Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin 2x - \cos 3x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin 2x - \cos 3x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin 2x - \cos 3x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{3}\sin 3x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{6}} = - \frac{3}{4}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : 2x + y = 0.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 1;3brack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ):

    Diện tích hình (H) bằng:

    Diện tích phần gạch chéo là:

    S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}

    = 2f(2) - f(1) - f(3) + 1.

  • Câu 6: Nhận biết

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} + 4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx} .

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\ \end{matrix} ight.

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hai điểmA\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight) và vectơ \overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight). Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ \vec{a} có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)

    Như vậy, \vec{AB} và \vec{a} sẽ là cặp vectơ chỉ phương của (\beta)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}

    Chọn \overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight) làm vectơ pháp tuyến của  (\beta)

    Phương trình mặt phẳng (\beta) có dạng 34x + 21y + 5z + D = 0

    Mặt khác, vì điểm A \in (\beta) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (\beta)  được: 34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25

    Vậy (\beta) có phương trình là: 34x + 21y + 5z + 25 = 0

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight| ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình f(x) = 0 vô nghiệm)

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|.

  • Câu 14: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB} và \vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} và đặt t = \cos x. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có: I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} =\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx}

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{(\cos2x + 1)^{2}}dx} =\frac{1}{4}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{dt}{t^{4}} = \left. \ -\frac{1}{12}t^{- 3} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = -\frac{7}{16}

    Vậy khẳng định sai là: I = \frac{7}{12}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ các điểm A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1). Cho các khẳng định sau:

    (I) BC = 2AB.

    (II) B \in AC.

    (III) Ba điểm A;B;C tạo thành một tam giác.

    (IV) Ba điểm A;B;C thẳng hàng.

    Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB} nên A là trung điểm của BC và ba điểm A;B;C thẳng hàng

    Vậy các khẳng định sai là: (II);(III).

  • Câu 20: Vận dụng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = \left| {2{x^2} - 4x} ight|;y = x + 3

     Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

    \begin{matrix} \left| {2{x^2} - 4x} ight| = x + 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^2} - 4x \geqslant 0} \\ {2{x^2} - 4x = x + 3} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^2} - 4x \leqslant 0} \\ { - \left( {2{x^2} - 4x} ight) = x + 3} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{1}{2}} \\ {x = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Diện tích hình phẳng cần tính là:

    \begin{matrix} S = \int_{ - \dfrac{1}{2}}^3 | |2{x^2} - 4x| - x - 3|{\text{d}}x \hfill \\ = \left| {\int_{ - \dfrac{1}{2}}^0 {\left( {2{x^2} - 5x - 3} ight)} {\text{d}}x} ight| + \left| {\int_0^2 {\left( { - 2{x^2} + 3x - 3} ight)} {\text{d}}x} ight| + \left| {\int_2^3 {\left( {2{x^2} - 5x - 3} ight)} {\text{d}}x} ight| \hfill \\ = \dfrac{{19}}{{24}} + \dfrac{{16}}{3} + \dfrac{{17}}{6} = \dfrac{{215}}{{24}}({\text{dvdt}}) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 22: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 23: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x +1)\cos2xdx} = \frac{1}{a} + \frac{\pi}{b} với a;b là các số hữu tỉ. Giá trị của a.b là:

    Ta có: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x +1)\cos2xdx}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x + 1 \\dv = \cos2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \dfrac{1}{2}\sin2x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = \left. \ \frac{1}{2}(x +1)\sin2x ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin2xdx}

    \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} + 1 ight) + \left. \ \frac{1}{4}\cos2xight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}

    \Rightarrow a.b = 8.4 = 32

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 25: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 26: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1?

    Phương trình hoành độ giao điểm e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)

    Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1

    S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}

    = - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}

    = - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)

    = 4\ln2 + e - 5

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{A'C'} có giá trị bằng:

    Ta có:

    \left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = a.a.1 = a^{2}

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} đúng với mọi điểm A;B;C;D nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1). Gọi \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack (tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{m} và \overrightarrow{n}. Biết \left| \overrightarrow{p} ight| = 15, tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{p}.

    Ta thấy \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)

    Vì \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0) nên \overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0.

    Mặt khác \left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3

    Vậy \overrightarrow{p} = (9; - 12;0).

  • Câu 31: Nhận biết

    Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b,\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho giá trị của tích phân {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = a, {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = b. Giá trị a.b gần nhất với giá trị nào sau đây?

     Ta có:

    {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\sin 3x + \cos 3x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\sin 3x} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} = - \frac{2}{3} \Rightarrow a = - \frac{2}{3}

    \begin{matrix} {I_2} = \int\limits_e^{2e} {\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x ight| - \dfrac{1}{x} - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_e^{2e} \hfill \\ = \ln 2 - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow b = - \dfrac{1}{{2e}} + \dfrac{1}{e} + \ln 2 - \ln \left( {2e + 1} ight) + \ln \left( {e + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow a.b \approx - 0,2198

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 6;5brack có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

    Tính giá trị I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}?

    Hình vẽ minh họa

    Dựa vào đồ thị ta có: A( - 6; - 1),B( - 2;1) suy ra phương trình đường thẳng AB:y = \frac{1}{2}x + 2

    \Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8

    Phương trình đường tròn (C): x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}

    \Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi

    Điểm C(2;1),D(5;3) nên phương trình đường thẳng CD là: y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

    \Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12

    Vậy I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \frac{3a}{2}. Diện tích của thiết diện đó bằng?

    Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO=2a, bán kính đáy OA=3a .

    Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

    Diện tích thiết diện

    Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ OH\bot SI,H\in SI

    Ta có: 

     +\left\{\begin{matrix}AB\bot O I\\AB\bot S O\\\end{matrix}\Rightarrow A B\bot(SOI)\Rightarrow A B\bot O Hight.

    +\left\{\begin{matrix}OH\bot S I\\OH\bot A B\\\end{matrix}\Rightarrow O H\bot(SAB)\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\frac{3a}{2}ight.

    Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có

    \frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OH^2}-\frac{1}{SO^2}=\frac{4}{9a^2}-\frac{1}{4a^2}=\frac{7}{36a^2}\Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt7}.

    SI=\sqrt{SO^2+OI^2}=\sqrt{4a^2+\frac{36a^2}{7}}=\frac{8a}{\sqrt7}.

    Xét tam giác AOI vuông tại I, có: 

    AI=\sqrt{AO^2-OI^2}=\sqrt{9a^2-\frac{36a^2}{7}}=\frac{3\sqrt3a}{\sqrt7}

    \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}

    Vậy diện tích của thiết diện là:

    S_{\triangle S A B}=\frac{1}{2}\cdot SI\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{8a}{\sqrt7}\cdot\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}=\frac{24a^2\sqrt3}{7}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x thỏa mãn F(0) = \frac{3}{2}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có: \int_{}^{}{\left( e^{x} + 2x ight)dx} = e^{x} + x^{2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x suy ra F(x) có dạng e^{x} + x^{2} + C

    Theo bài ra ta có: F(0) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow e^{0} + 0^{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    Vậy F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( {2, - 3,4} ight);\,\,\,\,B\left( { - 1,4,3} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp O.MNE  bằng \frac{3}{14} đvtt.

     Vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 1} ight)

    Phương trình \left( P ight):3x - 7y + z + D = 0

    (P) cắt 3 trục tọa độ tại M\left( { - \frac{D}{3},0,0} ight);\,\,N\left( {0,\frac{D}{7},0} ight);\,\,E\left( {0,0, - D} ight)

    Thể tích hình chóp O.MNE là:

    V_{O.MNE} = \frac{1}{6}OM.ON.OE = \frac{1}{6}\left| {\frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D} ight|

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left| D ight|}^3}}}{{126}} = \dfrac{3}{{14}} \Leftrightarrow {\left| D ight|^3} = 27 \Leftrightarrow D = \pm 3\\ \Rightarrow \left( P ight):3x - 7y + z \pm 3 = 0\end{array}

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 35 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập