Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu .

Ta có: là ảnh của hay chính là giao điểm của và ảnh qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định như sau:

Trên kéo dài lấy điểm sao cho suy ra là ảnh của trên qua phép chiếu song song.

Gọi . Đường thẳng qua và song song với cắt tại . Ta có: là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales ta có:

Giả sử song song với . Một đường thẳng song song với có thể nằm trên .

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng và

Ta lại có: nên là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là

 Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.

=> Giao tuyến của với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.

Vậy thiết diện là tam giác MNP.

Gọi là trung điểm .

Xét tam giác có:

(do lần lượt là trọng tâm của tam giác và tam giác )

Hình vẽ minh họa

Gọi

Khi đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng qua M, song song với BC nên cắt (ABCD) và (SBC) theo giao tuyến a, qua M và song song BC.

Gọi E = a ∩ AB. Lúc đó qua E và song song SA nên cắt (SAB) theo giao tuyến b, qua E và song song SA.

Gọi F = b ∩ SB.

Tương tự, ∩ (SBC) = c, với c qua F và song song BC.

Gọi Q = c ∩ SC.

Hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt bên của hình chóp là hình thang MEFQ.

Vì ME = CD > QF nên hình thang MEFQ có đáy lớn là FQ.

Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)

Điểm M chung

=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.

Vậy

Mặt khác ( vì )

Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.

Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có: và không đồng phẳng nên khẳng định và cắt nhau là sai.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:

M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

=> MN là đường trung bình của tam giác SAB

=>

Ta lại có

=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.

Hình chóp ngũ giác có 10 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Ta có: . Gọi lần lượt là các giao điểm của với thì .

Do đó là hình vuông và

Vậy diện tích tứ giác là .

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra là hình bình hành.

Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu biến điểm thành .

Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi là giao điểm của và . Khi đó: .

Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.

Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)

Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.

Hình vẽ minh họa

Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).

Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).

Trong mặt phẳng ( ABCD) có

Trong mặt phẳng (SAC) có

Suy ra

Trong mặt phẳng (SBD) gọi và do

Hình vẽ minh họa

Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà (do là đường trung bình của tam giác ) nên .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .

Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng qua và song song với

=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến song song với .

Mặt khác, song song với nên cắt và theo các giao tuyến và với

=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Mặt khác

=> Tứ giác là hình bình hành.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Phương án : Hình chiếu của tam giác    vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .

Phương án : Hình chiếu của tam giác    vẫn là tam giác   .

Phương án : Khi phương chiếu    song song với    hoặc chứa trong mặt phẳng   . Thì hình chiếu của tam giác    là một đoạn thẳng trên mặt phẳng .

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ đi qua điểm và song song với .

Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của .

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên tứ giác là hình bình hành.

Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Mặt khác thuộc mặt phẳng nên hình chiếu của qua phép chiếu song song lên mặt phẳng lần lượt là điểm và .

Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng thì hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng .

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’ => d’ // d

Hình vẽ minh họa

Ta có:

, d đi qua S và .

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy => " chéo nhau" sai.

Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.

+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.

+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.