Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta có: Hàm số đã cho xác định và liên túc trên đoạn

Suy ra hàm số đồng biến trên

Vậy .

Ta có:

Vậy hai điểm cực trị cần tìm là:

Đặt

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và .

Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

Tập xác định

Ta có:

Suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng

Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận.

Có nên hàm số không có cực trị.

Quan sát đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có dạng hàm số phân thức

=> Loại đáp án B và D

Ta có: => Loại đáp án B

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Xét hàm số f(x) = x⁴ – 2x² + 1 trên [0; 2] có:

f’(x) = 4x³ – 4x

f’(x) = 0 =>

Tính f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 9

Vậy

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

Tập xác định

Ta có:  suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là

Lại có  suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang bằng 4.

Gọi bát diện đều là ABCDEF

Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).

Ta có: do xét trên nên nhận

Vì

Từ đó .

 Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Đường chéo hình vuông

Xét tam giác SAC, ta có .

Chiều cao khối chóp là .

Diện tích hình vuông ABCD là

Vậy thể tích khối chóp .

Tập xác định

Ta có:  nên là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.

suy ra là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .

Xét hàm số có

=> y’ = 0 =>

Ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)

Tập xác định

Ta có:

Để là điểm cực đại của hàm số thì

Với thì . Vậy không thỏa mãn.

Với thì

Xét dấu ta được   có điểm cực đại.

Vậy là giá trị cần tìm.

Ta có:

Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng , tiệm cận ngang

Suy ra tâm đối xứng là .

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Khi đó

Để B nằm giữa A và C và thì

Từ (*) ta được . Thay (**) được

Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng .

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Bất phương trình có nghiệm trên khoảng

Với

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra .

Từ đồ thị của hàm số ta xác định được hàm số đồng biến trên các khoảng .

Ta có:

Gọi là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

(*) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và suy ra .

Gọi là trung điểm của . Tam giác cân tại và có là trung điểm nên . Do theo giao tuyến nên .

Tam giác vuông , có:

Do là lăng trụ đứng nên .

Xét tam giác vuông , ta có .

Diện tích hình vuông là .

Vậy

 Khối đa diện đều loại là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng .

Xét hàm số ta có:

suy ra hàm số liên tục trên .

Vì là lăng trụ đứng nên , suy ra hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là .

Do đó .

Tam giác vuông , ta có

Diện tích tam giác là

Vậy .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận ngang là y = 3

Tiệm cận đứng là x = -1 và x = 1

Vậy tổng các đường tiệm cận cần tìm bằng 3.

Ta có:

Mà

=>

Do đó hàm số nghịch biến trên

=>

Ta lại có:

Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh

Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.

Ta có:

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số

Đồng thời

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Ta có:

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Đặt

Ta được

Xét

Vì

Để xét xem các lăng trụ có nội tiếp mặt cầu được hay không, ta sẽ xét các mặt đáy của lăng trụ đó xem có phải là hình nội tiếp được đường tròn không.

Nếu lăng trụ có đáy là tứ giác nội tiếp được đường tròn thì lăng trụ đó sẽ nội tiếp được mặt cầu.

Từ đây, ta sẽ xét 1 số tứ giác nội tiếp được đường tròn là: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân,…