Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giá trị của A =
\lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2
ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n
> n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

     + Phương trình \sin x +3=0 \Leftrightarrow \sin x = -3

    Vậy phương trình \sin x +3=0 vô nghiệm.

    + Phương trình 2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \cos x = 1 \hfill \\  \cos x =  - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}  ight.

    Vậy phương trình 2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 có nghiệm.

    + Phương trình \tan x +3=0 \Leftrightarrow \tan x =-3

    \Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 3} ight) + k\pi

    Vậy phương trình \tan x +3=0 có nghiệm.

    + Phương trình 3 \sin x -2=0 \Leftrightarrow \sin x = \frac {2}{3}-1 < \frac 2 3 < 1 nên phương trình 3 \sin x -2=0 có nghiệm.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
u_{2} = 2001 \\
u_{5} = 1995 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} + d = 2001 \\
u_{1} + 4d = 1995 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 2003 \\
d = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d =
3

  • Câu 4: Thông hiểu

    Giá trị của F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left(
n^{2} + 2 ight)^{5}}bằng:

    Ta có:

     F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left(
n^{2} + 2 ight)^{5}} 

    = \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM)(SBC).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S là điểm chung của mặt phẳng (SAM)(SBC) (*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
M \in BC \\
BC \subset (SBC) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M \in (SBC)

    => M là điểm chung của mặt phẳng (SAM)(SBC) (**)

    Từ (*) và (**) suy ra (SAM) \cap (SBC) =
SM

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho dãy số =\left( x_{n} ight) thỏa mãn điều kiện x_{1} = 1; x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} với n = 1;2;3;... số hạng x_{2018} bằng:

    Ta có:

    x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    \Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)

    \Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}

    \Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}

    Vậy x_{2018} =\frac{4035}{2018}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} +
11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} +
9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(x +
2)^{2}\left( 2x^{2} + x - 1 ight)}{(x + 2)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\left\lbrack
2x^{2} + x - 1 ightbrack = 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho cấp số nhân \left( u_{n}
ight) thỏa mãn 2\left( u_{3} +
u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} +
u_{4}}?

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n}
ight) thỏa mãn 2\left( u_{3} +
u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} +
u_{4}}?

    Đáp án: 4

    Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

    2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) =u_{6} + u_{7} + u_{8}

    \Leftrightarrow 2\left( u_{3} + u_{3}q +u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}

    \Leftrightarrow 2u_{3}\left( 1 + q +
q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)

    \Leftrightarrow 2u_{3} = u_{6} do \ 1 + q + q^{2} > 0

    \Leftrightarrow 2u_{3} = u_{3}q^{3}
\Leftrightarrow u_{3}\left( 2 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
u_{3} = 0 \\
q = \sqrt[3]{2} \\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} +
u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q + u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q +
u_{2}q^{2}}= \frac{u_{8}\left( 1 + q + q^{2}
ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} = \frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} =
q^{6} = 4

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B').

    Hình vẽ minh họa:

    Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B'). Ta có:

    A,B biến thành B

    A',B' biến thành B'

    C,D biến thành D

    C',D' biến thành D'

    Do đó hình hộp ABCD.A'B'C'D' biến thành hình bình hành BDD'B'.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c, biết a//b, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:

    Giả sử b//c

    => c // a (mâu thuẫn với giả thiết). 

    Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:

    Hình vẽ minh họa

    Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là ABCD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với ABCD tức song song với BI.

  • Câu 13: Nhận biết

    Hàm số f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3} liên tục trên:

    Ta có: 2sinx + 3 eq 0,\forall
x\mathbb{\in R}

    => Tập xác định D\mathbb{=
R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u_{6} của cấp số nhân đã cho.

    Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =
3.2^{6} = 96

  • Câu 15: Vận dụng

    Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17. Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư là 14. Tính công sai d của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{u_1} + {u_6} = 17} \\   {{u_2} + {u_4} = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {2{u_1} + 5d = 17} \\   {2{u_1} + 6d = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{u_1} = 16} \\   {d =  - 3} \end{array}} ight.

  • Câu 16: Vận dụng

    Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14. Tìm số cạnh của đa giác đáy?

    Một hình chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có n + 1 đỉnh và 2n + 1 cạnh

    Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

    \begin{matrix}
   \Leftrightarrow n + 1 + 2n + 1 = 14 \hfill \\
   \Leftrightarrow 3n + 2 = 14 \hfill \\
   \Leftrightarrow 3n = 12 \hfill \\
   \Leftrightarrow n = 4 \hfill \\ 
\end{matrix}

    => Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.

  • Câu 17: Nhận biết

    Giá trị của C =
lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} bằng:

    Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

    lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} =
0

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}\ \ \ khi\ \ x eq
1 \\
2024m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x = 1 \\
\end{matrix} ight. liên tục tại x = 1 khi đó giá trị của tham số m bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án: -1/1012

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}\ \ \ khi\ \ x eq
1 \\
2024m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x = 1 \\
\end{matrix} ight. liên tục tại x = 1 khi đó giá trị của tham số m bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án: -1/1012

    Hàm số xác định tại x = 1.

    Ta có f(1) = 2024m. Tính \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} -
\sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}.

    Đặt t = x - 1 thì x = t + 1, x
ightarrow 1 thì t ightarrow
0

    \frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x -
3}}{(x - 1)^{2}} = \frac{\sqrt[3]{6t + 1} - \sqrt{4t +
1}}{t^{2}}

    = \frac{\sqrt[3]{6t + 1} - (2t +
1)}{t^{2}} + \frac{(2t + 1) - \sqrt{4t + 1}}{t^{2}}.

    = \frac{6t + 1 - (8t^{3} + 12t^{2} + 6t +
1)}{t^{2}\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1}
+ (2t + 1)^{2} ightbrack} +
\frac{(4t^{2} + 4t + 1) - (4t + 1)}{t^{2}(2t + 1 + \sqrt{4t +
1})}.

    = \frac{- 8t - 12}{\left\lbrack
\sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t + 1)^{2}
ightbrack} + \frac{4}{(2t + 1 +
\sqrt{4t + 1})}.

    Vậy \lim_{x ightarrow
1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}

    = \lim_{t ightarrow 0}\{\frac{- 8t -
12}{\left\lbrack \sqrt[3]{(6t + 1)^{2}} + (2t + 1)\sqrt[3]{6t + 1} + (2t
+ 1)^{2} ightbrack} +
\frac{4}{(2t + 1 + \sqrt{4t + 1})}\} = - 2.

    Để hàm số liên tục tại x = 1 khi f(1) = \lim_{x ightarrow
1}\frac{\sqrt[3]{6x - 5} - \sqrt{4x - 3}}{(x - 1)^{2}}

    \Leftrightarrow 2024m = - 2
\Leftrightarrow m = \frac{- 1}{1012}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính K = \lim_{x
ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x
ight)

    Ta có:

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)

    K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}

    K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} =  - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} =  - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\   \Rightarrow {u_n} =  - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\   {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\   {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\   {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCDAC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với ACBD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

    \begin{matrix}
  P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\
  Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\
  H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ 
\end{matrix}

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    \begin{matrix}
  H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\
   = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\
   = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ 
\end{matrix}

  • Câu 23: Nhận biết

    Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng

     Kí hiệu tên của mặt phẳng là (P).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2^{n}}
\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} = \frac{1}{2} \\
u_{2} = \frac{2}{4} \\
\end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2n^{2} +
1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} = \frac{1}{3} \\
u_{2} = \frac{2}{9} \\
\end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n
+ 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\
u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\
\end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight. Thỏa mãn!

    Ta xét đáp án : u_{n} = ( -
2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 0 \\
u_{2} = 4\sqrt{3} \\
u_{3} = - 8\sqrt{8} \\
\end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow
ight. Loại

  • Câu 25: Vận dụng

    Biết \lim_{x
ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Tập xác định: D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z}
ight\}có nghĩa là

    D = \underset{k\mathbb{\in
Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ...
\cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left(
\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin
x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Khẳng định đúng là “SACD là hai đường thẳng chéo nhau.”

  • Câu 27: Thông hiểu

    Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

    Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:

    \begin{matrix}  5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\   \Leftrightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD, lấy M là trung điểm của AD. Qua phép chiếu song song theo phương AC lên mặt phẳng (BCD) biến điểm M thành điểm nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi N là trung điểm của CD. Khi đó MN là đường trung bình của tam giác ACD

    \Rightarrow MN//AC.

    Do đó hình chiếu của điểm M qua phép chiếu song song theo phương AC lên mặt phẳng (BCD) là điểm N.

  • Câu 29: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} bằng:

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} =  - \infty

    Do \left\{ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} ight) = 3 \hfill \\  x \to {1^ - } \Rightarrow x - 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2{\cos ^2}x = 1?

    Ta có 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2} . Mà {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \to {\sin ^2}x = \frac{1}{2}.

    Do đó {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1. Vậy 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1.

  • Câu 31: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác''?

    Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R =
1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị m để phương trình \sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}sin4x + m - 1
\Leftrightarrow sin4x = 2 - 2m\ (*)

    Phương trình (*) có nghiêm \Leftrightarrow - 1 \leq 2 - 2m \leq 1
\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'G,G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABCA'B'C', M \in AC sao cho \frac{AM}{MC} = 2. Mệnh đề nào sai?

    Hình vẽ minh họa

    GA//(BCC'B') sai vì \left\{ \begin{matrix}
GA \cap BC = N \\
BC \subset (BCC'B') \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của MA và SD.

    Hình vẽ minh họa:

    Tìm giao tuyến của MA và SD

    Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:

    IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB

    Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung

    => Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

    Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy M là trung điểm của các đoạn thẳng SA, N là trung điểm của SB, P \in
SC sao cho \frac{PS}{PC} =
2. Chọn khẳng định sai.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
(MNP) \cap (SAC) = MP \\
(MNP) \cap (SAB) = MN \\
(MNP) \cap (SBC) = NP \\
\end{matrix} ight.

    Vậy các giao tuyến tạo bởi (MNP) và hình chóp S.ABC tạo thành là tam giác MNP.

  • Câu 36: Nhận biết

    Từ thời điểm đồng hồ chỉ đúng 12 giờ đến khi kim giờ chỉ 1 giờ đúng thì kim phút quay được góc bao nhiêu độ?

    Khi kim giờ chỉ đúng 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng ứng với góc lượng giác là: - 360^{0}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tính giá trị \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1)
ightbrack

    Ta có:

    \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k
+ 1) ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi +
k2\pi ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi
ightbrack

    = - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = -
\frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho phương trình lượng giác 2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}
ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng ( - \pi;\pi) bằng \frac{7\pi}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác 2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}
ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng ( - \pi;\pi) bằng \frac{7\pi}{6}. Đúng||Sai

    Ta có phương trình đã cho tương đương với

    2\left( \sin x + 1 ight)\left( \frac{1
- cos4x}{2} - 3sinx + 1 ight) = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow \left( \sin x + 1
ight)(3 - 6sinx - cos4x) = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow (sinx + 1)(3 - 6sinx) -
sinx.cos4x - cos4x = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow 3(1 - 2sin^{2}x) - 3sinx
= sin5x + cos4x

    \Leftrightarrow 3cos2x + 3cos\left( x +
\frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} ight) +
cos4x

    \Leftrightarrow 3.2.cos\left(
\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} -
\frac{\pi}{4} ight) = 2.cos\left( \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4}
ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} -
\frac{\pi}{4} ight)\left\lbrack 3cos\left( \frac{3x}{2} +
\frac{\pi}{4} ight) + \cos\left( \frac{9x}{2} + \frac{3\pi}{4} ight)
ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} -
\frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight)
= 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\
\cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\
x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

    x \in ( - \pi;\pi) nên suy ra x = - \frac{\pi}{2},x = \frac{\pi}{6},x =
\frac{3\pi}{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n
+ 3}. Giá trị u_{21}

    Ta có: u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} +
2.21 + 3} = \frac{10}{243}.

  • Câu 40: Vận dụng

    Tính  \lim_{x
ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 +
3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 +
2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{=
\lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 +
3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 +
2x} - (x + 1)}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{-
x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = -
\frac{1}{2}

    Ta cũng có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) -
\sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{=
\lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x +
1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack}
= 1

    Vậy  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 +
2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}

  • Câu 41: Vận dụng

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{5
+ 2cot^{2}x - \sin x} + \cot\left( \frac{\pi}{2} + x
ight)

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    5 + 2cot^{2}x - \sin x \geq 0\cot\left( \frac{\pi}{2} + x
ight) xác định và \cot x xác định

    Ta có: \cot\left( \frac{\pi}{2} + x
ight) xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + x eq k\pi\hfill \\\Rightarrow x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill\\\end{matrix}

    Mà cot x xác định khi

    \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\Rightarrow x eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Do đó hàm số xác định khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq k\pi \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2},k \in\mathbb{Z}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{=R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2},k \in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x \sin x, số nghiệm thuộc \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là?

     Ta có: y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x

    y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x

    Do đó

    y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = \frac{\pi }{3} + k2\pi  \hfill \\  x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi  \hfill \\ \end{gathered}  ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)

    +) Trường hợp 1. Với x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi  \leqslant 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = \frac{\pi }{3}.

    +) Trường hợp 2. Với x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi  \leqslant 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x =  - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1 ta được x = \frac{{5\pi }}{3}.

    Vậy có 3 nghiệm thuộc x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1

    x = \frac{\pi }{3}; x = -\frac{\pi }{3}; x = \frac{{5\pi }}{3}.

  • Câu 43: Nhận biết

    Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    \cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x

  • Câu 44: Thông hiểu

    Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?

    Ta có:

    Hàm số y = \sin x.cos3x có tập xác định D\mathbb{= R} nên \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in
R}

    y( - x) = \sin( - x).\cos( -3x) = - \sin x.\cos3x = - y(x)

    Suy ra hàm số y = \sin x.\cos3x là hàm số lẻ.

    Hàm số y = \cos2x là hàm số chẵn vì tập xác định D\mathbb{= R} nên \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow
-}x\mathbb{\in R}

    y( - x) = \cos( - 2x) = cos2x =
y(x)

    Tương tự ta có hàm số y = \sin x là hàm số lẻ, hàm số y = \sin x + \cos
x không chẵn cũng không lẻ.

  • Câu 45: Nhận biết

    Trong các dãy số (u_{n}) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Xét dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} ta có:

    \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1 - 2}}}}}}{{\dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}}}} = \dfrac{{{3^{n - 2}}}}{{{3^{n - 1}}}} = {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}

    Vậy dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} là cấp số nhân với q = 1/3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo