Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

    Ta có: d = 6 - 1 = 5

    Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

    => x = 6 + 5 = 11

    Vậy x = 11

  • Câu 2: Vận dụng

    Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

    Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

    Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

    …

    Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

    Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

    Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

    Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

    …

    Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

    Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 3;q = - 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 3 \\q = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = u_{1}.\frac{1 -q^{10}}{1 - q} = ( - 3).\frac{1 - ( - 2)^{10}}{1 + 2} =1023

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

    Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng

    Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.

    {u_1} + 5.d = 40

    \begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công sai của cấp số cộng là d = \frac{{36}}{5}

    Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: \frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}

    Tổng bốn số hạng ở trên là: \frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Tất cả các giá trị của a để (un) là dãy số tăng là?

    Xét hiệu un + 1 − un = (aun+1) − (aun − 1+1) = a(un−un − 1)

    Áp dụng, ta có u2 = au1 + 1 = a + 1 ⇒ u2 − 1 = a ⇒ u2 − u1 = a

     ⇒ u3 − u2 = a(u2−u1) = a2

     ⇒ u4 − u3 = a(u3−u2) = a3

     ⇒ un + 1 − un = an > 0

    Để dãy số (un) tăng thì un > un − 1 > … > u2 > u1 ⇒ a > 0

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Tổng S_{n} =\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + \ldots + \frac{1}{(3n -2)(3n + 1)},n \in \mathbb{N}^{*} có công thức thu gọn là?

    S_{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack \left( 1- \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) +\left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ight) + \left( \frac{1}{10} -\frac{1}{13} ight) + \ldots + \left( \frac{1}{3n - 2} - \frac{1}{3n +1} ight) ightbrack

    = \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{1}{3n + 1}ight) = \frac{n}{3n + 1}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = 3n - 8

    \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

    S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack

    Mặt khác

    \Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}

  • Câu 10: Nhận biết

    Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2y bằng

    Ta có:

    x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20

    \Rightarrow 3x + 2y = 70

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.. Tính u_{2}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) = 27 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + d = 9 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 9 - u_{1} \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \Rightarrow {u_{1}}^{2} + \left( u_{1} +9 - u_{1} ight)^{2} + \left\lbrack u_{1} + 2\left( 9 - u_{1} ight)ightbrack^{2} = 275

    \Leftrightarrow {u_{1}}^{2} - 18u_{1} +65 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}u_{1} = 13 \Rightarrow d = - 4 \\u_{1} = 5 \Rightarrow d = 4 \\\end{matrix} ight.=> u_{2} = 9

  • Câu 13: Thông hiểu

    Dãy số (un) được cho bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \\ \end{matrix} ight.. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

    u_1=1

    u_2=1+2=1+1.2

    u_3=1+2+2=1+2.2

    u_4=1+2+2+2=1+3.2

    ...

    u_n=1+2+⋯+2=1+(n-1).2

    Áp dụng phương pháp quy nạp ta có un = 2n − 1.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\ldots Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};

    \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}

    Suy ra u_{n} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{5} = 5, u_{10} = 15 Khi đó u_{7} bằng

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{5} = 5 \\ u_{10} = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 4d = 5 \\ u_{1} + 9d = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy u_{7} = u_{1} + 6d = - 3 + 6.2 = 9

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 1}, biết u_{k} = \frac{2}{13}. Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

    Ta có:

    u_{k} = \frac{k - 1}{k^{2} + 1} \Rightarrow \frac{k - 1}{k^{2} + 1} = \frac{2}{13} \Rightarrow k = 5 (do  k∈ℕ*)

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 8bc} + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2a + c} ight)}^2} + 1} }} có dạng x\sqrt y ;\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight). Hỏi x + y bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \begin{matrix} a + c = 2b \Rightarrow a = 2b - c \hfill \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {2a - c} ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = 4{b^2} + 4bc + {c^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = {\left( {2b + c} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Theo bài ra ta có:

    M = \frac{{2b + c + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2a + c} ight)}^2} + 1} }} = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} \leqslant \sqrt {10} ,\left( {t = 2b + c} ight)

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2b + c = \frac{1}{3}

    => x + y = 11

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 1; u4 = 64. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^{4 - 1}} \hfill \\ \Rightarrow 64 = 1.{q^3} \hfill \\ \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

    Ta lấy một phản ví dụ:

    Dãy số (un) với {u_n} = n - 2 là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0

    Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} + 5 = 2\left( u_{n} + 5 ight) \\ \end{matrix} ight.. Tính số hạng thứ 2024 của dãy số đó?

    Ta có v_{n} = u_{n} + 5, \forall n \in Ν^{*} \Rightarrow v_{n + 1} = 2v_{n}, \forall n \in Ν^{*}

    Do đó \left( v_{n} ight) là cấp số nhân với v_{1} = 6, q = 2, v_{n} = 6.q^{n - 1};

    v_{2024} = 6.2^{2023} \Rightarrow u_{2024} = 6.2^{2023} - 5.

  • Câu 24: Nhận biết

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Do dãy số là cấp số nhân

    => q = \frac{{36}}{{16}} = \frac{9}{4}

    => Số hạng tiếp theo là: 36.\frac{9}{4} = 81

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho một cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 5;q = \frac{1}{3} . Hỏi \frac{5}{59049} là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?

    Ta có: u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow \frac{5}{59049} = 5.\left( \frac{1}{3} ight)^{n - 1} \Rightarrow n = 11

    Vậy số \frac{5}{59049} là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} = - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có các số hạng đều dương và \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = 2020 \\\dfrac{1}{u_{1}} + \dfrac{1}{u_{2}} + \dfrac{1}{u_{3}} + \ldots +\dfrac{1}{u_{n}} = 2021 \\\end{matrix} ight. Giá trị của P = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots\ldots u_{n} là:

    Ta có P = u_{1} \cdot \left( u_{1} \cdot q ight)\ldots..\left( u_{1} \cdot q^{n - 1} ight)

    = u_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)}

    = u_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n(n -1)}{2}} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}ight)^{n}

    Theo giả thiết, ta có:

    A = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}
    Và B = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}}

    = \frac{1}{u_{1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \ldots + \frac{1}{q^{n - 1}} ight)

    = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{1 -\dfrac{1}{q^{n}}}{1 - \dfrac{1}{q}} = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{q^{n} -1}{q - 1} \cdot \dfrac{1}{q^{n - 1}}.
    Suy ra \frac{A}{B} = u_{1}^{2} \cdot q^{n - 1} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}} ight)^{2}. Vậy P = \sqrt{\left( \frac{A}{B} ight)^{n}} = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn {u_2} = 6;{u_4} = 24. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

    Giả sử công bội của cấp số nhân là q

    Ta có:

    => {u_4} = {u_2}.{q^2} \Rightarrow q = \pm 2

    Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2

    Ta có: {S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} ight)

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có {S_2} = 4;{S_3} = 13. Biết {u_2} < 0. Tính {S_5}?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (*)

    \begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.. Chọn đáp án đúng.

    Ta chứng minh 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 bằng phương pháp quy nạp.

    Với n = 1 ta có: 1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}

    Giả sử 1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1. Ta cần chứng minh 1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}.

    Thật vậy u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}

    Vì u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1

    Vì u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

    Vậy 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 hay dãy \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi \frac{3}{2} và bị chặn dưới bởi 1.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8. Tính công sai d của cấp số cộng đó:

    Ta có:

    d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

    Xét đáp án \dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} =u_{5} + u_{10}

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = \dfrac{u_{1} + 9d + u_{1} + 29d}{2} \\u_{5} + u_{10} = u_{1} + 4d + u_{1} + 9d \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{1} + 19d \\u_{5} + u_{10} = 2u_{1} + 13d \\\end{matrix} ight.

    Xét đáp án u_{90} + u_{210} = 2u_{150}

    \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2u_{1} + 298d \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.

    Vậy hệ thức đúng là u_{90} + u_{210} = 2u_{150}

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho dãy xác định bởi công thức \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát của dãy un là?

    Ta có u_{1} = 3;u_{2} = \frac{1}{2}u_{1} = \frac{3}{2};u_{3} = \frac{1}{2}u_{2} = \frac{3}{2^{2}};\ldots

    Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

    Thật vậy, n = 1 thì u1 = 3 (đúng).

    Giả sử với n = k(k≥1) thì u_{k} = \frac{3}{2^{k - 1}}. Ta đi chứng minh u_{k + 1} = \frac{3}{2^{k}}

    Ta có u_{k + 1} = \frac{1}{2}u_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{k - 1}} = \frac{3}{2^{k}} (điều phải chứng minh).

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho dãy số (Un) là một cấp số cộng có u1 = 3 và công sai d = 4. Biết rằng tổng n số hạng đầu của dãy số (Un) là {S_n} = 253. Giá trị của n là:

     Ta có:

    \begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} ight)d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left[ {2.3 + \left( {n - 1} ight).4} ight]}}{2} = 253 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 11} \\ {n = - \dfrac{{23}}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1

    Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2

    Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1

    Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 46 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập