Cho tứ diện
,
sao cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AD.
Ta có:
Mà
Cho tứ diện
,
sao cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AD.
Ta có:
Mà
Cho hình hộp
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Ta có là hình bình hành nên
Tương tự ta có . Từ đó suy ra
và
.
Vậy
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.
Cho hình chóp S.ABCD, M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA
Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
=>
Khi đó:
Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)
=>
Chứng minh tương tự ta có: GH // BD
=>
Tương tự
=> và
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết
là hình vuông cạnh
. Các tam giác
là các tam giác cân bằng nhau. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác
(các điểm
trùng vào đỉnh
). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng
.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:
Từ giả thiết ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Đường thẳng nào song song với
trong các đường thẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> hay
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
song song với đường thẳng
.
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì
Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:
A chung
C chung
=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC
Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:
Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm. Biết rằng
. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?
Có 3 mặt phẳng gồm
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh bằng
. Lấy
là trung điểm của
,
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh hoạ
Trong mp(ABD) kẻ
Trong mp(ABC) kẻ
Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.
Khi đó
=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.
Ta lại có:
Mặt khác
Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:
Diện tích tam giác PIM
Với
Cho hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng song song với đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với
".
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang với
là đáy lớn. Biết
. Gọi
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 13
Cho hình chóp có đáy
là hình thang với
là đáy lớn. Biết
. Gọi
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 13
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của
và
trong mặt phẳng
.
Theo hệ quả Talet, ta có:
Ta có:
.
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Trong không gian cho hai mặt phẳng
và
song song. Số giao điểm chung của hai mặt phẳng
và
là
Theo định nghĩa hai mặt phẳng song song.
Đáp án cần tìm là: 0
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
là trung điểm, trên cạnh
lấy điểm
sao cho
. Gọi
, khi đó tỉ số độ dài giữa
và
là:
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết bài ra suy ra LK // AC mà (KLN) ∩ (DAC) = d
=> d // AC
Xét mặt phẳng (DAB) qua N dựng d song song AC
=> {P} = AD ∩ d
Xét tam giác DAC vì PN // AC theo định lý Ta-lét ta có:
Ta lại có:
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
và
, lấy điểm
. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng
với tứ diện
là:
Hình vẽ minh họa
Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)
nên giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng d qua E và song song với CD.
Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
.
Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn ![]()
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác DBC có
Xét tam giác ABC có:
Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng
Suy ra đúng
Tương tự ta cũng chúng minh được (Vì
)
Suy ra
Gọi F là trung điểm của SA khi đó
Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.
Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho hình chóp
có
là hình bình hành tâm
,
là trung điểm
. Tìm mệnh đề sai.
Do nên
=> sai.
Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng
Kí hiệu tên của mặt phẳng là .
Cho hai mặt phẳng
và
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án “Đường thẳng và đường thẳng
thì
” sai vì nếu
và đường thẳng
thì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Khi đó khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa
Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
biến: M thành P, N thành
.
Do đó
Qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
biến:
thành
, R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.
Vậy
Vậy khẳng định sai là:
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian?
Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa hai đường thẳng phân biệt và
là:
cắt
song song với
chéo nhau với
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
là trung điểm của
,
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
Trường hợp 1:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Gọi
Nếu
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Nếu . Gọi
Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Trường hợp 2:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp là tam giác
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án: “Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau” đúng vì theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau.
Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đã phân biệt.
Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Đáp án: “Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm của AD, M là trung điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ta có: G là trọng tâm giác ABD
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Từ (*) và (**) ta suy ra
Cho các đường thẳng
và các mặt phẳng
. Giả thiết nào sau đây đủ để kết luận đường thẳng
song song với đường thẳng
?
Nếu thì a // b hoặc a, b chéo nhau.
Nếu thì a // b hoặc a ≡ b.
Nếu thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng
cắt SC tại
. Tính tỉ số
.
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Trong , kẻ
.
Do đó là mặt phẳng
.
Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của
.
Do .
Trong không gian, cho ba đường thẳng
không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
Giả sử ba đường thẳng đôi một cắt lần lượt
phân biệt và tạo thành mặt phẳng
.
=> cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).
=> trùng nhau, tức là
đồng quy.
Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Cho hình chóp tam giác
. Trên các cạnh
và
lần lượt lấy các điểm
sao cho
và
. Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
Xét tam giác ta có:
mà
Cho hai đường thẳng
và
chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.
Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.
theo tỉ số đồng dạng bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Cho hình hộp
. Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp . Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Tương tự:
Suy ra mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành
.
Mặt khác .
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
thì
là đường trung bình của tam giác
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của
và
thì
là đường trung bình của tam giác
(vì
và
là trung điểm
)
Mà tứ giác là hình bình hành nên
là trung điểm
hay
Lại có
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa:
Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.
Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.
Cho hai đường thẳng song song
và
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Có vô số mặt phẳng chứa và song song với
(đó là tất cả các mặt phẳng chứa
nhưng không chứa
).
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hình lăng trụ
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
là hình bình hành.
Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành
.