Tích phân
, với
có giá trị là:
Ta có:
Tích phân
, với
có giá trị là:
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
và
.
Ta có:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ![]()
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Trong không gian , cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto
?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto ?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Theo giả thiết đề bài đã cho, M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF
Suy ra, MN là đường trung bình trong tam giác DEF:
Tương tự: và
Vậy
đồng phẳng và bằng nhau.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là
. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo
. Diện tích của thiết diện là:

Vì góc ở đỉnh là nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.
Suy ra đường cao của hình nón là .
Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra
.
Gọi M là trung điểm của AB thì và
.
Trong tam giác vuông SIM, ta có
Vậy (đvdt).
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Cho tứ diện
có
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
Theo đề bài, ta có các vecto là
Có thể chọn làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên:
Vậy phương trình cần tìm .
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bới đồ thị của hàm số
và các đường thẳng
là:
Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.
Đáp án: 6750000 đồng.
Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.
Đáp án: 6750000 đồng.
Gọi phương trình parabol .
Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)
Ta có hệ phương trình:
Vậy
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
Số tiền phải trả là đồng.
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian
, cho các vectơ
và
(với
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của
để
?
Ta có:
Khi đó
Do đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được
. Tìm
?
Khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Tính tích vô hướng của
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng đi qua
và vuông góc với
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với
là:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
, trục Ox và hai đường thẳng
có diện tích là:
Công thức tính diện tích cần tìm là: .
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
và đường thẳng
. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay do hình phẳng
quay quanh trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Thể tích cần tính là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và trục hoành?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:
.
Cho ba vectơ
. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Cho hình thang cong
giới hạn bởi các đường
. Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích
và
(hình vẽ bên).

Tính giá trị
để
?
Ta có: do đó ta được:
Theo bài ra ta có:
.
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Cho hàm số
là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Theo bài ra ta có: