Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 2: Thông hiểu

Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:

A. 6
B. 72
C. 720
D. 144

Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)

Xếp 3 nam có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Xếp 3 nữ có: 3.2.1 = 6 cách xếp

Vậy có 2.(3.2.1)²= 72 cách xếp

Câu 3: Nhận biết

Có 6 học sinh được xếp vào 6 chỗ ngồi đã được ghi thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách sắp xếp học sinh ngồi vào bàn sao cho hai học sinh A và B không được ngồi cạnh nhau?

A.
$240$
B.
$480$
C.
$360$
D.
$300$

Sắp xếp 6 học sinh vào 6 chỗ ngồi trên một bàn dài có 6! = 720 cách

Có 5 vị trí cạnh nhau, sắp xếp hai học sinh A và B vào 5 vị trí cạnh nhau đó có 5.2 = 10 cách

Tiếp tục sắp xếp 4 học sinh còn lại có 4! = 24 cạc

Vậy số cách sắp xếp 6 học sinh sao cho A và B ngồi cạnh nhau là 10.24 = 240 cách

=> Số cách sắp xếp 6 học sinh sao cho A và B không ngồi cạnh nhau là 720 – 240 = 480 cách.

Câu 4: Nhận biết

Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S = \left\{1;2;3;4;5;6;7 ight\}$ . Gọi $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố $C$ ?

A.
Hai số được viết đều có mặt chữ số 4.
B.
Hai số được viết đều không có mặt chữ số 4.
C.
Trong hai số được viết, ít nhất một số có mặt chữ số 4.
D.
Hai số được viết đều chia hết cho 4.

Ta có: $C$ là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.

Câu 5: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại:

A. 60
B. 40
C. 48
D. 10

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại là 4 . 4 . 3 = 48 số

Câu 6: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ trong đó có ít nhất một thẻ xanh?

A.
$0,645$
B.
$0,355$
C.
$0,724$
D.
$0,276$

Gọi B là biến cố có ít nhất một tấm thẻ xanh

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố lấy được 3 tấm thẻ không có thẻ xanh nào.

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = P\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$

$\Rightarrow \Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}} \approx 0,645$

Câu 7: Nhận biết

Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi:

A. 240
B. 151200
C. 14200
D. 210

Số bánh có trong hộp bánh là 6 + 4 = 10 chiếc

=> Số cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi là: $C_{10}^6 = 210$ cách

Câu 8: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh - Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên. Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ. Tính xác suất để đoàn công tác có đúng một giáo viên nữ?

A.
$\frac{14}{15}$
B.
$\frac{2}{75}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{3}{5}$

Gọi Y là biến cố “Trong đoàn cả 3 giáo viên đều là nữ”.

$\overline{Y}$ là biến cố “Trong đoàn công tác có ít nhất một giáo viên nam”

Ta có $Y = HTS$ với $H;S;T$ là 3 biến cố độc lập.

Suy ra $P(Y) = P(HTS) = \frac{1}{2}.\frac{2}{5}.\frac{1}{3} = \frac{1}{15}$

$P\left( \overline{Y} ight) = 1 - P(Y) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

Câu 9: Vận dụng

Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{{31}}{{32}}$
B. $\frac{{21}}{{32}}$
C. $\frac{{11}}{{32}}$
D. $\frac{1}{{32}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {2^5} = 32$

Giả sử C là biến cố "được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> Biến cố $\overline C$ " không có đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> $\overline C = \left\{ {N,N,N,N,N} ight\}$

=> $n\left( {\overline C } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline C } ight) = \frac{1}{{32}}$

=> $P\left( C ight) = 1 - P\left( {\overline C } ight) = 1 - \frac{1}{{32}} = \frac{{31}}{{32}}$

Câu 10: Thông hiểu

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu"?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{119}{145}$
C.
$\frac{2}{115}$
D.
$\frac{3}{345}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi C là biến cố: "Cả 2 học sinh đều đạt yêu cầu".

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố C là $C_{27}^{2} = 351$

Vậy xác suất để cần tìm là: $P(C) = \frac{351}{435} = \frac{119}{145}$

Câu 11: Nhận biết

Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.

A. 24
B. 48
C. 480
D. 60

Để chọn “một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập”, ta có:

Có 8 cách chọn bút chì.

Có 6 cách chọn bút bi.

Có 10 cách chọn cuốn tập.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 8 . 6 . 10 = 480 cách.

Câu 12: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{5}{9}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Gọi B là biến cố "2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác".

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là

$(1;1;2)$ và 2 hoán vị của nó,

$(1;1;3)$ và 2 hoán vị của nó,

$(2;2;1)$ và 2 hoán vị của nó,

$(2;2;3)$ và hai hoán vị của nó,

$(3;3;1)$ và 2 hoán vị của nó,

$(3;3;2)$ và 2 hoán vị của nó.

Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $3.6 = 18$

Vậy xác suất của biến cố này là $P(B) = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

Câu 13: Nhận biết

Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn:

A. 25
B. 75
C. 100
D. 15

Số cách chọn món ăn là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn hoa quả là: $C_5^1 = 5$ cách

Số cách chọn nước uống là: $C_3^1 = 3$ cách

=> Số cách chọn thực đơn là: 5 .5. 3 = 75 thực đơn

Câu 14: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 15: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 16: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là:

A. 0,1
B. 0,2
C. 0,3
D. 0,4

Chọn một số có hai chữ số bất kì

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{100}^1 = 100$

Số cách chọn số có chữ số tận cùng là 0 là: $C_{10}^1 = 10$

=> Xác suất để có một con số tận cùng là 0 là: $P = \frac{{C_{10}^1}}{{C_{100}^1}} = 0,1$

Câu 17: Nhận biết

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?

A. 5250
B. 4500
C. 2625
D. 1500

Số cách chọn 1 học sinh nam là: $C_{25}^1 = 25$ cách

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{15}^2 = 105$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:

$C_{25}^1.C_{15}^2 = 25.105 = 2625$ cách

Câu 18: Thông hiểu

Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:

A. $C_{10}^2 + C_8^3 + C_5^5$
B. $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$
C. $C_{10}^2 + C_8^3$
D. $A_{10}^2.A_8^3.A_5^5$

Chọn nhóm có 2 thành viên: $C_{10}^2$

Chọn nhóm có 3 thành viên từ 8 thành viên còn lại: $C_8^3$

Chọn nhóm có 5 thành viên từ 5 thành viên còn lại: $C_5^5$

=> Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là: $C_{10}^2.C_8^3.C_5^5$

Câu 19: Thông hiểu

Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố nhỏ hơn 9?

A.
$\frac{7}{36}$
B.
$\frac{11}{108}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{37}{108}$

Không gian mẫu là số cách xuất hiện các mặt của con súc sắc trong ba lần gieo liên tiếp

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{6}^{1}.C_{6}^{1}.C_{6}^{1} = 216$

Gọi B là biến cố '' Tổng số chấm trên các mặt của ba lần gieo là một số nguyên tố nhỏ hơn 9 ''

Ta có các số nguyên tố nhỏ hơn 9 gồm: 2, 3, 5, 7.

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 2: không có.

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 3: (1,1,1): 1 cách

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 5: (1,1,3): 3 cách; (1,2,2): 3 cách

Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 7: (1,1,5): 3 cách; (1,2,4): 6 cách; (1,3,3): 3 cách; (2,3,2): 3 cách.

Do đó số phần tử của biến cố B là $\left| \Omega_{B} ight| = 22$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(B) = \frac{\left| \Omega_{B} ight|}{|\Omega|} = \frac{22}{216} = \frac{11}{108}$

Câu 20: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 21: Thông hiểu

Hai người cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được (ít nhất một con) cá là 0,1; xác suất để Y câu được cá là 0,15. Sau buổi đi câu hai người cùng góp cá lại. Xác suất để hai bạn X và Y không trở về tay không bằng:

A. 0,085
B. 0,235
C. 0,015
D. 0,143

Xác suất để X không câu được cá là 1 - 0,1 = 0,9

Xác suất để Y không câu được cá là 1 - 0,15 = 0,85

Xác xuất X và Y trở về tay không (không có con cá nào) là

$P = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765$

=> Xác suất X và Y ko trở về tay ko là: $1 - 0,765 = 0,235$

Câu 22: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và $x$ viên bi vàng. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được đủ ba màu là $\frac{45}{182}$ ?

Kết quả: 177/182

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Theo bài ra ta có tổng số viên bi trong hộp là $x + 8;\left( x \in \mathbb{N}^{*} ight)$

Láy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là $n(\Omega) = C_{x + 8}^{3}$

Gọi A là biến cố 3 viên bi lấy được có đủ 3 màu. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{1}.C_{3}^{1}.C_{x}^{1} = 15x$

=> Xác suất lấy được 3 viên bi có đủ 3 màu là:

$P(A) = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{C_{x + 8}^{3}} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow \frac{90x}{(x + 6)(x + 7)(x + 8)} = \frac{45}{182}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 21x^{2} - 218x + 336 = 0$

$\Leftrightarrow x = 6(tm)$

Do đó trong hộp có 14 viên bi và $n(\Omega) = C_{14}^{3}$

Gọi B là biến cố 3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố 3 viên bi lấy được đều là bi đỏ.

Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là: $n\left( \overline{B} ight) = C_{5}^{3}$

Khi đó xác suất P để trong 3 viên bi lấy được nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

$P = P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$

$= 1 - \frac{n\left( \overline{B} ight)}{n(\Omega)} = 1 - \frac{C_{5}^{3}}{C_{14}^{3}} = \frac{177}{182}$

Câu 23: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi biến cố lần đầu xuất hiện mặt 3 chấm là A và biến cố lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm là B. Khẳng định nào dưới dây sai?

A.
$A;B$ là hai biến cố xung khắc.
B.
$A \cup B$ là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt 3 chấm.
C.
$A \cap B$ là biến cố tổng số chấm hai lần gieo là 6.
D.
$A;B$ là hai biến cố độc lập.

Hai biến cố A và B có thể cùng xảy ra suy ra khẳng định sai là: “ $A;B$ là hai biến cố xung khắc.”

Câu 24: Vận dụng

Giáo viên chọn 16 học sinh gồm 4 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 7 học sinh trung bình để lập thành 4 nhóm thảo luận, mỗi nhóm có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố N “Nhóm nào cũng có học sinh giỏi, học sinh khá”?

$n(N) =$ 21772800

Đáp án là:

Giáo viên chọn 16 học sinh gồm 4 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 7 học sinh trung bình để lập thành 4 nhóm thảo luận, mỗi nhóm có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố N “Nhóm nào cũng có học sinh giỏi, học sinh khá”?

$n(N) =$ 21772800

Đánh số thứ tự các nhóm là A, B, C, D

Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh giỏi có 4! Cách.

Bước 2: xếp 5 học sinh khá vào 4 nhóm thì 1 nhóm có 2 học sinh khá và 3 nhóm có 1 học sinh khá.

Chọn nhóm có 2 học sinh khá có 4 cách, chọn 2 học sinh khá có $C_{5}^{2}$ cách, xếp 3 học sinh khá còn lại có 3! cách.

Bước 3: xếp 7 học sinh trung bình

+ Nhóm có 2 học sinh khá cần xếp vào đó 1 học sinh trung bình, có 7 cách chọn học sinh.

+ Nhóm có 1 học sinh khá cần xếp vào đó 2 học sinh trung bình.

Chọn nhóm 2 học sinh trung bình trong 6 học sinh và xếp vào 3 nhóm có $C_{6}^{2}.3$ cách.

Chọn nhóm 2 học sinh trung bình trong nhóm học sinh và xếp vào 2 nhóm có $C_{4}^{2}.2$ cách.

Xếp 2 học sinh trung bình còn lại có 1 cách.

Do đó số cách sắp xếp là: $4!.4.C_{5}^{2}.3!.7.C_{6}^{2}.3.C_{4}^{2}..1 =21772800$

Vậy $n(N) = 21772800$

Câu 25: Thông hiểu

Trên giá sách có 3 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Gọi B là biến cố “Hai quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau”. Tính số phần tử của biến cố B?

A.
4896
B.
4598
C.
720
D.
5040

Ta có: $n(\Omega) = 7! = 5040$

Biến cố B là hai quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau

$\Rightarrow \overline{B}$ là biến cố các quyển sách không cùng loại nằm cạnh nhau.

Do số sách tham khảo có số lượng nhiều hơn sách giáo khoa nên để các quyển sách cùng loại không nằm cạnh nhau thì ta cần sắp xếp sách tham khảo ở các vị trí 1; 3; 5; 7 và các quyển sách kháo khoa nằm ở vị trí 2; 4; 6.

$\Rightarrow n\left( \overline{B} ight) = 3!.4! = 144$

$\Rightarrow n(B) = n(\Omega) - n\left( \overline{B} ight) = 5040 - 144 = 4896$

Câu 26: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:

A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"

=> $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 27: Thông hiểu

Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thu vào vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{4}$

Xét các bộ $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ trong đó $\left( x_{1};x_{2};x_{3} ight)$ là một hoán vị của tập $A = \left\{ 1;2;3 ight\}$

Ở đây $x_{i} = i,(i = 1,2,3)$ tức là lá thư thứ i đã bỏ đúng địa chỉ.

Gọi $\Omega$ là tập họp tất cả các khả năng bỏ ba lá thư vào 3 phong bì, khi đó $n_{\Omega} = 3! = 6$

Gọi A là biên cố "Có ít nhất một lá thư bő đúng phong bì".

Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là $\Omega_{A} = \left\{ (1;2;3),(1;3;2),(3;2;1),(2,1,3) ight\}$

Vậy $\left| \Omega_{A} ight| = 4$ xác suất cần tính là $P(A) = \frac{2}{3}$

Câu 28: Thông hiểu

Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là:

A. 7⁵
B. 7!
C. 240
D. 2401

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số có chữ số 3 đứng đầu tiên có dạng là: $\overline {3bcde}$

Do không có điều kiện về các chữ số còn lại

=> Số cách chọn các chữ số b, c, d, e là ${7^4} = 2401$ cách

=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là: 1 . 2401 = 2401 số

Câu 29: Thông hiểu

Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25
B. 26
C. 31
D. 32

Số cách chọn nhóm có 2 người: $C_5^2 = 10$

Số cách chọn nhóm có 3 người: $C_5^3 = 10$

Số cách chọn nhóm có 4 người: $C_5^4= 5$

Số cách chọn nhóm có 5 người: 1

=> Số cách chọn ra các nhóm mà có ít nhất 2 người là: 10 + 10 + 5 + 1 = 26 nhóm

Câu 30: Vận dụng

Có ba chiếc hộp:

Hộp 1 gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.

Hộp 2 gồm 3 viên bi đỏ và 2 viên bi đen.

Hộp 3 gồm 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng.

Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ bằng:

A.
$\frac{601}{1080}$
B.
$\frac{6}{11}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{61}{360}$

Lấy ngẫu nhiên một hộp:

Gọi B là biến cố lấy được hộp 1

C là biến cố lấy được hộp 2

D là biến cố lấy được hộp 3

Suy ra $P(B) = P(C) = P(D) = \frac{1}{3}$

Gọi A là biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi màu đỏ.

Ta có:

$A = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)$

=> $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(A \cap D)$

$= \frac{1}{3}.\frac{4}{9} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} + \frac{1}{3}.\frac{5}{8} = \frac{601}{1080}$

Câu 31: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập $T = \left\{ 1;2;3;4;6;8 ight\}$ . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5

Giả sử lấy được ba số là: $(a;b;c)$ với $a < b < c$ do đó $c \geq 4 \Rightarrow c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Lại có $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác ABC, với $BC = a;AC = b;AB = a$ có góc C tù.

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} < {c^2} \hfill \\ 4 \leqslant c < a + b \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} < c < a + b$ với $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$

Xét c = 4 thì bộ $(a;b) = (2;3)$ thỏa mãn

Xét c = 6 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 6 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (a;b) = 3;4$ thỏa mãn

Xét c = 8 do $\left\{ \begin{matrix} a < b < c \\ 8 = c < a + b < 2b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 6 \\ \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (a;b) = (3;6) \\ (a;b) = (4;6) \\ \end{matrix} ight.$ thỏa mãn

Vậy số phần tử của biến cố F là $n(F) = 4$

Câu 32: Thông hiểu

Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120
B. 216
C. 312
D. 360

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số có dạng:

$\overline {abcde} ;\left( {a e b e c e d e e} ight)$

Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số

Trường hợp 2: e ≠ 0

=> e = {2; 8}

=> Số cách chọn e là 2 cách

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

Số cách chọn d là 2 cách

=> Số các số được tạo thành là: 2 .4. 4. 3 . 2 = 192 số

=> Từ dãy số tạo được số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau là 120 + 192 = 312 số

Câu 33: Thông hiểu

Có 10 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư. Chọn ngẫu nhiên 4 hộp. Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư.

A. $\frac{5}{{21}}$
B. $\frac{{5}}{{6}}$
C. $\frac{1}{{21}}$
D. $\frac{1}{{41}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^4$

Số hộp sữa không bị hư là: 10 - 3 = 7 (hộp)

Số cách chọn 4 hộp sữa mà không hộp sữa nào bị hư nào là: $C_{7}^4$

Số cách để chọn 4 hôp sữa ít nhất một hộp hư là: $C_{10}^4 -C_{7}^4 =175$ (cách chọn)

=> Xác suất để được ít nhất 1 hộp hư là: $P = \frac{{175}}{{C_{10}^4}} = \frac{5}{6}$

Câu 34: Thông hiểu

Cho $P(A) = 0,5;P(B) = 0,4;P(AB) = 0,2$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
Hai biến cố A và B không thể cùng xảy ra.
B.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,9$
C.
Hai biến cố A và B độc lập với nhau.
D.
Hai biến cố A và B xung khắc với nhau.

Theo giả thiết ta có:

$P(A.B) = P(A).P(B)$

$= 0,5.0,4 = 0,2 = P(AB)$

Vậy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Câu 35: Vận dụng

Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:

A. 11
B. 10
C. 9
D. 8

Gọi số cạnh của đa giác đều là n (cạnh)

=> Đa giác đó có n đỉnh tương ứng

Cứ nối 2 đỉnh của đa giác được một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)

Số đoạn thẳng được tạo thành khi nối hai điểm bất kì của đa giác là: $C_{n}^2$ đoạn thẳng

Mà đa giác đều có 44 đường chéo nên ta có phương trình

$44 + n = C_n^2 \Rightarrow n = 11$

Vậy đa giác đều có 11 cạnh

Câu 36: Thông hiểu

Bạn An có 6 quyển sách giáo khoa khác nhau và 4 quyển vở bài tập khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển vở trên một kệ dài biết rằng các quyển sách giáo khoa xếp kề nhau?

A.
$4!.6!$
B.
$2.4!.6!$
C.
$5!.6!$
D.
$10!$

Ta có 6 quyển sách giáo khoa là một nhóm và xếp nhóm này với 4 quyển vở khác nhau, khi đó ta có 5! cách xếp.

Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách sắp xếp mới mà có 6! cách đổi vị trí các quyển sách giáo khoa. Vậy số cách sắp xếp là 6!.5!

Câu 37: Nhận biết

Một hộp chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp. Số phần tử không gian mẫu là:

A.
$220$
B.
$1320$
C.
$350$
D.
$1200$

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Câu 38: Vận dụng

Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?

A.
$1331$
B.
$1313$
C.
$1350$
D.
$1530$

Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu $\Omega$ có số phần tử là $n(\Omega) = (6.2)^{3} = 1728$

Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.

TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.

TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{2}.1.1.(12 - 1) = 33$ khả năng.

TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{1}.1.(12 - 1)(12 - 1) = 3.11.11 = 363$ khả năng.

$\Rightarrow n(P) = 1 + 33 + 363 = 397$

$\Rightarrow n\left( \overline{P} ight) = 1728 - 397 = 1331$

Câu 39: Vận dụng

Cho $A,B,C,D$ là các biến cố đôi một xung khắc và $A \cup B \cup C \cup D$ là biến cố chắc chắn. Biết $P(A) = 3P(B);P(B) = 3P(C);P(C) = 3P(D)$ . Tính xác suất của biến cố $D$ ?