Lớp 12 Toán 12

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi HK2 Toán 12 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 50 câu
  • Số điểm tối đa: 50 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm phức của phương trình 2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0. Tổng T = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| + \left| {{z_3}} ight| + \left| {{z_4}} ight|  bằng:

     Ta có:  2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 1} ight)\left( {{z^2} - 2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {z + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} ight)\left( {z - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} ight)\left( {z - \sqrt 2 } ight)\left( {z + \sqrt 2 } ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i\\{z_2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}i\\{z_3} = \sqrt 2 \\{z_4} = - \sqrt 2 \end{array} ight.

    T = \left| {{z_1}} ight| + \left| {{z_2}} ight| + \left| {{z_3}} ight| + \left| {{z_4}} ight| = 3\sqrt 2

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;0),B( - 2;0;1),C(0;0;2) và mặt phẳng (P):x + 2y + z + 4 = 0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng Q = a + b + 6c.

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có: G\left( - \frac{1}{3};\frac{1}{3};1 ight)

    Lại có

    S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}

    = 3MG^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight) + \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}

    = 3MG^{2} + \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}

    Vì \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA} là một hằng số nên S nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu của G lên (P).

    Từ đó ta tìm được M\left( - \frac{11}{9}; - \frac{13}{9};\frac{1}{9} ight) và Q = a + b + 6c = - 2

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}

    Do đó \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Khi đó \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} bằng.

    Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

    \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}

    = \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} ight)

    = 4\overrightarrow{SO}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn {z^2} - 6z + 13 = 0. Giá trị của \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| là:

     {z^2} - 6z + 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} z = 3 + 2i \hfill \\ z = 3 - 2i \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với z = 3 + 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = 4 + i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = \sqrt {17}

    Với z = 3 - 2i \Rightarrow z + \frac{6}{{z + i}} = \frac{{24}}{5} - \frac{7}{5}i \Rightarrow \left| {z + \frac{6}{{z + i}}} ight| = 5

  • Câu 9: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho số phức z = 5 - 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

     z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) \Rightarrow z' = - x - yi

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của \frac{a}{b} là:

     Biết I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}. Giá trị của \frac{a}{b} là:

    Ta có: 

    I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} = \left. {\left( {\frac{1}{2}x\sin 2x} ight)} ight|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} = - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}} - \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{1}{{24}} \hfill \\ b = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{12}}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)

    Vậy khẳng định sai là: \left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 20: Nhận biết

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {2x.dx} có giá trị là:

     Tích phân I = \int\limits_1^2 {2x.dx} có giá trị là:

    I = \int\limits_1^2 {2x.dx} = 2.\int\limits_1^2 {x.dx} = \left. {\left( {2.\frac{{{x^2}}}{2}} ight)} ight|_1^2 = 3

    Ngoài ra ta có thể kiểm tra bằng máy tính, dễ dàng thu được kết quả như cách trên.

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + i} ight| = 2. Chọn phát biểu đúng:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \left| {z - 1 + i} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} ight) + \left( {y + 1} ight)i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = 4

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1?

    Phương trình hoành độ giao điểm e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)

    Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1

    S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}

    = - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}

    = - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)

    = 4\ln2 + e - 5

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

  • Câu 24: Vận dụng

    Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} thỏa mãn F(2) = 0 

    \begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: F(2) = 0 => C = 2

    => F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2

    Xét phương trình F(x) = x ta có:

    \begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng x = 1 - \sqrt 3

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}

    = \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}

    = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C

    Vậy một nguyên hàm của hàm số là F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 27: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 28: Vận dụng

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

    Đáp án là:

    Gọi z là số phức thoả mãn z^2+z+1=0.

    Giá trị của biểu thức P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 là?

    30 || Ba mươi || ba mươi

     Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn z^2+z+1=0.

    Do đó ta có z^2+z+1=0

    \Leftrightarrow z+\dfrac{1}{z}=-1 \Rightarrow z^2+\dfrac{1}{z^2}=-1

    Ta cũng có z^3+\dfrac{1}{z^3}=(z+\dfrac{1}{z})^3-3z.\dfrac{1}{z}.(z+\dfrac{1}{z})=2

    và z^4+\dfrac{1}{z^4}=(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2-2=-1

    Vậy P=2(z^2+\dfrac{1}{z^2})^2+3(z^3+\dfrac{1}{z^3})^3+4(z^4+\dfrac{1}{z^4})^4 =30.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; - 4;2),B(1;2;4). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

    Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A(5; - 4;2) và vuông góc với đường thẳng AB.

    Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \overrightarrow{n_{AB}} = ( - 4;6;2)

    Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:

    - 4(x - 5) + 6(y + 4) + 2(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3 và \int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6. Tính tích phân C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}?

    Ta có: C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}.

    Ta có:

    C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}

    Đặt t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2

    Ta có:

    C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}

    Đặt t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1.

    Vậy C = C_{1} + C_{2} = 3

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vậy đáp án đúng là : \frac{x - 6}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{3}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 35: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 36: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 38: Nhận biết

    Hàm số y = {x^3} + x có nguyên hàm là:

     Ta có: \int {\left( {{x^3} + x} ight)dx} = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C

  • Câu 39: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x} và f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {z + 2 - i} ight| = 2\left| {z - 1 - i} ight| và {z_1} + {z_2} = 1 + i.

    Tính giá trị biểu thức P = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

     Ta có \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_1} - 1 - i} ight| mà {z_1} + {z_2} = 1 + i

    \Rightarrow \left| {{z_1} + 2 - i} ight| = 2\left| {{z_2}} ight|

    \Rightarrow 4{\left| {{z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + 2 - i} ight)\left( {\overline {{z_1}} + 2 + i} ight) = {\left| {{z_1}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1}} + \left( {2 + i} ight){z_1} + 5.(1)

    Tương tự ta có

    4{\left| {{z_1}} ight|^2} = {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_2}} + \left( {2 + i} ight){z_2} + 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 ight)

    Cộng (1) và (2) ta có:

    4P = P + \left( {2 - i} ight)\overline {{z_1} + {z_2}} + \left( {2 + i} ight)\left( {{z_1} + {z_2}} ight) + 10

    = P + \left( {2 - i} ight)\left( {1 - i} ight) + \left( {2 + i} ight)\left( {1 + i} ight) + 10 = P + 12 \Rightarrow P = 4.

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho A( - 1;2;1) và hai mặt phẳng (P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0. Khi đó:

    Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

    Vì {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)} nên (Q)//(P).

  • Câu 43: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \left| {\frac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1 và \left| {\frac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1

    Ta có:  \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1\\\left| {\dfrac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z + 1} ight| = \left| {i - z} ight|\\\left| {z - i} ight| = \left| {2 + z} ight|\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\4x + 2y = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} ight.

    \Rightarrow z = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i

  • Câu 44: Thông hiểu

    Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = a\sqrt 3.

     

    Đặt cạnh của khối lập phương là x  ( x > 0)

    Suy ra CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2.

    Tam giác vuông ACC', có

    AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a

    Vậy thể tích khối lập phương V = a^3.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AD;BC, các điểm M;N lần lượt nằm trên AB;DC sao cho AM = MB;DN = 2NC. Biết biểu diễn \overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} + n.\overrightarrow{EN}. Tính tổng giá trị m;n?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{EF} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}

    = \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}

    Suy ra m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m + n = \frac{3}{2}

  • Câu 46: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 47: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 48: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 - i + {i^3}. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.

     Ta có z = 1 - i + {i^3} = 1 - i - i = 1 - 2i \Rightarrow a = 1,b = - 2

  • Câu 49: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 50: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 78 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi HK2 Toán 12 Đề 2
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập