Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: -
x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2}
+ 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}
ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left(
\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}
ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+
C}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = \left( {2 - i} ight)z + 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

    Đặt z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó phương trình

    \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow  - 2y + 1 =  - 2x + 1 + 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - 6y - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3y +

    Với

    w = x' + y'i = \left( {2 - i} ight).z + 1 = \left( {2 - i} ight).\left( {x + yi} ight) + 1

    = 2x + 2yi - ix + y + 1

    = \left( {2x - y + 1} ight) + \left( {2y - x} ight)i

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  x' = 2x + y + 1 = 2.\left( {3y + 2} ight) + y + 1 = 7y + 5 \hfill \\  y' = 2y - x = 2y - 3y - 2 =  - y - 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow x' + 7y' =  - 9 \Leftrightarrow x' + 7y' + 9 = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;2;3)\overrightarrow{v} = ( - 5;1;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 5) +2.1 + 3.1 = 0 \Rightarrow\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

    Vậy khẳng định đúng là \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 8: Vận dụng

    Nếu số phức z e 1 thỏa mãn \left| z ight| = 1 thì phần thực của \frac{1}{{1 - z}} bằng:

    Gọi z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight),z e 1

    Do \left| z ight| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1

    Ta có

    \frac{1}{{1 - z}} = \frac{1}{{\left( {1 - a} ight) - bi}} = \frac{{\left( {1 - a} ight) + bi}}{{{{\left( {1 - a} ight)}^2} + {b^2}}}

    = \frac{{1 - a}}{{2 - 2a}} + \frac{b}{{2 - 2a}}i = \frac{1}{2} + \frac{b}{{2 - 2a}}i

    Vậy phần thực của số phức \frac{1}{{1 - z}}\frac{1}{2}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} +
\sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} +
C. Tính giá trị biểu thức H = 3a +
b?

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} +
\sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x
+ 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} -
\sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x +
2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = -
\frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Kí hiệu {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0. Tính P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight|

    Phương trình 3{z^2} - z + 1 = 0 có hai nghiệm {z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt {11} }}{6}.

    Khi đó P = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z  = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) =
3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} +
\frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z  = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 15: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R}a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -
\int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} =
c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} -
\int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack
dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 16: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left(
1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  u = 1 + \ln x \hfill \\
  dv = 4xdx \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  du = \frac{1}{x}dx \hfill \\
  v = 2{x^2} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x
ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2}
+ C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại AB của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của AB. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left(
x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left(
x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P)x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) +
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) +
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x -
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2}
ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1
\Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x -
x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1}
ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1}
ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2}
ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x +
1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S =
\frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack
ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left(
\frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} -
x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3}
ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left(
x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight)
+ 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} +
2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3
\Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2}
ight)^{2} = 5

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + 3t \\
y = - t \\
z = 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} =
\frac{z - 3}{2}. Vị trí tương đối của dd'

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2) và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

    Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = ( -
3;1;2).

    Hai vectơ \overrightarrow{u_{d}}\overrightarrow{u_{d'}} cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

    Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1}
= \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) +
C (vì (1; + \infty))

    F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1
- 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} =  - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 22: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i{z_2} =  - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} =  - {\left( {1 + 2i} ight)^2} =  - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 24: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chóp S.ABC với G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +
\overrightarrow{SC} bằng.

    Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

    Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

    \overrightarrow{SA} +
\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \left( \overrightarrow{SG} +
\overrightarrow{GA} ight) + \left( \overrightarrow{SG} +
\overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{SG} +
\overrightarrow{GC} ight).

    = 3\overrightarrow{SG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)= 3\overrightarrow{SG}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tích phân I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} ight)dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} ight)dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} ight)dx}  = a\int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx - 2a\int\limits_0^1 {xdx} }

    = a\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1 - a\left. {\left( {{x^2}} ight)} ight|_0^1 = a\left( {1 - \ln 2} ight) - a =  - a\ln 2

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCDA(1;1;1),B(2;0;2), C( - 1; - 1;0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B';C';D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCDA(1;1;1),B(2;0;2), C( - 1; - 1;0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B';C';D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) >
0;\forall x\mathbb{\in R}f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in
R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x +
C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow
f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, giao điểm của mặt phẳng (P):x + y - z - 2 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = - t \\
z = 3 + 3t \\
\end{matrix} ight. là:

    Gọi A(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Ta có: 2 + t - t - (3 + 3t) - 2 =
0

    \Leftrightarrow - 3t - 3 = 0
\Leftrightarrow t = - 1

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A(1;1;0).

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Đáp án là:

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Ta có: z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m} = {(2i)^m} = {2^m}.{i^m}\,

    z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q):x + y + z - 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là:

    Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Từ giả thiết, ta suy ra (P) có một vectơ pháp tuyến là \left\lbrack
\overrightarrow{n};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1; -
1).

    Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là y - z = 0.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z  = \frac{{{{(\sqrt 3  + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z  + iz là:

     Ta có: \overline z  = \frac{{{{(\sqrt 3  + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z  + iz} ight| = 0

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) =
2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S =
\int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2
\Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack
f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} +
\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow
\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 -
\int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S =
\int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq
5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx}
ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack
\int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq
\frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB}\vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n  = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm E(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy)?

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} =
(0;0;1).

    Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

    0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0
\Leftrightarrow z = 3.

  • Câu 38: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x}
ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; +
\infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{-
( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x
\in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 -
x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x -
2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} =
\frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C =
C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = -
1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1
\Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 =
\frac{7}{2}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho số phức {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} - \left( {2 + i} ight).\overline z  =  - 37 - 43i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

     Ta có: {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} =  - 38 - 41i \Rightarrow \overline z  = \frac{{1 - 2i}}{{ - \left( {2 + i} ight)}} = i.

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 42: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) =  - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx}  = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}  = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) =  - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow  - \frac{{\ln 4}}{3} + C =  - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\   \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\   \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 44: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta  = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\,  (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\,  (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} =  - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m =  - 2 \Rightarrow n =  - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left(
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} =
\frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \
\left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} =
\frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} =
\frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 46: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix}  \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx}  = \int {{e^{ - 2x}}dx}  + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx =  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)}  + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\   =  - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x  + C =  - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x  + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = AA' = a, đường chéo AC'hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \alpha thỏa mãn \cot \alpha  = \sqrt 5. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.

     

    Ta có AA' \bot \left( {ABCD} ight) nên \widehat {A'C,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {A'C,AC} = \widehat {A'CA}.

    Tam giác vuông A'AC, ta có AC = AA'.\cot \alpha  = a\sqrt 5.

    Tam giác vuông ABC, ta có BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = 2a.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD{S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}.

    Vậy {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = 2{a^3}.

  • Câu 48: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V =
\pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t =  - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z =  - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 =  - 1 + 1 - 2 =  - 2

  • Câu 50: Thông hiểu

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\  2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\  m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} =  - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered}  n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\  n =  - 2 \Rightarrow m =  - 3 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 84 lượt xem
Sắp xếp theo