Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
Do
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
Do
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Giá trị nào sau đây của x thỏa mãn
?
Ta có:
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?
Xét đồ thị hàm số
Vì nên hàm số không liên tục tại
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình:
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
a) Ta có:
.
b) (do
và
).
c) Ta có:
Do và
.
d) Ta có:
Cho tam giác
có các góc
bất kì. Biểu thức
không thể nhận giá trị nào sau đây?
Ta có:
Với tam giác ABC bất kì ta luôn có:
Vậy biểu thức không thể nhận giá trị
.
Cho cấp số cộng
có
. Số hạng thứ
của cấp số cộng là
Ta có:
Cho hàm số.![]()
a) Giới hạn:
Sai||Đúng
b) Giới hạn:
Đúng||Sai
c) Giới hạn:
Đúng||Sai
d) Giới hạn:
Sai||Đúng
Cho hàm số.
a) Giới hạn: Sai||Đúng
b) Giới hạn: Đúng||Sai
c) Giới hạn: Đúng||Sai
d) Giới hạn: Sai||Đúng
a) Ta có
b) Xét dãy số bất kì sao cho
và
, ta có:
.
Khi đó: .
c) Xét dãy số bất kì sao cho
và
, ta có
.
Khi đó: .
d) Vì (hay
) nên không tồn tại
.
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …
Dễ dàng dự đoán được un = n.
Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1
Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.
Cho hàm số 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số gián đoạn tại ![]()
Đáp án: 2024
Cho hàm số
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số gián đoạn tại
Đáp án: 2024
TXĐ:
Ta có:
Để hàm số gián đoạn tại thì
Vậy có giá trị nguyên của
để hàm số gián đoạn tại
Giá trị của
bằng:
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn thỏa mãn
.
Ta có:
Vậy .
Giá trị lớn nhất của hàm số
tại điểm là nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Theo bài ra ta có:
Phương trình (*) có nghiệm
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1 lúc đó
Tính tổng ![]()
Ta có:
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Dãy số
là cấp số nhân với
Cấp số nhân
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
Ta có:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Công thức đúng là:
Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?
Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
bằng:
Ta có:
Do =>
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để
.
Ta có: nên
Theo đề bài ta có
Mặt khác
Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.
bằng:
Ta có:
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

Kí hiệu
là chu vi của hình vuông thứ
và
là tổng chu vi của
hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính
và
và tìm lim
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Đáp án: 13,66
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
Kí hiệu là chu vi của hình vuông thứ
và
là tổng chu vi của
hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính
và
và tìm lim
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Đáp án: 13,66
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Lấy điểm
đối xứng với
qua
,
cắt
tại
. Gọi giao điểm
của đường thẳng
với mặt phẳng
. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a)
. Đúng||Sai
b) Đường
và
cắt nhau. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Tỉ số
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Lấy điểm
đối xứng với
qua
,
cắt
tại
. Gọi giao điểm
của đường thẳng
với mặt phẳng
. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Đường và
cắt nhau. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Tỉ số . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Xét tứ giác có
.
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Nên . Vậy khẳng định a đúng
b) Vì là trung điểm
,
là trung điểm
nên
(tính chất đường trung bình).
Vậy khẳng định b sai.
c)
Vậy khẳng định c đúng.
d) Áp dụng định lí Talet cho, ta có:
(1)
Gọi là trung điểm của
, vì
là trung điểm của
nên theo tính chất đường trung
bình, , vậy theo định lí Talet:
. (2)
Từ (1) và (2), ta có .
Vậy khẳng định d sai.
Cho
với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có dự đoán
Với n = 1, ta được (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là
Ta có
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định
Giá trị của
bằng:
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra:
Vậy = 0.
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt
trong đó
. Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Số hạng đầu tiên của cấp số nhân
thỏa mãn hệ
là:
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên giao tuyến của chúng là đường thẳng
.
Đổi số đo của góc
sang radian được kết quả là:
Ta có:
Kết quả giới hạn
, với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Kết quả giới hạn , với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Ta có
.
Suy ra .
Cho tứ diện
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là các điểm
. Giả sử
. Hỏi đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng
sẽ đi qua điểm
và song song với
.
Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của
.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Cho tứ diện
có độ dài tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và tứ diện
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
Ta có:
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện
Tam giác ABD đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Tam giác ABC đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Gọi H là trung điểm của CD
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Các điểm
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
ta thu được ảnh lần lượt là
. Khi đó tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Tìm tất cả các giá trị của x để ba số
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
nhận
làm nghiệm
Phương trình nhận làm nghiệm
vậy m = -4
Tìm tập giá trị của hàm số ![]()
Ta có:
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.
Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Gọi S là tập nghiệm của phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có
Nhận thấy với nghiệm .