Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0(Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P)(Q) vuông góc với nhau?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\
\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\
\end{matrix} ight.

    Để hai mặt phẳng (P)(Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}}
= 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2
ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2
ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3}
+ 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} +
2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2
\Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 +
91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t =
\frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{-
375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2}
ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx
294,92(km).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 1;3brack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ):

    Diện tích hình (H) bằng:

    Diện tích phần gạch chéo là:

    S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x)
- x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x
ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack f(x) -
\frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack
f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}

    = 2f(2) - f(1) - f(3) + 1.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C
ight)' = sin3x.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^{x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \
\frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1
ight)}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3), D(2;-2;0). Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểmO, A, B, C, D ?

     Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0, do đó D \in \left( {ABC} ight).

    Lại có A là trung điểm BD.

    Ta có (Oxy) chứa các điểm O, A, B, D;

    (Oyz) chứa các điểm O, B, C;

    (Oxz) chứa các điểm O, A, C;

    (ABC) chứa các điểm A, B, C, D;

    (OCD) chứa các điểm O, C ,D.

    Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho đường tròn \left( C ight):{x^2} + {y^2} = 8 và parabol \left( P ight):{y^2} = 2x. \left( P ight) cắt \left( C ight) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.

    Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là: 2x = 8 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 2} \\   {x =  - 4\left( L ight)} \end{array}} ight.

    Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với x = 2 \Rightarrow y = 2

    Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại

    Ta có:

    \begin{matrix}  {S_2} = 2\int\limits_0^2 {\left[ {\sqrt {8 - {y^2}}  - \dfrac{{{y^2}}}{2}} ight]} dy \hfill \\   = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {y^2}} } dy - \int\limits_0^2 {{y^2}} dy \hfill \\   = 2I - \left. {\dfrac{{{y^3}}}{3}} ight|_0^2 = 2I - \dfrac{8}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt y = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dy = 2\sqrt 2 \cos tdt

    \begin{matrix}  I = \int_0^2 {\sqrt {8 - {y^2}} } dy = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} } .2\sqrt 2 \cos tdt \hfill \\   = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } .\cos tdt = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}} tdt \hfill \\   = 4\int_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {4\left[ {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight]} ight|_0^{\frac{\pi }{4}} = \pi  + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó {S_2} = 2\pi  + \frac{4}{3}

    Diện tích hình tròn {S_2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 8\pi

    \begin{matrix}  {S_1} = 8\pi  - \left( {2\pi  + \dfrac{4}{3}} ight) = 6\pi  - \dfrac{4}{3} \hfill \\   \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{9\pi  - 2}}{{3\pi  + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell  = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a.

  • Câu 11: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0
\Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} =
\int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix}  F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {u = {e^{2x}}} \\   {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {du = 2{e^{2x}}dx} \\   {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx}  = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 13: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số \frac{f(x) +
1}{e^{x}}?

    Ta có: f(x) = F'(x) = \left( e^{2x}
ight)' = 2.e^{2x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) +
1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}

    = 2e^{x} - e^{- x} + C

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) =
12(1;2;2)

    Vậy \overrightarrow{n_{(ABC)}} =
(1;2;2) là đáp án cần tìm.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x =
eS = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 +
\ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln
x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 +
\ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow t = 1 \\
x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\
\end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} =
\frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} =
\frac{20}{9}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{2} - 2x có đồ thị (P). Các tiếp tuyến với đồ thị tại O(0;0) và tại A(3;3) cắt nhau tại B. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA của (P) và hai tiếp tuyến BO;BA?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    y' = 2x - 2

    Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB: y =
y'(0)(x - 0) + 0 \Leftrightarrow y = - 2x

    Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB: y =
y'(3)(x - 3) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 9

    Suy ra OA \cap OB = B\left( \frac{3}{2};
- 3 ight)

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{x^{2}dx} +
\int_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( x^{2} - 6x + 9 ight)dx} = \frac{9}{8} +
\frac{9}{8} = \frac{9}{4}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) =
6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} +
C

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx}  = a\pi \sqrt 3  + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của \frac{a}{b} là:

     Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx}  = a\pi \sqrt 3  + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}. Giá trị của \frac{a}{b} là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx}  = \left. {\left( {\frac{1}{2}x\sin 2x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}  =  - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  a =  - \frac{1}{{24}} \hfill \\  b =  - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{12}}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 2x - 2y = \frac{x - 4}{2 - x}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{2} -
2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x eq 2 \\
\left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x eq 2 \\
x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 -
\frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 -
\frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 -
\frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 -
\frac{2}{x - 2} ight|dx}

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|

    = \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} +
6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} +
2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x +
1)e^{x}dx} bằng cách đặt u = 2x +
1;dv = e^{x}dx. Công thức nào dưới đây chính xác?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u = 2x + 1 \\
dv = e^{x}dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = 2dx \\
v = e^{x} \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra I =
\int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = \left. \ \left\lbrack (2x + 1)e^{x}
ightbrack ight|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

  • Câu 24: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM
= 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x =
0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
OM = 7 \\
d\left( M;(Oxz) ight) = 2 \\
d\left( M;(Oyz) ight) = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\
b^{2} = 4 \\
a^{2} = 9 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow c^{2} = 36

    d\left( M;(Oxy) ight) = \sqrt{c^{2}}
= 6

  • Câu 25: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.F(4) + F(
- 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F(
- 2) + F(12) bằng:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx}  = \left\{ \begin{gathered}
  \sqrt {2x + 1}  + {C_1}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 +
1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 26: Vận dụng

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight.IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}}  = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}

    Do đó \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{0}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{-
3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx}  = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( -
3;4;0)\overrightarrow{b} =
(5;0;12). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 3}{13}

  • Câu 32: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{1}{x} + \sin x là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x +
C.

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0. Chọn khẳng định đúng.

    Hai mặt phẳng (\alpha);(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} =
(1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)

    Ta có \overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}}
= 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0

    (\alpha)\bot(\beta).

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0; - 2), B( - 2;3;4), ,\ C(4; - 6;1). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB} = (3\ ;\  - 3\
;\  - 6). Sai||Đúng

    c) Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là điểm B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0). Đúng||Sai

    d) NếuABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D(1; -
3;7). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0; - 2), B( - 2;3;4), ,\ C(4; - 6;1). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB} = (3\ ;\  - 3\
;\  - 6). Sai||Đúng

    c) Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là điểm B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0). Đúng||Sai

    d) NếuABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D(1; -
3;7). Sai||Đúng

    Ta có:

    A(1;0; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k} \Rightarrow a) sai.

    \overrightarrow{AB} = \left( x_{B} -
x_{A}\ ;\ y_{B} - y_{A}\ ;\ z_{B} - z_{A} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 3\
;\ 3\ ;\ 6) \Rightarrow b) sai.

    c) đúng

    d) Gọi D(x;y;z),

    \overrightarrow{AB} = ( -
3;3;6), \overrightarrow{DC} = (4 -
x; - 6 - y;1 - z)

    ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4 - x = - 3 \\
- 6 - y = 3 \\
1 - z = 6 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 7 \\
y = - 9 \\
z = - 5 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow D(7\ ;\  - 9\ ;\  -
5).

    Vậy d) sai

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x -
2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^x} + 2x thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }

    Theo bài ra ta có:

    F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    => F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x^{2} - ax với trục hoành (a eq 0). Quay hình (H) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V =
\frac{16\pi}{15}. Tìm a?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = a \\
\end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: Với a > 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax
ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} +
\frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} =
\frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} =
\frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2

    Trường hợp 2: Với a < 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax
ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} +
\frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = -
\frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} =
\frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2

    Vậy a = \pm 2.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} - 2xy = - x^{2} + x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 2x = - x^{2} + x \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \frac{3}{2} \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left| 2x^{2}
- 3x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 2x^{2} - 3x
ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(
\frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}}
ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A;B;C là:

    Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =
1.

    Ta có \frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} +
\frac{z}{2} = 1

    \Leftrightarrow - 2x + y - 3z =
6

    \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 =
0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} -
x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} +
\frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x
+ 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x -
A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx}
= \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} +
\frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1)
ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1
\Rightarrow H = 0.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 46 lượt xem
Sắp xếp theo