Cho dãy số (un) với ![]()
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1
u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:
un = 1 − (n−1) = 2 − n.
Cho dãy số (un) với ![]()
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1
u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:
un = 1 − (n−1) = 2 − n.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Ta có: không có dạng
nên không phải là cấp số cộng.
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Do dãy số là cấp số nhân
=>
=> Số hạng tiếp theo là:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Xét dãy số
Ta có: => Dãy số là cấp số nhân
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
Ta lấy một phản ví dụ:
Dãy số (un) với là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0
Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.
Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Ta có:
Vậy là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?
Gọi số hàng cây được trồng là x (hàng)
Số cây các hàng là: 1; 2; 3; 4; ...; x - 1; x
Số cây của mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng
=>
Khi đó ta có:
Vậy có tất cả 77 hàng cây được trồng.
Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
Ta có:
Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng nên chúng lập thành cấp số cộng
Cho một cấp số nhân
có
. Hỏi
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Cho cấp số nhân
thỏa mãn
. Tính ![]()
Đáp án: 64
Cho cấp số nhân thỏa mãn
. Tính
Đáp án: 64
Giả sử cấp số nhân có công bội là , khi đó theo bài ra ta có:
do
Ta có:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình
có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Ta có:
kiểm tra lại kết quả ta được
Cho cấp số nhân
có
. Tính
.
Ta có
Vậy .
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và tổng
số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức:
?
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
và tổng
số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức:
?
Gọi d là công sai của cấp số cộng. ta có:
mà
Ta có:
Với
Cho tổng
.
Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …
Dễ dàng dự đoán được un = n.
Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1
Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.
Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là
. Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
Với số nguyên dương , kí hiệu
là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau
tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:
Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu
với công bội
nên
Số tiền rút được sau 2 năm là:
(đồng)
Cho dãy số (un) với
, biết
. Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
Ta có:
(do k∈ℕ*)
Với giá trị nào của m ta có thể tìm được các giá trị của x để các số
lập thành một cấp số cộng?
Để ba số hạng lập thành một cấp số cộng ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Với mọi số nguyên dương
thì
chia hết cho
Với chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh
chia hết cho 3 với mọi
.
Giả sử khẳng định đúng với tức là
chia hết cho 3, ta chứng minh
cũng chia hết cho 3.
Ta có:
Vậy với mọi số nguyên dương thì chia hết cho 3.
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) Dãy số được xác định bởi
là một dãy bị chặn.
(2) Dãy số được xác định bởi an = n2 là một dãy giảm.
(3) Dãy số được xác định bởi an = 1 − n2 là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
(4) Dãy số được xác định bởi an = (−1)nn2 là một dãy không tăng, không giảm.
nên dãy số xác định bởi
là một dãy bị chặn.
an + 1 − an = (n+1)2 − n2 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = n2 là dãy tăng.
an + 1 − an = (1−(n+1)2) − (1−n2) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = 1 − n2 là dãy số giảm và không bị chặn dưới.
a1 = − 1 < a2 = 4 > a3 = − 9 nên dãy số xác định bởi an = (−1)nn2 là dãy không tăng không giảm.
Biết ba số
lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
Để ba số lập thành một cấp số nhân thì
Vậy tổng các giá trị của m là
Cho cấp số cộng có
,
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b) Số hạng tổng quát thứ
của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
c) Tổng
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
d) Tổng
. Sai||Đúng
Cho cấp số cộng có ,
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) Số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
c) Tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
d) Tổng . Sai||Đúng
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng ta có:
.
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng ta có:
.
c) Áp dụng công thức tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:
.
d) Ta viết lại
.
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
=> Dãy số là cấp số cộng.
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dã số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho dãy số vô hạn
là một cấp số cộng có số hạng đầu
, công sai
. Gọi
là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho dãy số vô hạn là một cấp số cộng có số hạng đầu
, công sai
. Gọi
là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Ta có: đúng
Ta có:
Lại có:
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có
tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Ban đầu có tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với
và công bội
.
Theo bài ra ta có:
Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.
Ta có: là số tế bào nhận được sau 2 giờ.
Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là
Cho một cấp số nhân
có
. Tính
?
Ta có:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
công sai
. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
Ta có:
Cho dãy số (un) biết un = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có un = 3n + 6 ⇒ un + 1 = 3(n+1) + 6 = 3n + 9
Xét hiệu un + 1 − un = (3n+9) − (3n+6) = 3 > 0, ∀n ∈ N*
Vậy (un) là dãy số tăng.
Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?
Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A
Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B
Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C
Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D
Trong dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Vì là các dãy dương và tăng nên
là các dãy giảm
=> Loại các đáp án
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số không phải dãy tăng.
Xét đáp án
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho cấp số cộng (Un) có
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Với mọi n ∈ ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?
Thử với n = 1, n = 2, n = 3 ta kết luận được đáp án:
sai.
Suy ra
mới là kết quả đúng!
Cho dãy số (un) được xác định bởi
.
Số hạng tổng quát un của dãy số là?
Ta có
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:
un = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)
= 2 + (n−1)(n+2) − n + 1
= n2 + 1
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với
bằng:
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
công sai
Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:
Ta dùng công thức tổng quát , hoặc
để tính các số hạng của một cấp số cộng.
Ta có
Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối
của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có: