Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng , chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng , chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Một tấm ván hình chữ nhật được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33
Một tấm ván hình chữ nhật được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33
Gọi ,
lần lượt là hình chiếu của
,
lên đáy hố là mặt phẳng
.
Khi đó có hình chiếu lên đáy là
, suy ra
.
Với độ sâu hố là (m), ta có
.
.
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có:
Xét tam giác vuông SIE ta có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Ta có:
Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có
d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ =
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Giả sử
là hình chiếu của
trên cạnh
. Ta có các khẳng định sau:
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . Góc giữa cặp vecto
là:
Cho khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng x, cạnh bên bằng y. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để (α) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C.
Hình vẽ minh họa:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC). Gọi C’ là trung điểm của AB
=> C, C’, G thẳng hàng
Ta có:
Trong tam giác SAC kẻ AC1⊥SC
=> SC ⊥ (ABC1)
=> Thiết diện cần tìm là tam giác ABC1 thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC. Tam giác SAC cân tại S nên để C1 nằm giữa S và C khi và chỉ khi .
Cho hình hộp có độ dài tất cả các cạnh bằng
và các góc
đều bằng
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Gọi
là góc tạo bởi hai đường thẳng
và
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: với P là trung điểm của D’C
Suy ra
Vì và các cạnh của hình hộp bằng a
Do đó
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Hình vẽ minh họa:
Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)
=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))
Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.
Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:
AB2 + AD2 = BD2 = 4a2 => AD =
Cho tứ diện có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho tứ diện có
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của AC khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.
Ta có:
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Khi đó:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.
Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.
Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).
Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”
Cho hình hộp có độ dài tất cả các cạnh bằng
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm câc các cạnh
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:
Suy ra
Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều
Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều
Do đó tam giác DD’C đều
Vậy
Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.
Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.
Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’
Khi đó:
Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:
Cho hình chóp có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa:
sai vì
CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
đúng vì
AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)
=>
sai vì
BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)
=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
=>
sai vì
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN
Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB
Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM
Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M
=>
Ta lại có
Mà
=>
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC), H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)
=> SA ⊥ BC
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)
=> AC ⊥ AB (vô lí)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC
=> BM ⊥ AC.
Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).
Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).
Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết .
Quan sát hình vẽ ta thấy
Tam giác đều có cạnh bằng a nên
Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.”
Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là
Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có .Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa
Ta có: AD // BC =>
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>
Ta có:
Từ (*) và (**) =>
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó
Ta có mà
Dựng tại H suy ra
Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì
Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc
Ta có
Trong tam giác SCI có
Suy ra
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Cho hình chóp đáy là tam giác
cân tại
,
vuông góc với đáy. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác ABC cân tại A nên
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:
Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)
Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a
Khi đó
=>
Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là
Tính thể tích khối tứ diện đều , biết
?
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD
Tam giác BCD đều cạnh bằng 5
Tam giác ABH vuông tại H nên
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4, góc BAD = 1200. Cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC và α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> ((SAC), (MNP)) = ((SAC), (SCD)) = α.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu vuông góc của H xuống SC, suy ra
Ta có
Trong tam giác ABC có
Do đó diện tích tam giác SCD là
Theo công thức tính thể tích khối chóp A.SCD thì
=>
=> α ∈ (600; 900)
Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Xét các mệnh đề sau:
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).
(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).
(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).
(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng
(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai
(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng
(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc. Gọi
là trực tâm tam giác
. Kết luận nào sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: đúng
Ta có: đúng
Ta có:
Mà đúng
Vậy hay tam giác HOA vuông tại H sai