Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 2}{1 - x} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(m,1) là S . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S ?

    Kết quả: 13/4

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có: f'(x) = \frac{1 - x + x - 2}{(1 - x)^{2}} = \frac{- 1}{(1 - x)^{2}}

    Phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại M\left( x_{0};y_{0} ight) là:

    y - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( x - x_{0} ight)

    Tiếp tuyến đi qua P(m,1) nên 1 - \frac{x_{0} - 2}{1 - x_{0}} = \frac{- 1}{\left( 1 - x_{0} ight)^{2}}\left( m - x_{0} ight)

    \Leftrightarrow 2{x_{0}}^{2} - 6x_{0} + m + 3 = 0;\left( x_{0} eq 1 ight)(*)

    Để có 1 tiếp tuyến đi qua P(m,1) suy ra phương trình (*) có 1 nghiệm x_{0} eq 1

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \Delta = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ 2 - 6 + m + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow S = \left\{ 1;\frac{3}{2} ight\} \Rightarrow 1^{2} + \left( \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{13}{4}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} có dạng y'' = \frac{a}{(x - 1)^{3}} + \frac{b}{(x + 2)^{3}}. Tính giá trị biểu thức T = a + b.

    Ta có:

    y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x - 1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b = 4

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^{3} tại điểm (-1; -1)

    Ta tính được k = y'( - 1) =3

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = 3(x + 1)

    \Rightarrow y = 3x + 2

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức \frac{\sqrt{x}}{x + 1}. Thực hiện tính đạo hàm của hàm số ta được y' = \frac{...}{(x + 1)^{2}}. Biểu thức cần điền vào chỗ trống.

    Ta có:

    y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}

    \Rightarrow y' =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x + 1) - \sqrt{x}}{(x + 1)^{2}} = \dfrac{1 -x}{2\sqrt{x}(x + 1)^{2}}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x - 1}. Biết (C) song song với đường thẳng y = - 3x?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight)là tiếp điểm của tiếp tuyến

    Ta có: y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}}

    Do (C) song song với đường thẳng y = - 3x nên y'\left( x_{0} ight) = - 3

    \Leftrightarrow \frac{- 3}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} = - 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = - 1 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 3(x - 0) - 1 \Rightarrow y = - 3x - 1

    Với x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 5 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 3(x - 2) + 5 \Rightarrow y = - 3x + 11

  • Câu 8: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y =\sin2x.\cos x. Xác định giá trị y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)

    \Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)

    \Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)

    \Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) + \sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left( 3^{4} - \frac{1}{2} ight)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(t)=\frac{t+\tan t}{t-1} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} f(t) = \dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f\prime (t) = \left( {\dfrac{{t + \tan t}}{{t - 1}}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f\prime (t) = \dfrac{{\left( {t + \tan t} ight)'\left( {t - 1} ight) - \left( {t - 1} ight)'\left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {1 + 1 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'(t) = \dfrac{{\left( {2 + {{\tan }^2}t} ight).\left( {t - 1} ight) - \left( {t + \tan t} ight)}}{{{{\left( {t - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 3(s) của một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = 2t^{3} + 6t^{2} - t, trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét.

    Ta có:

    v(t) = S'(t) = 6t^{2} + 12t - 1

    Vận tốc tức thời của chuyển động khi t = 3(s) là:

    v(3) = 6.3^{2} + 12.3 - 1 = 89(m/s)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính số gia của hàm số y =\frac{x^{2}}{2} tại điểm x0 = -1 ứng với số gia \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f( - 1 + \Deltax) - f( - 1)

    \Rightarrow \Delta y = \frac{( - 1 +\Delta x)^{2}}{2} - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \Delta y = \frac{1 - 2\Deltax + (\Delta x)^{2}}{2} - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \Delta y =\frac{1}{2}(\Delta x)^{2} - \Delta x

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x - 2)...(x - 2022)}. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = 0?

    Đặt g(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - 2022)

    Khi đó f(x) = \frac{x}{g(x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{x'.g(x) - x.g'(x)}{g^{2}(x)}

    = \frac{g(x) - x.g'(x)}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(x)} - \frac{x.g'(x)}{g^{2}(x)}

    f'(0) = \frac{1}{g(0)} - 0.\frac{g'(0)}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(0)}

    = \frac{1}{( - 1).( - 2)...( - 2022)} = \frac{1}{2022!}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x_{0} thỏa mãn phương trình f''(x) = 0?

    Ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    Ta có:

    f''(x) = 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1(tm)

    Khi đó f'(1) = - 3 \Rightarrow M(1; - 1)

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

    y = f'(1)(x - 1) + f(1)

    \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 6^{x} là

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 6^{x} \Rightarrow y' =6^{x}.\ln6

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

    Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 20: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = \frac{t^{3}}{3} - 2t^{2} + 3t - 5; trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm t = 4(s) thì vận tốc tức thời của chuyển động bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    v(t) = S'(t) = t^{2} - 4t + 3

    Vận tốc tức thời của chuyển động khi t = 4(s) là:

    v(4) = 4^{2} - 4.4 + 3 = 3(m/s)

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) - 0}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 1000) = ( - 1)^{1000}.1000! = 1000!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan3x - \cot3x.

    Ta có:

    y =\tan3x - \cot3x

    \Rightarrow y' = \frac{3}{\cos^{2}3x}+ \frac{3}{\sin^{2}3x} = \frac{3}{\sin^{2}3x.\cos^{2}3x}

    = \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}\sin^{2}6x} =\dfrac{12}{\sin^{2}6x}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 26: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x)=t^{2}x+tx^{2} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {t^2}x + t{x^2} \hfill \\ \Rightarrow f\prime \left( x ight) = \left( {{t^2}x + t{x^2}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = {t^2} + 2tx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Nhận biết

    Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

    Dựa theo định lí:

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    => Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 29: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = 2\cos {x^2}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 2\cos {x^2} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {{x^2}} ight)'.2.\left[ { - \sin \left( {{x^2}} ight)} ight] \hfill \\ = - 4x\sin \left( {{x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    Và \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -\frac{1}{45}x.

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= - \frac{1}{45}x nên ta có:

    => k\left( - \frac{1}{45} ight) = -1 \Leftrightarrow k = 45

    \Leftrightarrow 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} =45 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 5 \\x_{0} = - 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x0 = 5, ta có: \left\{\begin{matrix}y_{0} = 52 \\k = 45 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 45x - 173

    với x0 = -2 thì \left\{\begin{matrix}y_{0} = - 52 \\k = 45 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 45x + 83

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: \left\lbrack \begin{matrix}y = 45x - 173 \\y = 45x + 83 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 33: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 34: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan x là:

    Tập xác định D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}

    Ta có: y = \tan x

    \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số y = {x^3} + 9{x^2} + 12x - 5

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 18x + 12 \hfill \\ \Rightarrow dy = \left( {3{x^2} - 18x + 12} ight)dx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) = f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 37: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n) với n \in\mathbb{N}^{*}. Tính f'(0).

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!

  • Câu 39: Thông hiểu

    Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{3} + 2x^{2} song song với đường thẳng x - y = 0?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng x - y = 0 của đồ thị hàm số y = - x^{3} + 2x^{2} khi đó ta có:

    y'\left( x_{0} ight) = 1 \Leftrightarrow - 3{x_{0}}^{2} + 4x_{0} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 1 \\ x_{0} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 1 ta được M(1;1) có phương trình tiếp tuyến tương ứng là y = 1(x - 1) + 1 \Rightarrow y = x

    Với x_{0} = \frac{1}{3} ta được M\left( \frac{1}{3};\frac{5}{27} ight) có phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = 1\left( x - \frac{1}{3} ight) + \frac{5}{27} \Rightarrow y = x - \frac{4}{27}

    Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023}

    S = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập