Đề thi HK1 Toán 12 Chân trời sáng tạo Đề 7

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức toán 12 Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\mathbf{(0;1)}$ .
- B.
  $\mathbf{(1;}\mathbf{+ \infty}\mathbf{)}$ .
- C.
  $\mathbf{(}\mathbf{- \infty}\mathbf{;1)}$ .
- D.
  $\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1;0)}$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $f'(x) > 0$ , $\forall x \in (0;1)$ .

Suy ra, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 3brack$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(2)$ .
- B.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f( - 1)$ .
- C.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(3)$ .
- D.
  $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = 5$ tại $x = 0$ .

Suy ra $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang bằng:
- A.
  $y = 1$ .
- B.
  $y = - 1$ .
- C.
  $x = - 1$ .
- D.
  $y = 0$ .
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = - 1$ .

Do đó, đồ thị hàm số $y = f(x)$ có đường tiệm cận ngang là $y = - 1$ .
Câu 4: Thông hiểu
Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ là hình nào trong 4 hình dưới đây?
- A.
  Hình 1.
- B.
  Hình 2.
- C.
  Hình 3.
- D.
  Hình 4.
Ta có: $y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3x^{2} - 3$

Khi đó $\mathbf{y' =}\mathbf{0}\mathbf{\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{x = -}\mathbf{1} \\ \mathbf{x =}\mathbf{1} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1)}\mathbf{=}\mathbf{4} \\ \mathbf{y}\mathbf{(1)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \end{matrix} ight.$ .

Do đó, chọn đáp án là: Hình 2
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp $ABCD\ .A'B'C'D'$ .
- A.
  $\overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\$ .
- B.
  $\overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\$ .
- D.
  $\overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'}$ .
Hình vẽ minh họa

Đáp án $\overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\$ đúng theo quy tắc hình hộp

Đáp án $\overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'}$ sai

Đáp án $\overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\$ đúng theo quy tắc hình hộp

Đáp án $\overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'}$ đúng theo quy tắc hình bình hành
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\ \overrightarrow{B'C}$ bằng
- A.
  $30{^\circ}$ .
- B.
  $45{^\circ}$ .
- C.
  $60{^\circ}$ .
- D.
  $90{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{BD}\ = \ \ \overrightarrow{B'D'}$ . Do đó,

$\left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ \left( \overrightarrow{B'D'}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \widehat{\ D'B'C}$

Vì $B'C\ = \ CD'\ = \ D'B'$ nên tam giác $B'CD'$ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{\ D'B'C}\ = \ 60{^\circ}$

Vậy $\left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ 60{^\circ}$
Câu 8: Nhận biết
Cho $A(1;\ \ 1;\ - 2)$ và $B(2;\ \ - 1;\ \ 0)$ . Hãy xác định tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;\ \ 2;\ \ - 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ \ 2;\ \ 2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (3;\ \ 0;\ \ - 2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trùng với gốc tọa độ $O$ . Các véc tơ $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với các véc tơ $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ và $OA = 3$ , $OS = 2$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{OM}$ là
- A.
  $(3 ; 1 ; 2)$ .
- B.
  $(2;0;1)$ .
- C.
  $(3;0; - 2)$ .
- D.
  $(1;0; - 2)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

Khi đó $\overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2)$ .

Vì $M$ là trung điểm của $SB$ nên ta có

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $M(1;1;1),\ N(2;3;4),\ P(7;7;5)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ để tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành
- A.
  $Q(6;5;2)$ .
- B.
  $Q( - 6; - 5; - 2)$ .
- C.
  $Q( - 2; - 3; - 4)$ .
- D.
  $Q( - 4; - 3;0)$ .
Minh họa bằng hình vẽ sau:

Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;2;3),\ \overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q} ight)$ .

$MNPQ$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = 7 - x_{Q} \\ 2 = 7 - y_{Q} \\ 3 = 5 - z_{Q} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{Q} = 6 \\ y_{Q} = 5 \\ z_{Q} = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $Q(6;5;2)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Bạn An rất thích chạy bộ. Thời gian chạy bộ mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn An được thống kê lại ở bảng sau:
Thời gian (phút)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
[35; 40)
[40; 45)
Số ngày
6
6
4
1
1
Hãy tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên.
- A.
  $9,225$ .
- B.
  $8,25$ .
- C.
  $9 , 25$ .
- D.
  $8,125$ .
Cỡ mẫu $n = 18$ .
Gọi $x_{1};x_{2};...;x_{18}$ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian của 18 ngày chạy bộ của bạn An được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_{1},...,x_{6} \in \lbrack20;25);\ \ x_{7},...,x_{12} \in \lbrack 25;30);$ $\ \ x_{13},...,x_{16} \in\lbrack 30;35);\ \ x_{17} \in \lbrack 35;40);\ \ x_{18} \in \lbrack40;45)$
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{5} \in \lbrack 20;25)$ .
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_{1} = 20 + \frac{\frac{18}{4} - 0}{6}\cdot (25 - 20) = 23,75$ .
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{14} \in \lbrack 30;35)$ .
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$Q_{3} = 30 + \frac{\frac{3 \cdot 18}{4} -(6 + 6)}{4} \cdot (35 - 30) = 31,875$ .
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_{Q}=31,875-23,75=8,125$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cân nặng (kg) của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:

Cân nặng (kg)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

Số cây giống

6

12

19

9

4

Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần mười).
- A.
  $4,7$ .
- B.
  $4,6$ .
- C.
  $4,9$ .
- D.
  $4,8$ .
Ta có giá trị đại diện được thể hiện trong bảng sau:

Cân nặng (kg)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

Giá trị đại diện

5

7

9

11

13

Số cây giống

6

12

19

9

4

Cỡ mẫu: $n = 50$ .

Số trung bình

$\overline{x} = \frac{m_{1}.x_{1} + m_{2}.x_{2} + ... + m_{k}.x_{k}}{n}$

$= \frac{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}{50} = 8,72$ .

Phương sai:

$s^{2} = \frac{1}{n}\left(m_{1}.{x_{1}}^{2} + m_{2}.{x_{2}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} ight)- \left( \overline{x} ight)^{2}$

$= \frac{1}{50}\left( 6.5^{2} +12.7^{2} + 19.9^{2} + 9.11^{2} + 4.13^{2} ight) - (8,72)^{2} =4,8016$ .
Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} + 2x^{2} - 3$ có đồ thị $(C)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hàm số có 2 điểm cực trị. Đúng||Sai

b) Giá trị cực đại của hàm số là $\frac{4}{3}$ . Sai||Đúng

c) $f\left( 10^{79} ight) < f\left( 10^{80} ight)$ . Sai||Đúng

d) Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\frac{4\sqrt{145}}{27}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 2x^{2} - 3$ có đồ thị $(C)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hàm số có 2 điểm cực trị. Đúng||Sai

b) Giá trị cực đại của hàm số là $\frac{4}{3}$ . Sai||Đúng

c) $f\left( 10^{79} ight) < f\left( 10^{80} ight)$ . Sai||Đúng

d) Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\frac{4\sqrt{145}}{27}$ . Đúng||Sai

a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.

Ta có $y = - x^{3} + 2x^{2} - 3$ $\Rightarrow$ $y' = - 3x^{2} + 4x$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

- Hàm số có 2 điểm cực trị nên a) đúng.

- Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CD} = - \frac{49}{27}$ nên b) sai.

- Hàm số nghịch biến trên $\left( \frac{4}{3}\ ;\ + \infty ight)$

$\Rightarrow f\left( 10^{79} ight) > f\left( 10^{80} ight)$ nên c) sai.

- Đồ thị có 2 điểm cực trị là $A(0\ ;\ -3)$ và $B\left( \frac{4}{3}\ ;\ - \frac{49}{27} ight)$

$\Rightarrow$ $AB = \sqrt{\left( \frac{4}{3} - 0 ight)^{2} + \left( - \frac{49}{27} + 3 ight)^{2}} = \frac{4\sqrt{145}}{27}$ nên d) đúng.
Câu 14: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0; - 2)$ , $B( - 2;3;4)$ , $,\ C(4; - 6;1)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ - 3\ ;\ - 6)$ . Sai||Đúng

c) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là điểm $B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0)$ . Đúng||Sai

d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(1; - 3;7)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0; - 2)$ , $B( - 2;3;4)$ , $,\ C(4; - 6;1)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ - 3\ ;\ - 6)$ . Sai||Đúng

c) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là điểm $B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0)$ . Đúng||Sai

d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(1; - 3;7)$ . Sai||Đúng

Ta có:

$A(1;0; - 2)$ $\Rightarrow \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k}$ $\Rightarrow$ a) sai.

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}\ ;\ y_{B} - y_{A}\ ;\ z_{B} - z_{A} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 3\ ;\ 3\ ;\ 6)$ $\Rightarrow$ b) sai.

c) đúng

d) Gọi $D(x;y;z)$ ,

$\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6)$ , $\overrightarrow{DC} = (4 - x; - 6 - y;1 - z)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - x = - 3 \\ - 6 - y = 3 \\ 1 - z = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 7 \\ y = - 9 \\ z = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow D(7\ ;\ - 9\ ;\ - 5)$ .

Vậy d) sai
Câu 15: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A( - 3;0;1),B(2; - 4;6),C(1;2; - 7)$ và hai vecto $\overrightarrow{u} = (3;0; - 1),\overrightarrow{v} = (3;5; - 7).$

a) Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng $15.$ Đúng||Sai

b) Trung điểm của đoạn $AC$ có tọa độ là $(1;1; - 4)$ . Sai||Đúng

c) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ là $(5; - 9; - 3)$ . Sai||Đúng

d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $O.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A( - 3;0;1),B(2; - 4;6),C(1;2; - 7)$ và hai vecto $\overrightarrow{u} = (3;0; - 1),\overrightarrow{v} = (3;5; - 7).$

a) Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng $15.$ Đúng||Sai

b) Trung điểm của đoạn $AC$ có tọa độ là $(1;1; - 4)$ . Sai||Đúng

c) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ là $(5; - 9; - 3)$ . Sai||Đúng

d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $O.$ Đúng||Sai

a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.

a) Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.3 + 0.5 + ( - 1).( - 7) = 15.$

b) Ta có trung điểm của đoạn $AC$ có tọa độ là $\left( \frac{( - 3) + 1}{2};\frac{0 + 2}{2};\frac{1 + ( - 7)}{2} ight) = ( - 1;1; - 3).$

c) Ta có

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (5; - 4;5). \\ \overrightarrow{u} = (3;0; - 1), \\ \overrightarrow{v} = (3;5; - 7). \\ \end{matrix}$

Suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (5; - 9;11).$

d) Ta có $G\left( 0;\frac{- 2}{3};0 ight)$ Suy ra hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $O(0;0;0)$ .
Câu 16: Vận dụng

Bảng dưới đây thống kê điểm thi học kỳ I môn tiếng Anh của học sinh hai lớp 12A và 12B năm học 2023-2024.

Điểm thi

[0; 2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

Số học sinh lớp 12A

1

5

20

8

6

Số học sinh lớp 12B

2

3

10

18

7

Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của mỗi lớp là bằng nhau. Đúng||Sai

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A bằng $2,6.$ Đúng||Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B bằng $2,57.$ Sai||Đúng

d) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì điểm thi môn tiếng Anh của lớp 12B đồng đều hơn so với lớp 12A. Sai||Đúng

Đáp án là:

Bảng dưới đây thống kê điểm thi học kỳ I môn tiếng Anh của học sinh hai lớp 12A và 12B năm học 2023-2024.

Điểm thi

[0; 2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

Số học sinh lớp 12A

1

5

20

8

6

Số học sinh lớp 12B

2

3

10

18

7

Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của mỗi lớp là bằng nhau. Đúng||Sai

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A bằng $2,6.$ Đúng||Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B bằng $2,57.$ Sai||Đúng

d) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì điểm thi môn tiếng Anh của lớp 12B đồng đều hơn so với lớp 12A. Sai||Đúng

a) Đúng. Khoảng biến thiên:

$R_{12A} = R_{12B} = 10 - 0 = 10.$

b) Lớp 12A:

Ta có

$Q_{1} = 4 + \frac{\frac{1}{4}.40 - (1 + 5)}{20}.(6 - 4) = 4,4.$

$Q_{3} = 6 + \frac{\frac{3}{4}.40 - (1 + 5 + 20)}{8}.(8 - 6) = 7.$

$\Rightarrow \Delta Q_{12A} = Q_{3} - Q_{1} = 2,6.$

c) Lớp 12B:

Ta có

$Q_{1} = 4 + \frac{\frac{1}{4}.40 - (2 + 3)}{10}.(6 - 4) = 5.$

$Q_{3} = 6 + \frac{\frac{3}{4}.40 - (2 + 3 + 10)}{18}.(8 - 6) = \frac{23}{3}.$

$\Rightarrow \Delta Q_{12B} = Q_{3} - Q_{1} = 2,67.$

d) Ta có $\Delta Q_{12A} < \Delta Q_{12B} \Rightarrow$ Lớp 12A sẽ đồng đều hơn so với lớp 12B.
Câu 17: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n}$ với $a eq 0;\ m eq 0$ , có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Với $m = 1$ thì giá trị $S = a + b + c$ là bao nhiêu?

Đáp án: 7

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n}$ với $a eq 0;\ m eq 0$ , có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Với $m = 1$ thì giá trị $S = a + b + c$ là bao nhiêu?

Đáp án: 7

Với $m = 1$ , ta có $y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + n}$ .

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 2$ nên $n = 2$ .

Khi đó $f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + 2}$ .

Thực hiện phép chia đa thức lấy tử chia mẫu ta được thương là $ax + b - 2a$ , nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = ax + b - 2a$ , mặt khác nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$ .

Nên ta có phương trình:

$ax + b - 2a = x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b - 2a = 1 \\ \end{matrix} ight.$ hay $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $f(x) = \frac{x^{2} + 3x + c}{x + 2}$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $( - 3; - 3)$ nên ta được $c = 3$ .

Suy ra $f(x) = \frac{x^{2} + 3x + 3}{x + 2}$ .

Vậy $S = 1 + 3 + 3 = 7$ .
Câu 18: Vận dụng

Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm

Đáp án là:

Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm

Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\ (a eq0)$ .
Đồ thị hàm số đi qua điểm $O(0;0)$ nên ta có $d = 0$ .
Đồ thị hàm số đi qua điểm $( -4;1)$ nên ta có phương trình $- 64a +16b - 4c = 1\ \ (1)$ .
Mặt khác, ta có $( - 4;1)$ và $O(0;0)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có $y'( - 4) = 0;\y'(0) = 0$ tức là $\left\{\begin{matrix}48a - 8b + c = 0 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.$ $(2)$ .
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $a =\frac{1}{32};\ b = \frac{3}{16};\ c = 0$ .
Suy ra $y = \frac{1}{32}x^{3} +\frac{3}{16}x^{2}$ .
Thay $x = - 3$ ta được $y = \frac{27}{32} \approx 0,84$ .
Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng $0,84$ dặm.
Câu 19: Vận dụng

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}$ . Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Đáp án: 15

Đáp án là:

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}$ . Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Đáp án: 15

Ta có:
$h'(t) = 24 + 10t -t^{2}$
$h'(t) = 0$
$\Leftrightarrow 24 + 10t - t^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - 2(ktm) \\t = 12(tm) \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Mực nước lên cao nhất thì phải mất $12$ giờ.
Hay mực nước lên cao nhất là lúc 20 giờ.
Vậy phải thông báo cho dân di dời vào $15$ giờ chiều cùng ngày.
Câu 20: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 21: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 22: Thông hiểu

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
Cự li
[19; 21)
[21; 23)
[23; 25)
[25; 27)
[27; 29)
Tần số
13
45
24
12
6
Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,07

Đáp án là:

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.
Cự li
[19; 21)
[21; 23)
[23; 25)
[25; 27)
[27; 29)
Tần số
13
45
24
12
6
Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,07

Ta có:
Cự li
[19; 21)
[21; 23)
[23; 25)
[25; 27)
[27; 29)
Giá trị đại diện
20
22
24
26
28
Tần số
13
45
24
12
6
Cỡ mẫu: $n = 100$
Số trung bình:
$\overline{x} = \frac{13.20 + 45.22 +24.24 + 12.26 + 6.28}{100} = 23,06$
Phương sai:
$s^{2} = \frac{1}{100}\lbrack 13.(20 -23,06)^{2} + 45.(22 - 23,06)^{2}$
$+ 24.(24 - 23,06)^{2} + 12.(26 -23,06)^{2} + 6.(28 - 23,06)^{2}brack \approx 4,28$
Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{4,28}\approx 2,07$ .