Cho hình lập phương
. Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng
là:

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .
Cho hình lập phương
. Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng
là:

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có:
Suy ra , với
là đường thẳng qua
và
.
Hình vẽ minh họa
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có: .
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có .
Xét tam giác , ta có
là đường trung bình
.
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Khẳng định đúng là:
Nếu thì tồn tại trong
đường thẳng
để
.
Cho hình chóp tam giác
. Trên các cạnh
và
lần lượt lấy các điểm
sao cho
và
. Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
Xét tam giác ta có:
mà
Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?
Ta có:
=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến
và
=>
Chứng minh tương tự ta có:
=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến
và
=>
Từ (1) và (2) => là hình bình hành.
Cho hình chóp tứ giác
đáy
là hình thang đáy nhỏ
,
,
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)
Xét mặt phẳng có:
=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng
(2)
Từ (1) và (2)
Xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai mặt phẳng và
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong
đều song song với
.”.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho PB = 2PD. Khi đó giao điểm của đường thẳng CD với (MNP) là:
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác , gọi
Khi đó .
Vậy giao điểm của đường thẳng với
là giao điểm của
và
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Cho hình chóp có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Gọi ta có
thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
và
.
Thiết diện là hình thang (vì
).
Ta có , mà
.
Ta có là trung điểm
,
là trung điểm của
nên
.
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vậy
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng
Kí hiệu tên của mặt phẳng là .
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Các điểm
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
ta thu được ảnh lần lượt là
. Hình chóp
cần thêm điều kiện gì để tứ giác
là hình vuông?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Để là hình vuông thì
suy ra hình chóp
có mặt bên
vuông cân tại
.
Cho hình hộp
. Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp . Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Tương tự:
Suy ra mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành
.
Mặt khác .
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
thì
là đường trung bình của tam giác
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của
và
thì
là đường trung bình của tam giác
(vì
và
là trung điểm
)
Mà tứ giác là hình bình hành nên
là trung điểm
hay
Lại có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
lần lượt là trung điểm của
. Tìm đặc điểm của giao tuyến
của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó đi qua
.
Xét ba mặt phẳng .
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà (do
là đường trung bình của tam giác
) nên
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
đi qua
và song song với
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Cho 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai?
Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)
Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:
Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:
Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."
"Cho hình hộp ABCD.EFHG, khẳng định nào sau đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Khẳng định sai là "CE song song với FH"
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC
Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)
Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra
Từ (*) và (**) suy ra TH
1
Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
"Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang (AB // CD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, các điểm
lần lượt là trung điểm của
. Biết các giao tuyến của hình chóp và mặt phẳng
tạo thành một hình bình hành. Khi đó tìm mối liên hệ độ dài của
và
.
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết bài toán ta suy ra được:
Xét hai mặt phẳng (IGJ), (SAB) có G là điểm chung nên giao tuyến của chúng là đường thẳng EF qua G,
Nối các đoạn thẳng EI, FJ ta được hình tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng (IGJ) và các mặt hình chóp là tứ giác EFJI, tứ giác này là hình thang vì EF // IJ.
Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lý Tha-lét ta có:
Nên để EFJI là hình bình hành ta cần
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: ""
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt
,
và
. Xét các mệnh đề sau
1) Nếu mặt phẳng
chứa đường thẳng song song với
thì
song song với
.
2) Nếu mặt phẳng
chứa hai đường thẳng song song với
thì
song song với
.
3) Nếu hai mặt phẳng
và
song song
với thì
song song với
.
4) Nếu hai mặt phẳng
và
cắt
với thì
song song với
.
Số mệnh đề đúng là:
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với
thì
song song với
Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng
Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của
. Lấy
sao cho
. Biết
, chọn khẳng định đúng dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Xét mặt phẳng gọi
=>
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(*)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Khi đó khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa
Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
biến: M thành P, N thành
.
Do đó
Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
biến:
thành
, R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.
Vậy
Vậy khẳng định sai là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d)
cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
.
b) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
Mà
c) Đúng.
Vì .
Vì là đường trung bình của hình bình hành
nên
d) Sai.
Ta có: mà
.
Cho hình chóp
, biết
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Vì nên
là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?
Có 3 mặt phẳng gồm
Cho tứ diện
. Trung điểm của các đường thẳng
lần lượt là
. Tìm giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Ta có: (do
là đường trung bình của tam giác
)
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Lấy điểm
đối xứng với
qua
,
cắt
tại
. Gọi giao điểm
của đường thẳng
với mặt phẳng
. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a)
. Đúng||Sai
b) Đường
và
cắt nhau. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Tỉ số
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Lấy điểm
đối xứng với
qua
,
cắt
tại
. Gọi giao điểm
của đường thẳng
với mặt phẳng
. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Đường và
cắt nhau. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Tỉ số . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Xét tứ giác có
.
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Nên . Vậy khẳng định a đúng
b) Vì là trung điểm
,
là trung điểm
nên
(tính chất đường trung bình).
Vậy khẳng định b sai.
c)
Vậy khẳng định c đúng.
d) Áp dụng định lí Talet cho, ta có:
(1)
Gọi là trung điểm của
, vì
là trung điểm của
nên theo tính chất đường trung
bình, , vậy theo định lí Talet:
. (2)
Từ (1) và (2), ta có .
Vậy khẳng định d sai.
Cho hình chóp tam giác
. Gọi điểm
là trung điểm của
, lấy điểm
di động trên đoạn
. Mặt phẳng
qua
song song với
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của tứ diện.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện là tam giác MNP.
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
,
,
,
lần lượt là trung điểm của các cạnh bên
,
,
,
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Tứ giác là hình bình hành.