Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
là trọng tâm của tam giác
. Lấy
sao cho
. Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
là trọng tâm của tam giác
. Lấy
sao cho
. Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Các số hạng lập thành cấp số nhân
Cho tứ diện
, biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Cho tứ diện , biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
là
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Ta chứng minh được (c – c – c).
Ta có
Vậy
Tính giới hạn của hàm số
khi
.
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có:
Suy ra , với
là đường thẳng qua
và
.
Hình vẽ minh họa
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có: .
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có .
Xét tam giác , ta có
là đường trung bình
.
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Một người muốn có 100 triệu sau 18 tháng phải gửi mỗi tháng vào ngân hàng bao nhiêu tiền, biết lãi suất 0,6%/ tháng (lãi kép)?
Gọi a là số tiền gửi mỗi tháng.
Cuối tháng thứ 1 số tiền là
Cuối tháng thứ 2 số tiền là
Cuối tháng thứ n số tiền là
Áp dụng công thức trên, ta tính được
Vậy số tiền phải gửi mỗi tháng là 5246112 (đồng).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: ![]()
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Khi đó, phương trình so sánh với đk
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: .
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
Ta có:
Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng có
.
Gọi n là số ô trên bàn cờ thì
Ta có:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và
với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?
Chứng minh
Ta có
Mặt khác nên (1) đúng với n = 1 Giả sử
, ta có
Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1
Ta có
Do đó ta suy ra:
Giá trị của
bằng:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Gọi
là tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân đã cho có:
Biết rằng
. Tính
?
Ta có:
Khi đó
Cho hình lăng trụ
, gọi
,
lần lượt là trung điểm của
,
. Qua phép chiếu song song theo phương
, mặt phẳng chiếu
biến
thành điểm nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song theo phương, mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Góc có số đo
đổi sang độ là:
Cách 1:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 3 chuyển về chế độ "độ".
Bước 2: Bấm SHIFT Ans 2 =
Cho phương trình
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình đã cho có nghiệm?
Ta có:
thì phương trình có nghiệm.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
là trung điểm của
. Điểm
là ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Tập giá trị của hàm số
trên ![]()
Ta có:
Nên
Cho cấp số cộng có
,
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b) Số hạng tổng quát thứ
của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
c) Tổng
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
d) Tổng
. Sai||Đúng
Cho cấp số cộng có ,
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) Số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
c) Tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
. Đúng||Sai
d) Tổng . Sai||Đúng
a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng ta có:
.
b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ của cấp số cộng ta có:
.
c) Áp dụng công thức tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:
.
d) Ta viết lại
.
Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
(I) k ∈ A
(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k
Lúc đó, ta có:
(I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.
(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Tập giá trị của hàm số
có bao nhiêu số nguyên?
Ta có:
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
Mà nên
.
Vậy tập giá trị của có 11 số nguyên.
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
. Tính giới hạn
?
Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn
. Tính giới hạn
?
Tính
.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với thì
Với thì
nên (*) đúng với
Giả sử (*) đúng với nghĩa là:
Xét ta có:
Vậy (*) đúng với
Bây giờ ta áp dụng với thì
Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

Ta có:
Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình là điểm A, điểm B.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
với
với
. Tính
.
Ta có hàm số xác định và liên tục trên
nên suy ra
Cho
là hằng số,
là số nguyên dương khác không. Tìm khẳng định sai.
Mệnh đề sai khi
là số chẵn.
Dãy số nào là cấp số nhân?
Theo bài ra ta có:
(loại)
(loại)
(thỏa mãn)
(loại)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng
cắt SC tại
. Tính tỉ số
.
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Trong , kẻ
.
Do đó là mặt phẳng
.
Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của
.
Do .
Cho lăng trụ
. Lấy
là trung điểm của
. Xác định hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
theo phương chiếu
là:
Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của
. Ta có:
Vậy hình chiếu song song của điểm lên
theo phương chiếu
là điểm
.
Góc
đổi sang độ bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì
=> tuần hoàn với chu kì
Đơn giản biểu thức
, ta có
Ta có:
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
và
. Giao điểm của
với
là điểm
. Hãy chọn cách xác định điểm
đúng nhất trong bốn phương án sau.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
.
Mà nên
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Áp dụng: Hàm số tuần hoàn với chu kì
Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?
Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)
bằng:
Ta có:
Với
là số nguyên dương,
là hằng số, giới hạn
bằng
Ta có và
nên
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng
?
Xét phương án :
có
=> Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
Đặt , phương trình trở thành:
.
=> Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
, xét
.
Mặc khác hàm số liên tục trên
do đó liên tục trên
.
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
.