Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho \widehat {SBH} = 30^\circ. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .

    Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

    \begin{matrix} \Delta ABK = \Delta BCH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {BCH} \Rightarrow \widehat {HEB} = 90^\circ \hfill \\ \end{matrix}

    Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

    Ta có:

    \begin{matrix} {\text{cos}}\left( {SE\,;\,BC} ight) = {\text{cos}}\left( {SE\,;\,EI} ight) = \left| {\cos \widehat {SEI}} ight| \hfill \\ SH = BH.\tan 30^\circ = 3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \hfill \\ \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HB}} \Rightarrow HE = \dfrac{{H{B^2}}}{{HC}} = \dfrac{{9a}}{5} \hfill \\ SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{81{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{5} \hfill \\ \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{HI}}{{HE}} \Rightarrow HI = \dfrac{{H{E^2}}}{{HB}} = \dfrac{{27a}}{{25}} \hfill \\ SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\dfrac{{27a}}{{25}}} ight)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {651} }}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác vuông SEI có:

    EI = \sqrt {S{E^2} - S{I^2}} = \frac{{36a}}{{25}}

    => \cos \widehat {SEI} = \frac{{EI}}{{SE}} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}

  • Câu 2: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây là sai?

    Mệnh đề sai là: "Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)"

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, biết SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

    a) BC\bot(SAB) Đúng||Sai

    b) (SAD)\bot(SCD) Đúng||Sai

    c) \widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA} Sai||Đúng

    d) \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, biết SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

    a) BC\bot(SAB) Đúng||Sai

    b) (SAD)\bot(SCD) Đúng||Sai

    c) \widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA} Sai||Đúng

    d) \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow BC\bot(SAB)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow CD\bot(SAD) mà CD \subset (SCD)

    \Rightarrow (SCD)\bot(SAD)

    c) Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc \widehat{SDA}.

    d) Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

    Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc \widehat{CSD} trong tam giác vuông SCD.

    Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

    \tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; \widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Góc giữa \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {CD} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa hai vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AD} } ight|\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } ight) \hfill \\ - \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AC} } ight|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AD} } ight|\cos {60^0} \hfill \\ - \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {AC} } ight|.\cos {60^0} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà AC = AD

    \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } ight) = {90^0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Đường thẳng vuông góc với đáy ABC. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (như hình vẽ):

    Biết rằng AB = AD = 2;AA' = 2\sqrt{2}. Tính góc tạo bởi đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD)?

    Góc cần tìm là góc \widehat{A'CA} = \alpha

    Vì đáy là hình vuông nên AC = AB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}

    \Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA'}{AC} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^{0}

    TH

     

    1

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =a\sqrt{6}. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot SA \\BC\bot AB \\\end{matrix} ight.=> BC ⊥ (SAB)

    => SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

    => \alpha = \widehat{BSC}

    Mà SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{7}

    Vậy \tan\alpha = \frac{BC}{SB} =\frac{\sqrt{7}}{7}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết AB = a và góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30^{0}. Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')

    Suy ra \left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}

    Ta có: AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = \sqrt{3}a

    \Rightarrow AA' = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}

    Vậy V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = \sqrt{2}a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

    Mặt khác BC ⊥ AB

    Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

    Vậy \widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }(vì tam giác SBC vuông tại B)

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại a, BC = a\sqrt{2}, AA’ = a, AA’ ⊥ (ABC). Mặt phẳng (β) qua trung điểm M của cạnh BC và vuông góc với AB’. Thiết diện tạo bởi (β) với hình lăng trụ đã cho là:

    Hình vẽ minh họa:

    Giả sử lấy điểm N là trung điểm của AB => MN ⊥ AB. Ta có:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}MN\bot AB \\MN\bot AA' \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\bot(ABB'A') \hfill \\\Rightarrow MN\bot A'B \Rightarrow MN \subset (\beta) \hfill \\\end{matrix}

    Từ giả thiết => AB = a = AA’

    => ABA’B’ là hình vuông

    => BA’ ⊥ AB’

    Trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ NQ // BA’ (Q thuộc AA’)

    Trong mặt phẳng (ACC’A’) kẻ QR // AC (R thuộc CC’)

    Do MN và QR cùng song song với AC và MN ⊥ NQ

    Vậy thiết diện là hình thang MNQR vuông.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Hình vẽ minh họa:

    Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

    Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

    => BD ⊥ (SAC)

    Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

    => BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

    Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

    => AD ⊥ SC là khẳng định sai.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Chọn khẳng định sai

    Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)

    Gọi M là giao điểm của AH và BC

    Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)

    Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM

    Xét tam giác BOC vuông ta có:

    \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}

    Xét tam giác AOI vuông ta có:

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}

    Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)

    Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)

    Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC

    Vậy 3O{H^2} = A{B^2} + A{C^2} + B{C^2} là kết quả sai.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là

    Tính giá trị cos α

    Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.

    Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a

    => MD = a; AM = 2a

    Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.

    Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và HK = \frac{{3a}}{2}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH (1)

    Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)

    Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.

    Suy ra HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} và HM \bot HN

    Tam giác SCM đều cạnh bằng a\sqrt 2 nên SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

    Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).

    Ta có: \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}

    = \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}

    Ta lại có:

    SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}

    = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a

    Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)

    Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {BSI} = \alpha

    Do BC // AD => BC //(SAD)

    => BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}

    Trong tam giác vuông BIS ta có:

    \sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp  S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB = a;AC = a\sqrt{3};SB = a\sqrt{2}.

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ABC vuông tại C ta có: BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = 2a

    H là trung điểm của BC nên BH = a

    Xét tam giác SBH vuông tại H có SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} - a^{2}} = a

    Diện tích đáy ABC là S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}

    Thể tích khối chóp là V = \frac{1}{3}SH.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

    Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

    Mặt khác AB ⊥ AD.

    Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

    Gọi H là trung điểm của AB => SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)

    Ta có: AH // CD => d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)

    Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM

    \begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2\sqrt 2, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

     Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

    Ta có CB \bot \left( {AA'B'B} ight) tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)

    Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc \widehat {CA'B}

    Khi đó \tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA = a\sqrt{2} và vuông góc với (ABCD). Tính cosin của góc giữa (SBC) và (SCD).

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H, N lần lượt là trung điểm của SC, AB.

    Ta có CN = 1/2 AB suy ra tam giác ABC vuông cân tại C.

    Suy ra: \left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AC\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC)

    Do tam giác SAC vuông cân tại A nên AH = a.

    Kẻ AK ⊥ SD. Khi đó: \left\{ \begin{matrix} AH\bot(SBC) \\ AK\bot(SCD) \\ \end{matrix} ight.

    => ((SBC), (SCD)) = (AH, AK) = \widehat{KAH} = ϕ

    Xét tam giác vuông SAD có:

    \begin{matrix}\dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AD^{2}}\hfill \\\Rightarrow AK = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\hfill \\\end{matrix}

    Xét tam giác vuông AKH ta có:

    \cos\widehat{KAH} = \frac{AK}{AH} = \frac{\sqrt{6}}{3}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: O là tâm hình thoi ABCD \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.

    Mặt khác SA = SC \Rightarrow SO\bot AC (tính chất tam giác cân)

    Và AC\bot BD (tính chất hình thoi)

    Từ (1) và (2) suy ra AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Tìm giá trị của x theo a để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có AC = AD = BC = BD = a, suy ra các tam giác ACD, BCD, CAB, DAB là các tam giác cân.

    Gọi M là trung điểm của CD, suy ra AM ⊥ CD và BM ⊥ CD. Suy ra AM ⊥ MB và tam giác ABM vuông cân tại M.

    Ta có MD = MC = x, suy ra AM = AB = \sqrt{a^{2} - x^{2}}

    Gọi I là trung điểm của AB, suy ra IM = \frac{AM}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{2}}

    Mặt khác, (ABC) ⊥ (ABD) nên tam giác ICD vuông tại I.

    Suy ra: ID^{2} = IC^{2} = \frac{x^{2} + a^{2}}{2}

    Ta có: ID^{2} + IC^{2} = CD^{2}

    \Rightarrow a^{2} + x^{2} = 4x^{2} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA=\frac{a\sqrt{15}}{2} và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

    Ta có: 

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AO \cap \left( {SBC} ight) = C} \\ {AC = 2OC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC} \\ {AB \bot BC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Từ A kẻ AH \bot SB => AH \bot \left( {SBC} ight)

    \begin{matrix} \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một hình chóp S.ABC có đáy ABC là cân AB = AC = a;\widehat{CAB} = 120^{0}. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB đều nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

    Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

    SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a^{2}.\sin120^{0} =\frac{a^{3}}{8}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a\sqrt{3}. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    BC ⊥ AB

    BC ⊥ SA

    => BC ⊥ (SAB).

    Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với đáy (ABC), SA = 2a. Khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AB bằng:

    Vì SA vuông góc với đáy (ABC) nên SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

    Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 6 đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 12. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 12 \\ h = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp tam giác là V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.12.6 = 24

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = a;AA' = a\sqrt{6} (như hình vẽ)

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy (ABCD). Khi đó:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left( A'C;(ABCD) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA} = \alpha

    Lại có: AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}

    Xét tam giác A'CA ta có:

    \Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{3}

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1, M là trung điểm của BC. Khi đó \cos(AB;DM) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi E là trung điểm cạnh AC. Khi đó ta có: EM // AB.

    \Rightarrow \cos(AB,DM) = \cos(EM;DM) = \widehat{DME}

    Ta có: ABCD là tứ diện đều cạnh bằng 1 và EA = EC;BM = MC

    \Rightarrow DM = \frac{\sqrt{3}}{2};DE = \frac{\sqrt{3}}{2};EM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \cos\widehat{DME} = \frac{DM^{2} + ME^{2} - DE^{2}}{2.DM.EM} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}

    \Rightarrow \cos(AB,DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnha, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc \alpha là góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABC)?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm cạnh AC.

    Khi đó HM//SA nên HM vuông góc (ABC) tại H.

    Do đó \left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH} do \Delta MBH vuông tại H.

    Ta có:

    \cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, biết \Delta SAD đều. Tính \cos(BC;SA)?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (AD;SA) = 60^{0}

    \Rightarrow \cos(BC;SA) = \frac{1}{2}.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a;IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Gọi trung điểm của AD;BC lần lượt là AD;BC. Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AC khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

    Ta có:

    \cos\widehat{IMJ} = \frac{IM^{2} + MJ^{2} - IJ^{2}}{2MI.MJ} = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \cos(AB;CD) = \frac{1}{2}

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân

    => AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}(ACD)\ \cap \ (BCD) \\CD\bot AM \subset (ACD) \\CD\bot BM \subset (BCD) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \widehat{\left( (ACD);\(BCD) ight)} = \widehat{(AM;\ BM)} = 90^{0}

    => AM ⊥ BM

    Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)

    => AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M

    => MN ⊥ AB

    Đặt CD = x

    Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

    AM^{2} = a^{2} -\frac{x^{2}}{4}

    Xét ∆ABM vuông cân tại M

    \Rightarrow AB^{2} = 2AM^{2} = 2a^{2} -\frac{x^{2}}{2}

    \Rightarrow AN^{2} = \frac{1}{4}AB^{2} =\frac{a^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8}

    Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

    DN^{2} = AD^{2} - AN^{2}

    \Rightarrow DN^{2} = a^{2} -\frac{a^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{8} = \frac{a^{2}}{2} +\frac{x^{2}}{8}

    Xét ∆CDN vuông cân tại N

    \Rightarrow CD^{2} = 2DN^{2} = a^{2} +\frac{x^{2}}{4}

    \Rightarrow a^{2} + \frac{x^{2}}{4} =x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}. Tính chiều cao hình chóp S.ABC?

    Ta có:

    SA\bot(ABC) nên SA là chiều cao của hình chóp.

    Do tam giác ABC đều cạnh a nên S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

    Ta lại có:

    V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}

  • Câu 34: Nhận biết

    Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a,\widehat{BAC} = 120^{0} và cạnh bên AA' = a\sqrt{2}. Tính góc giữa hai đường thẳng AB' và BC?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: BC//B'C' \Rightarrow (AB',BC) = (AB',B'C')

    Xét tam giác AB'C' ta có: AB' = AC' = \sqrt{AB^{2} + BB'^{2}} = a\sqrt{3}

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB.AC.cos\widehat{BAC}

    = a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2}

    \Rightarrow BC = B'C' = a\sqrt{3}

    Vậy tam giác AB'C' đều

    \Rightarrow (AB',BC) = (AB',B'C') = \widehat{AB'C'} = 60^{0}

  • Câu 36: Vận dụng

    Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH\bot(ABC)

    Gọi M là trung điểm của BC

    \Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

    Hay AM = \frac{1}{2}SA

    \Rightarrow SA = a\sqrt{3}

    Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

    \Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}

    = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}

    Vậy V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}

  • Câu 37: Nhận biết

    Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} bằng:

    \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11, \widehat{SAB} = 30^{0}, \widehat{SBC} = 60^{0};\widehat{SCA} =45^{0}. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?

    Hình vẽ minh họa:

    Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11, AB = 11\sqrt{3};AC = 11\sqrt{2}

    => ∆ABC vuông tại C

    Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB

    => SH ⊥ (ABCD) và SH =SA.sin\widehat{SAB} = \frac{11}{2}

    Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, HK = AP = \frac{11\sqrt{6}}{3}(Do \frac{1}{AP^{2}} = \frac{1}{AD^{2}} +\frac{1}{AC^{2}})

    Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK

    Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI

    Ta có: \frac{1}{HI^{2}} =\frac{1}{SH^{2}} + \frac{1}{SK^{2}} \Rightarrow HI =\sqrt{22}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H;K lần lượt là hình chiếu của điểm A trên cạnh SB;SC. Kết luận nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}SA\bot(ABC) \\BC \subset (ABC) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow SA\bot BC;AB\bot BC

    \Rightarrow BC\bot(SAB) đúng

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SC\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) đúng

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AH\bot SC \\AK\bot SC \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow SC\bot(AHK) đúng

    Vậy kết luận sai là: AK\bot(SBC).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 50 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập