Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số đồng biến trên
.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số đồng biến trên
.
Cho hàm số
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số
sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành:
Do M thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm
Phương trình tiệm cận đứng là x – 1 = 0 (d’)
Giải phương trình d(M,d’) = d(M, Ox)
=>
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
?
Ta có:
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì
Vậy giá trị tham số m cần tìm là .
Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức
. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Đáp án: 15
Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức . Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Đáp án: 15
Ta có:
Bảng biến thiên:
Mực nước lên cao nhất thì phải mất giờ.
Hay mực nước lên cao nhất là lúc 20 giờ.
Vậy phải thông báo cho dân di dời vào giờ chiều cùng ngày.
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: ,
.
Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng
.
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số ta có:
Điều kiện xác định
Lại có: nên hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trong các hệ số
,
,
có bao nhiêu số dương?

Tiệm cận đứng:
Tiệm cận ngang:
Đồ thị cắt trục hoành tại nên
hay
Vậy trong các hệ số ,
,
có có hai số dương là
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Cho hàm số
có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số có đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình vẽ:

Biết rằng e > n. Số điểm cực trị của hàm số bằng bao nhiêu?
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
khi và chỉ khi
Vì nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Xác định giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Tập xác định
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình
Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.
Một chất điểm chuyển động với quy luật
. Thời điểm
(giây) tại vận tốc
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
Vận tốc của chuyển động là:
Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng khi
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng -2.
Hàm số
liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
Gọi ta có:
Suy ra
Ta có bảng biến thiên
Mà từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có ba nghiệm.
Gọi
lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).
Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).
Khối lập phương có 9 trục đối xứng
(Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;
Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).
Tìm điều kiện của tham số
để đồ thị hàm số
chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?
Xét khi đó
là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra
thỏa mãn.
Xét khi đó
là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn
Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
có đạo hàm
xác định và liên tục trên
. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số
:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Ta có:
Với ta có:
ta có bảng xét dấu của
như sau:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Trên đoạn
hàm số
có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Tập xác định
Ta có:
Trên đoạn hàm số đã cho nghịch biến
Hàm số
trên đoạn
có giá trị nhỏ nhất bằng:
Ta có:
. Khi đó
suy ra
.
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên.

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là bao nhiêu?
Đáp án: 6
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là bao nhiêu?
Đáp án: 6
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
(1) có nghiệm (nghiệm đơn) và
(nghiệm kép)
(2) có nghiệm ba nghiệm đơn với
Hàm số
có tập xác định
+) Tìm tiệm cận ngang:
Vì
Nên Đồ thị hàm số
nhận đường thẳng
làm TCN.
+) Tìm tiệm cận đứng:
Tại các điểm mẫu của
nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.
Và do hàm số xác định trên nên giới hạn một bên của hàm số
tại các điểm
là các giới hạn vô cực.
Do đó, đồ thị hàm số có 5 TCĐ:
và
.
Vậy ĐTHS có 6 đường tiệm cận: 1
và
TCĐ
.
Tính thể tích
của khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại B,
; cạnh bên
. Biết hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
trùng với chân đường cao hạ từ B của tam giác
.

Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong .
Theo giả thiết, ta có
Tam giác vuông , có
;
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác là
Vậy .
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
=> y = 0 là một tiệm cận ngang
=> y = 5 là một tiệm cận ngang
=> x = 1 là một tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3 đường
Cho hàm số
có đạo hàm
trên
. Tìm số điểm cực trị của hàm số
?
Ta có:
có hai nghiệm đơn nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=>
=> Tổng P bằng 10
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là:
Từ bảng biến thiên ta có:
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Hàm số
có đạo hàm và liên tục trên
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số nghịch biến
với
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Gọi
là tập tất cả các số nguyên dương của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
. Tính tổng tất cả các phần tử của tập
?
Theo yêu cầu bài toán
Do đó
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập bằng
.
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là
. Đúng||Sai
b) Ta có
. Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là
. Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).
Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là . Đúng||Sai
b) Ta có . Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là . Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng . Đúng||Sai
a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:
b) Sai. Theo đề bài ta có: .
c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:
d) Đúng. Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng .
Cho hàm số
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Từ biểu thức của ta có bảng xét dấu như sau:
Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại nên mệnh đề “
đạt cực tiểu tại
” đúng và mệnh đề “
đạt cực tiểu tại
” sai.
Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “ không có cực trị” sai và “
có hai điểm cực trị” sai.