Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 10 Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$ , chiều dài của hàng rào $MP$ là $230m$ . Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MP$ là $110^{\circ}$ (như hình vẽ).

Chiều dài hàng rào $NP$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
- A.
  $347,3m$
- B.
  $314,6m$
- C.
  $326,7m$
- D.
  $334,8m$
Áp dụng định li côsin ta

$NP^{2} = MN^{2} + MP^{2} - 2MN \cdot MP \cdot \cos M$

$= 150^{2} + 230^{2} - 2 \cdot 150 \cdot 230 \cdot cos110^{\circ}$ $\approx 98999,39$ .

Suy ra $NP \approx \sqrt{98999,39} \approx 314,6(m)$ .

Vậy chiều dài hàng rào $NP$ là khoảng $314,6m$ .
Câu 2: Vận dụng
Cho hệ $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y < 5\ \ \ (1) \\ x + \frac{3}{2}y < 5\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$ . Gọi $S_{1}$ là tập nghiệm của bất phương trình (1), $S_{2}$ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và $S$ là tập nghiệm của hệ thì
- A.
  $S_{1} \subset S_{2}$ .
- B.
  $S_{2} \subset S_{1}$ .
- C.
  $S_{2} = S$ .
- D.
  $S_{1} eq S$ .
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

$\left( d_{1} ight):2x + 3y = 5$

$\left( d_{2} ight):x + \frac{3}{2}y = 5$

Ta thấy $(0\ \ ;\ \ 0)$ là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Quan sát hình vẽ, chọn đáp án $S_{1} \subset S_{2}$ . Do miền nghiệm $d_{2}$ rộng hơn và chứa $d_{1}$ .
Câu 3: Nhận biết
Bất phương trình $(2x−1)(x+3)−3x+1≤(x−1)(x+3)+x^{2}−5$ có tập nghiệm là:
- A.
  $S=(−∞;−\frac{2}{3})$
- B.
  $S=[-\frac{2}{3};+∞)$
- C.
  $S = \mathbb{R}$
- D.
  $S = \varnothing$
Ta có: $(2x−1)(x+3)−3x+1≤(x−1)(x+3)+x^{2}−5$ $2x^2+2x-2 \le2x^2+2x-8 \Leftrightarrow -2 \le -8$ (vô lí).
Vậy $S = \varnothing$ .
Câu 4: Thông hiểu
Cho mệnh đề $A:$ “ $\forall x \in R,x^{2} - x + 7 < 0$ ”. Mệnh đề phủ định của $A$ là:
- A.
  $\forall x \in R,x^{2} - x + 7 > 0$ .
- B.
  $\forall x \in R,x^{2} - x + 7 > 0$ .
- C.
  Không tồn tại $x:x^{2} - x + 7 < 0$ .
- D.
  $\exists x \in R,x^{2} - \ x + 7 \geq 0$ .
Phủ định của $\forall$ là $\exists$ .

Phủ định của $<$ là $\geq$ .

Mệnh đề phủ định của $A$ : $\exists x \in R,x^{2} - \ x + 7 \geq 0$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Phương trình $6x^{2} - 10x + 5 = (4x - 1)\sqrt{6x^{2} - 6x + 5}$ có mấy nghiệm nguyên ?
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  2.
- D.
  3.
Đặt $t = \sqrt{6x^{2} - 6x + 5}\ \ \ \ (t \geq 0)$ . Phương trình đã cho trở thành:

$\begin{matrix} t^{2} - (4x - 1)t - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 4x \\ \end{matrix} ight.\ \\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{6x^{2} - 6x + 5}\ = 1 \\ \sqrt{6x^{2} - 6x + 5}\ = 4x \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \frac{- 3 + \sqrt{59}}{10}. \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên.
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, $\cos A = \frac{3}{5}$ . Đường cao $h_{a}$ của tam giác ABC là:
- A.
  $\frac{7\sqrt{2}}{2}.$
- B.
  $8.$
- C.
  $8\sqrt{3}\ .$
- D.
  $80\sqrt{3}\ .$
Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A =$ $7^{2} + 5^{2} - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt{2}.$

Mặt khác: $sin^{2}A + cos^{2}A = 1 \Rightarrow sin^{2}A = 1 - cos^{2}A$ $= 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (Vì $\sin A > 0$ ).

Mà: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}b.c.sinA = \frac{1}{2}a.h_{a}$ $\Rightarrow h_{a} = \frac{bc\sin A}{a} = \frac{7.5.\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình chữ nhật $ABCD.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight|.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight|.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{DB} ight| = BD \\ \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = AC \\ \end{matrix} ight.\ .$

Mà $BD = AC \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight|.$
Câu 8: Vận dụng cao
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên
- A.
  y = x² − 3x − 3.
- B.
  y = − x² + 5|x| − 3.
- C.
  y = − x² − 3|x| − 3.
- D.
  y = − x² + 5x − 3.
Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y = − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y = − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là $\left( \frac{5}{2};\frac{13}{4} ight)$ , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y = − x² + 5|x| − 3.
Câu 9: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = (4;1)$ . Tìm vectơ $\overrightarrow{d}$ biết $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{d} = 4$ và $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d} = - 2$ .
- A.
  $\overrightarrow{d} = \left( \frac{5}{7};\frac{6}{7} ight).$
- B.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{5}{7};\frac{6}{7} ight).$
- C.
  $\overrightarrow{d} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{6}{7} ight).$
- D.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{5}{7}; - \frac{6}{7} ight).$
Gọi $\overrightarrow{d} = (x;y)$ .

Ta có: $\overrightarrow{d}.\overrightarrow{a} = 4 \Leftrightarrow - 2x + 3y = 4$ và $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d} = - 2 \Leftrightarrow 4x + y = - 2$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 4 \\ 4x + y = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{5}{7} \\ y = \frac{6}{7} \\ \end{matrix} ight.$ nên $\overrightarrow d=\left(\mathbf{-}\frac{5}{7};\frac{6}{7}ight).$
Câu 10: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ . Tìm công thức sai:
- A.
  $\frac{a}{\sin A} = 2R\ .$
- B.
  $\sin A = \frac{a}{2R}\ .$
- C.
  $b\sin B = 2R\ .$
- D.
  $\sin C = \frac{c\sin A}{a}\ .$
Ta có: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$
Câu 11: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai vecto $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 4),\overrightarrow{v} = (2x - y;y)$ . Khi nào hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng nhau?
- A.
  $x = 1;y = - 4$
- B.
  $x = - 3;y = - 4$
- C.
  $x = 1;y = 4$
- D.
  $x = - 3;y = 4$
Ta có:

$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + 4 = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng nhau khi $x = - 3;y = - 4$ .
Câu 12: Thông hiểu
Phần tô màu trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
- A.
  $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\leq 0 \\ 2x-3y\geq 0\\ x\geq 0\end{matrix}ight.$
- B.
  $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\geq 0 \\ 2x-3y\leq 0\\ x\geq 0\end{matrix}ight.$
- C.
  $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\geq 0 \\ 2x-3y\geq 0\\ x\leq 0\end{matrix}ight.$
- D.
  $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\geq 0 \\ 2x-3y\leq 0\\ x\leq 0\end{matrix}ight.$
Quan sát hình vẽ ta thấy các giá trị của x thuộc miền nghiệm nhỏ hơn 0
=> Các hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\leq 0 \\ 2x-3y\geq 0\\ x\geq 0\end{matrix}ight.$ ; $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\geq 0 \\ 2x-3y\leq 0\\ x\geq 0\end{matrix}ight.$ không thỏa mãn.
Thay tọa độ điểm $M(-3;1)$ vào biểu thức $2x - 3y$ ta thấy:
$2.\left( { - 2} ight) - 3.\left( 1 ight) = - 7 < 0$
Vậy hệ bất phương trình thỏa mãn hình vẽ đã cho là: $\left\{\begin{matrix}x-2y+6\geq 0 \\ 2x-3y\leq 0\\ x\leq 0\end{matrix}ight.$
Câu 13: Thông hiểu
Cho $A = \left\{ 0;2;4;6 ight\}$ . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử?
- A.
  $4.$
- B.
  $6.$
- C.
  $7.$
- D.
  $8.$
Tập con có $2$ phần tử của $A$ là: $\left\{ 0;2 ight\};\left\{ 0;4 ight\};\left\{ 0;6 ight\};\left\{ 2;4 ight\};\left\{ 2;6 ight\};\left\{ 4;6 ight\}$

$\Rightarrow$ có $6$ tập con có $2$ phần tử.
Câu 14: Nhận biết
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix}2x-5y-1>0\\ 2x+y+5>0 \\ x+y+1<0 \end{matrix}ight.$
- A.
  (0;0);
- B.
  (1;0);
- C.
  (0;– 2);
- D.
  (0;2).
Thay tọa độ $(0;– 2)$ vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2.0-5(-2)-1>0\\ 2.0-2+5>0 \\ 0-2+1<0 \end{matrix}ight.$ ta thấy cả 3 bất phương trình đều thỏa mãn. Do đó điểm này thuộc miền nghiệm của hệ.
Câu 15: Nhận biết
Khẳng định nào về hàm số y = 3x + 5 là sai?
- A.
  Hàm số đồng biến trên ℝ.
- B.
  Đồ thị cắt Ox tại $\left( - \frac{5}{3};\ 0 ight)$ .
- C.
  Đồ thị cắt Oy tại (0; 5).
- D.
  Hàm số nghịch biến trên ℝ.
Hàm số y = 3x + 5 có hệ số a = 3 > 0 nên đồng biến trên ℝ, suy ra chọn đáp án Hàm số nghịch biến trên ℝ.
Câu 16: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có độ dài $AB = c;BC = a;AC = b$ và các cạnh của tam giác thỏa mãn biểu thức: $a^{2} + b^{2} = 5c^{2}$ . Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Tính góc giữa hai đường thẳng AM và BN.
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:

$AM^{2} = \frac{AC^{2} + AB^{2}}{2} - \frac{BC^{2}}{4} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow AG^{2} = \frac{4}{9}AM^{2} = \frac{2\left( b^{2} + c^{2} ight)}{9} - \frac{a^{2}}{9}$

$BN^{2} = \frac{BA^{2} + BC^{2}}{2} - \frac{AC^{2}}{4} = \frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$

$\Rightarrow GN^{2} = \frac{1}{9}BN^{2} = \frac{c^{2} + a^{2}}{18} - \frac{b^{2}}{36}$

Trong tam giác AGN ta có

$\cos\widehat{AGN} = \frac{AG^{2} + GN^{2} - AN^{2}}{2.AG.GN}$

$= \dfrac{\dfrac{2\left( b^{2} + c^{2}ight)}{9} - \dfrac{a^{2}}{9} + \dfrac{c^{2} + a^{2}}{18} -\dfrac{b^{2}}{36} - \dfrac{b^{2}}{4}}{2.\sqrt{\dfrac{2\left( b^{2} + c^{2}ight)}{9}} - \dfrac{a^{2}}{9}.\sqrt{\dfrac{c^{2} + a^{2}}{18} -\dfrac{b^{2}}{36}}}$

$= \dfrac{\dfrac{2\left( b^{2} + c^{2}ight)}{9} - \dfrac{a^{2}}{9} + \dfrac{c^{2} + a^{2}}{18} -\dfrac{b^{2}}{36} - \dfrac{b^{2}}{4}}{2.\sqrt{\dfrac{2\left( b^{2} + c^{2}ight)}{9} - \dfrac{a^{2}}{9}}.\sqrt{\dfrac{c^{2} + a^{2}}{18} -\dfrac{b^{2}}{36}}}$

$= \dfrac{10c^{2} - 2\left( a^{2} + b^{2}ight)}{36.2.\sqrt{\dfrac{2\left( b^{2} + c^{2} ight)}{9} -\dfrac{a^{2}}{9}}.\sqrt{\dfrac{c^{2} + a^{2}}{18} - \dfrac{b^{2}}{36}}} =0$

$\Rightarrow \widehat{AGN} = 90^{0}$
Câu 17: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}$ biết $A(5;3),B(7;8)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (12;11)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (2;5)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (2;6)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 5)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (7 - 5,8 - 3) = (2;5)$
Câu 18: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB=1;AC=\sqrt2;\hat A=45^{\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $\sqrt3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt2}2$
Áp dụng định lí côsin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos A$ $=1+2-2.1.\sqrt2.\cos45^{\circ} =1$ .
Suy ra $BC=1$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , lấy các điểm $P,Q,R$ lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh $BC,AC,AD$ sao cho $\widehat{PMR} = 90^{0}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR}ight|$ .
- A.
  $\frac{a\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $a\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Đặt $\left| {\overrightarrow {AR} } ight| = x;\left| {\overrightarrow {BP} } ight| = y;\left| {\overrightarrow {ME} } ight| = z;\left| {\overrightarrow {EQ} } ight| = t$
Khi đó $\Delta AMR\sim\Delta BPM$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}xy = \dfrac{a^{2}}{4} \\x + y \geq 2\sqrt{xy} = a \\\end{matrix} ight.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x =y$ hay P, Q là trung điểm của BC, DA
Ta có:
$\left| \overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR} ight|^{2} = (x + y + z)^{2}+ t^{2} \geq (1 + z)^{2} + t^{2} = \left| \overrightarrow{MH}ight|$
Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.
Ta lại có: $\widehat{MDH} \approx 108^{0}\Rightarrow MH \geq MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 20: Thông hiểu
Bảng biến thiên của hàm số y = − 2x² + 4x + 1 là bảng nào trong các bảng được cho sau đây ?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hệ số $a = - 2 < 0\overset{}{ightarrow}$ bề lõm hướng xuống.

Ta có $- \frac{b}{2a} = 1$ và y(1) = 3. Do đó chọn .
Câu 21: Nhận biết
Cho mệnh đề: “Một tứ giác là hình thang cân khi và chỉ khi tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề đã cho?
- A.
  Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau;
- B.
  Điều kiện cần và đủ để một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là một hình thang cân;
- C.
  Điều kiện đủ để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai cạnh bên bằng nhau;
- D.
  Có 2 đáp án đúng.
Mệnh đề tương đương với mệnh đề đã cho là: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là một hình thang cân.
Câu 22: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ hai điểm $A(1;5),B(2;6)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ đối xứng với điểm $B$ qua $A$ ?
- A.
  $C(4;4)$
- B.
  $C(0;1)$
- C.
  $C( - 3;2)$
- D.
  $C( - 1;2)$
Gọi tọa độ điểm C là $C(x;y)$

Vì điểm $C$ đối xứng với điểm $B$ qua $A$ suy ra $A$ là trung điểm của $BC$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{- 2 + x}{2} \\5 = \dfrac{6 + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow C(4;4)$

Vậy tọa độ điểm C cần tìm là $C(4;4)$ .
Câu 23: Thông hiểu
Xác định parabol (P) : y = ax² + bx + c, biết rằng (P) cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là − 1 và 2, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng − 2.
- A.
  y = − 2x² + x − 2.
- B.
  y = − x² + x − 2.
- C.
  $y = \frac{1}{2}x^{2} + x - 2.$
- D.
  y = x² − x − 2.
Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là − 1 và 2. Suy ra A(−1;0), B(2;0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng − 2. Suy ra C(0;−2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a - b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy (P) : y = x² − x − 2.
Câu 24: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khi đó:
- A.
  Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
- B.
  Điều kiện đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- C.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- D.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Chọn: Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
Câu 25: Nhận biết
Xác định m để biểu thức $f(x) = (m + 2)x^{2} – 3mx + 1$ là tam thức bậc hai.
- A.
  m = 2
- B.
  m = – 2
- C.
  m ≠ 2
- D.
  m ≠ – 2
Để biểu thức $f(x) = (m + 2)x^{2} – 3mx + 1$ là tam thức bậc hai ta có:
$m + 2 e 0 \Leftrightarrow m e - 2$
Câu 26: Thông hiểu
Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  $ABDC$ là hình bình hành.
- C.
  $AC = BD.$
- D.
  $AB = CD.$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ABDC$ là hình bình hành.

Mặt khác, $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là $ABDC$ là hình bình hành.
Câu 27: Vận dụng
Từ một đỉnh tháp chiều cao $CD = 80\ m$ , người ta nhìn hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất dưới các góc nhìn là $72^{0}12'$ và $34^{0}26'$ so với phương nằm ngang. Ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng. Tính khoảng cách $AB$ (chính xác đến hàng đơn vị)?
- A.
  $71\ m.$
- B.
  $91\ m.$
- C.
  $79\ m.$
- D.
  $40\ m.$
Ta có: Trong tam giác vuông $CDA$ : $tan72^{0}12' = \frac{CD}{AD}$ $\Rightarrow AD = \frac{CD}{tan72^{0}12'} = \frac{80}{tan72^{0}12'}$ $\simeq 25,7.$

Trong tam giác vuông $CDB$ : $tan34^{0}26' = \frac{CD}{BD}$ $\Rightarrow BD = \frac{CD}{tan34^{0}26'}$ $= \frac{80}{tan34^{0}26'} \simeq 116,7.$

Suy ra: khoảng cách $AB = 116,7 - 25,7 = 91\ m.$
Câu 28: Thông hiểu
Số nghiệm của phương trình: $\left( \sqrt{x - 4} - 1 ight)\left( x^{2} - 7x +6 ight) = 0$ là
- A.
  0.
- B.
  3.
- C.
  1.
- D.
  2.
Điều kiện xác định của phương trình x ≥ 4.
Phương trình tương đương với $\left\lbrack\begin{matrix}\sqrt{x - 4} = 1 \\x^{2} - 7x + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 5 \\x = 1 \\x = 6 \\\end{matrix} ight.$ .
Kết hợp điều kiện suy ra $\left\lbrack\begin{matrix}x = 5 \\x = 6 \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 29: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = \frac{12}{13}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Tính $\cos\alpha.$
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{13}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{5}{13}.$
- C.
  $\cos\alpha = - \frac{5}{13}.$
- D.
  $\cos\alpha = - \frac{1}{13}.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{5}{13} \\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{5}{13}.$
Câu 30: Nhận biết
Cho tập hợp $A = \left\{ 2;4;6;9 ight\}$ và $B = \left\{ 1;2;3;4 ight\}.$ Tập hợp $A\backslash B$ bằng tập nào sau đây?
- A.
  $\left\{ 1;2;3;5 ight\}.$
- B.
  $\left\{ 1;3;6;9 ight\}.$
- C.
  $\left\{ 6;9 ight\}.$
- D.
  $\varnothing.$
Tập hợp $A\backslash B$ gồm những phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ .

$\Rightarrow A\backslash B = \left\{ 6;9 ight\}.$
Câu 31: Thông hiểu
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} y - x > 3 \\ - 1 - x + y < 0 \\ \end{matrix} ight.$ có tập nghiệm $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  $( - 2;1) \in S$ .
- B.
  $(1;2) \in S$ .
- C.
  $( - 6;5) \in S$ .
- D.
  $S = \varnothing$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y - x > 3 \\ - 1 - x + y < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y > x + 3 \\ y < x + 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.

Hệ này vô nghiệm.
Câu 32: Thông hiểu
Giá trị biểu thức $T = \tan 1^{\circ}.\tan2^{\circ}\ldots.\tan89^{\circ}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:

$\ T = \left( \tan 1^{\circ}.\tan89^{\circ}ight)\left( \tan 2^{\circ}.\tan88^{\circ} ight)\ldots\left( \tan44^{\circ}.\tan 46^{\circ} ight).\tan45^{\circ}$

$= \left( \tan 1^{\circ}.\cot 1^{0} ight)\left( \tan 2^{\circ}.\cot 2^{\circ} ight)\ldots\left( \tan 44^{\circ}.\cot 44^{\circ} ight)\tan 45^{\circ}$

$= 1.1.1\ldots 1 = 1$ .
Câu 33: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{CA} -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
Ta có $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CB}$ . Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CB}$ đúng.
Câu 34: Thông hiểu
Tam thức bậc hai .
- A.
  Dương với mọi .
- B.
  Dương với mọi .
- C.
  Dương với mọi .
- D.
  Âm với mọi .
Ta có .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu .
Câu 35: Vận dụng
Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\frac{2x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 1}{m^{2}x^{2} - 2mx + m^{2} + 2}}$ là:
- A.
  D = (−∞ ; 2)
- B.
  D = (2 ; +∞)
- C.
  D = (−∞ ; +∞) (MEA)
- D.
  D = ℝ ∖ {2}
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{matrix} \frac{2x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 1}{m^{2}x^{2} - 2mx + m^{2} + 2} \geq 0 \\ m^{2}x^{2} - 2mx + m^{2} + 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² − 2(m+1)x + m² + 1

Ta có a_f = 2 > 0,  Δ_f′ = ... = − (m−1)² ≤ 0

Suy ra với mọi m ta có f(x) = 2x² − 2(m+1)x + m² + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ(1)

+) Xét tam thức bậc hai g(x) = m²x² − 2mx + m² + 2

Với m = 0 ta có g(x) = 2 > 0, xét với m ≠ 0 ta có:

a_g = m² > 0,  Δ_g′ = − m²(m²+1) < 0.

Suy ra với mọi m ta có g(x) = m²x² − 2mx + m² + 2 > 0,  ∀x ∈ ℝ (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì $\frac{2x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 1}{m^{2}x^{2} - 2mx + m^{2} + 2} \geq 0$ và m²x² − 2mx + m² + 2 ≠ 0 đúng với mọi giá trị của x.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Câu 36: Vận dụng cao
Một nhà máy gồm hai đội công nhân (đội 1 và đội 2) sản xuất nhôm và sắt. Muốn sản xuất một tấn nhôm thì đội 1 phải làm việc trong 3 giờ và đội 2 làm việc trong 1 giờ. Một đội không thể sản xuất đồng thời nhôm và sắt. Đội 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, đội 2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà nhà mhà máy thu về trong một ngày là bao nhiêu? Biết một tấn nhôm lãi 2 000 000 đồng, một tấn sắt lãi 1 600 000 triệu đồng.
- A.
  $6,8$ triệu đồng
- B.
  $7$ triệu đồng
- C.
  $6,6$ triệu đồng
- D.
  $6,9$ triệu đồng
Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày

Điều kiện: x, y > 0

Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là $f(x;y) = 2x + 1,6y$ (triệu đồng)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là $3x + y$ (giờ)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là $x + y$ (giờ)

Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 3x + y \leq 6 \\ x + y \leq 4 \\ x,\ y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).

Hình vẽ minh họa

Hàm số $f(x;y)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi $(x;y)$ là toạ độ một trong các đỉnh $O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0;0) = 0 \\ f(2;0) = 4 \\ f(1;3) = 6,8 \\ f(0;4) = 6,4 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $max\ f(x;y) = 6,8$ khi $(x;y) = (1;3)$

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: $6,8$ triệu đồng.
Câu 37: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vecto $\overrightarrow{u} = (1;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 2;2)$ . Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 4$
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= - 5$
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 2$
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= - 8$
Theo bài ra ta có:
$\overrightarrow{u} = (1;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 2;2)$
Khi đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 2) +3.2 = 4$
Câu 38: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Ba điểm $C,\ \ M,\ \ B$ thẳng hàng.
- B.
  $AM$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}.$
- C.
  $A,\ \ M$ và trọng tâm tam giác $ABC$ thẳng hàng.
- D.
  $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}.$
Gọi $I,\ \ G$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trọng tâm tam giác $ABC.$ Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\ \overrightarrow{MI}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ suy ra $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MI} \Rightarrow A,\ \ M,\ \ I$ thẳng hàng

Mặt khác $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC\overset{}{ightarrow}\ G \in AI.$ Do đó, ba điểm $A,\ \ M,\ \ G$ thẳng hàng.
Câu 39: Vận dụng
Tam giác $ABC$ vuông tại $A,\ AB = AC = 2$ . Độ dài vectơ $4\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ bằng:
- A.
  $\sqrt{17}$ .
- B.
  2 $\sqrt{15}$ .
- C.
  5.
- D.
  $2\sqrt{17}$ .
Vẽ $\overrightarrow{AB'} = 4\overrightarrow{AB};\ \ \ \ \ \ \overrightarrow{AC'} = - \overrightarrow{AC}$ . Vẽ hình bình hành $AC'DB'$

Ta có: $\left| 4\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight| = \left| \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AC'} ight| = \left| \overrightarrow{AD} ight| = AD$

Do đó $AD = \sqrt{A{B'}^{2} + A{C'}^{2}} = \sqrt{8^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{17}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
- B.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
- C.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
- D.
  3 đáp án còn lại đều sai
Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight)$ $= - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = 180^\circ$ .
Suy ra $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.
Câu 41: Nhận biết
Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho $\overrightarrow{MN} = - 3\overrightarrow{MP}$ . Điểm $P$ được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
- A.
  Hình 1.
- B.
  Hình 2.
- C.
  Hình 3.
- D.
  Hình 4.
Ta có $\overrightarrow{MN} = - 3\overrightarrow{MP}$ nên $MN = 3MP$ và $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng.
Câu 42: Nhận biết
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
- A.
  $2x^{2} + 3y > 0$
- B.
  $x^{2} + y^{2} < 2$
- C.
  $x + y^{2} \geq 0$
- D.
  $x + y \geq 0$
Theo định nghĩa thì $x + y \geq 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình còn lại là bất phương trình bậc hai.
Câu 43: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2\sqrt{x - 2} - 3}{x - 1} & khi & x \geq 2 \\ x^{2} + 2 & khi & x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Tính P = f(2) + f(−2).
- A.
  P = 3.
- B.
  P = 2.
- C.
  $P = \frac{7}{3}$ .
- D.
  P = 6.
Ta có: $f(2) + f( - 2) = \frac{2\sqrt{2 - 2} - 3}{2 - 1} + ( - 2)^{2} + 2 \Rightarrow P = 3$ .
Câu 44: Thông hiểu
Điểm $A( - 1;3)$ là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
- A.
  $- 3x + 2y - 4 > 0$
- B.
  $x + 3y < 0$
- C.
  $3x - y > 0$
- D.
  $2x - y + 4 > 0$
Vì $- 3.( - 1) + 2.3 - 4 > 0$ là mệnh đề đúng nên $A( - 1;3)$ là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình $- 3x + 2y - 4 > 0$ .
Câu 45: Nhận biết
Hàm số y = x² − 4x + 3 đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  (1; 3).
- B.
  (−∞; 2).
- C.
  (−∞; +∞).
- D.
  (2; +∞).
Trục đối xứng x = 2. Ta có a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

44 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!