Cho hình chóp tứ giác
có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng
. Số đo góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác đều nên
Cho hình chóp tứ giác
có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng
. Số đo góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác đều nên
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
;
. Gọi
là trung điểm của
, biết hai mặt phẳng
và
cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
. Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh
đến mặt phẳng
?
Từ I kẻ
Gọi K là trung điểm của SD.
Gọi , kẻ
Ta có:
Xét tam giác ICQ có
Xét tam giác SIP vuông tại I có
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác cân tại
,
. Gọi
là trung điểm của
,
là hình chiếu của
trên
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
Mà nên
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
. Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 300 và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Đặt AB = x =>
Ta có:
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
=> d(MN, AC’) =
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác vuông tại A ta có:
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra
Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
Ta lại có:
Tam giác MHC vuông tại M
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì =>
cân tại S
Mà O là trung điểm AC =>
Tương tự, ta cũng có mà
=>
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều và
là trung điểm cạnh
. Gọi
là trung điểm
của tam giác
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Thiết diện của
với hình chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi
Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng
=> Qua K kẻ đường thẳng
. Gọi
=> thiết diện và hình chóp là tứ giác
có IK là đường trung trực của MN và PQ.
=> là hình thang cân.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⊥ (ABCD), AD = CD = a, AB = 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông
=> CE ⊥ AB, CE = AD = a
Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)
Vì CE = AD = a =>
=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB
Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)
Ta có:
CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)
=> Tam giác SDC vuông tại D
Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC
=>
Gọi N là trung điểm của AC
=>
Kẻ
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài cạnh SG.
Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC)
Khi đó, do SA, SB, SC bằng nhau nên HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức là H trùng với G
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a có G là trọng tâm và độ dài các cạnhSA = SB = SC = m. Tính độ dài đoạn thẳng GS?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA = SB = SC, G là trọng tâm tam giác ABC
=> G là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Gọi H là trung điểm của BC =>
Xét tam giác ABC đều cạnh a ta có:
Xét tam giác SBH vuông tại H ta có:
Xét tam giác SGH vuông tại G ta có:
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
. Hình chiếu của
lên mặt phẳng đáy là trung điểm
của
. Tính thể tích khối chóp
biết
.
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:
H là trung điểm của BC nên
Xét tam giác SBH vuông tại H có
Diện tích đáy ABC là
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có:
Từ (1) và (2)
Xét tam giác SAM ta có:
Vậy
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.
Hình vẽ minh họa:

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC =
và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC
I là trung điểm của MN
Ta có:
=>
Ta có:
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho hai đường thẳng phân biệt
và mặt phẳng
. Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu thì
.
Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi
là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính
?

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra
Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
Vì vậy,
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA = AB = a, AD = 3a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên DM, ta có DM ⊥ (SAH).
Gọi α là góc giữa (SDM) và (ABCD) ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta lại có:
Vậy
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác ta có:
Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết
.

Quan sát hình vẽ ta thấy
Tam giác đều có cạnh bằng a nên
Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).
Gọi M là trung điểm của SD.
Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.
Tam giác SBD có SB = SD = a, nên vuông tại S
=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD
=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) =
Ta có:
Tam giác vuông MOC ta có:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi: