Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{2018} - 1009x^{2} +2019x. Giá trị của \lim_{\Delta xightarrow 0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2018.x^{2017} - 2.1009x +2019

    \Rightarrow \lim_{\Delta x ightarrow0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} = f'(1)

    = 2018.1 - 2.2019.1 + 2019 =2019

    Vậy \lim_{\Delta x ightarrow0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} = 2019

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho f(x) = \sin x + \cos x. Khi đó f'\left( \frac{\pi}{6} ight) bằng:

    Ta có:

    f(x) = \sin x + \cos x

    \Rightarrow f'(x) = \cos x - \sin x

    \Rightarrow f'\left( \frac{\pi}{6} ight) = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 9^{2x + 2}

    Ta có: f(x) = 9^{2x + 2}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 9^{2x + 1} ight)'

    \Rightarrow f'(x) = (2x +1)'.9^{2x + 1}.\ln9 = 2.9^{2x + 1}.\ln9

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x + 1)^{3}} \Rightarrow y^{(3)} = \frac{- 6}{(x + 1)^{4}}

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{24}{(x + 1)^{5}} \Rightarrow y^{(5)} = - \frac{120}{(x + 1)^{6}}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 7: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 8: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = \sqrt {3 + 2\tan x} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có: 

    \begin{matrix} y = \sqrt {3 + 2\tan x} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \dfrac{1}{{2\sqrt {3 + 2\tan x} }}.\left( {3 + 2\tan x} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{1}{{2\sqrt {3 + 2\tan x} }}.\dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3 + 2\tan x} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Một vật chuyển động theo quy luật S =10t^{2} - \frac{1}{3}t^{3}, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 15 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc v (m/s) của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng:

    Ta có vận tốc v của vật tại thời điểm t được tính theo công thức v(t) = S'(t) = - t^{2} + 20t. Bảng biến thiên của hàm v = v(t) trên (0; 15):

    Vậy vận tốc của vật đạt GTLN tại thời điểm t = 10 (s)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}

    \Rightarrow y' = (2x + 2)e^{x} + \left( x^{2} + 2x ight)e^{x} = \left( x^{2} + 4x + 2 ight)e^{x}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}. Giải phương trình f'(x) + f''(x) = 0.

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{(x - 1)^{2}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{6}{(x - 1)^{3}}

    Lại có:

    f'(x) + f''(x) = 0

    \Leftrightarrow \frac{3}{(x - 1)^{2}} - \frac{6}{(x - 1)^{3}} = 0

    \Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = 3(tm)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 3\sin2t + \cos2t,(t >0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 6\cos2t -2\sin2t

    a(t) = S''(t) = v'(t) = -12\sin2t - 4\cos2t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = \frac{\pi}{4}(s) là:

    a\left( \frac{\pi}{4} ight) = -12\sin\left( 2.\frac{\pi}{4} ight) - 4\cos\left( 2.\frac{\pi}{4} ight)= - 12\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log(2x - 1) trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight)?

    Trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight) ta có:

    y = \log(2x - 1) \Rightarrow y' =\frac{(2x - 1)'}{(2x - 1)\ln10}

    \Rightarrow y' = \frac{2}{(2x -1)\ln10}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = - \frac{1}{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) = \frac{1}{16}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2 (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20\ m/s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 54,2 m

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động theo quy luật s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2 (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20\ m/s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 54,2 m

    Ta có: v(t) = s'(t) = t^{2} - 3t + 10.

    Khi vận tốc của vật đạt 20\ m/s ta có:

    t^{2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t^{2} - 3t - 10 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 5 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vì t > 0 nên nhận t = 5(s).

    Lúc đó quảng đường vật đi được là: s(5) - s(0) = \frac{337}{6} - 2 \approx 54,2m

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\sqrt{x^{2}-1}. Đạo hàm f'(x) có tập xác định là:

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \sqrt {{x^2} - 1} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {\sqrt {{x^2} - 1} } ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    => Tập xác định của hàm số f'(x) là:

    {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \cos \sqrt {2x + 1}

    Ta có: 

    \begin{matrix} y = \cos \sqrt {2x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y' = - \left( {\sqrt {2x + 1} } ight)'.\sin \sqrt {2x + 1} \hfill \\ = - \dfrac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} \hfill \\ = - \dfrac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) .

    Kết quả: S = 2018/2019

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) .

    Kết quả: S = 2018/2019

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)

    \Rightarrow f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) ightbrack'

    = \frac{1}{\frac{2018x}{x + 1}}.\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)'

    = \frac{x + 1}{2018x}.\frac{2018}{(x + 1)^{2}}

    = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}

    S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}

    VD

     

    1

  • Câu 23: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 24: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) = \frac{2x}{x - 1}. Tính đạo hàm của hàm số đã cho?

    Ta có:f(x) = \frac{2x}{x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x)'(x - 1) - (x - 1)'(2x)}{(x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x - 1) - 2x}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{2}{1+x}. Tính giá trị của y^{(3)}(1)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Biết đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} được biểu diễn như sau:y' = \frac{mx}{\sqrt{\left( x^{2} + 1 ight)^{3}}}. Giá trị của tham số m là:

    Ta có:

    f'(x) = \left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} ight)'

    = - \dfrac{\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} +1}}}{x^{2} + 1} = - \dfrac{x}{\sqrt{\left( x^{2} + 1ight)^{3}}}

    Khi đó m = - 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} - 0}{x}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1ight)}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( \cos x + m^{2} + 1 ight). Biết f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}. Xác định giá trị của tham số m?

    Ta có:

    f'(x) = \frac{- \sin x}{\cos x + 1 + m^{2}}

    Lại có: f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{1 + m^{2}} = - \frac{1}{5} \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 32: Vận dụng

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Đáp án là:

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1

    Dễ thấy hàm số v(t) là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số a = - 3 < 0

    Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là t = 3 \in \lbrack 0;5brack

    Do đó v_{\max} = v(3) = 28

    Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là 28m/s

  • Câu 33: Nhận biết

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

    Ta tính được s'(t) = 2t

    Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) =2t

    => v(2) = 2.2 = 4(m/s)

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số yy=-\frac{1}{3}mx^{3}+(m-1)x^{2}-mx+3, có đạo hàm là y'. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x_{1},x_{2} thỏa mãn x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6.

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - \dfrac{1}{3}m{x^3} + (m - 1){x^2} - mx + 3 \hfill \\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} ight)x - m \hfill \\ y' = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2\left( {m - 1} ight)x - m = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Để phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt thì

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' > 0} \\ {m e 0} \end{array} \Leftrightarrow } ight.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {m - 1} ight)}^2} + {m^2} > 0} \\ {m e 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{m^2} - 2m + 1 > 0} \\ {m e 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng hệ thức Vi - et ta có

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} ight)}}{m}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{m}} \end{array}} ight. \hfill \\ x_1^2 + x_2^2 = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} ight)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{2\left( {m - 1} ight)}}{m}} ight]^2} + \dfrac{2}{m} = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1 + \sqrt 2 } \\ {m = - 1 - \sqrt 2 } \end{array}} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{3x + 1}{x + 2}?

    Ta có: y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 - \frac{5}{x + 2}

    \Rightarrow y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D và x_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 39: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập