Giá trị của
bằng:
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho dãy số
thỏa mãn
. Biết dãy số
là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt
. Tính ![]()
Ta có:
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
. Gọi mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giả sử
. Tỉ lệ độ dài của
và
là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi trung điểm của lần lượt là
.
Dễ thấy
Xét mặt phẳng , gọi
Xét tam giác và tam giác
ta có:
(đối đỉnh)
(so le trong)
Vậy hay
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Giá trị của M.n là:

Hàm số liên tục trên
.
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1
Vậy M.n = -3
bằng:
Ta có:
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Cho
là cấp số cộng biết
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
Ta có:
Vậy
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
có nghiệm?
Ta có:
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m
bằng:
Ta có:
Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là
Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1
Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất bác Hoa trả 8 000 000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,6% mỗi tháng thì sau bao lâu bác Hoa trả hết số tiền trên?
Ta có:
Vậy sau khoảng 188 tháng thì bác Hoa sẽ trả hết số tiền đó.
Cho
với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có dự đoán
Với n = 1, ta được (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là
Ta có
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Khẳng định “Ba điểm phân biệt” là sai. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.
Khẳng định “Một điểm và một đường thẳng” sai. Điểm không nằm trên đường thẳng mới xác định một mặt phẳng duy nhất.
Khẳng định “Hai đường thẳng cắt nhau” đúng.
Khẳng định “Bốn điểm phân biệt” sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, (AD // BC). Gọi M là trung điểm của CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
Hình vẽ minh họa
Gọi I là giao điểm của AC và BM
Ta có: I và S là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)
=> Giao tuyến cần tìm chính là đường thẳng SI.
Đổi số đo
sang số đo theo đơn vị là radian.
Ta có:
Cho cấp số nhân
với công bội
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo công thức tính tổng số hạng đầu của CSN ta được
.
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 => loại đáp án ,
Tại thì y = 1 thay vào hai đáp án
và
thì chỉ có
thỏa mãn
Vậy đồ thị ở hình vẽ đã cho là đồ thị của hàm số
Biết
. Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Tập xác định: có nghĩa là
Khi đó
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Cho hai số thực
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 1,25
Cho hai số thực thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 1,25
Vì là 1 số hữu hạn và
nên
hay
.
Khi đó:
suy ra
.
Vậy .
Trong không gian, đường thẳng
song song với mặt phẳng
nếu
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
Khi đó theo định nghĩa cấp số cộng dãy số là một cấp số cộng với
Cho phương trình lượng giác ![]()
a) Phương trình có nghiệm
Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
Đúng||Sai
c) Trên khoảng
phương trình đã cho có 3 nghiệm Sai||Đúng
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
bằng
Đúng||Sai
Cho phương trình lượng giác
a) Phương trình có nghiệm Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng Đúng||Sai
c) Trên khoảng phương trình đã cho có 3 nghiệm Sai||Đúng
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng bằng
Đúng||Sai
Ta có:
Vì nên
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho cấp số nhân
có các số hạng đều dương và
Giá trị của
là:
Ta có
Theo giả thiết, ta có:
Và
.
Suy ra . Vậy
.
Cho hình chóp
, biết
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Vì nên
là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.
Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.
Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?
Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)
Đơn giản biểu thức
, ta có
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.
Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.
Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
bằng:
Ta có:
Đồ thị hàm số
đi qua điểm nào sau đây?
Xét điểm (0; 2) => x = 0; y = 2
Thay vào hàm số ta có:
cos0 + 1 = 1 + 1 = 2 (thỏa mãn)
Vậy đồ thị hàm số y = cosx + 1 đi qua điểm (0; 2)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Tìm được các giới hạn sau:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn sau:
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) , do
và
.
b)
Do và
.
c) .
d) .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho hình hộp
. Lấy
sao cho
và
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.
Giao tuyến của với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.
=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt của hình hộp.
Nghiệm của phương trình tan (2x) -1 = 0 là?
Ta có:
.
Phương trình
có một nghiệm thuộc khoảng
là
Ta có .
Do đó là một nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
Đáp án: "Nếu và
;
thì
" và "Nếu
và
thì
" sai vì hai đường thẳng
có thể chéo nhau.
Đáp án: "Nếu và
,
thì
" sai vì hai mặt phẳng
có thể cắt nhau.
Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng)
các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
Ta có:
=> và
có điểm cuối trùng nhau
=> và
có điểm cuối trùng nhau.
bằng:
Ta có:
Do =>