Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Ta có:

S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)

Xét mặt phẳng có:

=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (2)

Từ (1) và (2)

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .

Hình vẽ minh họa

Gọi

Khi đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà

Hình vẽ minh họa

Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.

Tứ giác là hình thang có

Ta có:

với

Thay giá trị các cạnh ta có

Ta có song song với theo tính chất hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và

Tương tự ta cũng có

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng gọi mà

và là trọng tâm tam giác

Theo bài ra ta có:

Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác .

.

Chứng minh tương tự

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.

Hình vẽ minh họa:

Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:

IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB

Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

“Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

“Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

“Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.

Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .

Nếu thì a // b hoặc a, b chéo nhau.

Nếu thì a // b hoặc a ≡ b.

Nếu thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.

Hình vẽ minh họa

Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.

Xét (ABC) ta có:

Qua M kẻ EF // AB (1)

Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF

Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE

Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)

=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG

Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH

Ta có:

Từ (1), (2), (3), (4) =>

=> EFGH là hình bình hành

Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)

Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:

Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:

Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."

Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác đều.

Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có

Nên là hình chiếu song song theo phương của trên .

Lại do tam giác đều nên vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.

Thiết diện là tam giác MNP.

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:

M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

=> MN là đường trung bình của tam giác SAB

Mà (ABCD là hình bình hành)

=>

Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD

Hay

Hình vẽ minh họa

Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

Gọi

Ta có:

Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình tam giác nên , mà và suy ra .

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

Ta có:

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện

Tam giác ABD đều cạnh bằng có là trung điểm của

Tam giác ABC đều cạnh bằng có là trung điểm của

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng ta có:

Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau."

Hình vẽ minh họa

Ta có:

,

=> MPNQ là hình bình hành

=> thuộc một mặt phẳng.

,

=> MRNS là hình bình hành

=> thuộc một mặt phẳng.

,

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy  không thuộc cùng một mặt phẳng.

Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.

Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm .

Vậy khẳng định sai là “”

Ta có:

 sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

 sai trong trường hợp

 đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.

 sai vì đường thẳng hoặc

Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.

 Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Hai mặt phẳng và có hai điểm chung là và nên giao tuyến của chúng là đường thẳng .

Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "