Cho dãy số
xác định bởi
. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
Ba số hạng đầu tiên của dãy là
Cho dãy số
xác định bởi
. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
Ba số hạng đầu tiên của dãy là
Với mọi số nguyên dương
thì
chia hết cho
Với chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh
chia hết cho 3 với mọi
.
Giả sử khẳng định đúng với tức là
chia hết cho 3, ta chứng minh
cũng chia hết cho 3.
Ta có:
Vậy với mọi số nguyên dương thì chia hết cho 3.
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …
Dễ dàng dự đoán được un = n.
Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1
Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.
Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn
. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Giả sử công bội của cấp số nhân là q
Ta có:
=>
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2
Ta có:
Cho dãy số
xác định bởi
. Khi đó
có giá trị bằng
Theo công thức truy hồi ta có
.
Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là
. Xác định công sai của cấp số cộng.
Ta có:
Cho dãy số
, biết
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 8 của dãy số.
Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai
Tổng số ghế là
Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Cho cấp số nhân
với số hạng đầu
và công bội
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Do là cấp số nhân nên
.
Cho dãy số (un) biết un = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có un = 3n + 6 ⇒ un + 1 = 3(n+1) + 6 = 3n + 9
Xét hiệu un + 1 − un = (3n+9) − (3n+6) = 3 > 0, ∀n ∈ N*
Vậy (un) là dãy số tăng.
Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> là một cấp số nhân với công bội là q = 5
Số hạng đầu tiên của dãy là:
Cho dãy số
xác định bởi
. Tính số hạng thứ
của dãy số đó?
Ta có ,
,
Do đó là cấp số nhân với
,
,
;
.
Tính tổng
với
.
Với thì
Ta có:
Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..
=>
Ta có: và
là cấp số cộng có n số hạng nên.
Người ta trồng
cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?
Giả sử trồng được n hàng cây
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có và công sai
Theo giả thiết ta có:
Vậy có tất cả hàng cây.
Tính tổng
. Biết dãy số (un) xác định bởi: ![]()
Ta có:
Do
Từ đó suy ra:
Hay dãy là một cấp số nhân có số hạng đầu
Khi đó
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân
Vậy
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
Ta có:
Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng có
.
Gọi n là số ô trên bàn cờ thì
Ta có:
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có và số hạng cuối
.
Khi đó:
Do đó
Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số
có số hạng tổng quát
?
Ta có:
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Cho dãy số (un) được xác định bởi
.
Số hạng tổng quát un của dãy số là?
Ta có
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:
un = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)
= 2 + (n−1)(n+2) − n + 1
= n2 + 1
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi
.
Theo bài ra ta có:
Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng ![]()
Ta có:
Với
Với
Với
Dự đoán ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.
Với đương nhiên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với tức là:
Ta chứng minh (*) đúng với
Ta có:
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là
Cho một cấp số nhân
có
. Tính
?
Ta có:
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
và
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Cấp số nhân
có số hạng tổng quát là
. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra và
.
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có
tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Ban đầu có tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với
và công bội
.
Theo bài ra ta có:
Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.
Ta có: là số tế bào nhận được sau 2 giờ.
Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là
Cho cấp số cộng
với
. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:
Ta có:
Cho dãy (un) xác định bởi
và un = un − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u50 bằng?
Ta có
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
.
Tổng
có công thức thu gọn là?
Cho cấp số cộng
có
và
. Tìm
Ta có:
Cho dãy số
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta chứng minh quy nạp
Cách khác:
Ta có: nên loại các đáp án
;
;
Cho phương trình:
. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số cộng.
Vì ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng nên ta có:
Theo giả thiết ta có:
Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
Ta có: d = 6 - 1 = 5
Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> x = 6 + 5 = 11
Vậy x = 11
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
công sai
. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Tìm công sai
của cấp số cộng?
Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có: