Trong mặt phẳng
cho
. Tích vô hướng của 2 vectơ
là:
Ta có , suy ra
.
Trong mặt phẳng
cho
. Tích vô hướng của 2 vectơ
là:
Ta có , suy ra
.
Cho biết
là một phần tử của tập hợp
xét các mệnh đề sau:
(I) ![]()
(II)
.
(III) ![]()
(IV) ![]()
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng:
I đúng.
II sai vì không có khái niệm tập hợp này thuộc tập hợp kia.
III sai vì phần tử thì không thể là con của
tập hợp.
IV đúng.
Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:
Ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Cho
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có và
Xét tỉ số và
không cùng phương. Loại
và
ngược hướng.
Xét tỉ số không cùng phương. Loại
cùng phương.
Xét tỉ số và
cùng hướng. Chọn
và
cùng hướng.
Giả sử
là nghiệm của phương trình
. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức
bằng:
Để phương trình có hai nghiệm thì
Áp dụng hệ thức Viet ta có:
Khi đó: .
Xét hàm số có hệ số
, hoành độ đỉnh
nên
đồng biến trên
.
Cho tam giác
có
. Biết rằng các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức:
![]()
Chọn khẳng định đúng?
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “7 là một số tự nhiên”:
Ta có:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Với . Ta có:
. Cả 4 bất phương trình đều đúng. Chọn đáp án này.
Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính tích vô hướng ![]()
Ta có: Tam giác ABC đều =>
Tập nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện .
Ta có: .
Loại . Do đó
.
Cho tam giác
, kẻ đường cao
và
. Gọi
là trung điểm của
,
là điểm thỏa mãn
và
. Khi đó độ dài vectơ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, ta có:
Nên K thuộc đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng CE, mặt khác
Suy ra K là giao điểm của a và đường tròn tâm A bán kính .
Điểm K cần tìm là N hoặc P
Ta có: .
Trong hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tọa độ của véctơ
bằng
Cho x, y thỏa mãn hệ
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x;y) = 40000x+30000y
Biểu diễn miền nghiệm của hệ :

Nghiệm của hệ là miền tứ giác với
và tọa độ
là nghiệm của hệ
, suy ra
.
Giá trị lớn nhất của đạt được tại 1 trong 4 đỉnh của tứ giác.
Với .
Với .
Với .
Với .
Vậy GTLN .
Tam giác
có
và
. Tính độ dài cạnh
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
Tam giác
vuông tại
. Trên cạnh
lấy hai điểm
sao cho các góc
bằng nhau. Đặt
. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
Ta có
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
Cho tam giác
có
thỏa mãn điều kiện
. Xác định vị trí điểm ![]()
Gọi là trọng tâm tam giác
.
Ta có .
Cho mệnh đề P: “∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC”. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
Vì AB = AC nên suy ra ∆ABC cân tại A.
Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra AB = AC.
Do đó đáp án đúng là “∆ABC cân tại A” là điều kiện cần và đủ để “AB = AC”.
Cho 2 vectơ
và
có
,
và
.Tính
.
Ta có .
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề ![]()
Mệnh đề phủ định là:
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [ − 3; 3] và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trên khoảng (−3;−1) và (1;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải
Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;−1) và (1;3).
Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
là:
ĐK x ∈ [ − 2; 5] Đặt ,t ≥ 0.
Phương trình trở thành
⇒ x12 + x22 = 11.
Cho
Tìm
để hai vectơ
cùng phương.
Hai vectơ cùng phương
Tập hợp
có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử:
Tập gồm
phần tử.
Mỗi phần tử ghép với phần tử còn lại ta được
tập con của
có
phần tử.
Số tập con của có
phần tử bằng:
Nếu tam giác
có
thì:
Nếu tam giác ABC có thì
là góc nhọn
Hàm số y = x2 − 4x + 3 đồng biến trên khoảng nào?
Trục đối xứng x = 2. Ta có a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Gọi
là tâm hình vuông
. Tính
.
Ta có .
Cho hai lực
và
cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực
và
đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:
Cho tam giác
và điểm
thỏa mãn
Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi lần lượt là trung điểm
và trọng tâm tam giác
Vì
là trung điểm
nên
Theo bài ra, ta có suy ra
thẳng hàng
Mặt khác là trọng tâm của tam giác
Do đó, ba điểm
thẳng hàng.
Cho số thực
Điều kiện cần và đủ để
là:
Ta có: (vì
nên khi quy đồng bỏ mẫu dấu bất phương trình bị đổi)
Vì
Xác định
trong trường hợp
{
,
và
}, B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 12.
Liệt kê các phần tử ta có:
Vậy .
Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa, hai véctơ bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện:
+) Cùng hướng
+) Cùng độ dài.
Chọn đáp án: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?

Nhận xét: Từ hình vẽ suy ra đỉnh .
Thay tọa độ đỉnh vào các hàm số ở các đáp án, chỉ có hàm số
thỏa mãn.
Tổng
bằng vectơ nào sau đây?
Ta có
.
Cho bất phương trình
(1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Chọn điểm không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy
là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ
chứa điểm
kể cả
.
Vậy bất phương trình luôn có vô số nghiệm.
Cặp số
không là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số không là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Cho tọa độ ba điểm
. Tính
?
Ta có:
Cho tam giác
có
. Tính độ dài cạnh
.
Áp dụng định lí côsin:
.
Suy ra .
Cho tam giác
có
là một đường trung tuyến. Biểu diễn vectơ
theo hai vectơ
và
.
Vì là trung điểm
nên
.
Tìm giá trị thực của tham số m để parabol (P) : y = mx2 − 2mx − 3m − 2 (m≠0) có đỉnh thuộc đường thẳng y = 3x − 1.
Hoành độ đỉnh của (P) là .
Suy ra tung độ đỉnh y = − 4m − 2. Do đó tọa độ đỉnh của (P) là I(1;−4m−2).
Theo giả thiết, đỉnh I thuộc đường thẳng y = 3x − 1 nên − 4m − 2 = 3.1 − 1 ⇔ m = − 1.
Cho tam thức
. Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ
Cho f(x) = x2 − 4x + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 1; 3 ].
Cho hình bình hành
. Lấy hai điểm
sao cho
, lấy tiếp hai điểm
sao cho
. Để
là trọng tâm tam giác
thì
thỏa mãn điều kiện nào sau đây:
Hình vẽ minh họa

Để J là trọng tâm tam giác AMN thì
Mặt khác do không cùng phương nên ta suy ra:
Vậy với thì điểm J là trọng tâm tam giác AMN.
Tập xác định của hàm số 
Xét , ta có:
.
Xét , điều kiện là
. Kết hợp với điều kiện
, ta được:
.
Vậy .
Cho hệ bất phương trình
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Với . Ta có:
. Cả hai bất phương trình đều thỏa mãn. Chọn đáp án này.
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là:
ĐKXĐ: x ≥ 1 .
Chia cả hai vế cho ta có
Đặt
Phương trình trở thành − 3t2 + 2t = m (*)
Xét hàm số y = − 3t2 + 2t trên [0; 1) , ta có ,
Bảng biến thiên

Phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm t∈ [0; 1)
⇔ đồ thị hàm số y = − 3t2 + 2t trên [0; 1) cắt đường thẳng
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi .