Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên khoảng
bằng:
Đặt
Khi đó:
So sánh và
ta thấy GTLN là
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên khoảng
bằng:
Đặt
Khi đó:
So sánh và
ta thấy GTLN là
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Điều kiện xác định của hàm số
Tập xác định
suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
suy ra
không là tiệm cận đứng.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hám số là .
Tìm giá trị tham số
để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị
sao cho trục
chia tam giác
thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng
?
Ta có:
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi có ba nghiệm phân biệt
Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
,
,
Ta có: , B và C đối xứng với nhau qua
suy ra tam giác
cân tại
Hình vẽ minh họa
Trục hoành chia tam giác thành một tam giác và một hình thang
Kết hợp với điều kiện ta được
Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy
Ta có:
Mà
Vì
.
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Tổng độ dài của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2
60 || sáu mươi || Sáu mươi
Khối mười hai mặt đều có tất cả 30 cạnh:

Suy ra ta có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng .
Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 có hệ số .
Vậy hàm số cần tìm là .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có nghiệm thuộc
?
Ta có:
Xét hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Theo yêu cầu bài toán ta có:
Vì
Cho hàm số
có đồ thị như sau:

Hỏi số nghiệm của phương trình
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Lại có đường thẳng nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm nên phương trình
có hai nghiệm.
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Cho hàm số y = f(x) có
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có: => Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 0
=> Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 2
Cho hàm số
. Định
để hàm số đạt cực đại tại
?
Ta có:
Hàm số đạt cực đại tại điểm khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao
m, một phía rộng
m, một phía rộng
m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài
m,
m,
m,
m,
m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4
Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao m, một phía rộng
m, một phía rộng
m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài
m,
m,
m,
m,
m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?
Đáp án: 4
Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.
Vì vậy chiều dài của ống thép phải thỏa mãn
,
Ta có
Trong đó
Xét hàm số
Vì vậy
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.

Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
bằng
. Tổng các phần tử của tập hợp
bằng:
Điều kiện
Ta có: . Vì
nên
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng
Kết hợp điều kiện
Vậy nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên tập số thực?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi
Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Số tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Suy ra là tiệm cận ngang.
suy ra
là tiệm cận đứng.
suy ra
là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Ta có:
Vì là nghiệm bội lẻ và
là nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng xét dấu
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Cho hàm số
xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại .
Để hàm số
(với
là tham số) đạt cực tiểu tại
thì tham số
thuộc khoảng nào sau đây?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại
Khi
Ta có: suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
Vậy thì hàm số đạt cực tiểu tại
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số đồng biến trên
. Sai|| Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên
. Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Hàm số đạt cực đại tại
. Đúng||Sai
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hàm số đồng biến trên . Sai|| Đúng
b) Hàm số nghịch biến trên . Đúng||Sai
c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Hàm số đạt cực đại tại . Đúng||Sai
Quan sát bảng biến thiên, ta có các kết quả sau:
a) Hàm số đồng biến trên nên khẳng định hàm số đồng biến trên
là sai.
b) Hàm số nghịch biến trên .
c) Hàm số có đúng 1 điểm cực trị là .
d) Hàm số có đạt cực đại tại .
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số
nhỏ hơn
?
Ta có:
Phương trình có nghiệm khi
Xét phương trình có
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:
Suy ra . Theo yêu cầu bài toán ta có:
Mà suy ra
Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Suy ra không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.
Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh
kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ
được xác định bởi công thức:
(tấn) với
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh
ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai
b) Ngày thứ 30 của tỉnh
có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng
c) Ngày thứ 1 của tỉnh
có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng
d) Ngày thứ 60 của tỉnh
có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.
Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ
được xác định bởi công thức:
(tấn) với
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai
b) Ngày thứ 30 của tỉnh có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng
c) Ngày thứ 1 của tỉnh có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng
d) Ngày thứ 60 của tỉnh có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.
a) Đúng.
b) Sai.
Ta có
Bảng biến thiên:

Vậy ngày thứ 18 của tỉnh có lượng gạo xuất khẩu cao nhất là 265060.
c) Sai. Ta có ngày thứ 60 tinh có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.
d) Đúng. Ta có ngày thứ 60 tỉnh có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.
Giả sử
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
. Khi đó tổng của
và
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Gọi
là tập tất cả các giá trị thực của tham số
để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
với
nằm giữa
sao cho
. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
Ta có bảng biến thiên
Suy ra đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
Khi đó
Để B nằm giữa A và C và thì
Từ (*) ta được . Thay (**) được
Suy ra . Vậy tổng các phần tử của S bằng
.
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
Gọi bát diện đều là ABCDEF

Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Ta có hàm số có cơ số
nên đồng biến trên
.
Ngoài ra các hàm số ;
;
không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên
.
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi
Hay
Vậy giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho hàm số
với
là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số với
là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là:
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=>
=> Tổng P bằng 10
Cho hình hộp chữ nhật
có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua 2 điểm và
nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình
.
Các khối lập phương đen và trắng xếp chồng lên nhau xen kẽ màu tạo thành một khối rubik
(như hình vẽ).

Gọi
là số khối lập phương nhỏ màu đen,
là số khối lập phương nhỏ màu trắng. Giá trị
là?
Có 7 lớp hình vuông xếp chồng lên nhau. Mỗi lớp có khối nhỏ.
Ta thấy hai lớp dưới đáy, một khối đen chồng lên một khối trắng (hay ngược lại) nên số lượng khối đen và trắng bằng nhau.
Tương tự 6 lớp bên dưới cũng có số lượng khối đen trắng bằng nhau.
Ta xét lớp trên cùng có khối màu đen và có
khối màu trắng
.