Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m2.
Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 4,32m2.
Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.
Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm
và
có dạng hàm số
.
Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm
và
có dạng hàm số
.
Giao điểm của hai parabol tại
Do đó, diện tích của con cá là
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại tích phân
?
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi hàm số
liên tục trên
hoặc
Mà hàm số liên tục trên các khoảng
Nên hàm số liên tục trên
hoặc
khi và chỉ khi
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Mặt phẳng đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng
.
Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là
Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành;
và
bằng:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
Trong không gian
, cho vật thể
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình
và
với
. Gọi
là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
. Biết hàm số
liên tục trên đoạn
, khi đó thể tích
của vật thể
được cho bởi công thức:
Vì là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
ta có:
không phải là
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Mặt phẳng
chứa
và song song với
có phương trình là:
Ta có .
Mặt phẳng (P) đi qua , nhận
là vectơ pháp tuyến, có phương trình là
(Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi
quay quanh trục
bằng:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:
Xét
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
. Giá trị của
sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành bằng
là?
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là:
Mà
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Trong không gian , cho bốn điểm
. Hai điểm
lần lượt nằm trên đoạn BC và BD sao cho
và
. Phương trình mặt phẳng
có dạng
. Tính
?
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để góc giữa hai vectơ
là góc tù?
Ta có:
Góc giữa hai vectơ là góc tù khi và chỉ khi
Mà
Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy đáp án cần tìm là .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Trong không gian với hệ tọa độ
có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng
, cách điểm
một khoảng bằng
biết rằng tồn tại một điểm
trên mặt phẳng đó thỏa mãn
?
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng mà
Với m = −15 thì với mọi ta có
Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Trong không gian
, cho
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ![]()
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
=>
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Giá trị của tích phân
. Biểu thức có giá trị
là:
Giá trị của tích phân . Biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng
như hình vẽ sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng
ta có:
.
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
=> có 5 nghiệm đơn
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường
. Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là
giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường . Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Do nên quãng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Ta có:
với
là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số .
Do nên
. Suy ra
.
Xe ô tô dừng hẳn khi hay
. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ .
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: .
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: .
Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng: