Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, M là điểm không nằm trên (P) sao cho MA = MB = MC, d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). Khi đó đường thẳng d đi qua:
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC
=> HA = HB = HC
=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Ta có:
Từ A kẻ =>
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
Vậy khoảng cách cần tìm là
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có cạnh bên bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho tứ diện đều
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của BD.
Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Do đó:
Vì là tứ diện đều
nên tam giác
là tam giác đều.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông
. Tam giác
là tam giác đều có cạnh bằng
và hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm của
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của BC
Suy ra
Vì nên hình chiếu của SA trên (ABC) là AI
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa SA và AI bằng
Tma giác SAI vuông tại I ta có:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác ta có:
Cho hình lâp phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
và
?
Hình vẽ minh họa

Ta có: AEGC là hình chữ nhật nên EG // AC
Vì ABCD là hình vuông nên
=>
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d
Gọi H là hình chiếu của A lên SM.
Ta có:
Xét tam giác SAM có đường cao AH nên
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SCD). Tính cos α.
Hình vẽ minh họa:
Gọi tâm của đáy là O, M là trung điểm của CD
Trong (SOM), kẻ OH vuông góc với SM tại H
Khi đó ta có OH ⊥ (SCD). Mà OD ⊥ (SAC).
Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD) = = α.
Ta có OD = a,
Xét tam giác OSM vuông tại O ta có:
Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD,
. Hãy chứng mình
.
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. ![]()
Bước 2. ![]()
Bước 3. ![]()
Bước 4. Suy ra ![]()
Theo em. Lời giải trên sai từ:
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)?
Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều và
là trung điểm cạnh
. Gọi
là trung điểm
của tam giác
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Thiết diện của
với hình chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi
Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng
=> Qua K kẻ đường thẳng
. Gọi
=> thiết diện và hình chóp là tứ giác
có IK là đường trung trực của MN và PQ.
=> là hình thang cân.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.
Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.
Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).
Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH
Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)
Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB
=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK
Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
, tam giác
đều. góc giữa
và
là:
Hình vẽ minh họa
Vì
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Giả sử H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABCD)
=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh HD.
=>
Tam giác SAB đều cạnh a =>
Ta lại có:
=>
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Hỏi đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
?
Ta có:
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
;
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Dựng
Dựng . Dễ thấy
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC), SA = a. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: I là trung điểm của BC => AI ⊥ BC. Kẻ AK ⊥ SI (K ∈ SI)
Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB và SC lần lượt tại M và M.
Khi đó thiết diện là tam giác AMN. Ta có:
Xét tam giác SAI vuông ta có:
Xét tam giác SBC ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA = AB = a, AD = 3a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên DM, ta có DM ⊥ (SAH).
Gọi α là góc giữa (SDM) và (ABCD) ta có:
Ta có:
Ta có:
Ta lại có:
Vậy
Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có: