Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Nhận biết

    Công thức đạo hàm của hàm số y = f(x) = 2^{3x + 1} là:

    Ta có:

    y = f(x) = 2^{3x + 1}

    \Rightarrow f'(x) = (3x +4)'.2^{3x + 4}.\ln2

    \Rightarrow f'(x) = 3.2^{3x +4}.\ln2

  • Câu 3: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2 (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20\ m/s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 54,2 m

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động theo quy luật s = s(t) = \frac{1}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 10t + 2 (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20\ m/s (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 54,2 m

    Ta có: v(t) = s'(t) = t^{2} - 3t + 10.

    Khi vận tốc của vật đạt 20\ m/s ta có:

    t^{2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t^{2} - 3t - 10 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 5 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vì t > 0 nên nhận t = 5(s).

    Lúc đó quảng đường vật đi được là: s(5) - s(0) = \frac{337}{6} - 2 \approx 54,2m

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x + y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(x)=\frac{ax^{2}+b}{c+d} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{a{x^2} + b}}{{c + d}} \hfill \\ \Rightarrow f\prime \left( x ight) = \left( {\dfrac{{a{x^2} + b}}{{c + d}}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {a{x^2} + b} ight)'\left( {c + d} ight) - \left( {c + d} ight)'\left( {a{x^2} + b} ight)}}{{{{\left( {c + d} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2ax\left( {c + d} ight)}}{{{{\left( {c + d} ight)}^2}}} = \dfrac{{2ax}}{{c + d}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y=sin2x-cos2x. Giải phương trình y" = 0

     Ta có:

    \begin{matrix} y = \sin 2x - \cos 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = 2\cos 2x + 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 4\sin 2x + 4\cos 2x \hfill \\ y'' = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 4\sin 2x + 4\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = \cos 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = 1000^{2 - x}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y = 1000^{2 - x}

    \Rightarrow y' = (2 - x)'.1000^{2 - x}.ln1000

    \Rightarrow y' = - 1000^{2 -x}.\ln1000

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Trên đồ thị hàm số y = \frac{x + 3}{x +2} tại các điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

    Ta có:

    Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân khi và chỉ khi hệ số góc của tiếp tuyến k = \pm1.

    Ta có: f'(x) = - \frac{1}{(x +2)^{2}}

    => Hoành độ điểm thuộc đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của phương trình:

    - \frac{1}{(x + 2)^{2}} = - 1\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.

    Hai điểm thỏa mãn ( - 3;0),( -1;2)

  • Câu 11: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = \frac{x + 2}{x + 5m} có đạo hàm dương trên ( - \infty; - 10)?

    Tập xác định D = ( - \infty;5m) \cup ( - 5m; + \infty)

    Ta có:

    y' = \frac{5m - 2}{(x + 5m)^{2}}

    Theo yêu cầu của đề bài

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5m - 2 > 0 \\ - 10 \leq - 5m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq m \leq 2

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn f''\left( x_{0} ight) = 0 là:

    Ta có:

    y = x^{3} - 3x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    \Rightarrow f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Khi đó f'(1) = 3 \Rightarrow M(1; - 1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; - 1) là: y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Rightarrow y = - 3(x - 1) - 1 \Rightarrow 3x + y - 2 = 0

  • Câu 14: Thông hiểu

    Xác định hệ số góc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x + 1}{2x - 3} tại điểm có hoành độ x_{0} = - 1?

    TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3}{2} ight\}

    Ta có: f'(x) = \frac{- 5}{(2x - 3)^{2}}

    Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_{0} = - 1 là:

    f'(-1) = \frac{- 5}{\left\lbrack 2.(- 1) - 3 ightbrack^{2}} = - \frac{1}{5}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 17: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} là:

    Ta có:

    y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{3}{(x - 2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{3.( - 2)(x - 2)}{(x - 2)^{4}} = \frac{6}{(x - 2)^{3}}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x_{0}. Đạo hàm của f tại x_{0} là: 

    Đạo hàm của f tại x_{0} là \underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (nếu tồn tại giới hạn)

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan \frac{{x + 1}}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \tan \dfrac{{x + 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}}.\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\ g'\left( x ight) = - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix} f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\sqrt{x^{2}-1}. Đạo hàm f'(x) có tập xác định là:

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \sqrt {{x^2} - 1} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {\sqrt {{x^2} - 1} } ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    => Tập xác định của hàm số f'(x) là:

    {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{2} + 2x ight).e^{x}

    \Rightarrow y' = (2x + 2)e^{x} + \left( x^{2} + 2x ight)e^{x} = \left( x^{2} + 4x + 2 ight)e^{x}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)?

    Ta có:

    y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)

    = \left( 1 - 3x + 2x^{2} ight)(1 - 3x)

    = 1 - 3x - 3x + 9x^{2} + 2x^{2} - 6x^{3}

    = 1 - 6x + 11x^{2} - 6x^{3}

    \Rightarrow y' = - 6 + 22x - 18x^{2}

  • Câu 25: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = −2.

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{3} - 3x^{2} + 2 = - 2

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\\end{matrix} ight.

    Với x = −1, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'(1) = 9 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7

    Với x = 2, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'( - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 28: Thông hiểu

    Biết \left\{ \begin{gathered} f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \hfill \\ f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ \end{gathered} ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Đáp án là:

    Biết \left\{ \begin{gathered} f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \hfill \\ f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ \end{gathered} ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x + 3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{\left( x^{2} - 2x + 3 ight)'}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}

    = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = a.b = - 1

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Với x \in \lbrack 0; + \infty) ta có: \left\{ \begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > - 1 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) = \ln(x + 1) - \ln(x + 4)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 4}

    Khi đó:

    T = f'(0) + f'(3) + f'(6) + ... + f'(2019)

    P = \left( 1 - \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ight) + ... + \left( \frac{1}{2020} - \frac{1}{2023} ight)

    P = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = 2^{2x}?

    Ta có:

    y = f(x) = 2^{2x}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 2^{2x}ight)' = (2x)'.2^{2x}.\ln2 = 2^{2x + 1}.\ln2

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{(x+1)^{3}}. Giải bất phương trình y" < 0

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{3.4.{{\left( {x + 1} ight)}^3}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^8}}} = \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^5} < 0,\left( {{\text{Do }}12 > 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D;x_{0} \in D. Nếu tồn tại giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}} thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0}

    Vậy kết quả của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2

  • Câu 36: Thông hiểu

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{2x + 3}{x - 2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: x = 3 \Rightarrow y(3) = 9

    y' = \frac{- 7}{(x - 2)^{2}} \Rightarrow y'(3) = \frac{- 7}{(3 - 2)^{2}} = - 7

    Phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 7(x - 3) + 9 \Rightarrow y = - 7x + 30

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có k = 9

    => 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 9\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\x_{0} = 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x0 = −1, ta có: \left\{\begin{matrix}y_{0} = - 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 7 (loại)

    với x0 = 3 thì \left\{\begin{matrix}y_{0} = 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 25 (thỏa mãn)

  • Câu 38: Nhận biết

    Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

    Dựa theo định lí:

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    => Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 39: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) =\sin3x . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

    • f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) || - 9
    • f''(0) || 0
    • f''\left( \frac{\pi}{18} ight) || - \frac{9}{2}
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =\sin3x . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

    • f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) || - 9
    • f''(0) || 0
    • f''\left( \frac{\pi}{18} ight) || - \frac{9}{2}

    Ta có:

    f(x) = \sin3x

    \Rightarrow f'(x) =3.\cos3x

    \Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}f''\left( - \dfrac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( -\dfrac{3\pi}{2} ight) = 9 \\f''(0) = - 9. \sin(3.0) = 0 \\f''\left( \dfrac{\pi}{18} ight) = - 9.\sin\left( \dfrac{3\pi}{18}ight) = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 63 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập