Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
và
là điểm đối xứng cới điểm
qua
. Khi đó
bằng:
Gọi là hình chiếu của M trên
ta có
. Do
đối xứng với
qua
, khi đó
là trung điểm của
Suy ra từ đó
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
và
là điểm đối xứng cới điểm
qua
. Khi đó
bằng:
Gọi là hình chiếu của M trên
ta có
. Do
đối xứng với
qua
, khi đó
là trung điểm của
Suy ra từ đó
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Biết
, a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
Ta có:
Đặt
Đổi cận
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba mặt phẳng
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và các đường thẳng
. Giá trị của
sao cho
là
Diện tích cần tìm chính là tích phân:
Ta có:
Do đó
Vậy là giá trị cần tìm.
Tính tích phân
?
Ta có:
.
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc
thì anh ta tăng tốc với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Xác định giá trị của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Vậy đáp án .
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, khi xoay quanh trục
.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tìm ta có:
Đặt
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy là hình vuông và
vuông góc với đáy. Biết
, lập phương trình mặt phẳng
.
Dễ dàng chứng minh được là mặt phẳng trung trực của
.
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Mặt phẳng đi qua trung điểm
của
và có vtcp
nên có phương trình:
.
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Một vật chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Suy ra
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Diện tích hình giới hạn là
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, các điểm
lần lượt nằm trên
sao cho
. Biết biểu diễn
. Tính tổng giá trị
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là
. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo
. Diện tích của thiết diện là:

Vì góc ở đỉnh là nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.
Suy ra đường cao của hình nón là .
Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra
.
Gọi M là trung điểm của AB thì và
.
Trong tam giác vuông SIM, ta có
Vậy (đvdt).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.