Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?

    Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

    Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3Đ =2C.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?

    Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

    - Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

    - Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

  • Câu 4: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} = - \infty => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} = - 3 => y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

    Chia khối lăng trụ

    Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

  • Câu 6: Nhận biết

    Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Quan sát hình vẽ, ta thấy:

    Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho các hình sau:Tìm hình không phải đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0,S_1,...\;,S_n sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt S_i,\;S_{i+1} nào (0\leq i\leq n-1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 8: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2} nhỏ hơn 2?

    Ta có: y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y

    \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1

    Phương trình có nghiệm khi

    m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1

    \Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0

    Xét phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 có \Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m

    Suy ra phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

    \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    Suy ra \max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}. Theo yêu cầu bài toán ta có:

    \max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2

    \Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}

    Mà m\mathbb{\in Z} suy ra m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 đồng biến trên \mathbb{R}?

    Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y' = x^{2} - 4mx + 4 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 4m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 2;1brack?

    Xét hàm số f(x) = x^{3} - 3x xác định trên tập số thực có:

    f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 2 \\ f(1) = - 2 \\ f( - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack - 2;1brack}f(x) = - 2

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 1 hoặc x = -2.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - x^{3} - 6x^{2} + (4m - 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 3) là:

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 12x + 4m - 9

    Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 3) khi y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow - 3x^{2} - 12x + 4m - 9 \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow 4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    Đặt f(x) = 3x^{2} + 12x + 9 ta có: f'(x) = 6x + 12. Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0

    Vậy ( - \infty;0brack là giá trị của tham số m cần tìm.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6x \hfill \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu:

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây

    Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

    + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

    + Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {{3^x} - 1} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

     Ta có:

    f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {{3^x} - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    => Hàm số có 3 điểm cực trị

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a\sqrt 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

     

    Tam giác ABC vuông cân tại B,

    suy ra BA = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}

    Vậy thể tích khối lăng trụ V = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \frac{{{a^3}}}{2}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

    Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

    Giả sử bất phương trình f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;3} ight] thì tham số m thỏa mãn điều kiện là:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

    Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng

    Giả sử bất phương trình f\left( x ight) > \sin \frac{{\pi x}}{2} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;3} ight] thì tham số m thỏa mãn điều kiện là:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Vận dụng cao

    Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 3 có ba điểm cực trị A;B;C sao cho trục Ox chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng \frac{4}{5}?

    Ta có: y' = 4x^{2} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > - 1

    Khi m > - 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0;2m + 3), B\left( - \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight), C\left( \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)

    Ta có: A \in Oy, B và C đối xứng với nhau qua Oy suy ra tam giác ABC cân tại A

    Hình vẽ minh họa

    Trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 3 > 0 \\ - m^{2} + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ - \dfrac{3}{2} < m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 ta được m > \sqrt{2}

    Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy

    Ta có:

    \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{OA}{AK} ight)^{2} = \left( \frac{y_{A}}{y_{A} - y_{B}} ight)^{2} = \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2}

    Mà \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2} = \frac{4}{9}

    Vì m > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} = \frac{2}{3}

    \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \\m = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = \dfrac{1 +\sqrt{15}}{2}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a \sqrt 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.

     

    Theo giả thiết, ta có SH = a\sqrt 3.

    Diện tích tứ giác:

    {S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMN}} - {S_{\Delta BMC}}

    = A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BM.BC = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}

    Vậy  {V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB=a, BC = a\sqrt 3. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

     

    Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH \bot AB.

    Do \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABC} ight) theo giao tuyến AB nên SH \bot (ABC).

    Tam giác SAB là đều cạnh AB=a  nên SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Tam giác vuông ABC, có AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.

    Diện tích tam giác vuông {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.

    Vậy {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:

    Gọi bát diện đều là ABCDEF

    Hình bát diện đều

    Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có: y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x + 3 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}

    Ta có: y’ = 0 chỉ tại x = 1

    Vậy y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1 đồng biến trên

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{4} - 2(m + 2)x^{2} + 3m - 1. Tìm m để hàm số đã cho có cực tiểu nhưng không có cực đại?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m + 2)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 2)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 2 \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số đã cho chỉ có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại thì m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 2.

    Vậy đáp án cần tìm là ( - \infty; - 2brack.

  • Câu 23: Nhận biết

    Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = - x^{3} - 3x + 1 ta có: y' = - 3x^{2} - 3 < 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do đó hàm số y = - x^{3} - 3x + 1 nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ight\} liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hàm số không có giá trị lớn nhất vì \lim_{x ightarrow - 1^{-}}y = + \infty nên khẳng định “Giá trị lớn nhất của hàm số là 2” sai.

    Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 2 nên khẳng định “Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m \in (1;2)” đúng.

    Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty;1) và ( - 1;1) nên khẳng định “Hàm số đồng biến trên một khoảng duy nhất là ( - \infty;1)” sai.

    Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = - 1;y = 1 vì \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 1;\lim_{x ightarrow - 1^{- 1}}y = + \infty nên khẳng định “Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận” sai.

    Vậy khẳng định đúng cần tìm là “Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m \in (1;2).”

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

     Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

  • Câu 26: Vận dụng

    Số điểm cực trị của hàm số y = \left| {\sin x - \frac{\pi }{4}} ight|,x \in \left( { - \pi ;\pi } ight) là?

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \sin x - \frac{x}{4};x \in \left( { - \pi ;\pi } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \cos x - \dfrac{1}{4} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_1} \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};0} ight)} \\ {x = {x_1} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} f\left( {{x_1}} ight) = \sin {x_1} - \dfrac{{{x_1}}}{4} = - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{{{x_1}}}{4} < - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} + \dfrac{\pi }{8} < 0 \hfill \\ f\left( {{x_2}} ight) = \sin {x_2} - \dfrac{{{x_2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{{{x_1}}}{4} < \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{\pi }{8} < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên:

    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khác x1; x2

    => Hàm số y = \left| {\sin x - \frac{x}{4}} ight|,x \in \left( { - \pi ,\pi } ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 27: Thông hiểu

    Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = \frac{mx + 5}{x - m} trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 7. mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = - \frac{m^{2} + 5}{(x -m)^{2}} < 0;\forall x eq m \Rightarrow \Delta' = m^{2} + 2m -3

    Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;m) và (m; + \infty)

    Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack nên m otin \lbrack 0;1brack

    Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 7 nên suy ra

    \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ f\left( 1 ight) = \frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) = \frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {TM} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {KTM} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow m = 2 \in(0;2brack

  • Câu 28: Thông hiểu

    Số tiệm cận của hàm số y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 9} - 4}} là:

    Tập xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 9 \geqslant 0} \\ {\sqrt {{x^2} - 9} e 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} ight] \cup \left[ {3; + \infty } ight)\backslash \left\{ { \pm 5} ight\}

    Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 2

    => Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

    Mặt khác \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm {5^ + }} f\left( x ight) = \mp \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm {5^ - }} f\left( x ight) = \pm \infty

    => Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

  • Câu 29: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng y= \frac{ax + b}{cx + d}

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =1 và tiệm cận đứng x = 2 nên hàm số cần tìm là y = \frac{x + 3}{x -2}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có tiệm cận đứng của hàm số là y = 3 và tiệm cận ngang là y = 1

    Giao điểm của hai đường tiệm cận I(3; 1) là tâm đối xứng của đồ thị

    => A, C, D đúng và B sai

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên \mathbb{R}. Hàm số y = f'(1 - x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hàm số y = f(x) nghịch biến

    \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(1 - t) < 0 với x = 1 - t

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t < 0 \\ 1 < t < 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x < 0 \\ 1 < 1 - x < 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 1 \\ - 1 < x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng ( - 1;0).

  • Câu 32: Nhận biết

    Hàm số y = \frac{ 2x + 3 }{ x + 1 } có bao nhiêu điểm cực trị?

    Có y' = \frac{- 1}{(x + 1)^{2}} > 0,\forall x eq - 1 nên hàm số không có cực trị.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác y = f\left( x ight) = \sin x + \cos x + \sin x.\cos x trên đoạn

    \left[ {0,\pi } ight]

    Đặt t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight)

    Vì x \in \left[ {0,\pi } ight] \Rightarrow t \in \left[ { - 1,\sqrt 2 } ight]

    Ta có:

    \begin{matrix} {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} ight)^2} \hfill \\ = {\sin ^2}x + co{x^2}x + 2\sin x.\cos x \hfill \\ = 1 + 2\sin x.\cos x \hfill \\ \Rightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} f\left( x ight) = g\left( t ight) = t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = \dfrac{{{t^2}}}{2} + t - \dfrac{1}{2} \hfill \\ g'\left( t ight) = t + 1,g'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \hfill \\ g\left( { - 1} ight) = - 1,g\left( {\sqrt 2 } ight) = \sqrt 2 + \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \mathop { \Rightarrow \max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 + \frac{1}{2},\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 1

     

  • Câu 34: Thông hiểu

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = ( - \infty;2)\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}ight)}{x\left( 1 - \dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}}{1 - \dfrac{1}{x}}= 1

    Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 2 + x}{(x - 1)\left( x + \sqrt{2 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 2}{x + \sqrt{2 - x}} = \frac{3}{2}

    Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng

    Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + mx đạt cực tiểu tại x = 2 thì tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 6x + m \\ y'' = 6x - 6 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + mx đạt cực tiểu tại x = 2 thì

    \left\{ \begin{matrix} y' = 0 \\ y'' > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y'(2) = 0 \\ y''(2) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 0 \\ 6.2 - 6 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 0

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - 1;1).

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên y = f(x) và có đạo hàm f'(x) = (2 - x)(x + 3)g(x) + 2021 trong đó g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = f(1 - x) + 2021x + 2022 đồng biến trên khoảng nào?

    Ta có:

    y' = - f'(1 - x) + 2021

    y' = - \left\lbrack (1 + x)(4 - x)g(1 - x) + 2021 ightbrack + 2021

    y' = (x + 1)(x - 4).g(1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vì g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên y' > 0;\forall x \in ( - 1;4)

    Suy ra hàm số đồng biến trên ( - 1;4).

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}}. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?

    Tập xác định: D = \left( { - \infty ;2} ight] \cup \left[ {2; + \infty } ight)

    Ta thấy rằng x = 1 không thuộc D => Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \dfrac{1}{x}} ight)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\left| x ight|}}{x} \hfill \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?

    Giả sử hình lăng trụ có đáy là n – giác.

    Khi đó, số cạnh của hình lăng trụ là 3n.

    Như vậy số cạnh của hình lăng trụ phải chia hết cho 3, xét các đáp án thì chỉ có 2022 chia hết cho 3 nên số cạnh của hình lăng trụ chỉ có thể là 2022.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên

     Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

  • Câu 42: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 5;5brack để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3x^{2} - m} có đúng một tiệm cận đứng?

    Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3x^{2} - m} có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình x^{3} - 3x^{2} - m = 0 có đúng một nghiệm x eq - 1

    Ta có: x^{3} - 3x^{2} - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} = m

    Xét hàm số x^{3} - 3x^{2} = g(x) ta có: g'(x) = 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Từ bảng biến thiên suy ra \left\lbrack \begin{matrix} m > 0 \\ m < - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Mà \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 5;5brack \\ \end{matrix} ight. nên m \in \left\{ - 5;1;2;3;4;5 ight\}

    Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) và có bảng biến thiên trên [-2; 3) như sau:

    GTLN của hàm số trên khoảng là bao nhiêu?

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] bằng:

    Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2; 3]

    Ta có: f(x) ∈ [-2; 3] với \forall x \in \mathbb{R} => \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 4

  • Câu 44: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = x^{4} - x^{2} - 2 cắt trục tung tại điểm:

    Ta có: x = 0 \Rightarrow y = 0^{4} - 0^{2} - 2 = - 2

    Vậy đồ thị hàm số y = x^{4} - x^{2} - 2 cắt trục tung tại điểm (0; - 2).

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 142 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập