Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức A = \cos^{6}15^{0} - \sin^{6}15^{0}

    Ta có:

    \cos^{6}\alpha -\sin^{6}\alpha

    = \left( \cos^{2}\alpha ight)^{3} -\left( \sin^{2}\alpha ight)^{3}

    = \left( \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alphaight)\left( \cos^{4}\alpha + \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alpha +\sin^{4}\alpha ight)

    = \cos2\alpha.\left\lbrack \left(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ight)^{2} - \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alphaightbrack

    = \cos2\alpha.\left( 1^{2} -\dfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha ight)

    Khi đó:

    A = \cos^{6}15^{0} -\sin^{6}15^{0}

    A = \cos30^{0}.\left( 1 -\dfrac{1}{4}\sin^{2}30^{0} ight)

    A = \frac{\sqrt{3}}{2}.\left( 1 - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} ight) = \frac{15\sqrt{3}}{32}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    a) Ta có: \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}

    b) Ba số - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 2 nghiệm

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 3: Vận dụng cao

    Một người muốn có 100 triệu sau 18 tháng phải gửi mỗi tháng vào ngân hàng bao nhiêu tiền, biết lãi suất 0,6%/ tháng (lãi kép)?

    Gọi a là số tiền gửi mỗi tháng.

    Cuối tháng thứ 1 số tiền là a + a.0,006 =a.1,006

    Cuối tháng thứ 2 số tiền là \left\lbracka.(1,006 + 1) ightbrack.1,006 = a(1,006)^{2} + a.1006

    Cuối tháng thứ n số tiền là

    a(1,006)^{n} + a(1,006)^{n - 1} + ... +a.1,006

    = a.1,006\left\lbrack (1,006)^{n - 1} +(1,006)^{n - 12} + ... + 1 ightbrack

    = \frac{a}{1006}.(1,006).\left\lbrack(1,006)^{n} - 1 ightbrack

    Áp dụng công thức trên, ta tính được

    a =\frac{100.10^{6}.0,006}{1,006.\left\lbrack (1,006)^{18} - 1ightbrack} \approx 5246111,01

    Vậy số tiền phải gửi mỗi tháng là 5246112 (đồng).

  • Câu 4: Nhận biết

    Tổng các nghiệm thuộc khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight) của phương trình: \cos x = \frac{1}{2}

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \cos x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho \sin a = \frac{3}{5};cosa < 0;cosb = \frac{3}{5};sinb > 0. Giá trị sin(a - b) bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \sin a = \frac{3}{5} \\ \cos a < 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow cosa = - \sqrt{1 - \sin^{2}a} = - \frac{4}{5} ight.

    \left\{ \begin{matrix} \cos b = \frac{3}{5} \\ \sin b > 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow sinb = \sqrt{1 - \cos^{2}b} = \frac{4}{5} ight.

    sin(a - b) = sina\cos b - cosa\sin b = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} - \left( - \frac{4}{5} ight) \cdot \frac{4}{5} = 1

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x};g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} có tập xác định D=\mathbb{ R}

    Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

    f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)

    Vậy f(x) là hàm số chẵn

    Tương tự xét hàm số g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x};D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

    \begin{matrix}g( - x) = \dfrac{\left| \sin( - 2x) ight| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( -x)}\hfill \\= \dfrac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x) \hfill\\\end{matrix}

    Vậy g(x) là hàm số chẵn.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu 0 < x < \frac{\pi }{2}

     Ta có:  y = \cos \left( {x + \pi } ight) = -\cos x

    Mà 0 < x < \frac{\pi }{2} 

    => y = \cos \left( {x + \pi } ight) mang giá trị âm

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm số nghiệm của phương trình \sin(\cos x) = 0 trên đoạn x \in \lbrack 0;2\pibrack.

    Ta có: sin(cosx) = 0 \Leftrightarrow cosx = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})

    Vì |cosx| \leq 1 nên k = 0. Do đó phương trình \Leftrightarrow cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + m\pi(m \in \mathbb{Z})

    Vì x \in \lbrack 0;2\pibrack nên x = \frac{\pi}{2},x = \frac{3\pi}{2}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của BC và BD, lấy điểm E \in AD;E eq A;E eq D. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (IJE) với tứ diện ABCD là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

    \left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight. nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (IJE) là đường thẳng d qua E và song song với CD.

    Gọi F = d \cap AC ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJE).

    Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x=1

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số liên tục tại x=-1

    Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \left( { - \infty ; 1} ight) và \left( { 1; + \infty } ight).

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Với n = 1 ta có  − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).

    Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là  − 2 ≤ uk ≤ 1

    \Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1

    Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy (un) là dãy số bị chặn.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \sin x được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

    Ta có

    y = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)

    =>Đồ thị hàm số y = \sin x được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là \frac{\pi }{2}

  • Câu 13: Nhận biết

    Nếu các dãy số \left( u_{n} ight),\left( v_{n} ight) thỏa mãn \lim u_{n} = 4 và \lim v_{n} = 3 thì \lim\left( u_{n} + v_{n} ight) bằng:

    Ta có \lim\left( u_{n} + v_{n} ight) = \lim u_{n} + \lim v_{n} = 7.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình \cos x -m =0 vô nghiệm?

     Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.

    - Phương trình có nghiệm khi |a| \leq 1.

    - Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

    Phương trình \cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m

    Do đó, phương trình \cos x -m =0 vô nghiệm \Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight..

  • Câu 15: Nhận biết

    Tứ diện ABCD có thể xem là hình chóp tam giác bằng bao nhiêu cách?

    Có 4 cách là: A.BCD,B.ACD,C.ABD,D.ABC.

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = sin^{2}\left( \frac{\pi n}{4} ight) + \cos\left( \frac{2\pi n}{3} ight) với \forall n \in \mathbb{N}^{*}?

    Ta có:

    u_{1} = \sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = 0

    u_{2} = \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}

    u_{3} = \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{6\pi}{3} ight) = \frac{3}{2}

    u_{4} = \sin^{2}\left( \frac{4\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{8\pi}{3} ight) = \frac{- 1}{2}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{n} = 3 - 5n. Tìm công sai của cấp số cộng?

    Theo giả thiết ta có:

    u_{n + 1} = - 2 - 5n

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1

    Vậy d = - 5

  • Câu 18: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6

    Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5

    Từ đó suy ra y = 6x = 216/5

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD,M là trung điểm CD,I là điểm ở trên đoạn thẳng AG,BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).

    Do BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB)

    \Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM nên AM = (ACD) \cap (ABG) đúng.

    \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M thẳng hàng nên A,J,M thẳng hàng đúng

    Ta có \left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight. nên DJ = (ACD) \cap (BDJ) đúng.

    Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM

    Nên J là trung điểm của AM sai.

  • Câu 21: Nhận biết

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Do dãy số là cấp số nhân

    => q = \frac{{36}}{{16}} = \frac{9}{4}

    => Số hạng tiếp theo là: 36.\frac{9}{4} = 81

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính giới hạn M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight).

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

    Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.

    Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.

    Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.

    Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.

  • Câu 25: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Đáp án đúng là: \sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Các điểm M,N tương ứng trên AC',B'D' sao cho MN song song với BA'. Tính tỉ số \frac{MA}{MC'}?

    Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BA'.

    Ta có: N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B'D' và ảnh AC' qua phép chiếu này.

    Do đó ta xác định M,N như sau:

    Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A'K = B'A' suy ra K là ảnh của A trên AC' qua phép chiếu song song.

    Gọi N = B'D' \cap KC'. Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M. Ta có: M,N là các điểm cần xác định.

    Theo định lí Thales ta có:

    \frac{MA}{MC'} = \frac{NK}{NC'} = \frac{KB'}{C'D'} = 2

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính giới hạn F =\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}}

    Ta có:

    F = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x ight)}{x -\dfrac{\pi}{2}}

    = \lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{- \sin\left( x- \dfrac{\pi}{2} ight)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = - 1

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Hàm số y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

    Áp dụng công thức \sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}

    Ta có

    \sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).

    Ta có - 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \frac{m}{n}.SA với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \frac{m}{n}.SA với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng

    Đáp án: 6

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC, F là giao điểm của AM và CD trong mặt phẳng (ABCD).

    Theo định lý Talet, ta có: \frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M là trung điểm của AF

    \Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF

    \Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS

    \Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm tập các định D của hàm số y = \frac{1 - \sin x}{\cos x - 1}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\cos x - 1 eq 0 \hfill \\\Rightarrow \cos x eq 1 \hfill \\\Rightarrow x eq k2\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Xác định phát biểu đúng

    Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’

    (SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’

    Gọi O là giao điểm của AC và BD

    Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO

    Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD

    Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’

    (SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’

    => Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi Bx;Cy,Dz lần lượt là các đường thẳng đi qua B,C,D và song song với nhau. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A cắt các đường Bx;Cy,Dz lần lượt tại B_{1};C_{1},D_{1} sao cho BB_{1} = 4;CC_{1} = 6 . Độ dài cạnh DD_{1} là: 2

    Đáp án là:

    Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi Bx;Cy,Dz lần lượt là các đường thẳng đi qua B,C,D và song song với nhau. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A cắt các đường Bx;Cy,Dz lần lượt tại B_{1};C_{1},D_{1} sao cho BB_{1} = 4;CC_{1} = 6 . Độ dài cạnh DD_{1} là: 2

     Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm của AC_{1} .

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight) . Mà I \in AC_{1} \subset (P) nên I \in B_{1}D_{1}

    Hình thang BB_{1}D_{1}D có OI là đường trung bình nên OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u_1=11 và công sai d = 4. Tính {u_{99}}?

    Ta có: {u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403

  • Câu 34: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 1?

    Xét hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Vận dụng

    Giả sử \sin \frac{a}{6};\cos a;\tan a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó \cos 2a bằng:

    Điều kiện \cos a e 0 \Leftrightarrow a e \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} {\cos ^2}a = \dfrac{{\sin a}}{6}.\tan a \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}a = \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{\cos a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a - {\sin ^2}a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a + {\cos ^2}a - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 37: Vận dụng

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Vì \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( \sqrt{3x + 3} + a ight) = 0.

    Suy ra a = - 3.

    Với a = - 3 ta được

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{3x + 3} - 3 ight)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} = \frac{1}{2}.

    Vậy b = 1;c = 2.

    Suy ra a + b + c = 0.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

    Đáp án \left\{ \begin{matrix} a//b \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha) sai: Trường hợp a \subset (\alpha).

    Đáp án \left\{ \begin{matrix} a//b \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha) sai: Trường hợp a \subset (\alpha).

    Đáp án \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b sai: Trường hợp a,b chéo nhau.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,BC lần lượt lấy các điểm M,N làm trung điểm, lấy P \in BC sao cho \frac{CP}{PD} = 2 và Q \in AD sao cho bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Xét mặt phẳng (BCD) ta có: \frac{CP}{PD} = 2

    => E = NP \cap BD

    Vì M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC do đó MN//AC

    \Rightarrow PQ//AC

    Mà CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD hay \frac{QA}{DQ} = 2.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tất cả các nghiệm của phương trình \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) - \sqrt 3 = 0 là:

    Ta có: \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) = \sqrt 3

    \Leftrightarrow x - {15^{\text{o}}} = {30^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}

    Vậy suy ra x = {45^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}, k \in \mathbb Z

    Nghiệm của phương trình đã cho là: x = {45^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}, k \in \mathbb Z.

  • Câu 41: Nhận biết

    Tính giới hạn M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2}.

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Rút gọn biểu thức B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... với \sin x eq \pm 1?

    Ta có:

    \begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n - 2}

    Ta có:

    \lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2

  • Câu 44: Vận dụng

    \lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}} bằng:

    Ta có:

    0 \leqslant \left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}} ight| \leqslant \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}

    Do \lim \frac{1}{n} = 0 => \lim \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{n + 5}} = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 71 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập