Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Đồng thời
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Đồng thời
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì là hình vuông nên
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có cạnh bên bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: "Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau."
Cho hình chóp
, đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp , đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
b) Ta có:
mà
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc trong tam giác vuông SCD.
Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó
Ta có:
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên
Khi đó:
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Độ dài DE bằng:
Ta có:
EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho
=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE
=> Tam giác ECD vuông tại C.
=>
Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B
=>
=>
=>
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, M là điểm không nằm trên (P) sao cho MA = MB = MC, d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). Khi đó đường thẳng d đi qua:
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC
=> HA = HB = HC
=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm
,
. Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: O là tâm hình thoi ABCD
Mặt khác (tính chất tam giác cân)
Và (tính chất hình thoi)
Từ (1) và (2) suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE; JF) bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD =>
JE là đường trung bình của tam giác BCD =>
=> => Tứ giác IJEF là hình bình hành
Mặt khác . MÀ AB = CD => IJ = JE
Do đó IJEF là hình thoi => (IE; JF) = 900
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật tâm O,
,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên
. Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật tâm O,
,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên
. Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Lại có
b) Chứng minh tương tự câu a ta có:
mà
Từ (*) và (**) suy ra: .
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Lại có ABCD là hình chữ nhật nên
Tam giác SAC vuông tại A nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
;
. Gọi
là trung điểm của
, biết hai mặt phẳng
và
cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
. Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh
đến mặt phẳng
?
Từ I kẻ
Gọi K là trung điểm của SD.
Gọi , kẻ
Ta có:
Xét tam giác ICQ có
Xét tam giác SIP vuông tại I có
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.
Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.
Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.
Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.
Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.
Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tính thể tích khối chóp
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a,
. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là
Ta có: BC = 2a.cos 300 =
Mặt khác AE2 = EC2 + AC2 − 2AC.EC. cos ACE
AE2 = 3a2 + a2 − 2a..cos 1500= 7a2
=>
Ta có:
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.
Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.
Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).
Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Tính thể tích khối lăng trụ
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’
Theo đề bài ta có:
Dễ thấy nên tam giác
vuông tại A
Gọi H là trung điểm của
Ta lại có
Suy ra
Vậy
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Hình vẽ minh họa:
Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)
=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))
Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.
Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:
AB2 + AD2 = BD2 = 4a2 => AD =
Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng
. Thể tích khối chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Cho hai đường thẳng
và mặt phẳng
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề: “Nếu thì
.” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình lập phương
. Xác định đường thẳng vuông góc với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Dễ thấy:
SO ⊥ (ABCD)
AC ⊥ BD
BD ⊥ (SAC)
Là những khẳng định đúng.
Cho tứ diện
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho tứ diện có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Khối chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Xác định thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>
Ta có: AH // CD =>
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA
=>
Xét tam giác SAB vuông ta có: