Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD//BC. Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là giao điểm của AC và BM. Khi đó: SI = (MSB) \cap (SAC).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 3: Nhận biết

    Góc \frac{2\pi}{5} đổi sang độ bằng bao nhiêu?

    Ta có: \frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5}\left( \frac{180}{\pi} ight)^{0} = 72^{0}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC; G là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó giao điểm của đường thẳng MG và (ABC) là

    Hình vẽ minh họa

    Trong (ADN) gọi K = AN \cap MG, mà AN \subset (ABC)

    \Rightarrow K = MG \cap (ABC)

  • Câu 5: Vận dụng

    Tính giá trị của giới hạn \lim\dfrac{1^{2}+ 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)}.

    Đặt P(n) = \frac{2n^{3} - 3n^{2} + n}{6} = \frac{n(n - 1)(2n + 1)}{6}thì ta có:

    1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}

    = \left\lbrack P(2) - P(1) ightbrack + \left\lbrack P(3) - P(2) ightbrack + ... + \left\lbrack P(n + 1) - P(n) ightbrack

    = P(n + 1) - P(1) = \frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6}

    Do đó: \lim\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)} = \lim\frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6n\left( n^{2} + 1 ight)} = \frac{1}{3}

  • Câu 6: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 5} - x) bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

    Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

    Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty, do \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty và \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1.

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty

    Do \lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty và \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2.

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0.

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm chu kì của hàm số y = \sin\left( 5x - \frac{\pi}{4} ight)?

    Hàm số y = \sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = \frac{2\pi}{|a|}

    Áp dụng công thức trên ta suy ra hàm số y = \sin\left( 5x - \frac{\pi}{4} ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{2\pi}{5}.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = \dfrac{3 - 0}{1 + 0}= 3

  • Câu 12: Vận dụng

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \tan\left( \frac{\pi}{2}.cosx ight)

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}.cosx eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\cos x eq 1 + 2k(*) \\\end{matrix}

    Do k là số nguyên => \cos x eq \pm 1\Rightarrow \sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k \in\mathbb{Z}

    Vậy tập xác định D\mathbb{=R}\backslash\left\{ k\pi,k\in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 13: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Ta có: \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = \lim_{t ightarrow 10}\frac{45t^{2} - t^{3} - 45 \cdot 10^{2} + 10^{3}}{t - 10}

    \begin{matrix}= \lim_{t ightarrow 10}\dfrac{45(t - 10)(t + 10) - (t - 10)\left( t^{2}+ 10t + 100 ight)}{t - 10} \\\end{matrix}

    = \lim_{t ightarrow 10}\left( - t^{2} + 35t + 350 ight) = 600

    Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 (ngày) là 600 người/ngày.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \sin x được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

    Ta có

    y = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)

    =>Đồ thị hàm số y = \sin x được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là \frac{\pi }{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    \Rightarrow {\left( {\sqrt b } ight)^2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} ight).\left( {\sqrt 2 } ight)

    \Rightarrow b = 1 (Vì b > 0)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa).

    Ta có: sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2}cos\frac{a - b}{2}, do đó đẳng thức sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2} \cdot sin\frac{a - b}{2} sai.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình chóp S \cdot ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của BC,CD,SB,SD. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có MN là đường trung bình tam giác BDC \Rightarrow MN//BD (1)

    Ta có PQ là đường trung bình của tam giác SBD \Rightarrow PQ//BD(2).

    \Rightarrow MN//PQ.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 12; \frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243. Tính {u_9}

    Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_3} = {u_1}.{q^2}} \\ {{u_8} = {u_1}.{q^7}} \end{array}} ight. \Rightarrow \dfrac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^2}}}{{{u_1}.{q^7}}} = \dfrac{1}{{{q^5}}} \hfill \\ \Rightarrow q = d\frac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow {u_9} = {u_1}.{q^8} = 12.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^8} = \dfrac{4}{{2187}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \sin(2018a) =2\sin(1009a).\cos(1009a)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Giải phương trình \sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0.

    Phương trình

    \sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi

    \Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

    Vậy đáp án cần tìm là: x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì a \in (m;n) ( với m,n là hai số nguyên liên tiếp). Tính 100(m + n).

    Đáp án: 2500

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì a \in (m;n) ( với m,n là hai số nguyên liên tiếp). Tính 100(m + n).

    Đáp án: 2500

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục khi x eq 2

    Xét tại x = 2

    Ta có: f\left( 2 ight) = 44; \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( 2x^{2} + 3x + 30 ight) = 44;\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x + 3a + 4) = 3a + 6

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Leftrightarrow 3a + 6 = 44 \Leftrightarrow a = \frac{38}{3} \in (12;13)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 12 \\ n = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 100(m + n) = 2500

    Đáp án: 2500.

  • Câu 22: Nhận biết

    Kết quả của giới hạn \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} bằng

    Có \lim q^{n} = 0 nếu |q| < 1.

    Vì \left| \frac{1}{2} ight| < 1 nên \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính P = mn

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Dãy số \frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{35}{10^{2}}, công sai là q = 10^{- 2}

    => S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}

    Vậy 0,353535 = \frac{35}{99}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465

  • Câu 24: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}là?

     Ta có:   \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

     

  • Câu 25: Vận dụng

    Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10^{22} tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

    Ban đầu có 10^{22} tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u_{1} = 10^{22} và công bội q = 2.

    Theo bài ra ta có:

    Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.

    Ta có: u_{7} là số tế bào nhận được sau 2 giờ.

    Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là u_{7} = u_{1}.q^{6} = 10^{22}.2^{6} = 64.10^{22}

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Một quả bóng rơi từ độ cao 6m với phương vuông góc với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng \dfrac{3}{4} độ cao của lần rơi trước. Tính quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

    Ta có: Quãng đường bóng bay bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống

    Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \dfrac{3}{4} lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là:

    {S_1} = 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có {u_1} = 6.\frac{3}{4} = \frac{9}{1},q = \frac{3}{4}

    => {S_1} = \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 18

    Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên là:

    {S_2} = 6 + 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với {u_1} = 6;q = \frac{3}{4}

    => {S_2} = \dfrac{6}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 24

    Vậy tổng quãng đường bóng bay là 42m

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là:

    Ta có:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào sau đây?

    Gọi H là trung điểm của tam giác AB.

    M, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABD.

    Khi đó ta có: \frac{{HM}}{{HC}} = \frac{{HQ}}{{HD}} = \frac{1}{3}

    Theo định lí Ta - lét ta có: MQ//CD

    Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho một cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 1;q = 2019. Tính u_{2019}?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow u_{2019} = 1.2019^{2018} = 2019^{2018}

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)

    Ta có: \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình chóp A.BCD có H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD tam giác. Chọn mệnh đề đúng.

    Gọi I là trung điểm AB.

    Xét tam giác MCD có:

    \frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3} (do H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC)

    \ = > HK//CD

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in AD sao cho \frac{AD}{AM} = 3, G là trọng tâm tam giác SAB. Đường thẳng GM song song với mặt phẳng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi N là trung điểm của AB, lấy K \in SA sao cho AS = 3AK

    Ta có: \frac{AK}{AS} = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{3} \Rightarrow KM//SD

    Mặt khác \frac{SK}{SA} = \frac{SG}{SM} = \frac{2}{3} \Rightarrow GK//AN

    \Rightarrow GK//CD

    \Rightarrow (GMK)//(SCD) \Rightarrow GM//(SCD)

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tính giá trị lớn nhất của hàm số y =\sqrt{1 + \frac{1}{2}cos^{2}x} + \frac{1}{2}\sqrt{5 +2sin^{2}x}

    Ta có:

    \begin{matrix}y = \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5 + 2sin^{2}x}\hfill \\= \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \sqrt{\dfrac{5}{4} +\dfrac{1}{2}sin^{2}x}\hfill \\\end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức 2\left( a^{2} +b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}

    Do đó

    \begin{matrix} 2\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}x} ight) + \left( {\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} ight)} ight] \geqslant {y^2} \hfill \\ {y^2} \leqslant 2\left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{{11}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Dấu bằng xảy ra khi

    \begin{matrix} 1 + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Xác định công thức tổng quát của dãy số \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{- 1}{2} \\u_{n + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{n} + 1}{2}};n \geq 1 \\\end{matrix} ight..

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{2} = \sqrt{\dfrac{u_{1} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}} \\u_{3} = \sqrt{\dfrac{u_{2} + 1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.

    Nhận thấy \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} ight) \\u_{2} = \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} ight) \\u_{3} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6}ight) \\\end{matrix} ight.

    Dự đoán u_{n} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{n}} ight)(*)

    Ta chứng minh bằng quy nạp

    Trước hết u_{1} = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{1}} ight) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng khi n = k;k \in \mathbb{N}^{*}. Khi đó u_{k} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{k}} ight)

    Ta có:

    u_{k + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{k} + 1}{2}} =\sqrt{\dfrac{\cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k}} ight) +1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{\cos\left(2.\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) + 1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{2.\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2} - 1 +1}{2}}

    = \sqrt{\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2}}

    = \left| \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight) ight|

    Mặt khác ta có k \geq 1. Do đó 0 \leq \frac{4\pi}{3.2^{k + 1}} \leq \frac{4\pi}{3.2^{1 + 1}} = \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}

    Vậy \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}}ight) \geq 0 \Rightarrow u_{k + 1} = \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight)

    Vậy (*) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?

    (1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.

    (2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.

    (3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.

    Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song

    Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c

    Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

    Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu và công sai lần lượt là - 2;3. Số hạng thứ 10 bằng:

    Ta có: u_{1} = - 2;d = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25

  • Câu 41: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức C = \dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{18}.\cos\dfrac{\pi}{9} -\sin\dfrac{\pi}{9}.\cos\dfrac{5\pi}{18}}{\cos\dfrac{\pi}{4}.\cos\dfrac{\pi}{12}- \sin\dfrac{\pi}{4}.\sin\dfrac{\pi}{12}} là:

    Ta có:

    \sin\dfrac{5\pi}{18}.\cos\dfrac{\pi}{9} -\sin\dfrac{\pi}{9}.\cos\dfrac{5\pi}{18}

    = \sin\left( \frac{5\pi}{18} -\frac{\pi}{9} ight)

    = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}

    \cos\dfrac{\pi}{4}.\cos\dfrac{\pi}{12} -\sin\dfrac{\pi}{4}.\sin\frac{\pi}{12}

    = \cos\left( \frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{12} ight)

    = \cos\frac{\pi}{3} =\frac{1}{2}

    Vậy C=1

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)

    Hình vẽ minh họa

    Mặt phẳng nào song song với (IJK)

    Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

    => \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2 (tính chất trọng tâm tam giác)

    => IJ//MN(1)

    Xét mặt phẳng (AA'EM) ta có: \frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2

    => IK//ME

    Mà ME //BB'

    => IK//BB'(2)

    Từ (1) và (2) => (IJK) và (BB'C)là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 44: Nhận biết

    Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề A(n) đúng với n = k với k ≥ p.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập