Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Hàm số nào sau đây có đạo hàm bằng $\frac{1}{\sqrt{2x}}$ ?
- A.
  $f(x) = 2\sqrt{x}$
- B.
  $f(x) = \sqrt{x}$
- C.
  $f(x) = \sqrt{2x}$
- D.
  $f(x) = - \frac{1}{\sqrt{2x}}$
Ta có:

$f'(x) = \left( \sqrt{2x} ight)' = \frac{1}{\sqrt{2x}}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm công thức đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3x + 1}{x + 2}$ ?
- A.
  $y'' = \frac{10}{(x + 2)^{2}}$
- B.
  $y'' = - \frac{10}{(x + 2)^{3}}$
- C.
  $y'' = - \frac{5}{(x + 2)^{3}}$
- D.
  $y'' = - \frac{5}{(x + 2)^{4}}$
Ta có: $y = \frac{3x + 1}{x + 2} = 3 - \frac{5}{x + 2}$

$\Rightarrow y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} \Rightarrow y'' = \frac{- 10}{(x + 2)^{3}}$
Câu 3: Thông hiểu
Xác định hệ số góc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x + 1}{2x - 3}$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 1$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $- \frac{1}{5}$
- C.
  $- 2$
- D.
  $\frac{1}{3}$
TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3}{2} ight\}$

Ta có: $f'(x) = \frac{- 5}{(2x - 3)^{2}}$

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 1$ là:

$f'(-1) = \frac{- 5}{\left\lbrack 2.(- 1) - 3 ightbrack^{2}} = - \frac{1}{5}$
Câu 4: Vận dụng cao

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ .

Giá trị biểu thức $H = 3f(2) + 4f'(2) =$ 10

Đáp án là:

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ .

Giá trị biểu thức $H = 3f(2) + 4f'(2) =$ 10

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0(*)$

Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

$- f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)$ $+ 2x.g(x) + x^{2}g'(x) + 36 = 0(**)$

Từ (*) và (**) ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (1) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2)f'(2) + 36 = 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1) ta có: $\left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $f(2) = 0$ thay vào (2) ta được 36 = 0 (loại)

Với $f(2) = 2$ thay vào (2) ta được:

$- 36.f'(2) + 36 = 0 \Leftrightarrow f'(2) = 1$

Vậy $H = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10$
Câu 5: Nhận biết
Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''(1) = 6$
- B.
  $f''(1) = 8$
- C.
  $f''(1) = 3$
- D.
  $f''(1) = 2$
Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$
Câu 6: Vận dụng
Cho hàm số $y = x^{n}$ . Công thức tính $y^{(n)}$ là:
- A.
  $n$
- B.
  $(n - 1)!$
- C.
  $n - 1$
- D.
  $n!$
Ta có: $y' = \left( x^{n} ight)' = n.x^{n - 1}$

$y'' = \left( n.x^{n - 1} ight)' = n.(n - 1).x^{n - 2}$

$y^{(3)} = \left( n.(n - 1).x^{n - 2} ight)' = n.(n - 1)(n - 2).x^{n - 3}$

….

$y^{(n - 1)} = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - n + 1).x = n!x$

$y^{(n)} = n!$
Câu 7: Nhận biết
Hàm số $f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}}$ liên tục trên:
- A.
  $[-4;3]$
- B.
  $[-4;3)$
- C.
  $(-4;3]$
- D.
  $[-\infty ;-4]\cup [3;+\infty ]$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]$
Vậy hàm số liên tục trên $\left( { - 4;3} ight]$
Câu 8: Nhận biết
Cho hàm số $y =f(x) = - 3\cos x$ . Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_{0} = \frac{\pi}{2}$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:

$y = f(x) = - 3\cos x$

$\Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x$

$\Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0$
Câu 9: Thông hiểu
Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Deltax}$ của hàm số $y = 3x +1$ theo x và $\Delta x$
- A.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =0$
- B.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =1$
- C.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =2$
- D.
  $\frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Ta có:
$\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$
$\Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)$
$\Delta y = 3\Delta x$
$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3$
Câu 10: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = x^{3} - mx^{2} +2m$ có đồ thị $(C)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ bằng $1$ . Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $(C)$ tại $A$ biết tiếp tuyến cắt đường tròn $(\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = x^{3} - mx^{2} +2m$ có đồ thị $(C)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ bằng $1$ . Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $(C)$ tại $A$ biết tiếp tuyến cắt đường tròn $(\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số gia của hàm số $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ tương ứng với $x$ và $\Delta x$ là $\Delta x(\Delta x + 2x - 4)$ Đúng||Sai

b) Qua điểm $A(0;2)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2} + 2$ . Sai||Đúng

c) Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = \frac{1}{16}$ Đúng||Sai

d) Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ khi đó ta có $y.y' = 2x$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)$

$= (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)$

$= \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)$

b) Ta có

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng $y = kx + 2$

Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm

Thay (**) vào (*) ta suy ra $\left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.$

Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

d) Ta có:

$y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x$
Câu 12: Nhận biết
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^{3}$ tại điểm (-1; -1)
- A.
  $y = - 3x - 4$
- B.
  $y = - 1$
- C.
  $y = 3x - 2$
- D.
  $y = 3x + 2$
Ta tính được $k = y'( - 1) =3$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến
$y + 1 = 3(x + 1)$
$\Rightarrow y = 3x + 2$
Câu 13: Thông hiểu
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \tan x$ là:
- A.
  $y'' =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}$
- B.
  $y'' = - \frac{\sin x}{\cos^{3}x}$
- C.
  $y'' = \frac{\sin x}{\cos^{3}x}$
- D.
  $y'' = -\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}$
Tập xác định $D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}$

Ta có: $y = \tan x$

$\Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}$

$\Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}$
Câu 14: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f'(0) = ?$
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{16}$
- C.
  $\frac{1}{32}$
- D.
  $\frac{1}{8}$
Với $x eq 0$ xét:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}$

$\Rightarrow f'(0) = \frac{1}{16}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ được xác định bởi công thức $f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại $x = 1$ thì giá trị biểu thức $2a + b$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $5$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 5$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2$

$\lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b$

Theo yêu cầu bài toán

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 2a + b = 2$
Câu 16: Vận dụng
Cho hàm số $y = x^{3} - 2x + 1$ . Có thể viết được bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết nó tạo với hai trục $Oxy$ một tam giác vuông cân tại $O$ ?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d)

Gọi phương trình chắn cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân tại O có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

$\Rightarrow y = b\left( 1 - \frac{x}{a} ight) = - \frac{b}{a} + b;\left( a,b eq 0;|a| = |b| ight)(d)$

$M\left( x_{0};y_{0} ight)$ là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d) khi đó:

$3{x_{0}}^{2} - 2 = - \frac{b}{a}$

Vì $|a| = |b| \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3{x_{0}}^{2} - 2 = 1 \\ 3{x_{0}}^{2} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 0 \\\begin{matrix}x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 2 \\x_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 - 5\sqrt{3}}{9}\\x_{0} = - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 + 5\sqrt{3}}{9}\\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau:

$y = 1(x - 1) + 0 \Rightarrow y = x - 1$

$y = 1(x - 1) + 2 \Rightarrow y = x + 3$

$y = - 1\left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 - 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = x + \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}$

$y = - 1\left( x + \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 + 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = - x + \frac{9 + 2\sqrt{3}}{9}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021)$ tại điểm $x = 0$ ?
- A.
  $f'(0) = 0$
- B.
  $f'(0) = 2021!$
- C.
  $f'(0) = 2021$
- D.
  $f'(0) = - 2021!$
Ta có:

$f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) ightbrack$

$= ( - 1)( - 2).....( - 2021) = - 2021!$

Vậy $f'(0) = - 2021!$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1$ . Tìm tập nghiệm của bất phương trình $f''(x) > 0$ ?
- A.
  $S = (1; + \infty)$
- B.
  $S = ( - \infty;0)$
- C.
  $S = ( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$
- D.
  $S = ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)$
Ta có:

$y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x + 2$

$\Rightarrow f''(x) = 6x - 6$

Ta lại có:

$f''(x) > 0$

$\Leftrightarrow 6x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = (1; + \infty)$
Câu 19: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = (2x - 1)\sqrt{x^{2} + x}$ ?
- A.
  $y' = \frac{8x^{2} - 4x +1}{2\sqrt{x^{2} + x}}$
- B.
  $y' = \frac{8x^{2} + 4x + 1}{2\sqrt{x^{2} + x}}$
- C.
  $y' = \frac{8x^{2} - 4x -1}{2\sqrt{x^{2} + x}}$
- D.
  $y' = \frac{8x^{2} + 4x - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}}$
Ta có:

$y = (2x - 1)\sqrt{x^{2} + x}$

$\Rightarrow y' = 2\sqrt{x^{2} + x} + \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{2\sqrt{x^{2} + x}}$

$= \frac{4x^{3} + 4x + 4x^{2} - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}} = \frac{8x^{2} + 4x - 1}{2\sqrt{x^{2} + x}}$
Câu 20: Nhận biết
Cho $f$ là hàm số liên tục tại x₀. Đạo hàm của $f$ tại x₀ là:
- A.
  $f(x)$
- B.
  $\frac{f\left( x_{0} + h ight) -f(x)}{h}$
- C.
  $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
- D.
  $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f\left( x_{0} - h ight)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn)
Đạo hàm của $f$ tại x₀ là: $\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 21: Nhận biết
Tính đạo hàm hàm số $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ ?
- A.
  $y' = 2x - \frac{1}{x^{2}}$
- B.
  $y' = x - \frac{1}{x^{2}}$
- C.
  $y' = x + \frac{1}{x^{2}}$
- D. $y' = 2x + \frac{1}{x^{2}}$
Ta có:

$y = x^{2} - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \left( x^{2} - \frac{1}{x} ight)'$

$\Rightarrow y' = \left( x^{2} ight)' - \left( \frac{1}{x} ight)'$

$\Rightarrow y' = 2x - \left( - \frac{1}{x^{2}} ight) = 2x + \frac{1}{x^{2}}$
Câu 22: Vận dụng
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight.$ có đạo hàm tại điểm x = 1 (với $a,b\mathbb{\in R}$ ). Giá trị của biểu thức $P = 2a - 5b$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $51$
- B.
  $61$
- C.
  $- 21$
- D.
  $11$
Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:
Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$
$\Rightarrow a + b = 2$
Và $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)$
$\Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)$
$\Leftrightarrow a = 3$
$\Rightarrow b = - 1$
Vậy giá trị của biểu thức $P = 2a - 5b =11$
Câu 23: Thông hiểu
Cho hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 1$ . Tập nghiệm của bất phương trình $y''' \leq 6$ là:
- A.
  $S = ( - \infty;1brack$
- B.
  $S = ( - \infty;2brack$
- C.
  $S = \lbrack 2; + \infty)$
- D.
  $S = ( - \infty;2)$
Ta có:

$y = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 1$

$\Rightarrow y' = x^{3} - 3x^{2} \Rightarrow y'' = 3x^{2} - 6x$

$\Rightarrow y^{(3)} = 6x - 6$

$y^{(3)} \leq 6 \Leftrightarrow 6x - 6 \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 2$

Vậy $S = ( - \infty;2brack$
Câu 24: Thông hiểu
Cho đường cong có phương trình $y=x^{3}-2x+1$ . Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
- A.
  1
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  2
Ta có:
$\begin{matrix} y = {x^3} - 2x + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 2 \hfill \\ \Rightarrow y'\left( 1 ight) = {3.1^2} - 2 = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hệ số góc tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ bằng 1 là k = 1
Câu 25: Vận dụng

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét.

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

Đáp án là:

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét.

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9$

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$a = S'' = - 6t + 6$

Gia tốc triệt tiêu khi $a = 0 \Rightarrow S'' = 0 \Rightarrow t = 1$

Khi đó vận tốc của chuyển động là $S'(1) = 12m/s$
Câu 26: Nhận biết
Đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}$ (với $m = const$ ) là:
- A.
  $2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} + 2m$
- B.
  $2x^{3} + 5x^{2} + \frac{1}{2\sqrt{2x}}$
- C.
  $2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}}$
- D.
  $2x^{3} + 5x^{2} - \sqrt{2}$
Ta có:

$y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} + 0$

$\Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}}$
Câu 27: Nhận biết
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin^{2}x$ là:
- A.
  $y'' =\frac{1}{2}.\cos2x$
- B.
  $y'' =2.\sin2x$
- C.
  $y'' = 2.\cos2x$
- D.
  $y'' =2.\cos x$
Ta có: $y = \sin^{2}x$

$\Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x$

$\Rightarrow y'' =2\cos2x$
Câu 28: Nhận biết
Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = 3cost$ . Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ của vật là:
- A.
  $v(t) = - 3sint$ .
- B.
  $v(t) = - 3cost$ .
- C.
  $v(t) = 3cost$ .
- D.
  $v(t) = 3sint.$
Ta có $v(t) = s'(t) = (3cost)^{'} = - 3sint$ .
Câu 29: Nhận biết
Với $x\mathbb{\in R}$ , đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$ là:
- A.
  $y'' = 30x^{4} - 24x + 2$
- B.
  $y'' = 30x^{4} - 24x$
- C.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$
- D.
  $y'' = 6x^{5} - 12x^{2}$
Ta có: $y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022$

$\Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2$

$\Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x$
Câu 30: Nhận biết
Cho hàm số $y = x^{2} - x + 2$ . Tính $y'(1)$ ?
- A.
  $y'(1) = - 1$
- B.
  $y'(1) = 1$
- C.
  $y'(1) = 2$
- D.
  $y'(1) = 0$
Ta có: $y = x^{2} - x + 2$

$\Rightarrow y' = 2x - 1$

$\Rightarrow y'(1) = 2.1 - 1 = 1$
Câu 31: Vận dụng cao
Một vật rơi tự do theo phương trình $s =\frac{1}{3}gt^{2}$ , trong đó $g =9,8m/s^{2}$ là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + ∆t với ∆t = 0,001s.
- A.
  $v_{tb} = 49,114m/s$
- B.
  $v_{tb} = 49,0425m/s$
- C.
  $v_{tb} = 49,0049m/s$
- D.
  $v_{tb} = 49,125m/s$
Ta có:
$v_{tb} = \frac{s(t + \Delta t) -s(t)}{\Delta t}$
$\Rightarrow v_{tb} =\dfrac{\dfrac{1}{2}g(t + \Delta t)^{2} - \dfrac{1}{2}gt^{2}}{\Delta t}$
$\Rightarrow v_{tb} = gt +\frac{1}{2}g\Delta t = 49,0049m/s$
Vậy vận tốc trung bình của chuyển động là 49,0049m/s.
Câu 32: Vận dụng
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $f'(1)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{-9}{64}$
- C.
  $\frac{- 7}{50}$
- D.
  $\frac{11}{24}$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)$
=> Hàm số liên tục tại x = 1
Khi đó ta có:
$f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$
$= \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}$
$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}$
Câu 33: Thông hiểu
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $3x - y + 2 = 0$ ?
- A.
  $y = 3x + 3$
- B.
  $y = 3x - 2$
- C.
  $y = 3x + 14$
- D.
  $y = 3x + 5$
Ta có: $y' = \frac{3}{(x + 2)^{2}}$

Vì tiếp tuyến song song với $3x - y + 2 = 0$ nên hệ số góc bằng 3 nên gọi tọa độ tiếp điểm là $M\left( x_{0};y_{0} ight)$

Khi đó $y'\left( x_{0} ight) = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{\left( x_{0} + 2 ight)^{2}} = 3$

$\Leftrightarrow \left( x_{0} + 2 ight)^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow (d):y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2$

Với $x_{0} = - 3 \Rightarrow (d):y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14$
Câu 34: Nhận biết
Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
- A.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trái tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- B.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm phải tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
- C.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm −x₀.
- D.
  Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
Dựa theo định lí:
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.
=> Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số $y =f(x)$ có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.”
Câu 35: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$ .

Kết quả: $S =$ 2018/2019

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Đáp án là:

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$ .

Kết quả: $S =$ 2018/2019

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Ta có:

$y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$

$\Rightarrow f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) ightbrack'$

$= \frac{1}{\frac{2018x}{x + 1}}.\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)'$

$= \frac{x + 1}{2018x}.\frac{2018}{(x + 1)^{2}}$

$= \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Khi đó:

$S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}$

$S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$

VD

1
Câu 36: Thông hiểu

Phương trình chuyển động của một chất điểm là $S(t) = 4t^{2} - 2t^{3} + 5$ với $t$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $S$ là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất là $x(m/s)$ tại thời điểm $t = y(s)$ . Xác định giá trị biểu thức $H = x.y$ .

$H =$ 16/9

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Đáp án là:

Phương trình chuyển động của một chất điểm là $S(t) = 4t^{2} - 2t^{3} + 5$ với $t$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $S$ là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất là $x(m/s)$ tại thời điểm $t = y(s)$ . Xác định giá trị biểu thức $H = x.y$ .

$H =$ 16/9

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Ta có:

$S(t) = 4t^{2} - 2t^{3} + 5$

Suy ra vận tốc của chuyển động là $v(t) = S'(t) = - 6t^{2} + 8t;(a = - 6;b = 8)$

Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t = - \frac{b}{2a} = \frac{2}{3}(s)$

$\Rightarrow v_{\max} = v\left( \frac{2}{3} ight) = \frac{8}{3}$

Vậy $H = x.y = \frac{2}{3}.\frac{8}{3} = \frac{16}{9}$
Câu 37: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định tại $x_{0} = 6$ và thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2$ . Giá trị của $f'(6)$ bằng:
- A.
  12
- B. 2
- C. $\frac{1}{3}$
- D. $\frac{1}{2}$
Hàm số $y = f(x)$ có tập xác định là $D$ và $x_{0} \in D$ .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$ thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại $x_{0}$ .

Vậy $f'(6) = \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.$
Câu 38: Vận dụng cao

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Đáp án là:

Cho hai hàm số $f(x);g(x)$ đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

$f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0$

với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị biểu thức $M = 3f(2) + 4f'(2)$ = 10

Với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)$

Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

$- 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)$

$+ 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (3) ta có: $\left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Với $f(2) = 0$ thay vào (4) ta được 36 = 0

Với $f(2) = 2$ thay vào (4) ta được $- 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1$

Vậy $M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10$
Câu 39: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)=2x^{2}+16cosx-cos2x$ . Tính giá trị của $f"(\pi)$
- A.
  $f''(\pi ) = 24$
- B.
  $f''(\pi ) = 4$
- C.
  $f''(\pi ) = -16$
- D.
  $f''(\pi ) = -8$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = 2{x^2} + 16cosx - cos2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x \hfill \\ \Rightarrow f'\left( \pi ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2\sqrt{2}x^{2}+8x-1$ , có đao hàm là $f'(x)$ . Tập hợp những giá trị của x để $f'(x) = 0$ là:
- A.
  $\left\{ { - 2\sqrt 2 } ight\}$
- B.
  $\left \{ 2;\sqrt{2} ight \}$
- C.
  $\left \{ -4\sqrt{2} ight \}$
- D.
  $\left \{ 2\sqrt{2} ight \}$
Ta có:
$\begin{matrix} f(x) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2\sqrt 2 } ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ {2\sqrt 2 } ight\}$

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!