Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Cho hình chóp
có đáy là hình thang đáy lớn là
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,
là giao điểm của cạnh
và mặt phẳng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
và
cắt nhau.Sai||Đúng
b)
.Đúng||Sai
c)
và
cắt nhau.Sai||Đúng
d)
và
chéo nhau. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn là
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,
là giao điểm của cạnh
và mặt phẳng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) và
cắt nhau.Sai||Đúng
b) .Đúng||Sai
c) và
cắt nhau.Sai||Đúng
d) và
chéo nhau. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa:
Xét hai mặt phẳng và
.
Ta có: và
.
Mà và
.
Do đó
Cho
là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng
. Chọn mệnh đề đúng?
Ta có:
sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
sai trong trường hợp
đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.
sai vì đường thẳng hoặc
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
là trung điểm của
. Mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua
song song với
và
. Giao tuyến của
với các mặt của hình chóp là hình:
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có:
(2)
Từ (1) và (2)
=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Cho hình chóp có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Gọi ta có
thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
và
.
Thiết diện là hình thang (vì
).
Ta có , mà
.
Ta có là trung điểm
,
là trung điểm của
nên
.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.
Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.
Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.
=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)
Ta có: (vì
lần lượt là các đường trung bình của
.
Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử CM và DN đồng phẳng.
Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)
=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.
Vậy CM và DN chéo nhau.
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt
,
và
. Xét các mệnh đề sau
1) Nếu mặt phẳng
chứa đường thẳng song song với
thì
song song với
.
2) Nếu mặt phẳng
chứa hai đường thẳng song song với
thì
song song với
.
3) Nếu hai mặt phẳng
và
song song
với thì
song song với
.
4) Nếu hai mặt phẳng
và
cắt
với thì
song song với
.
Số mệnh đề đúng là:
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với
thì
song song với
Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng
Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Trong hình học không gian
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.
Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với
?
Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là trung điểm của các cạnh
lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Và là hình bình hành
=>
Vậy không song song với
.
Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm cạnh
, lấy điểm
trên cạnh
sao cho
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của MN và BC.
Giao tuyến cần tìm là DI.
Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Cho hình lăng trụ tam giác
, tâm của các mặt bên
lần lượt là
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Ta có và
.
Mà là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên
.
Lại có là trung điểm của
nên
là đường trung bình của tam giác
=> là trung điểm của
.
Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt phẳng?
Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Khẳng định đúng là:
Nếu thì tồn tại trong
đường thẳng
để
.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho hình chóp
có đáy là hình thang có cạnh đáy là
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với AB.
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
,
. Tính tỉ số độ dài hai cạnh
và
.
Hình vẽ minh họa
Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến
và
.
Theo tính chất hình hộp ta có nên
Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.
Vậy hay
.
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt
và
, điều kiện nào sau đây không đủ để kết luận rằng mặt phẳng
song song với mặt phẳng
?
Mệnh đề: " chứa vô số đường thẳng song song với
." không đủ để chỉ ra hai mặt phẳng song song (khi các đường thẳng đó song song với nhau).
Cho mặt phẳng
và hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
“Nếu và
thì
đồng phẳng.” sai vì có thể chéo nhau.
“Nếu và
cắt
thì
cắt
.” sai vì có thể nằm trên
“Nếu và
thì
.” sai vì có thể nằm trên
.
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
. Gọi mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giả sử
. Tỉ lệ độ dài của
và
là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi trung điểm của lần lượt là
.
Dễ thấy
Xét mặt phẳng , gọi
Xét tam giác và tam giác
ta có:
(đối đỉnh)
(so le trong)
Vậy hay
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."
Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của
. Lấy
sao cho
. Biết
, chọn khẳng định đúng dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Xét mặt phẳng gọi
=>
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(*)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Cho tứ diện
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là các điểm
. Giả sử
. Hỏi đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng
sẽ đi qua điểm
và song song với
.
Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang với đáy nhỏ
. Lấy các điểm
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Để giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp
là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh
bằng:
Hình biểu diễn
Ta có: với
và đi qua
, song song với
.
=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp
là hình thang
. Tính
Để hình thang là hình bình hành thì
Cho tứ diện
. Lấy các điểm
sao cho
. Mặt phẳng
là mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với
. Hình tạo bởi các giao tuyến của
và các mặt của tứ diện là:
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có:
nên giao tuyến của
với
cũng song song với
.
Xét mặt phẳng kẻ
Xét mặt phẳng kẻ
Hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện là hình thang
.
Ta có:
Vậy hình thang có đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
Trong không gian, cho tam giác
, lấy điểm
trên cạnh
kéo dài (trong hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có:
=>
Do đó mệnh đề sai là: “ không nằm trên mặt phẳng
”.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
Hình vẽ minh họa

Ta có: là đường trung bình của tam giác
nên.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
=>
=> đồng phẳng.