Giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
Xét hàm số trên
ta có:
Phương trình
Ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Điều kiện xác định
Xét hàm số trên
ta có:
Phương trình
Ta có:
Khái niệm chính xác nhất về khối đa diện là:
Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:
“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định:
Ta có: => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Cho hàm số
. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
Ta có:
Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang .
Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Chọn khẳng định đúng?
Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0
Ta có: có hai nghiệm dương nên
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau là:
Ta có:
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu
Vì nên có 12 giá trị thỏa mãn.
Vậy có tất cả 12 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho tứ diện
có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .![]()
4 || Bốn || bốn
Cho tứ diện có thể tích bằng
và
là trọng tâm của tam giác
. Tính thể tích
của khối chóp .
4 || Bốn || bốn
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
.
Suy ra
Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
Ta có: có tập xác định
=> Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng 11 điểm cực trị?

Hàm số đạt cực trị tại
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình
cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> . Kết hợp với điều kiện
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Số dân số của một thị trấn sau
năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức
(
được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số
biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là
nghìn người/ năm?
Ta có
Lại có
Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là nghìn người/ năm.
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là
. Sai||Đúng
b) Đạo hàm của hàm số là
. Đúng||Sai
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên
là 2. Sai||Đúng
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
là
. Đúng||Sai
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là . Sai||Đúng
b) Đạo hàm của hàm số là . Đúng||Sai
c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên là 2. Sai||Đúng
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là
. Đúng||Sai
Tập xác định của hàm số là .
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ta có:
Khi đó
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Tập xác định
Phương trình
Do đó không tồn tại các giới hạn . Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 1,
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối lăng trụ.

Hình thoi có
, suy ra
. Do đó tam giác
và
là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hàm số
có bảng xét dấu của đạo hàm
như sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số có bốn điểm cực trị.
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Cho hàm số
có bảng biến thiên:

Số giá trị nguyên của
để đồ thị hàm số có
tiệm cận là:
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có hai tiệm cận đứng và các tiệm cận ngang
. Suy ra đồ thị có bốn tiệm cận khi
Do nên
Vậy có 7 giá trị của tham số thỏa mãn.
Tìm điều kiện của tham số
để hàm số
đồng biến trên từng khoảng xác định?
Tập xác định
Ta có: .
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Vậy giá trị cần tìm là .
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số
có nhiều nhất bao nhiêu tiệm cận đứng:
Điều kiện
Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
thì phải có nghiệm.
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là với
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

=> Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt
Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Cho hàm số
có đồ thị của hàm số
như hình vẽ:

Xác định khoảng đồng biến của hàm số
?
Ta có:
Với
Kết hợp với điều kiện ta có:
Với
Kết hợp với điều kiện ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và thỏa mãn
. Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Ta có:
.
Xét hàm số có
Bảng biến thiên
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
.
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm f’(x) như sau:

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực đại?
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm f’(x) ta thấy đạo hàm f’(x) đổi dấu từ dương sang âm 2 lần nên f(x) có 2 điểm cực đại.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
?
Ta có:
Ta có: .
Cho hình chóp
có tam giác
là tam giác vuông cân tại S,
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
bằng
. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là
Tam giác SBC vuông cân tại S nên
Vậy thể tích khối chóp
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tập xác định . Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Biết rằng đồ thị hàm số
có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng
. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số
thỏa mãn yêu cầu?
Biết rằng đồ thị hàm số có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng
. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số
thỏa mãn yêu cầu?
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Xét hàm số
Nên hàm số đồng biến trên
Phương trình có dạng
Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng .
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số điểm cực trị của hàm số
trên khoảng
?
Đặt
Từ bảng xét dấu của hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có hai cực trị trên khoảng
.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng
Cho hàm số
. Mệnh đề nào dưới dây là đúng?
Tập xác định của hàm số
Ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)
Cho hàm số
xác định trên
và có đạo hàm
trong đó
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vì nên
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
?
Ta có:
. Khi đó:
Vậy .
Hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
.
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là hình vuông cạnh
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho theo
, biết
.

Do là lăng trụ đứng nên
.
Xét tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình vuông là
.
Vậy
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận đứng:
Cho hàm số
có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Ta có:
. Khi đó ta có bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên khoảng
.