Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho khối lăng trụ
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích của khối lăng trụ là:
Hình vẽ minh họa:
Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác có các cạnh:
Suy ra tam giác vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a
Gọi giao điểm của AM và A’H là T
Ta có:
Cho hình hộp thoi
có tất cả các cạnh bằng
và
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Do nên tam giác BB’C đều
Do đó nên tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta có
Suy ra
Vậy tứ giác là hình vuông.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Hình vẽ minh họa:
Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)
=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))
Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.
Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:
AB2 + AD2 = BD2 = 4a2 => AD =
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm câc các cạnh
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:
Suy ra
Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều
Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều
Do đó tam giác DD’C đều
Vậy
Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.
Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.
Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’
Khi đó:
Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a,
. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Do SA = SB = SD nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.
Suy ra:
Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD.
Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD
=> ((SBD), (ABCD)) = (SI, AI) =
Trong tam vuông SHI ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
. Kết luận nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
vì
vì
vì
Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.
Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử
là hình chiếu của
trên cạnh
. Ta có các khẳng định sau:
| a) |
b) |
c) |
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Cho tứ diện ABCD có H là trực tâm tam giác BCD, AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)
Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)
Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
.

Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp tam giác
, đáy là tam giác
vuông cân tại C và
. Biết tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Thể tích hình chóp tam giác
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Tam giác SAB đều nên
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
;
. Gọi
là trung điểm của
, biết hai mặt phẳng
và
cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
. Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh
đến mặt phẳng
?
Từ I kẻ
Gọi K là trung điểm của SD.
Gọi , kẻ
Ta có:
Xét tam giác ICQ có
Xét tam giác SIP vuông tại I có
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho tứ diện
có đáy
là tam giác vuông cân tại
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Độ dài DE bằng:
Ta có:
EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho
=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE
=> Tam giác ECD vuông tại C.
=>
Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B
=>
=>
=>
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC
Khi đó
Theo bài ra ta có:
Tam giác SBH vuông tại H có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp
có
, tứ giác
là hình vuông. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng BD với (SAD). Tính sin α.
Hình vẽ minh họa:
Vì (SAB) ⊥ (ABCD), AD ⊥ AB nên AD ⊥ (SAB)
Trong (SAB), kẻ BH ⊥ SA = H, ta có BH ⊥ (SAD)
Khi đó sin (BD, (SAD)) = sinα = BH/BD
Xét tam giác SAB đều cạnh a có đường cao
=>
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
, các cạnh
, các góc
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , các cạnh
, các góc
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
.
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
Khi đó, với
là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.
Khi đó: là hai tam giác vuông bằng nhau có
.
Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh
của tam giác SAB, ta có
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và
là
.
Xét cân tại
có
.
Ta có: .
Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
.
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)?
Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).
Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:
Trong tam giác vuông SEI có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo và SA = SC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC
=> AC ⊥ SO
Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
. Biết
và tam giác
đều. Xác định thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
. Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 300 và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Đặt AB = x =>
Ta có:
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
=> d(MN, AC’) =
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
Do nên
Ta có:
Nên
Vậy khoảng cách
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA
=>
Xét tam giác SAB vuông ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm cạnh
,
là hình chiếu vuông góc của
trên
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà tam giác ABC là tam giác đều
mà
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết:
. Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Ta lại có: