Cho hình chóp tứ giác
có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng
. Số đo góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác đều nên
Cho hình chóp tứ giác
có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng
. Số đo góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác đều nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Cho hình chóp
có
, các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA
Xét tam giác SBC có: SB = SC nên
Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Mà SA = SB = SC = a nên
Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H
Do đó tam giác MHN cạnh . Góc cần tìm bằng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> d(SA, BC) = AB
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có cạnh bên bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra
Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
Ta lại có:
Tam giác MHC vuông tại M
Vậy
Cho tứ diện SABC có SBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông tại A. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do SBC là tam giác đều có H là trung điểm BC => SH ⊥ BC.
Mà ta có (SBC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến BC
=> SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB.
Vì HI là đường trung bình của tam giác ABC => HI // AC => HI ⊥ AB.
Ta có:
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai.
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình chữ nhật, cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông của
lên
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Công thức tính thể tích
của khối nón có bán kính
và chiều cao
là:
Công thức tính thể tích là:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho tứ diện
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho tứ diện có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC =
và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho
là hình hộp. Khẳng định nào sau đây đúng?
Nếu là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.
Cho lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
. Gọi
là trung điểm cạnh BC. Biết
, khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, ta có
là hình bình hành
.
Kẻ .
Ta có: .
Suy ra,
Ta có: .
Xét vuông tại
ta có:
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác
đều là hình vuông
Do đó
Suy ra
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có AH ⊥ SB. Từ đó suy ra AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC. (1)
Lại có theo giả thiết SC ⊥ AK. (2)
Từ (1) và (2) => SC ⊥ (AHK) => (SBC) ⊥ (AHK).
Ta có:
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “Tam giác IAC đều” là sai
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD,
. Hãy chứng mình
.
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. ![]()
Bước 2. ![]()
Bước 3. ![]()
Bước 4. Suy ra ![]()
Theo em. Lời giải trên sai từ:
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có:
Xét tam giác vuông SIE ta có:
=>
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
. Hình chiếu của
lên mặt phẳng đáy là trung điểm
của
. Tính thể tích khối chóp
biết
.
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:
H là trung điểm của BC nên
Xét tam giác SBH vuông tại H có
Diện tích đáy ABC là
Thể tích khối chóp là
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng x, cạnh bên bằng y. Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để (α) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C.
Hình vẽ minh họa:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC). Gọi C’ là trung điểm của AB
=> C, C’, G thẳng hàng
Ta có:
Trong tam giác SAC kẻ AC1⊥SC
=> SC ⊥ (ABC1)
=> Thiết diện cần tìm là tam giác ABC1 thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC. Tam giác SAC cân tại S nên để C1 nằm giữa S và C khi và chỉ khi .
Cho hình chóp
có
. Kết luận nào sau đây sai về góc giữa
và ![]()
Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a √ 2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu
thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC.
Ta dễ dàng chứng minh được AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC.
Mà AK ⊥ SC nên SC ⊥ (AHK) => SC ⊥ HK.
Ta có:
(SAC) ∩ (SBC) = SC
AK ⊥ SC
HK ⊥ SC
=> ((SAC), (SBC)) = (AK; HK) = .
Ta cũng có: ((SBD); (ABCD)) = (SO; AO) = = α
=> tan α = SA/AO => SA = a
Do đó: tam giác SAB vuông cân tại A =>
Xét tam giác SAC có:
Xét tam giác AHK vuông tại H, ta có:
Vậy ((SAC); (SBC)) = 300.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho hình chóp tứ giác
có
và đáy là hình vuông. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Khối chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Xác định thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính tan α. Biết α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450 khi đó:
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
Ta có: => Hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.
=>
=>
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN (M ∈ A’C, N ∈ BC’) là đường vuông góc chung của A’C và BC’. Tỉ số
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’
Suy ra HI // BC’
Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH
Dễ thấy BK ⊥ (SCH)
Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’
Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm
Ta có:
Do 2HB = SB nên:
=>
Cho hình hộp thoi
có tất cả các cạnh bằng
và
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Do nên tam giác BB’C đều
Do đó nên tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta có
Suy ra
Vậy tứ giác là hình vuông.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều và
là trung điểm cạnh
. Gọi
là trung điểm
của tam giác
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Thiết diện của
với hình chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi
Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng
=> Qua K kẻ đường thẳng
. Gọi
=> thiết diện và hình chóp là tứ giác
có IK là đường trung trực của MN và PQ.
=> là hình thang cân.