Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y =  − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y =  − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y =  − x² + 5|x| − 3.

Với . Ta có: . Cả ba bất phương trình đều thỏa mãn. Chọn đáp án này.

Ta có: . Ta thấy thỏa mãn phương trình do đó là một cặp nghiệm của phương trình.

Ta có

Mà

Vì (P) đi qua điểm M(−1;6) và có tung độ đỉnh bằng nên ta có hệ

(thỏa mãn a > 1) hoặc (loại).

Suy ra P = ab = 16.12 = 192.

Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày

Điều kiện: x, y > 0

Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là (triệu đồng)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là (giờ)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là (giờ)

Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).

Hình vẽ minh họa

Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi là toạ độ một trong các đỉnh .

Ta có:

Suy ra khi

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: triệu đồng.

Ta có:

Vậy hai vecto và bằng nhau khi .

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Ta có: điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ

Ta có: và .

.

Theo định lí hàm sin, ta có:

Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi .

Khi đó .

Ta có: 

Tập hợp là tập hợp .

Vậy tập hợp

Xét đáp án Ta có . Vậy đáp án này đúng.

Gọi M₀(x₀;−2) là điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng  − 2.

Khi đó: .

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ suy ra

Do đó nên

Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

⇔ Δ > 0 ⇔ m² − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.

Thay tọa độ vào hệ , ta được thỏa mãn cả 4 bất phương trình. 

Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai .

Ta có:

.

Xét cặp số (-1; -1) thay vào bất phương trình ta thấy (Loại)

Xét cặp số (-1; 0) thay vào bất phương trình ta thấy (Loại)

Xét cặp số (1; 1) thay vào bất phương trình ta thấy:

Xét cặp số (2; 2) thay vào bất phương trình ta thấy

Xét cặp số (0; -1) thay vào bất phương trình ta thấy (Loại)

Vậy cặp số thỏa mãn hệ bất phương trình là: 

Tam thức  − 4x² + 5x − 2 có a =  − 4 < 0,  Δ =  − 7 < 0

suy ra  − 4x² + 5x − 2 < 0  ∀x

Do đó h(x) luôn dương khi và chỉ khi h′(x) =  − x² + 4(m+1)x + 1 − 4m² luôn âm

Vậy với thì biểu thức h(x) luôn dương.

Thay các cặp số vào bất phương trình ta thấy là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ta có:

là hình bình hành.

Mặt khác, là hình bình hành .

Do đó, điều kiện cần và đủ để là là hình bình hành.

Ta có: O(0; 0)

Ta có:

Gọi K là trung điểm BN.

Xét ta có

(1)

Xét ta có

(2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Do là hình thoi, có .

Theo định lí hàm cosin, ta có

ĐKXĐ: x > 2 khi đó phương trình trở thành .

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có một nghiệm x = 4.

.

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

Khẳng định sai là: ""

Sửa lại là: ""

Hàm số có các hệ số a = 1, b = ‒2, c = 1 nên có tọa độ đỉnh

Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Hình vẽ minh họa

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, ta có:

Nên K thuộc đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng CE, mặt khác

Suy ra K là giao điểm của a và đường tròn tâm A bán kính .

Điểm K cần tìm là N hoặc P

Ta có: .

Ta có: ABCD là hình bình hành tâm O

=>

   .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt  ⇔ 1 ≤ a < 4.

Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó tọa độ của M là:

Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là .

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Ta thấy điểm thỏa mãn cả 4 phươn trình trong hệ.

Ta có:

Áp dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Ta có:

.

Hàm số xác định .

Vậy tập xác định: .

 Phát biểu lại mệnh đề trên: "n = 2 là điều kiện đủ để là một hợp số".

 Trong định lí ta nói: " là điều kiện cần để có ". Khi đó P là kết luận của định lí.

Gọi .

Ta có: và

Giải hệ phương trình: nên