Cho tổng
. Giá trị S10 là
Cách 1:
Ta có
Suy ra
Vậy .
Cách 2:
Ta có
Suy ra .
Cho tổng
. Giá trị S10 là
Cách 1:
Ta có
Suy ra
Vậy .
Cách 2:
Ta có
Suy ra .
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) Dãy số được xác định bởi
là một dãy bị chặn.
(2) Dãy số được xác định bởi an = n2 là một dãy giảm.
(3) Dãy số được xác định bởi an = 1 − n2 là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
(4) Dãy số được xác định bởi an = (−1)nn2 là một dãy không tăng, không giảm.
nên dãy số xác định bởi
là một dãy bị chặn.
an + 1 − an = (n+1)2 − n2 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = n2 là dãy tăng.
an + 1 − an = (1−(n+1)2) − (1−n2) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = 1 − n2 là dãy số giảm và không bị chặn dưới.
a1 = − 1 < a2 = 4 > a3 = − 9 nên dãy số xác định bởi an = (−1)nn2 là dãy không tăng không giảm.
Một dãy số được xác định bởi
. Số hạng tổng quát
của dãy số đó là:
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Số hạng thứ
của cấp số cộng là
Ta có:
Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả?
Ta có un ≥ 2, ∀n ⇒ (un) bị chặn dưới; dãy (un) không bị chặn trên.
Cho dãy số (un) với ![]()
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1
u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:
un = 1 − (n−1) = 2 − n.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và công sai
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
Xét đáp án :
Ta có . Khi đó:
Vậy (un) là dãy số tăng.
Xét đáp án :
Ta có . Khi đó
Vậy (un) là dãy số tăng.
Xét đáp án :
Ta có
Vậy (un) là dãy số giảm.
Xét đáp án :
Ta có
Vậy (un) là dãy số không tăng, không giảm.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là
. Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
Với số nguyên dương , kí hiệu
là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau
tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:
Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu
với công bội
nên
Số tiền rút được sau 2 năm là:
(đồng)
Với giá trị
nào dưới đây thì các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Ta có: lập thành một cấp số nhân
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số nhân đã cho.
Các số hạng lần lượt là lập thành cấp số nhân
Cho cấp số cộng (un) có
;
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.
Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 ta có:
Cho dãy số
là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
.
Theo công thức số hạng tổng quát ta có ,
.
Cho cấp số cộng
có
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là
và
. Tìm
biết rằng công bội của cấp số nhân là
?
Ta có:
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là và
có công bội
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với
bằng:
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng
Cho dãy số (un) thỏa mãn
và
với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là
Ta có
Dự đoán
Áp dụng theo quy nạp ta có: , công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có
Ta có
(vì với mọi k ≥ 1 ).
Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1
Vậy . Suy ra
Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: là cấp số nhân có
.
Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên là 24850. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Ta lại có
Tại một nhà máy, người ta đo được rằng
lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với
ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?
Đáp án: 500
Tại một nhà máy, người ta đo được rằng lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với
ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?
Đáp án: 500
Ta có:
.
Cho cấp số cộng
có
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng:
Ta gọi là công sai của cấp số cộng.
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là -24 đạt được khi khi
.
Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu bác Hoa muốn trả hết nợ trong 3 năm và phải trả lãi mức 6% trên năm thì mỗi tháng bác phải trả bao nhiêu tiền?
Gọi x (đồng) là số tiền bác Hoa phải trả mỗi năm. (Điều kiện x > 0)
Ta có:
(đồng)
Vậy số tiền bác Hoa phải trả mỗi tháng là (đồng).
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Mệnh đề A(n) đúng với n = k với k ≥ p.
Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Ta có:
Vậy là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Cho dãy số
, biết
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 8 của dãy số.
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có:
Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và
với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?
Chứng minh
Ta có
Mặt khác nên (1) đúng với n = 1 Giả sử
, ta có
Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1
Ta có
Do đó ta suy ra:
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
có công sai
, các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của
thì dãy số
là một cấp số cộng?
Ta có:
Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có:
Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn
. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Giả sử công bội của cấp số nhân là q
Ta có:
=>
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2
Ta có:
Khẳng định nào dưới đây sai?
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là với công sai d và số hạng đầu u1
Cho cấp số cộng
với
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) ![]()
(b) ![]()
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc " sai vì
là tập con thực sự của
nên tồn tại số nguyên dương không thuộc
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc " sai vì số nguyên âm không thuộc
.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5 và công sai d = 2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
Ta có:
Vậy 81 là số hạng thứ 44
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện với
là cấp số cộng.