Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Đáp án "" sai vì chỉ có

Đáp án "" sai vì chỉ có:

Đáp án "" đúng vì

Đáp án "" sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD).

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Hình vẽ minh họa

Từ I kẻ

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi , kẻ

Ta có:

Xét tam giác ICQ có

Xét tam giác SIP vuông tại I có

Hình vẽ minh họa:

Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)

=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là

Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’

=>

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra OD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra

Vậy

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng nên đáp án đúng là: 

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC

=>

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác đều là hình vuông

Do đó

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Gọi

Kẻ

Ta có:

Mà

Từ (*) và (**) suy ra

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có:

Xét vuông cân tại A, ta có:

Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra

Xét vuông cân tại A, ta có:

Vì là trung điểm của SB nên:

Ta có:

(Do , nên )

Do đó: 

Vậy góc giữa AM bằng BD bằng 

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của BC

Suy ra

Vì nên hình chiếu của SA trên (ABC) là AI

Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa SA và AI bằng

Tma giác SAI vuông tại I ta có:

Ta có nên SA là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Ta có:

nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.

Do đó

Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra

Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

Ta lại có:

Tam giác MHC vuông tại M

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm BC.

Trong tam giác SAI kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI).

Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC ở M, cắt SB ở N.

Qua cách dựng ta có BC // (AMN). (1)

Ta có: SI ⊥ AH, SI ⊥ MN (do SI ⊥ BC) => SI ⊥ (AMN) => (SBC) ⊥ (AMN). (2)

Từ (1) và (2), suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN.

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà AH ⊥ (SBC) suy ra AH ⊥ MN.

Tam giác AMN có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A.

+) Gọi H là trung điểm AB.

Vì tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB

Ta có:

=> Hình chiếu của SC lên (ABCD) là HC.

(Vì tam giác SHC vuông tại H)

+) Ta có:

Xét tam giác SHC vuông tại H:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có:

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có: I là trung điểm của BC => AI ⊥ BC. Kẻ AK ⊥ SI (K ∈ SI)

Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB và SC lần lượt tại M và M.

Khi đó thiết diện là tam giác AMN. Ta có:

Xét tam giác SAI vuông ta có:

Xét tam giác SBC ta có:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:

và

Lại có:

Suy ra tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:

Xét tam giác có:

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.

Khi đó ta có:

Tương tự ta có:

Khi đó

Tương tự suy ra

=>

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có =>

Kẻ

Ta có:

Lại có

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi

Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng

=> Qua K kẻ đường thẳng . Gọi

=> thiết diện và hình chóp là tứ giác có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> là hình thang cân.

Đặt

Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

Ta có

Trong (ABCD) kẻ tại E

Trong (CEC’) kẻ tại H

Suy ra

Do đó

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là

Dấu xảy ra khi:

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh của tứ diện là a

Tam giác BCD đều =>

Tam giác ABC đều =>

Ta có:

Mặt khác