Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

=>

Mặt khác có tam giác ABC vuông tại C:

Vậy (SB, (ABC)) = 30⁰

Nếu là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: .

Xét .

Ta có .

Xét . (1)

Xét , ta có: . (2)

Từ là tam giác đều

.

Hình vẽ minh họa:

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC

=>

Gọi N là trung điểm của AC

=>

Kẻ

Hình vẽ minh họa

Gọi , M là trung điểm của CD.

Ta có:

Trong tam giác SMO có

Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)

=>

Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.

Hình vẽ minh họa:

Góc của (P) qua CD’ hợp với (BB’D’D) một góc nhỏ nhất bằng với góc giữa đường thẳng CD’ và (BB’D’D).

Ta có:

=> D là trung điểm của BM.

Kéo dài MD’ cắt BB’ tại N. Đường thẳng CN cắt B’C’ tại I, ta được I là trung điểm B’C’.

Ta được thiết diện cần tìm là tam giác ICD’

Tính được:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì

Vậy

Xét vuông cân tại A, ta có:

Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra

Xét vuông cân tại A, ta có:

Vì là trung điểm của SB nên:

Ta có:

(Do , nên )

Do đó: 

Vậy góc giữa AM bằng BD bằng 

Hình vẽ minh họa:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

Ta có:

Tính được

Trong tam giác B’CI ta có:

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.

Ta tính được:

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm BC.

Trong tam giác SAI kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI).

Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC ở M, cắt SB ở N.

Qua cách dựng ta có BC // (AMN). (1)

Ta có: SI ⊥ AH, SI ⊥ MN (do SI ⊥ BC) => SI ⊥ (AMN) => (SBC) ⊥ (AMN). (2)

Từ (1) và (2), suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN.

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà AH ⊥ (SBC) suy ra AH ⊥ MN.

Tam giác AMN có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi

Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng

=> Qua K kẻ đường thẳng . Gọi

=> thiết diện và hình chóp là tứ giác có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> là hình thang cân.

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra mà

Do đó

Ta có:

Mặt khác nên tam giác vuông cân tại J

Do đó

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)

Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)

Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,

=> ∆ABC vuông tại C

Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB

=> SH ⊥ (ABCD) và

Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do )

Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK

Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI

Ta có:

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA.

Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD).

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP // SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD).

Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC.

Kẻ PM ⊥ KA, M ∈ KA.

Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ PM nên KA ⊥ (PMB).

Suy ra KA ⊥ MB.

Như vậy, góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc

Xét tam giác KAC vuông tại K ta có:

Suy ra:

Xét tam giác KPA vuông tại P ta có:

Lại có:

Xét tam giác PMB vuông tại P ta có:

Ta có:

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Hình vẽ minh họa:

Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)

Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)

Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân

=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:

=> AM ⊥ BM

Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)

=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M

=> MN ⊥ AB

Đặt CD = x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆ABM vuông cân tại M

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆CDN vuông cân tại N

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC thì

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của . Suy ra

Kẻ

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tam giác ABC cân tại A nên

Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên

Dễ dàng chứng minh được

Đặt

Tam giác SBC vuông tại B nên

Ta được:

Vậy diện tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A

=>

=> MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên

=>

Ta có:

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB