Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nẵng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.

A. 4
B. 20
C. 24
D. 120

Theo bài ra ta có 5 ban nhạc đến từ các trường

Chọn ban nhạc Nha Trang biểu diễn đầu tiên

=> Số cách sắp xếp 4 ban nhạc còn lại là: 4! = 24 cách

=> Số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên là 24 cách.

Câu 2: Nhận biết

Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

A. 27
B. 9
C. 6
D. 3

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.

Nếu chọn một quả đen có 3 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.

Câu 3: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 13080
B. 16080
C. 136080
D. 36080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 4: Nhận biết

Biết $M$ và $\overline{M}$ là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?

A.
$P(M) = 1 + P\left( \overline{M} ight)$
B.
$P(M) = P\left( \overline{M} ight)$
C.
$P(M) + P\left( \overline{M} ight) = 0$
D.
$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Ta có:

$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Câu 5: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;N} ight),\left( {S;N;S} ight),\left( {N;S;S} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 3 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{3}{8} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 6: Nhận biết

Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn:

A. 25
B. 75
C. 100
D. 15

Số cách chọn món ăn là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn hoa quả là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn nước uống là: $C_3^1 = 3$ cách

=> Số cách chọn thực đơn là: 5 .5. 3 = 75 thực đơn

Câu 7: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là:

A. 0,1
B. 0,2
C. 0,3
D. 0,4

Chọn một số có hai chữ số bất kì

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{100}^1 = 100$

Số cách chọn số có chữ số tận cùng là 0 là: $C_{10}^1 = 10$

=> Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là: $P = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{100}^1}} = 0,1$

Câu 8: Thông hiểu

Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.?

A.
$\frac{2}{7}$
B.
$\frac{10}{21}$
C.
$\frac{4}{24}$
D.
$\frac{12}{49}$

Gọi $A;B;C;D$ lần lượt là các biến cố: “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ nhất”, “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ hai”; “Lấy được bi trắng từ hộp thứ nhất”, “Lấy được bi trắng từ hộp thứ hai”.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}P(A) = \dfrac{4}{7};P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \\P(C) = \dfrac{3}{7};P(D) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.$

Gọi E; F lần lượt là các biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ”, “Hai viên bi lấy ra cùng màu trắng”.

Khi đó $E = AB;F = CD$

Do A và B và hai biến cố độc lập nên $P(E) = P(AB) = P(A).P(B) = \frac{4}{21}$

Do C và D là hai biến cố độc lập nên $P(F) = P(CD) = P(C).P(D) = \frac{2}{7}$

Do E và F là hai biến cố xung khắc nên xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu là

$P(E \cup F) = P(E) + P(F) = \frac{4}{21} + \frac{2}{7} = \frac{10}{21}$ .

Câu 9: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$ . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ?

A.
$\frac{2}{15}$
B.
$\frac{7}{33}$
C.
$\frac{16}{33}$
D.
$\frac{1}{11}$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau: $\left\{ 1;2;3;4;5;...;11 ight\}$

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: $|\Omega| = C_{11}^{3} = 165$

Gọi B là biến cố “Tổng ba số được chọn là số lẻ”

Tổng ba số được chọn tạo thành số lẻ thì ba số được chọn cần thỏa điều kiện: 3 số đều là số lẻ, hai số chẵn và 1 số lẻ.

TH1: 3 số đều là số lẻ: $C_{6}^{3} = 20$

TH2: số cách chọn hai số chẵn và 1 số lẻ là $C_{6}^{1}.C_{5}^{2} = 60$

Suy ra ta có $n(B) = 20 + 60 = 80$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(B) = \frac{80}{165} = \frac{16}{33}$

Câu 10: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số lẻ và chia hết cho 9:

A. 0,12
B. 0,6
C. 0,06
D. 0,01

Chọn một số có hai chữ số bất kì ta có: $n\left( \Omega ight) = C_{100}^1 = 100$

Chọn các số lẻ và chia hết cho 9 là các số: 09; 27; 45; 63; 81; 99

=> Xác suất để có một con số lẻ và chia hết cho 9 là: $P = \frac{6}{{100}} = 0,06$

Câu 11: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 12: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 455
C. 2300
D. 3080

Số cách chọn ba học sinh trong đó có 1 học sinh nam là: $C_{25}^1.C_{15}^2 = 2625$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$ cách

=> Số cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam là: $2625 + 455 = 3080$ cách

Câu 13: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 14: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.

A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{{37}}{{42}}$
D. $\frac{5}{{42}}$

Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^3 = 84$

Gọi B là biến cố "3 quyển được lấy ra đều là môn toán"

=> $n\left( B ight) = C_4^3=4$

=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{4}}{{84}} = \frac{1}{21}$

Câu 15: Nhận biết

Trong lớp có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp?

A. 2730
B. 3815
C. 6545
D. 1140

Số học sinh của lớp là 20 + 15 = 35 (học sinh)

Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp là: $C_{35}^3 = 6545$ (cách chọn)

Câu 16: Thông hiểu

Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

A.
$4249$
B.
$4250$
C.
$5005$
D.
$805$

Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là $C_{15}^{6} = 5005$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là: $C_{6}^{6} = 1$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là: $C_{9}^{6} = 84$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là: $C_{11}^{6} - C_{6}^{6} = 461$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là: $C_{10}^{6} - C_{6}^{6} = 209$

Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là

$5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250$ cách

Câu 17: Thông hiểu

Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?

A. 3110
B. 3200
C. 313
D. 3000

Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do E là số chẵn => $e \in \left\{ {0;2;4;6} ight\}$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 7 cách

Số cách chọn b là 6 cách

Số cách chọn c là 5 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)

Trường hợp 2: $e \in \left\{ {2;4;6} ight\}$

Số cách chọn e là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn e là 6 cách

Số cách chọn e là 5 cách

Số cách chọn e là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)

Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:

840 + 2160 = 3000 số

Câu 18: Nhận biết

Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi:

A. 240
B. 151200
C. 14200
D. 210

Số bánh có trong hộp bánh là 6 + 4 = 10 chiếc

=> Số cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi là: $C_{10}^6 = 210$ cách

Câu 19: Vận dụng

Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)

Điều kiện $n \in \mathbb{N},n > 2$

=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh

Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

=> Số đoạn thẳng tạo thành là $C_n^2$ đoạn

Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n

Ta có phương trình:

$C_n^2 = n + 2n \Rightarrow n = 7$

Vậy đa giác đó có 7 cạnh.

Câu 20: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 21: Vận dụng

Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?

A.
$1331$
B.
$1313$
C.
$1350$
D.
$1530$

Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu $\Omega$ có số phần tử là $n(\Omega) = (6.2)^{3} = 1728$

Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.

TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.

TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{2}.1.1.(12 - 1) = 33$ khả năng.

TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{1}.1.(12 - 1)(12 - 1) = 3.11.11 = 363$ khả năng.

$\Rightarrow n(P) = 1 + 33 + 363 = 397$

$\Rightarrow n\left( \overline{P} ight) = 1728 - 397 = 1331$

Câu 22: Nhận biết

Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?

A. 12
B. 24
C. 4
D. 6

Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì.

Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có: $3! = 6$ cách.

Vậy số cách sắp xếp là 6 cách.

Câu 23: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$

Câu 24: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn có 6 chỗ, hai cách ngồi được coi là như nhau nếu có thể nhận được từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó?

A. 720
B. 24
C. 120
D. 12

Vì bàn tròn ghế không có sắp xếp thứ tự.

Ta chọn một người ngồi ở một vị trí trong 6 chỗ làm mốc.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí trống còn lại ta được 5! = 120 cách

Vậy ta có: 1 . 120 = 120 cách để sắp xếp 6 người ngồi vào bàn tròn 6 chỗ

Câu 25: Thông hiểu

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280
B. 400
C. 40
D. 1160

Do số bi xanh và số bi đỏ lấy ra bằng nhau

=> Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Trong 4 viên có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ

=> Số cách chọn là: $C_8^1.C_5^1.C_3^2 = 120$ cách

Trường hợp 2: Trong 4 viên bi có 2 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ

=> Số cách chọn là: $C_8^2.C_5^2 = 280$ cách

=> Số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ là 120 + 280 = 400 cách

Câu 26: Thông hiểu

Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thu vào vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{4}$

Xét các bộ $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ trong đó $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ là một hoán vị của tập $A = \left\{ 1;2;3 ight\}$

Ở đây $x_{i} = i,(i = 1,2,3)$ tức là lá thư thứ i đã bỏ đúng địa chỉ.

Gọi $\Omega$ là tập họp tất cả các khả năng bỏ ba lá thư vào 3 phong bì, khi đó $n_{\Omega} = 3! = 6$

Gọi A là biên cố "Có ít nhất một lá thư bő đúng phong bì".

Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là $\Omega_{A} = \left\{ (1;2;3),(1;3;2),(3;2;1),(2,1,3) ight\}$

Vậy $\left| \Omega_{A} ight| = 4$ xác suất cần tính là $P(A) = \frac{2}{3}$

Câu 27: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên trong tập hợp S gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số 3 đứng liền giữa hai chữ số 2 và 4. Tìm số phần tử không gian mẫu?

A.
51756
B.
7440
C.
25878
D.
3486

Ta chia thành các trường hợp như sau:

TH1: Nếu số 234 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số

TH2: Nếu cố 432 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số

TH3: Nếu cố 234; 432 không đứng đầu

Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu, khi đó còn 4 vị trí có 2 cách sắp xếp 3 số 234 và 432, còn lại 1 vị trí có $C_{6}^{1}$ cách chọn số còn lại. Do đó trường hợp này có $6.2.2.C_{6}^{1} =144$

Suy ra số phần tử của tập hợp S là $2.A_{7}^{2} + 144 = 228$

Vậy số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{228}^{2} = 25878$

Câu 28: Nhận biết

Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
H và K là hai biến cố đối nhau.
B.
H và K là hai biến cố tương đương.
C.
H và K là hai biến cố không xung khắc.
D.
H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.

Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.

Câu 29: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “kết quả của 3 lần gieo là như nhau”. Tính xác suất của biến cố A?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;S} ight),\left( {N;N;N} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 2 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 30: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:

A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"

=> $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 31: Vận dụng

Cho $A,B,C,D$ là các biến cố đôi một xung khắc và $A \cup B \cup C \cup D$ là biến cố chắc chắn. Biết $P(A) = 3P(B);P(B) = 3P(C);P(C) = 3P(D)$ . Tính xác suất của biến cố $D$ ?

A.
$P(D) = \frac{1}{40}$
B.
$P(D) = \frac{3}{40}$
C.
$P(D) = \frac{9}{40}$
D.
$P(D) = \frac{27}{40}$

Gọi $P(D) = x$ theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(C) = 3x \\ P(B) = 9x \\ P(A) = 27x \\ \end{matrix} ight.$

Vì $A \cup B \cup C \cup D$ là biến cố chắc chắn nên $P(A \cup B \cup C \cup D) = 1$

Mặt khác $A,B,C,D$ là các biến cố đôi một xung khắc nên

$P(A \cup B \cup C \cup D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Leftrightarrow P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1$

$\Leftrightarrow 27x + 9x + 3x + x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{40}$

$\Rightarrow P(D) = \frac{1}{40}$

Câu 32: Nhận biết

Biết hai biến cố $A;B$ độc lập với nhau và $P(A) = 0,4;P(B) = 0,3$ . Tính giá trị $P(A.B)$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,35$
C.
$0,12$
D.
$0,7$

Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên $P(AB) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12$

Câu 33: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

A. 40
B. 45
C. 50
D. 55

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: $\overline {ab}$

Nếu a = 9 => Số cách chọn b là 9 cách => Số các số tạo thành là 9 số

Nếu a = 8 => Số cách chọn b là 8 cách => Số các số tạo thành là 8 số

Nếu a = 7 => Số cách chọn b là 7 cách => Số các số tạo thành là 7 số

Nếu a = 6 => Số cách chọn b là 6 cách => Số các số tạo thành là 6 số

Nếu a = 5 => Số cách chọn b là 5 cách => Số các số tạo thành là 5 số

Nếu a = 4 => Số cách chọn b là 4 cách => Số các số tạo thành là 4 số

Nếu a = 3 => Số cách chọn b là 3 cách => Số các số tạo thành là 3 số

Nếu a = 2 => Số cách chọn b là 2 cách => Số các số tạo thành là 2 số

Nếu a = 1 => Số cách chọn b là 1 cách => Số các số tạo thành là 1 số

=> Số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: 9 + 8 + ... + 2 + 1 = 45 số

Câu 34: Thông hiểu

Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh thuộc 80 câu. Tìm xác suất để học sinh đó ngẫu nhiên làm được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc.

A.
$0,31$
B.
$0,54$
C.
$0,42$
D.
$0,27$

Số cách chọn 1 đề thi bất ki (gồm 5 câu trong 100 câu) là $n(\Omega) = C_{100}^{5}$

Gọi biến cố A: “học sinh đó làm được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc”.

Học sinh đã học thuộc 80 câu nên có $C_{80}^{4}$ cách chọn ra 4 câu đã học thuộc và có $C_{20}^{1}$ cách chọn ra 1 câu hỏi còn lại chưa học thuộc.

Do đó $n(A) = C_{80}^{4}.C_{20}^{1}\Rightarrow P(A) = \dfrac{C_{80}^{4}.C_{20}^{1}}{C_{100}^{5}} \approx0,42$

Câu 35: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền xu ba lần liên tiếp. Gọi D là biến cố có ít nhất hai lần gieo xuất hiện mặt sấp. Tìm biến cố đối của biến cố D?

A.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS ight\}$
B.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS;SSS ight\}$
C.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS ight\}$
D.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Biến cố $\overline{D}$ là biến cố có đúng một lần xuất hiện mặt sấp hoặc không có lần nào xuất hiện mặt sấp.

$\Rightarrow \overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Câu 36: Vận dụng

Lập số có 5 chữ số khác nhau $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$ . Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} + a_{2} < a_{3} +a_{4}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Lập số có 5 chữ số khác nhau $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$ . Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} + a_{2} < a_{3} +a_{4}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 37: Thông hiểu

Số cách chọn một tập hợp gồm 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh là: