Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 2: Nhận biết

Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.

$P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Câu 3: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần. Không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?

A.
$64$
B.
$32$
C.
$10$
D.
$16$

Mỗi lần gieo đồng xu có hai khả năng xảy ra nên khi tung đồng xu đó 5 lần thì theo quy tắc nhân ta có: ${2^5} = 32$

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega ight) = 32$

Câu 4: Nhận biết

Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?

A.
$\frac{2}{35}$
B.
$\frac{1}{35}$
C.
$\frac{6}{35}$
D.
$\frac{2}{7}$

Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 5: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 6: Thông hiểu

Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là $0,7$ . Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Đáp án: 0,94

(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là $0,7$ . Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Đáp án: 0,94

(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)

Gọi A là biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt

B là biến cố chỉ có động cơ 1 chạy tốt.

$P(B) = 0,8(1 - 0,7) = 0,24$

Gọi C là biến cố chỉ có động cơ 2 là chạy tốt.

$P(C) = 0,7(1 - 0,8) = 0,14$

Gọi D là biến cố cả hai động cơ đều chạy tốt

$P(D) = 0,8.0,7 = 0,56$

Vậy $P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = 0,94$

Câu 7: Nhận biết

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số $1, 2, . . ., 9$ ?

A. 15120
B. ${9^5}$
C. ${5^9}$
D. 126

Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, . . . , 9 là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.

Vậy có $A_9^5 = 15120$ số được tạo thành.

Câu 8: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 9: Vận dụng

Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có chẵn, mỗi số có 5 chữ số trong đó có đúng hai số lẻ, 2 số lẻ đó đứng cạnh nhau.

A. 450
B. 360
C. 186
D. 294

Gọi số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là m

Số cách chọn được m là: $A_3^2$

Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa M và ba trong bốn chữ số 0; 2; 4; 6

Gọi $\overline {abcd} ;\left( {a,b,c,d \in \left\{ {m,0;2;4;6} ight\}} ight)$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 1: Nếu a = m ta có:

Số cách chọn a là 1 cách

Số cách chọn b, c, d là $A_4^3$ cách

Trướng hợp 2: Nếu a khác m thì ta có:

Số cách chọn a là 3 cách

Nếu b = m thì có 1 cách chọn b và $A_3^2$ cách chọn c, d

Nếu c = m thì có 1 cách chọn c và $A_3^2$ cach chọn b, d

=> Số các số được tạo thành là: $A_3^2.\left[ {A_4^3 + 3\left( {1.A_3^2 + 1.A_3^2} ight)} ight] = 360$

Câu 10: Vận dụng

Cho hai biến cố A và B có $P\left( A ight) = \frac{1}{3},P\left( B ight) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} ight) = \frac{1}{2}$ ta kết luận hai biến cố A và B là:

A. Độc lập
B. Không độc lập
C. Xung khắc
D. Không xung khắc.

Ta có: P(A) + P(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12 ≠ 1/2 = P(A ∪ B)

Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)

=> Hai biến cố A và B không xung khắc

Áp dụng công thức xác suất tổng hai biến cố ta có:

$\begin{matrix} P\left( A ight) + P\left( B ight) - P\left( {AB} ight) = P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left[ {P\left( A ight) + P\left( B ight)} ight] - P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}} ight) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $P\left( A ight).P\left( B ight) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} = P\left( {AB} ight)$

=> Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Câu 11: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{5}{27}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{11}{27}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Kết quả thuận lợi cho biến cố "3 sinh viên vào cù môt quán" là $(1;1;1),(2;2;2),(3;3;3)$

Vậy xác suất của biến cố này là $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Câu 12: Thông hiểu

Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25
B. 26
C. 31
D. 32

Số cách chọn nhóm có 2 người: $C_5^2 = 10$

Số cách chọn nhóm có 3 người: $C_5^3 = 10$

Số cách chọn nhóm có 4 người: $C_5^4= 5$

Số cách chọn nhóm có 5 người: 1

=> Số cách chọn ra các nhóm mà có ít nhất 2 người là: 10 + 10 + 5 + 1 = 26 nhóm

Câu 13: Thông hiểu

Khi gửi tiền vào ngân hàng, chị X được tham gia chương trình “Bốc thăm trúng thưởng”. Chị được bốc lần lượt 2 lá thăm trong hộp gồm 20 lá thăm. Biết trong hộp chỉ có 2 lá thăm ghi “Trúng thưởng”. Tính xác suất để cả hai lá thăm đều trúng thưởng?

A.
$\frac{1}{190}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{1}{19}$
D.
$\frac{1}{100}$

Gọi A là biến cố lá thăm rút được lần đầu có thưởng

=> $P(A) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Gọi B là biến cố lá thăm rút được lần sau có thưởng.

=> $P(B) = \frac{1}{19}$

$\Rightarrow P(AB) = P(A).P(B) = \frac{1}{10}.\frac{1}{19} = \frac{1}{190}$

Câu 14: Nhận biết

Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 200
B. 150
C. 160
D. 180

Số cách chọn 2 giáo viên từ nhóm 5 giáo viên là: $C_5^2 = 10$ cách

Số cách chọn 3 học sinh từ nhóm 6 học sinh là: $C_6^3 = 20$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một hội đồng là: 10 . 20 = 200 cách

Câu 15: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên trong tập hợp S gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số 3 đứng liền giữa hai chữ số 2 và 4. Tìm số phần tử không gian mẫu?

A.
51756
B.
7440
C.
25878
D.
3486

Ta chia thành các trường hợp như sau:

TH1: Nếu số 234 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số

TH2: Nếu cố 432 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số

TH3: Nếu cố 234; 432 không đứng đầu

Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu, khi đó còn 4 vị trí có 2 cách sắp xếp 3 số 234 và 432, còn lại 1 vị trí có $C_{6}^{1}$ cách chọn số còn lại. Do đó trường hợp này có $6.2.2.C_{6}^{1} =144$

Suy ra số phần tử của tập hợp S là $2.A_{7}^{2} + 144 = 228$

Vậy số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{228}^{2} = 25878$

Câu 16: Nhận biết

Trong bài kiểm tra 15 phút, Minh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Tính xác suất để Minh tô sai cả 5 câu?

A.
$\frac{15}{1024}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{243}{1024}$
D.
$\frac{1}{1024}$

Xác suất tô sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Vậy xác suất để Minh tô sai cả 5 câu là $\left( \frac{3}{4} ight)^{5} = \frac{243}{1024}$

Câu 17: Nhận biết

Có bao nhiêu biển đăng kí xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm 1 chữ cái tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số?

A.
$22684000$
B.
$23400000$
C.
$25480000$
D.
$21500000$

Chọn một chữ cái trong 26 chữ cái có 26 cách

Chọn 1 chữ số khác 0 từ 1 đến 9 có 9 cách

Cuối cùng 5 chữ số còn lại mỗi số có 10 cách chọn

Vậy số các biển số xe thỏa mãn là 26.9.10⁵ = 24300000 biển.

Câu 18: Vận dụng

Sắp 3 quyển sách Toán và 3 quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là:

A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{{10}}$
C. $\frac{1}{{20}}$
D. $\frac{2}{{5}}$

Số phần tử của không gian mẫu (Số cách xếp 6 quyển sách lên một kệ dài) là: 6! = 720 cách.

Sắp xếp 3 sách Toán với nhau và 3 sách Vật lí với nhau

Coi 6 quyển sách là hai bộ sách Toán và Vật Lí

Số cách sắp xếp hai bộ sách là 2! = 2 (cách)

Cách sắp xếp bộ sách Toán là 3! = 6

Cách sắp xếp bộ sách Vật Lí là 3! = 6

=> Số cách sắp xếp để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: 2 . 6 . 6 = 72 (cách)

=> Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: $P = \frac{{72}}{{720}} = \frac{1}{{10}}$

Câu 19: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
C.
$M = \overline{M_{1}} \cap M_{2} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
D.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Câu 20: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?

A.
$\frac{14}{15}$
B.
$\frac{2}{75}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{3}{5}$

Gọi H là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Hóa trong đoàn”

S là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Sinh trong đoàn”

T là biến cố “Có một giáo viên nữ môn Thể dục trong đoàn”

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(H) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};P(S) = \frac{2}{5};P(T) = \frac{1}{3} \\ P\left( \overline{H} ight) = \frac{1}{2};P\left( \overline{S} ight) = \frac{3}{5};P\left( \overline{T} ight) = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi X là biến cố “Có đúng một giáo viên nữ trong đoàn”.

Ta có $X = H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T$

$\Rightarrow P(X) = P\left( H\overline{S}\overline{T} \cup \overline{H}S\overline{T} \cup \overline{H}\overline{S}T ight)$

$= P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) + P\left( \overline{H}\overline{S}T ight)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( H\overline{S}\overline{T} ight) =\dfrac{3}{6}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{2}{3} \\P\left( \overline{H}S\overline{T} ight) =\dfrac{3}{6}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{2}{3} \\P\left( \overline{H}\overline{S}T ight) =\frac{3}{6}.\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P(X) = \frac{13}{30}$

Câu 21: Vận dụng

Lập số có 5 chữ số khác nhau $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$ . Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} + a_{2} < a_{3} +a_{4}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Lập số có 5 chữ số khác nhau $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$ . Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Tính xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} + a_{2} < a_{3} +a_{4}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 22: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ.

A. $\frac{1}{{560}}$
B. $\frac{1}{{16}}$
C. $\frac{1}{{28}}$
D. $\frac{{143}}{{280}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{16}^3 = 560$

B là biến cố "3 viên bi lấy được đầu màu đỏ"

=> $n\left( B ight) = C_3^3 = 1$

=> Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{{560}}$

Câu 23: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 455
C. 2300
D. 3080

Số cách chọn ba học sinh trong đó có 1 học sinh nam là: $C_{25}^1.C_{15}^2 = 2625$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$ cách

=> Số cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam là: $2625 + 455 = 3080$ cách

Câu 24: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền xu ba lần liên tiếp. Gọi D là biến cố có ít nhất hai lần gieo xuất hiện mặt sấp. Tìm biến cố đối của biến cố D?

A.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS ight\}$
B.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS;SSS ight\}$
C.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS ight\}$
D.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Biến cố $\overline{D}$ là biến cố có đúng một lần xuất hiện mặt sấp hoặc không có lần nào xuất hiện mặt sấp.

$\Rightarrow \overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Câu 25: Thông hiểu

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.

A.
$\frac{234}{667}$
B.
$\frac{33}{167}$
C.
$\frac{99}{667}$
D.
$\frac{18}{167}$

Gọi A là. biến cố: "Trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10".

Tìm $|\Omega|$

Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ: có $C_{30}^{10}$ cách chọn $\Rightarrow |\Omega| = C_{30}^{10}$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Chọn 5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm thẻ mang số lẻ có $C_{15}^{5}$ cách chọn.

Chọn 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách chọn.

Chọn 4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm thẻ như vậy có $C_{12}^{4}$ cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $\left| \Omega_{A} ight| = 3.C_{15}^{5}C_{12}^{4}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{3.C_{15}^{5}C_{12}^{4}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667}$

Câu 26: Nhận biết

Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?

A. 104
B. 450
C. 1326
D. 2652

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là $C_{52}^2 = 1326$ cách.

Câu 27: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 28: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 29: Thông hiểu

Cấu trúc đề thi cuối học kì I môn Vật lí gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Học sinh A chọn ngẫu nhiên đáp án cho các câu hỏi. Xác suất để học sinh A thi được 6 điểm môn Vật lí là:

A.
$1 - 0,25^{20}.0,75^{30}$
B.
$0,25^{20}.0,75^{30}$
C.
$0,25^{30}.0,75^{20}$
D.
$C_{50}^{20}.0,25^{30}.0,75^{20}$

Để đạt được điểm 6 học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.

Theo đó xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25, xác suất trả lời sai mỗi câu là 0,75

Vậy xác suất để học sinh đạt 6 điểm là: $C_{50}^{20}.0,25^{30}.0,75^{20}$ .

Câu 30: Thông hiểu

Đề thi Tiếng anh thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh đã chắc chắn làm đúng 40 câu hỏi và chọn ngẫu nhiên đáp án cho 10 câu hỏi còn lại. Hỏi xác suất để học sinh đó có điểm thi không dưới 9 điểm?

A.
$0,0078$
B.
$0,0871$
C.
$0,0781$
D.
$0,0087$

Xác suất để học sinh thi được 9 điểm là: $C_{10}^{5}.(0,25)^{5}.(0,75)^{5}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,2 điểm là: $C_{10}^{6}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,4 điểm là: $C_{10}^{7}.(0,25)^{7}.(0,75)^{3}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,6 điểm là: $C_{10}^{8}.(0,25)^{8}.(0,75)^{2}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,8 điểm là: $C_{10}^{9}.(0,25)^{9}.(0,75)^{1}$ .

Xác suất để học sinh thi được 10 điểm là: $(0,25)^{10}$ .

Vậy xác suất để học sinh thi được không dưới 9 điểm là:

$\sum_{k = 5}^{10}{C_{10}^{k}.(0,25)^{k}.(0,75)^{10 - k}} \approx 0,0781$

Câu 31: Thông hiểu

Thực hiện gieo hai lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố xuất hiện ít nhất một lần mặt năm chấm. Tính xác suất của biến cố A?

A.
$\frac{11}{36}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{2}{9}$

Ta có: $n(\Omega) = 6.6 = 36$ và A là biến cố xuất hiện ít nhất một lần mặt năm chấm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không lần nào xuất hiện mặt năm chấm.

Ta có: $n\left( \overline{A} ight) = 5.5 = 25 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = \frac{25}{36}$

$\Rightarrow P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Câu 32: Thông hiểu

Số cách chọn một tập hợp gồm 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh là:

A.
$65780$
B.
$57680$
C.
$57860$
D.
$67805$

Bảng chữ cái Tiếng Anh có 26 chữ cái.

Suy ra số cách chọn 1 tập hợp gồm 5 chữ cái từ 26 chữ cái là: $C_{26}^{5} = 65780$ cách chọn.

Câu 33: Nhận biết

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Lấy một số từ dãy số đã cho ta được: $n\left( \Omega ight) =6$

Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"

Ta có: A = {2} => $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 34: Thông hiểu

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đáp án là:

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đầu tiên, 9 con cá đói, mỗi con sẽ ăn 3 con cá đói khác để tạo thành 1 con cá no. Khi đó trong trò chơi còn lại 2 con cá đói và 9 con cá no.

Để số con cá no là tối đa thì 1 con cá đói sẽ ăn 1 con cá đói còn lại và 2 con cá no khác.

Khi đó, trong trò chơi sẽ không còn cá đói và có 8 con cá no.

Câu 35: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$

Câu 36: Thông hiểu

Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó có 2 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng?

A. 350
B. 16800
C. 924
D. 665280

Số cách lấy 2 viên bi màu xanh là: $C_5^2 = 10$ cách

Số cách lấy 4 viên bi màu vàng là: $C_7^4 = 35$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách lấy ra 6 viên bi thỏa mãn đề bài là:

$C_5^2.C_7^4 = 10.35 = 350$ cách

Câu 37: Thông hiểu

Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Thăm một bạn không quá một ngày).

A. 7!
B. 35831808
C. 12!
D. 3991680

Ta có: 1 tuần = 7 ngày

Mà mỗi ngày A đến thăm một bạn.

Ngày thứ nhất có 12 cách chọn

Ngày thứ hai có 11 cách chọn

Ngày thứ ba có 10 cách chọn

Ngày thứ tư có 9 cách chọn

Ngày thứ năm có 8 cách chọn

Ngày thứ sáu có 7 cách chọn

Ngày thứ bảy có 6 cách chọn

=> Số kế hoạch có thể lập được là: 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 3 991 680 kế hoạch

Câu 38: Nhận biết

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.