Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  (P) và (Q) cắt nhau
- B.
  (P) và (Q) song song với nhau
- C.
  (P) và (Q) trùng nhau
- D.
  (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.
Hình vẽ minh họa
Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.
Câu 2: Thông hiểu
Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
- A.
  Chỉ có (1) sai.
- B.
  Chỉ có (2) sai
- C.
  Chỉ có (3) sai
- D.
  (1), (2) và (3) đều sai
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Câu 3: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Câu 4: Vận dụng cao

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Đáp án là:

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $A B = 1 ; A A' = 2$ . Gọi $L$ là trung điểm $B'D$ , mặt phẳng $(P)$ qua $L$ và song song $AC$ lần lượt cắt $A A'; C C'; D D'$ tại $E ; F ; K$ .

Đặt $\frac{DK}{DD'} = x$ . Khi $(EFK)//(MA'C')$ thì $P = \frac{2025x}{1005}$ bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 2,01

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(A'B'C'D')$ , $O' = A'C' \cap B'D'$ .

Trong mặt phẳng $(B'D'DB)$ , $Q = B'D \cap MO'$ .

$ML$ là đường trung bình của tam giác $B'BD$ nên $ML\ //\ BD\ //\ B'D'$ $(1)$ .

$O'L$ là đường trung bình của tam giác $B'D'D$ nên $LO'\ //\ D'D\ //\ B'B$ $(2)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra tứ giác $MLO'B'$ là hình bình hành nên $Q$ là trung điểm $B'L \Rightarrow QO'//LD'$ $(3)$ .

Ta có $EF\ //\ A'C'$ nên để $(EFK)//(MA'C')$ thì $\Rightarrow QO'//LK$ $(4)$ .

Từ $(1)$ , $(2)$ suy ra $K \equiv D' \Rightarrow \frac{DK}{DD'} = 1 \Rightarrow x = 1$ .

Vậy $P = \frac{2025x}{1005} = \frac{2025}{1005} \approx 2,01$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ , $AD//BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ là:
- A.
  $SP$ ( $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ )
- B.
  $SO$ ( $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ )
- C.
  $SJ$ ( $J$ là giao điểm của $AM$ và $BD$ )
- D.
  $SI$ ( $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ )
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ . Khi đó: $SI = (MSB) \cap (SAC)$ .
Câu 6: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$ và $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $N$ là gia điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$ và $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $N$ là gia điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$ .

Đáp án: 3

Hình vẽ minh họa

Ta có $M$ là điểm trên cạnh $SB$ , $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{MB}{MS} = 2$ .

$IK//BD$ nên $IK//(SBD)$ suy ra $(SBD) \cap (SIK) = Sx,\ \ Sx//IK//BD$ .

Trong $(SBD),\ \ DM \cap Sx = N.$

$N$ chính là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ .

Trong $(SBD)$ , có $Sx//BD$ nên hai tam giác $\Delta SMN$ và $\Delta BMD$ đồng dạng.

Do đó $\frac{MD}{MN} = 2 \Rightarrow \frac{ND}{NM} = 3$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
- A.
  $(CB'D')$
- B.
  $(A'BC)$
- C.
  $(AD'C)$
- D.
  $(BA'C')$
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , $I = AC \cap BD$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ bất kì cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại $A',B',C',D'$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  Các đường thẳng $AB,CD,C'D'$ đồng quy.
- B.
  Các đường thẳng $AB,CD,A'B'$ đồng quy.
- C.
  Các đường thẳng $A'C',B'D',SI$ đồng quy.
- D.
  Các đường thẳng $A'D',B'C',SI$ đồng quy.
Hình vẽ minh hoạ

Ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} A'C' = (\alpha) \cap (SAC) \\ B'D' = (\alpha) \cap (SBD) \\ SI = (SBD) \cap (SAC) \\ \end{matrix} ight.$

=> Các đường thẳng $A'C',B'D',SI$ đồng quy.
Câu 9: Nhận biết
Gọi $d$ là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ . Nếu đường thẳng $d'$ song song với cả hai mặt phẳng thì:
- A.
  $d;d'$ chéo nhau
- B.
  $d;d'$ trùng nhau
- C.
  $d;d'$ song song
- D.
  $d;d'$ cắt nhau
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Câu 10: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ , $P$ là trung điểm cạnh $SA$ . Khi đó:

a) $MN//BC$ Đúng||Sai

b) $PN//SD$ Sai||Đúng

c) $MN//(SAD)$ Đúng||Sai

d) $SC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ , $P$ là trung điểm cạnh $SA$ . Khi đó:

a) $MN//BC$ Đúng||Sai

b) $PN//SD$ Sai||Đúng

c) $MN//(SAD)$ Đúng||Sai

d) $SC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ nên $MNCB$ là hình bình hành nên $MN//BC$ .

b) Sai

Do $PN,\ \ SD$ không đồng phẳng nên $PN$ không thể song song với $SD$

c) Đúng

Do $MN//BC \Rightarrow MN//AD$ mà $AD \subset (SAD) \Rightarrow MN//(SAD)$ .

d) Sai

Do $OP$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $SC//OP$ , mà $OP \subset (MNP)$ nên $SC//(MNP)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J, E, F$ lần lượt là trung điểm $SA, SB, SC, SD$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với $IJ$ ?
- A. EF
- B. DC
- C. AD
- D. AB
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$IJ$ là đường trung bình tam giác SAB nên $IJ{m{//}}AB$
$ABCD$ là hình bình hành nên $AB{m{//}}CD$
=> $IJ{m{//}}CD$
$EF$ là đường trung bình tam giác $SCD$
=> $EF{m{//}}CD$ => $IJ{m{//}}EF$
Vậy $AD$ không song song với $IJ$ .
Câu 12: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ , điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:
- A.
  Điểm $N$
- B.
  Giao điểm của $MG$ và $AN$
- C.
  Giao điểm của $MG$ và $AC$
- D.
  Giao điểm của $MG$ và $CD$
Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác $ABN$ ta có: $\frac{BM}{AB} < \frac{BG}{BN} \Rightarrow P = MG \cap AN$

Vậy $P = MG \cap (ACD)$
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $(SAD) \cap (SBC) = d$ . Đường thẳng nào song song với $d$ trong các đường thẳng dưới đây?
- A.
  $BD$
- B.
  $AC$
- C.
  $AD$
- D.
  $SC$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AD//BC \\AD \subset (SAD) \\BC \subset (SBC) \\S \in (SAD) \cap (SBC) \\\end{matrix} ight.$
$= > (SAD) \cap (SBC) =St//AD//BC$
=> $(SAD) \cap (SBC) = St$ hay $St \equiv d$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $St$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I;J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$ , lấy điểm $E \in AD;E eq A;E eq D$ . Thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(IJE)$ với tứ diện $ABCD$ là:
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình thang cân
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình bình hành
Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

$\left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight.$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(IJE)$ là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi $F = d \cap AC$ ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(IJE)$ .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.
Câu 16: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
- A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong (β).
- B. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) thì (α) và (β) song song với nhau.
- C. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
- D. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "
Câu 17: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó, giao điểm của $EG$ và $(ABC)$ là:
- A.
  Điểm $C$
- B.
  Giao điểm của $EG$ và $AF$
- C.
  Điểm $F$
- D.
  Giao điểm của $EG$ và $BD$
Hình vẽ minh họa

Kéo dài $EG$ cắt $AF$ tại $I$ .

Khi đó $I$ là giao điểm của $EG$ và $(ABC)$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
- A. S, I, J thẳng hàng.
- B. $DM \in\left( {SCI} ight)$
- C. $JM \in \left( {SAB} ight)$
- D. $SI = \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight)$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} S \in \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) \hfill \\ I = AB \cap CD \hfill \\ AB \subset \left( {SAB} ight) \hfill \\ CD \subset \left( {SCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) = SI \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} DM \cap \left( {SAB} ight) = J \hfill \\ DM \subset \left( {SCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow J \in \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) = SI \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: " $JM \in \left( {SAB} ight)$ "
Câu 20: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $I;J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$ , $SAD$ , $MC = MD,(M \in CD)$ . Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng $IJ$ ?
- A.
  $(SCD)$
- B.
  $(SBD)$
- C.
  $(SBC)$
- D.
  $(SBM)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$IJ//EF//BD \Rightarrow IJ//(SBD)$
Câu 21: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  (NOM) cắt (OPM).
- B.
  (MON) // (SBC).
- C.
  (PON) ∩ (MNP) = NP.
- D.
  (NMP) // (SBD).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$MN // AD$ (đường trung bình 4SAD)
$OP // AD$ (đường trung bình 4BAD)
$=> MN // OP$
=> O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.
$\left\{ \begin{matrix}MN//AD//BC \subset (SBC) \\OM//SC \subset (SBC) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow (OMN)//(SBC)$
Câu 22: Vận dụng
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng $14$ . Tìm số cạnh của đa giác đáy?
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Một hình chóp có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có $n + 1$ đỉnh và $2n + 1$ cạnh

Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

$\begin{matrix} \Leftrightarrow n + 1 + 2n + 1 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n + 2 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Câu 23: Thông hiểu
Cho mặt phẳng $(P)$ và hai đường thẳng $a,\ \ b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $a\ //\ (P)$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ b$ .
- B.
  Nếu $a\ //\ b$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ (P)$ .
- C.
  Nếu $a\ //\ b$ và $\left\{ \begin{matrix} b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight.$ thì $a\ //\ (P)$ .
- D.
  Nếu $a\ //\ (P)$ và $b// (P)$ thì $a\ //\ b$ .
Xét phương án “Nếu $a\ //\ (P)$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ b$ ” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} a//(P) \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight\}$ thì $a//b$ hoặc $a$ chéo $b$ , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu $a\ //\ b$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ (P)$ .” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} \ \ \ \ a//b \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight\}$ thì $a//(P)$ hoặc $a \subset (P)$ , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu $a\ //\ b$ và $\left\{ \begin{matrix} b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight.$ thì $a\ //\ (P)$ .” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} \ \ \ \ a//b \\ b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow a//(P)$ , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu $a\ //\ (P)$ và $b // (P)$ thì $a\ //\ b$ ” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} a//(P) \\ b//(P) \\ \end{matrix} ight\}$ thì $a//b$ hoặc $a$ chéo $b$ hoặc $a$ cắt $b$ , vậy phương án sai.
Câu 24: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình thang
- D.
  Hình thoi
Hình vẽ minh họa
Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)
$CD// AB; CD ⊂ (MCD); AB ⊂ (SAB)$
Điểm M chung
=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.
Vậy $MN // CD$
Mặt khác $MN ≠ CD$ ( vì $MN= 1/2AB ; AB = CD$ )
Vậy thiết diện là hình thang CNMD.
Câu 25: Nhận biết
Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $b$ nằm trong mặt phẳng $(\beta)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $(\alpha)//(\beta) \Rightarrow a//b$
- B.
  $(\alpha)//(\beta) \Rightarrow a//(\beta)$
- C.
  $(\alpha)//(\beta) \Rightarrow b//(\alpha)$
- D.
  $a//b$ hoặc $a,b$ chéo nhau
Nếu $(\alpha)//(\beta)$ thì ngoài trường hợp $a//b$ thì $a,b$ có thể chéo nhau.
Câu 26: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song.
- B.
  Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau là hai đường cắt nhau.
- C.
  Hình biểu diễn của ba điểm thẳng hàng là một tam giác.
- D.
  Hình biểu diễn của hình chữ nhật là hình bình hành.
Mệnh đề: “Hình biểu diễn của ba điểm thẳng hàng là một tam giác” sai vì hình biểu diễn phải giữ nguyên tính chất thẳng hàng của 3 điểm.
Câu 27: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $ABD$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $IJ//CD$
- B.
  $IJ;CD$ chéo nhau
- C.
  $IJ//AB$
- D.
  $IJ;AB$ cắt nhau
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra $\frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow JI//MN(**)$

Từ (*) và (**) suy ra TH

1
Câu 28: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $AB$
- B.
  $BD$
- C.
  $AC$
- D.
  $SD$
Hình vẽ minh họa

Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ta có:

$S$ là điểm chung

Mà $\left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ AB \subset (SAB) \\ CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d = (SAB) \cap (SCD)$ với $d$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB,CD$ .
Câu 29: Thông hiểu
Cho hình chóp $A.BCD$ có $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  $HK$ và $AD$ cắt nhau
- B.
  $HK$ và $CD$ chéo nhau
- C.
  $HK$ và $CD$ song song
- D.
  $HK$ và $BC$ cắt nhau
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ .

Xét tam giác $MCD$ có:

$\frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3}$ (do $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và tam giác $ABC$ )

$\ = > HK//CD$
Câu 30: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M \in AD$ sao cho $\frac{AD}{AM} = 3$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Đường thẳng $GM$ song song với mặt phẳng:
- A.
  $(SCD)$
- B.
  $(SCB)$
- C.
  $(SBD)$
- D.
  $(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ , lấy $K \in SA$ sao cho $AS = 3AK$

Ta có: $\frac{AK}{AS} = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{3} \Rightarrow KM//SD$

Mặt khác $\frac{SK}{SA} = \frac{SG}{SM} = \frac{2}{3} \Rightarrow GK//AN$

$\Rightarrow GK//CD$

$\Rightarrow (GMK)//(SCD) \Rightarrow GM//(SCD)$
Câu 31: Nhận biết
Trong mặt phẳng $(\alpha)$ , cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ cắt $CD$ tại $E$ , $AC$ cắt $BD$ tại $F$ , $S$ là điểm không thuộc $(\alpha)$ . Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là
- A.
  $SF$ .
- B.
  $SD$ .
- C.
  $AC$ .
- D.
  $SE$ .
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có hai điểm chung là $S$ và $E$ nên có giao tuyến là đường thẳng $SE$ .
Câu 32: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $M;M'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ . Giao của $AM'$ với $(A'BC)$ là:
- A.
  Giao của $AM'$ với $B'C'$
- B.
  Giao của $AM'$ với $BC$
- C.
  Giao của $AM'$ với $A'C$
- D.
  Giao của $AM'$ với $A'M$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;M'$ là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ nên $MM'//BB'//CC'//AA'$

Suy ra $A;A';M';M$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng $(AA'M'M)$ gọi $T$ là giao điểm của $A'M$ và $AM'$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'M \cap AM' \equiv T \\ A'M \subset (A'BC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AM' \cap (A'BC) = A'M \cap AM' = T$

Vậy giao của $AM'$ với $(A'BC)$ là giao của $AM'$ với $A'M$ .
Câu 33: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên $\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ .

b) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên

$\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF$

Mà $\ EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD).$

c) Đúng.

Vì $BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD)$ .

Vì $EF$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$ nên

$BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF).$

d) Sai.

Ta có: $IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ$ mà $IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ)$ .
Câu 34: Vận dụng
Cho hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ . Các điểm $M,N$ tương ứng trên $AC',B'D'$ sao cho $MN$ song song với $BA'$ . Tính tỉ số $\frac{MA}{MC'}$ ?
- A.
  $\frac{MA}{MC'} = 2$
- B.
  $\frac{MA}{MC'} = 3$
- C.
  $\frac{MA}{MC'} = 4$
- D.
  $\frac{MA}{MC'} = 1$
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A'B'C'D')$ theo phương chiếu $BA'$ .

Ta có: $N$ là ảnh của $M$ hay $M$ chính là giao điểm của $B'D'$ và ảnh $AC'$ qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định $M,N$ như sau:

Trên $A'B'$ kéo dài lấy điểm $K$ sao cho $A'K = B'A'$ suy ra $K$ là ảnh của $A$ trên $AC'$ qua phép chiếu song song.

Gọi $N = B'D' \cap KC'$ . Đường thẳng qua $N$ và song song với $AK$ cắt $AC'$ tại $M$ . Ta có: $M,N$ là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales ta có:

$\frac{MA}{MC'} = \frac{NK}{NC'} = \frac{KB'}{C'D'} = 2$
Câu 35: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
- A.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- B.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
- C.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó chứa hai đường thẳng song song.
- D.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.
Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”

Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”
Câu 36: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau.
- B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
- C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
- D. Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất.
Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."
Câu 37: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $M$ là trung điểm của $BC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với $BD$ và $SC$ . Giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp là hình:
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có:

$MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có:

$MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của $(\alpha)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 38: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
- A.
  Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ.
- B.
  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
- C.
  Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là một hình lăng trụ đều.
- D.
  Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Câu 39: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 40: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng nào?
- A.
  $BC$ .
- B.
  $BD$ .
- C.
  $SO$ .
- D.
  $AC$ .
Hình vẽ minh họa:

Dễ dàng thấy được: $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ $\Rightarrow IJ // AC$ .

38 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!