Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

Hình vẽ minh họa

Ta có:

, d đi qua S và .

Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng và

Ta lại có: nên là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là

 Phát biểu sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."

Hình vẽ minh họa

Gọi

Khi đó đi qua . Xét ba mặt phẳng

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

Hình vẽ minh họa

Kéo dài cắt tại .

Khi đó là giao điểm của và .

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Vì là hình bình hành, ta có

Vì là hình bình hành, ta có

Mặt khác:

Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là: .

 Ta có:

Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.

=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và d đi qua S

Có 2 hình chóp tứ giác

Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa và cắt theo giao tuyến thì song song với .

Hình chóp có 7 mặt trong đó có 6 mặt bên và 1 mặt đáy.

Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác đều.

Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có

Nên là hình chiếu song song theo phương của trên .

Lại do tam giác đều nên vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

Ta có:

=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến và

=>

Chứng minh tương tự ta có:

=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến và

=>

Từ (1) và (2) => là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Do suy ra hình chiếu song song của điểm theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và

Tương tự ta cũng có

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Ta có khẳng định sai là: “Nếu và thì ."

Hình vẽ minh họa:

Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.

Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.

Khi đó ME // NF // CD và

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.

Ta có .

Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)

Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:

Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:

Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.

Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.

Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.

=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.

Ta có:

=>

=> Mx cắt SC tại N.

Ta có:

=>

=> Qx cắt SD tại P

Tứ giác BCDE là hình bình hành

=> CD // BE // MQ

=> CD // (α).

Ta có:

=>

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình tam giác (1)

Ta có là đường trung bình của tam giác .

.

Gọi lần lượt là trung điểm .

Ta có

nên mệnh đề đúng.

Ta lại có:

=> Mệnh đề đúng

Mặt khác nên mệnh đề sai.

 Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm lần lượt là .

Gọi

Từ kẻ song song với .

Ta có:

(1)

Ta có:

(2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác .

Phép chiếu song song phương lên mặt phẳng sẽ biến thành , biến thành , biến thành , biến thành .

Nên hình chiếu song song của hình lập phương là hình vuông.