Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $C = \left\{ (1;6),(6;1) ight\}$

$\Rightarrow n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Câu 2: Vận dụng

Gọi $P$ là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các phần tử của tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $P$ . Tính số phần tử của biến cố H “chọn được số tự nhiên chia hết cho 15”.

A.
150
B.
12240
C.
1025
D.
222

Ta có H là biến cố số tự nhiên được chọn chia hết cho 15.

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15 được tạo thành từ tập A có dạng $\overline{abcde}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 15 = 3.5 \\ (3,5) = 1 \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overline{abcde} \vdots 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overline{abcde} \vdots 5 \\ \overline{abcde} \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $(a + b + c + d) \vdots 3$ khi và chỉ khi

TH1: $e = 1$ khi đó $\overline{abcde} \vdots 3 \Rightarrow (a + b + c + d) \vdots 3$ khi và chỉ khi $\left\lbrack \begin{matrix} a;b;c;d \in \left\{ 1;2;3;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;4;5 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;3;5;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 2;3;5;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 3;4;5;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy trong trường hợp này có 5.4! = 120 số tự nhiên

TH2: $e = 5$ khi đó $\overline{abcde} \vdots 3 \Rightarrow (a + b + c + d + 5) \vdots 3$

$\Rightarrow (a + b + c + d) \vdots 3$ dư 1 khi và chỉ khi $\left\lbrack \begin{matrix} a;b;c;d \in \left\{ 0;1;2;4 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 0;1;3;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 0;3;4;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;3;4 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;4;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy trong trường hợp này có 3.3.3.2.1 + 2.4! = 102 số tự nhiên

Do đó $n(H) = 120 + 102 = 222$

Câu 3: Nhận biết

Có bao nhiêu cách chọn một tổ trưởng và một tổ phó từ một nhóm 12 học sinh? Biết khả năng được chọn của mỗi học sinh trong nhóm là như nhau.

A.
$60$
B.
$144$
C.
$132$
D.
$72$

Mỗi cách chọn 2 người từ 12 người để làm một tổ trưởng và một tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 12

Vậy số cách chọn là $A_{12}^{2} = 132$ .

Câu 4: Nhận biết

Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi X là biến cố “Ba lần liên tiếp kết quả như nhau” và Y là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp”. Chọn khẳng định đúng?

A.
$X \cup Y = \left\{ SSS;SSN;NSS;NNN ight\}$
B.
$X \cup Y = \left\{ SSS;NNN ight\}$
C.
$X \cup Y = \left\{ SSS;SSN;NSS ight\}$
D.
$X \cup Y = \left\{ SSS;SSN;NSS;NNN;SNS ight\}$

Ta có:

$X = \left\{ SSS;NNN ight\}$

$Y = \left\{ SSS;SSN;NNN ight\}$

$\Rightarrow X \cup Y = \left\{ SSS;SSN;NSS;NNN ight\}$

Câu 5: Thông hiểu

Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{2}{3}$

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Gọi biến cố $A$ :"Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ".

Khi đó biến cố $A$ có 3 khả năng xảy ra:

+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia: $\frac{1}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ .

+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia: $\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{6}$ .

+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia: $\frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

Khi đó $P(A) = \frac{1}{3}.\frac{3}{4} + \frac{2}{3}.\frac{1}{4} + \frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{11}{12}$ .

Câu 6: Thông hiểu

Trong một trận thi đấu để giành chiến thắng chung cuộc, người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 hiệp. Kết thúc buổi sáng, tuyển thủ A thắng được 5 hiệp và tuyển thủ B chỉ thắng được 3 hiệp. Hai tuyển thủ sẽ tiếp tục thi đấu vào buổi chiều. Xác suất để tuyển thủ A thắng chung cuộc là:

Đáp án: 7/8

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Trong một trận thi đấu để giành chiến thắng chung cuộc, người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 hiệp. Kết thúc buổi sáng, tuyển thủ A thắng được 5 hiệp và tuyển thủ B chỉ thắng được 3 hiệp. Hai tuyển thủ sẽ tiếp tục thi đấu vào buổi chiều. Xác suất để tuyển thủ A thắng chung cuộc là:

Đáp án: 7/8

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Xét biến cố tuyển thủ A không chiến thắng chung cuộc khi tuyển thủ B thắng liên tiếp ba hiệp vào buổi chiều.

Xác suất là: $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Vậy xác suất để tuyển thủ A thắng chung cuộc là $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ .

Câu 7: Nhận biết

Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?

A. 288
B. 360
C. 312
D. 600

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là: $\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do số tạo thành là số lẻ => e = {1; 7; 9}

=> Số cách chọn e là: 3 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành là: 3 . 4 . 4 . 3 . 2 = 288 số

Câu 8: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ trong đó có ít nhất một thẻ xanh?

A.
$0,645$
B.
$0,355$
C.
$0,724$
D.
$0,276$

Gọi B là biến cố có ít nhất một tấm thẻ xanh

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố lấy được 3 tấm thẻ không có thẻ xanh nào.

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = P\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$

$\Rightarrow \Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}} \approx 0,645$

Câu 9: Vận dụng cao

Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học rất kém môn Tiếng Anh nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.

Đáp án: 6

Đáp án là:

Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học rất kém môn Tiếng Anh nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.

Đáp án: 6

Vì đề thi có 25 câu và mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất để Bình làm đúng $k$ câu là

$P = C_{25}^{k}.\left( \frac{1}{4} ight)^{k}.\left( \frac{3}{4} ight)^{25 - k} = \frac{C_{25}^{k}.3^{25 - k}}{4^{25}}$

Với $0 \leq k \leq 25$ .

Xét hàm $f(k) = C_{25}^{k}.3^{25 - k}$ với $k\mathbb{\in N}$ và $k \leq 25$ .

Ta có $f(k)$ lớn nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(k) \geq f(k - 1) \\ f(k) \geq f(k + 1) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow 6,5 \geq k \geq 5,5 \Rightarrow k = 6 ight.$ .

Suy ra $\max_{0 \leq k \leq 25}f(k) = f(6)$ .

Vậy $k = 6$ .

Câu 10: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 11: Thông hiểu

Một tổ học sinh gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành ba nhóm, mỗi nhóm ba em. Tính xác suất để mỗi nhóm có một nữ?

A.
$0,32$
B.
$0,23$
C.
$0,41$
D.
$0,48$

Gọi A là biến cố: "Ở 3 nhóm học sinh, mỗi nhóm có một nữ".

Tìm $|\Omega|$

Chọn ngẫu nhiên 3 trong 9 em đưa vào nhóm thứ nhất có $C_{9}^{3}$ cách.

Chọn 3 trong 6 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai có $C_{6}^{3}$ cách.

Còn 3 em, đưa vào nhóm thứ 3 có 1 cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{9}^{3}.C_{6}^{3}.1 = 1680$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Phân 3 nữ vào ba nhóm có $P_{3} = 3! = 6$ cách khác nhau.

Phân 6 nam vào ba nhóm theo cách trên có $C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.1$ khác nhau

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $\left| \Omega_{A} ight| = 6.C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.1 = 540$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{540}{1680} = \frac{9}{26} \approx 0,32$

Câu 12: Nhận biết

Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;...;12;13 ight\}$ . Gọi $M$ là biến cố lấy ra được số nguyên tố. Hãy liệt kê các phần tử của biến cố $M$ ?

A.
$\left\{ 1;2;3;5;7;11;13 ight\}$
B.
$\left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$
C.
$\left\{ 3;5;7;11;13 ight\}$
D.
$\left\{ 2;3;7;11;13 ight\}$

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chia hết cho 1 và chính nó vì vậy:

$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$

Câu 13: Thông hiểu

Có hai hộp, hộp thứ nhất đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 5 bi vàng, hộp thứ hai đựng 2 bi đỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, mỗi hộp một bi. Tính xác suất để trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ?

A.
$\frac{29}{70}$
B.
$\frac{3}{14}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{15}{70}$

Gọi A là biến cố “Trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ”, $A_{1}$ là biến cố “Lấy được bi đỏ ở hộp thứ nhất”, $A_{2}$ là biến cố “Lấy được bi đỏ ở hộp thứ hai”.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A = A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} \\P\left( A_{1} ight) = \dfrac{3}{10};P\left( \overline{A_{1}} ight) =\dfrac{7}{10} \\P\left( A_{2} ight) = \dfrac{2}{7};P\left( \overline{A_{2}} ight) =\dfrac{5}{7} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra

$P(A) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} ight) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$= \frac{3}{10}.\frac{5}{7} + \frac{7}{10}.\frac{2}{7} = \frac{29}{70}$

$= P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)$

Câu 14: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 15: Nhận biết

Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 180
B. 160
C. 90
D. 45

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách

=> Có 10 . 9 = 90 trận

Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách

=> Số trận đấu là 2.90 =180 trận

Câu 16: Thông hiểu

Đề thi Tiếng anh thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Một học sinh đã tô câu trả lời ngẫu nhiên cho cả 50 câu hỏi. Hỏi xác suất để học sinh đó đạt 4 điểm trong bài thi trên là bao nhiêu?

A.
$2,2.10^{- 7}$
B.
$2,5.10^{- 6}$
C.
$1,8.10^{- 5}$
D.
$1,3.10^{- 7}$

Để đạt được điểm 4 học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Theo đó xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25, xác suất trả lời sai mỗi câu là 0,75

Vậy xác suất để học sinh đạt 4 điểm là: $C_{50}^{30}.(0,25)^{30}.(0,75)^{20} \approx 1,3.10^{- 7}$ .

Câu 17: Vận dụng

Hỏi từ 10 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập thành bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các số đó có mặt chữ số 0 và 1.

A. 4200
B. 42000
C. 42
D. 420

Gọi số có 6 chữ số có dạng $\overline {abcdef} ,\left( {a e 0} ight)$

Xếp chữ số 0 vào 1 trong 5 vị trí từ b đến f => Có 5 cách xếp

Xếp chữ số 1 vào 1 trong 5 vị trí còn lại (bỏ 1 vị trí chữ số 0 đã chọn) => Có 5 cách xếp

Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}để xếp vào 4 vị trí còn lại => Có $A_8^4$ cách

Theo quy tắc nhân lập được $5.5.A_8^4 = 42000$ số

Vậy có tất cả 42000 số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 18: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
C.
$M = \overline{M_{1}} \cap M_{2} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
D.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Câu 19: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 13080
B. 16080
C. 136080
D. 36080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 20: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 21: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{5}{27}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{11}{27}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Kết quả thuận lợi cho biến cố "3 sinh viên vào cù môt quán" là $(1;1;1),(2;2;2),(3;3;3)$

Vậy xác suất của biến cố này là $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Câu 22: Thông hiểu

Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5:

A. 60
B. 80
C. 240
D. 600

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Số cách chọn a là: 5 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn b là: 5 cách

Số cách chọn c là: 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

Số cách chọn e là: 2 cách

=> Có thể lập được số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ dãy số là: 5 . 5 . 4 . 3 . 2 = 600 số

Câu 23: Nhận biết

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?

A.
$P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
B.
$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
C.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
D.
$0 \leq P(B) \leq 1$

Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Câu 24: Thông hiểu

Sắp xếm 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào một bàn tròn. Biết mỗi bạn chỉ ngồi 1 chỗ và bàn có đủ 8 chỗ ngồi. Tính xác suất sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau?

A.
$\frac{1}{35}$
B.
$\frac{2}{35}$
C.
$\frac{1}{105}$
D.
$\frac{4}{7}$

Gọi A là biến cố 2 người không cùng giới ngồi cạnh nhau

n là số cách sắp xếp người xung quanh bàn tròn

Mỗi cách sắp xếm là hoán vị của 8 vị trí, khi đó số hoán vị cần tìm là 8!

Mỗi hoán vị không đổi nếu ta thực hiện vòng quanh nên mỗi hoán vị đã được tính 8 lần.

Vậy $n = \frac{8!}{8} = 7!$

Xếp 4 nữ vào 4 vị trí ta có: $\frac{4!}{4} = 3!$ cách

Xếp 4 nam vào 4 vị trí qua 4 khoảng, số cách sắp xếp $4!$

Vậy $P(A) = \frac{3!.4!}{7!} = \frac{1}{35}$

Câu 25: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $B = \left\{ (3;6),(6;3),(4;6),(6;4),(5;6),(6;5),(6;6) ight\}$

$\Rightarrow n(B) = 7 \Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{36}$

Câu 26: Vận dụng

Cho ba chiếc hộp A, B, C. Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng. Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng. Hộp C chứa 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ chiếc hộp đó. Tính xác suất để lấy được một viên bi đỏ.

A.
$\frac{13}{30}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{39}{70}$
D.
$\frac{1}{8}$

Gọi A là biến cố chọn được hộp A

B là biến cố chọn được hộp B

C là biến cố chọn được hộp C

E là biến cố bi chọn ra là bi màu đỏ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{1}{3} \\P\left( E|A ight) = \dfrac{4}{7} \\P\left( E|B ight) = \dfrac{3}{5} \\P\left( E|C ight) = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Theo công thức

$P(E) = P(A).P\left( E|A ight) + P(B).P\left( E|B ight) + P(C).P\left( E|C ight)$

$= \frac{1}{3}.\frac{4}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{39}{70}$

Câu 27: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?

A. 60
B. 36
C. 120
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: $\overline {abc}$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c ∈ {0; 5}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 6 cách

=> Số các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 được tạo thành là: 2 . 5 . 6 = 60 số

Câu 28: Nhận biết

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Lấy một số từ dãy số đã cho ta được: $n\left( \Omega ight) =6$

Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"

Ta có: A = {2} => $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 29: Nhận biết

Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tập hợp không gian mẫu là:

A.
$\Omega = \left\{ SS;SN;NS ight\}$
B.
$\Omega = \left\{ SS;SN;NS;NN ight\}$
C.
$\Omega = \left\{ SN;NS;NN ight\}$
D.
$\Omega = \left\{ SN;NS ight\}$

Không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ SS;SN;NS;NN ight\}$ .

Câu 30: Thông hiểu

Bạn An có 6 quyển sách giáo khoa khác nhau và 4 quyển vở bài tập khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển vở trên một kệ dài biết rằng các quyển sách giáo khoa xếp kề nhau?

A.
$4!.6!$
B.
$2.4!.6!$
C.
$5!.6!$
D.
$10!$

Ta có 6 quyển sách giáo khoa là một nhóm và xếp nhóm này với 4 quyển vở khác nhau, khi đó ta có 5! cách xếp.

Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách sắp xếp mới mà có 6! cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa. Vậy số cách sắp xếp là 6!.5!

Câu 31: Vận dụng

Có ba chiếc hộp:

Hộp 1 gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.

Hộp 2 gồm 3 viên bi đỏ và 2 viên bi đen.

Hộp 3 gồm 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ bằng:

A.
$\frac{601}{1080}$
B.
$\frac{6}{11}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{61}{360}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp:

Gọi B là biến cố lấy được hộp 1

C là biến cố lấy được hộp 2

D là biến cố lấy được hộp 3

Suy ra $P(B) = P(C) = P(D) = \frac{1}{3}$

Gọi A là biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi màu đỏ.

Ta có:

$A = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)$

=> $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(A \cap D)$

$= \frac{1}{3}.\frac{4}{9} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{5}{8} = \frac{601}{1080}$

Câu 32: Thông hiểu

Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?

A. 3110
B. 3200
C. 313
D. 3000

Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do E là số chẵn => $e \in \left\{ {0;2;4;6} ight\}$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 7 cách

Số cách chọn b là 6 cách

Số cách chọn c là 5 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)

Trường hợp 2: $e \in \left\{ {2;4;6} ight\}$

Số cách chọn e là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn e là 6 cách

Số cách chọn e là 5 cách

Số cách chọn e là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)

Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:

840 + 2160 = 3000 số

Câu 33: Vận dụng

Trong một trận giao hữu, hai cầu thủ bóng đá A và B thực hiện đá luân lưu. Biết xác suất để cầu thủ B không đá trúng lưới là $\frac{2}{5}$ , xác suất để cầu thủ A đá trúng lưới là $\frac{3}{10}$ . Tính xác suất để có đúng một cầu thủ đá trúng lưới?

A.
$0,54$
B.
$0,36$
C.
$0,45$
D.
$0,62$

Gọi X là biến cố cầu thủ A đá trúng lưới và Y là biến cố cầu thủ B đá trúng lưới

Suy ra biến cố có đúng một cầu thủ đá trúng lưới là $X\overline{Y} \cup \overline{X}Y$

Vì $X\overline{Y};\overline{X}Y$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left( X\overline{Y} \cup \overline{X}Y ight) = P\left( X\overline{Y} ight) + P\left( \overline{X}Y ight)$

Vì $\overline{X};Y$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( X\overline{Y} ight) = P(X).P\left( \overline{Y} ight) = 0,3.0,4 = 0,12$

Tương tự $P\left( \overline{X}Y ight) = P\left( \overline{X} ight).P(Y) = (1 - 0,3).(1 - 0,4) = 0,42$

Vậy $P\left( X\overline{Y} \cup \overline{X}Y ight) = P\left( X\overline{Y} ight) + P\left( \overline{X}Y ight) = 0,54$

Câu 34: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 35: Nhận biết

Một phép thử có không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Cặp biến cố nào sau đây không đối nhau?

A.
$A = \left\{ 1 ight\},B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$C = \left\{ 1;4;5 ight\},D = \left\{ 2;3;5 ight\}$
C.
$E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$
D.
$\Omega,\varnothing$

Cặp biến cố không đối nhau là: $E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$ vì $\left\{ \begin{matrix} E \cap F = \varnothing \\ E \cup F eq \Omega \\ \end{matrix} ight.$

Câu 36: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn trong đó có đúng một bạn là nữ?

A. 8
B. 18
C. 28
D. 38

Ta có:

Ba bạn được chọn có 1 nữ và 2 nam

=> Số cách chọn là: $C_3^1.C_4^2 = 18$ cách

Câu 37: Thông hiểu

Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:

A. 720
B. 1440
C. 20160
D. 40320

Ta có:

Ông An hay bà An đứng ở dầu hoặc cuối hàng

=> Có hai cách sắp xếp

Tiếp theo xếp 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc

=> Có 6! cách sắp xếp

=> Có tất cả 2 . 6! = 1440 cách

Câu 38: Thông hiểu

Có ba chiếc hộp đựng những tấm thẻ màu xanh và màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ. Giả sử $Q_{i}$ là biến cố lấy được tấm thẻ màu xanh từ hộp thứ $i;i \in \left\{ 1;2;3 ight\}$ . Em hãy chọn đáp án đúng biểu diễn biến cố lấy được ít nhất một tấm thẻ màu đỏ dưới đây?

A.
$\overline{Q_{1}} \cap \left( Q_{2} \cup Q_{3} ight)$
B.
$\overline{Q_{1}} \cap \overline{Q_{2}} \cap \overline{Q_{3}}$
C.
$\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$
D.
$\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup Q_{3}$

Biểu diễn đúng là: $\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$

Câu 39: Thông hiểu

Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.?

A.
$\frac{2}{7}$
B.
$\frac{10}{21}$
C.
$\frac{4}{24}$
D.
$\frac{12}{49}$

Gọi $A;B;C;D$ lần lượt là các biến cố: “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ nhất”, “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ hai”; “Lấy được bi trắng từ hộp thứ nhất”, “Lấy được bi trắng từ hộp thứ hai”.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{4}{7};P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \\P(C) = \dfrac{3}{7};P(D) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.$

Gọi E; F lần lượt là các biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ”, “Hai viên bi lấy ra cùng màu trắng”.

Khi đó $E = AB;F = CD$

Do A và B và hai biến cố độc lập nên $P(E) = P(AB) = P(A).P(B) = \frac{4}{21}$

Do C và D là hai biến cố độc lập nên $P(F) = P(CD) = P(C).P(D) = \frac{2}{7}$

Do E và F là hai biến cố xung khắc nên xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu là

$P(E \cup F) = P(E) + P(F) = \frac{4}{21} + \frac{2}{7} = \frac{10}{21}$ .

Câu 40: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$
C.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cap M_{3} \cup M_{4}$
D.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!