Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 2 + i,{z_2} = 3 - 4i. Môđun của số phức \left( {{z_1} - {z_2}} ight) là:

     Ta có: \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {2 + i - 3 + 4i} ight| = \left| { - 1 + 5i} ight| = \sqrt {26}

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 - i + {i^3}. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.

     Ta có z = 1 - i + {i^3} = 1 - i - i = 1 - 2i \Rightarrow a = 1,b = - 2

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực và f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x; f(0) = 2. Hàm số f(x) là:

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C

    \Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C

    Theo bài ra ta có: f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1

    Vậy f(x) = e^{2x} + x + 1.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}

    = - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}, f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2 và thỏa mãn hệ thức f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Giá trị của f( - 2) là:

    Ta có:

    f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)

    \Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}

    \Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}

    \Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C

    Mặt khác f(0) = 0 \Rightarrow C = 0

    Vậy f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}

    \Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vì f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 10: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

     Ta có L = \frac{{1 - {{({z^3})}^{673}}}}{{1 - {z^3}}} = \frac{{1 - {{( - 1)}^{673}}}}{{1 - ( - 1)}} = 1

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2} nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức a + b + c là:

    Điểm M luôn tồn tại.

    Ta có M \in (P) nên a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 16: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 bằng 0 nên z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0\Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: 4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0.

    Gọi điểm

    A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)

    B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)

    Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: 4x − y − 2z + m = 0 (γ).

    Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1

    ⇔ m = −2 hoặc m = −4

    Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

    Với m = −2 ta có (4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0 nên A; B cùng phía.

    Với m = −4 ta có (4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0 nên A; B khác phía.

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 4x − y − 2z − 4 = 0 (γ).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bới đường cong y = \sqrt {{x^2} + 1}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Thể tích cần tìm là: v = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^2}dx} = \frac{{4\pi }}{3}

  • Câu 22: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 23: Nhận biết

    Giá trị của tích phân \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} bằng:

    Ta có: \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm liên tục trên đoạn \left[ { - 3;3} ight] và đồ thị hàm số y = f'\left( x ight) (như hình vẽ). biết f\left( 1 ight) = 6 và g\left( x ight) = f\left( x ight) - \frac{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{2}. Kết luận nào sau đây là đúng?

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Hình vẽ minh họa:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Ta có:

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \left( {x + 1} ight) \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow f'\left( x ight) = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3} \\ {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.

    Từ đồ thị ta thấy

    \begin{matrix} \int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{ABCD}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 1 ight) - f\left( { - 3} ight) > 6 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( { - 3} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => g\left( { - 3} ight) = f\left( { - 3} ight) - 2 < 0

    Mặt khác

    \begin{matrix}\int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{OEFG}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) - f\left( 1 ight) > 2 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) > 8 \Rightarrow G\left( 3 ight) > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    => g\left( x ight) = 0 có duy nhất nghiệm trên \left[ { - 3;3} ight]

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0 và (\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z}{1} và điểm A(2;0;1). Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?

    Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(\Delta)}} = (1;\ 2;\ 1)

    Phương trình tham số của đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 4 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.

    Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).

    Khi đó P \in (\Delta) \Rightarrow P( - 1 + t; - 4 + 2t;t)

    Ta có \overrightarrow{AP} = ( - 3 + t; - 4 + 2t;t - 1). Vì \overrightarrow{AP}\bot\overrightarrow{u_{(\Delta)}} \Rightarrow \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = 0 nên

    \Leftrightarrow 1.( - 3 + t) + 2.( - 4 + 2t) + 1.(t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow P(1;0;2)

  • Câu 29: Nhận biết

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

    Đáp án là:

    Số phức z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} có phần thực là?

    2

     Ta có: z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} ight)\left( {5 + i} ight)}}{{\left( {5 - i} ight)\left( {5 + i} ight)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i

    Vậy phần thực của số phức z=2

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight| và {z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight| mà {z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}} + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}} + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}} + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}} + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 31: Vận dụng

    Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z + 1} ight| là?

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {z + i} ight| = \left| {\overline z + 1} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {x + 1} ight) - yi} ight|

    \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( { - y} ight)^2}

    \Leftrightarrow 2x - 2y = 0

    \Leftrightarrow x - y = 0

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{2}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 3;f\left( 2 ight) = 4. Tính giá trị của biểu thức  N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight)

     

    f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\frac{2}{{x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} ight| + C

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + {C_2}{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 3 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 3} \\ {f\left( 2 ight) = 4 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 3} \\ {{C_1} = 4} \end{array}} ight.

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + 4{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + 3{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    => N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight) = \left\{ {2\ln \left[ {1 - \left( { - 2} ight)} ight] + 3} ight\} + \left\{ {2\ln \left( {5 - 1} ight) + 4} ight\}

    = 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7

  • Câu 33: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

     

    Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA \bot \left( {ABCD} ight). Do đó chiều cao khối chóp là SA = a\sqrt {15}.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD là {S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}

    Vậy thể tích khối chóp {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}

    Mà f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}

    Mà f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1.

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 5}{2} có một vectơ chỉ phương là:

    Đường thẳng (P) có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{4}} = ( - 1;\ 1;\ - 2)

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 38: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 + 2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm ( - 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn: \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i là:

     Ta áp dụng các quy tắc thực hiện phép tính, có:

    \begin{matrix} \left( {1 + i} ight)z + \left( {2 - 3i} ight)\left( {1 + 2i} ight) = 7 + 3i \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 7 + 3i - (2 - 3i)(1 + 2i) \hfill \\ \Leftrightarrow (1 + i)z = - 1 + 2i \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{ - 1 + 2i}}{{1 + i}} \hfill \\ \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \hfill \\ \end{matrix}

    Ngoài ra ta có thể sử dụng lệnh CALC trong máy tính để thử các phương án.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 2)^{2}}dx} = a + ln2 + cln3 với a;b;c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức K = 3a + b + c bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 2)^{2}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{x + 2 - 2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{(x + 2)^{2}}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 2}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \left. \ \ln|x + 2| ight|_{0}^{1} -\left. \ \frac{2}{x + 2} ight|_{0}^{1} = \ln3 - \ln2 -\frac{1}{3}

    Suy ra a = - \frac{1}{3};b = - 1;c = 1 \Rightarrow K = - 1

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(-3;1;0)  và mặt phẳng (P):x+y+3z-14=0. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho \triangle AMB vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:

    Ta có: \widehat{AMB}=90^{\circ} suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.

    Gọi I là trung điểm AB , khi đó I(0;0;1) và R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}.

    Ta tính được d(I;(P))=\sqrt{11}=R suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .

    Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là: 

    \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    suy ra t=1.

    Suy ra M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4.

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính T = z_1 : z_2?

     Ta có z_1 =2-i và z_2 = 5+6i. Tính:

     z_1 : z_2 = \frac {2-i}{5+6i}=\frac {(2-i)(5-6i)}{(5+6i)(5-6i)}=\frac{4}{61} - \frac{17}{61}i

  • Câu 44: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 45: Nhận biết

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 46: Vận dụng

    Cho số phức z = 5 - 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

     z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) \Rightarrow z' = - x - yi

  • Câu 47: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1?

    Phương trình hoành độ giao điểm e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)

    Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1

    S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}

    = - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}

    = - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)

    = 4\ln2 + e - 5

  • Câu 48: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos x

  • Câu 49: Vận dụng cao

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol \left( P ight):y = {x^2} và hai đường thẳng y = a;y = b;\left( {0 < a < b} ight) (mô tả như hình vẽ). Gọi {S_1} là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng y=a (phần tô màu đen); S_2 là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol \left( P ight) và đường thẳng y=b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a,b thì {S_1} = 2{S_2}?

    Tìm điều kiện của a và b

    Phương trình hoành độ giao điểm của \left( P ight) và đường thẳng y=b là:

    {x^2} = b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt b } \\ {x = - \sqrt b } \end{array}} ight.

    Phương trình hoành độ giao điểm của \left( P ight) và đường thẳng y=a là:

    {x^2} = a \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt a } \\ {x = - \sqrt a } \end{array}} ight.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \left( P ight) và y=b là:

    \begin{matrix} S = 2\int\limits_0^{\sqrt b } {{{\left( {b - x} ight)}^2}dx} = \left. {2\left( {bx - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt b } \hfill \\ = 2\left( {b\sqrt b - \dfrac{{b\sqrt b }}{3}} ight) = \dfrac{{4b\sqrt b }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \left( P ight) và y=a là:

    \begin{matrix} S = 2\int\limits_0^{\sqrt a } {{{\left( {a - x} ight)}^2}dx} = \left. {2\left( {ax - \dfrac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_0^{\sqrt a } \hfill \\ = 2\left( {a\sqrt a - \dfrac{{a\sqrt a }}{3}} ight) = \dfrac{{4a\sqrt a }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó: {S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow \frac{{4b\sqrt b }}{3} = 2\frac{{4a\sqrt a }}{3} \Rightarrow b = \sqrt[3]{4}a

     

  • Câu 50: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 98 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập