Cho
và hai mặt phẳng
. Khi đó:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).
Vì nên
.
Cho
và hai mặt phẳng
. Khi đó:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).
Vì nên
.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:
(hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)
Như vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó
Cho hình hộp
có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
. Chọn khẳng định đúng?
Vì là tâm hình bình hành
nên
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Một mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với
có dạng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến làm véc-tơ chỉ phương.
Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận làm véc-tơ chỉ phương.
Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
Vậy .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
, mặt phẳng
chứa trục
và đi qua điểm
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có
Mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Biết rằng
. Xác định
?
Ta có:
Do đó:
Tính tích phân
?
Ta có:
.
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Giả sử
là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Dựa vào tính chất của tích phân với là một số bất kì liên tục trên khoảng
và
ta có:
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
.
Trong không gian , cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
.
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi
lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (
):
Theo đề bài, ta có:
Gọi
Ta có:
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Trong không gian , cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Ta có .
Suy ra .
.
Vậy
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn
giây so với anh A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được
giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vận tốc của anh B tại thời điểm tính từ lúc anh B xuất phát là:
Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
(với
) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho
quay quanh trục
, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Tính tích vô hướng của
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau
năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a)
là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a) là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Ta có: là một nguyên hàm của
và
Do
Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người/năm)
Dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người)
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Họ các nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Một vật chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Suy ra
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
là
. Tính
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
là:
Thể tích cần tính là:
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra .