Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2. Tìm giá trị biểu thức H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}?

    Do hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0} = 2 nên suy ra

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - xf(2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2f(x) - 2f(2) + 2f(2) - xf(2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2\left\lbrack f(x) - f(2) ightbrack}{x - 2} - \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(2)(x - 2)}{x - 2}

    \Leftrightarrow H = 2f'(2) - f(2)

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0(*)

    Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

    - f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}g'(x) + 36 = 0(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (1) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2)f'(2) + 36 = 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0  thay vào (2) ta được 36 = 0 (loại)

    Với f(2) = 2 thay vào (2) ta được:

    - 36.f'(2) + 36 = 0 \Leftrightarrow f'(2) = 1

    Vậy H = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 3: Thông hiểu

    Gọi (C) là đồ thị hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} - 3. Có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = \frac{x}{9} + 2000?

    Gọi A\left( x_{0};y_{0} ight)là tiếp điểm của tiếp tuyến

    Ta có:

    y' = - 3x^{2} + 6x

    Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = \frac{x}{9} + 2000 nên y'\left( x_{0} ight).\frac{1}{9} = - 1 \Rightarrow y'\left( x_{0} ight) = - 9

    \Leftrightarrow - 3{x_{0}}^{2} + 6x_{0} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 9(x + 1) + 1 \Rightarrow y = - 9x - 8

    Với x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = - 3 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 9(x - 3) - 3 \Rightarrow y = - 9x + 24

    Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) = 2222^{x}. Tính f'(x)?

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    Vậy f'(x) =2222^{x}.\ln2222

  • Câu 5: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x + 1. Có thể viết được bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d)

    Gọi phương trình chắn cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân tại O có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

    \Rightarrow y = b\left( 1 - \frac{x}{a} ight) = - \frac{b}{a} + b;\left( a,b eq 0;|a| = |b| ight)(d)

    M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d) khi đó:

    3{x_{0}}^{2} - 2 = - \frac{b}{a}

    Vì |a| = |b| \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3{x_{0}}^{2} - 2 = 1 \\ 3{x_{0}}^{2} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 0 \\\begin{matrix}x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 2 \\x_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 - 5\sqrt{3}}{9}\\x_{0} = - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 + 5\sqrt{3}}{9}\\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau:

    y = 1(x - 1) + 0 \Rightarrow y = x - 1

    y = 1(x - 1) + 2 \Rightarrow y = x + 3

    y = - 1\left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 - 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = x + \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}

    y = - 1\left( x + \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 + 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = - x + \frac{9 + 2\sqrt{3}}{9}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y=3x^{5}-5x^{4}+3x-2. Giải bất phương trình y'' < 0.

     Ta có:

    \begin{matrix} y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2 \hfill \\ \Rightarrow y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \hfill \\ \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2} \hfill \\ y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 60{x^2}\left( {x - 1} ight) < 0,\left( {{x^2} > 0,\forall x e 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan x là:

    Tập xác định D = R\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}

    Ta có: y = \tan x

    \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D và x_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 12: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

    Phát biểu đúng là: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại m thì nó liên tục tại điểm đó.”

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số (C):y = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - 1. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 7?

    Ta có:

    y' = 4x^{3} - 9x^{2} + 4x

    Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 4x^{3} - 9x^{2} + 4x = 7

    Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm khẳng định đúng dưới đây?

    Ta có

    \left( \sqrt{x} ight)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

    (x)' = 1

    \left( \frac{1}{x} ight)' = - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xác định đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin5x.\cos2x.

    Ta có:

    y = \sin5x.\cos2x = \frac{1}{2}(\sin7x +\sin3x)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}(7.\cos7x+ 3.\cos3x)

    \Rightarrow y'' = \frac{1}{2}( -49\sin7x - 9\sin3x)

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Một vật rơi tự do theo phương trình s =\frac{1}{3}gt^{2}, trong đó g =9,8m/s^{2} là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + ∆t với ∆t = 0,001s.

    Ta có:

    v_{tb} = \frac{s(t + \Delta t) -s(t)}{\Delta t}

    \Rightarrow v_{tb} =\dfrac{\dfrac{1}{2}g(t + \Delta t)^{2} - \dfrac{1}{2}gt^{2}}{\Delta t}

    \Rightarrow v_{tb} = gt +\frac{1}{2}g\Delta t = 49,0049m/s

    Vậy vận tốc trung bình của chuyển động là 49,0049m/s.

  • Câu 17: Vận dụng

    Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5 trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

    Ta có: a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6

    Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là a(10) = 54m/s^{2}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x^{2} + 2} là:

    Ta có:

    y = 2^{x^{2} + 2}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2ight)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2

    = 2x.2^{x^{2} + 2}.ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2

  • Câu 19: Vận dụng

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018 .

    Kết quả: S = 2017/2018

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017) . Biết hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018 .

    Kết quả: S = 2017/2018

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 1} ight) + ln2018

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2017)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018}

    S = 1 - \frac{1}{2018} = \frac{2017}{2018}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = {x^2}\tan x + \sqrt x

    Ta có:

    \begin{matrix} y = {x^2}\tan x + \sqrt x \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left( {{x^2}} ight)\prime \tan x + {x^2}\left( {\tan x} ight)\prime + \left( {\sqrt x } ight)\prime \hfill \\ = 2x.\tan x + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}

    \Rightarrow y' = \frac{(x + 1)'.\sqrt{x} - \left( \sqrt{x} ight)'(x + 1)}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}}

    = \dfrac{\sqrt{x} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+ 1)}{x} = \dfrac{\dfrac{2x - x - 1}{2\sqrt{x}}}{x} = \dfrac{x -1}{2x\sqrt{x}}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6

  • Câu 23: Nhận biết

    Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) = 196 - 4,9t^{2} trong đó t > 0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Vận tốc của viên đạn v(t) = s_{0}(t) =196 - 9,8t

    Ta có:

    \begin{matrix}v(t) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \hfill \\\Leftrightarrow t = 20 \hfill\\\end{matrix}

    Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng là:

    h = s(20) = 196.20 - 4,9.20^{2} =1960m

    Vậy tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất 1960m.

  • Câu 24: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4} là:

    Ta có:

    y = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + x^{2} - 0,25x^{4}

    \Rightarrow y' = \left( \frac{1}{2} ight)' - \left( \frac{1}{3}x ight)' + \left( x^{2} ight)' - \left( 0,25x^{4} ight)'

    y' = 0 - \frac{1}{3} + 2x^{2 - 1} - 4.0,25x^{4 - 1}

    y' = - \frac{1}{3} + 2x - x^{3}

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sin x + \cos x. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;3\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sin x + \cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - \sin x

    \Rightarrow y'' = - \sin x - \cos x

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x = 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}

    Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan3x - \cot3x.

    Ta có:

    y =\tan3x - \cot3x

    \Rightarrow y' = \frac{3}{\cos^{2}3x}+ \frac{3}{\sin^{2}3x} = \frac{3}{\sin^{2}3x.\cos^{2}3x}

    = \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}\sin^{2}6x} =\dfrac{12}{\sin^{2}6x}

  • Câu 28: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 29: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = \left( 3t^{2} - 6t + 5 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 2s là

    a(2) = 6.2 - 6 = 6\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 30: Nhận biết

    Số gia của hàm số f(x)=2x^{2}-1 tại x_{0}=1 ứng với số gia \Delta x=0,1 bằng:

    Ta có:

    ∆f = f(1 + 0,1) - f(1)

    = 2(1,1)^2 - 1 - (2 - 1) = 0,42

  • Câu 31: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) =\sin2x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x

    \Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0

  • Câu 33: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2} (với m = const) là:

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} + 0

    \Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x = 6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 = 6

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    Và \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack (x + \Deltax)^{2} - 1 ightbrack - \left( x^{2} - 1 ight)

    \Delta y = 2x\Delta x + (\Deltax)^{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{3} + 2x^{2} song song với đường thẳng x - y = 0?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng x - y = 0 của đồ thị hàm số y = - x^{3} + 2x^{2} khi đó ta có:

    y'\left( x_{0} ight) = 1 \Leftrightarrow - 3{x_{0}}^{2} + 4x_{0} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 1 \\ x_{0} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 1 ta được M(1;1) có phương trình tiếp tuyến tương ứng là y = 1(x - 1) + 1 \Rightarrow y = x

    Với x_{0} = \frac{1}{3} ta được M\left( \frac{1}{3};\frac{5}{27} ight) có phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = 1\left( x - \frac{1}{3} ight) + \frac{5}{27} \Rightarrow y = x - \frac{4}{27}

    Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Biết đồ thị hàm số (C):y = x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} tiếp xúc với trục hoành. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta không xét m = 0 vì giá trị này không ảnh hưởng đến tổng S.

    Với m eq 0 đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f'(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ (I) có nghiệm

    (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ 3x^{2} - 6mx + 3m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\left( x^{2} - 2mx ight) - mx^{2} + 3mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - mx^{2} + 2mx + m^{2} - 2m^{3} = 0 \\ x^{2} - 2mx = - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x^{2} + 2x + m - 2m^{2} = 0 \\ x^{2} - 2mx + m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 2mx - 2m^{2} + 2m = 0(*) \\ x^{2} - 2mx + m = 0(**) \\ \end{matrix} ight.

    (*) \Leftrightarrow (x + m)(1 - m) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ x = - m \\ \end{matrix} ight.

    Với m = 1 thay vào (**) ta được x = 1 thỏa mãn

    Với x = - m thay vào (**) ta được - 3m^{2} + m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}

    Vậy tổng các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu là 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x+4}} liên tục trên:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \geqslant 0} \\ {x + 4 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 3} \\ {x > - 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} ight]

    Vậy hàm số liên tục trên \left( { - 4;3} ight]

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} (x - 1)^{2}\ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0} = 0?

    Ta có:

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x - 1)^{2} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( - x^{2} ight) = 0

    Suy ra f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Nên hàm số không liên tục tại x_{0} = 0

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = 0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 59 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập