Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 3x - 1\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight.$ có đạo hàm tại $x = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = 2017a + 2018b - 1$
- A.
  $6051$
- B.
  $6055$
- C.
  $6052$
- D.
  $6048$
Vì hàm số có đại hàm tại $x = 1$ nên ta có:
$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$
$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} +3x - 1 - 3}{x - 1}$
$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x +4)$
$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = 5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 5 \\\dfrac{3 - b}{a} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 5 \\b = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Vậy $P = 2017a + 2018b - 1 =6048$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm đạo hàm của hàm số $y = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 - 3x)$ ?
- A.
  $y' = 18x^{2}$
- B.
  $y' = - 18x^{2} + 2x$
- C.
  $y' = - 18x^{2} + 2x + 5$
- D.
  $y' = 18x^{2} - 2x - 5$
Ta có: $y = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 - 3x)$

$\Rightarrow y' = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)'(2 - 3x) + \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 - 3x)'$

$= (4x + 1)(2 - 3x) + \left( 2x^{2} + x - 1 ight).( - 3)$

$= - 12x^{2} + 8x - 3x + 2 - 6x^{2} - 3x + 3$

$= - 18x^{2} + 2x + 5$
Câu 3: Vận dụng cao

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Đáp án là:

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)$

Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

$- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)$

$+ 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (3) ta có: $\left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $f(2) = 0$ thay vào (4) ta được 36 = 0

Với $f(2) = 2$ thay vào (4) ta được $- 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1$

Vậy $M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10$
Câu 4: Vận dụng
Cho hàm số $y = \sin x + \cos x$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;3\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sin x + \cos x$

$\Rightarrow y' = \cos x - \sin x$

$\Rightarrow y'' = - \sin x - \cos x$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x = 0$

$\Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}$

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 5: Thông hiểu
Cho hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} x\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$
- B.
  $y'_{(0)} = 1$
- C.
  $y'_{(0)} = 0$
- D.
  $y'_{(0)} = - 1$
Ta có: $y' = \left\{ \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - 1\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do $\left\{ \begin{matrix} y'_{\left( 0^{+} ight)} = 1 \\ y'_{\left( 0^{-} ight)} = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .
Câu 6: Thông hiểu

Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu $v = 196m/s$ từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là $y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Đáp án: 1960 (m)

Đáp án là:

Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu $v = 196m/s$ từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là $y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Đáp án: 1960 (m)

Ta có vận tốc tại thời điểm t là:

$v = y'(t) = v_{0} - 2.4,9.t = v_{0} - 9,8t = 196 - 9,8t$

$v = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0\Leftrightarrow t = 20(s)$

Từ thời điểm $t = 20\ s$ , viên đạn bắt đầu rơi. Khi đó, viên đạn cách mặt đất:

$y_{(20)} = 196.20 - 4,9.20^{2} = 1960(m)$
Câu 7: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2}x$ ?
- A.
  $y' = -2\cos2x$
- B.
  $y' = - 2\sin2x$
- C.
  $y'' =2\cos2x$
- D.
  $y'' =2\sin2x$
Ta có: $y = \cos^{2}x$

$\Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x$

$\Rightarrow y'' = -2\cos2x$
Câu 8: Thông hiểu
Ta có $\left( \frac{x^{2} + 4x - 1}{2x + 3} ight)' = \frac{M}{(2x + 3)^{2}}$ . Khi đó đa thức M là:
- A.
  $2x + x - 12$
- B.
  $2x^{2} + 16x - 24$
- C.
  $x^{2} + 10x - 5$
- D.
  $2x^{2} + 6x + 14$
Ta có:

$y = \frac{x^{2} + 4x - 1}{2x + 3}$

$\Rightarrow y' = \frac{(2x + 3)(2x + 4) - 2\left( x^{2} + 4x - 1 ight)}{(2x + 3)^{2}}$

$\Rightarrow y' = \frac{4x^{3} + 14x + 12 - 2x^{2} - 8x + 2}{(2x + 3)^{2}}$

$\Rightarrow y' = \frac{2x^{2} + 6x + 14}{(2x + 3)^{2}}$

Vậy $M=2x^{2} + 6x +14$
Câu 9: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight)$ . Biết $f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n}$ với $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

Giá trị biểu thức $A = 2m - n =$ -2 || - 2

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight)$ . Biết $f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n}$ với $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

Giá trị biểu thức $A = 2m - n =$ -2 || - 2

Ta có: $f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}$

Khi đó:

$f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020)$

$= \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} - \frac{1}{2020.2021}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} = \frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1010.2021 - 1 \\ n = 2020.2021 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = - 2$
Câu 10: Vận dụng
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $f'(1)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{-9}{64}$
- C.
  $\frac{- 7}{50}$
- D.
  $\frac{11}{24}$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)$
=> Hàm số liên tục tại x = 1
Khi đó ta có:
$f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$
$= \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}$
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $f'(2) = 3$
- B.
  $f'(x) = 2$
- C.
  $f'(x) = 3$
- D.
  $f'(3) = 2$
Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0}$

$f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}$

Nên khẳng định đúng là $f'(3) = 2$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}$ . Xác định công thức đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho?
- A.
  $f''(x) = \frac{- 10}{(x + 3)^{3}}$
- B.
  $f''(x) = \frac{- 5}{(x + 3)^{3}}$
- C.
  $f''(x) = \frac{10}{(x + 3)^{3}}$
- D.
  $f''(x) = \frac{5}{(x + 3)^{3}}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}$

Ta có: $y = f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{5}{(x + 3)^{2}}$

$\Rightarrow f''(x) = 5.\frac{- 2.(x + 3)}{(x + 3)^{4}} = \frac{- 10}{(x + 3)^{3}}$
Câu 13: Thông hiểu
Biết rằng $\left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c$ . Tính giá trị biểu thức $M = a + b + c$ ?
- A.
  $M = 10$
- B.
  $M = - 1$
- C.
  $M = 8$
- D.
  $M = - 6$
Ta có:

$\left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1$

$\Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'$

$= 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 8$
Câu 14: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Vận tốc tức thời là

$v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6$

Gia tốc tức thời của chất điểm là:

$a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7$

Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là $v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

$a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)$
Câu 15: Nhận biết
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = \frac{1}{x}$ tại điểm -1.
- A.
  $x + y + 2 = 0$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = x - 2$
- D.
  $y = - x + 2$
Ta tính được $k = y'( - 1) = -1$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến
$y + 1 = - 1(x + 1)$
$\Rightarrow y = - x + 2$
Câu 16: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = x^{3} - mx^{2} +2m$ có đồ thị $(C)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ bằng $1$ . Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $(C)$ tại $A$ biết tiếp tuyến cắt đường tròn $(\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = x^{3} - mx^{2} +2m$ có đồ thị $(C)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ bằng $1$ . Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $(C)$ tại $A$ biết tiếp tuyến cắt đường tròn $(\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Nhận biết
Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''(1) = 6$
- B.
  $f''(1) = 8$
- C.
  $f''(1) = 3$
- D.
  $f''(1) = 2$
Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$
Câu 18: Nhận biết
Cho $f(x) = \sin x + \cos x$ . Khi đó $f'\left( \frac{\pi}{6} ight)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$f(x) = \sin x + \cos x$

$\Rightarrow f'(x) = \cos x - \sin x$

$\Rightarrow f'\left( \frac{\pi}{6} ight) = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
Câu 19: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $m$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  $f'(m) = \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}$
- B.
  $f'(m) = \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) + f(m)}{x - m}$
- C.
  $f'(m) = \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x + m}$
- D.
  $f'(m) = \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) + f(m)}{x + m}$
Theo định nghĩa đạo hàm ta có: $f'(m) = \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}$
Câu 20: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Giá trị của $f'(0)$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{4x^{2} + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{\sqrt{4x^{2} + 1} + 1} = 2$

Vậy $f'(0) = 2$
Câu 21: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f'(6) = 2$ . Giá trị của biểu thức $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =$ 2

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f'(6) = 2$ . Giá trị của biểu thức $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =$ 2

Hàm số $y = f(x)$ có tập xác định là $D;x_{0} \in D$ . Nếu tồn tại giới hạn $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}$ thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$

Vậy kết quả của biểu thức $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2$
Câu 22: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ . Tìm giá trị biểu thức $H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}$ ?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = f'(2)$
- C.
  $H = 2f'(2) - f(2)$
- D.
  $H = f(2) - 2f'(2)$
Do hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0} = 2$ nên suy ra

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)$

Ta có:

$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}$

$\Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - 2f(2) + 2f(2) - xf(2)}{x - 2}$

$\Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2\left\lbrack f(x) - f(2) ightbrack}{x - 2} - \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(2)(x - 2)}{x - 2}$

$\Leftrightarrow H = 2f'(2) - f(2)$
Câu 23: Thông hiểu
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2}$ có dạng $y'' = \frac{a}{(x - 1)^{3}} + \frac{b}{(x + 2)^{3}}$ . Tính giá trị biểu thức $T = a + b$ .
- A.
  $T = 4$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = - 2$
- D.
  $T = - 6$
Ta có:

$y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

$\Rightarrow y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{2}{(x - 1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b = 4$
Câu 24: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R},f^{'}(x) = 0$ có đúng hai nghiệm $x = 1;x = 2$ . Hàm số $g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight)$ , có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \lbrack - 20;20brack$ để phương trình $g^{'}(x) = 0$ có nhiều nghiệm nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R},f^{'}(x) = 0$ có đúng hai nghiệm $x = 1;x = 2$ . Hàm số $g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight)$ , có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \lbrack - 20;20brack$ để phương trình $g^{'}(x) = 0$ có nhiều nghiệm nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2}$ ứng với $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ bằng $5$ . Đúng||Sai

b) Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$ . Giá trị $f'(1) = 0$ Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số $y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng biểu thức $\frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$ Sai||Đúng

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x$ vuông góc với $y = - \frac{1}{5}x + 2$ là $y = 5x + 2$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2}$ ứng với $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ bằng $5$ . Đúng||Sai

b) Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$ . Giá trị $f'(1) = 0$ Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số $y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ bằng biểu thức $\frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$ Sai||Đúng

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x$ vuông góc với $y = - \frac{1}{5}x + 2$ là $y = 5x + 2$ . Sai||Đúng

a) Ta có: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}$

$= x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)$

Thay $x_{0} = 2;\Delta x = 1$ vào (*) ta được:

$\Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5$

b) Ta có $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}$

$\Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0$

c) Ta có:

$y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}$

$\Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'$

$= 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$= \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}$

d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{5}x + 2$ nên ta có: $k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5$

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ là tiếp điểm khi đó ta có: $y'\left( x_{0} ight) = 5$

Mặt khác $y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3$
Câu 26: Nhận biết
Công thức nào sau đây biểu diễn đúng đạo hàm của hàm số $y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)$ ?
- A.
  $y' = \frac{2x}{x^{2} - 1}$
- B.
  $y' = \frac{- 2x}{x^{2} - 1}$
- C.
  $y' = \frac{1}{1 - x^{2}}$
- D.
  $y' = \frac{1}{x^{2} - 1}$
Ta có: $y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack \ln\left( 1 - x^{2} ight) ightbrack'$

$= \frac{- 2x}{1 - x^{2}} = \frac{2x}{x^{2} - 1}$
Câu 27: Thông hiểu
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \tan x$ là:
- A.
  $y'' =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}$
- B.
  $y'' = - \frac{\sin x}{\cos^{3}x}$
- C.
  $y'' = \frac{\sin x}{\cos^{3}x}$
- D.
  $y'' = -\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}$
Tập xác định $D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}$

Ta có: $y = \tan x$

$\Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}$

$\Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}$
Câu 28: Nhận biết

Cho $f(x) = (x - 3)^{6}$ . Khi đó $f''(2) =$ 30

Đáp án là:

Cho $f(x) = (x - 3)^{6}$ . Khi đó $f''(2) =$ 30

Ta có:

$f(x) = (x - 3)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30$
Câu 29: Nhận biết
Cho $f(x) = (x + 10)^{6}$ . Tính $f''(2)$
- A.
  $622080$
- B.
  $512484$
- C.
  $615824$
- D.
  $596418$
Ta có:

$f(x) = (x + 10)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080$
Câu 30: Nhận biết
Đạo hàm của hàm số $y = \log_{4}(2x + 5)$ là:
- A.
  $y' = \frac{1}{(2x +5)\ln4}$
- B.
  $y' = \frac{1}{(2x +5)\ln2}$
- C.
  $y' = \frac{2\ln4}{2x +5}$
- D.
  $y' = \frac{2}{(2x +5)\ln5}$
Ta có:

$y = \log_{4}(2x + 5)$

$\Rightarrow y' = \frac{2}{(2x +5)\ln4}$

$= \frac{2}{(2x + 5).2.\ln2} =\frac{1}{(2x + 5).\ln2}$
Câu 31: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0)$ . Chia $f(x)$ cho $(x - 2)$ ta được phần dư là $2021$ . Chia $f'(x)$ cho $x - 2$ được phần dư bằng $2020$ . Gọi $g(x)$ là phần dư khi chia $f(x)$ cho $(x - 2)^{2}$ . Xác định hàm số $g(x)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0)$ . Chia $f(x)$ cho $(x - 2)$ ta được phần dư là $2021$ . Chia $f'(x)$ cho $x - 2$ được phần dư bằng $2020$ . Gọi $g(x)$ là phần dư khi chia $f(x)$ cho $(x - 2)^{2}$ . Xác định hàm số $g(x)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 32: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ .
- A.
  $8x - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$
- B.
  $6x - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$
- C.
  $8x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$
- D.
  $8x + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$
Ta có: $y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}$

$\Rightarrow y' = 8x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}$
Câu 33: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $3x - y + 2 = 0$ ?
- A.
  $y = 3x + 3$
- B.
  $y = 3x - 2$
- C.
  $y = 3x + 14$
- D.
  $y = 3x + 5$
Ta có: $y' = \frac{3}{(x + 2)^{2}}$

Vì tiếp tuyến song song với $3x - y + 2 = 0$ nên hệ số góc bằng 3 nên gọi tọa độ tiếp điểm là $M\left( x_{0};y_{0} ight)$

Khi đó $y'\left( x_{0} ight) = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{\left( x_{0} + 2 ight)^{2}} = 3$

$\Leftrightarrow \left( x_{0} + 2 ight)^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow (d):y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2$

Với $x_{0} = - 3 \Rightarrow (d):y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14$
Câu 34: Vận dụng
Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình $s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5$ trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?
- A.
  $54m/s^{2}$
- B.
  $240m/s^{2}$
- C.
  $60m/s^{2}$
- D.
  $6m/s^{2}$
Ta có: $a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6$
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là $a(10) = 54m/s^{2}$
Câu 35: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)$

$= (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)$

$= \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)$

b) Ta có

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng $y = kx + 2$

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm

Thay (**) vào (*) ta suy ra $\left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.$

Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

d) Ta có:

$y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x$
Câu 36: Thông hiểu
Cho hàm số $y = \tan x$ . Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $y' - y^{2} = 1$
- B.
  $y' - y^{2} = 0$
- C.
  $y' - y^{2} = - 1$
- D.
  $y' - y^{2} = 2$
Ta có:

$y = \tan x \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}$

Khi đó ta có:

$y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1$

$= \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 0$
Câu 37: Nhận biết
Cho hàm số $y =f(x) = - 3\cos x$ . Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_{0} = \frac{\pi}{2}$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:

$y = f(x) = - 3\cos x$

$\Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x$

$\Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0$
Câu 38: Thông hiểu
Cho hàm số $y=3x^{3}+x^{2}+1$ , có đạo hàm $y'$ . Để $y'\leq 0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
- A.
  $\left[ { - \frac{2}{9};0} ight]$
- B.
  $\left[ { - \frac{9}{2};0} ight]$
- C.
  $\left( { - \infty ; - \frac{9}{2}} ight] \cup \left[ {0; + \infty } ight)$
- D.
  $\left( { - \infty ; - \frac{2}{9}} ight] \cup \left[ {0; + \infty } ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} y = 3{x^3} + {x^2} + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = 9{x^2} + 2x \hfill \\ y' \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{x^2} + 2x \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x \in \left[ { - \dfrac{2}{9};0} ight] \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy x nhận các giá trị thuộc tập $\left[ { - \frac{2}{9};0} ight]$
Câu 39: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{2} + 3x^{2} + 9x - 1$ có đồ thị $(C)$ . Tìm hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ ?

Kết quả: 12

Đáp án là:

Cho hàm số $y = - x^{2} + 3x^{2} + 9x - 1$ có đồ thị $(C)$ . Tìm hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ ?

Kết quả: 12

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $(C)$ là:

$y' = - 3x^{2} + 6x + 9 = 12 - 3(x + 1)^{2} \leq 12$

Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $(C)$ là 12.
Câu 40: Vận dụng
Cho hàm số $y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;4\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$

$\Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021$

$\Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1$

$\Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

Chưa làm Đã làm