Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Số gia của hàm số f(x)=2x^{2}-1 tại x_{0}=1 ứng với số gia \Delta x=0,1 bằng:

    Ta có:

    ∆f = f(1 + 0,1) - f(1)

    = 2(1,1)^2 - 1 - (2 - 1) = 0,42

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Biết đồ thị hàm số (C):y = x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} tiếp xúc với trục hoành. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S.

    Với m eq 0 đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f'(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ (I) có nghiệm

    (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ 3x^{2} - 6mx + 3m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\left( x^{2} - 2mx ight) - mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - mx^{2} + 2mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x^{2} + 2x + m - 2m^{2} = 0 \\ x^{2} - 2mx + m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 2mx - 2m^{2} + 2m = 0(*) \\ x^{2} - 2mx + m = 0(**) \\ \end{matrix} ight.

    (*) \Leftrightarrow (x + m)(1 - m) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ x = - m \\ \end{matrix} ight.

    Với m = 1 thay vào (**) ta được x = 1 thỏa mãn

    Với x = - m thay vào (**) ta được - 3m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu là 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} (x - 1)^{2}\ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0} = 0?

    Ta có:

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x - 1)^{2} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( - x^{2} ight) = 0

    Suy ra f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Nên hàm số không liên tục tại x_{0} = 0

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = 0.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin x.\sin2x.\sin3x?

    Ta có:

    y = \sin x.\sin2x.\sin3x

    = \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{4}\sin4x -\frac{1}{4}\sin6x

    Khi đó:

    y' = \frac{1}{2}\cos2x + \cos4x -\frac{3}{2}\cos6x

    y'' = - \sin2x - 4\sin4x +9\sin6x

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    a) Ta có: f'(x) = \left( x^{4} + 2\sqrt{x} ight)' = \left( x^{4} ight)' + \left( 2\sqrt{x} ight)'

    = 4x^{3} + 2.\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}

    b) Ta có

    y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2018} + 1 ight)'.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = 2018x^{2017}.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    c) Ta có: y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} ight)' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - \left( 2x^{2} - 3x ight)}{(x - 2)^{2}}

    = \frac{4x^{2} - 11x + 6 - 2x^{2} + 3x}{(x - 2)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}}

    Khi đó y' \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}} \leq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình có chứa 2 giá trị nguyên.

    d) Ta có:

    f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 4x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - 18;f'\left( x_{0} ight) = 20 nên ta có phương trình tiếp tuyến là:

    y = f'\left( x_{0} ight)\left( x - x_{0} ight) + y_{0}

    \Leftrightarrow y = 20(x + 2) - 18

    \Leftrightarrow y = 20x + 22.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\left | x-2 ight |. Khẳng định nào sau đây là sai?

    Ta có: f(2)= 0 (đúng)

    f(x) = \left| {x - 2} ight| \geqslant 0,\forall x => Hàm số nhận giá trị không âm

    Ta lại có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2{\text{ khi }}x \geqslant 2} \\ {2 - x{\text{ khi }}x < 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2 - x} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 2 ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f\left( 2 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số liên tục tại x = 2

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy không tồn tại giới hạn \frac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} khi x tiến tới 2

    Vậy khẳng định sai là "f(x) có đạo hàm tại x = 2"

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) = \frac{2x}{x - 1}. Tính đạo hàm của hàm số đã cho?

    Ta có:f(x) = \frac{2x}{x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x)'(x - 1) - (x - 1)'(2x)}{(x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x - 1) - 2x}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 3\sin2t + \cos2t,(t >0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 6\cos2t -2\sin2t

    a(t) = S''(t) = v'(t) = -12\sin2t - 4\cos2t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) là:

    a\left( \frac{\pi}{4} ight) = -12\sin\left( 2.\frac{\pi}{4} ight) - 4\cos\left( 2.\frac{\pi}{4} ight)= - 12\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + 2\cos x + 3x + 2. Tổng các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    y' = \cos2x - 2\sin x + 3 = - 2\sin^{2}x- 2\sin x + 4

    y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in \lbrack 0;50\pibrack nên 0 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 50\pi

    \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{99}{4};\left( k\mathbb{\in Z} ight) nên k \in \left\{ 0;1;;2;...;24 ight\}

    Suy ra tổng các nghiệm trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack của phương trình f'(x) = 0 là:

    S_{25} = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \frac{9\pi}{2} + ... + \frac{97\pi}{2}

    = \dfrac{25\left( \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{97\pi}{2} ight)}{2} = \dfrac{1225\pi}{2}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    a) Ta có: f'(x) = \left( x^{4} + 2\sqrt{x} ight)' = \left( x^{4} ight)' + \left( 2\sqrt{x} ight)'

    = 4x^{3} + 2.\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}

    b) Ta có

    y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2018} + 1 ight)'.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = 2018x^{2017}.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    c) Ta có: y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} ight)' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - \left( 2x^{2} - 3x ight)}{(x - 2)^{2}}

    = \frac{4x^{2} - 11x + 6 - 2x^{2} + 3x}{(x - 2)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}}

    Khi đó y' \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}} \leq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình có chứa 2 giá trị nguyên.

    d) Ta có:

    f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 4x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - 18;f'\left( x_{0} ight) = 20 nên ta có phương trình tiếp tuyến là:

    y = f'\left( x_{0} ight)\left( x - x_{0} ight) + y_{0}

    \Leftrightarrow y = 20(x + 2) - 18

    \Leftrightarrow y = 20x + 22.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số y = {x^3} + 9{x^2} + 12x - 5

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 18x + 12 \hfill \\ \Rightarrow dy = \left( {3{x^2} - 18x + 12} ight)dx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( \cos x + m^{2} + 1 ight). Biết f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}. Xác định giá trị của tham số m?

    Ta có:

    f'(x) = \frac{- \sin x}{\cos x + 1 + m^{2}}

    Lại có: f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{1 + m^{2}} = - \frac{1}{5} \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 18: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'} = - 3sint.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 4t^{3} - 10t + 9,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 2m/s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 12t^{2} - 10

    v(t) = 2 \Leftrightarrow 12t^{2} - 10 = 2

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 1(tm) \\ \end{matrix} ight.

    a(t) = S''(t) = v'(t) = \left( 12t^{2} - 10 ight)' = 24t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 2 là

    a(1) = 24.1 = 24\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm công thức đạo hàm của hàm số y = 3^{x^{2} - x}?

    Ta có:

    y = 3^{x^{2} - x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - xight)'.3^{x^{2} - x}.\ln3

    \Rightarrow y' = (2x - 1).3^{x^{2} -x}.\ln3

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\frac{2x-1}{x+1}. Giải phương trình f'(x) = f"(x)

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 9^{2x + 2}

    Ta có: f(x) = 9^{2x + 2}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 9^{2x + 1} ight)'

    \Rightarrow f'(x) = (2x +1)'.9^{2x + 1}.\ln9 = 2.9^{2x + 1}.\ln9

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y = e^{2x} + 2e^{- x}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x} - 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' = (y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' - y'' = 2y'

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - 2x + 1 có đồ thị (C). Xác định phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A\left( 1;\frac{1}{3} ight)?

    Ta có: y' = x^{2} + 2x - 2 \Rightarrow y'(1) = 1

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A\left( 1;\frac{1}{3} ight) là:

    y = y'(1)(x - 1) + \frac{1}{3} = x - 1 + \frac{1}{3} = x - \frac{2}{3}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hàm số y=\frac{1}{x^{2}-1}. Tính giá trị của y^{(3)}(2)

     \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \tan x. Tính y''\left( \frac{\pi}{4} ight) thu được kết quả là:

    Ta có:

    y = \tan x

    \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^{2}x}= 1 + \tan^{2}x

    \Rightarrow y' = \left( 1 + \tan^{2}xight)' = 2\tan x.\left( \tan x ight)'

    = 2\tan x.\left( 1 + \tan^{2}xight)

    \Rightarrow y''\left(\frac{\pi}{4} ight) = 2\tan\left( \frac{\pi}{4} ight).\left\lbrack 1+ \tan^{2}\left( \dfrac{\pi}{4} ight) ightbrack = 2.1.(1 + 1) =4

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \sqrt {{x^2} + 2}

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left[ {\sin \sqrt {{x^2} + 2} } ight] \prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 2} } ight)'.\cos \sqrt {{x^2} + 2} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {{x^2} + 2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Trên đồ thị hàm số y = \frac{x + 3}{x +2} tại các điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

    Ta có:

    Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến k = \pm1.

    Ta có: f'(x) = - \frac{1}{(x +2)^{2}}

    => Hoành độ điểm thuộc đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của phương trình:

    - \frac{1}{(x + 2)^{2}} = - 1\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.

    Hai điểm thỏa mãn ( - 3;0),( -1;2)

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 . Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8} ?

    Kết quả: 5/24

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 . Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8} ?

    Kết quả: 5/24

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Do \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 mà \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}f(x) = 16

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{5f(x) - 16 - 4^{3}}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{5\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 2}\left\{ \frac{f(x) - 16}{(x - 2)}.\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} ight\} = T

    Mà \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{(x - 2)} = 12 và \lim_{x ightarrow 2}\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} = \frac{5}{288}

    Nên T = 12.\frac{5}{288} = \frac{5}{24}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} song song với trục hoành.

    Ta có:

    y' = - 4x^{3} + 4x

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng trục hoành của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} khi đó ta có: k = 0

    Suy ra y'\left( x_{0} ight) = 0

    \Leftrightarrow - 4{x_{0}}^{3} + 4x_{0} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow PTTT:y = 0

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PTTT:y = 1

    Với x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PTTT:y = 1

    Vậy có 2 tiếp tuyến song song với trục hoành.

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = −2.

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{3} - 3x^{2} + 2 = - 2

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\\end{matrix} ight.

    Với x = −1, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'(1) = 9 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7

    Với x = 2, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'( - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(t)=\frac{t+\tan t}{t-1} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} f(t) = \dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f\prime (t) = \left( {\dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f\prime (t) = \dfrac{{\left( {t + \tan t} ight)'\left( {t - 1} ight) - \left( {t - 1} ight)'\left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + 1 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {2 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x} . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình f'(x) \geq f(x) ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x} . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình f'(x) \geq f(x) ?

    Kết quả: 0

    Tập xác định: D = ( - \infty;0brack \cup \lbrack 2; + \infty)

    Ta có: f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}}

    Ta có:

    f'(x) \geq f(x)

    \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq \sqrt{x^{2} - 2x}

    \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 3x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq 0

    Với x \in ( - \infty;0) \cup (2; + \infty)

    Ta có:\frac{- x^{2} + 3x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq 0

    \Leftrightarrow - x^{2} + 3x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left\lbrack \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 + \sqrt{5}}{2} ightbrack

    Kết hợp với điều kiện x \in ( - \infty;0) \cup (2; + \infty) ta có: x \in \left( 2;\frac{3 + \sqrt{5}}{2} ightbrack

    Mà x\mathbb{\in Z} nên suy ra x \in \varnothing

    Vậy không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

  • Câu 40: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 52 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập