Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Gọi
là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó ,
,
;
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên
.
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
.
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol
và hai đường thẳng
(mô tả như hình vẽ). Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng
(phần tô màu đen);
là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol
và đường thẳng
(phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của
thì
?

Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng
là:
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng
là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
là:
Khi đó:
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đồ thị hàm số
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó ta có:
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là
và gia tốc
. Hỏi sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây thì vận tốc của vật là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được là
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Có bao nhiêu số thực
sao cho
?
Ta có:
Do nên có đúng 4 giá trị của
thỏa mãn.
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Biết
khác
và vuông góc với cả hai vectơ
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo đề bài ta có: khác
và vuông góc với cả hai vectơ
nên
Vậy khẳng định đúng là
Cho giá trị của tích phân
,
. Giá trị a.b gần nhất với giá trị nào sau đây?
Ta có:
Tìm tọa độ trung điểm
của đoạn thẳng
. Biết tọa độ hai điểm
và
.
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho hình hộp
có tâm
. Đặt
. Điểm
xác định bởi đẳng thức
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm các mặt đáy
suy ra
là trung điểm của
Do là hình hộp nên
Theo giả thiết ta có:
Vì là hình hộp nên từ đẳng thức
suy ra M là trung điểm của
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, tính thể tích tứ diện
, biết
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với trục
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng là:
hay
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
. Mặt phẳng
song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
là:

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra
Khi đó
Suy ra .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên
Tích phân
. Giá trị của a là:
Ta có:
Xét
Xét
Theo đề bài:
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên