Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính ![]()
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính ![]()
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
; (
). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng giả sử
Do đó là giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Vì nên
là hình thang.
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Ta có:
Vậy công sai của cấp số nhân là
Vậy số hạng tiếp theo sẽ là:
Phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình:
Biết rằng
với
và
tối giản. Khi đó kết quả nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
Ta có:
Cho cấp số nhân
thỏa mãn
. Tính ![]()
Đáp án: 64
Cho cấp số nhân thỏa mãn
. Tính
Đáp án: 64
Giả sử cấp số nhân có công bội là , khi đó theo bài ra ta có:
do
Ta có:
Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có thể hiểu như sau:
“ Hàm số y = sinx đồng biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ II và III”.
Chọn mệnh đề sai?
Xét
Xét
Cho tứ giác ABCD và các điểm M, N phân biệt thuộc cạnh AB, các điểm P, Q phân biệt thuộc cạnh CD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Phát biểu đúng là: "MP và NQ chéo nhau"
Tính giới hạn của hàm số
.
Ta có:
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Cho
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
Giải PT, ta có:
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Cho hộp chữ nhật
có
lần lượt là tâm của
. Trung điểm của
lần lượt là
. Xác định hình chiếu của tam giác
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên tứ giác
là hình bình hành.
Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác thuộc mặt phẳng
nên hình chiếu của
qua phép chiếu song song
lên mặt phẳng
lần lượt là điểm
và
.
Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
thì hình chiếu của tam giác
là đoạn thẳng
.
Hàm số
liên tục trên:
Điều kiện
Tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
Cho cấp số nhân
với công bội
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo công thức tính tổng số hạng đầu của CSN ta được
.
Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?
Tập
là tập xác định của hàm số
. Đúng||Sai
Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là 3 nghiệm.Sai||Đúng
Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm. Đúng||Sai
Số vị trí biểu diễn của phương trình
trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng
Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?
Tập là tập xác định của hàm số
. Đúng||Sai
Số nghiệm của phương trình trên khoảng
là 3 nghiệm.Sai||Đúng
Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm. Đúng||Sai
Số vị trí biểu diễn của phương trình trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng
a) Điều kiện xác định của hàm số là:
b) Ta có:
Vì
mà
suy ra
Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng .
c) Ta có:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Mà
Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.
d) Ta có:
Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 2.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.
Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.
Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.
Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ
Đổi số đo của góc
sang radian được kết quả là:
Ta có:
Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng
đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện
với tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của
với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
=> Giao tuyến của
với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*
Với n = 1 ta có − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).
Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ uk ≤ 1
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*
Vậy (un) là dãy số bị chặn.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Tính
biết
và
.
Ta có
.
Mà nên
.
Vậy .
Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S
b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S
c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S
d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S
Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S
b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S
c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S
d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S
Xét từng mệnh đề ta có
a) “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
b) “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
c) “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).
d) “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên
Cho tứ diện
cạnh bằng 1. Gọi
là trung điểm của
,
đối xứng với
qua
,
đối xứng với
qua
. Xác định các giao điểm của mặt phẳng
với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.
Suy ra . Chứng minh tương tự ta có:
. Do đó ta có:
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:
Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:
Cho hai đường thẳng phân biệt
và mặt phẳng
. Giả sử
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Theo giả thiết m, n là hai đường thẳng phân biệt.
Nếu m song song với n thì m’ // n’.
Nếu m’, n’ cắt nhau thì m, n cắt nhau hoặc chéo nhau.
Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: ![]()
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Khi đó, phương trình so sánh với đk
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: .
Tính giới hạn
ta được kết quả bằng
Ta có:
.
Cho số thực m thỏa mãn
. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?
Ta có:
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn
. Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và
. Tính độ dài cạnh BC.

Gọi
Mặt khác
Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây?
Do mặt phẳng (MAB) chứa AB // CD nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Giả sử đường thẳng này cắt SD tại điểm I.
Khi đó MI là đường trung bình của tam giác SCD
=> I là trung điểm của SD.
Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD.
Giá trị của
với a> 0 bằng:
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Suy ra: nên
Suy ra:
Tóm lại ta luôn có: với a > 0 .
Cho dãy số (un) với
( a là hằng số). Hỏi un + 1 là số hạng nào sau đây?
Ta có
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Cho một cấp số cộng có
. Hỏi
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Tính tổng
với
.
Các số hạng có tổng S gồm có n số hạng theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có
Giá trị của
bằng:
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
Dãy số nào là dãy số tăng?
Xét ta có:
Vậy là dãy số tăng.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Kiểm tra được ;
;
là các hàm số chẵn.
là hàm số lẻ.
Tính tổng 
Ta có: