Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3}, trục hoành và hai đường thẳng x = - 1;x = 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2cm?

    Ta có: S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}

    = - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}

    Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho biết I = \int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} = \frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx = 3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1 ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} - u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left( \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n = 20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 3: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t) và \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.

  • Câu 5: Vận dụng

    Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix} 

    \begin{matrix} \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx} \hfill \\ = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \left( {\frac{z}{2} - i} ight)\left( {1 - i} ight) = {(1 + i)^{3979}}

     Ta có: \left( {\frac{z}{2} - i} ight)\left( {1 - i} ight) = {(1 + i)^{3979}} \Leftrightarrow \frac{z}{2} - i = \frac{{{{(1 + i)}^{3980}}}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{z}{2} - i = {2^{1989}}.{i^{1990}} \Leftrightarrow z = - {2^{1990}} + 2i

     Vậy số phức có phần thực là -2^{1990} và phần ảo là 2.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 10: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z = 0.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1). Tính diện tích tam giác ABC?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0

    Suy ra \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}. Lại có: \left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra diện tích tam giác ABC là: S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD có A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

    Theo đề bài, ta có các vecto là

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}

    Có thể chọn \overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight) làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.

    Phương trình mặt phẳng này có dạng 12x - 10y - 21z + D = 0.

    Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: 12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35

    Vậy phương trình cần tìm 12x - 10y - 21z - 35 = 0.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 17: Vận dụng

    Nếu số phức z e 1 thỏa mãn \left| z ight| = 1 thì phần thực của \frac{1}{{1 - z}} bằng:

    Gọi z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight),z e 1

    Do \left| z ight| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1

    Ta có

    \frac{1}{{1 - z}} = \frac{1}{{\left( {1 - a} ight) - bi}} = \frac{{\left( {1 - a} ight) + bi}}{{{{\left( {1 - a} ight)}^2} + {b^2}}}

    = \frac{{1 - a}}{{2 - 2a}} + \frac{b}{{2 - 2a}}i = \frac{1}{2} + \frac{b}{{2 - 2a}}i

    Vậy phần thực của số phức \frac{1}{{1 - z}} là \frac{1}{2}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a;x = b;\left( {a < b} ight) và đồ thị của hai hàm số y = f\left( x ight);y = g\left( x ight). Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x ight) - {g^2}\left( x ight)} ight|dx}

  • Câu 19: Vận dụng

    Xét các số phức z thỏa mãn \left| z ight| = \sqrt 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức w = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}} là một đường tròn có bán kính bằng

    Ta có

    w=\frac{4+i z}{1+z} \Rightarrow \mathrm{w}(1+z)=4+i z \Leftrightarrow z(\mathrm{w}-i)=4-\mathrm{w} \Rightarrow \sqrt{2}|\mathrm{w}-i|=|4-\mathrm{w}|

    Đặt \mathrm{w}=x+y i(x, y \in \mathbb{R})

    Ta có

    \sqrt{2} . \sqrt{x^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2}

    \Leftrightarrow 2\left(x^2+y^2-2 y+1ight)=x^2-8 x+16+y^2

    \Leftrightarrow x^2+y^2+8 x-4 y-14=0 \Leftrightarrow(x+4)^2+(y-2)^2=34

  • Câu 20: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Một khu vườn được quy hoạch để trồng hoa hồng được giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn bán kính (phần tô màu trong hình vẽ). Hỏi số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn? Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần ít nhất 300.000 đồng.

    Tính số tiền tối thiểu để trồng kín hoa trong vườn

    Nửa đường tròn (T) có phương trình y = \sqrt {2 - {x^2}}

    Xét parabol (P) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng y = a{x^2} + c

    (P) cắt Oy tại điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    (P) cắt (T) tại điểm \left( {1;1} ight) thuộc (T) => a + c = 1 \Rightarrow a = 2

    Phương trình (P) là: y = 2{x^2} - 1

    Diện tích miền phẳng D (phần tô màu trong hình là:

    \begin{matrix} S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - 2{x^2} + 1} ight)dx} \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} = {I_1} + {I_2} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } ight)dx} = \left. {\left( { - \frac{2}{3}{x^3} + x} ight)} ight|_{ - 1}^1 = \frac{2}{3}

    Xét {I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^2} + 1} ight)dx} đặt x = \sqrt 2 \sin t;t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight]

    => dx = \sqrt 2 \cos tdt

    Ta có: x \in \left[ {1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} ight]

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}t} .\sqrt 2 \cos tdt} \hfill \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} ight)dt} \hfill \\ = \left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} ight)} ight|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 1 + \dfrac{\pi }{2} \hfill \\ \Rightarrow S = {I_1} + {I_2} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{\pi }{2}\left( {{m^2}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 300000.\left( {\frac{5}{3} + \frac{\pi }{2}} ight) \approx 971239 đồng

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH

    Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

    Do đó OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)

    Suy ra (P):2x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 23: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}} và 3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    Mà 3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight| và {z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight| mà {z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}} + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}} + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}} + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}} + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hình phẳng \left( H ight) giới hạn với các đường y = {x^2};y = 0;x = 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi \left( H ight) quay quanh trục Ox?

    Thể tích cần tìm là:

    V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} = \left. {\pi .\frac{{{x^5}}}{5}} ight|_0^2 = \frac{{32\pi }}{5}

  • Câu 28: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp .A.GBC

    4 || Bốn || bốn

     Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}.

    Suy ra {V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.

  • Câu 30: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;3),\overrightarrow{b} = ( - 2;0;1),\overrightarrow{c} = ( - 1;0;1). Tọa độ vectơ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i}

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = (1;2;3) + ( - 2;0;1) + 2( - 1;0;1) - 3(1;0;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = ( - 6;2;6)

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1). Số điểm cách đều bốn mặt phẳng (ABC),(BCO),(COA),(OAB) là

    Gọi I(m; n; p) là điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho.

    Dễ thấy các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) lần lượt là các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

    Mặt phẳng (ABC) có phương trình tổng quát là x + y + z = 1.

    Do I cách đều các mặt phẳng này nên ta có:

    |m| = |n| = |p| = \frac{|m + n + p - 1|}{\sqrt{3}}\ \ \ (1)

    Ta có các trường hợp

    Trường hợp 1. m = n = p. Khi đó (1) tương đương:

    |m| = \frac{|3m - 1|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}

    Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.

    Trường hợp 2. Trong ba số m, n, p có hai số bằng nhau và bằng số đối của số còn lại.

    Khi đó, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử m = n = − p (các trường hợp còn lại tương tự) và (1) tương đương:

    |m| = \frac{|m - 1|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}

    Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.

    Vậy số điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho là 2 + 2.3 = 8.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm liên tục trên đoạn \left[ { - 3;3} ight] và đồ thị hàm số y = f'\left( x ight) (như hình vẽ). biết f\left( 1 ight) = 6 và g\left( x ight) = f\left( x ight) - \frac{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{2}. Kết luận nào sau đây là đúng?

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Hình vẽ minh họa:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    Ta có:

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - \left( {x + 1} ight) \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow f'\left( x ight) = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3} \\ {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.

    Từ đồ thị ta thấy

    \begin{matrix} \int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{ABCD}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 1 ight) - f\left( { - 3} ight) > 6 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( { - 3} ight) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => g\left( { - 3} ight) = f\left( { - 3} ight) - 2 < 0

    Mặt khác

    \begin{matrix}\int\limits_{ - 3}^1 {f'\left( x ight)dx > {S_{OEFG}}} \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) - f\left( 1 ight) > 2 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( 3 ight) > 8 \Rightarrow G\left( 3 ight) > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Kết luận nào sau đây là đúng

    => g\left( x ight) = 0 có duy nhất nghiệm trên \left[ { - 3;3} ight]

  • Câu 36: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}

    Mà f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}

    Mà f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 40: Vận dụng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (\alpha) đi qua M(1; - 3;8) và chắn trên tia Oz một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia Ox và Oy. Giả sử (P):ax + by + cz + d = 0, với a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0. Tính S = \frac{a + b + c}{d}.

    Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia Ox, Oy, Oy lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0.

    Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1.

    Do (α) đi qua M nên a = 2.

    Suy ra (α): 2x + 2y + z − 4 = 0.

    Từ đó, ta tính được: S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - 3i và {z_2} = - 2 - 5i. Tìm phần ảo b của số phức z = {z_1} - {z_2}. 

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {1 - 3i} ight) - \left( { - 2 - 5i} ight) \hfill \\ = 1 - 3i + 2 + 5i \hfill \\= (1 + 2) + ( - 3 + 5)i \hfill \\ \,\,\,\, = 3 + 2i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho các số phức z_1 , z_2. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?

    \left( I ight):\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}.

    \left( {II} ight):\left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.

    \left( {III} ight):{\left| {{z_1}} ight|^2} = {z_1}^2.

    Áp dụng tính chất số phức, ta có: 

    - Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}

    -  Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun  \left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|

    Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 44: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

    Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

    Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

    Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3), từ đó suy ra \overrightarrow{u} = (1;3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

  • Câu 45: Vận dụng

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2 là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {xi - y - 2 - i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} = 4

  • Câu 46: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i và {z_2} = - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} = - {\left( {1 + 2i} ight)^2} = - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 48: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 49: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là

    Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương \overrightarrow{i} = (1;0;0) nên có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 50: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(2;1;4) và M'(a;b;c) là điểm đối xứng cới điểm M qua Oy. Khi đó a + b + c bằng:

    Gọi H là hình chiếu của M trên Oy ta có H(0;1;0). Do M' đối xứng với M qua Oy, khi đó H là trung điểm của M'M

    Suy ra M'( - 2;1; - 4) từ đó a + b + c = - 5.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 49 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập