Tìm giá trị nhỏ nhất
của hàm số
trên đoạn
?
Hàm số đã cho liên tục trên
Ta có:
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Tìm giá trị nhỏ nhất
của hàm số
trên đoạn
?
Hàm số đã cho liên tục trên
Ta có:
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Để hàm số
(với
là tham số) đạt cực tiểu tại
thì tham số
thuộc khoảng nào sau đây?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại
Khi
Ta có: suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
Vậy thì hàm số đạt cực tiểu tại
.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại A và có
,
. Mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Tính theo
thể tích
của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
, suy ra
.
Do theo giao tuyến
nên
.
Tam giác là đều cạnh
nên
.
Tam giác vuông , có
.
Diện tích tam giác vuông .
Vậy .
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.
+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
là:
Đặt
Khi đó hàm số trở thành:
Xét hàm số trên đoạn
ta có:
=> Hàm số đồng biến trên
=>
Cho hàm số
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Từ biểu thức của ta có bảng xét dấu như sau:
Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại nên mệnh đề “
đạt cực tiểu tại
” đúng và mệnh đề “
đạt cực tiểu tại
” sai.
Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “ không có cực trị” sai và “
có hai điểm cực trị” sai.
Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức
(với
được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:
Gia tốc của chất điểm gia tốc là hàm số bậc hai ẩn
đạt giá trị nhỏ nhất tại
Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng .
Để hàm số
đạt cực tiểu tại
thì tham số
thuộc khoảng nào sau đây?
Ta có: . Để hàm số
đạt cực tiểu tại
thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số bậc ba
có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
Ta có:
Đồng nhất hai vế ta có:
Mặt khác
Giải phương trình
Hàm số có tập xác định là
Khi đó
=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là
Cho hàm số
luôn nghịch biến trên
. Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Vì hàm số luôn nghịch biến trên
nên ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số
sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành:
Do M thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm
Phương trình tiệm cận đứng là x – 1 = 0 (d’)
Giải phương trình d(M,d’) = d(M, Ox)
=>
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Chọn mệnh đề đúng?
Ta có:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương => d > 0
Ta có: , nhận thấy hoành độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Cho hàm số
có đồ thị như sau:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là
.
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu như sau:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng và
.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số đồng biến trên
.
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ sau đây?

Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ:

a) Phương trình
có 3 nghiệm. Đúng||Sai
b) Phương trình
có 1 nghiệm. Đúng||Sai
c) Phương trình
vô nghiệm. Sai||Đúng
d) Phương trình
có 2 nghiệm. Đúng||Sai
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ:
a) Phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai
b) Phương trình có 1 nghiệm. Đúng||Sai
c) Phương trình vô nghiệm. Sai||Đúng
d) Phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
a) Ta có .
Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm.
b) Ta có
Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = 2 có 1 nghiệm.
c) Ta có .
Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = −4 có 1 nghiệm.
d) Ta có.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = −3 có 2 nghiệm.
Tất cả các giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
có duy nhất một đường tiệm cận là:
Ta có: nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là
.
Vậy để đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình
vô nghiệm
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và
biết
. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.
Do nên hàm số
nghịch biến trên
.
Khi đó ta có:
sai
sai
sai
Do đó, đúng.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:
Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Xác định các giá trị của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?
Xác định các giá trị của tham số để hàm số
có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?
Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hàm số có tập xác định
và có đạo hàm
=> A là khẳng định đúng
Đường thẳng
là đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào sau đây?
có
suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Loại)
có
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (loại)
có
suy ra
là tiệm cận ngang (Thỏa mãn).
Vậy đường thẳng là đường tiệm cận của đồ thị hàm số
.
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu?
Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
là
. Chọn khẳng định đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên suy ra
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
.
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có bốn nghiệm thuộc đoạn
là:

Đặt
Ta có:
Ta có đồ thị hình vẽ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (*) có hai nghiệm
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Suy ra hàm số có một điểm cực đại.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho hàm số
với
là tham số thực lớn hơn
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Do đó nghịch biến trên
.
Từ đó suy ra
Vậy đáp án đúng là .
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
. Tính theo
thể tích của khối chóp
.

Gọi là trung điểm của
. Tam giác
cân tại
và có
là trung điểm
nên
. Do
theo giao tuyến
nên
.
Tam giác vuông , có:
Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên
.
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác vuông cân tại
, cạnh
. Biết
tạo với mặt phẳng
một góc
và
. Tính thể tích
của khối đa diện
.

Gọi H là hình chiếu của C' trên mặt phẳng .
Suy ra AH là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng .
Do đó
Tam giác vuông , có
Thể tích khối lăng trụ
Suy ra thể tích cần tính là:
.
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Cho tập hợp
và
là tập hợp các hàm số
có
. Chọn ngẫu nhiên một hàm số
. Tính xác suất để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục
?
Không gian mẫu
Ta có:
Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục
suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
.
Mà
Vậy xác suất cần tìm là .