Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 2: Nhận biết
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
- A.
  Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
- B.
  Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm đó thẳng hàng.
- C.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 3: Vận dụng
Cho hình thang $ABCD$ và $AD//BC,AD = 3BC$ . Lấy điểm $S$ bất kì, $S otin (ABCD)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $(SAD)$ . Khi đó giao tuyến được tạo bởi mặt phẳng $(GMN)$ với các mặt của $S.ABCD$ là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình vuông
- C.
  Ngũ giác
- D.
  Hình bình hành
Hình vẽ minh họa

Gọi $(GMN) \cap (SAD) = d$

Xét ba mặt phẳng $(GMN);(SAD);(ABCD)$ .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,AD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,AD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song. Mà $AD//MN$ $\Rightarrow d//AD$

Giả sử: $d$ cắt $SA;SD$ lần lượt tại $E;F$ .

Khi đó thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(GMN)$ là hình thang $MNFE$ .

Ta có:

$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{AD + \frac{1}{3}AD}{2} = \frac{2}{3}AD$

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$

$=> MN = EF$

=> Hình thang $MNFE$ là hình bình hành.
Câu 4: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $AC$ , G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng $(GMN)$ và $(BCD)$ .
- A.
  d qua M và song song với AB.
- B.
  d qua N và song song với BD.
- C.
  d qua G và song song với CD.
- D.
  d qua G và song song với BC.
Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).
Câu 5: Nhận biết
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A.
  Ba điểm phân biệt
- B.
  Một điểm và một đường thẳng
- C.
  Hai đường thẳng cắt nhau
- D.
  Bốn điểm phân biệt
Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.

Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.
Câu 6: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BDA'$ và $B'D'C$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{GG'}{AC'}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD,A'B'C'D'$

Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên $A'O//O'C$

Từ đó ta có:

$\Delta AOG\sim\Delta ACG'$

$\Rightarrow \frac{AG}{AG'} = \frac{AO}{AC} = \frac{1}{2} \Rightarrow AG = GG'$ (*)

$\Delta C'A'G\sim\Delta C'O'G'$

$\Rightarrow \frac{C'O'}{C'A'} = \frac{C'G'}{C'G} = \frac{1}{2} \Rightarrow C'G' = GG'$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $GG' = \frac{1}{3}AC'$ hay $\frac{GG'}{AC'} = \frac{1}{3}$
Câu 7: Vận dụng
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.
- A.
  Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’.
- B.
  Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB.
- C.
  (ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau.
- D.
  Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’.
Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì
Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:
A chung
C chung
=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC
Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:
Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a, b, c$ , biết $a//b$ , a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:
- A. Trùng nhau hoặc chéo nhau.
- B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
- C. Chéo nhau hoặc song song.
- D. Song song hoặc trùng nhau.
Giả sử $b//c$
$=> c // a$ (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 9: Vận dụng cao

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm cạnh AD

Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.

Dễ thấy $SQ = (IGE) \cap (SBC)$ .

Do đó: $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow GE//SQ$ $\Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS}$ $\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác, tam giác $EIA$ đồng dạng với tam giác $EQC$ nên $\frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}$

Suy ra $EQ = x.EI$ .

$\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}$ .

Từ và $\Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow x = 2$ .
Câu 10: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang có cạnh đáy là $AB,CD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ , điểm $P \in SA;(P eq S;P eq A)$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB);(MNP)$ .
- A.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AB
- B.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AD
- C.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AC
- D.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với BC
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P = (SAB) \cap (MNP) \\ MN \subset (MNP) \\ AB \subset (SAB) \\ MN//AB \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAB) \cap (MNP) = PQ$ với $Px//AB//MN,Q \in SB$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB);(MNP)$ là đường thẳng qua P và song song với AB.
Câu 11: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $SC$ . Tìm khẳng định sai dưới đây.
- A.
  Đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau.
- B.
  Đường thẳng $BH$ và $AC$ cắt nhau.
- C.
  Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ .
- D.
  Đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ cắt nhau.
Hình vẽ minh họa
Ta có: $BH$ và $AC$ không đồng phẳng nên khẳng định $BH$ và $AC$ cắt nhau là sai.
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
- A. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
- B. Điểm F.
- C. Giao điểm của đường thẳng EG và AF.
- D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.
Hình vẽ minh họa
Ta có $EG ⊂ (ABF)$ và $AF = (ABF) ∩ (ACD)$
=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.
Câu 14: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm, lấy $P \in BC$ sao cho $\frac{CP}{PD} = 2$ và $Q \in AD$ sao cho bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $QA = QC$
- B.
  $\frac{QD}{AQ} = 2$
- C.
  $\frac{QA}{DQ} =2$
- D.
  $\frac{QA}{QD} = 3$
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng $(BCD)$ ta có: $\frac{CP}{PD} = 2$
=> $E = NP \cap BD$
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ do đó $MN//AC$
$\Rightarrow PQ//AC$
Mà $CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD$ hay $\frac{QA}{DQ} = 2$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm của các đường thẳng $AD,AB,CD$ lần lượt là $H,K,T$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $T$ .
- A.
  Trung điểm $AH$
- B.
  Trung điểm $BC$
- C.
  Giao điểm của $HT$ và $BC$
- D.
  Giao điểm của $HK$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ .

Ta có: $HT//AC$ (do $HT$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ )

$HT \subset (HKT)$

$AC \subset (ABC)$

$K \in (HKT) \cap (ABC)$

Vậy $(HKT) \cap (ABC) = KO//HT//AC$
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ . Trên đoạn $SC$ lấy một điểm $M$ không trùng với $S$ và $C$ .Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(ABM)$ . Khi đó $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $AN = (ABM) \cap (SBC)$ .
- B.
  $AN = (ABM) \cap (SCD)$ .
- C.
  $AN = (ABM) \cap (SAD)$ .
- D.
  $AN = (ABM) \cap (SAC)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $B \in (ABM) \cap (SBD)$ (1)

Gọi $O = AC \cap BD,K = AM \cap SO$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} K \in AM \subset (ABM) \\ K \in SO \subset (SBD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (ABM) \cap (SBD) ight.$

Từ (1) và (2) suy ra $(ABM) \cap (SBD) = BK$

Trong mặt phẳng $(SBD)$ . Gọi $N = BK \cap SD$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}N \in SD \\N \in BK \subset (ABM) \\\end{matrix} \Rightarrow N = (ABM) \cap SDight.$

Dễ thấy $AN = (ABM) \cap(SAD)$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M \in AD$ sao cho $\frac{AD}{AM} = 3$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Đường thẳng $GM$ song song với mặt phẳng:
- A.
  $(SCD)$
- B.
  $(SCB)$
- C.
  $(SBD)$
- D.
  $(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ , lấy $K \in SA$ sao cho $AS = 3AK$

Ta có: $\frac{AK}{AS} = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{3} \Rightarrow KM//SD$

Mặt khác $\frac{SK}{SA} = \frac{SG}{SM} = \frac{2}{3} \Rightarrow GK//AN$

$\Rightarrow GK//CD$

$\Rightarrow (GMK)//(SCD) \Rightarrow GM//(SCD)$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,CB,SA$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $MN$ . Giao điểm của $SO$ với $(MNK)$ là điểm $E$ . Hãy chọn cách xác định điểm $E$ đúng nhất trong bốn phương án sau.
- A.
  $E$ là giao điểm của $KN$ và $SO$
- B.
  $E$ là giao điểm của $KH$ và $SO$
- C.
  $E$ là giao điểm của $MN$ và $SO$
- D.
  $E$ là giao điểm của $KM$ và $SO$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $E = KH \cap SO$ .

Mà $HK \subset (MNK)$ nên $E = SO \cap (MNK)$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $AB$ , $BC \cap (MA'C') = \left\{ N ight\}$ . Tính tỉ số độ dài hai cạnh $MN$ và $A'C'$ .
- A.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{MN}{A'C'} = 1$
Hình vẽ minh họa

Ba mặt phẳng phân biệt $(ABCD), (ACC’A’), (MA’C’)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến $AC, A’C’$ và $MN$ .

Theo tính chất hình hộp ta có $AC // A’C’$ nên $MN // AC // A’C’$

Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

Vậy $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C'$ hay $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
- A.
  $(CB'D')$
- B.
  $(A'BC)$
- C.
  $(AD'C)$
- D.
  $(BA'C')$
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$
Câu 21: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tam giác A’B’C’.
- B.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD.
- C.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác SA’B’C’.
- D.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D.
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Câu 22: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 23: Nhận biết
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A. Ba điểm
- B. Một điểm và một đường thẳng
- C. Hai đường thẳng cắt nhau
- D. Bốn điểm
Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.
Câu 24: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $(MNP) \cap (SAB) = MN$
- B.
  Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
- C.
  Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
- D.
  $MN//(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .
Câu 25: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy nhỏ $CD$ . Lấy các điểm $I \in AD;J \in BC$ sao cho $IA = ID;JB = JC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Để giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh $\frac{AB}{CD}$ bằng:
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Hình biểu diễn
Ta có: $(IJG) \cap (SAB) = EF$ với $E \in SA,F \in SB$ và đi qua $G$ , song song với $AB//IJ$ .
=> Giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình thang $EFJI$ . Tính $EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)$
Để hình thang $EFJI$ là hình bình hành thì
$\Leftrightarrow EF = IJ$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)$
$\Leftrightarrow AB = 3CD$
$\Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3$
Câu 26: Nhận biết
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt $m$ và $n$ trong không gian?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa hai đường thẳng phân biệt $m$ và $n$ là:

$m$ cắt $n$

$m$ song song với $n$

$m$ chéo nhau với $n$
Câu 27: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
- A.
  Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD.
- B.
  Đường thẳng đi qua S và song song AC.
- C.
  Đường thẳng đi qua S và song song BD.
- D.
  Đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Câu 28: Thông hiểu
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $d ⊄ (\alpha)$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $d//(\alpha)$ thì trong $(\alpha)$ tồn tại đường thẳng $\Delta$ sao cho $\Delta//d$ .
- B.
  Nếu $d//(\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b//d$ .
- C.
  Nếu $d//c$ và $c \subset (\alpha)$ thì $d//(\alpha)$ .
- D.
  Nếu $d \cap (\alpha) = A$ và $d ⊄ (\alpha)$ thì $d$ và $d'$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có khẳng định sai là: “Nếu $d//(\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b//d$ ."
Câu 29: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,J,K$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $AB,BC,CD$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng
- A.
  $KD$
- B.
  $JK$
- C.
  $IK$
- D.
  $IJ$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} J \in (IJK) \\ J \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> J là điểm chung của hai mặt phẳng $(IJK)$ và $(BCD)$ .

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (IJK) \\ K \in CD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> K là điểm chung của hai mặt phẳng $(IJK)$ và $(BCD)$ .

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng $JK$ .
Câu 30: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Phép chiếu song song biến trung điểm của đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
- B.
  Phép chiếu song song biến trọng tâm tam giác thành trọng tâm tam giác hình chiếu.
- C.
  Phép chiếu song song biến tam của hình bình hành thành tâm của hình bình hành.
- D.
  Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu.
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.
Câu 31: Thông hiểu
Chọn câu đúng:
- A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
- B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
- D. Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" đúng.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau => "Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau." sai.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau => "Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song" sai.
Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau => "Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau" sai.
Câu 32: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M \in AB$ sao cho $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{BM}$ . Giả sử $(\alpha)$ qua M và song song với hai đường thẳng $SC,BD$ . Tìm khẳng định đúng.
- A.
  Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với hình chóp.
- B.
  Các giao tuyến của $(\alpha)$ với hình chóp tạo thành một tứ giác.
- C.
  Các giao tuyến của $(\alpha)$ với hình chóp tạo thành một tam giác.
- D.
  Các giao tuyến của $(\alpha)$ với hình chóp tạo thành là một ngũ giác.
Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua M và song song với BD cắt các cạnh CD, CB lần lượt tại E, F.

Xét mặt phẳng (SBC), kẻ FG // SC (G ∈ SB).

Xét mặt phẳng (SCD), kẻ EK // SC (K ∈ SD).

Gọi I là giao điểm của AC và EF, trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng qua I và song song với SC cắt SA tại điểm H.

Khi đó EFGHK là hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.
Câu 33: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

+ Cho $AD \subset (ACD)$

Trong mặt phẳng $(BCD)$ hai đường thẳng $IK,\ \ CD$ không song song nên gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $IK$ và $CD$ . Khi đó $E \in (ACD)$ .

+ Ta thấy $(ACD) \cap (IJK) = EJ$

+ Trong $(ACD):\ \ EJ \cap AD = F$ . Khi đó $(IJK) \cap AD = F$ .

Xét tam giác $BCD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2$

Xét tam giác $ACD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{FA}{FD} = 2$ .
Câu 34: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(ABCD)$ .
- B.
  $MN//(SAB)$ .
- C.
  $MN//(SCD)$ .
- D.
  $MN//(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN//AC$ mà $AC \in (ABCD) \Rightarrow MN//(ABCD)$ .
Câu 35: Nhận biết
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ . Nếu mặt phẳng $(\beta)$ chứa $a$ và cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ và $a$ là hai đường thẳng:
- A.
  Cắt nhau.
- B.
  Trùng nhau.
- C.
  Chéo nhau.
- D.
  Song song với nhau.
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ . Nếu mặt phẳng $(\beta)$ chứa $a$ và cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$ .
Câu 36: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A. Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
- B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
- C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
- D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Mệnh đề: "Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác." sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề: "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung." và "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng." sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Vậy mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng."
Câu 37: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 38: Nhận biết
Cho các đường thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
- B.
  Phép chiếu song song có thể biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
- C.
  Phép chiếu song song có thể biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng chéo nhau.
- D.
  Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau."
Câu 39: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $M \in BC$ sao cho $BM = 2MC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng $MG$ ?
- A.
  $(BCD)$
- B.
  $(ABD)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(ACD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AD$ .

Xét tam giác $BCN$ ta có:

$\frac{BG}{BN} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MG//NC \Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 40: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC,N$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN = 2ND$ . Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(KLN)$ . Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$ .
- A.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{2}{3}$ .
- C.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{3}{2}$ .
- D.
  $\frac{PA}{PD} = 2$ .
Hình vẽ minh họa

Giả sử $LN \cap BD = I$ . Nối $K$ với $I$ cắt $AD$ tại $P$ Suy ra $(KLN) \cap AD = P$
Ta có: $KL//AC \Rightarrow PN//AC$ . Suy ra $\frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2$ .

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!