Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>
Ta có:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho khối chóp tứ giác đều
, đáy là tứ giác
cạnh bằng a. Biết cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Gọi I là tâm đáy.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.
Ta có:
Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A
Chiều cao của khối chóp là
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với mặt phẳng đáy,
. Gọi
là trung điểm của
và
là góc giữa hai đường thẳng
và
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của SO và BM.
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ NK // AC,
Ta có: I là trọng tâm tam giác SBD.
Ta có:
Tam giác SBD đều cạnh bằng
Tam giác SBC vuông tại B
Lại có:
Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng và
là
.
VD
1
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Cho tứ diện
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho tứ diện có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”
Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho hình chóp
có
. Biết đáy
của hình chóp là tam giác vuông tại
cạnh
. Giả sử
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Dựng AK vuông góc với BC, AH vuông góc với SK
Ta có:
Mà
Khi đó SK là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBC) nên
Ta có:
Khi đó:
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Tính thể tích khối lăng trụ
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’
Theo đề bài ta có:
Dễ thấy nên tam giác
vuông tại A
Gọi H là trung điểm của
Ta lại có
Suy ra
Vậy
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
, tam giác
cân. Giả sử
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>
Vì nên
Gọi H là trung điểm của CD =>
Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>
Ta có:
Từ (*) và (**)
Ta lại có:
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A
=>
=> MNPQ là hình bình hành
Gọi H là trung điểm của AB
Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên
=>
Ta có:
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Biết
. Số đo góc giữa
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có suy ra SA là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (SAB)
Ta có:
Tam giác SAD vuông tại A ta có:
Trong các khẳng định sai về lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc
Cho hình chóp tam giác
có
là hình bình hành tâm
. Tam giác
có tất cả các cạnh bằng
,
. Góc giữa đường thẳng
với mặt đáy bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Xét tam giác SAO ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Dễ thấy:
SO ⊥ (ABCD)
AC ⊥ BD
BD ⊥ (SAC)
Là những khẳng định đúng.
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hình chóp
, đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp , đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
b) Ta có:
mà
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc trong tam giác vuông SCD.
Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và các góc
đều bằng
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Gọi
là góc tạo bởi hai đường thẳng
và
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: với P là trung điểm của D’C
Suy ra
Vì và các cạnh của hình hộp bằng a
Do đó
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:
Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi
là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính
?

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra
Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
Vì vậy,
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Xác định thể tích
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=>
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=>
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=>
Suy ra
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho một khối chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
và
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều suy ra
Mà
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Khi đó
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BC = a.
. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

+) Gọi H là trung điểm BC.
Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
=> Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA
(vì tam giác SAH vuông tại H)
+) Ta có:
Xét tam giác SHA vuông tại H:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Trong không gian cho đường thẳng
và điểm
. Qua điểm
có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với
?
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp tứ giác đều
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy
Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Kẻ
Có
Ta có:
Khi đó
Trong tam giác SON vuông tại O, có:
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: