Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}. Số \frac{8}{15} là số hạng thứ mấy của dãy số?

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_k} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{{2k + 1}} = \dfrac{8}{{15}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {k + 1} ight) = 8\left( {2k + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15k + 15 = 16k + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 7 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số \frac{8}{15} là số hạng thứ 7 của dãy số.

  • Câu 2: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

    Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k} thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

    Xét đáp án: 2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

    Xét đáp án: 2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{} Chọn

    Xét đáp án: 1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}Loại

    Xét đáp án: 15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

  • Câu 3: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 

    Ta có: \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1

    Vậy công sai của cấp số nhân là 2x - 1

    Vậy số hạng tiếp theo sẽ là: \left( {4{x^2} - 1} ight)\left( {2x - 1} ight) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ d = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Tính giá trị u2018 của dãy số (un) xác định bởi {u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} ight);\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} ight) \hfill \\ {u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{3}{{n + 2}} - \dfrac{2}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ {u_{n + 1}} = \dfrac{2}{3}{u_n} + \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{n + 1}} \hfill \\ {u_{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} = \dfrac{2}{3}\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}} ight)\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt {v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}

    => Dãy số (vn) là cấp số nhân với {v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2};q = \frac{2}{3}

    => {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} ight)^{n - 1}}

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{n - 1}} + \dfrac{1}{{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2018}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{2017}} + \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), với {u_n} = {( - 1)^n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: {u_n} = {( - 1)^n} là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.

    Tập giá trị của dãy số {u_n} = {( - 1)^n} là {-1; 1}

    \Rightarrow - 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1

    Vậy dãy số u_{n} là dãy số bị chặn.

  • Câu 7: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây sai?

    Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d với công sai d và số hạng đầu u1

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3

  • Câu 11: Nhận biết

    Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét u_{n} = n^{2} ta có: u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy u_{n} = n^{2} là dãy số tăng.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = 3u_{n} \\\end{matrix},\forall n \in N^{*} ight.. Tìm số hạng tổng quát của dãy số \left( u_{n}ight).

    Ta có u_{1} = 3 và \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=3

    Suy ra dãy số \left( u_{n}ight)là cấp số nhân với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Do đó u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n -1} = 3^{n}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 3;d = 5. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?

    Ta có: u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18

    Vậy u_{4} = 18

  • Câu 14: Vận dụng

    Dân số của thành phố A hiện nay là 4 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 1%. Hỏi dân số của thành phố A sau 5 năm nữa sẽ là bao nhiêu?

    Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu u_{n} là số dân của thành phố A sau n năm.

    Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

    u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,01 = u_{n - 1}.1,01;(n \geq 2)

    Ta có: \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân với số hạng đầu là u_{1} = 4 + 4.0,01 = 4.1,01 và công bội q = 1,01

    \Rightarrow u_{n} = 4.1,01.(1,01)^{n - 1} = 4.(1,01)^{n};(n \geq 1)

    => Số dân của thành phố A sau 5 năm là: \Rightarrow u_{5} = 4.(1,01)^{5} = 4,2 (triệu người).

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho dãy số {u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{n}. Số hạng thứ 10 của dãy số đó là:

    Ta có: {u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}} = 51,3

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Dãy số \left( u_{n} ight) có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây xác định một cấp số nhân?

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n} ta có:

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{n + 1}}{2020^{n}} = 2020;\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n} là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n^{3}}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{(n + 1)^{3}}}{2020^{n^{3}}} = 2020^{3n^{2} + 3n + 1};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n^{3}} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{\frac{2020}{n + 1 + 2019}}{\frac{2020}{n + 2019}} = \frac{n + 2019}{n + 2020};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = \frac{2020}{n + 2019} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020n + 2019

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020(n + 1) + 2019}{2020n + 2019} = \frac{2020n + 4039}{2020n + 2019};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020n + 2019 không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u1 = 1 và u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) (un) là dãy số bị chặn trên.

    Ta có \forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0} nên dãy số tăng.

    Vậy phát biểu (1) đúng.

    Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.

    Vậy phát biểu (2) đúng.

    Ta lại có u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

    Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

    u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}

    Mặt khác \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1)k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\forall \geq 2

    Suy ra 

    u_n<\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+⋯+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})

    =\frac{3}{2}-\frac{1}{n} < \frac{3}{2}

    \Rightarrow 0 < u_n <\frac{3}{2}, \, \, \forall n \in \mathbb{N} ^*

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có {u_1} = 2 và công bội q = 3. Số hạng u2 là:

    Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6

  • Câu 23: Thông hiểu

    Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho?

    Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u_{1}^{};u_{2}^{};u_{3}^{};u_{4}^{};u_{5}^{}.

    Theo đề bài ta có:

    u_{1} - u_{5} = 20

    \Leftrightarrow u_{1} - (u_{1} + 4d) = 20

    \Leftrightarrow d = - 5

    Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là d = - 5

  • Câu 24: Vận dụng

    Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả?

    Ta có un ≥ 2, ∀n ⇒ (un) bị chặn dưới; dãy (un) không bị chặn trên.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành 1 cấp số cộng: 7,14,21,..., 7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ \begin{gathered} {u_4} - {u_3} = 21 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \\ {{u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Cộng vế với vế của phương trình ta được:

    \begin{matrix} {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} - {u_1} = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 35331 - 1 = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}

     Vậy số 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số đã cho.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho.

     Cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; …

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {q = \dfrac{9}{3} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    Dãy \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng

    \Leftrightarrow u_{n} = u_{n - 1} + d với d là hằng số.

    Hay u_{n} - u_{n - 1} = d

    => Cấp số cộng cần tìm là: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = u_{n - 1} - 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Với mọi số nguyên dương n thì S_{n}=n^{3}+2n chia hết cho 

    Với n = 1\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3 chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh S_n chia hết cho 3 với mọi n.

    Giả sử khẳng định đúng với n=k tức là {S_k} = {k^3} + 2k chia hết cho 3, ta chứng minh {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) cũng chia hết cho 3.

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy với mọi số nguyên dương thì S_{n}=n^{3}+2n chia hết cho 3.

  • Câu 31: Vận dụng

    Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

    Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u_{1} = 1, công sai d = 1.

    => Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

    \Rightarrow S = S_{24} = \frac{24}{2}.\left( u_{1} + u_{24} ight)

    \Rightarrow S_{24} = 12.(1 + 24) = 300

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{5} = 5, u_{10} = 15 Khi đó u_{7} bằng

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{5} = 5 \\ u_{10} = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 4d = 5 \\ u_{1} + 9d = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy u_{7} = u_{1} + 6d = - 3 + 6.2 = 9

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho dãy số (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Đẳng thức nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa cấp số nhân ta có các kết quả sau:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = {u_n}.q;\left( {n \geqslant 1} ight) \hfill \\ {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}};\left( {n \geqslant 2} ight) \hfill \\ {u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}};\left( {k \geqslant 2} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Đáp án C sai

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 37: Thông hiểu

    Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_2} = 72} \\ {{u_5} - {u_3} = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72} \\ {{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}q.\left( {{q^2} - 1} ight) = 72} \\ {{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} ight) = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {{u_1} = 12} \end{array}} ight.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}} với \forall n\geq 1. Khi đó số hạng u_{2n} của dãy (u_{n}) là 

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n}} = \dfrac{{{{\left( {2n} ight)}^2}}}{{{3^{2n}}}} = \dfrac{{4{n^2}}}{{{9^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

    u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có tổng n số hạng đầu tiên là {S_n} = {5^n} - 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó?

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = {S_1} = 5 - 1 = 4} \\ {{u_1} + {u_2} = {S_2} = {5^2} - 1 = 24} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_2} = 24 - {u_1} = 20} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5} \end{array}} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 32 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập