Cho hai vectơ
và
khác
. Xác định góc
giữa hai vectơ
và
khi
.
Ta có .
Mà theo giả thiết
Suy ra
Cho hai vectơ
và
khác
. Xác định góc
giữa hai vectơ
và
khi
.
Ta có .
Mà theo giả thiết
Suy ra
Cho tam giác
có
. Số đo của
là:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
Đâu là kí hiệu của hai mệnh đề kéo theo?
Mệnh đề kéo theo được kí hiệu là:
Các giá trị m để tam thức
đổi dấu 2 lần là:
Để đổi dấu 2 lần thì
.
Ta có:
hoặc
.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Các hệ bất phương trình ;
có chứa các bất phương trình bậc hai
=> Các hệ bất phương trình trên không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đáp án là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đáp án có hai bất phương trình đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
Ta có: (Đúng).
Trên đường thẳng
lấy điểm
sao cho
. Điểm
được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:

Ta có nên
và
và
ngược hướng.
Cho các vectơ
. Phân tích vectơ
theo hai vectơ
, ta được:
Giả sử . Vậy
.
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận đường x = 1 làm trục đối xứng?
Ta có đáp án có:
Vậy x = 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
Cho tam giác
cân tại
,
và
. Tính
.
Ta có .
Xác định tập hợp
Xác định kết quả tập hợp bằng hình vẽ như sau:

Vậy
Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c đồ thị như hình bên dưới. Hỏi với những giá trị nào của tham số m thì phương trình |f(x)| − 1 = m có đúng 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình ⇔ |f(x)| = m + 1.
+ Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng:

+ Dựa vào đồ thị, để phương trình |f(x)| = m + 1 có hai nghiệm phân biệt thì:
.
Số nghiệm của phương trình
là:
.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó
bằng
Ta có:
Biết rằng hai vec tơ
và
không cùng phương nhưng hai vectơ
và
cùng phương. Khi đó giá trị của
là:
Ta có: và
cùng phương nên có tỉ lệ:
.
Hệ số góc của đồ thị hàm số y = 2018x − 2019 bằng
Hệ số góc a = 2018.
Tam thức bậc hai f(x) = − x2 − 1 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
f(x) = − x2 − 1 = 0 vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.
Tam thức bậc hai
nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
Ta có: và
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
.
Do đó,
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, gọi
là trực tâm tam tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có: là trực tâm tam giác ABC nên
Ta có hệ phương trình
Vậy biểu thức
Vectơ có điểm đầu là
, điểm cuối là
được kí hiệu là
Vectơ có điểm đầu là , điểm cuối là
được kí hiệu là
Cho đường thẳng
và bất phương trình
. Tìm điều kiện của
và
để mọi điểm thuộc
đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Để mọi điểm thuộc đường thẳng đều là nghiệm của bất phương trình thì điều kiện cần là
phải song song với
. Khi đó ta có:
Với ta được
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện đủ là đường thẳng là đồ thị của đường thẳng
khi
tịnh tiến xuống dưới theo trục
.
Nghĩa là .
Cho tam giác
. Tìm công thức sai:
Ta có:
Tích các nghiệm của phương trình
là:
Điều kiên:
Phương trình tương đương:
Đặt
Với t = 4 ta có:
Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào bằng tập hợp
:
Ta có:
Tập hợp là tập hợp
.
Vậy tập hợp
Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương
![]()
Tam thức − 4x2 + 5x − 2 có a = − 4 < 0, Δ = − 7 < 0
suy ra − 4x2 + 5x − 2 < 0 ∀x
Do đó h(x) luôn dương khi và chỉ khi h′(x) = − x2 + 4(m+1)x + 1 − 4m2 luôn âm
Vậy với thì biểu thức h(x) luôn dương.
Trong hệ tọa độ
cho
Tìm tọa độ của vectơ ![]()
Ta có
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính độ dài ![]()
Dựng hình bình hành tâm O như sau:

Ta có:
Vì tam giác AOB vuông tại A ta có:
Biết phương trình
có hai nghiệm x1, x2(x1<x2) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đặt t = x2 − 3x + 3, ta có: .
Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .
Khi đó phương trình trở thành:
⇔
⇔
⇔ t = 1(thỏa mãn) ⇒ x2 − 3x + 3 = 1⇔
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Ta có: . Vì
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Ta có: vì
.
Chọn phát biểu đúng về mệnh đề sau: "
,
"?
Phát biểu đúng của mệnh đề ",
" là: “Với mọi số tự nhiên x, bình phương của nó đều nhỏ hơn 0”.
Tìm m để hệ bất phương trình sau trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
.
Để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì hệ số đứng trước
phải bằng
nghĩa là:
Vậy với thì hệ bất phương trình đã cho trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là − 1.
Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để
là trung điểm của đoạn thẳng
?
Điều kiện cần và đủ để là trung điểm của đoạn thẳng
là
.
Số nghiệm của phương trình
là
Điều kiện: .
⇔
⇔
⇔ ⇔ x = 0(TM).
Vậy, phương trình có một nghiệm.
Cho
và
Khi đó,
là:
Vậy
Cho
là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn hơn
,
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Liệt kê các phần tử của tập hợp đã cho ta có kết luận đúng là:
Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “
không phải là số hữu tỉ”
Ta có:
Cặp số
là nghiệm của bất phương trình nào?
Ta có: .
Miền nghiệm của bất phương trình
không chứa điểm nào sau đây?
Xét điểm . Vì
nên miền nghiệm của bất phương trình đã cho không chứa điểm
.
Cho
Tìm
để hai vectơ
cùng phương.
Hai vectơ cùng phương
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính ![]()
Ta có:
Anh T dự định trồng cà phê và hạt tiêu trên một mảnh đất có diện tích 8ha. Nếu trồng 1ha cà phê thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1ha hạt tiêu thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Anh T cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, anh T chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng hai loại cây.
Gọi là số hecta đất trồng cà phê và
là số hecta đất trồng hạt tiêu.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với như sau:
Hiển nhiên .
Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên .
Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên .
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ , ta được miền tứ giác
(Hình).
Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: .
Gọi là số tiền (đơn vị: triệu đồng) anh T thu được, ta có:
.
Ta phải tìm thoả mãn hệ bất phương trình sao cho
đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
trên miền tứ giác
.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tại
Tại
Tại
Tại
đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại
.
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, anh T cần trồng 6ha cà phê và 2ha hạt tiêu.
Hàm số nào sau đây có đỉnh
?
Hàm số có các hệ số a = 1, b = ‒2, c = 1 nên có tọa độ đỉnh
Cho hình thoi
cạnh bằng
và có
. Tính độ dài cạnh
.
Do là hình thoi, có
.
Theo định lí hàm cosin, ta có