Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
có giá trị lớn nhất trên
bằng
. Số phần tử của tập hợp
:
Ta có:
Đặt
Hàm số đã cho trở thành:
Ta có:
Vậy số phần tử của tập hợp S là 1.
Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
có giá trị lớn nhất trên
bằng
. Số phần tử của tập hợp
:
Ta có:
Đặt
Hàm số đã cho trở thành:
Ta có:
Vậy số phần tử của tập hợp S là 1.
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.

Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Cho hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
?
Xét hàm số ta có:
đồng biến trên
.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Hàm số có
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Điều kiện xác định
Ta có: suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng
.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có ba nghiệm phân biệt?
Ta có:
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
Ta có:
nên hàm số có tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là
.
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
=> Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3)
Cho hàm số
có đạo hàm
với mọi
.
a) Phương trình
có duy nhất một nghiệm
. Sai||Đúng
b) Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Hàm số
có hai điểm cực trị. Đúng||Sai
d) Hàm số
có ba điểm cực đại. Sai||Đúng
Cho hàm số có đạo hàm
với mọi
.
a) Phương trình có duy nhất một nghiệm
. Sai||Đúng
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Đúng||Sai
d) Hàm số có ba điểm cực đại. Sai||Đúng
a) Sai
Ta có .
.
Vậy phương trình có hai nghiệm.
b) Đúng
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng
.
Ta có nên hàm số
đồng biến trên khoảng
.
c) Đúng
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) Sai
Ta có:
.
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang bằng:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: .
Do đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
.
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
có nghiêm đúng với
khi và chỉ khi :
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với
khi và chỉ khi :
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?
Giả sử hình lăng trụ có đáy là – giác.
Khi đó, số cạnh của hình lăng trụ là .
Như vậy số cạnh của hình lăng trụ phải chia hết cho 3, xét các đáp án thì chỉ có 2022 chia hết cho 3 nên số cạnh của hình lăng trụ chỉ có thể là 2022.
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
. Chọn mệnh đề đúng?

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tập xác định là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
nên
.
Cho hai số thực x, y thỏa mãn
và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
lần lượt là:
Ta có:
Đặt t = xy ta được
Vì
Mặt khác
Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
=> Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn
=>
Cho hàm số
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là:
Ta có:
=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
=> đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số bằng bao nhiêu?
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số
trên
là:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên đoạn
và có đạo hàm
trên khoảng
. Đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào đồ thị ta thấy và dấu “=” chỉ xảy ra tại
nên hàm số đồng biến trên khoảng
.
Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua
điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là
(nghìn đồng),
. Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?
Đáp án: 1000||1 000
Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là
(nghìn đồng),
. Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?
Đáp án: 1000||1 000
Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập chiếc điện thoại là
.
Ta có: .
Khi đó,
Học sinh tự vẽ bảng biến thiên
Ta suy ra:
Đại lí nhập cùng lúc chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với
(đồng).
Đáp số: .
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai
b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai
c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng
d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai
b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai
c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng
d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng
Hàm số có đồ thị như sau:
a) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có 2 cực trị.
b) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có điểm cực đại là x = 2.
c) Sai. Trên khoảng (−1; 3) hàm số có đồng biến và nghịch biến.
d) Sai. Trên R không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Cho hàm số
(với
là tham số) đạt cực tiểu tại
. Tìm giá trị tham số
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại suy ra
Với
. Khi đó
suy ra
là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy là giá trị cần tìm.
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và
; giá trị cực tiểu bằng
.
Cho hàm số
. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
không vượt quá 7. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Cho hàm số . Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
không vượt quá 7. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên
?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
Vậy có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là .
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Suy ra không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
bằng
?
Ta có:
Xét
Mà và
Khi đó
Theo đề bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện?
Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
a) Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh)

Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại.
b) Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của cạnh ( cạnh này thuộc cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có mặt phẳng như thế.

Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại.
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số
?
Thay vào
ta được:
Vậy thuộc đồ thị hàm số
.
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng:
Ta có:
Khi đó:
Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là:
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng: