Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Ta có:  suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Ta có:

Mặt khác

Từ và

Đáp án sai: Trường hợp .

Đáp án sai: Trường hợp .

Đáp án sai: Trường hợp chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mặt khác

Từ (*) và (**) ta suy ra

Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và

Tương tự ta cũng có

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay

Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

theo tỉ số đồng dạng bằng

Khẳng định sai là:

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có phép chiếu song song phương , biến thành , biến thành .

Do là trung điểm của suy ra là trung điểm của vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

Vậy khẳng định đúng là:

Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.

Có 2 hình chóp tứ giác

Do nên

=>    sai.

 Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm .

Vậy khẳng định sai là “”

Ta có song song với theo tính chất hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.

Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.

Khi đó ME // NF // CD và

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là trung điểm của các cạnh

lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Và là hình bình hành

=>

Vậy không song song với .

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có:

=>

Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng thì hình chiếu là điểm .

Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm .

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua và song song với , cắt , lần lượt tại

=>

=> là trung điểm của

Trong mặt phẳng , gọi

=> là trung điểm của .

Trong mặt phẳng , gọi .

=> là giao điểm của và .

Xét tam giác có vì là đường trung bình của tam giác .

Theo định lí Ta-lét (vì là trung điểm của và là trung điểm )

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.

=> Giao tuyến của với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.

Vậy thiết diện là tam giác MNP.

Hình vẽ minh họa

Xét (SAD) và (SBC) có:

S là điểm chung

=> Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Hình vẽ minh họa

Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’

(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO

Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD

Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’

(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’

=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.

Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."

Hình vẽ minh họa:

Xét và (BCD), ta có điểm N chung, CD //

=> ∩ (BCD) = NF // CD, với F ∈ BD.

Xét và (ACD), ta có điểm M chung, CD //

=> ∩ (ACD) = ME // CD, với E ∈ AC.

Từ đó ta được MF = ∩ (ABD) và EN = ∩ (ABC)

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và các mặt của tứ diện là tứ giác ENFM

Ta lại có ME // CD // NF nên ENFM là hình thang.

Từ giả thiết ta có:

Mà

Vậy hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của AC và BM

Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Ta có:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.

=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa

Xét

Vì

Vì

Vì nên đều song song với điều này suy ra là hình bình hành.

Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.

Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Vậy ba điểm thẳng hàng.