Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Công thức đúng là:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Công thức đúng là:
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là
Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.
Cho tứ diện đều
. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu
điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có
đỉnh lấy từ
điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?
Đáp án: 216
Cho tứ diện đều . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu
điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có
đỉnh lấy từ
điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?
Đáp án: 216
Hình vẽ minh họa
Không mất tính tổng quát, xét mặt bên .
Giả sử song song với
. Khi đó, số tam giác có cạnh
nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm
,
,
,
,
.
Trong mặt bên , nối các điểm chia đều các cạnh
ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với
, 3 đoạn thẳng song song với
và 3 đoạn thẳng song song với
.
Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.
Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là .
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC
Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)
Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra
Từ (*) và (**) suy ra TH
1
Cho dãy số
, với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.
Tập giá trị của dãy số là {-1; 1}
Vậy dãy số là dãy số bị chặn.
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Cho các giới hạn
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Cho tổng
.
Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
Cho góc
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Khi đó giá trị biểu thức T là:
Trong mặt phẳng
, cho tứ giác
có
cắt
tại
,
cắt
tại
,
là điểm không thuộc
. Giao tuyến của
và
là
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên có giao tuyến là đường thẳng
.
Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?

Gọi
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD
=>
=>
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
Tập giá trị của hàm số
có bao nhiêu số nguyên?
Ta có:
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
Mà nên
.
Vậy tập giá trị của có 11 số nguyên.
Cho hình hộp
. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
.
Hình vẽ minh họa:
Qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu
. Ta có:
biến thành B
biến thành
biến thành
biến thành
Do đó hình hộp biến thành hình bình hành
.
Tìm giới hạn ![]()
Ta có:
Nghiệm của phương trình
là
Ta có: .
Cho mặt phẳng
và hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét phương án “Nếu và
thì
” ta có:
Nếu thì
hoặc
chéo
, vậy phương án sai.
Xét phương án “Nếu và
thì
.” ta có:
Nếu thì
hoặc
, vậy phương án sai.
Xét phương án “Nếu và
thì
.” ta có:
Nếu , vậy phương án đúng.
Xét phương án “Nếu và
thì
” ta có:
Nếu thì
hoặc
chéo
hoặc
cắt
, vậy phương án sai.
Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
nhận
làm nghiệm
Phương trình nhận làm nghiệm
vậy m = -4
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu là
. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?
Ta có:
Vậy
Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là
Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> Hàm số gián đoạn tại
Ta lại có:
=> Hàm số liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và
.
Cho hàm số
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
Hàm số có nghĩa khi
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho cấp số nhân
. Hỏi số
là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?
Ta có: là cấp số nhân với
Tính tổng 
Ta có:
Giới hạn
bằng
Ta có:
.
Vì .
Đồ thị hàm số
đi qua điểm nào sau đây?
Thay giá trị vào hàm số ta có:
Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Giới hạn
bằng
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Kết luận nào đúng về tập nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Giá trị của giới hạn
là:
Ta có:
Chọn kết quả đúng của giới hạn
?
Cho cấp số nhân
thỏa mãn
. Tính
?
Đáp án: 4
Cho cấp số nhân thỏa mãn
. Tính
?
Đáp án: 4
Giả sử cấp số nhân có công bội là , khi đó theo bài ra ta có:
do
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:
Tính giá trị của ![]()
Ta có:
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số:
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Đáp án: 105
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: . Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Đáp án: 105
Ta có:
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu là
, công bội là
. Tính
?
Theo công thức cấp số nhân ta có:
Tập giá trị của hàm số
là:
Ta có:
Mà
=>
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Kết quả của giới hạn
là:
Ta có:
Khi đó:
Vì
Vậy
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
là:
Ta có:
=> M = 12; m = 4