Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng phân biệt m,n và mặt phẳng (\beta). Giả sử m//(\beta);n//(\beta). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    m//(\beta) \Rightarrow \exists m':\left\{ \begin{matrix} m'//m \\ m' \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.

    n//(\beta) \Rightarrow \exists n':\left\{ \begin{matrix} n'//n \\ n' \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết m, n là hai đường thẳng phân biệt.

    Nếu m song song với n thì m’ // n’.

    Nếu m’, n’ cắt nhau thì m, n cắt nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 2: Nhận biết

    Giá trị của {D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}} bằng:

    Ta có:

    \lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính giá trị của \cot135^{0}

    Ta có: \cot135^{0} = - \tan45^{0} = -1

  • Câu 4: Thông hiểu

    Giới hạn cần tìm của E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2} bằng:

    E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2} = + \infty

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm bốn điểm đồng phẳng

    Ta có: RT là đường trung bình của tam giác SAD nên.

    MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ{m{//}}AD.

    => RT{m{//}}MQ

    => M, Q, R, T đồng phẳng.

  • Câu 6: Nhận biết

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) gồm các số nguyên dương chia hết cho 7: 7, 14, 21, 28, …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

    Ta có u_{1} = 7 = 7.1, u_{2} = 14 = 7.2, u_{3} = 21 = 7.3, u_{4} = 28 = 7.4,…

    Suy ra u_{n} = 7n.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Giải phương trình \frac{2\sin x}{\cot x} -\frac{\tan x}{\sin x} = 2\left( \sin x - \cos x ight) ta được họ nghiệm x = \frac{\pi}{a} + \frac{k\pi}{b},k,a,b \in Z. Tính P = 2a + 3b?

    Đáp án: 11

    Đáp án là:

    Giải phương trình \frac{2\sin x}{\cot x} -\frac{\tan x}{\sin x} = 2\left( \sin x - \cos x ight) ta được họ nghiệm x = \frac{\pi}{a} + \frac{k\pi}{b},k,a,b \in Z. Tính P = 2a + 3b?

    Đáp án: 11

    ĐKXĐ: \left\{ \begin{matrix} \sin x eq 0 \\ \cos x eq 0 \\ \end{matrix} ight..

    \frac{2\sin x}{\cot x} - \frac{\tan x}{\sin x} = 2\left( \sin x - \cos x ight)

    \Leftrightarrow 2\sin^{2}x - \tan x\cot x= 2\left( \sin x - \cos x ight)\sin x\cot x

    \Leftrightarrow 2sin^{2}x - 1 = 2\left( \sin x - \cos x ight)\cos x

    \Leftrightarrow 2\sin^{2}x - 1 =2\sin x.\cos x - 2\cos^{2}x

    \Leftrightarrow 2\sin^{2}x + 2\cos^{2}x -1 = \sin2x \Leftrightarrow \sin2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là x = \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 2a + 3b = 2.4 + 3.1 = 11.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng (\alpha) và hai đường thẳng m,n. Khẳng định nào sau đây đúng?

    “Nếu m//(\alpha) và n//(\alpha) thì m,n đồng phẳng.” sai vì có thể chéo nhau.

    “Nếu m \subset (\alpha) và m cắt n thì n cắt (\alpha).” sai vì có thể nằm trên (\alpha) 

    “Nếu m//n và n//(\alpha) thì m//(\alpha).” sai vì có thể nằm trên (\alpha) .

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x + 1} ight) = 7 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ x - 2 < 0,x \mapsto 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x} = + \infty

  • Câu 12: Thông hiểu

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Ta có: 0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội \frac{1}{100}.

    Vì vậy

    0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}.

    Ta có: 0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là \frac{1}{10}

    Vì vậy

    4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 14: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Theo công thức cộng

    \cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb.

  • Câu 15: Vận dụng

    Kết quả của giới hạn \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} }}{{\sqrt n - 1}} + \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \lim\left( \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ight) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

    0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}\Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} = 0

    \Rightarrow \lim\left( \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}cos3n}{rn} - 1 ight) = \sqrt{3}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

    Ta có: d = 6 - 1 = 5

    Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

    => x = 6 + 5 = 11

    Vậy x = 11

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm tập nghiệm của phương trình \left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0?

    Ta có:

    \left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x + 1 = 0 \\ \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = \sqrt{2}(L) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số như hình vẽ:

    Hỏi hàm số tương ứng là hàm số nào trong các hàm số dưới đây

    Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng -1 => Loại đáp án

    y = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    Tại x = 0 thì y = - \frac{\sqrt{2}}{2} => Loại đáp án y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    Tại x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow y = 1 ta thấy chỉ có y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight) thỏa mãn

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 - 2|cos3x|.

    Ta có

    \begin{matrix}- 1 \leq cos3x \leq 1 \hfill \\ \Rightarrow 0 \leq |cos3x| \leq 1 \hfill \\ \Rightarrow 0 \geq - 2|cos3x| \geq - 2 \hfill\\\end{matrix}

    \begin{matrix}\Rightarrow 1 \geq 1 - 2|cos3x| \geq - 1 \\\Rightarrow 1 \geq y \geq - 1 \hfill\\\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}M = 1 \\m = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Tính giới hạn \lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{1}{3}\left\lbrack \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} ight) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n + 3} ight) ightbrack

    = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \frac{11}{6} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)

    Do đó \lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack = \frac{11}{8}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = \cos 3x + \cos 5x.

    Hàm số y = \cos 3x tuần hoàn với chu kì {T_1} = \frac{{2\pi }}{3}

    Hàm số y = \cos 5x tuần hoàn với chu kì {T_2} = \frac{{2\pi }}{5}

    Suy ra hàm số y = \cos 3x + \cos 5x tuần hoàn với chu kì T = 2\pi

  • Câu 23: Nhận biết

    Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Một bánh xe đạp trong 5 giây quay được 2 vòng. Hỏi bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu độ trong 2 giây?

    Trong 1 giây bánh xe quay được \frac{2}{5} vòng

    Suy ra trong 2 giây bánh xe quay được \frac{4}{5} vòng

    Vậy góc bánh xe quay được là: \frac{4}{5}.360^{0} = 288^{0}

  • Câu 25: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}}bằng:

    Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn n_{M} > \left( \frac{1}{a} + 3 ight)^{2} - 1

    Ta có:

    \frac{n - 2}{\sqrt{1 + n}} = \sqrt{n + 1} - \frac{3}{\sqrt{n + 1}} > \sqrt{1 + n} - 3 > Mvới mọi n > n_{M}

    Suy ra \lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}} = - \infty

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho phương trình bậc ba: {x^3} + \left( {5 - m} ight){x^2} + \left( {6 - 5m} ight)x - 6m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} {x^3} + \left( {5 - m} ight){x^2} + \left( {6 - 5m} ight)x - 6m = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - m} ight)\left( {{x^2} + 5x + 6} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = m} \\ {x = - 2} \\ {x = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Để ba nghiệm của phương trình lập thành một cấp số nhân

    \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 2} ight).\left( { - 3} ight) = {m^2}} \\ { - 3m = {{\left( { - 2} ight)}^2}} \\ { - 2m = {{\left( { - 3} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \pm \sqrt 6 } \\ {m = - \dfrac{4}{3}} \\ {m = - \dfrac{9}{2}} \end{array}} ight.

     

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của BC, lấy N \in SA sao cho NA = 2NS. Hình chiếu của điểm N qua phép chiếu song song phương SM, mặt phẳng chiếu (ABC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Do các mặt bên của hình chóp S.ABC là các tam giác đều nên tam giác ABC đều.

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

    Ta có NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow NG//SM

    Nên G là hình chiếu song song theo phương SM của N trên (ABC).

    Lại do tam giác ABC đều nên G vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

  • Câu 29: Vận dụng

    Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là 0,5\%. Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

    Với số nguyên dương n, kí hiệu u_{n} là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

    u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,005 = u_{n - 1}.1,005;(\forall n \geq 2)

    Ta có: \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân với số hạng đầu u_{1} = 6.10^{7} + 6.10^{7}.0,005 = 6.10^{7}.1,005 với công bội q = 1,005 nên u_{n} = 6.10^{7}.1,005.(1,005)^{n - 1} = 6.10^{7}.(1,005)^{n};(n \geq 1)

    Số tiền rút được sau 2 năm là:

    u_{24} = 6.10^{7}.1,005^{24} \approx 67629587(đồng)

  • Câu 30: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Xét đáp án \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... có \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\pi} eq \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    => Dãy số \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... không phải là cấp số nhân.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hàm số y = \tan x + \cot x + \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hàm số xác định khi và chỉ khi:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\cos x eq 0 \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow sin2x eq 0 \\\Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z}\hfill \\\end{matrix}

    Chọn k = 3 => x eq \frac{3\pi}{2}

    Nhưng điểm \frac{3\pi}{2} thuộc khoảng (\pi + k2\pi;2\pi + k2\pi)

    Vậy hàm số không xác định trên (\pi + k2\pi;2\pi + k2\pi);k\mathbb{\in Z}

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}. Tính \lim_{x ightarrow 0}f(x).

    Ta có:

    f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8- x}}{x} = 2.\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}= 2A + B

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}A = \lim_{xightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}= \lim_{x ightarrow0}\frac{\left( \sqrt{1 + x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + x} + 1ight)}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}

    Đồng thời

    \lim_{x ightarrow 0}B = \lim_{xightarrow 0}\frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{x\left\lbrack \left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left(\sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2}} = \frac{1}{12}

    Vậy \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 2\lim_{x ightarrow 0}A + \lim_{x ightarrow 0}B = 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \frac{2x-1}{{\sin x - \cos x}}

    Hàm số xác định khi

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sin x - \cos x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \tan x e 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;2brack và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack. Giá trị của M.n là:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;2brack.

    Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

    Vậy M.n = -3

  • Câu 35: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Tập xác định: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}có nghĩa là

    D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n + 5. Số 19 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

    Ta có

    u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19

    \Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7.

    Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

    Hàm số y = \sin xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    Hàm số y = \cos\sqrt{x} xác định trên D = \lbrack 0; + \infty)

    Hàm sốy = \tan x xác định trên D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1

    c) Xét hàm số 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x) liên tục trên \mathbb{R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Vì \left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).

    d) Ta có: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho tổng S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}. Giá trị S10 là

    Cách 1:

    Ta có \frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots

    Suy ra S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}

    Vậy S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}.

    Cách 2:

    Ta có S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}

    Suy ra S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2{\cos ^2}x = 1?

    Ta có 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2} . Mà {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \to {\sin ^2}x = \frac{1}{2}.

    Do đó {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1. Vậy 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong các dãy số dưới đây, dạy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn?

     Vì dãy ở đáp án C là một cấp số nhân có công bội q = 3/2 > 0

    \frac{3}{2};\frac{9}{4};\frac{{27}}{8};..;{\left( {\frac{3}{2}} ight)^n};...=> không phải dãy lùi vô hạn

  • Câu 41: Thông hiểu

    Khẳng định nào sau đây là sai.

    Khẳng định sai: "Nếu 3 đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó song song với nhau."

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Lấy hai điểm I;J lần lượt thuộc SA;SC sao cho SI = IA;JS = JC. Đường thẳng IJ song song với:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác SAC có:

    SI = IA

    JS = JC

    => IJ là đường trung bình => IJ//AC.

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng x. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC

    \Rightarrow AN \cap MC = G

    Ta có: (CDG) \cap AB = M

    Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD

    Tam giác ABD đều cạnh bằng x có M là trung điểm của AB

    \Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều cạnh bằng x có M là trung điểm của AB

    \Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}

    Gọi H là trung điểm của CD \Rightarrow MH\bot CD

    \Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD

    Ta có: MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}

    \Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}

    \Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 1 và công sai d = 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng:

    Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là

    S_{n} = \frac{n}{2}\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}\left\lbrack 2.1 + (10 - 1)2 ightbrack = 100

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 35 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập