Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)

Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc

Ta có

CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

Tam giác CMC’ vuông tại M, nên

Diện tích

Xét tam giác vuông MC’N, có

Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là

Hình vẽ minh họa:

Kẻ AH ⊥ BC tại H, CK ⊥ BD tại K, HI ⊥ BD tại I.

Theo giả thiết suy ra CK = 8.

Vì (ABC) ⊥ (BCD) AH ⊥ BC nên AH ⊥ (BCD).

Ta có:

=> Góc AIH là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Xét tam giác ABC vuông tại A

Xét tam giác AHI vuông tại H

=>

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là:

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Hình vẽ minh họa:

Giả sử H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABCD)

=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh HD.

=>

Tam giác SAB đều cạnh a =>

Ta lại có:

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của . Suy ra

Kẻ

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó

Hình vẽ minh họa

Vì

Tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là tâm các hình bình hành và

=> lần lượt là trung điểm của các cạnh

là đường trung bình tam giác

Vì đáy ABCD là hình thoi

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Hình vẽ minh họa:

Ta có: => BC ⊥ (SAB)

=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

=>

Mà

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>

Vì nên 

Gọi H là trung điểm của CD =>

Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>  

Ta có:

Từ (*) và (**) 

Ta lại có:

Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của SO và BM.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ NK // AC,

Ta có: I là trọng tâm tam giác SBD.

Ta có:

Tam giác SBD đều cạnh bằng

Tam giác SBC vuông tại B

Lại có:

Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng và là .

VD

1

Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC)

Khi đó, do SA, SB, SC bằng nhau nên HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là H trùng với G

Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên

Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra mà

Do đó

Ta có:

Mặt khác nên tam giác vuông cân tại J

Do đó

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng nên đáp án đúng là: 

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra

Ta có

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Vì

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác . Ta có:

Xét tam giác SID vuông tại I có:

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Tam giác SOA vuông tại O nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Đồng thời

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.

Ta có:

BC ⊥ AD và BC ⊥ SD

=> BC ⊥ (SAD)

=> BC ⊥ SA.

Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH

Tính được:

Ta có:

=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.

Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.

Nếu thì .

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA.

Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD).

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP // SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD).

Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC.

Kẻ PM ⊥ KA, M ∈ KA.

Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ PM nên KA ⊥ (PMB).

Suy ra KA ⊥ MB.

Như vậy, góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc

Xét tam giác KAC vuông tại K ta có:

Suy ra:

Xét tam giác KPA vuông tại P ta có:

Lại có:

Xét tam giác PMB vuông tại P ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD

Hình vẽ minh họa

Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành

Do nên tam giác BB’C đều

Do đó nên tứ giác A’B’CD là hình thoi

Ta có

Suy ra

Vậy tứ giác là hình vuông.

Hình vẽ minh họa:

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A

=>

=> MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

=>

Ta có:

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có:

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

Chiều cao của khối chóp là

Thể tích khối chóp là: