Cho dãy số
với
. Chọn đáp án đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với ta có:
Giả sử . Ta cần chứng minh
.
Thật vậy
Vì
Vì
Vậy hay dãy
bị chặn trên bởi
và bị chặn dưới bởi
.
Cho dãy số
với
. Chọn đáp án đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với ta có:
Giả sử . Ta cần chứng minh
.
Thật vậy
Vì
Vì
Vậy hay dãy
bị chặn trên bởi
và bị chặn dưới bởi
.
Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u9 = 5u2 và u13 = 2u6 + 5.
Ta có:
Trong dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Vì là các dãy dương và tăng nên
là các dãy giảm
=> Loại các đáp án
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số không phải dãy tăng.
Xét đáp án
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó:
Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai
Tổng số ghế là
Với
, cho dãy số
gồm các số nguyên dương chia hết cho
:
,
,
,
, …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Ta có ,
,
,
,…
Suy ra .
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
công sai
. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
Ta có:
Cho dãy số
với
. Dãy số
là dãy số
Ta có:
Vậy dãy số là dãy số tăng.
Cho dãy số (un) có u1 = 7; un + 1 = 2un + 3. Khi đó u3 bằng?
Ta có u3 = 2u2 + 3 = 2 ⋅ (2u1+3) + 3 = 4u1 + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
với công sai
và số hạng đầu
.”
Cho cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có: Cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành
hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có:
.
Khi đó, tổng số khúc gỗ là:
(khúc gỗ).
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết
. Tính giá trị x + y.
Ta có:
=> x + y = 4
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án: loại
Xét đáp án: Chọn
Xét đáp án: Loại
Xét đáp án: loại
Cho dãy số
, với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.
Tập giá trị của dãy số là {-1; 1}
Vậy dãy số là dãy số bị chặn.
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có:
Từ độ cao
của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 68,2
Từ độ cao của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 68,2
Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:
Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ là
.
Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:
.
Vì ,
,
, …,
,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội
, nên ta có:
.
Vậy
Tìm b > 0 để các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
(Vì b > 0)
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Mà n là số chẵn và
Cho cấp số nhân
có
. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
Ta có:
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Cho dãy số (un) với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?
Ta có
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: .
Trong các dãy (un) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
Ta có:
n2 − n + 1 < n2 + 2n + 2 (do n > 0)
Suy ra , với mọi n.
Cho khai triển
. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.
Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại
Vậy tổng các hệ số của khai triển là:
Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Ta có:
Vậy công sai của cấp số nhân là
Vậy số hạng tiếp theo sẽ là:
Khẳng định nào dưới đây sai?
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là với công sai d và số hạng đầu u1
Cho cấp số cộng
có
và
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Cho dãy số
là một cấp số nhân với
. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Giả sử là cấp số nhân công bội
thì:
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy không là cấp số nhân.
Cho cấp số nhân
với
. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Gọi
là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Và
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) ![]()
(b) ![]()
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc " sai vì
là tập con thực sự của
nên tồn tại số nguyên dương không thuộc
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc " sai vì số nguyên âm không thuộc
.
Cho dãy số (un) với
, biết
. Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
Ta có:
(do k∈ℕ*)
Cho cấp số nhân
có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng
. Đúng||Sai
b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai
c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng
d) Gọi dãy số
, với
. Khi đó tổng
. Sai||Đúng
Cho cấp số nhân có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng . Đúng||Sai
b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai
c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng
d) Gọi dãy số , với
. Khi đó tổng
. Sai||Đúng
a) Đúng
Ta có:
.
b) Đúng.
Ta có:
Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599 nên mệnh đề đúng.
c) Sai.
Ta có:
Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân nên mệnh đề sai.
d) Sai.
Ta có , nên
là cấp số nhân với
và công bội
.
Nên .
Cho cấp số cộng
với
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Tìm số hạng đầu tiên
.
Ta có:
Cho một cấp số nhân
có
. Tính
?
Ta có:
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng
so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Đáp án: 666
Gọi là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ
(đơn vị tính: mét).
Ta có và
.
Vậy là cấp số nhân với số hạng đầu
và công bội
.
Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Cho cấp số cộng
có
và
. Tìm
Ta có: