Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Hàm số y = - x^{3} + 3x - 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 3

    Giao điểm của (C) với trục tung có tọa độ là B(0; - 2)

    Tiếp tuyến của (C) tại điểm B(0; - 2) có phương trình là:

    y = y'(0)(x - 0) - 2 \Leftrightarrow y = 3x - 2

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7

    Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

    a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 9^{2x + 2}

    Ta có: f(x) = 9^{2x + 2}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 9^{2x + 1} ight)'

    \Rightarrow f'(x) = (2x +1)'.9^{2x + 1}.\ln9 = 2.9^{2x + 1}.\ln9

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t^{2}+t, trong đó t tính bằng giây (s) và Q được tính theo culông (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

    Ta có:

    Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s là:

    \begin{matrix} I = Q'\left( t ight) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{Q\left( t ight) - Q\left( 4 ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {2{t^2} + t} ight) - \left( {{{2.4}^2} + 4} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {t - 4} ight)\left( {2t + 9} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} ight) = 2.4 + 9 = 17 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D và x_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 6: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có: f'(x) = \frac{1 - x + x - 2}{(1 - x)^{2}} = \frac{- 1}{(1 - x)^{2}}

    Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M\left( x_{0};y_{0} ight) là:

    y - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( x - x_{0} ight)

    Tiếp tuyến đi qua P(m,1) nên 1 - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( m - x_{0} ight)

    \Leftrightarrow 2{x_{0}}^{2} - 6x_{0} + m + 3 = 0;\left( x_{0} eq 1 ight)(*)

    Để có 1 tiếp tuyến đi qua P(m,1) suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm x_{0} eq 1

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \Delta = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ 2 - 6 + m + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow S = \left\{ 1;\frac{3}{2} ight\} \Rightarrow 1^{2} + \left( \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{13}{4}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = (2x - 1)\sqrt{x^{2} + x}?

    Ta có:

    y = (2x - 1)\sqrt{x^{2} + x}

    \Rightarrow y' = 2\sqrt{x^{2} + x} + \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{2\sqrt{x^{2} + x}}

    = \frac{4x^{3} + 4x + 4x^{2} - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}} = \frac{8x^{2} + 4x - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = sin^{3}x. Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sin^{3}x

    \Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x

    \Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x

    Khi đó

    y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x

    = 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x

    \Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \sqrt{1 + 3x - x^{2}}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sqrt{1 + 3x - x^{2}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}y^{2} = 1 + 3x - x^{2} \\y' = \dfrac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    2.y.y'' = 2.\sqrt{1 + 3x - x^{2}}.\left( \frac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} ight) = 3 - 2x

    \Rightarrow 2(y')^{2} + 2y.y'' = - 2

    \Rightarrow (y')^{2} + y.y'' = - 1

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}

    \Rightarrow y' = (2x + 2)e^{x} + \left( x^{2} + 2x ight)e^{x} = \left( x^{2} + 4x + 2 ight)e^{x}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\inR}. Biết f(0) = 1 và (2 - x).f(x) - f'(x) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt:

    Xét phương trình:

    \begin{matrix}(2 - x).f(x) - f'(x) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow (2 - x).e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x}.f(x) -e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x}.f'(x) = 0 \hfill\\\Leftrightarrow \left\lbrack f(x).e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x}ightbrack' = 0 \hfill\\\Leftrightarrow f(x).e^{\frac{x^{2}}{2} - 2x} = C\hfill\ \ \ \ \ (*)\hfill \\\end{matrix}

    Do f(0) = 1 thay vào (*) ta được C = 1

    => f(x) = e^{- \frac{x^{2}}{2} +2x}

    \Rightarrow f'(x) = ( - x + 2).e^{-\frac{x^{2}}{2} + 2x}

    Dễ thấy hàm số f(x) đồng biến trên ( -\infty;2brack.

    Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

    Do - \frac{x^{2}}{2} + 2x \leq 2\Rightarrow 0 < f(x) \leq e^{2}. Phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi - \frac{x^{2}}{2} + 2x = \lnm có hai nghiệm thực phân biệt. khi đó \ln m \in ( - \infty;2)

    Đồ thị của hàm số y = f(x) và y = m luôn cắt nhau tại một điểm với mọi m \in \left( 0;e^{2}ightbrack.

    Suy ra để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt thì 0 < m < e^{2}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Ta có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow f'(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2

    Suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4

    Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2

    Suy ra \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow b = 2

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = e^{2x} + 2e^{- x}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x} - 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' = (y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' - y'' = 2y'

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} - \frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} = \frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1010.2021 - 1 \\ n = 2020.2021 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = - 2

  • Câu 22: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left( x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Đáp án là:

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = - 6t + 6

    Gia tốc triệt tiêu khi a = 0 \Rightarrow S'' = 0 \Rightarrow t = 1

    Khi đó vận tốc của chuyển động là S'(1) = 12m/s

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Biết f(x) = \cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2} ight)

    …

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a + \frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

  • Câu 26: Nhận biết

    Công thức đạo hàm của hàm số y = f(x) = 2^{3x + 1} là:

    Ta có:

    y = f(x) = 2^{3x + 1}

    \Rightarrow f'(x) = (3x +4)'.2^{3x + 4}.\ln2

    \Rightarrow f'(x) = 3.2^{3x +4}.\ln2

  • Câu 27: Nhận biết

    Công thức nào sau đây biểu diễn đúng đạo hàm của hàm số y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)?

    Ta có: y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack \ln\left( 1 - x^{2} ight) ightbrack'

    = \frac{- 2x}{1 - x^{2}} = \frac{2x}{x^{2} - 1}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{1}{2}t^{3} + 9t^{2} với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}t^{2} +18t với t \in \lbrack0;10brack.

    Ta có: v'(t) = - 3t + 18 = 0\Leftrightarrow t = 6.

    Suy ra: v(0) = 0;v(10) = 30;v(6) =54.

    Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54\ \ (m/s).

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023}

    S = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = \sqrt{2x + 1}. Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x - 3y + 6 = 0?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến

    Ta có: y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}

    x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow y = \frac{x}{3} + 2

    Do (C) song song với đường thẳng y = \frac{x}{3} + 2 nên y'\left( x_{0} ight) = \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2x_{0} + 1}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x_{0} = 4 \Rightarrow y_{0} = 3

    Phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y - 3 = \frac{1}{3}(x - 4) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    a) Ta có: f'(x) = \left( x^{4} + 2\sqrt{x} ight)' = \left( x^{4} ight)' + \left( 2\sqrt{x} ight)'

    = 4x^{3} + 2.\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}

    b) Ta có

    y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2018} + 1 ight)'.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = 2018x^{2017}.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    c) Ta có: y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} ight)' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - \left( 2x^{2} - 3x ight)}{(x - 2)^{2}}

    = \frac{4x^{2} - 11x + 6 - 2x^{2} + 3x}{(x - 2)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}}

    Khi đó y' \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}} \leq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình có chứa 2 giá trị nguyên.

    d) Ta có:

    f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 4x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - 18;f'\left( x_{0} ight) = 20 nên ta có phương trình tiếp tuyến là:

    y = f'\left( x_{0} ight)\left( x - x_{0} ight) + y_{0}

    \Leftrightarrow y = 20(x + 2) - 18

    \Leftrightarrow y = 20x + 22.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left( x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 34: Thông hiểu

    Ta có \left( \frac{x^{2} + 4x - 1}{2x + 3} ight)' = \frac{M}{(2x + 3)^{2}}. Khi đó đa thức M là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + 4x - 1}{2x + 3}

    \Rightarrow y' = \frac{(2x + 3)(2x + 4) - 2\left( x^{2} + 4x - 1 ight)}{(2x + 3)^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{4x^{3} + 14x + 12 - 2x^{2} - 8x + 2}{(2x + 3)^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{2x^{2} + 6x + 14}{(2x + 3)^{2}}

    Vậy M=2x^{2} + 6x +14

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x + 1)^{3}} \Rightarrow y^{(3)} = \frac{- 6}{(x + 1)^{4}}

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{24}{(x + 1)^{5}} \Rightarrow y^{(5)} = - \frac{120}{(x + 1)^{6}}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 3(s) của một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = 2t^{3} + 6t^{2} - t, trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét.

    Ta có:

    v(t) = S'(t) = 6t^{2} + 12t - 1

    Vận tốc tức thời của chuyển động khi t = 3(s) là:

    v(3) = 6.3^{2} + 12.3 - 1 = 89(m/s)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y=3x^{5}-5x^{4}+3x-2. Giải bất phương trình y'' < 0.

     Ta có:

    \begin{matrix} y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2 \hfill \\ \Rightarrow y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \hfill \\ \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2} \hfill \\ y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^2}\left( {x - 1} ight) < 0,\left( {{x^2} > 0,\forall x e 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = \log_{4}(2x + 5) là:

    Ta có:

    y = \log_{4}(2x + 5)

    \Rightarrow y' = \frac{2}{(2x +5)\ln4}

    = \frac{2}{(2x + 5).2.\ln2} =\frac{1}{(2x + 5).\ln2}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{3}{2} ight\}

    Ta có:

    y' = \frac{- 1}{(2x + 3)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Tam giác OAB cân tại O suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1 hoặc -1

    Do y’ < 0 nên k = -1

    Gọi tọa độ tiếp điểm là \left( x_{0};y_{0} ight);\left( x_{0} \in D ight) ta có: - \frac{1}{\left( 2x_{0} + 3 ight)^{2}} = - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 2 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PT:y = - x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow PT:y = - x - 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 3

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 24 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập