Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SCSD. Khi đó (MNP) \cap (SAC) là đường thẳng nào?

    Hình vẽ minh họa:

    M ∈ (MNPQ); MSA; M ∈ (SAC)

    Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); PSC; P ∈ (SAC).

    Vậy P là điểm chung thứ hai.

    Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi K,L lần lượt là trung điểm của ABBC,N là điểm thuộc đoạn CD sao cho CN
= 2ND. Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN). Tính tỉ số \frac{PA}{PD}.

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử LN \cap BD = I. Nối K với I cắt AD tại P Suy ra (KLN) \cap AD = P
    Ta có: KL//AC \Rightarrow PN//AC. Suy ra \frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} =
2.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S =
\frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 4: Nhận biết

    Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Tứ giác MNPQ là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Hình vẽ minh họa

    Tìm khẳng định đúng

    Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF

    Mà DF ⊂ (ADF)

    => OO' // (ADF)

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Lấy I là trung điểm của AC, J \in
AD sao cho \frac{AJ}{AD} =
2. Giả sử mặt phẳng (\alpha) chứa IJ và song song với AB. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh hoạ

    Trong mp(ABD) kẻ JN // AB, (N ∈ BD).

    Trong mp(ABC) kẻ IM // AB, (M ∈ BC).

    Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó AD = \frac{1}{2}CD =
BD

    => Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

    \Rightarrow \frac{PJ}{PI} =
\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}

    Ta lại có: \frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} =
\frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} =
\frac{4}{9}

    \Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} =
\frac{5}{9}

    Mặt khác

    JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} =
\frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB =
\frac{a}{3}

    IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} =
\frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB =
\frac{a}{2}

    Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

    AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} =
\sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}

    PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} =
\sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} =
\frac{a\sqrt{13}}{2} = PM

    Diện tích tam giác PIM

    S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p -
IM)}

    Với p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1
+ 2\sqrt{13}}{4}.a

    \Rightarrow S_{PIM} =
\frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}

    \Rightarrow S_{JNMI} =
\frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDI,J lần lượt là trọng tâm tam giác ABCABD. Chọn kết luận đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

    Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

    Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra \frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3}
\Rightarrow JI//MN(**)

    Từ (*) và (**) suy ra TH

     

    1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?

    Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử CM và DN đồng phẳng.

    Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)

    => A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.

    Vậy CM và DN chéo nhau.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A′,B′,C′,D′lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,SCSD. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A'B'?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm đường thẳng không song song với A'B'

    Ta có: A′,B′,C′,D′ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,SC,SD

    => A'B', B'C', C'D', A'D' lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB, SBC, SCD, SAD.

    ABCD là hình bình hành

    => \left\{ \begin{gathered}  AB//A\prime B\prime  \hfill \\  CD//A\prime B\prime  \hfill \\  C'D'//A\prime B\prime  \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Vậy SC không song song với A'B'.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy M \in SA sao cho 3SM = 2SA. Giả sử mặt phẳng (\gamma) là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với AB,AC. Các giao tuyến của (\gamma) với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
M \in (\gamma) \\
(\gamma)//(ABCD) \\
\end{matrix} ight.. Gọi N,P,Q lần lượt là các giao điểm của (\gamma) với SB,SC,SD thì \left\{ \begin{matrix}
MN//AB \\
NP//BC \\
NP//BC \\
\end{matrix} ight..

    Do đó MNPQ là hình vuông và \frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} =
\frac{2}{3}

    Vậy diện tích tứ giác là S =
\frac{400}{9}cm^{2}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho m,n là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng (\alpha). Chọn mệnh đề đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
m ⊄ (\alpha) \\
m\bot n \\
n \subset (\alpha) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow m\bot(\alpha) sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

    \left\{ \begin{matrix}
m\bot n \\
n\bot(\alpha) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow m\bot(\alpha) sai trong trường hợp

    \left\{ \begin{matrix}
m \cap (\alpha) = H \\
n \cap (\alpha) = H \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow m \cap n = H đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.

    \left\{ \begin{matrix}
m\bot n \\
m \cap (\alpha) = P \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow n \cap (\alpha) = P sai vì đường thẳng hoặc

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in AD sao cho \frac{AD}{AM} = 3, G là trọng tâm tam giác SAB. Đường thẳng GM song song với mặt phẳng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi N là trung điểm của AB, lấy K \in
SA sao cho AS = 3AK

    Ta có: \frac{AK}{AS} = \frac{AM}{AD} =
\frac{1}{3} \Rightarrow KM//SD

    Mặt khác \frac{SK}{SA} = \frac{SG}{SM} =
\frac{2}{3} \Rightarrow GK//AN

    \Rightarrow GK//CD

    \Rightarrow (GMK)//(SCD) \Rightarrow
GM//(SCD)

  • Câu 15: Nhận biết

    Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P)(Q). Nếu đường thẳng d' song song với cả hai mặt phẳng thì:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SC, mặt phẳng (\beta) đi qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Khi đó các giao tuyến của mặt phẳng (\beta) với các mặt của S.ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\beta) với (SCD)MQ//CD.

    Giao tuyến của (\beta) với (ABCD)PN//CD.

    Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng (\beta) với các mặt của S.ABCD là hình thang MNPQ.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SC. Tìm đặc điểm của giao tuyến d của hai mặt phẳng (BPQ)(ABCD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta thấy B là một điểm chung của hai mặt phẳng (BMN)(ABCD).

    Do đó d đi qua B.

    Xét ba mặt phẳng (BMN),(ABCD),(SAC).

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d,AC,MN.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d,AC,MN đồng quy hoặc đôi một song song.

    MN//AC (do MN là đường trung bình của tam giác SAC) nên d//AC.

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (BPQ)(ABCD) là đường thẳng d đi qua B và song song với CD.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng d ⊄ (\alpha). Khẳng định nào sau đây là sai?

    Mệnh đề Nếu d\ //\
(\alpha)b \subset
(\alpha) thì b\ //\ d“ sai vì bd có thể chéo nhau.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?

    Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.

    Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa

    Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác

    Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.

    Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J,K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB,BC,CD. Giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
J \in (IJK) \\
J \in BC \subset (BCD) \\
\end{matrix} ight.

    => J là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK)(BCD).

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix}
K \in (IJK) \\
K \in CD \subset (BCD) \\
\end{matrix} ight.

    => K là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK)(BCD).

    Vậy giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng JK.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trung điểm của các đường thẳng AD,AB,CD lần lượt là H,K,T. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng T.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của BC.

    Ta có: HT//AC (do HT là đường trung bình của tam giác ACD)

    HT \subset (HKT)

    AC \subset (ABC)

    K \in (HKT) \cap (ABC)

    Vậy (HKT) \cap (ABC) =
KO//HT//AC

  • Câu 22: Nhận biết

    Chọn mệnh đề sai.

    Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCG,K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABCSBC. Gọi E là trung điểm cạnh AC. Mặt phẳng (GEK) cắt SC tại M. Tỉ số \frac{MS}{MC} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC E là trung điểm của AC.

    => B,G,E thẳng hàng hay (GKE) \equiv (EBK)

    Ta lại có K là trọng tâm tam giác SBC nên BK kéo dài cắt SC tại trung điểm của SC.

    Vậy M là trung điểm của SC suy ra \frac{MS}{MC} = 1

  • Câu 24: Nhận biết

    Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?

    Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

    Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?

    Ta có AB song song với CD theo tính chất hình bình hành.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho các đường thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau."

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của ABCD (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
HK//BC \\
HK ⊄ (SBC) \\
BC \subset (SBC) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow HK//(SBC)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi điểm I là trung điểm của AB, lấy điểm M di động trên đoạn AI. Mặt phẳng (\alpha) qua M song song với (SIC). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với các mặt của tứ diện.

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.

    Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.

    Thiết diện là tam giác MNP.

    Ta có: \frac{MP}{SI} = \frac{MN}{CI}
\Rightarrow MP = MN

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình chóp S\ ABCDEFcó đáy ABCDEF là lục giác đều tâm O. Có bao nhiêu mặt phẳng qua các điểm là đỉnh của hình chóp có chung giao tuyến là SO

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S\ ABCDEFcó đáy ABCDEF là lục giác đều tâm O. Có bao nhiêu mặt phẳng qua các điểm là đỉnh của hình chóp có chung giao tuyến là SO

    Đáp án: 3

    Hình vẽ minh họa

    (SAD),(SCF),(SBE)có chung giao tuyến SO.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,BC lần lượt lấy các điểm M,N làm trung điểm, lấy P \in BC sao cho \frac{CP}{PD} = 2 Q \in AD sao cho bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Xét mặt phẳng (BCD) ta có: \frac{CP}{PD} = 2

    => E = NP \cap BD

    M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC do đó MN//AC

    \Rightarrow PQ//AC

    CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD hay \frac{QA}{DQ} = 2.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm SA,SB,SCSD. Chọn khẳng định sai.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có N là điểm chung của (SBD)(MNP).

    Do M,N,P,Q lần lượt là trung điểm SA,SB,SCSD nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = PQ \\MN//AB//CD//PQ \\\end{matrix} \Rightarrow MNPQ ight. là hình bình hành.

    BD//NQ \Rightarrow
BD//(MNPQ).

    Khi đó (SBD) cắt (MNP) theo giao tuyến đi qua N và song song với BDNQ.

    Từ đó ta thấy đáp án

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm MP.

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm NQ.

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm SD.

    Là các đáp án đúng

    T là trung điểm SB suy ra T
\equiv N \Rightarrow (SBD) \cap (MNP) = N.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
(\alpha)//(SBE) \\
(SBE) \cap (ABCD) = BE \\
(\alpha) \cap (ABCD) = Ix \\
\end{matrix} ight.

    => Ix//BE => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
(\alpha)//(SBE) \\
(\alpha) \cap (SBC) = Mx \\
(SBE) \cap (SBC) = SB \\
\end{matrix} ight.

    => Mx//SB

    => Mx cắt SC tại N.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
(\alpha)//(SBE) \\
(\alpha) \cap (SAD) = Qx \\
(SBE) \cap (SAD) = SE \\
\end{matrix} ight.

    => Qx//SE

    => Qx cắt SD tại P

    Tứ giác BCDE là hình bình hành

    => CD // BE // MQ

    => CD // (α).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
CD//\ (\alpha) \\
CD \subset (SCD) \\
(SCD) \cap (\alpha) = PN \\
\end{matrix} ight.

    => CD//P\ N \Rightarrow MQ//P\
N

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng x. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC

    \Rightarrow AN \cap MC = G

    Ta có: (CDG) \cap AB = M

    Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD

    Tam giác ABD đều cạnh bằng xM là trung điểm của AB

    \Rightarrow MD =
\frac{x\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều cạnh bằng xM là trung điểm của AB

    \Rightarrow MC =
\frac{x\sqrt{3}}{2}

    Gọi H là trung điểm của CD \Rightarrow
MH\bot CD

    \Rightarrow S_{MCD} =
\frac{1}{2}MH.CD

    Ta có: MH = \sqrt{MC^{2} -
HC^{2}}

    \Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} -
\frac{CD^{2}}{2}}

    \Leftrightarrow MH =
\frac{x\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{MCD} =
\frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Điểm Mlà trung điểm của BC, lấy N \in
AB;P \in CD sao cho BN = 2AN,CP =
3DP. Biết S = MP \cap BD,Q = AN
\cap AD, tính tỉ số độ dài của QDQA.

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (BCD) qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt SM tại E.

    Theo định lí Talet ta có: \frac{DM}{CE} =
\frac{DP}{CP} = \frac{1}{3}MB =
MC

    \Rightarrow \frac{DE}{MB} =
\frac{1}{3}

    Mặt khác ta có: \frac{DE}{MB} =
\frac{SD}{SB} \Rightarrow \frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}

    Trong mặt phẳng (ABD) qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt SN tại F.

    Theo định lí Talet ta có: \frac{SD}{SB} =
\frac{DF}{BN}. Theo chứng minh trên ta lại có \frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}

    \frac{DF}{BN} = \frac{1}{3}.

    Theo giả thiết BN = 2AN \Rightarrow
\frac{DF}{2AN} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{DF}{AN} =
\frac{2}{3}

    Mặt khác ta có: \frac{QD}{QA} =
\frac{DF}{AN} \Rightarrow \frac{QD}{QA} = \frac{2}{3}

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} =
\frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} =
\frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} =
\frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} =
\frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
(BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\
(MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\
(MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow NP\ //\ MQ.

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix}
(AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\
(MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\
(MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow MN\ //\ PQ

    Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix}
BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\
AM = \frac{2}{3}AA' \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \frac{BN}{AM} =
\frac{1}{2}.

    Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MNAB thì BN là đường trung bình của tam giác AME \Rightarrow N là trung điểm của đoạn thẳng ME.

    Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EPMQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP\
//\ MQN là trung điểm EM) \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF

    Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP = MQ \Rightarrow Q là trung điểm MF hay \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    Lại có D'Q\ //\ A'M \Rightarrow
\frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M \in AD,N \in CC' sao cho 2AM = AD2CN = CC'. Mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng MN và song song với (ACB'). Xác định các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

    => Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = 6;CD = 8. Mặt phẳng (\alpha) song song với AB,CD cắt tứ diện tạo thành một hình thoi. Tính độ dài cạnh hình thoi.

    Hình vẽ minh họa

    Tính độ dài cạnh hình thoi

    Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với các cạnh AC, BC, BD, AD, khi đó theo giả thiết tứ giác MNPQ là hình thoi.

    Cũng từ giả thiết ta suy ra PQ // MN // AB, MQ // NP // CD nên ta có

    \frac{CM}{AC} =
\frac{MN}{AB};\frac{AM}{AC} = \frac{MQ}{CD} \Rightarrow \frac{AC -
CM}{AC} = \frac{MQ}{CD}

    \Rightarrow 1 - \frac{CM}{AC} = 1 -
\frac{MN}{AB} = \frac{MQ}{CD} = \frac{MN}{CD}

    \Rightarrow MN = \dfrac{1}{\dfrac{1}{AB} +\dfrac{1}{CD}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8}} =\dfrac{24}{7}

    Vậy cạnh của hình thoi là \frac{24}{7}

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SABC, P là điểm trên cạnhAB sao cho \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}. Gọi Qlà giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính \frac{SQ}{SC}( làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SABC, P là điểm trên cạnhAB sao cho \frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}. Gọi Qlà giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính \frac{SQ}{SC}( làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Hình vẽ minh họa

    Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP)

    Chọn mặt phẳng phụ (SAC) chứa SC

    Trong (ABC) gọi H = AC \cap NP

    Suy ra (MNP) \cap (SAC) = HM. Khi đó Q là giao điểm của HMSC.

    Gọi L là trung điểm AC

    Ta có \frac{HA}{HL} = \frac{AP}{LN} =
\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB} = \frac{2}{3}(vì M,\ N là trung điểm của ACBC nên LN =
\frac{1}{2}AB)

    \Rightarrow HA =
\frac{2}{3}HL

    LC = AL = HL - HA = HL - \frac{2}{3}HL
= \frac{1}{3}HL nên HL =
\frac{3}{4}HC

    Mặt khác ta có\frac{HC}{HL} =
\frac{QC}{ML} = \frac{4}{3} (vì ML//SC)

    2ML = SC nên\frac{QC}{SC} = \frac{2}{3} \Rightarrow
\frac{SQ}{SC} = \frac{1}{3}.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \
CC' sao cho AM =
\frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP =
\frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \
CC' sao cho AM =
\frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP =
\frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'CC'sao cho MA = M'DNB = N'C.

    (ABB'A')\ //\
(CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A')(CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' =
\frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left(
\frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) =
\frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} =
\frac{5}{12}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 29 lượt xem
Sắp xếp theo