Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
với điều kiện
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và vuông góc với cạnh
. Tính giá trị lớn nhất diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nối suy ra
là thiết diện của tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
.
Vì mà
Tương tự ta cũng có:
Ta có:
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là dấu bằng xảy ra khi
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là các điểm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng và mặt phẳng
có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AD, φ là góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABB’A’). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương
=> MA, CB, C’B’ cùng vuông góc với (ABB’A’)
=> Tam giác MBC’ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB’A’) là tam giác ABB’.
Ta có
Xét tam giác MBC’, ta có:
Đặt p = (MB + MC’ + BC’)/2
Áp dụng công thức Hê-rông ta có:
Mặt khác
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
cạnh bằng
và
vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
.
Hình vẽ minh hoạ
Gọi I là trung điểm của SD
=> OI là đường trung bình tam giác SBD
Suy ra
Ta có:
nên tam giác AOI cân tại I
Gọi H là tung điểm của OA
Xét tam giác OHI có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp đều, các cạnh bên có độ dài bằng
và tạo với đáy một góc
. Tính chu vi đáy P của hình chóp đó.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC
Gọi
Vì M là trung điểm của BC nên
Chu vi đáy ABC bằng
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
. Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 300 và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Đặt AB = x =>
Ta có:
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
=> d(MN, AC’) =
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại hai đỉnh
. Biết rằng
,
. Chọn kết luận đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: vuông cân tại C nên
mà
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm cạnh
,
là hình chiếu vuông góc của
trên
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà tam giác ABC là tam giác đều
mà
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến BD.
Lại có AO nằm trong (ABCD) và vuông góc với BD tại O
Mà SO nằm trong (SBD) và vuông góc với BD tại O.
=> Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OS, tức là góc
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
. Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.
Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =
Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng
. Thể tích khối chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Khối chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Xác định thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có:
Do
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra
=> Tam giác MOC cân tại M.
=>
Khi đó
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trực tâm của tam giác SBC và ABC lần lượt là H và K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ SH => BC ⊥ (SAH)
CK ⊥ AB, CK ⊥ SA => CK ⊥ (SAB) => CK ⊥ SB
Mặt khác CH ⊥ SB => SB ⊥ (CHK)
Ta có: BC ⊥ (SAH) => BC ⊥ HK
SB ⊥ (CHK) => SB ⊥ HK
=> HK ⊥ (SBC)
Dùng phương pháp loại trừ ta suy ra: BC ⊥ (SAB) là đáp án sai.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
Hình vẽ minh họa

Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều
=> Tam giác ACD cân
=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD
=> là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
, tam giác
đều. góc giữa
và
là:
Hình vẽ minh họa
Vì
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Nếu ba vecto
cùng vuông góc với vecto
khác
thì chúng:
"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto
khác
thì chúng đồng phẳng"
Giải thích:
Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực
sao cho:
Nhân cả hai vế với ta có:
(Mâu thuẫn với giả thiết)
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó
Ta có mà
Dựng tại H suy ra
Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì
Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc
Ta có
Trong tam giác SCI có
Suy ra
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm câc các cạnh
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:
Suy ra
Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều
Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều
Do đó tam giác DD’C đều
Vậy
Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.
Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.
Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’
Khi đó:
Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. cạn bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra, ta có mà
Tam giác ABC vuông tại B, có =>
Khi đó
Nếu mà
suy ra
(vô lý).
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB; DM) là:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh của tứ diện là a
Tam giác BCD đều =>
Tam giác ABC đều =>
Ta có:
Mặt khác
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Hình ảnh minh họa

Gọi O là tâm ABCD =>
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)
Ta có:
Xét tam giác vuông SOM ta có:
Cho hình tứ diện ABCD, có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Độ dài AD bằng:
Hình vẽ minh họa

Ta có:
=> Tam giác ABD vuông tại B.
Lại có nên tam giác BCD vuông tại C.
Khi đó:
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy cạnh bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 60◦. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều
=> AB ⊥ (BB’C’B)
Khi đó:
=> ((ABC’); (ABCD)) = (BC’; BC) =
Đặt AA’ = x, tam giác BCC’ vuông tại C ta có