Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà (do là đường trung bình của tam giác ) nên .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c song song với a khi đó b và c chéo nhau hoặc cắt nhau.

Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:

Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác , gọi

Khi đó .

Vậy giao điểm của đường thẳng với là giao điểm của và .

Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của lần lượt là .

Dễ thấy

Xét mặt phẳng , gọi

Xét tam giác và tam giác ta có:

(đối đỉnh)

(so le trong)

Vậy hay

Do là đường trung bình của tam giác nên

Giả sử song song với . Một đường thẳng song song với có thể nằm trên .

Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA

Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

=>

Khi đó:

Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)

=> 

Chứng minh tương tự ta có: GH // BD

=> 

Tương tự

=> và

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên ảnh của điểm qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng là điểm .

Mặt khác điểm nên ảnh của qua qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng là điểm .

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Vì lần lượt là trung điểm của do đó

Mà hay .

Ta có khẳng định sai là: “Nếu và thì ."

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên tứ giác là hình bình hành.

Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Mặt khác thuộc mặt phẳng nên hình chiếu của qua phép chiếu song song lên mặt phẳng lần lượt là điểm và .

Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng thì hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng .

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa

Giả sử là trung điểm của .

Ta có:

Mệnh đề đúng .

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ .

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ .

Từ đó suy ra

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của (MNP) và tứ diện ABCD là tam giác MNP.

Xét phương án “Nếu và thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu thì hoặc , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu và  thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo hoặc cắt , vậy phương án sai.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp .

Vậy đáp án là hình lục giác.

Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm lần lượt là .

Gọi

Từ kẻ song song với .

Ta có:

(1)

Ta có:

(2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác .

Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

mà cắt nên khẳng định sai.

cắt tại nên khẳng định sai.

cắt tại trung điểm của nên khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của AD.

Ta có:

Mà

Mệnh đề đúng: "".

Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.