Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.
Trường hợp 1: 4 quả đỏ + 0 quả xanh
Chọn 4 quả đỏ từ 5 quả đỏ có: (cách).
Trường hợp 2: 3 quả đỏ + 1 quả xanh
Chọn 3 quả đỏ từ 5 quả đỏ, 1 quả xanh từ 7 quả xanh có: (cách).
Vậy có (cách).
Tính tổng các hệ số các đơn thức trong khai triển nhị thức Newton 
?
Để có tổng các hệ số ta thay ta được:
Cho số gần đúng của là . Sai số tuyệt đối của số gần đúng này là:
Sai số tuyệt đối là:
Cho dãy số liệu . Kết luận nào dưới đây đúng?
Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không tăng như sau:
Khi đó:
Vậy kết luận đúng là: .
Trong mặt phẳng tọa độ cho . Xác định tọa độ trọng tâm của tam giác ?
Vì H là trọng tâm tam giác OPQ nên ta có:
Vậy trọng tâm tam giác cần tìm là .
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Newton với , biết là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn .
Điều kiện:
Khi đó
.
Số hạng tổng quát trong khai triển là
.
Tìm sao cho
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là
.
Cho dãy số liệu thống kê . Tìm số nguyên dương , biết số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đó bằng .
Điểm trung bình cộng của dãy số trên là
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mỗi khi thực hiện giao dịch qua app thanh toán tiền, ngân hàng sẽ gửi một mã xác thực (OTP – One Time Password) gồm 6 chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã OTP?
Mỗi mã xác thực gồm 6 chữ số được tạo thành từ các số từ 0 đến 9
=> Với mỗi chữ số trong mã xác thực sẽ có 10 cách chọn
=> Số mã xác thực có thể tạo thành là: mã.
Cho tập hợp . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp ?
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là:
TH1: d = 0 => d có 1 cách.
Số cách chọn a, b, c lần lượt là 5, 4, 3
=> Số các số tạo thành là: 1.5.4.3 = 60 (số)
TH2: => Chữ số d có 2 cách chọn.
=> Chữ số a có 4 cách.
=> Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3 cách.
=> Số các số tạo thành là: 2.4.4.3 = 96 (số)
Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giá của một số bó hoa (đơn vị: nghìn đồng) trong cửa hàng được thống kê như sau: . Mốt của mẫu số liệu này là:
Bó hoa có giá 300 nghìn đồng có tần số lớn nhất nên suy ra .
Cho ba nhóm học sinh:
Nhóm 1 gồm 6 học sinh có cân nặng trung bình là 45kg.
Nhóm 2 gồm 11 học sinh có cân nặng trung bình là 50kg.
Nhóm 3 gồm 8 học sinh có cân nặng trung bình là 42kg.
Hãy tính khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh trên?
Tổng khối lượng của mỗi nhóm lần lượt là:
Khối lượng trung bình của cả ba nhóm là:
Vậy khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là .
Kết quả đi chiều dài của một cây thước là thì sai số tương đối của phép đo là:
Ta có:
Trong balo của học sinh A có 8 bút chì khác, 6 bút bi và 10 quyển vở. Số cách chọn một đồ vật trong balo là:
Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn một đồ vật trong balo là: 8 + 6 + 10 = 24 cách.
Độ lệch chuẩn là gì?
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Cho tam giác . Tập hợp các điểm thỏa mãn là:
Vì , mà
cố định nên suy ra tập hợp
là đường thẳng đi qua
và vuông góc với
.
Trên giá sách có 8 quyển tiểu thuyết khác nhau và 6 quyển truyện tranh khác nhau. Số cách chọn một trong các quyển sách đó là:
Số cách chọn một trong các quyển sách đó là: 8 + 6 = 14 cách.
Trong các vecto dưới đây, vecto nào cùng phương với vecto ?
Nhận thấy nên
cùng phương với
.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tọa độ hai điểm . Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua ?
Gọi tọa độ điểm C là
Vì điểm đối xứng với điểm
qua
suy ra
là trung điểm của
Vậy tọa độ điểm C cần tìm là .
Tìm giá trị bất thường của mẫu số liệu: 8 50 6 4 2
Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 2 4 6 8 50
Số liệu chính giữa là 6 nên .
Trung vị của mẫu số liệu 2 4 là .
Trung vị của mẫu số liệu 8 50 là .
Khoảng tứ phân vị là .
Ta có: .
Ta có: .
Không có giá trị nào trong mẫu nhỏ hơn -36 và lớn hơn 68. Vậy mẫu không có giá trị bất thường.
Cho giá trị gần đúng của là . Sai số tuyệt đối của số không vượt quá giá trị nào sau đây?
Sai số tuyệt đối của số là:
Suy ra sai số tuyệt đối của số không vượt quá
.
Phương sai của một mẫu số liệu bằng
Phương sai của một mẫu số liệu bằng bình phương của độ lệch chuẩn.
Có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 bạn vào 1 dãy ghế hàng ngang liền nhau gồm 7 chỗ ngồi?
Xếp 7 bạn vào dãy 7 ghế: có 7! (cách).
Cho tập hợp M = {a; b; c}. Số hoán vị của ba phần tử của M là:
Số hoán vị của ba phần tử của M là: 3! = 6.
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Newton của ?
Số hạng tổng quát là:
Hệ số của tìm được khi
Vậy hệ số của trong khai triển là
.
Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ cho các tọa độ các điểm và . Xác định tọa độ điểm sao cho là trọng tâm tam giác ?
Xét tam giác ABD có G là trọng tâm khi đó ta có:
Vậy tọa độ điểm .
Nhà sản xuất công bố chiều dài và chiều rộng của 1 tấm ván hình chữ nhật lần lượt là và (đơn vị: cm). Tính diện tích của tấm thép.
Gọi và
lần lượt là chiều dài và chiều rộng thực của tấm thép.
Ta có: và
.
Suy ra: .
Do đó:
Vậy diện tích tấm thép là .
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton . Biết rằng .
Ta có:
Xét khai triển
Số hạng tổng quát
Số hạng không chứa x ứng với
Suy ra số hạng không chứa x là .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác biết . Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh của tam giác ?
Gọi M là trung điểm của BC
Khi đó tọa độ của M là:
Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:
Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là .
Cho hai biểu đồ chấm như hình dưới của mẫu A và mẫu B.
Chọn kết luận đúng.
Khoảng biến thiên của mẫu A và mẫu B đều là .
Vậy hai mẫu số liệu có khoảng biến thiên như nhau.
Cho đa giác đều gồm đỉnh với . Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào trùng với cạnh của đa giác gấp 5 lần số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác nhưng có đúng 1 cạnh trùng với 1 cạnh của đa giác. Hỏi đa giác có bao nhiêu đỉnh?
Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là (tam giác)
Số tam giác tạo thành có đúng hai cạnh trùng với hai cạnh của đa giác là n (tam giác).
Số tam giác tạo thành có đúng một cạnh là cạnh của đa giác là:
Số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là:
Theo giả thiết ta có:
Vậy đa giác có 35 đỉnh.
Xác định số trung vị của dãy số liệu ?
Dãy số đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Dãy số có 7 số liệu nên số trung vị đứng giữa dãy số.
Do đó số trung vị của dãy trên là 7.
Số quy tròn của số gần đúng với là:
Quy tròn đến hàng trăm nên số quy tròn của số gần đúng
là:
.
Cho tam giác , . Tính tọa độ điểm là chân đường phân giác góc . Biết .
Theo tính chất đường phân giác: . Suy ra
.
Gọi . Suy ra
.
Ta có:
Vậy tọa độ điểm .
Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số Tính tổng tất cả các số thuộc tập
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ là
số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị là
lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là .
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập là
.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng?
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình chữ nhật . Gọi là hình chiếu của điểm trên cạnh , điểm là trung điểm của . Viết phương trình tổng quát đường thẳng , biết rằng tọa độ điểm , đường chéo có phương trình và tọa độ điểm ?
Hình vẽ minh họa
Ta có: có một vecto pháp tuyến
nên AH nhận
làm một vecto chỉ phương.
Do đó đường thẳng có phương trình tham số là
H là giao điểm của AH và BD nên tọa độ của H thỏa mãn hệ phương trình:
Ta có: mà I là trung điểm của BH nên suy ra
Đường thẳng đi qua điểm nhận
làm một vecto pháp tuyến có phương trình tổng quát là
Trong mặt phẳng tọa độ ,cho tam giác có tọa độ các điểm . Đường thẳng đi qua và song song với có phương trình tổng quát là:
Ta có:
Phương trình tổng quát AC là:
Đường thẳng song song với
nên d có dạng
Do điểm
Vậy .
Cho hình vuông , tính .
Vẽ .
Ta có: .
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng có phương trình . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho?
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:
.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vecto và . Tính ?
Theo bài ra ta có:
và
Khi đó:
