Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Trên giá sách có 3 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Gọi B là biến cố “Hai quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau”. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
4896
B.
4598
C.
720
D.
5040

Ta có: $n(\Omega) = 7! = 5040$

Biến cố B là hai quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau

$\Rightarrow \overline{B}$ là biến cố các quyển sách không cùng loại nằm cạnh nhau.

Do số sách tham khảo có số lượng nhiều hơn sách giáo khoa nên để các quyển sách cùng loại không nằm cạnh nhau thì ta cần sắp xếp sách tham khảo ở các vị trí 1; 3; 5; 7 và các quyển sách kháo khoa nằm ở vị trí 2; 4; 6.

$\Rightarrow n\left( \overline{B} ight) = 3!.4! = 144$

$\Rightarrow n(B) = n(\Omega) - n\left( \overline{B} ight) = 5040 - 144 = 4896$

Câu 2: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba người, biết rằng không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau (cùng ngày, cùng tháng).

A.
$0,0082$
B.
$0,1594$
C.
$0,2413$
D.
$0,0125$

Gọi A là biến cố “Trong 3 người được chọn, có ít nhất 2 người cùng sinh nhật”.

Khi đó biến cố $\overline{A}$ là “Ba người được chọn có ngày sinh đôi một khác nhau”.

Số trường hợp có thể là $365^{3}$

Số trường hợp thuận lợi là cho biến cố $\overline{A}$ là 365 364 363

Vậy $P\left( \overline{A} ight) = \frac{365.3634.363}{365^{3}} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{365.3634.363}{365^{3}} \approx 0,0082$

Câu 3: Vận dụng cao

Cho 3 con xúc xắc trong đó con xúc xắc thứ nhất cân đối. Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt 3 chấm là 0,2; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Gieo đồng thời ba con xúc xắc đã cho. Tính xác suất để hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm?

A.
$\frac{1}{120}$
B.
$\frac{3}{250}$
C.
$\frac{1}{250}$
D.
$\frac{1}{40}$

Con xúc xắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là $\frac{1}{6}$

Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác xuất mặt 3 chấm là 0,2 và các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là $\frac{1 - 0,2}{5} = \frac{4}{25}$

Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là $\frac{1 - 0,25}{5} = \frac{3}{20}$

Gọi A là biến cố gieo một lần 3 con xúc xắc hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm là:

Biến cố	Xúc xắc 1; 2; 3	Xác suất
B	2 chấm, 2 chấm, 1 chấm	$P(B) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$
C	2 chấm, 1 chấm, 2 chấm	$P(C) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$
D	1 chấm, 2 chấm, hai chấm	$P(D) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$

Do $A = B \cup C \cup D$ và các biến cố B, C, D đôi một xung khắc nên ta có:

$P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = \frac{3}{250}$

Câu 4: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 5: Thông hiểu

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu"?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{119}{145}$
C.
$\frac{2}{115}$
D.
$\frac{3}{345}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi C là biến cố: "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu".

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố C là $C_{27}^{2} = 351$

Vậy xác suất để cần tìm là: $P(C) = \frac{351}{435} = \frac{119}{145}$

Câu 6: Thông hiểu

Có ba chiếc hộp đựng những tấm thẻ màu xanh và màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ. Giả sử $Q_{i}$ là biến cố lấy được tấm thẻ màu xanh từ hộp thứ $i;i \in \left\{ 1;2;3 ight\}$ . Em hãy chọn đáp án đúng biểu diễn biến cố lấy được ít nhất một tấm thẻ màu đỏ dưới đây?

A.
$\overline{Q_{1}} \cap \left( Q_{2} \cup Q_{3} ight)$
B.
$\overline{Q_{1}} \cap \overline{Q_{2}} \cap \overline{Q_{3}}$
C.
$\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$
D.
$\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup Q_{3}$

Biểu diễn đúng là: $\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$

Câu 7: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm?

A.
$\frac{25}{36}$
B.
$\frac{5}{36}$
C.
$\frac{5}{18}$
D.
$\frac{7}{12}$

Gọi hai súc sắc là M; N

Gọi C là biến cố "Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Ta có C là hợp của hai biến cố xung khắc $A\overline{B};\overline{A}B$ tức là $C = A\overline{B} \cup \overline{A}B$

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} \cup \overline{A}B ight) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.$

Vì A, B là hai biến cố độc lập với nhau

Nên $\overline{A}$ và B độc lập với nhau; $\overline{B}$ và A độc lập với nhau

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

$= P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight).P(B) = \frac{1}{6}.\frac{5}{6} + \frac{5}{6}.\frac{1}{6} = \frac{5}{18}$

Câu 8: Nhận biết

Có bao nhiêu cách chọn một tổ tưởng tổ dân phố từ một nhóm cư dân gồm 25 nam và 20 nữ?

A.
$25$
B.
$45$
C.
$20$
D.
$500$

Số cách chọn một người từ 45 người là: $C_{45}^{1} = 45$ (cách)

Vậy có 45 cách chọn tổ trưởng tổ dân phố.

Câu 9: Thông hiểu

Cho 4 chữ số $2;4;6;8$ có thể lập được bao nhiêu chữ số biết rằng các số tạo thành thuộc khoảng $(200;600)$ ?

A.
$32$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$48$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c \in \left\{ 2;4;6;8 ight\}$ .

Theo giả thiết ta có hai cách chọn a

Với mỗi cách chọn a ta có 4 cách chọn b và 4 cách chọn x.

Vậy có $2.4.4 = 32$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 10: Vận dụng

Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

A. 11
B. 10
C. 9
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác đều là n (cạnh)

=> Đa giác đó có n đỉnh tương ứng

Cứ nối 2 đỉnh của đa giác được một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

Số đoạn thẳng được tạo thành khi nối hai điểm bất kì của đa giác là: $C_{n}^2$ đoạn thẳng

Mà đa giác đều có 44 đường chéo nên ta có phương trình

$44 + n = C_n^2 \Rightarrow n = 11$

Vậy đa giác đều có 11 cạnh

Câu 11: Thông hiểu

Một nhóm học sinh gồm 2 nam và 2 nữ được được sắp xếp ngẫu nhiên vào một ghế dài. Hỏi biến cố A “xếp nam và nữ ngồi xen kẽ nhau” có bao nhiêu phần tử?

A.
24
B.
6
C.
8
D.
12

Trường hợp 1: bạn nam ngồi đầu, khi đó 2 bạn nam xếp vào 2 chỗ, nữ xếp nốt vào hai chỗ còn lại

Số cách sắp xếp là 2!.2! = 4

Trường hợp 2: Bạn nữ ngồi đầu, tương tự ta có 4 cách sắp xếp.

Vậy theo quy tắc cộng số phần tử của biến cố A là 4 + 4 = 8 cách

Câu 12: Thông hiểu

Đề thi Tiếng anh thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Một học sinh đã tô câu trả lời ngẫu nhiên cho cả 50 câu hỏi. Hỏi xác suất để học sinh đó đạt 4 điểm trong bài thi trên là bao nhiêu?

A.
$2,2.10^{- 7}$
B.
$2,5.10^{- 6}$
C.
$1,8.10^{- 5}$
D.
$1,3.10^{- 7}$

Để đạt được điểm 4 học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Theo đó xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25, xác suất trả lời sai mỗi câu là 0,75

Vậy xác suất để học sinh đạt 4 điểm là: $C_{50}^{30}.(0,25)^{30}.(0,75)^{20} \approx 1,3.10^{- 7}$ .

Câu 13: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $B = \left\{ (3;6),(6;3),(4;6),(6;4),(5;6),(6;5),(6;6) ight\}$

$\Rightarrow n(B) = 7 \Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{36}$

Câu 14: Vận dụng

Cho sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn như hình vẽ sau:

Biết xác suất hỏng của mỗi bóng đèn là $0,05$ . Tính xác suất để khi cho dòng diện chạy qua thì mạch điện sáng?

A.
$0,99750625$
B.
$0,99500625$
C.
$0,99500635$
D.
$0,99750635$

Gọi $A_{i}$ là biến cố bóng đèn thứ i sáng với $i = \overline{1;4}$

Gọi A là biến cố có ít nhất một bóng đèn sáng

Để không có bóng đèn nào sáng ta có các trường hợp như sau:

TH1: Cả 4 bóng đèn cùng hỏng

B là biến cố bốn bóng đèn bị hỏng

Khi đó xác suất để cả 4 bóng đèn bị hỏng là: $P(B) = 0,05^{4} = 0,00000625$

TH2: Cả 3 bóng đèn cùng hỏng

C là biến cố ba bóng đèn bị hỏng

Khi đó xác suất để có 3 bóng đèn bị hỏng là: $P(C) = 4.0,05^{3}.0,95 = 0,000475$

TH3: Hai bóng đèn phía trái hoặc phía bên phải bị hỏng

D là biến cố hai bóng đèn phía trái hoặc phía bên phải bị hỏng

Khi đó xác suất để cả 2 bóng đèn cùng phía bị hỏng là: $P(D) = 2.0,05^{2}.0,95^{2} = 0,0045125$

Vậy xác suất để có ít nhất 1 bóng đèn sáng là

$P(A) = 1 - \left\lbrack P(C) + P(B) + P(D) ightbrack = 0,99500625$

Câu 15: Vận dụng

Cho hai biến cố A và B có $P\left( A ight) = \frac{1}{3},P\left( B ight) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} ight) = \frac{1}{2}$ ta kết luận hai biến cố A và B là:

A. Độc lập
B. Không độc lập
C. Xung khắc
D. Không xung khắc.

Ta có: P(A) + P(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12 ≠ 1/2 = P(A ∪ B)

Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)

=> Hai biến cố A và B không xung khắc

Áp dụng công thức xác suất tổng hai biến cố ta có:

$\begin{matrix} P\left( A ight) + P\left( B ight) - P\left( {AB} ight) = P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left[ {P\left( A ight) + P\left( B ight)} ight] - P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}} ight) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $P\left( A ight).P\left( B ight) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} = P\left( {AB} ight)$

=> Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Câu 16: Thông hiểu

Bỏ 5 lá thư vào 5 phong bì đã chuẩn bị địa chỉ trước. Tính xác suất để lá thứ nhất và lá thứ hai đúng người nhận?

A.
$\frac{1}{120}$
B.
$\frac{1}{5}$
C.
$\frac{1}{8}$
D.
$\frac{1}{20}$

Không gian mẫu là số cách chọn 5 lá thư vào 5 phong bì đã chuẩn bị địa chỉ trước.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: 5! = 120

Gọi C là biến cố “Lá thứ nhất và lá thứ hai đúng người nhận”.

Vì mỗi lá thư chỉ được chọn duy nhất 1 phong bì nên số cách chọn cả 5 lá đều đúng người nhận là 1.

Lá thứ nhất và lá thứ 2 có đúng 1 cách chọn.

Lá thứ 3 có 3 cách chọn

Lá thứ 4 có 2 cách chọn

Lá thứ 5 có 1 cách chọn

Suy ra $n(C) = 6 \Rightarrow P(C) = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

Câu 17: Vận dụng

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Biến cố nào sau đây biểu diễn biến cố chỉ bắn trúng mục tiêu 2 lần?

A.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
B.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
C.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
D.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.

Ta có: $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau có ý nghĩa chỉ có lần thứ i; j bắn trúng bia và lần thứ k, m thì không bắn trúng.

Câu 18: Thông hiểu

Một lớp học sinh có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để trực nhật lớp. Hỏi số cách chọn 5 học sinh đó, biết rằng nhóm học sinh được chọn có 3 nam và 2 nữ?

A.
$9880$ cách
B.
$45000$ cách
C.
$136500$ cách
D.
$241500$ cách

Chọn 3 học sinh nam từ 25 học sinh nam có $C_{25}^{2}$ cách.

Chọn 2 học sinh nam từ 15 học sinh nam có $C_{15}^{2}$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là $C_{25}^{2}.C_{15}^{2} = 241500$ chọn.

Câu 19: Thông hiểu

Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là:

A. 7⁵
B. 7!
C. 240
D. 2401

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số có chữ số 3 đứng đầu tiên có dạng là: $\overline {3bcde}$

Do không có điều kiện về các chữ số còn lại

=> Số cách chọn các chữ số b, c, d, e là ${7^4} = 2401$ cách

=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là: 1 . 2401 = 2401 số

Câu 20: Nhận biết

Ban chấp hành liên chi đoàn khối 11 có 3 nam, 2 nữ. Cần thành lập một ban kiểm tra gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách thành lập ban kiểm tra là:

A. 6
B. 8
C. 9
D. 10

Số cách lập ban kiểm tra có 3 người là: $C_5^3 = 10$ cách

Sô cách lập ban kiểm tra có 3 người trong đó không có nữ là: $C_3^3 = 1$ cách

=> Số cách thành lập ban kiểm tra có ít nhất một nữ là: $10 - 1 = 9$ cách

Câu 21: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 22: Nhận biết

Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?

A. 12
B. 24
C. 4
D. 6

Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì.

Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có: $3! = 6$ cách.

Vậy số cách sắp xếp là 6 cách.

Câu 23: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 24: Thông hiểu

Một kệ sách có 15 quyển sách (4 quyển sách Toán khác nhau, 5 quyển sách Lý khác nhau và 6 quyển sách Văn khác nhau). Người ta lấy ngẫu nhiên 4 quyển sách từ kệ. Tính xác suất để số sách lấy ra không đủ ba môn.

A.
$\frac{23}{65}$
B.
$\frac{4}{13}$
C.
$\frac{720}{1365}$
D.
$\frac{43}{91}$

Số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{15}^{4} = 1365$

Gọi A là biến cố “Lấy ra 4 quyển sách có đủ 3 môn”.

Trường hợp 1: 2 sách Toán, 1 sách Lý, 1 sách Văn có $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{6}^{1}$ cách lấy.

Trường hợp 2: 1 sách Toán, 2 sách Lý, 1 sách Văn có $C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1}$ cách lấy.

Trường hợp 3: 1 sách Toán, 1 sách Lý, 2 sách Văn có $C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{6}^{2}$ cách lấy.

Vậy kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{6}^{2} = 720$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{720}{1365}$

Xác suất cần tìm là: $P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{720}{1365} = \frac{43}{91}$

Câu 25: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 3 và 2:

A. 12
B. 16
C. 17
D. 20

Số chia hết cho 2 và 3 là 6k, với k là số tự nhiên.

Theo đề bài ta có:

0 ≤ 6k < 100

=> 0 ≤ k < 16,7

Vậy có 17 chữ số thỏa mãn.

Câu 26: Nhận biết

Một nhóm học sinh gồm 15 người. Cần chọn 3 người lần lượt làm các chức vụ nhóm trưởng, nhóm phó và kiểm soát. Số cách chọn là:

A.
$455$ cách
B.
$15!$ cách
C.
$2370$ cách
D.
$2730$ cách

Số cách chọn 3 người đảm nhiệm 3 chức vụ khác nhau từ 15 người là:

$A_{15}^{3} = 2730$ (cách)

Vậy có tất cả 2730 cách chọn.

Câu 27: Thông hiểu

Trong một bể cá cảnh có chứa 40 con gồm 10 cá đỏ, 15 cá vàng; 8 cá đen, còn lại là cá bạc. Chọn ngẫu nhiên 6 con cá trong bể. Tính xác suất để lấy được 6 con cá có cùng màu?

A.
$1,37.10^{- 3}$
B.
$1,25.10^{- 3}$
C.
$2,57.10^{- 3}$
D.
$2,04.10^{- 3}$

Gọi A là biến cố lấy được 6 con cá đỏ $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$

B là biến cố lấy được 6 con cá vàng $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$

C là biến cố lấy được 6 con cá đen $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$

D là biến cố lấy được 6 con cá bạc $\Rightarrow P(D) = \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$

E là biến cố lấy được 6 con cá cùng màu

$\Rightarrow E = A \cup B \cup C \cup D$

$\Rightarrow P(E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}} \approx 1,37.10^{- 3}$

Câu 28: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Giả sử N là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Mô tả nào sau đây đúng khi mô tả biến cố N?

A.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6) ight\}$
B.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),(6;6) ight\}$
C.
$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$
D.
$N = \left\{ (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6,6) ight\}$

Mô tả đúng biến cố N là:

$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$

Câu 29: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 30: Thông hiểu

Trong 100 vé số, có 5 vé trúng thưởng. Nam mua 3 tờ vé số. Tính xác suất để Nam trúng số.

A.
$\frac{{27683}}{{32340}}$
B.
$\frac{{5}}{{2338}}$
C.
$\frac{{2608}}{{3247}}$
D.
$\frac{{4657}}{{32340}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{100}^3 = 161700$

Số vé không trúng thưởng là: 100 - 5 = 95 vé

Gọi A là biến cố: "Ba tờ vé số có vé trúng thưởng"

Trường hợp 1: Có 1 vé trúng, 2 vé không trúng

Kết quả là: $C_5^1.C_{95}^2$

Trường hợp 2: Có 2 vé trúng, 1 vé không trúng

Kết quả là: $C_5^2.C_{95}^1$

Trường hợp 3: Có 3 vé đều trúng

Kết quả là: $C_5^3$

=> Số phần tử của biến cố A là:

$n\left( A ight) = C_5^1.C_{95}^2 + C_5^2.C_{95}^1 + C_5^3 = 23285$

=> Xác suất để Nam trúng số là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{23285}}{{161700}} = \frac{{4657}}{{32340}}$

Vậy kết quả là: $\frac{{4657}}{{32340}}$

Câu 31: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn có 6 chỗ, hai cách ngồi được coi là như nhau nếu có thể nhận được từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó?

A. 720
B. 24
C. 120
D. 12

Vì bàn tròn ghế không có sắp xếp thứ tự.

Ta chọn một người ngồi ở một vị trí trong 6 chỗ làm mốc.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí trống còn lại ta được 5! = 120 cách

Vậy ta có: 1 . 120 = 120 cách để sắp xếp 6 người ngồi vào bàn tròn 6 chỗ

Câu 32: Thông hiểu

Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:

A. $\frac{1}{{13}}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{{12}}{{13}}$
D. $\frac{3}{4}$

Số phần tử không gian mẫu là: 52

Một bộ bài 52 lá có 13 bộ 4 lá bài trong đó có mỗi bộ có 1 lá bích

=> Số lá bích trong bộ bài là 13 lá

=> Xác suất để được lá bích là: $P = \frac{{13}}{{52}} = \frac{1}{4}$

Câu 33: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 34: Nhận biết

Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
H và K là hai biến cố đối nhau.
B.
H và K là hai biến cố tương đương.
C.
H và K là hai biến cố không xung khắc.
D.
H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.

Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.

Câu 35: Thông hiểu

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đáp án là:

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đầu tiên, 9 con cá đói, mỗi con sẽ ăn 3 con cá đói khác để tạo thành 1 con cá no. Khi đó trong trò chơi còn lại 2 con cá đói và 9 con cá no.

Để số con cá no là tối đa thì 1 con cá đói sẽ ăn 1 con cá đói còn lại và 2 con cá no khác.

Khi đó, trong trò chơi sẽ không còn cá đói và có 8 con cá no.

Câu 36: Thông hiểu

Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thu vào vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{4}$

Xét các bộ $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ trong đó $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ là một hoán vị của tập $A = \left\{ 1;2;3 ight\}$

Ở đây $x_{i} = i,(i = 1,2,3)$ tức là lá thư thứ i đã bỏ đúng địa chỉ.

Gọi $\Omega$ là tập họp tất cả các khả năng bỏ ba lá thư vào 3 phong bì, khi đó $n_{\Omega} = 3! = 6$

Gọi A là biên cố "Có ít nhất một lá thư bő đúng phong bì".

Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là $\Omega_{A} = \left\{ (1;2;3),(1;3;2),(3;2;1),(2,1,3) ight\}$

Vậy $\left| \Omega_{A} ight| = 4$ xác suất cần tính là $P(A) = \frac{2}{3}$

Câu 37: Nhận biết

Cho 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

A. 120
B. 1
C. 3125
D. 600

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành là: ${5^5} = 3125$ số

Câu 38: Nhận biết

Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;...;12;13 ight\}$ . Gọi $M$ là biến cố lấy ra được số nguyên tố. Hãy liệt kê các phần tử của biến cố $M$ ?

A.
$\left\{ 1;2;3;5;7;11;13 ight\}$
B.
$\left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$
C.
$\left\{ 3;5;7;11;13 ight\}$
D.
$\left\{ 2;3;7;11;13 ight\}$

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chia hết cho 1 và chính nó vì vậy:

$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$

Câu 39: Vận dụng

Từ tập hợp các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?

A.
$1200$
B.
$1224$
C.
$720$
D.
$480$

Gọi $\left\{ \begin{matrix} A = \left\{ 1;3;5;7;9 ight\} \\ B = \left\{ 2;4;6;8 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi số có 4 chữ số là $\overline{abcd}$ khi đó có 3 trường hợp xảy ra:

TH1: Số cần tìm có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ

Có $C_{4}^{2}$ cách chọn 2 chữ số chẵn.

Có $C_{5}^{2}$ cách chọn 2 chữ số lẻ.

Có 2! cách xếp 2 chữ số chẵn (tạo ra 3 khoảng trống kể cả hai đầu)

Có $A_{3}^{2}$ cách sắp xếp 2 chữ số lẻ vào 3 khoảng trống.

Vậy trường hợp này có: $C_{4}^{2}.C_{5}^{2}.2!.A_{3}^{2} = 720$ cách.

TH2: Số cần tìm có 3 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ

Có $C_{4}^{3}$ cách chọn 3 chữ số chẵn.

Có $5$ cách chọn 1 chữ số lẻ.

Có 4! cách xếp các số sau khi chọn

Vậy trường hợp này có: $C_{4}^{3}.5.4! = 480$ cách.

TH3: Số cần tìm có 4 chữ số chẵn

Có 4! = 24 cách xếp các số sau khi chọn

Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 720 + 480 + 24 = 1224 số.

Câu 40: Vận dụng

Xác suất để thắng một trận game là $\frac{2}{5}$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $\frac{19}{20}$ ?

Đáp án: 6 trận

Đáp án là:

Xác suất để thắng một trận game là $\frac{2}{5}$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $\frac{19}{20}$ ?

Đáp án: 6 trận

Gọi n là số trận người đó chơi.

A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố người đó không thắng trận nào.

$\overline{A} = \overline{A_{1}}.\overline{A_{2}}.\overline{A_{3}}...\overline{A_{n}}$ trong đó $\overline{A_{i}}$ là biến cố người đó thắng trận thứ i và $P\left( \overline{A_{i}} ight) = 0,6;i = \overline{1,n}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight).P\left( \overline{A_{2}} ight).P\left( \overline{A_{3}} ight)...P\left( \overline{A_{n}} ight) = 0,6^{n} \\ P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,6^{n} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bất phương trình

$1 - 0,6^{n} > 0,95$

$\Leftrightarrow 0,6^{n} < 0,05$

$\Leftrightarrow n >\log_{0,6}0,05$

Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 6.

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!