Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3

Đường chéo hình vuông

Xét tam giác SAC, ta có .

Chiều cao khối chóp là .

Diện tích hình vuông ABCD là

Vậy thể tích khối chóp .

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi

Vậy đáp án cần tìm là .

 Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Ta có:

Ba điểm cực trị của hàm số là

Tam giác có điểm , hai điểm đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác cân tại . Trung điểm của thuộc trục và là chân đường cao hạ từ của tam giác, suy ra:

Vậy diện tích tam giác ABC bằng .

 Điều kiện

Từ đồ thị hàm số f’(x) ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là:

Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận

Nếu thì => y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f(-1) < 20

=> Đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a

=> f(3) < m < f(-1)

Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0

Đặt 

Vì f’(x) liên tục trên nên g’(x) cũng liên tục trên . Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.

Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.

Điều kiện xác định

Ta có: suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng .

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

 Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)

Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.

Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng

Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.

Hàm số có đạo hàm trên nên cũng có đạo hàm trên

Ta có:

Dựa vào đồ thị ta có: suy ra là ba nghiệm phân biệt và

Bảng biến thiên của hàm

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Gọi là trung điểm của . Tam giác cân tại và có là trung điểm nên . Do theo giao tuyến nên .

Tam giác vuông , có:

Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).

Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).

Khối lập phương có 9 trục đối xứng

(Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;

Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Hàm số đã cho đồng biến trên

 Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0

Ta có: có hai nghiệm dương nên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận ngang là y = 3

Tiệm cận đứng là x = -1 và x = 1

Vậy tổng các đường tiệm cận cần tìm bằng 3.

Do và  nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là .

Xét phương trình có hoành độ giao điểm

Vậy tung độ giao điểm là .

Tam giác vuông cân tại ,

suy ra

Vậy thể tích khối lăng trụ

Ta có:

Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:

Xét hàm số

Ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số tại

Vậy

Ta có:

Vậy giá trị cần tìm là .

Ta có:

Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số, hàm số nghịch biến trên (0; 2)

Phương trình hoành độ giao điểm

Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung khi phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất

Vậy .

Đặt

Khi đó hàm số trở thành:

Xét hàm số trên đoạn ta có:

=> Hàm số đồng biến trên

=>

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.

Ta có

Tam giác vuông , có .

Tam giác vuông , có .

Tam giác vuông , có .

Diện tích hình chữ nhật .

Vậy

Ta có:

Hàm số và không có điểm cực trị (đạo hàm không đổi dấu).

Hàm số có . Đạo hàm đổi dấu qua 1 điểm nên hàm số chỉ có một điểm cực trị.

Hàm số có . Đạo hàm đổi dấu qua hai điểm và nên hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy hàm số có nhiều điểm cực trị nhất là: .

Tập xác định

Ta có:

Xét phương trình

Xét hàm số trên ta có: và

Ta có bảng biến thiên của như sau:

Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của và số điểm tới hạn của là 5 điểm. Do đó ta cần có các trường hợp sau:

TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác

trong trường hợp này có 26 số nguyên dương.

TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm

trường hợp này có một số nguyên dương.

Vậy có tất cả 27 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:

Xét

Ta có bảng xét dấu:

Vậy đáp án cần tìm là .

Ta có: . Do đó

Vì là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Nhận thấy thuộc đường thẳng .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng .

 Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Ta có:

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi

Mà . Vậy có 4 giá trị của tham số thỏa mãn.

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên nên chọn .

Theo giả thiết, ta có .

Diện tích tứ giác:

Vậy  .

Với

y’ > 0 khi x > 0 và y’ < 0 khi x < 0 nên hàm số không nghịch biến trên

Ta có:

Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .

Ta có:

.

Ta có: suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Do

Ta có:

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra .

Vậy là giá trị cần tìm.

Ta có:

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng .