Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
thỏa mãn
. Số phần tử của tập hợp
bằng:
Ta có:
Đạo hàm
và
Suy ra
Mà
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Cho hàm số
có đạo hàm trên
và
biết
. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.
Do nên hàm số
nghịch biến trên
.
Khi đó ta có:
sai
sai
sai
Do đó, đúng.
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?
Ta có:
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Cho hàm số
có đồ thị
là parabol như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?
Điểm cực tiểu của hàm số là
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
Điểm cực đại của hàm số là .
Cho hàm số
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.
Đặt
Khi đó
Vậy M = 1; m = 0 => M = m + 1
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số bằng bao nhiêu?
Hàm số
đạt cực tiểu tại
khi:
Ta có: .
Hàm số đạt cực tiểu tại suy ra
Với
Với
Vậy với thì hàm số
đạt cực tiểu tại
.
Cho hàm số
. Xác định số điểm cực trị của hàm số?
Ta có:
Vì nên hàm số đã cho có 3 cực trị.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số điểm cực trị của hàm số
?
Từ đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Do đó phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này
đều đổi dấu nên số cực trị của hàm số
là bốn cực trị.
Trong các lăng trụ sau, lăng trụ nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?
Để xét xem các lăng trụ có nội tiếp mặt cầu được hay không, ta sẽ xét các mặt đáy của lăng trụ đó xem có phải là hình nội tiếp được đường tròn không.
Nếu lăng trụ có đáy là tứ giác nội tiếp được đường tròn thì lăng trụ đó sẽ nội tiếp được mặt cầu.
Từ đây, ta sẽ xét 1 số tứ giác nội tiếp được đường tròn là: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân,…
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Gọi
là giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là
sao cho diện tích tam giác
bằng
(
là gốc tọa độ). Khi đó giá trị biểu thức
bằng:
Tập xác định .
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Suy ra
Đường thẳng (PQ) đi qua điểm và nhận
làm một vecto pháp tuyến nên có phương trình
Theo bài ra ta có diện tích tam giác OPQ bằng 2 nên ta có phương trình:
Vậy .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Cho hàm số
xác định trên
và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên .
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
lần lượt là
. Tính giá trị biểu thức
?
Tập xác định
Ta có:
Khi đó:
Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm
. Khi đó diện tích tam giác
bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: 0,25
Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm
. Khi đó diện tích tam giác
bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: 0,25
Ta có
.
Do đó tiện cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là .
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục hoành, trục tung lần lượt là .
Xét tam giác vuông tại
, có:
=> Diện tích của tam giác là
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng
. Sai||Đúng
Cho hàm số có đạo hàm trên
và đồ thị như hình vẽ bên dưới:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng . Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
. Sai||Đúng
Theo hình vẽ, hàm số đồng biến trên khoảng và đạt cực tiểu tại điểm
. giá trị không âm trên khoảng đó.
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
.
Cho hàm số
. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].
Xét hàm số trên [2; 4] ta có:
Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3
Vậy
Cho hàm số
. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
không vượt quá 7. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Cho hàm số . Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
không vượt quá 7. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Gọi
lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).
Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).
Khối lập phương có 9 trục đối xứng
(Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;
Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau đây:

Số nghiệm của phương trình
là:
Ta có: có hai nghiệm
Cho khối đa diện đều loại
. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?
Khối đa diện đều loại là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.
Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?

Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
là:
Ta có:
Lại có:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên
?
Xét hàm số ta có:
suy ra hàm số liên tục trên
.
Số các giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có ba đường tiệm cận bằng:
Ta có:
nên
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra có hai nghiệm phân biệt
Mà
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Ta có:
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình
Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số
(với
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
Tập xác định
Ta có: .
Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì
Vậy đáp án cần tìm là: .
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình sau:

Đồ thị của hàm số thỏa mãn bài toán.
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Tính giá trị của tham số m biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số
là
?
Ta có: có tập xác định
Ta có: . Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
và tổng diện tích các mặt bên bằng ![]()

Xét khối lăng trụ có đáy
là tam giác đều và
.
Diện tích xung quanh lăng trụ là
Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.