Điểm cực đại của đồ thị hàm số
là điểm
Tập xác định:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là .
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
là điểm
Tập xác định:
Ta có:
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là .
Cho các hình sau: 
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:
“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:
TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.
TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt
nào
cũng đều có một cạnh chung.
Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saì?
Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có:
- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là
. Tính thể tích
của hình hộp chữ nhật đã cho.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy
là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được
Vậy .
Cho hàm số
(với
là tham số) đạt cực tiểu tại
. Tìm giá trị tham số
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại suy ra
Với
. Khi đó
suy ra
là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy là giá trị cần tìm.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Xét
Ta có bảng xét dấu:
Vậy đáp án cần tìm là .
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Có bao nhiêu số nguyên của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
?
Ta có: . Để hàm số
đạt cực tiểu tại
:
Vậy có suy nhất một giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số
có
điểm cực trị?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số
có
điểm cực trị?
Cho tứ diện
có thể tích
. Gọi
là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện
. Tính tỉ số
.

Gọi là trung điểm AC; E và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD.
Trong tam giác MBD có .
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng cạnh của tứ diện ban đầu.
Do đó .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng:
Tập xác định nên hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Mà
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều:

Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh
Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hàm số ![]()
Ta có: có hai nghiệm phân biệt là -2 và 3
=> f’(x) < 0 =>
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)
Cho hàm số
.
a) Tập xác định của hàm số là
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
khi
,
khi
. Sai||Đúng
d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.
Đúng||Sai
Cho hàm số .
a) Tập xác định của hàm số là . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) khi
,
khi
. Sai||Đúng
d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.
Đúng||Sai
Tập xác định: .
Sự biến thiên
Giới hạn tại vô cực: .
và
hoặc
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
, nghịch biến trên khoảng
.
Hàm số đạt cực đại tại ; hàm số đạt cực tiểu tại
.
Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với trục tung: .
Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại hoặc
. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại ba điểm
và
.
Vậy đồ thị hàm số được cho ở hình vẽ.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Suy ra hàm số có một điểm cực đại.
Số các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
thuộc khoảng
là:
Xét hàm số trên
ta có:
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Trong hệ trục toạ độ
, cho đồ thị hàm số
với
mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm
, biết hoành độ điểm
thuộc đồ thị
mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là
(loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức
?
Trong hệ trục toạ độ , cho đồ thị hàm số
với
mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm
, biết hoành độ điểm
thuộc đồ thị
mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là
(loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào đồ thị dễ dàng thấy hàm số đồng biến trên .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Do đó hàm số nghịch biến trên
.
Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh
kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ
được xác định bởi công thức:
(tấn) với
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh
ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai
b) Ngày thứ 30 của tỉnh
có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng
c) Ngày thứ 1 của tỉnh
có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng
d) Ngày thứ 60 của tỉnh
có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.
Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ
được xác định bởi công thức:
(tấn) với
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai
b) Ngày thứ 30 của tỉnh có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng
c) Ngày thứ 1 của tỉnh có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng
d) Ngày thứ 60 của tỉnh có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.
a) Đúng.
b) Sai.
Ta có
Bảng biến thiên:

Vậy ngày thứ 18 của tỉnh có lượng gạo xuất khẩu cao nhất là 265060.
c) Sai. Ta có ngày thứ 60 tinh có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.
d) Đúng. Ta có ngày thứ 60 tỉnh có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Điều kiện xác định
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
với
là tham số. Điều kiện cần và đủ của tham số
để hàm số nghịch biến trên khoảng
là:
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Xét hàm số trên khoảng
ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy để hàm số nghịch biến trên thì
.
Cho khối lăng trụ đứng
có
, đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác vuông cân tại
,
suy ra
Vậy thể tích khối lăng trụ
Đồ thị hàm số
có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
Ta có: => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2
Ta có: => y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện?
Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:
a) Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh. Có 4 mặt phẳng thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh)

Nhận xét. Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại.
b) Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của cạnh ( cạnh này thuộc cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau). Có mặt phẳng như thế.

Nhận xét. Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x + 5 trên đoạn [0; 2] là:
Xét hàm số f(x) = x3 – 3x + 5 trên [0; 2] có:
f’(x) = 3x3 – 3
f’(x) = 0 =>
Tính được f(0) = 5; f(1) = 3; f(2) = 7
Vậy
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.
Xét hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m trên đoạn [-1; 1] ta có:
f’(x) = -3x2 – 6x
f’(x) = 0 =>
Ta tính được
Cho hàm số
xác định trên
liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Từ bảng biến thiên ta thấy:
suy ra
là tiệm cận đứng.
suy ra
là tiệm cận ngang
suy ra
là tiệm cận ngang
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả ba đường tiệm cận.
Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
?
Tập xác định
Vì nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận đứng.
Vì nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang.
Vì nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang.
vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận bằng 3.
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị hàm số
như sau:

Xét hàm số
và các mệnh đề sau:
(i) Hàm số
có ba điểm cực trị.
(ii) Hàm số
đạt cực tiểu tại
.
(iii) Hàm số
đạt cực đại tại
.
(iv) Hàm số
đồng biến trên khoảng
.
(v) Hàm số
nghịch biến trên khoảng
.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
Ta có:
Từ đồ thị ta nhận thấy là nghiệm kép nên ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số ta thấy hàm số có 3 cực trị và đồng biến trên khoảng
.
Vậy có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như hình vẽ?

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên
nên chọn
.
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số
là hàm số nào dưới đây?
Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương nên loại hàm số
Hàm số có 3 cực trị nên nên loại hàm số
.
Vì nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f(-1) < 20

Đồ thị hàm số
(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi:
Điều kiện
Từ đồ thị hàm số f’(x) ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là:

Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận
Nếu thì
=> y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f(-1) < 20
=> Đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a
=> f(3) < m < f(-1)
Cho hàm số
. Giả sử
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
. Xác định tổng tất cả các phần tử của tập hợp
?
Cho hàm số . Giả sử
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
. Xác định tổng tất cả các phần tử của tập hợp
?
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
không có cực trị. Số phần tử của S là:
Xét hàm số ta có:
Hàm số đã cho không có cực trị
=> Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
=>
Do m là số nguyên nên
Vậy tập S có 4 phần tử.
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
là:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hình chóp tam giác đều
. Mặt bên
là tam giác gì?
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận?
Ta có: suy ra
là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.
có hai nghiệm phân biệt khác
Mà nên không tồn tại giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.