Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD’. Nếu ABCD là một hình vuông, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

    Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.

    Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    MNlà đường trung bình của tam giác SAC nên MN//AC mà AC \in (ABCD) \Rightarrow MN//(ABCD).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = 5^{n} - 1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = 5^{n - 1}

    \Rightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 -q} = 5^{n - 1}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = q - 1 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó u_{4} = u_{1}.q^{3} = 4.5^{3} =500

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có un =  − n2 + n + 1. Số  − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?

    Giả sử un =  − 19(n∈ℕ*) Suy ra - n^{2} + n + 1 = - 19 \Leftrightarrow - n^{2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 5 ight. (do  n∈ℕ*).

    Vậy số  − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

    Tất các các hàm số đều có TXĐ: {\text{D}} = \mathbb{R}.

    Do đó \forall x \in {\text{D}} \Rightarrow - x \in {\text{D}}{\text{.}}

    Bây giờ ta kiểm tra f\left( { - x} ight) = f\left( x ight) hoặc f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight).

     Với y = f\left( x ight) = - \,\,\sin x. Ta có

    f\left( { - x} ight) = - \,\,\sin \left( { - x} ight) = \sin x = - \left( { - \sin x} ight)

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)

    Suy ra hàm số là hàm số lẻ.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x - \sin x. . Ta có

    f\left( { - x} ight) = \cos \left( { - x} ight) - \sin \left( { - x} ight) = \cos x + \sin x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) e \left\{ { - f\left( x ight),f\left( x ight)} ight\}

    Suy ra hàm số không chẵn không lẻ.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x + {\sin ^2}x. Ta có

    f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight) + {\sin ^2}\left( { - \,x} ight)

    = \cos \left( { - \,x} ight) + {\left[ {\sin \left( { - \,x} ight)} ight]^2}

    = \cos x + {\left[ { - \sin x} ight]^2} = \cos x + {\sin ^2}x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    Suy ra hàm số là hàm số chẵn.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x\sin x. Ta có

    f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight).\sin \left( { - \,x} ight) = - \cos x\sin x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)

     Suy ra hàm số là hàm số lẻ.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có {u_1} = 4;{u_2} = 1. Giá trị của {u_{10}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 1 - 4 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} ight) = - 23 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} có nghiệm là ?

     Ta có: \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}

  • Câu 8: Vận dụng

    Giả sử \sin \frac{a}{6};\cos a;\tan a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó \cos 2a bằng:

    Điều kiện \cos a e 0 \Leftrightarrow a e \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} {\cos ^2}a = \dfrac{{\sin a}}{6}.\tan a \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}a = \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{\cos a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a - {\sin ^2}a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a + {\cos ^2}a - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

    Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”

    Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}

    Đáp án: 64

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}

    Đáp án: 64

    Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

    8u_{3} - u_{7} + 8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}

    \Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}

    \Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{3}q + u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}

    \Leftrightarrow 8u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)

    \Leftrightarrow 8u_{3} = u_{6} do 1 + q + q^{2} > 0

    \Leftrightarrow 8u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 8 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \frac{u_{8} + u_{9} +u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q +u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}= \frac{u_{8}\left( 1 + q +q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} =\frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 64

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)

    Trong (ABCD) có I = EF \cap CD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SI = (SEF) \cap (SCD)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)

    EF//AC do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

    \left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC

    c) Chọn (SBC) chứa FK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.

    (SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}ta được kết quả bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}

    = \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì a \in (m;n) ( với m,n là hai số nguyên liên tiếp). Tính 100(m + n).

    Đáp án: 2500

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì a \in (m;n) ( với m,n là hai số nguyên liên tiếp). Tính 100(m + n).

    Đáp án: 2500

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục khi x eq 2

    Xét tại x = 2

    Ta có: f\left( 2 ight) = 44; \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( 2x^{2} + 3x + 30 ight) = 44;\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x + 3a + 4) = 3a + 6

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Leftrightarrow 3a + 6 = 44 \Leftrightarrow a = \frac{38}{3} \in (12;13)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 12 \\ n = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 100(m + n) = 2500

    Đáp án: 2500.

  • Câu 14: Nhận biết

    Góc \frac{2\pi}{5} đổi sang độ bằng bao nhiêu?

    Ta có: \frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5}\left( \frac{180}{\pi} ight)^{0} = 72^{0}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \pi rad tương ứng với 180^{0}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}} liên tục trên:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định D = ( - 4;3brack

    => Hàm số liên tục trên ( - 4;3brack

  • Câu 17: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

    TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

    TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

    Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

    Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

  • Câu 18: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{2n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 4;16;64;....

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 4 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cung lượng giác \mathop {AM}^{\displaystyle\frown} trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của cung \mathop {AM}^{\displaystyle\frown} bằng bao nhiêu?

    Ta có: \widehat{MOB} = \frac{\pi}{4}\Rightarrow \widehat{AOM} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} =\frac{5\pi}{4}

    Cung lượng giác \mathop {AM}^{\displaystyle\frown} có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có hướng theo chiều dương.

    Vậy số đo cung AM là \frac{5\pi}{4} +k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Giá trị của giới hạn \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}};\left( |a| < 1,|b| < 1 ight) bằng:

    Ta có:

    1 + a + a^{2} + ... + a^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a

    => 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1.\left( 1 - a^{n + 1} ight)}{1 - a} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}

    Tương tự:

    1 + b + b^{2} + ... + b^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b

    => 1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1.\left( 1 - b^{n + 1} ight)}{1 - b} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}

    \Rightarrow \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}} = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty, do \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x};g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} có tập xác định D=\mathbb{ R}

    Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

    f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)

    Vậy f(x) là hàm số chẵn

    Tương tự xét hàm số g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x};D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

    \begin{matrix}g( - x) = \dfrac{\left| \sin( - 2x) ight| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( -x)}\hfill \\= \dfrac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x) \hfill\\\end{matrix}

    Vậy g(x) là hàm số chẵn.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SCD;\ \ E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó:

    a) \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}. Đúng||Sai

    b) IJ//\ (ABCD). Đúng||Sai

    c) BC song song với mặt phẳng (SAD),(SEF). Đúng||Sai

    d) BC cắt mặt phẳng (AIJ). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SCD;\ \ E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó:

    a) \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}. Đúng||Sai

    b) IJ//\ (ABCD). Đúng||Sai

    c) BC song song với mặt phẳng (SAD),(SEF). Đúng||Sai

    d) BC cắt mặt phẳng (AIJ). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng.

    Do I,J lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SCD nên \frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}.

    b) Đúng.

    Do I,J lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SCD nên

    \frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF

    Mà \ EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD).

    c) Đúng.

    Vì BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD).

    Vì EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên

    BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF).

    d) Sai.

    Ta có: IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ mà IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ).

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d và cắt (∝) theo giao tuyến d’ => d’ // d

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M \in AD,N \in CC' sao cho 2AM = AD và 2CN = CC'. Mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng MN và song song với (ACB'). Xác định các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

    Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

    => Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình hộp.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi d = (GMN) \cap (BCD)

    Khi đó d đi qua G. Xét ba mặt phẳng (GMN),(BCD),(ACD)

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d,CD,MN.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d,CD,MN đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà MN//CD\ = > \ d//CD

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Giá trị của  \lim\frac{1}{n^{k}} với k \in \mathbb{N^*}bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}

    Suy ra:

    \frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}

    Vậy \lim\frac{1}{n^{k}} = 0.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Hình vẽ minh họa

    Ta kẻ MN\ //\ AB\ \ (M \in SA), NP\ //BC\ \ (P \in SC), MQ\ //\ BC\ //\ AD\ \ (Q \in SD).

    Vì mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD nên M,\ \ P,\ \ Q đều thuộc (\alpha) và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Khi đó MN//AB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} =\frac{2}{3}.

    Tương tự, ta có được \frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{DA} = \frac{2}{3}.

    Suy ra MN = NP = PQ = QM = \frac{2}{3}AB = \frac{20}{3} và MNPQ là hình vuông.

    Suy ra S_{MNPQ} = \left( \frac{20}{3} ight)^{2} = \frac{400}{9}.

    Khi đó a = 100,b = 9

    Vậy P = a + b + 1 = 110.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}}.

    Ta có:

    \lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{7^{n}}}{\dfrac{2.5^{n} +7^{n}}{7^{n}}}

    = \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{3}{7}ight)^{n} + 7}{2.\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n} + 1} = 7

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho vòng tròn lượng giác được kí hiệu như sau:

    Điểm nào biểu diễn nghiệm của phương trình 2sinx - 1 = 0?

    Ta có:

    2sinx - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy chỉ có hai điểm C và điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 32: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{2}{n + 1} bằng:

    Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{2}{a} - 1 ightbrack + 1

    Suy ra \frac{2}{n + 1} < a\ ,\ \ \forall n > n_{0} = > \lim\frac{2}{n + 1} = 0

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), với {u_n} = {( - 1)^n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: {u_n} = {( - 1)^n} là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.

    Tập giá trị của dãy số {u_n} = {( - 1)^n} là {-1; 1}

    \Rightarrow - 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1

    Vậy dãy số u_{n} là dãy số bị chặn.

  • Câu 34: Vận dụng

    Biết rằng \lim\frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} - n - 2}} = a\sin\frac{\pi}{4} + b. Tính S = a^{3} + b^{3}?

    Ta có:

    \lim\frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} - n - 2}}

    = \lim\dfrac{1 + \sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n}}}

    = \frac{1 + \sqrt{1}}{1} = 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} a = 2\sqrt{2} \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = 8

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tất cả các nghiệm của phương trình tan (x) = cot (x) là?

     Điều kiện \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\, \Leftrightarrow \sin 2x e 0\, \Leftrightarrow x e m\frac{\pi }{2}\,{\text{ , }}m \in \mathbb{Z}

    \tan x = \cot x \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} ight) thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Tổng S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1 có kết quả bằng?

    Đặt M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)

    = 1 - \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}

    \Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn \lbrack0;\pibrack. Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD = \frac{2\pi}{3}. Tính độ dài cạnh BC.

    Gọi A\left( {a;\sin a} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} = a + \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {{y_B} = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight)} \end{array}} ight.

    Mặt khác

    \begin{matrix} {y_A} = {y_B} \Rightarrow \sin a = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight) \hfill \\ \Rightarrow a = \pi - a - \dfrac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó BC = AD = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty, do \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty và \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1.

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty

    Do \lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty và \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2.

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0.

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 39: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho số thực m thỏa mãn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Tìm tập giá trị của hàm số y = 3\cos2x + 5

    Ta có:

    - 1 \leq \cos2x \leq 1

    \Rightarrow - 3 \leq 3\cos2x \leq3

    \Rightarrow 2 \leq 3\cos2x + 5 \leq8

    \Rightarrow 2 \leq y \leq 8

    \Rightarrow T = \lbrack 2;8brack

  • Câu 42: Nhận biết

    Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2y bằng

    Ta có:

    x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20

    \Rightarrow 3x + 2y = 70

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Tính tổng {S_n} = {\left( {2 + \frac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \frac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} ight)^2}

     Ta có:

    \begin{matrix} {S_n} = {\left( {2 + \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {4 + \dfrac{1}{4}} ight)^2} + ... + {\left( {{2^n} + \dfrac{1}{{{2^n}}}} ight)^2} \hfill \\ {S_n} = \left( {4 + 2 + \dfrac{1}{4}} ight) + \left( {{4^2} + 2 + \dfrac{1}{{{4^2}}}} ight) + ... + \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^n}}}} ight) \hfill \\ {S_n} = 2n + \left( {4 + {4^2} + ... + {4^n}} ight) + \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{{4^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{4^n}}}} ight) \hfill \\ = 2n + 4.\dfrac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} + \frac{1}{4}\frac{{1 - \frac{1}{{{4^n}}}}}{{1 - \frac{1}{4}}} \hfill \\ {S_n} = 2n + \dfrac{4}{3}\left( {{4^n} - 1} ight) + \dfrac{{{4^{n - 1}}}}{{{{3.4}^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 có nghiệm:

     Đặt t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)

    => \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

    Phương trình trở thành:

    \begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do  {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy để phương trình có nghiệm

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập