Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3 và \int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6. Tính tích phân C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}?

    Ta có: C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}.

    Ta có:

    C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}

    Đặt t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2

    Ta có:

    C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}

    Đặt t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1.

    Vậy C = C_{1} + C_{2} = 3

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) = \int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thoả mãn: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{x} là:

    Đặt \overrightarrow{x} = (a;b;c).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = (2;3; - 2).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    Vì 4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    Vì D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight. suy ra D( - 5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là \left( P_{i} ight):x + a_{i}y + b_{i}z + c_{i} =0,(i = 1,2,...n) đi qua M(1;2;3) (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo thứ tự tại A,B,C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. Tính tổng S = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}.

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), với a,b,c eq 0. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) mặt phẳng (Pi) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{a}{b}y + \frac{a}{c}z - a = 0.

    Theo bài ra (Pi) đi qua M(1; 2; 3) nên ta có: 1 + \frac{2a}{b} + \frac{3a}{c} - a = 0\ \ \ (1)

    Mặt khác, vì O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều nên:

    AB = BC = AC

    \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + c^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow a^{2} = b^{2} = c^{2} kết hợp với (1) ta có các trường hợp sau:

    a = b = c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P_1): x + y + z − 6 = 0

    a = b = −c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0 không thỏa yêu cầu.

    a = −b = c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P_2): x − y + z − 2 = 0

    a = −b = −c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P_3): x − y − z + 5 = 0

    −a = −b = c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0, không thỏa yêu cầu

    −a = b = −c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P): x − y + z − 2 = 0 trùng với (P2)

    −a = b = c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P): x − y − z + 5 = 0 trùng với (P3)

    −a = −b = −c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P): x + y + z − 6 = 0 trùng với (P1)

    Vậy S = a_1 + a_2 + a_3 = 1 − 1 − 1 = −1.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho M trên đường thẳng AB với A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} ight) và B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} ight). Nếu \overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {BM} với k e - 1 thì tọa độ của M là:

    Vì M nằm trên AB và nên \overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {BM}khi xét theo tọa độ vecto 2 điểm A và B, ta có:

     \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = k\left( {{x_B} - x} ight)\\y - {y_A} = k\left( {{y_B} - y} ight)\\z - {z_A} = k\left( {{z_B} - z} ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow M\left( {x = \dfrac{{{x_A} + k{x_B}}}{{1 + k}},y = \dfrac{{{y_A} + k{y_B}}}{{1 + k}},z = \dfrac{{{z_A} + k{z_B}}}{{1 + k}}} ight)\end{array}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a(t) = 6 - 2t\left( m/s^{2} ight), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{(6 - 2t)dt} = 6t - t^{2} + C

    Khi đó v_{\max} \Leftrightarrow t = 3 do ban đầu ô tô đang dừng nên v(0) = 0 \Rightarrow C = 0

    Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: S = \int_{0}^{3}{\left( 6t - t^{2} ight)dt} = 18m.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{x} ightbrack thỏa mãn F\left( \frac{1}{a} ight) = 0 và F(2018) = e^{2018}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{2} ightbrack= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight\}'

    \Rightarrow \int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a} ight)\Leftrightarrow \left. \ \left( e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight) ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}

    \Leftrightarrow \ln(2018a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}

    Vậy a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 12: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} = (2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} = (1;7;2)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, thỏa mãn F(0) = \frac{1}{\ln2}. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, ta có: F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C mà F(0) = \frac{1}{\ln2}

    \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)

    T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Biết I = \int\limits_0^1 {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {{{\ln }^2}x + \frac{1}{3}x} ight)}}{x}dx} = \frac{2}{9}\left( {\sqrt {1 + ae + 27{e^2} + 27{e^3}} - 3\sqrt 3 } ight), a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:

    Ta có:

    I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {{{\ln }^2}x + \frac{1}{3}x} ight)}}{x}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {{{\ln }^3}x + 3x} \left( {3{{\ln }^2}x + x} ight)}}{x}dx}

    Đặt t = {\ln ^3}x + 3x \Rightarrow dt = \frac{3}{x}{\ln ^2}x + 1

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow t = 3 \hfill \\ x = e \Rightarrow t = 1 + 3e \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow I = \int\limits_3^{1 + 3e} {\sqrt t } dt = \frac{2}{3}\left. {\left( {\sqrt {{t^3}} } ight)} ight|_3^{1 + 3e} = \frac{2}{3}\left( {\sqrt {{{\left( {1 + 3e} ight)}^3}} - 3\sqrt 3 } ight)

    = \frac{2}{9}\left( {\sqrt {1 + 9e + 27{e^2} + 27{e^3}} - 3\sqrt 3 } ight) \Rightarrow a = 9

  • Câu 16: Thông hiểu

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 và trục hoành như hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành là:

    \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Từ hình vẽ ta thấy \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in ( - 1;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;3) \\ \end{matrix} ight.

    Do đó S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx} = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4 và \int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8. Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.. Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R} và a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} - \int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 20: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - \cos x} ight)dx} = \left. {\left( { - \cos x - \sin x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = - 2

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 21: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A;B;C sao cho T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mà M ∈ (P) nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}

    T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: \left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y + 3z - 14 = 0.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho đường tròn \left( C ight):{x^2} + {y^2} = 8 và parabol \left( P ight):{y^2} = 2x. \left( P ight) cắt \left( C ight) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó.

    Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là: 2x = 8 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {x = - 4\left( L ight)} \end{array}} ight.

    Xét giao điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, với x = 2 \Rightarrow y = 2

    Gọi S2 là phần có diện tích nhỏ hơn, S1 là phần còn lại

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_2} = 2\int\limits_0^2 {\left[ {\sqrt {8 - {y^2}} - \dfrac{{{y^2}}}{2}} ight]} dy \hfill \\ = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {y^2}} } dy - \int\limits_0^2 {{y^2}} dy \hfill \\ = 2I - \left. {\dfrac{{{y^3}}}{3}} ight|_0^2 = 2I - \dfrac{8}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt y = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dy = 2\sqrt 2 \cos tdt

    \begin{matrix} I = \int_0^2 {\sqrt {8 - {y^2}} } dy = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} } .2\sqrt 2 \cos tdt \hfill \\ = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } .\cos tdt = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}} tdt \hfill \\ = 4\int_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2t)} dt = \left. {4\left[ {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight]} ight|_0^{\frac{\pi }{4}} = \pi + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó {S_2} = 2\pi + \frac{4}{3}

    Diện tích hình tròn {S_2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 8\pi

    \begin{matrix} {S_1} = 8\pi - \left( {2\pi + \dfrac{4}{3}} ight) = 6\pi - \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{9\pi - 2}}{{3\pi + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 26: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}dx} = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 = \ln 2

    Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = ae^{2} + be + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = a + b + c?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = 2\int_{0}^{3}{e^{\sqrt{x + 1}}d\left( \sqrt{x + 1} ight)} = \left. \ \left( 2e^{\sqrt{x + 1}} ight) ight|_{0}^{3} = 2e^{2} - 2e

    Vậy a = 2;b = - 2;c = 0 \Rightarrow S = 0

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) - F(1) bằng:

    Theo định nghĩa tích phân ta có:

    \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) suy ra F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}.

  • Câu 29: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos x

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):2x + 3y - z - 1 = 0 và (\beta):4x + 6y - mz - 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) song song với nhau.

    Mặt phẳng (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = (2;3; - 1)

    Mặt phẳng (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = (4;6; - m)

    Để (\alpha)//(\beta) thì \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{- 1}{- m} eq \frac{- 1}{- 2}

    Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 32: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Chọn kết luận đúng?

    Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M( - 1;2; - 3) đến mặt phẳng (P)?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

  • Câu 34: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH

    Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

    Do đó OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)

    Suy ra (P):2x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

    PTTQ của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, với A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0 nên ta chọn 2x + 3y + z - 12 = 0.

  • Câu 38: Vận dụng

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: Các vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}.

    Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

    b) Sai:  (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - ABC = 120^{\circ} 

    c) Sai: \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.

    Do đó m = 0,n = \frac{2}{3},p = \frac{1}{3} suy ra m + n + p = 1.

    d) Đúng: Ta có:

    \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}

    = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

    Suy ra

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}

    = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.

  • Câu 40: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập