Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(x;y;z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M'(x; - y;z).

    Nếu M' đối xứng với M qua trục Oy thì M'( - x;y; - z).

    Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ thì M'( - x; - y; - z).

    Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M'(x;y; - z)”.

  • Câu 2: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hai vectơ \overrightarrow V = \,m\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow bvà \overrightarrow W = \,m\overrightarrow b \,\, - \,\,\overrightarrow avới \overrightarrow a = \left( {2,\,1,\, - 1} ight) và \overrightarrow b = \left( {1,\, - 2,\,1} ight).Tìm m để \overrightarrow V và \overrightarrow W vuông góc.

     Điều kiện để

    \overrightarrow V vuông góc \overrightarrow W \Leftrightarrow \left( {m\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } ight)\left( {m\overrightarrow b - \overrightarrow a } ight) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)

    Với {\overrightarrow a ^2} = 6;\,{\overrightarrow b ^2} = 6;\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1

    \begin{array}{l}\left( 1 ight) \Leftrightarrow {m^2} + 18m + 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 9 \pm \sqrt {79} \end{array}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x - 2, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 3

    Diện tích S của hình phẳng trên là: S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx}

    Ta có: - {x^2} + 2x - 2 \leqslant 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]

    => S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2} ight)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} ight)} ight|_0^3 = 6\left( {dvdt} ight)}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tích phân \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a - \ln b với a;b\mathbb{\in Z}. Giá trị của a + b bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}

    = \left. \ x ight|_{0}^{1} - \left. \ \ln\left( x^{2} + 1 ight) ight| = 1 - ln2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 3

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{2}{f(x)dx}\ = 5,\int_{1}^{2}{f(x)dx\ } = 3. Giá trị của biểu thức \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5 - 3 = 2

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0

  • Câu 12: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + 3x + 2} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + 3x + 2} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + 3x + 2} ight)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x} ight)} ight|_{ - 1}^1 = 4

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;1;1),B(2;0;2), C( - 1; - 1;0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B';C';D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;1;1),B(2;0;2), C( - 1; - 1;0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B';C';D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, luôn dương trên \lbrack 0;3brack và thỏa mãn I = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = 4. Khi đó giá trị của tích phân K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} là:

    Ta có:

    K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} = \int_{0}^{3}{\left\lbrack e.e^{\ln f(x)} ightbrack dx} + \int_{0}^{3}{4dx}

    = e\int_{0}^{3}{f(x)dx} + \int_{0}^{3}{4dx} = 4e + 12

  • Câu 15: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 16: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho mặt phẳng (P) qua điểm M\left( {2, - 4,1} ight) và chắn trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của (P) khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.

    Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2

    \Rightarrow a,\,b = 2a;c = 4a;\,a e 0

    Phương trình của \left( P ight):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{4a}} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 4a = 0

    (P) qua M\left( {2, - 4,1} ight) \Rightarrow 8 - 8 + 1 - 4a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left( P ight):4x + 2y + z - 1 = 0

     

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0 nên:

    2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác, biết A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight).

    Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đã cho?

     Ta có A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight) nên suy ra được tọa độ điểm B và C tương ứng theo hệ sau là:

    \overrightarrow {AB} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = - 3\\y - {y_A} = - 1\\z - {z_A} = 1\end{array} ight. \Rightarrow B\left( { - 1;3; - 2} ight);\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \overrightarrow {AC} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2\\y - {y_A} = - 6\\z - {z_A} = 6\end{array} ight. \Rightarrow C\left( {4; - 2;3} ight)

    Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có tọa độ điểm G là nghiệm của hệ:

    \Rightarrow G\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\left( {2 - 1 + 4} ight) = \dfrac{5}{3}\\y = \frac{1}{3}\left( {4 + 3 - 2} ight) = \dfrac{5}{3}\\z = \frac{1}{3}\left( { - 3 - 2 + 3} ight) = \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array} ight.

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là

    Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và nhận \overrightarrow{j} = (0;1;0) là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng (Oxz) là (Oxz).

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho A( - 1;2;1) và hai mặt phẳng (P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0. Khi đó:

    Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

    Vì {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)} nên (Q)//(P).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x thỏa mãn F(0) = \frac{3}{2}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có: \int_{}^{}{\left( e^{x} + 2x ight)dx} = e^{x} + x^{2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x suy ra F(x) có dạng e^{x} + x^{2} + C

    Theo bài ra ta có: F(0) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow e^{0} + 0^{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    Vậy F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b} với a;b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a^{2} + b^{2} bằng:

    Giả sử I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx}. Đặt t = x + 3 \Rightarrow dt = dx, đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t + 3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}} ight)dx}

    = \left. \ \left( t - 4ln|t| - \frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} - 4ln\frac{4}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 28: Nhận biết

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng y = \frac{1}{2}x +a và parabol y = x^{2} (a là tham số thực). Gọi S_{1};S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:

    \frac{1}{2}x + a = x^{2} \Leftrightarrow2x^{2} - x - 2a = 0

    Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt

    \Delta = 1 + 16a > 0 \Rightarrow a> - \frac{1}{16}

    Khi đó, phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2}ight) thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} \\P = x_{1}.x_{2} = - a \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng:

    S_{1} = \int_{- 2a}^{x_{1}}{\left(\frac{x}{2} + a ight)dx} + \int_{x_{1}}^{0}{x^{2}dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} + axight) ight|_{- 2a}^{x_{1}} + \left. \ \frac{x^{3}}{3}ight|_{x_{1}}^{0}

    = \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} -\frac{1}{4}.4a^{2} + 2a^{2} - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3}

    = - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3} +\frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2}

    Diện tích hình phẳng:

    S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{1}{2}x + a - x^{2} ight)dx} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    Theo giả thiết ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow = -\frac{1}{3}{x_{1}}^{3} + \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2} =\frac{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left({x_{1}}^{2} - 4a^{2} ight) + a\left( x_{1} + 2a ight) -\frac{{x_{1}}^{3}}{3} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} ight) + \frac{1}{2}x_{1}x_{2}\left( x_{2} -x_{1} ight) + \frac{{x_{1}}^{2}}{4} + ax_{1} + a^{2} = 0

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8} + \frac{3a}{2} ight) - \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4} + 4a}+ \frac{\left( 1 + \sqrt{1 + 16a} ight)^{2}}{64} + a.\frac{1 - \sqrt{1+ 16a}}{4} + a^{2} = 0

    \Rightarrow a \approx 3,684 \in \left(\frac{7}{2};4 ight)

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1). Gọi \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack (tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{m} và \overrightarrow{n}. Biết \left| \overrightarrow{p} ight| = 15, tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{p}.

    Ta thấy \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)

    Vì \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0) nên \overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0.

    Mặt khác \left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3

    Vậy \overrightarrow{p} = (9; - 12;0).

  • Câu 33: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{x} ightbrack thỏa mãn F\left( \frac{1}{a} ight) = 0 và F(2018) = e^{2018}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{2} ightbrack= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight\}'

    \Rightarrow \int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a} ight)\Leftrightarrow \left. \ \left( e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight) ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}

    \Leftrightarrow \ln(2018a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}

    Vậy a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Vận dụng

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (3;0;1) và \overrightarrow{v} = (2;1;0). Tính tích vô hướng \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 40: Thông hiểu

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Đáp án là:

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = \sqrt{x},y = x - 2.

    \sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.

    Diện tích của hình phẳng cần tìm là

    S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 46 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập