Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}} liên tục trên:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định D = ( - 4;3brack

    => Hàm số liên tục trên ( - 4;3brack

  • Câu 2: Nhận biết

    Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh?

    Hình tứ diện có 6 cạnh.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Xác định nghiệm của phương trình - \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)?

    Ta có:

    - \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)

    \Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SB; (M eq B;M eq S). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (MAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (MAD) \cap (SBC) = Mx//AD//BC

    Trong mặt phẳng (SBC) giả sử SC \cap Mx = N

    Do đó ADMN là giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.

    Vì \left\{ \begin{matrix} AD//MN \\ MN < AD \\ \end{matrix} ight. nên ADMN là hình thang.

  • Câu 5: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác'' ?

    Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R =1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} HK//BC \\ HK ⊄ (SBC) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow HK//(SBC)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{2} = - 6,u_{5} = 48. Tính S_{5}.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ u_{1}.q^{4} = 48 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ q^{3} = - 8 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Vậy S_{5} = \frac{3\left( 1 - ( - 2)^{5} ight)}{1 - ( - 2)} = 33.

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính giới hạn B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight).

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3 + 2x} ight) = - 1 < 0

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {x + 2} ight) = 0} \\ {x \mapsto {{\left( { - 2} ight)}^ - } \Rightarrow x + 2 < 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight) = + \infty

  • Câu 9: Thông hiểu

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Đáp án là:

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cos\alpha = - \frac{4}{5} và \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}. Tính H =\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}

    Ta có:

    H = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}

    H = \frac{1}{2}\left( \sin2\alpha -\sin\alpha ight)

    H = \frac{1}{2}\sin\alpha.(2\cos\alpha -1)

    Mặt khác \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1

    \Rightarrow \sin\alpha = \pm \sqrt{1 -\cos^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}

    Do \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha = - \frac{3}{5}

    Khi đó giá trị biểu thức H là: H = \frac{39}{50}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tất cả các nghiệm của phương trình tan (x) = cot (x) là?

     Điều kiện \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\, \Leftrightarrow \sin 2x e 0\, \Leftrightarrow x e m\frac{\pi }{2}\,{\text{ , }}m \in \mathbb{Z}

    \tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} ight) thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Ta có \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} -1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có \left\{ \begin{matrix}a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13ight\}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD) với Sx \parallel AB \parallel CD.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho phương trình \sin x.\cos x = 1 có nghiệm là:

     Giải phương trình như sau:

    \begin{matrix} \sin x.\cos x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = 2\left( L ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sin 2x \in \left[ { - 1;1} ight]

    vậy phương trình lượng giác đã cho vô nghiệm.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x \sin x, số nghiệm thuộc \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là?

     Ta có: y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x

    y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x

    Do đó

    y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)

    +) Trường hợp 1. Với x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = \frac{\pi }{3}.

    +) Trường hợp 2. Với x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1 ta được x = \frac{{5\pi }}{3}.

    Vậy có 3 nghiệm thuộc x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là

    x = \frac{\pi }{3}; x = -\frac{\pi }{3}; x = \frac{{5\pi }}{3}.

  • Câu 16: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2}{x^2}{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ {\left( {1 - m} ight)x{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;2);(2; + \infty)

    Khi đó hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f(x) liên tục tại x = 2

    Hay \lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(2) = 4m^{2}

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 - m)

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \sin x = 0 là: 

     Ta có:

    \begin{matrix} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1 - m\sin x}{\cos x+ 2}. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [0; 10] để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2?

    Ta có:

    y.(cosx + 2) = 1 – m.sinx

    => m.sinx + y.cosx = 1 – 2y

    Phương trình có nghiệm khi

    \begin{matrix}m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \\\Rightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0 \\\end{matrix}

    Nghiệm của phương trình 3y^{2} - 4y + 1 -m^{2} = 0 là x = \frac{2 \pm\sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    => \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}\leq y \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    => \min y = \frac{2 - \sqrt{3m^{2} +1}}{3}

    Theo yêu cầu bài toán ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} < - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {3{m^2} + 1} > 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \sqrt {21} } \\ {m < - \sqrt {21} } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác m thuộc đoạn [0; 10] nên m = {5; 6; 7; 8; 9; 10}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số\left( {{u_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_{n + 1}} = n{u_n}} \end{array}} ight. với mọi n\geq 1. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 2 \hfill \\ {u_2} = 1{u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} = 2.{u_2} = 2.2 = 4 \hfill \\ {u_4} = 3.{u_3} = 3.4 = 12 \hfill \\ {u_5} = 4.{u_4} = 4.12 = 48 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có un =  − n2 + n + 1. Số  − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?

    Giả sử un =  − 19(n∈ℕ*) Suy ra - n^{2} + n + 1 = - 19 \Leftrightarrow - n^{2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 5 ight. (do  n∈ℕ*).

    Vậy số  − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.

  • Câu 21: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1}{n + 1} bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Suy ra:

    \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ \forall n > n_{0}

    Vậy \lim\frac{1}{n + 1} = 0.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Biết A,B,C là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì A,B,C là các góc của tam giác ABC nên A + B + C = \pi \Rightarrow A + C = \pi - B.

    Khi đó sin(A + C) = sin(\pi - B) = sinB;cos(A + C) = cos(\pi - B) = - cosB.

    tan(A + C) = tan(\pi - B) = - tanB;cot(A + C) = cot(\pi - B) = - cotB.

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.

  • Câu 24: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1

    Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2

    Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1

    Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2

  • Câu 25: Nhận biết

    Giá trị của \lim(2n + 1) bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} > \frac{M - 1}{2}

    Ta có:

    2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}.

    = > \lim(2n + 1) = + \infty

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Các cạnh AC,BD,AB,CD,AD,BC có trung điểm lần lượt là M,N,P,Q,R,S. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    MP // BC // NQ, MP = \frac{1}{2}BC = NQ

    => MPNQ là hình bình hành

    => M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng.

    MR // CD // SN, MR = \frac{1}{2}CD = SN

    => MRNS là hình bình hành

    => M, R, S, N thuộc một mặt phẳng.

    PS // AC // RQ, PS = \frac{1}{2}AC = RQ

    => PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

    Vậy M,P,R,S không thuộc cùng một mặt phẳng.

  • Câu 28: Vận dụng

    Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(un) có {u_1} = - 3;q = - 2

     Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3.\frac{{1 - {{\left( { - 2} ight)}^{10}}}}{{1 + 2}} = 1023

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:

    Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.

    Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED

    Lại có: MD // SI => \frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{MD}}{{SI}} (1)

    ME // IC => \frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{ME}}{{IC}} (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: \frac{{ME}}{{IC}} = \frac{{MD}}{{SI}}

    Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)

    Suy ra MD = ME

    Vậy tam giác MED cân tại M.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (\alpha) chứa AI và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N. Tìm khẳng định đúng dưới dây?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: E là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó: (\alpha) \equiv (AMIN)

    Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên \frac{OS}{OE} = \frac{1}{3}

    MN//BD \Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{OE}{SO} = \frac{1}{3}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)

    Trong (ABCD) có I = EF \cap CD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SI = (SEF) \cap (SCD)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)

    EF//AC do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

    \left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC

    c) Chọn (SBC) chứa FK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.

    (SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

  • Câu 32: Nhận biết

    Tính \cos\alpha biết 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} và \sin\alpha = \frac{1}{4}.

    Ta có sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1

    \Rightarrow cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha = 1 - \left( \frac{1}{4} ight)^{2} = \frac{15}{16}.

    Mà 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} nên \cos\alpha > 0.

    Vậy \cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80\% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 100\ m^{3} ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

    Đáp án: 500

    Đáp án là:

    Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80\% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 100\ m^{3} ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

    Đáp án: 500

    Ta có:

    100 + 100.0,8 + 100.0,8)^{2} + 100.(0,8)^{3} + \ldots

    = 100.\frac{1}{1 - 0,8} = 500\left( \ m^{3} ight).

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Kết quả của giới hạn\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \hfill \\ \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty

  • Câu 35: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}

    Ta có:

    \frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}

    = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{\sqrt{2x} - 2} + \frac{x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4}{\sqrt{2x} - 2}

    = \frac{(x - 2)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{(2x - 4)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} + \frac{(x - 2)\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2x - 4}

    = \frac{\sqrt{2x} + 2}{2\left( \sqrt{x - 1} + 2 ight)} + \frac{\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2}

    Do đó \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2} = 1

  • Câu 36: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack = - \infty.

    Ta có:

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack ight\} = - \infty

    \Rightarrow \lim\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack = a^{2} - 2 < 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2} < a < \sqrt{2}

    Vì a\mathbb{\in Z},a \in ( - 10;10) \Rightarrow a = \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty, do \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (\alpha) song song với AC và SB đồng thời cắt các đoạn SA,AB,BC,SC,SD,BD lần lượt tại M,N,E,F,I,J. Ta có các khẳng định sau:

    (i):IJ//AB

    (ii):MF//AC

    (iii): Tứ giác MNEF là hình bình hành.

    Có bao nhiêu khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Xét (\alpha) \equiv (MNEFI)

    Vì (\alpha)//AC \Rightarrow MF//AC

    Vì (\alpha)//SB \Rightarrow IJ//SB

    Vì (\alpha)//SB nên MN,EF đều song song với SB điều này suy ra MNEF là hình bình hành.

    Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.

  • Câu 40: Nhận biết

    Với x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight), mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight) = \left( - \frac{\pi}{4} + 8\pi;\frac{\pi}{4} + 8\pi ight) thuộc góc phần tư thứ I và thứ II.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 42: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3x +2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 -\dfrac{1}{x}} = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3

  • Câu 43: Vận dụng

    Tập giá trị của hàm số y = \frac{\sin3x -2\cos3x + 10}{6\cos x\cos2x - 4\cos^{3}x + 3} có bao nhiêu số nguyên?

    Ta có:

    y = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{6cosxcos2x - 4cos^{3}x + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{3(cos3x + \cos x) - (cos3x + 3cosx) + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{2cos3x + 3}

    \Leftrightarrow (2\cos3x + 3)y = \sin3x -2\cos3x + 10

    \Leftrightarrow (2y + 2)cos3x - sin3x = 10 - 3y

    Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

    (2y + 2)^{2} + ( - 1)^{2} \geq (10 - 3y)^{2}

    \Leftrightarrow 4y^{2} + 8y + 4 + 1 \geq 100 - 60y + 9y^{2}

    \Leftrightarrow 5y^{2} - 68y + 95 \leq 0

    \Leftrightarrow \frac{34 - \sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34 + \sqrt{681}}{5}.

    Mà y\mathbb{\in Z} nên y = \{ 2;3;4;\ldots;12\}.

    Vậy tập giá trị của y có 11 số nguyên.

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

    Ta có 2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}

    = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}

    = cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x

    Vậy S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập