Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi hệ thức truy hồi u_{1} = 2, u_{n + 1} = 2u_{n} + 3. Giá trị của số hạng thứ 4 bằng

    Ta có:

    u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7,

    u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17,

    u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37.

  • Câu 2: Vận dụng

    Tính tổng A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515

     Ta thấy các số hạng của tổng A tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 5

    Giả sử tổng trên có n số hạng thì un = 7515

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 7515 \hfill \\ \Rightarrow 15 + \left( {n - 1} ight).5 = 7515 \hfill \\ \Rightarrow n = 1501 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy A = {A_{1501}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 1500d} ight).1501}}{2} = \frac{{\left( {2.15 + 1500.5} ight).1501}}{2} = 5651265

     

  • Câu 3: Thông hiểu

    Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

    Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng

    Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.

    {u_1} + 5.d = 40

    \begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công sai của cấp số cộng là d = \frac{{36}}{5}

    Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: \frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}

    Tổng bốn số hạng ở trên là: \frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số nhân?

    Xét đáp án 1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};... có \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = 4 eq \frac{9}{4} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    => Dãy số 1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};... không phải là cấp số nhân.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Ta có: u_{n} = - 2^{n} + 15 không có dạng an + b nên không phải là cấp số cộng.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 4. Giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} bằng:

    Ta gọi d là công sai của cấp số cộng.

    Khi đó:

    u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}

    = 4(4 + d) + (4 + d)(4 + 2d) + 4(4 + 2d)

    = 2d^{2} + 24d + 48 = 2(d + 6)^{2} - 24\geq - 24

    Vậy giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} là -24 đạt được khi khi d = - 6.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = (2x - 1).(2x + 1)

    \Rightarrow x^{2} = 4x^{2} - 1

    \Rightarrow 3x^{2} = 1

    \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 1; u4 = 64. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^{4 - 1}} \hfill \\ \Rightarrow 64 = 1.{q^3} \hfill \\ \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Do dãy số là cấp số nhân

    => q = \frac{{36}}{{16}} = \frac{9}{4}

    => Số hạng tiếp theo là: 36.\frac{9}{4} = 81

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.. Chọn đáp án đúng.

    Ta chứng minh 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 bằng phương pháp quy nạp.

    Với n = 1 ta có: 1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}

    Giả sử 1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1. Ta cần chứng minh 1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}.

    Thật vậy u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}

    Vì u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1

    Vì u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

    Vậy 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 hay dãy \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi \frac{3}{2} và bị chặn dưới bởi 1.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

    Ta có:

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Đáp án là:

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

    Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d_{1} = 55,8(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d_{2}= 55,8 + 2.\frac{55,8}{10}( m ).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d_{3} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d_{4} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + 2.\frac{55,8}{10^{3}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ n,\ \ (n > 1) là

    d_{n} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}}(m).

    Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:

    d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...(m).

    Vì 2.\frac{55,8}{10}, 2.\frac{55,8}{10^{2}}, 2.\frac{55,8}{10^{3}}, …, 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}},…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = \frac{1}{10}, nên ta có:

    2.\dfrac{55,8}{10} + 2.\dfrac{55,8}{10^{2}}+ ... + 2.\dfrac{55,8}{10^{n - 1}} + ...= \dfrac{2.\dfrac{55,8}{10}}{1 -\dfrac{1}{10}} = 12,4.

    Vậy d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...

    = 55,8 + 12,4 = 68,2\ (m)

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), với {u_n} = {( - 1)^n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: {u_n} = {( - 1)^n} là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.

    Tập giá trị của dãy số {u_n} = {( - 1)^n} là {-1; 1}

    \Rightarrow - 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1

    Vậy dãy số u_{n} là dãy số bị chặn.

  • Câu 16: Vận dụng

    Dân số của thành phố A hiện nay là 4 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 1%. Hỏi dân số của thành phố A sau 5 năm nữa sẽ là bao nhiêu?

    Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu u_{n} là số dân của thành phố A sau n năm.

    Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

    u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,01 = u_{n - 1}.1,01;(n \geq 2)

    Ta có: \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân với số hạng đầu là u_{1} = 4 + 4.0,01 = 4.1,01 và công bội q = 1,01

    \Rightarrow u_{n} = 4.1,01.(1,01)^{n - 1} = 4.(1,01)^{n};(n \geq 1)

    => Số dân của thành phố A sau 5 năm là: \Rightarrow u_{5} = 4.(1,01)^{5} = 4,2 (triệu người).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    \Rightarrow {\left( {\sqrt b } ight)^2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} ight).\left( {\sqrt 2 } ight)

    \Rightarrow b = 1 (Vì b > 0)

  • Câu 18: Nhận biết

    Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)?

    Ta có:

    u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2

    u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9

    u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28

    u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83

    u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246

    Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là 2;9;28;83;246

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 20: Vận dụng

    Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u9 = 5u2 và u13­ = 2u6 + 5.

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} ight)} \\ {{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} ight) + 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4{u_1} - 3d = 0} \\ {{u_1} - 2d = - 5} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {d = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?

    Ta có:

    Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

    Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

    Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

    Suy ra có chữ số 0.

    Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}

  • Câu 22: Nhận biết

    Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một
    số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

    Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng n=p

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?

    Xét dãy (an) có a_{n} = \sqrt{n^{3} + n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số (an) bị chặn dưới.

    Xét dãy (bn) có b_{n} = n^{2} + \frac{1}{2n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số (bn) bị chặn dưới.

    Xét dãy (cn) có cn = (−2)n + 3, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số (cn) không bị chặn.

    Xét dãy (dn) có d_{n} = \frac{3n}{n^{2} + 2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Ta có

    n^3-3n+2=(n-1)^2 (n+2)≥0,∀n∈N^*

    ⇒n^3+2≥3n⇒0<3n/(n^2+2)≤1

    ⇒(d_n ) bị chặn.

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u_{6} của cấp số nhân đã cho.

    Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} = 3.2^{6} = 96

  • Câu 26: Vận dụng

    Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?

    Đáp án u_n = \sin (n)  và In = (−1)n ⋅ n là các dãy không tăng, không giảm.

    Xét đáp án v_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}, ta có:

    v_{n} = 1 - \frac{2}{n + 1} \Rightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Suy ra (vn) là dãy số tăng.

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = - \frac{1}{2}, công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:

    Ta dùng công thức tổng quát u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}, hoặc u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2} để tính các số hạng của một cấp số cộng.

    Ta có u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.

    Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1

    u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

    un = 1 − (n−1) = 2 − n.

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2

    => Dãy số đó là cấp số nhân

  • Câu 30: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 33: Vận dụng

    Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất bác Hoa trả 8 000 000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,6% mỗi tháng thì sau bao lâu bác Hoa trả hết số tiền trên?

    Ta có:

    8000000 = \frac{900.10^{6}.0,006.1,006^{n}}{1,006^{n} - 1}

    \Leftrightarrow 1,006^{n} = 3,077

    \Leftrightarrow n \approx 187,887

    Vậy sau khoảng 188 tháng thì bác Hoa sẽ trả hết số tiền đó.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên là 24850. Tính giá trị của biểu thức S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{48}}.{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{100}} + {u_1} = 497 \hfill \\ \Rightarrow {u_{100}} = 1 + 99d \hfill \\ \Rightarrow d = 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{50}} = 246 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có

    \begin{matrix} 5S = \dfrac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \dfrac{{{u_{49}} - {u_{48}}}}{{{u_{48}}.{u_{49}}}} + \dfrac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{50}}.{u_{49}}}} = \dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{50}}}} = 1 - \dfrac{1}{{246}} \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{49}}{{246}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    Dãy \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng

    \Leftrightarrow u_{n} = u_{n - 1} + d với d là hằng số.

    Hay u_{n} - u_{n - 1} = d

    => Cấp số cộng cần tìm là: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = u_{n - 1} - 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là u_{1} = - 6;q = - 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 2046. Xác định n.

    Ta có:

    2046 = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}

    \Rightarrow 2046 = ( - 6).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{1 - ( - 2)}

    \Rightarrow n = 10

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n

  • Câu 38: Nhận biết

    Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = sin^{2}\left( \frac{\pi n}{4} ight) + \cos\left( \frac{2\pi n}{3} ight) với \forall n \in \mathbb{N}^{*}?

    Ta có:

    u_{1} = \sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = 0

    u_{2} = \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}

    u_{3} = \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{6\pi}{3} ight) = \frac{3}{2}

    u_{4} = \sin^{2}\left( \frac{4\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{8\pi}{3} ight) = \frac{- 1}{2}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}. Biết rằng u_{k} = \frac{7}{31}. Khi đó u_{k} là số hạng thứ mấy trong dãy số?

    Ta có:

    u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}

    \Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93

    \Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{k} là số hạng thứ tư trong dãy số.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = 9. Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy?

    Theo bài ra ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 2018 = 2 + (n - 1)d

    \Leftrightarrow n = 225

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 24 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập