Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng y= \frac{ax + b}{cx + d}

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =1 và tiệm cận đứng x = 2 nên hàm số cần tìm là y = \frac{x + 3}{x -2}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết A'B=3a.

     

    Do ABCD.A'B'C'D'là lăng trụ đứng nên AA' \bot AB.

    Xét tam giác vuông A'AB, ta có A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 5.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'A = 4\sqrt 5 {a^3}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số y f’(x) như hình vẽ bên:

    Số điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:

    Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)

    g'\left( x ight) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) < - 2 \Leftrightarrow x > \alpha

    Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x = \alpha

    Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:

    Số điểm cực trị của hàm số

    Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị

  • Câu 4: Nhận biết

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = 0 suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} là y = 0.

    Lại có \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty;\lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy có tất cả 3 đường tiệm cận.

  • Câu 5: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) = x^{3} - 7x^{2} + 11x - 2 trên đoạn \lbrack 0;2brack có giá trị nhỏ nhất bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 14x + 11

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{11}{3} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó f(0) = - 2;f(1) = 3;f(2) = 0 suy ra \min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = - 2.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {{x^2} - 9} ight){\left( {{x^2} - 3x} ight)^2},\forall x \in \mathbb{R}. Gọi M là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có: 

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 9} ight){\left( {{x^2} - 3x} ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - 3} ight)^3}\left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 3} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Chọn khẳng định đúng

    Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là M = f(-3)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a^3

    Ta có thể tích khối chóp: {V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}

    Suy ra:

    {V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = ax^{4} + bx^{2} + c có điểm cực đại là A(0; - 3) và một điểm cực tiểu là B( - 1; - 5). Tính giá trị biểu thức T = a + b + c?

    Do đồ thị hàm số y = ax^{4} + bx^{2} + c có một cực tiểu B( - 1; - 5) nên y( - 1) = - 5 \Rightarrow a + b + c = - 5.

  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = x^{3} + 2x - 2020 có y' = 3x^{2} + 2 > 0;\forall x\mathbb{\in R} suy ra hàm số y = x^{3} + 2x - 2020 đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên \lbrack 1;5brack là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 1;5brack là 3.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 đồng biến trên tập số thực?

    Ta có: y' = x^{2} - 4m + 4

    Hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 đồng biến trên \mathbb{R}

    y' \geq 0;\forall x \Leftrightarrow x^{2} - 4m + 4 \geq 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta' = 4m^{2} - 4 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1}. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack 0;3brack?

    Hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1} liên tục trên đoạn \lbrack 0;3brack

    Ta có: y' = \frac{2x^{2} + 2x - 4}{(2x + 1)^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} f(0) = 0 \\ f(1) = - 1 \\ f(3) = - \frac{3}{7} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1) < f(3) < f(0) nên \min_{\lbrack 0;3brack}y = y(1) = - 1.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết rằng có hai giá trị t_{1};t_{2} của tham số t để đường thẳng y = t - x và đồ thị hàm số y = \frac{x}{x - 1} có đúng một điểm chung. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Phương trình hoành độ giao điểm t - x = \frac{x}{x - 1} \Leftrightarrow (t - x)(x - 1) = x

    \Leftrightarrow x^{2} - tx + t = 0(*)

    Đường thẳng y = t - x và đồ thị hàm số y = \frac{x}{x - 1} có một điểm chung khi phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất

    \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy t_{1} + t_{2} = 4 \in \left( - 1;\frac{9}{2} ight).

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0 trên đoạn \left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f\left(\frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2}} ight) + 3 = 0 trên đoạn \left\lbrack - \frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{4}ightbrack?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực và có đạo hàm f'(x) = 3x^{3} - 3x^{2};\left( x\mathbb{\in R} ight). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Đúng||Sai

    b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Đúng||Sai

    c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực và có đạo hàm f'(x) = 3x^{3} - 3x^{2};\left( x\mathbb{\in R} ight). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Đúng||Sai

    b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Đúng||Sai

    c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{3} - 3x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

    b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) nên nghịch biến trên (−1; 1).

    c) Hàm số có đúng một điểm cực trị.

    d) Hàm số có đúng một điểm cực tiểu x = 1.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + m}{x + 1} thỏa mãn \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{9}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Hàm số đơn điệu trên đoạn \lbrack 1;2brack nên \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = f(1) + f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án cần tìm là 2 < m \leq 4.

  • Câu 18: Nhận biết

    Xác định hàm số đồng biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = x^{3} + 3x ta có:

    y' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra hàm số y = x^{3} + 3x đồng biến trên ( - \infty; + \infty).

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi cạnh bên AA' với mặt đáy là 45^0. Tính thể tích khối trụ  ABC.A'B'C'.

    3 || Ba || ba || V=3

    Đáp án là:

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Góc tạo bởi cạnh bên AA' với mặt đáy là 45^0. Tính thể tích khối trụ  ABC.A'B'C'.

    3 || Ba || ba || V=3

     

    Tam giác đều ABC cạnh bằng 2 nên AH = \sqrt 3.

    Vì A'H \bot \left( {ABC} ight) nên hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt đáy (ABC) là AH. 

    Do đó {45^0} = \widehat {AA',\left( {ABC} ight)} = \widehat {AA',AH} = \widehat {A'AH}.

    Suy ra tam giác A'HA vuông cân tại H nên A'H = HA = \sqrt 3.

    Diện tích tam giác đều ABC là {S_{\Delta ABC}} = \sqrt 3.

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.A'H = 3.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Đồ thị hàm số y = f(x) có mấy điểm cực trị?

    Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:

    Đồ thị hàm số y = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 1 => I(2; 1)

    Gọi M\left( {a;\frac{{a + 2}}{{a - 2}}} ight) \in \left( C ight),\left( {a e 2} ight) khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại M là y = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} ight)}^2}}}.\left( {x - a} ight) + \frac{{a + 2}}{{a - 2}},\left( d ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} d \cap x = 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} ight)}^2}\left( {x - a} ight)}} + \dfrac{{a + 2}}{{a - 2}}} \end{array}} ight. \Rightarrow A\left( {2;\dfrac{{a + 6}}{{a - 2}}} ight) \hfill \\ d \cap y = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} ight)}^2}\left( {x - a} ight)}} + \dfrac{{a + 2}}{{a - 2}}} \end{array}} ight. \Rightarrow B\left( {2a - 2;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {IA = \left| {\dfrac{{a + 6}}{{a - 2}} + 1} ight| = \dfrac{8}{{\left| {a - 2} ight|}}} \\ {IB = \left| {2a - 4} ight|} \end{array}} ight. \Rightarrow IA.IB = \dfrac{8}{{\left| {a - 2} ight|}}.\left| {2a - 4} ight| = 16

    Ta lại có tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {I{A^2} + I{B^2}} }}{2}

    Mặt khác I{A^2} + I{B^2} \geqslant 2IA.IB = 32 \Rightarrow R \geqslant \frac{{\sqrt {32} }}{2} = 2\sqrt 2

    Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng: {C_{\min }} = 2\pi R = 4\pi \sqrt 2

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a\sqrt 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

     

    Tam giác ABC vuông cân tại B,

    suy ra BA = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}

    Vậy thể tích khối lăng trụ V = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \frac{{{a^3}}}{2}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?

     Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

  • Câu 24: Thông hiểu

    Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

    Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

    Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

    Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

    Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

     

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số bậc bốn y = f(x) và y = g(x) có các đồ thị như hình dưới đây.

    Tìm các điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số h\left( x ight) = {f^2}\left( x ight) + {g^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight).g\left( x ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} h\left( x ight) = {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]^2} \hfill \\ \Rightarrow h'\left( x ight) = 2.\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]\left[ {f'\left( x ight) - g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ h'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) - g\left( x ight) = 0\left( * ight)} \\ {f'\left( x ight) - g'\left( x ight) = 0\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy phương trình (*) có đùng 2 nghiệm phân biệt là x = -1; x = 3, x = x1, và f(x) – g(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm này

    => Các nghiệm trên là nghiệm bội lẻ của (*)

    Mà f(x) và g(x) đều là đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (*) nhỏ hơn hoặc bằng 4

    => Phương trình (*) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (*)

    => h’(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt và h’(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm đấy nên hàm số h(x) có 5 điểm cực trị.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SC = a\sqrt 5. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

     Thể tích khối chóp

    Đường chéo hình vuông AC = a\sqrt 2

    Xét tam giác SAC, ta có SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\sqrt 3.

    Chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt 3.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = {a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{4} + 2(m - 2)x + 1 với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 20;20brack để hàm số đã cho có duy nhất một cực tiểu. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử?

    Điều kiện để hàm số y = x^{4} + 2(m - 2)x + 1 có duy nhất một cực tiểu là a = 1 > 0 và phương trình y' = 0 có duy nhất một nghiệm.

    y' = 4x^{3} + 4(m - 2)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} + 4(m - 2)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 2 - m(*) \\ \end{matrix} ight.

    Để phương trình y' = 0 có duy nhất một nghiệm thì phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x = 0.

    \Leftrightarrow 2 - m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 2

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 20;20brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 2;3;....20 ight\}

    Vậy có tất cả 19 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^{4} - 3x^{2} + m = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt?

    Đặt t = x^{2};(t \geq 0). Ta được phương trình 3t^{2} - 3t + m = 0(*)

    Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4m > 0 \\ 3 > 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 30: Vận dụng

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{\cot x - 2}{\cot x - m} nghịch biến trên \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)?

    Đặt t = \cot x \Rightarrow t' = \frac{- 1}{sin^{2}x} < 0;\forall x \in \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)

    \Rightarrow \cot\frac{\pi}{2} < t < \cot\frac{\pi}{4} hay 0 < t < 1

    Bài toán trở thành tìm m để hàm số y = \frac{t - 2}{t - m} đồng biến trên (0;1)

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}

    Ta có: y' = \frac{2 - m}{(t - m)^{2}}. Hàm số y = \frac{t - 2}{t - m} đồng biến trên (0;1)

    \Leftrightarrow y' > 0;\forall t \in (0;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - m > 0 \\ m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 1 \\ m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 0 \\ 1 \leq m < 2 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho biết \left( P ight):y = {x^2} và điểm A\left( { - 2;\frac{1}{2}} ight). Gọi M là điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA nhỏ nhất là:

    Vì M thuộc (P)

    => \begin{matrix} M\left( {a;{a^2}} ight) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {a + 2;{a^2} - \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow M{A^2} = {\left( {a + 2} ight)^2} + {\left( {{a^2} - \frac{1}{2}} ight)^2} = {a^4} - 4a + \frac{{17}}{4}

    Xét hàm số f\left( a ight) = {a^4} + 4a + \frac{{17}}{4} ta có:

    \begin{matrix} f'\left( a ight) = 4{a^3} + a \hfill \\ f'\left( a ight) = 0 \Rightarrow a = - 1 \hfill \\ \Rightarrow \min f\left( a ight) = f\left( { - 1} ight) = 1 - 4 + \dfrac{{17}}{4} = \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow M{A_{\min }} = \sqrt {\dfrac{5}{4}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \sqrt {{x^2} - 6x + 5}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định của hàm số là: D = \left( { - \infty ;1} ight] \cup \left[ {5; + \infty } ight)

    Ta có: y' = \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 5} }} > 0,\forall x \in \left( {5; + \infty } ight)

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞)

  • Câu 33: Vận dụng

    Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

     Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

    Chóp tứ giác đều

    +) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.

    +) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x - 3}}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}}} = 2

    => y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Ta cũng có: \mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} ight)} y = \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} y = \infty => x = 1; x = 32 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  • Câu 35: Nhận biết

    Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

    Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau: 

    Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác

  • Câu 36: Thông hiểu

    Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{1}{x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4m - 12} có ba đường tiệm cận bằng:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4m - 12} = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Theo yêu cầu bài toán ta suy ra x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4m - 12 = 0 có hai nghiệm phân biệt

    \Leftrightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow m^{2} - \left( 2m^{2} - m - 12 ight) > 0

    \Leftrightarrow - m^{2} + 4m + 12 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 6

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2;3;4;5 ight\}

    Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hỏi hàm số y = 2021 - f(x) đồng biến trên khoảng nào?

    Hàm số y = 2021 - f(x) có y' = - f'(x)

    y' = 0 \Leftrightarrow - f'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = 2021 - f(x)

    Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = 2021 - f(x) đồng biến trong khoảng ( - 1;0).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^{3} - 3mx + 2 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3m. Để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m > 0

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{m} \Rightarrow y = - 2m\sqrt{m} + 2 \\ m = - \sqrt{m} \Rightarrow y = 2m\sqrt{m} + 2 \\ \end{matrix} ight.

    Giả sử hai điểm cực trị là A\left( \sqrt{m}; - 2m\sqrt{m} + 2 ight),B\left( - \sqrt{m};2m\sqrt{m} + 2 ight)

    Ta có: AB = 2 \Leftrightarrow AB^{2} = 4

    \Leftrightarrow \left( - 2\sqrt{m} ight)^{2} + \left( 4m\sqrt{m} ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow 4m + 16m^{3} = 4 \Leftrightarrow 4m^{3} + m - 1 = 0

    \Leftrightarrow (2m - 1)\left( 2m^{2} + m + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2m - 1 = 0 \\ 2m^{2} + m + 1 = 0(VN) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}(tm)

    Vậy giá trị cần tìm là m = \frac{1}{2}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình f(x) = - \frac{1}{2}

    Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} - mx + 2020 đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số y = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} - mx + 2020 đồng biến trên \mathbb{R}

    \Leftrightarrow y' = x^{2} + 4x - m \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Dễ thấy x^{2} + 4x - m \geq 0;\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} 1 > 0 \\ \Delta' = 4 + m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \leq - 4

    Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi m \leq - 4.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?

     Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

  • Câu 42: Thông hiểu

    Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = \frac{mx + 5}{x - m} trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 7. mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = - \frac{m^{2} + 5}{(x -m)^{2}} < 0;\forall x eq m \Rightarrow \Delta' = m^{2} + 2m -3

    Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;m) và (m; + \infty)

    Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack nên m otin \lbrack 0;1brack

    Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 7 nên suy ra

    \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ f\left( 1 ight) = \frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) = \frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {TM} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {KTM} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow m = 2 \in(0;2brack

  • Câu 43: Thông hiểu

    Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh? 

    Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 44: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 45: Nhận biết

    Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Quan sát hình vẽ, ta thấy:

    Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập