Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.
Ta có:
Đặt
Khi đó (vn) là một cấp số nhân với và công bội q = 21
Do đó số hạng tổng quát của dãy (vn) là
=>
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.
Ta có:
Đặt
Khi đó (vn) là một cấp số nhân với và công bội q = 21
Do đó số hạng tổng quát của dãy (vn) là
=>
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
Nên hàm số đồng biến trên khoảng
.
Giá trị của
với a> 0 bằng:
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Suy ra: nên
Suy ra:
Tóm lại ta luôn có: với a > 0 .
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?
Ta có song song với
theo tính chất hình bình hành.
Phương trình lượng giác
có nghiệm là:
Vậy nghiệm phương trình là:
Cho hình chóp
có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài
. Số đo của cung tròn đó là:
Độ dài cung tròn là:
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta lại có: suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Cho hình hộp
, gọi
là trung điểm của
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình hộp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra giao tuyến của và
là đường thẳng
qua
song song với
;
.
Vì nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình hộp
là hình thang
.
Cho dãy số
xác định bởi
. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
Ba số hạng đầu tiên của dãy là
Tính giới hạn ![]()
Khi ta có:
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Ta có:
Dãy số là cấp số nhân
Gọi là công bội.
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
Xét đáp án
Phát biểu nào dưới đây sai?
Ta có phát biểu sai là:
Sửa lại là:
Tính giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Tính giá trị của giới hạn
.
Đặt thì ta có:
Do đó:
Biết
(biết
là các số nguyên dương). Tính
?
Đáp án: 14
Biết (biết
là các số nguyên dương). Tính
?
Đáp án: 14
Ta có:
Do đó
Cho hàm số
. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?
Tập xác định:
Hàm số tuần hoàn với chu kì
, dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên
Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số
đồng biến trên khoảng
và
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong khoảng thì hàm số
đồng biến.
Cho hai hình bình hành
và
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d) Sáu điểm
là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai
Cho hai hình bình hành và
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) Sáu điểm là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: và
cắt nhau tại
.
b) Đúng.
Vì là hình bình hành nên
, suy ra
.
Vì là hình bình hành nên
, suy ra
.
Mà và
cắt nhau nên
.
c) Sai: Vì và
có điểm
chung.
d) Đúng:
Vì và
là hình bình hành nên
đôi một song song
Mặt khác (theo câu b)
Do đó 6 điểm là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác
Trong các dãy số dưới đây, dạy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn?
Vì dãy ở đáp án C là một cấp số nhân có công bội q = 3/2 > 0
=> không phải dãy lùi vô hạn
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”
Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”
Tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Vậy suy ra ,
Nghiệm của phương trình đã cho là: ,
.
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Mà
.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Dấu xảy ra
Tính tổng ![]()
Ta có:
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
Sai||Đúng
b)
khi
Đúng||Sai
c) Hàm số
liên tục tại
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Sai||Đúng
b) khi
Đúng||Sai
c) Hàm số liên tục tại
Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
Ta có:
Ta có: Khi thì
Ta có:
Vậy hàm số liên túc tại
Ta có:
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu và công sai lần lượt là
. Số hạng thứ
bằng:
Ta có:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.”
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
với
với mọi
. Tính
.
Ta có: xác định và liên tục trên
nên suy ra
Vậy
Tính giới hạn
.
Ta có:
Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?
Theo bài ra ta có:
Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.
=>
=> Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:
Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.
Tổng các nghiệm thuộc khoảng
của phương trình: ![]()
Giải phương trình:
Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.
Giá trị của
bằng:
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra
Vậy: .
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
liên tục trên
?
Tập xác định
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Khi đó hàm số liên tục trên
khi và chỉ khi
liên tục tại
Hay
Ta lại có:
Khi đó
Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?
Do 0 < α < π nên
Vậy với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).
Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có .
Ta chứng minh
Thật vậy,
Từ đó ta có
Cho hàm số
. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
?
Ta có:
Đặt . Xét hàm số
trên đoạn
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.
Biết
với
. Tập nghiệm của phương trình
trên
có số phần tử là:
Ta có:
Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình phải có nghiệm kép
. Tức là:
Khi thì
Do đó nên phương trình
vô nghiệm.
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Đường thẳng nào song song với
trong các đường thẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> hay
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
song song với đường thẳng
.
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Xét trên đường tròn lượng giác ta thấy thuộc góc phần tư thứ II nên ta có: