Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC,BD,CD$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $MN//PQ$
- B.
  $MN,PQ$ chéo nhau
- C.
  $MN,PQ$ cắt nhau
- D.
  $MN,PQ$ song song
Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: $MN = PQ = \frac{1}{2}BC$ (vì $MN//PQ$ lần lượt là các đường trung bình của $ABC,DBC$ .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.
Câu 2: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho PB = 2PD. Khi đó giao điểm của đường thẳng CD với (MNP) là:
- A.
  Giao điểm của NP và CD
- B.
  Trung điểm của CD
- C.
  Giao điểm của NM và CD
- D.
  Giao điểm của MP và CD
Hình vẽ minh họa

Trong tam giác $BCD$ , gọi $I = NP \cap CD$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} I \in CD \\ I \in NP,NP \subset (MNP) \\ \end{matrix} \Rightarrow I = CD \cap (MNP) ight.$ .

Vậy giao điểm của đường thẳng $CD$ với $(MNP)$ là giao điểm của $NP$ và $CD$ .
Câu 3: Vận dụng

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ . Biết $EF = 35\ cm$ và $A,B,C,D$ cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn $HE$ .

Đáp án: 105

Đáp án là:

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ . Biết $EF = 35\ cm$ và $A,B,C,D$ cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn $HE$ .

Đáp án: 105

Áp dụng định lý Thales trong không gian, do $A,B,C,D$ cách đều nhau nên $E,F,G,H$ cũng cách đều nhau.

Ta có $EF = FG = GH = 35\ cm$ nên $HE = 35.3 = 105\ cm$ .
Câu 4: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 6: Nhận biết
Cho hai mặt phẳng $(∝), (β)$ cắt nhau và cùng song song với đường thẳng $d$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao tuyến của $(∝), (β)$ trùng với $d$
- B.
  Giao tuyến của $(∝), (β)$ song song hoặc trùng với $d$
- C.
  Giao tuyến của $(∝), (β)$ song song với $d$
- D.
  Giao tuyến của $(∝), (β)$ cắt $d$
Khảng định đúng là: "Giao tuyến của $(∝), (β)$ song song với $d$ ".
Câu 7: Thông hiểu
Cho ba mặt phẳng $(\alpha);(\beta);(\gamma)$ đôi một song song. Hai đường thẳng $m,n$ lần lượt cắt ba mặt phẳng tại $A,B,C$ và $A',B',C'$ , ( $B$ nằm giữa $A$ và $C$ , $B'$ nằm giữa $A'$ và $C'$ ). Biết rằng $AB = 5;BC = 4;A'C' = 8$ . Tính $A'B'.B'C'$ .
- A.
  $80$
- B.
  $40$
- C.
  $48$
- D.
  $60$
Ta có: $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AB + BC}{A'B' + B'C'} = \frac{AC}{A'C}$

$\Rightarrow A'B' = 10;B'C' = 8$

$\Rightarrow A'B'.B'C' = 80$
Câu 8: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
- C.
  Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.
Câu 9: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên $AB$ , $AC$ lần lượt lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN$ cắt $BC$ tại $I$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MND)$ và $(BCD)$ .
- A.
  $MN$
- B.
  $CI$
- C.
  $CD$
- D.
  $DI$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $D$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(MND)$ và $(BCD)$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} I \in MN \subset (MND) \\ I \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$ nên $I$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(MND)$ và $(BCD)$ là $DI$
Câu 10: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình thang
- D.
  Hình thoi
Hình vẽ minh họa
Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)
$CD// AB; CD ⊂ (MCD); AB ⊂ (SAB)$
Điểm M chung
=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.
Vậy $MN // CD$
Mặt khác $MN ≠ CD$ ( vì $MN= 1/2AB ; AB = CD$ )
Vậy thiết diện là hình thang CNMD.
Câu 11: Nhận biết
Giả sử đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng chiếu $(\alpha)$ tại điểm $H$ thì hình chiếu song song của $d$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  Điểm $H$ .
- B.
  Trùng với phương chiếu.
- C.
  Đường thẳng đi qua điểm $H$ .
- D.
  Đường thẳng đi qua $H$ hoặc chính $H$ .
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng $d$ thì hình chiếu là điểm $H$ .

Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng $d$ thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm $H$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
- A.
  MN và AD.
- B.
  MP và AC.
- C.
  BI và AD.
- D.
  MI và AD.
Hình vẽ minh họa:

Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.

Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AD,BC$ theo thứ tự lấy các điểm $M,N$ sao cho $AD = 3AM,CB = 3CN$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $MN$ và song song với $CD$ . Tìm các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$ . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến này.
- A.
  Là hình bình hành.
- B.
  Là hình thang với đáy lớn gấp ba lần đáy nhỏ.
- C.
  Là hình thang với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
- D.
  Là một tam giác.
Hình vẽ minh họa:
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.
Khi đó ME // NF // CD và $(\alpha) \equiv(MENF)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{NF}{CD} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{2}{3} \\\dfrac{ME}{CD} = \dfrac{AM}{AD} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow NF = 2ME$
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$ là hình thang $MENF$ với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
Câu 14: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là:
- A.
  $SA$ .
- B.
  $SB$ .
- C.
  $SC$ .
- D.
  $AC$ .
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ có hai điểm chung là $S$ và $B$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SB$ .
Câu 15: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ , $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ . Xác định các giao điểm của mặt phẳng $(MEF)$ với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{9}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{12}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = MF \cap AD,H = ME \cap AC$

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra $\frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh tương tự ta có: $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$ . Do đó ta có:

$\frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}$

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

$MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}$

$\Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}$

$\Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH$

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: $S_{MHI} = \frac{1}{6}$
Câu 16: Thông hiểu
Cho hình chóp $A.BCD$ có $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  $HK$ và $AD$ cắt nhau
- B.
  $HK$ và $CD$ chéo nhau
- C.
  $HK$ và $CD$ song song
- D.
  $HK$ và $BC$ cắt nhau
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ .

Xét tam giác $MCD$ có:

$\frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3}$ (do $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và tam giác $ABC$ )

$\ = > HK//CD$
Câu 17: Thông hiểu

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $AC_{1}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight)$ . Mà $I \in AC_{1} \subset (P)$ nên $I \in B_{1}D_{1}$

Hình thang $BB_{1}D_{1}D$ có $OI$ là đường trung bình nên $OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A.
  Hai đường thẳng cắt nhau
- B.
  Ba điểm phân biệt
- C.
  Một điểm và một đường thẳng
- D.
  Bốn điểm không đồng phẳng
Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 19: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 20: Vận dụng cao

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ$

Suy ra mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ .

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}$ .

Trong mặt phẳng $(ABB'A')$ , gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AB$ thì $BN$ là đường trung bình của tam giác $AME \Rightarrow N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$ .

Trong mặt phẳng $(MNPQ)$ , gọi $F$ là giao điểm của $EP$ và $MQ$ thì $NP$ là đường trung bình của tam giác $MEF$ (vì $NP\ //\ MQ$ và $N$ là trung điểm $EM$ ) $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF$

Mà tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành nên $NP = MQ \Rightarrow Q$ là trung điểm $MF$ hay $\frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

Lại có $D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}$
Câu 21: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD, M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, BD, AC. Phát biểu nào sau đây là sai?
- A.
  MN, SN song song với nhau
- B.
  MN, PQ, RS đồng quy
- C.
  MRNS là hình bình hành
- D.
  6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng
Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD
Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD
=> SN // AD (1)
Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD
=> MR // AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"
Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC
Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"
Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.
Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD
=> Tứ giác MQNP là hình bình hành
=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà G là trung điểm của MN
Do đó G cũng là trung điểm của QP
Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.
Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'
Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.
Câu 22: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD,$ gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA$ và $SC.$ Khi đó $MN$ song song với đường thẳng
- A.
  $AC.$
- B.
  $BC.$
- C.
  $CD.$
- D.
  $AD.$
Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN//AC.$
Câu 23: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy là hình bình hành tâm $O$ , gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC$ và $SD$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $MP$ .
- B.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $NQ$ .
- C.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $SB$ .
- D.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $SD$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $N$ là điểm chung của $(SBD)$ và $(MNP)$ .

Do $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC$ và $SD$ nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = PQ \\MN//AB//CD//PQ \\\end{matrix} \Rightarrow MNPQ ight.$ là hình bình hành.

Vì $BD//NQ \Rightarrow BD//(MNPQ)$ .

Khi đó $(SBD)$ cắt $(MNP)$ theo giao tuyến đi qua $N$ và song song với $BD$ là $NQ$ .

