Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y =\sin2x.\cos x. Xác định giá trị y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    y =\sin2x.\cos x = \frac{1}{2}\left( \sin3x+ \sin x ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left(3\cos3x + \cos x ight)

    \Rightarrow y'' =\frac{1}{2}\left( - 9\sin3x - \sin x ight)

    \Rightarrow y''' =\frac{1}{2}\left( - 27\cos3x - \cos x ight)

    \Rightarrow y^{(4)} = \frac{1}{2}\left(81\sin3x + \sin x ight)

    \Rightarrow y^{(4)}\left( \frac{\pi}{6}
ight) = \frac{1}{2}\left\lbrack 81sin\left( \frac{3.\pi}{6} ight) +
\sin\left( \frac{\pi}{6} ight) ightbrack = \frac{1}{2}.\left(
3^{4} - \frac{1}{2} ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y =x.\cos x. Hệ thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    y = x.\cos x

    \Rightarrow y' = \cos x - x\sin
x

    \Rightarrow y'' = - 2\sin x -x\cos x

    \Rightarrow y'' + y = - 2\sin x -x\cos x + x\cos x = - 2\sin x

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
2x - 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. . Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x = 1 thì giá trị biểu thức 2a + b bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{2x - 1 - 1}{x - 1} =
2

    \lim_{x ightarrow 1 +}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{ax^{2} + bx - a - b}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{a\left( x^{2} - 1 ight) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 1)\left\lbrack a(x - 1) + b
ightbrack}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack
a(x - 1) + b ightbrack = 2a + b

    Theo yêu cầu bài toán

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{f(x) -
f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x -
1}

    \Leftrightarrow 2a + b = 2

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\sqrt{x^{2}-1}. Đạo hàm f'(x) có tập xác định là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \sqrt {{x^2} - 1}  \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \left( {\sqrt {{x^2} - 1} } ight)\prime  \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} ight)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\   \Leftrightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    => Tập xác định của hàm số f'(x) là:

    {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{12}t^{4} -
t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28 (m/s)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{12}t^{4} -
t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 28 (m/s)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = \frac{1}{3}t^{3} -
3t^{2} + 12t + 10

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = t^{2} - 6t + 12 = (t
- 3)^{2} + 3 \geq 3

    Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3. Khi đó vận tốc của chất điểm là v(3) = \frac{1}{3}.(3)^{3} -
3.(3)^{2} + 12.3 + 10 = 28(m/s)

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1\ \ khi\ x \geq 1 \\ax + b\ \ khi\ x < 1 \\\end{matrix} ight. có đạo hàm tại điểm x = 1 (với a,b\mathbb{\in R}). Giá trị của biểu thức P = 2a - 5b bằng bao nhiêu?

    Hàm số có đạo hàm tại x = 1 khi hai điều sau xảy ra:

    Hàm số phải liên tục tại điểm x = 1:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Rightarrow a + b = 2

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -f(1)}{x - 1} = f'(1)

    \Leftrightarrow f'\left( 1^{+}ight) = f'\left( 1^{-} ight)

    \Leftrightarrow a = 3

    \Rightarrow b = - 1

    Vậy giá trị của biểu thức P = 2a - 5b =11

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) tại điểm x = 0?

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow
0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (x
- 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) ightbrack

    = ( - 1)( - 2).....( - 2021) = -
2021!

    Vậy f'(0) = - 2021!

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn \log_{4}\left( x^{2} + y ight) \geq \log_{3}(x +
y)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... +
f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n
= -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... +
f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n
= -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x -
1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + ....
+ f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} +
\frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} -
\frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} =
\frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 1010.2021 - 1 \\
n = 2020.2021 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A = - 2

  • Câu 10: Vận dụng

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn là S(t) = - t^{3} +
6t^{2}. Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?

    Ta có:

    S(t) = - t^{3} + 6t^{2}

    Suy ra vận tốc của chuyển động là v(t) =
S'(t) = - 3t^{2} + 12t

    \Rightarrow v'(t) = - 6t +
12

    v'(t) = 0 \Leftrightarrow 12 - 6t =
0 \Leftrightarrow t = 2

    v(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - 3t^{2} =
0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t = 0 \\
t = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Vậy vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 2(s).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\frac{1-3x+x^{2}}{x-1}. Giải bất phương trình f'(x) > 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{x - 1}} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {1 - 3x + {x^2}} ight)'\left( {x - 1} ight) - \left( {1 - 3x + {x^2}} ight)\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{\left( { - 3 + 2x} ight)\left( {x - 1} ight) - \left( {1 - 3x + {x^2}} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{ - 3x + 3 + 2{x^2} - 2x - 1 + 3x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\   = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} ight)}^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f'(x) > 0 khi và chỉ khi x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 ight \}

  • Câu 12: Nhận biết

    Tính vi phân của hàm số y = {x^3} + 9{x^2} + 12x - 5

     Ta có:

    \begin{matrix}  y' = {x^2} - 18x + 12 \hfill \\   \Rightarrow dy = \left( {3{x^2} - 18x + 12} ight)dx \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = \frac{1}{x} tại điểm -1.

    Ta tính được k = y'( - 1) = -1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = - 1(x + 1)

    \Rightarrow y = - x + 2

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\left | x-2 ight |. Khẳng định nào sau đây là sai?

    Ta có: f(2)= 0 (đúng)

    f(x) = \left| {x - 2} ight| \geqslant 0,\forall x => Hàm số nhận giá trị không âm

    Ta lại có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x - 2{\text{   khi }}x \geqslant 2} \\   {2 - x{\text{   khi }}x < 2} \end{array}} ight. \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2 - x} ight) = 0 \hfill \\  f\left( 2 ight) = 0 \hfill \\   \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f\left( 2 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số liên tục tại x = 2

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1 \hfill \\  \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{2 - x}}{{x - 2}} =  - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy không tồn tại giới hạn \frac{{f\left( x ight) - f\left( 2 ight)}}{{x - 2}} khi x tiến tới 2

    Vậy khẳng định sai là "f(x) có đạo hàm tại x = 2"

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \log_{2}(2x + 1)?

    Ta có: y = \log_{2}(2x + 1)

    \Rightarrow y' = \frac{(2x +1)'}{(2x + 1)\ln2} = \frac{2}{(2x + 1)\ln2}

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in
R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x +
1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} +
1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} -
36x^{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
x^{3} + mx^{2} + 3x - 5 với m là tham số. Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình y'
= 0 có hai nghiệm phân biệt?

    Ta có:

    y = x^{3} + mx^{2} + 3x - 5

    \Rightarrow y' = 3x^{2} + 2mx +
3

    Để y' = 0 có hai nghiệm phân biệt:

    \Delta > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 9
> 0

    \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 3)
\cup (3; + \infty)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Đạo hàm của biểu thức f(x) = \sqrt{2 - 3x^{2}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{2 - 3x^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \sqrt{2 -
3x^{2}} ight)' = \frac{\left( 2 - 3x^{2} ight)'}{2\sqrt{2 -
3x^{2}}}

    = \frac{- 6x}{2\sqrt{2 - 3x^{2}}} =
\frac{- 3x}{\sqrt{2 - 3x^{2}}}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 20: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\   \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Một vật chuyển động theo quy luật S =10t^{2} - \frac{1}{3}t^{3}, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 15 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc v (m/s) của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng:

    Ta có vận tốc v của vật tại thời điểm t được tính theo công thức v(t) = S'(t) = - t^{2} + 20t. Bảng biến thiên của hàm v = v(t) trên (0; 15):

    Vậy vận tốc của vật đạt GTLN tại thời điểm t = 10 (s)

  • Câu 23: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = 2^{x}

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a

    y = 2^{x} \Rightarrow y' =2^{x}.\ln2

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) được xác định bởi công thức

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x_{0} =
2 . Khi đó:

    Giá trị của a là: -4|| - 4

    Giá trị của b là: 2

    Ta có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + ax + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{3} - x^{2} - 8x + 10\ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f'(x) = \left\{
\begin{matrix}
2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\
3x^{2} - 2x - 8\ \ \ \ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra 4 + a = 0 \Rightarrow a = -
4

    Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x =
2

    Suy ra \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Rightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Rightarrow
b = 2

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y=3x^{5}-5x^{4}+3x-2. Giải bất phương trình y'' < 0.

     Ta có:

    \begin{matrix}  y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2 \hfill \\   \Rightarrow y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \hfill \\   \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2} \hfill \\  y'' < 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 60{x^2}\left( {x - 1} ight) < 0,\left( {{x^2} > 0,\forall x e 0} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow x < 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}. Xác định công thức đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - 3 ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{x - 2}{x +
3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{5}{(x +
3)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = 5.\frac{-
2.(x + 3)}{(x + 3)^{4}} = \frac{- 10}{(x + 3)^{3}}

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 28: Thông hiểu

    Biết đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} + 3x - 1. Tìm các giá trị của tham số m.

    Ta có: y' = 3x^{2} + 3

    Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^{3} + 3x - 1 khi đó

    y'(x) = 6 \Leftrightarrow 3x^{2} + 3
= 6

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow y = 3 \\
x = - 1 \Rightarrow y = - 5 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;3)y =
6x - 3

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( - 1;
- 5)y = 6x + 1

    Để đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của (C) thì \left\lbrack \begin{matrix}
m + 1 = - 3 \\
m + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 4 \\
m = 0 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 29: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\   \Rightarrow y' =  - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) =  - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y =  - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 +
3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \
\ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\
- 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f(2) = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow
f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 =
10

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =
2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là Dx_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow
6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t =
0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left(
\frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
\frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\
m + m + c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
m = - 32 \\
n = 32 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = -
64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t =
0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left(
km/h^{2} ight)

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 1. Tập nghiệm của bất phương trình y''' \leq 6 là:

    Ta có:

    y = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} +
1

    \Rightarrow y' = x^{3} - 3x^{2}
\Rightarrow y'' = 3x^{2} - 6x

    \Rightarrow y^{(3)} = 6x -
6

    y^{(3)} \leq 6 \Leftrightarrow 6x - 6
\leq 6 \Leftrightarrow x \leq 2

    Vậy S = ( - \infty;2brack

  • Câu 35: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + \frac{5}{3}x^{3} -
\sqrt{2x} + m^{2} (với m = const) là:

    Ta có:

    y = f(x) = \frac{1}{2}x^{4} +
\frac{5}{3}x^{3} - \sqrt{2x} + m^{2}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{1}{2}.4x^{3} + \frac{5}{3}.3x^{2} - \frac{1}{\sqrt{2x}} +
0

    \Rightarrow f'(x) = 2x^{3} + 5x^{2}
- \frac{1}{\sqrt{2x}}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow0}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x} - 0}{x}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1ight)}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} = \frac{1}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + 1} - 1}{x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Giá trị của f'(0) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -
f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1} -
1}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{4x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{4x^{2} + 1} + 1 ight)} = \lim_{x
ightarrow 0}\frac{4}{\sqrt{4x^{2} + 1} + 1} = 2

    Vậy f'(0) = 2

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho f(x) = (x +
10)^{6}. Tính f''(2)

    Ta có:

    f(x) = (x + 10)^{6}

    \Rightarrow f'(x) = 6.(x +
10)^{5}

    \Rightarrow f''(x) = 6.5.(x +
10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}

    \Rightarrow f''(2) = 30.(2 +
10)^{4} = 622080

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm m. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f'(m)
= \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{\ln x}{x}?

    Ta có:

    y' = \left( \frac{\ln x}{x}ight)' = \frac{\left( \ln x ight)'.x - x'\ln x}{x^{2}} =\frac{1 - \ln x}{x^{2}}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo