Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn gồm 45 câu hỏi bám sát 4 chuyên đề giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.
- B.
  f(x) = 2x − 4 là tam thức bậc hai.
- C.
  f(x) = 3x³ + 2x − 1 là tam thức bậc hai.
- D.
  f(x) = x⁴ − x² + 1 là tam thức bậc hai.
* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.
Câu 2: Thông hiểu
Phương trình: $x^{2} + 5x + 2 + 2\sqrt{x^{2} + 5x + 10} =0$ có mấy nghiệm ?
- A.
  1
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  4
Điều kiện xác định x² + 5x + 10 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.
Khi đó phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+ 5x + 10 + 2\sqrt{x^{2} + 5x + 10} - 8 = 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\sqrt{x^{2} + 5x + 10} = 2 \\\sqrt{x^{2} + 5x + 10} = - 4 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 5x + 10} =2$
$\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 3 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 3: Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ ?
- A.
  $S = \left\{ 6;2 ight\}$
- B.
  $S = \left\{ 2 ight\}$
- C.
  $S = \left\{ 6 ight\}$
- D.
  $S = \varnothing$
Ta có:

$\sqrt{2x - 3} = x - 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 \geq 0 \\ 2x - 3 = (x - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 3 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 6$

Vậy tập nghiệm phương trình là: $S = \left\{ 6 ight\}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho $A = \left\{ x\mathbb{\in R}:x^{2} - 7x + 6 = 0 ight\}$ và $B = \left\{ x\mathbb{\in R}:|x| < 4 ight\}.$ Khi đó:
- A.
  $A \cup B = A.$
- B.
  $A \cap B = A \cup B.$
- C.
  $A\backslash B \subset A.$
- D.
  $B\backslash A = \varnothing.$
$x^{2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = \left\{ 1;6 ight\}.$

$|x| < 4 \Rightarrow - 4 < x < 4 \Rightarrow B = ( - 4;4).$

Ta có: $A\backslash B = \left\{ 6 ight\} \subset A.$
Câu 5: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình vuông ABCD, tâm O, cạnh 4 cm. Điểm E, H lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CH}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CD}$ . Độ dài vecto $|\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OH}|$ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  $\sqrt{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OH} \hfill \\ = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CH} \hfill \\ = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CH} \hfill \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BA} \hfill \\ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OH} } ight| = \frac{1}{4}\left| {\overrightarrow {AC} } ight| = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}.4\sqrt 2 = \sqrt 2$
Câu 7: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0$ . Khi đó, góc $C$ có số đo là:
- A.
  $\widehat{C} = 150^{\circ}$ .
- B.
  $\widehat{C} = 60^{\circ}$ .
- C.
  $\widehat{C} = 45^{\circ}$ .
- D.
  $\widehat{C} = 30^{\circ}$ .
Theo đề bài ra ta có:

$BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0$

$\Leftrightarrow BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} = \sqrt{2}BC.AC$

$\Leftrightarrow \frac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{BC \cdot AC} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2\cos C - \sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{C} = 45^{\circ}$ .
Câu 8: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $AB = 5,\ \ BC = 7,\ \ CA = 8$ . Số đo góc $\widehat{A}$ bằng:
- A.
  $30{^\circ}.$
- B.
  $45{^\circ}.$
- C.
  $60{^\circ}.$
- D.
  $90{^\circ}.$
Theo định lí hàm cosin, ta có $\cos\widehat{A} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC}$ $= \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2.5.8} = \frac{1}{2}$ .

Do đó, $\widehat{A} = 60{^\circ}$ .
Câu 9: Nhận biết
Đâu là kí hiệu của hai mệnh đề kéo theo?
- A.
  P ⇐ Q
- B.
  P ⟶ Q
- C.
  P ⇒ Q
- D.
  P ⇔ Q
Mệnh đề kéo theo được kí hiệu là: $P ⇒ Q$
Câu 10: Nhận biết
Phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$ có tập nghiệm là:
- A.
  {5}
- B.
  {2}
- C.
  {2;5}
- D.
  ∅.
Ta có: $\sqrt{x-1}=x-3 \Rightarrow x-1=x^2-6x+9$ $\Leftrightarrow x^2-7x+10=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 5}\end{array}} ight.$ .
Thử lại $x=2$ thấy không thỏa mãn. Vậy $S=\{5\}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \sqrt{(m - 2)x^{2} - 2(m - 3)x + m - 1}$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có tập xác định $D\mathbb{= R}$ ?
- A.
  $m > \frac{7}{3}$
- B.
  $m < \frac{7}{3}$
- C.
  $m \leq \frac{7}{3}$
- D.
  $m \geq \frac{7}{3}$
Hàm số có tập xác định $D\mathbb{= R}$ khi và chỉ khi

$g(x) = (m - 2)x^{2} - 2(m - 3)x + m - 1 \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

Xét $m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$ thì $g(x) = 2x + 1 \geq 0$ , loại giá trị $m = 2$

Xét $m eq 2$ ta có:

$(m - 2)x^{2} - 2(m - 3)x + m - 1 \geq 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 2 > 0 \\ (m - 3)^{2} - (m - 2)(m - 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 2 \\ m \geq \frac{7}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{7}{3}$

Vậy $m \geq \frac{7}{3}$
Câu 12: Nhận biết
Cho A = {1; 3; 4; 7} và B = {3; 5; 7; 10} . Tập A\ B là:
- A.
  {1; 4};
- B.
  {3; 7};
- C.
  {5; 10};
- D.
  ∅.
Ta có: A\ B = {1; 4}.
Câu 13: Nhận biết
Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a} = (2; - 5)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 5;2)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 20$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 10$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 10$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 20$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 5) + ( - 5).2 = - 20$
Câu 14: Vận dụng
Tích các nghiệm của phương trình $3\sqrt{x + 3} = 3x^{2} + 4x - 1$ là:
- A.
  1.
- B.
  − 1.
- C.
  2.
- D.
  − 2.
ĐKXĐ: x ≥ − 3
Phương trình $\Leftrightarrow - 27(x + 3) -3\sqrt{x + 3} + 3x^{2} + 31x + 80 = 0$
Đặt $t = \sqrt{x + 3}$ , (t≥0) phương trình trở thành − 27t² − 3t + 3x² + 31x + 80 = 0(1)
Có Δ_t = (18x+93)² suy ra $(1) \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \frac{- 3x - 16}{9} \\t = \frac{x + 5}{3} \\\end{matrix} ight.$
$\bullet \sqrt{x + 3} = \frac{- 3x -16}{9}$ Vô nghiệm vì với x ≥ − 3 thì $\frac{- 3x - 16}{9} < 0$
$\bullet \sqrt{x + 3} = \frac{x + 5}{3}\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc x = − 2
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x = − 2, tích các nghiệm của phương trình là 1.(−2) = − 2.
Câu 15: Thông hiểu
Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
- A.
  y = − 2x² + 3x − 1.
- B.
  y = − x² + 3x − 1.
- C.
  y = 2x² − 3x + 1.
- D.
  y = x² − 3x + 1.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x = 1, ta chỉ có phương trình $2x^{2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 16: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba vectơ $\overrightarrow{u} = (4;1),\overrightarrow{v} = (1;4)$ và $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + m.\overrightarrow{v}$ với $m\mathbb{\in R}.$ Tìm $m$ để $\overrightarrow{a}$ vuông góc với trục hoành.
- A.
  $m = 4.$
- B.
  $m = - 4.$
- C.
  $m = - 2.$
- D.
  $m = 2.$
Trục hoành có vtcp $\overrightarrow{i}(1;0)$ .

$m = 4 \Rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v} = (8;17)$ . Do đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i} = 8.1 + 17.0 eq 0$ nên đáp án $m = 4$ sai.

$m = - 4 \Rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} - 4\overrightarrow{v} = (0; - 15)$ . Do đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i} = 0.1 + ( - 15).0 = 0$ nên đáp án $m = - 4$ đúng.

$m = - 2 \Rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = (2; - 7)$ . Do đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i} = 2.1 + ( - 7).0 eq 0$ nên đáp án $m = - 2$ sai.

$m = 2 \Rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} = (6;9)$ . Do đó: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i} = 6.1 + 9.0 eq 0$ nên đáp án $m = 2$ sai.
Câu 17: Thông hiểu
Cho f(x) = − 2x² + (m+2)x + m − 4. Tìm m để f(x) âm với mọi a, b, c > 0.
- A.
  − 14 < m < 2.
- B.
  − 14 ≤ m ≤ 2.
- C.
  − 2 < m < 14.
- D.
  m < − 14 hoặc m > 2.
Ta có $f(x) < 0,\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} \Delta < 0 \\ a < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow (m + 2)^{2} + 8(m - 4) < 0 \Leftrightarrow m^{2} + 12m - 28 < 0 \Leftrightarrow - 14 < m < 2$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên ℝ.
- B.
  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).
- C.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
- D.
  Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).
Trên khoảng (0;2) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.
Câu 19: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(3; - 4),B(7;2)$ là:
- A.
  $M(5; - 1)$
- B.
  $M(4;6)$
- C.
  $M(10; - 2)$
- D.
  $M(2;3)$
Tọa độ trung điểm M của AB là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\y_{M} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M(5; - 1)$

Vậy tọa độ trung điểm M của AB là $M(5; - 1)$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Phương trình $2\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 3\sqrt{x^{3} + 8}$ có mấy nghiệm nguyên ?
- A.
  0.
- B.
  2.
- C.
  1.
- D.
  3.
Điều kiện: x ≥ − 2

PT đã cho tương đương với: $2\left( x^{2} - 2x + 4 ight) - 2(x + 2) = 3\sqrt{(x + 2)\left( x^{2} - 2x + 4 ight)}$

Do x = − 2 không là nghiệm của PT đã cho nên chia hai vế cho x + 2 ta được:

$\frac{2\left( x^{2} - 2x + 4 ight)}{x + 2} - 3\sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2}} - 2 = 0$

Đặt $t = \sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2}}\ \ \ \ (t \geq 0)$ ta có: $2t^{2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2\ \ \ (t/m) \\ t = - \frac{1}{2}\ \ \ \ (l) \\ \end{matrix} ight.$

Với t = 2 ta được

$\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2} = 4 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 + \sqrt{13} \\ x = 3 - \sqrt{13} \\ \end{matrix} ight.\ (TM) \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên.
Câu 21: Thông hiểu
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $A(1;2),\ \ B(4;1),\ \ C(5;4)$ . Tính $\widehat{BAC}$ ?
- A.
  $60^{o}$ .
- B.
  $45^{o}$ .
- C.
  $90^{o}$ .
- D.
  $120^{o}$ .
Ta có $\overrightarrow{AB} = (3; - 1)$ , $\overrightarrow{AC} = (4;2)$ suy ra $\cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC} = \frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = 45^{o}$ .
Câu 22: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
- D.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$
Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .
Câu 23: Nhận biết
Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $- 5x + y \geq 5$ ?
- A.
  $(1;9)$ .
- B.
  $(2; - 1)$ .
- C.
  $(2;2)$ .
- D.
  $(0;5)$ .
Thay các cặp số vào bất phương trình ta thấy $(0;5)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 24: Thông hiểu
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}x - y > 3 \\1 - \frac{1}{2}x + y > 0 \\\end{matrix} ight.$ có tập nghiệm $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  $(-2; 1) \in S$ .
- B.
  $(1;2) \in S$ .
- C.
  $(-6; 0) \in S$ .
- D.
  $S = \varnothing$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x - y > 3 \\1 - \frac{1}{2}x + y > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x > y + 3 \\x < y + 2 \\\end{matrix} ight.$ . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Câu 25: Thông hiểu
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm M.
- A.
  M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM
- B.
  M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- C.
  Điểm M trùng với điểm C
- D.
  M là trọng tâm của tam giác ABC.
Điểm $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ .
Câu 26: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 27: Thông hiểu
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{AB}=0$ là:
- A.
  Tam giác OAB đều
- B.
  Tam giác OAB cân tại O
- C.
  Tam giác OAB vuông tại O
- D.
  Tam giác OAB vuông cân tại O
Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ .
Ta có: $\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } ight).\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AB} = 0$ (do $OM\perp AB$ ).
Câu 28: Nhận biết
Có bao nhiêu câu là mệnh đề trong các câu sau:

(1) Môn toán khó quá!

(2) Bạn có đói không?

(3) $2 > 3$ hoặc $1 \leq 4.$

(4) $\pi < 2.$
- A.
  $1.$
- B.
  $2.$
- C.
  $3.$
- D.
  $4\mathbf{.}$
Câu (1) là câu cảm thán, câu (2) là câu nghi vấn nên không phải mệnh đề.

Các câu còn lại là mệnh đề.

$\Rightarrow$ Có $2$ câu là mệnh đề.
Câu 29: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD.$ Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}.$
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \\ \end{matrix} ight.$

$= > 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
Câu 30: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ các điểm $M( - 3;1),N(1;4),P(5;3)$ . Xác định tọa độ điểm Q sao cho tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành?
- A.
  $Q( - 1;0)$
- B.
  $Q(1;0)$
- C.
  $Q(0; - 1)$
- D.
  $Q(0;1)$
Gọi tọa độ điểm $Q(x;y)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MQ} = (x + 3;y - 1) \\ \overrightarrow{NP} = (4; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Vì MNPQ là hình bình hành nên

$\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 4 \\ y - 1 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm Q cần tìm là $Q(1;0)$ .
Câu 31: Thông hiểu
Trong định lí ta nói: "P là điều kiện cần để có Q". Khi đó P là gì của định lí?
- A.
  Giả thiết
- B.
  Kết luận
- C.
  Nội dung
- D.
  Mệnh đề đảo
Trong định lí ta nói: " $P$ là điều kiện cần để có $Q$ ". Khi đó P là kết luận của định lí.
Câu 32: Nhận biết
Điểm $M(0; -3)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix}2x - y \leq 3 \\2x + 5y \leq 12x + 8 \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix}2x - y > 3 \\2x + 5y \leq 12x + 8 \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}2x - y > - 3 \\2x + 5y \leq 12x + 8 \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}2x - y \leq - 3 \\2x + 5y \geq 12x + 8 \\\end{matrix} ight.$
Thay tọa độ $M(0; - 3)$ lần lượt vào từng phương trình của hệ $\left\{\begin{matrix}2x - y \leq 3 \\2x + 5y \leq 12x + 8 \\\end{matrix} ight.$ ta thấy thỏa mãn.
Câu 33: Thông hiểu
Cho bất phương trình $2x + 4y < 5$ có tập nghiệm là $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  $(1;1) \in S$ .
- B.
  $(1;10) \in S$ .
- C.
  $(1; - 1) \in S$ .
- D.
  $(1;5) \in S$ .
Ta có: $2.1 + 4.( - 1) = - 2 < 5$ . Ta thấy $(1; - 1)$ thỏa mãn phương trình do đó $(1; - 1)$ là một cặp nghiệm của phương trình.
Câu 34: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = mx cắt đồ thị hàm số (P) : y = x³ − 6x² + 9x tại ba điểm phân biệt.
- A.
  m > 0 và m ≠ 9.
- B.
  m > 0.
- C.
  m < 18 và m ≠ 9.
- D.
  m > 18.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với d là x³ − 6x² + 9x = mx

$\overset{}{\leftrightarrow}x\left( x^{2} - 6x + 9 - m ight) = 0\overset{}{\leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 6x + 9 - m = 0.(1) \\ \end{matrix} ight.$

Để (P) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ 0^{2} - 6.0 + 9 - m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 9 - m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m eq 9 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 35: Vận dụng
Điểm nào thuộc miền nghiệm xác định bởi hệ $\left\{\begin{matrix} x\leq 10\\ y\leq 9\\ 2x+y\geq14\\ 2x+5y\geq30\end{matrix}ight.$ .
- A.
  $(0;8)$
- B.
  $(8;0)$
- C.
  $(5;5)$
- D.
  $(5;-5)$
Thay tọa độ $(5;5)$ vào hệ $\left\{\begin{matrix} x\leq 10\\ y\leq 9\\ 2x+y\geq14\\ 2x+5y\geq30\end{matrix}ight.$ , ta được $\left\{\begin{matrix} 5\leq 10\\ 5\leq 9\\ 2.5+5\geq14\\ 2.5+5.5\geq30\end{matrix}ight.$ thỏa mãn cả 4 bất phương trình.
Câu 36: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha < 0.$
- D.
  $\cot\alpha < 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất $ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 37: Vận dụng
Cho $A = \left\{ x\mathbb{\in R}:x^{2} - 7x + 6 = 0 ight\}$ và $B = \left\{ x\mathbb{\in R}:|x| < 4 ight\}.$ Khi đó:
- A.
  $A \cup B = A.$
- B.
  $A \cap B = A \cup B.$
- C.
  $A\backslash B \subset A.$
- D.
  $B\backslash A = \varnothing.$
Ta có: $x^{2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = \left\{ 1;6 ight\}.$

$|x| < 4 \Rightarrow - 4 < x < 4 \Rightarrow B = ( - 4;4).$

Ta có: $A\backslash B = \left\{ 6 ight\} \subset A.$
Câu 38: Thông hiểu
Cho $C_{R}A = ( -\infty;2) \cup \lbrack 6; + \infty)$ và $C_{R}B = \lbrack 5;9)$ . Tập hợp $X = A \cap B$ là
- A.
  $\lbrack 2;5)$ .
- B.
  $(2;5)$ .
- C.
  $\lbrack 2;5brack$ .
- D.
  $\lbrack 6;9)$ .
$A = \lbrack 2;6),B = ( - \infty;5) \cup\lbrack 9; + \infty)$ .
Suy ra $X = A \cap B = \lbrack2;5)$ .
Câu 39: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A(1; - 1)$ , $B(5; - 3)$ và $C$ thuộc trục $Oy$ , trọng tâm $G$ của tam giác thuộc trục $Ox$ . Tìm tọa độ điểm $C.$
- A.
  $C(0;4)$
- B.
  $C(2;4)$
- C.
  $C(0;2)$
- D.
  $C(0; - 4)$
Vì $C$ thuộc trục $Oy\overset{}{ightarrow}$ $C$ có hoành độ bằng $0$ . Loại $C(2;4)$ .

Trọng tâm $G$ thuộc trục $Ox\overset{}{ightarrow}$ $G$ có tung độ bằng $0.$ Xét các đáp án còn lại chỉ có đáp án $C(0;4)$ thỏa mãn $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 0.$
Câu 40: Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - x - 12 \leq 0$ là?
- A.
  $\lbrack - 3;4brack$
- B.
  $( - 3;4)$
- C.
  $( - \infty; - 3) \cup (4; + \infty)$
- D.
  $( - \infty; - 3brack \cup \lbrack 4; + \infty)$
Ta có $f(x) = x^{2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $f(x) \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 4$ .
Câu 41: Vận dụng
Tìm tập xác định D của hàm số $f(x) = \sqrt{\sqrt{x^{2} + x - 12} - 2\sqrt{2}}.$
- A.
  D = (− 5; 4].
- B.
  D = (− ∞;− 5) ∪ (4;+ ∞).
- C.
  D = (−∞;− 4]∪[3;+ ∞).
- D.
  D = (− ∞;− 5]∪[4;+ ∞).
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + x - 12} - 2\sqrt{2} \geq 0 \\ x^{2} + x - 12 \geq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + x - 12 \geq 8 \\ x^{2} + x - 12 \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow ight.\ x^{2} + x - 12 \geq 8$

⇔ x² + x − 20 ≥ 0

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x² + x − 20 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (4 ; + ∞].

Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞ ; −5) ∪ (4 ; + ∞].
Câu 42: Nhận biết
Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}.$
- B.
  $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{NC}.$
- C.
  $\overrightarrow{BC} = - \ 2\overrightarrow{MN}.$
- D.
  $\overrightarrow{CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ AC.$ Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác

$ABC\overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}BC.$ Mà $\overrightarrow{BC},\ \ \ \overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{BC} = 2\ \overrightarrow{MN}.$
Câu 43: Vận dụng cao
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$ . Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi $500$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi $400$ nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì Chiến phải làm việc trong $3$ giờ, Bình phải làm việc trong $1$ giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì Chiến phải làm việc trong $2$ giờ, Bình phải làm việc trong $6$ giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá $180$ giờ và Bình không thể làm việc quá $220$ giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
- A.
  $32$ triệu đồng.
- B.
  $35$ triệu đồng.
- C.
  $14$ triệu đồng.
- D.
  $30$ triệu đồng.
Gọi $x$ , $y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ được sản xuất ra. Điều kiện $x$ , $y$ nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y \leq 180 \\ x + 6y \leq 220 \\ x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} ight.$

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là $T = 0,5x + 0,4y$ .

Ta thấy $T$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A$ , $B$ , $C$ . Vì $C$ có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại $A(60;\ 0)$ thì $T = 30$ triệu đồng.

Tại $B(40;\ 30)$ thì $T = 32$ triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là $32$ triệu đồng.
Câu 44: Thông hiểu
Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10m rồi chỉnh mặt trước cao bằng mắt của mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ) với mắt tạo với phương nằm ngang. Khi đó góc nâng đo được 31^∘. Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó bằng 1,5m. Chiều cao cột cờ gần nhất với giá trị nào?
- A.
  6m.
- B.
  16,6m.
- C.
  7,5m.
- D.
  5,0m.
Hình vẽ minh họa

Gọi AB là khoảng cách từ chân đến tầm mắt của học sinh ⇒ AB = 1,5m.

AC là khoảng cách từ chân đến cột cờ ⇒ AC = 10m.

CD là chiều cao cột cờ.

BE là phương ngang của tầm mắt.

Khi đó góc nâng là $\widehat{DBE} = 31^{0}$ .

Do ABEC là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{matrix} BE = AC = 10m \\ CE = AB = 1,5m \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có: $\tan\widehat{DBE} = \frac{DE}{BE} \Rightarrow DE = 10.tan31^{0} \approx 6m$ .

Vậy chiều cao của cột cờ là: $CD = CE + DE = 6 + 1,5 = 7,5m$ .
Câu 45: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn đáp án sai là: Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.

48 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!