Tích vô hướng của hai vecto
và
là:
Ta có:
Tích vô hướng của hai vecto
và
là:
Ta có:
Trong hệ trục tọa độ
, tọa độ vecto
là:
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ
, gọi
là trực tâm tam tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có: là trực tâm tam giác ABC nên
Ta có hệ phương trình
Vậy biểu thức
Tìm hàm số bậc hai trong các hàm số dưới đây?
Theo định nghĩa ta có:
Hàm số bậc hai là .
Tìm m để hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ.
Hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ khi 2m − 1 > 0 hay .
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng
là:
Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.
Gọi là trung điểm
.
Ta có: (do
).
Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth,trong đó t là thời gian , kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1, 2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8, 5mvà
giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
Tại t = 0 ta có y = h = 1, 2; tại t = 1 ta có y = h = 8, 5; tại t = 2, ta có y = h = 6.

hệ trục Oth như hình vẽ.
Parabol (P) có phương trình: y = at2 + bt + c, với a ≠ 0.
Giả sử tại thời điểm t′ thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất h′.
Theo bài ra ta có: tại t = 0 thì h = 1, 2 nên A(0; 1,2) ∈ (P).
Tại t = 1 thì h = 8, 5 nên B(1; 8,5) ∈ (P).
Tại t = 2 thì h = 6 nên C(2; 6) ∈ (P).
Vậy ta có hệ: .
Vậy hàm số Parabol cần tìm có dạng: y = − 4, 9t2 + 12, 2t + 1, 2.
Cho hình vuông
, dựng các hình vuông
với
là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Biết các hình vuông nhỏ có kích thước
. Tính độ dài vectơ:
![]()
![]()
![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Xét mệnh đề . Ta thấy
sai nên mệnh đề này sai.
Cho hai vectơ
và
không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
Ta có nên chọn đáp án
và
.
Số nghiệm thực của phương trình
là
ĐK: ,
.
Miền nghiệm của bất phương trình
chứa điểm có tọa độ:
Ta có:
Vì là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ
.
Tập xác định của hàm số
là:
Điều kiện: 8 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Vậy D = ( − ∞; 4].
Phương trình
có mấy nghiệm nguyên dương ?
Đặt . Ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = 3.
Số nghiệm của phương trình
là
Điều kiện: .
⇔
⇔
⇔ ⇔ x = 0(TM).
Vậy, phương trình có một nghiệm.
Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào
là
, chiều dài của hàng rào
là
. Góc giữa hai hàng rào
và
là
(như hình vẽ).

Chiều dài hàng rào
là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Áp dụng định li côsin ta
.
Suy ra .
Vậy chiều dài hàng rào là khoảng
.
Cho ba điểm phân biệt
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm
đã cho?
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho là
.
Tập
bằng tập nào sau đây?
Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
và
sao cho
. Độ dài lớn nhất của đoạn
bằng:
Theo định lí hàm sin, ta có:
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi
.
Khi đó .
Cho góc
thoả mãn
và
. Giá trị của
là:
Ta có:
.
Do đó .
Vì nên
.
Cho
có
, nửa chu vi
. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp
của tam giác trên là:
Ta có:
Cho lục giác đều
tâm
. Ba vectơ bằng vectơ
là:
Ba vectơ bằng vectơ là:
,
,
.
Giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y với điều kiện
là
Biểu diễn miền nghiệm của hệ :
Nghiệm của hệ là miền đa giác
với
.
Giá trị lớn nhất đạt được tại 1 trong 5 đỉnh của đa giác.
Với .
Với.
Với .
Với .
Với .
Vậy GTLN .
Tam giác
vuông tại
. Độ dài vectơ
bằng:
Vẽ . Vẽ hình bình hành
Ta có:
Do đó .
Cho
Tìm
để hai vectơ
cùng phương.
Hai vectơ cùng phương
Trong hệ tọa độ
cho tam giác
có
và trọng tâm
. Tìm tọa độ đỉnh
?
Gọi
Vì là trọng tâm tam giác
nên
Cho tam giác
với
là trung điểm
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét đáp án Ta có
(theo quy tắc ba điểm).
Chọn đáp án này.
Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính ![]()
Ta có
Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:
Ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB. Xác định các vectơ
![]()
Ta có:
Cho ba điểm
phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng là
.
Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
Thay tọa độ vào hệ
ta được
thỏa mãn.
Cho tam giác
có
. Tính độ dài cạnh
.
Áp dụng định lí côsin:
.
Suy ra .
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn
?
Điều kiện: Bất phương trình:
Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x=1) thỏa mãn yêu cầu.
Khoảng giá trị của x khi
trong hệ bất phương trình
là:
Với hệ bất phương trình trở thành:
Vậy khi thì khoảng giá trị của x là
.
Cho tam giác
có
và
. Biết rằng:

Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Mà
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Tam thức có hai nghiệm phân biệt
a = 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x thuộc hai nửa khoảng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?

Nhận xét: Từ hình vẽ suy ra đỉnh .
Thay tọa độ đỉnh vào các hàm số ở các đáp án, chỉ có hàm số
thỏa mãn.
Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.
Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)
Diện tích trông rau là: 4 (ha)
Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.
Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)
Diện tích trông rau là: 4 (ha)
Gọi diện tích trồng rau và hoa gia đình cần trồng lần lượt là: (ha)
Điều kiện:
Số tiền cần bỏ ra để thuê người trồng hoa là (trồng).
Lợi nhuận thu được là
(đồng).
Vì số công trồng rau không vượt quá nên
Ta có hệ bất phương trình sau:
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của trên miền nghiệm của hệ
.
Miền nghiệm của hệ là tứ giác
(kể cả biên).
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất khi
là toạ độ của một trong các đỉnh
.
=> lớn nhất khi
Như vậy cần 4 ha trồng rau và 6 ha trồng để thu về lợi nhuận lớn nhất
Đồ thị hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Nhận xét:
Parabol có bề lõm hường lên.
Parabol cắt trục hoành tại điểm (1;0). Xét các đáp án, đáp án y = 2x2 − 3x + 1. thỏa mãn.
Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Tìm m để f(x) = x2 − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ?
f(x) = x2 − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ⇔Δ < 0 ⇔ 4m2 − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3.
Sử dụng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết tập hợp
.
Ta có: .
Phủ định của mệnh đề “Phương trình
có 2 nghiệm phân biệt” là mệnh đề nào?
Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề "không phải P".
Chọn đáp án Phương trình không phải có 2 nghiệm phân biệt.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Ta có: là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.