Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Tam giác SBC cân tại B. sai
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Cho khối lăng trụ
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích của khối lăng trụ là:
Hình vẽ minh họa:
Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác có các cạnh:
Suy ra tam giác vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a
Gọi giao điểm của AM và A’H là T
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
vuông góc với đáy. Gọi
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B, BM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.
Lại có:
Ta có:
Ta có:
Mà
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Dễ thấy
Góc giữa B1D1 và AC bằng 900
Góc giữa AD và C1B bằng 450
Góc giữa BD và CA1 bằng 900
Đều là các đáp án đúng
Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 600 sai vì
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là
và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Khi đó:
Cho hình chóp S.ABC có
và SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó:
Hình vẽ minh họa:
Đặt SA = a
Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:
Xét tam giác SAC cân tại S ta có:
=> SA = SC = AC = a
Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:
Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Hay H là trung điểm của BC.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)
Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a
Khi đó
=>
Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
. Biết diện tích tam giác SBD bằng
. Khi đó SA bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy.
Khi đó
Cho tứ diện
có hai mặt
và
là tam giác đều. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: I là trung điểm của AB.
Vì và
là tam giác đều nên
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.
Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Hình chóp tam giác đều
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có khối chóp tam giác đều có đáy
là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên
.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
Cho tứ diện
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho tứ diện có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN.
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC
=> PN // BD => BD // (MNP)
=> d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = d(A, (MNP))
Kẻ AK ⊥ ME
Khi đó d(A, (MNP)) = AK.
Ta tính được:
Xét tam giác vuông MAE ta có:
Cho hình chóp tam giác
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Xác định khẳng định đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà (vì đáy là tam giác vuông tại B);
Cho hình chóp tứ giác đều
, đáy
cạnh bằng
, cạnh bên
. Tính thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=>
Mà
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác cân tại
,
. Gọi
là trung điểm của
,
là hình chiếu của
trên
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
Mà nên
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ AE
Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)
Xét tam giác SAB có:
AM ⊥ SB
Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC
Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC
=> SC ⊥ (AMN)
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Ta có:
=> AB ⊥ MH
=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD
Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD
Ta cũng có SN ⊥ CD nên
Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)
Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))
Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK
Khi đó d(H, (SMP)) = HI
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:
Xét tam giác vuông SHN ta có:
Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:
Mặt khác:
Cho hình chóp tứ giác đều
có đáy là hình vuông cạnh
, độ dài cạnh bên bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của SB
Ta có:
Mà
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Khối chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Xác định thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có
, tứ giác
là hình vuông. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Cho tứ diện ABCD. Nếu
và
thì:
Ta có:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho khối lăng trụ đứng
, đáy
có
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử
là hình chiếu của
trên cạnh
. Ta có các khẳng định sau:
| a) |
b) |
c) |
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết
.

Quan sát hình vẽ ta thấy
Tam giác đều có cạnh bằng a nên
Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là