Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn gồm 45 câu hỏi bám sát 4 chuyên đề giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Biết rằng hàm số y = ax2 + bx + c(a≠0) đạt giá trị lớn nhất bằng \frac{1}{4} tại x = \frac{3}{2} và tổng lập phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 9. Tính P = abc.

    Hàm số y = ax2 + bx + c(a≠0) đạt giá trị lớn nhất bằng \frac{1}{4} tại x = \frac{3}{2} nên ta có - \frac{b}{2a} = \frac{3}{2} và điểm \left( \frac{3}{2};\frac{1}{4} ight) thuộc đồ thị \Rightarrow \frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = \frac{1}{4}.

    Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y = 0. Theo giả thiết: x13 + x23 = 9

    \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} ight) = 9\overset{Viet}{ightarrow}\left( - \frac{b}{a} ight)^{3} - 3\left( - \frac{b}{a} ight)\left( \frac{c}{a} ight) = 9.

    Từ đó ta có hệ \left\{ \begin{matrix} - \frac{b}{2a} = \frac{3}{2} \\ \frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = \frac{1}{4} \\ \left( - \frac{b}{a} ight)^{3} - 3\left( - \frac{b}{a} ight)\left( \frac{c}{a} ight) = 9 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = - 3a \\ \frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = \frac{1}{4} \\ \frac{c}{a} = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}P = abc = 6.

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong mặt phẳng Oxy cho A( - 1;1), B(1;3), C(1; - 1). Khẳng định nào sau đây đúng.

    Do \overrightarrow{AB} = (2;2) nên loại đáp án \overrightarrow {AB}=(-4;2).

    Do\overrightarrow{AB} = (2;2),\overrightarrow{BC} = (0; - 4),\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 8 suy ra\overrightarrow{AB} không vuông góc \overrightarrow{BC} nên loại đáp án \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{BC}.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;2), \overrightarrow{AC} = (2; - 2), \overrightarrow{BC} = (0; - 4), suy ra AB = AC = \sqrt{8}, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0. Do đó tam giác ABC vuông cân tại A.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tam giác ABC có \widehat A = {105^0},\widehat B = {45^0};AC = 10. Độ dài cạnh AB là:

    Xét tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix} \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} ight) = {30^0} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{AC}}{{\sin \widehat B}} = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat C}} \hfill \\ \Rightarrow AB = \dfrac{{AC.\sin \widehat C}}{{\sin \widehat B}} = \dfrac{{10.\sin {{30}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = 5\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}. = \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = a.a.cos60^{{^\circ}} = \frac{a^{2}}{2}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho định lí “Nếu a < b thì a + c < b + c”. Giả thiết của định lí này là gì?

    Khi mệnh đề P ⇒ Q là định lí, ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí

    Từ đó ta suy ra: Giả thiết của định lí là a < b

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tập nghiệm của phương trình \frac{3x^{2}-7x+2}{\sqrt{3x-1}}=\sqrt{3x-1} là?

     Điều kiện: x > \frac13.

    Ta có: \frac{3x^{2}-7x+2}{\sqrt{3x-1}}=\sqrt{3x-1} \Leftrightarrow 3x^{2}-7x+2=3x-1\Leftrightarrow 3x^2-10x+3=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = 3}\end{array}} ight.. Loại x= \frac13.

    Vậy S=\{3\}.

     

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Điểm E xác định 2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{0}. Đường thẳng d đi qua E song song với AB cắt AM,BC lần lượt tại D;F. Điểm G nằm trên cạnh AB sao cho diện tích các tam giác BFG và ADE bằng nhau. Biết \overrightarrow{AG} = \alpha\overrightarrow{AB}. Tính giá trị của \alpha?

    Hình vẽ minh họa:

    Theo định lí Ta – lét ta có:

    \frac{FB}{FC} = \frac{EA}{EC} = \frac{1}{2} \Rightarrow FC = \frac{2}{3}BC

    \Rightarrow FM = \frac{2}{3}BC - MC = \frac{2}{3}BC - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{6}BC

    \Rightarrow \overrightarrow{FM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{FC}

    Mặt khác \overrightarrow{EC} = - 2\overrightarrow{EA};\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DM}.\overrightarrow{DM} mà ba điểm D;E;F thẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta được:

    \left( - \frac{DA}{DM} ight).\frac{1}{4}.( - 2) = 1

    \Rightarrow \frac{DA}{DM} = 2

    Ta có:

    \overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}

    Chú ý rằng khoảng cách từ F đến AB bằng khoảng cách từ A đến DE nên hai tam giác ADE và BGF có cùng diện tích suy ra BG = DE do đó \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{DE}

    Ta có:

    \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BG}

    Mà \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}

    Hay \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    Vậy \alpha = \frac{2}{3}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tam giác ABC có BC=5\sqrt{5},AC=5\sqrt{2},AB=5 . Số đo góc A là:

    Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

    \begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC\cos \widehat A \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \widehat A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A = {135^0} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} x + y - 1 > 0 \\ y \geq 2 \\ - x + 2y > 3 \\ \end{matrix} ight. là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

    Xét điểm M(0;4) thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.

    Chỉ có hình vẽ chứa điểm M(0;4). Chọn đáp án hình vẽ này.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \overrightarrow{a} = ( - 1;1),\overrightarrow{b} = (4; - 2). Xác định tọa độ vecto \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = ( - 1;1) \Rightarrow 2\overrightarrow{a} = ( - 2;2) \\ \overrightarrow{b} = (4; - 2) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = \left( - 2 + 4;2 + ( - 2) ight) = (2;0)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = mx^{2} – 2mx + m – 1. Giá trị của m để f(x) < 0, ∀x ∈ ℝ.

    Để f\left( x ight) < 0 với \forall x \in \mathbb{R}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {\Delta ' = {m^2} - m\left( {m - 1} ight) < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {m < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m < 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Phương trình x.\sqrt[3]{35 - x^{3}}\left( x + \sqrt[3]{35 - x^{3}} ight) = 30 có mấy nghiệm nguyên dương ?

    Đặt t = \sqrt[3]{35 - x^{3}}. Ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} xt(x + t) = 30 \\ x^{3} + t^{3} = 35 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + t = 5 \\ x.t = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ t = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = 3.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC,\ \ \ I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì M là trung điểm BC nên \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}. Mặt khác I là trung điểm AM nên \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}. Suy ra \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho số thực a < 0. Điều kiện cần và đủ để ( - \infty;a) \cup \left\lbrack \frac{4}{a}; + \infty ight)\mathbb{= R} là:

    Ta có: ( - \infty;a) \cup \left\lbrack \frac{4}{a}; + \infty ight)\mathbb{= R \Leftrightarrow}a \geq \frac{4}{a} \Leftrightarrow a^{2} \leq 4 (vì a < 0 nên khi quy đồng bỏ mẫu dấu bất phương trình bị đổi)

    \Leftrightarrow - 2 \leq a \leq 2

    Vì a < 0 \Rightarrow - 2 \leq a < 0.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xác định tập hợp C = (2;+∞) \setminus [-3;8] 

    Xác định kết quả tập hợp bằng hình vẽ như sau:

    Xác định tập hợp C

    Vậy C = (2;+∞) \setminus [-3;8] =(8;+∞)

  • Câu 16: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa, hai véctơ bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện:

    +) Cùng hướng

    +) Cùng độ dài.

    Chọn đáp án: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Các giá trị m để tam thức f(x) = x2– (m + 2)x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần là

    Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

    ⇔ Δ > 0 ⇔ m2 − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Hai mệnh đề sau là mệnh đề gì: “x chia hết cho 9” và “x chia hết cho 3”.

     Nếu x chia hết cho 9 thì x chia hết cho 3.

    Nếu x chia hết cho 3 thì x có thể không chia hết cho 9.

    => Hai mệnh đề “x chia hết cho 9” và “x chia hết cho 3” là mệnh đề kéo theo.

  • Câu 19: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

    Ta có: S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cặp số (\ 1;\ - 1) là nghiệm của bất phương trình nào?

    Ta có: 1 + 4( - 1) = - 3 < 1.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hai điểm A(6; –1) và B(x; 9). Giá trị của x để khoảng cách giữa A và B bằng 5\sqrt{5} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \left( {x - 6;10} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } ight| = \sqrt {{{\left( {x - 6} ight)}^2} + {{10}^2}} \hfill \\ \left| {\overrightarrow {AB} } ight| = 5\sqrt 5 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 6} ight)}^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt 5 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 136 = 125 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 11} \\ {x = 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Vận dụng

    Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40m, \widehat{CAB} = 45^{0} và \widehat{CBA} = 70^{0}.Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}

    Vì \sin C = \sin(\alpha + \beta) nên AC = \frac{AB.sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{40.sin70^{0}}{sin115^{0}} \approx 41,47m.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hai lực \overrightarrow{F_1} và \overrightarrow{F_2} có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực \overrightarrow{F_1} và \overrightarrow{F_2} lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là:

     

    Ta có: \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } ight| = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} = 100N.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho tập X = \left\{ 2,3,4 ight\}. Tập X có bao nhiêu tập hợp con?

