Gọi
là tập tất cả các số nguyên dương của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
. Tính tổng tất cả các phần tử của tập
?
Theo yêu cầu bài toán
Do đó
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập bằng
.
Gọi
là tập tất cả các số nguyên dương của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
. Tính tổng tất cả các phần tử của tập
?
Theo yêu cầu bài toán
Do đó
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập bằng
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Cho hàm số
xác định và liên tục trên mỗi khoảng
và
và có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt?
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng
và đồ thị hàm số
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Vậy tập hợp các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
là
. Chọn khẳng định đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên suy ra
Cho hàm số
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là:
Ta có:
=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
=> đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?
Tập xác định
Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Ta có: suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
không có điểm cực đại là:
Hàm số không có điểm cực đại
Vì
Vậy có bốn giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hàm số
với m là tham số, khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Ta có:
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Một chất điểm chuyển động theo phương trình
trong đó
tính bằng giây
và
tính bằng mét
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là
Đúng||Sai
c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là
Sai||Đúng
d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm
Đúng||Sai
Một chất điểm chuyển động theo phương trình trong đó
tính bằng giây
và
tính bằng mét
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là Đúng||Sai
c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là Sai||Đúng
d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm Đúng||Sai
a) nên a sai.
b) Ta có: nên b) đúng
c) Ta có: nên c) sai
Vận tốc .
Vậy khi
.
Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi nên d) đúng.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên
nên chọn
.
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng
nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
thì phần thứ hai bằng
nghìn đồng/giờ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khi vận tốc
thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông với vận tốc
là
. Sai||Đúng
c) Khi vận tốc
thì tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông nhỏ nhất là
. Đúng||Sai
Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
thì phần thứ hai bằng
nghìn đồng/giờ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khi vận tốc thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên đường sông với vận tốc
là
. Sai||Đúng
c) Khi vận tốc thì tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên đường sông nhỏ nhất là
. Đúng||Sai
a) Đúng: Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: (đồng).
b) Sai: Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu, x > 0
Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: (nghìn đồng)
Hàm chi phí cho phần thứ hai là (nghìn đồng/ giờ)
Khi (nghìn đồng/ giờ)
Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: (nghìn đồng)
Vậy tổng chi phí ,
c) Đúng. Tổng chi phí
Thay ta được
(nghìn đồng).
d) Đúng
Dấu ’’=’’ xảy ra khi x = 20.
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là .
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để hàm số
có
điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Xét phương trình
Xét hàm số trên
ta có:
và
Ta có bảng biến thiên của như sau:
Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của và số điểm tới hạn của
là 5 điểm. Do đó ta cần có các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
trong trường hợp này có 26 số nguyên dương.
TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm
trường hợp này có một số nguyên dương.
Vậy có tất cả 27 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
có đạo hàm
với mọi
.
a) Phương trình
có duy nhất một nghiệm
. Sai||Đúng
b) Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Hàm số
có hai điểm cực trị. Đúng||Sai
d) Hàm số
có ba điểm cực đại. Sai||Đúng
Cho hàm số có đạo hàm
với mọi
.
a) Phương trình có duy nhất một nghiệm
. Sai||Đúng
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Đúng||Sai
d) Hàm số có ba điểm cực đại. Sai||Đúng
a) Sai
Ta có .
.
Vậy phương trình có hai nghiệm.
b) Đúng
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng
.
Ta có nên hàm số
đồng biến trên khoảng
.
c) Đúng
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) Sai
Ta có:
.
.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
Cho hàm số
. Hãy chọn khẳng định đúng?
Tập xác định
Ta có: nên hàm số đồng biến trên các khoảng
và
.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Trong các lăng trụ sau, lăng trụ nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?
Để xét xem các lăng trụ có nội tiếp mặt cầu được hay không, ta sẽ xét các mặt đáy của lăng trụ đó xem có phải là hình nội tiếp được đường tròn không.
Nếu lăng trụ có đáy là tứ giác nội tiếp được đường tròn thì lăng trụ đó sẽ nội tiếp được mặt cầu.
Từ đây, ta sẽ xét 1 số tứ giác nội tiếp được đường tròn là: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân,…
Xác định giá trị của a để hàm số
nghịch biến trên trục số.
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Cho hàm số f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) được biểu diễn như hình vẽ:

Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi
thì tham số
thỏa mãn điều kiện là:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?
Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
?
Ta có:
Điều kiện cần
Điều kiện đủ:
Khi suy ra
là điểm cực đại của hàm số.
Khi suy ra
là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
. Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.

Diện tích tam giác vuông
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Một chất điểm chuyển động với quy luật
. Thời điểm
(giây) tại vận tốc
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng khi
.
Cho hàm số
Khoảng cách từ điểm
đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu![]()
Đáp án: 3,2
Cho hàm số Khoảng cách từ điểm
đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu
Đáp án: 3,2
Ta có:
Xét
Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình
Khoảng cách từ điểm đến đường tiệm cận xiên là:
Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Trên khoảng đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến trên
.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương với
nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:
Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:
Tìm giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Đặt
hay
Bài toán trở thành tìm m để hàm số đồng biến trên
Tập xác định
Ta có: . Hàm số
đồng biến trên
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng
.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
thỏa mãn
. Số phần tử của tập hợp
bằng:
Ta có:
Đạo hàm
và
Suy ra
Mà
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận đứng:
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:
