Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) +
\ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx =
\int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} =
\int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt =
e^{x}dx

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} =
\int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} -
\frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t +
3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left(
e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3
ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) =
2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} -
\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3
ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;3; - 2)N(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{MN} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0
+ 2) = (2; - 4;2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{MN} =
(2; - 4;2).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2}, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

    Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} nên M\left( {1; - 1} ight),N\left( {3;2} ight)

    Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ G\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} ight)

    Vậy G là điểm biểu diễn của số phức: z = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2). Điểm M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} +
2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} +
3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, T = 12a + 12b + c có giá trị là:

    Chọn I sao cho 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +
5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Ta tính được I\left( -
\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)

    Ta thấy

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IB} ight) \\
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IC} ight) \\
\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA} ight) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}
ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}
ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\
\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA}
ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\
\end{matrix} ight.

    S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} +
2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} +
3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left(
4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC}
ight)

    \Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}

    Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

    Vậy M là hình chiếu vuông góc của I\left(
\frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight) lên (Oxy) \Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0
ight)

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = - 1

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc v(t)(m/s)có gia tốc v'(t) = \frac{3}{t + 1}\left( m/s^{2}
ight). Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Vận tốc của vật là:v(t) =
\int_{}^{}{v'(t)dt} = \int_{}^{}{\frac{3}{t + 1}dt} = 3ln(t + 1) +
C

    Do vận tốc ban đầu của vật là 6m/s

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 6 \Rightarrow
3ln1 + C = 6 \Rightarrow C = 6

    Vận tốc của vật sau 10s là v(10) = 3ln11
+ 6 \approx 13m/s

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 

     

    Gọi H là hình chiếu của A trên SB \Rightarrow AH \bot SB

    Ta có \left\{ \begin{gathered}  SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC \hfill \\  AB \bot BC \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow AH \bot BC

    Suy ra AH \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Tam giác SAB vuông tại A, có \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow SA = a

    Vậy V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.

  • Câu 9: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} +
2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx}
= me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} +
nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left(
me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} +
2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;4;3) và mặt phẳng (P):2y - z = 0. Tìm điểm C thuộc (P), điểm B thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất. Giá trị chu vi tam giác ABC bé nhất là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H;K lần lượt là hình chiếu của A lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được H(1;2;4),K(1;4;0).

    Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với A qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).

    Khi đó ta có AB = NB,CA = CM nên AB + BC + CA = NB + BC + CM \geq MN = 2KH =
4\sqrt{5}

    Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2}
- x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I =
\int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} =
\int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3}
ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t =  - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z =  - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 =  - 1 + 1 - 2 =  - 2

  • Câu 14: Nhận biết

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 15: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z  = \overline {3 - 4i}  = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm M(1; - 2;3). Tính khoảng cách d từ M đến (P).

    Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2
+ 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} =
\frac{5}{\sqrt{29}}

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; - 1),B(1;1;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}
ight| ngắn nhất.

    Gọi J(x; y; z) là điểm sao cho \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} =
\overrightarrow{0} Suy ra J(2; 3; 1).

    Khi đó \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} +
\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight|
= 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| đạt GTNN khi và chỉ khi \left| \overrightarrow{MJ} ight| đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

    Vậy M(2; 3; 0).

  • Câu 18: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình sau trên trường số phức là:z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình bằng 0 nên pt có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0

    \Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow  (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z =  - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:z = {m{\{ }}1;\,\,3;\,\,2i;\,\, - 2i{m{ \} }}.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho số phức {z_1} = 1 + 2i{z_2} =  - 1 - 2i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Ta có: {z_1}.{z_2} =  - {\left( {1 + 2i} ight)^2} =  - \left( {1 + 4i - 4} ight) = 3 - 4i

    Vậy {z_1}.{z_2} = 3 - 4i là khẳng định đúng.

  • Câu 20: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho số phức z =  - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z  = \overline { - 6 - 3i}  =  - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) là:

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-
3} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} +
\sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} +
C. Tính giá trị biểu thức H = 3a +
b?

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} +
\sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x
+ 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} -
\sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x +
2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = -
\frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho các hàm số f(x)F(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn F'(x) = f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}, biết rằng F(0) = 2;F(1) = 5?

    Ta có: I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) -
F(0) = 3.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 = 2 \\
y - 3 = - 2 \\
z - 2 = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y
+ 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in
d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t -
2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH}
\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) +
2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix}
x = 2.1 - 3 = - 1 \\
y = 2.1 - 2 = 0 \\
z = 2.2 - 0 = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} =
1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2}
\Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) +
\left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Biết \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}
= 7\int_{1}^{2}{2x.f'\left(
x^{2} - 1 ight)dx} = - 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 là:

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) =
2;f'(0) = 0

    Xét tích phân \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1
ight)dx}. Đặt u = x^{2} - 1
\Rightarrow du = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow u = 0 \\
x = 2 \Rightarrow u = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Do đó \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2}
- 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u)
ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)

    \Rightarrow f(3) - f(0) = - 3
\Rightarrow f(3) = - 1

    Xét tích phân \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}. Đặt u = x - 1 \Rightarrow du = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow u = 0 \\
x = 4 \Rightarrow u = 3 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x
- 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u +
1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}

    = \left. \ (u + 1)f'(u)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}

    = 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u)
ight|_{0}^{3}

    = 4f'(3) - f'(0) - f(3) +
f(0)

    Theo bài ra suy ra

    4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) =
7

    \Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0)
= 4 \Rightarrow f'(3) = 1

    Như vậy f(3) = - 1;f'(3) =
1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là: y = x - 4.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 - i + {i^3}. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.

     Ta có z = 1 - i + {i^3} = 1 - i - i = 1 - 2i \Rightarrow a = 1,b =  - 2

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z =  - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z =  - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} =  - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z{z^2} + z =  - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta  = 1 - 4.\frac{5}{2} =  - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    \Delta  = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + iz= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a;x = b;\left( {a < b} ight) và đồ thị của hai hàm số y = f\left( x ight);y = g\left( x ight). Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x ight) - {g^2}\left( x ight)} ight|dx}

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 38: Nhận biết

    Tính tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x +
1)e^{x}dx} bằng cách đặt u = 2x +
1;dv = e^{x}dx. Công thức nào dưới đây chính xác?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u = 2x + 1 \\
dv = e^{x}dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = 2dx \\
v = e^{x} \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra I =
\int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = \left. \ \left\lbrack (2x + 1)e^{x}
ightbrack ight|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

  • Câu 39: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} =  - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  \pm 1\\z =  \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z =  \pm 1\\z =  \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z  = 5 + 3i. Môđun của z là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x + 3y = 5 \hfill \\  x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x = 2 \hfill \\  y = 1 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow  - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega  ight| \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {x + m +  + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\   - 2m + 4 \leqslant  - 10 \hfill \\ \end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  m \leqslant  - 3 \hfill \\  m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho số phức z = 5 - 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

     z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) \Rightarrow z' =  - x - yi

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải OyS_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1
ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 -
k};k ight)B\left( \sqrt{1 +
k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1}
\Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 -
k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\  = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k
- 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1
ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} -
\frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1
- k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \  + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1
+ k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 +
k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k}
ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx
0,59.

  • Câu 44: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + 4y + 3z - 5 = 0(Q):mx - ny - 6z + 2\  = \ 0. Giá trị của m, n sao cho (P)//(Q)

    Ta có: (P) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3), (Q) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; -
6)

    Để hai mặt phẳng song song thì \overrightarrow{u_{(P)}} =
k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2k \\
- n = 4k \\
- 6 = 3k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = - 2 \\
m = - 4 \\
n = 8 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: m = - 4;n =
8.

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight|, biết \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Cách 1: + Đặt z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} ta có

    \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {2 - y} ight) + xi} ight|

    \sqrt {4{x^2} + {{\left( {2y - 1} ight)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 - y} ight)}^2} + {x^2}}  \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4y + 1 = 4 - 4y + {y^2} + {x^2}

    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức: \forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C} ta có

    {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} ight|}^2} + {{\left| {{z_2}} ight|}^2}} ight)

    => P = \sqrt 3

    Cách 2.

    + Biến đổi: \left| {iz + 2} ight| = \left| { - i\left( {iz + 2} ight)} ight| = \left| {z - 2i} ight|

    Ta có \left| {2z - i} ight| = \left| {z - 2i} ight| \Rightarrow {\left| {2z - i} ight|^2} = {\left| {z - 2i} ight|^2} \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức bình phương mô đun:

    {\left| {m{z_1} + n{z_2}} ight|^2} = {m^2}{z_1}^2 + 2mn{z_1}{z_2}cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) + {n^2}{z_2}^2

    Trong đó \left( {{z_1},{z_2}} ight) là góc \widehat {MON} với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} trên mặt phẳng phức

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1

    \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 1 \Rightarrow cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = \frac{1}{2}

    {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

    Vậy {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

  • Câu 46: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 47: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).

    Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: I\left( {2, - 1,4} ight)

    Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận \vec{AB} làm 1 VTPT. Ta có VTPT của \left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB}  = 2\left( {1, - 5,1} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0

  • Câu 48: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 49: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\} thỏa mãn 2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1f(1) =0. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: 2xf(x) + x^{2}f'(x) =1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C

    Lại có f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1

    Từ đó suy ra x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)

    Ta có: f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1

    Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z  = \frac{{{{\left( {1 - 2i} ight)}^5}}}{{2 + i}}. Viết z dưới dạng z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z  = \frac{{{{\left( {1 - 2i} ight)}^5}}}{{2 + i}}. Viết z dưới dạng z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}. Khi đó tổng a+2b có giá trị bằng bao nhiêu?

    10

     Ta có: \overline z  = 24 + 7i \Rightarrow z = 24 - 7i

    Suy ra a + bi=10.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo