Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính số hạng đầu tiên
và công sai
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính số hạng đầu tiên
và công sai
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành
hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có:
.
Khi đó, tổng số khúc gỗ là:
(khúc gỗ).
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với
bằng:
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng
Tính giá trị u2018 của dãy số (un) xác định bởi ![]()
Ta có:
Đặt
=> Dãy số (vn) là cấp số nhân với
=>
Cho cấp số cộng
với
. Tìm số hạng đầu
và công sai
của cấp số cộng trên.
Ta có:
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Cho cấp số nhân (un) có
và công bội q = 3. Số hạng u2 là:
Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6
Với
, cho dãy số
gồm tất cả các số nguyên dương chia
dư
theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là
Các số nguyên dương chia dư
theo thứ tự tăng dần là
,
,
,
,…
Ta có ,
,
,
, …
Vậy
Cho dãy số
biết
. Ba số hạng đầu tiên của dãy đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Ta có:
Trong dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Vì là các dãy dương và tăng nên
là các dãy giảm
=> Loại các đáp án
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số không phải dãy tăng.
Xét đáp án
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho dãy số
, với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.
Tập giá trị của dãy số là {-1; 1}
Vậy dãy số là dãy số bị chặn.
Cho ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức
có dạng
. Hỏi x + y bằng bao nhiêu?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
=> x + y = 11
Cho cấp số nhân
với
. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Ta có:
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có:
Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì
bằng?
Ta có:
Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng
=> a + 3b = 5.2
=> a = 10 – 3b
Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân
=> a.3b = 32
=> ab = 3
Cho cấp số cộng
có
và công sai
. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng:
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là
Cho cấp số cộng
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
=> Loại đáp án A
=> Loại đáp án B
=> Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 2
Chọn đáp án C
=> Loại đáp án B
Cho cấp số cộng
. Tính ![]()
Ta có:
Cho dãy số
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta chứng minh quy nạp
Cách khác:
Ta có: nên loại các đáp án
;
;
Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:
Ta có:
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho dãy số
là cấp số cộng với:
Ta có: là một cấp số cộng
=>
Tìm
để các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân
Cho cấp số nhân
có tổng
số hạng đầu tiên là
với
. Tìm số hạng đầu
và công bội
của cấp số nhân đó?
Ta có:
,
.
Cho cấp số nhân
có công bội âm. Biết
. Khi đó ![]()
Ta có:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Xét dãy số
Ta có: => Dãy số là cấp số nhân
Cho cấp số nhân
. Hỏi số
là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?
Ta có: là cấp số nhân với
Cho tập hợp
. Số tập hợp con của tập hợp
gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:
Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là với
lập thành một cấp số nhân
Suy ra lập thành một cấp số cộng
Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.
Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Cho dãy số (un) với ![]()
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1
u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:
un = 1 − (n−1) = 2 − n.
Cho dãy số (an) được xác định bởi
.
Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) là đúng?
Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.
Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4
Ta có:
Trong các dãy (un) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
Ta có:
n2 − n + 1 < n2 + 2n + 2 (do n > 0)
Suy ra , với mọi n.
Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Các số hạng lập thành cấp số nhân
Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?
Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A
Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B
Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C
Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Xét đáp án có
=> Dãy số không phải là cấp số nhân.
Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5 và công sai d = 2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
Ta có:
Vậy 81 là số hạng thứ 44
Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
Ta có
Vậy