Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra

Mà

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Lại có:

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm cạnh .

Khi đó nên vuông góc tại .

Do đó do vuông tại .

Ta có:

.

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC thì

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vậy chính là mặt phẳng . Thiết diện là một hình chữ nhật.

Ta có:

Vậy đáp án sai là: .

Góc cần tìm là góc

Vì đáy là hình vuông nên

TH

1

Mệnh đề đúng: "Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau."

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác SBC ta có:

=> KJ // SC (*)

Xét tam giác SAB ta có:

=> KI // SA (**)

Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)

Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC

Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)

Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)

=>

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai

Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:

Trong tam giác vuông SEI có:

=>

"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto khác thì chúng đồng phẳng"

Giải thích:

Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực sao cho:

Nhân cả hai vế với ta có:

(Mâu thuẫn với giả thiết)

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Hình vẽ minh họa

Ta thấy hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là nên

Mà

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra tam giác ABC vuông tại B

Ta có:

Suy ra tam giác SAB và tam giác SAC là các tam giác vuông tại A

Mặt khác suy ra tam giác SBC vuông tại B

Vậy hình chóp có bốn mặt đều là tam giác vuông.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ

=> MQ // AB

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD

Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)

Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy:

Lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Hình vẽ minh họa:

Kẻ

Lại có

Gọi F là trung điểm của BC; khi đó

Ta có:

Vì

Vậy tam giác AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK

=>

Lại có do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc bằng

Ta có:

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:

Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:

Vậy

Đặt

Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

Ta có

Trong (ABCD) kẻ tại E

Trong (CEC’) kẻ tại H

Suy ra

Do đó

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là

Dấu xảy ra khi:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: => AB ⊥ (SAD)

Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).

Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng và mặt phẳng có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là:

Gọi . Do nên suy ra

(vì )

Kẻ ta có:

Từ (1) và (2) , khi đó

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

Dễ thấy:

SO ⊥ (ABCD)

AC ⊥ BD

BD ⊥ (SAC)

Là những khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD, H là trung điểm của SI.

Ta có: GH // FI; BD // FI nên GH // BD =>

Ta có:

Khi đó:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là và chiều cao (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Ta có:

nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên

Ta lại có:

Ta có:

nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.

Do đó

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra