Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Xét dãy số
Ta có: => Dãy số là cấp số nhân
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Xét dãy số
Ta có: => Dãy số là cấp số nhân
Giải phương trình
ta được nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất lần lượt là:
Ta có:
Suy ra:
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: ứng với
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: ứng với
Hàm số nào không liên tục tại
?
Ta có hàm số không xác định tại
nên hàm số không liên tục tại
NB
Tìm tập xác định
của hàm số
?
Ta có:
Hàm số được xác định khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là:
Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Khi đó:
Đồng thời
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Rút gọn biểu thức
với ![]()
Ta có:
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng
?
Xét phương án :
có
=> Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
Đặt , phương trình trở thành:
.
=> Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
, xét
.
Mặc khác hàm số liên tục trên
do đó liên tục trên
.
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho tứ diện
. Gọi
là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
, hai điểm
phân biệt thuộc đường thẳng
. Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng
và
là:
Giả sử đường thẳng và
không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó và
cùng thuộc một mặt phẳng hay
là một tứ giác (trái giả thiết).
Vậy đường thẳng và
chéo nhau.
Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
nhận
làm nghiệm
Phương trình nhận làm nghiệm
vậy m = -4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức
. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
Ta có:
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi
Vì
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Xác định chu kì T của hàm số lượng giác
?
Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì
=> tuần hoàn với chu kì
bằng
Ta có:
Do
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn thỏa mãn:
Ta có:
Suy ra .
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho tổng
. Giá trị S10 là
Cách 1:
Ta có
Suy ra
Vậy .
Cách 2:
Ta có
Suy ra .
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
.
Ta có
.
Cho cấp số nhân
có tổng
số hạng đầu tiên là
với
. Tìm số hạng đầu
và công bội
của cấp số nhân đó?
Ta có:
,
.
Cho cấp số nhân
với
và
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Ta có .
Cho khai triển
. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.
Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại
Vậy tổng các hệ số của khai triển là:
Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và d đi qua S
Cho góc lượng giác
thỏa mãn
và
. Tính ![]()
Ta có:
Từ hệ thức
Do nên
Thay vào biểu thức ta được:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c) Cấp số cộng
thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) Cấp số cộng thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
a) Xét dãy số đã cho ta có:
nên dãy số
không tăng không giảm.
b) đúng bằng chứng minh quy nạp.
c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là
d) Từ giả thiết ta có:
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: .
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
. Đúng||Sai
b) Phương trình
có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu
thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) . Đúng||Sai
b) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Ta có:
Xét phương trình . Đặt
là hàm số liên tục trên
suy ra hàm số cũng liên tục trên
.
Ta có:
Khi đó: nên phương trình
có ít nhất 3 nghiệm
là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.
Ta có:
Nếu suy ra
Ta có:
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Từ hình vuông có cạnh bằng
, người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi
là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n
. Tính tổng
?

Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Từ hình vuông có cạnh bằng , người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi
là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n
. Tính tổng
?
Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử cạnh hình vuông bằng a.
Ta có cạnh của hình vuông được tạo ở bước 1 là
Tương tự như trên, ta có:
,
,…,
Nên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
.
Khi đó .
Với a = 1 suy ra .
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” sai vì chúng có thể cắt nhau.
Mệnh đề “Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.
Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.
Vậy mệnh đề đúng: “Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.”
Tính giới hạn của hàm số
.
Ta có:
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được
vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Số đo góc quay của vòng là
.
Tính giá trị giới hạn ![]()
Ta có:
Cho dãy số
biết
. Ba số hạng đầu tiên của dãy đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Ta có:
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Mà nên
Vậy tập xác định
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
=> Dãy số là cấp số cộng.
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Xác định chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Cho hình chóp tứ giác
,
. Giả sử mặt phẳng
bất kì cắt các cạnh
lần lượt tại
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hình vẽ minh hoạ
Ta thấy:
=> Các đường thẳng đồng quy.
Cho hình chóp
đáy
là hình bình hành tâm
. Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
.
Vậy khẳng định sai là “”