Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin \left( {\sin x} ight)

    Ta có: 

    \begin{matrix} y = \sin \left( {\sin x} ight) \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \left[ {\sin \left( {\sin x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {\sin x} ight)'\cos \left( {\sin x} ight) \hfill \\ = \cos x.\cos \left( {\sin x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x} là

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 2^{x} \Rightarrow y' =2^{x}.\ln2

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{2}{1+x}. Tính giá trị của y^{(3)}(1)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{4\left( {1 + x} ight)}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {1 + x} ight)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {1 + x} ight)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x - 1}{x - 1}. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho \frac{OA}{OB} = 4?

    Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm M\left( x_{0};y_{0} ight) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho \frac{OA}{OB} = 4.

    Do tam giác OAB vuông tại O nên \tan\widehat{A} = \frac{OB}{OA} = \frac{1}{4}

    Suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng \pm \frac{1}{4}

    Hệ số góc tiếp tuyến là y'\left( x_{0} ight) = \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} < 0

    \Rightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4} \\x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} ight) + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} ight) \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.\left( { - {{\sin }^2}x} ight) \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x - {\sin ^4}x = {\cos ^6}x \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} y\prime = \left( {{{\cos }^6}x} ight)\prime \hfill \\ = 6.{\cos ^5}x.\left( {\cos x} ight)\prime \hfill \\ = - 6\sin x.{\cos ^5}x \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = - \frac{1}{2}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số f(x)=\frac{ax^{2}+b}{c+d} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{a{x^2} + b}}{{c + d}} \hfill \\ \Rightarrow f\prime \left( x ight) = \left( {\dfrac{{a{x^2} + b}}{{c + d}}} ight)\prime \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {a{x^2} + b} ight)'\left( {c + d} ight) - \left( {c + d} ight)'\left( {a{x^2} + b} ight)}}{{{{\left( {c + d} ight)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2ax\left( {c + d} ight)}}{{{{\left( {c + d} ight)}^2}}} = \dfrac{{2ax}}{{c + d}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 12: Thông hiểu

    Biết đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} + 3x - 1. Tìm các giá trị của tham số m.

    Ta có: y' = 3x^{2} + 3

    Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^{3} + 3x - 1 khi đó

    y'(x) = 6 \Leftrightarrow 3x^{2} + 3 = 6

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 3 \\ x = - 1 \Rightarrow y = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;3) là y = 6x - 3

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( - 1; - 5) là y = 6x + 1

    Để đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của (C) thì \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = - 3 \\ m + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 4 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 13: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình chuyển động là S = 2t^{2} + t - 1(m). Tính vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s?

    Ta có:

    S = 2t^{2} + t - 1(m)

    \Rightarrow v = S' = 4t + 2

    Trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s thì chất điểm di chuyển được quãng đường S = 4.2 + 2 - 1 = 9(m)

    Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm t = 0 là:

    \overline{v} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = 4,5(m/s)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y =\sin2x.\cos x. Xác định giá trị y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)

    \Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)

    \Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)

    \Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) + \sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left( 3^{4} - \frac{1}{2} ight)

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(1)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 -4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x -1}{\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)} = - \frac{5}{4} =f(1)

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Khi đó ta có:

    f'(1) = \lim_{x ightarrow1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1} + \dfrac{5}{4}}{x -1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- (3x + 5)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = -\frac{9}{64}

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight) . Tính giá trị biểu thức: S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Ta có:

    y = f(x) = \ln\left( \frac{x}{x + 2} ight)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

    Khi đó:

    S = f'(1) + f'(3) + f'(5) + ... + f'(2021)

    S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023}

    S = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2022}{2023}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 19: Thông hiểu

    Ta có \left( \frac{x^{2} + 4x - 1}{2x + 3} ight)' = \frac{M}{(2x + 3)^{2}}. Khi đó đa thức M là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{2} + 4x - 1}{2x + 3}

    \Rightarrow y' = \frac{(2x + 3)(2x + 4) - 2\left( x^{2} + 4x - 1 ight)}{(2x + 3)^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{4x^{3} + 14x + 12 - 2x^{2} - 8x + 2}{(2x + 3)^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{2x^{2} + 6x + 14}{(2x + 3)^{2}}

    Vậy M=2x^{2} + 6x +14

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\ mx^{2}+2x+2 & \text{ khi } x>0 \\ nx+1 & \text{ khi } x\leq 0 \end{cases}. Tìm tất cả các giá trị của các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số không liên tục tại x = 0. Do đó f(x) không có đạo hàm tại x = 0

    => Không tồn tại các tham số m, n sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.

  • Câu 21: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m - 1 (với m là tham số) là:

    Ta có:

    f(x) = x^{4} - 4mx^{2} - 3m - 1

    f'(x) = 4x^{3} - 8mx

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S=\frac{1}{2}t^{2} ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t_{0}=5(s) 

    Ta có: 

    \begin{matrix} v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\ \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 25: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \sin^{2}x là:

    Ta có: y = \sin^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\sin x.\cos x =\sin2x

    \Rightarrow y'' =2\cos2x

  • Câu 26: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x = 6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 = 6

  • Câu 27: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=2x^{5}-3x^{4}+0,5x^{2}-\frac{3x}{2}-4 bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 2{x^5} - 3{x^4} + 0,5{x^2} - \dfrac{{3x}}{2} - 4 \hfill \\ \Rightarrow y' = 10{x^4} - 12{x^3} + x - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} là:

    Ta có:

    y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{3}{(x - 2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{3.( - 2)(x - 2)}{(x - 2)^{4}} = \frac{6}{(x - 2)^{3}}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tìm tham số thực b để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. có đạo hàm tại x = 2.

    Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 2, tức là

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    Thử b = 6 ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{(x - 2)(10 - x)}}{{2(x - 2)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4{\text{ }} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} \hfill \\ = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    Nên hàm số có đạo hàm tại x = 2

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 5(s)?

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = 3t^{2} - 6t - 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = 6t + 6

    Tại thời điểm t = 5s thì gia tốc có giá trị là:

    a(5) = 6.5 - 6 = 24\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{2} + 3x^{2} + 9x - 1 có đồ thị (C) . Tìm hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) ?

    Kết quả: 12

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = - x^{2} + 3x^{2} + 9x - 1 có đồ thị (C) . Tìm hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C) ?

    Kết quả: 12

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) là:

    y' = - 3x^{2} + 6x + 9 = 12 - 3(x + 1)^{2} \leq 12

    Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) là 12.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y=-3x^{3}+3x^{2}-x+5. Tính giá trị của y^{(3)}(2017)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 9{x^2} + 6x - 1 \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 18x + 6 \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = - 18 \hfill \\ \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( {2017} ight) = - 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 36: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Tính tổng

    S = 2.1.C_{2021}^{2} + 4.3.C_{2021}^{4} + ... + 2k.(2k - 1).C_{2021}^{2k} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    Xét

    f(x) = (x + 1)^{2021} = C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1}x + C_{2021}^{2}x^{2} + ... + C_{2021}^{2020}x^{2020} + C_{2021}^{2021}x^{2021}

    \Rightarrow f'(x) = 2021(x + 1)^{2020} = C_{2021}^{1}x + 2C_{2021}^{2}x + ... + 2020C_{2021}^{2020}x^{2019} + 2021C_{2021}^{2021}x^{2020}

    \Rightarrow f''(x) = 2021.2020.(x + 1)^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2}x + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020}x^{2018} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}x^{2019}

    \Rightarrow f''(1) = 2021.2020.2^{2019} = 2C_{2021}^{2} + 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} + 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''( - 1) = 0 = 2C_{2021}^{2} - 3.2C_{2021}^{2} + ...

    + 2020.2019.C_{2021}^{2020} - 2021.2020.C_{2021}^{2021}

    \Rightarrow f''(1) + f''( - 1) = 2021.2020.2^{2019}

    = 2.\left\lbrack 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020} ightbrack

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = 2.C_{2021}^{2} + 4.3C_{2021}^{4} + ... + 2020.2019.C_{2021}^{2020}

    \Leftrightarrow 2021.2020.2^{2018} = S

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y=sin2x-cos2x. Giải phương trình y" = 0

     Ta có:

    \begin{matrix} y = \sin 2x - \cos 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = 2\cos 2x + 2\sin 2x \hfill \\ \Rightarrow y'' = - 4\sin 2x + 4\cos 2x \hfill \\ y'' = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 4\sin 2x + 4\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = \cos 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Đáp án là:

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = - 6t + 6

    Gia tốc triệt tiêu khi a = 0 \Rightarrow S'' = 0 \Rightarrow t = 1

    Khi đó vận tốc của chuyển động là S'(1) = 12m/s

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight).

    Ta có:

    y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - 3x +2 ight)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    = (2x - 3).\cos\left( x^{2} - 3x + 2ight)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 63 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập