Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f(x) =
\frac{2x}{x - 1}. Tính đạo hàm của hàm số đã cho?

    Ta có:f(x) = \frac{2x}{x -
1}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{(2x)'(x - 1) - (x - 1)'(2x)}{(x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2(x - 1) -
2x}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Đáp án là:

    Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét.

    Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

    Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9

    Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

    a = S'' = - 6t + 6

    Gia tốc triệt tiêu khi a = 0 \Rightarrow
S'' = 0 \Rightarrow t = 1

    Khi đó vận tốc của chuyển động là S'(1) = 12m/s

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
2^{x^{2} - mx + 1}. Với giá trị nào của tham số m thì y'(0) = \ln2?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y = 2^{x^{2} - mx +
1}

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} - mx +1 ight)'.2^{x^{2} - mx + 1}.\ln2

    \Rightarrow y' = (2x - m).2^{x^{2} -
mx + 1}.ln2

    Theo bài ra ta có:

    y'(0) = \ln2

    \Leftrightarrow (2.0 - m).2^{1}.\ln2 =\ln2

    \Leftrightarrow m = -
\frac{1}{2}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) =
0 có đúng hai nghiệm x = 1;x =
2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x
- m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Nhận biết

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^{3} tại điểm (-1; -1)

    Ta tính được k = y'( - 1) =3

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = 3(x + 1)

    \Rightarrow y = 3x + 2

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y=3x^{3}+x^{2}+1, có đạo hàm y'. Để y'\leq 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = 3{x^3} + {x^2} + 1 \hfill \\   \Rightarrow y' = 9{x^2} + 2x \hfill \\  y' \leqslant 0 \hfill \\   \Leftrightarrow 9{x^2} + 2x \leqslant 0 \hfill \\   \Leftrightarrow x \in \left[ { - \dfrac{2}{9};0} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy x nhận các giá trị thuộc tập \left[ { - \frac{2}{9};0} ight]

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm đạo hàm của hàm số y = \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 -
3x)?

    Ta có: y = \left( 2x^{2} + x - 1
ight)(2 - 3x)

    \Rightarrow y' = \left( 2x^{2} + x -
1 ight)'(2 - 3x) + \left( 2x^{2} + x - 1 ight)(2 -
3x)'

    = (4x + 1)(2 - 3x) + \left( 2x^{2} + x -
1 ight).( - 3)

    = - 12x^{2} + 8x - 3x + 2 - 6x^{2} - 3x
+ 3

    = - 18x^{2} + 2x + 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm m. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f'(m)
= \lim_{x ightarrow m}\frac{f(x) - f(m)}{x - m}

  • Câu 9: Nhận biết

    Số gia của hàm số f(x)=2x^{2}-1 tại x_{0}=1 ứng với số gia \Delta x=0,1 bằng:

    Ta có:

    ∆f = f(1 + 0,1) - f(1)

    = 2(1,1)^2 - 1 - (2 - 1) = 0,42

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Đáp án là:

    Cho hai hàm số f(x);g(x) đều có đạo hàm trên tập số thực và thỏa mãn:

    f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0

    với \forall
x\mathbb{\in R} . Giá trị biểu thức M = 3f(2) + 4f'(2) = 10

    Với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f^{3}(2 - x) - 2f^{2}(2 + 3x) +
x^{2}.g(x) + 36x = 0\ \ \ (1)

    Đạo hàm hai vế của (1) ta được:

    - 3f^{2}(2 - x).f'(2 - x) - 12f(2 +
3x).f'(2 + 3x)

    + 2x.g(x) + x^{2}.g'(x) + 36x = 0\ \
\ (2)

    Từ (1) và (2) thay x = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f^{2}(2) - 2f^{2}(2) = 0\ \ \ (3) \\
- 3f^{2}(2).f'(2) - 12f(2).f'(2) + 36 = 0\ \ \ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (3) ta có: \left\lbrack \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f(2) = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Với f(2) = 0 thay vào (4) ta được 36 = 0

    Với f(2) = 2 thay vào (4) ta được - 36f'(2) + 36 = 0 \Rightarrow
f'(2) = 1

    Vậy M = 3f(2) + 4f'(2) = 3.2 + 4.1 =
10

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) =
x^{2} ứng với x_{0} = 2;\Delta x =
1 bằng 5. Đúng||Sai

    b) Cho hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x
+ 5}. Giá trị f'(1) =
0 Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} -
5 ight)\sqrt{x} trên khoảng (0; +
\infty) bằng biểu thức \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} +
\frac{5}{2\sqrt{x}} Sai||Đúng

    d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{4} + x vuông góc với y = - \frac{1}{5}x + 2y = 5x + 2. Sai||Đúng

    a) Ta có: \Delta y = f(x + \Delta x) -
f(x) = (x + \Delta x)^{2} - x^{2}

    = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} -
x^{2} = 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}(*)

    Thay x_{0} = 2;\Delta x = 1 vào (*) ta được:

    \Delta y = 2.2.1 + 1^{2} =
5

    b) Ta có f(x) = \frac{1}{x^{2} - 2x +
5}

    \Rightarrow f'(x) = - \frac{2x -
2}{\left( x^{2} - 2x + 5 ight)^{2}} \Rightarrow f'(1) =
0

    c) Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5
ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left( x^{3} - 5
ight)'\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight).\left( \sqrt{x}
ight)'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5
ight).\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} -
\frac{5}{2\sqrt{x}}

    d) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - \frac{1}{5}x + 2 nên ta có: k.\left( - \frac{1}{5} ight) =
- 1 \Rightarrow k = 5

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) là tiếp điểm khi đó ta có: y'\left(
x_{0} ight) = 5

    Mặt khác y' = 4x^{3} + 1 \Rightarrow
y'\left( x_{0} ight) = 5 \Rightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} =
2

    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =
5(x - 1) + 2 = 5x - 3

  • Câu 14: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số: y=4\sqrt{x}-\frac{5}{x}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = 4\sqrt x  - \dfrac{5}{x} \hfill \\   \Rightarrow y' = \dfrac{4}{{2\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt x }} + \dfrac{5}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6)
+ ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức y =
f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4} ight) . Tính giá trị biểu thức: T = f'(0) + f'(3) + f'(6)
+ ... + f'(2019) ?

    Kết quả: S = 2022/2023

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Với x \in \lbrack 0; + \infty) ta có: \left\{ \begin{matrix}
x + 1 > 0 \\
x + 4 > 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x > - 1 \\
x > - 4 \\
\end{matrix} ight.

    f(x) = \ln\left( \frac{x + 1}{x + 4}
ight) = \ln(x + 1) - \ln(x + 4)

    \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x + 1}
- \frac{1}{x + 4}

    Khi đó:

    T = f'(0) + f'(3) + f'(6) +
... + f'(2019)

    P = \left( 1 - \frac{1}{4} ight) +
\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) + \left( \frac{1}{7} -
\frac{1}{10} ight) + ... + \left( \frac{1}{2020} - \frac{1}{2023}
ight)

    P = 1 - \frac{1}{2023} =
\frac{2022}{2023}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính đạo hàm cấp hai tại điểm x_{0} = - 1 của hàm số f(x) = \frac{1}{2x - 1}?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2x - 1} \Rightarrow
f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) =
\frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) =
\frac{8}{\left\lbrack 2.( - 1) - 1 ightbrack^{3}} = -
\frac{8}{27}

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số y = \tan \frac{{x + 1}}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix}  y = \tan \dfrac{{x + 1}}{2} \hfill \\   \Rightarrow y\prime  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}}.\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)\prime  \hfill \\   = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Khi đó f'(0) = ?

    Với x eq 0 xét:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\frac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -
\sqrt{4 - x}}{4x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4 - (4 - x)}{4x\left( 2
+ \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(
2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    \Rightarrow f'(0) =
\frac{1}{16}

  • Câu 21: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} =
1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} +
2

    \Rightarrow y''(x) = 6x
\Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Đáp án là:

    Cho hàm số y =
\frac{- x + 2}{x - 1} có đồ thị (C) . Gọi tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm Q(a,1)S. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Kết quả: 5/2

    (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

    Điều kiện x eq 1

    Ta có: f'(x) = \frac{- 1}{(x -
1)^{2}}

    Đường thẳng d đi qua Q có hệ số góc k là y = k(x - a) + 1

    Đường thẳng d tiếp xúc với (C) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k(x - a) + 1 = \dfrac{x + 2}{x - 1}(*) \\k = - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}(**) \\\end{matrix} ight. có nghiệm

    Thế (**) vào (*) ta có: - \frac{1}{(x -
1)^{2}}(x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}

    \Leftrightarrow - x + a + x^{2} - 2x + 1
= - x^{2} + 3x - 2;x eq 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0\
\ \ (1)

    Để đồ thị hàm số có 1 tiếp tuyến qua Q thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

    Suy ra phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

    \Leftrightarrow 2x^{2} - 6x + a + 3 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 = 0 \\2 - 6 + a + 3 eq 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 9 - 2a - 6 > 0 \\2 - 6 + a + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\a = 1 \\\end{matrix} ight.

    Vậy 1 + \frac{3}{2} =
\frac{5}{2}

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{5} - 3x^{4} + x + 1,\forall x\mathbb{\in
R}.

    Ta có: y = x^{5} - 3x^{4} + x +
1

    \Rightarrow y' = 5x^{4} - 12x^{3} +
1

    \Rightarrow y'' = 20x^{3} -
36x^{2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hai mệnh đề sau:

    i) f(x) có đạo hàm tại x_{0} thì f(x) liên tục tại x_{0}.

    ii) f(x) liên tục tại x_{0} thì f(x) có đạo hàm tại x_{0}.

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Khẳng định đúng là: (i) đúng, (ii) sai.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
f(x) xác định bởi công thức f(x) =\sin2x. Chọn hệ thức đúng?

    Ta có:

    y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x

    \Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t^{2}+t, trong đó t tính bằng giây (s) và Q được tính theo culông (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s.

    Ta có:

    Cường độ dòng điện tại thời điểm t = 4s là:

    \begin{matrix}  I = Q'\left( t ight) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{Q\left( t ight) - Q\left( 4 ight)}}{{t - 4}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {2{t^2} + t} ight) - \left( {{{2.4}^2} + 4} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{2{t^2} + t - 36}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \dfrac{{\left( {t - 4} ight)\left( {2t + 9} ight)}}{{t - 4}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \left( {2t + 9} ight) = 2.4 + 9 = 17 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan x là:

    Tập xác định D = R\backslash\left\{
\frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z} ight\}

    Ta có: y = \tan x

    \Rightarrow y' =\frac{1}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow y'' = \frac{-1.\left( \cos^{2}x ight)'}{\left( \cos^{2}x ight)^{2}} = -\frac{2\cos x.\left( \cos x ight)'}{\cos^{4}x} =\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Biết đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{3} + 3x - 1. Tìm các giá trị của tham số m.

    Ta có: y' = 3x^{2} + 3

    Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x^{3} + 3x - 1 khi đó

    y'(x) = 6 \Leftrightarrow 3x^{2} + 3
= 6

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow y = 3 \\
x = - 1 \Rightarrow y = - 5 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;3)y =
6x - 3

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( - 1;
- 5)y = 6x + 1

    Để đường thẳng y = 6x + m + 1 là tiếp tuyến của (C) thì \left\lbrack \begin{matrix}
m + 1 = - 3 \\
m + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 4 \\
m = 0 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 29: Nhận biết

    Tính đạo hàm của hàm số f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1 tại điểm x = -1

    Ta có:

    \begin{matrix}  f(x) =  - {x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( x ight) =  - 4{x^3} + 12{x^2} - 6x + 2 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) =  - 4.{\left( { - 1} ight)^3} + 12.{\left( { - 1} ight)^2} - 6.\left( { - 1} ight) + 2 \hfill \\  f'\left( { - 1} ight) = 4 + 12 + 6 + 2 = 24 \hfill \\   \Rightarrow f'\left( { - 1} ight) = 24 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x} trên tập số thực.

    Ta có: \left( a^{x} ight)' =a^{x}.\ln a;(a > 0;a eq 1)

    y = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}\Rightarrow y' = \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{x}.\ln\left( 2 -\sqrt{3} ight)

    \Rightarrow y' = \frac{1}{\left( 2 +\sqrt{3} ight)^{x}}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)

    \Rightarrow y' = \left( 2 + \sqrt{3}ight)^{- x}.\ln\left( 2 - \sqrt{3} ight)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)
= \left\{ \begin{matrix}
(x - 1)^{2}\ \ khi\ x \geq 0 \\
- x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x_{0} = 0?

    Ta có:

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}(x - 1)^{2} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}\left( - x^{2} ight) = 0

    Suy ra f(0) = \lim_{x ightarrow
0^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Nên hàm số không liên tục tại x_{0} =
0

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số y =
f(x) tại điểm x_{0} =
0.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \sqrt{\frac{1}{2} +
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} +
\frac{1}{2}\cos x}}} với x \in
(0;\pi)?

    Ta có:

    y = \sqrt{\frac{1}{2} +
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} +
\frac{1}{2}\cos x}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\cos^{2}\frac{x}{2}}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{\cos^{2}\frac{x}{4}}}

    = \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{x}{4}} = \sqrt{\cos^{2}\frac{x}{8}} =\cos\frac{x}{8}

    \Rightarrow y' = \left(
\cos\frac{x}{8} ight)' = - \frac{1}{8}\sin\frac{x}{8}

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) =
\frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6}
ight) = - 1

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y=-3x^{3}+3x^{2}-x+5. Tính giá trị của y^{(3)}(2017)

    Ta có:

    \begin{matrix}  y =  - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 5 \hfill \\   \Rightarrow y' =  - 9{x^2} + 6x - 1 \hfill \\   \Rightarrow y'' =  - 18x + 6 \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} =  - 18 \hfill \\   \Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( {2017} ight) =  - 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y =
\tan x. Tính y''\left(
\frac{\pi}{4} ight) thu được kết quả là:

    Ta có:

    y = \tan x

    \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^{2}x}= 1 + \tan^{2}x

    \Rightarrow y' = \left( 1 + \tan^{2}xight)' = 2\tan x.\left( \tan x ight)'

    = 2\tan x.\left( 1 + \tan^{2}xight)

    \Rightarrow y''\left(\frac{\pi}{4} ight) = 2\tan\left( \frac{\pi}{4} ight).\left\lbrack 1+ \tan^{2}\left( \dfrac{\pi}{4} ight) ightbrack = 2.1.(1 + 1) =4

  • Câu 36: Nhận biết

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Đáp án là:

    Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x^{3} - x^{2} + 1 tại điểm x = 2 bằng 10

    Ta có: f(x) = x^{3} - x^{2} +
1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} -
2x

    \Rightarrow f''(x) = 6x -
2

    \Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 =
10

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số y =
f(x) = \frac{x}{(x - 1)(x - 2)...(x - 2022)}. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = 0?

    Đặt g(x) = (x - 1)(x - 2)...(x -
2022)

    Khi đó f(x) = \frac{x}{g(x)}

    \Rightarrow f'(x) =
\frac{x'.g(x) - x.g'(x)}{g^{2}(x)}

    = \frac{g(x) - x.g'(x)}{g^{2}(x)} =
\frac{1}{g(x)} - \frac{x.g'(x)}{g^{2}(x)}

    f'(0) = \frac{1}{g(0)} -
0.\frac{g'(0)}{g^{2}(x)} = \frac{1}{g(0)}

    = \frac{1}{( - 1).( - 2)...( - 2022)} =
\frac{1}{2022!}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định tại x_{0} = 6 và thỏa mãn \lim_{x ightarrow 6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} =
2. Giá trị của f'(6) bằng:

    Hàm số y = f(x) có tập xác định là Dx_{0} \in D.

    Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \lim_{x
ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x_{0}.

    Vậy f'(6) = \lim_{x ightarrow
6}\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = 2.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight. . Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0 . Tính giá trị biểu thức T = a - b ?

    Kết quả: 0

    Ta có: f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1

    Để hàm số có đạo hàm tại x_{0} =
0 thì hàm số phải liên tục tại x_{0} = 0 nên

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) =
\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Suy ra - b - 1 = 1 \Rightarrow b = -
2

    Khi đó f(x) = \left\{ \begin{matrix}
ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\
ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 -
1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = -
2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) -
f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) =
a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó a = - 2

    Vậy giá trị của biểu thức T = a - b =
0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S=\frac{1}{2}t^{2} ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t_{0}=5(s) 

    Ta có: 

    \begin{matrix}  v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\   \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 62 lượt xem
Sắp xếp theo