Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = 2u_{n} \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \frac{1}{2} \\u_{2} = 2u_{1} \\u_{3} = 2u_{2} \\\cdots \\u_{n} = 2u_{n - 1} \\\end{matrix} ight.

    Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots u_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n - 1} \cdot u_{1} \cdot u_{2}\ldots u_{n - 1} \Leftrightarrow u_{n} = 2^{n - 2}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Đáp án là:

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: u_{1} = 1;d = 1;n = 10.

    Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

    S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}

    = \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55 (khúc gỗ).

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì \left| {3b - a} ight| bằng?

    Ta có:

    Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng

    => a + 3b = 5.2

    => a = 10 – 3b

    Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân

    => a.3b = 32

    => ab = 3

    \begin{matrix} \Rightarrow b\left( {10 - 3b} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 3 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \\ {b = \dfrac{1}{3} \Rightarrow a = 9 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.

    Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?

    Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n

    Từ đó 2Sn =  − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n

    \Leftrightarrow 2S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{2} + n{.3}^{n}

    \Leftrightarrow S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} \cdot 3^{n}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n}

    = \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)

    = 3

    => Dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n là cấp số cộng.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?

    Ta có:

    Các số -7; x; 11 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

    => - 7 + 11 = 2.x \Rightarrow x = 2

    Tương tự các số 2; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

    => 2 + y = 2.11 \Rightarrow y = 20

    Vậy x = 2; y = 20

  • Câu 7: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

    Vì \left| q ight| < 1 nên \lim {q^n} = 0.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{1}=-3 và d=\frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có u_{n} = 5 + 1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1 = 5 + \frac{n(n - 1)}{2}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = 3 và u_{2} = 12. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

    Ta có u_{2} = u_{1}.q \Rightarrow q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{12}{3} = 4.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \cos n + \sin n. Dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với mọi n ta có:

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi \sqrt{2}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6

    Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5

    Từ đó suy ra y = 6x = 216/5

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{20}} = 8{u_{17}}} \\ {{u_1} + {u_5} = 272} \end{array}} ight.. Tìm số hạng đầu tiên của dãy biết số đó không lớn hơn 100.

     Ta có: 

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{20}} = 8{u_{17}}} \\ {{u_1} + {u_5} = 272} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}{q^{19}} = 8{u_1}.{q^{16}}} \\ {{u_1} + {u_1}.{q^4} = 272} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}{q^{16}}\left( {{q^3} - 8} ight) = 0} \\ {{u_1}.\left( {1 + {q^4}} ight) = 272} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 0 \Rightarrow {u_1} = 272 > 100\left( L ight)} \\ {q = 2 \Rightarrow {u_1} = 16 < 100\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Tính số hạng đầu tiên u_{1} và công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2

    => Dãy số đó là cấp số nhân

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Giá trị u10 là?

    Từ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight. ta có un + 1 − un = 5

    ⇒ dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên

    u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = 3n - 8

    \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n} = \frac{1}{2 - u_{n - 1}},\ \forall n \geq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó u_{3} có giá trị bằng

    Theo công thức truy hồi ta có

    u_{2} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{4}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với số hạng đầu u_{1} và công bội q. Với n \geq 1, khẳng định nào sau đây đúng?

    Do \left( u_{n} ight) là cấp số nhân nên u_{n + 1} = u_{n}.q\ \ ,\ \ (n \geq 1).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5;x;y;320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    Các số hạng 5;x;y;320 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\\begin{matrix}q = \dfrac{x}{5} \\y = u_{3} = u_{1}q^{2} = \dfrac{x^{2}}{5} \\320 = u_{4} = u_{1}q^{3} = \dfrac{x^{3}}{25} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 80 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u_{n} = \frac{an + b}{cn + d} và c > d > 0. Dãy số (un) là dãy số tăng với điều kiện?

    Xét hiệu u_{n + 1} - u_{n} = \frac{ad - bc}{\lbrack c(n + 1) + d(cn + d)brack}.

    Dãy số (un) là dãy số tăng khi ad − bc > 0

    Mà c > d > 0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án a > 0, b < 0 để ad − bc > 0.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

    Ta có:

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1

    Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1

  • Câu 25: Vận dụng

    Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tìm số hạng đầu tiên u_{1} và công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4} = \frac{3}{4}n^{2} - \frac{19}{4}n

    Mặt khác

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{d}{2}.n^{2} + \left( u_{1} - \frac{d}{2} ight).n

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{d}{2} = \dfrac{3}{4} \\u_{1} - \dfrac{d}{2} = - \dfrac{19}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 4 \\d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 26: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.. Tính u_{2}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) = 27 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + d = 9 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 9 - u_{1} \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \Rightarrow {u_{1}}^{2} + \left( u_{1} +9 - u_{1} ight)^{2} + \left\lbrack u_{1} + 2\left( 9 - u_{1} ight)ightbrack^{2} = 275

    \Leftrightarrow {u_{1}}^{2} - 18u_{1} +65 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}u_{1} = 13 \Rightarrow d = - 4 \\u_{1} = 5 \Rightarrow d = 4 \\\end{matrix} ight.=> u_{2} = 9

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_2} = - 8 = {u_1}.q = 2q} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_5} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} ight)}^5}}}{{1 + 4}} = 410} \\ {{S_6} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^6}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} ight)}^6}}}{{1 + 4}} = - 1638} \\ {{u_5} = {u_1}{q^4} = 2.{{\left( { - 4} ight)}^4} = 512} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.

    Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.

    Ta có:

    Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_6} = 486} \end{array}} ight.

    => {{u_1}.{q^5} = 486}

    => {{q^5} = 243} => {q = 3}

    Vậy công bội q của cấp số nhân đã cho là q = 3

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Tìm m để phương trình: {x^4} - \left( {3m + 5} ight){x^2} + {\left( {m + 1} ight)^2} = 0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng?

    Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình {x_1};{x_2};{x_3};{x_4}

    Đặt {x^2} = y \geqslant 0, ta được phương trình:

    {y^2} - \left( {3m + 5} ight)y + {\left( {m + 1} ight)^2} = 0\left( * ight)

    Ta phải tìm m sao cho (*) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < {y_1} < {y_2}

    Khi đó (*) có 4 nghiệm là {x_1} = - \sqrt {{y_2}} ,{x_2} = - \sqrt {{y_1}} ;{x_3} = \sqrt {{y_1}} ;{x_4} = \sqrt {{y_2}}

    Theo đề bài thì bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng nên

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3} + {x_1} = 2{x_2}} \\ {{x_4} + {x_3} = 2{x_3}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \sqrt {{y_1}} - \sqrt {{y_2}} = 2\sqrt {{y_1}} \hfill \\ \Rightarrow 3\sqrt {{y_1}} = \sqrt {{y_2}} \Rightarrow 9{y_1} = {y_2}\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình (*) ta có hệ:

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{\left( {3m + 5} ight)}^2} - 4{{\left( {m + 1} ight)}^2} > 0} \\ {S = {y_1} + {y_2} = 10{y_1} = 3m + 5} \\ {P = {y_1}{y_2} = 9{y_1}^2 = {{\left( {m + 1} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = 5

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = 5^{n} - 1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = 5^{n - 1}

    \Rightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 -q} = 5^{n - 1}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = q - 1 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó u_{4} = u_{1}.q^{3} = 4.5^{3} =500

  • Câu 35: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Xét đáp án \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... có \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\pi} eq \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    => Dãy số \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... không phải là cấp số nhân.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Tính tổng {S_n} = {\left( {2 + \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} ight)^2}

     Ta có:

    \begin{matrix} {S_n} = {\left( {2 + \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \dfrac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \dfrac{1}{{{2^n}}}} ight)^2} \hfill \\ {S_n} = \left( {4 + 2 + \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {{4^2} + 2 + \dfrac{1}{{{4^2}}}} ight) + ... + \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^n}}}} ight) \hfill \\ {S_n} = 2n + \left( {4 + {4^2} + ... + {4^n}} ight) + \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^n}}}} ight) \hfill \\ = 2n + 4.\dfrac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} + \frac{1}{4}\frac{{1 - \frac{1}{{{4^n}}}}}{{1 - \frac{1}{4}}} \hfill \\ {S_n} = 2n + \dfrac{4}{3}\left( {{4^n} - 1} ight) + \dfrac{{{4^{n - 1}}}}{{{{3.4}^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.. Chọn đáp án đúng.

    Ta chứng minh 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 bằng phương pháp quy nạp.

    Với n = 1 ta có: 1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}

    Giả sử 1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1. Ta cần chứng minh 1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}.

    Thật vậy u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}

    Vì u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1

    Vì u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

    Vậy 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 hay dãy \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi \frac{3}{2} và bị chặn dưới bởi 1.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi u_{1} = - 5;d = 3.

    Theo bài ra ta có:

    S_{100} = \frac{\left( 2u_{1} + 99d ight).100}{2} = 14350

  • Câu 40: Thông hiểu

    Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

    (a) k ∈ \mathbb{ Q}

    (b) n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

     Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì \mathbb{Q} là tập con thực sự của \mathbb{N^*} nên tồn tại số nguyên dương không thuộc \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc \mathbb{Q}" đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc \mathbb{Q}" sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn k \in \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì số nguyên âm không thuộc \mathbb{Q}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 71 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập