Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 2

Tập xác định

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng .

Đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng với hệ số

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm nên hàm số thích hợp là .

Ta có:

Vậy

Ta có:

Gọi là trung điểm của , suy ra .

Do theo giao tuyến nên .

Tam giác là đều cạnh   nên .

Tam giác vuông , có .

Diện tích tam giác vuông .

Vậy .

Hàm số liên tục trên đoạn

Ta có:

Khi đó nên .

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S₀ trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta có: . Do đó

Vì là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Nhận thấy thuộc đường thẳng .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng .

 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:

Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị

Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị

Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Tịnh tiến hàm số sang trái hai đơn vị ta được hàm số

Đồ thị hàm số có được gồm hai phần.

Phần 1 là phần đồ thị nằm phía bên phải .

Phần 2 là phần đồ thị đối xứng qua .

Khi đó đồ thị hàm số sẽ có một điểm cực trị.

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2; 3]

Ta có: f(x) ∈ [-2; 3] với =>

Hình lăng trụ tam giác đều có 1 mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên (song song với đáy) và 3 mặt phẳng đối xứng vuông góc với đáy ( giao với 2 đáy theo các đường trung tuyến của tam giác đáy).

Vậy hình lăng trụ tam giác đều có mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới).

Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là .

Từ đồ thị hàm số ta có:

và

Ta có:

Khi đó:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Khi đó

Để B nằm giữa A và C và thì

Từ (*) ta được . Thay (**) được

Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng .

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có hai tiệm cận đứng và các tiệm cận ngang . Suy ra đồ thị có bốn tiệm cận khi

Do nên

Vậy có 7 giá trị của tham số thỏa mãn.

Đường chéo hình vuông

Xét tam giác SAC, ta có .

Chiều cao khối chóp là .

Diện tích hình vuông ABCD là

Vậy thể tích khối chóp .

Tập xác định

Ta có: .

Để hàm số đồng biến trên khoảng xác định thì

Vậy đáp án cần tìm là: .

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

Xét hàm số có suy ra hàm số đồng biến trên .

Gọi số cạnh đáy là với  Đáy của chóp là – giác.

Ứng với mỗi đỉnh của đáy của 1 cạnh nối đỉnh của hình chóp với đỉnh của chóp.

Suy ra hình chóp có tổng số cạnh là .

Theo đề bài, hình chóp có 22 cạnh nên ta được (TMĐK)

Do đó, hình chóp có đáy là 11 – giác.

Do đó chóp có 11 mặt bên cộng 1 đáy.

Vậy hình chóp có tổng 12 mặt.

Điều kiện

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

=>

Đặt

Nhận thấy với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0

=> n – 6 = 0 => n = 6

Kết hợp với (*) => m = 3

Vậy m + n = 9

Dựa vào bảng biến thiên ta có

=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2

Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:

Đ=4; M=4; C=6

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên nên chọn .

Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau: 

Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

Tập xác định

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi

Xét hàm số trên khoảng ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để hàm số nghịch biến trên thì .

Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

Ta có:

Bảng xét dấu:

Suy ra số điểm cực tiểu của hàm số là 2 điểm.

Ta có:

Dựa vào đồ thị ta thấy

Vậy hàm số nghịch biến trên là sai.

Thay vào ta được:

Vậy thuộc đồ thị hàm số .

Quy đồng biến đổi hàm số đã cho trở thành

Tìm được tiệm cận đứng là x = -1 và x = 4 và không có tiệm cận ngang

=> Số tiệm cận là 2 đường

 Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.

Đặt

Khi đó bất phương trình ban đầu trở thành:

Xét hàm số trên

Ta có:

Bảng biến thiên của

Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có nghiệm thì .

Ta thấy hàm số có tập xác định và đạo hàm nên nghịch biến trên .

Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .