Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
B.
Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác vuông.
C.
Một đường thẳng có thể cắt với hình chiếu của nó.
D.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.

Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 2: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là

A.
đường thẳng đi qua M và song song với AB.
B.
đường thẳng đi qua N và song song với BD.
C.
đường thẳng đi qua G và song song với CD.
D.
đường thẳng đi qua G và song song với BC.

Hình vẽ minh họa

Gọi $d = (GMN) \cap (BCD)$

Khi đó $d$ đi qua $G$ . Xét ba mặt phẳng $(GMN),(BCD),(ACD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,CD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,CD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $MN//CD\ = > \ d//CD$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

Câu 3: Nhận biết

Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)

(1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).

(2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

Trong hai phát biểu trên.

A.
Chỉ có một phát biểu đúng.
B.
Chỉ có phát biểu (2) đúng.
C.
Cả hai phát biểu đều đúng.
D.
Cả hai phát biểu đều sai.

Theo định lý, nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q), do đó nếu lấy mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì tồn tại hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn định lý, vậy phát biểu (2) đúng.

Phát biểu (1) sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Câu 4: Vận dụng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ . Giả sử $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AB'D')$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?

A.
Hình ngũ giác
B.
Hình lục giác
C.
Hình tam giác
D.
Hình tứ giác

Hình vẽ minh họa

Tìm hình xác định bởi các giao tuyến

Nhận thấy $(BC’D) // (AB’D’)$

$=> (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)$

Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra $(P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN$ , kết hợp với $(AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’$ suy ra $MN // AB’$ , suy ra N thuộc cạnh BB’.

Tương tự, giả sử $(P) ∩ (B’C’) ≡ P$ suy ra $(P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP$ .

Kết hợp với (1) suy ra $NP // BC’$

Tương tự, $(P) ∩ (C’D’) ≡ Q$ sao cho $PQ // B’D’$ ; $(P) ∩ DD’≡ G$ sao cho $QG // C’D$ ; $(P) ∩ AD ≡ H$ sao cho $GH // AD’$ .

Từ đó suy ra thiết diện là lục giác $MNPQGH$ .

Câu 5: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy nhỏ $CD$ . Lấy các điểm $I \in AD;J \in BC$ sao cho $IA = ID;JB = JC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Để giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh $\frac{AB}{CD}$ bằng:

A.
$\frac{3}{2}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$3$
D.
$1$

Hình biểu diễn

Ta có: $(IJG) \cap (SAB) = EF$ với $E \in SA,F \in SB$ và đi qua $G$ , song song với $AB//IJ$ .

=> Giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình thang $EFJI$ . Tính $EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)$

Để hình thang $EFJI$ là hình bình hành thì

$\Leftrightarrow EF = IJ$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)$

$\Leftrightarrow AB = 3CD$

$\Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3$

Câu 6: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?

A.
MN và AD.
B.
MP và AC.
C.
BI và AD.
D.
MI và AD.

Hình vẽ minh họa:

Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.

Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.

Câu 7: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

Câu 8: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là

A. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
B. Điểm F.
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AF.
D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD)

Ta có $EG ⊂ (ABF)$ và $AF = (ABF) ∩ (ACD)$

=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

Câu 9: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ .

A.
hình bình hành
B.
hình thoi
C.
hình chữ nhật
D.
hình vuông

Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ . Ta có:

$A,B$ biến thành B

$A',B'$ biến thành $B'$

$C,D$ biến thành $D$

$C',D'$ biến thành $D'$

Do đó hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biến thành hình bình hành $BDD'B'$ .

Câu 10: Thông hiểu

Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight)$ có $\left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2};$ $\left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}$ . Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ :

A. Đôi một cắt nhau.
B. Đôi một song song.
C. Đồng quy.
D. Đôi một song song hoặc đồng quy.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Câu 11: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

A.
$S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
B.
$S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
C.
$S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
D.
$S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$

Câu 12: Thông hiểu

Cho ba đường thẳng $a,b,c$ đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A.
Không có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho.
B.
Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
C.
Có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
D.
Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.

Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.

Câu 13: Vận dụng

Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.

Phát biểu nào sau đây là đúng

A.
Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’.
B.
Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB.
C.
(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau.
D.
Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’.

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì

Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:

A chung

C chung

=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC

Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:

Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).

Câu 14: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC,N$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN = 2ND$ . Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(KLN)$ . Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$ .

A.
$\frac{PA}{PD} = \frac{1}{2}$ .
B.
$\frac{PA}{PD} = \frac{2}{3}$ .
C.
$\frac{PA}{PD} = \frac{3}{2}$ .
D.
$\frac{PA}{PD} = 2$ .

Hình vẽ minh họa

Giả sử $LN \cap BD = I$ . Nối $K$ với $I$ cắt $AD$ tại $P$ Suy ra $(KLN) \cap AD = P$
Ta có: $KL//AC \Rightarrow PN//AC$ . Suy ra $\frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2$ .

Câu 15: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm các cạnh $AB,AC$ lần lượt là các điểm $M,N$ . Giả sử $(MND) \cap (BCD) = d$ . Chọn khẳng định đúng.

A.
$d//(ADC)$
B.
$d//(ABD)$
C.
$d//(ABC)$
D.
$d//AD$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (DMN) \supset MN \\ (DBC) \supset BC \\ MN//BC \\ \end{matrix} ight.$

=> $d$ là đường thẳng song song với $MN$ và $BC$ .

=> $d$ song song với $(ABC)$

Câu 16: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .

Câu 17: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

+ Cho $AD \subset (ACD)$

Trong mặt phẳng $(BCD)$ hai đường thẳng $IK,\ \ CD$ không song song nên gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $IK$ và $CD$ . Khi đó $E \in (ACD)$ .

+ Ta thấy $(ACD) \cap (IJK) = EJ$

+ Trong $(ACD):\ \ EJ \cap AD = F$ . Khi đó $(IJK) \cap AD = F$ .

Xét tam giác $BCD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2$

Xét tam giác $ACD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{FA}{FD} = 2$ .

Câu 18: Nhận biết

Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
Ba giao tuyến này đôi một song song
B.
Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song
C.
Ba giao tuyến này đồng quy
D.
Ba giao tuyến này đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác.

Khẳng định đúng: "Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song."

Câu 19: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ .

A.
$a$ và $b$ là hai đường thẳng song song
B.
Nếu điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì không thể coi đường thẳng nào đi qua $M$ và cắt cả $a$ và $b$ .
C.
Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ .
D.
Cả 3 câu trên đều sai.

Mệnh đề đúng là: "Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ ."

Câu 20: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Phép chiếu song song theo phương $AB$ lên mặt phẳng $(SBC)$ biến điểm $A$ thành:

A.
Điểm $S$
B.
Điểm $B$
C.
Điểm $C$
D.
Trung điểm của $BC$

Do $AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\}$ suy ra hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $AB$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm $B$ .

Câu 21: Thông hiểu

Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

A.
Hình thoi
B.
Hình thang có đúng một cặp cạnh song song
C.
Hình chữ nhật
D.
Hình bình hành

Ta có: $(ABB'A') // (CDD'C')$

=> $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến $A'B'$ và $C'D'$

=> $A'B' // C'D' (1)$

Chứng minh tương tự ta có: $(AA'D'D) // (BB'C'C)$

=> $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến $A'D'$ và $B'C'$

=> $A'D' // B'C' (2)$

Từ (1) và (2) => $A'B'C'D'$ là hình bình hành.

Câu 22: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABC$ có $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $SC$ . Tìm khẳng định sai dưới đây.

A.
Đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau.
B.
Đường thẳng $BH$ và $AC$ cắt nhau.
C.
Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ .
D.
Đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: $BH$ và $AC$ không đồng phẳng nên khẳng định $BH$ và $AC$ cắt nhau là sai.

Câu 23: Nhận biết

Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

A.
$12$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$8$

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Câu 24: Nhận biết

Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Câu 25: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

A.
$SO;AD$
B.
$MN;SC$
C.
$SA,BC$
D.
$MN,SO$

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 26: Nhận biết

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.
B.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung.
D.
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).

Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.

Câu 27: Vận dụng cao

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{a^{2}}{3}$
B.
$\frac{2a^{2}}{3}$
C.
$\frac{a^{2}}{2}$
D.
$\frac{3a^{2}}{4}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 28: Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ , tâm của các mặt bên $(ABB'A');(BCC'B');(ACC'A')$ lần lượt là $M,N,P$ . Hình chiếu của điểm $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ , mặt phẳng chiếu $(AB'C)$ là:

A.
trung điểm của $AN$
B.
trung điểm của $AM$
C.
trung điểm của $B'N$
D.
trung điểm của $B'M$

Hình vẽ minh họa

Gọi $Q$ là ảnh của $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ lên mặt phẳng $(AB'C)$ .

Ta có $PQ//BC'$ và $PQ \subset (ABC')$ .

Mà $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC')$ và $(AB'C)$ nên $Q \in AN$ .

Lại có $P$ là trung điểm của $AC'$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ANC'$

=> $P$ là trung điểm của $AN$ .

Câu 29: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A.
$\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$
B.
$\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$
C.
$\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$
D.
$\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ a \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$

Đáp án $\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$ sai: Trường hợp $a \subset (\alpha)$ .

Đáp án $\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$ sai: Trường hợp $a \subset (\alpha)$ .

Đáp án $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$ sai: Trường hợp $a,b$ chéo nhau.

Câu 30: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $G,K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $SBC$ . Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AC$ . Mặt phẳng $(GEK)$ cắt $SC$ tại $M$ . Tỉ số $\frac{MS}{MC}$ bằng:

A.
$1$
B.
$2$
C.
$\frac{2}{3}$
D.
$\frac{1}{2}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $E$ là trung điểm của $AC$ .

=> $B,G,E$ thẳng hàng hay $(GKE) \equiv (EBK)$

Ta lại có $K$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $BK$ kéo dài cắt $SC$ tại trung điểm của $SC$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $SC$ suy ra $\frac{MS}{MC} = 1$

Câu 31: Nhận biết

Mệnh đề nào dưới đây SAI?

A.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song vơi đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
B.
Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
C.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
D.
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

Câu 32: Vận dụng

Cho hình bình hành $ABCD$ . Qua $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lần lượt vẽ các nửa đường thẳng $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ ở cùng phía so với mặt phẳng $(ABCD)$ , song song với nhau và không nằm trong $(ABCD)$ . Một mặt phẳng $(P)$ cắt $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ tương ứng tại $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ sao cho $AA' = 3$ , $BB' = 5$ , $CC' = 4$ . Tính $DD'$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ . Qua $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lần lượt vẽ các nửa đường thẳng $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ ở cùng phía so với mặt phẳng $(ABCD)$ , song song với nhau và không nằm trong $(ABCD)$ . Một mặt phẳng $(P)$ cắt $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ tương ứng tại $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ sao cho $AA' = 3$ , $BB' = 5$ , $CC' = 4$ . Tính $DD'$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Do $(P)$ cắt mặt phẳng $(Ax,By)$ theo giao tuyến $A'B'$ ; cắt mặt phẳng $(Cz,Dt)$ theo giao tuyến $C'D'$ , mà hai mặt phẳng $(Ax,By)$ và $(Cz,Dt)$ song song nên $A'B'//C'D'$ .

Tương tự có $A'D'//B'C'$ nên $A'B'C'D'$ là hình bình hành.

Gọi $O$ , $O'$ lần lượt là tâm $ABCD$ và $A'B'C'D'$ .

Dễ dàng có $OO'$ là đường trung bình của hai hình thang $AA'C'C$ và $BB'D'D$ nên $OO' = \frac{AA' + CC'}{2} = \frac{BB' + DD'}{2}$ .

Từ đó ta có $DD' = 2$ .

Câu 33: Vận dụng

Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?

A.
Tam giác
B.
Hình thoi
C.
Hình bình hành
D.
Hình ngũ giác

Hình vẽ minh họa

Xác định thiết diện

Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.

Xét (ABC) ta có:

Qua M kẻ EF // AB (1)

Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF

Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE

Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)

=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG

Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( \alpha ight) \cap \left( {ACD} ight) = FG} \\ {\left( \alpha ight)//DC} \end{array}} ight. \Rightarrow FG//DC\left( 4 ight)$

Từ (1), (2), (3), (4) => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {EF//GH} \\ {EH//GF} \end{array}} ight.$

=> EFGH là hình bình hành

Câu 34: Thông hiểu

Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Chọn phát biểu đúng

A.
Đường thẳng AC và A’C’ cắt nhau.
B.
Đường thẳng OA và C’B’ cắt nhau.
C.
Hai đường thẳng AC và A’C’ cắt nhau tại một điểm thuộc (ABO).
D.
Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB).

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.

=> AC và A’C’ cắt nhau.

Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).

Câu 35: Nhận biết

Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?

A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Lục giác.
D. Ngũ giác.

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Câu 36: Nhận biết

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Ảnh của $A,B'$ qua phép chiếu song song với phương $CD'$ mặt phẳng chiếu $(ABB'A')$ lần lượt là:

A.
$A',B'$
B.
$B,B'$
C.
$A,C'$
D.
Không xác định

Hình vẽ minh họa

Do $CD'//\ BA' = >CD'//(ABB'A')$

Nên phương chiếu $CD'$ không cắt mặt phẳng chiếu $(ABB'A')$ .

Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương $CD'$ mặt phẳng chiếu $(ABB'A')$ .

Câu 37: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

A.
$SO;AD$
B.
$MN;SC$
C.
$SA,BC$
D.
$MN,SO$

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 38: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.

A.
$(MNP) \cap (SAB) = MN$
B.
Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
C.
Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
D.
$MN//(ABC)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .

Câu 39: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $E;F;G$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB;SC$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A.
$(EFG) \cap (ACD) =\varnothing$
B.
$EG//AC$
C.
$EF//CD$
D.
$SD \cap (EFG) = \varnothing$

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $(EFG)//(ACD) \Rightarrow (EFG)\cap (ACD) = \varnothing$

Ta có: $EG$ là đường trung bình trong tam giác SAC

$EG//AC$

Ta có: $EF$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$

=> $EF//AB$

=> $EF//CD$

Dễ thấy $SD$ cắt $(EFG)$ tại trung điểm $H$ của $SD$ .

Do đó mệnh đề $SD \cap (EFG) =\varnothing$ là mệnh đề sai.

Câu 40: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

A. S, I, J thẳng hàng.
B. $DM \in\left( {SCI} ight)$
C. $JM \in \left( {SAB} ight)$
D. $SI = \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight)$

Hình vẽ minh họa

Xác định khẳng định sai

Ta có:

$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} S \in \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) \hfill \\ I = AB \cap CD \hfill \\ AB \subset \left( {SAB} ight) \hfill \\ CD \subset \left( {SCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) = SI \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} DM \cap \left( {SAB} ight) = J \hfill \\ DM \subset \left( {SCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow J \in \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) = SI \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.

Khẳng định sai là: " $JM \in \left( {SAB} ight)$ "

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!