Cho đường tròn đường kính
. Tìm số đo
của cung có độ dài
?
mà
vậy số đo
cần tìm là
.
Cho đường tròn đường kính
. Tìm số đo
của cung có độ dài
?
mà
vậy số đo
cần tìm là
.
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại
?
Xét hàm số hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.
Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10
Ta có:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Vì nên
Do đó
Tập giá trị của hàm số
có bao nhiêu số nguyên?
Ta có:
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
Mà nên
.
Vậy tập giá trị của có 11 số nguyên.
Cho hộp chữ nhật
có
lần lượt là tâm của
. Trung điểm của
lần lượt là
. Xác định hình chiếu của tam giác
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên tứ giác
là hình bình hành.
Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác thuộc mặt phẳng
nên hình chiếu của
qua phép chiếu song song
lên mặt phẳng
lần lượt là điểm
và
.
Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
thì hình chiếu của tam giác
là đoạn thẳng
.
Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?

Gọi
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD
=>
=>
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
Cho
. Xác định k để
.
Ta có:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Gọi
là tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân đã cho có:
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình .
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Một dãy số được xác định bởi
. Số hạng tổng quát
của dãy số đó là:
Ta có:
Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao
so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?
Đáp án: 45
Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?
Đáp án: 45
Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là .
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là .
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là ……
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần là
Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:
.
Cho hàm số
. Tìm
để hàm số liên tục tại ![]()
Đáp án: -3||- 3
Cho hàm số . Tìm
để hàm số liên tục tại
Đáp án: -3||- 3
Xét
Hàm số liên tục tại
.
Giới hạn
bằng
Ta có:
Với
là số nguyên dương,
là hằng số, giới hạn
bằng
Ta có và
nên
Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo
được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?
Xét theo chiều dương với ta thấy cung có số đo
được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với
bằng:
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng
Phương trình
có một nghiệm thuộc khoảng
là
Ta có .
Do đó là một nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
.
Tìm chu kì của hàm số
?
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Áp dụng công thức trên ta suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
.
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Giá trị của giới hạn
bằng:
Ta có:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a
=>
Tương tự:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b
=>
Tìm được các giới hạn sau:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn sau:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) Ta có:
.
b) Ta có:
vì
.
c) Ta có:
, do
d) Ta có:
.
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Với giá trị
nào dưới đây thì các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Ta có: lập thành một cấp số nhân
Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Vậy suy ra ,
Nghiệm của phương trình đã cho là: ,
.
Tìm tập xác định
của hàm số
?
Hàm số xác định khi:
Vậy
Tìm giới hạn ![]()
Ta có:
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Tính được các giới hạn sau, khi đó:
a)
Sai||Đúng
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d)
Đúng||Sai
Tính được các giới hạn sau, khi đó:
a) Sai||Đúng
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Đúng||Sai
a) (do
b) do
c) .
Vì
d) .
Vì
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Chọn câu đúng:
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" đúng.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau => "Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau." sai.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau => "Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song" sai.
Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau => "Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau" sai.
Biết giới hạn
,
là số thực,
là các số nguyên dương và
tối giản.
Tính tổng:
.
Đáp án: 0
Biết giới hạn ,
là số thực,
là các số nguyên dương và
tối giản.
Tính tổng: .
Đáp án: 0
Vì nên
.
Suy ra .
Với ta được
.
Vậy .
Suy ra .
Tính tổng
?
Xét dãy số là cấp số nhân với
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
Ta có

Ta xét có 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt
trong đó
. Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
Khi đó (vì
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
)
Suy ra
Vậy khẳng định sai là .
Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác
Dễ thấy đồng quy tại điểm M.
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho cấp số cộng
biết
. Tìm công sai của cấp số cộng?
Theo giả thiết ta có:
Vậy
Đồ thị hàm số
được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
Nhắc lại lý thuyết:
Cho (C) là đồ thị của hàm số và
, ta có:
+ Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số .
+ Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số
+ Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số
+ Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số
Vậy đồ thị hàm số được suy từ đồ thị hàm số
bằng cách tịnh tiến sang phải
đơn vị.