Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot OC} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot CI

    Chứng minh tương tự ta được: BC \bot AI

    Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là tứ giác ABCD cạnh bằng a. Biết cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là tâm đáy.

    Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

    Ta có: BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{2}

    Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

    \Rightarrow AI = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Chiều cao của khối chóp là SI = \sqrt{SA^{2} - AI^{2}} = \sqrt{4a^{2} - \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)} = \frac{a\sqrt{14}}{2}

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}.SI.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{14}}{2}a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{6}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và a’ lần lượt có vecto chỉ phương là \overrightarrow u ;\overrightarrow {u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng a và a’ thì

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng nên đáp án đúng là: \cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } ight)} ight|

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

    Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

    Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2

    Vì SA \bot \left( {ABCD} ight) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

    Khi đó

    \begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

    Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

    Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có: SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a

    \begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Tam giác MHC vuông tại M

    \Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}

    Vậy \left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của \overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}}

    Hình vẽ minh họa:

    Tính tích vô hướng của hai vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{D_1}} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {{B_1}M} = \overrightarrow {{B_1}A} + \overrightarrow {AM} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {{B_1}M} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {A{A_1}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = A{B^2} - A{A_1}^2 + \dfrac{1}{2}A{D^2} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông cạnh A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA = 6, SA ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AB, (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: (P) ⊥ AB => (P) // SA

    Gọi I là trung điểm của SB => MI // SA => MI ⊂ (P)

    Gọi N là trung điểm của CD => MN ⊥ AB => MN ⊂ (P)

    Gọi K là trung điểm của SC => IK // BC mà MN // BC => MN // IK => IK ⊂ (P)

    Vậy thiết diện của P và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M

    Ta có: MI là đường trung bình của tam giác SAB => MI = \frac{1}{2}SA = 3

    IK là đường trung bình của tam giác SBC => IK = \frac{1}{2}BC = 3

    MN là đường trung bình của hình thang ABCD => MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = 7

    => S_{MNIK} = \frac{1}{2}(MN + IK).MI = 15

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a\sqrt 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào?

    Góc giữa hai đường thẳng SC và BD

    Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA.

    Trong hình chữ nhật ABCD ta có

    OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = a

    Xét tam giác MAB vuông tại A, ta có:

    MB = \sqrt {A{B^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2

    Xét tam giác MAO vuông tại O, ta có:

    MO = \sqrt {A{O^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2

    Do MO // SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và BD.

    Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có

    \begin{matrix} {\text{cos}}\widehat {MOB} = \dfrac{{O{B^2} + O{M^2} - B{M^2}}}{{2.OB.OM}} \hfill \\ = \dfrac{{{a^2} + 2{a^2} - 2{a^2}}}{{2.a.a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {MOB} \approx {69^o} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H;K lần lượt là hình chiếu của A lên SC;SD. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA;do\ SA\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)

  • Câu 10: Nhận biết

    Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

    Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

    1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

    2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

    3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

    4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

    5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD bằng 600, SA = SB = SD = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị sin α bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Theo giả thiết, ABD là tam giác đều.

    Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

    Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH ⊥ (ABD) hay SH ⊥ (ABCD).

    Do (SBC) ⊥ (SBH) nên từ H kẻ HK ⊥ SB tại K thì HK = d(H, (SBC)) và \frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{HB^{2}} + \frac{1}{HS^{2}}

    => HK = \frac{a\sqrt{15}}{9}

    Mặt khác d(H, (SBC)) = 2/3d(A, (SBC)) = 2/3d(D, (SBC)) => d(D, (SBC)) = \frac{a\sqrt{15}}{6}

    Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên (SBC).

    Khi đó:

    \begin{matrix}\alpha = (SD,SO) = \widehat{DSO} \hfill\\DO = d\left( D;(SBC) ight) = \dfrac{a\sqrt{15}}{6} \hfill\\\end{matrix}

    Xét tam giác SDO vuông tại O có:

    \sin\alpha = \dfrac{DO}{SD} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{6}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{\sqrt{5}}{3}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a\sqrt{5} và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

    CD = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} =\sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trực tâm của tam giác SBC và ABC lần lượt là H và K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ SH => BC ⊥ (SAH)

    CK ⊥ AB, CK ⊥ SA => CK ⊥ (SAB) => CK ⊥ SB

    Mặt khác CH ⊥ SB => SB ⊥ (CHK)

    Ta có: BC ⊥ (SAH) => BC ⊥ HK

    SB ⊥ (CHK) => SB ⊥ HK

    => HK ⊥ (SBC)

    Dùng phương pháp loại trừ ta suy ra: BC ⊥ (SAB) là đáp án sai.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1cm và các cạnh bên bằng 2cm. Khi đó thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

    Theo định lí Pythagore ta có:

    AI = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}cm

    \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AI = \frac{\sqrt{3}}{3}cm

    Trong tam giác SOA vuông tại O ta có: SO = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}cm

    Vậy thể tích khối chóp tam giác là: V = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{12}cm^{3}

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

    Tính giá trị cos α

    Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

    Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

    => MD = a; AM = 2a

    Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

    Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và HK = \frac{{3a}}{2}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH (1)

    Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

    Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

    Suy ra HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} và HM \bot HN

    Tam giác SCM đều cạnh bằng a\sqrt 2 nên SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

    Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

    Ta có: \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}

    = \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}

    Ta lại có:

    SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}

    = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a

    Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

    Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {BSI} = \alpha

    Do BC // AD => BC //(SAD)

    => BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}

    Trong tam giác vuông BIS ta có:

    \sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa

    Hình vẽ minh họa:

    Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

    Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

    Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

    => Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là \widehat{SAH}

    Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

    AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}

    Vậy tan α = 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} đúng

    AH\bot(SBC) đúng

    \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} đúng

    Tam giác SBC cân tại B. sai

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AC = \frac{3}{2}AD;\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = {60^0};CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

     Hình vẽ minh họa:

    Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    \cos (AB,CD) = \frac{{|\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {CD} |}} = \frac{{|\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} |}}{{AB.CD}}

    Mặt khác:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ) - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = AB.AD.\cos {60^0} - AB.AC.\cos {60^0} \hfill \\ = AB.AD.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}AD.\dfrac{1}{2} \hfill \\ = - \dfrac{1}{4}AB.AD = - \dfrac{1}{4}AB.CD \hfill \\ \Rightarrow \cos (AB,CD) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{4}AB.CD} ight|}}{{AB.CD}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\bot(ABCD). Biết diện tích tam giác SBD bằng a^{2}. Khi đó SA bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy.

    Khi đó BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SO \Rightarrow S_{SBD} = \frac{1}{2}.SO.BD = a^{2}

    \Rightarrow SO = \frac{2a^{2}}{a\sqrt{2}} = a\sqrt{2}

    \Rightarrow SA = \sqrt{SO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết AB = a và góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30^{0}. Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')

    Suy ra \left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}

    Ta có: AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = \sqrt{3}a

    \Rightarrow AA' = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}

    Vậy V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = \sqrt{2}a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, các cạnh AB = AC = a, các góc \widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) và SH = a\sqrt{2}. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).

    Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, các cạnh AB = AC = a, các góc \widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) và SH = a\sqrt{2}. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).

    Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AB \Rightarrow (\alpha) \cap (ABC) = Bt//AC.

    Gọi (\beta) là mặt phẳng qua C và vuông góc với AC

    \Rightarrow (\beta) \cap (ABC) =Ct'//AB

    Khi đó, (\alpha) \cap (\beta) = SH với H = Bt \cap Ct' là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

    Khi đó: \Delta SAB,\ \ \Delta SAC là hai tam giác vuông bằng nhau có SB = SC = a\sqrt{3},SA = 2a.

    Gọi I là chân đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác SAB, ta có BI\bot SA,CI\bot SA.

    Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là (IB;IC).

    Xét \Delta IBC cân tại I có IB = IC = \frac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2},BC = a\sqrt{2}.

    Ta có: \cos\widehat{BIC} = \frac{IB^{2} +IC^{2} - BC^{2}}{2IB.IC}= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{3a^{2}}{4} -2a^{2}}{2.\dfrac{3a^{2}}{4}} = - \dfrac{1}{3}.

    Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng \frac{1}{3}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a\sqrt{3};BC = a\sqrt{2}. Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

    Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = a\sqrt{2}

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB suy ra

    \left\{ \begin{matrix} MO\bot AB \\ SM\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SAB);(ABCD) ight) = \widehat{SMO} = \varphi

    Tam giác SMO vuông tại O nên \varphi eq 90^{0}

    Do đó mặt phẳng (SAB) không vuông góc với (ABCD).

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số \frac{{DN}}{{DA}}

    Hình vẽ minh họa:

    Tính tỉ số giữa DN và DA

    Đặt \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d. Ta có:

    \begin{matrix} \left| {\overrightarrow b } ight| = \left| {\overrightarrow c } ight| = \left| {\overrightarrow d } ight| = AB = a \hfill \\ \widehat {\left( {\overrightarrow b ;\overrightarrow c } ight)} = \widehat {\left( {\overrightarrow c ;\overrightarrow d } ight)} = \widehat {\left( {\overrightarrow d ;\overrightarrow b } ight)} = {60^0} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow d = \overrightarrow d .\overrightarrow b = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Giả sử AN = k.AD. Khi đó:

    \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow b + k.\overrightarrow d

    Vì M là trung điểm của CD nên 2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow c + \overrightarrow d

    Khi đó: BN ⊥ AM => \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {AM} = 0

    \begin{matrix} \left( { - \overrightarrow b + k.\overrightarrow d } ight).\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d } ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} + k.\dfrac{{{a^2}}}{2} + k.{a^2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow k = \dfrac{2}{3} \hfill \\ \Rightarrow AN = \dfrac{2}{3}AD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{DA}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 6 đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 12. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 12 \\ h = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp tam giác là V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.12.6 = 24

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 600. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

    Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

    \begin{matrix} S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} \hfill \\ = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABC có SA\bot(ABC) biết độ dài các cạnh SA = 4cm,AB = 6cm, BC = 10cm;CA = 8cm. Thể tích khối chóp S.ABC là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    AB^{2} + AC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} = BC^{2}

    Nên tam giác ABC vuông tại A

    Suy ra S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = 24

    Vậy V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SA = 32cm^{3}

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a\sqrt{2} và cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos α.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi tâm của đáy là O, M là trung điểm của CD

    Trong (SOM), kẻ OH vuông góc với SM tại H

    Khi đó ta có OH ⊥ (SCD). Mà OD ⊥ (SAC).

    Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD) = \widehat{HOD} = α.

    Ta có OD = a, SO = a\sqrt{3};OM = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Xét tam giác OSM vuông tại O ta có:

    \begin{matrix}\dfrac{1}{OH^{2}} = \dfrac{1}{OS^{2}} + \dfrac{1}{OM^{2}} \hfill\\\Rightarrow OH = \dfrac{a\sqrt{21}}{7} \hfill\\\end{matrix}

    Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:

    \cos\alpha = \frac{OH}{OD} = \frac{\sqrt{21}}{7}

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

    Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

    => OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

    Ta có: OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, BC, CD đôi một vuông góc. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?

    Dễ thấy rằng: \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} (ACD) \cap (BCD) = CD \\ (ABC)\bot CD \\ (ABC) \cap (ACD) = AC \\ \end{matrix} \\ (ABC) \cap (BCD) = BC \\ \end{matrix} ight.

    Như vậy góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và BC, tức là bằng góc \widehat{ACB}

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a\sqrt{3}. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm BC.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot SO \\BC\bot AM \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)

    \Rightarrow (SAM)\bot(SBC)

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM => \left\{ \begin{matrix}d_{1} = AK \\d_{2} = OH \\\end{matrix} ight.

