Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Điều kiện xác định của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}

     Điều kiện xác định của hàm số:

    \begin{matrix} \sin x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x e k\pi ,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = \sin 3x và y = \sin x bằng nhau?

     Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = x + k2\pi \hfill \\ 3x = \pi - x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính P = mn

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Dãy số \frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{35}{10^{2}}, công sai là q = 10^{- 2}

    => S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}

    Vậy 0,353535 = \frac{35}{99}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn \lbrack0;\pibrack. Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD = \frac{2\pi}{3}. Tính độ dài cạnh BC.

    Gọi A\left( {a;\sin a} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} = a + \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {{y_B} = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight)} \end{array}} ight.

    Mặt khác

    \begin{matrix} {y_A} = {y_B} \Rightarrow \sin a = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight) \hfill \\ \Rightarrow a = \pi - a - \dfrac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó BC = AD = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \cos2x - 4\cos x + 4. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)?

    Ta có:

    y =f(x) = \cos2x - 4\cos x + 4

    = 2\cos^{2}x - 4\cos x + 3

    Đặt \cos x = t,t \in \lbrack - 1;1brack. Xét hàm số f(t) = 2t^{2} - 4t + 3 trên đoạn \lbrack - 1;1brack

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta có: \left\{ \begin{matrix} \max y = \max\underset{t \in \lbrack - 1;1brack}{f(t)} = 9 \\ \min y = \min\underset{t \in \lbrack - 1;1brack}{f(t)} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi (P) bằng

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC.

    Vì (P)//(ABC) nên theo định lí Talet, ta có \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}.

    Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = \frac{2}{3}.

    Vậy S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho tứ diện đều ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có 3 đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

    Đáp án: 216

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có 3 đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

    Đáp án: 216

    Hình vẽ minh họa

    Không mất tính tổng quát, xét mặt bên \Delta ABC.

    Giả sử MN song song với BC. Khi đó, số tam giác có cạnh MN nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm \Delta PMN, \Delta QMN, \Delta IMN,\Delta JMN, \Delta KMN, \Delta LMN.

    Trong mặt bên \Delta ABC, nối các điểm chia đều các cạnh AB,BC,CA ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với AB, 3 đoạn thẳng song song với BC và 3 đoạn thẳng song song với CA.

    Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.

    Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là 6.(3 + 3 + 3).4 = 216.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho phương trình bậc ba: {x^3} + \left( {5 - m} ight){x^2} + \left( {6 - 5m} ight)x - 6m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} {x^3} + \left( {5 - m} ight){x^2} + \left( {6 - 5m} ight)x - 6m = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - m} ight)\left( {{x^2} + 5x + 6} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = m} \\ {x = - 2} \\ {x = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Để ba nghiệm của phương trình lập thành một cấp số nhân

    \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 2} ight).\left( { - 3} ight) = {m^2}} \\ { - 3m = {{\left( { - 2} ight)}^2}} \\ { - 2m = {{\left( { - 3} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \pm \sqrt 6 } \\ {m = - \dfrac{4}{3}} \\ {m = - \dfrac{9}{2}} \end{array}} ight.

     

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.

    Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \\ {\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{8}{2} = \dfrac{z}{8}} \\ {\dfrac{{128}}{z} = \dfrac{z}{8}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = 32} \\ {{z^2} = 1024} \end{array}} ight. \Rightarrow z = 32

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}ta được kết quả bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}

    = \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Hình biểu diễn của một hình thoi là hình nào sau đây?

    Hình biểu diễn của một hình thoi là hình bình hành.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a//b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:

    Giả sử b//c

    => c // a (mâu thuẫn với giả thiết). 

    Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 13: Nhận biết

    Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?

    Xét đồ thị hàm số

    Vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y nên hàm số không liên tục tại x = 1

  • Câu 14: Vận dụng

    Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50000 + 105x. Tính \lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x) và cho biết ý nghĩa của kết quả.

    Đáp án: 105

    Đáp án là:

    Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50000 + 105x. Tính \lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x) và cho biết ý nghĩa của kết quả.

    Đáp án: 105

    Ta có:

    {\lim}_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x) = \lim_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\frac{50000 + 105x}{x}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\dfrac{x\left( \dfrac{50000}{x} + 105ight)}{x}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\left( \frac{50000}{x} + 105 ight) = 105

  • Câu 15: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6

    Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5

    Từ đó suy ra y = 6x = 216/5

  • Câu 16: Thông hiểu

    Kết quả đúng của \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} = \lim\frac{- 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}\ }{\sqrt{3 + \frac{2}{n^{2}}\ }}

    = \frac{- 1 + 0 + 0}{\sqrt{3 + 0}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) . Khi đó:

    a) Khi L = 3 thì a = - 6. Đúng||Sai

    b) Khi L > 0 thì a > 0. Sai||Đúng

    c) Khi L = 2 thì a = 4. Sai||Đúng

    d) L = - 6 thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình x^{2} + 11x - 12 = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) . Khi đó:

    a) Khi L = 3 thì a = - 6. Đúng||Sai

    b) Khi L > 0 thì a > 0. Sai||Đúng

    c) Khi L = 2 thì a = 4. Sai||Đúng

    d) L = - 6 thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình x^{2} + 11x - 12 = 0. Đúng||Sai

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) = - 6

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} + ax + 5 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{ax + 5}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\left( \dfrac{a + \dfrac{5}{x}}{- \sqrt{1 + \dfrac{a}{x} +\dfrac{5}{x^{2}}} - 1} ight) = - 6

    \Leftrightarrow \frac{a}{- 2} = - 6 \Leftrightarrow a = 12.

    Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình x^{2} + 11x - 12 = 0.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 18: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{m -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = m \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + m}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} m \in (0;20);m\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{m + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 1;6;13 ight\}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: (SBC) \cap (SAC) = SC

  • Câu 20: Thông hiểu

    Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng là: \sin^{2}a + \cos^{2}a =1

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tập giá trị của hàm số y = {\sin ^2}x - \sin x - 1 là:

     Ta có: y = {\sin ^2}x + \sin x + 1 = {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} ight)^2} - \frac{5}{4}

    Mà \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    => - \frac{5}{4} \leqslant {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} ight)^2} - \frac{5}{4} \leqslant 1

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\ldots Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};

    \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}

    Suy ra u_{n} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Đường thẳng IJ song song với đường thẳng nào?

    Hình vẽ minh họa:

    Dễ dàng thấy được: IJ là đường trung bình của tam giác SAC \Rightarrow IJ // AC.

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b} với k\mathbb{\in Z} và a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018. Tính S = a - b.

    Điều kiện xác định \sin 2^{2018}x eq 0

    Ta có:

    \cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}

    = \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}

    => Phương trình tương đương

    \Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x

    \Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    => \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018

  • Câu 26: Thông hiểu

    Giải phương trình \sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0.

    Phương trình

    \sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi

    \Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

    Vậy đáp án cần tìm là: x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Tập xác định của hàm số f(x)là \mathbb{R}.

    Ta có f(1) = \frac{a + 15}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}

    Hàm số đã cho liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n} = \frac{1}{2 - u_{n - 1}},\ \forall n \geq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó u_{3} có giá trị bằng

    Theo công thức truy hồi ta có

    u_{2} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{4}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính tổng sau S = 1 + 5 + 9 + ... + 397

    Ta có:

    S = 1 + 5 + 9 + ... + 397 là tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có u_{1} = 1;d = 4

    \Rightarrow S = S_{100} = \frac{100}{2}.(2.1 + 99.4) = 19900.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

    Ta có 2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}

    = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}

    = cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x

    Vậy S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 là:

     \begin{matrix} \sin x + \cos x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác'' ?

    Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R =1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AB và BC,N là điểm thuộc đoạn CD sao cho CN = 2ND. Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN). Tính tỉ số \frac{PA}{PD}.

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử LN \cap BD = I. Nối K với I cắt AD tại P Suy ra (KLN) \cap AD = P
    Ta có: KL//AC \Rightarrow PN//AC. Suy ra \frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Biến đổi thành tích biểu thức \frac{sin7\alpha - sin5\alpha}{sin7\alpha + sin5\alpha} ta được

    Ta có \frac{sin7\alpha - sin5\alpha}{sin7\alpha + sin5\alpha} = \frac{2cos6\alpha \cdot sin\alpha}{2sin6\alpha \cdot cos\alpha} = \cot{6\alpha}.tan\alpha

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng phân biệt m,n và mặt phẳng (\beta). Giả sử m//(\beta);n//(\beta). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    m//(\beta) \Rightarrow \exists m':\left\{ \begin{matrix} m'//m \\ m' \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.

    n//(\beta) \Rightarrow \exists n':\left\{ \begin{matrix} n'//n \\ n' \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết m, n là hai đường thẳng phân biệt.

    Nếu m song song với n thì m’ // n’.

    Nếu m’, n’ cắt nhau thì m, n cắt nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 37: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 38: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có: \pi rad tương ứng với 180^{0}

    => 1rad ightarrow x^{0}

    \Rightarrow x^{0} = \frac{180.1}{\pi} =\frac{180}{\pi}

  • Câu 39: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

    Nếu \lim u_{n} = 0, thì \lim{|u_{n}|} = 0

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M, N, P, R, Q, L lần lượt là trung điểm SD, SB, DC, BC, AD, AB. Khi đó khẳng định nào sai?

    Hình vẽ minh họa

    Qua phép chiếu song song theo phương SC lên mặt phẳng (ABCD) biến: M thành P, N thành R.

    Do đó MP// NR

    => MP // (NLR)

    Qua phép chiếu song song theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) biến: N thành L, R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

    Vậy (NLR)//(MQP)

    Vậy khẳng định sai là: AD//(NLR)

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

    Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + m = xn} \\ {z = x + 2m = x{n^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow m = x{n^2} - xn \hfill \\ \Rightarrow x + x{n^2} - xn = xn \hfill \\ \Rightarrow {n^2} - 2n + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 1 \Rightarrow m = 0 \Rightarrow x = y = z \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 42: Nhận biết

    Giá trị của C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} bằng:

    Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

    lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm AB,\ \ J là điểm thuộc cạnh AD sao cho JD = \frac{1}{3}JA, gọi E = IJ \cap BD. Tìm giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD). Giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) cắt đoạn BD tại mấy điểm.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm AB,\ \ J là điểm thuộc cạnh AD sao cho JD = \frac{1}{3}JA, gọi E = IJ \cap BD. Tìm giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD). Giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) cắt đoạn BD tại mấy điểm.

    Đáp án: 0

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (ABD), có E = IJ \cap BD.

    Suy ra E không thuộc đoạn BD.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} E \in IJ;IJ \subset (CIJ) \\ E \in BD;BD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow E \in (CIJ) \cap (BCD)

    \Rightarrow CE = (CIJ) \cap (BCD)

    Mà C,E không thuộc đoạn BD nên giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) không cắt đoạnBD.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}

    Ta có: Khi a = - 2 thì \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. liên túc tại x = \sqrt{3}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập