Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.
Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.
Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có:
Suy ra , với
là đường thẳng qua
và
.
Hình vẽ minh họa
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có: .
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có .
Xét tam giác , ta có
là đường trung bình
.
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.
Xét (ABC) ta có:
Qua M kẻ EF // AB (1)
Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF
Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE
Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)
=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG
Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH
Ta có:
Từ (1), (2), (3), (4) =>
=> EFGH là hình bình hành
Cho tứ diện
, lấy điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với
và
. Xác định các giao tuyến của
và các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Mặt phẳng qua
và song song với
=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
song song với
.
Mặt khác, song song với
nên
cắt
và
theo các giao tuyến
và
với
=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .
Mặt khác
=> Tứ giác là hình bình hành.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.
Cho hình chóp
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Khẳng định đúng là “ và
là hai đường thẳng chéo nhau.”
Cho hình bình hành
. Qua
,
,
,
lần lượt vẽ các nửa đường thẳng
,
,
,
ở cùng phía so với mặt phẳng
, song song với nhau và không nằm trong
. Một mặt phẳng
cắt
,
,
,
tương ứng tại
,
,
,
sao cho
,
,
. Tính
.
Đáp án: 2
Cho hình bình hành . Qua
,
,
,
lần lượt vẽ các nửa đường thẳng
,
,
,
ở cùng phía so với mặt phẳng
, song song với nhau và không nằm trong
. Một mặt phẳng
cắt
,
,
,
tương ứng tại
,
,
,
sao cho
,
,
. Tính
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Do cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
; cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
, mà hai mặt phẳng
và
song song nên
.
Tương tự có nên
là hình bình hành.
Gọi ,
lần lượt là tâm
và
.
Dễ dàng có là đường trung bình của hai hình thang
và
nên
.
Từ đó ta có .
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử CM và DN đồng phẳng.
Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)
=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.
Vậy CM và DN chéo nhau.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
,
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính
( làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Cho hình chóp . Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
,
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính
( làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Hình vẽ minh họa
Tìm giao điểm của
với mặt phẳng
Chọn mặt phẳng phụ chứa
Trong gọi
Suy ra . Khi đó
là giao điểm của
và
.
Gọi là trung điểm
Ta có (vì
là trung điểm của
và
nên
)
Mà nên
Mặt khác ta có (vì
)
Mà nên
.
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC?
Ta có:
Hai đường thẳng a và b chéo nhau nên A, B, C, D không đồng phẳng.
=> Hai đường thẳng AD và BC chéo nhau.
Cho lăng trụ
có đáy
là hình vuông,
. Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
qua
và song song
lần lượt cắt
tại
.

Đặt
. Khi
thì
bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,01
Cho lăng trụ có đáy
là hình vuông,
. Gọi
là trung điểm
, mặt phẳng
qua
và song song
lần lượt cắt
tại
.
Đặt . Khi
thì
bằng (Làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,01
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng ,
.
Trong mặt phẳng ,
.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
Từ ,
suy ra tứ giác
là hình bình hành nên
là trung điểm
.
Ta có nên để
thì
.
Từ ,
suy ra
.
Vậy .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là
Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác
Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
=> OO' // (ADF)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD’. Nếu ABCD là một hình vuông, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.
Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Giao của
với
là:
Hình vẽ minh họa
Vì là trung điểm của
và
nên
Suy ra cùng thuộc một mặt phẳng.
Trong mặt phẳng gọi
là giao điểm của
và
.
Ta có:
Vậy giao của với
là giao của
với
.
Cho tứ diện
, biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Cho tứ diện , biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
là
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Ta chứng minh được (c – c – c).
Ta có
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Cho hình chóp có đáy
là hình thang;
.
là trung điểm của cạnh
; mặt phẳng
qua
và song song với mp
cắt hình chóp
theo một thiết diện là hình
. Biết
. Giá trị của
là:
Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Gọi ta có
thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của
và
.
Thiết diện là hình thang (vì
).
Ta có , mà
.
Ta có là trung điểm
,
là trung điểm của
nên
.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
lần lượt là trọng tâm của tam giác
. Cho các khẳng định sau:
i) ![]()
ii) ![]()
iii) ![]()
iv) ![]()
Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm của AB và CD
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên
Mà
Ta có:
Mà
Vậy có 3 khẳng định đúng.
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Vì điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có
mặt.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng
tùy ý thể là:
Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.
=> Không thể là lục giác.
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có SM ⊥ BC và AM ⊥ BC.
AH, SK và BC đồng qui tại M. Do đó (I) đúng.
AG, SF cắt nhau tại M trên BC. Do đó (II) đúng.
HF và GK cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) nên có thể song song hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. Do đó (III) sai.
SH và AK cắt nhau. Do đó (IV) đúng.
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là

Hình vẽ minh họa
Gọi
Khi đó đi qua
. Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và mặt phẳng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Theo giả thiết m, n là hai đường thẳng phân biệt.
Nếu m song song với n thì m’ // n’.
Nếu m’, n’ cắt nhau thì m, n cắt nhau hoặc chéo nhau.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
là trung điểm của
. Điểm
là ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Cho hình chóp
có
là trung điểm của đoạn thẳng
. Tìm khẳng định sai dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Ta có: và
không đồng phẳng nên khẳng định
và
cắt nhau là sai.
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian?
Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa hai đường thẳng phân biệt và
là:
cắt
song song với
chéo nhau với
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .