Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,

=> ∆ABC vuông tại C

Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB

=> SH ⊥ (ABCD) và

Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do )

Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK

Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.

Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.

Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.

Ta có: 

Từ A kẻ =>

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác có các cạnh:

Suy ra tam giác vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

ABCD là hình vuông nên

Xét tam giác vuông SOA ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Tam giác SOA vuông tại O nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

=> BC ⊥ (SAB).

Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Hình vẽ minh họa

Ta có: với P là trung điểm của D’C

Suy ra

Vì và các cạnh của hình hộp bằng a

Do đó

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:

Hình ảnh minh họa:

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Trong mặt phẳng (SAB) có SH ⊥ AB => SH ⊥ d.

Ta có:

=> d ⊥ SK. Từ đó suy ra ((SAB), (SCD)) = (SH, SK) =

Trong tam giác vuông SHK ta có:

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.

+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2

+ Gọi N là trung điểm AB suy ra

+ Gọi

Gọi

+ Ta có

+ Ta có 

+ Gọi NH là đường cao

+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ

+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì nên là đường cao của hình chóp .

Hình vẽ minh họa

Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên

Mà

Xét tam giác IMN có

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều nên

Lại có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Tính được

Thể tích khối chóp là:

=> Góc BA’C là góc tù.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Ta có:

nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên

Ta lại có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: => AB ⊥ (SAD)

Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).

Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M

Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)

Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).

Đặt

Do tam giác vuông cân ABC tại C có suy ra:

Ta có:

Vậy

Mặt khác:

Gọi góc giữa hai véctơ và

Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết ta có: (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)

Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân

=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:

=> AM ⊥ BM

Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)

=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M

=> MN ⊥ AB

Đặt CD = x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆ABM vuông cân tại M

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆CDN vuông cân tại N

Hình vẽ minh họa:

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.

Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.

Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.

Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.

Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.

Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai

Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy:

Lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> Tam giác ABD vuông tại B.

=> IA = IB = ID = AD/2 (với I là trung điểm của AD)

Ta có:

=> Tam giác BCD vuông tại C.

=> EA = EC = ED = AD/2 (E là trung điểm của AD)

Vậy I trùng với E

Vậy điểm cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD

Mặt khác (tính chất tam giác cân)

Và (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì là hình vuông nên