Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}&{{\text{ khi }}x > 1} \\   {x - 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 1} \end{array}} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    f\left( { - 2} ight) =  - 2 - 1 =  - 3

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} - 0}{x}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1ight)}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2}

  • Câu 3: Nhận biết

    Số gia của hàm số f(x)=2x^{2}-1 tại x_{0}=1 ứng với số gia \Delta x=0,1 bằng:

    Ta có:

    ∆f = f(1 + 0,1) - f(1)

    = 2(1,1)^2 - 1 - (2 - 1) = 0,42

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn phương trình f''(x) = 0?

    Ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow
f''(x) = 6x - 6

    Ta có:

    f''(x) = 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 = 0
\Leftrightarrow x = 1(tm)

    Khi đó f'(1) = - 3 \Rightarrow M(1; -
1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

    y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Leftrightarrow 3x + y - 2 =
0

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = sin2x có đạo hàm là y’ và y’’. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y' =  - 2\sin 2x \hfill \\   \Rightarrow y'' =  - 4.\cos 2x =  - 4y \hfill \\   \Rightarrow y'' + 4y = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Biết đồ thị hàm số (C):y = x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} -
2m^{3} tiếp xúc với trục hoành. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S.

    Với m eq 0 đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix}
f(x) = 0 \\
f'(x) = 0 \\
\end{matrix} ight.\ (I) có nghiệm

    (I) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\
3x^{2} - 6mx + 3m = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\left( x^{2} - 2mx ight) - mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\
x^{2} - 2mx = - m \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- mx^{2} + 2mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\
x^{2} - 2mx = - m \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- x^{2} + 2x + m - 2m^{2} = 0 \\
x^{2} - 2mx + m = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x - 2mx - 2m^{2} + 2m = 0(*) \\
x^{2} - 2mx + m = 0(**) \\
\end{matrix} ight.

    (*) \Leftrightarrow (x + m)(1 - m) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
x = - m \\
\end{matrix} ight.

    Với m = 1 thay vào (**) ta được x = 1 thỏa mãn

    Với x = - m thay vào (**) ta được - 3m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m =
\frac{1}{3}

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu là 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S=\frac{1}{2}t^{2} ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t_{0}=5(s) 

    Ta có: 

    \begin{matrix}  v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\   \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y =
\sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' =
0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} +
2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x +
\cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x
- \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow
\sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x -
\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x -
\frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} =
\frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} +
k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack
\Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    v(t) = s’(t) = 3t2 − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6

    Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s

    Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s2

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y =  - \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - \dfrac{1}{2}\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight).\left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight)\prime  \hfill \\   =  - 2x.\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\  g'\left( x ight) =  - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix}  f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\   \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 1} \\   {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( x^{2} - 2 ight)(2x - 1)

    Ta có:

    y = \left( x^{2} - 2 ight)(2x -
1)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - 2
ight)'(2x - 1) + \left( x^{2} - 2 ight)(2x -
1)'

    \Rightarrow y' = 2x(2x - 1) +
2\left( x^{2} - 2 ight)

    \Rightarrow y' = 6x^{2} - 2x -
4

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 +
3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \
\ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\
- 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f(2) = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow
f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 =
10

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} =
3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow
2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho đường cong có phương trình y=\frac{2x-1}{x+1}. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 0:

    Ta có: 

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \left( {\dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}} ight)\prime  \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x - 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {y'\left( 0 ight) = 3} \\   {y\left( 0 ight) =  - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyền tại điểm có hoành độ bằng 0 là: y = 3x - 1

    Dễ thấy phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{3}x-6 (vì tích hai hệ số góc bằng -1).

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x -
1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x -
1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1
= - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\
\ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} =
\frac{5}{2}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow
0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (x
- 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 2021) = -
2021!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log_{2}x trên khoảng (0; + \infty)?

    Áp dụng công thức \left( \log_{a}xight)' = \frac{1}{x\ln a}

    Ta có: y' =\frac{1}{x\ln2}

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5)
+ ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5)
+ ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2}
ight)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{x(x +
2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(3) + f'(5) +
... + f'(2021)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +
\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2021} -
\frac{1}{2023}

    S = 1 - \frac{1}{2023} =
\frac{2022}{2023}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2}. Xác định giá trị f'(3)

    Ta có:

    f'(x) = \frac{(2x + 1)'(x - 2) -
(2x + 1)(x - 2)'}{(x - 2)^{2}}

    f'(x) = \frac{2(x - 2) - (2x +
1).1}{(x - 2)^{2}}

    f'(x) = \frac{- 5}{(x -
2)^{2}}

    \Rightarrow f'(3) = \frac{- 5}{(3 -
2)^{2}} = - 5

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f(x) =\sin2x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x

    \Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0

  • Câu 28: Thông hiểu

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight)?

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack
\sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight) ightbrack'

    = \left( x^{2} - 3x + 2ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3)\cos\left( x^{2} - 3x + 2
ight)

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Trên đồ thị hàm số y = \frac{x + 3}{x +2} tại các điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

    Ta có:

    Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến k = \pm1.

    Ta có: f'(x) = - \frac{1}{(x +2)^{2}}

    => Hoành độ điểm thuộc đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của phương trình:

    - \frac{1}{(x + 2)^{2}} = - 1\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.

    Hai điểm thỏa mãn ( - 3;0),( -1;2)

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)
= \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.. Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có: f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1

    Để hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
0 thì hàm số phải liên tục tại x_{0} = 0 nên

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Suy ra - b - 1 = 1 \Rightarrow b = -
2

    Khi đó f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 -
1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -
2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) =
a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó a = - 2

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\ mx^{2}+2x+2 & \text{ khi } x>0 \\ nx+1 & \text{ khi } x\leq 0 \end{cases}. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  \left\{ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 2 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \hfill \\   \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số không liên tục tại x = 0. Do đó f(x) không có đạo hàm tại x = 0

    => Không tồn tại các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.

  • Câu 33: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x)=t^{2}x+tx^{2} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {t^2}x + t{x^2} \hfill \\   \Rightarrow f\prime \left( x ight) = \left( {{t^2}x + t{x^2}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = {t^2} + 2tx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} là:

    Ta có:

    y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x
- 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{3}{(x -
2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{3.( -
2)(x - 2)}{(x - 2)^{4}} = \frac{6}{(x - 2)^{3}}

  • Câu 35: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - x \geqslant 0} \\   {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 3} \\   {x >  - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) =
3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x =
6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 =
6

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log_{2}(2x + 1)?

    Ta có: y = \log_{2}(2x + 1)

    \Rightarrow y' = \frac{(2x +1)'}{(2x + 1)\ln2} = \frac{2}{(2x + 1)\ln2}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=2x^{2}+16cosx-cos2x. Tính giá trị của f"(\pi)

    Ta có: 

    \begin{matrix}  f(x) = 2{x^2} + 16cosx - cos2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( \pi  ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\log\left( x^{2} - 2x + m + 1 ight) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho xác định trên tập số thực?

    Để hàm số có tập xác định D\mathbb{=
R} khi và chỉ khi x^{2} - 2x - m +
1 > 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \Delta' <
0

    \Leftrightarrow ( - 1)^{2} - 1(m + 1)
< 0 \Leftrightarrow m > 0

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight).

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - 3x +2 ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3).\cos\left( x^{2} - 3x + 2ight)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 26 lượt xem
Sắp xếp theo