Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x + 1. Có thể viết được bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O?

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d)

    Gọi phương trình chắn cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân tại O có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

    \Rightarrow y = b\left( 1 - \frac{x}{a} ight) = - \frac{b}{a} + b;\left( a,b eq 0;|a| = |b| ight)(d)

    M\left( x_{0};y_{0} ight) là hoành độ tiếp xúc của (C) và (d) khi đó:

    3{x_{0}}^{2} - 2 = - \frac{b}{a}

    Vì |a| = |b| \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3{x_{0}}^{2} - 2 = 1 \\ 3{x_{0}}^{2} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 0 \\\begin{matrix}x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = 2 \\x_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 - 5\sqrt{3}}{9}\\x_{0} = - \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y_{0} = \dfrac{9 + 5\sqrt{3}}{9}\\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 4 phương trình tiếp tuyến ứng với các điểm tiếp xúc và hệ số góc trên như sau:

    y = 1(x - 1) + 0 \Rightarrow y = x - 1

    y = 1(x - 1) + 2 \Rightarrow y = x + 3

    y = - 1\left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 - 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = x + \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}

    y = - 1\left( x + \frac{\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{9 + 5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow y = - x + \frac{9 + 2\sqrt{3}}{9}

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = 2^{2x}?

    Ta có:

    y = f(x) = 2^{2x}

    \Rightarrow f'(x) = \left( 2^{2x}ight)' = (2x)'.2^{2x}.\ln2 = 2^{2x + 1}.\ln2

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính số gia của hàm số y =\frac{x^{2}}{2} tại điểm x0 = -1 ứng với số gia \Delta x

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f( - 1 + \Deltax) - f( - 1)

    \Rightarrow \Delta y = \frac{( - 1 +\Delta x)^{2}}{2} - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \Delta y = \frac{1 - 2\Deltax + (\Delta x)^{2}}{2} - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \Delta y =\frac{1}{2}(\Delta x)^{2} - \Delta x

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s\left( t ight) = {t^3} - 3{t^2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    v(t) = s’(t) = 3t2 − 6t => a(t) = v(t) = 6t – 6

    Tại t = 3, ta có: v(3) = 9 m/s

    Tại t = 4, ta có: a(4) = 18 m/s2

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}.

    Ta có: y = 4x^{2} - \sqrt{x} + \frac{1}{x}

    \Rightarrow y' = 8x - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 7: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số: y=4\sqrt{x}-\frac{5}{x}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 4\sqrt x - \dfrac{5}{x} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{4}{{2\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{3} - mx^{2} +2m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến \Delta với đồ thị (C) tại A biết tiếp tuyến cắt đường tròn (\gamma):x^{2} + (y - 1)^{2} = 9 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}. Xác định công thức đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{5}{(x + 3)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = 5.\frac{- 2.(x + 3)}{(x + 3)^{4}} = \frac{- 10}{(x + 3)^{3}}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)?

    Ta có:

    y = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 3x)

    = \left( 1 - 3x + 2x^{2} ight)(1 - 3x)

    = 1 - 3x - 3x + 9x^{2} + 2x^{2} - 6x^{3}

    = 1 - 6x + 11x^{2} - 6x^{3}

    \Rightarrow y' = - 6 + 22x - 18x^{2}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) =\sin3x . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

    • f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) || - 9
    • f''(0) || 0
    • f''\left( \frac{\pi}{18} ight) || - \frac{9}{2}
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =\sin3x . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

    • f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) || - 9
    • f''(0) || 0
    • f''\left( \frac{\pi}{18} ight) || - \frac{9}{2}

    Ta có:

    f(x) = \sin3x

    \Rightarrow f'(x) =3.\cos3x

    \Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}f''\left( - \dfrac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( -\dfrac{3\pi}{2} ight) = 9 \\f''(0) = - 9. \sin(3.0) = 0 \\f''\left( \dfrac{\pi}{18} ight) = - 9.\sin\left( \dfrac{3\pi}{18}ight) = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{x - 2}{x + 1} tại điểm x_{0} = 0?

    TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y(0) = \frac{0 - 2}{0 + 1} = - 2

    y' = \frac{3}{(x + 1)^{2}} \Rightarrow y'(0) = 3

    Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x_{0} = 0 là:

    y = 3(x - 0) - 2 \Rightarrow y = 3x - 2

  • Câu 14: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} +2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7

    Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm

    Ta tính được: k = y'\left( x_{0}ight) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 7 nên có k = 9

    => 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} = 9\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\x_{0} = 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x0 = −1, ta có: \left\{\begin{matrix}y_{0} = - 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x + 7 (loại)

    với x0 = 3 thì \left\{\begin{matrix}y_{0} = 2 \\k = 9 \\\end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 25 (thỏa mãn)

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

     Đáp án đúng là "Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì nó liên tục tại điểm đó."

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan \frac{{x + 1}}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \tan \dfrac{{x + 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y\prime = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}}.\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)\prime \hfill \\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x +3)...(x + n) với n \in\mathbb{N}^{*}. Tính f'(0).

    Ta có:

    f'(0) = \lim_{x ightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}(x + 1)(x +2)...(x + n) = n!

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \ln\left( 1 - \frac{1}{x^{2}} ight) . Biết f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020) = \frac{m}{n} với m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

    Giá trị biểu thức A = 2m - n = -2 || - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x + 1)}

    Khi đó:

    f'(2) + f'(3) + f'(4) + .... + f'(2020)

    = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{2019.2020} - \frac{1}{2020.2021}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2020.2021} = \frac{1010.2021 - 1}{2020.2021}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1010.2021 - 1 \\ n = 2020.2021 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = - 2

  • Câu 22: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^{3} tại điểm (-1; -1)

    Ta tính được k = y'( - 1) =3

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = 3(x + 1)

    \Rightarrow y = 3x + 2

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \tan x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y = \tan x \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    Khi đó ta có:

    y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1

    = \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 0

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \tan x. Tính y''\left( \frac{\pi}{4} ight) thu được kết quả là:

    Ta có:

    y = \tan x

    \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^{2}x}= 1 + \tan^{2}x

    \Rightarrow y' = \left( 1 + \tan^{2}xight)' = 2\tan x.\left( \tan x ight)'

    = 2\tan x.\left( 1 + \tan^{2}xight)

    \Rightarrow y''\left(\frac{\pi}{4} ight) = 2\tan\left( \frac{\pi}{4} ight).\left\lbrack 1+ \tan^{2}\left( \dfrac{\pi}{4} ight) ightbrack = 2.1.(1 + 1) =4

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y =f(x) = \sqrt{1 - 4x} + \frac{1 - x}{x - 3}. Tính f'(x).

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{1 - 4x} + \frac{1 - x}{x -3}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \sqrt{1 -4x} ight)' + \left( \frac{1 - x}{x - 3} ight)'

    \Rightarrow f'(x) = \frac{\left(\sqrt{1 - 4x} ight)'}{2\sqrt{1 - 4x}} + \frac{(1 - x)'(x - 3)- (1 - x)(x - 3)'}{(x - 3)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{-2}{\sqrt{1 - 4x}} + \frac{2}{(x - 3)^{2}}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định bởi công thức f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x_{0} = 1?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 - 4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x - 1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)

    Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) đều có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0 với \forall x\mathbb{\in R} .

    Giá trị biểu thức H = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}g(x) + 36x = 0(*)

    Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

    - f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x) + 2x.g(x) + x^{2}g'(x) + 36 = 0(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{3}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (1) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2)f'(2) + 36 = 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0  thay vào (2) ta được 36 = 0 (loại)

    Với f(2) = 2 thay vào (2) ta được:

    - 36.f'(2) + 36 = 0 \Leftrightarrow f'(2) = 1

    Vậy H = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 28: Nhận biết

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

    Ta tính được s'(t) = 2t

    Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) =2t

    => v(2) = 2.2 = 4(m/s)

  • Câu 29: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} = 1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2

    \Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) + x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 + 3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\ - 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix} f(2) = 0 \\ f(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 = 10

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) = \frac{1}{16}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số f(x) = \left( x^{3} - 2x^{2} ight)^{2}?

    Ta có:

    f(x) = \left( x^{3} - 2x^{2} ight)^{2}

    \Rightarrow f'(x) = \left\lbrack \left( x^{3} - 2x^{2} ight)^{2} ightbrack'

    \Rightarrow f'(x) = 2\left( x^{3} - 2x^{2} ight)\left( x^{3} - 2x^{2} ight)'

    \Rightarrow f'(x) = 2\left( x^{3} - 2x^{2} ight)\left( 3x^{2} - 4x ight)

    \Rightarrow f'(x) = 6x^{5} - 8x^{4} - 12x^{4} + 16x^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 6x^{5} - 20x^{4} + 16x^{3}

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y = x^{2} tại điểm có hoành độ \frac{1}{2}.

    Ta có:

    y'\left( \dfrac{1}{2} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\dfrac{f\left( \dfrac{1}{2} + \Delta xight) - f\left( \dfrac{1}{2} ight)}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + \Delta x ight)^{2} - \left( \dfrac{1}{2}ight)^{2}}{\Delta x}

    = \lim_{\Delta x ightarrow 0}(1 +\Delta x) = 1

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} + 1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} - 36x^{2}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Đáp án là:

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c . Giá trị của biểu thức T = a + b + 5c = 4

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4

  • Câu 37: Thông hiểu

    Đạo hàm của biểu thức f(x) = \sqrt{2 - 3x^{2}} bằng biểu thức nào sau đây?

    Ta có:

    f(x) = \sqrt{2 - 3x^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \left( \sqrt{2 - 3x^{2}} ight)' = \frac{\left( 2 - 3x^{2} ight)'}{2\sqrt{2 - 3x^{2}}}

    = \frac{- 6x}{2\sqrt{2 - 3x^{2}}} = \frac{- 3x}{\sqrt{2 - 3x^{2}}}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} có đồ thị hàm số \left( C_{m} ight) . Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng \Delta:3x - y + 1 = 0 ?

    Giá trị của tham số m là: -2|| - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} có đồ thị hàm số \left( C_{m} ight) . Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng \Delta:3x - y + 1 = 0 ?

    Giá trị của tham số m là: -2|| - 2

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}}

    Gọi M(0; - m) \in (C); k là hệ số góc tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại M và \Delta:3x - y + 1 = 0

    Do tiếp tuyến M song song với \Delta:3x - y + 1 = 0 nên k = 3

    \Leftrightarrow y'(0) = 3 \Leftrightarrow 1 + m = 3 \Rightarrow m = - 2

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)=(x+10)^{6}. Tính giá trị của f''(2).

     Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = {(x + 10)^6} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 6.{\left( {x + 10} ight)^5} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x ight) = 6.5.{\left( {x + 10} ight)^4} = 30{\left( {x + 10} ight)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( 2 ight) = 622080 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{n}. Công thức tính y^{(n)} là:

    Ta có: y' = \left( x^{n} ight)' = n.x^{n - 1}

    y'' = \left( n.x^{n - 1} ight)' = n.(n - 1).x^{n - 2}

    y^{(3)} = \left( n.(n - 1).x^{n - 2} ight)' = n.(n - 1)(n - 2).x^{n - 3}

    ….

    y^{(n - 1)} = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - n + 1).x = n!x

    y^{(n)} = n!

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 49 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập