Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Hàm số
là nguyên hàm của
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
TXĐ:
Ta có:
Phương trình có 1 nghiệm đơn
và một nghiệm kép
nên hàm số
có 1 điểm cực trị.
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích
của khối chóp đã cho.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vì
là khối chóp đều nên suy ra
.
Gọi là trung điểm của
Tam giác vuông tại
, có:
Diện tích tam giác là:
Vậy thể tích khối chóp:
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là
. Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ
đến giây thứ
bằng bao nhiêu?
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
Cho hình hộp chữ nhật
có
và đặt
. Lấy điểm
thỏa
và điểm
thỏa
. (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
, với
là các số thực. Đúng||Sai
d)
. Đúng||Sai
Cho hình hộp chữ nhật có
và đặt
. Lấy điểm
thỏa
và điểm
thỏa
. (Quan sát hình vẽ).
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) , với
là các số thực. Đúng||Sai
d) . Đúng||Sai
a) Đúng: Ta có
b) Sai:
c) Đúng:
(vì đôi một vuông góc nên
.
Ta có
.
d) Đúng:
Suy ra .
Cho số phức
. Tìm số phức z thỏa mãn
.
Ta có:
Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm
sao cho các điểm biểu diễn của
tạo thành tam giác đều.
Giả sử
Để các điểm biểu diễn của tạo thành một tam giác đều thì
Vậy có hai số phức thoả mãn là:
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol
và hai đường thẳng
(mô tả như hình vẽ). Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bới và đường thẳng
(phần tô màu đen);
là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol
và đường thẳng
(phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của
thì
?

Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng
là:
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng
là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và
là:
Khi đó:
Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là?
Ta có:
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
Nếu số phức
thỏa mãn
thì phần thực của
bằng:
Gọi
Do
Ta có
Vậy phần thực của số phức là
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và các đường thẳng ![]()
Diện tích S của hình phẳng trên là:
Ta có:
=>
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau
và đườDng thẳng
(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng
bằng

Đặt . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có:
Thể tích cần tìm là
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức
là:
Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó ,
,
;
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên
.
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
.
Trong không gian
, mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
có phương trình là:
Mặt phẳng chứa trục có dạng
Mặt phẳng đi qua điểm nên
Do đó chọn suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là
.
Cho số phức
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Vậy là khẳng định đúng.
Gọi
là bốn nghiệm phức của phương trình
. Tổng
bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tính góc của hai vectơ ![]()
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto, ta có:
Thay số suy ra được:
Cho phương trình sau:
. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Cho phương trình sau: . Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?
4 || Bốn || bốn
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên
có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.
Tìm một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Đặt
Khi đó .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho hai số thực
và
. Kí hiệu
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Ta có: . Vì
và
là số thực.
. Vậy ta có:
và
.
Ta có:
;
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.
Số phức z thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
là:
Mặt phẳng có VTPT
và đi qua điểm
.
Suy ra phương trình .
Cho số phức z thỏa mãn
. Khi đó phần thực và phần ảo của z là
Ta có:
Cho hai số phức
. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức
, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức nên
Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ
Vậy G là điểm biểu diễn của số phức:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Giá trị của
là?
Ta có:
(Áp dụng công thức: )
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:![]()
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:.
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Chọn đáp án đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Biết
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Xét số phức z thỏa mãn:
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Giả sử: và
, thay vào đẳng thức ta có:
Do đó ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị
là đường cong như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành và hai đường thẳng
(phần tô đen) là:
Dựa vào hình vẽ ta thấy thì
Vậy
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Cho số phức
thoả mãn
là số thực và
với
. Gọi
là một giá trị của
để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
Giả sử .
Đặt:
.
là số thực nên:
.
Mặt khác:
Thay (1) vào (2) được:
Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT (3) phải có nghiệm duy nhất .
(Vì là mô-đun).
Biết rằng
nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
Suy ra
Khi đó
Mà
Vậy
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng
biến mặt phẳng
thành mặt phẳng
.
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là .
Ta có và
.
Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.
Ta có , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì
).
Do C’ đối xứng với qua mặt phẳng Oxy, suy ra
Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng
lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện
và
bằng nhau, biết
có một vectơ chỉ phương là
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có
Nên . Vì
C là trung điểm của BD nên .
Điểm nên
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình đường thẳng qua
và vuông góc với
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là
.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với
là: