Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD có AB = AD và

=> Tam giác ABD là tam giác đều

=> (Vì DM là trung tuyến)

Xét tam giác ABC có AB = AC và

=> Tam giác ABC là tam giác đều

=> (Vì CM là trung tuyến)

=> DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)

Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD

=> MN ⊥ CD

Chứng minh tương tự:

Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN

=> Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB

Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.

Hình vẽ minh họa

Gọi

Kẻ

Ta có:

Mà

Từ (*) và (**) suy ra

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có:

Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”

Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên

Dễ dàng chứng minh được

Đặt

Tam giác SBC vuông tại B nên

Ta được:

Vậy diện tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

Dễ thấy:

SO ⊥ (ABCD)

AC ⊥ BD

BD ⊥ (SAC)

Là những khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có

Hình vẽ minh họa:

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

+) Ta có:

+) Mặt khác

=>

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Với

Khi đó

Ta có:

Lại có

Do vậy

Ta có: (vì OC là đường trung bình trong tam giác BDF)

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Vì

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có: => BC ⊥ (SAB)

=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

=>

Mà

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>

Ta có: AH // CD =>

Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Ta có:

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

Mệnh đề “Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Vậy mệnh đề đúng là: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.”

Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có:

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

Chiều cao của khối chóp là

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm cạnh BC.

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên ;

là hình lăng trụ tam giác đều nên

Do đó và theo giao tuyến

Kẻ

Lại có

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:

Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Ta lại có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)

Gọi M là giao điểm của AH và BC

Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM

Xét tam giác BOC vuông ta có:

Xét tam giác AOI vuông ta có:

Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)

Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)

Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC

Vậy là kết quả sai.

Hình vẽ minh họa:

Gọi lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

Dễ thấy nên tam giác vuông tại A

Gọi H là trung điểm của

Ta lại có

Suy ra

Vậy

Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)

=>

Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.

Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là và chiều cao (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là:

Hình vẽ minh họa

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân =>

Ta có: => mà =>

Mặt khác => CH vuông góc với các đường thẳng

Và chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

+) Gọi H là trung điểm AB.

Vì tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB

Ta có:

=> Hình chiếu của SC lên (ABCD) là HC.

(Vì tam giác SHC vuông tại H)

+) Ta có:

Xét tam giác SHC vuông tại H:

Vậy

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA = SB = SD nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.

Suy ra:

Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD.

Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD

=> ((SBD), (ABCD)) = (SI, AI) =

Trong tam vuông SHI ta có: