Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025

Câu 1: Nhận biết

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ là:

A.
$\frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$ .
B.
$e^{x} + C$ .
C.
$\frac{e^{x}}{x} + C$ .
D.
$x \cdot e^{x - 1} + C$ .

Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

Câu 2: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên coạn $\lbrack a;bbrack$ . Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hảm số $y = f(x)$ , trục hoảnh và hai đường thảng $x = a,x = b$ . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ có thế tích là:

A.
$V = \pi\int_{a}^{b}\left| f(x) ight|dx$ .
B.
$V = \pi^{2}\int_{a}^{b}f(x)dx$ .
C.
$V = \pi^{2}\int_{a}^{b}\lbrack f(x)brack^{2}dx$ .
D.
$V = \pi\int_{a}^{b}\lbrack f(x)brack^{2}dx$ .

Ta có: $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}.$

Câu 3: Thông hiểu

Hai mẫu số lię̂u ghép nhóm $M_{1},M_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:

$M_{1}$

Nhóm	$\lbrack 8;10)$	$[10;12)$	$\lbrack 12;14)$	$\lbrack 14;16)$	$\lbrack 16;18)$
Tần số	3	4	8	6	4

$M_{2}$

Nhóm	$\lbrack 8;10)$	$[10;12)$	$\lbrack 12;14)$	$\lbrack 14;16)$	$\lbrack 16;18)$
Tằn số	6	8	16	12	8

Gọi $s_{1},s_{2}$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1},M_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
$s_{1} = s_{2}$ .
B.
$s_{1} = 2s_{2}$ .
C.
$2s_{1} = s_{2}$ .
D.
$4s_{1} = s_{2}$ .

Dùng máy tính casio tính được độ lệch chuẩn: $\left\{ \begin{matrix} s_{1} \approx 2,444913086 \\ s_{2} \approx 2,444913086 \\ \end{matrix} ight.$

Câu 4: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M(1; - 3;5)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(2; - 1;1)$ là:

A.
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .
B.
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 5}{1}$ .
C.
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .
D.
$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M(1; - 3;5)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(2; - 1;1)$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

Câu 5: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}(c eq 0,ad - bc eq 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A.
$x = - 1$ .
B.
$y = \frac{1}{2}$ .
C.
$y = - 1$ .
D.
$x = \frac{1}{2}$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$

Câu 6: Nhận biết

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2}(x- 1) < 3$ là:

A.
$(1;9)$ .
B.
$( - \infty;9)$ .
C.
$(9; + \infty)$ .
D.
$(1;7)$ .

Ta có:

$\log_{2}(x - 1) < 3 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x - 1 > 0 \\x - 1 < 2^{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 1 \\ x < 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 1 < x < 7 \Rightarrow S = (1;7)$

Vậy đáp án cần tìm là: $S = (1;7)$

Câu 7: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A.
$\overrightarrow{n_{1}}(1; - 3;1)$ .
B.
$\overrightarrow{n_{2}}(1; - 3; - 1)$ .
C.
$\overrightarrow{n_{3}}(1; - 3;8)$ .
D.
${\overrightarrow{n}}_{4}(1;3;8)$ .

Ta có:

$(P):x–3y–z + 8 = 0$ nên (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3; - 1)$

Câu 8: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\bot(ABCD)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ ?

A.
$(SAB)$ .
B.
$(SBC)$ .
C.
$(SCD)$ .
D.
$(SBD)$ .

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABCD) \\ SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAB)\bot(ABCD)$

Câu 9: Nhận biết

Nghiệm của phương trình $2^{x} = 6$ là:

A.
$x = \log_{6}2$ .
B.
$x = 3$ .
C.
$x = 4$ .
D.
$x = \log_{2}6$ .

Ta có: $2^{x} = 6 \Leftrightarrow x =\log_{2}6$

Vậy đáp án cần tìm là: $x =\log_{2}6$

Câu 10: Nhận biết

Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 1$ và $u_{2} = 3$ . Số hạng $u_{5}$ của cấp số cộng là:

A.
5.
B.
7.
C.
9.
D.
11.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{1} + (2 - 1)d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ 1 + d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{5} = u_{1} + 4d = 1 + 4.2 = 9$

Câu 11: Nhận biết

Cho hình hộp $ABCD \cdot A'B'C'D'(minh$ họa nhu hình bên). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AC'}$ .
B.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + {\overrightarrow{C}}^{'}D' = \overrightarrow{AC'}$ .
C.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ .

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$

Câu 12: Nhận biết

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - \infty; - 1)$ .
B.
$( - \infty;1)$ .
C.
$( - 1;1)$ .
D.
$(1; + \infty)$ .

Trên $( - 1;1)$ đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đã cho đồng biến.

Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = 2\cos x + x$ .

a) $f(0) = 2;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{\pi}{2}$ .

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x)= 2\sin x + 1$ .

c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ là $\frac{\pi}{6}$ .

d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ là $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ .

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = 2\cos x + x$ .

a) $f(0) = 2;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{\pi}{2}$ . Đúng

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x)= 2\sin x + 1$ . Sai

c) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ là $\frac{\pi}{6}$ . Đúng

d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ là $\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ . Đúng

a) Ta có: $f(0) = 2;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{\pi}{2}$ nên a đúng.

b) Ta có: $f'(x) = - 2\sin x +1$ nên b sai.

c) Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -2\sin x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin\frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$

* Với $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ , ta có $x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$ .

* Với $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$ , ta có: $x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ nên không có nghiệm nào thỏa mãn.

Do đó, c đúng.

d) $f(x) = 2\cos x + x \Rightarrow f'(x)= - 2\sin x + 1$

Xét trên đoạn $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$

Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6}$ (theo câu c)

Khi đó, $f(0) = 2;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = \frac{\pi}{2};f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ .

Vậy $\max_{\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack}f(x) = f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ nên d đúng.

Câu 14: Thông hiểu

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là $36\ km/h$ . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t) = at + b(a,b \in \mathbb{R,}a > 0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bẳng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.

b) Giá trị của $b$ là 10.

c) Quãng đường $S(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \int_{0}^{24}{v(t)dt}$ .

d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100\ km/h$ .

Đáp án là:

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là $36\ km/h$ . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t) = at + b(a,b \in \mathbb{R,}a > 0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bẳng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. Đúng

b) Giá trị của $b$ là 10. Đúng

c) Quãng đường $S(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \int_{0}^{24}{v(t)dt}$ . Sai

d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100\ km/h$ . Sai

a) Ta có $36km/h = 10m/s$ .

Sau 2s quãng đường ô tô đi được lúc chưa tăng tốc là: $2.10 = 20(m)$

Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là

$200 - 20 = 180(m)$

Do đó, a đúng

b) Tại thời điểm lúc ô tô bắt đầu tăng tốc $(t = 0)$ thì vận tốc của ô tô vẫn đang là $10(m/s)$ nên $v(0) = 10 \Rightarrow a.0 + b = 10 \Rightarrow b = 10$ .

Do đó, b đúng

c) Quãng đường $S(t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S = \int_{0}^{t}{v(t)dt}$ .

Do đó, c sai

d) Ta có: $v(t) = at + 10(m/s)$ .

Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là $180(m)$ đi trong thời gian 12s nên ta có:

$S(12) = \int_{0}^{12}{v(t)dt} = 180 \Leftrightarrow \int_{0}^{12}{(at + 10)dt} = 180$

$\Leftrightarrow a\int_{0}^{12}{tdt} + \int_{0}^{12}{10dt} = 180$

$\Leftrightarrow 72a + 120 = 180 \Rightarrow a = \frac{5}{6}$

Suy ra $v(t) = \frac{5}{6}t + 10(m/s)$

Vậy sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô là:

$v(24) = 30(m/s) = 108(km/h) > 100(km/h)$

Do đó, d sai

Câu 15: Thông hiểu

Truớc khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phầm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ưng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là $70\%$ và $30\%$ .

Gọi $A$ lả biến cố "Người được phỏng vấn thực sự se mua sản phẩm".

Gọi $B$ là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".

a) Xác suất $P(B) = \frac{21}{40}$ và $P\left( \overline{B} ight) = \frac{19}{40}$ .

b) Xác suất có điều kiện $P(A \mid B) = 0,3$ .

c) Xác suất $P(A) = 0,51$ .

d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70\%$ người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án là:

Truớc khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phầm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ưng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là $70\%$ và $30\%$ .

Gọi $A$ lả biến cố "Người được phỏng vấn thực sự se mua sản phẩm".

Gọi $B$ là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".

a) Xác suất $P(B) = \frac{21}{40}$ và $P\left( \overline{B} ight) = \frac{19}{40}$ . Đúng

b) Xác suất có điều kiện $P(A \mid B) = 0,3$ . Sai

c) Xác suất $P(A) = 0,51$ . Đúng

d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70\%$ người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). Sai

a) Xác suất của biến cố B là $P(B) = \frac{105}{200} = \frac{21}{40}$

Xác suất của biến cố $\overline{B}$ là $P\left( \overline{B} ight) = \frac{95}{200} = \frac{19}{40}$

Do đó, a đúng

b) Biến cố $A|B$ là biến cố: “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm nếu người đó được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”.

Theo giả thiết: Tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” là 70% nên ta có $P(A \mid B) = \frac{7}{10} = 0,7$ .

Do đó, b sai

c) Ta có $A|\overline{B}$ là biến cố: “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm nếu người đó được phỏng vấn trả lời không mua”.

Theo giả thiết ta có $P\left( A \mid \overline{B} ight) = 0,3$

Theo công thức xác suất toàn phần:

$P(A) = P(A \mid B).P(B) + P\left( A \mid \overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)$

$= 0,7.\frac{21}{40} + 0,3 \cdot \frac{19}{40} = \frac{51}{100} = 0,51$

Do đó, c đúng

d) Ta có $B|A$ là biến cố: “Người đó đã trả lời sẽ mua sản phẩm khi được phỏng vấn và người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm “.

Theo công thức BAYES ta có:

$P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(A \mid B).P(B)}{P(A)} = \frac{0,7.\frac{21}{40}}{0,51} \approx 72\%$

Do đó, c sai

Câu 16: Nhận biết

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;20;0)$ đến điểm $N( - 6; - 12;16)$ .

a) Đường thẳng $MN$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t,\left( t \in \mathbb{R} ight) \\ z = - 4t \\ \end{matrix} ight.$ .

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát lả điểm $A( - 3; - 4;12)$ .

c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).

d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ $M$ đến $N$ là 6 phút.

Đáp án là:

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;20;0)$ đến điểm $N( - 6; - 12;16)$ .

a) Đường thẳng $MN$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t,\left( t \in \mathbb{R} ight) \\ z = - 4t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát lả điểm $A( - 3; - 4;12)$ . Sai

c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). Đúng

d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ $M$ đến $N$ là 6 phút. Đúng

a) Ta có: $M(6;20;0),N( - 6; - 12;16)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}( - 12; - 32;16) = - 4.(3;8; - 4)$

Chọn $\overrightarrow{u_{MN}} = (3;8; - 4)$ .

Khi đó, phương trình $MN:\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t(t \in R) \\ z = - 4t \\ \end{matrix} ight.$

Do đó, a đúng

b) Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu $(O):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 13^{2}$ .

Tọa độ giao điểm của MN và $(O)$ là nghiệm của phương trình

$(6 + 3t)^{2} + (20 + 8t)^{2} + ( - 4t)^{2} = 13^{2}$

$\Leftrightarrow 89t^{2} + 356t - 267 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \Rightarrow A(3;12;4) \\ t = - 3 \Rightarrow B( - 3; - 4;12) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $\overrightarrow{MA}( - 3; - 8;4),\overrightarrow{MB}( - 9; - 24;12)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}$

Điểm gặp đầu tiên là $A(3;12;4)$

Do đó, b sai

c) $AB = \sqrt{( - 3 - 3)^{2} + ( - 4 - 12)^{2} + (12 - 4)^{2}} = \sqrt{356}$

Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1000 km nên khoảng cách $AB \approx 18900(km)$

Do đó, c đúng

d) $AB = 2\sqrt{89},MN = 4\sqrt{89}$

$\Rightarrow t_{MN} = 2t_{AB} = 2.3 = 6$ (phút)

Do đó, d đúng

Câu 17: Thông hiểu

Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A'B'C'$ có $AB = 5,BC = 5,CA = 7$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án:

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A'B'C'$ có $AB = 5,BC = 5,CA = 7$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 4,9

Vẽ đường cao AH của $\Delta ABC$ như hình vẽ:

Lại có: $A'A\bot AH$ .

Suy ra AH là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA’ và BC.

Suy ra: $d(A'A;BC) = AH$ .

Ta có: $S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = 6\sqrt{6}$ .

Vậy $d(AA',BC) = AH = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2.6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \approx 4,9$

Câu 18: Vận dụng

Một trò chợi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ $A,B,C,D$ với số lượng các thử thách trến đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng ngưởi chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án là:

Một trò chợi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ $A,B,C,D$ với số lượng các thử thách trến đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng ngưởi chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Đáp án: 43

Thử thách đi theo thứ tự trụ A, D, C, B, A là: 45.

Thử thách đi theo thứ tự trụ A, D, B, C, A là: 43.

Thử thách đi theo thứ tự trụ A, B, D, C, A là: 46.

Thử thách đi theo thứ tự trụ A, B, C, D, A là: 45.

Thử thách đi theo thứ tự trụ A, C, D, B, A là: 46.

Thử thách đi theo thứ tự trụ A, C, B, D, A là: 43.

Các trường hợp còn lại có được bằng cách thay thế $A ightarrow B,B ightarrow A$ và $A ightarrow C,C ightarrow A$ và $A ightarrow D,B ightarrow D$ .

Khi đó tổng số thử thách không thay đổi so với xuất phát từ trụ A.

Vậy tổng số thử thách nhỏ nhất là: 43

Câu 19: Vận dụng

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tịnh cho truớc nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0),B(3;6;6)$ , $C(4;6;2),D(6;2;14)$ ; vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA = 3,MB = 6,MC = 5,MD = 13$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án là:

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tịnh cho truớc nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0),B(3;6;6)$ , $C(4;6;2),D(6;2;14)$ ; vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA = 3,MB = 6,MC = 5,MD = 13$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Ta có, vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} MA = 3 \\ MB = 6 \\ MC = 5 \\ MD = 13 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6a - 2b = - 1 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6a - 12b - 12c = - 45 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} - 8a - 12b - 4c = - 31 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} - 12a - 4b - 28c = - 67 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 10b - 12c = - 44 \\ - 2a - 10b - 4c = - 30 \\ - 6a - 2b - 28c = - 66 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy OM = 3

Câu 20: Vận dụng

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bẳng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án: $m^{2}$

Đáp án là:

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bẳng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án: 3200 $m^{2}$

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Ta có: $A(30;0),B(0;20)$

$\Rightarrow (P):y = \frac{- 1}{45}x^{2} + 20$

Khi đó diện tích phần parabol là:

$4\int_{0}^{30}{\left( \frac{- 1}{45}x^{2} + 20 ight)dx} = 1600\left( m^{2} ight)$

Vậy diện tích toàn phần của sân chơi là: $60.80 - 1600 = 3200\left( m^{2} ight)$

Câu 21: Vận dụng cao

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án:

Đáp án là:

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: 333

Chi phí sản xuất khi sản xuất x sản phẩm là

$C(x) = x.G(x)$

$= x\left( x + 1000 + \frac{250000}{x} ight)$

$= x^{2} + 1000x + 250000$

Do đó lợi nhận $L(x)$ là:

$L(x) = F(x) - C(x)$

$= \left( x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 ight) - \left( x^{2} + 1000x + 250000 ight)$

$= x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 - x^{2} - 1000x - 250000$

$= x^{3} - 2000x^{2} + 1000000x$

Ta có:

$L'(x) = 3x^{2} - 4000x + 1000000$

$L'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 4000x + 1000000 = 0$ với $1 \leq x \leq 500$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 1000(L) \\x = \dfrac{1000}{3}(tm) \\\end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vây doanh nghiệp nên sản xuất khoảng 333 sản phẩm để lợi nhuận đạt mức lớn nhất

Câu 22: Vận dụng cao

Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẵu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hảng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án là:

Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẵu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hảng phần trăm).

Đáp án: 0,08

Gọi 𝐴 là biến cố: “Quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang “. Khi đó, $\overline{A}$ là biến cố: Quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng của hộp II ban đầu “.

Gọi B là biến cố: “Quả bóng lấy ra từ hộp II có màu đỏ, sau khi có một quả bóng từ hộp I chuyển sang hộp II“

Ta cần tính $P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(B)}$

$P(B) = P(B.A) + P\left( B.\overline{A} ight)$

$= P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)$

$= \frac{1}{11}.\frac{6}{10} + \frac{10}{11}.\frac{7}{10} = \frac{76}{110} = \frac{38}{55}$

$P\left( A|B ight) = \dfrac{P(A).P\left(B|A ight)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{11}.\dfrac{6}{10}}{\dfrac{38}{35}} =\dfrac{3}{38} \approx 0,08$

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!