Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo AC và BD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} và OA = 3, OS = 2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM} là

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    Vì M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1).

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1;2) và B(2; - 1;0) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1, - 2, - 2)

    Phương trình đường thẳng AB đi qua B(2; - 1;0) nhận vectơ \overrightarrow{AB} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 5: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A;B;C sao cho T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mà M ∈ (P) nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}

    T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: \left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y + 3z - 14 = 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn {z^2} - 6z + 13 = 0. Giá trị của \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| là:

     {z^2} - 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} z = 3 + 2i \hfill \\ z = 3 - 2i \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với z = 3 + 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = 4 + i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = \sqrt {17}

    Với z = 3 - 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = \frac{{24}}{5} - \frac{7}{5}i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x} trên khoảng ( - \infty; + \infty). Giá trị biểu thức a + 2b + 4c bằng:

    Ta có: F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}

    = \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

  • Câu 12: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 13: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight| và {z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight| mà {z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}} + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}} + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}} + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}} + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \lbrack 1;3brack và thỏa mãn \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 và \int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6. Tính tích phân K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 \\\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} + 3\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 10 \\2\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{g(x)dx} = 6 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} = 4 \\\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 2 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +g(x) ightbrack dx} = 4.2 = 6

  • Câu 17: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {2x.dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {2x.dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {2x.dx} = 2.\int\limits_1^2 {x.dx} = \left. {\left( {2.\frac{{{x^2}}}{2}} ight)} ight|_1^2 = 3

    Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;1;4),B(2;7;9) và C(0;9;13).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;6;5),\overrightarrow{AC} = ( - 1;8;9)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (14; - 14;14) = 14(1; - 1;1)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1;1;4) và nhận \overrightarrow{n} = (1; - 1;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

    x - 1 - (y - 1) + z - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - y + z - 4 = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho số phức \frac{{3 - i}}{z} + {\left( {2 - i} ight)^3} = 3 - 13i. Số phức \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} là số phức nào sau đây?

     Ta có: {\left( {2 - i} ight)^3} = 2 - 11i \Rightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = 1 + i

    Suy ra  \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} = ((1+i) +12i)^2 :i +(1+i)^2

    =(1+13i)^2 :i +(1+i)^2 =26+168i +2i =26+170i.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Đáp án là:

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Ta có: z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m} = {(2i)^m} = {2^m}.{i^m}\,

    z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-12=0. Gọi M(a; b; c) thuộc (P) sao cho MA^2+MB^2+3MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c.

    Giả sử I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0} .

    Khi đó \overrightarrow{IA}(1-x;4-y;5-z), \overrightarrow{IB}(3-x;4-y;-z), \overrightarrow{IC}(2-x;-1-y;-z) ;

    \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=(10-5x;5-5y;5-5z); ;

    \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}ight. \Rightarrow I (2;1;1);

    MA^2+MB^2+3MC^2 = \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+3\overrightarrow{MC}^2

    = (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2

    =5MI^2+2\vec{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2

    =5MI^2+IA^2+IB^2+IC^2   (vì \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0})

    Vì I cố định nên MA^2+MB^2+3MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P) .

    Gọi \triangle là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

    Phương trình đường thẳng \triangle:\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=1-3t \\ z=1-2t \end{matrix}ight..

    Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ 1-3t \\ z=1-2t \\3x-3y-2z-12=0 \end{matrix}ight. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \\ y=\dfrac{-1}{2} \\ z=0\end{matrix}ight.

    \Rightarrow M(\frac{7}{2};\frac{-1}{2};0) \Rightarrow a+b+c=3.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b} với a;b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a^{2} + b^{2} bằng:

    Giả sử I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx}. Đặt t = x + 3 \Rightarrow dt = dx, đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t + 3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}} ight)dx}

    = \left. \ \left( t - 4ln|t| - \frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} - 4ln\frac{4}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

     

    Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra \,SI \bot \left( {ABC} ight).

    Gọi M là trung điểm của BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Tam giác SAI vuông tại I, có:

    SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}

    Diện tích tam giác ABC là:  {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}

    Vậy thể tích khối chóp:  {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 28: Vận dụng

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

     Ta có với mọi a \in \mathbb R thì phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 luôn có nghiệm phức.

    {z_1} = \frac{{ - 3 + i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2} và {z_2} = \frac{{ - 3 - i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}.

    Suy ra \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}.

     

    \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2 \Rightarrow \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}} = 2

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight| = 7

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 9 = 7\\ - 4{a^2} + 8a + 9 = - 7\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 2 = 0{m{ }}\left( 1 ight)\\ - 4{a^2} + 8a + 16 = 0{m{ }}\left( 2 ight)\end{array} ight.

    Từ (1) ta có  {a_1} + {a_2} = 2, từ (2) ta có {a_3} + {a_4} = 2.

    Vậy tổng {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 4.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5). Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có: MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dễ thấy MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

    Dễ thấy G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0).

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 31: Nhận biết

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của \frac{a}{b} là:

     Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}. Giá trị của \frac{a}{b} là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = \left. {\left( {\frac{1}{2}x\sin 2x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} = - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{1}{{24}} \hfill \\ b = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{12}}

  • Câu 33: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 34: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 36: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37 và \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 37: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y e 0} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + yi - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + i\left( {y - 1} ight)}} = \frac{{\left( {x + yi - 1} ight)\left( {x - i\left( {y - 1} ight)} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}}

    \Rightarrow \frac{{{x^2} - x + y\left( {y - 1} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = 0

    Vậy biểu diễn hình học của số phức z là: {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} ight)^2} = \frac{1}{2}

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm dương và liên tục trên \lbrack 0;1brack thỏa mãn f(0) = 1 và 5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}. Tích phân \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} là:

    5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx

    \Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.

    Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C

    \Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}

    f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 + 3i} ight)z + 2i = - 4. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

    Ta có: \left( {1 + 3i} ight)z + 2i = - 4 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 4 - 2i}}{{1 + 3i}} = - 1 + i

  • Câu 42: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

    Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là (1;0;0)

  • Câu 43: Thông hiểu

    Số phức z = 1 + i + {\left( {1 + i} ight)^2} + {\left( {1 + i} ight)^3} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{20}} là số phức nào sau đây?

     z = \left( {1 + i} ight)\frac{{1 - {{\left( {1 + i} ight)}^{20}}}}{{1 - \left( {1 + i} ight)}} = - 1025 + 1025i

  • Câu 44: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 2;2;5)

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 46: Nhận biết

    Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i lần lượt là?

    Ta có:

    \overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{{\left( {1 - 2i} ight)\left( {1 + 2i} ight)}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} ight)}}{5} - 3i = 1 - i

    \Rightarrow z = 1 + i

    Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.

  • Câu 47: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) qua điểm B (3, 4, -5) và có cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)  là:

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight) có thể thay thế bởi \overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)

    Phương trình  (\alpha) có dạng x + 4y + 7z + D = 0

    B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16

    Vậy (\alpha): x + 4y +7z +16 = 0

  • Câu 48: Vận dụng

    Biết rằng  F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)} thỏa mãn F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}. Chọn mệnh đề đúng?

    Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:

    f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}

    \Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C

    Khi đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.

    Mà F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1

    Vậy T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}

  • Câu 49: Nhận biết

    Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 

     Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.

  • Câu 50: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 41 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập