Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề sai: "Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau."

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có \widehat{BSC} = 120^{0};\widehat{CSA} = 60^{0};\widehat{ASB} = 90^{0}và SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC), khi đó:

    Hình vẽ minh họa:

    Đặt SA = a

    Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:

    AB = \sqrt{SA^{2} + SB^{2}} = a\sqrt{2}

    Xét tam giác SAC cân tại S ta có:

    \widehat{CSA} = 60^{0} => SA = SC = AC = a

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:

    \begin{matrix}BC^{2} = SB^{2} + SC^{2} - 2SB.SC.cos\widehat{BSC} \hfill \\BC^{2} = a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2} \hfill \\BC = a\sqrt{3} = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

    Hay H là trung điểm của BC.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh AA' sao cho mặt phẳng (C'MB) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác C'MB có dạng \frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight). Tính giá trị của biểu thức T = a + b - c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh AA' sao cho mặt phẳng (C'MB) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác C'MB có dạng \frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight). Tính giá trị của biểu thức T = a + b - c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm M của BC. Biết A'M = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi A_{1};A_{2} lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

    Theo đề bài ta có:

    AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a

    Dễ thấy A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2} nên tam giác AA_{1}A_{2} vuông tại A

    Gọi H là trung điểm của A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a

    Ta lại có MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH

    \Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}

    \Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)

    = \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Suy ra S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}

    Vậy V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

    Tính giá trị cos α

    Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a

    Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.

    Tương tự BH ⊥ AC.

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)

    Gọi K là trung điểm của DB.

    Ta có: ABD cân tại A nên AK \bot BD

    Và CBD cân tại C nên CK \bot DB

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.

    Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

    Ta có DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3 nên BDH vuông cân tại H.

    Từ đó ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight) mà HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK

    Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.

    Nên ta có: KH là phân giác của góc \widehat {AKC} suy ra \widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}

    Ta có: t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}

    Vậy \cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\bot(ABCD). Biết diện tích tam giác SBD bằng a^{2}. Khi đó SA bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy.

    Khi đó BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SO \Rightarrow S_{SBD} = \frac{1}{2}.SO.BD = a^{2}

    \Rightarrow SO = \frac{2a^{2}}{a\sqrt{2}} = a\sqrt{2}

    \Rightarrow SA = \sqrt{SO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

    Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?

    Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do (P)//(Q)⇒d⊥(Q)

    Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d \bot \left( P ight)} \\ {d \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( R ight) \bot \left( P ight)} \\ {\left( R ight) \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.

    Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    (1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.

    (2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).

    (3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).

    Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 600. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

    Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

    \begin{matrix} S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} \hfill \\ = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a\sqrt{2}. Kết quả nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} suy ra tam giác ABC vuông tại A

    => M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Vì SA = SB = SC nên SM là đường cao của hình chóp S.ABC.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

    Ta có: MN // AB và IM // SC nên (SC,AB) = (IM,MN)

    Mà BN = \sqrt{AB^{2} + AN^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    SN = \sqrt{SC^{2} - NC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    MN = \frac{a}{2};MI = \frac{a}{2}

    Xét tam giác IMN có

    \cos\widehat{NMI} = \dfrac{MN^{2} +IM^{2} - IN^{2}}{2.MN.IM}= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}

    \Rightarrow \widehat{NMI} = 120^{0}

    \Rightarrow (SC,AB) = (IM,MN) = 60^{0}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi B, SB\bot(ABCD). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (SBD)?

    Minh họa bằng hình vẽ:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AC\bot BD \\ AC\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)

    => Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là \widehat{BA'B'}

    Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’

    => \widehat{BA'B'} =45^{0}

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

    Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình lập phương như hình vẽ:

    Hỏi đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng BC'?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AD'\bot AB \\ AD'\bot A'D \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AD'\bot(ABC'D') \Rightarrow AD'\bot BC'

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD biết chiều cao bằng a\sqrt{2} và độ dài cạnh bên bằng a\sqrt{6}?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

    Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên SO\bot CA

    Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên SO\bot BD

    \Rightarrow SO\bot(ABCD)

    Tam giác SOA vuông tại O nên OA = \sqrt{SA^{2} - SO^{2}} = 2a \Rightarrow AC = BD = 4a

    Vậy thể tích hình chóp là: V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.a\sqrt{2}.\frac{4a.4a}{2} = V = \frac{8\sqrt{2}a^{3}}{3}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnha, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc \alpha là góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABC)?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm cạnh AC.

    Khi đó HM//SA nên HM vuông góc (ABC) tại H.

    Do đó \left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH} do \Delta MBH vuông tại H.

    Ta có:

    \cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho tứ diện O.ABC trong đó ba đường thẳng OB, OC, OA đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ?

    Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA = a\sqrt 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

    Lấy M là trung điểm của SD

    Góc cần tìm là góc giữa OM và SC

    Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD

    \begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác MOC ta có:

    \begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = SB = 2a. Mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng đáy một góc 90^{0}. Xác định thể tích khối chóp S.ABCD?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB cân tại S nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp

    Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

    SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}

    Vậy thể tích hình chóp là:

    V = \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{15}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a. Gọi trung điểm của các cạnh BC,CD,DB lần lượt là J;Q;K. Tính thể tích tứ diện AJQK?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}

    Nhận thấy S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}

    V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD. Gọi trung điểm của các cạnh AB;BC lần lượt là M;N. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi P là trung điểm của BD.

    Ta có: MN;NP;MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC;BCD;ABD.

    Do đó:

    MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC

    NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD

    Vì ABCD là tứ diện đều \Rightarrow AC = CD = AD

    \Rightarrow MN = NP = MP nên tam giác MNP là tam giác đều.

    \Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

    Biết đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, CC' = 4a;BD = a\sqrt{3}. Tính thể tích V của lăng trụ đứng đã cho?

    Kí hiệu hình vẽ như sau:

    Gọi giao điểm của AC và BD là I

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\BI = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

    AI^{2} = BA^{2} - BI^{2} = a^{2} - \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} = \frac{a^{2}}{4}

    \Rightarrow AI = \frac{a}{2} \Rightarrow AC = a

    Diện tích hình bình hành ABCD là:

    S_{ABCD} = 2S_{ABC} = 2.\frac{1}{2}.BI.AC

    = 2.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

    Vậy V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_{ABCD}.CC' = 2a^{3}\sqrt{3}

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

    Tính giá trị cos α

    Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

    Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

    => MD = a; AM = 2a

    Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

    Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và HK = \frac{{3a}}{2}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH (1)

    Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

    Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

    Suy ra HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} và HM \bot HN

    Tam giác SCM đều cạnh bằng a\sqrt 2 nên SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

    Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

    Ta có: \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}

    = \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}

    Ta lại có:

    SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}

    = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a

    Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

    Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {BSI} = \alpha

    Do BC // AD => BC //(SAD)

    => BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}

    Trong tam giác vuông BIS ta có:

    \sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}

  • Câu 26: Nhận biết

    Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} bằng:

    \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

    Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

    Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

    Như vậy: \left\{ \begin{matrix} BC\bot MA \subset (SAM) \\ BC\bot SA \subset (SAM) \\ MA\ \cap \ SA = A \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAM)\bot BC.\ (2)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} (SMA) \cap (ABC) = MA \\ (SMA) \cap (SBC) = MS \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1), (2), (3) => \alpha = \widehat{SMA}

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Tam giác SAB đều và SC= a\sqrt{2}. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm H của AB. Cosin của góc giữa AC và (SHD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Dựng CE\bot DH

    Ta có: SH\bot(ABCD) \Rightarrow SH\botCE

    \Rightarrow CE\bot(SDH)

    => SE là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SHD)

    Do đó: Số đo của góc giữa SC lên mặt phẳng (SHD) bằng với số đo của góc \widehat{CSE}

    Ta có: \cos\widehat{CSE} =\frac{SE}{SC}

    \Rightarrow S_{CHD} =\frac{1}{2}S_{ABCD}

    \Rightarrow CE.HD = a^{2} \Rightarrow CE= \frac{a^{2}}{HD}

    \Rightarrow HD = \sqrt{AD^{2} + AH^{2}}= \frac{a\sqrt{5}}{2}

    \Rightarrow HD = \sqrt{AD^{2} + AH^{2}}= \frac{a\sqrt{5}}{2}

    \Rightarrow CE =\frac{2a\sqrt{5}}{2}

    \Rightarrow SE = \sqrt{SC^{2} - CE^{2}}= \frac{a\sqrt{30}}{5}

    \Rightarrow \cos\widehat{CSE} =\sqrt{\frac{3}{5}}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Khẳng định nào sau đây là đúng

    Vì SA=SC => ΔSAC cân tại S

    Mà O là trung điểm AC => SO⊥AC

    Tương tự, ta cũng có SO⊥BD mà AC∩BD=O⊂(ABCD)

    => SO⊥(ABCD)

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2a?

    Ta có: V = (2a)^{3} = 8a^{3}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

    => SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

    => SO ⊥ (ABCD)

    Dễ thấy:

    SO ⊥ (ABCD)

    AC ⊥ BD

    BD ⊥ (SAC)

    Là những khẳng định đúng.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 7a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng 4a?

    Ta có: V = (4a)^{3} = 64a^{3}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \left( AC;DA_{1} ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    AC//A_{1}C_{1} \Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \left( A_{1}C_{1};DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}}

    Do A_{1}C_{1};DA_{1};DC_{1} là các đường chéo hình vuông bằng nhau.

    Vậy tam giác AD_{1}C_{1} là tam giác đều \Rightarrow \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}

    \Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.

    Hình vẽ minh họa:

    Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’

    => KD’ là đường trung bình của ∆PCC’

    => D’ là trung điểm của PC’

    Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’

    Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)

    => d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = \frac{1}{2}d(C’,(CPB’))

    Xét tứ diện PCC’B’ ta có:

    C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau

    Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:

    \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{CC'^{2}}+ \frac{1}{C'B'^{2}} + \frac{1}{C'P^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{x^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4a^{2}} =\frac{9}{4a^{2}}

    \Rightarrow d\left( C';(CPB')ight) = x = \frac{2a}{3}

    \Rightarrow d(CK;A'D) =\frac{1}{2}d\left( C';(CPB') ight) = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}= \frac{a}{3}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO ⊥ (ABCD) và SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} BC\bot OQ \\ BC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SOQ) \Rightarrow BC\bot SQ

    Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) = \widehat{SQO}

    Tam giác vuông SOQ ta có: \tan\widehat{SQO} = \frac{SO}{OQ} = \sqrt{3}

    Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông cân tại C và AB = a\sqrt{3};AC = a. Biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích hình chóp tam giác S.ABC bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB đều nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

    Tam giác SAB đều nên SH = \frac{3a}{2}

    Tam giác ABC vuông cân tại C nên

    AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}

    Vậy thể tích hình chóp S.ABC là: V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

    Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

    Mặt khác AB ⊥ AD.

    Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

    Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD)

    Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó SI \bot \left( {ABCD} ight)

    Ta có \left\{ \begin{gathered} AD \bot AB \hfill \\ AD \bot SI \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight) mà AD \subset \left( {SAD} ight) \Rightarrow \left( {SAD} ight) \bot \left( {SAB} ight)

    Dựng BH \bot SA tại H suy ra SH \bot \left( {SAD} ight)

    Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì CK \bot \left( {SAD} ight)

    Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {CSK}

    Ta có BH = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác SCI có

    SC = \sqrt {S{I^2} + I{C^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2

    Suy ra \sin \widehat {CSK} = \frac{{CK}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 52 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập