Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là:

A. $\frac{5}{{36}}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$

Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc cân đối và đồng chất ta có:

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {6^2} = 36$

Giả sử B là biến cố "sau hai lần gieo kết quả như nhau"

=> B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

=> $n\left( B ight) = 6$

=> Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là: $P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$

Câu 2: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:

A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"

=> $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 3: Nhận biết

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 256
B. 120
C. 24
D. 16

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số khác nhau là 4! = 24 số

Câu 4: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau:

A. 4536
B. 49
C. 2156
D. 4530

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 9 cách

Số cách chọn b là 9 cách

Số cách chọn c là 8 cách

Số cách chọn d là 7 cách

=> Số các số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành là: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536 số

Câu 5: Nhận biết

Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D:

A. 6
B. 12
C. 18
D. 36

Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến B rồi đến D là 3.2 = 6

Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến C rồi đến D là 2.3 = 6

=> Số con đường đi từ thành phố A đến thành phố D là: 6 + 6 = 12 đường

Câu 6: Nhận biết

Xét phép thử: “Gieo hai con xúc xắc 2 lần sau đó gieo một đồng tiền xu”. Gọi $C = \left\{ (1,1,S);(2,2,S);(3,3,S);(4,4,S);(5,5,S);(6,6,S) ight\}$ là một biến cố. Đáp án nào dưới đây mô tả đúng biến cố $C$ ?

A.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
B.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau”.
C.
“Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
D.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau hoặc đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Mô tả đúng là: “Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Câu 7: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $B = \left\{ (3;6),(6;3),(4;6),(6;4),(5;6),(6;5),(6;6) ight\}$

$\Rightarrow n(B) = 7 \Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{36}$

Câu 8: Nhận biết

Cho các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau:

A. 12
B. 24
C. 64
D. 256

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Có thể lập được số các số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau là 4! = 24 số

Câu 9: Thông hiểu

Cho các số 1, 2, 4, 5, 7 có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho:

A. 120
B. 256
C. 24
D. 36

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số được chọn là số chẵn => c = {2; 4}

=> Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

=> Số cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho là 2 . 4 . 3 = 24 số

Câu 10: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con trong khu dân cư và quan sát giới tính của các con trong gia đình đó. Tính số phần tử của không gian mẫu.

A.
$9$
B.
$8$
C.
$7$
D.
$6$

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con và quan sát giới tính của ba người con đó ta có sơ đồ như sau:

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ TTT;TTG;TGT;TGG;GGG;GGT;GTG;GTT ight\}$

$\Rightarrow n(\Omega) = 8$

Câu 11: Thông hiểu

Cho 4 chữ số $2;4;6;8$ có thể lập được bao nhiêu chữ số biết rằng các số tạo thành thuộc khoảng $(200;600)$ ?

A.
$32$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$48$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c \in \left\{ 2;4;6;8 ight\}$ .

Theo giả thiết ta có hai cách chọn a

Với mỗi cách chọn a ta có 4 cách chọn b và 4 cách chọn x.

Vậy có $2.4.4 = 32$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 12: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ.

A. $\frac{1}{{560}}$
B. $\frac{1}{{16}}$
C. $\frac{1}{{28}}$
D. $\frac{{143}}{{280}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{16}^3 = 560$

B là biến cố "cả 3 viên bi không đỏ"

Trường hợp 1: Lấy được 1 viên bi trắng, 2 viên bi đen: $C_7^1.C_6^2$ cách

Trường hợp 2: Lấy được 2 viên bi trắng, 1 viên bi đen: $C_7^2.C_6^1$ cách

Trường hớp 3: Lấy được 3 viên chỉ màu trắng $C_7^3$ cách

Trường hợp 4: Lấy được 3 viên chỉ màu đen $C_6^3$ cách

=> $n\left( B ight) = C_7^1.C_6^2 + C_7^2.C_6^1 + C_7^3 + C_6^3 = 286$

=> Xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{286}}{{560}} = \frac{{143}}{{280}}$

Câu 13: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:

A. 6
B. 72
C. 720
D. 144

Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)

Xếp 3 nam có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Xếp 3 nữ có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Vậy có 2.(3.2.1)²= 72 cách xếp

Câu 14: Vận dụng cao

Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học rất kém môn Tiếng Anh nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.

Đáp án: 6

Đáp án là:

Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học rất kém môn Tiếng Anh nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.

Đáp án: 6

Vì đề thi có 25 câu và mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất để Bình làm đúng $k$ câu là

$P = C_{25}^{k}.\left( \frac{1}{4} ight)^{k}.\left( \frac{3}{4} ight)^{25 - k} = \frac{C_{25}^{k}.3^{25 - k}}{4^{25}}$

Với $0 \leq k \leq 25$ .

Xét hàm $f(k) = C_{25}^{k}.3^{25 - k}$ với $k\mathbb{\in N}$ và $k \leq 25$ .

Ta có $f(k)$ lớn nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(k) \geq f(k - 1) \\ f(k) \geq f(k + 1) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow 6,5 \geq k \geq 5,5 \Rightarrow k = 6 ight.$ .

Suy ra $\max_{0 \leq k \leq 25}f(k) = f(6)$ .

Vậy $k = 6$ .

Câu 15: Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7$ mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho $6$ ?

A.
$2640$
B.
$2886$
C.
$5040$
D.
$2880$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} a_{6} \in \left\{ 1;3;5;7 ight\} \\ a_{3} \in \left\{ 0;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

TH1: Với $a_{3} = 0$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.6.A_{6}^{3}$ số.

TH2: Với $a_{3} = 6$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.5.A_{6}^{3}$ số.

Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $4.6.A_{6}^{3} + 4.5.A_{6}^{3} = 2640$ .

Câu 16: Nhận biết

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Lấy một số từ dãy số đã cho ta được: $n\left( \Omega ight) =6$

Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"

Ta có: A = {2} => $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 17: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Hỏi P(A) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;S} ight),\left( {S;N;N} ight),\left( {S;N;S} ight),\left( {S;S;N} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 4 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 18: Vận dụng

Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)

Điều kiện $n \in \mathbb{N},n > 2$

=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh

Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

=> Số đoạn thẳng tạo thành là $C_n^2$ đoạn

Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n

Ta có phương trình:

$C_n^2 = n + 2n \Rightarrow n = 7$

Vậy đa giác đó có 7 cạnh.

Câu 19: Nhận biết

Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn

A. 64
B. 16
C. 32
D. 20

Số cách chọn một cây bút mực là tổ hợp chập 1 của 8: $C_8^1 = 8$ cách

Số cách chọn một cây bút chì là tổ hợp chập 1 của 8: $C_8^1 = 8$ cách

=> Số cách chọn một cây bút mực và một cây bút chì là: 8 . 8 = 64 cách

Câu 20: Thông hiểu

Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần?

A. 60
B. 24
C. 32
D. 100

Số tự nhiên có năm chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Do mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần => $a e b e c e d e e$

Số cần tìm là số chẵn => e ∈ {0; 2; 4}

Trường hợp 1: e = 0 => e có 1 cách chọn

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 1 là: 4.3.2 = 24 số

Trường hợp 2: e ∈ {2; 4} => Có 2 cách chọn e

Số cách chọn a là 3 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 2 là: 2.3.3.2 = 36 số

=> Có thể lập được số các chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần là 36 + 24 = 60 số

Câu 21: Thông hiểu

Lẫy ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp có 13 viên bi gồm 6 bi xanh, 7 bi đỏ. Tính xác suất để 5 viên bi lấy được có số bi xanh nhiều hơn số bi đỏ?

A.
$\frac{254}{429}$
B.
$\frac{59}{143}$
C.
$\frac{84}{143}$
D.
$\frac{175}{429}$

Gọi A là biến cố lấy số bi xanh nhiều hơn bi đỏ

Khi đó ta có: $n(\Omega) = C_{13}^{5}$

TH1: lấy được 5 viên bi xanh $C_{6}^{5}$ cách

TH2: lấy được 4 viên bi xanh; 1 viên bi đỏ $C_{6}^{4}.C_{7}^{1}$ cách

TH3: lấy được 3 viên bi xanh; 2 viên bi đỏ $C_{6}^{3}.C_{7}^{2}$ cách

Do đó xác suất của biến cố A là:

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{59}{143}$

Câu 22: Nhận biết

Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?

A. 104
B. 450
C. 1326
D. 2652

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là $C_{52}^2 = 1326$ cách.

Câu 23: Vận dụng

Rút ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ một hộp chứa 12 thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Tính số kết quả thuận lợi của biến cố M “trong ba tấm thẻ chọn ra không có hai tấm thẻ nào ghi hai số tự nhiên liên tiếp”?

A.
$100$
B.
$120$
C.
$150$
D.
$90$

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Biến cố M “trong ba tấm thẻ chọn ra không có hai tấm thẻ nào ghi hai số tự nhiên liên tiếp”

Suy ra biến cố $\overline{M}$ “trong ba tấm thẻ chọn ra có ít nhất hai tâm thẻ ghi hai số tự nhiên liên tiếp”

Bộ ba có dạng $\left( 1;2;a_{1} ight)$ với $a_{1} \in A\backslash\left\{ 1;2 ight\}$ có 10 bộ

Bộ ba số có dạng $\left( 2;3;a_{2} ight)$ với $a_{2} \in A\backslash\left\{ 1;2;3 ight\}$ có 9 bộ

Tương tự mỗi bộ ba số có dạng $\left( 3;4;a_{3} ight),\left( 4;5;a_{4} ight),\left( 5;6;a_{4} ight),...\left( 11;12;a_{11} ight)$ đều có 9 bộ

$\Rightarrow n\left( \overline{M} ight) = 10 + 10.9 = 100$

$\Rightarrow n(M) = 220 - 110 = 120$

Câu 24: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 25: Nhận biết

Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:

M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.

N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.

T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.

Hai biến cố nào xung khắc với nhau?

A.
$M;N$
B.
$M;T$
C.
$N;T$

Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.

Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.

Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.

Câu 26: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 27: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 28: Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Tính xác suất của biến cố C?

A.
$\frac{1}{6}$
B.
$\frac{5}{9}$
C.
$\frac{13}{18}$
D.
$\frac{7}{18}$

Ta có hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc suy ra $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = P(C)$

$n(\Omega) = C_{9}^{2} = 36$

Biến cố A là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập $\left\{ 2;4;6;8 ight\}$

$n(A) = C_{4}^{2} = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Biến cố B được hình thành từ hai công đoạn:

+ Chọn một số chẵn từ tập $\left\{ 2;4;6;8 ight\}$ có 4 cách

+ Chọn một số lẻ từ tập $\left\{ 1;3;5;7;9 ight\}$ có 4 cách

Theo quy tắc nhân tập B có 4.5 = 20 cách

Do đó $n(B) = 20 \Rightarrow P(B) = \frac{20}{36}$

$\Rightarrow P(C) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{20}{36} = \frac{13}{18}$

Câu 29: Thông hiểu

Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 13 thẻ đánh số từ 1 đến 13. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{144}{169}$
C.
$\frac{12}{13}$
D.
$\frac{13}{30}$

Gọi A là biến cố "Trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 9 "; H là biến cố "Thẻ rút ra từ hòm thứ nhất không đánh số 9 "; K là biến cố "Thẻ rút ra từ hòm thứ hai không đánh số 9 ".

Khi đó $\overline{A} = HK$ . Ta có: $P(H) = \frac{12}{13};P(K) = \frac{12}{13}$

Vì H và K là hai biến cố độc lập nên $P\left( \overline{A} ight) = P(HK) = P(H).P(K) = \frac{144}{169}$

Do đó $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$ đây là hợp của các biến cố xung khắc.

Do đó: $P(X) = P\left( H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T ight)$

$= P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}\overline{S}T ight)$

Mà $\left\{ \begin{matrix}P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) =\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{5} \\P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) =\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{15} \\\left( \overline{H}\overline{S}T ight) =\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{10} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P(X) = P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}\overline{S}T ight) = \frac{1}{5} + \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{13}{30}$

Câu 30: Thông hiểu

Ma trận đề kiểm tra 15 phút môn Toán của lớp 11A gồm 10 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm gồm 4 đáp án và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 1 điểm. Hùng không ôn tập trước khi kiểm tra nên khi làm bài đã chọn ngẫu nhiên 1 đáp án. Gọi B là biến cố Hùng thi được ít nhất 8 điểm. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
$n(B) = 405$
B.
$n(B) = 458$
C.
$n(B) = 436$
D.
$n(B) = 400$

Trường hợp 1: Hùng thi được 8 điểm, tức là Hùng trả lời 8 câu đúng, 2 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 2 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{2}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2}$ .

Trường hợp 2: Hùng thi được 9 điểm, tức là Hùng trả lời 9 câu đúng, 1 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 1 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{1}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1}$ .

Trường hợp 3: Hùng thi được 10 điểm, tức là Hùng trả lời 10 câu đúng, 0 câu sai.

Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.

Vậy số phần tử của biến cố B là:

$n(B) = C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2} + C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1} + 1 = 436$

Câu 31: Vận dụng

Xác suất để thắng một trận game là $\frac{2}{5}$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $\frac{19}{20}$ ?

Đáp án: 6 trận

Đáp án là:

Xác suất để thắng một trận game là $\frac{2}{5}$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $\frac{19}{20}$ ?

Đáp án: 6 trận

Gọi n là số trận người đó chơi.

A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố người đó không thắng trận nào.

$\overline{A} = \overline{A_{1}}.\overline{A_{2}}.\overline{A_{3}}...\overline{A_{n}}$ trong đó $\overline{A_{i}}$ là biến cố người đó thắng trận thứ i và $P\left( \overline{A_{i}} ight) = 0,6;i = \overline{1,n}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight).P\left( \overline{A_{2}} ight).P\left( \overline{A_{3}} ight)...P\left( \overline{A_{n}} ight) = 0,6^{n} \\ P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,6^{n} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bất phương trình

$1 - 0,6^{n} > 0,95$

$\Leftrightarrow 0,6^{n} < 0,05$

$\Leftrightarrow n >\log_{0,6}0,05$

Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 6.

Câu 32: Thông hiểu

Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là $0,2$ và $0,1$ . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.

a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là $0,8$ Đúng||Sai

b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận $0,02$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là $0,85$ Sai||Đúng

d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là $0,16$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là $0,2$ và $0,1$ . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.

a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là $0,8$ Đúng||Sai

b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận $0,02$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là $0,85$ Sai||Đúng

d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là $0,16$ Sai||Đúng

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân A bị suy thận” ta có: $P(A) = 0,2;P\left( \overline{A} ight) =0,8$

B là biến cố “Bệnh nhân B bị suy thận” ta có: $P(B) = 0,1;P\left( \overline{B} ight) =0,9$

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận”

Khi đó $\overline{A}\overline{B}$ là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận.

Khi đó $A\overline{B}$ là biến cố “Bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận”.

b) Hai biến cố A, B độc lập nên ta có:

$P(A \cap B) = P(AB) = P(A).P(B) =0,2.0,1 = 0,02$

b) Hai biến cố $\overline{A};\overline{B}$ độc lập nên ta có:

$P\left( \overline{A}\overline{B} ight)= P\left( \overline{A} ight).P\left( \overline{B} ight) = 0,8.0,9 =0,72$

c) Hai biến cố $A;\overline{B}$ độc lập nên ta có:

$P\left( A\overline{B} ight) =P(A).P\left( \overline{B} ight) = 0,2.0,9 = 0,18$

Câu 33: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2160
B. 2520
C. 21
D. 5040

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: ${a e 0}$ => Có 6 cách chọn a

Số cách chọn b, c, d, e là: $A_6^4 = 360$ cách

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: $360 . 6 = 2160$ số

Câu 34: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Giả sử N là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Mô tả nào sau đây đúng khi mô tả biến cố N?

A.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6) ight\}$
B.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),(6;6) ight\}$
C.
$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$
D.
$N = \left\{ (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6,6) ight\}$

Mô tả đúng biến cố N là:

$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$

Câu 35: Vận dụng

Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:

Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.

Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{7}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{2}{15}$ Đúng||Sai

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{1}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là $\frac{13}{30}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:

Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.

Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{7}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{2}{15}$ Đúng||Sai

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{1}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là $\frac{13}{30}$ Sai||Đúng

Gọi A là biến cố: “Chọn được hộp A”

B là biến cố: “Chọn được hộp B”

C là biến cố: “Chọn được hộp C”

Ta có:

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{3}.\frac{3}{7} = \frac{1}{7}$

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{C_{2}^{1}}{C_{4}^{1}} = \frac{1}{2}$

d) E là biến cố: “Bi chọn ra có màu đỏ”.

Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là

$P\left( E|A ight) = \frac{4}{7};P\left( E|B ight) = \frac{3}{5};P\left( E|C ight) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức ta có:

$P(E) = P(A).P\left( E|A ight) + P(B).P\left( E|B ight) + P(C).P\left( E|C ight)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{1}{3}.\frac{4}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{39}{70}$

Câu 36: Thông hiểu

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu"?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{119}{145}$
C.
$\frac{2}{115}$
D.
$\frac{3}{345}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi C là biến cố: "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu".

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố C là $C_{27}^{2} = 351$

Vậy xác suất để cần tìm là: $P(C) = \frac{351}{435} = \frac{119}{145}$

Câu 37: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. 5
B. 15
C. 55
D. 10

Vì số có chín chữ số viết theo thứ tự giảm dần nên chỉ có thể là chữ số 9 hoặc chữ số 8 đứng đầu.

Trường hợp 1: Số 9 đứng đầu

Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 mỗi một lần ta bỏ đi một số ta sẽ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm dần mà số 9 đứng đầu.

=> Trường hợp 1 có 9 số được lập

Trường hợp 2: Số 8 đứng đầu

Vì từ 0 đến 8 có chín chữ số nên ta chỉ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm đần

Vậy cả 2 trường hợp có 9 + 1 = 10 số

Câu 38: Vận dụng

Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C lần lượt là $\frac{1}{10};\frac{1}{10};\frac{1}{20}$ . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).