Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC.
Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D
=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD
=> BC ⊥ (ADM)
=> BC ⊥ AD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>
Ta có: AH // CD =>
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của
. Diện tích thiết diện tạo thành bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
. Ta có:
nên
thuộc mặt phẳng trung trực của
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
Chứng minh tương tự ta có các điểm trên đều thuộc mặt phẳng trung trực của
Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của là hình lục giác đều
có cạnh bằng
.
Vậy diện tích thiết diện là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:
và
Lại có:
Suy ra tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:
Xét tam giác có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.

+ Ta có AC // A’C’ nên góc giữa AM và A’C’ là góc giữa AC và AM.
+ Xét tam giác AMC có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC, ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà
Cho khối chóp
có
; đáy
là hình chữ nhật
. Tính thể tích khối chóp
, biết mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Xét tam giác vuông SAB có
Vậy
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?
Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
. Biết diện tích tam giác SBD bằng
. Khi đó SA bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy.
Khi đó
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại hai đỉnh
. Biết rằng
,
. Chọn kết luận đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: vuông cân tại C nên
mà
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Dễ thấy
Góc giữa B1D1 và AC bằng 900
Góc giữa AD và C1B bằng 450
Góc giữa BD và CA1 bằng 900
Đều là các đáp án đúng
Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 600 sai vì
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường MC’ và mặt phẳng (ABC). Khi đó tan α bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)
=> Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.
Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết:
. Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Ta lại có:
Cho khối lăng trụ
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích của khối lăng trụ là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’
Ta có:
Xét tam giác AJK có:
Vậy tam giác AJK vuông tại A
Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có:
Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:
( vì
)
Lại có:
Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:
Hay
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D. Hỏi mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với các mặt phẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với các mặt phẳng (BDD’B’), (ABCD), (A’B’C’D’).
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Góc tạo bởi cạnh
và mặt phẳng
bằng
. Xác định thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên
Dễ dàng chứng minh được
Đặt
Tam giác SBC vuông tại B nên
Ta được:
Vậy diện tích hình chóp là:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11,
,
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?
Hình vẽ minh họa:
Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,
=> ∆ABC vuông tại C
Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB
=> SH ⊥ (ABCD) và
Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do
)
Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK
Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI
Ta có:
Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ?
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.
Cho hình hộp
có đáy là hình thoi. Gọi
lần lượt là tâm các hình bình hành
và
(như hình vẽ).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: lần lượt là tâm các hình bình hành
và
=> lần lượt là trung điểm của các cạnh
là đường trung bình tam giác
Vì đáy ABCD là hình thoi
Ta có:
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.
(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác vuông tại A ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
là trực tâm tam giác
và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
H là trực tâm tam giác BCD nên
Cho hình chóp tứ giác đều
, cạnh đáy bằng
, đường cao bằng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi , M là trung điểm của CD.
Ta có:
Trong tam giác SMO có
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có:
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: suy ra
Vậy
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Công thức tính thể tích
của khối nón có bán kính
và chiều cao
là:
Công thức tính thể tích là:
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh bằng
, tâm
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó cosin góc giữa
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Với
Khi đó
Ta có:
Lại có
Do vậy
Ta có: (vì OC là đường trung bình trong tam giác BDF)
Vậy .
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm câc các cạnh
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:
Suy ra
Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều
Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều
Do đó tam giác DD’C đều
Vậy
Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.
Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.
Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’
Khi đó:
Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa
và
và bằng góc
Với ta có: