Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Hai máy cơm cùng bơm nước vào một bể chứa, chúng hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để máy bơm 1 bị hỏng là $\frac{1}{2}$ , xác suất để máy bơm 2 bị hỏng là $\frac{2}{5}$ . Biết nếu cả hai máy bơm bị hỏng sẽ không đáp ứng đủ nước tiêu dùng cho hộ gia đình. Tính xác suất để hộ gia đình có đủ nước dùng?

A.
$0,2$
B.
$0,8$
C.
$0,9$
D.
$0,1$

Gọi A là biến cố máy bơm 1 bị hỏng và B là biến cố máy bơm 2 bị hỏng

Suy ra AB là biến cố cả hai máy bơm bị hỏng => Gia đình không đủ nước dùng.

Lại thấy hai máy bơm hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để hộ gia đình không đủ nước dùng là:

$P(AB) = 0,5.0,4 = 0,2$

Vậy xác suất để hộ gia đình có đủ nước dùng là $1 - 0,2 = 0,8$

Câu 2: Nhận biết

Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?

A. 15
B. 720
C. 30
D. 360

Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

=> Có $A_6^4 = 360$ cách.

Câu 3: Nhận biết

Gieo hai lần liên tiếp một đồng xu. Gọi M là biến cố có ít nhất một lần mặt sấp xuất hiện, N là biến cố kết quả hai lần gieo giống nhau. Chọn khẳng định đúng?

A.
$M \cup N = \left\{ SS;SN;NS ight\}$
B.
$M \cup N = \left\{ SS;NN ight\}$
C.
$M \cup N = \left\{ SS;SN;NS;NN ight\}$
D.
$M \cup N = \left\{ SN;NS ight\}$

Ta có:

$M = \left\{ SS;SN;NS ight\}$

$N = \left\{ SS;NN ight\}$

$\Rightarrow M \cup N = \left\{ SS;SN;NS;NN ight\}$

Câu 4: Thông hiểu

Trong kho hàng có $n$ sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử $X_{i}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ bị lỗi với $i \in \overline{1,n}$ . Biến cố $X$ cả n sản phẩm đều tốt là:

A.
$X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n}}$
B.
$X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n - 1}}.X_{n}$
C.
$X = X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n - 1}.\overline{X_{n}}$
D.
$X = X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n - 1}.X_{n}$

Ta có:

$X_{i}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ bị lỗi với $i \in \overline{1,n}$

Nên $\overline{X_{i}}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ tốt với $i \in \overline{1,n}$

Biến cố $X$ cả n sản phẩm đều tốt là: $X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n}}$

Câu 5: Thông hiểu

Cho các số 1, 2, 4, 5, 7 có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho:

A. 120
B. 256
C. 24
D. 36

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số được chọn là số chẵn => c = {2; 4}

=> Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

=> Số cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho là 2 . 4 . 3 = 24 số

Câu 6: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 7: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại:

A. 60
B. 40
C. 48
D. 10

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại là 4 . 4 . 3 = 48 số

Câu 8: Thông hiểu

Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

A. 100
B. 105
C. 210
D. 200

Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).

Như vậy, ta có $C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{13!.2!}} = 105$ trận đấu.

Câu 9: Vận dụng

Giáo viên chọn 16 học sinh gồm 4 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 7 học sinh trung bình để lập thành 4 nhóm thảo luận, mỗi nhóm có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố N “Nhóm nào cũng có học sinh giỏi, học sinh khá”?

$n(N) =$ 21772800

Đáp án là:

Giáo viên chọn 16 học sinh gồm 4 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 7 học sinh trung bình để lập thành 4 nhóm thảo luận, mỗi nhóm có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố N “Nhóm nào cũng có học sinh giỏi, học sinh khá”?

$n(N) =$ 21772800

Đánh số thứ tự các nhóm là A, B, C, D

Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh giỏi có 4! Cách.

Bước 2: xếp 5 học sinh khá vào 4 nhóm thì 1 nhóm có 2 học sinh khá và 3 nhóm có 1 học sinh khá.

Chọn nhóm có 2 học sinh khá có 4 cách, chọn 2 học sinh khá có $C_{5}^{2}$ cách, xếp 3 học sinh khá còn lại có 3! cách.

Bước 3: xếp 7 học sinh trung bình

+ Nhóm có 2 học sinh khá cần xếp vào đó 1 học sinh trung bình, có 7 cách chọn học sinh.

+ Nhóm có 1 học sinh khá cần xếp vào đó 2 học sinh trung bình.

Chọn nhóm 2 học sinh trung bình trong 6 học sinh và xếp vào 3 nhóm có $C_{6}^{2}.3$ cách.

Chọn nhóm 2 học sinh trung bình trong nhóm học sinh và xếp vào 2 nhóm có $C_{4}^{2}.2$ cách.

Xếp 2 học sinh trung bình còn lại có 1 cách.

Do đó số cách sắp xếp là: $4!.4.C_{5}^{2}.3!.7.C_{6}^{2}.3.C_{4}^{2}..1 =21772800$

Vậy $n(N) = 21772800$

Câu 10: Thông hiểu

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{11}{345}$
C.
$\frac{2}{115}$
D.
$\frac{3}{345}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi B là biến cố: "Có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu".

Số cách chọn 1 học sinh đạt yêu cầu là 27.

Số cách chọn 1 học sinh không đạt yêu cầu là 3.

Chọn 2 học sinh mà trong đó có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu là: $27.3 = 81$

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 81

Vậy xác suất để cần tìm là: $P(B) = \frac{81}{435} = \frac{9}{145}$

Câu 11: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 12: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 13: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$
C.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cap M_{3} \cup M_{4}$
D.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Câu 14: Nhận biết

Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn

A. 64
B. 16
C. 32
D. 20

Số cách chọn một cây bút mực là tổ hợp chập 1 của 8: $C_8^1 = 8$ cách

Số cách chọn một cây bút chì là tổ hợp chập 1 của 8: $C_8^1 = 8$ cách

=> Số cách chọn một cây bút mực và một cây bút chì là: 8 . 8 = 64 cách

Câu 15: Nhận biết

Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:

M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.

N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.

T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.

Hai biến cố nào xung khắc với nhau?

A.
$M;N$
B.
$M;T$
C.
$N;T$

Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.

Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.

Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.

Câu 16: Nhận biết

Biết $M$ và $\overline{M}$ là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?

A.
$P(M) = 1 + P\left( \overline{M} ight)$
B.
$P(M) = P\left( \overline{M} ight)$
C.
$P(M) + P\left( \overline{M} ight) = 0$
D.
$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Ta có:

$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Câu 17: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 18: Nhận biết

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 4 viên bi bất
kỳ?

A. 1365
B. 32760
C. 210
D. 1200

Số viên bi có trong hộp là 10 + 5 = 15 viên bi

Số cách lấy 4 viên bi bất kỳ trong hộp là tổ hợp chập 4 của 15 phần tử: $C_{15}^4 = 1365$

Câu 19: Thông hiểu

Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. 11
B. 12
C. 33
D. 67

Ta có:

Cứ 2 người sẽ bắt tay nhau 1 lần => Số lần bắt tay là: $C_n^2$

Mà có tất cả 66 người lần lượt bắt tay nên ta có phương trình:

$C_n^2 = 66 \Rightarrow n = 12$

Câu 20: Vận dụng

Có ba chiếc hộp:

Hộp 1 gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.

Hộp 2 gồm 3 viên bi đỏ và 2 viên bi đen.

Hộp 3 gồm 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ bằng:

A.
$\frac{601}{1080}$
B.
$\frac{6}{11}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{61}{360}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp:

Gọi B là biến cố lấy được hộp 1

C là biến cố lấy được hộp 2

D là biến cố lấy được hộp 3

Suy ra $P(B) = P(C) = P(D) = \frac{1}{3}$

Gọi A là biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi màu đỏ.

Ta có:

$A = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)$

=> $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(A \cap D)$

$= \frac{1}{3}.\frac{4}{9} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{5}{8} = \frac{601}{1080}$

Câu 21: Thông hiểu

Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là:

A. 7⁵
B. 7!
C. 240
D. 2401

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số có chữ số 3 đứng đầu tiên có dạng là: $\overline {3bcde}$

Do không có điều kiện về các chữ số còn lại

=> Số cách chọn các chữ số b, c, d, e là ${7^4} = 2401$ cách

=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là: 1 . 2401 = 2401 số

Câu 22: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “kết quả của 3 lần gieo là như nhau”. Tính xác suất của biến cố A?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;S} ight),\left( {N;N;N} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 2 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 23: Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số còn lại có mặt nhiều nhất 1 lần.

A. 11340
B. 12475
C. 11543
D. 11760

Số tự nhiên có 7 chữ số có dạng: $\overline {abcdefg}$

Xét trường hợp có chữ số 0 đứng đầu

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: $C_7^2$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là: $C_5^3$

Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp các số đã cho để xếp vào hai vị trí cuối là $A_8^2$

=> Số các số được tạo thành là: $C_7^2.C_5^3.A_8^2 = 11760$

Xét trường hợp không có chữ số 0 đứng đầu

Ta có:

Vì a = 0 => a có 1 cách chọn

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: $C_6^2$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là: $C_4^3$

Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp dãy số đã cho là 7 cách

=> Số các số được tạo thành là: $C_2^6.C_4^3.7 = 420$

Vậy số các số được lập thành thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 11760 - 420 = 11340 số

Câu 24: Thông hiểu

Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25
B. 26
C. 31
D. 32

Số cách chọn nhóm có 2 người: $C_5^2 = 10$

Số cách chọn nhóm có 3 người: $C_5^3 = 10$

Số cách chọn nhóm có 4 người: $C_5^4= 5$

Số cách chọn nhóm có 5 người: 1

=> Số cách chọn ra các nhóm mà có ít nhất 2 người là: 10 + 10 + 5 + 1 = 26 nhóm

Câu 25: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 26: Vận dụng

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{{11}}{{36}}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6.6 = 36$

Giả sử N là biến cố " Tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3"

Trường hợp 1: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là giống nhau

(3; 3), (6; 6)

Trường hợp 2: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là khác nhau

(1; 2), (1; 5); (2; 4), (3; 6), (4; 5)

Mỗi khả năng xảy ra có 2 hoán vị nên số phần tử của biến cố là 10 khả năng xảy ra.

=> Số khả năng xảy ra của biến cố N là: 10 + 2 = 12

=> Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là: $P\left( N ight) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 27: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 28: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?

A.
$A;B$ là hai biến cố xung khắc.
B.
$A \cup B$ là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
$A \cap B$ là biến cố tổng số chấm hai lần gieo là 6.
D.
$A;B$ là hai biến cố độc lập.

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ $A;B$ là hai biến cố xung khắc.”

Câu 29: Thông hiểu

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

A.
$\frac{234}{667}$
B.
$\frac{33}{167}$
C.
$\frac{99}{667}$
D.
$\frac{18}{167}$

Gọi A là. biến cố: "Trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10".

Tìm $|\Omega|$

Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ: có $C_{30}^{10}$ cách chọn $\Rightarrow |\Omega| = C_{30}^{10}$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm thẻ mang số lẻ có $C_{15}^{5}$ cách chọn.

Chọn 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách chọn.

Chọn 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm thẻ như vậy có $C_{12}^{4}$ cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $\left| \Omega_{A} ight| = 3.C_{15}^{5}C_{12}^{4}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{3.C_{15}^{5}C_{12}^{4}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667}$

Câu 30: Thông hiểu

Cho $P(A) = 0,5;P(B) = 0,4;P(AB) = 0,2$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
Hai biến cố A và B không thể cùng xảy ra.
B.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,9$
C.
Hai biến cố A và B độc lập với nhau.
D.
Hai biến cố A và B xung khắc với nhau.

Theo giả thiết ta có:

$P(A.B) = P(A).P(B)$

$= 0,5.0,4 = 0,2 = P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Câu 31: Nhận biết

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi X là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nam”. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 2 nam hoặc 2 nữ”.
B.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 1 nam hoặc 1 nữ”.
C.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.
D.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn không phải là hai nữ”.

Sử dụng định nghĩa biến cố đối ta được:

$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.

Câu 32: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 33: Nhận biết

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:

A. 900
B. 901
C. 899
D. 999

Ta có:

Các số tự nhiên có ba chữ số là 100; 101; ...; 998; 999

=> Có 999 − 100 + 1 = 900 số tự nhiên có ba chữ số.

Câu 34: Vận dụng

Lấy 3 quả cầu từ một hộp có 4 quả cầu trắng, 5 quả cầu vàng, 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu.

A. $\frac{5}{{13}}$
B. $\frac{{21}}{{61}}$
C. $\frac{{67}}{{91}}$
D. $\frac{{11}}{{73}}$

Hộp có 4 + 5 + 6 = 15 quả cầu

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{15}^3 = 455$

Gọi B là biến cố: "Ít nhất 2 quả cầu cùng màu"

=> $\overline B$ là biến cố: "Không có 2 quả cầu nào cùng màu"

=> Số phần tử của biến cố $\overline B$ là: $n\left( {\overline B } ight) = C_4^1.C_5^1.C_6^1 = 120$

=> $P\left( {\overline B } ight) = \frac{{n\left( {\overline B } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{120}}{{455}} = \frac{{24}}{{91}}$

=> $P\left( B ight) = 1 - P\left( {\overline B } ight) = 1 - \frac{{24}}{{91}} = \frac{{67}}{{91}}$

Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu là $\frac{{67}}{{91}}$

Câu 35: Thông hiểu

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$ , xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1 bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{7}{ 1 5 0 }$ .
B.
$\frac{7}{375}$ .
C.
$\frac{7}{125}$ .
D.
$\frac{189}{1250}$ .

+ Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ .

Chọn $a_{1}$ : có 9 cách.

Chọn $a_{2}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{3}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{4}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{5}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{6}$ : có 10 cách.

Suy ra số các phần tử của $S$ là: $9.10^{5}$ cách.

Chọn ngẫu nhiên một số từ $S \Rightarrow n(\Omega) = 9.10^{5}$ .

+ Gọi $A$ là biến cố: "Số được chọn có 6 chữ số đôi một khác nhau và có mặt chữ số 0 và 1 ".

TH1: $a_1= 1$ .

Có 5 vị trí để xếp số 0.

Và có $A_{8}^{4}$ cách chọn 4 vị trí còn lại.

Suy ra có: $5.A_{8}^{4} = 8400$ số.

TH2: $a_1 = 2,\ldots,9$

Chọn $a_{1}$ : có 8 cách.

Xếp hai số 0 và 1 có: $A_{5}^{2} = 20$ cách.

Xếp vào 3 vị trí còn lại có: $A_{7}^{3} = 210$ cách.

Suy ra có: $8.20.210 = 33600$ số.

$\Rightarrow n(A) = 8400 + 33600 = 42000$

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{42000}{900000} = \frac{7}{150}$ .

Câu 36: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{5}{27}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{11}{27}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Kết quả thuận lợi cho biến cố "3 sinh viên vào cù môt quán" là $(1;1;1),(2;2;2),(3;3;3)$

Vậy xác suất của biến cố này là $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Câu 37: Nhận biết

Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

A. 4⁴
B. 24
C. 1
D. 42

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ;\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a: 4 cách

Số cách chọn b: 3 cách

Số cách chọn c: 2 cách

Số cách chọn d: 1 cách

=> Số các số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là 4! = 24 cách

Câu 38: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ.

A. $\frac{1}{{560}}$
B. $\frac{1}{{16}}$
C. $\frac{1}{{28}}$
D. $\frac{{143}}{{280}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{16}^3 = 560$

B là biến cố "cả 3 viên bi không đỏ"

Trường hợp 1: Lấy được 1 viên bi trắng, 2 viên bi đen: $C_7^1.C_6^2$ cách

Trường hợp 2: Lấy được 2 viên bi trắng, 1 viên bi đen: $C_7^2.C_6^1$ cách

Trường hớp 3: Lấy được 3 viên chỉ màu trắng $C_7^3$ cách

Trường hợp 4: Lấy được 3 viên chỉ màu đen $C_6^3$ cách

=> $n\left( B ight) = C_7^1.C_6^2 + C_7^2.C_6^1 + C_7^3 + C_6^3 = 286$

=> Xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{286}}{{560}} = \frac{{143}}{{280}}$

Câu 39: Thông hiểu

Một tổ có 9 hoc sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng doc. Tính xác suất sao cho 5 ban nam phải đứng kề nhau?

A.
$\frac{1}{63}$
B.
$\frac{1}{126}$
C.
$\frac{1}{3024}$
D.
$\frac{1}{1512}$

Gọi A là biến cố "Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó 5 bạn nam phải đứng kề nhau".

Tìm $|\Omega|$

Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc, có 9! cách xếp $\Rightarrow |\Omega| = 9!$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Năm học sinh nam đứng kề nhau ta coi như 1 phần tử, cùng với 4 nữ là 5 phần tử.

Xếp 5 phần tử này thành một hàng dọc có $5! = 120$ cách xếp.

Năm học sinh nam đứng kề nhau hoán vị cho nhau: 5! cách xếp.

Do đó có $5!.120 = 14400$ cách xếp.

Vậy số phần tử của tập $\Omega_{A}$ là 14400.

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{5!.4!}{9!} = \frac{1}{126}$

Câu 40: Thông hiểu

Trong chùm chìa khóa có 9 chiếc giống hệt nhau chỉ có đúng 2 chiếc khóa mở được cửa nhà kho. Chủ nhà thử ngẫu nhiên 1 chìa để mở. Hãy tính xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ 3?

A.
$\frac{2}{7}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{14}{81}$
D.
$\frac{7}{81}$

Xác suất để mở được cửa ở lần mở thứ ba là:

$P(A) = \frac{7}{9}.\frac{6}{8}.\frac{2}{7} = \frac{1}{6}$

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!