Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, SB

H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên IB.

Do giả thiết SA = SC => Tam giác SAC cân đỉnh S => SI ⊥ AC

Xét ∆SAB và ∆SBC ta có:

SA = SC

BA = BC

SB chung

=> ∆SAB = ∆SCB => JA = JC

Khi đó ∆JAC cân đỉnh J

Mà I là trung điểm của AC nên IJ ⊥ AC (1)

Mặt khác ∆SAC cân đỉnh S nên SI ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ (SIB) => AC ⊥ SH.

=> SH ⊥ AC, SH ⊥ BI => SH ⊥ (ABC)

=>

Xét ∆SIA theo định lý Py – ta – go:

Tương tự trong ∆IAB ta có:

Xét ∆SIB theo định lý hàm số cosin ta có:

Vì 0 < < 90◦ =>

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Do đó:

Vì là tứ diện đều

nên tam giác là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa:

Gọi H = AM ∩ BD

Ta có:

=> SH ⊥ (ABC)

Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:

=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))

Kẻ DK ⊥ AM tại K.

Ta có: => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK

=> d(B; (SAM)) = 2DK

Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a² nên ta có:

Lại có

Khi đó

Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:

Lại có

Từ đó

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A và có

Tam giác vuông tại A suy ra

Ta có:

Suy ra BA’ là hình chiếu của BC’ lên mặt phẳng

=>

Tam giác A’BC’ vuông tại A’ =>

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tam giác đều nên

Hình vẽ minh họa

Lấy M là trung điểm của SD

Góc cần tìm là góc giữa OM và SC

Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD

Xét tam giác MOC ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mà SA = SB = SC và

=>

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’

Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E

Suy ra

Bước 2: Tính

Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.

Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.

Suy ra DI // AH , mà

=>

Ta có

Trong tam giác EDB’, có:

Suy ra

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’

=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’

=> D’ là trung điểm của PC’

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’

Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)

=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))

Xét tứ diện PCC’B’ ta có:

C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau

Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD

Khi đó

 Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mặt khác:

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)

Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,

Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a

Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và

Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD

Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC

Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.

Suy ra H là trung điểm SC và

Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).

Ta có: suy ra

Vậy

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Do nên

Ta có:

Nên

Vậy khoảng cách

Vì vuông góc với đáy nên

=> Góc BA’C là góc tù.

 Hình vẽ minh họa:

Ta có: 

=> MN là đường vuông góc chung của AB  và CD

"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD)" sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC).

"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đúng 

Ta có: AH ⊥(SBC) (vì AH ⊥ SB; AH ⊥ BC) nên AH ⊥  SC (1)

Và AK ⊥ (SCD) (vì AK ⊥ SD; AK ⊥ DC) nên AK ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SC ⊥ (AHK)

Từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc.

Vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)

=> "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC ⊥ (AHK)" và "AK ⊥ (SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đều sai

Hình vẽ minh họa:

Ta có AC = AD = BC = BD = a, suy ra các tam giác ACD, BCD, CAB, DAB là các tam giác cân.

Gọi M là trung điểm của CD, suy ra AM ⊥ CD và BM ⊥ CD. Suy ra AM ⊥ MB và tam giác ABM vuông cân tại M.

Ta có MD = MC = x, suy ra AM = AB =

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra IM =

Mặt khác, (ABC) ⊥ (ABD) nên tam giác ICD vuông tại I.

Suy ra:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó

Trong tam giác vuông A’MA có:

Tam giác ABC đều nên

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA = SB = SC, G là trọng tâm tam giác ABC

=> G là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Gọi H là trung điểm của BC =>

Xét tam giác ABC đều cạnh a ta có:

Xét tam giác SBH vuông tại H ta có:

Xét tam giác SGH vuông tại G ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: => AB ⊥ (SAD)

Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).

Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC thì

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.