Biết giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
. Tìm giá trị của tham số
?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Biết giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
. Tìm giá trị của tham số
?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Cho lăng trụ
có đáy
là hình chữ nhật tâm
và
;
vuông góc với đáy
. Cạnh bên
hợp với mặt đáy
một góc
. Tính theo
thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì nên
.
Đường chéo hình chữ nhật:
Suy ra tam giác vuông cân tại
nên
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy .
Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Ta có:
Với thì
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là
.
Xác định giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Tập xác định
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số
?
Ta có:
suy ra tiệm cận ngang là
suy ra tiệm cận đứng là
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là .
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là?
2 || Hai || hai
Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4
Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ
là
(kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Trả lời: Ngày thứ 7
Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ là
(kết quả khào sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem
là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm
thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?
Trả lời: Ngày thứ 7
Ta có
Vì có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống nên đạt giá trị cực đại tại
.
Vậy vào ngày thứ 7 tốc độ truyền bệnh là nhanh nhất.
Cho hàm số
có bảng biến thiên trên đoạn
như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Từ bảng biến thiên ta suy ra
Cho hàm số
có đạo hàm
trên
. Tìm số điểm cực trị của hàm số
?
Ta có:
có hai nghiệm đơn nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
thuộc khoảng nào sau đây?
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì
Vậy .
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Tìm số nghiệm của phương trình
trên đoạn
?
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn
?
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

Đặt
. Tìm số điểm cực trị của hàm số ![]()
Đáp án: 6
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.
Đặt . Tìm số điểm cực trị của hàm số
Đáp án: 6
Đặt
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình .
Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , mà
có 4 nghiệm đơn phân biệt
khác
và phương trình
vô nghiệm.
Do đó phương trình có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là
.
Vậy hàm số có 6 cực trị.
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.
+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên khoảng
, có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy đáp án cần tìm là: “Hàm số đồng biến trên khoảng ”.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Lại có: nên ta có bảng xét dấu như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Cho hình vẽ:

Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng với
Vậy hàm số cần tìm là .
Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
Ta có: có tập xác định
=> Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
Gọi
là giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là
sao cho diện tích tam giác
bằng
(
là gốc tọa độ). Khi đó giá trị biểu thức
bằng:
Tập xác định .
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Suy ra
Đường thẳng (PQ) đi qua điểm và nhận
làm một vecto pháp tuyến nên có phương trình
Theo bài ra ta có diện tích tam giác OPQ bằng 2 nên ta có phương trình:
Vậy .
Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
Các hình đa diện là:
;
; 
Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên khoảng
?
Xét hàm số có
nên hàm số
nghịch biến trên khoảng
.
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng
nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
thì phần thứ hai bằng
nghìn đồng/giờ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khi vận tốc
thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông với vận tốc
là
. Sai||Đúng
c) Khi vận tốc
thì tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông nhỏ nhất là
. Đúng||Sai
Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
thì phần thứ hai bằng
nghìn đồng/giờ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Khi vận tốc thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên đường sông với vận tốc
là
. Sai||Đúng
c) Khi vận tốc thì tổng chi phí nguyên liệu trên
đường sông là
đồng. Đúng||Sai
d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên đường sông nhỏ nhất là
. Đúng||Sai
a) Đúng: Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: (đồng).
b) Sai: Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu, x > 0
Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: (giờ)
Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: (nghìn đồng)
Hàm chi phí cho phần thứ hai là (nghìn đồng/ giờ)
Khi (nghìn đồng/ giờ)
Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: (nghìn đồng)
Vậy tổng chi phí ,
c) Đúng. Tổng chi phí
Thay ta được
(nghìn đồng).
d) Đúng
Dấu ’’=’’ xảy ra khi x = 20.
Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=>
=> Tổng P bằng 10
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Cho hàm số
có đồ thị
. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt
tại hai điểm phân biệt mà hoành độ và tung độ của giao điểm này đều là các số nguyên?
Ta có:. Vì
có tọa độ nguyên khi
Các điểm thuộc có tọa độ nguyên thuộc tập
Mỗi cặp hai điểm thuộc tập B xác định một đường thẳng cắt tại hai điểm có tọa độ nguyên do đó số đường thẳng cần tìm là
(đường thẳng)
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.
"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4"
Sai.
- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng
- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.
"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.
- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.
"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai
Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
=> Hệ số a < 0 => Loại đáp án C và D
Đồ thị hàm số đi qua điểm =>
Hàm số có ba cực trị => ab < 0
Do a < 0 => b > 0
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ =>
Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?
Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f(-1) < 20

Đồ thị hàm số
(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi:
Điều kiện
Từ đồ thị hàm số f’(x) ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là:

Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận
Nếu thì
=> y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f(-1) < 20
=> Đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a
=> f(3) < m < f(-1)
Tìm hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số
Tập xác định . Ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
, biết
có đồ thị như hình vẽ:

Điểm cực đại của hàm số
đã cho là:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra điểm cực đại của hàm số là
.
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng thấy được A, B, D sai, C đúng
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Điều kiện xác định
Ta có: nên
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.
Số tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Suy ra là tiệm cận ngang.
suy ra
là tiệm cận đứng.
suy ra
là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Ta có:
Xét trên khoảng
ta có bảng biến thiên:
Suy ra mà
nên
Vậy có tất cả giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài đưa ra.