Cho hình vẽ:

Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng với
Vậy hàm số cần tìm là .
Cho hình vẽ:

Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng với
Vậy hàm số cần tìm là .
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.
Tập xác định
Ta có:
=> Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì
Vậy khi thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1
Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Hàm số
có đạo hàm
, với
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có:
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số
có đúng một cực trị.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để đường thẳng
và
tại ba điểm phân biệt?
Ta có:
Ta có bảng biến thiên
Để đường thẳng và
tại ba điểm phân biệt thì
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ:

Biết (C) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức
?
Do đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2
=> Hàm số có dạng
=>
Ta có:
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Tổng các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có
điểm cực trị bằng:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:
Tổng các giá trị nguyên của tham số để hàm số
có
điểm cực trị bằng:
Cho hàm số
có hai điểm cực trị
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Ta có:
Nhận thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: ,
.
Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng
.
Cho hàm số
có đồ thị
như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên
. Sai||Đúng
b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
là
. Đúng||Sai
d) Điểm cực tiểu của hàm số là
. Đúng||Sai
Cho hàm số có đồ thị
như hình vẽ:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên . Sai||Đúng
b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là
. Đúng||Sai
d) Điểm cực tiểu của hàm số là . Đúng||Sai
a) Sai. Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên
.
b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại .
c) Đúng.
d) Đúng.
Hàm số
liên tục trên đoạn
và có bảng biến thiên như sau.

Gọi
và
lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Sai|| Đúng
b)
Sai|| Đúng
c)
Đúng||Sai
d)
Đúng||Sai
Hàm số liên tục trên đoạn
và có bảng biến thiên như sau.
Gọi và
lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Sai|| Đúng
b) Sai|| Đúng
c) Đúng||Sai
d) Đúng||Sai
Dựa vào bảng biến thiên trên ta có:
Cho hàm số y = f(x) có
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Ta có:
Nhận thấy
=> f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số
Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.
Gọi
lần lượt là số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
ta có
là tiệm cận đứng.
ta có:
là tiệm cận đứng.
Vậy .
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
?
Ta có:
.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là đường thẳng có phương trình là:
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên
?
Hàm số y = x – sinx có tập các định và
Nên hàm số luôn đồng biến trên
Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
trên đoạn
![]()
Đặt
Vì
Ta có:
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Cho hàm số
có đạo hàm
xác định và liên tục trên
. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số
:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Ta có:
Với ta có:
ta có bảng xét dấu của
như sau:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Biết giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
. Tìm giá trị của tham số
?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
Gọi bát diện đều là ABCDEF

Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Cho hàm số
liên tục, có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng
. Giá trị lớn nhất của
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Giá trị lớn nhất của
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Xét hàm số ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hàm số
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên
?
Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
là:
Ta có:
Trường hợp 1: . Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy là điểm cực đại nên trường hợp này không thỏa mãn.
Trường hợp 2: ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy là điểm cực tiểu. Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
là:
Tập xác định
Biến đổi f(x) như sau:
Đặt
Hàm số đã cho trở thành
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2018 tại
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số
nhỏ hơn
?
Ta có:
Phương trình có nghiệm khi
Xét phương trình có
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:
Suy ra . Theo yêu cầu bài toán ta có:
Mà suy ra
Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Xác định hàm số đồng biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên
.
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên mỗi khoảng
và
và có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt?
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng
và đồ thị hàm số
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Vậy tập hợp các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 1,
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối lăng trụ.

Hình thoi có
, suy ra
. Do đó tam giác
và
là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu của suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
.
Cho hàm số
và đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số và đồ thị của hàm số
như hình vẽ sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.