Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 44 câu
  • Số điểm tối đa: 44 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Kết luận nào đúng về tập nghiệm của phương trình \cos\left( \frac{\pi}{3} + \pi x ight) = \sin(\pi x)?

    Ta có:

    \cos\left( \frac{\pi}{3} + \pi x ight) = \sin(\pi x)

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \pi x ight) = \sin(\pi x)

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{6} - \pi x ight) = \sin(\pi x)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\pi x = \dfrac{\pi}{6} - \pi x + k2\pi \\\pi x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + \pi x + k2\pi(L) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x = \frac{1}{12} + k;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \pi x = \frac{\pi}{6} - \pi x + k2\pi.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    MN // AD (đường trung bình 4SAD)

    OP // AD (đường trung bình 4BAD)

    => MN // OP

    => O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.

    \left\{ \begin{matrix}MN//AD//BC \subset (SBC) \\OM//SC \subset (SBC) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow (OMN)//(SBC)

  • Câu 3: Vận dụng

    Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau: T(x) = \ \left\{ \begin{matrix} 10000 + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0 < x \leq 0,7 \\ 11\ 000 + 15\ 100.(x - 0,7)\ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0,7 < x \leq 30 \\ 453\ 430 + 12\ 000.(x - 30)\ \ \ \ \ \ khi\ \ \ x > 30 \\ \end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số T(x) liên tục tại x = 0,7.

    Đáp án: 1000

    Đáp án là:

    Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau: T(x) = \ \left\{ \begin{matrix} 10000 + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0 < x \leq 0,7 \\ 11\ 000 + 15\ 100.(x - 0,7)\ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0,7 < x \leq 30 \\ 453\ 430 + 12\ 000.(x - 30)\ \ \ \ \ \ khi\ \ \ x > 30 \\ \end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số T(x) liên tục tại x = 0,7.

    Đáp án: 1000

    Tại x = 0,7 ta có:

    T(0,7) = 10000 + a.

    \lim_{x ightarrow 0,7^{-}}T(x) = \lim_{x ightarrow 0,7^{-}}10\ 000 + a = 10\ 000 + a

     \lim_{x ightarrow 0,7^{+}}T(x) = \lim_{x ightarrow 0,7^{+}}\left( 11\ 000 + 15100(x - 0,7) ight) = 11\ 000.

    Hàm số liên tục tại x = 0,7 thì \lim_{x ightarrow 0,7^{-}}T(x) = \lim_{x ightarrow 0,7^{+}}T(x) = T(0,7) \Leftrightarrow a = 1000.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: (SBC) \cap (SAC) = SC

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian, đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu

    Đường thẳng  a  song song với mặt phẳng  (P)  khi và chỉ khi  a  không nằm trong (P), đồng thời  a  song song với một đường thẳng b nằm trong  (P) .

  • Câu 6: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để \lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}

    Bài toán trở thành \lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0

    Ta có: \lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l

    => Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.

    Hình vẽ minh họa

    Tìm điều kiện của AB và CD thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

    => IJ // AB // CD

    => Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

    => (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

    Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

    G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

    \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3} (Với E là trung điểm của AB)

    => MN = \frac{2}{3}AB

    Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên: IJ = \frac{{AB + CD}}{2}

    Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

    \begin{matrix} \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \hfill \\ \Leftrightarrow AB = 3CD \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

     Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."

  • Câu 9: Vận dụng

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Đáp án là:

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Gọi u_{n} là tiền lương anh Nam nhận được vào năm thứ n.

    Tại năm đầu tiên, lương anh Nam nhận được là u_{1} = 35000.

    Vì mỗi năm, anh Nam được tăng lương thêm 1400 đô, nên ta có u_{n} = u_{n - 1} + 1400

    Do đó \left( u_{n} ight) là cấp số cộng với u_{1} = 35000,\ d = 1400.

    Tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

    S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2}

    \Leftrightarrow 319200 = \frac{\left\lbrack 2.35000 + (n - 1).1400 ightbrack.n}{2}

    \Rightarrow n = 8.

    Vậy anh Nam mất 8 năm làm việc để được tổng lương là 319200.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?

    Ta có:

    \sin(\pi + \alpha) = - \sin\alpha

    \cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = \sin\alpha

    \cos( - \alpha) = \cos\alpha

    \tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha

    Theo bài ra \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi

    => \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1+ \cos a - 2\sin^{2}2a}. Đơn giản biểu thức P ta được:

    Ta có:

    P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1 +\cos a - 2\sin^{2}2a}

    P = \frac{\sin2a + 2\cos4a.\sin a}{\cos4a +\cos a}

    P = \frac{2\sin a\cos a +2\cos4a.\sin a}{\cos4a + \cos a}

    P = \frac{2\sin a\left( \cos a + \cos4aight)}{\cos a + \cos4a}

    P = 2\sin a

  • Câu 14: Nhận biết

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) + \sqrt 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là?

     Ta có \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = - \sqrt 3

    \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} ight)

    \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \,\frac{\pi }{3} + k\pi

    \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Ta xét có 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.

  • Câu 15: Nhận biết

    Hàm số nào không liên tục tại x = 2?

    Ta có hàm số y = \frac{x^{2}}{x - 2} không xác định tại x = 2 nên hàm số không liên tục tại x = 2

    NB

  • Câu 16: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ?

    Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.

  • Câu 17: Nhận biết

    Có bao nhiêu đẳng thức luôn đúng trong các đẳng thức sau đây (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa)?

    i) \cos^{2}\alpha = \frac{1}{\tan^{2}\alpha + 1}.

    iii) \sqrt{2}\cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight) = \cos\alpha + \sin\alpha.

    ii) sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) = - cos\alpha.

    iv) cot2\alpha = 2\cot^{2}\alpha - 1.

    i) Ta có: \frac{1}{\cos^{2}\alpha} = 1 + \tan^{2}\alpha \Leftrightarrow \cos^{2}\alpha = \frac{1}{1 + \tan^{2}\alpha}

    Vậy i) đúng.

    ii) sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) = - sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = - cos\alpha.

    Vậy ii) đúng.

    iii) \sqrt{2}cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight) = \sqrt{2}\left( cos\alpha cos\frac{\pi}{4} - sin\alpha sin\frac{\pi}{4} ight) = cos\alpha - sin\alpha.

    Vậy iii) sai.

    iv) Ta lấy \alpha = \frac{\pi}{3}. Ta có VP = cot2\alpha = cot2 \cdot \frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3},VT = 2\cot^{2}\left( \frac{\pi}{3} ight) - 1 = - \frac{1}{3}.

    Ta có VP eq VT.

    Do đó iv) sai.

    Vậy có 2 đẳng thức đúng.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3sinx + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với m thuộc tập số nguyên

    Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (SBE) \cap (ABCD) = BE \\ (\alpha) \cap (ABCD) = Ix \\ \end{matrix} ight.

    => Ix//BE => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (\alpha) \cap (SBC) = Mx \\ (SBE) \cap (SBC) = SB \\ \end{matrix} ight.

    => Mx//SB

    => Mx cắt SC tại N.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(SBE) \\ (\alpha) \cap (SAD) = Qx \\ (SBE) \cap (SAD) = SE \\ \end{matrix} ight.

    => Qx//SE

    => Qx cắt SD tại P

    Tứ giác BCDE là hình bình hành

    => CD // BE // MQ

    => CD // (α).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} CD//\ (\alpha) \\ CD \subset (SCD) \\ (SCD) \cap (\alpha) = PN \\ \end{matrix} ight.

    => CD//P\ N \Rightarrow MQ//P\ N

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Phát biểu nào sau đây là đúng

    Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.

    Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.

    Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.

    Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

  • Câu 21: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng?

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = + \infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = - \infty

    \lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}

    \lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| < 1 ight)

  • Câu 22: Vận dụng

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

    Kiểm tra được y = 1 - sin^{2}x; y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x; y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight| là các hàm số chẵn.

    y = x^{2}tan2x - \cot x là hàm số lẻ.

  • Câu 23: Nhận biết

    Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

    Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1

    Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1

    Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

    Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.

    Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử (SAB) \cap (SCD) = d. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: (SAB) \cap (SCD) = d

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB);S \in (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD) \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight. suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho \left( u_{n} ight) là cấp số cộng biết u_{3} + u_{13} = 80. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng

    Ta có:

    u_{3} + u_{13} = 80

    \Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80

    Vậy S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x \sin x, số nghiệm thuộc \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là?

     Ta có: y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x

    y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x

    Do đó

    y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)

    +) Trường hợp 1. Với x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = \frac{\pi }{3}.

    +) Trường hợp 2. Với x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1 ta được x = \frac{{5\pi }}{3}.

    Vậy có 3 nghiệm thuộc x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là

    x = \frac{\pi }{3}; x = -\frac{\pi }{3}; x = \frac{{5\pi }}{3}.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    = \lim\frac{n\left( \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight)\left( \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3} ight)}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\frac{4n}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\dfrac{4}{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{3}{n^{2}}}}

    = \frac{4}{1 + 1} = 2

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{3} \\u_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{3n}.u_{n} \\\end{matrix} ight. và dãy số (vn) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}v_{1} = u_{1} \\v_{n + 1} = v_{n} + \dfrac{u_{n}}{n} \\\end{matrix} ight.. Tính \lim v_{n}.

    Ta có:

    u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3n}.u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3}.\frac{u_{n}}{3n} nên dãy \left( \frac{u_{n}}{n} ight)là cấp số nhân với công bội q = \frac{1}{3}

    Lại có: v_{n + 1} = v_{n} + \frac{u_{n}}{n} \Leftrightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n}}{n}, khi đó ta có:

    \begin{matrix} {v_2} - {v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} \hfill \\ {v_3} - {v_2} = \dfrac{{{u_2}}}{2} \hfill \\ ..... \hfill \\ {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ \end{matrix}

    Cộng vế theo vế ta được

    \begin{matrix} {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{1} + \dfrac{{{u_2}}}{2} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} ight]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: v_{n + 1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + v_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3}

    => \lim v_{n} = \lim\left\{ \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3} ight\} = \frac{5}{6}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

    1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

    Đáp án là:

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

    1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

    Phương trình \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = - 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{3}{2}\,\,\,\,\,(VL) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

  • Câu 31: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{2n + 1}{n +2}. Số \frac{167}{84} là số hạng thứ mấy của dãy?

    Ta có u_{n} = \frac{167}{84}\Leftrightarrow \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow84(2 + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250

    Vậy \frac{167}{84} là số hạng thứ 250 của dãy số (un)

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có các số hạng đều dương và \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = 2020 \\\dfrac{1}{u_{1}} + \dfrac{1}{u_{2}} + \dfrac{1}{u_{3}} + \ldots +\dfrac{1}{u_{n}} = 2021 \\\end{matrix} ight. Giá trị của P = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots\ldots u_{n} là:

    Ta có P = u_{1} \cdot \left( u_{1} \cdot q ight)\ldots..\left( u_{1} \cdot q^{n - 1} ight)

    = u_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)}

    = u_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n(n -1)}{2}} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}ight)^{n}

    Theo giả thiết, ta có:

    A = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}
    Và B = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}}

    = \frac{1}{u_{1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \ldots + \frac{1}{q^{n - 1}} ight)

    = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{1 -\dfrac{1}{q^{n}}}{1 - \dfrac{1}{q}} = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{q^{n} -1}{q - 1} \cdot \dfrac{1}{q^{n - 1}}.
    Suy ra \frac{A}{B} = u_{1}^{2} \cdot q^{n - 1} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}} ight)^{2}. Vậy P = \sqrt{\left( \frac{A}{B} ight)^{n}} = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:

    Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.

  • Câu 35: Nhận biết

    Dãy số nào là cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}} (loại)

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}(loại)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2(thỏa mãn)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n} (loại)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SB; (M eq B;M eq S). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (MAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (MAD) \cap (SBC) = Mx//AD//BC

    Trong mặt phẳng (SBC) giả sử SC \cap Mx = N

    Do đó ADMN là giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.

    Vì \left\{ \begin{matrix} AD//MN \\ MN < AD \\ \end{matrix} ight. nên ADMN là hình thang.

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính giá trị \lim\frac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}

    Ta có: \lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}= \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} ight)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n} + 2 ight)}

    = \lim\dfrac{n.\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}}ight)}{\dfrac{1}{n} + 2} = + \infty

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Xét dãy số u_{n}=7-3n

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số u_{n}=7-3n là một cấp số cộng với u_1=4;d=-3

  • Câu 39: Thông hiểu

    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = + \infty

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = - \infty

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = + \infty

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54. Tính u_{8}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374.

  • Câu 42: Vận dụng

    Giả sử a,b là các giá trị để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{ , khi }}x < - 2} \\ {x + 1{\text{ , khi }}x \geqslant - 2} \end{array}} ight. có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2. Tính giá trị biểu thức 3a - b

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1

    Suy ra f(x) hữu hạn khi x dần tới - 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)

    Do \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 4 ight) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2} + ax + b - 4 ight) = 0

    \Rightarrow 2a - b = 4

    Ngược lại với 2a - b = 4 ta có:

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0

    \Leftrightarrow a = 8

    => f(x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 3a - b = 12

  • Câu 43: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \cot\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + sin2x

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \hfill \\\Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{4} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z}ight) \hfill \\\end{matrix}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?

    Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)

    = 2\Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i^{2} + \Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}

    = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 9 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập