Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Ta có và  

=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có đỉnh và cạnh

Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)

Điểm M chung

=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.

Vậy

Mặt khác ( vì )

Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

Mệnh đề “Nếu và thì “ sai vì và có thể chéo nhau.

Khẳng định đúng là

Đáp án “Đường thẳng và đường thẳng thì ” sai vì nếu và đường thẳng thì và có thể chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Xét (SAD) và (SBC) có:

S là điểm chung

=> Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

Hình vẽ minh họa

Phương án : Hình chiếu của tam giác    vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .

Phương án : Hình chiếu của tam giác    vẫn là tam giác   .

Phương án : Khi phương chiếu    song song với    hoặc chứa trong mặt phẳng   . Thì hình chiếu của tam giác    là một đoạn thẳng trên mặt phẳng .

Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng và .

Ta có: và .

Mà và .

Do đó

Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).

Vậy mệnh đề sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

Ta có:

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện

Tam giác ABD đều cạnh bằng có là trung điểm của

Tam giác ABC đều cạnh bằng có là trung điểm của

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Các cạnh của hình chóp chéo nhau với cạnh là .

Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.

Do nên

=>    sai.

Hình vẽ minh họa

Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng biến: M thành P, N thành .

Do đó

Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng biến: thành , R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

Vậy

Vậy khẳng định sai là:

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Ta có là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng và .

Do

là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng và

nên đúng.

thẳng hàng nên thẳng hàng đúng

Ta có nên đúng.

Điểm di động trên nên có thể không phải là trung điểm của

Nên là trung điểm của sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và

Tương tự ta cũng có

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.

+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.

+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC

=>

2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung

=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.

Vậy

Ta có

Mặt khác

Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.

Hình vẽ minh họa

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.

Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.

Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.

ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.

=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.

Ta có:

Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.

Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.

Hình vẽ minh họa

Gọi là ảnh của qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng .

Ta có và .

Mà là giao tuyến của hai mặt phẳng và nên .

Lại có là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác

=> là trung điểm của .

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

nên giao tuyến của với cũng song song với .

Xét mặt phẳng kẻ

Xét mặt phẳng kẻ

Hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện là hình thang .

Ta có:

Vậy hình thang có đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của .

Xét tam giác ta có:

 Ta có:

Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.

=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.

Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.

Gọi lần lượt là trung điểm .

Ta có

nên mệnh đề đúng.

Ta lại có:

=> Mệnh đề đúng

Mặt khác nên mệnh đề sai.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là giao điểm của với các cạnh .

Khi đó ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều