Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    (SAB) ⊥ (ABCD)

    BC ⊥ BA

    => BC ⊥ (SAB).

    Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

    Ta có:

    Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B, BM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

    \Rightarrow BM\bot SA

    Lại có: BM\bot SA \Rightarrow BM\bot(SAC) \Rightarrow BM\bot AC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BM\bot(SAC) \\ BM \subset (SBM) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SBM)\bot(SAC)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)

    Mà BC \subset (SBC) \Rightarrow (SAB)\bot(SBC)

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 3a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho một khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 2a và AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Do tam giác SAB đều suy ra SH\bot AB

    Mà \left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp

    Khi đó SH = a\sqrt{3}

    Ta có: AB = 2a \Rightarrow BC = 2a

    S_{ABC} = \frac{1}{2}(2a)^{2} = 2a^{2}

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.2a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm M của BC. Biết A'M = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi A_{1};A_{2} lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

    Theo đề bài ta có:

    AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a

    Dễ thấy A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2} nên tam giác AA_{1}A_{2} vuông tại A

    Gọi H là trung điểm của A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a

    Ta lại có MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH

    \Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}

    \Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)

    = \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Suy ra S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}

    Vậy V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Tam giác SAB vuông cân tại S có M là trung điểm của BC và \widehat{BSC} = 60^{0}. Gọi góc giữa hai đường thẳng AB và CM là \alpha. Chọn kết luận đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử SA = a \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SB = CA = CB = a \\ AB = a\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.

    Lại có: \widehat{BSC} = 60^{0} suy ra tam giác SBC đều suy ra SC = a

    Suy ra CM = CN = \frac{a\sqrt{3}}{2} hay MN//AB

    Khi đó (AB;CM) = (MN,CM)

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNC ta có:

    \cos\widehat{CMN} = \frac{MC^{2} + MN^{2} - NC^{2}}{2.MC.MN} = \frac{\sqrt{6}}{6}

    \Rightarrow \cos(AB;CM) = \left| \cos\widehat{CMN} ight| = \frac{\sqrt{6}}{6}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,SA\bot(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết d\left( A;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

    Hình vẽ minh họa

    Kẻ AH\bot SB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ SB\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC)

    \Rightarrow d\left( A;(SBC) ight) = AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Xét tam giác SAB vuông tại A có:

    \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{SB^{2}} \Rightarrow SA = a

    \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}. Tính chiều cao hình chóp S.ABC?

    Ta có:

    SA\bot(ABC) nên SA là chiều cao của hình chóp.

    Do tam giác ABC đều cạnh a nên S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

    Ta lại có:

    V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.

    Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.

    Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).

    Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2\sqrt 2, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

     Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

    Ta có CB \bot \left( {AA'B'B} ight) tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)

    Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc \widehat {CA'B}

    Khi đó \tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Chọn khẳng định đúng

    \widehat {\left( {CD;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CBD} sai vì

    CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)

    => B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)

    => \widehat {\left( {CD;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CDB}

    \widehat {\left( {AC;\left( {BCD} ight)} ight)} = \widehat {ACB} đúng vì

    AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)

    => B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)

    => \widehat {\left( {AC;\left( {BCD} ight)} ight)} = \widehat {ACB}

    \widehat {\left( {AD;\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {ADB} sai vì

    BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)

    => B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)

    => \widehat {\left( {AD;\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {DAB}

    \widehat {\left( {AC;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CBA} sai vì

    => B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)

    => \widehat {\left( {AC;\left( {ABD} ight)} ight)} = \widehat {CAB}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa

    Hình vẽ minh họa:

    Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

    Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA=\frac{a\sqrt{15}}{2} và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

    Ta có: 

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AO \cap \left( {SBC} ight) = C} \\ {AC = 2OC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC} \\ {AB \bot BC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Từ A kẻ AH \bot SB => AH \bot \left( {SBC} ight)

    \begin{matrix} \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo và SA = SC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC

    => AC ⊥ SO

    Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có SA\bot(ABC);SA = a\sqrt{5}. Biết đáy ABC của hình chóp là tam giác vuông tại A cạnh AC = 2a. Giả sử \alpha = \left( SA;(SBC) ight). Khi đó:

    Hình vẽ minh họa

    Dựng AK vuông góc với BC, AH vuông góc với SK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AK \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAK) \Rightarrow BC\bot AH

    Mà SK\bot AH \Rightarrow AH\bot(SBC)

    Khi đó SK là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBC) nên

    \alpha = \left( SA;(SBC) ight) = (SA;SK) = \widehat{ASK}

    Ta có: AK = \frac{AB.AC}{BC} = \frac{AB.AC}{\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}

    Khi đó: \tan\alpha = \dfrac{AK}{SA} =\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD biết chiều cao bằng a\sqrt{2} và độ dài cạnh bên bằng a\sqrt{6}?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

    Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên SO\bot CA

    Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên SO\bot BD

    \Rightarrow SO\bot(ABCD)

    Tam giác SOA vuông tại O nên OA = \sqrt{SA^{2} - SO^{2}} = 2a \Rightarrow AC = BD = 4a

    Vậy thể tích hình chóp là: V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.a\sqrt{2}.\frac{4a.4a}{2} = V = \frac{8\sqrt{2}a^{3}}{3}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, tam giác SAB cân. Giả sử E;F lần lượt là trung điểm các cạnh AB;CD. Khẳng định nào dưới đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên SE\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ SE\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SE\bot CD

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

    Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

    1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

    2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

    3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

    4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

    5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

    Góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

    Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có AO \bot BD (1).

    Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BB' \bot \left( {ABCD} ight)

    \Rightarrow BB' \bot AO (2)

    Từ (1) và (2) ta có AO \bot \left( {BDD'B'} ight) tại O

    Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

    Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là \widehat {AB'O}

    Xét tam giác vuông AB’O có \sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}

    Vậy \widehat {\left( {AB',\left( {BDD'B'} ight)} ight)} = 30^\circ

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

    Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

    Mặt khác AB ⊥ AD.

    Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng α. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

    Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy

    Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)

    => \widehat {SAO} = \alpha

    Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.

     \begin{matrix} \widehat {SMO} = \left( {\left( {SBC} ight);\left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ \tan \widehat {SMO} = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan \alpha .\dfrac{2}{a} = \sqrt 2 \tan \alpha \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

    Tính giá trị cos α

    Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

    Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

    => MD = a; AM = 2a

    Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

    Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và HK = \frac{{3a}}{2}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH (1)

    Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

    Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

    Suy ra HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} và HM \bot HN

    Tam giác SCM đều cạnh bằng a\sqrt 2 nên SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

    Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

    Ta có: \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}

    = \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}

    Ta lại có:

    SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}

    = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a

    Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

    Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {BSI} = \alpha

    Do BC // AD => BC //(SAD)

    => BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}

    Trong tam giác vuông BIS ta có:

    \sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng \sqrt{3}. Gọi I là tâm của đáy ABC, d’ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d’’ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d’ + d’’.

    Gọi I là tâm của đáy ABC

    => d' = 3d'' \Rightarrow d= 4d'' = 4IK

    Xét tam giác ABC đều cạnh a có tâm I

    => AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}AI = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\IM = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} ight.

    Xét tam giác SAI vuông tại I

    SI^{2} = SA^{2} - AI^{2} = 3^{2} -\frac{1}{3} = \frac{8}{3}

    \Rightarrow SI =\frac{2\sqrt{6}}{3}

    Xét ∆SIM vuông tại I có:

    \frac{1}{IK^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} +\frac{1}{IM^{2}} = \frac{8}{99}

    \Rightarrow IK = \frac{2\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = \frac{8\sqrt{22}}{33}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 8a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh SC và BC lần lượt là I;J. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng IJ và CD?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có:

    IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên JI//SB

    Vì \left\{ \begin{matrix} JI//SB \\ CD//AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (IJ;CD) = (SB;AB) = \widehat{SBA} = 60^{0}

    \Rightarrow \cos(IJ;CD) = \frac{1}{2}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SBA đều và cạnh SC = a\sqrt{2}. Gọi trung điểm các cạnh AB,CD lần lượt là H,K. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên AB = SB = a

    Mặt khác tam giác SBC có SB^{2} + BC^{2} = SC^{2} = 2a^{2}

    Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay BC\bot SB

    Từ BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot SH

    Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên SH\bot AB

    \Rightarrow SH\bot(ABCD)

    Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng (SAD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AB\bot HK \\ AB\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot(SHK)

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết SA\bot(ABCD);AD = BC = a;AB = 2a. Xác định kết luận sai?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB. Ta có: CM = MA = MB = a

    Suy ra tam giác ACB vuông tại C.

    \left\{ \begin{matrix} BC\bot AC \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC) \Rightarrow (SBC)\bot(SAC)

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot AD \\ AB\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SAD) \Rightarrow (SAB)\bot(SAD)

    \left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow (SCD)\bot(SAD)

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?

    Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

    Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2, ABCD là hình thang vuông tại A, B và 2AB = 2BC = AD = 2a. Gọi O = AC \cap BD, M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).

    Tính sin của góc giữa OM và (SCD)

    Trong (SBD), gọi I = OM \cap SD \Rightarrow OM \cap \left( {SCD} ight) = I

    Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:

    \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}

    Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:

    \frac{{BO}}{{OD}}.\frac{{DI}}{{IS}}.\frac{{SM}}{{MB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{DI}}{{IS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IS}} = 2

    Tam giác SAD vuông tại A có

    SA = a\sqrt 2 ,AD = 2a \Rightarrow SD = a\sqrt 6

    => DI = \frac{3}{2}SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

    Mặt khác: \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)}} = \frac{1}{3}

    \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)

    Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và 2AB = 2BC = AD nên AC = CD = a\sqrt 2

    => AC \bot CD mà CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)

    Kẻ AH \bot SC, có CD \bot AH (do CD \bot \left( {SBC} ight))

    \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight) = AH

    Xét tam giác SAC vuông tại A có SA = a\sqrt 2 ,\,AC = a\sqrt 2, AH là đường cao:

    \begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = a \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác SBD có:

    \begin{matrix} SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \hfill \\ BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác DIO có:

    DI = 2SD = 2a\sqrt 6 ,DO = \frac{2}{3}DB = \frac{2}{3}a\sqrt 5 .

    Do đó:

    \begin{matrix} \cos SDB = \cos IDO \Leftrightarrow \dfrac{{S{D^2} + B{D^2} - S{B^2}}}{{2.SD.BD}} = \dfrac{{I{D^2} + O{D^2} - O{I^2}}}{{2.ID.OD}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{6{a^2} + 5{a^2} - 3{a^2}}}{{2.a\sqrt 6 .a\sqrt 5 }} = \dfrac{{24{a^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{9} - O{I^2}}}{{2.2a\sqrt 6 .\dfrac{2}{3}a\sqrt 5 }}. \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = \dfrac{{\dfrac{{236}}{9}{a^2} - O{I^2}}}{{\dfrac{4}{3}{a^2}}} \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{140{a^2}}}{9} \Leftrightarrow OI = \dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác:

    \begin{matrix} \sin \left( {OM,\left( {SCD} ight)} ight) = \sin \left( {OI,\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ = \dfrac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{OI}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt {35} }}{{70}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Vận dụng

    Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH\bot(ABC)

    Gọi M là trung điểm của BC

    \Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

    Hay AM = \frac{1}{2}SA

    \Rightarrow SA = a\sqrt{3}

    Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

    \Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}

    = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}

    Vậy V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình hộp thoi ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và \widehat{ABC} = \widehat{B'BA} = \widehat{B'BC} = 60^{0}. Tứ giác A'B'CD là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành

    Do \widehat{B'BC} = 60^{0} nên tam giác BB’C đều \Rightarrow B'C = a

    Do đó CD = B'C = a nên tứ giác A’B’CD là hình thoi

    Ta có

    \overrightarrow{CB'}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB'} ight).\overrightarrow{BA}

    = \overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BA} = - \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2} = 0

    Suy ra CB'\bot CD

    Vậy tứ giác A'B'CD là hình vuông.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

    Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

    Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

    Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

    \begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     

    • Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

    • Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

    • Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau

     

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi. Gọi O;O' lần lượt là tâm các hình bình hành ADD'A' và ABB'A' (như hình vẽ).

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: O;O' lần lượt là tâm các hình bình hành ADD'A' và ABB'A'

    => O;O' lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D;A'B

    \Rightarrow OO' là đường trung bình tam giác A'BD \Rightarrow OO'//BD

    Vì đáy ABCD là hình thoi \Rightarrow AC\bot BD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} OO'//BD \\ AC\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot OO'

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 4a. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60^{0}.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot A'M \\ (A'BC) \cap (ABC) = BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}

    Trong tam giác vuông A’MA có:

    \tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan60^{0}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}a

    Tam giác ABC đều nên AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = \frac{8a}{3}

    Vậy thể tích khối lăng trụ là: V = S_{ABC}.AA' = \frac{\sqrt{3}}{4}.4a.\left( \frac{8a}{3} ight)^{2} = \frac{64\sqrt{3}a^{3}}{9}

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng Δ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu

    Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

  • Câu 37: Nhận biết

    Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

    Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.

    Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.

    Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{a\sqrt{21}}{6}. Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

    Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC 

    Do S.ABC đều nên => SO \bot(ABC)

    Gọi E là trung điểm của BC ta có:

    \begin{matrix} AO \cap \left( {SBC} ight) = E \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight)}} = \dfrac{{AE}}{{OE}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 3d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (SAE) kẻ OK \bot SE (*)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot AE} \\ {BC \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SEA} ight) \Rightarrow BC \bot OK\left( {**} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} SO = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}AE} ight)}^2}} \hfill \\ = \sqrt {\dfrac{{21{a^2}}}{{36}} - {{\left( {\dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)}^2}} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác vuông SOE ta có:

    OK = \frac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \frac{a}{4}

    \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 3OK = \frac{{3a}}{4}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D. Mặt phẳng (A’BCD’) vuông góc với mặt phẳng:

    Hình vẽ minh họa:

    Dễ thấy: \left\{ \begin{matrix} AB’\bot A’B \\ AB’\bot A’D’ \\ \end{matrix} \Rightarrow AB’\bot(A’BCD’) ight.

    Do đó: (ADC’B’)⊥(A’BCD’)

    Vậy mặt phẳng (A’BCD’) vuông góc với mặt phẳng (ADC’B’).

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC cân với cạnh huyền AB = 4\sqrt 2, cạnh bên SC \bot \left( {ABC} ight) và SC = 2. Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN.

    Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN

    Đặt \overrightarrow {CA} = \overrightarrow x ;\overrightarrow {CB} = \overrightarrow y ;\overrightarrow {CS} = \overrightarrow z

    Do tam giác vuông cân ABC tại C có AB = 4\sqrt 2 suy ra:

    CA = CB = 4;CN = 2\sqrt 2 ;SM = 2\sqrt 2

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {CN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight) \hfill \\ \overrightarrow {SM} = \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CM} = - \overrightarrow z + \dfrac{1}{2}\overrightarrow x \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight)\left( {\overrightarrow x - 2\overrightarrow z } ight)

    Mặt khác: \left\{ \begin{gathered} {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = 16 \hfill \\ {\overrightarrow z ^2} = 4 \hfill \\ \overrightarrow x .\overrightarrow y = \overrightarrow y .\overrightarrow z = \overrightarrow z .\overrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow x }^2} - 2\overrightarrow x .\overrightarrow z + \overrightarrow y .\overrightarrow x - 2\overrightarrow y .\overrightarrow z } ight) = 4

    Gọi \alpha góc giữa hai véctơ \overrightarrow {SM} và \overrightarrow {CN}

    Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|.{\text{cos}}\alpha \hfill \\ \Rightarrow {\text{cos}}\alpha = \dfrac{{\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} }}{{\left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \alpha = {60^o} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng {60^o}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập