Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có:
Do
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra
=> Tam giác MOC cân tại M.
=>
Khi đó
Vậy
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ
=> MQ // AB
Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD
Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)
Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy. Khi đó:
Hình vẽ minh họa:

Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Tam giác SAI vuông tại I
=> SA2 = AI2 + SI2
Tam giác SBI vuông tại I
=> SB2 = BI2 + SI2
Tam giác SCI vuông tại I
=> SC2 = CI2 + SI2
Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Có bao nhiêu mặt bên vuông góc với mặt đáy?
Hình vẽ minh họa:
Giả sử SA ⊥ (ABCD). Khi đó có đúng 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy là (SAB), (SAD).
Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh
, cạnh bên bằng
.
Hình vẽ minh họa
Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là và chiều cao
(vì lăng trụ là lăng trụ đứng)
Vậy thể tích hình lăng trụ là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Do nên góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy bằng góc
.
Ta có:
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
.
Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
cạnh bằng
và
vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
.
Hình vẽ minh hoạ
Gọi I là trung điểm của SD
=> OI là đường trung bình tam giác SBD
Suy ra
Ta có:
nên tam giác AOI cân tại I
Gọi H là tung điểm của OA
Xét tam giác OHI có:
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là
và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Khi đó:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=>
Mà
Vậy
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G. Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc 300. Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Gọi O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. Khi đó ABCD là hình vuông.
Vì BC // AD nên (SA, BC) = (SA, AD).
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SA và AD.
Đặt AB = BC = x => AD = x
Ta có:
Góc giữa SA và mặt đáy (ABC) là
Ta có:
Ta có:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác SAD ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD
Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD
=> BD ⊥ (SAC)
Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)
=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC
Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau
=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó
Ta có:
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi
là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính
?

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra
Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
Vì vậy,
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tính thể tích khối chóp
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Ta có:
=>
Kẻ (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC
Khi đó
Theo bài ra ta có:
Tam giác SBH vuông tại H có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). M là trung điểm của BC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.
Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.
Như vậy:
Lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
. Cạnh bên SA = 2a, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình chóp đã cho.
Hình vẽ minh họa:
Trong tam giác SAC có: AI ⊥ SC (I thuộc SC)
Trong mặt phẳng (SBC) dựng đường thẳng qua I và vuông góc với SC cắt SB tại M.
Trong mặt phẳng (SCD) dựng đường thẳng qua I và vuông góc với SC cắt SD tại N.
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác AMIN.
Ta có: SC ⊥ (α) => SC ⊥ AM (*)
Ta có:
Từ (*) và (**) => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ MI
Chứng minh tương tự ta được AN ⊥ NI
Vì AM, AI, AN lần lượt là các đường cao của tam giác SAB, SAC, SAD nên
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC, A’D là góc nào sau đây?

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:
Như vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Hãy xác định góc α giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà đường thẳng BC nằm trong (ABC)
=> SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AH tại H.
=>
Ta lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Mệnh đề nào sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA vuông góc với BD.
Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC mà SA⊥BD => BD ⊥ (SAC)
=> BD ⊥ SC, BD ⊥ SO
Dễ thấy AD không vuông góc với SC vì nếu AD vuông góc với SC thì AD ⊥ AC vô lí
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông tâm
cạnh bằng
. Gọi
là trung điểm cạnh
,
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên
. Biết
. Khi đó, cosin góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Ta có:
suy ra tam giác OHI vuông cân tại H
Suy ra tam giác SCD đều
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
“Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
“Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.
“Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau.
Vậy khẳng định đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Ta có:
=> AB ⊥ MH
=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD
Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD
Ta cũng có SN ⊥ CD nên
Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)
Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))
Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK
Khi đó d(H, (SMP)) = HI
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:
Xét tam giác vuông SHN ta có:
Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:
Mặt khác:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi α là góc giữa SA và (SHK). Chọn mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là giao điểm của HK và AC
Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC
Ta lại có: AC ⊥ SH
=> AC ⊥ (SHK)
=>
Tam giác SIA vuông tại I ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”