Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
là
Do nên
.
Nên đạt được khi
.
đạt được khi
.
Suy ra .
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
là
Do nên
.
Nên đạt được khi
.
đạt được khi
.
Suy ra .
Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là
. Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
Với số nguyên dương , kí hiệu
là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau
tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:
Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu
với công bội
nên
Số tiền rút được sau 2 năm là:
(đồng)
Tổng
có kết quả bằng?
Ta có
Do đó
Cho dãy số
xác định bởi
với
. Khi đó số hạng
của dãy
là
Ta có:
Tính ![]()
Ta có:
Xét tính liên tục của hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số xác định với mọi
Ta có: liên tục trên
và
Mặt khác
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Hỏi trên đoạn
, phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
Ta có
Theo giả thiết, ta có
.
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2023 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: là cấp số nhân có
.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai
b) Cho dãy số
được xác định bởi công thức
có số hạng thứ 3 là:
. Đúng||Sai
c) Cho dãy số
được xác định bởi công thức
là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng
d) Tổng
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai
b) Cho dãy số được xác định bởi công thức
có số hạng thứ 3 là:
. Đúng||Sai
c) Cho dãy số được xác định bởi công thức
là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng
d) Tổng . Đúng||Sai
Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.
Số hạng thứ ba của dãy số là:
.
Xét ta có:
suy ra
là dãy số giảm
Lại có suy ra
là dãy số bị chặn trên.
Suy ra phát biểu “Cho dãy số được xác định bởi công thức
là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.
Ta có: là tổng cấp số nhân lùi vô hạn
với
có số hạng đầu và công bội lần lượt là:
Cho hình chóp
có các mặt bên là tam giác đều. Gọi
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
là:
Hình vẽ minh họa
Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác
đều.
Gọi là trọng tâm tam giác
.
Ta có
Nên là hình chiếu song song theo phương
của
trên
.
Lại do tam giác đều nên
vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là:
Đơn giản biểu thức
, ta có
Ta có:
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
a) Ta có:
.
b) (do
và
).
c) Ta có:
Do và
.
d) Ta có:
Rút gọn biểu thức: ![]()
Áp dụng công thức ta được:
Tính
.
Ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
có nghiệm?
Ta có:
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m
Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
Ta có: d = 6 - 1 = 5
Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> x = 6 + 5 = 11
Vậy x = 11
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có khẳng định sai là: “Nếu và
thì
."
Cho ba đường thẳng
đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.
Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
=>
=>
Điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ ba
=>
Cho hình lập phương
. Có bao nhiêu đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng chứa đường chéo
của hình lập phương?
Hình vẽ minh họa
Có 6 đường thẳng là .
Giới hạn
bằng
Ta có:
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là luôn ngược chiều quay kim đồng hồ
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
. Đúng||Sai
b) Biết rằng
,
. Khi đó
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Biết
(với
). Khi đó
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Biết rằng ,
. Khi đó
. Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Biết (với
). Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng.
Vì
b) Sai.
Vì
c) Sai.
Vì
d) Đúng.
Xét thấy là nghiệm của phương trình
(mẫu số) nên
cũng là một nghiệm của phương trình
(tử số)
.
Khi đó:
.
Vậy .
Nếu các dãy số
thỏa mãn
và
thì
bằng:
Ta có .
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để ![]()
Ta có:
Giải bất phương trình ta được kết quả
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vậy
Phương trình
có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng
là:
Giải phương trình:
Do =>
thỏa mãn
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.
Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.
Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.
=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).
Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
![]()
Do y = sin (x) có tập giá trị là [-1;1] nên các phương trình có nghiệm;
phương trình vô nghiệm do
Cho cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có: Cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192
Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để bất phương trình
![]()
Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử
bằng:
Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Với bất phương trình trở thành
, bất phương trình không đúng với
=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với bất phương trình trở thành
, tập nghiệm của bất phương trình là
=> Thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với bất phương trình trở thành
, bất phương trình không đúng với
=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với đặt
thì
Theo giả thiết ta có:
với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)
Nếu thì
mâu thuẫn với (*)
Nếu thì
mâu thuẫn với (*)
Vậy nên số phần tử của S là 1.
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
theo thứ tự lấy các điểm
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Tìm các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến này.
Hình vẽ minh họa:
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.
Khi đó ME // NF // CD và
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang
với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Cho tam giác ABC cân tại A, AH ⊥ BC. Các cạnh AB, AH, BC lập thành một cấp số nhân. Tính công bội q của cấp số nhân đó.
Ta có: AB = AC (tam giác ABC cân)
Các cạnh BC, AB, AH lập thành cấp số nhân nên ta có hệ phương trình:
Vậy công bội của cấp số nhân là
Cho cấp số nhân
có
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo bài ra ta có:
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Giá trị u10 là?
Từ ta có un + 1 − un = 5
⇒ dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên
u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47
Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?
Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.
Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Giá trị của
với a> 0 bằng:
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Suy ra: nên
Suy ra:
Tóm lại ta luôn có: với a > 0 .
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
và
xác định và
xác định
Ta có: xác định khi và chỉ khi
Mà cot x xác định khi
Do đó hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là