Cho bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xét điểm . Ta có:
thỏa mãn. Do đó
.
Cho bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xét điểm . Ta có:
thỏa mãn. Do đó
.
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên

Quan sát đồ thị ta loại y = x2 − 3x − 3 và y = − x2 + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y = − x2 + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y = − x2 + 5|x| − 3.
Cho tam giác
, biết
. Số đo góc
là:
Áp dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Cho tam giác
có diện tích
, lấy
là trọng tâm và
. Giả sử
, tính giá trị biểu thức
theo
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
. Kẻ
Tam giác vuông =>
Tam giác vuông =>
Ta có:
Mặt khác áp dụng định lí sin cho tam giác AMB ta được:
Từ (*) và (**) ta được:
Chứng minh tương tự ta có:
Do đó:
Cho bất phương trình
(1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Số nghiệm của phương trình
là
ĐK x ≥ 3.
.
Vậy phương trình có một nghiệm.
Tam giác ABC có
. Độ dài cạnh AB là:
Xét tam giác ABC ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao
. Từ vị trí quan sát
cao
so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh
và chân
của cột ăng-ten dưới góc
và
so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?

Từ hình vẽ, suy ra và
.
Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có
.Trong tam giác vuông
, ta có
Vậy
Tìm tập xác định của ![]()
Điều kiện xác định: .
Vậy .
Cho mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC có G là trọng tâm. Biết B(4; 1), C(1; –2) và G(2; 1). Tọa độ điểm A là:
Theo bài ra:
G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
Cho tam giác
có
. Tính độ dài cạnh
.
Áp dụng định lí côsin:
.
Suy ra .
Cho A = {a, b}. Số tập con của A là:
Ta có: Số tập hợp con của tập có phần tử là
. Do đó số tập con của A là
.
Trên đường thẳng
lấy điểm
sao cho
. Điểm
được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:

Ta có nên
và
và
ngược hướng.
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
⇔ x2 + x − 20 ≥ 0
Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2 + x − 20 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (4 ; + ∞].
Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞ ; −5) ∪ (4 ; + ∞].
Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu
trái dấu?
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai thì
,
.
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ tư thì
,
.
Vậy nếu trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ
hoặc
Cho tam giác
có
là trung điểm của
là trung điểm của
Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì là trung điểm
nên
Mặt khác
là trung điểm
nên
Từ suy ra
Cho
vuông tại
và có
. Số đo của góc
là:
Ta có: Trong
.
Tập
có bao nhiêu tập hợp con, biết
có 3 phần tử ?
Tập có
phần tử
số tập con của
bằng:
.
Cho hình vuông
, dựng các hình vuông
với
là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Biết các hình vuông nhỏ có kích thước
. Tính độ dài vectơ:
![]()
![]()
![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:
Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?
Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)
Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)
Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?
Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)
Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)
Gọi diện tích trồng cà phê và sầu riêng mà hộ gia đình này trồng lần lượt là và
(ha)
Điều kiện:
Lợi nhuận thu được là (đồng).
Tổng số công dùng để trồng ha cà phê và
ha sầu riêng là
.
Ta có hệ bất phương trình sau:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác
(kể cả biên)
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất khi
là tọa độ của một trong các đỉnh
.
Ta có: .
Suy ra lớn nhất khi
Vậy hộ gia đình này cần phải trồng 6 ha cà phê và 2 ha sầu riêng thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng.
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng
là:
Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.
Gọi là trung điểm
.
Ta có: (do
).
Xác định parabol (P) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P) có đỉnh I(2;−1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng − 3.
Vì (P) có đỉnh I(2;−1) nên ta có . (1)
Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng − 3. Suy ra A(0;−3).
Theo giả thiết, A(0;−3) thuộc (P) nên a.0 + b.0 + c = − 3 ⇔ c = − 3. (2)
Từ (1) và (2), ta có .
Vậy .
Cho hình bình hành
, điểm
thỏa mãn:
. Khi đó điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=
Số nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện:
Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.
Khi x là số lẻ, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai:
Khi x là số lẻ => “x không chia hết cho 4” là mệnh đề đúng.
Khi x là số lẻ “x không chia hết cho 3” và “x chia hết cho 3” là một khẳng định nhưng không xác định được tính hoặc đúng hoặc sai tùy theo giá trị của x => Không phải mệnh đề.
Khi x là số lẻ “x chia hết cho 2” là mệnh đề sai.
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
?
Thay tọa độ (0;0) vào hệ ta được
không thỏa mãn. Suy ra điểm này không thuộc miền nghiệm của hệ.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai vecto
và
. Tính
?
Theo bài ra ta có:
và
Khi đó:
Cho góc α, (0° ≤ α ≤ 180°). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Khẳng định sai là: " , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)"
Sửa lại là " , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)".
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số .
Điều kiện xác định: .
Vậy tập xác định của hàm số D = [ − 1; 3) ∪ (3;+∞).
Phương trình
có mấy nghiệm nguyên ?
Điều kiện: x ≥ − 2
PT đã cho tương đương với:
Do x = − 2 không là nghiệm của PT đã cho nên chia hai vế cho x + 2 ta được:
Đặt ta có:
Với t = 2 ta được
Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên.
Parabol y = − x2 + 2x + 3 có phương trình trục đối xứng là
Parabol y = − x2 + 2x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng ⇔ x = 1.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho ba điểm
thẳng hàng?
Theo bài ra ta có:
Lại có:
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi
và
cùng phương hay
Vậy tọa độ điểm M là .
Quan sát đồ thị hàm số, chọn nhận xét đúng?

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0
Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên
.
Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà
suy ra
.
Kết luận: .
Trong mặt phẳng tọa độ
cho
. Xác định tọa độ trọng tâm
của tam giác
?
Vì H là trọng tâm tam giác OPQ nên ta có:
Vậy trọng tâm tam giác cần tìm là .
Cho tam giác đều
với đường cao
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Chọn vì
là trung điểm
và
cùng hướng.
Cho ngũ giác
. Từ các đỉnh của ngũ giác đã cho có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm cuối là điểm
?
Các vectơ có điểm cuối là điểm là
;
;
;
.
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Áp dụng quy tắc hình bình hành tại điểm B ta có:
Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Tìm m để f(x) = x2 − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ?
f(x) = x2 − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ⇔Δ < 0 ⇔ 4m2 − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3.
Cho tứ giác
Trên cạnh
lấy lần lượt các điểm
sao cho
và
Tính vectơ
theo hai vectơ ![]()
Ta có và
Suy ra
Theo bài ra, ta có và
Vậy
Cho mệnh đề P: “∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC”. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
Vì AB = AC nên suy ra ∆ABC cân tại A.
Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra AB = AC.
Do đó đáp án đúng là “∆ABC cân tại A” là điều kiện cần và đủ để “AB = AC”.
Cho hệ bất phương trình
có miền nghiệm là miền tứ giác OABC như hình dưới. Giá trị lớn nhất của
là:

Đầu tiên học sinh xác định tọa độ các đỉnh đa giác.
Quan sát hình vẽ ta có:
Tọa độ đỉnh B là tọa độ giao điểm hai đường thẳng và
=> Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
Ta phải tìm các giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F trên miền tứ giác OABC.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác.
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
Tại ta có:
F đạt giá trị lớn nhất bằng 162 tại
Cho hình chữ nhật ABCD có
, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ
và ![]()
Ta có:
ABCD là hình chữ nhật
Ta có:
Xét tam giác ODC ta có:
Tam thức bậc hai ![]()

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án Dương với mọi .