Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Kết quả của giới hạn\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \hfill \\ \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I,J lần lượt là trung điểm SA, SC. Đường thẳng IJ song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

    Hình vẽ minh họa

    Do IJ là đường trung bình của tam giác SAC \Rightarrow IJ//AC.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho các hàm số y = \cos x;y = \sin x;y = \tan x;y = \cot x. Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?

    Ta có:

    y = \cos x là hàm số chẵn vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cos( - x) = \cos x = f(x)

    y = \sin x là hàm số lẻ vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \sin( - x) = - \sin x = - f(x)

    y = \tan x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \tan( - x) = - \tan x = - f(x)

    y = \cot x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cot( - x) = \cot( - x) = - f(x)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10

    Ta có: {u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

    Đường thẳng y = \frac{1}{2} cắt đồ thị hàm số y = 2sin^{2}x tại 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Giá trị của x_{B} + x_{D} là \frac{a}{b}\pi. Biết \frac{a}{b} là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b là:

    Đáp án: 19

    Đáp án là:

    Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

    Đường thẳng y = \frac{1}{2} cắt đồ thị hàm số y = 2sin^{2}x tại 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Giá trị của x_{B} + x_{D} là \frac{a}{b}\pi. Biết \frac{a}{b} là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b là:

    Đáp án: 19

    Phương trình hoành độ giao điểm là:

    2\sin^{2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow1 - \cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos2x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi

    Ta thấy x_{A},x_{B},x_{C},x_{D} là bốn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên.

    Do đó: x_{A} = \frac{\pi}{6};x_{B} = \frac{5\pi}{6};x_{C} = \frac{7\pi}{6};x_{D} = \frac{11\pi}{6} \Rightarrow x_{B} + x_{D} = \frac{8}{3}\pi.

    Vậy 2a + b = 8.2 +3=1 9.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm giới hạn C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3 - x}{2x + 3} ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{3 - x}{2x + 3} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{3}{x}} = -\dfrac{1}{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(n \geq 0). Ba số hạng đầu tiên của dãy đó lần lượt là những số nào dưới đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{2} = u_{1} + 3 = 2 \\ u_{3} = u_{2} + 3 = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 có nghiệm:

     Đặt t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)

    => \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

    Phương trình trở thành:

    \begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do  {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy để phương trình có nghiệm

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho số thực m thỏa mãn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b ta cần giả thiết nào dưới đây?

    Ta có tính chất:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b

  • Câu 14: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức E = \cos(a + b)\cos(a - b) - \sin(a + b)\sin(a -b)

    Ta có:

    E = \cos(a + b)\cos(a - b) - \sin(a + b)\sin(a - b)

    E = \cos(a + b + a - b) = \cos2a = 1 -2\sin^{2}a

  • Câu 15: Nhận biết

    Với mọi n ∈ ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?

    Thử với n = 1, n = 2, n = 3 ta kết luận được đáp án:

    2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6} sai.

    Suy ra

    2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3} mới là kết quả đúng!

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n - 1} + 3;(n \geq 2) \\ \end{matrix} ight.. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:

    Tìm số hạng tổng quát của dãy số

    Dự đoán u_{n} = 5.2^{n - 1} - 3;(n \geq 2)

    Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp

    Với n = 1 ta có: u_{2} = 5.2 - 3 = 7(tm)

    Giả sử u_{k} = 5.2^{k - 1} - 3, khi đó ta có:

    u_{k + 1} = 2u_{k} + 3

    = 2\left( 5.2^{k - 1} - 3 ight) + 3

    = 5.2^{k} - 3

    Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

    Ta có: u_{n} < 1000 \Rightarrow 2^{n - 1} < \frac{1003}{5} = 200,6

    Mà 2^{7} = 128;2^{8} = 256

    Nên ta chọn 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n = 8

    Vậy u_{8} là số hạng cần tìm.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong các hàm sau hàm nào là hàm số chẵn?

    Xét hàm số y = -cosx

    Lấy x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    - \cos \left( { - x} ight) = - \cos x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    => Hàm số y = -cosx là hàm số chẵn.

  • Câu 18: Vận dụng

    Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ... .

    Ta có:

    S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...

    = 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)

    = 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}

  • Câu 19: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Đáp án: “Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau” đúng vì theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau.

    Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đã phân biệt.

    Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

    Đáp án: “Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

    Đáp án: "Nếu (∝) // (β) và d_1 ⊂ (∝); d_2 ⊂ (β) thì d_1 // d_2" và "Nếu d_1 // (∝) và d_2 // (β) thì d_1 // d_2" sai vì hai đường thẳng d_1,d_2 có thể chéo nhau.

    Đáp án: "Nếu d_1 // d_2 và d_1⊂(∝), d_2⊂(β) thì (∝) //(β)" sai vì hai mặt phẳng (∝), (β) có thể cắt nhau.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử (SAB) \cap (SCD) = d. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: (SAB) \cap (SCD) = d

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB);S \in (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD) \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight. suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

  • Câu 22: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} có nghiệm là ?

     Ta có: \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của BC và BD, lấy điểm E \in AD;E eq A;E eq D. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (IJE) với tứ diện ABCD là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

    \left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight. nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJE) là đường thẳng d qua E và song song với CD.

    Gọi F = d \cap AC ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJE).

    Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

  • Câu 24: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 1?

    Xét hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

  • Câu 25: Nhận biết

    Đổi số đo của góc - 5rad sang đơn vị độ, phút, giây

    Cách 1: Từ công thức \alpha = \frac{m\pi}{180} \Rightarrow m = \left( \frac{\alpha.180}{\pi} ight)^{0}khi đó:

    m = \left( \frac{- 5.180}{\pi} ight)^{0} = - 286^{0}28'44''

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

    Bước 2. Bấm -5 shift DRG 2 =

  • Câu 26: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = 3\cos(2x+ 1) - 2\sin\left( \dfrac{x}{2} - 3 ight)

    Hàm số y = 3\cos(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T_{1} = \pi

    Hàm số y = - 2\sin\left( \frac{x}{2} - 3ight) tuần hoàn với chu kì T_{2} = 4\pi

    Suy ra hàm số y = 3\cos(2x + 1) -2\sin\left( \frac{x}{2} - 3 ight) tuần hoàn với chu kì T = 4\pi

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB, hai điểm P,Q phân biệt thuộc đường thẳng CD. Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng MP và NQ là:

    Giả sử đường thẳng MP và NQ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

    Khi đó AB và CD cùng thuộc một mặt phẳng hay ABCD là một tứ giác (trái giả thiết).

    Vậy đường thẳng MP và NQ chéo nhau.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Hàm số y = cos^{2}x + 2sinx + 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x_{0}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: y = cos^{2}x + 2sinx + 2 = 1 -sin^{2}x + 2sinx + 2

    = - sin^{2}x + 2sinx + 3 = - \left( \sinx - 1 ight)^{2} + 4.

    Mà - 1 \leq \sin x \leq 1

    \begin{matrix}\Leftrightarrow - 2 \leq \sin x - 1 \leq 0 \\\Leftrightarrow 0 \leq \left( \sin x - 1 ight)^{2} \leq 4 \\\end{matrix}

    \begin{matrix}\Leftrightarrow 0 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} \geq - 4 \hfill \\\Leftrightarrow 4 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} + 4 \geq 0 \hfill \\\end{matrix}.

    Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.

    Dấu '' = '' xảy ra \Leftrightarrow \sin x = - 1\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z}ight).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị m để phương trình \sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}sin4x + m - 1 \Leftrightarrow sin4x = 2 - 2m\ (*)

    Phương trình (*) có nghiêm \Leftrightarrow - 1 \leq 2 - 2m \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giá trị của F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}bằng:

    Ta có:

     F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}} 

    = \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi G_{1};G_{2} lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và ACD. Khi đó độ dài đoạn thẳng G_{1}G_{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là trung điểm của CD.

    Trong tam giác IAB ta có:

    \frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3} (theo tính chất trọng tâm tam giác)

    \Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}

  • Câu 32: Nhận biết

    Giá trị của C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} bằng:

    Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

    lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) thỏa mãn {u_1} = 1;{u_n} = 10{u_{n - 1}} - 1,\left( {\forall n \geqslant 2} ight). Tìm giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn \log {a_n} > 100

    Ta có:

    {u_n} = 10{u_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{9} = 10\left( {{u_{n - 1}} - \frac{1}{9}} ight)\left( * ight)

    Đặt {v_n} = {u_n} - \frac{1}{9} \Rightarrow {v_1} = {u_1} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

    \left( * ight) \Rightarrow {v_n} = 10.{v_{n + 1}},\left( {n \geqslant 2} ight)

    Dãy (vn) là cấp số nhân với công bội q = 10

    => {u_n} = {v_n} + \frac{1}{9} = \frac{8}{9}{.10^{n - 1}} + \frac{1}{9} > {10^{100}}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của n để \log {a_n} > 100 là n = 102

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1}

    Khi x \mapsto 1^{+} ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} ight) = 3 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1} = + \infty

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 36: Vận dụng

    Tính tổng S = - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - ... + ( - 2)^{n - 1} + ( - 2)^{n} với n \geq 1,n\mathbb{\in N}.

    Các số hạng - 2;4; - 8;16; - 32;64;...;( - 2)^{n - 1};( - 2)^{n} có tổng S gồm có n số hạng theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có u_{1} = - 2;q = - 2

    \Rightarrow S = S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}

    \Rightarrow S = ( - 2).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{3}

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, đáy AB = 6;DC = 4. Mặt phẳng (P) song song với \left( {ABCD} ight) và cắt các cạnh SA tại M sao cho \frac{{SA}}{{SM}} = 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, đáy AB = 6;DC = 4. Mặt phẳng (P) song song với \left( {ABCD} ight) và cắt các cạnh SA tại M sao cho \frac{{SA}}{{SM}} = 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân lùi vô hạn \left( {{u_n}} ight) công bội q. Đặt S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... thì:

    Tổng cấp số nhân là: S = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}

    Do cấp số đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn nên ta có:

    \begin{matrix} \left| q ight| < 1 \Rightarrow {q^n} \mapsto 0 \hfill \\ \Rightarrow 1 - {q^n} \mapsto 1 \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có:

    f( - 1) = 2a + 4

    \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4

    Để hàm số gián đoạn tại x = - 1 thì \lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)

    \Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4

    Vậy có 2024 giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 42: Nhận biết

    Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu \sin\alpha;cos\alpha cùng dấu?

    Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì \sin\alpha;cos\alpha cùng dấu

  • Câu 43: Thông hiểu

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Đáp án là:

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}.

  • Câu 44: Nhận biết

    \lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight) bằng

    Ta có:

    \lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight)

    = \lim\left\lbrack n^{4}\left( - 1 - \frac{50}{n^{3}} + \frac{11}{n^{4}} ight) ightbrack = - \infty

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 68 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập