Giới hạn
bằng:
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:
Giới hạn
bằng:
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:
Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?
Ta có:
Từ thời điểm đồng hồ chỉ đúng 12 giờ đến khi kim giờ chỉ 1 giờ đúng thì kim phút quay được góc bao nhiêu độ?
Khi kim giờ chỉ đúng 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng ứng với góc lượng giác là:
Cho hai dãy số
với
và
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số:
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Đáp án: 105
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: . Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Đáp án: 105
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
a) Đúng
Đúng vì theo tính chất thừa nhận: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không
thẳng hàng.
b) Sai
Sai vì điểm cần thêm điều kiện điểm không thuộc đường thẳng.
c) Đúng
Đúng vì theo các cách xác định một mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai
đường thẳng cắt nhau.
d) Sai
Sai vì cần thêm điều kiện hai mặt phẳng phân biệt.
Cho hình chóp
có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
không song song
Đúng||Sai
b)
song song
Đúng||Sai
c)
song song
Sai||Đúng
d)
song song
Sai||Đúng
Cho hình chóp có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) không song song
Đúng||Sai
b) song song
Đúng||Sai
c) song song
Sai||Đúng
d) song song
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Từ suy ra:
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?

Có 2 hình chóp tứ giác
Cho dãy số (un) có un = − n2 + n + 1. Số − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?
Giả sử un = − 19(n∈ℕ*) Suy ra (do n∈ℕ*).
Vậy số − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Cho hàm số 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để hàm số gián đoạn tại ![]()
Đáp án: 2024
Cho hàm số
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số gián đoạn tại
Đáp án: 2024
TXĐ:
Ta có:
Để hàm số gián đoạn tại thì
Vậy có giá trị nguyên của
để hàm số gián đoạn tại
Tính
biết
và
.
Ta có
.
Mà nên
.
Vậy .
Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:
Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4
Xác định chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho
và
là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương
, có kết luận gì về
?
Ta có:
là một số nguyên
cũng là một số nguyên
Ta sẽ chứng minh là một số nguyên.
Ta có:
là một số nguyên
Giả sử là số nguyên với
. Ta sẽ chứng minh
cũng là số nguyên.
Ta có:
Theo giả thiết quy nạp ta có:
Vậy là một số nguyên.
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để ba số
lập thành một cấp số cộng?
Để ba số lập thành một cấp số cộng thì
Đặt phương trình trở thành
Với
Do vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu để bài.
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số
không liên tục tại điểm nào sau đây?
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
Vậy nên không tồn tại
. Do đó hàm số gián đoạn tại
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó
là đường thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)
Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).
Vậy P là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Cho
. Xác định k để
.
Ta có:
Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là?
Phương trình
- Với không có giá trị thỏa mãn.
- Với
Cho các số thực
thỏa mãn
và
. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình
bằng
Đáp án: 3
Cho các số thực thỏa mãn
và
. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình
bằng
Đáp án: 3
Xét hàm số
Theo giả thiết ;
Ta có là hàm đa thức nên liên tục trên
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên
nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng
Từ ;
và
ta có phương trình
có ít nhất 3 nghiệm.
Mặt khác là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm.
Nghiệm của phương trình tan (2x) -1 = 0 là?
Ta có:
.
Cho cấp số nhân
có công bội âm. Biết
. Khi đó ![]()
Ta có:
Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là
. Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
Với số nguyên dương , kí hiệu
là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau
tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:
Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu
với công bội
nên
Số tiền rút được sau 2 năm là:
(đồng)
Cho dãy số
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
Ta có: nên
đúng.
Do nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.
.
Do nên dãy số không tăng, không giảm.
Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.
Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
ĐK:
Ta có .
Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Biết
với
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Vậy
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
theo thứ tự lấy các điểm
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Tìm các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến này.
Hình vẽ minh họa:
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.
Khi đó ME // NF // CD và
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang
với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách.
Ta có:
=> Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt phẳng?
Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.
bằng
Ta có:
bằng
Ta có:
Dãy số
là cấp số nhân với
Cấp số nhân
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Cho hình chóp tam giác
. Gọi điểm
là trung điểm của
, lấy điểm
di động trên đoạn
. Mặt phẳng
qua
song song với
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của tứ diện.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện là tam giác MNP.
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.
Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Cho dãy số
là một cấp số nhân với
. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Giả sử là cấp số nhân công bội
thì:
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy không là cấp số nhân.
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình
trên đoạn
.
Phương trình
Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15; u20 = 60. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:
Gọi u1, d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
Ta có:
=> Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt
,
và
. Xét các mệnh đề sau
1) Nếu mặt phẳng
chứa đường thẳng song song với
thì
song song với
.
2) Nếu mặt phẳng
chứa hai đường thẳng song song với
thì
song song với
.
3) Nếu hai mặt phẳng
và
song song
với thì
song song với
.
4) Nếu hai mặt phẳng
và
cắt
với thì
song song với
.
Số mệnh đề đúng là:
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với
thì
song song với
Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng
Mệnh đề 4 là mệnh đề sai