Cho khối lăng trụ đứng
, đáy
có
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc
Ta có:
Vậy
Cho khối lăng trụ đứng
, đáy
có
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
. Gọi I là trung điểm BC, kẻ IH vuông góc SA (H ∈ SA). Khẳng định nào sau đây sai?
Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.
Ta có:
BC ⊥ AD và BC ⊥ SD
=> BC ⊥ (SAD)
=> BC ⊥ SA.
Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH
Tính được:
Ta có:
=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.
Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BC = a.
. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

+) Gọi H là trung điểm BC.
Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
=> Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA
(vì tam giác SAH vuông tại H)
+) Ta có:
Xét tam giác SHA vuông tại H:
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC
Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA
=> H là trung điểm của cạnh AC,
Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu
thì
. Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải
Bước 1: Ta có sự tương đương
Bước 2: Chứng minh tương tự ta có: ![]()
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và bước 2 là quá trình biến đổi tương đương.
Bước giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
Lời giải đã cho là lời giải đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra
Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
Ta lại có:
Tam giác MHC vuông tại M
Vậy
Cho khối chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng 1cm và các cạnh bên bằng 2cm. Khi đó thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.
Theo định lí Pythagore ta có:
Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là
bằng:
Thể tích cần tìm là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Hỏi đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
?
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều
, đáy
cạnh bằng
, cạnh bên
. Tính thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho tứ diện đều
cạnh bằng
,
là trung điểm của
. Khi đó
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm cạnh AC. Khi đó ta có: EM // AB.
Ta có: là tứ diện đều cạnh bằng 1 và
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 2a và SA vuông góc với ABCD. Gọi M là trung điểm SB và
là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD). Khi đó
bằng:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên
Ta có:
Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:
Ta có
Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông
=>
Ta có (hai đường chéo hình vuông)
Mặt khác BP // CD.
Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.
Ta có AB giao (SCB) tại N nên
Ta có
Trong (SAC) kẻ
Xét tam giác SAC vuông tại A nên
Do đó
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).
Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
. Biết rằng
. Hãy chọn kết luận sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao
=>
Trong tam giác SOA thì AC và SA không thể vuông tại A
Vậy khẳng định sai là: .
Cho tứ diện đều
cạnh bằng
,
là trung điểm của cạnh
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
và
. Khi đó
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của BC
=> MN là đường trung bình tam giác ABC
Vì tam giác BCD và tam giác ACD là các tam giác đều cạnh a
Vì
Xét tam giác MND ta có:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm AB. Biết rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = SH = a. Tính cosin của góc α tọa bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ CH. (1)
Tam giác ABC cân tại C => CH ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) => CH ⊥ (SAB)
Gọi I là trung điểm AC => HI // BC => HI ⊥ AC (3)
Mặt khác AC ⊥ SH (do SH ⊥ (ABC) (4)
Từ (3) và (4) => AC ⊥ (SHI)
Kẻ HK ⊥ SI (K ∈ SI) (5)
Từ AC ⊥ (SHI) => AC ⊥ HK (6)
Từ (5) và (6), suy ra HK ⊥ (SAC)
Vì HK ⊥ (SAC) và HC ⊥ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng HK và HC
Xét tam giác CHK vuông tại K ta có:
Do đó
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a,
. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là
Ta có: BC = 2a.cos 300 =
Mặt khác AE2 = EC2 + AC2 − 2AC.EC. cos ACE
AE2 = 3a2 + a2 − 2a..cos 1500= 7a2
=>
Ta có:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tìm mệnh đề sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là hình chữ nhật nên
không vuông góc với
Vậy không vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Hãy xác định góc α giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà đường thẳng BC nằm trong (ABC)
=> SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AH tại H.
=>
Ta lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng
. Thể tích khối chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình lâp phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
và
?
Hình vẽ minh họa

Ta có: AEGC là hình chữ nhật nên EG // AC
Vì ABCD là hình vuông nên
=>
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích khối lăng trụ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Kẻ
Lại có
Gọi F là trung điểm của BC; khi đó
Ta có:
Vì
Vậy tam giác AIK vuông tại A
Gọi E là trung điểm của IK
=>
Lại có do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc
bằng
Ta có:
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:
Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm
, cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là góc giữa đường thẳng
với mặt phẳng đáy. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra OD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD)
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là:
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.
Khi đó ta có:
Tương tự ta có:
Khi đó
Tương tự suy ra
=>
=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc
Cho hình lập phương
. Xác định đường thẳng vuông góc với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”
Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
cạnh bằng
,
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua điểm
và vuông góc với
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ O dựng OH vuông góc với SC
Ta có:
Lại có
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác BHD