Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau
năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a)
là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a) là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Ta có: là một nguyên hàm của
và
Do
Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người/năm)
Dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người)
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.
Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là
Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là
Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.
Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là
Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng
?
Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng
nên điểm
nằm trên
.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Ta có: .
Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng
như hình vẽ sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng
ta có:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa
và vuông góc với mặt phẳng
. Tìm phương trình mặt phẳng
.
Ta có
Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Do đó .
Trong không gian tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành
Minh họa bằng hình vẽ sau:
Ta có .
là hình bình hành
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho
vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
Ta có: suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó và
.
Ta tính được suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra .
Suy ra .
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng
và vuông góc với mặt phẳng ![]()
Theo đề bài, qua giao tuyến của hai mặt phẳng
nên
có dạng là
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
, ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ
là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của
bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ
là
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ là
. Sai||Đúng
a) Sai
Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên
Suy ra hai vectơ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Sai
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên
Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Ta có:
c) Đúng
Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:
Lại có M là trung điểm của SB nên
Ta tính được
Mà
d) Sai
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD
Do đó
Suy ra
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường
quanh trục
có kết quả có dạng
với
là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Khi đó giá trị của
bằng:
Phương trình hoành độ giao
Thể tích cần tính
Suy ra .
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và ![]()
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
Trong không gian tọa độ , cho hai mặt phẳng
và
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
. Sai||Đúng
a) nên mệnh đề sai
b) nên mệnh đề đúng
c) mệnh đề đúng
d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài
, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Cả hai bên cầu có tất cả nhịp cầu.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc là chân cầu, đỉnh
, điểm
Gọi Parabol phía trên có phương trình: (vì
)
là phương trình parabol phía dưới
(Vì bề dày nhịp cầu là )
Ta có
Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox nên ta có:
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là
Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là
Một vật chuyển động với vận tốc
có gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Tính vận tốc của vật sau
giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Vận tốc của vật là:
Do vận tốc ban đầu của vật là
Vận tốc của vật sau 10s là
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
xoay quanh trục
tính bởi công thức nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có và
cắt nhau tại hai điểm
và
Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay
trừ đi thể tích khối tròn xoay
. Trong đó:
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng .
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng
. Bán kính đáy bằng:

Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có
Suy ra
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên
Trong tam giác vuông A B’B, ta có .
Trong tam giác vuông OIB’, ta có N .
Suy ra .
Từ đó ta có .
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có: . Khi đó
Vậy
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Xét hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng
. Gọi
. Tính giá trị của tham số
để đoạn thẳng
chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau?

Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .