Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn gồm 45 câu hỏi bám sát 4 chuyên đề giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} - 8x + 7 \geqslant 0$ . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?
- A. $(– ∞; 0]$
- B.
  $[8; + ∞)$
- C.
  $(– ∞; – 1]$
- D. $[6; + ∞)$
Tam thức bậc hai $f\left( x ight) = {x^2} - 8x + 7$ có hai nghiệm phân biệt là: ${x_1} = 1;{x_2} = 7$
Vì a = 1 > 0 nên $f\left( x ight) \geqslant 0$ khi $x \in \left( { - \infty ;1} ight] \cup \left[ {7; + \infty } ight)$ .
Tập không phải tập con của S là: $[6; + ∞)$
Câu 2: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}$ biết $A(5;3),B(7;8)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (12;11)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (2;5)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (2;6)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 5)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (7 - 5,8 - 3) = (2;5)$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm m để f(x) = x² − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ?
- A.
  $m > \frac{3}{2}$ .
- B.
  $m > \frac{3}{4}$ .
- C.
  $\frac{3}{4} < m < \frac{3}{2}$ .
- D.
  1 < m < 3.
f(x) = x² − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ⇔Δ < 0 ⇔ 4m² − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3.
Câu 4: Vận dụng cao
Biết phương trình $(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt{x^{2} + 3x}$ có 2 nghiệm x₁, x₂(x₁<x₂) . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x_{1} = \frac{1}{4}x_{2}$ .
- B.
  4x₁ + x₂ = 0.
- C.
  x₁ + 4x₂ = 0.
- D.
  x₁ = 4x₂.
Điều kiện:

x² + 3x ≥ 0⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (1)$

phương trình $\Leftrightarrow x^{2} + 3x + 3\sqrt{x^{2} + 3x} - 10 = 0$ .

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 3x}$ , điều kiện t ≥ 0.

Phương trình trở thành t² + 3t − 10 = 0

⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} t = 2(TM) \\ t = - 5(KTM) \\ \end{matrix} ight.$ ⇒ $\sqrt{x^{2} + 3x} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 = x_{2} \\ x = - 4 = x_{1} \\ \end{matrix} ight.$ , thoả mãn (1) ⇒ x₁ + 4x₂ = 0.
Câu 5: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2\ \ cm,BC = 3\ \ cm,CA = 5\ \ cm.$ Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}.$
- A.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 13.$
- B.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 15.$
- C.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 17.$
- D.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 19.$
Ta có $\cos C = \frac{BC^{2} + AC^{2} -AB^{2}}{2.BC.AC}$ $= \frac{3^{2} + 5^{2} - 2^{2}}{2.3.5} = 1$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = \left| \overrightarrow{CA} ight|.\left| \overrightarrow{CB} ight|.cosC = 15$
Câu 6: Vận dụng
Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây, biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y \leq 0 \\ x + 3y \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y > 0 \\ x + 3y < - 2 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y \leq 0 \\ x + 3y \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y < 0 \\ x + 3y > - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án $\left\{ \begin{matrix} x - 2y \leq 0 \\ x + 3y \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.$ và $\left\{ \begin{matrix} x - 2y \leq 0 \\ x + 3y \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Chọn điểm $M(0;1)$ thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án $\left\{ \begin{matrix} x - 2y > 0 \\ x + 3y < - 2 \\ \end{matrix} ight.$ , ta có $\left\{ \begin{matrix} 0 - 2.1 > 0 \\ 0 + 3.1 < - 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Sai.

Vậy chọn đáp án $\left\{ \begin{matrix} x - 2y < 0 \\ x + 3y > - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 7: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB =4cm;AC = 12cm$ và góc $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .
- A.
  $12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$ .
- B.
  $24\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
- C.
  $12\left( {cm}^{2}ight)$ .
- D.
  $24\left( {cm}^{2}ight)$ .
$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC}$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \sin 120^{\circ}$

$= 12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
Câu 8: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (2m²−3m−2)x² + 2(m−2)x − 1 ≤ 0 có tập nghiệm là ℝ.
- A.
  $\frac{1}{3} \leq m < 2.$
- B.
  $\frac{1}{3} \leq m \leq 2.$
- C.
  $m \geq \frac{1}{3}.$
- D.
  m ≤ 2.
Xét $2m^{2} - 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ hoặc m = 2

• Khi $m = - \frac{1}{2}$ thì bất phương trình trở thành $x \geq - \frac{1}{5}$ nên không có nghiệm đúng với mọi x.

• Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành − 1 ≤ 0 nên có nghiệm đúng với mọi x.

• Khi $\left\{ \begin{matrix} m eq - \frac{1}{2} \\ m eq 2 \\ \end{matrix} ight.$ thì yêu cầu bài toán

⇔ (2m²−3m−2)x² + 2(m−2)x − 1 ≤ 0 ∀x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \leq 0 \\ a < 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m^{2} - 7m + 2 \leq 0 \\ 2m^{2} - 3m - 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3} \leq m \leq 2 \\ - \frac{1}{2} < m < 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < 2 ight.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $\frac{1}{3} \leq m \leq 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 9: Nhận biết
Số nghiệm của phương trình $x - \sqrt{3x + 4} = 2$ là:
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $0$ .
$x - \sqrt{3x + 4} = 2 \Leftrightarrow\sqrt{3x + 4} = x - 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 2 \geq 0 \\3x + 4 = (x - 2)^{2} \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 2 \\3x + 4 = x^{2} - 4x + 4 \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 2 \\x^{2} - 7x = 0 \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 2 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = 7 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 7$ .

Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Câu 10: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(1; - \ 1)$ và $B(3;2).$ Tìm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất.
- A.
  $M(0;1).$
- B.
  $M(0; - \ 1).$
- C.
  $M\left( 0;\frac{1}{2} ight).$
- D.
  $M\left( 0; - \frac{1}{2} ight).$
Vì $M \in Oy \Rightarrow M(0;b)$ .

Ta có: $\overrightarrow{MA} = (1; - 1 - b) \Rightarrow$ $\left| \overrightarrow{MA} ight| = \sqrt{1^{2} + ( - 1 - b)^{2}}$

Ta có: $\overrightarrow{MB} = (3;2 - b) \Rightarrow$ $\left| \overrightarrow{MB} ight| = \sqrt{3^{2} + (2 - b)^{2}}$

$MA^{2} + MB^{2}$ $= 1 + 1 + 2b + b^{2} + 9 + 4 - 4b + b^{2}$ $= 2b^{2} - 2b + 15$ $= 2\left\lbrack \left( b - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{29}{4} ightbrack$ $\geq \frac{29}{2}$

Suy ra $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $b = \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
Câu 11: Nhận biết
Đâu là kí hiệu của hai mệnh đề kéo theo?
- A.
  P ⇐ Q
- B.
  P ⟶ Q
- C.
  P ⇒ Q
- D.
  P ⇔ Q
Mệnh đề kéo theo được kí hiệu là: $P ⇒ Q$
Câu 12: Nhận biết
Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y < 0 \\ x - 3y > - 2 \\ y - x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ chứa điểm nào sau đây?
- A.
  $A(3;0)$ .
- B.
  $B( - 2;3)$ .
- C.
  $C(0; - 1)$ .
- D.
  $D(0;1).$
Với $C(0; - 1)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 0 + 2. - 1 < 0 \\ 0 - 3.( - 1) > - 2 \\ - 1 - 0 < 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Cả ba bất phương trình đều thỏa mãn. Chọn đáp án này.
Câu 13: Thông hiểu
Trong tam giác ABC có $AB = 2, AC = 1$ và $\widehat{A}=60^0$ . Tính độ dài cạnh BC.
- A.
  $BC = 1$
- B.
  $BC = 2$
- C.
  $BC=\sqrt{2}$
- D.
  $BC=\sqrt{3}$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
$\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A \hfill \\ \Leftrightarrow B{C^2} = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.\cos {60^0} \hfill \\ \Leftrightarrow B{C^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow{a}=(-5;0),\overrightarrow{b}=(4;x)$ . Tìm x để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- A.
  x = –5
- B.
  x = 4
- C.
  x = 0
- D.
  x = –1
Để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương thì
$\begin{matrix}{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 5.x - 0.4 = 0 \hfill \\ \Rightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho tam thức bậc hai f(x) = x² − 5x + 6 và a là số thực lớn hơn 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  f(a) > 0.
- B.
  f(a) < 0.
- C.
  f(a) = 0.
- D.
  f(a) ≥ 0.
$f(x) = x^{2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) > 0 khi x < 2 ∨ x > 3 mà a > 3 nên f(a) > 0.
Câu 16: Vận dụng
Tổng các nghiệm của phương trình $x(x + 5) = 2\sqrt[3]{x^{2} + 5x - 2} - 2$ là:
- A.
  − 6
- B.
  − 5
- C.
  6
- D.
  5
Đặt $t = \sqrt[3]{x^{2} + 5x - 2}$ . Phương trình trở thành:
t³ − 2t + 4 = 0 ⇔ (t+2)(t²−2t+2) = 0 ⇔ t = − 2
Ta được
$\sqrt[3]{x^{2} + 5x - 2} = - 2\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = - 2 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.$ .
Tổng các nghiệm của phương trình là − 5.
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$ là trung điểm của $AB.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC}.$
Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ $\overrightarrow{DM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}.$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}.$ Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $2\ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} \Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM} = 2\ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM} = - \ 2\ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}$

suy ra $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC}.$
Câu 18: Thông hiểu
Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
- B.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
- C.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
- D.
  3 đáp án còn lại đều sai
Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight)$ $= - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = 180^\circ$ .
Suy ra $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.
Câu 19: Thông hiểu
Số phần tử của tập hợp A = $\left\{ k^{2} + 1|k \in \mathbb{Z,}|k| \leq 2 ight\}$ là
- A.
  $1.$
- B.
  $2.$
- C.
  $3.$
- D.
  $5.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{k \in}\mathbf{Z} \\ \left| \mathbf{k} ight|\mathbf{\leq}\mathbf{2} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Leftrightarrow k =}\left\{ \mathbf{\pm}\mathbf{2;}\mathbf{\pm}\mathbf{1;0} ight\}\mathbf{\Rightarrow A =}\left\{ \mathbf{5;2;1} ight\}$
Câu 20: Thông hiểu
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$
- D.
  $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}.$
Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD}.$ . Ta có $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ . Vậy đáp án này đúng.

Đáp án $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{AD} \\ \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AD} \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy đáp án này sai.

Đáp án $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$ Vậy đáp án này đúng.

Đáp án $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy đáp án này đúng.
Câu 21: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 22: Thông hiểu
Bảng biến thiên của hàm số y = − 2x² + 4x + 1 là bảng nào trong các bảng được cho sau đây ?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hệ số $a = - 2 < 0\overset{}{ightarrow}$ bề lõm hướng xuống.

Ta có $- \frac{b}{2a} = 1$ và y(1) = 3. Do đó chọn .
Câu 23: Nhận biết
Cho hai mệnh đề A: “∀ x ∈ R: $x^{2} – 1 ≠ 0$ ” và B: “∃ n ∈ Z: $n = n^{2}$ ”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đề A và B.
- A.
  A đúng, B sai;
- B.
  A sai, B đúng;
- C.
  A, B đều đúng;
- D.
  A, B đều sai.
Với mệnh đề A, thay $x=1 \Rightarrow 1^2-1=0$ nên A sai.
Với mệnh đề B, thay $n=0 \Rightarrow 0^2=0$ nên B đúng.
Câu 24: Nhận biết
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A.
  $(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}$
- B.
  $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{MN}$
- D.
  $(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=MN^{2}-PQ^{2}$
Hệ thức sai là: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
Vì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$ (tính chất giao hoán)
Câu 25: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $AB + BC = AC.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{CA} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC}.$
Đáp án $AB + BC = AC.$ chỉ đúng khi ba điểm $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A,\ \ C$ .

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$ đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn đáp án này.
Câu 26: Nhận biết
Giá trị $cot\frac{\pi }{6}$ là:
- A.
  $\sqrt{3}$
- B.
  $-\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có: $cot\frac{\pi }{6} =\sqrt3$ .
Câu 27: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
- D.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$
Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .
Câu 28: Nhận biết
Cho hàm số y = − x² + 4x + 1. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2).
- B.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4).
- C.
  Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến.
- D.
  Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến.
Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng $\left( - \frac{b}{2a}; + \infty ight)$ , đồng biến trên khoảng $\left( - \infty; - \frac{b}{2a} ight)$ .

Áp dụng: Ta có $- \frac{b}{2a} = 2.$ Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).
Câu 29: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm và $I$ là trung điểm của $BC.$ Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{GA} = 2\ \overrightarrow{GI}.$
- B.
  $\overrightarrow{IG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{IA}.$
- C.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\ \overrightarrow{GI}.$
- D.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}.$
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IC} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \underset{\overrightarrow{0}}{\overset{\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}}{︸}} + 2\ \overrightarrow{GI} = 2\ \overrightarrow{GI}.$
Câu 30: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha < 0.$
- D.
  $\cot\alpha < 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất $ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 31: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 trên đoạn [ − 1; 4] là
- A.
  $y_{\min} = - \frac{37}{4}$ , y_max = 21.
- B.
  $y_{\max} = \frac{37}{4}$ , y_min = − 21.
- C.
  $y_{\min} = \frac{37}{4}$ , y_max = 21.
- D.
  y_max = 5, $y_{\min} = - \frac{37}{4}$ .
Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

= (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

$y = (t - 1)^{2} - 5t + 2 = t^{2} - 7t + 3 = \left( t - \frac{7}{2} ight)^{2} - \frac{37}{4}$ .

Cách 1: Ta có $0 \leq \left( t - \frac{7}{2} ight)^{2} \leq \frac{121}{4} \Leftrightarrow - \frac{37}{4} \leq y \leq 21$ .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy $y_{\min} = - \frac{37}{4}$ , y_max = 21.
Câu 32: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0$ . Khi đó, góc $C$ có số đo là:
- A.
  $\widehat{C} = 150^{\circ}$ .
- B.
  $\widehat{C} = 60^{\circ}$ .
- C.
  $\widehat{C} = 45^{\circ}$ .
- D.
  $\widehat{C} = 30^{\circ}$ .
Theo đề bài ra ta có:

$BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0$

$\Leftrightarrow BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} = \sqrt{2}BC.AC$

$\Leftrightarrow \frac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{BC \cdot AC} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2\cos C - \sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{C} = 45^{\circ}$ .
Câu 33: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x}$ là:
- A.
  $( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$
- B.
  $( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 2; + \infty)$
- C.
  $( - 2;2)$
- D.
  $\lbrack - 2;2brack$
Điều kiện xác định của hàm số $y = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x}$ là:

$\left\{ \begin{matrix} x + 2 \geq 0 \\ 2 - x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 2$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \lbrack - 2;2brack$
Câu 34: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ , có thể xác định được bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đinh của tam giác đã cho?
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  7
- D.
  6
Các véc tơ khác véc tơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác đã cho gồm $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$ . Vậy có 6 véc tơ.
Câu 35: Thông hiểu
Cho bất phương trình $2x + 4y < 5$ có tập nghiệm là $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  $(1;1) \in S$ .
- B.
  $(1;10) \in S$ .
- C.
  $(1; - 1) \in S$ .
- D.
  $(1;5) \in S$ .
Ta có: $2.1 + 4.( - 1) = - 2 < 5$ . Ta thấy $(1; - 1)$ thỏa mãn phương trình do đó $(1; - 1)$ là một cặp nghiệm của phương trình.
Câu 36: Thông hiểu
Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $5(x+1)−x(7−x)>−2x$ là:
- A.
  $S = \mathbb{R}$
- B.
  $S=(−\frac{5}{2};+∞)$
- C.
  $S=(−∞;\frac{5}{2})$
- D.
  $S = \varnothing$
Ta có: $5(x+1)−x(7−x)>−2x \Leftrightarrow x^2+5>0$ (hiển nhiên).
Vậy $S = \mathbb{R}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Khoảng giá trị của x khi $y = 1$ trong hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y\geq 1\\ 2x-3y<5\end{matrix}ight.$ là:
- A.
  $x ∈ [0; 4)$
- B.
  $x ∈ (0; 4]$
- C.
  $x ∈ (1; 5)$
- D.
  $x ∈ [1; 5]$
Với $y=1$ hệ bất phương trình trở thành:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 \geqslant 1} \\ {2x - 3.1 < 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {2x < 8} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {x < 4} \end{array} \Leftrightarrow x \in \left[ {0;4} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy khi $y = 1$ thì khoảng giá trị của x là ${\left[ {0;4} ight)}$ .
Câu 38: Nhận biết
Cho tập hợp $A = \left\{ 2;4;6;9 ight\}$ và $B = \left\{ 1;2;3;4 ight\}.$ Tập hợp $A\backslash B$ bằng tập nào sau đây?
- A.
  $\left\{ 1;2;3;5 ight\}.$
- B.
  $\left\{ 1;3;6;9 ight\}.$
- C.
  $\left\{ 6;9 ight\}.$
- D.
  $\varnothing.$
Tập hợp $A\backslash B$ gồm những phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ .

$\Rightarrow A\backslash B = \left\{ 6;9 ight\}.$
Câu 39: Vận dụng cao

Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?

Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)

Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)

Đáp án là:

Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?

Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)

Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)

Gọi diện tích trồng cà phê và sầu riêng mà hộ gia đình này trồng lần lượt là $x$ và $y$ (ha)

Điều kiện: $x,y \geq 0$

Lợi nhuận thu được là $f(x;y) = 3000000x + 4000000y$ (đồng).

Tổng số công dùng để trồng $x$ ha cà phê và $y$ ha sầu riêng là $20x + 30y$ .

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + y \leq 8 \\ 20x + 30y \leq 180 \\ x,y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y \leq 8 \\ 2x + 3y \leq 18 \\ x,y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$ là tứ giác $OABC$ (kể cả biên)

Hình vẽ minh họa

Hàm số $f(x;y)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất khi $(x;y)$ là tọa độ của một trong các đỉnh $O(0;0),A(8;0),B(6;2),C(0;6)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0;0) = 0 \\ f(8;0) = 24000000 \\ f(6;2) = 26000000 \\ f(0;6) = 2400000 \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $f(x;y)$ lớn nhất khi $(x;y) = (6;2)$

Vậy hộ gia đình này cần phải trồng 6 ha cà phê và 2 ha sầu riêng thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất.
Câu 40: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai điểm $B( - 3;6),\ C(1; - 3)$ . Xác định điểm $E$ trên trục hoành sao cho ba điểm $B,\ \ C,\ \ E$ thẳng hàng.
- A.
  $E(5;\ - 10)$ .
- B.
  $E\left( - \frac{1}{3};0 ight)$ .
- C.
  $E\left( - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3} ight)$ .
- D.
  $E(5;\ 10)$ .
Gọi $E(x;0)$ khi đó $\overrightarrow{BE}(x + 3; - 6),\ \ \overrightarrow{EC}(1 - x; - 3)$

Ba điểm $B,C,E$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{BE}$ cùng phương với $\overrightarrow{EC}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 3}{1 - x} = \frac{- 6}{- 3} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$ .
Câu 41: Thông hiểu
Cho mệnh đề chứa biến $P(n):``n^{2} - 1$ chia hết cho 4” với $n$ là số nguyên. Xét xem các mệnh đề $P(5)$ và $P(2)$ đúng hay sai?
- A.
  $P(5)$ đúng và $P(2)$ đúng.
- B.
  $P(5)$ sai và $P(2)$ sai.
- C.
  $P(5)$ đúng và $P(2)$ sai.
- D.
  $P(5)$ sai và $P(2)$ đúng.
Thay $n = 5$ và $n = 2$ vào $P(n)$ ta được các số $24 \vdots 4$ và $3$ không chia hết cho $4$ . Vậy $P(5)$ đúng và $P(2)$ sai.
Câu 42: Nhận biết
Điền vào chỗ trống từ còn thiếu: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm $(x_0; y_0)$ sao cho $ax_0 + by_0 + c < 0$ được gọi là ……của bất phương trình $ax + by + c < 0$ ”.
- A.
  tập xác định
- B.
  tập giá trị
- C.
  miền nghiệm
- D.
  nghiệm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm $(x_0; y_0)$ sao cho $ax_0 + by_0 + c < 0$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$ .
Câu 43: Vận dụng
Cho hai khoảng $A = ( - \infty;m)$ và $B = (5; + \infty)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $A \cap B = (5;m)$ khi $m\ \ \geq 5.$
- B.
  $A \cap B = \varnothing$ khi $m\ \ < 5.$
- C.
  $A \cup B\mathbb{eq R}$ khi $m\ \ \leq \ 5.$
- D.
  $A \cup B\mathbb{= R}$ khi $m\ \ > \ 5.$
Vậy $A \cap B = (5;m)$ khi $m\ \ \geq 5.$
Câu 44: Thông hiểu
Phương trình $\left( x^{2} + 5x + 4 ight)\sqrt{x + 3} =0$ có bao nhiêu nghiệm?
- A.
  0.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  3.
Điều kiện xác định của phương trình là x ≥ − 3.
Phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq - 3 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 4 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 3 \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 45: Thông hiểu
Tập hợp $B=(2;+∞)\cup [-3;8]$ bằng tập hợp nào sau đây?
- A.
  $(2;8)$
- B.
  $(2;8]$
- C.
  $[-3;2)$
- D.
  $[-3;+∞)$
Xác định kết quả tập hợp bằng hình vẽ như sau:
Vậy $B=(2;+∞)\cup [-3;8] =[-3;+∞)$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!