Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC
I là trung điểm của MN
Ta có:
=>
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
. Biết diện tích tam giác SBD bằng
. Khi đó SA bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy.
Khi đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:
Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD
Khi đó
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P) trong đó a ⊥ (P). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Nếu a ⊥ b thì b // (P).”
Vì b có thể nằm trong (P).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Ta có:
=> AB ⊥ MH
=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD
Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD
Ta cũng có SN ⊥ CD nên
Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)
Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))
Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK
Khi đó d(H, (SMP)) = HI
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:
Xét tam giác vuông SHN ta có:
Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:
Mặt khác:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Dễ thấy:
SO ⊥ (ABCD)
AC ⊥ BD
BD ⊥ (SAC)
Là những khẳng định đúng.
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho khối chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng 1cm và các cạnh bên bằng 2cm. Khi đó thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.
Theo định lí Pythagore ta có:
Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có:
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: suy ra
Vậy
Cho hình chóp
, có đáy
là hình chữ nhật,
. Gọi
lần lượt là đường cao của tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì
Mà
Tam giác SAB có đường cao
Mà
Tương tự chứng minh ta được:
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆ABM vuông cân tại M
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆CDN vuông cân tại N
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.

+ Ta có AC // A’C’ nên góc giữa AM và A’C’ là góc giữa AC và AM.
+ Xét tam giác AMC có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC, ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường MC’ và mặt phẳng (ABC). Khi đó tan α bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)
=> Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.
Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại a,
, AA’ = a, AA’ ⊥ (ABC). Mặt phẳng (β) qua trung điểm M của cạnh BC và vuông góc với AB’. Thiết diện tạo bởi (β) với hình lăng trụ đã cho là:
Hình vẽ minh họa:
Giả sử lấy điểm N là trung điểm của AB => MN ⊥ AB. Ta có:
Từ giả thiết => AB = a = AA’
=> ABA’B’ là hình vuông
=> BA’ ⊥ AB’
Trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ NQ // BA’ (Q thuộc AA’)
Trong mặt phẳng (ACC’A’) kẻ QR // AC (R thuộc CC’)
Do MN và QR cùng song song với AC và MN ⊥ NQ
Vậy thiết diện là hình thang MNQR vuông.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh
tạo với đáy một góc bằng
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Lại có , tam giác SAC vuông tại S và
nên
Thể tích hình chóp là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm AB. Biết rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = SH = a. Tính cosin của góc α tọa bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ CH. (1)
Tam giác ABC cân tại C => CH ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) => CH ⊥ (SAB)
Gọi I là trung điểm AC => HI // BC => HI ⊥ AC (3)
Mặt khác AC ⊥ SH (do SH ⊥ (ABC) (4)
Từ (3) và (4) => AC ⊥ (SHI)
Kẻ HK ⊥ SI (K ∈ SI) (5)
Từ AC ⊥ (SHI) => AC ⊥ HK (6)
Từ (5) và (6), suy ra HK ⊥ (SAC)
Vì HK ⊥ (SAC) và HC ⊥ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng HK và HC
Xét tam giác CHK vuông tại K ta có:
Do đó
Cho hình chóp tứ giác đều
, đáy
cạnh bằng
, cạnh bên
. Tính thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
, tam giác
đều. góc giữa
và
là:
Hình vẽ minh họa
Vì
Cho hình chóp tứ giác đều
, cạnh đáy bằng
, đường cao bằng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi , M là trung điểm của CD.
Ta có:
Trong tam giác SMO có
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
. Hình chiếu vuông góc của B’ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB’ = a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)
Dó đó
Vì tam giác ABD đều cạnh a =>
Tam giác B’BO vuông ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA =
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC. Kẻ AK ⊥ SM tại K.
Ta có:
Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM)
=> AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB
Kẻ AH ⊥ SB tại H. Suy ra SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK
Ta có:
=> ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) =
Xét tam giác SAB có:
Xét tam giác SAM có:
Xét tam giác AHK vuông tại K có:
Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt
. Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Ta có:
nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình chóp
có tất cả các cạnh bằng nhau và đáy
là hình vuông tâm
. Kết quả nào sau đây đúng?
Hình chóp có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau
Do đó: suy ra tam giác SAC cân tại A
Lại có ABCD là hình vuông
=> O là trung điểm cạnh AC
=> SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SAC
=>
Tương tự SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SBD
=>
Từ đó ta có:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
. Gọi I là trung điểm BC, kẻ IH vuông góc SA (H ∈ SA). Khẳng định nào sau đây sai?
Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.
Ta có:
BC ⊥ AD và BC ⊥ SD
=> BC ⊥ (SAD)
=> BC ⊥ SA.
Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH
Tính được:
Ta có:
=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.
Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.
Cho hình chóp
, đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp , đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
b) Ta có:
mà
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc trong tam giác vuông SCD.
Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác cân tại
,
. Gọi
là trung điểm của
,
là hình chiếu của
trên
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
Mà nên
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình lập phương
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do là các đường chéo hình vuông bằng nhau.
Vậy tam giác là tam giác đều
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.
Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.
=> d(AA’, BC) =