Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình f(x) = - \frac{1}{2}

    Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2020x - 2021} có bao nhiêu tiệm cận đứng?

    Ta có: x^{2} - 2020x - 2021 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2021 \\ \end{matrix} ight.

    \lim_{x ightarrow - 1}y = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x + 1}{x^{2} - 2020x - 2021}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 2021)} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{1}{x - 2021} = - \frac{1}{2022}

    Lại có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2021}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2021} ight)}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2021}^ - }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2021} ight)}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = 2021 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Vậy hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = - x^{3} - 3(m + 1)x + 3(2m - 1) + 2020 đồng biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)

    Hàm số nghịch biến trên ( - \infty; + \infty) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 < 0 \\ \Delta' = 9(m + 1)^{2} + 9(2m - 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1;0 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài đưa ra.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0, S_1,... , S_n sao cho S_0 trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

    Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + 1 có ba điểm cực trị A(0;1); B;C thỏa mãn BC = 4?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4mx = 4x\left( x^{2} - m ight)

    Để hàm số có ba cực trị thì m > 0

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \\ x = \pm \sqrt{m} \Rightarrow y\left( \pm \sqrt{m} ight) = 1 - m^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra A(0;1); B\left( \sqrt{m};1 - m^{2} ight);C\left( - \sqrt{m};1 - m^{2} ight)

    BC = 4 \Rightarrow \sqrt{4m} = 4 \Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án đúng là m = 4

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight| biết m \in\lbrack - 4;4brack. Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight| biết m \in\lbrack - 4;4brack. Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Nhận biết

    Chọn hàm số tương ứng với bảng biến thiên sau?

    Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số a < 0 nên hàm số cần tìm là y = - x^{4} + 2x^{2} + 1.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a \sqrt 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.

     

    Theo giả thiết, ta có SH = a\sqrt 3.

    Diện tích tứ giác:

    {S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMN}} - {S_{\Delta BMC}}

    = A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BM.BC = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}

    Vậy  {V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:

     Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

    “Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

    Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

    Đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương hai lần qua các điểm x = - 2 và x = 2 nên hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight| có 5 điểm cực trị?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: \left( \left| f(x) ight| ight)' = \left( \sqrt{f^{2}(x)} ight)' = \frac{2f(x).f'(x)}{2\sqrt{f^{2}(x)}} = \frac{f(x).f'(x)}{\sqrt{f^{2}(x)}}

    \Rightarrow y' = \frac{\left( 12x^{3} - 12x^{2} - 24x ight)\left( 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight)}{\left| 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight|}

    Xét phương trình

    \left( 12x^{3} - 12x^{2} - 24x ight)\left( 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 12x^{3} - 12x^{2} - 24x = 0 \\ 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + m = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \\ 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} = - m\ \ (*) \\ \end{matrix} ight.

    Xét hàm số 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} = g(x) trên \mathbb{R} ta có: g'(x) = 12x^{3} - 12x^{2} - 24x và g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

    Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của y' = 0 và số điểm tới hạn của y' là 5 điểm. Do đó ta cần có các trường hợp sau:

    TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \left\{ - 1;0;2 ight\}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - m > 0 \\ - 32 < - m < - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ 5 < m < 32 \\ \end{matrix} ight. trong trường hợp này có 26 số nguyên dương.

    TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm \left\{ - 1;0;2 ight\}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - m = 0 \\ - m = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight. trường hợp này có một số nguyên dương.

    Vậy có tất cả 27 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực và có đạo hàm f'(x) = 3x^{3} - 3x^{2};\left( x\mathbb{\in R} ight). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Đúng||Sai

    b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Đúng||Sai

    c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực và có đạo hàm f'(x) = 3x^{3} - 3x^{2};\left( x\mathbb{\in R} ight). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Đúng||Sai

    b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Đúng||Sai

    c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{3} - 3x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

    b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) nên nghịch biến trên (−1; 1).

    c) Hàm số có đúng một điểm cực trị.

    d) Hàm số có đúng một điểm cực tiểu x = 1.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 2;2brack có đồ thị như hình vẽ:

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 2;2brack?

    Trên đoạn \lbrack - 2;2brack ta có: f(x) \geq - 1 và f(x) = - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \min_{\lbrack - 2;2brack}y = - 1.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho các hình sau: Tìm hình đa diện

    Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt {S_0},{S_1},...\,\,,{S_n} sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt {S_i},{S_{i + 1}} nào (0 \le i \le n - 1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tổng độ dài \ell của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

     

    Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là  \ell = 6a

  • Câu 16: Vận dụng

    Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?

    Hình lăng trụ tam giác đều có 1 mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên (song song với đáy) và 3 mặt phẳng đối xứng vuông góc với đáy ( giao với 2 đáy theo các đường trung tuyến của tam giác đáy).

    Vậy hình lăng trụ tam giác đều có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).

    Mp đối xứng trong lăng trụ

  • Câu 17: Vận dụng

    Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là:

    Khối đa diện đều loại \left\{ {4;3} ight\} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:  6.2\pi = 12\pi

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{4} - 4x^{2} - 2 có đồ thị (C) và đường thẳng d:y = m. Tất cả các giá trị của tham số m để d cắt (C) tại bốn điểm phân biệt?

    Ta có: y' = 4x^{3} - 8x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = x^{4} - 4x^{2} - 2 cắt đường thẳng d:y = m tại 4 điểm phân biệt \Leftrightarrow - 6 < m < - 2.

  • Câu 19: Nhận biết

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = 0 suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} là y = 0.

    Lại có \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty;\lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy có tất cả 3 đường tiệm cận.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}. Tìm m \in \mathbb{R} để khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}. Tìm m \in \mathbb{R} để khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Xét các đáp án, ta có: 

    - A Đúng: Ta chứng minh như sau:

    Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.

    M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)

    Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)

    Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

    - B Sai.

    - C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

    - D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

     

    Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI \bot AB. Do (SAB) \bot (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI \bot (ABCD).

    Tam giác vuông SIA, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}

  • Câu 23: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Có thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

    Chia hình lập phương

    Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD'B') ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A'B'D' và BCD,B'C'D'.

    +) Với khối ABD.A'B'D' ta lần lượt dùng các mặt phẳng (AB'D') và (AB'D) chia thành ba khối tứ diện bằng nhau.

    +) Tương tự với khối BCD.B'C'D'

    Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq 3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Đáp án là:

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq 3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Giả thiết cho 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2(2y + x + 2)2^{2y}

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2^{2y + 1}(2y + x + 2)

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    Xét hàm số f(t) = 2^{t}.(t + 1) trên (0\ ; + \infty)

    Suy ra f'(t) = 2^{t}.(t + 1)ln2 + 2^{t} > 0,\ \forall t \in (0\ ; + \infty)

    Vậy hàm số f(t) luôn đồng biến trên (0\ ; + \infty) nên ta có:

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1

    Suy ra: P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037

    = 2^{y - 1} - \left( y^{2} + 2y + 1 ight) + 2037

    = \frac{1}{4}.2^{y + 1} - (y + 1)^{2} + 2037

    Xét hàm số g(a) = \frac{1}{4}.2^{a} - a^{2};\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    g^{'(a)} = \frac{2^{a}.ln2}{4} - 2a

    \Rightarrow g''(a) = \frac{2^{a}.ln^{2}2}{4} - 2 < 0,\forall\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow g'(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \max_{\lbrack 2\ ;4brack}g'(a) = g'(2) = ln2 - 4 < 0

    \Rightarrow g(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \min g(a) = g(4) = - 12

    Vậy \min P = - 12 + 2037 = 2025 khi y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\ ;x = 7.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,20{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,32{\text{c}}{{\text{m}}^2}. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.

     

    Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

    Theo bài ra, ta có \left\{ \begin{gathered} {S_{ABCD}} = 10\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{2}}} \hfill \\ {S_{ABB'A'}} = 20\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ {S_{ADD'A'}} = 30\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} AB.AD = 10 \hfill \\ AB.AA' = 20 \hfill \\ AA'.AD = 32 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Nhân vế theo vế, ta được {\left( {AA'.AB.AD} ight)^2} = 6400 \Rightarrow AA'.AB.AD = 80.

    Vậy  {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = 80\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;4brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;4brack. Khi đó giá trị của biểu thức S = M + m bằng bao nhiêu?

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;4brack

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = 3 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = M + m = 2

  • Câu 30: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho các hàm số sau: y = x^{2} + 1;y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{2};y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}};y = \frac{x}{x^{2} + 1}. Có bao nhiêu hàm số có đúng một điểm cực trị?

    Ta có:

    y = x^{2} + 1 có y' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 và y' đổi dấu khi x qua nghiệm đó nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

    y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{2} có y' = 2\left( 2x^{2} - 1 ight).4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} ight. và y' đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.

    y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow y' = 2\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{2(2x - 1)}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{10x - 2}{3\sqrt[3]{x}}

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}; y’ không xác định khi x = 0 và y’ đổi dấu khi x qua 0;\frac{1}{5} nên hàm số có hai điểm cực trị.

    y = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow y' = \frac{1 - x^{2}}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có hai điểm cực trị.

    Vậy chỉ có một hàm số có đúng một cực trị.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 33: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x - 1 nghịch biến trên khoảng (0; + \infty) khi và chỉ khi:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có:y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; + \infty)

    y' \leq 0;\forall x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi

    \Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x + 1;\forall x \in (0; + \infty)

    Xét hàm số g(x) = 3x^{2} - 6x + 1 trên (0; + \infty) ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2

    Do đó \Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1

    Vậy m \leq - 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 34: Nhận biết

    Đường thẳng y = - 2 là đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào sau đây?

    y = \frac{2}{3x + 2} có \lim_{x ightarrow \infty}y = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Loại)

    y = \frac{2x^{3} - 3}{x + 2} có \lim_{x ightarrow \infty}y = \infty nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (loại)

    y = \frac{2x^{2} + x - 1}{(x + 1)(3 - x)} = \frac{2x^{2} + x - 1}{- x^{2} + 2x + 3} có \lim_{x ightarrow \infty}y = - 2 suy ra y = - 2 là tiệm cận ngang (Thỏa mãn).

    Vậy đường thẳng y = - 2 là đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{2x^{2} + x - 1}{(x + 1)(3 - x)}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho các hình khối sau:

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Cho các hình khối sau:

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?

    2 || Hai || hai

     Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2020}(x - 2)^{2021}(x - 3)^{2022};\forall x\mathbb{\in R}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = - 2f'\left( x ight) = - 2{x^2} + 4x \hfill \\ y' > 0 \Rightarrow x \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2)

  • Câu 38: Thông hiểu

    Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

    Chia khối lăng trụ

    Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = - 2

    Suy ra y = \pm 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây?

    Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương và nhánh cuối của đồ thị hàm số đi lên nên hệ số a > 0.

    Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại gốc tọa độ nên c = 0

    Vậy hàm số tương ứng đồ thị đã cho là y =x^{4} - 2x^{2}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty; - 2) và (0; + \infty).

    Vậy đáp án cần tìm là (0; + \infty).

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2; - 1)?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x

    Hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1 đồng biến trên khoảng ( - 2; - 1) khi và chỉ khi:

    y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow - x^{2} + 4mx + 8x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow 4mx \geq x^{2} - 8x;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow m \leq \frac{x}{4} - 2 \Leftrightarrow m \leq \frac{- 2}{4} - 2 = - \frac{5}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ightbrack.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là:

    Tập xác định D = \left[ {1;9} ight]

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {9 - x} }} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt {9 - x} \Rightarrow x = 5\left( {tm} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 ight) = y\left( 9 ight) = 2\sqrt 2 } \\ {y\left( 5 ight) = 4} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\min y = 2\sqrt 2 } \\ {\max y = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = x^{2}(x - 1). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2}(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.. Lập bảng xét dấu như sau:

    Suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; + \infty)

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến như sau:

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có một nghiệm?

    Đặt t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1

    Khi đó bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m trở thành f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có nghiệm khi bất phương trình f\left( t ight) \leqslant m có nghiệm t \geqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập