Cho số phức z thỏa mãn
. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?
Ta có:
Cho số phức z thỏa mãn
. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho
. Khi đó tọa độ
với hệ
là:
Ta có:
Lại có
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho số phức
. Tính |z|
Ta có
Cho các số phức z thỏa mãn
. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
Đặt
Khi đó phương trình
Với
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho hàm số
biết
,
liên tục trên
và
. Tính
?
Ta có:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
,
. Xét các vectơ
,
.
a)
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
b)
không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
Trong không gian tọa độ , cho hai mặt phẳng
,
. Xét các vectơ
,
.
a) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
b) không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
. Sai||Đúng
a) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Ta có: có vectơ pháp tuyến
.
b) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Ta có: có vectơ pháp tuyến
.
c) .
d) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình
có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình có nghiệm phức
thỏa mãn
.
4 || Bốn || bốn
Ta có với mọi thì phương trình
luôn có nghiệm phức.
và
.
Suy ra .
Từ (1) ta có , từ (2) ta có
.
Vậy tổng .
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Cho số phức
. Tìm số phức
?
Ta có:
Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:
.
Cho điểm
và mặt phẳng
. Xét điểm
thay đổi trên
, giá trị lớn nhất của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Xét là điểm thỏa mãn
thế thì
hay .
Ta có
=
Dấu " " xảy ra khi
là hình chiếu của
lên
.
Biết rằng
nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
Suy ra
Khi đó
Mà
Vậy
Phần thực của số phức
là:
Ta có:
Biết rằng
và
. Tìm hàm số
?
Ta có:
Mà
Vậy
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn ![]()
Ta có:
Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là 2.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
PT sau có số nghiệm là : ![]()
3 || ba || Ba
PT sau có số nghiệm là :
3 || ba || Ba
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Cho
và
. Tính
?
Ta có và
. Tính:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có bao nhiêu điểm
cách đều các mặt phẳng
?
Ta có
Ta có:
Ta có:
Gọi điểm cách đều các mặt phẳng
Từ
Từ
Từ
Từ (1), (3), (5) suy ra , b khác 0 tùy ý.
Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua điểm
và có cặp vectơ chỉ phương
là:
Vectơ pháp tuyến của là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
có thể thay thế bởi
Phương trình có dạng
Vậy
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, tìm tất cả giá trị tham số
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
.
Ta có:
qua điểm
và có VTCP là
(P) có VTPT là
Vì d // (P) nên
Với (loại).
Với (thỏa mãn).
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài
, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Cả hai bên cầu có tất cả nhịp cầu.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc là chân cầu, đỉnh
, điểm
Gọi Parabol phía trên có phương trình: (vì
)
là phương trình parabol phía dưới
(Vì bề dày nhịp cầu là )
Ta có
Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox nên ta có:
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là
Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là
Tính thể tích
của khối lăng trụ
biết thể tích khối chóp
bằng ![]()
Ta có thể tích khối chóp:
Suy ra:
Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
là một đường tròn có bán kính bằng
Ta có
Đặt
Ta có
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Do nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ phương của
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
bằng
Ta có .
Cho hình thang cong
giới hạn bởi các đường
. Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích
và
(hình vẽ bên).

Tính giá trị
để
?
Ta có: do đó ta được:
Theo bài ra ta có:
.
Tích phân
có giá trị là:
Ta biến đổi:
Xét
Đặt
Xét
Đặt
Đổi cận
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
(khác
). Viết phương trình mặt phẳng
sao cho
là trực tâm của tam giác
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Vậy nên
nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đi qua
nên