Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto
?

Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM bằng BD bằng?

Xét vuông cân tại A, ta có:
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra
Xét vuông cân tại A, ta có:
Vì là trung điểm của SB nên:
Ta có:
(Do , nên
)
Do đó:
Vậy góc giữa AM bằng BD bằng
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi α là góc giữa SA và (SHK). Chọn mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là giao điểm của HK và AC
Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC
Ta lại có: AC ⊥ SH
=> AC ⊥ (SHK)
=>
Tam giác SIA vuông tại I ta có:
Cho khối chóp
có
biết độ dài các cạnh
. Thể tích khối chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nên tam giác ABC vuông tại A
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=>
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=>
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=>
Suy ra
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a,
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
Hình vẽ minh họa

Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
Xét tam giác MOC ta có:
Một tấm ván hình chữ nhật
được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33![]()
Một tấm ván hình chữ nhật được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33
Gọi ,
lần lượt là hình chiếu của
,
lên đáy hố là mặt phẳng
.
Khi đó có hình chiếu lên đáy là
, suy ra
.
Với độ sâu hố là (m), ta có
.
.
.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC;
. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà SA = SB = SC và
=>
Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi Q là điểm trên cạnh SA và Q ≠ A, Q ≠ S; M là điểm trên đoạn AD và M ≠ A. Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => AB ⊥ (SAD)
Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).
Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.
Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.
Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).
Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.
Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên tam giác SAB và tam giác SAD là tam giác vuông.
Ta có: CD ⊥ DA mà DA là hình chiếu của DA trên (ABCD) nên CD vuông góc với DS
=> Mặt bên SDC là tam giác vuông tại D
Tương tự ta có: mặt bên SBC là tam giác vuông tại B. Như vậy chỉ có khẳng định ”Mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông” là chắc chắn đúng.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác
là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD
=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD =>
Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)
Xét tam giác IOJ có: => Tam giác IOJ đều
Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) =
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Cho khối lăng trụ
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích của khối lăng trụ là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’
Ta có:
Xét tam giác AJK có:
Vậy tam giác AJK vuông tại A
Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có:
Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:
( vì
)
Lại có:
Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:
Hay
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành và mặt bên
là tam giác vuông tại
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành nên
Tính thể tích khối tứ diện đều
, biết
?
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD
Tam giác BCD đều cạnh bằng 5
Tam giác ABH vuông tại H nên
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do
Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà
Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:
Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD
Khi đó
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Đường thẳng DE vuông góc với
Đường thẳng DE vuông góc với chỉ với AC và BF
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông với
. Biết
. Góc giữa
và mặt phẳng
bằng:
Ta có:
Vì là hình vuông nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
, tam giác
cân. Giả sử
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có AH ⊥ SB. Từ đó suy ra AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC. (1)
Lại có theo giả thiết SC ⊥ AK. (2)
Từ (1) và (2) => SC ⊥ (AHK) => (SBC) ⊥ (AHK).
Ta có:
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “Tam giác IAC đều” là sai
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử
là hình chiếu của
trên cạnh
. Ta có các khẳng định sau:
| a) |
b) |
c) |
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.
Mệnh đề “Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).
Vậy mệnh đề đúng là: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.”