Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>
Vì nên
Gọi H là trung điểm của CD =>
Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>
Ta có:
Từ (*) và (**)
Ta lại có:
Cho hình chóp
có đường thẳng
vuông góc với đáy
,
. Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng:
Vì vuông góc với đáy
nên
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai. Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, khi đó AB trùng với d.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).
Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” là sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Vậy mệnh đề đúng là: ”Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
. Cạnh bên SA = 2a, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với SC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình chóp đã cho.
Hình vẽ minh họa:
Trong tam giác SAC có: AI ⊥ SC (I thuộc SC)
Trong mặt phẳng (SBC) dựng đường thẳng qua I và vuông góc với SC cắt SB tại M.
Trong mặt phẳng (SCD) dựng đường thẳng qua I và vuông góc với SC cắt SD tại N.
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác AMIN.
Ta có: SC ⊥ (α) => SC ⊥ AM (*)
Ta có:
Từ (*) và (**) => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ MI
Chứng minh tương tự ta được AN ⊥ NI
Vì AM, AI, AN lần lượt là các đường cao của tam giác SAB, SAC, SAD nên
Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết
.

Quan sát hình vẽ ta thấy
Tam giác đều có cạnh bằng a nên
Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình lập phương
có các cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình lập phương nên
và
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào?

Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA.
Trong hình chữ nhật ABCD ta có
Xét tam giác MAB vuông tại A, ta có:
Xét tam giác MAO vuông tại O, ta có:
Do MO // SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và BD.
Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.
Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.
Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.
Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.
Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.
Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AD, φ là góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABB’A’). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương
=> MA, CB, C’B’ cùng vuông góc với (ABB’A’)
=> Tam giác MBC’ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABB’A’) là tam giác ABB’.
Ta có
Xét tam giác MBC’, ta có:
Đặt p = (MB + MC’ + BC’)/2
Áp dụng công thức Hê-rông ta có:
Mặt khác
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp tứ giác đều
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy
Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Kẻ
Có
Ta có:
Khi đó
Trong tam giác SON vuông tại O, có:
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết
. Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)
Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:
Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:
Vậy thể tích khối lập phương là
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.
(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại hai đỉnh
. Biết rằng
,
. Chọn kết luận đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: vuông cân tại C nên
mà
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Góc giữa đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì
Ta có: nên SO là hình chiếu vuông góc của cạnh SA trên mặt phẳng (SBD)
Tam giác AOS vuông tại O ta có:
Cho khối chóp
có chiều cao bằng
đáy là tam giác
có diện tích bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau.
Hình vẽ minh họa:
Hình chóp tứ diện đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, ta tìm góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD và BC, khi đó SM ⊥ AD và SN ⊥ BC (do các tam giác SBC; SAD là các tam giác đều).
Vì BC // AD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song AD, BC.
Vì SM ⊥ AD và SN ⊥ BC nên SM ⊥ d và SN ⊥ d mà SM ⊂ (SAD); SN ⊂ (SBC) góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc .
Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên ; MN = AB = a.
Khi đó:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
.Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có: AD // BC =>
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>
Ta có:
Từ (*) và (**) =>
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và
,
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án "" sai vì chỉ có
Đáp án "" sai vì chỉ có:
Đáp án "" đúng vì
Đáp án "" sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD).
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
. Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác
có dạng
. Tính giá trị của biểu thức
?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Góc tạo bởi cạnh
và mặt phẳng
bằng
. Xác định thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên
Dễ dàng chứng minh được
Đặt
Tam giác SBC vuông tại B nên
Ta được:
Vậy diện tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 2a và SA vuông góc với ABCD. Gọi M là trung điểm SB và
là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD). Khi đó
bằng:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên
Ta có:
Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:
Ta có
Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông
=>
Ta có (hai đường chéo hình vuông)
Mặt khác BP // CD.
Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.
Ta có AB giao (SCB) tại N nên
Ta có
Trong (SAC) kẻ
Xét tam giác SAC vuông tại A nên
Do đó
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao
là:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc tại đỉnh B đều bằng 600.
Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số ![]()
Hình vẽ minh họa:

Đặt . Ta có:
Giả sử AN = k.AD. Khi đó:
Vì M là trung điểm của CD nên
Khi đó: BN ⊥ AM =>
Cho hình chóp
có
. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm
lên cạnh
là điểm
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác
là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và
Ta có: (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra và
Tam giác SCM đều cạnh bằng nên
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có:
Ta lại có:
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc
Do BC // AD => BC //(SAD)
=>
Trong tam giác vuông BIS ta có:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua ba điểm phân biệt cách đều A và B.”
Cho tứ diện
có hai mặt
và
là tam giác đều. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: I là trung điểm của AB.
Vì và
là tam giác đều nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ AE
Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)
Xét tam giác SAB có:
AM ⊥ SB
Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC
Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC
=> SC ⊥ (AMN)