Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới dây?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng xét dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới dây?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng xét dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Tịnh tiến hàm số sang trái hai đơn vị ta được hàm số
Đồ thị hàm số có được gồm hai phần.
Phần 1 là phần đồ thị nằm phía bên phải
.
Phần 2 là phần đồ thị đối xứng qua .
Khi đó đồ thị hàm số sẽ có một điểm cực trị.
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Tính thể tích
của khối lập phương
, biết
.

Đặt cạnh của khối lập phương là
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Vậy thể tích khối lập phương .
Cho hàm số
xác định và liên tục trên các khoảng
và
có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì nên
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì nên
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là
. Đúng||Sai
b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng
d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là . Đúng||Sai
b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng
d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng
a) Điều kiện xác định của hàm số .
Vậy tập xác định của hàm số là .
b) Ta có: nên y = −1 là đường tiệm cận ngang.
nên y = 1 là đường tiệm cận ngang.
c) Do nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (2 TCN và 1 TCĐ).
d) Minh họa miền giới hạn của các đường tiệm cận và trục Oy như sau:
Miền giới hạn là hình chữ nhật có diện tích là
Cho các hàm số sau:
. Có bao nhiêu hàm số có đúng một điểm cực trị?
Ta có:
có
và
đổi dấu khi
qua nghiệm đó nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
có
và
đổi dấu khi
qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.
; y’ không xác định khi
và y’ đổi dấu khi
qua
nên hàm số có hai điểm cực trị.
và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có hai điểm cực trị.
Vậy chỉ có một hàm số có đúng một cực trị.
Cho hàm số
(với
là tham số thực) thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
TH1: loại
TH2: khi đó
Suy ra đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
với m là tham số, khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết rằng hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất trên
tại điểm
. Khi đó giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Mà khi
Suy ra .
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập số thực?
Xét hàm số có:
Suy ra hàm số đồng biến trên tập số thực.
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số ![]()
Tập xác định
Ta có:
=> Hàm số đồng biến trên (-3; 0)
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn
, với f(x) ≠ 0 với ∀x ∈ (0; +∞) và
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;2]. Tính tổng M + m.
Ta có:
Thay x = 1 vào ta có:
Ta có bảng biến thiên

Khi đó f(x) đồng biến trên [1; 2]
=>
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là
. Đúng||Sai
b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là:
. Đúng||Sai
d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là
. Đúng||Sai
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là . Đúng||Sai
b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: . Đúng||Sai
d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là . Đúng||Sai
a) Ta có:
b)
Thay vào hàm số, ta tính được toạ độ các điểm cực trị là (−2; −3) và (1; 3)
c) Điều kiện xác định:
nên
là tiệm cận đứng.
d)
Suy ra đồ thị có đường tiệm cận xiên là .
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có: suy ra hàm số luôn nghịch biến trên
.
Vậy hàm số đã cho không có điểm cực trị.
Cho đồ thị hàm số sau:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị đã cho?
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy đồ thị này là đồ thị hàm số bậc có hệ số
nên hàm số tương ứng là
.
Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Bất phương trình
(với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Đặt
Vì
=>
Xét hàm số
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: thì
=> g(u) nghịch biến trên (0; 2)
Vậy để nghiệm đúng với mọi
thì
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số | ![]() |
Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:
Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)
=>
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)
=>
Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)
=> y(0) = -1 =>
=>
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Cho hàm số
có đồ thị
. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt
tại hai điểm phân biệt mà hoành độ và tung độ của giao điểm này đều là các số nguyên?
Ta có:. Vì
có tọa độ nguyên khi
Các điểm thuộc có tọa độ nguyên thuộc tập
Mỗi cặp hai điểm thuộc tập B xác định một đường thẳng cắt tại hai điểm có tọa độ nguyên do đó số đường thẳng cần tìm là
(đường thẳng)
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:
Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có:
Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.
Một khối gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
, chiều cao
. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ:

Gọi
là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Xác định giá trị của ![]()
Gọi lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.
Ta có:
Ta lại có:
Xét hàm số với
có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có đạt tại
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hàm số
. Trên đoạn
hàm số có giá trị nhỏ nhất là
. Tìm giá trị của
?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra .
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y = f’(x) có đồ thị (C2) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
trên khoảng
là:

Ta có:

Xét
Từ đồ thị ta được:
Phương trình có nghiệm đơn
Phương trình có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn (x = 0)
Phương trình có 1 nghiệm đơn.
Vậy g’(x) = 0 có 8 nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 8 điểm cực trị.
Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
. mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng và
Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn nên
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng
nên suy ra
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp là:
Giả sử hình chóp có đa giác đáy n cạnh
=> Hình chóp có (n+1) đỉnh, (n+1) mặt và 2n cạnh
Theo hệ thức Euler ta có : Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh +2
Cho hàm số
xác định, liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số
trên
là
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh