Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trung điểm của các đường thẳng AD,AB,CD lần lượt là H,K,T. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng T.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của BC.

    Ta có: HT//AC (do HT là đường trung bình của tam giác ACD)

    HT \subset (HKT)

    AC \subset (ABC)

    K \in (HKT) \cap (ABC)

    Vậy (HKT) \cap (ABC) = KO//HT//AC

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?

    Hình vẽ minh họa:

    Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.

    Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}. Mặt phẳng \left( P ight) song song với \left( {ABC} ight) cắt đoạn SA tại M sao cho \frac{{SM}}{{SA}} = 2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \left( P ight) và hình chóp S.ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}. Mặt phẳng \left( P ight) song song với \left( {ABC} ight) cắt đoạn SA tại M sao cho \frac{{SM}}{{SA}} = 2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \left( P ight) và hình chóp S.ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Điểm Mlà trung điểm của BC, lấy N \in AB;P \in CD sao cho BN = 2AN,CP = 3DP. Biết S = MP \cap BD,Q = AN \cap AD, tính tỉ số độ dài của QD và QA.

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (BCD) qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt SM tại E.

    Theo định lí Talet ta có: \frac{DM}{CE} = \frac{DP}{CP} = \frac{1}{3} mà MB = MC

    \Rightarrow \frac{DE}{MB} = \frac{1}{3}

    Mặt khác ta có: \frac{DE}{MB} = \frac{SD}{SB} \Rightarrow \frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}

    Trong mặt phẳng (ABD) qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt SN tại F.

    Theo định lí Talet ta có: \frac{SD}{SB} = \frac{DF}{BN}. Theo chứng minh trên ta lại có \frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}

    \frac{DF}{BN} = \frac{1}{3}.

    Theo giả thiết BN = 2AN \Rightarrow \frac{DF}{2AN} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{DF}{AN} = \frac{2}{3}

    Mặt khác ta có: \frac{QD}{QA} = \frac{DF}{AN} \Rightarrow \frac{QD}{QA} = \frac{2}{3}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q) và (R). Xét các mệnh đề sau

    1) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    2) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    3) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song (R) với thì (P) song song với (Q).

    4) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt (R) với thì (P) song song với (Q).

    Số mệnh đề đúng là:

    Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với (Q) thì (P) song song với (Q)

    Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

    Mệnh đề 4 là mệnh đề sai

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

    Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

    Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải nằm trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu.

    Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.

    Do đó mệnh đề sai là: “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.”.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là

    Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có G;G' lần lượt là trọng tâm hai tam giác BCD và ACD. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm của CD

    Khi đó \frac{MG}{MB} = \frac{1}{3} = \frac{MG'}{MA} (vì G;G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BCD và ACD)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}\dfrac{GG'}{AB} = \dfrac{1}{3} \\GG'//AB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow GG' = \frac{1}{3}AB

    Vậy khẳng định sai là GG' = \frac{2}{3}AB.

    Mặt phẳng (ABG) và tứ diện theo một diện diện là tam giác

    Dễ thấy BG;AG';CD đồng quy tại điểm M.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)

    Trong (ABCD) có I = EF \cap CD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SI = (SEF) \cap (SCD)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)

    EF//AC do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

    \left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC

    c) Chọn (SBC) chứa FK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.

    (SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong mặt phẳng (\alpha), cho tứ giác ABCDcó ABcắt CDtại E, ACcắt BD tại F, S là điểm không thuộc (\alpha). Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là

    Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai điểm chung là S và E nên có giao tuyến là đường thẳng SE.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác DBC có \frac{DO}{DB} =\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//BC

    Xét tam giác ABC có: \frac{AO}{AC} =\frac{AJ}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow OJ//BC

    Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng

    Suy ra (IJK) \cap (ABCD) = OK đúng

    Tương tự ta cũng chúng minh được OH//IJ (Vì OH//SB;IJ//SB)

    Suy ra H \in (IJO) \Rightarrow (IJO) \cap(SBD) = OH

    Gọi F là trung điểm của SA khi đó \frac{SI}{SF} = \frac{SH}{SD} = \frac{2}{3}\Rightarrow IH//DF

    Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.

    Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD, điểm G là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó giao điểm của MG và mặt phẳng (ACD) là:

    Hình vẽ minh họa:

    Trong tam giác ABN ta có: \frac{BM}{AB} < \frac{BG}{BN} \Rightarrow P = MG \cap AN

    Vậy P = MG \cap (ACD)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD, M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, BD, AC. Phát biểu nào sau đây là sai?

    Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

    Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

    => SN // AD (1)

    Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

    => MR // AD (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

    Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

    Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

    Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

    Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

    => Tứ giác MQNP là hình bình hành

    => Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

    Mà G là trung điểm của MN

    Do đó G cũng là trung điểm của QP

    Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

    Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

    Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB, hai điểm P,Q phân biệt thuộc đường thẳng CD. Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng MP và NQ là:

    Giả sử đường thẳng MP và NQ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

    Khi đó AB và CD cùng thuộc một mặt phẳng hay ABCD là một tứ giác (trái giả thiết).

    Vậy đường thẳng MP và NQ chéo nhau.

  • Câu 17: Nhận biết

    Số cạnh của hình chóp tam giác là:

     Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).

    Hình vẽ minh họa

    Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    MN // AD (đường trung bình 4SAD)

    OP // AD (đường trung bình 4BAD)

    => MN // OP

    => O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.

    \left\{ \begin{matrix}MN//AD//BC \subset (SBC) \\OM//SC \subset (SBC) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow (OMN)//(SBC)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, I = AC \cap BD. Giả sử mặt phẳng (\alpha) bất kì cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D'. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

    Hình vẽ minh hoạ

    Ta thấy: \left\{ \begin{matrix} A'C' = (\alpha) \cap (SAC) \\ B'D' = (\alpha) \cap (SBD) \\ SI = (SBD) \cap (SAC) \\ \end{matrix} ight.

    => Các đường thẳng A'C',B'D',SI đồng quy.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hình chóp MQ//AD có đáy là hình thang với MN//AB. Gọi NP//BC là trọng tâm của tam giác PQ//CD; (\alpha) \equiv (MNPQ) là điểm thuộc đoạn SAB sao cho MN. Tìm x để AB.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho hình chóp MQ//AD có đáy là hình thang với MN//AB. Gọi NP//BC là trọng tâm của tam giác PQ//CD; (\alpha) \equiv (MNPQ) là điểm thuộc đoạn SAB sao cho MN. Tìm x để AB.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm cạnh AD

    Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q. 

    Dễ thấy SQ = (IGE) \cap (SBC).

    Do đó: GE//(SBC) \Leftrightarrow GE//SQ \Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS} \Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}.

    Mặt khác, tam giác EIA đồng dạng với tam giác EQC nên \frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}

    Suy ra EQ = x.EI.

    \Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}.

    Từ và \Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 2.

    Vậy GE//(SBC) \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 22: Nhận biết

    Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 23: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khảng định đúng là: "Giao tuyến của (∝), (β) song song với d".

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung, khẳng định nào sau đây là đúng?

    Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SMQ) và (SNP):

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (SMQ) \cap (SNP) = d

    Khi đó d đi qua S.

    Xét ba mặt phẳng (SMQ),(SNP);(MNPQ).

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d;MQ;NP.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d;MQ;NP đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà MQ//NP \Rightarrow d//MQ

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của BC và BD, lấy điểm E \in AD;E eq A;E eq D. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (IJE) với tứ diện ABCD là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

    \left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight. nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJE) là đường thẳng d qua E và song song với CD.

    Gọi F = d \cap AC ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJE).

    Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD, M \in BC sao cho \frac{BM}{MC} = 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Kết luận nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi P là trung điểm của AD.

    Ta có: \frac{BM}{CB} = \frac{BG}{BP} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG//CP

    Mà CP \subset (ACD) \Rightarrow MG//(ACD)

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ.

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ

    Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}.

    Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME \Rightarrow N là trung điểm của đoạn thẳng ME.

    Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP\ //\ MQ và N là trung điểm EM) \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF

    Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP = MQ \Rightarrow Q là trung điểm MF hay \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    Lại có D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho tứ diện đều ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có 3 đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

    Đáp án: 216

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có 3 đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

    Đáp án: 216

    Hình vẽ minh họa

    Không mất tính tổng quát, xét mặt bên \Delta ABC.

    Giả sử MN song song với BC. Khi đó, số tam giác có cạnh MN nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm \Delta PMN, \Delta QMN, \Delta IMN,\Delta JMN, \Delta KMN, \Delta LMN.

    Trong mặt bên \Delta ABC, nối các điểm chia đều các cạnh AB,BC,CA ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với AB, 3 đoạn thẳng song song với BC và 3 đoạn thẳng song song với CA.

    Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.

    Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là 6.(3 + 3 + 3).4 = 216.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng phân biệt m,n và mặt phẳng (\beta). Giả sử m//(\beta);n//(\beta). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    m//(\beta) \Rightarrow \exists m':\left\{ \begin{matrix} m'//m \\ m' \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.

    n//(\beta) \Rightarrow \exists n':\left\{ \begin{matrix} n'//n \\ n' \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết m, n là hai đường thẳng phân biệt.

    Nếu m song song với n thì m’ // n’.

    Nếu m’, n’ cắt nhau thì m, n cắt nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt Ax, By, Cz, Dt tương ứng tại A', B', C', D' sao cho AA' = 3, BB' = 5, CC' = 4. Tính DD'.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt Ax, By, Cz, Dt tương ứng tại A', B', C', D' sao cho AA' = 3, BB' = 5, CC' = 4. Tính DD'.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Do (P) cắt mặt phẳng (Ax,By) theo giao tuyến A'B'; cắt mặt phẳng (Cz,Dt) theo giao tuyến C'D', mà hai mặt phẳng (Ax,By) và (Cz,Dt) song song nên A'B'//C'D'.

    Tương tự có A'D'//B'C' nên A'B'C'D' là hình bình hành.

    Gọi O, O' lần lượt là tâm ABCD và A'B'C'D'.

    Dễ dàng có OO' là đường trung bình của hai hình thang AA'C'C và BB'D'D nên OO' = \frac{AA' + CC'}{2} = \frac{BB' + DD'}{2}.

    Từ đó ta có DD' = 2.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết ABCD là hình vuông cạnh a. Các tam giác S_{1}AB;S_{2}BC;S_{3}CD;S_{4}DA là các tam giác cân bằng nhau. Gọi G;G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác S_{1}AB và S_{3}CD. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác S.ABCD (các điểm S_{1};S_{2};S_{3};S_{4}trùng vào đỉnh S). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng GG'.

    Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

    Từ giả thiết ta có:

    \frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{GG'}{MN} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow GG' = \frac{2}{3}MN = \frac{2a}{3}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:

    Hình vẽ minh họa

    Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC, P là điểm trên cạnhAB sao cho \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}. Gọi Qlà giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính \frac{SQ}{SC}( làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC, P là điểm trên cạnhAB sao cho \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}. Gọi Qlà giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính \frac{SQ}{SC}( làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Hình vẽ minh họa

    Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)

    Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa SC

    Trong (ABC) gọi H = AC \cap NP

    Suy ra (MNP) \cap (SAC) = HM. Khi đó Q là giao điểm của HM và SC.

    Gọi L là trung điểm AC

    Ta có \frac{HA}{HL} = \frac{AP}{LN} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB} = \frac{2}{3}(vì M,\ N là trung điểm của AC và BC nên LN = \frac{1}{2}AB)

    \Rightarrow HA = \frac{2}{3}HL

    Mà LC = AL = HL - HA = HL - \frac{2}{3}HL = \frac{1}{3}HL nên HL = \frac{3}{4}HC

    Mặt khác ta có\frac{HC}{HL} = \frac{QC}{ML} = \frac{4}{3} (vì ML//SC)

    Mà 2ML = SC nên\frac{QC}{SC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{SQ}{SC} = \frac{1}{3}.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là

    Hình vẽ minh họa

    Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD)

    Ta có EG ⊂ (ABF) và AF = (ABF) ∩ (ACD) 

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD) với Sx \parallel AB \parallel CD.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Các điểm A,D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC) ta thu được ảnh lần lượt là M,N. Hình chóp S.ABCD cần thêm điều kiện gì để tứ giác BCMN là hình vuông?

    Hình vẽ minh họa

    Theo bài ra ta có: M,N lần lượt là ảnh của A,D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.

    => SO là đường trung bình của các tam giác CAM,BDN

    => \left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.

    => ADMN là hình bình hành

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight. => BCMN là hình bình hành.

    Để BCMN là hình vuông thì \left\{ \begin{matrix} BN = CM \\ BN\bot CM \\ \end{matrix} ight. suy ra hình chóp S.ABCD có mặt bên SBC vuông cân tại S.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Biết AB = 5a,\ CD = 2a. Gọi E là điểm thuộc cạnh SB thỏa mãn \frac{ES}{EB} = \frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng CE song song với mặt phẳng (SAD). Giá trị của 2m + 3n bằng

    Đáp án: 13

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Biết AB = 5a,\ CD = 2a. Gọi E là điểm thuộc cạnh SB thỏa mãn \frac{ES}{EB} = \frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng CE song song với mặt phẳng (SAD). Giá trị của 2m + 3n bằng

    Đáp án: 13

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là giao điểm của AD và BC trong mặt phẳng (ABCD).

    Theo hệ quả Talet, ta có: \frac{HC}{HB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} CE \subset (SBH) \\ CE//(SAD) \\ (SBH) \cap (SAD) = SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE//SH

    \Rightarrow \frac{SE}{SB} = \frac{HC}{HB} = \frac{2}{5} \Rightarrow SE = \frac{2}{5}SB

    \Rightarrow \frac{ES}{EB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2m + 3n = 13.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 41 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập