Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Xác định giá trị của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Vậy đáp án .
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có: .
Khi đó
Khi đó quãng đường đi được bằng:
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
(với
) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho
quay quanh trục
, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Một vật chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường đi được bằng
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc trục tung
?
Điểm thuộc trục tung Oy là .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Cho đường cong (C)
. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).
Ta có:
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số
như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?
Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:
.
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Điểm
thuộc đoạn
sao cho
, tọa độ điểm
là:
Gọi tọa độ độ điểm . Vì điểm
nên
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Xác định tích phân
?
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
và vuông góc với
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó, phương trình mặt phẳng là
.
Phân tích vectơ
theo ba vectơ không đồng phẳng
![]()
Ta có 3 vecto không đồng phẳng. Khi đó luôn có :
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
bằng
Ta có .
Thể tích
của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
, vuông góc với cả hai mặt phẳng
?
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và
.
Khi đó mặt phẳng nhận vectơ
làm một vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Cho hình chóp
có
, các cạnh
đôi một vuông góc. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng của hai vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Như vậy:
Tính tích phân
?
Ta có:
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là
. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.
Chứng minh được nên suy ra
.
Trong tam giác đều ABC, ta có
và
Trong tam giác vuông SOE, ta có
.
Vậy thể tích khối nón (đvtt).
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
cắt các trục
,
lần lượt tại
khác gốc tọa độ sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác
và
lần lượt là diện tích các tam giác
. Điểm
nào dưới đây thuộc
?
Ta có . Lại có
,
và
.
Đặt , ta có
Tương tự, ta có và
.
Khi đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hay
.
Từ đó suy ra nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Vậy là điểm thuộc
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
và
. Xác định tọa độ trung điểm
của
?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
Cho hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết
và
. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
là:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Do đó
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Theo bài ra suy ra
Như vậy . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là:
.