Với
, cho dãy số
gồm tất cả các số nguyên dương chia
dư
theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là
Các số nguyên dương chia dư
theo thứ tự tăng dần là
,
,
,
,…
Ta có ,
,
,
, …
Vậy
Với
, cho dãy số
gồm tất cả các số nguyên dương chia
dư
theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là
Các số nguyên dương chia dư
theo thứ tự tăng dần là
,
,
,
,…
Ta có ,
,
,
, …
Vậy
Cho dãy số
với
với mọi
. Khi đó số hạng
của dãy
là:
Ta có:
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn
theo thứ tự tăng dần?
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn và chỉ có hai ước số là
và chính nó.
Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn là
,
,
,
.
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:
Cho dãy số
là một cấp số nhân với
. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Giả sử là cấp số nhân công bội
thì:
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy không là cấp số nhân.
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dã số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số là dãy tăng.
Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?
Xét đáp án A:
=> Loại đáp án A
Xét đáp án B:
=> Loại đáp án B
Xét đáp án C:
=> Chọn đáp án C
Xét đáp án D:
=> Loại đáp án D
Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành 1 cấp số cộng: 7,14,21,..., 7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?
Ta có:
Cộng vế với vế của phương trình ta được:
Vậy số 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số đã cho.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Dãy (un) là một cấp số cộng
=> với a, b là hằng số
=>
Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì
bằng?
Ta có:
Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng
=> a + 3b = 5.2
=> a = 10 – 3b
Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân
=> a.3b = 32
=> ab = 3
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
, dãy nào là cấp số nhân?
Dãy là cấp số nhân có
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Ta có:
Dãy số là cấp số nhân
Gọi là công bội.
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:
Ta có:
Cho dãy số (un) được xác định bởi
.
Số hạng tổng quát un của dãy số là?
Ta có
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:
un = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)
= 2 + (n−1)(n+2) − n + 1
= n2 + 1
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4
Ta có:
Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5 và công sai d = 2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
Ta có:
Vậy 81 là số hạng thứ 44
Cho dãy số
biết
. Chọn đáp án đúng.
Ta có:
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
Ta có:
Với mọi số nguyên dương
thì
chia hết cho
Với chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh
chia hết cho 3 với mọi
.
Giả sử khẳng định đúng với tức là
chia hết cho 3, ta chứng minh
cũng chia hết cho 3.
Ta có:
Vậy với mọi số nguyên dương thì chia hết cho 3.
Một cấp số nhân có số hạng đầu
, công bội q = 2. Biết
. Tìm n?
Ta có:
Một cấp số cộng gồm
số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng
. Tìm công sai
của cấp số cộng đã cho?
Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là:
Theo đề bài ta có:
Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với
bằng:
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có:
Cho dãy số
, biết
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
Ta có:
Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
Ta lấy một phản ví dụ:
Dãy số (un) với là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0
Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.
Cho cấp số nhân
có
. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
Ta có:
Cho dãy số
xác định bởi công thức
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Với ta thấy
Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó:
Cho dãy số (un) có
và
.
Tất cả các giá trị n để
là?
Ta có
Đặt . Suy ra (vn) là cấp số nhận có công bội
và
.
Ta có
Do vn > 0, ∀n ≥ 1 nên (Tn) là dãy tăng.
Suy ra
Với giá trị nào của
thì các số hạng
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
Ta có: các số hạng lập thành cấp số nhân
Vậy
Cho cấp số cộng có
,
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b) Số hạng tổng quát thứ
của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
c) Tổng
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
d) Tổng
. Sai||Đúng
Cho cấp số cộng có ,
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) Số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
c) Tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
d) Tổng . Sai||Đúng
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng ta có:
.
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng ta có:
.
c) Áp dụng công thức tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:
.
d) Ta viết lại
.
Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n
Từ đó 2Sn = − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n
Cho cấp số cộng
với
. Khi đó số hạng
là số nào?
Theo bài ra ta có:
.
Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.
Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 ta có:
Cho dãy số
với
. Chọn đáp án đúng.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với ta có:
Giả sử . Ta cần chứng minh
.
Thật vậy
Vì
Vì
Vậy hay dãy
bị chặn trên bởi
và bị chặn dưới bởi
.
Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?
Theo bài ra ta có:
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
Ta có:
Cho cấp số cộng
. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
Xét đáp án
Xét đáp án
Vậy hệ thức đúng là
Tính tổng 
Ta có: