Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
cắt nhau tại điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang
. Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là
.
Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
cắt nhau tại điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang
. Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Theo yêu cầu bài toán:
Vậy đáp án cần tìm là .
Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao
và thể tích chứa
. Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/
và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/
. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

Đáp án: 2812
Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao và thể tích chứa
. Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/
và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/
. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).
Đáp án: 2812
Gọi lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.
Điều kiện: .
Ta có thể tích của khối hộp:
.
Diện tích mặt đáy:
.
Giá tiền để làm mặt đáy là:
(đồng).
Diện tích xung quanh của bể cá:
.
Giá tiền để làm mặt bên là:
.
Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:
(triệu đồng).
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
Gọi bát diện đều là ABCDEF

Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có
cực trị?
Nhận thấy rằng nếu là điểm cực trị dương của hàm số
thì
là điểm cực trị của hàm số
Lại thấy vì đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng mà
là hàm đa thức bậc ba nên
luôn là một điểm cực trị của hàm số
.
Khi đó để hàm số có 5 điểm cực trị thì hàm số
có hai cực trị dương phân biệt.
Suy ra phương trình có hai nghiệm dương phân biệt:
Vậy đáp án cần tìm là .
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là
. Đúng||Sai
b) Ta có
. Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là
. Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).
Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là . Đúng||Sai
b) Ta có . Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là . Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng . Đúng||Sai
a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:
b) Sai. Theo đề bài ta có: .
c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:
d) Đúng. Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng .
Cho hàm số
. Trên đoạn
hàm số có giá trị nhỏ nhất là
. Tìm giá trị của
?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra .
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hàm số
có bảng xét dấu
như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Vậy khoảng nghịch biến của hàm số là:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Ta có hàm số có cơ số
nên đồng biến trên
.
Ngoài ra các hàm số ;
;
không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên
.
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Cho hình hộp chữ nhật
có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh
, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, Mỗi hình vuông có cạnh bằng
, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp có dạng hình hộp chứ nhật không có nắp. Giá trị của
bằng bao nhiêu đêximet để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đáp án: 2 dm
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh , người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, Mỗi hình vuông có cạnh bằng
, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp có dạng hình hộp chứ nhật không có nắp. Giá trị của
bằng bao nhiêu đêximet để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án: 2 dm
Ta có:
tại
Cho hàm số
Khoảng cách từ điểm
đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu![]()
Đáp án: 3,2
Cho hàm số Khoảng cách từ điểm
đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu
Đáp án: 3,2
Ta có:
Xét
Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình
Khoảng cách từ điểm đến đường tiệm cận xiên là:
Cho hàm số
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.
Đặt
Khi đó
Vậy M = 1; m = 0 => M = m + 1
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Gọi
là giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là
sao cho diện tích tam giác
bằng
(
là gốc tọa độ). Khi đó giá trị biểu thức
bằng:
Tập xác định .
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Suy ra
Đường thẳng (PQ) đi qua điểm và nhận
làm một vecto pháp tuyến nên có phương trình
Theo bài ra ta có diện tích tam giác OPQ bằng 2 nên ta có phương trình:
Vậy .
Cho hàm số
có: ![]()
![]()
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đồ thị của hàm số
có tiệm cận ngang là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đồ thị của hàm số
có tiệm cận đứng là đường thẳng
. Đúng||Sai
c) Đồ thị của hàm số
không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng
d) Đồ thị của hàm số
không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng
Cho hàm số có:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
. Đúng||Sai
c) Đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng
d) Đồ thị của hàm số không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng
a) Do nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (*)
b) Do nên
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (**)
c) Từ (*) suy ra khẳng định này sai.
d) Từ (**) suy ra khẳng định này sai.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Xét hàm số
Nên hàm số đồng biến trên
Phương trình có dạng
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực đại của hàm số là:
Ta có:
Lập bảng biến thiên của hàm số
Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.
Định tất cả các giá trị thực của
để hàm số
có ba điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có ba điểm cực trị thì có ba nghiệm phân biệt suy ra phương trình
có hai nghiệm phân biệt khác
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
. Hãy chọn khẳng định đúng?
Tập xác định
Ta có: nên hàm số đồng biến trên các khoảng
và
.
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ .
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Tìm
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua 2 điểm và
nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình
.
Giá trị trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
Ta có .
Do đó ,
,
.
Vậy
Có bao nhiêu số nguyên của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
?
Ta có: . Để hàm số
đạt cực tiểu tại
:
Vậy có suy nhất một giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đồ thị hàm số
được biểu diễn trong hình vẽ như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt?
Số nghiệm của phương trình chính là giao điểm của hai đồ thị
Minh họa trực quan:
Vậy để hàm số có đúng hai nghiệm thì
.
Cho hàm số
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xét hàm số ta có:
Đặt
Xét hàm số có
. Hàm số nghịch biến khi
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Ông A dự định sử dụng hết
kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 2,1
Ông A dự định sử dụng hết kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 2,1
Gọi
lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá.
Ta có thể tích bể cá .
Theo đề bài ta có:
Ta có bảng biển thiên
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tập xác định . Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số
có 3 tiệm cận đứng?
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số có 3 tiệm cận đứng?
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có ba nghiệm phân biệt?
Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Xét có
Phương trình
Lập bảng biến thiên
Đường thẳng cắt đồ thị
tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
Do
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Cho hàm số
với
là tham số. Xác định điều kiện của tham số
để hàm số đã cho đạt cực đại tại
?
Ta có:
Hàm số đạt cực đại tại suy ra
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực đại tại
.
Với ta có:
suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
.
Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới dây?
Tập xác định
Ta có:
Ta có bảng xét dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên khoảng
bằng:
Đặt
Khi đó:
So sánh và
ta thấy GTLN là
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn
nên hàm số cần tìm là
.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .