Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho
là hai số phức thỏa mãn
, biết
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Cách 1: + Đặt ta có
+ Sử dụng công thức: ta có
=>
Cách 2.
+ Biến đổi:
Ta có
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun:
Trong đó là góc
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức
Vậy
Cho tứ diện
có
và
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Một bể thủy tinh chứa nước có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé bằng 0,8m, chiều dài bằng 3m nằm trong của thùng. Bể nước được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đúng (như hình vẽ). Tính thể tích V của nước có trong bể, biết chiều cao nước trong bể là 0,6m. (Kết quả được làm tròn đến phần trăm).

Xét một đáy của bể và gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Phương trình đường elip đáy khi đó có phương trình
Khi đó chiều cao của mép nước trong bể với đường thẳng
Xét phương trình
Diện tích phần mặt chứa nước là:
Do đó thể tích nước trong thùng là:
Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức
và
là nghiệm ?
Ta có và
.
Suy ra là nghiệm của phương trình
.
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
. Xác định
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau?
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi
Tập xác định
Vậy thì hai mặt phẳng
song song với nhau.
Trong không gian
, cho ba điểm
với
là những số thực dương sao cho
. Tính
sao cho khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là lớn nhất
Phương trình mặt phẳng
Xét ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
⇒ , khi đó
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Đặt
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên
. Tìm tọa độ điểm
?
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên
Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho hai mặt phẳng
.
Gọi
là góc nhọn tạo bởi
và
thì giá trị đúng của
là:
Theo đề bài đã cho PTTQ , ta suy ra được các vecto pháp tuyến tương ứng là:
có vectơ pháp tuyến
có vectơ pháp tuyến
Áp dụng công thức tính cosin giữa 2 vecto, ta có:
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tính cosin góc
?
Ta có: .
Cho hình vuông
có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Cho hình vuông có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức ![]()
Giả sử:
Ta có:
Cho số phức
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
.
Ta có nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.
Nếu số phức
thỏa mãn
thì phần thực của
bằng:
Gọi
Do
Ta có
Vậy phần thực của số phức là
Kí hiệu
là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
?
Ta có:
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Cho số phức
. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.
Ta có
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Trong không gian
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
.
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Cho số phức
thỏa mãn
. Tính ![]()
Giả sử:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và ![]()
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
;
là giao điểm của
và
. Biết
vuông góc với mặt phẳng
và
. Tính thể tích khối chóp
.

Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác:
Vậy .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Biết
là nguyên hàm của hàm số
. Hỏi đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Vì là nguyên hàm của hàm số
nên suy ra
Ta có:
Xét hàm số trên
, ta có:
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên
(2)
Mặt khác ta có hàm số liên tục trên
và
nên
.
Suy ra tồn tại sao cho
(3)
Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
.
Đồng thời vì là nghiệm bội lẻ nên
đổi dấu qua
Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
Trong không gian với hệ tọa độ
, vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
cùng phương với vectơ
. Vậy
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì
Mà
Vậy .
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:
là?
Đặt , khi đó phương trình đã cho có dạng:
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức:
.
Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:
=
= a – bi
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Cho số phức
. Số phức
có phần ảo là:
Ta có:
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mô đun bé nhất bằng
Đặt
Khi đó
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .