Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
.
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
.
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
.
Ta có
Mặt phẳng đi qua
và nhận
là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Trong không gian với hệ tọa độ
có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng
, cách điểm
một khoảng bằng
biết rằng tồn tại một điểm
trên mặt phẳng đó thỏa mãn
?
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng mà
Với m = −15 thì với mọi ta có
Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Giá trị của tích phân
. Biểu thức
có giá trị là:
Giá trị của tích phân . Biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Cho hình hộp
. Điểm
được xác định bởi đẳng thức vectơ
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Gọi
Khi đó
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Từ đó suy ra
Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của .
Tính tích phân
?
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
, trục Ox và hai đường thẳng
có diện tích là:
Công thức tính diện tích cần tìm là: .
Cho đường cong (C)
. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).
Ta có:
Trong không gian
, mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:
.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
và
?
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình
Hình vẽ minh hoạ
Diện tích S cần tìm là:
Biết
với
. Xác định giá trị biểu thức
?
Đặt khi đó ta có:
Vậy .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta có: nên điểm cần tìm là
.
Biết rằng
. Xác định
?
Ta có:
Do đó:
Tính tích phân
?
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Cho tứ diện
trọng tâm
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:
Suy ra mệnh đề sai là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
;
. Tính
?
Trên khoảng ta có:
Mà
Trên khoảng ta có:
Mà
Vậy
.
Cho hàm số
liên tục và dương trên
, hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và
có diện tích bằng 5. Tính tích phân 
Ta có:
Đặt ta được:
=>
Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
. Mặt phẳng
song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
là:

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra
Khi đó
Suy ra .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có: thỏa mãn biểu thức
(với
duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.
Vậy đáp án đúng là: “Nếu thì bốn điểm
đồng phẳng.”
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt phẳng
đi qua hai điểm
cắt các tia
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất, với
là trọng tâm tam giác
. Biết
, hãy tính
.
Gọi với
.
Khi đó phương trình của .
Vì nên
. Kết hợp với điều kiện
suy ra
và
.
Cũng từ trên ta có .
Trọng tâm của tam giác
có tọa độ
.
Xét hàm số với
.
Ta có .
Bảng biến thiên
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi
; lúc đó
và
.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Giá trị của
bằng
Ta có:
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó: