Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Lời giải đã cho là lời giải đúng

Đặt

Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

Ta có

Trong (ABCD) kẻ tại E

Trong (CEC’) kẻ tại H

Suy ra

Do đó

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là

Dấu xảy ra khi:

Hình vẽ minh họa

Vì

Hình vẽ minh họa:

Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH

Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)

Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB

=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK

Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

=>

Mặt khác có tam giác ABC vuông tại C:

Vậy (SB, (ABC)) = 30⁰

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm hình vuông

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có:

Trong tam giác vuông A’MA có:

Tam giác ABC đều nên

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác có các cạnh:

Suy ra tam giác vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ICD có J là trung điểm của CD =>

Tam giác ABC có AB = AC và => Tam giác ABC đều => CI ⊥ AB

Tương tự ta chứng minh được tam giác aBD đều => DI ⊥ AB

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’

Suy ra HI // BC’

Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH

Dễ thấy BK ⊥ (SCH)

Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’

Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm

Ta có:

Do 2HB = SB nên:

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy:

Lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Hình vẽ minh họa

Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.

Ta tính được:

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

(1)

Kẻ lần lượt

Ta có:

Lại có hay

=> K là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (AB’C’) (2)

Từ (1) và (2) => AK là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng (AB’C’)

Tam giác ABC vuông cân tại A

Có ADBH là hình chữ nhật =>

Tam giác BDB’ vuông tại B

Tam giác BAK vuông tại K

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Lại có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Tam giác SAI vuông tại I

=> SA² = AI² + SI²

Tam giác SBI vuông tại I

=> SB² = BI² + SI²

Tam giác SCI vuông tại I

=> SC² = CI² + SI²

Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)

Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)

Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)

Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc

Ta có

CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

Tam giác CMC’ vuông tại M, nên

Diện tích

Xét tam giác vuông MC’N, có

Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là

Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.

Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.

Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.

Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) =

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Ta có:

Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có

d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ =

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Mệnh đề sai là: "Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)"

Ta có:

Thể tích khối chóp là: