Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh bằng
. Lấy
là trung điểm của
,
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh hoạ
Trong mp(ABD) kẻ
Trong mp(ABC) kẻ
Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.
Khi đó
=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.
Ta lại có:
Mặt khác
Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:
Diện tích tam giác PIM
Với
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Cho hộp chữ nhật
. Các điểm
tương ứng trên
sao cho
song song với
. Tính tỉ số
?
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu
.
Ta có: là ảnh của
hay
chính là giao điểm của
và ảnh
qua phép chiếu này.
Do đó ta xác định như sau:
Trên kéo dài lấy điểm
sao cho
suy ra
là ảnh của
trên
qua phép chiếu song song.
Gọi . Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Ta có:
là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales ta có:
Cho tam giác
nằm trong mặt phẳng
và phương
. Biết hình chiếu (theo phương
) của tam giác
lên mặt phẳng
là một đoạn thẳng. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa

Phương án : Hình chiếu của tam giác
vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .
Phương án : Hình chiếu của tam giác
vẫn là tam giác
.
Phương án : Khi phương chiếu
song song với
hoặc chứa trong mặt phẳng
. Thì hình chiếu của tam giác
là một đoạn thẳng trên mặt phẳng
.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’ => d’ // d
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.
Giả sử đường thẳng
cắt mặt phẳng chiếu
tại điểm
thì hình chiếu song song của
trên mặt phẳng
là:
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng thì hình chiếu là điểm
.
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm
.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Giao của
với
là:
Hình vẽ minh họa
Vì là trung điểm của
và
nên
Suy ra cùng thuộc một mặt phẳng.
Trong mặt phẳng gọi
là giao điểm của
và
.
Ta có:
Vậy giao của với
là giao của
với
.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình chóp tứ giác
đáy là hình bình hành,
là trung điểm của
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
đồng thời song song với
và
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và các mặt của hình chóp. Hỏi hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
đi qua
và song song với
, với
là trung điểm của
.
nên
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
đi qua
và song song với
, với
là trung điểm của
.
nên
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
đi qua
và song song với
, với
là trung điểm của
.
Các giao tuyến của mặt phẳng và hình chóp là tứ giác
Lại có nên
là hình thang.
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Đường thẳng
song song với
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
,
. Giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
là giao điểm của hai đường thẳng nào?

Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng ta có:
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết
là hình vuông cạnh
. Các tam giác
là các tam giác cân bằng nhau. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác
(các điểm
trùng vào đỉnh
). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng
.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:
Từ giả thiết ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.
Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.
Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
là trung điểm của
. Điểm
là ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

Ta có
=> BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là
Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.
=> AC và A’C’ cắt nhau.
Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
,
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đáp án sai.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với
?
Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là trung điểm của các cạnh
lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Và là hình bình hành
=>
Vậy không song song với
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
=>
Ta lại có
=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành tâm O. Lấy hai điểm
lần lượt thuộc
sao cho
. Đường thẳng
song song với:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác có:
=> là đường trung bình =>
.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
, d đi qua S và
.
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có khẳng định sai là: “Nếu và
thì
."
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là gia điểm của
và mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 3
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là gia điểm của
và mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 3
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm trên cạnh
,
nên
.
nên
suy ra
.
Trong
chính là giao điểm của
và
.
Trong , có
nên hai tam giác
và
đồng dạng.
Do đó .
Cho tứ giác
có
là giao điểm của
. Lấy một điểm
bất kì không thuộc
, một điểm
bất kì thuộc cạnh
. Gọi
là giao điểm của
và
. Khi đó giao điểm của
và mặt phẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).
Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).
Trong mặt phẳng ( ABCD) có
Trong mặt phẳng (SAC) có
Suy ra
Trong mặt phẳng (SBD) gọi và do
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân đáy nhỏ
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp
là hình:
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng (MNP) và (SBC) có
(1)
(2)
Từ (1) và (2) .
Xét tứ giác có
=> là hình thang.
Vậy giao điểm của mặt phẳng với các mặt của hình chóp
là hình thang.
Cho mặt phẳng
và điểm
không thuộc mặt phẳng
. Số đường thẳng đi qua
và song song với
là
Có vô số đường thẳng đi qua và song song với
với điểm
không thuộc mặt phẳng
.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.
Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.
Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.
theo tỉ số đồng dạng bằng
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề: "Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác." sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề: "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung." và "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng." sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Vậy mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng."
Cho lăng trụ
có đáy
là hình vuông,
. Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
qua
và song song
lần lượt cắt
tại
.

Đặt
. Khi
thì
bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,01
Cho lăng trụ có đáy
là hình vuông,
. Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
qua
và song song
lần lượt cắt
tại
.
Đặt . Khi
thì
bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,01
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng ,
.
Trong mặt phẳng ,
.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
Từ ,
suy ra tứ giác
là hình bình hành nên
là trung điểm
.
Ta có nên để
thì
.
Từ ,
suy ra
.
Vậy .
Cho bốn điểm không đồng phẳng trong không gian. Hỏi từ các điểm đã cho có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt?
Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.