Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i lần lượt là?

    Ta có:

    \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{{\left( {1 - 2i} ight)\left( {1 + 2i} ight)}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{5} - 3i = 1 - i

    \Rightarrow z = 1 + i

    Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2). Tìm giá trị của tham số m để tam giác MNP vuông tại N?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight..

    Tam giác MNP vuông tại N \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy đáp án cần tìm là m = 0.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x} và f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2}, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

    Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} nên M\left( {1; - 1} ight),N\left( {3;2} ight)

    Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ G\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} ight)

    Vậy G là điểm biểu diễn của số phức: z = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i

  • Câu 5: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:

    Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)

    Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight) có PTTS là:

    (d): \left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

    Gọi M(1;\ 2;\ 3) \in d

    \Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 6;0; - 3)

    Ta có d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 9: Vận dụng

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà 3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 11: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Biết \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7 và \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 là:

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) = 2;f'(0) = 0

    Xét tích phân \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}. Đặt u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)

    \Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1

    Xét tích phân \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}. Đặt u = x - 1 \Rightarrow du = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}

    = \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}

    = 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}

    = 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)

    Theo bài ra suy ra

    4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7

    \Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1

    Như vậy f(3) = - 1;f'(3) = 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là: y = x - 4.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1; - 1) và B(1;0;1) và mặt phẳng (P):x + 2y - z = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A;B và vuông góc với (P)?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;2)

    Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{AB} ightbrack = (3; - 1;1)

    Từ đó, phương trình mặt phẳng (Q) là (Q):3x - y + z - 4 = 0.

  • Câu 15: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 18: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2} và f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) = x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) = 12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 20: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 24: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 25: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 26: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{x} + {x^2}} ight)} ight|_1^2 = \frac{7}{2}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.

  • Câu 27: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Đáp án là:

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Ta có: z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m} = {(2i)^m} = {2^m}.{i^m}\,

    z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c là những số thực dương sao cho a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2} sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d

    Xét \overrightarrow{u} = (a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight) ta có:

    \left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq {\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}

    \Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} + 2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow 49 \leq 49.\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack \leq 1

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 28c^{2} = 49 \Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} = \frac{49}{4}

    ⇒ \max d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack = 1, khi đó F = \frac{49}{4}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 31: Vận dụng

    Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z + 1} ight| là?

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z + 1} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {x + 1} ight) - yi} ight|

    \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( { - y} ight)^2}

    \Leftrightarrow 2x - 2y = 0

    \Leftrightarrow x - y = 0

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\ 2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\ m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} = - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered} n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\ n = - 2 \Rightarrow m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} là:

    Đặt t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C

    = \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1 quay quanh Ox.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ightbrack dx} ight|

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6} + x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|

    = \pi\left| \left. \ \left( - \frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{47\pi}{210}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

    Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là: x + y - 1 + 2(z - 1) = 0 hay (P):x + y + 2z - 3 = 0.

  • Câu 39: Thông hiểu

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí I và M. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí I và Mlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Đáp án là:

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí I và M. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí I và Mlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Ta có

    IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} + (17 - 5)^{2}}

    = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14 (m).

    Đáp số 14(m).

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm a + b biết rằng \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = \frac{a}{b} là phân số tối giản?

    Ta có: t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight. khi đó suy ra

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}

    = \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}

  • Câu 44: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left( x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left( x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P) và x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) + \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) + \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    Vì \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2} ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x - x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1} ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1} ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2} ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S = \frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left( \frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3} ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} + 2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3 \Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} = 5

  • Câu 46: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

  • Câu 48: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 49: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

  • Câu 50: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 93 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập