Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm thực của phương trình
là:
Ta có:
Quan sát đồ thị ta thấy cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
=> Phương trình có ba nghiệm thực phân biệt.
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có 4 nghiệm thực phân biệt?
Đặt . Ta được phương trình
Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
Do
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Lắp ghép hai khối đa diện
và
để tạo thành khối đa diện (H) , trong đó
là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a ,
là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của
trùng với một mặt của
như hình vẽ. Hỏi khối da diện (H) có tất cả bao nhiêu mặt?

Khối đa diện có đúng 5 mặt.
Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt.
Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện có 8 mặt.
Cho hàm số
. Điều kiện cần và đủ của tham số
để hàm số nghịch biến trên
là:
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đã cho nghịch biến trên thì
Vậy giá trị cần tìm là .
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
Hàm số có
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trong khoảng
.
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Mà nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là
. Đúng||Sai
b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là:
. Đúng||Sai
d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là
. Đúng||Sai
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là . Đúng||Sai
b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: . Đúng||Sai
d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là . Đúng||Sai
a) Ta có:
b)
Thay vào hàm số, ta tính được toạ độ các điểm cực trị là (−2; −3) và (1; 3)
c) Điều kiện xác định:
nên
là tiệm cận đứng.
d)
Suy ra đồ thị có đường tiệm cận xiên là .
Cho hàm số
có điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt là
. Tính
?
Cho hàm số có điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt là
. Tính
?
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại
là:

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng:
Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
, biết
với
là tham số và hàm số đồng biến trên
.
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên
Ta lại có:
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.

Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
. Đúng||Sai
c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng
. Đúng||Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng
. Sai||Đúng
Cho hàm số có đạo hàm trên
và đồ thị như hình vẽ.
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm . Đúng||Sai
c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng . Đúng||Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
. Sai||Đúng
Theo hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng và đạt cực tiểu tại điểm
.
Vì hàm số đồng biến trên khoảng nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng đó.
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
.
Cho hai số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đáp án: 2025
Cho hai số thực thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đáp án: 2025
Giả thiết cho
Xét hàm số trên
Suy ra
Vậy hàm số luôn đồng biến trên
nên ta có:
Suy ra:
Xét hàm số
luôn nghịch biến trên
luôn nghịch biến trên
Vậy khi
.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 2.
Phương trình có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng
nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số
=> Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.
Biết rằng hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất trên
tại điểm
. Khi đó giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Mà khi
Suy ra .
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến trên ![]()
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số đồng biến trên
. Sai|| Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên
. Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Hàm số đạt cực đại tại
. Đúng||Sai
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số đồng biến trên . Sai|| Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên . Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Hàm số đạt cực đại tại . Đúng||Sai
Quan sát bảng biến thiên, ta có các kết quả sau:
a) Hàm số đồng biến trên nên khẳng định hàm số đồng biến trên
là sai.
b) Hàm số nghịch biến trên .
c) Hàm số có đúng 1 điểm cực trị là .
d) Hàm số có đạt cực đại tại .
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của
luôn thuộc
. Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
Vì tập xác định của hàm số không chứa và
nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Lại có: . Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
thuộc khoảng
là:
Xét hàm số trên
ta có:
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
thuộc đường thẳng nào sau đây?
Ta có: . Do đó
Vì là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Nhận thấy thuộc đường thẳng
.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng
.
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có: suy ra hàm số luôn nghịch biến trên
.
Vậy hàm số đã cho không có điểm cực trị.
Cho hình vẽ:

Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng với
Vậy hàm số cần tìm là .
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục
?
Ta có:
Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
Vậy đáp án cần tìm là .
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên
. Khi đó hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0
Đặt
Vì f’(x) liên tục trên nên g’(x) cũng liên tục trên
. Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.
Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Tổng các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có
điểm cực trị bằng:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Tổng các giá trị nguyên của tham số để hàm số
có
điểm cực trị bằng:
Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
cắt nhau tại điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang
. Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là
.
Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Cho hàm số
xác định, liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số
trên
là
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1.