Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.

Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

Hai mặt phẳng và có hai điểm chung là và nên giao tuyến của chúng là đường thẳng .

Mệnh đề đúng là: "Nếu và không song song với nhau, điểm không nằm trên và  thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua cắt cả và ."

Hình vẽ minh họa

Ta có: là điểm chung của mặt phẳng và (*)

Ta có:

=> là điểm chung của mặt phẳng và (**)

Từ (*) và (**) suy ra

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa

Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

Gọi I là giao điểm của a với SD.

Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.

Giả sử

(mâu thuẫn với giả thiết). 

Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy => " chéo nhau" sai.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Gọi

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra . Chứng minh tương tự ta có: . Do đó ta có:

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.

=> Giao tuyến của với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.

Vậy thiết diện là tam giác MNP.

Hình vẽ minh họa

là đường trung bình của tam giác nên mà .

Hình vẽ minh họa

Kéo dài cắt tại .

Khi đó là giao điểm của và .

Nếu thì a // b hoặc a, b chéo nhau.

Nếu thì a // b hoặc a ≡ b.

Nếu thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

Hình vẽ minh họa

Khẳng định sai là "CE song song với FH"

Giả sử đường thẳng và không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

Khi đó và cùng thuộc một mặt phẳng hay là một tứ giác (trái giả thiết).

Vậy đường thẳng và chéo nhau.

Có vô số đường thẳng đi qua và song song với với điểm không thuộc mặt phẳng .

Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp .

Vậy đáp án là hình lục giác.

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.

Cũng từ giả thiết ta suy ra nên ta có

Vậy cạnh của hình thoi là

Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.

Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.

Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.

Khẳng định đúng là:

Nếu thì tồn tại trong đường thẳng để .

Mệnh đề “Nếu và thì “ sai vì và có thể chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có là hình bình hành nên

Tương tự ta có . Từ đó suy ra và .

Vậy

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Theo định lí Talet ta có: mà

Mặt khác ta có:

Trong mặt phẳng qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Theo định lí Talet ta có: . Theo chứng minh trên ta lại có

.

Theo giả thiết

Mặt khác ta có:

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)

Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:

Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:

Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu .

Ta có: là ảnh của hay chính là giao điểm của và ảnh qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định như sau:

Trên kéo dài lấy điểm sao cho suy ra là ảnh của trên qua phép chiếu song song.

Gọi . Đường thẳng qua và song song với cắt tại . Ta có: là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales ta có:

Do hai đường thẳng cùng thuộc mặt phẳng nên tính chất chéo nhau không được bảo toàn trong phép chiếu song song.

Hình vẽ minh họa

Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

Gọi

Ta có:

Suy ra d đi qua G và song song với CD,.