Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
là:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
là:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
qua
vuông góc với d và song song với
.
Đường thẳng có vec tơ chỉ phương
.
Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với nên vectơ chỉ phương
Đường thẳng ∆ song song với (P) nên
Ta có
Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất bằng
Đặt
Khi đó
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho giá trị của biểu thức
nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức
là:
Điểm luôn tồn tại.
Ta có nên
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Cho số phức
, giá trị của số phức
là?
Ta có:
Biết
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
Suy ra ta có:.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức
. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
Từ giả thiết
Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm và mặt cầu tâm
Dễ thấy
Tích phân
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và mặt phẳng
, m là tham số. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?
Ta có
Xét hàm số
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số trên, được:

Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTLN khi
Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) có phương trình là
Ta có
Cho hàm số
liên tục trên
và
,
là một nguyên hàm của
trên
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Xác định hàm số f(x) biết rằng ![]()
Mà
Vậy hàm số cần tìm là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Số nghiệm nguyên âm của phương trình:
với
là:
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Xét trong không gian Oxyz cho tam giác ABC.
Biết
, hãy tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành?
Gọi là tọa độ của điểm cần tìm.
Để ABCD là hình bình hành
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết:
. Tìm tọa độ vectơ trung tuyến ![]()
Ta có nên suy ra được tọa độ 2 điểm tương ứng là:
Vậy ta được: .
Vì là vecto trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Suy ra M có tọa độ là:
.
Suy ra ta có
Vậy .
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Biết rằng
với
. Chọn kết luận đúng?
Đặt
Đổi cận khi đó ta được:
Đặt
Cho số phức z thỏa mãn:
. Môđun của số phức
là?
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Trong không gian
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc tia
sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện
bằng
có tọa độ là
Ta có D thuộc tia nên
với
.
Tính
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
.
Ta có
Vậy .
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Thể tích
của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Một khu vườn được quy hoạch để trồng hoa hồng được giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn bán kính (phần tô màu trong hình vẽ). Hỏi số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn? Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần ít nhất 300.000 đồng.

Nửa đường tròn có phương trình
Xét parabol có trục đối xứng
nên có phương trình dạng
cắt
tại điểm
=>
cắt
tại điểm
thuộc
=>
Phương trình là:
Diện tích miền phẳng (phần tô màu trong hình là:
Xét đặt
=>
Ta có:
Khi đó ta có:
Số tiền trồng hoa tối thiểu là: đồng
Cho
là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính ![]()
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Tìm nguyên hàm của hàm số 
Đặt
=>
=>
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho điểm
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
.
Nếu đối xứng với
qua trục
thì
.
Nếu đối xứng với
qua gốc tọa độ thì
.
Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
”.
Cho số phức
. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
?
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
. Do đó phương trình chính tắc của
là:
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
. Theo bài ra ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.