Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên
?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên
?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng
khi và chỉ khi:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định
Ta có:
Xét dấu ta có:
Vậy hàm số có 1 cực trị.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 1,
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích
của khối lăng trụ.

Hình thoi có
, suy ra
. Do đó tam giác
và
là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
.
Diện tích hình thoi .
Vậy .
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm . Gọi P là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là P = f(-3)
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Xác định hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Từ đồ thị hàm số ta có:
Khi đó .
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số
trên tập
. Tính giá trị H của m.M
Tập xác định của hàm số y là:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta được:
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.
Tìm hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định?
Xét hàm số
Tập xác định . Ta có:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Hàm số
có đạo hàm
, với
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có:
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số
có đúng một cực trị.
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Đồ thị hàm số
có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra đường thẳng là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Trong tam giác vuông , có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình
là
Kí hiệu bảng biến thiên như sau:
Ta có:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng
tại 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Tính thể tích
của khối lập phương
, biết
.

Đặt cạnh của khối lập phương là
Suy ra .
Tam giác vuông , có
Vậy thể tích khối lập phương .
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên.

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là bao nhiêu?
Đáp án: 6
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là bao nhiêu?
Đáp án: 6
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
(1) có nghiệm (nghiệm đơn) và
(nghiệm kép)
(2) có nghiệm ba nghiệm đơn với
Hàm số
có tập xác định
+) Tìm tiệm cận ngang:
Vì
Nên Đồ thị hàm số
nhận đường thẳng
làm TCN.
+) Tìm tiệm cận đứng:
Tại các điểm mẫu của
nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.
Và do hàm số xác định trên nên giới hạn một bên của hàm số
tại các điểm
là các giới hạn vô cực.
Do đó, đồ thị hàm số có 5 TCĐ:
và
.
Vậy ĐTHS có 6 đường tiệm cận: 1
và
TCĐ
.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Theo yêu cầu bài toán:
Vậy đáp án cần tìm là .
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên tập số thực?
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
Vì
Vậy số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Một bể bơi chứa
lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau
phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là
. Sai||Đúng
c) Xem
là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi
ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Một bể bơi chứa lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là . Sai||Đúng
c) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Sau t phút, khối lượng muối trong bể là (gam)
Thể tích của lượng nước trong bể là (lít).
Vậy nồng độ muối sau phút là:
(gam/lít).
Ta có
Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
:
Ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).
Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.
a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó. (I)
; (II)
; (III)
(I) Tập xác định
=> (I) không thỏa mãn
(II) Tập xác định
Bảng xét dấu

=> (II) thỏa mãn
(III) Tập xác định
=> Hàm số nghịch biến trên tập số thực
=> (III) không thỏa mãn
Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
là:

Ta có:
Do

Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đạo hàm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai
Cho hàm số xác định trên tập số thực và có đạo hàm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng . Đúng||Sai
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng
d) Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Đúng||Sai
Ta có:
Bảng biến thiên:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nên nghịch biến trên
.
c) Hàm số có đúng một điểm cực trị.
d) Hàm số có đúng một điểm cực tiểu .
Cho hàm số
liên tục trên
và có đạo hàm
với mọi
. Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Cho hàm số liên tục trên
và có đạo hàm
với mọi
. Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Số tiệm cận của hàm số
là:
Tập xác định:
Khi đó
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
Mặt khác
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Tìm giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng
?
Tập xác định
Ta có: . Để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì
có hai nghiệm phân biệt
Khi đó
Giả sử hai điểm cực trị là
Ta có:
Vậy giá trị cần tìm là .
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Quan sát đồ thị ta thấy
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
, biết
có đồ thị như hình vẽ:

Điểm cực đại của hàm số
đã cho là:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra điểm cực đại của hàm số là
.
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
?
Xét phương trình x + 1 = 0 => x = -1
Và => x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Cho hình chóp
có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
. Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp
.

Diện tích tam giác vuông
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho hàm số
. Biết hàm số nghịch biến trên đoạn
. Tính
.
Đáp án: 5
Cho hàm số . Biết hàm số nghịch biến trên đoạn
. Tính
.
Đáp án: 5
Tập xác định: .
Ta có: .
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số nghịch biến trên .
Khi đó: .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
Ta có: nên
là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có:
Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.
Cho hình vẽ:

Đồ thị được cho trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
Từ đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số
Mặt khác hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu
nên hàm số cần tìm là
.
Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?
Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.
Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.
Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông
Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.
Số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
thuộc khoảng
là:
Xét hàm số trên
ta có:
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.