Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 - Đề kiểm tra giữa HK2 Toán 12

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + 4y + 3z - 5 = 0$ và $(Q):mx - ny - 6z + 2\ = \ 0$ . Giá trị của $m, n$ sao cho $(P)//(Q)$ là

A.
$m = 4;n = - 8$
B.
$m = n = 4$
C.
$m = - 4;n = 8$
D.
$m = n = - 4$

Ta có: $(P)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3)$ , (Q) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; - 6)$

Để hai mặt phẳng song song thì $\overrightarrow{u_{(P)}} = k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2k \\ - n = 4k \\ - 6 = 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = - 2 \\ m = - 4 \\ n = 8 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = - 4;n = 8$ .

Câu 2: Thông hiểu

Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ và $F(\pi) + F( - 1) = 1$ . Giá trị biểu thức $T = F(2\pi) + F( - 5)$ bằng:

A.
$T = 17$
B.
$T = 2\pi + 3$
C.
$T = 8$
D.
$T = \pi - 1$

Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 0$ tức là

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)$

$\Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**)$ . Từ (*) và (**) suy ra $C_{1} = C_{2} = 1$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$T = F(2\pi) + F( - 5) = 17$

Câu 3: Nhận biết

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx}$ có giá trị là:

A. $I = \frac{5}{2}$
B. $I = \frac{7}{2}$
C. $I = \frac{9}{2}$
D. $I = \frac{{11}}{2}$

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx}$ có giá trị là:

$I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}$

Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

Câu 4: Nhận biết

Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}$ có giá trị là:

A. $I = 1$
B. $I = 2$
C. $I = -2$
D. $I = -1$

Tích phân $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx}$ có giá trị là:

$I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} = \left. {\left( { - \cos x - \sin x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - 2$

Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

Câu 5: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 6: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1; - 1;1),B(0;1; - 2)$ và điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ . Tìm giá trị lớn nhất của $|MA - MB|$ ?

A.
$2\sqrt{2}$
B.
$\sqrt{14}$
C.
$\sqrt{6}$
D.
$\sqrt{12}$

Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có $1.( - 2) = - 2 < 0$

⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

Khi đó ta có: $|MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B$

Suy ra $|MA - MB|$ lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

Ta có $A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}$ .

Câu 7: Thông hiểu

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Mệnh đề đúng

b) Cho $v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s)$ . Mệnh đề sai

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Mệnh đề đúng

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m)$ . Mệnh đề sai

Câu 8: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\}$ thỏa mãn $2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1$ và $f(1) =0$ . Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:

A.
$1$
B.
$-1$
C.
$2$
D.
$0$

Ta có: $2xf(x) + x^{2}f'(x) =1$

$\Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C$

Lại có $f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1$

Từ đó suy ra $x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)$

Ta có: $f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1$

Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.

Câu 9: Thông hiểu

Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là $4m/s$ và gia tốc $a\left( t ight) = 3{t^2} + t\left( {m/s} ight)$ . Hỏi sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây thì vận tốc của vật là bao nhiêu?

A. $12m/s$
B. $10m/s$
C. $11m/s$
D. $14m/s$

Ta có: $v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} ight)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)$

Do khi bắt đầu tăng tốc ${v_0} = 4m/s$ nên

${v_{\left( {t = 0} ight)}} = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow v\left( t ight) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 4$

Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được là

$v\left( 2 ight) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 4 = 14\left( {m/s} ight)$

Câu 10: Nhận biết

Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc ${v_0} = 15\left( {m/s} ight)$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t ight) = {t^2} + 5t\left( {m/s} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

A. $S = \frac{{297}}{4}\left( m ight)$
B. $S = \frac{{314}}{3}\left( m ight)$
C. $S = \frac{{185}}{4}\left( m ight)$
D. $S = \frac{{253}}{4}\left( m ight)$

Ta có: $v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt = \int {\left( {{t^2} + 5t} ight)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)}$

Do khi bắt đầu tăng tốc ${v_0} = 15\left( {m/s} ight)$ nên

${v_{\left( {t = 0} ight)}} = 15 \Rightarrow C = 18 \Rightarrow v\left( t ight) = v\left( t ight) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15\left( {m/s} ight)$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:

$S = \int\limits_0^3 {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15} ight)dt} = \frac{{297}}{4}\left( m ight)$

Câu 11: Vận dụng

Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng $4a^2$ . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng $30^0$ . Đường cao h của hình nón bằng:

A. $h = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$
B. $h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
C. $h = a\sqrt 3$
D. $h = a\sqrt 2$

Tính đường cao nón

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.$ và $SE = \frac{1}{2}AB$ .

Ta có ${S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}$

$\Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a$ .

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra $OH \bot SE$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.$

Từ đó suy ra $OH \bot \left( {SAB} ight)$ nên

${30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}$

Trong tam giác vuông SOE, ta có $SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3$

Câu 12: Thông hiểu

Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng $R\sqrt 3$ . Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng $30^0$ . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

A. R
B. $R\sqrt 3$
C. $\frac{{R\sqrt 3 }}{2}$
D. $\frac{{R\sqrt 3 }}{4}$

Tính khoảng cách

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có $OA = O'B = R$ .

Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì $O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3$ và $\widehat {BAA'} = {30^0}$ .

Vì $OO'\parallel \left( {ABA'} ight)$ nên $d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].$

Gọi H là trung điểm A’B, suy ra $\left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)$

nên $O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h$ .

Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên $BA' = AA'\tan {30^0} = R$

Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên $O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h$

Câu 13: Thông hiểu

Một ô tô xuất phát với vận tốc ${v_1}\left( t ight) = 2t + 12\left( {m/s} ight)$ sau khi đi được một khoảng thời gian ${t_1}$ thì bất ngờ phanh gấp với vận tốc ${v_2}\left( t ight) = 24 - 6t\left( {m/s} ight)$ và đi thêm được một khoảng thời gian ${t_2}$ nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì ô tô đã đi được bao nhiêu mét?

A. $162m$
B. $156m$
C. $150m$
D. $165m$

Ta có: ${v_2}\left( 0 ight) = 24\left( {m/s} ight)$ do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là $24\left( {m/s} ight)$

=> ${v_1}\left( t ight) = 2t + 12 = 24 \Rightarrow t = 6\left( s ight)$

Vật dừng lại khi ${v_2}\left( t ight) = 24 - 6t = 0 \Rightarrow {t_2} = 4\left( s ight)$

Quãng đường vật đi được là

$S = \int\limits_0^6 {{v_1}\left( t ight)d\left( t ight) + } \int\limits_0^4 {{v_2}\left( t ight)d\left( t ight)} = \int\limits_0^6 {\left( {2t + 12} ight)d\left( t ight) + } \int\limits_0^4 {\left( {24 - 6t} ight)d\left( t ight)} = 156\left( m ight)$

Câu 14: Nhận biết

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x + 1$ ?

A.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{3}{2}(3x + 1)^{2} + C$
B.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = (3x + 1)^{2} + C$
C.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C$
D.
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{2}(3x + 1)^{2} + C$

Ta có:

$\int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}$

$= \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C$

Câu 15: Thông hiểu

Xét trong không gian Oxyz cho tam giác ABC.

Biết $A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight)$ , hãy tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành?

A. $\left( { - 7,1, - 2} ight)$
B. $\left( {1, - 3,4} ight)$
C. $\left( {7 - ,1,2} ight)$
D. $\left( {-1, 3,-4} ight)$

Gọi $D\left( {x,y,z} ight)$ là tọa độ của điểm cần tìm.

Để ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2 + 3\\y - {y_A} = - 6 + 1\\z - {z_A} = 6 - 1\end{array} ight. \Rightarrow D\left( {7; - 1;2} ight)$

Câu 16: Nhận biết

Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $120^0$ . Diện tích toàn phần của hình nón là:

A. ${\pi ^2}\left( {3 + \sqrt 3 } ight)$
B. $2\pi {a^2}\left( {3 + \sqrt 3 } ight)$
C. $6\pi {a^2}$
D. $\pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight)$

Diện tích toàn phần

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

Theo giả thiết, ta có $SA = 2a$ và $\widehat {ASO} = 60^\circ$ .

Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

$OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3$

Vậy diện tích toàn phần:

${S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight)$ (đvdt).

Câu 17: Nhận biết

Hàm số $y = {x^3} + x$ có nguyên hàm là:

A. ${x^4} + {x^2} + C$
B. $3{x^2} + 1 + C$
C. ${x^3} + x + C$
D. $\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$

Ta có: $\int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$

Câu 18: Nhận biết

Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức

A.
$S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
B.
$S = \int_{0}^{4}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
C.
$S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
D.
$S = \int_{0}^{4}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$

Ta có:

$S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$

Câu 19: Nhận biết

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên tập số thực và $f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x$ ; $f(0) = 2$ . Hàm số $f(x)$ là:

A.
$f(x) = 2e^{x} + 2x$
B.
$f(x) = 2e^{x} + 2$
C.
$f(x) = e^{2x} + x + 2$
D.
$f(x) = e^{2x} + x + 1$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C$

$\Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C$

Theo bài ra ta có: $f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$

Vậy $f(x) = e^{2x} + x + 1$ .

Câu 20: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ?

A.
$\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0$
B.
$\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
C.
$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
D.
$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$

Câu 21: Thông hiểu

Cho $\int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = ae^{2} + be + c$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Tính $S = a + b + c$ ?

A.
$S = 0$
B.
$S = 4$
C.
$S = 1$
D.
$S = 2$

Ta có:

$\int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = 2\int_{0}^{3}{e^{\sqrt{x + 1}}d\left( \sqrt{x + 1} ight)} = \left. \ \left( 2e^{\sqrt{x + 1}} ight) ight|_{0}^{3} = 2e^{2} - 2e$

Vậy $a = 2;b = - 2;c = 0 \Rightarrow S = 0$

Câu 22: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Xác định tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ ?

A.
$I(1;0;4)$
B.
$I(2;0;8)$
C.
$I(2; - 2; - 1)$
D.
$I( - 2;2;1)$

Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)$

Vậy đáp án đúng là: $I(1;0;4)$ .

Câu 23: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4$ . Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =f(x)$ và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx}$
B.
$S = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx}ight| + 2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight|$
C.
$S = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x)ight|dx}$
D.
$S = 2\left| \int_{0}^{2}{f(x)dx}ight|$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}$

$= 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}$

$= 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight|$ ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm)

Vậy mệnh đề sai là: $S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|$ .

Câu 24: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1)$ và $B( - 4;1;9)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ ?

A.
$\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$
B.
$\overrightarrow{AB} = ( - 1;2;4)$
C.
$\overrightarrow{AB} = (6;2; - 10)$
D.
$\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 4)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9 + 1) = ( - 6; - 2;10)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$ .

Câu 25: Thông hiểu

Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:

A.
$x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
B.
$2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
C.
$x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
D.
$x^{3} + x^{2} + 4x - 5$

Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .

Câu 26: Vận dụng

Phân tích vectơ $\overrightarrow V = \left( {4\,,\,3\,,\, - 5\,} ight)$ theo ba vectơ không đồng phẳng

$\overrightarrow a = \left( {2, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 3,2} ight);\,\,\overrightarrow c = \left( { - 3,2, - 2} ight).$

A. $\overrightarrow V = \,\,31\overrightarrow a \,\, + \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,20\overrightarrow c$
B. $\overrightarrow V = \,\,31\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,20\overrightarrow c$
C. $\overrightarrow V = \,\,21\overrightarrow a \,\, + \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,10\overrightarrow c$
D. $\overrightarrow V = \,\,21\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b \,\, - \,\,10\overrightarrow c$

Ta có 3 vecto $\overrightarrow a ;\,\,\,\overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow c$ không đồng phẳng. Khi đó luôn có :

$\begin{array}{l}\exists m,n,p \in \mathbb R :m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow V \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n - 3p = 4 & \left( 1 ight)\\ - m - 3n + 2p = 3 & \left( 2 ight)\,\,\,\,\,;\left( 2 ight) + \left( 3 ight) \Rightarrow n = 2\\m + 2n - 2p = - 5 & \left( 3 ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3p = 2 & \left( {1'} ight)\\ - m + 2p = 9 & \left( {2'} ight)\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 31\\p = 20\end{array} ight.\\ \Rightarrow \overrightarrow V = 31\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 20\overrightarrow c \end{array}$

Câu 27: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ ?

A.
$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;8;2)$
B.
$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;0)$
C.
$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1; - 2;2)$
D.
$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) = 12(1;2;2)$

Vậy $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$ là đáp án cần tìm.

Câu 28: Nhận biết

Xét các mệnh đề:

(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng $\triangle$ cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả (I) và (II)
D. Không có mệnh đề đúng

Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

Câu 29: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $(C)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a;b;c$ với $c\in (a;b)$ như hình bên. Đặt $m =\int_{a}^{c}{f(x)dx;n} = \int_{c}^{b}{f(x)dx}$ . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?

Diện tích hình phẳng

A.
$m + n$
B.
$- m - n$
C.
$m - n$
D.
$n - m$

Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:

$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}= \int_{a}^{c}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{c}^{b}{\left| f(x)ight|dx}$

$= \int_{a}^{c}{f(x)dx} -\int_{c}^{b}{f(x)dx} = m - n$

Câu 30: Nhận biết

Đặt $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx}$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của tham số $m$ để $I = 4$ ?

A.
$m = - 1$
B.
$m = - 2$
C.
$m = 1$
D.
$m = 2$

Ta có: $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1$

Do $I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 31: Nhận biết

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}$ ?

A.
$\frac{1}{2 - 4x} + C$
B.
$- \frac{1}{(2x - 1)^{2}} + C$
C.
$\frac{1}{4x - 2} + C$
D.
$- \frac{1}{2x - 1} + C$

Ta có: $\int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}$

$= - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C$

Câu 32: Vận dụng cao

Số nghiệm nguyên âm của phương trình: ${x^3} - ax + 2 = 0$ với $a = \int\limits_1^{3e} {\frac{1}{x}dx}$ là:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Ta có:

$\begin{matrix} a = \int\limits_1^{3e} {\dfrac{1}{x}dx} = \left. {\left( {\ln \left| x ight|} ight)} ight|_1^{3e} = 3 \hfill \\ \Rightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2}\left( {x + 2} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 33: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 34: Vận dụng cao

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}$ biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của $3e^2F(x)$ ?

A. ${e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}$
B. $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$
C. ${e^{{x^3} - 3x}} + {e^2}$
D. $e^{{x^3} - 3x} - 1$

Ta có:

$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}}dx = \frac{1}{3}\int {{e^{{x^3} - 3x}}d\left( {{x^3} - 3x} ight) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} - 3x}} + C} }$

Mà $F'\left( x ight) = f\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight){e^{{x^3} - 3x}} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

$\begin{matrix} F''\left( x ight) = 2x.{e^{{x^3} - 3x}} + \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {3{x^2} - 3} ight){e^{{x^3} - 3x}} \hfill \\ F''\left( 1 ight) > 0;F''\left( { - 1} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)

=> $F\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}{e^{ - 2}} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{3{e^2}}}$

=> $F\left( x ight) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}$ Hay $3e^2F(x) =$ $e^{{x^3} - 3x + 2} - 1$

Câu 35: Thông hiểu

Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số $f(x);g(x);h(x)$ như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

A.
$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}$
B.
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}$
C.
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}$
D.
$S = \int_{a}^{c}{\left\lbrack f(x) + h(x) - g(x) ightbrack dx}$

Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}$

$= \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack dx}$

$= \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}$ .

Câu 36: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A( - 1;2;0),\ B(3;4; - 2)$ và $C(1;0; - 3).$ Biết tọa độ điểm $D\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ để tứ giác $BACD$ là hình bình hành. Tính $x_{0} + y_{0} + z_{0}?$

A.
$12$
B.
$2$
C.
$- 5$
D.
$- 8$

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 4; - 2;2) \\ \overrightarrow{DC} = \left( 1 - x_{0}; - y_{0}; - 3 - z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Để tứ giác $BACD$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - x_{0} = - 4 \\ - y_{0} = - 2 \\ - 3 - z_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 5 \\ y_{0} = 2 \\ z_{0} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = 5 + 2 + ( - 5) = 2.$

Câu 37: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M,N,P$ có phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ . Biết $A = 92$ , tìm giá trị của $D$ ?

A.
$D = 101$
B.
$D = - 101$
C.
$D = - 63$
D.
$D = 36$

Do $A = 92$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình $92x + By + Cz + D = 0$

Do $(P)$ đi qua các điểm $A;B;C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D = - 101$ .

Câu 38: Thông hiểu

Hàm số $f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2$ có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

A. 12
B. 6
C. -8
D. 20

$F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}$

Hàm số đi qua B(2; 10) => $\frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4$

=> $F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4$

=> $F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6$

Câu 39: Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $M(1; - 1;2),N(3;1; - 4)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $MN$ .

A.
$x + y + 3z + 5 = 0$
B.
$x + y - 3z - 5 = 0$
C.
$x + y + 3z + 1 = 0$
D.
$x + y - 3z + 5 = 0$

Mặt phẳng trung trực $MN$ nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(2;0; - 1)$ của $MN$ nên ta có phương trình mặt phẳng $MN$ là: $x + y - 3z - 5 = 0$ .