Cho hình chóp tứ giác đều
, cạnh đáy bằng
, đường cao bằng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi , M là trung điểm của CD.
Ta có:
Trong tam giác SMO có
Cho hình chóp tứ giác đều
, cạnh đáy bằng
, đường cao bằng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi , M là trung điểm của CD.
Ta có:
Trong tam giác SMO có
Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt phẳng
và
. Hỏi có bao nhiêu mặt của hình chóp là tam giác vuông?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra tam giác ABC vuông tại B
Ta có:
Suy ra tam giác SAB và tam giác SAC là các tam giác vuông tại A
Mặt khác suy ra tam giác SBC vuông tại B
Vậy hình chóp có bốn mặt đều là tam giác vuông.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình hộp
có đáy là hình thoi. Gọi mặt phẳng
chứa cạnh
và cắt
lần lượt tại
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
mà
Mặt khác
.
Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:
Trong tam giác vuông SEI có:
=>
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
Do nên
Ta có:
Nên
Vậy khoảng cách
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, SA vuông góc với đáy và
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có nên SA là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại
. Đường thẳng vuông góc với đáy
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Kết quả nào dưới đây đúng?
Ta có:
suy ra tam giác ABC vuông tại A
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì nên
là đường cao của hình chóp
.
Hình vẽ minh họa
Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.
Ta có: MN // AB và IM // SC nên
Mà
Xét tam giác IMN có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA = AB = a, AD = 3a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên DM, ta có DM ⊥ (SAH).
Gọi α là góc giữa (SDM) và (ABCD) ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta lại có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d
Gọi H là hình chiếu của A lên SM.
Ta có:
Xét tam giác SAM có đường cao AH nên
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
Vậy khoảng cách cần tìm là
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⊥ (ABCD), AD = CD = a, AB = 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông
=> CE ⊥ AB, CE = AD = a
Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)
Vì CE = AD = a =>
=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB
Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)
Ta có:
CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)
=> Tam giác SDC vuông tại D
Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, tam giác SAB vuông tại A và tam giác SCD vuông tại D. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> ABCD là hình chữ nhật, từ đó ta suy ra
AC = BD
AB ⊥ (SAD)
BC ⊥ AB
Đáp án SO ⊥ (ABCD) sai
Nếu SO ⊥ (ABCD) thì điều này vô lí
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 450. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có:
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có:
Với
Vậy
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vuông tại
và
. Tính cosin góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
Do nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H là trung điểm của BC
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp
theo
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC
Ta có:
Suy ra tam giác SAO đều
Thể tích khối chóp là:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
(2)
Từ (1) và (2) ta có tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là
Xét tam giác vuông AB’O có
Vậy
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
, SB = a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Gọi γ là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD). Tính sinγ.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của SD
Góc giữa SB và (SCD) cùng bằng góc giữa OM và (SCD)
(Vì OM // SB)
Gọi H là hình chiếu của O trên (SCD) => (OM; (SCD)) = (OM; MH) = OMH
Trong (SBD) kẻ OE // SK, trong đó K là hình chiếu của S lên mặt đáy, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông cân nên
Vì tam giác AOM vuông tại H
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB; DM) là:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh của tứ diện là a
Tam giác BCD đều =>
Tam giác ABC đều =>
Ta có:
Mặt khác
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Tam giác ABD vuông tại B.
=> IA = IB = ID = AD/2 (với I là trung điểm của AD)
Ta có:
=> Tam giác BCD vuông tại C.
=> EA = EC = ED = AD/2 (E là trung điểm của AD)
Vậy I trùng với E
Vậy điểm cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Cho hình lăng trụ ABC. MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Cosin của góc tạo bởi NC và BI bằng bao nhiêu?
Gọi E là trung điểm MP => NE // BI
=> Góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng góc giữa hai đường thẳng NC và NE
=> Góc cần tính là
Đặt a là chiều dài cạnh của hình lăng trụ ta có:
=>
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Có bao nhiêu mặt bên vuông góc với mặt đáy?
Hình vẽ minh họa:
Giả sử SA ⊥ (ABCD). Khi đó có đúng 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy là (SAB), (SAD).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
. Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.
Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC
=> BM ⊥ AC.
Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).
Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là
Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và
Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp
.
Tính SH
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S
Diện tích đáy của khối chóp là
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2AD = 2DC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60◦. Độ dài cạnh SA là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta dễ dàng chứng minh được ABCE là hình vuông
Trong (SAB) kẻ HE ⊥ SB ta có:
Xét tam giác vuông CEH có EH = CE. cot 60◦ =
Ta có ∆SAB ∼ ∆EHG (g - g)
Cho hình chóp
có đáy
là hình tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
lần lượt là hình chiếu của điểm
trên cạnh
. Kết luận nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
đúng
Ta có: đúng
Ta có: đúng
Vậy kết luận sai là: .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
Cho tứ diện đều ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI?
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng