Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp
. Gọi
là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố
?
Ta có: là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau.
Gọi A là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng”, B là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ hai là màu trắng”
Ta có:
Vì A và B là hai biến cố độc lập.
Nên xác suất để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng là
Tương tự xác suất để hai quả cầu lấy ra đều:
Màu xanh:
Mảu đỏ:
Theo quy tắc cộng, xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau:
Hai học sinh thi đấu chơi game với nhau. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 hiệp. Tại thời điểm bạn A đã thắng 4 hiệp và bạn B mới thắng 2 hiệp. Tính xác suất để bạn A giành chiến thắng?
Gọi thời điểm bạn A đã thắng 4 hiệp và bạn B mới thắng 2 hiệp là hai người đá đánh được i hiệp và gọi là biến cố ở hiệp thứ I, người thứ j thắng
Vậy xác suất để bạn A giành chiến thắng là:
Cho tập hợp
. Có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt từ tập hợp A?
Ta có:
Số có 1 chữ số có 4 số.
Số có 2 chữ số có số.
Số có 3 chữ số có số.
Số có 4 chữ số có số.
Vậy các số lập được là 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số.
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Vậy xác suất để cần tìm là:
Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:
Chọn nhóm có 2 thành viên:
Chọn nhóm có 3 thành viên từ 8 thành viên còn lại:
Chọn nhóm có 5 thành viên từ 5 thành viên còn lại:
=> Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:
Một lớp học sinh có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để trực nhật lớp. Hỏi số cách chọn 5 học sinh đó, biết rằng nhóm học sinh được chọn có 3 nam và 2 nữ?
Chọn 3 học sinh nam từ 25 học sinh nam có cách.
Chọn 2 học sinh nam từ 15 học sinh nam có cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là chọn.
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số?
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Do số đang xét là số chẵn
=> Có 3 cách chọn e
=> Số cách chọn là:
=> Từ tập A có thể lập được số các số chẵn có 5 chữ số là: số
Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính
?
Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng
Ta có: khi đó số phần tử không gian mẫu là
H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.
Số có 5 cách chọn
Các số từ mỗi số có 10 cách chọn
Xét tổng . Vì số dư của
khi chia cho 9 thuộc tập
nên luôn tồn tại một cách chọn số
để
chia hết cho 9 hay
Do đó
Xác suất của biến cố H là
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Gọi A là. biến cố: "Trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10".
Tìm
Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ: có cách chọn
Tìm
Chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm thẻ mang số lẻ có cách chọn.
Chọn 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách chọn.
Chọn 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm thẻ như vậy có cách chọn.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
Vậy xác suất cần tìm là:
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh
Số phần tử không gian mẫu là:
Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có đúng một người nữ"
=>
=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là:
Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là
và
. Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?
Gọi hai biến cố là A, B có
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên
Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn
?
Gọi là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.
Trường hợp 1: a = 1
Số cách chọn là
số.
Trường hợp 2:
Số cách chọn là:
số.
Trường hợp 3:
Số cách chọn là:
số.
Vậy có 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử
là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên
Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi
là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ
. Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố
.
Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu
Khi đó là biến cố lần thứ
bắn không trúng mục tiêu.
Khi đó ta có:
Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có chẵn, mỗi số có 5 chữ số trong đó có đúng hai số lẻ, 2 số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Gọi số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là m
Số cách chọn được m là:
Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa M và ba trong bốn chữ số 0; 2; 4; 6
Gọi là số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trường hợp 1: Nếu a = m ta có:
Số cách chọn a là 1 cách
Số cách chọn b, c, d là cách
Trướng hợp 2: Nếu a khác m thì ta có:
Số cách chọn a là 3 cách
Nếu b = m thì có 1 cách chọn b và cách chọn c, d
Nếu c = m thì có 1 cách chọn c và cach chọn b, d
=> Số các số được tạo thành là:
Số cách sắp xếp
vào một dãy ghế dài sao cho hai đầu dãy ghế là vị trí của
và
?
Ta xếp A và G vào hai vị trí đầu dãy và có thể hoán đổi cho nhau nên ta có 2! cách xếp.
Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí giữa ta có 5! cách xếp.
Vậy ta có: 2!.5! = 240 cách xếp.
Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào bia điểm. Biết xác suất bắn trúng 10 điểm của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là
và
. Tính xác suất để có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm?
Gọi A là biến cố có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm
Suy ra là biến cố không có cung thủ nào trúng 10 điểm
Lập số có 5 chữ số khác nhau
từ các chữ số
. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn
?
Lập số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số
. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn
?
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Số cần tìm là số chẵn => e ∈ {2; 4; 6}
=> Có 3 cách chọn e
Số cách chọn a, b, c, d là:
=> Có thể lập được số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau là: số
Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì.
Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có: cách.
Vậy số cách sắp xếp là 6 cách.
Trong thùng bóng đèn có 5 bóng đèn loại I và 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn khác nhau cả về hình dáng và màu sắc. Lấy ra lần lượt 5 bóng đèn. Giả sử biến cố
là biến cố lấy được bóng đèn loại I lần thứ
. Mô tả biến cố lấy được 4 bóng đèn loại I theo các biến cố
.
Vì lấy được 4 bóng loại I nên trong 5 lượt lấy có một lần lấy được bóng loại II. Từ giả thiết suy ra là biến cố lần thứ
lấy được bóng đèn loại II. Do đó ta có:
Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất
và người thứ hai lần lượt là
. Tính xác suất của biến cố A chỉ có đúng 1 người bắn trúng bia?
Gọi M là biến cố người thứ nhất bắn trúng mục tiêu
N là biến cố người thứ hai bắn trúng mục tiêu ( là các biến cố độc lập).
Từ giả thiết ta có:
Mà
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và
viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là
?
Kết quả: 177/182
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là
?
Kết quả: 177/182
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Theo bài ra ta có tổng số viên bi trong hộp là
Láy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là
Gọi A là biến cố 3 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
=> Xác suất lấy được 3 viên bi có đủ 3 màu là:
Do đó trong hộp có 14 viên bi và
Gọi B là biến cố 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ
Suy ra là biến cố 3 viên bi lấy được đều là bi đỏ.
Số kết quả thuận lợi cho là:
Khi đó xác suất P để trong 3 viên bi lấy được nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nẵng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.
Theo bài ra ta có 5 ban nhạc đến từ các trường
Chọn ban nhạc Nha Trang biểu diễn đầu tiên
=> Số cách sắp xếp 4 ban nhạc còn lại là: 4! = 24 cách
=> Số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên là 24 cách.
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?
Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
=> Có cách.
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?
Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ là hai biến cố xung khắc.”
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu"?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi C là biến cố: "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu".
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố C là
Vậy xác suất để cần tìm là:
Gieo đồng tiền 2 lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là:
Gieo đồng tiền 2 lần nên ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Giả sử C là biến cố "sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần"
=> biến cố "sau hai lần gieo thì không có mặt sấp xuất hiện"
=>
=>
=> Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là:
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi X là biến cố “Ba lần liên tiếp kết quả như nhau” và Y là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp”. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau:
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là 9 cách
Số cách chọn b là 9 cách
Số cách chọn c là 8 cách
Số cách chọn d là 7 cách
=> Số các số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành là: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536 số
Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách
=> Có 10 . 9 = 90 trận
Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách
=> Số trận đấu là 2.90 =180 trận
Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình thăm một bạn không quá một lần
Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.
Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.
Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.
Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.
Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.
Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.
Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách.
Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)
Điều kiện
=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh
Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)
=> Số đoạn thẳng tạo thành là đoạn
Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n
Ta có phương trình:
Vậy đa giác đó có 7 cạnh.
Một túi chứa 2 bi trắng và 3 bi đen. Rút ra 3 bi. Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố " được ít nhất 1 bi trắng"
=> là biến cố không lấy được viên bi trắng nào
=> Số phần tử của là:
=> Xác suất lấy 3 viên bi không có viên bi trắng là:
=> Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau là:
Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là
và
là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?
Khẳng định sai là: “ khi và chỉ khi
chắc chắn”.
Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.
Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.
Nếu chọn một quả đen có 3 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.
Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5
Biến cố số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.
Do đó số phần tử của A là
Số chia hết cho 5 có hai dạng . Do đó số phần tử của B là
Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: . Do đó số phần tử của
là:
Vậy số phần tử biến cố P là: