Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng

Từ tập hợp các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?

A.
$1200$
B.
$1224$
C.
$720$
D.
$480$

Gọi $\left\{ \begin{matrix} A = \left\{ 1;3;5;7;9 ight\} \\ B = \left\{ 2;4;6;8 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi số có 4 chữ số là $\overline{abcd}$ khi đó có 3 trường hợp xảy ra:

TH1: Số cần tìm có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ

Có $C_{4}^{2}$ cách chọn 2 chữ số chẵn.

Có $C_{5}^{2}$ cách chọn 2 chữ số lẻ.

Có 2! cách xếp 2 chữ số chẵn (tạo ra 3 khoảng trống kể cả hai đầu)

Có $A_{3}^{2}$ cách sắp xếp 2 chữ số lẻ vào 3 khoảng trống.

Vậy trường hợp này có: $C_{4}^{2}.C_{5}^{2}.2!.A_{3}^{2} = 720$ cách.

TH2: Số cần tìm có 3 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ

Có $C_{4}^{3}$ cách chọn 3 chữ số chẵn.

Có $5$ cách chọn 1 chữ số lẻ.

Có 4! cách xếp các số sau khi chọn

Vậy trường hợp này có: $C_{4}^{3}.5.4! = 480$ cách.

TH3: Số cần tìm có 4 chữ số chẵn

Có 4! = 24 cách xếp các số sau khi chọn

Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 720 + 480 + 24 = 1224 số.

Câu 2: Thông hiểu

Đề thi Toán thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Một học sinh làm chắc chắn đúng 40 câu, vì thời gian còn lại hạn chế nên học sinh đã tô ngẫu nhiên 10 câu hỏi còn lại. Tính xác suất để học sinh đó được 9,2 điểm trong bài thi đó?

A.
$A_{10}^{6}.(0,25)^{4}.(0,75)^{6}$
B.
$C_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$
C.
$C_{10}^{6}.(0,25)^{4}.(0,75)^{6}$
D.
$A_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$

Khi khoanh ngẫu nhiên 1 câu thì xác suất đúng là 0,25 và xác suất sai là 0,75

Học sinh đó được 9,2 điểm nếu bạn khoanh đúng được 6 câu trong 10 câu còn lại

Do đó xác suất để bạn học sinh đó được 9,2 điểm là: $C_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$ .

Câu 3: Thông hiểu

Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 35
B. 120
C. 240
D. 720

Cứ 3 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác

Số cách chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác là: $C_{10}^3 = 120$

Vậy số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: 120 tam giác

Câu 4: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $C = \left\{ (1;6),(6;1) ight\}$

$\Rightarrow n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Câu 5: Thông hiểu

Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:

Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.

Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.

Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.

Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi $X_{1}$ là biến cố lấy được hộp 1, $X_{2}$ là biến cố lấy được hộp 2, $X_{3}$ là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?

A.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cap \left( X \cap X_{2} ight) \cap \left( X \cap X_{3} ight)$
B.
$X \cap X_{2} \cap X_{3}$
C.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
D.
$X \cup X_{2} \cup X_{3}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:

$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$

Câu 6: Nhận biết

Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

A. 4⁴
B. 24
C. 1
D. 42

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ;\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a: 4 cách

Số cách chọn b: 3 cách

Số cách chọn c: 2 cách

Số cách chọn d: 1 cách

=> Số các số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là 4! = 24 cách

Câu 7: Nhận biết

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó:

A. 36
B. 18
C. 256
D. 108

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: $\overline {abc}$

Do số tự nhiên cần tìm là số chẵn => c = {2; 4; 6}

=> Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 6 cách

=> Số các số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đã cho là: 3 . 6 . 6 = 108 số

Câu 8: Thông hiểu

Trên giá sách có 3 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Gọi B là biến cố “Hai quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau”. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
4896
B.
4598
C.
720
D.
5040

Ta có: $n(\Omega) = 7! = 5040$

Biến cố B là hai quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau

$\Rightarrow \overline{B}$ là biến cố các quyển sách không cùng loại nằm cạnh nhau.

Do số sách tham khảo có số lượng nhiều hơn sách giáo khoa nên để các quyển sách cùng loại không nằm cạnh nhau thì ta cần sắp xếp sách tham khảo ở các vị trí 1; 3; 5; 7 và các quyển sách kháo khoa nằm ở vị trí 2; 4; 6.

$\Rightarrow n\left( \overline{B} ight) = 3!.4! = 144$

$\Rightarrow n(B) = n(\Omega) - n\left( \overline{B} ight) = 5040 - 144 = 4896$

Câu 9: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 10: Thông hiểu

Xác suất sút bóng phạt đền 11m của hai cầu thủ A và B lần lượt là $0,8$ và $0,7$ . Biết rằng mỗi cầu thủ sút một quả phạt đền và hai người sút độc lập. Tìm xác suất để ít nhất 1 người sút bóng thành công?

A.
$0,94$
B.
$0,85$
C.
$0,15$
D.
$0,43$

Xác suất sút không thành công của cầu thủ A là $1 - 0,8 = 0,2$

Xác suất sút không thành công của cầu thủ B là $1 - 0,7 = 0,3$

Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công là $0,2.0,3 = 0,06$

=> Xác suất để ít nhất 1 người sút bóng thành công là: $1 - 0,06 = 0,94$

Câu 11: Thông hiểu

Trong một bể cá cảnh có chứa 40 con gồm 10 cá đỏ, 15 cá vàng; 8 cá đen, còn lại là cá bạc. Chọn ngẫu nhiên 6 con cá trong bể. Tính xác suất để lấy được 6 con cá có cùng màu?

A.
$1,37.10^{- 3}$
B.
$1,25.10^{- 3}$
C.
$2,57.10^{- 3}$
D.
$2,04.10^{- 3}$

Gọi A là biến cố lấy được 6 con cá đỏ $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$

B là biến cố lấy được 6 con cá vàng $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$

C là biến cố lấy được 6 con cá đen $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$

D là biến cố lấy được 6 con cá bạc $\Rightarrow P(D) = \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$

E là biến cố lấy được 6 con cá cùng màu

$\Rightarrow E = A \cup B \cup C \cup D$

$\Rightarrow P(E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}} \approx 1,37.10^{- 3}$

Câu 12: Thông hiểu

Một lớp học sinh có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để trực nhật lớp. Hỏi số cách chọn 5 học sinh đó, biết rằng nhóm học sinh được chọn có 3 nam và 2 nữ?

A.
$9880$ cách
B.
$45000$ cách
C.
$136500$ cách
D.
$241500$ cách

Chọn 3 học sinh nam từ 25 học sinh nam có $C_{25}^{2}$ cách.

Chọn 2 học sinh nam từ 15 học sinh nam có $C_{15}^{2}$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là $C_{25}^{2}.C_{15}^{2} = 241500$ chọn.

Câu 13: Nhận biết

Giả sử $M,N$ là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$P(M \cup N) = P(M) +P(N)$
B.
$P(M \cup N) =P(M).P(N)$
C.
$P(M \cup N) = P(M) -P(N)$
D.
$P(M \cap N) = P(M) +P(N)$

Ta có:

$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \capN)$

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên $M\cap N = \varnothing$

$\Rightarrow P(M \cup N) = P(M) +P(N)$

Câu 14: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 455
C. 2300
D. 3080

Số cách chọn ba học sinh trong đó có 1 học sinh nam là: $C_{25}^1.C_{15}^2 = 2625$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$ cách

=> Số cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam là: $2625 + 455 = 3080$ cách

Câu 15: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 16: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 17: Thông hiểu

Quản lí xưởng kiểm tra 4 sản phẩm trong kho gồm hai loại là đạt và không đạt. Gọi $N_{k}$ là biến cố sản phẩm được kiểm tra lần thứ $k$ thuộc loại không đạt, $k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Mô tả nào sau đây mô tả đúng biến cố chỉ có một sản phẩm thuộc loại đạt qua các $N_{k}$ ?

A.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}}$
B.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4}$
C.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4} + N_{1}\overline{N_{2}}N_{3}N_{4}$
D.
$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4} + N_{1}\overline{N_{2}}N_{3}N_{4} + \overline{N_{1}}N_{2}N_{3}N_{4}$

Mô tả đúng là:

$N_{1}N_{2}N_{3}\overline{N_{4}} + N_{1}N_{2}\overline{N_{3}}N_{4} + N_{1}\overline{N_{2}}N_{3}N_{4} + \overline{N_{1}}N_{2}N_{3}N_{4}$

Câu 18: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.

A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{{37}}{{42}}$
D. $\frac{5}{{42}}$

Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^3 = 84$

Gọi A là biến cố "3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau"

=> $n\left( A ight) = C_4^1.C_3^1.C_2^1 = 24$

=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{24}}{{84}} = \frac{2}{7}$

Câu 19: Thông hiểu

Minh và Quân học ở hai ngôi trường khác nhau. Gọi A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”. Biết rằng xác suất để hai bạn Minh và Quân được điểm giỏi môn Vật lý lần lượt là và .

a) Biến cố A và biến cố B là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

b) Xác suất để cả Minh và Quân đều đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,8096$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,096$ Sai||Đúng

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Minh và Quân đều đạt điểm giỏi là $0,9904$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Minh và Quân học ở hai ngôi trường khác nhau. Gọi A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”. Biết rằng xác suất để hai bạn Minh và Quân được điểm giỏi môn Vật lý lần lượt là và .

a) Biến cố A và biến cố B là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

b) Xác suất để cả Minh và Quân đều đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,8096$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,096$ Sai||Đúng

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Minh và Quân đều đạt điểm giỏi là $0,9904$ Đúng||Sai

Ta có:

A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”.

a) Biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

b) Vì hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nên $P(AB) = 0,92.0,88 = 0,8096$ .

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi là:

$P\left( \overline{AB} ight) = 0,08.0,12 = 0,0096$ .

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn đạt điểm giỏi là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

$= 0,92 + 0,88 - 0,8094 = 0,9904$

Câu 20: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 21: Vận dụng cao

Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} ight\}$ . Lập từ $A$ số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $A$ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $2222$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} ight\}$ . Lập từ $A$ số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $A$ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $2222$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 22: Nhận biết

Một hộp chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp. Số phần tử không gian mẫu là:

A.
$220$
B.
$1320$
C.
$350$
D.
$1200$

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Câu 23: Nhận biết

Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
H và K là hai biến cố đối nhau.
B.
H và K là hai biến cố tương đương.
C.
H và K là hai biến cố không xung khắc.
D.
H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.

Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.

Câu 24: Thông hiểu

Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp. Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư.

A. $\frac{5}{{21}}$
B. $\frac{{5}}{{6}}$
C. $\frac{1}{{21}}$
D. $\frac{1}{{41}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^4$

Số hộp sữa không bị hư là: 10 - 3 = 7 (hộp)

Số cách chọn 4 hộp sữa mà không hộp sữa nào bị hư nào là: $C_{7}^4$

Số cách để chọn 4 hôp sữa ít nhất một hộp hư là: $C_{10}^4 -C_{7}^4 =175$ (cách chọn)

=> Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư là: $P = \frac{{175}}{{C_{10}^4}} = \frac{5}{6}$

Câu 25: Nhận biết

Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có 3 bạn nam và 2 bạn nữ?

A. 462
B. 2400
C. 200
D. 20

Số cách chọn 3 bạn nam là: $C_6^3 = 20$ cách

Số cách chọn 2 bạn nữ là: $C_5^2 = 10$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

$C_6^3.C_5^2 = 20.10 = 200$ cách

Câu 26: Nhận biết

Số cách xếp 6 học sinh $A;B;C;D;E;F$ ngồi bất kì vào một ghế dài là:

A.
$6$ cách
B.
$240$ cách
C.
$720$ cách
D.
$120$ cách

Sắp xếp 6 học sinh vào một ghế dài là hoán vị của 6 phần tử

Vậy số cách sắp xếp là $6! = 720$ cách.

Câu 27: Thông hiểu

Bạn An có 6 quyển sách giáo khoa khác nhau và 4 quyển vở bài tập khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển vở trên một kệ dài biết rằng các quyển sách giáo khoa xếp kề nhau?

A.
$4!.6!$
B.
$2.4!.6!$
C.
$5!.6!$
D.
$10!$

Ta có 6 quyển sách giáo khoa là một nhóm và xếp nhóm này với 4 quyển vở khác nhau, khi đó ta có 5! cách xếp.

Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách sắp xếp mới mà có 6! cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa. Vậy số cách sắp xếp là 6!.5!

Câu 28: Nhận biết

Gieo hai lần liên tiếp một con xúc xắc. Giả sử H là biến cố kết quả ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm. Biến cố đối của biến cố H là:

A.
không xuất hiện mặt 3 chấm.
B.
lần 1 xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
lần 2 xuất hiện mặt 3 chấm.
D.
một lần xuất hiện mặt 6 chấm.

H là biến cố kết quả ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm thì biến cố đối của biến cố H là không xuất hiện mặt 3 chấm.

Câu 29: Thông hiểu

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau:

A. 160
B. 156
C. 752
D. 240

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Do số cần tìm là số chẵn => d = {0; 2; 4}

Trường hợp 1: d = 0 => Có 1 cách chọn d

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Trường hợp 1 lập được 5 . 4 . 3 . 1 = 60 số

Trường hợp 2: d ∈ {2; 4} => Có 2 cách chọn d

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Trường hợp 2 lập được 4 . 4 . 3 . 2 = 96 số

=> Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau: 60 + 96 = 156 số

Câu 30: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$

Câu 31: Nhận biết

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

A. 784
B. 1820
C. 70
D. 42

Trong 4 viên bi có đúng 2 viên bi màu xanh

=> 2 viên bi còn lại nằm trong 8 viên bi (màu đỏ và màu vàng)

=> Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh là: $C_8^2.C_8^2 = 784$ cách

Câu 32: Nhận biết

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?

A.
$P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
B.
$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
C.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
D.
$0 \leq P(B) \leq 1$

Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Câu 33: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất $0,8$ và người thứ hai lần lượt là $0,9$ . Tính xác suất của biến cố A chỉ có đúng 1 người bắn trúng bia?

A.
$0,26$
B.
$0,74$
C.
$0,72$
D.
$0,34$

Gọi M là biến cố người thứ nhất bắn trúng mục tiêu

N là biến cố người thứ hai bắn trúng mục tiêu ( $M,N,\overline{M},\overline{N}$ là các biến cố độc lập).

Từ giả thiết ta có: $P(M) = 0,8;P(N) = 0,9$

Mà $A = M\overline{N} \cup \overline{M}N$

$\Rightarrow P(A) = P(M)P\left( \overline{N} ight) + P\left( \overline{M} ight)P(N)$

$= 0,8(1 - 0,9) + 0,9(1 - 0,8) = 0,26$

Câu 34: Vận dụng

Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:

Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.

Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{7}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{2}{15}$ Đúng||Sai

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{1}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là $\frac{13}{30}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:

Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.

Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{7}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{2}{15}$ Đúng||Sai

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{1}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là $\frac{13}{30}$ Sai||Đúng

Gọi A là biến cố: “Chọn được hộp A”

B là biến cố: “Chọn được hộp B”

C là biến cố: “Chọn được hộp C”

Ta có:

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{3}.\frac{3}{7} = \frac{1}{7}$

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{C_{2}^{1}}{C_{4}^{1}} = \frac{1}{2}$

d) E là biến cố: “Bi chọn ra có màu đỏ”.

Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là

$P\left( E|A ight) = \frac{4}{7};P\left( E|B ight) = \frac{3}{5};P\left( E|C ight) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức ta có:

$P(E) = P(A).P\left( E|A ight) + P(B).P\left( E|B ight) + P(C).P\left( E|C ight)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{1}{3}.\frac{4}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{39}{70}$

Câu 35: Thông hiểu

Bỏ 5 lá thư vào 5 phong bì đã chuẩn bị địa chỉ trước. Tính xác suất để lá thứ nhất đúng với người nhận?

A.
$\frac{1}{120}$
B.
$\frac{1}{5}$
C.
$\frac{1}{8}$
D.
$\frac{1}{20}$

Không gian mẫu là số cách chọn 5 lá thư vào 5 phong bì đã chuẩn bị địa chỉ trước.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: 5! = 120

Gọi B là biến cố “Lá thứ nhất đúng với người nhận”.

Lá thứ nhất có đúng 1 cách chọn.

Lá thứ 2 có 4 cách chọn.

Lá thứ 3 có 3 cách chọn

Lá thứ 4 có 2 cách chọn

Lá thứ 5 có 1 cách chọn

Suy ra $n(B) = 24 \Rightarrow P(B) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$

Câu 36: Thông hiểu

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280
B. 400
C. 40
D. 1160

Do số bi xanh và số bi đỏ lấy ra bằng nhau

=> Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Trong 4 viên có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ

=> Số cách chọn là: $C_8^1.C_5^1.C_3^2 = 120$ cách

Trường hợp 2: Trong 4 viên bi có 2 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ

=> Số cách chọn là: $C_8^2.C_5^2 = 280$ cách

=> Số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ là 120 + 280 = 400 cách

Câu 37: Vận dụng

Lấy ngẫu nhiên một số có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số có dạng $\overline{abcde}$ thỏa mãn $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ hoặc $a \geq b \geq c \geq d \geq e$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên một số có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số có dạng $\overline{abcde}$ thỏa mãn $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ hoặc $a \geq b \geq c \geq d \geq e$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 38: Thông hiểu

Để quyết định người chiến thắng cuộc thi người ta thực hiện gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất một vài lần. Người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt 6 chấm. Tính xác suất để trong ba lần gieo, người đó thắng ít nhất 2 lần?

A.
$\frac{1}{1296}$
B.
$\frac{308}{19683}$
C.
$\frac{58}{19683}$
D.
$\frac{53}{23328}$

Xác suất để một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{1}{6}$

Xác suất để người chơi thắng cuộc trong một lần gieo là $C_{3}^{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{2}.\frac{5}{6} + \left( \frac{1}{6} ight)^{3} = \frac{2}{27}$

Xác suất để trong 3 lần gieo người đó thắng ít nhất hai lần là:

$C_{3}^{2}.\left( \frac{2}{27} ight)^{2}.\left( 1 - \frac{2}{27} ight) + \left( \frac{2}{27} ight)^{3} = \frac{308}{19683}$

Câu 39: Vận dụng

Sắp 3 quyển sách Toán và 3 quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là:

A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{{10}}$
C. $\frac{1}{{20}}$
D. $\frac{2}{{5}}$

Số phần tử của không gian mẫu (Số cách xếp 6 quyển sách lên một kệ dài) là: 6! = 720 cách.

Sắp xếp 3 sách Toán với nhau và 3 sách Vật lí với nhau

Coi 6 quyển sách là hai bộ sách Toán và Vật Lí

Số cách sắp xếp hai bộ sách là 2! = 2 (cách)

Cách sắp xếp bộ sách Toán là 3! = 6

Cách sắp xếp bộ sách Vật Lí là 3! = 6

=> Số cách sắp xếp để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: 2 . 6 . 6 = 72 (cách)

=> Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: $P = \frac{{72}}{{720}} = \frac{1}{{10}}$

Câu 40: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!