Tính giới hạn
.
Ta có:
Vì nên
Do đó
Tính giới hạn
.
Ta có:
Vì nên
Do đó
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm, lấy
sao cho
và
sao cho bốn điểm
đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Vì lần lượt là trung điểm của
do đó
Mà hay
.
Dãy số có các số hạng cho bởi
có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án và
Ta có: ở các đáp án
và
Xét đáp án
Xét đáp án
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
;
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của đường thẳng
và
là
Hình vẽ minh họa
Trong gọi
, mà
Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính tổng
.
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
Cho dãy số
thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Do hàm số nghịch biến trên
=> Hàm số nghịch biến khi
Vậy đáp án đúng là
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1
Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1
Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2
Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức
với
tính bằng
và
là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày là:
Do nên
Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là .
Dấu bằng xảy ra
Do .
Mà nên
.
Khi đó .
Vậy lúc 3h là thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày.
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Giá trị u10 là?
Từ ta có un + 1 − un = 5
⇒ dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên
u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
liên tục trên
?
Tập xác định
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Khi đó hàm số liên tục trên
khi và chỉ khi
liên tục tại
Hay
Ta lại có:
Khi đó
Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trên đường tròn lượng giác có bao nhiêu vị trí biểu diện nghiệm của phương trình
?
Điều kiện xác định:
Ta có:
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra phương trình có nghiệm nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
bằng:
Ta có:
Cho cấp số cộng
biết
,
Khi đó
bằng
Ta có
Vậy
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình .
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
, mặt phẳng
đi qua
và song song với mặt phẳng
. Khi đó các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của với
là
.
Giao tuyến của với
là
.
Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của
là hình thang MNPQ.
Cho dãy số
với
. Tính
.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
, d đi qua S và
.
Cho hàm số
liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là:
Ta có:
Hàm số liên tục trên
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên là:
Giá trị lớn nhất của hàm số: ![]()
Ta có:
Ta có:
Phương trình có nghiệm:
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Ta có thuộc gốc phần tư thứ I
=> Hàm số đồng biến trên khoảng
Trong không gian, cho 3 đường thẳng
, biết
, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:
Giả sử
(mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.
Tính giới hạn
.
Ta có:
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.
Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)
Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số
và
bằng nhau?
Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x
Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
Ta có:
Vậy là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho các số -4; 1; 6; a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm a?
Đặt u1 = -4; u2 = 1; u3 = 6; u4 = a
Theo bài ra ta có:
Các số -4; 1; 6; a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> u3 – u2 = u4 – u3
=> 6 – 1 = a – 6
=> a = 11
Cho ba mặt phẳng phân biệt
có
. Khi đó ba đường thẳng
:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Giả sử
là các giá trị để hàm số
có giới hạn hữu hạn khi
dần tới
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Suy ra hữu hạn khi
dần tới
khi và chỉ khi
Do nên điều kiện cần để có (*) là
Ngược lại với ta có:
=> có giới hạn hữu hạn khi
dần tới
Biết
, khẳng định nào sau đây đúng?
Với thì
.
Nếu các dãy số
thỏa mãn
và
thì
bằng:
Ta có .
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Tính giới hạn của hàm số
khi
.
Ta có:
Tính tổng ![]()
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (GIJ) với hình chóp S.ABCD là hình bình hành.
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> IJ // AB // CD
=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)
=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD
Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.
G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:
(Với E là trung điểm của AB)
=>
Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:
Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ
Cho dãy số
xác định bởi
. Tính số hạng thứ
của dãy số đó?
Ta có ,
,
Do đó là cấp số nhân với
,
,
;
.
Cho
và biểu thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: nên
=>
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì
=> tuần hoàn với chu kì
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
+ Phương trình
Vậy phương trình vô nghiệm.
+ Phương trình
Vậy phương trình có nghiệm.
+ Phương trình
Vậy phương trình có nghiệm.
+ Phương trình
mà
nên phương trình
có nghiệm.