Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số cộng.

    Theo bài ra ta có:

    Dãy số đã cho là cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {{u_2} = 9} \end{array} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4} ight.

    => {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d = 4n + 1

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=4n+1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} bằng:

    A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 3} = - \frac{2}{3}

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

    Kiểm tra được y = 1 - sin^{2}x; y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x; y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight| là các hàm số chẵn.

    y = x^{2}tan2x - \cot x là hàm số lẻ.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \cos x=m+1 có nghiệm?

     Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \cos x =a.

    - Phương trình có nghiệm khi |a| \leq 1.

    - Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

    Do đó, phương trình \cos x=m+1 có nghiệm khi và chỉ khi \left| {m + 1} ight| \leqslant 1

    \Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm giới hạn H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}. Mặt phẳng \left( P ight) song song với \left( {ABC} ight) cắt đoạn SA tại M sao cho \frac{{SM}}{{SA}} = 2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \left( P ight) và hình chóp S.ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}. Mặt phẳng \left( P ight) song song với \left( {ABC} ight) cắt đoạn SA tại M sao cho \frac{{SM}}{{SA}} = 2. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \left( P ight) và hình chóp S.ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Vận dụng cao

    Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2022 được cho bởi một hàm số y = 4sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60)ightbrack + 10 với t\mathbb{\inZ} và 0 < t \leq 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

    Vì \sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t -60) ightbrack \leq 1

    \Leftrightarrow y = 4sin\left\lbrack\frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack + 10 \leq 14.

    Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất \Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack = 1

    \Leftrightarrow \frac{\pi}{178}(t - 60)= \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.

    Do 0 < t \leq 365

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 < 149 + 356k \leqslant 365 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{149}}{{356}} < k \leqslant \dfrac{{54}}{{89}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Với k = 0 ightarrow t = 149 rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 < t\leq 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

  • Câu 9: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    =>  \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty

  • Câu 10: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \sin(2018a) =2\sin(1009a).\cos(1009a)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD, lấy M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Giả sử d = (MNA) \cap (ABD). Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng d?

    Hình vẽ minh họa

    Xét ba mặt phẳng (AMN),(ABD),(BCD)

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d,BD,MN.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d,BD,MN đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà BD//MN nên d//BD.

    Vậy đường thẳng d đi qua A và song song với BD.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

    Hai đường thẳng phân biệt m,n cùng song song với (\alpha) thì m,n có thể cắt nhau cùng nằm trong (\alpha).

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = - \frac{1}{2}, công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:

    Ta dùng công thức tổng quát u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}, hoặc u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2} để tính các số hạng của một cấp số cộng.

    Ta có u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 14: Vận dụng

    Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n?

    Xét dãy số \left( U_{n} ight) là cấp số nhân với u_{1} = 1;q = 10

    \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)

    \Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}

    = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)

    = \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, biết AC \cap BD \equiv M và AB \cap CD \equiv N. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Vì AC \cap BD \equiv Mnên M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SM.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi trung điểm của AB,A'B' lần lượt là I,I'. Qua phép chiếu song song phương AI', mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm I thành điểm nào?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AI//B'I' \\ AI = B'I' \\ \end{matrix} ight. suy ra AIB'I' là hình bình hành.

    Suy ra phép chiếu song song phương AI', mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm I thành B'.

  • Câu 17: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1}{n + 1} bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Suy ra:

    \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ \forall n > n_{0}

    Vậy \lim\frac{1}{n + 1} = 0.

  • Câu 18: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} bằng

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty

    Do \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\ x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 19: Nhận biết

    Với mọi n ∈ ℕ*, khẳng định nào sau đây sai?

    Thử với n = 1, n = 2, n = 3 ta kết luận được đáp án:

    2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6} sai.

    Suy ra

    2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3} mới là kết quả đúng!

  • Câu 20: Thông hiểu

    Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5;x;y;320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    Các số hạng 5;x;y;320 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\\begin{matrix}q = \dfrac{x}{5} \\y = u_{3} = u_{1}q^{2} = \dfrac{x^{2}}{5} \\320 = u_{4} = u_{1}q^{3} = \dfrac{x^{3}}{25} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 80 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.

    Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?

    Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n

    Từ đó 2Sn =  − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n

    \Leftrightarrow 2S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{2} + n{.3}^{n}

    \Leftrightarrow S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} \cdot 3^{n}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Giải phương trình \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}

    Ta có:

    \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \cot(3x - 1) = \cot\left( - \frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow 3x - 1 = - \frac{\pi}{6} + k\pi

    \Rightarrow x = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3}

    \underset{k = 1}{ightarrow}x = \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{18} + k\frac{\pi}{3}

  • Câu 23: Vận dụng

    Biết f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\ 1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;6brack. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Dễ thấy f(x) liên tục trên mỗi khoảng (0;4) và (4;6). Khi đó hàm số liên tục trên đoạn \lbrack 0;6brack khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4;x = 0;x = 6

    Tức là ta cần có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( * ight)

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó (*) trở thành 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2

  • Câu 24: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \cos x = \cos 3x là

     \begin{matrix} \cos x = \cos 3x \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x = x + k2\pi } \\ {3x = - x + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{2}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.

  • Câu 26: Nhận biết

    Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một
    số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

    Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng n=p

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1 - 2x}{x - 1} = - \frac{1}{2}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách.

    Ta có: y = \sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)

    => Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là \frac{\pi}{2}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để\lim\sqrt{\frac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n + a}}} \leq \frac{1}{2187}.

    Ta có: \dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} +9^{n + a}} > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}nên

    \lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} = \sqrt{\lim\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n +a}}}

    = \sqrt{\lim\dfrac{1 + 3.\left(\dfrac{1}{3} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{9} ight)^{n} + 9^{a}}} =\sqrt{\dfrac{1}{9^{a}}} = \dfrac{1}{3^{a}}

    Theo đề bài ta có

    \lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} \leq \dfrac{1}{2187}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{2187}} \Leftrightarrow {3^a} \geqslant 2187 \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 7 \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} a\mathbb{\in Z} \\ a \in (0;2019) \\ \end{matrix} \Rightarrow a \in \left\{ 7;8;9;...;2018 ight\} ight.

    Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 31: Vận dụng

    Giá trị của giới hạn \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} ightbrack bằng:

    Với mọi giá trị k \in \mathbb{N}^{*} thì \frac{1}{(2k + 1)(2k - 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} ight)

    Do đó:

    \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + .. + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} ight) ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{2n - 1} ight) ightbrack = \frac{1}{2}

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Từ hình vuông có cạnh bằng 1, người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi S_{n}là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n \left( n \in \left\{ 1;2;3;... ight\} ight). Tính tổng S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ...?

    Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Từ hình vuông có cạnh bằng 1, người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi S_{n}là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n \left( n \in \left\{ 1;2;3;... ight\} ight). Tính tổng S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ...?

    Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Giả sử cạnh hình vuông bằng a.

    Ta có cạnh của hình vuông được tạo ở bước 1 là \frac{a\sqrt{5}}{3} \Rightarrow S_{1} = \frac{5a^{2}}{9}

    Tương tự như trên, ta có:

    S_{2} = \left( \frac{5}{9} ight)^{2}a^{2},S_{3} = \left( \frac{5}{9} ight)^{3}a^{2},…, S_{n} = \left( \frac{5}{9} ight)^{n}a^{2}

    Nên S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{5}{9}a^{2} \\ q = \frac{5}{9} \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{5}{9}a^{2}}{1 - \dfrac{5}{9}} =\dfrac{5}{4}a^{2}.

    Với a = 1 suy ra S = \frac{5}{4}.

  • Câu 33: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{2n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 4;16;64;....

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 4 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} với - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0} là?

    4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} với - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0} là?

    4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

     Phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \sin {60^0}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = {100^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x = {160^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {50^0} + k{180^0} \hfill \\ x = {80^0} + k{180^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    • TH1: Xét nghiệm x = {50^0} + k{180^0}:

    Vì - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {50^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}

    \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \leqslant k \leqslant \frac{{13}}{{18}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {130^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {50^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    • TH2: Xét nghiệm x = {80^0} + k{180^0}:

    Vì - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {80^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}

    \Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \leqslant k \leqslant \frac{5}{9}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {100^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {80^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

     

  • Câu 35: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

    Khẳng định đúng là:

    Nếu a\ \ //\ (P) thì tồn tại trong (P) đường thẳng b để b\ //\ a.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = tan2x:

    Hàm số xác định khi cos2x eq 0 \Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z}).

    Tập xác định của hàm số là: D =\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_2} = - 8 = {u_1}.q = 2q} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_5} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} ight)}^5}}}{{1 + 4}} = 410} \\ {{S_6} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^6}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} ight)}^6}}}{{1 + 4}} = - 1638} \\ {{u_5} = {u_1}{q^4} = 2.{{\left( { - 4} ight)}^4} = 512} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Nhận biết

    Hàm số y = 3\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - mxight) tuần hoàn có chu kì T = 3\pi khi

    Hàm số y = 3\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - mxight) có nghĩa \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}D\mathbb{= R}.

    Chu kì của hàm số T = \frac{2\pi}{| - m|} = 3\pi \Leftrightarrow m = \pm \frac{2}{3}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Có bao nhiêu đẳng thức luôn đúng trong các đẳng thức sau đây (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa)?

    i) \cos^{2}\alpha = \frac{1}{\tan^{2}\alpha + 1}.

    iii) \sqrt{2}\cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight) = \cos\alpha + \sin\alpha.

    ii) sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) = - cos\alpha.

    iv) cot2\alpha = 2\cot^{2}\alpha - 1.

    i) Ta có: \frac{1}{\cos^{2}\alpha} = 1 + \tan^{2}\alpha \Leftrightarrow \cos^{2}\alpha = \frac{1}{1 + \tan^{2}\alpha}

    Vậy i) đúng.

    ii) sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) = - sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = - cos\alpha.

    Vậy ii) đúng.

    iii) \sqrt{2}cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight) = \sqrt{2}\left( cos\alpha cos\frac{\pi}{4} - sin\alpha sin\frac{\pi}{4} ight) = cos\alpha - sin\alpha.

    Vậy iii) sai.

    iv) Ta lấy \alpha = \frac{\pi}{3}. Ta có VP = cot2\alpha = cot2 \cdot \frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3},VT = 2\cot^{2}\left( \frac{\pi}{3} ight) - 1 = - \frac{1}{3}.

    Ta có VP eq VT.

    Do đó iv) sai.

    Vậy có 2 đẳng thức đúng.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G_{1} và G_{2} lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Tìm tỉ số \frac{G_{1}G_{2}}{AB} (làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G_{1} và G_{2} lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Tìm tỉ số \frac{G_{1}G_{2}}{AB} (làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,33

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    G_{1} và G_{2} lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD nên BG _ { 1 }, AG_{2} và CD đồng qui tại M(là trung điểm của CD) .

    Vì G_{1}G_{2}//AB nên G_{1}G_{2}//(ABD)và G_{1}G_{2}//(ABC).

    Lại có \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33

  • Câu 41: Nhận biết

    Nếu các dãy số \left( u_{n} ight),\left( v_{n} ight) thỏa mãn \lim u_{n} = 4 và \lim v_{n} = 3 thì \lim\left( u_{n} + v_{n} ight) bằng:

    Ta có \lim\left( u_{n} + v_{n} ight) = \lim u_{n} + \lim v_{n} = 7.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Đổi số đo của góc 40^{0}35' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.

    Áp dụng công thức \mu = \frac{m.\pi}{180} với \mu tính bằng rad và m tính bằng độ.

    Ta có: 40^{0}35' = \left( 40 + \frac{25}{60} ight)^{0} khi đó:

    \mu = \dfrac{\left( 40 + \dfrac{25}{60}ight).\pi}{180} = \dfrac{97.\pi}{432} \approx 0,71

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có M,\ \ N,\ \ P lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AA',\ \ BB',\ \ CC' sao cho AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'. Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng DD'. Khi đó tỉ số \frac{D'Q}{DD'} bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M', N' lần lượt là các cạnh trên DD'và CC'sao cho MA = M'D và NB = N'C.

    Vì (ABB'A')\ //\ (CDD'C') nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) lần lượt với các mặt phẳng (ABB'A') và (CDD'C') sẽ song song với nhau.

    Do đó, ta sẽ lấy Q nằm trên cạnh DD'sao cho MN\ //\ PQ.

    Ta có:

    D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)

    = \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}.

    Khi đó, \frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}.

  • Câu 44: Nhận biết

    Hình nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành?

    Hình biểu diễn của hình chóp đáy là hình bình hành là hình

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 77 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập