Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.
Cho hình chóp
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
mà
cắt
nên khẳng định
sai.
cắt
tại
nên khẳng định
sai.
cắt
tại trung điểm của
nên khẳng định
sai.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là giao điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC
=>
2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung
=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.
Vậy
Ta có
Mặt khác
Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC
Ta có: là đường trung bình trong tam giác
=>
=>
Dễ thấy cắt
tại trung điểm
của
.
Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
là trung điểm của
,
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
Trường hợp 1:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Gọi
Nếu
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Nếu . Gọi
Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Trường hợp 2:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp là tam giác
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Cho hình bình hành
. Qua
,
,
,
lần lượt vẽ các nửa đường thẳng
,
,
,
ở cùng phía so với mặt phẳng
, song song với nhau và không nằm trong
. Một mặt phẳng
cắt
,
,
,
tương ứng tại
,
,
,
sao cho
,
,
. Tính
.
Đáp án: 2
Cho hình bình hành . Qua
,
,
,
lần lượt vẽ các nửa đường thẳng
,
,
,
ở cùng phía so với mặt phẳng
, song song với nhau và không nằm trong
. Một mặt phẳng
cắt
,
,
,
tương ứng tại
,
,
,
sao cho
,
,
. Tính
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Do cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
; cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
, mà hai mặt phẳng
và
song song nên
.
Tương tự có nên
là hình bình hành.
Gọi ,
lần lượt là tâm
và
.
Dễ dàng có là đường trung bình của hai hình thang
và
nên
.
Từ đó ta có .
Cho hình chóp
có đáy là tứ giác
. Giả sử
là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của
với các mặt của hình chóp
không thể tạo thành hình nào dưới đây?
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt
Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp
.
Vậy đáp án là hình lục giác.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?
Hình vẽ minh họa
Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: và BD.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề “Nếu và
thì
“ sai vì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
,
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đáp án sai.
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng
tùy ý thể là:
Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.
=> Không thể là lục giác.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có khẳng định sai là: “Nếu và
thì
."
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
;
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của đường thẳng
và
là
Hình vẽ minh họa
Trong gọi
, mà
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang với đáy nhỏ
. Lấy các điểm
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Để giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp
là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh
bằng:
Hình biểu diễn
Ta có: với
và đi qua
, song song với
.
=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp
là hình thang
. Tính
Để hình thang là hình bình hành thì
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Cho tứ diện
. Điểm
thuộc đoạn
(
khác
,
khác
). Giả sử mặt phẳng
đi qua M và song song với
và
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ .
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ .
Từ đó suy ra
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của (MNP) và tứ diện ABCD là tam giác MNP.
Cho tứ diện
. Trung điểm các cạnh
lần lượt là các điểm
. Giả sử
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> là đường thẳng song song với
và
.
=> song song với
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa:
Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.
Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.
Cho hai đường thẳng
và
chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử CM và DN đồng phẳng.
Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)
=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.
Vậy CM và DN chéo nhau.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình thang với
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
;
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Tìm
để
.
Đáp án: 2
Cho hình chóp có đáy là hình thang với
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
;
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Tìm
để
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm cạnh AD
Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.
Dễ thấy .
Do đó:
.
Mặt khác, tam giác đồng dạng với tam giác
nên
Suy ra .
.
Từ và
.
Vậy
.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Mặt phẳng nào sau đây song song với
?
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang có đáy nhỏ là
, lấy điểm
, sao cho
. Gọi
. Tính tỉ số giữa hai cạnh
và
.
Hình vẽ minh họa
Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà
Do đó
Cho hình hộp
. Ảnh của
qua phép chiếu song song với phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Do
Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu
.
Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)
Điểm M chung
=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.
Vậy
Mặt khác ( vì
)
Vậy thiết diện là hình thang CNMD.
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
. Gọi mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giả sử
. Tỉ lệ độ dài của
và
là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi trung điểm của lần lượt là
.
Dễ thấy
Xét mặt phẳng , gọi
Xét tam giác và tam giác
ta có:
(đối đỉnh)
(so le trong)
Vậy hay
Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?
Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.
Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm. Biết rằng
. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: