Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 3a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

     Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {BC}?

    Tính góc giữa hai vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } ight).\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}O{B^2} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} }}{{OM.BC}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2}}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} } ight) = {120^0} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC. MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Cosin của góc tạo bởi NC và BI bằng bao nhiêu?

     Gọi E là trung điểm MP => NE // BI

    => Góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng góc giữa hai đường thẳng NC và NE

    => Góc cần tính là \widehat {CNE}

    Đặt a là chiều dài cạnh của hình lăng trụ ta có:

    \begin{matrix} NC = a\sqrt 2 \hfill \\ NE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ CE = \sqrt {C{P^2} + E{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    => \cos \widehat {CNE} = \frac{{N{C^2} + N{E^2} - C{E^2}}}{{2NC.NE}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)

    Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc \widehat{BD'A}

    Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a

    Khi đó AB = a;AD' =a\sqrt{2}

    => \tan\widehat{BD'A} =\frac{AB}{AD'} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a. Gọi trung điểm của các cạnh BC,CD,DB lần lượt là J;Q;K. Tính thể tích tứ diện AJQK?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}

    Nhận thấy S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}

    V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:

    Hình vẽ minh họa:

    Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.

    Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.

    Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.

    Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).

    Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).

    Ta có:

    \frac{1}{C'H^{2}} = \frac{1}{a^{2}}+ \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}

    \Rightarrow C'H =\frac{a\sqrt{5}}{2} \Rightarrow d(BC;d) =\frac{2a\sqrt{5}}{5}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, đường chéo BD = 4a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60^{0}. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi góc giữa mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng (ABCD)là \alphavà O = AC \cap BD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD

    \Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}

    Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên AB = AD = 2a\sqrt{2}

    Ta có: AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a

    Xét tam giác AOA’ có AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}

    \Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

    Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

    Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

    Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

    \begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC=a\sqrt{3}. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC). 

    Hình vẽ minh họa:

    Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)

    Gọi M là trung điểm của BC

    => SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} ight)

    Gọi N là trung điểm của AC

    => MN \bot AC

    Kẻ ME \bot SN,\left( {E \in SN} ight)

     \begin{matrix} d\left( {B,\left( {SAC} ight)} ight) = 2d\left( {M;\left( {SAC} ight)} ight) \hfill \\ = 2ME = 2.\dfrac{{SM.MN}}{{\sqrt {S{M^2} + M{N^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi I;J lần lượt là trung điểm của SC;BC. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng JI và CD?

    Hình vẽ minh họa

    Từ giả thiết ta có: JI//AB (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)

    \Rightarrow (IJ;CD) =(SB;AB)

    Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên \widehat{SBA} = 60^{0}

    \Rightarrow (SB;AB) = 60^{0} \Rightarrow(IJ;CD) = 60^{0}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:

    Hình vẽ minh họa:

    Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

    Vậy \widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}

    Mà ∆SBA vuông cân tại A nên \widehat{SBA}= 45^{0}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Đường thẳng DE vuông góc với 

    Đường thẳng DE vuông góc với chỉ với AC và BF

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1cm và các cạnh bên bằng 2cm. Khi đó thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

    Theo định lí Pythagore ta có:

    AI = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}cm

    \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AI = \frac{\sqrt{3}}{3}cm

    Trong tam giác SOA vuông tại O ta có: SO = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}cm

    Vậy thể tích khối chóp tam giác là: V = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{12}cm^{3}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác vuông cân tại C. Gọi trung điểm các cạnh AB,AC,BC,CD lần lượt là M,N,P,Q. Khi đó (MN,PQ) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ PQ//BD \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (MN,PQ) = (BC,BD) = \widehat{DBC} = 45^{0}

  • Câu 17: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là sai?

    Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

    Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

    Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).

  • Câu 18: Nhận biết

    Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

    Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

    V = B.h

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

    Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}SH\bot CH \\\widehat{\left( SC,(ABC) ight)} = \widehat{SCH} \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    ∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

    => SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

    Vậy \widehat{\left( SC,(ABC) ight)} =\widehat{SCH} = 45^{0}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là tam giác đều. Khi đó (AB;CD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: I là trung điểm của AB.

    Vì ABC và ABD là tam giác đều nên \left\{ \begin{matrix} CI\bot AB \\ DI\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(CID) \Rightarrow AB\bot CD

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy cạnh bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 60◦. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Vì ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot BB’ \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight. => AB ⊥ (BB’C’B)

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} (ABC’)\ \cap \ (BB’C’B)\ = \ BC’ \\ (ABCD)\ \cap \ (BB’C’B)\ = \ BC \\ (ABC’)\ \cap \ (ABCD)\ = \ AB \\ \end{matrix} ight.

    => ((ABC’); (ABCD)) = (BC’; BC) = \widehat{C'BC} = 60^{0}

    Đặt AA’ = x, tam giác BCC’ vuông tại C ta có

    \tan\widehat{C'BC} = \frac{CC'}{BC} = 60^{0} \Rightarrow x = a\sqrt{3}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?

    Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

    Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ CD\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(BCD)

    => Tam giác ABD vuông tại B.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} CD\bot AB \\ CD\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC)

    => Tam giác BCD vuông tại C.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AD^{2} = AB^{2} + BD^{2} \\ BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \begin{matrix}\Rightarrow AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} \hfill \\\Rightarrow AD = \sqrt{AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}} \hfill \\\Rightarrow AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

    Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

    1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

    2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

    3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

    4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

    5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm M của BC. Biết A'M = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi A_{1};A_{2} lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

    Theo đề bài ta có:

    AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a

    Dễ thấy A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2} nên tam giác AA_{1}A_{2} vuông tại A

    Gọi H là trung điểm của A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a

    Ta lại có MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH

    \Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}

    \Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)

    = \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Suy ra S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}

    Vậy V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một hình chóp S.ABC có đáy ABC là cân AB = AC = a;\widehat{CAB} = 120^{0}. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB đều nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

    Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

    SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a^{2}.\sin120^{0} =\frac{a^{3}}{8}

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\bot(ABCD);SB = 2a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Do SA\bot(ABCD) nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc \widehat{SBA}.

    Ta có: \cos\widehat{SBA} = \frac{AB}{SB} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^{0}

    Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60^{0}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = \sqrt{2}. Tính thể tích khối chóp S.ABCD đã cho.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABCD) nên SA là đường cao của hình chóp

    Thể tích khối chóp là V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

    Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB)

    Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên SO \bot \left( {ABCD} ight);BD \bot \left( {SAC} ight)

    ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = BD = a\sqrt 2 ;OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Ta có: \left( {SAB} ight) \cap \left( {AMO} ight) = AM

    Khi đó: \sin \varphi = \frac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} với \varphi là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

    Do BD \bot \left( {SAC} ight) suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc \widehat {BSO} = {60^0}.

    Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

    \begin{matrix} SO = \dfrac{{OB}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ SB = \dfrac{{OB}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \Rightarrow MB = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} ight) \Rightarrow OH \bot AB (2)

    Từ (1) và (2) suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight) = OH

    Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}

    Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt {10} }}

    Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

    \begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2S{A^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ C{M^2} = \dfrac{{2C{B^2} - 2C{S^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow CM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác AMC, có:

    \cos \widehat {CAM} = \frac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2AMM.AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {CAM} = {30^0}

    \begin{matrix} d\left( {O;AM} ight) = \dfrac{{d\left( {C;AM} ight)}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}AC.\sin \widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}AC.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ?

    Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA\bot(ABC). Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác SAB. Xác định kết luận sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABC) ightarrow SA\bot BC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ \ SA\bot(ABC) ight) \\ AB \cap SA = A \\ AB;SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow BC\bot(SAB)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC;\left( do\ \ BC\bot(SAB) ight) \\ SB \cap BC = B \\ AB;BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot BC \Rightarrow AH\bot BC

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = a;AA' = a\sqrt{6} (như hình vẽ)

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy (ABCD). Khi đó:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left( A'C;(ABCD) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA} = \alpha

    Lại có: AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}

    Xét tam giác A'CA ta có:

    \Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{3}

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a\sqrt{3}. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm BC.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot SO \\BC\bot AM \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)

    \Rightarrow (SAM)\bot(SBC)

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM => \left\{ \begin{matrix}d_{1} = AK \\d_{2} = OH \\\end{matrix} ight.

    Ta có: \frac{d_{1}}{d_{2}} =\frac{AK}{OH} = \frac{AM}{OM} = 3

    \Rightarrow d_{1} = 3d_{2} \Rightarrow d= 4d_{2} = 4OH

    Ta có: SO^{2} = SA^{2} - AO^{2} = 3a^{2}- \frac{a^{2}}{3} = \frac{8a^{2}}{3}

    Xét tam giác SOM có:

    \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OM^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{3}{8a^{2}} + \frac{12}{a^{2}} = \frac{99}{8a^{2}}

    Vậy OH = \frac{2a\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = 4OH = \frac{8a\sqrt{22}}{33}

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60^{0} và cạnh AA' = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)

    \Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}

    Ta có: AM = \frac{AA'}{tan60^{0}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

    \Rightarrow BC = 2AM = \frac{4a\sqrt{3}}{3}

    \Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2a.\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA=a\sqrt{3} và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC). 

    Hình vẽ minh họa:

    Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

    Gọi M là trung điểm BC 

    =>AM ⊥ BC và AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

    Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)

    Từ (1) và (2) => AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK

    Xét tam giác SAM ta có:

    AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}

    Vậy d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn khẳng định sai

    Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => CH⊥AB

    Ta có: SA⊥(ABC) => SA⊥CH mà CH⊥AB => CH⊥(SAB)

    Mặt khác AK⊂(SAB) => CH vuông góc với các đường thẳng SA,SB,AK

    Và AK⊥SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

    Tính giá trị cos α

    Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

    Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

    => MD = a; AM = 2a

    Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

    Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và HK = \frac{{3a}}{2}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH (1)

    Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

    Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

    Suy ra HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} và HM \bot HN

    Tam giác SCM đều cạnh bằng a\sqrt 2 nên SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

    Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

    Ta có: \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}

    = \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}

    Ta lại có:

    SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}

    = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a

    Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

    Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {BSI} = \alpha

    Do BC // AD => BC //(SAD)

    => BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}

    Trong tam giác vuông BIS ta có:

    \sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Dễ thấy

    Góc giữa B1D1 và AC bằng 900

    Góc giữa AD và C1B bằng 450

    Góc giữa BD và CA1 bằng 900

    Đều là các đáp án đúng

    Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 600 sai vì \widehat{\left( B_{1}D_{1};AA_{1} ight)} = 90^{0}

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng . Điểm M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BB’. Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng

     Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng

    Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).

    Khi đó \sin \alpha = \frac{{NK}}{{NI}} = \frac{{d\left( {N;\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight)}}{{NI}}

    Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi I = MN \cap BE, ta có

    MN = \sqrt {B{M^2} + B{N^2}} = 1 \Rightarrow IN = \frac{1}{3}MN = \frac{1}{3}

    Ta có \frac{{d\left( {N;\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight)}}{{d\left( {B';\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight)}} = \frac{{NB}}{{B'B}} = \frac{1}{2}

    \left\{ \begin{gathered} A'C' \bot B'E \hfill \\ A'C' \bot ME \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow A'C' \bot \left( {BMEB'} ight) \Rightarrow \left( {BA'C'} ight) \bot \left( {BMEB'} ight)

    \left( {BA'C'} ight) \cap \left( {BMEB'} ight) = BE. Kẻ B'H \bot BE\,\left( {H \in BE} ight)

    \begin{matrix} \Rightarrow B'H \bot \left( {BA'C'} ight) \Rightarrow d\left( {B';\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight) = B'H \hfill \\ B'H = \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{1}{{B'{E^2}}} + \dfrac{1}{{B'{B^2}}}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}

    Từ \frac{{d\left( {N;\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight)}}{{d\left( {B';\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight)}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {N;\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight) = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{d\left( {N;\,\,\left( {BA'C'} ight)} ight)}}{{NI}} = \dfrac{{3\sqrt {21} }}{{14}} \hfill \\ \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{3\sqrt {21} }}{{14}}} ight)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{{14}} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập