Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Biết rằng  F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)} thỏa mãn F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}. Chọn mệnh đề đúng?

    Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:

    f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}

    \Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C

    Khi đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.

    Mà F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1

    Vậy T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho \int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C. Với a e 0, khẳng định nào sau đây đúng?

     Xét \int {f\left( {ax + b} ight)dx}, đặt t = ax + b

    => I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x

    => \int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho bốn điểm A;B;C;D trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \overrightarrow{0} có điểm đầu và điểm cuối là 4 điểm?

    Lấy A làm gốc ta được 3 vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}. Tương tự đối với B;C;D ta được 4.3 = 12 vectơ.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M, nhận vectơ \overrightarrow{a} làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M', nhận vectơ \overrightarrow{a'} làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với d' là:

    Điều kiện để d//d' là: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 14: Nhận biết

    Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 

     Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 + 3i} ight)z + 2i = - 4. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

    Ta có: \left( {1 + 3i} ight)z + 2i = - 4 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 4 - 2i}}{{1 + 3i}} = - 1 + i

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết rằng hàm số y = f(x) có f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5. Hàm số f(x) là:

    Theo lí thuyết \int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C

    Khi đó f(x) có dạng f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}

    Theo đề ta có: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số là f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5.

  • Câu 17: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37 và \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 18: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 21: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0 suy ra AB và AC không vuông góc với nhau.

    Vậy mệnh đề sai là: “AB\bot AC”.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Đáp án là:

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} + bx + c.

    Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

    Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy (P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).

    Số tiền phải trả là \frac{9}{2}.1500000 = 6750000 đồng.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 25: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + i} ight| = 2. Chọn phát biểu đúng:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \left| {z - 1 + i} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} ight) + \left( {y + 1} ight)i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = 4

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2} và f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) = x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) = 12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 29: Nhận biết

    Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 12t + 24(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)

    Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

    S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m

  • Câu 30: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M( - 1;0;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho 3OA = 2OB = OC eq 0?

    Từ giả thiết, ta có thể coi A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c) (với |a| = |b| = |c| eq 0).

    Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1.

    Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên -\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1.

    Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.

    Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.

    Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2). Nếu ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng thì:

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)

    Ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng

    \Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0

    \Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0

    \Leftrightarrow x = 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix} \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = - 1 + 2i \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;3) và mặt phẳng (P): x+my+(2m+1)z-m-2=0,  m là tham số. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?

     Ta có d(A,(P))=\dfrac{\left | 6m+3 ight |}{\sqrt{5m^2+4m+2}}

    d^2(A,(P))=\dfrac{\left | 36m^2+36m+9 ight |}{5m^2+4m+2}

    Xét hàm số f(m)=\dfrac{ 36m^2+36m+9}{5m^2+4m+2}

    \Rightarrow f'(m)=\dfrac{ -36m^2+54m+36}{(5m^2+4m+2)^2}

    \Rightarrow f'(m)=0 \Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}; m=2

    Ta lập bảng biến thiên cho hàm số trên, được:

    Max của kc

    Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTLN khim=2 \Rightarrow (P): x+2y+5z-4=0

    Đường thẳng \triangle qua A và vuông góc với (P) có phương trình là \left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=1+2t \\ z=3+5t \end{matrix}ight.

    Ta có H\in \triangle \Rightarrow H(2+t;1+2t;3+5t)

    H\in P \Rightarrow 2+t+2(1+2t)+5(3+5t)-4=0

    \Rightarrow t=\frac{-1}{2}\Rightarrow H(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2})\Rightarrow a+b=\frac{3}{2}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (S) giới hạn bởi các đường y = 4 - x^{2};y = 0 quanh trục Ox có kết quả có dạng \frac{\pi a}{b} với a;b là các số nguyên dương và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Khi đó giá trị của a - 30b bằng:

    Phương trình hoành độ giao 4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích cần tính V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}

    Suy ra a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62.

  • Câu 37: Vận dụng

    Tính số phức sau: z = (1+i)15

    Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i => (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

    z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

  • Câu 38: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 39: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng (P):x + y - z + 1 = 0 và (Q):x - y + z - 5 = 0 có tọa độ là?

    Ta có M \in Oy suy ra M(0;m;0).

    Theo đề bài ra ta có:

    d\left( M,(P) ight) = d\left( M,(Q) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - m - 5|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = - 3

    Vậy M(0; - 3;0).

  • Câu 41: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27. Sai||Đúng

    b) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15. Đúng||Sai

    d) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27. Sai||Đúng

    b) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15. Đúng||Sai

    d) \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}. Đúng||Sai

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1).

    Ta có:

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27.

    Ta có:

    \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15.

    Ta có:

    \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}.

    Ta có:

    \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a^3

    Ta có thể tích khối chóp: {V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}

    Suy ra:

    {V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn {z^2} - 6z + 13 = 0. Giá trị của \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| là:

     {z^2} - 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} z = 3 + 2i \hfill \\ z = 3 - 2i \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với z = 3 + 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = 4 + i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = \sqrt {17}

    Với z = 3 - 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = \frac{{24}}{5} - \frac{7}{5}i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = 5

  • Câu 45: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hãy tính p và q lần lượt là khoảng cách từ điểm M(5; - 2;0) đến mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (P):3x - 4z + 5 = 0?

    Do mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0 nên

    p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2

    Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

    q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4

  • Câu 46: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{4i}}{{i + 1}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;100} ight] để z là số thực?

    Ta có: z = {\left( {\frac{{4i}}{{i + 1}}} ight)^m} = {(8i)^{\frac{m}{2}}} = {8^{\frac{m}{2}}}.{i^{\frac{m}{2}}}

    z là số thực khi và chỉ khi \frac{m}{2} = 2k \Leftrightarrow m = 4k,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 48: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 49: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 50: Thông hiểu

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 93 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập