Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)và d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}. Vị trí tương đối của d và d' là

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2) và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

    Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2).

    Hai vectơ \overrightarrow{u_{d}} và \overrightarrow{u_{d'}} cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

    Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

  • Câu 4: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z:4x - 2y + 1 = 0

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Ta có: \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {\overline z + 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} ight) + \left( {y - 1} ight)i} ight| = \left| {x + \left( {2 - y} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} ight)^2}

    \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho biểu thức M = 1 - z + {z^2} - {z^3} + ... + {z^{2016}} - {z^{2017}} với z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}}. Biểu thức M có giá tri là?

    Ta có: z = \frac{{1 + 2i}}{{2 - i}} = i.

    Khi đó:  M = \frac{{1 - {{( - z)}^{2018}}}}{{1 + z}} = \frac{{1 - {z^{2018}}}}{{1 + z}}

    = \frac{{1 - {z^{2018}}}}{{1 + z}} = \frac{{1 - {i^{2018}}}}{{1 + i}} = 1 - i.

  • Câu 7: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 10: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} - (3i + 8)z + 11\,.i + 13 = 0  là 

     Ta có: \Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11.i + 13) = 4i + 3.

    Giả sử m+ni \,\,(m; n \in \mathbb R)  là căn bậc hai của \triangle.

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3 \,\, (1)\ = \dfrac{2}{m}\,\,\,\, \,\,\,\, (2)\end{array} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có:

    {m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} ight)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,(TM)\\{m^2} = - 1\,\,\,\,\,\,\,(L{m{)}}\end{array} ight.

    \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} ight.

    Vậy \triangle có hai căn bậc hai là  2+i  và -2-i.

    Do đó nghiệm của phương trình là:

    \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \dfrac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} ight.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi y = \ln x,y = 0,x = e là V = \pi(a + be). Tính a + b?

    Phương trình hoành độ giao điểm \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Ta có:

    V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}

    = \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack

    = \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln xdx} ightbrack

    = \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \ \left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack ight\}

    = \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e + 1brack ight\} = \pi(e - 2)

    Vậy a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = - 1

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=1. Cạnh A'B tạo với mặt đáy (ABC) góc 60^0. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

     

    Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AA' \bot \left( {ABC} ight), suy ra hình chiếu vuông góc của A'B trên mặt đáy (ABC) là AB.

    Do đó {60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}.

    Tam giác vuông A'AB, ta có AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3

    Diện tích tam giác là {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}

    Vậy V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( - 3;4;0) và \overrightarrow{b} = (5;0;12). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 3}{13}

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của z = 1 + i + {i^2} + ... + {i^{2023}} là?

    Ta có: z = \frac{{{i^{2022}} - 1}}{{i - 1}} = 1 + i

    (Áp dụng công thức: {S_n} = 1 + p + {p^2} + ... + {p^n} = \frac{{{p^{n - 1}} - 1}}{{p - 1}})

  • Câu 17: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018. Giá trị của biểu thức T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] là bao nhiêu?

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} \hfill \\ = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > 1}}} \\ {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\ {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 2017} \\ {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.

    Khi đó

    \begin{matrix} T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\ = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\ = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 2 + i,{z_2} = 3 - 4i. Môđun của số phức \left( {{z_1} - {z_2}} ight) là:

     Ta có: \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {2 + i - 3 + 4i} ight| = \left| { - 1 + 5i} ight| = \sqrt {26}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Đáp án là:

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} + bx + c.

    Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

    Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy (P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).

    Số tiền phải trả là \frac{9}{2}.1500000 = 6750000 đồng.

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho số phức z  thỏa mãn z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}}. Viết z dưới dạng z = a + bi, \, \, a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+b có giá trị bằng bao nhiêu?

     z = {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} ight)^{2024}} = {\left( { - i} ight)^{2024}} = {\left( {{i^4}} ight)^{506}} = 1

  • Câu 23: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua (P).

    P_{ABC} = AB + BC + CA = AB + B_{1}C + CA \geq AB + AB_{1}

    Gọi M là hình chiếu của A lên trục Oz, M1 là điểm đối xứng của M qua (P)

    AB + AB_{1} \geq AM + AB_{1} \geq AM + AM_{1} (hằng số).

    Vậy PABC nhỏ nhất khi B ≡ M và C là giao điểm của AM1 với (P).

    Từ đó suy ra tọa độ của điểm B là (0; 0; 1).

  • Câu 26: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Biết {I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = a và {I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b + c là:

     Biết {I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = a và {I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1. Giá trị của a + b + c là:

    Ta có:

    {I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} ight)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = ... = \int\limits_0^1 {tdt} = 1 , với t = \tan x

    {I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } ight)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^{\frac{1}{3}}}} ight)} ight|_0^1

    \Rightarrow a = 1,b = \frac{1}{3},c = \frac{2}{3} \Rightarrow a + b + c = 2

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 30: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 31: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 33: Nhận biết

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 34: Nhận biết

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 35: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 36: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} = - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} = - 9 - 9i

  • Câu 37: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x} và f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S = a + b?

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1, khác 0 và

    thỏa mãn đẳng thức z_0^2+z_1^2=z_0z_1. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

    Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z_0, z_1.

    Theo giả thiết suy ra: OA=|z_0|, OB=|z_1| và AB=|z_1-z_0|.

    Ta có: z_0^2+z_1^2=z_0z_1 \Leftrightarrow z_0^2-z_0z_1+z_1^2=0.

    \Leftrightarrow (z_0 +z_1)(z_0^2-z_0z_1+z_1^2)=0

    \Leftrightarrow z_0^3+z_1^3=0 \Leftrightarrow z_0^3=-z_1^2\Leftrightarrow |z_0|=|z_1| \Leftrightarrow OA=OB

    Xét (z_1-z_0)^2=z_0^2+z_1^2-2z_0z_1=-z_0z_1 \Rightarrow |z_1-z_0|^2=|z_1|.|z_0|

    \Leftrightarrow AB^2=OA.OB \Leftrightarrow AB=OB.

    Vậy OA=OB=AB hay tam giác OAB là tam giác đều.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + y - z - 3 = 0 và (Q):x + y + z - 1 = 0. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.. Đặt z = t ta suy ra x = 2t + 2,y = - 3t - 1.

    Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}

    Xét điểm A(2; - 1;0) \in d, ta thấy A chỉ thuộc đường thẳng: \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho số phức z thoả mãn \frac{1+i}{z} là số thực và |z-2|=m với m∈\mathbb{R}. Gọi m_0 là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:

    Giả sử z=a+bi,(a,b∈ \mathbb R)..

    Đặt: w=\frac{1+i}{z}=\frac{1+i}{a+bi}

    =\frac{1}{a^2+b^2}[a+b+(a-b)i]=\frac{a+b}{a^2+b^2 }+\frac{a-b}{a^2+b^2 } i.

    w là số thực nên: a=b(1).

    Mặt khác:  |a-2+bi|=m⇔(a-2)^2+b^2=m^2

    Thay (1) vào (2) được: (a-2)^2+a^2=m^2⇔2a^2-4a+4-m^2=0

    Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm duy nhất a. \Leftrightarrow \Delta '=0 \Leftrightarrow 4-2(4-m^2 )=0 \Leftrightarrow m^2=2 \Leftrightarrow m= \sqrt 2 \in (1;\frac {3}{2})

    (Vì m là mô-đun).

  • Câu 44: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 10\ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 2t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

    Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\ s)

    Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt = \left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m

    Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc 10\ m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

    Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là S_{1} = 3.10 = 30\ m

    Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m

  • Câu 45: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1 và x = 3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20

  • Câu 46: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 + 3i} ight)z + 2i = - 4. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

    Ta có: \left( {1 + 3i} ight)z + 2i = - 4 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 4 - 2i}}{{1 + 3i}} = - 1 + i

  • Câu 47: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chóp S.ABC với G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} bằng.

    Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

    Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

    \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} ight).

    = 3\overrightarrow{SG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)= 3\overrightarrow{SG}

  • Câu 48: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 49: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 3; - 1),B(4; - 1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng trung trực của AB.

    Tọa độ trung điểm của AB là I\left( 3; - 2;\frac{1}{2} ight)

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (2;2;3)

    Phương trình mặt phẳng

    \begin{matrix}(\alpha):2(x - 3) + 2(y + 2) + 3\left( z - \dfrac{1}{2} ight) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 4x + 4y + 6z - 7 = 0 \hfill\\\end{matrix}

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 102 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập