Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất a của hàm số y = x^{4} - x^{2} + 13 trên đoạn \lbrack - 2;3brack?

    Hàm số đã cho liên tục trên \lbrack - 2;3brack

    Ta có: y' = 4x^{3} - 2x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\x = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}y( - 2) = 25;y\left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} ight) = \dfrac{51}{4} \\y(0) = 13;y(3) = 85 \\\end{matrix} ight.

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là a = \frac{51}{4}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Quan sát hình vẽ sau:

    Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ đã cho?

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =\frac{1}{2} và tiệm cận đứng là x =1 nên hàm số tương ứng là y =\frac{x + 1}{2x - 2}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tìm giá trị của m để bất phương trình x + \frac{4}{x - 1} \geq m có nghiệm trên khoảng ( - \infty;1)?

    Bất phương trình x + \frac{4}{x - 1} \geq m có nghiệm trên khoảng ( - \infty;1)

    \Leftrightarrow m \leq \max_{( - \infty;1brack}g(x)

    Với g(x) = x + \frac{4}{x - 1} \Rightarrow g'(x) = 1 - \frac{4}{(x - 1)^{2}}

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 otin ( - \infty;1) \\ x = - 1 \in ( - \infty;1) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m \leq - 3.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a - b e 0

    => Đồ thị hàm số đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) nên b = - 1

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a \Rightarrow a = 1 (thỏa mãn)

    Vậy a + b = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên các khoảng ( - \infty;0) và (0; + \infty) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vì {\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.} nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Quan sát bảng biến thiên nhận thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là - 4.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số đa thức bậc bốn f(x). Đồ thị hàm số y = f'(3 - 2x) được biểu thị trong hình vẽ sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng nào?

    Đặt t = 3 - 2x. Ta có bảng xét dấu của f'(3 - 2x) được mô tả lại như sau:

    Từ đó suy ra bảng xét dấu của f'(t)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 1),(3;5).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (1; + \infty)?

    Ta có:

    y = - x^{3} + x - 1 sai vì 2 < 3 nhưng f(2) = - 7 > f(3) = - 25

    y = \frac{3 - x}{x + 1} sai vì 2 < 3 nhưng f(2) = \frac{1}{3} > f(3) = - 0

    y = \frac{x - 2}{2x - 3} sai vì 1,1 < 2 nhưng f(1,1) = \frac{9}{8} > f(2) = 0

    y = x^{4} - x^{2} + 3 đúng vì y' = 4x^{3} - 2x = 2x\left( 2x^{2} - 1 ight) > 0;\forall x > 1 nên hàm số y = x^{4} - x^{2} + 3 đồng biến trên khoảng (1; + \infty).

  • Câu 9: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a?

     

    Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:

    Đ=4; M=4; C=6

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). Sai|| Đúng

    b) Hàm số nghịch biến trên (1; +∞). Đúng||Sai

    c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

    d) Hàm số đạt cực đại tại x = 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) Hàm số đồng biến trên (−∞; 2). Sai|| Đúng

    b) Hàm số nghịch biến trên (1; +∞). Đúng||Sai

    c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

    d) Hàm số đạt cực đại tại x = 1. Đúng||Sai

    Quan sát bảng biến thiên, ta có các kết quả sau:

    a) Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) nên khẳng định hàm số đồng biến trên (−∞; 2) là sai.

    b) Hàm số nghịch biến trên (1; +∞).

    c) Hàm số có đúng 1 điểm cực trị là x = 1.

    d) Hàm số có đạt cực đại tại x = 1.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?

     Khối đa diện đều loại \{ 3; 4 \} là khối bát diện đều.

    Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

    Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60^∘⋅4=240^∘.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho bảng biến thiên như hình vẽ:

    Tìm hàm số

    Bảng biến thiên trên là của hàm số nào?

    Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 2

    => Loại đáp án C và D

    Quan sát bảng biến thiên

    => Loại đáp án B

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Xét các đáp án, ta có: 

    - A Đúng: Ta chứng minh như sau:

    Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.

    M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)

    Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)

    Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

    - B Sai.

    - C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

    - D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

  • Câu 16: Nhận biết

    Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?

     Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

    Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

    Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là 12 + 30 =42 cạnh.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho các hàm số sau: y = x^{2} + 1;y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{2};y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}};y = \frac{x}{x^{2} + 1}. Có bao nhiêu hàm số có đúng một điểm cực trị?

    Ta có:

    y = x^{2} + 1 có y' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 và y' đổi dấu khi x qua nghiệm đó nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

    y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{2} có y' = 2\left( 2x^{2} - 1 ight).4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} ight. và y' đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.

    y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow y' = 2\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{2(2x - 1)}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{10x - 2}{3\sqrt[3]{x}}

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}; y’ không xác định khi x = 0 và y’ đổi dấu khi x qua 0;\frac{1}{5} nên hàm số có hai điểm cực trị.

    y = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow y' = \frac{1 - x^{2}}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có hai điểm cực trị.

    Vậy chỉ có một hàm số có đúng một cực trị.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0, S_1,... , S_n sao cho S_0 trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

    Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại  đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = - 2x^{3} + 3x^{2} + m trên đoạn \lbrack 0;2brack bằng 5. Tìm giá trị của tham số m?

    Ta có: y' = - 6x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 5 \Leftrightarrow f(1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác với AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.

     

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m} nghịch biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Xác định tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m} nghịch biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}. Khoảng cách từ điểm M(3; - 2) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3,2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}. Khoảng cách từ điểm M(3; - 2) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3,2

    Ta có: y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4} = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4x + 4}.

    Xét \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( y - \left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} ight) ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{4x + 4} = 0.

    Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3x - 4y - 1 = 0.

    Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận xiên là:

    d = \frac{\left| 3.3 - 4.( - 2) - 1 ight|}{\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{16}{5} = 3,2

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = - {x^2} + 4x - m có giá trị lớn nhất trên đoạn \left[ { - 1;3} ight] bằng 10?

    Xét hàm số f\left( x ight) = - {x^2} + 4x - m trên đoạn \left[ { - 1;3} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = - 2x + 4

    Phương trình f'\left( x ight) = 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 3} \\ { - 2x + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow x = 2} ight. \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = - 5 - m \hfill \\ f\left( 2 ight) = 4 - m \hfill \\ f\left( 3 ight) = 3 - m \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 1;3} ight]} = f\left( 2 ight) = 4 - m \hfill \\ \Rightarrow 4 - m = 10 \Rightarrow m = - 6 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

     Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

     

    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra \,SI \bot \left( {ABC} ight).

    Gọi M là trung điểm của BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Tam giác SAI vuông tại I, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}

    Diện tích tam giác ABC là:  {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy thể tích khối chóp:  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{4} - x^{3} + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = 4x^{3} - 3x^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Vậy hàm số có đúng một cực trị.

  • Câu 27: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Điều kiện t \geq 0.

    Ta có g(t) = f'(t) = 12t^{2} - 2t^{3}, g'(t) = 24t - 6t^{2}, g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên:

    Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 4.

    Đáp số: 4.

  • Câu 28: Vận dụng

    Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

     Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

    Hình lập phương

  • Câu 29: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?

    Giả sử hình lăng trụ có đáy là n – giác.

    Khi đó, số cạnh của hình lăng trụ là 3n.

    Như vậy số cạnh của hình lăng trụ phải chia hết cho 3, xét các đáp án thì chỉ có 2022 chia hết cho 3 nên số cạnh của hình lăng trụ chỉ có thể là 2022.

  • Câu 31: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận đứng đi qua điểm M( - 4;5)?

    Xét hàm số y = \frac{5x + 1}{x + 4}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ + }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = - 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Tiệm cận đứng đi qua điểm M( - 4;5).

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^4} - 2{x^2} + 1 có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC bằng:

    Ta có: y' = 4{x^3} - 4x

    Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A\left( {0;1} ight),B\left( { - 1;0} ight),C\left( {1;0} ight)

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1} ight),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \\ {AB = AC = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Tam giác ABC vuông cân tại A => S = \frac{1}{2}AB.AC = 1

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2}. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = \lbrack 1;2) \cup (2; + \infty)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 1

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 0

    Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang y = 0.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x).

    Vị trí điểm cực đại là (2;5) với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là (0;1). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y = 36 - 9x. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 88,3 m

    Đáp án là:

    Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x).

    Vị trí điểm cực đại là (2;5) với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là (0;1). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y = 36 - 9x. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 88,3 m

    Gọi hàm số bậc ba y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    \Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c.

    Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0;1) \Rightarrow d = 1.

    Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5.

    Vì hàm số có hai điểm cực trị x = 0;x = 2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight. .

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1 và f'(x) = - 3x^{2} + 6x.

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0, là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

    Suy ra M là tiếp điểm của d với y = f(x).

    Đường thẳng y = 36 - 9x có hệ số góc k = - 9

    \Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1).

    Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 9x + y - 36 = 0.

    h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883.

    Vì đơn vị của hệ trục là 100m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 88,3m.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?

     Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hàm số đã cho đồng biến trên ( - 1;2).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = - 2

    Suy ra y = \pm 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1;1). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = - 1. Đúng||Sai

    c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;0brack bằng 1. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1;1). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = - 1. Đúng||Sai

    c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;0brack bằng 1. Sai||Đúng

    Theo hình vẽ, hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1;\ 1) và đạt cực tiểu tại điểm x_{o} = - 1. giá trị không âm trên khoảng đó.

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1\ ;\ 0brack bằng - 1.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến như sau:

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có một nghiệm?

    Đặt t = \sqrt {x + 1} + 1 \Rightarrow t \geqslant 1

    Khi đó bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m trở thành f\left( t ight) \leqslant m{\text{ }}\left( * ight)

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) \leqslant m có nghiệm khi bất phương trình f\left( t ight) \leqslant m có nghiệm t \geqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min \left( t ight)}\limits_{t \geqslant 1} \Leftrightarrow m \geqslant - 4

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và một số thực M. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Nếu f(x) \leq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Sai|| Đúng

    b) Nếu f(x) \geq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Sai|| Đúng

    c) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Đúng||Sai

    d) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và một số thực M. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Nếu f(x) \leq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Sai|| Đúng

    b) Nếu f(x) \geq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Sai|| Đúng

    c) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Đúng||Sai

    d) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Đúng||Sai

    a) Khẳng định này sai, cần bổ sung thêm điều kiện \exists x_{0} \in D để f\left( x_{0} ight) = M.

    b) Khẳng định này sai, cần bổ sung thêm điều kiện \exists x_{0} \in D để f\left( x_{0} ight) = M.

    c) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì f(x) là hàm hằng trên D (đồ thị là đường thẳng nằm ngang).

    Suy ra \underset{D}{\max f(x)} = M.

    d) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì f(x) là hàm hằng trên D (đồ thị là đường thẳng nằm ngang).

    Suy ra\underset{D}{\min f(x)} = M.

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 2021;2021) để hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight| có 7 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 2021;2021) để hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight| có 7 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SC = a\sqrt 5. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

     Thể tích khối chóp

    Đường chéo hình vuông AC = a\sqrt 2

    Xét tam giác SAC, ta có SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\sqrt 3.

    Chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt 3.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = {a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - (2m + 1)x^{2} + (3 - m)x + 2 với m là tham số. Định điều kiện của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có ba điểm cực trị?

    Ta có:

    y' = f'(x) = 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m

    y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 2(2m + 1)x + 3 - m = 0(*)

    Để hàm số y = f\left( |x| ight) có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = f(x) có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dươngx_{1};x_{2} thỏa mãn \left\lbrack \begin{matrix} 0 = x_{1} < x_{2} \\ x_{1} < 0 < x_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 3 - m = 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 3 - m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3

  • Câu 44: Nhận biết

    Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho các hình sau:

    Đếm số hình đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:

     Các hình đa diện là:

    Đếm số hình đa diện; Đếm số hình đa diện; Đếm số hình đa diện

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 90 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập