Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có bao nhiêu điểm
cách đều các mặt phẳng
?
Ta có
Ta có:
Ta có:
Gọi điểm cách đều các mặt phẳng
Từ
Từ
Từ
Từ (1), (3), (5) suy ra , b khác 0 tùy ý.
Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Cho
và đặt
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi là tâm hình bình hành
. Khi đó:
Vậy .
Cho hình lăng trụ
có
là trung điểm của
. Đặt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó
Khi đó:
Vậy đẳng thức đúng là .
Trong không gian tọa độ
cho các điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Suy ra
là hình bình hành.
nên
là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
và vuông góc với
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó, phương trình mặt phẳng là
.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho hai mặt phẳng
.
Gọi
là góc nhọn tạo bởi
và
thì giá trị đúng của
là:
Theo đề bài đã cho PTTQ , ta suy ra được các vecto pháp tuyến tương ứng là:
có vectơ pháp tuyến
có vectơ pháp tuyến
Áp dụng công thức tính cosin giữa 2 vecto, ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Đặt
Đổi cận
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là
Gọi là mặt phẳng trung trực của
.
Tọa độ trung điểm của là
Vectơ pháp tuyến của là
Phương trình mặt phẳng
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
. Mặt phẳng
song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
là:

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra
Khi đó
Suy ra .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tính tích phân
?
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với
qua trục
?
Gọi H là hình chiếu vuông góc của lên
suy ra
Khi đó là trung điểm của
nên
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bới đồ thị của hàm số
và các đường thẳng
là:
Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Cho hàm
có đạo hàm liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
(phần gạch chéo trong hình vẽ):

Diện tích hình
bằng:
Diện tích phần gạch chéo là:
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi
quay quanh trục
bằng:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:
Thể tích
của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Cho đồ thị hàm số
có đồ thị
trên
như hình vẽ. Tính giá trị của
. Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol
và
.

Cho đồ thị hàm số có đồ thị
trên
như hình vẽ. Tính giá trị của
. Biết phần cong của đồ thị là mộ phần của parabol
và
.

Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Xác định tích phân
?
Ta có:
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc
thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
(trong đó
là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian
giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 8s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2s trước khi đạp phanh):
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).