Từ đó ta thấy đáp án

$NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $MP$ .

$NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $NQ$ .

$NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $SD$ .

Là các đáp án đúng

Vì $T$ là trung điểm $SB$ suy ra $T \equiv N \Rightarrow (SBD) \cap (MNP) = N$ .
Câu 24: Thông hiểu
Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB//CD)$ . Gọi $M;N;Q$ lần lượt là trung điểm của $BC;AD;SB$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là:
- A.
  Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ .
- B.
  Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SB$ .
- C.
  Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SC$ .
- D.
  Đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $AB$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $Q \in SB;SB \subset (SAB)$

$Q \in (MNQ)$ nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$

Mặt khác $MN//AB$

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Câu 25: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 26: Nhận biết
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  d’ // d hoặc d’ ≡ d
- B.
  d’ // d
- C.
  d’ ≡ d
- D.
  d’ và d chéo nhau
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’ => d’ // d
Câu 27: Thông hiểu
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  d qua S và song song với AB.
- B.
  d qua S và song song với BC.
- C.
  d qua S và song song với DC.
- D.
  d qua S và song song với BD.
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d//AD//BC$ và d đi qua S
Câu 28: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 29: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  $(SAB) \cap (ABCD) = AB$
- B.
  $AB//(SAC)$
- C.
  $SO \cap (ABCD) = \left\{ O ight\}$
- D.
  $(SAC) \cap (SBD) = SO$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB \cap (SAC) = A$ nên đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại điểm $A$ .

Vậy khẳng định sai là “ $AB//(SAC)$ ”
Câu 30: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Gọi $I$ là trung điểm $SO$ . Mặt phẳng $(ICD)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$ . Khi đó:

a) Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(ICD)$ . Đúng||Sai

b) Ta có $SN = \frac{2}{3}SB$ . Sai||Đúng

c) Cho $AB = a$ thì $MN = \frac{a}{2}$ . Sai||Đúng

d) Trong mặt phẳng $(CDMN)$ , gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$ . Khi đó $SK$ và $BC$ chéo nhau. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Gọi $I$ là trung điểm $SO$ . Mặt phẳng $(ICD)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$ . Khi đó:

a) Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(ICD)$ . Đúng||Sai

b) Ta có $SN = \frac{2}{3}SB$ . Sai||Đúng

c) Cho $AB = a$ thì $MN = \frac{a}{2}$ . Sai||Đúng

d) Trong mặt phẳng $(CDMN)$ , gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$ . Khi đó $SK$ và $BC$ chéo nhau. Sai||Đúng

- Xác định $M,N$ :

Trong mặt phẳng $(SAC)$ , kẻ $CI$ cắt $SA$ tại $M$ ;

Trong mặt phẳng $(SBD)$ , kẻ $DI$ cắt $SB$ tại $N$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} M \in CI,CI \subset (ICD) \\ M \in SA \\ \end{matrix} \Rightarrow M = SA \cap (ICD) ight.$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} N \in DI,DI \subset (ICD) \\ N \in SB \\ \end{matrix} \Rightarrow N = SB \cap (ICD) ight.$ .

-Tính $MN$ theo $a$ :

Gọi $E$ là trung điểm $BN,OE$ là đường trung bình của tam giác $BDN$ $\Rightarrow OE//DN$ .

Trong tam giác $SOE$ , ta có $NI$ qua trung điểm $I$ của $SO$ và $NI//OE,N$ là trung điểm của $SE$ .

Hình vẽ minh họa

-Vậy $SN = NE = EB$ hay $SN = \frac{1}{3}SB$ .

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $SM = \frac{1}{3}SA$ .

Khi đó hai tam giác $SMN,SAB$ đồng dạng vì có góc $S$ chung và $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác $SAB$ , theo định lí Thalès, ta có:

$\frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{AB}{3} = \frac{a}{3}.$

- Chứng minh $SK//BC//AD$ :

Dễ thấy $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in CN,CN \subset (SBC) \\ K \in DM,DM \subset (SAD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (SBC) \cap (SAD) ight.$ .

Vì vậy $SK = (SBC) \cap (SAD)$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} SK = (SBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (SBC),AD \subset (SAD) \Rightarrow SK//BC//AD. \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.$

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai
Câu 31: Vận dụng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
- A.
  Chỉ có (1) đúng
- B.
  Chỉ có (1) và (2) đúng
- C.
  (I), (II), (III) đúng
- D.
  Chỉ có (1) và (IV) đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Câu 32: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD$ và $ACD$ . Xét các mệnh đề sau:

$\ (i):MN//(ABC)$

$(ii):MN//(BCD)$

$(iii):MN//(ACD)$

Các mệnh đề đúng là:
- A.
  $(i);(iii)$
- B.
  $(i);(ii)$
- C.
  $(i);(ii);(iiii)$
- D.
  $(ii);(iii)$
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $CD,BD$ .

Ta có $\frac{AN}{AE} = \frac{AM}{AF} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//EF$

$\Rightarrow MN//(BCD)$ nên mệnh đề $(ii):MN//(BCD)$ đúng.

Ta lại có:

$EF//BC \Rightarrow MN//BC$

$\Rightarrow MN//(ABC)$

=> Mệnh đề $\ (i):MN//(ABC)$ đúng

Mặt khác $MN \cap (ACD) = \left\{ N ight\}$ nên mệnh đề $(iii):MN//(ACD)$ sai.
Câu 33: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $I;J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$ , $SAD$ , $MC = MD,(M \in CD)$ . Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng $IJ$ ?
- A.
  $(SCD)$
- B.
  $(SBD)$
- C.
  $(SBC)$
- D.
  $(SBM)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$IJ//EF//BD \Rightarrow IJ//(SBD)$
Câu 34: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in SA$ sao cho $NA = 2NS$ . Hình chiếu của điểm $N$ qua phép chiếu song song phương $SM$ , mặt phẳng chiếu $(ABC)$ là:
- A.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ .
- B.
  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SBC$ .
- C.
  Trọng tâm tam giác $ABC$
- D.
  Trọng tâm tam giác $SBC$
Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp $S.ABC$ là các tam giác đều nên tam giác $ABC$ đều.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow NG//SM$

Nên $G$ là hình chiếu song song theo phương $SM$ của $N$ trên $(ABC)$ .

Lại do tam giác $ABC$ đều nên $G$ vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ .
Câu 35: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ .
- A.
  hình bình hành
- B.
  hình thoi
- C.
  hình chữ nhật
- D.
  hình vuông
Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ . Ta có:

$A,B$ biến thành B

$A',B'$ biến thành $B'$

$C,D$ biến thành $D$

$C',D'$ biến thành $D'$

Do đó hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biến thành hình bình hành $BDD'B'$ .
Câu 36: Thông hiểu
Cho các đường thẳng $a,b,c$ và các mặt phẳng $(\alpha);(\beta)$ . Giả thiết nào sau đây đủ để kết luận đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ ?
- A.
  $a \cap b = \varnothing$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} a//c \\ b//c \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.$
Nếu $a \cap b = \varnothing$ thì a // b hoặc a, b chéo nhau.

Nếu $\left\{ \begin{matrix} a//c \\ b//c \\ \end{matrix} ight.$ thì a // b hoặc a ≡ b.

Nếu $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.$ thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.
Câu 37: Nhận biết
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung, khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai đường thẳng song song
- B.
  Hai đường thẳng chéo nhau
- C.
  Hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
- D.
  Hai đường thẳng không đồng phẳng
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
Câu 38: Vận dụng cao

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm cạnh AD

Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.

Dễ thấy $SQ = (IGE) \cap (SBC)$ .

Do đó: $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow GE//SQ$ $\Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS}$ $\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác, tam giác $EIA$ đồng dạng với tam giác $EQC$ nên $\frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}$

Suy ra $EQ = x.EI$ .

$\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}$ .

Từ và $\Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow x = 2$ .
Câu 39: Nhận biết
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
- A.
  Hình thang có hai đáy không bằng nhau.
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình thoi
Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:

Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.
Câu 40: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là
- A.
  đường thẳng đi qua M và song song với AB.
- B.
  đường thẳng đi qua N và song song với BD.
- C.
  đường thẳng đi qua G và song song với CD.
- D.
  đường thẳng đi qua G và song song với BC.
Hình vẽ minh họa
Gọi $d = (GMN) \cap (BCD)$
Khi đó $d$ đi qua $G$ . Xét ba mặt phẳng $(GMN),(BCD),(ACD)$
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,CD,MN$ .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,CD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà $MN//CD\ = > \ d//CD$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

49 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!