Một vật chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường đi được bằng
Một vật chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường đi được bằng
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Cho tam giác
. Lấy điểm
nằm ngoài mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
và trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Biết biểu diễn
là duy nhất. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có: ;
Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho . Khi đó:
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Trong không gian
, cho tọa độ các vectơ
;
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là mệnh đề sai.
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Biết
với
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
bằng:
Giả sử . Đặt
, đổi cận
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại
. Biết trọng tâm của tam giác
là
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng nào sau đây?
Gọi là giao điểm với ba trục tọa độ.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
Vậy phương trình mặt phẳng là
Vậy mặt phẳng song song với trong các đáp án đã cho là
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ
, gọi
là mặt phẳng song song với mặt phẳng
và cách điểm
một khoảng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì suy ra
Theo giả thiết ta có:
Vậy hoặc
.
Cho các hàm số
và
liên tục trên
và số
tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Khẳng định sai là:
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc
thì anh ta tăng tốc với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG có
. Gọi L là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ
theo ba vectơ
và
?

Vì I là tâm hình hộp theo giả thiết nên I là trung điểm đường chéo OF. Từ đây, suy ra
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị của a + b là:
Ta có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Cho hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
với
ta có:
. Tính tích phân
?
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Theo bài ra ta có:
Vì nên nhận
Vậy
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, phương trình mặt phẳng
qua điểm
và cắt ba tia
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất. Tính
.
Mặt phẳng cắt ba trục tọa độ lần lượt tại
với
.
Do đi qua điểm
nên:
Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
Cho hàm số
xác định trên tập số thực thỏa mãn
và
. Tính
biết rằng
?
Vì nên ta có:
Cho
Do đó
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
và tam giác đó nhận điểm
làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức
?
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm
?
Ta có:
Lại có
Vậy .
Cho tứ diện ABCD có
. Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
Theo đề bài, từ các điểm , ta tính được các vecto tương ứng là:
cùng phương với
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng:
Mặt khác, điểm
Vậy phương trình .
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng
như hình vẽ sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng
ta có:
.
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Đặt
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn
giây so với anh A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được
giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vận tốc của anh B tại thời điểm tính từ lúc anh B xuất phát là:
Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
với các trục tọa độ?
Xét .
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với các trục tọa độ là:
.
Vì biểu thức không đổi dấu trên miền
nên:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.