 3)(n + 2)}{24},

    \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} = \frac{143(n +5)(n + 4)}{96}

    x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}

    = \frac{(n + 5)(n + 4)(2n + 17)(2n - 7)}{96} > 0,\forall n \geq 4,n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy các số hạng âm là x1; x2; x3.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có tổng n số hạng đầu tiên là {S_n} = {5^n} - 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó?

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = {S_1} = 5 - 1 = 4} \\ {{u_1} + {u_2} = {S_2} = {5^2} - 1 = 24} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_2} = 24 - {u_1} = 20} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5} \end{array}} ight.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho dãy số (un), biết un = n ⋅ cosn. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) ∀n ∈ ℕ* : un ≤ n.

    Vì cos(n) ≤ 1 nên un < n. Phát biểu (3) đúng.

    Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.

    Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho dãy xác định bởi công thức \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát của dãy un là?

    Ta có u_{1} = 3;u_{2} = \frac{1}{2}u_{1} = \frac{3}{2};u_{3} = \frac{1}{2}u_{2} = \frac{3}{2^{2}};\ldots

    Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

    Thật vậy, n = 1 thì u1 = 3 (đúng).

    Giả sử với n = k(k≥1) thì u_{k} = \frac{3}{2^{k - 1}}. Ta đi chứng minh u_{k + 1} = \frac{3}{2^{k}}

    Ta có u_{k + 1} = \frac{1}{2}u_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{k - 1}} = \frac{3}{2^{k}} (điều phải chứng minh).

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có u1 = 7; un + 1 = 2un + 3. Khi đó u3 bằng?

    Ta có u3 = 2u2 + 3 = 2 ⋅ (2u1+3) + 3 = 4u1 + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 1; u4 = 64. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^{4 - 1}} \hfill \\ \Rightarrow 64 = 1.{q^3} \hfill \\ \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?

     Theo bài ra ta có:

    Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 8000} \\ {d = 500} \end{array}} ight.

    => Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:

    \begin{matrix} {S_{20}} = \dfrac{{20.\left( {2{u_1} + 19.d} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{20}} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} ight) = 255000 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \hfill \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}} \hfill \\ \Rightarrow n - 1 = 10 \hfill \\ \Rightarrow n = 11 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Dãy số có các số hạng cho bởi - 1;1; - 1;1;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

    Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án u_{n} = 1 và u_{n} = - 1

    Ta có: u_{1} = - 1 ở các đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} và u_{n} = ( - 1)^{n + 1}

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1

    Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là u_{n} = ( - 1)^{n}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là u_{1} = - 6;q = - 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 2046. Xác định n.

    Ta có:

    2046 = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}

    \Rightarrow 2046 = ( - 6).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{1 - ( - 2)}

    \Rightarrow n = 10

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = 5^{n} - 1 với n = 1,2,.... Tìm số hạng đầu u_{1} và công bội q của cấp số nhân đó?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = S_{1} = 5 - 1 = 4 \\ u_{1} + u_{2} = S_{2} = 5^{2} - 1 = 24 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 4 \\ u_{2} = 24 - u_{1} = 20 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1} = 4, q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 5.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số cộng.

    Theo bài ra ta có:

    Dãy số đã cho là cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {{u_2} = 9} \end{array} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4} ight.

    => {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d = 4n + 1

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=4n+1

  • Câu 20: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 21: Vận dụng

    Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là u_{n} có giá trị là bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;d = 4 \\ S_{m} = 561 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1;d = 4 \.u_{1} + \dfrac{n(n - 1)}{2}.d = 561 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow n + \frac{n^{2} - n}{2}.4 = 561

    \Leftrightarrow 2n^{2} - n - 561 = 0

    \Leftrightarrow n = 17

    \Rightarrow u_{n} = u_{17} = u_{1} + 16d = 1 + 16.4 = 65

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho xeq 0 và x+\frac{1}{x} là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}?

    Ta có:

    T\left( {1;x} ight) = x + \frac{1}{x} là một số nguyên

    T\left( {2;x} ight) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)^2} - 2 cũng là một số nguyên

    Ta sẽ chứng minh T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} là một số nguyên.

    Ta có: 

    T\left( {1;x} ight) là một số nguyên 

    Giả sử T(n,x) là số nguyên với n \ge1. Ta sẽ chứng minh T\left( {n + 1;x} ight) cũng là số nguyên.

    Ta có: 

    \begin{matrix} T\left( {n + 1;x} ight) = {x^{n + 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n + 1}}}} \hfill \\ = \left( {x + \dfrac{1}{x}} ight).\left( {{x^n} + \dfrac{1}{{{x^n}}}} ight) - \left( {{x^{n - 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n - 1}}}}} ight) \hfill \\ = T\left( {1;x} ight).T\left( {n;x} ight) - T\left( {n - 1;x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Theo giả thiết quy nạp ta có: 

    \left\{ \begin{gathered} T\left( {1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n - 1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow T\left( {n + 1;x} ight) \in \mathbb{Z}

    Vậy T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} là một số nguyên.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) thỏa mãn u_{1} = \sqrt{2} và u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}} với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là

    Ta có u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};

    u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}

    Dự đoán u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}

    Áp dụng theo quy nạp ta có: u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, công thức (1) đúng với n = 1.

    Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}

    Ta có u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}

    = \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}

    = \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}

    = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}

    (vì 0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2} với mọi k ≥ 1 ).

    Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

    Vậy u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}. Suy ra u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = 3u_{n} \\\end{matrix},\forall n \in N^{*} ight.. Tìm số hạng tổng quát của dãy số \left( u_{n}ight).

    Ta có u_{1} = 3 và \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=3

    Suy ra dãy số \left( u_{n}ight)là cấp số nhân với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Do đó u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n -1} = 3^{n}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính tổng A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    Ta có:

    A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    A = 1.(1000 + 999) + 1.(998 + 997) + ... + 1.(2 + 1)

    A = 1999 + 1995 + ... + 3

    Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u_{1} = 1999 và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì

    u_{n} = 3

    \Leftrightarrow u_{1} + (n - 1) = 3

    \Leftrightarrow 1999 + (n - 1)( - 4) = 3

    \Leftrightarrow n = 500

    \Rightarrow T = S_{500} = \frac{\left( u_{1} + u_{500} ight).500}{2} = \frac{(1999 + 3).500}{2} = 500500

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 29: Vận dụng

    Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả?

    Ta có un ≥ 2, ∀n ⇒ (un) bị chặn dưới; dãy (un) không bị chặn trên.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho dãy số\left( {{u_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_{n + 1}} = n{u_n}} \end{array}} ight. với mọi n\geq 1. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 2 \hfill \\ {u_2} = 1{u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} = 2.{u_2} = 2.2 = 4 \hfill \\ {u_4} = 3.{u_3} = 3.4 = 12 \hfill \\ {u_5} = 4.{u_4} = 4.12 = 48 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Xét dãy số u_{n}=7-3n

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số u_{n}=7-3n là một cấp số cộng với u_1=4;d=-3

  • Câu 32: Thông hiểu

    Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:

    Ta có:

    Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng 3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) nên chúng lập thành cấp số cộng u_{n} = n

    ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.

    S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) thỏa mãn log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight). Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn \frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) thỏa mãn log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight). Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn \frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 5\ \ m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \frac{4}{5} độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 45

    Đáp án là:

    Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 5\ \ m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \frac{4}{5} độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 45

    Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là 5\ \ m.

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là \frac{4}{5}.5.2.

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2……

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần n + 1 là \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2

    Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:

    S = 5 + \frac{4}{5}.5.2 + \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2 + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2 + ...

    = 5 + 5.2.\left( \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5} ight)^{2} + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n} + ...ight)= 5 + 5.2.\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1 - \dfrac{4}{5}} = 45.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 39: Thông hiểu

    Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5;x;y;320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    Các số hạng 5;x;y;320 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\\begin{matrix}q = \dfrac{x}{5} \\y = u_{3} = u_{1}q^{2} = \dfrac{x^{2}}{5} \\320 = u_{4} = u_{1}q^{3} = \dfrac{x^{3}}{25} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 80 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị x + y là bao nhiêu? Biết:

    B = {\log _2}\left( {{a^2} + ab + } ight){b^2} + bc + {c^2} = x{\log _2}\left( {{a^2} + ac + {c^2}} ight) + y;\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight)

    Ta có: a, b, c lập thành cấp số cộng nên

    a + c = 2b => (a + c)2 = 4b2

    \begin{matrix} \Rightarrow b\left( {a + c} ight) + 2{b^2} = {\left( {a + c} ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow 2{a^2} + ab + 2{b^2} + bc + {c^2} = 2\left( {{a^2} + ac + {c^2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow B = {\log _2}\left( {{a^2} + ab + } ight){b^2} + bc + {c^2} = {\log _2}\left( {{a^2} + ac + {c^2}} ight) + 1 \hfill \\ = > x + y = 1 + 1 = 2 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 33 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập