Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng với nên hàm số tương ứng là .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: tại .

Suy ra .

Nhận thấy dạng đồ thị của hàm số bậc ba

Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên hàm số tương ứng với đồ thị là .

Ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng

Theo yêu cầu bài toán ta có:

Mà

Suy ra có tất cả 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có:

Phương trình có nghiệm khi

Xét phương trình có

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

Suy ra . Theo yêu cầu bài toán ta có:

Mà suy ra

Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Từ bảng biến thiên ta có:

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng

Ta có: 

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là M = f(-3)

Từ đồ thị của hàm số ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

Ta có thể tích khối chóp:

Suy ra:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

suy ra là tiệm cận đứng.

suy ra là tiệm cận ngang

suy ra là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả ba đường tiệm cận.

 Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

Đồ thị hàm số có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái hoặc sang phải theo phương song song với trục hoành đơn vị.

Suy ra phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.

Trong tam giác vuông , có .

Diện tích hình chữ nhật là .

Vậy

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hai mặt phẳng (CDM) và (ABN) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện: 

Gọi là trung điểm của , suy ra .

Do theo giao tuyến nên .

Tam giác là đều cạnh   nên .

Tam giác vuông , có .

Diện tích tam giác vuông .

Vậy .

Hàm số xác định và liên tục trên (0; 1) ta có:

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

 Cách 1: Xét hàm số

Ta có:

Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0

Suy ra

Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2

Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.

Cách 2: Xét hàm số

=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)

Ta có:

Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto làm vecto chỉ phương là

Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Vì là khối chóp đều nên suy ra .

Gọi là trung điểm của

Tam giác vuông tại , có:

Diện tích tam giác là: 

Vậy thể tích khối chóp: 

Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là

Đường tiệm cận ngang đi qua nên ta có:

Vậy đáp án đúng là .

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Khi đó

Để B nằm giữa A và C và thì

Từ (*) ta được . Thay (**) được

Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng .

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Điều kiện xác định của hàm số

Tập xác định

suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là .

suy ra là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

suy ra không là tiệm cận đứng.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hám số là .

Xét hàm số ta có:

Đặt

Xét hàm số có . Hàm số nghịch biến khi

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

Xét hàm số

Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:

Ta có:

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.

Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.

Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:

TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x² – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x² – (m + 1)x + m – 1] = 0

TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x² – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x² – (m – 1)x - m – 1] = 0

=>

Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Khi

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng

Khi

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

 Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Diện tích 1 mặt của tứ diện đều là diện tích của 1 tam giác đều cạnh a là:

Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện đều cạnh a bằng: