Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
,
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đáp án sai.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
,
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đáp án sai.
Cho ba đường thẳng
đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.
Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.
Cho hình chóp
có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
không song song
Đúng||Sai
b)
song song
Đúng||Sai
c)
song song
Sai||Đúng
d)
song song
Sai||Đúng
Cho hình chóp có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) không song song
Đúng||Sai
b) song song
Đúng||Sai
c) song song
Sai||Đúng
d) song song
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Từ suy ra:
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.
Cho tứ diện
,
sao cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AD.
Ta có:
Mà
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Cho hình chóp
có các cạnh bên bằng nhau, đáy
là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua điểm
và song song với
. Các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Gọi
lần lượt là các giao điểm của
với
thì
.
Do đó là hình vuông và
Vậy diện tích tứ giác là .
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?
Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa a và b là:
a cắt b
a song song với b
a chéo nhau với b
Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Tính tỉ số độ dài
và ![]()
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua
và song song với
, cắt
,
lần lượt tại
=>
=> là trung điểm của
Trong mặt phẳng , gọi
=> là trung điểm của
.
Trong mặt phẳng , gọi
.
=> là giao điểm của
và
.
Xét tam giác có
vì
là đường trung bình của tam giác
.
Theo định lí Ta-lét (vì
là trung điểm của
và
là trung điểm
)
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
Khi đó (vì
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
)
Suy ra
Vậy khẳng định sai là .
Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác
Dễ thấy đồng quy tại điểm M.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?
Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm O. Lấy
là trọng tâm tam giác
,
sao cho
. Xác định tỉ số
với
.
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm
.
Ta có: =>
là đường trung bình tam giác
(tính chất đường trung bình).
Do đó qua kẻ đường thẳng song song
cắt
tại
=> .
Mà theo giả thiết là trọng tâm tam giác
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Khi đó khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa
Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
biến: M thành P, N thành
.
Do đó
Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
biến:
thành
, R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.
Vậy
Vậy khẳng định sai là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng
và
Mặt khác
Vậy giao tuyến của mặt phẳng và
là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề: “Hình biểu diễn của ba điểm thẳng hàng là một tam giác” sai vì hình biểu diễn phải giữ nguyên tính chất thẳng hàng của 3 điểm.
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Lấy các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Xét tam giác có:
Theo định lí đảo của định lí Thales, ta có (1).
Mặt khác là đường trung bình của tam giác
=> (2)
Từ (1) và (2) ta có .
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang với đáy nhỏ
. Lấy các điểm
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Để giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp
là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh
bằng:
Hình biểu diễn
Ta có: với
và đi qua
, song song với
.
=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp
là hình thang
. Tính
Để hình thang là hình bình hành thì
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
;
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của đường thẳng
và
là
Hình vẽ minh họa
Trong gọi
, mà
Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến của chúng sẽ có bao nhiêu vị trí tương đối?
Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn đáp án đúng.
Ta có:
Cho tứ diện
có độ dài tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và tứ diện
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
Ta có:
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện
Tam giác ABD đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Tam giác ABC đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Gọi H là trung điểm của CD
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Cho tứ diện
,
là trọng tâm tam giác
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì nên
.
Cho đường thẳng
song song với mặt phẳng
. Nếu mặt phẳng
chứa
và cắt
theo giao tuyến
thì
và
là hai đường thẳng:
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng
. Nếu mặt phẳng
chứa
và cắt
theo giao tuyến
thì
song song với
.
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh bằng
. Lấy
là trung điểm của
,
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh hoạ
Trong mp(ABD) kẻ
Trong mp(ABC) kẻ
Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.
Khi đó
=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.
Ta lại có:
Mặt khác
Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:
Diện tích tam giác PIM
Với
Cho điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Kí hiệu nào sau đây đúng?
Kí hiệu đúng là:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là

Hình vẽ minh họa
Gọi
Khi đó đi qua
. Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi,
. Gọi
là mặt phẳng qua
song song với các đường thẳng
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh hoạ
Xét mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua
và song song với
, cắt
lần lượt tại
.
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với
, cắt
tại
.
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với
, cắt
tại
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang với
.
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?
Ta có song song với
theo tính chất hình bình hành.
Cho hai hình bình hành
và
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d) Sáu điểm
là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai
Cho hai hình bình hành và
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) Sáu điểm là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: và
cắt nhau tại
.
b) Đúng.
Vì là hình bình hành nên
, suy ra
.
Vì là hình bình hành nên
, suy ra
.
Mà và
cắt nhau nên
.
c) Sai: Vì và
có điểm
chung.
d) Đúng:
Vì và
là hình bình hành nên
đôi một song song
Mặt khác (theo câu b)
Do đó 6 điểm là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác