Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh AA' sao cho mặt phẳng (C'MB) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác C'MB có dạng \frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight). Tính giá trị của biểu thức T = a + b - c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh AA' sao cho mặt phẳng (C'MB) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác C'MB có dạng \frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight). Tính giá trị của biểu thức T = a + b - c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng

    Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH\bot(ABC)

    Gọi M là trung điểm của BC

    \Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

    Hay AM = \frac{1}{2}SA

    \Rightarrow SA = a\sqrt{3}

    Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

    \Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}

    = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}

    Vậy V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

    Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

    Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

    Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } ight).\overrightarrow {CD} \hfill \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} \hfill \\ = AC.CD.\cos {120^0} + CB.CD.\cos {60^0} \hfill \\ = - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \Rightarrow AB \bot CD \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và \alpha là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của \sin \alpha là

    Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Đặt CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).

    AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.

    Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

    \left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha

    Ta có \sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}

    Trong (ABCD) kẻ tại E

    \left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)

    Trong (CEC’) kẻ CH \bot C'E tại H

    Suy ra d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h

    Do đó \sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy đạt giá trị lớn nhất là \frac{3}{5}

    Dấu xảy ra khi: \left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông cân tại C và AB = a\sqrt{3};AC = a. Biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích hình chóp tam giác S.ABC bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB đều nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

    Tam giác SAB đều nên SH = \frac{3a}{2}

    Tam giác ABC vuông cân tại C nên

    AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}

    Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a\sqrt 2 và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng

    Gọi O = AC \cap BD. Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra SO \bot \left( {ABCD} ight).

    Vì \left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ BD \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot BD

    Có \left\{ \begin{gathered} BD \bot SO \hfill \\ BD \bot AC \hfill \\ SO,AC \subset \left( {SAC} ight) \hfill \\ SO \cap AC = \left\{ O ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)

    Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.

    Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc \widehat {BSO}.

    Có BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a

    Vì \left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ OB \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot OB

    Xét tam giác SOB có

    Ta có \sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BSO = {30^0}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết AB = a;AA' = 2a.

    Quan sát hình vẽ ta thấy

    Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

    Do khối lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là AA' = 2a

    Thể tích khối lăng trụ là V = AA'.S_{ABCD} = 2a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh CD = a,BD = \frac{a\sqrt{6}}{3}, AB = AC = AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

    Do \Delta BCD vuông tại B nên BH = CH = DH hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta BCD.

    Mà AB = AC = AD nên AH là đường cao kẻ từ A xuống (BCD) hay AH\bot(BCD).

    \Rightarrow AH\bot BC. (1)

    M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của \Delta BCD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MH = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}. \\MH//BD \\\end{matrix} ight.

    Mà MD\bot BC nên MH\bot BC. (2)

    Từ (1), (2) suy ra: BC\bot(AMH).

    Suy ra: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot MH \\ \end{matrix} \Rightarrow \lbrack A,BC,Dbrack = \widehat{AMH} ight..

    Lại có: AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

    \Rightarrow \tan\widehat{AMH} = \frac{AH}{MH} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{AMH} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\widehat{AMH} = \frac{1}{2}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD. 

    Gọi E=HK∩AC. Do HK//BD nên suy ra

    d(HK;SD)=d(HK;(SBD))=d(E;(SBD))=d(A;(SBD))/2 (vì OE=AO/2=1/2)

    Kẻ AF⊥SO(1) ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AC} \\ {BD \bot SA} \end{array}} ight.

    ⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥AF(2)

    Từ (1) và (2) ⇒AF⊥(SBD), khi đó d(A;(SBD))=AF

    \begin{matrix} AF = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{3} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {HK;SD} ight) = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; \widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Góc giữa \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {CD} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa hai vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AD} } ight|\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } ight) \hfill \\ - \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AC} } ight|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AD} } ight|\cos {60^0} \hfill \\ - \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AC} } ight|.\cos {60^0} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà AC = AD

    \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } ight) = {90^0}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

    Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

    Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

    Như vậy: \left\{ \begin{matrix} BC\bot MA \subset (SAM) \\ BC\bot SA \subset (SAM) \\ MA\ \cap \ SA = A \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAM)\bot BC.\ (2)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} (SMA) \cap (ABC) = MA \\ (SMA) \cap (SBC) = MS \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1), (2), (3) => \alpha = \widehat{SMA}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA\bot(ABCD). Kết luận nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    (SCD)\bot(SAD) vì \left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD)

    (SBC)\bot(SAB) vì \left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AB \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)

    (SBD)\bot(SAC) vì \left\{ \begin{matrix} BD\bot SA \\ BD\bot AC \\ BD \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác SAD là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng SA và BC.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (BD;SA) = \widehat{SAD} = 60^{0}

    \Rightarrow \sin(BC;SA) = \frac{\sqrt{3}}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AC = \frac{3}{2}AD;\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = {60^0};CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

     Hình vẽ minh họa:

    Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    \cos (AB,CD) = \frac{{|\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {CD} |}} = \frac{{|\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} |}}{{AB.CD}}

    Mặt khác:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ) - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = AB.AD.\cos {60^0} - AB.AC.\cos {60^0} \hfill \\ = AB.AD.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}AD.\dfrac{1}{2} \hfill \\ = - \dfrac{1}{4}AB.AD = - \dfrac{1}{4}AB.CD \hfill \\ \Rightarrow \cos (AB,CD) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{4}AB.CD} ight|}}{{AB.CD}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA\bot(ABC). Kết luận nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABC) \\ AC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot SA

    Mà AC\bot AB \Rightarrow AC\bot(SAB)

    Đồng thời AC \subset (SAC) \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} OA\bot OB \\ OA\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OA\bot(OBC)

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng 4a?

    Ta có: V = (4a)^{3} = 64a^{3}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (BCD'A') vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật suy ra \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(ABB'A')

    \Rightarrow (BCD'A')\bot(ABB'A')

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}. Xác định thể tích S.ABCD?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm M của BC. Biết A'M = \frac{a\sqrt{15}}{3}. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Kẻ AI\bot BB';AK\bot CC'

    Lại có \left\{ \begin{matrix} d(A;BB') = a \Rightarrow AI = a \\ d(A;CC') = 2a \Rightarrow AK = 2a \\ \end{matrix} ight.

    Gọi F là trung điểm của BC; A'M = \frac{a\sqrt{15}}{3} khi đó \Rightarrow AF = \frac{a\sqrt{15}}{3}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AI\bot BB' \\ AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AIK) \Rightarrow BB'\bot IK

    Vì C'C//B'B \Rightarrow d(C;BB') = d(K;BB') = IK = a\sqrt{5}

    Vậy tam giác AIK vuông tại A

    Gọi E là trung điểm của IK

    => EF//BB' \Rightarrow EF\bot(AIK) \Rightarrow EF\bot AE

    Lại có AM\bot(ABC) do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc \widehat{AME} bằng \widehat{FAE}

    Ta có: \cos\widehat{FAE} = \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{FAE} = 30^{0}

    Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:

    S_{AIK} = S_{ABC}.\cos\widehat{FAE}\Rightarrow a^{2} = S_{ABC}.\cos30^{0}

    \Rightarrow S_{ABC} = \frac{2}{\sqrt{3}}a^{2}

    Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:

    \tan\widehat{AMF} = \dfrac{AF}{AM}\Rightarrow AM = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}} =a\sqrt{5}

    Vậy V_{ABC.A'B'C} = a\sqrt{5}.\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:

    "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD)" sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC).

    "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đúng 

    Ta có: AH ⊥(SBC) (vì AH ⊥ SB; AH ⊥ BC) nên AH ⊥  SC (1)

    Và AK ⊥ (SCD) (vì AK ⊥ SD; AK ⊥ DC) nên AK ⊥ SC (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: SC ⊥ (AHK)

    Từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc.

    Vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)

    => "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC ⊥ (AHK)" và "AK ⊥ (SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đều sai

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

    Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

    => OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

    Ta có: OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,SA\bot(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết d\left( A;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

    Hình vẽ minh họa

    Kẻ AH\bot SB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ SB\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC)

    \Rightarrow d\left( A;(SBC) ight) = AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Xét tam giác SAB vuông tại A có:

    \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{SB^{2}} \Rightarrow SA = a

    \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:

    Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.

    Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.

    Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.

    Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.

    Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).

    Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

    Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

    Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

    Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

    Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

    => MN = \frac{AB}{2} = \frac{CD}{2} \Rightarrow AB = CD = 2x

    Ta lại có AN = BN = \sqrt{AC^{2} - AN^{2}} = \sqrt{a^{2} - x^{2}}

    MàAB^{2} = AN^{2} + BN^{2}

    => 2\left( a^{2} - x^{2} ight) = 4x^{2} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

    Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB)

    Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên SO \bot \left( {ABCD} ight);BD \bot \left( {SAC} ight)

    ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = BD = a\sqrt 2 ;OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Ta có: \left( {SAB} ight) \cap \left( {AMO} ight) = AM

    Khi đó: \sin \varphi = \frac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} với \varphi là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

    Do BD \bot \left( {SAC} ight) suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc \widehat {BSO} = {60^0}.

    Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

    \begin{matrix} SO = \dfrac{{OB}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ SB = \dfrac{{OB}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \Rightarrow MB = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} ight) \Rightarrow OH \bot AB (2)

    Từ (1) và (2) suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight) = OH

    Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}

    Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt {10} }}

    Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

    \begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2S{A^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ C{M^2} = \dfrac{{2C{B^2} - 2C{S^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow CM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác AMC, có:

    \cos \widehat {CAM} = \frac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2AMM.AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {CAM} = {30^0}

    \begin{matrix} d\left( {O;AM} ight) = \dfrac{{d\left( {C;AM} ight)}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}AC.\sin \widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}AC.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng 5, diện tích đáy bằng 6. Thể tích của hình chóp bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 6 \\ h = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp tam giác là V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.6.5 = 10

  • Câu 30: Nhận biết

    Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

    Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên \left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight. => SO ⊥ (ABCD)

    Từ \left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.=> AC ⊥ (SBD)

    Từ \left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.=> BD ⊥ (SAC)

    Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

    Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a\sqrt{3}. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm BC.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot SO \\BC\bot AM \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)

    \Rightarrow (SAM)\bot(SBC)

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM => \left\{ \begin{matrix}d_{1} = AK \\d_{2} = OH \\\end{matrix} ight.

    Ta có: \frac{d_{1}}{d_{2}} =\frac{AK}{OH} = \frac{AM}{OM} = 3

    \Rightarrow d_{1} = 3d_{2} \Rightarrow d= 4d_{2} = 4OH

    Ta có: SO^{2} = SA^{2} - AO^{2} = 3a^{2}- \frac{a^{2}}{3} = \frac{8a^{2}}{3}

    Xét tam giác SOM có:

    \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OM^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{3}{8a^{2}} + \frac{12}{a^{2}} = \frac{99}{8a^{2}}

    Vậy OH = \frac{2a\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = 4OH = \frac{8a\sqrt{22}}{33}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết AB = 2a và góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30^{0}. Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')

    Suy ra \left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}

    Ta có: AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = 2\sqrt{3}a

    \Rightarrow AA' = \sqrt{12a^{2} - 4a^{2}} = 2\sqrt{2}a

    Vậy V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2\sqrt{2}a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt{2}a^{3}

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?

    Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do (P)//(Q)⇒d⊥(Q)

    Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d \bot \left( P ight)} \\ {d \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( R ight) \bot \left( P ight)} \\ {\left( R ight) \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.

    Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi. Gọi mặt phẳng (\alpha) chứa cạnh A'C' và cắt AB;BC lần lượt tại I;J. Chọn kết luận đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = IJ \\ (\alpha) \cap (A'B'C'D') = A'C' \\ (A'B'C'D')//(ABCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow A'C'//IJ mà A'C'//AC

    \Rightarrow AC//IJ

    Mặt khác BD\bot AC

    \Rightarrow BD\bot IJ.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a\sqrt 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào?

    Góc giữa hai đường thẳng SC và BD

    Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA.

    Trong hình chữ nhật ABCD ta có

    OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = a

    Xét tam giác MAB vuông tại A, ta có:

    MB = \sqrt {A{B^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2

    Xét tam giác MAO vuông tại O, ta có:

    MO = \sqrt {A{O^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2

    Do MO // SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và BD.

    Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có

    \begin{matrix} {\text{cos}}\widehat {MOB} = \dfrac{{O{B^2} + O{M^2} - B{M^2}}}{{2.OB.OM}} \hfill \\ = \dfrac{{{a^2} + 2{a^2} - 2{a^2}}}{{2.a.a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {MOB} \approx {69^o} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \left( AC;DA_{1} ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    AC//A_{1}C_{1} \Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \left( A_{1}C_{1};DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}}

    Do A_{1}C_{1};DA_{1};DC_{1} là các đường chéo hình vuông bằng nhau.

    Vậy tam giác AD_{1}C_{1} là tam giác đều \Rightarrow \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}

    \Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA\bot(ABC). Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác SAB. Xác định kết luận sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABC) ightarrow SA\bot BC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ \ SA\bot(ABC) ight) \\ AB \cap SA = A \\ AB;SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow BC\bot(SAB)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC;\left( do\ \ BC\bot(SAB) ight) \\ SB \cap BC = B \\ AB;BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot BC \Rightarrow AH\bot BC

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , SA = a\sqrt{2}. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}

    Lại có: \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1

    => \widehat{SCA} = 45^{0}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 44 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập