Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Giả sử với
là các số thực dương do
khác 0.
Khi đó phương trình mặt phẳng qua
có phương trình là
Mà nên
, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
với
. Đặt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
?
Gọi sao cho
. Ta có:
Mà
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được bằng
khi
.
Cho hình hộp
. Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .
Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
và
. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
và
.
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích của thiết diện là
Ta có thể tích cần tính là:
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được
. Tìm
?
Khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương là
. Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng
?
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình .
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Cho hàm số
liên tục trên
và
,
là một nguyên hàm của
trên
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đồ thị hàm số
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó ta có:
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Trong không gian , cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
xoay quanh trục
tính bởi công thức nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có và
cắt nhau tại hai điểm
và
Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay
trừ đi thể tích khối tròn xoay
. Trong đó:
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng .
Biết
với
. Xác định giá trị biểu thức
?
Đặt khi đó ta có:
Vậy .
Cho hai hàm số
và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt ba trục tọa độ
lần lượt tại ba điểm
. Lúc đó thể tích
của khối tứ diện
là:
Gọi lần lượt là giao của mặt phẳng
với ba trục tọa độ
.
Khi đó và tứ diện
có
đôi một vuông góc tại O.
Do đó
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc
thì anh ta tăng tốc với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Tính tích phân
?
Ta có:
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng đồ thị hàm số
có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là
Suy ra
Do đó
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta được
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .
Trong không gian
, cho tọa độ các điểm
. Cho các khẳng định sau:
(I)
.
(II)
.
(III) Ba điểm
tạo thành một tam giác.
(IV) Ba điểm
thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?
Ta có: nên
là trung điểm của
và ba điểm
thẳng hàng
Vậy các khẳng định sai là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính khoảng cách
từ gốc toạ độ
đến mặt phẳng
?
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến
là:
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Vật thể
giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình
và
. Cắt vật thể
với mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ bằng
ta được thiết diện có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể
:
Thể tích của vật thể B là: