Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

    (a) k ∈ \mathbb{ Q}

    (b) n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

     Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì \mathbb{Q} là tập con thực sự của \mathbb{N^*} nên tồn tại số nguyên dương không thuộc \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc \mathbb{Q}" đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc \mathbb{Q}" sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn k \in \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì số nguyên âm không thuộc \mathbb{Q}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1} :

     

    Ta có u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1};u_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 2}. Khi đó:

    u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} - \frac{n - 3}{n + 1} = \frac{4}{(n + 1)(n + 1)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n}{2}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{n}{2};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2}. Khi đó u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{2}{n^{2}}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{2}{n^{2}};u_{n + 1} = \frac{2}{(n + 1)^{2}} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} < \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số giảm.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}:

     

    Ta có u_{1} = \frac{- 1}{3};u_{2} = \frac{1}{9};u_{3} = \frac{- 1}{27}

    Vậy (un) là dãy số không tăng, không giảm.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \cos n + \sin n. Dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với mọi n ta có:

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số (u_{n}) bị chặn trên bởi \sqrt{2}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Đáp án là:

    Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

    Đáp án: 55

    Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: u_{1} = 1;d = 1;n = 10.

    Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

    S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}

    = \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55 (khúc gỗ).

  • Câu 6: Nhận biết

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) gồm các số nguyên dương chia hết cho 7: 7, 14, 21, 28, …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

    Ta có u_{1} = 7 = 7.1, u_{2} = 14 = 7.2, u_{3} = 21 = 7.3, u_{4} = 28 = 7.4,…

    Suy ra u_{n} = 7n.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho dãy số (un) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dãy số u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn vì

    \lim\left| u_{n} ight| = lim\sqrt{n} = + \infty

  • Câu 8: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

    Ta lấy một phản ví dụ:

    Dãy số (un) với {u_n} = n - 2 là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0

    Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{k} = 16 \\ u_{k + 1} = 36 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} = \frac{9}{4}

    u_{k + 2} = u_{k + 1}.q = 81

  • Câu 12: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x^{2} - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

    Công bội của cấp số nhân là: a = \frac{4x^{2} - 1}{2x + 1} = 2x - 1

    Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

    \left( 4x^{2} - 1 ight)(2x - 1) = 8x^{3} - 4x^{2} - 2x + 1

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Tính giá trị u2018 của dãy số (un) xác định bởi {u_1} = 1;{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} ight);\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} ight) \hfill \\ {u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{3}{{n + 2}} - \dfrac{2}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ {u_{n + 1}} = \dfrac{2}{3}{u_n} + \dfrac{1}{{n + 2}} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{n + 1}} \hfill \\ {u_{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} = \dfrac{2}{3}\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}}} ight)\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt {v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}

    => Dãy số (vn) là cấp số nhân với {v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2};q = \frac{2}{3}

    => {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} ight)^{n - 1}}

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{n - 1}} + \dfrac{1}{{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2018}} = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{2}{3}} ight)^{2017}} + \dfrac{1}{{2019}} = \dfrac{{{2^{2016}}}}{{{3^{2017}}}} + \dfrac{1}{{2019}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{1}{3}

    => Loại đáp án A 

    Xét đáp án B: 15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 3\sqrt 2

    => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: \frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...

    {u_2} - {u_1} = \frac{1}{5} e {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}

    => Chọn đáp án C

    Xét đáp án D: \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

    => Loại đáp án D

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tìm m để phương trình: {x^4} - \left( {3m + 5} ight){x^2} + {\left( {m + 1} ight)^2} = 0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng?

    Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình {x_1};{x_2};{x_3};{x_4}

    Đặt {x^2} = y \geqslant 0, ta được phương trình:

    {y^2} - \left( {3m + 5} ight)y + {\left( {m + 1} ight)^2} = 0\left( * ight)

    Ta phải tìm m sao cho (*) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < {y_1} < {y_2}

    Khi đó (*) có 4 nghiệm là {x_1} = - \sqrt {{y_2}} ,{x_2} = - \sqrt {{y_1}} ;{x_3} = \sqrt {{y_1}} ;{x_4} = \sqrt {{y_2}}

    Theo đề bài thì bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng nên

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3} + {x_1} = 2{x_2}} \\ {{x_4} + {x_3} = 2{x_3}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \sqrt {{y_1}} - \sqrt {{y_2}} = 2\sqrt {{y_1}} \hfill \\ \Rightarrow 3\sqrt {{y_1}} = \sqrt {{y_2}} \Rightarrow 9{y_1} = {y_2}\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình (*) ta có hệ:

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{\left( {3m + 5} ight)}^2} - 4{{\left( {m + 1} ight)}^2} > 0} \\ {S = {y_1} + {y_2} = 10{y_1} = 3m + 5} \\ {P = {y_1}{y_2} = 9{y_1}^2 = {{\left( {m + 1} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = 5

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 17: Nhận biết

    Với giá trị x nào dưới đây thì các số - 4;x; - 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

    Ta có: - 4;x; - 9 lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = ( - 4).( - 9) = 36

    \Rightarrow x = \pm 6

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     Ta có: Cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{12}}{a} = \dfrac{b}{{12}}} \\ {\dfrac{b}{{12}} = \dfrac{{192}}{b}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{144}}{y}} \\ {{b^2} = 2034} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \pm 3} \\ {b = \pm 48} \end{array}} ight.

  • Câu 19: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \sin n - \cos n. Dãy số (u_{n}) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \sin n - \cos n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\sin n - \sin \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow 1 \geqslant \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \geqslant \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 3;q = - 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 3 \\q = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = u_{1}.\frac{1 -q^{10}}{1 - q} = ( - 3).\frac{1 - ( - 2)^{10}}{1 + 2} =1023

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tổng S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99} có kết quả bằng?

    Ta có \frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots

    Do đó S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có un =  − n2 + n + 1. Số  − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?

    Giả sử un =  − 19(n∈ℕ*) Suy ra - n^{2} + n + 1 = - 19 \Leftrightarrow - n^{2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 5 ight. (do  n∈ℕ*).

    Vậy số  − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Ta có:

    Dãy số \left( u_{n} ight) là cấp số nhân

    \Leftrightarrow u_{n} = q.u_{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)

    \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}} = ... = q;\left( u_{n} eq 0 ight)

    Gọi q là công bội.

    Xét đáp án 128; - 64;32; - 16;8;...

    \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = - \frac{1}{2} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}}

    Xét đáp án \sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...

    \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} eq 2 = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    Xét đáp án 5;6;7;8;...

    \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{6}{5} eq \frac{7}{6} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    Xét đáp án 15;5;1;\frac{1}{5};...

    \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{3} eq \frac{1}{5} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một dãy số được xác định bởi u_{1} = - 4;u_{n} = - \frac{1}{2}u_{n - 1};(n \geq 2). Số hạng tổng quát u_{n} của dãy số đó là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ u_{n + 1} = - \frac{1}{2}u_{n} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ q = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( {{u_n}} ight) có số hạng đầu {u_1} = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức: P = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng \left( {{u_n}} ight) có số hạng đầu {u_1} = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức: P = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

    Gọi d là công sai của cấp số cộng. ta có:

    S_{100} = 50\left( 2u_{1} + 99d ight) =14950 mà u_{1} = 1 \Rightarrow d =3

    Ta có:

    P = \frac{1}{u_{1}u_{2}} +\frac{1}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{49}.u_{50}}

    \Rightarrow P.d = \frac{d}{u_{1}u_{2}} +\frac{d}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{d}{u_{49}.u_{50}}

    = \frac{u_{2} - u_{1}}{u_{1}u_{2}} +\frac{u_{3} - u_{2}}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{u_{50} -u_{49}}{u_{49}.u_{50}}

    = \frac{1}{u_{1}} - \frac{1}{u_{50}} =\frac{1}{1 + 49.3} = \frac{147}{148}

    Với d = 3 \Rightarrow P =\frac{49}{148}

  • Câu 28: Nhận biết

    Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.

    Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:

    u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_5} = {u_1} + 4d \Rightarrow d = \dfrac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \dfrac{{22 - 2}}{4} = 5 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 7} \\ {{u_3} = {u_1} + 2d = 12} \\ {{u_4} = {u_1} + 3d = 17} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}) với u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1

    => (u_{n}) là một cấp số nhân với công bội là q = 5

    Số hạng đầu tiên của dãy là: {u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có {u_1} = 4;{u_2} = 1. Giá trị của {u_{10}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 1 - 4 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} ight) = - 23 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho dãy số (un) xác định bởi {u_1} = \frac{{ - 41}}{{20}};{u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1;\left( {n \geqslant 1} ight). Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.

    Ta có: {u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} + \frac{1}{{20}} = 21\left( {{u_n} + \frac{1}{{20}}} ight)

    Đặt {v_n} = {u_n} + \frac{1}{{20}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = 21{v_n}

    Khi đó (vn) là một cấp số nhân với và công bội q = 21

    Do đó số hạng tổng quát của dãy (vn) là {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - {2.21^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = - {2.21^{n - 1}} - \frac{1}{{20}}

    => {u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có u_{n} = 5 + 1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1 = 5 + \frac{n(n - 1)}{2}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có u1 = 7; un + 1 = 2un + 3. Khi đó u3 bằng?

    Ta có u3 = 2u2 + 3 = 2 ⋅ (2u1+3) + 3 = 4u1 + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết u_{n} = \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} với \forall n = 1,2,3.... Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} > 0

    => Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn dưới bởi 0.

    Mặt khác \frac{1}{k(k + 3)} < \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n(n + 1)}

    = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1

    Vậy \left( u_{n} ight) bị chặn trên, do đó dãy \left( u_{n} ight) bị chặn.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu và công sai lần lượt là - 2;3. Số hạng thứ 10 bằng:

    Ta có: u_{1} = - 2;d = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng (Un) có {u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26. Công sai d của cấp số cộng là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d \hfill \\ \Rightarrow 26 = \dfrac{1}{3} + 7.d \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{11}}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}?

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}?

    Đáp án: 4

    Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

    2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) =u_{6} + u_{7} + u_{8}

    \Leftrightarrow 2\left( u_{3} + u_{3}q +u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}

    \Leftrightarrow 2u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)

    \Leftrightarrow 2u_{3} = u_{6} do \ 1 + q + q^{2} > 0

    \Leftrightarrow 2u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 2 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = \sqrt[3]{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q + u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}= \frac{u_{8}\left( 1 + q + q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} = \frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 4

  • Câu 39: Vận dụng

    Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

    Giả sử trồng được n hàng cây (n \geq 1,n \in N)

    Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u_{1} = 1 và công sai d = 1

    Theo giả thiết ta có:

    S_{n} = 3240

    \Leftrightarrow \frac{n}{2}.\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack = 3240

    \Leftrightarrow n(n + 1) = 6480

    \Leftrightarrow n^{2} + n - 6480 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 80(tm) \\ n = - 81(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có tất cả 80 hàng cây.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có u_{1} = - 0,1;d = 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng là

    Ta có: u_{7} = u_{1} + 6d = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 33 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập