Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Ta có:
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
Ta lại có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Cho hình phẳng
giới hạn bới đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
bằng bao nhiêu?
Thể tích cần tìm là:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và chắn trên các trục tọa độ
theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
khi
theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng
là:
Do giả thiết suy ra .
Giả sử khi đó phương trình mặt phẳng
.
Do M thuộc (P) nên
Suy ra do đó phương trình mặt phẳng
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy khẳng định đúng là
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Mệnh đề đúng
b) Cho . Mệnh đề sai
c) . Mệnh đề đúng
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Mệnh đề sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
và
không vuông góc với nhau.
Vậy mệnh đề sai là: “”.
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba mặt phẳng
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Biết rằng
và
. Tính
?
Ta có:
Cho đường cong (C)
. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
và
. Xác định giá trị của
?
Ta có:
Nếu
. Khi đó
bằng:
Ta có: .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau
và đườDng thẳng
(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng
bằng

Đặt . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có:
Thể tích cần tìm là
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai vectơ
. Gọi
là vectơ cùng hướng với vectơ
(tích có hướng của hai vectơ
và
. Biết
, tìm tọa độ vectơ
.
Ta thấy
Vì là vectơ cùng hướng với vectơ
nên
.
Mặt khác
Vậy .
Cho
. Hãy tính
?
Đặt
Đổi cận ta có:
Vậy
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Cho hai vectơ
và
với
và
.Tìm m để
và
vuông góc.
Điều kiện để
vuông góc
Với
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên
Suy ra
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của và
.
Chọn làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp có dạng
là mp qua A
Vậy phương trình .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng
, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).
Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có
.
Xét tam giác vuông tại , ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
.
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l
Diện tích hình phẳng là:
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Trong không gian
, viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
.