Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ sau 

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ sau 

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .
Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra đường thẳng
không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra đường thẳng
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Gọi M, N lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
. Khi đó m + n bằng:
Điều kiện
Tiệm cận ngang:
=> Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 1
Tiệm cận đứng:
Điều kiện cần: Xét phương trình x2 – 4 = 0 => x = 2 hoặc x = -2
Điều kiện đủ
Đặt
Xét x = 2 ta có f(2) = 0 nên ta sẽ đi tìm bậc của x – 2 của f(x)
=> x = 2 không phải là tiệm cận đứng
Xét x = -2 ta có f(-2) không tồn tại hay x = -2 không phải là tiệm cận đứng.
Vậy M = 1, N = 0 => M + N = 1
Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Mặt khác suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng
Ta có:
=> Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2)
Cho hàm số
với
là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba cực trị?
Cho hàm số với
là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba cực trị?
Cho tứ diện
có thể tích
. Gọi
là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện
. Tính tỉ số
.

Gọi là trung điểm AC; E và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD.
Trong tam giác MBD có .
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng cạnh của tứ diện ban đầu.
Do đó .
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Cho hàm số
với
là tham số. Định điều kiện của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số
có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương
thỏa mãn
Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ
(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm
Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm
Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là .
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có
.
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có phương trình
.
Mặt khác, ta có và
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có
tức là
.
Từ và
ta có
.
Suy ra .
Thay ta được
.
Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng dặm.
Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
?
Ta có:
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì
Vậy giá trị tham số m cần tìm là .
Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức
(với
được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:
Gia tốc của chất điểm gia tốc là hàm số bậc hai ẩn
đạt giá trị nhỏ nhất tại
Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng .
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Cho hàm số
. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
Ta có:
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)
Tìm điều kiện của tham số
để đồ thị hàm số
chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?
Xét khi đó
là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra
thỏa mãn.
Xét khi đó
là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn
Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Biết rằng có hai giá trị
của tham số
để đường thẳng
và đồ thị hàm số
có đúng một điểm chung. Khẳng định nào sau đây đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm
Đường thẳng và đồ thị hàm số
có một điểm chung khi phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất
Vậy .
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị đã cho ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
, biết
có đồ thị như hình vẽ:

Điểm cực đại của hàm số
đã cho là:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra điểm cực đại của hàm số là
.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Cho hàm số
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)
Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
=>
=>
=>
Xét ta có:
Ta lại có:
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Tính thể tích
của khối lập phương
, biết
.

Đặt cạnh của khối lập phương là
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Vậy thể tích khối lập phương .
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3)?
Xét hàm số có
=> y’ = 0 =>
Ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)
Có bao nhiêu điểm
thuộc đồ thị hàm số
sao cho khoảng cách từ điểm
đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm
đến trục hoành?
Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số
Ta có: . Theo bài ra ta có phương trình:
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên .
Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số
là đúng?
Ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
. Giá trị biểu thức
là:
Ta có: nên hàm số đồng biến trên
.
Đồ thị hàm số nào sau đây nhận điểm
làm tâm đối xứng?
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
và tiệm cận ngang là
suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là
Vậy điểm là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
.
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng xét dấu
như sau:

Kết luận nào sau đây đúng?
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy: hàm số đạt cực trị tại .
Tại ta thấy
đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại
.
Tại ta thấy
đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại
.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn [-6; 6]
Xét hàm số g(x) = -x2 – 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6; 6]
Ta có: g’(x) = -2x – 4
=> g’(x) = 0 => x = -2 thuộc [-6; 6]
Ta lại có g(x) = 0 => x2 – 4x + 5 = 0 => x = 1 (tm) hoặc x = -5 (tm)
Ta tính được:
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tập xác định . Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
cắt đường thẳng
tại điểm có tung độ bằng:
Do và
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
.
Xét phương trình có hoành độ giao điểm
Vậy tung độ giao điểm là .
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Một công ty bất động sản có
căn hộ cho thuê. Nếu giá cho thuê mỗi căn là
đồng/tháng thì không có phòng trống, còn nếu cho thuê mỗi căn hộ thêm
đồng/tháng thì sẽ có 2 căn bị bỏ trống. Hỏi công ty phải niêm yếu bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Đặt số tiền tăng thêm là (đồng)
Giá tiền mỗi căn hộ một tháng là (đồng)
Số căn hộ bị trống là (phòng)
Số tiền thu được mỗi tháng là: (đồng)
Đặt
Để doanh thu là lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số , giá trị lớn nhất của hàm số
tại đỉnh của parabol.
Hay:
Vậy công ty niêm yết giá tiền là: đồng để được doanh thu là lớn nhất.
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số
?
Ta có:
suy ra tiệm cận ngang là
suy ra tiệm cận đứng là
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là .
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
bằng bao nhiêu?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn bằng
.
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
Gọi bát diện đều là ABCDEF

Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp các số nguyên
để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
. Xác định số phần tử của tập hợp
?
Xét là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy
không thỏa mãn.
Xét
Tập xác định
Để hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi
Mà nên
Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.