Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD//BC;AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm E,F lần lượt là trung điểm các cạnh SA,AD. Lấy điểm K thuộc SC sao cho SK = 2CK. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) EF//(SCD) Đúng||Sai

    b) (BEF)//(SCD) Đúng||Sai

    c) \frac{CO}{CA} = \frac{2}{3} Sai||Đúng

    d) SA//(KBD) Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD//BC;AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm E,F lần lượt là trung điểm các cạnh SA,AD. Lấy điểm K thuộc SC sao cho SK = 2CK. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) EF//(SCD) Đúng||Sai

    b) (BEF)//(SCD) Đúng||Sai

    c) \frac{CO}{CA} = \frac{2}{3} Sai||Đúng

    d) SA//(KBD) Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EF//SD \\ SD \subset (SCD) \\ EF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow EF//(SCD)

    Xét tứ giác BFDC có: \left\{ \begin{matrix} BC//DF \\ BC = DF = \frac{1}{2}AD \\ \end{matrix} ight. suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành

    => BF // DC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BF//CD \\ CD \subset (SCD) \\ BF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BF//(SCD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EF//(SCD) \\ BF//(SCD) \\ EF \cap BF \\ EF;BF \subset (BEF) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (BEF)//(SCD)

    Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có: \frac{OB}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{CO}{CA} = \frac{1}{3}

    Mặt khác SK = 2CK \Rightarrow \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3}

    Xét tam giác SAC có \frac{CO}{CA} = \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//SA

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} OK//SA \\ OK \subset (KBD) \\ SA ⊄ (KBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SA//(KBD)

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?

    Có 3 mặt phẳng gồm (a,b),(A,a),(B,b).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ACD. Xét các mệnh đề sau:

    \ (i):MN//(ABC)

    (ii):MN//(BCD)

    (iii):MN//(ACD)

    Các mệnh đề đúng là:

    Gọi E,F lần lượt là trung điểm CD,BD.

    Ta có \frac{AN}{AE} = \frac{AM}{AF} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//EF

    \Rightarrow MN//(BCD)nên mệnh đề (ii):MN//(BCD) đúng.

    Ta lại có:

    EF//BC \Rightarrow MN//BC

    \Rightarrow MN//(ABC)

    => Mệnh đề\ (i):MN//(ABC) đúng

    Mặt khác MN \cap (ACD) = \left\{ N ight\} nên mệnh đề (iii):MN//(ACD) sai.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 6: Nhận biết

    Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?

    Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.

    Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

    Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Lấy I là trung điểm của AC, J \in AD sao cho \frac{AJ}{AD} = 2. Giả sử mặt phẳng (\alpha) chứa IJ và song song với AB. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh hoạ

    Trong mp(ABD) kẻ JN // AB, (N ∈ BD).

    Trong mp(ABC) kẻ IM // AB, (M ∈ BC).

    Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó AD = \frac{1}{2}CD = BD

    => Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

    \Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}

    Ta lại có: \frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}

    \Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}

    Mặt khác

    JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}

    IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}

    Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

    AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}

    PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM

    Diện tích tam giác PIM

    S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}

    Với p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a

    \Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}

    \Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên các cạnh AB,CD lần lượt lấy các điểm M,N làm trung điểm. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SMN)?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AM//NC;(AB//CD) \\AM = NC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{DC}{2} \\\end{matrix} ight. suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

    Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

    Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

    Ta có: S \in (SAC) \cap (SMN)(*)

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} O \in (SAC);AC \subset (SAC) \\ O \in (SMN);MN \subset (SMN) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow O \in (SAC) \cap (SMN)(**)

    Từ (*) và (**) \Rightarrow (SAC) \cap (SMN) = SO

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì MG//CD nên MG // ( ACD ).

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA,SB lần lượt tại M,N. Khi đó:

    a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD). Đúng||Sai

    b) Ta có SN = \frac{2}{3}SB. Sai||Đúng

    c) Cho AB = a thì MN = \frac{a}{2}. Sai||Đúng

    d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA,SB lần lượt tại M,N. Khi đó:

    a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD). Đúng||Sai

    b) Ta có SN = \frac{2}{3}SB. Sai||Đúng

    c) Cho AB = a thì MN = \frac{a}{2}. Sai||Đúng

    d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau. Sai||Đúng

    - Xác định M,N :

    Trong mặt phẳng (SAC), kẻ CI cắt SA tại M;

    Trong mặt phẳng (SBD), kẻ DI cắt SB tại N.

    Vì \left\{ \begin{matrix} M \in CI,CI \subset (ICD) \\ M \in SA \\ \end{matrix} \Rightarrow M = SA \cap (ICD) ight..

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} N \in DI,DI \subset (ICD) \\ N \in SB \\ \end{matrix} \Rightarrow N = SB \cap (ICD) ight..

    -Tính MN theo a :

    Gọi E là trung điểm BN,OE là đường trung bình của tam giác BDN \Rightarrow OE//DN.

    Trong tam giác SOE, ta có NI qua trung điểm I của SO và NI//OE,N là trung điểm của SE.

    Hình vẽ minh họa

    -Vậy SN = NE = EB hay SN = \frac{1}{3}SB.

    Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được SM = \frac{1}{3}SA.

    Khi đó hai tam giác SMN,SAB đồng dạng vì có góc S chung và \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{1}{3}.

    Xét tam giác SAB, theo định lí Thalès, ta có:

    \frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{AB}{3} = \frac{a}{3}.

    - Chứng minh SK//BC//AD :

    Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in CN,CN \subset (SBC) \\ K \in DM,DM \subset (SAD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (SBC) \cap (SAD) ight..

    Vì vậy SK = (SBC) \cap (SAD).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} SK = (SBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (SBC),AD \subset (SAD) \Rightarrow SK//BC//AD. \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai
  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho ba mặt phẳng phân biệt \left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight) có \left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2}; \left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}. Khi đó ba đường thẳng {d_1},\;{d_2},\;{d_3}:

    Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    MNlà đường trung bình của tam giác SAC nên MN//AC mà AC \in (ABCD) \Rightarrow MN//(ABCD).

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M \in AD,N \in CC' sao cho 2AM = AD và 2CN = CC'. Mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng MN và song song với (ACB'). Xác định các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

    => Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. Đường thẳng MG song song với

    Hình vẽ minh họa

    Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:

    \frac{BG}{BE} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow MG//CE \subset (ACD)

    \Rightarrow MG//(ACD)

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC, P là điểm trên cạnhAB sao cho \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}. Gọi Qlà giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính \frac{SQ}{SC}( làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC, P là điểm trên cạnhAB sao cho \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}. Gọi Qlà giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính \frac{SQ}{SC}( làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Hình vẽ minh họa

    Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)

    Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa SC

    Trong (ABC) gọi H = AC \cap NP

    Suy ra (MNP) \cap (SAC) = HM. Khi đó Q là giao điểm của HM và SC.

    Gọi L là trung điểm AC

    Ta có \frac{HA}{HL} = \frac{AP}{LN} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB} = \frac{2}{3}(vì M,\ N là trung điểm của AC và BC nên LN = \frac{1}{2}AB)

    \Rightarrow HA = \frac{2}{3}HL

    Mà LC = AL = HL - HA = HL - \frac{2}{3}HL = \frac{1}{3}HL nên HL = \frac{3}{4}HC

    Mặt khác ta có\frac{HC}{HL} = \frac{QC}{ML} = \frac{4}{3} (vì ML//SC)

    Mà 2ML = SC nên\frac{QC}{SC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{SQ}{SC} = \frac{1}{3}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD//BC. Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là giao điểm của AC và BM. Khi đó: SI = (MSB) \cap (SAC).

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

    Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ.

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ

    Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}.

    Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME \Rightarrow N là trung điểm của đoạn thẳng ME.

    Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP\ //\ MQ và N là trung điểm EM) \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF

    Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP = MQ \Rightarrow Q là trung điểm MF hay \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    Lại có D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của AC;BD. Lấy một điểm S bất kì không thuộc (ABCD), một điểm M bất kì thuộc cạnh SC (M eqS,M eq C). Gọi K là giao điểm của SO và AM. Khi đó giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM) là:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.

    Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).

    Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).

    Trong mặt phẳng ( ABCD) có O = AC \capBD

    Trong mặt phẳng (SAC) có K = AM \capSO

    Suy ra BK = (SBD) \cap (ABM)

    Trong mặt phẳng (SBD) gọi N = SD \capBK và do BK \subset(ABM)

    N = SD \cap (ABM)

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Phát biểu nào sau đây là đúng

    Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.

    Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.

    Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.

    Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề
    nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

    Gọi M là trung điểm của AB.

    Ta có: \frac{{GM}}{{MD}} = \frac{{ME}}{{MC}} = \frac{1}{3}

    => GE // CD

     

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm khẳng định đúng.

    Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.

    Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.

    ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.

    => Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.

  • Câu 25: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn phát biểu đúng

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD

    Ta có: 2NC = SN \Rightarrow \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}

    M là trọng tâm tam giác BCD => \frac{{MC}}{{OC}} = \frac{2}{3}

    ABCD là hình bình hành => AO = OC

    => \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MC}}{{2OC}} = \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{3}

    Xét tam giác SAC có:

    \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}

    Theo định lí Ta - lét suy ra MN // SA

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) AD//(ABF). Sai||Đúng

    b) (AFD)//(BEC). Đúng||Sai

    c) (ABD)//(EFC). Sai||Đúng

    d) Sáu điểm A,B,C,D,E,F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) AD//(ABF). Sai||Đúng

    b) (AFD)//(BEC). Đúng||Sai

    c) (ABD)//(EFC). Sai||Đúng

    d) Sáu điểm A,B,C,D,E,F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: AD và (ABF) cắt nhau tại A.

    b) Đúng.

    Vì ABCD là hình bình hành nên AD \parallel BC, suy ra AD \parallel (BEC).

    Vì ABEF là hình bình hành nên AF \parallel BE, suy ra AF \parallel (BEC).

    Mà ADvà AFcắt nhau nên (AFD) \parallel (BEC).

    c) Sai: Vì (ABD) và (EFC) có điểm C chung.

    d) Đúng:

    Vì ABCD và ABEF là hình bình hành nên AB,\ CD,\ FE đôi một song song

    Mặt khác (AFD) \parallel (BEC) (theo câu b)

    Do đó 6 điểm A,B,C,D,E,F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

    Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}. Mặt phẳng \left( P ight) song song với \left( {ABC} ight) cắt đoạn SA tại M sao cho \frac{{SM}}{{SA}} = 2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \left( P ight) và hình chóp S.ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}. Mặt phẳng \left( P ight) song song với \left( {ABC} ight) cắt đoạn SA tại M sao cho \frac{{SM}}{{SA}} = 2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \left( P ight) và hình chóp S.ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 31: Vận dụng

    Hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh AC lấy điểm M và trên cạnh BF lấy điểm N sao cho \frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF} = k. Tìm k để MN // DE.

    Ta có: MN // DE => DM, NE cắt nhau tại điểm I và \frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{IN}}{{NE}}

    Lại có

    \frac{{IM}}{{DM}} = \frac{{AI}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{k}{{1 - k}}

    \frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BI}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{k}{{1 - k}}

    Mặt khác:

    \begin{matrix} \dfrac{{AI}}{{DC}} + \dfrac{{BI}}{{EF}} = \dfrac{{AI}}{{EF}} + \dfrac{{BI}}{{EF}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow 2.\dfrac{k}{{1 - k}} = 1 \Rightarrow k = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SCD;\ \ E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó:

    a) \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}. Đúng||Sai

    b) IJ//\ (ABCD). Đúng||Sai

    c) BC song song với mặt phẳng (SAD),(SEF). Đúng||Sai

    d) BC cắt mặt phẳng (AIJ). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SCD;\ \ E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó:

    a) \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}. Đúng||Sai

    b) IJ//\ (ABCD). Đúng||Sai

    c) BC song song với mặt phẳng (SAD),(SEF). Đúng||Sai

    d) BC cắt mặt phẳng (AIJ). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng.

    Do I,J lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SCD nên \frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}.

    b) Đúng.

    Do I,J lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SCD nên

    \frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF

    Mà \ EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD).

    c) Đúng.

    Vì BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD).

    Vì EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên

    BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF).

    d) Sai.

    Ta có: IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ mà IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, G là trọng tâm tam giác BCD, H là trọng tâm tam giác SCD. M,N lần lượt là trung điểm của SA;SB. I là giao điểm của đường thẳng AN và mặt phẳng (SCD). Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

    a) MN//CD Đúng||Sai

    b) Tứ giác CDSI là hình thang có đáy SI < CD Sai||Đúng

    c) ME // ( SBC ) Đúng||Sai

    d) HG//(SBD) Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, G là trọng tâm tam giác BCD, H là trọng tâm tam giác SCD. M,N lần lượt là trung điểm của SA;SB. I là giao điểm của đường thẳng AN và mặt phẳng (SCD). Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

    a) MN//CD Đúng||Sai

    b) Tứ giác CDSI là hình thang có đáy SI < CD Sai||Đúng

    c) ME // ( SBC ) Đúng||Sai

    d) HG//(SBD) Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng

    Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB \Rightarrow MN//AB mà AB//CD nên MN//CD

    b) Sai

    Ta có \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB//CD \\ AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d = (SAB) \cap (SCD) \\ S \in d \\ d//AB//CD \\ \end{matrix} ight.

    Gọi I = AN \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in AN \\ I \in d,d \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = AN \cap (SCD)

    Ta có SI//BA \Rightarrow \frac{SI}{AB} = \frac{SN}{NB} = 1

    \Rightarrow SI = AB \Rightarrow SI = CD

    Vậy SICD là hình bình hành

    c) Đúng

    Gọi F là giao điểm của AE và BC trong (ABCD), ta có

    AD//CF \Rightarrow \frac{AE}{EF} = \frac{ED}{CE} = 1

    \Rightarrow E là trung điểm AF

    Vậy ME là đường trung bình của tam giác SAF

    \Rightarrow EM//SF

    Ta có \left\{ \begin{matrix} ME//SF \\ ME ⊄ (SCD) \\ SF \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ME//(SCD)

    d) Đúng

    Gọi E là trung điểm CD ta có

    \frac{EH}{ES} = \frac{EG}{EB}\left( = \frac{1}{3} ight) \Rightarrow GH//SB

    Ta có \left\{ \begin{matrix} GH//SB \\ SB \subset (SBD) \\ GH ⊄ (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GH//(SBD)

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành ABCD tâm O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) là

    Ta có (SAC) \cap (SAD) = SA.

  • Câu 35: Nhận biết

    Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

    Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

    Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

    Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.

    Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy M là trung điểm của các đoạn thẳng SA, N là trung điểm của SB, P \in SC sao cho \frac{PS}{PC} = 2. Chọn khẳng định sai.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.

    Vậy các giao tuyến tạo bởi (MNP) và hình chóp S.ABC tạo thành là tam giác MNP.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SB; (M eq B;M eq S). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (MAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (MAD) \cap (SBC) = Mx//AD//BC

    Trong mặt phẳng (SBC) giả sử SC \cap Mx = N

    Do đó ADMN là giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.

    Vì \left\{ \begin{matrix} AD//MN \\ MN < AD \\ \end{matrix} ight. nên ADMN là hình thang.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a//b. Khẳng định nào sau đây sai?

     Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.

    Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SC, mặt phẳng (\beta) đi qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Khi đó các giao tuyến của mặt phẳng (\beta) với các mặt của S.ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\beta) với (SCD) là MQ//CD.

    Giao tuyến của (\beta) với (ABCD) là PN//CD.

    Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng (\beta) với các mặt của S.ABCD là hình thang MNPQ.

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho tứ diện đều ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có 3 đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

    Đáp án: 216

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có 3 đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

    Đáp án: 216

    Hình vẽ minh họa

    Không mất tính tổng quát, xét mặt bên \Delta ABC.

    Giả sử MN song song với BC. Khi đó, số tam giác có cạnh MN nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm \Delta PMN, \Delta QMN, \Delta IMN,\Delta JMN, \Delta KMN, \Delta LMN.

    Trong mặt bên \Delta ABC, nối các điểm chia đều các cạnh AB,BC,CA ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với AB, 3 đoạn thẳng song song với BC và 3 đoạn thẳng song song với CA.

    Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.

    Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là 6.(3 + 3 + 3).4 = 216.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập