Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho y = x^{2}(x +
4)^{3}. Tính đạo hàm của hàm số đã cho?

    Ta có:

    y = x^{2}(x + 4)^{3}

    = x^{2}\left( x^{3} + 12x^{2} ight) +
48x + 64

    = x^{5} + 12x^{4} + 48x^{3} +
64x^{2}

    Suy ra y' = 5x^{4} + 48x^{3} + 144x^{2}
+ 128x

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho f(x) = (x +
10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x +
10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x +
10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 +
10)^{4} = 622080

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered}
  \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} ight)x - 2}}{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{\text{   khi }}x > 1 \hfill \\
  8 + {a^2}{\text{                       khi }}x \leqslant 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số liên tục tại điểm x = 1?

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) =
f(1) = 8 + a^{2}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} - (a - 2)x - 2}{\sqrt{x + 3} -
2}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\dfrac{(x -1)(ax + 2)}{\dfrac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
(ax + 2)\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight) ightbrack

    = 4a + 8

    Hàm số liên tục tạo x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow 4a + 8 = 8 + a^{2}
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 0 \\
a = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1)S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1)S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có: f'(x) = \frac{1 - x + x -
2}{(1 - x)^{2}} = \frac{- 1}{(1 - x)^{2}}

    Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M\left( x_{0};y_{0} ight) là:

    y - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} =
\frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( x - x_{0}
ight)

    Tiếp tuyến đi qua P(m,1) nên 1 - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{-
1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( m - x_{0} ight)

    \Leftrightarrow 2{x_{0}}^{2} - 6x_{0} +
m + 3 = 0;\left( x_{0} eq 1 ight)(*)

    Để có 1 tiếp tuyến đi qua P(m,1) suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm x_{0}
eq 1

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \Delta  = 0 \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  \Delta  > 0 \hfill \\
  2 - 6 + m + 3 = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  m = \frac{3}{2} \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  m < \frac{3}{2} \hfill \\
  m = 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  m = \frac{3}{2} \hfill \\
  m = 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Rightarrow S = \left\{ 1;\frac{3}{2}
ight\} \Rightarrow 1^{2} + \left( \frac{3}{2} ight)^{2} =
\frac{13}{4}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:y = \frac{x +
1}{\sqrt{x}}

    \Rightarrow y' = \frac{(x +
1)'.\sqrt{x} - \left( \sqrt{x} ight)'(x + 1)}{\left( \sqrt{x}
ight)^{2}}

    = \dfrac{\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+ 1)}{x} = \dfrac{\dfrac{2x - x - 1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{x -1}{2x\sqrt{x}}

  • Câu 8: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = \log_{4}(2x + 5) là:

    Ta có:

    y = \log_{4}(2x + 5)

    \Rightarrow y' = \frac{2}{(2x +5)\ln4}

    = \frac{2}{(2x + 5).2.\ln2} =\frac{1}{(2x + 5).\ln2}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
e^{2x} + 2e^{- x}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{-
x}

    \Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x}
- 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' =
(y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' -
y'' = 2y'

  • Câu 10: Nhận biết

    Hàm số y = f(x)= \log_{2}\left( x^{2} - 2x ight) có đạo hàm là:

    Ta có:

    y = f(x) = \log_{2}\left( x^{2} - 2xight)

    \Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2}- 2x ight)'}{\left( x^{2} - 2x ight)\ln2} = \frac{2x - 2}{\left(x^{2} - 2x ight)\ln2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log_{2}(2x + 1)?

    Ta có: y = \log_{2}(2x + 1)

    \Rightarrow y' = \frac{(2x +1)'}{(2x + 1)\ln2} = \frac{2}{(2x + 1)\ln2}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} -
2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x
\Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} =
2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b
ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -
1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + 2\cos x + 3x + 2. Tổng các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    y' = \cos2x - 2\sin x + 3 = - 2\sin^{2}x- 2\sin x + 4

    y' = 0 \Leftrightarrow x =
\frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    x \in \lbrack 0;50\pibrack nên 0 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi \leq
50\pi

    \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq
\frac{99}{4};\left( k\mathbb{\in Z} ight) nên k \in \left\{ 0;1;;2;...;24 ight\}

    Suy ra tổng các nghiệm trên đoạn \lbrack
0;50\pibrack của phương trình f'(x) = 0 là:

    S_{25} = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2}
+ \frac{9\pi}{2} + ... + \frac{97\pi}{2}

    = \dfrac{25\left( \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{97\pi}{2} ight)}{2} = \dfrac{1225\pi}{2}

  • Câu 16: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t)
= 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'}
= - 3sint.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t =
0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left(
\frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
\frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\
m + m + c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
m = - 32 \\
n = 32 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = -
64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t =
0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left(
km/h^{2} ight)

  • Câu 18: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x -
2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} +
2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) +
2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2}
ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x +
8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x -
2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) =
16

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho f(x) = \sin x
+ \cos x. Khi đó f'\left(
\frac{\pi}{6} ight) bằng:

    Ta có:

    f(x) = \sin x + \cos x

    \Rightarrow f'(x) = \cos x - \sin
x

    \Rightarrow f'\left( \frac{\pi}{6}
ight) = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} -
1}{2}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\ mx^{2}+2x+2 & \text{ khi } x>0 \\ nx+1 & \text{ khi } x\leq 0 \end{cases}. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  \left\{ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 2 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \hfill \\   \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số không liên tục tại x = 0. Do đó f(x) không có đạo hàm tại x = 0

    => Không tồn tại các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Ta có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f'(x) = \left\{
\begin{matrix}
2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = -
4

    Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow
b = 2

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số y = {x^3} + 9{x^2} + 12x - 5

     Ta có:

    \begin{matrix}  y' = {x^2} - 18x + 12 \hfill \\   \Rightarrow dy = \left( {3{x^2} - 18x + 12} ight)dx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in
R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x +
1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} +
1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} -
36x^{2}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = −2.

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{3} - 3x^{2} + 2 = - 2

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\\end{matrix} ight.

    Với x = −1, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'(1) = 9 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7

    Với x = 2, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'( - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2

  • Câu 26: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - x \geqslant 0} \\   {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 3} \\   {x >  - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} -
\frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x +
1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} +
x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} +
3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
a = 3 \\
b = 6 \\
c = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 4

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) =
\sqrt{x^{2} - 2x} . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình f'(x) \geq f(x) ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\sqrt{x^{2} - 2x} . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình f'(x) \geq f(x) ?

    Kết quả: 0

    Tập xác định: D = ( - \infty;0brack
\cup \lbrack 2; + \infty)

    Ta có: f'(x) = \frac{x -
1}{\sqrt{x^{2} - 2x}}

    Ta có:

    f'(x) \geq f(x)

    \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2}
- 2x}} \geq \sqrt{x^{2} - 2x}

    \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 3x -
1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq 0

    Với x \in ( - \infty;0) \cup (2; +
\infty)

    Ta có:\frac{- x^{2} + 3x - 1}{\sqrt{x^{2}
- 2x}} \geq 0

    \Leftrightarrow - x^{2} + 3x - 1 \geq 0
\Leftrightarrow x \in \left\lbrack \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 +
\sqrt{5}}{2} ightbrack

    Kết hợp với điều kiện x \in ( - \infty;0)
\cup (2; + \infty) ta có: x \in
\left( 2;\frac{3 + \sqrt{5}}{2} ightbrack

    x\mathbb{\in Z} nên suy ra x \in \varnothing

    Vậy không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số y =\sin2x.\cos x. Xác định giá trị y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)

    \Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)

    \Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)

    \Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6}
ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) +
\sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left(
3^{4} - \frac{1}{2} ight)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai tại điểm x_{0} = - 1 của hàm số f(x) = \frac{1}{2x - 1}?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow
f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) =
\frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = -
\frac{8}{27}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Thực hiện tính đạo hàm của hàm số y = x + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} +
\sqrt[5]{x} thu được kết quả có dạng y' = a + \frac{b}{\sqrt{x}} +
\frac{c}{\sqrt[3]{x^{2}}} + \frac{d}{\sqrt[4]{x^{3}}} +
\frac{e}{\sqrt[5]{x^{4}}} . Khi đó giá trị của biểu thức T = a + 2b - 3c + 4d + 5e bằng: 3

    Đáp án là:

    Thực hiện tính đạo hàm của hàm số y = x + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} +
\sqrt[5]{x} thu được kết quả có dạng y' = a + \frac{b}{\sqrt{x}} +
\frac{c}{\sqrt[3]{x^{2}}} + \frac{d}{\sqrt[4]{x^{3}}} +
\frac{e}{\sqrt[5]{x^{4}}} . Khi đó giá trị của biểu thức T = a + 2b - 3c + 4d + 5e bằng: 3

    Ta có:

    y = x + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} +
\sqrt[4]{x} + \sqrt[5]{x}

    \Rightarrow y' = 1 +
\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} +
\frac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}}} + \frac{1}{5\sqrt[5]{x^{4}}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = \dfrac{1}{2} \\c = \dfrac{1}{3} \\d = \dfrac{1}{4} \\e = \dfrac{1}{5} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 1 + 2.\dfrac{1}{2} - 3.\dfrac{1}{3}+ 4.\dfrac{1}{4} + 5.\dfrac{1}{5} = 3

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Tìm tham số thực b để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\   { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. có đạo hàm tại x = 2.

    Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\   \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow  - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Thử b = 6 ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\   = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = {x^2}\tan x + \sqrt x

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = {x^2}\tan x + \sqrt x  \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \left( {{x^2}} ight)\prime \tan x + {x^2}\left( {\tan x} ight)\prime  + \left( {\sqrt x } ight)\prime  \hfill \\   = 2x.\tan x + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( \cos x + m^{2} + 1 ight). Biết f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = -
\frac{1}{5}. Xác định giá trị của tham số m?

    Ta có:

    f'(x) = \frac{- \sin x}{\cos x + 1 +
m^{2}}

    Lại có: f'\left( \frac{\pi}{2}
ight) = - \frac{1}{5}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{1 + m^{2}} =
- \frac{1}{5} \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 36: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S=\frac{1}{2}t^{2} ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t_{0}=5(s) 

    Ta có: 

    \begin{matrix}  v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\   \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=2x^{2}+16cosx-cos2x. Tính giá trị của f"(\pi)

    Ta có: 

    \begin{matrix}  f(x) = 2{x^2} + 16cosx - cos2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( \pi  ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(x)=\frac{ax^{2}+b}{c+d} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{{a{x^2} + b}}{{c + d}} \hfill \\   \Rightarrow f\prime \left( x ight) = \left( {\dfrac{{a{x^2} + b}}{{c + d}}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {a{x^2} + b} ight)'\left( {c + d} ight) - \left( {c + d} ight)'\left( {a{x^2} + b} ight)}}{{{{\left( {c + d} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2ax\left( {c + d} ight)}}{{{{\left( {c + d} ight)}^2}}} = \dfrac{{2ax}}{{c + d}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) =
3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x =
6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 =
6

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}. Giải phương trình f'(x) + f''(x) = 0.

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 -
x}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{(x -
1)^{2}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{6}{(x -
1)^{3}}

    Lại có:

    f'(x) + f''(x) =
0

    \Leftrightarrow \frac{3}{(x - 1)^{2}} -
\frac{6}{(x - 1)^{3}} = 0

    \Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = 1
\Leftrightarrow x = 3(tm)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo