Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

    Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng

    Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.

    {u_1} + 5.d = 40

    \begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công sai của cấp số cộng là d = \frac{{36}}{5}

    Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: \frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}

    Tổng bốn số hạng ở trên là: \frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88

  • Câu 5: Vận dụng

    Tính tổng A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    Ta có:

    A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    A = 1.(1000 + 999) + 1.(998 + 997) + ... + 1.(2 + 1)

    A = 1999 + 1995 + ... + 3

    Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u_{1} = 1999 và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì

    u_{n} = 3

    \Leftrightarrow u_{1} + (n - 1) = 3

    \Leftrightarrow 1999 + (n - 1)( - 4) = 3

    \Leftrightarrow n = 500

    \Rightarrow T = S_{500} = \frac{\left( u_{1} + u_{500} ight).500}{2} = \frac{(1999 + 3).500}{2} = 500500

  • Câu 6: Thông hiểu

    Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)

    Ta có:

    Với n=0=>S=1

    Với n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2

    Với n = 2 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3

    Dự đoán S = n + 1\left( * ight) ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.

    Với n = 0 đương nhiên (*) đúng.

    Giả sử (*) đúng với n=k tức là:

    \begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là S=n+1

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{n} = 3 - 5n. Tìm công sai của cấp số cộng?

    Theo giả thiết ta có:

    u_{n + 1} = - 2 - 5n

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1

    Vậy d = - 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 5; công bội q = -2. Số hạng thứ sáu của (un) là:

    Ta có: {u_6} = {u_1}.{q^{6 - 1}} = 5.{\left( { - 2} ight)^5} = - 160

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\ldots Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};

    \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}

    Suy ra u_{n} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}};\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} \geq 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \geq \sqrt{6} \\ \end{matrix} ight.

    Ta chứng minh quy nạp u_{n} \leq 2\sqrt{3};u_{1} \leq 2\sqrt{3};u_{k} \leq 2\sqrt{3}

    u_{k + 1} = \sqrt{6 + u_{k + 1}} \leq \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} \leq \sqrt{6 + 6} = 2\sqrt{3}

    Cách khác:

    Ta có: u_{2} = \sqrt{12} > 3 > \frac{5}{2} > 2 nên loại các đáp án \sqrt{6} \leq u_{n} < \frac{5}{2}; \sqrt{6} \leq u_{n} < 3; \sqrt{6} \leq u_{n} < 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    \dfrac{u_{n}}{u_{n + 1}} =\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + n}}{\dfrac{1}{(n + 1)^{2} + (n + 1)}}

    = \frac{n(n - 1)}{n(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}

    Với \forall n \in \mathbb{N}^{*},n > 1 ta thấy \frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1} < 1

    Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = - \frac{1}{2}, công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:

    Ta dùng công thức tổng quát u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}, hoặc u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2} để tính các số hạng của một cấp số cộng.

    Ta có u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.

    Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1

    u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

    un = 1 − (n−1) = 2 − n.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{12} = 23 \\S_{12} = 144 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 11d = 23 \\\dfrac{12}{2}.\left( u_{1} + u_{12} ight) = 144 \\\end{matrix} ight.

    => d = 2

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}. Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

    Ta có: u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1} = 1 - \frac{2}{3n + 1} < 1

    Mặt khác u_{2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0

    => Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số 1.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.

    Ta có:

    Cấp số cộng có k số hạng gồm có u_{1} = -3 và số hạng cuối u_{k} =23.

    Khi đó:

    u_{k + 1} = u_{1} + (k -1)d

    \Leftrightarrow 23 = - 3 + (k -1).2

    \Leftrightarrow k = 14

    Do đó n = k - 2 = 12

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ d = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Tất cả các giá trị của a để (un) là dãy số tăng là?

    Xét hiệu un + 1 − un = (aun+1) − (aun − 1+1) = a(un−un − 1)

    Áp dụng, ta có u2 = au1 + 1 = a + 1 ⇒ u2 − 1 = a ⇒ u2 − u1 = a

     ⇒ u3 − u2 = a(u2−u1) = a2

     ⇒ u4 − u3 = a(u3−u2) = a3

     ⇒ un + 1 − un = an > 0

    Để dãy số (un) tăng thì un > un − 1 > … > u2 > u1 ⇒ a > 0

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho khai triển {\left( {x - 2y + m} ight)^4}. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.

    Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại x=y=1

    Vậy tổng các hệ số của khai triển là: {\left( {1 - 2.1 + m} ight)^4} = {\left( {m - 1} ight)^4}

    Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì {\left( {m - 1} ight)^4} = 0 \Leftrightarrow m = 1

  • Câu 21: Thông hiểu

    Với giá trị nào của x;y thì các số hạng - 2;x; - 18;y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

    Ta có: các số hạng - 2;x; - 18;ylập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

    Ta lấy một phản ví dụ:

    Dãy số (un) với {u_n} = n - 2 là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0

    Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) thỏa mãn {u_1} = 1;{u_n} = 10{u_{n - 1}} - 1,\left( {\forall n \geqslant 2} ight). Tìm giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn \log {a_n} > 100

    Ta có:

    {u_n} = 10{u_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{9} = 10\left( {{u_{n - 1}} - \frac{1}{9}} ight)\left( * ight)

    Đặt {v_n} = {u_n} - \frac{1}{9} \Rightarrow {v_1} = {u_1} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

    \left( * ight) \Rightarrow {v_n} = 10.{v_{n + 1}},\left( {n \geqslant 2} ight)

    Dãy (vn) là cấp số nhân với công bội q = 10

    => {u_n} = {v_n} + \frac{1}{9} = \frac{8}{9}{.10^{n - 1}} + \frac{1}{9} > {10^{100}}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của n để \log {a_n} > 100 là n = 102

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 3;d = 5. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?

    Ta có: u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18

    Vậy u_{4} = 18

  • Câu 26: Vận dụng

    Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

    Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u_{1} = 1, công sai d = 1.

    => Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

    \Rightarrow S = S_{24} = \frac{24}{2}.\left( u_{1} + u_{24} ight)

    \Rightarrow S_{24} = 12.(1 + 24) = 300

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 28: Vận dụng

    Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75\% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

    Đáp án: 666

    Đáp án là:

    Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75\% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

    Đáp án: 666

    Gọi u_{n} là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ n (đơn vị tính: mét).

    Ta có u_{1} = 0,75 \cdot 100 = 100 \cdot 1,5 = 75\ m và u_{n} = 0,75 \cdot u_{n - 1}.

    Vậy \left( u_{n} ight) là cấp số nhân với số hạng đầu u_{1} = 75 và công bội q = 0,75.

    Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là

    S = 100 + 2u_{1} + 2u_{2} + \cdots + 2u_{10}

    = 100 + 2S_{10} = 100 + 2 \cdot \frac{75\left( 1 - 0,75^{10} ight)}{1 - 0,75} \approx 666\ \ (m)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} + 5 = 2\left( u_{n} + 5 ight) \\ \end{matrix} ight.. Tính số hạng thứ 2024 của dãy số đó?

    Ta có v_{n} = u_{n} + 5, \forall n \in Ν^{*} \Rightarrow v_{n + 1} = 2v_{n}, \forall n \in Ν^{*}

    Do đó \left( v_{n} ight) là cấp số nhân với v_{1} = 6, q = 2, v_{n} = 6.q^{n - 1};

    v_{2024} = 6.2^{2023} \Rightarrow u_{2024} = 6.2^{2023} - 5.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n^{2} + 3n + 7}{n + 1}. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:

    Ba số hạng đầu tiên của dãy là \frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q eq 1. Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Theo công thức tính tổng n số hạng đầu của CSN ta được S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Tính tổng S = {\left( {2 + \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} ight)^2}

    \begin{matrix} S = {\left( {2 + \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \dfrac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \dfrac{1}{{{2^n}}}} ight)^2} \hfill \\ S = \left( {4 + 2 + \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {16 + 2 + \dfrac{1}{{16}}} ight) + ... + \left( {{2^{2n}} + 2 + \dfrac{1}{{{2^{2n}}}}} ight) \hfill \\ S = \left( {4 + 16 + ... + {2^{2n}}} ight) + 2n + \left( {\frac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2n}}}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} S = 4.\dfrac{{{4^{n - 1}}}}{3} + 2n + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{{2^{\dfrac{1}{{2n}}}} - 1}}{{\dfrac{1}{4} - 1}} \hfill \\ S = 4.\dfrac{{{4^n} - 1}}{3} + 2n + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{2^{2n}} - 1}}{{{2^{2n}}}} \hfill \\ S = 2n + \dfrac{{{4^{n - 1}}}}{3}.\dfrac{{{{4.4}^n} + 1}}{{{4^n}}} = 2n + \dfrac{{\left( {{4^n} - 1} ight)\left( {{4^{n + 1}} + 1} ight)}}{{{{3.4}^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tổng S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99} có kết quả bằng?

    Ta có \frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots

    Do đó S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?

    Ta có:

    Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

    Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

    Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

    Suy ra có chữ số 0.

    Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2

    => Dãy số đó là cấp số nhân

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n} = \frac{1}{2 - u_{n - 1}},\ \forall n \geq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó u_{3} có giá trị bằng

    Theo công thức truy hồi ta có

    u_{2} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{4}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Dãy (un) là một cấp số cộng

    => {u_n} = an + b với a, b là hằng số

    => {u_n} = 6 - 3n

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}. Giá trị u_{21} là

    Ta có: u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập