Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Hình chữ nhật có . Lấy là trung điểm của . Ta dễ dàng chứng minh

Ta lại có suy ra mặt phẳng chính là mặt phẳng .

Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.

Ta tính được

Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: .

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của (vì cân)

Ta có:

Và tại .

Do đó .

Ta có: .

Vì là trọng tâm của nên .

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều nên

Lại có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Tính được

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.

Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.

Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.

Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).

Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).

Ta có:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A

Khi đó B có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA) 

Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông

Từ O hạ => (theo định lí ba đường vuông góc)

Vì điểm H giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù.

Suy ra ABC có ba góc nhọn.

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

H là trực tâm tam giác BCD nên

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn

Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD

Mặt khác (tính chất tam giác cân)

Và (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA.

Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD).

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP // SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD).

Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC.

Kẻ PM ⊥ KA, M ∈ KA.

Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ PM nên KA ⊥ (PMB).

Suy ra KA ⊥ MB.

Như vậy, góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc

Xét tam giác KAC vuông tại K ta có:

Suy ra:

Xét tam giác KPA vuông tại P ta có:

Lại có:

Xét tam giác PMB vuông tại P ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)

=> Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.

Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: 

Hình vẽ minh họa

Gọi

Kẻ

Ta có:

Mà

Từ (*) và (**) suy ra

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) =

Tam giác vuông SOQ ta có:

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

Hình vẽ minh họa

Đặt

Vì trung điểm của các cạnh lần lượt là

Suy ra

Từ đó

Suy ra tam giác GEF vuông tại G.

Vì nên

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a

Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.

Tương tự BH ⊥ AC.

Ta có:

Gọi K là trung điểm của DB.

Ta có: ABD cân tại A nên

Và CBD cân tại C nên

Ta có:

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

Ta có nên BDH vuông cân tại H.

Từ đó ta có:

Ta có: mà

Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.

Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra

Ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm của AD

=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)

Kẻ Ax // BD

Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))

Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE

Khi đó d (I, (SAx)) = IK

Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có:

Xét tam giác vuông SIE ta có:

=>

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

Khi đó

Hình vẽ minh họa:

Vì S.ABC là hình chóp đều => SO⊥(ABC) (với O là tâm của tam giác ABC)

Do đó: SO ⊥ AA’ mà (α) ⊥ AA’ => SO // (α)

Tương tự ta cũng có BC // (α)

Qua M kẻ IJ // BC (I thuộc AB, J thuộc AC), kẻ MN // SO với N thuộc SA’

Qua N kẻ EF // BC với E thuộc SB và F thuộc SC

Khi đó thiết diện là hình thang IJEF

Diện tích hình thang là:

Xét tam giác ABC ta có:

Xét tam giác SBC ta có:

Xét tam giác SOA’ có:

Ta có nên SA là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra

Gọi M là trung điểm của BC

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD

Khi đó

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Khi đó tam giác vuông cân tại C nên

Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) =

Ta có:

Tam giác vuông MOC ta có:

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Công thức tính thể tích là:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra

Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

Ta lại có:

Tam giác MHC vuông tại M

Vậy

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó

Ta có mà

Dựng tại H suy ra

Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì

Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc

Ta có

Trong tam giác SCI có

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì nên là đường cao của hình chóp .

Hình vẽ minh họa

Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên

Mà

Xét tam giác IMN có