Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Để xét xem các lăng trụ có nội tiếp mặt cầu được hay không, ta sẽ xét các mặt đáy của lăng trụ đó xem có phải là hình nội tiếp được đường tròn không.

Nếu lăng trụ có đáy là tứ giác nội tiếp được đường tròn thì lăng trụ đó sẽ nội tiếp được mặt cầu.

Từ đây, ta sẽ xét 1 số tứ giác nội tiếp được đường tròn là: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân,…

Quan sát bảng biến thiên dễ thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

Ta có:

Hàm số đã cho không có cực trị khi và chỉ khi vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Vì

Vậy có bốn giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

có một đường tiệm cận ngang là

Để có ba đường tiệm cận thì phải có hai nghiệm phân biệt khác .

Tức là

Phương trình hoành độ giao điểm là

Xét hàm số

Đồ thị có điểm uốn là

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

Khi đó đồ thị hàm số có:

Tiệm cận đúng: , song song với và cắt tại điểm

Tiệm cận ngang: song song với và cắt tại điểm

Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Ta có: 

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là M = f(-3)

Từ bảng biến thiên ta có:

Mặt khác f(-4) > f(8) => thì

Vậy

Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Điều kiện xác định

Vì nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn .

Xét hàm số trên có:

Bảng biến thiên

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn khi .

Vậy đáp án cần tìm là .

Ta có:

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là

Từ đồ thị hàm số ta có:

Khi đó .

Ta có nên .

Tam giác vuông , ta có .

Tam giác vuông , ta có .

Diện tích hình chữ nhật là .

Vậy .

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Tập xác định

Xét hàm số trên khoảng (0;3)

Ta có:

Ta có bảng biến thiên:

Trên khoảng (0; 3) giá trị lớn nhất của hàm số y = 2

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận ngang là y = 3

Tiệm cận đứng là x = -1 và x = 1

Vậy tổng các đường tiệm cận cần tìm bằng 3.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)

Ta lại có

f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)

=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

Theo bài ra ta có:

f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)

=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)

=> GTNN đạt được tại x = 4

Ta có:

Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

Hình lăng trụ tam giác đều có 1 mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên (song song với đáy) và 3 mặt phẳng đối xứng vuông góc với đáy ( giao với 2 đáy theo các đường trung tuyến của tam giác đáy).

Vậy hình lăng trụ tam giác đều có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).

Tập xác định

Ta có:

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

Mặt khác suy ra là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Ta có:

Vì nên

Suy ra hàm số đồng biến trên .

 Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

Tập xác định

Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên suy ra

Diện tích tam giác là .

Vậy thể tích khối lăng trụ

 Khối đa diện đều loại là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng .

Ta có:

Ta có: y’ = 0 chỉ tại x = 1

Vậy đồng biến trên

Từ bảng biến thiên ta thấy:

suy ra là tiệm cận đứng.

suy ra là tiệm cận ngang

suy ra là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả ba đường tiệm cận.

Ta có: có hai nghiệm

Tập xác định

Ta có:

Xét dấu ta có:

Vậy hàm số có 1 cực trị.

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Khi đó

Để B nằm giữa A và C và thì

Từ (*) ta được . Thay (**) được

Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng .

Tập xác định

Ta có:

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

Vậy đáp án cần tìm là .

 Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là

Tam giác SBC vuông cân tại  S nên

Vậy thể tích khối chóp

Tập xác định

Ta có:

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Hay hàm số nghịch biến trên các khoảng .