Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1 theo x và \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)

    \Delta y = 3\Delta x

    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3

  • Câu 2: Thông hiểu

    Công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x + 5}?

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 5}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}

    \Rightarrow f''(x) = -\dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{2x + 5}}}{2x + 5} = - \dfrac{1}{(2x + 5)\sqrt{2x +5}}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \sqrt {{x^2} + 2}

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left[ {\sin \sqrt {{x^2} + 2} } ight] \prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 2} } ight)'.\cos \sqrt {{x^2} + 2} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}.\cos \sqrt {{x^2} + 2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 5: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm công thức đạo hàm của hàm số y = 3^{x^{2} - x}?

    Ta có:

    y = 3^{x^{2} - x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - xight)'.3^{x^{2} - x}.\ln3

    \Rightarrow y' = (2x - 1).3^{x^{2} -x}.\ln3

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0(*)

    Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

    - f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}g'(x) + 36 = 0(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (1) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2)f'(2) + 36 = 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0  thay vào (2) ta được 36 = 0 (loại)

    Với f(2) = 2 thay vào (2) ta được:

    - 36.f'(2) + 36 = 0 \Leftrightarrow f'(2) = 1

    Vậy H = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x + 1}{x - 1}. Gọi A;B là các điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. Có bao nhiêu cặp điểm A;B thỏa mãn điều kiện trên?

    Ta có: y' = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

    Giả sử A\left( x_{1};y_{1} ight);B\left( x_{2};y_{2} ight) với x_{1} eq x_{2}

    Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên y'\left( x_{1} ight) = y'\left( x_{2} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{\left( x_{1} - 1 ight)^{2}} = \frac{1}{\left( x_{2} - 1 ight)^{2}}

    \Leftrightarrow \left( x_{1} - 1 ight)^{2} = \left( x_{2} - 1 ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} - 1 = x_{2} - 1 \\ x_{1} - 1 = - x_{2} + 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 2

    Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A và B thỏa mãn x_{1} + x_{2} = 2 thì các tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D và x_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tìm tham số thực b để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. có đạo hàm tại x = 2.

    Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Thử b = 6 ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\ = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)?

    Ta có:

    y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)

    = \left( 1 - 3x + 2x^{2} ight)(1 - 3x)

    = 1 - 3x - 3x + 9x^{2} + 2x^{2} - 6x^{3}

    = 1 - 6x + 11x^{2} - 6x^{3}

    \Rightarrow y' = - 6 + 22x - 18x^{2}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t = 0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left( \frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\ m + m + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ m = - 32 \\ n = 32 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = - 64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t = 0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left( km/h^{2} ight)

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R} \setminus \left \{ 2 ight \} bởi f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\text{ khi }}x e 1} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 1} \end{array}} ight.. Tính f'(1)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x\left( {x - 1} ight)\left( {x - 3} ight)}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x\left( {x - 3} ight)}}{{\left( {x - 2} ight)}} = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x ight) e f\left( 1 ight)

    Vậy hàm số không liên tục tại x=1

    Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \log_{4}\left( 2x^{2} - 3 ight)?

    Ta có:

    y' = \frac{4x}{\left( 2x^{2} - 3ight).\ln4} = \frac{4x}{\left( 2x^{2} - 3 ight).2.\ln2}

    = \frac{2x}{\left( 2x^{2} - 3ight).\ln2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai tại điểm x_{0} = - 1 của hàm số f(x) = \frac{1}{2x - 1}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) = \frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = - \frac{8}{27}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D;x_{0} \in D. Nếu tồn tại giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}} thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0}

    Vậy kết quả của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x - 1}. Biết (C) song song với đường thẳng y = - 3x?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight)là tiếp điểm của tiếp tuyến

    Ta có: y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}}

    Do (C) song song với đường thẳng y = - 3x nên y'\left( x_{0} ight) = - 3

    \Leftrightarrow \frac{- 3}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} = - 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = - 1 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 3(x - 0) - 1 \Rightarrow y = - 3x - 1

    Với x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 5 nên phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 3(x - 2) + 5 \Rightarrow y = - 3x + 11

  • Câu 20: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x = 6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 = 6

  • Câu 21: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 22: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 23: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x+1}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } ight)'}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - \dfrac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}}{{{x^2} - x + 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow y' = \dfrac{{ - 2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} \left( {{x^2} - x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) - 0}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 1000) = ( - 1)^{1000}.1000! = 1000!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Đáp án là:

    Cho f(x) = (x - 3)^{6} . Khi đó f''(2) = 30

    Ta có:

    f(x) = (x - 3)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = sin^{3}x. Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có: y = f(x) = \sin^{3}x

    \Rightarrow f'(x) =3\sin^{2}x.\cos x

    \Rightarrow f''(x) =6\sin x.\cos^{2}x - 3\sin^{3}x

    Khi đó

    y'' + 9y = 6\sin x.\cos^{2}x -3\sin^{3}x + 9\sin^{3}x

    = 6\sin x\left( \sin^{2}x + \cos^{2}xight) = 6\sin x

    \Rightarrow y'' + 9y - 6\sin x =0

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( \cos x ight). Tính giá trị f'\left( - \frac{\pi}{4} ight)?

    Ta có:

    f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos x ight) ightbrack'

    = \frac{\left( \cos x ight)'}{\cos x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x

    \Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x -2)....(x - 2019)}. Tính giá trị của f’(0)

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{(x -1)(x - 2)....(x - 2019)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{( -1).( - 2)....( - 2019)} = \frac{- 1}{2019!}

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 31: Nhận biết

    Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} - 6x^{2} + 5 tại điểm có hoành độ x_{0} = 2 là:

    Ta có: y' = 4x^{3} - 12x \Rightarrow y'(2) = 8

    \Rightarrow k = 8

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{a{x^2} - \left( {a - 2} ight)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}}{\text{ khi }}x > 1 \hfill \\ 8 + {a^2}{\text{ khi }}x \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số liên tục tại điểm x = 1?

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1) = 8 + a^{2}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} - (a - 2)x - 2}{\sqrt{x + 3} - 2}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\dfrac{(x -1)(ax + 2)}{\dfrac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (ax + 2)\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight) ightbrack

    = 4a + 8

    Hàm số liên tục tạo x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow 4a + 8 = 8 + a^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y=-3x^{3}+3x^{2}-x+5. Tính giá trị của y^{(3)}(2017)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 9{x^2} + 6x - 1 \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 18x + 6 \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = - 18 \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( {2017} ight) = - 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = (2m - 1)e^{x} + 3. Biết f'( - \ln3) = \frac{5}{3}. Tính giá trị tham số m?

    Ta có:

    y = f(x) = (2m - 1)e^{x} + 3

    \Rightarrow f'(x) = (2m - 1).e^{x}

    \Rightarrow f'( - \ln3) = (2m -1).e^{- \ln3} = \frac{2m - 1}{e^{\ln3}} = \frac{2m - 1}{3}

    Mà f'( - \ln3) = \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2m - 1}{3} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow m =3

  • Câu 35: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}}&{{\text{ khi }}x > 1} \\ {x - 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 1} \end{array}} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    f\left( { - 2} ight) = - 2 - 1 = - 3

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x + 1. Có thể viết được bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d)

    Gọi phương trình chắn cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân tại O có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

    \Rightarrow y = b\left( 1 - \frac{x}{a} ight) = - \frac{b}{a} + b;\left( a,b eq 0;|a| = |b| ight)(d)

    M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d) khi đó:

    3{x_{0}}^{2} - 2 = - \frac{b}{a}

    Vì |a| = |b| \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3{x_{0}}^{2} - 2 = 1 \\ 3{x_{0}}^{2} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 0 \\\begin{matrix}x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 2 \\x_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 - 5\sqrt{3}}{9}\\x_{0} = - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 + 5\sqrt{3}}{9}\\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau:

    y = 1(x - 1) + 0 \Rightarrow y = x - 1

    y = 1(x - 1) + 2 \Rightarrow y = x + 3

    y = - 1\left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 - 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = x + \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}

    y = - 1\left( x + \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 + 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = - x + \frac{9 + 2\sqrt{3}}{9}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} song song với trục hoành.

    Ta có:

    y' = - 4x^{3} + 4x

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng trục hoành của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} khi đó ta có: k = 0

    Suy ra y'\left( x_{0} ight) = 0

    \Leftrightarrow - 4{x_{0}}^{3} + 4x_{0} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = - 1 \\ x_{0} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow PTTT:y = 0

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PTTT:y = 1

    Với x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 1 \Rightarrow PTTT:y = 1

    Vậy có 2 tiếp tuyến song song với trục hoành.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 5(s)?

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = 3t^{2} - 6t - 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = 6t + 6

    Tại thời điểm t = 5s thì gia tốc có giá trị là:

    a(5) = 6.5 - 6 = 24\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x)=\frac{2x}{x-1} tại điểm x = -1

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{2x}}{{x - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {2x} ight)'\left( {x - 1} ight) - \left( {2x} ight).\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x.1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập