Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho hình chóp tam giác
, đáy là tam giác
vuông cân tại C và
. Biết tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Thể tích hình chóp tam giác
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Tam giác SAB đều nên
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là
bằng:
Thể tích cần tìm là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với điểm
của
. Cosin của góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Dựng
Ta có:
=> SE là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SHD)
Do đó: Số đo của góc giữa SC lên mặt phẳng (SHD) bằng với số đo của góc
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.
Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.
Như vậy:
Lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với đáy và
. Tính tan góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> AB ⊥ (SBC)
Suy ra hình chiếu của SA lên (SBC) là SB
=>
Trong tam giác SCB vuông tại C, ta có:
Trong tam giác SBA vuông tại B, ta có:
Vậy tan góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) là
Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
. Biết rằng
. Hãy chọn kết luận sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao
=>
Trong tam giác SOA thì AC và SA không thể vuông tại A
Vậy khẳng định sai là: .
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt
. Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Ta có:
nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có:
Xét tam giác vuông SIE ta có:
=>
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:
và
Lại có:
Suy ra tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:
Xét tam giác có:
Cho hình lăng trụ ABC. MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Cosin của góc tạo bởi NC và BI bằng bao nhiêu?
Gọi E là trung điểm MP => NE // BI
=> Góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng góc giữa hai đường thẳng NC và NE
=> Góc cần tính là
Đặt a là chiều dài cạnh của hình lăng trụ ta có:
=>
Cho tứ diện
có đáy
là tam giác vuông cân tại
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOA ta có:
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho khối lăng trụ
có
, hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là trung điểm
của
. Biết
. Thể tích khối lăng trụ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Kẻ
Lại có
Gọi F là trung điểm của BC; khi đó
Ta có:
Vì
Vậy tam giác AIK vuông tại A
Gọi E là trung điểm của IK
=>
Lại có do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc
bằng
Ta có:
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:
Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:
Vậy
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có
, ABCD là hình thang vuông tại A, B và
. Gọi
, M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).

Trong (SBD), gọi
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
Tam giác SAD vuông tại A có
=>
Mặt khác:
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và nên
=> mà
Kẻ , có
(do
)
Xét tam giác SAC vuông tại A có , AH là đường cao:
Xét tam giác SBD có:
Xét tam giác DIO có:
Do đó:
Mặt khác:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc
và A’A = A’B = A’D. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)
Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)
Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tính thể tích khối chóp
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:

Hình vẽ minh họa:
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.
Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).
Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).
Ta có:
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ?
Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.
Cho khối chóp
có chiều cao bằng
đáy là tam giác
có diện tích bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với mặt phẳng (P)?
Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).
Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra (1)
Mà H là trực tâm của tam giác BCD (2)
Từ (1), (2) suy ra: