Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 35
B. 120
C. 240
D. 720

Cứ 3 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác

Số cách chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác là: $C_{10}^3 = 120$

Vậy số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: 120 tam giác

Câu 2: Thông hiểu

Minh và Quân học ở hai ngôi trường khác nhau. Gọi A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”. Biết rằng xác suất để hai bạn Minh và Quân được điểm giỏi môn Vật lý lần lượt là và .

a) Biến cố A và biến cố B là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

b) Xác suất để cả Minh và Quân đều đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,8096$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,096$ Sai||Đúng

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Minh và Quân đều đạt điểm giỏi là $0,9904$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Minh và Quân học ở hai ngôi trường khác nhau. Gọi A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”. Biết rằng xác suất để hai bạn Minh và Quân được điểm giỏi môn Vật lý lần lượt là và .

a) Biến cố A và biến cố B là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

b) Xác suất để cả Minh và Quân đều đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,8096$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,096$ Sai||Đúng

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Minh và Quân đều đạt điểm giỏi là $0,9904$ Đúng||Sai

Ta có:

A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”.

a) Biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

b) Vì hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nên $P(AB) = 0,92.0,88 = 0,8096$ .

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi là:

$P\left( \overline{AB} ight) = 0,08.0,12 = 0,0096$ .

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn đạt điểm giỏi là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

$= 0,92 + 0,88 - 0,8094 = 0,9904$

Câu 3: Nhận biết

Cho 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

A. 120
B. 1
C. 3125
D. 600

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành là: ${5^5} = 3125$ số

Câu 4: Vận dụng

Lấy ngẫu nhiên một số có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số có dạng $\overline{abcde}$ thỏa mãn $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ hoặc $a \geq b \geq c \geq d \geq e$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên một số có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số có dạng $\overline{abcde}$ thỏa mãn $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ hoặc $a \geq b \geq c \geq d \geq e$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 5: Thông hiểu

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đáp án là:

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đầu tiên, 9 con cá đói, mỗi con sẽ ăn 3 con cá đói khác để tạo thành 1 con cá no. Khi đó trong trò chơi còn lại 2 con cá đói và 9 con cá no.

Để số con cá no là tối đa thì 1 con cá đói sẽ ăn 1 con cá đói còn lại và 2 con cá no khác.

Khi đó, trong trò chơi sẽ không còn cá đói và có 8 con cá no.

Câu 6: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 7: Thông hiểu

Trong một hộp giấy chứa 15 viên bi gồm 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để lấy được 4 viên bi có đủ màu?

A.
$\frac{48}{91}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{7}{40}$
D.
$\frac{21}{40}$

Chọn 4 viên bi từ 15 viên bi ta có: $n\left( \Omega ight) = C_{15}^4$

Gọi A là biến cố lấy được 4 viên bi có đủ ba màu.

Chọn 1 xanh, 1 đỏ và 2 vàng: $C_4^1.C_5^1.C_6^2$

Chọn 1 xanh, 2 đỏ và 1 vàng: $C_4^1.C_5^2.C_6^1$

Chọn 2 xanh, 1 đỏ và 1 vàng: $C_4^2.C_5^1.C_6^1$

$\Rightarrow n(A) = C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{6}^{1}$

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{48}{91}$

Câu 8: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 9: Thông hiểu

Cho $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập B có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập B?

A. 720
B. 46656
C. 2160
D. 360

Số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: $\overline {abcdef}$

Số tự nhiên chẵn => f ∈ {2; 4; 6}

=> Có 3 cách chọn f

Số cách chọn a, b, c, d, e là: $A_5^5 = 120$

=> Số các số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau là: $3.120 = 360$ số

Câu 10: Thông hiểu

Hai người cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được (ít nhất một con) cá là 0,1; xác suất để Y câu được cá là 0,15. Sau buổi đi câu hai người cùng góp cá lại. Xác suất để hai bạn X và Y không trở về tay không bằng:

A. 0,085
B. 0,235
C. 0,015
D. 0,143

Xác suất để X không câu được cá là 1 - 0,1 = 0,9

Xác suất để Y không câu được cá là 1 - 0,15 = 0,85

Xác xuất X và Y trở về tay không (không có con cá nào) là

$P = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765$

=> Xác suất X và Y ko trở về tay ko là: $1 - 0,765 = 0,235$

Câu 11: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 12: Nhận biết

Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6

Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách

Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.

Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách

=> n(A) = 4

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Câu 13: Nhận biết

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 256
B. 120
C. 24
D. 16

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số khác nhau là 4! = 24 số

Câu 14: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.7!
B. 2.5!.7!
C. 5!.8!
D. 12!

Xếp 5 quyển sách Văn kề nhau có 5! cách

Coi 5 quyển sách văn là một quyển sách và xếp cùng 7 quyển sách Toán khác có 8! cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 5! . 8! cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau.

Câu 15: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ cùng màu?

A.
$0,092$
B.
$0,077$
C.
$0,125$
D.
$0,248$

Gọi A là biến cố lấy được 3 thẻ trắng $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{3}}{C_{25}^{3}}$

B là biến cố lấy được 3 thẻ đỏ $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{8}^{3}}{C_{25}^{3}}$

C là biến cố lấy được 3 thẻ xanh $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{7}^{3}}{C_{25}^{3}}$

Gọi D là biến cố lấy được 3 thẻ cùng màu

Khi đó $D = A \cup B \cup C$

$\Rightarrow P(D) = P(A) + P(B) + P(C) \approx 0,092$

Câu 16: Nhận biết

Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:

A. 990
B. 495
C. 220
D. 165

Số cách chọn bạn An là 1 cách.

=> Số cách chọn 3 bạn đi trực (không có An) là: $C_{11}^3 = 165$ cách

Vậy có 165 cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An.

Câu 17: Thông hiểu

Một túi chứa 2 bi trắng và 3 bi đen. Rút ra 3 bi. Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:

A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{{10}}$
C. $\frac{9}{{10}}$
D. $\frac{4}{5}$

Số phần tử không gian mẫu là: $C_5^3 = 10$

Gọi A là biến cố " được ít nhất 1 bi trắng"

=> $\overline A$ là biến cố không lấy được viên bi trắng nào

=> Số phần tử của $\overline A$ là: $C_3^3 =1$

=> Xác suất lấy 3 viên bi không có viên bi trắng là: $P\left( {\overline A } ight) = \frac{1}{{10}}$

=> Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:

$P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}$

Câu 18: Thông hiểu

Học sinh A làm bài kiểm tra 15 phút môn Toán gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi gồm 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng. Nếu trả lời đúng 1 câu hỏi được 1 điểm, trả lời sai không có điểm. Biết A đã làm đúng 5 câu hỏi, vì thời gian hạn chế nên A đã khoanh trả lời ngẫu nhiên các câu hỏi còn lại. Tính xác suất để A đạt được ít nhất 8 điểm?

A.
$10,35\%$
B.
$19,14\%$
C.
$19,53\%$
D.
$17,58\%$

Bạn A trả lời đúng 5 câu hỏi nên A đã đạt được 5 điểm

Để được ít nhất 8 điểm thì A phải trả lời đúng ít nhất 3 câu trong 5 câu còn lại.

TH1: 3 câu đúng, 2 câu sai $P_{1} = C_{5}^{3}.\left( \frac{1}{4} ight)^{3}.\left( \frac{3}{4} ight)^{2}$

TH2: 4 câu đúng, 1 câu sai $P_{2} = C_{5}^{4}.\left( \frac{1}{4} ight)^{4}.\left( \frac{3}{4} ight)^{1}$

TH3: 5 câu đúng $P_{3} = C_{5}^{5}.\left( \frac{1}{4} ight)^{5}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = P_{1} + P_{2} + P_{3} \approx 0,1035$

Câu 19: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?

A. 60
B. 36
C. 120
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: $\overline {abc}$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c ∈ {0; 5}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 6 cách

=> Số các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 được tạo thành là: 2 . 5 . 6 = 60 số

Câu 20: Nhận biết

Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 180
B. 160
C. 90
D. 45

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách

=> Có 10 . 9 = 90 trận

Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách

=> Số trận đấu là 2.90 =180 trận

Câu 21: Thông hiểu

Trong kho hàng có $n$ sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử $X_{i}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ bị lỗi với $i \in \overline{1,n}$ . Biến cố $X$ cả n sản phẩm đều tốt là:

A.
$X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n}}$
B.
$X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n - 1}}.X_{n}$
C.
$X = X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n - 1}.\overline{X_{n}}$
D.
$X = X_{1}.X_{2}.X_{3}...X_{n - 1}.X_{n}$

Ta có:

$X_{i}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ bị lỗi với $i \in \overline{1,n}$

Nên $\overline{X_{i}}$ là biến cố sản phẩm thứ $i$ tốt với $i \in \overline{1,n}$

Biến cố $X$ cả n sản phẩm đều tốt là: $X = \overline{X_{1}}.\overline{X_{2}}....\overline{X_{n}}$

Câu 22: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 13080
B. 16080
C. 136080
D. 36080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 23: Vận dụng

Cho ba chiếc hộp A, B, C. Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng. Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng. Hộp C chứa 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ chiếc hộp đó. Tính xác suất để lấy được một viên bi đỏ.

A.
$\frac{13}{30}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{39}{70}$
D.
$\frac{1}{8}$

Gọi A là biến cố chọn được hộp A

B là biến cố chọn được hộp B

C là biến cố chọn được hộp C

E là biến cố bi chọn ra là bi màu đỏ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{1}{3} \\P\left( E|A ight) = \dfrac{4}{7} \\P\left( E|B ight) = \dfrac{3}{5} \\P\left( E|C ight) = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Theo công thức

$P(E) = P(A).P\left( E|A ight) + P(B).P\left( E|B ight) + P(C).P\left( E|C ight)$

$= \frac{1}{3}.\frac{4}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{39}{70}$

Câu 24: Vận dụng

Trong một trận giao hữu, hai cầu thủ bóng đá A và B thực hiện đá luân lưu. Biết xác suất để cầu thủ B không đá trúng lưới là $\frac{2}{5}$ , xác suất để cầu thủ A đá trúng lưới là $\frac{3}{10}$ . Tính xác suất để có đúng một cầu thủ đá trúng lưới?

A.
$0,54$
B.
$0,36$
C.
$0,45$
D.
$0,62$

Gọi X là biến cố cầu thủ A đá trúng lưới và Y là biến cố cầu thủ B đá trúng lưới

Suy ra biến cố có đúng một cầu thủ đá trúng lưới là $X\overline{Y} \cup \overline{X}Y$

Vì $X\overline{Y};\overline{X}Y$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left( X\overline{Y} \cup \overline{X}Y ight) = P\left( X\overline{Y} ight) + P\left( \overline{X}Y ight)$

Vì $\overline{X};Y$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( X\overline{Y} ight) = P(X).P\left( \overline{Y} ight) = 0,3.0,4 = 0,12$

Tương tự $P\left( \overline{X}Y ight) = P\left( \overline{X} ight).P(Y) = (1 - 0,3).(1 - 0,4) = 0,42$

Vậy $P\left( X\overline{Y} \cup \overline{X}Y ight) = P\left( X\overline{Y} ight) + P\left( \overline{X}Y ight) = 0,54$

Câu 25: Vận dụng

Gọi $P$ là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các phần tử của tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $P$ . Tính số phần tử của biến cố H “chọn được số tự nhiên chia hết cho 15”.

A.
150
B.
12240
C.
1025
D.
222

Ta có H là biến cố số tự nhiên được chọn chia hết cho 15.

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15 được tạo thành từ tập A có dạng $\overline{abcde}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 15 = 3.5 \\ (3,5) = 1 \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overline{abcde} \vdots 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overline{abcde} \vdots 5 \\ \overline{abcde} \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $(a + b + c + d) \vdots 3$ khi và chỉ khi

TH1: $e = 1$ khi đó $\overline{abcde} \vdots 3 \Rightarrow (a + b + c + d) \vdots 3$ khi và chỉ khi $\left\lbrack \begin{matrix} a;b;c;d \in \left\{ 1;2;3;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;4;5 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;3;5;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 2;3;5;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 3;4;5;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy trong trường hợp này có 5.4! = 120 số tự nhiên

TH2: $e = 5$ khi đó $\overline{abcde} \vdots 3 \Rightarrow (a + b + c + d + 5) \vdots 3$

$\Rightarrow (a + b + c + d) \vdots 3$ dư 1 khi và chỉ khi $\left\lbrack \begin{matrix} a;b;c;d \in \left\{ 0;1;2;4 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 0;1;3;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 0;3;4;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;3;4 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;4;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy trong trường hợp này có 3.3.3.2.1 + 2.4! = 102 số tự nhiên

Do đó $n(H) = 120 + 102 = 222$

Câu 26: Vận dụng

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Biến cố nào sau đây biểu diễn biến cố chỉ bắn trúng mục tiêu 2 lần?

A.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
B.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
C.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
D.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.

Ta có: $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau có ý nghĩa chỉ có lần thứ i; j bắn trúng bia và lần thứ k, m thì không bắn trúng.

Câu 27: Thông hiểu

Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định
sau:

A. N(A) = 4
B. N(B) = 3
C. N(A ∪ B) = 7
D. N(A ∩ B) = 2

N(A) = 4 => Khẳng định đúng

N(B) = 3 => Khẳng định đúng

A ∩ B = {c, d} => N(A ∩ B) = 2 là khẳng định đúng

A ∪ B = {a, b, c, e} => N(A ∪ B) = 4 => Khẳng định sai là N(A ∪ B) = 7

Câu 28: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 29: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 30: Thông hiểu

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:

A. 3260
B. 9000
C. 5436
D. 12070

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Số cần tìm chia hết cho 10 => e = 0 => Có 1 cách chọn e

Số cách chọn a là 9 cách

Số cách chọn b là 10 cách

Số cách chọn c là 10 cách

Số cách chọn d là 10 cách

=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000 số

Câu 31: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm?

A.
$\frac{25}{36}$
B.
$\frac{5}{36}$
C.
$\frac{5}{18}$
D.
$\frac{7}{12}$

Gọi hai súc sắc là M; N

Gọi C là biến cố "Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Ta có C là hợp của hai biến cố xung khắc $A\overline{B};\overline{A}B$ tức là $C = A\overline{B} \cup \overline{A}B$

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} \cup \overline{A}B ight) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.$

Vì A, B là hai biến cố độc lập với nhau

Nên $\overline{A}$ và B độc lập với nhau; $\overline{B}$ và A độc lập với nhau

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

$= P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight).P(B) = \frac{1}{6}.\frac{5}{6} + \frac{5}{6}.\frac{1}{6} = \frac{5}{18}$

Câu 32: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 33: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$

Câu 34: Nhận biết

Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;...;12;13 ight\}$ . Gọi $M$ là biến cố lấy ra được số nguyên tố. Hãy liệt kê các phần tử của biến cố $M$ ?

A.
$\left\{ 1;2;3;5;7;11;13 ight\}$
B.
$\left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$
C.
$\left\{ 3;5;7;11;13 ight\}$
D.
$\left\{ 2;3;7;11;13 ight\}$

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chia hết cho 1 và chính nó vì vậy:

$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$

Câu 35: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn không có nữ"

=> $n\left( A ight) = C_7^2 = 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{21}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

Câu 36: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau:

A. 4536
B. 49
C. 2156
D. 4530

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 9 cách

Số cách chọn b là 9 cách

Số cách chọn c là 8 cách

Số cách chọn d là 7 cách

=> Số các số tự nhiên có 4 chữ số được tạo thành là: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536 số

Câu 37: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Giả sử N là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Mô tả nào sau đây đúng khi mô tả biến cố N?

A.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6) ight\}$
B.
$N = \left\{ (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),(6;6) ight\}$
C.
$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$
D.
$N = \left\{ (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6,6) ight\}$

Mô tả đúng biến cố N là:

$N =\{(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),$ $(6;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5)\}$

Câu 38: Thông hiểu

Đề thi Toán thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Một học sinh làm chắc chắn đúng 40 câu, vì thời gian còn lại hạn chế nên học sinh đã tô ngẫu nhiên 10 câu hỏi còn lại. Tính xác suất để học sinh đó được 9,2 điểm trong bài thi đó?

A.
$A_{10}^{6}.(0,25)^{4}.(0,75)^{6}$
B.
$C_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$
C.
$C_{10}^{6}.(0,25)^{4}.(0,75)^{6}$
D.
$A_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$

Khi khoanh ngẫu nhiên 1 câu thì xác suất đúng là 0,25 và xác suất sai là 0,75

Học sinh đó được 9,2 điểm nếu bạn khoanh đúng được 6 câu trong 10 câu còn lại

Do đó xác suất để bạn học sinh đó được 9,2 điểm là: $C_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$ .

Câu 39: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất $0,8$ và người thứ hai lần lượt là $0,9$ . Tính xác suất của biến cố A chỉ có đúng 1 người bắn trúng bia?