Một vật chuyển động với vận tốc
có gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Tính vận tốc của vật sau
giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Vận tốc của vật là:
Do vận tốc ban đầu của vật là
Vận tốc của vật sau 10s là
Một vật chuyển động với vận tốc
có gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Tính vận tốc của vật sau
giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Vận tốc của vật là:
Do vận tốc ban đầu của vật là
Vận tốc của vật sau 10s là
Tính tích phân
bằng
Ta có:
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta được
Trong không gian
, viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm với mọi
và
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Đặt
Đổi cận
Xét
Đặt
Đổi cận
Xét
Đặt
Đổi cận
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Suy ra . Lại có:
Suy ra diện tích tam giác là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Cho ba vectơ
. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Cho hàm số
liên tục trên
và
,
là một nguyên hàm của
trên
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Cho hình phẳng
giới hạn bới đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
bằng bao nhiêu?
Thể tích cần tìm là:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ
có hai mặt phẳng
và
cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm
đồng thời cắt các trục tọa độ
tại hai điểm cách đều
. Giả sử
có phương trình
và
có phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.
Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ có hai mặt phẳng
và
cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm
đồng thời cắt các trục tọa độ
tại hai điểm cách đều
. Giả sử
có phương trình
và
có phương trình
. Tính giá trị biểu thức
.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cho hình hộp chữ nhật có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cách 1. Gọi là trung điểm
,
,
,
.
Ta có .
Lại có .
Mặt khác .
Dễ thấy
.
Suy ra với
;
.
Vậy .
Cách 2. Đặt các trục ,
và
vào hình như sau
Ta có ,
,
và
.
Ta có ,
và
.
Khi đó :
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, gọi
là mặt phẳng song song với mặt phẳng
và cách điểm
một khoảng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì suy ra
Theo giả thiết ta có:
Vậy hoặc
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là
. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.
Chứng minh được nên suy ra
.
Trong tam giác đều ABC, ta có
và
Trong tam giác vuông SOE, ta có
.
Vậy thể tích khối nón (đvtt).
Cho tích phân
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Ta có:
, với
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Tích phân
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Trong không gian , cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và chắn trên các trục tọa độ
theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
khi
theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng
là:
Do giả thiết suy ra .
Giả sử khi đó phương trình mặt phẳng
.
Do M thuộc (P) nên
Suy ra do đó phương trình mặt phẳng
.
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
và các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Với khi đó
Diện tích hình phẳng ta được:
Giá trị của tích phân
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại
và
. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
(
) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
và
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là: