Cho tam giác
có
. Số đo của
là:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
Cho tam giác
có
. Số đo của
là:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
Giá trị
thoả mãn
gần nhất với giá trị:
Để tìm α khi biết tanα = 1,607 thì ta sử dụng máy tính cầm tay và tính được: α ≈ 58°.
Vậy α ≈ 58°
Cho hình bình hành
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Do là hình bình hành nên
Suy ra
Anh T dự định trồng cà phê và hạt tiêu trên một mảnh đất có diện tích 8ha. Nếu trồng 1ha cà phê thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1ha hạt tiêu thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Anh T cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, anh T chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng hai loại cây.
Gọi là số hecta đất trồng cà phê và
là số hecta đất trồng hạt tiêu.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với như sau:
Hiển nhiên .
Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên .
Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên .
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ , ta được miền tứ giác
(Hình).
Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: .
Gọi là số tiền (đơn vị: triệu đồng) anh T thu được, ta có:
.
Ta phải tìm thoả mãn hệ bất phương trình sao cho
đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
trên miền tứ giác
.
Tính các giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tại
Tại
Tại
Tại
đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại
.
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, anh T cần trồng 6ha cà phê và 2ha hạt tiêu.
Trong các cặp số sau, cặp số nào không là nghiệm của hệ bất phương trình ![]()
Thay cặp số vào hệ ta được
không thỏa mãn bất phương trình ở dưới. Do đó cặp số này không là nghiêm của hệ.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm C có tọa độ là C(‒2; ‒5). Biểu diễn vectơ
theo các vectơ đơn vị là
Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có điểm cuối cung
thuộc góc phần tư thứ
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
Tính tích vô hướng ![]()
Ta có: và
Vậy
Cho tam giác
đều cạnh
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Độ dài các cạnh của tam giác là thì độ dài các vectơ
.
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm
và
. Mỗi sản phẩm
bán lãi
nghìn đồng, mỗi sản phẩm
bán lãi
nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm
thì Chiến phải làm việc trong
giờ, Bình phải làm việc trong
giờ. Để sản xuất được một sản phẩm
thì Chiến phải làm việc trong
giờ, Bình phải làm việc trong
giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá
giờ và Bình không thể làm việc quá
giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
Gọi ,
lần lượt là số sản phẩm loại
và loại
được sản xuất ra. Điều kiện
,
nguyên dương.
Ta có hệ bất phương trình sau:
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là .
Ta thấy đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm
,
,
. Vì
có tọa độ không nguyên nên loại.
Tại thì
triệu đồng.
Tại thì
triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là triệu đồng.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Giả sử trường hợp
=> Điểm A và điểm B trùng nhau.
=> Có thể xảy ra trường hợp này.
=> Mệnh đề sai là
Có bao nhiêu câu là mệnh đề trong các câu sau:
(1) Môn toán khó quá!
(2) Bạn có đói không?
(3)
hoặc ![]()
(4) ![]()
Câu (1) là câu cảm thán, câu (2) là câu nghi vấn nên không phải mệnh đề.
Các câu còn lại là mệnh đề.
Có
câu là mệnh đề.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Ta có: là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biết phương trình
có một nghiệm có dạng
, trong đó a, b, c là các số nguyên tố. Tính S = a + b + c.
Điều kiện:
Với điều kiện trên, phương trình tương đương
⇔ x2 − 3x + 1 = 0
hoặc
Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm .
Vậy a = 3, b = 5, c = 2 nên S = a + b + c = 10.
Phương trình
có mấy nghiệm nguyên ?
Đặt . Phương trình đã cho trở thành:
Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên.
Cho mệnh đề
“
”. Mệnh đề phủ định của
là:
Phủ định của là
.
Phủ định của là
.
Mệnh đề phủ định của :
.
Miền nghiệm của bất phương trình
chứa điểm nào sau đây?
Xét điểm Vì
nên miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm
Gọi
là các trung tuyến của tam giác
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có
Suy ra
Do đó .
Tập nghiệm S của bất phương trình
là:
Ta có: .
Suy ra .
Xác định parabol (P) : y = ax2 + bx + c, biết rằng (P) có đỉnh I(2;−1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng − 3.
Vì (P) có đỉnh I(2;−1) nên ta có . (1)
Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng − 3. Suy ra A(0;−3).
Theo giả thiết, A(0;−3) thuộc (P) nên a.0 + b.0 + c = − 3 ⇔ c = − 3. (2)
Từ (1) và (2), ta có .
Vậy .
Đồ thị của hàm số
đi qua điểm nào sau đây:
Thử lần lượt từng phương án với chú ý về điều kiện ta được:
f(0) = 2.0 + 1 = 1 ≠ − 3, đồ thị không đi qua điểm (0; −3).
f(3) = − 3 ≠ 7, đồ thị không đi qua điểm (3; 7).
f(2) = 2.2 + 1 = 5 ≠ − 3, đồ thị không đi qua điểm (2; −3).
f(0) = 2.0 + 1 = 1, đồ thị đi qua điểm (0; 1).
Tập xác định của hàm số
là:
ĐKXĐ:
+) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x2 − 2(m+1)x + m2 + 1
Ta có af = 2 > 0, Δf′ = ... = − (m−1)2 ≤ 0
Suy ra với mọi m ta có f(x) = 2x2 − 2(m+1)x + m2 + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ(1)
+) Xét tam thức bậc hai g(x) = m2x2 − 2mx + m2 + 2
Với m = 0 ta có g(x) = 2 > 0, xét với m ≠ 0 ta có:
ag = m2 > 0, Δg′ = − m2(m2+1) < 0.
Suy ra với mọi m ta có g(x) = m2x2 − 2mx + m2 + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ (2)
Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì và m2x2 − 2mx + m2 + 2 ≠ 0 đúng với mọi giá trị của x.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Cho tam giác
có
là trung điểm của
là trọng tâm của tam giác
Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
Vì
là trung điểm của
nên
Do đó
Cho tam giác
, kẻ đường cao
và
. Gọi
là trung điểm của
,
là điểm thỏa mãn
và
. Khi đó độ dài vectơ
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa

Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, ta có:
Nên K thuộc đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng CE, mặt khác
Suy ra K là giao điểm của a và đường tròn tâm A bán kính .
Điểm K cần tìm là N hoặc P
Ta có: .
Tìm tất cả các giá trị của m để tam thức
luôn dương với
.
Để tam thức luôn dương với
:
Xét ta có bảng xét dấu như sau:

Kết hợp các điều kiện ta được
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Ta thấy điểm thỏa mãn cả 4 phươn trình trong hệ.
Để đo khoảng cách từ một điểm
trên bờ sông đến gốc cây
trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm
cùng ở trên bờ với
sao cho từ
và
có thể nhìn thấy điểm
. Ta đo được khoảng cách
,
và
.Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách
gần nhất với giá trị nào sau đây?

Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có
Vì nên
Tam giác
có
và
. Tính độ dài cạnh
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
Trên đường thẳng
lấy điểm
sao cho
. Điểm
được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:

Ta có nên
và
và
ngược hướng.
Cho tam thức bậc hai f(x) = 5x − x2 − 6. Tìm x để f(x) ≥ 0.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].
Cho hệ bất phương trình
có tập nghiệm
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Ta có: . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.
Hệ này vô nghiệm.
Trong tam giác ABC có
và
. Tính độ dài cạnh BC.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Xác định parabol (P) : y = 2x2 + bx + c, biết rằng (P) đi qua điểm M(0;4) và có trục đối xứng x = 1.
Ta có
Trục đối xứng
Vậy (P) : y = 2x2 − 4x + 4.
Cho hai điểm
,
. Tìm
trên tia Ox sao cho
.
Gọi , với
.
Khi đó .
Theo yêu cầu đề bài ta có
.
Cho
Tập hợp
bằng
Tập hợp gồm những phần tử thuộc
nhưng không thuộc
Cho
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có và
Xét tỉ số và
không cùng phương. Loại đáp án
và
ngược hướng.
Xét tỉ số không cùng phương. Loại đáp án Hai vectơ
đối nhau.
Xét tỉ số và
cùng hướng.
Chọn đáp án và
cùng hướng.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = 4x2 − 4mx + m2 − 2m trên đoạn [ − 2; 0] bằng 3. Tính tổng T các phần tử của S.
Parabol có hệ số theo x2 là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh .
• Nếu thì xI < − 2 < 0 . Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [ − 2; 0].
Do đó min[ − 2; 0]f(x) = f(−2) = m2 + 6m + 16.
Theo yêu cầu bài toán: m2 + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm).
• Nếu thì xI ∈ [0; 2]. Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
Do đó .
Theo yêu cầu bài toán (thỏa mãn − 4 ≤ m ≤ 0).
• Nếu thì xI > 0 > − 2. Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [ − 2; 0].
Do đó min[ − 2; 0]f(x) = f(0) = m2 − 2m.
Theo yêu cầu bài toán:
Vậy
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?
Đáp án là đáp án đúng vì hàm số bậc hai có dạng
Cho tam giác
có
và các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức:
. Khi đó tam giác
là tam giác gì?
Ta có:
Ta lại có:
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Cho
và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn ![]()
Có một và chỉ một điểm D thỏa mãn
Cho tập hợp A biểu thị trên trục số như hình dưới. Chọn khẳng định đúng:

Tập hợp A biểu thị trên trục số là nửa khoảng
Giá trị biểu thức
là:
Ta có:
Cho hai vectơ
và
đều khác vectơ
Tích vô hướng của
và
được xác định bằng công thức nào dưới đây?
Cho hai vectơ và
đều khác vectơ
Tích vô hướng của
và
là một số, kí hiệu là
được xác định bởi công thức sau:
.
Tìm tập xác định của hàm số
.
Hàm số xác định .
Vậy tập xác định: .
Cho
Tìm
để hai vectơ
cùng phương.
Hai vectơ cùng phương