Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:

    Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.

  • Câu 2: Vận dụng

    Giả sử a,b là các giá trị để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{ , khi }}x < - 2} \\ {x + 1{\text{ , khi }}x \geqslant - 2} \end{array}} ight. có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2. Tính giá trị biểu thức 3a - b

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1

    Suy ra f(x) hữu hạn khi x dần tới - 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)

    Do \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 4 ight) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2} + ax + b - 4 ight) = 0

    \Rightarrow 2a - b = 4

    Ngược lại với 2a - b = 4 ta có:

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0

    \Leftrightarrow a = 8

    => f(x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 3a - b = 12

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là u_{1} = - 6;q = - 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 2046. Xác định n.

    Ta có:

    2046 = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}

    \Rightarrow 2046 = ( - 6).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{1 - ( - 2)}

    \Rightarrow n = 10

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b} với k \in \mathbb{Z} và a,b \in \mathbb{N}^{*}. Tính S = a + b

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0

    \Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}

    Ta có:

    \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}

    =\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx

    = cot\frac{x}{2} - cotx

    Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

    \cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x

    {+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}

    {\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}

    {\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}

    Vậy a = 2019,b = 1 nên a + b = 2020.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 6: Nhận biết

    Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos3a = 4\cos^{3}a - 3\cos a

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình chóp A.BCD có H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD tam giác. Chọn mệnh đề đúng.

    Gọi I là trung điểm AB.

    Xét tam giác MCD có:

    \frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3} (do H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC)

    \ = > HK//CD

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có G,K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Gọi E là trung điểm cạnh AC. Mặt phẳng (GEK) cắt SC tại M. Tỉ số \frac{MS}{MC} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC và E là trung điểm của AC.

    => B,G,E thẳng hàng hay (GKE) \equiv (EBK)

    Ta lại có K là trọng tâm tam giác SBC nên BK kéo dài cắt SC tại trung điểm của SC.

    Vậy M là trung điểm của SC suy ra \frac{MS}{MC} = 1

  • Câu 11: Nhận biết

    Để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b ta cần giả thiết nào dưới đây?

    Ta có tính chất:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b

  • Câu 12: Thông hiểu

    Dãy số \left( u_{n} ight) có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây xác định một cấp số nhân?

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n} ta có:

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{n + 1}}{2020^{n}} = 2020;\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n} là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n^{3}}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{(n + 1)^{3}}}{2020^{n^{3}}} = 2020^{3n^{2} + 3n + 1};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n^{3}} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{\frac{2020}{n + 1 + 2019}}{\frac{2020}{n + 2019}} = \frac{n + 2019}{n + 2020};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = \frac{2020}{n + 2019} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020n + 2019

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020(n + 1) + 2019}{2020n + 2019} = \frac{2020n + 4039}{2020n + 2019};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020n + 2019 không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân

  • Câu 13: Nhận biết

    Giá trị của C = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Ta có:

    \left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy C=1.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy các điểm M \in SB,N \in SD sao cho \frac{SM}{MB} = 2;\frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}. Hình chiếu của M,N qua phép chiếu song song phương SO mặt phẳng chiếu (ABCD)lần lượt là P,Q. Tỉ số độ dài \frac{PO}{QO} bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh hoạ

    Do P là hình chiếu song song của M qua phép chiếu song song phương SO

    \Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{BP}{BO}

    Mà \frac{SM}{MB} = 2 \Rightarrow SM = 2MB

    \Rightarrow \frac{BP}{BO} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{OP}{OB} = \frac{2}{3}

    Chứng minh tương tự ta có: \frac{OQ}{OD} = \frac{1}{3}

    Ta có: BO = DO \Rightarrow \frac{OP}{OQ} = \frac{1}{2}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;2brack và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack. Giá trị của M.n là:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;2brack.

    Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

    Vậy M.n = -3

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có {u_1} = 4;{u_2} = 1. Giá trị của {u_{10}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 1 - 4 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} ight) = - 23 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n}}{2} + 2 \\\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có:

    u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

    u_{3} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4}

    u_{4} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{15}{8} + 2 = \frac{31}{8}

    u_{5} = \frac{u_{4}}{2} + 2 = \frac{31}{16} + 2 = \frac{63}{16}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \sin x=0 là?

     Ta có: \sin x =0 \Leftrightarrow x = k\pi \, , \, k \in \mathbb{Z}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Tập xác định của hàm số f(x)là \mathbb{R}.

    Ta có f(1) = \frac{a + 15}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}

    Hàm số đã cho liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = \tan 3\pi x.

    Hàm số y = \tan \left( {ax + b} ight) tuần hoàn với chu kì T\,\, = \,\,\frac{\pi }{{\left| a ight|}}

    Áp dụng: Hàm số y = \tan 3\pi x tuần hoàn với chu kì T = \frac{1}{3}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\ldots Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};

    \frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}

    Suy ra u_{n} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng u_{k} = u_{1}q^{k - 1}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim(\sqrt{n^{2}-1}-\sqrt{3n^{2}+2}) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } ight) \hfill \\ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \lim n = + \infty \hfill \\ \lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } ight) = 1 - \sqrt 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Nhận biết

    Tính giới hạn L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}?

    Ta có:

    L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hình vẽ:

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

    Ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là \sqrt{2} và giá trị nhỏ nhất là - \sqrt{2} => loại hàm số y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight) và y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    Tại x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow y = - \sqrt{2} ta thấy chỉ có y = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) thỏa mãn

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

    Tất các các hàm số đều có TXĐ: {\text{D}} = \mathbb{R}.

    Do đó \forall x \in {\text{D}} \Rightarrow - x \in {\text{D}}{\text{.}}

    Bây giờ ta kiểm tra f\left( { - x} ight) = f\left( x ight) hoặc f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight).

     Với y = f\left( x ight) = - \,\,\sin x. Ta có

    f\left( { - x} ight) = - \,\,\sin \left( { - x} ight) = \sin x = - \left( { - \sin x} ight)

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)

    Suy ra hàm số là hàm số lẻ.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x - \sin x. . Ta có

    f\left( { - x} ight) = \cos \left( { - x} ight) - \sin \left( { - x} ight) = \cos x + \sin x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) e \left\{ { - f\left( x ight),f\left( x ight)} ight\}

    Suy ra hàm số không chẵn không lẻ.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x + {\sin ^2}x. Ta có

    f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight) + {\sin ^2}\left( { - \,x} ight)

    = \cos \left( { - \,x} ight) + {\left[ {\sin \left( { - \,x} ight)} ight]^2}

    = \cos x + {\left[ { - \sin x} ight]^2} = \cos x + {\sin ^2}x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    Suy ra hàm số là hàm số chẵn.

    Với y = f\left( x ight) = \cos x\sin x. Ta có

    f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight).\sin \left( { - \,x} ight) = - \cos x\sin x

    \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)

     Suy ra hàm số là hàm số lẻ.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tứ diện ABCD có thể xem là hình chóp tam giác bằng bao nhiêu cách?

    Có 4 cách là: A.BCD,B.ACD,C.ABD,D.ABC.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tập giá trị của hàm số y = \frac{\cos x +1}{\sin x + 1} trên \left\lbrack0;\frac{\pi}{2} ightbrack

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}0 \leq \cos x \leq 1 \\0 \leq \sin x \leq 1 \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2}ightbrack ight)

    Nên \frac{0 + 1}{1 + 1} \leq \frac{\cos x+ 1}{1 + 1} \leq \frac{1 + 1}{0 + 1} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq2

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giải phương trình \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}.

    Ta có

    \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \cot(3x - 1) = \cot\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \cot\left( \frac{5\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow 3x - 1 = \frac{5\pi}{6} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{18} + k\frac{\pi}{3},k\mathbb{\in Z}

  • Câu 31: Nhận biết

    Giá trị của \lim(2n + 1) bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} > \frac{M - 1}{2}

    Ta có:

    2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}.

    = > \lim(2n + 1) = + \infty

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD, biết tam giác BCD có diện tích bằng 16. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD, biết tam giác BCD có diện tích bằng 16. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

    Đáp án: 4

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB.

    Gọi MN = (P) \cap (ABD) (N \in AD), do (P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N là trung điểm của AD.

    Gọi MP = (P) \cap (ABC) (P \in AC), do (P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P là trung điểm của AC.

    Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là \Delta MNP.

    Gọi I,\ J lần lượt là trung điểm của CD và BD.

    Ta chứng minh được \Delta MNP = \Delta JDI (c – c – c).

    Ta có

    S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}

    = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4

    Vậy S_{\Delta MNP} = 4.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Biết \lim_{xightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x +1} = c với a,b,c\in\mathbb{R}. Tập nghiệm của phương trình ax^{4} + bx^{2} + c = 0 trên \mathbb{R} có số phần tử là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{1 + ax^{2} - (bx + 2)^{2}}{\left( 4x^{3} - 3x + 1 ight)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình \left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3 = 0phải có nghiệm kép x = \frac{1}{2}. Tức là:

    \left\{ \begin{matrix}\Delta' = 0 \\\dfrac{2b}{a - b^{2}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4b^{2} + 3\left( a - b^{2} ight) = 0 \\4b = a - b^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b^{2} + 3b = 0 \\ a = b^{2} + 4b \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(a,b eq 0)

    Khi a = - 3;b = - 3 thì

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 3}{(x + 1)\left( \sqrt{1 - 3x^{2}} - 3x + 2 ight)}

    I = \dfrac{- 3}{\dfrac{3}{2}.\left(\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{3}{2} + 2 ight)} = - 2

    Do đó a = - 3;b = - 3;c = - 2 nên phương trình - 3x^{4} - 3x^{2} - 2 = 0 vô nghiệm.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \sin\alpha = \frac{4}{5} và \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Tính giá trị của biểu thức P = \sin2(\alpha +\pi).

    Ta có:

    P = \sin2(\alpha + \pi) = \sin(2\alpha +2\pi) = \sin2\alpha = 2\sin\alpha.\cos\alpha

    Theo bài ra ta có:

    \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos\alpha < 0

    \cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha =\frac{9}{25}

    \Rightarrow \cos\alpha = - \frac{3}{5}

    => P = 2.\frac{4}{5}.\left( - \frac{3}{5} ight) = - \frac{24}{25}

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?

    Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)

    = 2\Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i^{2} + \Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}

    = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 5\ \ m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \frac{4}{5} độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 45

    Đáp án là:

    Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 5\ \ m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \frac{4}{5} độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 45

    Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là 5\ \ m.

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là \frac{4}{5}.5.2.

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2……

    Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần n + 1 là \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2

    Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:

    S = 5 + \frac{4}{5}.5.2 + \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2 + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2 + ...

    = 5 + 5.2.\left( \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5} ight)^{2} + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n} + ...ight)= 5 + 5.2.\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1 - \dfrac{4}{5}} = 45.

  • Câu 37: Vận dụng

    Kết quả của giới hạn \lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2}

    Ta có: 2^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}

    \Rightarrow 2^{n} \geq C_{n}^{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}\sim\frac{n^{3}}{6}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.. Khi đó:

    \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} -n + 2} = \lim\left\lbrack \dfrac{2^{n}}{n^{2}}.\dfrac{2 + 3\left(\dfrac{n}{2^{n}} ight) + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ightbrack = + \infty

    (vì \left\{ \begin{matrix}\lim\left\lbrack 2 + 3\left( \dfrac{n}{2^{n}} ight) + 10.\left(\dfrac{1}{2} ight)^{n} ightbrack = \dfrac{2}{3} > 0 \\\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\end{matrix} ight.)

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)

    Hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.

  • Câu 39: Vận dụng

    Công bội nguyên dương của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn \left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 14} \\ {{u_1}{u_2}{u_3} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2}.{{\left( {{u_2}} ight)}^2} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{{\left( {{u_2}} ight)}^3} = 64} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 14} \\ {{u_2} = 4} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_1}.{q^2} = 10} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {q = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {{u_1}.q = 4} \end{array}} ight.

  • Câu 40: Nhận biết

    Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    \cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x

  • Câu 41: Nhận biết

    Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt m và n trong không gian?

    Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa hai đường thẳng phân biệt m và n là:

     

    • m cắt n

    • m song song với n

    • m chéo nhau với n

     

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trung điểm của các cạnh AB,BC,CD lần lượt là các điểm P,Q,R. Giả sử (ACD) \cap (PQR) = d. Hỏi đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: PQ//AC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD);(PQR) sẽ đi qua điểm R và song song với AC.

    Do đó giao tuyến d sẽ đi qua trung điểm của AD.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty, do \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho \sin x +cosx = \frac{1}{2}. Tính giá trị biểu thức A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x}

    Do \sin x + cosx = \frac{1}{2} nên bình phương hai vế ta được:

    1 + 2sinx\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrowsin2x = - \frac{3}{4}

    Vậy A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x} =\frac{1 - 3/4}{1 + 3/4} = \frac{1}{7}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập