Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\tan x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y = \tan x \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    Khi đó ta có:

    y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1

    = \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 0

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1 theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)

    \Delta y = 3\Delta x

    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 4: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2x - 1} tại x_{0} = - 1 bằng:

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{1}{2x -
1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x -
1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x
- 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) = -
\frac{8}{27}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y =
x^{2} - x + 2. Tính y'(1)?

    Ta có: y = x^{2} - x + 2

    \Rightarrow y' = 2x - 1

    \Rightarrow y'(1) = 2.1 - 1 =
1

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6)
+ ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6)
+ ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Với x \in \lbrack 0; + \infty) ta có: \left\{ \begin{matrix}
x + 1 > 0 \\
x + 4 > 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x > - 1 \\
x > - 4 \\
\end{matrix} ight.

    f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4}
ight) = \ln(x + 1) - \ln(x + 4)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x + 1}
- \frac{1}{x + 4}

    Khi đó:

    T = f'(0) + f'(3) + f'(6) +
... + f'(2019)

    P = \left( 1 - \frac{1}{4} ight) +
\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) + \left( \frac{1}{7} -
\frac{1}{10} ight) + ... + \left( \frac{1}{2020} - \frac{1}{2023}
ight)

    P = 1 - \frac{1}{2023} =
\frac{2022}{2023}

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 8: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in
R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y =
x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x +
2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} +
2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} -
24x

  • Câu 9: Nhận biết

    Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

    Dựa theo định lí:

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    => Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x -
1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x -
1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1
= - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\
\ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} =
\frac{5}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( \cos x ight). Tính giá trị f'\left( - \frac{\pi}{4} ight)?

    Ta có:

    f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos
x ight) ightbrack'

    = \frac{\left( \cos x ight)'}{\cos
x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x

    \Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4}
ight) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho f(x) = (x -
3)^{6} . Khi đó f''(2)
= 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x -
3)^{6} . Khi đó f''(2)
= 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x -
3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x -
3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 -
3)^{4} = 30

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{3x + 5}{- 1 + 2x}. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{3x + 5}{- 1 +
2x}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(3x +
5)'( - 1 + 2x) - ( - 1 + 2x)'(3x + 5)}{( - 1 +
2x)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{3(2x - 1)
- 2(3x + 5)}{( - 1 + 2x)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 13}{( -
1 + 2x)^{2}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = sin^{3}x. Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sin^{3}x

    \Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x

    \Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x

    Khi đó

    y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x

    = 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x

    \Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) =
\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} . Biết f'(x) = \frac{ax + b}{\left( x^{2} + 1
ight)\sqrt{x^{2} + 1}},\forall x . Tính giá trị biểu thức S = 2a + b ?

    Kết quả: 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} . Biết f'(x) = \frac{ax + b}{\left( x^{2} + 1
ight)\sqrt{x^{2} + 1}},\forall x . Tính giá trị biểu thức S = 2a + b ?

    Kết quả: 3

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} +
1}}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \frac{x -
1}{\sqrt{x^{2} + 1}} ight)'

    = \frac{(x - 1)'\sqrt{x^{2} + 1} -
\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)'(x - 1)}{\left( \sqrt{x^{2} + 1}
ight)^{2}}

    = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - (x -1).\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1}

    = \frac{x^{2} + 1 - x^{2} + x}{\left(
x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}

    = \frac{x + 1}{\left( x^{2} + 1
ight)\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S = 2a + b = 2.1 + 1 =
3

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} -
\frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x +
1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} +
x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} +
3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
a = 3 \\
b = 6 \\
c = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 4

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho đường cong có phương trình y=\frac{2x-1}{x+1}. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 0:

    Ta có: 

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \left( {\dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}} ight)\prime  \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x - 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {y'\left( 0 ight) = 3} \\   {y\left( 0 ight) =  - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyền tại điểm có hoành độ bằng 0 là: y = 3x - 1

    Dễ thấy phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{3}x-6 (vì tích hai hệ số góc bằng -1).

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số y =\sin2x.\cos x. Xác định giá trị y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)

    \Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)

    \Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)

    \Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6}
ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) +
\sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left(
3^{4} - \frac{1}{2} ight)

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t^{2}+t, trong đó t tính bằng giây (s) và Q được tính theo culông (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

    Ta có:

    Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s là:

    \begin{matrix}  I = Q'\left( t ight) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{Q\left( t ight) - Q\left( 4 ight)}}{{t - 4}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {2{t^2} + t} ight) - \left( {{{2.4}^2} + 4} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {t - 4} ight)\left( {2t + 9} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} ight) = 2.4 + 9 = 17 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x)=\frac{2x}{x-1} tại điểm x = -1

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{{2x}}{{x - 1}} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {2x} ight)'\left( {x - 1} ight) - \left( {2x} ight).\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x.1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}ax^{2} + bx + 1;x \geq 0 \\ax - b - 1;x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} =0. Hãy tính T = a + 2b

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2}+ bx + 1 ight) = 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1)= - b - 1 \\\end{matrix} ight.

    Để hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 thì hàm số phải liên tục tại x0 = 0 nên:

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Rightarrow - b - 1 = 1 \Rightarrow b =- 2

    Khi đó: f(x) = \left\{ \begin{matrix}ax^{2} - 2x + 1;x \geq 0 \\ax + 1;x < 0 \\\end{matrix} ight.. Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -f(0)}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2}- 2x + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -f(0)}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1- x}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) = a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 thì a = - 2

    Vậy với a = - 2;b = - 2 thì hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó T = - 6

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} =
2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -
x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) =
2

  • Câu 26: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) -
f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} -
x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} =
5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x +
5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x -
2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) =
0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5
ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5
ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x}
ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5
ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} -
\frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) =
- 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left(
x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow
y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} =
2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =
5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số: y = \sqrt {{x^2} - 4{x^3}}

     Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} } ight)\prime \hfill \\   = \dfrac{{\left( {{x^2} - 4{x^3}} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\   = \dfrac{{2x - 12{x^2}}}{{2\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\   = \dfrac{{x - 6{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4{x^3}} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 +
3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \
\ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\
- 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f(2) = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow
f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 =
10

  • Câu 29: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} -
2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 =
10

  • Câu 30: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3x-2}{2x+5} bằng biểu thức nào dưới đây? 

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{3x - 2}}{{2x + 5}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {3x - 2} ight)'\left( {2x + 5} ight) - \left( {3x - 2} ight).\left( {2x + 5} ight)'}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{3\left( {2x + 5} ight) - 2\left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} = \dfrac{{19}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} =
1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} +
2

    \Rightarrow y''(x) = 6x
\Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính số gia của hàm số y = x^{3} + x^{2}+ 1 tại điểm x0 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f\left( x_{0} + 1ight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = \left\lbrack\left( x_{0} + 1 ight)^{3} + \left( x_{0} + 1 ight)^{2} + 1ightbrack - \left( {x_{0}}^{3} + {x_{0}}^{2} + 1ight)

    \Rightarrow \Delta y = 3{x_{0}}^{2} +5x_{0} + 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\sqrt{2x - x^{2}}. Tính giá trị của biểu thức T = y^{3}.y''?

    Ta có: y = \sqrt{2x - x^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{1 -
x}{\sqrt{2x - x^{2}}} \Rightarrow y'' = \frac{- 1}{\left(
\sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}}

    \Rightarrow T = y^{3}.y'' =
\left( \sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}.\frac{- 1}{\left( \sqrt{2x - x^{2}}
ight)^{3}} = - 1

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} =
3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow
2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

  • Câu 35: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow
y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left(
x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = -
\frac{2}{x^{3}}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x+1}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } ight)'}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - \dfrac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}}{{{x^2} - x + 1}} \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - 2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} \left( {{x^2} - x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{3x}{|x| + 1} . Giá trị f'(0) = 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{3x}{|x| + 1} . Giá trị f'(0) = 3

    Ta có: f'(0) = \lim_{x ightarrow
0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| +
1}

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{+}}\dfrac{3}{x + 1} = 3 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{-}}\dfrac{3}{1 - x} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{3}{|x| + 1} =
3

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
0}\frac{3}{|x| + 1} = 3

    \Rightarrow f'(0) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = 3

  • Câu 38: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(t)=\frac{t+\tan t}{t-1} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(t) = \dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}} \hfill \\   \Rightarrow f\prime (t) = \left( {\dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f\prime (t) = \dfrac{{\left( {t + \tan t} ight)'\left( {t - 1} ight) - \left( {t - 1} ight)'\left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + 1 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {2 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn phương trình f''(x) = 0?

    Ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow
f''(x) = 6x - 6

    Ta có:

    f''(x) = 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 = 0
\Leftrightarrow x = 1(tm)

    Khi đó f'(1) = - 3 \Rightarrow M(1; -
1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

    y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Leftrightarrow 3x + y - 2 =
0

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \ln2021 + \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight). Tính giá trị biểu thức:

    S = f'(1) + f'(2) + .... +
f'(2020)

    Ta có:

    f'(x) = \dfrac{\left( \dfrac{x}{x + 1}ight)'}{\dfrac{x}{x + 1}} = \dfrac{\dfrac{1}{(x + 1)^{2}}}{\dfrac{x}{x+ 1}}

    = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} -
\frac{1}{x + 1}

    Suy ra = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x}
- \frac{1}{x + 1}

    f'(2) = \frac{1}{2} -
\frac{1}{3}

    f'(3) = \frac{1}{3} -
\frac{1}{4}

    f'(2020) = \frac{1}{2020} -
\frac{1}{2021}

    Vậy S = f'(1) + f'(2) + .... +
f'(2020) = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 39 lượt xem
Sắp xếp theo