Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ . Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
- A.
  Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.
- B.
  Tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.
- C.
  Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.
- D.
  Tứ giác $MNPQ$ là hình thoi.
Hình vẽ minh họa

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.
Câu 2: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 3: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ , lấy điểm $M \in BC,(M eq B,M eq C)$ . Mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $M$ và song song với $AB$ và $BC$ . Xác định các giao tuyến của $(\beta)$ và các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình thoi
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng $(\beta)$ qua $M$ và song song với $AB$

=> Mặt phẳng $(\beta)$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến $MN$ song song với $AB,(N \in AC)$ .

Mặt khác, $(\beta)$ song song với $CD$ nên $(\beta)$ cắt $(ACD)$ và $(BCD)$ theo các giao tuyến $NP$ và $MQ$ với $P \in AD;Q \in BD$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác $MNPQ$ .

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} MN//PQ(//AB) \\ NP//MQ(//CD) \\ \end{matrix} ight.$

=> Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của $(\beta)$ và các mặt của hình chóp là hình bình hành.
Câu 5: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Có bao nhiêu đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng chứa đường chéo $AC_{1}$ của hình lập phương?
- A.
  $6$
- B.
  $4$
- C.
  $8$
- D.
  $5$
Hình vẽ minh họa

Có 6 đường thẳng là $BB_{1},DD_{1},A_{1}D_{1},A_{1}B_{1},CB,CD$ .
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB > CD)$ . Lấy một điểm $M$ thuộc cạnh $CD$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M song song với SA và BC. Giả sử $(\alpha) \cap (SAD) = d$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $d//SC$
- B.
  $d//SA$
- C.
  $d//BC$
- D.
  $d//SD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (\alpha) \cap (ABCD) \\ (\alpha)//BC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = MN//BC;(N \in AB)$

Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} E \in (\alpha) \cap (SAD) \\ (\alpha)//SA \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $(\alpha) \cap (SAD) = d//SA$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. $AB'C'D$ và $A'BCD'$ là hai hình bình hành có chung một đường trung bình.
- B. $BD', B'C'$ chéo nhau.
- C. $A'C, DD'$ chéo nhau.
- D. $DC', AB'$ chéo nhau.
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy $DC'//AB'$ => " $DC', AB'$ chéo nhau" sai.
Câu 8: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một tứ giác lồi có $AC \cap BD = M$ và $AB \cap CD = N$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng:
- A.
  $SB$
- B.
  $SM$
- C.
  $SN$
- D.
  $SC$
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng $SM$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 10: Nhận biết
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
- A.
  Hai đường thẳng
- B.
  Một điểm và một đường thẳng
- C.
  Ba điểm
- D.
  Hai đường thẳng cắt nhau
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ và $I$ là giao điểm của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $I otin SO$
- B.
  $I \in SO;IS = IO$
- C.
  $I \in SO;IS > IO$
- D.
  $I \in SO;IS < IO$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $SO \cap AM \equiv I$ mà $SO \subset (SBD)$

$\Rightarrow AM \cap (SBD) \equiv \left\{ I ight\}$ và $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$

$\Rightarrow IS = 2IO \Rightarrow IS > IO$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng $(\alpha)$ cắt SC tại $K$ . Tính tỉ số $\frac{SK}{KC}$ .
- A.
  $\frac{SK}{KC} = 2$ .
- B.
  $\frac{SK}{KC} = 3$ .
- C.
  $\frac{SK}{KC} = 1$ .
- D.
  $\frac{SK}{KC} = \frac{1}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BD$ .

Trong $(SAC)$ , kẻ $OK//SA\ \ (K \in SC)$ .

Do đó $(\alpha)$ là mặt phẳng $(KBD)$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC \Rightarrow \frac{OC}{OA} = 1$ .

Do $OK//SA \Rightarrow \frac{OC}{OA} = \frac{KC}{KS} = 1 \Rightarrow \frac{SK}{KC} = 1$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I\in AD,J \in BC$ sao cho $AI = 2DI;BJ= 2CJ$ . Giả sử $(\beta)$ là mặt phẳng qua $IJ$ song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình chữ nhật
Giả sử $(\beta)$ cắt các mặt của tứ diện $(ABC)$ và $(ABD)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(\beta) \cap (ABC) = JH \\(\beta) \cap (ABD) = IK \\(ABC) \cap (ABD) = AB \\(\beta)//AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow JH//IK//AB$
Theo định lí Ta – lét ta có:
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{HJ}{AB} = \dfrac{CJ}{CB} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HJ =\dfrac{1}{3}AB \\\dfrac{IK}{AB} = \dfrac{DJ}{DA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow KI =\dfrac{1}{3}AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow HJ = KI$
=> $HIKJ$ là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ là hình bình hành $HIKJ$ .
Câu 14: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Hình vẽ minh họa

Gọi $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SD,SC,BC$ .

Gọi $E = AD \cap BC,I = MN \cap PQ$ ta có $S,I,E$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ .

Thiết diện là hình thang $MNPQ$ (vì $NP \parallel AB \parallel MQ$ ).

Ta có $S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - S_{\Delta INP}$ , mà $\frac{NP}{DC} = \frac{1}{2},\frac{DC}{MQ} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{NP}{MQ} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta INP} = \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ} = \frac{8}{9}S_{\Delta IMQ}$ .

Ta có $M$ là trung điểm $AD$ , $D$ là trung điểm của $AE$ nên $\frac{MI}{SA} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta IMQ} = \frac{9}{16}S_{\Delta SAB}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = \frac{8}{9}.\frac{9}{16}S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2}S_{\Delta SAB}$ .
Câu 15: Vận dụng

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ . Biết $EF = 35\ cm$ và $A,B,C,D$ cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn $HE$ .

Đáp án: 105

Đáp án là:

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ . Biết $EF = 35\ cm$ và $A,B,C,D$ cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn $HE$ .

Đáp án: 105

Áp dụng định lý Thales trong không gian, do $A,B,C,D$ cách đều nhau nên $E,F,G,H$ cũng cách đều nhau.

Ta có $EF = FG = GH = 35\ cm$ nên $HE = 35.3 = 105\ cm$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E;F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:
- A.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AC$
- B.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$
- C.
  Điểm $F$
- D.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

=> Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$ .
Câu 17: Vận dụng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
- A.
  Chỉ có (1) đúng
- B.
  Chỉ có (1) và (2) đúng
- C.
  (I), (II), (III) đúng
- D.
  Chỉ có (1) và (IV) đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P)$ , $(Q)$ và $(R)$ . Xét các mệnh đề sau

1) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

2) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

3) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

4) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

Số mệnh đề đúng là:
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  3.
- D.
  2.
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$

Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Câu 19: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
Câu 20: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 21: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , d đi qua S và $d // AD // BC$ .
Câu 22: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA$ , $SC$ . Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
- A.
  $AC$ .
- B.
  $BC$ .
- C.
  $SO$ .
- D.
  $BD$ .
Hình vẽ minh họa

Do $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC \Rightarrow IJ//AC$ .
Câu 23: Vận dụng cao

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ$

Suy ra mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ .

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}$ .

Trong mặt phẳng $(ABB'A')$ , gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AB$ thì $BN$ là đường trung bình của tam giác $AME \Rightarrow N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$ .

Trong mặt phẳng $(MNPQ)$ , gọi $F$ là giao điểm của $EP$ và $MQ$ thì $NP$ là đường trung bình của tam giác $MEF$ (vì $NP\ //\ MQ$ và $N$ là trung điểm $EM$ ) $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF$

Mà tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành nên $NP = MQ \Rightarrow Q$ là trung điểm $MF$ hay $\frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

Lại có $D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}$
Câu 24: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $E,F$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $EF = \frac{2}{3}AB$
- B.
  $EF//(ABD)$
- C.
  $EF//(ABC)$
- D.
  $BE,AF,CD$ đồng quy
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E,F$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $BCD$ và $ACD$

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy $BE,AF,CD$ đồng quy.

Lại có: $\frac{QF}{QA} = \frac{1}{3} =\dfrac{QE}{QB} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}EF//AB \\\dfrac{EF}{AB} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra $EF//(ABD)$ và $EF//(ABC)$ .
Câu 25: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Lấy $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ , $M \in SB$ sao cho $MS = MB$ . Xác định tỉ số $\frac{AJ}{DJ}$ với $J = AD \cap (GOM)$ .
- A.
  $\frac{AJ}{DJ} = 1$
- B.
  $\frac{AJ}{DJ} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{AJ}{DJ} = 2$
- D.
  $\frac{AJ}{DJ} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $H$ là trung điểm $SD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ MS = MD \\ \end{matrix} ight.$ => $OM$ là đường trung bình tam giác $SDB$

$\Rightarrow OM//SD$ (tính chất đường trung bình).

Do đó qua $G$ kẻ đường thẳng song song $SD$ cắt $AD$ tại $J$

=> $J = AD \cap (GOM)$ .

