Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương với
nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương với
nên đây là trường hợp hàm số có ba điểm cực trị.
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Ta có:
Xét trên khoảng
ta có bảng biến thiên:
Suy ra mà
nên
Vậy có tất cả giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Đặt khi đó
thì
Khi đó
=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x)
Mặt khác
=> Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f’(x) như hình vẽ bên:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:
Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:
Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị
Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 16 km
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 16 km
Đặt , với
Ta có:
Nhận định ngắn nhất khi
nhỏ nhất ( vì
không đổi).
Xét hàm số
.
Cho
Bảng biến thiên
Vậy
Khi đó
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số ta có:
Điều kiện xác định
Lại có: nên hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Một khối gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
, chiều cao
. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ:

Gọi
là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Xác định giá trị của ![]()
Gọi lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.
Ta có:
Ta lại có:
Xét hàm số với
có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có đạt tại
Vậy là giá trị cần tìm.
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Cho hàm số
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xét hàm số ta có:
Đặt
Xét hàm số có
. Hàm số nghịch biến khi
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
Xét hàm số có tập xác định
Ta có: suy ra
là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang là .
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên đoạn
?
Theo yêu cầu bài toán ta có:
Để hàm số đồng biến trên đoạn
Đặt
Vậy là đáp án cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại
Lại có:
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì
thỏa mãn.
vậy giá trị m cần tìm là .
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận đứng:
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?
Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên các khoảng
và
có bảng biến thiên như hình vẽ:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Vì nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.
Vậy khẳng định đúng là “Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.”
Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên (1; +∞)?
Ta có hàm số y = ax, y = logax đồng biến trên tập xác định nếu a > 0
Do đó hàm số y = log3x đồng biến trên (1; +∞)
Chọn hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có dạng hàm số bậc bốn trùng phương:
=> Loại đáp án B
Đồ thị có nhánh cuối của đồ thị đi lên
=> Hệ số a > 0
=> Loại đáp án A
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm O
=> c = 0
=> Loại đáp án C
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số
=>
Ta có:
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:
Giá trị trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
Ta có .
Do đó ,
,
.
Vậy
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
(i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
(ii) Hàm số có cực tiểu tại
.
(iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
.
(iv) Hàm số xác định trên
.
Do nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang;
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.
Hàm số có cực tiểu tại đúng nên (ii) đúng.
Hàm số nghịch biến trên nên (iii) sai.
Hàm số không xác định tại nên (iv) sai.
Vậy có 2 khẳng định sai.
Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên
?
Ta có:
Để hàm số đã cho nghịch biến trên
Do nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.
Cho hàm số
có đồ thị
như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên
. Sai||Đúng
b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
là
. Đúng||Sai
d) Điểm cực tiểu của hàm số là
. Đúng||Sai
Cho hàm số có đồ thị
như hình vẽ:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên . Sai||Đúng
b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là
. Đúng||Sai
d) Điểm cực tiểu của hàm số là . Đúng||Sai
a) Sai. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên
.
b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại .
c) Đúng.
d) Đúng.
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp là:
Giả sử hình chóp có đa giác đáy n cạnh
=> Hình chóp có (n+1) đỉnh, (n+1) mặt và 2n cạnh
Theo hệ thức Euler ta có : Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh +2
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đồng biến trên
?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
Dễ thấy
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khi
.
Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
có đúng 6 điểm cực trị?

Xét hàm số
Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:
Ta có:
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.
Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.
Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:
TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0
TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0
=>
Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn
Hàm số
liên tục trên đoạn
và có bảng biến thiên như sau.

Gọi
và
lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Sai|| Đúng
b)
Sai|| Đúng
c)
Đúng||Sai
d)
Đúng||Sai
Hàm số liên tục trên đoạn
và có bảng biến thiên như sau.
Gọi và
lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Sai|| Đúng
b) Sai|| Đúng
c) Đúng||Sai
d) Đúng||Sai
Dựa vào bảng biến thiên trên ta có:
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số
sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành:
Do M thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm
Phương trình tiệm cận đứng là x – 1 = 0 (d’)
Giải phương trình d(M,d’) = d(M, Ox)
=>
Biết đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi có
thuộc khoảng nào sau đây?
Phương trình hoành độ giao điểm là
Xét hàm số
Đồ thị có điểm uốn là
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại
Hàm số
đạt cực tiểu tại
khi:
Ta có: .
Hàm số đạt cực tiểu tại suy ra
Với
Với
Vậy với thì hàm số
đạt cực tiểu tại
.
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
có
. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.