Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng

Trong một phép lai, cho hai giống vịt lông đen thuần chủng và lông trắng thuần chủng giao phối với nhau được đời cây F1 toàn là lông đen. Tiếp tục cho con đời F1 giao phối với nhau được một đàn con mới. Chọn ngẫu nhiên 2 con trong đàn vịt con mới. Ước lượng xác suất của biến cố trong 2 con vịt được chọn có ít nhất một con lông đen?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{16}$

Quy ước gene A: lông đen và gene a: lông trắng

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ lông đen với lông trắng là 3 : 1

Trong đàn vịt mới xác suất để được một con lông đen là $\frac{3}{4}$ và con lông trắng là $\frac{1}{4}$

Gọi $A$ là biến cố có đúng 1 con lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(A) = \frac{3}{4}.\frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

Gọi B là biến cố có 2 con vịt lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(B) = \frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

Khi đó $A \cup B$ là biến cố có ít nhất 1 con lông đen trong 2 con được chọn

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{16} + \frac{9}{16} = \frac{3}{4}$

Câu 2: Thông hiểu

Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số đó. Tính xác suất để trọng lượng ba quả cân được chọn không vượt quá 9kg.

A.
$\frac{3}{14}$
B.
$\frac{3}{28}$
C.
$\frac{1}{8}$
D.
$\frac{11}{28}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số 8 quả cân có khối lượng đã cho tương ứng. ω Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{8}^{3} = 56$

Gọi C là biến cố “trọng lượng ba quả cân được chọn không vượt quá 9kg”

Ta có các bộ 3 số có tổng khối lượng không vượt quá 9kg gồm:

$(1,2,3);(1,2,4);(1,2,5);(1,2,6);(1,3,4);(1,3,4);(2,3,4)$

$n(A) = 7 \Rightarrow P(A) = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$

Câu 3: Nhận biết

Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

A. 12
B. 6
C. 4
D. 24

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$

Ta có: Số cần tạo là số chẵn => c ∈ {2; 4}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 3 cách

Số cách chọn b là 2 cách

=> Số các số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: 3 . 2 . 2 = 12 số

Câu 4: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 5: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{5}{27}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{11}{27}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Kết quả thuận lợi cho biến cố "3 sinh viên vào cù môt quán" là $(1;1;1),(2;2;2),(3;3;3)$

Vậy xác suất của biến cố này là $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Câu 6: Vận dụng cao

Cho tập hợp $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 ight\}$ . Lập từ $A$ số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $A$ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $1111$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tập hợp $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 ight\}$ . Lập từ $A$ số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $A$ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $1111$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 7: Thông hiểu

Cho sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn như hình vẽ sau:

Biết xác suất hỏng của mỗi bóng đèn là $0,05$ . Tính xác suất để khi cho dòng diện chạy qua thì mạch điện chỉ có 1 bóng đèn sáng?

A.
$P = A_{4}^{3}.(0,05)^{3}.0,95$
B.
$P = C_{4}^{3}.(0,05)^{3}.0,95$
C.
$P = C_{4}^{3}.0,05.(0,95)^{3}$
D.
$P = A_{4}^{3}.0,05.(0,95)^{3}$

Xác suất để có 3 bóng đèn hỏng và 1 bóng đèn sáng là:

$P = C_{4}^{3}.(0,05)^{3}.0,95$

Câu 8: Nhận biết

Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào
được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. 10
B. 15
C. 20
D. 25

Số các cách để chọn những màu cần dùng là: $A_5^3 = 20$

Câu 9: Thông hiểu

Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25
B. 26
C. 31
D. 32

Số cách chọn nhóm có 2 người: $C_5^2 = 10$

Số cách chọn nhóm có 3 người: $C_5^3 = 10$

Số cách chọn nhóm có 4 người: $C_5^4= 5$

Số cách chọn nhóm có 5 người: 1

=> Số cách chọn ra các nhóm mà có ít nhất 2 người là: 10 + 10 + 5 + 1 = 26 nhóm

Câu 10: Nhận biết

Tung hai lần liên tiếp một đồng xu. Giả sử biến cố B là biến cố mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần. Khi đó biến cố đối của biến cố B là:

A.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở lần đầu là mặt sấp.
B.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở lần thứ hai là mặt ngửa.
C.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở cả hai lần là mặt sấp.
D.
Mặt xuất hiện của đồng xu ở cả hai lần là mặt ngửa.

Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$ : “Mặt sấp không xuất hiện lần nào” nghĩa là mặt xuất hiện ở cả hai lần đều cho mặt ngửa”.

Câu 11: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 12: Thông hiểu

Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

A.
$4249$
B.
$4250$
C.
$5005$
D.
$805$

Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là $C_{15}^{6} = 5005$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là: $C_{6}^{6} = 1$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là: $C_{9}^{6} = 84$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là: $C_{11}^{6} - C_{6}^{6} = 461$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là: $C_{10}^{6} - C_{6}^{6} = 209$

Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là

$5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250$ cách

Câu 13: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{5}{18}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{2}{9}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5”

Ta có: $A = \left\{ (1;1),(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(1;4),(4;1),(2;2),(2;3),(3;2) ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Câu 14: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 455
C. 2300
D. 3080

Số cách chọn ba học sinh trong đó có 1 học sinh nam là: $C_{25}^1.C_{15}^2 = 2625$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$ cách

=> Số cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam là: $2625 + 455 = 3080$ cách

Câu 15: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ cùng màu?

A.
$0,092$
B.
$0,077$
C.
$0,125$
D.
$0,248$

Gọi A là biến cố lấy được 3 thẻ trắng $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{3}}{C_{25}^{3}}$

B là biến cố lấy được 3 thẻ đỏ $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{8}^{3}}{C_{25}^{3}}$

C là biến cố lấy được 3 thẻ xanh $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{7}^{3}}{C_{25}^{3}}$

Gọi D là biến cố lấy được 3 thẻ cùng màu

Khi đó $D = A \cup B \cup C$

$\Rightarrow P(D) = P(A) + P(B) + P(C) \approx 0,092$

Câu 16: Vận dụng

Cho hai biến cố A và B có $P\left( A ight) = \frac{1}{3},P\left( B ight) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} ight) = \frac{1}{2}$ ta kết luận hai biến cố A và B là:

A. Độc lập
B. Không độc lập
C. Xung khắc
D. Không xung khắc.

Ta có: P(A) + P(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12 ≠ 1/2 = P(A ∪ B)

Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)

=> Hai biến cố A và B không xung khắc

Áp dụng công thức xác suất tổng hai biến cố ta có:

$\begin{matrix} P\left( A ight) + P\left( B ight) - P\left( {AB} ight) = P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left[ {P\left( A ight) + P\left( B ight)} ight] - P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}} ight) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $P\left( A ight).P\left( B ight) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} = P\left( {AB} ight)$

=> Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Câu 17: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $C = \left\{ (1;6),(6;1) ight\}$

$\Rightarrow n(C) = 2 \Rightarrow P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Câu 18: Nhận biết

Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?

A.
$\frac{2}{35}$
B.
$\frac{1}{35}$
C.
$\frac{6}{35}$
D.
$\frac{2}{7}$

Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 19: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 20: Nhận biết

Một nhóm học sinh gồm $20$ học sinh nam và $10$ học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?

A.
$200$ .
B.
$20$ .
C.
$30$ .
D.
$10$ .

Có $10 + 20 = 30$ cách chọn một học sinh.

Câu 21: Thông hiểu

Có ba chiếc hộp đựng những tấm thẻ màu xanh và màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ. Giả sử $Q_{i}$ là biến cố lấy được tấm thẻ màu xanh từ hộp thứ $i;i \in \left\{ 1;2;3 ight\}$ . Em hãy chọn đáp án đúng biểu diễn biến cố lấy được ít nhất một tấm thẻ màu đỏ dưới đây?

A.
$\overline{Q_{1}} \cap \left( Q_{2} \cup Q_{3} ight)$
B.
$\overline{Q_{1}} \cap \overline{Q_{2}} \cap \overline{Q_{3}}$
C.
$\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$
D.
$\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup Q_{3}$

Biểu diễn đúng là: $\overline{Q_{1}} \cup \overline{Q_{2}} \cup \overline{Q_{3}}$

Câu 22: Thông hiểu

Trong một bể cá cảnh có chứa 40 con gồm 10 cá đỏ, 15 cá vàng; 8 cá đen, còn lại là cá bạc. Chọn ngẫu nhiên 6 con cá trong bể. Tính xác suất để lấy được 6 con cá có cùng màu?

A.
$1,37.10^{- 3}$
B.
$1,25.10^{- 3}$
C.
$2,57.10^{- 3}$
D.
$2,04.10^{- 3}$

Gọi A là biến cố lấy được 6 con cá đỏ $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$

B là biến cố lấy được 6 con cá vàng $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$

C là biến cố lấy được 6 con cá đen $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$

D là biến cố lấy được 6 con cá bạc $\Rightarrow P(D) = \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$

E là biến cố lấy được 6 con cá cùng màu

$\Rightarrow E = A \cup B \cup C \cup D$

$\Rightarrow P(E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}} \approx 1,37.10^{- 3}$

Câu 23: Nhận biết

Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn:

A. 184756
B. 240
C. 14400
D. 19448

Ta có:

Ba câu đầu phải được chọn => Có 1 cách chọn

Chọn 7 câu còn lại trong số 17 câu còn lại => Có $C_{17}^7 = 19448$

Vậy có 19448 cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn.

Câu 24: Thông hiểu

Một nhóm học sinh gồm 2 nam và 2 nữ được được sắp xếp ngẫu nhiên vào một ghế dài. Hỏi biến cố A “xếp nam và nữ ngồi xen kẽ nhau” có bao nhiêu phần tử?

A.
24
B.
6
C.
8
D.
12

Trường hợp 1: bạn nam ngồi đầu, khi đó 2 bạn nam xếp vào 2 chỗ, nữ xếp nốt vào hai chỗ còn lại

Số cách sắp xếp là 2!.2! = 4

Trường hợp 2: Bạn nữ ngồi đầu, tương tự ta có 4 cách sắp xếp.

Vậy theo quy tắc cộng số phần tử của biến cố A là 4 + 4 = 8 cách

Câu 25: Nhận biết

Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ?

A. 665280
B. 924
C. 7
D. 942

Trong hộp có số viên bi là: 5 + 7 = 12 viên bi

Số cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ là tổ hợp chập 6 của 12 phần tử: $C_{12}^6 = 924$

Câu 26: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. 5
B. 15
C. 55
D. 10

Vì số có chín chữ số viết theo thứ tự giảm dần nên chỉ có thể là chữ số 9 hoặc chữ số 8 đứng đầu.

Trường hợp 1: Số 9 đứng đầu

Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 mỗi một lần ta bỏ đi một số ta sẽ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm dần mà số 9 đứng đầu.

=> Trường hợp 1 có 9 số được lập

Trường hợp 2: Số 8 đứng đầu

Vì từ 0 đến 8 có chín chữ số nên ta chỉ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm đần

Vậy cả 2 trường hợp có 9 + 1 = 10 số

Câu 27: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$ . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ?

A.
$\frac{2}{15}$
B.
$\frac{7}{33}$
C.
$\frac{16}{33}$
D.
$\frac{1}{11}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $|\Omega| = C_{11}^{3} = 165$

Gọi B là biến cố “Tổng ba số được chọn là số lẻ”

Tổng ba số được chọn tạo thành số lẻ thì ba số được chọn cần thỏa điều kiện: 3 số đều là số lẻ, hai số chẵn và 1 số lẻ.

TH1: 3 số đều là số lẻ: $C_{6}^{3} = 20$

TH2: số cách chọn hai số chẵn và 1 số lẻ là $C_{6}^{1}.C_{5}^{2} = 60$

Suy ra ta có $n(B) = 20 + 60 = 80$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(B) = \frac{80}{165} = \frac{16}{33}$

Câu 28: Nhận biết

Trong bài kiểm tra 15 phút, Minh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Tính xác suất để Minh tô sai cả 5 câu?

A.
$\frac{15}{1024}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{243}{1024}$
D.
$\frac{1}{1024}$

Xác suất tô sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Vậy xác suất để Minh tô sai cả 5 câu là $\left( \frac{3}{4} ight)^{5} = \frac{243}{1024}$

Câu 29: Vận dụng

Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?

A.
$1331$
B.
$1313$
C.
$1350$
D.
$1530$

Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu $\Omega$ có số phần tử là $n(\Omega) = (6.2)^{3} = 1728$

Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.

TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.

TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{2}.1.1.(12 - 1) = 33$ khả năng.

TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{1}.1.(12 - 1)(12 - 1) = 3.11.11 = 363$ khả năng.

$\Rightarrow n(P) = 1 + 33 + 363 = 397$

$\Rightarrow n\left( \overline{P} ight) = 1728 - 397 = 1331$

Câu 30: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 9425
C. 4500
D. 2300

Số cách chọn ba học sinh trong lớp là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử: $C_{40}^3 = 9880$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$

=> Số cách chọn ba học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam là: $9880 - 455 = 9425$ cách

Câu 31: Thông hiểu

Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thu vào vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{4}$

Xét các bộ $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ trong đó $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ là một hoán vị của tập $A = \left\{ 1;2;3 ight\}$

Ở đây $x_{i} = i,(i = 1,2,3)$ tức là lá thư thứ i đã bỏ đúng địa chỉ.

Gọi $\Omega$ là tập họp tất cả các khả năng bỏ ba lá thư vào 3 phong bì, khi đó $n_{\Omega} = 3! = 6$

Gọi A là biên cố "Có ít nhất một lá thư bő đúng phong bì".

Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là $\Omega_{A} = \left\{ (1;2;3),(1;3;2),(3;2;1),(2,1,3) ight\}$

Vậy $\left| \Omega_{A} ight| = 4$ xác suất cần tính là $P(A) = \frac{2}{3}$

Câu 32: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên hai viên bi trong hộp có 10 viên bi gồm 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 1 viên bi trắng. Tính xác suất của biến cố B “hai viên bi lấy ra có cùng màu”.

A.
$P(B) = \frac{1}{9}$
B.
$P(B) = \frac{1}{3}$
C.
$P(B) = \frac{2}{3}$
D.
$P(B) = \frac{2}{9}$

Ta có:

$n(\Omega) = C_{10}^{2} = 45$

Gọi các biến cố

D lấy được hai viên bi đỏ $\Rightarrow n(D) = C_{4}^{2} = 6$

E lấy được hai viên bi xanh $\Rightarrow n(E) = C_{3}^{2} = 3$

F lấy được 2 viên bi vàng $\Rightarrow n(F) = C_{2}^{2} = 1$

Ta có D, E, F là các biến cố đôi một xung khắc và $B = D \cup E \cup F$

$\Rightarrow P(B) = P(D) + P(E) + P(F)$

$= \frac{6}{45} + \frac{3}{45} + \frac{1}{45} = \frac{2}{9}$

Câu 33: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 34: Thông hiểu

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đáp án là:

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đầu tiên, 9 con cá đói, mỗi con sẽ ăn 3 con cá đói khác để tạo thành 1 con cá no. Khi đó trong trò chơi còn lại 2 con cá đói và 9 con cá no.

Để số con cá no là tối đa thì 1 con cá đói sẽ ăn 1 con cá đói còn lại và 2 con cá no khác.

Khi đó, trong trò chơi sẽ không còn cá đói và có 8 con cá no.

Câu 35: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ

A. $\frac{1}{{560}}$
B. $\frac{1}{{16}}$
C. $\frac{9}{{40}}$
D. $\frac{{143}}{{280}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{16}^3 = 560$

B là biến cố "lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ"

=> $n\left( B ight) = C_7^1.C_6^1.C_3^1 = 126$

=> Xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{126}}{{560}} = \frac{{9}}{{40}}$

Câu 36: Vận dụng

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Biến cố nào sau đây biểu diễn biến cố chỉ bắn trúng mục tiêu 2 lần?

A.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
B.
$M = M_{i} \cup M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
C.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
D.
$M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.

Ta có: $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau có ý nghĩa chỉ có lần thứ i; j bắn trúng bia và lần thứ k, m thì không bắn trúng.

Câu 37: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 38: Thông hiểu

Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau gồm sách tập 1 và sách tập 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau?

A. $20! − 18!$
B. $20! − 19!$
C. $20! − 18! . 2!$
D. $19! . 18$

Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp.

Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có $2 . 19!$ cách sắp xếp.

Vậy có tất cả $20! − 2 . 19! = 19! . 18$ cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán.

Câu 39: Vận dụng

Hai tuyển thủ A và B đấu với nhau trong một trận bóng bàn với quy tắc người thắng trước 3 hiệp sẽ chiến thắng chung cuộc. Tính xác suất tuyển thủ B thắng chung cuộc, biết xác suất tuyển thủ B chiến thắng mỗi hiệp là 0,4?

A.
0,13824
B.
0,064
C.
0,31744
D.
0,1152

Gọi số hiệp hai tuyển thủ thi đấu là $x;\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} ight)$

Để tuyển thủ B chiến thắng chung cuộc thì tuyển thủ B phải thắng 3 trận trước, do đó $3 \leqslant x \leqslant 5$

Gọi H là biến cố tuyển thủ B thắng chung cuộc. Ta có các trường hợp:

TH1: tuyển thủ B thắng sau khi thi đấu 3 hiệp đầu, khi đó xác suất của trường hợp này là:

$P_{1} = (0,4)^{3} = 0,064$

TH2: tuyển thủ B thắng sau khi thi đấu 4 hiệp, khi đó xác suất của trường hợp này là:

$P_{2} = 3.0,6.(0,4)^{3} = 0,1152$

TH3: tuyển thủ B thắng sau khi thi đấu 5 hiệp, khi đó xác suất của trường hợp này là:

$P_{3} = C_{4}^{2}.(0,6)^{2}.(0,4)^{3} = 0,13824$

Vậy xác suất để tuyển thủ B thắng chung cuộc là

$P = P_{1} + P_{2} + P_{3} = 0,064 + 0,1152 + 0,13824 = 0,31744$

Câu 40: Nhận biết

Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi:

A. 240
B. 151200
C. 14200
D. 210

Số bánh có trong hộp bánh là 6 + 4 = 10 chiếc

=> Số cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi là: $C_{10}^6 = 210$ cách

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!