Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}. Giải phương trình f'(x) + f''(x) = 0.

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{2x + 1}{1 -
x}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{(x -
1)^{2}} \Rightarrow f''(x) = - \frac{6}{(x -
1)^{3}}

    Lại có:

    f'(x) + f''(x) =
0

    \Leftrightarrow \frac{3}{(x - 1)^{2}} -
\frac{6}{(x - 1)^{3}} = 0

    \Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = 1
\Leftrightarrow x = 3(tm)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left(
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' =
ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} -
\frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x +
1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} +
x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} +
3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
a = 3 \\
b = 6 \\
c = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 4

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\\end{matrix} ight.. Biết hàm số có đạo hàm tại x = 2. Giá trị của a^{2} + b^{2} bằng:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{3}- x^{2} - 8x + 10 ight) = - 2

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =f(2) = 4 + 2a + b

    Để hàm số có liên tục tại x = 1 thì:

    4 + 2a + b = - 2

    Xét \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x)- f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\left(x^{3} - x^{2} - 8x + 10 ight) - (4 + 2a + b)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{3}- x^{2} - 8x + 12}{x - 2} = 0

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\left(x^{2} + ax + b ight) - (4 + 2x + b)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 2 + a)= 4 + a

    Từ đó suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4;b = 2

    Vậy a^{2} + b^{2} = 20

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}&{{\text{ khi }}x > 1} \\   {x - 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 1} \end{array}} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    f\left( { - 2} ight) =  - 2 - 1 =  - 3

  • Câu 5: Thông hiểu

    Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{- x + 1}{3x - 2} tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là:

    Ta có: y' = \frac{- 1}{(3x -
2)^{2}}

    Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là M\left( 0;\frac{- 1}{2} ight)

    Vậy hệ số góc cần tìm là k = y'(0) =
- \frac{1}{4}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -
\sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2
+ \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(
2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) =
\frac{1}{16}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x - 1}{x - 1}. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho \frac{OA}{OB} = 4?

    Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm M\left( x_{0};y_{0} ight) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho \frac{OA}{OB} =
4.

    Do tam giác OAB vuông tại O nên \tan\widehat{A} = \frac{OB}{OA} =
\frac{1}{4}

    Suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng \pm
\frac{1}{4}

    Hệ số góc tiếp tuyến là y'\left(
x_{0} ight) = \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} <
0

    \Rightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1
ight)^{2}} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4} \\x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x)g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x =
0 với \forall x\mathbb{\in
R} .

    Giá trị biểu thức H =
3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x)g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x =
0 với \forall x\mathbb{\in
R} .

    Giá trị biểu thức H =
3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}g(x) + 36x = 0(*)

    Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

    - f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 +
3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}g'(x) + 36 =
0(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (1) \\
- 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2)f'(2) + 36 = 0\ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (1) ta có: \left\lbrack \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f(2) = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0  thay vào (2) ta được 36 = 0 (loại)

    Với f(2) = 2 thay vào (2) ta được:

    - 36.f'(2) + 36 = 0 \Leftrightarrow
f'(2) = 1

    Vậy H = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 =
10

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = k\sqrt[3]{x} +
\sqrt{x}. Với giá trị nào của k thì f^{'}(1) = \frac{3}{2} ?

    Ta có: f(x) = k.\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} =
k.x^{\frac{1}{3}} + \sqrt{x}.

    f^{'}(x) = \frac{k}{3}x^{-
\frac{2}{3}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{k}{3\sqrt[3]{x^{2}}} +
\frac{1}{2\sqrt{x}}.

    Để f'(1) = \frac{3}{2}
\Leftrightarrow \frac{k}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow
k = 3.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} có dạng y'' = \frac{a}{(x - 1)^{3}} +
\frac{b}{(x + 2)^{3}}. Tính giá trị biểu thức T = a + b.

    Ta có:

    y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} =
\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{1}{(x -
1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x -
1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 2 \\
b = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = a + b = 4

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số y=\frac{1}{x^{2}-1}. Tính giá trị của y^{(3)}(2)

     \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\   = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\   = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} =  - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y=\frac{x(1-3x)}{x+1}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{x(1 - 3x)}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 3{x^2}}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {x - 3{x^2}} ight)'\left( {x + 1} ight) - \left( {x - 3{x^2}} ight)\left( {x + 1} ight)'}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{\left( {1 - 6x} ight)\left( {x + 1} ight) - \left( {x - 3{x^2}} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{x + 1 - 6{x^2} - 6x - x + 3{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{ - 3{x^2} - 6x + 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x)=t^{2}x+tx^{2} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {t^2}x + t{x^2} \hfill \\   \Rightarrow f\prime \left( x ight) = \left( {{t^2}x + t{x^2}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = {t^2} + 2tx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = \frac{x + 2}{x + 5m} có đạo hàm dương trên ( - \infty; - 10)?

    Tập xác định D = ( - \infty;5m) \cup ( -
5m; + \infty)

    Ta có:

    y' = \frac{5m - 2}{(x +
5m)^{2}}

    Theo yêu cầu của đề bài

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5m - 2 > 0 \\
- 10 \leq - 5m \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq m \leq
2

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in
\left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2. Tìm giá trị biểu thức H =
\lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}?

    Do hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 nên suy ra

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) -
f(2)}{x - 2} = f'(2)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) -
xf(2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow
2}\frac{2f(x) - 2f(2) + 2f(2) - xf(2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow
2}\frac{2\left\lbrack f(x) - f(2) ightbrack}{x - 2} - \lim_{x
ightarrow 2}\frac{f(2)(x - 2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = 2f'(2) -
f(2)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =\frac{x^{2}}{2} tương ứng với số gia \Delta x của đối số x tại x_{0} =- 1\frac{1}{2}(\Delta x)^{2} -\Delta xĐúng||Sai

    b) Đạo hàm của hàm số y = \frac{x(1 -3x)}{x + 1} bằng biểu thức \frac{3x^{2} - 6x - 1}{(x + 1)^{2}}. Sai||Đúng

    c) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{3} -3x^{2} + 1 âm khi và chỉ khi x \in(0;2). Đúng||Sai

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2};x \in\left\lbrack 0;\frac{\pi}{4} ightbrack song song với đường thẳng y = - \frac{1}{2}(x + 1)y = \frac{x}{12} + \frac{\pi}{12}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =\frac{x^{2}}{2} tương ứng với số gia \Delta x của đối số x tại x_{0} =- 1\frac{1}{2}(\Delta x)^{2} -\Delta xĐúng||Sai

    b) Đạo hàm của hàm số y = \frac{x(1 -3x)}{x + 1} bằng biểu thức \frac{3x^{2} - 6x - 1}{(x + 1)^{2}}. Sai||Đúng

    c) Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{3} -3x^{2} + 1 âm khi và chỉ khi x \in(0;2). Đúng||Sai

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2};x \in\left\lbrack 0;\frac{\pi}{4} ightbrack song song với đường thẳng y = - \frac{1}{2}(x + 1)y = \frac{x}{12} + \frac{\pi}{12}. Sai||Đúng

    a) Với số gia của đối số x tại x_{0} = -1 ta có:

    \Delta y = \frac{(1 + \Delta x)^{2}}{2}- \frac{1}{2} = \frac{1 + (\Delta x)^{2} + 2\Delta x}{2} -\frac{1}{2}

    = \frac{1}{2}(\Delta x)^{2} + \Deltax

    b) Ta có: y = \frac{- 3x^{2} + x}{x +1}

    \Rightarrow y' = \frac{\left( -3x^{2} + x ight)'(x + 1) - \left( - 3x^{2} + x ight)(x +1)'}{(x + 1)^{2}}

    = \frac{( - 6x + 1)(x + 1) - \left( -3x^{2} + x ight)}{(x + 1)^{2}}

    = \frac{- 6x^{2} - 6x + x + 1 + 3x^{2} -x}{(x + 1)^{2}}

    = \frac{- 3x^{2} - 6x + 1}{(x +1)^{2}}

    c) Ta có: f'(x) = 3x^{2} -6x

    f'(x) < 0 \Rightarrow 3x^{2} - 6x< 0 \Leftrightarrow x \in (0;2).

    d) Ta có:

    f'(x) = - \sin x

    Tiếp tuyến song song với đường thẳng y =- \frac{1}{2}(x + 1)

    \Rightarrow f'\left( x_{0} ight) =- \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{4}ightbrack \Rightarrow x = \frac{\pi}{6};y = 0 \Rightarrow y = -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{3}{x^3} - (2m + 1){x^2} - mx - 4, có đạo hàm y'. Tìm tất cả các giá trị của m để  y' \geqslant 0 với \forall x \in \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{3}{x^3} - (2m + 1){x^2} - mx - 4 \hfill \\  y' = {x^2} - 2(2m + 1)x - m \hfill \\ \end{matrix}

    Để bất phương trình y' \geqslant 0 với \forall x \in \mathbb{R} ta có:

    \begin{matrix}  \Delta ' \leqslant 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} ight)^2} + m \leqslant 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 4{m^2} + 5m + 1 \leqslant 0 \hfill \\   \Leftrightarrow m \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{4}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} =
2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b
ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -
1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\sqrt{2x - x^{2}}. Tính giá trị của biểu thức T = y^{3}.y''?

    Ta có: y = \sqrt{2x - x^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{1 -
x}{\sqrt{2x - x^{2}}} \Rightarrow y'' = \frac{- 1}{\left(
\sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}}

    \Rightarrow T = y^{3}.y'' =
\left( \sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}.\frac{- 1}{\left( \sqrt{2x - x^{2}}
ight)^{3}} = - 1

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} =
2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -
x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) =
2

  • Câu 26: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

    Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = 2\cos {x^2}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = 2\cos {x^2} \hfill \\   \Rightarrow y' = \left( {{x^2}} ight)'.2.\left[ { - \sin \left( {{x^2}} ight)} ight] \hfill \\   =  - 4x\sin \left( {{x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f(x) =
\frac{2x}{x - 1}. Tính đạo hàm của hàm số đã cho?

    Ta có:f(x) = \frac{2x}{x -
1}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{(2x)'(x - 1) - (x - 1)'(2x)}{(x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x - 1) -
2x}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

  • Câu 29: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - x \geqslant 0} \\   {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 3} \\   {x >  - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 30: Thông hiểu

    Đạo hàm của biểu thức f(x) = \sqrt{2 - 3x^{2}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{2 - 3x^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \sqrt{2 -
3x^{2}} ight)' = \frac{\left( 2 - 3x^{2} ight)'}{2\sqrt{2 -
3x^{2}}}

    = \frac{- 6x}{2\sqrt{2 - 3x^{2}}} =
\frac{- 3x}{\sqrt{2 - 3x^{2}}}

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} -
2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x
\Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 32: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=2x^{5}-3x^{4}+0,5x^{2}-\frac{3x}{2}-4 bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = 2{x^5} - 3{x^4} + 0,5{x^2} - \dfrac{{3x}}{2} - 4 \hfill \\   \Rightarrow y' = 10{x^4} - 12{x^3} + x - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} là f'(x_{0}). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề sai là f'(x_{0})=\underset{x \to x_{0}}{lim}\frac{f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x-x_{0}}

  • Câu 34: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t)
= 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'}
= - 3sint.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 4t^{3} - 10t + 9,(t
> 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 2m/s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 12t^{2} -
10

    v(t) = 2 \Leftrightarrow 12t^{2} - 10 =
2

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t = - 1(ktm) \\
t = 1(tm) \\
\end{matrix} ight.

    a(t) = S''(t) = v'(t) =
\left( 12t^{2} - 10 ight)' = 24t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 2 là

    a(1) = 24.1 = 24\left( m/s^{2}
ight)

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}{\text{  }};0 < x < 4} \\ 
  {m{\text{          }};x = 0} \\ 
  {\dfrac{n}{x}{\text{         }};x \geqslant 4} 
\end{array}} ight.. Biết hàm số liên tục trên nửa khoảng \lbrack 0; + \infty). Tích của mn bằng bao nhiêu?

    Tập xác định D = \lbrack 0; +
\infty)

    Hàm số liên tục trên \lbrack 0; +
\infty) nên ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow
0^{+}}\frac{x}{x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} =
\frac{1}{4}

    f(0) = m

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{4} \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\
  f\left( 4 ight) = \dfrac{n}{4} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \\\dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \ = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow m.n = \dfrac{1}{2}

  • Câu 37: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow
y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left(
x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = -
\frac{2}{x^{3}}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} ight) + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} ight) \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.\left( { - {{\sin }^2}x} ight) \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x - {\sin ^4}x = {\cos ^6}x \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}  y\prime  = \left( {{{\cos }^6}x} ight)\prime  \hfill \\   = 6.{\cos ^5}x.\left( {\cos x} ight)\prime  \hfill \\   =  - 6\sin x.{\cos ^5}x \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo