Cho hình phẳng
được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
và
?
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình
Hình vẽ minh hoạ
Diện tích S cần tìm là:
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và các đường thẳng ![]()
Diện tích S của hình phẳng trên là:
Ta có:
=>
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
xoay quanh trục
tính bởi công thức nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có và
cắt nhau tại hai điểm
và
Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay
trừ đi thể tích khối tròn xoay
. Trong đó:
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng .
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
: vectơ chỉ phương của trục Ox:
.
: Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng
, qua A nên:
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm ![]()
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
Mp (P) đi qua và nhận vecto có tọa độ
làm 1 VTPT có phương trình là:
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi
lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (
):
Theo đề bài, ta có:
Gọi
Ta có:
Cho hàm số
xác định trên tập số thực thỏa mãn
và
. Tính
biết rằng
?
Vì nên ta có:
Cho
Do đó
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
. Đi được
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
Vận tốc vật đạt được sau 5s là:
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Vật dừng hẳn khi
Khi đó quãng đường đi được bằng
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi:
Ta có: theo điều kiện để 3 vectơ nên suy ra này sai.
Theo điều kiện đồng phẳng, nếu cùng vuông góc với
và
vuông góc với thì giá của
cùng song song với (P) . Suy ra đáp án này đúng.
Từ đây ta loại tiếp được đáp án: Cả 3 điều kiện trên thỏa mãn
Nếu xét tiếp đáp án:
thì khi có và cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và có giá vuông góc (Q) nên sẽ nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa và là mặt phẳng (Q).
Suy ra chúng không đồng phẳng.
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cho hình hộp chữ nhật có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cách 1. Gọi là trung điểm
,
,
,
.
Ta có .
Lại có .
Mặt khác .
Dễ thấy
.
Suy ra với
;
.
Vậy .
Cách 2. Đặt các trục ,
và
vào hình như sau
Ta có ,
,
và
.
Ta có ,
và
.
Khi đó :
.
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn
giây so với A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi B xuất phát được
giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm tính từ lúc B xuất phát là:
Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là:
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ:

Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh
, trục đối xứng
và đi qua các điểm
. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng ![]()
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)
Phương trình đường Elip
Ta có:
Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình , (a > 0), đi qua M; N
Diện tích phần tô đậm
Đặt
Đổi cận
Diện tích hình Elip là
Suy ra diện tích phần còn lại là:
Kinh phí sử dụng là đồng.
bằng
Ta có .
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Giá trị của
bằng
Ta có:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn
giây so với anh A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được
giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vận tốc của anh B tại thời điểm tính từ lúc anh B xuất phát là:
Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian
, cho các điểm
đối xứng nhau qua mặt phẳng
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng suy ra H(0; 6; 1)
Do M’ đối xứng với M qua nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho
?
Gọi tọa độ độ điểm .
Ta có:
Lại có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Trong không gian
cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng (P). Biết
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m là
Hình vẽ minh họa
Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả đều thuộc (P). Trong trường hợp này
(loại).
Khi . Ta tính toán các đại lượng:
Từ đó suy ra khác phía với (P) và
Gọi H là giao điểm của AB với (P).
Theo Thales ta có:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:
Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm
thuộc mặt phẳng
và cách đều các điểm
. Tích
bằng
Do và
, nên ta được hệ:
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng
, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).
Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có
.
Xét tam giác vuông tại , ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Một ô tô xuất phát với vận tốc
sau khi đi được một khoảng thời gian
thì bất ngờ phanh gấp với vận tốc
và đi thêm được một khoảng thời gian
nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì ô tô đã đi được bao nhiêu mét?
Ta có: do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là
=>
Vật dừng lại khi
Quãng đường vật đi được là
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: