Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
. Đi được
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
Vận tốc vật đạt được sau 5s là:
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Vật dừng hẳn khi
Khi đó quãng đường đi được bằng
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Lại có
Do đó:
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính
?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng là:
hay
.
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho 3 mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa giao tuyến của
,vuông góc với
có phương trình tổng quát:
Mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng
nên phương trình có dạng:
Vì vuông góc với
nên ta được:
Vậy ta có phương trình là :
bằng
Ta có .
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Điểm
xác định bởi công thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên
Vậy mệnh đề đúng là “ thuộc tia
và
”.
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
cắt hai trục
và
tại và tạo với mặt phẳng
một góc
.
Gọi là giao điểm của
và trục
Vecto pháp tuyến của là:
Vecto pháp tuyến của là:
Gọi là góc tạo bởi và
Vậy có hai mặt phẳng:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Tích vô hướng
(
là số thập phân). Giá trị của
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: -0,5||- 0,5
Cho hình lập phương có cạnh bằng
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Tích vô hướng
(
là số thập phân). Giá trị của
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: -0,5||- 0,5
Hình vẽ minh họa
Vì nên
Ta có:
Vậy
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tích phân
?
Ta có:
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là
và gia tốc
. Hỏi sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây thì vận tốc của vật là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Cho tam giác ABC với
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
song song phân giác ngoài AF của góc A?
Một vecto chỉ phương của là
Ta có :
Vecto chỉ phương thứ hai
Suy ra vecto pháp tuyến của là
Mp đi qua
và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho lăng trụ tam giác
có tọa độ các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Hình vẽ minh họa
Gọi tọa độ điểm
Vì là hình lăng trụ nên
Vậy tọa độ
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
;
. Tính
?
Trên khoảng ta có:
Mà
Trên khoảng ta có:
Mà
Vậy
.
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và các đường thẳng
. Giá trị của
sao cho
là
Diện tích cần tìm chính là tích phân:
Ta có:
Do đó
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
.
Tích phân
có giá trị là:
Đặt
Đổi cận
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm
và có một vectơ chỉ phương
.
Theo đề bài ta có:
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Tích phân
bằng:
Ta có: