Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} = \int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x - \ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 2: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b} với a;b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a^{2} + b^{2} bằng:

    Giả sử I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx}. Đặt t = x + 3 \Rightarrow dt = dx, đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t + 3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}} ight)dx}

    = \left. \ \left( t - 4ln|t| - \frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} - 4ln\frac{4}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a^2

     

    Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác đều và AA' \bot \left( {ABC} ight).

    Diện tích xung quanh lăng trụ là {S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}

    \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a

    Diện tích tam giác ABC là {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.

    Vậy thể tích khối lăng trụ là {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = 0. Tìm F(x)

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }

    = \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }

    Mặt khác F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}

    => F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; - 2),B(3; - 1;1). Tìm tọa độ điểm M sao cho \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}?

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y - 1;z + 2) \\ \overrightarrow{AB} = (3; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.

    Lại có: \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y - 1 = - 6 \\ z + 2 = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y = - 5 \\ z = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(9; - 5;7)

    Vậy đáp án cần tìm là: M(9; - 5;7).

  • Câu 11: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 13: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết: A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight). Tìm tọa độ vectơ trung tuyến \overrightarrow {AM}

     Ta có A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight) nên suy ra được tọa độ 2 điểm tương ứng là:

    \overrightarrow {AB} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = - 3\\y - {y_A} = - 1\\z - {z_A} = 1\end{array} ight. \Rightarrow B\left( { - 1;3; - 2} ight);\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \overrightarrow {AC} \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2\\y - {y_A} = - 6\\z - {z_A} = 6\end{array} ight. \Rightarrow C\left( {4; - 2;3} ight)

    Vậy ta được: B\left( { - 1,3, - 2} ight);\,C(4, - 2,3).

    Vì \overrightarrow {AM} là vecto trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Suy ra M có tọa độ là: M\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight).

    Suy ra ta có \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2} - 2,\frac{1}{2} - 4,\frac{1}{2} + 3} ight) = \left( { - \frac{1}{2},\frac{{ - 7}}{2},\frac{7}{2}} ight)

    Vậy \overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2},\frac{7}{2}} ight).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 10 = 0 và (Q):x + 2y + 2z - 3 = 0 bằng:

    Dựa vào phương trình (P);(Q) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;2;2) nên (P)//(Q)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{n} ight| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\d\left( O;(P) ight) = \dfrac{10}{3} \\d\left( O;(Q) ight) = \dfrac{3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight. suy ra d\left( (P);(Q) ight) = d\left( O;(P) ight) - d\left( O;(Q) ight) = \frac{7}{3}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow - \frac{{\ln 4}}{3} + C = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix} 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 19: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB} và \vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm B.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm B.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - 3i và {z_2} = - 2 - 5i. Tìm phần ảo b của số phức z = {z_1} - {z_2}. 

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {1 - 3i} ight) - \left( { - 2 - 5i} ight) \hfill \\ = 1 - 3i + 2 + 5i \hfill \\= (1 + 2) + ( - 3 + 5)i \hfill \\ \,\,\,\, = 3 + 2i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 24: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = - 1;x = 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3\pi. Thể tích của vật thể là?

    Ta có: V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight|, biết \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Cách 1: + Đặt z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} ta có

    \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {2 - y} ight) + xi} ight|

    \sqrt {4{x^2} + {{\left( {2y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - y} ight)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4y + 1 = 4 - 4y + {y^2} + {x^2}

    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức: \forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C} ta có

    {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} ight|}^2} + {{\left| {{z_2}} ight|}^2}} ight)

    => P = \sqrt 3

    Cách 2.

    + Biến đổi: \left| {iz + 2} ight| = \left| { - i\left( {iz + 2} ight)} ight| = \left| {z - 2i} ight|

    Ta có \left| {2z - i} ight| = \left| {z - 2i} ight| \Rightarrow {\left| {2z - i} ight|^2} = {\left| {z - 2i} ight|^2} \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức bình phương mô đun:

    {\left| {m{z_1} + n{z_2}} ight|^2} = {m^2}{z_1}^2 + 2mn{z_1}{z_2}cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) + {n^2}{z_2}^2

    Trong đó \left( {{z_1},{z_2}} ight) là góc \widehat {MON} với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} trên mặt phẳng phức

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1

    \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 1 \Rightarrow cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = \frac{1}{2}

    {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

    Vậy {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c} ight).

  • Câu 29: Vận dụng

    Tính số phức sau: z = (1+i)15

    Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i => (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

    z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

  • Câu 30: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2; - 4; - 1) tới đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. bằng:

    Đường thẳng \Delta đi qua N(0;2;3), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1;2).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4) và \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4).

    Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng \Delta là:

    d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 35: Nhận biết

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)

    Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)

    Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của

    \left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)

    Mp (P) đi qua A (2,0,3) và nhận vecto có tọa độ (2,1,1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0

  • Câu 36: Vận dụng

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2 là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {xi - y - 2 - i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} = 4

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng y = \frac{1}{2}x +a và parabol y = x^{2} (a là tham số thực). Gọi S_{1};S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:

    \frac{1}{2}x + a = x^{2} \Leftrightarrow2x^{2} - x - 2a = 0

    Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt

    \Delta = 1 + 16a > 0 \Rightarrow a> - \frac{1}{16}

    Khi đó, phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2}ight) thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} \\P = x_{1}.x_{2} = - a \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng:

    S_{1} = \int_{- 2a}^{x_{1}}{\left(\frac{x}{2} + a ight)dx} + \int_{x_{1}}^{0}{x^{2}dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} + axight) ight|_{- 2a}^{x_{1}} + \left. \ \frac{x^{3}}{3}ight|_{x_{1}}^{0}

    = \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} -\frac{1}{4}.4a^{2} + 2a^{2} - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3}

    = - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3} +\frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2}

    Diện tích hình phẳng:

    S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{1}{2}x + a - x^{2} ight)dx} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    Theo giả thiết ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow = -\frac{1}{3}{x_{1}}^{3} + \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2} =\frac{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left({x_{1}}^{2} - 4a^{2} ight) + a\left( x_{1} + 2a ight) -\frac{{x_{1}}^{3}}{3} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} ight) + \frac{1}{2}x_{1}x_{2}\left( x_{2} -x_{1} ight) + \frac{{x_{1}}^{2}}{4} + ax_{1} + a^{2} = 0

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8} + \frac{3a}{2} ight) - \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4} + 4a}+ \frac{\left( 1 + \sqrt{1 + 16a} ight)^{2}}{64} + a.\frac{1 - \sqrt{1+ 16a}}{4} + a^{2} = 0

    \Rightarrow a \approx 3,684 \in \left(\frac{7}{2};4 ight)

  • Câu 38: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD

    Vì ABCD là tứ diện đều nên AM\bot CD;OM\bot CD

    Ta có: \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)

    = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}

    Suy ra \overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO} nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng 90^{0}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 41: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt {2 + \cos x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = \frac{\pi }{2}. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V là:

    Thể tích cần tính là:

    \begin{matrix} V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } ight)}^2}dx} \hfill \\ \Rightarrow V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow V = \left. {\pi \left( {2 + \sin x} ight)} ight|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\pi + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 43: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 46: Thông hiểu

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

  • Câu 47: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 48: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y e 0} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + yi - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + i\left( {y - 1} ight)}} = \frac{{\left( {x + yi - 1} ight)\left( {x - i\left( {y - 1} ight)} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}}

    \Rightarrow \frac{{{x^2} - x + y\left( {y - 1} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = 0

    Vậy biểu diễn hình học của số phức z là: {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} ight)^2} = \frac{1}{2}

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho số phức {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} - \left( {2 + i} ight).\overline z = - 37 - 43i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

     Ta có: {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} = - 38 - 41i \Rightarrow \overline z = \frac{{1 - 2i}}{{ - \left( {2 + i} ight)}} = i.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập