Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n
Từ đó 2Sn = − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n
Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n
Từ đó 2Sn = − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Do đó
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Khẳng định đúng là:
Nếu thì tồn tại trong
đường thẳng
để
.
Cho tứ diện
. Trên
,
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
cắt
tại
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng
và
Ta lại có: nên
là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng: "Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip."
Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
(I) k ∈ A
(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k
Lúc đó, ta có:
(I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.
(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Cho các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Ta có:
Ta kiểm tra được và
là hàm số không chẵn không lẻ
là hàm số chẵn
là hàm số lẻ
Vậy là hàm số lẻ
Giải phương trình
được nghiệm là:
Ta có
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là
. Xác định công sai của cấp số cộng.
Ta có:
Cho
là các số thực khác
. Tìm điều kiện của
để giới hạn ![]()
Ta có:
bằng:
Ta có:
Một cấp số nhân có số hạng đầu
, công bội q = 2. Biết
. Tìm n?
Ta có:
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống
thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn
lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là
. Đúng||Sai
b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ
là
. Đúng||Sai
c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ
là
. Sai||Đúng
d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là
. Đúng||Sai
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn
lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là . Đúng||Sai
b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ là
. Đúng||Sai
c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ là
. Sai||Đúng
d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là . Đúng||Sai
a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn , suy ra mệnh đề đúng.
b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
suy ra mệnh đề đúng.
c) Gọi là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Suy ra mệnh đề sai.
d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:
Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là , suy ra mệnh đề đúng.
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao
so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?
Đáp án: 45
Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?
Đáp án: 45
Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là .
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là .
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là ……
Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần là
Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:
.
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un = 5.23n − 2 + 33n − 1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n = 1, ta có u1 = 5.21 + 32 = 19 ⇒ u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk = 5.23k − 2 + 33k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.
Khi đó ta có uk + 1 = 5.23k + 1 + 33k + 2 = 8(5.23k − 2+33k − 1) + 19.33k − 1
Bước 3: Vì 5.23k − 2 + 33k − 1 và 19.33k − 1 chia hết cho 19 nên uk + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*
Vậy un chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Lập luận hoàn toàn đúng!
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Dãy số (un) xác định bởi
và dãy số (vn) xác định bởi
. Tính
.
Ta có:
nên dãy
là cấp số nhân với công bội
Lại có: , khi đó ta có:
Cộng vế theo vế ta được
Do đó:
=>
Cho các số -4; 1; 6; a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm a?
Đặt u1 = -4; u2 = 1; u3 = 6; u4 = a
Theo bài ra ta có:
Các số -4; 1; 6; a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> u3 – u2 = u4 – u3
=> 6 – 1 = a – 6
=> a = 11
Tìm tập giá trị của hàm số ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
theo thứ tự là trọng tâm của tam giác
và
(tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là trung điểm của
Vì theo thứ tự là trọng tâm của tam giác
, và
nên ta có:
. Mà
(do
là đường trung bình của tam giác
).
Nếu các dãy số
thỏa mãn
và
thì
bằng:
Ta có .
Cho hàm số
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được
vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Số đo góc quay của vòng là
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?
Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa a và b là:
a cắt b
a song song với b
a chéo nhau với b
Một hãng taxi đưa ra giá cước
(đồng) khi đi quãng đường
(km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
. Tìm
để hàm số
liên tục tại
.
Đáp án: 1000
Một hãng taxi đưa ra giá cước (đồng) khi đi quãng đường
(km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
. Tìm
để hàm số
liên tục tại
.
Đáp án: 1000
Tại ta có:
.
.
Hàm số liên tục tại thì
.
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục trên khoảng
Sai||Đúng
b) Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng
. Đúng||Sai
c) Giới hạn của hàm số
khi
bằng -1. Sai||Đúng
d) Dãy số
với
là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục trên khoảng
Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng
. Đúng||Sai
c) Giới hạn của hàm số khi
bằng -1. Sai||Đúng
d) Dãy số với
là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai
a) Ta có:
có điều kiện xác định
Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.
b) Đặt
f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên
Ta có:
Từ (*) và (**) suy ra phương trình có nghiệm thuộc
.
c) Ta có:
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi
d) Ta có: với n chẵn
Với n lẻ
Suy ra dãy số không bị chặn.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ
của năm 2022 được cho bởi một hàm số
với
và
. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất
Do
Với rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện
thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
Gọi
là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Điều kiện:
Phương trình
Cho .
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với .
Số hạng đầu tiên của cấp số nhân
thỏa mãn hệ
là:
Ta có:
Cho hình hộp
. Ảnh của
qua phép chiếu song song với phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác điểm nên ảnh của
qua qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Giải phương trình
.
Phương trình
Vậy đáp án cần tìm là:
Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là
và công bội
. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
Ta có:
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điều kiện xác định của hàm số là:
Suy ra tập xác định của hàm số là:
Nên hàm số không liên tục tại các điểm .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để
.
Ta có:
Vì
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng
đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện
với tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của
với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
=> Giao tuyến của
với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: