Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ , $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ . Xác định các giao điểm của mặt phẳng $(MEF)$ với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{\sqrt{3}}{9}$
D.
$\frac{\sqrt{3}}{12}$

Hình vẽ minh họa

Gọi $I = MF \cap AD,H = ME \cap AC$

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra $\frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh tương tự ta có: $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$ . Do đó ta có:

$\frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}$

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

$MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}$

$\Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}$

$\Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH$

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: $S_{MHI} = \frac{1}{6}$

Câu 2: Thông hiểu

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Lấy $M$ là trung điểm của $AC$ . Xác định hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(AA'B')$ theo phương chiếu $CB$ là:

A.
Trung điểm của $BC$
B.
Trung điểm của $AB$
C.
Điểm $A$
D.
Điểm $B$

Hình vẽ minh họa

Luyện tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ . Ta có: $MN//CB$

Vậy hình chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA'B'} ight)$ theo phương chiếu $CB$ là điểm $N$ .

Câu 3: Thông hiểu

Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:

A.
Là đường tròn đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
B.
Là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
C.
Là đường tròn nhưng không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
D.
Là đường elip nhưng không đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.

Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.

Câu 4: Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?

A.
Tam giác
B.
Hình bình hành
C.
Hình thang
D.
Hình thoi

Hình vẽ minh họa

Tìm thiết diện

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)

$CD// AB; CD ⊂ (MCD); AB ⊂ (SAB)$

Điểm M chung

=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.

Vậy $MN // CD$

Mặt khác $MN ≠ CD$ ( vì $MN= 1/2AB ; AB = CD$ )

Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

Câu 5: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?

A.
OA
B.
OM
C.
OC
D.
CD

Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Xét tam giác SAB có:

M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

=> MN là đường trung bình của tam giác SAB

$MN // AB$

Mà $AB // CD$ (ABCD là hình bình hành)

=> $MN // CD$

Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD

Hay $(MNC) \cap (ABD) =CD$

Câu 6: Nhận biết

Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
B.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
C.
Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
D.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .

Câu 7: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Giả sử M thuộc đoạn BC. Một mặt $(\alpha)$ qua M song song với AB và CD. Thiết diện của $(\alpha)$ và hình tứ diện ABCD là hình gì?

A.
Hình thang có đúng một cặp cạnh song song
B.
Hình bình hành
C.
Hình tam giác
D.
Hình ngũ giác

Hình vẽ minh họa

Tìm thiết diện

$(\alpha) //AB$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

$(\alpha) //CD$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

$(\alpha) //AB$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$ là tứ giác MNPQ.

Ta lại có: $MN // PQ // CD, MQ // PN // AB.$

Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Câu 8: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang (AB // CD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, các điểm $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ . Biết các giao tuyến của hình chóp và mặt phẳng $(IGJ)$ tạo thành một hình bình hành. Khi đó tìm mối liên hệ độ dài của $AB$ và $CD$ .

A.
$\frac{AB}{CD} = 3$
B.
$\frac{AB}{CD} = \frac{1}{3}$
C.
$\frac{AB}{CD} = 1$
D.
$\frac{AB}{CD} = 2$

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết bài toán ta suy ra được: $\left\{ \begin{matrix}IJ//AB//CD \\JI = \dfrac{AB + CD}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét hai mặt phẳng (IGJ), (SAB) có G là điểm chung nên giao tuyến của chúng là đường thẳng EF qua G, $EF//AB//CD//IJ\ ;(E \in SA,\ F \in SB)$

Nối các đoạn thẳng EI, FJ ta được hình tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng (IGJ) và các mặt hình chóp là tứ giác EFJI, tứ giác này là hình thang vì EF // IJ.

Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lý Tha-lét ta có: $EF = \frac{2}{3}AB$

Nên để EFJI là hình bình hành ta cần

$EF = IJ \Rightarrow \frac{AB + CD}{2} = \frac{2AB}{3}$

$\Leftrightarrow AB = 3CD$

Câu 9: Nhận biết

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.
Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B.
Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C.
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
D.
Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Câu 10: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?

A.
$AB$
B.
$BD$
C.
$AC$
D.
$SD$

Hình vẽ minh họa

Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ta có:

$S$ là điểm chung

Mà $\left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ AB \subset (SAB) \\ CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d = (SAB) \cap (SCD)$ với $d$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB,CD$ .

Câu 11: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(BCD)$ đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?

A.
$MN$ và $BD$ .
B.
$MN$ và $BC$ .
C.
$MN$ và $CD$ .
D.
$MN$ và $AD$ .

Hình vẽ minh họa

luyện tập điểm đường thẳng mặt phẳng trong không gian

Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Giao tuyến cần tìm là DI.

Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.

Câu 12: Nhận biết

Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(Q)$ .
B.
Mọi đường thẳng đi qua điểm $A \in (P)$ và song song với $(Q)$ đều nằm trong $(P)$ .
C.
Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ .
D.
Nếu đường thẳng $a \subset (Q)$ thì $a//(P)$ .

Đáp án “Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ ” sai vì nếu $(P)//(Q)$ và đường thẳng $a \subset (P);\ b \subset (Q)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau.

Câu 13: Vận dụng cao

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{a^{2}}{3}$
B.
$\frac{2a^{2}}{3}$
C.
$\frac{a^{2}}{2}$
D.
$\frac{3a^{2}}{4}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 14: Nhận biết

Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?

A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Lục giác.
D. Ngũ giác.

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Câu 15: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{CN}{CA} = 3$
C.
$\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
D.
$\frac{CN}{CA} = 1$

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$

Câu 16: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là

A.
Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD.
B.
Đường thẳng đi qua S và song song AC.
C.
Đường thẳng đi qua S và song song BD.
D.
Đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.

Hình vẽ minh họa

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.

Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.

Câu 17: Nhận biết

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
$MN//BC$ .
B.
$ON//SC$ .
C.
$ON//SB$ .
D.
$OM//SC$ .

Đáp án $MN//BC$ đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC

Đáp án $ON//SB$ đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD

Đáp án $OM//SC$ đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC

Đáp án $ON//SC$ sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.

Câu 18: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?

A.
$SA$
B.
$SN$
C.
$SM$
D.
$SO$

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Câu 19: Nhận biết

Trong mặt phẳng $(\alpha)$ , cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ cắt $CD$ tại $E$ , $AC$ cắt $BD$ tại $F$ , $S$ là điểm không thuộc $(\alpha)$ . Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là

A.
$SF$ .
B.
$SD$ .
C.
$AC$ .
D.
$SE$ .

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có hai điểm chung là $S$ và $E$ nên có giao tuyến là đường thẳng $SE$ .

Câu 20: Nhận biết

Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?

A.
Tam giác đều
B.
Tam giác cân
C.
Tam giác vuông
D.
Tam giác

Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

Câu 21: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
D. Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất.

Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."

Câu 22: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ .

A.
hình bình hành
B.
hình thoi
C.
hình chữ nhật
D.
hình vuông

Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ . Ta có:

$A,B$ biến thành B

$A',B'$ biến thành $B'$

$C,D$ biến thành $D$

$C',D'$ biến thành $D'$

Do đó hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biến thành hình bình hành $BDD'B'$ .

Câu 23: Thông hiểu

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $(\alpha)$ qua $O$ , song song với $SA,CD$ . Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình chóp là hình gì?

A.
Hình thang.
B.
Hình thang cân.
C.
Hình tam giác.
D.
Ngũ giác.

Hình vẽ minh họa

Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

Gọi I là giao điểm của a với SD.

Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.

Câu 24: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là

A.
đường thẳng đi qua M và song song với AB.
B.
đường thẳng đi qua N và song song với BD.
C.
đường thẳng đi qua G và song song với CD.
D.
đường thẳng đi qua G và song song với BC.

Hình vẽ minh họa

Gọi $d = (GMN) \cap (BCD)$

Khi đó $d$ đi qua $G$ . Xét ba mặt phẳng $(GMN),(BCD),(ACD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,CD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,CD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $MN//CD\ = > \ d//CD$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

Câu 25: Nhận biết

Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A.
Hai đường thẳng cắt nhau
B.
Ba điểm phân biệt
C.
Một điểm và một đường thẳng
D.
Bốn điểm không đồng phẳng

Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 26: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Hình vẽ minh họa

Gọi $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SD,SC,BC$ .

Gọi $E = AD \cap BC,I = MN \cap PQ$ ta có $S,I,E$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ .

Thiết diện là hình thang $MNPQ$ (vì $NP \parallel AB \parallel MQ$ ).

Ta có $S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - S_{\Delta INP}$ , mà $\frac{NP}{DC} = \frac{1}{2},\frac{DC}{MQ} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{NP}{MQ} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta INP} = \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ} = \frac{8}{9}S_{\Delta IMQ}$ .

Ta có $M$ là trung điểm $AD$ , $D$ là trung điểm của $AE$ nên $\frac{MI}{SA} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta IMQ} = \frac{9}{16}S_{\Delta SAB}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = \frac{8}{9}.\frac{9}{16}S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2}S_{\Delta SAB}$ .

Câu 27: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

+ Cho $AD \subset (ACD)$

Trong mặt phẳng $(BCD)$ hai đường thẳng $IK,\ \ CD$ không song song nên gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $IK$ và $CD$ . Khi đó $E \in (ACD)$ .

+ Ta thấy $(ACD) \cap (IJK) = EJ$

+ Trong $(ACD):\ \ EJ \cap AD = F$ . Khi đó $(IJK) \cap AD = F$ .

Xét tam giác $BCD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2$

Xét tam giác $ACD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{FA}{FD} = 2$ .

Câu 28: Thông hiểu

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB//CD)$ . Gọi $M;N;Q$ lần lượt là trung điểm của $BC;AD;SB$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là:

A.
Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ .
B.
Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SB$ .
C.
Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SC$ .
D.
Đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $AB$ .

Hình vẽ minh họa

Ta có: $Q \in SB;SB \subset (SAB)$

$Q \in (MNQ)$ nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$

Mặt khác $MN//AB$

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là đường thẳng qua Q và song song với AB.

Câu 29: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $E;F;G$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB;SC$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A.
$(EFG) \cap (ACD) =\varnothing$
B.
$EG//AC$
C.
$EF//CD$
D.
$SD \cap (EFG) = \varnothing$

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $(EFG)//(ACD) \Rightarrow (EFG)\cap (ACD) = \varnothing$

Ta có: $EG$ là đường trung bình trong tam giác SAC

$EG//AC$

Ta có: $EF$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$

=> $EF//AB$

=> $EF//CD$

Dễ thấy $SD$ cắt $(EFG)$ tại trung điểm $H$ của $SD$ .

Do đó mệnh đề $SD \cap (EFG) =\varnothing$ là mệnh đề sai.

Câu 30: Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?

A.
$(CB'D')$
B.
$(A'BC)$
C.
$(AD'C)$
D.
$(BA'C')$

Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$

Câu 31: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.

A.
$(MNP) \cap (SAB) = MN$
B.
Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
C.
Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
D.
$MN//(ABC)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .

Câu 32: Vận dụng

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ . Biết $EF = 35\ cm$ và $A,B,C,D$ cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn $HE$ .

Đáp án: 105

Đáp án là:

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ . Biết $EF = 35\ cm$ và $A,B,C,D$ cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn $HE$ .

Đáp án: 105

Áp dụng định lý Thales trong không gian, do $A,B,C,D$ cách đều nhau nên $E,F,G,H$ cũng cách đều nhau.

Ta có $EF = FG = GH = 35\ cm$ nên $HE = 35.3 = 105\ cm$ .

Câu 33: Nhận biết

Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?

A.
Có
B.
Không

Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

Câu 34: Thông hiểu

Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight)$ có $\left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2};$ $\left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}$ . Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ :

A. Đôi một cắt nhau.
B. Đôi một song song.
C. Đồng quy.
D. Đôi một song song hoặc đồng quy.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Câu 35: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

A.
SO (với O là giao điểm của AC và BD).
B.
SJ (với J là giao điểm của AM và BD).
C.
SI (với I là giao điểm của AC và BM).
D.
SP (với P là giao điểm của AB và CD).

Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của AC và BM

Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)

=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.

Câu 36: Thông hiểu

Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S

b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S

c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S

d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S

Đáp án là:

Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S

b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S

c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S

d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S

Xét từng mệnh đề ta có

a) “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

b) “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.

c) “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).

d) “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).

Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên

Câu 37: Nhận biết

Hình nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình bình hành?

A.
B.
C.
D.

Hình biểu diễn của hình chóp đáy là hình bình hành là hình

Câu 38: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .

Câu 39: Vận dụng cao

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ$

Suy ra mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ .

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}$ .

Trong mặt phẳng $(ABB'A')$ , gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AB$ thì $BN$ là đường trung bình của tam giác $AME \Rightarrow N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$ .

Trong mặt phẳng $(MNPQ)$ , gọi $F$ là giao điểm của $EP$ và $MQ$ thì $NP$ là đường trung bình của tam giác $MEF$ (vì $NP\ //\ MQ$ và $N$ là trung điểm $EM$ ) $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF$