Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Cho hàm số
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số đã cho đồng biến trên
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .
Cho hàm số
có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số bằng bao nhiêu?
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
Khi thì
Khi thì
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và
biết
. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.
Do nên hàm số
nghịch biến trên
.
Khi đó ta có:
sai
sai
sai
Do đó, đúng.
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm 0 nên hàm số đạt cực đại tại 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
Lại có:
Từ đó
Xét hàm số
=> Hàm số đồng biến trên
=>
=>
Cho hàm số
có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
là:
Ta có:
Lại có:
Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
Xét hàm số có tập xác định
Ta có: suy ra
là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang là .
Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó. (I)
; (II)
; (III)
(I) Tập xác định
=> (I) không thỏa mãn
(II) Tập xác định
Bảng xét dấu

=> (II) thỏa mãn
(III) Tập xác định
=> Hàm số nghịch biến trên tập số thực
=> (III) không thỏa mãn
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.

Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Cho hàm số
có đạo hàm
trên
. Tìm số điểm cực trị của hàm số
?
Ta có:
có hai nghiệm đơn nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Cho hàm số
với
là tham số. Xác định điều kiện của tham số
để hàm số đã cho đạt cực đại tại
?
Ta có:
Hàm số đạt cực đại tại suy ra
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực đại tại
.
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
.
Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số
?
Tập xác định
Ta có:
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
không có cực trị. Số phần tử của S là:
Xét hàm số ta có:
Hàm số đã cho không có cực trị
=> Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
=>
Do m là số nguyên nên
Vậy tập S có 4 phần tử.
Cho hàm số
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)
Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
=>
=>
=>
Xét ta có:
Ta lại có:
Một chất điểm chuyển động với vận tốc được cho bởi công thức
với
(giây) là khoảng thời gian tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất?
Ta có: với
.
(thỏa mãn).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, tại thời điểm giây thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho hàm số
có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số và đường thẳng
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Biết đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi có
thuộc khoảng nào sau đây?
Phương trình hoành độ giao điểm là
Xét hàm số
Đồ thị có điểm uốn là
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên đoạn
?
Theo yêu cầu bài toán ta có:
Để hàm số đồng biến trên đoạn
Đặt
Vậy là đáp án cần tìm.
Hàm số
đạt cực đại tại điểm
Ta có:
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của
để hàm số
đạt cực đại tại
?
Hàm số đạt cực đại tại
Vậy đáp án cần tìm là .
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ
là
(người). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Đáp án: Ngày thứ 4||tư
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là
(người). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Đáp án: Ngày thứ 4||tư
Điều kiện .
Ta có ,
,
.
Bảng biến thiên:
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ .
Đáp số: .
Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Ta có:
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Một hình lăng trụ có 2024 mặt. Hỏi hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
Gọi số cạnh của 1 đáy hình lăng tụ là cạnh, nên số cạnh đáy của hình lăng trụ (2 mặt đáy ) là
cạnh
Số cạnh bên là cạnh.
=> Tổng số cạnh của lăng trụ là cạnh.
Mặt khác, ta lại có Đ + M = C + 2 (Euler)
Nên suy ra:
Vậy ta tính được số cạnh của hình lăng trụ là (cạnh)
Cho hàm số
có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho?

Đường tiệm cận đứng của hàm số là:
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
. Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho hình vẽ:

Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?
Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng với
và đồ thị hàm số đi qua điểm
nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là
.
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Số các giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có ba đường tiệm cận bằng:
Ta có:
nên
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra có hai nghiệm phân biệt
Mà
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.