Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 3x - 1\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại x = 1. Tính giá trị của biểu thức P = 2017a + 2018b - 1

    Vì hàm số có đại hàm tại x = 1 nên ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -1}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} +3x - 1 - 3}{x - 1}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x +4)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow1^{-}}\frac{ax + b - 3}{x - 1} = 5

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 5 \\\dfrac{3 - b}{a} = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 5 \\b = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy P = 2017a + 2018b - 1 =6048

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6)
= 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x
ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6)
= 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x
ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D;x_{0} \in D. Nếu tồn tại giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) -
f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}} thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0}

    Vậy kết quả của biểu thức \lim_{x
ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2\sqrt{2}x^{2}+8x-1, có đao hàm là f'(x). Tập hợp những giá trị của x để f'(x) = 0 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 \hfill \\  f'\left( x ight) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {x - 2\sqrt 2 } ight)^2} = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2  \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tập nghiệm của phương trình là S=\left\{ {2\sqrt 2 } ight\}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\
2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) =
f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t +
2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = \left( 3t^{2} -
6t + 5 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 2s là

    a(2) = 6.2 - 6 = 6\left( m/s^{2}
ight)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log_{2}(2x + 1)?

    Ta có: y = \log_{2}(2x + 1)

    \Rightarrow y' = \frac{(2x +1)'}{(2x + 1)\ln2} = \frac{2}{(2x + 1)\ln2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\tan x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y = \tan x \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    Khi đó ta có:

    y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1

    = \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 0

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - \frac{3}{2} ight\}

    Ta có:

    y' = \frac{- 1}{(2x + 3)^{2}} <
0;\forall x \in D

    Tam giác OAB cân tại O suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1 hoặc -1

    Do y’ < 0 nên k = -1

    Gọi tọa độ tiếp điểm là \left(
x_{0};y_{0} ight);\left( x_{0} \in D ight) ta có: - \frac{1}{\left( 2x_{0} + 3 ight)^{2}} = - 1
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = - 2 \\
x_{0} = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1
\Rightarrow PT:y = - x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0
\Rightarrow PT:y = - x - 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = - 3

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y =
x^{n}. Công thức tính y^{(n)} là:

    Ta có: y' = \left( x^{n} ight)'
= n.x^{n - 1}

    y'' = \left( n.x^{n - 1}
ight)' = n.(n - 1).x^{n - 2}

    y^{(3)} = \left( n.(n - 1).x^{n - 2}
ight)' = n.(n - 1)(n - 2).x^{n - 3}

    ….

    y^{(n - 1)} = n(n - 1)(n - 2)(n -
3)...(n - n + 1).x = n!x

    y^{(n)} = n!

  • Câu 10: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 11: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in
R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y =
x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x +
2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} +
2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} -
24x

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\frac{2x-1}{x+1}. Giải phương trình f'(x) = f"(x)

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e  - 1} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\   \Leftrightarrow x =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = sin^{3}x. Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sin^{3}x

    \Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x

    \Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x

    Khi đó

    y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x

    = 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x

    \Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    v(t) = s’(t) = 3t2 − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6

    Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s

    Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s2

  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} -
2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x
\Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm công thức đạo hàm của hàm số y = 3^{x^{2} - x}?

    Ta có:

    y = 3^{x^{2} - x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - xight)'.3^{x^{2} - x}.\ln3

    \Rightarrow y' = (2x - 1).3^{x^{2} -x}.\ln3

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} =
2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b
ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -
1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 20: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\   \Rightarrow y' =  - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y =  - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 21: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in
R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x +
1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} +
1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} -
36x^{2}

  • Câu 22: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m - 1 (với m là tham số) là:

    Ta có:

    f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m -
1

    f'(x) = 4x^{3} - 8mx

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình f''(x) > 0?

    Ta có:

    y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x +
2

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
6

    Ta lại có:

    f''(x) > 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 > 0
\Leftrightarrow x > 1

    Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
(1; + \infty)

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=sin^{3}x+x^{2}. Tính giá trị của f"(-\frac{\pi}{2}).

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = si{n^3}x + {x^2} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 3.{\sin ^2}x.\cos x + 2x \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 6\sin x.{\cos ^2}x - 3.{\sin ^3}x + 2 \hfill \\   \Rightarrow f''\left( { - \dfrac{\pi }{2}} ight) = 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(x) = \left( x^{2} + 1 ight)^{4} tại x = - 1 bằng bao nhiêu?

    Kết quả: -64||- 64

    Đáp án là:

    Đạo hàm của hàm số f(x) = \left( x^{2} + 1 ight)^{4} tại x = - 1 bằng bao nhiêu?

    Kết quả: -64||- 64

    Ta có:

    f(x) = \left( x^{2} + 1
ight)^{4}

    \Rightarrow f'(x) = 4\left( x^{2} +
1 ight)^{3}.\left( x^{2} + 1 ight)' = 8x\left( x^{2} + 1
ight)^{3}

    \Rightarrow f'(1) = - 8(1 + 1)^{3} =
- 64

  • Câu 26: Thông hiểu

    Hàm số y = -
x^{3} + 3x - 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 3

    Giao điểm của (C) với trục tung có tọa độ là B(0; - 2)

    Tiếp tuyến của (C) tại điểm B(0; - 2) có phương trình là:

    y = y'(0)(x - 0) - 2 \Leftrightarrow
y = 3x - 2

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x - 1}{x - 1}. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho \frac{OA}{OB} = 4?

    Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm M\left( x_{0};y_{0} ight) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho \frac{OA}{OB} =
4.

    Do tam giác OAB vuông tại O nên \tan\widehat{A} = \frac{OB}{OA} =
\frac{1}{4}

    Suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng \pm
\frac{1}{4}

    Hệ số góc tiếp tuyến là y'\left(
x_{0} ight) = \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} <
0

    \Rightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1
ight)^{2}} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4} \\x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y=\frac{x(1-3x)}{x+1}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{x(1 - 3x)}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 3{x^2}}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {x - 3{x^2}} ight)'\left( {x + 1} ight) - \left( {x - 3{x^2}} ight)\left( {x + 1} ight)'}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{\left( {1 - 6x} ight)\left( {x + 1} ight) - \left( {x - 3{x^2}} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{x + 1 - 6{x^2} - 6x - x + 3{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{ - 3{x^2} - 6x + 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}{\text{  }};0 < x < 4} \\ 
  {m{\text{          }};x = 0} \\ 
  {\dfrac{n}{x}{\text{         }};x \geqslant 4} 
\end{array}} ight.. Biết hàm số liên tục trên nửa khoảng \lbrack 0; + \infty). Tích của mn bằng bao nhiêu?

    Tập xác định D = \lbrack 0; +
\infty)

    Hàm số liên tục trên \lbrack 0; +
\infty) nên ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow
0^{+}}\frac{x}{x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} =
\frac{1}{4}

    f(0) = m

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{4} \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \dfrac{1}{2} \hfill \\
  f\left( 4 ight) = \dfrac{n}{4} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \\\dfrac{n}{4} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{1}{4} \ = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow m.n = \dfrac{1}{2}

  • Câu 30: Vận dụng

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} +
9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Đáp án là:

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} +
9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t +
10

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) =
S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1

    Dễ thấy hàm số v(t) là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số a =
- 3 < 0

    Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là t = 3
\in \lbrack 0;5brack

    Do đó v_{\max} = v(3) = 28

    Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là 28m/s

  • Câu 31: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng \frac{1}{\sqrt{2x}}?

    Ta có:

    f'(x) = \left( \sqrt{2x}
ight)' = \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Ta có: f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1

    Để hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
0 thì hàm số phải liên tục tại x_{0} = 0 nên

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Suy ra - b - 1 = 1 \Rightarrow b = -
2

    Khi đó f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 -
1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -
2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) =
a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó a = - 2

    Vậy giá trị của biểu thức T = a - b =
0

  • Câu 33: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} ight) + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} ight) \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.\left( { - {{\sin }^2}x} ight) \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x - {\sin ^4}x = {\cos ^6}x \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}  y\prime  = \left( {{{\cos }^6}x} ight)\prime  \hfill \\   = 6.{\cos ^5}x.\left( {\cos x} ight)\prime  \hfill \\   =  - 6\sin x.{\cos ^5}x \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1 tại điểm x = -1

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) =  - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) =  - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) =  - 4.{\left( { - 1} ight)^3} + 12.{\left( { - 1} ight)^2} - 6.\left( { - 1} ight) + 2 \hfill \\  f'\left( { - 1} ight) = 4 + 12 + 6 + 2 = 24 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\   = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} =  - \frac{1}{2}

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y = x^{2} tại điểm có hoành độ \frac{1}{2}.

    Ta có:

    y'\left( \dfrac{1}{2} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\dfrac{f\left( \dfrac{1}{2} + \Delta xight) - f\left( \dfrac{1}{2} ight)}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + \Delta x ight)^{2} - \left( \dfrac{1}{2}ight)^{2}}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow 0}(1 +\Delta x) = 1

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4}
+ ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... +
2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} +
C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} +
C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x +
1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... +
2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) =
2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x +
...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} +
2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) =
2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} +
2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 =
2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} -
2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) +
f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} +
4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}
ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} =
2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... +
2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} =
S

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo