Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} tại ba điểm phân biệt A;B;C với B nằm giữa A;C sao cho AB = 2BC. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?

    Ta có bảng biến thiên

    Suy ra đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} tại ba điểm phân biệt A;B;C \Leftrightarrow - 4 < m < 0

    Khi đó \[\left\{ \begin{gathered} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3 \hfill \\ {x_A}.{x_B} + {x_B}.{x_C} + {x_C}.{x_A} = 0 \hfill \\ {x_A}.{x_B}.{x_C} = m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Để B nằm giữa A và C và AB = 2BC thì \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x_{A} < x_{B} < x_{C} \\ x_{B} - x_{A} = 2\left( x_{C} - x_{B} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x_{C} < x_{B} < x_{A} \\ x_{A} - x_{B} = 2\left( x_{B} - x_{C} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow 3x_{B} = x_{A} + 2x_{C} \Leftrightarrow 4x_{B} - 3 = x_{C} \Rightarrow x_{A} = 6 - 5x_{B}

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {6 - 5{x_B}} ight) + {x_B}.\left( {4{x_B} - 3} ight) + \left( {4{x_B} - 3} ight)\left( {6 - 5{x_B}} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \left( {4{x_B} - 3} ight).{x_B}.\left( {6 - 5{x_B}} ight) = m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Từ (*) ta được x_{B} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}. Thay (**) được \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49} \\m = \dfrac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra S = \left\{ \frac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49};\frac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} ight\}. Vậy tổng các phần tử của S bằng - 4.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Có thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

    Chia hình lập phương

    Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD'B') ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A'B'D' và BCD,B'C'D'.

    +) Với khối ABD.A'B'D' ta lần lượt dùng các mặt phẳng (AB'D') và (AB'D) chia thành ba khối tứ diện bằng nhau.

    +) Tương tự với khối BCD.B'C'D'

    Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60^{0}. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy, gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} SO\bot BC \\ OM\bot BC \\ \end{matrix} ight. nên (SOM)\bot BC

    Suy ra \left\lbrack (SCD),(ABCD) ightbrack = (SM,OM) = \widehat{SMO} = 60^{0}.

    Có OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}, SO = OMtan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Thể tích khối chóp S.ABCD là

    V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Gọi {n_1},{m{ }}{n_2},{m{ }}{n_3} lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

    Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).

    Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).

    Khối lập phương có 9 trục đối xứng

    (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;

    Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).

  • Câu 5: Nhận biết

    Hàm số y = \frac{x - 2}{x - 1} đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}. Ta có: y' = \frac{1}{(x - 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty;1) và (1; + \infty).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là:

    Tập xác định D = \left[ {1;9} ight]

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {9 - x} }} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt {9 - x} \Rightarrow x = 5\left( {tm} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 ight) = y\left( 9 ight) = 2\sqrt 2 } \\ {y\left( 5 ight) = 4} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\min y = 2\sqrt 2 } \\ {\max y = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho các hình sau: Tìm hình đa diện

    Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt {S_0},{S_1},...\,\,,{S_n} sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt {S_i},{S_{i + 1}} nào (0 \le i \le n - 1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 8: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a \sqrt 2. Tính thể tích của khối chóp?

     thể tích chóp

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = {a^2}.

    Chiều cao khối chóp là SA = a \sqrt 2

    Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:

    {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{x - 3}{x + 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{4}{(x + 1)^{2}} > 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - \infty; - 1) và ( - 1; + \infty).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{ax - b}{x - c} có đồ thị như hình vẽ:

    Tính giá trị biểu thức T = a + b + c?

    Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy đường tiệm cận đứng x = 2, đường tiệm cận ngang y = - 1

    Xét hàm số y = \frac{ax - b}{x - c} đồ thị có tiệm cận đứng x = c và tiệm cận ngang y = a

    suy ra c = 2;a = - 1

    Đồ thị hàm số y = \frac{ax - b}{x - c} đi qua điểm (1;0) \Rightarrow \frac{a.1 - b}{1 - c} = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = 1

    Vậy T = - 1 + 1 + 2 = 2.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên \mathbb{R}. Tập nghiệm của bất phương trình f\left( \frac{1}{x} ight) > f(1) là:

    Vì hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên \mathbb{R} nên ta có:

    f\left( \frac{1}{x} ight) > f(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x \in ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x \in ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như sau:

    Trên khoảng ( - 10;10) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(x) + mx + 2020 có đúng một cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như sau:

    Trên khoảng ( - 10;10) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(x) + mx + 2020 có đúng một cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên?

    Nhận thấy dạng đồ thị của hàm số bậc ba y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a eq 0)

    Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên hàm số tương ứng với đồ thị là y = - x^{3} + 2x - 2.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Tình tổng các giá trị nguyên của tham số m

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) có 3 điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là:

    Xét hàm số y = f\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) có đạo hàm

    \begin{matrix} y' = 2\left( {x - 1} ight)f'\left( {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = - 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + m = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = - 1 - m} \\ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} = 3 - m} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số có 3 điểm cực trị thì

    \begin{matrix} - 1 - m \leqslant 0 < 3 - m \hfill \\ \Leftrightarrow - 1 \leqslant m < 3 \hfill \\ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các phần tử của S là 2

  • Câu 17: Thông hiểu

    Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?

    Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh

    Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)^{2}(x - 1).x^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.

  • Câu 19: Vận dụng

    Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m - 2} ight){x^2} + 12x + 1 đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:

    Ta có: y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 2} ight)x + 12

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    \begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 9{{\left( {m - 2} ight)}^2} - 36 \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện m \in \mathbb{Z}

    => m \in \left\{ {0;1;2;3;4} ight\}

    => Tổng P bằng 10

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số g(x) = - 3f(x) + 2?

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có:

    f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight. và f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0

    Ta có: g'(x) = - 3f'(x)

    Khi đó: g'(x) > 0 \Leftrightarrow - 3f'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0

    g'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3f'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số g(x) = - 3f(x) + 2 đồng biến trên khoảng ( - 5;0).

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x}{{{x^2} - 3x - 4}} + x

    Quy đồng biến đổi hàm số đã cho trở thành y = \frac{{{x^3} - 3{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 3x - 4}}

    Tìm được tiệm cận đứng là x = -1 và x = 4 và không có tiệm cận ngang

    => Số tiệm cận là 2 đường

  • Câu 23: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có hàm số y = \left( \frac{5}{4} ight)^{x} có cơ số a = \frac{5}{4} > 1 nên đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ngoài ra các hàm số y = \frac{x + 4}{x + 3}; y = x^{4} - 2x^{2} + 1; y = \tan x không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x^{2} + 5} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} = \frac{2}{3} nên x = 2 không phải tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} - \dfrac{3}{x}}{1 -\dfrac{2}{x}} = - 1 suy ra y = - 1 là một tiệm cận ngang

    \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} - \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{2}{x}}= 1 suy ra y = 1 là một tiệm cận ngang

    Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} là 2.

  • Câu 25: Nhận biết

    Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 3x + 4} bằng:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 3x + 4} không có tiệm cận đứng.

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{x + 1}{x^{2} - 3x + 4}ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^{2}}} ight) = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng 1.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết A'B=3a.

     

    Do ABCD.A'B'C'D'là lăng trụ đứng nên AA' \bot AB.

    Xét tam giác vuông A'AB, ta có A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 5.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'A = 4\sqrt 5 {a^3}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?

     Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi (H): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

     

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + \left( m^{2} - m + 2 ight)x^{2} + \left( 3m^{2} + 1 ight)x đạt cực tiểu tại x = - 2?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = x^{2} + 2\left( m^{2} - m + 2 ight)x + \left( 3m^{2} + 1 ight)

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 \Rightarrow y'( - 2) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có: y'' = 2x + 2\left( m^{2} - m + 2 ight)

    y''( - 2) = 2m^{2} - 2m

    y''( - 2) > 0 \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 thì m = 3 thỏa mãn.

    vậy giá trị m cần tìm là m = 3.

  • Câu 29: Nhận biết

    Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?

    Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) hay f(x) - g(x) = 0.

  • Câu 30: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 5;5brack để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3x^{2} - m} có đúng một tiệm cận đứng?

    Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{3} - 3x^{2} - m} có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình x^{3} - 3x^{2} - m = 0 có đúng một nghiệm x eq - 1

    Ta có: x^{3} - 3x^{2} - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} = m

    Xét hàm số x^{3} - 3x^{2} = g(x) ta có: g'(x) = 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Từ bảng biến thiên suy ra \left\lbrack \begin{matrix} m > 0 \\ m < - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Mà \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 5;5brack \\ \end{matrix} ight. nên m \in \left\{ - 5;1;2;3;4;5 ight\}

    Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 31: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận đứng đi qua điểm M( - 4;5)?

    Xét hàm số y = \frac{5x + 1}{x + 4}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ + }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = - 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Tiệm cận đứng đi qua điểm M( - 4;5).

  • Câu 32: Vận dụng

    Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?

    Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

    Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3Đ =2C.

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} là:

    Điều kiện xác định của hàm số x^{2} - 1 eq 0 \Leftrightarrow x eq \pm 1

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} = 3 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} = \mp \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    \lim_{x ightarrow 1}y = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1}{x + 1} = 1 suy ra x = 1 không là tiệm cận đứng.

    Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hám số là 2.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

    Từ bảng biến thiên ta có: y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{x + m}{x - 1} thỏa mãn \min_{\lbrack 2;4brack}y = 3. Chọn mệnh đề đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{- 1 - m}{(x - 1)^{2}}. Vì hàm số đơn điệu trên \lbrack 2;4brack nên

    \left[ \begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} y = y\left( 2 ight); - 1 - m > 0 \hfill \\ \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} y = y\left( 4 ight); - 1 - m < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\mathop \to \limits^{\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} y = 3} \left[ \begin{gathered} 3 = 2 + m;m < - 1 \hfill \\ 3 = \dfrac{{4 + m}}{3};m > - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1;m < - 1 \\ m = 5;m > - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 5

    Nếu m = - 1 ightarrow y = 1 Hàm số không có giá trị lớn nhất

    Vậy m > 4

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 2;3brack bằng bao nhiêu?

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 2;3brack bằng - 3.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Biết rằng \min_{\lbrack - 3;0brack}\left( - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x + m ight) = 2. Định giá trị tham số m?

    Xét hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x + m trên \lbrack - 3;0brack

    Hàm số liên tục trên \lbrack - 3;0brack

    Ta có: f'(x) = - x^{2} + 2x - 1 = - (x - 1)^{2} < 0\forall x \in \lbrack - 3;0brack

    Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 3;0)

    \Rightarrow \min_{\lbrack - 3;0brack}f(x) = f(0) = m \Rightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho các hình sau:Tìm hình không phải đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0,S_1,...\;,S_n sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt S_i,\;S_{i+1} nào (0\leq i\leq n-1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 40: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 41: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?

    Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

    - Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

    - Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh? 

    Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}} trên [2; 4] ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \in \left[ {2;4} ight]} \\ {{x^2} - 2x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 6

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2m, một phía rộng 1m, một phía rộng 1,2m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2m, 2,5m, 3m, 3,5m, 4m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2m, một phía rộng 1m, một phía rộng 1,2m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2m, 2,5m, 3m, 3,5m, 4m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

    Đáp án: 4

    Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

    Vì vậy chiều dài l của ống thép phải thỏa mãn l \leq AN, \forall a \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) \Leftrightarrow l \leq \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}AN(*)

    Ta có AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = \sqrt{AB^{2} + 4}

    Trong đó AB = AM + MB = \frac{AH}{\sin\alpha} + \frac{BK}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}

    Xét hàm số g(\alpha) = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}

    \Rightarrow g'(\alpha) = - \frac{\cos\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{1,2sina}{cos^{2}a} = 0

    \Leftrightarrow 1,2sin^{3}\alpha = cos^{3}\alpha

    \Leftrightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \Leftrightarrow \alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}

    Vì vậy \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}g(\alpha) = g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight)

    \Rightarrow (*) \Leftrightarrow l \leq \sqrt{\left\lbrack g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight) ightbrack^{2} + 4} \approx 3,69504

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 34 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập