Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Hình chóp tam giác đều
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có khối chóp tam giác đều có đáy
là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a,
,
và SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
Hình vẽ minh họa:
Vì tam giác ABC cân và có góc 600 nên nó là tam giác đều
Gọi O là trung điểm của AC.
Ta có: Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc nhau theo giao tuyến SO
=> Hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng (SBD) là SO
=>
Xét tam giác vuông SOA ta có:
=>
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBD) bằng 300.
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác cân tại
,
. Gọi
là trung điểm của
,
là hình chiếu của
trên
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
Mà nên
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và
. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm BC.
Tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Theo giả thiết, ta có SH ⊥ (ABC).
Qua B kẻ Bx // AC. Khi đó (SB, AC) = (SB, Bx).
Kẻ HE ⊥ Bx tại E, cắt AC tại M.
=> AMEB là hình chữ nhật nên
Ta có:
Tam giác vuông SEB ta có:
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hai đường thẳng a và a’ lần lượt có vecto chỉ phương là
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng a và a’ thì
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng nên đáp án đúng là:
Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng
. Thể tích khối chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho tứ diện đều
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của BD.
Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Do đó:
Vì là tứ diện đều
nên tam giác
là tam giác đều.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy. Biết
.
Hình vẽ minh họa:
Kẻ Mk // SO
Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)
=>
Ta có:
Xét tam giác CNK có:
Xét tam giác MNK vuông ta có:
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
, tam giác
đều và cạnh
. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên
Mặt khác tam giác SBC có
Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay
Từ
Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên
Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Một hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC thì
Từ đây dễ thấy góc cần tìm là
Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC, A’D là góc nào sau đây?

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:
Như vậy
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC là:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A
Khi đó B có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA)
Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông
Từ O hạ =>
(theo định lí ba đường vuông góc)
Vì điểm H giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù.
Suy ra ABC có ba góc nhọn.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:
Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD
Khi đó
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC
Khi đó
Theo bài ra ta có:
Tam giác SBH vuông tại H có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Ta có:
Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có
d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ =
Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi
là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị
bằng:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=>
Ta có:
=>
=>
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó
Ta có:
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên
Khi đó:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình tứ diện ABCD, có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Độ dài AD bằng:
Hình vẽ minh họa

Ta có:
=> Tam giác ABD vuông tại B.
Lại có nên tam giác BCD vuông tại C.
Khi đó:
Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi
là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính
?

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra
Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
Vì vậy,
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC). Gọi (α) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với sc. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp đã cho.
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AC => BI ⊥ AC
Ta có:
Kẻ IH ⊥ SC (**)
Từ (*) và (**) => SC ⊥ (BIH)
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác IBH
Do BI ⊥ (SAC) =? BI ⊥ IH => Tam giác IBH vuông tại I
Ta có BI là đường cao của tam giác đều cạnh a
=>
Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS
Cho hình chóp
có
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AB.
Xét tam giác SAB có SA = SB =>
Xét tam giác CAB có: =>
Từ (1) và (2) suy ra .
Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G. Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc 300. Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Gọi O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. Khi đó ABCD là hình vuông.
Vì BC // AD nên (SA, BC) = (SA, AD).
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SA và AD.
Đặt AB = BC = x => AD = x
Ta có:
Góc giữa SA và mặt đáy (ABC) là
Ta có:
Ta có:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác SAD ta có:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có AH ⊥ SB. Từ đó suy ra AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC. (1)
Lại có theo giả thiết SC ⊥ AK. (2)
Từ (1) và (2) => SC ⊥ (AHK) => (SBC) ⊥ (AHK).
Ta có:
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “Tam giác IAC đều” là sai
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng
. Gọi I là tâm của đáy ABC, d’ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d’’ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d’ + d’’.
Gọi I là tâm của đáy ABC
=>
Xét tam giác ABC đều cạnh a có tâm I
=>
Xét tam giác SAI vuông tại I
Xét ∆SIM vuông tại I có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có: