Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} ight)}^2}}}{x} tại điểm x=4 ứng với \Delta x=0,002

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{x} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{1}{{x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( 4 ight) = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \Rightarrow df\left( 4 ight) = f'\left( 4 ight)\Delta x = \dfrac{1}{{16}}.0,002 = \dfrac{1}{{800}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - \dfrac{1}{2}\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight).\left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight)\prime \hfill \\ = - 2x.\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 4: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018 .

    Kết quả: S = 2017/2018

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018 .

    Kết quả: S = 2017/2018

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018}

    S = 1 - \frac{1}{2018} = \frac{2017}{2018}

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3x-2}{2x+5} bằng biểu thức nào dưới đây? 

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 2}}{{2x + 5}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {3x - 2} ight)'\left( {2x + 5} ight) - \left( {3x - 2} ight).\left( {2x + 5} ight)'}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{3\left( {2x + 5} ight) - 2\left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} = \dfrac{{19}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình chuyển động là S = 2t^{2} + t - 1(m) . Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 9m/s

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình chuyển động là S = 2t^{2} + t - 1(m) . Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 9m/s

    Ta có:

    S = 2t^{2} + t - 1(m)

    \Rightarrow v = S' = 4t + 2

    Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s là: v(2) = 4.2 + 1 = 9(m/s)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \frac{x}{\sqrt{x+4}-2} với xeq 0 xác định và liên tục trên (-4;+\infty). Tính f(0).

    Do hàm số xác định và liên tục trên (-4;+\infty)

    => Hàm số liên tục tại x= 0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 4} - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}}{{\left( {\sqrt {x + 4} - 2} ight)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight) = 4 \hfill \\ \mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t = 0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left( \frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\ m + m + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ m = - 32 \\ n = 32 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = - 64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t = 0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left( km/h^{2} ight)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} + 2\sqrt{x} là: f'(x) = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}} .Đúng||Sai

    b) Công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight) là y' = - 2018x^{2017}\cos\left( x^{1018} + 1 ight)Sai||Đúng

    c) Tập nghiệm của bất phương trình y' \leq 0 với y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} có chứa 2 phần tử là số nguyên. Đúng||Sai

    d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 tại điểm x_{0} = - 2 có phương trình là: y = 20x + 10 . Sai||Đúng

    a) Ta có: f'(x) = \left( x^{4} + 2\sqrt{x} ight)' = \left( x^{4} ight)' + \left( 2\sqrt{x} ight)'

    = 4x^{3} + 2.\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x^{3} + \frac{1}{\sqrt{x}}

    b) Ta có

    y = \sin\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2018} + 1 ight)'.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    \Rightarrow y' = 2018x^{2017}.cos\left( x^{2018} + 1 ight)

    c) Ta có: y = \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{2x^{2} - 3x}{x - 2} ight)' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - \left( 2x^{2} - 3x ight)}{(x - 2)^{2}}

    = \frac{4x^{2} - 11x + 6 - 2x^{2} + 3x}{(x - 2)^{2}} = \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}}

    Khi đó y' \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{2} - 8x + 6}{(x - 2)^{2}} \leq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình có chứa 2 giá trị nguyên.

    d) Ta có:

    f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 4x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = - 18;f'\left( x_{0} ight) = 20 nên ta có phương trình tiếp tuyến là:

    y = f'\left( x_{0} ight)\left( x - x_{0} ight) + y_{0}

    \Leftrightarrow y = 20(x + 2) - 18

    \Leftrightarrow y = 20x + 22.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{3x + 1}{x + 2}?

    Ta có: y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 - \frac{5}{x + 2}

    \Rightarrow y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} - \frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} = \frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1010.2021 - 1 \\ n = 2020.2021 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = - 2

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động biến đổi đều được biểu thị bởi phương trình S(t) = 2t^{3} + 4t^{2} - 2t + 4,(t > 0) với t được tính bằng giây và S(t) tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 4s?

    Vận tốc của chất điểm là:

    v(t) = S'(t) = - 2 + 8t + 6t^{2}

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = 8 + 12t

    Tại thời điểm t = 4s gia tốc của chất điểm là:

    a(4) = 8 + 12.4 = 56\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆: 4x − 3y = 0 bằng \frac{3}{5}.

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y_{0} = k\left( x - x_{0} ight)

    => Tiếp tuyến d có một vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n_{d}} = ( - k;1)

    Đường thẳng \Delta có một vecto pháp tuyến là: \overrightarrow{n_{\Delta}} =(4; - 3)

    Theo đề bài ta có:

    \cos(d;\Delta) = \frac{| - 4k -3|}{\sqrt{k^{2} + 1}.\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}k = 0 \\k = - \dfrac{24}{7} \\\end{matrix} ight.

    Với k = - \frac{24}{7}ta có: 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = -\frac{24}{7} (vô nghiệm)

    Với k = 0 ta có: 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 0 \\x_{0} = 2 \\\end{matrix} ight.

    Nếu x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} =2=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 2 = 0 => y = 2

    Nếu x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = -2=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y + 2 = 0 => y = -2

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( \cos x + m^{2} + 1 ight). Biết f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}. Xác định giá trị của tham số m?

    Ta có:

    f'(x) = \frac{- \sin x}{\cos x + 1 + m^{2}}

    Lại có: f'\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{1}{5}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{1 + m^{2}} = - \frac{1}{5} \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)?

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight) ightbrack'

    = \left( x^{2} - 3x + 2ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3)\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

  • Câu 22: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số: y=4\sqrt{x}-\frac{5}{x}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 4\sqrt x - \dfrac{5}{x} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{4}{{2\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0); trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 10(m)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0); trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 10(m)

    Vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = 3t^{2} - 6t + 5

    Dễ thấy v(t) = 3t^{2} - 6t + 5 = 3(t - 1)^{2} + 2 \geq 2 với mọi t.

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 1

    Khi đó quãng đường vật đi được là: S(1) = 1^{3} - 3.1^{2} + 5.1 + 7 = 10m

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\\end{matrix} ight.. Biết hàm số có đạo hàm tại x = 2. Giá trị của a^{2} + b^{2} bằng:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{3}- x^{2} - 8x + 10 ight) = - 2

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =f(2) = 4 + 2a + b

    Để hàm số có liên tục tại x = 1 thì:

    4 + 2a + b = - 2

    Xét \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x)- f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\left(x^{3} - x^{2} - 8x + 10 ight) - (4 + 2a + b)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{3}- x^{2} - 8x + 12}{x - 2} = 0

    Và \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\left(x^{2} + ax + b ight) - (4 + 2x + b)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 2 + a)= 4 + a

    Từ đó suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4;b = 2

    Vậy a^{2} + b^{2} = 20

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    Và \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 27: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(x) = \left( x^{2} + 1 ight)^{4} tại x = - 1 bằng bao nhiêu?

    Kết quả: -64||- 64

    Đáp án là:

    Đạo hàm của hàm số f(x) = \left( x^{2} + 1 ight)^{4} tại x = - 1 bằng bao nhiêu?

    Kết quả: -64||- 64

    Ta có:

    f(x) = \left( x^{2} + 1 ight)^{4}

    \Rightarrow f'(x) = 4\left( x^{2} + 1 ight)^{3}.\left( x^{2} + 1 ight)' = 8x\left( x^{2} + 1 ight)^{3}

    \Rightarrow f'(1) = - 8(1 + 1)^{3} = - 64

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho parabol y=x^{2}+3x+2. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

     Ta có:

    \begin{matrix} y = {x^2} + 3x + 2 \hfill \\ \Rightarrow y' = 2x + 3 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y'\left( 1 ight) = 5} \\ {y\left( 1 ight) = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 6) là:

    y = 5\left( {x - 1} ight) + 6 hay y = 5x + 1

    Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x + 2 và vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{5}x-3.

    Mặt khác ta có: - 1 e 5\left( {0 - 1} ight) + 6 = 1

    Vậy tiếp tuyến không đi qua điểm N(0; -1).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = sin^{3}x. Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sin^{3}x

    \Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x

    \Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x

    Khi đó

    y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x

    = 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x

    \Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = −2.

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{3} - 3x^{2} + 2 = - 2

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\\end{matrix} ight.

    Với x = −1, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'(1) = 9 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7

    Với x = 2, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'( - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2

  • Câu 31: Thông hiểu

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c. Tính giá trị biểu thức M = a + b + c?

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 8

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) = f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 35: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x}}} với x \in (0;\pi)?

    Ta có:

    y = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\cos^{2}\frac{x}{2}}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\cos^{2}\frac{x}{4}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{x}{4}} = \sqrt{\cos^{2}\frac{x}{8}} =\cos\frac{x}{8}

    \Rightarrow y' = \left( \cos\frac{x}{8} ight)' = - \frac{1}{8}\sin\frac{x}{8}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} + 9t + 2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?

    Ta có s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    Vận tốc của chất điểm

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    \Rightarrow v(t) = 3(t - 1)^{2} + 6 \geq6

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 là f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1) là S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1) là S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x - 1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x - 1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1 = - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\ \ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Đáp án là:

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = - 6t + 6

    Gia tốc triệt tiêu khi a = 0 \Rightarrow S'' = 0 \Rightarrow t = 1

    Khi đó vận tốc của chuyển động là S'(1) = 12m/s

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 38 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập