Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Tổng S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99} có kết quả bằng?

    Ta có \frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots

    Do đó S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = - \frac{1}{2}, công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:

    Ta dùng công thức tổng quát u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}, hoặc u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2} để tính các số hạng của một cấp số cộng.

    Ta có u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}. Giá trị u_{21} là

    Ta có: u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Với giá trị nào của m ta có thể tìm được các giá trị của x để các số {5^{x + 1}} + {5^{1 - x}};\frac{m}{2};{25^x} + {25^{ - x}} lập thành một cấp số cộng?

     Để ba số hạng lập thành một cấp số cộng ta có:

    \begin{matrix} \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} ight) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} ight) = 2.\left( {\dfrac{m}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow m = 5\left( {{5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}}} ight) + \left( {{5^{2x}} + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

    \begin{matrix} {5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}} \geqslant 2\sqrt 1 = 2 \hfill \\ {5^{2x}} + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}} \geqslant 2 \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant 5.2 + 2 = 12 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án 1;1;1;1;1;1... dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

    Xét đáp án 1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};... \Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3} (Loại)

    Xét đáp án 1;3;5;7;9;.... \Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*} (Chọn)

    Xét đáp án 1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};... Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ... (Loại)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}. Hỏi số \frac{1}{4096} là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

    Ta có: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096} là cấp số nhân với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}

    \Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho dãy xác định bởi công thức \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát của dãy un là?

    Ta có u_{1} = 3;u_{2} = \frac{1}{2}u_{1} = \frac{3}{2};u_{3} = \frac{1}{2}u_{2} = \frac{3}{2^{2}};\ldots

    Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

    Thật vậy, n = 1 thì u1 = 3 (đúng).

    Giả sử với n = k(k≥1) thì u_{k} = \frac{3}{2^{k - 1}}. Ta đi chứng minh u_{k + 1} = \frac{3}{2^{k}}

    Ta có u_{k + 1} = \frac{1}{2}u_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{k - 1}} = \frac{3}{2^{k}} (điều phải chứng minh).

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 1 và công sai d = 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng:

    Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là

    S_{n} = \frac{n}{2}\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}\left\lbrack 2.1 + (10 - 1)2 ightbrack = 100

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}};\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} \geq 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \geq \sqrt{6} \\ \end{matrix} ight.

    Ta chứng minh quy nạp u_{n} \leq 2\sqrt{3};u_{1} \leq 2\sqrt{3};u_{k} \leq 2\sqrt{3}

    u_{k + 1} = \sqrt{6 + u_{k + 1}} \leq \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} \leq \sqrt{6 + 6} = 2\sqrt{3}

    Cách khác:

    Ta có: u_{2} = \sqrt{12} > 3 > \frac{5}{2} > 2 nên loại các đáp án \sqrt{6} \leq u_{n} < \frac{5}{2}; \sqrt{6} \leq u_{n} < 3; \sqrt{6} \leq u_{n} < 2

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Vận dụng

    Giả sử \sin \frac{a}{6};\cos a;\tan a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó \cos 2a bằng:

    Điều kiện \cos a e 0 \Leftrightarrow a e \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} {\cos ^2}a = \dfrac{{\sin a}}{6}.\tan a \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}a = \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{\cos a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a - {\sin ^2}a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a + {\cos ^2}a - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} + u_{23} = 60. Tính tổng S_{24} của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    u_{2} + u_{23} = 60

    \Leftrightarrow \left( u_{1} + d ight)+ \left( u_{1} + 22d ight) = 60

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 23d =60

    Khi đó:

    \Rightarrow S_{24} = \frac{24}{2}\left(u_{1} + u_{24} ight)

    \Rightarrow S_{24} = 12.\left\lbracku_{1} + \left( u_{1} + 23d ight) ightbrack

    \Rightarrow S_{24} = 12.60 =720

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Các số \frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow \left( \sqrt{b} ight)^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}

    \Rightarrow b = 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?

    Ta có:

    Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

    Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

    Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

    Suy ra có chữ số 0.

    Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng u_{k} = u_{1}q^{k - 1}.

  • Câu 21: Vận dụng

    Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

    Gọi số hàng cây được trồng là x (hàng)

    Số cây các hàng là: 1; 2; 3; 4; ...; x - 1; x

    Số cây của mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng 

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {d = 1} \end{array}} ight.

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {S_x} = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 3003 = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 6006 = 2x + {x^2} - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 77\left( {tm} ight)} \\ {x = - 78\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có tất cả 77 hàng cây được trồng.

  • Câu 22: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

    Ta có:

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho dãy số u_{n} = \frac{n^{2} + 2n - 1}{n + 1}. Giá trị u11 là

    Ta có u_{11} = \frac{11^{2} + 2.11 - 1}{11 + 1} = \frac{71}{6}

  • Câu 25: Vận dụng

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) Dãy số được xác định bởi a_{n} = 1 + \frac{1}{n} là một dãy bị chặn.

    (2) Dãy số được xác định bởi an = n2 là một dãy giảm.

    (3) Dãy số được xác định bởi an = 1 − n2 là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

    (4) Dãy số được xác định bởi an = (−1)nn2 là một dãy không tăng, không giảm.

    0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số xác định bởi a_{n} = 1 + \frac{1}{n} là một dãy bị chặn.

    an + 1 − an = (n+1)2 − n2 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = n2 là dãy tăng.

    an + 1 − an = (1−(n+1)2) − (1−n2) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = 1 − n2 là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

    a1 =  − 1 < a2 = 4 > a3 =  − 9 nên dãy số xác định bởi an = (−1)nn2 là dãy không tăng không giảm.

  • Câu 26: Vận dụng

    Một cấp số nhân có 5 số hạng, công bội q bằng \frac{1}{4} số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng 24. Xác định cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    u_{1} + u_{2} = u_{1} + u_{1}.q = 24

    \Rightarrow u_{1} + \frac{1}{4}{u_{1}}^{2} = 24

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{1} = - 12;q = - 3 \\ u_{1} = 8;q = 2 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho dãy (un) xác định bởi u_{1} = \frac{1}{2} và un = un − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u50 bằng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = u_{1} + 2 \\ u_{3} = u_{2} + 4 \\ \ldots \\ u_{49} = u_{48} + 2.49 \\ u_{50} = u_{49} + 2.50 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

    u_{50} = \frac{1}{2} + 2(2 + 3 + \ldots + 50) = \frac{1}{2} + 2(25.51 - 1) = 2548,5.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q eq 1. Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Theo công thức tính tổng n số hạng đầu của CSN ta được S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.

    Ta có:

    Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_6} = 486} \end{array}} ight.

    => {{u_1}.{q^5} = 486}

    => {{q^5} = 243} => {q = 3}

    Vậy công bội q của cấp số nhân đã cho là q = 3

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} = - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?

     Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 lập thành một cấp số cộng nên

    \begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}} \\ {{u_4} - {u_3} = {u_2} - {u_1}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 11 = 11 - h} \\ {k - 11 = h + 7} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h + k = 22} \\ {h - k = - 18} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h = 2} \\ {k = 20} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{n} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?

    Ta có u_{1} = - \frac{3}{2};u_{2} = - \frac{4}{3};u_{3} = - \frac{5}{4};\ldots suy ra được u_{n} = - \frac{n + 1}{n}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = 2. Tổng {S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}} bằng:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} ight)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} ight)d} ight]}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{10\left[ {2 + \left( {10 - 1} ight).2} ight]}}{2} = 100 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}. Biết rằng u_{k} = \frac{7}{31}. Khi đó u_{k} là số hạng thứ mấy trong dãy số?

    Ta có:

    u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}

    \Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93

    \Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{k} là số hạng thứ tư trong dãy số.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tính giá trị u2018 của dãy số (un) xác định bởi {u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} ight);\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} ight) \hfill \\ {u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{3}{{n + 2}} - \dfrac{2}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ {u_{n + 1}} = \dfrac{2}{3}{u_n} + \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{n + 1}} \hfill \\ {u_{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} = \dfrac{2}{3}\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}} ight)\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt {v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}

    => Dãy số (vn) là cấp số nhân với {v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2};q = \frac{2}{3}

    => {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} ight)^{n - 1}}

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{n - 1}} + \dfrac{1}{{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2018}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{2017}} + \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

    Xét dãy số \left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=2u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1

     Ta có: \frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 2 => Dãy số là cấp số nhân

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 33 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập