Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) = 12(1;2;2)

    Vậy \overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2) là đáp án cần tìm.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 3: Vận dụng

    Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0;x = \pi, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng \left( P ight) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ  là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt {\sin x}

     Diện tích thiết diện là S\left( x ight) = \frac{{{{\left( {2\sqrt {\sin x} } ight)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x

    Ta có thể tích cần tính là V = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx = \left. { - \sqrt 3 \cos x} ight|_0^\pi = } 2\sqrt 3

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (\alpha)?

    Điểm M(1; - 1;1) không thuộc mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', điểm M trên CC' sao cho \overrightarrow{MC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{MC'}. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có

    \overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CM}

    = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'C'} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} +\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x thỏa mãn F(0) = \frac{3}{2}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có: \int_{}^{}{\left( e^{x} + 2x ight)dx} = e^{x} + x^{2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x suy ra F(x) có dạng e^{x} + x^{2} + C

    Theo bài ra ta có: F(0) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow e^{0} + 0^{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    Vậy F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {2x.dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {2x.dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {2x.dx} = 2.\int\limits_1^2 {x.dx} = \left. {\left( {2.\frac{{{x^2}}}{2}} ight)} ight|_1^2 = 3

    Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên.

  • Câu 11: Nhận biết

    Giá trị tích phân I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số y = cos2x?

    Ta có: \int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C

    = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}

    = \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'

    = \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'

    Vậy đáp án cần tìm là: y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực b \in (\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động với gia tốc a(t) = 6t^{2} + 2t\left( m/s^{2} ight). Vận tốc ban đầu của chất điểm là 2(m/s). Hỏi vận tốc của chất điểm sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây bằng bao nhiêu?

    Ta có: v(2) - v(0) = \int_{0}^{2}{a(t)dt}

    \Rightarrow v(2) = \int_{0}^{2}{\left( 6t^{2} + 2t ight)dt} + v(0)

    \Rightarrow v(2) = \left. \ \left( 2t^{3} + t^{2} ight) ight|_{0}^{2} + 2 = 22

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho tam giác ABC có A\left( { - 3,7,2} ight);\,\,B\left( {3, - 1,0} ight);\,\,\,C\left( {2,2, - 4} ight). Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ của D.

    Theo đề bài, ta có: .\overrightarrow {AB} (6, - 8, - 2);\,\,\overrightarrow {BC} ( - 1,3, - 4)

    Áp dụng kiến thức: Bình phương tích vô hướng bằng bình phương độ dài, được:

    \left. \begin{array}{l}\overrightarrow {A{B^2}} = A{B^2} = 36 + 64 + 4 = 104 \Rightarrow AB = 2\sqrt {26} \\{\overrightarrow {BC} ^2} = B{C^2} = 1 + 9 + 16 = 26 \Rightarrow BC = \sqrt {26} \end{array} ight\} \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = 2

    Mặt khác, D chia đoạn AC theo tỉ số k = - 2

    Tọa đô của D là:

    x = \frac{{{x_A} - k{x_C}}}{{1 - k}} = \frac{{ - 3 + 4}}{3} = \frac{1}{3};\,

    \,y = \frac{{7 + 4}}{3} = \frac{{11}}{3};\,

    \,z = \frac{{2 - 8}}{3} = - 2.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{3}^{4}{\frac{5x -8}{x^{2} - 3x + 2}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\ln5 với a;b;c là các số hữu tủ. Giá trị của 2^{a - 3b + c} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{4}{\frac{5x - 8}{x^{2} - 3x +2}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}ight)dx}

    = \left. \ 3\ln|x - 1| ight|_{3}^{4} +2\left. \ \ln|x - 2| ight|_{3}^{4}

    = 3\ln2 - 3\ln2 + 2\ln2 = - \ln2 +3\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - 1 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2^{a - 3b + c} = 2^{6} =64

  • Câu 21: Thông hiểu

    Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu 3dm để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).

    Hình vẽ minh họa

    Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2} quay quanh trục Ox.

    Thể tích cái lu bằng;

    V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục Oxlà H(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M' là (1; - 2; - 3)

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack với f(a) = 0. Đặt M = \max_{\lbrack a;bbrack}\left| f(x) ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của \int_{a}^{b}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}?

    Gọi x_{0} \in \lbrack a;bbrack sao cho \left| f\left( x_{0} ight) ight| = M. Ta có:

    \left( \int_{a}^{x_{0}}{f'(x)dx} ight)^{2} \leq \int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}.\int_{a}^{x_{0}}{dx}

    \Leftrightarrow \left\lbrack f\left( x_{0} ight) - f(a) ightbrack^{2} \leq \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}

    \Leftrightarrow f^{2}\left( x_{0} ight) \leq \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}

    \Leftrightarrow M^{2} \leq \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}

    Mà \left( x_{0} - a ight)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx} \leq (b - a)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}

    Suy ra M^{2} \leq (b - a)\int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx}

    \Rightarrow \int_{a}^{x_{0}}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx} \geq \frac{M^{2}}{b - a}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f'(x) = 1 .

    Vậy giá trị nhỏ nhất của \int_{a}^{b}{\left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}dx} đạt được bằng \frac{M^{2}}{b - a} khi f'(x) = 1.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, thỏa mãn F(0) = \frac{1}{\ln2}. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, ta có: F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C mà F(0) = \frac{1}{\ln2}

    \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)

    T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}

  • Câu 26: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 27: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x + 2} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 28: Nhận biết

    Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 12t + 24(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)

    Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

    S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 30: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B( - 2;0;3),M(0;0;1) và N(0;3;1). Mặt phẳng (P) đi qua các điểm M;N sao cho khoảng cách từ điểm B đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến (P). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) thỏa mãn đề bài?

    Gọi \overrightarrow{n} = (a;b;c) là vectơ pháp tuyến của (P). Khi đó (P): ax + by + cz + d = 0.

    M(0; 0; 1) ∈ (P) ⇔ c + d = 0 ⇔ c = −d.

    N(0; 3; 1) ∈ (P) ⇔ 3b + c + d = 0 ⇔ 3b = 0 ⇔ b = 0.

    Do đó (P): ax − dz + d = 0

    Khoảng cách từ điểm B đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến (P)

    \frac{| - 2a - 3d + d|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}} = 2.\frac{|a + d|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}}

    \Leftrightarrow \frac{\left| - 2(a + d) ight|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}} = 2.\frac{|a + d|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}} (luôn đúng)

    Vậy có vô số mặt phẳng (P).

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \frac{3R}{2}. Mặt phẳng (\alpha) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \frac{R}{2}. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là:

     Diện tích thiết diện

    Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

    Gọi H là trung điểm BC suy ra OH\bot BC suy ra d(O;BC)=\frac{R}{2}

    Khi đó BC=2HB=2\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}ight)^2}=R\sqrt3

    Suy ra S_{ABCD}=BC\cdot AB=R\sqrt3\cdot\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt3R^2}{2} .

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(3; - 2;1),N(1;0; - 3). Gọi M';N' lần lượt là hình chiếu của M;N lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó độ dài đoạn thẳng M'N' bằng:

    Vì M';N' lần lượt là hình chiếu của M;N lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(3; - 2;0),N'(1;0;0) suy ra \overrightarrow{M'N'} = ( - 2;2;0)

    \Rightarrow M'N' = 2\sqrt{2}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết tọa độ hai điểm A(1;2;3) và B(3; - 1;4).

    Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)

    Vậy đáp án đúng là: M(2;1;3).

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 40: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 40 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập