Cho khối lăng trụ đứng
, đáy
có
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc
Ta có:
Vậy
Cho khối lăng trụ đứng
, đáy
có
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì =>
cân tại S
Mà O là trung điểm AC =>
Tương tự, ta cũng có mà
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=>
Mà
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành và mặt bên
là tam giác vuông tại
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành nên
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo và SA = SC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC
=> AC ⊥ SO
Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)
Cho hình chóp tam giác
có
là hình bình hành tâm
. Tam giác
có tất cả các cạnh bằng
,
. Góc giữa đường thẳng
với mặt đáy bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Xét tam giác SAO ta có:
Cho một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
, biết độ dài cạnh bên và cạnh đáy tỉ lệ
. Tính thể tích V của khối chóp?
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm hình vuông
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
. Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.
Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC), H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)
=> SA ⊥ BC
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)
=> AC ⊥ AB (vô lí)
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
, tam giác
đều và cạnh
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên
Mặt khác tam giác SBC có
Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay
Từ
Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên
Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng
Ta có:
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
Do đó
Theo giả thiết ∆ABC đều =>
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
, tam giác
cân. Giả sử
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là góc nào dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN (M ∈ A’C, N ∈ BC’) là đường vuông góc chung của A’C và BC’. Tỉ số
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’
Suy ra HI // BC’
Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH
Dễ thấy BK ⊥ (SCH)
Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’
Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm
Ta có:
Do 2HB = SB nên:
=>
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vậy mệnh đề đúng là: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”
Cho tứ diện
có
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Biết rằng
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Đặt
Vì trung điểm của các cạnh lần lượt là
Suy ra
Từ đó
Suy ra tam giác GEF vuông tại G.
Vì nên
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:
Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD
Khi đó
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC cân với cạnh huyền
, cạnh bên
và
. Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN.

Đặt
Do tam giác vuông cân ABC tại C có suy ra:
Ta có:
Vậy
Mặt khác:
Gọi góc giữa hai véctơ
và
Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:
Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh
và
. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
Hình vẽ minh họa
Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.
Khi đó: .
Xét .
Ta có .
Xét . (1)
Xét , ta có:
. (2)
Từ là tam giác đều
.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tính thể tích khối chóp
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SM ⊥ (ABCD)
=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.
Ta tính được:
Xét tam giác ADM có:
=>
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
;
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng BD với (SAD). Tính sin α.
Hình vẽ minh họa:
Vì (SAB) ⊥ (ABCD), AD ⊥ AB nên AD ⊥ (SAB)
Trong (SAB), kẻ BH ⊥ SA = H, ta có BH ⊥ (SAD)
Khi đó sin (BD, (SAD)) = sinα = BH/BD
Xét tam giác SAB đều cạnh a có đường cao
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với BC = 2AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (α) đi qua S vuông góc với AB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp đã cho.
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB
=> SH ⊂ (α) và SH ⊥ (ABCD) (do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB)
Kể HM ⊥ AB khi đó ta có: HM ⊂ (α)
Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H
Ta có:
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, BC = 4. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA.
Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:
Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD).
Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP // SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD).
Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC.
Kẻ PM ⊥ KA, M ∈ KA.
Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ PM nên KA ⊥ (PMB).
Suy ra KA ⊥ MB.
Như vậy, góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc
Xét tam giác KAC vuông tại K ta có:
Suy ra:
Xét tam giác KPA vuông tại P ta có:
Lại có:
Xét tam giác PMB vuông tại P ta có:
Ta có: