Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 2: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{5}{18}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{2}{9}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5”

Ta có: $A = \left\{ (1;1),(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(1;4),(4;1),(2;2),(2;3),(3;2) ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Câu 3: Nhận biết

Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

A. 12
B. 6
C. 4
D. 24

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$

Ta có: Số cần tạo là số chẵn => c ∈ {2; 4}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 3 cách

Số cách chọn b là 2 cách

=> Số các số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: 3 . 2 . 2 = 12 số

Câu 4: Thông hiểu

Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định
sau:

A. N(A) = 4
B. N(B) = 3
C. N(A ∪ B) = 7
D. N(A ∩ B) = 2

N(A) = 4 => Khẳng định đúng

N(B) = 3 => Khẳng định đúng

A ∩ B = {c, d} => N(A ∩ B) = 2 là khẳng định đúng

A ∪ B = {a, b, c, e} => N(A ∪ B) = 4 => Khẳng định sai là N(A ∪ B) = 7

Câu 5: Vận dụng

Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{{31}}{{32}}$
B. $\frac{{21}}{{32}}$
C. $\frac{{11}}{{32}}$
D. $\frac{1}{{32}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {2^5} = 32$

Giả sử C là biến cố "được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> Biến cố $\overline C$ " không có đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> $\overline C = \left\{ {N,N,N,N,N} ight\}$

=> $n\left( {\overline C } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline C } ight) = \frac{1}{{32}}$

=> $P\left( C ight) = 1 - P\left( {\overline C } ight) = 1 - \frac{1}{{32}} = \frac{{31}}{{32}}$

Câu 6: Nhận biết

Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

A. 20
B. 300
C. 18
D. 15

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách

Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách

Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách

Nếu đi bằng máy bay có 2 cách

Theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách chọn

Câu 7: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $C = \left\{ (1;6),(6;1) ight\}$

$\Rightarrow n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Câu 8: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 9: Thông hiểu

Một túi chứa 2 bi trắng và 3 bi đen. Rút ra 3 bi. Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:

A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{{10}}$
C. $\frac{9}{{10}}$
D. $\frac{4}{5}$

Số phần tử không gian mẫu là: $C_5^3 = 10$

Gọi A là biến cố " được ít nhất 1 bi trắng"

=> $\overline A$ là biến cố không lấy được viên bi trắng nào

=> Số phần tử của $\overline A$ là: $C_3^3 =1$

=> Xác suất lấy 3 viên bi không có viên bi trắng là: $P\left( {\overline A } ight) = \frac{1}{{10}}$

=> Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là:

$P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}$

Câu 10: Vận dụng

Lấy 3 quả cầu từ một hộp có 4 quả cầu trắng, 5 quả cầu vàng, 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu.

A. $\frac{5}{{13}}$
B. $\frac{{21}}{{61}}$
C. $\frac{{67}}{{91}}$
D. $\frac{{11}}{{73}}$

Hộp có 4 + 5 + 6 = 15 quả cầu

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{15}^3 = 455$

Gọi B là biến cố: "Ít nhất 2 quả cầu cùng màu"

=> $\overline B$ là biến cố: "Không có 2 quả cầu nào cùng màu"

=> Số phần tử của biến cố $\overline B$ là: $n\left( {\overline B } ight) = C_4^1.C_5^1.C_6^1 = 120$

=> $P\left( {\overline B } ight) = \frac{{n\left( {\overline B } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{120}}{{455}} = \frac{{24}}{{91}}$

=> $P\left( B ight) = 1 - P\left( {\overline B } ight) = 1 - \frac{{24}}{{91}} = \frac{{67}}{{91}}$

Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu là $\frac{{67}}{{91}}$

Câu 11: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền xu liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

Biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

=> Biến cố $\overline A$ "không xuất hiện mặt sấp”

$\overline A = \left\{ {\left( {N;N;N} ight)} ight\}$

=> $n\left( {\overline A } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } ight) = \frac{1}{8}$

=> $P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Câu 12: Thông hiểu

Đầu giờ học cô giáo gọi 3 bạn A, B, C và một vài bạn khác để kiểm tra miệng. Cô giáo sẽ ngừng kiểm tra khi đã cho 2 bạn thuộc bài. Biết xác suất thuộc bài của A, B, C lần lượt là $\frac{9}{10};\frac{7}{10};\frac{4}{5}$ . Tính xác suất để cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn A, B, C?

Đáp án: 0,398

(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Đầu giờ học cô giáo gọi 3 bạn A, B, C và một vài bạn khác để kiểm tra miệng. Cô giáo sẽ ngừng kiểm tra khi đã cho 2 bạn thuộc bài. Biết xác suất thuộc bài của A, B, C lần lượt là $\frac{9}{10};\frac{7}{10};\frac{4}{5}$ . Tính xác suất để cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn A, B, C?

Đáp án: 0,398

(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

TH1: A thuộc bài, B không thuộc bài, C thuộc bài có xác suất là:

$P_{1} = 0,9.(1 - 0,7).0,8 = 0,216$

TH2: A không thuộc bài, B thuộc bài, C thuộc bài có xác suất là:

$P_{2} = (1 - 0,9).0,7.0,8 = 0,056$

TH2: A thuộc bài, B thuộc bài, C không thuộc bài có xác suất là:

$P_{3} = 0,9.0,7.(1 - 0,8) = 0,126$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = 0,216 + 0,056 + 0,126 = 0,398$

Câu 13: Vận dụng

Trong công xưởng có một nhóm công nhân gồm 15 nữ và 5 nam. Chủ quản muốn chọn một nhóm gồm 5 công nhân để lập thành một tổ gồm 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó nữ và có ít nhất 1 công nhân nam. Hãy xác định số cách lập tổ công nhân theo yêu cầu?

A.
$131444$
B.
$141666$
C.
$241561$
D.
$111300$

Ta có:

Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{15}^{2}$ cách.

Số cách chọn 3 công nhân còn lại là nữ là: $C_{13}^{3}$ cách.

Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là $C_{18}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó và có ít nhất 1 nam là:

$A_{15}^{2}.\left( C_{18}^{3} - C_{13}^{3} ight) = 111300$ .

Câu 14: Thông hiểu

Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:

Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.

Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.

Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.

Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi $X_{1}$ là biến cố lấy được hộp 1, $X_{2}$ là biến cố lấy được hộp 2, $X_{3}$ là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?

A.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cap \left( X \cap X_{2} ight) \cap \left( X \cap X_{3} ight)$
B.
$X \cap X_{2} \cap X_{3}$
C.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
D.
$X \cup X_{2} \cup X_{3}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:

$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$

Câu 15: Vận dụng cao

Cho tập hợp $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 ight\}$ . Lập từ $A$ số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $A$ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $1111$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tập hợp $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 ight\}$ . Lập từ $A$ số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $A$ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $1111$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 16: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất $0,8$ và người thứ hai lần lượt là $0,9$ . Tính xác suất của biến cố A chỉ có đúng 1 người bắn trúng bia?

A.
$0,26$
B.
$0,74$
C.
$0,72$
D.
$0,34$

Gọi M là biến cố người thứ nhất bắn trúng mục tiêu

N là biến cố người thứ hai bắn trúng mục tiêu ( $M,N,\overline{M},\overline{N}$ là các biến cố độc lập).

Từ giả thiết ta có: $P(M) = 0,8;P(N) = 0,9$

Mà $A = M\overline{N} \cup \overline{M}N$

$\Rightarrow P(A) = P(M)P\left( \overline{N} ight) + P\left( \overline{M} ight)P(N)$

$= 0,8(1 - 0,9) + 0,9(1 - 0,8) = 0,26$

Câu 17: Thông hiểu

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt?

A. 64
B. 16
C. 24
D. 32

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được số có tối đa 4 chữ số

Trường hợp số có 1 chữ số ta được 4 số

Trường hợp số có 2 chữ số ta được 4 . 3 = 12 số

Trường hợp số có 3 chữ số ta được: 4 . 3 . 2 = 24 số

Trường hợp số có 4 chữ số ta được: 4! = 24 số

=> Có thể lập được số các số có các chữ số phân biệt là: 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số

Câu 18: Thông hiểu

Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Thăm một bạn không quá một ngày).

A. 7!
B. 35831808
C. 12!
D. 3991680

Ta có: 1 tuần = 7 ngày

Mà mỗi ngày A đến thăm một bạn.

Ngày thứ nhất có 12 cách chọn

Ngày thứ hai có 11 cách chọn

Ngày thứ ba có 10 cách chọn

Ngày thứ tư có 9 cách chọn

Ngày thứ năm có 8 cách chọn

Ngày thứ sáu có 7 cách chọn

Ngày thứ bảy có 6 cách chọn

=> Số kế hoạch có thể lập được là: 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 3 991 680 kế hoạch

Câu 19: Nhận biết

Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.

$P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Câu 20: Nhận biết

Nếu một công việc được chia thành hai trường hợp, trường hợp 1 có a cách thực hiện, trường hợp hai có b cách thực hiện. Biết rằng mỗi cách thực hiện ở trường hợp này không trùng với bất kì cách thực hiện nào ở trường hợp kia. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng và số cách thực hiện công việc nói trên?

A.
$a.b$
B.
$a + b$
C.
$a! + b!$
D.
$a!.b!$

Theo quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là $a + b$ .

Câu 21: Thông hiểu

Có 4 nữ sinh tên là Linh, Hoa, Lan, Hiền và 4 nam sinh tên là Tuấn, Bình, Trung, Cường cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?

A. 576
B. 144
C. 288
D. 1152

Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.

Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài).

Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách.

Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đã xếp ở trên có 4! cách.

Vậy có 3! · 4! = 144 cách.

Câu 22: Nhận biết

Thực hiện gieo con xúc xắc sau đó gieo một đồng tiền xu. Mô tả không gian mẫu.

A.
$\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;S;N ight\}$
C.
$\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;N;S ight\}$
D.
$\Omega =\{(1,S);(1,N);(2,S);(2,N);(3,S);(3,N)$ $;(4,S);(4,N);(5,S);(5,N);(6,S);(6,N)\}$

Mỗi kết quả của phép thử là cặp kết quả của phép thử gieo xúc xắc viết trước và gieo đồng tiền viết sau nên không gian mẫu là:

$\Omega = \{(1,S);(1,N);(2,S);(2,N);(3,S);(3,N);(4,S);(4,N);(5,S);(5,N);(6,S);(6,N)\}$

Câu 23: Thông hiểu

Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120
B. 216
C. 312
D. 360

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

Trường hợp 2: e ≠ 0

=> e = {2; 8}

=> Số cách chọn e là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 2 .4. 4. 3 . 2 = 192 số

=> Từ dãy số tạo được số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau là 120 + 192 = 312 số

Câu 24: Vận dụng

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam và 4 nữ thành một hàng ngang sao cho giữa hai nữ có đúng 1 nam?

A.
$60$
B.
$360$
C.
$1440$
D.
$8640$

Vì giữa 4 nữ có vị trí trống để xếp thỏa mãn yêu cầu phải yêu cầu có dạng $\overline{AaBbCcD}$ trong đó $A;B;C;D$ là 4 bạn nữ và $a,b,c$ là 3 bạn nam.

Bước 1: Chọn 3 bạn nam trong 5 bạn nam có $C_{5}^{3}$ cách.

Bước 2: Gọi nhóm $\overline{AaBbCcD}$ là X. Xếp X và 2 nam còn lại thành một hàng ngang có 3! Cách.

Bước 3: Ứng với mỗi cách xếp ở bước 1 có 4! cách xếp các bạn nữ trong X và 3! cách các bạn nam trong X.

Do đó ta có: $C_{5}^{3}.3!.3!.4! = 8640$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
C.
$M = \overline{M_{1}} \cap M_{2} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
D.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Câu 26: Thông hiểu

Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?

A.
81
B.
120
C.
96
D.
144

Xét các trường hợp:

TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:

Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách

Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách

Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.

Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.

TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:

Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.

Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách

Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách

Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144

$\Rightarrow n(W) = 144$

Câu 27: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một nữ.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có ít nhất một nữ"

=> ${\overline A }$ là biến cố "2 người được chọn không có nữ"

=> $n\left( {\overline A } ight) = C_7^2 = 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ là:

$P\left( {\overline A } ight) = \frac{{n\left( {\overline A } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một nữ:

$P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{7}{{15}} = \frac{8}{{15}}$

Câu 28: Thông hiểu

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh?

A. 1050
B. 1260
C. 105
D. 1200

Hộp chứa 10 + 5 = 15 viên bi

Số cách lấy 4 viên bi trong hộp là: $C_{15}^4 = 1365$ cách

Số cách lấy 4 viên bi không có viên bi xanh là: $C_5^4 = 5$ cách

Số cách lấy 4 viên bi có 1 viên bi xanh là: $C_{10}^1.C_5^3 = 100$ cách

=> Số lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh là: $1365 - 5 - 100 = 1260$ cách

Câu 29: Nhận biết

Một phép thử có không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Cặp biến cố nào sau đây không đối nhau?

A.
$A = \left\{ 1 ight\},B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$C = \left\{ 1;4;5 ight\},D = \left\{ 2;3;5 ight\}$
C.
$E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$
D.
$\Omega,\varnothing$

Cặp biến cố không đối nhau là: $E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$ vì $\left\{ \begin{matrix} E \cap F = \varnothing \\ E \cup F eq \Omega \\ \end{matrix} ight.$

Câu 30: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 31: Vận dụng

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{{11}}{{36}}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6.6 = 36$

Giả sử N là biến cố " Tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3"

Trường hợp 1: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là giống nhau

(3; 3), (6; 6)

Trường hợp 2: Số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là khác nhau

(1; 2), (1; 5); (2; 4), (3; 6), (4; 5)

Mỗi khả năng xảy ra có 2 hoán vị nên số phần tử của biến cố là 10 khả năng xảy ra.

=> Số khả năng xảy ra của biến cố N là: 10 + 2 = 12

=> Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là: $P\left( N ight) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 32: Nhận biết

Từ các số 1, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có ít hơn 4 chữ số

A. 39
B. 12
C. 18
D. 27

Số các số có 1 chữ số là: 3

Số các số có 2 chữ số là: 3² = 9

Số các số có 3 chữ số là: 3³= 27

=> Số các số tự nhiên khác nhau có ít hơn 4 chữ số được tạo thành là: 3 + 9 + 27 = 39

Câu 33: Thông hiểu

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để các chữ số 1 và 2 có mặt trong số viết được.

A.
$\frac{22}{45}$
B.
$\frac{2}{9}$
C.
$\frac{4}{15}$
D.
$\frac{29}{90}$

Gọi A là. biến cố: "Số được viết có mặt các chữ số 1 và 2"

Tìm $|\Omega|$

Giả sử số được viết có dạng $\overline{abcde}$ .

Có 6 cách chọn a.

Tiếp theo có $A_{6}^{4}$ cách chọn $(b;c;d;e)$

Vậy số phần tử không gian mẫu là: $|\Omega| = 6.A_{6}^{4} = 2160$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Trường hợp 1: $\overline{abcde}$ không có mặt chữ số 0:

Có $A_{5}^{2}$ cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 2.

Sau đó có $A_{4}^{3}$ cách xếp 3 trong 4 chữ số 3, 4, 5, 6 vào ba vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này có $A_{5}^{2}.A_{4}^{3} = 480$ khả năng.

Trường hợp 2: $\overline{abcde}$ có mặt ba chữ số 0, 1, 2:

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0.

Tiếp theo có $A_{4}^{2}$ cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 2.

Cuối cùng có $A_{4}^{2}$ cách chọn 2 trong 4 chữ số 3, 4, 5, 6 để viết vào hai vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này có $4.A_{4}^{2}.A_{4}^{2} = 576$ khả năng.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $480 + 576 = 1056$

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{1056}{2160} = \frac{22}{45}$

Câu 34: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có đúng một người nữ"

=> $n\left( A ight) = C_3^1 .C_7^1= 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

Câu 35: Vận dụng

Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)

Điều kiện $n \in \mathbb{N},n > 2$

=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh

Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

=> Số đoạn thẳng tạo thành là $C_n^2$ đoạn

Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n

Ta có phương trình:

$C_n^2 = n + 2n \Rightarrow n = 7$

Vậy đa giác đó có 7 cạnh.

Câu 36: Nhận biết

Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?

A.
$\frac{2}{35}$
B.
$\frac{1}{35}$
C.
$\frac{6}{35}$
D.
$\frac{2}{7}$

Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 37: Thông hiểu

Có hai hộp, hộp thứ nhất đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 5 bi vàng, hộp thứ hai đựng 2 bi đỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, mỗi hộp một bi. Tính xác suất để trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ?

A.
$\frac{29}{70}$
B.
$\frac{3}{14}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{15}{70}$

Gọi A là biến cố “Trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ”, $A_{1}$ là biến cố “Lấy được bi đỏ ở hộp thứ nhất”, $A_{2}$ là biến cố “Lấy được bi đỏ ở hộp thứ hai”.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A = A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} \\P\left( A_{1} ight) = \dfrac{3}{10};P\left( \overline{A_{1}} ight) =\dfrac{7}{10} \\P\left( A_{2} ight) = \dfrac{2}{7};P\left( \overline{A_{2}} ight) =\dfrac{5}{7} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra

$P(A) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} ight) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$= \frac{3}{10}.\frac{5}{7} + \frac{7}{10}.\frac{2}{7} = \frac{29}{70}$

$= P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)$

Câu 38: Nhận biết

Biết $M$ và $\overline{M}$ là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?

A.
$P(M) = 1 + P\left( \overline{M} ight)$
B.
$P(M) = P\left( \overline{M} ight)$
C.
$P(M) + P\left( \overline{M} ight) = 0$
D.
$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Ta có:

$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Câu 39: Nhận biết

Lớp 11A chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp để tham gia hoạt động đoàn trường. Xét hai biến cố:

Biến cố A: “Học sinh đó là nam”

Biến cố B: “Học sinh đó là học sinh giỏi”

Khẳng định nào sau đây đúng khi mô tả biến cố $A \cup B$ ?

A.
Học sinh đó là học sinh nam và là học sinh giỏi
B.
Học sinh đó là học sinh nam hoặc là học sinh giỏi
C.
Học sinh đó là học sinh nữ và là học sinh giỏi
D.
Học sinh đó là học sinh nữ hoặc là học sinh giỏi

Ta có:

$A \cup B$ : Học sinh đó là học sinh nam hoặc là học sinh giỏi

Câu 40: Thông hiểu

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển có ít nhất một nữ?

A.
$\frac{7}{15}$
B.
$\frac{1}{15}$
C.
$\frac{14}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Chọn 2 người trong số 6 người nói trên sao cho có ít nhất một nữ là

$C_{4}^{1}.C_{2}^{1} + C_{4}^{2} = 8 + 6 = 14$

Do đó xác suất của biến cố này là $\frac{14}{15}$ .

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!