Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Gọi
là chân đường cao kẻ từ đỉnh
của tam giác
. Xác định kết luận sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Lại có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Gọi
là chân đường cao kẻ từ đỉnh
của tam giác
. Xác định kết luận sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Lại có:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho tứ diện
có hai mặt
và
là tam giác đều. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: I là trung điểm của AB.
Vì và
là tam giác đều nên
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Mệnh đề nào sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA vuông góc với BD.
Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC mà SA⊥BD => BD ⊥ (SAC)
=> BD ⊥ SC, BD ⊥ SO
Dễ thấy AD không vuông góc với SC vì nếu AD vuông góc với SC thì AD ⊥ AC vô lí
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11,
,
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?
Hình vẽ minh họa:
Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,
=> ∆ABC vuông tại C
Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB
=> SH ⊥ (ABCD) và
Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do
)
Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK
Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI
Ta có:
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác
đều là hình vuông
Do đó
Suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Tam giác ABD vuông tại B.
Ta có:
=> Tam giác BCD vuông tại C.
Ta có:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với mặt phẳng (P)?
Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp
theo
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC
Ta có:
Suy ra tam giác SAO đều
Thể tích khối chóp là:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
. Gọi I là trung điểm BC, kẻ IH vuông góc SA (H ∈ SA). Khẳng định nào sau đây sai?
Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.
Ta có:
BC ⊥ AD và BC ⊥ SD
=> BC ⊥ (SAD)
=> BC ⊥ SA.
Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH
Tính được:
Ta có:
=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.
Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm AB. Biết rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = SH = a. Tính cosin của góc α tọa bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ CH. (1)
Tam giác ABC cân tại C => CH ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) => CH ⊥ (SAB)
Gọi I là trung điểm AC => HI // BC => HI ⊥ AC (3)
Mặt khác AC ⊥ SH (do SH ⊥ (ABC) (4)
Từ (3) và (4) => AC ⊥ (SHI)
Kẻ HK ⊥ SI (K ∈ SI) (5)
Từ AC ⊥ (SHI) => AC ⊥ HK (6)
Từ (5) và (6), suy ra HK ⊥ (SAC)
Vì HK ⊥ (SAC) và HC ⊥ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng HK và HC
Xét tam giác CHK vuông tại K ta có:
Do đó
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Xác định thể tích
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp tam giác
có
. Biết rằng tam giác
vuông cân tại
và
. Tính góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB.
=> Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là
Do tam giác ABC vuông cân tại B và nên
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A.
Do đó
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 450.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc. Gọi
là trực tâm tam giác
. Kết luận nào sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: đúng
Ta có: đúng
Ta có:
Mà đúng
Vậy hay tam giác HOA vuông tại H sai
Cho tứ diện
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho tứ diện có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Ta có:
=>
Kẻ (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC, A’D là góc nào sau đây?

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:
Như vậy
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 2a và SA vuông góc với ABCD. Gọi M là trung điểm SB và
là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD). Khi đó
bằng:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên
Ta có:
Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:
Ta có
Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông
=>
Ta có (hai đường chéo hình vuông)
Mặt khác BP // CD.
Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.
Ta có AB giao (SCB) tại N nên
Ta có
Trong (SAC) kẻ
Xét tam giác SAC vuông tại A nên
Do đó
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Tính thể tích khối lăng trụ
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’
Theo đề bài ta có:
Dễ thấy nên tam giác
vuông tại A
Gọi H là trung điểm của
Ta lại có
Suy ra
Vậy
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do
Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà
Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
Do đó
Theo giả thiết ∆ABC đều =>
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có:
Từ (1) và (2)
Xét tam giác SAM ta có:
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Diện tích đáy
Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOB ta có:
Khi đó thể tích khối chóp là:
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là
bằng:
Thể tích cần tìm là:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy
là hình thoi cạnh bằng a,
. Tính thể tích
của lăng trụ đứng đã cho?
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Gọi giao điểm của AC và BD là I
Ta có:
Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:
Diện tích hình bình hành ABCD là:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình vuông
Mặt khác
Suy ra
=> SD là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAD)
Do đó
Xét tam giác vuông tại
ta có: