Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 - Đề kiểm tra giữa HK2 Toán 12

Câu 1: Nhận biết

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}$ . Thể tích vật thể tròn xoay có được khi $(H)$ quay quanh trục $Ox$ bằng:

A.
$\frac{\pi^{2}}{4}$
B.
$2\pi$
C.
$\frac{\pi}{4}$
D.
$\frac{\pi^{2}}{2}$

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}$

Câu 2: Nhận biết

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $\int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;$ $\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;$ $\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9$ . Khi đó giá trị $I = \int_{0}^{10}{f(x)dx}$ bằng:

A.
$5$
B.
$6$
C.
$7$
D.
$8$

Ta có:

$\int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6$

Câu 3: Nhận biết

Biết rằng $\overrightarrow{a} = (0;1;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Tính $\overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?

A.
$\overrightarrow{x} = ( - 2;4;4)$
B.
$\overrightarrow{x} = (4; - 3;7)$
C.
$\overrightarrow{x} = ( - 4;9; - 11)$
D.
$\overrightarrow{x} = ( - 1;9;11)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)$

Câu 4: Vận dụng

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 5: Nhận biết

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:

A.
$\overrightarrow{CA'}$ .
B.
$\overrightarrow{CB'}$ .
C.
$\overrightarrow{CD'}$ .
D.
$\overrightarrow{CA}$ .

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .

Câu 6: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$

Câu 7: Thông hiểu

Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc $12m/s$ thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 12 - 2t(m/s)$ (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian $8$ giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu?

A.
$16m$
B.
$60m$
C.
$32m$
D.
$100m$

Khi dừng hẳn $v(t) = 12 - 2t = 0 \Rightarrow t = 6(s)$

Khi đó trong 8s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2s trước khi đạp phanh):

$S = 2.12 + \int_{0}^{6}{v(t)dt} = 24 + \int_{0}^{6}{(12 - 2t)dt}$

$= 24 + \left. \ \left( 12t - t^{2} ight) ight|_{0}^{6} = 24 + 36 = 60(m)$

Câu 8: Nhận biết

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A.
$V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
B.
$V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
C.
$V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
D.
$V = \frac{\pi e^{2}}{2}$

Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .

Câu 9: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = \frac{1}{2}x^{2}$ có đồ thị $(P)$ . Xét các điểm $A;B \in (P)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(P)$ vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $AB$ bằng $\frac{9}{4}$ . Gọi $x_{1};x_{2}$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$ . Giá trị của $\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2}$ bằng:

A.
$7$
B.
$5$
C.
$13$
D.
$11$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $y = \frac{1}{2}x^{2}$ có TXĐ: $D\mathbb{= R}$

$y' = x$

Giả sử $A\left( x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left( x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P)$ và $x_{1} eq x_{2}$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là $y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) + \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}$

$\Rightarrow y = x_{1}x - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là $y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) + \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}$

$\Rightarrow y = x_{2}x - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)$

Vì $\left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2} ight)$ nên ta có: $x_{1}x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}$

Phương trình đường thẳng AB

$\dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x - x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)$

$\Leftrightarrow \left( x - x_{1} ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}$

$\Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1} ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0$

$\Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2} ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 ightbrack$

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

$S = \frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}$

$\Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{x_{1}}^{x_{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left( \frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3} ightbrack$

$\Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} + 2{x_{1}}^{3}$

$\Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)$

$\Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight)$

$\Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3$

Thay $x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}$ ta có:

$- \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3 \Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} = 5$

Câu 10: Thông hiểu

Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

A. 10 cm
B. 6 cm
C. 5 cm
D. 8 cm

Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo: $\sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}$

Câu 11: Nhận biết

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 25^{x}$ ?

A.
$F_{1}(x) = 25^{x}$ .
B.
$F_{2}(x) =25^{x}ln25$ .
C.
$F_{3}(x) = \frac{25^{x}}{log25}$ .
D.
$F_{4}(x) = \frac{25^{x}}{ln25}$ .

Vì: $\left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}$

Câu 12: Thông hiểu

Biết rằng $A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx$ . Xác định $T = 4B - 2A$ ?

A.
$T = x - 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
B.
$T = x + 3\ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
C.
$T = 3x - \ln\left| \sin x + \cos xight| + C$
D.
$T = 2x - \ln\left| \sin x + \cos x ight| + C$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C$

Câu 13: Thông hiểu

Biết $\int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C$ . Khi đó $\int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx$ tương ứng bằng

A.
$\frac{3}{2}e^{2x} - 4e^{x} + C$
B.
$3e^{2x} - 4e^{x} + C$
C.
$6e^{x} + 4x + C$
D.
$6e^{x} - 4x + C$

Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4$

$\Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4$

$\Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C$

Câu 14: Nhận biết

Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?

A.
$F(x) = x^{2} + 5x + C$
B.
$F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
C.
$F(x) = x^{2} + 5x$
D.
$F(x) = x^{2} + C$

Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$

Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A;B;C;D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình hành là:

A.
$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
B.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
C.
$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
D.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

Để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình thành thì $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ , O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (Loại)

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ (loại)

Vậy đáp án cần tìm là $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .

Câu 16: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết $(P)$ đi qua hai điểm $M(0; - 1;0),N( - 1;1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz)$ .

A.
$(P):x + z + 1 = 0$
B.
$(P):x - z = 0$
C.
$(P):z = 0$
D.
$(P):x + z = 0$

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1;2;1)$ và $(Oxz)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{j}\ = (0;1;0)$

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{j} ightbrack = ( - 1;0; - 1)$

Do đó, $(P)$ có phương trình là $- 1(x - 0) + 0(y + 1) - 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0$ .

Câu 17: Thông hiểu

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao $162m$ so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $v(t) = 10t - t^{2}$ , trong đó $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $v(t)$ được tính theo đơn vị mét/phút $(m/p)$ . Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là:

A.
$7(m/p)$
B.
$9(m/p)$
C.
$5(m/p)$
D.
$3(m/p)$

Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s = 162m$

Ta có: $S = \int_{0}^{t_{0}}{\left( 10t - t^{2} ight)dt} = \left. \ \left( 5t - \frac{t^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{t_{0}} = 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3}$ (với $t_{0}$ là thời điểm vật tiếp đất)

Cho $5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} = 162 \Leftrightarrow t_{0} = 9$ (Do $v(t) = 10t - t^{2} \Rightarrow 0 \leq t \leq 10$ )

Khi đó vận tốc của vật là: $v(9) = 10.9 - 9^{2} = 9(m/p)$ .

Câu 18: Nhận biết

Xác định nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}$ ?

A.
$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$
B.
$\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
C.
$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + C$
D.
$x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .

Câu 19: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:

A.
$4$
B.
$- 2$
C.
$2$
D.
$0$

Ta có:

$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$

$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$

$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$

Câu 20: Vận dụng

Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song phân giác ngoài AF của góc A?

A. $x\,\, - \,\,23y\,\, + \,\,10z\,\, - 108 = \,\,\,0$
B. $x\,\, + \,\,3y\,\, + \,\,z = \,\,0$
C. $3x\,\, - \,\,z = \,\,0$
D. $x\,\, - \,\,3y\,\, - \,\,z = \,\,0$

Một vecto chỉ phương của $(R)$ là $\overrightarrow n = 12\left( {3,1,2} ight)$

Ta có :

$\begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB} = 5\overrightarrow {FC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 10\\z = - 14\end{array} ight.\end{array}$

Vecto chỉ phương thứ hai $\overrightarrow {AF} = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)$

Suy ra vecto pháp tuyến của $(R)$ là $\overrightarrow N = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)$

Mp $(R)$ đi qua $A (1, -2, 6)$ và nhận vecto $(-1, 23, -10)$ làm 1 VTPT có phương trình là:

$\Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0$

$\Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0$

Câu 21: Nhận biết

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x + 1$ ?

A.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{3}{2}(3x + 1)^{2} + C$
B.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = (3x + 1)^{2} + C$
C.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C$
D.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{2}(3x + 1)^{2} + C$

Ta có:

$\int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}$

$= \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C$

Câu 22: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

A.
$(P):x + 3y + 4z - 26 = 0$ .
B.
$(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
C.
$(P):x + y + 2z - 6 = 0$ .
D.
$(P):x + 3y + 4z - 7 = 0$ .

Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x + y - 1 + 2(z - 1) = 0$ hay $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .

Câu 23: Thông hiểu

Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5$ . Đường thẳng $x = k;1 < k < 5$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích $S_{1}$ và $S_{2}$ (hình vẽ bên).

Tính giá trị $k$ để $S_{1} = 2S_{2}$ ?

A.
$k = 5$
B.
$k = ln5$
C.
$k = \sqrt[3]{5}$
D.
$k = \sqrt[3]{25}$

Ta có: $\frac{1}{x} > 0;x > 1$ do đó ta được:

$S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k$

$S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k$

Theo bài ra ta có:

$S_{1} = 2S_{2}$

$\Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}$ .

Câu 24: Vận dụng

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ . Bán kính đáy bằng:

A. $\frac{{a\sqrt {14} }}{4}$
B. $\frac{{a\sqrt {14} }}{2}$
C. $\frac{{a\sqrt {14} }}{3}$
D. $\frac{{a\sqrt {14} }}{9}$

Tính bán kính

Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}OI \bot AB'\\OI \bot BB'\end{array} ight. \Rightarrow OI \bot \left( {ABB'} ight)$

Suy ra $d\left[ {AB,OO'} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABB'} ight)} ight] = d\left[ {O,\left( {ABB'} ight)} ight] = OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.

Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên $OO' = BB' = 2R$

Trong tam giác vuông A B’B, ta có $AB{'^2} = A{B^2} - B{B^2} = 4{a^2} - 4{R^2}$ .

Trong tam giác vuông OIB’, ta có N $OB{'^2} = O{I^2} + IB{'^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} + {\left( {\frac{{AB'}}{2}} ight)^2}$ .

Suy ra $AB{'^2} = 4{R^2} - 3{a^2}$ .

Từ đó ta có $4{a^2} - 4{R^2} = 4{R^2} - 3{a^2} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}$ .

Câu 25: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Số đo giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suu ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB;CD$ bằng $90^{0}$ .

Câu 26: Vận dụng cao

Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là $(P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0$ với $(i=1,2,...,n)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị $a_1+a_2+...+a_n$ bằng?

A. 3
B. 1
C. - 4
D. - 1

Giả sử mặt phẳng $(P): x+ay+bz+c=0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) Ta có: $(P)\cap Ox=A(-c;0;0),$

$(P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),$

$P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b})$ .

Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra $OA=OB=OC$

Nên ta có $\left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight |$ (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên $c eq 0$ )

+) Vì điểm $M(1;2;3)\in P$ nên suy ra: $1+2a+3b+c=0$

Nhận thấy nếu $a=1, b=-1$ thì $c=0$ , trường hợp này không thỏa mãn do $c eq 0$

Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp $a=b=1, a=b=-1$ và $a=-1.b=1$

Vậy $a_1=1, a_2=-1. a_3=-1$ suy ra $a_1+a_2+a_3=-1$ .

Câu 27: Nhận biết

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $B (3, 4, -5)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)$ là:

A. $x - 4y - 7z - 16 = 0$
B. $x - 4y + 7z + 16 = 0$
C. $x + 4y + 7z + 16 = 0$
D. $x + 4y - 7z - 16 = 0$

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight)$ có thể thay thế bởi $\overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)$

Phương trình $(\alpha)$ có dạng $x + 4y + 7z + D = 0$

$B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16$

Vậy $(\alpha): x + 4y +7z +16 = 0$

Câu 28: Thông hiểu

Biết $\int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a^{2} + b^{2}$ bằng:

A.
$25$
B.
$41$
C.
$20$
D.
$34$

Giả sử $I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx}$ . Đặt $t = x + 3 \Rightarrow dt = dx$ , đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$

$I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t + 3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}} ight)dx}$

$= \left. \ \left( t - 4ln|t| - \frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} - 4ln\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34$

Câu 29: Thông hiểu

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v(t) = - 5t + 20$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s. Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5$ s. Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là $400$ m. Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v(t) = - 5t + 20$ m/s, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s. Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5$ s. Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là $400$ m. Sai||Đúng

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0$ m/s.

Khi xe dừng hẳn thì $v(t) = 0$ m/s nên $0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t = 4$ s.

Nguyên hàm của hàm số vận tốc $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C}$ , $C\mathbb{\in R}$ .

Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

$\int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} = 40$ m.

Câu 30: Nhận biết

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và $AC = a\sqrt 3$ . Độ dài đường sinh $\ell$ của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

A. $\ell = a$
B. $\ell = a\sqrt 2$
C. $\ell = a\sqrt 3$
D. $\ell = 2a$

Độ dài đường sinh

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là $AC = a\sqrt 3$ và chiều cao hình nón là $AB = a$ .

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

$\ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.$

Câu 31: Thông hiểu

Tìm $a + b$ biết rằng $\int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = \frac{a}{b}$ là phân số tối giản?

A.
$36$
B.
$38$
C.
$37$
D.
$35$

Ta có: $t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.$ khi đó suy ra

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}$

$= \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}$

Câu 32: Thông hiểu

Cho tích phân $I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32$ . Tính tích phân $H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}$ ?

A.
$H = 64$
B.
$H = 8$
C.
$H = 16$
D.
$H = 32$

Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16$

Câu 33: Nhận biết

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
Nếu $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ không cùng phương thì giá của vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack$ vuông góc với mọi mặt phẳng với giá của các vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ .
B.
$\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left|\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.\cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$ .
C.
$\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{v} = 0$ .
D.
$\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Ta có: $\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$

Vậy khẳng định sai là: $\left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight)$ .

Câu 34: Nhận biết

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = {2^x} + {e^x}$ là:

A. ${2^x}\ln 2 + {e^x} + C$
B. $\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {e^x} + C$
C. ${2^{x + 1}} + {e^{x + 1}} + C$
D. $\frac{{{2^{x + 1}} + {e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$

Ta có: $\int {\left( {{2^x} + {e^x}} ight)dx} = \int {{2^x}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {e^x} + C$

Câu 35: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ , ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ . Tính giá trị biểu thức $S = m + n + p$ ?

A.
$S = \frac{1}{3}$
B.
$S = 2$
C.
$S = \frac{13}{6}$
D.
$S = \frac{7}{6}$

Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ nên $\left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)$

$\Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}$

Câu 36: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):(2m - 1)x + m(1 - 2m)y + (2m - 4)z + 14 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tổng các giá trị của m để $(P)$ và $(Q)$ vuông góc nhau bằng bao nhiêu?

A.
$- \frac{7}{2}$
B.
$- \frac{5}{2}$
C.
$- \frac{3}{2}$
D.
$- \frac{1}{2}$

Ta có:

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)$

$(Q)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left( 2m - 1;,m(1 - 2m);2m - 4 ight)$

(P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}}$

Điều này tương đương với

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 6m^{2} + 3m - 9 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1 + \left( - \frac{3}{2} ight)= - \dfrac{1}{2}$ .

Câu 37: Nhận biết

Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

A. $\pi {a^3}.$
B. $\frac{{\pi {a^3}}}{2}$
C. $\frac{{\pi {a^3}}}{3}$
D. $\frac{{\pi {a^3}}}{4}$

Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

Bán kính đáy $R = \frac{a}{2}$ . Do đó thể tích khối trụ $V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}$ (đvtt).

Câu 38: Nhận biết

Cho $\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2$ và $\int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1$ , khi đó $\int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx}$ bằng:

A.
$\frac{5}{2}$ .
B.
$\frac{7}{2}$ .
C.
$\frac{17}{2}$ .
D.
$\frac{11}{2}$ .

Ta có:

$\int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}$

$= \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}$

Câu 39: Nhận biết

Tính tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}$ ?

A.
$I = 5$
B.
$I = 3$
C.
$I = 4$
D.
$I = 2$

Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$

Câu 40: Vận dụng cao

Biết $F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }}$ trên khoảng $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight)$ . Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

$\begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}$

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!