Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 4: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thỏa mãn biểu thức \overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} (với m;n duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

    Vậy đáp án đúng là: “Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thì bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.”

  • Câu 10: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = 1 + \frac{t}{3}\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 1 + \frac{t}{3} ight)dt} = t + \frac{t^{2}}{6} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 36(km/h) = 10(m/s)

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v(t) = t + \frac{t^{2}}{6} + 10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{6}{v(t)dt} = \int_{0}^{6}{\left( t + \frac{t^{2}}{6} + 10 ight)dt} = 90m

  • Câu 11: Vận dụng

    Tính số phức sau: z = (1+i)15

    Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i => (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

    z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} + 6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x} ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} + C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0 \Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} - 3.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left( x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left( x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P) và x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) + \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) + \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    Vì \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2} ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x - x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1} ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1} ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2} ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S = \frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left( \frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3} ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} + 2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3 \Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} = 5

  • Câu 14: Vận dụng

    Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2z + 10 = 0. Giá trị của biểu thức A = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} là:

    Ta có:

    {z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 3i\\{z_2} = - 1 - 3i\end{array} ight.

    Suy ra  A = {\left| { - 1 + 3i} ight|^2} + {\left| { - 1 - 3i} ight|^2} = 20

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}} trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn F(1) = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C mà F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{\left( {1 - 2i} ight)}^5}}}{{2 + i}}. Viết z dưới dạng z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{\left( {1 - 2i} ight)}^5}}}{{2 + i}}. Viết z dưới dạng z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

    10

     Ta có: \overline z = 24 + 7i \Rightarrow z = 24 - 7i

    Suy ra a + bi=10.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2}, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

    Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} nên M\left( {1; - 1} ight),N\left( {3;2} ight)

    Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ G\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} ight)

    Vậy G là điểm biểu diễn của số phức: z = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i

  • Câu 19: Vận dụng

    Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix} 

    \begin{matrix} \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

    Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (a;b;c)

    Mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2; - 3;4)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hai số thực b và c (c>0). Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

     Ta có: {z^2} + 2bz + c = 0 . Vì {z_1} + {z_2} = - 2b và {z_1}{z_2} = c là số thực.

    \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_1}} \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \left| {\overline {{z_1}} } ight| = \left| {{z_1}} ight|. Vậy ta có: {x_1} = b và x_1^2 + y_2^2 = c .

    Ta có: {z_1} = {x_1} + {y_1}i \Rightarrow A\left( {{x_1};{y_1}} ight); {z_1} = {x_2} + {y_2}i \Rightarrow B(x_2;y_2).

    Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O = > \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0

    \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\Rightarrow x_1^2-y_1^2=0\Rightarrow x_1^2=y_1^2\Rightarrow c=2b^2.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} và y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 27: Nhận biết

    Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực và f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x; f(0) = 2. Hàm số f(x) là:

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C

    \Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C

    Theo bài ra ta có: f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1

    Vậy f(x) = e^{2x} + x + 1.

  • Câu 28: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 29: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm A(2; - 1;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):3x - 2y + z + 7 = 0 và (Q):5x - 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng (\alpha) là

    Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3; - 2;1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (5; - 4;3) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó

    \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1;2;1)

    Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng 1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0

    Hay x + 2y + z - 5 = 0

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

    Vậy đáp án cần tìm là: \overrightarrow{b} = ( - 1;0;2).

  • Câu 32: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y e 0} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + yi - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + i\left( {y - 1} ight)}} = \frac{{\left( {x + yi - 1} ight)\left( {x - i\left( {y - 1} ight)} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}}

    \Rightarrow \frac{{{x^2} - x + y\left( {y - 1} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = 0

    Vậy biểu diễn hình học của số phức z là: {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} ight)^2} = \frac{1}{2}

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) - F(1) bằng:

    Theo định nghĩa tích phân ta có:

    \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) suy ra F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}.

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho số phức z thoả mãn \frac{1+i}{z} là số thực và |z-2|=m với m∈\mathbb{R}. Gọi m_0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:

    Giả sử z=a+bi,(a,b∈ \mathbb R)..

    Đặt: w=\frac{1+i}{z}=\frac{1+i}{a+bi}

    =\frac{1}{a^2+b^2}[a+b+(a-b)i]=\frac{a+b}{a^2+b^2 }+\frac{a-b}{a^2+b^2 } i.

    w là số thực nên: a=b(1).

    Mặt khác:  |a-2+bi|=m⇔(a-2)^2+b^2=m^2

    Thay (1) vào (2) được: (a-2)^2+a^2=m^2⇔2a^2-4a+4-m^2=0

    Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm duy nhất a. \Leftrightarrow \Delta '=0 \Leftrightarrow 4-2(4-m^2 )=0 \Leftrightarrow m^2=2 \Leftrightarrow m= \sqrt 2 \in (1;\frac {3}{2})

    (Vì m là mô-đun).

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hãy tính p và q lần lượt là khoảng cách từ điểm M(5; - 2;0) đến mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (P):3x - 4z + 5 = 0?

    Do mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0 nên

    p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2

    Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

    q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;4;9) và cắt các tia dương Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C khác gốc tọa độ O, sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì mặt phẳng (P) cắt các tia dương của trục Ox,Oy,Oz nên ta có

    \frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1

    Ta có M \in (P) \Rightarrow \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} = 1

    Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

    (OA + OB + OC)\left( \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} ight)

    \geq \left( \sqrt{OA}.\frac{1}{\sqrt{OA}} + \sqrt{OB}.\frac{2}{\sqrt{OB}} + \sqrt{OC}.\frac{3}{\sqrt{OC}} ight)^{2} = 36

    \Rightarrow OA + OB + OC \geq 36

    Dấu bằng xảy ra khi: \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{OA} + \dfrac{4}{OB} + \dfrac{9}{OC} = 1 \\OA = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{OC}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}OA = 6 \\OB = 12 \\OC = 18 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra độ dài ba cạnh OA;OB;OC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( - 1;1;2) và hai đường thẳng d:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1},d^{'}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.
    Giả sử \Delta \cap d = A \Rightarrow A(2 + 3t; - 3 + 2t;1 + t).

    \overrightarrow{AM} = (3 + 3t; - 4 + 2t; - 1 + t)

    \Delta\bot d^{'} \Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u_{d^{'}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 3t + 3( - 4 + 2t) - 2( - 1 + t) = 0

    \Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow A(5; - 1;2),\overrightarrow{AM} = (6; - 2;0) = 2(3; - 1;0).

    \Delta:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 3t \\y = 1 - t \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( {2, - 3,4} ight);\,\,\,\,B\left( { - 1,4,3} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp O.MNE  bằng \frac{3}{14} đvtt.

     Vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 1} ight)

    Phương trình \left( P ight):3x - 7y + z + D = 0

    (P) cắt 3 trục tọa độ tại M\left( { - \frac{D}{3},0,0} ight);\,\,N\left( {0,\frac{D}{7},0} ight);\,\,E\left( {0,0, - D} ight)

    Thể tích hình chóp O.MNE là:

    V_{O.MNE} = \frac{1}{6}OM.ON.OE = \frac{1}{6}\left| {\frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D} ight|

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left| D ight|}^3}}}{{126}} = \dfrac{3}{{14}} \Leftrightarrow {\left| D ight|^3} = 27 \Leftrightarrow D = \pm 3\\ \Rightarrow \left( P ight):3x - 7y + z \pm 3 = 0\end{array}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{A'C'} có giá trị bằng:

    Ta có:

    \left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = a.a.1 = a^{2}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho \left| \overrightarrow{a} ight| = 3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5, góc giữa \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} bằng 120^{0}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = - \frac{15}{2}

    Khi đó:

    \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 15 + 25 = 19

    \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 15 + 25 = 49

    \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 30 + 100 = 139

    \left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 30 + 100 = 79

    Vậy khẳng định sai là \left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight| = 9.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x} và f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 43: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 44: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 46: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R} và a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} - \int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 47: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 48: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 49: Nhận biết

    Cho số phức {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} - \left( {2 + i} ight).\overline z = - 37 - 43i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

     Ta có: {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} = - 38 - 41i \Rightarrow \overline z = \frac{{1 - 2i}}{{ - \left( {2 + i} ight)}} = i.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập