Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2} + 3x + 2} = aln2 + bln3 với a;b là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức T = a + b?

    Ta có:

    \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2} + 3x + 2} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(x + 1)(x + 2)} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \ln\left( \frac{x + 1}{x + 2}ight) ight|_{0}^{1} = 2\ln2 - \ln3

    Suy ra a = 2;b = - 1 \Rightarrow a + b = 1.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hai điểmA\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight) và vectơ \overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight). Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ \vec{a} có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)

    Như vậy, \vec{AB} và \vec{a} sẽ là cặp vectơ chỉ phương của (\beta)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}

    Chọn \overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight) làm vectơ pháp tuyến của  (\beta)

    Phương trình mặt phẳng (\beta) có dạng 34x + 21y + 5z + D = 0

    Mặt khác, vì điểm A \in (\beta) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (\beta)  được: 34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25

    Vậy (\beta) có phương trình là: 34x + 21y + 5z + 25 = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) suy ra G_{0} là trọng tâm tam giác BCD suy ra \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của 3e^2F(x)?

     Ta có:

    F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }

    Mà F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1

    \begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

    Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)

    => F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}

    => F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}} Hay  3e^2F(x) = e^{{x^3} - 3x + 2} - 1

  • Câu 13: Vận dụng

    Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động đều. Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí A nhưng chậm hơn nó 12 giây với vận tốc nhanh dần đều và đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc B tại thời điểm đó.

    Phương trình vận tốc của vật A là {v_1} = a.t

    Ta có: v\left( 8 ight) = 6 \Rightarrow a = \frac{3}{4} \Rightarrow {v_1} = \frac{3}{4}t

    Quãng đường vật A đi được sau 20s đầu là: \int\limits_0^8 {\frac{3}{4}tdt + 6.12 = 96\left( m ight)}

    Phương trình vận tốc của vật B là

    \begin{matrix} {v_2} = bt \Rightarrow {S_B} = \int\limits_0^8 {btdt} = 96 \Rightarrow b = 3 \hfill \\ \Rightarrow {v_2} = bt \hfill \\ \end{matrix}

    => Vận tốc của vật B khi hai vật gặp nhau là: {v_B} = 3.8 = 24\left( {m/s} ight)

  • Câu 14: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 3y + 2z + 1 = 0 và (Q):(2m - 1)x + m(1 - 2m)y + (2m - 4)z + 14 = 0 với m là tham số thực. Tổng các giá trị của m để (P) và (Q) vuông góc nhau bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)

    (Q) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left( 2m - 1;,m(1 - 2m);2m - 4 ight)

    (P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}}

    Điều này tương đương với

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 6m^{2} + 3m - 9 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1 + \left( - \frac{3}{2} ight)= - \dfrac{1}{2}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và \int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) + 3x^{2} ightbrack dx} = 10. Xác định giá trị của \int_{0}^{2}{f(x)dx}?

    Ta có: \int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) + 3x^{2} ightbrack dx} = 10 \Leftrightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx} = 10 - \int_{0}^{2}{3x^{2}dx}

    \Leftrightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx} = 10 - \left. \ x^{3} ight|_{0}^{2} = 2

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biết rằng (P) không cắt đoạn BC. Khi đó pháp tuyến của mặt phẳng (P):

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M là trung điểm của đoạn BC, suy ra M(2; 0; −1).

    Gọi BB’, CC’, MM’ lần lượt là khoảng cách từ B, C, M đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra BB’ + CC’ = 2MM’.

    Xét tam giác vuông AMM’, ta có MM' ≤ AM, từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM’ phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M’ trùng với A hay MA ⊥ (P).

    Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{AM} = (1;0; - 2)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;1;5),B(4;3;2),C( - 3; - 2;1) và điểm I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức H = a + 2b + c?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 7; - 5; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 0 nên tam giác ABC vuông tại B

    Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

    \Rightarrow I\left( 1; - \frac{1}{2};3ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \dfrac{1}{2} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow H = a + 2b + c = 3

    Vậy đáp án cần tìm là H = 3

  • Câu 20: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tính thể tích V của vật thể sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^{x}.\sqrt{x}, đường thẳng x = 1 và trục hoành?

    Thể tích V của vật thể là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{x}\sqrt{x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{2x}.x ight)dx}

    = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}{xd\left( e^{2x} ight)} = \frac{\pi}{2}\left\lbrack \left. \ \left( x.e^{2x} ight) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{2x}dx} ightbrack

    = \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;0; - 2). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{0} = (0;0;0) cùng phương với mọi vectơ

    Lại có \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.

    Vậy vectơ không cùng phương với \overrightarrow{a} là \overrightarrow{b} = (1;0;2).

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2;0;1).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b với a;b\mathbb{\in Z}. Xác định giá trị biểu thức P = ab?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight. khi đó ta có:

    \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}

    = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8.

  • Câu 25: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 26: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(2;3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Tìm hoành độ x_{M} của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight| đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(2;3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Tìm hoành độ x_{M} của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight| đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 28: Vận dụng

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 29: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm với mọi x\mathbb{\in R} và f'(x) = 2x + 1. Giá trị của f(2) - f(1) bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}

    = x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C

    \Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = (1;2;3).

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt có phương trình là x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{p} = (1;0; - 4) và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{r} = (0;1;0)

    Do \overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R} nên vectơ \overrightarrow{p} không cùng phương với vectơ \overrightarrow{r}.

    Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là 4m/s và gia tốc a\left( t ight) = 3{t^2} + t\left( {m/s} ight). Hỏi sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây thì vận tốc của vật là bao nhiêu?

    Ta có: v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} ight)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)

    Do khi bắt đầu tăng tốc {v_0} = 4m/s nên

    {v_{\left( {t = 0} ight)}} = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow v\left( t ight) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 4

    Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được là

    v\left( 2 ight) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 4 = 14\left( {m/s} ight)

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^{x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 46 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập