Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua hai điểm
và song song với trục ![]()
Vì Vecto chỉ phương của (P) là:
Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là:
Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Một vật chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường đi được bằng
Cho ba điểm
.
Tìm điểm N trên
cách đều A và B.
Gọi trên
Ta có
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị
là đường cong như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành và hai đường thẳng
(phần tô đen) là:
Dựa vào hình vẽ ta thấy thì
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
. Xác định
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau?
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi
Tập xác định
Vậy thì hai mặt phẳng
song song với nhau.
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
và đường thẳng
. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay do hình phẳng
quay quanh trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Thể tích cần tính là:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và trục hoành?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:
.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi Parabol
và đường cong có phương trình
như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng
bằng:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng bằng:
Đặt
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bới đồ thị của hàm số
và các đường thẳng
là:
Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3
Từ đó, ta suy ra:
Như vậy, VTPT mp (P) là:
Cho hai điểm phân biệt
và một điểm
bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: “Điểm thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi
”.
Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là , với
và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là
Phương trình mặt trung trực của OA là
Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút và
của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).
Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ , với
, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:
Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là là:
Vậy có khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).
Trong không gian cho tam giác
. Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
và
. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và
.
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích của thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là:
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
, với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
.
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có: . Để (P) ⊥ (Q)
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo
và
trùng với gốc tọa độ
. Các véc tơ
,
,
lần lượt cùng hướng với các véc tơ
,
,
và
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tọa độ của véc tơ
là
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Khi đó .
Vì là trung điểm của
nên ta có
.
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là
. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.
Chứng minh được nên suy ra
.
Trong tam giác đều ABC, ta có
và
Trong tam giác vuông SOE, ta có
.
Vậy thể tích khối nón (đvtt).
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi:
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là: