Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có:

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD là:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Vì là hình bình hành nên

Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>

Kẻ tại E (1)

Ta có:

Từ (1) và (2) =>

=>

Xét tam giác vuông SAD ta có:

Vậy

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.

Ta có:

BC ⊥ AD và BC ⊥ SD

=> BC ⊥ (SAD)

=> BC ⊥ SA.

Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH

Tính được:

Ta có:

=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.

Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao

=>

Trong tam giác SOA thì AC và SA không thể vuông tại A

Vậy khẳng định sai là: .

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ AK ⊥ SM tại K.

Ta có:

Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM)

=> AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB

Kẻ AH ⊥ SB tại H. Suy ra SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK

Ta có:

=> ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) =

Xét tam giác SAB có:

Xét tam giác SAM có:

Xét tam giác AHK vuông tại K có:

Gọi . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra .

Vì

Có

Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.

Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc .

Có

Vì

Xét tam giác SOB có

Ta có

Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Hình vẽ minh họa

Vì là hình lập phương nên và .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Ta có:

=> AB ⊥ MH

=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD

Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD

Ta cũng có SN ⊥ CD nên

Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)

Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))

Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK

Khi đó d(H, (SMP)) = HI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:

Xét tam giác vuông SHN ta có:

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

Mặt khác:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH

Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)

Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB

=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK

Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Mệnh đề sai: "Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau."

Hình vẽ minh họa:

Kẻ Mk // SO

Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)

=>

Ta có:

Xét tam giác CNK có:

Xét tam giác MNK vuông ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) suy ra

Mà nên

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nối suy ra là thiết diện của tạo bởi mặt phẳng và hình chóp .

Vì mà

Tương tự ta cũng có:

Ta có:

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là dấu bằng xảy ra khi

Ta có:

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình vuông cạnh a

=>

=> Tam giác SAC vuông tại S

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA

=> . Khi đó

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa:

Xác định góc 60⁰

Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a

Xét tam giác ACB ta có:

=> Tam giác ACB vuông tại C

Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật

=> AC // BE

=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))

Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm BC.

Trong tam giác SAI kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI).

Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC ở M, cắt SB ở N.

Qua cách dựng ta có BC // (AMN). (1)

Ta có: SI ⊥ AH, SI ⊥ MN (do SI ⊥ BC) => SI ⊥ (AMN) => (SBC) ⊥ (AMN). (2)

Từ (1) và (2), suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN.

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà AH ⊥ (SBC) suy ra AH ⊥ MN.

Tam giác AMN có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A.

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do

Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà

Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)

Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:

Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:

Vậy thể tích khối lập phương là