Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu

    Hàm số y = - x^{3} + 3x - 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 3

    Giao điểm của (C) với trục tung có tọa độ là B(0; - 2)

    Tiếp tuyến của (C) tại điểm B(0; - 2) có phương trình là:

    y = y'(0)(x - 0) - 2 \Leftrightarrow y = 3x - 2

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - 3x} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight) \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight).\left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight)\prime \hfill \\ = - 3\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = 2^{2x}?

    Ta có:

    y = f(x) = 2^{2x}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 2^{2x}ight)' = (2x)'.2^{2x}.\ln2 = 2^{2x + 1}.\ln2

  • Câu 5: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 3\sin2t + \cos2t,(t >0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 6\cos2t -2\sin2t

    a(t) = S''(t) = v'(t) = -12\sin2t - 4\cos2t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) là:

    a\left( \frac{\pi}{4} ight) = -12\sin\left( 2.\frac{\pi}{4} ight) - 4\cos\left( 2.\frac{\pi}{4} ight)= - 12\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x_{0} = 1?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 - 4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x - 1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)

    Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x + 2000. Tìm tập nghiệm bất phương trình y' < 0.

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3

    y' < 0 \Rightarrow 3x^{2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1

    \Rightarrow S = ( - 1;1)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan x là:

    Tập xác định D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}

    Ta có: y = \tan x

    \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = −2.

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{3} - 3x^{2} + 2 = - 2

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\\end{matrix} ight.

    Với x = −1, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'(1) = 9 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7

    Với x = 2, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'( - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2

  • Câu 13: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=2x^{5}-3x^{4}+0,5x^{2}-\frac{3x}{2}-4 bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 2{x^5} - 3{x^4} + 0,5{x^2} - \dfrac{{3x}}{2} - 4 \hfill \\ \Rightarrow y' = 10{x^4} - 12{x^3} + x - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình chuyển động là S = 2t^{2} + t - 1(m). Tính vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s?

    Ta có:

    S = 2t^{2} + t - 1(m)

    \Rightarrow v = S' = 4t + 2

    Trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s thì chất điểm di chuyển được quãng đường S = 4.2 + 2 - 1 = 9(m)

    Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm t = 0 là:

    \overline{v} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = 4,5(m/s)

  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số y = f(x)= \log_{2}\left( x^{2} - 2x ight) có đạo hàm là:

    Ta có:

    y = f(x) = \log_{2}\left( x^{2} - 2xight)

    \Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2}- 2x ight)'}{\left( x^{2} - 2x ight)\ln2} = \frac{2x - 2}{\left(x^{2} - 2x ight)\ln2}

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t^{2}+t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 2s.

    Ta có:

    \begin{matrix} I\left( t ight) = Q'\left( t ight) \hfill \\ \Rightarrow I = 4t + 1 \hfill \\ \Rightarrow I\left( 2 ight) = 4.2 + 1 = 9\left( A ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + 2\cos x + 3x + 2. Tổng các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    y' = \cos2x - 2\sin x + 3 = - 2\sin^{2}x- 2\sin x + 4

    y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in \lbrack 0;50\pibrack nên 0 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 50\pi

    \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{99}{4};\left( k\mathbb{\in Z} ight) nên k \in \left\{ 0;1;;2;...;24 ight\}

    Suy ra tổng các nghiệm trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack của phương trình f'(x) = 0 là:

    S_{25} = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \frac{9\pi}{2} + ... + \frac{97\pi}{2}

    = \dfrac{25\left( \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{97\pi}{2} ight)}{2} = \dfrac{1225\pi}{2}

  • Câu 20: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 23: Vận dụng

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Đáp án là:

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1

    Dễ thấy hàm số v(t) là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số a = - 3 < 0

    Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là t = 3 \in \lbrack 0;5brack

    Do đó v_{\max} = v(3) = 28

    Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là 28m/s

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 là f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 26: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 27: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động biến đổi đều được biểu thị bởi phương trình S(t) = 2t^{3} + 4t^{2} - 2t + 4,(t > 0) với t được tính bằng giây và S(t) tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 4s?

    Vận tốc của chất điểm là:

    v(t) = S'(t) = - 2 + 8t + 6t^{2}

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = 8 + 12t

    Tại thời điểm t = 4s gia tốc của chất điểm là:

    a(4) = 8 + 12.4 = 56\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x = 6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 = 6

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \cot \sqrt {{x^2} + 1}

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)'}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} = - \dfrac{{\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ = - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) = f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x^{2}}{1 - x}. Xác định biểu thức của y''?

    Ta có:

    y = \frac{x^{2}}{1 - x} = - x - 1 + \frac{1}{1 - x}

    \Rightarrow y' = - 1 + \frac{1}{(1 - x)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{- 2}{(1 - x)^{3}}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=(5-3x)(\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-1) bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \left( {5 - 3x} ight)\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left( {5 - 3x} ight)\prime \left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 1} ight) \hfill \\ + \left( {5 - 3x} ight)\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 1} ight)\prime \hfill \\ = - 3.\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 1} ight) + \left( {5 - 3x} ight).\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = - {x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 3 + 5{x^2} + 5x - 3{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ = - 4{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 5x + 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)

    = (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)

    = \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)

    b) Ta có

    Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

    Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng y = kx + 2

    Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight. có nghiệm

    Thay (**) vào (*) ta suy ra \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.

    Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    d) Ta có:

    y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x

  • Câu 37: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{12}t^{4} - t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28 (m/s)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{12}t^{4} - t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28 (m/s)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = \frac{1}{3}t^{3} - 3t^{2} + 12t + 10

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = t^{2} - 6t + 12 = (t - 3)^{2} + 3 \geq 3

    Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3. Khi đó vận tốc của chất điểm là v(3) = \frac{1}{3}.(3)^{3} - 3.(3)^{2} + 12.3 + 10 = 28(m/s)

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆: 4x − 3y = 0 bằng \frac{3}{5}.

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y_{0} = k\left( x - x_{0} ight)

    => Tiếp tuyến d có một vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n_{d}} = ( - k;1)

    Đường thẳng \Delta có một vecto pháp tuyến là: \overrightarrow{n_{\Delta}} =(4; - 3)

    Theo đề bài ta có:

    \cos(d;\Delta) = \frac{| - 4k -3|}{\sqrt{k^{2} + 1}.\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}k = 0 \\k = - \dfrac{24}{7} \\\end{matrix} ight.

    Với k = - \frac{24}{7}ta có: 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = -\frac{24}{7} (vô nghiệm)

    Với k = 0 ta có: 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 0 \\x_{0} = 2 \\\end{matrix} ight.

    Nếu x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} =2=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 2 = 0 => y = 2

    Nếu x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = -2=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y + 2 = 0 => y = -2

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t^{2}+t, trong đó t tính bằng giây (s) và Q được tính theo culông (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

    Ta có:

    Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s là:

    \begin{matrix} I = Q'\left( t ight) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{Q\left( t ight) - Q\left( 4 ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {2{t^2} + t} ight) - \left( {{{2.4}^2} + 4} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {t - 4} ight)\left( {2t + 9} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} ight) = 2.4 + 9 = 17 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 62 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập