Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu

Cho hình chóp $S\ ABCDEF$ có đáy $ABCDEF$ là lục giác đều tâm $O$ . Có bao nhiêu mặt phẳng qua các điểm là đỉnh của hình chóp có chung giao tuyến là $SO$
Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho hình chóp $S\ ABCDEF$ có đáy $ABCDEF$ là lục giác đều tâm $O$ . Có bao nhiêu mặt phẳng qua các điểm là đỉnh của hình chóp có chung giao tuyến là $SO$
Đáp án: 3

Hình vẽ minh họa
$(SAD),(SCF),(SBE)$ có chung giao tuyến $SO$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 3: Thông hiểu
Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight)$ có $\left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2};$ $\left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}$ . Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ :
- A. Đôi một cắt nhau.
- B. Đôi một song song.
- C. Đồng quy.
- D. Đôi một song song hoặc đồng quy.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Câu 4: Nhận biết
Để kết luận đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ ta cần giả thiết nào dưới đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.$
Ta có tính chất:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$
Câu 5: Thông hiểu

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $AC_{1}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight)$ . Mà $I \in AC_{1} \subset (P)$ nên $I \in B_{1}D_{1}$

Hình thang $BB_{1}D_{1}D$ có $OI$ là đường trung bình nên $OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2$
Câu 6: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Lấy $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ , $M \in SB$ sao cho $MS = MB$ . Xác định tỉ số $\frac{AJ}{DJ}$ với $J = AD \cap (GOM)$ .
- A.
  $\frac{AJ}{DJ} = 1$
- B.
  $\frac{AJ}{DJ} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{AJ}{DJ} = 2$
- D.
  $\frac{AJ}{DJ} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $H$ là trung điểm $SD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ MS = MD \\ \end{matrix} ight.$ => $OM$ là đường trung bình tam giác $SDB$

$\Rightarrow OM//SD$ (tính chất đường trung bình).

Do đó qua $G$ kẻ đường thẳng song song $SD$ cắt $AD$ tại $J$

=> $J = AD \cap (GOM)$ .

Mà theo giả thiết $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$

$\frac{AG}{GH} = \frac{AJ}{GJ} = 2$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ , $AD//BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ là:
- A.
  $SP$ ( $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ )
- B.
  $SO$ ( $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ )
- C.
  $SJ$ ( $J$ là giao điểm của $AM$ và $BD$ )
- D.
  $SI$ ( $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ )
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ . Khi đó: $SI = (MSB) \cap (SAC)$ .
Câu 8: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
- A.
  $(CB'D')$
- B.
  $(A'BC)$
- C.
  $(AD'C)$
- D.
  $(BA'C')$
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$
Câu 9: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
- A.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì đáp án đúng là: " Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung."
Câu 10: Thông hiểu
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
- A.
  Có
- B.
  Không
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Câu 11: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,J,K$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $AB,BC,CD$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng
- A.
  $KD$
- B.
  $JK$
- C.
  $IK$
- D.
  $IJ$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} J \in (IJK) \\ J \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> J là điểm chung của hai mặt phẳng $(IJK)$ và $(BCD)$ .

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (IJK) \\ K \in CD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> K là điểm chung của hai mặt phẳng $(IJK)$ và $(BCD)$ .

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng $JK$ .
Câu 12: Vận dụng
Cho 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai?
- A.
  Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng.
- B.
  Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng.
- C.
  Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4.
- D.
  Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6.
Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)
Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là: $C_4^3 = 4$
Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là: $C_4^2 = 6$
Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."
Câu 13: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
- A. Có thể song song hoặc cắt nhau.
- B. Cắt nhau.
- C. Song song với nhau.
- D. Chéo nhau.
Ta có:
Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.
=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.
Câu 14: Thông hiểu
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  Hình tứ diện có 4 cạnh.
- B.
  Hình tứ diện có 4 mặt.
- C.
  Hình tứ diện có 6 đỉnh.
- D.
  Hình tứ diện có 6 mặt.
Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.
Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."
Câu 15: Nhận biết
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.
Câu 16: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:
- A.
  $\frac{2a}{3}$
- B.
  $\frac{a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{4}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$
Câu 17: Nhận biết
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
- A.
  Hình vuông.
- B.
  Hình bình hành.
- C.
  Hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
- D.
  Hình thoi.
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Câu 18: Nhận biết
Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,SB,SD$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $MN//(SAD)$ .
- B.
  $MN//SA$ .
- C.
  $MN//PQ$ .
- D.
  $MN//(SAB)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $MN$ là đường trung bình tam giác $BDC \Rightarrow MN//BD$ (1)

Ta có $PQ$ là đường trung bình của tam giác $SBD \Rightarrow PQ//BD(2)$ .

$\Rightarrow MN//PQ$ .
Câu 19: Vận dụng cao

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Đáp án là:

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(A'B'C'D')$ , $O' = A'C' \cap B'D'$ .

Trong mặt phẳng $(B'D'DB)$ , $Q = B'D \cap MO'$ .

$ML$ là đường trung bình của tam giác $B'BD$ nên $ML\ //\ BD\ //\ B'D'$ $(1)$ .

$O'L$ là đường trung bình của tam giác $B'D'D$ nên $LO'\ //\ D'D\ //\ B'B$ $(2)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra tứ giác $MLO'B'$ là hình bình hành nên $Q$ là trung điểm $B'L \Rightarrow QO'//LD'$ $(3)$ .

Ta có $EF\ //\ A'C'$ nên để $(EFK)//(MA'C')$ thì $\Rightarrow QO'//LK$ $(4)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra $K \equiv D' \Rightarrow \frac{DK}{DD'} = 1 \Rightarrow x = 1$ .

Vậy $P = \frac{2025x}{1005} = \frac{2025}{1005} \approx 2,01$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.MNPQ$ có đáy $MNPQ$ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SMQ)$ và $(SNP)$ :
- A.
  đường thẳng d đi qua S và song song với MQ.
- B.
  đường thẳng d đi qua S và song song với MN.
- C.
  đường thẳng d đi qua M và song song với PQ.
- D.
  đường thẳng d đi qua P và song song với MN.
Hình vẽ minh họa

Gọi $(SMQ) \cap (SNP) = d$

Khi đó $d$ đi qua $S$ .

Xét ba mặt phẳng $(SMQ),(SNP);(MNPQ)$ .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d;MQ;NP$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d;MQ;NP$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $MQ//NP \Rightarrow d//MQ$
Câu 21: Nhận biết
Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?
- A.
  4
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  1
Có 3 mặt phẳng gồm $(a,b),(A,a),(B,b).$
Câu 22: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.\ ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$ , $OM$ cắt $AD$ tại $K$ . Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$ . Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) $MD//AC$ . Đúng||Sai

b) Đường $ON$ và $SA$ cắt nhau. Sai||Đúng

c) $GK//ON$ . Đúng||Sai

d) Tỉ số $\frac{GM}{GN} = 3$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.\ ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$ , $OM$ cắt $AD$ tại $K$ . Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$ . Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) $MD//AC$ . Đúng||Sai

b) Đường $ON$ và $SA$ cắt nhau. Sai||Đúng

c) $GK//ON$ . Đúng||Sai

d) Tỉ số $\frac{GM}{GN} = 3$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Xét tứ giác $AMDC$ có $\left\{ \begin{matrix} AM//DC \\ AM = DC( = AB) \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra tứ giác $AMDC$ là hình bình hành

Nên $MD//AC$ . Vậy khẳng định a đúng

b) Vì $O$ là trung điểm $AC$ , $N$ là trung điểm $SC$ nên $ON\ //\ SA$ (tính chất đường trung bình).

Vậy khẳng định b sai.

c) $\left\{ \begin{matrix} ON\ //\ SA \\ ON \subset (OMN) \\ SA \subset (SAD) \\ (OMN) \cap (SAD) = GK \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GK//ON//SA$

Vậy khẳng định c đúng.

d) Áp dụng định lí Talet cho $GK\ //\ ON$ , ta có:

$\frac{GM}{GN} = \frac{KM}{KO}$ (1)

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ , vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên theo tính chất đường trung

bình, $OI\ //\ AD$ , vậy theo định lí Talet:

$\frac{KM}{KO} = \frac{AM}{AI} = \frac{AB}{AI} = 2$ . (2)

Từ (1) và (2), ta có $\frac{GM}{GN} = 2$ .

Vậy khẳng định d sai.
Câu 23: Nhận biết
Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào sai?
- A.
  Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng
- D.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Phát biểu sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."
Câu 24: Nhận biết
Trong không gian cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song. Số giao điểm chung của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  Vô số.
- D.
  2.
Theo định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Đáp án cần tìm là: 0
Câu 25: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J, E, F$ lần lượt là trung điểm $SA, SB, SC, SD$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với $IJ$ ?
- A. EF
- B. DC
- C. AD
- D. AB
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$IJ$ là đường trung bình tam giác SAB nên $IJ{m{//}}AB$
$ABCD$ là hình bình hành nên $AB{m{//}}CD$
=> $IJ{m{//}}CD$
$EF$ là đường trung bình tam giác $SCD$
=> $EF{m{//}}CD$ => $IJ{m{//}}EF$
Vậy $AD$ không song song với $IJ$ .
Câu 26: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
- C.
  Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.
Câu 27: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy $M \in BC;MC = MB$ . Giả sử $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $BD$ và $SC$ . Xác định giao tuyến của $(\gamma)$ với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có: $MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có $MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của $(\gamma)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 28: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
- D.
  Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Câu 29: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,\ CB,\ SA$ , $H = AC \cap MN$ . Giao điểm của đường thẳng $SO$ với mặt phẳng $(MNK)$ là giao điểm của hai đường thẳng nào?
- A.
  $SO;MN$
- B.
  $SO;KN$
- C.
  $SO;HK$
- D.
  $SO;KM$
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng $(SAC)$ ta có:
$KH \cap SO \equiv E$
$\Rightarrow SO \cap (MNK) \equivE$
Câu 30: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi trung điểm của $AB,A'B'$ lần lượt là $I,I'$ . Qua phép chiếu song song phương $AI'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ biến điểm $I$ thành điểm nào?
- A.
  $A$
- B.
  $B'$
- C.
  $A'$
- D.
  $C'$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AI//B'I' \\ AI = B'I' \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $AIB'I'$ là hình bình hành.

Suy ra phép chiếu song song phương $AI'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ biến điểm $I$ thành $B'$ .
Câu 31: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,AB$ . Xác định các giao tuyến của $(MNO)$ với các mặt của $S.ABCD$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình thang
- C.
  Hình vuông
- D.
  Hình ngũ giác
Hình vẽ minh hoạ

Ta dựng thiết diến của mặt phẳng (OMN) và hình chóp SABCD như sau

Qua M kẻ PQ // NO với Q ∈ SC.

Kéo dài NO cắt CD tại P.

=> Hình tạo bởi các giao tuyến đó là tứ giác MNPQ.

Tứ giác MNPQ có MN // NP

=> Tứ giác MNPQ là hình thang.
Câu 32: Vận dụng
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Các tam giác $S_{1}AB;S_{2}BC;S_{3}CD;S_{4}DA$ là các tam giác cân bằng nhau. Gọi $G;G'$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $S_{1}AB$ và $S_{3}CD$ . Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (các điểm $S_{1};S_{2};S_{3};S_{4}$ trùng vào đỉnh $S$ ). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng $GG'$ .
- A.
  $GG' = \frac{2a}{3}$
- B.
  $GG' = \frac{a}{2}$
- C.
  $GG' = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $GG' = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

$\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{GG'}{MN} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow GG' = \frac{2}{3}MN = \frac{2a}{3}$
Câu 33: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 34: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$ .
- A.
  Đường thẳng $SC$
- B.
  Đường thẳng $SA$
- C.
  Đường thẳng $AB$
- D.
  Đường thẳng $SB$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $(SBC) \cap (SAC) = SC$
Câu 35: Nhận biết
Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A.
  Hai đường thẳng cắt nhau
- B.
  Ba điểm phân biệt
- C.
  Một điểm và một đường thẳng
- D.
  Bốn điểm không đồng phẳng
Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 36: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 37: Vận dụng cao

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm cạnh AD

Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.

Dễ thấy $SQ = (IGE) \cap (SBC)$ .

Do đó: $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow GE//SQ$ $\Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS}$ $\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác, tam giác $EIA$ đồng dạng với tam giác $EQC$ nên $\frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}$

Suy ra $EQ = x.EI$ .

$\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}$ .

Từ và $\Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow x = 2$ .
Câu 38: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.
- A.
  Thiết diện của (MAB) với hình chóp S.ABCD là tam giác MAB.
- B.
  Thiết diện của (MAB) với hình chóp, S.ABCD là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với A
- C.
  Thiết diện của (MAB) với hình chóp S.ABCD là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của MB và SD.
- D.
  Thiết diện của (MAB) với hình chóp S.ABCD là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của MA và S
Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.
Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Câu 39: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$ và $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $N$ là gia điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$ và $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $N$ là gia điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$ .

Đáp án: 3

Hình vẽ minh họa

Ta có $M$ là điểm trên cạnh $SB$ , $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{MB}{MS} = 2$ .

$IK//BD$ nên $IK//(SBD)$ suy ra $(SBD) \cap (SIK) = Sx,\ \ Sx//IK//BD$ .

Trong $(SBD),\ \ DM \cap Sx = N.$

$N$ chính là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ .

Trong $(SBD)$ , có $Sx//BD$ nên hai tam giác $\Delta SMN$ và $\Delta BMD$ đồng dạng.

Do đó $\frac{MD}{MN} = 2 \Rightarrow \frac{ND}{NM} = 3$ .
Câu 40: Vận dụng
Cho hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ . Các điểm $M,N$ tương ứng trên $AC',B'D'$ sao cho $MN$ song song với $BA'$ . Tính tỉ số $\frac{MA}{MC'}$ ?
- A.
  $\frac{MA}{MC'} = 2$
- B.
  $\frac{MA}{MC'} = 3$
- C.
  $\frac{MA}{MC'} = 4$
- D.
  $\frac{MA}{MC'} = 1$
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A'B'C'D')$ theo phương chiếu $BA'$ .

Ta có: $N$ là ảnh của $M$ hay $M$ chính là giao điểm của $B'D'$ và ảnh $AC'$ qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định $M,N$ như sau:

Trên $A'B'$ kéo dài lấy điểm $K$ sao cho $A'K = B'A'$ suy ra $K$ là ảnh của $A$ trên $AC'$ qua phép chiếu song song.

Gọi $N = B'D' \cap KC'$ . Đường thẳng qua $N$ và song song với $AK$ cắt $AC'$ tại $M$ . Ta có: $M,N$ là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales ta có:

$\frac{MA}{MC'} = \frac{NK}{NC'} = \frac{KB'}{C'D'} = 2$

46 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!