Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Đáp án đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC

Đáp án đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD

Đáp án đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC

Đáp án sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của với là .

Giao tuyến của với là .

Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của là hình thang MNPQ.

Ta có: G là trọng tâm giác ABD 

=>

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của qua phép chiếu song song phương trên mặt phẳng .

Ta có:

=> là đường trung bình của các tam giác

=>

=> là hình bình hành

=> là hình bình hành.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với thì có thể cắt nhau cùng nằm trong .

Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Ta có là tâm của hình hình hành

=> (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:

=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của   . Ta có:

Vậy hình chiếu song song của điểm    lên theo phương chiếu là điểm .

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa:

M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)

Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).

Vậy P là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mặt khác

Từ (*) và (**) ta suy ra

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

 Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."

Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."

Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.

Có vô số đường thẳng đi qua và song song với với điểm không thuộc mặt phẳng .

Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng qua và song song với

=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến song song với .

Mặt khác, song song với nên cắt và theo các giao tuyến và với

=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .

Mặt khác

=> Tứ giác là hình bình hành.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm lần lượt là .

Gọi

Từ kẻ song song với .

Ta có:

(1)

Ta có:

(2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác .

Giả sử

(mâu thuẫn với giả thiết). 

Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì

Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:

A chung

C chung

=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC

Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:

Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa

Với 4 điểm không đồng phẳng có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là .

Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Do là đường trung bình của tam giác .

Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác ta có:

Vậy

Khẳng định sai: "Nếu 3 đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó song song với nhau."

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay

Mệnh đề sai: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .”

Sửa lại mệnh đề: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại vô số đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .

Ta có là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng và .

Do

là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng và

nên đúng.

thẳng hàng nên thẳng hàng đúng

Ta có nên đúng.

Điểm di động trên nên có thể không phải là trung điểm của

Nên là trung điểm của sai.