Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
(tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình lập phương có cạnh bằng
(tham khảo hình vẽ).
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) Vì là hình bình hành nên
.
b) Vì là hình hộp nên
.
c) Vì nên
.
d) Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có
.
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số
như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?
Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:
.
Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và các đường thẳng ![]()
Diện tích S của hình phẳng trên là:
Ta có:
=>
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
cùng vuông góc với
và có giá vuông góc với mp(P)
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Cho biết
với
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt . Khi đó
Đổi cận
. Suy ra
. Do đó
.
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho
. Hãy tính
?
Đặt
Đổi cận ta có:
Vậy
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là
. Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ
đến giây thứ
bằng bao nhiêu?
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
. Tính số đo góc
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho giá trị của biểu thức
nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức
là:
Điểm luôn tồn tại.
Ta có nên
.
Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Đặt
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng
Ta có:
Thể tích
của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Trong không gian
, biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia dương
lần lượt tại ba điểm
khác gốc tọa độ
, sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì mặt phẳng cắt các tia dương của trục
nên ta có
Ta có
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Suy ra độ dài ba cạnh theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Cho hàm số
dương và liên tục trên
thỏa mãn
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất, khi đó
bằng:
Do
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Giá trị của tích phân
. Biểu thức có giá trị
là:
Giá trị của tích phân . Biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
=>
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
. Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là
. Biết quãng đường từ nhà đến trường là
. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
Ta có:
Vì
Để học sinh đó đến trường thì
Vậy đáp án cần tìm là phút.
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Để thì
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là: