Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Ta có:
Vì là nghiệm bội lẻ và
là nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có
=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên
Vậy đáp án cần tìm là
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị đã cho ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Cho hàm số
. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
là:
Ta có:
Đồ thị của hàm số được minh họa bằng hình vẽ sau:

Từ đồ thị ta suy ra
Phương trình (*) có 3 nghiệm thực
Phương trình (**) có 2 nghiệm thực
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Xét hàm số ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Để uốn
thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi
bán kính của nửa đường tròn. Tìm
để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?
Để uốn thanh kim loại thành hình như sau:
Gọi bán kính của nửa đường tròn. Tìm
để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?
Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3

Tam giác đều ABC cạnh bằng 2 nên .
Vì nên hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là AH.
Do đó .
Suy ra tam giác vuông cân tại H nên
.
Diện tích tam giác đều ABC là .
Vậy .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)
Ta có: . Theo yêu cầu bài toán ta có:
=>
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
?
Trên đoạn ta có:
và
Vậy .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng xét dấu
như sau:

Kết luận nào sau đây đúng?
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy: hàm số đạt cực trị tại .
Tại ta thấy
đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại
.
Tại ta thấy
đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại
.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại A và có
,
. Mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Tính theo
thể tích
của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
, suy ra
.
Do theo giao tuyến
nên
.
Tam giác là đều cạnh
nên
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác vuông .
Vậy .
Cho hàm số
. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Hàm số liên tục trên đoạn
Ta có:
Khi đó nên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
Ta có:
=> Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0; 4), B(1; 3), C(-1;; 3)
Tính được
Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
và có đồ thị của hàm số
là đường cong như hình vẽ sau:

Chọn khẳng định đúng?
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra khẳng định đúng là: “Hàm số nghịch biến trên khoảng
”.
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là:
Ta có:
=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
=> đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Hàm số
đồng biến trên khoảng
Ta có y’ = 8x => y’ = 0 => x = 0
=> y’ > 0 => x > 0
=> y’ < 0 => x < 0
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho
trùng với
trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Ta thấy ngoai trừ "Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt" các đáp án còn lại đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.
Tìm giá trị tham số
để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị
sao cho trục
chia tam giác
thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng
?
Ta có:
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi có ba nghiệm phân biệt
Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
,
,
Ta có: , B và C đối xứng với nhau qua
suy ra tam giác
cân tại
Hình vẽ minh họa
Trục hoành chia tam giác thành một tam giác và một hình thang
Kết hợp với điều kiện ta được
Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy
Ta có:
Mà
Vì
.
Cho hàm số
. Định
để hàm số đạt cực đại tại
?
Ta có:
Hàm số đạt cực đại tại điểm khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
. Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
Tập xác định
Ta có: suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
Lại có suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang bằng 4.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có:
=> Hàm số có 1 cực trị
Cho hàm số
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Xét hàm số xác định trên tập số thực có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 1 hoặc x = -2.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình
trong đó
tính bằng giây
và
tính bằng mét
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là
Đúng||Sai
c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là
Sai||Đúng
d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm
Đúng||Sai
Một chất điểm chuyển động theo phương trình trong đó
tính bằng giây
và
tính bằng mét
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là Đúng||Sai
c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là Sai||Đúng
d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm Đúng||Sai
a) nên a sai.
b) Ta có: nên b) đúng
c) Ta có: nên c) sai
Vận tốc .
Vậy khi
.
Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi nên d) đúng.
Cho hàm số
với
là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:
Xét hàm số
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
Mà
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bằng
.
Cho hàm số
liên tục trên và có đồ thị như

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số
không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2. Đúng||Sai
b) Hàm số
có ba điểm cực trị. Sai||Đúng
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng −2 đạt được tại x = 0. Đúng||Sai
d) Hàm số
không có giá trị lớn nhất. Sai||Đúng
Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2. Đúng||Sai
b) Hàm số có ba điểm cực trị. Sai||Đúng
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −2 đạt được tại x = 0. Đúng||Sai
d) Hàm số không có giá trị lớn nhất. Sai||Đúng
a) Đúng: Hàm số không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2.
b) Sai: Hàm số chỉ có một điểm cực trị là x = 0.
c) Đúng: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −2 đạt được tại x = 0.
d) Sai: Ta thấy , và có xảy ra dấu bằng nên hàm số
có giá trị lớn nhất.
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Từ giả thiết ta có đồ thị của hàm số như sau:
Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
Ta có:
nên hàm số có tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là
.
Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
là:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hàm số
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 1 => I(2; 1)
Gọi khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại M là
Ta có:
Khi đó
Ta lại có tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là
Mặt khác
Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:
Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật
, trong đó
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi
bằng bao nhiêu?
Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó
là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi
bằng bao nhiêu?
Xác định tổng
tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Xác định tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Hàm số
có đạo hàm
. Kết luận nào sau đây đúng?
Vì hàm số có đạo hàm
nên hàm số đồng biến trên
.
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.