Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = x^{3} + 2x^{2} - 7x - 3 trên đoạn \lbrack - 1;2brack bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} + 4x - 7

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} y(1) = - 7 \\ y(2) = - 1 \\ y( - 1) = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;2brack}y = y( - 1) = 5

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

    Đặt g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x).

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

    Đặt g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x).

    Đáp án: 6

    Đặt g'(x) = \left( \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} ight)f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} ight) = 0 \hfill \\ f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \pm 1 \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = a\,\,\left( {a < - 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = b\,\,\left( { - 2 < b < 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = c\,\,\left( {c > 2} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Xét hàm số h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x},h'(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}},h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    Bảng biến thiên của hàm số h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

    Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình h(x) = a,h(x) = c.

    Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \pm 1, mà a eq c \Rightarrow f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight) = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} khác \pm 1 và phương trình h(x) = b vô nghiệm.

    Do đó phương trình g'(x) = 0 có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là x_{1},- 1,x_{2},x_{3},1,x_{4}.

    Vậy hàm số g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)có 6 cực trị.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 ight)x + 3 với m là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 2. Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 1. Sai|| Đúng

    c) Hàm số đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 5. Đúng||Sai

    d) y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - 4. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 ight)x + 3 với m là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 2. Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 1. Sai|| Đúng

    c) Hàm số đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 5. Đúng||Sai

    d) y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - 4. Đúng||Sai

    Ta có:

    y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Do hàm số đạt cực đại tại x = 3 nên y'(3) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Với m = 1;y' = x^{2} - 2x - 3;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Bảng xét dấu y’ như sau:

    Với m = 5;y' = x^{2} - 10x + 21;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = 7 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng xét dấu y’ như sau:

    Từ bảng xét dấu, ta có hàm số đạt cực đại tại x = 3

    Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 3 khi và chỉ khi m = 5.

  • Câu 4: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{10000 - x^{2}}}{x - 2} có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} 10000 - x^{2} \geq 0 \\ x - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 100 \leq x \leq 100 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định \lbrack - 100;100brack\backslash\left\{ 2 ight\}

    Vì hàm số không tồn tại khi x ightarrow - \infty và x ightarrow + \infty nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB=2a  và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

     Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 3a

    Tam giác SBC vuông cân tại  S nên {S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}S{B^2} = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp V = \frac{1}{3}{S_{\Delta SBC}}.d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 2{a^3}

  • Câu 6: Nhận biết

    Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 7: Vận dụng

    Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

    Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

    Mp đối xứng trong tứ diện đều

    Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?

    Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết f(-4) > f(8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) \geqslant f\left( { - 4} ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight] \hfill \\ f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f(-4) > f(8) => \forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } ight) thì f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight)

    Vậy \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x ight) = f\left( 8 ight)

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có nhiều nhất bao nhiêu tiệm cận đứng:

    Điều kiện f\left( x ight) e m

    Để đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có đường tiệm cận đứng f\left( x ight) = m thì phải có nghiệm.

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight. với - 1 < a < 0 < b

    Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    => Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt

    Vậy đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a^2

     

    Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác đều và AA' \bot \left( {ABC} ight).

    Diện tích xung quanh lăng trụ là {S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}

    \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ là {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Số các giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 20;20brack để hàm số y = \frac{mx - 16}{x - m} nghịch biến trên khoảng ( - \infty;8) là:

    Ta có: y' = \frac{- m^{2} + 16}{(x - m)^{2}}. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty;8) khi

    \left\{ \begin{matrix} y' < 0;\forall x < 8 \\ x eq m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m^{2} + 16 < 0 \\ m otin ( - \infty;8) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 4 \\ m > 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m \geq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 8

    Vì \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 20;20brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 8;9;10;...;20 ight\}

    Vậy có tất cả 13 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} (kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem f^{'}(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Trả lời: Ngày thứ 7

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} (kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem f^{'}(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Trả lời: Ngày thứ 7

    Ta có f(t) = 35t^{2} - \frac{5}{3}t^{3} \Rightarrow f'(t) = 70t - 5t^{2}(t > 0)

    Vì f^{'}(t) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị cực đại tại t = - \frac{70}{2( - 5)} = 7.

    Vậy vào ngày thứ 7 tốc độ truyền bệnh là nhanh nhất.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(m + 3)x^{2} + m^{2}x + 1 với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 1?

    Ta có: y' = f'(x) = x^{2} - (m + 3)x + m^{2}

    Điều kiện cần: Hàm số y = f(x) đã cho có đạo hàm tại \forall x\mathbb{\in R}

    Do đó hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 1 \Leftrightarrow f'(1) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Điều kiện đủ:

    Với m = - 1 hàm số trở thành y = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} + x + 1

    Ta có: y' = x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do đó hàm số không có cực trị.

    Với m = 2 hàm số trở thành y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{5}{2}x^{2} + 4x + 1

    Ta có: y' = x^{2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1 suy ra m = 2 thỏa mãn.

    Vậy có duy nhất một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.

     Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hàm số đã cho đồng biến trên ( - 1;2).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực dương m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 1 trên đoạn \lbrack m + 1;m + 2brack bằng 53?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên thì để giá trị lớn nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 1 trên đoạn \lbrack m + 1;m + 2brack bằng 53 thì m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0.

    Khi đó \max_{\lbrack m + 1;m + 2brack}f(x) = f(m + 2) = (x + 2)^{3} - 3(m + 2) + 1 = 53

    \Leftrightarrow m^{3} + 6m^{2} + 9m - 50 = 0 \Leftrightarrow m = 2

    Khi đó chỉ có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y = \sqrt[3]{x^{2}}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}};(x eq 0)

    Xét dấu y' ta có: \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in (0; + \infty) \\ y' < 0;\forall x \in ( - \infty;0) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số có 1 cực trị.

  • Câu 19: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

    - Khối lập phương có 6 mặt.

    \Rightarrow "Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" \Rightarrow Sai.

    - Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. \Rightarrow Đúng

    - Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

    \Rightarrow "Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

    - Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

    \Rightarrow "Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

     

  • Câu 20: Thông hiểu

    Hàm số y = \left| x^{3} + 3x^{2} ight| đạt cực đại tại

    Tập xác định: D\mathbb{= R}

    Ta có: y = \left| x^{3} + 3x^{2} ight| = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x^{2}\ \ khi\ x \geq - 3 \\ - x^{3} - 3x^{2}\ \ khi\ x < - 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow y' = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 6x\ \ khi\ x \geq - 3 \\ - 3x^{2} - 6x\ khi\ x < - 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 3 và x = 0.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho các hình sau: Tìm hình đa diện

    Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt {S_0},{S_1},...\,\,,{S_n} sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt {S_i},{S_{i + 1}} nào (0 \le i \le n - 1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 22: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)?

     Ta có:

    y' = \frac{{2\left( {x - 2} ight) - \left( {2x - 5} ight)}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

    Vậy hàm số y = \frac{{2x - 5}}{{x - 2}} đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

    Chọn mệnh đề đúng

    Chọn mệnh đề đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty } \end{array}} ight. \Rightarrow a < 0

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương => d > 0

    Ta có: y' = 3a{x^2} + 2bx + c, nhận thấy hoành độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có 

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} > 0 \Rightarrow b > 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} < 0 \Rightarrow c > 0} \end{array}} ight.

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc 60^0. Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.

     

    Gọi M là trung điểm CD, suy ra OM \bot CD nên

    {60^0} = \widehat {\left( {SCD} ight),\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SM,OM} = \widehat {SMO}.

    Tam giác vuông SOM, có SO = OM.\tan \widehat {SMO} = a\sqrt 3.

    Kẻ KH \bot OD \Rightarrow KH\parallel SO nên KH \bot \left( {ABCD} ight). 

    Tam giác vuông SOD, ta có \frac{{KH}}{{SO}} = \frac{{DK}}{{DS}} = \frac{{D{O^2}}}{{D{S^2}}}

    = \frac{{O{D^2}}}{{S{O^2} + O{D^2}}} = \frac{2}{5}\xrightarrow{{}}KH = \frac{2}{5}SO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}

    Diện tích tam giác {S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}AD.DC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{DKAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ADC}}.KH = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}.

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(3 - 2x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Xét hàm số y = f(3 - 2x) ta có: y' = - 2f'(3 - 2x)

    y' = 0 \Leftrightarrow - 2f'(3 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 2x = 5 \\ 3 - 2x = 3 \\ 3 - 2x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow - 2.f'(3 - 2x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - 2x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 0 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < 3 - 2x < 5 \\ 3 - 2x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    Đặt 3 - 2x = t \Rightarrow f'(t) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < t < 5 \\ t < 1 \\ \end{matrix} ight.

    Xét hàm số y = f(x) có y' = f'(x). Hàm số nghịch biến khi y' < 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < x < 5 \\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (3;5).

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?

     Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi (H): Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

     

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a, biết A'B=3a.

     

    Do ABCD.A'B'C'D'là lăng trụ đứng nên AA' \bot AB.

    Xét tam giác vuông A'AB, ta có A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 5.

    Diện tích hình vuông ABCD là {S_{ABCD}} = A{B^2} = 4{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'A = 4\sqrt 5 {a^3}

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Xét hàm số g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m. Tìm m để \max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Xét hàm số g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m. Tìm m để \max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 29: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^{4} + (m - 1)x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x đạt cực tiểu tại điểm x = 0?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = 4x^{3} + 2(m - 1)x + \left( m^{2} - 1 ight) \\ y'' = 12x^{2} + 2(m - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 \Rightarrow y'(0) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1

    Với m = 1 ta được y = x^{4} \Rightarrow y' = 4x^{3}

    y' = 0 \Leftrightarrow x = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (thỏa mãn yêu cầu)

    Với m = - 1 ta được y = x^{4} - 2x^{2} \Rightarrow y' = 4x^{3} - 4x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = \pm 1 (không thỏa mãn)

    Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và một số thực M. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Nếu f(x) \leq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Sai|| Đúng

    b) Nếu f(x) \geq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Sai|| Đúng

    c) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Đúng||Sai

    d) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và một số thực M. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Nếu f(x) \leq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Sai|| Đúng

    b) Nếu f(x) \geq M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Sai|| Đúng

    c) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\max f(x)} = M. Đúng||Sai

    d) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì \underset{D}{\min f(x)} = M. Đúng||Sai

    a) Khẳng định này sai, cần bổ sung thêm điều kiện \exists x_{0} \in D để f\left( x_{0} ight) = M.

    b) Khẳng định này sai, cần bổ sung thêm điều kiện \exists x_{0} \in D để f\left( x_{0} ight) = M.

    c) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì f(x) là hàm hằng trên D (đồ thị là đường thẳng nằm ngang).

    Suy ra \underset{D}{\max f(x)} = M.

    d) Nếu f(x) = M,\forall x \in D thì f(x) là hàm hằng trên D (đồ thị là đường thẳng nằm ngang).

    Suy ra\underset{D}{\min f(x)} = M.

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}. Giả sử M(a;b) \in (C) có khoảng cách đến đường thẳng d:y = 3x + 6 nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có: M\left( a;\frac{2a + 1}{a + 2} ight);(a eq - 2)

    Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:

    d(M;d) = \dfrac{\left| 3a - \dfrac{2a +1}{a + 2} + 6 ight|}{\sqrt{3^{2} + 1}}= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left| 3a+ 6 - \frac{2a + 1}{a + 2} ight|= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left|\frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2} ight|

    Xét hàm số f(a) = \frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2};(a eq - 2)

    f'(a) = \frac{3\left( a^{2} + 4a + 3 ight)}{(a + 2)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \left| f(a) ight| = 4 tại a = - 1

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 2

  • Câu 32: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = - x^{3} - 3(m + 1)x + 3(2m - 1) + 2020 đồng biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)

    Hàm số nghịch biến trên ( - \infty; + \infty) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 < 0 \\ \Delta' = 9(m + 1)^{2} + 9(2m - 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1;0 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài đưa ra.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x) có

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a^3

    Ta có thể tích khối chóp: {V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}

    Suy ra:

    {V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho đồ thị hàm số sau:

    Xác định hàm số tương ứng với đồ thị đã cho?

    Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy đồ thị này là đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{4} + 2x^{2} + 2.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \sqrt {{x^2} - 6x + 5}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định của hàm số là: D = \left( { - \infty ;1} ight] \cup \left[ {5; + \infty } ight)

    Ta có: y' = \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 5} }} > 0,\forall x \in \left( {5; + \infty } ight)

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Xác định tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m} nghịch biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Xác định tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m} nghịch biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = {x^4} - 2{x^2} + 1. Xét các mệnh đề sau, những những mệnh đề nào đúng?

    Ta có: y' = 4{x^3} - 4x

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y = 1} \\ {x = 1 \Rightarrow y = 0} \\ {x = - 1 \Rightarrow y = 0} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Chọn mệnh đề đúng

    Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

    - Hàm số có 3 điểm cực trị

    - Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞; -1), (0; 1)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Đồ thị của hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2x - 3} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3;1 ight\}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra đường thẳng x = 1 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra đường thẳng x = - 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

    Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang bằng:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = - 1.

    Do đó, đồ thị hàm số y = f(x) có đường tiệm cận ngang là y = - 1.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \frac{2x^{2} + x}{x + 1} cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm A,\ B. Khi đó diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: 0,25

    Đáp án là:

    Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \frac{2x^{2} + x}{x + 1} cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm A,\ B. Khi đó diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: 0,25

    Ta có

    y = \frac{2x^{2} + x}{x + 1} = \frac{2x^{2} + 2x - x - 1 + 1}{x + 1}

    = \frac{2x(x + 1) - (x + 1) + 1}{x + 1} = 2x - 1 + \frac{1}{x + 1}.

    Do đó tiện cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là y = 2x - 1.

    Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục hoành, trục tung lần lượt là A\left( \frac{1}{2};0 ight)\ ,B(0; - 1).

    Xét tam giác OAB vuông tại O, có:

    OA = \frac{1}{2};\ OB = 1

    => Diện tích của tam giác OAB là

    S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.1 = \frac{1}{4} = 0,25

  • Câu 42: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Xét các đáp án, ta có: 

    - A Đúng: Ta chứng minh như sau:

    Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.

    M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)

    Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)

    Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

    - B Sai.

    - C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

    - D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

  • Câu 43: Nhận biết

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

    Đáp án là:

    Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?

    12 || mười hai || Mười hai

     

    Hình bát diện đều có 12 cạnh.

  • Câu 44: Nhận biết

    Hàm số y = \frac{x - 2}{x - 1} đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}. Ta có: y' = \frac{1}{(x - 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty;1) và (1; + \infty).

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - m + 2 nghịch biến trên khoảng ( - 3;0)?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - 3;0) khi ( - 3;0) nằm trong khoảng hai nghiệm

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq - 3 < 0 \leq 2m - 1 \\ 2m - 1 \leq - 3 < 0 \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2m - 1 \leq - 3 \Leftrightarrow m \leq - 1

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq - 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập