Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của .

Ta có: (do là đường trung bình của tam giác )

Vậy

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Ta có: => Giao tuyến của và cũng song song với .

Xét mặt phẳng kẻ

=> Hình là hình thang .

Ta có: là đường trung bình của tam giác

=>

Ta có: nên tam giác vuông tại

Lại có:

Vì

Chứng minh tương tự ta tính được

=> Chu vi hình là:

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra là hình bình hành.

Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu biến điểm thành .

Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau

Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

theo tỉ số đồng dạng bằng

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của , lấy sao cho

Ta có:

Mặt khác

Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của AC và BM

Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

Mệnh đề đúng .

Khẳng định sai là:

Hình vẽ minh họa

Vì là trung điểm của và nên

Suy ra cùng thuộc một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng gọi là giao điểm của và .

Ta có:

Vậy giao của với là giao của với .

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

Xét tam giác ta có:

mà

Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Giao tuyến cần tìm là DI.

Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.

Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Giả sử . Nối với cắt tại Suy ra
Ta có: . Suy ra .

Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

, đi qua và .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và song song với đường thẳng .

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi không nằm trong , đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong .

Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC

=>

2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung

=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.

Vậy

Ta có

Mặt khác

Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta lại có: suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.

 Ta có:

Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.

=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Do và là trung điểm của và , nên mà , suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.

Do và là trung điểm của và , nên mà , suy ra IJ / /(CEB) đúng.

Vậy IJ / / ADsai

Hình vẽ minh họa

Ta có: là đường trung bình của tam giác nên.

là đường trung bình của tam giác nên .

=>

=> đồng phẳng.

Xét phương án “Nếu và thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu thì hoặc , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu và  thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo hoặc cắt , vậy phương án sai.

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

Ta có:

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện

Tam giác ABD đều cạnh bằng có là trung điểm của

Tam giác ABC đều cạnh bằng có là trung điểm của

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD

Ta có:

M là trọng tâm tam giác BCD =>

ABCD là hình bình hành =>

=>

Xét tam giác SAC có:

Theo định lí Ta - lét suy ra

Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)

=> BC // (ADF); BE // (ADF)

Mà BC ∩∩ BE = B

=. (ADF) // (BEC).

O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD

Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF

MO’ // (ADF) (1)

Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD

MO // (ADF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)

Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).

Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:

AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’

Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.

Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác