Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có:

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD là:

Vậy

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Giả sử tam giác ABC vuông tại A

Khi đó B có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA) 

Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông

Từ O hạ => (theo định lí ba đường vuông góc)

Vì điểm H giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù.

Suy ra ABC có ba góc nhọn.

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Ta có:

EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho

=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE

=> Tam giác ECD vuông tại C.

=>

Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B

=>

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥ (ABC)

=> AB là hình chiếu của AB lên (ABC).

Gọi M là trung điểm của BC, ta có ∆ABC đều cạnh 2a

=> và

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm BC.

Tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Theo giả thiết, ta có SH ⊥ (ABC).

Qua B kẻ Bx // AC. Khi đó (SB, AC) = (SB, Bx).

Kẻ HE ⊥ Bx tại E, cắt AC tại M.

=> AMEB là hình chữ nhật nên

Ta có:

Tam giác vuông SEB ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .

"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp

"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp

=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.

 Hình vẽ minh họa:

Ta có: 

=> MN là đường vuông góc chung của AB  và CD

 Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Tam giác ABD vuông tại B.

Lại có nên tam giác BCD vuông tại C.

Khi đó: 

Do đó ((SBC),(ABCD)) = (SC, AC) =

Tam giác SAC vuông tại A =>

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác đều là hình vuông

Do đó

Suy ra

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Ta có:

Do

Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra

=> Tam giác MOC cân tại M.

=>

Khi đó

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Ta có:

=>

Kẻ (1)

Ta có:

Từ (1) và (2) =>

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mà SA = SB = SC và

=>

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa:

Gọi F là trrung điểm của AC => EF // SA

Do SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ AB => EF ⊥ AB

Gọi G, J lần lượt là trung điểm của AC và AJ

=> CJ ⊥ AB, FG // CJ => FG ⊥ AB

Trong tam giác SAB kẻ GH // SA (H ∈ SB)=> GH ⊥ AB

=> Thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH

=>

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH

=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là

Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a

Vậy tan α = 1

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Từ O dựng OH vuông góc với SC

Ta có:

Lại có

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác BHD

Hình vẽ minh họa

Vì là hình lập phương nên và .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và

Hình vẽ minh họa

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là

Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và

Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp .

Tính SH

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S

Diện tích đáy của khối chóp là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Theo định lí Pythagore ta có:

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

Vậy thể tích khối chóp tam giác là:

Đặt

Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

Ta có

Trong (ABCD) kẻ tại E

Trong (CEC’) kẻ tại H

Suy ra

Do đó

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là

Dấu xảy ra khi:

Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân

=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:

=> AM ⊥ BM

Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)

=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M

=> MN ⊥ AB

Đặt CD = x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆ABM vuông cân tại M

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆CDN vuông cân tại N

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Ta có:

=> AB ⊥ MH

=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD

Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD

Ta cũng có SN ⊥ CD nên

Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)

Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))

Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK

Khi đó d(H, (SMP)) = HI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:

Xét tam giác vuông SHN ta có:

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

Mặt khác:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a

Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.

=>

Ta có:

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>

Kẻ tại E (1)

Ta có:

Từ (1) và (2) =>

=>

Xét tam giác vuông SAD ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có tam giác ACF là tam giác đều

=> Góc giữa cặp vecto là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: