Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} ight)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}{\text{ khi }}x > 1 \hfill \\ 8 + {a^2}{\text{ khi }}x \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số liên tục tại điểm x = 1?

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1) = 8 + a^{2}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} - (a - 2)x - 2}{\sqrt{x + 3} - 2}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\dfrac{(x -1)(ax + 2)}{\dfrac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (ax + 2)\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight) ightbrack

    = 4a + 8

    Hàm số liên tục tạo x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow 4a + 8 = 8 + a^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{3x-2}{1-x}. Giải bất phương trình y" > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {1 - x} ight) + \left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {1 - x} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.\left( { - 1} ight)\left( {1 - x} ight)}}{{{{\left( {1 - x} ight)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} ight)}^3}}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} ight)^3} > 0,\left( {{\text{Do }}2 > 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\frac{2x-1}{x+1}. Giải phương trình f'(x) = f"(x)

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \ln2021 + \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight). Tính giá trị biểu thức:

    S = f'(1) + f'(2) + .... + f'(2020)

    Ta có:

    f'(x) = \dfrac{\left( \dfrac{x}{x + 1}ight)'}{\dfrac{x}{x + 1}} = \dfrac{\dfrac{1}{(x + 1)^{2}}}{\dfrac{x}{x+ 1}}

    = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    Suy ra = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    f'(2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

    f'(3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}

    …

    f'(2020) = \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021}

    Vậy S = f'(1) + f'(2) + .... + f'(2020) = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}

  • Câu 5: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 7: Vận dụng

    Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 2x đi qua điểm M( - 1;0)?

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M( - 1;0) có dạng y = a(x + 1) = ax + a\ \ \ (d)

    Đường thẳng (d) là tiếp tuyến khi hệ \left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3x^{2} + 2x = ax + a \\ 3x^{2} - 6x + 2 = a \\ \end{matrix} ight. có nghiệm

    Dễ thấy hệ phương trình có ba nghiệm (a;x) phân biệt nên có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} + 9t + 2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?

    Ta có s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    Vận tốc của chất điểm

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t +9

    \Rightarrow v(t) = 3(t - 1)^{2} + 6 \geq6

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x^{2} + 2} là:

    Ta có:

    y = 2^{x^{2} + 2}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2ight)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2

    = 2x.2^{x^{2} + 2}.ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 11: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y=\frac{1}{x^{2}-1}. Tính giá trị của y^{(3)}(2)

     \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 1} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} - \dfrac{{2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}}} ight] \hfill \\ = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 3{{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^6}}} + \dfrac{{3{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 2 ight) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} ight)}^4}}} + \dfrac{3}{{{{\left( {2 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{{80}}{{27}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ ;\ x \geq 1 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } \frac{{f\left( x ight) - f\left( 1 ight)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy f'\left( 1^{-} ight) = f'\left( 1^{+} ight) = f'(1) = 2

    Suy ra hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 1

    Vậy mệnh đề sai là: ∄f'(1)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{mx^{3}}{3} - \frac{mx^{2}}{2} + (3 - m)x - 2. Tìm giá trị của m để f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}?

    Ta có:

    f'(x) = mx^{2} - mx + (3 - m)

    Nếu m = 0 thì f'(x) = 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Nếu m eq 0 thì f'(x) = mx^{2} - mx + 3 - m là tam thức bậc hai

    f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m^{2} - 4m(3 - m) < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 5m^{2} - 12m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 0 < m < \frac{12}{5} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy 0 \leq m < \frac{12}{5}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\sqrt{x^{2}-1}. Đạo hàm f'(x) có tập xác định là:

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \sqrt {{x^2} - 1} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {\sqrt {{x^2} - 1} } ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    => Tập xác định của hàm số f'(x) là:

    {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + 2}{2x + 3} có đồ thị (C) . Đường thẳng d có phương trình y = ax + b là tiếp tuyến của (C) . Biết d cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại  sao cho tam giác OAB cân tại O , với O là gốc tọa độ.

    Giá trị của a + b = -3|| - 3

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{3}{2} ight\}

    Ta có:

    y' = \frac{- 1}{(2x + 3)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Tam giác OAB cân tại O suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1 hoặc -1

    Do y’ < 0 nên k = -1

    Gọi tọa độ tiếp điểm là \left( x_{0};y_{0} ight);\left( x_{0} \in D ight) ta có: - \frac{1}{\left( 2x_{0} + 3 ight)^{2}} = - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 2 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PT:y = - x

    Với x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow PT:y = - x - 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 3

  • Câu 19: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x = 1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}. Giá trị f'(1) = 0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; + \infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} + \frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2 là y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} = 5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x - 2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) = 0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5 ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x} ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) = - 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left( x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} có đồ thị hàm số \left( C_{m} ight) . Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng \Delta:3x - y + 1 = 0 ?

    Giá trị của tham số m là: -2|| - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} có đồ thị hàm số \left( C_{m} ight) . Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng \Delta:3x - y + 1 = 0 ?

    Giá trị của tham số m là: -2|| - 2

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}}

    Gọi M(0; - m) \in (C); k là hệ số góc tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại M và \Delta:3x - y + 1 = 0

    Do tiếp tuyến M song song với \Delta:3x - y + 1 = 0 nên k = 3

    \Leftrightarrow y'(0) = 3 \Leftrightarrow 1 + m = 3 \Rightarrow m = - 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x_{0} = 1?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 - 4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x - 1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)

    Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Hàm số y = f(x)= \log_{2}\left( x^{2} - 2x ight) có đạo hàm là:

    Ta có:

    y = f(x) = \log_{2}\left( x^{2} - 2xight)

    \Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2}- 2x ight)'}{\left( x^{2} - 2x ight)\ln2} = \frac{2x - 2}{\left(x^{2} - 2x ight)\ln2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \frac{x}{\sqrt{x+4}-2} với xeq 0 xác định và liên tục trên (-4;+\infty). Tính f(0).

    Do hàm số xác định và liên tục trên (-4;+\infty)

    => Hàm số liên tục tại x= 0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 4} - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}}{{\left( {\sqrt {x + 4} - 2} ight)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight)}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 4} + 2} ight) = 4 \hfill \\ \mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} - 0}{x}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1ight)}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}. Giải bất phương trình f'(x) = 0 có tập nghiệm S là:

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{x - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^3}} ight)'\left( {x - 1} ight) - \left( {{x^3}} ight).\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{3{x^2}\left( {x - 1} ight) - {x^3}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{3{x^3} - 3{x^2} - {x^3}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình f'(x) = 0 ta có:

    Điều kiện xác định x e 1

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^3} - 3{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có tập nghiệm S=\left \{ 0;\frac{3}{2} ight \}

  • Câu 29: Nhận biết

    Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là:

    Ta có v(t) = s'(t) = (3cost)^{'} = - 3sint.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 31: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 0 thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t - 9 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = v'(t) = \left( 3t^{2} - 6t - 9 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

    a(3) = 6.3 - 6 = 12\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 33: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 34: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = \left( 3t^{2} - 6t + 5 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 2s là

    a(2) = 6.2 - 6 = 6\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 35: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x} là

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 2^{x} \Rightarrow y' =2^{x}.\ln2

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \log\left( x^{2} - 2x - m + 1 ight) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho xác định trên tập số thực?

    Để hàm số có tập xác định D\mathbb{= R} khi và chỉ khi x^{2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \Delta' < 0

    \Leftrightarrow ( - 1)^{2} - 1( - m + 1) < 0 \Leftrightarrow m < 0

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan \frac{{x + 1}}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \tan \dfrac{{x + 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}}.\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Một vật rơi tự do theo phương trình s =\frac{1}{3}gt^{2}, trong đó g =9,8m/s^{2} là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + ∆t với ∆t = 0,001s.

    Ta có:

    v_{tb} = \frac{s(t + \Delta t) -s(t)}{\Delta t}

    \Rightarrow v_{tb} =\dfrac{\dfrac{1}{2}g(t + \Delta t)^{2} - \dfrac{1}{2}gt^{2}}{\Delta t}

    \Rightarrow v_{tb} = gt +\frac{1}{2}g\Delta t = 49,0049m/s

    Vậy vận tốc trung bình của chuyển động là 49,0049m/s.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) =\sin3x . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

    • f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) || - 9
    • f''(0) || 0
    • f''\left( \frac{\pi}{18} ight) || - \frac{9}{2}
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =\sin3x . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

    • f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) || - 9
    • f''(0) || 0
    • f''\left( \frac{\pi}{18} ight) || - \frac{9}{2}

    Ta có:

    f(x) = \sin3x

    \Rightarrow f'(x) =3.\cos3x

    \Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}f''\left( - \dfrac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( -\dfrac{3\pi}{2} ight) = 9 \\f''(0) = - 9. \sin(3.0) = 0 \\f''\left( \dfrac{\pi}{18} ight) = - 9.\sin\left( \dfrac{3\pi}{18}ight) = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log(2x - 1) trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight)?

    Trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight) ta có:

    y = \log(2x - 1) \Rightarrow y' =\frac{(2x - 1)'}{(2x - 1)\ln10}

    \Rightarrow y' = \frac{2}{(2x -1)\ln10}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 29 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập