Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Đạo hàm gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình S=\frac{1}{2}t^{2} ( t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường thẳng đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm t_{0}=5(s) 

    Ta có: 

    \begin{matrix} v\left( t ight) = s'\left( t ight) = t \hfill \\ \Rightarrow v\left( {{t_0}} ight) = v\left( 5 ight) = 5\left( {m/s} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn \lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2. Chọn khẳng định đúng?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x_{0}

    f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Nên khẳng định đúng là f'(3) = 2

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{2} - x + 2. Tính y'(1)?

    Ta có: y = x^{2} - x + 2

    \Rightarrow y' = 2x - 1

    \Rightarrow y'(1) = 2.1 - 1 = 1

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x - 1}{x - 1}. Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho \frac{OA}{OB} = 4?

    Giả sử tiếp tuyến của (C) tại điểm M\left( x_{0};y_{0} ight) cắt Ox tại A và cắt Oy tại B sao cho \frac{OA}{OB} = 4.

    Do tam giác OAB vuông tại O nên \tan\widehat{A} = \frac{OB}{OA} = \frac{1}{4}

    Suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng \pm \frac{1}{4}

    Hệ số góc tiếp tuyến là y'\left( x_{0} ight) = \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} < 0

    \Rightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} - 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{13}{4} \\x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow d:y = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Xác định đạo hàm của hàm số y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}.

    Ta có:

    y = \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x}

    \Rightarrow y' = \left\lbrack \left( x^{3} - 5 ight)\sqrt{x} ightbrack'

    = 3x^{2}\sqrt{x} + \left( x^{3} - 5 ight)\frac{1}{2\sqrt{x}}

    = \frac{7}{2}x^{2}\sqrt{x} - \frac{5}{2\sqrt{x}} = \frac{7}{2}\sqrt{x^{5}} - \frac{5}{2\sqrt{x}}

  • Câu 7: Vận dụng

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)} tại x_{0} = \frac{1}{2}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{x(2 - 2x)}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{4x - 2}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{4\left( 2x - 2x^{2} ight)^{2} - 2( - 4x + 2).\left( - 2x^{2} + 2x ight).(4 - 2x)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{4}}

    = \frac{4\left( - 2x^{2} + 2x ight) + 2\left( 16x^{2} - 16x + 4 ight)}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{- 8x^{2} + 8x + 32x^{2} - 32x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}}

    = \frac{24x^{2} - 24x + 8}{\left( 2x - 2x^{2} ight)^{3}} \Rightarrow f''\left( \frac{1}{2} ight) = 16

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính đạo hàm hàm số y = x^{2} - \frac{1}{x}?

    Ta có:

    y = x^{2} - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \left( x^{2} - \frac{1}{x} ight)'

    \Rightarrow y' = \left( x^{2} ight)' - \left( \frac{1}{x} ight)'

    \Rightarrow y' = 2x - \left( - \frac{1}{x^{2}} ight) = 2x + \frac{1}{x^{2}}

  • Câu 9: Nhận biết

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=-x^{3} tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = - {x^3} \Rightarrow y\left( { - 1} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng -1 là:

    y = - 3\left( {x + 1} ight) + 1

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + 2\cos x + 3x + 2. Tổng các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    y' = \cos2x - 2\sin x + 3 = - 2\sin^{2}x- 2\sin x + 4

    y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in \lbrack 0;50\pibrack nên 0 \leq \frac{\pi}{2} + k2\pi \leq 50\pi

    \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{99}{4};\left( k\mathbb{\in Z} ight) nên k \in \left\{ 0;1;;2;...;24 ight\}

    Suy ra tổng các nghiệm trên đoạn \lbrack 0;50\pibrack của phương trình f'(x) = 0 là:

    S_{25} = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \frac{9\pi}{2} + ... + \frac{97\pi}{2}

    = \dfrac{25\left( \dfrac{\pi}{2} +\dfrac{97\pi}{2} ight)}{2} = \dfrac{1225\pi}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Số gia của hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 1 tương ứng với x và \Delta x là \Delta x(\Delta x + 2x - 4) Đúng||Sai

    b) Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 2 . Sai||Đúng

    c) Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. . Khi đó f'(0) = \frac{1}{16} Đúng||Sai

    d) Cho hàm số y = \sqrt{x^{2} + 1} khi đó ta có y.y' = 2x Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \Delta y = f(\Delta x + x) - f(x)

    = (\Delta x + x)^{2} - 4(\Delta x + x) + 1 - \left( x^{2} - 4x + 1 ight)

    = \Delta x^{2} + 2\Delta x.x - 4\Delta x = \Delta x(\Delta x + 2x - 4)

    b) Ta có

    Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho

    Vì A(0; 2) thuộc đường thẳng d nên phương trình của d có dạng y = kx + 2

    Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} + 2 = kx + 2(*) \\ 4x^{3} - 4x = k(**) \\ \end{matrix} ight. có nghiệm

    Thay (**) vào (*) ta suy ra \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \\\end{matrix} ight.

    Chứng tỏ từ A ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{f(x) -f(0)}{x - 0} = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4} -\dfrac{1}{4}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 - \sqrt{4 -x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 - \sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

    d) Ta có:

    y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y.y' = \sqrt{x^{2} + 1}.\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x

  • Câu 12: Nhận biết

    Tại điểm x_{0} = 1, giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{3} + 2x bằng bao nhiêu?

    Ta có: y = x^{3} + 2x

    \Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2

    \Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}?

    Ta có:

    y = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y' = \left( \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 1}} ight)'

    \Rightarrow y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} +1} - \dfrac{(x + 3)x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + 1} = \dfrac{1 -3x}{\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} + 1}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\frac{1-3x+x^{2}}{x-1}. Giải bất phương trình f'(x) > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} f(x) = \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{x - 1}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = \dfrac{{\left( {1 - 3x + {x^2}} ight)'\left( {x - 1} ight) - \left( {1 - 3x + {x^2}} ight)\left( {x - 1} ight)'}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( { - 3 + 2x} ight)\left( {x - 1} ight) - \left( {1 - 3x + {x^2}} ight)}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 3x + 3 + 2{x^2} - 2x - 1 + 3x - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} ight)}^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f'(x) > 0 khi và chỉ khi x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 ight \}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một vật chuyển động theo quy luật s = -\frac{1}{2}t^{3} + 9t^{2} với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

    Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}t^{2} +18t với t \in \lbrack0;10brack.

    Ta có: v'(t) = - 3t + 18 = 0\Leftrightarrow t = 6.

    Suy ra: v(0) = 0;v(10) = 30;v(6) =54.

    Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54\ \ (m/s).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \sqrt{2x - x^{2}}. Tính giá trị của biểu thức T = y^{3}.y''?

    Ta có: y = \sqrt{2x - x^{2}}

    \Rightarrow y' = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^{2}}} \Rightarrow y'' = \frac{- 1}{\left( \sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}}

    \Rightarrow T = y^{3}.y'' = \left( \sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}.\frac{- 1}{\left( \sqrt{2x - x^{2}} ight)^{3}} = - 1

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \frac{1}{2x - 1} tại x_{0} = - 1 bằng:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{1}{2} ight\}

    Ta có: y = f(x) = \frac{1}{2x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{- 2}{(2x - 1)^{2}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{8}{(2x - 1)^{3}}

    \Rightarrow f''( - 1) = - \frac{8}{27}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x + 2000. Tìm tập nghiệm bất phương trình y' < 0.

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3

    y' < 0 \Rightarrow 3x^{2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1

    \Rightarrow S = ( - 1;1)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} có đồ thị hàm số \left( C_{m} ight) . Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng \Delta:3x - y + 1 = 0 ?

    Giá trị của tham số m là: -2|| - 2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} có đồ thị hàm số \left( C_{m} ight) . Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng \Delta:3x - y + 1 = 0 ?

    Giá trị của tham số m là: -2|| - 2

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}}

    Gọi M(0; - m) \in (C); k là hệ số góc tiếp tuyến của \left( C_{m} ight) tại M và \Delta:3x - y + 1 = 0

    Do tiếp tuyến M song song với \Delta:3x - y + 1 = 0 nên k = 3

    \Leftrightarrow y'(0) = 3 \Leftrightarrow 1 + m = 3 \Rightarrow m = - 2

  • Câu 22: Thông hiểu

    Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} có dạng y'' = \frac{a}{(x - 1)^{3}} + \frac{b}{(x + 2)^{3}}. Tính giá trị biểu thức T = a + b.

    Ta có:

    y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}

    \Rightarrow y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}

    \Rightarrow y'' = \frac{2}{(x - 1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b = 4

  • Câu 23: Nhận biết

    Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số y = - \frac{1}{x}?

    Ta có: y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}

    \Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số f(x) =\frac{1}{x\sqrt{2}};g(x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}. Gọi d_{1};d_{2} lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số f(x);g(x) đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{x\sqrt{2}} =\frac{x^{2}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow x = 1

    Ta có: d_{1} có hệ số góc k_{1} = f'(1) = -\frac{1}{\sqrt{2}}

    d_{2} có hệ số góc k_{2} = g'(1) = \sqrt{2}

    => k_{1}.k_{2} = - 1 \Rightarrowd_{1}\bot d_{2}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 là f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Biểu diễn chuyển động của một chất điểm (v là vận tốc phụ thuộc vào thời gian t) như đồ thị hình vẽ:

    Tính gia tốc của vật lúc t = 0,25(h).

    Dễ thấy vận tốc của chuyển động được biểu diễn là một parabol

    Gọi phương trình vận tốc của chất điểm là v(t) = mt^{2} + nt + c

    Đồ thị đi qua điểm (0;0);I\left( \frac{1}{2};8 ight);M(1;0) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}n + c = 8 \\ m + m + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ m = - 32 \\ n = 32 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Gia tốc của vật là a(t) = v'(t) = - 64t + 32

    Vậy gia tốc của vật lúc t = 0,25(h) là:

    a(0,25) = - 64.0,25 + 32 = 16\left( km/h^{2} ight)

  • Câu 27: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình S(t) = \frac{1}{4}t^{4} - \frac{7}{2}t^{2} - 6t + 10,(t > 0) , t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu thì gia tốc của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Kết quả: 20 (m/s2)

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = t^{3} - 7t - 6

    Gia tốc tức thời của chất điểm là:

    a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 7

    Khi vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v(t) = 0 \Leftrightarrow t^{3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 1(ktm) \\ t = - 2(ltm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tại thời điểm vận tốc triệt tiêu t = 3 thì gia tốc của chất điểm bằng:

    a(3) = 3.(3)^{2} - 7 = 20\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2}{{1 + x}}. Tính giá trị của {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \dfrac{2}{{1 + x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {1 + x} ight)}^2}}} \hfill \\\Rightarrow y''\left( x ight) = \dfrac{{4\left( {x + 1} ight)}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} ight)}^3}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}} = \dfrac{{ - 12{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^6}}} = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^4}}} \hfill \\\Rightarrow {y^{\left( 3 ight)}}\left( 1 ight) = \dfrac{{ - 12}}{{{{\left( {1 + 1} ight)}^4}}} = - \dfrac{3}{4} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Biết f(x) = \cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2} ight)

    …

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a + \frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{2018} - 1009x^{2} +2019x. Giá trị của \lim_{\Delta xightarrow 0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2018.x^{2017} - 2.1009x +2019

    \Rightarrow \lim_{\Delta x ightarrow0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} = f'(1)

    = 2018.1 - 2.2019.1 + 2019 =2019

    Vậy \lim_{\Delta x ightarrow0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} = 2019

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bx + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\ ax - b - 1\ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x_{0} = 0. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có: f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( ax^{2} + bx + 1 ight) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(ax - b - 1) = - b - 1

    Để hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 thì hàm số phải liên tục tại x_{0} = 0 nên

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    Suy ra - b - 1 = 1 \Rightarrow b = - 2

    Khi đó f(x) = \left\{ \begin{matrix} ax^{2} - 2x + 1\ \ \ ;\ x \geq 0 \\ ax + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Xét

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{ax^{2} - 2x + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(ax - 2) = - 2

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{ax + 1 - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(a) = a

    Hàm số có đạo hàm tại x_{0} = 0 khi đó a = - 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính đạo hàm của hàm số y = 2{\sin ^2}x-\cos 2x + x

    Ta có:

    \begin{matrix} y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + x \hfill \\ y = 1 - \cos 2x - \cos 2x + x \hfill \\ y = 1 - 2\cos 2x + x \hfill \\ \Rightarrow y' = 4\sin 2x + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R},f^{'}(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 1;x = 2. Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 2x - m ight), có bao nhiêu giá trị nguyên của m \in \lbrack - 20;20brack để phương trình g^{'}(x) = 0 có nhiều nghiệm nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - \sqrt{4 - x}}{4}\ \ \ \ khi\ x eq 0 \\\dfrac{1}{4}\ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.. Tính f'(0)?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) -f(0)}{x - 0}

    = \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{\dfrac{3 -\sqrt{4 - x}}{4} - \dfrac{1}{4}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2 -\sqrt{4 - x}}{4x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( 2 -\sqrt{4 - x} ight)\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}{4x\left( 2 +\sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{4x\left( 2 + \sqrt{4 - x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{4\left(2 + \sqrt{4 - x} ight)} = \frac{1}{16}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = (3x - 7)^{5}. Xác định f''(2)?

    Ta có: y = f(x) = (3x - 7)^{5}

    \Rightarrow f'(x) = 15(3x - 7)^{4}

    \Rightarrow f''(x) = 180.(3x - 7)^{3}

    \Rightarrow f''(2) = 180.(3.2 - 7)^{3} = - 180

  • Câu 37: Nhận biết

    Đạo hàm của hàm số y=\frac{3x-2}{2x+5} bằng biểu thức nào dưới đây? 

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{3x - 2}}{{2x + 5}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {3x - 2} ight)'\left( {2x + 5} ight) - \left( {3x - 2} ight).\left( {2x + 5} ight)'}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{3\left( {2x + 5} ight) - 2\left( {3x - 2} ight)}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} = \dfrac{{19}}{{{{\left( {2x + 5} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = \frac{x - 2}{x + 1} tại điểm x_{0} = 0?

    TXĐ: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y(0) = \frac{0 - 2}{0 + 1} = - 2

    y' = \frac{3}{(x + 1)^{2}} \Rightarrow y'(0) = 3

    Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x_{0} = 0 là:

    y = 3(x - 0) - 2 \Rightarrow y = 3x - 2

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = 1000^{2 - x}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y = 1000^{2 - x}

    \Rightarrow y' = (2 - x)'.1000^{2 - x}.ln1000

    \Rightarrow y' = - 1000^{2 -x}.\ln1000

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. Kết quả đúng là:

    Ta có f'(2) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 60 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập