Cho hình lập phương
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Mặt khác
Ta có:
Cho hình lập phương
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Mặt khác
Ta có:
Một tấm ván hình chữ nhật
được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33![]()
Một tấm ván hình chữ nhật được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33
Gọi ,
lần lượt là hình chiếu của
,
lên đáy hố là mặt phẳng
.
Khi đó có hình chiếu lên đáy là
, suy ra
.
Với độ sâu hố là (m), ta có
.
.
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho ba vecto
bất kì đều khác với vecto
. Nếu vecto
vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
:
Nếu vecto vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
thì có thể đồng phẳng.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng . Điểm M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BB’. Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng

Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).
Khi đó
Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi , ta có
Ta có
. Kẻ
Từ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và
. Tam giác SAC là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC). Xét điểm M thuộc cạnh SC sao cho mặt phẳng (MAB) tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc bằng nhau. Tỉ số
có giá trị bằng:
Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).
Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).
Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó
Theo giả thiết, NK là phân giác của góc
Giả sử:
Mặt khác:
(tính chất phân giác).
Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:
Vậy
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a (hình hộp như thế gọi là hình hộp thoi) và
. Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
=> A’B’ // CD và A’B’ = CD
=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Ngoài ra B’C = a = CD
=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Ta có:
=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Diện tích hình vuông đó là a2
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 450. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có:
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có:
Với
Vậy
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là
bằng:
Thể tích cần tìm là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với điểm
của
. Cosin của góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Dựng
Ta có:
=> SE là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SHD)
Do đó: Số đo của góc giữa SC lên mặt phẳng (SHD) bằng với số đo của góc
Ta có:
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh
, cạnh bên bằng
.
Hình vẽ minh họa
Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là và chiều cao
(vì lăng trụ là lăng trụ đứng)
Vậy thể tích hình lăng trụ là:
Tính thể tích khối tứ diện đều
, biết
?
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD
Tam giác BCD đều cạnh bằng 5
Tam giác ABH vuông tại H nên
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra
Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
Ta lại có:
Tam giác MHC vuông tại M
Vậy
Cho hình chóp
có
, tam giác
vuông tại
và
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Vì tam giác vuông cân tại
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
Ta có =>
Kẻ
Ta có:
Lại có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⊥ (ABCD), AD = CD = a, AB = 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông
=> CE ⊥ AB, CE = AD = a
Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)
Vì CE = AD = a =>
=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB
Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)
Ta có:
CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)
=> Tam giác SDC vuông tại D
Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.
Cho tứ diện
có
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Biết rằng
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Đặt
Vì trung điểm của các cạnh lần lượt là
Suy ra
Từ đó
Suy ra tam giác GEF vuông tại G.
Vì nên
Cho hình lập phương
. Ghép nối các đáp án với nhau.
Cho hình lập phương . Ghép nối các đáp án với nhau.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
Vì tứ giác là hình vuông nên
Ta có: nên
Ta có: và tam giác
là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Điểm M và N tương ứng là trung điểm các đoạn AC, BB’. Cosin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng:

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của A’C’
=> BMIB’ là hình chữ nhật
Gọi K = MN ∩ BI.
Ta có: IM ⊥ A’C’; BI ⊥ A’C’
=> A’C’ ⊥ (BMI)
=> (BMI) ⊥ (A’C’B) và (BMI) ∩ (A’C’B) = BI
Trong mặt phẳng (BMI), dựng MH ⊥ BI => MH ⊥ (A’C’B)
=> (MN; (BA’C’)) = (MK; (BA’C’)) =
Ta có
Áp dụng định lý Cô-sin trong tam giác 4IKM, ta có:
Cho tứ diện
có
, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng
. Mặt phẳng
chứa cạnh
và vuông góc với cạnh
tại
. Diện tích tam giác
lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4
Gọi H là trung điểm của AB ta có: và
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của AB suy ra
Tam giác SMO vuông tại O nên
Do đó mặt phẳng không vuông góc với
.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là các điểm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng và mặt phẳng
có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình tam giác vuông tại A,
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: "Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau."
Một hình chóp
có đáy
là cân
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Tính thể tích khối chóp
theo
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì: