Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số
trên
là:
Đặt
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Cho hình hộp chữ nhật
có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Điều kiện xác định
Vậy
Xét
Vậy là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Xét
Vậy là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì không tồn tại nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
Ta có: suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là
.
Lại có suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy có tất cả 3 đường tiệm cận.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
Từ bảng biến thiên ta có: .
Giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
thuộc khoảng nào sau đây?
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì
Vậy .
Cho hàm số
có hai điểm cực trị
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Ta có:
Nhận thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
Cho hàm số
. Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Cho hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Tập xác định
Ta có: . Vì hàm số đơn điệu trên
nên
Nếu Hàm số không có giá trị lớn nhất
Vậy
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có 4 nghiệm thực phân biệt?
Đặt . Ta được phương trình
Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
Do
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:
Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:
Cho hàm số
. Biết hàm số nghịch biến trên đoạn
. Tính
.
Đáp án: 5
Cho hàm số . Biết hàm số nghịch biến trên đoạn
. Tính
.
Đáp án: 5
Tập xác định: .
Ta có: .
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên .
Khi đó: .
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
Ta có:
Lại có: suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Vậy hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng.
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
Gọi bát diện đều là ABCDEF

Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).
Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 5. Khẳng định nào sau đây đúng:
Tập xác định
Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
(i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
(ii) Hàm số có cực tiểu tại
.
(iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
.
(iv) Hàm số xác định trên
.
Do nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang;
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.
Hàm số có cực tiểu tại đúng nên (ii) đúng.
Hàm số nghịch biến trên nên (iii) sai.
Hàm số không xác định tại nên (iv) sai.
Vậy có 2 khẳng định sai.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng và
.
Cho hàm số
liên tục, có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng
. Giá trị lớn nhất của
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Giá trị lớn nhất của
bằng bao nhiêu?
Một loại thuốc được dùng cho bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong
giờ được cho bởi công thức
. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
Ta có: . Cho
Bảng biến thiên:
Vậy sau khi tiêm 1 giờ, nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân cao nhất.
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Đồ thị của hàm số nào tương ứng với đồ thị trong hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm
=> => Loại đáp án
Mặt khác => Hệ số a > 0 => Loại đáp án
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm , dựa vào hình vẽ ta thấy
trái dấu
=> Loại đáp án
Vậy đáp án là
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng xét dấu của
như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương hai lần qua các điểm
và
nên hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hàm số
có đạo hàm
với mọi
.
a) Phương trình
có duy nhất một nghiệm
. Sai||Đúng
b) Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Hàm số
có hai điểm cực trị. Đúng||Sai
d) Hàm số
có ba điểm cực đại. Sai||Đúng
Cho hàm số có đạo hàm
với mọi
.
a) Phương trình có duy nhất một nghiệm
. Sai||Đúng
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Đúng||Sai
d) Hàm số có ba điểm cực đại. Sai||Đúng
a) Sai
Ta có .
.
Vậy phương trình có hai nghiệm.
b) Đúng
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng
.
Ta có nên hàm số
đồng biến trên khoảng
.
c) Đúng
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) Sai
Ta có:
.
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân
trong đó
là số miligam thuộc được tiêm cho bệnh nhân
. Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì lượng thuốc cần tiêm vào là .
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm
cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí
cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng
và
(minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình
. Trong đó,
là nồng độ,
là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là
và
. Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm
trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).
Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí
cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng
và
(minh hoạ như hình vẽ sau).
Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình . Trong đó,
là nồng độ,
là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là
và
. Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm
trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).
Cho hàm số
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
Điều kiện
Từ điều kiện ta có:
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Mặt khác
=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Không tồn tại
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Quan sát đồ thị ta thấy
Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?
Giả sử hình lăng trụ có đáy là – giác.
Khi đó, số cạnh của hình lăng trụ là .
Như vậy số cạnh của hình lăng trụ phải chia hết cho 3, xét các đáp án thì chỉ có 2022 chia hết cho 3 nên số cạnh của hình lăng trụ chỉ có thể là 2022.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Cho hàm số | ![]() |
Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:
Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)
=>
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)
=>
Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)
=> y(0) = -1 =>
=>
Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
là:

Ta có:
Do

Vậy hàm số có ba điểm cực trị.