Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho ba mặt phẳng $(\alpha),(\beta),(\gamma)$ lần lượt giao nhau theo các giao tuyến phân biệt $m,n,d$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $m,n,d$ đôi một cắt nhau.
- B.
  $m,n,d$ đôi một cắt nhau và tạo thành một tam giác.
- C.
  $m,n,d$ đôi một song song.
- D.
  $m,n,d$ đôi một song song hoặc đồng quy.
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $m,n,d$ đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 2: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 3: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
- A.
  OA
- B.
  OM
- C.
  ON
- D.
  đường thẳng d qua O và d // AB
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
=> $MN // AB$
Ta lại có $\left( {MNO} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = O$
=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.
Câu 4: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang (AB // CD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, các điểm $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ . Biết các giao tuyến của hình chóp và mặt phẳng $(IGJ)$ tạo thành một hình bình hành. Khi đó tìm mối liên hệ độ dài của $AB$ và $CD$ .
- A.
  $\frac{AB}{CD} = 3$
- B.
  $\frac{AB}{CD} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{AB}{CD} = 1$
- D.
  $\frac{AB}{CD} = 2$
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết bài toán ta suy ra được: $\left\{ \begin{matrix}IJ//AB//CD \\JI = \dfrac{AB + CD}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét hai mặt phẳng (IGJ), (SAB) có G là điểm chung nên giao tuyến của chúng là đường thẳng EF qua G, $EF//AB//CD//IJ\ ;(E \in SA,\ F \in SB)$

Nối các đoạn thẳng EI, FJ ta được hình tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng (IGJ) và các mặt hình chóp là tứ giác EFJI, tứ giác này là hình thang vì EF // IJ.

Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lý Tha-lét ta có: $EF = \frac{2}{3}AB$

Nên để EFJI là hình bình hành ta cần

$EF = IJ \Rightarrow \frac{AB + CD}{2} = \frac{2AB}{3}$

$\Leftrightarrow AB = 3CD$
Câu 5: Nhận biết
Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
- A.
  5
- B.
  10
- C.
  15
- D.
  9
Hình chóp ngũ giác có 10 cạnh.
Câu 6: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó, giao điểm của $EG$ và $(ABC)$ là:
- A.
  Điểm $C$
- B.
  Giao điểm của $EG$ và $AF$
- C.
  Điểm $F$
- D.
  Giao điểm của $EG$ và $BD$
Hình vẽ minh họa

Kéo dài $EG$ cắt $AF$ tại $I$ .

Khi đó $I$ là giao điểm của $EG$ và $(ABC)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 8: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” sai vì chúng có thể cắt nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Vậy mệnh đề đúng: “Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.”
Câu 9: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I;J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$ , lấy điểm $E \in AD;E eq A;E eq D$ . Thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(IJE)$ với tứ diện $ABCD$ là:
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình thang cân
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình bình hành
Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

$\left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight.$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(IJE)$ là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi $F = d \cap AC$ ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(IJE)$ .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.
Câu 10: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  $HK//(SBC)$
- B.
  $HK//(SAB)$
- C.
  $HK//(SCD)$
- D.
  $HK//(ABCD)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} HK//BC \\ HK ⊄ (SBC) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow HK//(SBC)$
Câu 11: Nhận biết
Cho tứ diện $S.\ ABC$ . Trên $SA$ , $SC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ cắt $AC$ tại $E$ . Điểm $E$ không thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
- A.
  $(ABC)$ .
- B.
  $(SAC)$ .
- C.
  $(BMN)$ .
- D.
  $(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

Do $E \in AC \Rightarrow E \in (SAC)$ và $E \in (ABC)$ .

Do $E \in MN \Rightarrow E \in (BMN)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ .
- A.
  hình bình hành
- B.
  hình thoi
- C.
  hình chữ nhật
- D.
  hình vuông
Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ . Ta có:

$A,B$ biến thành B

$A',B'$ biến thành $B'$

$C,D$ biến thành $D$

$C',D'$ biến thành $D'$

Do đó hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biến thành hình bình hành $BDD'B'$ .
Câu 13: Nhận biết
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
- A.
  $12$
- B.
  $24$
- C.
  $16$
- D.
  $8$
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Câu 14: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SD,AB$ lần lượt là $M,N,P$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(MNO)//(SBC)$
- B.
  $(NPM)//(SBD)$
- C.
  $(OPM)//(SCD)$
- D.
  $(NOP)//(MNP) = NP$
Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng $(MON)$ và $(SBC)$ .

Ta có: $OM//SC$ và $ON//SB$ .

Mà $BS ∩ SC = C$ và $OM ∩ ON = O$ .

Do đó $(MON)//(SBC)$
Câu 15: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông $AA'D'D$ . Xác định các giao tuyến của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ tạo với mặt phẳng $(CMN)$ . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}$
- B.
  $\frac{3a^{2}\sqrt{14}}{2}$
- C.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{14}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.
Tứ giác $CQPM$ là hình thang có
$CM = \frac{a\sqrt{5}}{2};OM =\frac{a\sqrt{13}}{6};PQ = \frac{a\sqrt{10}}{3};CQ =\frac{a\sqrt{13}}{3}$
$\Rightarrow MF = PQ =\frac{a\sqrt{10}}{3};CF = PM = \frac{a\sqrt{13}}{6}$
Ta có: $S_{CMPQ} = 3S_{CMF}$
$S_{CMF} = \sqrt{p(p - CM)(p - CF)(p -MF)}$ với $p = \frac{CM + MF +FC}{2}$
Thay giá trị các cạnh ta có $S_{CMF} =\sqrt{\frac{7}{72}}a^{2} \Rightarrow S_{CMPQ} =\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}$
Câu 16: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ nên $BG _ { 1 }$ , $AG_{2}$ và $CD$ đồng qui tại $M$ (là trung điểm của $CD$ ) .

Vì $G_{1}G_{2}//AB$ nên $G_{1}G_{2}//(ABD)$ và $G_{1}G_{2}//(ABC)$ .

Lại có $\frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33$
Câu 17: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $J;K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SB,SC$ . Đường thẳng $JK$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
- A.
  $(SAC)$
- B.
  $(SKA)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)$
Câu 18: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
- D.
  Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,M$ là trung điểm $CD,I$ là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,BI$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $J$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $AM = (ACD) \cap (ABG)$ .
- B.
  $A,J,M$ thẳng hàng.
- C.
  $J$ là trung điểm của $AM$ .
- D.
  $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ .
Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ .

Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$

$\Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM$ nên $AM = (ACD) \cap (ABG)$ đúng.

$\Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng nên $A,J,M$ thẳng hàng đúng

Ta có $\left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight.$ nên $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ đúng.

Điểm $I$ di động trên $AG$ nên $J$ có thể không phải là trung điểm của $AM$

Nên $J$ là trung điểm của $AM$ sai.
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang đáy nhỏ $BC$ , $MC = MD;(M \in CD)$ , $I = AC \cap BM$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MSB);(SAC)$ .
- A.
  $SI,(I = AC \cap BM)$
- B.
  $SP,(P = AB \cap CD)$
- C.
  $SJ,(J = AM \cap BD)$
- D.
  $SO,(O = AC \cap BD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $(MSB);(SAC)$ (1)

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ có:

$I = AC \cap BM$

$= > I \in (MSB) \cap (SAC)$

=> $I$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(MSB);(SAC)$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow SI = (MSB) \cap (SAC)$
Câu 21: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Câu 22: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $M$ là trung điểm của $BC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với $BD$ và $SC$ . Giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp là hình:
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có:

$MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có:

$MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của $(\alpha)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 23: Thông hiểu
Cho ba mặt phẳng $(\alpha);(\beta);(\gamma)$ đôi một song song. Hai đường thẳng $m,n$ lần lượt cắt ba mặt phẳng tại $A,B,C$ và $A',B',C'$ , ( $B$ nằm giữa $A$ và $C$ , $B'$ nằm giữa $A'$ và $C'$ ). Biết rằng $AB = 5;BC = 4;A'C' = 8$ . Tính $A'B'.B'C'$ .
- A.
  $80$
- B.
  $40$
- C.
  $48$
- D.
  $60$
Ta có: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AB + BC}{A'B' + B'C'} = \frac{AC}{A'C}$

$\Rightarrow A'B' = 10;B'C' = 8$

$\Rightarrow A'B'.B'C' = 80$
Câu 24: Thông hiểu
Cho tứ diện $MNPQ$ . Gọi $I;J$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $MNP$ và $MNQ$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $IJ$ song song với $PQ$ .
- B.
  $IJ$ và $PQ$ chéo nhau.
- C.
  $IJ$ song song với $MN$ .
- D.
  $IJ$ cắt $MN$ .
Hình vẽ minh họa
Gọi $K;H$ lần lượt là trung điểm của $NP,NQ$
Vì $I;J$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $MNP$ , và $MNQ$ nên ta có:
$\frac{MI}{MK} = \frac{MJ}{MH} =\frac{2}{3}$
$= > \ IJ\ //\ HK$ . Mà $HK//PQ$ (do $KH$ là đường trung bình của tam giác $NPQ$ ).
$= > \ IJ//\ PQ$
Câu 25: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ , $AD//BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ là:
- A.
  $SP$ ( $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ )
- B.
  $SO$ ( $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ )
- C.
  $SJ$ ( $J$ là giao điểm của $AM$ và $BD$ )
- D.
  $SI$ ( $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ )
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ . Khi đó: $SI = (MSB) \cap (SAC)$ .
Câu 26: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng nào?
- A.
  $BC$ .
- B.
  $BD$ .
- C.
  $SO$ .
- D.
  $AC$ .
Hình vẽ minh họa:

Dễ dàng thấy được: $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ $\Rightarrow IJ // AC$ .
Câu 27: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy $M \in BC;MC = MB$ . Giả sử $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $BD$ và $SC$ . Xác định giao tuyến của $(\gamma)$ với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có: $MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có $MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của $(\gamma)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 28: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Điểm $A'$ nằm trên cạnh $SC$ $(A' eq S)$ .Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(ABA')$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 4 cạnh.

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Điểm $A'$ nằm trên cạnh $SC$ $(A' eq S)$ .Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(ABA')$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 4 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Xét $(ABA')$ và $(SCD)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A' \in SC,SC \subset (SCD) \\ A' \in (ABA') \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'$ là điểm chung thứ nhất.

Gọi $I = AB \cap CD$

Có $\left\{ \begin{matrix} I \in AB,AB \subset (ABA') \\ I \in CD,CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai.

$\Rightarrow (ABA') \cap (SCD) = IA'$

Gọi $M = IA' \cap SD$ . Ta có:

$(ABA') \cap (SCD) = A'M$

$(ABA')\cap (SAD)=AM$

$(ABA') \cap (ABCD) = AB$

$(ABA') \cap (SBC) = BA'$

Thiết diện là tứ giác $ABA'M$ .

Vậy thiết diện là đa giác có 4 cạnh.
Câu 29: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy các điểm $M \in SB,N \in SD$ sao cho $\frac{SM}{MB} = 2;\frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}$ . Hình chiếu của $M,N$ qua phép chiếu song song phương $SO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ lần lượt là $P,Q$ . Tỉ số độ dài $\frac{PO}{QO}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{PO}{QO} = 2$
- B.
  $\frac{PO}{QO} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{PO}{QO} = 3$
- D.
  $\frac{PO}{QO} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh hoạ

Do $P$ là hình chiếu song song của $M$ qua phép chiếu song song phương $SO$

$\Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{BP}{BO}$

Mà $\frac{SM}{MB} = 2 \Rightarrow SM = 2MB$

$\Rightarrow \frac{BP}{BO} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{OP}{OB} = \frac{2}{3}$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{OQ}{OD} = \frac{1}{3}$

Ta có: $BO = DO \Rightarrow \frac{OP}{OQ} = \frac{1}{2}$
Câu 30: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 31: Thông hiểu
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  AC và BD cắt nhau
- B.
  AC và BD không có điểm chung
- C.
  Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC
- D.
  AB và CD song song với nhau
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Câu 32: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC,N$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN = 2ND$ . Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(KLN)$ . Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$ .
- A.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{2}{3}$ .
- C.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{3}{2}$ .
- D.
  $\frac{PA}{PD} = 2$ .
Hình vẽ minh họa

Giả sử $LN \cap BD = I$ . Nối $K$ với $I$ cắt $AD$ tại $P$ Suy ra $(KLN) \cap AD = P$
Ta có: $KL//AC \Rightarrow PN//AC$ . Suy ra $\frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2$ .
Câu 33: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E;F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:
- A.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AC$
- B.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$
- C.
  Điểm $F$
- D.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

=> Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$ .
Câu 34: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ lần lượt là các điểm $P,Q,R$ . Giả sử $(ACD) \cap (PQR) = d$ . Hỏi đường thẳng $d$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?
- A.
  $AB$
- B.
  $AD$
- C.
  $QP$
- D.
  $DP$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $PQ//AC$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD);(PQR)$ sẽ đi qua điểm $R$ và song song với $AC$ .

Do đó giao tuyến $d$ sẽ đi qua trung điểm của $AD$ .
Câu 35: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 36: Vận dụng cao

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Đáp án là:

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(A'B'C'D')$ , $O' = A'C' \cap B'D'$ .

Trong mặt phẳng $(B'D'DB)$ , $Q = B'D \cap MO'$ .

$ML$ là đường trung bình của tam giác $B'BD$ nên $ML\ //\ BD\ //\ B'D'$ $(1)$ .

$O'L$ là đường trung bình của tam giác $B'D'D$ nên $LO'\ //\ D'D\ //\ B'B$ $(2)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra tứ giác $MLO'B'$ là hình bình hành nên $Q$ là trung điểm $B'L \Rightarrow QO'//LD'$ $(3)$ .

Ta có $EF\ //\ A'C'$ nên để $(EFK)//(MA'C')$ thì $\Rightarrow QO'//LK$ $(4)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra $K \equiv D' \Rightarrow \frac{DK}{DD'} = 1 \Rightarrow x = 1$ .

Vậy $P = \frac{2025x}{1005} = \frac{2025}{1005} \approx 2,01$ .
Câu 37: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.
- B.
  Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD.
- C.
  Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM.
- D.
  Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC).
Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 38: Vận dụng
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

$\Rightarrow \Delta KHI\ \sim\Delta BCD$ theo tỉ số đồng dạng bằng $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow S_{KHI}\ = \frac{4}{9}S_{BCD} = \frac{4}{9}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Câu 39: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC (xem hình vẽ bên). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
- A. SF (F là trung điểm CD)
- B. SO
- C. SD
- D. SG (G là trung điểm AB)
Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Ta có $O = AC ∩ BD$ là tâm của hình hình hành
=> $O = AC ∩ MN$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset \left( {SAC} ight) \Rightarrow O \in \left( {SAC} ight)} \\{O \in MN \subset \left( {SMN} ight) \Rightarrow O \in \left( {SMN} ight)}\end{array}} ight.$
=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Vậy $(SMN) ∩ (SAC) = SO$
Câu 40: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.
- B.
  Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.
- C.
  Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.
- D.
  Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."

26 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!