Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

A. 35
B. 30240
C. 210
D. 21

Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

=> Có $A_7^3 = 210$ cách.

Câu 2: Nhận biết

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:

A. 900
B. 901
C. 899
D. 999

Ta có:

Các số tự nhiên có ba chữ số là 100; 101; ...; 998; 999

=> Có 999 − 100 + 1 = 900 số tự nhiên có ba chữ số.

Câu 3: Vận dụng

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{{11}}{{36}}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6.6 = 36$

Giả sử N là biến cố " Tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3"

Trường hợp 1: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là giống nhau

(3; 3), (6; 6)

Trường hợp 2: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là khác nhau

(1; 2), (1; 5); (2; 4), (3; 6), (4; 5)

Mỗi khả năng xảy ra có 2 hoán vị nên số phần tử của biến cố là 10 khả năng xảy ra.

=> Số khả năng xảy ra của biến cố N là: 10 + 2 = 12

=> Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là: $P\left( N ight) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 4: Vận dụng

Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?

A.
$1331$
B.
$1313$
C.
$1350$
D.
$1530$

Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu $\Omega$ có số phần tử là $n(\Omega) = (6.2)^{3} = 1728$

Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.

TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.

TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{2}.1.1.(12 - 1) = 33$ khả năng.

TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{1}.1.(12 - 1)(12 - 1) = 3.11.11 = 363$ khả năng.

$\Rightarrow n(P) = 1 + 33 + 363 = 397$

$\Rightarrow n\left( \overline{P} ight) = 1728 - 397 = 1331$

Câu 5: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 6: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 7: Nhận biết

Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 790. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:

A. 1000
B. 100000
C. 10000
D. 1000000

Số điện thoại cần tìm có dạng $\overline {790abcd}$

Số cách chọn a có 10 cách

Số cách chọn b có 10 cách

Số cách chọn c có 10 cách

Số cách chọn d có 10 cách

=> Có tối đa số điện thoại là: 10.10.10.10 = 10⁴ = 10 000 số

Câu 8: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 9: Vận dụng

Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có chẵn, mỗi số có 5 chữ số trong đó có đúng hai số lẻ, 2 số lẻ đó đứng cạnh nhau.

A. 450
B. 360
C. 186
D. 294

Gọi số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là m

Số cách chọn được m là: $A_3^2$

Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa M và ba trong bốn chữ số 0; 2; 4; 6

Gọi $\overline {abcd} ;\left( {a,b,c,d \in \left\{ {m,0;2;4;6} ight\}} ight)$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1: Nếu a = m ta có:

Số cách chọn a là 1 cách

Số cách chọn b, c, d là $A_4^3$ cách

Trướng hợp 2: Nếu a khác m thì ta có:

Số cách chọn a là 3 cách

Nếu b = m thì có 1 cách chọn b và $A_3^2$ cách chọn c, d

Nếu c = m thì có 1 cách chọn c và $A_3^2$ cach chọn b, d

=> Số các số được tạo thành là: $A_3^2.\left[ {A_4^3 + 3\left( {1.A_3^2 + 1.A_3^2} ight)} ight] = 360$

Câu 10: Thông hiểu

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh?

A. 1050
B. 1260
C. 105
D. 1200

Hộp chứa 10 + 5 = 15 viên bi

Số cách lấy 4 viên bi trong hộp là: $C_{15}^4 = 1365$ cách

Số cách lấy 4 viên bi không có viên bi xanh là: $C_5^4 = 5$ cách

Số cách lấy 4 viên bi có 1 viên bi xanh là: $C_{10}^1.C_5^3 = 100$ cách

=> Số lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh là: $1365 - 5 - 100 = 1260$ cách

Câu 11: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 13080
B. 16080
C. 136080
D. 36080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 12: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;N} ight),\left( {S;N;S} ight),\left( {N;S;S} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 3 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{3}{8} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 13: Thông hiểu

Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{2}{3}$

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Gọi biến cố $A$ :"Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ".

Khi đó biến cố $A$ có 3 khả năng xảy ra:

+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia: $\frac{1}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ .

+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia: $\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{6}$ .

+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia: $\frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

Khi đó $P(A) = \frac{1}{3}.\frac{3}{4} + \frac{2}{3}.\frac{1}{4} + \frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{11}{12}$ .

Câu 14: Thông hiểu

Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120
B. 216
C. 312
D. 360

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

Trường hợp 2: e ≠ 0

=> e = {2; 8}

=> Số cách chọn e là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 2 .4. 4. 3 . 2 = 192 số

=> Từ dãy số tạo được số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau là 120 + 192 = 312 số

Câu 15: Vận dụng

Hai học sinh thi đấu chơi game với nhau. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 hiệp. Tại thời điểm bạn A đã thắng 4 hiệp và bạn B mới thắng 2 hiệp. Tính xác suất để bạn A giành chiến thắng?

A.
$\frac{7}{8}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{4}{5}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi thời điểm bạn A đã thắng 4 hiệp và bạn B mới thắng 2 hiệp là hai người đá đánh được i hiệp và gọi $A_{ij};j \in \left\{ 1;2 ight\}$ là biến cố ở hiệp thứ I, người thứ j thắng

Vậy xác suất để bạn A giành chiến thắng là:

$P\left( A_{(i + 1)1} ight) + P\left( \overline{A_{(i + 1)1}} \cap A_{(i + 2)1} ight) + P\left( \overline{A_{(i + 1)1}} \cap \overline{A_{(i + 2)1}} \cap A_{(i + 3)1} ight)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{7}{8}$

Câu 16: Thông hiểu

Lẫy ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp có 13 viên bi gồm 6 bi xanh, 7 bi đỏ. Tính xác suất để 5 viên bi lấy được có số bi xanh nhiều hơn số bi đỏ?

A.
$\frac{254}{429}$
B.
$\frac{59}{143}$
C.
$\frac{84}{143}$
D.
$\frac{175}{429}$

Gọi A là biến cố lấy số bi xanh nhiều hơn bi đỏ

Khi đó ta có: $n(\Omega) = C_{13}^{5}$

TH1: lấy được 5 viên bi xanh $C_{6}^{5}$ cách

TH2: lấy được 4 viên bi xanh; 1 viên bi đỏ $C_{6}^{4}.C_{7}^{1}$ cách

TH3: lấy được 3 viên bi xanh; 2 viên bi đỏ $C_{6}^{3}.C_{7}^{2}$ cách

Do đó xác suất của biến cố A là:

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{59}{143}$

Câu 17: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “kết quả của 3 lần gieo là như nhau”. Tính xác suất của biến cố A?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;S} ight),\left( {N;N;N} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 2 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 18: Thông hiểu

Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thu vào vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{4}$

Xét các bộ $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ trong đó $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ là một hoán vị của tập $A = \left\{ 1;2;3 ight\}$

Ở đây $x_{i} = i,(i = 1,2,3)$ tức là lá thư thứ i đã bỏ đúng địa chỉ.

Gọi $\Omega$ là tập họp tất cả các khả năng bỏ ba lá thư vào 3 phong bì, khi đó $n_{\Omega} = 3! = 6$

Gọi A là biên cố "Có ít nhất một lá thư bő đúng phong bì".

Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là $\Omega_{A} = \left\{ (1;2;3),(1;3;2),(3;2;1),(2,1,3) ight\}$

Vậy $\left| \Omega_{A} ight| = 4$ xác suất cần tính là $P(A) = \frac{2}{3}$

Câu 19: Thông hiểu

Một tổ học sinh gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành ba nhóm, mỗi nhóm ba em. Tính xác suất để mỗi nhóm có một nữ?

A.
$0,32$
B.
$0,23$
C.
$0,41$
D.
$0,48$

Gọi A là biến cố: "Ở 3 nhóm học sinh, mỗi nhóm có một nữ".

Tìm $|\Omega|$

Chọn ngẫu nhiên 3 trong 9 em đưa vào nhóm thứ nhất có $C_{9}^{3}$ cách.

Chọn 3 trong 6 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai có $C_{6}^{3}$ cách.

Còn 3 em, đưa vào nhóm thứ 3 có 1 cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{9}^{3}.C_{6}^{3}.1 = 1680$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Phân 3 nữ vào ba nhóm có $P_{3} = 3! = 6$ cách khác nhau.

Phân 6 nam vào ba nhóm theo cách trên có $C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.1$ khác nhau

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $\left| \Omega_{A} ight| = 6.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.1 = 540$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{540}{1680} = \frac{9}{26} \approx 0,32$

Câu 20: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?

A. 60
B. 36
C. 120
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: $\overline {abc}$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c ∈ {0; 5}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 6 cách

=> Số các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 được tạo thành là: 2 . 5 . 6 = 60 số

Câu 21: Thông hiểu

Từ các chữ số $9;1;5;7;2$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn $276$ ?

A.
$34$
B.
$30$
C.
$20$
D.
$25$

Gọi $\overline{abc}$ là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.

Trường hợp 1: a = 1

Số cách chọn $\overline{abc}$ là $1.4.3 = 12$ số.

Trường hợp 2: $a = 2;b = 7$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.1.2 = 2$ số.

Trường hợp 3: $\left\lbrack \begin{matrix} a = 2;b = 1 \\ a = 2;b = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.2.3 = 6$ số.

Vậy có 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 22: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 9425
C. 4500
D. 2300

Số cách chọn ba học sinh trong lớp là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử: $C_{40}^3 = 9880$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$

=> Số cách chọn ba học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam là: $9880 - 455 = 9425$ cách

Câu 23: Nhận biết

Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
H và K là hai biến cố đối nhau.
B.
H và K là hai biến cố tương đương.
C.
H và K là hai biến cố không xung khắc.
D.
H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.

Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.

Câu 24: Nhận biết

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Giả sử biến cố M là biến cố số được chọn là số nguyên tố. Mô tả nào sau đây đúng?

A.
$M = \left\{ 1;2;3;5;7;11;13;17ight\}$
B.
$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13;17;19ight\}$
C.
$M = \left\{ 1;2;3;5;7;9;11;13;17ight\}$
D.
$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13;15;17ight\}$

Các số nguyên dương không lớn hơn 20 là: $1;2;3;4;....;20$

Các số nguyên tố không vượt quá 20 là: $2;3;5;7;11;13;17;19$

Vậy $M = \left\{ 2;3;5;7;11;13;17;19ight\}$

Câu 25: Nhận biết

Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nẵng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.

A. 4
B. 20
C. 24
D. 120

Theo bài ra ta có 5 ban nhạc đến từ các trường

Chọn ban nhạc Nha Trang biểu diễn đầu tiên

=> Số cách sắp xếp 4 ban nhạc còn lại là: 4! = 24 cách

=> Số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên là 24 cách.

Câu 26: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào bia điểm. Biết xác suất bắn trúng 10 điểm của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $0,75$ và $0,85$ . Tính xác suất để có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm?

A.
$0,9625$
B.
$0,325$
C.
$0,0375$
D.
$0,6375$

Gọi A là biến cố có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không có cung thủ nào trúng 10 điểm

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = (1 - 0,75).(1 - 0,85) = 0,0375$

$\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,0375 = 0,9625$

Câu 27: Thông hiểu

Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp. Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư.

A. $\frac{5}{{21}}$
B. $\frac{{5}}{{6}}$
C. $\frac{1}{{21}}$
D. $\frac{1}{{41}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^4$

Số hộp sữa không bị hư là: 10 - 3 = 7 (hộp)

Số cách chọn 4 hộp sữa mà không hộp sữa nào bị hư nào là: $C_{7}^4$

Số cách để chọn 4 hôp sữa ít nhất một hộp hư là: $C_{10}^4 -C_{7}^4 =175$ (cách chọn)

=> Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư là: $P = \frac{{175}}{{C_{10}^4}} = \frac{5}{6}$

Câu 28: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?

A.
$A;B$ là hai biến cố xung khắc.
B.
$A \cup B$ là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
$A \cap B$ là biến cố tổng số chấm hai lần gieo là 6.
D.
$A;B$ là hai biến cố độc lập.

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ $A;B$ là hai biến cố xung khắc.”

Câu 29: Thông hiểu

Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124,134} dưới dạng mệnh đề

A.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4
B.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
C.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập chia hết cho 2 hoặc 3
D.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số tận cùng là 3 hoặc 4

Mệnh đề đúng được phát biểu như sau:

"Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước"

Câu 30: Vận dụng cao

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Đáp án là:

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Gọi A là biến cố làm đúng x câu hỏi của bạn H

Ta có xác suất để làm đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ , xác suất làm sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Theo quy tắc nhân xác suất ta có:

Xác suất của biến cố A là $P(A) =C_{50}^{x}.\left( \frac{1}{4} ight)^{x}.\left( \frac{3}{4} ight)^{50- x} = \frac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \frac{3}{4}ight)^{50}$

Xét hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x + 1}}{3^{x + 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x - 1}}{3^{x - 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3C_{50}^{x} \geq C_{50}^{x + 1} \\C_{50}^{x} \geq 3C_{50}^{x - 1} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3.\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x + 1)!(49 - x)!} \\\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x - 1)!(51 - x)!} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{50 - x} \geq \dfrac{1}{x + 1} \\\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{51 - x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{47}{4} \\x \leq \dfrac{51}{4} \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x\mathbb{\in Z} ight) \Rightarrow x =12$

Câu 31: Nhận biết

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{11}{345}$
C.
$\frac{3}{435}$
D.
$\frac{119}{145}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_{3}^{2} = 3$

Vậy xác suất để cần tìm là: $\frac{3}{345}$

Câu 32: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần. Không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?

A.
$64$
B.
$32$
C.
$10$
D.
$16$

Mỗi lần gieo đồng xu có hai khả năng xảy ra nên khi tung đồng xu đó 5 lần thì theo quy tắc nhân ta có: ${2^5} = 32$

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega ight) = 32$

Câu 33: Thông hiểu

Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

A. 100
B. 105
C. 210
D. 200

Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).

Như vậy, ta có $C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{13!.2!}} = 105$ trận đấu.

Câu 34: Nhận biết

Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là:

A. 43680
B. 24
C. 752
D. 1820

Số cách chọn ban chấp hành (4 thành viên) từ 16 thành viên là: $C_{16}^4 = 1820$

Câu 35: Thông hiểu

Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số đó. Tính xác suất để trọng lượng ba quả cân được chọn không vượt quá 9kg.

A.
$\frac{3}{14}$
B.
$\frac{3}{28}$
C.
$\frac{1}{8}$
D.
$\frac{11}{28}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số 8 quả cân có khối lượng đã cho tương ứng. ω Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{8}^{3} = 56$

Gọi C là biến cố “trọng lượng ba quả cân được chọn không vượt quá 9kg”

Ta có các bộ 3 số có tổng khối lượng không vượt quá 9kg gồm:

$(1,2,3);(1,2,4);(1,2,5);(1,2,6);(1,3,4);(1,3,4);(2,3,4)$

$n(A) = 7 \Rightarrow P(A) = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$

Câu 36: Thông hiểu

Cho các số 1, 2, 4, 5, 7 có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho:

A. 120
B. 256
C. 24
D. 36

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số được chọn là số chẵn => c = {2; 4}

=> Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

=> Số cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho là 2 . 4 . 3 = 24 số

Câu 37: Nhận biết

Trong bài kiểm tra 15 phút, Minh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Tính xác suất để Minh tô sai cả 5 câu?

A.
$\frac{15}{1024}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{243}{1024}$
D.
$\frac{1}{1024}$

Xác suất tô sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Vậy xác suất để Minh tô sai cả 5 câu là $\left( \frac{3}{4} ight)^{5} = \frac{243}{1024}$

Câu 38: Vận dụng

Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C là $\frac{1}{5}$ và của các trạm D, V là $\frac{1}{10}$ . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).

A.
$0,97456$
B.
$0,98208$
C.
$0,01792$
D.
$0,02544$

Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện

A, B, C, D, V là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V gặp sự cố kĩ thuật.

Ta có:

$\overline{Q} = (A \cap B \cap C) \cup (D \cap V)$

Suy ra $P\left( \overline{Q} ight) = P(ABC) + P(DV) - P(ABCDV)$

$P\left( \overline{Q} ight) = P(A).P(B).P(C) + P(D).P(V)$

$- P(A).P(B).P(C).P(D).P(V)$

$= 0,2.0,2.0,2 + 0,1.0,1 - 0,2.0,2.0,2.0,1.0,1 = 0,01792$

Vậy $P\left( \overline{Q} ight) = 1 - P(Q) = 0,98208$

Câu 39: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 40: Thông hiểu

Trong một thùng có chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 4 viên bi được chọn có đủ ba màu?