    Ta có: \frac{d_{1}}{d_{2}} =\frac{AK}{OH} = \frac{AM}{OM} = 3

    \Rightarrow d_{1} = 3d_{2} \Rightarrow d= 4d_{2} = 4OH

    Ta có: SO^{2} = SA^{2} - AO^{2} = 3a^{2}- \frac{a^{2}}{3} = \frac{8a^{2}}{3}

    Xét tam giác SOM có:

    \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} +\frac{1}{OM^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{OH^{2}} =\frac{3}{8a^{2}} + \frac{12}{a^{2}} = \frac{99}{8a^{2}}

    Vậy OH = \frac{2a\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = 4OH = \frac{8a\sqrt{22}}{33}

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a\sqrt{3}. Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 300 và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho \sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{4} . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}\widehat{\left( BC’,(AA’C’C) ight)} = \widehat{BC’A} = 30^{0} \\\widehat{\left( BC’,(ABC) ight)} = \widehat{C'BC} = \alpha \\\end{matrix} ight.

    Đặt AB = x => BC = \sqrt{3a^{2} +x^{2}}

    BC = \sqrt{3a^{2} + x^{2}}

    CC' = BC.tan\alpha =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}

    AC' = AB.cot30^{0} =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}

    Ta có: AC^{2} + CC'^{2} =AC^{2}

    \Rightarrow x = a\sqrt{2}

    \Rightarrow CC' = a\sqrt{3};AC =a\sqrt{6}

    Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)

    d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = \frac{1}{2}d(A’, (ABC’)

    Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)

    d\left( A';(ABC') ight) =A'H = \frac{AA'.A'C'}{AC'} =\frac{a\sqrt{6}}{2}

    => d(MN, AC’) = \frac{a\sqrt{6}}{4}

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

    +) Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } ight)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2} \hfill \\ \end{matrix}

    +) Mặt khác

    \begin{matrix} AC = a\sqrt 5 ;CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } ight)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}

    => \cos \left( {SB,AC} ight) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } ight|}}{{SB.AC}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt {35} }}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; \widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Kết luận nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn kết luận sai

    Xét tam giác ABD có AB = AD và \widehat {BAD} = {60^0}

    => Tam giác ABD là tam giác đều

    => DM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} (Vì DM là trung tuyến)

    Xét tam giác ABC có AB = AC và \widehat {BAC} = {60^0}

    => Tam giác ABC là tam giác đều

    => CM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} (Vì CM là trung tuyến)

    => DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)

    Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD

    => MN ⊥ CD

    Chứng minh tương tự:

    Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN

    => Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB

    Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.

  • Câu 37: Vận dụng

    Giả sử V là thể tích khối tứ diện đều ABCD . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích V' . Tỉ số \frac{V'}{V} = 1/2

    (Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Giả sử V là thể tích khối tứ diện đều ABCD . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích V' . Tỉ số \frac{V'}{V} = 1/2

    (Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

    Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

    Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng \frac{a}{2}

    Do đó thể tích phần cắt bỏ là V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}

    (Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm \left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}

    Vậy V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và \widehat {SAC} = \widehat {SAB}. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau SA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau

    Xét

    \begin{matrix} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} ) \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \hfill \\ = |\overrightarrow {SA} |.|\overrightarrow {SC} |.\cos (\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} ) - |\overrightarrow {SA} |.|\overrightarrow {SB} |.\cos \widehat {SAB} \hfill \\ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SASB\cos \widehat {ASB}{\text{ }}\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {SA{\text{ chung }}} \\ {AB = AC} \\ {\widehat {SAB} = \widehat {SAC}} \end{array} \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC(c - g - c)} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {SC = SB} \\ {\widehat {ASC} = \widehat {ASB}} \end{array}} ight.(2) \hfill \\ \end{matrix}

    Từ (1) và (2) \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow SA \bot BC

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

    Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập