Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos3a = 4\cos^{3}a - 3\cos a

  • Câu 2: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.

    Ta có:

    Cấp số cộng có k số hạng gồm có u_{1} = -3 và số hạng cuối u_{k} =23.

    Khi đó:

    u_{k + 1} = u_{1} + (k -1)d

    \Leftrightarrow 23 = - 3 + (k -1).2

    \Leftrightarrow k = 14

    Do đó n = k - 2 = 12

  • Câu 4: Vận dụng

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=\sqrt{4\sin x+5} lần lượt là:

     Ta có: 

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - 4 \leqslant 4\sin x \leqslant 4 \hfill \\ \Rightarrow - 4 + 5 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 4 + 5 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 9 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant \sqrt {4\sin x + 5} \leqslant 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = \sin \frac{\pi }{3} có nghiệm là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = \sin \dfrac{\pi }{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    a) Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = \lim_{x ightarrow 1}f(x) + \lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 1

    b) Ta có:

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \lim_{x ightarrow a^{+}}f(x) = f(a);\lim_{x ightarrow b^{-}}f(x) = f(b)

    c) \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} ight)}{x\left( 5 +\dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x^{3}.\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}}}{5 + \dfrac{1}{x}} ight)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{3 - \frac{2}{{{x^3}}}}}{{5 + \frac{1}{x}}}} ight) = \frac{3}{5} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^4} - 2x}}{{5x + 1}} = - \infty

    d) Ta có:

    f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)(*)

    \Rightarrow f\left( \frac{1}{x} ight) + 2f(x) = \frac{3}{x};(x eq 0)(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 2f(x) = \dfrac{3}{x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\2f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 4f(x) = \dfrac{6}{x} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f(x) = - x + \frac{2}{x}

    Do đó: \lim_{x ightarrow\sqrt{2}}\dfrac{f(x)}{x - \sqrt{2}} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\left(\dfrac{- x + \dfrac{2}{x}}{x - \sqrt{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)\left( x + \sqrt{2} ight)}{x\left( x - \sqrt{2} ight)} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)}{x} = - 2

  • Câu 7: Vận dụng

    Tính giá trị của giới hạn \lim\dfrac{1^{2}+ 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)}.

    Đặt P(n) = \frac{2n^{3} - 3n^{2} + n}{6} = \frac{n(n - 1)(2n + 1)}{6}thì ta có:

    1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}

    = \left\lbrack P(2) - P(1) ightbrack + \left\lbrack P(3) - P(2) ightbrack + ... + \left\lbrack P(n + 1) - P(n) ightbrack

    = P(n + 1) - P(1) = \frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6}

    Do đó: \lim\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)} = \lim\frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6n\left( n^{2} + 1 ight)} = \frac{1}{3}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} K \in AD \hfill \\ AD \in \left( {SAD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow K \in \left( {SAD} ight) mà K \in BM nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho ba mặt phẳng (\alpha),(\beta),(\gamma) lần lượt giao nhau theo các giao tuyến phân biệt m,n,d. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì m,n,d đôi một song song hoặc đồng quy.

  • Câu 10: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 11: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 12: Nhận biết

    Kết quả của giới hạn \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} bằng

    Có \lim q^{n} = 0 nếu |q| < 1.

    Vì \left| \frac{1}{2} ight| < 1 nên \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Tính tổng S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}}. Biết dãy số (un) xác định bởi: {u_1} = \frac{1}{3};{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n}

     Ta có:

    {u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{3n}}

    Do {u_1} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}

    Từ đó suy ra:

    \begin{matrix} \dfrac{{{u_2}}}{2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = {\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^2} \hfill \\ \dfrac{{{u_3}}}{3} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^2} = {\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^3} \hfill \\ ... \hfill \\ \dfrac{{{u_{10}}}}{{10}} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^9} = {\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^{10}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay dãy \left( {\frac{{{u_n}}}{n}} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu {u_1} = \frac{1}{3},q = \frac{1}{3}

    Khi đó S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = \frac{{{3^{10}} - 1}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho ba mặt phẳng phân biệt \left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight) có \left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2}; \left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}. Khi đó ba đường thẳng {d_1},\;{d_2},\;{d_3}:

    Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,BC lần lượt lấy các điểm M,N làm trung điểm, lấy P \in BC sao cho \frac{CP}{PD} = 2 và Q \in AD sao cho bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Xét mặt phẳng (BCD) ta có: \frac{CP}{PD} = 2

    => E = NP \cap BD

    Vì M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC do đó MN//AC

    \Rightarrow PQ//AC

    Mà CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD hay \frac{QA}{DQ} = 2.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi I là trung điểm của AB. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B'D' \subset (B'D'I) \\ BD \subset (ABCD) \\ BD//B'D' \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra giao tuyến của (B'D'I) và (ABCD) là đường thẳng IE qua I song song với BD; (E \in AD).

    Vì IE//B'D' nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình thang IED'B'.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Điều kiện xác định của hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1} là:

    x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1

    Suy ra tập xác định của hàm số là: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Nên hàm số không liên tục tại các điểm x eq \pm 1.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho \sin x +cosx = \frac{1}{2}. Tính giá trị biểu thức A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x}

    Do \sin x + cosx = \frac{1}{2} nên bình phương hai vế ta được:

    1 + 2sinx\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrowsin2x = - \frac{3}{4}

    Vậy A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x} =\frac{1 - 3/4}{1 + 3/4} = \frac{1}{7}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD) với Sx \parallel AB \parallel CD.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n + 5. Số 19 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

    Ta có

    u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19

    \Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7.

    Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA, điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC. Khi đó:

    a) EF//AC Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AC. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) đường thẳng qua M và song song với BC. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) là đường thẳng qua Mvà song song với AC. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA, điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC. Khi đó:

    a) EF//AC Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AC. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) đường thẳng qua M và song song với BC. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) là đường thẳng qua Mvà song song với AC. Đúng||Sai

    b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) :

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD). \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra Sx = (SAB) \cap (SCD), với Sx là đường thẳng qua S và Sx//AB//CD.

    Hình vẽ minh họa

    c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD):

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAD) \\ M \in (MBC) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD) ight..

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} M \in (MBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (MBC);AD \subset (SAD).\ \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra My = (MBC) \cap (SAD),My là đường thẳng qua M và My//BC//AD.

    d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) :

    Ta có :\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAC) \\ M \in (MEF) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC) ight..

    Xét tam giác ABC, ta có EF là đường trung bình \Rightarrow EF//AC.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} M \in (MEF) \cap (SAC) \\ EF \subset (MEF);AC \subset (SAC).\ \\ EF//AC \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra Mt=( M EF )\cap( SAC ), Mt là đường thẳng qua M và Mt//EF//AC.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng
  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 12; \frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243. Tính {u_9}

    Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_3} = {u_1}.{q^2}} \\ {{u_8} = {u_1}.{q^7}} \end{array}} ight. \Rightarrow \dfrac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^2}}}{{{u_1}.{q^7}}} = \dfrac{1}{{{q^5}}} \hfill \\ \Rightarrow q = d\frac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow {u_9} = {u_1}.{q^8} = 12.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^8} = \dfrac{4}{{2187}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Giá trị của \lim\sqrt[n]{a} với a> 0 bằng:

    Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.

    • Với  a > 1 thì khi đó: a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)

    Suy ra: 0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0 nên \lim\sqrt[n]{a} = 1

    • Với 0 < a < 1 thì khi đó:  \frac{1}{a} >1 .

    Suy ra: \lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1

    Tóm lại ta luôn có: \lim\sqrt[n]{a} =1 với a > 0 .

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB, hai điểm P,Q phân biệt thuộc đường thẳng CD. Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng MP và NQ là:

    Giả sử đường thẳng MP và NQ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

    Khi đó AB và CD cùng thuộc một mặt phẳng hay ABCD là một tứ giác (trái giả thiết).

    Vậy đường thẳng MP và NQ chéo nhau.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = \dfrac{1}{{{3^1} - 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ {u_2} = \dfrac{2}{{{3^2} - 1}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ {u_3} = \dfrac{3}{{{3^3} - 1}} = \dfrac{3}{{26}} \hfill \\ \end{matrix}

    Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}

  • Câu 27: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \cos x - \frac{\pi }{4} đi qua điểm nào sau đây?

     Thay giá trị x = - \frac{\pi }{2};y = \frac{\pi }{4} vào hàm số ta có:

    \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} ight) - \frac{\pi }{4} =- \frac{\pi }{4}

    Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là: y = \cos x - \frac{\pi }{4}

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho dãy số (un) xác định bởi {u_1} = \frac{{ - 41}}{{20}};{u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1;\left( {n \geqslant 1} ight). Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.

    Ta có: {u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} + \frac{1}{{20}} = 21\left( {{u_n} + \frac{1}{{20}}} ight)

    Đặt {v_n} = {u_n} + \frac{1}{{20}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = 21{v_n}

    Khi đó (vn) là một cấp số nhân với và công bội q = 21

    Do đó số hạng tổng quát của dãy (vn) là {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - {2.21^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = - {2.21^{n - 1}} - \frac{1}{{20}}

    => {u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

    Tập D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\} là tập xác định của hàm số y = \cot2x. Đúng||Sai

    Số nghiệm của phương trình \sin x + \cos x = 0 trên khoảng (0;\pi) là 3 nghiệm.Sai||Đúng

    Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt{3}\cos x + m = 1 có nghiệm. Đúng||Sai

    Số vị trí biểu diễn của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

    a) Điều kiện xác định của hàm số y = cot2xlà:

    2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    b) Ta có:

    \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi

    \Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} mà k\mathbb{\in Z} suy ra k = 1

    Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

    c) Ta có: \sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}

    Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

    - 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

    d) Ta có:

    \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} trên đường tròn lượng giác là 2.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} bằng:

    A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 3} = - \frac{2}{3}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

    Hàm số y = \sin xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    Hàm số y = \cos\sqrt{x} xác định trên D = \lbrack 0; + \infty)

    Hàm sốy = \tan x xác định trên D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1

    c) Xét hàm số 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x) liên tục trên \mathbb{R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Vì \left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).

    d) Ta có: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n - 1} + 3;(n \geq 2) \\ \end{matrix} ight.. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:

    Tìm số hạng tổng quát của dãy số

    Dự đoán u_{n} = 5.2^{n - 1} - 3;(n \geq 2)

    Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp

    Với n = 1 ta có: u_{2} = 5.2 - 3 = 7(tm)

    Giả sử u_{k} = 5.2^{k - 1} - 3, khi đó ta có:

    u_{k + 1} = 2u_{k} + 3

    = 2\left( 5.2^{k - 1} - 3 ight) + 3

    = 5.2^{k} - 3

    Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

    Ta có: u_{n} < 1000 \Rightarrow 2^{n - 1} < \frac{1003}{5} = 200,6

    Mà 2^{7} = 128;2^{8} = 256

    Nên ta chọn 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n = 8

    Vậy u_{8} là số hạng cần tìm.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và điểm M nằm giữa A và B. Giả sử (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AB'D'). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm hình xác định bởi các giao tuyến

    Nhận thấy (BC’D) // (AB’D’)

    => (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)

    Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra (P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN, kết hợp với (AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’ suy ra MN // AB’, suy ra N thuộc cạnh BB’.

    Tương tự, giả sử (P) ∩ (B’C’) ≡ P suy ra (P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP.

    Kết hợp với (1) suy ra NP // BC’

    Tương tự, (P) ∩ (C’D’) ≡ Q sao cho PQ // B’D’; (P) ∩ DD’≡ G sao cho QG // C’D; (P) ∩ AD ≡ H sao cho GH // AD’.

    Từ đó suy ra thiết diện là lục giác MNPQGH.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn \lbrack0;\pibrack. Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD = \frac{2\pi}{3}. Tính độ dài cạnh BC.

    Gọi A\left( {a;\sin a} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} = a + \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {{y_B} = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight)} \end{array}} ight.

    Mặt khác

    \begin{matrix} {y_A} = {y_B} \Rightarrow \sin a = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight) \hfill \\ \Rightarrow a = \pi - a - \dfrac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó BC = AD = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}

  • Câu 35: Vận dụng

    Biết \lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n} = \frac{a - \sqrt{b}}{c} (biết a,b,c là các số nguyên dương). Tính a^{2} + b^{2} + c^{2}?

    Đáp án: 14

    Đáp án là:

    Biết \lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n} = \frac{a - \sqrt{b}}{c} (biết a,b,c là các số nguyên dương). Tính a^{2} + b^{2} + c^{2}?

    Đáp án: 14

    Ta có:

    \lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n}= \lim\frac{n.\left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}} ight)}{n\left( 3 +\frac{4}{n} ight)}

    = \lim\frac{1 - \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}}}{3 + \frac{4}{n}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{3}

    Do đó a = 1,b = 2,c = 3 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12. Số đo của góc lượng giác (OG;OP) là:

    Góc lượng giác (OG;OP) chiếm \frac{1}{4} đường tròn

    => Số đo là: \frac{1}{4}.2\pi + k2\pi= \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 38: Nhận biết

    Gọi x_0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Điều kiện: 1 - \sin 2x e 0 \Leftrightarrow \sin 2x e 1

    Phương trình \frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0

    \Leftrightarrow \cos 2x = 0\xrightarrow{{{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x = 1}}\left[ \begin{gathered} \sin 2x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L) \hfill \\ \sin 2x = - 1\,\,\,\,\,(TM) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Cho - \frac{\pi }{4} + k\pi > 0\xrightarrow{{}}k > \frac{1}{4}.

    Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với  k = 1 \to x = \frac{{3\pi }}{4} \in \left[ {\frac{{3\pi }}{4};\pi } ight].

  • Câu 39: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 1, tức là ta cần có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1

    Khi đó (*) không thỏa mãn với mọi m\mathbb{\in R}

    Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm I;J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD, MC = MD,(M \in CD). Mặt phẳng nào dưới đây song song với đường thẳng IJ?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    IJ//EF//BD \Rightarrow IJ//(SBD)

  • Câu 41: Nhận biết

    \tan x có nghĩa khi nào?

    Để \tan x có nghĩa thì \cos x e 0

    => x eq \frac{\pi}{2} +k\pi

  • Câu 42: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ d = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính tổng T = m + n.

    Ta có:

    0,5111... = 0,5 + 10^{- 2} + 10^{- 3} + ... + 10^{- n} + ...

    Dãy số 10^{- 2};10^{- 3};...;10^{- n};,,, là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = 10^{- 2}, công sai là q = 10^{- 1}

    => S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{10^{- 2}}{1 - 10^{- 1}} = \frac{1}{90}

    Vậy 0,5111... = 0,5 + S = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 23 \\ n = 45 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 68

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 81 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập