Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Gọi M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ \overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD nên ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight..

    Mặt khác \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} (vì I là trung điểm của MN) suy ra \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có:

    \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}

    = 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}

    \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}

    Mà f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}

    Mà f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1.

  • Câu 7: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; - 1),B(1;1;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| ngắn nhất.

    Gọi J(x; y; z) là điểm sao cho \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0} Suy ra J(2; 3; 1).

    Khi đó \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| đạt GTNN khi và chỉ khi \left| \overrightarrow{MJ} ight| đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

    Vậy M(2; 3; 0).

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2

  • Câu 9: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là (P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0  với (i=1,2,...,n)đi qua điểm M(1;2;3) và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị a_1+a_2+...+a_nbằng?

    Giả sử mặt phẳng (P): x+ay+bz+c=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

    +) Ta có:  (P)\cap Ox=A(-c;0;0),

    (P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),

    P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b}).

    Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra OA=OB=OC

    Nên ta có \left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight | (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên c eq 0 )

    +) Vì điểm M(1;2;3)\in Pnên suy ra:1+2a+3b+c=0

    Nhận thấy nếu a=1, b=-1 thì c=0, trường hợp này không thỏa mãn do  c eq 0

    Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp a=b=1, a=b=-1 và a=-1.b=1

    Vậy a_1=1, a_2=-1. a_3=-1 suy ra a_1+a_2+a_3=-1.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng 120^{0}, giá trị của biểu thức P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} là

    Ta có:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2

    Do đó:

    P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{BD} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành ta có:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}

  • Câu 14: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \frac{x}{{x + 1}}} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \frac{x}{{x + 1}}} ight)dx} có giá trị là:

    Ta có:

    \begin{matrix} I = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + \dfrac{x}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = \dfrac{8}{3} + 2 - \ln 3 - \left( {\dfrac{1}{3} + 1 - \ln 2} ight) \hfill \\ = \dfrac{{10}}{3} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính ra kết quả trực tiếp như trên nhưng ta có thể dùng để kiểm tra kết quả bằng cách thử thay số trong các đáp án.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1 quay quanh Ox.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ightbrack dx} ight|

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6} + x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|

    = \pi\left| \left. \ \left( - \frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{47\pi}{210}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng 60^0, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

     Tỉ số diện tích xung quanh

    Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).

    Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc \widehat{O^\prime A O}.. Theo giả thiết ta có \widehat{O^\prime A O}={60}^\circ.

    Xét tam giác O^\prime OA vuông tại , ta có:

    \tan\widehat{O^\prime A O}=\frac{O^\prime O}{OA}\Rightarrow O^\prime O=a\cdot\tan{60}^\circ=a\sqrt3

    \cos\widehat{O^\prime A O}=\frac{OA}{O^\prime A}\Rightarrow O^\prime A=\frac{a}{\cos{60}^\circ}=2a

    Diện tích xung quanh của hình trụ là:

    S_{xq(T)}=2\pi\cdot OA\cdot O^\prime O=2\pi\cdot a\cdot a\sqrt3=2\pi a^2\sqrt3.

    Diện tích xung quanh của hình nón là:

    S_{xq(N)}=\pi\cdot OA\cdot O^\prime A=\pi\cdot a\cdot2a=2\pi a^2.

    \Rightarrow\dfrac{S_{xq(T)}}{S_{xq(N)}}=\dfrac{2\pi a^2\sqrt3}{2\pi a^2}=\sqrt3

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + 4y + 3z - 5 = 0 và (Q):mx - ny - 6z + 2\ = \ 0. Giá trị của m, n sao cho (P)//(Q) là

    Ta có: (P) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3), (Q) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; - 6)

    Để hai mặt phẳng song song thì \overrightarrow{u_{(P)}} = k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2k \\ - n = 4k \\ - 6 = 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = - 2 \\ m = - 4 \\ n = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: m = - 4;n = 8.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động LC lí tưởng có phương trình i = I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight). Ngoài ra i = q'(t) với q là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc t = 0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian \frac{\pi}{2\omega} là

    Điện lượng cần tìm là:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight) ightbrack dt} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\cos(\omega t) ightbrack dt}

    = \left. \ \left\lbrack I_{0}\sin(\omega t) ightbrack ight|_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}} = \frac{I_{0}}{\omega}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight| ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình f(x) = 0 vô nghiệm)

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|.

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua M (-2, 1, 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,7 = \,\,0.

    Vì mp (P) // (Q) nên ta có PTTQ mp (P) sẽ có dạng là:

    \left( P ight):2x + 5y - 3z + D = 0

    Mặt khác, (P) qua M\left( { - 2,1,3} ight) \Rightarrow D = 8

    \Rightarrow \left( P ight):2x + 5y - 3z + 8 = 0

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5). Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có: MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dễ thấy MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

    Dễ thấy G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0).

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2} + 2x + 1 trục hoành và hai đường thẳng x = - 1;x = 3.

    Diện tích hình phẳng được tính như sau:

    S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight) ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 33: Vận dụng

    Tính thể tích của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0;x = \pi, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng \left( P ight) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ  là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt {\sin x}

     Diện tích thiết diện là S\left( x ight) = \frac{{{{\left( {2\sqrt {\sin x} } ight)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x

    Ta có thể tích cần tính là V = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx = \left. { - \sqrt 3 \cos x} ight|_0^\pi = } 2\sqrt 3

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

    Ta có: x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do \int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên đoạn \left[ {a;b} ight]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4). Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2; - 6).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0;x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x;(0 \leq x \leq 3) là hình chữ nhật có kích thước là x và 2\sqrt{9 - x^{2}}?

    Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x;(0 \leq x \leq 3) là hình chữ nhật có kích thước là x và 2\sqrt{9 - x^{2}}

    Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là: S(x) = 2x\sqrt{9 - x^{2}}

    ⇒ Thể tích vật thể tròn xoay: V = \int_{0}^{3}{2x\sqrt{9 - x^{2}}}dx = 18

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x - \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2} + \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} + \frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 33 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập