Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giá trị của z = 1 + i + {i^2} + ... + {i^{2023}} là?

    Ta có: z = \frac{{{i^{2022}} - 1}}{{i - 1}} = 1 + i

    (Áp dụng công thức: {S_n} = 1 + p + {p^2} + ... + {p^n} = \frac{{{p^{n - 1}} - 1}}{{p - 1}})

  • Câu 2: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 3: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sin2x;y = 2x;x = \frac{\pi}{2}?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x\sin2x = 2x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\\sin2x = 2(L) \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| x\sin x - 2x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( x\sin x - 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(\frac{1}{4}\sin2x - \frac{1}{2}x\cos2x - x^{2} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} ight| = \frac{\pi^{2}}{4} -\frac{\pi}{4}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 3 = 0 và (Q):x + my + z - 1 = 0. Tìm tham số m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\ \end{matrix} ight.

    Để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì

    \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x} trên khoảng ( - \infty; + \infty). Giá trị biểu thức a + 2b + 4c bằng:

    Ta có: F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}

    = \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 9: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 12: Nhận biết

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

    Đáp án là:

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

     Ta có: z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} ight)\left( {5 + i} ight)}}{{\left( {5 - i} ight)\left( {5 + i} ight)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i

    Vậy phần thực của số phức z=2

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1?

     Ta có: w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1

    = 2i - \left( {3 - i} ight)\left( {3 - 2i} ight) + 2i\left( {3 + 2i} ight) - 1

    = - 12 + 17i

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z = 0.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 18: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight|, biết \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Cách 1: + Đặt z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} ta có

    \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {2 - y} ight) + xi} ight|

    \sqrt {4{x^2} + {{\left( {2y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - y} ight)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4y + 1 = 4 - 4y + {y^2} + {x^2}

    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức: \forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C} ta có

    {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} ight|}^2} + {{\left| {{z_2}} ight|}^2}} ight)

    => P = \sqrt 3

    Cách 2.

    + Biến đổi: \left| {iz + 2} ight| = \left| { - i\left( {iz + 2} ight)} ight| = \left| {z - 2i} ight|

    Ta có \left| {2z - i} ight| = \left| {z - 2i} ight| \Rightarrow {\left| {2z - i} ight|^2} = {\left| {z - 2i} ight|^2} \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức bình phương mô đun:

    {\left| {m{z_1} + n{z_2}} ight|^2} = {m^2}{z_1}^2 + 2mn{z_1}{z_2}cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) + {n^2}{z_2}^2

    Trong đó \left( {{z_1},{z_2}} ight) là góc \widehat {MON} với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} trên mặt phẳng phức

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1

    \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 1 \Rightarrow cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = \frac{1}{2}

    {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

    Vậy {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng (P):x + y - z + 1 = 0 và (Q):x - y + z - 5 = 0 có tọa độ là?

    Ta có M \in Oy suy ra M(0;m;0).

    Theo đề bài ra ta có:

    d\left( M,(P) ight) = d\left( M,(Q) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - m - 5|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = - 3

    Vậy M(0; - 3;0).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 23: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018. Giá trị của biểu thức T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] là bao nhiêu?

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} \hfill \\ = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > 1}}} \\ {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\ {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 2017} \\ {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.

    Khi đó

    \begin{matrix} T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\ = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\ = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 27: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 28: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}} trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn F(1) = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C mà F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) là đường cong như hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2 (phần tô đen) là:

    Dựa vào hình vẽ ta thấy x \in (0;1) thì \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in (0;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;2) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp ABCD\ .A'B'C'D'.

    Hình vẽ minh họa

    Đáp án \overrightarrow{AC'}\ = \ \overrightarrow{AB}\ \ + \ \ \overrightarrow{AD}\ + \ \ \overrightarrow{AA'}\ đúng theo quy tắc hình hộp

    Đáp án \overrightarrow{BD}\ = \ \overrightarrow{BA}\ \ + \ \ \overrightarrow{BC}\ \ + \ \overrightarrow{BB'} sai

    Đáp án \overrightarrow{CA'}\ = \ \overrightarrow{CB}\ \ + \ \ \overrightarrow{CD}\ + \ \ \overrightarrow{CC'}\ đúng theo quy tắc hình hộp

    Đáp án \overrightarrow{C'A'}\ = \ \overrightarrow{C'B'}\ \ + \ \ \overrightarrow{C'D'} đúng theo quy tắc hình bình hành

  • Câu 33: Nhận biết

    Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i lần lượt là?

    Ta có:

    \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{{\left( {1 - 2i} ight)\left( {1 + 2i} ight)}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{5} - 3i = 1 - i

    \Rightarrow z = 1 + i

    Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.

  • Câu 34: Vận dụng

    Điểm biểu diễn của số phức z = \frac{1}{{2 - 3i}} là:

     Ta có: z = \frac{1}{{2 - 3i}} = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho số phức w = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) thoả điều kiện \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight|.

    Đặt P = 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12. Khẳng định nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight| \Leftrightarrow \left| {{x^2} - {y^2} + 4 + 2xyi} ight| = 2\left| {x + yi} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - {y^2} + 4} ight)^2} + 4{x^2}{y^2} = 4\left( {{x^2} + {y^2}} ight)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 16 + 2{x^2}{y^2} + 4{x^2} - 12{y^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4 + 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = - \left( {{x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow P = - {\left( {{x^2} + {y^2} - 2} ight)^2} = - {\left( {{{\left| {\text{w}} ight|}^2} - 2} ight)^2}. \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì \left| {\text{w}} ight| = \left| {\overline {\text{w}} } ight|.

  • Câu 36: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y e 0} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + yi - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + i\left( {y - 1} ight)}} = \frac{{\left( {x + yi - 1} ight)\left( {x - i\left( {y - 1} ight)} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}}

    \Rightarrow \frac{{{x^2} - x + y\left( {y - 1} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = 0

    Vậy biểu diễn hình học của số phức z là: {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} ight)^2} = \frac{1}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

    Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

    Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

    Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3), từ đó suy ra \overrightarrow{u} = (1;3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng OG?

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) hay \overrightarrow{OG} = \left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight)

    Vậy OG = \frac{1}{3}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.e^{- x} thỏa mãn F(0) = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}

    = - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C

    = - xe^{- x} - e^{- x} + C. Theo bài ra ta có: F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

    Vậy - (x + 1)e^{- x} + 2 là đáp án cần tìm.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Biết rằng {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = a và I = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}} dx = b\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}, a và b là các số hữu tỉ. Thương số giữa a và b có giá trị là:

     Ta có:

    {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = ... = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {tdt} = \frac{1}{2}, với t = \tan x

    I = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}} dx = \frac{3}{4}\left. {\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}}} ight]} ight|_{ - 1}^0 = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}

    \Rightarrow a = \frac{1}{2},b = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 42: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 + 2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm ( - 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho tứ diện đều ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}

    Vậy mệnh đề chưa chính xác là: \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\ 2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\ m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} = - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered} n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\ n = - 2 \Rightarrow m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

  • Câu 46: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (Q):x + y + z + 3 = 0, cách điểm M(3;2;1) một khoảng bằng 3\sqrt{3} biết rằng tồn tại một điểm X(a;b;c) trên mặt phẳng đó thỏa mãn a + b + c < - 2?

    Mặt phẳng song song với (Q) có dạng (P):x + y + z + m = 0,(m eq 3) mà

    d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1 + m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3(ktm) \\ m = - 15 \\ \end{matrix} ight.

    Với m = −15 thì với mọi X(a;b;c) \in (P) ta có a + b + c - 15 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2

    Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài

  • Câu 47: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 48: Vận dụng cao

    Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là (P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0  với (i=1,2,...,n)đi qua điểm M(1;2;3) và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị a_1+a_2+...+a_nbằng?

    Giả sử mặt phẳng (P): x+ay+bz+c=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

    +) Ta có:  (P)\cap Ox=A(-c;0;0),

    (P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),

    P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b}).

    Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra OA=OB=OC

    Nên ta có \left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight | (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên c eq 0 )

    +) Vì điểm M(1;2;3)\in Pnên suy ra:1+2a+3b+c=0

    Nhận thấy nếu a=1, b=-1 thì c=0, trường hợp này không thỏa mãn do  c eq 0

    Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp a=b=1, a=b=-1 và a=-1.b=1

    Vậy a_1=1, a_2=-1. a_3=-1 suy ra a_1+a_2+a_3=-1.

  • Câu 49: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 50: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 93 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập