Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Chọn đáp án sai.
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;−1) và (0;1).
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−1;0) và (1;+∞).
Đáp án sai là Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Chọn đáp án sai.
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;−1) và (0;1).
Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−1;0) và (1;+∞).
Đáp án sai là Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).
Tích vô hướng của hai vecto
và
là:
Ta có:
Cho hàm số bậc hai
có đỉnh
và đi qua điểm
. Xác định giá trị biểu thức
?
Parabol có đỉnh
(*)
Parabol đi qua điểm suy ra
(**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
Nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện: .
Ta có: .
Loại . Do đó
.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Với . Ta có:
. Cả ba bất phương trình đều đúng. Chọn đáp án này.
Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính ![]()
Ta có:
Biết phương trình
có 2 nghiệm x1, x2 (x1<x2) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện:
x2 + 3x ≥ 0⇔
phương trình .
Đặt , điều kiện t ≥ 0.
Phương trình trở thành t2 + 3t − 10 = 0
⇔ ⇒
, thoả mãn (1) ⇒ x1 + 4x2 = 0.
Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho parabol (P) : y = x2 − 4x + m cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB. Tính tổng T các phần tử của S.
Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 4x + m = 0. (*)
Để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thì (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ = 4 − m > 0 ⇔ m < 4.
Theo giả thiết
TH1:
TH2: : không thỏa mãn (*).
Do đó T = 3.
Các kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “7 là một số tự nhiên”:
Ta có:
Tam giác ABC có
. Số đo góc A là:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:
Cho tam giác
và điểm
thỏa mãn
Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi lần lượt là trung điểm
và trọng tâm tam giác
Vì
là trung điểm
nên
Theo bài ra, ta có suy ra
thẳng hàng
Mặt khác là trọng tâm của tam giác
Do đó, ba điểm
thẳng hàng.
Trong mặt phẳng
cho
. Tính
?
Ta có ,
suy ra
.
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình
?
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào sau đây?
Với . Ta có:
. Cả ba bất phương trình đều thỏa mãn. Chọn đáp án này.
Cho mệnh đề P: “∀ x ∈ R: |x| ≥ 0” . Phủ định của mệnh đề P là:
Phủ định của mệnh đề P là: “∃ x ∈ R: |x| < 0”.
Cho tam giác
có
. Hỏi độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?
Áp dụng định lí sin:
.
Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có:.
Tập xác định của hàm số
là:
ĐKXĐ: (2m2+1)x2 − 4mx + 2 ≠ 0.
Xét tam thức bậc hai f(x) = (2m2+1)x2 − 4mx + 2.
Ta có a = 2m2 + 1 > 0, Δ′ = 4m2 − 2(2m2+1) = − 2 < 0.
Suy ra với mọi m ta có f(x) = (2m2+1)x2 − 4mx + 2 > 0 ∀x ∈ ℝ.
Do đó với mọi m ta có (2m2+1)x2 − 4mx + 2 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?
Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)
Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)
Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?
Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)
Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)
Gọi diện tích trồng cà phê và sầu riêng mà hộ gia đình này trồng lần lượt là và
(ha)
Điều kiện:
Lợi nhuận thu được là (đồng).
Tổng số công dùng để trồng ha cà phê và
ha sầu riêng là
.
Ta có hệ bất phương trình sau:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
(kể cả biên)
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất khi
là tọa độ của một trong các đỉnh
.
Ta có: .
Suy ra lớn nhất khi
Vậy hộ gia đình này cần phải trồng 6 ha cà phê và 2 ha sầu riêng thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất.
Parabol y = − x2 + 2x + 3 có phương trình trục đối xứng là
Parabol y = − x2 + 2x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng ⇔ x = 1.
Dấu của tam thức bậc 2: f(x) = –x2+ 5x – 6 được xác định như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án f(x) > 0với 2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3 .
Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Nhận xét:
Parabol có bề lõm hướng lên.
Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Xét các đáp án, đáp án y = 3x2 + 6x + 1 thỏa mãn.
Cho ba điểm phân biệt
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm
đã cho?
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho là
.
Tam giác
có
và
. Tính độ dài cạnh
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu
cùng dấu?
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ nhất thì
,
.
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ nhất thì
,
.
Vậy nếu cùng dấu thì điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ
hoặc
Cho tam giác
có
. Gọi các vectơ
theo thư tự là các vectơ có giá vuông góc với các đường thẳng
và
. Tính độ dài vectơ
, biết
.
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là điểm thuộc miền trong tam giác ABC, dựng các vectơ dựng hình chữ nhật DGHE ta có:
Ta lại có:
Mặt khác
=> Ba điểm H, D, F thẳng hàng.
Khi đó:
Cho bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xét điểm . Ta có:
thỏa mãn. Do đó
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Xét mệnh đề . Ta thấy
sai nên mệnh đề này sai.
Cho bất phương trình
(1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Trong hệ tọa độ
cho ba điểm
Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành.
Gọi Ta có
Tứ giác là hình bình hành
Trong hệ tọa độ
cho tam giác
có
và trọng tâm là gốc tọa độ
Tìm tọa độ đỉnh
?
Gọi .
Vì là trọng tâm tam giác
nên
Các giá trị m làm cho biểu thức
luôn dương là
Biểu thức luôn dương
Cho tam giác
vuông tại
là trung điểm của
Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì là trung điểm của
nên
Cho hai điểm
. Tọa độ trung điểm của đoạn AB là:
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó tọa độ điểm M là:
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm
thuộc trục tung sao cho
nhỏ nhất.
Vì .
Ta có:
Ta có:
Suy ra nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Cho tam giác
có
, độ dài các cạnh tam giác thỏa mãn biểu thức
với
là số thực lớn hơn
. Tính độ lớn góc
?
Áp dụng định lí cosin ta có:
Ta có:
Từ đó suy ra
Gọi
là các trung tuyến của tam giác
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có
Suy ra
Do đó .
Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí
, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ
, tàu thứ hai chạy với tốc độ
. Hỏi sau
giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu
?

Ta có: Sau quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:
Sau quãng đường tàu thứ hai chạy được là:
Vậy: sau hai tàu cách nhau là:
Tìm m để hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ.
Hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ khi 2m − 1 > 0 hay .
Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và
. Kết luận nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Ta có: ABCD là hình thoi
=>
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ADC ta có:
Cho tam giác
đều cạnh
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Độ dài các cạnh của tam giác là thì độ dài các vectơ
.
Cho tập hợp
và
. Giá trị nguyên dương của
để tập hợp
có đúng 10 phần tử là:
Ta có .
Theo giả thiết thì nên
và
.
Như vậy, để tập hợp có 10 phần tử thì
Do đó .
Số nghiệm thực của phương trình
là
ĐK: ,
.
Cho tam giác
, biết
. Số đo góc
là:
Áp dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Giá trị lớn nhất
của biểu thức
trên miền xác định bởi hệ
là
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
Ta có