Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} + x - 2}}dx} gần nhất với giá trị nào sau đây?

     Ta có:

    \begin{matrix}  I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} + x - 2}}dx}  \hfill \\  {\text{  }} = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{\left( {x - 1} ight)\left( {{x^2} - 2x - 2} ight)}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 2} ight)}}dx}  \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x + 2}}dx}  \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x - 4 + \dfrac{6}{{x + 2}}} ight)dx}  \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left| {x + 2} ight|} ight)} ight|_{ - 1}^0 \hfill \\ = 6\ln 2 - \dfrac{9}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(-3;1;0)  và mặt phẳng (P):x+y+3z-14=0. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho \triangle AMB vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:

    Ta có: \widehat{AMB}=90^{\circ} suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.

    Gọi I là trung điểm AB , khi đó I(0;0;1)R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}.

    Ta tính được d(I;(P))=\sqrt{11}=R suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .

    Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là: 

    \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight.,  t\in \mathbb{R}

    Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight.,  t\in \mathbb{R}

    suy ra t=1.

    Suy ra M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

     Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell  = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}}  = \sqrt {3{R^2} + {R^2}}  = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell  = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x +
1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x +
1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x +
2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x +
3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} =
\int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = -
\frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x +
1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2}x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hai điểm phân biệt A;B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề đúng: “Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 -
k).\overrightarrow{OB}”.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M( - 3; - 2;3) và vuông góc với trục Ox.

    Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ \overrightarrow{i} =
(1;0;0).

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

    1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y -
( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 3 = 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = {x^2} - x + 1;y = x + 1 là:

    Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:

    {x^2} - x +  = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 0} \\   {z = 2} \end{array}} ight.

    Diện tích cần tìm là:

    \begin{matrix}  S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x + 1 - x - 1} ight|dx}  = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} ight|dx}  \hfill \\   = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} ight)dx}  = \left. {\left( {{x^2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^2 = \dfrac{4}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ A( - 2;1; - 6) đến mặt phẳng (Oxy)

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy):z = 0 là:

    d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| -
6|}{\sqrt{1}} = 6

  • Câu 9: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 +
x^{2}}3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} =
\int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2}
ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 +
x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    3f(0) = 4 \Leftrightarrow
3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow
C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}}
ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1; - 3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q):x + y + 3z = 0,(R):2x
- y + z = 0 là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{1}} = (1;1;3) \\
\overrightarrow{n_{2}} = (2; - 1;1) \\
\end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (Q),(R).

    Do mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) nên \left\lbrack
\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = (4;5; -
3) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Từ đó suy ra mặt phẳng (P) có phương trình 4x + 5y - 3z - 22 =
0.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E)a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( -
2;0),(2;0)

    \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1
\Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} =
\pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 -
\frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 12: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}}
= \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 14: Nhận biết

    Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a;x = b;a < b

    Ta có hình phẳng giới hạn bởi \left\{
\begin{matrix}
\left( C_{1} ight):y = f(x) \\
\left( C_{2} ight):y = g(x) \\
x = a \\
x = b \\
\end{matrix} ight.S =
\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}, đường thẳng y = x - 1 và các đường thẳng x = m;x = 2m;(m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3

    Diện tích cần tìm chính là tích phân:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}

    Ta có:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1}
ight|dx}

    = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} =
\int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)

    = \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1|
ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}

    Do đó S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m
- 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot ABOI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 17: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a\widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ  = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell  + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm M(1; - 2;3). Tính khoảng cách d từ M đến (P).

    Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2
+ 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} =
\frac{5}{\sqrt{29}}

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix}  F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {u = {e^{2x}}} \\   {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {du = 2{e^{2x}}dx} \\   {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx}  = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 20: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R}a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -
\int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} =
c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} -
\int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack
dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG có OA = a;\,\,OC = b;\,\,CD = c. Gọi L là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ \overrightarrow {OL} theo ba vectơ \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OC} và  \overrightarrow {OD}?

    Hinh-hop-chu-nhat-OABC-DEFG

    Vì I là tâm hình hộp theo giả thiết nên I là trung điểm đường chéo OF. Từ đây, suy ra

    \Rightarrow \overrightarrow {OL}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {BF} } ight) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } ight)

            \Rightarrow \overrightarrow {OL}  = \left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} ight)

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz có điểm A(1; - 3;1),B(3;0; - 2). Tính độ dài AB?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 +
3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)

    Suy ra AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( -
3)^{2}} = \sqrt{22}

    Vậy đáp án cần tìm là AB =
\sqrt{22}.

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta  ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta  ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB}  = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n  = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p  = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha  ight) \Leftrightarrow  - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;3;0)\overrightarrow{v} = (2; - 2;1). Tính độ dài vectơ \overrightarrow{w} =
\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}?

    Ta có: \overrightarrow{w} =
\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = (
- 6;7; - 2)

    Khi đó \left| \overrightarrow{w} ight|
= \sqrt{89}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3;0;8),D( - 5; - 4;0). Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó \left|
\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| bằng:

    Ta có trung điểm BD là I( - 1; - 2;4),BD
= 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên A(a;b;0). Lại có: ABCD là hình vuông \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
AB^{2} = AD^{2} \\
AI^{2} = \left( \frac{1}{2}BD ight)^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(a - 3)^{2} + b^{2} + 8^{2} = (a + 5)^{2} + (b + 4)^{2} \\
(a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 4^{2} = 36 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = 4 - 2a \\
(a + 1)^{2} + (6 - 2a)^{2} = 20 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 2 \\
\end{matrix} ight. hoặc \left\{\begin{matrix}a = \frac{17}{5} \\b = \dfrac{- 14}{5} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}A(1;2;0)(tm) \\A\left( \dfrac{17}{5};\dfrac{- 14}{5};0 ight)(ktm) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3;
- 6;8) \Rightarrow \overrightarrow{CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow{CB}
= (6;6;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{CA} +
\overrightarrow{CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow \left|
\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| =
6\sqrt{10}

  • Câu 27: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25}
ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin
x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3}
ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx}  = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0
\Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 29: Nhận biết

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x}
ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2}
ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0x + 3y - 2z + 7 = 0, chứa điểm M\left( { - 1,2,4} ight) là:

    Vì mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0x + 3y - 2z + 7 = 0 nên thuộc chùm mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)

    Mặt khác, ta có M \in (\alpha)

    \begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m =  - 3\end{array}

    Thế vào (*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0.

  • Câu 31: Nhận biết

    Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y =
g(x) liên tục trên đoạn \lbrack
a;bbrack và hai đường thẳng x =
a, x = b (a < b)

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y =
g(x) liên tục trên đoạn \lbrack
a;bbrack và hai đường thẳng x =
a, x = b (a < b)S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x)
ight|dx}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 4 \\
x = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x
- \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} +
12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x +
x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2}
ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x +
x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2}
ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} -
6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left(
\frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight)
ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2}
+ \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} +
\frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}. Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi)\sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = - \frac{2}{\sin x} + \cot x +
C

    Suy ra F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    Trên khoảng (0;\pi) ta có:

    F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi)\sqrt{3} nên t s có:

    F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3}
\Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C =
2\sqrt{3}

    Vậy F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x +
2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} -
4.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol \left( P ight):y = {x^2} và hai đường thẳng y = a;y = b;\left( {0 < a < b} ight) (mô tả như hình vẽ). Gọi {S_1} là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng y=a (phần tô màu đen); S_2 là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol \left( P ight) và đường thẳng y=b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a,b thì {S_1} = 2{S_2}?

    Tìm điều kiện của a và b

    Phương trình hoành độ giao điểm của \left( P ight) và đường thẳng y=b là:

    {x^2} = b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = \sqrt b } \\   {x =  - \sqrt b } \end{array}} ight.

    Phương trình hoành độ giao điểm của \left( P ight) và đường thẳng y=a là:

    {x^2} = a \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = \sqrt a } \\   {x =  - \sqrt a } \end{array}} ight.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \left( P ight)y=b là:

    \begin{matrix}  S = 2\int\limits_0^{\sqrt b } {{{\left( {b - x} ight)}^2}dx}  = \left. {2\left( {bx - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt b } \hfill \\   = 2\left( {b\sqrt b  - \dfrac{{b\sqrt b }}{3}} ight) = \dfrac{{4b\sqrt b }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \left( P ight)y=a là:

    \begin{matrix}  S = 2\int\limits_0^{\sqrt a } {{{\left( {a - x} ight)}^2}dx}  = \left. {2\left( {ax - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt a } \hfill \\   = 2\left( {a\sqrt a  - \dfrac{{a\sqrt a }}{3}} ight) = \dfrac{{4a\sqrt a }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó: {S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow \frac{{4b\sqrt b }}{3} = 2\frac{{4a\sqrt a }}{3} \Rightarrow b = \sqrt[3]{4}a

     

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB =6,\ AC = 8M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh cạnh AB là:

    Hình vẽ minh họa

    Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có thể tích là

    V = \frac{1}{3}\pi AC^{2}.AB -\frac{1}{3}\pi AM^{2}.AB

    = \frac{1}{3}\pi.8^{2}.6 -\frac{1}{3}\pi.4^{2}.6 = 96\pi

  • Câu 36: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx}  = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 37: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 38: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha  = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell  = 2a\widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 39: Thông hiểu

    Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{2x - 1};y
= 1 và đường thẳng x = 2

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    \frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow x = 1

    Khi đó:

    S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1}
- 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1
ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos
xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo