Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Số nghiệm của phương trình:
là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
,
và
. Chọn mệnh đề đúng?
Ta có: là mệnh đề đúng.
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
và tổng diện tích các mặt bên bằng ![]()

Xét khối lăng trụ có đáy
là tam giác đều và
.
Diện tích xung quanh lăng trụ là
Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm
sao cho các điểm biểu diễn của
tạo thành tam giác đều.
Giả sử
Để các điểm biểu diễn của tạo thành một tam giác đều thì
Vậy có hai số phức thoả mãn là:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Số phức
có phần thực là?
2
Số phức có phần thực là?
2
Ta có:
Vậy phần thực của số phức
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Cho số phức
. Phần thực của số phức
là?
Ta có:
Vậy phần thực là .
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại
và
. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
(
) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
và
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là:
Vật thể
giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình
và
. Cắt vật thể
với mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ bằng
ta được thiết diện có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể
:
Thể tích của vật thể B là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
suy ra
có dạng
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số
, ta có:
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
nên
đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Ta có:
a) sai.
b) sai.
c) đúng
d) Gọi ,
,
Vì là hình bình hành nên
.
Vậy d) sai
Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: ![]()
Ta có
Vậy phương trình có 4 nghiệm:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Tìm số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị
?
Hình vẽ minh họa
Dựa vào đồ thị ta có: suy ra phương trình đường thẳng
Phương trình đường tròn :
Điểm nên phương trình đường thẳng
là:
Vậy
Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): ![]()
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
,
và thỏa mãn hệ thức
với
. Giá trị của
là:
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Vì .
Cho số phức z thỏa mãn
. Chọn phát biểu đúng:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Cho số phức
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Gọi tìm được
.
Tính mô đun ta được .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị của
là:
Với
Với
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại
Khi đó
Ta có: mà H là trực tâm của tam giác ABC nên
Mặt khác
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hai số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
tương ứng bằng:
Ta có:
Phương trình của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
là?
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn F(2) = 0
Ta có: F(2) = 0 => C = 2
=>
Xét phương trình F(x) = x ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Cho số phức
. Số phức
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Trong không gian , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi qua
và cắt các trục
lần lượt tại
với
. Khi diện tích tam giác
nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích
?
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Suy ra