Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho f(x) = (x +
10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x +
10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x +
10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 +
10)^{4} = 622080

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

    Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 4: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 5: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 6: Thông hiểu

    Biết \left(
\frac{3 - 2x}{\sqrt{4x - 1}} ight)' = \frac{ax - b}{(4x -
1)\sqrt{4x - 1}};\forall x > \frac{1}{4}. Tính tỉ số \frac{a}{b}?

    Với \forall x >
\frac{1}{4}

    \left( \frac{3 - 2x}{\sqrt{4x - 1}}
ight)' = \frac{(3 - 2x)'\sqrt{4x - 1} - \left( \sqrt{4x - 1}
ight)'(3 - 2x)}{4x - 1}

    = \frac{- 2\sqrt{4x - 1} - \frac{6 -
4x}{\sqrt{4x - 1}}}{4x - 1} = \frac{- 4x - 4}{(4x - 1)\sqrt{4x -
1}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 4 \\
b = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \frac{a}{b} = - 1

  • Câu 7: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\   \Rightarrow y' =  - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y =  - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} -
\frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x +
1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} +
x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} +
3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
a = 3 \\
b = 6 \\
c = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 4

  • Câu 11: Thông hiểu

    Biết \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3}  \hfill \\
  f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Đáp án là:

    Biết \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3}  \hfill \\
  f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x +
3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{\left(
x^{2} - 2x + 3 ight)'}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} = \frac{2x -
2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}

    = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}
\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M = a.b = - 1

  • Câu 12: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 6^{x}

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 6^{x} \Rightarrow y' =6^{x}.\ln6

  • Câu 13: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in
R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y =
x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x +
2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} +
2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} -
24x

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t =
0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left(
\frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
\frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\
m + m + c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
m = - 32 \\
n = 32 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = -
64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t =
0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left(
km/h^{2} ight)

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Ta có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f'(x) = \left\{
\begin{matrix}
2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = -
4

    Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow
b = 2

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow
0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x(x - 1)(x
- 2)(x - 3)...(x - 1000) - 0}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x(x
- 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 1000) = ( -
1)^{1000}.1000! = 1000!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
e^{2x} + 2e^{- x}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{-
x}

    \Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x}
- 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' =
(y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' -
y'' = 2y'

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - 3x} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight) \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight).\left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight)\prime  \hfill \\   =  - 3\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y =x.\cos x. Hệ thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    y = x.\cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - x\sin
x

    \Rightarrow y'' = - 2\sin x -x\cos x

    \Rightarrow y'' + y = - 2\sin x -x\cos x + x\cos x = - 2\sin x

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} + 9t + 2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?

    Ta có s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    Vận tốc của chất điểm

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    \Rightarrow v(t) = 3(t - 1)^{2} + 6 \geq6

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan3x - \cot3x.

    Ta có:

    y =\tan3x - \cot3x

    \Rightarrow y' = \frac{3}{\cos^{2}3x}+ \frac{3}{\sin^{2}3x} = \frac{3}{\sin^{2}3x.\cos^{2}3x}

    = \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}\sin^{2}6x} =\dfrac{12}{\sin^{2}6x}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hàm số y =
x^{3} - 2x + 1. Có thể viết được bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d)

    Gọi phương trình chắn cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân tại O có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

    \Rightarrow y = b\left( 1 - \frac{x}{a}
ight) = - \frac{b}{a} + b;\left( a,b eq 0;|a| = |b|
ight)(d)

    M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d) khi đó:

    3{x_{0}}^{2} - 2 = -
\frac{b}{a}

    |a| = |b| \Rightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
3{x_{0}}^{2} - 2 = 1 \\
3{x_{0}}^{2} - 2 = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 0 \\\begin{matrix}x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 2 \\x_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 - 5\sqrt{3}}{9}\\x_{0} = - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 + 5\sqrt{3}}{9}\\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau:

    y = 1(x - 1) + 0 \Rightarrow y = x -
1

    y = 1(x - 1) + 2 \Rightarrow y = x +
3

    y = - 1\left( x - \frac{\sqrt{3}}{3}
ight) + \frac{9 - 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = x + \frac{9 -
2\sqrt{3}}{9}

    y = - 1\left( x + \frac{\sqrt{3}}{3}
ight) + \frac{9 + 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = - x + \frac{9 +
2\sqrt{3}}{9}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} có dạng y'' = \frac{a}{(x - 1)^{3}} +
\frac{b}{(x + 2)^{3}}. Tính giá trị biểu thức T = a + b.

    Ta có:

    y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} =
\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{1}{(x -
1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x -
1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 2 \\
b = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = a + b = 4

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2\sqrt{2}x^{2}+8x-1, có đao hàm là f'(x). Tập hợp những giá trị của x để f'(x) = 0 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 \hfill \\  f'\left( x ight) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {x - 2\sqrt 2 } ight)^2} = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2  \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tập nghiệm của phương trình là S=\left\{ {2\sqrt 2 } ight\}

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 31: Vận dụng

    Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 2x đi qua điểm M( - 1;0)?

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M( -
1;0) có dạng y = a(x + 1) = ax + a\
\ \ (d)

    Đường thẳng (d) là tiếp tuyến khi hệ \left\{ \begin{matrix}
x^{3} - 3x^{2} + 2x = ax + a \\
3x^{2} - 6x + 2 = a \\
\end{matrix} ight. có nghiệm

    Dễ thấy hệ phương trình có ba nghiệm (a;x) phân biệt nên có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số y =
\log x. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \left( \log_{a}x ight)' =\frac{1}{x\ln a}

    \Rightarrow y' =\frac{1}{x\ln10}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho parabol y=x^{2}+3x+2. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

     Ta có:

    \begin{matrix}  y = {x^2} + 3x + 2 \hfill \\   \Rightarrow y' = 2x + 3 \hfill \\   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {y'\left( 1 ight) = 5} \\   {y\left( 1 ight) = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 6) là:

    y = 5\left( {x - 1} ight) + 6 hay y = 5x + 1

    Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x + 2 và vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{5}x-3.

    Mặt khác ta có: - 1 e 5\left( {0 - 1} ight) + 6 = 1

    Vậy tiếp tuyến không đi qua điểm N(0; -1).

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số y =
\sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' =
0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} +
2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x +
\cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x
- \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow
\sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x -
\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x -
\frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} =
\frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} +
k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack
\Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{(x+1)^{3}}. Giải bất phương trình y" < 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^3}}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{{3.4.{{\left( {x + 1} ight)}^3}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^8}}} = \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix}  y'' < 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} < 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^5} < 0,\left( {{\text{Do }}12 > 0} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow x <  - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x^{2} + 2} là:

    Ta có:

    y = 2^{x^{2} + 2}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2ight)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2

    = 2x.2^{x^{2} + 2}.ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{2} + 2x
ight).e^{x}

    \Rightarrow y' = (2x + 2)e^{x} +
\left( x^{2} + 2x ight)e^{x} = \left( x^{2} + 4x + 2
ight)e^{x}

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = x
- \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 1. Biểu thức nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = x - \frac{1}{\sqrt{x}} -
\frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 1

    \Rightarrow y' = 1 +
\frac{1}{2\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{3\sqrt[4]{x^{4}}}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =
2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là Dx_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow
6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 49 lượt xem
Sắp xếp theo