Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z  = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  3a - b = 3 \hfill \\  a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  a = \frac{1}{2} \hfill \\  b =  - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow P = a + b =  - 1

  • Câu 2: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left(
1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}
  u = 1 + \ln x \hfill \\
  dv = 4xdx \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  du = \frac{1}{x}dx \hfill \\
  v = 2{x^2} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x
ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2}
+ C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight|{z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight|{z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}}  + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}}  + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}}  + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}}  + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính góc của hai vectơ \overrightarrow a  = \,\left( { - 4,2,4} ight);\,\,\,\,\,\overrightarrow b  = \,\left( {2\sqrt 2 , - 2\sqrt 2 ,0} ight)

     Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto, ta có:

    \cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} ight) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight|}} = \frac{{x.x' + y.y'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}

    Thay số suy ra được:

    \cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} ight) = \frac{{ - 8\sqrt 2  - 4\sqrt 2  + 0}}{{\sqrt {36} .\sqrt {16} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {\overrightarrow a ;\overrightarrow b }} ight) = {135^0}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) - f(x) = e^{x}f(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y(x) = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f'(x) - f(x) = e^{x}. Nhân cả hai vế với e^{- x} ta được:

    e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) =
1

    \Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x)
ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{-
x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) =
x + C

    f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C
\Leftrightarrow C = 2

    Suy ra e^{- x}.f(x) = x + 2
\Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}

    \Rightarrow f'(x) = (x +
3)e^{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x +
2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} =
e^{- 2};f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: y = e^{- 2}(x + 2)

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} =
3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} =
3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5}
= \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + z - 3 = 0 và điểm A(1;2;0). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P).

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; -
2;1) nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{n} = (1; - 2;1).

    Vậy phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} =
\frac{z}{1}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5

  • Câu 11: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm E\left( {\,3,\,\, - 2,\,\,4\,} ight);\,\,\,F\left( {\,1,\,\,\,3,\,\,6\,} ight) và song song với trục y'Oy

     Vì  \left( P ight)//y'Oy \Rightarrow Vecto chỉ phương của (P)  là: \overrightarrow {{e_2}}  = \left( {0,1,0} ight)

    Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là: \overrightarrow {EF}  = \left( { - 2,5,2} ight)
    Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT

    \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {EF} } ight] = 2\left( {1,0,1} ight)

    Mp (P) đi qua E (3,-2,4) và nhận vecto \vec{n_p}(1, 0, 1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 3} ight).1 + \left( {y + 2} ight).0 + \left( {z - 4} ight).1

    \Leftrightarrow x + z - 7 = 0

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm P(1;1;2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua P cắt các trục Ox,Oy, Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc tọa độ sao cho T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} +
\frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó S_{1},S_{2},S_{3} lần lượt là diện tích các tam giác OAB,OBC,OCAR_{1},R_{2},R_{3} lần lượt là diện tích các tam giác PAB,PBC,PCA. Điểm M nào dưới đây thuộc (\alpha) ?

    Ta có \overrightarrow{OP} = (1;1;2)
\Rightarrow OP = \sqrt{6}. Lại có d(P,(Oxy)) = 2, d(P,(Oxz)) = 1d(P,(Oyz)) = 1.

    Đặt d = d(O,(ABC)), ta có

    V_{P.OAB} = V_{O.PAB}

    \Leftrightarrow d(P,(Oxy)) \cdot
S_{\bigtriangleup OAB} = d(O,(ABC)) \cdot S_{\bigtriangleup
PAB}

    \Leftrightarrow 2S_{1} =
dR_{1}

    \Leftrightarrow \frac{R_{1}}{S_{1}} =
\frac{2}{d}

    Tương tự, ta có \frac{R_{2}}{S_{2}} =
\frac{1}{d}\frac{R_{3}}{S_{3}}
= \frac{1}{d}.

    Khi đó T = \frac{R_{1}^{2}}{S_{1}^{2}} +
\frac{R_{2}^{2}}{S_{2}^{2}} + \frac{R_{3}^{2}}{S_{3}^{2}} =
\frac{6}{d^{2}} \geq \frac{6}{OP^{2}} = 1.

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi d =
OP hay OP\bot(ABC).

    Từ đó suy ra (\alpha) nhận \overrightarrow{OP} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến.

    Do đó (\alpha) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0
\Leftrightarrow x + y + 2z - 6 = 0.

    Vậy M(4;0;1) là điểm thuộc (\alpha).

  • Câu 13: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 =  - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z =  - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z =  - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\
4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\
x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 +
C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2}
ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) =
- 14 + 32 = 18

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight) là góc nhọn.

    Để \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0

    \Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0

    \Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0
\Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m > 1 \\
m < \frac{1}{2} \\
\end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 1} \\ 
  {0 < m < \frac{1}{2}} 
\end{array}} ight.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow  - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega  ight| \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {x + m +  + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\   - 2m + 4 \leqslant  - 10 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  m \leqslant  - 3 \hfill \\  m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta  = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 =  - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) + 3x^{2}
ightbrack dx} = 10. Xác định giá trị của \int_{0}^{2}{f(x)dx}?

    Ta có: \int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) +
3x^{2} ightbrack dx} = 10 \Leftrightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx} = 10
- \int_{0}^{2}{3x^{2}dx}

    \Leftrightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx} =
10 - \left. \ x^{3} ight|_{0}^{2} = 2

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i{z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix}  z = {z_1} + {z_2} \hfill \\  = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\   = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z =
0.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi
+ C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại AB của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của AB. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left(
x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left(
x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P)x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) +
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) +
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x -
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2}
ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1
\Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x -
x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1}
ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1}
ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2}
ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x +
1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S =
\frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack
ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left(
\frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} -
x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3}
ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left(
x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight)
+ 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} +
2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3
\Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2}
ight)^{2} = 5

  • Câu 24: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z =  - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x -
1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} =
\int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x -
\ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 26: Vận dụng

    Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z  + 1} ight| là?

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z  + 1} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {x + 1} ight) - yi} ight|

    \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( { - y} ight)^2}

    \Leftrightarrow 2x - 2y = 0

    \Leftrightarrow x - y = 0

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính diện tích S_{D} của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|, trục hoành và các đường thẳng x =
\frac{1}{e};x = 2?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left|
\frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln
x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x}
ight|dx}

    = - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln
x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}

    = - \left. \ \frac{\left( \ln x
ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x
ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}

    = \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)

  • Câu 28: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y e 0} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + yi - i}} = \frac{{x + yi - 1}}{{x + i\left( {y - 1} ight)}} = \frac{{\left( {x + yi - 1} ight)\left( {x - i\left( {y - 1} ight)} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}}

    \Rightarrow \frac{{{x^2} - x + y\left( {y - 1} ight)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = 0

    Vậy biểu diễn hình học của số phức z là: {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} ight)^2} = \frac{1}{2}

  • Câu 29: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z  = \overline {3 - 4i}  = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = \sin xdx \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - \cos x \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = -
x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x
+ C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = -
\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019
\Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x +
2018.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix}
x = 2 + 2t \\
y = 3 - t \\
z = 4 - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left(
1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered}  3x + y = 2y - 1 \hfill \\  5x = x - y \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    => \left\{ \begin{gathered}  x =  - \frac{1}{7} \hfill \\  y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) =
6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} +
C

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow  ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    x, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải OyS_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1
ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 -
k};k ight)B\left( \sqrt{1 +
k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1}
\Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 -
k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\  = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k
- 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1
ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} -
\frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1
- k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \  + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1
+ k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 +
k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k}
ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx
0,59.

  • Câu 36: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 37: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {2^x} + {e^x} là:

     Ta có: \int {\left( {{2^x} + {e^x}} ight)dx}  = \int {{2^x}dx}  + \int {{e^x}dx}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {e^x} + C

  • Câu 38: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z  = \overline {5 - 3i}  = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z  = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 40: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37\int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) +
3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16
\Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I =
\int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} =
\int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hai số thực bc (c>0). Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

     Ta có: {z^2} + 2bz + c = 0 . Vì {z_1} + {z_2} =  - 2b{z_1}{z_2} = c là số thực.

    \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_1}} \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \left| {\overline {{z_1}} } ight| = \left| {{z_1}} ight|. Vậy ta có: {x_1} = bx_1^2 + y_2^2 = c .

    Ta có: {z_1} = {x_1} + {y_1}i \Rightarrow A\left( {{x_1};{y_1}} ight); {z_1} = {x_2} + {y_2}i \Rightarrow B(x_2;y_2).

    Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O =  > \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0

    \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\Rightarrow x_1^2-y_1^2=0\Rightarrow x_1^2=y_1^2\Rightarrow c=2b^2.

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{2}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 3;f\left( 2 ight) = 4. Tính giá trị của biểu thức  N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight)

     

    f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx}  = \int {\frac{2}{{x - 1}}dx}  = \ln \left| {2x - 1} ight| + C

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x  >  }}1} \\   {2\ln \left| {1 - x} ight| + {C_2}{\text{ khi x  <  }}1} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f\left( 0 ight) = 3 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 3} \\   {f\left( 2 ight) = 4 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{C_2} = 3} \\   {{C_1} = 4} \end{array}} ight.

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2\ln \left( {x - 1} ight) + 4{\text{ khi x  >  }}1} \\   {2\ln \left| {1 - x} ight| + 3{\text{ khi x  <  }}1} \end{array}} ight.

    => N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight) = \left\{ {2\ln \left[ {1 - \left( { - 2} ight)} ight] + 3} ight\} + \left\{ {2\ln \left( {5 - 1} ight) + 4} ight\}

    = 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7

  • Câu 44: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(x;y;z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M'(x; - y;z).

    Nếu M' đối xứng với M qua trục Oy thì M'( - x;y; - z).

    Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ thì M'( - x; - y; - z).

    Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M'(x;y; - z)”.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 46: Nhận biết

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin
x + 1 là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left( \sin x + 1
ight)dx} = - \cos x + x + C

  • Câu 47: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}}  \Leftrightarrow x\sqrt 3  = a\sqrt 3  \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 48: Vận dụng

    Cho tam giác ABC với A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight) . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) vuông góc với mặt phẳng (ABC) song song phân giác ngoài AF của góc A?

     Một vecto chỉ phương của (R)\overrightarrow n  = 12\left( {3,1,2} ight)

    Ta có :

    \begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB}  = 5\overrightarrow {FC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y =  - 10\\z =  - 14\end{array} ight.\end{array}

    Vecto chỉ phương thứ hai \overrightarrow {AF}  = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)

    Suy ra vecto pháp tuyến của (R)\overrightarrow N  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)

    Mp (R) đi qua A (1, -2, 6) và nhận vecto (-1, 23, -10) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0

    \Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 bằng 0 nên z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0\Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z =  - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.

  • Câu 50: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} =  - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} =  - 9 - 9i

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 93 lượt xem
Sắp xếp theo