Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (1;2;0). Tọa độ vectơ \overrightarrow{u} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Suy ra \overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M( - 1;2; - 3) đến mặt phẳng (P)?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = {x^2} - x + 1;y = x + 1 là:

    Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:

    {x^2} - x + = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {z = 2} \end{array}} ight.

    Diện tích cần tìm là:

    \begin{matrix} S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x + 1 - x - 1} ight|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} ight|dx} \hfill \\ = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} ight)dx} = \left. {\left( {{x^2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^2 = \dfrac{4}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b với a;b\mathbb{\in Z}. Xác định giá trị biểu thức P = ab?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight. khi đó ta có:

    \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}

    = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 9: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + 6y - 8z + 10 = 0.

    Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: 2x + y + z - 2 = 0.

    Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: 2x - 3y - 2z + 6 = 0.

    Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight).

    Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101}; - \frac{31}{101}; - \frac{26}{101} ight) = - \frac{1}{101}(22;31;26)

    Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;6; - 8).

    Vậy \left\lbrack \overrightarrow{n_{(ABC)}};\overrightarrow{u_{AH}} ightbrack = (404; - 202; - 101) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Chọn \overrightarrow{n_{P}} = (4; - 2; - 1) nên phương trình mặt phẳng (P) là 4x - 2y - z + 4 = 0.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hai điểm A(5;1;3) và H(3; - 3; - 1). Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua H là:

    Vì điểm A' đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AA'

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 1 \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = - 7 \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'(1; - 7; - 5)

  • Câu 13: Nhận biết

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2} + 2x + 1 trục hoành và hai đường thẳng x = - 1;x = 3.

    Diện tích hình phẳng được tính như sau:

    S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight) ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {2^x} + {e^x} là:

     Ta có: \int {\left( {{2^x} + {e^x}} ight)dx} = \int {{2^x}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {e^x} + C

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tích phân I = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} + ax + 2} ight)} dx có giá trị là:

     \begin{matrix} I = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} + ax + 2} ight)} dx \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} + \dfrac{a}{2}{x^2} + 2x} ight)} ight|_{ - 1}^0 \hfill \\ = \dfrac{7}{4} - \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1 là:

    Mặt phẳng trên đi qua các điểm A( - 2;0;0),B(0; - 1;0),C(0;0;3)

    Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (2;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;2)

    Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là \overrightarrow{n} = (3;6; - 2).

  • Câu 17: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(2;3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Tìm hoành độ x_{M} của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight| đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(2;3;0) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Tìm hoành độ x_{M} của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight| đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng 120^{0}, giá trị của biểu thức P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} là

    Ta có:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2

    Do đó:

    P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28.

  • Câu 20: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một ô tô xuất phát với vận tốc {v_1}\left( t ight) = 2t + 12\left( {m/s} ight) sau khi đi được một khoảng thời gian {t_1} thì bất ngờ phanh gấp với vận tốc {v_2}\left( t ight) = 24 - 6t\left( {m/s} ight) và đi thêm được một khoảng thời gian {t_2} nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì ô tô đã đi được bao nhiêu mét?

     Ta có: {v_2}\left( 0 ight) = 24\left( {m/s} ight) do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24\left( {m/s} ight)

    => {v_1}\left( t ight) = 2t + 12 = 24 \Rightarrow t = 6\left( s ight)

    Vật dừng lại khi {v_2}\left( t ight) = 24 - 6t = 0 \Rightarrow {t_2} = 4\left( s ight)

    Quãng đường vật đi được là

    S = \int\limits_0^6 {{v_1}\left( t ight)d\left( t ight) + } \int\limits_0^4 {{v_2}\left( t ight)d\left( t ight)} = \int\limits_0^6 {\left( {2t + 12} ight)d\left( t ight) + } \int\limits_0^4 {\left( {24 - 6t} ight)d\left( t ight)} = 156\left( m ight)

  • Câu 23: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2;0;1).

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho các mệnh đề sau:

    (I) Vectơ \overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} luôn đồng phẳng với hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b}.

    (II) Nếu có m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} và ít nhất một trong ba số m;n;p khác không thì ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng.

    (III) Nếu ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng và m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} thì m = n = p = 0.

    Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

    Do \overrightarrow{x} được biểu thị qua hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} nên (I) đúng.

    Xét mệnh đề (II): Giả sử m eq 0, khi đó:

    m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}

    Suy ra ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

    Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}?

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C

  • Câu 29: Vận dụng

    Biết rằng  F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)} thỏa mãn F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}. Chọn mệnh đề đúng?

    Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:

    f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}

    \Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C

    Khi đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.

    Mà F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1

    Vậy T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}

  • Câu 30: Vận dụng

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm P(1;1;2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua P cắt các trục Ox,Oy, Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc tọa độ sao cho T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} + \frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó S_{1},S_{2},S_{3} lần lượt là diện tích các tam giác OAB,OBC,OCA và R_{1},R_{2},R_{3} lần lượt là diện tích các tam giác PAB,PBC,PCA. Điểm M nào dưới đây thuộc (\alpha) ?

    Ta có \overrightarrow{OP} = (1;1;2) \Rightarrow OP = \sqrt{6}. Lại có d(P,(Oxy)) = 2, d(P,(Oxz)) = 1 và d(P,(Oyz)) = 1.

    Đặt d = d(O,(ABC)), ta có

    V_{P.OAB} = V_{O.PAB}

    \Leftrightarrow d(P,(Oxy)) \cdot S_{\bigtriangleup OAB} = d(O,(ABC)) \cdot S_{\bigtriangleup PAB}

    \Leftrightarrow 2S_{1} = dR_{1}

    \Leftrightarrow \frac{R_{1}}{S_{1}} = \frac{2}{d}

    Tương tự, ta có \frac{R_{2}}{S_{2}} = \frac{1}{d} và \frac{R_{3}}{S_{3}} = \frac{1}{d}.

    Khi đó T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} + \frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} = \frac{6}{d^{2}} \geq \frac{6}{OP^{2}} = 1.

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi d = OP hay OP\bot(ABC).

    Từ đó suy ra (\alpha) nhận \overrightarrow{OP} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến.

    Do đó (\alpha) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 6 = 0.

    Vậy M(4;0;1) là điểm thuộc (\alpha).

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hình phẳng \left( H ight) giới hạn với các đường y = {x^2};y = 0;x = 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi \left( H ight) quay quanh trục Ox?

    Thể tích cần tìm là:

    V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} = \left. {\pi .\frac{{{x^5}}}{5}} ight|_0^2 = \frac{{32\pi }}{5}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1; - 3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q):x + y + 3z = 0,(R):2x - y + z = 0 là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{1}} = (1;1;3) \\ \overrightarrow{n_{2}} = (2; - 1;1) \\ \end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (Q),(R).

    Do mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q),(R) nên \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = (4;5; - 3) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Từ đó suy ra mặt phẳng (P) có phương trình 4x + 5y - 3z - 22 = 0.

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; - 1). Tích \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\ \overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 33.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Xét (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = a;(a > 0). Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng 57\pi là?

    Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{(2x + 1)^{2}dx} = \pi\left. \ \frac{(2x + 1)^{3}}{6} ight|_{0}^{a}

    = \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack

    Mà V = 57\pi \Leftrightarrow \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack = 57\pi

    \Leftrightarrow (2a + 1)^{3} = 343 \Leftrightarrow a = 3

    Vậy a = 3 là giá trị cần tìm.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc k\left( {m/s} ight) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v\left( t ight) = - 4t + k\left( {m/s} ight). Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 56m. Tính giá trị của k?

    Khi dừng hẳn - 4t + k = 0 \Rightarrow t = \frac{k}{4}\left( s ight)

    Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:

    S = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^{\frac{k}{4}} {\left( { - 4t + k} ight)dt}

    = \left. {\left( { - 2{t^2} + kt} ight)} ight|_0^{\frac{k}{4}} = \frac{{ - {k^2}}}{8} + \frac{{{k^2}}}{4} = 56 \Rightarrow k = 8\sqrt 7 \left( {m/s} ight)

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 40: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 4 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập