Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?
Do 0 < α < π nên
Vậy với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).
Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có .
Ta chứng minh
Thật vậy,
Từ đó ta có
Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?
Do 0 < α < π nên
Vậy với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).
Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có .
Ta chứng minh
Thật vậy,
Từ đó ta có
Số hạng âm trong dãy số x1; x2; x3; …; xn với
là?
Ta có
Vậy các số hạng âm là x1; x2; x3.
Với mọi số nguyên dương
, tổng
chia hết cho:
Với ta có:
không chia hết cho 9.
Với ta có:
không chia hết cho 4 và 12
Ta sẽ chứng minh chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
Giả sử khẳng định đúng với nghĩa là
chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với tức là:
cũng chia hết cho 6
Ta có:
Ta lại có: ta cần chứng minh
Thật vậy là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên
Mặt khác và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy chia hết cho 6 hay
chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
.
Cho cấp số nhân (un) có
. Tìm công bội q và số hạng đầu u1.
Ta có:
Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10
Ta có:
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính
.
Ta có:
Khi đó:
=>
Cho dãy số (un) có u1 = 1 và
.
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) (un) là dãy số tăng.
(2) (un) là dãy số bị chặn dưới.
(3) (un) là dãy số bị chặn trên.
Ta có nên dãy số tăng.
Vậy phát biểu (1) đúng.
Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.
Vậy phát biểu (2) đúng.
Ta lại có
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:
Mặt khác
Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.
Với giá trị nào của
thì các số hạng
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
Ta có: các số hạng lập thành cấp số nhân
Vậy
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1; q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
Ta có:
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Xét tỉ số:
Vậy (un) là dãy số tăng.
Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?
Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 lập thành một cấp số cộng nên
Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:
Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.
Ta có:
Cho dãy số có các số hạng đầu là
Số hạng tổng quát của dãy số này là
Ta có
Suy ra
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên?
Ta có:
.
Vậy đây là dãy số bị chặn trên.
Cho phương trình bậc ba:
(m là tham số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Ta có:
Để ba nghiệm của phương trình lập thành một cấp số nhân
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số nhân đã cho.
Các số hạng lần lượt là lập thành cấp số nhân
Cho dãy số
, biết
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 7 của dãy số.
Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.
Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì
Do m > 0 =>
Cấp số nhân
có số hạng tổng quát là
. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra và
.
Cho cấp số cộng
có
. Tìm số hạng đầu tiên
.
Ta có:
Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1, m2, m3 của tham số m để phương trình
có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là là nghiệm của phương trình
Với thì
Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng
Vậy giá trị cần tìm là 34
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và tổng
số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức:
?
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
và tổng
số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức:
?
Gọi d là công sai của cấp số cộng. ta có:
mà
Ta có:
Với
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Với mọi số nguyên dương
thì
chia hết cho
Với chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh
chia hết cho 3 với mọi
.
Giả sử khẳng định đúng với tức là
chia hết cho 3, ta chứng minh
cũng chia hết cho 3.
Ta có:
Vậy với mọi số nguyên dương thì chia hết cho 3.
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Ta có:
Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486
=>
=>
=> =>
Vậy công bội q của cấp số nhân đã cho là q = 3
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có và số hạng cuối
.
Khi đó:
Do đó
Cho dãy số (un) với
( a là hằng số). Hỏi un + 1 là số hạng nào sau đây?
Ta có
Cho cấp số nhân
với
. Tính
.
Ta có:
Vậy .
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
với công sai
và số hạng đầu
.”
Cho một cấp số cộng có
. Hỏi
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
Ta có:
Cho tổng
. Giá trị S10 là
Cách 1:
Ta có
Suy ra
Vậy .
Cách 2:
Ta có
Suy ra .
Cho dãy số (un) có un = − n2 + n + 1. Số − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?
Giả sử un = − 19(n∈ℕ*) Suy ra (do n∈ℕ*).
Vậy số − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Cho cấp số cộng
với
. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:
Ta có:
Cho cấp số cộng
với
. Tìm số hạng đầu
và công sai
của cấp số cộng trên.
Ta có:
Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu bác Hoa muốn trả hết nợ trong 3 năm và phải trả lãi mức 6% trên năm thì mỗi tháng bác phải trả bao nhiêu tiền?
Gọi x (đồng) là số tiền bác Hoa phải trả mỗi năm. (Điều kiện x > 0)
Ta có:
(đồng)
Vậy số tiền bác Hoa phải trả mỗi tháng là (đồng).
Cho cấp số cộng
có
. Số hạng thứ
của cấp số cộng là
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c) Cấp số cộng
thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) Cấp số cộng thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
a) Xét dãy số đã cho ta có:
nên dãy số
không tăng không giảm.
b) đúng bằng chứng minh quy nạp.
c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là
d) Từ giả thiết ta có:
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: .