Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó tỉ số độ dài
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành
Vì là hình bình hành nên
Từ đó ta có:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra hay
Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó tỉ số độ dài
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành
Vì là hình bình hành nên
Từ đó ta có:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra hay
Cho hình chóp tứ giác
đáy
là hình thang đáy nhỏ
,
,
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)
Xét mặt phẳng có:
=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng
(2)
Từ (1) và (2)
Cho tứ diện
có cạnh
. Mặt phẳng
song song với
cắt tứ diện tạo thành một hình thoi. Tính độ dài cạnh hình thoi.
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.
Cũng từ giả thiết ta suy ra nên ta có
Vậy cạnh của hình thoi là
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Khẳng định đúng là:
Nếu thì tồn tại trong
đường thẳng
để
.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Mặt phẳng qua
cắt
lần lượt tại
. Biết
cắt
tại
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Vậy ba điểm thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?
Ta có:
=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến
và
=>
Chứng minh tương tự ta có:
=> cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến
và
=>
Từ (1) và (2) => là hình bình hành.
Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang có đáy nhỏ là
, lấy điểm
, sao cho
. Gọi
. Tính tỉ số giữa hai cạnh
và
.
Hình vẽ minh họa
Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà
Do đó
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho tứ giác
và một điểm
không thuộc mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy một điểm
không trùng với
và
.Gọi
là giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
. Khi đó
là giao tuyến của hai mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có (1)
Gọi .
Khi đó:
Từ (1) và (2) suy ra
Trong mặt phẳng . Gọi
.
Khi đó:
Dễ thấy
Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Tìm tỉ số
(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Cho tứ diện . Gọi
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Tìm tỉ số
(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
nên
,
và
đồng qui tại
(là trung điểm của
) .
Vì nên
và
.
Lại có
Cho lăng trụ
có đáy
là hình vuông,
. Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
qua
và song song
lần lượt cắt
tại
.

Đặt
. Khi
thì
bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,01
Cho lăng trụ có đáy
là hình vuông,
. Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
qua
và song song
lần lượt cắt
tại
.
Đặt . Khi
thì
bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,01
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng ,
.
Trong mặt phẳng ,
.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
Từ ,
suy ra tứ giác
là hình bình hành nên
là trung điểm
.
Ta có nên để
thì
.
Từ ,
suy ra
.
Vậy .
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
,
,
. Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng
qua
, song song với
. Thiết diện tạo bởi
và hình chóp là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.
Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.
Gọi I là giao điểm của a với SD.
Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.
Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.
Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC
Ta có: là đường trung bình trong tam giác
=>
=>
Dễ thấy cắt
tại trung điểm
của
.
Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
là trung điểm của
,
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
Trường hợp 1:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Gọi
Nếu
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Nếu . Gọi
Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Trường hợp 2:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp là tam giác
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
Ta có:
Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.
=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì
Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:
A chung
C chung
=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC
Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:
Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "
Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm cạnh
, lấy điểm
trên cạnh
sao cho
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của MN và BC.
Giao tuyến cần tìm là DI.
Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.
"Cho hình hộp ABCD.EFHG, khẳng định nào sau đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Khẳng định sai là "CE song song với FH"
Cho hình hộp
. Ảnh của
qua phép chiếu song song với phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Do
Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu
.
Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
(1)
Ta có là đường trung bình của tam giác
.
.
Cho hình chóp
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Khẳng định đúng là “ và
là hai đường thẳng chéo nhau.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
lần lượt là trọng tâm của tam giác
. Cho các khẳng định sau:
i) ![]()
ii) ![]()
iii) ![]()
iv) ![]()
Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm của AB và CD
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên
Mà
Ta có:
Mà
Vậy có 3 khẳng định đúng.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
là trung điểm của
và
là giao điểm của
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
mà
và
là trọng tâm tam giác
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
Hình vẽ minh họa
Gọi I là giao điểm của AC và BM
Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)
=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang với
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
;
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Tìm
để
.
Đáp án: 2
Cho hình chóp có đáy là hình thang với
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
;
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Tìm
để
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm cạnh AD
Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.
Dễ thấy .
Do đó:
.
Mặt khác, tam giác đồng dạng với tam giác
nên
Suy ra .
.
Từ và
.
Vậy
.
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của
. Lấy
sao cho
. Biết
, chọn khẳng định đúng dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Xét mặt phẳng gọi
=>
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(*)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.
Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."
Cho hình chóp
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
mà
cắt
nên khẳng định
sai.
cắt
tại
nên khẳng định
sai.
cắt
tại trung điểm của
nên khẳng định
sai.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.
Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)
Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."