Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Biết đồ thị hàm số
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n là:
Điều kiện
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
=>
Đặt
Nhận thấy với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0
=> n – 6 = 0 => n = 6
Kết hợp với (*) => m = 3
Vậy m + n = 9
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
.
Tập xác định của hàm số: .
+) Ta có: và
không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
+) Ta có:
và là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x + 5 trên đoạn [0; 2] là:
Xét hàm số f(x) = x3 – 3x + 5 trên [0; 2] có:
f’(x) = 3x3 – 3
f’(x) = 0 =>
Tính được f(0) = 5; f(1) = 3; f(2) = 7
Vậy
Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm
. Khi đó diện tích tam giác
bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: 0,25
Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm
. Khi đó diện tích tam giác
bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: 0,25
Ta có
.
Do đó tiện cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là .
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục hoành, trục tung lần lượt là .
Xét tam giác vuông tại
, có:
=> Diện tích của tam giác là
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và có bảng xét dấu
như sau:

Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Đặt
Từ bảng xét dấu của hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và
; giá trị cực tiểu bằng
.
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp là:
Giả sử hình chóp có đa giác đáy n cạnh
=> Hình chóp có (n+1) đỉnh, (n+1) mặt và 2n cạnh
Theo hệ thức Euler ta có : Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh +2
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Cho hàm số
có đồ thị như hình dưới đây:

Số nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
với đường thẳng
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm
=> Phương trình có 2 nghiệm.
Tìm giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
đi qua điểm
?
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có:
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Điều kiện xác định
Tập xác định
Vì hàm số không tồn tại khi và
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
thuộc khoảng
là:
Xét hàm số trên
ta có:
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Cho hàm số
có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Giá trị cực đại của hàm số là suy ra mệnh đề sai là: “Giá trị cực đại của hàm số là
.”
Gọi
là tập tất cả các giá trị thực của tham số
để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
với
nằm giữa
sao cho
. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
Ta có bảng biến thiên
Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
Khi đó
Để B nằm giữa A và C và thì
Từ (*) ta được . Thay (**) được
Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng
.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng và
.
Cho hàm số đa thức bậc bốn
. Đồ thị hàm số
được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số
nghịch biến trong khoảng nào?
Đặt . Ta có bảng xét dấu của
được mô tả lại như sau:
Từ đó suy ra bảng xét dấu của
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
.
Cho khối đa diện đều loại
. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?
Khối đa diện đều loại là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.
Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng .
Đường thẳng
là đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào sau đây?
có
suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Loại)
có
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (loại)
có
suy ra
là tiệm cận ngang (Thỏa mãn).
Vậy đường thẳng là đường tiệm cận của đồ thị hàm số
.
Cho hàm số
. Điều kiện cần và đủ của tham số
để hàm số nghịch biến trên
là:
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đã cho nghịch biến trên thì
Vậy giá trị cần tìm là .
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [-2; 2], có đồ thị của hàm số y f’(x) như hình vẽ sau:

Tìm giá trị của x0 để hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [-2; 2]
Từ đồ thị ta có: f’(x) = 0 =>
Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta có x0 = 1 thỏa mãn điều kiện
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
?
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại
Với ta được
. Hàm số đạt cực tiểu tại
(thỏa mãn yêu cầu)
Với ta được
. Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại
(không thỏa mãn)
Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Cho hàm số
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Xét hàm số xác định trên tập số thực có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 1 hoặc x = -2.
Cho hàm số
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
Điều kiện
Từ điều kiện ta có:
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Mặt khác
=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Không tồn tại
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng
Ta có:
=> Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm
cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí
cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng
và
(minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình
. Trong đó,
là nồng độ,
là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là
và
. Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm
trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).
Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí
cách điểm
một khoảng 3 km. Điểm
cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng
và
(minh hoạ như hình vẽ sau).
Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình . Trong đó,
là nồng độ,
là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là
và
. Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm
trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên tập số thực?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi
Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số f(x) liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Xét hàm số , ta có bảng giá trị |t(x)|

Ta có:
Hàm số không có đạo hàm tại điểm
Tại mọi điểm ta có:
=>
Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:
+ Phương trình (1), (2) vô nghiệm
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)
=> g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu
Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm
Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.
Cho hàm số
. Gọi
lần lượt là hoành độ tại hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
nên
là điểm cực tiểu của hàm số.
nên
là điểm cực đại của hàm số.
Vậy kết luận đúng là: .
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số ta có:
Điều kiện xác định
Lại có: nên hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Gọi
là tập hợp các giá trị của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
. Tính tổng các phần tử của tập
?
Ta có: . Suy ra hàm số
đồng biến trên đoạn
do đó
Theo giả thiết
Vậy nên tổng các phần tử của tập hợp
bằng
.
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
![]() |
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
=> Hệ số a > 0
=> Loại đáp án B và đáp án D
Mặt khác hàm số có ba điểm cực trị
=> Loại đáp án C