Cho hình chóp
có
là trung điểm của đoạn thẳng
. Tìm khẳng định sai dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Ta có: và
không đồng phẳng nên khẳng định
và
cắt nhau là sai.
Cho hình chóp
có
là trung điểm của đoạn thẳng
. Tìm khẳng định sai dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Ta có: và
không đồng phẳng nên khẳng định
và
cắt nhau là sai.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Cho hình hộp
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành, ta có
Vì là hình bình hành, ta có
Mặt khác:
Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là:
.
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Cho hình lăng trụ tam giác
, tâm của các mặt bên
lần lượt là
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Ta có và
.
Mà là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên
.
Lại có là trung điểm của
nên
là đường trung bình của tam giác
=> là trung điểm của
.
Cho lăng trụ
. Lấy
là trung điểm của
. Xác định hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
theo phương chiếu
là:
Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của
. Ta có:
Vậy hình chiếu song song của điểm lên
theo phương chiếu
là điểm
.
Cho hình hộp
. Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp . Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Tương tự:
Suy ra mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành
.
Mặt khác .
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
thì
là đường trung bình của tam giác
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của
và
thì
là đường trung bình của tam giác
(vì
và
là trung điểm
)
Mà tứ giác là hình bình hành nên
là trung điểm
hay
Lại có
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Trong không gian, cho ba đường thẳng
không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
Giả sử ba đường thẳng đôi một cắt lần lượt
phân biệt và tạo thành mặt phẳng
.
=> cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).
=> trùng nhau, tức là
đồng quy.
Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng
qua
, song song với
. Thiết diện tạo bởi
và hình chóp là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.
Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.
Gọi I là giao điểm của a với SD.
Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.
Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.
Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Cho hình bình hành
tâm
và
tâm
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi điểm
là trung điểm của CD. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Gọi
Theo giả thiết ta có:
Ta có
Vậy khẳng định sai là: “ cắt
”
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Lấy các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Xét tam giác có:
Theo định lí đảo của định lí Thales, ta có (1).
Mặt khác là đường trung bình của tam giác
=> (2)
Từ (1) và (2) ta có .
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm tam giác
là trung điểm
là điểm ở trên đoạn thẳng
cắt mặt phẳng
tại
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
và
.
Do
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
và
nên
đúng.
thẳng hàng nên
thẳng hàng đúng
Ta có nên
đúng.
Điểm di động trên
nên
có thể không phải là trung điểm của
Nên là trung điểm của
sai.
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh bằng
. Lấy
là trung điểm của
,
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh hoạ
Trong mp(ABD) kẻ
Trong mp(ABC) kẻ
Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.
Khi đó
=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.
Ta lại có:
Mặt khác
Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:
Diện tích tam giác PIM
Với
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
,
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đáp án sai.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
,
,
. Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình hộp
và điểm
nằm giữa
và
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy
Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra , kết hợp với
suy ra
, suy ra N thuộc cạnh BB’.
Tương tự, giả sử suy ra
.
Kết hợp với (1) suy ra
Tương tự, sao cho
;
sao cho
;
sao cho
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác .
Cho hình lăng trụ tam giác
có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt phẳng
bất kì song song với mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng trên là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là giao điểm của
với các cạnh
.
Khi đó ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho tứ giác
và một điểm
không thuộc mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy một điểm
không trùng với
và
.Gọi
là giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
. Khi đó
là giao tuyến của hai mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có (1)
Gọi .
Khi đó:
Từ (1) và (2) suy ra
Trong mặt phẳng . Gọi
.
Khi đó:
Dễ thấy
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
=>
Ta lại có
=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy điểm
, mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giao điểm của mặt phẳng
với các cạnh
lần lượt tại
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Cho hình chóp
có đáy
là một tứ giác lồi có
và
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng:
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
là trung điểm của
và
là giao điểm của
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
mà
và
là trọng tâm tam giác
Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Khẳng định nào sau đây là đúng.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Cho hình chóp
có đáy là hình thang
,
. Gọi
là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của
và
. Khi đó:
.
Cho hình chóp tứ giác
,
. Giả sử mặt phẳng
bất kì cắt các cạnh
lần lượt tại
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hình vẽ minh hoạ
Ta thấy:
=> Các đường thẳng đồng quy.
Cho hình chóp
, biết
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Vì nên
là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang có đáy nhỏ là
, lấy điểm
, sao cho
. Gọi
. Tính tỉ số giữa hai cạnh
và
.
Hình vẽ minh họa
Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà
Do đó
Chọn khẳng định đúng.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”
Cho hình chóp
đáy
là hình bình hành tâm
. Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
.
Vậy khẳng định sai là “”
Cho tứ diện
. Điểm
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Biết
, tính tỉ số độ dài của
và
.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng qua
kẻ đường thẳng song song với
cắt
tại
.
Theo định lí Talet ta có: mà
Mặt khác ta có:
Trong mặt phẳng qua
kẻ đường thẳng song song với
cắt
tại
.
Theo định lí Talet ta có: . Theo chứng minh trên ta lại có
.
Theo giả thiết
Mặt khác ta có: