Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} tại điểm P(2;3) có dạng y = ax + b. Chọn khẳng định đúng?

    Điều kiện xác định x eq 1

    Ta có: y' = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}} \Rightarrow y'(2) = - 2

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(2;3) là:

    y = - 2(x - 2) + 3 = - 2x + 7

    \Rightarrow a = - 2;b = 7

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 4: Vận dụng

    Tìm đường thẳng tiếp tuyến kẻ từ điểm B(2; - 1) đến đồ thị hàm số y = \frac{x^{2}}{4} - x + 1?

    Phương trình đường thẳng đi qua B có dạng y = k(x - 2) - 1 = kx - 2k - 1\ \ \ (\Delta)

    (\Delta) là tiếp tuyến của parabol y = \frac{x^{2}}{4} - x + 1 khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} kx - 2k - 1 = \frac{x^{2}}{4} - x + 1 \\ k = \frac{x}{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.có nghiệm

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ k = \frac{x}{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow k = - 1 \\ x = 4 \Rightarrow k = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} (\Delta):y = - x + 1 \\ (\Delta):y = x - 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) = 2222^{x}. Tính f'(x)?

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    Vậy f'(x) =2222^{x}.\ln2222

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    v(t) = s’(t) = 3t2 − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6

    Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s

    Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s2

  • Câu 7: Thông hiểu

    Biết điểm P thuộc đồ thị hàm số y = f(x) = x^{3} + 1 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại P song song với đường thẳng \Delta:y = 3x - 1 . Có thể xác định được bao nhiêu điểm P thỏa mãn yêu cầu đề bài?

    Gọi điểm P\left( a;a^{3} + 1 ight) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) = x^{3} + 1\ \ \ (C)

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (P) là:

    y = 3a^{2}(x - a) + a^{3} + 1

    \Rightarrow y = 3a^{2}x - 2a^{3} + a\ \ \ \ \ (d)

    Do (d)//(\Delta) nên \left\{ \begin{matrix} 3a^{2} = 3 \\ - 2a^{3} + 1 eq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \pm 1 \\ a eq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a = - 1

    Vậy có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y=3x^{3}+x^{2}+1, có đạo hàm y'. Để y'\leq 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 3{x^3} + {x^2} + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = 9{x^2} + 2x \hfill \\ y' \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{x^2} + 2x \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x \in \left[ { - \dfrac{2}{9};0} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy x nhận các giá trị thuộc tập \left[ { - \frac{2}{9};0} ight]

  • Câu 9: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} = 1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2

    \Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tìm tham số thực b để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. có đạo hàm tại x = 2.

    Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Thử b = 6 ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\ = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = sin2x có đạo hàm là y’ và y’’. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = - 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 4.\cos 2x = - 4y \hfill \\ \Rightarrow y'' + 4y = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} + 9t + 2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?

    Ta có s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    Vận tốc của chất điểm

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    \Rightarrow v(t) = 3(t - 1)^{2} + 6 \geq6

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1

  • Câu 13: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

    Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn f''\left( x_{0} ight) = 0 là:

    Ta có:

    y = x^{3} - 3x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    \Rightarrow f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Khi đó f'(1) = 3 \Rightarrow M(1; - 1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; - 1) là: y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Rightarrow y = - 3(x - 1) - 1 \Rightarrow 3x + y - 2 = 0

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho f(x) =\sin3x. Giá trị của f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) bằng bao nhiêu?

    Ta có: f(x) = \sin3x

    \Rightarrow f'(x) =3.\cos3x

    \Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x

    \Rightarrow f''\left( -\frac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( - \frac{3\pi}{2} ight) =9

  • Câu 16: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2} (với m = const) là:

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} + 0

    \Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 20: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x^{2} + 2} là:

    Ta có:

    y = 2^{x^{2} + 2}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2ight)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2

    = 2x.2^{x^{2} + 2}.ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{7}{x^{3}}+\frac{6}{x^{5}} bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{7}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^5}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - \dfrac{{2.2x}}{{{x^4}}} + \dfrac{{7.3.{x^2}}}{{{x^6}}} - \dfrac{{6.5.{x^4}}}{{{x^{10}}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{{21}}{{{x^4}}} - \dfrac{{30}}{{{x^6}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 24: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)

    = (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)

    = \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)

    b) Ta có

    Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

    Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng y = kx + 2

    Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight. có nghiệm

    Thay (**) vào (*) ta suy ra \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.

    Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    d) Ta có:

    y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Biết đồ thị hàm số (C):y = x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} tiếp xúc với trục hoành. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S.

    Với m eq 0 đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f'(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ (I) có nghiệm

    (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ 3x^{2} - 6mx + 3m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\left( x^{2} - 2mx ight) - mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - mx^{2} + 2mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x^{2} + 2x + m - 2m^{2} = 0 \\ x^{2} - 2mx + m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 2mx - 2m^{2} + 2m = 0(*) \\ x^{2} - 2mx + m = 0(**) \\ \end{matrix} ight.

    (*) \Leftrightarrow (x + m)(1 - m) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ x = - m \\ \end{matrix} ight.

    Với m = 1 thay vào (**) ta được x = 1 thỏa mãn

    Với x = - m thay vào (**) ta được - 3m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu là 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y=\frac{1}{2x-3} bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{2x - 3}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {2x - 3} ight)\prime }}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}} ight]'}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^4}}} \hfill \\ = \dfrac{{2.2.2.\left( {2x - 3} ight)}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^4}}} = \dfrac{8}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{1}{2}t^{3} + 9t^{2} với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}t^{2} +18t với t \in \lbrack0;10brack.

    Ta có: v'(t) = - 3t + 18 = 0\Leftrightarrow t = 6.

    Suy ra: v(0) = 0;v(10) = 30;v(6) =54.

    Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54\ \ (m/s).

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\ g'\left( x ight) = - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix} f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + 2\cos x + 3x + 2. Tổng các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    y' = \cos2x - 2\sin x + 3 = - 2\sin^{2}x- 2\sin x + 4

    y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in \lbrack 0;50\pibrack nên 0 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 50\pi

    \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{99}{4};\left( k\mathbb{\in Z} ight) nên k \in \left\{ 0;1;;2;...;24 ight\}

    Suy ra tổng các nghiệm trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack của phương trình f'(x) = 0 là:

    S_{25} = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \frac{9\pi}{2} + ... + \frac{97\pi}{2}

    = \dfrac{25\left( \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{97\pi}{2} ight)}{2} = \dfrac{1225\pi}{2}

  • Câu 31: Nhận biết

    Hàm số y = f(x)= \log_{2}\left( x^{2} - 2x ight) có đạo hàm là:

    Ta có:

    y = f(x) = \log_{2}\left( x^{2} - 2xight)

    \Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2}- 2x ight)'}{\left( x^{2} - 2x ight)\ln2} = \frac{2x - 2}{\left(x^{2} - 2x ight)\ln2}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{2}{1+x}. Tính giá trị của y^{(3)}(1)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 34: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=2x^{5}-3x^{4}+0,5x^{2}-\frac{3x}{2}-4 bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 2{x^5} - 3{x^4} + 0,5{x^2} - \dfrac{{3x}}{2} - 4 \hfill \\ \Rightarrow y' = 10{x^4} - 12{x^3} + x - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 36: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 37: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 38: Thông hiểu

    Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu v = 196m/s từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Đáp án: 1960 (m)

    Đáp án là:

    Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu v = 196m/s từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Đáp án: 1960 (m)

    Ta có vận tốc tại thời điểm t là:

    v = y'(t) = v_{0} - 2.4,9.t = v_{0} - 9,8t = 196 - 9,8t

    v = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0\Leftrightarrow t = 20(s)

    Từ thời điểm t = 20\ s, viên đạn bắt đầu rơi. Khi đó, viên đạn cách mặt đất:

    y_{(20)} = 196.20 - 4,9.20^{2} = 1960(m)

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 . Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8} ?

    Kết quả: 5/24

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 . Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8} ?

    Kết quả: 5/24

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Do \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 mà \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}f(x) = 16

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{5f(x) - 16 - 4^{3}}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{5\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 2}\left\{ \frac{f(x) - 16}{(x - 2)}.\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} ight\} = T

    Mà \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{(x - 2)} = 12 và \lim_{x ightarrow 2}\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} = \frac{5}{288}

    Nên T = 12.\frac{5}{288} = \frac{5}{24}

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x_{0}. Đạo hàm của f tại x_{0} là: 

    Đạo hàm của f tại x_{0} là \underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (nếu tồn tại giới hạn)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 59 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập