Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

là đường trung bình của tam giác nên mà .

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ

Trong mp(ABC) kẻ

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

Ta lại có:

Mặt khác

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác PIM

Với

Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Ta có là tâm của hình hình hành

=> (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:

=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Vậy

Ta có khẳng định sai là: “Nếu và thì ."

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Đường thẳng    song song với mặt phẳng    khi và chỉ khi    không nằm trong , đồng thời    song song với một đường thẳng nằm trong   .

Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác đều.

Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có

Nên là hình chiếu song song theo phương của trên .

Lại do tam giác đều nên vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)

Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:

Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:

Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."

 Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."

Gọi H là trung điểm của tam giác AB.

M, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABD.

Khi đó ta có:

Theo định lí Ta - lét ta có:

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".

Nếu song song với và đường thẳng thì và hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Với 4 điểm không đồng phẳng có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là .

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC

Ta có: là đường trung bình trong tam giác

=>

=>

Dễ thấy cắt tại trung điểm của .

Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Hình vẽ minh họa

sai vì

Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.

Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.

Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.

Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ

Đáp án: "Nếu và ; thì " và "Nếu và thì " sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

Đáp án: "Nếu và , thì " sai vì hai mặt phẳng  có thể cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Giả sử . Nối với cắt tại Suy ra
Ta có: . Suy ra .

Giả sử cắt các mặt của tứ diện và theo hai giao tuyến và .

Ta có:

Theo định lí Ta – lét ta có:

=> là hình bình hành

Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình bình hành .

Hình vẽ minh họa

Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’

(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO

Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD

Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’

(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’

=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.

Vì điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có mặt.

Hình vẽ minh họa

Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Vì nên là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là .

Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”

Hình vẽ minh họa

Xét

Vì

Vì

Vì nên đều song song với điều này suy ra là hình bình hành.

Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Gọi .

Trong , kẻ .

Do đó là mặt phẳng .

Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của .

Do .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD

Ta có:

M là trọng tâm tam giác BCD =>

ABCD là hình bình hành =>

=>

Xét tam giác SAC có:

Theo định lí Ta - lét suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.

Ta có:

=>

=> Mx cắt SC tại N.

Ta có:

=>

=> Qx cắt SD tại P

Tứ giác BCDE là hình bình hành

=> CD // BE // MQ

=> CD // (α).

Ta có:

=>

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.

Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)

Điểm M chung

=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.

Vậy

Mặt khác ( vì )

Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c song song với a khi đó b và c chéo nhau hoặc cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Do

Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu .

Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu .

Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của AD.

Ta có:

Mà

Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng và .

Ta có: và .

Mà và .

Do đó

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.