Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn khẳng định sai

    Từ hình vẽ ta thấy DC'//AB' => "DC', AB' chéo nhau" sai.

  • Câu 2: Nhận biết

    Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

    Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,K lần lượt là trung điểm của CD,CB,SA. Gọi H là giao điểm của AC và MN. Giao điểm của SO với (MNK) là điểm E. Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau.

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (SAC) gọi E = KH \cap SO.

    Mà HK \subset (MNK) nên E = SO \cap (MNK)

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A, \widehat{B} = 60^{0},AB = SB = a. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (P) \cap (ABC) = M \\ (P)//AI \\ AI \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    Do đó giao tuyến của (P) với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

    Tương tự \left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MQ//SB;(M \in SA) \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP//SB;(P \in SC) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy giao tuyến của (P) với hình chóp S.ABC là tứ giác MNPQ.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong hình học không gian

    Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của AD và ACvà G là trọng tâm của tam giác BCD. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng (IJG) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng đi qua điểm

    Hình vẽ minh họa

    Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

    Gọi d = (GIJ) \cap (BCD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} G \in (GIJ);G \in (BCD) \\ IJ \subset (GIJ);CD \subset (BCD) \\ IJ//CD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng a\subset(\alpha). Khẳng định nào sau đây sai?

    Nếu a song song với (\alpha) và đường thẳng b \subset (\alpha) thì b và a hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD. Điểm A' nằm trên cạnh SC (A' eq S).Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABA') là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

    Đáp án: 4 cạnh.

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD. Điểm A' nằm trên cạnh SC (A' eq S).Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABA') là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

    Đáp án: 4 cạnh.

    Hình vẽ minh họa

    Xét (ABA') và (SCD) ta có:

    \left\{ \begin{matrix} A' \in SC,SC \subset (SCD) \\ A' \in (ABA') \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A' là điểm chung thứ nhất.

    Gọi I = AB \cap CD

    Có \left\{ \begin{matrix} I \in AB,AB \subset (ABA') \\ I \in CD,CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I là điểm chung thứ hai.

    \Rightarrow (ABA') \cap (SCD) = IA'

    Gọi M = IA' \cap SD. Ta có:

    (ABA') \cap (SCD) = A'M

    (ABA')\cap (SAD)=AM

    (ABA') \cap (ABCD) = AB

    (ABA') \cap (SBC) = BA'

    Thiết diện là tứ giác ABA'M.

    Vậy thiết diện là đa giác có 4 cạnh.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)

    Hình vẽ minh họa

    Mặt phẳng nào song song với (IJK)

    Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

    => \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2 (tính chất trọng tâm tam giác)

    => IJ//MN(1)

    Xét mặt phẳng (AA'EM) ta có: \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2

    => IK//ME

    Mà ME //BB'

    => IK//BB'(2)

    Từ (1) và (2) => (IJK) và (BB'C)là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ:

    Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I,J lần lượt là trung điểm SA, SC. Đường thẳng IJ song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

    Hình vẽ minh họa

    Do IJ là đường trung bình của tam giác SAC \Rightarrow IJ//AC.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Đáp án “Đường thẳng a \subset (P) và đường thẳng b \subset (Q) thì a\ //\ b” sai vì nếu (P)//(Q)và đường thẳng a \subset (P);\ b \subset (Q) thì a và b có thể chéo nhau.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q) và (R). Xét các mệnh đề sau

    1) Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    2) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    3) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song (R) với thì (P) song song với (Q).

    4) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt (R) với thì (P) song song với (Q).

    Số mệnh đề đúng là:

    Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với (Q) thì (P) song song với (Q)

    Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

    Mệnh đề 4 là mệnh đề sai

  • Câu 15: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

    TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

    TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

    Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

    Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, đáy AB = 6;DC = 4. Mặt phẳng (P) song song với \left( {ABCD} ight) và cắt các cạnh SA tại M sao cho \frac{{SA}}{{SM}} = 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, đáy AB = 6;DC = 4. Mặt phẳng (P) song song với \left( {ABCD} ight) và cắt các cạnh SA tại M sao cho \frac{{SA}}{{SM}} = 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác DBC có \frac{DO}{DB} =\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//BC

    Xét tam giác ABC có: \frac{AO}{AC} =\frac{AJ}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow OJ//BC

    Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng

    Suy ra (IJK) \cap (ABCD) = OK đúng

    Tương tự ta cũng chúng minh được OH//IJ (Vì OH//SB;IJ//SB)

    Suy ra H \in (IJO) \Rightarrow (IJO) \cap(SBD) = OH

    Gọi F là trung điểm của SA khi đó \frac{SI}{SF} = \frac{SH}{SD} = \frac{2}{3}\Rightarrow IH//DF

    Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.

    Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Chọn phát biểu đúng

    Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.

    => AC và A’C’ cắt nhau.

    Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm thiết diện

    Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)

    CD// AB; CD ⊂ (MCD); AB ⊂ (SAB)

    Điểm M chung

    => Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.

    Vậy MN // CD

    Mặt khác MN ≠ CD ( vì MN= 1/2AB ; AB = CD)

    Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?

    Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

    Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

    Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Xác định thiết diện

    Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.

    Xét (ABC) ta có:

    Qua M kẻ EF // AB (1)

    Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF

    Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE

    Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)

    => Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG

    Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( \alpha ight) \cap \left( {ACD} ight) = FG} \\ {\left( \alpha ight)//DC} \end{array}} ight. \Rightarrow FG//DC\left( 4 ight)

    Từ (1), (2), (3), (4) => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {EF//GH} \\ {EH//GF} \end{array}} ight.

    => EFGH là hình bình hành

  • Câu 22: Nhận biết

    Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

    Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

    Có vô số mặt phẳng chứa a và song song với b (đó là tất cả các mặt phẳng chứa a nhưng không chứa b).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Trọng tâm các tam giác ABC,ACC',A'B'C' lần lượt là I,J,K. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (IJK).

    Theo bài ra ta có:

    Các điểm I,J,K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,ACC',A'B'C' .

    \Rightarrow \frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN.

    \Rightarrow IJ//(BCC'B')

    Chứng minh tương tự IK//(BCC'B') \Rightarrow (IJK)//(BCC'B')

    \Rightarrow (IJK)//(BC'B')

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm SA,SB,SC và SD. Chọn khẳng định sai.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có N là điểm chung của (SBD) và (MNP).

    Do M,N,P,Q lần lượt là trung điểm SA,SB,SC và SD nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = PQ \\MN//AB//CD//PQ \\\end{matrix} \Rightarrow MNPQ ight. là hình bình hành.

    Vì BD//NQ \Rightarrow BD//(MNPQ).

    Khi đó (SBD) cắt (MNP) theo giao tuyến đi qua N và song song với BD là NQ.

    Từ đó ta thấy đáp án

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm MP.

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm NQ.

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm SD.

    Là các đáp án đúng

    Vì T là trung điểm SB suy ra T \equiv N \Rightarrow (SBD) \cap (MNP) = N.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi Bx;Cy,Dz lần lượt là các đường thẳng đi qua B,C,D và song song với nhau. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A cắt các đường Bx;Cy,Dz lần lượt tại B_{1};C_{1},D_{1} sao cho BB_{1} = 4;CC_{1} = 6 . Độ dài cạnh DD_{1} là: 2

    Đáp án là:

    Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi Bx;Cy,Dz lần lượt là các đường thẳng đi qua B,C,D và song song với nhau. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A cắt các đường Bx;Cy,Dz lần lượt tại B_{1};C_{1},D_{1} sao cho BB_{1} = 4;CC_{1} = 6 . Độ dài cạnh DD_{1} là: 2

     Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm của AC_{1} .

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight) . Mà I \in AC_{1} \subset (P) nên I \in B_{1}D_{1}

    Hình thang BB_{1}D_{1}D có OI là đường trung bình nên OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử G,G' lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB;SCD. Cho các khẳng định sau:

    i) GG'//(SBC)

    ii) GG'//(SAD)

    iii) GG'//(SAC)

    iv) GG'//(ABD)

    Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD

    Do G,G' lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên \frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN

    Mà MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)

    Ta có: MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC

    Mà \left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 3 khẳng định đúng.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD) là đường thẳng

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AB//DC \\ AB \subset (SAB) \\ DC \subset (SCD) \\ S \in (SAB) \cap (SCD) \\ \end{matrix} ight. suy ra giao tuyến của mặt phẳng (SAB)và mặt phẳng (SCD) là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.

  • Câu 30: Nhận biết

    Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?

    Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (\alpha) tùy ý thể là:

    Vì số mặt của hình chóp S.ABCD là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

    => Không thể là lục giác.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

    Giả sử (\alpha) song song với (\beta). Một đường thẳng a song song với (\beta) có thể nằm trên (\alpha).

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên các cạnh SB và AB lần lượt lấy các điểm M,N sao cho 4SM = SB và \frac{NA}{NB} = \frac{1}{3}. Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng MN?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \left\{\begin{matrix}N \in AB \\\dfrac{NA}{NB} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{NA}{AB} =\frac{1}{4}

    Xét tam giác SAB ta có: \frac{SM}{AB} = \frac{AN}{AB} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow MN//SA mà \left\{ \begin{matrix} SA \subset (SAC) \\ MN ⊄ (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN//(SAC)

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Lấy I là trung điểm của AC, J \in AD sao cho \frac{AJ}{AD} = 2. Giả sử mặt phẳng (\alpha) chứa IJ và song song với AB. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh hoạ

    Trong mp(ABD) kẻ JN // AB, (N ∈ BD).

    Trong mp(ABC) kẻ IM // AB, (M ∈ BC).

    Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó AD = \frac{1}{2}CD = BD

    => Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

    \Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}

    Ta lại có: \frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}

    \Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}

    Mặt khác

    JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}

    IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}

    Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

    AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}

    PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM

    Diện tích tam giác PIM

    S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}

    Với p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a

    \Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}

    \Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông AA'D'D. Xác định các giao tuyến của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' tạo với mặt phẳng (CMN). Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.

    Hình vẽ minh họa

    Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

    Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.

    Tứ giác CQPM là hình thang có

    CM = \frac{a\sqrt{5}}{2};OM =\frac{a\sqrt{13}}{6};PQ = \frac{a\sqrt{10}}{3};CQ =\frac{a\sqrt{13}}{3}

    \Rightarrow MF = PQ =\frac{a\sqrt{10}}{3};CF = PM = \frac{a\sqrt{13}}{6}

    Ta có: S_{CMPQ} = 3S_{CMF}

    S_{CMF} = \sqrt{p(p - CM)(p - CF)(p -MF)} với p = \frac{CM + MF +FC}{2}

    Thay giá trị các cạnh ta có S_{CMF} =\sqrt{\frac{7}{72}}a^{2} \Rightarrow S_{CMPQ} =\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M;M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Giao của AM' với (A'BC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;M' là trung điểm của BC và B'C' nên MM'//BB'//CC'//AA'

    Suy ra A;A';M';M cùng thuộc một mặt phẳng.

    Trong mặt phẳng (AA'M'M) gọi T là giao điểm của A'M và AM'.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} A'M \cap AM' \equiv T \\ A'M \subset (A'BC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AM' \cap (A'BC) = A'M \cap AM' = T

    Vậy giao của AM' với (A'BC) là giao của AM' với A'M.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

    Đáp án: "Nếu (∝) // (β) và d_1 ⊂ (∝); d_2 ⊂ (β) thì d_1 // d_2" và "Nếu d_1 // (∝) và d_2 // (β) thì d_1 // d_2" sai vì hai đường thẳng d_1,d_2 có thể chéo nhau.

    Đáp án: "Nếu d_1 // d_2 và d_1⊂(∝), d_2⊂(β) thì (∝) //(β)" sai vì hai mặt phẳng (∝), (β) có thể cắt nhau.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ.

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ

    Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}.

    Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME \Rightarrow N là trung điểm của đoạn thẳng ME.

    Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP\ //\ MQ và N là trung điểm EM) \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF

    Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP = MQ \Rightarrow Q là trung điểm MF hay \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    Lại có D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD//BC. Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là giao điểm của AC và BM. Khi đó: SI = (MSB) \cap (SAC).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 46 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập