Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.

Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.

Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.

=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).

Mệnh đề sai: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .”

Sửa lại mệnh đề: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại vô số đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .

Gọi lần lượt là trung điểm .

Ta có

nên mệnh đề đúng.

Ta lại có:

=> Mệnh đề đúng

Mặt khác nên mệnh đề sai.

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.

=> AC và A’C’ cắt nhau.

Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).

Hình vẽ minh họa

Ta có: và không đồng phẳng nên khẳng định và cắt nhau là sai.

Hai mặt phẳng và có hai điểm chung là và nên có giao tuyến là đường thẳng .

Hình vẽ minh họa:

M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)

Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).

Vậy P là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP

Phương án "Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO." đúng vì O là giao điểm của AC và BD nên O là điểm chung của (SAC) và (SBD). Hơn nữa, S là điểm chung của (SAC) và (SBD).

Phương án "Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là điểm S." sai vì giao tuyến của hai mặt phẳng không thể là điểm

Phương án "Giao tuyến của (SBC) và (SCD) là SK, với K là giao điểm của SD và B" sai vì SD và BC không cắt nhau

Phương án "Giao tuyến của (SOC) và (SAD) là SM, với M là giao điểm của AC và S." sai vì AC và SD không cắt nhau

Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của qua phép chiếu song song phương trên mặt phẳng .

Ta có:

=> là đường trung bình của các tam giác

=>

=> là hình bình hành

=> là hình bình hành.

Để là hình vuông thì suy ra hình chóp có mặt bên vuông cân tại .

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)

Điểm M chung

=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.

Vậy

Mặt khác ( vì )

Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

Hình vẽ minh họa:

Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.

Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.

Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

Hình vẽ minh họa

Do

Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu .

Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu .

Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’

(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO

Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD

Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’

(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’

=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.

Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Đáp án đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC

Đáp án đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD

Đáp án đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC

Đáp án sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.

Hình vẽ minh họa

Vì là hình bình hành, ta có

Vì là hình bình hành, ta có

Mặt khác:

Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là: .

Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm .

Ta có: => là đường trung bình tam giác

(tính chất đường trung bình).

Do đó qua kẻ đường thẳng song song cắt tại

=> .

Mà theo giả thiết là trọng tâm tam giác

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Trong mặt phẳng giả sử

Do đó là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.

Vì nên là hình thang.

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.

Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.

Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Xét có lần lượt là trung điểm

=> là đường trung bình của

=> mà

Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên tứ giác là hình bình hành.

Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Mặt khác thuộc mặt phẳng nên hình chiếu của qua phép chiếu song song lên mặt phẳng lần lượt là điểm và .

Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng thì hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng .

Hình vẽ minh họa

Ta có (1)

Gọi .

Khi đó:

Từ (1) và (2) suy ra

Trong mặt phẳng . Gọi .

Khi đó:

Dễ thấy

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác và

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy đồng quy.

Lại có:

Từ đó suy ra và .