Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Cho hàm số
có đạo hàm
. Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên và
.
Cho hàm số
xác định trên
và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
đạt cực tiểu tại:
Đặt
Ta có bảng biến thiên
Ta xét bằng cách thay số
Với
Với
Với
Với
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ:

Giả sử
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó giá trị của biểu thức
bằng bao nhiêu?
Từ đồ thị hàm số liên tục trên
Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật
, trong đó
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi
bằng bao nhiêu?
Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi
bằng bao nhiêu?
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
Ta có:
Lại có: suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng.
Cho hàm số
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số có
đổi dấu từ + sang – khi
đi qua điểm
Vậy hàm số đạt cực đại tại
.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương với
nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.
Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện đều cạnh a bằng là?
Diện tích 1 mặt của tứ diện đều là diện tích của 1 tam giác đều cạnh a là:
Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện đều cạnh a bằng:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức
, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
tạo với hai trục tọa độ diện tích bằng bao nhiêu?
Ta có: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là
và đường tiệm cận ngang là
Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là nên diện tích của hình chữ nhật là
.
Cho hàm số
. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Hàm số liên tục trên đoạn
Ta có:
Khi đó nên
.
Số tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Suy ra là tiệm cận ngang.
suy ra
là tiệm cận đứng.
suy ra
là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Tính tổng
tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên tập xác định?
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì
Vì nên
Vậy .
Cho đồ thị hàm số sau:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị đã cho?
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy đồ thị này là đồ thị hàm số bậc có hệ số
nên hàm số tương ứng là
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt?
Đặt
Để có ba nghiệm thực phân biệt thì
có ba nghiệm thực phân biệt
thỏa mãn
Ta có:
Ta có: .
Khi đó
Vậy không có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là:
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
Tìm
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là
Lắp ghép hai khối đa diện
và
để tạo thành khối đa diện (H) , trong đó
là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a ,
là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của
trùng với một mặt của
như hình vẽ. Hỏi khối da diện (H) có tất cả bao nhiêu mặt?

Khối đa diện có đúng 5 mặt.
Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt.
Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện có 8 mặt.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
Vì nên đồ thị hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng
.
Vậy mệnh đề sai là: "Hàm số đồng biến trên ".
Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
Ta có: nên
là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Cho hàm số
với
là tham số thực lớn hơn
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Do đó nghịch biến trên
.
Từ đó suy ra
Vậy đáp án đúng là .
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
không có điểm cực đại là:
Hàm số không có điểm cực đại
Vì
Vậy có bốn giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên
.
Suy ra hàm số tương ứng với đồ thị đã cho là .
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu như sau:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng và
.
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
(đúng do
)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Đặt . Xét hàm số
trên đoạn [1; 3]
Do
Ta có bảng biến thiên

Suy ra khi và chỉ khi
Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng 11 điểm cực trị?

Hàm số đạt cực trị tại
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình
cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> . Kết hợp với điều kiện
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Cho hàm số
. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].
Xét hàm số trên [2; 4] ta có:
Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3
Vậy
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là
và
.
nên đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:
