Giá trị của giới hạn
là:
Ta có:
Giá trị của giới hạn
là:
Ta có:
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

Kí hiệu
là chu vi của hình vuông thứ
và
là tổng chu vi của
hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính
và
và tìm lim
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Đáp án: 13,66
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
Kí hiệu là chu vi của hình vuông thứ
và
là tổng chu vi của
hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính
và
và tìm lim
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Đáp án: 13,66
Ta có:
Cho vòng tròn lượng giác được kí hiệu như sau:

Điểm nào biểu diễn nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Vậy chỉ có hai điểm C và điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy => "
chéo nhau" sai.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao
so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?
Đáp án: 45
Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?
Đáp án: 45
Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là .
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là .
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là ……
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần là
Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:
.
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số:
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Đáp án: 105
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: . Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Đáp án: 105
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Ta có:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.
=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.
Cho cấp số nhân
có tổng n số hạng đầu tiên là
. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.
Mặt khác
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Kiểm tra được ;
;
là các hàm số chẵn.
là hàm số lẻ.
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tính
.
Ta có:
Đặt
Từ đó:
Khi đó:
Từ đó ta có:
Vậy
=>
Tính giới hạn
?
Ta có:
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Ta có thuộc gốc phần tư thứ I
=> Hàm số đồng biến trên khoảng
Giá trị của
với
bằng:
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra:
Vậy .
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Ta có:
Dãy số là cấp số nhân
Gọi là công bội.
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.”
Cho cấp số cộng (Un) có
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho góc
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Góc được biểu diễn như hình vẽ, khi đó
.
Tung độ của điểm là
suy ra
Mệnh đề đúng là .
Hàm số nào sau đây không liên tục tại
?
Hàm số có tập xác định
nên không liên tục tại
.
Cho hàm số
. Để hàm số liên tục tại
thì
nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: -14||- 14
Cho hàm số . Để hàm số liên tục tại
thì
nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: -14||- 14
Tập xác định của hàm số là
.
Ta có
Hàm số đã cho liên tục tại
.
Tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Vậy suy ra ,
Nghiệm của phương trình đã cho là: ,
.
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình .
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được
vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Số đo góc quay của vòng là
.
Kết quả của giới hạn ![]()
Ta có:
. Khi đó:
(vì )
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Cho dãy số
với
. Tính
.
Ta có:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định
Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng
tùy ý thể là:
Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.
=> Không thể là lục giác.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính công sai
của cấp số cộng đó:
Ta có:
Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó tỉ số độ dài
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành
Vì là hình bình hành nên
Từ đó ta có:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra hay
Hàm số
có chu kì bằng bao nhiêu?
Chu kì của hàm số là:
Rút gọn biểu thức ![]()
Vì hai góc và
phụ nhau nên
Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.
Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Xét hai mặt phẳng và
ta có:
là điểm chung
Mà với
là đường thẳng đi qua
và song song với
.
Tính giới hạn
.
Ta có:
Ta lại có:
Cho dãy số
xác định bởi
. Giá trị
là
Ta có: .
Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:
Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là điểm thuộc đoạn
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Hình vẽ minh họa
Giả sử . Nối
với
cắt
tại
Suy ra
Ta có: . Suy ra
.
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là
Cho dãy số
với
. Dãy số
là dãy số
Ta có:
Vậy dãy số là dãy số tăng.
Gọi T là tập giá trị của hàm số
. Tìm tổng các giá trị nguyên của T.
Ta có:
Vì
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7.