Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = 3u_{n} \\\end{matrix},\forall n \in N^{*} ight.. Tìm số hạng tổng quát của dãy số \left( u_{n}ight).

    Ta có u_{1} = 3 và \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=3

    Suy ra dãy số \left( u_{n}ight)là cấp số nhân với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Do đó u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n -1} = 3^{n}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Với n = 1 ta có  − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).

    Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là  − 2 ≤ uk ≤ 1

    \Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1

    Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy (un) là dãy số bị chặn.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Ta có: u_{n} = - 2^{n} + 15 không có dạng an + b nên không phải là cấp số cộng.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

    u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}

  • Câu 5: Nhận biết

    Dãy số nào là cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}} (loại)

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}(loại)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2(thỏa mãn)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n} (loại)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho phương trình: x^{3} +3x^{2}-(24+m)x-26-n=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x_{1},x_{2},x_{3} lập thành một cấp số cộng.

    Vì ba nghiệm {x_1};{x_2};{x_3} phân biệt lập thành một cấp số cộng nên ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = x_0 - d} \\ {{x_2} = x_0} \\ {{x_3} = x_0 + d} \end{array}} ight.;\left( {d e 0} ight)

    Theo giả thiết ta có: 

    \begin{matrix} {x^3} + 3{x^2} - (24 + m)x - 26 - n \hfill \\ = \left( {x - {x_1}} ight).\left( {x - {x_2}} ight).\left( {x - {x_3}} ight) \hfill \\ = \left( {x - {x_0} + d} ight)\left( {x - {x_0}} ight)\left( {x - {x_0} - d} ight) \hfill \\ = {x^3} - 3{x_0}{x^2} + \left( {3{x_0}^2 - {d^2}} ight)x - {x_0}^3 + {x_0}.{d^2};\left( {\forall x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} - 3{x_0} = 3 \hfill \\ 24 + m = 3{x_0}^2 - {d^2} \hfill \\ \end{gathered} \\ { - 26 - n = - {x_0}^3 + {x_0}.{d^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = - 1} \\ {m - n} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Vận dụng

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn 150 \times 6\%= 9(mg), suy ra mệnh đề đúng.

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là: 150 \times 6\% + 150 = 159(mg) suy ra mệnh đề đúng.

    c) Gọi u_{n} là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 1 là: u_{1} = 150(mg)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là:

    u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 3 là:

    u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 4 là:

    u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

    S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)

    = 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}

    = \frac{7500}{47} \approx 159,57mg

    Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là 159,57mg, suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.

    Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1

    u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

    un = 1 − (n−1) = 2 − n.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Với giá trị nào của x;y thì các số hạng - 2;x; - 18;y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

    Ta có: các số hạng - 2;x; - 18;ylập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 11: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1

    Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2

    Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1

    Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2

  • Câu 12: Thông hiểu

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Đáp án là:

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    \Rightarrow {\left( {\sqrt b } ight)^2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} ight).\left( {\sqrt 2 } ight)

    \Rightarrow b = 1 (Vì b > 0)

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tính tổng S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}}. Biết dãy số (un) xác định bởi: {u_1} = \frac{1}{3};{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n}

     Ta có:

    {u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{3n}}

    Do {u_1} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}

    Từ đó suy ra:

    \begin{matrix} \dfrac{{{u_2}}}{2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = {\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^2} \hfill \\ \dfrac{{{u_3}}}{3} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^2} = {\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^3} \hfill \\ ... \hfill \\ \dfrac{{{u_{10}}}}{{10}} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^9} = {\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^{10}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay dãy \left( {\frac{{{u_n}}}{n}} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu {u_1} = \frac{1}{3},q = \frac{1}{3}

    Khi đó S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = \frac{{{3^{10}} - 1}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}}

  • Câu 15: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{1}{3}

    => Loại đáp án A 

    Xét đáp án B: 15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 3\sqrt 2

    => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: \frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...

    {u_2} - {u_1} = \frac{1}{5} e {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}

    => Chọn đáp án C

    Xét đáp án D: \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...

    {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}

    => Loại đáp án D

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

    Xét đáp án \dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} =u_{5} + u_{10}

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = \dfrac{u_{1} + 9d + u_{1} + 29d}{2} \\u_{5} + u_{10} = u_{1} + 4d + u_{1} + 9d \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{1} + 19d \\u_{5} + u_{10} = 2u_{1} + 13d \\\end{matrix} ight.

    Xét đáp án u_{90} + u_{210} = 2u_{150}

    \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2u_{1} + 298d \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.

    Vậy hệ thức đúng là u_{90} + u_{210} = 2u_{150}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10

    Ta có: {u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25

  • Câu 18: Nhận biết

    Cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là

    Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra u_{1} = \frac{3}{5} và q = 2.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn \left\{ \begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 54 \\ u_{5} - u_{3} = 108 \\ \end{matrix} ight.. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

    a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 9. Đúng||Sai

    b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai

    c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng

    d) Gọi dãy số \left( v_{n} ight):\ \ v_{n} = u_{3n}, với n \in \mathbb{N}^{*}. Khi đó tổng v_{1} + v_{2} + v_{3} + ... + v_{10} = 12\left( 4^{10} - 1 ight). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn \left\{ \begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 54 \\ u_{5} - u_{3} = 108 \\ \end{matrix} ight.. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

    a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 9. Đúng||Sai

    b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai

    c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng

    d) Gọi dãy số \left( v_{n} ight):\ \ v_{n} = u_{3n}, với n \in \mathbb{N}^{*}. Khi đó tổng v_{1} + v_{2} + v_{3} + ... + v_{10} = 12\left( 4^{10} - 1 ight). Sai||Đúng

    a) Đúng

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 54 \\ u_{5} - u_{3} = 108 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 54 \\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 108 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q\left( q^{2} - 1 ight) = 54 \\ u_{1}q^{2}\left( q^{2} - 1 ight) = 108 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{54}{q(q^{2} - 1)} \\ \frac{1}{q} = \frac{54}{108} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{54}{2(2^{2} - 1)} \\ q = 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 9 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight..

    b) Đúng.

    Ta có: S_{9} = \frac{u_{1} \cdot \left( 1 - q^{9} ight)}{1 - q} = \frac{9 \cdot \left( 1 - 2^{9} ight)}{1 - 2} = 4599

    Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599 nên mệnh đề đúng.

    c) Sai.

    Ta có:

    u_{k} = 576 \Leftrightarrow u_{1} \cdot q^{k - 1} = 576 \Leftrightarrow 9.2^{k - 1} = 576

    \Leftrightarrow 2^{k - 1} = 64 \Leftrightarrow k - 1 = 6 \Leftrightarrow k = 7

    Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân nên mệnh đề sai.

    d) Sai.

    Ta có v_{n} = u_{3n}, nên \left( v_{n} ight) là cấp số nhân với v_{1} = u_{3} = 36 và công bội q = \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{u_{6}}{u_{3}} = \frac{9.2^{5}}{9.2^{2}} = 8.

    Nên S_{10} = 36.\frac{8^{10} - 1}{7}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong các dãy số dưới đây, dạy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn?

     Vì dãy ở đáp án C là một cấp số nhân có công bội q = 3/2 > 0

    \frac{3}{2};\frac{9}{4};\frac{{27}}{8};..;{\left( {\frac{3}{2}} ight)^n};...=> không phải dãy lùi vô hạn

  • Câu 21: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 22: Vận dụng

    Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tìm số hạng đầu tiên u_{1} và công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4} = \frac{3}{4}n^{2} - \frac{19}{4}n

    Mặt khác

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{d}{2}.n^{2} + \left( u_{1} - \frac{d}{2} ight).n

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{d}{2} = \dfrac{3}{4} \\u_{1} - \dfrac{d}{2} = - \dfrac{19}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 4 \\d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = cos\alpha(0 < \alpha < \pi) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}},\forall n \geq 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?

    Do 0 < α < π nên
    u_{2} = \sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{2};

    u_{3} =\sqrt{\frac{1 + cos\frac{\alpha}{2}}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{4}

    Vậy u = cos\left( \frac{\alpha}{2^{n - 1}} ight) với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

    Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).

    Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có u_{k} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight).

    Ta chứng minh u_{k + 1} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight)

    Thật vậy,

    u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 +u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}}ight)}{2}}

    = \sqrt{\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)} =cos\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)

    Từ đó ta có u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2019}} ight)

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n + 5. Số 19 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

    Ta có

    u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19

    \Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7.

    Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.. Tính u_{2}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) = 27 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + d = 9 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 9 - u_{1} \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \Rightarrow {u_{1}}^{2} + \left( u_{1} +9 - u_{1} ight)^{2} + \left\lbrack u_{1} + 2\left( 9 - u_{1} ight)ightbrack^{2} = 275

    \Leftrightarrow {u_{1}}^{2} - 18u_{1} +65 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}u_{1} = 13 \Rightarrow d = - 4 \\u_{1} = 5 \Rightarrow d = 4 \\\end{matrix} ight.=> u_{2} = 9

  • Câu 30: Thông hiểu

    Số hạng âm trong dãy số x1; x2; x3; …; xn với x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} là?

    Ta có c_{n + 5}^{4} = \frac{(n + 5)(n +4)(n + 3)(n + 2)}{24},

    \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} = \frac{143(n +5)(n + 4)}{96}

    x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}

    = \frac{(n + 5)(n + 4)(2n + 17)(2n - 7)}{96} > 0,\forall n \geq 4,n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy các số hạng âm là x1; x2; x3.

  • Câu 31: Vận dụng

    Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

    Ta có:

    Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 7;d = 5.

    Gọi n là số ô trên bàn cờ thì u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = 25450 = S_{n}

    Ta có:

    25450 = S_{n}

    \Leftrightarrow 25450 = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}.d

    \Leftrightarrow 25450 = 7n + \frac{n^{2} - n}{2}.5

    \Leftrightarrow 5n^{2} + 9n - 50900 = 0

    \Leftrightarrow n = 100

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x;12;y;192. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cấp số nhân x;12;y;192

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{12}{x} = \dfrac{y}{12} \\\dfrac{y}{12} = \dfrac{192}{y} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{144}{y} \\y^{2} = 2304 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 3 \\y = \pm 48 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (3;48) \\ (x;y) = ( - 3; - 48) \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Vận dụng

    Xét tính tăng giảm của dãy số u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1}, ta thu được kết quả

    Ta có u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1) + \sqrt{(n + 1)^{2} - 1}} - \frac{1}{n + \sqrt{n^{2} - 1}} < 0

    Vậy dãy (un) là dãy số giảm.

  • Câu 35: Nhận biết

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) gồm các số nguyên dương chia hết cho 7: 7, 14, 21, 28, …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

    Ta có u_{1} = 7 = 7.1, u_{2} = 14 = 7.2, u_{3} = 21 = 7.3, u_{4} = 28 = 7.4,…

    Suy ra u_{n} = 7n.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    \dfrac{u_{n}}{u_{n + 1}} =\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + n}}{\dfrac{1}{(n + 1)^{2} + (n + 1)}}

    = \frac{n(n - 1)}{n(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}

    Với \forall n \in \mathbb{N}^{*},n > 1 ta thấy \frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1} < 1

    Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên?

    Ta có:

    \left( v_{n} ight):v_{n} = - n^{2} + 2 \leq 2.

    Vậy đây là dãy số bị chặn trên.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=5^{n+1}. Tìm số hạng u_{n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {5^{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n - 1}} = {5^{\left( {n - 1} ight) + 1}} = {5^n} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho dãy số vô hạn \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng có số hạng đầu u_{1}, công sai d. Gọi S_{n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

    a) u_{5} = \frac{u_{1} + u_{9}}{2} Đúng||Sai

    b) u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)Đúng||Sai

    c) S_{12} = \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)Sai||Đúng

    d) u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n\mathbb{\in N} ight)Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho dãy số vô hạn \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng có số hạng đầu u_{1}, công sai d. Gọi S_{n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

    a) u_{5} = \frac{u_{1} + u_{9}}{2} Đúng||Sai

    b) u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)Đúng||Sai

    c) S_{12} = \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)Sai||Đúng

    d) u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n\mathbb{\in N} ight)Sai||Đúng

    Ta có: u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2) đúng

    \frac{u_{1} + u_{9}}{2} = \frac{u_{1} + u_{1} + 8d}{2} = u_{1} + 4d = u_{5}

    Ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Rightarrow S_{12} = 6\left( 2u_{1} + 11d ight) eq \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)

    Lại có: u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập