Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Vận dụng cao

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Đáp án là:

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Gọi A là biến cố làm đúng x câu hỏi của bạn H

Ta có xác suất để làm đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ , xác suất làm sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Theo quy tắc nhân xác suất ta có:

Xác suất của biến cố A là $P(A) =C_{50}^{x}.\left( \frac{1}{4} ight)^{x}.\left( \frac{3}{4} ight)^{50- x} = \frac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \frac{3}{4}ight)^{50}$

Xét hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x + 1}}{3^{x + 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x - 1}}{3^{x - 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3C_{50}^{x} \geq C_{50}^{x + 1} \\C_{50}^{x} \geq 3C_{50}^{x - 1} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3.\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x + 1)!(49 - x)!} \\\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x - 1)!(51 - x)!} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{50 - x} \geq \dfrac{1}{x + 1} \\\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{51 - x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{47}{4} \\x \leq \dfrac{51}{4} \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x\mathbb{\in Z} ight) \Rightarrow x =12$

Câu 2: Thông hiểu

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển có ít nhất một nữ?

A.
$\frac{7}{15}$
B.
$\frac{1}{15}$
C.
$\frac{14}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Chọn 2 người trong số 6 người nói trên sao cho có ít nhất một nữ là

$C_{4}^{1}.C_{2}^{1} + C_{4}^{2} = 8 + 6 = 14$

Do đó xác suất của biến cố này là $\frac{14}{15}$ .

Câu 3: Thông hiểu

Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 35
B. 120
C. 240
D. 720

Cứ 3 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác

Số cách chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác là: $C_{10}^3 = 120$

Vậy số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: 120 tam giác

Câu 4: Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7$ mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho $6$ ?

A.
$2640$
B.
$2886$
C.
$5040$
D.
$2880$

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} a_{6} \in \left\{ 1;3;5;7 ight\} \\ a_{3} \in \left\{ 0;6 ight\} \\ \end{matrix} ight.$

TH1: Với $a_{3} = 0$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.6.A_{6}^{3}$ số.

TH2: Với $a_{3} = 6$ chữ số $a_{6}$ có 4 cách chọn, $a_{1}$ có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách chọn.

Do đó $4.5.A_{6}^{3}$ số.

Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $4.6.A_{6}^{3} + 4.5.A_{6}^{3} = 2640$ .

Câu 5: Vận dụng

Trong một thí nghiệm lai tạo cây bơ, biết rằng quả tròn là tính trạng trội hoàn toàn so với quả dài. Cho cây quả tròn thuần chủng thụ phấn với cây quả dài ta được đời cây F1 toàn là cây quả tròn. Tiếp tục cho cây đời F1 thụ phấn với nhau và thu hoạch được các cây con mới. Lần lượt chọn ngẫu nhiên 2 cây con mới. Tính xác suất của biến cố trong 2 cây con mới được chọn có đúng 1 cây quả tròn?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{3}{16}$

Quy ước gene A: quả tròn và gene a: quả dài

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ quả tròn so với quả dài là 3 : 1

Gọi $A_{1}$ là biến cố cây được chọn lần thứ nhất là quả tròn

$A_{2}$ là biến cố cây được chọn lần thứ hai là quả tròn.

Ta có: $A_{1};A_{2}$ độc lập và $P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = \frac{3}{4}$

Xác suất của biến cố có đúng 1 quả tròn trong 2 cây được lấy ra:

$P\left( A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} ight) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$= P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)$

$= \frac{3}{4}.\frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

Câu 6: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 7: Vận dụng

Trong một phép lai, cho hai giống vịt lông đen thuần chủng và lông trắng thuần chủng giao phối với nhau được đời cây F1 toàn là lông đen. Tiếp tục cho con đời F1 giao phối với nhau được một đàn con mới. Chọn ngẫu nhiên 2 con trong đàn vịt con mới. Ước lượng xác suất của biến cố trong 2 con vịt được chọn có ít nhất một con lông đen?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$\frac{3}{8}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{16}$

Quy ước gene A: lông đen và gene a: lông trắng

Ở thế hệ F2 ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ lông đen với lông trắng là 3 : 1

Trong đàn vịt mới xác suất để được một con lông đen là $\frac{3}{4}$ và con lông trắng là $\frac{1}{4}$

Gọi $A$ là biến cố có đúng 1 con lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(A) = \frac{3}{4}.\frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

Gọi B là biến cố có 2 con vịt lông đen trong 2 con được chọn

$\Rightarrow P(B) = \frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

Khi đó $A \cup B$ là biến cố có ít nhất 1 con lông đen trong 2 con được chọn

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{16} + \frac{9}{16} = \frac{3}{4}$

Câu 8: Nhận biết

Một hộp chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp. Số phần tử không gian mẫu là:

A.
$220$
B.
$1320$
C.
$350$
D.
$1200$

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Câu 9: Thông hiểu

Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124,134} dưới dạng mệnh đề

A.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4
B.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
C.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập chia hết cho 2 hoặc 3
D.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số tận cùng là 3 hoặc 4

Mệnh đề đúng được phát biểu như sau:

"Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước"

Câu 10: Nhận biết

Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào
được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. 10
B. 15
C. 20
D. 25

Số các cách để chọn những màu cần dùng là: $A_5^3 = 20$

Câu 11: Nhận biết

Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?

A.
$\frac{9}{145}$
B.
$\frac{11}{345}$
C.
$\frac{3}{435}$
D.
$\frac{119}{145}$

Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_{3}^{2} = 3$

Vậy xác suất để cần tìm là: $\frac{3}{345}$

Câu 12: Vận dụng

Đội học sinh giỏi toán 10 có tất cả 18 học sinh, trong đó có 7 học sinh giỏi môn Toán, 6 học sinh giỏi môn Văn và 5 học sinh giỏi môn Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh đi dự thi chính thức, biết rằng mỗi môn có ít nhất 1 học sinh.

A. 41947
B. 34795
C. 36249
D. 41811

Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là phần bù của cách chọn 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.

Số cách chọn 8 học sinh từ hai khối là: $C_{13}^8 + C_{11}^8 + C_{12}^8 = 1947$

Số cách chọn 8 học sinh bất kì là: $C_{18}^8$

Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^8 -1947=41811$

Câu 13: Nhận biết

Giả sử hai biến cố $A;B$ là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?

A.
$P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)$
B.
$P(A \cup B) = P(A).P(B)$
C.
$P(A \cup B) = P(A).P(B) - P(A) - P(B)$
D.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 14: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{7}{15}$
C.
$\frac{1}{15}$
D.
$\frac{14}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là: $\frac{1}{15}$

Câu 15: Nhận biết

Giả sử $M,N$ là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$P(M \cup N) = P(M) +P(N)$
B.
$P(M \cup N) =P(M).P(N)$
C.
$P(M \cup N) = P(M) -P(N)$
D.
$P(M \cap N) = P(M) +P(N)$

Ta có:

$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \capN)$

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên $M\cap N = \varnothing$

$\Rightarrow P(M \cup N) = P(M) +P(N)$

Câu 16: Nhận biết

Biết $M$ và $\overline{M}$ là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?

A.
$P(M) = 1 + P\left( \overline{M} ight)$
B.
$P(M) = P\left( \overline{M} ight)$
C.
$P(M) + P\left( \overline{M} ight) = 0$
D.
$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Ta có:

$P(M) = 1 - P\left( \overline{M} ight)$

Câu 17: Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính số phần tử của biến cố M “tích hai tấm thẻ rút được là số chẵn”?

A.
$35$
B.
$145$
C.
$146$
D.
$190$

Tích hai số trên tấm thẻ được rút ra là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn.

Trường hợp 1: Cả hai số lấy được đều là số chẵn

=> Số cách sắp xếp là: $C_{10}^{2}$ cách

Trường hợp 2: Hai tấm thẻ lấy được gồm một số chẵn và một số lẻ ta có: 10 . 10 = 100 cách

Suy ra $n(M) = C_{10}^{2} + 100 = 145$ phần tử.

Câu 18: Thông hiểu

Có hai hộp, hộp thứ nhất đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 5 bi vàng, hộp thứ hai đựng 2 bi đỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, mỗi hộp một bi. Tính xác suất để trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ?

A.
$\frac{29}{70}$
B.
$\frac{3}{14}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{15}{70}$

Gọi A là biến cố “Trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ”, $A_{1}$ là biến cố “Lấy được bi đỏ ở hộp thứ nhất”, $A_{2}$ là biến cố “Lấy được bi đỏ ở hộp thứ hai”.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A = A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} \\P\left( A_{1} ight) = \dfrac{3}{10};P\left( \overline{A_{1}} ight) =\dfrac{7}{10} \\P\left( A_{2} ight) = \dfrac{2}{7};P\left( \overline{A_{2}} ight) =\dfrac{5}{7} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra

$P(A) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} \cup \overline{A_{1}}A_{2} ight) = P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$= \frac{3}{10}.\frac{5}{7} + \frac{7}{10}.\frac{2}{7} = \frac{29}{70}$

$= P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)$

Câu 19: Nhận biết

Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.

$P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Câu 20: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền xu ba lần liên tiếp. Gọi D là biến cố có ít nhất hai lần gieo xuất hiện mặt sấp. Tìm biến cố đối của biến cố D?

A.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS ight\}$
B.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS;SSS ight\}$
C.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS ight\}$
D.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Biến cố $\overline{D}$ là biến cố có đúng một lần xuất hiện mặt sấp hoặc không có lần nào xuất hiện mặt sấp.

$\Rightarrow \overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Câu 21: Thông hiểu

Gieo 3 con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau:

A. $\frac{5}{{36}}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{1}{{18}}$
D. $\frac{1}{{36}}$

Số phần tử của không gian mẫu là: 6 . 6 . 6 = 216

Giả sử B là biến cố "số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau"

Ta có các khả năng như sau: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)

=> Số phần tử của biến cố B là $n\left( B ight) = 6$

=> Xác suất để số chấm xuất hiện trên 3 con súc sắc đó bằng nhau là:

$P\left( B ight) = \frac{{n\left( B ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{6}{{216}} = \frac{1}{{36}}$

Câu 22: Nhận biết

Trong lớp có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp?

A. 2730
B. 3815
C. 6545
D. 1140

Số học sinh của lớp là 20 + 15 = 35 (học sinh)

Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp là: $C_{35}^3 = 6545$ (cách chọn)

Câu 23: Vận dụng cao

Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?

A.
$720$
B.
$1440$
C.
$1540$
D.
$640$

Gọi $A_{1}A_{2}...A_{19}A_{20}$ là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{20}^{3}$

Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.

Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.

Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.

Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.

Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là $20.2.C_{9}^{2}$ cách

Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra $n(P) = \frac{1}{2}.20.2.C_{9}^{2} = 720$

Câu 24: Nhận biết

Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi:

A. 240
B. 151200
C. 14200
D. 210

Số bánh có trong hộp bánh là 6 + 4 = 10 chiếc

=> Số cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi là: $C_{10}^6 = 210$ cách

Câu 25: Thông hiểu

Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu?

A. 280
B. 320
C. 910
D. 210

Số cách chọn 2 quả xanh, 1 quả đỏ, 1 quả vàng là: $C_7^2.C_5^1.C_4^1 = 420$ cách

Số cách chọn 1 quả xanh, 2 quả đỏ, 1 quả vàng là: $C_7^1.C_5^2.C_4^1 = 280$ cách

Số cách chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ, 2 quả vàng là: $C_7^1.C_5^1.C_4^2 = 210$ cách

=> Số cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu là 420 + 280 + 210 = 910 cách

Câu 26: Thông hiểu

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.

A. 718
B. 720
C. 655
D. 530

Gọi số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: $\overline {abcdef}$

Do số tự nhiên tạo thành có các chữ số đôi một khác nhau => $a e b e c e d e e e f$

Khi đó:

Số cách chọn f là 1 cách

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 3 cách

Số cách chọn e là 2 cách

=> Số các số tạo thành thỏa mãn điều kiện đề bài là:

6.5.4.3.2.1 = 720 số

Câu 27: Thông hiểu

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để các chữ số 1 và 2 có mặt trong số viết được.

A.
$\frac{22}{45}$
B.
$\frac{2}{9}$
C.
$\frac{4}{15}$
D.
$\frac{29}{90}$

Gọi A là. biến cố: "Số được viết có mặt các chữ số 1 và 2"

Tìm $|\Omega|$

Giả sử số được viết có dạng $\overline{abcde}$ .

Có 6 cách chọn a.

Tiếp theo có $A_{6}^{4}$ cách chọn $(b;c;d;e)$

Vậy số phần tử không gian mẫu là: $|\Omega| = 6.A_{6}^{4} = 2160$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Trường hợp 1: $\overline{abcde}$ không có mặt chữ số 0:

Có $A_{5}^{2}$ cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 2.

Sau đó có $A_{4}^{3}$ cách xếp 3 trong 4 chữ số 3, 4, 5, 6 vào ba vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này có $A_{5}^{2}.A_{4}^{3} = 480$ khả năng.

Trường hợp 2: $\overline{abcde}$ có mặt ba chữ số 0, 1, 2:

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0.

Tiếp theo có $A_{4}^{2}$ cách chọn vị trí cho hai chữ số 1 và 2.

Cuối cùng có $A_{4}^{2}$ cách chọn 2 trong 4 chữ số 3, 4, 5, 6 để viết vào hai vị trí còn lại.

Vậy trường hợp này có $4.A_{4}^{2}.A_{4}^{2} = 576$ khả năng.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $480 + 576 = 1056$

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{1056}{2160} = \frac{22}{45}$

Câu 28: Thông hiểu

Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh?

A. 105
B. 924
C. 917
D. 665280

Hộp chứa 5 + 7 = 12 viên bi

Số cách lấy 6 viên bi trong hộp là: $C_{12}^6 = 924$ cách

Số cách lấy 6 viên bi trong đó không có viên bi màu xanh là: $C_7^6 = 7$ cách

=> Số cách lấy ra 6 viên bi sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh là: 924 - 7 = 917 cách

Câu 29: Vận dụng

Cho hai biến cố A và B có $P\left( A ight) = \frac{1}{3},P\left( B ight) = \frac{1}{4},P\left( {A \cup B} ight) = \frac{1}{2}$ ta kết luận hai biến cố A và B là:

A. Độc lập
B. Không độc lập
C. Xung khắc
D. Không xung khắc.

Ta có: P(A) + P(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12 ≠ 1/2 = P(A ∪ B)

Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)

=> Hai biến cố A và B không xung khắc

Áp dụng công thức xác suất tổng hai biến cố ta có:

$\begin{matrix} P\left( A ight) + P\left( B ight) - P\left( {AB} ight) = P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left[ {P\left( A ight) + P\left( B ight)} ight] - P\left( {A \cup B} ight) \hfill \\ \Rightarrow P\left( {AB} ight) = \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}} ight) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $P\left( A ight).P\left( B ight) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} = P\left( {AB} ight)$

=> Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.

Câu 30: Thông hiểu

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau:

A. 160
B. 156
C. 752
D. 240

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Do số cần tìm là số chẵn => d = {0; 2; 4}

Trường hợp 1: d = 0 => Có 1 cách chọn d

Số cách chọn a là 5 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Trường hợp 1 lập được 5 . 4 . 3 . 1 = 60 số

Trường hợp 2: d ∈ {2; 4} => Có 2 cách chọn d

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Trường hợp 2 lập được 4 . 4 . 3 . 2 = 96 số

=> Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau: 60 + 96 = 156 số

Câu 31: Thông hiểu

Trong một xưởng sản xuất sử dụng hai hệ thống máy móc chạy song song. Xác xuất để hệ thống máy A hoạt động tốt là $90\%$ , xác suất để hệ thống máy B hoạt động tốt là $80\%$ . Tính xác suất để xưởng sản xuất hoàn thành đơn hàng đúng hạn. Biết rằng xưởng chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy phải hoạt động tốt.

A.
$98\%$
B.
$2\%$
C.
$80\%$
D.
$75\%$

Xác suất để hệ thống A hoạt động tốt, B hoạt động không tốt là:

$90\%.80\%$

Xác suất để hệ thống A hoạt động không tốt, B hoạt động tốt là:

$90\%.20\%$

Xác suất để cả hai hệ thống A, B hoạt động tốt là:

$10\%.80\%$

Xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là:

$P = 90\%.80\% + 90\%.20\% + 10\%.80\% = 98\%$

Câu 32: Thông hiểu

Trong thùng bóng đèn có 5 bóng đèn loại I và 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn khác nhau cả về hình dáng và màu sắc. Lấy ra lần lượt 5 bóng đèn. Giả sử biến cố $A_{k}$ là biến cố lấy được bóng đèn loại I lần thứ $k$ . Mô tả biến cố lấy được 4 bóng đèn loại I theo các biến cố $A_{k}$ .

A.
$A =A_{1}.A_{2}.A_{3}.A_{4}.\overline{A_{5}}$
B.
$A =A_{1}.A_{2}.A_{3}.A_{4}.\overline{A_{5}}\cup A_{1}.\overline{A_{2}}.A_{3}.A_{4}.A_{5}$ $\cup A_{1}.A_{2}.\overline{A_{3}}.A_{4}.A_{4} \cup A_{1}.A_{2}.A_{3}.\overline{A_{4}}.A_{5}$
C.
$A =\overline{A_{1}}.\overline{A_{2}}.\overline{A_{3}}.\overline{A_{4}}.A_{5}$
D.
$A =\overline{A_{1}}.\overline{A_{2}}.\overline{A_{3}}.\overline{A_{4}}.A_{5}\cupA_{1}.\overline{A_{2}}.\overline{A_{3}}.\overline{A_{4}}.\overline{A_{5}}$

Vì lấy được 4 bóng loại I nên trong 5 lượt lấy có một lần lấy được bóng loại II. Từ giả thiết suy ra $\overline{A_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ lấy được bóng đèn loại II. Do đó ta có:

$A =A_{1}.A_{2}.A_{3}.A_{4}.\overline{A_{5}}\cup A_{1}.\overline{A_{2}}.A_{3}.A_{4}.A_{5}$ $\cup A_{1}.A_{2}.\overline{A_{3}}.A_{4}.A_{4} \cup A_{1}.A_{2}.A_{3}.\overline{A_{4}}.A_{5}$

Câu 33: Thông hiểu

Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25
B. 26
C. 31
D. 32

Số cách chọn nhóm có 2 người: $C_5^2 = 10$

Số cách chọn nhóm có 3 người: $C_5^3 = 10$

Số cách chọn nhóm có 4 người: $C_5^4= 5$

Số cách chọn nhóm có 5 người: 1

=> Số cách chọn ra các nhóm mà có ít nhất 2 người là: 10 + 10 + 5 + 1 = 26 nhóm

Câu 34: Nhận biết

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh?

A. 3003
B. 252
C. 1200
D. 14400

Số cách chọn 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh là: $C_{10}^3.C_5^2 = 1200$ cách

Câu 35: Vận dụng

Từ các chữ số 1; 2; 5; 7; 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 278?

A. 18
B. 12
C. 20
D. 36

Số các chữ số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1; 2; 5; 7; 8 có dạng: $\overline {abc}$

Do số tự nhiên tạo thành nhỏ hơn số 276 => $a \le 2$

Trường hợp 1: a = 2

Nếu b = 7 mà số tự nhiên có ba chữ số khác nhau => c có 2 cách chọn {1; 5}

=> Số các số được tạo thành là: 1 . 1 . 2 = 2 (số)

Nếu b khác 7, b có 2 cách chọn {1, 5} => c sẽ có: 5 - 1 - 1 = 3 (cách chọn)

=> Số các số được tạo thành là: 1.2.3 = 6 (số)

Vậy trường hợp 1 ta có tất cả 8 số được tạo thành

Trường hợp 2: a = 1

Khi đó b sẽ có 4 cách chọn {2, 5, 7, 8} và c có 3 cách chọn

=> Số các số được tạo thành là: 1 . 4 . 3 = 12 (số)

=> Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 278 được tạo thành là: 8 + 12 = 20 số

Câu 36: Thông hiểu

Rút đồng thời ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để tích các số ghi trên thẻ rút được là số chẵn?

A.
$\frac{5}{18}$
B.
$\frac{8}{9}$
C.
$\frac{1}{6}$
D.
$\frac{13}{18}$

Ta có: 4 thẻ ghi số chẵn là {2; 4; 6; 8} và 5 thẻ ghi số lẻ là {1; 3; 5; 7; 9}

Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ thì ta có số cách là $C_{9}^{2}$

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{9}^{2} = 36$

Gọi A là biến cố tích các số trên thẻ rút được là số chẵn

Số phần tử của biến cố A là: $n(A) = C_{4}^{2} + C_{4}^{1}.C_{5}^{1} = 26$

$\Rightarrow P(A) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$

Câu 37: Thông hiểu

Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?

A. 455
B. 7
C. 462
D. 456

Số học sinh có trong nhóm là: $6 + 5 = 11$ học sinh

Số cách chọn 5 học sinh trong nhóm là: $C_{11}^5 = 462$ cách

Số cách chọn số học sinh chỉ có nam là $C_6^5 = 6$ cách

Số cách chọn số học sinh chỉ có nữ là: $C_5^5 = 1$ cách

=> Số cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ là: $462 - 6 - 1 = 455$ cách

Câu 38: Thông hiểu

Trong một bể cá cảnh có chứa 40 con gồm 10 cá đỏ, 15 cá vàng; 8 cá đen, còn lại là cá bạc. Chọn ngẫu nhiên 6 con cá trong bể. Tính xác suất để lấy được 6 con cá có cùng màu?

A.
$1,37.10^{- 3}$
B.
$1,25.10^{- 3}$
C.
$2,57.10^{- 3}$
D.
$2,04.10^{- 3}$

Gọi A là biến cố lấy được 6 con cá đỏ $\Rightarrow P(A) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$

B là biến cố lấy được 6 con cá vàng $\Rightarrow P(B) = \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$

C là biến cố lấy được 6 con cá đen $\Rightarrow P(C) = \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$

D là biến cố lấy được 6 con cá bạc $\Rightarrow P(D) = \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$

E là biến cố lấy được 6 con cá cùng màu

$\Rightarrow E = A \cup B \cup C \cup D$

$\Rightarrow P(E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)$

$\Rightarrow P(E) = \frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}} + \frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}} \approx 1,37.10^{- 3}$