Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
và
sao cho
. Độ dài lớn nhất của đoạn
bằng:
Theo định lí hàm sin, ta có:
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi
.
Khi đó .
Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
và
sao cho
. Độ dài lớn nhất của đoạn
bằng:
Theo định lí hàm sin, ta có:
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi
.
Khi đó .
Cho tam giác
vuông cân tại
có
. Tính ![]()
Gọi là trung điểm
Ta có
Phương trình
có mấy nghiệm nguyên dương ?
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên dương.
Cho tam giác
có
. Diện tích
của tam giác
là:
Ta có: nên tam giác
vuông tại B.
Diện tích tam giác là: .
Cho tập hợp
và
Tập
là:
Cho tam giác
, kẻ đường cao
và
. Gọi
là trung điểm của
,
là điểm thỏa mãn
và
. Khi đó độ dài vectơ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, ta có:
Nên K thuộc đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng CE, mặt khác
Suy ra K là giao điểm của a và đường tròn tâm A bán kính .
Điểm K cần tìm là N hoặc P
Ta có: .
Điền vào chỗ trống: “Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là ….”
Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Cho hàm số y = x2 − 2x + 3. Chọn câu đúng.
Ta có a = 1 > 0, b = − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Gọi
là tâm của hình vuông
. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng ![]()
Xét các đáp án:
Đáp án Ta có
Đáp án Ta có
Đáp án Ta có
Chọn đáp án này.
Đáp án Ta có
Cho
và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn ![]()
Có một và chỉ một điểm D thỏa mãn
Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác
có
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.
.
Ta có: cân tại A.
.
vuông tại A.
Vậy vuông cân tại A.
Cho
thoả mãn hệ
Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức ![]()
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
Ta có
Trong hệ tọa độ
cho tam giác
có
và trọng tâm
. Tìm tọa độ đỉnh
?
Gọi
Vì là trọng tâm tam giác
nên
Cho
không cùng phương,
. Vectơ cùng hướng với
là:
Ta có. Chọn
.
Cho A là tập hợp các bội của 2, B là tập hợp các bội của 8. Chọn khẳng định đúng:
Số lượng phần tử của tập hợp các bội của 2 nhiều hơn số lượng phần tử tập hợp các bội của 8. Mà đã là bội của 8 thì cũng là bội của 2.
Do đó
Tập hợp C = (2;+∞) \ [-3;8] bằng tập hợp nào sau đây?
Ta có: C = (2;+∞) \ [-3;8] = (8;+∞).
Tam thức bậc hai
nhận giá trị dương khi và chỉ khi:
Ta có: và
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Do đó khi
.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng.
Tam giác
có
. Độ dài cạnh AC là khoảng:
Ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vecto
. Khi nào hai vecto
và
bằng nhau?
Ta có:
Vậy hai vecto và
bằng nhau khi
.
Cho tam giác ABC đều cạnh
. Đường thẳng
qua
và song song với
, lấy điểm
. Tính giá trị nhỏ nhất của
khi
di động trên
.
Hình vẽ minh họa
Kẻ hình bình hành ACBD. Gọi I là trung điểm BD, khi đó, ta có
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng .
Cho tam giác ABC có
. Cần điều kiện gì để các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức
?
Theo định lí hàm số cos ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cho bất phương trình
(1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Chọn điểm không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy
là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ
chứa điểm
kể cả
.
Vậy bất phương trình luôn có vô số nghiệm.
Phương trình x2 + 2(m+2)x − 2m − 1 = 0 (m là tham số) có nghiệm khi
Xét phương trình x2 + 2(m+2)x − 2m − 1 = 0, có Δ′x = (m+2)2 + 2m + 1.
Yêu cầu bài toán ⇔ Δ′x ≥ 0 ⇔ m2 + 4m + 4 + 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m2 + 6m + 5 ≥ 0
là giá trị cần tìm.
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có . Do đó:
và
ngược hướng.
và
cùng độ dài.
là hình bình hành nếu
và
không cùng giá.
Chọn đáp án và
cùng độ dài.
Phương trình:
có mấy nghiệm ?
Điều kiện xác định x2 + 5x + 10 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.
Khi đó phương trình
.
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
ĐK: x ≥ 0.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Xét x ≠ 0. Khi đó phương trình tương đương với
Đặt
Suy ra . Phương trình trở thành:
5t = 2(t2−1) + 4 ⇔ 2t2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2 (thỏa mãn) hoặc (loại)
Với t = 2 ta có (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là .
Tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.
Có bao nhiêu mệnh đề trong các câu sau?
Hôm nay trời đẹp quá!
Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới.
Năm 2018 là năm nhuận.
Câu “Hôm nay trời đẹp quá!” không phải là mệnh đề. Các câu còn lại đều là mệnh đề.
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ
theo hai vectơ
và
của tam giác
với trung tuyến
.
Do là trung điểm của
nên ta có
.
Tìm tập xác định của hàm số
.
Điều kiện xác định: .
Vậy .
Trong mặt phẳng
, cho
và
. Khẳng định nào sau đây là sai?
Ta có: nên đáp án Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là
đúng.
Ta có: nên đáp án Độ lớn của vectơ
là
đúng.
Ta có: nên đáp án Độ lớn của vectơ
là
đúng.
Đáp án sai là Góc giữa hai vectơ là .
Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:
Ta có: M là trung điểm của AB
Vậy biểu thức sai là:
Cho A = {1; 3; 4; 7} và B = {3; 5; 7; 10} . Tập A\ B là:
Ta có: A\ B = {1; 4}.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α
Cho hình vuông
cạnh
, tính độ dài vectơ
.
Ta có: .
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác :
.
Tìm m để hàm số y = x2 − 2x + 2m + 3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 5] bằng − 3.
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x2 − 2x + 2m + 3 trên đoạn [2 ; 5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 5] của hàm số y = x2 − 2x + 2m + 3 bằng 2m + 3.
Theo giả thiết 2m + 3 = − 3 ⇔ m = − 3.
Cho tam giác
có
. Số đo của
là:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
Biết
và
. Câu nào sau đây đúng?
Ta có:
=> và
ngược hướng.
Trong các cặp số sau, cặp số nào không là nghiệm của hệ bất phương trình ![]()
Thay cặp số vào hệ ta được
không thỏa mãn bất phương trình ở dưới. Do đó cặp số này không là nghiêm của hệ.
Tìm tập xác định của ![]()
Điều kiện xác định: .
Vậy .
Phát biểu lại mệnh đề "Nếu n = 2 thì
là một hợp số".
Phát biểu lại mệnh đề trên: "n = 2 là điều kiện đủ để là một hợp số".
Trong mặt phẳng tọa độ
cho
. Xác định tọa độ vecto
?
Ta có:
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Chọn đáp án vì theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .
Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.
Dấu của tam thức bậc 2: f(x) = –x2+ 5x – 6 được xác định như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án f(x) > 0với 2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3 .