Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - x \geqslant 0} \\   {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 3} \\   {x >  - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 2: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in
R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y =
x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x +
2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} +
2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} -
24x

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} là f'(x_{0}). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề sai là f'(x_{0})=\underset{x \to x_{0}}{lim}\frac{f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x-x_{0}}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \cot \sqrt {{x^2} + 1}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \cot \sqrt {{x^2} + 1}  \hfill \\   \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\   = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\   = \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 1. Tập nghiệm của bất phương trình y''' \leq 6 là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} +
1

    \Rightarrow y' = x^{3} - 3x^{2}
\Rightarrow y'' = 3x^{2} - 6x

    \Rightarrow y^{(3)} = 6x -
6

    y^{(3)} \leq 6 \Leftrightarrow 6x - 6
\leq 6 \Leftrightarrow x \leq 2

    Vậy S = ( - \infty;2brack

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y =
x^{n}. Công thức tính y^{(n)} là:

    Ta có: y' = \left( x^{n} ight)'
= n.x^{n - 1}

    y'' = \left( n.x^{n - 1}
ight)' = n.(n - 1).x^{n - 2}

    y^{(3)} = \left( n.(n - 1).x^{n - 2}
ight)' = n.(n - 1)(n - 2).x^{n - 3}

    ….

    y^{(n - 1)} = n(n - 1)(n - 2)(n -
3)...(n - n + 1).x = n!x

    y^{(n)} = n!

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y=sin2x-cos2x. Giải phương trình y" = 0

     Ta có:

    \begin{matrix}  y = \sin 2x - \cos 2x \hfill \\   \Rightarrow y' = 2\cos 2x + 2\sin 2x \hfill \\   \Rightarrow y'' =  - 4\sin 2x + 4\cos 2x \hfill \\  y'' = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow  - 4\sin 2x + 4\cos 2x = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \sin 2x = \cos 2x \hfill \\   \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \hfill \\   \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \hfill \\   \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Nhận biết

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \pi^{x}.

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    Vậy y' = \pi^{x}.\ln\pi

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\ x^{2}-1 & \text{ khi } x\geq 0 \\ -x^{2} & \text{ khi } x<1 \end{cases}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    \begin{matrix}  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} ight) =  - 1} \\   {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} ight) = 0} \end{array}} ight. \hfill \\   \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số không liên tục tại x = 0

    => Hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng đính sai là "Hàm số có đạo hàm tại x = 0"

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{3x-4}{x+2}. Tìm x sao cho y" = 20

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{3x - 4}}{{x + 2}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {x + 2} ight) - \left( {3x - 4} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 10.2.\left( {x + 2} ight)}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix}  y'' = 20,(xe-2) \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{{ - 20}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^3}}} = 20 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {x + 2} ight)^3} =  - 1 \hfill \\   \Leftrightarrow x =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng ∆: 4x − 3y = 0 bằng \frac{3}{5}.

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng y + y_{0} = k\left( x - x_{0} ight)

    => Tiếp tuyến d có một vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n_{d}} = ( - k;1)

    Đường thẳng \Delta có một vecto pháp tuyến là: \overrightarrow{n_{\Delta}} =(4; - 3)

    Theo đề bài ta có:

    \cos(d;\Delta) = \frac{| - 4k -3|}{\sqrt{k^{2} + 1}.\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}k = 0 \\k = - \dfrac{24}{7} \\\end{matrix} ight.

    Với k = - \frac{24}{7}ta có: 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = -\frac{24}{7} (vô nghiệm)

    Với k = 0 ta có: 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 0 \\x_{0} = 2 \\\end{matrix} ight.

    Nếu x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} =2=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 2 = 0 => y = 2

    Nếu x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = -2=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y + 2 = 0 => y = -2

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Giá trị của f'(0) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -
f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1} -
1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{4x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{4x^{2} + 1} + 1 ight)} = \lim_{x
ightarrow 0}\frac{4}{\sqrt{4x^{2} + 1} + 1} = 2

    Vậy f'(0) = 2

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x - 1} tại điểm x_{0} = 1?

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x -
1)'}{2\sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{\left( \sqrt{2x - 1} ight)'}{2x - 1} = \frac{- 1}{(2x -
1)\sqrt{2x - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{(2x - 1)^{3}}}

    \Rightarrow f''(1) = -
1

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \cos \sqrt {2x + 1}

    Ta có: 

    \begin{matrix}  y = \cos \sqrt {2x + 1}  \hfill \\   \Rightarrow y' =  - \left( {\sqrt {2x + 1} } ight)'.\sin \sqrt {2x + 1}  \hfill \\   =  - \dfrac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1}  \hfill \\   =  - \dfrac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Nhận biết

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \log_{4}\left( 2x^{2} - 3 ight)?

    Ta có:

    y' = \frac{4x}{\left( 2x^{2} - 3ight).\ln4} = \frac{4x}{\left( 2x^{2} - 3 ight).2.\ln2}

    = \frac{2x}{\left( 2x^{2} - 3ight).\ln2}

  • Câu 18: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^{3} tại điểm (-1; -1)

    Ta tính được k = y'( - 1) =3

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = 3(x + 1)

    \Rightarrow y = 3x + 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{3} + 2x^{2} song song với đường thẳng x - y = 0?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng x - y = 0 của đồ thị hàm số y = - x^{3} + 2x^{2} khi đó ta có:

    y'\left( x_{0} ight) = 1
\Leftrightarrow - 3{x_{0}}^{2} + 4x_{0} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x_{0} = 1 \\
x_{0} = \frac{1}{3} \\
\end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 1 ta được M(1;1) có phương trình tiếp tuyến tương ứng là y = 1(x - 1) + 1 \Rightarrow y =
x

