Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Ta có:
a) sai.
b) sai.
c) đúng
d) Gọi ,
,
Vì là hình bình hành nên
.
Vậy d) sai
Cho số phức
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Gọi tìm được
.
Tính mô đun ta được .
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và
. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.

Đường chéo hình vuông
Xét tam giác SAC, ta có .
Chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích khối chóp .
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
thuộc
, điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho chu vi tam giác
bé nhất. Giá trị chu vi tam giác
bé nhất là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là hình chiếu của
lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được
.
Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).
Khi đó ta có nên
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thực?
Ta có:
z là số thực khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
là:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Xét hệ phương trình
Cho
Cho
Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương
Ta có
Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng
là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
. Theo bài ra ta có:
Suy ra
Vậy
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường
. Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là
giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường . Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Do nên quãng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Ta có:
với
là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số .
Do nên
. Suy ra
.
Xe ô tô dừng hẳn khi hay
. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ .
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: .
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: .
Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x).
Theo bài ra ta có:
=>
Trong không gian
, cho
. Nếu ba vectơ
đồng phẳng thì:
Ta có:
Ba vectơ đồng phẳng
Cho hai đường thẳng: ![]()
và mặt phẳng
.
Hình chiếu của
theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất bằng
Đặt
Khi đó
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Biết
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Biết . Giá trị của
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng vuông góc với nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó là mặt phẳng thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến .
Ta có nên
không cùng phương với
.
Suy ra không là vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy khẳng định sai là: “Vectơ là một véc-tơ pháp tuyến của
”.
Cho phương trình
có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Cho phương trình có hai nghiệm
là . Giá trị của
là?
1 || Một || một
Ta có:
Suy ra:
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Tính thể tích
của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay quanh
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
Số phức
bằng:
Ta có:
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho các số phức z thỏa mãn
. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
Đặt
Khi đó phương trình
Với
Biết rằng hàm số
có
và đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
. Hàm số
là:
Theo lí thuyết
Ta có:
Khi đó có dạng
Theo đề ta có:
Vậy hàm số là .
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Cho
và
. Tính
?
Ta có và
. Tính:
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho
và đặt
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Tính tích phân
?
Ta có:
.