Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm tập nghiệm S của phương trình ![]()
Đặt
Ta có:
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho số phức
, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị
để z là số thực?
Ta có:
z là số thực khi và chỉ khi
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
với
ta có:
. Tính tích phân
?
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Theo bài ra ta có:
Vì nên nhận
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Đường thẳng
đi qua
và song song với
có phương trình là:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là .
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Xét phương trình
trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Suy ra:
Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:
Nếu số phức
thỏa mãn
thì phần thực của
bằng:
Gọi
Do
Ta có
Vậy phần thực của số phức là
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Trong không gian, cho hai vectơ
và
. Vectơ
bằng
Theo quy tắc ba điểm: .
Cho hai quả bóng A, B đều chuyển động thẳng, di chuyển ngược chiều và va chạm với nhau. Sau mỗi va chạm, hai quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A này ngược lại với vận tốc
và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc
.
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng A di chuyển được là:
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là:
Quãng đường quả bóng B di chuyển được là:
Vậy khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của
bằng 0 là đường tròn tâm I, bán kính R (trừ một điểm):
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Vậy biểu diễn hình học của số phức z là:
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là điểm nào dưới đây?
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).
Khi đó phương trình tham số của ∆ là
Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).
Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tính theo a thể tích V của khối chóp ![]()

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là
.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Cho ba điểm
. Tìm điểm E trên mặt phẳng
cách đều ![]()
Gọi trên mặt phẳng
.
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Gọi
là bốn nghiệm của phương trình
trên tập
số phức tính tổng:
.
Ta có:
(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:
Thay và biểu thức ta có:
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng
?
Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng
nên điểm
nằm trên
.
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và tổng khoảng cách từ
đến
lớn nhất, đồng thời ba điểm
nằm cùng phía so với
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm BC, F là điểm đối xứng với D qua E và M là trung điểm AF.
Ta có .
Gọi tương ứng là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó .
Mà nên phương trình
.
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Cho các số phức
. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
![]()
![]()
![]()
Áp dụng tính chất số phức, ta có:
- Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun
- Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun
Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.
Tìm nguyên hàm của hàm số 
Đặt
=>
=>
Trong không gian
, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây:
.
Gọi điểm
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng:
Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì
hoặc
Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).
Với ta có
nên A; B cùng phía.
Với ta có
nên A; B khác phía.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .
Trong
, phương trình
có nghiệm là:
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.
Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là
Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là
Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.
Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là
Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, các điểm
lần lượt nằm trên
sao cho
. Biết biểu diễn
. Tính tổng giá trị
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Cho
là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính ![]()
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Cho là nghiệm của phương trình sau:
.
Tính
M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba
Ta có:
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
Từ hệ trên, rõ ràng và
.
Đặt , hệ
Vì
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có:
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có