Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.
Hình vẽ minh họa:

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Cho hình chóp đều, các cạnh bên có độ dài bằng
và tạo với đáy một góc
. Tính chu vi đáy P của hình chóp đó.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC
Gọi
Vì M là trung điểm của BC nên
Chu vi đáy ABC bằng
Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”
Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).
Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).
Cho khối lăng trụ
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích của khối lăng trụ là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’
Ta có:
Xét tam giác AJK có:
Vậy tam giác AJK vuông tại A
Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có:
Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:
( vì
)
Lại có:
Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:
Hay
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos α.
Hình vẽ minh họa:
Gọi tâm của đáy là O, M là trung điểm của CD
Trong (SOM), kẻ OH vuông góc với SM tại H
Khi đó ta có OH ⊥ (SCD). Mà OD ⊥ (SAC).
Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD) = = α.
Ta có OD = a,
Xét tam giác OSM vuông tại O ta có:
Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:

Hình vẽ minh họa:
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.
Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).
Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Dễ thấy
Góc giữa B1D1 và AC bằng 900
Góc giữa AD và C1B bằng 450
Góc giữa BD và CA1 bằng 900
Đều là các đáp án đúng
Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 600 sai vì
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
(vì
cân)
Ta có:
Và tại
.
Do đó .
Ta có: .
Vì là trọng tâm của
nên
.
Cho khối chóp
có chiều cao bằng
đáy là tam giác
có diện tích bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho một khối chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
và
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều suy ra
Mà
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Khi đó
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
đáy là tam giác
cân tại
,
vuông góc với đáy. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác ABC cân tại A nên
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là:
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AD.
Từ giả thiết ta có:
Vậy vuông tại C
Do đó (1)
Mặt khác
=> vuông tại B.
Do đó (2)
Từ (1) và (2) ta có
Vậy điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là trung điểm của AD.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Biết
và
. Góc nhị diện
có số đo bằng:
Hình vẽ minh họa
Kẻ tại
là trung điểm của
và
.
Ta có
.
Suy ra góc giữa và
bằng góc
.
Ta có:
Suy ra góc nhị diện có số đo bằng
.
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho tứ diện O.ABC trong đó ba đường thẳng OB, OC, OA đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
Hình vẽ minh họa

Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều
=> Tam giác ACD cân
=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD
=> là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm O cạnh bằng
;
. Biết
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Ta có:
Vậy
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh bằng
. (như hình vẽ).

Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm cạnh BC.
Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên ;
là hình lăng trụ tam giác đều nên
Do đó và
theo giao tuyến
Kẻ
Lại có
Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt
. Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Ta có:
nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tính thể tích khối chóp
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình chóp tứ giác đều
có đáy là hình vuông cạnh
, độ dài cạnh bên bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của SB
Ta có:
Mà
Tính thể tích khối tứ diện đều
, biết
?
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD
Tam giác BCD đều cạnh bằng 5
Tam giác ABH vuông tại H nên
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’C’B’ có đáy ABC cân đỉnh A,
, BC’ tạo đáy góc
. Gọi I là trung điểm của AA’, biết
. Tính ![]()
Ta có: vuông tại H (H là trung điểm của BC)
Mà tam giác AIH vuông tại A nên
Tam giác BIC vuông tại I
Thay vào (*) ta được:
Cho tứ diện đều
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của BD.
Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Do đó:
Vì là tứ diện đều
nên tam giác
là tam giác đều.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
=> BC ⊥ (SAB).
Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Cho tam giác
và tam giác
nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
. Với giá trị nào của
thì hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
Suy ra mà
Do đó
Ta có:
Mặt khác nên tam giác
vuông cân tại J
Do đó
Vậy
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC) thì H là:
Vì
Tương tự:
Vậy H là trực tâm tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a (hình hộp như thế gọi là hình hộp thoi) và
. Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
=> A’B’ // CD và A’B’ = CD
=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Ngoài ra B’C = a = CD
=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Ta có:
=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Diện tích hình vuông đó là a2