Cho hình vuông
, dựng các hình vuông
với
là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Biết các hình vuông nhỏ có kích thước
. Tính độ dài vectơ:
![]()
![]()
![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:
Cho hình vuông
, dựng các hình vuông
với
là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Biết các hình vuông nhỏ có kích thước
. Tính độ dài vectơ:
![]()
![]()
![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:
Hãy tìm số trung bình của mẫu số liệu khi cho bảng tần số dưới đây:
|
Giá trị |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
Tần số |
1 |
4 |
9 |
5 |
2 |
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Vậy đáp án bằng
Trong mặt phẳng tọa độ
cho tọa độ hai điểm
. Tính tọa độ vecto
?
Ta có:
Vậy .
Cho
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: điểm cuối cung
thuộc góc phần tư thứ
Cho số gần đúng
với độ chính xác
. Số quy tròn của số
là:
Độ chính xác nên ta làm tròn số
đến hàng nghìn, ta được kết quả là
.
Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
?
Thay (0; 1) vào bất phương trình, ta được: 1 < 1 (sai). Do đó cặp số này không là nghiệm của bất phương trình.
Điểm thi học kì của một học sinh như sau: 4 6 7 2 10 9 3 5 8 7 3 8.
Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
.
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
Hệ thức sai là:
Vì (tính chất giao hoán)
Miền nghiệm của bất phương trình
không chứa điểm có tọa độ:
Ta có:
Thay vào bất phương trình ta được:
Vậy không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Cho A = {1; 3; 4; 7} và B = {3; 5; 7; 10} . Tập A\ B là:
Ta có: A\ B = {1; 4}.
Cho tập hợp
và
Tập
là:
Giải hệ phương trình:
. Nghiệm (x; y) là:
Đặt
Hệ phương trình ban đầu trở thành:
Với S = 5; P = 6 ta có:
Với S = -10; P = 21 ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2), (2; 3), (-3; -7), (-7, -3)
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 
Thay tọa độ vào hệ ta được:
ta thấy cả 3 bất phương trình đều thỏa mãn. Do đó điểm này thuộc miền nghiệm của hệ.
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì và
nên đáp án
sai.
Vì nên đáp án
và
cùng phương sai.
Vì nên đáp án
vuông góc với
đúng.
Cho
và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn ![]()
Có một và chỉ một điểm D thỏa mãn
Cho tam giác đều
cạnh
Biết rằng tập hợp các điểm
thỏa mãn đẳng thức
là đường tròn cố định có bán kính
Tính bán kính
theo ![]()
Gọi là trọng tâm của tam giác
Ta có
Chọn điểm sao cho
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
Khi đó
Do đó
Vì là điểm cố định thỏa mãn
nên tập hợp các điểm
cần tìm là đường tròn tâm
bán kính
Tìm mệnh đề chứa biến.
“” là mệnh đề chứa biến.
Cho tam giác
, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
Ta có:
Trong mặt phẳng tọa độ
, gọi
là trực tâm tam tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có: là trực tâm tam giác ABC nên
Ta có hệ phương trình
Vậy biểu thức
Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64
. Giá trị sin A là:
Ta có:
Ba nhóm học sinh gồm 5 người, 10 người và 15 người. Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là 48 kg, 45kg và 40 kg. Khối lượng trung bình của 3 nhóm học sinh là:
Khối lượng trung bình của 3 nhóm học sinh là:
Kết quả làm tròn số
đến chữ số thập phân thứ hai là:
Ta có:
Hãy chọn kết quả lần lượt là số trung bình và phương sai của mẫu số liệu
?
Ta có:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Phương sai của mẫu số liệu là:
Vậy số trung bình và phương sai của mẫu số liệu lần lượt là: .
Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có:.
Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
và
sao cho
. Độ dài lớn nhất của đoạn
bằng:
Theo định lí hàm sin, ta có:
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi
.
Khi đó .
Cho
là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn hơn
,
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Liệt kê các phần tử của tập hợp đã cho ta có kết luận đúng là:
Cho một mẫu dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm
. Khi đó khoảng biến thiên
của mẫu số liệu bằng:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng:
Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:
Ta có: M là trung điểm của AB
Vậy biểu thức sai là:
Tập
bằng tập nào sau đây?
Cho A = {a, b}. Số tập con của A là:
Ta có: Số tập hợp con của tập có phần tử là
. Do đó số tập con của A là
.
Cho tam giác
thỏa mãn
. Khi đó, góc
có số đo là:
Theo đề bài ra ta có:
.
Trong hệ tọa độ
cho hình bình hành
, điểm
thuộc trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?
Từ giả thiết suy ra cạnh thuộc trục hoành
cạnh
song song với trục hoành nên
. Do đó loại đáp án
có tung độ khác
và đáp án hai điểm
có tung độ khác nhau.
Nếu có hoành độ bằng
: mâu thuẩn với giả thiết
là hình bình hành. Loại đáp án
có hoành độ bằng
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn
Cách 2. Gọi là tâm của hình bình hành
. Suy ra
là trung điểm
là trung điểm
Từ đó suy ra
Cho hình bình hành ABCD, với giao điểm hai đường chéo I. Khi đó:
Ta có: (2 vectơ đối nhau).
Cho tam giác
, gọi
là trung điểm của
và
là trọng tâm của tam giác
. Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
Ta có
Mặt khác và
cùng hướng
hay
.
Trong hệ tọa độ
cho ba điểm
Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành.
Gọi Ta có
Tứ giác là hình bình hành
Điểm cuối của
thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
Điểm cuối của thuộc góc phần tư thứ hai
.
Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
trên miền xác định bởi hệ
là :
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
Ta có
Cho tam giác
có
. Tính độ dài cạnh
.
Áp dụng định lí côsin:
.
Suy ra .
Cho bốn điểm phân biệt
và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để
?
Ta có:
là hình bình hành.
Mặt khác, là hình bình hành
.
Do đó, điều kiện cần và đủ để là
là hình bình hành.
Cho tam giác
có
là trung điểm của
là trọng tâm của tam giác
Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì là trọng tâm của tam giác
nên
Vì
là trung điểm của
nên
Do đó
Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.
Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)
Diện tích trông rau là: 4 (ha)
Bác Hùng tính trồng rau và hoa trên một lô đất rộng 10ha. Nếu trồng rau cần 20 công và thu 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng hoa cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Biết rằng rau do các thành viên trong gia đình chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn hoa gia đình thuê nhân công với giá 100.000 đồng cho mỗi công. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất.
Diện tích trồng hoa là: 6 (ha)
Diện tích trông rau là: 4 (ha)
Gọi diện tích trồng rau và hoa gia đình cần trồng lần lượt là: (ha)
Điều kiện:
Số tiền cần bỏ ra để thuê người trồng hoa là (trồng).
Lợi nhuận thu được là
(đồng).
Vì số công trồng rau không vượt quá nên
Ta có hệ bất phương trình sau:
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của trên miền nghiệm của hệ
.
Miền nghiệm của hệ là tứ giác
(kể cả biên).
Hình vẽ minh họa
Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất khi
là toạ độ của một trong các đỉnh
.
=> lớn nhất khi
Như vậy cần 4 ha trồng rau và 6 ha trồng để thu về lợi nhuận lớn nhất
Cho hai số thực x, y thoả mãn
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của biểu thức
.
Từ giả thiết suy ra và
,
chính là khoảng cách giữa
số
và
trên trục số.
nhỏ nhất khi
và
;
lớn nhất khi
và
.
Vậy .
Cho A là tập hợp các bội của 2, B là tập hợp các bội của 8. Chọn khẳng định đúng:
Số lượng phần tử của tập hợp các bội của 2 nhiều hơn số lượng phần tử tập hợp các bội của 8. Mà đã là bội của 8 thì cũng là bội của 2.
Do đó
Cho ba điểm
phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt thẳng hàng là
.
Cho tam giác
có
, độ dài các cạnh tam giác thỏa mãn biểu thức
với
là số thực lớn hơn
. Tính độ lớn góc
?
Áp dụng định lí cosin ta có:
Ta có:
Từ đó suy ra