Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của
bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Vậy biểu diễn hình học của số phức z là:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Trong hệ tục toạ độ không gian
, cho
, biết
, phương trình mặt phẳng
. Tính
biết
?
Ta có
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì nên
.
Theo giả thiết
(vì
).
Suy ra . Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho độ dài đoạn thẳng
ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng
.
Ta có: là trọng tâm tam giác
nên
Mặt phẳng có phương trình
.
ngắn nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
. Khi đó, ta có:
.
Biết
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
Suy ra ta có:.
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Tìm nguyên hàm của hàm số 
Đặt
=>
=>
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
nên
Hay
Xét , đặt
Khi đó
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol
và hai đường thẳng
(mô tả như hình vẽ). Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng
(phần tô màu đen);
là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol
và đường thẳng
(phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của
thì
?

Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng
là:
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng
là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
là:
Khi đó:
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình vuông) nên
Giá trị của tích phân
. Biểu thức có giá trị
là:
Giá trị của tích phân . Biểu thức
có giá trị là:
Ta có:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Cho hàm số
là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm
?
Mặt phẳng có phương trình là:
, do đó
.
Lại có A là trung điểm BD.
Ta có chứa các điểm O, A, B, D;
chứa các điểm O, B, C;
chứa các điểm O, A, C;
chứa các điểm A, B, C, D;
chứa các điểm O, C ,D.
Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Trong không gian
, cho hai đường thẳng song song
và
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.
Lấy .
Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông
,
. Biết đỉnh
thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó
bằng:
Ta có trung điểm BD là và điểm
thuộc mặt phẳng
nên
. Lại có: ABCD là hình vuông
hoặc
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
là:
Phương trình hoành độ giao điểm 2 đồ thị là:
Diện tích cần tìm là:
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Cho lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại
và
. Cạnh
tạo với mặt đáy
góc
. Tính thể tích
của khối lăng trụ đã cho.

Vì là lăng trụ đứng nên
, suy ra hình chiếu vuông góc của
trên mặt đáy
là
.
Do đó .
Tam giác vuông , ta có
Diện tích tam giác là
Vậy .
Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
là một đường tròn có bán kính bằng
Ta có
Đặt
Ta có
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương là
. Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng
?
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình .
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
là:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Ta có:
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy đáp án cần tìm là: .
Một khối cầu có bán kính
, người ta cắt bỏ
phần bằng
mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu
để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
Hình vẽ minh họa
Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình quay quanh trục Ox.
Thể tích cái lu bằng;
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.