Mà theo giả thiết $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$

$\frac{AG}{GH} = \frac{AJ}{GJ} = 2$
Câu 26: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC.$ Gọi $M,N,P,Q,R,T$ lần lượt là trung điểm $AC,BD,BC,CD,SA,SD.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $MP$ không song song $RT.$ Đúng||Sai

b) $MQ$ song song $RT.$ Đúng||Sai

c) $MN$ song song $RT.$ Sai||Đúng

d) $PQ$ song song $RT.$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC.$ Gọi $M,N,P,Q,R,T$ lần lượt là trung điểm $AC,BD,BC,CD,SA,SD.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $MP$ không song song $RT.$ Đúng||Sai

b) $MQ$ song song $RT.$ Đúng||Sai

c) $MN$ song song $RT.$ Sai||Đúng

d) $PQ$ song song $RT.$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AC,CD$

$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình của tam giác $CAD$

$\Rightarrow MQ \parallel AD\ \ \ \ (1)$

Ta có: $R,T$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$

$\Rightarrow RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$

$\Rightarrow RT \parallel AD\ \ \ (2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra: $MQ \parallel RT.$

Kết luận:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai
Câu 27: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
- C.
  Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.
Câu 28: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Câu 29: Nhận biết
Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  a, d trùng nhau.
- B.
  a, d chéo nhau.
- C.
  a song song d.
- D.
  a, d cắt nhau.
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d
Câu 30: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
- A.
  Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ.
- B.
  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.
- C.
  Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là một hình lăng trụ đều.
- D.
  Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Câu 31: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên $\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ .

b) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên

$\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF$

Mà $\ EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD).$

c) Đúng.

Vì $BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD)$ .

Vì $EF$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$ nên

$BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF).$

d) Sai.

Ta có: $IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ$ mà $IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ)$ .
Câu 32: Nhận biết
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$ . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ ?
- A.
  Một mặt phẳng.
- B.
  Hai mặt phẳng.
- C.
  Vô số mặt phẳng.
- D.
  Không có mặt phẳng nào.
Có vô số mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ (đó là tất cả các mặt phẳng chứa $a$ nhưng không chứa $b$ ).
Câu 33: Nhận biết
Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau.
- B.
  Nếu c // a thì c // b hoặc c ≡ b.
- C.
  Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau.
- D.
  Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Câu 34: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ .
- A.
  hình bình hành
- B.
  hình thoi
- C.
  hình chữ nhật
- D.
  hình vuông
Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương $AB$ lên mặt phẳng chiếu $(BDD'B')$ . Ta có:

$A,B$ biến thành B

$A',B'$ biến thành $B'$

$C,D$ biến thành $D$

$C',D'$ biến thành $D'$

Do đó hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biến thành hình bình hành $BDD'B'$ .
Câu 35: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
- A.
  OA
- B.
  OM
- C.
  OC
- D.
  CD
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
$MN // AB$
Mà $AB // CD$ (ABCD là hình bình hành)
=> $MN // CD$
Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD
Hay $(MNC) \cap (ABD) =CD$
Câu 36: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $M;M'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ . Giao của $AM'$ với $(A'BC)$ là:
- A.
  Giao của $AM'$ với $B'C'$
- B.
  Giao của $AM'$ với $BC$
- C.
  Giao của $AM'$ với $A'C$
- D.
  Giao của $AM'$ với $A'M$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;M'$ là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ nên $MM'//BB'//CC'//AA'$

Suy ra $A;A';M';M$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng $(AA'M'M)$ gọi $T$ là giao điểm của $A'M$ và $AM'$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'M \cap AM' \equiv T \\ A'M \subset (A'BC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AM' \cap (A'BC) = A'M \cap AM' = T$

Vậy giao của $AM'$ với $(A'BC)$ là giao của $AM'$ với $A'M$ .
Câu 37: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Điểm $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua phép chiếu song song phương $CC'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $M'A' = M'B'$
- B.
  $M'C' = M'B'$
- C.
  $M'A' = M'C'$
- D.
  $M'A = M'B'$
Hình vẽ minh họa

Ta có phép chiếu song song phương $CC'$ , biến $C$ thành $C'$ , biến $B$ thành $B'$ .

Do $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $M'$ là trung điểm của $B'C'$ vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

Vậy khẳng định đúng là: $M'C' = M'B'$
Câu 38: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 39: Nhận biết
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  (P) và (Q) cắt nhau
- B.
  (P) và (Q) song song với nhau
- C.
  (P) và (Q) trùng nhau
- D.
  (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.
Hình vẽ minh họa
Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.
Câu 40: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BDA'$ và $B'D'C$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{GG'}{AC'}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD,A'B'C'D'$

Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên $A'O//O'C$

Từ đó ta có:

$\Delta AOG\sim\Delta ACG'$

$\Rightarrow \frac{AG}{AG'} = \frac{AO}{AC} = \frac{1}{2} \Rightarrow AG = GG'$ (*)

$\Delta C'A'G\sim\Delta C'O'G'$

$\Rightarrow \frac{C'O'}{C'A'} = \frac{C'G'}{C'G} = \frac{1}{2} \Rightarrow C'G' = GG'$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $GG' = \frac{1}{3}AC'$ hay $\frac{GG'}{AC'} = \frac{1}{3}$

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!