Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A. 60
B. 10
C. 12
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c = 5

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 là: $1 . 4 . 3 = 12$ số

Câu 2: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Theo bài ra ta có tổng số viên bi trong hộp là $x + 8;\left( x \in \mathbb{N}^{*} ight)$

Láy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là $n(\Omega) = C_{x + 8}^{3}$

Gọi A là biến cố 3 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{x}^{1} = 15x$

=> Xác suất lấy được 3 viên bi có đủ 3 màu là:

$P(A) = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{C_{x + 8}^{3}} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{90x}{(x + 6)(x + 7)(x + 8)} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 21x^{2} - 218x + 336 = 0$

$\Leftrightarrow x = 6(tm)$

Do đó trong hộp có 14 viên bi và $n(\Omega) = C_{14}^{3}$

Gọi B là biến cố 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố 3 viên bi lấy được đều là bi đỏ.

Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là: $n\left( \overline{B} ight) = C_{5}^{3}$

Khi đó xác suất P để trong 3 viên bi lấy được nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

$P = P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$

$= 1 - \frac{n\left( \overline{B} ight)}{n(\Omega)} = 1 - \frac{C_{5}^{3}}{C_{14}^{3}} = \frac{177}{182}$

Câu 3: Nhận biết

Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

A. 20
B. 300
C. 18
D. 15

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách

Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách

Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách

Nếu đi bằng máy bay có 2 cách

Theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách chọn

Câu 4: Thông hiểu

Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho không có 2 bạn nam nào đứng kề nhau.

A.
$\frac{1}{1512}$
B.
$\frac{1}{126}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{1}{3024}$

Gọi A là biến cố "Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó không có 2 bạn nam nào đứng kề nhau".

Tìm $|\Omega|$

Xếp 9 học sinh thành môt hàng dọc, có 9! cách xếp $\Rightarrow |\Omega| = 9!$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó không có 2 ban nam nào đứng kề nhau.

Vì số nam lớn hơn số nữ nên ta phải xếp một học sinh nam đứng trước rồi đến một học sinh nữ, tiếp tục cứ xếp nam nữ xen kẽ nhau, học sinh xếp cuối cùng là nam.

Vậy số cách xếp là $5!.4!$ cách xếp.

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{5!.4!}{9!} = \frac{1}{126}$

Câu 5: Vận dụng

Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần. Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:

A. $\frac{{10}}{{216}}$
B. $\frac{{15}}{{216}}$
C. $\frac{{16}}{{216}}$
D. $\frac{{1126}}{{216}}$

Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần

=> Số phần tử của không gian mẫu là: ${6^5} = 7776$

Giả sử H là biến cố "tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba"

=> Các bộ số là: (1; 1; 2), (1; 2; 3), (2; 1; 3), (1; 3; 4), (3; 1; 4), (2; 2; 4), (1; 4; 5), (4; 1; 5), (2; 3; 5), (3; 2; 5), (1; 5; 6), (5; 1; 6), (2; 4; 6), (4; 2; 6), (3; 3; 6)}

=> $n\left( H ight) = 15.6.6 = 540$

=> Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba là:

$P\left( H ight) = \frac{{n\left( H ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{540}}{{7776}} = \frac{{15}}{{126}}$

Câu 6: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào bia điểm. Biết xác suất bắn trúng 10 điểm của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $0,75$ và $0,85$ . Tính xác suất để có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm?

A.
$0,9625$
B.
$0,325$
C.
$0,0375$
D.
$0,6375$

Gọi A là biến cố có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không có cung thủ nào trúng 10 điểm

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = (1 - 0,75).(1 - 0,85) = 0,0375$

$\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,0375 = 0,9625$

Câu 7: Thông hiểu

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

A. 201
B. 215
C. 115
D. 120

Gọi số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

=> Số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành là: 6 . 5 . 4 = 120 số

Câu 8: Thông hiểu

Một nhóm học sinh gồm 4 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Gọi M là biến cố 4 học sinh được chọn được có cả nam và nữ. Khi đó số phần tử của biến cố đối của A là:

A.
194
B.
21
C.
120
D.
16

Ta có: $\overline{M}$ là biến cố cả 4 bạn được chọn đều là nam hoặc 4 bạn đều là nữ.

Do đó số phần tử của $\overline{M} = C_{4}^{4} + C_{6}^{4} = 16$

Câu 9: Vận dụng

Một bình chứa 16 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đen, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất để lấy được 4 viên bi đều màu trắng $\frac{1}{1820}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ $\frac{4}{26}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được số bi có đủ 3 màu $\frac{3}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được số bi không đủ 3 màu $\frac{1}{2}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bình chứa 16 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đen, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất để lấy được 4 viên bi đều màu trắng $\frac{1}{1820}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ $\frac{4}{26}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được số bi có đủ 3 màu $\frac{3}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được số bi không đủ 3 màu $\frac{1}{2}$ Đúng||Sai

Số phần tử không gian mẫu là $C_{16}^{4} = 1820$

a) Gọi A là biến cố “Lấy được 4 viên bi màu trắng”

Số phần tử của A là $C_{4}^{4} = 1$

Vậy xác suất để lấy được cả 4 viên bi màu trắng là: $\frac{1}{1820}$

b) Gọi D là biến cố lấy được số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố D là lấy 2 bi trắng 1 bi đen và 1 bi đỏ

Ta có số phần tử của biến cố D là: $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{7}^{1} = 210$

Vậy xác suất cần tìm là $P(D) = \frac{3}{26}$ .

c) Gọi E là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu

Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố E:

Th1: Chọn 1 bi đen, 1 bi đỏ và 2 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2}$ cách

Th2: Chọn 1 bi đen, 2 bi đỏ và 1 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{4}^{1}$ cách

Th3: Chọn 2 bi đen, 1 bi đỏ và 1 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1}$ cách

Suy ra số phần tử của biến cố E là $C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2} + C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2} + C_{7}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1} = 910$

Vậy $P(E) = \frac{1}{2}$

d) Ta có: E là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu khi đó $\overline{E}$ là biến cố lấy được các viên bi không đủ 3 màu

$\Rightarrow P\left( \overline{E} ight) = 1 - P(E) = \frac{1}{2}$

Câu 10: Thông hiểu

Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120
B. 216
C. 312
D. 360

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

Trường hợp 2: e ≠ 0

=> e = {2; 8}

=> Số cách chọn e là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 2 .4. 4. 3 . 2 = 192 số

=> Từ dãy số tạo được số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau là 120 + 192 = 312 số

Câu 11: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{3}{4}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Ta có: $B = \left\{ (3;6),(6;3),(4;6),(6;4),(5;6),(6;5),(6;6) ight\}$

$\Rightarrow n(B) = 7 \Rightarrow P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{36}$

Câu 12: Vận dụng

Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:

A. 121
B. 66
C. 132
D. 54

Đa giác đều có 12 cạnh tương ứng với 12 đỉnh

Cứ nối 2 đỉnh của đa giác được một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

Số đoạn thẳng được tạo thành khi nối hai điểm bất kì của đa giác là: $C_{12}^2 = 66$ đoạn thẳng

Mà số cạnh của đa giác là 12 cạnh

=> Số đường chéo thu được là: 66 - 12 = 54 đường chéo

Câu 13: Vận dụng

Lập số có 5 chữ số khác nhau $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$ . Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} + a_{2} < a_{3} +a_{4}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Lập số có 5 chữ số khác nhau $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$ . Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} + a_{2} < a_{3} +a_{4}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 14: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 15: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.

A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{{37}}{{42}}$
D. $\frac{5}{{42}}$

Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^3 = 84$

Gọi A là biến cố "3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau"

=> $n\left( A ight) = C_4^1.C_3^1.C_2^1 = 24$

=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{24}}{{84}} = \frac{2}{7}$

Câu 16: Thông hiểu

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.

A. 718
B. 720
C. 655
D. 530

Gọi số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: $\overline {abcdef}$

Do số tự nhiên tạo thành có các chữ số đôi một khác nhau => $a e b e c e d e e e f$

Khi đó:

Số cách chọn f là 1 cách

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

Số cách chọn e là 2 cách

=> Số các số tạo thành thỏa mãn điều kiện đề bài là:

6.5.4.3.2.1 = 720 số

Câu 17: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có đúng một người nữ"

=> $n\left( A ight) = C_3^1 .C_7^1= 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

Câu 18: Nhận biết

Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi:

A. 240
B. 151200
C. 14200
D. 210

Số bánh có trong hộp bánh là 6 + 4 = 10 chiếc

=> Số cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi là: $C_{10}^6 = 210$ cách

Câu 19: Nhận biết

Xét phép thử: “Gieo hai con xúc xắc 2 lần sau đó gieo một đồng tiền xu”. Gọi $C = \left\{ (1,1,S);(2,2,S);(3,3,S);(4,4,S);(5,5,S);(6,6,S) ight\}$ là một biến cố. Đáp án nào dưới đây mô tả đúng biến cố $C$ ?

A.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
B.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau”.
C.
“Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
D.
“Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau hoặc đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Mô tả đúng là: “Hai lần gieo xúc xắc kết quả như nhau và đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Câu 20: Nhận biết

Một phép thử có không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Cặp biến cố nào sau đây không đối nhau?

A.
$A = \left\{ 1 ight\},B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$C = \left\{ 1;4;5 ight\},D = \left\{ 2;3;5 ight\}$
C.
$E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$
D.
$\Omega,\varnothing$

Cặp biến cố không đối nhau là: $E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$ vì $\left\{ \begin{matrix} E \cap F = \varnothing \\ E \cup F eq \Omega \\ \end{matrix} ight.$

Câu 21: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{5}{18}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{2}{9}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5”

Ta có: $A = \left\{ (1;1),(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(1;4),(4;1),(2;2),(2;3),(3;2) ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Câu 22: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 23: Thông hiểu

Trong chùm chìa khóa có 9 chiếc giống hệt nhau chỉ có đúng 2 chiếc khóa mở được cửa nhà kho. Chủ nhà thử ngẫu nhiên 1 chìa để mở. Hãy tính xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ 3?

A.
$\frac{2}{7}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{14}{81}$
D.
$\frac{7}{81}$

Xác suất để mở được cửa ở lần mở thứ ba là:

$P(A) = \frac{7}{9}.\frac{6}{8}.\frac{2}{7} = \frac{1}{6}$

Câu 24: Nhận biết

Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
H và K là hai biến cố đối nhau.
B.
H và K là hai biến cố tương đương.
C.
H và K là hai biến cố không xung khắc.
D.
H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.

Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.

Câu 25: Nhận biết

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Lấy một số từ dãy số đã cho ta được: $n\left( \Omega ight) =6$

Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"

Ta có: A = {2} => $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 26: Nhận biết

Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?

A.
$\frac{2}{35}$
B.
$\frac{1}{35}$
C.
$\frac{6}{35}$
D.
$\frac{2}{7}$

Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 27: Thông hiểu

Ma trận đề kiểm tra 15 phút môn Toán của lớp 11A gồm 10 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm gồm 4 đáp án và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng học sinh được 1 điểm. Hùng không ôn tập trước khi kiểm tra nên khi làm bài đã chọn ngẫu nhiên 1 đáp án. Gọi B là biến cố Hùng thi được ít nhất 8 điểm. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
$n(B) = 405$
B.
$n(B) = 458$
C.
$n(B) = 436$
D.
$n(B) = 400$

Trường hợp 1: Hùng thi được 8 điểm, tức là Hùng trả lời 8 câu đúng, 2 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 2 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{2}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2}$ .

Trường hợp 2: Hùng thi được 9 điểm, tức là Hùng trả lời 9 câu đúng, 1 câu sai.

Trong 10 câu số khả năng của 1 câu mà học sinh trả lời sai là $C_{10}^{1}$

Mỗi câu trả lời đúng học sinh có 1 cách chọn được đáp án đúng

Mỗi câu trả lời sai học sinh có 3 cách chọn được đáp án sai

Vậy trường hợp này số khả năng xảy ra là $C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1}$ .

Trường hợp 3: Hùng thi được 10 điểm, tức là Hùng trả lời 10 câu đúng, 0 câu sai.

Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.

Vậy số phần tử của biến cố B là:

$n(B) = C_{10}^{2}.1^{8}.3^{2} + C_{9}^{1}.1^{9}.3^{1} + 1 = 436$

Câu 28: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 13080
B. 16080
C. 136080
D. 36080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 29: Nhận biết

Ban chấp hành liên chi đoàn khối 11 có 3 nam, 2 nữ. Cần thành lập một ban kiểm tra gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách thành lập ban kiểm tra là:

A. 6
B. 8
C. 9
D. 10

Số cách lập ban kiểm tra có 3 người là: $C_5^3 = 10$ cách

Sô cách lập ban kiểm tra có 3 người trong đó không có nữ là: $C_3^3 = 1$ cách

=> Số cách thành lập ban kiểm tra có ít nhất một nữ là: $10 - 1 = 9$ cách

Câu 30: Nhận biết

Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có 7 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số đầu tiên là 790. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:

A. 1000
B. 100000
C. 10000
D. 1000000

Số điện thoại cần tìm có dạng $\overline {790abcd}$

Số cách chọn a có 10 cách

Số cách chọn b có 10 cách

Số cách chọn c có 10 cách

Số cách chọn d có 10 cách

=> Có tối đa số điện thoại là: 10.10.10.10 = 10⁴ = 10 000 số

Câu 31: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên và đồng thời hai viên bi trong hộp chứa 3 trắng và 2 bi đỏ. Ta có các biến cố sau:

E “Hai viên bi cùng màu trắng”

F “Hai viên bi cùng màu đỏ”

G “Hai viên bi cùng màu”

H “Hai viên bi khác màu”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overline{H} = E$
B.
Biến cố $H$ xung khắc với các biến cố $E;F;G$
C.
$E \cap F = H$
D.
Biến cố $E$ là biến cố đối của biến cố $F$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}E \cap H = \varnothing \\F \cap H = \varnothing \\G \cap H = \varnothing \\\end{matrix} ight.$ nên biến cố $H$ xung khắc với các biến cố $E;F;G$ .

Câu 32: Thông hiểu

Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng:

A. 100
B. 91
C. 10
D. 90

Số cách chọn người đàn ông là 10 cách

Do người đàn ông và người phụ nữ được chọn không là vợ chồng

=> Số cách chọn người phụ nữ là 9 cách

=> Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng là 9 . 10 = 90 cách

Câu 33: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Hỏi P(A) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;S} ight),\left( {S;N;N} ight),\left( {S;N;S} ight),\left( {S;S;N} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 4 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 34: Thông hiểu

Gieo đồng tiền 2 lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là:

A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{3}$

Gieo đồng tiền 2 lần nên ta có:

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {2^2} = 4$

Giả sử C là biến cố "sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần"

=> $\overline C$ biến cố "sau hai lần gieo thì không có mặt sấp xuất hiện"

=> $\overline C = \left\{ {N,N} ight\}$

=> $P\left( {\overline C } ight) = \frac{{n\left( {\overline C } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{4}$

=> Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là:

$P\left( C ight) = 1 - P\left( {\overline C } ight) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Câu 35: Thông hiểu

Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

A.
$4249$
B.
$4250$
C.
$5005$
D.
$805$

Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là $C_{15}^{6} = 5005$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là: $C_{6}^{6} = 1$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là: $C_{9}^{6} = 84$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là: $C_{11}^{6} - C_{6}^{6} = 461$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là: $C_{10}^{6} - C_{6}^{6} = 209$

Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là

$5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250$ cách

Câu 36: Thông hiểu

Từ các chữ số $9;1;5;7;2$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn $276$ ?

A.
$34$
B.
$30$
C.
$20$
D.
$25$

Gọi $\overline{abc}$ là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.

Trường hợp 1: a = 1

Số cách chọn $\overline{abc}$ là $1.4.3 = 12$ số.

Trường hợp 2: $a = 2;b = 7$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.1.2 = 2$ số.

Trường hợp 3: $\left\lbrack \begin{matrix} a = 2;b = 1 \\ a = 2;b = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Số cách chọn $\overline{abc}$ là: $1.2.3 = 6$ số.

Vậy có 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37: Vận dụng

Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?

A.
$1331$
B.
$1313$
C.
$1350$
D.
$1530$

Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu $\Omega$ có số phần tử là $n(\Omega) = (6.2)^{3} = 1728$

Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.

TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.

TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{2}.1.1.(12 - 1) = 33$ khả năng.

TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{1}.1.(12 - 1)(12 - 1) = 3.11.11 = 363$ khả năng.

$\Rightarrow n(P) = 1 + 33 + 363 = 397$

$\Rightarrow n\left( \overline{P} ight) = 1728 - 397 = 1331$

Câu 38: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$ . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.

A.
$\frac{4}{55}$
B.
$\frac{7}{165}$
C.
$\frac{28}{165}$
D.
$\frac{2}{11}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $|\Omega| = C_{11}^{3} = 165$

Gọi A là biến cố “Tổng ba số được chọn là 12”.

Ta có các bộ 3 số có tổng bằng 12 gồm: (1,2,9); (1,3,8); (1,4,7); (1,5,6); (2,3,7); (2;4;6); (3,4,5).

Suy ra ta có $n(A) = 7 \Rightarrow P(A) = \frac{7}{165}$

Câu 39: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 40: Nhận biết

Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn

A. 64
B. 16
C. 32
D. 20

Số cách chọn một cây bút mực là tổ hợp chập 1 của 8: $C_8^1 = 8$ cách

Số cách chọn một cây bút chì là tổ hợp chập 1 của 8: $C_8^1 = 8$ cách

=> Số cách chọn một cây bút mực và một cây bút chì là: 8 . 8 = 64 cách

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!