Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn
. Gọi
là trung điểm đoạn
(tham khảo hình vẽ)

Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
,
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn
. Gọi
là trung điểm đoạn
(tham khảo hình vẽ)
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng
lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện
và
bằng nhau, biết
có một vectơ chỉ phương là
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có
Nên . Vì
C là trung điểm của BD nên .
Điểm nên
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Cho hàm số
có đồ thị
. Các tiếp tuyến với đồ thị tại
và tại
cắt nhau tại
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung
của
và hai tiếp tuyến
?
Tập xác định
Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB:
Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB:
Suy ra
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Cho biểu thức
với
. Biểu thức M có giá tri là?
Ta có: .
Khi đó:
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Cho hình phẳng
giới hạn bới đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích
bằng bao nhiêu?
Thể tích cần tìm là:
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với
qua trục
?
Gọi H là hình chiếu vuông góc của lên
suy ra
Khi đó là trung điểm của
nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Số nghiệm nguyên âm của phương trình:
với
là:
Ta có:
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm phần ảo b của số phức
.
Ta có:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
qua
vuông góc với d và song song với
.
Đường thẳng có vec tơ chỉ phương
.
Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với nên vectơ chỉ phương
Đường thẳng ∆ song song với (P) nên
Ta có
Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình dạng
,
và có
. Để mặt phẳng
đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng lớn nhất thì đẳng thức nào sau đây đúng?
Mặt phẳng (P) đi qua điểm suy ra
.
Khi đó:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Từ đó tìm được hoặc
.
Vậy .
Để hoàn thành bài tập làm mô hình của lớp, bạn Minh làm một mô hình có dáng khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của mô hình (như hình vẽ), đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A, .
Tính thể tích của mô hình.

Kí hiệu hình vẽ:

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng và đường cao là
là V1
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trục Oy là V2.
Ta có:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng
Vì qua điểm
nên
=> (vì
)
=>
=>
Họ các nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thực?
Ta có:
z là số thực khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
là điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Tính tổng các tọa độ của điểm
?
Đặt . Vì
là trọng tâm tam giác
nên
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra .
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
Trong không gian với hệ tọa độ
, vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
cùng phương với vectơ
. Vậy
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Cho hàm số
là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Theo bài ra ta có:
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Cho số phức
. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hình hộp chữ nhật
có
, đường chéo
hợp với mặt đáy
một góc
thỏa mãn
. Tính theo
thể tích khối hộp đã cho.
Ta có nên
.
Tam giác vuông , ta có
.
Tam giác vuông , ta có
.
Diện tích hình chữ nhật là
.
Vậy .
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
, vuông góc với cả hai mặt phẳng
?
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và
.
Khi đó mặt phẳng nhận vectơ
làm một vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ![]()
Giả sử:
Ta có: