Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $SC$ . Tìm khẳng định sai dưới đây.
- A.
  Đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau.
- B.
  Đường thẳng $BH$ và $AC$ cắt nhau.
- C.
  Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ .
- D.
  Đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ cắt nhau.
Hình vẽ minh họa
Ta có: $BH$ và $AC$ không đồng phẳng nên khẳng định $BH$ và $AC$ cắt nhau là sai.
Câu 2: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Qua $S$ kẻ $Sx\ ;\ Sy$ lần lượt song song với $AB\ ,\ \ AD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

b) Giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $Sy$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $Sx$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Qua $S$ kẻ $Sx\ ;\ Sy$ lần lượt song song với $AB\ ,\ \ AD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

b) Giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $Sy$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $Sx$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD)$ với $Sx \parallel AB \parallel CD$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Mặt phẳng $(A'BD)$ song song với mặt phẳng
- A.
  $(BDD'B')$ .
- B.
  $(B'C'D')$ .
- C.
  $(DCC'D')$ .
- D.
  $(CB'D')$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $BCD'A'$ là hình bình hành, ta có $BA'\ //\ CD'$ $(1)$

Vì $BDD'B'$ là hình bình hành, ta có $BD\ //\ B'D'$ $(2)$

Mặt khác: $BA' \cap BD = B,\ \ \ CD' \cap B'D' = D'$ $(3)$

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow(A'BD)//(CB'D')$ , suy ra phương án cần tìm là: $(CB'D')$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $(MNP) \cap (SAB) = MN$
- B.
  Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
- C.
  Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
- D.
  $MN//(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .
Câu 5: Vận dụng
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ , tâm của các mặt bên $(ABB'A');(BCC'B');(ACC'A')$ lần lượt là $M,N,P$ . Hình chiếu của điểm $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ , mặt phẳng chiếu $(AB'C)$ là:
- A.
  trung điểm của $AN$
- B.
  trung điểm của $AM$
- C.
  trung điểm của $B'N$
- D.
  trung điểm của $B'M$
Hình vẽ minh họa

Gọi $Q$ là ảnh của $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ lên mặt phẳng $(AB'C)$ .

Ta có $PQ//BC'$ và $PQ \subset (ABC')$ .

Mà $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC')$ và $(AB'C)$ nên $Q \in AN$ .

Lại có $P$ là trung điểm của $AC'$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ANC'$

=> $P$ là trung điểm của $AN$ .
Câu 6: Thông hiểu
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Lấy $M$ là trung điểm của $AC$ . Xác định hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(AA'B')$ theo phương chiếu $CB$ là:
- A.
  Trung điểm của $BC$
- B.
  Trung điểm của $AB$
- C.
  Điểm $A$
- D.
  Điểm $B$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ . Ta có: $MN//CB$

Vậy hình chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA'B'} ight)$ theo phương chiếu $CB$ là điểm $N$ .
Câu 7: Vận dụng cao

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}$ , $\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}$ , $\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ .

Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ$

Suy ra mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ .

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}$ .

Trong mặt phẳng $(ABB'A')$ , gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $MN$ và $AB$ thì $BN$ là đường trung bình của tam giác $AME \Rightarrow N$ là trung điểm của đoạn thẳng $ME$ .

Trong mặt phẳng $(MNPQ)$ , gọi $F$ là giao điểm của $EP$ và $MQ$ thì $NP$ là đường trung bình của tam giác $MEF$ (vì $NP\ //\ MQ$ và $N$ là trung điểm $EM$ ) $\Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF$

Mà tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành nên $NP = MQ \Rightarrow Q$ là trung điểm $MF$ hay $\frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

Lại có $D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}$
Câu 8: Vận dụng
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng $14$ . Tìm số cạnh của đa giác đáy?
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Một hình chóp có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có $n + 1$ đỉnh và $2n + 1$ cạnh

Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

$\begin{matrix} \Leftrightarrow n + 1 + 2n + 1 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n + 2 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $m,n,t$ không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $6$
- D.
  $2$
Giả sử ba đường thẳng $m,n,t$ đôi một cắt lần lượt $M,N,T$ phân biệt và tạo thành mặt phẳng $(MNT)$ .

=> $m,n,t$ cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).

=> $M,N,T$ trùng nhau, tức là $m,n,t$ đồng quy.

Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Câu 10: Thông hiểu
Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $(\alpha)$ qua $O$ , song song với $SA,CD$ . Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình chóp là hình gì?
- A.
  Hình thang.
- B.
  Hình thang cân.
- C.
  Hình tam giác.
- D.
  Ngũ giác.
Hình vẽ minh họa

Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

Gọi I là giao điểm của a với SD.

Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Câu 11: Vận dụng
Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ và $ABEF$ tâm $O'$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi điểm $M$ là trung điểm của CD. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $OO'//(EBC)$
- B.
  $OO'//(MFE)$
- C.
  $OO'//(DAF)$
- D.
  $MO'$ cắt $(ECB)$
Hình vẽ minh họa

Gọi $K = AM \cap BC$

Theo giả thiết ta có:

$\begin{matrix} OO'//EC,\ OO'//DF\ \\ \Rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} OO'//(BCE) \\ OO'//(AFD) \\ OO'//(EFM)\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}$

Ta có $O'M//KE \Rightarrow O'M//(EBC)$

Vậy khẳng định sai là: “ $MO'$ cắt $(ECB)$ ”
Câu 12: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).
- B.
  Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.
- C.
  Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D.
  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q).
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Câu 13: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $G,E$ lần lượt là trọng tâm tam giác $SAD$ và $SCD$ . Lấy các điểm $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $HK//GE$
- B.
  $HK$ và $GE$ chéo nhau
- C.
  $BC$ cắt $GE$
- D.
  $HK//SD$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $SD$ .

Xét tam giác $ACI$ có: $\frac{IG}{IA} = \frac{IE}{IC} = \frac{1}{3}$

Theo định lí đảo của định lí Thales, ta có $GE//AC$ (1).

Mặt khác $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

=> $HK//AC$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $HK//GE$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  AC và BD cắt nhau
- B.
  AC và BD không có điểm chung
- C.
  Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC
- D.
  AB và CD song song với nhau
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Câu 15: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,M$ là trung điểm $CD,I$ là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,BI$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $J$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $AM = (ACD) \cap (ABG)$ .
- B.
  $A,J,M$ thẳng hàng.
- C.
  $J$ là trung điểm của $AM$ .
- D.
  $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ .
Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ .

Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$

$\Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM$ nên $AM = (ACD) \cap (ABG)$ đúng.

$\Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng nên $A,J,M$ thẳng hàng đúng

Ta có $\left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight.$ nên $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ đúng.

Điểm $I$ di động trên $AG$ nên $J$ có thể không phải là trung điểm của $AM$

Nên $J$ là trung điểm của $AM$ sai.
Câu 16: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ , $M \in SC,SM = MC$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  $OM//(SAB)$
- B.
  $OM//(SBD)$
- C.
  $OM//(SAD)$
- D.
  $(BDM) \cap (SAC) = OM$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$OM//SA \Rightarrow OM//(SAB)$

$OM//SA \Rightarrow OM//(SAD)$

$(BDM) \cap (SAC) = OM$

$OM//(SBD)$ là đáp án sai.
Câu 18: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $I;J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$ , $SAD$ , $MC = MD,(M \in CD)$ . Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng $IJ$ ?
- A.
  $(SCD)$
- B.
  $(SBD)$
- C.
  $(SBC)$
- D.
  $(SBM)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$IJ//EF//BD \Rightarrow IJ//(SBD)$
Câu 19: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ . Giả sử $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AB'D')$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình ngũ giác
- B.
  Hình lục giác
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình tứ giác
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy $(BC’D) // (AB’D’)$

$=> (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)$

Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra $(P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN$ , kết hợp với $(AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’$ suy ra $MN // AB’$ , suy ra N thuộc cạnh BB’.

Tương tự, giả sử $(P) ∩ (B’C’) ≡ P$ suy ra $(P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP$ .

Kết hợp với (1) suy ra $NP // BC’$

Tương tự, $(P) ∩ (C’D’) ≡ Q$ sao cho $PQ // B’D’$ ; $(P) ∩ DD’≡ G$ sao cho $QG // C’D$ ; $(P) ∩ AD ≡ H$ sao cho $GH // AD’$ .

Từ đó suy ra thiết diện là lục giác $MNPQGH$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt phẳng $(\beta)$ bất kì song song với mặt phẳng $(ABC)$ . Hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng trên là:
- A.
  tam giác cân
- B.
  tam giác đều
- C.
  hình hình hành
- D.
  tam giác vuông
Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $(\beta)$ với các cạnh $AA',BB',CC'$ .

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN = AB \\ NP = BC \\ PM = AC \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều
Câu 21: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 22: Thông hiểu
Cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ . Trên đoạn $SC$ lấy một điểm $M$ không trùng với $S$ và $C$ .Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(ABM)$ . Khi đó $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $AN = (ABM) \cap (SBC)$ .
- B.
  $AN = (ABM) \cap (SCD)$ .
- C.
  $AN = (ABM) \cap (SAD)$ .
- D.
  $AN = (ABM) \cap (SAC)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $B \in (ABM) \cap (SBD)$ (1)

Gọi $O = AC \cap BD,K = AM \cap SO$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} K \in AM \subset (ABM) \\ K \in SO \subset (SBD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (ABM) \cap (SBD) ight.$

Từ (1) và (2) suy ra $(ABM) \cap (SBD) = BK$

Trong mặt phẳng $(SBD)$ . Gọi $N = BK \cap SD$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}N \in SD \\N \in BK \subset (ABM) \\\end{matrix} \Rightarrow N = (ABM) \cap SDight.$

Dễ thấy $AN = (ABM) \cap(SAD)$
Câu 23: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
- A.
  OA
- B.
  OM
- C.
  ON
- D.
  đường thẳng d qua O và d // AB
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
=> $MN // AB$
Ta lại có $\left( {MNO} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = O$
=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.
Câu 24: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B} = 60^{0},AB = SB = a$ . Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với các mặt của hình chóp.
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Ngũ giác
- D.
  Lục giác
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (P) \cap (ABC) = M \\ (P)//AI \\ AI \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

Do đó giao tuyến của $(P)$ với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

Tương tự $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MQ//SB;(M \in SA) \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP//SB;(P \in SC) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy giao tuyến của $(P)$ với hình chóp S.ABC là tứ giác $MNPQ$ .
Câu 25: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M \in SA$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SB,AC$ . Giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh $AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $N,E,F,I,J$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(SCD)$
- B.
  $EF//(ASD)$
- C.
  $NF//(SAD)$
- D.
  $JI//(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ = (\alpha) \cap (SBD) \\ (\alpha)//SB \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (SBD) = IJ//SB$

Mà $SB \subset (SAB) \Rightarrow IJ//(SAB)$
Câu 26: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một tứ giác lồi có $AC \cap BD = M$ và $AB \cap CD = N$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng:
- A.
  $SB$
- B.
  $SM$
- C.
  $SN$
- D.
  $SC$
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng $SM$ .
Câu 27: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ và $I$ là giao điểm của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $I otin SO$
- B.
  $I \in SO;IS = IO$
- C.
  $I \in SO;IS > IO$
- D.
  $I \in SO;IS < IO$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $SO \cap AM \equiv I$ mà $SO \subset (SBD)$

$\Rightarrow AM \cap (SBD) \equiv \left\{ I ight\}$ và $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$

$\Rightarrow IS = 2IO \Rightarrow IS > IO$
Câu 28: Nhận biết
Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
- A.
  Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác
- B.
  Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác
- C.
  Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác
- D.
  Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Câu 29: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
- A.
  Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác $ABC$ .
- B.
  Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác $ABC$ .
- C.
  Giao điểm của hai đường cao của tam giác $ABC$ .
- D.
  Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác $ABC$ .
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.

Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác $ABC$ .
Câu 30: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.
- B.
  Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.
- C.
  Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.
- D.
  Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."
Câu 31: Nhận biết
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
- A.
  Ba điểm
- B.
  Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
- C.
  Hai điểm
- D.
  Bốn điểm
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Câu 32: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ , $AD//BC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ là:
- A.
  $SP$ ( $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ )
- B.
  $SO$ ( $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ )
- C.
  $SJ$ ( $J$ là giao điểm của $AM$ và $BD$ )
- D.
  $SI$ ( $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ )
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ . Khi đó: $SI = (MSB) \cap (SAC)$ .
Câu 33: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , $I = AC \cap BD$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ bất kì cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại $A',B',C',D'$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  Các đường thẳng $AB,CD,C'D'$ đồng quy.
- B.
  Các đường thẳng $AB,CD,A'B'$ đồng quy.
- C.
  Các đường thẳng $A'C',B'D',SI$ đồng quy.
- D.
  Các đường thẳng $A'D',B'C',SI$ đồng quy.
Hình vẽ minh hoạ

Ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} A'C' = (\alpha) \cap (SAC) \\ B'D' = (\alpha) \cap (SBD) \\ SI = (SBD) \cap (SAC) \\ \end{matrix} ight.$

=> Các đường thẳng $A'C',B'D',SI$ đồng quy.
Câu 34: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ , biết $AC \cap BD \equiv M$ và $AB \cap CD \equiv N$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .
- A.
  $SB$
- B.
  $SM$
- C.
  $SC$
- D.
  $SN$
Hình vẽ minh họa

Ta có $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Vì $AC \cap BD \equiv M$ nên $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SM$ .
Câu 35: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
- A.
  Đường thẳng SO với O là giao điểm của AC và BD.
- B.
  Đường thẳng đi qua S và song song AC.
- C.
  Đường thẳng đi qua S và song song BD.
- D.
  Đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Câu 37: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có đáy nhỏ là $BC$ , lấy điểm $P \in SD$ , sao cho $PD = 2SP$ . Gọi $Q = SA \cap (PBC)$ . Tính tỉ số giữa hai cạnh $SQ$ và $SA$ .
- A.
  $\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{SQ}{SA} = 2$
Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(PBC);(SAD);(ABCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $PQ;AD;BC$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $PQ;AD;BC$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $AD//BC \Rightarrow PQ//AD$

Do đó $\frac{SQ}{SA} = \frac{SP}{SD} = \frac{1}{3}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Nếu đường thẳng chéo nhau thì hai đường thẳng đó có điểm chung.
- B.
  Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.
- C.
  Nếu hai đường thẳng đồng phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
- D.
  Nếu hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”
Câu 39: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  $(SAB) \cap (ABCD) = AB$
- B.
  $AB//(SAC)$
- C.
  $SO \cap (ABCD) = \left\{ O ight\}$
- D.
  $(SAC) \cap (SBD) = SO$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB \cap (SAC) = A$ nên đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại điểm $A$ .

Vậy khẳng định sai là “ $AB//(SAC)$ ”
Câu 40: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in AB;P \in CD$ sao cho $BN = 2AN,CP = 3DP$ . Biết $S = MP \cap BD,Q = AN \cap AD$ , tính tỉ số độ dài của $QD$ và $QA$ .
- A.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{4}{5}$
- B.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{3}{4}$
- C.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(BCD)$ qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $SM$ tại $E$ .

Theo định lí Talet ta có: $\frac{DM}{CE} = \frac{DP}{CP} = \frac{1}{3}$ mà $MB = MC$

$\Rightarrow \frac{DE}{MB} = \frac{1}{3}$

Mặt khác ta có: $\frac{DE}{MB} = \frac{SD}{SB} \Rightarrow \frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}$

Trong mặt phẳng $(ABD)$ qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $SN$ tại $F$ .

Theo định lí Talet ta có: $\frac{SD}{SB} = \frac{DF}{BN}$ . Theo chứng minh trên ta lại có $\frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}$

$\frac{DF}{BN} = \frac{1}{3}$ .

Theo giả thiết $BN = 2AN \Rightarrow \frac{DF}{2AN} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{DF}{AN} = \frac{2}{3}$

Mặt khác ta có: $\frac{QD}{QA} = \frac{DF}{AN} \Rightarrow \frac{QD}{QA} = \frac{2}{3}$

35 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!