Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra

Ta có

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Vì

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác . Ta có:

Xét tam giác SID vuông tại I có:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB suy ra

Tam giác SMO vuông tại O nên

Do đó mặt phẳng không vuông góc với .

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SM ⊥ (ABCD)

=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.

Ta tính được:

Xét tam giác ADM có:

=>

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a

Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.

=>

Ta có:

=>

=>

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC

=> BM ⊥ AC.

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Hình vẽ minh họa

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Theo định lí Pythagore ta có:

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

Vậy thể tích khối chóp tam giác là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vậy chính là mặt phẳng . Thiết diện là một hình chữ nhật.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm cạnh .

Khi đó nên vuông góc tại .

Do đó do vuông tại .

Ta có:

.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

=>

Ta lại có

Mà

=>

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

=> B’C // (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

=> BK ⊥ (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

Ta có:

Ta có:

Do tam giác ABM vuông tại B

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA

Xét tam giác SBC có: SB = SC nên

Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA = SB = SC = a nên

Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

Do đó tam giác MHN cạnh . Góc cần tìm bằng

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mệnh đề sai là: "Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)"

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

Ta có:

=> nên số đo góc giữa AO và CD là 90⁰

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là

Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

Vậy tan α = 1

Trường hợp "Đồng phẳng" và " Có thể đồng phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp như hình vẽ sau:

Giả sử trường hợp "Không đồng phẳng" sai tức là ba vecto  , và đồng phẳng. 

Khi đó vì điều này mẫu thuẫn với giả thiết hai vecto  và không cùng phương.

Vậy đáp án đúng là "Không đồng phẳng"

Thể tích cần tìm là:

Hình vẽ minh họa

Vì là hình lập phương nên và .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và

Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

ABCD là hình vuông nên

Xét tam giác vuông SOA ta có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa

Vì

Hình vẽ minh họa:

Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ

=> MQ // AB

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD

Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)

Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) =

Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác có các cạnh:

Suy ra tam giác vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra