Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.

Cũng từ giả thiết ta suy ra nên ta có

Vậy cạnh của hình thoi là

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình tam giác nên , mà và suy ra .

Hình vẽ minh hoạ

Ta dựng thiết diến của mặt phẳng (OMN) và hình chóp SABCD như sau

Qua M kẻ PQ // NO với Q ∈ SC.

Kéo dài NO cắt CD tại P.

=> Hình tạo bởi các giao tuyến đó là tứ giác MNPQ.

Tứ giác MNPQ có MN // NP

=> Tứ giác MNPQ là hình thang.

Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Vì nên .

Ta có là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng và .

Do

là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng và

nên đúng.

thẳng hàng nên thẳng hàng đúng

Ta có nên đúng.

Điểm di động trên nên có thể không phải là trung điểm của

Nên là trung điểm của sai.

Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”

Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d”.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

là đáp án sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và

Tương tự ta cũng có

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

Xét tam giác ta có:

mà

Hình vẽ minh họa

Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.

Xét (ABC) ta có:

Qua M kẻ EF // AB (1)

Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF

Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE

Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)

=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG

Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH

Ta có:

Từ (1), (2), (3), (4) =>

=> EFGH là hình bình hành

Khẳng định đúng là

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).

Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".

Hình chóp có 7 mặt trong đó có 6 mặt bên và 1 mặt đáy.

“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.

“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.

“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> hay

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng song song với đường thẳng .

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.

=> AC và A’C’ cắt nhau.

Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).

Nếu song song với và đường thẳng thì và hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh

Ta có:

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện

Tam giác ABD đều cạnh bằng có là trung điểm của

Tam giác ABC đều cạnh bằng có là trung điểm của

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

Mặt khác

=> là mệnh đề sai.

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.

Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải nằm trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu.

Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.

Do đó mệnh đề sai là: “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.”.

Ta có:

=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến và

=>

Chứng minh tương tự ta có:

=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến và

=>

Từ (1) và (2) => là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa

Gọi là giao điểm của và . Khi đó: .

Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.

Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng cắt tại trung điểm của .

Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.