Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1} . Giá trị f'(0) = 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{3x}{|x| + 1} . Giá trị f'(0) = 3

    Ta có: f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| + 1}

    Mà \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{+}}\dfrac{3}{x + 1} = 3 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}\dfrac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow0^{-}}\dfrac{3}{1 - x} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{3}{|x| + 1} = 3

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 0}\frac{3}{|x| + 1} = 3

    \Rightarrow f'(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{3}{|x| + 1} = 3

  • Câu 3: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính số gia của hàm số y = x^{2} +2 tại điểm x0 = 2 ứng với số gia \Delta x = 1

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)

    \Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - {x^2}} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - \dfrac{1}{2}\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight).\left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight)\prime \hfill \\ = - 2x.\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - {x^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1 , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s) bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 108 m/s2

    Đáp án là:

    Một chuyển động được xác định bởi phương trình S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1 , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2(s) bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 108 m/s2

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t - 3

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a(t) = 24t^{2} + 12

    Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc có giá trị là:

    a(2) = 24.(2)^{2} + 12 = 108\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{1}{(x+1)^{3}}. Giải bất phương trình y" < 0

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^3}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{3.4.{{\left( {x + 1} ight)}^3}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^8}}} = \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^5}}} < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^5} < 0,\left( {{\text{Do }}12 > 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x < - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n) với n \in\mathbb{N}^{*}. Tính f'(0).

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!

  • Câu 11: Thông hiểu

    Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{- x + 1}{3x - 2} tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là:

    Ta có: y' = \frac{- 1}{(3x - 2)^{2}}

    Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là M\left( 0;\frac{- 1}{2} ight)

    Vậy hệ số góc cần tìm là k = y'(0) = - \frac{1}{4}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2 . Giá trị của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là D;x_{0} \in D. Nếu tồn tại giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}} thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0}

    Vậy kết quả của biểu thức \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = f'(6) = 2

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Biết f(x) = \cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2} ight)

    …

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a + \frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y =5\sin x - 3\cos x. Chọn biểu thức đúng?

    Ta có:

    y = 5\sin x - 3\cos x

    \Rightarrow y' = (5\sin x -3\cos x)' = 5\cos x + 3\sin x

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + 3x - 5 với m là tham số. Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt?

    Ta có:

    y = x^{3} + mx^{2} + 3x - 5

    \Rightarrow y' = 3x^{2} + 2mx + 3

    Để y' = 0 có hai nghiệm phân biệt:

    \Delta > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 9 > 0

    \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 3) \cup (3; + \infty)

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = x^{3} tạo điểm x = 1?

    Ta có: y = f(x) = x^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2}

    \Rightarrow f''(x) = 3.2x = 6x

    \Rightarrow f''(1) = 3.2.1 = 6

  • Câu 17: Vận dụng

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Đáp án là:

    Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10 , trong đó S tính bằng mét và t tính bằng giây. Trong thời gian 5s kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28(m/s)

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1

    Dễ thấy hàm số v(t) là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số a = - 3 < 0

    Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là t = 3 \in \lbrack 0;5brack

    Do đó v_{\max} = v(3) = 28

    Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là 28m/s

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho f(x) = (x + 10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)=x^{4}-4x^{2}+3 và g(x)=3+10x-7x^{2}. Nghiệm của phương trình f''(x)+g'(x) =0 là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 8x \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 12{x^2} - 8 \hfill \\ g'\left( x ight) = - 14x + 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình:

    \begin{matrix} f''(x) + g'(x) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 12{x^2} - 8 - 14x + 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 12{x^2} - 14x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{6}} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2x} ight)'.\left( {x - 1} ight) - 2x.\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {x - 1} ight) - 2x}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra đạo hàm của hàm số y = \frac{{2x}}{{x - 1}} tại x=-1 là:

    y'\left( { - 1} ight) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( { - 1 - 1} ight)}^2}}} = - \frac{1}{2}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y = −2.

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{3} - 3x^{2} + 2 = - 2

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\\end{matrix} ight.

    Với x = −1, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'(1) = 9 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x + 7

    Với x = 2, ta có: \left\{ \begin{matrix}y = - 2 \\k = y'( - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2

  • Câu 23: Vận dụng

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn là S(t) = - t^{3} + 6t^{2}. Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 6t^{2}

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 12t

    \Rightarrow v'(t) = - 6t + 12

    v'(t) = 0 \Leftrightarrow 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2

    v(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - 3t^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Vậy vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2(s).

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sin x + \cos x. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;3\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sin x + \cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - \sin x

    \Rightarrow y'' = - \sin x - \cos x

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow - \sin x - \cos x = 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{4} + k\pi \leq 3\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{4} \leq k \leq \dfrac{13}{4} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2;3ight\}

    Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} ight) + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^2}x \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} ight) \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.\left( { - {{\sin }^2}x} ight) \hfill \\ y = {\cos ^6}x + {\sin ^4}x - {\sin ^4}x = {\cos ^6}x \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} y\prime = \left( {{{\cos }^6}x} ight)\prime \hfill \\ = 6.{\cos ^5}x.\left( {\cos x} ight)\prime \hfill \\ = - 6\sin x.{\cos ^5}x \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Xác định công thức đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}?

    Ta có: y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x - 1)'(x + 1) - (x + 1)'(2x - 1)}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3}{(x + 1)^{2}}

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = mx^{4} + nx^{3} + px^{2} + px + r;(m eq 0). Chia f(x) cho (x - 2) ta được phần dư là 2021. Chia f'(x) cho x - 2 được phần dư bằng 2020. Gọi g(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)^{2}. Xác định hàm số g(x)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là S(t) = \frac{t^{3}}{3} - 2t^{2} + 3t - 5; trong đó t tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tại thời điểm t = 4(s) thì vận tốc tức thời của chuyển động bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    v(t) = S'(t) = t^{2} - 4t + 3

    Vận tốc tức thời của chuyển động khi t = 4(s) là:

    v(4) = 4^{2} - 4.4 + 3 = 3(m/s)

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{2} - x + 2. Tính y'(1)?

    Ta có: y = x^{2} - x + 2

    \Rightarrow y' = 2x - 1

    \Rightarrow y'(1) = 2.1 - 1 = 1

  • Câu 32: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số y = {x^3} + 9{x^2} + 12x - 5

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 18x + 12 \hfill \\ \Rightarrow dy = \left( {3{x^2} - 18x + 12} ight)dx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\text{ khi }}x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \end{array}} ight.. Tính f'(0)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 0 ight)}}{{x - 0}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - 0}}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số yy=-\frac{1}{3}mx^{3}+(m-1)x^{2}-mx+3, có đạo hàm là y'. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x_{1},x_{2} thỏa mãn x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6.

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - \dfrac{1}{3}m{x^3} + (m - 1){x^2} - mx + 3 \hfill \\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} ight)x - m \hfill \\ y' = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2\left( {m - 1} ight)x - m = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Để phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt thì

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' > 0} \\ {m e 0} \end{array} \Leftrightarrow } ight.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {m - 1} ight)}^2} + {m^2} > 0} \\ {m e 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{m^2} - 2m + 1 > 0} \\ {m e 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng hệ thức Vi - et ta có

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} ight)}}{m}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{m}} \end{array}} ight. \hfill \\ x_1^2 + x_2^2 = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} ight)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{2\left( {m - 1} ight)}}{m}} ight]^2} + \dfrac{2}{m} = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1 + \sqrt 2 } \\ {m = - 1 - \sqrt 2 } \end{array}} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm t = 2s thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = \left( 3t^{2} - 6t + 5 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 2s là

    a(2) = 6.2 - 6 = 6\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{7}{x^{3}}+\frac{6}{x^{5}} bằng biểu thức nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{7}{{{x^3}}} + \dfrac{6}{{{x^5}}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - \dfrac{{2.2x}}{{{x^4}}} + \dfrac{{7.3.{x^2}}}{{{x^6}}} - \dfrac{{6.5.{x^4}}}{{{x^{10}}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3}}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{{21}}{{{x^4}}} - \dfrac{{30}}{{{x^6}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7

    Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

    a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\frac{3x-2}{1-x}. Giải bất phương trình y" > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{3\left( {1 - x} ight) + \left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {1 - x} ight)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.\left( { - 1} ight)\left( {1 - x} ight)}}{{{{\left( {1 - x} ight)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} ight)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét bất phương trình ta có:

    \begin{matrix} y'' > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} ight)}^3}}} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} ight)^3} > 0,\left( {{\text{Do }}2 > 0} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 . Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8} ?

    Kết quả: 5/24

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 . Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8} ?

    Kết quả: 5/24

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Do \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12 mà \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2}f(x) = 16

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{5f(x) - 16 - 4^{3}}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{5\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack}{(x - 2)(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 2}\left\{ \frac{f(x) - 16}{(x - 2)}.\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} ight\} = T

    Mà \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{(x - 2)} = 12 và \lim_{x ightarrow 2}\frac{5}{(x + 4)\left\lbrack \left( \sqrt[3]{5f(x) - 16} ight)^{2} + 4\sqrt[3]{5f(x) - 16} + 4x^{2} ightbrack} = \frac{5}{288}

    Nên T = 12.\frac{5}{288} = \frac{5}{24}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 38 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập