Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Ta có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f'(x) = \left\{
\begin{matrix}
2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = -
4

    Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow
b = 2

  • Câu 3: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 4: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} =
1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} +
2

    \Rightarrow y''(x) = 6x
\Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y =
1000^{2 - x}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y = 1000^{2 - x}

    \Rightarrow y' = (2 -
x)'.1000^{2 - x}.ln1000

    \Rightarrow y' = - 1000^{2 -x}.\ln1000

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai tại điểm x_{0} = - 1 của hàm số f(x) = \frac{1}{2x - 1}?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow
f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) =
\frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = -
\frac{8}{27}

  • Câu 7: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m - 1 (với m là tham số) là:

    Ta có:

    f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m -
1

    f'(x) = 4x^{3} - 8mx

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{mx^{3}}{3} - \frac{mx^{2}}{2} + (3 - m)x - 2. Tìm giá trị của m để f'(x) > 0;\forall
x\mathbb{\in R}?

    Ta có:

    f'(x) = mx^{2} - mx + (3 -
m)

    Nếu m = 0 thì f'(x) = 3 > 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    Nếu m eq 0 thì f'(x) = mx^{2} - mx + 3 - m là tam thức bậc hai

    f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
\Delta < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
m^{2} - 4m(3 - m) < 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
5m^{2} - 12m < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
0 < m < \frac{12}{5} \\
\end{matrix} ight.

    Vậy 0 \leq m <
\frac{12}{5}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 10: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng \frac{1}{\sqrt{2x}}?

    Ta có:

    f'(x) = \left( \sqrt{2x}
ight)' = \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x -
1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x -
1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1
= - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\
\ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} =
\frac{5}{2}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x - 1}{x - 1}. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho \frac{OA}{OB} = 4?

    Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm M\left( x_{0};y_{0} ight) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho \frac{OA}{OB} =
4.

    Do tam giác OAB vuông tại O nên \tan\widehat{A} = \frac{OB}{OA} =
\frac{1}{4}

    Suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng \pm
\frac{1}{4}

    Hệ số góc tiếp tuyến là y'\left(
x_{0} ight) = \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} <
0

    \Rightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1
ight)^{2}} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4} \\x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết \left(
\frac{3 - 2x}{\sqrt{4x - 1}} ight)' = \frac{ax - b}{(4x -
1)\sqrt{4x - 1}};\forall x > \frac{1}{4}. Tính tỉ số \frac{a}{b}?

    Với \forall x >
\frac{1}{4}

    \left( \frac{3 - 2x}{\sqrt{4x - 1}}
ight)' = \frac{(3 - 2x)'\sqrt{4x - 1} - \left( \sqrt{4x - 1}
ight)'(3 - 2x)}{4x - 1}

    = \frac{- 2\sqrt{4x - 1} - \frac{6 -
4x}{\sqrt{4x - 1}}}{4x - 1} = \frac{- 4x - 4}{(4x - 1)\sqrt{4x -
1}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 4 \\
b = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \frac{a}{b} = - 1

  • Câu 17: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=x\cos2x-\frac{\sin3x}{x} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = x\cos 2x - \dfrac{{\sin 3x}}{x} \hfill \\   \Rightarrow y' = x'\cos 2x + x\left( {\cos 2x} ight)\prime  - \left( {\dfrac{{\sin 3x}}{x}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \cos 2x + x.\left( { - 2\sin 2x} ight) - \dfrac{{3x\cos 3x - \sin 3x}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)
= \left\{ \begin{matrix}
(x - 1)^{2}\ \ khi\ x \geq 0 \\
- x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0} = 0?

    Ta có:

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}(x - 1)^{2} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}\left( - x^{2} ight) = 0

    Suy ra f(0) = \lim_{x ightarrow
0^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Nên hàm số không liên tục tại x_{0} =
0

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số y =
f(x) tại điểm x_{0} =
0.

  • Câu 19: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\log\left( x^{2} - 2x + m + 1 ight) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho xác định trên tập số thực?

    Để hàm số có tập xác định D\mathbb{=
R} khi và chỉ khi x^{2} - 2x - m +
1 > 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \Delta' <
0

    \Leftrightarrow ( - 1)^{2} - 1(m + 1)
< 0 \Leftrightarrow m > 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:y = \frac{x +
1}{\sqrt{x}}

    \Rightarrow y' = \frac{(x +
1)'.\sqrt{x} - \left( \sqrt{x} ight)'(x + 1)}{\left( \sqrt{x}
ight)^{2}}

    = \dfrac{\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+ 1)}{x} = \dfrac{\dfrac{2x - x - 1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{x -1}{2x\sqrt{x}}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\   = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} =  - \frac{1}{2}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho f(x) = (x -
3)^{6} . Khi đó f''(2)
= 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x -
3)^{6} . Khi đó f''(2)
= 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x -
3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x -
3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 -
3)^{4} = 30

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{(x+1)^{3}}. Giải bất phương trình y" < 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^3}}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{{3.4.{{\left( {x + 1} ight)}^3}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^8}}} = \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix}  y'' < 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} < 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^5} < 0,\left( {{\text{Do }}12 > 0} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow x <  - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x -2)....(x - 2019)}. Tính giá trị của f’(0)

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{(x -1)(x - 2)....(x - 2019)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{( -1).( - 2)....( - 2019)} = \frac{- 1}{2019!}

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4}
+ ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... +
2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} +
C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} +
C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x +
1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... +
2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) =
2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x +
...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} +
2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) =
2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} +
2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 =
2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} -
2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) +
f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} +
4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}
ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} =
2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... +
2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} =
S

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered}
  \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} ight)x - 2}}{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{\text{   khi }}x > 1 \hfill \\
  8 + {a^2}{\text{                       khi }}x \leqslant 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số liên tục tại điểm x = 1?

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) =
f(1) = 8 + a^{2}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} - (a - 2)x - 2}{\sqrt{x + 3} -
2}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\dfrac{(x -1)(ax + 2)}{\dfrac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
(ax + 2)\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight) ightbrack

    = 4a + 8

    Hàm số liên tục tạo x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow 4a + 8 = 8 + a^{2}
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 0 \\
a = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y =
\log x. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \left( \log_{a}x ight)' =\frac{1}{x\ln a}

    \Rightarrow y' =\frac{1}{x\ln10}

  • Câu 29: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = \frac{x + 2}{x + 5m} có đạo hàm dương trên ( - \infty; - 10)?

    Tập xác định D = ( - \infty;5m) \cup ( -
5m; + \infty)

    Ta có:

    y' = \frac{5m - 2}{(x +
5m)^{2}}

    Theo yêu cầu của đề bài

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5m - 2 > 0 \\
- 10 \leq - 5m \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq m \leq
2

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in
\left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{12}t^{4} -
t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28 (m/s)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{12}t^{4} -
t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28 (m/s)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = \frac{1}{3}t^{3} -
3t^{2} + 12t + 10

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = t^{2} - 6t + 12 = (t
- 3)^{2} + 3 \geq 3

    Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3. Khi đó vận tốc của chất điểm là v(3) = \frac{1}{3}.(3)^{3} -
3.(3)^{2} + 12.3 + 10 = 28(m/s)

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y=\frac{1}{x^{2}-1}. Tính giá trị của y^{(3)}(2)

     \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\   = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\   = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} =  - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y =\sin2x. Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = \sin2x

    \Rightarrow y' =2.\cos2x

    \Rightarrow y'' = -4.\sin2x

    Khi đó khẳng định đúng là: 4y +
y'' = 0

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n) với n \in\mathbb{N}^{*}. Tính f'(0).

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{x^{2} + 2x + 3}{x + 2}?

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + 2x + 3}{x + 2} = x +\frac{3}{x + 2}

    \Rightarrow y' = 1 + \frac{3}{(x +
2)^{2}}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \sqrt {{x^2} + 2}

     Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left[ {\sin \sqrt {{x^2} + 2} } ight] \prime \hfill \\   \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 2} } ight)'.\cos \sqrt {{x^2} + 2}  \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {{x^2} + 2}  \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) =
3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x =
6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 =
6

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\sqrt{2x - x^{2}}. Tính giá trị của biểu thức T = y^{3}.y''?

    Ta có: y = \sqrt{2x - x^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{1 -
x}{\sqrt{2x - x^{2}}} \Rightarrow y'' = \frac{- 1}{\left(
\sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}}

    \Rightarrow T = y^{3}.y'' =
\left( \sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}.\frac{- 1}{\left( \sqrt{2x - x^{2}}
ight)^{3}} = - 1

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} =
2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -
x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) =
2

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo