Cho hàm số thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Trong không gian , cho điểm
. Điểm đối xứng với
qua mặt phẳng
có tọa độ là:
Giữ nguyên y, z và đổi dấu x nên ta suy ra điểm đối xứng với A qua có tọa độ là
.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng . Mặt phẳng
song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
là:
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra
Khi đó
Suy ra .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt
phẳng. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB
và góc có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị
bằng ?
nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0
M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng
.
Gọi , ta có
.
Khảo sát hàm số , ta được
khi
.
Suy ra có số đo lớn nhất khi
, ta có
.
Khi đó giá trị .
Tích phân có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
là:
Mặt phẳng có VTPT
và đi qua điểm
.
Suy ra phương trình .
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị và hai tiếp tuyến của
tại
Ta có hình vẽ minh họa như sau:
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(-1;0) là:
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại B(2;3) là:
Từ hình vẽ ta suy ra diện tích của hình phẳng cần tìm là:
Cho hình vẽ:
Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?
Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:
.
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
chứa
và đi qua điểm
?
Mặt phẳng có cặp véc-tơ chỉ phương là
Suy ra mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
.
Mặt phẳng đi qua
có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).
Vậy mặt phẳng có phương trình tổng quát là
.
Biết . Khi đó
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho . Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:
Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Tính ?
Áp dụng công thức
Suy ra
Tìm một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Tìm nguyên hàm của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số ?
Đặt
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:
Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác, biết .
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đã cho?
Ta có nên suy ra được tọa độ điểm B và C tương ứng theo hệ sau là:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có tọa độ điểm G là nghiệm của hệ:
Tìm nguyên hàm của hàm số
Đặt
Tính tích phân bằng
Ta có:
Một bể thủy tinh chứa nước có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé bằng 0,8m, chiều dài bằng 3m nằm trong của thùng. Bể nước được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đúng (như hình vẽ). Tính thể tích V của nước có trong bể, biết chiều cao nước trong bể là 0,6m. (Kết quả được làm tròn đến phần trăm).
Xét một đáy của bể và gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Phương trình đường elip đáy khi đó có phương trình
Khi đó chiều cao của mép nước trong bể với đường thẳng
Xét phương trình
Diện tích phần mặt chứa nước là:
Do đó thể tích nước trong thùng là:
Tích phân , với
có giá trị là:
Ta có:
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là
Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc , sau đó vận tốc của vật có phương trình
Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.
Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành,
và
bằng
Diện tích hình giới hạn là
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 3,3 m2
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 3,3 m2
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
và vuông góc với
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó, phương trình mặt phẳng là
.
Xác định nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số , F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Ta có:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng . Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Biết rằng . Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Cho hình phẳng giới hạn với các đường
. Tính thể tích
của khối tròn xoay thu được khi
quay quanh trục
?
Thể tích cần tìm là:
Họ nguyên hàm của hàm số là:
Ta có: .
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Trong không gian , điểm nào sau đây thuộc trục tung
?
Điểm thuộc trục tung Oy là .