Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} =
2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -
x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) =
2

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y =
x^{n}. Công thức tính y^{(n)} là:

    Ta có: y' = \left( x^{n} ight)'
= n.x^{n - 1}

    y'' = \left( n.x^{n - 1}
ight)' = n.(n - 1).x^{n - 2}

    y^{(3)} = \left( n.(n - 1).x^{n - 2}
ight)' = n.(n - 1)(n - 2).x^{n - 3}

    ….

    y^{(n - 1)} = n(n - 1)(n - 2)(n -
3)...(n - n + 1).x = n!x

    y^{(n)} = n!

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} là f'(x_{0}). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề sai là f'(x_{0})=\underset{x \to x_{0}}{lim}\frac{f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x-x_{0}}

  • Câu 5: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số: y=4\sqrt{x}-\frac{5}{x}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = 4\sqrt x  - \dfrac{5}{x} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{4}{{2\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \left( {\sin x} ight)

     Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left[ {\sin \left( {\sin x} ight)} ight]\prime\hfill \\   \Rightarrow y' = \left( {\sin x} ight)'.\cos \left( {\sin x} ight) \hfill \\   \Rightarrow y' = \cos x.\cos \left( {\sin x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Xác định hệ số góc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x + 1}{2x
- 3} tại điểm có hoành độ x_{0} = -
1?

    TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{
\frac{3}{2} ight\}

    Ta có: f'(x) = \frac{- 5}{(2x -
3)^{2}}

    Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_{0} = - 1 là:

    f'(-1) = \frac{- 5}{\left\lbrack 2.(- 1) - 3 ightbrack^{2}} = - \frac{1}{5}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{4} - 2x^{2} + m - 2 với m là tham số. Gọi S là tập các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số (C) có đúng 1 tiếp tuyến song song với trục hoành. Tổng các phần tử có trong tập S là:

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4x

    Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc tiếp tuyến k = 0

    Gọi tiếp điểm là M\left( x_{0};y_{0}
ight) \in (C) khi đó y'\left(
x_{0} ight) = 4{x_{0}}^{3} - 4x_{0} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = m - 2 \\
x_{0} = \pm 1 \Rightarrow y_{0} = m - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Để có đúng 1 tiếp tuyến song song với trục hoàn thì

    \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
m - 3 eq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\left\{ \begin{matrix}
m = 3 \\
m - 2 eq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
m eq 3 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\left\{ \begin{matrix}
m = 3 \\
m eq 2 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow m = 2;m = 3

    Vậy tổng các giá trị m là 5.

  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - x \geqslant 0} \\   {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \leqslant 3} \\   {x >  - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( \cos x ight). Tính giá trị f'\left( - \frac{\pi}{4} ight)?

    Ta có:

    f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos
x ight) ightbrack'

    = \frac{\left( \cos x ight)'}{\cos
x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x

    \Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4}
ight) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\frac{2x-1}{x+1}. Giải phương trình f'(x) = f"(x)

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e  - 1} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\   \Leftrightarrow x =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in
R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y =
x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x +
2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} +
2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} -
24x

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Ta có: f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1

    Để hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
0 thì hàm số phải liên tục tại x_{0} = 0 nên

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Suy ra - b - 1 = 1 \Rightarrow b = -
2

    Khi đó f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 -
1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -
2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) =
a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó a = - 2

    Vậy giá trị của biểu thức T = a - b =
0

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{mx^{3}}{3} - \frac{mx^{2}}{2} + (3 - m)x - 2. Tìm giá trị của m để f'(x) > 0;\forall
x\mathbb{\in R}?

    Ta có:

    f'(x) = mx^{2} - mx + (3 -
m)

    Nếu m = 0 thì f'(x) = 3 > 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    Nếu m eq 0 thì f'(x) = mx^{2} - mx + 3 - m là tam thức bậc hai

    f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
\Delta < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
m^{2} - 4m(3 - m) < 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
5m^{2} - 12m < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
0 < m < \frac{12}{5} \\
\end{matrix} ight.

    Vậy 0 \leq m <
\frac{12}{5}

  • Câu 18: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow
y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left(
x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = -
\frac{2}{x^{3}}

  • Câu 19: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 5^{x}

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 5^{x} \Rightarrow y' =5^{x}.\ln5

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y =\cot2x. Hệ thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    y = \cot2x \Rightarrow y' = -\dfrac{2}{\sin^{2}2x}

    Khi đó ta có:

    y' + 2y^{2} + 2 = -\dfrac{2}{\sin^{2}2x} + 2\cot^{2}2x + 2

    = - \dfrac{2}{\sin^{2}2x} +\dfrac{2}{\sin^{2}2x} = 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\cos^{2}x. Giá trị của f'(\frac{\pi}{6}) bằng: 

     Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {\cos ^2}x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {{{\cos }^2}x} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = 2\cos x.\left( { - \sin x} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) =  - \sin 2x \hfill \\   \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) =  - \sin \left( {2.\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y = x^{2} tại điểm có hoành độ \frac{1}{2}.

    Ta có:

    y'\left( \dfrac{1}{2} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\dfrac{f\left( \dfrac{1}{2} + \Delta xight) - f\left( \dfrac{1}{2} ight)}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + \Delta x ight)^{2} - \left( \dfrac{1}{2}ight)^{2}}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow 0}(1 +\Delta x) = 1

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   {\dfrac{1}{4}}&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } ight)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } ight)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = (1 - 2x)^{3} là:

    Ta có: y = (1 - 2x)^{3}

    \Rightarrow y' = 3(1 - 2x)^{2}(1 -
2x)'

    \Rightarrow y' = 3(1 - 2x)^{2}( - 2)
= - 6(1 - 2x)^{2}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = 4t^{3} - 10t + 9,(t
> 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 2m/s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 12t^{2} -
10

    v(t) = 2 \Leftrightarrow 12t^{2} - 10 =
2

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t = - 1(ktm) \\
t = 1(tm) \\
\end{matrix} ight.

    a(t) = S''(t) = v'(t) =
\left( 12t^{2} - 10 ight)' = 24t

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 2 là

    a(1) = 24.1 = 24\left( m/s^{2}
ight)

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho f(x) =\sin3x. Giá trị của f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) bằng bao nhiêu?

    Ta có: f(x) = \sin3x

    \Rightarrow f'(x) =3.\cos3x

    \Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x

    \Rightarrow f''\left( -\frac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( - \frac{3\pi}{2} ight) =9

  • Câu 27: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(t)=\frac{t+\tan t}{t-1} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(t) = \dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}} \hfill \\   \Rightarrow f\prime (t) = \left( {\dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}}} ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f\prime (t) = \dfrac{{\left( {t + \tan t} ight)'\left( {t - 1} ight) - \left( {t - 1} ight)'\left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + 1 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {2 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t)
= 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'}
= - 3sint.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y =x.\cos x. Hệ thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    y = x.\cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - x\sin
x

    \Rightarrow y'' = - 2\sin x -x\cos x

    \Rightarrow y'' + y = - 2\sin x -x\cos x + x\cos x = - 2\sin x

  • Câu 31: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) -
f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} -
x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} =
5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x +
5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x -
2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) =
0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5
ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5
ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x}
ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5
ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} -
\frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) =
- 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left(
x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow
y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} =
2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =
5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t =
0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left(
\frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
\frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\
m + m + c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
m = - 32 \\
n = 32 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = -
64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t =
0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left(
km/h^{2} ight)

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \ln2021 + \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight). Tính giá trị biểu thức:

    S = f'(1) + f'(2) + .... +
f'(2020)

    Ta có:

    f'(x) = \dfrac{\left( \dfrac{x}{x + 1}ight)'}{\dfrac{x}{x + 1}} = \dfrac{\dfrac{1}{(x + 1)^{2}}}{\dfrac{x}{x+ 1}}

    = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} -
\frac{1}{x + 1}

    Suy ra = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x}
- \frac{1}{x + 1}

    f'(2) = \frac{1}{2} -
\frac{1}{3}

    f'(3) = \frac{1}{3} -
\frac{1}{4}

    f'(2020) = \frac{1}{2020} -
\frac{1}{2021}

    Vậy S = f'(1) + f'(2) + .... +
f'(2020) = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{2}{1+x}. Tính giá trị của y^{(3)}(1)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} =  - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Nhận biết

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \pi^{x}.

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    Vậy y' = \pi^{x}.\ln\pi

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -
\sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2
+ \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(
2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) =
\frac{1}{16}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t +
2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 0 thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t - 9 =
0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t = - 1(ktm) \\
t = 3(tm) \\
\end{matrix} ight.

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = v'(t) =
\left( 3t^{2} - 6t - 9 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

    a(3) = 6.3 - 6 = 12\left( m/s^{2}
ight)

  • Câu 39: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\   \Rightarrow y' =  - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y =  - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo