Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.F(4) + F(
- 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F(
- 2) + F(12) bằng:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx}  = \left\{ \begin{gathered}
  \sqrt {2x + 1}  + {C_1}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 +
1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} =
(2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4). Tọa độ vectơ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a}
- \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 +
2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)

    Vậy \overrightarrow{d}(7;0; -
4)

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3),B( - 2;4;4),C(4;0;5). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng GM.

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên G = (1;2;4)

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

    GM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó, ta có:

    GM = d\left( G,(Oxy) ight) =
\frac{4}{\sqrt{1}} = 4.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P)(Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0(Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P)(Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0(Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Thông hiểu

    Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin ax + \cos ax} ight)dx}, với a e 0 có giá trị là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\sin ax + \cos ax} ight)dx}  \hfill \\ = \left. {\left( { - \dfrac{1}{a}\cos ax + \dfrac{1}{a}\sin ax} ight)} ight|_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}= \left. {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{a}\sin \left( {ax - \dfrac{\pi }{4}} ight)} ight)} ight|_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} \hfill \\= \dfrac{{\sqrt 2 }}{a}\left[ {\sin \left( {a\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{4}} ight) + \sin \left( {a\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}} ight)} ight] \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left(
x^{4} - 1 ight) với \forall
x\mathbb{\in R}. Chọn kết luận đúng?

    Ta có: f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} -
3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)

    = x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} -
x^{3} + x^{2} + 3x - 3

    Ta có:

    I_{1} = \int_{-
2}^{0}{f'(x)dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{7} - x^{6} -
3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}

    = \frac{- 464}{105} < 0 \Rightarrow
f(0) - f( - 2) < 0 \Rightarrow f(0) < f( - 2)

    I_{2} =
\int_{0}^{2}{f'(x)dx}

    = \int_{0}^{2}{\left( x^{7} - x^{6} -
3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}

    = \frac{44}{105} < 0 \Rightarrow f(2)
- f(0) < 0 \Rightarrow f(2) < f(0)

    Vậy f(2) < f(0) < f( -
2).

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) =  - xf'\left( x ight);f\left( x ight) =  - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix}  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {g\left( x ight) =  - xf'\left( x ight)} \\   {f\left( x ight) =  - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) =  - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\   \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} }  \hfill \\   \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 =  - \ln 4 \hfill \\   \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 =  - \ln 4 \hfill \\   \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| =  - \ln 4 \hfill \\   \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\   \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 8: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left(
\sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} =
\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} +
C.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm A(\,\, - 2,\,\,3,\,\,5);\,\,\,B\left( {\, - 4,\,\, - 2,\,\,3\,} ight) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow a  = \left( {\,2,\,\, - 3,\,\,4\,} ight) .

    Theo đề bài ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2, - 5, - 2} ight)

    Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} } ight] = 2\left( {13, - 2, - 8} ight)

    Mp (P) đi qua A (-2,3,5) và nhận vecto \vec{n_P}(13, -2, -8) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x + 2} ight)13 + \left( {y - 3} ight)\left( { - 2} ight) + \left( {z - 5} ight)\left( { - 8} ight) = 0

    \Leftrightarrow 13x - 2y - 8z + 72 = 0

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C
ight)' = sin3x.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho các hàm số y = f(x)y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx}
= x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N lần lượt là tung điểm của AB;CD. Chọn mệnh đề đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DN} \\
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CN} \\
\end{matrix} ight.

    Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

    2\overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CN}

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} =
\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left(
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left(
\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{BC} ight)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho tích phân I = \int\limits_1^e {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)\ln xdx}  = a{e^2} + b, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a - 3b là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  I = \int\limits_1^e {\left( {x + \dfrac{1}{x}} ight)\ln xdx}  \hfill \\ = \int\limits_1^e {x\ln xdx}  + \int\limits_1^e {\dfrac{1}{x}\ln xdx}  \hfill \\ \end{matrix}

    = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} ight)} ight|_1^e - \int\limits_1^e {\frac{x}{2}dx}  + \int\limits_0^1 {dt}  = \frac{{{e^2}}}{4} + \frac{5}{4}, với t = \ln x

    \begin{matrix}   \Rightarrow a = \dfrac{1}{4},b = \dfrac{5}{4} \hfill \\   \Rightarrow 2a - 3b =  - \dfrac{{13}}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;1),B(0;1;2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; -
2;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

    Phương trình mặt phẳng (P) là:

    - 2(x - 2) - 2(y - 3) + (z - 1) =
0

    \Leftrightarrow (P):2x + 2y - z - 9 =
0

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số f(x);g(x);h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

    Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x)
ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack
dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack
dx}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x -
1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} =
\int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x -
\ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCAB = AC\widehat{SAB} = \widehat{SAC}. Góc giữa hai đường thẳng SABC là:

    Ta có:

    \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS}
= \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
ight).\overrightarrow{AS}

    =
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}

    = AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0 (vì AB =
AC\widehat{SAB} =
\widehat{SAC}).

    Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90^{0}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \lbrack 1;3brack và thỏa mãn \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +
3g(x) ightbrack dx} = 10\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x)
ightbrack dx} = 6. Tính tích phân K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + g(x)
ightbrack dx}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 \\\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} + 3\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 10 \\2\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{g(x)dx} = 6 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} = 4 \\\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 2 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +g(x) ightbrack dx} = 4.2 = 6

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} -
1}}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x +
\sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2}
- 1} ight) ightbrack dx}

    = \int_{}^{}{2x^{2}dx} -
\int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} =
\frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1
ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}

    = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left(
x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C

    Vậy một nguyên hàm của hàm số là F(x) =
\frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} -
1}.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm a + b biết rằng \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} =
\frac{a}{b} là phân số tối giản?

    Ta có: t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow
t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = 0 \\
\end{matrix} ight. khi đó suy ra

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 -
x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}

    = \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} -
\frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}

  • Câu 22: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 25: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0?

    Dễ thấy điểm O(0;0;0) không thuộc mặt phẳng (P).

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3  + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 27: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số y = cos2x?

    Ta có: \int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C

    = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}

    = \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'

    = \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x
ight)^{2} + C'

    Vậy đáp án cần tìm là: y =
\frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên đoạn \left[ {a;b} ight]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x =
0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; -
1).

  • Câu 30: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3 bằng:

    Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

    S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left.
\ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x
ightbrack dx} = 1. Khi đó \int_{1}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x
ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} -
2\int_{1}^{2}{xdx} = 1

    \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} -
2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow
4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} =
1

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: 2x - 3y + 4z - 2024 = 0.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{-
5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{-
5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0m/s.

    Khi xe dừng hẳn thì v(t) = 0m/s nên 0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t =
4s.

    Nguyên hàm của hàm số vận tốc \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} +
20t + C}, C\mathbb{\in
R}.

    Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

    \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \
\left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} =
40m.

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} +
6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} +
2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2\widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell  = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell  = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 37: Vận dụng

    Gọi (H) là hình phẳng xác định bởi \left( C ight):y = \left| {{x^2} - 3x + 2} ight|;\left( D ight):y = x + 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox.

    Hình vẽ minh họa:

     Tính thể tích khối tròn xoay

    Tọa độ giao điểm của (C) và trục hoành là (1; 0) và (2; 0)

    Tọa độ giao điểm của (C) và (D) là (0; 2) và (4; 6)

    Dễ thấy x + 2 \geqslant \left| {{x^2} - 3x + 2} ight| \geqslant 0;\left( {\forall x \in \left[ {0;4} ight]} ight)

    Thể tích cần tìm là:

    \begin{matrix}  V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {{{\left( {x + 2} ight)}^2} - {{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)}^2}} ight]dx}  \hfill \\   = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\left( { - {x^4} + 6{x^3} - 12{x^2} + 16x} ight)} ight]dx}  \hfill \\   = \dfrac{{256\pi }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0
\Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} =
\int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho tam giác ABC với A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight) . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) vuông góc với mặt phẳng (ABC) song song phân giác ngoài AF của góc A?

     Một vecto chỉ phương của (R)\overrightarrow n  = 12\left( {3,1,2} ight)

    Ta có :

    \begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB}  = 5\overrightarrow {FC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y =  - 10\\z =  - 14\end{array} ight.\end{array}

    Vecto chỉ phương thứ hai \overrightarrow {AF}  = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)

    Suy ra vecto pháp tuyến của (R)\overrightarrow N  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)

    Mp (R) đi qua A (1, -2, 6) và nhận vecto (-1, 23, -10) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0

    \Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} -
x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} +
\frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x
+ 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x -
A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx}
= \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} +
\frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1)
ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1
\Rightarrow H = 0.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 40 lượt xem
Sắp xếp theo