Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Cho hai điểm
và mặt phẳng
Mặt phẳng
chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Theo đề bài, ta có: ;
Suy ra ;
có vectơ pháp tuyến
Ta có cùng phương với vectơ
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng
.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Mặt phẳng :
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có N là trung điểm của CD nên
M là trung điểm của AB nên
Suy ra
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Trong không gian
, cho
. Nếu ba vectơ
đồng phẳng thì:
Ta có:
Ba vectơ đồng phẳng
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Môđun của số phức
có giá trị là
10
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức
có giá trị là
10
Ta có:
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn:
Khi đó trong trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Ta có:
Khi đó
Cho hai số phức
. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức
, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức nên
Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ
Vậy G là điểm biểu diễn của số phức:
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Cho hàm số liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Vậy một nguyên hàm của hàm số là .
Cho số phức
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Gọi tìm được
.
Tính mô đun ta được .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Xác định phần ảo của số phức
.
Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất bằng
Đặt
Khi đó
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Tích phân
bằng:
Ta có:
Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm
sao cho các điểm biểu diễn của
tạo thành tam giác đều.
Giả sử
Để các điểm biểu diễn của tạo thành một tam giác đều thì
Vậy có hai số phức thoả mãn là:
Trong không gian
, đường thẳng đi qua
và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
Đường thẳng đi qua và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là
.
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Cho hàm số
là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
,
và
. Chọn mệnh đề đúng?
Ta có: là mệnh đề đúng.
Trong không gian tọa độ
cho các điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Suy ra
là hình bình hành.
nên
là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Trong không gian
, cho điểm
và hai đường thẳng
và
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
, cắt đường thẳng
và vuông góc với đường thẳng
. Đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
Gọi
có một vectơ chỉ phương
.
Do nên
Ta có:
Suy ra đường thẳng đi qua
.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B,
. Cạnh bên
và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.
1

Diện tích hình thang ABCD là
Chiều cao khối chóp là .
Vậy thể tích khối chóp
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Tìm
biết rằng
là phân số tối giản?
Ta có:
Đổi cận khi đó suy ra
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
nên
Hay
Xét , đặt
Khi đó
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ![]()
Giả sử:
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
và vuông góc với
. Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng
?
Vì là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
nên mặt phẳng
nhận
làm hai vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Biết
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
Suy ra ta có:.
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Biết rằng
và
. Tìm hàm số
?
Ta có:
Mà
Vậy
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )