Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Tích phân
với
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Ta có:. Đặt
Đổi cận tích phân
Vậy
Suy ra . Vậy
.
Trong không gian
, viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
.
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Đặt
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
qua hai điểm
cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm tam giác ABC). Biết
. Tính
.
Gọi mà
nên
và
.
qua hai điểm
nên
.
Ta có:
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của
bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Vậy biểu diễn hình học của số phức z là:
Trong không gian
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Trong không gian , cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
và đường thẳng
. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay do hình phẳng
quay quanh trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Thể tích cần tính là:
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tính cosin góc
?
Ta có: .
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
và
?
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình
Hình vẽ minh hoạ
Diện tích S cần tìm là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Trong không gian
, phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm
là:
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
đi qua điểm
, nên có phương trình là:
.
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
là?
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
là một đường tròn có bán kính bằng
Ta có
Đặt
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
.
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến và có phương trình y = 0.
Suy ra
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).
Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn đẳng thức
?
Gọi
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy điểm E có tọa độ là .
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
với
. Đặt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
?
Gọi sao cho
. Ta có:
Mà
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được bằng
khi
.
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Cho
là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính ![]()
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Phương trình
có tập nghiệm là:
Dễ thấy là nghiệm của
Nên
Giải (*), ta được:
Vậy có hai căn bậc hai là: và
Do đó nghiệm của pt là
Vậy PT có 3 nghiệm là
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>