Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hình chóp MQ//AD có đáy là hình thang với MN//AB. Gọi NP//BC là trọng tâm của tam giác PQ//CD; (\alpha) \equiv (MNPQ) là điểm thuộc đoạn SAB sao cho MN. Tìm x để AB.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho hình chóp MQ//AD có đáy là hình thang với MN//AB. Gọi NP//BC là trọng tâm của tam giác PQ//CD; (\alpha) \equiv (MNPQ) là điểm thuộc đoạn SAB sao cho MN. Tìm x để AB.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm cạnh AD

    Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q. 

    Dễ thấy SQ = (IGE) \cap (SBC).

    Do đó: GE//(SBC) \Leftrightarrow GE//SQ \Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS} \Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}.

    Mặt khác, tam giác EIA đồng dạng với tam giác EQC nên \frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}

    Suy ra EQ = x.EI.

    \Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}.

    Từ và \Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 2.

    Vậy GE//(SBC) \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

    Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    MN // AD (đường trung bình 4SAD)

    OP // AD (đường trung bình 4BAD)

    => MN // OP

    => O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.

    \left\{ \begin{matrix}MN//AD//BC \subset (SBC) \\OM//SC \subset (SBC) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow (OMN)//(SBC)

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: (SBC) \cap (SAC) = SC

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi J;K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB,SC. Đường thẳng JK song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)

  • Câu 6: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng?

    Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

    Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau” hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không thể chéo nhau do đó đáp án đúng.

    Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể cắt nhau do đó đáp án sai.

    Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Lấy M \in AB sao cho \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{BM}. Giả sử (\alpha)qua M và song song với hai đường thẳng SC,BD. Tìm khẳng định đúng.

    Hình vẽ minh họa:

    Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua M và song song với BD cắt các cạnh CD, CB lần lượt tại E, F.

    Xét mặt phẳng (SBC), kẻ FG // SC (G ∈ SB).

    Xét mặt phẳng (SCD), kẻ EK // SC (K ∈ SD).

    Gọi I là giao điểm của AC và EF, trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng qua I và song song với SC cắt SA tại điểm H.

    Khi đó EFGHK là hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S \cdot ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Đáp án MN//BC đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC

    Đáp án ON//SB đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD

    Đáp án OM//SC đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC

    Đáp án ON//SC sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khẳng định đúng: "Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip."

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Giả sử M thuộc đoạn BC. Một mặt (\alpha) qua M song song với AB và CD. Thiết diện của (\alpha) và hình tứ diện ABCD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm thiết diện

    (\alpha) //AB => Giao tuyến của (\alpha) với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.

    (\alpha) //CD => Giao tuyến của (\alpha) với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.

    (\alpha) //AB => Giao tuyến của (\alpha) với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.

    => Thiết diện của hình chóp cắt bởi (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Ta lại có: MN // PQ // CD, MQ // PN // AB.

    Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)

    (1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).

    (2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

    Trong hai phát biểu trên.

    Theo định lý, nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q), do đó nếu lấy mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì tồn tại hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn định lý, vậy phát biểu (2) đúng.

    Phát biểu (1) sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}, \frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}, \frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}. Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \frac{D'Q}{DD'}.

    Đáp án: 1/6 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (BB'C'C)\ //\ (AA'D'D) \\ (MNP) \cap (BB'C'C) = NP \\ (MNP) \cap (AA'D'D) = MQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow NP\ //\ MQ.

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} (AA'B'B)\ //\ (CC'D'D) \\ (MNP) \cap (AA'B'B) = MN \\ (MNP) \cap (CC'D'D) = PQ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\ //\ PQ

    Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA' \\ AM = \frac{2}{3}AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{BN}{AM} = \frac{1}{2}.

    Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME \Rightarrow N là trung điểm của đoạn thẳng ME.

    Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP\ //\ MQ và N là trung điểm EM) \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF

    Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP = MQ \Rightarrow Q là trung điểm MF hay \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    Lại có D'Q\ //\ A'M \Rightarrow \frac{D'Q}{A'M} = \frac{FQ}{FM} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{\dfrac{1}{3}AA'} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\dfrac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{2}.\dfrac{1}{3} =\dfrac{1}{6}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.

    Phát biểu nào sau đây là đúng

    Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).

    Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì

    Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:

    A chung

    C chung

    => Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC

    Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:

    Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung

    Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

    Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

    Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 3PD và I là giao điểm của NP và CD. Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?

    Hình vẽ minh họa:

    Giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là K.

    Vậy giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) là giao điểm của hai đường MI và AD.

  • Câu 16: Nhận biết

    Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?

    Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.

    Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

  • Câu 17: Nhận biết

    Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?

    Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

    + Đường thẳng song song với mặt phẳng.

    + Đường thẳng cắt mặt phẳng.

    + Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

    Tìm mệnh đề sai

    Ta có I ∈ (ABC), B ∈ (ABC)

    => BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:

    Hình vẽ minh họa

    Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp S \cdot ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của BC,CD,SB,SD. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có MN là đường trung bình tam giác BDC \Rightarrow MN//BD (1)

    Ta có PQ là đường trung bình của tam giác SBD \Rightarrow PQ//BD(2).

    \Rightarrow MN//PQ.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)

    Trong (ABCD) có I = EF \cap CD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SI = (SEF) \cap (SCD)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)

    EF//AC do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

    \left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC

    c) Chọn (SBC) chứa FK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.

    (SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng

    Xét tam giác SAB có:

    M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

    => MN là đường trung bình của tam giác SAB

    MN // AB

    Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành)

    => MN // CD

    Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung

    => Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD

    Hay (MNC) \cap (ABD) =CD

  • Câu 24: Nhận biết

    Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?

     Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi G_{1};G_{2} lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và ACD. Khi đó độ dài đoạn thẳng G_{1}G_{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là trung điểm của CD.

    Trong tam giác IAB ta có:

    \frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3} (theo tính chất trọng tâm tam giác)

    \Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S là điểm chung của mặt phẳng (SAM) và (SBC) (*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in BC \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M \in (SBC)

    => M là điểm chung của mặt phẳng (SAM) và (SBC) (**)

    Từ (*) và (**) suy ra (SAM) \cap (SBC) = SM

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.

    Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

    Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ảnh của A,B' qua phép chiếu song song với phương CD mặt phẳng chiếu (BCC'B') lần lượt là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AB//CD nên ảnh của điểm A qua phép chiếu song song phương CD lên mặt phẳng (BCC'B') là điểm B.

    Mặt khác điểm B' \in (BCC'B') nên ảnh của B' qua qua phép chiếu song song phương CD lên mặt phẳng (BCC'B') là điểm B'.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD,M là trung điểm CD,I là điểm ở trên đoạn thẳng AG,BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).

    Do BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB)

    \Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM nên AM = (ACD) \cap (ABG) đúng.

    \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M thẳng hàng nên A,J,M thẳng hàng đúng

    Ta có \left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight. nên DJ = (ACD) \cap (BDJ) đúng.

    Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM

    Nên J là trung điểm của AM sai.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử (SAD) \cap (SBC) = d. Đường thẳng nào song song với d trong các đường thẳng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AD//BC \\AD \subset (SAD) \\BC \subset (SBC) \\S \in (SAD) \cap (SBC) \\\end{matrix} ight.

    = > (SAD) \cap (SBC) =St//AD//BC

    => (SAD) \cap (SBC) = St hay St \equiv d

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng St song song với đường thẳng AD.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian, cho ba đường thẳng m,n,t không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.

    Giả sử ba đường thẳng m,n,t đôi một cắt lần lượt M,N,T phân biệt và tạo thành mặt phẳng (MNT).

    => m,n,t cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).

    => M,N,T trùng nhau, tức là m,n,t đồng quy.

    Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD, biết tam giác BCD có diện tích bằng 16. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD, biết tam giác BCD có diện tích bằng 16. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

    Đáp án: 4

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB.

    Gọi MN = (P) \cap (ABD) (N \in AD), do (P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N là trung điểm của AD.

    Gọi MP = (P) \cap (ABC) (P \in AC), do (P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P là trung điểm của AC.

    Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là \Delta MNP.

    Gọi I,\ J lần lượt là trung điểm của CD và BD.

    Ta chứng minh được \Delta MNP = \Delta JDI (c – c – c).

    Ta có

    S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}

    = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4

    Vậy S_{\Delta MNP} = 4.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD). Gọi M;N;Q lần lượt là trung điểm của BC;AD;SB. Giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (MNQ) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: Q \in SB;SB \subset (SAB)

    Q \in (MNQ) nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (SAB) và (MNQ)

    Mặt khác MN//AB

    Vậy giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (MNQ) là đường thẳng qua Q và song song với AB.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có cạnh đáy là AB,CD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD;BC, điểm P \in SA;(P eq S;P eq A). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB);(MNP).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} P = (SAB) \cap (MNP) \\ MN \subset (MNP) \\ AB \subset (SAB) \\ MN//AB \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SAB) \cap (MNP) = PQ với Px//AB//MN,Q \in SB.

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB);(MNP) là đường thẳng qua P và song song với AB.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC (xem hình vẽ bên). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là

    Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC)

    Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

    Ta có O = AC ∩ BD là tâm của hình hình hành

    => O = AC ∩ MN (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

    Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset \left( {SAC} ight) \Rightarrow O \in \left( {SAC} ight)} \\{O \in MN \subset \left( {SMN} ight) \Rightarrow O \in \left( {SMN} ight)}\end{array}} ight.

    => O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

    Vậy (SMN) ∩ (SAC) = SO

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6\ cm. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho SM = 2MA, lấy điểm N trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) MN//(ABC). Đúng||Sai

    b) (MNP)//(ABC) với P là điểm thuộc SC sao cho SP = 2PC. Đúng||Sai

    c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua M và song song với mp (ABC) là tứ giác. Sai||Đúng

    d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua M và song song với mp (ABC) là 4\sqrt{3}\ cm^{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6\ cm. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho SM = 2MA, lấy điểm N trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) MN//(ABC). Đúng||Sai

    b) (MNP)//(ABC) với P là điểm thuộc SC sao cho SP = 2PC. Đúng||Sai

    c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua M và song song với mp (ABC) là tứ giác. Sai||Đúng

    d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua M và song song với mp (ABC) là 4\sqrt{3}\ cm^{2}. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng

    Ta có \frac{SM}{MA} = \frac{SN}{NB} = 2 nên MN//AB

    Mà AB \subset (ABC)

    \Rightarrow MN//(ABC)

    b) Đúng

    Ta có: \frac{SM}{MA} = \frac{SN}{NB} = \frac{SP}{PC} = 2

    \Rightarrow MN//AB,\ NP//BC

    Mà \left\{ \begin{matrix} MN \subset (MNP);NP \subset (MNP) \\ AB \subset (ABC);BC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (MNP)//(ABC)

    c) Sai

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng qua M và song song với (ABC)

    Vì MN//(ABC) nên N \in (\alpha)

    Ta có: \left. \ \begin{matrix} (\alpha)//(ABC) \\ (SAC) \cap (ABC) = AC \\ M \in (SAC) \cap (\alpha) \\ \end{matrix} ight\}

    \Rightarrow (SAC) \cap (\alpha) = MP với MP//AC,\ P \in SC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MN \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP \\ (\alpha) \cap (SAC) = MP \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua M và song song với mp (ABC) là tam giác MNP.

    d) Đúng

    Thiết diện của mặt phẳng qua M và song song với (ABC) là tam giác MNP.

    Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác SAB ta có:

    \frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow MN = \frac{2}{3}AB =\frac{2}{3}.6 = 4 cm

    Tương tự ta có NP = MP = 4\ cm

    Diện tích tam giác đều MNP có cạnh bằng 4\ cm là: S = 4^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\ \ cm^{2}.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M \in AD,N \in CC' sao cho 2AM = AD và 2CN = CC'. Mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng MN và song song với (ACB'). Xác định các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

    => Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi (P) bằng

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC.

    Vì (P)//(ABC) nên theo định lí Talet, ta có \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}.

    Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = \frac{2}{3}.

    Vậy S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4.

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho MN cắt BC tại I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MND) và (BCD).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: D là điểm chung của hai mặt phẳng (MND) và (BCD)

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} I \in MN \subset (MND) \\ I \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight. nên I là điểm chung thứ hai.

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MND) và (BCD) là DI

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 49 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập