Tam giác ABC có
và
. Tính độ dài cạnh BC.
Áp dụng định lý côsin: .
Tam giác ABC có
và
. Tính độ dài cạnh BC.
Áp dụng định lý côsin: .
Cho hàm số y = x2 − 2x + 3. Chọn câu đúng.
Ta có a = 1 > 0, b = − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Tìm tập xác định của ![]()
Điều kiện xác định: .
Vậy .
Cho
. Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử?
Tập con có phần tử của
là:
có
tập con có
phần tử.
Cho lục giác đều
tâm
Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với
có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
Đó là các vectơ: . Chọn 6.
Cho hệ bất phương trình
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Bất phương trình thứ ba sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng. Chọn đáp án này.
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên

Quan sát đồ thị ta loại y = x2 − 3x − 3 và y = − x2 + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y = − x2 + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y = − x2 + 5|x| − 3.
Điền vào chỗ trống từ còn thiếu: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm
sao cho
được gọi là ……của bất phương trình
”.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm sao cho
được gọi là miền nghiệm của bất phương trình
.
Trong các cặp số sau, cặp số nào không là nghiệm của hệ bất phương trình ![]()
Thay cặp số vào hệ ta được
không thỏa mãn bất phương trình ở dưới. Do đó cặp số này không là nghiêm của hệ.
Cho ba vectơ
Giá trị của
để
là
Ta có
Theo đề bài:
Miền nghiệm của bất phương trình
không chứa điểm nào sau đây?
Xét điểm . Ta có:
nên miền nghiệm của bất phương trình trên không chứa điểm
.
Cho hàm số
có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ đồ thị hàm số, nhận xét:
Bề lõm hướng lên trên suy ra .
Hàm số cắt trục tung tại tung độ âm .
Chọn đáp án .
Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng
, giả sử chiều cao của giác kế là
.Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh
của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc
. Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:

Tam giác vuông tại
có
Vậy chiếu cao của ngọn tháp là
Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
.
Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn
. Xác định vị trí điểm M.
Điểm là trọng tâm tam giác
khi và chỉ khi
.
Cho đường thẳng
và bất phương trình
. Tìm điều kiện của
và
để mọi điểm thuộc
đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Để mọi điểm thuộc đường thẳng đều là nghiệm của bất phương trình thì điều kiện cần là
phải song song với
. Khi đó ta có:
Với ta được
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện đủ là đường thẳng là đồ thị của đường thẳng
khi
tịnh tiến xuống dưới theo trục
.
Nghĩa là .
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng
là:
Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.
Gọi là trung điểm
.
Ta có: (do
).
Cho tam giác
, điểm I thoả mãn:
. Nếu
thì cặp số
bằng:
Ta có:
.
Cho ba điểm
phân biệt. Khi đó:
Chọn: Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là
cùng phương với
Nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện: .
Ta có: .
Loại . Do đó
.
Trong hệ trục tọa độ
, tọa độ vecto
là:
Ta có:
Số nghiệm của phương trình
là
Điều kiện:
Phương trình tương đương:
Kết hợp điều kiện ta được: thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có . Do đó:
và
ngược hướng.
và
cùng độ dài.
là hình bình hành nếu
và
không cùng giá.
Chọn đáp án và
cùng độ dài.
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề ![]()
Mệnh đề phủ định là:
Diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là
và 1 là:
Nửa chu vi của tam giác là:
Áp dụng công thức Herong ta có:
Tìm m để
với mọi x ∈ ℝ?
Để bất phương trình với mọi x ∈ ℝ thì:
Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba điểm
và
Tìm điểm
thuộc trục hoành sao cho ![]()
Vì .
Ta có:
.
Ta có:
.
Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có điểm cuối cung
thuộc góc phần tư thứ
Cho tam giác
có
. Diện tích
của tam giác
là:
Ta có: nên tam giác
vuông tại B.
Diện tích tam giác là: .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?
Xét điểm thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.
Chỉ có hình vẽ chứa điểm
. Chọn đáp án hình vẽ này.
Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10m rồi chỉnh mặt trước cao bằng mắt của mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ) với mắt tạo với phương nằm ngang. Khi đó góc nâng đo được 31∘. Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó bằng 1,5m. Chiều cao cột cờ gần nhất với giá trị nào?
Hình vẽ minh họa
Gọi AB là khoảng cách từ chân đến tầm mắt của học sinh ⇒ AB = 1,5m.
AC là khoảng cách từ chân đến cột cờ ⇒ AC = 10m.
CD là chiều cao cột cờ.
BE là phương ngang của tầm mắt.
Khi đó góc nâng là .
Do ABEC là hình chữ nhật nên .
Ta có: .
Vậy chiều cao của cột cờ là: .
Cho tam giác
có diện tích
, lấy
là trọng tâm và
. Giả sử
, tính giá trị biểu thức
theo
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
. Kẻ
Tam giác vuông =>
Tam giác vuông =>
Ta có:
Mặt khác áp dụng định lí sin cho tam giác AMB ta được:
Từ (*) và (**) ta được:
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó:
Cho ba điểm
phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng là
.
Cho tam thức bậc hai
có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Bảng biến thiên của tam thức bậc hai là
Từ đồ thị ta có:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = – 1 và x = 3
=> f(x) có 2 nghiệm phân biệt là x = –1; x = 3 ta loại các đáp án


Ta lại có: f(x) nhận giá trị dương trên các khoảng (– ∞; –1) và (3; + ∞); f(x) nhận giá trị âm trên khoảng (–1; 3) ta loại đáp án

Vậy bảng biến thiên đúng là

Cho hàm số
. Biết f(x0) = 5 thì x0 là
TH1. x0 ≤ − 3: Với f(x0) = 5 ⇔ − 2x0 + 1 = 5 ⇔ x0 = − 2 (Loại).
TH2. x0 > − 3: Với (thỏa mãn).
Cho tam giác
có
là trung điểm của
Tính
theo
và ![]()
Ta có
Xác định parabol (P) : y = 2x2 + bx + c, biết rằng (P) đi qua điểm M(0;4) và có trục đối xứng x = 1.
Ta có
Trục đối xứng
Vậy (P) : y = 2x2 − 4x + 4.
Cho A = {1; 3; 4; 7} và B = {3; 5; 7; 10} . Tập A\ B là:
Ta có: A\ B = {1; 4}.
Cho hình vuông
, dựng các hình vuông
với
là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Biết các hình vuông nhỏ có kích thước
. Tính độ dài vectơ:
![]()
![]()
![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:
Trong mặt phẳng Oxy, cho
và
. Kết luận nào sau đây sai?
Ta có:
Vậy kết luận sai là:
Tam thức bậc hai f(x) = − x2 − 1 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
f(x) = − x2 − 1 = 0 vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là:
ĐKXĐ x > − 1
pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.
Phương trình đã cho có nghiệm .
Cho hai mệnh đề A: “∀ x ∈ R:
” và B: “∃ n ∈ Z:
”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đề A và B.
Với mệnh đề A, thay nên A sai.
Với mệnh đề B, thay nên B đúng.
Cho hai vecto
. Xác định góc giữa hai vecto
và
khi ![]()
Ta có: