Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)

Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm BC.

Tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Theo giả thiết, ta có SH ⊥ (ABC).

Qua B kẻ Bx // AC. Khi đó (SB, AC) = (SB, Bx).

Kẻ HE ⊥ Bx tại E, cắt AC tại M.

=> AMEB là hình chữ nhật nên

Ta có:

Tam giác vuông SEB ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra

Mà

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Hình vẽ minh họa

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do vuông tại nên hay là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà nên AH là đường cao kẻ từ xuống hay .

(1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của

Mà nên . (2)

Từ (1), (2) suy ra: .

Suy ra: .

Lại có: .

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Lại có:

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm cạnh .

Khi đó nên vuông góc tại .

Do đó do vuông tại .

Ta có:

.

Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

OC ⊥ BD

OC ⊥ CC’

=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.

Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC

=> SH ⊥ (ABC).

Gọi K là trung điểm AC=> HK // AB nên HK ⊥ AC.

Ta có:

=> ((SAC), (ABC)) = (SK, HK) =

Xét tam giác vuông ABC ta có:

Xét tam giác vuông SHK ta có:

Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.

=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

Dễ thấy nên tam giác vuông tại A

Gọi H là trung điểm của

Ta lại có

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: AA’D’A là hình vuông => AD’ ⊥ A’D

ABCD.A’B’C’D là hình lập phương => AB ⊥ A’D

=> A’D ⊥ (ABC’D’) => A’D ⊥ AC’

Ta lại có: ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD

Mà A’A ⊥ BD => BD ⊥ (AA’C’C) => BD ⊥ AC’

Kết hợp với A’D ⊥ AC’ => A’C ⊥ (A’BD)

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà tam giác ABC là tam giác đều

mà

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

là đường trung bình của tam giác nên

Vì

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó

Hình vẽ minh họa

Ta có: AEGC là hình chữ nhật nên EG // AC

Vì ABCD là hình vuông nên

=>

Ta có:

Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)

Ta có:

Thể tích khối trụ là:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên

Ta có:

Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:

Ta có

Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông

=>

Ta có (hai đường chéo hình vuông)

Mặt khác BP // CD.

Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.

Ta có AB giao (SCB) tại N nên

Ta có

Trong (SAC) kẻ

Xét tam giác SAC vuông tại A nên

Do đó

Hình vẽ minh họa:

Gọi H = AM ∩ BD

Ta có:

=> SH ⊥ (ABC)

Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:

=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))

Kẻ DK ⊥ AM tại K.

Ta có: => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK

=> d(B; (SAM)) = 2DK

Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a² nên ta có:

Lại có

Khi đó

Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:

Lại có

Từ đó

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Nếu thì .

"Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q)" là khẳng định sai vì có thể b ⊂ (P) và b ⊂ (Q).

Ta có:

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng .

Trong tam giác ta có:

Hình vẽ minh họa:

Giả sử H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABCD)

=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh HD.

=>

Tam giác SAB đều cạnh a =>

Ta lại có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> BA ⊥ (BCC’B’)

Khi đó BB’ là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BCC’B’)

Hay góc giữa AB’ và (BCC’B’) là

Ta có:

Vậy góc giữa AB’ và (BCC’B’) là 60⁰

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung bình tam giác ABC

Vì tam giác BCD và tam giác ACD là các tam giác đều cạnh a

Vì

Xét tam giác MND ta có:

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”