Để hàm số
đạt cực tiểu tại
thì tham số
thuộc khoảng nào sau đây?
Ta có: . Để hàm số
đạt cực tiểu tại
thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Để hàm số
đạt cực tiểu tại
thì tham số
thuộc khoảng nào sau đây?
Ta có: . Để hàm số
đạt cực tiểu tại
thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Ta có:
Với thì
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là
.
Xác định hàm số nghịch biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Nên hàm số nghịch biến trên
.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số
đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng
b) Hàm số
có hai điểm cực trị. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
Cho hàm số có đạo hàm trên
và hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng
b) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
a) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số ta thấy
nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số ta thấy
chỉ đổi dấu một lần qua x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị.
c) Sai: Từ đồ thị ta có hàm số có dạng
Đồ thị hàm số đi qua
nên
Vậy
d) Đúng: Ta có:
Vẽ đường thẳng y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số
Khi đó
Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; -1) nên g(x) đồng biến trên khoảng
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Khi
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau dây đúng?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.
Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.
Tập xác định
Ta có:
=> Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì
Vậy khi thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1
Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
Ta có:
=> Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0; 4), B(1; 3), C(-1;; 3)
Tính được
Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định:
Ta có: => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số là hàm trùng phương có
nên hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên các khoảng nào?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm . Hàm số
đồng biến trên các khoảng nào?
Cho hàm số
có bảng biến thiên của hàm số
như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?

Đáp án: 6
Cho hàm số có bảng biến thiên của hàm số
như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Đáp án: 6
Để hàm số đồng biến trên khoảng
Đặt và
.
Ta có: .
Do đó, ta có: khi
.
Do đó, .
Từ ta có
.
Mà .
Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số
với
?
Với thì đồ thị hàm số
theo thứ tự tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ
và
Mặt khác với thì
nên khi
thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành
Vậy đồ thị hàm số cần tìm là .
Hàm số y = x3 – 3x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số, hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Tìm hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số
Tập xác định . Ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng .
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Gọi
lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
. Chọn biểu thức đúng?
Ta có:
Vậy
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.
- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số
trên
là:
Đặt
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
Ta có:
=> Hàm số có 3 điểm cực trị
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại A và có
,
. Mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Tính theo
thể tích
của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
, suy ra
.
Do theo giao tuyến
nên
.
Tam giác là đều cạnh
nên
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác vuông .
Vậy .
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ:

Giả sử
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó giá trị của biểu thức
bằng bao nhiêu?
Từ đồ thị hàm số liên tục trên
Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3

Tam giác đều ABC cạnh bằng 2 nên .
Vì nên hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là AH.
Do đó .
Suy ra tam giác vuông cân tại H nên
.
Diện tích tam giác đều ABC là .
Vậy .
Đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm:
Ta có:
Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm
.
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số
có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai
c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
. Đúng||Sai
d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
là
. Sai||Đúng
Cho hàm số có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai
c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số . Đúng||Sai
d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là
. Sai||Đúng
Hàm số có tập xác định
Ta có:
Bảng biến thiên
a) Đúng: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; -1) và (3;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1;1) và (1;3) .
b) Đúng: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm (−1;2)
c) Đúng: Xét nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
.
d) Sai: Xét nên đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
.
Cho hàm số
. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
Ta có:
Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang .
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là:
Tập xác định
Ta có:
Cho hàm số
có bảng xét dấu
như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Vậy khoảng nghịch biến của hàm số là:
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
?
Theo yêu cầu bài toán
Mà
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
?
Ta có hàm số có cơ số
nên đồng biến trên
.
Ngoài ra các hàm số ;
;
không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên
.
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
và tổng diện tích các mặt bên bằng ![]()

Xét khối lăng trụ có đáy
là tam giác đều và
.
Diện tích xung quanh lăng trụ là
Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
Tìm giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng ![]()
Tìm giá trị của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số
trên tập
. Tính giá trị H của m.M
Tập xác định của hàm số y là:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta được:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
không có cực trị. Số phần tử của S là:
Xét hàm số ta có:
Hàm số đã cho không có cực trị
=> Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
=>
Do m là số nguyên nên
Vậy tập S có 4 phần tử.