Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC 

=>AM ⊥ BC và

Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

Ta có:

Từ (1) và (2)

Xét tam giác SAM ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra

Mà

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân =>

Ta có: => mà =>

Mặt khác => CH vuông góc với các đường thẳng

Và chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi

Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng

=> Qua K kẻ đường thẳng . Gọi

=> thiết diện và hình chóp là tứ giác có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> là hình thang cân.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm BC.

Trong tam giác SAI kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI).

Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC ở M, cắt SB ở N.

Qua cách dựng ta có BC // (AMN). (1)

Ta có: SI ⊥ AH, SI ⊥ MN (do SI ⊥ BC) => SI ⊥ (AMN) => (SBC) ⊥ (AMN). (2)

Từ (1) và (2), suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN.

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà AH ⊥ (SBC) suy ra AH ⊥ MN.

Tam giác AMN có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A.

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của CD. Khi đó

Lại có hay tam giác MNP vuông tại P

Theo định lí Pythagore ta có:

Mệnh đề sai: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.”

Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của (vì cân)

Ta có:

Và tại .

Do đó .

Ta có: .

Vì là trọng tâm của nên .

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

ABCD là hình vuông nên

Xét tam giác vuông SOA ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là và

Ta có:

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên

Ta có:

Xét tam giác AOA’ có

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Dựng hình lăng trụ đứng tam giác ADE.BFC như hình vẽ, trong đó AB là cạnh bên.

Khi đó mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đáy của hình lăng trụ nói trên.

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của (P) với CE và DF.

Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc đoạn AI.

Ta có = (CD, DF) = (CD, AB) = α, suy ra PQ = CF = a tan α.

Do đó:

Vậy 

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Từ O dựng OH vuông góc với SC

Ta có:

Lại có

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác BHD

Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

=> B’C // (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

=> BK ⊥ (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

Ta có:

Ta có:

Do tam giác ABM vuông tại B

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra

Theo giả thiết . Khi đó

Ta được

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC

=> BM ⊥ AC.

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tam giác đều nên

Hình vẽ minh họa:

Ta có tam giác ACF là tam giác đều

=> Góc giữa cặp vecto là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì

Vậy

Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, O lần lượt là trung điểm của BB’; B’C’; AB

=> MP // AB’; MN // BC’

=> Góc cần tìm là góc giữa MP và MN

=>

Lấy Q là trung điểm của A’B’ khi đó suy ra:

Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác SAC có: AI ⊥ SC (I thuộc SC)

Trong mặt phẳng (SBC) dựng đường thẳng qua I và vuông góc với SC cắt SB tại M.

Trong mặt phẳng (SCD) dựng đường thẳng qua I và vuông góc với SC cắt SD tại N.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác AMIN.

Ta có: SC ⊥ (α) => SC ⊥ AM (*)

Ta có:

Từ (*) và (**) => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ MI

Chứng minh tương tự ta được AN ⊥ NI

Vì AM, AI, AN lần lượt là các đường cao của tam giác SAB, SAC, SAD nên

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD =>

Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)

Xét tam giác IOJ có: => Tam giác IOJ đều

Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) =

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

Công thức tính thể tích là:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

Do nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H là trung điểm của BC

Ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)

Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc

Ta có

CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

Tam giác CMC’ vuông tại M, nên

Diện tích

Xét tam giác vuông MC’N, có

Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Do là các đường chéo hình vuông bằng nhau.

Vậy tam giác là tam giác đều

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”