Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn gồm 45 câu hỏi bám sát 4 chuyên đề giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Các giá trị m để tam thức f(x) = x²– (m + 2)x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần là
- A.
  m < 0 ∨ m > 28.
- B.
  0 < m < 28.
- C.
  m ≤ 0 ∨ m≥ 28.
- D.
  m ≥ 28.
Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

⇔ Δ > 0 ⇔ m² − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.
Câu 2: Vận dụng
Cho $A = \lbrack 1;4brack$ , $B = (2;6),C = (1;2).$ Khi đó, $A \cap B \cap C$ là:
- A.
  $\lbrack 1;6).$
- B.
  $(2;4brack.$
- C.
  $(1;2brack.$
- D.
  $\varnothing.$
Ta có: $A \cap B = (2;4brack \Rightarrow A \cap B \cap C = \varnothing.$
Câu 3: Thông hiểu
Tam giác $ABC$ có $AB = \sqrt{2},\ \ AC = \sqrt{3}$ và $\widehat{C} = 45{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $BC = \sqrt{5}.$
- B.
  $BC = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}.$
- C.
  $BC = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}.$
- D.
  $BC = \sqrt{6}.$
Theo định lí hàm cosin, ta có

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{C}$

$\Rightarrow \left( \sqrt{2} ight)^{2}$ $= \left( \sqrt{3} ight)^{2} + BC^{2} - 2.\sqrt{3}.BC.cos45{^\circ}$

$\Rightarrow BC = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề toán học?
- A.
  “2 là số nguyên tố”;
- B.
  “2x + y = −5”;
- C.
  “− 2 < −5”;
- D.
  “ $x^{2} ≥ 0$ ”.
Đáp án “2x + y = −5” không phải mệnh đề vì nó không có tính đúng hoặc sai. Suy ra nó cũng không phải mệnh đề toán học.
Câu 5: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ , kẻ đường cao $AH$ và $AH = 3,cos\widehat{ACB} = \frac{3}{5};tan\widehat{ABC} = 3$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $K$ là điểm thỏa mãn $KA = \frac{5}{2}$ và $\left| \overrightarrow{KA} - \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{CK} ight|$ . Khi đó độ dài vectơ $\overrightarrow{MK}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2\sqrt{5}$
- B.
  $\sqrt{10}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, ta có:

$\left| \overrightarrow{KA} - \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{CK} ight|$

$\Rightarrow KE = CK$

Nên K thuộc đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng CE, mặt khác $KA = \frac{5}{2}$

Suy ra K là giao điểm của a và đường tròn tâm A bán kính $KA = \frac{5}{2}$ .

Điểm K cần tìm là N hoặc P

Ta có: $MK = MP = AB = \sqrt{10}$ .
Câu 6: Vận dụng
Một tam giác có ba cạnh là $52,56,60.$ Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
- A.
  $\frac{65}{8}.$
- B.
  $40.$
- C.
  $32,5.$
- D.
  $\frac{65}{4}.$
Ta có: $p = \frac{a + b + c}{2} =$ $\frac{52 + 56 + 60}{2} = 84.$

Suy ra: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $= \sqrt{84(84 - 52)(84 - 56)(84 - 60)}$ $= 1344$ .

Mà $S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4S}$ $= \frac{52.56.60}{4.1344} = \frac{65}{2}$ .
Câu 7: Nhận biết
Cho tam giác ABC có $a = 8,b = 10$ , góc $C$ bằng $60^{0}$ . Độ dài cạnh $c$ là ?
- A.
  $c = 3\sqrt{21}$ .
- B.
  $c = 7\sqrt{2}$ .
- C.
  $c = 2\sqrt{11}$ .
- D.
  $c = 2\sqrt{21}$ .
Ta có: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2a.b.cosC$ $= 8^{2} + 10^{2} - 2.8.10.cos60^{0} = 84$ $\Rightarrow c = 2\sqrt{21}$ .
Câu 8: Nhận biết
Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^{2} + bx + c;(a eq 0)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $f(x) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $f(x) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $f(x) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $f(x) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 9: Vận dụng
Cho parabol $(P):y=ax^{2}+bx+c$ ( $aeq0$ ). Xét dấu hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$ khi $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành.
- A.
  a>0, Δ>0;
- B.
  a>0, Δ<0;
- C.
  a<0, Δ<0;
- D.
  a<0, Δ>0.
Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên suy ra phương trình $y=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra $\Delta >0$ .
Đỉnh nằm phía trên trục hoành nên suy ra $a<0$ (bề lõm hướng xuống).
Câu 10: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0$ . Khi đó, góc $C$ có số đo là:
- A.
  $\widehat{C} = 150^{\circ}$ .
- B.
  $\widehat{C} = 60^{\circ}$ .
- C.
  $\widehat{C} = 45^{\circ}$ .
- D.
  $\widehat{C} = 30^{\circ}$ .
Theo đề bài ra ta có:

$BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0$

$\Leftrightarrow BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} = \sqrt{2}BC.AC$

$\Leftrightarrow \frac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{BC \cdot AC} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2\cos C - \sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{C} = 45^{\circ}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Miền nghiệm của bất phương trình $- 3x + y + 2 \leq 0$ không chứa điểm nào sau đây?
- A.
  $A(1\ \ ;\ \ 2)$ .
- B.
  $B(2\ \ ;\ \ 1)$ .
- C.
  $C\left( 1\ \ ;\ \ \frac{1}{2} ight)$ .
- D.
  $D(3\ \ ;\ \ 1)$ .
Xét điểm $A(1\ \ ;\ \ 2)$ . Ta có: $- 3.1 + 2 + 2 = 1 > 0$ nên miền nghiệm của bất phương trình trên không chứa điểm $A(1\ \ ;\ \ 2)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $\widehat{B} = 50^{o}$ . Hệ thức nào sau đây là sai?
- A.
  $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} ight) = 130^{o}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} ight) = 40^{o}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = 50^{o}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} ight) = 120^{o}$ .
Vì $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} ight) = 180^{0} - \left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = 130^{o}$ nên loại $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC} ight) = 130^{o}$ .

Vì $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CA} ight) = 40^{o}$ nên loại $\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC} ight) = 40^{o}$ .

Vì $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = \left( \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC} ight) = 50^{o}$ nên loại $\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{CB} ight) = 50^{o}$ .

Vì $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} ight) = 180^{0} - \left( \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB} ight) = 140^{o}$ nên chọn $\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB} ight) = 120^{o}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB = 3,\ \ AC = 4$ . Tính $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight|$ .
- A.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2\sqrt{13}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 5.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{13}.$
Ta có $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight| = CB = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm tập xác định của $y = \sqrt{6-3x}-\sqrt{x-1}$
- A.
  D = (1;2);
- B.
  D = [1;2];
- C.
  D = [1;3];
- D.
  D = [-1;2];
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 3x \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 2}\\{x \ge 1}\end{array}} ight.} ight. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2$ .
Vậy $D=[1;2]$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}x - y > 3 \\1 - \frac{1}{2}x + y > 0 \\\end{matrix} ight.$ có tập nghiệm $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  $(-2; 1) \in S$ .
- B.
  $(1;2) \in S$ .
- C.
  $(-6; 0) \in S$ .
- D.
  $S = \varnothing$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x - y > 3 \\1 - \frac{1}{2}x + y > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > y + 3 \\x < y + 2 \\\end{matrix} ight.$ . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Câu 16: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $AB = c;BC = a;AC = b$ , độ dài các cạnh tam giác thỏa mãn biểu thức $\left\{ \begin{matrix} a = x^{2} + x + 1 \\ b = 2x + 1 \\ c = x^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ với $x$ là số thực lớn hơn $1$ . Tính độ lớn góc $\widehat{A}$ ?
- A.
  $\widehat{A} = 120^{0}$
- B.
  $\widehat{A} = 60^{0}$
- C.
  $\widehat{A} = 100^{0}$
- D.
  $\widehat{A} = 150^{0}$
Áp dụng định lí cosin ta có: $\cos\widehat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a^{2} = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 \\ b^{2} = 4x^{2} + 4x + 1 \\ c^{2} = x^{4} - 2x^{2} + 1 \\ bc = 2x^{3} + x^{2} - 2x - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra

$b^{2} + c^{2} - a^{2} = - bc$

$\Rightarrow \cos\widehat{A} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{A} = 120^{0}$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
- C.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
Gọi O là giao điểm của AC và BD
=> OA OC, OB = OD
Ta có:
$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {OA} earrow \swarrow \overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {OB} earrow \swarrow \overrightarrow {OD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho f(x) = − 2x² + (m+2)x + m − 4. Tìm m để f(x) âm với mọi a, b, c > 0.
- A.
  − 14 < m < 2.
- B.
  − 14 ≤ m ≤ 2.
- C.
  − 2 < m < 14.
- D.
  m < − 14 hoặc m > 2.
Ta có $f(x)<0,\forall x\in R\Leftrightarrow(m+2)^2+8(m-4)<0$

$\Leftrightarrow m^2+12m-28<0\Leftrightarrow-14<m<2$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho $A = \left\{ 0;1;2;3;4 ight\},$ $B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}.$ Tập hợp $B\backslash A$ bằng
- A.
  $\left\{ 5 ight\}.$
- B.
  $\left\{ 0;1 ight\}.$
- C.
  $\left\{ 2;3;4 ight\}.$
- D.
  $\left\{ 5;6 ight\}.$
Tập hợp $B\backslash A$ gồm những phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$

$\Rightarrow B\backslash A = \left\{ 5;6 ight\}.$
Câu 20: Thông hiểu
Cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{i} + x\overrightarrow{j}$ . Xác định $x$ sao cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.
- A.
  $x = - 1$ .
- B.
  $x = - \frac{1}{2}$ .
- C.
  $x = \frac{1}{4}$ .
- D.
  $x = 2$ .
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} = (2;\ \ - 1) \\ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{i} + x\overrightarrow{j}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{v} = (1;\ \ x) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Để $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{- 1} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}.$
Câu 21: Thông hiểu
Cho $\overrightarrow{u} = (3; - 2),\ \overrightarrow{v} = (1;6).$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a} = ( - 4;4)$ ngược hướng.
- B.
  $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$ cùng phương.
- C.
  $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{b} = (6; - 24)$ cùng hướng.
- D.
  $2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\ \overrightarrow{v}$ cùng phương.
Ta có $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (4;4)$ và $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (2; - 8).$

Xét tỉ số $\frac{4}{- 4} eq \frac{4}{4}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a} = ( - 4;4)$ không cùng phương. Loại $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a} = ( - 4;4)$ ngược hướng.

Xét tỉ số $\frac{3}{1} eq \frac{- 2}{6}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$ không cùng phương. Loại $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$ cùng phương.

Xét tỉ số $\frac{2}{6} = \frac{- 8}{- 24} = \frac{1}{3} > 0\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{b} = (6; - 24)$ cùng hướng. Chọn $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{b} = (6; - 24)$ cùng hướng.
Câu 22: Vận dụng
Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 2a$ và $BD = a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight|$ .
- A.
  $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight| = 3a.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight| = a\sqrt{3}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight| = a\sqrt{5}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight| = 5a.$
Gọi $O = AC \cap BD$ và $M$ là trung điểm của $CD$ .

Ta có $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight| = 2\left| \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight| = 2\left| 2\overrightarrow{OM} ight| = 4OM$

$= 4.\frac{1}{2}CD = 2\sqrt{OD^{2} + OC^{2}} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = a\sqrt{5}.$
Câu 23: Nhận biết
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $a\sqrt{2}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$
Câu 24: Vận dụng
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=0$ là:
- A.
  một điểm
- B.
  đường thẳng
- C.
  đoạn thẳng
- D.
  đường tròn
Ta có: $\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI}$ (I là trung điểm của BC)
$\begin{matrix} \overrightarrow {MA} .\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\left( {2\overrightarrow {MI} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MI} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MI} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MI} } ight) = {90^0} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MI} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \widehat {AMI} = {90^0}$
=> Qũy tích điểm M là đường tròn đường kính IA.
Câu 25: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 26: Nhận biết
Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $- 5x + y \geq 5$ ?
- A.
  $(1;9)$ .
- B.
  $(2; - 1)$ .
- C.
  $(2;2)$ .
- D.
  $(0;5)$ .
Thay các cặp số vào bất phương trình ta thấy $(0;5)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 27: Vận dụng cao
Cho hai điểm $A,\ \ B$ phân biệt và cố định, với $I$ là trung điểm của $AB.$ Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight|$ là
- A.
  đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
- B.
  đường tròn đường kính $AB.$
- C.
  đường trung trực đoạn thẳng $IA.$
- D.
  đường tròn tâm $A,$ bán kính $AB.$
Chọn điểm $E$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $EB = 2EA \Rightarrow 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{0}.$

Chọn điểm $F$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $FA = 2FB \Rightarrow 2\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{0}.$

Ta có $\left| 2\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} +2\overrightarrow{MB} ight|$

$\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{ME}+ 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{EB}ight|$ $= \left| 2\overrightarrow{MF} + 2\overrightarrow{FB} +\overrightarrow{MF} + \overrightarrow{FA} ight|$

$\Leftrightarrow \left| 3\ \overrightarrow{ME} + \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{2\ \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB}}{︸}} ight| = \left| 3\ \overrightarrow{MF} + \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{2\ \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB}}{︸}} ight| \Leftrightarrow \left| 3\ \overrightarrow{ME} ight| = \left| 3\ \overrightarrow{MF} ight| \Leftrightarrow ME = MF.$ $\ (*)$

Vì $E,\ \ F$ là hai điểm cố định nên từ đẳng thức $(*)$ suy ra tập hợp các điểm $M$ là trung trực của đoạn thẳng $EF.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I$ cũng là trung điểm của $EF.$

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight|$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$
Câu 28: Thông hiểu
Cho các mệnh đề sau đây:

(I). Nếu tam giác $ABC$ đều thì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ .

(II). Nếu $a\ và\ b$ đều là các số chẵn thì $(a + b)$ là một số chẵn.

(III). Nếu tam giác $ABC$ có tổng hai góc bằng $90^{\circ}$ thì tam giác $ABC$ là tam giác vuông.

Trong các mệnh đề đảo của (I), (II) và (III), có bao nhiêu mệnh đề đúng?
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Mệnh đề đảo của

(I). Nếu tam giác $ABC$ có $AB = AC$ thì tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow$ Mệnh đề sai.

(II). Nếu $(a + b)$ là một số chẵn thì $a\ và\ b$ đều là các số chẵn $\Rightarrow$ Mệnh đề sai.

(III). Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông thì tam giác $ABC$ có tổng hai góc bằng $90^{\circ}$

$\Rightarrow$ Mệnh đề đúng.

$\Rightarrow$ Có 1 mệnh đề đảo là đúng.
Câu 29: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}$ biết $A(5;3),B(7;8)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (12;11)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (2;5)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (2;6)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 5)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (7 - 5,8 - 3) = (2;5)$
Câu 30: Thông hiểu
Tập xác định của hàm số $y=\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac{1}{x}},x\in (0;+∞)\\ \sqrt{3-x},x\in (-∞;0)\end{matrix}ight.$
- A.
  R \ {0}
- B.
  R \ [0;3]
- C.
  R \ {0;3}
- D.
  R
Xét $y=\sqrt \frac1x$ , ta có: $D_1=(0;+\infty)$ .
Xét $y=\sqrt{3-x}$ , điều kiện là $x \le 3$ . Kết hợp với điều kiện $(-\infty;0)$ , ta được: $D_2=(-\infty;0)$ .
Vậy $D=D_1 \cup D_2 = \mathbb R\setminus \{1\}$ .
Câu 31: Nhận biết
Tính giá trị $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ biết rằng $\overrightarrow{a} = (1; - 3),\overrightarrow{b} = (2;5)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 13$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 17$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 40$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.2 + ( - 3).5 = - 13$
Câu 32: Nhận biết
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
- D.
  $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}.$
Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
Câu 33: Nhận biết
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
- A.
  $O(0;0)$
- B.
  $M(1;1)$
- C.
  $N( - 1;1)$
- D.
  $P( - 1; - 1)$
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Ta thấy chỉ có điểm $N( - 1;1)$ thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ $\left\{ \begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 34: Thông hiểu
Cho tọa độ ba điểm $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 16$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 9$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 10$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 9$
Ta có: $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (4; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 4.( - 6) + ( - 3).( - 5) = - 9$
Câu 35: Vận dụng
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = y – x trên miền xác định bởi hệ: $\left\{\begin{matrix}y-2x\leq 2\\ 2y-x\geq4\\x+y\leq 5 \end{matrix}ight.$ là:
- A.
  GTNN F(x;y) = 1 khi x = 2, y = 3;
- B.
  GTNN F(x;y) = 2 khi x = 0, y = 2;
- C.
  GTNN F(x;y) = 3 khi x = 1, y = 4;
- D.
  GTNN F(x;y) = 7 khi x = 6, y = – 1.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}y-2x\leq 2\\ 2y-x\geq4\\x+y\leq 5 \end{matrix}ight.$ :
Miền nghiệm của hệ là tam giác $ABC$ .
Ta có: $\left\{\begin{matrix}y-2x\leq 2\\ 2y-x\geq4\\ \end{matrix}ight. \Rightarrow A(0;2)$ ; $\left\{\begin{matrix} 2y-x\geq4\\x+y\leq 5 \end{matrix}ight. \Rightarrow B(2;3)$ và $\left\{\begin{matrix}y-2x\leq 2\\x+y\leq 5 \end{matrix}ight. \Rightarrow C(1;4)$ .
Giá trị nhỏ nhất của $F(x; y) = y-x$ đạt được tại 1 trong 3 đỉnh tam giác $ABC$ .
Với $A(0;2)$ suy ra $F=2-0=2$ .
Với $B(2;3)$ suy ra $F=3-2=1$ .
Với $C(1;4)$ suy ra $F=4-1=3$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất $F=1$ đạt tại $x=2;y=3$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tập hợp $A=(2;+∞)\cap [-3;8]$ bằng tập hợp nào sau đây?
- A.
  $(2;8)$
- B.
  $(2;8]$
- C.
  $[-3;2)$
- D.
  $[-3;+∞)$
Xác định kết quả tập hợp bằng trục số như sau:
Vậy $A=(2;+∞)\cap [-3;8] =(2;8]$
Câu 37: Nhận biết
Tam thức bậc hai f(x) = − x² − 1 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
- A.
  x ∈ (−∞;−1) ∪ (1;+∞).
- B.
  x ∈ [ − 1; 1].
- C.
  x ∈ (−∞;−1]∪[1;+∞).
- D.
  x ∈ ℝ.
f(x) = − x² − 1 = 0 vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.
Câu 38: Thông hiểu
Xác định parabol (P) : y = 2x² + bx + c, biết rằng (P) đi qua điểm M(0;4) và có trục đối xứng x = 1.
- A.
  y = 2x² − 4x + 4.
- B.
  y = 2x² + 4x − 3.
- C.
  y = 2x² − 3x + 4.
- D.
  y = 2x² + x + 4.
Ta có $M \in (P)\overset{}{ightarrow}c = 4.$

Trục đối xứng $- \frac{b}{2a} = 1\overset{}{ightarrow}b = - 4.$

Vậy (P) : y = 2x² − 4x + 4.
Câu 39: Nhận biết
Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} =2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} ight) - \left( \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB} ight)\mathbf{=}2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ sai do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ đúng do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}\mathbf{=}$ $2\overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight) = 2\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Xác định $M = A ∪ B$ trong trường hợp $A =$ { $x | x ∈ \mathbb{ℕ}$ , $x ⋮ 4$ và $x < 10$ }, B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 12.
- A.
  $M = \left\{ {0;3;4;6;8;9} ight\}$
- B.
  $M = \left \{ {0; 4; 6; 8; 9} ight \}$
- C.
  $M = \left \{ {0; 3; 4; 6; 8; 9; 12} ight \}$
- D.
  $M = \left \{ {0; 3; 6; 8; 9} ight \}$
Liệt kê các phần tử ta có:
$A = \left \{ {0; 4; 8} ight \}$
$B = \left \{ {0; 3; 6; 9} ight \}$
Vậy $M = A ∪ B = \left \{ {0; 3; 4; 6; 8; 9} ight \}$ .
Câu 41: Vận dụng
Số nghiệm của phương trình $x = \sqrt{\sqrt{3x^{2} + 1} - 1}$ là:
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  0.
$x = \sqrt{\sqrt{3x^{2} + 1} -1}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\x^{2} = \sqrt{3x^{2} + 1} - 1 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\\sqrt{3x^{2} + 1} = x^{2} + 1 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\3x^{2} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\x^{4} - x^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\x^{2}\left( x^{2} - 1 ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \pm 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} \Leftrightarrow ight.\ \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = 1 \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 42: Vận dụng cao
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $3\sqrt{x - 1} + m\sqrt{x + 1} = 2\sqrt[4]{x^{2} - 1}$ có nghiệm là:
- A.
  $- 1 \leq m \leq \frac{1}{3}$ .
- B.
  $- 1 < m \leq \frac{1}{3}$ .
- C.
  $m \geq \frac{1}{3}$ .
- D.
  m ≤ − 1.
ĐKXĐ: x ≥ 1 .

Chia cả hai vế cho $\sqrt{x + 1}$ ta có

$pt \Leftrightarrow 3\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} + m = 2\frac{\sqrt[4]{x^{2} - 1}}{\sqrt{x + 1}} \Leftrightarrow - 3\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} + 2\sqrt[4]{\frac{x - 1}{x + 1}} = m$

Đặt $t = \sqrt[4]{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt[4]{1 - \frac{2}{x + 1}} \Rightarrow 0 \leq t < 1$

Phương trình trở thành − 3t² + 2t = m (*)

Xét hàm số y = − 3t² + 2t trên [0; 1) , ta có $- \frac{b}{2a} = \frac{1}{3}$ , $y\left( \frac{1}{3} ight) = \frac{1}{3}$

Bảng biến thiên

Phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm t∈ [0; 1)

⇔ đồ thị hàm số y = − 3t² + 2t trên [0; 1) cắt đường thẳng $y = m \Leftrightarrow - 1 < m \leq \frac{1}{3}$

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 < m \leq \frac{1}{3}$ .
Câu 43: Thông hiểu
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{3(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})}{2}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})}{3}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$ .
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Ta có $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) \Rightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$ .
Câu 44: Nhận biết
Cho $X = \left\{ 7;2;8;4;9;12 ight\};Y = \left\{ 1;3;7;4 ight\}.$ Tập nào sau đây bằng tập $X \cap Y?$
- A.
  $\left\{ 1;2;3;4;8;9;7;12 ight\}.$
- B.
  $\left\{ 2;8;9;12 ight\}.$
- C.
  $\left\{ 4;7 ight\}.$
- D.
  $\left\{ 1;3 ight\}.$
Tập hợp $X \cap Y$ gồm những phần tử vừa thuộc $X$ vừa thuộc $Y$

$\Rightarrow X \cap Y = \left\{ 4;7 ight\}.$
Câu 45: Thông hiểu
Số các nghiệm của phương trình $\sqrt{x + 1} = 1 - x^{2}$ là:
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
$pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1 - x^{2} \geq 0 \\x + 1 = (1 - x^{2})^{2} \\\end{matrix} ight.$
⇔ $\left\{ \begin{matrix}|x| \leq 1 \\x(x + 1)(\ x^{2} - x - 1) = 0 \\\end{matrix} ight.$
⇔ $\left\lbrack \begin{matrix}x = 0\ \\x = - 1 \\x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy phương trình có ba nghiệm.

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!