Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình f''(x) > 0?

    Ta có:

    y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x + 2

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    Ta lại có:

    f''(x) > 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 1

    Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (1; + \infty)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x + 1)^{3}} \Rightarrow y^{(3)} = \frac{- 6}{(x + 1)^{4}}

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{24}{(x + 1)^{5}} \Rightarrow y^{(5)} = - \frac{120}{(x + 1)^{6}}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Biết đồ thị hàm số (C):y = x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} tiếp xúc với trục hoành. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S.

    Với m eq 0 đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f'(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ (I) có nghiệm

    (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ 3x^{2} - 6mx + 3m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\left( x^{2} - 2mx ight) - mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - mx^{2} + 2mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x^{2} + 2x + m - 2m^{2} = 0 \\ x^{2} - 2mx + m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 2mx - 2m^{2} + 2m = 0(*) \\ x^{2} - 2mx + m = 0(**) \\ \end{matrix} ight.

    (*) \Leftrightarrow (x + m)(1 - m) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ x = - m \\ \end{matrix} ight.

    Với m = 1 thay vào (**) ta được x = 1 thỏa mãn

    Với x = - m thay vào (**) ta được - 3m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu là 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình tròn bán kính r có diện tích là S(r). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    S(r) = \pi.r^{2} \Rightarrow S'(r) = 2\pi.r

    Suy ra S'\left( r_{0} ight) là chu vi của đường tròn bán kính r_{0}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số: y = \sqrt {{x^2} - 4{x^3}}

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} } ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 4{x^3}} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ = \dfrac{{2x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ = \dfrac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = 2{\sin ^2}x-\cos 2x + x

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + x \hfill \\ y = 1 - \cos 2x - \cos 2x + x \hfill \\ y = 1 - 2\cos 2x + x \hfill \\ \Rightarrow y' = 4\sin 2x + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}.

    Ta có: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}

    \Rightarrow y' = 8x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan \frac{{x + 1}}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \tan \dfrac{{x + 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}}.\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} + 3x - 1. Tìm các giá trị của tham số m.

    Ta có: y' = 3x^{2} + 3

    Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^{3} + 3x - 1 khi đó

    y'(x) = 6 \Leftrightarrow 3x^{2} + 3 = 6

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 3 \\ x = - 1 \Rightarrow y = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;3) là y = 6x - 3

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( - 1; - 5) là y = 6x + 1

    Để đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của (C) thì \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = - 3 \\ m + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 4 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \frac{x}{\sqrt{x+4}-2} với xeq 0 xác định và liên tục trên (-4;+\infty). Tính f(0).

    Do hàm số xác định và liên tục trên (-4;+\infty)

    => Hàm số liên tục tại x= 0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 4} - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}}{{\left( {\sqrt {x + 4} - 2} ight)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight) = 4 \hfill \\ \mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S=\frac{1}{2}t^{2} ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t_{0}=5(s) 

    Ta có: 

    \begin{matrix} v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\ \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = \sqrt{2x + 1}. Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x - 3y + 6 = 0?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến

    Ta có: y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}

    x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow y = \frac{x}{3} + 2

    Do (C) song song với đường thẳng y = \frac{x}{3} + 2 nên y'\left( x_{0} ight) = \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2x_{0} + 1}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x_{0} = 4 \Rightarrow y_{0} = 3

    Phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y - 3 = \frac{1}{3}(x - 4) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}

  • Câu 18: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 19: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 20: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4} là:

    Ta có:

    y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{1}{2} ight)' - \left( \frac{1}{3}x ight)' + \left( x^{2} ight)' - \left( 0,25x^{4} ight)'

    y' = 0 - \frac{1}{3} + 2x^{2 - 1} - 4.0,25x^{4 - 1}

    y' = - \frac{1}{3} + 2x - x^{3}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    Và \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x + 2000. Tìm tập nghiệm bất phương trình y' < 0.

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3

    y' < 0 \Rightarrow 3x^{2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1

    \Rightarrow S = ( - 1;1)

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có k = 9

    => 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 9\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\x_{0} = 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x0 = −1, ta có: \left\{\begin{matrix}y_{0} = - 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 7 (loại)

    với x0 = 3 thì \left\{\begin{matrix}y_{0} = 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 25 (thỏa mãn)

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 25: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 4t^{3} - 10t + 9,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 2m/s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 12t^{2} - 10

    v(t) = 2 \Leftrightarrow 12t^{2} - 10 = 2

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 1(tm) \\ \end{matrix} ight.

    a(t) = S''(t) = v'(t) = \left( 12t^{2} - 10 ight)' = 24t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 2 là

    a(1) = 24.1 = 24\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x + 1}{x - 1}. Gọi A;B là các điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Có bao nhiêu cặp điểm A;B thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta có: y' = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

    Giả sử A\left( x_{1};y_{1} ight);B\left( x_{2};y_{2} ight) với x_{1} eq x_{2}

    Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên y'\left( x_{1} ight) = y'\left( x_{2} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{\left( x_{1} - 1 ight)^{2}} = \frac{1}{\left( x_{2} - 1 ight)^{2}}

    \Leftrightarrow \left( x_{1} - 1 ight)^{2} = \left( x_{2} - 1 ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} - 1 = x_{2} - 1 \\ x_{1} - 1 = - x_{2} + 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 2

    Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A và B thỏa mãn x_{1} + x_{2} = 2 thì các tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Với x \in \lbrack 0; + \infty) ta có: \left\{ \begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > - 1 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) = \ln(x + 1) - \ln(x + 4)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 4}

    Khi đó:

    T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019)

    P = \left( 1 - \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ight) + ... + \left( \frac{1}{2020} - \frac{1}{2023} ight)

    P = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Nhận biết

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

    Ta tính được s'(t) = 2t

    Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) =2t

    => v(2) = 2.2 = 4(m/s)

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 là f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\ g'\left( x ight) = - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix} f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} song song với trục hoành.

    Ta có:

    y' = - 4x^{3} + 4x

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng trục hoành của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} khi đó ta có: k = 0

    Suy ra y'\left( x_{0} ight) = 0

    \Leftrightarrow - 4{x_{0}}^{3} + 4x_{0} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow PTTT:y = 0

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PTTT:y = 1

    Với x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PTTT:y = 1

    Vậy có 2 tiếp tuyến song song với trục hoành.

  • Câu 34: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 3^{x} là

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 3^{x} \Rightarrow y' =3^{x}\ln3

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2. Tìm giá trị biểu thức H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}?

    Do hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 nên suy ra

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - 2f(2) + 2f(2) - xf(2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2\left\lbrack f(x) - f(2) ightbrack}{x - 2} - \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(2)(x - 2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = 2f'(2) - f(2)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{3x-4}{x+2}. Tìm x sao cho y" = 20

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 4}}{{x + 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {x + 2} ight) - \left( {3x - 4} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 10.2.\left( {x + 2} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' = 20,(xe-2) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} ight)^3} = - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1 theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)

    \Delta y = 3\Delta x

    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\inR}. Biết f(0) = 1 và (2 - x).f(x) - f'(x) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt:

    Xét phương trình:

    \begin{matrix}(2 - x).f(x) - f'(x) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow (2 - x).e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x}.f(x) -e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x}.f'(x) = 0 \hfill\\\Leftrightarrow \left\lbrack f(x).e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x}ightbrack' = 0 \hfill\\\Leftrightarrow f(x).e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x} = C\hfill\ \ \ \ \ (*)\hfill \\\end{matrix}

    Do f(0) = 1 thay vào (*) ta được C = 1

    => f(x) = e^{- \frac{x^{2}}{2} +2x}

    \Rightarrow f'(x) = ( - x + 2).e^{-\frac{x^{2}}{2} + 2x}

    Dễ thấy hàm số f(x) đồng biến trên ( -\infty;2brack.

    Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

    Do - \frac{x^{2}}{2} + 2x \leq 2\Rightarrow 0 < f(x) \leq e^{2}. Phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi - \frac{x^{2}}{2} + 2x = \lnm có hai nghiệm thực phân biệt. khi đó \ln m \in ( - \infty;2)

    Đồ thị của hàm số y = f(x) và y = m luôn cắt nhau tại một điểm với mọi m \in \left( 0;e^{2}ightbrack.

    Suy ra để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt thì 0 < m < e^{2}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 14 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập