Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 12t + 24(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)

    Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

    S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 3: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 - i + {i^3}. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.

     Ta có z = 1 - i + {i^3} = 1 - i - i = 1 - 2i \Rightarrow a = 1,b = - 2

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a;x = b;\left( {a < b} ight) và đồ thị của hai hàm số y = f\left( x ight);y = g\left( x ight). Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x ight) - {g^2}\left( x ight)} ight|dx}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow - \frac{{\ln 4}}{3} + C = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix} 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;0),B(0;2;0),C(2;1;3). Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (1 - x) - (0 - x) + (2 - x) = 0 \\ ( - 1 - y) - (2 - y) + (1 - y) = 0 \\ (0 - z) - (0 - z) + (3 - z) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M(3; - 2;3)

  • Câu 11: Vận dụng

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

     Ta có với mọi a \in \mathbb R thì phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 luôn có nghiệm phức.

    {z_1} = \frac{{ - 3 + i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2} và {z_2} = \frac{{ - 3 - i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}.

    Suy ra \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}.

     

    \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2 \Rightarrow \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}} = 2

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight| = 7

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 9 = 7\\ - 4{a^2} + 8a + 9 = - 7\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 2 = 0{m{ }}\left( 1 ight)\\ - 4{a^2} + 8a + 16 = 0{m{ }}\left( 2 ight)\end{array} ight.

    Từ (1) ta có  {a_1} + {a_2} = 2, từ (2) ta có {a_3} + {a_4} = 2.

    Vậy tổng {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 4.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 13: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 14: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 16: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 17: Vận dụng

    Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} thỏa mãn F(2) = 0 

    \begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: F(2) = 0 => C = 2

    => F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2

    Xét phương trình F(x) = x ta có:

    \begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng x = 1 - \sqrt 3

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x} và f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S = a + b?

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1;2; - 3) đến mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 2 = 0?

    Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 2 = 0 là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{\left| 1 + 2.2 - 2( - 3) - 2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

     Ta có L = \frac{{1 - {{({z^3})}^{673}}}}{{1 - {z^3}}} = \frac{{1 - {{( - 1)}^{673}}}}{{1 - ( - 1)}} = 1

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha) bằng

    Ta có:

    ∆ có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    (α) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    \sin\widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = 30^{0}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2} có một vectơ chỉ phương là:

    Đường thẳng (P) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 27: Vận dụng

    Điểm biểu diễn của số phức z = \frac{1}{{2 - 3i}} là:

     Ta có: z = \frac{1}{{2 - 3i}} = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i

  • Câu 28: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 30: Vận dụng

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng \left( Q ight):2x - y + z + 2 = 0;\,\,\,\,\,\,\left( R ight):x + y - z - 3 = 0  và vuông góc với mặt phẳng \left( S ight):x - 3y + z - 4 = 0

    Theo đề bài, (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng \left( Q ight):2x - y + z + 2 = 0;\,\,\,\,\,\,\left( R ight):x + y - z - 3 = 0 nên (P) có dạng là 

    \begin{array}{l}\left( P ight):2x - y + z + 2 + m\left( {x + y - z - 3} ight) = 0,\,\,m \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left( P ight):\left( {m + 2} ight)x + \left( {m - 1} ight)y + \left( {1 - m} ight)z + 2 - 3m = 0\end{array}

    Chọn \vec{n} làm vectơ pháp tuyến của (P), ta có: \left( P ight):\overrightarrow n = \left( {m + 2,m - 1,1 - m} ight) \bot \overrightarrow {{n_s}} = \left( {1, - 3,1} ight) 

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( {m + 2} ight)1 + \left( {m - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {1 - m} ight)1 = 0 \Leftrightarrow m = 2\\ \Rightarrow \left( P ight):4x + y - z - 4 = 0\end{array}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 5}{4} và mặt phẳng (P):x - 3y + 2z - 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2; - 3;4), (P) có véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 3;2).

    Do \overrightarrow{u} không cùng phương \overrightarrow{n} nên d cắt (P).

    Mặt khác \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 19 eq 0 nên d không vuông góc (P).

    Vậy d cắt nhưng không vuông góc với (P).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ OA\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot OM

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BM\bot AC \\ OB\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot OM

    Vậy OM\bot(ABC) nên (P) nhận \overrightarrow{OM} = (1;2;3) làm vectơ pháp tuyến.

    Do (P) đi qua M(1;2;3) nên (P):x - 1 + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Vận dụng

    Xét các số phức z thỏa mãn \left| z ight| = \sqrt 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức w = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}} là một đường tròn có bán kính bằng

    Ta có

    w=\frac{4+i z}{1+z} \Rightarrow \mathrm{w}(1+z)=4+i z \Leftrightarrow z(\mathrm{w}-i)=4-\mathrm{w} \Rightarrow \sqrt{2}|\mathrm{w}-i|=|4-\mathrm{w}|

    Đặt \mathrm{w}=x+y i(x, y \in \mathbb{R})

    Ta có

    \sqrt{2} . \sqrt{x^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}

    \Leftrightarrow 2\left(x^2+y^2-2 y+1ight)=x^2-8 x+16+y^2

    \Leftrightarrow x^2+y^2+8 x-4 y-14=0 \Leftrightarrow(x+4)^2+(y-2)^2=34

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của \frac{a}{b} là:

     Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}. Giá trị của \frac{a}{b} là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = \left. {\left( {\frac{1}{2}x\sin 2x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} = - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{1}{{24}} \hfill \\ b = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{12}}

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - 3i và {z_2} = - 2 - 5i. Tìm phần ảo b của số phức z = {z_1} - {z_2}. 

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {1 - 3i} ight) - \left( { - 2 - 5i} ight) \hfill \\ = 1 - 3i + 2 + 5i \hfill \\= (1 + 2) + ( - 3 + 5)i \hfill \\ \,\,\,\, = 3 + 2i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Số phức z = 1 + i + {\left( {1 + i} ight)^2} + {\left( {1 + i} ight)^3} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{20}} là số phức nào sau đây?

     z = \left( {1 + i} ight)\frac{{1 - {{\left( {1 + i} ight)}^{20}}}}{{1 - \left( {1 + i} ight)}} = - 1025 + 1025i

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\ AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB =6,\ AC = 8 và M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh cạnh AB là:

    Hình vẽ minh họa

    Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có thể tích là

    V = \frac{1}{3}\pi AC^{2}.AB -\frac{1}{3}\pi AM^{2}.AB

    = \frac{1}{3}\pi.8^{2}.6 -\frac{1}{3}\pi.4^{2}.6 = 96\pi

  • Câu 42: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 43: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x - 2, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 3

    Diện tích S của hình phẳng trên là: S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx}

    Ta có: - {x^2} + 2x - 2 \leqslant 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]

    => S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - 2} ight|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2} ight)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} ight)} ight|_0^3 = 6\left( {dvdt} ight)}

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 45: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 46: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;0),M(1;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi qua A,M và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0),C(0;0;c) với b > 0,c > 0. Khi diện tích tam giác ABC nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích bc?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;0),M(1;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi qua A,M và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0),C(0;0;c) với b > 0,c > 0. Khi diện tích tam giác ABC nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích bc?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 47: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng \left( \alpha ight):x + 5y - z + 1 = 0,\left( \beta ight):2x - y + z + 4 = 0.

    Gọi \varphi là góc nhọn tạo bởi (\alpha) và (\beta) thì giá trị đúng của cos \varphi là:

    Theo đề bài đã cho PTTQ , ta suy ra được các vecto pháp tuyến tương ứng là:

    (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow a = \left( {1,5, - 2} ight)

    (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow b = \left( {2, - 1,1} ight)

    Áp dụng công thức tính cosin giữa 2 vecto, ta có:

    \cos \varphi = \frac{{\left| {1.2 + 5\left( { - 1} ight) + \left( { - 2} ight).1} ight|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} ight)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} ight)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{6}

  • Câu 48: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số \frac{f(x) + 1}{e^{x}}?

    Ta có: f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}

    = 2e^{x} - e^{- x} + C

  • Câu 49: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 50: Vận dụng

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = \left( {2 - i} ight)z + 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

    Đặt z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó phương trình

    \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2y + 1 = - 2x + 1 + 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - 6y - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3y +

    Với

    w = x' + y'i = \left( {2 - i} ight).z + 1 = \left( {2 - i} ight).\left( {x + yi} ight) + 1

    = 2x + 2yi - ix + y + 1

    = \left( {2x - y + 1} ight) + \left( {2y - x} ight)i

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x' = 2x + y + 1 = 2.\left( {3y + 2} ight) + y + 1 = 7y + 5 \hfill \\ y' = 2y - x = 2y - 3y - 2 = - y - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x' + 7y' = - 9 \Leftrightarrow x' + 7y' + 9 = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập