Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)= \sin2x$ và $g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}$ . Tính giá trị $g\left( \frac{\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $- 1$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Ta có:

$f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x$

$\Rightarrow f''(x) = -4\sin2x$

$g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1$
Câu 2: Nhận biết
Xác định đạo hàm của hàm số $y = \pi^{x}$ .
- A.
  $y' = x.\pi^{x -1}.\ln\pi$
- B.
  $y' =\pi^{x}.\ln\pi$
- C.
  $y' = \frac{\pi^{x}}{\ln\pi}$
- D.
  $y' = x.\pi^{x - 1}$
Ta có: $\left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)$

Vậy $y' = \pi^{x}.\ln\pi$
Câu 3: Nhận biết
Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''(1) = 6$
- B.
  $f''(1) = 8$
- C.
  $f''(1) = 3$
- D.
  $f''(1) = 2$
Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$
Câu 4: Nhận biết
Đạo hàm của hàm số $f(x) = e^{2 - x}$ là:
- A.
  $f'(x) = e^{2 - x}$
- B.
  $f'(x) = - e^{2 - x}$
- C.
  $f'(x) = 2.e^{2 - x}$
- D.
  $f'(x) = (2 - x).e^{2 - x}$
Ta có: $f(x) = e^{2 - x}$

$\Rightarrow f'(x) = (2 - x)'.e^{2 - x} = - e^{2 - x}$
Câu 5: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)= \ln2021 + \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight)$ . Tính giá trị biểu thức:

$S = f'(1) + f'(2) + .... + f'(2020)$
- A.
  $\frac{2021}{2020}$
- B.
  $\frac{2021}{2022}$
- C.
  $\frac{2020}{2021}$
- D.
  $\frac{2022}{2021}$
Ta có:

$f'(x) = \dfrac{\left( \dfrac{x}{x + 1}ight)'}{\dfrac{x}{x + 1}} = \dfrac{\dfrac{1}{(x + 1)^{2}}}{\dfrac{x}{x+ 1}}$

$= \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Suy ra $= \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

$f'(2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$f'(3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

…

$f'(2020) = \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021}$

Vậy $S = f'(1) + f'(2) + .... + f'(2020) = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Deltax}$ của hàm số $y = 3x +1$ theo x và $\Delta x$
- A.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =0$
- B.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =1$
- C.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =2$
- D.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Ta có:
$\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$
$\Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)$
$\Delta y = 3\Delta x$
$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin5x.\cos2x$ .
- A.
  $y'' = - 49\sin7x -9\sin3x$
- B.
  $y'' = 7.\cos7x +3.\cos3x$
- C.
  $y'' = \frac{7}{2}.\cos7x +\frac{3}{2}.\cos3x$
- D.
  $y'' = - \frac{49}{2}\sin7x -\frac{9}{2}\sin3x$
Ta có:

$y = \sin5x.\cos2x = \frac{1}{2}(\sin7x +\sin3x)$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{2}(7.\cos7x+ 3.\cos3x)$

$\Rightarrow y'' = \frac{1}{2}( -49\sin7x - 9\sin3x)$
Câu 8: Nhận biết
Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
- A.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trái tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- B.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm phải tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- C.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm −x₀.
- D.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
Dựa theo định lí:
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
=> Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số $y =f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.”
Câu 9: Vận dụng cao

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Đáp án là:

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)$

Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

$- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)$

$+ 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (3) ta có: $\left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $f(2) = 0$ thay vào (4) ta được 36 = 0

Với $f(2) = 2$ thay vào (4) ta được $- 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1$

Vậy $M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10$
Câu 10: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

Kết quả: 20 (m/s²)

Vận tốc tức thời là

$v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6$

Gia tốc tức thời của chất điểm là:

$a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7$

Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là $v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

$a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{mx^{3}}{3} - \frac{mx^{2}}{2} + (3 - m)x - 2$ . Tìm giá trị của m để $f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ ?
- A.
  $m \in \left\lbrack 0;\frac{12}{5} ightbrack$
- B.
  $m \in \left( 0;\frac{12}{5} ight)$
- C.
  $m \in \left\lbrack 0;\frac{12}{5} ight)$
- D.
  $m \in \left( 0;\frac{12}{5} ightbrack$
Ta có:

$f'(x) = mx^{2} - mx + (3 - m)$

Nếu $m = 0$ thì $f'(x) = 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Nếu $m eq 0$ thì $f'(x) = mx^{2} - mx + 3 - m$ là tam thức bậc hai

$f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m^{2} - 4m(3 - m) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 5m^{2} - 12m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 0 < m < \frac{12}{5} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $0 \leq m < \frac{12}{5}$
Câu 12: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R},f^{'}(x) = 0$ có đúng hai nghiệm $x = 1;x = 2$ . Hàm số $g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight)$ , có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \lbrack - 20;20brack$ để phương trình $g^{'}(x) = 0$ có nhiều nghiệm nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R},f^{'}(x) = 0$ có đúng hai nghiệm $x = 1;x = 2$ . Hàm số $g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight)$ , có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \lbrack - 20;20brack$ để phương trình $g^{'}(x) = 0$ có nhiều nghiệm nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Nhận biết
Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4}$ là:
- A.
  $y' = - \frac{1}{3} + 2x - 2x^{3}$
- B.
  $y' = - \frac{1}{3} + x - 2x^{3}$
- C.
  $y' = \frac{1}{3} + x - 2x^{3}$
- D.
  $y' = - \frac{1}{3} + 2x - x^{3}$
Ta có:

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4}$

$\Rightarrow y' = \left( \frac{1}{2} ight)' - \left( \frac{1}{3}x ight)' + \left( x^{2} ight)' - \left( 0,25x^{4} ight)'$

$y' = 0 - \frac{1}{3} + 2x^{2 - 1} - 4.0,25x^{4 - 1}$

$y' = - \frac{1}{3} + 2x - x^{3}$
Câu 14: Vận dụng cao
Trên đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{x +2}$ tại các điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?
- A.
  $\left( 1;\frac{4}{3}ight)$
- B.
  $\left( 1;\frac{4}{3} ight),( -1;2)$
- C.
  $(1; - 1)$
- D.
  $( - 3;0),( - 1;2)$
Ta có:
Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến $k = \pm1$ .
Ta có: $f'(x) = - \frac{1}{(x +2)^{2}}$
=> Hoành độ điểm thuộc đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của phương trình:
$- \frac{1}{(x + 2)^{2}} = - 1\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.$
Hai điểm thỏa mãn $( - 3;0),( -1;2)$
Câu 15: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $3x - y + 2 = 0$ ?
- A.
  $y = 3x + 3$
- B.
  $y = 3x - 2$
- C.
  $y = 3x + 14$
- D.
  $y = 3x + 5$
Ta có: $y' = \frac{3}{(x + 2)^{2}}$

Vì tiếp tuyến song song với $3x - y + 2 = 0$ nên hệ số góc bằng 3 nên gọi tọa độ tiếp điểm là $M\left( x_{0};y_{0} ight)$

Khi đó $y'\left( x_{0} ight) = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{\left( x_{0} + 2 ight)^{2}} = 3$

$\Leftrightarrow \left( x_{0} + 2 ight)^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow (d):y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2$

Với $x_{0} = - 3 \Rightarrow (d):y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14$
Câu 16: Nhận biết
Cho hàm số $y =f(x) = - 3\cos x$ . Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_{0} = \frac{\pi}{2}$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:

$y = f(x) = - 3\cos x$

$\Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x$

$\Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0$
Câu 17: Thông hiểu
Một vật chuyển động theo quy luật $s = -\frac{1}{2}t^{3} + 9t^{2}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
- A.
  $216\ \ (\ m/s)$ .
- B.
  $30 (\ m/s)$ .
- C.
  $400\ \ (\ m/s)$ .
- D.
  $54\ \ (\ m/s)$
Vận tốc tại thời điểm $t$ là $v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}t^{2} +18t$ với $t \in \lbrack0;10brack$ .
Ta có: $v'(t) = - 3t + 18 = 0\Leftrightarrow t = 6$ .
Suy ra: $v(0) = 0;v(10) = 30;v(6) =54$ .
Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng $54\ \ (m/s)$ .
Câu 18: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1}$ . Giá trị $f'(0) =$ 3

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1}$ . Giá trị $f'(0) =$ 3

Ta có: $f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| + 1}$

Mà $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{+}}\dfrac{3}{x + 1} = 3 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{-}}\dfrac{3}{1 - x} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{3}{|x| + 1} = 3$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| + 1} = 3$

$\Rightarrow f'(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = 3$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = (2m - 1)e^{x} + 3$ . Biết $f'( - \ln3) = \frac{5}{3}$ . Tính giá trị tham số $m$ ?
- A.
  $m = 3$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = - \frac{2}{3}$
- D.
  $m = - \frac{1}{2}$
Ta có:

$y = f(x) = (2m - 1)e^{x} + 3$

$\Rightarrow f'(x) = (2m - 1).e^{x}$

$\Rightarrow f'( - \ln3) = (2m -1).e^{- \ln3} = \frac{2m - 1}{e^{\ln3}} = \frac{2m - 1}{3}$

Mà $f'( - \ln3) = \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2m - 1}{3} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow m =3$
Câu 20: Vận dụng

Một vật chuyển động theo quy luật $s = -\frac{2}{3}t^{3} + 7t^{2} + 3$ với $t$ giây $(0 \leq t \leq 7)$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là $12\ m/s$ lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

Đáp án: 111

Đáp án là:

Một vật chuyển động theo quy luật $s = -\frac{2}{3}t^{3} + 7t^{2} + 3$ với $t$ giây $(0 \leq t \leq 7)$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là $12\ m/s$ lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

Đáp án: 111

Vận tốc của vật là: $v = s^{'} = - 2t^{2} + 14t$ .

Vận tốc của vật đạt $12m/s$ thì $- 2t^{2} + 14t = 12 \Leftrightarrow 2t^{2} - 14t + 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Vật đạt vận tốc là $12\ m/s$ lần thứ 2 khi $t = 6$ .

Lúc đó quãng đường vật đi được là:

$s(6) = - \frac{2}{3}.6^{4} + 7.6^{2} + 3 = 111$ (mét)
Câu 21: Nhận biết
Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là
- A.
  $y' = -5^{x}.\ln5$
- B.
  $y' =\frac{5^{x}}{\ln5}$
- C.
  $y' =5^{x}.\ln5$
- D.
  $y' = -\frac{5^{x}}{\ln5}$
Ta có: $\left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a$

$y = 5^{x} \Rightarrow y' =5^{x}.\ln5$
Câu 22: Nhận biết
Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol $y = x^{2}$ tại điểm có hoành độ $\frac{1}{2}$ .
- A.
  $k = 0$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = \frac{1}{4}$
- D.
  $k = - \frac{1}{2}$
Ta có:
$y'\left( \dfrac{1}{2} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\dfrac{f\left( \dfrac{1}{2} + \Delta xight) - f\left( \dfrac{1}{2} ight)}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x ightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + \Delta x ight)^{2} - \left( \dfrac{1}{2}ight)^{2}}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x ightarrow 0}(1 +\Delta x) = 1$
Câu 23: Nhận biết
Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $f''(x) = 2x + 6$
- B.
  $f''(x) = x^{2} + 6x$
- C.
  $f''(x) = x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $f''(x) = 2x + 3$
Ta có:

$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020$

$\Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6$
Câu 24: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$ . Kết quả đúng là:
- A.
  $f'(2) = 3$ .
- B.
  $f'(x) = 2$ .
- C.
  $f'(x) = 3$ .
- D.
  $f'(3) = 2$ .
Ta có $f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3$
Câu 25: Thông hiểu
Cho hàm số $y=sin2x-cos2x$ . Giải phương trình y" = 0
- A.
  $x=\pm\frac{\pi}{4}+ k2\pi,k\in \mathbb{Z}$
- B.
  $x=\frac{\pi}{8}+ k\frac{\pi}{2},k\in \mathbb{Z}$
- C.
  $x=\frac{\pi}{8}+ k2\pi,k\in \mathbb{Z}$
- D.
  $x=\pm\frac{\pi}{2}+ k\pi,k\in \mathbb{Z}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \sin 2x - \cos 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = 2\cos 2x + 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 4\sin 2x + 4\cos 2x \hfill \\ y'' = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 4\sin 2x + 4\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = \cos 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Nhận biết
Hàm số $f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ liên tục trên:
- A.
  $[-4;3]$
- B.
  $[-4;3)$
- C.
  $(-4;3]$
- D.
  $[-\infty ;-4]\cup [3;+\infty ]$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]$
Vậy hàm số liên tục trên $\left( { - 4;3} ight]$
Câu 27: Nhận biết
Cho $f$ là hàm số liên tục tại $x_{0}$ . Đạo hàm của $f$ tại $x_{0}$ là:
- A.
  $f(x_{0})$
- B.
  $\frac{f(x_{0}+h)-f.(x_{0})}{h}$
- C.
  $\underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
- D.
  $\underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
Đạo hàm của $f$ tại $x_{0}$ là $\underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
Câu 28: Thông hiểu
Cho hàm số xác định bởi công thức $y = x^{3} - 3x$ có đồ thị hàm số $(C)$ . Số các tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $y = 3x - 10$ là?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Ta có:

$y' = 3x^{2} - 3$

Gọi $A\left( x_{0};y_{0} ight)$ là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 3x - 10$ nên

$f'\left( x_{0} ight) = 3 \Rightarrow 3{x_{0}}^{2} - 3 = 3 \Rightarrow x_{0} = \pm \sqrt{2}$

Với $x_{0} = \sqrt{2} \Rightarrow y_{0} = - \sqrt{2}$ có phương trình tiếp tuyến tương ứng là $y = 3\left( x - \sqrt{2} ight) - \sqrt{2} = 3x - 4\sqrt{2}$

Với $x_{0} = - \sqrt{2} \Rightarrow y_{0} = \sqrt{2}$ có phương trình tiếp tuyến tương ứng là $y = 3\left( x + \sqrt{2} ight) + \sqrt{2} = 3x + 4\sqrt{2}$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 29: Thông hiểu
Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t) = t^{3} - 3t^{2} + 9t + 2$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  t = 1 s
- B.
  t = 2 s
- C.
  t = 3 s
- D.
  t = 6 s
Ta có $s'(t) = 3t^{2} - 6t +9$
Vận tốc của chất điểm
$v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t +9$
$\Rightarrow v(t) = 3(t - 1)^{2} + 6 \geq6$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1
Câu 30: Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2}x$ ?
- A.
  $y' = -2\cos2x$
- B.
  $y' = - 2\sin2x$
- C.
  $y'' =2\cos2x$
- D.
  $y'' =2\sin2x$
Ta có: $y = \cos^{2}x$

$\Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x$

$\Rightarrow y'' = -2\cos2x$
Câu 32: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$ . Giải phương trình $f'(x) + f''(x) = 0$ .
- A.
  $x = - 5$
- B.
  $x = 3$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = - 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có:

$y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{3}{(x - 1)^{2}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{6}{(x - 1)^{3}}$

Lại có:

$f'(x) + f''(x) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{(x - 1)^{2}} - \frac{6}{(x - 1)^{3}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x = 3(tm)$
Câu 33: Vận dụng
Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} +2$ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7
- A.
  y = 9x + 7; y = 9x – 25
- B.
  y = 9x – 25
- C.
  y = 9x − 7; y = 9x + 25
- D.
  y = 9x + 25
Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm
Ta tính được: $k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}$
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có k = 9
=> $3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 9\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\x_{0} = 3 \\\end{matrix} ight.$
Với x₀ = −1, ta có: $\left\{\begin{matrix}y_{0} = - 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.$
=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 7 (loại)
với x₀ = 3 thì $\left\{\begin{matrix}y_{0} = 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 25 (thỏa mãn)
Câu 34: Thông hiểu
Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại $t = 3(s)$ của một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình $S(t) = 2t^{3} + 6t^{2} - t$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét.
- A.
  $89m/s$
- B.
  $50m/s$
- C.
  $100m/s$
- D.
  $75m/s$
Ta có:

$v(t) = S'(t) = 6t^{2} + 12t - 1$

Vận tốc tức thời của chuyển động khi $t = 3(s)$ là:

$v(3) = 6.3^{2} + 12.3 - 1 = 89(m/s)$
Câu 35: Thông hiểu
Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Deltax}$ của hàm số $y = 3x +1$ theo x và $\Delta x$
- A.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =0$
- B.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \Delta x+ 2x$
- C.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \Delta x+ x$
- D.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \Deltax$
Ta có:
$\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$
$\Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)$
$\Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}$
Câu 36: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = 2{\sin ^2}x-\cos 2x + x$
- A.
  $y' = 4\sin x + \sin 2x + 1$
- B.
  $y' = 4\sin 2x + 1$
- C.
  $y' = 4\cos x + 2\sin 2x + 1$
- D.
  $y' = 4\sin x - 2\sin 2x + 1$
Ta có:
$\begin{matrix} y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + x \hfill \\ y = 1 - \cos 2x - \cos 2x + x \hfill \\ y = 1 - 2\cos 2x + x \hfill \\ \Rightarrow y' = 4\sin 2x + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \ln\left( \cos x ight)$ . Tính giá trị $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight)$ ?
- A.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = 0$
- B.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1$
- C.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = 1$
- D.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = \sqrt{2}$
Ta có:

$f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos x ight) ightbrack'$

$= \frac{\left( \cos x ight)'}{\cos x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x$

$\Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1$
Câu 38: Thông hiểu
Cho hàm số $y=-3x^{3}+3x^{2}-x+5$ . Tính giá trị của $y^{(3)}(2017)$
- A.
  ${y^{(3)}}(2017) = 0$
- B.
  $y^{(3)}(2017)=-2017$
- C.
  $y^{(3)}(2017)=2017$
- D.
  $y^{(3)}(2017)=-18$
Ta có:
$\begin{matrix} y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 9{x^2} + 6x - 1 \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 18x + 6 \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = - 18 \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( {2017} ight) = - 18 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Vận dụng
Cho hàm số $y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$ . Có bao nhiêu nghiệm thuộc $\lbrack 0;4\pibrack$ thỏa mãn phương trình $y'' = 0$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022$

$\Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021$

$\Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2$

Lại có $y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1$

$\Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}$

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 40: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight)$ . Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021)$ ?

Kết quả: $S =$ 2022/2023

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight)$ . Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021)$ ?

Kết quả: $S =$ 2022/2023

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Ta có:

$y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight)$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}$

Khi đó:

$S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021)$

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023}$

$S = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}$

38 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!