Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) đi qua điểm nào dưới đây?

    Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.

    Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} = \int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x - \ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 3: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{B'C} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Chọn đáp án đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2 là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {xi - y - 2 - i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} = 4

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx = 6}. Tính I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}.

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}

    = 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm M(1; - 2;3). Tính khoảng cách d từ M đến (P).

    Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2 + 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{29}}

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz có điểm A(1; - 3;1),B(3;0; - 2). Tính độ dài AB?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)

    Suy ra AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}

    Vậy đáp án cần tìm là AB = \sqrt{22}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho A(1; - 1;0) và (P):2x - 2y + z - 1 = 0. Điểm M(a;b;c) \in (P) sao cho MA\bot OA và đoạn AM bằng 3 lần khoảng cách từ A đến (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C. Tính giá trị biểu thức H = 3a + b?

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng trung trực (\alpha) của đoạn thẳng AB với A(0; - 4;1),B( - 2;2;3) là

    Gọi M là trung điểm của AB suy ra M( - 1; - 1;2)

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua M và nhận \overrightarrow{AM} = ( - 1;3;1) làm vectơ pháp tuyến:

    \Rightarrow (\alpha): - x + 3y + z = 0

    \Rightarrow (\alpha):x - 3y - z = 0

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Thể tích tứ diện OABC bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\ \overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\ \overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\ \end{matrix} ight.. Dễ thấy tứ diện OABC vuông tại O nên

    V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1

    Vậy đáp án đúng là: V = 1.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 21: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 22: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho số phức \frac{{3 - i}}{z} + {\left( {2 - i} ight)^3} = 3 - 13i. Số phức \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} là số phức nào sau đây?

     Ta có: {\left( {2 - i} ight)^3} = 2 - 11i \Rightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = 1 + i

    Suy ra  \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} = ((1+i) +12i)^2 :i +(1+i)^2

    =(1+13i)^2 :i +(1+i)^2 =26+168i +2i =26+170i.

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc {v_A}\left( t ight) = 8 - 2t\left( {m/s} ight) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc {v_b}\left( t ight) = 12 - 4t\left( {m/s} ight).

    Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:

    {v_A}\left( t ight) = 0 \Rightarrow 8 - 2t = 0 \Rightarrow t = 4\left( s ight)

    Quãng đường quả bóng A di chuyển được là: 

    {S_A} = \int\limits_0^4 {\left( {8 - 2t} ight)dt} = 16\left( m ight)

    Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:

    {v_B}\left( t ight) = 0 \Rightarrow 12 - 4t = 0 \Rightarrow t = 3\left( s ight)

    Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:

    {S_B} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} ight)dt} = 18\left( m ight)

    Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là 

    S = {S_A} + {S_B} = 16 + 18 = 34\left( m ight)

  • Câu 27: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x thỏa mãn F(0) = \frac{3}{2}. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Ta có: \int_{}^{}{\left( e^{x} + 2x ight)dx} = e^{x} + x^{2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x suy ra F(x) có dạng e^{x} + x^{2} + C

    Theo bài ra ta có: F(0) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow e^{0} + 0^{2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    Vậy F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} và F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Tính {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}

     Cách 1: \int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx

    Đặt \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t

    \begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó \int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C

    => F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    Mặt khác F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    => C = 0

    => F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}

    => {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}

    Cách 2: F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}. Sử dụng máy tính cầm tay để tính.

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x) = 3x^{2} và f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 31: Thông hiểu

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v\left( t ight) = 150 - 15t\left( {m/s} ight). Hỏi rằng trong 4s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

     Khi dừng hẳn: 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10\left( s ight)

    Khi đó trong trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int\limits_6^{10} {v\left( t ight)dt} = \int\limits_6^{10} {\left( {150 - 5t} ight)dt} = 120\left( m ight)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng song song d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 2t \\ \end{matrix} ight. và d':\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{2}. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.

    Lấy M(2;1;4) \in d,N(4; - 1;0) \in d'.

    Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.

    Phương trình đường thẳng cần tìm là: \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 2}{2}

  • Câu 33: Thông hiểu

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

     Ta có: z^3 – 27 = 0 \Leftrightarrow (z – 1) (z^2 + 3z + 9) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + 3z + 9 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z_{2,3}} = \dfrac{{ - 3 \pm 3\sqrt 3 i}}{2}\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a^3

    Ta có thể tích khối chóp: {V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}

    Suy ra:

    {V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 36: Nhận biết

    Phương trình {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 có tập nghiệm là:

    Dễ thấy z=-i  là nghiệm của {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0

    Nên {z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,\,\,(*)\end{array} ight.

    Giải (*), ta được:

    \Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i

    = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}

    Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

    Do đó nghiệm của pt là \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \dfrac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} ight.

    Vậy PT có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 38: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính T = z_1 : z_2?

     Ta có z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính:

     z_1 : z_2 = \frac {2-i}{5+6i}=\frac {(2-i)(5-6i)}{(5+6i)(5-6i)}=\frac{4}{61} - \frac{17}{61}i

  • Câu 40: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Biết rằng {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = a và I = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}} dx = b\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}, a và b là các số hữu tỉ. Thương số giữa a và b có giá trị là:

     Ta có:

    {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = ... = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {tdt} = \frac{1}{2}, với t = \tan x

    I = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}} dx = \frac{3}{4}\left. {\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}}} ight]} ight|_{ - 1}^0 = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}

    \Rightarrow a = \frac{1}{2},b = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{4i}}{{i + 1}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;100} ight] để z là số thực?

    Ta có: z = {\left( {\frac{{4i}}{{i + 1}}} ight)^m} = {(8i)^{\frac{m}{2}}} = {8^{\frac{m}{2}}}.{i^{\frac{m}{2}}}

    z là số thực khi và chỉ khi \frac{m}{2} = 2k \Leftrightarrow m = 4k,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 44: Nhận biết

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

    Đáp án là:

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

     Ta có: z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} ight)\left( {5 + i} ight)}}{{\left( {5 - i} ight)\left( {5 + i} ight)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i

    Vậy phần thực của số phức z=2

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {x + m + + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\ - 2m + 4 \leqslant - 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \leqslant - 3 \hfill \\ m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 46: Nhận biết

    Xét số phức z thỏa mãn: \left( {1 + 2i} ight)\left| z ight| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }},\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) và \left| z ight| = c{\text{ }}\left( {c > 0} ight), thay vào đẳng thức ta có:

    \left( {1 + 2i} ight)c = \frac{{\sqrt {10} }}{{x + yi}} = 2 + i

    \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} ight)c = \frac{{\sqrt {10} \left( {x - yi} ight)}}{{{c^2}}} - 2 + i

    \Leftrightarrow c - \frac{{x\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 + i\left( {2c + \frac{{y\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1} ight) = 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} c - \frac{{x\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 = 0 \hfill \\ 2c + \frac{{y\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c + 2 = \frac{{x\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \hfill \\ - 2c + 1 = \frac{{y\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow {\left( {c + 2} ight)^2} + {\left( {2c - 1} ight)^2} = \frac{{10\left( {{x^2} + {y^2}} ight)}}{{{c^4}}} = \frac{{10}}{{{c^2}}}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} c = 1\left( {t/m} ight) \hfill \\ c = - 1\left( {{\text{ko }}t/m} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left| z ight| = 1

    Do đó ta có: \frac{1}{2} < \left| z ight| < \frac{3}{2}

  • Câu 47: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 48: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37 và \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 49: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c là những số thực dương sao cho a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2} sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d

    Xét \overrightarrow{u} = (a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight) ta có:

    \left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq {\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}

    \Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} + 2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow 49 \leq 49.\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack \leq 1

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 28c^{2} = 49 \Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} = \frac{49}{4}

    ⇒ \max d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack = 1, khi đó F = \frac{49}{4}.

  • Câu 50: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z:4x - 2y + 1 = 0

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Ta có: \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {\overline z + 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} ight) + \left( {y - 1} ight)i} ight| = \left| {x + \left( {2 - y} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} ight)^2}

    \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập