Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.

Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.

Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.

Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của AC và BM

Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song

Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c

Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: (vì lần lượt là các đường trung bình của .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.

Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp .

Vậy đáp án là hình lục giác.

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Có 4 cách là: .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau."

Ta có:

Theo giả thiết m, n là hai đường thẳng phân biệt.

Nếu m song song với n thì m’ // n’.

Nếu m’, n’ cắt nhau thì m, n cắt nhau hoặc chéo nhau.

Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác và

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy đồng quy.

Lại có:

Từ đó suy ra và .

 Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay

Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu . Ta có:

biến thành B

biến thành

biến thành

biến thành

Do đó hình hộp biến thành hình bình hành .

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau” hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không thể chéo nhau do đó đáp án đúng.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể cắt nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

Ta có song song với theo tính chất hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng và

Ta lại có: nên là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là

Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm lần lượt là .

Gọi

Từ kẻ song song với .

Ta có:

(1)

Ta có:

(2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác .

"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" đúng.

Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau => "Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau." sai.

Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau => "Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song" sai.

Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau => "Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau" sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

Tương tự

Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác .

Hình vẽ minh họa

Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng biến: M thành P, N thành .

Do đó

Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng biến: thành , R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

Vậy

Vậy khẳng định sai là:

 Khẳng định đúng: "Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song."

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

nên giao tuyến của với cũng song song với .

Xét mặt phẳng kẻ

Xét mặt phẳng kẻ

Hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện là hình thang .

Ta có:

Vậy hình thang có đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng gọi .

Mà nên

Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng qua và song song với

=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến song song với .

Mặt khác, song song với nên cắt và theo các giao tuyến và với

=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Mặt khác

=> Tứ giác là hình bình hành.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

Ta có:

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện

Tam giác ABD đều cạnh bằng có là trung điểm của

Tam giác ABC đều cạnh bằng có là trung điểm của

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA

Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

=>

Khi đó:

Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)

=> 

Chứng minh tương tự ta có: GH // BD

=> 

Tương tự

=> và

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.

Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.

Khi đó ME // NF // CD và

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

, d đi qua S và .

Hình vẽ minh họa

Ta có: là điểm chung của mặt phẳng và (*)

Ta có:

=> là điểm chung của mặt phẳng và (**)

Từ (*) và (**) suy ra

Ta có:

Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với ".

Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.