Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Cho 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó:

A. 60
B. 180
C. 256
D. 216

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Do số tự nhiên cần tìm là số chẵn => c = {4; 6; 8}

=> Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

=> Số các số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đã cho là: 3 . 5 . 4 = 60 số

Câu 2: Thông hiểu

Số cách chọn một tập hợp gồm 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh là:

A.
$65780$
B.
$57680$
C.
$57860$
D.
$67805$

Bảng chữ cái Tiếng Anh có 26 chữ cái.

Suy ra số cách chọn 1 tập hợp gồm 5 chữ cái từ 26 chữ cái là: $C_{26}^{5} = 65780$ cách chọn.

Câu 3: Vận dụng

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{{11}}{{36}}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6.6 = 36$

Giả sử N là biến cố " Tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3"

Trường hợp 1: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là giống nhau

(3; 3), (6; 6)

Trường hợp 2: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là khác nhau

(1; 2), (1; 5); (2; 4), (3; 6), (4; 5)

Mỗi khả năng xảy ra có 2 hoán vị nên số phần tử của biến cố là 10 khả năng xảy ra.

=> Số khả năng xảy ra của biến cố N là: 10 + 2 = 12

=> Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là: $P\left( N ight) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 4: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. 5
B. 15
C. 55
D. 10

Vì số có chín chữ số viết theo thứ tự giảm dần nên chỉ có thể là chữ số 9 hoặc chữ số 8 đứng đầu.

Trường hợp 1: Số 9 đứng đầu

Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 mỗi một lần ta bỏ đi một số ta sẽ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm dần mà số 9 đứng đầu.

=> Trường hợp 1 có 9 số được lập

Trường hợp 2: Số 8 đứng đầu

Vì từ 0 đến 8 có chín chữ số nên ta chỉ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm đần

Vậy cả 2 trường hợp có 9 + 1 = 10 số

Câu 5: Vận dụng

Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)

Điều kiện $n \in \mathbb{N},n > 2$

=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh

Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

=> Số đoạn thẳng tạo thành là $C_n^2$ đoạn

Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n

Ta có phương trình:

$C_n^2 = n + 2n \Rightarrow n = 7$

Vậy đa giác đó có 7 cạnh.

Câu 6: Thông hiểu

Đề thi Tiếng anh thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh đã chắc chắn làm đúng 40 câu hỏi và chọn ngẫu nhiên đáp án cho 10 câu hỏi còn lại. Hỏi xác suất để học sinh đó có điểm thi không dưới 9 điểm?

A.
$0,0078$
B.
$0,0871$
C.
$0,0781$
D.
$0,0087$

Xác suất để học sinh thi được 9 điểm là: $C_{10}^{5}.(0,25)^{5}.(0,75)^{5}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,2 điểm là: $C_{10}^{6}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,4 điểm là: $C_{10}^{7}.(0,25)^{7}.(0,75)^{3}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,6 điểm là: $C_{10}^{8}.(0,25)^{8}.(0,75)^{2}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,8 điểm là: $C_{10}^{9}.(0,25)^{9}.(0,75)^{1}$ .

Xác suất để học sinh thi được 10 điểm là: $(0,25)^{10}$ .

Vậy xác suất để học sinh thi được không dưới 9 điểm là:

$\sum_{k = 5}^{10}{C_{10}^{k}.(0,25)^{k}.(0,75)^{10 - k}} \approx 0,0781$

Câu 7: Thông hiểu

Từ các chữ số $9;1;5;7;2$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn $276$ ?

A.
$34$
B.
$30$
C.
$20$
D.
$25$

Gọi $\overline{abc}$ là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.

Trường hợp 1: a = 1

Số cách chọn $\overline{abc}$ là $1.4.3 = 12$ số.

Trường hợp 2: $a = 2;b = 7$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.1.2 = 2$ số.

Trường hợp 3: $\left\lbrack \begin{matrix} a = 2;b = 1 \\ a = 2;b = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.2.3 = 6$ số.

Vậy có 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?

A.
$A;B$ là hai biến cố xung khắc.
B.
$A \cup B$ là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
$A \cap B$ là biến cố tổng số chấm hai lần gieo là 6.
D.
$A;B$ là hai biến cố độc lập.

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ $A;B$ là hai biến cố xung khắc.”

Câu 9: Nhận biết

Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 790. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:

A. 1000
B. 100000
C. 10000
D. 1000000

Số điện thoại cần tìm có dạng $\overline {790abcd}$

Số cách chọn a có 10 cách

Số cách chọn b có 10 cách

Số cách chọn c có 10 cách

Số cách chọn d có 10 cách

=> Có tối đa số điện thoại là: 10.10.10.10 = 10⁴ = 10 000 số

Câu 10: Thông hiểu

Cho hai hộp đựng các viên bi nhiều màu:

Hộp 1 có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.

Hộp 2 chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.

Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu”. Tính $P(A)$ ?

A.
$\frac{91}{135}$
B.
$\frac{44}{135}$
C.
$\frac{88}{135}$
D.
$\frac{45}{88}$

Giả sử $A_{1}$ là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu trắng

Khi đó $P\left( A_{1} ight) = \frac{4}{15}.\frac{7}{18}$

$A_{2}$ là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu đỏ

Khi đó $P\left( A_{2} ight) = \frac{5}{15}.\frac{6}{18}$

$A_{3}$ là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu xanh

Khi đó $P\left( A_{3} ight) = \frac{6}{15}.\frac{5}{18}$

$\Rightarrow P(A) = P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight) = \frac{44}{135}$

Câu 11: Nhận biết

Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;...;12;13 ight\}$ . Gọi $M$ là biến cố lấy ra được số nguyên tố. Hãy liệt kê các phần tử của biến cố $M$ ?

A.
$\left\{ 1;2;3;5;7;11;13 ight\}$
B.
$\left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$
C.
$\left\{ 3;5;7;11;13 ight\}$
D.
$\left\{ 2;3;7;11;13 ight\}$

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chia hết cho 1 và chính nó vì vậy:

$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$

Câu 12: Nhận biết

Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:

A. 990
B. 495
C. 220
D. 165

Số cách chọn bạn An là 1 cách.

=> Số cách chọn 3 bạn đi trực (không có An) là: $C_{11}^3 = 165$ cách

Vậy có 165 cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An.

Câu 13: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 14: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm?

A.
$\frac{25}{36}$
B.
$\frac{5}{36}$
C.
$\frac{5}{18}$
D.
$\frac{7}{12}$

Gọi hai súc sắc là M; N

Gọi C là biến cố "Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Ta có C là hợp của hai biến cố xung khắc $A\overline{B};\overline{A}B$ tức là $C = A\overline{B} \cup \overline{A}B$

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} \cup \overline{A}B ight) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.$

Vì A, B là hai biến cố độc lập với nhau

Nên $\overline{A}$ và B độc lập với nhau; $\overline{B}$ và A độc lập với nhau

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

$= P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight).P(B) = \frac{1}{6}.\frac{5}{6} + \frac{5}{6}.\frac{1}{6} = \frac{5}{18}$

Câu 15: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $B = \left\{ (3;6),(6;3),(4;6),(6;4),(5;6),(6;5),(6;6) ight\}$

$\Rightarrow n(B) = 7 \Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{36}$

Câu 16: Thông hiểu

Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5:

A. 60
B. 80
C. 240
D. 600

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Số cách chọn a là: 5 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn b là: 5 cách

Số cách chọn c là: 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

Số cách chọn e là: 2 cách

=> Có thể lập được số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ dãy số là: 5 . 5 . 4 . 3 . 2 = 600 số

Câu 17: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 18: Vận dụng

Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C là $\frac{1}{5}$ và của các trạm D, V là $\frac{1}{10}$ . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).

A.
$0,97456$
B.
$0,98208$
C.
$0,01792$
D.
$0,02544$

Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện

A, B, C, D, V là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V gặp sự cố kĩ thuật.

Ta có:

$\overline{Q} = (A \cap B \cap C) \cup (D \cap V)$

Suy ra $P\left( \overline{Q} ight) = P(ABC) + P(DV) - P(ABCDV)$

$P\left( \overline{Q} ight) = P(A).P(B).P(C) + P(D).P(V)$

$- P(A).P(B).P(C).P(D).P(V)$

$= 0,2.0,2.0,2 + 0,1.0,1 - 0,2.0,2.0,2.0,1.0,1 = 0,01792$

Vậy $P\left( \overline{Q} ight) = 1 - P(Q) = 0,98208$

Câu 19: Thông hiểu

Mộp hộp chứa 4 bông hoa màu đỏ và 6 bông hoa màu xanh, các bông hoa có hình dáng khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa trong hộp. Tính xác suất để 5 bông hoa lấy được có ít nhất 3 bông màu đỏ?

A.
$\frac{1}{24}$
B.
$\frac{5}{21}$
C.
$\frac{11}{42}$
D.
$\frac{5}{252}$

Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa từ 10 bông hoa ta có: $n(\Omega) = C_{10}^{5}$

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 bông hoa đỏ.

TH1: Lấy 3 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 2 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có $C_{4}^{3}.C_{6}^{2}$ cách.

TH2: Lấy 4 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 1 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có $C_{4}^{4}.C_{6}^{1}$ cách.

Suy ra $n(\Omega) = C_{4}^{3}.C_{6}^{2} + C_{4}^{4}.C_{6}^{1}$

Vậy xác suất để lấy được 5 bông hoa trong đó có ít nhất 3 bông hoa đỏ là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{11}{42}$

Câu 20: Nhận biết

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh?

A. 3003
B. 252
C. 1200
D. 14400

Số cách chọn 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh là: $C_{10}^3.C_5^2 = 1200$ cách

Câu 21: Nhận biết

Số cách xếp 6 học sinh $A;B;C;D;E;F$ ngồi bất kì vào một ghế dài là:

A.
$6$ cách
B.
$240$ cách
C.
$720$ cách
D.
$120$ cách

Sắp xếp 6 học sinh vào một ghế dài là hoán vị của 6 phần tử

Vậy số cách sắp xếp là $6! = 720$ cách.

Câu 22: Thông hiểu

Trong một thùng có chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 4 viên bi được chọn có đủ ba màu?

A.
$910$
B.
$280$
C.
$420$
D.
$210$

TH1: Lấy 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng ta có: $7.5.C_{4}^{2}$ cách.

TH2: Lấy 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng ta có: $4.5.C_{7}^{2}$ cách.

TH3: Lấy 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng ta có: $7.4.C_{5}^{2}$ cách.

Vậy có tất cả 910 cách chọn số viên bi theo yêu cầu.

Câu 23: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Theo bài ra ta có tổng số viên bi trong hộp là $x + 8;\left( x \in \mathbb{N}^{*} ight)$

Láy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là $n(\Omega) = C_{x + 8}^{3}$

Gọi A là biến cố 3 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{x}^{1} = 15x$

=> Xác suất lấy được 3 viên bi có đủ 3 màu là:

$P(A) = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{C_{x + 8}^{3}} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{90x}{(x + 6)(x + 7)(x + 8)} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 21x^{2} - 218x + 336 = 0$

$\Leftrightarrow x = 6(tm)$

Do đó trong hộp có 14 viên bi và $n(\Omega) = C_{14}^{3}$

Gọi B là biến cố 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố 3 viên bi lấy được đều là bi đỏ.

Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là: $n\left( \overline{B} ight) = C_{5}^{3}$

Khi đó xác suất P để trong 3 viên bi lấy được nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

$P = P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$

$= 1 - \frac{n\left( \overline{B} ight)}{n(\Omega)} = 1 - \frac{C_{5}^{3}}{C_{14}^{3}} = \frac{177}{182}$

Câu 24: Thông hiểu

Một nhóm học sinh gồm 4 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Gọi M là biến cố 4 học sinh được chọn được có cả nam và nữ. Khi đó số phần tử của biến cố đối của A là:

A.
194
B.
21
C.
120
D.
16

Ta có: $\overline{M}$ là biến cố cả 4 bạn được chọn đều là nam hoặc 4 bạn đều là nữ.

Do đó số phần tử của $\overline{M} = C_{4}^{4} + C_{6}^{4} = 16$

Câu 25: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 26: Thông hiểu

Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu?

A. 280
B. 320
C. 910
D. 210

Số cách chọn 2 quả xanh, 1 quả đỏ, 1 quả vàng là: $C_7^2.C_5^1.C_4^1 = 420$ cách

Số cách chọn 1 quả xanh, 2 quả đỏ, 1 quả vàng là: $C_7^1.C_5^2.C_4^1 = 280$ cách

Số cách chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ, 2 quả vàng là: $C_7^1.C_5^1.C_4^2 = 210$ cách

=> Số cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu là 420 + 280 + 210 = 910 cách

Câu 27: Vận dụng

Trong một phép lai, cho hai giống vịt lông đen thuần chủng và lông trắng thuần chủng giao phối với nhau được đời cây F1 toàn là lông đen. Tiếp tục cho con đời F1 giao phối với nhau được một đàn con mới. Chọn ngẫu nhiên 2 con trong đàn vịt con mới. Ước lượng xác suất của biến cố trong 2 con vịt được chọn có ít nhất một con lông đen?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{16}$

Quy ước gene A: lông đen và gene a: lông trắng

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ lông đen với lông trắng là 3 : 1

Trong đàn vịt mới xác suất để được một con lông đen là $\frac{3}{4}$ và con lông trắng là $\frac{1}{4}$

Gọi $A$ là biến cố có đúng 1 con lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(A) = \frac{3}{4}.\frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

Gọi B là biến cố có 2 con vịt lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(B) = \frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

Khi đó $A \cup B$ là biến cố có ít nhất 1 con lông đen trong 2 con được chọn

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{16} + \frac{9}{16} = \frac{3}{4}$

Câu 28: Nhận biết

Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu?

A. 240
B. 210
C. 18
D. 120

Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng - một bông hoa hồng đỏ - một bông hoa hồng vàng), ta có:

Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.

Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.

Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 5 . 6 . 7 = 210 cách

Câu 29: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{5}{9}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Gọi B là biến cố "2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là

$(1;1;2)$ và 2 hoán vị của nó,

$(1;1;3)$ và 2 hoán vị của nó,

$(2;2;1)$ và 2 hoán vị của nó,

$(2;2;3)$ và hai hoán vị của nó,

$(3;3;1)$ và 2 hoán vị của nó,

$(3;3;2)$ và 2 hoán vị của nó.

Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $3.6 = 18$

Vậy xác suất của biến cố này là $P(B) = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

Câu 30: Thông hiểu

Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là $0,2$ và $0,1$ . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.

a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là $0,8$ Đúng||Sai

b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận $0,02$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là $0,85$ Sai||Đúng

d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là $0,16$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là $0,2$ và $0,1$ . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.

a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là $0,8$ Đúng||Sai

b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận $0,02$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là $0,85$ Sai||Đúng

d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là $0,16$ Sai||Đúng

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân A bị suy thận” ta có: $P(A) = 0,2;P\left( \overline{A} ight) =0,8$

B là biến cố “Bệnh nhân B bị suy thận” ta có: $P(B) = 0,1;P\left( \overline{B} ight) =0,9$

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận”

Khi đó $\overline{A}\overline{B}$ là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận.

Khi đó $A\overline{B}$ là biến cố “Bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận”.

b) Hai biến cố A, B độc lập nên ta có:

$P(A \cap B) = P(AB) = P(A).P(B) =0,2.0,1 = 0,02$

b) Hai biến cố $\overline{A};\overline{B}$ độc lập nên ta có:

$P\left( \overline{A}\overline{B} ight)= P\left( \overline{A} ight).P\left( \overline{B} ight) = 0,8.0,9 =0,72$

c) Hai biến cố $A;\overline{B}$ độc lập nên ta có:

$P\left( A\overline{B} ight) =P(A).P\left( \overline{B} ight) = 0,2.0,9 = 0,18$

Câu 31: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ trong đó có ít nhất một thẻ xanh?

A.
$0,645$
B.
$0,355$
C.
$0,724$
D.
$0,276$

Gọi B là biến cố có ít nhất một tấm thẻ xanh

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố lấy được 3 tấm thẻ không có thẻ xanh nào.

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = P\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$

$\Rightarrow \Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}} \approx 0,645$

Câu 32: Thông hiểu

Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:

Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.

Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.

Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.

Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi $X_{1}$ là biến cố lấy được hộp 1, $X_{2}$ là biến cố lấy được hộp 2, $X_{3}$ là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?

A.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cap \left( X \cap X_{2} ight) \cap \left( X \cap X_{3} ight)$
B.
$X \cap X_{2} \cap X_{3}$
C.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
D.
$X \cup X_{2} \cup X_{3}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:

$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$

Câu 33: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn trong đó có đúng một bạn là nữ?

A. 8
B. 18
C. 28
D. 38

Ta có:

Ba bạn được chọn có 1 nữ và 2 nam

=> Số cách chọn là: $C_3^1.C_4^2 = 18$ cách

Câu 34: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 35: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?

A.
$\frac{14}{15}$
B.
$\frac{2}{75}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{3}{5}$

Gọi H là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Hóa trong đoàn”

S là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Sinh trong đoàn”

T là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Thể dục trong đoàn”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(H) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};P(S) = \frac{2}{5};P(T) = \frac{1}{3} \\ P\left( \overline{H} ight) = \frac{1}{2};P\left( \overline{S} ight) = \frac{3}{5};P\left( \overline{T} ight) = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi X là biến cố “Có đúng một giáo viên nữ trong đoàn”.

Ta có $X = H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T$

$\Rightarrow P(X) = P\left( H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T ight)$

$= P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}\overline{S}T ight)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) =\dfrac{3}{6}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{2}{3} \\P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) =\dfrac{3}{6}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{2}{3} \\P\left( \overline{H}\overline{S}T ight) =\frac{3}{6}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P(X) = \frac{13}{30}$

Câu 36: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 37: Vận dụng

Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?

Đáp án: 396

Đáp án là:

Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?

Đáp án: 396

Gọi A là biến cố tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ.

Ta có trong 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12 thì có 6 tấm thẻ ghi số chẵn và 6 tấm thẻ ghi số lẻ

Để tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ thì số thẻ ghi số lẻ là lẻ.

Ta có các trường hợp như sau:

TH1: 1 thẻ ghi số lẻ và 4 thẻ ghi số chẵn

Có $C_{6}^{1}.C_{6}^{4} = 90$

TH2: 3 thẻ ghi số lẻ và 2 thẻ ghi số chẵn

Có $C_{6}^{2}.C_{6}^{3} = 300$

TH3: 5 thẻ đều ghi số lẻ $C_{6}^{5} = 6$

$\Rightarrow n(A) = 90 + 300 + 6 = 396$

Câu 38: Thông hiểu

Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là $0,7$ . Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Đáp án: 0,94

(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là $0,7$ . Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Đáp án: 0,94

(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)

Gọi A là biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt

B là biến cố chỉ có động cơ 1 chạy tốt.

$P(B) = 0,8(1 - 0,7) = 0,24$

Gọi C là biến cố chỉ có động cơ 2 là chạy tốt.

$P(C) = 0,7(1 - 0,8) = 0,14$

Gọi D là biến cố cả hai động cơ đều chạy tốt

$P(D) = 0,8.0,7 = 0,56$

Vậy $P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = 0,94$

Câu 39: Thông hiểu

Hai cung thủ cùng bắn mũi tên vào mục tiêu một cách độc lập. Tính xác suất của biến cố hai cung thủ cùng bắn trúng mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $80\%$ và $70\%$ ?