Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số
=>
Ta có:
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số
=>
Ta có:
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.

Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Giá trị trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
Ta có .
Do đó ,
,
.
Vậy
Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có đường tiệm cận ngang
là:
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:
luôn đúng với
Phương trình đường tiệm cận ngang là nên ta có
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
Hình lăng trụ tam giác đều có 1 mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên (song song với đáy) và 3 mặt phẳng đối xứng vuông góc với đáy ( giao với 2 đáy theo các đường trung tuyến của tam giác đáy).
Vậy hình lăng trụ tam giác đều có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).

Cho hàm số
. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
không vượt quá 7. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Cho hàm số . Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
không vượt quá 7. Hỏi tập
có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4
Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức
(với
được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:
Gia tốc của chất điểm gia tốc là hàm số bậc hai ẩn
đạt giá trị nhỏ nhất tại
Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng .
Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = -x3 + 3x + 1
Ta có:
Từ bảng biến thiên => Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3
Cho hàm số
. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
Ta có:
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)
Cho hình vẽ sau:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số có dạng
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và
suy ra
.
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:
Cho hàm số
với
là tham số. Khi giá trị của
biến thiên thì số điểm cực trị của hàm số có thể là
hoặc
hoặc
. Tính giá trị biểu thức
?
Đặt
Ta có bảng biến thiên của như sau:
TH1:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
TH2:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
TH3:
Hàm số có 3 điểm cực trị suy ra
Vậy
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Các khối lập phương đen và trắng xếp chồng lên nhau xen kẽ màu tạo thành một khối rubik
(như hình vẽ).

Gọi
là số khối lập phương nhỏ màu đen,
là số khối lập phương nhỏ màu trắng. Giá trị
là?
Có 7 lớp hình vuông xếp chồng lên nhau. Mỗi lớp có khối nhỏ.
Ta thấy hai lớp dưới đáy, một khối đen chồng lên một khối trắng (hay ngược lại) nên số lượng khối đen và trắng bằng nhau.
Tương tự 6 lớp bên dưới cũng có số lượng khối đen trắng bằng nhau.
Ta xét lớp trên cùng có khối màu đen và có
khối màu trắng
.
Tìm số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị?
Ta có:
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi
Mà . Vậy có 4 giá trị của tham số
thỏa mãn.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Cho hàm số
Khoảng cách từ điểm
đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu![]()
Đáp án: 3,2
Cho hàm số Khoảng cách từ điểm
đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu
Đáp án: 3,2
Ta có:
Xét
Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình
Khoảng cách từ điểm đến đường tiệm cận xiên là:
Cho đồ thị hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Vậy khẳng định đúng là: “Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
”.
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Xét hàm số
Nên hàm số đồng biến trên
Phương trình có dạng
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Cho hàm số
. Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
Tập xác định
Ta có: suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
Lại có suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang bằng 4.
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Tập xác định
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Một sợi dây kim loại dài
được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Một sợi dây kim loại dài được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị được cho trong hình vẽ sau?

Dựa vào đồ thị đã cho trong hình vẽ ta thấy đường tiệm cận ngang của đồ thị là và đường tiệm cận đứng của đồ thị là
.
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số
với
là tham số. Xác định điều kiện của tham số
để hàm số đã cho đạt cực đại tại
?
Ta có:
Hàm số đạt cực đại tại suy ra
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực đại tại
.
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
.
Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
bằng:
Ta có:
suy ra
là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
suy ra
là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng 2.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
thuộc đường thẳng nào sau đây?
Ta có: . Do đó
Vì là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Nhận thấy thuộc đường thẳng
.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng
.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
là:
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi
Đặt ta có:
. Ta có bảng biến thiên của
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Vậy là giá trị của tham số m cần tìm.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên
nên chọn
.
Tìm giá trị của
để bất phương trình
có nghiệm trên khoảng
?
Bất phương trình có nghiệm trên khoảng
Với
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra .
Chọn hàm số đồng biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên
.
Cho hàm số
biết
. Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số biết
. Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Gọi
là tập hợp các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp
bằng:
Ta có:
Gọi là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:
Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
(*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ta cũng có: => x = 1; x = 32 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số
có bảng biến thiên:

Số giá trị nguyên của
để đồ thị hàm số có
tiệm cận là:
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có hai tiệm cận đứng và các tiệm cận ngang
. Suy ra đồ thị có bốn tiệm cận khi
Do nên
Vậy có 7 giá trị của tham số thỏa mãn.
Cho hàm số
có đồ thị
là parabol như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và
.