Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.

Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’

=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK

Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là

Ta có: BC = 2a.cos 30⁰ =

Mặt khác AE² = EC² + AC² − 2AC.EC. cos ACE

AE² = 3a² + a² − 2a..cos 150⁰= 7a²

=>

Ta có:

Ta có:

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là

Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

Vậy tan α = 1

Hình vẽ minh họa:

Xét

Ta có:

Từ (1) và (2)

Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:

Suy ra

Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều

Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều

Do đó tam giác DD’C đều

Vậy

Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.

Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.

Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’

Khi đó:

Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:

Ta có =>

Kẻ

Ta có:

Lại có

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.

=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên

Ta có:

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

+) Gọi H là trung điểm BC.

Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

=> Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA

(vì tam giác SAH vuông tại H)

+) Ta có:

Xét tam giác SHA vuông tại H:

Vậy

Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra, ta có mà

Tam giác ABC vuông tại B, có =>

Khi đó

Nếu mà suy ra (vô lý).

Ta có nên SC là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác SBC ta có:

=> KJ // SC (*)

Xét tam giác SAB ta có:

=> KI // SA (**)

Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)

Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC

Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)

Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)

=>

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Hình vẽ minh họa:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC). Gọi C’ là trung điểm của AB

=> C, C’, G thẳng hàng

Ta có:

Trong tam giác SAC kẻ AC₁⊥SC

=> SC ⊥ (ABC₁)

=> Thiết diện cần tìm là tam giác ABC₁ thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC. Tam giác SAC cân tại S nên để C₁ nằm giữa S và C khi và chỉ khi .

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác đều là hình vuông

Do đó

Suy ra

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là tâm các hình bình hành và

=> lần lượt là trung điểm của các cạnh

là đường trung bình tam giác

Vì đáy ABCD là hình thoi

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

 Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Tam giác ABD vuông tại B.

Lại có nên tam giác BCD vuông tại C.

Khi đó: 

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

+) Ta có:

+) Mặt khác

=>

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương

=> MA, CB, C’B’ cùng vuông góc với (ABB’A’)

=> Tam giác MBC’ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB’A’) là tam giác ABB’.

Ta có

Xét tam giác MBC’, ta có:

Đặt p = (MB + MC’ + BC’)/2

Áp dụng công thức Hê-rông ta có:

Mặt khác

Hình vẽ minh họa:

Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của (vì cân)

Ta có:

Và tại .

Do đó .

Ta có: .

Vì là trọng tâm của nên .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

H là trung điểm của BC nên

Xét tam giác SBH vuông tại H có

Diện tích đáy ABC là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa:

Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)

=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))

Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI

Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H

Mà AI ⊥ A’H

=> (AB’C’) ⊥ A’H.

Khi đó:

Vậy khoảng cách cần tìm là

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

Hình vẽ minh họa:

Hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SG ⊥ (ABC).

Gọi cạnh AB = BC = a

Từ G kẻ GE// BC (E ∈ AB), từ E kẻ EF // SA (F ∈ SB) suy ra (SA, BC) = (EF, EG)

Xét tam giác EFG ta có:

Khi đó:

Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: .

Xét .

Ta có .

Xét . (1)

Xét , ta có: . (2)

Từ là tam giác đều

.

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Mệnh đề sai: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.”

Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.