Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 2: Nhận biết

Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn:

A. 25
B. 75
C. 100
D. 15

Số cách chọn món ăn là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn hoa quả là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn nước uống là: $C_3^1 = 3$ cách

=> Số cách chọn thực đơn là: 5 .5. 3 = 75 thực đơn

Câu 3: Thông hiểu

Cho tập hợp $A = \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt từ tập hợp A?

A.
$24$
B.
$64$
C.
$16$
D.
$32$

Ta có:

Số có 1 chữ số có 4 số.

Số có 2 chữ số có $A_{4}^{2} = 12$ số.

Số có 3 chữ số có $A_{4}^{3} = 24$ số.

Số có 4 chữ số có $P_{4} = 24$ số.

Vậy các số lập được là 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số.

Câu 4: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 5: Thông hiểu

Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh thuộc 80 câu. Tìm xác suất để học sinh đó ngẫu nhiên làm được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc.

A.
$0,31$
B.
$0,54$
C.
$0,42$
D.
$0,27$

Số cách chọn 1 đề thi bất ki (gồm 5 câu trong 100 câu) là $n(\Omega) = C_{100}^{5}$

Gọi biến cố A: “học sinh đó làm được một đề thi trong đó có 4 câu mình đã học thuộc”.

Học sinh đã học thuộc 80 câu nên có $C_{80}^{4}$ cách chọn ra 4 câu đã học thuộc và có $C_{20}^{1}$ cách chọn ra 1 câu hỏi còn lại chưa học thuộc.

Do đó $n(A) = C_{80}^{4}.C_{20}^{1}\Rightarrow P(A) = \dfrac{C_{80}^{4}.C_{20}^{1}}{C_{100}^{5}} \approx0,42$

Câu 6: Thông hiểu

Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?

A. 3110
B. 3200
C. 313
D. 3000

Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Do E là số chẵn => $e \in \left\{ {0;2;4;6} ight\}$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 7 cách

Số cách chọn b là 6 cách

Số cách chọn c là 5 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)

Trường hợp 2: $e \in \left\{ {2;4;6} ight\}$

Số cách chọn e là 3 cách

Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)

Số cách chọn e là 6 cách

Số cách chọn e là 5 cách

Số cách chọn e là 4 cách

=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)

Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:

840 + 2160 = 3000 số

Câu 7: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Hỏi P(A) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

$\begin{matrix} A = \left\{ {\left( {S;S;S} ight),\left( {S;N;N} ight),\left( {S;N;S} ight),\left( {S;S;N} ight)} ight\} \hfill \\ \Rightarrow n\left( A ight) = 4 \hfill \\ \Rightarrow P\left( A ight) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 8: Thông hiểu

Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A. 10!
B. 725760
C. 9!
D. 9! – 2!

Coi quyển sách thứ nhất và quyển sách thứ hai thành một quyển sách

=> Khi đó ta có 9 quyển sách

Hoán vị hai quyển sách ban đầu ta có 2! = 2 cách

Sắp xếp 9 quyển sách vào 9 vị trí => Có 9! cách

=> Có 2.9! = 725760 cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

Câu 9: Vận dụng

Trong một thí nghiệm lai tạo cây bơ, biết rằng quả tròn là tính trạng trội hoàn toàn so với quả dài. Cho cây quả tròn thuần chủng thụ phấn với cây quả dài ta được đời cây F1 toàn là cây quả tròn. Tiếp tục cho cây đời F1 thụ phấn với nhau và thu hoạch được các cây con mới. Lần lượt chọn ngẫu nhiên 2 cây con mới. Tính xác suất của biến cố trong 2 cây con mới được chọn có đúng 1 cây quả tròn?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{3}{16}$

Quy ước gene A: quả tròn và gene a: quả dài

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ quả tròn so với quả dài là 3 : 1

Gọi $A_{1}$ là biến cố cây được chọn lần thứ nhất là quả tròn

$A_{2}$ là biến cố cây được chọn lần thứ hai là quả tròn.

Ta có: $A_{1};A_{2}$ độc lập và $P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = \frac{3}{4}$

Xác suất của biến cố có đúng 1 quả tròn trong 2 cây được lấy ra:

$P\left( A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} ight) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$= P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)$

$= \frac{3}{4}.\frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

Câu 10: Vận dụng

Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{{31}}{{32}}$
B. $\frac{{21}}{{32}}$
C. $\frac{{11}}{{32}}$
D. $\frac{1}{{32}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {2^5} = 32$

Giả sử C là biến cố "được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> Biến cố $\overline C$ " không có đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> $\overline C = \left\{ {N,N,N,N,N} ight\}$

=> $n\left( {\overline C } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline C } ight) = \frac{1}{{32}}$

=> $P\left( C ight) = 1 - P\left( {\overline C } ight) = 1 - \frac{1}{{32}} = \frac{{31}}{{32}}$

Câu 11: Nhận biết

Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

A. 12
B. 6
C. 4
D. 24

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$

Ta có: Số cần tạo là số chẵn => c ∈ {2; 4}

=> Có 2 cách chọn c

Số cách chọn a là 3 cách

Số cách chọn b là 2 cách

=> Số các số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: 3 . 2 . 2 = 12 số

Câu 12: Nhận biết

Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tập hợp không gian mẫu là:

A.
$\Omega = \left\{ SS;SN;NS ight\}$
B.
$\Omega = \left\{ SS;SN;NS;NN ight\}$
C.
$\Omega = \left\{ SN;NS;NN ight\}$
D.
$\Omega = \left\{ SN;NS ight\}$

Không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ SS;SN;NS;NN ight\}$ .

Câu 13: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2160
B. 2520
C. 21
D. 5040

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: ${a e 0}$ => Có 6 cách chọn a

Số cách chọn b, c, d, e là: $A_6^4 = 360$ cách

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: $360 . 6 = 2160$ số

Câu 14: Nhận biết

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi X là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nam”. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 2 nam hoặc 2 nữ”.
B.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 1 nam hoặc 1 nữ”.
C.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.
D.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn không phải là hai nữ”.

Sử dụng định nghĩa biến cố đối ta được:

$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.

Câu 15: Nhận biết

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

A. 5250
B. 4500
C. 2625
D. 1500

Số cách chọn 1 học sinh nam là: $C_{25}^1 = 25$ cách

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{15}^2 = 105$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:

$C_{25}^1.C_{15}^2 = 25.105 = 2625$ cách

Câu 16: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 17: Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Tính xác suất của biến cố C?

A.
$\frac{1}{6}$
B.
$\frac{5}{9}$
C.
$\frac{13}{18}$
D.
$\frac{7}{18}$

Ta có hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc suy ra $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = P(C)$

$n(\Omega) = C_{9}^{2} = 36$

Biến cố A là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập $\left\{ 2;4;6;8 ight\}$

$n(A) = C_{4}^{2} = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Biến cố B được hình thành từ hai công đoạn:

+ Chọn một số chẵn từ tập $\left\{ 2;4;6;8 ight\}$ có 4 cách

+ Chọn một số lẻ từ tập $\left\{ 1;3;5;7;9 ight\}$ có 4 cách

Theo quy tắc nhân tập B có 4.5 = 20 cách

Do đó $n(B) = 20 \Rightarrow P(B) = \frac{20}{36}$

$\Rightarrow P(C) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{20}{36} = \frac{13}{18}$

Câu 18: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ trong đó có ít nhất một thẻ xanh?

A.
$0,645$
B.
$0,355$
C.
$0,724$
D.
$0,276$

Gọi B là biến cố có ít nhất một tấm thẻ xanh

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố lấy được 3 tấm thẻ không có thẻ xanh nào.

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = P\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$

$\Rightarrow \Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}} \approx 0,645$

Câu 19: Nhận biết

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{11}{345}$
C.
$\frac{3}{435}$
D.
$\frac{119}{145}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_{3}^{2} = 3$

Vậy xác suất để cần tìm là: $\frac{3}{345}$

Câu 20: Thông hiểu

Cho 4 chữ số $2;4;6;8$ có thể lập được bao nhiêu chữ số biết rằng các số tạo thành thuộc khoảng $(200;600)$ ?

A.
$32$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$48$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c \in \left\{ 2;4;6;8 ight\}$ .

Theo giả thiết ta có hai cách chọn a

Với mỗi cách chọn a ta có 4 cách chọn b và 4 cách chọn x.

Vậy có $2.4.4 = 32$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 21: Thông hiểu

Một nhóm học sinh gồm 2 nam và 2 nữ được được sắp xếp ngẫu nhiên vào một ghế dài. Hỏi biến cố A “xếp nam và nữ ngồi xen kẽ nhau” có bao nhiêu phần tử?

A.
24
B.
6
C.
8
D.
12

Trường hợp 1: bạn nam ngồi đầu, khi đó 2 bạn nam xếp vào 2 chỗ, nữ xếp nốt vào hai chỗ còn lại

Số cách sắp xếp là 2!.2! = 4

Trường hợp 2: Bạn nữ ngồi đầu, tương tự ta có 4 cách sắp xếp.

Vậy theo quy tắc cộng số phần tử của biến cố A là 4 + 4 = 8 cách

Câu 22: Nhận biết

Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

A. 27
B. 9
C. 6
D. 3

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.

Nếu chọn một quả đen có 3 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.

Câu 23: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5.

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{5}{18}$
C.
$\frac{11}{36}$
D.
$\frac{2}{9}$

Ta có: $\Omega = \left\{ (i;j)|1 \leq i;j \leq 6 ight\} \Rightarrow n(\Omega) = 36$

Gọi A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5”

Ta có: $A = \left\{ (1;1),(1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(1;4),(4;1),(2;2),(2;3),(3;2) ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Câu 24: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?

A.
$\frac{14}{15}$
B.
$\frac{2}{75}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{3}{5}$

Gọi H là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Hóa trong đoàn”

S là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Sinh trong đoàn”

T là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Thể dục trong đoàn”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(H) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};P(S) = \frac{2}{5};P(T) = \frac{1}{3} \\ P\left( \overline{H} ight) = \frac{1}{2};P\left( \overline{S} ight) = \frac{3}{5};P\left( \overline{T} ight) = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi X là biến cố “Có đúng một giáo viên nữ trong đoàn”.

Ta có $X = H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T$

$\Rightarrow P(X) = P\left( H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T ight)$

$= P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}\overline{S}T ight)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) =\dfrac{3}{6}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{2}{3} \\P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) =\dfrac{3}{6}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{2}{3} \\P\left( \overline{H}\overline{S}T ight) =\frac{3}{6}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P(X) = \frac{13}{30}$

Câu 25: Thông hiểu

Đề thi Tiếng anh thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Một học sinh đã tô câu trả lời ngẫu nhiên cho cả 50 câu hỏi. Hỏi xác suất để học sinh đó đạt 4 điểm trong bài thi trên là bao nhiêu?

A.
$2,2.10^{- 7}$
B.
$2,5.10^{- 6}$
C.
$1,8.10^{- 5}$
D.
$1,3.10^{- 7}$

Để đạt được điểm 4 học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Theo đó xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25, xác suất trả lời sai mỗi câu là 0,75

Vậy xác suất để học sinh đạt 4 điểm là: $C_{50}^{30}.(0,25)^{30}.(0,75)^{20} \approx 1,3.10^{- 7}$ .

Câu 26: Vận dụng

Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:

Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C lần lượt là $\frac{1}{10};\frac{1}{10};\frac{1}{20}$ . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).

A.
$0,0125$
B.
$0,0595$
C.
$0,9571$
D.
$0,9213$

Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện

A, B, C là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C gặp sự cố kĩ thuật.

Ta có:

$Q = (A \cap B) \cup (C)$

Suy ra $P(Q) = P(AB) + P(C) - P(ABC)$

$P(Q) = P(A).P(B) + P(C) - P(A).P(B).P(C)$

$= 0,1.0,1 + 0,05 - 0,1.0,1.0,05 = 0,0595$

Câu 27: Thông hiểu

Ba bạn A, B, C độc lập với nhau thi ném phi tiêu vào cùng một bia. Biết xác xuất ném trúng của A, B, C lần lượt là $0,2;0,5$ và $0,8$ . Tính xác suất để có ít nhất một người ném trúng bia?

A.
$0,4$
B.
$0,08$
C.
$0,1$
D.
$0,16$

Gọi A, B, C tương ứng là biến cố A ném trúng bia, B ném trúng bia và C ném trúng bia

A, B, C là các biến cố độc lập. Do đó A, B, C là các biến cố đôi một độc lập

Xác suất để cả ba người đều không ném trúng là:

$P\left( \overline{ABC} ight) = P\left( \overline{A} ight).P\left( \overline{B} ight).P\left( \overline{C} ight)$

$= (1 - 0,2)(1 - 0,5)(1 - 0,8) = 0,08$

Câu 28: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 29: Thông hiểu

Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25
B. 26
C. 31
D. 32

Số cách chọn nhóm có 2 người: $C_5^2 = 10$

Số cách chọn nhóm có 3 người: $C_5^3 = 10$

Số cách chọn nhóm có 4 người: $C_5^4= 5$

Số cách chọn nhóm có 5 người: 1

=> Số cách chọn ra các nhóm mà có ít nhất 2 người là: 10 + 10 + 5 + 1 = 26 nhóm

Câu 30: Thông hiểu

Trong một bể cá cảnh có chứa 40 con gồm 10 cá đỏ, 15 cá vàng; 8 cá đen, còn lại là cá bạc. Chọn ngẫu nhiên 6 con cá trong bể. Tính xác suất để lấy được 6 con cá có cùng màu?

A.
$1,37.10^{- 3}$
B.
$1,25.10^{- 3}$
C.
$2,57.10^{- 3}$
D.
$2,04.10^{- 3}$

Gọi A là biến cố lấy được 6 con cá đỏ $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$

B là biến cố lấy được 6 con cá vàng $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$

C là biến cố lấy được 6 con cá đen $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$

D là biến cố lấy được 6 con cá bạc $\Rightarrow P(D) = \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$

E là biến cố lấy được 6 con cá cùng màu

$\Rightarrow E = A \cup B \cup C \cup D$

$\Rightarrow P(E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}} \approx 1,37.10^{- 3}$

Câu 31: Thông hiểu

Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:

A. 720
B. 1440
C. 20160
D. 40320

Ta có:

Ông An hay bà An đứng ở dầu hoặc cuối hàng

=> Có hai cách sắp xếp

Tiếp theo xếp 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc

=> Có 6! cách sắp xếp

=> Có tất cả 2 . 6! = 1440 cách

Câu 32: Vận dụng

Rút ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ một hộp chứa 12 thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Tính số kết quả thuận lợi của biến cố M “trong ba tấm thẻ chọn ra không có hai tấm thẻ nào ghi hai số tự nhiên liên tiếp”?

A.
$100$
B.
$120$
C.
$150$
D.
$90$

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Biến cố M “trong ba tấm thẻ chọn ra không có hai tấm thẻ nào ghi hai số tự nhiên liên tiếp”

Suy ra biến cố $\overline{M}$ “trong ba tấm thẻ chọn ra có ít nhất hai tâm thẻ ghi hai số tự nhiên liên tiếp”

Bộ ba có dạng $\left( 1;2;a_{1} ight)$ với $a_{1} \in A\backslash\left\{ 1;2 ight\}$ có 10 bộ

Bộ ba số có dạng $\left( 2;3;a_{2} ight)$ với $a_{2} \in A\backslash\left\{ 1;2;3 ight\}$ có 9 bộ

Tương tự mỗi bộ ba số có dạng $\left( 3;4;a_{3} ight),\left( 4;5;a_{4} ight),\left( 5;6;a_{4} ight),...\left( 11;12;a_{11} ight)$ đều có 9 bộ

$\Rightarrow n\left( \overline{M} ight) = 10 + 10.9 = 100$

$\Rightarrow n(M) = 220 - 110 = 120$

Câu 33: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm?

A.
$\frac{25}{36}$
B.
$\frac{5}{36}$
C.
$\frac{5}{18}$
D.
$\frac{7}{12}$

Gọi hai súc sắc là M; N

Gọi C là biến cố "Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm".

Ta có C là hợp của hai biến cố xung khắc $A\overline{B};\overline{A}B$ tức là $C = A\overline{B} \cup \overline{A}B$

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} \cup \overline{A}B ight) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \\ P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.$

Vì A, B là hai biến cố độc lập với nhau

Nên $\overline{A}$ và B độc lập với nhau; $\overline{B}$ và A độc lập với nhau

$\Rightarrow P(C) = P\left( A\overline{B} ight) + P\left( \overline{A}B ight)$

$= P(A)P\left( \overline{B} ight) + P\left( \overline{A} ight).P(B) = \frac{1}{6}.\frac{5}{6} + \frac{5}{6}.\frac{1}{6} = \frac{5}{18}$

Câu 34: Thông hiểu

Hai hộp gỗ được đặt trên bàn. Hộp A chứa 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Hộp B chứ 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp A sang hộp B rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp B ra. Tính xác suất để viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{17}{56}$
C.
$\frac{2}{7}$
D.
$\frac{9}{56}$

Xảy ra hai trường hợp:

TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi đỏ và 5 viên bi canh. Xác suất để lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là:

$P_{1} = \frac{3}{7}.\frac{3}{8} = \frac{9}{56}$

TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu xanh và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi đỏ và 6 viên bi canh. Xác suất để lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là:

$P_{2} = \frac{4}{7}.\frac{2}{8} = \frac{8}{56}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = P_{1} + P_{2} = \frac{9}{56} + \frac{8}{56} = \frac{17}{56}$

Câu 35: Nhận biết

Giả sử $M,N$ là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$P(M \cup N) = P(M) +P(N)$
B.
$P(M \cup N) =P(M).P(N)$
C.
$P(M \cup N) = P(M) -P(N)$
D.
$P(M \cap N) = P(M) +P(N)$

Ta có:

$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \capN)$

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên $M\cap N = \varnothing$

$\Rightarrow P(M \cup N) = P(M) +P(N)$

Câu 36: Nhận biết

Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

A. 20
B. 300
C. 18
D. 15

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách

Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách

Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách

Nếu đi bằng máy bay có 2 cách

Theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách chọn

Câu 37: Vận dụng

Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?

Đáp án: 396

Đáp án là:

Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?

Đáp án: 396

Gọi A là biến cố tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ.

Ta có trong 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12 thì có 6 tấm thẻ ghi số chẵn và 6 tấm thẻ ghi số lẻ

Để tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ thì số thẻ ghi số lẻ là lẻ.

Ta có các trường hợp như sau:

TH1: 1 thẻ ghi số lẻ và 4 thẻ ghi số chẵn

Có $C_{6}^{1}.C_{6}^{4} = 90$

TH2: 3 thẻ ghi số lẻ và 2 thẻ ghi số chẵn

Có $C_{6}^{2}.C_{6}^{3} = 300$

TH3: 5 thẻ đều ghi số lẻ $C_{6}^{5} = 6$

$\Rightarrow n(A) = 90 + 300 + 6 = 396$

Câu 38: Vận dụng

Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình thăm một bạn không quá một lần