Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn gồm 45 câu hỏi bám sát 4 chuyên đề giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong mặt phẳng Oxy cho A( - 1;1), B(1;3), C(1;
- 1). Khẳng định nào sau đây đúng.

    Do \overrightarrow{AB} = (2;2) nên loại đáp án \overrightarrow {AB}=(-4;2).

    Do\overrightarrow{AB} =
(2;2),\overrightarrow{BC} = (0; -
4),\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = -
8 suy ra\overrightarrow{AB} không vuông góc \overrightarrow{BC} nên loại đáp án \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{BC}.

    Ta có \overrightarrow{AB} =
(2;2), \overrightarrow{AC} = (2; -
2), \overrightarrow{BC} = (0; -
4), suy ra AB = AC =
\sqrt{8}, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =
0. Do đó tam giác ABC vuông cân tại A.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|.

     

    Ta có: \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {DA} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } ight| = \left| \overrightarrow {AC} ight|  = AC = a\sqrt 2. (hình vuông cạnh a thì đường chéo bằng a\sqrt2).

     

  • Câu 3: Vận dụng

    Hàm số y =  − x2 + 2(m−1)x + 3 nghịch biến trên (1;+∞) khi giá trị m thỏa mãn:

    Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường x = m − 1. Đồ thị hàm số đã cho có hệ số x2 âm nên sẽ đồng biến trên (−∞;m−1) và nghịch biến trên (m−1;+∞). Theo đề, cần: m − 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.
= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}
ight|.cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) =
a.a.cos60^{{^\circ}} = \frac{a^{2}}{2}.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hình vuông ABCD, dựng các hình vuông A_{1}A_{2}A_{3}A_{4};B_{1}B_{2}B_{3}B_{4};C_{1}C_{2}C_{3}C_{4};D_{1}D_{2}D_{3}D_{4} với A,B,C,D là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

    Biết các hình vuông nhỏ có kích thước 1cm
\times 1cm. Tính độ dài vectơ:

    \overrightarrow{A_{1}B_{1}} +
\overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} +
\overrightarrow{D_{4}A_{4}}

    + \overrightarrow{A_{2}B_{2}} +
\overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} +
\overrightarrow{D_{1}A_{1}}

    + \overrightarrow{A_{3}B_{3}} +
\overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} +
\overrightarrow{D_{2}A_{2}}

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{A_{1}B_{1}} +
\overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} +
\overrightarrow{D_{4}A_{4}}

    = \overrightarrow{B_{2}B_{1}} +
\overrightarrow{C_{3}C_{2}} + \overrightarrow{D_{2}D_{3}} +
\overrightarrow{A_{1}E} + \overrightarrow{EA_{4}} =
\overrightarrow{X_{1}Z_{1}}

    \overrightarrow{A_{2}B_{2}} +
\overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} +
\overrightarrow{D_{1}A_{1}}

    = \overrightarrow{B_{3}B_{2}} +
\overrightarrow{C_{4}C_{3}} + \overrightarrow{D_{1}D_{4}} +
\overrightarrow{A_{2}F} + \overrightarrow{FA_{1}} =
\overrightarrow{X_{2}Z_{2}}

    \overrightarrow{A_{3}B_{3}} +
\overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} +
\overrightarrow{D_{2}A_{2}}

    = \overrightarrow{B_{4}B_{3}} +
\overrightarrow{C_{1}C_{4}} + \overrightarrow{D_{2}D_{1}} +
\overrightarrow{A_{3}K} + \overrightarrow{KA_{2}} =
\overrightarrow{X_{3}Z_{3}}

    Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:

    |\overrightarrow{A_{1}B_{1}} +
\overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} +
\overrightarrow{D_{4}A_{4}}

    + \overrightarrow{A_{2}B_{2}} +
\overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} +
\overrightarrow{D_{1}A_{1}}

    + \overrightarrow{A_{3}B_{3}} +
\overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} +
\overrightarrow{D_{2}A_{2}}|

    = \left| \overrightarrow{X_{1}Z_{1}} +
\overrightarrow{X_{2}Z_{2}} + \overrightarrow{X_{3}Z_{3}} ight| =
\left| \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} ight| = \left|
\overrightarrow{MP} ight| = \sqrt{34}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho A = \left\{
0;1;2;3;4 ight\}, B = \left\{
2;3;4;5;6 ight\}. Tập hợp (A\backslash B \cap B) bằng

    Tập hợp A\backslash B gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

    \Rightarrow A\backslash B \cap B =
\varnothing.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tam giác ABCM thỏa mãn điều kiện \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}. Xác định vị trí điểm M.

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

    Ta có \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}
\Rightarrow M \equiv G.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f(x) = x^{2} + 2x + 1 là:

     Xét biếu thức f(x) = x^{2} + 2x + 1∆ = 0 và nghiệm là x = -{\text{ }}1;{\text{ }}a = 1 > 0

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm bảng xét dấu của tam thức bậc hai

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho tam thức bậc hai f(x) = ax^{2} + bx + c;(a eq 0). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: f(x) > 0,\forall x
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a > 0 \\
\Delta < 0 \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 10: Vận dụng

    Giá trị lớn nhất F_{\max} của biểu thức F(x;y) = x + 2y trên miền xác định bởi hệ \left\{ \begin{matrix}
0 \leq y \leq 4 \\
x \geq 0 \\
x - y - 1 \leq 0 \\
x + 2y - 10 \leq 0 \\
\end{matrix} ight.

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,vẽ các đường thẳng d_{1}:x - y - 1 = 0 d_{2}:x + 2y - 10 = 0, \Delta:y = 4.

    Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.

    Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là O(0;0),A(1;0), B(4;3),C(2;4),D(0;4).

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
F(0;0) = 0 \\
F(1;0) = 1 \\
F(4;3) = 10 \\
F(2;4) = 10 \\
F(0;4) = 8 \\
\end{matrix} ight. \overset{}{ightarrow}F_{\max} = 10.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tam thức bậc hai f(x) =  − x2 + 3x − 2 nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

    f(x) = - x^{2} + 3x - 2 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [1; 2].

  • Câu 12: Nhận biết

    Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

    Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

     Ta có: \cos 121^{\circ} =\cos -121^{\circ}\cos \alpha =\cos -\alpha.

  • Câu 14: Nhận biết

    Miền nghiệm của bất phương trình - 2x + 4y \geq 1 chứa điểm nào dưới đây?

    Xét điểm (0;1). Ta có: - 2.0 + 4.1 = 4 \geq 1 thỏa mãn. Do đó miền nghiệm của bất phương trình - 2x + 4y
\geq 1 chứa điểm (0;1).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3\
AM = ABN là trung điểm của AC. Tính \overrightarrow{MN} theo \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}.

    N là trung điểm AC nên 2\
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} =
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}.
\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = 2\ \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC}.

    Suy ra \overrightarrow{MN} = -
\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(3;0),B(4; - 3),C(8; - 1),D( - 2;1). Các điểm nào trong các điểm đã cho thẳng hàng với nhau?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AC} = (5; - 1) \\
\overrightarrow{AD} = ( - 5;1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{AC} = -
\overrightarrow{AD}

    Vậy ba điểm A,C,D thẳng hàng.

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho A = \left\{
x\mathbb{\in R}:x^{2} - 7x + 6 = 0 ight\}B = \left\{ x\mathbb{\in R}:|x| < 4
ight\}. Khi đó:

    Ta có: x^{2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 6 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A = \left\{ 1;6
ight\}.

    |x| < 4 \Rightarrow - 4 < x < 4
\Rightarrow B = ( - 4;4).

    Ta có: A\backslash B = \left\{ 6 ight\}
\subset A.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tập hợp C = (2;+∞) \ [-3;8] bằng tập hợp nào sau đây?

     Ta có: C = (2;+∞) \ [-3;8] = (8;+∞).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Giải hệ phương trình: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y + xy = 11} \\   {{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} ight) = 28} \end{array}} ight.. Nghiệm (x; y) là:

     Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x + y = S} \\   {xy = P} \end{array}} ight.

    Hệ phương trình ban đầu trở thành: 

    \begin{matrix}  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {S + P = 11} \\   {{S^2} - 2P + 3S = 28} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {P = 11 - S} \\   {{S^2} - 2P + 3S = 28} \end{array}} ight. \hfill \\   \Rightarrow {S^2} - 2\left( {11 - S} ight) + 3S = 28 \hfill \\   \Rightarrow {S^2} + 5S - 50 = 0 \hfill \\   \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {S = 5 \Rightarrow P = 6} \\   {S =  - 10 \Rightarrow P = 21} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với S = 5; P = 6 ta có:

    {X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {X = 2} \\   {X = 3} \end{array}} ight.

    Với S = -10; P = 21 ta có:

    {X^2} + 10X + 2 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {X =  - 3} \\   {X =  - 7} \end{array}} ight.

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2), (2; 3), (-3; -7), (-7, -3)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm parabol (P):y=ax^{2}+3x-2, biết rằng parabol có đỉnh I(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}).

     Vì hàm số bậc hai có đỉnh I(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}) nên:

    \frac{-b}{2a}= \frac {-1}2 \Leftrightarrow b=a-\frac {11}4=a{(\frac{-1}2})^{2}+3.(-\frac1{2})-2.

    Suy ra a=3.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Tính độ dài véctơ \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{BC}.

    Hình vẽ minh họa:

    |\overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Miền nghiệm của bất phương trình - x + y < 2 được xác định bởi miền nào (nửa mặt phẳng không bị gạch và không kể d) sau đây?

    Vẽ đường thẳng -x + y = 2

    Vì -x + y < 2 nên tọa độ điểm (0; 0) thỏa mãn là nghiệm của bất phương trình.

    Vậy đáp án là:

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?

    Do \Delta ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm BC.

    Xét các đáp án:

    Đáp án \left| \overrightarrow{AH} +
\overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} +
\overrightarrow{HC} ight|. Ta có \left\{ \begin{matrix}
\left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HB} ight| = \left|
\overrightarrow{AB} ight| = a \\
\left| \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} ight| = \left|
\overrightarrow{AC} ight| = a \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left| \overrightarrow{AH} +
\overrightarrow{HB} ight| = \left| \overrightarrow{AH} +
\overrightarrow{HC} ight|.

    Đáp án \overrightarrow{AH} -
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH} -
\overrightarrow{AC}.. Ta có \left\{
\begin{matrix}
\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BH} \\
\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CH} = -
\overrightarrow{BH} \\
\end{matrix} ight.\ . Do đó đáp án này sai.

    Đáp án \overrightarrow{BC} -
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} -
\overrightarrow{HA}.. Ta có \left\{
\begin{matrix}
\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \\
\overrightarrow{HC} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{AC} \\
\end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{BC} -
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{HC} -
\overrightarrow{HA}.

    Đáp án \left| \overrightarrow{AH} ight|
= \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH} ight|.. Ta có \left| \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AH} ight| = \left| \overrightarrow{HB} ight| =
\left| \overrightarrow{AH} ight| (do \Delta ABC vuông cân tại A).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng Oxy, cho \overrightarrow{a} = (2; - 1)\overrightarrow{b} = ( - 3;4). Khẳng định nào sau đây là sai?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) +
( - 1).4 = - 10 eq 0 nên đáp án Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là - 10 đúng.

    Ta có: \left| \overrightarrow{a} ight|
= \sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{5} nên đáp án Độ lớn của vectơ \overrightarrow{a}\sqrt{5} đúng.

    Ta có: \left| \overrightarrow{b} ight|
= \sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2}} = 5 nên đáp án Độ lớn của vectơ \overrightarrow{b}5 đúng.

    Đáp án sai là Góc giữa hai vectơ là 90^{o}.

  • Câu 25: Vận dụng

    Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ).

    Tính độ cao CH của ngọn núi

    Ngọn núi đó có độ cao CH so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Ta có: \widehat {ABC} = {90^0} + {15^0}30' = {105^0}30'

    Xét tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix}  \widehat {ABC} + \widehat {CAB} + \widehat {ACB} = {180^0} \hfill \\   \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {CAB}} ight) \hfill \\   \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {{{105}^0}30\prime  + {{60}^0}} ight) \hfill \\   \Rightarrow \widehat {ACB} = {14^0}30\prime  \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix}  \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \dfrac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} \hfill \\   \Rightarrow AC = \dfrac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} \hfill \\   \Rightarrow AC = \dfrac{{70.\sin {{107}^0}30'}}{{\sin {{14}^0}30'}} \approx 269,4\left( m ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

    \begin{matrix}  CH = AC.\sin \widehat {CAH} \hfill \\   \Rightarrow CH \approx 269,4.\sin {30^0} \approx 134,7\left( m ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Nhận biết

    Điểm M(0; -3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

    Thay tọa độ M(0; - 3) lần lượt vào từng phương trình của hệ \left\{\begin{matrix}2x - y \leq 3 \\2x + 5y \leq 12x + 8 \\\end{matrix} ight. ta thấy thỏa mãn.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tổng các nghiệm của phương trình \sqrt{4x^{2} - 1} - \sqrt{2x + 1} = 1 + x -
2x^{2} là:

    Đặt \sqrt{4x^{2} - 1} = a;\sqrt{2x + 1} =
b(a,b \geq 0).

    Ta có 1 + x - 2x^{2} = -
\frac{1}{2}(4x^{2} - 1) + \frac{1}{2}(2x + 1).

    Phương trình trở thành a - b =
\frac{1}{2}\left( b^{2} - a^{2} ight) \Leftrightarrow a =
b

    Thay vào ta được x = 1;x = -
\frac{1}{2}. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \frac{1}{2}.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tập hợp B=(2;+∞)\cup [-3;8] bằng tập hợp nào sau đây?

     Xác định kết quả tập hợp bằng hình vẽ như sau:

    Xác định tập hợp

    Vậy B=(2;+∞)\cup [-3;8] =[-3;+∞)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x-1},x\in (-∞;0) \\ \sqrt{x+1},x\in [0;2]\\ x^{2}-1,x\in (2;5]\end{matrix}ight.. Tính f(4), ta được kết quả:

     Với x=4 \in (2;5], ta có: f(4)=4^2-1=15.

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; - 3),\ B(4;7). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\
y_{I} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2 \\
\end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}I(3;2).

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức

    \dfrac{a^{2}\cos\dfrac{B -C}{2}}{2\sin\dfrac{A}{2}} + \dfrac{b^{2}\cos\dfrac{C -A}{2}}{2\sin\dfrac{B}{2}} + \dfrac{b^{2}\cos\dfrac{A -B}{2}}{2\sin\dfrac{C}{2}} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

    Biết AB = c;BC = a;AC = b. Chọn khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \dfrac{a^{2}\cos\dfrac{B -C}{2}}{2\sin\dfrac{A}{2}} = \dfrac{a\left( 2R\sin A ight)\cos\dfrac{B -C}{2}}{2\sin\dfrac{A}{2}}

    = 2aR.\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B -C}{2}

    = 2aR.\sin\dfrac{B + C}{2}\cos\dfrac{B -C}{2}

    = aR.\left( \sin B + \sin C ight) =
\frac{a(b + c)}{2}

    Chứng minh tương tự và suy ra ta có:

    \dfrac{a^{2}\cos\dfrac{B -C}{2}}{2\sin\dfrac{A}{2}} + \dfrac{b^{2}\cos\dfrac{C -A}{2}}{2\sin\dfrac{B}{2}} + \dfrac{b^{2}\cos\dfrac{A -B}{2}}{2\sin\dfrac{C}{2}}

    = \frac{a(b + c)}{2} + \frac{b(c +
a)}{2} + \frac{c(a + b)}{2}

    = ab + bc + ca

    \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} +
\frac{b^{2} + c^{2}}{2} + \frac{c^{2} + a^{2}}{2} = a^{2} + b^{2} +
c^{2}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b =
c

    Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong tam giác ABC có AB = 2, AC = 1\widehat{A}=60^0. Tính độ dài cạnh BC.

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix}  B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A \hfill \\   \Leftrightarrow B{C^2} = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.\cos {60^0} \hfill \\   \Leftrightarrow B{C^2} = 3 \hfill \\   \Leftrightarrow BC = \sqrt 3  \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Vận dụng

    Phương trình (x -1)(x + 3) + 2(x - 1)\sqrt{\frac{x + 3}{x - 1}} = 8 có mấy nghiệm ?

    Điều kiện: \left\lbrack \begin{matrix}x \leq - 3 \\x > 1 \\\end{matrix} ight.

    Đặt t = (x - 1)\sqrt{\frac{x + 3}{x - 1}}\Rightarrow t^{2} = (x - 1)(x + 3).

    PT đã cho trở thành:

    t^{2} + 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}t = 2\ \  \\t = - 4\ \ \  \\\end{matrix} ight.

    Với t = 2 ta được

    \begin{matrix}(x - 1)\sqrt{\frac{x + 3}{x - 1}} = 2 \\\Rightarrow (x - 1)(x + 3) = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = - 1 + 2\sqrt{2}(TM) \\x = - 1 - 2\sqrt{2}(L) \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix}

    Với t =  − 4 ta được ta được

    \begin{matrix}(x - 1)\sqrt{\frac{x + 3}{x - 1}} = - 4 \\\Rightarrow (x - 1)(x + 3) = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = - 1 + 2\sqrt{5}(L) \\x = - 1 - 2\sqrt{5}(TM) \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix}

    Vậy phương trình có hai nghiệm là x = - 1+ 2\sqrt{2} ; x = - 1 -2\sqrt{5}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cách viết tập hợp nào đúng trong các cách viết sau để xác định tập hợp A các ước dương của 12:

    Các ước dương của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12

    => Cách viết tập hợp đúng là: A = \left \{ 1; 2; 3; 4; 6; 12ight \}

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho ba điểm A,\
B,\ C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là

    Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A,\ B,\ C phân biệt thẳng hàng là \exists k \in R:\overrightarrow{AB} =
k\overrightarrow{AC}.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Khi x là số lẻ, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai:

    Khi x là số lẻ => “x không chia hết cho 4” là mệnh đề đúng.

    Khi x là số lẻ “x không chia hết cho 3” và “x chia hết cho 3” là một khẳng định nhưng không xác định được tính hoặc đúng hoặc sai tùy theo giá trị của x => Không phải mệnh đề.

    Khi x là số lẻ “x chia hết cho 2” là mệnh đề sai.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho \Delta
ABC thỏa mãn : 2cosB =
\sqrt{2}. Khi đó:

    Ta có: 2cosB = \sqrt{2} \Leftrightarrow
\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Xác định điểm không thuộc đồ thị của hàm số y = \frac{1}{2}x^{2}?

    Ta thấy các điểm nằm trên đồ thị của hàm số là: (0;0); (2;2); ( -
2;2).

    Vậy điểm không thuộc đồ thị hàm số đã cho là: (1;2).

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, \cos A = \frac{3}{5}. Đường cao h_{a} của tam giác ABC là:

    Ta có: a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A
= 7^{2} + 5^{2} - 2.7.5.\frac{3}{5}
= 32 \Rightarrow a = 4\sqrt{2}.

    Mặt khác: sin^{2}A + cos^{2}A = 1
\Rightarrow sin^{2}A = 1 - cos^{2}A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow
\sin A = \frac{4}{5} (Vì \sin A
> 0).

    Mà: S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}b.c.sinA
= \frac{1}{2}a.h_{a} \Rightarrow
h_{a} = \frac{bc\sin A}{a} = \frac{7.5.\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}} =
\frac{7\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm đáp án không phải mệnh đề trong các câu sau.

    Câu “Bộ phim quá hay!” là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \overrightarrow{u} = (2; - 1) = -( - 2;1) = - \overrightarrow{v}\ \ \ \ \  \Rightarrow \ \\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} đối nhau.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{AB}=0 là:

     Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.

    Gọi M là trung điểm AB.

    Ta có: \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } ight).\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AB}  = 0 (do OM\perp AB).

  • Câu 43: Thông hiểu

    Phương trình \sqrt{3x + 1} + \sqrt{5 - x} = 4 có bao nhiêu nghiệm

    Đkxđ: - \frac{1}{3} \leq x \leq5.

    \sqrt{3x + 1} + \sqrt{5 - x} =4

    \Leftrightarrow 2x + 6 + 2\sqrt{(3x +1)(5 - x)} = 16

    \Leftrightarrow \sqrt{(3x + 1)(5 - x)} =5 - x

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\sqrt{5 - x} = 0 \\\sqrt{3x + 1} = \sqrt{5 - x} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 5 \\3x + 1 = 5 - x \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 5(TM) \\x = 1(TM) \\\end{matrix} ight..

    Vậy phương trình có hai nghiệm.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}
+ 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MB} -
\overrightarrow{MA} ight| là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có

    2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}= 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) + 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 4\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).

    Chọn điểm I sao cho 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight)+ \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} =\overrightarrow{0}.

    G là trọng tâm của tam giác ABCnên \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
\overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.

    Khi đó \overrightarrow{IG} +\overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} +\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}. (*)

    Do đó \left| 2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|\Leftrightarrow \left|9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight|\Leftrightarrow 9MI = AB.

    I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính R
= \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tam thức bậc hai :

    Ta có .

    Bảng xét dấu

    Dựa vào bảng xét dấu .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo