Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Biết m_{0} là giá trị của tham số m để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + mx - 1 có hai điểm cực trị x_{1};x_{2} sao cho {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} = 13. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + m

    Hàm số có hai cực trị \Leftrightarrow \Delta' = 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3

    x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình 3x^{2} - 6x + m = 0

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = 2 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{m}{3} \\\end{matrix} ight.

    Ta có: {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} = 13

    \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 3x_{1}x_{2} = 13

    \Leftrightarrow m = - 9 \in ( - 15; - 7).

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác với AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.

     

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60^{0}. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy, gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} SO\bot BC \\ OM\bot BC \\ \end{matrix} ight. nên (SOM)\bot BC

    Suy ra \left\lbrack (SCD),(ABCD) ightbrack = (SM,OM) = \widehat{SMO} = 60^{0}.

    Có OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}, SO = OMtan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Thể tích khối chóp S.ABCD là

    V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 30;30} ight] để hàm số f\left( {{x^3} - 3{m^2}x} ight) có đúng 11 điểm cực trị?

    Tìm m để hàm số có 11 cực trị

    Hàm số đạt cực trị tại x = a < - 1;x = - 1;x = 4

    Xét hàm số f\left( {\left| {{x^3} - 3mx} ight|} ight) = f\left( u ight)

    Bảng biến thiên của hàm số u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| \geqslant 0 suy ra chỉ có phương trình u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| = 4 cho ta nghiệm bội lẻ.

    Nếu m \leqslant 0

    => Số điểm cực trị u là 1

    => Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)

    Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số u = \left| {{x^3} - 3mx} ight|

    Tìm m để hàm số có 11 cực trị

    Áp dụng công thức:

    Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {2m\sqrt m > 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{4}. Kết hợp với điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \mathbb{Z}} \\ {m \in \left[ { - 30;30} ight]} \end{array}} ight.

    => Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) với mọi x\mathbb{\in R}.

    a) Phương trình f'(x) = 0 có duy nhất một nghiệm x = 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( - 3;0). Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

    d) Hàm số y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight) có ba điểm cực đại. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) với mọi x\mathbb{\in R}.

    a) Phương trình f'(x) = 0 có duy nhất một nghiệm x = 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( - 3;0). Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

    d) Hàm số y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight) có ba điểm cực đại. Sai||Đúng

    a) Sai

    Ta có f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = (x - 1)^{3}(x - 2).

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm.

    b) Đúng

    Bảng biến thiên y = f(x)

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty;1),(2; + \infty).

    Ta có ( - 3;0) \subset ( - \infty;1) nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( - 3;0).

    c) Đúng

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.

    d) Sai

    Ta có:

    y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)

    \Rightarrow y^{'} = \left( x^{2} - 6x + 1 ight)^{'}f^{'\left( x^{2} - 6x + 1 ight)} = (2x - 6)f'\left( x^{2} - 6x + 1 ight).

    y' = 0 \Leftrightarrow (2x - 6)f'\left( x^{2} - 6x + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 6 = 0 \\ x^{2} - 6x + 1 = 1 \\ x^{2} - 6x + 1 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = 0 \\ x = 6 \\ x = - 3 + \sqrt{10} \\ x = - 3 - \sqrt{10} \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight) ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + \left( 2m^{2} + 2m - 4 ight)x - 2m^{2} + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{3} - (2m - 1)x^{2} + \left( 2m^{2} + 2m - 4 ight)x - 2m^{2} + 4 = 0(*)

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4 = 0(**) \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị của hàm số y = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + \left( 2m^{2} + 2m - 4 ight)x - 2m^{2} + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - \left( {2{m^2} - 4} ight) > 0 \hfill \\ 2{m^2} - 2m - 3 e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2 < m < 2 \hfill \\ m e \frac{{1 \pm \sqrt 7 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì m\mathbb{\in Z} suy ra m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.

    Tập xác định D = \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {0; + \infty } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m - \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = 1 - m \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{m + \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = m + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì m + 1 e 1 - m \Leftrightarrow m e 0

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ khi m < 1}}} \\ { - \infty {\text{ khi m > 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy khi m e 0;m e 1 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1

    Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì 1.2\left| m ight| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mệnh đề nào dưới đây đúng

     Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty } \end{array}} ight. \Rightarrow a > 0

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương => d > 0

    Ta có: y' = 3a{x^2} + 2bx + c, nhận thấy hoành độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} > 0 \Rightarrow b < 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = 0 \Rightarrow c = 0} \end{array}} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x^{2} + 5} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} = \frac{2}{3} nên x = 2 không phải tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} - \dfrac{3}{x}}{1 -\dfrac{2}{x}} = - 1 suy ra y = - 1 là một tiệm cận ngang

    \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} - \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{2}{x}}= 1 suy ra y = 1 là một tiệm cận ngang

    Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} là 2.

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:

    Do f'(x) < 0\forall x \in ( - 1;3) nên hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng ( - 1;3).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x + 1} trên đoạn \lbrack 0;3brack. Tổng S = 2M - m bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x + 1} trên đoạn \lbrack 0;3brack. Tổng S = 2M - m bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) và có bảng biến thiên trên [-2; 3) như sau:

    GTLN của hàm số trên khoảng là bao nhiêu?

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] bằng:

    Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2; 3]

    Ta có: f(x) ∈ [-2; 3] với \forall x \in \mathbb{R} => \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 4

  • Câu 14: Nhận biết

    Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{3} + 3x.

  • Câu 15: Nhận biết

    Xác định hàm số đồng biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = x^{3} + 3x ta có:

    y' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra hàm số y = x^{3} + 3x đồng biến trên ( - \infty; + \infty).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = - 2f'\left( x ight) = - 2{x^2} + 4x \hfill \\ y' > 0 \Rightarrow x \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2)

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB = a,AD = a\sqrt 3; A'O vuông góc với đáy (ABCD). Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 45^0. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì A'O \bot \left( {ABCD} ight) nên {45^0} = \widehat {AA',\left( {ABCD} ight)} = \widehat {AA',AO} = \widehat {A'AO}.

    Đường chéo hình chữ nhật: 

    AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 2a \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a

    Suy ra tam giác A'OA vuông cân tại O nên A'O = AO = a

    Diện tích hình chữ nhật {S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 3.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'O = {a^3}\sqrt 3.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2x} là:

    Điều kiện xác định x \geq 1;x eq 2

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2x} = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2x} = + \infty nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x = 2.

    Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

    Chia khối lăng trụ

    Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 21: Nhận biết

    Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3} - 3x trên \lbrack 1;2brack bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \left\{ \begin{matrix} y(1) = - 2 \\ y(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack 1;2brack}y = 2 \\ \min_{\lbrack 1;2brack}y = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 1;2brack bằng 0.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số y = f(1 - 2x) + 1 đồng biến trên khoảng:

    Ta có: y' = - 2f'(1 - 2x)

    y' = 0 \Leftrightarrow - 2f'(1 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}1 - 2x = - 1 \\1 - 2x = 0 \\1 - 2x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{1}{2} \\x = 0 \\\end{matrix} ight.

    Lại có: y'(3) < 0 nên ta có bảng xét dấu như sau:

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \left( \frac{1}{2};1 ight) và ( - \infty;0).

  • Câu 23: Nhận biết

    Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

    Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau: 

    Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(3 - 2x) có bảng xét dấu như sau:

    Hỏi hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    y' = f'(3 - 2x) = - 2f'(3 - 2x)

    f'( - 1) = f'(3) = f'(5) = 0

    f'(x) = k(x - 5)(x - 3)(x - 1)

    Xét x = 3 \Rightarrow y' = - 2f'( - 3) > 0

    \Rightarrow f'( - 3) < 0

    Bảng xét dấu y = f'(x) là:

    Căn cứ vào bảng xét dấu ta thấy

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (3;5).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x - 1 nghịch biến trên khoảng (0; + \infty) khi và chỉ khi:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có:y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; + \infty)

    y' \leq 0;\forall x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi

    \Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x + 1;\forall x \in (0; + \infty)

    Xét hàm số g(x) = 3x^{2} - 6x + 1 trên (0; + \infty) ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2

    Do đó \Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1

    Vậy m \leq - 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Biết rằng đồ thị hàm số y =\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + x - 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng \sqrt{7}. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết rằng đồ thị hàm số y =\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + x - 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng \sqrt{7}. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị của hàm số f'(x) là đường cong như hình vẽ sau:

    Chọn khẳng định đúng?

    Từ đồ thị hàm số f'(x) ta có bảng biến thiên như sau:

    Từ bảng biến thiên suy ra khẳng định đúng là: “Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; + \infty)”.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 29: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{x - \sqrt{x + 2}}{(x - 2)^{2}(x - 1)} có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack - 2; + \infty)\backslash\left\{ 1;2 ight\}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}\left( {x - 1} ight)}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}\left( {x - 1} ight)}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra đường thẳng x = 1;x = 2 là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}

    Điều kiện xác định 3 - 2x - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 3 \leqslant x \leqslant 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} trên \left[ { - 3;1} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}

    Phương trình f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 < x < 1} \\ {x + 1 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = - 1

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 3} ight) = 0} \\ {f\left( { - 1} ight) = 2} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 3;1} ight]} = f\left( { - 1} ight) = 2

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

    Từ bảng biến thiên ta có: y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Mặt bên SBC là tam giác gì?

    Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

    Quan sát bảng biến thiên dễ thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

  • Câu 36: Nhận biết

    Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

     Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 37: Vận dụng

    Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là f\left( x ight) = \left| {\frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30} ight| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là f\left( x ight) = \left| {\frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30} ight| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 38: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{x - 2}{x^{2} - 4} có đường tiệm cận ngang là

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\dfrac{x - 2}{x^{2} - 4} = \lim_{xightarrow \pm \infty}\dfrac{\dfrac{x}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}} - \dfrac{4}{x^{2}}} = 0

    Suy ra tiệm cận ngang là y = 0.

  • Câu 39: Vận dụng

    Gọi {n_1},{m{ }}{n_2},{m{ }}{n_3} lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

    Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).

    Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).

    Khối lập phương có 9 trục đối xứng

    (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;

    Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a\sqrt 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

     

    Tam giác ABC vuông cân tại B,

    suy ra BA = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}

    Vậy thể tích khối lăng trụ V = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \frac{{{a^3}}}{2}

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = x^{2}(x - 1). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2}(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.. Lập bảng xét dấu như sau:

    Suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1; + \infty)

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3 có đồ thị (C). Gọi A;B \in (C) và đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Độ dài AB bằng:

    Gọi A(x;y),B( - x; - y) là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ (x > 0)

    Vì A và B thuộc (C) nên x^{3} - 3x^{2} + 3 = - \left\lbrack ( - x)^{3} - 3( - x)^{2} + 3 ightbrack

    \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 1(L) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó A(1;1),B( - 1; - 1)

    Độ dài đoạn AB là: AB = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (1 + 1)^{2}} = 2\sqrt{2}.

  • Câu 43: Nhận biết

    Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?

     Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

    Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

    Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là 12 + 30 =42 cạnh.

  • Câu 44: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{4} - 2x^{2} + 1. Tìm khẳng định đúng?

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4x = 0

    \Leftrightarrow 4x\left( x^{2} - 1 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.. Ta có bảng xét dấu như sau:

    Dựa vào bảng xét dấu ta suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập