Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết
và góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đứng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Ta có:
Vậy
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết
và góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đứng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có:
Từ (1) và (2)
Xét tam giác SAM ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có
. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm
lên cạnh
là điểm
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích khối lăng trụ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Kẻ
Lại có
Gọi F là trung điểm của BC; khi đó
Ta có:
Vì
Vậy tam giác AIK vuông tại A
Gọi E là trung điểm của IK
=>
Lại có do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc
bằng
Ta có:
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:
Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:
Vậy
Cho khối chóp
có
; đáy
là hình chữ nhật
. Tính thể tích khối chóp
, biết mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Xét tam giác vuông SAB có
Vậy
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác ta có:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC.
Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D
=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD
=> BC ⊥ (ADM)
=> BC ⊥ AD
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho hình hộp thoi
có tất cả các cạnh bằng
và
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Do nên tam giác BB’C đều
Do đó nên tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta có
Suy ra
Vậy tứ giác là hình vuông.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tìm mệnh đề sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là hình chữ nhật nên
không vuông góc với
Vậy không vuông góc với mặt phẳng
Cho tam giác
và tam giác
nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
. Với giá trị nào của
thì hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
Suy ra mà
Do đó
Ta có:
Mặt khác nên tam giác
vuông cân tại J
Do đó
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Diện tích đáy
Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOB ta có:
Khi đó thể tích khối chóp là:
Cho hình hộp chữ nhật
. Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình hộp chữ nhật suy ra
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Xác định thể tích
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với điểm
của
. Cosin của góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Dựng
Ta có:
=> SE là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SHD)
Do đó: Số đo của góc giữa SC lên mặt phẳng (SHD) bằng với số đo của góc
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có
;
. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Kết luận nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD có AB = AD và
=> Tam giác ABD là tam giác đều
=> (Vì DM là trung tuyến)
Xét tam giác ABC có AB = AC và
=> Tam giác ABC là tam giác đều
=> (Vì CM là trung tuyến)
=> DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)
Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD
=> MN ⊥ CD
Chứng minh tương tự:
Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN
=> Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB
Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD
=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD =>
Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)
Xét tam giác IOJ có: => Tam giác IOJ đều
Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) =
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, tam giác SAB vuông tại A và tam giác SCD vuông tại D. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> ABCD là hình chữ nhật, từ đó ta suy ra
AC = BD
AB ⊥ (SAD)
BC ⊥ AB
Đáp án SO ⊥ (ABCD) sai
Nếu SO ⊥ (ABCD) thì điều này vô lí
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình hộp chữ nhật đã cho?
Hình vẽ minh họa
Hình chữ nhật có
. Lấy
là trung điểm của
. Ta dễ dàng chứng minh
Ta lại có suy ra mặt phẳng
chính là mặt phẳng
.
Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.
Ta tính được
Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: .
Trong các khẳng định sai về lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
Vậy khoảng cách cần tìm là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp
đáy là tam giác
vuông tại
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
Vậy đáp án sai là: .
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
;
và
. Góc giữa đường thằng
và mặt phẳng đáy bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc
Xét tam giác SCA vuông tại A có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Lại có
Xét tam giác có
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác vuông tại
Suy ra hay
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Cho hình lập phương
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Vì
Tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’
Vậy .