Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D. Mặt phẳng (A’BCD’) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:
Dễ thấy:
Do đó: (ADC’B’)⊥(A’BCD’)
Vậy mặt phẳng (A’BCD’) vuông góc với mặt phẳng (ADC’B’).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D. Mặt phẳng (A’BCD’) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:
Dễ thấy:
Do đó: (ADC’B’)⊥(A’BCD’)
Vậy mặt phẳng (A’BCD’) vuông góc với mặt phẳng (ADC’B’).
Cho hình chóp S.ABC có
và SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó:
Hình vẽ minh họa:
Đặt SA = a
Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:
Xét tam giác SAC cân tại S ta có:
=> SA = SC = AC = a
Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:
Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hay H là trung điểm của BC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM bằng BD bằng?

Xét vuông cân tại A, ta có:
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra
Xét vuông cân tại A, ta có:
Vì là trung điểm của SB nên:
Ta có:
(Do , nên
)
Do đó:
Vậy góc giữa AM bằng BD bằng
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=>
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a (hình hộp như thế gọi là hình hộp thoi) và
. Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
=> A’B’ // CD và A’B’ = CD
=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Ngoài ra B’C = a = CD
=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Ta có:
=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Diện tích hình vuông đó là a2
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD
=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD =>
Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)
Xét tam giác IOJ có: => Tam giác IOJ đều
Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) =
Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
Hình vẽ minh họa

Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều
=> Tam giác ACD cân
=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD
=> là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Cho hình chóp
,
có đáy
là tam giác vuông cân tại
. Biết rằng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta thấy hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
nên
Do tam giác ABC vuông cân tại B nên
Cho hình chóp tam giác
, đáy là tam giác
vuông cân tại C và
. Biết tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Thể tích hình chóp tam giác
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Tam giác SAB đều nên
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình hộp chữ nhật
. Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình hộp chữ nhật suy ra
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
. Biết
và tam giác
đều. Xác định thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, SA vuông góc với đáy và
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có nên SA là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AB.
Xét tam giác SAB có SA = SB =>
Xét tam giác CAB có: =>
Từ (1) và (2) suy ra .
Cho khối chóp
có
biết độ dài các cạnh
. Thể tích khối chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nên tam giác ABC vuông tại A
Suy ra
Vậy
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích khối lăng trụ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Kẻ
Lại có
Gọi F là trung điểm của BC; khi đó
Ta có:
Vì
Vậy tam giác AIK vuông tại A
Gọi E là trung điểm của IK
=>
Lại có do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc
bằng
Ta có:
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:
Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
;
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Dựng
Dựng . Dễ thấy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC). Kẻ AH ⊥ SB. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)
Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC
Ta lại có:
Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm cạnh
,
là hình chiếu vuông góc của
trên
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà tam giác ABC là tam giác đều
mà
Cho tứ diện đều
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của BD.
Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Do đó:
Vì là tứ diện đều
nên tam giác
là tam giác đều.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
. Biết rằng
. Hãy chọn kết luận sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao
=>
Trong tam giác SOA thì AC và SA không thể vuông tại A
Vậy khẳng định sai là: .
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình lâp phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
và
?
Hình vẽ minh họa

Ta có: AEGC là hình chữ nhật nên EG // AC
Vì ABCD là hình vuông nên
=>
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC
Khi đó
Theo bài ra ta có:
Tam giác SBH vuông tại H có:
Cho hình lập phương
(như hình vẽ)

Tính sin của góc tạo bởi
và mặt phẳng đáy
?
Ta có:
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng .
Trong tam giác ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hai đường thẳng a và a’ lần lượt có vecto chỉ phương là
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng a và a’ thì
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng nên đáp án đúng là:
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN
Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB
Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM
Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M
=>
Ta lại có
Mà
=>
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN (M ∈ A’C, N ∈ BC’) là đường vuông góc chung của A’C và BC’. Tỉ số
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’
Suy ra HI // BC’
Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH
Dễ thấy BK ⊥ (SCH)
Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’
Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm
Ta có:
Do 2HB = SB nên:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có: