Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, biết
với
là tham số và hàm số đồng biến trên
.
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên
Ta lại có:
Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, biết
với
là tham số và hàm số đồng biến trên
.
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên
Ta lại có:
Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
?
Tập xác định
Vì nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận đứng.
Vì nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang.
Vì nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang.
vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận bằng 3.
Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên
. Khi đó hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0
Đặt
Vì f’(x) liên tục trên nên g’(x) cũng liên tục trên
. Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.
Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.
Trên đoạn
hàm số
có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Tập xác định
Ta có:
Trên đoạn hàm số đã cho nghịch biến
Đồ thị hàm số
có tiệm cận ngang là:
Tập xác định
Ta có:
Vì nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2.
Gọi K là tập hợp các giá trị nguyên của tham số
để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
. Số các phần tử của tập hợp K là:
Đặt
Bất phương trình đã cho trở thành
Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi
Xét hàm số
Vì
Do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi
Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên
Cho hàm số
. Xác định số điểm cực trị của hàm số?
Ta có:
Vì nên hàm số đã cho có 3 cực trị.
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đạo hàm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai
Cho hàm số xác định trên tập số thực và có đạo hàm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng . Đúng||Sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai
Ta có:
Bảng biến thiên:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nên nghịch biến trên
.
c) Hàm số có đúng một điểm cực trị.
d) Hàm số có đúng một điểm cực tiểu .
Cho hàm số
có đạo hàm
với
và
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
Cho hàm số có đạo hàm
với
và
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 có hệ số .
Vậy hàm số cần tìm là .
Cho hàm số
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)
Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
=>
=>
=>
Xét ta có:
Ta lại có:
Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?
Giả sử hình lăng trụ có đáy là – giác.
Khi đó, số cạnh của hình lăng trụ là .
Như vậy số cạnh của hình lăng trụ phải chia hết cho 3, xét các đáp án thì chỉ có 2022 chia hết cho 3 nên số cạnh của hình lăng trụ chỉ có thể là 2022.
Hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị phân biệt là:
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi
.
Để hàm số đa cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi .
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Cho hàm số
. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Hàm số liên tục trên đoạn
Ta có:
Khi đó nên
.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy,
và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32

Xét tam giác , có:
Suy ra tam giác vuông tại A
Vậy thể tích khối chóp
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.
+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Biết giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có: nên giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
là:
Vậy đáp án cần tìm là .
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số
(với
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
Tập xác định
Ta có: .
Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Trên khoảng đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến trên
.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ![]()
Quy đồng biến đổi hàm số đã cho trở thành
Tìm được tiệm cận đứng là x = -1 và x = 4 và không có tiệm cận ngang
=> Số tiệm cận là 2 đường
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
?
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại
Với ta được
. Hàm số đạt cực tiểu tại
(thỏa mãn yêu cầu)
Với ta được
. Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại
(không thỏa mãn)
Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới dây?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng xét dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận đứng?
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
có đúng một nghiệm
Ta có:
Xét hàm số ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra
Mà nên
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
là điểm nào sau đây?
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
, tiệm cận ngang
Suy ra tâm đối xứng là .
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có: suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
và
Do đó hàm số không có điểm cực trị.
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 5. Khẳng định nào sau đây đúng:
Tập xác định
Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Tiệm cận ngang là y = 3
Tiệm cận đứng là x = -1 và x = 1
Vậy tổng các đường tiệm cận cần tìm bằng 3.