Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

    PTTQ của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, với A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0 nên ta chọn 2x + 3y + z - 12 = 0.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 40t + 100(m/p). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?

    Ta có: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C

    Vì S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0

    Để học sinh đó đến trường thì S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10

    Vậy đáp án cần tìm là 10 phút.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là 4m/s và gia tốc a\left( t ight) = 3{t^2} + t\left( {m/s} ight). Hỏi sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây thì vận tốc của vật là bao nhiêu?

    Ta có: v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} ight)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)

    Do khi bắt đầu tăng tốc {v_0} = 4m/s nên

    {v_{\left( {t = 0} ight)}} = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow v\left( t ight) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 4

    Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được là

    v\left( 2 ight) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 4 = 14\left( {m/s} ight)

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x) = x^{3} - 3x + 2 và g(x) = x + 2?

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f(x);g(x) là nghiệm của phương trình

    x^{3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Hình vẽ minh hoạ

    Diện tích S cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} - 4x ight)dx} - \int_{0}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{0}^{2} = 8

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight). Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?

     Tam giác ABC đều

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = AB\\BC = AB\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)\\{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 ight)\end{array} ight.\\\left( 2 ight) - \left( 1 ight):2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2 \vee y = 0\end{array}

    Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn: 

    C\left( {3;2; - 1} ight);C'\left( {3;0; - 1} ight)

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 13: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng \frac{3\sqrt{30}}{10} có tọa độ là

    Ta có D thuộc tia Oz nên D(0; 0; d) với d > 0.

    Tính \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (ABC): có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

    \Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0

    Ta có d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}

    \Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy D(0;0;3).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 18: Vận dụng

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 19: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}} và 3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    Mà 3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):y = 3x^{4} - 4x^{2} + 5, trục hoành, x = 1 và x = 2 là:

    Ta có: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2} + 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} + 5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1; - 3) và \overrightarrow{b} = ( - 4; - 2;6). Phát biểu nào sau đây sai?

    Dễ thấy \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} từ đo suy ra hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} ngược hướng và \left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left| \overrightarrow{a} ight|.

    Lại có \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 4) + 1.( - 2) + ( - 3).6 = - 28 eq 0

    Vậy phát biểu sai là: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

  • Câu 31: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x + y + z - 2 = 0. Điểm M(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (P) thỏa mãn MA = MB = MC. Tính T = a + 2b + 3c?

    Ta có M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)

    MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5

    MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1

    MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3

    Với MA = MB, ta có a + c − 2 = 0 (2)

    Với MA = MC, ta có a − b − 1 = 0 (3)

    Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 4t + 20(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi vật dừng hẳn thì v = 0 \Rightarrow - 4t + 20 = 0 \Rightarrow t = 5(s)

    Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:

    S(t) = \int_{0}^{5}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{( - 4t + 20)dt} = 50m

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian cho tứ diện ABCD, gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.

    Xét các phương án như sau:

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

    \overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Giá trị của H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx}?

    Ta có:

    H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + 2x^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{0}^{1} = 2 + \ln\sqrt{3}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho ba mặt phẳng \left( P ight):2x + 2y - 6z + 5 = 0;\,\,\,\,\left( Q ight):3x + 4y + 2z - 6 = 0 và (R) qua hai điểm A\left( {1,3, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( { - 2,4, - 1} ight) và vuông góc với (R)  . Câu nào sau đây đúng? (Có thể chọn nhiều hơn 1 đáp án)

    Theo đề bài ta có \left( R ight) \bot \left( P ight) \Rightarrow Một vecto chỉ phương của (R) là: \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2,2, - 6} ight) \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1, - 1,3} ight)

    => A đúng

    Vecto chỉ phương thứ hai của (R) là: \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,1,1} ight)

    Một vecto pháp tuyến của (R) là: \overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = - 4\left( {1,2,1} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n = 4\left( {1,2,1} ight)

    => B đúng.

    Vecto chỉ phương của (D) là: \overrightarrow d = 2\left( {14, - 11,1} ight)

    Ta có: \frac{1}{{14}} e - \frac{2}{{11}} e \frac{1}{1},nên (R) không vuông góc với (D).

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2;0; - 1),B(1;1;0) và (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (\alpha)?

    Do (\alpha) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên (\alpha) nhận \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra \overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB} cũng là vectơ pháp tuyến của (α).

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho 3 mặt phẳng \left( \alpha ight):x - 2z = 0,\left( \beta ight):3x - 2y + z - 3 = 0,\left( \gamma ight):x - 2y + z + 5 = 0 . Mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của (\alpha), (\beta) ,vuông góc với (\gamma) có phương trình tổng quát:

    Mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (\alpha), (\beta) nên phương trình có dạng:

    \left( {m + 3} ight)x - 2y + \left( {1 - 2m} ight)z - 3 = 0

    Vì (P) vuông góc với (\gamma) nên ta được:

    \left( {m + 3} ight).1 - 2.\left( { - 2} ight) + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 8

    Vậy ta có phương trình (P) là : 11x - 2y - 15z - 3 = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập