Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
- A.
  Ba điểm
- B.
  Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
- C.
  Hai điểm
- D.
  Bốn điểm
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Câu 2: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$ , $N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $(MCD)$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $MN$ và $SD$ cắt nhau.Sai||Đúng

b) $MN\ \parallel \ CD$ .Đúng||Sai

c) $MN$ và $SC$ cắt nhau.Sai||Đúng

d) $MN$ và $CD$ chéo nhau. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$ , $N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $(MCD)$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $MN$ và $SD$ cắt nhau.Sai||Đúng

b) $MN\ \parallel \ CD$ .Đúng||Sai

c) $MN$ và $SC$ cắt nhau.Sai||Đúng

d) $MN$ và $CD$ chéo nhau. Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN = (MCD) \cap (SAB)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} CD \subset (MCD)\ \ ;\ \ AB \subset (SAB) \\ CD \parallel AB \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow MN//CD//AB$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai
Câu 3: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SD,AB$ lần lượt là $M,N,P$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(MNO)//(SBC)$
- B.
  $(NPM)//(SBD)$
- C.
  $(OPM)//(SCD)$
- D.
  $(NOP)//(MNP) = NP$
Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng $(MON)$ và $(SBC)$ .

Ta có: $OM//SC$ và $ON//SB$ .

Mà $BS ∩ SC = C$ và $OM ∩ ON = O$ .

Do đó $(MON)//(SBC)$
Câu 4: Thông hiểu
Cho $m,n$ là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng $(\alpha)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} m ⊄ (\alpha) \\ m\bot n \\ n \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ n\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} m \cap (\alpha) = H \\ n \cap (\alpha) = H \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \cap n = H$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ m \cap (\alpha) = P \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n \cap (\alpha) = P$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} m ⊄ (\alpha) \\ m\bot n \\ n \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$ sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

$\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ n\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$ sai trong trường hợp

$\left\{ \begin{matrix} m \cap (\alpha) = H \\ n \cap (\alpha) = H \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \cap n = H$ đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.

$\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ m \cap (\alpha) = P \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n \cap (\alpha) = P$ sai vì đường thẳng hoặc
Câu 5: Vận dụng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
- A.
  Chỉ có (1) đúng
- B.
  Chỉ có (1) và (2) đúng
- C.
  (I), (II), (III) đúng
- D.
  Chỉ có (1) và (IV) đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Câu 6: Thông hiểu
Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
- A.
  Chỉ có (1) sai.
- B.
  Chỉ có (2) sai
- C.
  Chỉ có (3) sai
- D.
  (1), (2) và (3) đều sai
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Câu 7: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $M$ là trung điểm của $BC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với $BD$ và $SC$ . Giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp là hình:
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có:

$MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có:

$MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của $(\alpha)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 8: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Hình vẽ minh họa

Gọi $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SD,SC,BC$ .

Gọi $E = AD \cap BC,I = MN \cap PQ$ ta có $S,I,E$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ .

Thiết diện là hình thang $MNPQ$ (vì $NP \parallel AB \parallel MQ$ ).

Ta có $S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - S_{\Delta INP}$ , mà $\frac{NP}{DC} = \frac{1}{2},\frac{DC}{MQ} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{NP}{MQ} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta INP} = \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ} = \frac{8}{9}S_{\Delta IMQ}$ .

Ta có $M$ là trung điểm $AD$ , $D$ là trung điểm của $AE$ nên $\frac{MI}{SA} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta IMQ} = \frac{9}{16}S_{\Delta SAB}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = \frac{8}{9}.\frac{9}{16}S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2}S_{\Delta SAB}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
- A.
  Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD.
- B.
  Đường thẳng đi qua S và song song AC.
- C.
  Đường thẳng đi qua S và song song BD.
- D.
  Đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Câu 10: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với BD.
- B.
  Đường thẳng MN không cắt mặt phẳng (SBD).
- C.
  Giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với SI, trong đó I là giao điểm của CM với BD.
- D.
  Giao điểm của MN với (SBD) là M.
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.
Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.
Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.
=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).
Câu 11: Nhận biết
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A. Tam giác.
- B. Tứ giác.
- C. Lục giác.
- D. Ngũ giác.
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 12: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC,BD,CD$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $MN//PQ$
- B.
  $MN,PQ$ chéo nhau
- C.
  $MN,PQ$ cắt nhau
- D.
  $MN,PQ$ song song
Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: $MN = PQ = \frac{1}{2}BC$ (vì $MN//PQ$ lần lượt là các đường trung bình của $ABC,DBC$ .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.
Câu 14: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  CM và DN chéo nhau.
- B.
  CM và DN cắt nhau.
- C.
  CM và DN đồng phẳng.
- D.
  CM và DN song song.
Hình vẽ minh họa

Giả sử CM và DN đồng phẳng.

Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)

=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.

Vậy CM và DN chéo nhau.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P)$ , $(Q)$ và $(R)$ . Xét các mệnh đề sau

1) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

2) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

3) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

4) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

Số mệnh đề đúng là:
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  3.
- D.
  2.
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$

Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Câu 16: Nhận biết
Trong hình học không gian
- A.
  Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.
- B.
  Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.
- C.
  Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
- D.
  Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau.
- B.
  Nếu c // a thì c // b hoặc c ≡ b.
- C.
  Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau.
- D.
  Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Câu 18: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $A′,B′,C′,D′$ $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC$ và $SD$ . Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với $A'B'$ ?
- A. $AB.$
- B. $CD.$
- C. $C'D'.$
- D. $SC.$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $A′,B′,C′,D′$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$
$=> A'B', B'C', C'D', A'D'$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $SAB, SBC, SCD, SAD$ .
Và $ABCD$ là hình bình hành
=> $\left\{ \begin{gathered} AB//A\prime B\prime \hfill \\ CD//A\prime B\prime \hfill \\ C'D'//A\prime B\prime \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy $SC$ không song song với $A'B'$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(BCD)$ đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
- A.
  $MN$ và $BD$ .
- B.
  $MN$ và $BC$ .
- C.
  $MN$ và $CD$ .
- D.
  $MN$ và $AD$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Giao tuyến cần tìm là DI.

Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.
Câu 20: Nhận biết
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Câu 21: Vận dụng
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ , tâm của các mặt bên $(ABB'A');(BCC'B');(ACC'A')$ lần lượt là $M,N,P$ . Hình chiếu của điểm $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ , mặt phẳng chiếu $(AB'C)$ là:
- A.
  trung điểm của $AN$
- B.
  trung điểm của $AM$
- C.
  trung điểm của $B'N$
- D.
  trung điểm của $B'M$
Hình vẽ minh họa

Gọi $Q$ là ảnh của $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ lên mặt phẳng $(AB'C)$ .

Ta có $PQ//BC'$ và $PQ \subset (ABC')$ .

Mà $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC')$ và $(AB'C)$ nên $Q \in AN$ .

Lại có $P$ là trung điểm của $AC'$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ANC'$

=> $P$ là trung điểm của $AN$ .
Câu 22: Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt phẳng?
- A.
  Có vô số mặt phẳng chứa một điểm và một đường thẳng không qua điểm đã cho.
- B.
  Có vô số mặt phẳng chứa ba điểm không thẳng hàng.
- C.
  Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau.
- D.
  Qua ba điểm phân biệt xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.
Câu 23: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.
Câu 24: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Nếu $a\ \ //\ (P)$ thì tồn tại trong $(P)$ đường thẳng $b$ để $b\ //\ a$ .
- C.
  Nếu $\left\{ \begin{matrix} a\ \ //\ (P) \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight.$ thì $a\ //\ b$ .
- D.
  Nếu $a\ \ //\ (P)$ và đường thẳng $b$ cắt mặt phẳng $(P)$ thì hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau.
Khẳng định đúng là:

Nếu $a\ \ //\ (P)$ thì tồn tại trong $(P)$ đường thẳng $b$ để $b\ //\ a$ .
Câu 25: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 26: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang có cạnh đáy là $AB,CD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ , điểm $P \in SA;(P eq S;P eq A)$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB);(MNP)$ .
- A.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AB
- B.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AD
- C.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AC
- D.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với BC
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P = (SAB) \cap (MNP) \\ MN \subset (MNP) \\ AB \subset (SAB) \\ MN//AB \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAB) \cap (MNP) = PQ$ với $Px//AB//MN,Q \in SB$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB);(MNP)$ là đường thẳng qua P và song song với AB.
Câu 27: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $AB$ , $BC \cap (MA'C') = \left\{ N ight\}$ . Tính tỉ số độ dài hai cạnh $MN$ và $A'C'$ .
- A.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{MN}{A'C'} = 1$
Hình vẽ minh họa

Ba mặt phẳng phân biệt $(ABCD), (ACC’A’), (MA’C’)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến $AC, A’C’$ và $MN$ .

Theo tính chất hình hộp ta có $AC // A’C’$ nên $MN // AC // A’C’$

Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

Vậy $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C'$ hay $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$ .
Câu 28: Nhận biết
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$ và $(\beta)$ , điều kiện nào sau đây không đủ để kết luận rằng mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ ?
- A.
  $(\alpha)$ và $(\beta)$ cùng song song với mặt phẳng $(\gamma)$ .
- B.
  $(\alpha)$ chứa vô số đường thẳng song song với $(\beta)$ .
- C.
  $(\alpha)$ và $(\beta)$ không có điểm chung.
- D.
  $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và chúng cùng song song với $(\beta)$ .
Mệnh đề: " $(\alpha)$ chứa vô số đường thẳng song song với $(\beta)$ ." không đủ để chỉ ra hai mặt phẳng song song (khi các đường thẳng đó song song với nhau).
Câu 29: Thông hiểu
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và hai đường thẳng $m,n$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $m//(\alpha)$ và $n//(\alpha)$ thì $m,n$ đồng phẳng.
- B.
  Nếu $m \subset (\alpha)$ và $m$ cắt $n$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .
- C.
  Nếu $m//n$ và $n//(\alpha)$ thì $m//(\alpha)$ .
- D.
  Nếu $m//n$ và $(\alpha)$ cắt $m$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .
“Nếu $m//(\alpha)$ và $n//(\alpha)$ thì $m,n$ đồng phẳng.” sai vì có thể chéo nhau.

“Nếu $m \subset (\alpha)$ và $m$ cắt $n$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .” sai vì có thể nằm trên $(\alpha)$

“Nếu $m//n$ và $n//(\alpha)$ thì $m//(\alpha)$ .” sai vì có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 30: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $A'D'$ . Gọi mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $M$ và song song với $AC,BB'$ . Giả sử $BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}$ . Tỉ lệ độ dài của $TB$ và $TC$ là:
- A.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{TB}{TC} = 3$
- C.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{TB}{TC} = 2$
Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của $AD,DC,D'C'$ lần lượt là $N,P,E$ .

Dễ thấy $(MNPE) \in (\gamma)$

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $BC \cap NP = T$

Xét tam giác $\Delta NDP$ và tam giác $\Delta PCT$ ta có:

$\widehat{DPN} = \widehat{TPC}$ (đối đỉnh)

$DP = PC$

$\widehat{NDP} = \widehat{PCT}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT$

$\Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$

Vậy $TB = 3TC$ hay $\frac{TB}{TC} = 3$
Câu 31: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Các cạnh $AC,BD,AB,CD,AD,BC$ có trung điểm lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$ . Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $M,N,P,Q$
- B.
  $M,R,S,N$
- C.
  $P,Q,R,S$
- D.
  $M,P,R,S$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$MP // BC // NQ$ , $MP = \frac{1}{2}BC = NQ$

=> MPNQ là hình bình hành

=> $M, N, P, Q$ thuộc một mặt phẳng.

$MR // CD // SN$ , $MR = \frac{1}{2}CD = SN$

=> MRNS là hình bình hành

=> $M, R, S, N$ thuộc một mặt phẳng.

$PS // AC // RQ$ , $PS = \frac{1}{2}AC = RQ$

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy $M,P,R,S$ không thuộc cùng một mặt phẳng.
Câu 32: Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Phép chiếu song song biến đường trung bình tam giác thành đường trung bình tam giác ảnh.
- B.
  Phép chiếu song song biến đường trung bình hình thang thành đường trung bình hình thang ảnh.
- C.
  Phép chiếu song song biến đường trung tuyến tam giác thành đường trung tuyến tam giác ảnh.
- D.
  Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh.
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."
Câu 33: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ . Lấy $R \in BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Biết $S = AD \cap (PQR)$ , chọn khẳng định đúng dưới đây.
- A.
  $SA = 2SD$
- B.
  $SA = \frac{3}{2}SD$
- C.
  $SA = \frac{5}{3}SD$
- D.
  $SA = \frac{7}{3}SD$
Hình vẽ minh họa

Gọi $M = RQ \cap BD$

Xét mặt phẳng $(ABD)$ gọi $S = PM \cap AD$

=> $S = AD \cap (PQR)$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $ABD$ với cát tuyến $PSM$ ta được:

$\frac{PA}{PB}.\frac{MB}{MD}.\frac{SD}{SA} = 1$

$\Leftrightarrow 1.\frac{MB}{MD}.\frac{SD}{SA} = 1$ (*)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $BCD$ với cát tuyến $RQM$ ta được:

$\frac{RC}{RB}.\frac{MB}{MD}.\frac{QD}{QA} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{MB}{MD}.1 = 1$

$\Leftrightarrow \frac{MB}{MD} = 2$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $SA = 2SD$
Câu 34: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy các điểm $M \in SB,N \in SD$ sao cho $\frac{SM}{MB} = 2;\frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}$ . Hình chiếu của $M,N$ qua phép chiếu song song phương $SO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ lần lượt là $P,Q$ . Tỉ số độ dài $\frac{PO}{QO}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{PO}{QO} = 2$
- B.
  $\frac{PO}{QO} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{PO}{QO} = 3$
- D.
  $\frac{PO}{QO} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh hoạ

Do $P$ là hình chiếu song song của $M$ qua phép chiếu song song phương $SO$

$\Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{BP}{BO}$

Mà $\frac{SM}{MB} = 2 \Rightarrow SM = 2MB$

$\Rightarrow \frac{BP}{BO} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{OP}{OB} = \frac{2}{3}$

Chứng minh tương tự ta có: $\frac{OQ}{OD} = \frac{1}{3}$

Ta có: $BO = DO \Rightarrow \frac{OP}{OQ} = \frac{1}{2}$
Câu 35: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ lần lượt là các điểm $P,Q,R$ . Giả sử $(ACD) \cap (PQR) = d$ . Hỏi đường thẳng $d$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?
- A.
  $AB$
- B.
  $AD$
- C.
  $QP$
- D.
  $DP$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $PQ//AC$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD);(PQR)$ sẽ đi qua điểm $R$ và song song với $AC$ .

Do đó giao tuyến $d$ sẽ đi qua trung điểm của $AD$ .
Câu 36: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 37: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy nhỏ $CD$ . Lấy các điểm $I \in AD;J \in BC$ sao cho $IA = ID;JB = JC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Để giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh $\frac{AB}{CD}$ bằng:
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Hình biểu diễn
Ta có: $(IJG) \cap (SAB) = EF$ với $E \in SA,F \in SB$ và đi qua $G$ , song song với $AB//IJ$ .
=> Giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình thang $EFJI$ . Tính $EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)$
Để hình thang $EFJI$ là hình bình hành thì
$\Leftrightarrow EF = IJ$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)$
$\Leftrightarrow AB = 3CD$
$\Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3$
Câu 38: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy các điểm $M \in AD,N \in BC$ sao cho $\frac{MA}{AD} = \frac{CN}{BC} = \frac{1}{3}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $MN$ và song song với $CD$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ và các mặt của tứ diện là:
- A.
  hình thang có đáy lớn gấp 3 đáy nhỏ
- B.
  hình bình hành
- C.
  hình thang có đáy lớn gấp 2 đáy nhỏ
- D.
  hình vuông
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

$(\alpha)//CD$ nên giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ACD);(BCD)$ cũng song song với $CD$ .

Xét mặt phẳng $(ACD)$ kẻ $MK//CD;(K \in AC)$

Xét mặt phẳng $(BCD)$ kẻ $NE//CD;(E \in BD)$

Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ và các mặt của tứ diện là hình thang $EMKN$ .

Ta có:

$\frac{BN}{BC} = \frac{NE}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow NE = \frac{2}{3}CD$

$\frac{MA}{AD} = \frac{MK}{CD} = \frac{1}{3} \Rightarrow MK = \frac{1}{3}CD$

$\Rightarrow NE = 2MK$

Vậy hình thang $EMKN$ có đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.
Câu 39: Nhận biết
Trong không gian, cho tam giác $ABC$ , lấy điểm $I$ trên cạnh $AC$ kéo dài (trong hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $I,A,B,C$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  $A \in (ABC)$
- C.
  $I \in (ABC)$
- D.
  $BI$ không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$
Ta có: $I \in (ABC);B \in (ABC)$

=> $BI \subset (ABC)$

Do đó mệnh đề sai là: “ $BI$ không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ ”.
Câu 40: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M, N, P, Q, R, T$ lần lượt là trung điểm $AC, BD, BC, CD, SA, SD$ . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
- A. M, P, R, T.
- B. M, Q, T, R.
- C. M, N, R, T.
- D. P, Q, R, T.
Hình vẽ minh họa
Ta có: $RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên.
$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MQ{m{//}}AD$ .
=> $RT{m{//}}MQ$
=> $M, Q, R, T$ đồng phẳng.

35 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!