Đề thi HK1 Toán 12 Kết nối tri thức Đề 6

Câu 1: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$( - \infty;0)$ .
B.
$( - 2;3)$ .
C.
$(1; + \infty)$ .
D.
$(3; + \infty)$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên $(3; + \infty)$ .

Câu 2: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\lbrack - 1;4brack$ và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1;4brack$ là

A.
$- 1$ .
B.
$3$ .
C.
$1$ .
D.
$- 2$ .

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1.

Câu 3: Nhận biết

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình

A.
$y = 5$ .
B.
$x = 0$ .
C.
$x = 1$ .
D.
$y = 0$ .

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 3}{x - 1} = + \infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}y = \lim_{xightarrow 1^{-}}\frac{2x + 3}{x - 1} = - \infty \Rightarrow x =1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 4: Thông hiểu

Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = \frac{x - 2}{x - 1}$ .
B.
$y = \frac{- 2 + x}{x + 1}.$
C.
$y = \frac{x - 1}{x - 1}.$
D.
$y = \frac{1 - 2x}{x + 1}.$

Từ đồ thị, ta thấy hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Khi đó loại các hàm số $y = \frac{- 2 + x}{x + 1}$ và $y = \frac{1 - 2x}{x + 1}$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên đáp án cần tìm là: $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ .

Câu 5: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?

A.
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
B.
$\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
C.
$\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$

Câu 6: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight|$ theo $a?$

A.
$a \sqrt{6}.$
B.
$a\sqrt{3}.$
C.
$\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
D.
$\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Hình vẽ minh họa

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD.$

Do đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.$

Ta có $BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Mà $ABCD$ là tứ diện đều nên $AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.$

Suy ra $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.$

Câu 7: Thông hiểu

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ , điểm $M$ trên $CC'$ sao cho $\overrightarrow{MC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{MC'}.$ Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.$ Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A.
$\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}.$
B.
$\overrightarrow{A'M} = \frac{- 3}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}.$
C.
$\overrightarrow{A'M} = - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{c}.$
D.
$\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}.$

Hình vẽ minh họa

Ta có

$\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CM}$

$= \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'C'} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} +\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}$

$= \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}$

Câu 8: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A( - 1;2;0),\ B(3;4; - 2)$ và $C(1;0; - 3).$ Biết tọa độ điểm $D\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ để tứ giác $BACD$ là hình bình hành. Tính $x_{0} + y_{0} + z_{0}?$

A.
$12$
B.
$2$
C.
$- 5$
D.
$- 8$

Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 4; - 2;2) \\ \overrightarrow{DC} = \left( 1 - x_{0}; - y_{0}; - 3 - z_{0} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Để tứ giác $BACD$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - x_{0} = - 4 \\ - y_{0} = - 2 \\ - 3 - z_{0} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 5 \\ y_{0} = 2 \\ z_{0} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} = 5 + 2 + ( - 5) = 2.$

Câu 9: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là

A.
$(1; - 2; - 3)$ .
B.
$(1;0;0)$ .
C.
$(0;2;3)$ .
D.
$( - 1; - 2; - 3)$ .

Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$

Câu 10: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:

A.
$( - 6; - 2;4)$ .
B.
$( - 6;2;0)$ .
C.
$( - 2;1;3)$ .
D.
$(1; - 2;5)$ .

Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .

Câu 11: Thông hiểu

Một hãng xe ôtô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau.

Số lần gặp sự cố	$\lbrack 0,5\ ;\ 2,5)$	$\lbrack 2,5\ ;\ 4,5)$	$\lbrack 4,5\ ;\ 6,5)$	$\lbrack 6,5\ ;\ 8,5)$	$\lbrack 8,5\ ;\ 10,5)$
Số xe	17	33	25	20	5

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này? (Làm tròn các kết quả đến hàng phần trăm).

A.
$5,32$ .
B.
$3,52.$
C.
$2,53$ .
D.
$5,23$ .

Do cỡ mẫu $n = 100$

Gọi $x_{1}$ ; $x_{2}$ ; …; $x_{100}$ là mẫu số liệu gốc gồm số lần gặp sự cố của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng, sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có $x_{1}$ , …, $x_{17}$ $\in$ $\lbrack0,5\ ;\ 2,5)$ ; $x_{18}$ , …, $x_{50}$ $\in$ $\lbrack2,5\ ;\ 4,5)$ ; $x_{51}$ , …, $x_{75}$ $\in$ $\lbrack4,5\ ;\ 6,5)$ ; $x_{76}$ , …, $x_{95}$ $\in$ $\lbrack6,5\ ;\ 8,5)$ ; $x_{96}$ , …, $x_{100}$ $\in$ $\lbrack8,5\ ;\ 10,5)$ .

Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{25} + x_{26} ight)\in$ $\lbrack 2,5\ ;\4,5)$ .

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_{1} = 2,5 + \frac{\frac{100}{4} -17}{33} \cdot (4,5 - 2,5) \approx 2,98$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{75} + x_{76} ight)\in$ $\lbrack 2,5\ ;\4,5)$ .

Mà $x_{75}$ $\in$ $\lbrack4,5\ ;\ 6,5)$ ; $x_{76}$ $\in$ $\lbrack6,5\ ;\ 8,5)$ .

Nên $Q_{3} = 6,5$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 6,5 - 2,98 =3,52$

Câu 12: Thông hiểu

Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A.
3,39.
B.
11,62.
C.
0,13.
D.
0,36.

Cỡ mẫu: $n = 20$ .

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x} = \frac{2,85.3 + 3,15.6 + 3,45.5 + 3,75.4 + 4,05.2}{20} = 3,39$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S^{2} = \frac{1}{20}\left( 2,85^{2}.3 + 3,15^{2}.6 + 3,45^{2}.5 + 3,75^{2}.4 + 4,05^{2}.2 ight) - 3,39^{2} \approx 0,13$

Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6$ và $g(x) = f(x^{2} - 2)$

a) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $( - \infty;0)\ và\ (2; + \infty)$ .Sai||Đúng

b) Hàm số $f(x)$ có 2 cực trị. Đúng||Sai

c) Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x = \pm \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(0;1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6$ và $g(x) = f(x^{2} - 2)$

a) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $( - \infty;0)\ và\ (2; + \infty)$ .Sai||Đúng

b) Hàm số $f(x)$ có 2 cực trị. Đúng||Sai

c) Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại $x = \pm \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(0;1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\begin{matrix} f'(x) = 3x^{2} - 6x \\ f'(x) = 0 = > 3x^{2} - 6x = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = > \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}$

Hàm số nghịch biến trên (0;2), đồng biến trên $( - \infty;0)\ và\ (2; + \infty)$

b) Đúng

Hàm số có 2 cực trị tại x = 0 và x = 2

c) Đúng

$\begin{matrix} g'(x) = 2xf'(x^{2} - 2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 6x(x^{2} - 2)(x^{2} - 2 - 2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 6x(x^{2} - 2)(x^{2} - 4) \\ g'(x) = 0 = > 6x(x^{2} - 2)(x^{2} - 4) = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = > \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}$

Hàm số đạt cực đại tại $x = \pm \sqrt{2}$

d) Đúng

Câu 14: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1;2),B( - 2;0;3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Sai||Đúng

b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1)$ . Đúng||Sai

c) Điểm $A'$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ thì $\overrightarrow{AA'} = (0;0;2)$ . Sai||Đúng

d) Tọa độ điểm $C$ để tứ giác $OABC$ là hình bình hành là $C(1;1; - 3)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1;2),B( - 2;0;3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Sai||Đúng

b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1)$ . Đúng||Sai

c) Điểm $A'$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ thì $\overrightarrow{AA'} = (0;0;2)$ . Sai||Đúng

d) Tọa độ điểm $C$ để tứ giác $OABC$ là hình bình hành là $C(1;1; - 3)$ . Sai||Đúng

a) Điểm $A(1; - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = (1; - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ .

b) $\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;0 + 1;3 - 2) = ( - 3;1;1)$ .

c) $A'$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ nên $A'(1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AA'} = (0;0; - 2)$ .

d) Gọi $C(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OC} = (x;y;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1)$ .

Tứ giác $OABC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 3;1;1).$

Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(4;2;1)$ , $B(2;1;3)$ , $C( - 1;3; - 2)$ . Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định dưới đây:

a) $\overrightarrow{AB}( - 2; - 1;2);\ \ \overrightarrow{BC}( - 3;2; - 5);\ \ \overrightarrow{AC}( - 5;1; - 3)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm không $A,B,C$ thẳng hàng và tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ bằng $\left( \frac{5}{3};2;\frac{2}{3} ight)$ . Sai||Đúng

c) Chu vi tam giác $ABC$ được tính bằng công thức $C_{\Delta ABC} = 3 + \sqrt{34} + \sqrt{37}$ . Sai||Đúng

d) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{3\sqrt{34}}{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(4;2;1)$ , $B(2;1;3)$ , $C( - 1;3; - 2)$ . Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định dưới đây:

a) $\overrightarrow{AB}( - 2; - 1;2);\ \ \overrightarrow{BC}( - 3;2; - 5);\ \ \overrightarrow{AC}( - 5;1; - 3)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm không $A,B,C$ thẳng hàng và tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ bằng $\left( \frac{5}{3};2;\frac{2}{3} ight)$ . Sai||Đúng

c) Chu vi tam giác $ABC$ được tính bằng công thức $C_{\Delta ABC} = 3 + \sqrt{34} + \sqrt{37}$ . Sai||Đúng

d) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{3\sqrt{34}}{2}$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{AB}( - 2; - 1;2);\ \ \overrightarrow{BC}( - 3;2; - 5);\ \ \overrightarrow{AC}( - 5;1; - 3)$ .

b) Đúng:

Vì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 1;2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 5;1; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\frac{- 2}{- 5} eq \frac{- 1}{1} eq \frac{2}{- 3}$

$\Rightarrow A,B,C$ không thẳng hàng.

Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là:

$\left( \frac{4 + 2 - 1}{3};\frac{2 + 1 + 3}{3};\frac{1 + 3 - 2}{3} ight) = \left( \frac{5}{3};2;\frac{2}{3} ight)$

c) Sai: Vì

$\overrightarrow{AB}( - 2; - 1;2);\overrightarrow{BC}( - 3;2; - 5);\overrightarrow{AC}( - 5;1; - 3)$

$AB = \sqrt{( - 2)^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} = 3$

$BC = \sqrt{( - 3)^{2} + 2^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{38}$

$AC = \sqrt{( - 5)^{2} + 1^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{35}$

$C_{\Delta ABC} = 3 + \sqrt{38} + \sqrt{35}$

d) Đúng:

Ta có: $p = \frac{3 + \sqrt{38} + \sqrt{35}}{2}$

Lại có $S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Khi đó:

$p - a = \frac{3 + \sqrt{38} + \sqrt{35}}{2} - 3$

$p - b = \frac{3 + \sqrt{38} + \sqrt{35}}{2} - \sqrt{38}$

$p - c = \frac{3 + \sqrt{38} + \sqrt{35}}{2} - \sqrt{35}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC} = \frac{3\sqrt{34}}{2}$

Câu 16: Vận dụng

Khảo sát thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 và 12A2 của trường trung học phổ thông X, thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

s

Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A2 là $180$ phút. Đúng||Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 và 12A2 bằng nhau. Đúng||Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 là $65$ phút. Đúng||Sai

d) Dựa vào khoảng tứ phân vị thì thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 phân tán hơn so với lớp 12A2. Sai||Đúng

Đáp án là:

Khảo sát thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 và 12A2 của trường trung học phổ thông X, thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

s

Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A2 là $180$ phút. Đúng||Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 và 12A2 bằng nhau. Đúng||Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 là $65$ phút. Đúng||Sai

d) Dựa vào khoảng tứ phân vị thì thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 phân tán hơn so với lớp 12A2. Sai||Đúng

a) Đúng

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A2 là $180 - 0 = 180$ (phút).

b) Đúng

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 là $240 - 60 = 180$ (phút).

Nên khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 và 12A2 bằng nhau.

c) Đúng

Xét mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A1:

Cỡ mẫu là: $n = 5 + 20 + 15 = 40$

Gọi $x_{1},\ ...,x_{40}$ là thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{10} + x_{11}}{2}$ .

Do $x_{10}$ và $x_{11}$ đều thuộc nhóm $\lbrack 120;180)$ nên nhóm này chứa $Q_{1}$ .

$Q_{1} = 120 + \frac{\frac{40}{4} - 5}{20}.60 = 135$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{30} + x_{31}}{2}$ .

Do $x_{30}$ và $x_{31}$ đều thuộc nhóm $\lbrack 180;240)$ nên nhóm này chứa $Q_{3}$ .

$Q_{3} = 180 + \frac{\frac{3.40}{4} - 25}{15}.60 = 200$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A1 là:

$\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} = 200 - 135 = 65$ phút.

d) Sai

Xét mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A2:

Cỡ mẫu là: $n = 9 + 12 + 18 = 39$

Gọi $y_{1},...,y_{39}$ là thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A2 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $y_{ 10}$ .

Do $y_{10}$ thuộc nhóm $\lbrack 60;120)$ nên nhóm này chứa $Q_{1}$ .

$Q_{1} = 60 + \frac{\frac{39}{4} - 9}{12}.60 = 63,75$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $y_{30}$ .

Do $y_{30}$ thuộc nhóm $\lbrack 120;180)$ nên nhóm này chứa $Q_{3}$ .

$Q_{3} = 120 + \frac{\frac{3.39}{4} - 21}{18}.60 = 147,5$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A2 là:

$\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} = 147,5 - 63,75 = 83,75$

Dựa vào khoảng tứ phân vị thì thời gian dành cho việc tự học ở nhà mỗi ngày của học sinh lớp 12A2 phân tán hơn so với lớp 12A1.

Câu 17: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}.$ Khoảng cách từ điểm $M(3; - 2)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu $?$

Đáp án: 3,2

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}.$ Khoảng cách từ điểm $M(3; - 2)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu $?$

Đáp án: 3,2

Ta có: $y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4} = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4x + 4}.$

Xét $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( y - \left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} ight) ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{4x + 4} = 0.$

Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3x - 4y - 1 = 0.$

Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận xiên là:

$d = \frac{\left| 3.3 - 4.( - 2) - 1 ight|}{\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{16}{5} = 3,2$

Câu 18: Vận dụng cao

Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$ m, một phía rộng $1$ m, một phía rộng $1,2$ m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$ m, $2,5$ m, $3$ m, $3,5$ m, $4$ m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$ m, một phía rộng $1$ m, một phía rộng $1,2$ m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$ m, $2,5$ m, $3$ m, $3,5$ m, $4$ m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4

Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

Vì vậy chiều dài $l$ của ống thép phải thỏa mãn $l \leq AN$ , $\forall a \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) \Leftrightarrow l \leq \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}AN(*)$

Ta có $AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = \sqrt{AB^{2} + 4}$

Trong đó $AB = AM + MB = \frac{AH}{\sin\alpha} + \frac{BK}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}$

Xét hàm số $g(\alpha) = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}$

$\Rightarrow g'(\alpha) = - \frac{\cos\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{1,2sina}{cos^{2}a} = 0$

$\Leftrightarrow 1,2sin^{3}\alpha = cos^{3}\alpha$

$\Leftrightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \Leftrightarrow \alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}$

Vì vậy $\min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}g(\alpha) = g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight)$

$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow l \leq \sqrt{\left\lbrack g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight) ightbrack^{2} + 4} \approx 3,69504$

Câu 19: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Hình vẽ minh họa

Vì $MN//A'C'$ nên $\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight) = \left( \overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) = 180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}$

Ta có: $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = |\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)$

$= \frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}$

Vậy $n = - 0,5.$

Câu 20: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Gọi $D = (x;y;z)$ $\Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4)$ .

Vậy $S = a + b + c = 3$ .

Câu 21: Vận dụng cao

Một chiếc máy bay đang bay từ điểm $A$ đến điểm $B$ . Giả sử với đơn vị km, điểm $A$ có tọa độ $A(100,200,300)$ và điểm $B$ có tọa độ $B(400,500,600)$ . Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí $C$ với tọa độ $C(250,350,450)$ , máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là $50\sqrt{3}\ \ km$ . Tính gọi $D$ là điểm trên đường bay (giữa $A$ và $B$ ) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường $AD$ (kết quả lấy phần nguyên).

Đáp án: 173,21 km

Đáp án là:

Một chiếc máy bay đang bay từ điểm $A$ đến điểm $B$ . Giả sử với đơn vị km, điểm $A$ có tọa độ $A(100,200,300)$ và điểm $B$ có tọa độ $B(400,500,600)$ . Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí $C$ với tọa độ $C(250,350,450)$ , máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là $50\sqrt{3}\ \ km$ . Tính gọi $D$ là điểm trên đường bay (giữa $A$ và $B$ ) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường $AD$ (kết quả lấy phần nguyên).

Đáp án: 173,21 km

Hình vẽ minh họa

Giả sử $D\left( x_{0},y_{0},z_{0} ight)$

Vì $D$ là điểm trên đường bay (giữa $A$ và $B$ ). Khi đó ta có ba điểm $A,D,B$ thẳng hàng.

Ta lại có $D$ là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.

Khi đó $DC = 50\sqrt{3}\ km$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AD}= k\overrightarrow{AB} \\DC =50\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} - 100 = k.300 \\ y_{0} - 200 = k.300 \\ z_{0} - 300 = k.300 \\ \sqrt{\left( x_{0} - 250 ight)^{2} + \left( y_{0} - 350 ight)^{2} + \left( z_{0} - 450 ight)^{2}} = 50\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 100 + 300k \\ y_{0} = 200 + 300k \\ z_{0} = 300 + 300k \\ \sqrt{(100 + 300k - 250)^{2} + (200 + 300k - 350)^{2} + (300 + 300k - 450)^{2}} = 50\sqrt{3}(*) \\ \end{matrix} ight.$

Giải (*) ta có $3{(k.300 - 150)^2} = 7500 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ k = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vì $D$ là điểm gần $A$ hơn do đó chọn $k = \frac{1}{3}$ hay $D(200,300,400)$

Vậy độ dài quãng đường:

$AD = \sqrt {{{\left( {200 - 100} ight)}^2} + {{\left( {300 - 200} ight)}^2} + {{\left( {400 - 300} ight)}^2}}$

$= 100\sqrt{3} \approx 173,21$

Câu 22: Vận dụng

Một công ty sản xuất bóng đèn LED đã kiểm tra chất lượng sản phẩm của một lô hàng và ghi nhận thời gian sử dụng của 250 bóng đèn như sau:

Khoảng thời gian (giờ)	Giá trị đại diện	Số lượng bóng đèn
[0, 1000)	500	5
[1000, 2000)	1500	46
[2000, 3000)	2500	162
[3000, 4000)	3500	25
[4000, 5000)	4500	12
		$N = 250$

Nếu độ lệch chuẩn của của bảng số liệu trên vượt quá 500 thì lô hàng không đạt tiêu chuẩn. Qua tính toán người ta thấy lô hàng đã không đạt tiêu chuẩn để đưa ra thị trường. Hỏi độ lệch chuẩn của của lô hàng trên đã vượt qua tiêu chuẩn là bao nhiêu? (kết quả lấy phần nguyên).

Đáp án: 245

Đáp án là:

Một công ty sản xuất bóng đèn LED đã kiểm tra chất lượng sản phẩm của một lô hàng và ghi nhận thời gian sử dụng của 250 bóng đèn như sau:

Khoảng thời gian (giờ)	Giá trị đại diện	Số lượng bóng đèn
[0, 1000)	500	5
[1000, 2000)	1500	46
[2000, 3000)	2500	162
[3000, 4000)	3500	25
[4000, 5000)	4500	12
		$N = 250$

Nếu độ lệch chuẩn của của bảng số liệu trên vượt quá 500 thì lô hàng không đạt tiêu chuẩn. Qua tính toán người ta thấy lô hàng đã không đạt tiêu chuẩn để đưa ra thị trường. Hỏi độ lệch chuẩn của của lô hàng trên đã vượt qua tiêu chuẩn là bao nhiêu? (kết quả lấy phần nguyên).

Đáp án: 245

Tính giá trị trung bình

$\overline{x} = \frac{5.500 + 46.1500 + 162.2500 + 25.3500 + 12.4500}{250} = \frac{618000}{250} = 2472$

Tính phương sai:

$s^{2} = \frac{5.500^{2} + 46.1500^{2} + 162.2500^{2} + 25.3500^{2} + 12.4500^{2}}{250} - 2472^{2} = 555216$

Tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{555216} \approx 745,13$

Độ lệch chuẩn của của lô hàng trên đã vượt qua tiêu chuẩn là: $745,13 - 500 = 245,13$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!