Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức (Đề 4)

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK2 Toán 10 được biên soạn gồm 40 các câu hỏi trắc nghiệm chia thành 4 mức độ bám sát chương trình sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Trong một cuốc thi hùng biện, ban tổ chức đã công bố danh sách các chủ đề cho thí sinh gồm 8 chủ đề về lịch sử, 7 chủ đề môi trường, 10 chủ đề về con người và 6 chủ đề về văn hóa. Mỗi thí sinh tham gia thi chỉ được thi với 1 chủ đề. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn chủ đề?
- A.
  $15$
- B.
  $20$
- C.
  $31$
- D.
  $56$
Số cách chọn chủ đề thi của mỗi thí sinh là: 8 + 7 + 10 + 6 = 31.
Câu 2: Nhận biết
Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với x < 2
- A.
  x² − 5x + 6.
- B.
  16 − x².
- C.
  x² − 2x + 3.
- D.
  − x² + 5x − 6.
Bảng xét dấu của − x² + 5x − 6
Câu 3: Nhận biết
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tọa độ hai điểm $M(1;0),N(7;4)$ . Tọa độ trung điểm $I$ của $MN$ là:
- A.
  $I(4;2)$
- B.
  $I( - 6; - 4)$
- C.
  $I(3;2)$
- D.
  $I(8;4)$
Tọa độ trung điểm I của MN là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{M} + x_{N}}{2} \\y_{I} = \dfrac{y_{M} + y_{N}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{1 + 7}{2} = 4 \\y_{I} = \dfrac{0 + 4}{2} = 2 \\\end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ trung điểm của MN là: $I(4;2)$ .
Câu 4: Nhận biết
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\left( d_{1} ight):2x - 3y + 1 = 0$ và $\left( d_{2} ight): - 4x + 6y - 1 = 0$ ?
- A.
  Hai đường thẳng song song với nhau.
- B.
  Hai đường thẳng cắt nhau và không vuông góc với nhau.
- C.
  Hai đường thẳng trùng nhau.
- D.
  Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Ta có: $\frac{2}{- 4} = \frac{- 3}{6} eq \frac{1}{- 1}$

Vậy hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Câu 5: Thông hiểu
Một nhóm gồm 15 học sinh nam trong đó có 5 bạn giỏi Toán và 20 học sinh nữ trong đó có 6 bạn giỏi Văn. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho có đúng 1 học sinh nam giỏi môn Toán và 1 học sinh nữ giỏi môn Văn?
- A.
  $30.C_{26}^{2}$ cách
- B.
  $25.C_{26}^{2}$ cách
- C.
  $2C_{35}^{4}$ cách
- D.
  $C_{26}^{2} + C_{9}^{2}$ cách
Số cách chọn một học sinh nam giỏi Toán và 1 học sinh nữ giỏi Văn là: $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} = 30$ (cách)

Chọn 2 học sinh còn lại là: $C_{26}^{2}$ (cách)

Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn là: $30.C_{26}^{2}$ cách.
Câu 6: Nhận biết
Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 2x + 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
- A.
  x ∈ (0;+∞).
- B.
  x ∈ (−2;+∞).
- C.
  x ∈ ℝ..
- D.
  x ∈ (−∞;2).
f(x) = 2x² + 2x + 5 = 0 có: $\left\{ \begin{matrix} \Delta' = 1 - 10 = - 9 < 0 \\ a = 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên f(x) > 0∀x ∈ ℝ.
Câu 7: Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình: $2x^{2}–7x–15≥0$ là:
- A.
  $(-\infty ;-\frac{3}{2}]\cup [5;+\infty )$
- B.
  $[-\frac{3}{2};5]$
- C.
  $(-\infty ;5]\cup [\frac{3}{2};+\infty )$
- D.
  $[-5;\frac{3}{2}]$
Ta có: $2x^{2}–7x–15≥0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le - \frac{3}{2}}\\{x \ge 5}\end{array}} ight.$ .
Vậy $D=(-\infty ;-\frac{3}{2}]\cup [5;+\infty )$ .
Câu 8: Nhận biết
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 2}{x(x - 1)}$ ?
- A.
  M(0;−1).
- B.
  M(2;1).
- C.
  M(2;0).
- D.
  M(1;1).
Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.
Câu 9: Nhận biết
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?
- A.
  $y = 2x + 1$
- B.
  $y = x^{2} + 2x – 1$
- C.
  $y = x^{3} – 1$
- D.
  $y = 1$
Đáp án $y = x^{2} + 2x – 1$ là đáp án đúng vì hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c;\left( {a e 0} ight)$
Câu 10: Thông hiểu
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $C(1; - 1),D(2;5)$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = - 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi d là đường thẳng qua C và nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{CD} = (0;6)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{3mx + 1}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1} =\frac{2x + 5m + 3}{\sqrt{x + 1}}$ có nghiệm là:
- A.
  $0 < m <\frac{1}{3}$ .
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix}m < 0 \\m > \frac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$ .
- C.
  $- \frac{1}{3} < m <0$ .
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix}m < - \frac{1}{3} \\m > 0 \\\end{matrix} ight.$ .
ĐKXĐ: x > − 1
pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.
Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3m - 1 eq 0 \\x = \frac{5m + 1}{3m - 1} > - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq \frac{1}{3} \\\frac{8m}{3m - 1} > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m > \frac{1}{3} \\m < 0 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 12: Nhận biết
Một nhóm học sinh gồm 5 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi số cách chọn một học sinh bất kì trong nhóm?
- A.
  $5$
- B.
  $11$
- C.
  $30$
- D.
  $6$
Số cách chọn một học sinh bất kì trong nhóm là: 5 + 6 = 11 cách chọn.
Câu 13: Vận dụng
Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 USD. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá x USD thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua (120−x) đôi. Hỏi cửa hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất?
- A.
  80 USD
- B.
  160 USD
- C.
  40 USD
- D.
  240 USD
Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có y = (120−x)(x−40) = − x² + 160x − 4800 = − (x−80)² + 1600 ≤ 1600.

Dấu $" = "$ xảy ra ⇔ x = 80.

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD.
Câu 14: Thông hiểu
Tìm tập xác định D của hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x}$ .
- A.
  D = ℝ ∖ {0}
- B.
  D = [1; + ∞)
- C.
  D = ℝ ∖ {−1; 0}
- D.
  D = [ − 1; + ∞) ∖ {0}
Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy tập xác định của hàm số là D = [ − 1; + ∞) ∖ {0}.
Câu 15: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $A = \left\{ 1,2,3,4,5,6 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau thuộc khoảng $(300;500)$ ?
- A.
  $720$ số
- B.
  $40$ số
- C.
  $20$ số
- D.
  $41$ số
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc};(a eq 0)$

Số cần tìm thuộc khoảng $(300;500)$ nên $a \in \left\{ 3;4 ight\}$ => a có 2 cách chọn.

Số cách chọn b là 5 cách chọn

Số cách chọn c là 4 cách chọn

Vậy có thể lập được $2.5.4 = 40$ (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 16: Nhận biết
Tính số chỉnh hợp chập 2 của 5 là:
- A.
  $C_{5}^{2}$
- B.
  $A_{5}^{2}$
- C.
  $P_{2}$
- D.
  $5!$
Số chỉnh hợp chập 2 của 5 là: $A_{5}^{2}$ .
Câu 17: Nhận biết
Cho đường thẳng $\Delta:x - 2y - 1 = 0$ . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $2x - y - 2 = 0$
- B.
  $4x + 2y + 3 = 0$
- C.
  $x + 2y - 1 = 0$
- D.
  $x - 2y - 5 = 0$
Đường thẳng $d:4x + 2y + 3 = 0$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ vì $\overrightarrow{n_{d}}.\overrightarrow{n_{\Delta}} = 4.1 + 2( - 2) = 0$ .
Câu 18: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + \left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2x + m - 1$ là một hàm số lẻ. Biết rằng $m = m_{0}$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  $m_{0} \in \left( \frac{1}{2};3 ight)$
- B.
  $m_{0} \in \left\lbrack - \frac{1}{2};0 ightbrack$
- C.
  $m_{0} \in \left( 0;\frac{1}{2} ightbrack$
- D.
  $m_{0} \in \lbrack 3; + \infty)$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Với $x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = ( - x)^{3} + \left( m^{2} - 1 ight).( - x)^{2} + 2( - x) + m - 1$

$= - x^{3} + \left( m^{2} - 1 ight).x^{2} - 2x + m - 1$

Hàm số đã cho là hàm số lẻ khi đó:

$f( - x) = - f(x),\forall x \in D$

$\Leftrightarrow - x^{3} + \left( m^{2} - 1 ight).x^{2} - 2x + m - 1 = - \left\lbrack x^{3} + \left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2x + m - 1 ightbrack$

$\Leftrightarrow 2\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} - 1 = 0 \\ m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \pm 1 \\ m = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 1$

Vậy $m_{0} = 1 \in \left( \frac{1}{2};3 ight)$

VD

1
Câu 19: Nhận biết
Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $d$ cắt hai trục $Ox,Oy$ lần lượt tại điểm $A(a;0),B(0;b)$ với $a eq 0;b eq 0$ . Khi đó phương trình đường thẳng $d$ là:
- A.
  $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$
- B.
  $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$
- C.
  $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
- D.
  $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$
Phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .
Câu 20: Nhận biết
Phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$ có tập nghiệm là:
- A.
  {5}
- B.
  {2}
- C.
  {2;5}
- D.
  ∅.
Ta có: $\sqrt{x-1}=x-3 \Rightarrow x-1=x^2-6x+9$ $\Leftrightarrow x^2-7x+10=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 5}\end{array}} ight.$ .
Thử lại $x=2$ thấy không thỏa mãn. Vậy $S=\{5\}$ .
Câu 21: Thông hiểu
Cho phương trình $x^{2} - mx - m^{2} = 0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 10;10brack$ để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu?
- A.
  $20$
- B.
  $21$
- C.
  $9$
- D.
  $10$
Từ yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow a.c < 0 \Leftrightarrow - m^{2} < 0 \Leftrightarrow m^{2} > 0 \Leftrightarrow m eq 0$

Suy ra $m \in \left\{ - 10;....; - 1 ight\} \cup \left\{ 1;...;10 ight\}$

Vậy có 20 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $x^{2} + (m - 1)x + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $( - 5;5)$ ?
- A.
  $6$
- B.
  $7$
- C.
  $8$
- D.
  $9$
Ta có:

$PT \Leftrightarrow (x + 1)(x + m - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - m + 2 \\ \end{matrix} ight.$

Từ yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m + 2 eq - 1 \\ - 5 < - m + 2 < 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 3 \\ - 3 < m < 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;4;5;6 ight\}$

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 23: Thông hiểu
Một nhóm học sinh gồm 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn nam và 1 bạn nữ để trực nhật lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  $32$
- B.
  $11$
- C.
  $28$
- D.
  $2$
Số cách chọn một bạn nam là: $7$ cách
Số cách chọn một bạn nữ là: $4$ cách
Vậy số cách chọn 1 nam, 1 nữ đi trực nhật lớp là: $7.4 = 28$ cách chọn.
Câu 24: Thông hiểu
Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng $d_{1}:(m - 3)x + 2y + m^{2} - 1 = 0$ và $d_{2}: - x + my + m^{2} - 2m + 1 = 0$ cắt nhau?
- A.
  $m eq 1$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m eq 1 \\ m eq 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $m eq 2$ .
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m eq 1 \\ m eq 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
$\left\{ \begin{matrix} d_{1}:(m - 3)x + 2y + m^{2} - 1 = 0 \\ d_{2}: - x + my + m^{2} - 2m + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{d_{1} \cap d_{2} =M}{ightarrow}\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 ightarrow \left\{ \begin{matrix}d_{1}: - 3x + 2y - 1 = 0 \\d_{2}: - x + 1 = 0 \\\end{matrix} ight.\ ightarrow TM \\meq0 ightarrow \frac{m - 3}{- 1}eq\frac{2}{m}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}meq1 \\meq2 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.\ .$

Chọn $\left\{ \begin{matrix} m eq 1 \\ m eq 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt{6 - 5x} = 2 - x$ ?
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:

$\sqrt{6 - 5x} = 2 - x$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - x \geq 0 \\ 6 - 5x = (2 - x)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x^{2} + x - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng $1 + ( - 2) = - 1$ .
Câu 26: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ $A(1;2)$ . Biết phương trình đường trung tuyến $BM:x + 2y - 2 = 0$ và đường cao $BH:2x + y = 0$ . Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ ?
- A.
  $5x - 8y - 14 = 0$
- B.
  $5x + 8y + 14 = 0$
- C.
  $5x - 8y + 14 = 0$
- D.
  $- 5x + 8y + 14 = 0$
Tọa độ đỉnh $B = BH \cap BM \Rightarrow B\left( - \frac{2}{3};\frac{4}{3} ight)$

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm $A(1;2)$ và vuông góc với đường thẳng BH là: $x - 2y + 3 = 0$

Tọa độ $M = AC \cap BM \Rightarrow M\left( - \frac{1}{2};\frac{5}{4} ight)$

Vì BM là đường trung tuyến nên M là trung điểm cạnh AC suy ra $C\left( - 2;\frac{1}{2} ight)$

Ta có: $\overrightarrow{BC} = \left( - \frac{4}{3}; - \frac{5}{6} ight)$ là VTCP $\Rightarrow \overrightarrow{n} = (5; - 8)$ là VTPT

Khi đó đường thẳng BC có phương trình là: $5x - 8y + 14 = 0$ .

VDC

1
Câu 27: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai? Đường thẳng $(\Delta)$ được xác định khi biết
- A.
  một vectơ pháp tuyến hoặc một vectơ chỉ phương.
- B.
  hệ số góc và một điểm thuộc $(\Delta)$ .
- C.
  một điểm thuộc $(\Delta)$ và biết $(\Delta)$ song song với một đường thẳng $(d)$ cho trước.
- D.
  hai điểm phân biệt thuộc $(\Delta)$ .
Mệnh đề sai là: “một vectơ pháp tuyến hoặc một vectơ chỉ phương.”
Câu 28: Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2}-5x}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{x-2}} =0$ là:
- A.
  $S=\{1;4\}$
- B.
  $S=\{1\}$
- C.
  $S=\varnothing$
- D.
  $S=\{4\}$
Điều kiện $x>2$ .
Ta có: $\frac{x^{2}-5x}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{x-2}} =0\Leftrightarrow x^2-5x+4=0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 4}\end{array}} ight.$ .
Loại $x=1$ . Do đó $S=\{4\}$ .
Câu 29: Nhận biết
Đồ thị của hàm số nào sau đây là parabol có đỉnh I(−1; 3).
- A.
  y = 2x² + 4x − 3.
- B.
  y = x² − x + 1.
- C.
  y = 2x² + 4x + 5.
- D.
  y = 2x² − 2x − 1.
Đỉnh Parabol là $I\left( - \frac{b}{2a};\ - \frac{\Delta}{4a} ight) = \left( - \frac{b}{2a};\ - \frac{b^{2} - 4ac}{4a} ight)$ .

Do đó chỉ có đáp án y = 2x² + 4x + 5 thỏa mãn.
Câu 30: Thông hiểu
Với giá trị nào của a thì ax² − x + a ≥ 0, ∀x ∈ ℝ?
- A.
  a = 0.
- B.
  a < 0.
- C.
  $0 < a \leq \frac{1}{2}$ .
- D.
  $a \geq \frac{1}{2}$ .
*a = 0thì bpt trở thành − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0. Suy ra a = 0không thỏa ycbt.

* a ≠ 0 thì $ax^{2} - x + a \geq 0,\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} \Delta \leq 0 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 4a^{2} \leq 0 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} a \geq \frac{1}{2} \\ a \leq - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a \geq \frac{1}{2}$ .
Câu 31: Vận dụng cao
Cho đường tròn $(C):x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0$ tâm $I$ và đường thẳng $(\Delta):\sqrt{2}x + my + 1 - \sqrt{2} =0$ cắt nhau tại hai điểm $M;N$ . Tìm giá trị tham số $m$ để diện tích tam giác $MNI$ có giá trị lớn nhất?
- A.
  $m = 3$
- B.
  $m = - 4$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = - 3$
Hình vẽ minh họa
Đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = 3
Diện tích tam giác MNI là:
$S_{MNI} =\frac{1}{2}IM.IN.sin\widehat{MIN} \leq \frac{1}{2}IM.IN$
Suy ra $\max S_{MNI} = \frac{1}{2}IM.IN =\frac{9}{2}$ đạt được khi tam giác MNI vuông cân tại I và $AB = IA\sqrt{2} = R\sqrt{2} =3\sqrt{2}$
Mặt khác
$S_{MNI} =\frac{1}{2}.MN.d(I,\Delta)$
$\Leftrightarrow \frac{9}{2} =\frac{1}{2}.3\sqrt{2}.d(I,\Delta) \Leftrightarrow d(I,\Delta) =\frac{3}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{\left| \sqrt{2}.1+ m.( - 2) + 1 - \sqrt{2} ight|}{\sqrt{2 + m^{2}}} =\frac{3}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{|1 - 2m|}{\sqrt{2+ m^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow 2(1 - 2m)^{2} = 9\left(2 + m^{2} ight)$
$\Leftrightarrow (m + 4)^{2} = 0\Leftrightarrow m = - 4$
Vậy $m = - 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 33: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai đường thẳng $\left( d_{1} ight):mx - (m - 1)y + 4 - m^{2} = 0$ và $\left( d_{2} ight):(m + 3)x + y - 3m - 1 = 0$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng một góc vuông?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 0$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 1$
Ta có:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d_{1} ight):mx - (m - 1)y + 4 - m^{2} = 0$ là: $\overrightarrow{n_{1}} = (m, - m + 1)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d_{2} ight):(m + 3)x + y - 3m - 1 = 0$ là: $\overrightarrow{n_{2}} = (m + 1;1)$

Hai đường thẳng $\left( d_{1} ight);\left( d_{2} ight)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0 \Leftrightarrow m(m + 3) - m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow m = - 1$

Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi $m = - 1$ .
Câu 34: Thông hiểu
Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x - 3y + 2 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 3t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng $\Delta:x - 3y + 2 = 0$ đi qua điểm $A( - 2;0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3)$ nên có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = (3;1)$ .

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 35: Nhận biết
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(4; - 5)$ và đường thẳng $(d):3.x - 4y + 8 = 0$ . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
- A.
  $9$
- B.
  $8$
- C.
  $7$
- D.
  $6$
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) là:

$d\left( A;(d) ight) = \frac{\left| 3.4 - 4.( - 5) + 8 ight|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 8$

Vậy khoảng cách cần tìm bằng 8.
Câu 36: Vận dụng
Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^{2} + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Bảng biến thiên của tam thức bậc hai là
- A.
- B.
- C.
- D.
Từ đồ thị ta có:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = – 1 và x = 3
=> f(x) có 2 nghiệm phân biệt là x = –1; x = 3 ta loại các đáp án
Ta lại có: f(x) nhận giá trị dương trên các khoảng (– ∞; –1) và (3; + ∞); f(x) nhận giá trị âm trên khoảng (–1; 3) ta loại đáp án
Vậy bảng biến thiên đúng là
Câu 37: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d):3x + y - 6 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 5 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $135^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d và $\Delta$ lần lượt là $\overrightarrow{n_{d}} = (3;1);\overrightarrow{n_{\Delta}} = (2; - 1)$ .

Khi đó góc giữa hai đường thẳng là:

$\cos(d;\Delta) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{d}}.\overrightarrow{n_{\Delta}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{d}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{\Delta}} ight|} = \frac{|3.2 - 1.1|}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}.\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (d;\Delta) = 45^{0}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng là $45^{0}$ .
Câu 38: Thông hiểu
Giá trị của $x$ thoả mãn phương trình $A_{x}^{10}+ A_{x}^{9}=9A_{x}^{8}$ là:
- A.
  $x = 10$
- B.
  $x = 9$
- C.
  $x = 11$
- D.
  $x = 12$
Điều kiện: $x \ge10$ .
Thay $x=11$ vào phương trình, ta được: $A_{11}^{10} + A_{11}^9 = 9A_{11}^8$ (2 vế bằng nhau). Do đó $x=11$ là nghiệm của phương trình.
Câu 39: Thông hiểu
Quan sát đồ thị hàm số, chọn nhận xét đúng?
- A.
  $a > 0,b < 0,c > 0$
- B.
  $a > 0,b > 0,c > 0$
- C.
  $a > 0,b = 0,c > 0$
- D.
  $a < 0,b < 0,c > 0$
Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;c)$ nằm phía trên trục hoành nên $c > 0$ .

Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ $- \frac{b}{2a} < 0$ mà $a > 0$ suy ra $b > 0$ .

Kết luận: $a > 0,b > 0,c > 0$ .
Câu 40: Nhận biết
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  $A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)$
- B.
  $P_{n}=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$
- C.
  $P_{n}=n!$
- D.
  $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$
Công thức sai là: $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$ .

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức (Đề 4)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!