Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>

Ta có: AH // CD =>

Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC

I là trung điểm của MN

Ta có:

=>

Ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Dễ thấy rằng:

Như vậy góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và BC, tức là bằng góc

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

H là trung điểm của BC nên

Xét tam giác SBH vuông tại H có

Diện tích đáy ABC là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa

Ta có: I là trung điểm của AB.

Vì và là tam giác đều nên

Vì

Tương tự:

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

Vì vuông góc với đáy nên

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra

Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

Ta lại có:

Tam giác MHC vuông tại M

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 90⁰.

Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).

Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng

Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy

Hình vẽ minh họa:

Ta có: MN // SB

=>

Do SH ⊥ (ABCD)

Ta có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.

 Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mặt khác:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên

Ta có:

Ta có nên SC là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình vẽ minh họa:

Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,

=> ∆ABC vuông tại C

Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB

=> SH ⊥ (ABCD) và

Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do )

Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK

Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI

Ta có:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A

Khi đó B có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA) 

Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông

Từ O hạ => (theo định lí ba đường vuông góc)

Vì điểm H giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù.

Suy ra ABC có ba góc nhọn.

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)

Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a

Khi đó

=>

Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>

Ta có:

Ta có:

Xét tam giác SOM có:

Vậy

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của . Suy ra

Kẻ

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

ABCD là hình vuông nên

Xét tam giác vuông SOA ta có:

Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có:

Suy ra:

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

Nếu thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu thì (Vô lý)

Vậy SA = a

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi

Kẻ

Ta có:

Mà

Từ (*) và (**) suy ra

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của BB’, ta có: MN//B’C nên

Ta có:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNA ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA.

Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD).

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP // SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD).

Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC.

Kẻ PM ⊥ KA, M ∈ KA.

Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ PM nên KA ⊥ (PMB).

Suy ra KA ⊥ MB.

Như vậy, góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc

Xét tam giác KAC vuông tại K ta có:

Suy ra:

Xét tam giác KPA vuông tại P ta có:

Lại có:

Xét tam giác PMB vuông tại P ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AB

Suy ra

Ta có:

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’

Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E

Suy ra

Bước 2: Tính

Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.

Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.

Suy ra DI // AH , mà

=>

Ta có

Trong tam giác EDB’, có:

Suy ra

Mệnh đề sai: “Nếu a ⊥ b thì b // (P).”

Vì b có thể nằm trong (P).