Trong không gian, cho ba đường thẳng
. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Nếu và
chéo nhau thì
và
không cùng thuộc một mặt phẳng.
Trong không gian, cho ba đường thẳng
. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Nếu và
chéo nhau thì
và
không cùng thuộc một mặt phẳng.
Cho tứ diện
, lấy
lần lượt là trung điểm của
và
. Giả sử
. Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà nên
.
Vậy đường thẳng đi qua
và song song với
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Lấy điểm
thuộc
sao cho
. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Lấy điểm
thuộc
sao cho
. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD
Ta có:
Xét tứ giác BFDC có: suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành
=> BF // DC
Ta có:
Ta có:
Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có:
Mặt khác
Xét tam giác SAC có
Ta có:
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)
Ta có: (vì
lần lượt là các đường trung bình của
.
Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm. Biết rằng
. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Cho hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng song song với đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với
".
Cho hình hộp
. Lấy
sao cho
và
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.
Giao tuyến của với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.
=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt của hình hộp.
Cho hình lăng trụ tam giác
có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt phẳng
bất kì song song với mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng trên là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là giao điểm của
với các cạnh
.
Khi đó ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
Hình vẽ minh họa
Gọi I là giao điểm của AC và BM
Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)
=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Cho hình chóp có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Gọi ta có
thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
và
.
Thiết diện là hình thang (vì
).
Ta có , mà
.
Ta có là trung điểm
,
là trung điểm của
nên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
và
. Giao điểm của
với
là điểm
. Hãy chọn cách xác định điểm
đúng nhất trong bốn phương án sau.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
.
Mà nên
Cho tứ diện
cạnh bằng 1. Gọi
là trung điểm của
,
đối xứng với
qua
,
đối xứng với
qua
. Xác định các giao điểm của mặt phẳng
với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.
Suy ra . Chứng minh tương tự ta có:
. Do đó ta có:
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:
Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:
Cho hình hộp
. Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp . Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Tương tự:
Suy ra mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành
.
Mặt khác .
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
thì
là đường trung bình của tam giác
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của
và
thì
là đường trung bình của tam giác
(vì
và
là trung điểm
)
Mà tứ giác là hình bình hành nên
là trung điểm
hay
Lại có
Chọn khẳng định đúng.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?
Hình vẽ minh họa
Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: và BD.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Hình vẽ minh họa
Giả sử . Nối
với
cắt
tại
Suy ra
Ta có: . Suy ra
.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Tìm giao tuyến của 2 mp (MCD) và (SAB)
Điểm M chung
=> Giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB.
Vậy
Mặt khác ( vì
)
Vậy thiết diện là hình thang CNMD.
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và d đi qua S
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Vì điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có
mặt.
Cho hình lăng trụ tam giác
, tâm của các mặt bên
lần lượt là
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Ta có và
.
Mà là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên
.
Lại có là trung điểm của
nên
là đường trung bình của tam giác
=> là trung điểm của
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Trong không gian, cho ba đường thẳng
không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
Giả sử ba đường thẳng đôi một cắt lần lượt
phân biệt và tạo thành mặt phẳng
.
=> cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).
=> trùng nhau, tức là
đồng quy.
Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Hình biểu diễn của một hình thoi là hình nào sau đây?
Hình biểu diễn của một hình thoi là hình bình hành.
Cho hình chóp
có các cạnh bên bằng nhau, đáy
là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua điểm
và song song với
. Các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Gọi
lần lượt là các giao điểm của
với
thì
.
Do đó là hình vuông và
Vậy diện tích tứ giác là .
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho hình chóp
có đáy là tứ giác
. Giả sử
là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của
với các mặt của hình chóp
không thể tạo thành hình nào dưới đây?
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt
Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp
.
Vậy đáp án là hình lục giác.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa:
Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.
Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
song song với hai đường thẳng
và
. Xác định giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có (2)
Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt
,
và
. Xét các mệnh đề sau
1) Nếu mặt phẳng
chứa đường thẳng song song với
thì
song song với
.
2) Nếu mặt phẳng
chứa hai đường thẳng song song với
thì
song song với
.
3) Nếu hai mặt phẳng
và
song song
với thì
song song với
.
4) Nếu hai mặt phẳng
và
cắt
với thì
song song với
.
Số mệnh đề đúng là:
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với
thì
song song với
Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng
Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Cho mặt phẳng
và điểm
không thuộc mặt phẳng
. Số đường thẳng đi qua
và song song với
là
Có vô số đường thẳng đi qua và song song với
với điểm
không thuộc mặt phẳng
.
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC
Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)
Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra
Từ (*) và (**) suy ra TH
1
Cho hình chóp
có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
không song song
Đúng||Sai
b)
song song
Đúng||Sai
c)
song song
Sai||Đúng
d)
song song
Sai||Đúng
Cho hình chóp có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) không song song
Đúng||Sai
b) song song
Đúng||Sai
c) song song
Sai||Đúng
d) song song
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Từ suy ra:
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng
đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện
với tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của
với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
=> Giao tuyến của
với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho hình chóp S.ABCD, M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA
Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
=>
Khi đó:
Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)
=>
Chứng minh tương tự ta có: GH // BD
=>
Tương tự
=> và
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.