Giá trị của
bằng:
Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra
Giá trị của
bằng:
Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra
Biết giới hạn
,
là số thực,
là các số nguyên dương và
tối giản.
Tính tổng:
.
Đáp án: 0
Biết giới hạn ,
là số thực,
là các số nguyên dương và
tối giản.
Tính tổng: .
Đáp án: 0
Vì nên
.
Suy ra .
Với ta được
.
Vậy .
Suy ra .
Cho góc
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Cho hình lăng trụ
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
là hình bình hành.
Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành
.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính số hạng đầu tiên
và công sai
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
Kiểm tra được là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
là hàm số không chẵn không lẻ
là các hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.
Cho một cấp số nhân
có
. Tính
?
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Tìm tỉ số
(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Cho tứ diện . Gọi
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Tìm tỉ số
(làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
nên
,
và
đồng qui tại
(là trung điểm của
) .
Vì nên
và
.
Lại có
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Đặt
Khi đó:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
hay phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Phương trình
có một nghiệm thuộc khoảng
là
Ta có .
Do đó là một nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
.
Biết
với
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Vậy
Tính tổng
.
Ta có:
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại
?
Ta có: nên hàm số
gián đoạn tại điểm
bằng
Đặt .
Ta có khi
Vậy .
Tìm số nghiệm của phương trình
trên đoạn
.
Ta có:
Vì nên
. Do đó phương trình
Vì nên
.
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
Ta có:
không xác định.
Cho hàm số
. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?
Tập xác định:
Hàm số tuần hoàn với chu kì
, dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên
Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số
đồng biến trên khoảng
và
.
Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Ta có:
Vậy là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: ![]()
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Khi đó, phương trình so sánh với đk
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: .
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Các điểm
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
ta thu được ảnh lần lượt là
. Hình chóp
cần thêm điều kiện gì để tứ giác
là hình vuông?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Để là hình vuông thì
suy ra hình chóp
có mặt bên
vuông cân tại
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng
.
Theo bài ra ta có:
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:
Hàm số sinx là hàm số lẻ
=> Hàm số y = sin5x, y = 3sin2x, y = 4sinx là hàm số lẻ
Xét hàm số y = |sinx| ta có:
Hàm số có tập xác định D = R; ∀x ∈ D thì -x ∈ D
Ta có: f(-x) = |sin( -x)| = |- sinx| = |sinx|
=> f(x)= f(-x) nên hàm số y= |sinx| là hàm số chẵn
Vậy hàm số y = |sinx| là hàm số chẵn
Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
(I) k ∈ A
(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k
Lúc đó, ta có:
(I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.
(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
là điểm trên cạnh
sao cho
Một mặt phẳng
đi qua
, song song với
và
cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi
là diện tích tứ giác thiết diện và
, với
là phân số tối giản,
. Tính giá trị của biểu thức
?
Đáp án: 110
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng
là điểm trên cạnh
sao cho
Một mặt phẳng
đi qua
, song song với
và
cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi
là diện tích tứ giác thiết diện và
, với
là phân số tối giản,
. Tính giá trị của biểu thức
?
Đáp án: 110
Hình vẽ minh họa
Ta kẻ ,
,
.
Vì mặt phẳng đi qua
, song song với
và
nên
đều thuộc
và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
là tứ giác
.
Khi đó //
Tương tự, ta có được .
Suy ra và
là hình vuông.
Suy ra
Khi đó
Vậy
Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:
Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.
Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.
…
Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.
Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.
Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:
Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.
Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.
…
Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.
Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.
Cho dãy số
xác định bởi
. Khi đó
có giá trị bằng
Theo công thức truy hồi ta có
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
là:
Với thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số
đồng biến trên khoảng
Cho
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
Ta có thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác
=>
Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng: "Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song."
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số ![]()
Ta có
Cho hàm số
và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn
. Sai||Đúng
b) Giới hạn
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hàm số và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn . Sai||Đúng
b) Giới hạn . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) .
b) .
c) .
d) .
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Chọn câu đúng:
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" đúng.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau => "Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau." sai.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau => "Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song" sai.
Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau => "Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau" sai.
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
. Đúng||Sai
b) Phương trình
có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu
thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) . Đúng||Sai
b) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Ta có:
Xét phương trình . Đặt
là hàm số liên tục trên
suy ra hàm số cũng liên tục trên
.
Ta có:
Khi đó: nên phương trình
có ít nhất 3 nghiệm
là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.
Ta có:
Nếu suy ra
Ta có:
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Nghiệm của phương trình
là
Cho cấp số nhân
có tổng
số hạng đầu tiên là
với
. Tìm số hạng đầu
và công bội
của cấp số nhân đó?
Ta có:
,
.
Từ độ cao
của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 68,2
Từ độ cao của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 68,2
Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:
Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ là
.
Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:
.
Vì ,
,
, …,
,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội
, nên ta có:
.
Vậy
bằng
Ta có:
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho tứ diện ABCD, M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, BD, AC. Phát biểu nào sau đây là sai?
Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD
Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD
=> SN // AD (1)
Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD
=> MR // AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"
Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC
Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"
Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.
Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD
=> Tứ giác MQNP là hình bình hành
=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà G là trung điểm của MN
Do đó G cũng là trung điểm của QP
Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.
Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'
Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.