Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp
có cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên cạnh
. Tìm khẳng định đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và
. Góc giữa cặp vecto
là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 600, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)
Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)
=>
Xét tam giác SBC đều cạnh 2a =>
Tam giác ABC vuông tại A =>
Tam giác SAH vuông nên
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vậy mệnh đề đúng là: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AD, φ là góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABB’A’). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương
=> MA, CB, C’B’ cùng vuông góc với (ABB’A’)
=> Tam giác MBC’ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB’A’) là tam giác ABB’.
Ta có
Xét tam giác MBC’, ta có:
Đặt p = (MB + MC’ + BC’)/2
Áp dụng công thức Hê-rông ta có:
Mặt khác
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos α.
Hình vẽ minh họa:
Gọi tâm của đáy là O, M là trung điểm của CD
Trong (SOM), kẻ OH vuông góc với SM tại H
Khi đó ta có OH ⊥ (SCD). Mà OD ⊥ (SAC).
Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD) = = α.
Ta có OD = a,
Xét tam giác OSM vuông tại O ta có:
Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên tam giác SAB và tam giác SAD là tam giác vuông.
Ta có: CD ⊥ DA mà DA là hình chiếu của DA trên (ABCD) nên CD vuông góc với DS
=> Mặt bên SDC là tam giác vuông tại D
Tương tự ta có: mặt bên SBC là tam giác vuông tại B. Như vậy chỉ có khẳng định ”Mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông” là chắc chắn đúng.
Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.
Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.
=> d(AA’, BC) =
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Gọi
trung điểm các cạnh
,
là trung điểm của
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD, H là trung điểm của SI.
Ta có: GH // FI; BD // FI nên GH // BD =>
Ta có:
Khi đó:
Ta có:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 450. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có:
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có:
Với
Vậy
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: AA’D’A là hình vuông => AD’ ⊥ A’D
ABCD.A’B’C’D là hình lập phương => AB ⊥ A’D
=> A’D ⊥ (ABC’D’) => A’D ⊥ AC’
Ta lại có: ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD
Mà A’A ⊥ BD => BD ⊥ (AA’C’C) => BD ⊥ AC’
Kết hợp với A’D ⊥ AC’ => A’C ⊥ (A’BD)
Cho hình lập phương
có các cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình lập phương nên
và
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do
Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà
Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
, SB = a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Gọi γ là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD). Tính sinγ.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của SD
Góc giữa SB và (SCD) cùng bằng góc giữa OM và (SCD)
(Vì OM // SB)
Gọi H là hình chiếu của O trên (SCD) => (OM; (SCD)) = (OM; MH) = OMH
Trong (SBD) kẻ OE // SK, trong đó K là hình chiếu của S lên mặt đáy, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông cân nên
Vì tam giác AOM vuông tại H
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là
bằng:
Thể tích cần tìm là:
Cho một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
, biết độ dài cạnh bên và cạnh đáy tỉ lệ
. Tính thể tích V của khối chóp?
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm hình vuông
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM bằng BD bằng?

Xét vuông cân tại A, ta có:
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra
Xét vuông cân tại A, ta có:
Vì là trung điểm của SB nên:
Ta có:
(Do , nên
)
Do đó:
Vậy góc giữa AM bằng BD bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
Ta có:
Chứng minh tương tự ta được:
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau SA và BC.
Hình vẽ minh họa:

Xét
Ta có:
Từ (1) và (2)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, AA’ = 1. Tính góc giữa AB’ và (BCC’B’).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> BA ⊥ (BCC’B’)
Khi đó BB’ là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BCC’B’)
Hay góc giữa AB’ và (BCC’B’) là
Ta có:
Vậy góc giữa AB’ và (BCC’B’) là 600
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là
Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và
Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp
.
Tính SH
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S
Diện tích đáy của khối chóp là
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông với
. Biết
. Góc giữa
và mặt phẳng
bằng:
Ta có:
Vì là hình vuông nên
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì =>
cân tại S
Mà O là trung điểm AC =>
Tương tự, ta cũng có mà
=>
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=>
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
Trong các khẳng định sai về lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là: