Biết ba số
lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
Để ba số lập thành một cấp số nhân thì
Vậy tổng các giá trị của m là
Biết ba số
lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
Để ba số lập thành một cấp số nhân thì
Vậy tổng các giá trị của m là
có nghĩa khi nào?
Để có nghĩa thì
=>
Cho cấp số cộng
. Tính ![]()
Ta có:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Tính tổng
của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
Cấp số nhân đã cho có
=>
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Mặt phẳng
cắt
tại
. Tỉ số
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: là trọng tâm tam giác
và
là trung điểm của
.
=> thẳng hàng hay
Ta lại có là trọng tâm tam giác
nên
kéo dài cắt
tại trung điểm của
.
Vậy là trung điểm của
suy ra
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Biết rằng
khi đó
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d) Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng
và
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Biết rằng khi đó
Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng
và
Sai||Đúng
a) Hàm số có nghĩa khi
Vậy theo định lí ta có hàm số liên tục trên khoảng
.
b) Ta có:
Khi đó: .
Theo bài ra ta có:
c) Ta có:
s
d) Xét hàm số có tập xác định
Suy ra hàm số cũng liên tục trên các khoảng
và
.
Ta có:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Lại có:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Cho hàm số
hàm số f(x) liên tục tại:
Tập xác định:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục khi
hàm số liên tục khi
Tại x = 1 ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục trên
Tìm chu kì của hàm số
?
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Áp dụng công thức trên ta suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
.
Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
?
Ta có . Chi hai vế phương trình cho
, ta được
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
; (
). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng giả sử
Do đó là giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Vì nên
là hình thang.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Đặt
=>
Phương trình trở thành:
Do
Vậy để phương trình có nghiệm
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Áp dụng: Hàm số tuần hoàn với chu kì
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
. Đúng||Sai
b) Biết rằng
,
. Khi đó
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Biết
(với
). Khi đó
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Biết rằng ,
. Khi đó
. Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Biết (với
). Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng.
Vì
b) Sai.
Vì
c) Sai.
Vì
d) Đúng.
Xét thấy là nghiệm của phương trình
(mẫu số) nên
cũng là một nghiệm của phương trình
(tử số)
.
Khi đó:
.
Vậy .
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?
Ta có:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có .
Cho cấp số nhân
có công bội âm. Biết
. Khi đó ![]()
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của MA và SD.
Hình vẽ minh họa:

Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:
IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB
Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung
=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.
Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Xác định công thức tổng quát của dãy số
.
Ta có:
Nhận thấy
Dự đoán
Ta chứng minh bằng quy nạp
Trước hết đúng với
Giả sử đúng khi
. Khi đó
Ta có:
Mặt khác ta có . Do đó
Vậy
Vậy (*) đúng với . Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
với
với
. Tính
.
Ta có hàm số xác định và liên tục trên
nên suy ra
Phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình:
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Nghiệm của phương trình: ![]()
Ta có:
Biểu diễn hai nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác như sau:

Tính
với I là hình chiếu vuông góc của B trên OA bằng:
=>
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn SA tại
sao cho
. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi
bằng
Hình vẽ minh họa:
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.
Vì nên theo định lí Talet, ta có
.
Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số
.
Vậy .
Giới hạn
bằng
Ta có:
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số giảm.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Vậy dãy số là dãy số giảm.
Kết quả của giới hạn
là:
Ta có:
Khi đó:
Vì
Vậy
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d”.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD
Ta có: mà
nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Gọi S là số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có:
mà
nên
.
Mặt khác
mà
nên
.
Ta lại có nên tồn tại số
sao cho f(m) < 0 và
nên tồn tại số
sao cho
.
Vậy nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Và nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Và nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm chung với trục hoành.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:
Hình vẽ minh họa
Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Tính
.
Ta có:
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).
Cho các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Ta có:
Ta kiểm tra được và
là hàm số không chẵn không lẻ
là hàm số chẵn
là hàm số lẻ
Vậy là hàm số lẻ
Cho góc
thỏa mãn
và
. Tính ![]()
Ta có:
Mặt khác
Do
Khi đó giá trị biểu thức H là: