Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trọng tâm tam giác
. Khi đó, giao điểm của
và
là:
Hình vẽ minh họa
Kéo dài cắt
tại
.
Khi đó là giao điểm của
và
.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trọng tâm tam giác
. Khi đó, giao điểm của
và
là:
Hình vẽ minh họa
Kéo dài cắt
tại
.
Khi đó là giao điểm của
và
.
Cho tứ diện
có
là trọng tâm của
và
là một điểm trên cạnh
sao cho
. Tìm
để đường thẳng
song song với mặt phẳng ![]()
Đáp án: 2
Cho tứ diện có
là trọng tâm của
và
là một điểm trên cạnh
sao cho
. Tìm
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
Đáp án: 2
Gọi là trung điểm đoạn
, suy ra
(
là trọng tâm của tam giác
).
Ta có và
.
Do đó .
Suy ra .
Vậy .
Cho các đường thẳng
và các mặt phẳng
. Giả thiết nào sau đây đủ để kết luận đường thẳng
song song với đường thẳng
?
Nếu thì a // b hoặc a, b chéo nhau.
Nếu thì a // b hoặc a ≡ b.
Nếu thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành:
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng đôi một song song.
Vậy các đáp án đúng là:
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Thành hai đường thẳng song song.
Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.
Xét (ABC) ta có:
Qua M kẻ EF // AB (1)
Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF
Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE
Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)
=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG
Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH
Ta có:
Từ (1), (2), (3), (4) =>
=> EFGH là hình bình hành
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.
Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.
theo tỉ số đồng dạng bằng
Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)

Gọi E là trung điểm của AB
Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:
Theo định lí Ta - lét ta có: (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) =>
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Từ (*) và (**) ta suy ra
Cho tứ diện
. Gọi
tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Tìm tỉ số
(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Cho tứ diện . Gọi
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Tìm tỉ số
(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
nên
,
và
đồng qui tại
(là trung điểm của
) .
Vì nên
và
.
Lại có
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.
Vậy đồng quy.
Lại có:
Từ đó suy ra và
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang với
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
;
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Tìm
để
.
Đáp án: 2
Cho hình chóp có đáy là hình thang với
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
;
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Tìm
để
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm cạnh AD
Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.
Dễ thấy .
Do đó:
.
Mặt khác, tam giác đồng dạng với tam giác
nên
Suy ra .
.
Từ và
.
Vậy
.
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình hộp
. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
.
Hình vẽ minh họa:
Qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu
. Ta có:
biến thành B
biến thành
biến thành
biến thành
Do đó hình hộp biến thành hình bình hành
.
Cho hình chóp
. Trên các cạnh
và
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Hỏi
song song với mặt phẳng nào dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là đường trung bình của tam giác ABD suy ra MN//BD
Mặt khác
Trong hình học không gian
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.
Cho hai mặt phẳng
và
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án “Đường thẳng và đường thẳng
thì
” sai vì nếu
và đường thẳng
thì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
Mà (ABCD là hình bình hành)
=>
Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD
Hay
Cho đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
và đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Nếu thì ngoài trường hợp
thì
có thể chéo nhau.
Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó tỉ số độ dài
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành
Vì là hình bình hành nên
Từ đó ta có:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra hay
Cho lăng trụ
. Lấy
là trung điểm của
. Xác định hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
theo phương chiếu
là:
Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của
. Ta có:
Vậy hình chiếu song song của điểm lên
theo phương chiếu
là điểm
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề: "Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác." sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề: "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung." và "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng." sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Vậy mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng."
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’ => d’ // d
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."
Cho hai đường thẳng song song
và
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Có vô số mặt phẳng chứa và song song với
(đó là tất cả các mặt phẳng chứa
nhưng không chứa
).
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Cho 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai?
Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)
Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:
Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:
Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."
Cho hình chóp
. Điểm
nằm trên cạnh
.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
Đáp án: 4 cạnh.
Cho hình chóp . Điểm
nằm trên cạnh
.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
Đáp án: 4 cạnh.
Hình vẽ minh họa
Xét và
ta có:
là điểm chung thứ nhất.
Gọi
Có là điểm chung thứ hai.
Gọi . Ta có:
Thiết diện là tứ giác .
Vậy thiết diện là đa giác có 4 cạnh.
Cho hình hộp
. Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp . Trên các cạnh
,
,
lần lượt lấy ba điểm
,
,
sao cho
,
,
. Biết mặt phẳng
cắt cạnh
tại
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Tương tự:
Suy ra mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành
.
Mặt khác .
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
thì
là đường trung bình của tam giác
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của
và
thì
là đường trung bình của tam giác
(vì
và
là trung điểm
)
Mà tứ giác là hình bình hành nên
là trung điểm
hay
Lại có
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.
Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.
Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.
Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
Hình vẽ minh họa

Ta có và
=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Lấy
là trung điểm của
. Tìm hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
.
Giả sử là ảnh của
theo phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Suy ra
Do là trung điểm của
=>
là trung điểm của
.