Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Trong bài kiểm tra 15 phút, Minh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Tính xác suất để Minh tô sai cả 5 câu?

A.
$\frac{15}{1024}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{243}{1024}$
D.
$\frac{1}{1024}$

Xác suất tô sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Vậy xác suất để Minh tô sai cả 5 câu là $\left( \frac{3}{4} ight)^{5} = \frac{243}{1024}$

Câu 2: Vận dụng cao

Cho 3 con xúc xắc trong đó con xúc xắc thứ nhất cân đối. Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt 3 chấm là 0,2; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Gieo đồng thời ba con xúc xắc đã cho. Tính xác suất để hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm?

A.
$\frac{1}{120}$
B.
$\frac{3}{250}$
C.
$\frac{1}{250}$
D.
$\frac{1}{40}$

Con xúc xắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là $\frac{1}{6}$

Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác xuất mặt 3 chấm là 0,2 và các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là $\frac{1 - 0,2}{5} = \frac{4}{25}$

Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là $\frac{1 - 0,25}{5} = \frac{3}{20}$

Gọi A là biến cố gieo một lần 3 con xúc xắc hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm là:

Biến cố	Xúc xắc 1; 2; 3	Xác suất
B	2 chấm, 2 chấm, 1 chấm	$P(B) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$
C	2 chấm, 1 chấm, 2 chấm	$P(C) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$
D	1 chấm, 2 chấm, hai chấm	$P(D) = \frac{1}{6}.\frac{4}{25}.\frac{3}{20}$

Do $A = B \cup C \cup D$ và các biến cố B, C, D đôi một xung khắc nên ta có:

$P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = \frac{3}{250}$

Câu 3: Nhận biết

Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:

M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.

N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.

T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.

Hai biến cố nào xung khắc với nhau?

A.
$M;N$
B.
$M;T$
C.
$N;T$

Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.

Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.

Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.

Câu 4: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần. Không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?

A.
$64$
B.
$32$
C.
$10$
D.
$16$

Mỗi lần gieo đồng xu có hai khả năng xảy ra nên khi tung đồng xu đó 5 lần thì theo quy tắc nhân ta có: ${2^5} = 32$

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega ight) = 32$

Câu 5: Thông hiểu

Bạn An có 6 quyển sách giáo khoa khác nhau và 4 quyển vở bài tập khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển vở trên một kệ dài biết rằng các quyển sách giáo khoa xếp kề nhau?

A.
$4!.6!$
B.
$2.4!.6!$
C.
$5!.6!$
D.
$10!$

Ta có 6 quyển sách giáo khoa là một nhóm và xếp nhóm này với 4 quyển vở khác nhau, khi đó ta có 5! cách xếp.

Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách sắp xếp mới mà có 6! cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa. Vậy số cách sắp xếp là 6!.5!

Câu 6: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền xu ba lần liên tiếp. Gọi D là biến cố có ít nhất hai lần gieo xuất hiện mặt sấp. Tìm biến cố đối của biến cố D?

A.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS ight\}$
B.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS;SSS ight\}$
C.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS ight\}$
D.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Biến cố $\overline{D}$ là biến cố có đúng một lần xuất hiện mặt sấp hoặc không có lần nào xuất hiện mặt sấp.

$\Rightarrow \overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Câu 7: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $C = \left\{ (1;6),(6;1) ight\}$

$\Rightarrow n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Câu 8: Thông hiểu

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để các chữ số 1 và 2 có mặt trong số viết được.

A.
$\frac{22}{45}$
B.
$\frac{2}{9}$
C.
$\frac{4}{15}$
D.
$\frac{29}{90}$

Gọi A là. biến cố: "Số được viết có mặt các chữ số 1 và 2"

Tìm $|\Omega|$

Giả sử số được viết có dạng $\overline{abcde}$ .

Có 6 cách chọn a.

Tiếp theo có $A_{6}^{4}$ cách chọn $(b;c;d;e)$

Vậy số phần tử không gian mẫu là: $|\Omega| = 6.A_{6}^{4} = 2160$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Trường hợp 1: $\overline{abcde}$ không có mặt chữ số 0:

Có $A_{5}^{2}$ cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 2.

Sau đó có $A_{4}^{3}$ cách xếp 3 trong 4 chữ số 3, 4, 5, 6 vào ba vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này có $A_{5}^{2}.A_{4}^{3} = 480$ khả năng.

Trường hợp 2: $\overline{abcde}$ có mặt ba chữ số 0, 1, 2:

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0.

Tiếp theo có $A_{4}^{2}$ cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 2.

Cuối cùng có $A_{4}^{2}$ cách chọn 2 trong 4 chữ số 3, 4, 5, 6 để viết vào hai vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này có $4.A_{4}^{2}.A_{4}^{2} = 576$ khả năng.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $480 + 576 = 1056$

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{1056}{2160} = \frac{22}{45}$

Câu 9: Thông hiểu

Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau gồm sách tập 1 và sách tập 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau?

A. $20! − 18!$
B. $20! − 19!$
C. $20! − 18! . 2!$
D. $19! . 18$

Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp.

Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có $2 . 19!$ cách sắp xếp.

Vậy có tất cả $20! − 2 . 19! = 19! . 18$ cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán.

Câu 10: Thông hiểu

Nhóm bạn gồm 4 người muốn tham gia sự kiện âm nhạc vào hai ngày cuối tuần, họ có thể chọn tham gia vào thứ bảy hoặc chủ nhật. Tính xác suất để vào ngày thứ bảy và ngày chủ nhật có ít nhất một bạn tham gia?

Đáp án: 0,875

(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Nhóm bạn gồm 4 người muốn tham gia sự kiện âm nhạc vào hai ngày cuối tuần, họ có thể chọn tham gia vào thứ bảy hoặc chủ nhật. Tính xác suất để vào ngày thứ bảy và ngày chủ nhật có ít nhất một bạn tham gia?

Đáp án: 0,875

(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Vì mỗi bạn có thể tham gia sự kiện vào một trong hai ngày thứ bảy hoặc chủ nhật nên xác suất để nhóm bạn tham gia trong mỗi ngày là 0,5

Xác suất không tham gia trong mỗi ngày là 0,5

Gọi A là biến cố cả hai ngày thứ bảy và chủ nhật có ít nhất một bạn tham gia.

Ta có: $P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Xác suất cần tìm là $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Câu 11: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn không có nữ"

=> $n\left( A ight) = C_7^2 = 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{21}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

Câu 12: Thông hiểu

Thực hiện gieo hai lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố xuất hiện ít nhất một lần mặt năm chấm. Tính xác suất của biến cố A?

A.
$\frac{11}{36}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{2}{9}$

Ta có: $n(\Omega) = 6.6 = 36$ và A là biến cố xuất hiện ít nhất một lần mặt năm chấm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không lần nào xuất hiện mặt năm chấm.

Ta có: $n\left( \overline{A} ight) = 5.5 = 25 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = \frac{25}{36}$

$\Rightarrow P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Câu 13: Thông hiểu

Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:

A. $\frac{1}{{13}}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{{12}}{{13}}$
D. $\frac{3}{4}$

Số phần tử không gian mẫu là: 52

Một bộ bài 52 lá có 13 bộ 4 lá bài trong đó có mỗi bộ có 1 lá bích

=> Số lá bích trong bộ bài là 13 lá

=> Xác suất để được lá bích là: $P = \frac{{13}}{{52}} = \frac{1}{4}$

Câu 14: Vận dụng

Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:

a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ $\frac{1}{3003}$ Đúng||Sai

b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai

c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng $\frac{53}{429}$ Sai||Đúng

d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu $\frac{310}{429}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:

a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ $\frac{1}{3003}$ Đúng||Sai

b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai

c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng $\frac{53}{429}$ Sai||Đúng

d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu $\frac{310}{429}$ Sai||Đúng

Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là $n(\Omega) = C_{15}^{5} = 3003$ .

Gọi $A$ : “5 viên bi lấy được có đủ 3 màu "

Gọi $\overline{A}$ : " 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu "

Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp

+ 5 viên màu đỏ có 1 cách

+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có $C_{6}^{5} = 6$ cách.

Chỉ có xanh và đỏ có $C_{4}^{4} \cdot C_{5}^{1} + C_{4}^{3} \cdot C_{5}^{2} + C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{3} + C_{4}^{1}C_{5}^{4} = 125$ .

Chỉ có xanh và vàng có $C_{4}^{4} \cdot C_{6}^{1} + C_{4}^{3} \cdot C_{6}^{2} + C_{4}^{2} \cdot C_{6}^{3} + C_{4}^{1}C_{6}^{4} = 246$ .

Chỉ có đỏ và vàng có $C_{5}^{4} \cdot C_{6}^{1} + C_{5}^{3} \cdot C_{6}^{2} + C_{5}^{2} \cdot C_{6}^{3} + C_{5}^{1}C_{6}^{4} = 455$ .

Vậy $n(\bar{A}) = 833 \Rightarrow n(\Omega) - n(\bar{A}) = 2170 \Rightarrow p(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{310}{429}$ .

Câu 15: Vận dụng

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{{11}}{{36}}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6.6 = 36$

Giả sử N là biến cố " Tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3"

Trường hợp 1: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là giống nhau

(3; 3), (6; 6)

Trường hợp 2: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là khác nhau

(1; 2), (1; 5); (2; 4), (3; 6), (4; 5)

Mỗi khả năng xảy ra có 2 hoán vị nên số phần tử của biến cố là 10 khả năng xảy ra.

=> Số khả năng xảy ra của biến cố N là: 10 + 2 = 12

=> Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là: $P\left( N ight) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 16: Vận dụng

Lấy 3 quả cầu từ một hộp có 4 quả cầu trắng, 5 quả cầu vàng, 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu.

A. $\frac{5}{{13}}$
B. $\frac{{21}}{{61}}$
C. $\frac{{67}}{{91}}$
D. $\frac{{11}}{{73}}$

Hộp có 4 + 5 + 6 = 15 quả cầu

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{15}^3 = 455$

Gọi B là biến cố: "Ít nhất 2 quả cầu cùng màu"

=> $\overline B$ là biến cố: "Không có 2 quả cầu nào cùng màu"

=> Số phần tử của biến cố $\overline B$ là: $n\left( {\overline B } ight) = C_4^1.C_5^1.C_6^1 = 120$

=> $P\left( {\overline B } ight) = \frac{{n\left( {\overline B } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{120}}{{455}} = \frac{{24}}{{91}}$

=> $P\left( B ight) = 1 - P\left( {\overline B } ight) = 1 - \frac{{24}}{{91}} = \frac{{67}}{{91}}$

Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu là $\frac{{67}}{{91}}$

Câu 17: Nhận biết

Ban chấp hành liên chi đoàn khối 11 có 3 nam, 2 nữ. Cần thành lập một ban kiểm tra gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách thành lập ban kiểm tra là:

A. 6
B. 8
C. 9
D. 10

Số cách lập ban kiểm tra có 3 người là: $C_5^3 = 10$ cách

Sô cách lập ban kiểm tra có 3 người trong đó không có nữ là: $C_3^3 = 1$ cách

=> Số cách thành lập ban kiểm tra có ít nhất một nữ là: $10 - 1 = 9$ cách

Câu 18: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:

A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"

=> $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 19: Thông hiểu

Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần?

A. 60
B. 24
C. 32
D. 100

Số tự nhiên có năm chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Do mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần => $a e b e c e d e e$

Số cần tìm là số chẵn => e ∈ {0; 2; 4}

Trường hợp 1: e = 0 => e có 1 cách chọn

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 1 là: 4.3.2 = 24 số

Trường hợp 2: e ∈ {2; 4} => Có 2 cách chọn e

Số cách chọn a là 3 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 2 là: 2.3.3.2 = 36 số

=> Có thể lập được số các chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần là 36 + 24 = 60 số

Câu 20: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 21: Vận dụng

Gọi $P$ là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các phần tử của tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $P$ . Tính số phần tử của biến cố H “chọn được số tự nhiên chia hết cho 15”.

A.
150
B.
12240
C.
1025
D.
222

Ta có H là biến cố số tự nhiên được chọn chia hết cho 15.

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15 được tạo thành từ tập A có dạng $\overline{abcde}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 15 = 3.5 \\ (3,5) = 1 \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overline{abcde} \vdots 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overline{abcde} \vdots 5 \\ \overline{abcde} \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $(a + b + c + d) \vdots 3$ khi và chỉ khi

TH1: $e = 1$ khi đó $\overline{abcde} \vdots 3 \Rightarrow (a + b + c + d) \vdots 3$ khi và chỉ khi $\left\lbrack \begin{matrix} a;b;c;d \in \left\{ 1;2;3;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;4;5 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;3;5;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 2;3;5;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 3;4;5;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy trong trường hợp này có 5.4! = 120 số tự nhiên

TH2: $e = 5$ khi đó $\overline{abcde} \vdots 3 \Rightarrow (a + b + c + d + 5) \vdots 3$

$\Rightarrow (a + b + c + d) \vdots 3$ dư 1 khi và chỉ khi $\left\lbrack \begin{matrix} a;b;c;d \in \left\{ 0;1;2;4 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 0;1;3;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 0;3;4;6 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;3;4 ight\} \\ a;b;c;d \in \left\{ 1;2;4;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy trong trường hợp này có 3.3.3.2.1 + 2.4! = 102 số tự nhiên

Do đó $n(H) = 120 + 102 = 222$

Câu 22: Vận dụng

Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần. Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:

A. $\frac{{10}}{{216}}$
B. $\frac{{15}}{{216}}$
C. $\frac{{16}}{{216}}$
D. $\frac{{1126}}{{216}}$

Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần

=> Số phần tử của không gian mẫu là: ${6^5} = 7776$

Giả sử H là biến cố "tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba"

=> Các bộ số là: (1; 1; 2), (1; 2; 3), (2; 1; 3), (1; 3; 4), (3; 1; 4), (2; 2; 4), (1; 4; 5), (4; 1; 5), (2; 3; 5), (3; 2; 5), (1; 5; 6), (5; 1; 6), (2; 4; 6), (4; 2; 6), (3; 3; 6)}

=> $n\left( H ight) = 15.6.6 = 540$

=> Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba là:

$P\left( H ight) = \frac{{n\left( H ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{540}}{{7776}} = \frac{{15}}{{126}}$

Câu 23: Vận dụng

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Biến cố nào sau đây biểu diễn biến cố chỉ bắn trúng mục tiêu 2 lần?

A.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
B.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
C.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
D.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.

Ta có: $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau có ý nghĩa chỉ có lần thứ i; j bắn trúng bia và lần thứ k, m thì không bắn trúng.

Câu 24: Thông hiểu

Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?

A. 3110
B. 3200
C. 313
D. 3000

Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do E là số chẵn => $e \in \left\{ {0;2;4;6} ight\}$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 7 cách

Số cách chọn b là 6 cách

Số cách chọn c là 5 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)

Trường hợp 2: $e \in \left\{ {2;4;6} ight\}$

Số cách chọn e là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn e là 6 cách

Số cách chọn e là 5 cách

Số cách chọn e là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)

Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:

840 + 2160 = 3000 số

Câu 25: Thông hiểu

Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng:

A. 100
B. 91
C. 10
D. 90

Số cách chọn người đàn ông là 10 cách

Do người đàn ông và người phụ nữ được chọn không là vợ chồng

=> Số cách chọn người phụ nữ là 9 cách

=> Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng là 9 . 10 = 90 cách

Câu 26: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?

A. 60
B. 36
C. 120
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: $\overline {abc}$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c ∈ {0; 5}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 6 cách

=> Số các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 được tạo thành là: 2 . 5 . 6 = 60 số

Câu 27: Nhận biết

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

A. 5250
B. 4500
C. 2625
D. 1500

Số cách chọn 1 học sinh nam là: $C_{25}^1 = 25$ cách

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{15}^2 = 105$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:

$C_{25}^1.C_{15}^2 = 25.105 = 2625$ cách

Câu 28: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?

A.
$\frac{14}{15}$
B.
$\frac{2}{75}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{3}{5}$

Gọi Y là biến cố “Trong đoàn cả 3 giáo viên đều là nữ”.

$\overline{Y}$ là biến cố “Trong đoàn công tác có ít nhất một giáo viên nam”

Ta có $Y = HTS$ với $H;S;T$ là 3 biến cố độc lập.

Suy ra $P(Y) = P(HTS) = \frac{1}{2}.\frac{2}{5}.\frac{1}{3} = \frac{1}{15}$

$P\left( \overline{Y} ight) = 1 - P(Y) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

Câu 29: Nhận biết

Hai người đi săn cùng bắn vào một con mồi. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con mồi. B là biến cố người thứ hai bắn trúng con mồi. Mối quan hệ giữa hai biến cố A và B là:

A.
hai biến cố độc lập với nhau
B.
hai biến cố xung khắc với nhau
C.
hai biến cố đối của nhau
D.
hai biến cố không độc lập với nhau.

Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập vì việc người thứ nhất bắn trúng con mồi không phụ thuộc vào người thứ hai bắn trúng con mồi.

Câu 30: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 31: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 1440
B. 2520
C. 1260
D. 3360

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: Số tự nhiên chẵn => e ∈ {0; 2; 4; 6}

Trướng hợp 1: e ∈ {2; 4; 6}

=> Có 3 cách chọn e

Ta có: ${a e 0}$ => Có 5 cách chọn a

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

=> Số các số được tạo thành là: $3 . 5 . 5 . 4 . 3 = 900$ số

Trường hợp 2: e = 0 => Có 1 cách chọn e

Ta có: ${a e 0}$ => Có 6 cách chọn a

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

=> Số các số được tạo thành là: $6 . 5 . 4 . 3 = 360$ số

=> Có thể lập được số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau là: $900 + 360 = 1260$ số

Câu 32: Thông hiểu

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:

A. 3260
B. 9000
C. 5436
D. 12070

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Số cần tìm chia hết cho 10 => e = 0 => Có 1 cách chọn e

Số cách chọn a là 9 cách

Số cách chọn b là 10 cách

Số cách chọn c là 10 cách

Số cách chọn d là 10 cách

=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000 số

Câu 33: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn đều là nữ"

=> $n\left( A ight) = C_3^2 = 3$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{{45}} = \frac{1}{{15}}$

Câu 34: Nhận biết

Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn:

A. 25
B. 75
C. 100
D. 15

Số cách chọn món ăn là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn hoa quả là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn nước uống là: $C_3^1 = 3$ cách

=> Số cách chọn thực đơn là: 5 .5. 3 = 75 thực đơn

Câu 35: Thông hiểu

Minh và Quân học ở hai ngôi trường khác nhau. Gọi A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”. Biết rằng xác suất để hai bạn Minh và Quân được điểm giỏi môn Vật lý lần lượt là và .

a) Biến cố A và biến cố B là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

b) Xác suất để cả Minh và Quân đều đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,8096$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,096$ Sai||Đúng

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Minh và Quân đều đạt điểm giỏi là $0,9904$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Minh và Quân học ở hai ngôi trường khác nhau. Gọi A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”. Biết rằng xác suất để hai bạn Minh và Quân được điểm giỏi môn Vật lý lần lượt là và .

a) Biến cố A và biến cố B là hai biến cố xung khắc. Sai||Đúng

b) Xác suất để cả Minh và Quân đều đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,8096$ Đúng||Sai

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi môn Vật Lý là $0,096$ Sai||Đúng

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Minh và Quân đều đạt điểm giỏi là $0,9904$ Đúng||Sai

Ta có:

A là biến cố “Minh đạt điểm giỏi môn Vật Lý” và B là biến cố “Quân đạt điểm giỏi môn Vật lý”.

a) Biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

b) Vì hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nên $P(AB) = 0,92.0,88 = 0,8096$ .

c) Xác suất để cả Minh và Quân đều không đạt điểm giỏi là:

$P\left( \overline{AB} ight) = 0,08.0,12 = 0,0096$ .

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai bạn đạt điểm giỏi là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

$= 0,92 + 0,88 - 0,8094 = 0,9904$

Câu 36: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba người, biết rằng không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau (cùng ngày, cùng tháng).

A.
$0,0082$
B.
$0,1594$
C.
$0,2413$
D.
$0,0125$

Gọi A là biến cố “Trong 3 người được chọn, có ít nhất 2 người cùng sinh nhật”.

Khi đó biến cố $\overline{A}$ là “Ba người được chọn có ngày sinh đôi một khác nhau”.

Số trường hợp có thể là $365^{3}$

Số trường hợp thuận lợi là cho biến cố $\overline{A}$ là 365 364 363

Vậy $P\left( \overline{A} ight) = \frac{365.3634.363}{365^{3}} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{365.3634.363}{365^{3}} \approx 0,0082$

Câu 37: Thông hiểu

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh?

A. 1050
B. 1260
C. 105
D. 1200

Hộp chứa 10 + 5 = 15 viên bi

Số cách lấy 4 viên bi trong hộp là: $C_{15}^4 = 1365$ cách

Số cách lấy 4 viên bi không có viên bi xanh là: $C_5^4 = 5$ cách

Số cách lấy 4 viên bi có 1 viên bi xanh là: $C_{10}^1.C_5^3 = 100$ cách

=> Số lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh là: $1365 - 5 - 100 = 1260$ cách

Câu 38: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?

A.
$A;B$ là hai biến cố xung khắc.
B.
$A \cup B$ là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
$A \cap B$ là biến cố tổng số chấm hai lần gieo là 6.
D.
$A;B$ là hai biến cố độc lập.

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ $A;B$ là hai biến cố xung khắc.”

Câu 39: Nhận biết

Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà tất cả các chữ số đều lẻ:

A. 25
B. 20
C. 30
D. 10

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: $\overline {ab}$

Do tất cả các chữ số đều lẻ => $a,b \in \left\{ {1;3;5;7;9} ight\}$

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 5 cách

=> Số các số có 2 chữ số mà tất cả các chữ số đều lẻ là 5 . 5 = 25 số

Câu 40: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?