Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó

Hình vẽ minh họa:

Dựng hình chữ nhật HNAM, suy ra tam giác HNC vuông cân tại N và tam giác HMB vuông cân tại M, suy ra AC ⊥ (SHN) và AB ⊥ (SHM).

Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM, suy ra HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB).

Ta có:

=> là góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 60⁰

Suy ra:

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> ABCD là hình chữ nhật, từ đó ta suy ra

AC = BD

AB ⊥ (SAD)

BC ⊥ AB

Đáp án SO ⊥ (ABCD) sai

Nếu SO ⊥ (ABCD) thì điều này vô lí

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>

Ta có:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra OD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,

=> ∆ABC vuông tại C

Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB

=> SH ⊥ (ABCD) và

Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do )

Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK

Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> A’B’ // CD và A’B’ = CD

=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành

Ngoài ra B’C = a = CD

=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi

Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Ta có:

=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Diện tích hình vuông đó là a²

Hình vẽ minh họa:

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

Vì vuông góc với đáy nên

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Ta có:

nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên

Ta lại có:

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là

Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và

Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp .

Tính SH

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S

Diện tích đáy của khối chóp là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa:

Gọi F là trrung điểm của AC => EF // SA

Do SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ AB => EF ⊥ AB

Gọi G, J lần lượt là trung điểm của AC và AJ

=> CJ ⊥ AB, FG // CJ => FG ⊥ AB

Trong tam giác SAB kẻ GH // SA (H ∈ SB)=> GH ⊥ AB

=> Thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

Ta có:

=> nên số đo góc giữa AO và CD là 90⁰

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB.

=> Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là

Do tam giác ABC vuông cân tại B và nên

Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A.

Do đó

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰.

Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông

=> CE ⊥ AB, CE = AD = a

Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)

Vì CE = AD = a =>

=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB

Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)

Ta có:

CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)

=> Tam giác SDC vuông tại D

Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

ABCD là hình vuông nên

Xét tam giác vuông SOA ta có:

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)

Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc

Ta có

CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

Tam giác CMC’ vuông tại M, nên

Diện tích

Xét tam giác vuông MC’N, có

Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là

Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>

Ta có: AH // CD =>

Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM

Do nên

Ta có:

Nên

Vậy khoảng cách

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do

Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà

Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).

Hình ảnh minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra

Gọi K là điểm đối xứng của H qua B, suy ra B’K // A’H, suy ra B’K ⊥ (ABC).

Trong (ABC), dựng BI ⊥ BC (với I ∈ BC).

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) là góc KIB’.

Do tứ giác AHKB’ là hình bình hành nên B’K = A’H = AH . tan 60◦ =

Ta có: KI = d(H, BC) = d(A,BC)/2 = AM/2 =

Xét ∆B’IK vuông tại K ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: .

Xét .

Ta có .

Xét . (1)

Xét , ta có: . (2)

Từ là tam giác đều

.

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:

Như vậy

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>

Vì nên 

Gọi H là trung điểm của CD =>

Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>  

Ta có:

Từ (*) và (**) 

Ta lại có:

Hình vẽ minh họa