Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Gọi M, N lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
. Khi đó m + n bằng:
Điều kiện
Tiệm cận ngang:
=> Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 1
Tiệm cận đứng:
Điều kiện cần: Xét phương trình x2 – 4 = 0 => x = 2 hoặc x = -2
Điều kiện đủ
Đặt
Xét x = 2 ta có f(2) = 0 nên ta sẽ đi tìm bậc của x – 2 của f(x)
=> x = 2 không phải là tiệm cận đứng
Xét x = -2 ta có f(-2) không tồn tại hay x = -2 không phải là tiệm cận đứng.
Vậy M = 1, N = 0 => M + N = 1
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Khi đó bảng biến thiên của hàm số là:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng 11 điểm cực trị?

Hàm số đạt cực trị tại
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình
cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> . Kết hợp với điều kiện
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của
để hàm số
có hai điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là
. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là
, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm
để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Đáp án: 5
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là
, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm
để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Đáp án: 5
Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là .
Kích thước đáy hai đáy của chiếc hộp là .
Ta có .
Thể tích chiếc hộp là .
.
Bài toán trở thành, tìm
sao cho
là lớn nhất.
Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là để chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình vẽ?

Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng với
Vậy hàm số cần tìm là .
Tìm giá trị của
để bất phương trình
có nghiệm trên khoảng
?
Bất phương trình có nghiệm trên khoảng
Với
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra .
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tìm số nghiệm của phương trình
trên đoạn
?
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn
?
Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3
Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm
của
. Góc tạo bởi cạnh bên
với mặt đáy là
. Tính thể tích khối trụ
.
3 || Ba || ba || V=3

Tam giác đều ABC cạnh bằng 2 nên .
Vì nên hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là AH.
Do đó .
Suy ra tam giác vuông cân tại H nên
.
Diện tích tam giác đều ABC là .
Vậy .
Xác định hàm số nghịch biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Nên hàm số nghịch biến trên
.
Xác định số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Xác định số giá trị nguyên của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài đưa ra.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Cho hàm số
. Giả sử
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Vậy
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và
; giá trị cực tiểu bằng
.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên
?
Ta có:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Xác định giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu là
.
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
là:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác với
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Số tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Suy ra là tiệm cận ngang.
suy ra
là tiệm cận đứng.
suy ra
là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Cho hàm số
. Biết hàm số nghịch biến trên đoạn
. Tính
.
Đáp án: 5
Cho hàm số . Biết hàm số nghịch biến trên đoạn
. Tính
.
Đáp án: 5
Tập xác định: .
Ta có: .
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên .
Khi đó: .
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Tập xác định
suy ra hàm số nghịch biến trên
và
.
Cho hàm số
có đồ thị của hàm số
như sau:

Trên khoảng
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng một cực trị?
Cho hàm số có đồ thị của hàm số
như sau:
Trên khoảng có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng một cực trị?
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là
. Đúng||Sai
b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng
d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là . Đúng||Sai
b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng
d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng
a) Điều kiện xác định của hàm số .
Vậy tập xác định của hàm số là .
b) Ta có: nên y = −1 là đường tiệm cận ngang.
nên y = 1 là đường tiệm cận ngang.
c) Do nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (2 TCN và 1 TCĐ).
d) Minh họa miền giới hạn của các đường tiệm cận và trục Oy như sau:
Miền giới hạn là hình chữ nhật có diện tích là
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng
.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
Mà nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hàm số
có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai
c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
. Đúng||Sai
d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
là
. Sai||Đúng
Cho hàm số có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai
c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số . Đúng||Sai
d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là
. Sai||Đúng
Hàm số có tập xác định
Ta có:
Bảng biến thiên
a) Đúng: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; -1) và (3;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1;1) và (1;3) .
b) Đúng: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm (−1;2)
c) Đúng: Xét nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
.
d) Sai: Xét nên đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
.
Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Chọn khẳng định đúng?
Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0
Ta có: có hai nghiệm dương nên
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện?
Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
a) Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh)

Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại.
b) Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của cạnh ( cạnh này thuộc cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có mặt phẳng như thế.

Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại.
Hàm số
nghịch biến trên khoảng
khi và chỉ khi:
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
khi và chỉ khi
Xét hàm số trên
ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Do đó
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên các khoảng nào?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm . Hàm số
đồng biến trên các khoảng nào?
Cho hàm số
đạt cực đại tại
thỏa mãn
. Khi đó:
Tập xác định
Ta có: hàm số có hai cực trị
khi và chỉ khi
Khi đó .
Mặt khác
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đạo hàm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai
Cho hàm số xác định trên tập số thực và có đạo hàm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng . Đúng||Sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai
Ta có:
Bảng biến thiên:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nên nghịch biến trên
.
c) Hàm số có đúng một điểm cực trị.
d) Hàm số có đúng một điểm cực tiểu .