Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi, AC \cap BD = O. Gọi (\alpha) là mặt phẳng qua O song song với các đường thẳng AB,SC. Xác định các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

    Hình vẽ minh hoạ

    Xét mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua O và song song với AB, cắt BC;AD lần lượt tại E,F.

    Trong mặt phẳng (SBC), kẻ đường thẳng song song với SC, cắt SB tại I.

    Trong mặt phẳng (SAB), kẻ đường thẳng song song với AB, cắt SA tại K.

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang EFKI với IK//EF.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm AB,\ \ J là điểm thuộc cạnh AD sao cho JD = \frac{1}{3}JA, gọi E = IJ \cap BD. Tìm giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD). Giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) cắt đoạn BD tại mấy điểm.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm AB,\ \ J là điểm thuộc cạnh AD sao cho JD = \frac{1}{3}JA, gọi E = IJ \cap BD. Tìm giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD). Giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) cắt đoạn BD tại mấy điểm.

    Đáp án: 0

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (ABD), có E = IJ \cap BD.

    Suy ra E không thuộc đoạn BD.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} E \in IJ;IJ \subset (CIJ) \\ E \in BD;BD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow E \in (CIJ) \cap (BCD)

    \Rightarrow CE = (CIJ) \cap (BCD)

    Mà C,E không thuộc đoạn BD nên giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) không cắt đoạnBD.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Tứ giác MNPQ là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SC, mặt phẳng (\beta) đi qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Khi đó các giao tuyến của mặt phẳng (\beta) với các mặt của S.ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\beta) với (SCD) là MQ//CD.

    Giao tuyến của (\beta) với (ABCD) là PN//CD.

    Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng (\beta) với các mặt của S.ABCD là hình thang MNPQ.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Giả sử M thuộc đoạn BC. Một mặt (\alpha) qua M song song với AB và CD. Thiết diện của (\alpha) và hình tứ diện ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm thiết diện

    (\alpha) //AB => Giao tuyến của (\alpha) với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

    (\alpha) //CD => Giao tuyến của (\alpha) với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

    (\alpha) //AB => Giao tuyến của (\alpha) với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

    => Thiết diện của hình chóp cắt bởi (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Ta lại có: MN // PQ // CD, MQ // PN // AB.

    Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I,J lần lượt là trung điểm SA, SC. Đường thẳng IJ song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

    Hình vẽ minh họa

    Do IJ là đường trung bình của tam giác SAC \Rightarrow IJ//AC.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi G_{1};G_{2} lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và ACD. Khi đó độ dài đoạn thẳng G_{1}G_{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là trung điểm của CD.

    Trong tam giác IAB ta có:

    \frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3} (theo tính chất trọng tâm tam giác)

    \Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là giao điểm của AC và BM

    Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

    => Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

    Đáp án \left\{ \begin{matrix} a//b \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha) sai: Trường hợp a \subset (\alpha).

    Đáp án \left\{ \begin{matrix} a//b \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha) sai: Trường hợp a \subset (\alpha).

    Đáp án \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b sai: Trường hợp a,b chéo nhau.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (AB'D').

     Hình vẽ minh họa

    Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước

    Mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng (BDC’).

    Vì AB’//DC’ và AD’// BC’.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình chóp A.BCD có H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD tam giác. Chọn mệnh đề đúng.

    Gọi I là trung điểm AB.

    Xét tam giác MCD có:

    \frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3} (do H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC)

    \ = > HK//CD

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm bốn điểm đồng phẳng

    Ta có: RT là đường trung bình của tam giác SAD nên.

    MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ{m{//}}AD.

    => RT{m{//}}MQ

    => M, Q, R, T đồng phẳng.

  • Câu 14: Nhận biết

    Hình chiếu của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' qua phép chiếu song song phương AA' lên mặt phẳng chiếu (ABCD) là:

    Phép chiếu song song phương AA' lên mặt phẳng (ABCD) sẽ biến A' thành A, biến B' thành B, biến C' thành C, biến D' thành D.

    Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'là hình vuông.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD. Lấy R \in BC sao cho BR = 2RC. Biết S = AD \cap (PQR), chọn khẳng định đúng dưới đây.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M = RQ \cap BD

    Xét mặt phẳng (ABD) gọi S = PM \cap AD

    => S = AD \cap (PQR)

    Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABD với cát tuyến PSM ta được:

    \frac{PA}{PB}.\frac{MB}{MD}.\frac{SD}{SA} = 1

    \Leftrightarrow 1.\frac{MB}{MD}.\frac{SD}{SA} = 1 (*)

    Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD với cát tuyến RQM ta được:

    \frac{RC}{RB}.\frac{MB}{MD}.\frac{QD}{QA} = 1

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{MB}{MD}.1 = 1

    \Leftrightarrow \frac{MB}{MD} = 2(**)

    Từ (*) và (**) suy ra SA = 2SD

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q) và (R). Xét các mệnh đề sau

    1) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    2) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    3) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song (R) với thì (P) song song với (Q).

    4) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt (R) với thì (P) song song với (Q).

    Số mệnh đề đúng là:

    Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với (Q) thì (P) song song với (Q)

    Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

    Mệnh đề 4 là mệnh đề sai

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?

    Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.

  • Câu 18: Nhận biết

    Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến của chúng sẽ có bao nhiêu vị trí tương đối?

    Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy M \in SA sao cho 3SM = 2SA. Giả sử mặt phẳng (\gamma) là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với AB,AC. Các giao tuyến của (\gamma) với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (\gamma) \\ (\gamma)//(ABCD) \\ \end{matrix} ight.. Gọi N,P,Q lần lượt là các giao điểm của (\gamma) với SB,SC,SD thì \left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ NP//BC \\ NP//BC \\ \end{matrix} ight..

    Do đó MNPQ là hình vuông và \frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}

    Vậy diện tích tứ giác là S = \frac{400}{9}cm^{2}.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a//b. Khẳng định nào sau đây sai?

     Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.

    Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Mặt phẳng (P) qua AB cắt hình hộp theo là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Luyện tập đường thẳng song song với mặt phẳng

    Giả sử (P) qua AB cắt \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} ight) theo giao tuyến MN, khi đó thiết diện là tứ giác ABNM.

    Vì AB//{A_1}{B_1}{C_1}{D_1} nên MN // AB.

    Mặt khác MN = {A_1}{B_1} = AB nên ABNM là hình bình hành.

    Lập luận tương tự cho trường hợp (P) qua AB cắt \left( {DC{C_1}{D_1}} ight) theo giao tuyến MN.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?

     Hình vẽ minh họa

    Tìm mặt phẳng song song với (IJK)

    Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

    => \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2 (tính chất trọng tâm tam giác)

    => IJ//MN(1)

    Xét mặt phẳng (AA'EM) ta có: \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2

    => IK//ME

    Mà ME //BB'

    => IK//BB'(2)

    Từ (1) và (2) => (IJK) và (BB'C)là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Xét hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) ta có:

    S là điểm chung

    Mà \left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ AB \subset (SAB) \\ CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d = (SAB) \cap (SCD) với d là đường thẳng đi qua S và song song với AB,CD.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương CD lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Do AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương CD\ \ (CD//AB) lên mặt phẳng (SBC) là điểm B.

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' , tâm của các mặt bên (ABB'A');(BCC'B');(ACC'A') lần lượt là M,N,P. Hình chiếu của điểm P qua phép chiếu song song phương BC', mặt phẳng chiếu (AB'C) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi Q là ảnh của P qua phép chiếu song song phương BC' lên mặt phẳng (AB'C).

    Ta có PQ//BC' và PQ \subset (ABC').

    Mà AN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC') và (AB'C) nên Q \in AN.

    Lại có P là trung điểm của AC' nên PQ là đường trung bình của tam giác ANC'

    => P là trung điểm của AN.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy nhỏ CD. Lấy các điểm I \in AD;J \in BC sao cho IA = ID;JB = JC, G là trọng tâm tam giác SAB. Để giao tuyến của mặt phẳng (IJG) với các mặt của hình chóp S.ABCD là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh \frac{AB}{CD} bằng:

    Hình biểu diễn

    Ta có: (IJG) \cap (SAB) = EF với E \in SA,F \in SB và đi qua G, song song với AB//IJ.

    => Giao tuyến của mặt phẳng (IJG) với các mặt của hình chóp S.ABCD là hình thang EFJI. Tính EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)

    Để hình thang EFJI là hình bình hành thì

    \Leftrightarrow EF = IJ

    \Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)

    \Leftrightarrow AB = 3CD

    \Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3

  • Câu 28: Thông hiểu

    Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?

    (1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.

    (2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.

    (3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.

    Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song

    Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c

    Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
    các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là

    Hình vẽ minh họa

     Đường thẳng và mặt phẳng song song

    Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
    mặt phẳng (IJK) là ngũ giác

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,SC,BCvà E = (MNP) \cap SA. Tính tỉ số độ dài SE và SA

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua P và song song với BD, cắt AC, CD lần lượt tại I,Q

    => (MNP) \equiv (MNQP)

    => I là trung điểm của OC

    Trong mặt phẳng (SBD), gọi MN \cap SO = K

    => K là trung điểm của SO.

    Trong mặt phẳng (SAC), gọi IK \cap SA = E.

    => E là giao điểm của SA và (MNP).

    Xét tam giác SAC có IE//SC vì IK là đường trung bình của tam giác SOC.

    Theo định lí Ta-lét \Rightarrow\frac{AE}{SA} = \frac{AI}{AC} = \frac{3}{4} (vì I là trung điểm của OC và O là trung điểm AC)

    \Rightarrow \frac{SE}{SA} =\frac{1}{4}

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số \frac{FA}{FD}

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số \frac{FA}{FD}

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    + Cho AD \subset (ACD)

    Trong mặt phẳng (BCD) hai đường thẳng IK,\ \ CD không song song nên gọi E là giao điểm của hai đường thẳng IK và CD. Khi đó E \in (ACD).

    + Ta thấy (ACD) \cap (IJK) = EJ

    + Trong (ACD):\ \ EJ \cap AD = F. Khi đó (IJK) \cap AD = F.

    Xét tam giác BCD, áp dụng định lí Menelaus có:

    \frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2

    Xét tam giác ACD, áp dụng định lí Menelaus có:

    \frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}

    Vậy \frac{FA}{FD} = 2.

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông AA'D'D. Xác định các giao tuyến của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' tạo với mặt phẳng (CMN). Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.

    Hình vẽ minh họa

    Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

    Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.

    Tứ giác CQPM là hình thang có

    CM = \frac{a\sqrt{5}}{2};OM =\frac{a\sqrt{13}}{6};PQ = \frac{a\sqrt{10}}{3};CQ =\frac{a\sqrt{13}}{3}

    \Rightarrow MF = PQ =\frac{a\sqrt{10}}{3};CF = PM = \frac{a\sqrt{13}}{6}

    Ta có: S_{CMPQ} = 3S_{CMF}

    S_{CMF} = \sqrt{p(p - CM)(p - CF)(p -MF)} với p = \frac{CM + MF +FC}{2}

    Thay giá trị các cạnh ta có S_{CMF} =\sqrt{\frac{7}{72}}a^{2} \Rightarrow S_{CMPQ} =\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấyM \in BC;MC = MB. Giả sử (\gamma) là mặt phẳng đi qua M song song với hai đường thẳng BD và SC. Xác định giao tuyến của (\gamma) với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình

    Hình vẽ minh họa

    Gọi trung điểm CD,SD,SB lần lượt là N,P,R.

    Gọi I = AC \cap MN

    Từ I kẻ QI song song với SC.

    Ta có: MR//QI//NP//SC

    \Rightarrow (MNPQR)//SC (1)

    Ta có MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD (2)

    Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của (\gamma) với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác MNPQR.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Hình biểu diễn của một hình thoi là hình nào sau đây?

    Hình biểu diễn của một hình thoi là hình bình hành.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

     Xác định giao tuyến

    Xét (SAD) và (SBC) có:

    S là điểm chung

    AD // BC

    => Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} HK//BC \\ HK ⊄ (SBC) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow HK//(SBC)

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Lấy I là trung điểm của AC, J \in AD sao cho \frac{AJ}{AD} = 2. Giả sử mặt phẳng (\alpha) chứa IJ và song song với AB. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh hoạ

    Trong mp(ABD) kẻ JN // AB, (N ∈ BD).

    Trong mp(ABC) kẻ IM // AB, (M ∈ BC).

    Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó AD = \frac{1}{2}CD = BD

    => Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

    \Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}

    Ta lại có: \frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}

    \Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}

    Mặt khác

    JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}

    IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}

    Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

    AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}

    PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM

    Diện tích tam giác PIM

    S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}

    Với p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a

    \Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}

    \Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên các cạnh CD;CB;SA lần lượt lấy các điểm M,N,K làm trung điểm. Biết rằng SO \cap (MNK) = E. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: E = SO \cap KH

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in KH \subset (KMN) \\ E \in SO \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow SO \cap (MNK) = E

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 26 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập