Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.
Không gian mẫu
Vì có 5 cách chọn x và có 5 cách chọn y nên
Gọi A là biến cố “Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ không nhỏ hơn 3”.
Khi đó là biến cố “Tổng hai số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 3”.
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D:
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến B rồi đến D là 3.2 = 6
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến C rồi đến D là 2.3 = 6
=> Số con đường đi từ thành phố A đến thành phố D là: 6 + 6 = 12 đường
Đầu giờ học cô giáo gọi 3 bạn A, B, C và một vài bạn khác để kiểm tra miệng. Cô giáo sẽ ngừng kiểm tra khi đã cho 2 bạn thuộc bài. Biết xác suất thuộc bài của A, B, C lần lượt là
. Tính xác suất để cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn A, B, C?
Đáp án: 0,398
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đầu giờ học cô giáo gọi 3 bạn A, B, C và một vài bạn khác để kiểm tra miệng. Cô giáo sẽ ngừng kiểm tra khi đã cho 2 bạn thuộc bài. Biết xác suất thuộc bài của A, B, C lần lượt là . Tính xác suất để cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn A, B, C?
Đáp án: 0,398
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
TH1: A thuộc bài, B không thuộc bài, C thuộc bài có xác suất là:
TH2: A không thuộc bài, B thuộc bài, C thuộc bài có xác suất là:
TH2: A thuộc bài, B thuộc bài, C không thuộc bài có xác suất là:
Vậy xác suất cần tìm là:
Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?
Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu có số phần tử là
Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.
TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.
TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có khả năng.
TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có khả năng.
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Chọn mô tả đúng dưới đây?
Mô tả không gian mẫu đúng là:
Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?
Ta đánh số 3 quán cơm là
Gọi lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.
Như vậy không gian mẫu là
Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên
Kết quả thuận lợi cho biến cố "3 sinh viên vào cù môt quán" là
Vậy xác suất của biến cố này là
Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó có 2 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng?
Số cách lấy 2 viên bi màu xanh là: cách
Số cách lấy 4 viên bi màu vàng là: cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách lấy ra 6 viên bi thỏa mãn đề bài là:
cách
Chọn ngẫu nhiên và đồng thời hai viên bi trong hộp chứa 3 trắng và 2 bi đỏ. Ta có các biến cố sau:
E “Hai viên bi cùng màu trắng”
F “Hai viên bi cùng màu đỏ”
G “Hai viên bi cùng màu”
H “Hai viên bi khác màu”
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: nên biến cố
xung khắc với các biến cố
.
Hai người cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được (ít nhất một con) cá là 0,1; xác suất để Y câu được cá là 0,15. Sau buổi đi câu hai người cùng góp cá lại. Xác suất để hai bạn X và Y không trở về tay không bằng:
Xác suất để X không câu được cá là 1 - 0,1 = 0,9
Xác suất để Y không câu được cá là 1 - 0,15 = 0,85
Xác xuất X và Y trở về tay không (không có con cá nào) là
=> Xác suất X và Y ko trở về tay ko là:
Từ các chữ số 1; 2; 5; 7; 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 278?
Số các chữ số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1; 2; 5; 7; 8 có dạng:
Do số tự nhiên tạo thành nhỏ hơn số 276 =>
Trường hợp 1: a = 2
Nếu b = 7 mà số tự nhiên có ba chữ số khác nhau => c có 2 cách chọn {1; 5}
=> Số các số được tạo thành là: 1 . 1 . 2 = 2 (số)
Nếu b khác 7, b có 2 cách chọn {1, 5} => c sẽ có: 5 - 1 - 1 = 3 (cách chọn)
=> Số các số được tạo thành là: 1.2.3 = 6 (số)
Vậy trường hợp 1 ta có tất cả 8 số được tạo thành
Trường hợp 2: a = 1
Khi đó b sẽ có 4 cách chọn {2, 5, 7, 8} và c có 3 cách chọn
=> Số các số được tạo thành là: 1 . 4 . 3 = 12 (số)
=> Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 278 được tạo thành là: 8 + 12 = 20 số
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau
Gọi số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là 6 cách
Số cách chọn b là 5 cách
Số cách chọn c là 4 cách
=> Số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành là: 6 . 5 . 4 = 120 số
Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình thăm một bạn không quá một lần
Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.
Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.
Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.
Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.
Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.
Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.
Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách.
Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124,134} dưới dạng mệnh đề
Mệnh đề đúng được phát biểu như sau:
"Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước"
Cho các chữ số
. Giả sử tập hợp
là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên một số
. Xác suất để chọn được
?
Gọi số phần tử của tập hợp M là
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được số lớn hơn .
Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số là ta có:
nên ta có các trường hợp sau:
TH1: nên c có 5 cách chọn và d có 5 cách chọn.
Do đó trường hợp này có: số.
TH2: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
TH3: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
Vậy xác suất cần tính là: .
Cho
là các biến cố đôi một xung khắc và
là biến cố chắc chắn. Biết
. Tính xác suất của biến cố
?
Gọi theo giả thiết ta có:
Vì là biến cố chắc chắn nên
Mặt khác là các biến cố đôi một xung khắc nên
Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì.
Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có: cách.
Vậy số cách sắp xếp là 6 cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số
?
Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, . . . , 9 là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.
Vậy có số được tạo thành.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và
viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là
?
Kết quả: 177/182
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là
?
Kết quả: 177/182
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Theo bài ra ta có tổng số viên bi trong hộp là
Láy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là
Gọi A là biến cố 3 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
=> Xác suất lấy được 3 viên bi có đủ 3 màu là:
Do đó trong hộp có 14 viên bi và
Gọi B là biến cố 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ
Suy ra là biến cố 3 viên bi lấy được đều là bi đỏ.
Số kết quả thuận lợi cho là:
Khi đó xác suất P để trong 3 viên bi lấy được nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
và
. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?
Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia
Khi đó là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp”?
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần
=> Số phần tử không gian mẫu là:
Ta có:
Giả sử
là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên
Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn trong đó có đúng một bạn là nữ?
Ta có:
Ba bạn được chọn có 1 nữ và 2 nam
=> Số cách chọn là: cách
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
Số phần tử không gian mẫu là:
Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"
=>
=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Hai hộp gỗ được đặt trên bàn. Hộp A chứa 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Hộp B chứ 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp A sang hộp B rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp B ra. Tính xác suất để viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ?
Xảy ra hai trường hợp:
TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi đỏ và 5 viên bi canh. Xác suất để lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là:
TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu xanh và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi đỏ và 6 viên bi canh. Xác suất để lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là:
Vậy xác suất cần tìm là:
Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là:
Do số tạo thành là số lẻ => e = {1; 7; 9}
=> Số cách chọn e là: 3 cách
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 4 cách
Số cách chọn c là 3 cách
Số cách chọn d là 2 cách
=> Số các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành là: 3 . 4 . 4 . 3 . 2 = 288 số
Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:
M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.
N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.
T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.
Hai biến cố nào xung khắc với nhau?
Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.
Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.
Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.
Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định
sau:
N(A) = 4 => Khẳng định đúng
N(B) = 3 => Khẳng định đúng
A ∩ B = {c, d} => N(A ∩ B) = 2 là khẳng định đúng
A ∪ B = {a, b, c, e} => N(A ∪ B) = 4 => Khẳng định sai là N(A ∪ B) = 7
Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ cùng màu?
Gọi A là biến cố lấy được 3 thẻ trắng
B là biến cố lấy được 3 thẻ đỏ
C là biến cố lấy được 3 thẻ xanh
Gọi D là biến cố lấy được 3 thẻ cùng màu
Khi đó
Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi
là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ
. Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố
.
Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần
Khi đó là biến cố lần thứ
bắn không trúng mục tiêu.
Khi đó ta có:
Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).
Như vậy, ta có trận đấu.
Xác suất sút bóng phạt đền 11m của hai cầu thủ A và B lần lượt là
và
. Biết rằng mỗi cầu thủ sút một quả phạt đền và hai người sút độc lập. Tìm xác suất để ít nhất 1 người sút bóng thành công?
Xác suất sút không thành công của cầu thủ A là
Xác suất sút không thành công của cầu thủ B là
Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công là
=> Xác suất để ít nhất 1 người sút bóng thành công là:
Một nhóm học sinh gồm 15 người. Cần chọn 3 người lần lượt làm các chức vụ nhóm trưởng, nhóm phó và kiểm soát. Số cách chọn là:
Số cách chọn 3 người đảm nhiệm 3 chức vụ khác nhau từ 15 người là:
(cách)
Vậy có tất cả 2730 cách chọn.
Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 790. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
Số điện thoại cần tìm có dạng
Số cách chọn a có 10 cách
Số cách chọn b có 10 cách
Số cách chọn c có 10 cách
Số cách chọn d có 10 cách
=> Có tối đa số điện thoại là: 10.10.10.10 = 104 = 10 000 số
Trong một phép lai, cho hai giống vịt lông đen thuần chủng và lông trắng thuần chủng giao phối với nhau được đời cây F1 toàn là lông đen. Tiếp tục cho con đời F1 giao phối với nhau được một đàn con mới. Chọn ngẫu nhiên 2 con trong đàn vịt con mới. Ước lượng xác suất của biến cố trong 2 con vịt được chọn có ít nhất một con lông đen?
Quy ước gene A: lông đen và gene a: lông trắng
Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ lông đen với lông trắng là 3 : 1
Trong đàn vịt mới xác suất để được một con lông đen là và con lông trắng là
Gọi là biến cố có đúng 1 con lông đen trong 2 con được chọn
Gọi B là biến cố có 2 con vịt lông đen trong 2 con được chọn
Khi đó là biến cố có ít nhất 1 con lông đen trong 2 con được chọn
Do A và B là hai biến cố xung khắc nên
Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:
Ta có:
Ông An hay bà An đứng ở dầu hoặc cuối hàng
=> Có hai cách sắp xếp
Tiếp theo xếp 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc
=> Có 6! cách sắp xếp
=> Có tất cả 2 . 6! = 1440 cách
Cho
. Chọn khẳng định đúng?
Theo giả thiết ta có:
Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.