Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
với
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để thể tích khối tứ diện
bằng
.
Ta có:
Lại có:
Khi đó ta có:
Theo đề ta có:
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho hai số phức
và
. Tìm số phức ![]()
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng , điểm
có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng
.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cách
một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.
Ta có BH ≤ AB.
Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A
⇒ BHmax = AB khi AB ⊥ (P).
Ta có:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và ![]()
Ta có:
Kí hiệu
là hai nghiệm phức của phương trình
. Tính ![]()
Phương trình có hai nghiệm
.
Khi đó
Cho số phức
thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức
.
Ta có mà
(1)
Tương tự ta có
Cộng (1) và (2) ta có:
Số phức
bằng:
Ta có:
Cho số phức
. Phần thực và phần ảo của số phức
lần lượt là:
Ta có:
Tích phân
có giá trị là:
Ta có:
Xét
Đặt
Cho số phức z thỏa mãn
. Chọn phát biểu đúng:
Giả sử:
Theo bài ra ta có:
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
cùng vuông góc với
và có giá vuông góc với mp(P)
Cho
. Giá trị của x và y bằng:
Ta có:
Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là
=
= a – bi
Hàm số
có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:
Hàm số đi qua B(2; 10) =>
=>
=>
Cho hình
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
, đường cong
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Tính diện tích
của hình
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Điểm biểu diễn của số phức
là:
Ta có:
Cho số phức
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Ta có: .
Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Gọi và
là hai nghiệm phức của phương trình:
. Tính
.
9 || chín || Chín
Ta có .
Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:
.
Do đó .
Gọi
là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức
là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Gọi là số phức thoả mãn
.
Giá trị của biểu thức là?
30 || Ba mươi || ba mươi
Dễ thấy rằng z=0 không thoả mãn .
Do đó ta có
Ta cũng có
và
Vậy .
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Số phức
có phần thực bằng
Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.
Cho số phức
thoả điều kiện
.
Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Cho a, b, c là các số thực và
. Giá trị của
bằng:
Cách 1: Ta có
và
.
Ta có
Cách 2: Chọn .
Ta có
Thử lại các đáp án với ta thấy chỉ có đáp án
thỏa mãn.
Tích phân
có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng
là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
. Theo bài ra ta có:
Suy ra
Vậy
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:
Cho số phức
. Số phức
là số phức nào sau đây?
Ta tính được
Số nghiệm của phương trình:
là?
Đặt phương trình đã cho có dang:
+ Với
+ Với
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và
. Giá trị của f(2) là:
Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Ta có:
Vậy => f(x) = 20
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Số phức liên hợp của số phức
là
=
= a - bi
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Trong không gian
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
Lại có
Vì là một hằng số nên S nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu của G lên (P).
Từ đó ta tìm được và
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Tính thể tích
của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
và tổng diện tích các mặt bên bằng ![]()

Xét khối lăng trụ có đáy
là tam giác đều và
.
Diện tích xung quanh lăng trụ là
Diện tích tam giác là
.
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Cho
là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường
và đồ thị của hai hàm số
. Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay
quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:
Cho số phức z thỏa mãn
. Viết z dưới dạng
. Khi đó tổng
có giá trị bằng bao nhiêu?
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Tìm số phức
trong phương trình sau: ![]()
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng:
và ![]()
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng
đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng
đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng
và
khoảng
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng:
và
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng và
khoảng
. Sai||Đúng
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
nên mệnh đề sai
b) Mệnh đề đúng
c) Gọi
nên mệnh đề đúng
d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai