Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng {u_1} = - 3;d = 4. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

     Ta có: {u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

    Xét dãy số \left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=2u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1

     Ta có: \frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 2 => Dãy số là cấp số nhân

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2} = \frac{x}{y};\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight). Tính giá trị x + y.

    Ta có:

    \begin{matrix} a + c = 2b \hfill \\ \Rightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A - C}}{2} = 4\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2} = 4\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{{A - C}}{2} = 2\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} + \sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} - 2\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} = 3\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow 3\tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1 \hfill \\ \Rightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    => x + y = 4

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{8} = 16. Tìm d;S_{10}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110

  • Câu 6: Nhận biết

    Biết ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?

    Để ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân thì m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các giá trị của m là S = - 3

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

    u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 9: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{1}{3}

    => Loại đáp án A 

    Xét đáp án B: 15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 3\sqrt 2

    => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: \frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...

    {u_2} - {u_1} = \frac{1}{5} e {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}

    => Chọn đáp án C

    Xét đáp án D: \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

    => Loại đáp án D

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tính tổng {S_n} = {\left( {2 + \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} ight)^2}

     Ta có:

    \begin{matrix} {S_n} = {\left( {2 + \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \dfrac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \dfrac{1}{{{2^n}}}} ight)^2} \hfill \\ {S_n} = \left( {4 + 2 + \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {{4^2} + 2 + \dfrac{1}{{{4^2}}}} ight) + ... + \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^n}}}} ight) \hfill \\ {S_n} = 2n + \left( {4 + {4^2} + ... + {4^n}} ight) + \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^n}}}} ight) \hfill \\ = 2n + 4.\dfrac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} + \frac{1}{4}\frac{{1 - \frac{1}{{{4^n}}}}}{{1 - \frac{1}{4}}} \hfill \\ {S_n} = 2n + \dfrac{4}{3}\left( {{4^n} - 1} ight) + \dfrac{{{4^{n - 1}}}}{{{{3.4}^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 theo thứ tự tăng dần?

    Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

    Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \cos n + \sin n. Dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với mọi n ta có:

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi \sqrt{2}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{5} = 5, u_{10} = 15 Khi đó u_{7} bằng

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{5} = 5 \\ u_{10} = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 4d = 5 \\ u_{1} + 9d = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy u_{7} = u_{1} + 6d = - 3 + 6.2 = 9

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1)k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\forall \geq 2

    Suy ra 

    u_n<\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+⋯+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})

    =\frac{3}{2}-\frac{1}{n} < \frac{3}{2}

    \Rightarrow 0 < u_n <\frac{3}{2}, \, \, \forall n \in \mathbb{N} ^*

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 18: Vận dụng

    Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là:

    Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó (A < B < C) lập thành một cấp số cộng nên

    \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\A + B + C = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\3B = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\A = 30^{0} \\B = 60^{0} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có d = - 2;S_{8} = 72. Tìm số hạng đầu tiên u_{1}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}d = - 2 \\S_{8} = 72 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = - 2 \\8u_{1} + \dfrac{8.7.d}{2} = 72 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 8u_{1} + 28.( - 2) = 72

    \Rightarrow u_{1} = 16

  • Câu 22: Vận dụng

    Tính tổng A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515

     Ta thấy các số hạng của tổng A tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 5

    Giả sử tổng trên có n số hạng thì un = 7515

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 7515 \hfill \\ \Rightarrow 15 + \left( {n - 1} ight).5 = 7515 \hfill \\ \Rightarrow n = 1501 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy A = {A_{1501}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 1500d} ight).1501}}{2} = \frac{{\left( {2.15 + 1500.5} ight).1501}}{2} = 5651265

     

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{n} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?

    Ta có u_{1} = - \frac{3}{2};u_{2} = - \frac{4}{3};u_{3} = - \frac{5}{4};\ldots suy ra được u_{n} = - \frac{n + 1}{n}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n + 5. Số 19 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

    Ta có

    u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19

    \Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7.

    Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

  • Câu 25: Vận dụng

    Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

    Kí hiệu p_{n} là chu vi của hình vuông thứ n và Q_{n} là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_{n} và Q_{n}(n = 1,2,3,\ldots) và tìm lim Q_{n} (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

    Đáp án: 13,66

    Đáp án là:

    Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

    Kí hiệu p_{n} là chu vi của hình vuông thứ n và Q_{n} là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_{n} và Q_{n}(n = 1,2,3,\ldots) và tìm lim Q_{n} (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

    Đáp án: 13,66

    Ta có:

    p_{n} = 4 \cdot \frac{1}{(\sqrt{2})^{n - 1}}

    Q_{n} = 4 + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 4 \cdot \frac{1}{(\sqrt{2})^{2}} + \ldots + 4 \cdot \frac{1}{(\sqrt{2})^{n - 1}}

    = 4 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \approx 13,66

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u_{6} của cấp số nhân đã cho.

    Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} = 3.2^{6} = 96

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho dãy số (an) được xác định bởi \left\{ \begin{matrix} a_{1} = 1;a_{2} = 2 \\ a_{n + 2} - a_{n + 1} - a_{n} = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) là đúng?

    Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{1}=-3 và d=\frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u1 = 1 và u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) (un) là dãy số bị chặn trên.

    Ta có \forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0} nên dãy số tăng.

    Vậy phát biểu (1) đúng.

    Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.

    Vậy phát biểu (2) đúng.

    Ta lại có u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

    Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

    u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}

    Mặt khác \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\ldots Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};

    \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}

    Suy ra u_{n} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng u_{k} = u_{1}q^{k - 1}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Với mọi số nguyên dương n thì S_{n}=n^{3}+2n chia hết cho 

    Với n = 1\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3 chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh S_n chia hết cho 3 với mọi n.

    Giả sử khẳng định đúng với n=k tức là {S_k} = {k^3} + 2k chia hết cho 3, ta chứng minh {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) cũng chia hết cho 3.

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy với mọi số nguyên dương thì S_{n}=n^{3}+2n chia hết cho 3.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q eq 1. Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Theo công thức tính tổng n số hạng đầu của CSN ta được S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}. Tìm số hạng u_{5}

    Ta có:

    {u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}

  • Câu 35: Nhận biết

    Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q eq 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: ac = b^{2} \Rightarrow \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{ac}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} + u_{23} = 60. Tính tổng S_{24} của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    u_{2} + u_{23} = 60

    \Leftrightarrow \left( u_{1} + d ight)+ \left( u_{1} + 22d ight) = 60

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 23d =60

    Khi đó:

    \Rightarrow S_{24} = \frac{24}{2}\left(u_{1} + u_{24} ight)

    \Rightarrow S_{24} = 12.\left\lbracku_{1} + \left( u_{1} + 23d ight) ightbrack

    \Rightarrow S_{24} = 12.60 =720

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 3;d = 5. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?

    Ta có: u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18

    Vậy u_{4} = 18

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án 1;1;1;1;1;1... dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

    Xét đáp án 1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};... \Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3} (Loại)

    Xét đáp án 1;3;5;7;9;.... \Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*} (Chọn)

    Xét đáp án 1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};... Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ... (Loại)

  • Câu 39: Vận dụng

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn 150 \times 6\%= 9(mg), suy ra mệnh đề đúng.

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là: 150 \times 6\% + 150 = 159(mg) suy ra mệnh đề đúng.

    c) Gọi u_{n} là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 1 là: u_{1} = 150(mg)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là:

    u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 3 là:

    u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 4 là:

    u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

    S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)

    = 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}

    = \frac{7500}{47} \approx 159,57mg

    Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là 159,57mg, suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập