Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định
Ta có: . Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
ta có;
Mặt khác nên
Vậy có hai giá trị của tham số m cần tìm.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định
Ta có: . Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
ta có;
Mặt khác nên
Vậy có hai giá trị của tham số m cần tìm.
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Hàm số y = x3 – 3x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số, hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Cho hàm số
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Từ biểu thức của ta có bảng xét dấu như sau:
Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại nên mệnh đề “
đạt cực tiểu tại
” đúng và mệnh đề “
đạt cực tiểu tại
” sai.
Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “ không có cực trị” sai và “
có hai điểm cực trị” sai.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
là
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có: . Lập bảng xét dấu như sau:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Cho hàm số
, hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như sau:

Bất phương trình
(với
là một số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số ta có:
. Với
thì
Từ đó nên hàm số nghịch biến trên
Suy ra . Yêu cầu bài toán tương đương với
.
Cho hàm số
với
là tham số. Với điều kiện nào của tham số
thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu?
Ta có:
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng 11 điểm cực trị?

Hàm số đạt cực trị tại
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình
cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> . Kết hợp với điều kiện
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có
=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng
.
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
Khi đó đồ thị hàm số có:
Tiệm cận đúng: , song song với
và cắt
tại điểm
Tiệm cận ngang: song song với
và cắt
tại điểm
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
Cách 1: Xét hàm số
Ta có:
Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0
Suy ra
Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Cách 2: Xét hàm số
=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)
Ta có:
Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto làm vecto chỉ phương là
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Cho hàm số
có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai
c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
. Đúng||Sai
d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
là
. Sai||Đúng
Cho hàm số có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai
c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số . Đúng||Sai
d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là
. Sai||Đúng
Hàm số có tập xác định
Ta có:
Bảng biến thiên
a) Đúng: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; -1) và (3;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1;1) và (1;3) .
b) Đúng: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm (−1;2)
c) Đúng: Xét nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
.
d) Sai: Xét nên đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm thực của phương trình
là:
Ta có:
Quan sát đồ thị ta thấy cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt
=> Phương trình có ba nghiệm thực phân biệt.
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hàm số
liên tục trên
và có đạo hàm
với mọi
. Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Cho hàm số liên tục trên
và có đạo hàm
với mọi
. Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên.

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là bao nhiêu?
Đáp án: 6
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là bao nhiêu?
Đáp án: 6
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
(1) có nghiệm (nghiệm đơn) và
(nghiệm kép)
(2) có nghiệm ba nghiệm đơn với
Hàm số
có tập xác định
+) Tìm tiệm cận ngang:
Vì
Nên Đồ thị hàm số
nhận đường thẳng
làm TCN.
+) Tìm tiệm cận đứng:
Tại các điểm mẫu của
nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.
Và do hàm số xác định trên nên giới hạn một bên của hàm số
tại các điểm
là các giới hạn vô cực.
Do đó, đồ thị hàm số có 5 TCĐ:
và
.
Vậy ĐTHS có 6 đường tiệm cận: 1
và
TCĐ
.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
, đạo hàm
có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số
?
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Cho hàm số
với
là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định
. Đúng||Sai
b)
. Sai|| Đúng
c) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi m < 1. Sai|| Đúng
d) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi 0 ≤ m < 1. Đúng||Sai
Cho hàm số với
là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định . Đúng||Sai
b) . Sai|| Đúng
c) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi m < 1. Sai|| Đúng
d) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi 0 ≤ m < 1. Đúng||Sai
a) Tập xác định .
b)
c) Sai.
Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi
.
d) Đúng
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
; (
là tham số) đồng biến trên tập số thực?
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số là hàm trùng phương có
nên hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm giá trị của
để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm
?
Ta có: suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Do
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
bằng
?
Ta có:
Xét
Mà và
Khi đó
Theo đề bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
là:
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi
Đặt ta có:
. Ta có bảng biến thiên của
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Vậy là giá trị của tham số m cần tìm.
Gọi
là tập hợp các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp
bằng:
Ta có:
Gọi là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:
Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
(*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.
Xác định số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Xác định số giá trị nguyên của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Cho hàm số
xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Sai|| Đúng
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm
. Đúng||Sai
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng
d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai
Cho hàm số xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng . Sai|| Đúng
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm . Đúng||Sai
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng
d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số
có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Cho lăng trụ
có đáy
là hình chữ nhật tâm
và
;
vuông góc với đáy
. Cạnh bên
hợp với mặt đáy
một góc
. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì nên
.
Đường chéo hình chữ nhật:
Suy ra tam giác vuông cân tại
nên
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy .
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy,
và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
32

Xét tam giác , có:
Suy ra tam giác vuông tại A
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
với
là tham số. Định điều kiện của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số
có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương
thỏa mãn
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho hàm số
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Xét hàm số xác định trên tập số thực có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 1 hoặc x = -2.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
bằng
. Tổng các phần tử của tập hợp
bằng:
Điều kiện
Ta có: . Vì
nên
Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng
Kết hợp điều kiện
Vậy nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện?
Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
a) Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh)

Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại.
b) Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của cạnh ( cạnh này thuộc cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có mặt phẳng như thế.

Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại.
Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang?
Ta có: nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là đường thẳng có phương trình
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Cho hàm số có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có: ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Tìm
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là