Giả sử hai biến cố
là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: .
Giả sử hai biến cố
là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: .
Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi
là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ
. Biến cố nào sau đây biểu diễn biến cố chỉ bắn trúng mục tiêu 2 lần?
Ta có: là biến cố lần thứ
bắn không trúng mục tiêu.
Khi đó ta có: với
và đôi một khác nhau có ý nghĩa chỉ có lần thứ i; j bắn trúng bia và lần thứ k, m thì không bắn trúng.
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tập hợp không gian mẫu là:
Không gian mẫu là: .
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có hai chữ số khác nhau có dạng:
Do số cần tìm là số lẻ => b ∈ {1; 3; 5}
=> Có 3 cách chọn b
Số cách chọn a là 4 cách
=> Có thể lập được số các số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 3 . 4 = 12 số
Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là
và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là
. Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Đáp án: 0,94
(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)
Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là
. Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Đáp án: 0,94
(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)
Gọi A là biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt
B là biến cố chỉ có động cơ 1 chạy tốt.
Gọi C là biến cố chỉ có động cơ 2 là chạy tốt.
Gọi D là biến cố cả hai động cơ đều chạy tốt
Vậy
Một hộp chứa 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau và 5 viên bi xanh khác nhau. Gọi A là biến cố “Sắp xếp các viên bi thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu nằm cạnh nhau”. Các kết quả thuận lợi của biến cố A là:
Ta có:
Số cách sắp xếp 3 viên bi đen thành một dãy bằng
Số cách sắp xếp 3 viên bi đỏ thành một dãy bằng
Số cách sắp xếp 3 viên bi xanh thành một dãy bằng
Số cách sắp xếp 3 viên bi nhóm thành một dãy bằng
Vậy số phần tử của tập hợp A là:
Hai người cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được (ít nhất một con) cá là 0,1; xác suất để Y câu được cá là 0,15. Sau buổi đi câu hai người cùng góp cá lại. Xác suất để hai bạn X và Y không trở về tay không bằng:
Xác suất để X không câu được cá là 1 - 0,1 = 0,9
Xác suất để Y không câu được cá là 1 - 0,15 = 0,85
Xác xuất X và Y trở về tay không (không có con cá nào) là
=> Xác suất X và Y ko trở về tay ko là:
Một tổ có 9 hoc sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng doc. Tính xác suất sao cho 5 ban nam phải đứng kề nhau?
Gọi A là biến cố "Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó 5 bạn nam phải đứng kề nhau".
Tìm
Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc, có 9! cách xếp
Tìm
Năm học sinh nam đứng kề nhau ta coi như 1 phần tử, cùng với 4 nữ là 5 phần tử.
Xếp 5 phần tử này thành một hàng dọc có cách xếp.
Năm học sinh nam đứng kề nhau hoán vị cho nhau: 5! cách xếp.
Do đó có cách xếp.
Vậy số phần tử của tập là 14400.
Vậy xác suất cần tính là:
Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?
Gọi H là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Hóa trong đoàn”
S là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Sinh trong đoàn”
T là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Thể dục trong đoàn”
Ta có:
Gọi X là biến cố “Có đúng một giáo viên nữ trong đoàn”.
Ta có
Lại có:
Mộp hộp chứa 4 bông hoa màu đỏ và 6 bông hoa màu xanh, các bông hoa có hình dáng khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa trong hộp. Tính xác suất để 5 bông hoa lấy được có ít nhất 3 bông màu đỏ?
Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa từ 10 bông hoa ta có:
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 bông hoa đỏ.
TH1: Lấy 3 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 2 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có cách.
TH2: Lấy 4 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 1 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có cách.
Suy ra
Vậy xác suất để lấy được 5 bông hoa trong đó có ít nhất 3 bông hoa đỏ là:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:
Ta có:
Các số tự nhiên có ba chữ số là 100; 101; ...; 998; 999
=> Có 999 − 100 + 1 = 900 số tự nhiên có ba chữ số.
Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 790. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
Số điện thoại cần tìm có dạng
Số cách chọn a có 10 cách
Số cách chọn b có 10 cách
Số cách chọn c có 10 cách
Số cách chọn d có 10 cách
=> Có tối đa số điện thoại là: 10.10.10.10 = 104 = 10 000 số
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?
Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ là hai biến cố xung khắc.”
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho
?
Gọi số cần tìm có dạng
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.
Suy ra
TH1: Với chữ số
có 4 cách chọn,
có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có
cách chọn.
Do đó số.
TH2: Với chữ số
có 4 cách chọn,
có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có
cách chọn.
Do đó số.
Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất
=> Số phần tử không gian mẫu là:
Giả sử D là biến cố "tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3"
Các bộ số chia hết cho 3 là (1; 2), (3; 3); (2; 4), (1; 5), (5; 4), (3; 6), (6; 6)
Ngoài bộ số (6; 6) và (3; 3) ta có các bộ số còn lại hoán vị
=>
=> Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:
Cho các số 1, 2, 4, 5, 7 có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho:
Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng:
Số được chọn là số chẵn => c = {2; 4}
=> Số cách chọn c là 2 cách
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 3 cách
=> Số cách chọn ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho là 2 . 4 . 3 = 24 số
Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
Đa giác đều có 12 cạnh tương ứng với 12 đỉnh
Cứ nối 2 đỉnh của đa giác được một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)
Số đoạn thẳng được tạo thành khi nối hai điểm bất kì của đa giác là: đoạn thẳng
Mà số cạnh của đa giác là 12 cạnh
=> Số đường chéo thu được là: 66 - 12 = 54 đường chéo
Thực hiện một khảo sát nhỏ trong lớp 11A về việc tham gia câu lạc bộ A, B, C ta được số liệu ghi lại như sau:
Có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ A, 15% tham gia câu lạc bộ B; 10% tham gia câu lạc bộ C.
Có 5% học sinh tham gia câu lạc bộ A và B, 3% tham gia câu lạc bộ B và C, 4% tham gia câu lạc bộ A và C.
Có 2% tham gia cả 3 câu lạc bộ.
Xác suất học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ là:
Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố học sinh tham gia câu lạc bộ A, B, C.
Ta có:
Ta có:
Gọi D là biến cố học sinh tham gia ít nhất một câu lạc bộ
Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp
. Gọi
là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố
?
Ta có: là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.
Số cách xếp 6 học sinh
ngồi bất kì vào một ghế dài là:
Sắp xếp 6 học sinh vào một ghế dài là hoán vị của 6 phần tử
Vậy số cách sắp xếp là cách.
Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?
Đáp án: 8
Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?
Đáp án: 8
Đầu tiên, 9 con cá đói, mỗi con sẽ ăn 3 con cá đói khác để tạo thành 1 con cá no. Khi đó trong trò chơi còn lại 2 con cá đói và 9 con cá no.
Để số con cá no là tối đa thì 1 con cá đói sẽ ăn 1 con cá đói còn lại và 2 con cá no khác.
Khi đó, trong trò chơi sẽ không còn cá đói và có 8 con cá no.
Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C lần lượt là
. Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).
Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện
A, B, C là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C gặp sự cố kĩ thuật.
Ta có:
Suy ra
Biết
và
là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính
?
Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng
Ta có: khi đó số phần tử không gian mẫu là
H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.
Số có 5 cách chọn
Các số từ mỗi số có 10 cách chọn
Xét tổng . Vì số dư của
khi chia cho 9 thuộc tập
nên luôn tồn tại một cách chọn số
để
chia hết cho 9 hay
Do đó
Xác suất của biến cố H là
Trong kho hàng có
sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử
là biến cố sản phẩm thứ
bị lỗi với
. Biến cố
cả n sản phẩm đều tốt là:
Ta có:
là biến cố sản phẩm thứ
bị lỗi với
Nên là biến cố sản phẩm thứ
tốt với
Biến cố cả n sản phẩm đều tốt là:
Tung một đồng tiền xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính số phần tử của biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần” khi đó là biến cố “Mặt sấp không xuất hiện”
Khi đó
Khi đó
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?
Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
=> Có cách.
Xác suất để thắng một trận game là
. Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn
?
Đáp án: 6 trận
Xác suất để thắng một trận game là . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn
?
Đáp án: 6 trận
Gọi n là số trận người đó chơi.
A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận
Suy ra là biến cố người đó không thắng trận nào.
trong đó
là biến cố người đó thắng trận thứ i và
Ta có bất phương trình
Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 6.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau:
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là 9 cách
Số cách chọn b là 9 cách
Số cách chọn c là 8 cách
Số cách chọn d là 7 cách
=> Số các số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành là: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536 số
Cho
. Chọn khẳng định đúng?
Theo giả thiết ta có:
Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.
Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:
M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.
N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.
T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.
Hai biến cố nào xung khắc với nhau?
Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.
Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.
Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau là:
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập
. Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Giả sử lấy được ba số là: với
do đó
Lại có là ba cạnh của tam giác ABC, với
có góc C tù.
với
Xét c = 4 thì bộ thỏa mãn
Xét c = 6 do
thỏa mãn
Xét c = 8 do
thỏa mãn
Vậy số phần tử của biến cố F là
Một hộp có 1 viên bi, trong đó có 7 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 1 đến 7, 6 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 3 quả cầu.
a) Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ là
Đúng||Sai
b) Xác suất để lấy được 3 quả cùng màu là
Sai||Đúng
c) Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu là
Đúng||Sai
d) Xác suất để lấy được 3 quả cầu khác màu và khác số là
. Đúng||Sai
Một hộp có 1 viên bi, trong đó có 7 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 1 đến 7, 6 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 3 quả cầu.
a) Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ là Đúng||Sai
b) Xác suất để lấy được 3 quả cùng màu là Sai||Đúng
c) Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu là Đúng||Sai
d) Xác suất để lấy được 3 quả cầu khác màu và khác số là . Đúng||Sai
Có cách lấy 3 quả cầu từ hộp.
a) Số cách lấy được 3 quả cầu màu đỏ là:
Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ là
b) Số cách lấy được 3 quả cầu cùng màu là:
Xác suất để lấy được 3 quả cùng màu là
c) Số cách lấy được 3 quả cầu có đủ 3 màu là:
Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu là:
d) Bước 1: Lấy 1 quả cầu màu vàng có 5 cách.
Bước 2: Lấy 1 quả cầu màu xanh có 5 cách. (vì khác số với quả vàng).
Bước 3: Lấy một quả màu đỏ có 5 cách (vì khác số với quả xanh và quả vàng).
Suy ra có 5.5.5 = 125 cách lấy 3 quả cầu khác màu và khác số,
Suy ra xác suất của biến cố là:
Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?
Ta đánh số 3 quán cơm là
Gọi lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.
Như vậy không gian mẫu là
Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên
Gọi B là biến cố "2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác".
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là
và 2 hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó,
và hai hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó.
Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:
Vậy xác suất của biến cố này là
Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Cho tập hợp
. Lập từ
số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho
?
Cho tập hợp . Lập từ
số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho
?
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nam?
Số cách chọn ba học sinh trong lớp là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử: cách
Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là:
=> Số cách chọn ba học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam là: cách
Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124,134} dưới dạng mệnh đề
Mệnh đề đúng được phát biểu như sau:
"Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước"