Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}.

    Ta có: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}

    \Rightarrow y' = 8x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t^{2}+t, trong đó t tính bằng giây (s) và Q được tính theo culông (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

    Ta có:

    Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s là:

    \begin{matrix} I = Q'\left( t ight) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{Q\left( t ight) - Q\left( 4 ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {2{t^2} + t} ight) - \left( {{{2.4}^2} + 4} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {t - 4} ight)\left( {2t + 9} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} ight) = 2.4 + 9 = 17 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + 3x - 5 với m là tham số. Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt?

    Ta có:

    y = x^{3} + mx^{2} + 3x - 5

    \Rightarrow y' = 3x^{2} + 2mx + 3

    Để y' = 0 có hai nghiệm phân biệt:

    \Delta > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 9 > 0

    \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 3) \cup (3; + \infty)

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{1}{2}t^{3} + 9t^{2} với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}t^{2} +18t với t \in \lbrack0;10brack.

    Ta có: v'(t) = - 3t + 18 = 0\Leftrightarrow t = 6.

    Suy ra: v(0) = 0;v(10) = 30;v(6) =54.

    Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54\ \ (m/s).

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log(2x - 1) trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight)?

    Trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight) ta có:

    y = \log(2x - 1) \Rightarrow y' =\frac{(2x - 1)'}{(2x - 1)\ln10}

    \Rightarrow y' = \frac{2}{(2x -1)\ln10}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x+1}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } ight)'}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - \dfrac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}}{{{x^2} - x + 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - 2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} \left( {{x^2} - x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{7}{x^{3}}+\frac{6}{x^{5}} bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{7}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^5}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - \dfrac{{2.2x}}{{{x^4}}} + \dfrac{{7.3.{x^2}}}{{{x^6}}} - \dfrac{{6.5.{x^4}}}{{{x^{10}}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{{21}}{{{x^4}}} - \dfrac{{30}}{{{x^6}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left( x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    v(t) = s’(t) = 3t2 − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6

    Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s

    Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s2

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 là f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 14: Vận dụng

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{2}{3}t^{3} + 7t^{2} + 3 với t giây (0 \leq t \leq 7) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12\ m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

    Đáp án: 111

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{2}{3}t^{3} + 7t^{2} + 3 với t giây (0 \leq t \leq 7) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12\ m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

    Đáp án: 111

    Vận tốc của vật là: v = s^{'} = - 2t^{2} + 14t.

    Vận tốc của vật đạt 12m/s thì - 2t^{2} + 14t = 12 \Leftrightarrow 2t^{2} - 14t + 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Vật đạt vận tốc là 12\ m/s lần thứ 2 khi t = 6.

    Lúc đó quãng đường vật đi được là:

    s(6) = - \frac{2}{3}.6^{4} + 7.6^{2} + 3 = 111 (mét)

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{3x + 5}{- 1 + 2x}. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{3x + 5}{- 1 + 2x}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(3x + 5)'( - 1 + 2x) - ( - 1 + 2x)'(3x + 5)}{( - 1 + 2x)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{3(2x - 1) - 2(3x + 5)}{( - 1 + 2x)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 13}{( - 1 + 2x)^{2}}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x - 1}{x - 1}. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho \frac{OA}{OB} = 4?

    Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm M\left( x_{0};y_{0} ight) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho \frac{OA}{OB} = 4.

    Do tam giác OAB vuông tại O nên \tan\widehat{A} = \frac{OB}{OA} = \frac{1}{4}

    Suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng \pm \frac{1}{4}

    Hệ số góc tiếp tuyến là y'\left( x_{0} ight) = \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} < 0

    \Rightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4} \\x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình tròn bán kính r có diện tích là S(r). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    S(r) = \pi.r^{2} \Rightarrow S'(r) = 2\pi.r

    Suy ra S'\left( r_{0} ight) là chu vi của đường tròn bán kính r_{0}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan x là:

    Tập xác định D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}

    Ta có: y = \tan x

    \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} - \frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} = \frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1010.2021 - 1 \\ n = 2020.2021 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = - 2

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \left\{ \begin{matrix} x\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có: y' = \left\{ \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - 1\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Do \left\{ \begin{matrix} y'_{\left( 0^{+} ight)} = 1 \\ y'_{\left( 0^{-} ight)} = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{2} - x + 2. Tính y'(1)?

    Ta có: y = x^{2} - x + 2

    \Rightarrow y' = 2x - 1

    \Rightarrow y'(1) = 2.1 - 1 = 1

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) =\sin2x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x

    \Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho đường cong có phương trình y=\frac{2x-1}{x+1}. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 0:

    Ta có: 

    \begin{matrix} y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left( {\dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x - 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y'\left( 0 ight) = 3} \\ {y\left( 0 ight) = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyền tại điểm có hoành độ bằng 0 là: y = 3x - 1

    Dễ thấy phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{3}x-6 (vì tích hai hệ số góc bằng -1).

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}&{{\text{ khi }}x > 1} \\ {x - 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 1} \end{array}} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    f\left( { - 2} ight) = - 2 - 1 = - 3

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số y =\sin2x.\cos x. Xác định giá trị y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)

    \Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)

    \Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)

    \Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) + \sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left( 3^{4} - \frac{1}{2} ight)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)

    = (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)

    = \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)

    b) Ta có

    Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

    Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng y = kx + 2

    Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight. có nghiệm

    Thay (**) vào (*) ta suy ra \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.

    Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    d) Ta có:

    y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} (x - 1)^{2}\ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0} = 0?

    Ta có:

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x - 1)^{2} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( - x^{2} ight) = 0

    Suy ra f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Nên hàm số không liên tục tại x_{0} = 0

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = 0.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b). Các tiếp điểm của đồ thị hàm số tại các điểm M_{1};M_{2};M_{3} được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây:

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M_{1} có dạng y = f(x) = - ax + b;(a > 0)

    \Rightarrow f'\left( x_{1} ight) < 0

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M_{2} có dạng y = f(x) = b

    \Rightarrow f'\left( x_{2} ight) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M_{3} có dạng y = f(x) = ax + b;(a > 0)

    \Rightarrow f'\left( x_{3} ight) > 0

  • Câu 34: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\ g'\left( x ight) = - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix} f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Biết \left\{ \begin{gathered} f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \hfill \\ f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ \end{gathered} ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Đáp án là:

    Biết \left\{ \begin{gathered} f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \hfill \\ f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ \end{gathered} ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x + 3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{\left( x^{2} - 2x + 3 ight)'}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}

    = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = a.b = - 1

  • Câu 37: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y=sin2x-cos2x. Giải phương trình y" = 0

     Ta có:

    \begin{matrix} y = \sin 2x - \cos 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = 2\cos 2x + 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 4\sin 2x + 4\cos 2x \hfill \\ y'' = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 4\sin 2x + 4\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = \cos 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 3\sin2t + \cos2t,(t >0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 6\cos2t -2\sin2t

    a(t) = S''(t) = v'(t) = -12\sin2t - 4\cos2t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) là:

    a\left( \frac{\pi}{4} ight) = -12\sin\left( 2.\frac{\pi}{4} ight) - 4\cos\left( 2.\frac{\pi}{4} ight)= - 12\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}ax^{2} + bx + 1;x \geq 0 \\ax - b - 1;x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} =0. Hãy tính T = a + 2b

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2}+ bx + 1 ight) = 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1)= - b - 1 \\\end{matrix} ight.

    Để hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì hàm số phải liên tục tại x0 = 0 nên:

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Rightarrow - b - 1 = 1 \Rightarrow b =- 2

    Khi đó: f(x) = \left\{ \begin{matrix}ax^{2} - 2x + 1;x \geq 0 \\ax + 1;x < 0 \\\end{matrix} ight.. Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -f(0)}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2}- 2x + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -f(0)}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1- x}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) = a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 thì a = - 2

    Vậy với a = - 2;b = - 2 thì hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó T = - 6

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 37 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập