Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sin x + \cos x. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;3\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sin x + \cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - \sin x

    \Rightarrow y'' = - \sin x - \cos x

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x = 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}

    Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{3x + 1}{x + 2}?

    Ta có: y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 - \frac{5}{x + 2}

    \Rightarrow y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( \cos x ight). Tính giá trị f'\left( - \frac{\pi}{4} ight)?

    Ta có:

    f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos x ight) ightbrack'

    = \frac{\left( \cos x ight)'}{\cos x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x

    \Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1

  • Câu 4: Nhận biết

    Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

    Dựa theo định lí:

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    => Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \sqrt{x^{2} + 3} . T = f(1) + 4f'(1) = 4

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \sqrt{x^{2} + 3} . T = f(1) + 4f'(1) = 4

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{x^{2} + 3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}

    T = f(1) + 4f'(1) = 4

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y =5\sin x - 3\cos x. Chọn biểu thức đúng?

    Ta có:

    y = 5\sin x - 3\cos x

    \Rightarrow y' = (5\sin x -3\cos x)' = 5\cos x + 3\sin x

  • Câu 7: Thông hiểu

    Hàm số y = - x^{3} + 3x - 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 3

    Giao điểm của (C) với trục tung có tọa độ là B(0; - 2)

    Tiếp tuyến của (C) tại điểm B(0; - 2) có phương trình là:

    y = y'(0)(x - 0) - 2 \Leftrightarrow y = 3x - 2

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình tròn bán kính r có diện tích là S(r). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    S(r) = \pi.r^{2} \Rightarrow S'(r) = 2\pi.r

    Suy ra S'\left( r_{0} ight) là chu vi của đường tròn bán kính r_{0}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{1}{2}t^{3} + 9t^{2} với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}t^{2} +18t với t \in \lbrack0;10brack.

    Ta có: v'(t) = - 3t + 18 = 0\Leftrightarrow t = 6.

    Suy ra: v(0) = 0;v(10) = 30;v(6) =54.

    Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54\ \ (m/s).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)?

    Ta có:

    y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)

    = \left( 1 - 3x + 2x^{2} ight)(1 - 3x)

    = 1 - 3x - 3x + 9x^{2} + 2x^{2} - 6x^{3}

    = 1 - 6x + 11x^{2} - 6x^{3}

    \Rightarrow y' = - 6 + 22x - 18x^{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x - 1} tại điểm x_{0} = 1?

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x - 1)'}{2\sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{\left( \sqrt{2x - 1} ight)'}{2x - 1} = \frac{- 1}{(2x - 1)\sqrt{2x - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{(2x - 1)^{3}}}

    \Rightarrow f''(1) = - 1

  • Câu 12: Nhận biết

    Công thức nào sau đây biểu diễn đúng đạo hàm của hàm số y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)?

    Ta có: y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack \ln\left( 1 - x^{2} ight) ightbrack'

    = \frac{- 2x}{1 - x^{2}} = \frac{2x}{x^{2} - 1}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan x là:

    Tập xác định D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}

    Ta có: y = \tan x

    \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t = 0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left( \frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\ m + m + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ m = - 32 \\ n = 32 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = - 64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t = 0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left( km/h^{2} ight)

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 17: Vận dụng

    Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5 trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

    Ta có: a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6

    Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là a(10) = 54m/s^{2}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(t)=\frac{t+\tan t}{t-1} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} f(t) = \dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f\prime (t) = \left( {\dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f\prime (t) = \dfrac{{\left( {t + \tan t} ight)'\left( {t - 1} ight) - \left( {t - 1} ight)'\left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + 1 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {2 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left( x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \sqrt{1 + 3x - x^{2}}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sqrt{1 + 3x - x^{2}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}y^{2} = 1 + 3x - x^{2} \\y' = \dfrac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    2.y.y'' = 2.\sqrt{1 + 3x - x^{2}}.\left( \frac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} ight) = 3 - 2x

    \Rightarrow 2(y')^{2} + 2y.y'' = - 2

    \Rightarrow (y')^{2} + y.y'' = - 1

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hàm số y =\log_{2}(3x). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    y = \log_{2}(3x)

    \Rightarrow y' = \left( \log_{2}(3x)ight)' = \frac{(3x)'}{3x.\ln2} = \frac{1}{x\ln2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Với x \in \lbrack 0; + \infty) ta có: \left\{ \begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > - 1 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) = \ln(x + 1) - \ln(x + 4)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 4}

    Khi đó:

    T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019)

    P = \left( 1 - \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ight) + ... + \left( \frac{1}{2020} - \frac{1}{2023} ight)

    P = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}

  • Câu 26: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 3x - 1\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại x = 1. Tính giá trị của biểu thức P = 2017a + 2018b - 1

    Vì hàm số có đại hàm tại x = 1 nên ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -1}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} +3x - 1 - 3}{x - 1}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x +4)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = 5

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 5 \\\dfrac{3 - b}{a} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 5 \\b = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy P = 2017a + 2018b - 1 =6048

  • Câu 28: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 29: Nhận biết

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \pi^{x}.

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    Vậy y' = \pi^{x}.\ln\pi

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Ta có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow f'(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2

    Suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4

    Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2

    Suy ra \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow b = 2

  • Câu 32: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y=\frac{1}{2x-3} bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{2x - 3}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {2x - 3} ight)\prime }}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}} ight]'}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^4}}} \hfill \\ = \dfrac{{2.2.2.\left( {2x - 3} ight)}}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^4}}} = \dfrac{8}{{{{\left( {2x - 3} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{2} + 3x^{2} + 9x - 1 có đồ thị (C) . Tìm hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) ?

    Kết quả: 12

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = - x^{2} + 3x^{2} + 9x - 1 có đồ thị (C) . Tìm hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) ?

    Kết quả: 12

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) là:

    y' = - 3x^{2} + 6x + 9 = 12 - 3(x + 1)^{2} \leq 12

    Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) là 12.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 35: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 36: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) .

    Kết quả: S = 2018/2019

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) .

    Kết quả: S = 2018/2019

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)

    \Rightarrow f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) ightbrack'

    = \frac{1}{\frac{2018x}{x + 1}}.\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)'

    = \frac{x + 1}{2018x}.\frac{2018}{(x + 1)^{2}}

    = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}

    S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}

    VD

     

    1

  • Câu 37: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'} = - 3sint.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} - 0}{x}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1ight)}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2}

  • Câu 39: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 25 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập