Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 10 Chân trời sáng tạo.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A(6;3),B( - 3;6),C(1; - 2). Xác định tọa độ điểm D \in BC thỏa mãn BD = 2CD?

    Giả sử tọa độ điểm D là: D(x;y)

    Ta có: D \in BC thỏa mãn BD = 2CD

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BD} = (x + 3;y - 6) \\ \overrightarrow{DC} = (1 - x; - 2 - y) \\ \end{matrix} ight.

    \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 2 - 2x \\ y - 6 = - 4 - 2y \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{3} \\y = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}ight)

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 trên đoạn [ − 1; 4] là

    Ta có y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 = x4 − 4x3 + 4x2 − 5x2 + 10x − 5 + 2

     = (x2−2x)2 − 5(x−1)2 + 2 = [(x−1)2−1]2 − 5(x−1)2 + 2.

    Đặt t = (x−1)2, x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

    y = (t - 1)^{2} - 5t + 2 = t^{2} - 7t + 3= \left( t - \frac{7}{2} ight)^{2} - \frac{37}{4}.

    Cách 1: Ta có 0 \leq \left( t -\frac{7}{2} ight)^{2} \leq \frac{121}{4} \Leftrightarrow -\frac{37}{4} \leq y \leq 21.

    Cách 2: Vẽ BBT

    Description: Capture

    Vậy y_{\min} = - \frac{37}{4}, ymax = 21.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó \overrightarrow{GA}=

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AG = \dfrac{2}{3}AM} \\ {\overrightarrow {AG} earrow earrow \overrightarrow {AM} } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM}

     

    \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tam giác ABC có \widehat{B} = 60^{\circ},\widehat{C} = 45^{\circ} và AB = 5. Tính độ dài cạnh AC.

    Theo định lí sin ta có:

    \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Leftrightarrow \frac{5}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 60^{\circ}}

    \Leftrightarrow AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc hai f(x)=(m-1)x^{2}+(3m-2)x+3-2m đổi dấu hai lần trên \mathbb{R}?

    Để biểu thức trên là tam thức bậc hai thì m eq 1.

    Để tam thức bậc hai đổi dấu 2 lần trên \mathbb{R} thì \Delta >0.

    Ta có: (3m-2)^2-4 (m-1)(3-2m)>0 \Leftrightarrow17m^2-32m+16>0. Suy ra m \in \mathbb{R}.

    Kết hợp điều kiện ở trên, suy ra m eq 1.

     

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (−∞;0)?

    Xét đáp án y = \sqrt{2}x^{2} + 1, ta có - \frac{b}{2a} = 0 và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0).

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho f(x)=ax^{2}+bx+c(a≠0). Điều kiện để f(x)>0 \forall x \in \mathbb{R} là:

     Ta có: f(x)=ax^{2}+bx+c>0 \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a>0\\ \Delta < 0\end{matrix}ight..

  • Câu 8: Nhận biết

    Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

    Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 12,B = \{ n \in \mathbb{N} \mid n \leq 6\}, C = \{ n \in \mathbb{N} \mid 4 \leq n \leq 12\}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Liệt kê các phần tử của tập hợp đã cho ta có kết luận đúng là:

    A \cap (B \cup C) = A

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

    Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x = 1, ta chỉ có phương trình 2x^{2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho ba điểm phân biệt A,\ \ B,\ \ C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Đáp án AB + BC = AC. chỉ đúng khi ba điểmA,\ \ B,\ \ C thẳng hàng và B nằm giữaA,\ \ C.

    Đáp án \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}. đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn đáp án này.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Miền nghiệm của hệ bất phương trình \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ x + \frac{1}{2} - \frac{3y}{2} \leq 2 \\ \end{matrix} ight. chứa điểm nào trong các điểm sau đây?

    Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

    Với O(0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{0}{2} + \frac{0}{3} - 1 \geq 0 \\ 0 \geq 0 \\ 0 + \frac{1}{2} - \frac{3.0}{2} \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.

    Với M(2;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{2} + \frac{1}{3} - 1 \geq 0 \\ 2 \geq 0 \\ 2 + \frac{1}{2} - \frac{3.1}{2} \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Đúng.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong các tập hợp sau, tập hợp nào bằng nhau:

    • A = \left \{ {0; 2; 4; 6; 8} ight \}, B = {x| x ∈ \mathbb{ℕ}, x chia hết cho 2 và x < 12}

    => A = \left \{ {0; 2; 4; 6; 8} ight \}; B = \left \{ {0; 2; 4; 6; 8; 10} ight \}. Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

    • A = {x| x ∈ \mathbb{ℕ}, x ⋮ 2 và 2< x < 6}, B = {x| x ∈ \mathbb{ℕ}, x chia hết cho 4 và 1 < x < 5}

    => A = \left \{ {4} ight \} ; B = \left \{ {4} ight \}. Vậy tập hợp A bằng tập hợp B. Đáp án đúng

    • A = \left \{ {2; 4; 6; 8} ight \}, B = {x| x ∈ \mathbb{ℕ}, x chia hết cho 2 và x < 10}

    => A = \left \{ {2; 4; 6; 8} ight \}; B =\left \{ {0; 2; 4; 6; 8} ight \}. Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

    • A = {x| x ∈ \mathbb{ℕ}, x chia hết cho 3 và x < 12}, B = {x| x ∈ \mathbb{ℕ}, x chia hết cho 4 và x < 12}

    => A = \left \{{0; 3; 6; 9} ight \}; B =\left \{ {0; 4; 8} ight \}. Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}\text{ khi } x\geq 1\\ \sqrt{x+1} \text{ khi } x <1\end{matrix}ight.

    Xét  f(x)=\frac1x, ta có: D_1=[1;+\infty).

    Điều kiện xác định của \sqrt{x+1} là x\ge-1. Kết hợp với x<1 ta được D_2=[-1;1).

    Vậy D=D_1\cup D_2=[-1;+\infty).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Phương trình 2\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 3\sqrt{x^{3} + 8} có mấy nghiệm nguyên ?

    Điều kiện: x ≥  − 2

    PT đã cho tương đương với: 2\left( x^{2} - 2x + 4 ight) - 2(x + 2) = 3\sqrt{(x + 2)\left( x^{2} - 2x + 4 ight)}

    Do x =  − 2 không là nghiệm của PT đã cho nên chia hai vế cho x + 2 ta được:

    \frac{2\left( x^{2} - 2x + 4 ight)}{x + 2} - 3\sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2}} - 2 = 0

    Đặt t = \sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2}}\ \ \ \ (t \geq 0) ta có: 2t^{2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2\ \ \ (t/m) \\ t = - \frac{1}{2}\ \ \ \ (l) \\ \end{matrix} ight.

    Với t = 2 ta được

    \begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2}} = 2 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 2x + 4}{x + 2} = 4 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 + \sqrt{13} \\ x = 3 - \sqrt{13} \\ \end{matrix} ight.\ (TM) \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC, gọi Mlà trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?

    Ta có AM = \frac{3}{2}AG

    Mặt khác \overrightarrow{AM} và \overrightarrow{AG} cùng hướng\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AG} hay 2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} đều khác vectơ \overrightarrow{0}. Tích vô hướng của \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} được xác định bằng công thức nào dưới đây?

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} đều khác vectơ \overrightarrow{0}. Tích vô hướng của \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} là một số, kí hiệu là \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}, được xác định bởi công thức sau:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?

    Ta có \sin(\pi + \alpha) = - \sin\alpha; \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = \sin\alpha; \cos( - \alpha) = \cos\alpha; \tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha.

    Do \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tam giác đều ABC có đường cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hình ảnh minh họa

    Chọn khẳng định đúng

    Do tam giác ABC là tam giác đều có AH là đường cao nên đồng thời là đường phân giác

    => \widehat {BAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}=30^0;\widehat {ABC} = {60^0};\widehat {AHC} = {90^0}

    Do đó: \sin \widehat {BAH} = \frac{1}{2};\sin \widehat {BAH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    Ta có: \widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 20: Vận dụng

    Tam giác ABC vuông tại A,\ AB = AC = 2. Độ dài vectơ 4\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} bằng:

    Vẽ \overrightarrow{AB'} = 4\overrightarrow{AB};\ \ \ \ \ \ \overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{AC}. Vẽ hình bình hành AC'DB'

    Ta có: \left| 4\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AC'} ight| = \left| \overrightarrow{AD} ight| = AD

    Do đó AD = \sqrt{A{B'}^{2} + A{C'}^{2}} = \sqrt{8^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{17}.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Hàm số y = 2x^{2} – 4x + 1 đồng biến và nghịch biến trên khoảng nào?

    Ta có hàm số y = 2x^{2} – 4x + 1 có a=2>0

    => Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( { - \infty ;1} ight), đồng biến trên khoảng \left( {1; + \infty } ight)

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ \overrightarrow{a} = (9;3). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ \overrightarrow{a}?

    Vì \overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{1}} = 9.1 + 3.( - 3) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{1}} nên đáp án \overrightarrow{v_{1}} = (1; - 3) đúng.

    Vì \overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{2}} = 9.2 + 3.( - 6) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{2}} nên đáp án \overrightarrow{v_{2}} = (2; - 6) đúng.

    Vì \overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{3}} = 9.1 + 3.3 = 18 eq 0 nên đáp án \overrightarrow{v_{3}} = (1;3) sai.

    Vì \overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{1}} = 9.( - 1) + 3.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{4}} nên đáp án \overrightarrow{v_{4}} = ( - 1;3) đúng.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và \widehat{ACB} = 60{^\circ}. Tính độ dài cạnh cạnh BC.

    Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của AB,\ \ BC.

    \overset{}{ightarrow}MN là đường trung bình của \Delta ABC.

    \overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}AC. Mà MN = 3, suy ra AC = 6.

    Theo định lí hàm cosin, ta có:

    AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{ACB}

    \Leftrightarrow 9^{2} = 6^{2} + BC^{2} - 2.6.BC.cos60{^\circ}

    \Rightarrow BC = 3 + 3\sqrt{6}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Miền nghiệm của bất phương trình x+2(y+1)-4y\leq 2(x+1)-5y không chứa điểm có tọa độ:

    Ta có: 

    x+2(y+1)-4y\leq 2(x+1)-5y

    \begin{matrix} \Rightarrow x + 2y + 2 - 4y \leqslant 2x + 2 - 5y \hfill \\ \Rightarrow - x + 3y \leqslant 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Thay x=3;y=2 vào bất phương trình ta được: - 3 + 3.2= 5 > 0

    Vậy (3;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15. Số đo góc A là:

    Áp dụng hệ quả định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

    \begin{matrix} \cos \widehat A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat A = \dfrac{{{{15}^2} + {{13}^2} - {{24}^2}}}{{2.15.13}} = - \dfrac{7}{{15}} \hfill \\ \Rightarrow \widehat A \approx {117^0}49\prime \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 26: Thông hiểu

    Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f(x) = x^{2} + 2x + 1 là:

     Xét biếu thức f(x) = x^{2} + 2x + 1 có ∆ = 0 và nghiệm là x = -{\text{ }}1;{\text{ }}a = 1 > 0

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm bảng xét dấu của tam thức bậc hai

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tính \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BD}.

    Do ABCD là hình chữ nhật => \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } ight) = {180^0} - \widehat {ABD}

    Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

    \begin{matrix} DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {89} \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat {ABD} = \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{8}{{\sqrt {89} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có: 

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB} } ight|.\left| {\overrightarrow {BD} } ight|. - \cos \left( {\widehat {ABD}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = 8.\sqrt {89} .\left( {\dfrac{{ - 8}}{{\sqrt {89} }}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = - 64 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong các cặp số sau, cặp số nào không là nghiệm của hệ bất phương trình \left\{\begin{matrix}x+y-2\leq 0\\ 2x-3y+2>0\end{matrix}ight.

     Thay cặp số (–1;1) vào hệ ta được \left\{\begin{matrix}-1+1-2\leq 0\\ 2(-1)-3.1+2>0\end{matrix}ight. không thỏa mãn bất phương trình ở dưới. Do đó cặp số này không là nghiêm của hệ.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho mệnh đề P: “∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC”. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?

     Vì AB = AC nên suy ra ∆ABC cân tại A.

    Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra AB = AC.

    Do đó đáp án đúng là “∆ABC cân tại A” là điều kiện cần và đủ để “AB = AC”.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hệ bất phương trình \left\{\begin{matrix}x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 80 \\ 2x+y\leq 120\end{matrix}ight.. Trong các cặp số (-1; -1), (-1; 0), (1; 1), (2; 2), (0; -1) thì những cặp số là nghiệm của hệ bất phương trình trên là:

    Xét cặp số (-1; -1) thay vào bất phương trình ta thấy { - 1 \geqslant 0} (Loại)

    Xét cặp số (-1; 0) thay vào bất phương trình ta thấy { - 1 \geqslant 0} (Loại)

    Xét cặp số (1; 1) thay vào bất phương trình ta thấy:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \geqslant 0} \\ {1 \geqslant 0} \\ {1 + 1 \leqslant 80} \\ {2.1 + 1 \leqslant 120} \end{array}} ight.\left( {TM} ight)

    Xét cặp số (2; 2) thay vào bất phương trình ta thấy

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 \geqslant 0} \\ {2 \geqslant 0} \\ {2 + 2 \leqslant 80} \\ {2.2 + 2 \leqslant 120} \end{array}} ight.\left( {TM} ight)

    Xét cặp số (0; -1) thay vào bất phương trình ta thấy { - 1 \geqslant 0} (Loại)

    Vậy cặp số thỏa mãn hệ bất phương trình là: (1; 1), (2; 2)

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho x, y thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix}x+2y-100\leq 0\\ 2x+y-80\leq 0\\ x\geq0\\ y\geq0\end{matrix}ight.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x;y) = 40000x+30000y

     Biểu diễn miền nghiệm của hệ \left\{\begin{matrix}x+2y-100\leq 0\\ 2x+y-80\leq 0\\ x\geq0\\ y\geq0\end{matrix}ight.:

    Nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC với O(0;0); A(40;0);C(0;50) và tọa độ B là nghiệm của hệ \left\{\begin{matrix}x+2y-100\leq 0\\ 2x+y-80\leq 0\end{matrix}ight., suy ra B(20;40).

    Giá trị lớn nhất của P =40000x+30000y đạt được tại 1 trong 4 đỉnh của tứ giác.

    Với O(0;0) \Rightarrow P=0.

    Với A(40;0) \Rightarrow P=1600000.

    Với B(20;40)\Rightarrow P=2000000.

    Với C(0;50) \Rightarrow P=1500000.

    Vậy GTLN P=2000000.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong hệ trục tọa độ \left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} ight), tọa độ của vectơ \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} là

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0) \\ \overrightarrow{j} = (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = (1;1).

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho \overrightarrow{a} = ( - 5;0),\ \overrightarrow{b} = (4;x). Tìm x để hai vectơ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} cùng phương.

    Hai vectơ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} cùng phương \Leftrightarrow - 5.x = 0.4\overset{}{ightarrow}x = 0.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.

    Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)

    Diện tích trông rau là: 4 (ha)

    Đáp án là:

    Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.

    Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)

    Diện tích trông rau là: 4 (ha)

    Gọi diện tích trồng rau và hoa gia đình cần trồng lần lượt là: x,y (ha)

    Điều kiện: x,y \geq 0

    Số tiền cần bỏ ra để thuê người trồng hoa là 30y.100000 = 3000000y (trồng).

    Lợi nhuận thu được là

    f(x;y) = 1000000x + 12000000 - 3000000y

    \Rightarrow f(x;y) = 10000000x + 9000000y (đồng).

    Vì số công trồng rau không vượt quá 80 nên 20x \leq 80 \Leftrightarrow x \leq 4

    Ta có hệ bất phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} x + y \leq 10 \\ 0 \leq x \leq 4 \\ y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (*)

    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trên miền nghiệm của hệ (*).

    Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).

    Hình vẽ minh họa

    Hàm số f(x;y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x;y) là toạ độ của một trong các đỉnh O(0;0),A(4;0),B(4;6),C(0;10).

    => f(x;y) lớn nhất khi (x;y) = (4;6)

    Như vậy cần 4 ha trồng rau và 6 ha trồng để thu về lợi nhuận lớn nhất

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

    Chọn đáp án 2x + 3y < 5 vì theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

     Ta có: \cos 121^{\circ} =\cos -121^{\circ} vì \cos \alpha =\cos -\alpha.

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có AB = c;BC = a;AC = b. Cần điều kiện gì để các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức \cot^{2}\dfrac{A}{2} + \cot^{2}\dfrac{B}{2} +\cot^{2}\dfrac{C}{2} = 9?

    Theo định lí hàm số cos ta có:

    a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc.\cos A \geq2bc - 2bc\cos A = 4bc\sin^{2}\frac{A}{2}

    \Rightarrow \dfrac{1}{\sin^{2}\dfrac{A}{2}}\geq \dfrac{4bc}{a^{2}}

    \Rightarrow \cot^{2}\dfrac{A}{2} \geq\dfrac{4bc}{a^{2}} - 1

    Chứng minh tương tự ta có: \left\{\begin{matrix} \cot^{2}\dfrac{B}{2} \geq \dfrac{4ac}{b^{2}} - 1 \\ \cot^{2}\dfrac{C}{2} \geq \dfrac{4ac}{c^{2}} - 1 \\\end{matrix} ight.

    Do đó

    \cot^{2}\dfrac{A}{2} + \cot^{2}\dfrac{B}{2}+ \cot^{2}\dfrac{C}{2}

    \geq \dfrac{4bc}{a^{2}} - 1 +\dfrac{4ac}{b^{2}} - 1 + \dfrac{4ac}{c^{2}} - 1

    \geq\sqrt[3]{\dfrac{4bc}{a^{2}}\dfrac{4ac}{b^{2}}\dfrac{4ac}{c^{2}}} - 3 =9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tổng các nghiệm của phương trình \sqrt{x^{2} + 2x + 4} = \sqrt{2 - x} bằng:

    \sqrt{x^{2} + 2x + 4} = \sqrt{2 - x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 - x \geq 0 \\x^{2} + 2x + 4 = 2 - x \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \leq 2 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight..

    Vậy, tổng các nghiệm của phương trình là ( - 1) + ( - 2) = - 3.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Biết rằng tập hợp điểm M thỏa mãn 2MA^{2} + MB^{2} + 2MC^{2} + MD^{2} = 9a^{2} là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn.

    Ta có: 

    2MA^{2} + MB^{2} + 2MC^{2} + MD^{2} = 9a^{2}

    \Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight)^{2} + 2\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)^{2} = 9a^{2}

    \Leftrightarrow 6MO^{2} + 2OA^{2} + OB^{2} + 2OC^{2} + OD^{2}

    + 2\overrightarrow{MO}\left( 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight) = 9a^{2}

    Do 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 6MO^{2} + 3a^{2} = 9a^{2}

    \Leftrightarrow MO = a

    Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = a.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Chọn \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|. Vì AB = BC \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.

  • Câu 41: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số y = \sqrt{x - 1} là:

    Hàm số y = \sqrt{x - 1} xác định  ⇔ x − 1 ≥ 0  ⇔ x ≥ 1.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    ABCD là hình vuông \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{CB} \Rightarrow \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tập nghiệm của phương trình \sqrt{2x - 3} = x - 3?

    Ta có:

    \sqrt{2x - 3} = x - 3

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 \geq 0 \\ 2x - 3 = (x - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 3 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 6

    Vậy tập nghiệm phương trình là: S = \left\{ 6 ight\}

  • Câu 44: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    x = 3 \in (2;3brack nhưng x = 3 otin (2;3) \Rightarrow A sai.

    x = 2 \in \lbrack 2;3brack nhưng x = 2 otin (2;3brack \Rightarrow C sai.

    x = 3 \in \lbrack 2;3brack nhưng x = 3 otin \lbrack 2;3) \Rightarrow D sai.

  • Câu 45: Vận dụng

    Tam giác ABC có AB = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2},\ \ BC = \sqrt{3},\ \ CA = \sqrt{2}. Gọi D là chân đường phân giác trong góc \widehat{A}. Khi đó góc \widehat{ADB} bằng bao nhiêu độ?

    Theo định lí hàm cosin, ta có:

    \begin{matrix} \cos\widehat{BAC} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2.AB.AC} = - \frac{1}{2} \\ \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \widehat{BAC} = 120{^\circ} \Rightarrow \widehat{BAD} = 60{^\circ}

    \cos\widehat{ABC} = \frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2.AB.BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{ABC} = 45{^\circ}

    Trong \Delta ABD có \widehat{BAD} = 60{^\circ},\ \ \widehat{ABD} = 45{^\circ} \Rightarrow \widehat{ADB} = 75{^\circ}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 68 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập