Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = (2x - 1)\sqrt{x^{2} + x}?

    Ta có:

    y = (2x - 1)\sqrt{x^{2} + x}

    \Rightarrow y' = 2\sqrt{x^{2} + x} + \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{2\sqrt{x^{2} + x}}

    = \frac{4x^{3} + 4x + 4x^{2} - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}} = \frac{8x^{2} + 4x - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 2021) = - 2021!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{3}{x^3} - (2m + 1){x^2} - mx - 4, có đạo hàm y'. Tìm tất cả các giá trị của m để  y' \geqslant 0 với \forall x \in \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}{x^3} - (2m + 1){x^2} - mx - 4 \hfill \\ y' = {x^2} - 2(2m + 1)x - m \hfill \\ \end{matrix}

    Để bất phương trình y' \geqslant 0 với \forall x \in \mathbb{R} ta có:

    \begin{matrix} \Delta ' \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} ight)^2} + m \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 5m + 1 \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

    Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x} . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình f'(x) \geq f(x) ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x} . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình f'(x) \geq f(x) ?

    Kết quả: 0

    Tập xác định: D = ( - \infty;0brack \cup \lbrack 2; + \infty)

    Ta có: f'(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}}

    Ta có:

    f'(x) \geq f(x)

    \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq \sqrt{x^{2} - 2x}

    \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 3x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq 0

    Với x \in ( - \infty;0) \cup (2; + \infty)

    Ta có:\frac{- x^{2} + 3x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x}} \geq 0

    \Leftrightarrow - x^{2} + 3x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left\lbrack \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 + \sqrt{5}}{2} ightbrack

    Kết hợp với điều kiện x \in ( - \infty;0) \cup (2; + \infty) ta có: x \in \left( 2;\frac{3 + \sqrt{5}}{2} ightbrack

    Mà x\mathbb{\in Z} nên suy ra x \in \varnothing

    Vậy không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\sqrt{x^{2}-1}. Đạo hàm f'(x) có tập xác định là:

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \sqrt {{x^2} - 1} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {\sqrt {{x^2} - 1} } ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    => Tập xác định của hàm số f'(x) là:

    {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có k = 9

    => 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 9\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\x_{0} = 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x0 = −1, ta có: \left\{\begin{matrix}y_{0} = - 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 7 (loại)

    với x0 = 3 thì \left\{\begin{matrix}y_{0} = 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 25 (thỏa mãn)

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight).

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - 3x +2 ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3).\cos\left( x^{2} - 3x + 2ight)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    a) Ta có: f'(x) = \left( x^{4} + 2\sqrt{x} ight)' = \left( x^{4} ight)' + \left( 2\sqrt{x} ight)'

    = 4x^{3} + 2.\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}

    b) Ta có

    y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2018} + 1 ight)'.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = 2018x^{2017}.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    c) Ta có: y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} ight)' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - \left( 2x^{2} - 3x ight)}{(x - 2)^{2}}

    = \frac{4x^{2} - 11x + 6 - 2x^{2} + 3x}{(x - 2)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}}

    Khi đó y' \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}} \leq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình có chứa 2 giá trị nguyên.

    d) Ta có:

    f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 4x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - 18;f'\left( x_{0} ight) = 20 nên ta có phương trình tiếp tuyến là:

    y = f'\left( x_{0} ight)\left( x - x_{0} ight) + y_{0}

    \Leftrightarrow y = 20(x + 2) - 18

    \Leftrightarrow y = 20x + 22.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Một vật rơi tự do theo phương trình s =\frac{1}{3}gt^{2}, trong đó g =9,8m/s^{2} là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + ∆t với ∆t = 0,001s.

    Ta có:

    v_{tb} = \frac{s(t + \Delta t) -s(t)}{\Delta t}

    \Rightarrow v_{tb} =\dfrac{\dfrac{1}{2}g(t + \Delta t)^{2} - \dfrac{1}{2}gt^{2}}{\Delta t}

    \Rightarrow v_{tb} = gt +\frac{1}{2}g\Delta t = 49,0049m/s

    Vậy vận tốc trung bình của chuyển động là 49,0049m/s.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính số gia của hàm số y = x^{3} + x^{2}+ 1 tại điểm x0 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f\left( x_{0} + 1ight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = \left\lbrack\left( x_{0} + 1 ight)^{3} + \left( x_{0} + 1 ight)^{2} + 1ightbrack - \left( {x_{0}}^{3} + {x_{0}}^{2} + 1ight)

    \Rightarrow \Delta y = 3{x_{0}}^{2} +5x_{0} + 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \cot \sqrt {{x^2} + 1}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ = \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số f(x)=\frac{x^{2}+x}{x-2} tại điểm x = 1

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{{x^2} + x}}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^2} + x} ight)'\left( {x - 2} ight) - \left( {{x^2} + x} ight)\left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x + 1} ight)\left( {x - 2} ight) - \left( {{x^2} + x} ight)}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2{x^2} - 4x + x - 2 - {x^2} - x}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( 1 ight) = \dfrac{{{1^2} - 4 - 2}}{{{{\left( {1 - 2} ight)}^2}}} = - 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} có đồ thị (C). Gọi tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3 là \Delta. Tìm hệ số góc của đường thẳng \Delta?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Với y = 3 \Rightarrow \frac{x + 1}{x - 1} = 3 \Rightarrow x = 2

    Ta có: y' = - \frac{2}{(x - 1)^{2}}

    Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là

    k = y'(2) = - \frac{2}{(2 - 1)^{2}} = - 2

  • Câu 22: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 24: Thông hiểu

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 5(s)?

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = 3t^{2} - 6t - 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = 6t + 6

    Tại thời điểm t = 5s thì gia tốc có giá trị là:

    a(5) = 6.5 - 6 = 24\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D;x_{0} \in D. Nếu tồn tại giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}} thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0}

    Vậy kết quả của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t = 0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left( \frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\ m + m + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ m = - 32 \\ n = 32 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = - 64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t = 0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left( km/h^{2} ight)

  • Câu 27: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2x - 1} tại x_{0} = - 1 bằng:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{1}{2x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) = - \frac{8}{27}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x - 1} tại điểm x_{0} = 1?

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x - 1)'}{2\sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{\left( \sqrt{2x - 1} ight)'}{2x - 1} = \frac{- 1}{(2x - 1)\sqrt{2x - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{(2x - 1)^{3}}}

    \Rightarrow f''(1) = - 1

  • Câu 29: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 30: Nhận biết

    Công thức đạo hàm của hàm số y = f(x) = 2^{3x + 1} là:

    Ta có:

    y = f(x) = 2^{3x + 1}

    \Rightarrow f'(x) = (3x +4)'.2^{3x + 4}.\ln2

    \Rightarrow f'(x) = 3.2^{3x +4}.\ln2

  • Câu 31: Nhận biết

    Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} - 6x^{2} + 5 tại điểm có hoành độ x_{0} = 2 là:

    Ta có: y' = 4x^{3} - 12x \Rightarrow y'(2) = 8

    \Rightarrow k = 8

  • Câu 32: Thông hiểu

    Xác định đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{x + 1}{4^{x}}?

    Ta có: y = f(x) = \frac{x + 1}{4^{x}}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \frac{x + 1}{4^{x}} ight)' = \frac{(x + 1)'.4^{x} - (x + 1).\left( 4^{x} ight)'}{\left( 4^{x} ight)^{2}}

    = \frac{4^{x} - (x +1).4^{x}.\ln4}{\left( 4^{x} ight)^{2}}

    = \frac{4^{x}(1 - x.\ln4 - \ln4)}{\left(4^{x} ight)^{2}}

    = \frac{1 - 2x\ln2 -2\ln2}{4^{x}}

    = \frac{1 - 2(x +1)\ln2}{2^{2x}}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{2}{x + 1}?

    Ta có:

    y = \frac{2}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2.2(x + 1)}{(x + 1)^{4}} = \frac{4}{(x + 1)^{3}}

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x + 1}{x - 1}. Gọi A;B là các điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Có bao nhiêu cặp điểm A;B thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta có: y' = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

    Giả sử A\left( x_{1};y_{1} ight);B\left( x_{2};y_{2} ight) với x_{1} eq x_{2}

    Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên y'\left( x_{1} ight) = y'\left( x_{2} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{\left( x_{1} - 1 ight)^{2}} = \frac{1}{\left( x_{2} - 1 ight)^{2}}

    \Leftrightarrow \left( x_{1} - 1 ight)^{2} = \left( x_{2} - 1 ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} - 1 = x_{2} - 1 \\ x_{1} - 1 = - x_{2} + 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 2

    Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A và B thỏa mãn x_{1} + x_{2} = 2 thì các tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{3x-4}{x+2}. Tìm x sao cho y" = 20

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 4}}{{x + 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {x + 2} ight) - \left( {3x - 4} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 10.2.\left( {x + 2} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' = 20,(xe-2) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} ight)^3} = - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu v = 196m/s từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Đáp án: 1960 (m)

    Đáp án là:

    Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu v = 196m/s từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Đáp án: 1960 (m)

    Ta có vận tốc tại thời điểm t là:

    v = y'(t) = v_{0} - 2.4,9.t = v_{0} - 9,8t = 196 - 9,8t

    v = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0\Leftrightarrow t = 20(s)

    Từ thời điểm t = 20\ s, viên đạn bắt đầu rơi. Khi đó, viên đạn cách mặt đất:

    y_{(20)} = 196.20 - 4,9.20^{2} = 1960(m)

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số y = {x^3} + 9{x^2} + 12x - 5

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 18x + 12 \hfill \\ \Rightarrow dy = \left( {3{x^2} - 18x + 12} ight)dx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 40: Vận dụng

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{2}{3}t^{3} + 7t^{2} + 3 với t giây (0 \leq t \leq 7) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12\ m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

    Đáp án: 111

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{2}{3}t^{3} + 7t^{2} + 3 với t giây (0 \leq t \leq 7) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12\ m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

    Đáp án: 111

    Vận tốc của vật là: v = s^{'} = - 2t^{2} + 14t.

    Vận tốc của vật đạt 12m/s thì - 2t^{2} + 14t = 12 \Leftrightarrow 2t^{2} - 14t + 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Vật đạt vận tốc là 12\ m/s lần thứ 2 khi t = 6.

    Lúc đó quãng đường vật đi được là:

    s(6) = - \frac{2}{3}.6^{4} + 7.6^{2} + 3 = 111 (mét)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 35 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập