Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Các quy tắc tính xác suất gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố nhỏ hơn 9?
- A.
  $\frac{7}{36}$
- B.
  $\frac{11}{108}$
- C.
  $\frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{37}{108}$
Không gian mẫu là số cách xuất hiện các mặt của con súc sắc trong ba lần gieo liên tiếp

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{6}^{1}.C_{6}^{1}.C_{6}^{1} = 216$

Gọi B là biến cố '' Tổng số chấm trên các mặt của ba lần gieo là một số nguyên tố nhỏ hơn 9 ''

Ta có các số nguyên tố nhỏ hơn 9 gồm: 2, 3, 5, 7.

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 2: không có.

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 3: (1,1,1): 1 cách

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 5: (1,1,3): 3 cách; (1,2,2): 3 cách

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 7: (1,1,5): 3 cách; (1,2,4): 6 cách; (1,3,3): 3 cách; (2,3,2): 3 cách.

Do đó số phần tử của biến cố B là $\left| \Omega_{B} ight| = 22$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(B) = \frac{\left| \Omega_{B} ight|}{|\Omega|} = \frac{22}{216} = \frac{11}{108}$
Câu 2: Thông hiểu
Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:

Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.

Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.

Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.

Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi $X_{1}$ là biến cố lấy được hộp 1, $X_{2}$ là biến cố lấy được hộp 2, $X_{3}$ là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?
- A.
  $\left( X \cap X_{1} ight) \cap \left( X \cap X_{2} ight) \cap \left( X \cap X_{3} ight)$
- B.
  $X \cap X_{2} \cap X_{3}$
- C.
  $\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
- D.
  $X \cup X_{2} \cup X_{3}$
Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:

$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
Câu 3: Thông hiểu
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
- A. $\frac{1}{{15}}$
- B. $\frac{7}{{15}}$
- C. $\frac{8}{{15}}$
- D. $\frac{1}{{5}}$
Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh
Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$
Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có đúng một người nữ"
=> $n\left( A ight) = C_3^1 .C_7^1= 21$
=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là:
$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$
Câu 4: Thông hiểu

Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của 1605632. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số được chọn chia hết cho 7 là

Đáp án: 2/3 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của 1605632. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số được chọn chia hết cho 7 là

Đáp án: 2/3 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

Ta có: $1605632 = 2^{15}.7^{2}$

Suy ra số các ước nguyên dương của 1605632 là $(15 + 1)(2 + 1) = 48$ .

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = 48$ .

Trong đó, số các số chia hết cho 7 là: $(15 + 1).2 = 32$ .

Xác xuất cần tìm là: $P = \frac{32}{48} = \frac{2}{3}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Từ các chữ số $9;1;5;7;2$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn $276$ ?
- A.
  $34$
- B.
  $30$
- C.
  $20$
- D.
  $25$
Gọi $\overline{abc}$ là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.

Trường hợp 1: a = 1

Số cách chọn $\overline{abc}$ là $1.4.3 = 12$ số.

Trường hợp 2: $a = 2;b = 7$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.1.2 = 2$ số.

Trường hợp 3: $\left\lbrack \begin{matrix} a = 2;b = 1 \\ a = 2;b = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.2.3 = 6$ số.

Vậy có 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6: Thông hiểu
Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?
- A.
  81
- B.
  120
- C.
  96
- D.
  144
Xét các trường hợp:

TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:

Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách

Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách

Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.

Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.

TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:

Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.

Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách

Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách

Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144

$\Rightarrow n(W) = 144$
Câu 7: Nhận biết
Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn:
- A. 184756
- B. 240
- C. 14400
- D. 19448
Ta có:
Ba câu đầu phải được chọn => Có 1 cách chọn
Chọn 7 câu còn lại trong số 17 câu còn lại => Có $C_{17}^7 = 19448$
Vậy có 19448 cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn.
Câu 8: Vận dụng
Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
- A. 36080
- B. 16080
- C. 13080
- D. 136080
Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$
Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346
Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$
Câu 9: Nhận biết
Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là:
- A. 43680
- B. 24
- C. 752
- D. 1820
Số cách chọn ban chấp hành (4 thành viên) từ 16 thành viên là: $C_{16}^4 = 1820$
Câu 10: Nhận biết
Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tất cả các chữ số đều lẻ:
- A. 25
- B. 20
- C. 30
- D. 10
Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: $\overline {ab}$
Do tất cả các chữ số đều lẻ => $a,b \in \left\{ {1;3;5;7;9} ight\}$
Số cách chọn a là 5 cách
Số cách chọn b là 5 cách
=> Số các số có 2 chữ số mà tất cả các chữ số đều lẻ là 5 . 5 = 25 số
Câu 11: Thông hiểu
Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124,134} dưới dạng mệnh đề
- A.
  Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4
- B.
  Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
- C.
  Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập chia hết cho 2 hoặc 3
- D.
  Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số tận cùng là 3 hoặc 4
Mệnh đề đúng được phát biểu như sau:
"Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước"
Câu 12: Thông hiểu
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau.
- A.
  $\frac{135}{625}$
- B.
  $\frac{30}{625}$
- C.
  $\frac{42}{625}$
- D.
  $\frac{207}{625}$
Gọi A là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng”, B là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ hai là màu trắng”

Ta có: $P(A) = \frac{3}{25};P(B) = \frac{10}{25}$

Vì A và B là hai biến cố độc lập.

Nên xác suất để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng là

$P(AB) = P(A).P(B) = \frac{3}{25}.\frac{10}{25} = \frac{30}{625}$

Tương tự xác suất để hai quả cầu lấy ra đều:

Màu xanh: $\frac{15}{25}.\frac{9}{25} = \frac{135}{625}$

Mảu đỏ: $\frac{7}{25}.\frac{6}{25} = \frac{42}{625}$

Theo quy tắc cộng, xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau:

$\frac{30}{625} + \frac{135}{625} + \frac{42}{625} = \frac{207}{625}$
Câu 13: Thông hiểu
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.
- A. $\frac{2}{7}$
- B. $\frac{1}{{21}}$
- C. $\frac{{37}}{{42}}$
- D. $\frac{5}{{42}}$
Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách
Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^3 = 84$
Gọi A là biến cố "3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau"
=> $n\left( A ight) = C_4^1.C_3^1.C_2^1 = 24$
=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{24}}{{84}} = \frac{2}{7}$
Câu 14: Nhận biết
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5.
- A.
  $\frac{7}{36}$
- B.
  $\frac{5}{18}$
- C.
  $\frac{11}{36}$
- D.
  $\frac{2}{9}$
Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5”

Ta có: $A = \left\{ (1;1),(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(1;4),(4;1),(2;2),(2;3),(3;2) ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$
Câu 15: Thông hiểu
Có ba chiếc hộp đựng những tấm thẻ màu xanh và màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ. Giả sử $Q_{i}$ là biến cố lấy được tấm thẻ màu xanh từ hộp thứ $i;i \in \left\{ 1;2;3 ight\}$ . Em hãy chọn đáp án đúng biểu diễn biến cố lấy được ít nhất một tấm thẻ màu đỏ dưới đây?
- A.
  $\overline{Q_{1}} \cap \left( Q_{2} \cup Q_{3} ight)$
- B.
  $\overline{Q_{1}} \cap \overline{Q_{2}} \cap \overline{Q_{3}}$
- C.
  $\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$
- D.
  $\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup Q_{3}$
Biểu diễn đúng là: $\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$
Câu 16: Nhận biết
Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:

M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.

N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.

T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.

Hai biến cố nào xung khắc với nhau?
- A.
  $M;N$
- B.
  $M;T$
- C.
  $N;T$
Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.

Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.

Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.
Câu 17: Nhận biết
Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  H và K là hai biến cố đối nhau.
- B.
  H và K là hai biến cố tương đương.
- C.
  H và K là hai biến cố không xung khắc.
- D.
  H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.
Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Câu 18: Vận dụng
Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính $P(H)$ ?
- A.
  $\frac{1}{18}$
- B.
  $\frac{1250}{1710}$
- C.
  $\frac{625}{1710}$
- D.
  $\frac{1}{9}$
Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}};\left( a_{1} eq 0 ight)$

Ta có: $n(A) = 9.10^{8}$ khi đó số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{n(A)}^{1} = 9.10^{8}$

H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.

Số $a_{9}$ có 5 cách chọn

Các số từ $a_{2} ightarrow a_{8}$ mỗi số có 10 cách chọn

Xét tổng $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ . Vì số dư của $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ khi chia cho 9 thuộc tập $\left\{ 0;1;2;...;8 ight\}$ nên luôn tồn tại một cách chọn số $a_{1} eq 0$ để $S = a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ chia hết cho 9 hay $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}} \vdots 9$

Do đó $n(H) = 5.10^{7}$

Xác suất của biến cố H là $P(H) = \frac{n(H)}{n(\Omega)} = \frac{1}{18}$
Câu 19: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$
Câu 20: Nhận biết
Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:
- A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
- B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
- C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
- D. $\frac{{62}}{{8000}}$
Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$
Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần
=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$
Câu 21: Vận dụng
Đội học sinh giỏi toán 10 có tất cả 18 học sinh, trong đó có 7 học sinh giỏi môn Toán, 6 học sinh giỏi môn Văn và 5 học sinh giỏi môn Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh đi dự thi chính thức, biết rằng mỗi môn có ít nhất 1 học sinh.
- A. 41947
- B. 34795
- C. 36249
- D. 41811
Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là phần bù của cách chọn 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.
Số cách chọn 8 học sinh từ hai khối là: $C_{13}^8 + C_{11}^8 + C_{12}^8 = 1947$
Số cách chọn 8 học sinh bất kì là: $C_{18}^8$
Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^8 -1947=41811$
Câu 22: Thông hiểu
Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau gồm sách tập 1 và sách tập 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau?
- A. $20! − 18!$
- B. $20! − 19!$
- C. $20! − 18! . 2!$
- D. $19! . 18$
Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp.
Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có $2 . 19!$ cách sắp xếp.
Vậy có tất cả $20! − 2 . 19! = 19! . 18$ cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán.
Câu 23: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?
Kết quả: 310/429
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?
Kết quả: 310/429
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$
Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu
=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:
TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách
TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách
TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách
TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách
TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách
Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$
$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$
Câu 24: Vận dụng
Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần. Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:
- A. $\frac{{10}}{{216}}$
- B. $\frac{{15}}{{216}}$
- C. $\frac{{16}}{{216}}$
- D. $\frac{{1126}}{{216}}$
Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần
=> Số phần tử của không gian mẫu là: ${6^5} = 7776$
Giả sử H là biến cố "tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba"
=> Các bộ số là: (1; 1; 2), (1; 2; 3), (2; 1; 3), (1; 3; 4), (3; 1; 4), (2; 2; 4), (1; 4; 5), (4; 1; 5), (2; 3; 5), (3; 2; 5), (1; 5; 6), (5; 1; 6), (2; 4; 6), (4; 2; 6), (3; 3; 6)}
=> $n\left( H ight) = 15.6.6 = 540$
=> Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba là:
$P\left( H ight) = \frac{{n\left( H ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{540}}{{7776}} = \frac{{15}}{{126}}$
Câu 25: Nhận biết
Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?
- A.
  $\frac{7}{12}$
- B.
  $\frac{1}{12}$
- C.
  $\frac{1}{7}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$
Câu 26: Thông hiểu
Gieo 3 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau:
- A. $\frac{5}{{36}}$
- B. $\frac{1}{9}$
- C. $\frac{1}{{18}}$
- D. $\frac{1}{{36}}$
Số phần tử của không gian mẫu là: 6 . 6 . 6 = 216
Giả sử B là biến cố "số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau"
Ta có các khả năng như sau: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)
=> Số phần tử của biến cố B là $n\left( B ight) = 6$
=> Xác suất để số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau là:
$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{6}{{216}} = \frac{1}{{36}}$
Câu 27: Thông hiểu
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:
- A. 35
- B. 120
- C. 240
- D. 720
Cứ 3 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác
Số cách chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác là: $C_{10}^3 = 120$
Vậy số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: 120 tam giác
Câu 28: Thông hiểu
Trong kho hàng có $n$ sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử $X_{i}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ bị lỗi với $i \in \overline{1,n}$ . Biến cố $X$ cả n sản phẩm đều tốt là:
- A.
  $X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n}}$
- B.
  $X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n - 1}}.X_{n}$
- C.
  $X = X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n - 1}.\overline{X_{n}}$
- D.
  $X = X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n - 1}.X_{n}$
Ta có:

$X_{i}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ bị lỗi với $i \in \overline{1,n}$

Nên $\overline{X_{i}}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ tốt với $i \in \overline{1,n}$

Biến cố $X$ cả n sản phẩm đều tốt là: $X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n}}$
Câu 29: Nhận biết
Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?
- A.
  $0,58$
- B.
  $0,35$
- C.
  $0,12$
- D.
  $0,7$
Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$
Câu 30: Vận dụng
Rút ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ một hộp chứa 12 thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Tính số kết quả thuận lợi của biến cố M “trong ba tấm thẻ chọn ra không có hai tấm thẻ nào ghi hai số tự nhiên liên tiếp”?
- A.
  $100$
- B.
  $120$
- C.
  $150$
- D.
  $90$
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Biến cố M “trong ba tấm thẻ chọn ra không có hai tấm thẻ nào ghi hai số tự nhiên liên tiếp”

Suy ra biến cố $\overline{M}$ “trong ba tấm thẻ chọn ra có ít nhất hai tâm thẻ ghi hai số tự nhiên liên tiếp”

Bộ ba có dạng $\left( 1;2;a_{1} ight)$ với $a_{1} \in A\backslash\left\{ 1;2 ight\}$ có 10 bộ

Bộ ba số có dạng $\left( 2;3;a_{2} ight)$ với $a_{2} \in A\backslash\left\{ 1;2;3 ight\}$ có 9 bộ

Tương tự mỗi bộ ba số có dạng $\left( 3;4;a_{3} ight),\left( 4;5;a_{4} ight),\left( 5;6;a_{4} ight),...\left( 11;12;a_{11} ight)$ đều có 9 bộ

$\Rightarrow n\left( \overline{M} ight) = 10 + 10.9 = 100$

$\Rightarrow n(M) = 220 - 110 = 120$
Câu 31: Thông hiểu
Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?
- A. 60
- B. 10
- C. 12
- D. 20
Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$
Do số cần tìm chia hết cho 5 => c = 5
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 3 cách
=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 là: $1 . 4 . 3 = 12$ số
Câu 32: Nhận biết
Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
- A. 4⁴
- B. 24
- C. 1
- D. 42
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ;\left( {a e b e c e d} ight)$
Số cách chọn a: 4 cách
Số cách chọn b: 3 cách
Số cách chọn c: 2 cách
Số cách chọn d: 1 cách
=> Số các số có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là 4! = 24 cách
Câu 33: Vận dụng
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau. Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:
- A. $\frac{1}{9}$
- B. $\frac{5}{{18}}$
- C. $\frac{3}{{18}}$
- D. $\frac{7}{{18}}$
Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^2 = 36$
Giả sử biến cố T: " Tích hai số ghi trên hai thẻ được rút là số lẻ"
Nghĩa là cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ
=> Số phần tử của biến cố T là $n\left( A ight) = C_5^2 = 10$
=> Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}$
Câu 34: Thông hiểu
Trong một hộp giấy chứa 15 viên bi gồm 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để lấy được 4 viên bi có đủ màu?
- A.
  $\frac{48}{91}$
- B.
  $\frac{2}{15}$
- C.
  $\frac{7}{40}$
- D.
  $\frac{21}{40}$
Chọn 4 viên bi từ 15 viên bi ta có: $n\left( \Omega ight) = C_{15}^4$

Gọi A là biến cố lấy được 4 viên bi có đủ ba màu.

Chọn 1 xanh, 1 đỏ và 2 vàng: $C_4^1.C_5^1.C_6^2$

Chọn 1 xanh, 2 đỏ và 1 vàng: $C_4^1.C_5^2.C_6^1$

Chọn 2 xanh, 1 đỏ và 1 vàng: $C_4^2.C_5^1.C_6^1$

$\Rightarrow n(A) = C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{6}^{1}$

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{48}{91}$
Câu 35: Nhận biết
Gieo hai lần liên tiếp một con xúc xắc. Giả sử H là biến cố kết quả ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm. Biến cố đối của biến cố H là:
- A.
  không xuất hiện mặt 3 chấm.
- B.
  lần 1 xuất hiện mặt 3 chấm.
- C.
  lần 2 xuất hiện mặt 3 chấm.
- D.
  một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
H là biến cố kết quả ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm thì biến cố đối của biến cố H là không xuất hiện mặt 3 chấm.
Câu 36: Nhận biết
Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?
- A. 12
- B. 6
- C. 4
- D. 24
Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$
Ta có: Số cần tạo là số chẵn => c ∈ {2; 4}
=> Có 2 cách chọn c
Số cách chọn a là 3 cách
Số cách chọn b là 2 cách
=> Số các số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: 3 . 2 . 2 = 12 số

Câu 37: Thông hiểu

Ba xạ thủ cùng bắn vào một bia đỡ một cách độc lập. Xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,6;0,8$ . Xác suất để có đúng hai người bắn trúng hồng tâm là: 0,46||0,24||0,92||0,96

Đáp án là:

Từ giả thiết suy ra xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba không bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,4;0,2$ .

Để có đúng 2 người bắn trúng hồng tâm ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1

+ Người thứ nhất bắn trúng

+ Người thứ hai bắn trúng

+ Người thứ ba không trúng

Xác suất: $0,5.0,6.0,2$

Trường hợp 2

+ Người thứ nhất bắn trúng

+ Người thứ hai không bắn trúng

+ Người thứ ba bắn trúng

Xác suất: $0,5.0,4.0,8$

Trường hợp 3

+ Người thứ nhất không bắn trúng

+ Người thứ hai bắn trúng

+ Người thứ ba bắn trúng

Xác suất: $0,5.0,6.0,8$

Vậy xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích là

$0,5.0,6.0,2 + 0,5.0,4.0,8 + 0,5.0,6.0,8 = 0,46$

Câu 38: Nhận biết
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
- A. 7!
- B. 7⁴
- C. 7.6.5.4
- D. 7!.6!.5!.4!
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số đã cho có dạng:
$\overline {abcd} ;\left( {a e b e c e d} ight)$
Số cách chọn a là: 7 cách
Số cách chọn b là 6 cách
Số cách chọn c là 5 cách
Số cách chọn d là 4 cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các chữ số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 . 6 . 5 . 4 (số)
Câu 39: Nhận biết
Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6

Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách

Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.

Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách

=> n(A) = 4

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Câu 40: Thông hiểu
Để quyết định người chiến thắng cuộc thi người ta thực hiện gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất một vài lần. Người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt 6 chấm. Tính xác suất để trong ba lần gieo, người đó thắng ít nhất 2 lần?
- A.
  $\frac{1}{1296}$
- B.
  $\frac{308}{19683}$
- C.
  $\frac{58}{19683}$
- D.
  $\frac{53}{23328}$
Xác suất để một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{1}{6}$

Xác suất để người chơi thắng cuộc trong một lần gieo là $C_{3}^{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{2}.\frac{5}{6} + \left( \frac{1}{6} ight)^{3} = \frac{2}{27}$

Xác suất để trong 3 lần gieo người đó thắng ít nhất hai lần là:

$C_{3}^{2}.\left( \frac{2}{27} ight)^{2}.\left( 1 - \frac{2}{27} ight) + \left( \frac{2}{27} ight)^{3} = \frac{308}{19683}$