Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

     Khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \} là khối bát diện đều.

    Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

    Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60^∘⋅4=240^∘.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

     Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)

    Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.

    Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng

    Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết A'B=3a.

     

    Do ABCD.A'B'C'D'là lăng trụ đứng nên AA' \bot AB.

    Xét tam giác vuông A'AB, ta có A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 5.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'A = 4\sqrt 5 {a^3}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 5). Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2. Đúng||Sai

    c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

    d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 5). Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2. Đúng||Sai

    c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

    d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

    Hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số y = f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác y = f\left( x ight) = \sin x + \cos x + \sin x.\cos x trên đoạn

    \left[ {0,\pi } ight]

    Đặt t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight)

    Vì x \in \left[ {0,\pi } ight] \Rightarrow t \in \left[ { - 1,\sqrt 2 } ight]

    Ta có:

    \begin{matrix} {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} ight)^2} \hfill \\ = {\sin ^2}x + co{x^2}x + 2\sin x.\cos x \hfill \\ = 1 + 2\sin x.\cos x \hfill \\ \Rightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} f\left( x ight) = g\left( t ight) = t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = \dfrac{{{t^2}}}{2} + t - \dfrac{1}{2} \hfill \\ g'\left( t ight) = t + 1,g'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \hfill \\ g\left( { - 1} ight) = - 1,g\left( {\sqrt 2 } ight) = \sqrt 2 + \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \mathop { \Rightarrow \max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 + \frac{1}{2},\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 1

     

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số y = 2x^{3} - x^{2} - 4x + 2. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có: y' = 6x^{2} - 2x - 4 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0, S_1,... , S_n sao cho S_0 trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

    Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

  • Câu 10: Nhận biết

    Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

    Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau: 

    Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác với AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.

     

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15}

  • Câu 12: Nhận biết

    Xác định hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = - x^{3} + x^{2} - x ta có:

    y' = - 3x^{2} + 2x - 1 = - 3\left( x - \frac{1}{3} ight)^{2} - \frac{2}{3} < 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Nên hàm số y = - x^{3} + x^{2} - x nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) trong đó x là số miligam thuộc được tiêm cho bệnh nhân (0 < x < 30). Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là:

    Ta có: G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) \Rightarrow G'(x) = 1,5x - 0,075x^{2}

    \Rightarrow G'(x) = 0 \Leftrightarrow 1,5x - 0,075x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì lượng thuốc cần tiêm vào là x = 20(mg).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + m với m là tham số. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2mx

    Hàm số nghịch biến trên (0;2) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in (0;2)

    Xét hàm số y = - \frac{3}{2}x trên khoảng (0;2) ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy để hàm số nghịch biến trên (0;2) thì m \leq - 3.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x^{3} + 2x^{2} + (m + 1)x - m^{2} đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty) là:

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' = 3x^{2} + 4x + m + 1 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 > 0 \\ \Delta' = 2^{2} - 3(m + 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}

    Vậy m \in \left( \frac{1}{3}; + \infty ight) là giá trị cần tìm.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 2x + 1. Giả sử hàm số đạt cứ đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b thì giá trị biểu thức 2a – 5b là

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 3x + 2 \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tính giá trị biểu thức

    Do y’ thay đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1

    => x = 1 là điểm cực đại của hàm số

    y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 2

    => x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số

    => 2a – 5b = -8

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{(2m + 1)x^{2} + 3}{\sqrt{x^{4} + 1}} với m là tham số. Tìm giá trị của m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; - 3)?

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2m + 1 suy ra d:y = 2m + 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

    Do A(1; - 3) \in d \Leftrightarrow 2m + 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 2

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2}. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = \lbrack 1;2) \cup (2; + \infty)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 1

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 0

    Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang y = 0.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?

     Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

  • Câu 20: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

    - Khối lập phương có 6 mặt.

    \Rightarrow "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" \Rightarrow Sai.

    - Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. \Rightarrow Đúng

    - Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

    \Rightarrow "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

    - Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

    \Rightarrow "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

     

  • Câu 21: Nhận biết

    Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2} đi qua điểm A( - 1;4)?

    Thay tọa độ điểm A( - 1;4) vào y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2} ta được:

    4 = \frac{2.( - 1)^{2} + 6m.( - 1) + 4}{m.( - 1) + 2} \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1

    Vậy giá trị m cần tìm là m = - 1.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a^2

     

    Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác đều và AA' \bot \left( {ABC} ight).

    Diện tích xung quanh lăng trụ là {S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}

    \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ là {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Lắp ghép hai khối đa diện (H_1) và (H_2) để tạo thành khối đa diện (H) , trong đó (H_1)  là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a , (H_2) là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của (H_1) trùng với một mặt của (H_2) như hình vẽ. Hỏi khối da diện (H) có tất cả bao nhiêu mặt?

    Lắp ghép khối đa diện

    Khối đa diện có đúng 5 mặt.

    Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt.

    Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện có 8 mặt.

  • Câu 24: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 4 trên đoạn \lbrack 0;2brack là:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = 2 \\ f(2) = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}y = 2

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2 với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có 5 cực trị?

    Nhận thấy rằng nếu x_{0} là điểm cực trị dương của hàm số y = f(x) thì x_{0}; - x_{0} là điểm cực trị của hàm số y = f\left( |x| ight)

    Lại thấy vì đồ thị hàm số y = f\left( |x| ight) nhận trục tung làm trục đối xứng mà f(x) là hàm đa thức bậc ba nên x = 0 luôn là một điểm cực trị của hàm số y = f\left( |x| ight).

    Khi đó để hàm số y = f\left( |x| ight) có 5 điểm cực trị thì hàm số f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2 có hai cực trị dương phân biệt.

    Suy ra phương trình f'(x) = 3x^{2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {2m - 1} ight)^2} - 3\left( {2 - m} ight) > 0 \hfill \\ \frac{{2m - 1}}{3} > 0 \hfill \\ 2 - m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} - m - 5 > 0 \hfill \\ m > \frac{1}{2} \hfill \\ m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{5}{4} < m < 2.

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f( -2x) trên đoạn \left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack. Tính giá trị của biểu thức B = 2m + 3M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^{4} - 2(m - 1)x^{2} + m + 2020 đồng biến trên khoảng ( - 3; - 1)?

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m - 1)x

    Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 3; - 1) \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in ( - 3; - 1)

    \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m - 1)x \geq 0;\forall x \in ( - 3; - 1)

    \Leftrightarrow x^{2} \leq m - 1;\forall x \in ( - 3; - 1)

    \Leftrightarrow m - 1 \geq \max_{\lbrack - 3; - 1brack}x^{2} \Leftrightarrow m - 1 \geq 9 \Leftrightarrow m \geq 10

    Vậy đáp án cần tìm là: m \geq 10.

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y = 2x^{3} - 5x^{2} + 4x - 2021. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ tại hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 6x^{2} - 10x + 4 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.

    y'' = 12x - 10

    \Rightarrow y''(1) = 1 > 0 nên x_{2} = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

    y''\left( \frac{2}{3} ight) = - 2 < 0 nên x_{1} = \frac{2}{3} là điểm cực đại của hàm số.

    Vậy kết luận đúng là: 2x_{1} - x_{2} = \frac{1}{3}.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng

    Bất phương trình f\left( x ight) < - \cos x + m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;\pi } ight) khi và chỉ khi:

    Ta có: f\left( x ight) < - \cos x + m \Rightarrow m > f\left( x ight) + \cos x\left( * ight)

    Xét hàm số  g\left( x ight) = f\left( x ight) + \cos x;x \in \left( {0;\pi } ight)

    => g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \sin x

    Ta có: \forall x \in \left( {0;\pi } ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( x ight) < 0} \\ {0 < \sin x \leqslant 1} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} \Rightarrow g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \sin x < 0;\forall x \in \left( {0;\pi } ight) \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) - \cos x < g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) + 1 \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant f\left( 0 ight) + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng

    Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

    Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

    Hình hộp đứng

    - Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.

    - Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x - 1} sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm M đến trục hoành?

    Gọi M\left( a;\frac{a + 2}{a - 1} ight);(a eq 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x - 1}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}d(M;Oy) = |a| \\d(M;Ox) = \left| \dfrac{a + 2}{a - 1} ight| \\\end{matrix} ight.. Theo bài ra ta có phương trình:

    |a| = 2.\left| \frac{a + 2}{a - 1}ight| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\a = - 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a^{2} - 3a - 4 = 0 \\a^{2} + a + 4 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \Rightarrow M\left( - 1; - \dfrac{1}{2} ight) \\a = 4 \Rightarrow M(4;2) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ - 1;2 ight\} liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - 1} bằng:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) - 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - 1} có 4 đường tiệm cận đứng.

    Ngoài ra \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. nên đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - 1} có hai đường tiệm cận ngang.

    Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - 1} bằng 6.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:

    Đ=4; M=4; C=6

  • Câu 35: Thông hiểu

    Hỏi đồ thị của hàm số y = \frac{|x + 1|}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (không xét tiệm cận xiên)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;1 ight\}

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{|x + 1|}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} = 1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1

    y = \frac{{\left| {x + 1} ight|}}{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}} = \frac{{\left| {x + 1} ight|.\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} ight)}}{{{x^2} - 1}}= \left\{ \begin{gathered} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}}{{x - 1}};x \geqslant - 1 \hfill \\ - \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}}{{x - 1}};x < - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y = + \infty nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1

    Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 36: Nhận biết

    Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} là điểm nào sau đây?

    Đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} có tiệm cận đứng x = - 2, tiệm cận ngang y = 3

    Suy ra tâm đối xứng là ( - 2;3).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} - 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    y' = - 4x^{2} + 16x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x^{2} + 16x = 0

    \Leftrightarrow 4x\left( - x^{2} + 4 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 2;0) và (2; + \infty).

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - 1;1).

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {2 - \sqrt {{x^2} + 1} } ight) - \sqrt {{x^2} + 1} - 3 đồng biến trên các khoảng nào?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {2 - \sqrt {{x^2} + 1} } ight) - \sqrt {{x^2} + 1} - 3 đồng biến trên các khoảng nào?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = - \infty

    Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1

  • Câu 41: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ sau đây?

    Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên hàm số cần tìm là y = x^{3} - 3x - 1.

  • Câu 42: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx^{4} + (m - 3)x^{2} + 2021 có hai cực tiểu và một cực đại?

    Hàm số y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi a.b < 0.

    Để hàm số y = f(x) có hai cực tiểu và một cực đại thì đồ thị hàm số y = f(x) có dạng

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty. Đồ thị nhánh ngoài của hàm số hướng lên nên hàm số có hệ số a > 0

    Khi đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m(m - 3) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 3

    Vì m là số nguyên nên có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là 5(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h),(v > 5) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = c.v^{3}.t, trong đó c là hằng số dương, E được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng (a;b) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của b - a (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là 5(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h),(v > 5) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = c.v^{3}.t, trong đó c là hằng số dương, E được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng (a;b) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của b - a (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 44: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0) với ab < 0 nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.

  • Câu 45: Nhận biết

    Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 90 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập