Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} đúng vì \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}

    \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC} đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}} đúng vì \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}

    \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC} sai vì

    \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 3: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 4: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x} + \sin x là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}. Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Suy ra F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    Trên khoảng (0;\pi) ta có:

    F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3} nên t s có:

    F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2\sqrt{3}

    Vậy F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bới đường cong y = \sqrt {{x^2} + 1}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Thể tích cần tìm là: v = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^2}dx} = \frac{{4\pi }}{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1; - 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\ \overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( - 1;3;1), nhận \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 = 0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

  • Câu 12: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 14: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến (P) lớn nhất, biết rằng (P) không cắt đoạn BC. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Kiểm tra \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1): Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1).

    Kiểm tra \overrightarrow{n} = (1;0;2): Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại \overrightarrow{n} = (1;0;2).

    Kiểm tra \overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1): Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại \overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1).

    Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn \overrightarrow{n} = (1;0; - 2).

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\ \end{matrix} ight.

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack và \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} = 5. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx}?

    Ta có:

    I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2\sin x ightbrack dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin xdx}

    = 5 - \left. \ 2\cos xight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho giá trị của tích phân {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = a, {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = b. Giá trị a.b gần nhất với giá trị nào sau đây?

     Ta có:

    {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\sin 3x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow a = - \frac{2}{3}

    \begin{matrix} {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x ight| - \dfrac{1}{x} - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_e^{2e} \hfill \\ = \ln 2 - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow b = - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} + \ln 2 - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow a.b \approx - 0,2198

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0. Chọn khẳng định đúng.

    Hai mặt phẳng (\alpha);(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)

    Ta có \overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0

    ⇒ (\alpha)\bot(\beta).

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a^2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30^0. Đường cao h của hình nón bằng:

     Tính đường cao nón

    Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.  và SE = \frac{1}{2}AB.

    Ta có {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}

    \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên

    {30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3

  • Câu 22: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E) có a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( - 2;0),(2;0)

    Vì \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} = \pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = (1;2;3).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C. Tính giá trị biểu thức H = 3a + b?

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{2} - 2x có đồ thị (P). Các tiếp tuyến với đồ thị tại O(0;0) và tại A(3;3) cắt nhau tại B. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA của (P) và hai tiếp tuyến BO;BA?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    y' = 2x - 2

    Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB: y = y'(0)(x - 0) + 0 \Leftrightarrow y = - 2x

    Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB: y = y'(3)(x - 3) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 9

    Suy ra OA \cap OB = B\left( \frac{3}{2}; - 3 ight)

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{x^{2}dx} + \int_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( x^{2} - 6x + 9 ight)dx} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} và các trục tọa độ.

    Đồ thị hàm số đã cho cắt hai trục Ox tại điểm A(−1; 0) và cắt trục Oy tại điểm B\left( 0; - \frac{1}{2} ight), do đó diện tích cần tìm là

    S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = 3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^x} + 2x thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }

    Theo bài ra ta có:

    F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    => F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2). Tính tích vô hướng của \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6

  • Câu 34: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1 và x = 3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 36: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 37: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = - \int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 3. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 \leq x \leq 3) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x^{2} - 2. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên

    Diện tích thiết diện là: S(x) = 3x.\left( 3x^{2} - 2 ight) = 9x^{3} - 6x

    \Rightarrow Thể tích vật thể là: V = \int_{1}^{3}{\left( 9x^{3} - 6x ight)dx = 156}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua hai điểm M(1;8;0), C(0;0;3) cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm tam giác ABC). Biết G( a, b ,c). Tính P=a+b+c.

    Gọi A(m;0;0), B(0;n;0) mà  C(0;0;3) nên G(\frac{m}{3};\frac{n}{3};1) và OG^2=\frac{1}{9} (m^2+n^2)+1.

    (P):\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{3}=1.(P) qua hai điểm M(1; 8; 0) nên  \frac{1}{m}+\frac{8}{n}=1.

    Ta có:  1=\frac{1}{m}+\frac{8}{n}=\frac{1}{m}+\frac{16}{2n} \geq\frac{(1+4)^2}{m+2n}

    \Rightarrow m+2n \geq25

    Suy ra

    25 \leq m+2n \leq \sqrt{5(m^2+n^2)} \Leftrightarrow m^2+n^2 \geq 125

    \Rightarrow OG^2 \geq \frac{134}{9}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 

    \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{m}+ \dfrac{8}{n}=1 \\ \dfrac{m}{1}= \dfrac{n}{2} \end{matrix}ight. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=5 \\ n=10 \end{matrix}ight. \Rightarrow G(\frac{5}{3}; \frac{10}{3}; 1)

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + 6y - 8z + 10 = 0.

    Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: 2x + y + z - 2 = 0.

    Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: 2x - 3y - 2z + 6 = 0.

    Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight).

    Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101}; - \frac{31}{101}; - \frac{26}{101} ight) = - \frac{1}{101}(22;31;26)

    Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;6; - 8).

    Vậy \left\lbrack \overrightarrow{n_{(ABC)}};\overrightarrow{u_{AH}} ightbrack = (404; - 202; - 101) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Chọn \overrightarrow{n_{P}} = (4; - 2; - 1) nên phương trình mặt phẳng (P) là 4x - 2y - z + 4 = 0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập