Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên

Dễ dàng chứng minh được

Đặt

Tam giác SBC vuông tại B nên

Ta được:

Vậy diện tích hình chóp là:

Ta có:

Vậy đáp án sai là: .

Hình vẽ minh họa:

sai vì

CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)

=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)

=>

đúng vì

AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)

=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)

=>

sai vì

BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)

=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)

=>

sai vì

=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)

=>

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có:

Mặt khác

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A

=>

=> MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

=>

Ta có:

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra, ta có mà

Tam giác ABC vuông tại B, có =>

Khi đó

Nếu mà suy ra (vô lý).

Hình vẽ minh họa

Hạ ta có:

Trong tam giác có:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

Ta có:

=> nên số đo góc giữa AO và CD là 90⁰

Đường thẳng DE vuông góc với chỉ với AC và BF

Mệnh đề: “Nếu thì .” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều nên

Lại có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Tính được

Thể tích khối chóp là:

Ta có:

nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên

Ta lại có:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là

Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

Vậy tan α = 1

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Ta có nên SC là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Mệnh đề sai: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.”

Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.

Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra tam giác ABC vuông tại B

Ta có:

Suy ra tam giác SAB và tam giác SAC là các tam giác vuông tại A

Mặt khác suy ra tam giác SBC vuông tại B

Vậy hình chóp có bốn mặt đều là tam giác vuông.

Hình vẽ minh họa:

Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)

=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))

Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI

Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H

Mà AI ⊥ A’H

=> (AB’C’) ⊥ A’H.

Khi đó:

Vậy khoảng cách cần tìm là

Hình vẽ minh họa

Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Đặt

Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

Ta có

Trong (ABCD) kẻ tại E

Trong (CEC’) kẻ tại H

Suy ra

Do đó

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là

Dấu xảy ra khi:

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)

Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc

Ta có

CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

Tam giác CMC’ vuông tại M, nên

Diện tích

Xét tam giác vuông MC’N, có

Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là

Hình vẽ minh họa:

Kẻ

Lại có

Gọi F là trung điểm của BC; khi đó

Ta có:

Vì

Vậy tam giác AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK

=>

Lại có do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc bằng

Ta có:

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:

Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác là tam giác đều suy ra

Lại có

.

Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có:

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

Chiều cao của khối chóp là

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy mặt phẳng không vuông góc với .

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>

Kẻ tại E (1)

Ta có:

Từ (1) và (2) =>

=>

Xét tam giác vuông SAD ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC

I là trung điểm của MN

Ta có:

=>

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Hình vẽ minh họa

Kẻ , gọi

Ta có:

Lại có:

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có:

=>

Kẻ (1)

Ta có:

Từ (1) và (2) =>