Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn gồm 45 câu hỏi bám sát 4 chuyên đề giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC cóAB = c;BC = a;AC = b và \widehat{C} < \widehat{B}. Biết rằng:

    \dfrac{\sin\left( \widehat{B} -\widehat{C} ight)}{\sin\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight)} =\dfrac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2}}

    Chọn khẳng định đúng?

    Ta có:

    \frac{\sin\left( \widehat{B} -\widehat{C} ight)}{\sin\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight)} =\frac{\sin\widehat{B}.\cos\widehat{C} -\sin\widehat{C}.\cos\widehat{B}}{\sin\widehat{B}.\cos\widehat{C} +\sin\widehat{C}.\cos\widehat{B}}

    = \dfrac{\dfrac{b}{2R}.\cos\widehat{C} -\dfrac{c}{2R}.\cos\widehat{B}}{\dfrac{b}{2R}.\cos\widehat{C} +\dfrac{c}{2R}.\cos\widehat{B}}

    = \dfrac{2ab\cos\widehat{C} -2ac.\cos\widehat{B}}{2ab\cos\widehat{C} +2ac.\cos\widehat{B}}

    = \frac{\left( a^{2} + b^{2} - c^{2} ight) - \left( a^{2} + c^{2} - b^{2} ight)}{\left( a^{2} + b^{2} - c^{2} ight) + \left( a^{2} + c^{2} - b^{2} ight)}

    = \frac{b^{2} - c^{2}}{a^{2}}

    Mà \frac{\sin\left( \widehat{B} - \widehat{C} ight)}{\sin\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight)} = \frac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2}}

    \Rightarrow \frac{b^{2} - c^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2}}

    \Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}

    Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:

    Ta có: M là trung điểm của AB

    \begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {MA = BM} \\ {\overrightarrow {MA} earrow \swarrow \overrightarrow {MB} } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BM} } \\ {\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } ight) = {{180}^0}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left| {\overrightarrow {MA} } ight|.\left| {\overrightarrow {MB} } ight|\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left| {\overrightarrow {MA} } ight|.\left| {\overrightarrow {MB} } ight|\cos \left( {{{180}^0}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = - MA.MB \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy biểu thức sai là: \overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn phát biểu đúng về mệnh đề sau: "∀x ∈ \mathbb{N}, x^{2} <0"?

    Phát biểu đúng của mệnh đề "∀x ∈ \mathbb{N}, x^{2} <0" là: “Với mọi số tự nhiên x, bình phương của nó đều nhỏ hơn 0”.

  • Câu 4: Nhận biết

    Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB?

    Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là \overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB} \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì M là trung điểm của BC nên \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC,\ \ \ I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì M là trung điểm BC nên \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}. Mặt khác I là trung điểm AM nên \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}. Suy ra \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15. Số đo góc A là:

    Áp dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix} \cos \widehat A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat A = \dfrac{{{{15}^2} + {{13}^2} - {{24}^2}}}{{2.15.13}} = - \dfrac{7}{{15}} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A \approx {117^0}49\prime \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sqrt{2x^{2}-2x+4}=\sqrt{x^{2}-x+2}

    Điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - 2x + 4 \geqslant 0} \\ {{x^2} - x + 2 \geqslant 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {2{x^2} - 2x + 4} = \sqrt {{x^2} - x + 2} \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 4 = {x^2} - x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 = 0\left( {VN} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + \frac{7}{4} > 0,\forall x

    Vậy phương trình vô nghiệm.

  • Câu 9: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    x = 3 \in (2;3brack nhưng x = 3 otin (2;3) \Rightarrow A sai.

    x = 2 \in \lbrack 2;3brack nhưng x = 2 otin (2;3brack \Rightarrow C sai.

    x = 3 \in \lbrack 2;3brack nhưng x = 3 otin \lbrack 2;3) \Rightarrow D sai.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight|.

    Gọi H là trung điểm của BC \Rightarrow AH\bot BC.

    Suy ra AH = \frac{BC\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Ta lại có \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \left| 2\overrightarrow{AH} ight| = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(–2; 3). Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua A. Tọa độ điểm B’ là:

     Vì B' đối xứng với B qua A => A là trung điểm của BB'

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} + {x_{B'}} = 2{x_A}} \\ {{y_B} + {y_{B'}} = 2{x_A}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{B'}} = 2{x_A} - {x_B}} \\ {{y_{B'}} = 2{x_A} - {y_B}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{B'}} = 4} \\ {{y_{B'}} = 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow B'\left( {4;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}).

     Lấy D sao cho \overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AH}.

    Ta có: (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}) =(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})=90^{\circ} +60^{\circ}= 150^{\circ}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho 2 mệnh đề: “Quyển vở này của Nam” và “Quyển vở này có 118 trang”.

    Cho biết 2 mệnh đề trên đều đúng, tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

    Đặt P: “Quyển vở này của Nam”, Q: “Quyển vở này có 118 trang”

    Theo đề bài, P đúng, Q đúng nên \overline{P} sai, \overline{Q} sai.

    Mệnh đề P \Rightarrow Q chỉ sai khi P đúng Q sai.

    Chọn đáp án Quyển vở này của Nam nên nó không có 118 trang.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

    Ta có: m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \overrightarrow{u} = (2; - 1) = -( - 2;1) = - \overrightarrow{v}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \\overrightarrow{u} và \overrightarrow{v} đối nhau.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tam thức nào sau đây nhận giá trị không âm với mọi x ∈ ℝ?

    *x2 − x − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

    * − x2 − x − 1 = 0vô nghiệm, a =  − 1 < 0 nên  − x2 − x − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ

    *2x2 + x = 0 có 2 nghiệm phân biệt

    *x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm, a = 1 > 0 nên x2 + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ thỏa ycbt.

  • Câu 17: Vận dụng

    Giá trị nhỏ nhất F_{\min} của biểu thức F(x;y) = 4x + 3y trên miền xác định bởi hệ \left\{ \begin{matrix} 0 \leq x \leq 10 \\ 0 \leq y \leq 9 \\ 2x + y \geq 14 \\ 2x + 5y \geq 30 \\ \end{matrix} ight. là :

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng

    d_{1}:2x + y - 14 = 0,\ d_{2}:2x + 5y - 30 = 0, \Delta:y = 9,\Delta':x = 10.

    Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.

    Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là A(5;4),B\left( \frac{5}{2};9 ight), C(10;9),D(10;2).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} F(5;4) = 32 \\ F\left( \frac{5}{2};9 ight) = 37 \\ F(10;9) = 67 \\ F(10;2) = 46 \\ \end{matrix} ight. \overset{}{ightarrow}F_{\min} = 32.

  • Câu 18: Nhận biết

    Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 4x + 1?

     Thay tọa độ (0;1) vào y=4x+1 ta được 1=1 thỏa mãn. Suy ra điểm này thuộc đồ thị hàm số y=4x+1.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho 2 vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} có \left| \overrightarrow{a} ight| = 4, \left| \overrightarrow{b} ight| = 5 và \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 120^{o}. Tính \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|.

    Ta có \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2}} = \sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2} + {\overrightarrow{b}}^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}} = \sqrt{\left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{a} ight|\left| \overrightarrow{b} ight|\ \ \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)} = \sqrt{21}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Miền nghiệm của bất phương trình x+2(y+1)-4y\leq 2(x+1)-5y không chứa điểm có tọa độ:

    Ta có: 

    x+2(y+1)-4y\leq 2(x+1)-5y

    \begin{matrix} \Rightarrow x + 2y + 2 - 4y \leqslant 2x + 2 - 5y \hfill \\ \Rightarrow - x + 3y \leqslant 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Thay x=3;y=2 vào bất phương trình ta được: - 3 + 3.2= 5 > 0

    Vậy (3;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} khác \overrightarrow{0}. Xác định góc \alpha giữa hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} khi \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.|\overrightarrow{b}|.

    Ta có \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b}ight|.\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}).

    Mà theo giả thiết \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left|\overrightarrow{a} ight|.|\overrightarrow{b}|

    Suy ra \cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - 1\longrightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) =180^{\circ}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho C_{R}A = ( -\infty;2) \cup \lbrack 6; + \infty) và C_{R}B = \lbrack 5;9). Tập hợp X = A \cap B là

    A = \lbrack 2;6),B = ( - \infty;5) \cup\lbrack 9; + \infty).

    Suy ra X = A \cap B = \lbrack2;5).

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho biết \tan\alpha = \frac{1}{2}. Tính \cot\alpha.

    Ta có: \tan\alpha.cot\alpha = 1 \Rightarrow \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.

  • Câu 24: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (−1;+∞)?

    Xét đáp án y = - \sqrt{2}(x + 1)^{2}, ta có y = - \sqrt{2}(x + 1)^{2} = - \sqrt{2}x^{2} - 2\sqrt{2}x - \sqrt{2} nên - \frac{b}{2a} = - 1 và có a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tập hợp C = (2;+∞) \ [-3;8] bằng tập hợp nào sau đây?

     Ta có: C = (2;+∞) \ [-3;8] = (8;+∞).

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hai lực \overrightarrow{F1} và \overrightarrow{F2} cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực \overrightarrow{F1} và \overrightarrow{F2} đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Tính tổng hợp lực

    Theo quy tắc hình bình hành ta có:

    \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_{hl}}}

    \begin{matrix} \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{F_{hl}}} } ight|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } ight|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } ight|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } ight|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } ight|.\cos {60^0} \hfill \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{F_{hl}}} } ight|^2} = {50^2} + {50^2} + 2.50.50.\dfrac{1}{2} = 7500 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{hl}}} } ight| = 50\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho tập hợp C_{\mathbb{R}}A = \left\lbrack - 3;\sqrt{8} ight) và C_{\mathbb{R}}B = ( - 5;2) \cup \left( \sqrt{3};\sqrt{11} ight). Tập C_{\mathbb{R}}(A \cap B) là:

    C_{\mathbb{R}}A\mathbb{= R}\backslash A = \left\lbrack - 3;\sqrt{8} ight) \Rightarrow A = ( - \infty; - 3) \cup \left\lbrack \sqrt{8}; + \infty ight)

    C_{\mathbb{R}}B\mathbb{= R}\backslash B = ( - 5;2) \cup \left( \sqrt{3};\sqrt{11} ight) = \left( - 5;\sqrt{11} ight) \Rightarrow B = ( - \infty; - 5brack \cup \left\lbrack \sqrt{11}; + \infty ight).

    \Rightarrow A \cap B = ( - \infty; - 5brack \cup \left\lbrack \sqrt{11}; + \infty ight)

    \Rightarrow C_{\mathbb{R}}(A \cap B)\mathbb{= R}\backslash(A \cap B) = \left( - 5;\sqrt{11} ight).

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x + y < 1?

     Thay (0; 1) vào bất phương trình, ta được: 1 < 1 (sai). Do đó cặp số này không là nghiệm của bất phương trình.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix}2x - 5y - 1 > 0 \\2x + y + 5 > 0 \\x + y + 1 < 0 \\\end{matrix} ight.. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

    Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

    Với O(0;0) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}2.0 - 5.0 - 1 > 0 \\2.0 + 0 + 5 > 0 \\0 + 0 + 1 < 0 \\\end{matrix} ight.. Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên không thỏa mãn.

    Với M(1;0) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}2.1 - 5.0 - 1 > 0 \\2.1 + 0 + 5 > 0 \\1 + 0 + 1 < 0 \\\end{matrix} ight.. Bất phương trình thứ ba sai nên không thỏa mãn.

    Với N(0; - 3) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}2.0 - 5.( - 3) - 1 > 0 \\2.0 + ( - 2) + 5 > 0 \\0 + ( - 2) + 1 < 0 \\\end{matrix} ight.. Đúng.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hai lực \overrightarrow{F_1} và \overrightarrow{F_2} có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực \overrightarrow{F_1} và \overrightarrow{F_2} lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là:

     

    Ta có: \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } ight| = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} = 100N.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tập hợp các điểm M thỏa mãn \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} ight| là

    Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AB,\ \ AC. Khi đó \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \\ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MJ} \\ \end{matrix} ight.\ .

    Theo bài ra, ta có \left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} ight|\Leftrightarrow \left|2\ \overrightarrow{MI} ight| = \left| 2\ \overrightarrow{MJ} ight|\Leftrightarrow MI = MJ.

    Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} ight| là đường trung trực của đoạn thẳng IJ, cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho ngũ giác ABCDE. Từ các đỉnh của ngũ giác đã cho có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm cuối là điểm A?

    Các vectơ có điểm cuối là điểm A là \overrightarrow{BA}; \overrightarrow{CA}; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{EA}.

  • Câu 33: Nhận biết

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} x - 2y < 0 \\ x + 3y > - 2 \\ y - x < 3 \\ \end{matrix} ight. chứa điểm nào sau đây?

    Ta thấy (0;1) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm (0;1) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho \Delta ABC có \widehat{C} = 45^{0},\widehat{B} = 75^{0}. Số đo của góc A là:

    Ta có: \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{A} = 180^{0} - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^{0} - 75^{0} - 45^{0} = 60^{0}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tam giác ABC có AB = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2},\ \ BC = \sqrt{3},\ \ CA = \sqrt{2}. Gọi D là chân đường phân giác trong góc \widehat{A}. Khi đó góc \widehat{ADB} bằng bao nhiêu độ?

    Theo định lí hàm cosin, ta có:

    \begin{matrix} \cos\widehat{BAC} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2.AB.AC} = - \frac{1}{2} \\ \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \widehat{BAC} = 120{^\circ} \Rightarrow \widehat{BAD} = 60{^\circ}

    \cos\widehat{ABC} = \frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2.AB.BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{ABC} = 45{^\circ}

    Trong \Delta ABD có \widehat{BAD} = 60{^\circ},\ \ \widehat{ABD} = 45{^\circ} \Rightarrow \widehat{ADB} = 75{^\circ}.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x-1},x\in (-∞;0) \\ \sqrt{x+1},x\in [0;2]\\ x^{2}-1,x\in (2;5]\end{matrix}ight.. Tính f(4), ta được kết quả:

     Với x=4 \in (2;5], ta có: f(4)=4^2-1=15.

  • Câu 37: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình (x + 1)^{2} - 2\sqrt{2x(x^{2} + 1)} = 0 là:

    ĐKXĐ: 2x(x2+1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

    Đặt \sqrt{2x} = a,\ \sqrt{x^{2} + 1} =b, a  ≥ 0, b ≥ 0

    Suy ra a2 + b2 = 2x + x2 + 1 = (x+1)2

    Phương trình trở thành a2 + b2 − 2ab = 0 ⇔ (a−b)2 = 0 ⇔ a = b

    Suy ra \sqrt{2x} = \sqrt{x^{2} + 1}\Leftrightarrow 2x = x^{2} + 1 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 0\Leftrightarrow x = 1 (thỏa mãn)

    Vậy phương trình có một nghiệm là x = 1 .

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Nghiệm của phương trình \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x - 2} = \frac{x + 3}{5} là:

    Điều kiện: x \geq \frac{2}{3} .Ta có

    \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x - 2} = \frac{x + 3}{5}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x - 2} ight)\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight) = \left( \frac{x + 3}{5} ight)\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight)

    \Leftrightarrow x + 3 = \left( \frac{x + 3}{5} ight)\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight)

    \Leftrightarrow (x + 3)\left\lbrack 1 - \frac{1}{5}\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight) ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} = 5 ( vì x + 3 > 0 )

     ⇔ x = 2.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = mx^{2} – 2mx + m – 1. Giá trị của m để f(x) < 0, ∀x ∈ ℝ.

    Để f\left( x ight) < 0 với \forall x \in \mathbb{R}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {\Delta ' = {m^2} - m\left( {m - 1} ight) < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {m < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m < 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho \overrightarrow{a} = (3; - 4),\ \overrightarrow{b} = ( - 1;2). Tìm tọa độ của vectơ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

    Ta có \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 3 + ( - 1); - 4 + 2 ight) = (2; - 2).

  • Câu 41: Nhận biết

    Tập X = \left\{ x\mathbb{\in R}|2x^{2} - 5x + 3 = 0 ight\} bằng tập nào sau đây?

    Ta có: 2x^{2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow X = \left\{ 1;\frac{3}{2} ight\}.

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c. Biểu thức f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) có giá trị bằng

    f(x+3) = a(x+3)2 + b(x+3) + c = ax2 + (6a+b)x + 9a + 3b + c.

    f(x+2) = a(x+2)2 + b(x+2) + c = ax2 + (4a+b)x + 4a + 2b + c.

    f(x+1) = a(x+1)2 + b(x+1) + c = ax2 + (2a+b)x + a + b + c.

     ⇒ f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) = ax2 + bx + c.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{2x^{2} - 5x + 2}.

    Điều kiện 2x^{2} - 5x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight..

    Vậy tập xác định của hàm số là \left( - \infty;\frac{1}{2} ightbrack \cup \lbrack 2; + \infty).

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có \widehat{A} = 90^{0}. Gọi các vectơ \overrightarrow{\alpha};\overrightarrow{\beta};\overrightarrow{\lambda} theo thư tự là các vectơ có giá vuông góc với các đường thẳng AB.AC,BC và \left| \overrightarrow{\alpha} ight| = AB;\left| \overrightarrow{\beta} ight| = AC;\left| \overrightarrow{\lambda} ight| = BC. Tính độ dài vectơ \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda}, biết AB = 3,AC = 4.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi D là điểm thuộc miền trong tam giác ABC, dựng các vectơ \overrightarrow{\alpha} = \overrightarrow{DG};\overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DE};\overrightarrow{\lambda} = \overrightarrow{DF} dựng hình chữ nhật DGHE ta có: \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DH}

    Ta lại có: \Delta GDH = \Delta ABC \Rightarrow \widehat{GDH} = \widehat{ABC}

    Mặt khác \widehat{GDF} + \widehat{ABC} = 180^{0}

    \Rightarrow \widehat{GDF} + \widehat{GDH} = 180^{0}

    => Ba điểm H, D, F thẳng hàng.

    Khi đó: \left| \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda} ight| = \left| \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{FD} ight| = \left| \overrightarrow{FH} ight| = 10

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm parabol (P):y=ax^{2}+3x-2, biết rằng parabol có đỉnh I(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}).

     Vì hàm số bậc hai có đỉnh I(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}) nên:

    \frac{-b}{2a}= \frac {-1}2 \Leftrightarrow b=a và -\frac {11}4=a{(\frac{-1}2})^{2}+3.(-\frac1{2})-2.

    Suy ra a=3.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập