Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2x - 1} tại x_{0} = - 1 bằng:

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{1}{2x -
1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x -
1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x
- 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) = -
\frac{8}{27}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm là S(t) = 4t^{2} - 2t^{3} + 5 với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và S là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất là x(m/s) tại thời điểm t = y(s) . Xác định giá trị biểu thức H = x.y .

    H = 16/9

    (Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Phương trình chuyển động của một chất điểm là S(t) = 4t^{2} - 2t^{3} + 5 với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và S là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Biết vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất là x(m/s) tại thời điểm t = y(s) . Xác định giá trị biểu thức H = x.y .

    H = 16/9

    (Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    S(t) = 4t^{2} - 2t^{3} + 5

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) =
S'(t) = - 6t^{2} + 8t;(a = - 6;b = 8)

    Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t = - \frac{b}{2a} = \frac{2}{3}(s)

    \Rightarrow v_{\max} = v\left(
\frac{2}{3} ight) = \frac{8}{3}

    Vậy H = x.y = \frac{2}{3}.\frac{8}{3} =
\frac{16}{9}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x +
\frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x +
1)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x +
1)^{3}} \Rightarrow y^{(3)} = \frac{- 6}{(x + 1)^{4}}

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{24}{(x +
1)^{5}} \Rightarrow y^{(5)} = - \frac{120}{(x + 1)^{6}}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \sqrt{x^{2} + 3} . T = f(1) +
4f'(1) = 4

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \sqrt{x^{2} + 3} . T = f(1) +
4f'(1) = 4

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{x^{2} + 3}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}

    T = f(1) + 4f'(1) = 4

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\ mx^{2}+2x+2 & \text{ khi } x>0 \\ nx+1 & \text{ khi } x\leq 0 \end{cases}. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  \left\{ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 2 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \hfill \\   \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số không liên tục tại x = 0. Do đó f(x) không có đạo hàm tại x = 0

    => Không tồn tại các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight)?

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2
ight)

    \Rightarrow y' = \left\lbrack
\sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight) ightbrack'

    = \left( x^{2} - 3x + 2ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3)\cos\left( x^{2} - 3x + 2
ight)

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... +
f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n
= -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... +
f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n
= -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x -
1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + ....
+ f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} +
\frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} -
\frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} =
\frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 1010.2021 - 1 \\
n = 2020.2021 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A = - 2

  • Câu 13: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m - 1 (với m là tham số) là:

    Ta có:

    f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m -
1

    f'(x) = 4x^{3} - 8mx

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \frac{x}{\sqrt{x+4}-2} với xeq 0 xác định và liên tục trên (-4;+\infty). Tính f(0).

    Do hàm số xác định và liên tục trên (-4;+\infty)

    => Hàm số liên tục tại x= 0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 4}  - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} ight)}}{{\left( {\sqrt {x + 4}  - 2} ight)\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} ight)}}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 4}  + 2} ight) = 4 \hfill \\  \mathop { \Rightarrow \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4}
+ ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... +
2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} +
C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} +
C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x +
1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... +
2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) =
2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x +
...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} +
2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) =
2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} +
2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 =
2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} -
2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) +
f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} +
4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}
ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} =
2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... +
2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} =
S

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}?

    Ta có:

    y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}
\Rightarrow y' = \left( \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}
ight)'

    \Rightarrow y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} +1} - \dfrac{(x + 3)x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1} = \dfrac{1 -3x}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}. Xác định công thức đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - 3 ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{x - 2}{x +
3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{5}{(x +
3)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = 5.\frac{-
2.(x + 3)}{(x + 3)^{4}} = \frac{- 10}{(x + 3)^{3}}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{2}{1+x}. Tính giá trị của y^{(3)}(1)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} =  - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Tìm tham số thực b để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\   { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. có đạo hàm tại x = 2.

    Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\   \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow  - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Thử b = 6 ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\   = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

  • Câu 20: Nhận biết

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = \log_{\sqrt{3}}x trên khoảng (0; + \infty)?

    Áp dụng công thức \left( \log_{a}xight)' = \frac{1}{x\ln a}

    Ta có: y = \log_{\sqrt{3}}x

    \Rightarrow y' =
\frac{1}{x\ln\sqrt{3}}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -
\sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2
+ \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(
2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) =
\frac{1}{16}

  • Câu 22: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) =
3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x =
6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 =
6

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} song song với trục hoành.

    Ta có:

    y' = - 4x^{3} + 4x

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng trục hoành của đồ thị hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} khi đó ta có: k = 0

    Suy ra y'\left( x_{0} ight) =
0

    \Leftrightarrow - 4{x_{0}}^{3} + 4x_{0}
= 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = 0 \\
x_{0} = - 1 \\
x_{0} = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Với x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 0
\Rightarrow PTTT:y = 0

    Với x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 1
\Rightarrow PTTT:y = 1

    Với x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 1
\Rightarrow PTTT:y = 1

    Vậy có 2 tiếp tuyến song song với trục hoành.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho f(x) = (x +
10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x +
10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x +
10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 +
10)^{4} = 622080

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = 2\cos {x^2}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = 2\cos {x^2} \hfill \\   \Rightarrow y' = \left( {{x^2}} ight)'.2.\left[ { - \sin \left( {{x^2}} ight)} ight] \hfill \\   =  - 4x\sin \left( {{x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm m. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f'(m)
= \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{2x + 3}{x - 2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: x = 3 \Rightarrow y(3) =
9

    y' = \frac{- 7}{(x - 2)^{2}}
\Rightarrow y'(3) = \frac{- 7}{(3 - 2)^{2}} = - 7

    Phương trình tiếp tuyến tương ứng là

    y = - 7(x - 3) + 9 \Rightarrow y = - 7x
+ 30

  • Câu 28: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 30: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x -
2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} +
2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) +
2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2}
ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x +
8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x -
2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) =
16

  • Câu 31: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in
R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y =
x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x +
2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} +
2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} -
24x

  • Câu 32: Nhận biết

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

    Ta tính được s'(t) = 2t

    Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) =2t

    => v(2) = 2.2 = 4(m/s)

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3}
+ px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x -
2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x -
2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = (2m - 1)e^{x} + 3. Biết f'( - \ln3) = \frac{5}{3}. Tính giá trị tham số m?

    Ta có:

    y = f(x) = (2m - 1)e^{x} +
3

    \Rightarrow f'(x) = (2m -
1).e^{x}

    \Rightarrow f'( - \ln3) = (2m -1).e^{- \ln3} = \frac{2m - 1}{e^{\ln3}} = \frac{2m - 1}{3}

    f'( - \ln3) = \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{2m - 1}{3} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow m =3

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} =
2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b
ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -
1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan \frac{{x + 1}}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \tan \dfrac{{x + 1}}{2} \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}}.\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)\prime  \hfill \\   = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow
0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x(x - 1)(x
- 2)(x - 3)...(x - 1000) - 0}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x(x
- 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 1000) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 1000) = ( -
1)^{1000}.1000! = 1000!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\frac{2x-1}{x+1}. Giải phương trình f'(x) = f"(x)

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2\left( {x + 1} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = \dfrac{{ - 2\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình ta có:

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = f''\left( x ight),\left( {x e  - 1} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\   \Leftrightarrow x =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x - 2)...(x - 2022)}. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = 0?

    Đặt g(x) = (x - 1)(x - 2)...(x -
2022)

    Khi đó f(x) = \frac{x}{g(x)}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{x'.g(x) - x.g'(x)}{g^{2}(x)}

    = \frac{g(x) - x.g'(x)}{g^{2}(x)} =
\frac{1}{g(x)} - \frac{x.g'(x)}{g^{2}(x)}

    f'(0) = \frac{1}{g(0)} -
0.\frac{g'(0)}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(0)}

    = \frac{1}{( - 1).( - 2)...( - 2022)} =
\frac{1}{2022!}

  • Câu 40: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow
y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left(
x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = -
\frac{2}{x^{3}}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 39 lượt xem
Sắp xếp theo