Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì \left| {3b - a} ight| bằng?

    Ta có:

    Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng

    => a + 3b = 5.2

    => a = 10 – 3b

    Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân

    => a.3b = 32

    => ab = 3

    \begin{matrix} \Rightarrow b\left( {10 - 3b} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 3 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \\ {b = \dfrac{1}{3} \Rightarrow a = 9 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 3: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 5} - x) bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b ta cần giả thiết nào dưới đây?

    Ta có tính chất:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b

  • Câu 5: Nhận biết

    Hàm số y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) có tập xác định là gì?

    Hàm số y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) xác định khi

    2x - \frac{\pi}{4} eq \frac{\pi}{2} + k\pi

    \Rightarrow x eq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) là: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d ∈ (P). Mệnh đề nào sau đây đúng:

    Mệnh đề đúng: "\forall A,A \in d \Rightarrow A \in (P)".

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnhSB và đoạn AC sao cho \frac{BM}{MS} = x và \frac{NC}{NA} = y, (0 < x,\ \ y eq 1). Tìm tỷ số \frac{x}{y} để MN//(SAD).

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnhSB và đoạn AC sao cho \frac{BM}{MS} = x và \frac{NC}{NA} = y, (0 < x,\ \ y eq 1). Tìm tỷ số \frac{x}{y} để MN//(SAD).

    Đáp án: 1

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử BN và AD cắt nhau tại điểm K.

    Dễ thấy SK = (BMN) \cap (SAD).

    Do đó : MN//(SAD) \Leftrightarrow MN//SK \Leftrightarrow \frac{BM}{MS} = \frac{BN}{NK} (1)

    Mặt khác tam giác NCB đồng dạng với tam giác NAK \Rightarrow \frac{BN}{NK} = \frac{CN}{NA} (2).

    Từ (1) và (2) \Rightarrow \frac{BM}{MS} = \frac{NC}{NA} \Leftrightarrow x = y.

    Vậy MN//(SAD) \Leftrightarrow x = y. Khi đó \frac{x}{y} = 1

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy M \in SB; (M eq B;M eq S). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (MAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (MAD) \cap (SBC) = Mx//AD//BC

    Trong mặt phẳng (SBC) giả sử SC \cap Mx = N

    Do đó ADMN là giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp.

    Vì \left\{ \begin{matrix} AD//MN \\ MN < AD \\ \end{matrix} ight. nên ADMN là hình thang.

  • Câu 9: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)?

    Hàm số y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) xác định khi:

    \left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \sin2x eq 0

    \Leftrightarrow 2x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 12: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} là?

    \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,k \in \mathbb{Z}

  • Câu 13: Nhận biết

    Biết ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?

    Để ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân thì m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các giá trị của m là S = - 3

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n} = \frac{1}{2 - u_{n - 1}},\ \forall n \geq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó u_{3} có giá trị bằng

    Theo công thức truy hồi ta có

    u_{2} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{4}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giá trị của biểu thức B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5} +\sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5} là:

    Ta có:

    B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5}+ \sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5}

    B = \cos\left( \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{5} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong các dãy số (u_{n}) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Xét dãy số u_n=7.3^n ta có: 

    \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{7.3}^{n + 1}}}}{{{{7.3}^n}}} = 3

    => Dãy số u_n=7.3^n là một cấp số nhân 

  • Câu 17: Thông hiểu

    Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?

    Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

  • Câu 18: Vận dụng

    Phương trình \sin2x + 3\cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0;2018)?

    Ta có:

    \sin2x + 3\cos x = 0

    \Rightarrow 2\sin x\cos x + 3\cos x =0

    \Rightarrow \cos x(2\sin x + 3) =0

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\cos x = 0 \\2\cos x + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight) \\\sin x = - \dfrac{3}{2}(L) \\\end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có: x \in (0;2018)

    \Rightarrow 0 < \frac{\pi}{2} + k\pi < 2018

    \Rightarrow - \frac{1}{2} < k < 641,849...

    \Rightarrow k \in \lbrack 0;641brack

    Vậy phương trình có 642 nghiệm.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Tính tổng S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...:

    Ta có:

    S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...

    = \left( {\underbrace {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}} + ...}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{2}}} ight) - \left( {\underbrace {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + .... + \dfrac{1}{{{3^n}}}}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{3}}} ight)

    = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} -\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = 1 - \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{1} \in (2; + \infty)sao cho y\left( x_{1} ight) = 0(1).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ y( - 2) = - 2 + 4a - 2b + c > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{2} \in ( - 2;2)sao cho y\left( x_{2} ight) = 0(2).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{3} \in ( - \infty; - 2)sao cho y\left( x_{3} ight) = 0(3).

    Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng 3.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \cot (x+ \frac{\pi}{4})+1=0 trên khoảng ( -\pi ;3\pi ) là?

     Ta có:\cot (x+\frac{\pi}{4})+1=0 \Leftrightarrow \cot (x+\frac{\pi}{4})=-1

    \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k \pi \Leftrightarrow x= -\frac{\pi}{2} +k\pi, k \in \mathbb{Z}

    ycbt\Leftrightarrow -\pi< -\frac{\pi}{2} +k \pi <3\pi\Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{7}{2}, k \in \mathbb{Z}

    nên k \in \{0;1;2;3\}.

  • Câu 22: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = 3\cos(2x+ 1) - 2\sin\left( \dfrac{x}{2} - 3 ight)

    Hàm số y = 3\cos(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T_{1} = \pi

    Hàm số y = - 2\sin\left( \frac{x}{2} - 3ight) tuần hoàn với chu kì T_{2} = 4\pi

    Suy ra hàm số y = 3\cos(2x + 1) -2\sin\left( \frac{x}{2} - 3 ight) tuần hoàn với chu kì T = 4\pi

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình 2\sin^{2}x+5 \sin x + 3=0 là

      \begin{matrix} 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} ight).\left( {2\sin x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x + 1 = 0} \\ {2\sin x + 3 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = - 1} \\ {\sin x = - \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \sin x = - 1 \hfill \\ \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Hàm số liên tục khi x<1

    hàm số liên tục khi x>1

    Tại x = 1 ta có: f(1)=1

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số liên tục tại x=1

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

    Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa a và b là:

    a cắt b

    a song song với b

    a chéo nhau với b

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}. Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

    Ta có: u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1} = 1 - \frac{2}{3n + 1} < 1

    Mặt khác u_{2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0

    => Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số 1.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy các điểm M \in SB,N \in SD sao cho \frac{SM}{MB} = 2;\frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}. Hình chiếu của M,N qua phép chiếu song song phương SO mặt phẳng chiếu (ABCD)lần lượt là P,Q. Tỉ số độ dài \frac{PO}{QO} bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh hoạ

    Do P là hình chiếu song song của M qua phép chiếu song song phương SO

    \Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{BP}{BO}

    Mà \frac{SM}{MB} = 2 \Rightarrow SM = 2MB

    \Rightarrow \frac{BP}{BO} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{OP}{OB} = \frac{2}{3}

    Chứng minh tương tự ta có: \frac{OQ}{OD} = \frac{1}{3}

    Ta có: BO = DO \Rightarrow \frac{OP}{OQ} = \frac{1}{2}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} với f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} với mọi x eq 1. Tính f(1).

    Ta có: f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} nên suy ra

    f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1

    Vậy f(1) = 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho các đường thẳng a,b,c và các mặt phẳng (\alpha);(\beta). Giả thiết nào sau đây đủ để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b?

    Nếu a \cap b = \varnothing thì a // b hoặc a, b chéo nhau.

    Nếu \left\{ \begin{matrix} a//c \\ b//c \\ \end{matrix} ight. thì a // b hoặc a ≡ b.

    Nếu \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight. thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 32: Nhận biết

    Giới hạn \lim\frac{2}{n - 3} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Trọng tâm các tam giác ABC,ACC',A'B'C' lần lượt là I,J,K. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (IJK).

    Theo bài ra ta có:

    Các điểm I,J,K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,ACC',A'B'C' .

    \Rightarrow \frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN.

    \Rightarrow IJ//(BCC'B')

    Chứng minh tương tự IK//(BCC'B') \Rightarrow (IJK)//(BCC'B')

    \Rightarrow (IJK)//(BC'B')

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính giới hạn L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}?

    Ta có:

    L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}, trong đó a là tham số thực.

    a) Khi a = 2 thì \lim u_{n} = 1. Đúng||Sai

    b) Khi a = 3 thì \lim u_{n} = \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    c) Khi a = - 3 thì \lim u_{n} = - \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    d) Khi a = - 2 thì \lim u_{n} = - 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}, trong đó a là tham số thực.

    a) Khi a = 2 thì \lim u_{n} = 1. Đúng||Sai

    b) Khi a = 3 thì \lim u_{n} = \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    c) Khi a = - 3 thì \lim u_{n} = - \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    d) Khi a = - 2 thì \lim u_{n} = - 1. Đúng||Sai

    Ta có

    \sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}ightarrow 0\overset{ightarrow}{}Nhận lượng liên hợp :

    \lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + an+ 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)

    = \lim\frac{an + 4}{\sqrt{n^{2} + an +5} + \sqrt{n^{2} + 1}}

    = \lim\frac{a + \dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 +\dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}} =\dfrac{a}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2. Tính giá trị biểu thức T = \tan\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight)

    Ta có:

    T = \tan\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight)

    \Rightarrow T = \dfrac{\tan\alpha +\tan\dfrac{\pi}{4}}{1 - \tan\alpha.\tan\dfrac{\pi}{4}}

    \Rightarrow T = \frac{\tan\alpha + 1}{1- \tan\alpha}

    Theo bài ra ta có:

    \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( 2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \tan\alpha = 2

    Khi đó giá trị biểu thức T là: T = \frac{2 + 1}{1 - 2} = - 3

  • Câu 39: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ?

    Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.. Tính u_{2}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) = 27 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + d = 9 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 9 - u_{1} \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \Rightarrow {u_{1}}^{2} + \left( u_{1} +9 - u_{1} ight)^{2} + \left\lbrack u_{1} + 2\left( 9 - u_{1} ight)ightbrack^{2} = 275

    \Leftrightarrow {u_{1}}^{2} - 18u_{1} +65 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}u_{1} = 13 \Rightarrow d = - 4 \\u_{1} = 5 \Rightarrow d = 4 \\\end{matrix} ight.=> u_{2} = 9

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA, điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC. Khi đó:

    a) EF//AC Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AC. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) đường thẳng qua M và song song với BC. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) là đường thẳng qua Mvà song song với AC. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA, điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC. Khi đó:

    a) EF//AC Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AC. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) đường thẳng qua M và song song với BC. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) là đường thẳng qua Mvà song song với AC. Đúng||Sai

    b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) :

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD). \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra Sx = (SAB) \cap (SCD), với Sx là đường thẳng qua S và Sx//AB//CD.

    Hình vẽ minh họa

    c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD):

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAD) \\ M \in (MBC) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD) ight..

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} M \in (MBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (MBC);AD \subset (SAD).\ \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra My = (MBC) \cap (SAD),My là đường thẳng qua M và My//BC//AD.

    d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) :

    Ta có :\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAC) \\ M \in (MEF) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC) ight..

    Xét tam giác ABC, ta có EF là đường trung bình \Rightarrow EF//AC.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} M \in (MEF) \cap (SAC) \\ EF \subset (MEF);AC \subset (SAC).\ \\ EF//AC \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra Mt=( M EF )\cap( SAC ), Mt là đường thẳng qua M và Mt//EF//AC.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng
  • Câu 42: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    =>  \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} = - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.

    Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?

    Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n

    Từ đó 2Sn =  − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n

    \Leftrightarrow 2S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{2} + n{.3}^{n}

    \Leftrightarrow S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} \cdot 3^{n}

  • Câu 45: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6

    Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5

    Từ đó suy ra y = 6x = 216/5

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập