Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2024

Mô tả thêm: Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2024 được bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra, giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.

Số câu hỏi: 50 câu
Số điểm tối đa: 50 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\log_{3}\left( x^{2} - 7 ight) = 2$ là
- A.
  $\{ - 4;4\}$ .
- B.
  $\{ 4\}$ .
- C.
  $\{ 2\}$ .
- D.
  $\{ 16\}$ .
Ta có:

$\log_{3}\left( x^{2} - 7 ight) = 2\Leftrightarrow x^{2} - 7 = 9$

$\Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ - 4;4 ight\}$
Câu 2: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack 1;20brack$ sao cho ứng với mỗi $m$ , hàm số $y = \frac{- x^{2} + 3x - m - 1}{3x - m}$ đồng biến trên khoảng $(2;3)$ ?
- A.
  17.
- B.
  14.
- C.
  15.
- D.
  13.
Ta có:

$y = \frac{- x^{2} + 3x - m - 1}{3x - m} \Rightarrow y' = \frac{- 3x^{2} + 2mx + 3}{(3x - m)^{2}}$

Hàm số đồng biến nên $y' = \frac{- 3x^{2} + 2mx + 3}{(3x - m)^{2}} \geq 0$

$\Leftrightarrow - 3x^{2} + 2mx + 3 \geq 0 \Leftrightarrow 2mx \geq 3x^{2} - 3$

$\Leftrightarrow m \geq \frac{3x^{2} - 3}{2x};\forall x \in (2;3)$

$\Leftrightarrow m \geq \max_{(2;3)}\frac{3x^{2} - 3}{2x} \Leftrightarrow m \geq 4$

Lại có: $3x - m = 0 \Leftrightarrow x = \frac{m}{3} \Rightarrow \frac{m}{3} otin (2;3)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\dfrac{m}{3} \leq 2 \\\dfrac{m}{3} \geq 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m \leq 6 \\m \geq 9 \\\end{matrix} ight.$

Vì $m \in \lbrack 1;20brack$ và $m\mathbb{\in Z}$

Vậy có 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
- A.
  3
- B.
  -2
- C.
  2
- D.
  -1
Giá trị cực tiểu của hàm số là: -2
Câu 4: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = x^{2} - 3x - 4,\forall x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ , hàm số $g(x) = f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight)$ có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng $(1;4)$ ?
- A.
  9
- B.
  7
- C.
  8
- D.
  10
Ta có: $f'(x) = x^{2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

$g(x) = f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight)$

$\Rightarrow g'(x) = \left( - 3x^{3} + 6x ight)f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 otin (1;4) \\ x = 2 \in (1;4) \\ \end{matrix} ight.\ \\ f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - x^{3} + 3x^{2} + m = - 1 \\ - x^{3} + 3x^{2} + m = 4 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Để $g(x)$ có hai điểm cực trị tại $x(1;4)$ thì

$\left\lbrack \begin{matrix} - x^{3} + 3x^{2} = - m - 1 \\ - x^{3} + 3x^{2} = - m + 4 \\ \end{matrix} ight.$ có một nghiệm $x \in (1;4)$ (**)

Xét $h(x) = - x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow h'(x) = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu

Để thỏa mãn (**)

Th1: $\left\{ \begin{matrix} - m + 4 \geq 4 \\ - 16 < - m - 1 \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq 0 \\ - 3 \leq m < 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 0$

Th2: $\left\{ \begin{matrix} - 16 < - m + 4 \leq 2 \\ - m - 1 \leq - 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 \leq m < 20 \\ m \geq 15 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 15 \leq m < 20$

Vậy có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 5: Vận dụng cao
Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z - w| = 2|z| = 2$ và số phức $\bar{z}.w$ có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của $P = |z + w - 1 + 2i|$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(4;5)$ .
- B.
  $(3;4)$ .
- C.
  $(5;6)$ .
- D.
  $(6;7)$ .
Ta có:

$\left| z_{1} - z_{2} ight| \leq \left| z_{1} ight| + \left| z_{2} ight|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}z_{2} = 0 \\\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = k \geq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P \leq |z + w| + | - 1 + 2i| = |z + w| + \sqrt{5}$

Ta có:

$\left| az_{1} + bz_{2} ight|^{2} = a^{2}\left| z_{1} ight|^{2} + b^{2}\left| z_{2} ight|^{2} + ab\left( z_{1}.\overline{z_{2}} + \overline{z_{1}}z_{2} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} |z - w|^{2} = |z|^{2} + |w|^{2} - \left( z.\overline{w} + \overline{z}.w ight) \\ |z + w|^{2} = |z|^{2} + |w|^{2} + \left( z.\overline{w} + \overline{z}.w ight) \\ \end{matrix} ight.$

$z.\overline{w}$ có phần thực bằng 1

$\overline{z_{1}.z_{2}} = \overline{z_{1}}.\overline{z_{2}}$ theo hệ quả suy ra $\overline{w.\overline{z}} = z.\overline{w}$

Vì $z.\overline{w};\overline{z}.w$ là hai số phức liên hợp nên

$\left\{ \begin{matrix} z.\overline{w} = 1 + mi \\ \overline{z}.w = 1 - mi \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow z.\overline{w} + \overline{z}.w = 2$

$\Rightarrow |z + w|^{2} - |z - w|^{2} = 2\left( z.\overline{w} + \overline{z}.w ight) = 4$ mà $\left\{ \begin{matrix} |z - w| = 2 \\ |z + w| = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P \leq 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \approx 5,06$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} |z - w| = 2 \\ |z| = 1 \\ z + w = k( - 1 + 2i);(k \geq 0) \\ \end{matrix} ight.$

Mà $|z + w| = 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{5}k = 2\sqrt{2} \Rightarrow k = 2\sqrt{\frac{2}{5}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}|z - w| = 2 \\|z| = 1 \\z + w = 2\sqrt{\dfrac{2}{5}}.( - 1 + 2i);(k \geq 0) \\\end{matrix} ight.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P thuộc khoảng $(5;6)$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;0)$ .
- B.
  $\overrightarrow{J} = (0;1;0)$ .
- C.
  $\overrightarrow{\imath} = (1;0;0)$ .
- D.
  $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .
Ta có: $mp(Oxy) \Rightarrow z = 0$

Vậy một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $mp(Oxy)$ là: $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ ..
Câu 7: Nhận biết
Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
- A.
  2
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là 1 điểm.
Câu 8: Vận dụng
Cho khối lăng trụ $ABC \cdot A^{'}B^{'}C^{'}$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $A^{'}A = A^{'}B = A^{'}C = a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( BCC^{'}B^{'} ight)$ và $(ABC)$ bằng $30^{\circ}$ , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{8}$ .
- C.
  $\frac{3a^{3}}{8}$ .
- D.
  $\frac{a^{3}}{8}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có hình chóp có $SA = SB = SC$ nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng $(ABC)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Xét hình chóp

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A'M = HM.\cos30^{0} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow B'C' =a\sqrt{3} \\A'H = HM.\sin30^{0} = \dfrac{a}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S_{A'B'C'} = \frac{1}{2}A'M'.B'C' = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}a.\sqrt{3}a = \frac{3}{4}a^{2}$

$\Rightarrow V = S_{A'B'C'}.A'H = \frac{3a^{2}}{4}.\frac{a}{2} = \frac{3a^{3}}{8}$
Câu 9: Vận dụng
Để chế tạo một chi tiết máy, từ một khối thép hình trụ có bán kính $10cm$ và chiều cao $30cm$ , người ta khoét bỏ một rãnh xung quanh rộng $1cm$ và sâu $1cm$ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính thể tích của chi tiết máy đó, làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
- A.
  $9110,619cm^3$ .
- B.
  $9170,309cm^3$ .
- C.
  $9365,088cm^3$ .
- D.
  $8997,521cm^3$ .
Thể tích hình trụ ban đầu là:

$V = \pi.10^{2}.30 = 3000\pi\left( cm^{3} ight)$

Thể tích phần bị cắt bỏ:

$V_{c} = \pi.10^{2}.1 - \pi.9^{2}.1\left( cm^{3} ight)$

Khi đó thể tích máy là:

$V_{m} = V - V_{c} = 3000\pi - \pi.\left( 10^{2} - 9^{2} ight) \approx 9365,088\left( cm^{3} ight)$
Câu 10: Nhận biết
Cho hai số phức $z_{1} = 1 - 3i$ và $z_{2} = - 4 + i$ . Số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng
- A.
  $- 3 - 3i$ .
- B.
  $3 - 4i$ .
- C.
  $3 - 2i$ .
- D.
  $- 3 - 2i$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} z_{1} = 1 - 3i \\ z_{2} = - 4 + i \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow z_{1} + z_{2} = (1 - 4) + ( - 3 + 1)i = - 3 - 2i$
Câu 11: Nhận biết
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $r$ và diện tích xung quanh bằng $S$ . Chiều cao của hình trụ đã cho bằng
- A.
  $\frac{S}{2\pi r}$ .
- B.
  $\frac{S}{\pi r}$ .
- C.
  $\frac{2S}{\pi r}$ .
- D.
  $\frac{S}{2r}$ .
Diện tích xung quanh hình trụ bằng: $S_{xq} = 2\pi r.h$

Suy ra chiều cao hình trụ là: $h = \frac{S_{xq}}{2\pi r}$ .
Câu 12: Nhận biết
Điểm $M$ trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
- A.
  $2 + i$ .
- B.
  $- 1 + 2i$ .
- C.
  $2 - i$ .
- D.
  $- 1 - 2i$ .
Ta có: $M(2; - 1)$ biểu diễn số phức $z = 2 - i$
Câu 13: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có đúng một học sinh ngồi?
- A.
  600
- B.
  120
- C.
  3125
- D.
  25
Sắp xếp 5 học sinh vào 5 ghế là hoán vị của 5 học sinh. Do đó số cách xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là: P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (cách).

Vậy có tất cả 120 cách xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.
Câu 14: Vận dụng
Xét các số phức $z,w(w eq 2)$ thỏa mãn $|z| = 1$ và $\frac{w + 2}{w - 2}$ là số thuần ảo. Khi $|z - w| = \sqrt{3}$ , giá trị của $|2z + w|$ bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{7}}{2}$ .
- B.
  $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ .
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .
- D.
  $2\sqrt{3}$ .
Ta có: $\frac{w + 2}{w - 2}$ là số thuần ảo nên giả sử $\frac{w + 2}{w - 2} = bi$

$\Leftrightarrow w + 2 = wbi - 2bi \Leftrightarrow w - wbi = - 2 - 2bi$

$\Leftrightarrow w(1 - bi) = - 2 - 2bi = - 2(1 + bi)$

$\Leftrightarrow w = \frac{- 2(1 + bi)}{1 - bi}$

$\Rightarrow |w| = \frac{\left| - 2(1 + bi) ight|}{|1 - bi|} = \frac{2\sqrt{1 + b^{2}}}{\sqrt{1 + b^{2}}} = 2$

Khi đó ta có: $|z| = 1;|w| = 2;|z - w| = \sqrt{3}$

$|z - w|^{2} = |z|^{2} + |w|^{2} - 2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow 3 = 1^{2} + 4 - 2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} = 1$

$\left( |2z - w| ight)^{2} = 4|z|^{2} + |w|^{2} + 4\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow \left( |2z - w| ight)^{2} = 4.1 + 4 + 4.1 = 12 \Rightarrow |2z - w| = 2\sqrt{3}$
Câu 15: Thông hiểu
Nếu $\int_{- 1}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 4$ thì $\int_{- 1}^{2}\mspace{2mu}(3 - f(x))dx$ bằng
- A.
  7
- B.
  13
- C.
  5
- D.
  -1
Ta có:

$\int_{- 1}^{2}{\left( 3 - f(x) ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{3dx} - \int_{- 1}^{2}{f(x)dx}$

$= (3x)\overset{2}{\underset{- 1}{|}} - 4 = 6 + 3 - 4 = 5$
Câu 16: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = (x + 1)(x - 1),\forall x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  1
- B.
  4
- C.
  3
- D.
  2
Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 17: Nhận biết
Nếu $\int_{- 1}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 3$ thì $\int_{2}^{- 1}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng
- A.
  3
- B.
  -3
- C.
  1.
- D.
  -1
Ta có: $\int_{- 1}^{2}{f(x)d(x)} = 3 \Rightarrow \int_{2}^{- 1}{f(x)d(x)} = - 3$
Câu 18: Nhận biết
Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_{2}a^{\frac{1}{3}}$ bằng
- A.
  $\frac{3}{2}\log_{2}a$ .
- B.
  $3\log_{2}a$ .
- C.
  $\frac{1}{3}\log_{2}a$ .
- D.
  $\frac{2}{3}\log_{2}a$ .
Ta có: $\log_{2}a^{\frac{1}{3}} =\frac{1}{3}\log_{2}a$
Câu 19: Vận dụng
Xét $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c(a,b,c \in \mathbb{R},a > 0)$ sao cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị là $A,B$ và $C\left( 1; - \frac{3}{5} ight)$ . Gọi $y = g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm $A,B$ và $C$ . Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$ có diện tích bằng $\frac{2}{5}$ , tích phân $\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng
- A.
  1
- B.
  -1
- C.
  $- \frac{17}{15}$
- D.
  $\frac{17}{15}$
Ta có: $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c;\left( a,b,c\mathbb{\in Z},a > 0 ight)$

Giả sử A là điểm nằm giữa B và C.

Ta có: $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c;\left( a,b,c\mathbb{\in Z},a > 0 ight)$ có đồ thị hàm số có dạng

B đối xứng với C qua trục tung suy ra $B\left( - 1; - \frac{3}{5} ight)$

Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$ có diện tích bằng $\frac{2}{5}$

Suy ra $\frac{2}{5} = \int_{0}^{1}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$

Mặt khác $y = g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm $A,B$ và $C$

$\Rightarrow f(x) - g(x) = a(x + 1).x^{2}.(x - 1)$

$\frac{2}{5} = \int_{0}^{1}{\left| a(x + 1).x^{2}.(x - 1) ight|dx} \Rightarrow a = 3$

$\Rightarrow f(x) = 3x^{4} + bx^{2} + c$

$\Rightarrow f'(x) = 12x^{3} + 2bx$

Thay tọa độ điểm C ta được: $\left\{\begin{matrix}3 + b + c = - \dfrac{3}{5} \\12 + 2b = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}c = \dfrac{12}{5} \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.$

Vậy hàm số cần tìm là $f(x) = 3x^{4} - 6x^{2} + \frac{12}{5}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 1$
Câu 20: Nhận biết
Cho hình nón có bán kính đáy $r$ , chiều cao $h$ và độ dài đường sinh $l$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $l = \sqrt{h + r}$ .
- B.
  $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ .
- C.
  $l = hr$ .
- D.
  $l = h^{2} + r^{2}$ .
Khẳng định đúng là: $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ .
Câu 21: Thông hiểu
Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_{2}\left( 32a^{4} ight)$ bằng
- A.
  $5 - 4\log_{2}a$ .
- B.
  $5 + 4a$ .
- C.
  $5 - 4a$ .
- D.
  $5 + 4\log_{2}a$ .
Ta có:

$\log_{2}\left( 32a^{4} ight) =\log_{2}\left( 2^{5}a^{4} ight) = \log_{2}2^{5} +\log_{2}a^{4}$

$= 5\log_{2}2 + 4\log_{2}a = 5 +4\log_{2}a$
Câu 22: Nhận biết
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
- A.
  $y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$ .
- B.
  $y = x^{3} - 4x^{2} - 2$ .
- C.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 3$ .
- D.
  $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ .
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số cần tìm là hàm bậc 4 trùng phương và có hệ số a > 0

Vậy hàm số thỏa mãn là: $y = x^{4} - 2x^{2} + 3$ .
Câu 23: Nhận biết
Cho hàm số $f(x) = 5 - 6x^{2}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\int f(x)dx = 5 - 2x^{3} + C$ .
- B.
  $\int f(x)dx = 5x - 2x^{3} + C$ .
- C.
  $\int f(x)dx = 5x - 6x^{3} + C$ .
- D.
  $\int f(x)dx = 5 - 3x^{3} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)}dx = 5x - 2x^{3} + C$
Câu 24: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình nón $(\mathcal{N})$ có đỉnh $A(2;3;0)$ , độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(P):2x + y + 2z - 1 = 0$ . Gọi $(C)$ là giao tuyến của mặt xung quanh của $(\mathcal{N})$ với mặt phẳng $(Q):x - 4y + z + 4 = 0$ và $M$ là một điểm di động trên $(C)$ . Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
- B.
  $(0;1)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $(2;3)$ .
Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Nhận xét: $\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0 \Rightarrow (P)\bot(Q)$

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P), kí hiệu AH = h khi đó:

$\left\{ \begin{matrix}h = d\left( A;(P) ight) = \dfrac{|4 + 3 - 1|}{3} = 2 \\AI = 5 \\\end{matrix} ight.$

$AH//(Q) \Rightarrow d\left( H;(Q) ight) = d\left( A;(Q) ight) = HP = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{AM_{0}}{AI} = \frac{HP}{HI} \Rightarrow AM_{0} = \frac{HP.AI}{HI} = \frac{5.\sqrt{2}}{\sqrt{21}} \in \left( \frac{3}{2};2 ight)$
Câu 25: Thông hiểu
Cho số phức $z = 3 - i$ , phần thực của số phức $(1 - i)\bar{z}$ bằng
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  -4
- D.
  -2
Ta có:

$z = 3 - i \Rightarrow \overline{z} = 3 + i$

$\Rightarrow (1 - i)\overline{z} = (1 - i)(3 + i) = - 2i + 4$

Phần thực của số phức $(1 - i)\overline{z}$ là 4.
Câu 26: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 2;1)$ và bán kính $R = 5$ . Phương trình của $(S)$ là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$ .
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ .
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$ .
Phương trình mặt cầu là:

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$
Câu 27: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{2}} = (1;0; - 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{u_{3}} = (2;1;3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;0;2)$ .
VTCP cần tìm là: $\overrightarrow{u} = (2;1; - 3)$
Câu 28: Nhận biết
Hàm số $F(x) = e^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f_{4}(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$ .
- B.
  $f_{1}(x) = e^{2x}$ .
- C.
  $f_{2}(x) = e^{x^{2}}$ .
- D.
  $f_{3}(x) = 2e^{2x}$ .
Ta có: $\left( e^{2x} ight)' = 2e^{2x}$
Câu 29: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1;0;1),B(1;0;2)$ và $C(3;2;3)$ . Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 2 \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 5t \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = 5 + t \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $\overrightarrow{BC} = (2;2;1)$

Vì đường thẳng d đi qua A và song song với BC khi đó $\overrightarrow{BC} = (2;2;1)$ là VCTP

Suy ra phương trình đường thẳng là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 30: Vận dụng cao
Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$ .

Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1cm$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AD$ . Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
- A.
  $20,3cm^3$ .
- B.
  $10,5cm^3$ .
- C.
  $12,6cm^3$ .
- D.
  $8,4cm^3$ .
Minh họa bằng hình vẽ:

Xét đường tròn tâm J bán kính R = 1 là:

$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$

$\Rightarrow (y - 1)^{2} = 1 - (x + 1)^{2} = - x^{2} - 2x$

$\Rightarrow y - 1 = \sqrt{- x^{2} - 2x} \Rightarrow y = 1 + \sqrt{- x^{2} - 2x}$

$\Rightarrow f(x) = 1 + \sqrt{- x^{2} - 2x}$

$V_{1} = \pi\int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( 1 + \sqrt{- x^{2} - 2x} ight)^{2}dx}$

Xét đường tròn tâm I bán kính R = 1 là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$

$\Rightarrow (y - 1)^{2} = 1 - (x - 1)^{2} = - x^{2} + 2x$

$\Rightarrow 1 - y = \sqrt{- x^{2} + 2x} \Rightarrow y = 1 - \sqrt{- x^{2} + 2x}$

$\Rightarrow g(x) = 1 - \sqrt{- x^{2} + 2x}$

$V_{2} = \pi\int_{0}^{1}{g^{2}(x)dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( 1 - \sqrt{- x^{2} + 2x} ight)^{2}dx}$

Khi đó thể tích cần tìm là:

$V = V_{1} + V_{2} \approx 10,5\left( cm^{3} ight)$
Câu 31: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(4;0;0)$ và đi qua điểm $M(0; - 3;0)$ có phương trình là
- A.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ .
- B.
  $(x + 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ .
- C.
  $(x + 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ .
- D.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ .
Độ dài IM là: $IM = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 5$

Vì M thuộc mặt cầu nên IM là bán kính.

Khi đó phương trình mặt cầu là:

$(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
Câu 32: Thông hiểu
Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\log_{a}^{2}\left( a^{2}b ight).\log_{a}\frac{b}{a} + 4 = 0$ . Giá trị của $\log_{b}a$ bằng
- A.
  -3
- B.
  3
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $- \frac{1}{3}$
Ta có:

$\log_{a}^{2}\left( a^{2}bight). \log_{a}\frac{b}{a} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( 2 + \log_{a}bight)^{2}.\left( \log_{a}b - 1 ight) + 4 = 0$

Đặt $t = \log_{a}b$

$\Leftrightarrow (2 + t)^{2}.(t - 1) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( t^{2} + 4t + 4 ight)(t - 1) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3t^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\log_{a}b = 0 \\\log_{a}b = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\log_{b}a = 0 \\\log_{b}a = \dfrac{- 1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Câu 33: Thông hiểu
Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ bằng
- A.
  $\frac{13}{55}$ .
- B.
  $\frac{41}{55}$ .
- C.
  $\frac{14}{55}$ .
- D.
  $\frac{42}{55}$ .
Số cách lấy 4 viên bi là $C_{12}^{4}$

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi đỏ nào là: $C_{9}^{4}$

Vậy xác suất để lấy 4 viên bi có ít nhất 1 viên đỏ là: $P = \frac{C_{9}^{4} - C_{12}^{4}}{C_{12}^{4}} = \frac{41}{55}$
Câu 34: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = (x - 1)(x - 3),\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(0;3)$ .
- B.
  $(3; + \infty)$ .
- C.
  $( - \infty;2)$ .
- D.
  $(1;3)$ .
Ta có:

$f'(x) = (x - 1)(x - 3) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$ .
Câu 35: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 7$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
- A.
  $\frac{7}{3}$
- B.
  $\frac{3}{7}$
- C.
  -4
- D.
  4
Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = d;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$

Nên công sai d cần tìm là: $d = u_{2} - u_{1} = 7 - 3 = 4$
Câu 36: Nhận biết
Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
- A.
  $y = 0$ .
- B.
  $y = 2$ .
- C.
  $y = - 1$ .
- D.
  $y = 1$ .
Tiệm cận ngang của hàm số là $y = 1$
Câu 37: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1; - 2;2)$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Biết $B,C,D$ là ba điểm phân biệt trên $(S)$ sao cho các tiếp diện của $(S)$ tại mỗi điểm đó đều đi qua $A$ . Hỏi mặt phẳng $(BCD)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M(1;1;1)$ .
- B.
  $P( - 3;1;1)$ .
- C.
  $N( - 1;1;1)$ .
- D.
  $Q(1;1; - 1)$ .
Ta có: AC, AD, AB là các tiếp tuyến của (S)

$AB = \sqrt{OA^{2} - OB^{2}} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8}$

$\Rightarrow AB = AC = AD = \sqrt{8}$

B, C, D cùng thuộc mặt cầu tâm A bán kính $R = \sqrt{8}$

Ta có phương trình:

$(S'):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 8$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 1 = 0$

Suy ra phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là:

$(BCD):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 1 - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x + 4y - 4z + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y + 2z - 1 = 0$

Vậy mặt phẳng $(BCD)$ đi qua điểm $M(1;1;1)$ .
Câu 38: Nhận biết
Số phức $z = 4 - 5i$ có phần ảo bằng;
- A.
  -5
- B.
  -4
- C.
  $- 5i$
- D.
  4
Phần ảo của số phức là -5
Câu 39: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $y = (x + 1)^{\sqrt{2}}$ là
- A.
  $\mathbb{R}$ .
- B.
  $(0; + \infty)$ .
- C.
  $( - 1; + \infty)$ .
- D.
  $\mathbb{R} \smallsetminus \{ - 1\}$ .
Điều kiện xác định của hàm số $y = (x + 1)^{\sqrt{2}}$

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1$

Vậy tập xác định là $(0; + \infty)$
Câu 40: Nhận biết
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?
- A.
  $y = \ln x$ .
- B.
  $y = \log_{3}x$ .
- C.
  $y = \log x$ .
- D.
  $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ .
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ là: $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ . (vì cơ số nhỏ hơn 1)
Câu 41: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ (tham khảo hình bên).

Góc giữa hai đường thẳng $CD$ và $AB^{'}$ bằng:
- A.
  $90^{\circ}$ .
- B.
  $60^{\circ}$ .
- C.
  $30^{\circ}$ .
- D.
  $45^{\circ}$ .
Ta có: CD // AB

Nên góc giữa hai đường thẳng $CD$ và $AB^{'}$ bằng góc giữa AB và AB’

ABB’A’là hình vuông suy ra (AB; AB’) = 45⁰

Suy ra (CD; AB’) = 45⁰
Câu 42: Nhận biết
Nếu $\int_{1}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 3$ và $\int_{1}^{2}\mspace{2mu} g(x)dx = 5$ thì $\int_{1}^{2}\mspace{2mu}(f(x) - g(x))dx$ bằng
- A.
  2
- B.
  -2
- C.
  8
- D.
  $\frac{3}{5}$
Ta có:

$\int_{1}^{2}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack d(x) = \int_{1}^{2}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{2}{g(x)d(x)} = 3 - 5 = - 2$
Câu 43: Nhận biết
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ và chiều cao bằng $9a$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
- A.
  $9a^{3}$ .
- B.
  $21a^{3}$ .
- C.
  $84a^{3}$ .
- D.
  $63a^{3}$ .
Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.7a^{2}.9a = 21a^{3}$ .
Câu 44: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA = \frac{\sqrt{3}a}{3}$ . Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng
- A.
  $\frac{a}{2}$ .
- B.
  $a$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{3}a}{3}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{14}a}{7}$ .
Hình vẽ minh họa

Kẻ AE vuông góc với SD.

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot CD$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow CD\bot AE$

$\left\{ \begin{matrix} AE\bot CD \\ AE\bot SD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AE\bot(SCD)$

$\Rightarrow d\left( A;(SAD) ight) = AE$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác SAD vuông tại A, đường cao AE là:

$\frac{1}{AE^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow AE = \frac{a}{2}$
Câu 45: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 2)$ và $B(3; - 1;2)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là
- A.
  $(2; - 2;4)$ .
- B.
  $(2;0;0)$ .
- C.
  $(1; - 1;2)$ .
- D.
  $( - 2;2; - 4)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (3 - 1; - 1 - 1;2 + 2) = (2; - 2;4)$
Câu 46: Nhận biết
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2;2)$ .
- B.
  $( - \infty;2)$ .
- C.
  $( - 2;0)$ .
- D.
  $(0;2)$ .
Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ .
Câu 47: Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 5$ là
- A.
  $\left( - \infty;\log_{2}5 ightbrack$ .
- B.
  $\left( - \infty;\log_{2}5 ight)$ .
- C.
  $\left( - \infty;\log_{5}2 ightbrack$ .
- D.
  $\left( - \infty;\log_{5}2 ight)$ .
Ta có: $2^{x} < 5 \Leftrightarrow x < log_{2}5$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: $\left( - \infty;\log_{2}5 ight)$ .
Câu 48: Nhận biết
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ và chiều cao bằng $6a$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $15a^{3}$ .
- B.
  $5a^{3}$ .
- C.
  $10a^{3}$ .
- D.
  $30a^{3}$ .
Thể tích khối lăng trụ là: $V = S.d = 5a^{2}.6a = 30a^{3}$
Câu 49: Thông hiểu
Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = - x^{4} + 6x^{2} - 4$ bằng
- A.
  $- \sqrt{3}$ .
- B.
  -4.
- C.
  5.
- D.
  $\sqrt{3}$ .
Ta có:

$f'(x) = - 4x^{3} + 12x \Rightarrow f'(x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$ lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = - 4 \\ f\left( \sqrt{3} ight) = 5 \\ f\left( - \sqrt{3} ight) = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Kết luận giá trị lớn nhất của hàm số là $f(x)_{\max} = 5$ .
Câu 50: Vận dụng cao
Xét các số thực không âm $x$ , $y$ thỏa mãn $y\log_{3}(3x + y + 9) = \left( x^{2} + 3x + y ight)\log_{3}(x + 3)$ . Khi biểu thức $y - 5x$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức $x - 2y$ bằng
- A.
  -1
- B.
  2
- C.
  -7
- D.
  -31
Ta có:

$ylog_{3}(3x + y + 9) = \left( x^{2} + 3x + y ight)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow y\left\lbrack log_{3}(3x + y + 9) - log_{3}(x + 3) ightbrack = \left( x^{2} + 3x ight)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow ylog_{3}\frac{y + 3(x + 3)}{x + 3} = x(x + 3)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow ylog_{3}\left( \frac{y}{x + 3} + 3 ight) = x(x + 3)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{y}{x + 3}log_{3}\left( \frac{y}{x + 3} + 3 ight) = xlog_{3}(x + 3)$ (có dạng $f(u) = u.log_{3}(u + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{y}{x + 3} = x \Leftrightarrow y = x(x + 3)$

Xét $y - 5x = x^{2} + 3x - 5x = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1 \geq - 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = x^{2} + 3x \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy giá trị của biểu thức cần tìm là $x - 2y = - 7$

9 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2024

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!