Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Ta có: đúng

Ta có: đúng

Ta có:

Mà đúng

Vậy hay tam giác HOA vuông tại H sai

Hình vẽ minh họa

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B, BM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

Lại có:

Ta có:

Ta có:

Mà

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên

Mặt khác tam giác SBC có

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay

Từ

Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên

Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

=> BC ⊥ (SAB).

Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Ta có:

=> AB ⊥ MH

=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD

Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD

Ta cũng có SN ⊥ CD nên

Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)

Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))

Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK

Khi đó d(H, (SMP)) = HI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:

Xét tam giác vuông SHN ta có:

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

Mặt khác:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì nên là đường cao của hình chóp .

Hình vẽ minh họa

Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên

Mà

Xét tam giác IMN có

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

Khi đó

Hình vẽ minh họa

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân =>

Ta có: => mà =>

Mặt khác => CH vuông góc với các đường thẳng

Và chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

Hình vẽ minh họa:

Ta có: I là trung điểm của BC => AI ⊥ BC. Kẻ AK ⊥ SI (K ∈ SI)

Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB và SC lần lượt tại M và M.

Khi đó thiết diện là tam giác AMN. Ta có:

Xét tam giác SAI vuông ta có:

Xét tam giác SBC ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> A’B’ // CD và A’B’ = CD

=> Tứ giác A’B’CD là hình bình hành

Ngoài ra B’C = a = CD

=> => Tứ giác A’B’CD là hình thoi

Ta sẽ chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Ta có:

=> Tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Diện tích hình vuông đó là a²

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy mặt phẳng không vuông góc với .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của HK và AC

Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC

Ta lại có: AC ⊥ SH

=> AC ⊥ (SHK)

=>

Tam giác SIA vuông tại I ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AB.

Xét tam giác SAB có SA = SB =>

Xét tam giác CAB có: =>

Từ (1) và (2) suy ra .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA

Xét tam giác SBC có: SB = SC nên

Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA = SB = SC = a nên

Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

Do đó tam giác MHN cạnh . Góc cần tìm bằng

Hình vẽ minh họa:

Gọi E là trung điểm AB, suy ra AECD là hình vuông nên DE ⊥ AC. (1)

Mặt khác SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ DE (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE ⊥ (SAC) => (SAD) ⊥ (SAC)

Ta có:

Vậy thiết diện là tam giác SDE.

Ta có:

Do đó tam giác SDE đều có cạnh a √ 2 nên

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra

Theo giả thiết . Khi đó

Ta được

Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).

Khi đó

Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi , ta có

Ta có

. Kẻ

Từ

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì

Vậy

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Ta có:

Vì

=> Góc giữa hai đường thẳng SA, BC là: 90⁰

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

Hình vẽ minh họa

Kẻ

Ta có:

Lại có:

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC

=> AC ⊥ SO

Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra

Ta có

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Vì

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác . Ta có:

Xét tam giác SID vuông tại I có: