Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2 (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20\ m/s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 54,2 m

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động theo quy luật s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2 (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20\ m/s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 54,2 m

    Ta có: v(t) = s'(t) = t^{2} - 3t + 10.

    Khi vận tốc của vật đạt 20\ m/s ta có:

    t^{2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t^{2} - 3t - 10 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 5 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vì t > 0 nên nhận t = 5(s).

    Lúc đó quảng đường vật đi được là: s(5) - s(0) = \frac{337}{6} - 2 \approx 54,2m

  • Câu 3: Nhận biết

    Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

    Dựa theo định lí:

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    => Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - 2x + 1 có đồ thị (C). Xác định phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A\left( 1;\frac{1}{3} ight)?

    Ta có: y' = x^{2} + 2x - 2 \Rightarrow y'(1) = 1

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A\left( 1;\frac{1}{3} ight) là:

    y = y'(1)(x - 1) + \frac{1}{3} = x - 1 + \frac{1}{3} = x - \frac{2}{3}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y=\frac{1}{x^{2}-1}. Tính giá trị của y^{(3)}(2)

     \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2020)}. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0?.

    Ta có:

    Đặt g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2020)

    Khi đó: f(x) = \frac{x}{g(x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{x'g(x) - g'(x).x}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(x)} - x.\frac{g'(x)}{g^{2}(x)}

    \Rightarrow f'(0) = \frac{1}{g(0)} - x.\frac{g'(0)}{g^{2}(0)} = \frac{1}{g(0)}

    = \frac{1}{( - 1)( - 2)...( - 2020)} = \frac{1}{2020!}

  • Câu 8: Nhận biết

    Công thức nào sau đây biểu diễn đúng đạo hàm của hàm số y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)?

    Ta có: y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack \ln\left( 1 - x^{2} ight) ightbrack'

    = \frac{- 2x}{1 - x^{2}} = \frac{2x}{x^{2} - 1}

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x -2)....(x - 2019)}. Tính giá trị của f’(0)

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{(x -1)(x - 2)....(x - 2019)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{( -1).( - 2)....( - 2019)} = \frac{- 1}{2019!}

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - 3x} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight) \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight).\left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight)\prime \hfill \\ = - 3\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = e^{2x} + 2e^{- x}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x} - 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' = (y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' - y'' = 2y'

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\cos^{2}x. Giá trị của f'(\frac{\pi}{6}) bằng: 

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {\cos ^2}x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {{{\cos }^2}x} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = 2\cos x.\left( { - \sin x} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - \sin 2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = - \sin \left( {2.\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left( x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn phương trình f''(x) = 0?

    Ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    Ta có:

    f''(x) = 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1(tm)

    Khi đó f'(1) = - 3 \Rightarrow M(1; - 1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

    y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1 , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s) bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 108 m/s2

    Đáp án là:

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1 , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s) bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 108 m/s2

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t - 3

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a(t) = 24t^{2} + 12

    Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc có giá trị là:

    a(2) = 24.(2)^{2} + 12 = 108\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    Và \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\frac{1-3x+x^{2}}{x-1}. Giải bất phương trình f'(x) > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{x - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {1 - 3x + {x^2}} ight)'\left( {x - 1} ight) - \left( {1 - 3x + {x^2}} ight)\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( { - 3 + 2x} ight)\left( {x - 1} ight) - \left( {1 - 3x + {x^2}} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3x + 3 + 2{x^2} - 2x - 1 + 3x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} ight)}^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f'(x) > 0 khi và chỉ khi x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 ight \}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = \frac{t^{3}}{3} - 2t^{2} + 3t - 5; trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm t = 4(s) thì vận tốc tức thời của chuyển động bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    v(t) = S'(t) = t^{2} - 4t + 3

    Vận tốc tức thời của chuyển động khi t = 4(s) là:

    v(4) = 4^{2} - 4.4 + 3 = 3(m/s)

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}

    \Rightarrow y' = (2x + 2)e^{x} + \left( x^{2} + 2x ight)e^{x} = \left( x^{2} + 4x + 2 ight)e^{x}

  • Câu 23: Nhận biết

    Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) = 196 - 4,9t^{2} trong đó t > 0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Vận tốc của viên đạn v(t) = s_{0}(t) =196 - 9,8t

    Ta có:

    \begin{matrix}v(t) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \hfill \\\Leftrightarrow t = 20 \hfill\\\end{matrix}

    Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng là:

    h = s(20) = 196.20 - 4,9.20^{2} =1960m

    Vậy tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất 1960m.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \tan x. Tính y''\left( \frac{\pi}{4} ight) thu được kết quả là:

    Ta có:

    y = \tan x

    \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^{2}x}= 1 + \tan^{2}x

    \Rightarrow y' = \left( 1 + \tan^{2}xight)' = 2\tan x.\left( \tan x ight)'

    = 2\tan x.\left( 1 + \tan^{2}xight)

    \Rightarrow y''\left(\frac{\pi}{4} ight) = 2\tan\left( \frac{\pi}{4} ight).\left\lbrack 1+ \tan^{2}\left( \dfrac{\pi}{4} ight) ightbrack = 2.1.(1 + 1) =4

  • Câu 25: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 26: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = \frac{x + 2}{x + 5m} có đạo hàm dương trên ( - \infty; - 10)?

    Tập xác định D = ( - \infty;5m) \cup ( - 5m; + \infty)

    Ta có:

    y' = \frac{5m - 2}{(x + 5m)^{2}}

    Theo yêu cầu của đề bài

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5m - 2 > 0 \\ - 10 \leq - 5m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq m \leq 2

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1 tại điểm x = -1

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = - 4.{\left( { - 1} ight)^3} + 12.{\left( { - 1} ight)^2} - 6.\left( { - 1} ight) + 2 \hfill \\ f'\left( { - 1} ight) = 4 + 12 + 6 + 2 = 24 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{2} - x + 2. Tính y'(1)?

    Ta có: y = x^{2} - x + 2

    \Rightarrow y' = 2x - 1

    \Rightarrow y'(1) = 2.1 - 1 = 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = - \frac{1}{2}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n) với n \in\mathbb{N}^{*}. Tính f'(0).

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!

  • Câu 32: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có: f'(x) = \frac{1 - x + x - 2}{(1 - x)^{2}} = \frac{- 1}{(1 - x)^{2}}

    Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M\left( x_{0};y_{0} ight) là:

    y - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( x - x_{0} ight)

    Tiếp tuyến đi qua P(m,1) nên 1 - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( m - x_{0} ight)

    \Leftrightarrow 2{x_{0}}^{2} - 6x_{0} + m + 3 = 0;\left( x_{0} eq 1 ight)(*)

    Để có 1 tiếp tuyến đi qua P(m,1) suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm x_{0} eq 1

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \Delta = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ 2 - 6 + m + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow S = \left\{ 1;\frac{3}{2} ight\} \Rightarrow 1^{2} + \left( \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{13}{4}

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0); trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 10(m)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0); trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 10(m)

    Vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = 3t^{2} - 6t + 5

    Dễ thấy v(t) = 3t^{2} - 6t + 5 = 3(t - 1)^{2} + 2 \geq 2 với mọi t.

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 1

    Khi đó quãng đường vật đi được là: S(1) = 1^{3} - 3.1^{2} + 5.1 + 7 = 10m

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Biết f(x) = \cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2} ight)

    …

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a + \frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\left | x-2 ight |. Khẳng định nào sau đây là sai?

    Ta có: f(2)= 0 (đúng)

    f(x) = \left| {x - 2} ight| \geqslant 0,\forall x => Hàm số nhận giá trị không âm

    Ta lại có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2{\text{ khi }}x \geqslant 2} \\ {2 - x{\text{ khi }}x < 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2 - x} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 2 ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f\left( 2 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số liên tục tại x = 2

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy không tồn tại giới hạn \frac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} khi x tiến tới 2

    Vậy khẳng định sai là "f(x) có đạo hàm tại x = 2"

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn f''\left( x_{0} ight) = 0 là:

    Ta có:

    y = x^{3} - 3x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    \Rightarrow f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Khi đó f'(1) = 3 \Rightarrow M(1; - 1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; - 1) là: y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Rightarrow y = - 3(x - 1) - 1 \Rightarrow 3x + y - 2 = 0

  • Câu 40: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập