Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 2: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} ight) + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} ight) \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.\left( { - {{\sin }^2}x} ight) \hfill \\  y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x - {\sin ^4}x = {\cos ^6}x \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}  y\prime  = \left( {{{\cos }^6}x} ight)\prime  \hfill \\   = 6.{\cos ^5}x.\left( {\cos x} ight)\prime  \hfill \\   =  - 6\sin x.{\cos ^5}x \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Biết f(x) =
\cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x
+ a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2}
ight)

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a +
\frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2}
ight)

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{3x + 5}{- 1 + 2x}. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{3x + 5}{- 1 +
2x}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(3x +
5)'( - 1 + 2x) - ( - 1 + 2x)'(3x + 5)}{( - 1 +
2x)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{3(2x - 1)
- 2(3x + 5)}{( - 1 + 2x)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 13}{( -
1 + 2x)^{2}}

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x -
1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x -
1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1
= - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\
\ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} =
\frac{5}{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight).

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - 3x +2 ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3).\cos\left( x^{2} - 3x + 2ight)

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y =  - \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - \dfrac{1}{2}\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight).\left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight)\prime  \hfill \\   =  - 2x.\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho parabol y=x^{2}+3x+2. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

     Ta có:

    \begin{matrix}  y = {x^2} + 3x + 2 \hfill \\   \Rightarrow y' = 2x + 3 \hfill \\   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {y'\left( 1 ight) = 5} \\   {y\left( 1 ight) = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 6) là:

    y = 5\left( {x - 1} ight) + 6 hay y = 5x + 1

    Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x + 2 và vuông góc với đường thẳng y=-\frac{1}{5}x-3.

    Mặt khác ta có: - 1 e 5\left( {0 - 1} ight) + 6 = 1

    Vậy tiếp tuyến không đi qua điểm N(0; -1).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    v(t) = s’(t) = 3t2 − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6

    Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s

    Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s2

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\   0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - \frac{3}{2} ight\}

    Ta có:

    y' = \frac{- 1}{(2x + 3)^{2}} <
0;\forall x \in D

    Tam giác OAB cân tại O suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1 hoặc -1

    Do y’ < 0 nên k = -1

    Gọi tọa độ tiếp điểm là \left(
x_{0};y_{0} ight);\left( x_{0} \in D ight) ta có: - \frac{1}{\left( 2x_{0} + 3 ight)^{2}} = - 1
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = - 2 \\
x_{0} = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1
\Rightarrow PT:y = - x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0
\Rightarrow PT:y = - x - 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = - 3

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2020)}. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0?.

    Ta có:

    Đặt g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x -
2020)

    Khi đó: f(x) =
\frac{x}{g(x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{x'g(x)
- g'(x).x}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(x)} -
x.\frac{g'(x)}{g^{2}(x)}

    \Rightarrow f'(0) = \frac{1}{g(0)} -
x.\frac{g'(0)}{g^{2}(0)} = \frac{1}{g(0)}

    = \frac{1}{( - 1)( - 2)...( - 2020)} =
\frac{1}{2020!}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x_{0} = 1?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -
4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -
1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)

    Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

  • Câu 14: Vận dụng

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn là S(t) = - t^{3} +
6t^{2}. Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 6t^{2}

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) =
S'(t) = - 3t^{2} + 12t

    \Rightarrow v'(t) = - 6t +
12

    v'(t) = 0 \Leftrightarrow 12 - 6t =
0 \Leftrightarrow t = 2

    v(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - 3t^{2} =
0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t = 0 \\
t = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Vậy vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2(s).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = {x^2}\tan x + \sqrt x

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = {x^2}\tan x + \sqrt x  \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \left( {{x^2}} ight)\prime \tan x + {x^2}\left( {\tan x} ight)\prime  + \left( {\sqrt x } ight)\prime  \hfill \\   = 2x.\tan x + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=(\frac{3}{x}-2x)(\sqrt{x}-4) bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \left( {\dfrac{3}{x} - 2x} ight)\left( {\sqrt x  - 4} ight) \hfill \\   \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{3}{x} - 2x} ight)'\left( {\sqrt x  - 4} ight) + \left( {\sqrt x  - 4} ight)'\left( {\dfrac{3}{x} - 2x} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \left( {\dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - 2} ight)\left( {\sqrt x  - 4} ight) + \left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} ight)\left( {\dfrac{3}{x} - 2x} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - 3\sqrt x }}{{{x^2}}} + \dfrac{{12}}{{{x^2}}} - 2\sqrt x  + 8 + \dfrac{3}{{2x\sqrt x }} - \sqrt x  \hfill \\   \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - 3}}{{2x\sqrt x }} - 3\sqrt x  + \dfrac{{12}}{{{x^2}}} + 8 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y =x.\cos x. Hệ thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    y = x.\cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - x\sin
x

    \Rightarrow y'' = - 2\sin x -x\cos x

    \Rightarrow y'' + y = - 2\sin x -x\cos x + x\cos x = - 2\sin x

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y = x^{2} tại điểm có hoành độ \frac{1}{2}.

    Ta có:

    y'\left( \dfrac{1}{2} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\dfrac{f\left( \dfrac{1}{2} + \Delta xight) - f\left( \dfrac{1}{2} ight)}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + \Delta x ight)^{2} - \left( \dfrac{1}{2}ight)^{2}}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow 0}(1 +\Delta x) = 1

  • Câu 19: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} =
1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} +
2

    \Rightarrow y''(x) = 6x
\Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{3x-2}{1-x}. Giải bất phương trình y" > 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {1 - x} ight) + \left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {1 - x} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.\left( { - 1} ight)\left( {1 - x} ight)}}{{{{\left( {1 - x} ight)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix}  y'' > 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} ight)}^3}}} > 0 \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {1 - x} ight)^3} > 0,\left( {{\text{Do }}2 > 0} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}.

    Ta có: y = 4x^{2} - \sqrt{x} +
\frac{1}{x}

    \Rightarrow y' = 8x -
\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} -
\frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} -
\frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t -
6

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = 3t^{2} -
7

    Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v(t) =
0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t = 3(tm) \\
t = - 1(ktm) \\
t = - 2(ltm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

    a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2}
ight)

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hàm số y=\frac{1}{x^{2}-1}. Tính giá trị của y^{(3)}(2)

     \begin{matrix}  y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\   = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\   = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} =  - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in
R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x +
1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} +
1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} -
36x^{2}

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số y =
\sin x + \cos x. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;3\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sin x + \cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - \sin
x

    \Rightarrow y'' = - \sin x -
\cos x

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow -
\sin x - \cos x = 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x +
\frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} =
k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} +
k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack
\Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}

    Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính số gia của hàm số y = x^{3} + x^{2}+ 1 tại điểm x0 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f\left( x_{0} + 1ight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = \left\lbrack\left( x_{0} + 1 ight)^{3} + \left( x_{0} + 1 ight)^{2} + 1ightbrack - \left( {x_{0}}^{3} + {x_{0}}^{2} + 1ight)

    \Rightarrow \Delta y = 3{x_{0}}^{2} +5x_{0} + 2

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} =
2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -
x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) =
2

  • Câu 28: Thông hiểu

    Đạo hàm bậc hai của hàm số y = x\sqrt{1 +
x^{2}} là:

    Ta có:

    y = x\sqrt{1 + x^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{2x^{2} +
1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2x^{3} +
3x}{\left( 1 + x^{2} ight)\sqrt{1 + x^{2}}}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x_{0}. Đạo hàm của f tại x_{0} là: 

    Đạo hàm của f tại x_{0} là \underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (nếu tồn tại giới hạn)

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}?

    Ta có:

    y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}
\Rightarrow y' = \left( \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}
ight)'

    \Rightarrow y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} +1} - \dfrac{(x + 3)x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1} = \dfrac{1 -3x}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm m. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f'(m)
= \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x + 2} song song với đường thẳng 3x - y + 2 =
0?

    Ta có: y' = \frac{3}{(x +
2)^{2}}

    Vì tiếp tuyến song song với 3x - y + 2 =
0 nên hệ số góc bằng 3 nên gọi tọa độ tiếp điểm là M\left( x_{0};y_{0} ight)

    Khi đó y'\left( x_{0} ight) = 3
\Leftrightarrow \frac{3}{\left( x_{0} + 2 ight)^{2}} = 3

    \Leftrightarrow \left( x_{0} + 2
ight)^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = - 1 \\
x_{0} = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow (d):y = 3(x +
1) - 1 = 3x + 2

    Với x_{0} = - 3 \Rightarrow (d):y = 3(x +
3) + 5 = 3x + 14

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Ta có: f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1

    Để hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
0 thì hàm số phải liên tục tại x_{0} = 0 nên

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Suy ra - b - 1 = 1 \Rightarrow b = -
2

    Khi đó f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 -
1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -
2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) =
a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó a = - 2

    Vậy giá trị của biểu thức T = a - b =
0

  • Câu 35: Thông hiểu

    Biết \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3}  \hfill \\
  f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Đáp án là:

    Biết \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x ight) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3}  \hfill \\
  f'\left( x ight) = \frac{{ax + b}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. . Khi đó giá trị biểu thức M = a.b = -1|| - 1

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{x^{2} - 2x +
3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{\left(
x^{2} - 2x + 3 ight)'}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}} = \frac{2x -
2}{2\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}

    = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 3}}
\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M = a.b = - 1

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1 theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)

    \Delta y = 3\Delta x

    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\\end{matrix} ight.. Biết hàm số có đạo hàm tại x = 2. Giá trị của a^{2} + b^{2} bằng:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{3}- x^{2} - 8x + 10 ight) = - 2

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =f(2) = 4 + 2a + b

    Để hàm số có liên tục tại x = 1 thì:

    4 + 2a + b = - 2

    Xét \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{f(x)- f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\left(x^{3} - x^{2} - 8x + 10 ight) - (4 + 2a + b)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{3}- x^{2} - 8x + 12}{x - 2} = 0

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{f(x) -f(2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\left(x^{2} + ax + b ight) - (4 + 2x + b)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 2 + a)= 4 + a

    Từ đó suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = - 4;b = 2

    Vậy a^{2} + b^{2} = 20

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{3x}{|x| + 1} . Giá trị f'(0) = 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{3x}{|x| + 1} . Giá trị f'(0) = 3

    Ta có: f'(0) = \lim_{x ightarrow
0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| +
1}

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{+}}\dfrac{3}{x + 1} = 3 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{-}}\dfrac{3}{1 - x} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{3}{|x| + 1} =
3

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
0}\frac{3}{|x| + 1} = 3

    \Rightarrow f'(0) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = 3

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)
= \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} -
2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x
\Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) =
3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x =
6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 =
6

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo