Phương trình
có nghiệm là bao nhiêu?
.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Phương trình
có nghiệm là bao nhiêu?
.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Một nhà máy gồm hai đội công nhân (đội 1 và đội 2) sản xuất nhôm và sắt. Muốn sản xuất một tấn nhôm thì đội 1 phải làm việc trong 3 giờ và đội 2 làm việc trong 1 giờ. Một đội không thể sản xuất đồng thời nhôm và sắt. Đội 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, đội 2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà nhà mhà máy thu về trong một ngày là bao nhiêu? Biết một tấn nhôm lãi 2 000 000 đồng, một tấn sắt lãi 1 600 000 triệu đồng.
Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày
Điều kiện: x, y > 0
Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là (triệu đồng)
Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là (giờ)
Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là (giờ)
Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi
là toạ độ một trong các đỉnh
.
Ta có:
Suy ra khi
Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: triệu đồng.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề tương đương?
Mệnh đề tương đương là: “Hình thang nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi nó là hình thang cân”.
Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:
Ta có: M là trung điểm của AB
Vậy biểu thức sai là:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α
Tập
bằng tập nào sau đây?
Một tam giác có ba cạnh là
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
Ta có:
Suy ra:
.
Mà
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
sao cho tam thức bậc hai
đổi dấu hai lần trên
?
Để biểu thức trên là tam thức bậc hai thì .
Để tam thức bậc hai đổi dấu 2 lần trên thì
.
Ta có:
. Suy ra
.
Kết hợp điều kiện ở trên, suy ra .
Cặp số
không là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số không là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Xét đáp án
Thay ta được:
Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác
biết rằng
?
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi:
Tam giác
thỏa mãn đẳng thức

Biết
. Chọn khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có:
Chứng minh tương tự và suy ra ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Cho hình vuông
cạnh
. Gọi
là trung điểm của
, lấy các điểm
lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh
sao cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Hình vẽ minh họa

Đặt
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay P, Q là trung điểm của BC, DA
Ta có:
Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.
Ta lại có:
Trong hệ tọa độ
cho ba điểm
Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành.
Gọi Ta có
Tứ giác là hình bình hành
Phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: .
Ta có: .
Loại . Do đó phương trình có 1 nghiệm.
Cho hai vectơ
và
đều khác vectơ
Tích vô hướng của
và
được xác định bằng công thức nào dưới đây?
Cho hai vectơ và
đều khác vectơ
Tích vô hướng của
và
là một số, kí hiệu là
được xác định bởi công thức sau:
.
Miền nghiệm của bất phương trình
chứa điểm có tọa độ:
Ta có:
Vì là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ
.
Tam giác
có
và
. Tính độ dài cạnh
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
Miền giá trị của hàm số
là
Cách 1: Do x2 + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ nên hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ
Gọi y0 là giá trị tùy ý, ta có phương trình:
⇔ (3−y0)x2 + 2x + 3 − y0 = 0(1)
+ Nếu y0 = 3 thì phương trình (1)trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0.
Vậy phương trình (1)có nghiệm y0 = 3(*).
+ Nếu y0 ≠ 3 thì phương trình (1)là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi
Δ′ = 12 − (3−y0)2 ≥ 0
⇔ − y02 + 6y0 − 8 ≥ 0
⇔ 2 ≤ y0 ≤ 4.
Vậy phương trình (1)có nghiệm .
+ Kết hợp (*), (**) thì phương trình (1)có nghiệm ⇔ 2 ≤ y0 ≤ 4.
Vậy: Miền giá trị của hàm số là [2; 4].
Cách 2: Ta có
Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x = − 1.
Mặt khác
Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1.
Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].
Cho hai vectơ không cùng phương
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: "Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ và
, đó là
."
Trong hệ tọa độ
cho tam giác
có
Tìm tọa độ trọng tâm
của tam giác ![]()
Ta có
Cho hình bình hành
, điểm
thỏa mãn:
. Khi đó điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=
Cho ba điểm
phân biệt. Tập hợp những điểm
mà
là :
Ta có:
.
Tập hợp điểm là đường thẳng đi qua
và vuông góc với
.
Đồ thị hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Nhận xét:
Parabol có bề lõm hường lên.
Parabol cắt trục hoành tại điểm (1;0). Xét các đáp án, đáp án y = 2x2 − 3x + 1. thỏa mãn.
Tam giác ABC có
và
. Tính độ dài cạnh BC.
Áp dụng định lý côsin: .
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.
Với . Đúng. Chọn đáp án này.
Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
.
Cho hình thoi
cạnh bằng
và có
. Tính độ dài cạnh
.
Do là hình thoi, có
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
Cho tam giác đều
cạnh
. Tính độ dài
.
Gọi là trung điểm
. Suy ra
.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông . Suy ra
.
Cho hàm số
. Tính f(4), ta được kết quả:
Với , ta có:
.
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là:
ĐKXĐ: x ≥ 1 .
Chia cả hai vế cho ta có
Đặt
Phương trình trở thành − 3t2 + 2t = m (*)
Xét hàm số y = − 3t2 + 2t trên [0; 1) , ta có ,
Bảng biến thiên

Phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm t∈ [0; 1)
⇔ đồ thị hàm số y = − 3t2 + 2t trên [0; 1) cắt đường thẳng
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi .
Cho mệnh đề P: “∀ x ∈ R: |x| ≥ 0” . Phủ định của mệnh đề P là:
Phủ định của mệnh đề P là: “∃ x ∈ R: |x| < 0”.
Một cửa hàng bán hai loại mặt hàng
và
. Biết rằng cứ bán một mặt hàng loại
cửa hàng lãi 5 nghìn đồng, bán một mặt hàng loại
cửa hàng lãi 7 nghìn đồng. Gọi
lần lượt là số mặt hàng loại
và mặt hàng loại
mà cửa hàng đó bán ra trong một tháng. Cặp số
nào sau đây biểu thị số mặt hàng bán ra mỗi loại của cửa hàng trong một tháng mà tổng số tiền lãi không ít hơn 30 triệu đồng?
Đặt x là số tiền lãi của mặt hàng A
y là số tiền lãi của mặt hàng B
Đổi 30 triệu = 30 000 nghìn đồng
Theo đề bài ta có:
TH1: Thay A (1000; 2000) vào phương trình
. Thay B(3000; 1000
vào phương trình
: Thay C
vào phương trình
TH4: Thay vào phương trình
Vậy đáp án là: C
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ
có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng :
Các vectơ bằng vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là
và
.
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: .

Vẽ hình bình hành , suy ra
. Mà
. Suy ra
. Do đó
là hình chữ nhật. Do đó tam giác
vuông
.
Người ta thường kí hiệu tập hợp số như thế nào?
Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau:
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số
?
Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.
Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để
là trung điểm của đoạn thẳng
?
Điều kiện cần và đủ để là trung điểm của đoạn thẳng
là
.
Tìm parabol (P) : y = ax2 + 3x − 2, biết rằng parabol cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2.
Vì (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A(2;0) thuộc (P). Thay vào (P), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a = − 1.
Vậy (P) : y = − x2 + 3x − 2.
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Ta có: (Sai).
Cho hệ bất phương trình
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với
. Bất phương trình thứ hai sai nên không thỏa mãn.
Với
. Đúng. Chọn đáp án này.
Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?

Từ bảng xét dấu ta có:
có hai nghiệm phân biệt
và
khi
Do đó
Tam thức f(x) = − 2x2 + (m−2)x − m + 4 không dương với mọi x khi:
.
Tập nghiệm của bất phương trình
là?
Ta có
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu .
Biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
tại điểm
có toạ độ là:
Vẽ các đường thẳng :
Khi đó miền nghiệm của hệ là miền trong của tam giác
Tọa độ các đỉnh:
Ta có :
Cho tam giác
. Tìm công thức sai:
Ta có: