Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp .

Vậy đáp án là hình lục giác.

Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> J là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Ta lại có:

=> K là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Vậy giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm của .

Trong tam giác ta có:

(theo tính chất trọng tâm tam giác)

Hình vẽ minh họa

Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà (do là đường trung bình của tam giác ) nên .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua và song song với .

Hình vẽ minh họa:

Ta có:  suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Ta có:

Mặt khác

Từ và

Ta có:

=>

Do đó mệnh đề sai là: “ không nằm trên mặt phẳng ”.

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy => " chéo nhau" sai.

Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."

Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC

=>

2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung

=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.

Vậy

Ta có

Mặt khác

Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.

Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.

Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.

Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Gọi

Khi đó đi qua . Xét ba mặt phẳng

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

Hình vẽ minh họa:

Xét và (BCD), ta có điểm N chung, CD //

=> ∩ (BCD) = NF // CD, với F ∈ BD.

Xét và (ACD), ta có điểm M chung, CD //

=> ∩ (ACD) = ME // CD, với E ∈ AC.

Từ đó ta được MF = ∩ (ABD) và EN = ∩ (ABC)

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và các mặt của tứ diện là tứ giác ENFM

Ta lại có ME // CD // NF nên ENFM là hình thang.

Từ giả thiết ta có:

Mà

Vậy hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa

Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến và .

Theo tính chất hình hộp ta có nên

Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

Vậy hay .

Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Ta có: và không đồng phẳng nên khẳng định và cắt nhau là sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> là đường thẳng song song với và .

=> song song với

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.

Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.

Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.

=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng gọi .

Mà nên

Theo định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Đáp án cần tìm là: 0

Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."

“Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

“Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

“Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên

Mà

Ta có:

Mà

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Ta có:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.

=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm .

Ta có: => là đường trung bình tam giác

(tính chất đường trung bình).

Do đó qua kẻ đường thẳng song song cắt tại

=> .

Mà theo giả thiết là trọng tâm tam giác

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.

=> AC và A’C’ cắt nhau.

Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là giao điểm của với các cạnh .

Khi đó ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều