Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

=> Giao tuyến của với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

=> Giao tuyến của với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi là tứ giác MNPQ.

Ta lại có:

Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Mệnh đề đúng .

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có:

=>

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Hình vẽ minh họa

Trong gọi , mà

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình chóp có 7 mặt trong đó có 6 mặt bên và 1 mặt đáy.

Hình vẽ minh hoạ

Xét mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua và song song với , cắt lần lượt tại .

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang với .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp tạo thành là tam giác .

Trường hợp 1:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu . Gọi

Nếu

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác

Nếu . Gọi

Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác

Trường hợp 2:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tam giác .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.

Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của lần lượt là .

Dễ thấy

Xét mặt phẳng , gọi

Xét tam giác và tam giác ta có:

(đối đỉnh)

(so le trong)

Vậy hay

Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.

Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

theo tỉ số đồng dạng bằng

Có vô số mặt phẳng chứa và song song với (đó là tất cả các mặt phẳng chứa nhưng không chứa ).

Hình vẽ minh họa

Gọi

Xét mặt phẳng gọi

=>

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(*)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác , gọi

Khi đó .

Vậy giao điểm của đường thẳng với là giao điểm của và .

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Vì lần lượt là trung điểm của do đó

Mà hay .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

là đáp án sai.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua và song song với , cắt , lần lượt tại

=>

=> là trung điểm của

Trong mặt phẳng , gọi

=> là trung điểm của .

Trong mặt phẳng , gọi .

=> là giao điểm của và .

Xét tam giác có vì là đường trung bình của tam giác .

Theo định lí Ta-lét (vì là trung điểm của và là trung điểm )

Phương án "Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO." đúng vì O là giao điểm của AC và BD nên O là điểm chung của (SAC) và (SBD). Hơn nữa, S là điểm chung của (SAC) và (SBD).

Phương án "Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là điểm S." sai vì giao tuyến của hai mặt phẳng không thể là điểm

Phương án "Giao tuyến của (SBC) và (SCD) là SK, với K là giao điểm của SD và B" sai vì SD và BC không cắt nhau

Phương án "Giao tuyến của (SOC) và (SAD) là SM, với M là giao điểm của AC và S." sai vì AC và SD không cắt nhau

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

Mặt khác

=> là mệnh đề sai.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

Xét tam giác ta có:

mà

Hình vẽ minh họa

Ta có và  

=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

Hình vẽ minh họa

Xét (SMN) và (SPQ) có:

S là điểm chung

Mà

=> với d là đường thẳng đi qua S và song song với

Đáp án sai: Trường hợp .

Đáp án sai: Trường hợp .

Đáp án sai: Trường hợp chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: (vì lần lượt là các đường trung bình của .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì đáp án đúng là: " Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung."

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ

Trong mp(ABC) kẻ

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

Ta lại có:

Mặt khác

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác PIM

Với

Do ba điểm không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.