Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}} và 3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    Mà 3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục Oxlà H(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M' là (1; - 2; - 3)

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x - 2, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 3

    Diện tích S của hình phẳng trên là: S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx}

    Ta có: - {x^2} + 2x - 2 \leqslant 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]

    => S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2} ight)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} ight)} ight|_0^3 = 6\left( {dvdt} ight)}

  • Câu 5: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ và \int_{- 2}^{0}{f(x)dx} = a;\int_{0}^{3}{f(x)dx} = b.

    Tính diện tích của phần được gạch chéo theo a;b.

    Từ đồ thị ta suy ra \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 2;0brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 0;3brack \\ \end{matrix} ight.

    Do đó, diện tích phần gạch chéo là

    S = \int_{- 2}^{0}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{3}{f(x)dx} = a - b.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1),\ B( - 1;1;3) và mặt phẳng (P):x - 3y + 2z - 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A;B và vuông góc với (P) có dạng ax + by + cz - 11 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2) làm véc-tơ chỉ phương.

    Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận \overrightarrow{n_{AB}} = ( - 3; - 3;2) làm véc-tơ chỉ phương.

    Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{AB}} ightbrack = (0;8;12)

    Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:

    0(x - 2) + 8(y - 4) + 12(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0

    Vậy a + b + c = 5.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 12: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 = \ln 2

    Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên

  • Câu 13: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho \int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C. Với a e 0, khẳng định nào sau đây đúng?

     Xét \int {f\left( {ax + b} ight)dx}, đặt t = ax + b

    => I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x

    => \int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; - 4;2),B(1;2;4). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

    Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A(5; - 4;2) và vuông góc với đường thẳng AB.

    Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \overrightarrow{n_{AB}} = ( - 4;6;2)

    Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:

    - 4(x - 5) + 6(y + 4) + 2(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0

  • Câu 16: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight| ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình f(x) = 0 vô nghiệm)

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho tích phân I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32. Tính tích phân H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}?

    Đặt t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm a + b biết rằng \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = \frac{a}{b} là phân số tối giản?

    Ta có: t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight. khi đó suy ra

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}

    = \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}

  • Câu 21: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

  • Câu 22: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 23: Vận dụng

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx = 6}. Tính I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}.

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}

    = 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162m so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t) = 10t - t^{2}, trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:

    Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường làs = 162m

    Ta có: S = \int_{0}^{t_{0}}{\left( 10t - t^{2} ight)dt} = \left. \ \left( 5t - \frac{t^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{t_{0}} = 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} (với t_{0} là thời điểm vật tiếp đất)

    Cho 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} = 162 \Leftrightarrow t_{0} = 9 (Do v(t) = 10t - t^{2} \Rightarrow 0 \leq t \leq 10)

    Khi đó vận tốc của vật là: v(9) = 10.9 - 9^{2} = 9(m/p).

  • Câu 26: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C

  • Câu 27: Vận dụng

    Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị \left( P ight): y= {x^2} - 1 và hai tiếp tuyến của \left( P ight) tại A\left( { - 1;0} ight);B\left( {2;3} ight)

    Ta có hình vẽ minh họa như sau:

    Tính diện tích hình phẳng

    Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(-1;0) là: \left( {{d_2}} ight):y = - 2x - 2

    Phương trình tiếp tuyến của (P) tại B(2;3) là: \left( {{d_1}} ight):y = 4x - 5

    Từ hình vẽ ta suy ra diện tích của hình phẳng cần tìm là:

    \begin{matrix} S = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^2} - 1 - ( - 2x - 2)} ight)} {\text{d}}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {{x^2} - 1 - (4x - 5)} ight)} {\text{d}}x \hfill \\ = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^2} + 2x + 1} ight)} {\text{d}}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} ight)} {\text{d}}x \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x} ight)} ight|_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} + \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{9}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

     PT mp cắt khối tứ diện

    Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 3.0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \dfrac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\z = \dfrac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 3.1}}{4} = \dfrac{3}{4}\end{array} ight.

    Từ đó, ta suy ra: \overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} ight);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} ight) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} ight)

    Như vậy, VTPT mp (P) là: \left( P ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } ight] = \left( {15, - 4, - 5} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 0} ight)15 + \left( {y - 1} ight)\left( { - 4} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( { - 5} ight) = 0

    \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Xác định tọa độ trung điểm I của AB?

    Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)

    Vậy đáp án đúng là: I(1;0;4).

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M( - 3; - 2;3) và vuông góc với trục Ox.

    Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ \overrightarrow{i} = (1;0;0).

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

    1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y - ( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 3 = 0.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 32: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho điểm M\left( { - 3,2, - 1} ight) và hai mặt phẳng \left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0,\left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0.

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm M , vuông góc với cả hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) . Phương trình mặt phẳng (P):

     Theo đề bài, ta có:

    \left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow a = \left( {1,3, - 5} ight)

    \left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow b = \left( {2, - 1, - 2} ight)

    Suy ra tích có hướng giữa 2 vecto là \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \overrightarrow n = \left( {1, - 8, - 7} ight)

    Ta chọn \vec{n} làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (P)

    Phương trình (P) có dạng x - 8y - 7z + D = 0

    Mặt khác, ta có M \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 3 - 16 + 7 + D = 0 \Leftrightarrow D = 12

    Vậy phương trình cần tìm là: (P): x - 8y - 7z + 12 = 0

  • Câu 35: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:

     Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :

    \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.

    Giải (1),(2) tính x,y theo z được x = - z - 4;y = z + 5.

    Thế vào phương trình (3) được z=-3 , từ đó có x = - 1,y = 2

    Vậy  A(-1,2,-3).

  • Câu 36: Nhận biết

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}

  • Câu 37: Nhận biết

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 38: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x + 2} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Biết luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?

    Do 4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}. Vì luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên f(x) không phải là hàm hằng.

    Từ giả thiết 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}

    Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

    \int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C với C là hằng số.

    \Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|

    \Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.

    TH1: f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)

    TH2: f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    - e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)

    Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 2),B(2; - 3;5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB, tọa độ điểm M là:

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z). Vì điểm M \in AB nên

    \overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là: \left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập