Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất?
Vì suy ra
. Ta có:
Theo bài ra:
Vậy nhỏ nhất bằng
khi
. Hay
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất?
Vì suy ra
. Ta có:
Theo bài ra:
Vậy nhỏ nhất bằng
khi
. Hay
Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính
. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được
nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính . Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được
nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc
và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc
.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng A di chuyển được là:
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:
Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là:
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Cho tứ diện đều
cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ
) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu
thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng
. Đúng||Sai
Cho tứ diện đều cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng . Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: Các vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là:
.
Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
b) Sai:
c) Sai: .
Do đó suy ra
.
d) Đúng: Ta có:
Suy ra
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
. Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là
Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc , sau đó vận tốc của vật có phương trình
Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.
Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm
thì vật đi được quãng đường là
. Hỏi tại thời điểm
thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
Quãng đường vật đi được từ thời điểm đến
Nếu
thì
bằng:
Ta có:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
Từ hình vẽ ta thấy
Do đó
Vậy mệnh đề sai là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
cắt hai trục
và
tại và tạo với mặt phẳng
một góc
.
Gọi là giao điểm của
và trục
Vecto pháp tuyến của là:
Vecto pháp tuyến của là:
Gọi là góc tạo bởi và
Vậy có hai mặt phẳng:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng , với
Vì nên
.
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Cho đường tròn
và parabol
.
cắt
thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.
Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là:
Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với
Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại
Ta có:
Đặt
Khi đó
Diện tích hình tròn
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Cho tứ diện
có
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
Theo đề bài, ta có các vecto là
Có thể chọn làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên:
Vậy phương trình cần tìm .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên.
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho bốn điểm ![]()
. Tính thể tích tứ diện
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Vậy thể tích tứ diện là:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Có bao nhiêu số thực
sao cho
?
Ta có:
Do nên có đúng 4 giá trị của
thỏa mãn.
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng
, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).
Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có
.
Xét tam giác vuông tại , ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
.