Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho dãy số
với mọi
. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:
Ta có:
Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48
Cung tròn có số đo là
. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây:
Ta có:
Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng
.
Theo bài ra ta có:
Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?
Ta có:
Hàm số có tập xác định
nên
và
Suy ra hàm số là hàm số lẻ.
Hàm số là hàm số chẵn vì tập xác định
nên
và
Tương tự ta có hàm số là hàm số lẻ, hàm số
không chẵn cũng không lẻ.
Gọi T là tập giá trị của hàm số
. Tìm tổng các giá trị nguyên của T.
Ta có:
Vì
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7.
Cho hình chóp tứ giác
gọi
và
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
Khi đó
song song với đường thẳng
Do là đường trung bình của tam giác
nên
Cho
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
Ta có thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác
=>
Cho hai đường thẳng song song
và
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Có vô số mặt phẳng chứa và song song với
(đó là tất cả các mặt phẳng chứa
nhưng không chứa
).
Biết
liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Dễ thấy liên tục trên mỗi khoảng
và
. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại
Tức là ta cần có:
Ta có:
Khi đó (*) trở thành
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn
theo thứ tự tăng dần?
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn và chỉ có hai ước số là
và chính nó.
Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn là
,
,
,
.
Cho dãy số (un), biết
. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (un) ?
Ta có
Do un + 1 − un > 0 nên (un) là dãy số tăng.
Lại có suy ra dãy số bị chặn.
Đổi số đo của góc
sang đơn vị radian?
Cách 1: Áp dụng công thức với
ta được:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.
Bước 2: Bấm 50 SHIFT Ans 1 =
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
và
, lấy điểm
. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng
với tứ diện
là:
Hình vẽ minh họa
Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)
nên giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng d qua E và song song với CD.
Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng
.
Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi
Vậy tập xác định
Tìm được các giới hạn sau:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn sau:
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) , do
và
.
b)
Do và
.
c) .
d) .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Ta có:
Vậy công sai của cấp số nhân là
Vậy số hạng tiếp theo sẽ là:
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Cho tứ diện
, lấy
là trung điểm của
. Qua phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
biến điểm
thành điểm nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
. Khi đó
là đường trung bình của tam giác
.
Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Nghiệm của phương trình
là
Dãy số (un) xác định bởi
và dãy số (vn) xác định bởi
. Tính
.
Ta có:
nên dãy
là cấp số nhân với công bội
Lại có: , khi đó ta có:
Cộng vế theo vế ta được
Do đó:
=>
Cho hàm số
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
Hàm số có nghĩa khi
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng
Cho hàm số
. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
?
Ta có:
Đặt . Xét hàm số
trên đoạn
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.
Biết rằng
. Tính
?
Ta có:
Khi đó
Tính tổng sau ![]()
Ta có:
là tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có
.
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Biết rằng
, với
là phân số tối giản và
. Tính
.
Ta có:
.
Vậy: .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
=> OO' // (ADF)
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho dãy số
thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Mặt phẳng
cắt
tại
. Tỉ số
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: là trọng tâm tam giác
và
là trung điểm của
.
=> thẳng hàng hay
Ta lại có là trọng tâm tam giác
nên
kéo dài cắt
tại trung điểm của
.
Vậy là trung điểm của
suy ra
Cho một cấp số nhân
có
. Hỏi
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình:
Với
là số nguyên dương,
là hằng số, giới hạn
bằng
Ta có và
nên
Cho hình lăng trụ tam giác
, tâm của các mặt bên
lần lượt là
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Ta có và
.
Mà là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên
.
Lại có là trung điểm của
nên
là đường trung bình của tam giác
=> là trung điểm của
.
Cho các số thực
thỏa mãn
và
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Khi và chỉ khi: .
Kết hợp với
Khi đó và
(vì
Vậy nên
.
Một quả bóng rơi từ độ cao 6m với phương vuông góc với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng
độ cao của lần rơi trước. Tính quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.
Ta có: Quãng đường bóng bay bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có
=>
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên là:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
=>
Vậy tổng quãng đường bóng bay là 42m
Điều kiện để phương trình
có nghiệm là:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Vậy thì phương trình đã cho có nghiệm.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Đồ thị hàm số
được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
Ta có
=>Đồ thị hàm số được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là