Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 10 Chân trời sáng tạo.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sqrt{x + 4} = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - 2x}  là

    Điều kiện: \left\{ \begin{matrix}x + 4 \geq 0 \\1 - x \geq 0 \\1 - 2x \geq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 4 \leq x \leq\frac{1}{2}.

    \sqrt{x + 4} = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 -2x} \Leftrightarrow \sqrt{(1 - x)(1 - 2x)} = 2x + 1

    ⇔ \left\{\begin{matrix}2x + 1 \geq 0 \\(1 - x)(1 - 2x) = (2x + 1)^{2} \\\end{matrix} ight.

    ⇔ \left\{\begin{matrix}x \geq - \frac{1}{2} \\2x^{2} + 7x = 0 \\\end{matrix} ight.

    ⇔ \left\{\begin{matrix}x \geq - 1/2 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = - 7/2 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.  ⇔ x = 0(TM).

    Vậy, phương trình có một nghiệm.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{0}.

    Suy ra \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{0} đúng.

    Ta có: \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB}. Suy ra \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OB} đúng.

    Ta có: \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} eq \overrightarrow{AB}. Suy ra \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} sai.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} đúng.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có AB = c;BC = a;AC = b. Cần điều kiện gì để các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức \cot^{2}\dfrac{A}{2} + \cot^{2}\dfrac{B}{2} +\cot^{2}\dfrac{C}{2} = 9?

    Theo định lí hàm số cos ta có:

    a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc.\cos A \geq2bc - 2bc\cos A = 4bc\sin^{2}\frac{A}{2}

    \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^{2}\dfrac{A}{2}}\geq \dfrac{4bc}{a^{2}}

    \Rightarrow \cot^{2}\dfrac{A}{2} \geq\dfrac{4bc}{a^{2}} - 1

    Chứng minh tương tự ta có: \left\{\begin{matrix} \cot^{2}\dfrac{B}{2} \geq \dfrac{4ac}{b^{2}} - 1 \\ \cot^{2}\dfrac{C}{2} \geq \dfrac{4ac}{c^{2}} - 1 \\\end{matrix} ight.

    Do đó

    \cot^{2}\dfrac{A}{2} + \cot^{2}\dfrac{B}{2}+ \cot^{2}\dfrac{C}{2}

    \geq \dfrac{4bc}{a^{2}} - 1 +\dfrac{4ac}{b^{2}} - 1 + \dfrac{4ac}{c^{2}} - 1

    \geq\sqrt[3]{\dfrac{4bc}{a^{2}}\dfrac{4ac}{b^{2}}\dfrac{4ac}{c^{2}}} - 3 =9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \sqrt{4x^{2} - 4x + 1}.

    Điều kiện xác định: 4x2 − 4x + 1 ≥ 0 ⇔ (2x−1)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).

    Do đó tập xác định D = ℝ.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho parabol (P) có phương trình y = 3x2 − 2x + 4. Tìm trục đối xứng của parabol này.

    + Có a = 3; b =  − 2; c = 4.

    + Trục đối xứng của parabol là x = \frac{- b}{2a} = \frac{1}{3}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Xác định parabol (P) : y = 2x2 + bx + c, biết rằng (P) có đỉnh I(−1;−2).

    Trục đối xứng - \frac{b}{2a} = - 1\overset{}{ightarrow}b = 4.

    Do I \in (P)\overset{}{ightarrow} - 2 = 2.( - 1)^{2} - 4 + c\overset{}{ightarrow}c = 0.

    Vậy (P) : y = 2x2 + 4x.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Giá trị biểu thức T = \tan 1^{\circ}.\tan2^{\circ}\ldots.\tan89^{\circ} bằng:

    Ta có:

    \ T = \left( \tan 1^{\circ}.\tan89^{\circ}ight)\left( \tan 2^{\circ}.\tan88^{\circ} ight)\ldots\left( \tan44^{\circ}.\tan 46^{\circ} ight).\tan45^{\circ}

    = \left( \tan 1^{\circ}.\cot 1^{0} ight)\left( \tan 2^{\circ}.\cot 2^{\circ} ight)\ldots\left( \tan 44^{\circ}.\cot 44^{\circ} ight)\tan 45^{\circ}

    = 1.1.1\ldots 1 = 1.

  • Câu 8: Nhận biết

    Điền vào chỗ trống từ còn thiếu: “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x_0; y_0) sao cho ax_0 + by_0 + c < 0 được gọi là ……của bất phương trình ax + by + c < 0”.

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x_0; y_0) sao cho ax_0 + by_0 + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho C_{R}A = ( -\infty;2) \cup \lbrack 6; + \infty) và C_{R}B = \lbrack 5;9). Tập hợp X = A \cap B là

    A = \lbrack 2;6),B = ( - \infty;5) \cup\lbrack 9; + \infty).

    Suy ra X = A \cap B = \lbrack2;5).

  • Câu 10: Nhận biết

    Tam thức bậc hai f(x) = 4x2 − 12x + 9 nhận giá trị âm khi và chỉ khi

    Chọn Ta có: f(x) = 4x^{2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}

    Dựa vào bảng xét dấu thì ta thấy không có giá trị x nào để f(x) < 0.

  • Câu 11: Nhận biết

    Câu nào là mệnh đề toán học?

     Mệnh đề toán học là: "2 là số tự nhiên"

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Nghiệm của phương trình \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x - 2} = \frac{x + 3}{5} là:

    Điều kiện: x \geq \frac{2}{3} .Ta có

    \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x - 2} = \frac{x + 3}{5}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{4x + 1} - \sqrt{3x - 2} ight)\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight) = \left( \frac{x + 3}{5} ight)\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight)

    \Leftrightarrow x + 3 = \left( \frac{x + 3}{5} ight)\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight)

    \Leftrightarrow (x + 3)\left\lbrack 1 - \frac{1}{5}\left( \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} ight) ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} = 5 ( vì x + 3 > 0 )

     ⇔ x = 2.

  • Câu 13: Nhận biết

    Bất phương trình (2x−1)(x+3)−3x+1≤(x−1)(x+3)+x^{2}−5 có tập nghiệm là:

     Ta có: (2x−1)(x+3)−3x+1≤(x−1)(x+3)+x^{2}−52x^2+2x-2 \le2x^2+2x-8 \Leftrightarrow -2 \le -8 (vô lí).

    Vậy S = \varnothing.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Một nhà máy gồm hai đội công nhân (đội 1 và đội 2) sản xuất nhôm và sắt. Muốn sản xuất một tấn nhôm thì đội 1 phải làm việc trong 3 giờ và đội 2 làm việc trong 1 giờ. Một đội không thể sản xuất đồng thời nhôm và sắt. Đội 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, đội 2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà nhà mhà máy thu về trong một ngày là bao nhiêu? Biết một tấn nhôm lãi 2 000 000 đồng, một tấn sắt lãi 1 600 000 triệu đồng.

    Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày

    Điều kiện: x, y > 0

    Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là f(x;y) = 2x + 1,6y (triệu đồng)

    Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là 3x + y (giờ)

    Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là x + y (giờ)

    Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình: \left\{ \begin{matrix} 3x + y \leq 6 \\ x + y \leq 4 \\ x,\ y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (*)

    Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x;y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).

    Hình vẽ minh họa

    Hàm số f(x;y) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi (x;y) là toạ độ một trong các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f(0;0) = 0 \\ f(2;0) = 4 \\ f(1;3) = 6,8 \\ f(0;4) = 6,4 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra max\ f(x;y) = 6,8 khi (x;y) = (1;3)

    Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: 6,8 triệu đồng.

  • Câu 15: Vận dụng

    Vào lúc 9 giờ sáng, hai vận động viên A và B xuất phát từ cùng một vị trí O. Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 135° (hình vẽ).

    Tính thời điểm hai vận động viên cách nhau 10km

    Tại thời điểm nào thì vận động viên A cách vận động viên B một khoảng 10 km (làm tròn kết quả đến phút)?

    Gọi khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km là x giờ

    Điều kiện: x > 0

    Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km)

    Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km)

    Ta có: \widehat {AOB} = {135^0} - {15^0} = {120^0}

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos \widehat {AOB} \hfill \\ \Leftrightarrow {10^2} = {\left( {13x} ight)^2} + {\left( {12x} ight)^2} - 2.13x.12x.\cos {120^0} \hfill \\ \Leftrightarrow {10^2} = 169{x^2} + 144{x^2} + 156{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{100}}{{469}} \hfill \\ \Rightarrow x \approx 0,46 \hfill \\ \end{matrix}

    0,46 giờ ≈ 28 phút

    Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 28 phút.

    Vậy vào khoảng 9 giờ 28 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số f(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x}.

    Điều kiện: \left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 0 \\ x eq 0 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy tập xác định của hàm số là D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho \overrightarrow{u} = (3; - 2) và tọa độ hai điểm A(0; - 3),B(1;5). Biết 2\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}, tọa độ vecto \overrightarrow{x} là:

    Tọa độ vecto \overrightarrow{x} = \left( - \frac{5}{2};6 ight).

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB,\ \ CD lấy lần lượt các điểm M,\ \ N sao cho 3\ \overrightarrow{AM} = 2\ \overrightarrow{AB} và 3\ \overrightarrow{DN} = 2\ \overrightarrow{DC}. Tính vectơ \overrightarrow{MN} theo hai vectơ \overrightarrow{AD},\ \ \overrightarrow{BC}.

    Ta có \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} và \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}.

    Suy ra 3\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + 2\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} ight)

    = \left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight) + \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{DN} + 2\overrightarrow{CN} ight).

    Theo bài ra, ta có \overrightarrow{MA} + 2\ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} và \overrightarrow{DN} + 2\ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.

    Vậy 3\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + 2\ \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC thỏa mãn BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0. Khi đó, góc C có số đo là:

    Theo đề bài ra ta có:

    BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} - \sqrt{2}BC.AC = 0

    \Leftrightarrow BC^{2} + AC^{2} - AB^{2} = \sqrt{2}BC.AC

    \Leftrightarrow \frac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{BC \cdot AC} = \sqrt{2}

    \Leftrightarrow 2\cos C - \sqrt{2} = 0

    \Leftrightarrow \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{C} = 45^{\circ}.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình vuông ABCD, dựng các hình vuông A_{1}A_{2}A_{3}A_{4};B_{1}B_{2}B_{3}B_{4};C_{1}C_{2}C_{3}C_{4};D_{1}D_{2}D_{3}D_{4} với A,B,C,D là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

    Biết các hình vuông nhỏ có kích thước 1cm \times 1cm. Tính độ dài vectơ:

    \overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} + \overrightarrow{D_{4}A_{4}}

    + \overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}}

    + \overrightarrow{A_{3}B_{3}} + \overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{2}A_{2}}

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} + \overrightarrow{D_{4}A_{4}}

    = \overrightarrow{B_{2}B_{1}} + \overrightarrow{C_{3}C_{2}} + \overrightarrow{D_{2}D_{3}} + \overrightarrow{A_{1}E} + \overrightarrow{EA_{4}} = \overrightarrow{X_{1}Z_{1}}

    \overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}}

    = \overrightarrow{B_{3}B_{2}} + \overrightarrow{C_{4}C_{3}} + \overrightarrow{D_{1}D_{4}} + \overrightarrow{A_{2}F} + \overrightarrow{FA_{1}} = \overrightarrow{X_{2}Z_{2}}

    \overrightarrow{A_{3}B_{3}} + \overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{2}A_{2}}

    = \overrightarrow{B_{4}B_{3}} + \overrightarrow{C_{1}C_{4}} + \overrightarrow{D_{2}D_{1}} + \overrightarrow{A_{3}K} + \overrightarrow{KA_{2}} = \overrightarrow{X_{3}Z_{3}}

    Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:

    |\overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} + \overrightarrow{D_{4}A_{4}}

    + \overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}}

    + \overrightarrow{A_{3}B_{3}} + \overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{2}A_{2}}|

    = \left| \overrightarrow{X_{1}Z_{1}} + \overrightarrow{X_{2}Z_{2}} + \overrightarrow{X_{3}Z_{3}} ight| = \left| \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} ight| = \left| \overrightarrow{MP} ight| = \sqrt{34}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hình chữ nhật ABCD có AB = \sqrt{2}, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AC} và \overrightarrow{BD}

    Ta có: 

    ABCD là hình chữ nhật

    \begin{matrix} \Rightarrow AC = BD = \sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow OB = OC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {OC} } \\ {\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OD} } \end{array}} ight. \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight) = \left( {\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD} } ight) = \widehat {DOC}

    Xét tam giác ODC ta có:

    \begin{matrix} \cos \widehat {DOC} = \dfrac{{O{D^2} + O{C^2} - {{\left( {DC} ight)}^2}}}{{2OD.OC}} \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat {DOC} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)}^2} - 2}}{{2{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)}^2}}} = - \dfrac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {DOC} \approx {109^0} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa mãn 4\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}. Xác định vị trí điểm M.

    Ta có: ABCD là hình bình hành

    => \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}

    Xét biểu thức:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AM} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AM} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AM} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy M là trung điểm của AC.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Giả sử trường hợp |\overrightarrow{AB}|=0

    => Điểm A và điểm B trùng nhau.

    => Có thể xảy ra trường hợp này.

    => Mệnh đề sai là |\overrightarrow{AB}|>0

  • Câu 24: Vận dụng

    Anh T dự định trồng cà phê và hạt tiêu trên một mảnh đất có diện tích 8ha. Nếu trồng 1ha cà phê thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1ha hạt tiêu thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Anh T cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, anh T chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng hai loại cây.

    Gọi x là số hecta đất trồng cà phê và y là số hecta đất trồng hạt tiêu.

    Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x,y như sau:

    Hiển nhiên x \geq 0,y \geq 0.

    Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên x + y \leq 8.

    Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên 20x + 30y \leq 180.

     

    Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: \left\{ \begin{matrix} x + y \leq 8 \\ 20x + 30y \leq 180 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được miền tứ giác OABC (Hình).

    Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: O(0;0);A(0;6);B(6;2);C(8;0).

    Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) anh T thu được, ta có: F = 40x + 50y.

    Ta phải tìm x,y thoả mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F = 40x + 50y trên miền tứ giác OABC.

    Tính các giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của đa giác, ta có:

    Tại O(0;0):F = 40.0 + 50.0 = 0

    Tại A(0,6):F = 40.0 + 50.6 = 300

    Tại B(6;2):F = 40.6 + 50.2 = 340

    Tại C(8;0):F = 40.8 + 50.0 = 320

    F đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại B(6;2).

    Vậy để thu được nhiều tiền nhất, anh T cần trồng 6ha cà phê và 2ha hạt tiêu.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;0),B(3;1) và C( - 1; - 1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;1) và \overrightarrow{CB} = (4;2).

    \cos B = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}}{AB.CB} = \frac{- 10}{\sqrt{10}.\sqrt{20}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CB} ight) = 135^{o}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2;1),\ \overrightarrow{b} = (3;4),\ \overrightarrow{c} = (7;2). Giá trị của k,\ h để \overrightarrow{c} = k.\overrightarrow{a} + h.\overrightarrow{b} là

    Ta có \left. \ \begin{matrix}k.\overrightarrow{a} = (2k;k) \\h.\overrightarrow{b} = (3h;4h) \\\end{matrix} ight\}\overset{}{ightarrow}k.\overrightarrow{a} +h.\overrightarrow{b} = (2k + 3h;k + 4h).

    Theo đề bài: \overrightarrow{c} =k.\overrightarrow{a} + h.\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7 = 2k + 3h \\2 = k + 4h \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}k = 4,4 \\h = - 0,6 \\\end{matrix} ight.\ .

  • Câu 27: Thông hiểu

    Phủ định của mệnh đề  "\sqrt3 là số vô tỷ" là mệnh đề nào sau đây?

    Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “không phải P".

    Chọn đáp án \sqrt{3} không là số vô tỷ.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng A(6;3),B( - 3;6),C(1; - 2)?

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

    I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3x + y = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow I(1;3)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10m rồi chỉnh mặt trước cao bằng mắt của mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ) với mắt tạo với phương nằm ngang. Khi đó góc nâng đo được 31∘. Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó bằng 1,5m. Chiều cao cột cờ gần nhất với giá trị nào?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi AB là khoảng cách từ chân đến tầm mắt của học sinh ⇒ AB = 1,5m.

    AC là khoảng cách từ chân đến cột cờ ⇒ AC = 10m.

    CD là chiều cao cột cờ.

    BE là phương ngang của tầm mắt.

    Khi đó góc nâng là \widehat{DBE} = 31^{0}.

    Do ABEC là hình chữ nhật nên \left\{ \begin{matrix} BE = AC = 10m \\ CE = AB = 1,5m \\ \end{matrix} ight..

    Ta có: \tan\widehat{DBE} = \frac{DE}{BE} \Rightarrow DE = 10.tan31^{0} \approx 6m.

    Vậy chiều cao của cột cờ là: CD = CE + DE = 6 + 1,5 = 7,5m.

  • Câu 30: Nhận biết

    Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,\ \ AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

    Cặp \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{MB} là cặp vectơ cùng hướng.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x + 2y - 1 < 0?

    (x; y) = (2; 3) => x = 2;{\text{ }}y = 3 thay vào bất phương trình ta có:

    2 + 2.3 - 1 = 7 > 0 => Đáp án sai

    (x; y) = (1; 2) => x = 1;{\text{ }}y = 2 thay vào bất phương trình ta có:

    1 + 2.2 - 1 = 4 > 0 => Đáp án sai

    (x; y) = (0; 1) => x = 0;{\text{ }}y = 1 thay vào bất phương trình ta có:

    0 + 2.1 - 1 = 1> 0 => Đáp án sai

    (x; y) = (-1; 0) => x = -1;{\text{ }}y = 0 thay vào bất phương trình ta có:

    -1 + 2.0 - 1 = -2 < 0 => Đáp án đúng

    Vậy (x; y) = (-1; 0) là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x + 2y - 1 < 0

  • Câu 32: Thông hiểu

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} 3x + y \geq 9 \\ x \geq y - 3 \\ 2y \geq 8 - x \\ y \leq 6 \\ \end{matrix} ight. chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

    Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Ta thấy điểm P(8;4) thỏa mãn cả 4 phươn trình trong hệ.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho f(x)=ax^{2}+bx+c(a≠0)có Δ=b^{2}−4ac<0. Khi đó mệnh đề nào đúng?

     Khi \Delta<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a \text{ } \forall x\in \mathbb{R}. Do đó nó không đổi dấu.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

    Hệ thức sai là: \overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}

    Vì \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} (tính chất giao hoán)

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: ABCD là hình bình hành tâm O

    => OA = OC, OB = OD

    \begin{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Nhận biết

    Tính tổng \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}.

    Ta có \overrightarrow{MN} +\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} +\overrightarrow{QR}= \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} +\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RN} =\overrightarrow{MN}.

  • Câu 37: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m2−4)x2 + (m−2)x + 1 < 0 vô nghiệm.

    • Xét m2 − 4 = 0 ⇔ m =  ± 2

    Với m =  − 2, bất phương trình trở thành x > \frac{1}{4}: không thỏa mãn.

    Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0: vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.

    • Xét m ≠  ± 2. Yêu cầu bài toán

     ⇔ (m2−4)x2 + (m−2)x + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ \Delta = (m - 2)^{2} - 4\left( m^{2} - 4 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \frac{10}{3} \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp hai trường hợp, ta được m \leq - \frac{10}{3} hoặc m ≥ 2.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cos\alpha = - \frac{\sqrt{5}}{3} và \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}. Tính \tan\alpha.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha = \pm \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \pm \frac{2}{3} \\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \\ \end{matrix} ight. \overset{}{ightarrow}\sin\alpha = - \frac{2}{3}\overset{}{ightarrow}\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Điểm cuối của \alpha thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.

    Điểm cuối của \alpha thuộc góc phần tư thứ nhất ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 40: Thông hiểu

    Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 biết (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng \frac{3}{4} khi x = \frac{1}{2}.

    Ta có (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x = 0 thì y = 1 ⇒ c = 1.

    (P)có giá trị nhỏ nhất bằng \frac{3}{4} khi x = \frac{1}{2} nên:

    \left\{ \begin{matrix} y\left( \frac{1}{2} ight) = \frac{3}{4} \\ \frac{- b}{2a} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight. ⇔ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 1 = \frac{3}{4} \\ \frac{- b}{2a} = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b = - \frac{1}{4} \\ a + b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy (P): y = x2 − x + 1.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} 5x - 2y - 1 > 0 \\ 2x + 2y + 5 > 0 \\ x + y + 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

    Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

    Với O(0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5.0 - 2.0 - 1 > 0 \\ 2.0 + 2.0 + 5 > 0 \\ 0 + 0 + 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.. Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.

    Với M(1;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5.1 - 2.0 - 1 > 0 \\ 2.1 + 2.0 + 5 > 0 \\ 1 + 0 + 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.. Bất phương trình thứ ba sai nên không thỏa mãn.

    Với N(0; - 2) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5.0 - 2. - 2 - 1 > 0 \\ 2.0 + 2. - 2 + 5 > 0 \\ 0 - 2 + 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.. Đúng. Chọn đáp án này.

  • Câu 42: Nhận biết

    Tam giác ABC có \widehat{B} = 60{^\circ},\ \ \widehat{C} = 45{^\circ} và AB = 5. Tính độ dài cạnh AC.

    Theo định lí hàm sin, ta có \frac{AB}{\sin\widehat{C}} = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{sin45{^\circ}} = \frac{AC}{sin60{^\circ}} \Rightarrow AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 trên đoạn [−1; 4] là

    Ta có y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 = x4 − 4x3 + 4x2 − 5x2 + 10x − 5 + 2

     = (x2−2x)2 − 5(x−1)2 + 2 = [(x−1)2−1]2 − 5(x−1)2 + 2.

    Đặt t = (x−1)2, x ∈ [−1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

    y = (t - 1)^{2} - 5t + 2 = t^{2} - 7t + 3= \left( t - \frac{7}{2} ight)^{2} - \frac{37}{4}.

    Cách 1: Ta có 0 \leq \left( t -\frac{7}{2} ight)^{2} \leq \frac{121}{4} \Leftrightarrow -\frac{37}{4} \leq y \leq 21.

    Cách 2: Vẽ BBT

    Description: Capture

    Vậy y_{\min} = - \frac{37}{4}, ymax = 21.

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.. Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

    Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Ta thấy chỉ có điểm N( - 1;1) thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ \left\{ \begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ 2x - 3y + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xét các mệnh đề sau:

    (I) x \in A.

    (II) \left\{ x ight\} \in A.

    (III) x \subset A.

    (IV) \left\{ x ight\} \subset A.

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng:

    I đúng.

    II sai vì không có khái niệm tập hợp này thuộc tập hợp kia.

    III sai vì 1 phần tử thì không thể là con của 1 tập hợp.

    IV đúng.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 25 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập