Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Nghiệm của phương trình:
là
Ta có: .
Giả sử là căn bậc hai của
.
Ta có:
Thay (2) vào (1) ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là
và
.
Do đó nghiệm của phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm ![]()
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
Mp (P) đi qua và nhận vecto có tọa độ
làm 1 VTPT có phương trình là:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Tính chất nào sau đây sai?
Tính chất sai là:
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hai hàm số
và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Cho tích phân
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Ta có:
, với
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hình lập phương
. Phân tích vectơ
theo các vectơ
?
Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông :
Khi đó ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:
Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là
Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP có PTTS là:
(d):
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?
Ta có:
Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị của
là:
Với
Với
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính x,y theo z được
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
.
Vậy .
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
cắt các trục
,
lần lượt tại
khác gốc tọa độ sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác
và
lần lượt là diện tích các tam giác
. Điểm
nào dưới đây thuộc
?
Ta có . Lại có
,
và
.
Đặt , ta có
Tương tự, ta có và
.
Khi đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hay
.
Từ đó suy ra nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Vậy là điểm thuộc
.
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Xác định giá trị của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Vậy đáp án .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Điểm biểu diễn của số phức
là:
Ta có:
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Cho hai số phức z, w thỏa mãn
;
với
là tham số. Giá trị của m để ta luôn có
là:
Đặt có biểu diễn hình học là điểm
Ta có:
Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng
Ta xét:
với .
Mà ta có
Nên
Cho hình chóp
có
, các cạnh
đôi một vuông góc. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng của hai vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta được
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại tích phân
?
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi hàm số
liên tục trên
hoặc
Mà hàm số liên tục trên các khoảng
Nên hàm số liên tục trên
hoặc
khi và chỉ khi
.
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Sai||Đúng
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng . Mệnh đề đúng
b) Cho . Mệnh đề sai
c) . Mệnh đề đúng
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là . Mệnh đề sai
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Cho hai số phức
. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức
, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức nên
Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ
Vậy G là điểm biểu diễn của số phức:
Một bể thủy tinh chứa nước có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé bằng 0,8m, chiều dài bằng 3m nằm trong của thùng. Bể nước được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đúng (như hình vẽ). Tính thể tích V của nước có trong bể, biết chiều cao nước trong bể là 0,6m. (Kết quả được làm tròn đến phần trăm).

Xét một đáy của bể và gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Phương trình đường elip đáy khi đó có phương trình
Khi đó chiều cao của mép nước trong bể với đường thẳng
Xét phương trình
Diện tích phần mặt chứa nước là:
Do đó thể tích nước trong thùng là:
Cho số phức
thoả mãn
là số thực và
với
. Gọi
là một giá trị của
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
Giả sử .
Đặt:
.
là số thực nên:
.
Mặt khác:
Thay (1) vào (2) được:
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm duy nhất .
(Vì là mô-đun).
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành được tính theo công thức:
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Cho hàm số
có đồ thị
. Các tiếp tuyến với đồ thị tại
và tại
cắt nhau tại
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung
của
và hai tiếp tuyến
?
Tập xác định
Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB:
Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB:
Suy ra
Diện tích hình giới hạn là
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm tập nghiệm S của phương trình ![]()
Đặt
Ta có: