Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Ta có:
Khi đó
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Cho các hàm số
và
liên tục trên
và số
tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Khẳng định sai là:
Cho hình hộp
CÓ
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Vậy .
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Nghiệm của phương trình:
là:
Ta có:
các căn bậc hai của
là
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Trong không gian, với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là
Ta có:
Gọi tọa độ trực tâm khi đó
Theo đề bài ta có
Gọi là VTPT của mặt phẳng
ta có:
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là là
Vậy .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Cho biểu thức
với
. Biểu thức M có giá tri là?
Ta có: .
Khi đó:
.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
là:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Suy ra . Lại có:
Suy ra diện tích tam giác là:
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho hai số phức
. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức
, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức nên
Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ
Vậy G là điểm biểu diễn của số phức:
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
, chứa điểm
là:
Vì mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên thuộc chùm mặt phẳng
Mặt khác, ta có
Thế vào .
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên vectơ pháp tuyến của (P) là
cũng là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác đi qua điểm
nên phương trình chính tắc của
là:
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Gọi
là hình chiếu của
lên đường thẳng
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Vì
(d) có vtcp
Suy ra . Vậy
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
. Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là
Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc , sau đó vận tốc của vật có phương trình
Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.
Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Cho tích phân
, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Ta có:
, với
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.