Cho hàm số
với
là tham số thực lớn hơn
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Do đó nghịch biến trên
.
Từ đó suy ra
Vậy đáp án đúng là .
Cho hàm số
với
là tham số thực lớn hơn
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Do đó nghịch biến trên
.
Từ đó suy ra
Vậy đáp án đúng là .
Cho hàm số
có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Giá trị cực đại của hàm số là suy ra mệnh đề sai là: “Giá trị cực đại của hàm số là
.”
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
.
Cho hình vẽ là đồ thị hàm số có dạng ![]()

Giá trị của biểu thức
có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Đồ thị hàm số đi qua điểm =>
Ta có:
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Tập xác định
suy ra hàm số nghịch biến trên
và
.
Số dân số của một thị trấn sau
năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức
(
được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số
biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là
nghìn người/ năm?
Ta có
Lại có
Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là nghìn người/ năm.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?
Điểm cực tiểu của hàm số là
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
Điểm cực đại của hàm số là .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét các đáp án, ta có:
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng
.
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
Khi đó đồ thị hàm số có:
Tiệm cận đúng: , song song với
và cắt
tại điểm
Tiệm cận ngang: song song với
và cắt
tại điểm
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m2
Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?
Đáp án: 2400 m2
Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, và đặtv AB = x (x > 0)
Khi đó BC = 240 – 3x > 0 ⇒ x < 80.
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S = x.(240 – 3x ) = 240x – 3x2
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) với 0 < x < 80.
Xét f(x) = 240x – 3x2 ⇒ f’(x) = 240 – 6x , f’(x) = 0 ⟺ x = 40.
Do f’’(x) = - 6 < 0, ∀ x∈ (0; 80)
Do đó
Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800m2 .
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Hàm số
đạt cực tiểu tại
khi:
Hàm số xác định với mọi
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại khi
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
có đồ thị
và đường thẳng
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để đồ thị
cắt đường thẳng
tại ba điểm phân biệt?
Phương trình hoành độ giao điểm
Đặt
Để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt thì phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó
phải có hai nghiệm phân biệt khác
.
Do đó
Do nguyên dương nên
.
Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 3.
Điều kiện của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Tập xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho tứ diện
có thể tích
. Gọi
là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện
. Tính tỉ số
.

Gọi là trung điểm AC; E và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD.
Trong tam giác MBD có .
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng cạnh của tứ diện ban đầu.
Do đó .
Cho hàm số
có bảng xét dấu
như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Vậy khoảng nghịch biến của hàm số là:
Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hàm số
có đạo hàm
trên khoảng
. Đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Quan sát hình vẽ ta thấy:
và
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4
Cho khối chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Thể tích
của khối chóp
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là tâm của đáy, gọi
là trung điểm của
.
Ta có nên
Suy ra .
Có ,
.
Thể tích khối chóp là
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu cực trị?
Cho hàm số có đạo hàm
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu cực trị?
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?
Ta có:
Với đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm có tọa độ nguyên.
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
?
Theo yêu cầu bài toán
Mà
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại A và có
,
. Mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Tính theo
thể tích
của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
, suy ra
.
Do theo giao tuyến
nên
.
Tam giác là đều cạnh
nên
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác vuông .
Vậy .
Cho hàm bậc ba
có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Cho hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ:
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

Đặt
. Tìm số điểm cực trị của hàm số ![]()
Đáp án: 6
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.
Đặt . Tìm số điểm cực trị của hàm số
Đáp án: 6
Đặt
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình .
Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , mà
có 4 nghiệm đơn phân biệt
khác
và phương trình
vô nghiệm.
Do đó phương trình có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là
.
Vậy hàm số có 6 cực trị.
Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = -x3 + 3x + 1
Ta có:
Từ bảng biến thiên => Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị của hàm số
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Vì suy ra
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
?
Trên đoạn ta có:
và
Vậy .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng
Giá trị của tham số m sao cho hàm số
nghịch biến trên khoảng (0; 2)?
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
=>
=>
Xét hàm số
Ta có:
=> g(x) đồng biến trên đoạn [0; 2]
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Đặt
với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Cho hàm số liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:
Đặt với
là tham số. Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
có đúng ba điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để đồ thị hàm số
có ba đường tiệm cận?
Ta có: nên suy ra hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là
Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì phải có 2 tiệm cận đứng hay phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
Do m nguyên dương nên có 14 giá trị m thỏa mãn.
Cho hàm số
có đồ thị kí hiệu là
. Tìm điểm thuộc
?
Ta thấy
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
sai vì
nhưng
sai vì
nhưng
sai vì
nhưng
đúng vì
nên hàm số
đồng biến trên khoảng
.
Số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
thuộc khoảng
là:
Xét hàm số trên
ta có:
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Cho hàm số
có đồ thị như sau:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là
.