Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì dừng lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô di chuyển động chậm dần đều với vận tốc v\left( t ight) = 20 - 40t\left( {m/s} ight), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

     Khi dừng hẳn \Rightarrow v\left( t ight) = 0 \Rightarrow 20 - 40t = 0 \Rightarrow t = 0,5\left( s ight)

    Quãng đường xe đi được từ khi đạp phan đến lúc dừng hẳn là:

    S = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {v\left( t ight)d\left( t ight)} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {20 - 40t} ight)d\left( t ight)} = 5\left( m ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

    PTTQ của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, với A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0 nên ta chọn 2x + 3y + z - 12 = 0.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 7: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số \frac{f(x) + 1}{e^{x}}?

    Ta có: f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}

    = 2e^{x} - e^{- x} + C

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0 và \left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0

    a) Vectơ có tọa độ (1\ ;\ 2\ ;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{1} ight). Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ ( - 2;\ 1\ ;\ 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{2} ight). Đúng||Sai

    c) Côsin của góc giữa hai vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1) và {\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1) bằng - \frac{1}{6}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P_{1} ight) và \left( P_{2} ight) bằng 100{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0 và \left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0

    a) Vectơ có tọa độ (1\ ;\ 2\ ;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{1} ight). Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ ( - 2;\ 1\ ;\ 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{2} ight). Đúng||Sai

    c) Côsin của góc giữa hai vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1) và {\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1) bằng - \frac{1}{6}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P_{1} ight) và \left( P_{2} ight) bằng 100{^\circ}. Sai||Đúng

    a) \overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1) nên mệnh đề sai

    b) \overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1) nên mệnh đề đúng

    c) \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6} mệnh đề đúng

    d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x - \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2} + \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} + \frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thỏa mãn biểu thức \overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} (với m;n duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

    Vậy đáp án đúng là: “Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thì bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.”

  • Câu 12: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + 3x + 2} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + 3x + 2} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + 3x + 2} ight)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x} ight)} ight|_{ - 1}^1 = 4

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính góc của hai vectơ \overrightarrow a = \,\left( { - 4,2,4} ight);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \,\left( {2\sqrt 2 , - 2\sqrt 2 ,0} ight)

     Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto, ta có:

    \cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} ight) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight|}} = \frac{{x.x' + y.y'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}

    Thay số suy ra được:

    \cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} ight) = \frac{{ - 8\sqrt 2 - 4\sqrt 2 + 0}}{{\sqrt {36} .\sqrt {16} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} ight) = {135^0}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0m/s.

    Khi xe dừng hẳn thì v(t) = 0m/s nên 0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t = 4s.

    Nguyên hàm của hàm số vận tốc \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C}, C\mathbb{\in R}.

    Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

    \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} = 40m.

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:

     Tính thể tích khối trụ

    Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.

    Ta có BH \bot \left( {AOO'A'} ight) nên {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.BH.

    Trong tam giác vuông A'AB có A'B = \sqrt {A{B^2} - AA{'^2}} = \sqrt 3 a.

    Trong tam giác vuông A'BD có BD = \sqrt {A'{D^2} - A'{B^2}} = a.

    Do đó suy ra tam giác BO'D nên BH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.

    Vậy  {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}{a^2}} ight).\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}} (đvtt).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \lbrack 1;3brack và thỏa mãn \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 và \int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6. Tính tích phân K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 \\\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} + 3\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 10 \\2\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{g(x)dx} = 6 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} = 4 \\\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 2 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +g(x) ightbrack dx} = 4.2 = 6

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos x

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + my + (m - 1)z + 1 = 0 và (Q):x + y + 2z = 0. Tập hợp tất cả các giá trị m để hai mặt phẳng này không song song là:

    Ta có A(0;0;0) \in (Q).

    (P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight. hệ này vô nghiệm

    Hệ này vô nghiệm.

    Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.

  • Câu 22: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\frac{{4x - 3}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx} có giá trị là:

    Ta có: \left( {5 + 4x - {x^2}} ight)' = 4 - 2x và  4x - 3 = 5 - 2\left( {4 - 2x} ight)

    I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} {\frac{{4x - 3}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} {\frac{5}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx} - \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} {\frac{{2\left( {4 - 2x} ight)}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx}

    Xét {I_1} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} {\frac{5}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} {\frac{5}{{\sqrt {9 - {{\left( {x - 2} ight)}^2}} }}dx}

    Đặt x - 2 = 3\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dx = 3\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6} \hfill \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi }{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{5.3\cos t}}{{\sqrt {9 - 9{{\sin }^2}t} }}dt} = \frac{{5\pi }}{3}

    Xét {I_2} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} {\frac{{2\left( {4 - 2x} ight)}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx}

    Đặt t = 5 + 4x - {x^2} \Rightarrow dt = 4 - 2x

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{{27}}{4} \hfill \\ x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{{27}}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {I_2} = 0

    \Rightarrow I = \frac{{5\pi }}{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}

    Mà AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}

  • Câu 24: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \frac{x}{{x + 1}}} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \frac{x}{{x + 1}}} ight)dx} có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \dfrac{x}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = \dfrac{8}{3} + 2 - \ln 3 - \left( {\dfrac{1}{3} + 1 - \ln 2} ight) \hfill \\ = \dfrac{{10}}{3} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.

  • Câu 25: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( {2, - 3,4} ight);\,\,\,\,B\left( { - 1,4,3} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp O.MNE  bằng \frac{3}{14} đvtt.

     Vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 1} ight)

    Phương trình \left( P ight):3x - 7y + z + D = 0

    (P) cắt 3 trục tọa độ tại M\left( { - \frac{D}{3},0,0} ight);\,\,N\left( {0,\frac{D}{7},0} ight);\,\,E\left( {0,0, - D} ight)

    Thể tích hình chóp O.MNE là:

    V_{O.MNE} = \frac{1}{6}OM.ON.OE = \frac{1}{6}\left| {\frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D} ight|

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left| D ight|}^3}}}{{126}} = \dfrac{3}{{14}} \Leftrightarrow {\left| D ight|^3} = 27 \Leftrightarrow D = \pm 3\\ \Rightarrow \left( P ight):3x - 7y + z \pm 3 = 0\end{array}

  • Câu 28: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx} có giá trị là:

    \begin{matrix} I = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx} \hfill \\ = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\ln \left| x ight| - \dfrac{1}{x}} ight)} ight|_e^{{e^2}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{{{e^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 12 - 2t(m/s) (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian 8 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu?

    Khi dừng hẳn v(t) = 12 - 2t = 0 \Rightarrow t = 6(s)

    Khi đó trong 8s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2s trước khi đạp phanh):

    S = 2.12 + \int_{0}^{6}{v(t)dt} = 24 + \int_{0}^{6}{(12 - 2t)dt}

    = 24 + \left. \ \left( 12t - t^{2} ight) ight|_{0}^{6} = 24 + 36 = 60(m)

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH

    Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

    Do đó OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)

    Suy ra (P):2x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 34: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 và (Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 và (Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1

  • Câu 38: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tích phân \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a - \ln b với a;b\mathbb{\in Z}. Giá trị của a + b bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}

    = \left. \ x ight|_{0}^{1} - \left. \ \ln\left( x^{2} + 1 ight) ight| = 1 - ln2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 3

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a\ln b + c trong đó a;b;c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức a + b + c?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}

    = \left. \ \left( x - \ln\left| x^{2} + 1 ight| ight) ight|_{0}^{1} = 1 - ln2

    Khi đó a = - 1;b = 2;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 40 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập