Trong mặt phẳng
cho
. Tích vô hướng của 2 vectơ
là:
Ta có , suy ra
.
Trong mặt phẳng
cho
. Tích vô hướng của 2 vectơ
là:
Ta có , suy ra
.
Giá trị thực của tham số m để phương trình x2 − 2(m−1)x + m2 − 2m = 0 có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là:
Ta có:x2 − 2(m−1)x + m2 − 2m = 0
⇔ x2 − 2mx + m2 + 2x − 2m = 0
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (1)
Với m ∈ (0 ; 2) suy ra .
Theo bài ra, ta có |x2| > |x1| ⇔ |x2|2 > |x1|2 ⇔ x22 − x12 > 0
⇔ (x2−x1)(x2+x1) > 0
⇔ (m−2−m)(m−2+m) > 0 ⇔ m < 1
Kết hợp điều kiện (1), ta được 0 < m < 1.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 trên đoạn [ − 1; 4] là
Ta có y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 = x4 − 4x3 + 4x2 − 5x2 + 10x − 5 + 2
= (x2−2x)2 − 5(x−1)2 + 2 = [(x−1)2−1]2 − 5(x−1)2 + 2.
Đặt t = (x−1)2, x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].
.
Cách 1: Ta có .
Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , ymax = 21.
Cho mệnh đề P: “∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC”. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
Vì AB = AC nên suy ra ∆ABC cân tại A.
Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra AB = AC.
Do đó đáp án đúng là “∆ABC cân tại A” là điều kiện cần và đủ để “AB = AC”.
Cho hệ bất phương trình
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với
. Bất phương trình thứ hai sai nên không thỏa mãn.
Với
. Đúng. Chọn đáp án này.
Cho tam giác
có
. Biết rằng các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức:
![]()
Chọn khẳng định đúng?
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
Cho
Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
Ta có
Do
.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
Khẳng định nào sau đây đúng:
Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số bậc hai y = x2 – 3x + 2 có tập xác định là ℝ. Khẳng định "Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞)." sai.
Xét điểm M(1; 0): thay x = 1; y = 0 vào hàm số ta có: 0 = 12 – 3. 1 + 2 = 0 là mệnh đề đúng. Vậy M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số. Khẳng định "Điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số." đúng.
Hàm số y = x2 – 3x + 2 có a = 1 > 0, b = ‒3 nên hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng
. Khẳng định "Hàm số đồng biến trên ℝ." sai.
Hàm số y = x2 – 3x + 2 có a = 1 > 0 nên đồ thị hàm số có bề lõm quay lên trên. Khẳng định "Đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới." sai.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình
?
Xét điểm . Ta có:
nên
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Điểm cuối của
thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai
.
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm
và
. Mỗi sản phẩm
bán lãi
nghìn đồng, mỗi sản phẩm
bán lãi
nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm
thì Chiến phải làm việc trong
giờ, Bình phải làm việc trong
giờ. Để sản xuất được một sản phẩm
thì Chiến phải làm việc trong
giờ, Bình phải làm việc trong
giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá
giờ và Bình không thể làm việc quá
giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
Gọi ,
lần lượt là số sản phẩm loại
và loại
được sản xuất ra. Điều kiện
,
nguyên dương.
Ta có hệ bất phương trình sau:
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là .
Ta thấy đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm
,
,
. Vì
có tọa độ không nguyên nên loại.
Tại thì
triệu đồng.
Tại thì
triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là triệu đồng.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R,
,
. Tính số đo của
biết
là góc tù.
Theo bài ra ta có: là góc tù =>
là góc nhọn.
Xét tam giác ABC áp dụng định lí sin ta có:
Mặt khác
Trong hệ tọa độ
cho tam giác
có
và trọng tâm là gốc tọa độ
Tìm tọa độ đỉnh
?
Gọi .
Vì là trọng tâm tam giác
nên
Tập hợp
có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử:
Tập gồm
phần tử.
Mỗi phần tử ghép với phần tử còn lại ta được
tập con của
có
phần tử.
Số tập con của có
phần tử bằng:
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình
?
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án ta có:
thay vào hệ bất phương trình ta được:
Vậy không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Cho mệnh đề P: “∀ x ∈ R: |x| ≥ 0” . Phủ định của mệnh đề P là:
Phủ định của mệnh đề P là: “∃ x ∈ R: |x| < 0”.
Cho tam giác
vuông tại
và có
. Tính
.
Ta có .
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Chọn đáp án vì theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho hình bình hành
, điểm
thoả mãn:
. Khi đó
là trung điểm của:
Ta có: .
Vậy là trung điểm của
.
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ
có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng :
Các vectơ bằng vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là
và
.
Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm?
Bất phương trình x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình .
Cho hệ bất phương trình
có miền nghiệm là miền ngũ giác
như hình dưới. Giá trị nhỏ nhất của
là:

Đầu tiên học sinh xác định tọa độ các đỉnh đa giác.
Tọa độ đỉnh A là tọa độ giao điểm hai đường thẳng a và c
=> Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ đỉnh B là tọa độ giao điểm hai đường thẳng a và e
=> Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ đỉnh D là tọa độ giao điểm hai đường thẳng b và d
=> Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ đỉnh E là tọa độ giao điểm hai đường thẳng d và e
=> Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:
Ta phải tìm các giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F trên miền tứ giác ABCDE.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác.
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
F đạt giá trị nhỏ nhất bằng -114 tại
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình:
có đúng hai nghiệm phân biệt.
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 1 ≤ a < 4.
Trong mặt phẳng
cho
. Tính
?
Ta có ,
suy ra
.
Cho ba điểm phân biệt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có . Vậy
đúng.
Cho hàm số
có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ đồ thị hàm số, nhận xét:
Bề lõm hướng lên trên suy ra .
Hàm số cắt trục tung tại tung độ âm .
Chọn đáp án .
Cho tam thức bậc hai
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy khẳng định đúng là .
Trong mặt phẳng tọa độ
, tọa độ vecto
là:
Ta có: .
Tam giác ABC có
và
. Tính độ dài cạnh BC.
Áp dụng định lý côsin: .
Cho hàm số y = − x2 + 4x + 1. Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số y = ax2 + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng
.
Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.
Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).
Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ
theo hai vectơ
và
của tam giác
với trung tuyến
.
Do là trung điểm của
nên ta có
.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
Tìm
để vectơ
và vectơ
có độ dài bằng nhau.
Ta có:
Để .
Cho hình vuông
cạnh
. Gọi
là trung điểm của
, lấy các điểm
lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh
sao cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Hình vẽ minh họa

Đặt
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay P, Q là trung điểm của BC, DA
Ta có:
Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.
Ta lại có:
Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5,
. Đường cao
của tam giác ABC là:
Ta có:
Mặt khác:
(Vì
).
Mà:
.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Với . Ta có:
. Cả ba bất phương trình đều đúng. Chọn đáp án này.
Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Theo bài ra ta có:
Tam giác ABC đều cạnh 2a => AB = BC = AC = 2a
=>
Cho tam giác
, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
Ta có:
Phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có: .
Thử lại thấy không thỏa mãn. Vậy
.
Cho tứ giác
Trên cạnh
lấy lần lượt các điểm
sao cho
và
Tính vectơ
theo hai vectơ ![]()
Ta có và
Suy ra
Theo bài ra, ta có và
Vậy
Cho mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC có G là trọng tâm. Biết B(4; 1), C(1; –2) và G(2; 1). Tọa độ điểm A là:
Theo bài ra:
G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số .
Điều kiện xác định: .
Vậy tập xác định của hàm số D = [ − 1; 3) ∪ (3;+∞).
Trong tam giác ABC ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
Tập nghiệm của phương trình
là:
Phương trình .
Vậy S = {2}.
Tập
bằng tập nào sau đây?
Ta có: