Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?

    Ta có:

    Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: u_{1} = 7 (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

    Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

    Từ đó ta có

    S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670 (triệu đồng)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Ta có: 0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội \frac{1}{100}.

    Vì vậy

    0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}.

    Ta có: 0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là \frac{1}{10}

    Vì vậy

    4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong các dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dã số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án u_{n} = 2^{n} ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} > 0

    => Dãy số u_{n} = 2^{n} là dãy tăng.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) được xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} - u_{n} = 2n - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un của dãy số là?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = u_{1} + 2.2 - 1 \\ u_{3} = u_{2} + 2.3 - 1 \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + 2.n - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

    un = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)

     = 2 + (n−1)(n+2) − n + 1

     = n2 + 1

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Đáp án là:

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

    Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d_{1} = 55,8(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d_{2}= 55,8 + 2.\frac{55,8}{10}( m ).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d_{3} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d_{4} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + 2.\frac{55,8}{10^{3}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ n,\ \ (n > 1) là

    d_{n} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}}(m).

    Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:

    d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...(m).

    Vì 2.\frac{55,8}{10}, 2.\frac{55,8}{10^{2}}, 2.\frac{55,8}{10^{3}}, …, 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}},…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = \frac{1}{10}, nên ta có:

    2.\dfrac{55,8}{10} + 2.\dfrac{55,8}{10^{2}}+ ... + 2.\dfrac{55,8}{10^{n - 1}} + ...= \dfrac{2.\dfrac{55,8}{10}}{1 -\dfrac{1}{10}} = 12,4.

    Vậy d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...

    = 55,8 + 12,4 = 68,2\ (m)

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 3;d = 5. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?

    Ta có: u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18

    Vậy u_{4} = 18

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?

    Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)

    = 2\Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i^{2} + \Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}

    = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}

  • Câu 8: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{1}{3}

    => Loại đáp án A 

    Xét đáp án B: 15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 3\sqrt 2

    => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: \frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...

    {u_2} - {u_1} = \frac{1}{5} e {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}

    => Chọn đáp án C

    Xét đáp án D: \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

    => Loại đáp án D

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho dãy số (un) xác định bởi {u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight). Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?

     Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng

    Xét tính bị chặn của dãy số u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 2)}, ta thu được kết quả?

    Ta có 0 < u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1

    Dãy (un) bị chặn.

  • Câu 13: Nhận biết

    Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một
    số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

    Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng n=p

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{8} = 16. Tìm d;S_{10}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1} :

     

    Ta có u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1};u_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 2}. Khi đó:

    u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} - \frac{n - 3}{n + 1} = \frac{4}{(n + 1)(n + 1)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n}{2}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{n}{2};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2}. Khi đó u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{2}{n^{2}}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{2}{n^{2}};u_{n + 1} = \frac{2}{(n + 1)^{2}} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} < \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số giảm.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}:

     

    Ta có u_{1} = \frac{- 1}{3};u_{2} = \frac{1}{9};u_{3} = \frac{- 1}{27}

    Vậy (un) là dãy số không tăng, không giảm.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 4. Giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} bằng:

    Ta gọi d là công sai của cấp số cộng.

    Khi đó:

    u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}

    = 4(4 + d) + (4 + d)(4 + 2d) + 4(4 + 2d)

    = 2d^{2} + 24d + 48 = 2(d + 6)^{2} - 24\geq - 24

    Vậy giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} là -24 đạt được khi khi d = - 6.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong các dãy số (u_{n}) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Xét dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} ta có:

    \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1 - 2}}}}}}{{\dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}}}} = \dfrac{{{3^{n - 2}}}}{{{3^{n - 1}}}} = {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}

    Vậy dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} là cấp số nhân với q = 1/3

  • Câu 20: Vận dụng

    Xét tính tăng giảm của dãy số u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1}, ta thu được kết quả

    Ta có u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1) + \sqrt{(n + 1)^{2} - 1}} - \frac{1}{n + \sqrt{n^{2} - 1}} < 0

    Vậy dãy (un) là dãy số giảm.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có {u_1} = 2 và công bội q = 3. Số hạng u2 là:

    Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.

    Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \\ {\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{8}{2} = \dfrac{z}{8}} \\ {\dfrac{{128}}{z} = \dfrac{z}{8}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = 32} \\ {{z^2} = 1024} \end{array}} ight. \Rightarrow z = 32

  • Câu 23: Nhận biết

    Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2y bằng

    Ta có:

    x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20

    \Rightarrow 3x + 2y = 70

  • Câu 24: Nhận biết

    Dãy số nào là cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}} (loại)

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}(loại)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2(thỏa mãn)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n} (loại)

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = (2x - 1).(2x + 1)

    \Rightarrow x^{2} = 4x^{2} - 1

    \Rightarrow 3x^{2} = 1

    \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 27: Vận dụng

    Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10^{22} tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

    Ban đầu có 10^{22} tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u_{1} = 10^{22} và công bội q = 2.

    Theo bài ra ta có:

    Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.

    Ta có: u_{7} là số tế bào nhận được sau 2 giờ.

    Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là u_{7} = u_{1}.q^{6} = 10^{22}.2^{6} = 64.10^{22}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_2} = 72} \\ {{u_5} - {u_3} = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72} \\ {{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}q.\left( {{q^2} - 1} ight) = 72} \\ {{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} ight) = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {{u_1} = 12} \end{array}} ight.

  • Câu 29: Vận dụng

    Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17. Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư là 14. Tính công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_6} = 17} \\ {{u_2} + {u_4} = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{u_1} + 5d = 17} \\ {2{u_1} + 6d = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 16} \\ {d = - 3} \end{array}} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là u_{1} = - 6;q = - 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 2046. Xác định n.

    Ta có:

    2046 = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}

    \Rightarrow 2046 = ( - 6).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{1 - ( - 2)}

    \Rightarrow n = 10

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng u_{3} = 15;d = - 2. Tính u_{n}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.

    Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(n \geq 0). Ba số hạng đầu tiên của dãy đó lần lượt là những số nào dưới đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{2} = u_{1} + 3 = 2 \\ u_{3} = u_{2} + 3 = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1, m2, m3 của tham số m để phương trình{x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0  có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức D = {m_1}^3 + {m_2}^3 + {m_3}^3

     Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3 là nghiệm của phương trình

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = 2} \\ {m = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với m = - 1;m = 2;m = 3 thì {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15

    \begin{matrix} \Rightarrow {x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight)\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \\ {x = 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng

    Vậy giá trị cần tìm là 34

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

    Ta thấy ở dãy số 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2 có u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4} = u_{5} = 2 nên đây là cấp số nhân với công bội q = 1.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_n=\frac{2n+5}{5n-4}. Số \frac{7}{12} là số hạng thứ mấy của dãy số?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_k} = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2k + 5}}{{5k - 4}} = \dfrac{7}{{12}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 12\left( {2k + 5} ight) = 7\left( {5k - 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 24k + 60 = 35k - 28 \hfill \\ \Leftrightarrow 11k = 88 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 8 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số \frac{7}{12} là số hạng thứ 8 của dãy số.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.

    Ta có: u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} nên u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} đúng.

    Do - 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1 nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.

    u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Do \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số không tăng, không giảm.

    Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.

    Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 33 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập