Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn
Xác định vị trí điểm M.
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó ta có:
=> M là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn
Xác định vị trí điểm M.
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó ta có:
=> M là trọng tâm của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
. Tìm vectơ
biết
và
.
Gọi .
Ta có: và
Giải hệ phương trình: nên
Cho ba điểm phân biệt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có . Vậy
đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo ĐÚNG?
Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9 có mệnh đề đảo là Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. Đây là mệnh đề đảo đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ
, khoảng cách giữa hai điểm
và
bằng:
Khoảng cách giữa hai điểm M, N là
Tập nghiệm của bất phương trình:
là:
Ta có: .
Vậy .
Một chiếc cổng hình parabol có phương trình
. Biết cổng có chiều rộng d = 5 mét (như hình vẽ). Hãy tính chiều cao h của cổng.

Gọi Avà Blà hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.
Vì cổng hình parabol có phương trình và cổng có chiều rộng d = 5 mét nên:
AB = 5 và .
Vậy chiều cao của cổng làmét.
Vùng tô đậm thể hiện mối quan hệ gì giữa 2 tập hợp A, B:

Hình vẽ mô tả các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B
=> Vùng tô đậm thể hiện .
Cho tam giác
có
và góc
. Tính diện tích tam giác
.
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x2 − 4x + 5 trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét f(x) = x2 − 4x + 5.
TXĐ: D = ℝ.
Tọa độ đỉnh I(2; 1).
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng. Chọn đáp án này.
Một tam giác có ba cạnh là
. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là:
Ta có: .
Áp dụng hệ thức Hê - rông ta có:
.
Mặt khác
Tam thức nào sau đây nhận giá trị không âm với mọi x ∈ ℝ?
*x2 − x − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt
* − x2 − x − 1 = 0vô nghiệm, a = − 1 < 0 nên − x2 − x − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ
*2x2 + x = 0 có 2 nghiệm phân biệt
*x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm, a = 1 > 0 nên x2 + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ thỏa ycbt.
Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: điểm cuối cung
thuộc góc phần tư thứ
Số tập hợp con có 2 phần tử của tập hợp
là:
Các tập hợp con của tập hợp là:
Có tất cả 15 tập con của tập hợp A.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho vectơ
. Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ
?
Vì nên đáp án
đúng.
Vì nên đáp án
đúng.
Vì nên đáp án
sai.
Vì nên đáp án
đúng.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
đối nhau.
Trong định lí ta nói: "P là điều kiện cần để có Q". Khi đó P là gì của định lí?
Trong định lí ta nói: " là điều kiện cần để có
". Khi đó P là kết luận của định lí.
Vectơ có điểm đầu là
, điểm cuối là
được kí hiệu là
Vectơ có điểm đầu là , điểm cuối là
được kí hiệu là
Giá trị
là:
Ta có: .
Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách nhau 10 mét và thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta được các góc lần lượt là 51°40' và 45°39' so với đường song song mặt đất.

Chiều cao của cột cờ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) là:
Ta có:
Xét tam giác ABC ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
Ta có tam giác ACH vuông tại C
Chiều cao của cột cờ khoảng:
Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Cho hình vuông
tâm
cạnh a. Biết rằng tập hợp điểm
thỏa mãn
là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn.
Ta có:
Do
Vậy tập hợp các điểm là đường tròn tâm
, bán kính
.
Bề lõm của parabol quay lên trên đối với đồ thị hàm số bậc hai nào sau đây?
Đồ thị hàm số bậc hai là một đường parabol có đỉnh là điểm
, có trục đối xứng là đường thẳng
. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu
.
Hàm số có
=> Đồ thị hàm số có bề lõm quay lên.
Các giá trị m làm cho biểu thức
luôn dương là
Biểu thức luôn dương
Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
và
.
Giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y với điều kiện
là
Biểu diễn miền nghiệm của hệ :
Nghiệm của hệ là miền đa giác
với
.
Giá trị lớn nhất đạt được tại 1 trong 5 đỉnh của đa giác.
Với .
Với.
Với .
Với .
Với .
Vậy GTLN .
Cho tam giác
có
lần lượt là trung điểm
, điểm
thuộc cạnh
sao cho
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Gọi K là trung điểm BN.
Xét ta có
(1)
Xét ta có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Nếu tam giác
có
thì:
Nếu tam giác ABC có thì
là góc nhọn
Một nhà máy gồm hai đội công nhân (đội 1 và đội 2) sản xuất nhôm và sắt. Muốn sản xuất một tấn nhôm thì đội 1 phải làm việc trong 3 giờ và đội 2 làm việc trong 1 giờ. Một đội không thể sản xuất đồng thời nhôm và sắt. Đội 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, đội 2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà nhà mhà máy thu về trong một ngày là bao nhiêu? Biết một tấn nhôm lãi 2 000 000 đồng, một tấn sắt lãi 1 600 000 triệu đồng.
Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày
Điều kiện: x, y > 0
Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là (triệu đồng)
Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là (giờ)
Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là (giờ)
Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi
là toạ độ một trong các đỉnh
.
Ta có:
Suy ra khi
Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: triệu đồng.
Trong các cặp số sau, cặp số nào không là nghiệm của hệ bất phương trình ![]()
Thay cặp số vào hệ ta được
không thỏa mãn bất phương trình ở dưới. Do đó cặp số này không là nghiêm của hệ.
Cặp số
không là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số không là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
của tứ giác
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Do M là trung điểm các cạnh AB nên .
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên .
Ta có
Mặt khác
Do đó .
Cho tam giác
có
, độ dài các cạnh tam giác thỏa mãn biểu thức
. Tính độ lớn góc
?
Ta có:
Cho tam giác đều
có cạnh
. Tính tích vô hướng
.
Ta có: .
Cho hàm số
. Tính P = f(2) + f(−2).
Ta có: .
Cho ba điểm
phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng là
.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = mx cắt đồ thị hàm số (P) : y = x3 − 6x2 + 9x tại ba điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với d là x3 − 6x2 + 9x = mx
Để (P) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
.
Cho bất phương trình
(1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Cho lục giác đều
tâm
. Ba vectơ bằng vectơ
là:
Ba vectơ bằng vectơ là:
,
,
.
Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Đặt .
Ta có .
Phương trình trở thành
Thay vào ta được . Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
.
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
nghịch biến trên
.
Điều kiện để hàm số nghịch biến trên
là
.
Suy ra .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tam giác
biết
. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh
của tam giác
?
Gọi M là trung điểm của BC
Khi đó tọa độ của M là:
Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:
Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là .
Phương trình mx2 − (3m+2)x + 1 = 0 có tính chất nào sau đây:
Với m = 0 phương trình trở thành suy ra phương trình có nghiệm.
Với m ≠ 0, ta có Δ = (3m+2)2 − 4m = 9m2 + 8m + 4.
Vì tam thức 9m2 + 8m + 4 có am = 9 > 0, Δ′m = − 20 < 0 nên 9m2 + 8m + 4 > 0 với mọi m.
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
Giải phương trình: ![]()
Điều kiện:
Phương trình tương đương:
Kết hợp với điều kiện ta được thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm .