Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.
+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.
+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
(i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
(ii) Hàm số có cực tiểu tại
.
(iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
.
(iv) Hàm số xác định trên
.
Do nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang;
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.
Hàm số có cực tiểu tại đúng nên (ii) đúng.
Hàm số nghịch biến trên nên (iii) sai.
Hàm số không xác định tại nên (iv) sai.
Vậy có 2 khẳng định sai.
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại
. Đúng||Sai
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
. Sai|| Đúng
c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là
. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số
có điểm cực đại là
. Sai|| Đúng
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại . Đúng||Sai
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại . Sai|| Đúng
c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là . Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là
. Sai|| Đúng
Ta có:
Bảng biến thiên
a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là
d) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có được bằng cách tịnh tiến đồ thị
lên trên 3 đơn vị. Suy ra đồ thị hàm số
có điểm cực đại là
.
Cho hàm số
. Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
Tập xác định
Ta có: suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
Lại có suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang bằng 4.
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
. Tìm giá trị tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng
nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số
=> Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có ba nghiệm phân biệt?
Ta có:
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Ta có:
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:
Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Xét hàm số ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Đồ thị hàm số
có đường tiệm cận ngang là
Ta có:
Suy ra tiệm cận ngang là .
Cho hàm số bậc năm
và đồ thị hàm số
trên
biểu diễn bởi hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Một chất điểm chuyển động với vận tốc được cho bởi công thức
với
(giây) là khoảng thời gian tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất?
Ta có: với
.
(thỏa mãn).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, tại thời điểm giây thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất.
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Gia đình bác T muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích
. Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?
Gọi là bán kính đáy của bình chứa hình trụ
Khi đó tổng số tiền phải trả là
Đặt
Vậy để chi phí xây dựng là thấp nhất thì bán kính đáy bằng .
Một chất điểm chuyển động với quy luật
. Thời điểm
(giây) tại vận tốc
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng khi
.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
không có điểm cực đại là:
Hàm số không có điểm cực đại
Vì
Vậy có bốn giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Một sợi dây kim loại dài
được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Một sợi dây kim loại dài được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và
.
Cho hàm số
có đồ thị như sau:

Hỏi số nghiệm của phương trình
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Lại có đường thẳng nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm nên phương trình
có hai nghiệm.
Cho hàm số
xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại .
Cho hàm số
có bảng biến thiên trên đoạn
như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị của tham số
trên đoạn
sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
?
Ta có:
Suy ra
Khi đó hay
Theo yêu cầu bài toán
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có ba nghiệm
Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính tổng số đo các góc ở tất cả các mặt của hình chóp ngũ giác?
Hình chóp ngũ giác có mặt đáy là hình ngũ giác, có tổng số đo các góc là:
và 5 mặt bên, mỗi mặt bên là một tam giác có số đo các góc là .
Do đó tổng số đo tất cả các góc của hình chóp ngũ giác là:
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Tập xác định
suy ra hàm số nghịch biến trên
và
.
Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = -x3 + 3x + 1
Ta có:
Từ bảng biến thiên => Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3
Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
Ta có: nên
là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Cho hàm số
có bảng xét dấu như sau:

Hỏi hàm số
nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Xét
Bảng xét dấu là:
Căn cứ vào bảng xét dấu ta thấy
Hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?

Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Từ đồ thị, ta thấy hàm số có tiệm cận đứng x = 1.
Khi đó loại các hàm số và
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Đồ thị của hàm số
(với
là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm
Đặt . Phương trình trở thành
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là
Gọi ;
là nghiệm cỉa phương trình (1) và
là nghiệm của phương trình (2)
Theo giả thiết ta có:
Ta có hệ:
Vậy
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Gọi
là tập hợp các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp
bằng:
Ta có:
Gọi là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:
Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
(*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
Ta có:
;
.
.
Cho hàm số f(x) liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Xét hàm số , ta có bảng giá trị |t(x)|

Ta có:
Hàm số không có đạo hàm tại điểm
Tại mọi điểm ta có:
=>
Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:
+ Phương trình (1), (2) vô nghiệm
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)
=> g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu
Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm
Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.