Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5

Mô tả thêm: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 12 được biên soạn gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm được chia thành 4 mức độ bám sát chương trình, giúp học sinh củng cố rèn luyện Toán 12
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;2; - 3). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0.

    Khi đó: (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight. vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c

    Mặt khác H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1

    \Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1 hay (\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = - 2x^{3} + x^{2} + x + 5 và đồ thị (C') của hàm số y = x^{2} - x + 5?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - 2x^{3} + x^{2} + x + 5 = x^{2} - x + 5

    \Leftrightarrow - 2x^{3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{1}{\left| 2x^{3} - 2x ight|dx}

    = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight|

    = 1

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 6: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 9: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 10: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A;B;C;D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A;B;C;D tạo thành hình bình hành là:

    Để A;B;C;D tạo thành hình bình thành thì \left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó:

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}, O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

    \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} (Loại)

    \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (loại)

    Vậy đáp án cần tìm là \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm E\left( {\,3,\,\, - 2,\,\,4\,} ight);\,\,\,F\left( {\,1,\,\,\,3,\,\,6\,} ight) và song song với trục y'Oy

     Vì  \left( P ight)//y'Oy \Rightarrow Vecto chỉ phương của (P)  là: \overrightarrow {{e_2}} = \left( {0,1,0} ight)

    Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là: \overrightarrow {EF} = \left( { - 2,5,2} ight)
    Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT

    \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {EF} } ight] = 2\left( {1,0,1} ight)

    Mp (P) đi qua E (3,-2,4) và nhận vecto \vec{n_p}(1, 0, 1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 3} ight).1 + \left( {y + 2} ight).0 + \left( {z - 4} ight).1

    \Leftrightarrow x + z - 7 = 0

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{A_{1}C} + \overrightarrow{CD_{1}} suy ra \overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hãy tính p và q lần lượt là khoảng cách từ điểm M(5; - 2;0) đến mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (P):3x - 4z + 5 = 0?

    Do mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0 nên

    p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2

    Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

    q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

     PT mp cắt khối tứ diện

    Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 3.0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \dfrac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\z = \dfrac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 3.1}}{4} = \dfrac{3}{4}\end{array} ight.

    Từ đó, ta suy ra: \overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} ight);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} ight) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} ight)

    Như vậy, VTPT mp (P) là: \left( P ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } ight] = \left( {15, - 4, - 5} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 0} ight)15 + \left( {y - 1} ight)\left( { - 4} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( { - 5} ight) = 0

    \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0

  • Câu 17: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}?

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \ - \frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hệ thức sai:

    Tìm hệ thức sai

    Gọi O là tâm hình hộp. Ta có:

    \overrightarrow {AC'} = 2\overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {OC'} ;\overrightarrow {CA'} = 2\overrightarrow {CO}

    \Rightarrow \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} = 2\left( {\overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {CO} } ight) = 2\overrightarrow {CC'}

    Mặt khác ta được:

    \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} + 2\overrightarrow {C'C} = 2\overrightarrow {CC'} + 2\overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0

    Từ đây suy ra:

    \left. \begin{array}{l}\overrightarrow {AC'} = 2\overrightarrow {AO} \\\overrightarrow {A'C} = 2\overrightarrow {OC} \end{array} ight\}\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = 2\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} } ight) = 2\overrightarrow {AC}

    Vậy  \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {{m{AA}}'}là hệ thức sai và là đáp án cần chọn.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng \frac{{a\sqrt 3 }}{2}. Bán kính đáy bằng:

     Tính bán kính

    Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có

    \left\{ \begin{array}{l}OI \bot AB'\\OI \bot BB'\end{array} ight. \Rightarrow OI \bot \left( {ABB'} ight)

    Suy ra d\left[ {AB,OO'} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABB'} ight)} ight] = d\left[ {O,\left( {ABB'} ight)} ight] = OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.

    Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên OO' = BB' = 2R

    Trong tam giác vuông A B’B, ta có AB{'^2} = A{B^2} - B{B^2} = 4{a^2} - 4{R^2}.

    Trong tam giác vuông OIB’, ta có N OB{'^2} = O{I^2} + IB{'^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} + {\left( {\frac{{AB'}}{2}} ight)^2}.

    Suy ra AB{'^2} = 4{R^2} - 3{a^2}.

    Từ đó ta có 4{a^2} - 4{R^2} = 4{R^2} - 3{a^2} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}.

  • Câu 23: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x > 0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\ \overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\ \end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 25: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?

    Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là (i,j,k), với i,j,k \in \left\{ 0;1;2;3 ight\} và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là O(0;0;0),A(3;3;3)

    Phương trình mặt trung trực của OA là (\alpha):x + y + z - \frac{9}{2} = 0

    Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút (i,j,k) và (i + 1;j + 1;k + 1) của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).

    Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ (i,j,k), với i,j,k \in \left\{ 0;1;2 ight\}, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix} i + j + k - \frac{9}{2} < 0 \\ (i + 1) + (j + 1) + (k + 1) - \frac{9}{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \frac{3}{2} < i + j + k < \frac{9}{2}

    Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là \left\lbrack \begin{matrix} i + j + k < \frac{3}{2} \\ i + j + k > \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight. là:

    (0;0;0),(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0),(1;2;2),(2;1;2),(2;2;1),(2;2;2)

    Vậy có 27 - 8 = 19 khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).

  • Câu 27: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\frac{{2ax}}{{x + 1}}dx} = \ln 2. Giá trị của a là:

    Ta có:

    I = \int\limits_0^1 {\frac{{2ax}}{{x + 1}}dx} = 2a\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = 2a\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 = 2a\left( {1 - \ln 2} ight)

    Mà I = \ln 2 \Leftrightarrow 2a\left( {1 - \ln 2} ight) = \ln 2 \Leftrightarrow a = \frac{{\ln 2}}{{2 - 2\ln 2}}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 2;2;5)

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 31: Nhận biết

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 33: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(2,-1,3), B (3, 1, 2) và song song với vectơ \overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight) là:

    Theo đề bài, ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)

    Chọn \overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight) làm 1 vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : 9x - y + 7z + D = 0

    Mà mp lại qua A nên 9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40

    Phương trình cần tìm là: 9x - y + 7z - 40 = 0.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) là đường cong như hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2 (phần tô đen) là:

    Dựa vào hình vẽ ta thấy x \in (0;1) thì \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in (0;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;2) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}

  • Câu 38: Nhận biết

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} + 4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx} .

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 40: Nhận biết

    Nếu \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1 thì \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{5}{f(x)dx} = \int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) = 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 3 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề 5
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập