Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}. Hỏi số \frac{1}{4096} là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

    Ta có: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096} là cấp số nhân với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}

    \Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Các giá trị của a để dãy số (un) tăng là?

    Xét hiệu  un + 2 − un + 1

     = aun + 1 + (1−a)un − un + 1

     = (a−1)(un + 1−un)

     ⇒ u3 − u2 = (a−1)(u2−u1) = (a−1);

     ⇒ u4 − u3 = (a−1)(u3−u2) = (a−1)2

    un + 1 − un = (a−1)n − 1 > 0

    Để dãy số (un) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 5: Nhận biết

    Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 theo thứ tự tăng dần?

    Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

    Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 1, công bội là q = 2019. Tính u_{2019}?

    Theo công thức cấp số nhân ta có: u_{2019} = u_{1}.q^{n - 1} = 1.2019^{2019 - 1} = 2019^{2018}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một dãy số được xác định bởi u_{1} = - 4;u_{n} = - \frac{1}{2}u_{n - 1};(n \geq 2). Số hạng tổng quát u_{n} của dãy số đó là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ u_{n + 1} = - \frac{1}{2}u_{n} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ q = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Xét dãy số u_{n}=7-3n

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số u_{n}=7-3n là một cấp số cộng với u_1=4;d=-3

  • Câu 9: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:

    \Rightarrow {x^2} = \left( {2x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)

    \Rightarrow {x^2} = 4{x^2} - 1

    \Rightarrow 3{x^2} = 1

    \Rightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}

    Đáp án: 64

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}

    Đáp án: 64

    Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

    8u_{3} - u_{7} + 8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}

    \Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}

    \Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{3}q + u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}

    \Leftrightarrow 8u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)

    \Leftrightarrow 8u_{3} = u_{6} do 1 + q + q^{2} > 0

    \Leftrightarrow 8u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 8 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \frac{u_{8} + u_{9} +u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q +u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}= \frac{u_{8}\left( 1 + q +q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} =\frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 64

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?

    Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)

    = 2\Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i^{2} + \Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}

    = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 8bc} + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2a + c} ight)}^2} + 1} }} có dạng x\sqrt y ;\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight). Hỏi x + y bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \begin{matrix} a + c = 2b \Rightarrow a = 2b - c \hfill \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {2a - c} ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = 4{b^2} + 4bc + {c^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = {\left( {2b + c} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Theo bài ra ta có:

    M = \frac{{2b + c + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2a + c} ight)}^2} + 1} }} = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} \leqslant \sqrt {10} ,\left( {t = 2b + c} ight)

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2b + c = \frac{1}{3}

    => x + y = 11

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} + u_{23} = 60. Tính tổng S_{24} của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    u_{2} + u_{23} = 60

    \Leftrightarrow \left( u_{1} + d ight)+ \left( u_{1} + 22d ight) = 60

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 23d =60

    Khi đó:

    \Rightarrow S_{24} = \frac{24}{2}\left(u_{1} + u_{24} ight)

    \Rightarrow S_{24} = 12.\left\lbracku_{1} + \left( u_{1} + 23d ight) ightbrack

    \Rightarrow S_{24} = 12.60 =720

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = 3n - 8

    \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=5^{n+1}. Tìm số hạng u_{n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {5^{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n - 1}} = {5^{\left( {n - 1} ight) + 1}} = {5^n} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Ta có: 0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội \frac{1}{100}.

    Vì vậy

    0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}.

    Ta có: 0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là \frac{1}{10}

    Vì vậy

    4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 17: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{n} = 3 - 5n. Tìm công sai của cấp số cộng?

    Theo giả thiết ta có:

    u_{n + 1} = - 2 - 5n

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1

    Vậy d = - 5

  • Câu 18: Vận dụng

    Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là:

    Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó (A < B < C) lập thành một cấp số cộng nên

    \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\A + B + C = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\3B = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\A = 30^{0} \\B = 60^{0} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Dãy (un) là một cấp số cộng

    => {u_n} = an + b với a, b là hằng số

    => {u_n} = 6 - 3n

  • Câu 20: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)

    Ta có:

    Với n=0=>S=1

    Với n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2

    Với n = 2 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3

    Dự đoán S = n + 1\left( * ight) ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.

    Với n = 0 đương nhiên (*) đúng.

    Giả sử (*) đúng với n=k tức là:

    \begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là S=n+1

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho \sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190 là?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{3} \\ \end{matrix} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{3} \\ \end{matrix} \\ \ldots \\ \end{matrix} \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3} \\ \end{matrix} ight.

     =  > un = 1 + 13 + 23 + … + (n−1)3

    Ta lại có 13 + 23 + … + (n−1)3

    = (1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^{2} = \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}

    Suy ra u_{n} = 1 + \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}

    Theo giả thiết ta có \sqrt{u_{n} - 1} \geq2039190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} \geq 2039190

    \Leftrightarrow n(n - 1) \geq 4078380 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n \geq 2020 \ \leq - 2019 \\\end{matrix} ight.

    Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án 1;1;1;1;1;1... dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

    Xét đáp án 1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};... \Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3} (Loại)

    Xét đáp án 1;3;5;7;9;.... \Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*} (Chọn)

    Xét đáp án 1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};... Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ... (Loại)

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 26: Nhận biết

    Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

    (I) k ∈ A

    (II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k

    Lúc đó, ta có: 

    (I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.

    (II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có các số hạng đều dương và \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = 2020 \\\dfrac{1}{u_{1}} + \dfrac{1}{u_{2}} + \dfrac{1}{u_{3}} + \ldots +\dfrac{1}{u_{n}} = 2021 \\\end{matrix} ight. Giá trị của P = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots\ldots u_{n} là:

    Ta có P = u_{1} \cdot \left( u_{1} \cdot q ight)\ldots..\left( u_{1} \cdot q^{n - 1} ight)

    = u_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)}

    = u_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n(n -1)}{2}} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}ight)^{n}

    Theo giả thiết, ta có:

    A = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}
    Và B = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}}

    = \frac{1}{u_{1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \ldots + \frac{1}{q^{n - 1}} ight)

    = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{1 -\dfrac{1}{q^{n}}}{1 - \dfrac{1}{q}} = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{q^{n} -1}{q - 1} \cdot \dfrac{1}{q^{n - 1}}.
    Suy ra \frac{A}{B} = u_{1}^{2} \cdot q^{n - 1} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}} ight)^{2}. Vậy P = \sqrt{\left( \frac{A}{B} ight)^{n}} = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u_{n} = \frac{an + b}{cn + d} và c > d > 0. Dãy số (un) là dãy số tăng với điều kiện?

    Xét hiệu u_{n + 1} - u_{n} = \frac{ad - bc}{\lbrack c(n + 1) + d(cn + d)brack}.

    Dãy số (un) là dãy số tăng khi ad − bc > 0

    Mà c > d > 0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án a > 0, b < 0 để ad − bc > 0.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng u_{3} = 15;d = - 2. Tính u_{n}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21

  • Câu 32: Vận dụng

    Biết các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n

    Ta có: 

    Các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3

    \begin{matrix} C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} ight)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} ight)!}} = 2.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} = n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + \left( {{n^2} - n} ight)\left( {n - 2} ight) = 6n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 6{n^2} - 6n \hfill \\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 14n = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 0\left( {ktm} ight)} \\ {n = 2\left( {ktm} ight)} \\ {n = 7\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{6} = u_{1} + 5d = 5 + 5.2 = 15.

    b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1).2 = 2n + 3.

    c) Áp dụng công thức tính tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{(n - 1)n}{2}d = 5n + \frac{(n - 1)n}{2}.2 = n^{2} + 4n.

    d) Ta viết lại

    S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20}

    = \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{20} ight) - \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{9} ight)

    = S_{20} - S_{9} = 480 - 117 = 363.

  • Câu 34: Vận dụng

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn 150 \times 6\%= 9(mg), suy ra mệnh đề đúng.

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là: 150 \times 6\% + 150 = 159(mg) suy ra mệnh đề đúng.

    c) Gọi u_{n} là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 1 là: u_{1} = 150(mg)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là:

    u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 3 là:

    u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 4 là:

    u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

    S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)

    = 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}

    = \frac{7500}{47} \approx 159,57mg

    Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là 159,57mg, suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;q = - 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}) với u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1

    => (u_{n}) là một cấp số nhân với công bội là q = 5

    Số hạng đầu tiên của dãy là: {u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

    (a) k ∈ \mathbb{ Q}

    (b) n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

     Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì \mathbb{Q} là tập con thực sự của \mathbb{N^*} nên tồn tại số nguyên dương không thuộc \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc \mathbb{Q}" đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc \mathbb{Q}" sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn k \in \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì số nguyên âm không thuộc \mathbb{Q}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?

    Ta có: u_{11} = u_{1} + 10d = - 17

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 68 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập