Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào bia điểm. Biết xác suất bắn trúng 10 điểm của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $0,75$ và $0,85$ . Tính xác suất để có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm?

A.
$0,9625$
B.
$0,325$
C.
$0,0375$
D.
$0,6375$

Gọi A là biến cố có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không có cung thủ nào trúng 10 điểm

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = (1 - 0,75).(1 - 0,85) = 0,0375$

$\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,0375 = 0,9625$

Câu 2: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 3: Thông hiểu

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:

A. $\frac{{13}}{{36}}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{{11}}{{36}}$
D. $\frac{1}{3}$

Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {6^2} = 36$

Giả sử D là biến cố "tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3"

Các bộ số chia hết cho 3 là (1; 2), (3; 3); (2; 4), (1; 5), (5; 4), (3; 6), (6; 6)

Ngoài bộ số (6; 6) và (3; 3) ta có các bộ số còn lại hoán vị

=> $n\left( D ight) = 12$

=> Xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên chia hết cho 3 là:

$P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}$

Câu 4: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 5: Vận dụng

Một bình chứa 16 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đen, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất để lấy được 4 viên bi đều màu trắng $\frac{1}{1820}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ $\frac{4}{26}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được số bi có đủ 3 màu $\frac{3}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được số bi không đủ 3 màu $\frac{1}{2}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bình chứa 16 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đen, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.

a) Xác suất để lấy được 4 viên bi đều màu trắng $\frac{1}{1820}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ $\frac{4}{26}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được số bi có đủ 3 màu $\frac{3}{4}$ Sai||Đúng

d) Xác suất để lấy được số bi không đủ 3 màu $\frac{1}{2}$ Đúng||Sai

Số phần tử không gian mẫu là $C_{16}^{4} = 1820$

a) Gọi A là biến cố “Lấy được 4 viên bi màu trắng”

Số phần tử của A là $C_{4}^{4} = 1$

Vậy xác suất để lấy được cả 4 viên bi màu trắng là: $\frac{1}{1820}$

b) Gọi D là biến cố lấy được số bi trắng gấp hai lần số bi đen và đỏ

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố D là lấy 2 bi trắng 1 bi đen và 1 bi đỏ

Ta có số phần tử của biến cố D là: $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{7}^{1} = 210$

Vậy xác suất cần tìm là $P(D) = \frac{3}{26}$ .

c) Gọi E là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu

Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố E:

Th1: Chọn 1 bi đen, 1 bi đỏ và 2 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2}$ cách

Th2: Chọn 1 bi đen, 2 bi đỏ và 1 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{1}.C_{5}^{2}.C_{4}^{1}$ cách

Th3: Chọn 2 bi đen, 1 bi đỏ và 1 bi trắng nên ta có: $C_{7}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1}$ cách

Suy ra số phần tử của biến cố E là $C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2} + C_{7}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2} + C_{7}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1} = 910$

Vậy $P(E) = \frac{1}{2}$

d) Ta có: E là biến cố lấy được các viên bi có đủ 3 màu khi đó $\overline{E}$ là biến cố lấy được các viên bi không đủ 3 màu

$\Rightarrow P\left( \overline{E} ight) = 1 - P(E) = \frac{1}{2}$

Câu 6: Nhận biết

Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu?

A. 240
B. 210
C. 18
D. 120

Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng - một bông hoa hồng đỏ - một bông hoa hồng vàng), ta có:

Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.

Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.

Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 5 . 6 . 7 = 210 cách

Câu 7: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 8: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Theo bài ra ta có tổng số viên bi trong hộp là $x + 8;\left( x \in \mathbb{N}^{*} ight)$

Láy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là $n(\Omega) = C_{x + 8}^{3}$

Gọi A là biến cố 3 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{x}^{1} = 15x$

=> Xác suất lấy được 3 viên bi có đủ 3 màu là:

$P(A) = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{C_{x + 8}^{3}} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{90x}{(x + 6)(x + 7)(x + 8)} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 21x^{2} - 218x + 336 = 0$

$\Leftrightarrow x = 6(tm)$

Do đó trong hộp có 14 viên bi và $n(\Omega) = C_{14}^{3}$

Gọi B là biến cố 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố 3 viên bi lấy được đều là bi đỏ.

Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là: $n\left( \overline{B} ight) = C_{5}^{3}$

Khi đó xác suất P để trong 3 viên bi lấy được nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

$P = P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$

$= 1 - \frac{n\left( \overline{B} ight)}{n(\Omega)} = 1 - \frac{C_{5}^{3}}{C_{14}^{3}} = \frac{177}{182}$

Câu 9: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 10: Nhận biết

Một phép thử có không gian mẫu là: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Cặp biến cố nào sau đây không đối nhau?

A.
$A = \left\{ 1 ight\},B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$C = \left\{ 1;4;5 ight\},D = \left\{ 2;3;5 ight\}$
C.
$E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$
D.
$\Omega,\varnothing$

Cặp biến cố không đối nhau là: $E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3 ight\}$ vì $\left\{ \begin{matrix} E \cap F = \varnothing \\ E \cup F eq \Omega \\ \end{matrix} ight.$

Câu 11: Thông hiểu

Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:

Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.

Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.

Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.

Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi $X_{1}$ là biến cố lấy được hộp 1, $X_{2}$ là biến cố lấy được hộp 2, $X_{3}$ là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?

A.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cap \left( X \cap X_{2} ight) \cap \left( X \cap X_{3} ight)$
B.
$X \cap X_{2} \cap X_{3}$
C.
$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
D.
$X \cup X_{2} \cup X_{3}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:

$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$

Câu 12: Thông hiểu

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số?

A. 3888
B. 360
C. 15
D. 120

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Do số đang xét là số chẵn $=> e ∈ \{2; 4; 6\}$

=> Có 3 cách chọn e

=> Số cách chọn $a, b, c, d$ là: ${6^4} = 1296$

=> Từ tập A có thể lập được số các số chẵn có 5 chữ số là: $3 . 1296 = 3888$ số

Câu 13: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 14: Thông hiểu

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$ , xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1 bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{7}{ 1 5 0 }$ .
B.
$\frac{7}{375}$ .
C.
$\frac{7}{125}$ .
D.
$\frac{189}{1250}$ .

+ Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ .

Chọn $a_{1}$ : có 9 cách.

Chọn $a_{2}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{3}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{4}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{5}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{6}$ : có 10 cách.

Suy ra số các phần tử của $S$ là: $9.10^{5}$ cách.

Chọn ngẫu nhiên một số từ $S \Rightarrow n(\Omega) = 9.10^{5}$ .

+ Gọi $A$ là biến cố: "Số được chọn có 6 chữ số đôi một khác nhau và có mặt chữ số 0 và 1 ".

TH1: $a_1= 1$ .

Có 5 vị trí để xếp số 0.

Và có $A_{8}^{4}$ cách chọn 4 vị trí còn lại.

Suy ra có: $5.A_{8}^{4} = 8400$ số.

TH2: $a_1 = 2,\ldots,9$

Chọn $a_{1}$ : có 8 cách.

Xếp hai số 0 và 1 có: $A_{5}^{2} = 20$ cách.

Xếp vào 3 vị trí còn lại có: $A_{7}^{3} = 210$ cách.

Suy ra có: $8.20.210 = 33600$ số.

$\Rightarrow n(A) = 8400 + 33600 = 42000$

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{42000}{900000} = \frac{7}{150}$ .

Câu 15: Nhận biết

Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:

M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.

N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.

T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.

Hai biến cố nào xung khắc với nhau?

A.
$M;N$
B.
$M;T$
C.
$N;T$

Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.

Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.

Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.

Câu 16: Nhận biết

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 21
B. 120
C. 2520
D. 78125

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau là: $A_7^5 = 2520$

Câu 17: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?

A. 455
B. 7
C. 462
D. 456

Số học sinh có trong nhóm là: $6 + 5 = 11$ học sinh

Số cách chọn 5 học sinh trong nhóm là: $C_{11}^5 = 462$ cách

Số cách chọn số học sinh chỉ có nam là $C_6^5 = 6$ cách

Số cách chọn số học sinh chỉ có nữ là: $C_5^5 = 1$ cách

=> Số cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ là: $462 - 6 - 1 = 455$ cách

Câu 18: Thông hiểu

Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?

A.
81
B.
120
C.
96
D.
144

Xét các trường hợp:

TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:

Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách

Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách

Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.

Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.

TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:

Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.

Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách

Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách

Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144

$\Rightarrow n(W) = 144$

Câu 19: Thông hiểu

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu"?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{119}{145}$
C.
$\frac{2}{115}$
D.
$\frac{3}{345}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi C là biến cố: "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu".

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố C là $C_{27}^{2} = 351$

Vậy xác suất để cần tìm là: $P(C) = \frac{351}{435} = \frac{119}{145}$

Câu 20: Thông hiểu

Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:

A. $C_{10}^2 + C_8^3 + C_5^5$
B. $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$
C. $C_{10}^2 + C_8^3$
D. $A_{10}^2.A_8^3.A_5^5$

Chọn nhóm có 2 thành viên: $C_{10}^2$

Chọn nhóm có 3 thành viên từ 8 thành viên còn lại: $C_8^3$

Chọn nhóm có 5 thành viên từ 5 thành viên còn lại: $C_5^5$

=> Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là: $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$

Câu 21: Thông hiểu

Cho tập hợp $A = \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt từ tập hợp A?

A.
$24$
B.
$64$
C.
$16$
D.
$32$

Ta có:

Số có 1 chữ số có 4 số.

Số có 2 chữ số có $A_{4}^{2} = 12$ số.

Số có 3 chữ số có $A_{4}^{3} = 24$ số.

Số có 4 chữ số có $P_{4} = 24$ số.

Vậy các số lập được là 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số.

Câu 22: Vận dụng

Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính $P(H)$ ?

A.
$\frac{1}{18}$
B.
$\frac{1250}{1710}$
C.
$\frac{625}{1710}$
D.
$\frac{1}{9}$

Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}};\left( a_{1} eq 0 ight)$

Ta có: $n(A) = 9.10^{8}$ khi đó số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{n(A)}^{1} = 9.10^{8}$

H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.

Số $a_{9}$ có 5 cách chọn

Các số từ $a_{2} ightarrow a_{8}$ mỗi số có 10 cách chọn

Xét tổng $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ . Vì số dư của $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ khi chia cho 9 thuộc tập $\left\{ 0;1;2;...;8 ight\}$ nên luôn tồn tại một cách chọn số $a_{1} eq 0$ để $S = a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ chia hết cho 9 hay $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}} \vdots 9$

Do đó $n(H) = 5.10^{7}$

Xác suất của biến cố H là $P(H) = \frac{n(H)}{n(\Omega)} = \frac{1}{18}$

Câu 23: Vận dụng

Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?

Đáp án: 396

Đáp án là:

Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?

Đáp án: 396

Gọi A là biến cố tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ.

Ta có trong 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12 thì có 6 tấm thẻ ghi số chẵn và 6 tấm thẻ ghi số lẻ

Để tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ thì số thẻ ghi số lẻ là lẻ.

Ta có các trường hợp như sau:

TH1: 1 thẻ ghi số lẻ và 4 thẻ ghi số chẵn

Có $C_{6}^{1}.C_{6}^{4} = 90$

TH2: 3 thẻ ghi số lẻ và 2 thẻ ghi số chẵn

Có $C_{6}^{2}.C_{6}^{3} = 300$

TH3: 5 thẻ đều ghi số lẻ $C_{6}^{5} = 6$

$\Rightarrow n(A) = 90 + 300 + 6 = 396$

Câu 24: Thông hiểu

Một bình đựng 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là:

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{7}$
C. $\frac{3}{{11}}$
D. $\frac{3}{{14}}$

Số quả cầu có trong bình là: 5 + 4 + 3 = 12 quả

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{12}^3$

Giả sử A là biến cố "3 quả cầu khác màu"

=> Số phần tử của biến cố A là: $n\left( A ight) = C_5^1.C_4^1.C_3^1$

=> Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{C_5^1.C_4^1.C_3^1}}{{C_{12}^3}} = \frac{3}{{11}}$

Câu 25: Nhận biết

Không gian mẫu của một phép thử được mô tả như sau $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 ight\}$

A.
$A = \left\{ 1;7 ight\},B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}$
B.
$C = \left\{ 1;4;5 ight\},D = \left\{ 2;3;6;7 ight\}$
C.
$E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3;7 ight\}$
D.
$\Omega,\varnothing$

Cặp biến cố không đối nhau là: $E = \left\{ 1;4;6 ight\},F = \left\{ 2;3;7 ight\}$ vì $\left\{ \begin{matrix} E \cap F = \varnothing \\ E \cup F eq \Omega \\ \end{matrix} ight.$

Câu 26: Vận dụng

Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau. Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:

A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{5}{{18}}$
C. $\frac{3}{{18}}$
D. $\frac{7}{{18}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^2 = 36$

Giả sử biến cố T: " Tích hai số ghi trên hai thẻ được rút là số lẻ"

Nghĩa là cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ

=> Số phần tử của biến cố T là $n\left( A ight) = C_5^2 = 10$

=> Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}$

Câu 27: Thông hiểu

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau.

A.
$\frac{135}{625}$
B.
$\frac{30}{625}$
C.
$\frac{42}{625}$
D.
$\frac{207}{625}$

Gọi A là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng”, B là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ hai là màu trắng”

Ta có: $P(A) = \frac{3}{25};P(B) = \frac{10}{25}$

Vì A và B là hai biến cố độc lập.

Nên xác suất để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng là

$P(AB) = P(A).P(B) = \frac{3}{25}.\frac{10}{25} = \frac{30}{625}$

Tương tự xác suất để hai quả cầu lấy ra đều:

Màu xanh: $\frac{15}{25}.\frac{9}{25} = \frac{135}{625}$

Mảu đỏ: $\frac{7}{25}.\frac{6}{25} = \frac{42}{625}$

Theo quy tắc cộng, xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau:

$\frac{30}{625} + \frac{135}{625} + \frac{42}{625} = \frac{207}{625}$

Câu 28: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền xu ba lần liên tiếp. Gọi D là biến cố có ít nhất hai lần gieo xuất hiện mặt sấp. Tìm biến cố đối của biến cố D?

A.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS ight\}$
B.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS;SSS ight\}$
C.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS ight\}$
D.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Biến cố $\overline{D}$ là biến cố có đúng một lần xuất hiện mặt sấp hoặc không có lần nào xuất hiện mặt sấp.

$\Rightarrow \overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Câu 29: Thông hiểu

Trong chùm chìa khóa có 9 chiếc giống hệt nhau chỉ có đúng 2 chiếc khóa mở được cửa nhà kho. Chủ nhà thử ngẫu nhiên 1 chìa để mở. Hãy tính xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ 3?

A.
$\frac{2}{7}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{14}{81}$
D.
$\frac{7}{81}$

Xác suất để mở được cửa ở lần mở thứ ba là:

$P(A) = \frac{7}{9}.\frac{6}{8}.\frac{2}{7} = \frac{1}{6}$

Câu 30: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:

A. 6
B. 72
C. 720
D. 144

Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)

Xếp 3 nam có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Xếp 3 nữ có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Vậy có 2.(3.2.1)²= 72 cách xếp

Câu 31: Nhận biết

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?

A.
$P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
B.
$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
C.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
D.
$0 \leq P(B) \leq 1$

Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Câu 32: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 33: Thông hiểu

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt?

A. 64
B. 16
C. 24
D. 32

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được số có tối đa 4 chữ số

Trường hợp số có 1 chữ số ta được 4 số

Trường hợp số có 2 chữ số ta được 4 . 3 = 12 số

Trường hợp số có 3 chữ số ta được: 4 . 3 . 2 = 24 số

Trường hợp số có 4 chữ số ta được: 4! = 24 số

=> Có thể lập được số các số có các chữ số phân biệt là: 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số

Câu 34: Nhận biết

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:

A. 900
B. 901
C. 899
D. 999

Ta có:

Các số tự nhiên có ba chữ số là 100; 101; ...; 998; 999

=> Có 999 − 100 + 1 = 900 số tự nhiên có ba chữ số.

Câu 35: Thông hiểu

Đầu giờ học cô giáo gọi 3 bạn A, B, C và một vài bạn khác để kiểm tra miệng. Cô giáo sẽ ngừng kiểm tra khi đã cho 2 bạn thuộc bài. Biết xác suất thuộc bài của A, B, C lần lượt là $\frac{9}{10};\frac{7}{10};\frac{4}{5}$ . Tính xác suất để cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn A, B, C?

Đáp án: 0,398

(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Đầu giờ học cô giáo gọi 3 bạn A, B, C và một vài bạn khác để kiểm tra miệng. Cô giáo sẽ ngừng kiểm tra khi đã cho 2 bạn thuộc bài. Biết xác suất thuộc bài của A, B, C lần lượt là $\frac{9}{10};\frac{7}{10};\frac{4}{5}$ . Tính xác suất để cô giáo chỉ kiểm tra đúng 3 bạn A, B, C?

Đáp án: 0,398

(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

TH1: A thuộc bài, B không thuộc bài, C thuộc bài có xác suất là:

$P_{1} = 0,9.(1 - 0,7).0,8 = 0,216$

TH2: A không thuộc bài, B thuộc bài, C thuộc bài có xác suất là:

$P_{2} = (1 - 0,9).0,7.0,8 = 0,056$

TH2: A thuộc bài, B thuộc bài, C không thuộc bài có xác suất là:

$P_{3} = 0,9.0,7.(1 - 0,8) = 0,126$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = 0,216 + 0,056 + 0,126 = 0,398$

Câu 36: Vận dụng

Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

A. 11
B. 10
C. 9
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác đều là n (cạnh)

=> Đa giác đó có n đỉnh tương ứng

Cứ nối 2 đỉnh của đa giác được một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

Số đoạn thẳng được tạo thành khi nối hai điểm bất kì của đa giác là: $C_{n}^2$ đoạn thẳng

Mà đa giác đều có 44 đường chéo nên ta có phương trình

$44 + n = C_n^2 \Rightarrow n = 11$

Vậy đa giác đều có 11 cạnh

Câu 37: Nhận biết

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Giả sử biến cố M là biến cố số được chọn là số nguyên tố. Mô tả nào sau đây đúng?

A.
$M = \left\{ 1;2;3;5;7;11;13;17ight\}$
B.
$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13;17;19ight\}$
C.
$M = \left\{ 1;2;3;5;7;9;11;13;17ight\}$
D.
$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13;15;17ight\}$

Các số nguyên dương không lớn hơn 20 là: $1;2;3;4;....;20$

Các số nguyên tố không vượt quá 20 là: $2;3;5;7;11;13;17;19$

Vậy $M = \left\{ 2;3;5;7;11;13;17;19ight\}$

Câu 38: Nhận biết

Giả sử $M,N$ là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$P(M \cup N) = P(M) +P(N)$
B.
$P(M \cup N) =P(M).P(N)$
C.
$P(M \cup N) = P(M) -P(N)$
D.
$P(M \cap N) = P(M) +P(N)$

Ta có:

$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \capN)$

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên $M\cap N = \varnothing$

$\Rightarrow P(M \cup N) = P(M) +P(N)$

Câu 39: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2160
B. 2520
C. 21
D. 5040

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: ${a e 0}$ => Có 6 cách chọn a

Số cách chọn b, c, d, e là: $A_6^4 = 360$ cách

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: $360 . 6 = 2160$ số

Câu 40: Thông hiểu

Trong 100 vé số, có 5 vé trúng thưởng. Nam mua 3 tờ vé số. Tính xác suất để Nam trúng số.

A.
$\frac{{27683}}{{32340}}$
B.
$\frac{{5}}{{2338}}$
C.
$\frac{{2608}}{{3247}}$
D.
$\frac{{4657}}{{32340}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{100}^3 = 161700$

Số vé không trúng thưởng là: 100 - 5 = 95 vé

Gọi A là biến cố: "Ba tờ vé số có vé trúng thưởng"

Trường hợp 1: Có 1 vé trúng, 2 vé không trúng

Kết quả là: $C_5^1.C_{95}^2$

Trường hợp 2: Có 2 vé trúng, 1 vé không trúng

Kết quả là: $C_5^2.C_{95}^1$

Trường hợp 3: Có 3 vé đều trúng

Kết quả là: $C_5^3$

=> Số phần tử của biến cố A là:

$n\left( A ight) = C_5^1.C_{95}^2 + C_5^2.C_{95}^1 + C_5^3 = 23285$

=> Xác suất để Nam trúng số là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{23285}}{{161700}} = \frac{{4657}}{{32340}}$

Vậy kết quả là: $\frac{{4657}}{{32340}}$

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!