Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Đạo hàm bậc hai của hàm số y = x\sqrt{1 +
x^{2}} là:

    Ta có:

    y = x\sqrt{1 + x^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{2x^{2} +
1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2x^{3} +
3x}{\left( 1 + x^{2} ight)\sqrt{1 + x^{2}}}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} -
2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x
\Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 3: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \sqrt{1 + 3x - x^{2}}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sqrt{1 + 3x -
x^{2}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}y^{2} = 1 + 3x - x^{2} \\y' = \dfrac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    2.y.y'' = 2.\sqrt{1 + 3x -
x^{2}}.\left( \frac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} ight) = 3 -
2x

    \Rightarrow 2(y')^{2} +
2y.y'' = - 2

    \Rightarrow (y')^{2} + y.y''
= - 1

  • Câu 5: Thông hiểu

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}?

    Ta có: y = f(x) = \frac{2x - 1}{x +
1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x -
1)'(x + 1) - (x + 1)'(2x - 1)}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x + 1) -
(2x - 1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3}{(x + 1)^{2}}

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in
R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x +
1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} +
1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} -
36x^{2}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y =
\sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' =
0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} +
2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x +
\cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x
- \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow
\sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x -
\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x -
\frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} =
\frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} +
k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack
\Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{2x + 3}{x - 2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: x = 3 \Rightarrow y(3) =
9

    y' = \frac{- 7}{(x - 2)^{2}}
\Rightarrow y'(3) = \frac{- 7}{(3 - 2)^{2}} = - 7

    Phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 7(x - 3) + 9 \Rightarrow y = - 7x
+ 30

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình f''(x) > 0?

    Ta có:

    y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x +
2

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
6

    Ta lại có:

    f''(x) > 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 > 0
\Leftrightarrow x > 1

    Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
(1; + \infty)

  • Câu 10: Nhận biết

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

    Ta tính được s'(t) = 2t

    Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) =2t

    => v(2) = 2.2 = 4(m/s)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x +
1 tương ứng với x\Delta x\Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} +
1} khi đó ta có y.y' =
2x Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x +
1 tương ứng với x\Delta x\Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =
x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} +
1} khi đó ta có y.y' =
2x Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \Delta y = f(\Delta x + x) -
f(x)

    = (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) +
1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)

    = \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x
= \Delta x(\Delta x + 2x - 4)

    b) Ta có

    Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

    Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng y = kx + 2

    Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}
x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\
4x^{3} - 4x = k(**) \\
\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thay (**) vào (*) ta suy ra \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.

    Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -
\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +
\sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 +
\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(
2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    d) Ta có:

    y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}
\Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} =
x

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 13: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... +
f'(2017) . Biết hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018 .

    Kết quả: S = 2017/2018

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... +
f'(2017) . Biết hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018 .

    Kết quả: S = 2017/2018

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1}
ight) + ln2018

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x(x +
1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(2) + f'(3) +
... + f'(2017)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} +
\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2017} -
\frac{1}{2018}

    S = 1 - \frac{1}{2018} =
\frac{2017}{2018}

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 15: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x - 1}. Biết (C) song song với đường thẳng y = - 3x?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0}
ight)là tiếp điểm của tiếp tuyến

    Ta có: y' = \frac{- 3}{(x -
1)^{2}}

    Do (C) song song với đường thẳng y = - 3x nên y'\left( x_{0} ight) = - 3

    \Leftrightarrow \frac{- 3}{\left( x_{0}
- 1 ight)^{2}} = - 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = 0 \\
x_{0} = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = -
1 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 3(x - 0) - 1 \Rightarrow y = - 3x
- 1

    Với x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} =
5 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 3(x - 2) + 5 \Rightarrow y = - 3x
+ 11

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}&{{\text{ khi }}x > 1} \\   {x - 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 1} \end{array}} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    f\left( { - 2} ight) =  - 2 - 1 =  - 3

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x -
1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x -
1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1
= - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\
\ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} =
\frac{5}{2}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 +
3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \
\ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\
- 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f(2) = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow
f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 =
10

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
e^{2x} + 2e^{- x}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    y = e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y' = 2e^{2x} - 2e^{-
x}

    \Rightarrow y'' = \left( 2e^{2x}
- 2e^{- x} ight)' = 4e^{2x} + 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' =
(y'')' = 8e^{2x} - 2e^{- x}

    \Rightarrow y''' -
y'' = 2y'

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho f(x) = \sin x
+ \cos x. Khi đó f'\left(
\frac{\pi}{6} ight) bằng:

    Ta có:

    f(x) = \sin x + \cos x

    \Rightarrow f'(x) = \cos x - \sin
x

    \Rightarrow f'\left( \frac{\pi}{6}
ight) = \cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3} -
1}{2}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình chuyển động là S = 2t^{2} +
t - 1(m) . Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 9m/s

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình chuyển động là S = 2t^{2} +
t - 1(m) . Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 9m/s

    Ta có:

    S = 2t^{2} + t - 1(m)

    \Rightarrow v = S' = 4t +
2

    Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t
= 2s là: v(2) = 4.2 + 1 =
9(m/s)

  • Câu 22: Nhận biết

    Công thức nào sau đây biểu diễn đúng đạo hàm của hàm số y = \ln\left( 1 - x^{2}
ight)?

    Ta có: y = \ln\left( 1 - x^{2}
ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack
\ln\left( 1 - x^{2} ight) ightbrack'

    = \frac{- 2x}{1 - x^{2}} =
\frac{2x}{x^{2} - 1}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1 theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)

    \Delta y = 3\Delta x

    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\   = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} =  - \frac{1}{2}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\log\left( x^{2} - 2x - m + 1 ight) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho xác định trên tập số thực?

    Để hàm số có tập xác định D\mathbb{=
R} khi và chỉ khi x^{2} - 2x - m +
1 > 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \Delta' <
0

    \Leftrightarrow ( - 1)^{2} - 1( - m + 1)
< 0 \Leftrightarrow m < 0

  • Câu 26: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow
y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left(
x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = -
\frac{2}{x^{3}}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} là:

    Ta có:

    y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x
- 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{3}{(x -
2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{3.( -
2)(x - 2)}{(x - 2)^{4}} = \frac{6}{(x - 2)^{3}}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t +
2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = \left( 3t^{2} -
6t + 5 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 2s là

    a(2) = 6.2 - 6 = 6\left( m/s^{2}
ight)

  • Câu 29: Nhận biết

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = \log_{\sqrt{3}}x trên khoảng (0; + \infty)?

    Áp dụng công thức \left( \log_{a}xight)' = \frac{1}{x\ln a}

    Ta có: y = \log_{\sqrt{3}}x

    \Rightarrow y' =
\frac{1}{x\ln\sqrt{3}}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = \sqrt {{{\sin }^3}(2x + 1)} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có: 

    \begin{matrix}  y = \sqrt {{{\sin }^3}(2x + 1)}  \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \dfrac{1}{{2\sqrt {{{\sin }^3}(2x + 1)} }}.\left[ {{{\sin }^3}\left( {2x + 1} ight)} ight]\prime  \hfill \\   = \dfrac{{2.3{{\sin }^3}\left( {2x + 1} ight).\cos \left( {2x + 1} ight)}}{{2\sqrt {{{\sin }^3}(2x + 1)} }} \hfill \\   = 3\sqrt {\sin \left( {2x + 1} ight)} .\cos \left( {2x + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... +
f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n
= -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... +
f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n
= -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x -
1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + ....
+ f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} +
\frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} -
\frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} =
\frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 1010.2021 - 1 \\
n = 2020.2021 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A = - 2

  • Câu 32: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} -
2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 =
10

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Một vật chuyển động theo quy luật S =10t^{2} - \frac{1}{3}t^{3}, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 15 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc v (m/s) của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng:

    Ta có vận tốc v của vật tại thời điểm t được tính theo công thức v(t) = S'(t) = - t^{2} + 20t. Bảng biến thiên của hàm v = v(t) trên (0; 15):

    Vậy vận tốc của vật đạt GTLN tại thời điểm t = 10 (s)

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -\frac{1}{45}x.

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= - \frac{1}{45}x nên ta có:

    => k\left( - \frac{1}{45} ight) = -1 \Leftrightarrow k = 45

    \Leftrightarrow 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} =45 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 5 \\x_{0} = - 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x0 = 5, ta có: \left\{\begin{matrix}y_{0} = 52 \\k = 45 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 45x - 173

    với x0 = -2 thì \left\{\begin{matrix}y_{0} = - 52 \\k = 45 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 45x + 83

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: \left\lbrack \begin{matrix}y = 45x - 173 \\y = 45x + 83 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 36: Vận dụng

    Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5 trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

    Ta có: a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6

    Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là a(10) = 54m/s^{2}

  • Câu 37: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} -
\sqrt{2x} + m^{2} (với m = const) là:

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} +
\frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} +
0

    \Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2}
- \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} là f'(x_{0}). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề sai là f'(x_{0})=\underset{x \to x_{0}}{lim}\frac{f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x-x_{0}}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho f(x) = (x +
10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x +
10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x +
10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 +
10)^{4} = 622080

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 62 lượt xem
Sắp xếp theo