Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

 Ta có: (2 vectơ đối nhau).

Bất phương trình

Vì x² ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình

Phương trình và

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−3 ; −2) ∪ [ − 1 ; 1].

Kết hợp với x ∈ ℤ ta được x = {−1 ; 0 ; 1}.

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm.

Câu “Số nguyên dương là số tự nhiên khác 0.” và “Tổng các góc của một tam giác là ” là mệnh đề.

Ta có: .

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [−1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.

Hệ này vô nghiệm.

Điều kiện:

Phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện ra được thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là:

Vì là trung điểm của nên

Với (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn được gọi là: Độ dài của

Cho hai tập hợp và . Nếu là tập con của thì hiệu  gọi là phần bù của trong , kí hiệu .

Nếu tam giác ABC có thì là góc nhọn

Đó là các vectơ: .

Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là  − 1 và 2. Suy ra A(−1;0), B(2;0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng  − 2. Suy ra C(0;−2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

.

Vậy (P) : y = x² − x − 2.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

Thử trực tiếp ta thấy là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng

Chọn đáp án .

Ta có

Bảng xét dấu của  − x² + 5x − 6

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là điểm thuộc miền trong tam giác ABC, dựng các vectơ dựng hình chữ nhật DGHE ta có:

Ta lại có:

Mặt khác

=> Ba điểm H, D, F thẳng hàng.

Khi đó:

Gọi tọa độ điểm C là

Vì điểm đối xứng với điểm qua suy ra là trung điểm của

Vậy tọa độ điểm C cần tìm là .

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).

 Ta có: .

Xét điểm Vì nên miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm

Do tam giác vuông tại , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông là nên là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.

Ta có .

Trong có là đường cao

.

Vì là mệnh đề đúng nên cặp số là nghiệm của bất phương trình .

Tập con có phần tử của là:

có tập con có phần tử.

Ta có:

Khẳng định sai là: " , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)"

Sửa lại là " , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)".

Ta có và

Xét tỉ số và không cùng phương. Loại và ngược hướng.

Xét tỉ số không cùng phương. Loại cùng phương.

Xét tỉ số và cùng hướng. Chọn và cùng hướng.

Tọa độ trung điểm của AB là:

Vì là trung điểm nên

Suy ra

Ta có: . (hình vuông cạnh thì đường chéo bằng ).

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Ta thấy điểm thỏa mãn cả 4 phươn trình trong hệ.

Gọi là trọng tâm của tam giác , ta có .

Thay vào ta được : , hay tập hợp các điểm là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng .

Mệnh đề kéo theo được kí hiệu là:

Ta có: (I là trung điểm của BC)

=> Qũy tích điểm M là đường tròn đường kính IA.

Phương trình .

Phương trình đã cho có hai nghiệm  ⇔ (*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng đồ thị hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên . Ta có

+ TH1: Nếu thì hàm số đồng biến trên nên m ≤ 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu :

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Vì  − m² + 8m − 28 =  − (m−4)² − 12 < 0,  ∀m nên

(thỏa mãn m > 1).

Vậy là giá trị cần tìm.

Ta thấy là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình.

 Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α

Ta có .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu .

Ta có:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Điều kiện: .

.

Đặt , .

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Ta có

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng .