Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Câu 1: Thông hiểu

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( x^{2} - x - 2 ight)^{20}}{\left( x^{3} - 12x + 16 ight)^{10}}$ .

A.
$\left( \frac{3}{2} ight)^{10}$
B.
$\left( \frac{2}{3} ight)^{10}$
C.
$\left( - \frac{3}{2} ight)^{9}$
D.
$\left( \frac{1}{2} ight)^{10}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2}\dfrac{\left( x^{2}- x - 2 ight)^{20}}{\left( x^{3} - 12x + 16 ight)^{10}}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{(x +1)^{20}.(x - 2)^{20}}{(x - 2)^{20}.(x + 4)^{10}}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{(x +1)^{20}}{(x + 4)^{10}} = \frac{3^{20}}{6^{10}} = \left( \frac{3}{2}ight)^{10}$

Câu 2: Thông hiểu

Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.

A.
q = 3
B.
q = −3
C.
q = 2
D.
q = −2

Ta có:

Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_6} = 486} \end{array}} ight.$

=> ${{u_1}.{q^5} = 486}$

=> ${{q^5} = 243}$ => ${q = 3}$

Vậy công bội q của cấp số nhân đã cho là q = 3

Câu 3: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa mãn $\lim\left( \sqrt{n^{2} - 8n} - n + a^{2} ight) = 0$ ?

A.
$0$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$6$

Ta có:

$\lim\left( \sqrt{n^{2} - 8n} - n + a^{2} ight)$

$= \lim\left( \frac{- 8n}{\sqrt{n^{2} - 8n} + n} + a^{2} ight)$

$= \lim\left( \dfrac{- 8}{\sqrt{1 -\dfrac{8}{n}} + 1} + a^{2} ight) = a^{2} - 4$

Do đó:

$a^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2$

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 4: Vận dụng cao

Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{8} +\frac{\pi}{4} ight) + 12$ . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

A.
t = 22 (h)
B.
t = 15 (h)
C.
t = 14 (h)
D.
t = 10 (h)

Ta có:

$\begin{matrix} h = 3\cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 12 \leqslant 3 + 12 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Do đó mực nước của kênh cao nhất khi $\cos\left( \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} ight)= 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Rightarrowt = 16k - 2$

Vì $0 \leq t \leq 24 \Rightarrow k = 1\Rightarrow t = 14$

Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)

Câu 5: Thông hiểu

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}$ . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

A.
$u_{5} = \frac{2}{3^{4}}$
B.
$u_{5} = \frac{2}{3^{5}}$
C.
$u_{5} = 3^{5}$
D.
$u_{5} = \frac{5}{3^{5}}$

$S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack$

Mặt khác

$\Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}$

Câu 6: Nhận biết

Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).

A.
$1 + \cot^{2}x =\frac{1}{\cos^{2}x}$
B.
$1 + \tan^{2}x = -\frac{1}{\sin^{2}x}$
C.
$\tan x + \cot x = 1$
D.
$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$

Công thức đúng là:

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$

Câu 7: Thông hiểu

Số nghiệm của phương trình $\sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ với $- {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}$ là?

4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

Đáp án là:

Số nghiệm của phương trình $\sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ với $- {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}$ là?

4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

Phương trình $\sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \sin {60^0}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = {100^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x = {160^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {50^0} + k{180^0} \hfill \\ x = {80^0} + k{180^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

TH1: Xét nghiệm $x = {50^0} + k{180^0}$ :

Vì $- {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {50^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}$

$\Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \leqslant k \leqslant \frac{{13}}{{18}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {130^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {50^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..$

TH2: Xét nghiệm $x = {80^0} + k{180^0}$ :

Vì $- {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {80^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}$

$\Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \leqslant k \leqslant \frac{5}{9}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {100^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {80^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..$

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

Câu 8: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 9: Thông hiểu

Cho ba đường thẳng $a,b,c$ đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A.
Không có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho.
B.
Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
C.
Có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
D.
Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.

Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.

Câu 10: Nhận biết

Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình ${\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 8
B. 10
C. 11
D. 12

Phương trình ${\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

- Với $\cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ có 6 nghiệm.

- Với $\cos 6\pi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ có 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.

Câu 11: Nhận biết

Tính giới hạn $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$

A.
$2$
B.
$\sqrt{2}$
C.
$1$
D.
$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Ta có: $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}$

Câu 12: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?

A. 2
B. 0
C. 1
D. 3

Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$

$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$

Do đó

$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$

+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$

Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .

+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$

Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .

Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là

$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .

Câu 13: Thông hiểu

Phương trình $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm là:

A.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ .
B.
$x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ .
C.
$\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \\\end{matrix} ight.$ .
D.
$\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix} ight.$ .

Ta có $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix} ight.$ , với $k\mathbb{\in Z}$ .

Câu 14: Thông hiểu

Góc có số đo $\frac{2.\pi}{5}$ đổi sang độ là:

A.
$135^{0}$
B.
$72^{0}$
C.
$270^{0}$
D.
$240^{0}$

Cách 1: $\frac{2.\pi}{5} ightarrow \frac{2.180^{0}}{5} = 72^{0}$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 3 chuyển về chế độ "độ".

Bước 2: Bấm $\frac{2.\pi}{5}$ SHIFT Ans 2 =

Câu 15: Nhận biết

Trên đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài của cung có số đo $\frac{3\pi}{4}$ .

A.
$15\pi$
B.
$30\pi$
C.
$20\pi$
D.
$40\pi$

Độ dài cung tròn là: $l = 20.\frac{3\pi}{4} = 15\pi(cm)$

Câu 16: Vận dụng

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là $10250m^{2}$ , tính diện tích mặt trên cùng gần nhất với giá trị nào sau đây?

A.
$5m^{2}$
B.
$5,5m^{2}$
C.
$5,8m^{2}$
D.
$6m^{2}$

Gọi $u_{0}$ là diện tích đế tháp và $u_{n}$ là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n, với $1 \leq n \leq11$ .

Theo giả thiết ta có: $u_{n + 1} =\frac{1}{2}u_{n};\left( n \in \lbrack 0;10brack ight)$

Dãy số $\left( u_{n} ight)$ lập thành sấp số nhân với số hạng đầu tiên là $u_{0} = 10250$ , công sai $q = \frac{1}{2}$ .

Diện tích mặt trên cùng của tháp là:

$u_{11} = u_{0}.q^{11} = 10250.\left(\frac{1}{2} ight)^{11} \approx 5m^{2}$

Câu 17: Thông hiểu

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:

A.
$-\frac{1}{2}$
B.
0
C.
1
D.
$-\infty$

Ta có:

$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 18: Nhận biết

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x -1}{{\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} ight)}}$

A. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( {1 + 2k} ight)\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
D. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( {1 + 2k} ight)\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$

Hàm số xác định $\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) e 0$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} e k\pi \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$

Câu 19: Vận dụng cao

Một người muốn có 100 triệu sau 18 tháng phải gửi mỗi tháng vào ngân hàng bao nhiêu tiền, biết lãi suất 0,6%/ tháng (lãi kép)?

A.
$5357855$ đồng
B.
$5315784$ đồng
C.
$5246112$ đồng
D.
$5288465$ đồng

Gọi a là số tiền gửi mỗi tháng.

Cuối tháng thứ 1 số tiền là $a + a.0,006 =a.1,006$

Cuối tháng thứ 2 số tiền là $\left\lbracka.(1,006 + 1) ightbrack.1,006 = a(1,006)^{2} + a.1006$

Cuối tháng thứ n số tiền là

$a(1,006)^{n} + a(1,006)^{n - 1} + ... +a.1,006$

$= a.1,006\left\lbrack (1,006)^{n - 1} +(1,006)^{n - 12} + ... + 1 ightbrack$

$= \frac{a}{1006}.(1,006).\left\lbrack(1,006)^{n} - 1 ightbrack$

Áp dụng công thức trên, ta tính được

$a =\frac{100.10^{6}.0,006}{1,006.\left\lbrack (1,006)^{18} - 1ightbrack} \approx 5246111,01$

Vậy số tiền phải gửi mỗi tháng là 5246112 (đồng).

Câu 20: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ , gọi $I$ là trung điểm của $AB$ . Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(B'D'I)$ với hình hộp.

A.
hình bình hành.
B.
hình thang.
C.
hình chữ nhật.
D.
tam giác.

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B'D' \subset (B'D'I) \\ BD \subset (ABCD) \\ BD//B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra giao tuyến của $(B'D'I)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $IE$ qua $I$ song song với $BD$ ; $(E \in AD)$ .

Vì $IE//B'D'$ nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(B'D'I)$ với hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là hình thang $IED'B'$ .

Câu 21: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo hệ quả Talet, ta có: $\frac{HC}{HB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CE \subset (SBH) \\ CE//(SAD) \\ (SBH) \cap (SAD) = SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE//SH$

$\Rightarrow \frac{SE}{SB} = \frac{HC}{HB} = \frac{2}{5} \Rightarrow SE = \frac{2}{5}SB$

$\Rightarrow \frac{ES}{EB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2m + 3n = 13$ .

Câu 22: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.

Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."

Câu 23: Vận dụng cao

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Tính tổng $Q = a - b$ .

A.
$Q = 1409$
B.
$Q = 1490$
C.
$Q = 1049$
D.
$Q = 1904$

Ta có:

$\begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{231}{10^{3}}$ , công sai là $q = 10^{- 3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 24: Thông hiểu

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = 8 - 4\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} ight)$ là:

A. $M = 8;m = 4$
B. $M = 14;m = 4$
C. $M = 12;m = 4$
D. $M = 6;m = 4$

Ta có:

$\begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow 4 \geqslant - 4\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} ight) \geqslant - 4 \hfill \\ \Rightarrow 8 + 4 \geqslant 8 - 4\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} ight) \geqslant 8 - 4 \hfill \\ \Rightarrow 12 \geqslant y \geqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$

=> M = 12; m = 4

Câu 25: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $AC$ sao cho $AN = 2NC$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(BCD)$ đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?

A.
$MN$ và $BD$ .
B.
$MN$ và $BC$ .
C.
$MN$ và $CD$ .
D.
$MN$ và $AD$ .

Hình vẽ minh họa

luyện tập điểm đường thẳng mặt phẳng trong không gian

Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Giao tuyến cần tìm là DI.

Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.

Câu 26: Thông hiểu

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{5} + 1}{x^{3} + 1}$ .

A.
$- \frac{3}{5}$
B.
$\frac{3}{5}$
C.
$- \frac{5}{3}$
D.
$\frac{5}{3}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{5} + 1}{x^{3} + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)\left( x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 ight)}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{2} - x + 1} = \frac{5}{3}$

Câu 27: Vận dụng

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9)$ với $h$ tính bằng $\ ^{0}C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày là:

A.
3 giờ.
B.
5 giờ.
C.
2 giờ.
D.
4 giờ.

Do $- 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t$ nên

$\begin{matrix} - 3 \leqslant 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant 29 + 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 32 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant h(t) \leqslant 32 \hfill \\ \end{matrix}$

Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $26^{0}C$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t -9) = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = - \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = 3 + 24k(k\mathbb{\in Z})$

Do $0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 3 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow \frac{- 3}{24} \leq k \leq \frac{21}{24}$ .

Mà $k\mathbb{\in Z}$ nên $k = 0$ .

Khi đó $t = 3$ .

Vậy lúc 3h là thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày.

Câu 28: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .

Câu 29: Vận dụng

Tìm giá trị thực của m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x=2$ .

A. $m=0$
B. $m=1$
C. $m=2$
D. $m=3$

Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$ chứa $x=2$

Theo giả thiết thì ta phải có:

$\begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $m=3$

Câu 30: Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Các điểm $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ ta thu được ảnh lần lượt là $M,N$ . Hình chóp $S.ABCD$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $BCMN$ là hình vuông?

A.
Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$
B.
Tam giác $SBC$ vuông
C.
Tam giác $SBC$ cân
D.
Tam giác $SBC$ đều

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: $M,N$ lần lượt là ảnh của $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

=> $SO$ là đường trung bình của các tam giác $CAM,BDN$

=> $\left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.$

=> $ADMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight.$ => $BCMN$ là hình bình hành.

Để $BCMN$ là hình vuông thì $\left\{ \begin{matrix} BN = CM \\ BN\bot CM \\ \end{matrix} ight.$ suy ra hình chóp $S.ABCD$ có mặt bên $SBC$ vuông cân tại $S$ .

Câu 31: Thông hiểu

Tìm khẳng định đúng.

A.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
B.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
C.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
D.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm.

Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.

Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.

ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.

=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.

Câu 32: Nhận biết

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;q = - 5$ . Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

A.
$- 2;10;50; - 250$
B.
$- 2;10; - 50;250$
C.
$- 2; - 10; - 50; - 250$
D.
$- 2;10;50;250$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.$

Câu 33: Nhận biết

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A.
u_n = 1 + n
B.
u_n = 1 − n
C.
u_n = 1 + (−1)²ⁿ
D.
u_n = n

Ta có u_n + 1 = u_n + (−1)²ⁿ = u_n + 1 ⇒ u₂ = 2; u₃ = 3; u₄ = 4; …

Dễ dàng dự đoán được u_n = n.

Thật vậy, ta chứng minh được u_n = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Với n = 1 ⇒ u₁ = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ^*), ta có u_k = k

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_k + 1 = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có u_k + 1 = u_k + (−1)^2k = k + 1

Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = n.

Câu 34: Thông hiểu

Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{4} = - 12;u_{14} = 18$ . Giá trị $S_{16}$ bằng bao nhiêu?

A.
$S_{16} = - 24$
B.
$S_{16} = 24$
C.
$S_{16} = 26$
D.
$S_{16} = - 26$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24$

Câu 35: Nhận biết

Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

A.
$12$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$8$

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Câu 36: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:

A.
$\frac{2a}{3}$
B.
$\frac{a}{3}$
C.
$\frac{a}{4}$
D.
$\frac{3a}{2}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$

Câu 37: Nhận biết

Cho phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.
Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)$
B.
Phương trình vô nghiệm.
C.
Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(0;2)$
D.
Phương trình vô nghiệm trên khoảng $( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(1) = - 1 \\ f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(0;2)$ .

Câu 38: Nhận biết

Cho dãy số $\left( {{u_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_{n + 1}} = n{u_n}} \end{array}} ight.$ với mọi $n\geq 1$ . Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:

A.
10
B.
48
C.
16
D.
6

Ta có:

$\begin{matrix} {u_1} = 2 \hfill \\ {u_2} = 1{u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} = 2.{u_2} = 2.2 = 4 \hfill \\ {u_4} = 3.{u_3} = 3.4 = 12 \hfill \\ {u_5} = 4.{u_4} = 4.12 = 48 \hfill \\ \end{matrix}$

Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48

Câu 39: Nhận biết

Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
B.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
C.
Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
D.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .

Câu 40: Nhận biết

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8$ . Tính công sai $d$ của cấp số cộng đó:

A.
$d = - 9$
B.
$d = 7$
C.
$d = - 7$
D.
$d = 9$

Ta có:

$d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9$

Câu 41: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Tính $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$ .

A.
$2$
B.
$3$
C.
$0$
D.
$- 3$

Hàm số đã cho xác định trên $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$

Giả sử $\left( x_{n} ight)$ là một dãy số bất kì, thỏa mãn $x_{n} < 1;x_{n} ightarrow - \infty$

Ta có: $\lim f\left( x_{n} ight) =\lim\dfrac{2x_{n} + 3}{x_{n} - 1} = \lim\dfrac{2 + \dfrac{3}{x_{n}}}{1 -\dfrac{1}{x_{n}}} = 2$

Vậy $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 3}{x - 1} = 2$

Câu 42: Nhận biết

Nếu các dãy số $\left( u_{n} ight),\left( v_{n} ight)$ thỏa mãn $\lim u_{n} = 4$ và $\lim v_{n} = 3$ thì $\lim\left( u_{n} + v_{n} ight)$ bằng:

A.
$12$ .
B.
$7$ .
C.
$1$ .
D.
$\frac{4}{3}$ .

Ta có $\lim\left( u_{n} + v_{n} ight) = \lim u_{n} + \lim v_{n} = 7$ .

Câu 43: Thông hiểu

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight)$ là:

A. $y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
B. $y = \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
C. $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
D. $y = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$

Với $x \in \left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight) \to 2x \in \left( { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} ight) \to 2x + \frac{\pi }{6} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight)$

Câu 44: Vận dụng cao

Cho dãy số (u_n), biết $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{2} \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}},n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (u_n) ?

A.
Dãy số (u_n) giảm và bị chặn
B.
Dãy số (u_n) giảm và không bị chặn
C.
Dãy số (u_n) tăng và bị chặn
D.
Dãy số (u_n) tăng và không bị chặn

Ta có $u_{1} = \sqrt{2};u_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}};u_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}};$

$\ldots;u_{n} = \sqrt{2+ \sqrt{2} + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}$

Do u_n + 1 − u_n > 0 nên (u_n) là dãy số tăng.

Lại có $\sqrt{2} < u_{n} \leq 2$ suy ra dãy số bị chặn.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!