Cho tam giác
có
,
,
.Tính
.
Ta có ,
suy ra
.
Cho tam giác
có
,
,
.Tính
.
Ta có ,
suy ra
.
Tìm m để hệ bất phương trình sau trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
.
Để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì hệ số đứng trước
phải bằng
nghĩa là:
Vậy với thì hệ bất phương trình đã cho trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm M(2; 1) và N(1; 2). Tọa độ vectơ
là
Ta có:
Cho
có
. Số đo của góc
là:
Ta có:
Trong hệ tọa độ
cho tam giác
có
và trọng tâm là gốc tọa độ
Tìm tọa độ đỉnh
?
Gọi .
Vì là trọng tâm tam giác
nên
Biết
và
. Câu nào sau đây đúng?
Ta có:
=> và
ngược hướng.
Cho A là tập hợp các bội của 2, B là tập hợp các bội của 8. Chọn khẳng định đúng:
Số lượng phần tử của tập hợp các bội của 2 nhiều hơn số lượng phần tử tập hợp các bội của 8. Mà đã là bội của 8 thì cũng là bội của 2.
Do đó
Cho 2 vectơ đơn vị
và
thỏa
. Hãy xác định
.
Ta có: và
.
Suy ra .
Tập xác định của hàm số
là
Ta có :
• Khi x < 2: xác định khi
.
Suy ra D1 = (−∞;2).
• Khi x ≥ 2: xác định khi x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 7.
Suy ra D1 = [2; + ∞).
Vậy TXĐ của hàm số là D = D1 ∪ D2 = (−∞;+∞) = ℝ.
Cho tam giác OAB có M, N là trung điểm của OA, OB. Chọn mệnh đề đúng.
Miền nghiệm của bất phương trình
không chứa điểm nào sau đây?
Xét điểm . Ta có:
nên miền nghiệm của bất phương trình trên không chứa điểm
.
Cho ba điểm
phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng là
.
Nửa mặt phẳng là miền nghiệm của bất phương trình
không chứa điểm nào trong các điểm sau:
Thay điểm vào bất phương trình, ta được:
(sai). Do đó điểm này không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Cho
Tập hợp
bằng
Tập hợp gồm những phần tử thuộc
nhưng không thuộc
Cho tam giác ABC có
. Cần điều kiện gì để các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức
?
Theo định lí hàm số cos ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Với ba điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng, đẳng thức
xảy ra khi
nằm giữa
và
.
Chọn đáp án sai là: Nếu ba điểm phân biệt nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
và
sao cho
. Độ dài lớn nhất của đoạn
bằng:
Theo định lí hàm sin, ta có:
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi
.
Khi đó .
Cho bất phương trình
. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
Ta có: . Suy ra
.
Nhận xét: không thuộc
.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?
Đáp án là đáp án đúng vì hàm số bậc hai có dạng
Số phần tử của tập hợp A =
là
Ta có:
Tam thức bậc hai
nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
Ta có: và
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
.
Do đó,
.
Số nghiệm của phương trình
là:
Đặt (t≥0).Phương trình trở thành:
Với t = 1 ta được .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Cho hình bình hành
. Lấy hai điểm
sao cho
, lấy tiếp hai điểm
sao cho
. Để
là trọng tâm tam giác
thì
thỏa mãn điều kiện nào sau đây:
Hình vẽ minh họa

Để J là trọng tâm tam giác AMN thì
Mặt khác do không cùng phương nên ta suy ra:
Vậy với thì điểm J là trọng tâm tam giác AMN.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 
Thay tọa độ vào hệ ta được:
ta thấy cả 3 bất phương trình đều thỏa mãn. Do đó điểm này thuộc miền nghiệm của hệ.
Bảng biến thiên của hàm số y = − 2x2 + 4x + 1 là bảng nào trong các bảng được cho sau đây ?
Hệ số bề lõm hướng xuống.
Ta có và y(1) = 3. Do đó chọn
.
Cho hình vuông
tâm
cạnh a. Biết rằng tập hợp điểm
thỏa mãn
là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn.
Ta có:
Do
Vậy tập hợp các điểm là đường tròn tâm
, bán kính
.
Cho tam giác
vuông tại
có
. Tính ![]()
Ta có:
Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c. Biểu thức f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) có giá trị bằng
f(x+3) = a(x+3)2 + b(x+3) + c = ax2 + (6a+b)x + 9a + 3b + c.
f(x+2) = a(x+2)2 + b(x+2) + c = ax2 + (4a+b)x + 4a + 2b + c.
f(x+1) = a(x+1)2 + b(x+1) + c = ax2 + (2a+b)x + a + b + c.
⇒ f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) = ax2 + bx + c.
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn
là ?
Ta có .
Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa
là
.
Tính tổng
.
Ta có .
Cho
Tập hợp
bằng
Tập hợp gồm những phần tử thuộc
nhưng không thuộc
Tam giác ABC có
. Độ dài cạnh AB là:
Xét tam giác ABC ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
Cho tập hợp
và
Tập
là:
Tam giác ABC có BC = 10 và
. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: .
Cho hình bình hành
, điểm
thỏa mãn:
. Khi đó điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=
Trong hệ tọa độ
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
thỏa mãn biểu thức
?
Theo bài ra ta có:
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình:
có đúng hai nghiệm phân biệt.
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 1 ≤ a < 4.
Cho hai lực
và
có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực
và
lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là:

Ta có: .
Cho mệnh đề chứa biến
chia hết cho 4” với
là số nguyên. Xét xem các mệnh đề
và
đúng hay sai?
Thay và
vào
ta được các số
và
không chia hết cho
. Vậy
đúng và
sai.
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số xác định ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Cho hệ bất phương trình
có miền nghiệm là miền tứ giác OABC như hình dưới. Giá trị lớn nhất của
là:

Đầu tiên học sinh xác định tọa độ các đỉnh đa giác.
Quan sát hình vẽ ta có:
Tọa độ đỉnh B là tọa độ giao điểm hai đường thẳng và
=> Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Ta phải tìm các giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F trên miền tứ giác OABC.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác.
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
F đạt giá trị lớn nhất bằng 162 tại
Tam thức bậc hai f(x) = − x2 + 3x − 2 nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp ánx ∈ [1; 2] .
Tam giác
có
và
. Tính độ dài cạnh
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
Có bao nhiêu câu là mệnh đề trong các câu sau:
(1) Chăm chỉ lên nhé!
(2) Số 20 chia hết cho 6.
(3) Số
là số nguyên tố.
(4) Số
là một số chẵn.
Câu (1) là câu cảm thán nên không phải mệnh đề.
Các câu còn lại là mệnh đề.
Có
câu là mệnh đề.