Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 6

Câu 1: Nhận biết

Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$( - \infty; - 1).$
B.
$( - 1; + \infty).$
C.
$( - 1;2).$
D.
$(2; + \infty).$

Hàm số đã cho đồng biến trên $( - 1;2).$

Câu 2: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng bao nhiêu?

A.
$3.$
B.
$- 2.$
C.
$4.$
D.
$- 3.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng $- 3$ .

Câu 3: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận?

A.
$0.$
B.
$3.$
C.
$1.$
D.
$2.$

Đồ thị của hàm số đã cho có $2$ đường tiệm cận.

Câu 4: Thông hiểu

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Tần số	13	45	24	12	6

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần với giá trị nào sau đây nhất?

A.
$0.22.$
B.
$0.24$
C.
$0.26$
D.
$0.28$

Ta có:

Cự li (m)	[19; 19,5)	[19,5; 20)	[20; 20,5)	[20,5; 21)	[21; 21,5)
Giá trị đại diện	19,25	19,75	20,25	20,75	21,25
Tần số	13	45	24	12	6

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{1}{100}\lbrack 13.19,25 + 45.19,75$

$+ 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25) = 20,015$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{100}\lbrack 13.(19,25)^{2} + 45.(19,25)^{2}$

$+ 24.(19,25)^{2} + 12.(19,25)^{2} + 6.(19,25)^{2}brack - (20,015)^{2} \approx 0,277$

Câu 5: Nhận biết

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình sau:

A.
$y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .
B.
$y = - x^{3} + 3x + 1$ .
C.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ .
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = - x^{3} + 3x + 1$ thỏa mãn bài toán.

Câu 6: Nhận biết

Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:

Nhóm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)
Tần số	3	7	2	9

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A.
$60$ .
B.
$50$ .
C.
$40$ .
D.
$70$ .

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 40 – 0 = 40.

Câu 7: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .

A.
$(2;0;0)$ .
B.
$(1;0;0)$ .
C.
$(3;0;0)$ .
D.
$(0;2;3)$ .

Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$

Câu 8: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.

A.
$(1; - 1;2)$ .
B.
$(1;1; - 2)$ .
C.
$(1;1;2)$ .
D.
$(1; - 2;1)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$

Câu 9: Nhận biết

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + 2$ trên đoạn $\lbrack - 3;2brack$ bằng

A.
$20$
B.
$0$ .
C.
$4$ .
D.
$- 16$

Ta có:

$f'(x) = 3x^{2} - 3$ ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\left\{ \begin{matrix} f( - 3) = - 16 \\ f( - 1) = 4 \\ f(1) = 0 \\ f(3) = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack - 3;3brack}f(x) = - 16$ .

Câu 10: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.

A.
$(2;0; - 1)$ .
B.
$(4;0; - 2)$ .
C.
$(1; - 2;2)$ .
D.
$(2; - 4;4)$ .

Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$

Câu 11: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với vận tốc được cho bởi công thức $v(t) = - t^{2} + 4t + 2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất?

A.
$t = 2$ .
B.
$t = 0$ .
C.
$t = 6$ .
D.
$t = 1$ .

Ta có: $v(t) = - t^{2} + 4t + 2$ với $t > 0$ .

$v'(t) = - 2t + 4$

$v'(t) = 0 \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, tại thời điểm $t = 2$ giây thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất.

Câu 12: Thông hiểu

Số dân số của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ ( $f(t)$ được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/ năm?

A.
$1990$ .
B.
$2020$ .
C.
$1995$ .
D.
$2024$ .

Ta có $f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}},t \geqslant 0$

Lại có

$f'(t) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}} = \frac{2}{{15}}$

$\Leftrightarrow (t + 5)^{2} = 900 \Leftrightarrow t = 25\ do\ t \geq 0)$

Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/ năm.

Câu 13: Thông hiểu

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t) = - t^{3} + 27t^{2} + 262144$ (tấn) với $1 \leq t \leq 60;t \in\mathbb{N}^{*}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai

b) Ngày thứ 30 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng

c) Ngày thứ 1 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng

d) Ngày thứ 60 của tỉnh $A$ có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.

Đáp án là:

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t) = - t^{3} + 27t^{2} + 262144$ (tấn) với $1 \leq t \leq 60;t \in\mathbb{N}^{*}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12 là 264304 (tấn).Đúng||Sai

b) Ngày thứ 30 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Sai||Đúng

c) Ngày thứ 1 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Sai||Đúng

d) Ngày thứ 60 của tỉnh $A$ có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344 . Đúng|||Sai.

a) Đúng. $s(20)=264304$

b) Sai.

Ta có $s^{'}(t) = - 3t^{2} +54t;s^{'}(t) = 0 \Leftrightarrow - 3t^{2} + 54t = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}t = 0 \\t = 18 \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Vậy ngày thứ 18 của tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu cao nhất là 265060.

c) Sai. Ta có ngày thứ 60 tinh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.

d) Đúng. Ta có ngày thứ 60 tỉnh $A$ có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất là 143344.

Câu 14: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ . Đúng||Sai

c) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = 45^{\circ}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ . Đúng||Sai

c) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = 45^{\circ}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .

b) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .

c) Vì $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AD}$ nên $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$ .

d) Tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $AC = \sqrt{AD^{2} + DC^{2}} = \sqrt{2}a$ .

Ta có

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left| \overrightarrow{B'C'} ight|.cos\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight)$

$= \sqrt{2}a.a.cos45^{0} = a^{2}$ .

Câu 15: Vận dụng cao

Bạn T thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:

Chiều cao (cm)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
Số học sinh nữ lớp 12C	2	7	12	3	1	1
Số học sinh nữ lớp 12D	5	9	8	2	2	0

Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Giá trị đại điện của nhóm $\left\lbrack \mathbf{165;}\mathbf{\ }\mathbf{170} ight)$ là $167,5$ . Đúng||Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là 30. Sai||Đúng

c) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn học sinh nữ lớp 12D. Đúng||Sai

d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12D có chiều cao trung bình đồng đều hơn. Sai||Đúng

Đáp án là:

Bạn T thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:

Chiều cao (cm)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
Số học sinh nữ lớp 12C	2	7	12	3	1	1
Số học sinh nữ lớp 12D	5	9	8	2	2	0

Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Giá trị đại điện của nhóm $\left\lbrack \mathbf{165;}\mathbf{\ }\mathbf{170} ight)$ là $167,5$ . Đúng||Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là 30. Sai||Đúng

c) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn học sinh nữ lớp 12D. Đúng||Sai

d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12D có chiều cao trung bình đồng đều hơn. Sai||Đúng

a) Giá trị đại điện của nhóm $\left\lbrack{165;}{170} ight)$ là $\frac{165 + 170}{2} = 167,5$ .

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là $180 - 155 = 25$ .

c) Xét mẫu số liệu của lớp 12C:

Cỡ mẫu $n_{C} = 2 + 7 + 12 + 3 + 1 + 1 = 26.$

Gọi $x_{1}\ ;\ ...\ ;\ x_{26}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

$x_{1}\ ;\ x_{2} \in \lbrack 155\ ;\ 160)$

$x_{3}\ ;\ ...\ ;\ x_{9} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ ,

$x_{10}\ ;\ ...\ ;\ x_{21} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ ,

$x_{22}\ ;\ x_{23}\ ;x_{24} \in \lbrack 170\ ;\ 175)$ ,

$x_{25} \in \lbrack 175\ ;\ 180)$ ,

$x_{26} \in \lbrack 180\ ;\ 185)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{7} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{1} = 160 + \frac{\frac{26}{4} - 2}{7}(165 - 160) \approx 163,214.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{20} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3} = 165 + \frac{\frac{3.26}{4} - (2 + 7)}{12}(170 - 165) = 169,375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta_{C} = Q_{3} - Q_{1} \approx 169,375 - 163,214 \approx 6,161$ .

Xét mẫu số liệu của lớp 12D:

Cỡ mẫu $n_{D} = 5 + 9 + 8 + 2 + 2 + 0 = 26.$

Gọi $x_{1}\ ;\ ...\ ;\ x_{26}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$x_{1}\ ;\ ...\ ;x_{5} \in \lbrack 155\ ;\ 160)$ ,

$x_{6}\ ;\ ...\ ;\ x_{14} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ ,

$x_{15}\ ;\ ...\ ;\ x_{22} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ ,

$x_{23}\ ;\ x_{24} \in \lbrack 170\ ;\ 175)$ ,

$x_{25}\ ;\ x_{26} \in \lbrack 175\ ;\ 180)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{7} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q'}_{1} = 160 + \frac{\frac{26}{4} - 5}{9}(165 - 160) \approx 160,833.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{20} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q'}_{3} = 165 + \frac{\frac{3.26}{4} - (5 + 9)}{8}(170 - 165) = 168,4375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta_{D} = {Q'}_{3} - {Q'}_{1} \approx 168,4375 - 160,833 \approx 7,6045$ .

Vì $\Delta_{C} < \Delta_{D}$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn học sinh nữ lớp 12D.

d) Ta có bảng giá trị đại diện của nhóm:

Chiều cao (cm)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
Giá trị đại diện	157,5	162,5	167,5	172,5	177,5	182,5
Số học sinh nữ lớp 12C	2	7	12	3	1	1
Số học sinh nữ lớp 12D	5	9	8	2	2	0

Xét mẫu số liệu của lớp 12C:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_{C} = \frac{2.157,5 + 7.162,5 + 12.167,5 + 3.172,5 + 1.177,5 + 1.182,5}{26} = \frac{2170}{13}$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_{C}^{2} = \frac{1}{26}\lbrack 2.(157,5)^{2} + 7.(162,5)^{2} + 12.(167,5)^{2}$

$+ 3.(172,5)^{2} + 1.(177,5)^{2} + 1.(182,5)^{2}brack - \left( \frac{2170}{13} ight)^{2} \approx 29,475$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_{C} = \sqrt{S_{C}^{2}} = \sqrt{29,475} \approx 5,429$ .

Xét mẫu số liệu của lớp 12D:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_{D} = \frac{5.157,5 + 9.162,5 + 8.167,5 + 2.172,5 + 2.177,5 + 0.182,5}{26} = 165$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_{D}^{2} = \frac{1}{26}\lbrack 5.(157,5)^{2} + 9.(162,5)^{2} + 8.(167,5)^{2}$

$+ 2.(172,5)^{2} + 2.(177,5)^{2} + 0.(182,5)^{2}brack - (165)^{2} = 31,25$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_{D} = \sqrt{S_{D}^{2}} = \sqrt{31,25} \approx 5,59$ .

Vì $S_{C} < S_{D}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn.

Câu 16: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9$ trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2$ . Sai||Đúng

b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là $45\ m/s.$ Đúng||Sai

c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $45\ m/s.$ Sai||Đúng

d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3\ \ (s).$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9$ trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2$ . Sai||Đúng

b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là $45\ m/s.$ Đúng||Sai

c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $45\ m/s.$ Sai||Đúng

d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3\ \ (s).$ Đúng||Sai

a) $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21$ nên a sai.

b) Ta có: $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 2\overset{}{ightarrow}v(2) = 45\ m/s.$ nên b) đúng

c) Ta có: $a(t) = v'(t) = - 6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3\overset{}{ightarrow}v(3) = 48\ m/s.$ nên c) sai

Vận tốc $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21 = - 3(t - 3)^{2} + 48 \leq 48$ .

Vậy $\max v(t) = 48$ khi $t = 3$ .

Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t = 3\ \ (s).$ nên d) đúng.

Câu 17: Thông hiểu

Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12A được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số học sinh	9	17	8	6

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 7,2

Đáp án là:

Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12A được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số học sinh	9	17	8	6

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 7,2

Cỡ mẫu là $n = 9 + 17 + 8 + 6 = 40$ . Gọi $x_{1},\ \ x_{2},\ \ ...,\ \ x_{40}$ là thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của 40 học sinh và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{10} + x_{11} ight)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\lbrack 30;35)$ và ta có: $Q_{1} = 30 + \frac{10 - 9}{17}.5 \approx 30,3$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{30} + x_{31} ight)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\lbrack 35;40)$ và ta có: $Q_{3} = 35 + \frac{30 - 26}{8}.5 = 37,5$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 7,2$ .

Câu 18: Thông hiểu

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Đáp án là:

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Ta có $P'(x) = - 3x^{2} + 48x + 780;\ \ P'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10 \\ x = 26\ \ \ \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên

Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

Câu 19: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Gọi $N(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MQ} = (400;200;2)$ .

$\overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z)$ .

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M$ đến $Q$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N$ đến $Q$ nên $MQ = 4NQ$ .

Suy ra: $\overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow N(1300;750;15,5)$

Câu 20: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N

Câu 21: Vận dụng

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là $30\ cm$ . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là $x\ cm$ , sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.

Đáp án: 5

Đáp án là:

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là $30\ cm$ . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là $x\ cm$ , sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.

Đáp án: 5

Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là $x\ cm$ .

Kích thước đáy hai đáy của chiếc hộp là $(30 - 2x)\ cm$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 30 - 2x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x < 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < x < 15$ .

Thể tích chiếc hộp là $V(x) = x(30 - 2x)^{2} = 4x^{3} - 120x^{2} + 900x$ .

$V'(x) = 12x^{2} - 240x + 900$ .

$V'(x) = 0 \Leftrightarrow 12x^{2} - 240x + 900 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 5 \\ x = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Bài toán trở thành, tìm $x$ $(0 < x < 15)$ sao cho $V(x)$ là lớn nhất.

Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là $5\ cm$ để chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Câu 22: Vận dụng cao

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.