Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3x-2}{2x+5} bằng biểu thức nào dưới đây? 

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{3x - 2}}{{2x + 5}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {3x - 2} ight)'\left( {2x + 5} ight) - \left( {3x - 2} ight).\left( {2x + 5} ight)'}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{3\left( {2x + 5} ight) - 2\left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} = \dfrac{{19}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) =
3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x =
6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 =
6

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2020)}. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0?.

    Ta có:

    Đặt g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x -
2020)

    Khi đó: f(x) =
\frac{x}{g(x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{x'g(x)
- g'(x).x}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(x)} -
x.\frac{g'(x)}{g^{2}(x)}

    \Rightarrow f'(0) = \frac{1}{g(0)} -
x.\frac{g'(0)}{g^{2}(0)} = \frac{1}{g(0)}

    = \frac{1}{( - 1)( - 2)...( - 2020)} =
\frac{1}{2020!}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -
\sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2
+ \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(
2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) =
\frac{1}{16}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 6: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} -
\sqrt{2x} + m^{2} (với m = const) là:

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} +
\frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} +
0

    \Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2}
- \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{2}{x + 1}?

    Ta có:

    y = \frac{2}{x + 1} \Rightarrow y' =
\frac{- 2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2.2(x +
1)}{(x + 1)^{4}} = \frac{4}{(x + 1)^{3}}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1}
ight)?

    Ta có:

    f'(x) = \left\lbrack \ln\left(\dfrac{x}{x + 1} ight) ightbrack' = \dfrac{\dfrac{1}{(x +1)^{2}}}{\dfrac{x}{x + 1}} = \dfrac{1}{x(x + 1)}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x_{0} = 1?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -
4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -
1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)

    Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x_{0}. Đạo hàm của f tại x_{0} là: 

    Đạo hàm của f tại x_{0} là \underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (nếu tồn tại giới hạn)

  • Câu 11: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} -
2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 =
10

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{3x + 1}{x + 2}?

    Ta có: y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 -
\frac{5}{x + 2}

    \Rightarrow y' = \frac{5}{(x +
2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x + 5}?

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{2}{2\sqrt{2x + 5}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}

    \Rightarrow f''(x) = -\dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{2x + 5}}}{2x + 5} = - \dfrac{1}{(2x + 5)\sqrt{2x +5}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{mx^{3}}{3} - \frac{mx^{2}}{2} + (3 - m)x - 2. Tìm giá trị của m để f'(x) > 0;\forall
x\mathbb{\in R}?

    Ta có:

    f'(x) = mx^{2} - mx + (3 -
m)

    Nếu m = 0 thì f'(x) = 3 > 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    Nếu m eq 0 thì f'(x) = mx^{2} - mx + 3 - m là tam thức bậc hai

    f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
\Delta < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
m^{2} - 4m(3 - m) < 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
5m^{2} - 12m < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
0 < m < \frac{12}{5} \\
\end{matrix} ight.

    Vậy 0 \leq m <
\frac{12}{5}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\
2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) =
f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) -
f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} -
x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} =
5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x +
5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x -
2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) =
0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5
ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5
ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x}
ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5
ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} -
\frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) =
- 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left(
x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow
y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} =
2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =
5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1)S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1)S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có: f'(x) = \frac{1 - x + x -
2}{(1 - x)^{2}} = \frac{- 1}{(1 - x)^{2}}

    Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M\left( x_{0};y_{0} ight) là:

    y - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} =
\frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( x - x_{0}
ight)

    Tiếp tuyến đi qua P(m,1) nên 1 - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{-
1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( m - x_{0} ight)

    \Leftrightarrow 2{x_{0}}^{2} - 6x_{0} +
m + 3 = 0;\left( x_{0} eq 1 ight)(*)

    Để có 1 tiếp tuyến đi qua P(m,1) suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm x_{0}
eq 1

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \Delta  = 0 \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  \Delta  > 0 \hfill \\
  2 - 6 + m + 3 = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  m = \frac{3}{2} \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  m < \frac{3}{2} \hfill \\
  m = 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  m = \frac{3}{2} \hfill \\
  m = 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Rightarrow S = \left\{ 1;\frac{3}{2}
ight\} \Rightarrow 1^{2} + \left( \frac{3}{2} ight)^{2} =
\frac{13}{4}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 9^{2x + 2}

    Ta có: f(x) = 9^{2x + 2}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 9^{2x +
1} ight)'

    \Rightarrow f'(x) = (2x +1)'.9^{2x + 1}.\ln9 = 2.9^{2x + 1}.\ln9

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai tại điểm x_{0} = - 1 của hàm số f(x) = \frac{1}{2x - 1}?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow
f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) =
\frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = -
\frac{8}{27}

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\  g'\left( x ight) =  - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix}  f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\   \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 1} \\   {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 3(s) của một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) =
2t^{3} + 6t^{2} - t, trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét.

    Ta có:

    v(t) = S'(t) = 6t^{2} + 12t -
1

    Vận tốc tức thời của chuyển động khi t =
3(s) là:

    v(3) = 6.3^{2} + 12.3 - 1 =
89(m/s)

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y =  - \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - \dfrac{1}{2}\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight).\left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight)\prime  \hfill \\   =  - 2x.\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\frac{x + 1}{x - 1} có đồ thị (C). Gọi tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3\Delta. Tìm hệ số góc của đường thẳng \Delta?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Với y = 3 \Rightarrow \frac{x + 1}{x - 1}
= 3 \Rightarrow x = 2

    Ta có: y' = - \frac{2}{(x -
1)^{2}}

    Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là

    k = y'(2) = - \frac{2}{(2 - 1)^{2}}
= - 2

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5
ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left\lbrack \left(
x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} ightbrack'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5
ight)\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}x^{2}\sqrt{x} -
\frac{5}{2\sqrt{x}} = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} -
\frac{5}{2\sqrt{x}}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 32: Vận dụng

    Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 2x đi qua điểm M( - 1;0)?

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M( -
1;0) có dạng y = a(x + 1) = ax + a\
\ \ (d)

    Đường thẳng (d) là tiếp tuyến khi hệ \left\{ \begin{matrix}
x^{3} - 3x^{2} + 2x = ax + a \\
3x^{2} - 6x + 2 = a \\
\end{matrix} ight. có nghiệm

    Dễ thấy hệ phương trình có ba nghiệm (a;x) phân biệt nên có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} -
2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x
\Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 36: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\   \Rightarrow y' =  - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y =  - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn phương trình f''(x) = 0?

    Ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow
f''(x) = 6x - 6

    Ta có:

    f''(x) = 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 = 0
\Leftrightarrow x = 1(tm)

    Khi đó f'(1) = - 3 \Rightarrow M(1; -
1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

    y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Leftrightarrow 3x + y - 2 =
0

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}{\text{  }};0 < x < 4} \\ 
  {m{\text{          }};x = 0} \\ 
  {\dfrac{n}{x}{\text{         }};x \geqslant 4} 
\end{array}} ight.. Biết hàm số liên tục trên nửa khoảng \lbrack 0; + \infty). Tích của mn bằng bao nhiêu?

    Tập xác định D = \lbrack 0; +
\infty)

    Hàm số liên tục trên \lbrack 0; +
\infty) nên ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow
0^{+}}\frac{x}{x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} =
\frac{1}{4}

    f(0) = m

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{4} \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\
  f\left( 4 ight) = \dfrac{n}{4} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \\\dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \ = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow m.n = \dfrac{1}{2}

  • Câu 39: Nhận biết

    Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

    Dựa theo định lí:

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    => Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 40: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(t)=\frac{t+\tan t}{t-1} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(t) = \dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}} \hfill \\   \Rightarrow f\prime (t) = \left( {\dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f\prime (t) = \dfrac{{\left( {t + \tan t} ight)'\left( {t - 1} ight) - \left( {t - 1} ight)'\left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + 1 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {2 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 39 lượt xem
Sắp xếp theo