Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B.
Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
C.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
D.
Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.

Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải nằm trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu.

Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.

Do đó mệnh đề sai là: “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.”.

Câu 2: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$ , $P$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $Q$ là giao điểm của $SC$ với mặt phẳng $(MNP)$ . Tính $\frac{SQ}{SC}$ ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$ , $P$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $Q$ là giao điểm của $SC$ với mặt phẳng $(MNP)$ . Tính $\frac{SQ}{SC}$ ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Tìm giao điểm $Q$ của $SC$ với mặt phẳng $(MNP)$

Chọn mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $SC$

Trong $(ABC)$ gọi $H = AC \cap NP$

Suy ra $(MNP) \cap (SAC) = HM$ . Khi đó $Q$ là giao điểm của $HM$ và $SC$ .

Gọi $L$ là trung điểm $AC$

Ta có $\frac{HA}{HL} = \frac{AP}{LN} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB} = \frac{2}{3}$ (vì $M,\ N$ là trung điểm của $AC$ và $BC$ nên $LN = \frac{1}{2}AB$ )

$\Rightarrow HA = \frac{2}{3}HL$

Mà $LC = AL = HL - HA = HL - \frac{2}{3}HL = \frac{1}{3}HL$ nên $HL = \frac{3}{4}HC$

Mặt khác ta có $\frac{HC}{HL} = \frac{QC}{ML} = \frac{4}{3}$ (vì $ML//SC$ )

Mà $2ML = SC$ nên $\frac{QC}{SC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{SQ}{SC} = \frac{1}{3}$ .

Câu 3: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B} = 60^{0},AB = SB = a$ . Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với các mặt của hình chóp.

A.
Tam giác
B.
Tứ giác
C.
Ngũ giác
D.
Lục giác

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (P) \cap (ABC) = M \\ (P)//AI \\ AI \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

Do đó giao tuyến của $(P)$ với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

Tương tự $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MQ//SB;(M \in SA) \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP//SB;(P \in SC) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy giao tuyến của $(P)$ với hình chóp S.ABC là tứ giác $MNPQ$ .

Câu 4: Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó $(MNP) \cap (SAC)$ là đường thẳng nào?

A.
MN
B.
QM
C.
SO
D.
MP

Hình vẽ minh họa:

M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)

Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).

Vậy P là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP

Câu 5: Thông hiểu

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $AC_{1}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight)$ . Mà $I \in AC_{1} \subset (P)$ nên $I \in B_{1}D_{1}$

Hình thang $BB_{1}D_{1}D$ có $OI$ là đường trung bình nên $OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2$

Câu 6: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ đáy là hình bình hành, $M$ là trung điểm của $AB$ . Giả sử $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua $M$ đồng thời song song với $SB$ và $CD$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ và các mặt của hình chóp. Hỏi hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?

A.
Hình thoi
B.
Hình thang
C.
Hình bình hành
D.
Hình tam giác

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$(\gamma)//SB$ nên $(\gamma)$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ theo giao tuyến $MN$ đi qua $M$ và song song với $SB$ , với $N$ là trung điểm của $SC$ .

$(\gamma)//CD$ nên $(\gamma)$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ theo giao tuyến $NP$ đi qua $N$ và song song với $CD$ , với $P$ là trung điểm của $SD$ .

$(\gamma)//CD$ nên $(\gamma)$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ theo giao tuyến $MQ$ đi qua $M$ và song song với $CD$ , với $Q$ là trung điểm của $AD$ .

Các giao tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ và hình chóp là tứ giác $MNPQ$

Lại có $MQ//CD//NP$ nên $MNPQ$ là hình thang.

Câu 7: Nhận biết

Cho hai mặt phẳng $(∝), (β)$ cắt nhau và cùng song song với đường thẳng $d$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
Giao tuyến của $(∝), (β)$ trùng với $d$
B.
Giao tuyến của $(∝), (β)$ song song hoặc trùng với $d$
C.
Giao tuyến của $(∝), (β)$ song song với $d$
D.
Giao tuyến của $(∝), (β)$ cắt $d$

Khảng định đúng là: "Giao tuyến của $(∝), (β)$ song song với $d$ ".

Câu 8: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Giả sử M thuộc đoạn BC. Một mặt $(\alpha)$ qua M song song với AB và CD. Thiết diện của $(\alpha)$ và hình tứ diện ABCD là hình gì?

A.
Hình thang có đúng một cặp cạnh song song
B.
Hình bình hành
C.
Hình tam giác
D.
Hình ngũ giác

Hình vẽ minh họa

Tìm thiết diện

$(\alpha) //AB$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

$(\alpha) //CD$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

$(\alpha) //AB$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$ là tứ giác MNPQ.

Ta lại có: $MN // PQ // CD, MQ // PN // AB.$

Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Câu 9: Nhận biết

Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?

A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

Có 3 mặt phẳng gồm $(a,b),(A,a),(B,b).$

Câu 10: Nhận biết

"Cho hình hộp ABCD.EFHG, khẳng định nào sau đây là sai?

A.
EF song song với CD
B.
CE song song với FH
C.
EH song song với AD
D.
GE song song với BD

Hình vẽ minh họa

Tìm khẳng định sai

Khẳng định sai là "CE song song với FH"

Câu 11: Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là sai?

A.
Phép chiếu song song biến trung điểm của đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
B.
Phép chiếu song song biến trọng tâm tam giác thành trọng tâm tam giác hình chiếu.
C.
Phép chiếu song song biến tam của hình bình hành thành tâm của hình bình hành.
D.
Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu.

Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.

Câu 12: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{CN}{CA} = 3$
C.
$\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
D.
$\frac{CN}{CA} = 1$

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$

Câu 13: Vận dụng cao

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{a^{2}}{3}$
B.
$\frac{2a^{2}}{3}$
C.
$\frac{a^{2}}{2}$
D.
$\frac{3a^{2}}{4}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 14: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $SI//AB$ . Sai||Đúng

b) $SI//AC$ . Sai||Đúng

c) $SI//AD$ . Đúng||Sai

d) $SI//BD$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $SI//AB$ . Sai||Đúng

b) $SI//AC$ . Sai||Đúng

c) $SI//AD$ . Đúng||Sai

d) $SI//BD$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $SI = (SBC) \cap (SAD)$

Do $\left\{ \begin{matrix} SI = (SAD) \cap (SBC)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AD \subset (SAD)\ ;\ \ BC \subset (SBC) \\ AD \parallel BC \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow SI \parallel BC \parallel AD$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Câu 15: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $AC$ , G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng $(GMN)$ và $(BCD)$ .

A.
d qua M và song song với AB.
B.
d qua N và song song với BD.
C.
d qua G và song song với CD.
D.
d qua G và song song với BC.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).

Câu 16: Thông hiểu

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Lấy $M$ là trung điểm của $AC$ . Xác định hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(AA'B')$ theo phương chiếu $CB$ là:

A.
Trung điểm của $BC$
B.
Trung điểm của $AB$
C.
Điểm $A$
D.
Điểm $B$

Hình vẽ minh họa

Luyện tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ . Ta có: $MN//CB$

Vậy hình chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA'B'} ight)$ theo phương chiếu $CB$ là điểm $N$ .

Câu 17: Nhận biết

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ , điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:

A.
Điểm $N$
B.
Giao điểm của $MG$ và $AN$
C.
Giao điểm của $MG$ và $AC$
D.
Giao điểm của $MG$ và $CD$

Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác $ABN$ ta có: $\frac{BM}{AB} < \frac{BG}{BN} \Rightarrow P = MG \cap AN$

Vậy $P = MG \cap (ACD)$

Câu 18: Nhận biết

Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ . Số đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ là:

A.
$0$
B.
$1$
C.
$2$
D.
Vô số

Có vô số đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ với điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Câu 19: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ , điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khi đó:

a) $EF//AC$ Đúng||Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ , điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khi đó:

a) $EF//AC$ Đúng||Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ . Đúng||Sai

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ :

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD). \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $Sx = (SAB) \cap (SCD)$ , với $Sx$ là đường thẳng qua $S$ và $Sx//AB//CD$ .

Hình vẽ minh họa

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ :

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAD) \\ M \in (MBC) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD) ight.$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (MBC);AD \subset (SAD).\ \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $My = (MBC) \cap (SAD),My$ là đường thẳng qua $M$ và $My//BC//AD$ .

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ :

Ta có $:\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAC) \\ M \in (MEF) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC) ight.$ .

Xét tam giác $ABC$ , ta có $EF$ là đường trung bình $\Rightarrow EF//AC$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MEF) \cap (SAC) \\ EF \subset (MEF);AC \subset (SAC).\ \\ EF//AC \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $Mt=( M EF )\cap( SAC ), Mt$ là đường thẳng qua $M$ và $Mt//EF//AC$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Câu 20: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy nhỏ $DC$ và $M$ là trung điểm của $BC$ . Giả sử $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $BC$ và $SA$ , cắt $AB$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt bên của hình chóp là:

A.
Hình thoi
B.
Hình thang có đáy nhỏ $FQ$
C.
Hình bình hành
D.
Hình chữ nhật

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M, song song với BC nên $(\alpha)$ cắt (ABCD) và (SBC) theo giao tuyến a, qua M và song song BC.

Gọi E = a ∩ AB. Lúc đó $(\alpha)$ qua E và song song SA nên $(\alpha)$ cắt (SAB) theo giao tuyến b, qua E và song song SA.

Gọi F = b ∩ SB.

Tương tự, $(\alpha)$ ∩ (SBC) = c, với c qua F và song song BC.

Gọi Q = c ∩ SC.

Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt bên của hình chóp là hình thang MEFQ.

Vì ME = CD > QF nên hình thang MEFQ có đáy lớn là FQ.

Câu 21: Thông hiểu

Cho tứ diện $MNPQ$ . Gọi $I;J$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $MNP$ và $MNQ$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$IJ$ song song với $PQ$ .
B.
$IJ$ và $PQ$ chéo nhau.
C.
$IJ$ song song với $MN$ .
D.
$IJ$ cắt $MN$ .

Hình vẽ minh họa

Gọi $K;H$ lần lượt là trung điểm của $NP,NQ$

Vì $I;J$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $MNP$ , và $MNQ$ nên ta có:

$\frac{MI}{MK} = \frac{MJ}{MH} =\frac{2}{3}$

$= > \ IJ\ //\ HK$ . Mà $HK//PQ$ (do $KH$ là đường trung bình của tam giác $NPQ$ ).

$= > \ IJ//\ PQ$

Câu 22: Nhận biết

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $d ⊄ (\alpha)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A.
Nếu $d\ //\ (\alpha)$ thì trong $(\alpha)$ tồn tại đường thẳng $\Delta$ sao cho $\Delta\ //\ d$ .
B.
Nếu $d\ //\ (\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b\ //\ d$ .
C.
Nếu $d \cap (\alpha) = A$ và $d' \subset (\alpha)$ thì $d$ và $d'$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
D.
Nếu $d\ //\ c\ ;\ \ c \subset (\alpha)$ thì $d\ //\ (\alpha)$ .

Mệnh đề “Nếu $d\ //\ (\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b\ //\ d$ “ sai vì $b$ và $d$ có thể chéo nhau.

Câu 23: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó, giao điểm của $EG$ và $(ABC)$ là:

A.
Điểm $C$
B.
Giao điểm của $EG$ và $AF$
C.
Điểm $F$
D.
Giao điểm của $EG$ và $BD$

Hình vẽ minh họa

Kéo dài $EG$ cắt $AF$ tại $I$ .

Khi đó $I$ là giao điểm của $EG$ và $(ABC)$ .

Câu 24: Vận dụng

Cho hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $O,O'$ lần lượt là tâm của $ABCD,A'B'C'D'$ . Trung điểm của $AB,CD$ lần lượt là $M,N$ . Xác định hình chiếu của tam giác $C'MN$ qua phép chiếu song song phương $AO'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ .

A.
Đoạn thẳng $MN$
B.
Điểm $O$
C.
Tam giác $CMN$
D.
Đoạn thẳng $DB$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO = C'O' \\ C'O'//AO \\ \end{matrix} ight.$ nên tứ giác $O'C'OA$ là hình bình hành.

$\Rightarrow C'O//AO'$

Do đó hình chiếu của điểm $O'$ qua phép chiếu song song theo phương $O'A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$ .

Mặt khác $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ nên hình chiếu của $M,N$ qua phép chiếu song song $O'A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt là điểm $M$ và $N$ .

Vậy qua phép chiếu song song theo phương $AO'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ thì hình chiếu của tam giác $C'MN$ là đoạn thẳng $MN$ .

Câu 25: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $6\ cm$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $SM = 2MA$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $SN = 2NB$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) $MN//(ABC)$ . Đúng||Sai

b) $(MNP)//(ABC)$ với $P$ là điểm thuộc $SC$ sao cho $SP = 2PC$ . Đúng||Sai

c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là tứ giác. Sai||Đúng

d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là $4\sqrt{3}\ cm^{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $6\ cm$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $SM = 2MA$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $SN = 2NB$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) $MN//(ABC)$ . Đúng||Sai

b) $(MNP)//(ABC)$ với $P$ là điểm thuộc $SC$ sao cho $SP = 2PC$ . Đúng||Sai

c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là tứ giác. Sai||Đúng

d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là $4\sqrt{3}\ cm^{2}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Ta có $\frac{SM}{MA} = \frac{SN}{NB} = 2$ nên $MN//AB$

Mà $AB \subset (ABC)$

$\Rightarrow MN//(ABC)$

b) Đúng

Ta có: $\frac{SM}{MA} = \frac{SN}{NB} = \frac{SP}{PC} = 2$

$\Rightarrow MN//AB,\ NP//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} MN \subset (MNP);NP \subset (MNP) \\ AB \subset (ABC);BC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MNP)//(ABC)$

c) Sai

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(ABC)$

Vì $MN//(ABC)$ nên $N \in (\alpha)$

Ta có: $\left. \ \begin{matrix} (\alpha)//(ABC) \\ (SAC) \cap (ABC) = AC \\ M \in (SAC) \cap (\alpha) \\ \end{matrix} ight\}$

$\Rightarrow (SAC) \cap (\alpha) = MP$ với $MP//AC,\ P \in SC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MN \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP \\ (\alpha) \cap (SAC) = MP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là tam giác $MNP$ .

d) Đúng

Thiết diện của mặt phẳng qua $M$ và song song với $(ABC)$ là tam giác $MNP$ .

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác $SAB$ ta có:

$\frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MN = \frac{2}{3}AB =\frac{2}{3}.6 = 4 cm$

Tương tự ta có $NP = MP = 4\ cm$

Diện tích tam giác đều $MNP$ có cạnh bằng $4\ cm$ là: $S = 4^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\ \ cm^{2}$ .

Câu 26: Thông hiểu

Cho ba mặt phẳng $(\alpha);(\beta);(\gamma)$ đôi một song song. Hai đường thẳng $m,n$ lần lượt cắt ba mặt phẳng tại $A,B,C$ và $A',B',C'$ , ( $B$ nằm giữa $A$ và $C$ , $B'$ nằm giữa $A'$ và $C'$ ). Biết rằng $AB = 5;BC = 4;A'C' = 8$ . Tính $A'B'.B'C'$ .

A.
$80$
B.
$40$
C.
$48$
D.
$60$

Ta có: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AB + BC}{A'B' + B'C'} = \frac{AC}{A'C}$

$\Rightarrow A'B' = 10;B'C' = 8$

$\Rightarrow A'B'.B'C' = 80$

Câu 27: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy nhỏ $CD$ . Lấy các điểm $I \in AD;J \in BC$ sao cho $IA = ID;JB = JC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Để giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh $\frac{AB}{CD}$ bằng:

A.
$\frac{3}{2}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$3$
D.
$1$

Hình biểu diễn

Ta có: $(IJG) \cap (SAB) = EF$ với $E \in SA,F \in SB$ và đi qua $G$ , song song với $AB//IJ$ .

=> Giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình thang $EFJI$ . Tính $EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)$

Để hình thang $EFJI$ là hình bình hành thì

$\Leftrightarrow EF = IJ$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)$

$\Leftrightarrow AB = 3CD$

$\Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3$

Câu 28: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?

A.
$SA$
B.
$SN$
C.
$SM$
D.
$SO$

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Câu 29: Nhận biết

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
d’ // d hoặc d’ ≡ d
B.
d’ // d
C.
d’ ≡ d
D.
d’ và d chéo nhau

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’ => d’ // d

Câu 30: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?

A.
$SA$
B.
$SN$
C.
$SM$
D.
$SO$

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Câu 31: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB \Rightarrow MN//AB$ mà $AB//CD$ nên $MN//CD$

b) Sai

Ta có $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB//CD \\ AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d = (SAB) \cap (SCD) \\ S \in d \\ d//AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $I = AN \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in AN \\ I \in d,d \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = AN \cap (SCD)$

Ta có $SI//BA \Rightarrow \frac{SI}{AB} = \frac{SN}{NB} = 1$

$\Rightarrow SI = AB \Rightarrow SI = CD$

Vậy $SICD$ là hình bình hành

c) Đúng

Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $BC$ trong $(ABCD)$ , ta có

$AD//CF \Rightarrow \frac{AE}{EF} = \frac{ED}{CE} = 1$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $AF$

Vậy $ME$ là đường trung bình của tam giác $SAF$

$\Rightarrow EM//SF$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} ME//SF \\ ME ⊄ (SCD) \\ SF \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ME//(SCD)$

d) Đúng

Gọi $E$ là trung điểm $CD$ ta có

$\frac{EH}{ES} = \frac{EG}{EB}\left( = \frac{1}{3} ight) \Rightarrow GH//SB$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} GH//SB \\ SB \subset (SBD) \\ GH ⊄ (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GH//(SBD)$

Câu 32: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai

b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng

c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai

d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai

b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng

c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai

d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng

a) Đúng

Đúng vì theo tính chất thừa nhận: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không

thẳng hàng.

b) Sai

Sai vì điểm cần thêm điều kiện điểm không thuộc đường thẳng.

c) Đúng

Đúng vì theo các cách xác định một mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai

đường thẳng cắt nhau.

d) Sai

Sai vì cần thêm điều kiện hai mặt phẳng phân biệt.

Câu 33: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , gọi $I = RQ \cap BD$ .

Trong $(ABD)$ , gọi $S = PI \cap AD$ $\Rightarrow S = AD \cap (PQR)$ .

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , dựng $DE//BC$ $\Rightarrow DE$ là đường trung bình của tam giác $IBR$ .

$\Rightarrow \ D$ là trung điểm của $BI$ .

Trong $(ABD)$ , dựng $DF//AB$ $\Rightarrow \frac{DF}{BP} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{DF}{PA} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{SA}{SD} = 2$ .

Câu 34: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M \in SC$ , mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(SAB)$ . Khi đó các giao tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ với các mặt của $S.ABCD$ là hình gì?

A.
Hình thang
B.
Hình vuông
C.
Ngũ giác
D.
Hình bình hành

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của $(\beta)$ với $(SCD)$ là $MQ//CD$ .

Giao tuyến của $(\beta)$ với $(ABCD)$ là $PN//CD$ .

Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ với các mặt của $S.ABCD$ là hình thang MNPQ.

Câu 35: Nhận biết

Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

A.
$6$
B.
$7$
C.
$8$
D.
$5$

Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.

Câu 36: Nhận biết

Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

A.
$1$
B.
Vô số
C.
$0$
D.
$2$

Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.

Câu 37: Vận dụng cao

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm cạnh AD

Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.

Dễ thấy $SQ = (IGE) \cap (SBC)$ .

Do đó: $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow GE//SQ$ $\Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS}$ $\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác, tam giác $EIA$ đồng dạng với tam giác $EQC$ nên $\frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}$

Suy ra $EQ = x.EI$ .

$\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}$ .

Từ và $\Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 38: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $F$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo định lý Talet, ta có: $\frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M$ là trung điểm của $AF$

$\Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF$

$\Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS$

$\Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6$ .

Câu 39: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
D. Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất.

Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."

Câu 40: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .