Tập xác định của hàm số
là
Ta có :
• Khi x < 2: xác định khi
.
Suy ra D1 = (−∞;2).
• Khi x ≥ 2: xác định khi x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 7.
Suy ra D1 = [2; + ∞).
Vậy TXĐ của hàm số là D = D1 ∪ D2 = (−∞;+∞) = ℝ.
Tập xác định của hàm số
là
Ta có :
• Khi x < 2: xác định khi
.
Suy ra D1 = (−∞;2).
• Khi x ≥ 2: xác định khi x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 7.
Suy ra D1 = [2; + ∞).
Vậy TXĐ của hàm số là D = D1 ∪ D2 = (−∞;+∞) = ℝ.
Tìm parabol
, biết rằng parabol có đỉnh
.
Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:
và
.
Suy ra .
Cho
có
. Số đo của góc
là:
Ta có:
Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
bằng:
.
Phương trình chỉ có nghiệm nên tổng các nghiệm bằng
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 − 4x + 1.
y = x2 − 4x + 1 = (x−2)2 − 3 ≥ − 3.
Dấu xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là − 3 tại x = 2.
Cho tam giác đều
có cạnh bằng
Tính tích vô hướng ![]()
.
Cho hình vuông
cạnh bằng
. Tính độ dài véctơ
.
Hình vẽ minh họa:
Cho tam thức f(x) =
(a ≠ 0), có ∆ =
. Ta có f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi:
Biểu thức f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi:
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ
có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng :
Các vectơ bằng vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là
và
.
Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.
Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)
Diện tích trông rau là: 4 (ha)
Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.
Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)
Diện tích trông rau là: 4 (ha)
Gọi diện tích trồng rau và hoa gia đình cần trồng lần lượt là: (ha)
Điều kiện:
Số tiền cần bỏ ra để thuê người trồng hoa là (trồng).
Lợi nhuận thu được là
(đồng).
Vì số công trồng rau không vượt quá nên
Ta có hệ bất phương trình sau:
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của trên miền nghiệm của hệ
.
Miền nghiệm của hệ là tứ giác
(kể cả biên).
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất khi
là toạ độ của một trong các đỉnh
.
=> lớn nhất khi
Như vậy cần 4 ha trồng rau và 6 ha trồng để thu về lợi nhuận lớn nhất
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
=> OA OC, OB = OD
Ta có:
Cặp số
là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Vì là mệnh đề đúng nên cặp số
là nghiệm của bất phương trình
.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng.
Cho f(x) = x2 − 4x + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 1; 3 ].
Cho tam giác
có
là trung điểm của
Tính
theo
và ![]()
Ta có
Cho tam giác
, điểm I thoả mãn:
. Nếu
thì cặp số
bằng:
Ta có:
.
Tìm mệnh đề đúng.
Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. là mệnh đề sai: Ví dụ: là số chẵn nhưng
là số lẻ.
Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. là mệnh đề sai: Ví dụ: là số chẵn nhưng
là số lẻ.
Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. là mệnh đề sai: Ví dụ: là số chẵn nhưng
là số lẻ.
Chọn Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác
có
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.
.
Ta có: cân tại A.
.
vuông tại A.
Vậy vuông cân tại A.
Trong hệ trục tọa độ
, tọa độ của vectơ
là
Ta có
Cho tam giác
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là:
Vì , mà
cố định nên suy ra tập hợp
là đường thẳng đi qua
và vuông góc với
.
Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
.
Trong định lí ta nói: "P là điều kiện cần để có Q". Khi đó P là gì của định lí?
Trong định lí ta nói: " là điều kiện cần để có
". Khi đó P là kết luận của định lí.
Cho ba điểm
phân biệt. Khi đó:
Chọn: Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là
cùng phương với
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
Ta có:
Diện tích ban đầu của tam giác là:
Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác là:
Cho hình vuông
tâm
cạnh a. Biết rằng tập hợp điểm
thỏa mãn
là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn.
Ta có:
Do
Vậy tập hợp các điểm là đường tròn tâm
, bán kính
.
Tập nghiệm của phương trình:
là:
Điều kiện: =>
Phương trình tương đương
Ta có:
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Cho parabol (P) : y = ax2 + bx + c(a≠0) có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương trình |ax2+bx+c| = m có bốn nghiệm phân biệt.

Quan sát đồ thị ta có đỉnh của parabol là I(2;3) nên .
Mặt khác (P) cắt trục tung tại (0;−1) nên c = − 1. Suy ra .
(P) : y = − x2 + 4x − 1 suy ra hàm số y = |−x2+4x−1| có đồ thị là là phần đồ thị phía trên trục hoành của (P) và phần có được do lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của (P), như hình vẽ sau:

Phương trình |ax2+bx+c| = m hay |−x2+4x−1| = m có bốn nghiệm phân biệt khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số hàm số y = |−x2+4x−1| tại bốn điểm phân biệt.
Suy ra 0 < m < 3.
Nếu tam giác
có
thì:
Nếu tam giác ABC có thì
là góc nhọn
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số
?
Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 
Thay tọa độ vào hệ ta được:
ta thấy cả 3 bất phương trình đều thỏa mãn. Do đó điểm này thuộc miền nghiệm của hệ.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai vecto
và
với
. Tìm giá trị của tham số m để
?
Ta có:
Vậy m = 2 thì hai vecto đã cho vuông góc với nhau.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Ta có: (Sai).
Tập
bằng tập nào sau đây?
Phương trình
có mấy nghiệm nguyên ?
Đặt . Ta có hệ phương trình:
Với t = − x ta được
Với t = x − 1 ta được
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = − 2 và .
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình
?
Xét điểm . Ta có:
nên
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Cho tam giác
có
. Số đo của
là:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
Điểm cuối của
thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai
.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
Khẳng định sai là: ""
Sửa lại là: ""
Cho ba vectơ
Giá trị của
để
là
Ta có
Theo đề bài:
Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?

Từ bảng xét dấu ta có:
có hai nghiệm phân biệt
và
khi
Do đó
Anh T dự định trồng cà phê và hạt tiêu trên một mảnh đất có diện tích 8ha. Nếu trồng 1ha cà phê thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1ha hạt tiêu thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Anh T cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, anh T chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng hai loại cây.
Gọi là số hecta đất trồng cà phê và
là số hecta đất trồng hạt tiêu.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với như sau:
Hiển nhiên .
Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên .
Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên .
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ , ta được miền tứ giác
(Hình).
Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: .
Gọi là số tiền (đơn vị: triệu đồng) anh T thu được, ta có:
.
Ta phải tìm thoả mãn hệ bất phương trình sao cho
đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
trên miền tứ giác
.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tại
Tại
Tại
Tại
đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại
.
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, anh T cần trồng 6ha cà phê và 2ha hạt tiêu.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m2−4)x2 + (m−2)x + 1 < 0 vô nghiệm.
• Xét m2 − 4 = 0 ⇔ m = ± 2
Với m = − 2, bất phương trình trở thành : không thỏa mãn.
Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0: vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.
• Xét m ≠ ± 2. Yêu cầu bài toán
⇔ (m2−4)x2 + (m−2)x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
Kết hợp hai trường hợp, ta được hoặc m ≥ 2.
Cho A = {a, b}. Số tập con của A là:
Ta có: Số tập hợp con của tập có phần tử là
. Do đó số tập con của A là
.
Cho tam giác
có các góc thỏa mãn biểu thức
![]()
Khi đó tam giác
là tam giác gì?
Ta có:
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.