    Với x_{0} = \frac{1}{3} ta được M\left( \frac{1}{3};\frac{5}{27}
ight) có phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = 1\left( x - \frac{1}{3} ight) +
\frac{5}{27} \Rightarrow y = x - \frac{4}{27}

    Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\  g'\left( x ight) =  - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix}  f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\   \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 1} \\   {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + 2\cos x + 3x + 2. Tổng các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    y' = \cos2x - 2\sin x + 3 = - 2\sin^{2}x- 2\sin x + 4

    y' = 0 \Leftrightarrow x =
\frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    x \in \lbrack 0;50\pibrack nên 0 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi \leq
50\pi

    \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq
\frac{99}{4};\left( k\mathbb{\in Z} ight) nên k \in \left\{ 0;1;;2;...;24 ight\}

    Suy ra tổng các nghiệm trên đoạn \lbrack
0;50\pibrack của phương trình f'(x) = 0 là:

    S_{25} = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2}
+ \frac{9\pi}{2} + ... + \frac{97\pi}{2}

    = \dfrac{25\left( \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{97\pi}{2} ight)}{2} = \dfrac{1225\pi}{2}

  • Câu 23: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = (1 - 2x)^{3} là:

    Ta có: y = (1 - 2x)^{3}

    \Rightarrow y' = 3(1 - 2x)^{2}(1 -
2x)'

    \Rightarrow y' = 3(1 - 2x)^{2}( - 2)
= - 6(1 - 2x)^{2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} là:

    Ta có:

    y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x
- 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{3}{(x -
2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{3.( -
2)(x - 2)}{(x - 2)^{4}} = \frac{6}{(x - 2)^{3}}

  • Câu 26: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\
2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) =
f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Biết đồ thị hàm số (C):y = x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} -
2m^{3} tiếp xúc với trục hoành. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S.

    Với m eq 0 đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix}
f(x) = 0 \\
f'(x) = 0 \\
\end{matrix} ight.\ (I) có nghiệm

    (I) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\
3x^{2} - 6mx + 3m = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\left( x^{2} - 2mx ight) - mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\
x^{2} - 2mx = - m \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- mx^{2} + 2mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\
x^{2} - 2mx = - m \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- x^{2} + 2x + m - 2m^{2} = 0 \\
x^{2} - 2mx + m = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x - 2mx - 2m^{2} + 2m = 0(*) \\
x^{2} - 2mx + m = 0(**) \\
\end{matrix} ight.

    (*) \Leftrightarrow (x + m)(1 - m) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
x = - m \\
\end{matrix} ight.

    Với m = 1 thay vào (**) ta được x = 1 thỏa mãn

    Với x = - m thay vào (**) ta được - 3m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m =
\frac{1}{3}

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu là 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tìm tham số thực b để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\   { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. có đạo hàm tại x = 2.

    Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\   \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow  - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Thử b = 6 ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\   = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số (C):y = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - 1. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 7?

    Ta có:

    y' = 4x^{3} - 9x^{2} +
4x

    Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 4x^{3} - 9x^{2} + 4x = 7

    Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} =
2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b
ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -
1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm khẳng định đúng dưới đây?

    Ta có

    \left( \sqrt{x} ight)' =
\frac{1}{2\sqrt{x}}

    (x)' = 1

    \left( \frac{1}{x} ight)' = -
\frac{1}{x^{2}}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) =
\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} . Biết f'(x) = \frac{ax + b}{\left( x^{2} + 1
ight)\sqrt{x^{2} + 1}},\forall x . Tính giá trị biểu thức S = 2a + b ?

    Kết quả: 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} . Biết f'(x) = \frac{ax + b}{\left( x^{2} + 1
ight)\sqrt{x^{2} + 1}},\forall x . Tính giá trị biểu thức S = 2a + b ?

    Kết quả: 3

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} +
1}}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \frac{x -
1}{\sqrt{x^{2} + 1}} ight)'

    = \frac{(x - 1)'\sqrt{x^{2} + 1} -
\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)'(x - 1)}{\left( \sqrt{x^{2} + 1}
ight)^{2}}

    = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - (x -1).\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1}

    = \frac{x^{2} + 1 - x^{2} + x}{\left(
x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}

    = \frac{x + 1}{\left( x^{2} + 1
ight)\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S = 2a + b = 2.1 + 1 =
3

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5)
+ ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5)
+ ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2}
ight)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{x(x +
2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(3) + f'(5) +
... + f'(2021)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +
\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2021} -
\frac{1}{2023}

    S = 1 - \frac{1}{2023} =
\frac{2022}{2023}

  • Câu 36: Nhận biết

    Số gia của hàm số f(x)=2x^{2}-1 tại x_{0}=1 ứng với số gia \Delta x=0,1 bằng:

    Ta có:

    ∆f = f(1 + 0,1) - f(1)

    = 2(1,1)^2 - 1 - (2 - 1) = 0,42

  • Câu 37: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} -
2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 =
10

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log_{2}(2x + 1)?

    Ta có: y = \log_{2}(2x + 1)

    \Rightarrow y' = \frac{(2x +1)'}{(2x + 1)\ln2} = \frac{2}{(2x + 1)\ln2}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\tan x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y = \tan x \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    Khi đó ta có:

    y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1

    = \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 0

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho f(x) = (x -
3)^{6} . Khi đó f''(2)
= 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x -
3)^{6} . Khi đó f''(2)
= 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x -
3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x -
3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 -
3)^{4} = 30

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 50 lượt xem
Sắp xếp theo