Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số đồng biến trên
.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số đồng biến trên
.
Đồ thị hàm số
có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
Ta có: => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2
Ta có: => y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Xác định khoảng đồng biến của hàm số
?
Từ đồ thị hàm số ta có:
và
Ta có:
Khi đó:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện?
Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
a) Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh)

Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại.
b) Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của cạnh ( cạnh này thuộc cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có mặt phẳng như thế.

Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại.
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
là:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Tính thể tích của khối chóp?

Diện tích hình vuông là
.
Chiều cao khối chóp là
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
Cho hàm số
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B. Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 1 => I(2; 1)
Gọi khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại M là
Ta có:
Khi đó
Ta lại có tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là
Mặt khác
Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:
Xác định giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Tập xác định
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy đáp án cần tìm là .
Giá trị lớn nhất của hàm số
trên khoảng ![]()
Ta có:
=> Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đã cho bằng 3 khi x = 1
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có:
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ
là
(người). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Đáp án: Ngày thứ 4||tư
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là
(người). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Đáp án: Ngày thứ 4||tư
Điều kiện .
Ta có ,
,
.
Bảng biến thiên:
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ .
Đáp số: .
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
vuông góc với đáy và khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là hình chiếu của
trên
Ta có
Suy ra
Tam giác vuông tại
, có
Vậy .
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)
Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.
Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng
Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.
Cho hàm số
. Điều kiện cần và đủ của tham số
để hàm số nghịch biến trên
là:
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đã cho nghịch biến trên thì
Vậy giá trị cần tìm là .
Tổng độ dài
của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh
.

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
thuộc đường thẳng nào sau đây?
Ta có: . Do đó
Vì là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Nhận thấy thuộc đường thẳng
.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng
.
Cho lăng trụ
có đáy
là hình chữ nhật tâm
và
;
vuông góc với đáy
. Cạnh bên
hợp với mặt đáy
một góc
. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì nên
.
Đường chéo hình chữ nhật:
Suy ra tam giác vuông cân tại
nên
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy .
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Cho hàm số y = f(x) có
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Ta có:
Nhận thấy
=> f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số
Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.
Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
?
Ta có:
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì
Vậy giá trị tham số m cần tìm là .
Cho hàm số f(x) có
. Số cực trị của hàm số đã cho là:
Ta có: f’(x) đổi dấu khi qua các giá trị x = 3 và x = -3/2 nên hàm số có hai cực trị.
Tìm
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là
Xác định giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Điều kiện xác định:
Đặt ta có:
Ta có:
Khi đó:
Do đó:
Xét hàm số
Ta xác được
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Suy ra không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tập xác định . Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Hàm số nào sau đây có cực trị?
Hàm số có
suy ra hàm số không có cực trị.
Hàm số có
và
đổi dấu đi qua
suy ra hàm số có cực trị tại điểm
.
Hàm số có
suy ra hàm số không có cực trị.
Hàm số có
với
suy ra hàm số không có cực trị.
Cho hàm số
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau dây đúng?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Ta có:
Xét trên khoảng
ta có bảng biến thiên:
Suy ra mà
nên
Vậy có tất cả giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực đại?
Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có:
g(x) = f(3 – x)
=> g’(x) = -f’(3 – x)
Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có:
=> Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) là:

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.
Có bao nhiêu điểm
thuộc đồ thị hàm số
sao cho khoảng cách từ điểm
đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm
đến trục hoành?
Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số
Ta có: . Theo bài ra ta có phương trình:
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xác định hàm số đồng biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên
.
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ:

Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số nên loại đáp án
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ nên loại đáp án
Lại có đồ thị hàm số có các điểm cực trị nên loại đáp án
Vậy hàm số cần tìm là .
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là đường thẳng có phương trình?
Ta có: nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Tìm giá trị nhỏ nhất
của hàm số
trên đoạn
?
Hàm số đã cho liên tục trên
Ta có:
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Cho hàm số
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xét hàm số ta có:
Đặt
Xét hàm số có
. Hàm số nghịch biến khi
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Mặt khác suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng
Phương trình (*) có 1 nghiệm
Phương trình (**) có 2 nghiệm
=> Số nghiệm của phương trình là 3 nghiệm