Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho?

    Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u_{1}^{};u_{2}^{};u_{3}^{};u_{4}^{};u_{5}^{}.

    Theo đề bài ta có:

    u_{1} - u_{5} = 20

    \Leftrightarrow u_{1} - (u_{1} + 4d) = 20

    \Leftrightarrow d = - 5

    Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là d = - 5

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho tập hợp M = \left\{ 2^{1};2^{2};2^{3};...;2^{2020} ight\}. Số tập hợp con của tập hợp M gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:

    Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2^{a} < 2^{b} < 2^{c} với a,b,c \in \left\{ 1;2;...;2020 ight\}

    2^{a};2^{b};2^{c} lập thành một cấp số nhân

    Suy ra a,b,c lập thành một cấp số cộng

    \Rightarrow a + b = 2c

    Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.

    Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là C_{1010}^{2} + C_{1010}^{2} = 1019090

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = 5 và công bội q = - 2. Số hạng thứ sáu của \left( u_{n} ight) là:

    Ta có: u_{6} = u_{1}q^{5} = 5.( - 2)^{5} = - 160

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n + 5. Số 19 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

    Ta có

    u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19

    \Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7.

    Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

  • Câu 5: Vận dụng

    Nếu \frac{1}{b +c};\frac{1}{c + a};\frac{1}{a + b} theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành một cấp số cộng.

    Theo giả thiết ta có:

    \frac{2}{c + a} = \frac{1}{b + c} +\frac{1}{a + b}

    \Rightarrow \frac{c + a}{2} = \frac{(b +c)(b + a)}{2b + a + c}

    \Leftrightarrow (c + a)^{2} + 2b.(a + c)= 2\left( b^{2} + ab + bc + ac ight)

    \Leftrightarrow a^{2} + c^{2} + 2ac +2bc + 2bc = 2\left( b^{2} + ab + bc + ac ight)

    \Leftrightarrow a^{2} + c^{2} =2b^{2}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \cos n + \sin n. Dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với mọi n ta có:

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi \sqrt{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Dãy số (un) được cho bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \\ \end{matrix} ight.. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

    u_1=1

    u_2=1+2=1+1.2

    u_3=1+2+2=1+2.2

    u_4=1+2+2+2=1+3.2

    ...

    u_n=1+2+⋯+2=1+(n-1).2

    Áp dụng phương pháp quy nạp ta có un = 2n − 1.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} = - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    \dfrac{u_{n}}{u_{n + 1}} =\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + n}}{\dfrac{1}{(n + 1)^{2} + (n + 1)}}

    = \frac{n(n - 1)}{n(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}

    Với \forall n \in \mathbb{N}^{*},n > 1 ta thấy \frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1} < 1

    Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.

    Ta có:

    Cấp số cộng có k số hạng gồm có u_{1} = -3 và số hạng cuối u_{k} =23.

    Khi đó:

    u_{k + 1} = u_{1} + (k -1)d

    \Leftrightarrow 23 = - 3 + (k -1).2

    \Leftrightarrow k = 14

    Do đó n = k - 2 = 12

  • Câu 12: Vận dụng

    Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10^{22} tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

    Ban đầu có 10^{22} tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u_{1} = 10^{22} và công bội q = 2.

    Theo bài ra ta có:

    Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.

    Ta có: u_{7} là số tế bào nhận được sau 2 giờ.

    Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là u_{7} = u_{1}.q^{6} = 10^{22}.2^{6} = 64.10^{22}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \hfill \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}} \hfill \\ \Rightarrow n - 1 = 10 \hfill \\ \Rightarrow n = 11 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có dãy số 1; - 3; - 7; - 11; - 15 là một cấp số cộng có công sai d = - 4.

  • Câu 15: Nhận biết

    Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét u_{n} = n^{2} ta có: u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy u_{n} = n^{2} là dãy số tăng.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

    Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng

    Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.

    {u_1} + 5.d = 40

    \begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công sai của cấp số cộng là d = \frac{{36}}{5}

    Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: \frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}

    Tổng bốn số hạng ở trên là: \frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88

  • Câu 17: Vận dụng

    Xét tính bị chặn của dãy số u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 2)}, ta thu được kết quả?

    Ta có 0 < u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1

    Dãy (un) bị chặn.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 19: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

    Ta có: \left( u_{n} ight) là cấp số nhân \Leftrightarrow u_{n + 1} = q.u_{n}

    Dãy số lập thành cấp số nhân là \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = - 3u_{n};n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số nhân?

    Xét đáp án 1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};... có \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = 4 eq \frac{9}{4} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    => Dãy số 1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};... không phải là cấp số nhân.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n - 1. Dãy số \left( u_{n} ight) là dãy số

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = \left\lbrack 2(n + 1) - 1 ightbrack - (2n - 1)

    = 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2 > 0

    Vậy dãy số \left( u_{n} ight) là dãy số tăng.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 12; \frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243. Tính {u_9}

    Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_3} = {u_1}.{q^2}} \\ {{u_8} = {u_1}.{q^7}} \end{array}} ight. \Rightarrow \dfrac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^2}}}{{{u_1}.{q^7}}} = \dfrac{1}{{{q^5}}} \hfill \\ \Rightarrow q = d\frac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow {u_9} = {u_1}.{q^8} = 12.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^8} = \dfrac{4}{{2187}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho dãy số u_{n} = \frac{n^{2} + 2n - 1}{n + 1}. Giá trị u11 là

    Ta có u_{11} = \frac{11^{2} + 2.11 - 1}{11 + 1} = \frac{71}{6}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) gồm tất cả các số nguyên dương chia 3 dư 2 theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Các số nguyên dương chia 3 dư 2 theo thứ tự tăng dần là 5, 8, 11, 14,…

    Ta có 5 = 3.1 + 2, 8 = 3.2 + 2, 11 = 3.3 + 2, 14 = 3.4 + 2, …

    Vậy u_{n} = 3n + 2

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1; 8; 22; 43; … Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng 7; 14; 21; …, 7n. Số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho?

    Theo đề bài ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ {{u_4} - {u_3} = 21} \\ \begin{gathered} ..... \hfill \\ {u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Cộng các vế của các phương trình của hệ ta được:

    {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) = \frac{{7.n\left( {n - 1} ight)}}{2}\left( * ight)

    Đặt {u_n} = 35351

    Từ (*) suy ra:

    \begin{matrix} 35351 - 1 = \dfrac{{7n\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số

  • Câu 26: Thông hiểu

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Ta có: 0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội \frac{1}{100}.

    Vì vậy

    0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}.

    Ta có: 0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là \frac{1}{10}

    Vì vậy

    4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

    S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack

    Mặt khác

    \Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho dãy số (un) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dãy số u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn vì

    \lim\left| u_{n} ight| = lim\sqrt{n} = + \infty

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

    Ta thấy ở dãy số 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2 có u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4} = u_{5} = 2 nên đây là cấp số nhân với công bội q = 1.

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Ta có: u_{n} = - 2^{n} + 15 không có dạng an + b nên không phải là cấp số cộng.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

    Đáp án: 77

    Đáp án là:

    Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

    Đáp án: 77

    Ta thấy:

    Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường S_{1} = 63(m).

    Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là S_{2} = 2S_{1}.\frac{1}{10} = 2.63.\frac{1}{10} = \frac{63}{5} (do độ cao lần hai bằng \frac{1}{10} độ cao ban đầu).

    Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là S_{3} = S_{2}\frac{1}{10} (do độ cao lần ba bằng \frac{1}{10} độ cao lần hai)...

    Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là

    S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ...

    = S_{1} + S_{2} + S_{2}.\frac{1}{10} + S_{2}.\left( \frac{1}{10} ight)^{2} + ...

    = S_{1} + S_{2}\dfrac{1}{1 -\dfrac{1}{10}}

    = 63 + \frac{63}{5}.\frac{10}{9} = 77\ (m) .

    Vậy quãng đường di chuyển của bóng là 77m.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có số hạng đầu {u_1} = 3, công bội q = 2. Biết {S_n} = 765. Tìm n?

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} ight)}}{{1 - 2}} = 765 \hfill \\ \Rightarrow n = 8 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{8} = 16. Tìm d;S_{10}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110

  • Câu 35: Thông hiểu

    Một dãy số được xác định bởi u_{1} = - 4;u_{n} = - \frac{1}{2}u_{n - 1};(n \geq 2). Số hạng tổng quát u_{n} của dãy số đó là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ u_{n + 1} = - \frac{1}{2}u_{n} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ q = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 + 2 \\ 5 = 3 + 2 \\ 7 = 5 + 2 \\ 9 = 7 + 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó theo định nghĩa cấp số cộng dãy số 1;3;5;7;9 là một cấp số cộng với d = 2

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = 3n - 8

    \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n - 1} + 3;(n \geq 2) \\ \end{matrix} ight.. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:

    Tìm số hạng tổng quát của dãy số

    Dự đoán u_{n} = 5.2^{n - 1} - 3;(n \geq 2)

    Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp

    Với n = 1 ta có: u_{2} = 5.2 - 3 = 7(tm)

    Giả sử u_{k} = 5.2^{k - 1} - 3, khi đó ta có:

    u_{k + 1} = 2u_{k} + 3

    = 2\left( 5.2^{k - 1} - 3 ight) + 3

    = 5.2^{k} - 3

    Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

    Ta có: u_{n} < 1000 \Rightarrow 2^{n - 1} < \frac{1003}{5} = 200,6

    Mà 2^{7} = 128;2^{8} = 256

    Nên ta chọn 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n = 8

    Vậy u_{8} là số hạng cần tìm.

  • Câu 40: Vận dụng

    Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17. Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư là 14. Tính công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_6} = 17} \\ {{u_2} + {u_4} = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{u_1} + 5d = 17} \\ {2{u_1} + 6d = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 16} \\ {d = - 3} \end{array}} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập