Cho hai đường thẳng
và mặt phẳng
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề: “Nếu thì
.” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Cho hai đường thẳng
và mặt phẳng
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Mệnh đề: “Nếu thì
.” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:
Trong tam giác vuông SEI có:
=>
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
và bằng góc
Mà tam giác ACD’ là tam giác đều nên
Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại
,
và
. Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC
Suy ra
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy
là hình thoi cạnh bằng a,
. Tính thể tích
của lăng trụ đứng đã cho?
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Gọi giao điểm của AC và BD là I
Ta có:
Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:
Diện tích hình bình hành ABCD là:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, M là điểm không nằm trên (P) sao cho MA = MB = MC, d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). Khi đó đường thẳng d đi qua:
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC
=> HA = HB = HC
=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:
"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD)" sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC).
"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đúng
Ta có: AH ⊥(SBC) (vì AH ⊥ SB; AH ⊥ BC) nên AH ⊥ SC (1)
Và AK ⊥ (SCD) (vì AK ⊥ SD; AK ⊥ DC) nên AK ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SC ⊥ (AHK)
Từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc.
Vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)
=> "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC ⊥ (AHK)" và "AK ⊥ (SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đều sai
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng α. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)
=>
Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:
và
Lại có:
Suy ra tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:
Xét tam giác có:
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình tứ diện ABCD, có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Độ dài AD bằng:
Hình vẽ minh họa

Ta có:
=> Tam giác ABD vuông tại B.
Lại có nên tam giác BCD vuông tại C.
Khi đó:
Cho tứ diện ABCD có
. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mặt khác:
Cho tứ diện
có
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Biết rằng
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Đặt
Vì trung điểm của các cạnh lần lượt là
Suy ra
Từ đó
Suy ra tam giác GEF vuông tại G.
Vì nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
=> BC ⊥ (SAB).
Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với BC = 2AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng (α) đi qua S vuông góc với AB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp đã cho.
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB
=> SH ⊂ (α) và SH ⊥ (ABCD) (do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB)
Kể HM ⊥ AB khi đó ta có: HM ⊂ (α)
Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H
Ta có:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Ta có:
=>
Kẻ (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
(2)
Từ (1) và (2) ta có tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là
Xét tam giác vuông AB’O có
Vậy
Trong không gian cho đường thẳng
và điểm
. Qua điểm
có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với
?
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho khối chóp tứ giác đều
, đáy là tứ giác
cạnh bằng a. Biết cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Gọi I là tâm đáy.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.
Ta có:
Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A
Chiều cao của khối chóp là
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có:
Do
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra
=> Tam giác MOC cân tại M.
=>
Khi đó
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Gọi
là chân đường cao kẻ từ đỉnh
của tam giác
. Xác định kết luận sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Lại có:
Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp đều, các cạnh bên có độ dài bằng
và tạo với đáy một góc
. Tính chu vi đáy P của hình chóp đó.
Hình vẽ minh họa
Kẻ
H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC
Gọi
Vì M là trung điểm của BC nên
Chu vi đáy ABC bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a2,
, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H = AM ∩ BD
Ta có:
=> SH ⊥ (ABC)
Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:
=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))
Kẻ DK ⊥ AM tại K.
Ta có: => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK
=> d(B; (SAM)) = 2DK
Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a2 nên ta có:
Lại có
Khi đó
Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:
Lại có
Từ đó
Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC
I là trung điểm của MN
Ta có:
=>
Ta có:
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P) trong đó a ⊥ (P). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Nếu a ⊥ b thì b // (P).”
Vì b có thể nằm trong (P).
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.
(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA =
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC. Kẻ AK ⊥ SM tại K.
Ta có:
Lại có AK ⊥ SM = (SBC) ∩ (SAM)
=> AK ⊥ (SBC) ⇒ AK ⊥ SB
Kẻ AH ⊥ SB tại H. Suy ra SB ⊥ (AHK) ⇒ SB ⊥ HK
Ta có:
=> ((SAB), (SBC)) = (AH, HK) =
Xét tam giác SAB có:
Xét tam giác SAM có:
Xét tam giác AHK vuông tại K có:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AC = b, các cạnh bên có độ dài bằng b. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (AB’C’)

(1)
Kẻ lần lượt
Ta có:
Lại có hay
=> K là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (AB’C’) (2)
Từ (1) và (2) => AK là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng (AB’C’)
Tam giác ABC vuông cân tại A
Có ADBH là hình chữ nhật =>
Tam giác BDB’ vuông tại B
Tam giác BAK vuông tại K