Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

    Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là S_n = 6n + 1.

    Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

    Với n=1 ta có: {S_1} = 6.1 + 1 = 7 (đúng) 

    Giả sử sau k bước, Mạnh thu được số mảnh giấy là: {S_k} = 6.k + 1

    Tiếp tục đến bước n=k+1. Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước cắt trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S_k mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra.

    Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k+1 là:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {S_k} - 1 + 7 \hfill \\ = {S_k} + 6 \hfill \\ = 6k + 1 + 6 \hfill \\ = 6\left( {k + 1} ight) + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công thức {S_n} = 6n + 1 đúng với mọi số nguyên dương n. Theo công thức trên chỉ có phương án 121 = 6.20 + 1 thỏa mãn.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{2n + 1}{n +2}. Số \frac{167}{84} là số hạng thứ mấy của dãy?

    Ta có u_{n} = \frac{167}{84}\Leftrightarrow \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow84(2 + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250

    Vậy \frac{167}{84} là số hạng thứ 250 của dãy số (un)

  • Câu 4: Nhận biết

    Với mọi n ∈ ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?

    Thử với n = 1, n = 2, n = 3 ta kết luận được đáp án:

    2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6} sai.

    Suy ra

    2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3} mới là kết quả đúng!

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3;q = - 2. Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

    Ta có:

    u_{n} = 192

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 192

    \Rightarrow 3.2^{n - 1} = 192

    \Rightarrow ( - 1)^{n - 1}.2^{n - 1} = 64

    \Rightarrow n = 7

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 9: Vận dụng

    Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tìm số hạng đầu tiên u_{1} và công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = \frac{3n^{2} - 19n}{4} = \frac{3}{4}n^{2} - \frac{19}{4}n

    Mặt khác

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{d}{2}.n^{2} + \left( u_{1} - \frac{d}{2} ight).n

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{d}{2} = \dfrac{3}{4} \\u_{1} - \dfrac{d}{2} = - \dfrac{19}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 4 \\d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 10: Vận dụng

    Công bội nguyên dương của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn \left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 14} \\ {{u_1}{u_2}{u_3} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2}.{{\left( {{u_2}} ight)}^2} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{{\left( {{u_2}} ight)}^3} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2} = 4} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {q = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=2^{n}. Tìm số hạng u_{n+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {2^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính tổng S = {\left( {2 + \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} ight)^2}

    \begin{matrix} S = {\left( {2 + \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \dfrac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \dfrac{1}{{{2^n}}}} ight)^2} \hfill \\ S = \left( {4 + 2 + \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {16 + 2 + \dfrac{1}{{16}}} ight) + ... + \left( {{2^{2n}} + 2 + \dfrac{1}{{{2^{2n}}}}} ight) \hfill \\ S = \left( {4 + 16 + ... + {2^{2n}}} ight) + 2n + \left( {\frac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{2n}}}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} S = 4.\dfrac{{{4^{n - 1}}}}{3} + 2n + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{{2^{\dfrac{1}{{2n}}}} - 1}}{{\dfrac{1}{4} - 1}} \hfill \\ S = 4.\dfrac{{{4^n} - 1}}{3} + 2n + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{2^{2n}} - 1}}{{{2^{2n}}}} \hfill \\ S = 2n + \dfrac{{{4^{n - 1}}}}{3}.\dfrac{{{{4.4}^n} + 1}}{{{4^n}}} = 2n + \dfrac{{\left( {{4^n} - 1} ight)\left( {{4^{n + 1}} + 1} ight)}}{{{{3.4}^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10

    Ta có: {u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}. Số \frac{1}{10^{103}} là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

    Ta có:

    u_{n} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561

    Mà n là số chẵn và n - 1 = 103

    \Rightarrow n = 104

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}. Số \frac{8}{15} là số hạng thứ mấy của dãy số?

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_k} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{{2k + 1}} = \dfrac{8}{{15}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {k + 1} ight) = 8\left( {2k + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15k + 15 = 16k + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 7 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số \frac{8}{15} là số hạng thứ 7 của dãy số.

  • Câu 18: Vận dụng

    Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?

    Ta có:

    Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: u_{1} = 7 (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

    Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

    Từ đó ta có

    S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670 (triệu đồng)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.

    Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng

    Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.

    {u_1} + 5.d = 40

    \begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công sai của cấp số cộng là d = \frac{{36}}{5}

    Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: \frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}

    Tổng bốn số hạng ở trên là: \frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \sin n - \cos n. Dãy số (u_{n}) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \sin n - \cos n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\sin n - \sin \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow 1 \geqslant \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \geqslant \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

    Ta có: d = 6 - 1 = 5

    Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

    => x = 6 + 5 = 11

    Vậy x = 11

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}. Hỏi số \frac{1}{4096} là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

    Ta có: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096} là cấp số nhân với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}

    \Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12

  • Câu 24: Nhận biết

    Cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là

    Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra u_{1} = \frac{3}{5} và q = 2.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{3}=15 và d=-2 . Tìm u_{n} 

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_3} = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 19 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ = 19 + \left( {n - 1} ight).\left( { - 2} ight) \hfill \\ = 21 - 2n \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 2n + 21 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

    (a) k ∈ \mathbb{ Q}

    (b) n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

     Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì \mathbb{Q} là tập con thực sự của \mathbb{N^*} nên tồn tại số nguyên dương không thuộc \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc \mathbb{Q}" đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc \mathbb{Q}" sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn k \in \mathbb{Q}.

    Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc \mathbb{Q}" sai vì số nguyên âm không thuộc \mathbb{Q}.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tính tổng 3 + 33 + 333 + ... + 33...33 + ....

     Ta có:

    \begin{matrix} S = 3\left( {1 + 11 + 111 + ... + 11...1} ight) \hfill \\ S = 3.\left( {\dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^n} - 1}}{9}} ight) \hfill \\ S = \dfrac{3}{9}.\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n} - n} ight) \hfill \\ S = \dfrac{1}{3}.\left( {10.\dfrac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}} - n} ight) = \dfrac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

    Ta có 2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}

    = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}

    = cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x

    Vậy S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}

  • Câu 29: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 30: Vận dụng

    Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu bác Hoa muốn trả hết nợ trong 3 năm và phải trả lãi mức 6% trên năm thì mỗi tháng bác phải trả bao nhiêu tiền?

    Gọi x (đồng) là số tiền bác Hoa phải trả mỗi năm. (Điều kiện x > 0)

    Ta có:

    x = \frac{900.10^{6}.0,06.1,06^{3}}{1,06^{3} - 1}

    x = 336698831,5 (đồng)

    Vậy số tiền bác Hoa phải trả mỗi tháng là T = \frac{336698831,5}{12} \approx 28058236(đồng).

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn {u_2} = 6;{u_4} = 24. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

    Giả sử công bội của cấp số nhân là q

    Ta có:

    => {u_4} = {u_2}.{q^2} \Rightarrow q = \pm 2

    Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2

    Ta có: {S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} ight)

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong các dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n}, dãy nào là cấp số nhân?

    Dãy u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n} là cấp số nhân có \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 35: Nhận biết

    Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.

    Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:

    u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_5} = {u_1} + 4d \Rightarrow d = \dfrac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \dfrac{{22 - 2}}{4} = 5 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 7} \\ {{u_3} = {u_1} + 2d = 12} \\ {{u_4} = {u_1} + 3d = 17} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Các giá trị của a để dãy số (un) tăng là?

    Xét hiệu  un + 2 − un + 1

     = aun + 1 + (1−a)un − un + 1

     = (a−1)(un + 1−un)

     ⇒ u3 − u2 = (a−1)(u2−u1) = (a−1);

     ⇒ u4 − u3 = (a−1)(u3−u2) = (a−1)2

    un + 1 − un = (a−1)n − 1 > 0

    Để dãy số (un) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1

  • Câu 38: Nhận biết

    Xác định số hạng tổng quát của dãy số dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight..

    Từ công thức \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} - 2 = \dfrac{1}{2} - 2 = - \dfrac{3}{2} \\u_{3} = u_{2} - 2 = \dfrac{- 3}{2} - 2 = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} + 2(n - 1) với n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} + 2(2 - 1) = \frac{5}{2} (loại)

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} - 2(n - 1) ta thấy thỏa mãn

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} - 2n với n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} - 2.2 = - \frac{7}{2} (loại)

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} + 2n với n = 1 \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2} + 2.1 = \frac{5}{2} (loại)

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Xét dãy số u_{n}=7-3n

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số u_{n}=7-3n là một cấp số cộng với u_1=4;d=-3

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     Ta có: Cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{12}}{a} = \dfrac{b}{{12}}} \\ {\dfrac{b}{{12}} = \dfrac{{192}}{b}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{144}}{y}} \\ {{b^2} = 2034} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \pm 3} \\ {b = \pm 48} \end{array}} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 33 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập