Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số y =5\sin x - 3\cos x. Chọn biểu thức đúng?

    Ta có:

    y = 5\sin x - 3\cos x

    \Rightarrow y' = (5\sin x -3\cos x)' = 5\cos x + 3\sin x

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{2}{1+x}. Tính giá trị của y^{(3)}(1)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Vận dụng

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Đáp án là:

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1

    Dễ thấy hàm số v(t) là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số a = - 3 < 0

    Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là t = 3 \in \lbrack 0;5brack

    Do đó v_{\max} = v(3) = 28

    Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là 28m/s

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y=\frac{x(1-3x)}{x+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{x(1 - 3x)}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 3{x^2}}}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {x - 3{x^2}} ight)'\left( {x + 1} ight) - \left( {x - 3{x^2}} ight)\left( {x + 1} ight)'}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {1 - 6x} ight)\left( {x + 1} ight) - \left( {x - 3{x^2}} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{x + 1 - 6{x^2} - 6x - x + 3{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3{x^2} - 6x + 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) = f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x} trên tập số thực.

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    y = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}\Rightarrow y' = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}.\ln\left( 2 -\sqrt{3} ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{\left( 2 +\sqrt{3} ight)^{x}}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)

    \Rightarrow y' = \left( 2 + \sqrt{3}ight)^{- x}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)

  • Câu 10: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x_{0}. Đạo hàm của f tại x_{0} là: 

    Đạo hàm của f tại x_{0} là \underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (nếu tồn tại giới hạn)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \tan x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y = \tan x \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    Khi đó ta có:

    y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1

    = \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 0

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sin x + \cos x. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;3\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sin x + \cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - \sin x

    \Rightarrow y'' = - \sin x - \cos x

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x = 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}

    Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=2x^{2}+16cosx-cos2x. Tính giá trị của f"(\pi)

    Ta có: 

    \begin{matrix} f(x) = 2{x^2} + 16cosx - cos2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( \pi ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0(*)

    Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

    - f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}g'(x) + 36 = 0(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (1) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2)f'(2) + 36 = 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0  thay vào (2) ta được 36 = 0 (loại)

    Với f(2) = 2 thay vào (2) ta được:

    - 36.f'(2) + 36 = 0 \Leftrightarrow f'(2) = 1

    Vậy H = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 16: Vận dụng

    Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5 trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

    Ta có: a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6

    Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là a(10) = 54m/s^{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y =\sin2x. Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = \sin2x

    \Rightarrow y' =2.\cos2x

    \Rightarrow y'' = -4.\sin2x

    Khi đó khẳng định đúng là: 4y + y'' = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'} = - 3sint.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có: f'(x) = \frac{1 - x + x - 2}{(1 - x)^{2}} = \frac{- 1}{(1 - x)^{2}}

    Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M\left( x_{0};y_{0} ight) là:

    y - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( x - x_{0} ight)

    Tiếp tuyến đi qua P(m,1) nên 1 - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( m - x_{0} ight)

    \Leftrightarrow 2{x_{0}}^{2} - 6x_{0} + m + 3 = 0;\left( x_{0} eq 1 ight)(*)

    Để có 1 tiếp tuyến đi qua P(m,1) suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm x_{0} eq 1

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \Delta = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ 2 - 6 + m + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow S = \left\{ 1;\frac{3}{2} ight\} \Rightarrow 1^{2} + \left( \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{13}{4}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) - 0}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 1000) = ( - 1)^{1000}.1000! = 1000!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 21: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = \sqrt {3 + 2\tan x} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có: 

    \begin{matrix} y = \sqrt {3 + 2\tan x} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \dfrac{1}{{2\sqrt {3 + 2\tan x} }}.\left( {3 + 2\tan x} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{1}{{2\sqrt {3 + 2\tan x} }}.\dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3 + 2\tan x} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Xác định hệ số góc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x + 1}{2x - 3} tại điểm có hoành độ x_{0} = - 1?

    TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3}{2} ight\}

    Ta có: f'(x) = \frac{- 5}{(2x - 3)^{2}}

    Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_{0} = - 1 là:

    f'(-1) = \frac{- 5}{\left\lbrack 2.(- 1) - 3 ightbrack^{2}} = - \frac{1}{5}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho parabol y=x^{2}+3x+2. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

     Ta có:

    \begin{matrix} y = {x^2} + 3x + 2 \hfill \\ \Rightarrow y' = 2x + 3 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y'\left( 1 ight) = 5} \\ {y\left( 1 ight) = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 6) là:

    y = 5\left( {x - 1} ight) + 6 hay y = 5x + 1

    Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x + 2 và vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{5}x-3.

    Mặt khác ta có: - 1 e 5\left( {0 - 1} ight) + 6 = 1

    Vậy tiếp tuyến không đi qua điểm N(0; -1).

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}.

    Ta có: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}

    \Rightarrow y' = 8x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4} là:

    Ta có:

    y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{1}{2} ight)' - \left( \frac{1}{3}x ight)' + \left( x^{2} ight)' - \left( 0,25x^{4} ight)'

    y' = 0 - \frac{1}{3} + 2x^{2 - 1} - 4.0,25x^{4 - 1}

    y' = - \frac{1}{3} + 2x - x^{3}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} - x. Tập nghiệm của bất phương trình y' \geq 0 là:

    Ta có:

    y = \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} - x

    \Rightarrow y' = x^{2} - 4x - 5

    \Rightarrow y' \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4x - 5 \geq 0

    \Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 1brack \cup \lbrack 5; + \infty)

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Đáp án là:

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = - 6t + 6

    Gia tốc triệt tiêu khi a = 0 \Rightarrow S'' = 0 \Rightarrow t = 1

    Khi đó vận tốc của chuyển động là S'(1) = 12m/s

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{(x+1)^{3}}. Giải bất phương trình y" < 0

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{3.4.{{\left( {x + 1} ight)}^3}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^8}}} = \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^5} < 0,\left( {{\text{Do }}12 > 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    Và \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 36: Nhận biết

    Tìm khẳng định đúng dưới đây?

    Ta có

    \left( \sqrt{x} ight)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

    (x)' = 1

    \left( \frac{1}{x} ight)' = - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính số gia của hàm số y =\frac{x^{2}}{2} tại điểm x0 = -1 ứng với số gia \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f( - 1 + \Deltax) - f( - 1)

    \Rightarrow \Delta y = \frac{( - 1 +\Delta x)^{2}}{2} - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \Delta y = \frac{1 - 2\Deltax + (\Delta x)^{2}}{2} - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \Delta y =\frac{1}{2}(\Delta x)^{2} - \Delta x

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{4} - 2x^{2} + m - 2 với m là tham số. Gọi S là tập các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số (C) có đúng 1 tiếp tuyến song song với trục hoành. Tổng các phần tử có trong tập S là:

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4x

    Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc tiếp tuyến k = 0

    Gọi tiếp điểm là M\left( x_{0};y_{0} ight) \in (C) khi đó y'\left( x_{0} ight) = 4{x_{0}}^{3} - 4x_{0} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = m - 2 \\ x_{0} = \pm 1 \Rightarrow y_{0} = m - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Để có đúng 1 tiếp tuyến song song với trục hoàn thì

    \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m - 3 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} m = 3 \\ m - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m eq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} m = 3 \\ m eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2;m = 3

    Vậy tổng các giá trị m là 5.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập