Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8. Tính công sai d của cấp số cộng đó:

    Ta có:

    d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 5\ \ m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \frac{4}{5} độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 45

    Đáp án là:

    Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 5\ \ m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \frac{4}{5} độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 45

    Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là 5\ \ m.

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là \frac{4}{5}.5.2.

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2……

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần n + 1 là \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2

    Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:

    S = 5 + \frac{4}{5}.5.2 + \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2 + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2 + ...

    = 5 + 5.2.\left( \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5} ight)^{2} + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n} + ...ight)= 5 + 5.2.\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1 - \dfrac{4}{5}} = 45.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:

    \begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)?

    Ta có:

    u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2

    u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9

    u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28

    u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83

    u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246

    Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là 2;9;28;83;246

  • Câu 5: Vận dụng

    Với mọi số nguyên dương n, tổng S_{n}=n^{3}+11n chia hết cho:

    Với n=1 ta có: {S_1} = 1 + 11 = 12 không chia hết cho 9.

    Với n=2 ta có: {S_2} = {2^3} + 11.2 = 30 không chia hết cho 4 và 12

    Ta sẽ chứng minh S_{n}=n^{3}+11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n

    Giả sử khẳng định đúng với n=k nghĩa là {S_k} = {k^3} + 11k chia hết cho 6.

    Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n=k+1 tức là:

    {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11.\left( {k + 1} ight) cũng chia hết cho 6

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11.\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 11k} ight) + \left( {3{k^2} + 3k} ight) + 12 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 11k} ight) + 3k\left( {k + 1} ight) + 12 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có: \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 11k} ight) \vdots 6 \hfill \\ 12 \vdots 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. ta cần chứng minh 3k\left( {k + 1} ight) \vdots 6

    Thật vậy k\left( {k + 1} ight) là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên k\left( {k + 1} ight) \vdots 2

    Mặt khác 3k\left( {k + 1} ight) \vdots 3 và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 3k\left( {k + 1} ight) \vdots 6

    Vậy {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11k chia hết cho 6 hay S_{n}=n^{3}+11n chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết un = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có un = 3n + 6 ⇒ un + 1 = 3(n+1) + 6 = 3n + 9

    Xét hiệu un + 1 − un = (3n+9) − (3n+6) = 3 > 0, ∀n ∈ N*

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là u_{1} = - 6;q = - 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 2046. Xác định n.

    Ta có:

    2046 = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}

    \Rightarrow 2046 = ( - 6).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{1 - ( - 2)}

    \Rightarrow n = 10

  • Câu 8: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{k} = 16 \\ u_{k + 1} = 36 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} = \frac{9}{4}

    u_{k + 2} = u_{k + 1}.q = 81

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 8bc} + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2a + c} ight)}^2} + 1} }} có dạng x\sqrt y ;\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight). Hỏi x + y bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \begin{matrix} a + c = 2b \Rightarrow a = 2b - c \hfill \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {2a - c} ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = 4{b^2} + 4bc + {c^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} + 8bc = {\left( {2b + c} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Theo bài ra ta có:

    M = \frac{{2b + c + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2a + c} ight)}^2} + 1} }} = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} \leqslant \sqrt {10} ,\left( {t = 2b + c} ight)

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2b + c = \frac{1}{3}

    => x + y = 11

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=2^{n}. Tìm số hạng u_{n+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {2^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 3 = 1 + 2 \\ 5 = 3 + 2 \\ 7 = 5 + 2 \\ 9 = 7 + 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó theo định nghĩa cấp số cộng dãy số 1;3;5;7;9 là một cấp số cộng với d = 2

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = - \frac{1}{2}, công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:

    Ta dùng công thức tổng quát u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}, hoặc u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2} để tính các số hạng của một cấp số cộng.

    Ta có u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \hfill \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}} \hfill \\ \Rightarrow n - 1 = 10 \hfill \\ \Rightarrow n = 11 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong các dãy số (u_{n}) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Xét dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} ta có:

    \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1 - 2}}}}}}{{\dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}}}} = \dfrac{{{3^{n - 2}}}}{{{3^{n - 1}}}} = {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}

    Vậy dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} là cấp số nhân với q = 1/3

  • Câu 15: Vận dụng

    Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tìm số hạng đầu tiên u_{1} và công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4} = \frac{3}{4}n^{2} - \frac{19}{4}n

    Mặt khác

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{d}{2}.n^{2} + \left( u_{1} - \frac{d}{2} ight).n

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{d}{2} = \dfrac{3}{4} \\u_{1} - \dfrac{d}{2} = - \dfrac{19}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 4 \\d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)

    Ta có:

    Với n=0=>S=1

    Với n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2

    Với n = 2 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3

    Dự đoán S = n + 1\left( * ight) ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.

    Với n = 0 đương nhiên (*) đúng.

    Giả sử (*) đúng với n=k tức là:

    \begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là S=n+1

  • Câu 17: Nhận biết

    Dãy số có các số hạng cho bởi - 1;1; - 1;1;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

    Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án u_{n} = 1 và u_{n} = - 1

    Ta có: u_{1} = - 1 ở các đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} và u_{n} = ( - 1)^{n + 1}

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1

    Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là u_{n} = ( - 1)^{n}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n}

    = \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)

    = 3

    => Dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n là cấp số cộng.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có {u_2} = \frac{1}{4};{u_5} = 16. Tìm công bội q và số hạng đầu u1.

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = \dfrac{1}{4}} \\ {{u_5} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.q = \dfrac{1}{4}} \\ {{u_1}.{q^4} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q^3} = 64} \\ {{u_1}.{q^4} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 4} \\ {{u_1} = \dfrac{1}{{16}}} \end{array}} ight.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}} với \forall n\geq 1. Khi đó số hạng u_{2n} của dãy (u_{n}) là 

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n}} = \dfrac{{{{\left( {2n} ight)}^2}}}{{{3^{2n}}}} = \dfrac{{4{n^2}}}{{{9^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = 2u_{n} \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \frac{1}{2} \\u_{2} = 2u_{1} \\u_{3} = 2u_{2} \\\cdots \\u_{n} = 2u_{n - 1} \\\end{matrix} ight.

    Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots u_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n - 1} \cdot u_{1} \cdot u_{2}\ldots u_{n - 1} \Leftrightarrow u_{n} = 2^{n - 2}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = 3u_{n} \\\end{matrix},\forall n \in N^{*} ight.. Tìm số hạng tổng quát của dãy số \left( u_{n}ight).

    Ta có u_{1} = 3 và \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=3

    Suy ra dãy số \left( u_{n}ight)là cấp số nhân với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Do đó u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n -1} = 3^{n}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Đáp án là:

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: u_{1} = 1;d = 1;n = 10.

    Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

    S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}

    = \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55 (khúc gỗ).

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính tổng A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515

     Ta thấy các số hạng của tổng A tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 5

    Giả sử tổng trên có n số hạng thì un = 7515

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 7515 \hfill \\ \Rightarrow 15 + \left( {n - 1} ight).5 = 7515 \hfill \\ \Rightarrow n = 1501 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy A = {A_{1501}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 1500d} ight).1501}}{2} = \frac{{\left( {2.15 + 1500.5} ight).1501}}{2} = 5651265

     

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.

    Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1

    u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

    un = 1 − (n−1) = 2 − n.

  • Câu 29: Vận dụng

    Công bội nguyên dương của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn \left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 14} \\ {{u_1}{u_2}{u_3} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2}.{{\left( {{u_2}} ight)}^2} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{{\left( {{u_2}} ight)}^3} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2} = 4} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {q = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Với n = 1 ta có  − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).

    Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là  − 2 ≤ uk ≤ 1

    \Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1

    Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy (un) là dãy số bị chặn.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho dãy (un) xác định bởi u_{1} = \frac{1}{2} và un = un − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u50 bằng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = u_{1} + 2 \\ u_{3} = u_{2} + 4 \\ \ldots \\ u_{49} = u_{48} + 2.49 \\ u_{50} = u_{49} + 2.50 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

    u_{50} = \frac{1}{2} + 2(2 + 3 + \ldots + 50) = \frac{1}{2} + 2(25.51 - 1) = 2548,5.

  • Câu 32: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Xét đáp án \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... có \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\pi} eq \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    => Dãy số \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... không phải là cấp số nhân.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    \Rightarrow {\left( {\sqrt b } ight)^2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} ight).\left( {\sqrt 2 } ight)

    \Rightarrow b = 1 (Vì b > 0)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{6} = u_{1} + 5d = 5 + 5.2 = 15.

    b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1).2 = 2n + 3.

    c) Áp dụng công thức tính tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{(n - 1)n}{2}d = 5n + \frac{(n - 1)n}{2}.2 = n^{2} + 4n.

    d) Ta viết lại

    S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20}

    = \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{20} ight) - \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{9} ight)

    = S_{20} - S_{9} = 480 - 117 = 363.

  • Câu 38: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho dãy số (un) xác định bởi {u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight). Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?

     Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập