Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)

=> BC ⊥ AE

Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)

Xét tam giác SAB có:

AM ⊥ SB

Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC

Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC

=> SC ⊥ (AMN)

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

=> B’C // (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

=> BK ⊥ (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

Ta có:

Ta có:

Do tam giác ABM vuông tại B

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Gọi M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,

Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a

Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và

Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD

Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC

Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.

Suy ra H là trung điểm SC và

Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).

Ta có: suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AB

Suy ra

Ta có:

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).

Hình vẽ minh họa

Hình chữ nhật có . Lấy là trung điểm của . Ta dễ dàng chứng minh

Ta lại có suy ra mặt phẳng chính là mặt phẳng .

Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.

Ta tính được

Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: .

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Hình vẽ minh họa

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là

Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và

Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp .

Tính SH

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S

Diện tích đáy của khối chóp là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> A’B’ // CD và A’B’ = CD

=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành

Ngoài ra B’C = a = CD

=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi

Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Ta có:

=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Diện tích hình vuông đó là a²

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Ta có:

Chứng minh tương tự ta được:

Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,

=> ∆ABC vuông tại C

Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB

=> SH ⊥ (ABCD) và

Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do )

Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK

Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI

Ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Theo định lí Pythagore ta có:

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

Vậy thể tích khối chóp tam giác là:

Hình vẽ minh họa

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:

lần lượt vuông tại S; B; D

I là trung điểm của AC suy ra

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên

Ta có:

Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:

Ta có

Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông

=>

Ta có (hai đường chéo hình vuông)

Mặt khác BP // CD.

Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.

Ta có AB giao (SCB) tại N nên

Ta có

Trong (SAC) kẻ

Xét tam giác SAC vuông tại A nên

Do đó

Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

Vì một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Mệnh đề sai: “Nếu a ⊥ b thì b // (P).”

Vì b có thể nằm trong (P).

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Gọi . Do nên suy ra

(vì )

Kẻ ta có:

Từ (1) và (2) , khi đó

Dễ thấy rằng:

Như vậy góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và BC, tức là bằng góc

Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có:

Ta có:

Xét tam giác NAC có:

Xét tam giác MNQ ta có:

Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AC khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Ta có:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Hình vẽ minh họa:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, SB

H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên IB.

Do giả thiết SA = SC => Tam giác SAC cân đỉnh S => SI ⊥ AC

Xét ∆SAB và ∆SBC ta có:

SA = SC

BA = BC

SB chung

=> ∆SAB = ∆SCB => JA = JC

Khi đó ∆JAC cân đỉnh J

Mà I là trung điểm của AC nên IJ ⊥ AC (1)

Mặt khác ∆SAC cân đỉnh S nên SI ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ (SIB) => AC ⊥ SH.

=> SH ⊥ AC, SH ⊥ BI => SH ⊥ (ABC)

=>

Xét ∆SIA theo định lý Py – ta – go:

Tương tự trong ∆IAB ta có:

Xét ∆SIB theo định lý hàm số cosin ta có:

Vì 0 < < 90◦ =>

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra, ta có mà

Tam giác ABC vuông tại B, có =>

Khi đó

Nếu mà suy ra (vô lý).

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Lại có:

=>

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy

Ta có: