Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos α.
Hình vẽ minh họa:
Gọi tâm của đáy là O, M là trung điểm của CD
Trong (SOM), kẻ OH vuông góc với SM tại H
Khi đó ta có OH ⊥ (SCD). Mà OD ⊥ (SAC).
Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD) = = α.
Ta có OD = a,
Xét tam giác OSM vuông tại O ta có:
Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:
Cho hình chóp tam giác
có đáy
vuông tại
,
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho tứ diện
có
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Biết rằng
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Đặt
Vì trung điểm của các cạnh lần lượt là
Suy ra
Từ đó
Suy ra tam giác GEF vuông tại G.
Vì nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
Ta có =>
Kẻ
Ta có:
Lại có
Cho hình chop SABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều cạnh 2a, SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Khi đó mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc x. Tính tan x.
Hình vẽ minh họa:
Ta có SA ⊥ (ABC)
=> AB là hình chiếu của AB lên (ABC).
Gọi M là trung điểm của BC, ta có ∆ABC đều cạnh 2a
=> và
Cho hình chóp đều, các cạnh bên có độ dài bằng
và tạo với đáy một góc
. Tính chu vi đáy P của hình chóp đó.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC
Gọi
Vì M là trung điểm của BC nên
Chu vi đáy ABC bằng
Cho hình chóp
có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là
. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
là đường trung bình của tam giác
nên
Vì
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM bằng BD bằng?

Xét vuông cân tại A, ta có:
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra
Xét vuông cân tại A, ta có:
Vì là trung điểm của SB nên:
Ta có:
(Do , nên
)
Do đó:
Vậy góc giữa AM bằng BD bằng
Cho khối chóp
có chiều cao bằng
đáy là tam giác
có diện tích bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
. Biết diện tích tam giác SBD bằng
. Khi đó SA bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy.
Khi đó
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là
và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Khi đó:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông cạnh A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA = 6, SA ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AB, (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: (P) ⊥ AB => (P) // SA
Gọi I là trung điểm của SB => MI // SA => MI ⊂ (P)
Gọi N là trung điểm của CD => MN ⊥ AB => MN ⊂ (P)
Gọi K là trung điểm của SC => IK // BC mà MN // BC => MN // IK => IK ⊂ (P)
Vậy thiết diện của P và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M
Ta có: MI là đường trung bình của tam giác SAB =>
IK là đường trung bình của tam giác SBC =>
MN là đường trung bình của hình thang ABCD =>
=>
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì =>
cân tại S
Mà O là trung điểm AC =>
Tương tự, ta cũng có mà
=>
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Biết
. Độ dài đoạn thẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của CD. Khi đó
Lại có hay tam giác MNP vuông tại P
Theo định lí Pythagore ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho khối chóp
có
; đáy
là hình chữ nhật
. Tính thể tích khối chóp
, biết mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Xét tam giác vuông SAB có
Vậy
Khẳng định nào sau đây sai?
Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong
thì
chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân =>
Ta có: =>
mà
=>
Mặt khác => CH vuông góc với các đường thẳng
Và chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.
Cho hình chóp tứ giác đều
, đáy
cạnh bằng
, cạnh bên
. Tính thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a2,
, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H = AM ∩ BD
Ta có:
=> SH ⊥ (ABC)
Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:
=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))
Kẻ DK ⊥ AM tại K.
Ta có: => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK
=> d(B; (SAM)) = 2DK
Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a2 nên ta có:
Lại có
Khi đó
Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:
Lại có
Từ đó
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC
Do S.ABC đều nên =>
Gọi E là trung điểm của BC ta có:
Xét (SAE) kẻ
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác vuông SOE ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạng AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.
Ta tính được:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⊥ (ABCD), AD = CD = a, AB = 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông
=> CE ⊥ AB, CE = AD = a
Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)
Vì CE = AD = a =>
=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB
Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)
Ta có:
CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)
=> Tam giác SDC vuông tại D
Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.
Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Biết
và
. Góc nhị diện
có số đo bằng:
Hình vẽ minh họa
Kẻ tại
là trung điểm của
và
.
Ta có
.
Suy ra góc giữa và
bằng góc
.
Ta có:
Suy ra góc nhị diện có số đo bằng
.
Cho hình chóp tứ giác đều
có đáy là hình vuông
cạnh
. Gọi
là giao điểm hai đường chéo
. Biết rằng
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra tam giác SCD đều.
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Độ dài DE bằng:
Ta có:
EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho
=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE
=> Tam giác ECD vuông tại C.
=>
Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B
=>
=>
=>
Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)
Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại
,
và
. Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC
Suy ra
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa
và
và bằng góc
Với ta có: