Cho tập hợp
và
Tập hợp
bằng tập nào sau đây?
Tập hợp gồm những phần tử thuộc
nhưng không thuộc
.
Cho tập hợp
và
Tập hợp
bằng tập nào sau đây?
Tập hợp gồm những phần tử thuộc
nhưng không thuộc
.
Cho tam giác ABC có I là trung điểm của AB. Điểm M thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng.
.
Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm
là trung điểm của đoạn
.
Điểm là trung điểm của đoạn
khi và chỉ khi
và ngược hướng.
Vậy .
Cho mệnh đề P: “∀ x ∈ R: |x| ≥ 0” . Phủ định của mệnh đề P là:
Phủ định của mệnh đề P là: “∃ x ∈ R: |x| < 0”.
Phương trình:
có bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện:
Kết hợp với điều kiện ta được thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là
Trong các bất phương trình sau đây, đâu là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Xét đáp án
là bất phương trình bậc nhất 3 ẩn
, không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xét đáp án
là bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
,
.
Xét đáp án
là bất phương trình có chứa
nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Xét đáp án
không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì không có dạng
.
Cho tam giác
có
, độ dài các cạnh tam giác thỏa mãn biểu thức
với
là số thực lớn hơn
. Tính độ lớn góc
?
Áp dụng định lí cosin ta có:
Ta có:
Từ đó suy ra
Tập xác định của hàm số
là:
Điều kiện xác định của hàm số là:
=> Tập xác định của hàm số là:
Cho hình vuông
cạnh
. Gọi
là trung điểm của
, lấy các điểm
lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh
sao cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Hình vẽ minh họa

Đặt
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay P, Q là trung điểm của BC, DA
Ta có:
Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.
Ta lại có:
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

Nhận xét:
Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Loại đáp án y = − x2 + 4x − 9 và y = − x2 + 4x.
Đỉnh của parabol có tọa độ là (2;−5). Xét các đáp án, đáp án y = x2 − 4x − 1 thỏa mãn.
Cho hai lực
và
có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực
và
lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là:

Ta có: .
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 
Thay tọa độ vào hệ ta được:
ta thấy cả 3 bất phương trình đều thỏa mãn. Do đó điểm này thuộc miền nghiệm của hệ.
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác
biết rằng
?
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi:
Tính độ dài đoạn thẳng
biết tọa độ
?
Ta có:
Cho ba điểm phân biệt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có . Vậy
đúng.
Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D?

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng và đường thẳng
Miền nghiệm gồm phần nhận giá trị dương.
Lại có thỏa mãn bất phương trình
Chọn đáp án .
Cho hệ bất phương trình
. Trong các cặp số (-1; -1), (-1; 0), (1; 1), (2; 2), (0; -1) thì những cặp số là nghiệm của hệ bất phương trình trên là:
Xét cặp số (-1; -1) thay vào bất phương trình ta thấy (Loại)
Xét cặp số (-1; 0) thay vào bất phương trình ta thấy (Loại)
Xét cặp số (1; 1) thay vào bất phương trình ta thấy:
Xét cặp số (2; 2) thay vào bất phương trình ta thấy
Xét cặp số (0; -1) thay vào bất phương trình ta thấy (Loại)
Vậy cặp số thỏa mãn hệ bất phương trình là:
Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình
?
Xét đáp án (0; 3) ta có: x = 0; y = 3 thay vào bất phương trình ta được:
Vậy (0;3) không là cặp nghiệm của bất phương trình
Xét đáp án (6; 1) ta có: x = 6; y = 1 thay vào bất phương trình ta được:
Vậy (6; 1) là cặp nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án (2; 4) ta có: x = 2; y = 4 thay vào bất phương trình ta được:
Vậy (2; 4) không là cặp nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án (3; 2) ta có: x = 3; y = 2 thay vào bất phương trình ta được:
Vậy (3; 2) không là cặp nghiệm của bất phương trình.
Số nghiệm của phương trình
là:
.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn
?
Điều kiện: Bất phương trình:
Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x=1) thỏa mãn yêu cầu.
Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu ![]()
Ta có
Đẳng thức điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ
hoặc
Diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là
và 1 là:
Nửa chu vi của tam giác là:
Áp dụng công thức Herong ta có:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề tương đương?
Mệnh đề tương đương là: “Hình thang nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi nó là hình thang cân”.
Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Nhận xét:
Parabol có bề lõm hướng lên.
Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Xét các đáp án, đáp án y = 3x2 + 6x + 1 thỏa mãn.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
. Tìm vectơ
biết
và
.
Gọi .
Ta có: và
Giải hệ phương trình: nên
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho điểm
cách đều hai điểm
?
Ta có:
Từ
Vậy tọa độ điểm D cần tìm là: .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng. Chọn đáp án này.
Một tam giác có ba cạnh là
. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là:
Ta có: .
Áp dụng hệ thức Hê - rông ta có:
.
Mặt khác
Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 − 5x + 6 và a là số thực lớn hơn 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) > 0 khi x < 2 ∨ x > 3 mà a > 3 nên f(a) > 0.
Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào không phải là con của tập hợp A với
{
,
và
}
Ta liệt kê các phần tử của tập A: .
Như vậy chỉ có phương án là tập hợp có các phần tử 1, 2, 3 không thuộc tập A nên không là tập con của A.
Phương trình
có mấy nghiệm ?
Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Cho hai vecto
. Xác định góc giữa hai vecto
và
khi ![]()
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác
có
và
. Tính số đo góc
của tam giác đã cho.
Ta có: và
.
.
Cho tam giác
có
. Diện tích
của tam giác
là:
Ta có: nên tam giác
vuông tại B.
Diện tích tam giác là: .
Cho đường thẳng
và bất phương trình
. Tìm điều kiện của
và
để mọi điểm thuộc
đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Để mọi điểm thuộc đường thẳng đều là nghiệm của bất phương trình thì điều kiện cần là
phải song song với
. Khi đó ta có:
Với ta được
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện đủ là đường thẳng là đồ thị của đường thẳng
khi
tịnh tiến xuống dưới theo trục
.
Nghĩa là .
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên

Quan sát đồ thị ta loại y = x2 − 3x − 3 và y = − x2 + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y = − x2 + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y = − x2 + 5|x| − 3.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Ta có: . Vì
.
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận đường x = 1 làm trục đối xứng?
Ta có đáp án có:
Vậy x = 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: .

Vẽ hình bình hành , suy ra
. Mà
. Suy ra
. Do đó
là hình chữ nhật. Do đó tam giác
vuông
.
Cho
. Điều kiện để
là:
Ta có:
.
Cho lục giác đều
tâm
. Các vectơ đối của vectơ
là:
Các vectơ đối của vectơ là:
.
Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Theo bài ra ta có:
Tam giác ABC đều cạnh 2a => AB = BC = AC = 2a
=>
Cho hàm số:
. Giá trị của f(−1); f(1) là:
Ta có: f(−1) = − 2(−1−3) = 8; .
Chọn đáp án 8 và 0.
Tam giác
vuông tại
, đường cao
. Hai cạnh
và
tỉ lệ với
và
. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?
Do tam giác vuông tại
, có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông
là
nên
là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.
Ta có .
Trong có
là đường cao
.
Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu ![]()
Ta có
Đẳng thức điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ
hoặc