Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án 1;1;1;1;1;1... dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

    Xét đáp án 1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};... \Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3} (Loại)

    Xét đáp án 1;3;5;7;9;.... \Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*} (Chọn)

    Xét đáp án 1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};... Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ... (Loại)

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho xeq 0 và x+\frac{1}{x} là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}?

    Ta có:

    T\left( {1;x} ight) = x + \frac{1}{x} là một số nguyên

    T\left( {2;x} ight) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)^2} - 2 cũng là một số nguyên

    Ta sẽ chứng minh T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} là một số nguyên.

    Ta có: 

    T\left( {1;x} ight) là một số nguyên 

    Giả sử T(n,x) là số nguyên với n \ge1. Ta sẽ chứng minh T\left( {n + 1;x} ight) cũng là số nguyên.

    Ta có: 

    \begin{matrix} T\left( {n + 1;x} ight) = {x^{n + 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n + 1}}}} \hfill \\ = \left( {x + \dfrac{1}{x}} ight).\left( {{x^n} + \dfrac{1}{{{x^n}}}} ight) - \left( {{x^{n - 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n - 1}}}}} ight) \hfill \\ = T\left( {1;x} ight).T\left( {n;x} ight) - T\left( {n - 1;x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Theo giả thiết quy nạp ta có: 

    \left\{ \begin{gathered} T\left( {1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n - 1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow T\left( {n + 1;x} ight) \in \mathbb{Z}

    Vậy T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} là một số nguyên.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \hfill \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}} \hfill \\ \Rightarrow n - 1 = 10 \hfill \\ \Rightarrow n = 11 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các dãy số (u_{n}) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Xét dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} ta có:

    \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1 - 2}}}}}}{{\dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}}}} = \dfrac{{{3^{n - 2}}}}{{{3^{n - 1}}}} = {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}

    Vậy dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} là cấp số nhân với q = 1/3

  • Câu 5: Nhận biết

    Dãy số có các số hạng cho bởi - 1;1; - 1;1;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

    Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án u_{n} = 1 và u_{n} = - 1

    Ta có: u_{1} = - 1 ở các đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} và u_{n} = ( - 1)^{n + 1}

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1

    Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là u_{n} = ( - 1)^{n}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho dãy số {u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{n}. Số hạng thứ 10 của dãy số đó là:

    Ta có: {u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}} = 51,3

  • Câu 7: Nhận biết

    Với giá trị x nào dưới đây thì các số - 4;x; - 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

    Ta có: - 4;x; - 9 lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = ( - 4).( - 9) = 36

    \Rightarrow x = \pm 6

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = {\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} ight)^{2n + 3}}. Tìm số hạng u_{n+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} ight)^{2n + 3}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n + 1 - 1}}{{n + 1 + 1}}} ight)^{2\left( {n + 1} ight) + 3}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} ight)^{2n + 5}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x^{2} - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

    Công bội của cấp số nhân là: a = \frac{4x^{2} - 1}{2x + 1} = 2x - 1

    Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

    \left( 4x^{2} - 1 ight)(2x - 1) = 8x^{3} - 4x^{2} - 2x + 1

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ d = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( {{u_n}} ight) có số hạng đầu {u_1} = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức: P = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng \left( {{u_n}} ight) có số hạng đầu {u_1} = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức: P = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    Gọi d là công sai của cấp số cộng. ta có:

    S_{100} = 50\left( 2u_{1} + 99d ight) =14950 mà u_{1} = 1 \Rightarrow d =3

    Ta có:

    P = \frac{1}{u_{1}u_{2}} +\frac{1}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{49}.u_{50}}

    \Rightarrow P.d = \frac{d}{u_{1}u_{2}} +\frac{d}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{d}{u_{49}.u_{50}}

    = \frac{u_{2} - u_{1}}{u_{1}u_{2}} +\frac{u_{3} - u_{2}}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{u_{50} -u_{49}}{u_{49}.u_{50}}

    = \frac{1}{u_{1}} - \frac{1}{u_{50}} =\frac{1}{1 + 49.3} = \frac{147}{148}

    Với d = 3 \Rightarrow P =\frac{49}{148}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng u_{3} = 15;d = - 2. Tính u_{n}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?

    Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d= 3;u_{1} = 25

    Tổng số ghế là

    S_{30} = u_{1} + u_{2} + ... +u_{30}

    = 30u_{1} + \frac{30.29}{2}.d =2055

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

    Ta có:

    u_{n} = 32805

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 32805

    \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561

    \Rightarrow n = 9

    Vậy u_{9} là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông tại C có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số nhân có công bội lớn hơn 1. Xác định công bội của cấp số nhân đó.

    Giả sử a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, a < b.

    Do độ lớn ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân, công bội q > 1 nên b = aq;c = aq^{2}

    c^{2} = a^{2} + b^{2}

    \Leftrightarrow a^{2}q^{4} = a^{2} + a^{2}q^{2}

    \Leftrightarrow q^{4} = 1 + q^{2}

    \Leftrightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

    \Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 3;q = - 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 3 \\q = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = u_{1}.\frac{1 -q^{10}}{1 - q} = ( - 3).\frac{1 - ( - 2)^{10}}{1 + 2} =1023

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là - 2;0;2;4;6;.... Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?

    Ta có: u_{1} = - 2 loại các đáp án u_{n} = n - 2 và u_{n} = - 2(n + 1). Ta kiểm tra u_{2} = 0

    Xét đáp án u_{n} = - 2n có u_{2} = - 4 eq 0

    Xét đáp án u_{n} = 2n - 4 có u_{2} = 2.2 - 4 = 0 là đáp án đúng.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.

    Ta có: u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} nên u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} đúng.

    Do - 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1 nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.

    u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Do \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số không tăng, không giảm.

    Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.

    Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \frac{1}{4};\frac{1}{2};1;...;2048. Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.

    Cấp số nhân đã cho có \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 2048 = 2^{11} = u_{1}.q^{n -1} = \frac{1}{2}.2^{n - 1} = 2^{n - 2}

    \Rightarrow n = 13

    => S = 2047,75

  • Câu 21: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u_{6} của cấp số nhân đã cho.

    Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} = 3.2^{6} = 96

  • Câu 22: Vận dụng

    Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) được cho bởi an = 2n + n là đúng?

    Ta có an + 1 − an = 2n + 1 + n + 1 − 2n − n

     = 2.2n − 2n + 1 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy (an) là dãy số tăng.

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

    u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2} + 1}{4},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh un + 1 − un < 0 bằng quy nạp toán học.

    Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ∈ ℕ*.

    Ta có u_{2} - u_{1} = \frac{5}{4} - 2 = \frac{- 3}{4} < 0.

    Giả sử: uk + 1 − uk < 0, ∀k ≥ 1

    Xét hiệu u_{k + 2} - u_{k + 1} = \frac{u_{k + 1}^{2} + 1}{4} - \frac{u_{k}^{2} + 1}{4}

    = \frac{1}{4}\left( u_{k + 1} + u_{k} ight)\left( u_{k + 1} - u_{k} ight) < 0

    Theo nguyên lí quy nạp suy ra un + 1 − un < 0, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy dãy số (un) là dãy số giảm.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight. Thỏa mãn!

    Ta xét đáp án : u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight. Loại

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?

    Ta có: u_{11} = u_{1} + 10d = - 17

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;q = - 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Đáp án là:

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

    Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d_{1} = 55,8(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d_{2}= 55,8 + 2.\frac{55,8}{10}( m ).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d_{3} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d_{4} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + 2.\frac{55,8}{10^{3}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ n,\ \ (n > 1) là

    d_{n} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}}(m).

    Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:

    d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...(m).

    Vì 2.\frac{55,8}{10}, 2.\frac{55,8}{10^{2}}, 2.\frac{55,8}{10^{3}}, …, 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}},…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = \frac{1}{10}, nên ta có:

    2.\dfrac{55,8}{10} + 2.\dfrac{55,8}{10^{2}}+ ... + 2.\dfrac{55,8}{10^{n - 1}} + ...= \dfrac{2.\dfrac{55,8}{10}}{1 -\dfrac{1}{10}} = 12,4.

    Vậy d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...

    = 55,8 + 12,4 = 68,2\ (m)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54. Tính u_{8}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

    Đáp án: 20

    Đáp án là:

    Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

    Đáp án: 20

    Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có u_{1} = 15 và công sai d = 3.

    Giả sử hội trường có n hàng ghế n\mathbb{\in N}*.

    Tổng số ghế có trong hội trường là:

    S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2} = \frac{\lbrack 2.15 + (n - 1).3brack n}{2} = \frac{3n^{2} + 27n}{2}.

    Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì S_{n} \geq 870

    \Leftrightarrow \frac{3n^{2} + 27n}{2} \geq 870 \Leftrightarrow n^{2} + 9n - 580 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n \geq 20 \\ n \leq - 29 \\ \end{matrix}. ight.

    Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2} = \frac{x}{y};\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight). Tính giá trị x + y.

    Ta có:

    \begin{matrix} a + c = 2b \hfill \\ \Rightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A - C}}{2} = 4\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2} = 4\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{{A - C}}{2} = 2\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} + \sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} - 2\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} = 3\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow 3\tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1 \hfill \\ \Rightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    => x + y = 4

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} = - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 39: Nhận biết

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Do dãy số là cấp số nhân

    => q = \frac{{36}}{{16}} = \frac{9}{4}

    => Số hạng tiếp theo là: 36.\frac{9}{4} = 81

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 26 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập