Lớp 12 Toán 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi giữa HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

    Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a > 0

    Vậy hàm số cần tìm là y = x^{3} - 3x + 1.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.

     Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.

    Tập xác định D = \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {0; + \infty } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m - \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = 1 - m \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{m + \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = m + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì m + 1 e 1 - m \Leftrightarrow m e 0

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ khi m < 1}}} \\ { - \infty {\text{ khi m > 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy khi m e 0;m e 1 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1

    Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì 1.2\left| m ight| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a \sqrt 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.

     

    Theo giả thiết, ta có SH = a\sqrt 3.

    Diện tích tứ giác:

    {S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMN}} - {S_{\Delta BMC}}

    = A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BM.BC = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}

    Vậy  {V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho các hình sau:Tìm hình không phải đa diện

    Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt S_0,S_1,...\;,S_n sao cho S0 trùng với S, Sn trùng với S’ và bất kì hai mặt S_i,\;S_{i+1} nào (0\leq i\leq n-1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 7: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 9 ight), với \forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 9 ight) = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)\left( x + \sqrt{3} ight)^{2}\left( x - \sqrt{3} ight)^{2}\left( x^{2} + 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - \sqrt{3} \\ x = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) có đúng một cực trị.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = m và y = - x^{3} + 6x^{2} tại ba điểm phân biệt?

    Ta có: y = - x^{3} + 6x^{2} \Rightarrow y' = - 3x^{2} + 12x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Để đường thẳng y = - x^{3} + 6x^{2} và y = m tại ba điểm phân biệt thì 0 < m < 32.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + 1}}\left( C ight) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Tính giá trị của biểu thức M

    Biết (C) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B thỏa mãn {S_{OAB}} = 4. Tính giá trị của biểu thức M = ab + 2c?

    Do đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2

    => Hàm số có dạng y = \frac{{2x + b}}{{x + 1}}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( C ight) \cap Ox = A\left( {\frac{{ - b}}{2};0} ight)} \\ {\left( C ight) \cap Oy = B\left( {0;b} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{{{b^2}}}{2} = 4 \Rightarrow b = \pm 4

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{{2 - b}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} < 0 \Rightarrow b = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2} \\ {b = 4} \\ {c = 1} \end{array} \Rightarrow M = ab + 2c = 10} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Ta có: y' = - x^{2} - 4x + m

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 4brack

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - \infty; - 4brack.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \left\lbrack f\left( x^{2}+ 2x ight) ightbrack' có đồ thị như hình vẽ:

    Tổng các giá trị nguyên của tham số m \in\lbrack - 10;10brack để hàm số y= g(x) = f\left( |x - 2| + m ight) có 5 điểm cực trị bằng:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \left\lbrack f\left( x^{2}+ 2x ight) ightbrack' có đồ thị như hình vẽ:

    Tổng các giá trị nguyên của tham số m \in\lbrack - 10;10brack để hàm số y= g(x) = f\left( |x - 2| + m ight) có 5 điểm cực trị bằng:

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} + 5 có hai điểm cực trị M;N. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 5 \\ x = 2 \Rightarrow y = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Nhận thấy phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M(0;5),N(2;9)

    \Rightarrow MN = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: f'(x) > 0, \forall x \in (0;1).

    Suy ra, hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0;1).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f} có đồ thị (C) như hình vẽ:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên (−∞; −1). Sai||Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

    c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (−∞; −1) là \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    d) Điểm cực tiểu của hàm số là x = −2. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f} có đồ thị (C) như hình vẽ:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên (−∞; −1). Sai||Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

    c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (−∞; −1) là \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    d) Điểm cực tiểu của hàm số là x = −2. Đúng||Sai

    a) Sai. Hàm số đồng biến trên (−2; −1), (−1; 0) và nghịch biến trên (−∞; −2), (0; +∞).

    b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2.

    c) Đúng.

    d) Đúng.

  • Câu 15: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack và có bảng biến thiên như sau.

    Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên \lbrack - 1;3brack. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) m = f(2) Sai|| Đúng

    b) M = f(4) Sai|| Đúng

    c) m = f( - 1) Đúng||Sai

    d) M = f(0) Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack và có bảng biến thiên như sau.

    Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số trên \lbrack - 1;3brack. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) m = f(2) Sai|| Đúng

    b) M = f(4) Sai|| Đúng

    c) m = f( - 1) Đúng||Sai

    d) M = f(0) Đúng||Sai

    Dựa vào bảng biến thiên trên \lbrack - 1;3brack ta có:

    m = f( - 1) = 0

    M = f(0) = 5

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.

    Nhận thấy {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2

    => f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số

    Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.

     

  • Câu 17: Thông hiểu

    Gọi m,n lần lượt là số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D = (0;2brack\backslash\left\{ 1 ight\}

    Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}} = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}} = - \infty ta có x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{2 - x}}{(x - 1)\sqrt{x}} = - \infty ta có: x = 0 là tiệm cận đứng.

    Vậy m = 0;n = 2.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = x^{3} - x^{2} - 8x trên đoạn \lbrack 1;3brack?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 2x - 8

    \Leftrightarrow y' = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \\x = - \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 8 \\ f(2) = - 12 \\ f(33) = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{5}{x - 1} là đường thẳng có phương trình là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{5}{x - 1} = 0

    Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{5}{x - 1} là đường thẳng có phương trình y = 0.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

     Hàm số y = x – sinx có tập các định D = \mathbb{R} và y' = 1 - \cos x \geqslant 0, \vee x \in \mathbb{R}

    Nên hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác y = f\left( x ight) = \sin x + \cos x + \sin x.\cos x trên đoạn

    \left[ {0,\pi } ight]

    Đặt t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight)

    Vì x \in \left[ {0,\pi } ight] \Rightarrow t \in \left[ { - 1,\sqrt 2 } ight]

    Ta có:

    \begin{matrix} {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} ight)^2} \hfill \\ = {\sin ^2}x + co{x^2}x + 2\sin x.\cos x \hfill \\ = 1 + 2\sin x.\cos x \hfill \\ \Rightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} f\left( x ight) = g\left( t ight) = t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = \dfrac{{{t^2}}}{2} + t - \dfrac{1}{2} \hfill \\ g'\left( t ight) = t + 1,g'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \hfill \\ g\left( { - 1} ight) = - 1,g\left( {\sqrt 2 } ight) = \sqrt 2 + \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \mathop { \Rightarrow \max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = \sqrt 2 + \frac{1}{2},\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0,\pi } ight]} = - 1

     

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho các hình sau: Tìm hình đa diện

    Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

    Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

    “Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

    TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

    TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

    TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt {S_0},{S_1},...\,\,,{S_n} sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt {S_i},{S_{i + 1}} nào (0 \le i \le n - 1) cũng đều có một cạnh chung.

    Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số y = f'(x):

    Hàm số g(x) = f\left( x - x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng:

    Ta có:

    g'(x) = f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f'\left( x - x^{2} ight) = 0 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - x^{2} = 1 \\ x - x^{2} = 2 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

    Với x = 0 ta có: g'(0) = f'\left( 0 - 0^{2} ight).(1 - 2.0) = 2 > 0 ta có bảng xét dấu của g'(x) như sau:

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight).

  • Câu 24: Nhận biết

    Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

     Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

  • Câu 25: Thông hiểu

    Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = - 2x^{3} + 3x^{2} + m trên đoạn \lbrack 0;2brack bằng 5. Tìm giá trị của tham số m?

    Ta có: y' = - 6x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 5 \Leftrightarrow f(1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 26: Thông hiểu

    Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên

     Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

  • Câu 28: Vận dụng

    Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:

    Gọi bát diện đều là ABCDEF

    Hình bát diện đều

    Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) liên tục, có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(3 - x) nghịch biến trên khoảng (2;b). Giá trị lớn nhất của b bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x) liên tục, có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(3 - x) nghịch biến trên khoảng (2;b). Giá trị lớn nhất của b bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hàm số y = f( - x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

    \Leftrightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2

    Xét hàm số y = f( - x) ta có: y' = - f'( - x)

    y' < 0 \Leftrightarrow - f'( - x) < 0 \Leftrightarrow f'( - x) > 0

    \Leftrightarrow 0 < - x < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 0

    Suy ra hàm số y = f( - x) nghịch biến trên khoảng ( - 2;0).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} - mx^{2} + (4m + 9)x + 5. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 2mx + 4m + 9

    Hàm số đã cho nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m^{2} + 12m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack - 9; - 3brack

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 9; - 8;...; - 3 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x^{4} - 5(m - 3)x^{2} + 3m^{2} - 4 đạt cực tiểu tại x = 0 là:

    Ta có: y' = 4x^{3} - 10(m - 3)x

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x^{2} = \dfrac{10(m - 3)}{4} \\\end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > 3. Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực đại nên trường hợp này không thỏa mãn.

    Trường hợp 2: m - 3 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 3 ta có bảng xét dấu như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu. Vậy m \leq 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f\left( x ight) = \left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight)\left( {x + 4} ight) + 2019 là:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Biến đổi f(x) như sau:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight)\left( {x + 4} ight) + 2019 \hfill \\ f\left( x ight) = \left( {{x^2} + 5x + 4} ight)\left( {{x^2} + 5x + 6} ight) + 2019 \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt t = {x^2} + 5x + 4 \Rightarrow t = {\left( {x + \frac{5}{2}} ight)^2} - \frac{9}{4} \geqslant - \frac{9}{4};\forall x \in \mathbb{R}

    Hàm số đã cho trở thành

    f\left( y ight) = {t^2} + 2t + 2019 = {\left( {t + 1} ight)^2} + 2018 \geqslant 2018,\forall t \geqslant - \frac{9}{4}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2018 tại t = - 1

  • Câu 36: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2} nhỏ hơn 2?

    Ta có: y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y

    \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1

    Phương trình có nghiệm khi

    m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1

    \Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0

    Xét phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 có \Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m

    Suy ra phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

    \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    Suy ra \max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}. Theo yêu cầu bài toán ta có:

    \max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2

    \Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}

    Mà m\mathbb{\in Z} suy ra m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 37: Nhận biết

    Xác định hàm số đồng biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = x^{3} + 3x ta có:

    y' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra hàm số y = x^{3} + 3x đồng biến trên ( - \infty; + \infty).

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a?

     

    Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty; - 2brack và \lbrack 2; + \infty) và có bảng biến thiên như sau:

    Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt?

    Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = f(x)

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, dựa vào bảng biến thiên ta thấy \left\lbrack \begin{matrix} \frac{7}{4} < m \leq 2 \\ m \geq 22 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tập hợp các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left( \frac{7}{4};2 ightbrack \cup \lbrack 22; + \infty).

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, \widehat {BAD} = {120^0} . Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng \left( {ADD'A'} ight) bằng 30^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

    Hình thoi ABCD có \widehat {BAD} = {120^0}, suy ra \widehat {ADC} = {60^0}. Do đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên  \left\{ \begin{gathered} {C'N \bot A'B'} \hfill \\ C'N = \frac{{\sqrt {3} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra {30^0} = \widehat {AC',\left( {ADD'A'} ight)} = \widehat {AC',AN} = \widehat {C'AN}.

    Tam giác vuông C'NA, có AN = \frac{{C'N}}{{\tan \widehat {C'AN}}} = \frac{3}{2}

    Tam giác vuông AA'N, có AA' = \sqrt {A{N^2} - A'{N^2}} = \sqrt 2.

    Diện tích hình thoi {S_{ABCD}} = A{B^2}.\sin \widehat {BAD} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2}{- x + 3}?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2}{- x + 3} = 0

    Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{2}{- x + 3} là đường thẳng có phương trình y = 0.

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,20{\text{c}}{{\text{m}}^2},\,\,32{\text{c}}{{\text{m}}^2}. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.

     

    Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

    Theo bài ra, ta có \left\{ \begin{gathered} {S_{ABCD}} = 10\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{2}}} \hfill \\ {S_{ABB'A'}} = 20\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ {S_{ADD'A'}} = 30\,{\text{c}}{{\text{m}}^2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} AB.AD = 10 \hfill \\ AB.AA' = 20 \hfill \\ AA'.AD = 32 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Nhân vế theo vế, ta được {\left( {AA'.AB.AD} ight)^2} = 6400 \Rightarrow AA'.AB.AD = 80.

    Vậy  {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = 80\,{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu của f'(x) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Hàm số g(x) = f\left( |x| ight) +2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Hàm số g(x) = f\left( |x| ight) +2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 45: Nhận biết

    Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?

     

    Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 34 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập