Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a//b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:

    Giả sử b//c

    => c // a (mâu thuẫn với giả thiết). 

    Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng a\subset(\alpha). Khẳng định nào sau đây sai?

    Nếu a song song với (\alpha) và đường thẳng b \subset (\alpha) thì b và a hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 3: Nhận biết

    Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt?

    Hình chóp có 7 mặt trong đó có 6 mặt bên và 1 mặt đáy.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:

    Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.

    Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác ABC.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

    Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Lấy M là trung điểm của AC. Xác định hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (AA'B') theo phương chiếu CB là:

    Hình vẽ minh họa

    Luyện tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

    Gọi N là trung điểm của  AB . Ta có: MN//CB

    Vậy hình chiếu song song của điểm  M  lên \left( {AA'B'} ight) theo phương chiếu CB là điểm N.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là giao điểm của AC và BM

    Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

    => Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M \in BC,(M eq B,M eq C). Mặt phẳng (\beta) đi qua M và song song với AB và BC. Xác định các giao tuyến của (\beta) và các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

    Hình vẽ minh họa:

    Mặt phẳng (\beta) qua M và song song với AB

    => Mặt phẳng (\beta) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến MN song song với AB,(N \in AC).

    Mặt khác, (\beta) song song với CD nên (\beta) cắt (ACD) và (BCD) theo các giao tuyến NP và MQ với P \in AD;Q \in BD

    => Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} MN//PQ(//AB) \\ NP//MQ(//CD) \\ \end{matrix} ight.

    => Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của (\beta) và các mặt của hình chóp là hình bình hành.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi điểm I là trung điểm của AB, lấy điểm M di động trên đoạn AI. Mặt phẳng (\alpha) qua M song song với (SIC). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với các mặt của tứ diện.

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.

    Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.

    Thiết diện là tam giác MNP.

    Ta có: \frac{MP}{SI} = \frac{MN}{CI} \Rightarrow MP = MN

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD//BC;AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm E,F lần lượt là trung điểm các cạnh SA,AD. Lấy điểm K thuộc SC sao cho SK = 2CK. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) EF//(SCD) Đúng||Sai

    b) (BEF)//(SCD) Đúng||Sai

    c) \frac{CO}{CA} = \frac{2}{3} Sai||Đúng

    d) SA//(KBD) Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD//BC;AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm E,F lần lượt là trung điểm các cạnh SA,AD. Lấy điểm K thuộc SC sao cho SK = 2CK. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) EF//(SCD) Đúng||Sai

    b) (BEF)//(SCD) Đúng||Sai

    c) \frac{CO}{CA} = \frac{2}{3} Sai||Đúng

    d) SA//(KBD) Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EF//SD \\ SD \subset (SCD) \\ EF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow EF//(SCD)

    Xét tứ giác BFDC có: \left\{ \begin{matrix} BC//DF \\ BC = DF = \frac{1}{2}AD \\ \end{matrix} ight. suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành

    => BF // DC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BF//CD \\ CD \subset (SCD) \\ BF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BF//(SCD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EF//(SCD) \\ BF//(SCD) \\ EF \cap BF \\ EF;BF \subset (BEF) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (BEF)//(SCD)

    Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có: \frac{OB}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{CO}{CA} = \frac{1}{3}

    Mặt khác SK = 2CK \Rightarrow \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3}

    Xét tam giác SAC có \frac{CO}{CA} = \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//SA

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} OK//SA \\ OK \subset (KBD) \\ SA ⊄ (KBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SA//(KBD)

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Xác định thiết diện

    Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.

    Xét (ABC) ta có:

    Qua M kẻ EF // AB (1)

    Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF

    Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE

    Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)

    => Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG

    Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( \alpha ight) \cap \left( {ACD} ight) = FG} \\ {\left( \alpha ight)//DC} \end{array}} ight. \Rightarrow FG//DC\left( 4 ight)

    Từ (1), (2), (3), (4) => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {EF//GH} \\ {EH//GF} \end{array}} ight.

    => EFGH là hình bình hành

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Phép chiếu song song theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) biến điểm A thành:

    Do AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm B.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian, cho ba đường thẳng m,n,t không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.

    Giả sử ba đường thẳng m,n,t đôi một cắt lần lượt M,N,T phân biệt và tạo thành mặt phẳng (MNT).

    => m,n,t cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).

    => M,N,T trùng nhau, tức là m,n,t đồng quy.

    Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (SBE) \cap (ABCD) = BE \\ (\alpha) \cap (ABCD) = Ix \\ \end{matrix} ight.

    => Ix//BE => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (\alpha) \cap (SBC) = Mx \\ (SBE) \cap (SBC) = SB \\ \end{matrix} ight.

    => Mx//SB

    => Mx cắt SC tại N.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (\alpha) \cap (SAD) = Qx \\ (SBE) \cap (SAD) = SE \\ \end{matrix} ight.

    => Qx//SE

    => Qx cắt SD tại P

    Tứ giác BCDE là hình bình hành

    => CD // BE // MQ

    => CD // (α).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} CD//\ (\alpha) \\ CD \subset (SCD) \\ (SCD) \cap (\alpha) = PN \\ \end{matrix} ight.

    => CD//P\ N \Rightarrow MQ//P\ N

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Các điểm M,N tương ứng trên AC',B'D' sao cho MN song song với BA'. Tính tỉ số \frac{MA}{MC'}?

    Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BA'.

    Ta có: N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B'D' và ảnh AC' qua phép chiếu này.

    Do đó ta xác định M,N như sau:

    Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A'K = B'A' suy ra K là ảnh của A trên AC' qua phép chiếu song song.

    Gọi N = B'D' \cap KC'. Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M. Ta có: M,N là các điểm cần xác định.

    Theo định lí Thales ta có:

    \frac{MA}{MC'} = \frac{NK}{NC'} = \frac{KB'}{C'D'} = 2

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, biết AC \cap BD \equiv M và AB \cap CD \equiv N. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Vì AC \cap BD \equiv Mnên M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SM.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Hình biểu diễn của một hình thoi là hình nào sau đây?

    Hình biểu diễn của một hình thoi là hình bình hành.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M \in SC,SM = MC. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    OM//SA \Rightarrow OM//(SAB)

    OM//SA \Rightarrow OM//(SAD)

    (BDM) \cap (SAC) = OM

    OM//(SBD) là đáp án sai.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng

    Xét tam giác SAB có:

    M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

    => MN là đường trung bình của tam giác SAB

    => MN // AB

    Ta lại có \left( {MNO} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = O

    => Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương CD lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Do AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương CD\ \ (CD//AB) lên mặt phẳng (SBC) là điểm B.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?

    Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

    Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện

    Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

    Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.

  • Câu 23: Nhận biết

    Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Nếu đường thẳng d' song song với cả hai mặt phẳng thì:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?

     Ta có:

    Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.

    => Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là:

    Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) có hai điểm chung là S và B nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SB.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD) là đường thẳng

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AB//DC \\ AB \subset (SAB) \\ DC \subset (SCD) \\ S \in (SAB) \cap (SCD) \\ \end{matrix} ight. suy ra giao tuyến của mặt phẳng (SAB)và mặt phẳng (SCD) là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hình bình hành ABCD tâm O và ABEF tâm O' không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi điểm M là trung điểm của CD. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi K = AM \cap BC

    Theo giả thiết ta có:

    \begin{matrix} OO'//EC,\ OO'//DF\ \\ \Rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} OO'//(BCE) \\ OO'//(AFD) \\ OO'//(EFM)\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    Ta có O'M//KE \Rightarrow O'M//(EBC)

    Vậy khẳng định sai là: “MO' cắt (ECB)”

  • Câu 29: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là sai?

    Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SMQ) và (SNP):

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (SMQ) \cap (SNP) = d

    Khi đó d đi qua S.

    Xét ba mặt phẳng (SMQ),(SNP);(MNPQ).

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d;MQ;NP.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d;MQ;NP đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà MQ//NP \Rightarrow d//MQ

  • Câu 31: Nhận biết

    Điều kiện để đường thẳng m song song với mặt phẳng (\beta):

    Đường thẳng m song song với mặt phẳng (\beta) khi và chỉ khi m không nằm trong (\beta), đồng thời m song song với một đường thẳng n nằm trong (\beta).

  • Câu 32: Nhận biết

    Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Khẳng định đúng: "Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song."

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d//AD//BC và d đi qua S

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông, A B = 1 ; A A' = 2. Gọi L là trung điểm B'D, mặt phẳng (P) qua L và song song AC lần lượt cắt A A'; C C'; D D' tại E ; F ; K.

    Đặt \frac{DK}{DD'} = x. Khi (EFK)//(MA'C') thì P = \frac{2025x}{1005} bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 2,01

    Đáp án là:

    Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông, A B = 1 ; A A' = 2. Gọi L là trung điểm B'D, mặt phẳng (P) qua L và song song AC lần lượt cắt A A'; C C'; D D' tại E ; F ; K.

    Đặt \frac{DK}{DD'} = x. Khi (EFK)//(MA'C') thì P = \frac{2025x}{1005} bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 2,01

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), O' = A'C' \cap B'D'.

    Trong mặt phẳng (B'D'DB), Q = B'D \cap MO'.

    ML là đường trung bình của tam giác B'BD nên ML\ //\ BD\ //\ B'D' (1).

    O'L là đường trung bình của tam giác B'D'D nên LO'\ //\ D'D\ //\ B'B (2).

    Từ (1),(2) suy ra tứ giác MLO'B' là hình bình hành nên Q là trung điểm B'L \Rightarrow QO'//LD' (3).

    Ta có EF\ //\ A'C' nên để (EFK)//(MA'C') thì \Rightarrow QO'//LK (4).

    Từ (1),(2) suy ra K \equiv D' \Rightarrow \frac{DK}{DD'} = 1 \Rightarrow x = 1.

    Vậy P = \frac{2025x}{1005} = \frac{2025}{1005} \approx 2,01.

  • Câu 35: Nhận biết

    Số cạnh của hình chóp tam giác là:

     Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của AB, E đối xứng với B qua C, F đối xứng với B qua D. Xác định các giao điểm của mặt phẳng (MEF) với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I = MF \cap AD,H = ME \cap AC

    Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

    Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

    Suy ra \frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}. Chứng minh tương tự ta có: \frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}. Do đó ta có:

    \frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}

    Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên \left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

    MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}

    \Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}

    \Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH

    Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: S_{MHI} = \frac{1}{6}

  • Câu 37: Nhận biết

    Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?

    Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.

    Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho ba đường thẳng a,b,c đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

    Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

    Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

    Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

    Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

    Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.

  • Câu 39: Nhận biết

    Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?

     Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S \in (SAC) \cap (SBD)(*)

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} O \in AC \subset (SAC) \\ O \in BD \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)(**)

    Từ (*) và (**) ta suy ra SO = (SAC) \cap (SBD)

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S là điểm chung của mặt phẳng (SAM) và (SBC) (*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in BC \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M \in (SBC)

    => M là điểm chung của mặt phẳng (SAM) và (SBC) (**)

    Từ (*) và (**) suy ra (SAM) \cap (SBC) = SM

  • Câu 42: Nhận biết

    Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q) và (R). Xét các mệnh đề sau

    1) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    2) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    3) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song (R) với thì (P) song song với (Q).

    4) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt (R) với thì (P) song song với (Q).

    Số mệnh đề đúng là:

    Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với (Q) thì (P) song song với (Q)

    Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

    Mệnh đề 4 là mệnh đề sai

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Mặt phẳng (P) qua AB cắt hình hộp theo là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Luyện tập đường thẳng song song với mặt phẳng

    Giả sử (P) qua AB cắt \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} ight) theo giao tuyến MN, khi đó thiết diện là tứ giác ABNM.

    Vì AB//{A_1}{B_1}{C_1}{D_1} nên MN // AB.

    Mặt khác MN = {A_1}{B_1} = AB nên ABNM là hình bình hành.

    Lập luận tương tự cho trường hợp (P) qua AB cắt \left( {DC{C_1}{D_1}} ight) theo giao tuyến MN.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

    Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.

    Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."

  • Câu 46: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Lấy I là trung điểm của AC, J \in AD sao cho \frac{AJ}{AD} = 2. Giả sử mặt phẳng (\alpha) chứa IJ và song song với AB. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh hoạ

    Trong mp(ABD) kẻ JN // AB, (N ∈ BD).

    Trong mp(ABC) kẻ IM // AB, (M ∈ BC).

    Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó AD = \frac{1}{2}CD = BD

    => Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

    \Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}

    Ta lại có: \frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}

    \Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}

    Mặt khác

    JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}

    IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}

    Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

    AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}

    PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM

    Diện tích tam giác PIM

    S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}

    Với p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a

    \Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}

    \Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}

  • Câu 47: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?

    Hình vẽ minh họa

    Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: AC và BD.

  • Câu 48: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (P) và điểm A không thuộc mặt phẳng (P). Số đường thẳng đi qua A và song song với (P) là:

    Có vô số đường thẳng đi qua  A  và song song với  (P)  với điểm  A  không thuộc mặt phẳng  (P).

  • Câu 49: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

    => Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho tứ diện S.\ ABC. Trên SA,SC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt AC tại E. Điểm E không thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

    Hình vẽ minh họa

    Do E \in AC \Rightarrow E \in (SAC) và E \in (ABC).

    Do E \in MN \Rightarrow E \in (BMN).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 63 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập