Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
là trọng tâm của tam giác
. Lấy
sao cho
. Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
là trọng tâm của tam giác
. Lấy
sao cho
. Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi,
. Gọi
là mặt phẳng qua
song song với các đường thẳng
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh hoạ
Xét mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua
và song song với
, cắt
lần lượt tại
.
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với
, cắt
tại
.
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với
, cắt
tại
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang với
.
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , gọi
.
Trong , gọi
.
Trong mặt phẳng , dựng
là đường trung bình của tam giác
.
là trung điểm của
.
Trong , dựng
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
và
. Giao điểm của
với
là điểm
. Hãy chọn cách xác định điểm
đúng nhất trong bốn phương án sau.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
.
Mà nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn ![]()
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác DBC có
Xét tam giác ABC có:
Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng
Suy ra đúng
Tương tự ta cũng chúng minh được (Vì
)
Suy ra
Gọi F là trung điểm của SA khi đó
Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.
Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
song song với hai đường thẳng
và
. Xác định giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có (2)
Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng: "".
Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có:
=>
Cho hình hộp
. Ảnh của
qua phép chiếu song song với phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác điểm nên ảnh của
qua qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Tìm khẳng định đúng.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.
ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.
=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.
Cho hai mặt phẳng
và
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án “Đường thẳng và đường thẳng
thì
” sai vì nếu
và đường thẳng
thì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là một tứ giác lồi có
và
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng:
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Tính tỉ số độ dài
và ![]()
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua
và song song với
, cắt
,
lần lượt tại
=>
=> là trung điểm của
Trong mặt phẳng , gọi
=> là trung điểm của
.
Trong mặt phẳng , gọi
.
=> là giao điểm của
và
.
Xét tam giác có
vì
là đường trung bình của tam giác
.
Theo định lí Ta-lét (vì
là trung điểm của
và
là trung điểm
)
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm
là điểm thuộc cạnh
sao cho
, gọi
. Tìm giao tuyến của
và
. Giao tuyến của
và
cắt đoạn
tại mấy điểm.
Đáp án: 0
Cho tứ diện . Gọi
là trung điểm
là điểm thuộc cạnh
sao cho
, gọi
. Tìm giao tuyến của
và
. Giao tuyến của
và
cắt đoạn
tại mấy điểm.
Đáp án: 0
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , có
.
Suy ra không thuộc đoạn
.
Ta có:
Mà không thuộc đoạn
nên giao tuyến của
và
không cắt đoạn
.
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh đều bằng
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Trong tam giác ta có:
(theo tính chất trọng tâm tam giác)
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang với đáy nhỏ
. Lấy các điểm
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Để giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp
là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh
bằng:
Hình biểu diễn
Ta có: với
và đi qua
, song song với
.
=> Giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp
là hình thang
. Tính
Để hình thang là hình bình hành thì
Giả sử đường thẳng
cắt mặt phẳng chiếu
tại điểm
thì hình chiếu song song của
trên mặt phẳng
là:
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng thì hình chiếu là điểm
.
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó
là đường thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)
Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).
Vậy P là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm. Biết rằng
. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
Hình vẽ minh họa
Gọi I là giao điểm của AC và BM
Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)
=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn ![]()
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác DBC có
Xét tam giác ABC có:
Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng
Suy ra đúng
Tương tự ta cũng chúng minh được (Vì
)
Suy ra
Gọi F là trung điểm của SA khi đó
Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.
Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Do
(Định lý Talet)
Xét tam giác có:
(do
là đường trung bình của tam giác)
Lại có:
Vậy và
chéo nhau.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
=>
Ta lại có
=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Đường thẳng
song song với
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh bằng
. Lấy
là trung điểm của
,
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh hoạ
Trong mp(ABD) kẻ
Trong mp(ABC) kẻ
Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.
Khi đó
=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.
Ta lại có:
Mặt khác
Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:
Diện tích tam giác PIM
Với
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?

Có 2 hình chóp tứ giác
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.
Cho hình bình hành
. Qua
,
,
,
lần lượt vẽ các nửa đường thẳng
,
,
,
ở cùng phía so với mặt phẳng
, song song với nhau và không nằm trong
. Một mặt phẳng
cắt
,
,
,
tương ứng tại
,
,
,
sao cho
,
,
. Tính
.
Đáp án: 2
Cho hình bình hành . Qua
,
,
,
lần lượt vẽ các nửa đường thẳng
,
,
,
ở cùng phía so với mặt phẳng
, song song với nhau và không nằm trong
. Một mặt phẳng
cắt
,
,
,
tương ứng tại
,
,
,
sao cho
,
,
. Tính
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Do cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
; cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
, mà hai mặt phẳng
và
song song nên
.
Tương tự có nên
là hình bình hành.
Gọi ,
lần lượt là tâm
và
.
Dễ dàng có là đường trung bình của hai hình thang
và
nên
.
Từ đó ta có .
Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó tỉ số độ dài
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành
Vì là hình bình hành nên
Từ đó ta có:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra hay
Cho hình lập phương
. Có bao nhiêu đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng chứa đường chéo
của hình lập phương?
Hình vẽ minh họa
Có 6 đường thẳng là .
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ:
Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.