Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và
Biết tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành. Tính ![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có
Để tứ giác là hình bình hành
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Gọi
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với các trục tọa độ
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Ta có:
cắt các trục tọa độ tại
Do đôi một vuông góc nên
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian, với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là
Ta có:
Gọi tọa độ trực tâm khi đó
Theo đề bài ta có
Gọi là VTPT của mặt phẳng
ta có:
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là là
Vậy .
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Cho hình chóp
có
, các cạnh
đôi một vuông góc. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng của hai vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Tích phân
với
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Ta có:. Đặt
Đổi cận tích phân
Vậy
Suy ra . Vậy
.
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Biết rằng
. Xác định
?
Ta có:
Do đó:
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho
. Khi đó tọa độ
với hệ
là:
Ta có:
Lại có
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì dừng lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô di chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phan đến lúc dừng hẳn là:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
: vectơ chỉ phương của trục Ox:
.
: Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng
, qua A nên:
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:
Cho tam giác
vuông tại
, cạnh
và
là trung điểm của cạnh
. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác
quanh cạnh
là:
Hình vẽ minh họa
Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có thể tích là
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Mệnh đề đúng
b) Cho . Mệnh đề sai
c) . Mệnh đề đúng
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Mệnh đề sai
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy là hình vuông và
vuông góc với đáy. Biết
, lập phương trình mặt phẳng
.
Dễ dàng chứng minh được là mặt phẳng trung trực của
.
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Mặt phẳng đi qua trung điểm
của
và có vtcp
nên có phương trình:
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi Parabol
và đường cong có phương trình
như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng
bằng:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng bằng:
Đặt
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua điểm
và có cặp vectơ chỉ phương
là:
Vectơ pháp tuyến của là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
có thể thay thế bởi
Phương trình có dạng
Vậy
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Ta có:
Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:
Ta lại có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Cho hàm số
liên tục trên
, có đồ thị hàm số
như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì là diện tích hình thang cong
.
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng
.
Diện tích hình phẳng được tính như sau:
.
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng
như hình vẽ:

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích
của vật thể đó.?
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng
Do đó, diện tích của thiết diện:
Xét hình phẳng
giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng
được tính theo công thức
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên
Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với
là tâm hình vuông sao cho
như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình
và
. Tính giá trị
biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm
diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2
Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với là tâm hình vuông sao cho
như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình
và
. Tính giá trị
biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm
diện tích mặt sàn.
Đáp án: -2||- 2
Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:
Diện tích hình trang trí là:
Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích mặt sàn nên
Khi đó ta có:
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
và
. Tính
?
Ta có:
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng
. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm
?
Hình vẽ minh họa
Ta có mặt phẳng (ABC): .
Suy ra thuộc mặt phẳng (ABC).
Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.
Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là .
Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm là
.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.