Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Kẻ ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Lại có , tam giác SAC vuông tại S và nên

Thể tích hình chóp là

Hình vẽ minh họa

Kẻ tại là trung điểm của và .

Ta có .

Suy ra góc giữa và bằng góc .

Ta có:

Suy ra góc nhị diện có số đo bằng .

Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 90⁰.

Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Tam giác SOA vuông tại O nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Theo định lí Pythagore ta có:

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:

Vậy thể tích khối chóp tam giác là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Từ A kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB).

Ta có:

Mà AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC).

Từ A kẻ AK vuông góc với SD (K ∈ SD), tương tự, chứng minh được AK ⊥ (SCD).

Khi đó SC ⊥ (AHK) suy ra ((SBC); (SCD)) = (AH; AK) = = 60⁰.

Lại có ∆SAB = ∆SAD => AH = AK mà = 60⁰ suy ra tam giác AHK đều.

Tam giác SAB vuông tại S ta có:

Vì HK // BD suy ra

=> x = a

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó

Ta có mà

Dựng tại H suy ra

Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì

Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc

Ta có

Trong tam giác SCI có

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có:

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Ta có:

=> AB ⊥ MH

=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD

Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD

Ta cũng có SN ⊥ CD nên

Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)

Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))

Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK

Khi đó d(H, (SMP)) = HI

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:

Xét tam giác vuông SHN ta có:

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:

Mặt khác:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto khác thì chúng đồng phẳng"

Giải thích:

Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực sao cho:

Nhân cả hai vế với ta có:

(Mâu thuẫn với giả thiết)

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông

=> CE ⊥ AB, CE = AD = a

Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)

Vì CE = AD = a =>

=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB

Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)

Ta có:

CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)

=> Tam giác SDC vuông tại D

Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> ABCD là hình chữ nhật, từ đó ta suy ra

AC = BD

AB ⊥ (SAD)

BC ⊥ AB

Đáp án SO ⊥ (ABCD) sai

Nếu SO ⊥ (ABCD) thì điều này vô lí

Gọi . Do nên suy ra

(vì )

Kẻ ta có:

Từ (1) và (2) , khi đó

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

Hình vẽ minh họa:

Do SBC là tam giác đều có H là trung điểm BC => SH ⊥ BC.

Mà ta có (SBC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến BC

=> SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB.

Vì HI là đường trung bình của tam giác ABC => HI // AC => HI ⊥ AB.

Ta có:

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai.

Minh họa bằng hình vẽ:

Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có: và

Gọi là trung điểm của ta có: nên là hình chiếu của lên mặt phẳng và

Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

Khi đó ta có:

Vậy .

Hình vẽ minh họa:

Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC

=> PN // BD => BD // (MNP)

=> d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = d(A, (MNP))

Kẻ AK ⊥ ME

Khi đó d(A, (MNP)) = AK.

Ta tính được:

Xét tam giác vuông MAE ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Do đó:

Vì là tứ diện đều

nên tam giác là tam giác đều.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là trung điểm của A’C’

=> BMIB’ là hình chữ nhật

Gọi K = MN ∩ BI.

Ta có: IM ⊥ A’C’; BI ⊥ A’C’

=> A’C’ ⊥ (BMI)

=> (BMI) ⊥ (A’C’B) và (BMI) ∩ (A’C’B) = BI

Trong mặt phẳng (BMI), dựng MH ⊥ BI => MH ⊥ (A’C’B)

=> (MN; (BA’C’)) = (MK; (BA’C’)) =

Ta có

Áp dụng định lý Cô-sin trong tam giác 4IKM, ta có:

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có:

Suy ra:

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

Nếu thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu thì (Vô lý)

Vậy SA = a

Hình vẽ minh họa

Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên

Ta có:

Lời giải đã cho là lời giải đúng

Ta có:

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mà SA = SB = SC và

=>

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi

Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng

=> Qua K kẻ đường thẳng . Gọi

=> thiết diện và hình chóp là tứ giác có IK là đường trung trực của MN và PQ.

=> là hình thang cân.

Hình vẽ minh họa

Dựng

Dựng . Dễ thấy

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Vì

Tương tự:

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.