Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC 

=>AM ⊥ BC và

Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

Ta có:

Từ (1) và (2)

Xét tam giác SAM ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Kẻ , gọi

Ta có:

Lại có:

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm cạnh .

Khi đó nên vuông góc tại .

Do đó do vuông tại .

Ta có:

.

Hình vẽ minh hoạ

Gọi I là trung điểm của SD

=> OI là đường trung bình tam giác SBD

Suy ra

Ta có:

nên tam giác AOI cân tại I

Gọi H là tung điểm của OA

Xét tam giác OHI có:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

=> BC ⊥ (SAB).

Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có:

Lại có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Đáp án "Thuộc một mặt phẳng"  sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.

Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.

Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.

Đáp án "Song song với một mặt phẳng"  đúng vì chúng đồng phẳng.

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)

Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)

=>

Xét tam giác SBC đều cạnh 2a =>

Tam giác ABC vuông tại A =>

Tam giác SAH vuông nên

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Lại có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên tam giác SAB và tam giác SAD là tam giác vuông.

Ta có: CD ⊥ DA mà DA là hình chiếu của DA trên (ABCD) nên CD vuông góc với DS

=> Mặt bên SDC là tam giác vuông tại D

Tương tự ta có: mặt bên SBC là tam giác vuông tại B. Như vậy chỉ có khẳng định ”Mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông” là chắc chắn đúng.

Hình vẽ minh họa:

Đặt AB = a

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

Ta có:

EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho

=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE

=> Tam giác ECD vuông tại C.

=>

Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B

=>

=>

=>

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình vẽ minh họa:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, SB

H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên IB.

Do giả thiết SA = SC => Tam giác SAC cân đỉnh S => SI ⊥ AC

Xét ∆SAB và ∆SBC ta có:

SA = SC

BA = BC

SB chung

=> ∆SAB = ∆SCB => JA = JC

Khi đó ∆JAC cân đỉnh J

Mà I là trung điểm của AC nên IJ ⊥ AC (1)

Mặt khác ∆SAC cân đỉnh S nên SI ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ (SIB) => AC ⊥ SH.

=> SH ⊥ AC, SH ⊥ BI => SH ⊥ (ABC)

=>

Xét ∆SIA theo định lý Py – ta – go:

Tương tự trong ∆IAB ta có:

Xét ∆SIB theo định lý hàm số cosin ta có:

Vì 0 < < 90◦ =>

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung bình tam giác ABC

Vì tam giác BCD và tam giác ACD là các tam giác đều cạnh a

Vì

Xét tam giác MND ta có:

"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto khác thì chúng đồng phẳng"

Giải thích:

Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực sao cho:

Nhân cả hai vế với ta có:

(Mâu thuẫn với giả thiết)

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Ta có:

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD

Mặt khác (tính chất tam giác cân)

Và (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Vậy

+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2

+ Gọi N là trung điểm AB suy ra

+ Gọi

Gọi

+ Ta có

+ Ta có 

+ Gọi NH là đường cao

+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ

+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2

Hình vẽ minh họa:

Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)

=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))

Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

AB² + AD² = BD² = 4a² => AD =

Hình vẽ minh họa:

Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC

=> PN // BD => BD // (MNP)

=> d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = d(A, (MNP))

Kẻ AK ⊥ ME

Khi đó d(A, (MNP)) = AK.

Ta tính được:

Xét tam giác vuông MAE ta có:

 Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mặt khác:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có

Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).

Hình vẽ minh họa

Dựng AK vuông góc với BC, AH vuông góc với SK

Ta có:

Mà

Khi đó SK là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBC) nên

Ta có:

Khi đó:

Hình vẽ minh họa

Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên .

Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

ABCD là hình vuông nên

Xét tam giác vuông SOA ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .