Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra

Từ (*) và (**) suy ra TH

1

Hình vẽ minh họa:

M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)

Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).

Vậy P là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP

Hình vẽ minh họa

Khẳng định đúng là “ và là hai đường thẳng chéo nhau.”

Có 3 mặt phẳng gồm

Do là đường trung bình của tam giác nên

Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF

Mà DF ⊂ (ADF)

=> OO' // (ADF)

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

 Mệnh đề sai: "".

Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm lần lượt là .

Gọi

Từ kẻ song song với .

Ta có:

(1)

Ta có (2)

Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác .

Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết bài toán ta suy ra được:

Xét hai mặt phẳng (IGJ), (SAB) có G là điểm chung nên giao tuyến của chúng là đường thẳng EF qua G,

Nối các đoạn thẳng EI, FJ ta được hình tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng (IGJ) và các mặt hình chóp là tứ giác EFJI, tứ giác này là hình thang vì EF // IJ.

Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lý Tha-lét ta có:

Nên để EFJI là hình bình hành ta cần

Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.

Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.

Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.

Hình vẽ minh họa

Do

Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu .

Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu .

Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d”.

Ta có: G là trọng tâm giác ABD 

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng qua và song song với

=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến song song với .

Mặt khác, song song với nên cắt và theo các giao tuyến và với

=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Mặt khác

=> Tứ giác là hình bình hành.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Do và .

Do .

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng gọi .

Mà nên

Hình vẽ minh họa

Ta có: là trọng tâm tam giác và là trung điểm của .

=> thẳng hàng hay

Ta lại có là trọng tâm tam giác nên kéo dài cắt tại trung điểm của .

Vậy là trung điểm của suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của lần lượt là .

Dễ thấy

Xét mặt phẳng , gọi

Xét tam giác và tam giác ta có:

(đối đỉnh)

(so le trong)

Vậy hay

Hình vẽ minh họa

Khẳng định sai là "CE song song với FH"

Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác đều.

Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có

Nên là hình chiếu song song theo phương của trên .

Lại do tam giác đều nên vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”

Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với ".

 Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Do suy ra hình chiếu song song của điểm theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác

Hình vẽ minh họa

Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).

Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).

Trong mặt phẳng ( ABCD) có

Trong mặt phẳng (SAC) có

Suy ra

Trong mặt phẳng (SBD) gọi và do

Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Có 6 đường thẳng là .

Hình vẽ minh họa:

Xét và (BCD), ta có điểm N chung, CD //

=> ∩ (BCD) = NF // CD, với F ∈ BD.

Xét và (ACD), ta có điểm M chung, CD //

=> ∩ (ACD) = ME // CD, với E ∈ AC.

Từ đó ta được MF = ∩ (ABD) và EN = ∩ (ABC)

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và các mặt của tứ diện là tứ giác ENFM

Ta lại có ME // CD // NF nên ENFM là hình thang.

Từ giả thiết ta có:

Mà

Vậy hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

Ta lại có: suy ra

Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu . Ta có:

biến thành B

biến thành

biến thành

biến thành

Do đó hình hộp biến thành hình bình hành .

Hình vẽ minh họa

Phương án : Hình chiếu của tam giác    vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .

Phương án : Hình chiếu của tam giác    vẫn là tam giác   .

Phương án : Khi phương chiếu    song song với    hoặc chứa trong mặt phẳng   . Thì hình chiếu của tam giác    là một đoạn thẳng trên mặt phẳng .

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ

Trong mp(ABC) kẻ

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

Ta lại có:

Mặt khác

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác PIM

Với

Ta có khẳng định sai là: “Nếu và thì ."

Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.

Vì nên theo định lí Talet, ta có .

Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số .

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).