Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA} và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. Biết biểu diễn \overrightarrow{MN} = m.\overrightarrow{AB} + n.\overrightarrow{SC} là duy nhất. Tính giá trị biểu thức T = m + n?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}

    Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho \overrightarrow{PC} = - 2\overrightarrow{PA}. Khi đó:

    \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho các hàm số f(x) và F(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn F'(x) = f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}, biết rằng F(0) = 2;F(1) = 5?

    Ta có: I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) = 3.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox,y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA = OB = 2OC eq 0?

    Đặt A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với abc eq 0.

    Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Do OA = OB = 2OC nên ta có |a| = |b| = 2|c|.

    Suy ra a = ±2c, b = ±2c.

    Nếu a = 2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}.

    Ta có (P): x + y + 2z − 9 = 0.

    Nếu a = 2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}

    Ta có (P): x − y + 2z − 5 = 0.

    Nếu a = −2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}

    Ta có (P): − x + y + 2z − 7 = 0.

    Nếu a = −2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}

    Ta có (P): − x − y + 2z − 3 = 0.

    Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a và x = b với a < b. Gọi f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack, khi đó thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

    Vì f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b ta có: V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx không phải là V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho \int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C. Với a e 0, khẳng định nào sau đây đúng?

     Xét \int {f\left( {ax + b} ight)dx}, đặt t = ax + b

    => I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x

    => \int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} và y = x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} = x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - x ight|dx} = \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{1}{6}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + my + (m - 1)z + 1 = 0 và (Q):x + y + 2z = 0. Tập hợp tất cả các giá trị m để hai mặt phẳng này không song song là:

    Ta có A(0;0;0) \in (Q).

    (P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight. hệ này vô nghiệm

    Hệ này vô nghiệm.

    Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Biết \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7 và \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 là:

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) = 2;f'(0) = 0

    Xét tích phân \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}. Đặt u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)

    \Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1

    Xét tích phân \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}. Đặt u = x - 1 \Rightarrow du = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}

    = \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}

    = 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}

    = 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)

    Theo bài ra suy ra

    4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7

    \Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1

    Như vậy f(3) = - 1;f'(3) = 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là: y = x - 4.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M( - 1;2; - 3) đến mặt phẳng (P)?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 10 = 0 và (Q):x + 2y + 2z - 3 = 0 bằng:

    Dựa vào phương trình (P);(Q) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;2;2) nên (P)//(Q)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{n} ight| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\d\left( O;(P) ight) = \dfrac{10}{3} \\d\left( O;(Q) ight) = \dfrac{3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight. suy ra d\left( (P);(Q) ight) = d\left( O;(P) ight) - d\left( O;(Q) ight) = \frac{7}{3}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = \sin x;y = \cos x và các đường thẳng x = 0;x = \pi?

    Hình vẽ minh họa

    Với x \in \lbrack 0;\pibrack khi đó \sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}

    Diện tích hình phẳng S = \int_{0}^{\pi}{\left| \sin x - \cos x ight|dx} ta được:

    S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( \cos x - \sin x ight)dx} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}{\left( \sin x - \cos x ight)dx}

    = \left. \ \left( \sin x - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \left( - \sin x - \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}

    = \left( \sqrt{2} - 1 ight) + \left( 1 + \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'} bằng:

    Theo quy tắc hình hộp ta có \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R} và a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} - \int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;1),B(1;0;1),C(1;1;0). Có bao nhiêu điểm M cách đều các mặt phẳng (ABC),(OBC),(OAC),(OAB)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (0;1;1);\overrightarrow{OB} = (1;0;1) \\ \overrightarrow{OC} = (1;1;0);\overrightarrow{AB} = (1; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (1;\ 0; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;\ 1; - 1) \Rightarrow (OAB):x + y - z = 0

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} ightbrack = ( - 1;1;1) \Rightarrow (OBC): - x + y + z = 0

    Gọi điểm M(a;b;c) cách đều các mặt phẳng (ABC),(OBC),(OAC),(OAB)

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OBC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = c(1) \\ b = c(2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OAC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b - c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0(3) \\ b = c(4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(ABC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0(5) \\ a = - b(6) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1), (3), (5) suy ra a = c = 0, b khác 0 tùy ý.

    Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} + \overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3 và \int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6. Tính tích phân C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}?

    Ta có: C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}.

    Ta có:

    C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}

    Đặt t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2

    Ta có:

    C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}

    Đặt t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1.

    Vậy C = C_{1} + C_{2} = 3

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 23: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 24: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 25: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 26: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 29: Thông hiểu

    Biết rằng A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx. Xác định T = 4B - 2A?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó:\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( - 3; - 1; - 1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm A'(x;y;z). Khi đó giá trị 2x + y + z bằng:

    Hình chiếu vuông góc của A( - 3; - 1; - 1) trên mặt phẳng (Oyz) là A'(0; - 1; - 1)

    Suy ra 2x + y + z = - 2.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5) và C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) =3t^{2} + t(m/s). Vận tốc ban đầu của vật là 2(m/s). Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2s.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =\int_{}^{}{\left( 3t^{2} + t ight)dt} = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} +C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} =2 nên v_{(t = 0)} = 2 \Rightarrow C= 2

    Suy ra v(t) = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} +2

    Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là v(2) = 12(m/s).

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (\alpha)?

    Điểm M(1; - 1;1) không thuộc mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 36: Vận dụng

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tích phân \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3} với a;b;c\mathbb{\in Z}. Kết luận nào dưới đây đúng?

    Ta có:I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}. Đặt t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}

    Đổi cận tích phân \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}

    Suy ra a = 1;b = - 1;c = - 1. Vậy a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian cho tứ diện ABCD, gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.

    Xét các phương án như sau:

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

    \overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}?

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập