Số nghiệm của phương trình 
là:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình
Xét , phương trình đã cho
Đến đây, chú ý
Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn
Do đó phương trình đã cho
Nhưng x = − 1 không thoả mãn nên phương trình có nghiệm x = 1
* TH2:
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Trong mặt phẳng tọa độ , tọa độ vecto là:
Ta có: .
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó
Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC =>
Tam giác có . Độ dài cạnh AC là khoảng:
Ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
Tính giá trị biết rằng ?
Ta có:
Xác định parabol biết rằng Parabol đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8)
Thay tọa độ và
vào
. Ta có:
.
Do đó .
Cho tam giác vuông tại có . Tính
Ta có:
Cho tam giác có lần lượt là trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho . Đẳng thức nào sau đây đúng?
Gọi K là trung điểm BN.
Xét ta có
(1)
Xét ta có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Đồ thị của hàm số nào sau đây là parabol có đỉnh I(−1; 3).
Đỉnh Parabol là .
Do đó chỉ có đáp án y = 2x2 + 4x + 5 thỏa mãn.
Cho tam giác có là trung điểm của . Điểm xác định . Đường thẳng đi qua song song với cắt lần lượt tại . Điểm nằm trên cạnh sao cho diện tích các tam giác và bằng nhau. Biết . Tính giá trị của ?
Hình vẽ minh họa:
Theo định lí Ta – lét ta có:
Mặt khác mà ba điểm
thẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta được:
Ta có:
Chú ý rằng khoảng cách từ F đến AB bằng khoảng cách từ A đến DE nên hai tam giác ADE và BGF có cùng diện tích suy ra BG = DE do đó
Ta có:
Mà
Hay
Vậy
Điền vào chỗ trống: “Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là ….”
Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Cho hình bình hành Gọi là trọng tâm của tam giác Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
Do đó
Nghiệm của phương trình là:
Điều kiện: .Ta có
( vì x + 3 > 0 )
⇔ x = 2.
Xác định A ∩ B trong trường hợp sau:
Tập hợp là tập hợp cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình:
Vậy
Trong hệ tọa độ cho tam giác có và trọng tâm . Tìm tọa độ đỉnh ?
Gọi
Vì là trọng tâm tam giác
nên
Tìm tập xác định D của hàm số .
Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1; + ∞) ∖ {0}.
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
Ta có: không có nghiệm thực.
Cho Tìm
Vậy .
Tam thức bậc hai nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án
Cho hệ bất phương trình có miền nghiệm là miền ngũ giác như hình dưới. Giá trị nhỏ nhất của là:
Đầu tiên học sinh xác định tọa độ các đỉnh đa giác.
Tọa độ đỉnh A là tọa độ giao điểm hai đường thẳng a và c
=> Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ đỉnh B là tọa độ giao điểm hai đường thẳng a và e
=> Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ đỉnh D là tọa độ giao điểm hai đường thẳng b và d
=> Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ đỉnh E là tọa độ giao điểm hai đường thẳng d và e
=> Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:
Ta phải tìm các giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F trên miền tứ giác ABCDE.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác.
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
F đạt giá trị nhỏ nhất bằng -114 tại
Cho hai điểm A(6; –1) và B(x; 9). Giá trị của x để khoảng cách giữa A và B bằng là:
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ , gọi là trực tâm tam tam giác có tọa độ các đỉnh . Tính giá trị biểu thức ?
Ta có: là trực tâm tam giác ABC nên
Ta có hệ phương trình
Vậy biểu thức
Cho hình bình hành ABCD, với giao điểm hai đường chéo I. Khi đó:
Ta có: (2 vectơ đối nhau).
Tập xác định của hàm số là:
Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.
Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm?
Bất phương trình x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình .
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Tam giác ACD vuông cân tại D ta có:
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề
Mệnh đề phủ định là:
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình:
Vì là mệnh đề sai nên
không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Đồ thị hàm số y = x2 − 6|x| + 5:
Ta có:
Đồ thị (C)của hàm số y = x2 − 6|x| + 5 gồm hai phần
Phần đồ thị (C1): là phần đồ thị của hàm số y1 = x2 − 6x + 5 nằm bên phải trục tung
Phần đồ thị (C2): là phần đồ thị của hàm số y2 = x2 + 6x + 5 có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị (C1) qua trục tung
Ta có đồ thị (C) như hình vẽ
Vậy đồ thị (C) có trục đối xứng có phương trình x = 0.
Phát biểu lại mệnh đề "Nếu n = 2 thì là một hợp số".
Phát biểu lại mệnh đề trên: "n = 2 là điều kiện đủ để là một hợp số".
Cặp số là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Vì là mệnh đề đúng nên cặp số
là nghiệm của bất phương trình
.
Cho biết là một phần tử của tập hợp xét các mệnh đề sau:
(I)
(II) .
(III)
(IV)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng:
I đúng.
II sai vì không có khái niệm tập hợp này thuộc tập hợp kia.
III sai vì phần tử thì không thể là con của
tập hợp.
IV đúng.
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình ta thấy điểm A(3, 2) thỏa mãn hệ bất phương trình.
Cho hình vuông , dựng các hình vuông với là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:
Biết các hình vuông nhỏ có kích thước . Tính độ dài vectơ:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:
Cho tam giác có . Tính độ dài cạnh .
Áp dụng định lí côsin:
.
Suy ra .
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao . Từ vị trí quan sát cao so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh và chân của cột ăng-ten dưới góc và so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
Từ hình vẽ, suy ra và
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có
.Trong tam giác vuông
, ta có
Vậy
Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng
Ta có:
Cho tam giác có diện tích , lấy là trọng tâm và . Giả sử , tính giá trị biểu thức theo ?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
. Kẻ
Tam giác vuông =>
Tam giác vuông =>
Ta có:
Mặt khác áp dụng định lí sin cho tam giác AMB ta được:
Từ (*) và (**) ta được:
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó:
Phần tô màu trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
Quan sát hình vẽ ta thấy các giá trị của x thuộc miền nghiệm nhỏ hơn 0
=> Các hệ phương trình ;
không thỏa mãn.
Thay tọa độ điểm vào biểu thức
ta thấy:
Vậy hệ bất phương trình thỏa mãn hình vẽ đã cho là:
Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .
Theo định lí hàm sin, ta có
.
Một tam giác có ba cạnh là . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là:
Ta có: .
Áp dụng hệ thức Hê - rông ta có:
.
Mặt khác
Tam giác vuông ở và có góc . Hệ thức nào sau đây là sai?
Vì nên loại
.
Vì nên loại
.
Vì nên loại
.
Vì nên chọn
.
Cho bất phương trình . Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
Ta có: . Suy ra
.
Nhận xét: không thuộc
.
Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 − 5x + 6 và a là số thực lớn hơn 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) > 0 khi x < 2 ∨ x > 3 mà a > 3 nên f(a) > 0.
