Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7$ mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho $6$ ?

A.
$2640$
B.
$2886$
C.
$5040$
D.
$2880$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} a_{6} \in \left\{ 1;3;5;7 ight\} \\ a_{3} \in \left\{ 0;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

TH1: Với $a_{3} = 0$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.6.A_{6}^{3}$ số.

TH2: Với $a_{3} = 6$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.5.A_{6}^{3}$ số.

Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $4.6.A_{6}^{3} + 4.5.A_{6}^{3} = 2640$ .

Câu 2: Vận dụng

Hỏi từ 10 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập thành bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các số đó có mặt chữ số 0 và 1.

A. 4200
B. 42000
C. 42
D. 420

Gọi số có 6 chữ số có dạng $\overline {abcdef} ,\left( {a e 0} ight)$

Xếp chữ số 0 vào 1 trong 5 vị trí từ b đến f => Có 5 cách xếp

Xếp chữ số 1 vào 1 trong 5 vị trí còn lại (bỏ 1 vị trí chữ số 0 đã chọn) => Có 5 cách xếp

Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}để xếp vào 4 vị trí còn lại => Có $A_8^4$ cách

Theo quy tắc nhân lập được $5.5.A_8^4 = 42000$ số

Vậy có tất cả 42000 số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 3: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại:

A. 60
B. 40
C. 48
D. 10

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại là 4 . 4 . 3 = 48 số

Câu 4: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 5: Nhận biết

Xét phép thử: “Gieo hai con xúc xắc 2 lần sau đó gieo một đồng tiền xu”. Gọi $C = \left\{ (1,1,S);(2,2,S);(3,3,S);(4,4,S);(5,5,S);(6,6,S) ight\}$ là một biến cố. Đáp án nào dưới đây mô tả đúng biến cố $C$ ?

A.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
B.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau”.
C.
“Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
D.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau hoặc đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Mô tả đúng là: “Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Câu 6: Nhận biết

Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

A. 20
B. 300
C. 18
D. 15

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách

Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách

Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách

Nếu đi bằng máy bay có 2 cách

Theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách chọn

Câu 7: Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính số phần tử của biến cố M “tích hai tấm thẻ rút được là số chẵn”?

A.
$35$
B.
$145$
C.
$146$
D.
$190$

Tích hai số trên tấm thẻ được rút ra là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn.

Trường hợp 1: Cả hai số lấy được đều là số chẵn

=> Số cách sắp xếp là: $C_{10}^{2}$ cách

Trường hợp 2: Hai tấm thẻ lấy được gồm một số chẵn và một số lẻ ta có: 10 . 10 = 100 cách

Suy ra $n(M) = C_{10}^{2} + 100 = 145$ phần tử.

Câu 8: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 1440
B. 2520
C. 1260
D. 3360

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: Số tự nhiên chẵn => e ∈ {0; 2; 4; 6}

Trướng hợp 1: e ∈ {2; 4; 6}

=> Có 3 cách chọn e

Ta có: ${a e 0}$ => Có 5 cách chọn a

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

=> Số các số được tạo thành là: $3 . 5 . 5 . 4 . 3 = 900$ số

Trường hợp 2: e = 0 => Có 1 cách chọn e

Ta có: ${a e 0}$ => Có 6 cách chọn a

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

=> Số các số được tạo thành là: $6 . 5 . 4 . 3 = 360$ số

=> Có thể lập được số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau là: $900 + 360 = 1260$ số

Câu 9: Thông hiểu

Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120
B. 216
C. 312
D. 360

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

Trường hợp 2: e ≠ 0

=> e = {2; 8}

=> Số cách chọn e là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 2 .4. 4. 3 . 2 = 192 số

=> Từ dãy số tạo được số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau là 120 + 192 = 312 số

Câu 10: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 11: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 12: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$ . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.

A.
$\frac{4}{55}$
B.
$\frac{7}{165}$
C.
$\frac{28}{165}$
D.
$\frac{2}{11}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $|\Omega| = C_{11}^{3} = 165$

Gọi A là biến cố “Tổng ba số được chọn là 12”.

Ta có các bộ 3 số có tổng bằng 12 gồm: (1,2,9); (1,3,8); (1,4,7); (1,5,6); (2,3,7); (2;4;6); (3,4,5).

Suy ra ta có $n(A) = 7 \Rightarrow P(A) = \frac{7}{165}$

Câu 13: Nhận biết

Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?

A.
$\frac{2}{35}$
B.
$\frac{1}{35}$
C.
$\frac{6}{35}$
D.
$\frac{2}{7}$

Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 14: Vận dụng

Một bình chứa 16 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đen, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất để lấy được 4 viên bi đều màu trắng $\frac{1}{1820}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ $\frac{4}{26}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được số bi có đủ 3 màu $\frac{3}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được số bi không đủ 3 màu $\frac{1}{2}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bình chứa 16 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đen, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất để lấy được 4 viên bi đều màu trắng $\frac{1}{1820}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ $\frac{4}{26}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được số bi có đủ 3 màu $\frac{3}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được số bi không đủ 3 màu $\frac{1}{2}$ Đúng||Sai

Số phần tử không gian mẫu là $C_{16}^{4} = 1820$

a) Gọi A là biến cố “Lấy được 4 viên bi màu trắng”

Số phần tử của A là $C_{4}^{4} = 1$

Vậy xác suất để lấy được cả 4 viên bi màu trắng là: $\frac{1}{1820}$

b) Gọi D là biến cố lấy được số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố D là lấy 2 bi trắng 1 bi đen và 1 bi đỏ

Ta có số phần tử của biến cố D là: $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{7}^{1} = 210$

Vậy xác suất cần tìm là $P(D) = \frac{3}{26}$ .

c) Gọi E là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu

Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố E:

Th1: Chọn 1 bi đen, 1 bi đỏ và 2 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2}$ cách

Th2: Chọn 1 bi đen, 2 bi đỏ và 1 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{4}^{1}$ cách

Th3: Chọn 2 bi đen, 1 bi đỏ và 1 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1}$ cách

Suy ra số phần tử của biến cố E là $C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2} + C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2} + C_{7}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1} = 910$

Vậy $P(E) = \frac{1}{2}$

d) Ta có: E là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu khi đó $\overline{E}$ là biến cố lấy được các viên bi không đủ 3 màu

$\Rightarrow P\left( \overline{E} ight) = 1 - P(E) = \frac{1}{2}$

Câu 15: Thông hiểu

Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng:

A. 100
B. 91
C. 10
D. 90

Số cách chọn người đàn ông là 10 cách

Do người đàn ông và người phụ nữ được chọn không là vợ chồng

=> Số cách chọn người phụ nữ là 9 cách

=> Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng là 9 . 10 = 90 cách

Câu 16: Nhận biết

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 256
B. 120
C. 24
D. 16

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số khác nhau là 4! = 24 số

Câu 17: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?

A.
$\frac{14}{15}$
B.
$\frac{2}{75}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{3}{5}$

Gọi Y là biến cố “Trong đoàn cả 3 giáo viên đều là nữ”.

$\overline{Y}$ là biến cố “Trong đoàn công tác có ít nhất một giáo viên nam”

Ta có $Y = HTS$ với $H;S;T$ là 3 biến cố độc lập.

Suy ra $P(Y) = P(HTS) = \frac{1}{2}.\frac{2}{5}.\frac{1}{3} = \frac{1}{15}$

$P\left( \overline{Y} ight) = 1 - P(Y) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

Câu 18: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên trong tập hợp S gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số 3 đứng liền giữa hai chữ số 2 và 4. Tìm số phần tử không gian mẫu?

A.
51756
B.
7440
C.
25878
D.
3486

Ta chia thành các trường hợp như sau:

TH1: Nếu số 234 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số

TH2: Nếu cố 432 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số

TH3: Nếu cố 234; 432 không đứng đầu

Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu, khi đó còn 4 vị trí có 2 cách sắp xếp 3 số 234 và 432, còn lại 1 vị trí có $C_{6}^{1}$ cách chọn số còn lại. Do đó trường hợp này có $6.2.2.C_{6}^{1} =144$

Suy ra số phần tử của tập hợp S là $2.A_{7}^{2} + 144 = 228$

Vậy số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{228}^{2} = 25878$

Câu 19: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 20: Vận dụng

Sắp 3 quyển sách Toán và 3 quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là:

A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{{10}}$
C. $\frac{1}{{20}}$
D. $\frac{2}{{5}}$

Số phần tử của không gian mẫu (Số cách xếp 6 quyển sách lên một kệ dài) là: 6! = 720 cách.

Sắp xếp 3 sách Toán với nhau và 3 sách Vật lí với nhau

Coi 6 quyển sách là hai bộ sách Toán và Vật Lí

Số cách sắp xếp hai bộ sách là 2! = 2 (cách)

Cách sắp xếp bộ sách Toán là 3! = 6

Cách sắp xếp bộ sách Vật Lí là 3! = 6

=> Số cách sắp xếp để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: 2 . 6 . 6 = 72 (cách)

=> Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: $P = \frac{{72}}{{720}} = \frac{1}{{10}}$

Câu 21: Vận dụng cao

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Đáp án là:

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Gọi A là biến cố làm đúng x câu hỏi của bạn H

Ta có xác suất để làm đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ , xác suất làm sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Theo quy tắc nhân xác suất ta có:

Xác suất của biến cố A là $P(A) =C_{50}^{x}.\left( \frac{1}{4} ight)^{x}.\left( \frac{3}{4} ight)^{50- x} = \frac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \frac{3}{4}ight)^{50}$

Xét hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x + 1}}{3^{x + 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x - 1}}{3^{x - 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3C_{50}^{x} \geq C_{50}^{x + 1} \\C_{50}^{x} \geq 3C_{50}^{x - 1} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3.\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x + 1)!(49 - x)!} \\\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x - 1)!(51 - x)!} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{50 - x} \geq \dfrac{1}{x + 1} \\\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{51 - x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{47}{4} \\x \leq \dfrac{51}{4} \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x\mathbb{\in Z} ight) \Rightarrow x =12$

Câu 22: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:

A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"

=> $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 23: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một nữ.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có ít nhất một nữ"

=> ${\overline A }$ là biến cố "2 người được chọn không có nữ"

=> $n\left( {\overline A } ight) = C_7^2 = 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ là:

$P\left( {\overline A } ight) = \frac{{n\left( {\overline A } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một nữ:

$P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{7}{{15}} = \frac{8}{{15}}$

Câu 24: Nhận biết

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

A. 784
B. 1820
C. 70
D. 42

Trong 4 viên bi có đúng 2 viên bi màu xanh

=> 2 viên bi còn lại nằm trong 8 viên bi (màu đỏ và màu vàng)

=> Số cách chọn 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh là: $C_8^2.C_8^2 = 784$ cách

Câu 25: Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Tính xác suất của biến cố C?

A.
$\frac{1}{6}$
B.
$\frac{5}{9}$
C.
$\frac{13}{18}$
D.
$\frac{7}{18}$

Ta có hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc suy ra $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = P(C)$

$n(\Omega) = C_{9}^{2} = 36$

Biến cố A là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập $\left\{ 2;4;6;8 ight\}$

$n(A) = C_{4}^{2} = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Biến cố B được hình thành từ hai công đoạn:

+ Chọn một số chẵn từ tập $\left\{ 2;4;6;8 ight\}$ có 4 cách

+ Chọn một số lẻ từ tập $\left\{ 1;3;5;7;9 ight\}$ có 4 cách

Theo quy tắc nhân tập B có 4.5 = 20 cách

Do đó $n(B) = 20 \Rightarrow P(B) = \frac{20}{36}$

$\Rightarrow P(C) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{20}{36} = \frac{13}{18}$

Câu 26: Nhận biết

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{11}{345}$
C.
$\frac{3}{435}$
D.
$\frac{119}{145}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_{3}^{2} = 3$

Vậy xác suất để cần tìm là: $\frac{3}{345}$

Câu 27: Thông hiểu

Trong một trận thi đấu để giành chiến thắng chung cuộc, người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 hiệp. Kết thúc buổi sáng, tuyển thủ A thắng được 5 hiệp và tuyển thủ B chỉ thắng được 3 hiệp. Hai tuyển thủ sẽ tiếp tục thi đấu vào buổi chiều. Xác suất để tuyển thủ A thắng chung cuộc là:

Đáp án: 7/8

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Trong một trận thi đấu để giành chiến thắng chung cuộc, người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 hiệp. Kết thúc buổi sáng, tuyển thủ A thắng được 5 hiệp và tuyển thủ B chỉ thắng được 3 hiệp. Hai tuyển thủ sẽ tiếp tục thi đấu vào buổi chiều. Xác suất để tuyển thủ A thắng chung cuộc là:

Đáp án: 7/8

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Xét biến cố tuyển thủ A không chiến thắng chung cuộc khi tuyển thủ B thắng liên tiếp ba hiệp vào buổi chiều.

Xác suất là: $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Vậy xác suất để tuyển thủ A thắng chung cuộc là $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ .

Câu 28: Nhận biết

Tung hai lần liên tiếp một đồng xu. Giả sử biến cố B là biến cố mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần. Khi đó biến cố đối của biến cố B là:

A.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở lần đầu là mặt sấp.
B.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở lần thứ hai là mặt ngửa.
C.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở cả hai lần là mặt sấp.
D.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở cả hai lần là mặt ngửa.

Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$ : “Mặt sấp không xuất hiện lần nào” nghĩa là mặt xuất hiện ở cả hai lần đều cho mặt ngửa”.

Câu 29: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$ . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ?

A.
$\frac{2}{15}$
B.
$\frac{7}{33}$
C.
$\frac{16}{33}$
D.
$\frac{1}{11}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $|\Omega| = C_{11}^{3} = 165$

Gọi B là biến cố “Tổng ba số được chọn là số lẻ”

Tổng ba số được chọn tạo thành số lẻ thì ba số được chọn cần thỏa điều kiện: 3 số đều là số lẻ, hai số chẵn và 1 số lẻ.

TH1: 3 số đều là số lẻ: $C_{6}^{3} = 20$

TH2: số cách chọn hai số chẵn và 1 số lẻ là $C_{6}^{1}.C_{5}^{2} = 60$

Suy ra ta có $n(B) = 20 + 60 = 80$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(B) = \frac{80}{165} = \frac{16}{33}$

Câu 30: Thông hiểu

Số cách sắp xếp $A;B;C;D;E;F;G$ vào một dãy ghế dài sao cho hai đầu dãy ghế là vị trí của $A$ và $G$ ?

A.
$240$
B.
$140$
C.
$260$
D.
$420$

Ta xếp A và G vào hai vị trí đầu dãy và có thể hoán đổi cho nhau nên ta có 2! cách xếp.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí giữa ta có 5! cách xếp.

Vậy ta có: 2!.5! = 240 cách xếp.

Câu 31: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ.

A. $\frac{1}{{560}}$
B. $\frac{1}{{16}}$
C. $\frac{1}{{28}}$
D. $\frac{{143}}{{280}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{16}^3 = 560$

B là biến cố "3 viên bi lấy được đầu màu đỏ"

=> $n\left( B ight) = C_3^3 = 1$

=> Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{{560}}$

Câu 32: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 33: Thông hiểu

Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh thuộc 80 câu. Tìm xác suất để học sinh đó ngẫu nhiên làm được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc.

A.
$0,31$
B.
$0,54$
C.
$0,42$
D.
$0,27$

Số cách chọn 1 đề thi bất ki (gồm 5 câu trong 100 câu) là $n(\Omega) = C_{100}^{5}$

Gọi biến cố A: “học sinh đó làm được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc”.

Học sinh đã học thuộc 80 câu nên có $C_{80}^{4}$ cách chọn ra 4 câu đã học thuộc và có $C_{20}^{1}$ cách chọn ra 1 câu hỏi còn lại chưa học thuộc.

Do đó $n(A) = C_{80}^{4}.C_{20}^{1}\Rightarrow P(A) = \dfrac{C_{80}^{4}.C_{20}^{1}}{C_{100}^{5}} \approx0,42$

Câu 34: Vận dụng

Xác suất để thắng một trận game là $\frac{2}{5}$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $\frac{19}{20}$ ?

Đáp án: 6 trận

Đáp án là:

Xác suất để thắng một trận game là $\frac{2}{5}$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $\frac{19}{20}$ ?

Đáp án: 6 trận

Gọi n là số trận người đó chơi.

A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố người đó không thắng trận nào.

$\overline{A} = \overline{A_{1}}.\overline{A_{2}}.\overline{A_{3}}...\overline{A_{n}}$ trong đó $\overline{A_{i}}$ là biến cố người đó thắng trận thứ i và $P\left( \overline{A_{i}} ight) = 0,6;i = \overline{1,n}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight).P\left( \overline{A_{2}} ight).P\left( \overline{A_{3}} ight)...P\left( \overline{A_{n}} ight) = 0,6^{n} \\ P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,6^{n} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bất phương trình

$1 - 0,6^{n} > 0,95$

$\Leftrightarrow 0,6^{n} < 0,05$

$\Leftrightarrow n >\log_{0,6}0,05$

Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 6.

Câu 35: Thông hiểu

Ma trận đề kiểm tra 15 phút môn Toán của lớp 11A gồm 10 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm gồm 4 đáp án và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 1 điểm. Hùng không ôn tập trước khi kiểm tra nên khi làm bài đã chọn ngẫu nhiên 1 đáp án. Gọi B là biến cố Hùng thi được ít nhất 8 điểm. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
$n(B) = 405$
B.
$n(B) = 458$
C.
$n(B) = 436$
D.
$n(B) = 400$

Trường hợp 1: Hùng thi được 8 điểm, tức là Hùng trả lời 8 câu đúng, 2 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 2 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{2}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2}$ .

Trường hợp 2: Hùng thi được 9 điểm, tức là Hùng trả lời 9 câu đúng, 1 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 1 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{1}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1}$ .

Trường hợp 3: Hùng thi được 10 điểm, tức là Hùng trả lời 10 câu đúng, 0 câu sai.

Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.

Vậy số phần tử của biến cố B là:

$n(B) = C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2} + C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1} + 1 = 436$

Câu 36: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm?

A.
$\frac{25}{36}$
B.
$\frac{5}{36}$
C.
$\frac{5}{18}$
D.
$\frac{7}{12}$

Gọi hai súc sắc là M; N

Gọi C là biến cố "Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Ta có C là hợp của hai biến cố xung khắc $A\overline{B};\overline{A}B$ tức là $C = A\overline{B} \cup \overline{A}B$

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} \cup \overline{A}B ight) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.$

Vì A, B là hai biến cố độc lập với nhau

Nên $\overline{A}$ và B độc lập với nhau; $\overline{B}$ và A độc lập với nhau

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

$= P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight).P(B) = \frac{1}{6}.\frac{5}{6} + \frac{5}{6}.\frac{1}{6} = \frac{5}{18}$

Câu 37: Nhận biết

Cho một tập hợp A gồm 12 phần tử. Hỏi số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp A bằng bao nhiêu?

A.
$A_{12}^{9}$
B.
$12^{3}$
C.
$A_{12}^{3}$
D.
$C_{12}^{3}$

Ta có:

Mỗi tập con gồm 3 phân tử của tập A là một tổ hợp chập 3 của 12.

Vậy số tập con cần tìm là $C_{12}^{3}$ .

Câu 38: Thông hiểu

Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần?