Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}} và 3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    Mà 3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 2: Nhận biết

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x - my - z + 7 = 0,(Q):6x + 5y - 2z - 4 = 0. Xác định m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau?

    Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

    Tập xác định \frac{3}{6} = \frac{- m}{5} = \frac{- 1}{- 2} eq \frac{7}{- 4}

    Vậy m = - \frac{5}{2} thì hai mặt phẳng (P);(Q) song song với nhau.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x^{2} - ax với trục hoành (a eq 0). Quay hình (H) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V = \frac{16\pi}{15}. Tìm a?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: Với a > 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2

    Trường hợp 2: Với a < 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2

    Vậy a = \pm 2.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 6: Nhận biết

    Giá trị tích phân I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C. Tính giá trị biểu thức H = 3a + b?

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

  • Câu 11: Nhận biết

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = a. Biểu thức có giá trị P = 2a - 1 là:

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = a. Biểu thức P = 2a - 1 có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}} dx \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 \hfill \\ = 1 - \ln 2 \hfill \\ \Rightarrow a = 1 - \ln 2 \hfill \\ \Rightarrow P = 2a - 1 = 1 - 2\ln 2 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 14: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1 và x = 3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20

  • Câu 15: Thông hiểu

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{x}} ight)} dx = a. Biểu thức P = a - 1 có giá trị là:

     Giá trị của tích phân I = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{x}} ight)} dx = a. Biểu thức P = a - 1 có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\dfrac{{1 + x + {x^2}}}{x}} ight)} dx \hfill \\ = \int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{1}{x} + 1 + x} ight)} dx \hfill \\ = \left. {\left( {\ln \left| x ight| + x + \dfrac{{{x^2}}}{2}} ight)} ight|_e^{{e^2}} \hfill \\ = 1 - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow a = 1 - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\\Leftrightarrow a - 1 = - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow P = - e + \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{{{e^4}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx = 6}. Tính I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}.

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}

    = 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.

  • Câu 17: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + y - z + 1 = 0 và (Q):x - y + z - 5 = 0. Có bao nhiêu điểm M trên trục Oy thỏa mãn M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Vì M \in Oy nên M(0;y;0)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}d\left( M;(P) ight) = \dfrac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \\d\left( M;(Q) ight) = \dfrac{| - y - 5|}{\sqrt{3}} \\\end{matrix} ight..

    Theo giả thiết:

    d\left( M;(P) ight) = d\left( M;(Q) ight) \Leftrightarrow \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - y - 5|}{\sqrt{3}}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 1 = - y - 5 \\ y + 1 = y + 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 3(TM) \\ 0y = 4(L) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M(0; - 3;0)

    Vậy có 1 điểm M thỏa mãn bài.

  • Câu 19: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(2,-1,3), B (3, 1, 2) và song song với vectơ \overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight) là:

    Theo đề bài, ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)

    Chọn \overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight) làm 1 vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : 9x - y + 7z + D = 0

    Mà mp lại qua A nên 9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40

    Phương trình cần tìm là: 9x - y + 7z - 40 = 0.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{x} ightbrack thỏa mãn F\left( \frac{1}{a} ight) = 0 và F(2018) = e^{2018}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{2} ightbrack= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight\}'

    \Rightarrow \int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a} ight)\Leftrightarrow \left. \ \left( e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight) ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}

    \Leftrightarrow \ln(2018a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}

    Vậy a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight).

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1) và \overrightarrow{v} = (0;2; - 2). Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} tương ứng là:

    Ta có: 2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2).

    \overrightarrow{v} = (0;2; - 2).

    Suy ra \overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABC, có OA,OB,OC đôi một vuông góc, M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt là a,b,c. Tính độ dài đoạn OA,OB,OC sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

    Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} d\left( M;(OBC) ight) = a \\ d\left( M;(OCA) ight) = b \\ d\left( M;(OAB) ight) = c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(a;b;c)

    (ABC):\frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1

    Ta có: M(a;b;c) \in (ABC) \Rightarrow 1 = \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{OA.OB.OC}}

    \Rightarrow \frac{27abc}{OA.OB.OC} \leq1 \Rightarrow \dfrac{9abc}{\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC} \leq 2

    \Rightarrow \frac{9abc}{V_{OABC}} \leq 2 \Rightarrow V_{OABC} = \frac{9abc}{2}

    Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{OA} = \frac{b}{OB} = \frac{c}{OC} \\ \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} OA = 3a \\ OB = 3b \\ OC = 3c \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 27: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB} và \vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tích phân \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3} với a;b;c\mathbb{\in Z}. Kết luận nào dưới đây đúng?

    Ta có:I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}. Đặt t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}

    Đổi cận tích phân \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}

    Suy ra a = 1;b = - 1;c = - 1. Vậy a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3.

  • Câu 29: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng \frac{1}{27} .

    Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD: {\left( {\frac{{AM}}{{AB}}} ight)^3} = \frac{1}{{27}}

    \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow M chia cạnh BA theo tỷ số -2

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x=\dfrac{{1 + 2.0}}{3} = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{{1 + 2.1}}{3} = 1\\z = \dfrac{{2 + 2\left( { - 1} ight)}}{3} = 0\end{array} ight.;\,\,

    \overrightarrow {BC} = - 2\left( {0,1,1} ight);\,\,\overrightarrow {BD} = - \left( {1,1,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của \left( Q ight):\overrightarrow n = \left( {0,1, - 1} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow M \in \left( Q ight) \Rightarrow \left( Q ight):\left( {x - \frac{1}{3}} ight)0 + \left( {y - 1} ight)1 + \left( {z - 0} ight)\left( { - 1} ight) = 0\\ \Rightarrow \left( P ight):y - z - 1 = 0\end{array}

  • Câu 31: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Tích phân I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2x - \sin x}}{{2 - 2\cos x}}dx} có giá trị là:

    Ta biến đổi: I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2x - \sin x}}{{2 - 2\cos x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{1 - \cos x}}dx} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}}dx}

    Xét  {I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{1 - \cos x}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{x}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}dx}

    Đặt \left\{ \begin{gathered} u = x \hfill \\ dv = \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}dx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = dx \hfill \\ v = - 2\cot \frac{x}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( { - 2x.\cot \frac{x}{2}} ight)} ight|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\cot \frac{x}{2}dx} } ight] = \frac{1}{2}\left[ { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 4\ln \sqrt 2 } ight]

    Xét {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}}dx}

    Đặt t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \hfill \\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\left. {\left( {\ln \left| t ight|} ight)} ight|} _{\frac{1}{2}}^1 = \frac{1}{2}\ln 2

    I = {I_1} - {I_2} = \frac{1}{2}\left( { - \pi + \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} + 4\ln \sqrt 2 - \ln 2} ight)

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\pi}{\cos^{3}x.\sin xdx}?

    Đặt x = \pi - t. Ta có:

    I = - \int_{\pi}^{0}{\cos^{3}(\pi -t).\sin(\pi - t)dt} = - \int_{0}^{\pi}{\cos^{3}t.\sin tdt} suy ra 2I = 0 \Rightarrow I = 0.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} dx} = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt { - 3 - {x^2} + 2x} dx} = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {1 - {{\left( {x - 2} ight)}^2}} dx}

    Đặt x - 2 = \sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight] \Rightarrow dx = \cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = \frac{5}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6} \hfill \\ x = 3 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} .\cos tdt} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt}

    = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt = \frac{1}{2}\left. {\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2t} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{8}

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết: A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight). Tìm tọa độ vectơ trung tuyến \overrightarrow {AM}

     Ta có A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight) nên suy ra được tọa độ 2 điểm tương ứng là:

    \overrightarrow {AB} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = - 3\\y - {y_A} = - 1\\z - {z_A} = 1\end{array} ight. \Rightarrow B\left( { - 1;3; - 2} ight);\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \overrightarrow {AC} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2\\y - {y_A} = - 6\\z - {z_A} = 6\end{array} ight. \Rightarrow C\left( {4; - 2;3} ight)

    Vậy ta được: B\left( { - 1,3, - 2} ight);\,C(4, - 2,3).

    Vì \overrightarrow {AM} là vecto trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Suy ra M có tọa độ là: M\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight).

    Suy ra ta có \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2} - 2,\frac{1}{2} - 4,\frac{1}{2} + 3} ight) = \left( { - \frac{1}{2},\frac{{ - 7}}{2},\frac{7}{2}} ight)

    Vậy \overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2},\frac{7}{2}} ight).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian với tọa độ Oxyz cho A(2; - 3;0) và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - z + 3 = 0. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho (P) vuông góc với (α) và (P) song song với trục Oz?

    Vì (P)\bot(\alpha) nên \overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(\alpha)}} và (P)//Oz nên \overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{k}

    Chọn \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(\alpha)}};\overrightarrow{k} ightbrack = (2; - 1;0)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 2x - y - 7 = 0.

  • Câu 38: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập