Cho
với
là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Suy ra .
Cho
với
là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Suy ra .
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
, nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương và đường thẳng
đi qua điểm
, nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng
song song với
là:
Điều kiện để là:
.
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Điểm biểu diễn của số phức
là:
Ta có:
Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc
và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc
.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng A di chuyển được là:
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:
Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là
Cho phương trình
có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Ta có:
Suy ra:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra .
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
=>
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Cho lập phương
có cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do G là trọng tâm tam giác suy ra
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Cho hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
với
ta có:
. Tính tích phân
?
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Theo bài ra ta có:
Vì nên nhận
Vậy
Cho hình hộp
. Phân tích nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Biến đổi biểu thức
(đúng)
Vậy phân tích đúng là .
Xác định tích phân
?
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Cho số phức , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thuần ảo?
25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm
Ta có:
z là số thuần ảo khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có: . Khi đó
Vậy
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Viết phương trình tham số của đường thẳng ![]()
Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:
Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là:
Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:
Cho y = 0, ta có:
Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm
?
Mặt phẳng có phương trình là:
, do đó
.
Lại có A là trung điểm BD.
Ta có chứa các điểm O, A, B, D;
chứa các điểm O, B, C;
chứa các điểm O, A, C;
chứa các điểm A, B, C, D;
chứa các điểm O, C ,D.
Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.
Trong không gian
cho hai điểm
và
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Do là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
nên
nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
bằng
Ta có .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Giá trị của
bằng
Ta có:
Xét hình phẳng
giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng
được tính theo công thức
Ta có:
Tìm các căn bậc hai của số phức ![]()
Giả sử m + ni (m; n R) là căn bậc hai của z
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ![]()
Giả sử:
Ta có:
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Họ các nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được