    Tập X có 3 phần tử \Rightarrow số tập con của X bằng: 2^{3} = 8.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x + y - 3 > 0?

    Xét điểm M\left( 1;\frac{3}{2}ight) . Ta có: 2.1 + \frac{3}{2}- 3 = \frac{1}{2} > 0 nên M\left( 1;\frac{3}{2} ight) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

  • Câu 26: Nhận biết

    Người ta thường kí hiệu tập hợp số như thế nào?

     Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau:

    • \mathbb{ℕ} là tập hợp các số tự nhiên.
    • \mathbb{ℤ} là tập hợp các số nguyên.
    • \mathbb{ℝ} là tập hợp các số thực.
  • Câu 27: Nhận biết

    Xác định điểm không thuộc đồ thị của hàm số y = \frac{1}{2}x^{2}?

    Ta thấy các điểm nằm trên đồ thị của hàm số là: (0;0); (2;2); ( - 2;2).

    Vậy điểm không thuộc đồ thị hàm số đã cho là: (1;2).

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;1),\ B(3;2),\ C(6;5). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

    Gọi D(x;y). Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1) \\ \overrightarrow{DC} = (6 - x;5 - y) \\ \end{matrix} ight.\ .

    Tứ giác ABCD là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \overset{}{ightarrow}\left\{\begin{matrix}2 = 6 - x \\1 = 5 - y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = 4 \\\end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}D(4;4).

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho tam thức bậc hai f(x) = 5x − x2 − 6. Tìm x để f(x) ≥ 0.

    f(x) = 5x - x^{2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tập xác định của hàm số y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 3} là:

    Hàm số y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}.

    Điều kiện xác định: \left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x - 3 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 1 \\ x eq 3 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy tập xác định của hàm số D = [ − 1; 3) ∪ (3;+∞).

  • Câu 31: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ − 7; 7] để phương trình mx2 − 2(m+2)x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt?

    TH1:m = 0 \Leftrightarrow - 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}; phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất nên loại m = 0

    TH2: m ≠ 0

    Để mx2 − 2(m+2)x + m − 1 = 0với m ∈ [ − 7; 7]có hai nghiệm phân biệt thì

    \Delta' = (m + 2)^{2} - m(m - 1) > 0 \Leftrightarrow 5m > - 4 \Leftrightarrow m > - \frac{4}{5}đồng thời m ∈ [ − 7; 7].

    Vậy m = {1; 2;3;4;5;6;7}→ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 32: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình (x + 1)^{2} - 2\sqrt{2x(x^{2} + 1)} = 0 là:

    ĐKXĐ: 2x(x2+1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

    Đặt \sqrt{2x} = a,\ \sqrt{x^{2} + 1} =b, a  ≥ 0, b ≥ 0

    Suy ra a2 + b2 = 2x + x2 + 1 = (x+1)2

    Phương trình trở thành a2 + b2 − 2ab = 0 ⇔ (a−b)2 = 0 ⇔ a = b

    Suy ra \sqrt{2x} = \sqrt{x^{2} + 1}\Leftrightarrow 2x = x^{2} + 1 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 0\Leftrightarrow x = 1 (thỏa mãn)

    Vậy phương trình có một nghiệm là x = 1 .

  • Câu 33: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào sau đây là parabol có đỉnh I(−1; 3).

    Đỉnh Parabol là I\left( - \frac{b}{2a};\ - \frac{\Delta}{4a} ight) = \left( - \frac{b}{2a};\ - \frac{b^{2} - 4ac}{4a} ight).

    Do đó chỉ có đáp án y = 2x2 + 4x + 5 thỏa mãn.

  • Câu 34: Nhận biết

    Điểm cuối của \alpha thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.

    Điểm cuối của \alpha thuộc góc phần tư thứ nhất ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hai vectơ \overrightarrow{u} = ( - 4; - 3) và \overrightarrow{v} = ( - 1; - 7). Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u} và \overrightarrow{v} là:

    \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} ight) = \dfrac{( - 4)(- 1) + ( - 3).( - 7)}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}.\sqrt{1^{2} + 7^{2}}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} ight) =45^{0}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?

    Xét các đáp án:

    Đáp án \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}. Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{0}.

    Đáp án \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}. Ta có \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (quy tắc hình bình hành).

    Đáp án \left| \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} ight|. Ta có \left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{BD} ight| = BD \\ \left| \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} ight| = \left| \overrightarrow{DB} ight| = BD \\ \end{matrix} ight..

    Đáp án \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}. Do \overrightarrow{CD} eq \overrightarrow{CB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight) eq \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} ight). Chọn đáp án này.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} \frac{3x}{2} + \frac{2y}{3} - 1 \geq 0 \\ x > 0 \\ x + \frac{1}{2} - \frac{3y}{2} \leq 2 \\ \end{matrix} ight. chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

    Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

    Với O(0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{3.0}{2} + \frac{2.0}{3} - 1 \geq 0 \\ x > 0 \\ x + \frac{1}{2} - \frac{3y}{2} \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.

    Với M(3;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{3.3}{2} + \frac{2.1}{3} - 1 \geq 0 \\ 3 > 0 \\ 3 + \frac{1}{2} - \frac{3.1}{2} \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Đúng. Chọn đáp án này.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{CD}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC}. Do đó:

    \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD} ngược hướng.

    \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD} cùng độ dài.

    ABCD là hình bình hành nếu \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD} không cùng giá.

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}.

    Chọn đáp án \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD} cùng độ dài.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho tọa độ ba điểm A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5). Tính \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}?

    Ta có: A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (4; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6; - 5) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 4.( - 6) + ( - 3).( - 5) = - 9

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho tam giác ABC. Gọi Mvà N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Vì M,\ \ N lần lượt là trung điểm của AB,\ \ AC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác

    ABC\overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}BC. Mà \overrightarrow{BC},\ \ \ \overrightarrow{MN} là hai vectơ cùng hướng nên \overrightarrow{BC} = 2\ \overrightarrow{MN}.

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Biết rằng tập hợp điểm M thỏa mãn 2MA^{2} + MB^{2} + 2MC^{2} + MD^{2} = 9a^{2} là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn.

    Ta có: 

    2MA^{2} + MB^{2} + 2MC^{2} + MD^{2} = 9a^{2}

    \Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight)^{2} + 2\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)^{2} = 9a^{2}

    \Leftrightarrow 6MO^{2} + 2OA^{2} + OB^{2} + 2OC^{2} + OD^{2}

    + 2\overrightarrow{MO}\left( 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight) = 9a^{2}

    Do 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 6MO^{2} + 3a^{2} = 9a^{2}

    \Leftrightarrow MO = a

    Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = a.

  • Câu 42: Nhận biết

    Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{\begin{matrix}2x-5y-1>0\\ 2x+y+5>0 \\ x+y+1<0 \end{matrix}ight.

     Thay tọa độ (0;– 2) vào hệ ta được: \left\{\begin{matrix}2.0-5(-2)-1>0\\ 2.0-2+5>0 \\ 0-2+1<0 \end{matrix}ight. ta thấy cả 3 bất phương trình đều thỏa mãn. Do đó điểm này thuộc miền nghiệm của hệ.

  • Câu 43: Nhận biết

    Điền vào chỗ trống: “Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là ….”

    Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có AB = c;BC = a;AC = b. Cần điều kiện gì để các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức \cot^{2}\dfrac{A}{2} + \cot^{2}\dfrac{B}{2} +\cot^{2}\dfrac{C}{2} = 9?

    Theo định lí hàm số cos ta có:

    a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc.\cos A \geq2bc - 2bc\cos A = 4bc\sin^{2}\frac{A}{2}

    \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^{2}\dfrac{A}{2}}\geq \dfrac{4bc}{a^{2}}

    \Rightarrow \cot^{2}\dfrac{A}{2} \geq\dfrac{4bc}{a^{2}} - 1

    Chứng minh tương tự ta có: \left\{\begin{matrix} \cot^{2}\dfrac{B}{2} \geq \dfrac{4ac}{b^{2}} - 1 \\ \cot^{2}\dfrac{C}{2} \geq \dfrac{4ac}{c^{2}} - 1 \\\end{matrix} ight.

    Do đó

    \cot^{2}\dfrac{A}{2} + \cot^{2}\dfrac{B}{2}+ \cot^{2}\dfrac{C}{2}

    \geq \dfrac{4bc}{a^{2}} - 1 +\dfrac{4ac}{b^{2}} - 1 + \dfrac{4ac}{c^{2}} - 1

    \geq\sqrt[3]{\dfrac{4bc}{a^{2}}\dfrac{4ac}{b^{2}}\dfrac{4ac}{c^{2}}} - 3 =9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|

     Hình vẽ minh họa

    Tính độ lớn vectơ

    Ta có:\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC

    Tam giác ACD vuông cân tại D ta có:

    \begin{matrix} A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 37 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập