Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì =>
cân tại S
Mà O là trung điểm AC =>
Tương tự, ta cũng có mà
=>
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.
Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.
Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.
Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.
Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.
Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai
Cho hình chóp tứ giác đều
, cạnh đáy bằng
, đường cao bằng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi , M là trung điểm của CD.
Ta có:
Trong tam giác SMO có
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a,
. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là
Ta có: BC = 2a.cos 300 =
Mặt khác AE2 = EC2 + AC2 − 2AC.EC. cos ACE
AE2 = 3a2 + a2 − 2a..cos 1500= 7a2
=>
Ta có:
Ta có:
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp tứ giác đều
, đáy
cạnh bằng
, cạnh bên
. Tính thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
;
và
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đường trung bình của tam giác
Ta lại có: nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAD)
Mặt khác
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)
Gọi M là giao điểm của AH và BC
Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM
Xét tam giác BOC vuông ta có:
Xét tam giác AOI vuông ta có:
Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)
Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)
Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC
Vậy là kết quả sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>
Ta có: AH // CD =>
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN.
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC
=> PN // BD => BD // (MNP)
=> d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = d(A, (MNP))
Kẻ AK ⊥ ME
Khi đó d(A, (MNP)) = AK.
Ta tính được:
Xét tam giác vuông MAE ta có:
Công thức tính thể tích
của khối nón có bán kính
và chiều cao
là:
Công thức tính thể tích là:
Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào đúng?
Mệnh đề: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.” Sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.
Mệnh đề: “Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).” Sai vì ít nhất nếu cả A và B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α) ⋂ (β).
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
Gọi . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra
.
Vì
Có
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc .
Có
Vì
Xét tam giác SOB có
Ta có
Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)
Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Tính thể tích khối lăng trụ
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’
Theo đề bài ta có:
Dễ thấy nên tam giác
vuông tại A
Gọi H là trung điểm của
Ta lại có
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh bằng
, tâm
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó cosin góc giữa
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Với
Khi đó
Ta có:
Lại có
Do vậy
Ta có: (vì OC là đường trung bình trong tam giác BDF)
Vậy .
Cho tứ diện
. Gọi
là trực tâm tam giác
và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
H là trực tâm tam giác BCD nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có cạnh bên bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”
Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau SA và BC.
Hình vẽ minh họa:

Xét
Ta có:
Từ (1) và (2)
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vuông tại
và
. Tính cosin góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
Do nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H là trung điểm của BC
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Góc tạo bởi cạnh
và mặt phẳng
bằng
. Xác định thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên
Dễ dàng chứng minh được
Đặt
Tam giác SBC vuông tại B nên
Ta được:
Vậy diện tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD). I là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC
=> OI là đường trung bình của tam giác SAC
=> OI // SA
Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB
Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB
Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD
Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.
Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”
Cho tứ diện đều
cạnh bằng
,
là trung điểm của
. Khi đó
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm cạnh AC. Khi đó ta có: EM // AB.
Ta có: là tứ diện đều cạnh bằng 1 và
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và
, CD = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CE.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi H là trung điểm của BD. Khi đó EH // AB, EH ⊥ (BCD)
Góc giữa AB và CE bằng góc giữa EH và EC chính là góc
Ta có:
Ta lại có:
Vậy góc giữa AB và CE là 450
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
, tam giác
đều. góc giữa
và
là:
Hình vẽ minh họa
Vì
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là