Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 10 Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho $A = \left\{ 0;2;3;4 ight\},$ $B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}.$ Tập hợp $A\setminus B$ bằng
- A.
  $\left\{ 0 ight\}.$
- B.
  $\left\{ 0;1 ight\}.$
- C.
  $\left\{ 1;2 ight\}.$
- D.
  $\left\{ 1;5 ight\}.$
Tập hợp $A\backslash B$ gồm những phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$

$\Rightarrow A\backslash B = \left\{ 0 ight\}.$
Câu 2: Nhận biết
Cho bất phương trình $3x + 2 + 2(y – 2) < 2(x + 1)$ miền nghiệm của bất phương trình không chứa điểm nào sau đây?
- A.
  (0; 0);
- B.
  (1; 1);
- C.
  (1; – 1);
- D.
  (4; 2).
Thay điểm (4; 2) vào bất phương trình, ta được: 14 < 10 (sai). Do đó điểm này không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Câu 3: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = \frac{12}{13}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Tính $\cos\alpha.$
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{13}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{5}{13}.$
- C.
  $\cos\alpha = - \frac{5}{13}.$
- D.
  $\cos\alpha = - \frac{1}{13}.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{5}{13} \\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{5}{13}.$
Câu 4: Thông hiểu
Cho hàm số: $y = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x - 1} & x \leq 0 \\ \sqrt{x + 2} & x > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Tập xác định của hàm số là tập hợp nào sau đây?
- A.
  [ − 2; + ∞)
- B.
  ℝ
- C.
  ℝ ∖ {1}
- D.
  {x ∈ ℝ∖x≠1 và x≥−2 }
Với x ≤ 0 ta có: $y = \frac{1}{x - 1}$ xác định với mọi x ≠ 1 nên xác định với mọi x ≤ 0.

Với x > 0 ta có: $y = \sqrt{x + 2}$ xác định với mọi x ≥ − 2 nên xác định với mọi x > 0.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Câu 5: Thông hiểu
Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ thỏa mãn $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{CD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CD} ight|.$
- D.
  $ABCD$ là hình bình hành.
Phải suy ra $ABDC$ là hình bình hành (nếu $A,\ B,\ C,\ D$ không thẳng hàng) hoặc bốn điểm $A,\ B,\ C,\ D$ thẳng hàng.

Đáp án sai là $ABCD$ là hình bình hành.
Câu 6: Thông hiểu
Cho bất phương trình $2x + 3y - 6 \leq 0$ (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  Bất phương trình $(1)$ chỉ có một nghiệm duy nhất.
- B.
  Bất phương trình $(1)$ vô nghiệm.
- C.
  Bất phương trình $(1)$ luôn có vô số nghiệm.
- D.
  Bất phương trình $(1)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ .
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $(d):2x+ 3y - 6 = 0$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn điểm $O(0;0)$ không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy $(x;y) = (0;0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $(d)$ chứa điểm $O(0;0)$ kể cả $(d)$ .

Vậy bất phương trình $(1)$ luôn có vô số nghiệm.
Câu 7: Thông hiểu
Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?
- A.
  $f(x) = - x^{2} + 5x - 6$
- B.
  $f(x) = x^{2} + 5x - 6$
- C.
  $f(x) = x^{2} - 5x - 6$
- D.
  $f(x) = - x^{2} - 5x + 6$
Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x = 2;x = 3$ và $f(x) > 0$ khi $x \in (2;3)$

Do đó $f(x) = - x^{2} + 5x - 6$
Câu 8: Vận dụng
Tam giác $MPQ$ vuông tại $P$ . Trên cạnh $MQ$ lấy hai điểm $E,\ \ F$ sao cho các góc $\widehat{MPE},\ \ \widehat{EPF},\ \ \widehat{FPQ}$ bằng nhau. Đặt $MP = q,\ \ PQ = m,\ \ PE = x,\ \ PF = y$ . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
- A.
  $ME = EF = FQ.$
- B.
  $ME^{2} = q^{2} + x^{2} - xq.$
- C.
  $MF^{2} = q^{2} + y^{2} - yq.$
- D.
  $MQ^{2} = q^{2} + m^{2} - 2qm.$
Ta có $\widehat{MPE} = \widehat{EPF} = \widehat{FPQ} = \frac{\widehat{MPQ}}{3} = 30{^\circ}$ $\Rightarrow \widehat{MPF} = \widehat{EPQ} = 60{^\circ}$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có

$ME^{2} = AM^{2} + AE^{2} - 2.AM.AE.cos\widehat{MAE}$

$= q^{2} + x^{2} - 2qx.cos30{^\circ}$ $= q^{2} + x^{2} - qx\sqrt{3}$

$MF^{2} = AM^{2} + AF^{2} - 2AM.AF.cos\widehat{MAF}$

$= q^{2} + y^{2} - 2qy.cos60{^\circ}$ $= q^{2} + y^{2} - qy$

$MQ^{2} = MP^{2} + PQ^{2} = q^{2} + m^{2}$ .
Câu 9: Vận dụng
Tập xác định của hàm số $y = \frac{mx}{\left( 2m^{2} + 1 ight)x^{2} - 4mx + 2}$ là:
- A.
  D = ℝ.
- B.
  D = ℝ ∖ {1}
- C.
  D = (−∞ ; 1)
- D.
  D = (1 ; +∞)
ĐKXĐ: (2m²+1)x² − 4mx + 2 ≠ 0.

Xét tam thức bậc hai f(x) = (2m²+1)x² − 4mx + 2.

Ta có a = 2m² + 1 > 0,  Δ′ = 4m² − 2(2m²+1) = − 2 < 0.

Suy ra với mọi m ta có f(x) = (2m²+1)x² − 4mx + 2 > 0  ∀x ∈ ℝ.

Do đó với mọi m ta có (2m²+1)x² − 4mx + 2 ≠ 0,  ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Câu 10: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ bốn điểm $A(1;2),B( - 1;3)$ , $C( - 2; - 1),D(0; - 2)$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $ABCD$ là hình vuông
- B.
  $ABCD$ là hình chữ nhật
- C.
  $ABCD$ là hình thoi
- D.
  $ABCD$ là hình bình hành
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AD} = ( - 1; - 4) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 1; - 4) \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $ABCD$ là hình bình hành.
Câu 11: Thông hiểu
Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow{a}=(-5;0),\overrightarrow{b}=(4;x)$ . Tìm x để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- A.
  x = –5
- B.
  x = 4
- C.
  x = 0
- D.
  x = –1
Để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương thì
$\begin{matrix}{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 5.x - 0.4 = 0 \hfill \\ \Rightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu $\forall$ hoặc $\exists$ : “Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó”.
- A.
  $\forall x \in Z,\ x.1 = x$ .
- B.
  $\forall x \in R,\ x.1 = x$ .
- C.
  $\exists x \in Z,\ x.1 = x$ .
- D.
  $\exists x \in R,\ x.1 = x$ .
Mệnh đề được viết lại bằng kí hiệu: $\forall x \in R,\ x.1 = x$ .
Câu 13: Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - x - 12 \leq 0$ là?
- A.
  $\lbrack - 3;4brack$
- B.
  $( - 3;4)$
- C.
  $( - \infty; - 3) \cup (4; + \infty)$
- D.
  $( - \infty; - 3brack \cup \lbrack 4; + \infty)$
Ta có $f(x) = x^{2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $f(x) \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 4$ .
Câu 14: Vận dụng
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = y - x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ \begin{matrix} y - 2x \leq 2 \\ 2y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $\min F = 1$ khi $x = 2$ , $y = 3$ .
- B.
  $\min F = 2$ khi $x = 0$ , $y = 2$ .
- C.
  $\min F = 3$ khi $x = 1$ , $y = 4$ .
- D.
  $\min F = 0$ khi $x = 0$ , $y = 0$ .
Miền nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix} y - 2x \leq 2 \\ 2y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \\ \end{matrix} ight.$ là miền trong của tam giác $ABC$ kể cả biên

Ta thấy $F = y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A$ , $B$ , $C$ .

Tại $A(0;\ 2)$ thì $F = 2$ .

Tại $B(1;\ 4)$ thì $F = 3$

Tại $A(2;\ 3)$ thì $F = 1$ .

Vậy $\min F = 1$ khi $x = 2$ , $y = 3$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $AB = c;BC = a;AC = b$ và các góc của tam giác thỏa mãn biểu thức:

$\left\{ \begin{matrix}\sin\widehat{B}.\sin\widehat{C} = \dfrac{3}{4} \\a^{2} = \dfrac{a^{3} - b^{3} - c^{3}}{a - b - c} \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó tam giác $ABC$ là tam giác gì?
- A.
  Tam giác cân
- B.
  Tam giác đều
- C.
  Tam giác vuông
- D.
  Tam giác vuông cân
Ta có:

$a^{2} = \frac{a^{3} - b^{3} - c^{3}}{a - b - c}$

$\Leftrightarrow a^{2}(a - b - c) = a^{3} - b^{3} - c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{2}(a + b) = (b + c)\left( b^{2} - bc + c^{2} ight)$

$\Leftrightarrow a^{2} = b^{2} - bc + c^{2}$

$\Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} = bc$

$\Leftrightarrow \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos\widehat{A} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \widehat{A} = \frac{\pi}{3}(*)$

Ta lại có:

$\sin\widehat{B}.sin\widehat{C} = \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \cos\left( \widehat{B} - \widehat{C} ight) - \cos\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight) = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \cos\left( \widehat{B} - \widehat{C} ight) + \cos\widehat{A} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \cos\left( \widehat{B} - \widehat{C} ight) = 1$

$\Leftrightarrow \widehat{B} - \widehat{C} = 0 \Leftrightarrow \widehat{B} = \widehat{C}$

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 16: Thông hiểu
Tam giác $ABC$ có đoạn thẳng nối trung điểm của $AB$ và $BC$ bằng $3$ , cạnh $AB = 9$ và $\widehat{ACB} = 60{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh cạnh $BC$ .
- A.
  $BC = 3 + 3\sqrt{6}.$
- B.
  $BC = 3\sqrt{6} - 3.$
- C.
  $BC = 3\sqrt{7}.$
- D.
  $BC = \frac{3 + 3\sqrt{33}}{2}.$
Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ BC$ .

$\overset{}{ightarrow}MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ .

$\overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}AC$ . Mà $MN = 3$ , suy ra $AC = 6$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{ACB}$

$\Leftrightarrow 9^{2} = 6^{2} + BC^{2} - 2.6.BC.cos60{^\circ}$

$\Rightarrow BC = 3 + 3\sqrt{6}$
Câu 17: Vận dụng cao
Phương trình $\sqrt{x^{2} + 3} + \sqrt{10 - x^{2}} = 5$ có mấy nghiệm ?
- A.
  1.
- B.
  3.
- C.
  2.
- D.
  4.
Đặt $u = \sqrt{x^{2} + 3}\ \ ;\ \ v = \sqrt{10 - x^{2}}\ \ \ \ (u\ ,\ v \geq 0)$ . Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} u + v = 5 \\ u^{2} + v^{2} = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u + v = 5 \\ u.v = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} u = 2 \\ v = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} u = 3 \\ v = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Với $\left\{ \begin{matrix} u = 2 \\ v = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = \pm 1$ .

Với $\left\{ \begin{matrix} u = 3 \\ v = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}$ .

Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Câu 18: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{BC}=0$ là:
- A.
  một điểm
- B.
  đường thẳng
- C.
  đoạn thẳng
- D.
  đường tròn.
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } ight|.\left| {\overrightarrow {BC} } ight|\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = {90^0} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \Leftrightarrow MA \bot BC \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Câu 19: Thông hiểu
Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AF}$
- C.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FA} = \overrightarrow 0$ .
Câu 20: Nhận biết
Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y < 0 \\ x - 3y > - 2 \\ y - x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ chứa điểm nào sau đây?
- A.
  $A(3;0)$ .
- B.
  $B( - 2;3)$ .
- C.
  $C(0; - 1)$ .
- D.
  $D(0;1).$
Với $C(0; - 1)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 0 + 2. - 1 < 0 \\ 0 - 3.( - 1) > - 2 \\ - 1 - 0 < 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Cả ba bất phương trình đều thỏa mãn. Chọn đáp án này.
Câu 21: Nhận biết
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 2}{x(x - 1)}$ ?
- A.
  M(0;−1)
- B.
  M(2;1)
- C.
  M(2;0)
- D.
  M(1;1)
Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.
Câu 22: Thông hiểu
Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} \frac{5x}{2} + \frac{4y}{3} - 1 \geq 0 \\ y > 0 \\ 2x - \frac{3y}{2} > 5 \\ \end{matrix} ight.$ chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
- A.
  $O(0;0)$
- B.
  $M(3;1)$
- C.
  $N( - 1;0)$
- D.
  $P(5;2)$
Với $P(5;2)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \frac{5.5}{2} + \frac{4.2}{3} - 1 \geq 0 \\ 2 > 0 \\ 2.5 - \frac{3.2}{2} > 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Cả ba bất phương trình đều đúng. Chọn đáp án này.
Câu 23: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 24: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thoả mãn: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Khi đó $M$ là trung điểm của:
- A.
  $AB$ .
- B.
  $BC$ .
- C.
  $AD$ .
- D.
  $CD$ .
Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $AD$ .
Câu 25: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 12,AC = 13,BC = 5$ . Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $S = 30$ .
- B.
  $S = 40$ .
- C.
  $S = 50$ .
- D.
  $S = 60$ .
Ta có: $BA^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại B.

Diện tích tam giác là: $S = \frac{1}{2}BA \cdot BC = 30$ .
Câu 26: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0}$ . Gọi các vectơ $\overrightarrow{\alpha};\overrightarrow{\beta};\overrightarrow{\lambda}$ theo thư tự là các vectơ có giá vuông góc với các đường thẳng $AB.AC,BC$ và $\left| \overrightarrow{\alpha} ight| = AB;\left| \overrightarrow{\beta} ight| = AC;\left| \overrightarrow{\lambda} ight| = BC$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda}$ , biết $AB = 3,AC = 4$ .
- A.
  $0$
- B.
  $5$
- C.
  $8$
- D.
  $10$
Hình vẽ minh họa:

Gọi D là điểm thuộc miền trong tam giác ABC, dựng các vectơ $\overrightarrow{\alpha} = \overrightarrow{DG};\overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DE};\overrightarrow{\lambda} = \overrightarrow{DF}$ dựng hình chữ nhật DGHE ta có: $\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} = \overrightarrow{DH}$

Ta lại có: $\Delta GDH = \Delta ABC \Rightarrow \widehat{GDH} = \widehat{ABC}$

Mặt khác $\widehat{GDF} + \widehat{ABC} = 180^{0}$

$\Rightarrow \widehat{GDF} + \widehat{GDH} = 180^{0}$

=> Ba điểm H, D, F thẳng hàng.

Khi đó: $\left| \overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\lambda} ight| = \left| \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{FD} ight| = \left| \overrightarrow{FH} ight| = 10$
Câu 27: Thông hiểu
Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y \geq 9 \\ 2x \geq y - 3 \\ 2y \geq x \\ y \leq 6 \\ \end{matrix} ight.$ chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
- A.
  $O(0;0)$
- B.
  $M(1;2)$
- C.
  $N(2;1)$
- D.
  $P(8;4)$
Với $P(8;4)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 8 + 4 \geq 9 \\ 2.8 \geq 4 - 3 \\ 2.4 \geq 8 \\ 4 \leq 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Cả 4 bất phương trình đều đúng. Chọn đáp án này.
Câu 28: Nhận biết
Tìm phát biểu là mệnh đề.
- A.
  Tôi cảm thấy rất mệt!.
- B.
  Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
- C.
  Bạn có thích học môn Toán không?
- D.
  Chơi bóng đá rất vui.
Ta có:
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hay sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Suy ra “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.” là mệnh đề.
Câu 29: Nhận biết
Tập nghiệm $S$ của phương trình $\sqrt{2x-3}=x-3$ là:
- A.
  $S=\{6;2\}$
- B.
  $S=\{2\}$
- C.
  $S=\{6\}$
- D.
  $S=\varnothing$
Ta có: $\sqrt{2x-3}=x-3 \Rightarrow$ ${2x-3}= (x-3)^2 \Leftrightarrow x^2-8x+12=0 \Leftrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} ight.$ .
Thử lại thấy $x=2$ không thỏa mãn.
Vậy $S= \{6\}$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình $2x-\sqrt{x-8}=\sqrt{8-x}+16$ là:
- A.
  S = ⌀.
- B.
  S = {1}.
- C.
  S = {8}.
- D.
  S = {⌀}.
Xét phương trình: $2x - \sqrt{x - 8} =\sqrt{8 - x} + 16.$ (1)
Điều kiện : $\left\{ \begin{matrix}x - 8 \geq 0 \\8 - x \geq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq 8 \\x \leq 8 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 8.$
Thay x = 8 ta thấy (1) thoả mãn. Vậy, phương trình (1) có tập nghiệm là S = {8}.
Câu 31: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $90^{O} < \alpha < 180^{O}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cot\alpha = - \frac{4}{5}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{4}{5}.$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{5}{4}.$
- D.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{4}{5} \\ 90{^\circ} < \alpha < 180{^\circ} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
Câu 32: Nhận biết
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
- A.
  $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{BI}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
Nhận xét: $\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0$ .
Câu 33: Vận dụng cao

Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?

Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)

Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)

Đáp án là:

Gia đình bác Tuân dự định trồng cà phê và sầu riêng trên diện tích 8 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng sầu riêng thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất biết rằng tổng số công không quá 180?

Diện tích trồng cà phê là: 6 (ha)

Diện tích trồng sầu riêng là: 2 (ha)

Gọi diện tích trồng cà phê và sầu riêng mà hộ gia đình này trồng lần lượt là $x$ và $y$ (ha)

Điều kiện: $x,y \geq 0$

Lợi nhuận thu được là $f(x;y) = 3000000x + 4000000y$ (đồng).

Tổng số công dùng để trồng $x$ ha cà phê và $y$ ha sầu riêng là $20x + 30y$ .

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + y \leq 8 \\ 20x + 30y \leq 180 \\ x,y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y \leq 8 \\ 2x + 3y \leq 18 \\ x,y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$ là tứ giác $OABC$ (kể cả biên)

Hình vẽ minh họa

Hàm số $f(x;y)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất khi $(x;y)$ là tọa độ của một trong các đỉnh $O(0;0),A(8;0),B(6;2),C(0;6)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0;0) = 0 \\ f(8;0) = 24000000 \\ f(6;2) = 26000000 \\ f(0;6) = 2400000 \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $f(x;y)$ lớn nhất khi $(x;y) = (6;2)$

Vậy hộ gia đình này cần phải trồng 6 ha cà phê và 2 ha sầu riêng thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất.
Câu 34: Nhận biết
Cho biết $\tan\alpha = \frac{1}{2}$ . Tính $\cot\alpha$ .
- A.
  $\cot\alpha = 2$ .
- B.
  $\cot\alpha = \frac{1}{4}$ .
- C.
  $\cot\alpha = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $\cot\alpha = \sqrt{2}$ .
Ta có: $\tan\alpha.cot\alpha = 1 \Rightarrow$ $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ .
Câu 35: Vận dụng cao
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên
- A.
  y = x² − 3x − 3.
- B.
  y = − x² + 5|x| − 3.
- C.
  y = − x² − 3|x| − 3.
- D.
  y = − x² + 5x − 3.
Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y = − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y = − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là $\left( \frac{5}{2};\frac{13}{4} ight)$ , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y = − x² + 5|x| − 3.
Câu 36: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 37: Vận dụng
Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Tính $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight|.$
- A.
  $a.$
- B.
  $\left( 1 + \sqrt{2} ight)a.$
- C.
  $a\sqrt{5}.$
- D.
  $2a\sqrt{2}.$
Gọi $C$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A \Rightarrow OC = 2a.$ Tam giác $OBC$ vuông tại $O,$ có $BC = \sqrt{OB^{2} + OC^{2}} = a\sqrt{5}.$

Ta có $2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BC},$ suy ra $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = a\sqrt{5}.$
Câu 38: Nhận biết
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x² − 4x + 5 trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).
- B.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).
- C.
  Hàm số đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞).
- D.
  Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).
Xét f(x) = x² − 4x + 5.

TXĐ: D = ℝ.

Tọa độ đỉnh I(2; 1).

Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).
Câu 39: Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - 2m|x| + 9 - m = 0$ . Tìm $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt?

Đáp án: 9

Đáp án là:

Cho phương trình $x^{2} - 2m|x| + 9 - m = 0$ . Tìm $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt?

Đáp án: 9

Đặt $|x| = t(t \geq 0)$ thì phương trình $(*)$ trở thành: $t^{2} - 2mt + 9 - m = 0$ (1)

Để phương trình $(*)$ có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có nghiệm $t = 0$ và một nghiệm $t > 0$ .

Khi $t = 0 \Rightarrow m = 9$ thì $(1) \Leftrightarrow t^{2} - 18t = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 18 > 0\ \ (TM) \\ t = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $m = 9$
Câu 40: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a} = (3; - 4),\ \overrightarrow{b} = ( - 1;2).$ Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.$
- A.
  $( - 4;6).$
- B.
  $(2; - 2).$
- C.
  $(4; - 6).$
- D.
  $( - 3; - 8).$
Ta có $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 3 + ( - 1); - 4 + 2 ight) = (2; - 2).$
Câu 41: Thông hiểu
Đồ thị hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
- A.
  y = − x² + 3x − 1.
- B.
  y = − 2x² + 3x − 1.
- C.
  y = 2x² − 3x + 1.
- D.
  y = x² − 3x + 1.
Nhận xét:

Parabol có bề lõm hường lên.

Parabol cắt trục hoành tại điểm (1;0). Xét các đáp án, đáp án y = 2x² − 3x + 1. thỏa mãn.
Câu 42: Thông hiểu
Một tam giác có ba cạnh là $52,\ 56,\ 60$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là:
- A.
  $\frac{65}{4}$
- B.
  40
- C.
  32,5
- D.
  65,8
Ta có: $p = \frac{52 + 56 + 60}{2} = 84$ .

Áp dụng hệ thức Hê - rông ta có:

$S = \sqrt{84 \cdot (84 - 52) \cdot (84 - 56) \cdot (84 - 60)} = 1344$ .

Mặt khác $S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4S\ } = \frac{52.56.60}{4.1344} = 32.5$
Câu 43: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$
- C.
  $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$
Xét đáp án $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$ Ta có $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP}$ . Vậy đáp án này đúng.
Câu 44: Vận dụng
Trong mặt phẳng Oxy cho $A( - 1;1)$ , $B(1;3)$ , $C(1; - 1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng.
- A.
  $\overrightarrow {AB}=(-4;2)$ , $\overrightarrow{BC} = (2; - 4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{BC}$ .
- C.
  Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ .
- D.
  Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ .
Do $\overrightarrow{AB} = (2;2)$ nên loại đáp án $\overrightarrow {AB}=(-4;2)$ .

Do $\overrightarrow{AB} = (2;2)$ , $\overrightarrow{BC} = (0; - 4)$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 8$ suy ra $\overrightarrow{AB}$ không vuông góc $\overrightarrow{BC}$ nên loại đáp án $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{BC}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;2)$ , $\overrightarrow{AC} = (2; - 2)$ , $\overrightarrow{BC} = (0; - 4)$ , suy ra $AB = AC = \sqrt{8}$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ . Do đó tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ .
Câu 45: Thông hiểu
Xác định tập hợp sau đây trên trục số: $C = \left( {7;12} ight] \cap \left( { - \infty ;9} ight]$ :
- A.
- B.
- C.
- D.
Xác định tập hợp trên trục số như sau:

68 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!