Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} bằng

    Đặt f(x) = x + 1;g(x) = x - 1.

    Ta có \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0 khi x ightarrow 1^{+}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty.

  • Câu 2: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}}bằng:

    Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn n_{M} > \left( \frac{1}{a} + 3 ight)^{2} - 1

    Ta có:

    \frac{n - 2}{\sqrt{1 + n}} = \sqrt{n + 1} - \frac{3}{\sqrt{n + 1}} > \sqrt{1 + n} - 3 > Mvới mọi n > n_{M}

    Suy ra \lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}} = - \infty

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Biết \lim\left( \frac{\left( \sqrt{5} ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} - 3} + \frac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{b} + cvới a,b,c \mathbb{\in Z}. Tính giá trị của biểu thức S = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có:

    \lim\left( \dfrac{\left( \sqrt{5}ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} -3} + \dfrac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight)

    = \lim\left( \dfrac{1 - 2.\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}ight)^{n}}{5.\left( d\frac{2}{\sqrt{5}} ight)^{2} + \sqrt{5} -3.\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} ight)^{n}} + \dfrac{2 + \dfrac{3}{n^{2}}}{1- \dfrac{1}{n^{2}}} ight)

    = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}}{5} + 2

    Vậy S = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1^{2} + 5^{2} + 2^{2} = 30

  • Câu 4: Vận dụng

    Tìm chu kì T của hàm số y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x

    Ta có:

    \begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}

    Hàm số y = 3.\cos6x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = - 2\cos2x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5) tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 5: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 1, tức là ta cần có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1

    Khi đó (*) không thỏa mãn với mọi m\mathbb{\in R}

    Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 6: Nhận biết

    \lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \cot (x+ \frac{\pi}{4})+1=0 trên khoảng ( -\pi ;3\pi ) là?

     Ta có:\cot (x+\frac{\pi}{4})+1=0 \Leftrightarrow \cot (x+\frac{\pi}{4})=-1

    \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k \pi \Leftrightarrow x= -\frac{\pi}{2} +k\pi, k \in \mathbb{Z}

    ycbt\Leftrightarrow -\pi< -\frac{\pi}{2} +k \pi <3\pi\Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{7}{2}, k \in \mathbb{Z}

    nên k \in \{0;1;2;3\}.

  • Câu 8: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack = - \infty.

    Ta có:

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack ight\} = - \infty

    \Rightarrow \lim\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack = a^{2} - 2 < 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2} < a < \sqrt{2}

    Vì a\mathbb{\in Z},a \in ( - 10;10) \Rightarrow a = \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{8} = 16. Tìm d;S_{10}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

    Ta có: (ABB'A') // (CDD'C')

    => (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến A'B' và C'D'

    => A'B' // C'D' (1)

    Chứng minh tương tự ta có: (AA'D'D) // (BB'C'C)

    => (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến A'D' và B'C'

    => A'D' // B'C' (2)

    Từ (1) và (2) => A'B'C'D' là hình bình hành.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) AD//(ABF). Sai||Đúng

    b) (AFD)//(BEC). Đúng||Sai

    c) (ABD)//(EFC). Sai||Đúng

    d) Sáu điểm A,B,C,D,E,F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) AD//(ABF). Sai||Đúng

    b) (AFD)//(BEC). Đúng||Sai

    c) (ABD)//(EFC). Sai||Đúng

    d) Sáu điểm A,B,C,D,E,F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: AD và (ABF) cắt nhau tại A.

    b) Đúng.

    Vì ABCD là hình bình hành nên AD \parallel BC, suy ra AD \parallel (BEC).

    Vì ABEF là hình bình hành nên AF \parallel BE, suy ra AF \parallel (BEC).

    Mà ADvà AFcắt nhau nên (AFD) \parallel (BEC).

    c) Sai: Vì (ABD) và (EFC) có điểm C chung.

    d) Đúng:

    Vì ABCD và ABEF là hình bình hành nên AB,\ CD,\ FE đôi một song song

    Mặt khác (AFD) \parallel (BEC) (theo câu b)

    Do đó 6 điểm A,B,C,D,E,F là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{1}=-3 và d=\frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:

    Hình vẽ minh họa

    Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm chu kì của hàm số y = \sin\left( 5x - \frac{\pi}{4} ight)?

    Hàm số y = \sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = \frac{2\pi}{|a|}

    Áp dụng công thức trên ta suy ra hàm số y = \sin\left( 5x - \frac{\pi}{4} ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{2\pi}{5}.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3sinx + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với m thuộc tập số nguyên

    Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)

    Hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?

    Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60

     ⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)

    \Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) \cdot 30}{2} = 930

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong mặt phẳng (\alpha), cho tứ giác ABCDcó ABcắt CDtại E, ACcắt BD tại F, S là điểm không thuộc (\alpha). Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là

    Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai điểm chung là S và E nên có giao tuyến là đường thẳng SE.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có \cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb.

  • Câu 21: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Đổi số đo của góc 120^{0}sang đơn vị radian?

    Cách 1: Áp dụng công thức \mu = \frac{m.\pi}{180} với m = 120^{0} ta được:

    \mu = \frac{m.\pi}{180} = \frac{120.\pi}{180} = \frac{2.\pi}{3}

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.

    Bước 2: Bấm 120 SHIFT Ans 1 =

  • Câu 23: Nhận biết

    Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un = n2 + 1?

    Ta có 7922 = 7921 + 1 = 892 + 1 ⇒ n = 89

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:

    Ta có: S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q} mà n = 6;q = 2;S_{n} = 189

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 - 2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{6} = 96

  • Câu 25: Vận dụng

    Biết các số (y + 1)^{2};xy + 1 và (x - 1)^{2} lập thành một cấp số nhân; các số 5x - y;2x + 3y và x + 2y lập thành một cấp số cộng. Tính tổng S = x + y

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} (y + 1)^{2}(x - 1)^{2} = (xy + 1)^{2} \\ (5x - y) + (x + 2y) = 2(2x + 3y) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 2 \\ xy + x + y = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 2x = 5y \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{10}{3} \\y = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.\ \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 0;y = 0 \\x = - \dfrac{3}{4};y = - \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}S = x + 2y = \dfrac{10}{3} + 2.\dfrac{4}{3} = 6 \\S = x + 2y = - \dfrac{3}{4} + 2.\left( - \dfrac{3}{10} ight) = -\dfrac{27}{10} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.

    (I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ

    (II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ

    (III) HF và GK chéo nhau. S

    (IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.

    (I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ

    (II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ

    (III) HF và GK chéo nhau. S

    (IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có SM ⊥ BC và AM ⊥ BC.

    AH, SK và BC đồng qui tại M. Do đó (I) đúng.

    AG, SF cắt nhau tại M trên BC. Do đó (II) đúng.

    HF và GK cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) nên có thể song song hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. Do đó (III) sai.

    SH và AK cắt nhau. Do đó (IV) đúng.

  • Câu 27: Nhận biết

    "Cho hình hộp ABCD.EFHG, khẳng định nào sau đây là sai?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm khẳng định sai

    Khẳng định sai là "CE song song với FH"

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có các số hạng đều dương và \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = 2020 \\\dfrac{1}{u_{1}} + \dfrac{1}{u_{2}} + \dfrac{1}{u_{3}} + \ldots +\dfrac{1}{u_{n}} = 2021 \\\end{matrix} ight. Giá trị của P = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots\ldots u_{n} là:

    Ta có P = u_{1} \cdot \left( u_{1} \cdot q ight)\ldots..\left( u_{1} \cdot q^{n - 1} ight)

    = u_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)}

    = u_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n(n -1)}{2}} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}ight)^{n}

    Theo giả thiết, ta có:

    A = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}
    Và B = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}}

    = \frac{1}{u_{1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \ldots + \frac{1}{q^{n - 1}} ight)

    = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{1 -\dfrac{1}{q^{n}}}{1 - \dfrac{1}{q}} = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{q^{n} -1}{q - 1} \cdot \dfrac{1}{q^{n - 1}}.
    Suy ra \frac{A}{B} = u_{1}^{2} \cdot q^{n - 1} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}} ight)^{2}. Vậy P = \sqrt{\left( \frac{A}{B} ight)^{n}} = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}.

  • Câu 29: Nhận biết

    Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét u_{n} = n^{2} ta có: u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy u_{n} = n^{2} là dãy số tăng.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có các góc \widehat{A};\widehat{B};\widehat{C} bất kì. Biểu thức T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A} không thể nhận giá trị nào sau đây?

    Ta có:

    T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}

    = 2\left( \sin\widehat{A}.\frac{1}{2} + \cos\widehat{A}.\frac{\sqrt{3}}{2} ight)

    = 2\left( \sin\widehat{A}\cos\frac{\pi}{3} + \cos\widehat{A}.sin\frac{\pi}{3} ight)

    = 2sin\left( \widehat{A} + \frac{\pi}{3} ight)

    Với tam giác ABC bất kì ta luôn có:

    0 < \widehat{A} < \pi \Rightarrow \frac{\pi}{3} < \widehat{A} + \frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3}

    \Rightarrow - \sqrt{3} < T \leq 2

    Vậy biểu thức T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A} không thể nhận giá trị 2\sqrt{3}.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}

    Đáp án: 64

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}

    Đáp án: 64

    Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

    8u_{3} - u_{7} + 8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}

    \Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}

    \Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{3}q + u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}

    \Leftrightarrow 8u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)

    \Leftrightarrow 8u_{3} = u_{6} do 1 + q + q^{2} > 0

    \Leftrightarrow 8u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 8 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \frac{u_{8} + u_{9} +u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q +u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}= \frac{u_{8}\left( 1 + q +q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} =\frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 64

  • Câu 32: Nhận biết

    Tổng các nghiệm thuộc khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight) của phương trình: \cos x = \frac{1}{2}

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \cos x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.

  • Câu 33: Vận dụng

    Giả sử a,b là các giá trị để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{ , khi }}x < - 2} \\ {x + 1{\text{ , khi }}x \geqslant - 2} \end{array}} ight. có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2. Tính giá trị biểu thức 3a - b

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1

    Suy ra f(x) hữu hạn khi x dần tới - 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)

    Do \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 4 ight) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2} + ax + b - 4 ight) = 0

    \Rightarrow 2a - b = 4

    Ngược lại với 2a - b = 4 ta có:

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0

    \Leftrightarrow a = 8

    => f(x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 3a - b = 12

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi A_{1} là trung điểm của SA, B_{1} \in SB. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C ight)với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:

    Trường hợp 1:

    Hình vẽ minh hoạ

    Nếu B_{1} eq S. Gọi O = AC \cap BD,\ I = SO \cap A_{1}C

    Nếu P = IB_{1} \cap SD

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C ight) với hình chóp là tứ giác A_{1}B_{1}CP

    Nếu P = IB \cap BD. Gọi Q = CP \cap AD

    Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C ight) với hình chóp là tứ giác A_{1}B_{1}CQ

    Trường hợp 2:

    Hình vẽ minh hoạ

    Nếu B_{1} \equiv S. Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C ight) với hình chóp là tam giác SAC.

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính giới hạn A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight).

    Ta có:

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)

    A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}

  • Câu 36: Nhận biết

    Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hàm số xác định với mọi x\mathbb{\in R}

    Ta có: f(x) liên tục trên ( - \infty;0) và (0; + \infty)

    Mặt khác

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0

    Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Chọn khẳng định đúng

    Gọi E là trung điểm của AB

    Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:

    \frac{{EM}}{{EC}} = \frac{{EN}}{{ED}} = \frac{1}{3} 

    Theo định lí Ta - lét ta có: MN // CD (1)

    Mà CD \subset \left( {BCD} ight);CD \subset \left( {ACD} ight) (2)

    Từ (1) và (2) => MN // (BCD); MN // (ACD)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a và \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b. Khi đó:

    a) \lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a Đúng||Sai

    b) x = b là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x với trục hoành Đúng||Sai

    c) \lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = b, thì u_{3} = 2 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a và \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b. Khi đó:

    a) \lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a Đúng||Sai

    b) x = b là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x với trục hoành Đúng||Sai

    c) \lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = b, thì u_{3} = 2 Sai||Đúng

    Ta có:

    \lim\dfrac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} =\lim\dfrac{n\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight)}{n\left( 2 +\dfrac{5}{n} ight)}

    = \lim\dfrac{- 3n^{2} + \dfrac{1}{n}}{2 +\dfrac{5}{n}} = - \infty

    Do \left\{ \begin{matrix}\lim\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight) = - \infty \\\lim\left( 2 + \dfrac{5}{n} ight) = 2 \\\end{matrix} ight.

    \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 25^{n}}

    = \lim \dfrac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1} ight]}}= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1}} = 0

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d, d đi qua S và d // AD // BC.

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 43: Nhận biết

    Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    \cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm M \in SA sao cho \frac{MA}{MS} = 2. Hình chiếu của điểm S qua phép chiếu song song phương MO mặt phẳng chiếu (ABCD) là điểm N. Khi đó tỉ số độ dài \frac{CN}{CA} bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Phép chiếu song song phương phương MO mặt phẳng chiếu (ABCD) biến điểm S thành điểm N.

    Do đó: SN//MO \Rightarrow N \in AC

    Xét tam giác SANta có: \frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}

    => N là trung điểm của OC

    Từ đó suy ra \frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 70 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập