Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 được biên soạn giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 10 Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
- A.
  $\cos 120^{\circ} =\cos 60^{\circ}$
- B.
  $\cos 121^{\circ} =\cos -121^{\circ}$
- C.
  $\cos0^{\circ}=\cos 180^{\circ}$
- D.
  $\cos 50^{\circ} =\cos 130^{\circ}$
Ta có: $\cos 121^{\circ} =\cos -121^{\circ}$ vì $\cos \alpha =\cos -\alpha$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Với mọi góc $\alpha$ , giá trị của biểu thức

$\cos\alpha + \cos\left( \alpha + \frac{\pi}{5} ight) + \cos\left( \alpha + \frac{2\pi}{5} ight) + ... + \cos\left( \alpha + \frac{9\pi}{5} ight)$
- A.
  $1$
- B.
  $20$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\cos\alpha = - \cos\left( \alpha + \frac{5\pi}{5} ight)$

$\cos\left( \alpha + \frac{\pi}{5} ight) = - \cos\left( \alpha + \frac{6\pi}{5} ight)$

$\cos\left( \alpha + \frac{2\pi}{5} ight) = - \cos\left( \alpha + \frac{7\pi}{5} ight)$

$\cos\left( \alpha + \frac{3\pi}{5} ight) = - \cos\left( \alpha + \frac{8\pi}{5} ight)$

$\cos\left( \alpha + \frac{4\pi}{5} ight) = - \cos\left( \alpha + \frac{9\pi}{5} ight)$

Do đó:

$\cos\alpha + \cos\left( \alpha + \frac{\pi}{5} ight) + \cos\left( \alpha + \frac{2\pi}{5} ight) + ... + \cos\left( \alpha + \frac{9\pi}{5} ight) = 0$
Câu 3: Vận dụng
Cho hàm số bậc nhất y = (m²−4m−4)x + 3m − 2 có đồ thị là (d). Tìm số giá trị nguyên dương của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB là tam giác cân (O là gốc tọa độ).
- A.
  3.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  4.
Đường thẳng (d) tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân ⇔ đường thẳng (d) tạo với chiều dương trục hoành bằng 45^∘ hoặc 135^∘⇔ hệ số góc tạo của (d) bằng 1 hoặc $- 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} - 4m - 4 = 1 \\ m^{2} - 4m - 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} - 4m - 3 = 0 \\ m^{2} - 4m - 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 5 \\ m = 2 \pm \sqrt{7} \\ \end{matrix} ight.$ .

Thử lại: m = 5 thì d không đi qua O.

Vậy có duy nhất một giá trị m = 5 nguyên dương thỏa ycbt.
Câu 4: Thông hiểu
Tổng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$ bằng vectơ nào sau đây?
- A.
  $\overrightarrow{MR}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MN}$ .
- C.
  $\overrightarrow{PR}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MP}$ .
Ta có

$\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$

$= \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RN}$

$= \overrightarrow{MN}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Tính $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|$ .
- A.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=0$
- B.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=a$
- C.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=a\sqrt{2}$
- D.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=2a$
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } ight| = \left| \overrightarrow {AC} ight| = AC = a\sqrt 2$ . (hình vuông cạnh $a$ thì đường chéo bằng $a\sqrt2$ ).
Câu 6: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{CA} -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
Ta có $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CB}$ . Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CB}$ đúng.
Câu 7: Vận dụng
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
- A.
  2S
- B.
  3S
- C.
  4S
- D.
  6S
Ta có:
Diện tích ban đầu của tam giác là:
$\begin{matrix} S = \dfrac{1}{2}BC.CA.\sin \widehat C \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{2}a.b.\sin \widehat C \hfill \\ \end{matrix}$
Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác là:
$\begin{matrix} S' = \dfrac{1}{2}\left( {2BC} ight).\left( {3.CA} ight).\sin \widehat C \hfill \\ \Rightarrow S' = 6.\dfrac{1}{2}a.b.\sin \widehat C = 6S \hfill \\ \Rightarrow S' = 6S \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình $2{x^2} - 7x - 15 \geqslant 0$ là:
- A.
  $(-∞;-\frac{3}{2})∪[5;+∞)$
- B.
  $(-\frac{3}{2};5)$
- C.
  $(-∞;-5)∪(\frac{3}{2};+∞)$
- D.
  $(-5;\frac{3}{2})$
Tam thức $f(x)=2{x^2} - 7x - 15$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 5;{x_2} = - \frac{3}{2}$
a = 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x thuộc hai nửa khoảng $\left( { - \infty - \frac{3}{2}} ight],\left[ {5, + \infty } ight)$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-∞;-\frac{3}{2})∪[5;+∞)$
Câu 9: Nhận biết
Cho $X = \left\{ 7;2;8;4;9;12 ight\};Y = \left\{ 1;3;7;4 ight\}.$ Tập nào sau đây bằng tập $X \cap Y?$
- A.
  $\left\{ 1;2;3;4;8;9;7;12 ight\}.$
- B.
  $\left\{ 2;8;9;12 ight\}.$
- C.
  $\left\{ 4;7 ight\}.$
- D.
  $\left\{ 1;3 ight\}.$
Tập hợp $X \cap Y$ gồm những phần tử vừa thuộc $X$ vừa thuộc $Y$

$\Rightarrow X \cap Y = \left\{ 4;7 ight\}.$
Câu 10: Thông hiểu
Phương trình $\frac{x^{2}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  5
Điều kiện: $x>2$ .
Ta có: $\frac{x^{2}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2} \Rightarrow x^2-4x-2=x-2$ $x^2-5x=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 5}\end{array}} ight.$ .
Loại $x=0$ . Do đó phương trình có 1 nghiệm.
Câu 11: Thông hiểu
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y>4\\ x-y<10\end{matrix}ight.$ ?
- A.
  $(2; 1)$
- B.
  $(10; 2)$
- C.
  $(‒3; 4)$
- D.
  $(0; ‒10)$
Xét đáp án $(2; 1)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {y = 1} \end{array}} ight.$ thay vào hệ bất phương trình ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + 1 > 4} \\ {2 - 1 < 10} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 > 4} \\ {1 < 10} \end{array}} ight.\left( L ight)$
Vậy $(2; 1)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án $(10; 2)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 10} \\ {y = 2} \end{array}} ight.$ thay vào hệ bất phương trình ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {10 + 2 > 4} \\ {10 - 2 < 10} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {12 > 4} \\ {8 < 10} \end{array}} ight.\left( {TM} ight)$
Vậy $(10; 2)$ là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án $(‒3; 4)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3} \\ {y = 4} \end{array}} ight.$ thay vào hệ bất phương trình ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 3} ight) + 4 > 4} \\ {\left( { - 3} ight) - 4 < 10} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 > 4} \\ { - 7 < 10} \end{array}} ight.\left( L ight)$
Vậy $(‒3; 4)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Xét đáp án $(0; ‒10)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {y = - 10} \end{array}} ight.$ thay vào hệ bất phương trình ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + \left( { - 10} ight) > 4} \\ {0 - \left( { - 10} ight) < 10} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10 > 4} \\ {10 < 10} \end{array}} ight.\left( L ight)$
Vậy $(0; ‒10)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình.
Câu 12: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60{^\circ},\ \ \widehat{C} = 45{^\circ}$ và $AB = 5$ . Tính độ dài cạnh $AC$ .
- A.
  $AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}.$
- B.
  $AC = 5\sqrt{3}.$
- C.
  $AC = 5\sqrt{2}.$
- D.
  $AC = 10.$
Theo định lí hàm sin, ta có $\frac{AB}{\sin\widehat{C}} = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{sin45{^\circ}} = \frac{AC}{sin60{^\circ}}$ $\Rightarrow AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}$ .
Câu 13: Vận dụng
Cho hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ và $\widehat{BAD} = 60{^\circ}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{BD} ight| = a.$
- C.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}.$
Vì tam giác $BAD$ cân và $\widehat{BAD} = 60{^\circ}$ , suy ra tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ nên $BD = a\overset{}{ightarrow}\left| \overrightarrow{BD} ight| = a.$
Câu 14: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho bốn điểm $A(1;1),\ B(2; - 1),\ C(4;3),\ D(3;5).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  $G(9;7)$ là trọng tâm tam giác $BCD.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- D.
  $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}$ cùng phương.
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (1; - 2) \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\overset{}{ightarrow}ABCD$ là hình bình hành.
Câu 15: Nhận biết
Tìm mệnh đề chứa biến.
- A.
  Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.
- B.
  Số nguyên dương là số tự nhiên khác 0.
- C.
  $x + 2 = 11.$
- D.
  $4 + 2 = 7.$
“ $x + 2 = 11.$ ” là mệnh đề chứa biến.
Câu 16: Vận dụng cao
Cho hai tập hợp $A = (2a + 3;1 + a)$ và $B = (a - 3; - 3 - 2a)$ với $a < - \frac{2}{3}$ . Tìm a để $A \cup B$ là một khoảng?
- A.
  $- 6 \leq a \leq 4$
- B.
  $a \leq - 6$
- C.
  $- 4 \leq a < - \frac{3}{2}$
- D.
  $a < - \frac{3}{2}$
Vì $a < - \frac{2}{3}$ nên $2a + 3 < 1 - a$ và $a - 3 < - 3 - 2a$ , tức là A và B luôn là các khoảng.

Xét các trường hợp sau:

Nếu $a - 3 \leq 2a + 3 < 1 - a \leq - 3 - 2a$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 3 \geq a - 3 \\ 1 - a \leq - 3 - 2a \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq - 6 \\ a \leq - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow - 6 \leq a \leq - 4$

Khi đó $A \subset B \Rightarrow A \cup B = B$ , đương nhiên là một khoảng.

Nếu $2a + 3 \leq a - 3 < - 3 - 2a \leq 1 - a$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 3 \leq a - 3 \\ 1 - a \geq - 3 - 2a \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \leq - 6 \\ a \geq - 4\ \\ \end{matrix} ight.\ (ktm)$

Nếu $2a + 3 \leq a - 3 < 1 - a \leq - 3 - 2a$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 3 \leq a - 3 \\ a - 3 < 1 - a \\ 1 - a \leq - 3 - 2a \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \leq - 6 \\ a < 2 \\ a \leq - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a \leq - 6$

Khi đó $A \cup B = (2a + 3; - 3 - 2a)$ là một khoảng.

Nếu $a - 3 \leq 2a + 3 < - 3 - 2a \leq 1 - a$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3 \leq 2a + 3 \\ 2a + 3 < - 3 - 2a \\ - 3 - 2a \leq 1 - a \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq - 6 \\ a < - 3 \\ 2a \geq - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow - 4 \leq a < - \frac{3}{2}$

Khi đó $A \cup B = (a - 3;1 - a)$ là một khoảng. Vậy các giá trị của a thỏa yêu cầu bài toán là $a < - \frac{3}{2}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} y - x > 3 \\ - 1 - x + y < 0 \\ \end{matrix} ight.$ có tập nghiệm $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A.
  $( - 2;1) \in S$ .
- B.
  $(1;2) \in S$ .
- C.
  $( - 6;5) \in S$ .
- D.
  $S = \varnothing$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y - x > 3 \\ - 1 - x + y < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y > x + 3 \\ y < x + 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.

Hệ này vô nghiệm.
Câu 18: Nhận biết
Cho mệnh đề P: “∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC”. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
- A.
  “AB = AC” là điều kiện cần để “∆ABC cân tại A”;
- B.
  “AB = AC” là điều kiện đủ để “∆ABC cân tại A”;
- C.
  “∆ABC cân tại A” là điều kiện đủ để “AB = AC”;
- D.
  “∆ABC cân tại A” là điều kiện cần và đủ để “AB = AC”.
Vì AB = AC nên suy ra ∆ABC cân tại A.
Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra AB = AC.
Do đó đáp án đúng là “∆ABC cân tại A” là điều kiện cần và đủ để “AB = AC”.
Câu 19: Vận dụng cao
Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\sqrt{x^{2} - 2mx + 1} = m - 2$ có nghiệm thực là
- A.
  (2;+∞).
- B.
  [2; + ∞).
- C.
  (−∞;2).
- D.
  ( − ∞; 2].
* Với m < 2 ⇒ phương trình vô nghiệm

* Với m ≥ 2, $\sqrt{x^2-2mx+1}=m-2$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+1=m^2-4m+4$

$\Leftrightarrow x^2-2mx-m^2+4m-3=0$ .

Phương trình có nghiệm Δ′ = 2(m−1)² + 1 > 0 đúng mọi m.

Vậy m ≥ 2 là những giá trị cần tìm hay m thuộc [2; + ∞).
Câu 20: Nhận biết
Nửa mặt phẳng là miền nghiệm của bất phương trình $– x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)$ không chứa điểm nào trong các điểm sau:
- A.
  (0; 0);
- B.
  (1; 1);
- C.
  (4; 2);
- D.
  (1; – 1).
Thay điểm $(4; 2)$ vào bất phương trình, ta được: $-2< -6$ (sai). Do đó điểm này không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Câu 21: Thông hiểu
Phương trình: $x^{2} + 5x + 2 + 2\sqrt{x^{2} + 5x + 10} =0$ có mấy nghiệm ?
- A.
  1
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  4
Điều kiện xác định x² + 5x + 10 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.
Khi đó phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+ 5x + 10 + 2\sqrt{x^{2} + 5x + 10} - 8 = 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\sqrt{x^{2} + 5x + 10} = 2 \\\sqrt{x^{2} + 5x + 10} = - 4 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 5x + 10} =2$
$\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 3 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Câu 22: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tọa độ hai điểm $A( - 1;3),B(2; - 1)$ . Tính tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 4)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 3;4)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (3; - 4)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 2)$
Ta có: $A( - 1;3),B(2; - 1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = \left( - 2 - ( - 1); - 1 - 3 ight) = (3; - 4)$

Vậy $\overrightarrow{AB} = (3; - 4)$ .
Câu 23: Thông hiểu
Cho hàm số: $y = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x - 1} & x \leq 0 \\ \sqrt{x + 2} & x > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Tập xác định của hàm số là tập hợp nào sau đây?
- A.
  [ − 2; + ∞)
- B.
  ℝ
- C.
  ℝ ∖ {1}
- D.
  {x ∈ ℝ∖x≠1 và x≥−2 }
Với x ≤ 0 ta có: $y = \frac{1}{x - 1}$ xác định với mọi x ≠ 1 nên xác định với mọi x ≤ 0.

Với x > 0 ta có: $y = \sqrt{x + 2}$ xác định với mọi x ≥ − 2 nên xác định với mọi x > 0.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Câu 24: Thông hiểu
Cho hàm số $y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$ có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  a>0, b<0, c<0;
- B.
  a>0, b<0, c>0;
- C.
  a>0, b>0, c>0;
- D.
  a<0, b<0, c>0.
Từ đồ thị hàm số, nhận xét:
Bề lõm hướng lên trên suy ra $a>0$ .
Hàm số cắt trục tung tại tung độ âm $c<0$ .
Chọn đáp án $a>0;b<0;c<0$ .
Câu 25: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thoả mãn $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ và $\cot\alpha = - 2$ . Giá trị của $\sin\alpha$ là:
- A.
  $- \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{1}{5}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Ta có: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$\Rightarrow \cot^{2}\alpha = \frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} = \frac{1 - \sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}$

$\Rightarrow 1 + \cot^{2}\alpha = \frac{1}{\sin^{2}\alpha}$ .

Do đó $\sin^{2}\alpha = \frac{1}{1 + \cot^{2}\alpha} = \frac{1}{1 + ( - 2)^{2}} = \frac{1}{5}$ .

Vì $0^{0} < \alpha < 180^{\circ}$ nên $\sin\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 26: Nhận biết
Tính giá trị $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ biết rằng $\overrightarrow{a} = (1; - 3),\overrightarrow{b} = (2;5)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 13$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 17$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 40$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.2 + ( - 3).5 = - 13$
Câu 27: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , gọi $H(a,b)$ là trực tâm tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(3;1),B( - 1;2)$ và $I(1; - 1)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $K = a + 3b$ ?
- A.
  $K = - 2$
- B.
  $K = \frac{2}{3}$
- C.
  $K = - \frac{4}{3}$
- D.
  $K = 1$
Gọi $C\left( x_{C};y_{C} ight)$ . Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2} = x_{I} \\\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2} = y_{I} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = 1 \\y_{C} = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(1; - 4)$

Ta có: $H(a,b)$ là trực tâm tam giác ABC nên $\left\{ \begin{matrix} AH\bot BC \\ BH\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH} = (a - 3;b + 1);\overrightarrow{BC} = (2; - 6) \\ \overrightarrow{BH} = (a + 1;b - 2);\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2(a - 3) - 6(b + 1) = 0 \\- 2(a + 1) - 3(b - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{10}{3} \\b = \dfrac{- 8}{9} \\\end{matrix} ight.$

Vậy biểu thức $K = a + 3b = \frac{2}{3}$
Câu 28: Thông hiểu
Điểm $A( - 1;3)$ là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
- A.
  $- 3x + 2y - 4 > 0$
- B.
  $x + 3y < 0$
- C.
  $3x - y > 0$
- D.
  $2x - y + 4 > 0$
Vì $- 3.( - 1) + 2.3 - 4 > 0$ là mệnh đề đúng nên $A( - 1;3)$ là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình $- 3x + 2y - 4 > 0$ .
Câu 29: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
- C.
  $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
Ta có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$ (Đúng).
Câu 30: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{i} - 7\overrightarrow{j}.$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.$
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 30.$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 30.$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 43.$
Ta có: $\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (4;6)$ và $\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{i} - 7\overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{b} = (3; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 4.3 + 6.( - 7) = - 30.$
Câu 31: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thoả mãn: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Khi đó $M$ là trung điểm của:
- A.
  $AB$ .
- B.
  $BC$ .
- C.
  $AD$ .
- D.
  $CD$ .
Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $AD$ .
Câu 32: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 trên đoạn [ − 1; 4] là
- A.
  $y_{\min} = - \frac{37}{4}$ , y_max = 21.
- B.
  $y_{\max} = \frac{37}{4}$ , y_min = − 21.
- C.
  $y_{\min} = \frac{37}{4}$ , y_max = 21.
- D.
  y_max = 5, $y_{\min} = - \frac{37}{4}$ .
Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

= (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

$y = (t - 1)^{2} - 5t + 2 = t^{2} - 7t + 3 = \left( t - \frac{7}{2} ight)^{2} - \frac{37}{4}$ .

Cách 1: Ta có $0 \leq \left( t - \frac{7}{2} ight)^{2} \leq \frac{121}{4} \Leftrightarrow - \frac{37}{4} \leq y \leq 21$ .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy $y_{\min} = - \frac{37}{4}$ , y_max = 21.
Câu 33: Vận dụng
Nghiệm của bất phương trình $x - \frac{x^{2} - x + 6}{- x^{2} + 3x + 4} > 0$ có
- A.
  1 khoảng.
- B.
  1 đoạn, 1 khoảng, 1 nửa khoảng.
- C.
  3 khoảng.
- D.
  2 khoảng, 1 đoạn.
$x - \frac{x^{2} - x + 6}{- x^{2} + 3x + 4} = \frac{- x^{3} + 2x^{2} + 5x - 6}{- x^{2} + 3x + 4}$

$= \frac{(x - 1)\left( - x^{2} + x + 6 ight)}{- x^{2} + 3x + 4}$

$- x^{2} + x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ,\$

$- x^{2} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu

Suy ra

$x - \frac{x^{2} - x + 6}{- x^{2} + 3x + 4} > 0 \Leftrightarrow x \in ( - 2; - 1) \cup (1;3) \cup (4; + \infty)$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình có 3 khoảng.
Câu 34: Thông hiểu
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{2x^{2} - 5x + 2}$ ?
- A.
  $\left( - \infty;\frac{1}{2} ightbrack$
- B.
  $\lbrack 2; + \infty)$
- C.
  $\left( - \infty;\frac{1}{2} ightbrack \cup \lbrack 2; + \infty)$
- D.
  $\left\lbrack \frac{1}{2};2 ightbrack$
Điều kiện xác định:

$2x^{2} - 5x + 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x \geq 2 \\x \leq \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $\left( - \infty;\frac{1}{2} ightbrack \cup \lbrack 2; + \infty)$ .
Câu 35: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 36: Thông hiểu
Trong tam giác ABC có $AB = 2, AC = 1$ và $\widehat{A}=60^0$ . Tính độ dài cạnh BC.
- A.
  $BC = 1$
- B.
  $BC = 2$
- C.
  $BC=\sqrt{2}$
- D.
  $BC=\sqrt{3}$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
$\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A \hfill \\ \Leftrightarrow B{C^2} = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.\cos {60^0} \hfill \\ \Leftrightarrow B{C^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Thông hiểu
Xác định tập hợp $C = (2;+∞) \setminus [-3;8]$
- A.
  $(8;+∞)$
- B.
  $(2;8]$
- C.
  $[-3;2)$
- D.
  $[-3;+∞)$
Xác định kết quả tập hợp bằng hình vẽ như sau:
Vậy $C = (2;+∞) \setminus [-3;8] =(8;+∞)$
Câu 38: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$
- C.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MO}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$
Ta có: ABCD là hình bình hành tâm O
=> $OA = OC, OB = OD$
$\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Nhận biết
Tam giác ABC có BC = 10 và $\widehat{A}=30°$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- A.
  $R=5$
- B.
  $R=10$
- C.
  $R=\frac{10}{\sqrt{3}}$
- D.
  $R=10\sqrt{3}$
Ta có: $\frac {BC}{\sin A}=2R \Leftrightarrow R= \frac{BC}{2\sin A} =\frac {10}{2.sin30^{\circ} }=10$ .
Câu 40: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A(6;0),B(3;1)$ và $C( - 1; - 1)$ . Tính số đo góc $B$ của tam giác đã cho.
- A.
  $15^{O}.$
- B.
  $60^{O}.$
- C.
  $120^{O}.$
- D.
  $135^{O}.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1)$ và $\overrightarrow{CB} = (4;2)$ .

$\cos B = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}}{AB.CB} = \frac{- 10}{\sqrt{10}.\sqrt{20}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CB} ight) = 135^{o}$ .
Câu 41: Thông hiểu
Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$ , chiều dài của hàng rào $MP$ là $230m$ . Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MP$ là $110^{\circ}$ (như hình vẽ)

Diện tích mảnh đất mà gia đình bà Sáu sở hữu là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
- A.
  $15247,6\left( m^{2} ight)$
- B.
  $16209,7\left( m^{2} ight)$
- C.
  $18436,8\left( m^{2} ight)$
- D.
  $17486,3\left( m^{2} ight)$
Diện tích mảnh đất của gia đình bà Sáu (tam giác $MNP$ ) là:

$S = \frac{1}{2}MN \cdot MP \cdot \sin M$

$= \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 230 \cdot \sin110^{\circ} \approx 16209,7\left( {m}^{2}ight)$ .
Câu 42: Nhận biết
Cho hàm số y = x² − 2x + 3. Chọn câu đúng.
- A.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞).
- B.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1).
- C.
  Hàm số đồng biến trên ℝ.
- D.
  Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1).
Ta có a = 1 > 0, b = − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Câu 43: Vận dụng
Cho ba mệnh đề: $P:$ “số $20$ chia hết cho $5$ và chia hết cho $2$ ”

Q: “ Số $35$ chia hết cho $9$ ”

R: “ Số $17$ là số nguyên tố ”

Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
- A.
  $P \Leftrightarrow \left( \overline{Q} \Rightarrow R ight)$
- B.
  $R$ $\Leftrightarrow \overline{Q}$
- C.
  $(R \Rightarrow P) \Rightarrow Q$
- D.
  $\left( \overline{Q} \Rightarrow R ight) \Rightarrow P$
$P$ đúng, $Q$ sai, $R$ đúng.

$\overline{Q}$ đúng, $R$ đúng nên $\overline{Q} \Rightarrow R$ đúng,

$P$ đúng, $\overline{Q} \Rightarrow R$ đúng nên $P \Leftrightarrow \left( \overline{Q} \Rightarrow R ight)$ đúng, $\left( \overline{Q} \Rightarrow R ight) \Rightarrow P$ đúng.

$R$ đúng, $\overline{Q}$ đúng nên $R \Leftrightarrow \overline{Q}$ đúng.

$R$ đúng, $P$ đúng nên $R \Rightarrow P$ đúng,

$R \Rightarrow P$ đúng, $Q$ sai nên $(R \Rightarrow P) \Rightarrow Q$ sai.

Chọn đáp án $(R \Rightarrow P) \Rightarrow Q$ .
Câu 44: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(0; - 3),\ B(2;1),\ D(5;5)$ Tìm tọa độ điểm $C$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- A.
  $C(3;1).$
- B.
  $C( - 3; - 1).$
- C.
  $C(7;9).$
- D.
  $C( - 7; - 9).$
Gọi $C(x;y).$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;4) \\ \overrightarrow{DC} = (x - 5;y - 5) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\overset{}{ightarrow}\left\{\begin{matrix}2 = x - 5 \\4 = y - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 7 \\y = 9 \\\end{matrix} ight.$ $\ \overset{}{ightarrow}C(7;9).$
Câu 45: Thông hiểu
Cho mệnh đề chứa biến $P(n):``n^{2} - 1$ chia hết cho 4” với $n$ là số nguyên. Xét xem các mệnh đề $P(5)$ và $P(2)$ đúng hay sai?
- A.
  $P(5)$ đúng và $P(2)$ đúng.
- B.
  $P(5)$ sai và $P(2)$ sai.
- C.
  $P(5)$ đúng và $P(2)$ sai.
- D.
  $P(5)$ sai và $P(2)$ đúng.
Thay $n = 5$ và $n = 2$ vào $P(n)$ ta được các số $24 \vdots 4$ và $3$ không chia hết cho $4$ . Vậy $P(5)$ đúng và $P(2)$ sai.

70 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo Đề 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!