Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:

IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB

Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC

=>

2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung

=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.

Vậy

Ta có

Mặt khác

Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.

Qua phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh của tứ diện đều là đoạn thẳng.

Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện nằm trong một mặt phẳng.

 Ta có:

Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.

=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.

Do ba điểm không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: (vì lần lượt là các đường trung bình của .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi không nằm trong , đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong .

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.

Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.

Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.

Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."

Hình tứ diện có 6 cạnh.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

Do suy ra hình chiếu song song của điểm theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ .

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ .

Từ đó suy ra

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của (MNP) và tứ diện ABCD là tam giác MNP.

Hình vẽ minh họa

Xét có lần lượt là trung điểm

=> là đường trung bình của

=> mà

Hình vẽ minh họa

Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà (do là đường trung bình của tam giác ) nên .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .

 Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.

Ta có:

Có vô số mặt phẳng chứa và song song với (đó là tất cả các mặt phẳng chứa nhưng không chứa ).

Hình vẽ minh họa

Ta có:

là đường trung bình tam giác SAB nên

là hình bình hành nên

=>

là đường trung bình tam giác  

=> =>

Vậy không song song với .

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của lần lượt là .

Dễ thấy

Xét mặt phẳng , gọi

Xét tam giác và tam giác ta có:

(đối đỉnh)

(so le trong)

Vậy hay

Theo định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Đáp án cần tìm là: 0

Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Do và .

Do .

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.

Tứ giác là hình thang có

Ta có:

với

Thay giá trị các cạnh ta có

 Khẳng định đúng: "Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song."

Hình vẽ minh họa:

Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác và

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy đồng quy.

Lại có:

Từ đó suy ra và .

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.

Hình vẽ minh hoạ

Ta dựng thiết diến của mặt phẳng (OMN) và hình chóp SABCD như sau

Qua M kẻ PQ // NO với Q ∈ SC.

Kéo dài NO cắt CD tại P.

=> Hình tạo bởi các giao tuyến đó là tứ giác MNPQ.

Tứ giác MNPQ có MN // NP

=> Tứ giác MNPQ là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Ta có: là trọng tâm tam giác và là trung điểm của .

=> thẳng hàng hay

Ta lại có là trọng tâm tam giác nên kéo dài cắt tại trung điểm của .

Vậy là trung điểm của suy ra