Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> J là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Ta lại có:

=> K là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Vậy giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

Mệnh đề: "  chứa vô số đường thẳng song song với ." không đủ để chỉ ra hai mặt phẳng song song (khi các đường thẳng đó song song với nhau).

Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."

Hình vẽ minh họa

Phát biểu đúng là: "MP và NQ chéo nhau"

Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.

Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.

Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.

Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của , lấy sao cho

Ta có:

Mặt khác

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó:

Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên

Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF

Mà DF ⊂ (ADF)

=> OO' // (ADF)

Hình vẽ minh họa

Ta có:

S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)

Xét mặt phẳng có:

=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (2)

Từ (1) và (2)

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì

Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:

A chung

C chung

=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC

Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:

Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).

Do hai đường thẳng cùng thuộc mặt phẳng nên tính chất chéo nhau không được bảo toàn trong phép chiếu song song.

Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt của hình hộp.

Hình vẽ minh họa

Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà (do là đường trung bình của tam giác ) nên .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .

Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.

Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."

Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.

Hình vẽ minh họa

Xét (SAD) và (SBC) có:

S là điểm chung

=> Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

Ta có:

=>

Do đó mệnh đề sai là: “ không nằm trên mặt phẳng ”.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: và BD.

Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

=> Giao tuyến của với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

=> Giao tuyến của với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi là tứ giác MNPQ.

Ta lại có:

Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Gọi

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song. Mà

Giả sử: cắt lần lượt tại .

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi là hình thang .

Ta có:

Ta có: là trọng tâm tam giác

=> Hình thang là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là đường trung bình của tam giác ABD suy ra MN//BD

Mặt khác

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 

Giả sử

(mâu thuẫn với giả thiết). 

Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.

Đường thẳng    song song với mặt phẳng    khi và chỉ khi    không nằm trong , đồng thời    song song với một đường thẳng nằm trong   .

Hình vẽ minh họa

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.

Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.