Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết: A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight). Tìm tọa độ vectơ trung tuyến \overrightarrow {AM}

     Ta có A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight) nên suy ra được tọa độ 2 điểm tương ứng là:

    \overrightarrow {AB} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = - 3\\y - {y_A} = - 1\\z - {z_A} = 1\end{array} ight. \Rightarrow B\left( { - 1;3; - 2} ight);\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \overrightarrow {AC} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2\\y - {y_A} = - 6\\z - {z_A} = 6\end{array} ight. \Rightarrow C\left( {4; - 2;3} ight)

    Vậy ta được: B\left( { - 1,3, - 2} ight);\,C(4, - 2,3).

    Vì \overrightarrow {AM} là vecto trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Suy ra M có tọa độ là: M\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight).

    Suy ra ta có \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2} - 2,\frac{1}{2} - 4,\frac{1}{2} + 3} ight) = \left( { - \frac{1}{2},\frac{{ - 7}}{2},\frac{7}{2}} ight)

    Vậy \overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2},\frac{7}{2}} ight).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} và đặt t = \cos x. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có: I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx}

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} =\frac{1}{4}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{dt}{t^{4}} = \left. \ -\frac{1}{12}t^{- 3} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = -\frac{7}{16}

    Vậy khẳng định sai là: I = \frac{7}{12}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Biết tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a\ln b + c trong đó a;b;c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức a + b + c?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}

    = \left. \ \left( x - \ln\left| x^{2} + 1 ight| ight) ight|_{0}^{1} = 1 - ln2

    Khi đó a = - 1;b = 2;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 2

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 40t + 100(m/p). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?

    Ta có: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C

    Vì S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0

    Để học sinh đó đến trường thì S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10

    Vậy đáp án cần tìm là 10 phút.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3 và \int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6. Tính tích phân C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}?

    Ta có: C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}.

    Ta có:

    C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}

    Đặt t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2

    Ta có:

    C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}

    Đặt t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1.

    Vậy C = C_{1} + C_{2} = 3

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH

    Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

    Do đó OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)

    Suy ra (P):2x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 10: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t = \frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}

    = - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C

  • Câu 13: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 14: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 15: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) qua điểm B (3, 4, -5) và có cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)  là:

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight) có thể thay thế bởi \overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)

    Phương trình  (\alpha) có dạng x + 4y + 7z + D = 0

    B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16

    Vậy (\alpha): x + 4y +7z +16 = 0

  • Câu 16: Vận dụng

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hai điểm phân biệt A;B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề đúng: “Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}”.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

    Mà GF // (ABCD); BD \subset (ABCD) suy ra \overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF} đồng phẳng.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Vận dụng

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 23: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết rằng hàm số y = f(x) có f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5. Hàm số f(x) là:

    Theo lí thuyết \int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C

    Khi đó f(x) có dạng f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}

    Theo đề ta có: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số là f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight). Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?

     Tam giác ABC đều

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = AB\\BC = AB\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)\\{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 ight)\end{array} ight.\\\left( 2 ight) - \left( 1 ight):2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2 \vee y = 0\end{array}

    Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn: 

    C\left( {3;2; - 1} ight);C'\left( {3;0; - 1} ight)

  • Câu 26: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2} có một vectơ chỉ phương là:

    Đường thẳng (P) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho A(1; - 1;0) và (P):2x - 2y + z - 1 = 0. Điểm M(a;b;c) \in (P) sao cho MA\bot OA và đoạn AM bằng 3 lần khoảng cách từ A đến (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và thỏa mãn 0 < g(x) < f(x),\forall x \in \lbrack a;bbrack. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = f(x),y = g(x),x = a,x = b. Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

    Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số y = f(x),y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = f(x),y = g(x) (với 0 < g(x) < f(x)) và hai đường thẳng x = a,x = b khi quay quanh trục Ox là V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}.

  • Câu 31: Nhận biết

    Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a;x = b như hình vẽ sau:

    Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành, đường thẳng x = a;x = b ta có: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 34: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 35: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.e^{- x} thỏa mãn F(0) = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}

    = - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C

    = - xe^{- x} - e^{- x} + C. Theo bài ra ta có: F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

    Vậy - (x + 1)e^{- x} + 2 là đáp án cần tìm.

  • Câu 37: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3 bằng:

    Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

    S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left. \ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;2;3),B(2;1;0),C(4; - 3; - 2), D(3; - 2;1),E(1;1; - 1). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{DC} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{AD} = (2; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.. Suy ra ABCD là hình bình hành.

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AE} = (0; - 1; - 4) \\ \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = ( - 10; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AE}.\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = 12 eq 0nên E.ABCD là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.

    Gọi G,H,I,K,M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh EA,EB,EC,ED,AB,BC,CD,AD.

    Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:

    Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)

    Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)

    Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)

    Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)

    Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 20 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập