Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB > CD). Lấy một điểm M thuộc cạnh CD. Mặt phẳng (\alpha) qua M song song với SA và BC. Giả sử (\alpha) \cap (SAD) = d. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (\alpha) \cap (ABCD) \\ (\alpha)//BC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = MN//BC;(N \in AB)

    Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} E \in (\alpha) \cap (SAD) \\ (\alpha)//SA \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight. suy ra (\alpha) \cap (SAD) = d//SA

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G_{1} và G_{2} lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Tìm tỉ số \frac{G_{1}G_{2}}{AB} (làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G_{1} và G_{2} lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Tìm tỉ số \frac{G_{1}G_{2}}{AB} (làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    G_{1} và G_{2} lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD nên BG _ { 1 }, AG_{2} và CD đồng qui tại M(là trung điểm của CD) .

    Vì G_{1}G_{2}//AB nên G_{1}G_{2}//(ABD)và G_{1}G_{2}//(ABC).

    Lại có \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?

    Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?

    Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

    Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

    Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.

    Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

    Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm M \in SA sao cho \frac{MA}{MS} = 2. Hình chiếu của điểm S qua phép chiếu song song phương MO mặt phẳng chiếu (ABCD) là điểm N. Khi đó tỉ số độ dài \frac{CN}{CA} bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Phép chiếu song song phương phương MO mặt phẳng chiếu (ABCD) biến điểm S thành điểm N.

    Do đó: SN//MO \Rightarrow N \in AC

    Xét tam giác SANta có: \frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}

    => N là trung điểm của OC

    Từ đó suy ra \frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tứ diện ABCD có thể xem là hình chóp tam giác bằng bao nhiêu cách?

    Có 4 cách là: A.BCD,B.ACD,C.ABD,D.ABC.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

    Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là

    Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.

  • Câu 10: Nhận biết

    Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt m và n trong không gian?

    Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa hai đường thẳng phân biệt m và n là:

     

    • m cắt n

    • m song song với n

    • m chéo nhau với n

     

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm khẳng định đúng.

    Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.

    Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.

    ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.

    => Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho tứ giác ABCD và các điểm M, N phân biệt thuộc cạnh AB, các điểm P, Q phân biệt thuộc cạnh CD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn phát biểu đúng

    Phát biểu đúng là: "MP và NQ chéo nhau"

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).

    Hình vẽ minh họa

    Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, biết AC \cap BD \equiv M và AB \cap CD \equiv N. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Vì AC \cap BD \equiv Mnên M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SM.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm đường thẳng không song song với IJ

    Ta có:

    IJ là đường trung bình tam giác SAB nên IJ{m{//}}AB

    ABCD là hình bình hành nên AB{m{//}}CD

    => IJ{m{//}}CD

    EF là đường trung bình tam giác SCD 

    => EF{m{//}}CD => IJ{m{//}}EF

    Vậy AD không song song với IJ.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD,M là trung điểm CD,I là điểm ở trên đoạn thẳng AG,BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).

    Do BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB)

    \Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM nên AM = (ACD) \cap (ABG) đúng.

    \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M thẳng hàng nên A,J,M thẳng hàng đúng

    Ta có \left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight. nên DJ = (ACD) \cap (BDJ) đúng.

    Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM

    Nên J là trung điểm của AM sai.

  • Câu 17: Vận dụng

    Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14. Tìm số cạnh của đa giác đáy?

    Một hình chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có n + 1 đỉnh và 2n + 1 cạnh

    Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

    \begin{matrix} \Leftrightarrow n + 1 + 2n + 1 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n + 2 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    => Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.

  • Câu 18: Nhận biết

    Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Nếu đường thẳng d' song song với cả hai mặt phẳng thì:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S là điểm chung của mặt phẳng (SAM) và (SBC) (*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in BC \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M \in (SBC)

    => M là điểm chung của mặt phẳng (SAM) và (SBC) (**)

    Từ (*) và (**) suy ra (SAM) \cap (SBC) = SM

  • Câu 20: Nhận biết

    Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?

    Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng (\alpha) đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện (\alpha) với tứ diện ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Xác định thiết diện

    (\alpha) // (AB) => Giao tuyến của (\alpha) với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.

    (\alpha) // AD => Giao tuyến của (\alpha) với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.

    Vậy thiết diện là tam giác MNP.

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy nhỏ BC. Lấy M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,DC,SB. Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp S.ABCD là hình:

    Hình vẽ minh họa

    Xét mặt phẳng (MNP) và (SBC) có

    \left\{ \begin{matrix}\begin{matrix}P \in (MNP) \cap (SCD) \\MN \subset (MNP) \\BC \subset (SBC) \\\end{matrix} \\MN//BC \\\end{matrix} ight. (1)

    = > (MNP) \cap (SCD) = PQ//BC,(Q \inSD) (2)

    Từ (1) và (2) = > MN//BC.

    Xét tứ giác MNQP có MN//BC

    => MNQP là hình thang.

    Vậy giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp S.ABCD là hình thang.

  • Câu 24: Nhận biết

    Xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

    Khẳng định đúng là: “Nếu hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (\alpha) đều song song với (\beta).”.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

    Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp A.BCD có H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD tam giác. Chọn mệnh đề đúng.

    Gọi I là trung điểm AB.

    Xét tam giác MCD có:

    \frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3} (do H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC)

    \ = > HK//CD

  • Câu 27: Vận dụng

    Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí A,B,C,Dvà E,F,G,H. Biết EF = 35\ cm và A,B,C,D cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn HE.

    Đáp án: 105

    Đáp án là:

    Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí A,B,C,Dvà E,F,G,H. Biết EF = 35\ cm và A,B,C,D cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn HE.

    Đáp án: 105

    Áp dụng định lý Thales trong không gian, do A,B,C,D cách đều nhau nên E,F,G,H cũng cách đều nhau.

    Ta có EF = FG = GH = 35\ cmnên HE = 35.3 = 105\ cm.

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

  • Câu 29: Nhận biết

    Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau?

    Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó đi qua 3 điểm." đúng

    Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một đường thẳng." đúng

    Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau." đúng.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hình chóp MQ//AD có đáy là hình thang với MN//AB. Gọi NP//BC là trọng tâm của tam giác PQ//CD; (\alpha) \equiv (MNPQ) là điểm thuộc đoạn SAB sao cho MN. Tìm x để AB.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho hình chóp MQ//AD có đáy là hình thang với MN//AB. Gọi NP//BC là trọng tâm của tam giác PQ//CD; (\alpha) \equiv (MNPQ) là điểm thuộc đoạn SAB sao cho MN. Tìm x để AB.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm cạnh AD

    Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q. 

    Dễ thấy SQ = (IGE) \cap (SBC).

    Do đó: GE//(SBC) \Leftrightarrow GE//SQ \Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS} \Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}.

    Mặt khác, tam giác EIA đồng dạng với tam giác EQC nên \frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}

    Suy ra EQ = x.EI.

    \Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}.

    Từ và \Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 2.

    Vậy GE//(SBC) \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. Đường thẳng MG song song với

    Hình vẽ minh họa

    Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:

    \frac{BG}{BE} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow MG//CE \subset (ACD)

    \Rightarrow MG//(ACD)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, G là trọng tâm tam giác BCD, H là trọng tâm tam giác SCD. M,N lần lượt là trung điểm của SA;SB. I là giao điểm của đường thẳng AN và mặt phẳng (SCD). Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

    a) MN//CD Đúng||Sai

    b) Tứ giác CDSI là hình thang có đáy SI < CD Sai||Đúng

    c) ME // ( SBC ) Đúng||Sai

    d) HG//(SBD) Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, G là trọng tâm tam giác BCD, H là trọng tâm tam giác SCD. M,N lần lượt là trung điểm của SA;SB. I là giao điểm của đường thẳng AN và mặt phẳng (SCD). Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

    a) MN//CD Đúng||Sai

    b) Tứ giác CDSI là hình thang có đáy SI < CD Sai||Đúng

    c) ME // ( SBC ) Đúng||Sai

    d) HG//(SBD) Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng

    Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB \Rightarrow MN//AB mà AB//CD nên MN//CD

    b) Sai

    Ta có \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB//CD \\ AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d = (SAB) \cap (SCD) \\ S \in d \\ d//AB//CD \\ \end{matrix} ight.

    Gọi I = AN \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in AN \\ I \in d,d \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = AN \cap (SCD)

    Ta có SI//BA \Rightarrow \frac{SI}{AB} = \frac{SN}{NB} = 1

    \Rightarrow SI = AB \Rightarrow SI = CD

    Vậy SICD là hình bình hành

    c) Đúng

    Gọi F là giao điểm của AE và BC trong (ABCD), ta có

    AD//CF \Rightarrow \frac{AE}{EF} = \frac{ED}{CE} = 1

    \Rightarrow E là trung điểm AF

    Vậy ME là đường trung bình của tam giác SAF

    \Rightarrow EM//SF

    Ta có \left\{ \begin{matrix} ME//SF \\ ME ⊄ (SCD) \\ SF \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ME//(SCD)

    d) Đúng

    Gọi E là trung điểm CD ta có

    \frac{EH}{ES} = \frac{EG}{EB}\left( = \frac{1}{3} ight) \Rightarrow GH//SB

    Ta có \left\{ \begin{matrix} GH//SB \\ SB \subset (SBD) \\ GH ⊄ (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GH//(SBD)

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh họa:

    Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

    Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

    Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

    \Rightarrow \Delta KHI\ \sim\Delta BCD theo tỉ số đồng dạng bằng \frac{2}{3}

    \Rightarrow S_{KHI}\ = \frac{4}{9}S_{BCD} = \frac{4}{9}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD).

    Hình vẽ minh họa

    Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

    => Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Phép chiếu song song theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) biến điểm A thành:

    Do AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\} suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm B.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = 6;CD = 8. Mặt phẳng (\alpha) song song với AB,CD cắt tứ diện tạo thành một hình thoi. Tính độ dài cạnh hình thoi.

    Hình vẽ minh họa

    Tính độ dài cạnh hình thoi

    Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.

    Cũng từ giả thiết ta suy ra PQ // MN // AB, MQ // NP // CD nên ta có

    \frac{CM}{AC} = \frac{MN}{AB};\frac{AM}{AC} = \frac{MQ}{CD} \Rightarrow \frac{AC - CM}{AC} = \frac{MQ}{CD}

    \Rightarrow 1 - \frac{CM}{AC} = 1 - \frac{MN}{AB} = \frac{MQ}{CD} = \frac{MN}{CD}

    \Rightarrow MN = \dfrac{1}{\dfrac{1}{AB} +\dfrac{1}{CD}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8}} =\dfrac{24}{7}

    Vậy cạnh của hình thoi là \frac{24}{7}

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông, A B = 1 ; A A' = 2. Gọi L là trung điểm B'D, mặt phẳng (P) qua L và song song AC lần lượt cắt A A'; C C'; D D' tại E ; F ; K.

    Đặt \frac{DK}{DD'} = x. Khi (EFK)//(MA'C') thì P = \frac{2025x}{1005} bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 2,01

    Đáp án là:

    Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông, A B = 1 ; A A' = 2. Gọi L là trung điểm B'D, mặt phẳng (P) qua L và song song AC lần lượt cắt A A'; C C'; D D' tại E ; F ; K.

    Đặt \frac{DK}{DD'} = x. Khi (EFK)//(MA'C') thì P = \frac{2025x}{1005} bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 2,01

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), O' = A'C' \cap B'D'.

    Trong mặt phẳng (B'D'DB), Q = B'D \cap MO'.

    ML là đường trung bình của tam giác B'BD nên ML\ //\ BD\ //\ B'D' (1).

    O'L là đường trung bình của tam giác B'D'D nên LO'\ //\ D'D\ //\ B'B (2).

    Từ (1),(2) suy ra tứ giác MLO'B' là hình bình hành nên Q là trung điểm B'L \Rightarrow QO'//LD' (3).

    Ta có EF\ //\ A'C' nên để (EFK)//(MA'C') thì \Rightarrow QO'//LK (4).

    Từ (1),(2) suy ra K \equiv D' \Rightarrow \frac{DK}{DD'} = 1 \Rightarrow x = 1.

    Vậy P = \frac{2025x}{1005} = \frac{2025}{1005} \approx 2,01.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của BC và BD, lấy điểm E \in AD;E eq A;E eq D. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (IJE) với tứ diện ABCD là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

    \left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight. nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJE) là đường thẳng d qua E và song song với CD.

    Gọi F = d \cap AC ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJE).

    Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 39 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập