Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nên tam giác ABC vuông tại A

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

Dễ thấy nên tam giác vuông tại A

Gọi H là trung điểm của

Ta lại có

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

=>

Ta lại có

Mà

=>

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Ta có: AD // BC =>

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>

Ta có:

Từ (*) và (**) =>

Hình vẽ minh họa

Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên .

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

Ta có:

=> Hình chiếu vuông góc của BC trên mặt phẳng (SAB) là SB

=>

Xét tam giác SAB vuông ta có:

Xét tam giác SBC vuông ta có:

Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

Ta có:

Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng

Góc cần tìm là góc

Vì đáy là hình vuông nên

TH

1

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà tam giác ABC là tam giác đều

mà

Hình vẽ minh họa:

Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC

Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI

Ta có: , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật

=>

Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH

Xét tam giác vuông NDI ta có:

Ta có: 

Từ A kẻ =>

Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.

Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.

Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.

Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC

=> BM ⊥ AC.

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên

Ta có:

Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:

Ta có

Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông

=>

Ta có (hai đường chéo hình vuông)

Mặt khác BP // CD.

Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.

Ta có AB giao (SCB) tại N nên

Ta có

Trong (SAC) kẻ

Xét tam giác SAC vuông tại A nên

Do đó

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Hình vẽ minh họa:

Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)

=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là

Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’

=>

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC thì

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và

Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: .

Xét .

Ta có .

Xét . (1)

Xét , ta có: . (2)

Từ là tam giác đều

.

Mệnh đề sai: “Nếu a ⊥ b thì b // (P).”

Vì b có thể nằm trong (P).

Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên

Ta có:

Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là:

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra