Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, AA’ = 1. Tính góc giữa AB’ và (BCC’B’).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> BA ⊥ (BCC’B’)
Khi đó BB’ là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BCC’B’)
Hay góc giữa AB’ và (BCC’B’) là
Ta có:
Vậy góc giữa AB’ và (BCC’B’) là 600
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Xét các mệnh đề sau:
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).
(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).
(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).
(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng
(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai
(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng
(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh
, cạnh bên bằng
.
Hình vẽ minh họa
Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là và chiều cao
(vì lăng trụ là lăng trụ đứng)
Vậy thể tích hình lăng trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến BD.
Lại có AO nằm trong (ABCD) và vuông góc với BD tại O
Mà SO nằm trong (SBD) và vuông góc với BD tại O.
=> Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OS, tức là góc
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 900.
Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).
Cho hình chóp tứ giác
có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng
. Số đo góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác đều nên
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Tính thể tích khối lăng trụ
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’
Theo đề bài ta có:
Dễ thấy nên tam giác
vuông tại A
Gọi H là trung điểm của
Ta lại có
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC), H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)
=> SA ⊥ BC
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)
=> AC ⊥ AB (vô lí)
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
Do nên
Ta có:
Nên
Vậy khoảng cách
Cho lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
. Gọi
là trung điểm cạnh BC. Biết
, khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, ta có
là hình bình hành
.
Kẻ .
Ta có: .
Suy ra,
Ta có: .
Xét vuông tại
ta có:
Cho tam giác
và tam giác
nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
. Với giá trị nào của
thì hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
Suy ra mà
Do đó
Ta có:
Mặt khác nên tam giác
vuông cân tại J
Do đó
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là các tam giác đều cạnh bằng
và cạnh bên bằng
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tam giác vuông cân tại C nên
Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
(2)
Từ (1) và (2) ta có tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là
Xét tam giác vuông AB’O có
Vậy
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ
=> MQ // AB
Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD
Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)
Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Mệnh đề sai là: "Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)"
Cho hình chóp
đáy là tam giác
vuông tại
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
Vậy đáp án sai là: .
Cho hình hộp chữ nhật
có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Trong kẻ
.
Kẻ .
Do
Mà .
Ta có: là hình bình hành nên
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:

Quan sát hình vẽ ta thấy:
Tam giác ABC vuông cân tại B
Khi đó
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
, SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của AD
=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD
Ta có:
Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM
=>
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành và mặt bên
là tam giác vuông tại
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành nên
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy. Khi đó:
Hình vẽ minh họa:

Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Tam giác SAI vuông tại I
=> SA2 = AI2 + SI2
Tam giác SBI vuông tại I
=> SB2 = BI2 + SI2
Tam giác SCI vuông tại I
=> SC2 = CI2 + SI2
Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC cân với cạnh huyền
, cạnh bên
và
. Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN.

Đặt
Do tam giác vuông cân ABC tại C có suy ra:
Ta có:
Vậy
Mặt khác:
Gọi góc giữa hai véctơ
và
Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:
Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA =
và vuông góc với (ABCD). Tính cosin của góc giữa (SBC) và (SCD).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H, N lần lượt là trung điểm của SC, AB.
Ta có CN = 1/2 AB suy ra tam giác ABC vuông cân tại C.
Suy ra:
Do tam giác SAC vuông cân tại A nên AH = a.
Kẻ AK ⊥ SD. Khi đó:
=> ((SBC), (SCD)) = (AH, AK) = = ϕ
Xét tam giác vuông SAD có:
Xét tam giác vuông AKH ta có:
Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết
.

Quan sát hình vẽ ta thấy
Tam giác đều có cạnh bằng a nên
Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là