Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 4 viên bi bất
kỳ?

A. 1365
B. 32760
C. 210
D. 1200

Số viên bi có trong hộp là 10 + 5 = 15 viên bi

Số cách lấy 4 viên bi bất kỳ trong hộp là tổ hợp chập 4 của 15 phần tử: $C_{15}^4 = 1365$

Câu 2: Nhận biết

Tung một đồng tiền xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính số phần tử của biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”.

A.
32
B.
31
C.
25
D.
40

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = 2^{5} = 32$

Gọi A là biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần” khi đó $\overline{A}$ là biến cố “Mặt sấp không xuất hiện”

Khi đó $\overline{A} = \left\{ NNNNN ight\} \Rightarrow n\left( \overline{A} ight) = 1$

Khi đó $n(A) = 32 - 1 = 31$

Câu 3: Thông hiểu

Một tổ có 9 hoc sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng doc. Tính xác suất sao cho 5 ban nam phải đứng kề nhau?

A.
$\frac{1}{63}$
B.
$\frac{1}{126}$
C.
$\frac{1}{3024}$
D.
$\frac{1}{1512}$

Gọi A là biến cố "Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó 5 bạn nam phải đứng kề nhau".

Tìm $|\Omega|$

Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc, có 9! cách xếp $\Rightarrow |\Omega| = 9!$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Năm học sinh nam đứng kề nhau ta coi như 1 phần tử, cùng với 4 nữ là 5 phần tử.

Xếp 5 phần tử này thành một hàng dọc có $5! = 120$ cách xếp.

Năm học sinh nam đứng kề nhau hoán vị cho nhau: 5! cách xếp.

Do đó có $5!.120 = 14400$ cách xếp.

Vậy số phần tử của tập $\Omega_{A}$ là 14400.

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{5!.4!}{9!} = \frac{1}{126}$

Câu 4: Thông hiểu

Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần?

A. 60
B. 24
C. 32
D. 100

Số tự nhiên có năm chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Do mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần => $a e b e c e d e e$

Số cần tìm là số chẵn => e ∈ {0; 2; 4}

Trường hợp 1: e = 0 => e có 1 cách chọn

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 1 là: 4.3.2 = 24 số

Trường hợp 2: e ∈ {2; 4} => Có 2 cách chọn e

Số cách chọn a là 3 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 2 là: 2.3.3.2 = 36 số

=> Có thể lập được số các chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần là 36 + 24 = 60 số

Câu 5: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 6: Thông hiểu

Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp. Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư.

A. $\frac{5}{{21}}$
B. $\frac{{5}}{{6}}$
C. $\frac{1}{{21}}$
D. $\frac{1}{{41}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^4$

Số hộp sữa không bị hư là: 10 - 3 = 7 (hộp)

Số cách chọn 4 hộp sữa mà không hộp sữa nào bị hư nào là: $C_{7}^4$

Số cách để chọn 4 hôp sữa ít nhất một hộp hư là: $C_{10}^4 -C_{7}^4 =175$ (cách chọn)

=> Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư là: $P = \frac{{175}}{{C_{10}^4}} = \frac{5}{6}$

Câu 7: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 8: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 9: Nhận biết

Giả sử $M,N$ là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$P(M \cup N) = P(M) +P(N)$
B.
$P(M \cup N) =P(M).P(N)$
C.
$P(M \cup N) = P(M) -P(N)$
D.
$P(M \cap N) = P(M) +P(N)$

Ta có:

$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \capN)$

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên $M\cap N = \varnothing$

$\Rightarrow P(M \cup N) = P(M) +P(N)$

Câu 10: Thông hiểu

Từ các số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A. 15
B. 20
C. 72
D. 36

Dãy số đã cho có 3 chữ số

Mà những số cần tìm có các chữ số khác nhau

=> Số tự nhiên cần tìm có tối đa là 3 chữ số

Số có 1 chữ số: 3 số

Số có 2 chữ số khác nhau: 3 . 2 = 6 số

Số có 3 chữ số khác nhau: 3 . 2 = 6 số

=> Có thể lập được số các số khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau là: 3 + 6 + 6 = 15 số

Câu 11: Nhận biết

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

A. 5250
B. 4500
C. 2625
D. 1500

Số cách chọn 1 học sinh nam là: $C_{25}^1 = 25$ cách

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{15}^2 = 105$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:

$C_{25}^1.C_{15}^2 = 25.105 = 2625$ cách

Câu 12: Thông hiểu

Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?

A. 3110
B. 3200
C. 313
D. 3000

Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do E là số chẵn => $e \in \left\{ {0;2;4;6} ight\}$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 7 cách

Số cách chọn b là 6 cách

Số cách chọn c là 5 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)

Trường hợp 2: $e \in \left\{ {2;4;6} ight\}$

Số cách chọn e là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn e là 6 cách

Số cách chọn e là 5 cách

Số cách chọn e là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)

Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:

840 + 2160 = 3000 số

Câu 13: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn trong đó có đúng một bạn là nữ?

A. 8
B. 18
C. 28
D. 38

Ta có:

Ba bạn được chọn có 1 nữ và 2 nam

=> Số cách chọn là: $C_3^1.C_4^2 = 18$ cách

Câu 14: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 15: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên hai viên bi trong hộp có 10 viên bi gồm 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 1 viên bi trắng. Tính xác suất của biến cố B “hai viên bi lấy ra có cùng màu”.

A.
$P(B) = \frac{1}{9}$
B.
$P(B) = \frac{1}{3}$
C.
$P(B) = \frac{2}{3}$
D.
$P(B) = \frac{2}{9}$

Ta có:

$n(\Omega) = C_{10}^{2} = 45$

Gọi các biến cố

D lấy được hai viên bi đỏ $\Rightarrow n(D) = C_{4}^{2} = 6$

E lấy được hai viên bi xanh $\Rightarrow n(E) = C_{3}^{2} = 3$

F lấy được 2 viên bi vàng $\Rightarrow n(F) = C_{2}^{2} = 1$

Ta có D, E, F là các biến cố đôi một xung khắc và $B = D \cup E \cup F$

$\Rightarrow P(B) = P(D) + P(E) + P(F)$

$= \frac{6}{45} + \frac{3}{45} + \frac{1}{45} = \frac{2}{9}$

Câu 16: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $C = \left\{ (1;6),(6;1) ight\}$

$\Rightarrow n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Câu 17: Thông hiểu

Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là $0,2$ và $0,1$ . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.

a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là $0,8$ Đúng||Sai

b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận $0,02$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là $0,85$ Sai||Đúng

d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là $0,16$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là $0,2$ và $0,1$ . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.

a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là $0,8$ Đúng||Sai

b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận $0,02$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là $0,85$ Sai||Đúng

d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là $0,16$ Sai||Đúng

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân A bị suy thận” ta có: $P(A) = 0,2;P\left( \overline{A} ight) =0,8$

B là biến cố “Bệnh nhân B bị suy thận” ta có: $P(B) = 0,1;P\left( \overline{B} ight) =0,9$

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận”

Khi đó $\overline{A}\overline{B}$ là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận.

Khi đó $A\overline{B}$ là biến cố “Bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận”.

b) Hai biến cố A, B độc lập nên ta có:

$P(A \cap B) = P(AB) = P(A).P(B) =0,2.0,1 = 0,02$

b) Hai biến cố $\overline{A};\overline{B}$ độc lập nên ta có:

$P\left( \overline{A}\overline{B} ight)= P\left( \overline{A} ight).P\left( \overline{B} ight) = 0,8.0,9 =0,72$

c) Hai biến cố $A;\overline{B}$ độc lập nên ta có:

$P\left( A\overline{B} ight) =P(A).P\left( \overline{B} ight) = 0,2.0,9 = 0,18$

Câu 18: Vận dụng

Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)

Điều kiện $n \in \mathbb{N},n > 2$

=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh

Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

=> Số đoạn thẳng tạo thành là $C_n^2$ đoạn

Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n

Ta có phương trình:

$C_n^2 = n + 2n \Rightarrow n = 7$

Vậy đa giác đó có 7 cạnh.

Câu 19: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 20: Nhận biết

Cho một tập hợp A gồm 12 phần tử. Hỏi số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp A bằng bao nhiêu?

A.
$A_{12}^{9}$
B.
$12^{3}$
C.
$A_{12}^{3}$
D.
$C_{12}^{3}$

Ta có:

Mỗi tập con gồm 3 phân tử của tập A là một tổ hợp chập 3 của 12.

Vậy số tập con cần tìm là $C_{12}^{3}$ .

Câu 21: Nhận biết

Số cách xếp 6 học sinh $A;B;C;D;E;F$ ngồi bất kì vào một ghế dài là:

A.
$6$ cách
B.
$240$ cách
C.
$720$ cách
D.
$120$ cách

Sắp xếp 6 học sinh vào một ghế dài là hoán vị của 6 phần tử

Vậy số cách sắp xếp là $6! = 720$ cách.

Câu 22: Thông hiểu

Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là:

A. $\frac{5}{{36}}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$

Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc cân đối và đồng chất ta có:

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {6^2} = 36$

Giả sử B là biến cố "sau hai lần gieo kết quả như nhau"

=> B = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

=> $n\left( B ight) = 6$

=> Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là: $P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$

Câu 23: Nhận biết

Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6

Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách

Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.

Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách

=> n(A) = 4

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Câu 24: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 455
C. 2300
D. 3080

Số cách chọn ba học sinh trong đó có 1 học sinh nam là: $C_{25}^1.C_{15}^2 = 2625$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$ cách

=> Số cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam là: $2625 + 455 = 3080$ cách

Câu 25: Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính số phần tử của biến cố M “tích hai tấm thẻ rút được là số chẵn”?

A.
$35$
B.
$145$
C.
$146$
D.
$190$

Tích hai số trên tấm thẻ được rút ra là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn.

Trường hợp 1: Cả hai số lấy được đều là số chẵn

=> Số cách sắp xếp là: $C_{10}^{2}$ cách

Trường hợp 2: Hai tấm thẻ lấy được gồm một số chẵn và một số lẻ ta có: 10 . 10 = 100 cách

Suy ra $n(M) = C_{10}^{2} + 100 = 145$ phần tử.

Câu 26: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền xu liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

Biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

=> Biến cố $\overline A$ "không xuất hiện mặt sấp”

$\overline A = \left\{ {\left( {N;N;N} ight)} ight\}$

=> $n\left( {\overline A } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } ight) = \frac{1}{8}$

=> $P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Câu 27: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại:

A. 60
B. 40
C. 48
D. 10

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại là 4 . 4 . 3 = 48 số

Câu 28: Nhận biết

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 256
B. 120
C. 24
D. 16

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số khác nhau là 4! = 24 số

Câu 29: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 30: Thông hiểu

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A. 60
B. 10
C. 12
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c = 5

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 là: $1 . 4 . 3 = 12$ số

Câu 31: Thông hiểu

Khi gửi tiền vào ngân hàng, chị X được tham gia chương trình “Bốc thăm trúng thưởng”. Chị được bốc lần lượt 2 lá thăm trong hộp gồm 20 lá thăm. Biết trong hộp chỉ có 2 lá thăm ghi “Trúng thưởng”. Tính xác suất để cả hai lá thăm đều trúng thưởng?

A.
$\frac{1}{190}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{1}{19}$
D.
$\frac{1}{100}$

Gọi A là biến cố lá thăm rút được lần đầu có thưởng

=> $P(A) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Gọi B là biến cố lá thăm rút được lần sau có thưởng.

=> $P(B) = \frac{1}{19}$

$\Rightarrow P(AB) = P(A).P(B) = \frac{1}{10}.\frac{1}{19} = \frac{1}{190}$

Câu 32: Vận dụng

Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính $P(H)$ ?

A.
$\frac{1}{18}$
B.
$\frac{1250}{1710}$
C.
$\frac{625}{1710}$
D.
$\frac{1}{9}$

Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}};\left( a_{1} eq 0 ight)$

Ta có: $n(A) = 9.10^{8}$ khi đó số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{n(A)}^{1} = 9.10^{8}$

H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.

Số $a_{9}$ có 5 cách chọn

Các số từ $a_{2} ightarrow a_{8}$ mỗi số có 10 cách chọn

Xét tổng $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ . Vì số dư của $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ khi chia cho 9 thuộc tập $\left\{ 0;1;2;...;8 ight\}$ nên luôn tồn tại một cách chọn số $a_{1} eq 0$ để $S = a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ chia hết cho 9 hay $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}} \vdots 9$

Do đó $n(H) = 5.10^{7}$

Xác suất của biến cố H là $P(H) = \frac{n(H)}{n(\Omega)} = \frac{1}{18}$

Câu 33: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$ . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ?

A.
$\frac{2}{15}$
B.
$\frac{7}{33}$
C.
$\frac{16}{33}$
D.
$\frac{1}{11}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $|\Omega| = C_{11}^{3} = 165$

Gọi B là biến cố “Tổng ba số được chọn là số lẻ”

Tổng ba số được chọn tạo thành số lẻ thì ba số được chọn cần thỏa điều kiện: 3 số đều là số lẻ, hai số chẵn và 1 số lẻ.

TH1: 3 số đều là số lẻ: $C_{6}^{3} = 20$

TH2: số cách chọn hai số chẵn và 1 số lẻ là $C_{6}^{1}.C_{5}^{2} = 60$

Suy ra ta có $n(B) = 20 + 60 = 80$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(B) = \frac{80}{165} = \frac{16}{33}$

Câu 34: Thông hiểu

Có 4 nữ sinh tên là Linh, Hoa, Lan, Hiền và 4 nam sinh tên là Tuấn, Bình, Trung, Cường cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?

A. 576
B. 144
C. 288
D. 1152

Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.

Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài).

Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách.

Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đã xếp ở trên có 4! cách.

Vậy có 3! · 4! = 144 cách.

Câu 35: Vận dụng

Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:

Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.

Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{7}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{2}{15}$ Đúng||Sai

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{1}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là $\frac{13}{30}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:

Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.

Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{7}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{2}{15}$ Đúng||Sai

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{1}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là $\frac{13}{30}$ Sai||Đúng

Gọi A là biến cố: “Chọn được hộp A”

B là biến cố: “Chọn được hộp B”

C là biến cố: “Chọn được hộp C”

Ta có:

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$

a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: $\frac{1}{3}.\frac{3}{7} = \frac{1}{7}$

b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là $\frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là $\frac{C_{2}^{1}}{C_{4}^{1}} = \frac{1}{2}$

d) E là biến cố: “Bi chọn ra có màu đỏ”.

Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là

$P\left( E|A ight) = \frac{4}{7};P\left( E|B ight) = \frac{3}{5};P\left( E|C ight) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức ta có:

$P(E) = P(A).P\left( E|A ight) + P(B).P\left( E|B ight) + P(C).P\left( E|C ight)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{1}{3}.\frac{4}{7} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{39}{70}$

Câu 36: Nhận biết

Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tất cả các chữ số đều lẻ:

A. 25
B. 20
C. 30
D. 10

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: $\overline {ab}$

Do tất cả các chữ số đều lẻ => $a,b \in \left\{ {1;3;5;7;9} ight\}$

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 5 cách

=> Số các số có 2 chữ số mà tất cả các chữ số đều lẻ là 5 . 5 = 25 số

Câu 37: Thông hiểu

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{{11}}{{36}}$
D. $\frac{1}{3}$

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {6^2} = 36$

Giả sử D là biến cố "tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3"

Các bộ số chia hết cho 3 là (1; 2), (3; 3); (2; 4), (1; 5), (5; 4), (3; 6), (6; 6)

Ngoài bộ số (6; 6) và (3; 3) ta có các bộ số còn lại hoán vị

=> $n\left( D ight) = 12$

=> Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:

$P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 38: Nhận biết

Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.

$P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Câu 39: Vận dụng

Trong một thí nghiệm lai tạo cây bơ, biết rằng quả tròn là tính trạng trội hoàn toàn so với quả dài. Cho cây quả tròn thuần chủng thụ phấn với cây quả dài ta được đời cây F1 toàn là cây quả tròn. Tiếp tục cho cây đời F1 thụ phấn với nhau và thu hoạch được các cây con mới. Lần lượt chọn ngẫu nhiên 2 cây con mới. Tính xác suất của biến cố trong 2 cây con mới được chọn có đúng 1 cây quả tròn?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{3}{16}$

Quy ước gene A: quả tròn và gene a: quả dài

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ quả tròn so với quả dài là 3 : 1

Gọi $A_{1}$ là biến cố cây được chọn lần thứ nhất là quả tròn

$A_{2}$ là biến cố cây được chọn lần thứ hai là quả tròn.

Ta có: $A_{1};A_{2}$ độc lập và $P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = \frac{3}{4}$

Xác suất của biến cố có đúng 1 quả tròn trong 2 cây được lấy ra:

$P\left( A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} ight) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$= P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)$

$= \frac{3}{4}.\frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

Câu 40: Vận dụng cao

Cho 3 con xúc xắc trong đó con xúc xắc thứ nhất cân đối. Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt 3 chấm là 0,2; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Gieo đồng thời ba con xúc xắc đã cho. Tính xác suất để hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm?

A.
$\frac{1}{120}$
B.
$\frac{3}{250}$
C.
$\frac{1}{250}$
D.
$\frac{1}{40}$

Con xúc xắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là $\frac{1}{6}$

Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác xuất mặt 3 chấm là 0,2 và các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là $\frac{1 - 0,2}{5} = \frac{4}{25}$

Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là $\frac{1 - 0,25}{5} = \frac{3}{20}$

Gọi A là biến cố gieo một lần 3 con xúc xắc hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm là:

Biến cố	Xúc xắc 1; 2; 3	Xác suất
B	2 chấm, 2 chấm, 1 chấm	$P(B) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$
C	2 chấm, 1 chấm, 2 chấm	$P(C) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$
D	1 chấm, 2 chấm, hai chấm	$P(D) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$

Do $A = B \cup C \cup D$ và các biến cố B, C, D đôi một xung khắc nên ta có:

$P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = \frac{3}{250}$

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!