Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Cho hai điểm
và vectơ
. Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ
có phương trình:
Theo đề bài, ta có:
Như vậy, và
sẽ là cặp vectơ chỉ phương của
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
Phương trình mặt phẳng có dạng
Mặt khác, vì điểm nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng
được:
Vậy có phương trình là:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Xét
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
. Giá trị của
sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành bằng
là?
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là:
Mà
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho phương trình
có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Ta có:
Suy ra:
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
cùng vuông góc với
và có giá vuông góc với mp(P)
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ![]()
Giả sử:
Ta có:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua điểm
và có cặp vectơ chỉ phương
là:
Vectơ pháp tuyến của là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
có thể thay thế bởi
Phương trình có dạng
Vậy
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay .
Ta có: bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi là VTPT của (ABH)
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Trong không gian
, cho vectơ
. Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ của điểm
là
. Đúng||Sai
b) Gọi
thỏa mãn
nhận
làm trọng tâm. Khi đó
. Đúng||Sai
c) Nếu
thẳng hàng thì tổng
. Đúng||Sai
d) Cho
để
vuông cân tại
. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng
Trong không gian , cho vectơ
. Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ của điểm là
. Đúng||Sai
b) Gọi thỏa mãn
nhận
làm trọng tâm. Khi đó
. Đúng||Sai
c) Nếu thẳng hàng thì tổng
. Đúng||Sai
d) Cho để
vuông cân tại
. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng
a) Ta có:
Tọa độ của điểm là
.
b) G là trọng tâm tam giác ABC
c) Ta có:
Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi
Suy ra
d) Ta có:
Ta có ∆ABN vuông cân tại A
Từ (*)
Từ (**)
Vậy
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Cho số phức , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Ta có:
z là số thuần ảo khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
với các trục tọa độ?
Xét .
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với các trục tọa độ là:
.
Vì biểu thức không đổi dấu trên miền
nên:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Cho số phức z thỏa mãn:
. Môđun của số phức
là?
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
và đồ thị hàm số
(như hình vẽ). biết
và
. Kết luận nào sau đây là đúng?

Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Từ đồ thị ta thấy
Từ đồ thị ta thấy
=>
Mặt khác
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> có duy nhất nghiệm trên
Trong không gian
, cho điểm
và hai đường thẳng
và
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
, cắt đường thẳng
và vuông góc với đường thẳng
. Đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
Gọi
có một vectơ chỉ phương
.
Do nên
Ta có:
Suy ra đường thẳng đi qua
.
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
,
và thỏa mãn hệ thức
với
. Giá trị của
là:
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Vì .
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
=>
Theo bài ra ta có:
=>
=>
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm
?
Mặt phẳng có phương trình là:
, do đó
.
Lại có A là trung điểm BD.
Ta có chứa các điểm O, A, B, D;
chứa các điểm O, B, C;
chứa các điểm O, A, C;
chứa các điểm A, B, C, D;
chứa các điểm O, C ,D.
Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.
Cho số phức z thỏa mãn
. Chọn phát biểu đúng:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất bằng
Đặt
Khi đó
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Viết phương trình đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
là:
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị của
là:
Với
Với
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Số phức z thỏa mãn:
là:
Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:
Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.
Biết
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
Suy ra ta có:.
Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc
và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc
.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng A di chuyển được là:
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:
Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là
Cho ba điểm
. Tính x và y để ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng với nhau?
A, B, C thẳng hàng cùng phương với
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra .