Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 và (Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 và (Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: 4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0.

    Gọi điểm

    A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)

    B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)

    Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: 4x − y − 2z + m = 0 (γ).

    Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1

    ⇔ m = −2 hoặc m = −4

    Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

    Với m = −2 ta có (4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0 nên A; B cùng phía.

    Với m = −4 ta có (4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0 nên A; B khác phía.

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 4x − y − 2z − 4 = 0 (γ).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 7: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Biết rằng hàm số y = f(x) có f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5. Hàm số f(x) là:

    Theo lí thuyết \int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C

    Khi đó f(x) có dạng f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}

    Theo đề ta có: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số là f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5.

  • Câu 11: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng (Q):y = 0,(P):2x - y + 3z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q),(P)?

    Gọi \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{p} = (2; - 1;3) \\ \overrightarrow{q} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

    Khi đó mặt phẳng (R) nhận vectơ \overrightarrow{\omega} = - \left\lbrack \overrightarrow{p};\overrightarrow{q} ightbrack = (3;0; - 2) làm một vectơ pháp tuyến.

    Do đó (R) có phương trình 3x - 2z - 1 = 0.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bới đồ thị của hàm số y = {e^x} + x và các đường thẳng x - y + 1 = 0;x = \ln 5 là:

     Ta có: x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1

    Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

    {e^x} + x = x + 1 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Rightarrow x = 0

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    \begin{matrix} S = \int\limits_0^{\ln 5} {\left| {{e^x} - 1} ight|dx} = \int\limits_0^{\ln 5} {\left( {{e^x} - 1} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {{e^x} - x} ight)} ight|_0^{\ln 5} = 4 - \ln 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) như hình vẽ (phần tô đậm):

    Diện tích hình phẳng (H) là:

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra S = \int_{1}^{3}{x\ln xdx}

    Theo công thức tích phân từng phần:

    S = \left. \ \frac{x^{2}}{2}.\ln2ight|_{2}^{3} + \int_{1}^{3}{\frac{x}{2}dx} = \left. \frac{x^{2}}{2}.\ln2 ight|_{2}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{4}ight|_{2}^{3} = \frac{9}{4}\ln3 - 2.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5. Đường thẳng x = k;1 < k < 5 chia (H) thành hai phần có diện tích S_{1} và S_{2} (hình vẽ bên).

    Tính giá trị k để S_{1} = 2S_{2}?

    Ta có: \frac{1}{x} > 0;x > 1 do đó ta được:

    S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k

    S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = 2S_{2}

    \Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 21: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Đáp án là:

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = \sqrt{x},y = x - 2.

    \sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.

    Diện tích của hình phẳng cần tìm là

    S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).

  • Câu 23: Nhận biết

    Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a;x = b;a < b, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;(a \leq x \leq b) là S(x).

    Thể tích của vật thể đã cho là: V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} và y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \frac{3a}{2}. Diện tích của thiết diện đó bằng?

    Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO=2a, bán kính đáy OA=3a .

    Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

    Diện tích thiết diện

    Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ OH\bot SI,H\in SI

    Ta có: 

     +\left\{\begin{matrix}AB\bot O I\\AB\bot S O\\\end{matrix}\Rightarrow A B\bot(SOI)\Rightarrow A B\bot O Hight.

    +\left\{\begin{matrix}OH\bot S I\\OH\bot A B\\\end{matrix}\Rightarrow O H\bot(SAB)\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\frac{3a}{2}ight.

    Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có

    \frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OH^2}-\frac{1}{SO^2}=\frac{4}{9a^2}-\frac{1}{4a^2}=\frac{7}{36a^2}\Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt7}.

    SI=\sqrt{SO^2+OI^2}=\sqrt{4a^2+\frac{36a^2}{7}}=\frac{8a}{\sqrt7}.

    Xét tam giác AOI vuông tại I, có: 

    AI=\sqrt{AO^2-OI^2}=\sqrt{9a^2-\frac{36a^2}{7}}=\frac{3\sqrt3a}{\sqrt7}

    \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}

    Vậy diện tích của thiết diện là:

    S_{\triangle S A B}=\frac{1}{2}\cdot SI\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{8a}{\sqrt7}\cdot\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}=\frac{24a^2\sqrt3}{7}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;1),B(0;1;2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

    Phương trình mặt phẳng (P) là:

    - 2(x - 2) - 2(y - 3) + (z - 1) = 0

    \Leftrightarrow (P):2x + 2y - z - 9 = 0

  • Câu 27: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 29: Vận dụng

    Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết \overrightarrow {AB} = \left( {2, - 4,3} ight);\overrightarrow {EH} = \left( {3, - 2,1} ight) và \overrightarrow {CG} = \left( { - 1,3, - 2} ight).

    Theo đề bài, ta có:

     \overrightarrow {AB} = \left( {2, - 4,3} ight);\,

    \,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {EH} = \left( {3, - 2,1} ight);\,

    \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {CG} = \left( { - 1,3, - 2} ight)

    Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:{V_{ABCDEFGH}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } ight].\overrightarrow {AE} } ight| 

    Suy ra: \begin{array}{l}V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } ight].\overrightarrow {AE} } ight|\\\,\,\,\,\, = \left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 4}&3\\3&{ - 2}&1\\{ - 1}&3&{ - 2}\end{array}} ight|} ight|\\\,\,\,\,\, = \left| {2 - 20 + 21} ight| = 3\end{array}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;1). Tính độ dài đoạn thẳng OA?

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + z - 6 = 0 cắt ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C. Lúc đó thể tích V của khối tứ diện OABC là:

    Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) lần lượt là giao của mặt phẳng (P) với ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz.

    Khi đó A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6) và tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc tại O.

    Do đó V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Một khu vườn được quy hoạch để trồng hoa hồng được giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn bán kính (phần tô màu trong hình vẽ). Hỏi số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn? Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần ít nhất 300.000 đồng.

    Tính số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn

    Nửa đường tròn (T) có phương trình y = \sqrt {2 - {x^2}}

    Xét parabol (P) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng y = a{x^2} + c

    (P) cắt Oy tại điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    (P) cắt (T) tại điểm \left( {1;1} ight) thuộc (T) => a + c = 1 \Rightarrow a = 2

    Phương trình (P) là: y = 2{x^2} - 1

    Diện tích miền phẳng D (phần tô màu trong hình là:

    \begin{matrix} S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - 2{x^2} + 1} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} = {I_1} + {I_2} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{2}{3}{x^3} + x} ight)} ight|_{ - 1}^1 = \frac{2}{3}

    Xét {I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} đặt x = \sqrt 2 \sin t;t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight]

    => dx = \sqrt 2 \cos tdt

    Ta có: x \in \left[ {1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} ight]

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}t} .\sqrt 2 \cos tdt} \hfill \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} ight)dt} \hfill \\ = \left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 1 + \dfrac{\pi }{2} \hfill \\ \Rightarrow S = {I_1} + {I_2} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{\pi }{2}\left( {{m^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 300000.\left( {\frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}} ight) \approx 971239 đồng

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn mệnh đề đúng?

    Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

    \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z = 0.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính diện tích S_{D} của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|, trục hoành và các đường thẳng x = \frac{1}{e};x = 2?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx}

    = - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}

    = - \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}

    = \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} có cạnh a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}

    Ta có: \overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM} hay \overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    Do đó \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 37: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} bằng cách đặt u = 2x + 1;dv = e^{x}dx. Công thức nào dưới đây chính xác?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = 2x + 1 \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = \left. \ \left\lbrack (2x + 1)e^{x} ightbrack ight|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 40: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập