Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
;
và
. Góc giữa đường thằng
và mặt phẳng đáy bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc
Xét tam giác SCA vuông tại A có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.
Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.
Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.
Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.
Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.
Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).
Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai
Cho S.ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật.
. Gọi K nằm trên cạnh BC sao cho KC = 2KB, Q nằm trên cạnh CD sao cho QD = 3QC và M là trung điểm của cạnh SD. Biết
và
. Tính cosin góc giữa KM và SQ.
Gọi N là trung điểm AD. Như vậy MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MB // SA.
Vậy
Ta có:
Suy ra
Xét tam giác MNK vuông tại N (do ) ta có:
Lại có
Xét tam giác SAQ vuông tại A nên
Ta có
Khi đó
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BC = a.
. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

+) Gọi H là trung điểm BC.
Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
=> Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA
(vì tam giác SAH vuông tại H)
+) Ta có:
Xét tam giác SHA vuông tại H:
Vậy
Cho tứ diện ABCD. Nếu
và
thì:
Ta có:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân =>
Ta có: =>
mà
=>
Mặt khác => CH vuông góc với các đường thẳng
Và chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ
=> MQ // AB
Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD
Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)
Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao
là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác
là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Góc tạo bởi cạnh
và mặt phẳng
bằng
. Xác định thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên
Dễ dàng chứng minh được
Đặt
Tam giác SBC vuông tại B nên
Ta được:
Vậy diện tích hình chóp là:
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết
. Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)
Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:
Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:
Vậy thể tích khối lập phương là
Cho hình chóp
có
. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm
lên cạnh
là điểm
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Tính thể tích khối tứ diện đều
, biết
?
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD
Tam giác BCD đều cạnh bằng 5
Tam giác ABH vuông tại H nên
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)
Gọi M là giao điểm của AH và BC
Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM
Xét tam giác BOC vuông ta có:
Xét tam giác AOI vuông ta có:
Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)
Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)
Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC
Vậy là kết quả sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SB = SC = 11,
,
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD?
Hình vẽ minh họa:
Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được BC = 11,
=> ∆ABC vuông tại C
Do SA = SB = SC, nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB
=> SH ⊥ (ABCD) và
Kẻ HK ⊥ CD, AP ⊥ CD, tứ giác APKH là hình chữ nhật, (Do
)
Trong tam giác vuông SHK, kẻ HI ⊥ SK
Do AB // CD => d(AB, SD) = d(H, SD) = HI
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
.Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có: AD // BC =>
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>
Ta có:
Từ (*) và (**) =>
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính
. Gọi I; J là trung điểm BC, CD và
là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của
là

Đặt
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
Ta có
Trong (ABCD) kẻ tại E
Trong (CEC’) kẻ tại H
Suy ra
Do đó
Ta có:
Vậy đạt giá trị lớn nhất là
Dấu xảy ra khi:
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sau đó MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
Xét tứ giác MNPQ có:
=> MNPQ là hình bình hành
Mặt khác
=> MNPQ là hình chữ nhật
Vì MQ // AB nên
Theo giả thiết MC = x.BC => MB = (1 – x).BC
Vì MN // CD nên
=>
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
Khi x = 1 – x => x = 1/2
Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.
Nếu ba vecto
cùng vuông góc với vecto
khác
thì chúng:
"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto
khác
thì chúng đồng phẳng"
Giải thích:
Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực
sao cho:
Nhân cả hai vế với ta có:
(Mâu thuẫn với giả thiết)
Cho hình hộp chữ nhật
có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Trong kẻ
.
Kẻ .
Do
Mà .
Ta có: là hình bình hành nên
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Gọi
là trung điểm của
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
.

Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của BB’, ta có: MN//B’C nên
Ta có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNA ta có:
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Cho hình chóp
có
là hình vuông cạnh
;
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Dựng
Dựng . Dễ thấy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại hai đỉnh
. Biết rằng
,
. Chọn kết luận đúng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: vuông cân tại C nên
mà
Cho tứ diện ABCD có H là trực tâm tam giác BCD, AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)
Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)
Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4, góc BAD = 1200. Cạnh bên
vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC và α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> ((SAC), (MNP)) = ((SAC), (SCD)) = α.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu vuông góc của H xuống SC, suy ra
Ta có
Trong tam giác ABC có
Do đó diện tích tam giác SCD là
Theo công thức tính thể tích khối chóp A.SCD thì
=>
=> α ∈ (600; 900)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và SA ⊥ (ABCD). Để góc giữa (SCB) và (SCD) bằng 60◦ thì độ dài cạnh SA là:
Hình vẽ minh họa:
Đặt SA = a.
Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có:
Suy ra:
Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN
Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦
Xét tam giác SAD, ta có:
Nếu thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a
Nếu thì
(Vô lý)
Vậy SA = a
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là các điểm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng và mặt phẳng
có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?
Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường vuông góc chung của AB và CD là:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
=> MN là đường vuông góc chung của AB và CD