Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là:
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AD.
Từ giả thiết ta có:
Vậy vuông tại C
Do đó (1)
Mặt khác
=> vuông tại B.
Do đó (2)
Từ (1) và (2) ta có
Vậy điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là trung điểm của AD.
Cho hình chóp tam giác
có đáy
vuông tại
,
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy
Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Kẻ
Có
Ta có:
Khi đó
Trong tam giác SON vuông tại O, có:
Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)
Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.
Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.
Như vậy:
Lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho hình chóp
có cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên cạnh
. Tìm khẳng định đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của ![]()
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Tính thể tích khối lăng trụ
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’
Theo đề bài ta có:
Dễ thấy nên tam giác
vuông tại A
Gọi H là trung điểm của
Ta lại có
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2AD = 2DC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60◦. Độ dài cạnh SA là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta dễ dàng chứng minh được ABCE là hình vuông
Trong (SAB) kẻ HE ⊥ SB ta có:
Xét tam giác vuông CEH có EH = CE. cot 60◦ =
Ta có ∆SAB ∼ ∆EHG (g - g)
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a,
, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’),
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính
.

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra
Bước 2: Tính
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà
=>
Ta có
Trong tam giác EDB’, có:
Suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a2,
, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H = AM ∩ BD
Ta có:
=> SH ⊥ (ABC)
Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:
=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))
Kẻ DK ⊥ AM tại K.
Ta có: => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK
=> d(B; (SAM)) = 2DK
Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a2 nên ta có:
Lại có
Khi đó
Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:
Lại có
Từ đó
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>
Vì nên
Gọi H là trung điểm của CD =>
Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>
Ta có:
Từ (*) và (**)
Ta lại có:
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là
Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và
Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp
.
Tính SH
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S
Diện tích đáy của khối chóp là
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Khối chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Xác định thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho vecto
≠
và hai vecto
và
không cùng phương. Nếu vecto
vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
:
Trường hợp "Đồng phẳng" và " Có thể đồng phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp như hình vẽ sau:

Giả sử trường hợp "Không đồng phẳng" sai tức là ba vecto ,
và
đồng phẳng.
Khi đó vì điều này mẫu thuẫn với giả thiết hai vecto
và
không cùng phương.
Vậy đáp án đúng là "Không đồng phẳng"
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
(2)
Từ (1) và (2) ta có tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là
Xét tam giác vuông AB’O có
Vậy
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và các góc
đều bằng
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Gọi
là góc tạo bởi hai đường thẳng
và
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: với P là trung điểm của D’C
Suy ra
Vì và các cạnh của hình hộp bằng a
Do đó
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)
Cho hình chóp
có đáy
là hình tam giác vuông tại A,
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P) trong đó a ⊥ (P). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Nếu a ⊥ b thì b // (P).”
Vì b có thể nằm trong (P).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 600, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)
Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)
=>
Xét tam giác SBC đều cạnh 2a =>
Tam giác ABC vuông tại A =>
Tam giác SAH vuông nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác
có đáy
vuông tại
. Giả sử
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Biết rằng
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Hạ ta có:
Trong tam giác có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=>
Mà
Vậy
Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
. Biết
và tam giác
đều. Xác định thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Thể tích khối chóp là: