Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.

Kẻ (K thuộc đoạn AC)

Kẻ

Suy ra

Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên

+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)

Và BM = AM = AB = a

=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a

Vì vậy,

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) =

Tam giác vuông SOQ ta có:

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Mà SA = SB = SC và

=>

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên

Ta có:

Ta có:

Thể tích khối chóp tam giác là

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Với

Khi đó

Ta có:

Lại có

Do vậy

Ta có: (vì OC là đường trung bình trong tam giác BDF)

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra

Ta có

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Vì

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác . Ta có:

Xét tam giác SID vuông tại I có:

Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai. Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, khi đó AB trùng với d.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” là sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Vậy mệnh đề đúng là: ”Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).”

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.

Ta có

Mà

Ta có

Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .

Ta có

Có

Ta có

Xét tam giác vuông SAK có

Vì vuông góc với đáy nên

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Quan sát hình vẽ ta thấy

Tam giác đều có cạnh bằng a nên

Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là

Thể tích khối lăng trụ là

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Mệnh đề đúng: “Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.”

NB

0

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm hình vuông

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên

Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Từ I kẻ

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi , kẻ

Ta có:

Xét tam giác ICQ có

Xét tam giác SIP vuông tại I có

Hình vẽ minh họa

Gọi

Kẻ

Ta có:

Mà

Từ (*) và (**) suy ra

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác vuông tại ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là tâm các hình bình hành và

=> lần lượt là trung điểm của các cạnh

là đường trung bình tam giác

Vì đáy ABCD là hình thoi

Ta có:

Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a

Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)

Gọi M là giao điểm của AH và BC

Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM

Xét tam giác BOC vuông ta có:

Xét tam giác AOI vuông ta có:

Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)

Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)

Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC

Vậy là kết quả sai.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC

=> HA = HB = HC

=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có:

Ta có:

Xét tam giác NAC có:

Xét tam giác MNQ ta có:

Ta có:

Chứng minh tương tự ta được:

Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: S.ABC là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABC)

=> SO ⊥ AA’ mà (α) ⊥ AA’ => SO // (α)

Chứng minh tương tự ta có: BC // (α)

Qua M kẻ IJ // BC với I ∈ AB, J ∈ AC, kẻ MK // SO với K ∈ SA.

Khi đó thiết diện là tam giác KIJ

Diện tích ram giác IJK là

Trong tam giác ABC có:

Tương tự trong tam giác SAO, ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra

Theo giả thiết . Khi đó

Ta được

Đặt

Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)

Ta có

Trong (ABCD) kẻ tại E

Trong (CEC’) kẻ tại H

Suy ra

Do đó

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là

Dấu xảy ra khi:

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của SO và BM.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ NK // AC,

Ta có: I là trọng tâm tam giác SBD.

Ta có:

Tam giác SBD đều cạnh bằng

Tam giác SBC vuông tại B

Lại có:

Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng và là .

VD

1

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Ta có nên SC là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó

"Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q)" là khẳng định sai vì có thể b ⊂ (P) và b ⊂ (Q).

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

Ta có: