Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết ta có: (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)

Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD

Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA

Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.

Khi đó ta có:

Tương tự ta có:

Khi đó

Tương tự suy ra

=>

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:

Như vậy

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

là đường trung bình của tam giác nên

Vì

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Hình vẽ minh họa:

Hình chóp tứ diện đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, ta tìm góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD và BC, khi đó SM ⊥ AD và SN ⊥ BC (do các tam giác SBC; SAD là các tam giác đều).

Vì BC // AD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song AD, BC.

Vì SM ⊥ AD và SN ⊥ BC nên SM ⊥ d và SN ⊥ d mà SM ⊂ (SAD); SN ⊂ (SBC) góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc .

Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên ; MN = AB = a.

Khi đó:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>

Ta có:

Ta có:

Xét tam giác SOM có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD

Mặt khác (tính chất tam giác cân)

Và (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Ta có: nên thuộc mặt phẳng trung trực của .

Gọi lần lượt là trung điểm của

Chứng minh tương tự ta có các điểm trên đều thuộc mặt phẳng trung trực của

Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của là hình lục giác đều có cạnh bằng .

Vậy diện tích thiết diện là:

Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.

=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: AD // BC =>

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>

Ta có:

Từ (*) và (**) =>

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có:

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD là:

Vậy

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

Khi đó

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó

Trong tam giác vuông A’MA có:

Tam giác ABC đều nên

Vậy thể tích khối lăng trụ là:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AD.

Từ giả thiết ta có:

Vậy vuông tại C

Do đó (1)

Mặt khác 

=> vuông tại B.

Do đó (2)

Từ (1) và (2) ta có

Vậy điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là trung điểm của AD.

 Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, SB

H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên IB.

Do giả thiết SA = SC => Tam giác SAC cân đỉnh S => SI ⊥ AC

Xét ∆SAB và ∆SBC ta có:

SA = SC

BA = BC

SB chung

=> ∆SAB = ∆SCB => JA = JC

Khi đó ∆JAC cân đỉnh J

Mà I là trung điểm của AC nên IJ ⊥ AC (1)

Mặt khác ∆SAC cân đỉnh S nên SI ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ (SIB) => AC ⊥ SH.

=> SH ⊥ AC, SH ⊥ BI => SH ⊥ (ABC)

=>

Xét ∆SIA theo định lý Py – ta – go:

Tương tự trong ∆IAB ta có:

Xét ∆SIB theo định lý hàm số cosin ta có:

Vì 0 < < 90◦ =>

Hình vẽ minh họa:

Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)

=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là

Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’

=>

Do nên

Ta có:

Nên

Vậy khoảng cách

Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) =

Tam giác vuông SOQ ta có:

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên

ABCD là hình vuông cạnh a nên

Ta có:

Khi đó: với là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).

Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc .

Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:

Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)

Ta có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:

Trong tam giác AMC, có:

Trong (SBD), gọi

Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:

Tam giác SAD vuông tại A có

=>

Mặt khác:

Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và nên

=>  mà

Kẻ , có (do )

Xét tam giác SAC vuông tại A có , AH là đường cao:

Xét tam giác SBD có:

Xét tam giác DIO có:

Do đó:

Mặt khác:

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương

=> MA, CB, C’B’ cùng vuông góc với (ABB’A’)

=> Tam giác MBC’ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB’A’) là tam giác ABB’.

Ta có

Xét tam giác MBC’, ta có:

Đặt p = (MB + MC’ + BC’)/2

Áp dụng công thức Hê-rông ta có:

Mặt khác

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:

Suy ra

Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều

Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều

Do đó tam giác DD’C đều

Vậy

Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.

Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.

Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’

Khi đó:

Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm cạnh .

Khi đó nên vuông góc tại .

Do đó do vuông tại .

Ta có:

.

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).