Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

+) Ta có:

+) Mặt khác

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do vuông tại nên hay là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Mà nên AH là đường cao kẻ từ xuống hay .

(1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của

Mà nên . (2)

Từ (1), (2) suy ra: .

Suy ra: .

Lại có: .

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có:

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD là:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

Ta có:

Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy mặt phẳng không vuông góc với .

Hình vẽ minh họa

Ta có: với P là trung điểm của D’C

Suy ra

Vì và các cạnh của hình hộp bằng a

Do đó

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC 

=>AM ⊥ BC và

Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

Ta có:

Từ (1) và (2)

Xét tam giác SAM ta có:

Vậy

"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD)" sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC).

"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đúng 

Ta có: AH ⊥(SBC) (vì AH ⊥ SB; AH ⊥ BC) nên AH ⊥  SC (1)

Và AK ⊥ (SCD) (vì AK ⊥ SD; AK ⊥ DC) nên AK ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SC ⊥ (AHK)

Từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc.

Vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)

=> "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC ⊥ (AHK)" và "AK ⊥ (SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đều sai

Hình vẽ minh họa

Vì => cân tại S

Mà O là trung điểm AC =>

Tương tự, ta cũng có mà

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD

Khi đó

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.

Khi đó ta có:

Tương tự ta có:

Khi đó

Tương tự suy ra

=>

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hình chóp có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau

Do đó: suy ra tam giác SAC cân tại A

Lại có ABCD là hình vuông

=> O là trung điểm cạnh AC

=> SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SAC

=>

Tương tự SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SBD

=>

Từ đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của (vì cân)

Ta có:

Và tại .

Do đó .

Ta có: .

Vì là trọng tâm của nên .

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.

Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.

Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì là hình vuông nên

Ta có nên SC là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên

Vậy thể tích hình chóp là:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Hình vẽ minh họa:

Gọi F là trrung điểm của AC => EF // SA

Do SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ AB => EF ⊥ AB

Gọi G, J lần lượt là trung điểm của AC và AJ

=> CJ ⊥ AB, FG // CJ => FG ⊥ AB

Trong tam giác SAB kẻ GH // SA (H ∈ SB)=> GH ⊥ AB

=> Thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH

=>

Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

=> MD = a; AM = 2a

Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và

Ta có: (1)

Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

Suy ra và

Tam giác SCM đều cạnh bằng nên

Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

Ta có:

Ta lại có:

Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc

Do BC // AD => BC //(SAD)

=>

Trong tam giác vuông BIS ta có:

Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là

Minh họa bằng hình vẽ:

Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có: và

Gọi là trung điểm của ta có: nên là hình chiếu của lên mặt phẳng và

Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là

Khi đó ta có:

Vậy .

Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC

=> AC ⊥ SO

Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác SBC ta có:

=> KJ // SC (*)

Xét tam giác SAB ta có:

=> KI // SA (**)

Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)

Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC

Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)

Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)

=>

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra

Ta có

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Vì

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác . Ta có:

Xét tam giác SID vuông tại I có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Đặt AB = x =>

Ta có:

Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)

d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = d(A’, (ABC’)

Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)

=> d(MN, AC’) =

Hình vẽ minh họa

Dựng

Ta có:

=> SE là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SHD)

Do đó: Số đo của góc giữa SC lên mặt phẳng (SHD) bằng với số đo của góc

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra

Mà

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra

Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

Ta lại có:

Tam giác MHC vuông tại M

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa

Ta có nên .