Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giới hạn \lim_{}\frac{2^{n} -
3^{n}}{2^{n} + 1} bằng

    Ta có:

    \lim\dfrac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} =\lim\dfrac{1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}}{1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}

    = \dfrac{\lim\left( 1 - \left(\dfrac{3}{2} ight)^{n} ight)}{\lim\left( 1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} ight)} = \lim\left( 1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}ight) = - \infty

  • Câu 2: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 1?

    Xét hàm số y = \frac{x}{x^{2} -
1} hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Giới hạn \lim_{}\left( n^{3} - 2023n +
2024 ight) bằng

    Ta có:

    \lim\left\lbrack n^{3} - 2023n + 2024
ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left( 1 -
\frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) ight\} = +
\infty.

    \left\{ \begin{matrix}
\underset{}{\lim\left( n^{3} ight) = + \infty} \\
\lim\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) = 1 >
0 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 4: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2}  - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2}  - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\   = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2
- x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 =
0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) =
5 thì \lim_{x ightarrow
0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\  > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2
- x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 =
0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) =
5 thì \lim_{x ightarrow
0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\  > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x +
2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5

    Xét phương trình x^{2} - 3x^{2} + 3 =
0. Đặt x^{2} - 3x^{2} + 3 =
f(x) là hàm số liên tục trên \mathbb{R} suy ra hàm số cũng liên tục trên \lbrack - 1;3brack.

    Ta có: f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = -
1;f(3) = 3

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}
f( - 1).f(1) < 0 \\
f(1).f(2) < 0 \\
f(2).f(3) < 0 \\
\end{matrix} ight. nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

    f(x) = 0 là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

    Ta có:

    Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) =
5 suy ra

    \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x -
4f(x) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x
ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1
+ 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1
ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1
ight)}

    = \lim_{x ightarrow
0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

  • Câu 6: Vận dụng

    Giá trị của giới hạn \lim\left\lbrack
\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}
ightbrack bằng:

    Với mọi giá trị k \in
\mathbb{N}^{*} thì \frac{1}{(2k +
1)(2k - 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1}
ight)

    Do đó:

    \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} +
\frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}
ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 -
\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + .. + \frac{1}{2n - 1} -
\frac{1}{2n + 1} ight) ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 -
\frac{1}{2n - 1} ight) ightbrack = \frac{1}{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho dãy số \left(
u_{n} ight) với u_{n} =
\frac{n}{4^{n}}\frac{u_{n +
1}}{u_{n}} < \frac{1}{2}. Chọn giá trị đúng của \lim u_{n} trong các số sau:

    Áp dụng phương pháp quy nạp toán học ta có n \leq 2^{n},\ \forall n \in N

    Nên ta có :

    n \leq 2^{n} \Leftrightarrow
\frac{n}{2^{n}} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{n}{2^{n}.2^{n}} \leq
\frac{1}{2^{n}} \Leftrightarrow \frac{n}{4^{n}} \leq \left( \frac{1}{2}
ight)^{n}

    Suy ra : 0 < u_{n} \leq \left(
\frac{1}{2} ight)^{n}, mà \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0

    Vậy \lim u_{n} = 0.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow
1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}ta được kết quả bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x
- 1}{x^{2} + 1}

    = \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} =
\frac{4}{2} = 2.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính giới hạn M =
\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b}
ight).

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

  • Câu 10: Nhận biết

    Giá trị của \lim\sqrt[n]{a} với a> 0 bằng:

    Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.

    • Với  a > 1 thì khi đó: a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)

    Suy ra: 0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0 nên \lim\sqrt[n]{a} = 1

    • Với 0 < a < 1 thì khi đó:  \frac{1}{a} >1 .

    Suy ra: \lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1

    Tóm lại ta luôn có: \lim\sqrt[n]{a} =1 với a > 0 .

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính A = \lim_{x
ightarrow - 1}\left( x^{2} - x + 7 ight).

    Ta có: A = \lim_{x ightarrow - 1}\left(
x^{2} - x + 7 ight) = 1 + 1 + 7 = 9

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính giới hạn \lim\left\lbrack
\frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)}
ightbrack

    Ta có:

    \begin{matrix}
  \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} ight)}} \hfill \\
   = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} ight) \hfill \\ 
\end{matrix}

    = \frac{1}{3}\left\lbrack \left(
\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} ight) - \left(
\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n + 3} ight)
ightbrack

    = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} +
\frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}
ight)

    = \frac{1}{3}\left( \frac{11}{6} -
\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)

    Do đó \lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} +
\frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack =
\frac{11}{8}

  • Câu 13: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để \lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}

    Bài toán trở thành \lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0

    Ta có: \lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho

    \begin{matrix}  \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}

    k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l

    => Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Giới hạn dãy số (u_{n}) với u_{n} = \frac{\left( 3n - n^{4} ight)}{4n -
5} là?

    Ta có:

    \lim u_{n} = \lim\frac{\left( 3n - n^{4}
ight)}{4n - 5} = \lim{n^{3}\frac{\frac{3}{n^{3}} - 1}{4 -
\frac{5}{n}}} = - \infty

    \lim n^{3} = + \infty nên suy ra:

     \lim\frac{\frac{3}{n^{3}} - 1}{4 -
\frac{5}{n}} = - \frac{1}{4}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Điều kiện xác định của hàm số f(x) =
\frac{2x - 3}{x^{2} - 1} là:

    x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm
1

    Suy ra tập xác định của hàm số là: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1
ight\}

    Nên hàm số không liên tục tại các điểm x
eq \pm 1.

  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1 - n^{2}}{n} bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} thỏa mãn \frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M

    \Rightarrow n_{M} > \frac{M +
\sqrt{M^{2} + 4}}{2}.

    Ta có:

    \frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \
\forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = +
\infty

    Vậy \lim\frac{1 - n^{2}}{n} = -
\infty.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm giá trị của a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    f(2) = a + 4

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 -
4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x
+ 2} + 2} = \frac{1}{4}

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) =
f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a +
4

    \Leftrightarrow a = -
\frac{15}{4}

  • Câu 18: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5}  - x)} ight] bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  - x} ight) \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5}  + x}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1  + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho số thực m thỏa mãn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} +
3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} =
\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} =
\frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} + 1} -
\sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} +
1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    = \lim\frac{n\left( \sqrt{n^{2} + 1} -
\sqrt{n^{2} - 3} ight)\left( \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}
ight)}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\frac{4n}{\sqrt{n^{2} + 1} +
\sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\dfrac{4}{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{3}{n^{2}}}}

    = \frac{4}{1 + 1} = 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\m^{2} + 3m\ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x
- 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4

    Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m^{2} + 3m = 4 \Rightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 1 \\
m = - 4 \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 22: Nhận biết

    Giá trị của A =
\lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2
ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n
> n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.. Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

    a)\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \
2. Sai||Đúng

    b)\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \
\infty. Sai||Đúng

    c)\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) =
1. Đúng||Sai

    d) Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.. Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

    a)\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \
2. Sai||Đúng

    b)\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \
\infty. Sai||Đúng

    c)\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) =
1. Đúng||Sai

    d) Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1. Đúng||Sai

    a) Sai

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0.

    b) Sai

    \lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}.

    c) Đúng

    \lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) =
\lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}
ight)

    = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left(
\frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 -
\frac{3}{x + 1} ight) = 1.

    d) Đúng

    Ta có:

    f(1) = - \frac{1}{2}\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = -
\frac{1}{2}.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =
\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = -
\frac{1}{2}.

    Vậy f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x)
= \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?

    Hàm số có nghĩa khi x^{2} + 5x + 6 eq 0
\Rightarrow x eq - 3;x eq - 2

    Vậy hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}
+ 5x + 6} liên tục trên các khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; +
\infty)

  • Câu 25: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}} bằng:

    Ta có: 

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}}  \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}}  \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}}  \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}}  = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 5}  - x) bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  - x} ight) \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 5}  + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5}  + x}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5}  + x}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 5}  + x}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}}  + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Nhận biết

    Giới hạn L = \lim\frac{3n - 1}{n +
2} bằng:

    Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

    L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} =
3

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\
\frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\
\end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\
\frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\
\end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Tập xác định của hàm số f(x)\mathbb{R}.

    Ta có f(1) = \frac{a +
15}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} =
\frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a +
15}{4}

    Hàm số đã cho liên tục tại x =
1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a +
15}{4} \Leftrightarrow a = - 14.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} +
n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3}
+ n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} +
n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} -
n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} -
n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xét tính liên tục của hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x}  - 1}}{\text{        khi }}x < 1} \\ 
  { - 2x{\text{   khi }}x \geqslant 1} 
\end{array}} ight.. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hàm số liên tục trên các khoảng ( -
\infty;1),(1; + \infty)

    Ta có:

    f(1) = - 2

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}( - 2x) = - 2

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} = \lim_{x ightarrow
1^{-}}\left\lbrack - \left( \sqrt{2 - x} + 1 ight) ightbrack = -
2

    => Hàm số liên tục tại x =
1

    Vậy hàm số liên tục trên tập số thực.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) với f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} với x eq 0. Tính f(0).

    Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) nên suy ra

    f(0) = \lim_{x ightarrow
0}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left(
\frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x +
4} + 2 ight) = 4

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm m để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\mx + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\sqrt[3]{x}
- x - 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\left(
\sqrt[3]{x} - 1 ight) - (x - 1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\left(
\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} - 1 ight) = -
\frac{1}{3}

    Dễ thấy hàm số liên tục khi x eq
1. Hàm số liên tục tại x =
1 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
f(1)

    \Leftrightarrow - \frac{1}{3} = m +
1

    \Leftrightarrow m = -
\frac{4}{3}

  • Câu 33: Nhận biết

    Giá trị của B =
\lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} bằng:

    Ta có:

    B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}}
= \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho f(x) là một đa thức thỏa mãn \lim_{x ightarrow
1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24. Tính giá trị

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x -
1)\left( \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ight)}

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -
16}{x - 1} = 24 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) - 16
ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
16

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = \frac{1}{12}

    Khi đó

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -
16}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ightbrack}

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -
16}{x - 1}.\lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} =
24.\frac{1}{12} = 2

  • Câu 35: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x
+ 12} liên tục trên khoảng ( - 4; +
\infty) Sai||Đúng

    b) Phương trình 3x^{4} + 5x^{3} + 10 =
0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 2; -
1). Đúng||Sai

    c) Giới hạn của hàm số f(x) = \left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\
x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\
\end{matrix} ight. khi x
ightarrow 2 bằng -1. Sai||Đúng

    d) Dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x
+ 12} liên tục trên khoảng ( - 4; +
\infty) Sai||Đúng

    b) Phương trình 3x^{4} + 5x^{3} + 10 =
0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 2; -
1). Đúng||Sai

    c) Giới hạn của hàm số f(x) = \left\{
\begin{matrix}
x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\
x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\
\end{matrix} ight. khi x
ightarrow 2 bằng -1. Sai||Đúng

    d) Dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x +
12} có điều kiện xác định

    ( - \infty; - 4) \cup ( - 4; - 3) \cup (
- 3; + \infty)

    Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.

    b) Đặt 3x^{4} + 5x^{3} + 10 =
f(x)

    f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên \lbrack - 2; - 1brack\ \ (*)

    Ta có: f( - 2) = - 126;f( - 1) =
2

    \Rightarrow f( - 2).f( - 1) <
0(**)

    Từ (*) và (**) suy ra phương trình f(x) =
0 có nghiệm thuộc ( - 2; -
1).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{+}}\left( x^{2} - 3x ight) = - 2

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{-}}(x - 1) = 1

    Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x ightarrow 2

    d) Ta có: với n chẵn

    \lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( -
1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = + \infty

    Với n lẻ \lim u_{n} = \lim\left\lbrack (
- 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = - \infty

    Suy ra dãy số không bị chặn.

  • Câu 36: Vận dụng

    Biết f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\
1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\
\end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;6brack. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Dễ thấy f(x) liên tục trên mỗi khoảng (0;4)(4;6). Khi đó hàm số liên tục trên đoạn \lbrack 0;6brack khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4;x = 0;x =
6

    Tức là ta cần có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.\left( * ight)

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x  = 0 \hfill \\
  f\left( 0 ight) = \sqrt 0  = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\
  f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x  = 2 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\
  f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Khi đó (*) trở thành 1 + m = 2
\Leftrightarrow m = 1 < 2

  • Câu 37: Thông hiểu

    \lim\sqrt{4-\frac{\cos2n}{n}} bằng số nào sau đây?

    Ta có: 0 \leqslant \left| {\frac{{\cos 2n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \to 0

    \Rightarrow \lim \sqrt {4 - \frac{{\cos 2n}}{n}}  = 2

  • Câu 38: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} bằng

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} =  + \infty

    Do \left\{ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\  x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại x = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} =  + \infty  \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} =  - \infty  \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. nên hàm số y
= \frac{x^{2} + 2}{x - 1} gián đoạn tại điểm x = 1

  • Câu 40: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} +
2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} +
2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

     

    a) Xét hàm số \cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x) có tập xác định D = \lbrack 0;
+ \infty)

     

    Hàm số liên tục trên \left\lbrack
0;\frac{\pi}{2} ightbrack ta có: f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = -
\sqrt{\frac{\pi}{2}}

    f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight)
< 0 nên phương trình f(x) =
0 có ít nhất một nghiệm trên \left(
0;\frac{\pi}{2} ight).

    b) Ta có:

    x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow
\left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x^{2} - 1 = 0 \\
x^{2} - 2 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} = 1 \\
x^{2} = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \pm 1 \\
x = \pm 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0

    d) Ta có: D = \mathbb{R}

    với x eq 0 thì f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x} là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi x eq
0. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng ( - \infty;0),(0; + \infty)

    Tại x = 0 ta có: \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow
0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left(
\frac{x + 4}{2} ight) = 2

    Để hàm số liên tục trên khoảng ( -
\infty; + \infty) thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) =
2.

    Vậy để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị là 2.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 3 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo