Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.

A.
$0,57$
B.
$0,96$
C.
$0,62$
D.
$0,25$

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ (x;y)|x,y \in \mathbb{N}^{*};1 \leq x \leq 5;1 \leq y \leq 5 ight\}$

Vì có 5 cách chọn x và có 5 cách chọn y nên $|\Omega| = 5.5 = 25$

Gọi A là biến cố “Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ không nhỏ hơn 3”.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố “Tổng hai số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 3”.

Ta có: $\Omega_{A} = \left\{ (1;1) ight\} \Rightarrow \left| \Omega_{A} ight| = 1 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{25}$

Xác suất cần tìm là $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{1}{25} = 0,96$

Câu 2: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. 5
B. 15
C. 55
D. 10

Vì số có chín chữ số viết theo thứ tự giảm dần nên chỉ có thể là chữ số 9 hoặc chữ số 8 đứng đầu.

Trường hợp 1: Số 9 đứng đầu

Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 mỗi một lần ta bỏ đi một số ta sẽ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm dần mà số 9 đứng đầu.

=> Trường hợp 1 có 9 số được lập

Trường hợp 2: Số 8 đứng đầu

Vì từ 0 đến 8 có chín chữ số nên ta chỉ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm đần

Vậy cả 2 trường hợp có 9 + 1 = 10 số

Câu 3: Vận dụng

Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C là $\frac{1}{5}$ và của các trạm D, V là $\frac{1}{10}$ . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).

A.
$0,97456$
B.
$0,98208$
C.
$0,01792$
D.
$0,02544$

Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện

A, B, C, D, V là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V gặp sự cố kĩ thuật.

Ta có:

$\overline{Q} = (A \cap B \cap C) \cup (D \cap V)$

Suy ra $P\left( \overline{Q} ight) = P(ABC) + P(DV) - P(ABCDV)$

$P\left( \overline{Q} ight) = P(A).P(B).P(C) + P(D).P(V)$

$- P(A).P(B).P(C).P(D).P(V)$

$= 0,2.0,2.0,2 + 0,1.0,1 - 0,2.0,2.0,2.0,1.0,1 = 0,01792$

Vậy $P\left( \overline{Q} ight) = 1 - P(Q) = 0,98208$

Câu 4: Nhận biết

Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?

A.
$\frac{2}{35}$
B.
$\frac{1}{35}$
C.
$\frac{6}{35}$
D.
$\frac{2}{7}$

Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 5: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn đều là nữ"

=> $n\left( A ight) = C_3^2 = 3$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{{45}} = \frac{1}{{15}}$

Câu 6: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất $0,8$ và người thứ hai lần lượt là $0,9$ . Tính xác suất của biến cố A chỉ có đúng 1 người bắn trúng bia?

A.
$0,26$
B.
$0,74$
C.
$0,72$
D.
$0,34$

Gọi M là biến cố người thứ nhất bắn trúng mục tiêu

N là biến cố người thứ hai bắn trúng mục tiêu ( $M,N,\overline{M},\overline{N}$ là các biến cố độc lập).

Từ giả thiết ta có: $P(M) = 0,8;P(N) = 0,9$

Mà $A = M\overline{N} \cup \overline{M}N$

$\Rightarrow P(A) = P(M)P\left( \overline{N} ight) + P\left( \overline{M} ight)P(N)$

$= 0,8(1 - 0,9) + 0,9(1 - 0,8) = 0,26$

Câu 7: Nhận biết

Trong bài kiểm tra 15 phút, Minh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Tính xác suất để Minh tô sai cả 5 câu?

A.
$\frac{15}{1024}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{243}{1024}$
D.
$\frac{1}{1024}$

Xác suất tô sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Vậy xác suất để Minh tô sai cả 5 câu là $\left( \frac{3}{4} ight)^{5} = \frac{243}{1024}$

Câu 8: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 9: Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7$ mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho $6$ ?

A.
$2640$
B.
$2886$
C.
$5040$
D.
$2880$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} a_{6} \in \left\{ 1;3;5;7 ight\} \\ a_{3} \in \left\{ 0;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

TH1: Với $a_{3} = 0$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.6.A_{6}^{3}$ số.

TH2: Với $a_{3} = 6$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.5.A_{6}^{3}$ số.

Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $4.6.A_{6}^{3} + 4.5.A_{6}^{3} = 2640$ .

Câu 10: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{5}{9}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Gọi B là biến cố "2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là

$(1;1;2)$ và 2 hoán vị của nó,

$(1;1;3)$ và 2 hoán vị của nó,

$(2;2;1)$ và 2 hoán vị của nó,

$(2;2;3)$ và hai hoán vị của nó,

$(3;3;1)$ và 2 hoán vị của nó,

$(3;3;2)$ và 2 hoán vị của nó.

Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $3.6 = 18$

Vậy xác suất của biến cố này là $P(B) = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

Câu 11: Nhận biết

Không gian mẫu của một phép thử được mô tả như sau $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 ight\}$

A.
$A = \left\{ 1;7 ight\},B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$C = \left\{ 1;4;5 ight\},D = \left\{ 2;3;6;7 ight\}$
C.
$E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3;7 ight\}$
D.
$\Omega,\varnothing$

Cặp biến cố không đối nhau là: $E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3;7 ight\}$ vì $\left\{ \begin{matrix} E \cap F = \varnothing \\ E \cup F eq \Omega \\ \end{matrix} ight.$

Câu 12: Thông hiểu

Ma trận đề kiểm tra 15 phút môn Toán của lớp 11A gồm 10 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm gồm 4 đáp án và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 1 điểm. Hùng không ôn tập trước khi kiểm tra nên khi làm bài đã chọn ngẫu nhiên 1 đáp án. Gọi B là biến cố Hùng thi được ít nhất 8 điểm. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
$n(B) = 405$
B.
$n(B) = 458$
C.
$n(B) = 436$
D.
$n(B) = 400$

Trường hợp 1: Hùng thi được 8 điểm, tức là Hùng trả lời 8 câu đúng, 2 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 2 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{2}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2}$ .

Trường hợp 2: Hùng thi được 9 điểm, tức là Hùng trả lời 9 câu đúng, 1 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 1 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{1}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1}$ .

Trường hợp 3: Hùng thi được 10 điểm, tức là Hùng trả lời 10 câu đúng, 0 câu sai.

Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.

Vậy số phần tử của biến cố B là:

$n(B) = C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2} + C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1} + 1 = 436$

Câu 13: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2520
B. 900
C. 1080
D. 21

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: Số tự nhiên lẻ => e ∈ {1; 3; 5}

=> Có 3 cách chọn e

Ta có: ${a e 0}$ => Có 5 cách chọn a

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

=> Số các số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: $3 . 5 . 5 . 4 . 3 = 900$ số

Câu 14: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.

A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{{37}}{{42}}$
D. $\frac{5}{{42}}$

Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^3 = 84$

Gọi A là biến cố "3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau"

=> $n\left( A ight) = C_4^1.C_3^1.C_2^1 = 24$

=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{24}}{{84}} = \frac{2}{7}$

Câu 15: Thông hiểu

Một lớp học sinh có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để trực nhật lớp. Hỏi số cách chọn 5 học sinh đó, biết rằng nhóm học sinh được chọn có 3 nam và 2 nữ?

A.
$9880$ cách
B.
$45000$ cách
C.
$136500$ cách
D.
$241500$ cách

Chọn 3 học sinh nam từ 25 học sinh nam có $C_{25}^{2}$ cách.

Chọn 2 học sinh nam từ 15 học sinh nam có $C_{15}^{2}$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là $C_{25}^{2}.C_{15}^{2} = 241500$ chọn.

Câu 16: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 17: Thông hiểu

Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?

A. 3110
B. 3200
C. 313
D. 3000

Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do E là số chẵn => $e \in \left\{ {0;2;4;6} ight\}$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 7 cách

Số cách chọn b là 6 cách

Số cách chọn c là 5 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)

Trường hợp 2: $e \in \left\{ {2;4;6} ight\}$

Số cách chọn e là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn e là 6 cách

Số cách chọn e là 5 cách

Số cách chọn e là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)

Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:

840 + 2160 = 3000 số

Câu 18: Nhận biết

Cho 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

A. 120
B. 1
C. 3125
D. 600

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành là: ${5^5} = 3125$ số

Câu 19: Vận dụng

Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính $P(H)$ ?

A.
$\frac{1}{18}$
B.
$\frac{1250}{1710}$
C.
$\frac{625}{1710}$
D.
$\frac{1}{9}$

Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}};\left( a_{1} eq 0 ight)$

Ta có: $n(A) = 9.10^{8}$ khi đó số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{n(A)}^{1} = 9.10^{8}$

H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.

Số $a_{9}$ có 5 cách chọn

Các số từ $a_{2} ightarrow a_{8}$ mỗi số có 10 cách chọn

Xét tổng $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ . Vì số dư của $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ khi chia cho 9 thuộc tập $\left\{ 0;1;2;...;8 ight\}$ nên luôn tồn tại một cách chọn số $a_{1} eq 0$ để $S = a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ chia hết cho 9 hay $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}} \vdots 9$

Do đó $n(H) = 5.10^{7}$

Xác suất của biến cố H là $P(H) = \frac{n(H)}{n(\Omega)} = \frac{1}{18}$

Câu 20: Vận dụng

Trong một phép lai, cho hai giống vịt lông đen thuần chủng và lông trắng thuần chủng giao phối với nhau được đời cây F1 toàn là lông đen. Tiếp tục cho con đời F1 giao phối với nhau được một đàn con mới. Chọn ngẫu nhiên 2 con trong đàn vịt con mới. Ước lượng xác suất của biến cố trong 2 con vịt được chọn có ít nhất một con lông đen?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{16}$

Quy ước gene A: lông đen và gene a: lông trắng

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ lông đen với lông trắng là 3 : 1

Trong đàn vịt mới xác suất để được một con lông đen là $\frac{3}{4}$ và con lông trắng là $\frac{1}{4}$

Gọi $A$ là biến cố có đúng 1 con lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(A) = \frac{3}{4}.\frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

Gọi B là biến cố có 2 con vịt lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(B) = \frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

Khi đó $A \cup B$ là biến cố có ít nhất 1 con lông đen trong 2 con được chọn

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{16} + \frac{9}{16} = \frac{3}{4}$

Câu 21: Thông hiểu

Trong một bể cá cảnh có chứa 40 con gồm 10 cá đỏ, 15 cá vàng; 8 cá đen, còn lại là cá bạc. Chọn ngẫu nhiên 6 con cá trong bể. Tính xác suất để lấy được 6 con cá có cùng màu?

A.
$1,37.10^{- 3}$
B.
$1,25.10^{- 3}$
C.
$2,57.10^{- 3}$
D.
$2,04.10^{- 3}$

Gọi A là biến cố lấy được 6 con cá đỏ $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$

B là biến cố lấy được 6 con cá vàng $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$

C là biến cố lấy được 6 con cá đen $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$

D là biến cố lấy được 6 con cá bạc $\Rightarrow P(D) = \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$

E là biến cố lấy được 6 con cá cùng màu

$\Rightarrow E = A \cup B \cup C \cup D$

$\Rightarrow P(E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}} \approx 1,37.10^{- 3}$

Câu 22: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$
C.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cap M_{3} \cup M_{4}$
D.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Câu 23: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu trong một hộp giấy có chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Giả sử T là biến cố chọn được 2 quả khác màu, Z là biến cố đối của biến cố T. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố Z?

A.
$9$
B.
$7$
C.
$8$
D.
$10$

Ta có: T là biến cố chọn được 2 quả khác màu

Khi đó $\overline{T}$ là biến cố chọn được hai quả cùng màu.

Ta có: $n\left( \overline{T} ight) = C_{4}^{2} + C_{3}^{2} + C_{2}^{2} = 10$

Mà Z là biến cố đối của biến cố T

$\Rightarrow n\left( \overline{T} ight) = n(Z) = 10$

Câu 24: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc. Hãy liệt kê các phần tử của biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn?

A.
$\left\{ 1;2;3;4 ight\}$
B.
$\left\{ 2;4;6 ight\}$
C.
$\left\{ 1;3;5 ight\}$
D.
$\left\{ 2;4 ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 ight\}$

Vì mặt xuất hiện có số chấm chẵn nên các phần tử của biến cố cần tìm là: $\left\{ 2;4;6 ight\}$

Câu 25: Vận dụng

Một lớp gồm 40 học sinh trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 13 học sinh giỏi môn Vật lí. Biết rằng khi chọn một học sinh giỏi môn Toán hoặc Vật lí có xác suất là $\frac{1}{2}$ . Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Vật lí là 5

Đáp án là:

Một lớp gồm 40 học sinh trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 13 học sinh giỏi môn Vật lí. Biết rằng khi chọn một học sinh giỏi môn Toán hoặc Vật lí có xác suất là $\frac{1}{2}$ . Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Vật lí là 5

Gọi A là biến cố học sinh được chọn giỏi môn Toán, B là biến cố học sinh được chọn giỏi môn Vật lí.

Ta có:

$A \cup B$ là biến cố học sinh được chọn giỏi môn Toán hoặc Vật lí

$A \cap B$ là biến cố học sinh được chọn giỏi cả 2 môn Toán và Vật lí

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} n(A \cup B) = 0,5.40 = 20 \\ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A.B) \\ \end{matrix} ight.$

$n(A.B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$= 12 + 13 - 20 = 5$

Câu 26: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 27: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 28: Thông hiểu

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:

A. 3260
B. 9000
C. 5436
D. 12070

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Số cần tìm chia hết cho 10 => e = 0 => Có 1 cách chọn e

Số cách chọn a là 9 cách

Số cách chọn b là 10 cách

Số cách chọn c là 10 cách

Số cách chọn d là 10 cách

=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000 số

Câu 29: Nhận biết

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?

A.
$P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
B.
$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
C.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
D.
$0 \leq P(B) \leq 1$

Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Câu 30: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 31: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba người, biết rằng không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau (cùng ngày, cùng tháng).

A.
$0,0082$
B.
$0,1594$
C.
$0,2413$
D.
$0,0125$

Gọi A là biến cố “Trong 3 người được chọn, có ít nhất 2 người cùng sinh nhật”.

Khi đó biến cố $\overline{A}$ là “Ba người được chọn có ngày sinh đôi một khác nhau”.

Số trường hợp có thể là $365^{3}$

Số trường hợp thuận lợi là cho biến cố $\overline{A}$ là 365 364 363

Vậy $P\left( \overline{A} ight) = \frac{365.3634.363}{365^{3}} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{365.3634.363}{365^{3}} \approx 0,0082$

Câu 32: Nhận biết

Hai người đi săn cùng bắn vào một con mồi. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con mồi. B là biến cố người thứ hai bắn trúng con mồi. Mối quan hệ giữa hai biến cố A và B là:

A.
hai biến cố độc lập với nhau
B.
hai biến cố xung khắc với nhau
C.
hai biến cố đối của nhau
D.
hai biến cố không độc lập với nhau.

Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập vì việc người thứ nhất bắn trúng con mồi không phụ thuộc vào người thứ hai bắn trúng con mồi.

Câu 33: Thông hiểu

Hai máy cơm cùng bơm nước vào một bể chứa, chúng hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để máy bơm 1 bị hỏng là $\frac{1}{2}$ , xác suất để máy bơm 2 bị hỏng là $\frac{2}{5}$ . Biết nếu cả hai máy bơm bị hỏng sẽ không đáp ứng đủ nước tiêu dùng cho hộ gia đình. Tính xác suất để hộ gia đình có đủ nước dùng?

A.
$0,2$
B.
$0,8$
C.
$0,9$
D.
$0,1$

Gọi A là biến cố máy bơm 1 bị hỏng và B là biến cố máy bơm 2 bị hỏng

Suy ra AB là biến cố cả hai máy bơm bị hỏng => Gia đình không đủ nước dùng.

Lại thấy hai máy bơm hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để hộ gia đình không đủ nước dùng là:

$P(AB) = 0,5.0,4 = 0,2$

Vậy xác suất để hộ gia đình có đủ nước dùng là $1 - 0,2 = 0,8$

Câu 34: Thông hiểu

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt?

A. 64
B. 16
C. 24
D. 32

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được số có tối đa 4 chữ số

Trường hợp số có 1 chữ số ta được 4 số

Trường hợp số có 2 chữ số ta được 4 . 3 = 12 số

Trường hợp số có 3 chữ số ta được: 4 . 3 . 2 = 24 số

Trường hợp số có 4 chữ số ta được: 4! = 24 số

=> Có thể lập được số các số có các chữ số phân biệt là: 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số

Câu 35: Nhận biết

Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

A. 27
B. 9
C. 6
D. 3

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.

Nếu chọn một quả đen có 3 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.

Câu 36: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 37: Thông hiểu

Một kệ sách có 15 quyển sách (4 quyển sách Toán khác nhau, 5 quyển sách Lý khác nhau và 6 quyển sách Văn khác nhau). Người ta lấy ngẫu nhiên 4 quyển sách từ kệ. Tính xác suất để số sách lấy ra không đủ ba môn.

A.
$\frac{23}{65}$
B.
$\frac{4}{13}$
C.
$\frac{720}{1365}$
D.
$\frac{43}{91}$

Số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{15}^{4} = 1365$

Gọi A là biến cố “Lấy ra 4 quyển sách có đủ 3 môn”.

Trường hợp 1: 2 sách Toán, 1 sách Lý, 1 sách Văn có $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{6}^{1}$ cách lấy.

Trường hợp 2: 1 sách Toán, 2 sách Lý, 1 sách Văn có $C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1}$ cách lấy.

Trường hợp 3: 1 sách Toán, 1 sách Lý, 2 sách Văn có $C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{6}^{2}$ cách lấy.

Vậy kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{6}^{2} = 720$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{720}{1365}$

Xác suất cần tìm là: $P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = 1 - \frac{720}{1365} = \frac{43}{91}$

Câu 38: Nhận biết

Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn:

A. 184756
B. 240
C. 14400
D. 19448

Ta có:

Ba câu đầu phải được chọn => Có 1 cách chọn

Chọn 7 câu còn lại trong số 17 câu còn lại => Có $C_{17}^7 = 19448$

Vậy có 19448 cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn.

Câu 39: Nhận biết

Thực hiện gieo con xúc xắc sau đó gieo một đồng tiền xu. Mô tả không gian mẫu.

A.
$\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;S;N ight\}$
C.
$\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;N;S ight\}$
D.
$\Omega =\{(1,S);(1,N);(2,S);(2,N);(3,S);(3,N)$ $;(4,S);(4,N);(5,S);(5,N);(6,S);(6,N)\}$