Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC

=> AC ⊥ SO

Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA

Xét tam giác SBC có: SB = SC nên

Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA = SB = SC = a nên

Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

Do đó tam giác MHN cạnh . Góc cần tìm bằng

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

Dễ thấy nên tam giác vuông tại A

Gọi H là trung điểm của

Ta lại có

Suy ra

Vậy

Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.

=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

là đường trung bình của tam giác nên

Vì

Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có:

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

Chiều cao của khối chóp là

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC => AM ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC),(ABC)) = (SM, AM) =

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến .

Tam giác vuông SAM ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

=>

Ta lại có

Mà

=>

Hình vẽ minh họa

Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình vẽ minh họa

Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều

=> Tam giác ACD cân

=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD

=> là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

Ta có:

Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Xét vuông cân tại A, ta có:

Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra

Xét vuông cân tại A, ta có:

Vì là trung điểm của SB nên:

Ta có:

(Do , nên )

Do đó: 

Vậy góc giữa AM bằng BD bằng 

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Công thức tính thể tích là:

Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD

Tam giác BCD đều cạnh bằng 5

Tam giác ABH vuông tại H nên

Vậy thể tích khối chóp tam giác là:

Hình vẽ minh họa

Kẻ

H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC

Ta có:

Gọi M là trung điểm của BC

Gọi

Vì M là trung điểm của BC nên

Chu vi đáy ABC bằng

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> A’B’ // CD và A’B’ = CD

=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành

Ngoài ra B’C = a = CD

=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi

Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Ta có:

=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Diện tích hình vuông đó là a²

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Vì tam giác vuông cân tại

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

mà

Mặt khác

.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì là hình vuông nên

Hình vẽ minh họa:

Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)

Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)

Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB

=> Góc BA’C là góc tù.

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là