Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho số phức z = a + bi , \left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)thỏa mãn \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z - i} ight) + 3i = 9 và \left| {\overline z } ight| > 2.

    Tính P = a + b.

     Ta áp dụng công thức z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi, có:

    \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow \left( {a + bi + 1 + i} ight)\left( {a - bi - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 - \left( {b + 1} ight)i = 9 - 3i

    Ta xét: \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 = 9 \hfill \\ b + 1 = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ {a^2} + a = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ a = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \vee \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ a = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với {z_1} = 2i \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán.

    Với {z_2} = - 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 thỏa yêu cầu bài toán.

    Vậy P = a + b = 1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 4: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( - 3;4;0) và \overrightarrow{b} = (5;0;12). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}

  • Câu 6: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 7: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 như hình vẽ:

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.?

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt{1 - x^{2}}

    Do đó, diện tích của thiết diện: S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)

    V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}

    = \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Giá trị của z = 1 + i + {i^2} + ... + {i^{2023}} là?

    Ta có: z = \frac{{{i^{2022}} - 1}}{{i - 1}} = 1 + i

    (Áp dụng công thức: {S_n} = 1 + p + {p^2} + ... + {p^n} = \frac{{{p^{n - 1}} - 1}}{{p - 1}})

  • Câu 10: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\ {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\ {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\ {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3 - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\}

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - y + z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\beta) sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến mặt phẳng (\alpha) thành mặt phẳng (\beta).

    Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là A(3;0;0),B(0; - 3;0),C(0;0;3).

    Ta có A; B ∈ (Oxy) và C ∈ Oz.

    Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.

    Ta có Đ(Oxy):(\alpha) ightarrow (\beta) \Rightarrow Đ(Oxy):(A;B;C) ightarrow (A;B;C'), (ảnh của A, B trùng với chính nó vì A,B \in (Oxy)).

    Do C’ đối xứng với C(0;0;3) qua mặt phẳng Oxy, suy ra C'(0;0; - 3)

    Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:

    \frac{x}{3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{- 3} = 1 \Leftrightarrow (\beta):x - y - z - 3 = 0

  • Câu 15: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm liên tục trên đoạn \left[ { - 3;3} ight] và đồ thị hàm số y = f'\left( x ight) (như hình vẽ). biết f\left( 1 ight) = 6 và g\left( x ight) = f\left( x ight) - \frac{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{2}. Kết luận nào sau đây là đúng?

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Hình vẽ minh họa:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Ta có:

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \left( {x + 1} ight) \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow f'\left( x ight) = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3} \\ {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.

    Từ đồ thị ta thấy

    \begin{matrix} \int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{ABCD}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 1 ight) - f\left( { - 3} ight) > 6 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( { - 3} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => g\left( { - 3} ight) = f\left( { - 3} ight) - 2 < 0

    Mặt khác

    \begin{matrix}\int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{OEFG}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) - f\left( 1 ight) > 2 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) > 8 \Rightarrow G\left( 3 ight) > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    => g\left( x ight) = 0 có duy nhất nghiệm trên \left[ { - 3;3} ight]

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 3; - 1),B(4; - 1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng trung trực của AB.

    Tọa độ trung điểm của AB là I\left( 3; - 2;\frac{1}{2} ight)

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (2;2;3)

    Phương trình mặt phẳng

    \begin{matrix}(\alpha):2(x - 3) + 2(y + 2) + 3\left( z - \dfrac{1}{2} ight) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 4x + 4y + 6z - 7 = 0 \hfill\\\end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z:4x - 2y + 1 = 0

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Ta có: \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {\overline z + 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} ight) + \left( {y - 1} ight)i} ight| = \left| {x + \left( {2 - y} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} ight)^2}

    \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0

  • Câu 20: Vận dụng

    Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z + 1} ight| là?

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z + 1} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {x + 1} ight) - yi} ight|

    \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( { - y} ight)^2}

    \Leftrightarrow 2x - 2y = 0

    \Leftrightarrow x - y = 0

  • Câu 21: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 22: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 23: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

    Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (a;b;c)

    Mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2; - 3;4)

  • Câu 25: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo AC và BD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} và OA = 3, OS = 2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM} là

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    Vì M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1).

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^{x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x + y + z - 3 = 0 và hai điểm A(m;1;0),B(1; - m;2). Gọi E;F lần lượt là hình chiếu của A;B lên mặt phẳng (P). Biết EF = \sqrt{5}. Tổng tất cả các giá trị của tham số m là

    Hình vẽ minh họa

    Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả A;B đều thuộc (P). Trong trường hợp này EF = AB = 2\sqrt{2} (loại).

    Khi m eq 1. Ta tính toán các đại lượng:

    d\left( A;(P) ight) = \frac{|2m - 2|}{\sqrt{6}};d\left( B;(P) ight) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{6}}

    Từ đó suy ra A;B khác phía với (P) và d\left( A;(P) ight) = 2d\left( B;(P) ight)

    Gọi H là giao điểm của AB với (P).

    Theo Thales ta có:

    EH = \frac{2\sqrt{5}}{3};AH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}\sqrt{(1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 2^{2}}

    Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:

    AE^{2} + EH^{2} = AH^{2}

    \Leftrightarrow \frac{(2m - 2)^{2}}{6} + \left( \frac{2\sqrt{5}}{3} ight)^{2} = \frac{4}{9}\left\lbrack (1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 4 ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{3\left( 4m^{2} - 8m + 4 ight)}{18} + \frac{40}{18} = \frac{8\left( 2m^{2} + 6 ight)}{18}

    \Leftrightarrow 4m^{2} + 24m - 4 = 0

    Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: - \frac{24}{4} = - 6.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho giá trị của tích phân {I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}dx} = a, {I_2} = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{1}{x}dx = b}. Giá trị của biểu thức P = a - b là:

     Ta có:

    \begin{matrix} {I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}dx} \hfill \\ = \int\limits_1^2 {\left( {x + 1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)dx} \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_1^2 \hfill \\ = \dfrac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{5}{2} + \ln 2 - \ln 3 \hfill \\ \end{matrix}

    {I_2} = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{1}{x}dx = \left. {\left( {\ln \left| x ight|} ight)} ight|} _e^{{e^2}} = 1 \Rightarrow b = 1

    P = a - b = \frac{3}{2} + \ln 2 - \ln 3

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 38: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x + 2} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 40: Nhận biết

    Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox?

    Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 42: Thông hiểu

    Số phức z = 1 + i + {\left( {1 + i} ight)^2} + {\left( {1 + i} ight)^3} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{20}} là số phức nào sau đây?

     z = \left( {1 + i} ight)\frac{{1 - {{\left( {1 + i} ight)}^{20}}}}{{1 - \left( {1 + i} ight)}} = - 1025 + 1025i

  • Câu 43: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho số phức z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i. Số phức w = 1 + z + {z^2},\left| w ight| bằng:

     Ta có: \left| w ight| = \left| {1 + z + {z^2}} ight| = \left| {1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight| = 0

  • Câu 45: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 5}{4} và mặt phẳng (P):x - 3y + 2z - 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2; - 3;4), (P) có véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 3;2).

    Do \overrightarrow{u} không cùng phương \overrightarrow{n} nên d cắt (P).

    Mặt khác \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 19 eq 0 nên d không vuông góc (P).

    Vậy d cắt nhưng không vuông góc với (P).

  • Câu 46: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\} thỏa mãn 2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1 và f(1) =0. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: 2xf(x) + x^{2}f'(x) =1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C

    Lại có f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1

    Từ đó suy ra x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)

    Ta có: f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1

    Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.

  • Câu 47: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) - f(x) = e^{x} và f(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y(x) = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f'(x) - f(x) = e^{x}. Nhân cả hai vế với e^{- x} ta được:

    e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C

    f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2

    Suy ra e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}

    \Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: y = e^{- 2}(x + 2)

  • Câu 48: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 49: Nhận biết

    Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i lần lượt là?

    Ta có:

    \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{{\left( {1 - 2i} ight)\left( {1 + 2i} ight)}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{5} - 3i = 1 - i

    \Rightarrow z = 1 + i

    Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1} và mặt phẳng (P):3x + 5y - z - 2 = 0?

    Gọi I là giao điểm của d và (P).

    Ta có I \in d \Leftrightarrow I(4t + 12;3t + 9;t + 1)

    I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3

    Suy ra I(0;0; - 2)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 94 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập