Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 9 Chân trời sáng tạo

Câu 1: Thông hiểu

Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. 11
B. 12
C. 33
D. 67

Ta có:

Cứ 2 người sẽ bắt tay nhau 1 lần => Số lần bắt tay là: $C_n^2$

Mà có tất cả 66 người lần lượt bắt tay nên ta có phương trình:

$C_n^2 = 66 \Rightarrow n = 12$

Câu 2: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 3: Thông hiểu

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$ , xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1 bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{7}{ 1 5 0 }$ .
B.
$\frac{7}{375}$ .
C.
$\frac{7}{125}$ .
D.
$\frac{189}{1250}$ .

+ Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ .

Chọn $a_{1}$ : có 9 cách.

Chọn $a_{2}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{3}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{4}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{5}$ : có 10 cách.

Chọn $a_{6}$ : có 10 cách.

Suy ra số các phần tử của $S$ là: $9.10^{5}$ cách.

Chọn ngẫu nhiên một số từ $S \Rightarrow n(\Omega) = 9.10^{5}$ .

+ Gọi $A$ là biến cố: "Số được chọn có 6 chữ số đôi một khác nhau và có mặt chữ số 0 và 1 ".

TH1: $a_1= 1$ .

Có 5 vị trí để xếp số 0.

Và có $A_{8}^{4}$ cách chọn 4 vị trí còn lại.

Suy ra có: $5.A_{8}^{4} = 8400$ số.

TH2: $a_1 = 2,\ldots,9$

Chọn $a_{1}$ : có 8 cách.

Xếp hai số 0 và 1 có: $A_{5}^{2} = 20$ cách.

Xếp vào 3 vị trí còn lại có: $A_{7}^{3} = 210$ cách.

Suy ra có: $8.20.210 = 33600$ số.

$\Rightarrow n(A) = 8400 + 33600 = 42000$

$\Rightarrow P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{42000}{900000} = \frac{7}{150}$ .

Câu 4: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$

Câu 5: Nhận biết

Một hộp chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp. Số phần tử không gian mẫu là:

A.
$220$
B.
$1320$
C.
$350$
D.
$1200$

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Câu 6: Nhận biết

Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6

Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách

Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.

Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách

=> n(A) = 4

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Câu 7: Thông hiểu

Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần?

A. 60
B. 24
C. 32
D. 100

Số tự nhiên có năm chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Do mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần => $a e b e c e d e e$

Số cần tìm là số chẵn => e ∈ {0; 2; 4}

Trường hợp 1: e = 0 => e có 1 cách chọn

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 1 là: 4.3.2 = 24 số

Trường hợp 2: e ∈ {2; 4} => Có 2 cách chọn e

Số cách chọn a là 3 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Số các số lập được ở trường hợp 2 là: 2.3.3.2 = 36 số

=> Có thể lập được số các chữ số chẵn có năm chữ số sao cho trong mỗi số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần là 36 + 24 = 60 số

Câu 8: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 9: Nhận biết

Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;...;12;13 ight\}$ . Gọi $M$ là biến cố lấy ra được số nguyên tố. Hãy liệt kê các phần tử của biến cố $M$ ?

A.
$\left\{ 1;2;3;5;7;11;13 ight\}$
B.
$\left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$
C.
$\left\{ 3;5;7;11;13 ight\}$
D.
$\left\{ 2;3;7;11;13 ight\}$

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chia hết cho 1 và chính nó vì vậy:

$M = \left\{ 2;3;5;7;11;13 ight\}$

Câu 10: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là Toán.

A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{{37}}{{42}}$
D. $\frac{5}{{42}}$

Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_9^3 = 84$

Gọi C là biến cố "3 quyển lấy ra có ít nhất một quyển là Toán"

=> $\overline C$ là biến cố "3 quyển lấy ra không có quyển Toán"

Trường hợp lấy được 1 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hóa có: $C_3^1.C_2^2$ cách

Trường hợp lấy được 2 quyển sách Lí, 1 quyển sách Hóa có: $C_3^2.C_2^1$ cách

Trường hợp lấy được 3 quyển sách Lí có: $C_3^3$ cách

=> $n\left( {\overline C } ight) = C_3^1.C_2^2 + C_3^2.C_2^1 + C_3^3 = 10$

=> Xác suất để 3 quyển lấy ra không có quyển Toán là:

$P\left( {\overline C } ight) = \frac{{n\left( {\overline C } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{10}}{{84}} = \frac{5}{{42}}$

=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là Toán là:

$P\left( C ight) = 1 - P\left( {\overline C } ight) = 1 - \frac{5}{{42}} = \frac{{37}}{{42}}$

Câu 11: Thông hiểu

Sắp xếm 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào một bàn tròn. Biết mỗi bạn chỉ ngồi 1 chỗ và bàn có đủ 8 chỗ ngồi. Tính xác suất sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau?

A.
$\frac{1}{35}$
B.
$\frac{2}{35}$
C.
$\frac{1}{105}$
D.
$\frac{4}{7}$

Gọi A là biến cố 2 người không cùng giới ngồi cạnh nhau

n là số cách sắp xếp người xung quanh bàn tròn

Mỗi cách sắp xếm là hoán vị của 8 vị trí, khi đó số hoán vị cần tìm là 8!

Mỗi hoán vị không đổi nếu ta thực hiện vòng quanh nên mỗi hoán vị đã được tính 8 lần.

Vậy $n = \frac{8!}{8} = 7!$

Xếp 4 nữ vào 4 vị trí ta có: $\frac{4!}{4} = 3!$ cách

Xếp 4 nam vào 4 vị trí qua 4 khoảng, số cách sắp xếp $4!$

Vậy $P(A) = \frac{3!.4!}{7!} = \frac{1}{35}$

Câu 12: Thông hiểu

Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả.

A. $\frac{1}{{15}}$
B. $\frac{7}{{15}}$
C. $\frac{8}{{15}}$
D. $\frac{1}{{5}}$

Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$

Giả sử A là biến cố "2 người được chọn không có nữ"

=> $n\left( A ight) = C_7^2 = 21$

=> Xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{21}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

Câu 13: Thông hiểu

Phát biểu biến cố A = {123, 234, 124,134} dưới dạng mệnh đề

A.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4
B.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
C.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập chia hết cho 2 hoặc 3
D.
Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số tận cùng là 3 hoặc 4

Mệnh đề đúng được phát biểu như sau:

"Số tự nhiên có ba chữ số được thành lập có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước"

Câu 14: Nhận biết

Cho các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau:

A. 12
B. 24
C. 64
D. 256

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abcd} ,\left( {a e b e c e d} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

Số cách chọn c là 2 cách

Số cách chọn d là 1 cách

=> Có thể lập được số các số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau là 4! = 24 số

Câu 15: Nhận biết

Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:

A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5

Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}

=> $P\left( D ight) = \frac{{n\left( D ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Câu 16: Nhận biết

Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?

A.
$\frac{2}{5}$
B.
$\frac{2}{15}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{11}{15}$

Số cách chọn 2 trong 6 người có $C_{6}^{2} = 15$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.

Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là $C_{4}^{2} = 6$ do đó xác suất của biến cố này là $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Câu 17: Thông hiểu

Ba bạn A, B, C độc lập với nhau thi ném phi tiêu vào cùng một bia. Biết xác xuất ném trúng của A, B, C lần lượt là $0,2;0,5$ và $0,8$ . Tính xác suất để có ít nhất một người ném trúng bia?

A.
$0,4$
B.
$0,08$
C.
$0,1$
D.
$0,16$

Gọi A, B, C tương ứng là biến cố A ném trúng bia, B ném trúng bia và C ném trúng bia

A, B, C là các biến cố độc lập. Do đó A, B, C là các biến cố đôi một độc lập

Xác suất để cả ba người đều không ném trúng là:

$P\left( \overline{ABC} ight) = P\left( \overline{A} ight).P\left( \overline{B} ight).P\left( \overline{C} ight)$

$= (1 - 0,2)(1 - 0,5)(1 - 0,8) = 0,08$

Câu 18: Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số còn lại có mặt nhiều nhất 1 lần.

A. 11340
B. 12475
C. 11543
D. 11760

Số tự nhiên có 7 chữ số có dạng: $\overline {abcdefg}$

Xét trường hợp có chữ số 0 đứng đầu

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: $C_7^2$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là: $C_5^3$

Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp các số đã cho để xếp vào hai vị trí cuối là $A_8^2$

=> Số các số được tạo thành là: $C_7^2.C_5^3.A_8^2 = 11760$

Xét trường hợp không có chữ số 0 đứng đầu

Ta có:

Vì a = 0 => a có 1 cách chọn

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: $C_6^2$

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là: $C_4^3$

Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp dãy số đã cho là 7 cách

=> Số các số được tạo thành là: $C_2^6.C_4^3.7 = 420$

Vậy số các số được lập thành thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 11760 - 420 = 11340 số

Câu 19: Vận dụng

Biết rằng xác suất để thắng một trận game là $30\%$ . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn $0,95$ ?

A.
7 trận
B.
10 trận
C.
9 trận
D.
12 trận

Gọi n là số trận người đó chơi.

A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận

Suy ra $\overline A$ là biến cố người đó không thắng trận nào.

$\overline A = \overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} .\overline {{A_3}} ...\overline {{A_n}}$ trong đó $\overline {{A_i}}$ là biến cố người đó thắng trận thứ i và $P\left( {\overline {{A_i}} } ight) = 0,7;i = \overline {1,n}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P\left( \overline{A} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight).P\left( \overline{A_{2}} ight).P\left( \overline{A_{3}} ight)...P\left( \overline{A_{n}} ight) = 0,7^{n} \\ P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,7^{n} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bất phương trình

$1 - 0,7^{n} > 0,95$

$\Leftrightarrow 0,7^{n} < 0,05$

$\Leftrightarrow n >\log_{0,7}0,05$

Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 9.

Câu 20: Thông hiểu

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nam?

A. 2625
B. 9425
C. 4500
D. 2300

Số cách chọn ba học sinh trong lớp là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử: $C_{40}^3 = 9880$ cách

Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: $C_{15}^3 = 455$

=> Số cách chọn ba học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam là: $9880 - 455 = 9425$ cách

Câu 21: Vận dụng

Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{{31}}{{32}}$
B. $\frac{{21}}{{32}}$
C. $\frac{{11}}{{32}}$
D. $\frac{1}{{32}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = {2^5} = 32$

Giả sử C là biến cố "được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> Biến cố $\overline C$ " không có đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

=> $\overline C = \left\{ {N,N,N,N,N} ight\}$

=> $n\left( {\overline C } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline C } ight) = \frac{1}{{32}}$

=> $P\left( C ight) = 1 - P\left( {\overline C } ight) = 1 - \frac{1}{{32}} = \frac{{31}}{{32}}$

Câu 22: Thông hiểu

Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu?

A. 280
B. 320
C. 910
D. 210

Số cách chọn 2 quả xanh, 1 quả đỏ, 1 quả vàng là: $C_7^2.C_5^1.C_4^1 = 420$ cách

Số cách chọn 1 quả xanh, 2 quả đỏ, 1 quả vàng là: $C_7^1.C_5^2.C_4^1 = 280$ cách

Số cách chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ, 2 quả vàng là: $C_7^1.C_5^1.C_4^2 = 210$ cách

=> Số cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu là 420 + 280 + 210 = 910 cách

Câu 23: Vận dụng

Tuấn làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu gồm 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Tuấn chọn ngẫu nghiên đáp án cho 10 câu hỏi. Xác suất để Tú thi được không quá 1 điểm?

A.
$0,7759$
B.
$0,7336$
C.
$0,7124$
D.
$0,783$

Xác suất trả lời đúng trong một câu là: $\frac{1}{4}$

Xác suất trả lời sai trong một câu là: $\frac{3}{4}$

Gọi x là số câu Tuấn trả lời đúng.

Theo đều bài ra ta có Tuấn thi được không quá 1 điểm suy ra

$5x - 2(10 - x) \leq 1 \Leftrightarrow 7x \leq 21 \Leftrightarrow x \leq 3$

Do đó Tuấn cần trả lời đúng không quá 3 câu

TH1: Học sinh trả lời đúng 3 câu: $P_{1} = C_{10}^{3}.\left( \frac{1}{4} ight)^{3}.\left( \frac{3}{4} ight)^{7}$

TH2: Học sinh trả lời đúng 2 câu: $P_{2} = C_{10}^{2}.\left( \frac{1}{4} ight)^{2}.\left( \frac{3}{4} ight)^{8}$

TH3: Học sinh trả lời đúng 1 câu: $P_{3} = C_{10}^{1}.\left( \frac{1}{4} ight)^{1}.\left( \frac{3}{4} ight)^{9}$

TH4: Học sinh trả lời không đúng câu nào: $P_{4} = \left( \frac{3}{4} ight)^{10}$

Vậy xác suất cần tìm là $P(A) = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} \approx 0,7759$

Câu 24: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 25: Thông hiểu

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt?

A. 64
B. 16
C. 24
D. 32

Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được số có tối đa 4 chữ số

Trường hợp số có 1 chữ số ta được 4 số

Trường hợp số có 2 chữ số ta được 4 . 3 = 12 số

Trường hợp số có 3 chữ số ta được: 4 . 3 . 2 = 24 số

Trường hợp số có 4 chữ số ta được: 4! = 24 số

=> Có thể lập được số các số có các chữ số phân biệt là: 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số

Câu 26: Nhận biết

Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số:

A. 256
B. 120
C. 24
D. 16

Số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline {abcd}$

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 4 cách

=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số là 4⁴ = 256 số

Câu 27: Thông hiểu

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280
B. 400
C. 40
D. 1160

Do số bi xanh và số bi đỏ lấy ra bằng nhau

=> Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Trong 4 viên có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ

=> Số cách chọn là: $C_8^1.C_5^1.C_3^2 = 120$ cách

Trường hợp 2: Trong 4 viên bi có 2 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ

=> Số cách chọn là: $C_8^2.C_5^2 = 280$ cách

=> Số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ là 120 + 280 = 400 cách

Câu 28: Thông hiểu

Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho không có 2 bạn nam nào đứng kề nhau.

A.
$\frac{1}{1512}$
B.
$\frac{1}{126}$
C.
$\frac{1}{18}$
D.
$\frac{1}{3024}$

Gọi A là biến cố "Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó không có 2 bạn nam nào đứng kề nhau".

Tìm $|\Omega|$

Xếp 9 học sinh thành môt hàng dọc, có 9! cách xếp $\Rightarrow |\Omega| = 9!$

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$

Xếp 9 học sinh thành một hàng dọc trong đó không có 2 ban nam nào đứng kề nhau.

Vì số nam lớn hơn số nữ nên ta phải xếp một học sinh nam đứng trước rồi đến một học sinh nữ, tiếp tục cứ xếp nam nữ xen kẽ nhau, học sinh xếp cuối cùng là nam.

Vậy số cách xếp là $5!.4!$ cách xếp.

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{5!.4!}{9!} = \frac{1}{126}$

Câu 29: Thông hiểu

Một bình đựng 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là:

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{7}$
C. $\frac{3}{{11}}$
D. $\frac{3}{{14}}$

Số quả cầu có trong bình là: 5 + 4 + 3 = 12 quả

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{12}^3$

Giả sử A là biến cố "3 quả cầu khác màu"

=> Số phần tử của biến cố A là: $n\left( A ight) = C_5^1.C_4^1.C_3^1$

=> Xác suất để được 3 quả cầu khác màu là $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{C_5^1.C_4^1.C_3^1}}{{C_{12}^3}} = \frac{3}{{11}}$

Câu 30: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

A. 40
B. 45
C. 50
D. 55

Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: $\overline {ab}$

Nếu a = 9 => Số cách chọn b là 9 cách => Số các số tạo thành là 9 số

Nếu a = 8 => Số cách chọn b là 8 cách => Số các số tạo thành là 8 số

Nếu a = 7 => Số cách chọn b là 7 cách => Số các số tạo thành là 7 số

Nếu a = 6 => Số cách chọn b là 6 cách => Số các số tạo thành là 6 số

Nếu a = 5 => Số cách chọn b là 5 cách => Số các số tạo thành là 5 số

Nếu a = 4 => Số cách chọn b là 4 cách => Số các số tạo thành là 4 số

Nếu a = 3 => Số cách chọn b là 3 cách => Số các số tạo thành là 3 số

Nếu a = 2 => Số cách chọn b là 2 cách => Số các số tạo thành là 2 số

Nếu a = 1 => Số cách chọn b là 1 cách => Số các số tạo thành là 1 số

=> Số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: 9 + 8 + ... + 2 + 1 = 45 số

Câu 31: Thông hiểu

Đề thi Tiếng anh thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh đã chắc chắn làm đúng 40 câu hỏi và chọn ngẫu nhiên đáp án cho 10 câu hỏi còn lại. Hỏi xác suất để học sinh đó có điểm thi không dưới 9 điểm?

A.
$0,0078$
B.
$0,0871$
C.
$0,0781$
D.
$0,0087$

Xác suất để học sinh thi được 9 điểm là: $C_{10}^{5}.(0,25)^{5}.(0,75)^{5}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,2 điểm là: $C_{10}^{6}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,4 điểm là: $C_{10}^{7}.(0,25)^{7}.(0,75)^{3}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,6 điểm là: $C_{10}^{8}.(0,25)^{8}.(0,75)^{2}$ .

Xác suất để học sinh thi được 9,8 điểm là: $C_{10}^{9}.(0,25)^{9}.(0,75)^{1}$ .

Xác suất để học sinh thi được 10 điểm là: $(0,25)^{10}$ .

Vậy xác suất để học sinh thi được không dưới 9 điểm là:

$\sum_{k = 5}^{10}{C_{10}^{k}.(0,25)^{k}.(0,75)^{10 - k}} \approx 0,0781$

Câu 32: Vận dụng

Trong công xưởng có một nhóm công nhân gồm 15 nữ và 5 nam. Chủ quản muốn chọn một nhóm gồm 5 công nhân để lập thành một tổ gồm 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó nữ và có ít nhất 1 công nhân nam. Hãy xác định số cách lập tổ công nhân theo yêu cầu?

A.
$131444$
B.
$141666$
C.
$241561$
D.
$111300$

Ta có:

Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{15}^{2}$ cách.

Số cách chọn 3 công nhân còn lại là nữ là: $C_{13}^{3}$ cách.

Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là $C_{18}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó và có ít nhất 1 nam là:

$A_{15}^{2}.\left( C_{18}^{3} - C_{13}^{3} ight) = 111300$ .

Câu 33: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 34: Nhận biết

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?

A.
$P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
B.
$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
C.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
D.
$0 \leq P(B) \leq 1$

Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Câu 35: Thông hiểu

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ trong đó có ít nhất một thẻ xanh?

A.
$0,645$
B.
$0,355$
C.
$0,724$
D.
$0,276$

Gọi B là biến cố có ít nhất một tấm thẻ xanh

Suy ra $\overline{B}$ là biến cố lấy được 3 tấm thẻ không có thẻ xanh nào.

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = P\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$

$\Rightarrow \Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}} \approx 0,645$

Câu 36: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. 5
B. 15
C. 55
D. 10

Vì số có chín chữ số viết theo thứ tự giảm dần nên chỉ có thể là chữ số 9 hoặc chữ số 8 đứng đầu.

Trường hợp 1: Số 9 đứng đầu

Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 mỗi một lần ta bỏ đi một số ta sẽ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm dần mà số 9 đứng đầu.

=> Trường hợp 1 có 9 số được lập

Trường hợp 2: Số 8 đứng đầu

Vì từ 0 đến 8 có chín chữ số nên ta chỉ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm đần

Vậy cả 2 trường hợp có 9 + 1 = 10 số

Câu 37: Nhận biết

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Chọn mô tả đúng dưới đây?

A.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\} ight\}$
B.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\} ight\}$
C.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\};a eq b ight\}$
D.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\};a eq b ight\}$

Mô tả không gian mẫu đúng là: $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\} ight\}$

Câu 38: Vận dụng

Cho các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7$ . Giả sử tập hợp $M$ là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên một số $x \in M$ . Xác suất để chọn được $x > 2020$ ?

A.
$\frac{251}{294}$
B.
$\frac{269}{294}$
C.
$\frac{6}{7}$
D.
$\frac{36}{49}$

Gọi số phần tử của tập hợp M là $n(M) = 7.A_{7}^{3} = 1470$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{1470}^{1} = 1470$

Gọi A là biến cố chọn được số lớn hơn $2020$ .

Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số là $x = \overline{abcd} \in M$ ta có: $x > 2020$ nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $a = 2;b = 0 \Rightarrow c \in \left\{ 3;4;5;6;7 ight\}$ nên c có 5 cách chọn và d có 5 cách chọn.

Do đó trường hợp này có: $1.1.5.5 = 25$ số.

TH2: $a = 2;b \in \left\{ 1;3;4;5;6;7 ight\}$ thì $\overline{cd}$ có $A_{6}^{2}$ cách chọn và sắp xếp.

Do đó trường hợp này có $1.6.A_{6}^{2} = 180$ số.

TH3: $a \in \left\{ 3;4;5;6;7 ight\}$ thì $\overline{bcd}$ có $A_{7}^{3}$ cách chọn và sắp xếp.

Do đó trường hợp này có $5.A_{7}^{3} = 1050$ số.

Vậy xác suất cần tính là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1255}{1470} = \frac{251}{294}$ .

Câu 39: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 13080
B. 16080
C. 136080
D. 36080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Câu 40: Nhận biết

Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?

A. 12
B. 24
C. 4
D. 6

Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì.

Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có: $3! = 6$ cách.

Vậy số cách sắp xếp là 6 cách.

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 9 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!