Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

=> Giao tuyến của với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

=> Giao tuyến của với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi là tứ giác MNPQ.

Ta lại có:

Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm của

Khi đó (vì lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và )

Suy ra

Vậy khẳng định sai là .

Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác

Dễ thấy đồng quy tại điểm M.

Hình biểu diễn

Ta có: với và đi qua , song song với .

=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang . Tính

Để hình thang là hình bình hành thì

Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Mệnh đề đúng .

Đáp án: "Nếu và ; thì " và "Nếu và thì " sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

Đáp án: "Nếu và , thì " sai vì hai mặt phẳng  có thể cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: là đường trung bình của tam giác nên.

là đường trung bình của tam giác nên .

=>

=> đồng phẳng.

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi không nằm trong , đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Phát biểu đúng là: "MP và NQ chéo nhau"

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng và

Ta lại có: nên là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là

Đáp án sai: Trường hợp .

Đáp án sai: Trường hợp .

Đáp án sai: Trường hợp chéo nhau.

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm .

Ta có: => là đường trung bình tam giác

(tính chất đường trung bình).

Do đó qua kẻ đường thẳng song song cắt tại

=> .

Mà theo giả thiết là trọng tâm tam giác

Ta có .

Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”

Mệnh đề đúng .

Ta có khẳng định sai là: “Nếu và thì ."

Đáp án đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC

Đáp án đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD

Đáp án đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC

Đáp án sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.

Ta có là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng và .

Do

là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng và

nên đúng.

thẳng hàng nên thẳng hàng đúng

Ta có nên đúng.

Điểm di động trên nên có thể không phải là trung điểm của

Nên là trung điểm của sai.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC

Ta có: là đường trung bình trong tam giác

=>

=>

Dễ thấy cắt tại trung điểm của .

Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.

Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.

Giả sử đường thẳng và không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

Khi đó và cùng thuộc một mặt phẳng hay là một tứ giác (trái giả thiết).

Vậy đường thẳng và chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ đi qua điểm và song song với .

Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của .

Do mặt phẳng (MAB) chứa AB // CD nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Giả sử đường thẳng này cắt SD tại điểm I.

Khi đó MI là đường trung bình của tam giác SCD

=> I là trung điểm của SD.

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD.

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.

Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.

Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho và . Từ tỉ lệ

Ta suy ra cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Ta chọn mặt phẳng chứa và song song với .

Mặt phẳng chính là mặt phẳng và là mặt phẳng cố định.

Hay