Giá trị của
bằng:
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
Giá trị của
bằng:
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
để ba số
lập thành một cấp số cộng?
Để ba số lập thành một cấp số cộng thì
Đặt phương trình trở thành
Với
Do vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu để bài.
Cho góc
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Cho hình chóp tam giác
. Gọi điểm
là trung điểm của
, lấy điểm
di động trên đoạn
. Mặt phẳng
qua
song song với
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của tứ diện.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện là tam giác MNP.
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.
Cho hàm số
. Tìm giá trị k để hàm số
liên tục tại ![]()
Ta có:
Giải phương trình
.
Phương trình
Vậy đáp án cần tìm là:
Cho cấp số nhân
có công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng .
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đường thẳng
và
có một điểm chung. Sai||Đúng
c) Đường thẳng
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Khi đó, tứ giác
là hình bình hành. Đúng||Sai
Cho hình chóp , có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đường thẳng và
có một điểm chung. Sai||Đúng
c) Đường thẳng song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Khi đó, tứ giác
là hình bình hành. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng
.
b) Sai.
Gọi là trung điểm của
. Ta có:
Trong tam giác , có
là đường trung tuyến và
là trọng tâm, nên
.
Trong tam giác , có
là đường trung tuyến và
là trọng tâm, nên
.
Trong tam giác và từ
,
ta có
, suy ra
.
c) Đúng.
Mặt phẳng không chứa đường thẳng
và theo kết quả câu b) ta có
.
Mà nằm trong mặt phẳng
.
Nên đường thẳng song song với mặt phẳng
d) Đúng.
Gọi mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với mặt phẳng
.
Nên mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo một giao tuyến
song song với
.
Mà mặt phẳng và mặt phẳng
có một điểm chung là
, nên đường thẳng
đi qua
và song song với
.
Theo giả thiết, mặt phẳng cắt
lần lượt tại
nên đường thẳng
cắt
lần lượt tại
. Hay
.
Tương tự, ta có ,
,
.
Do đó, tứ giác có
(vì cùng song song với
) và
(vì cùng song song với
).
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Hàm số
có chu kì bằng bao nhiêu?
Chu kì của hàm số là:
Cho tập hợp
. Số tập hợp con của tập hợp
gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:
Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là với
lập thành một cấp số nhân
Suy ra lập thành một cấp số cộng
Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.
Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Đổi số đo của góc
sang radian được kết quả là:
Ta có:
có nghĩa khi nào?
Để có nghĩa thì
=>
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , gọi
.
Trong , gọi
.
Trong mặt phẳng , dựng
là đường trung bình của tam giác
.
là trung điểm của
.
Trong , dựng
.
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Tính ![]()
Ta có:
Cho hai đồ thị hàm số
và
, khi đó:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
Đúng||Sai
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
Đúng||Sai
c) Khi
thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm Sai||Đúng
d) Khi
thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
. Sai||Đúng
Cho hai đồ thị hàm số và
, khi đó:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: Đúng||Sai
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là Đúng||Sai
c) Khi thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm Sai||Đúng
d) Khi thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
. Sai||Đúng
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
Vì .
Với với
.
Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn ![]()
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
thỏa mãn
. Biết
và
là trung điểm của
. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng và mặt phẳng
là một hình thang. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác DBC có
Xét tam giác ABC có:
Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng
Suy ra đúng
Tương tự ta cũng chúng minh được (Vì
)
Suy ra
Gọi F là trung điểm của SA khi đó
Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.
Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.
Dãy số (un) được cho bởi
. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
...
Áp dụng phương pháp quy nạp ta có un = 2n − 1.
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày
cho bởi công thức
. Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là
?
Độ sâu của mực nước là thì h = 15.
Khi đó
Vì nên
Lại do
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?
Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60
⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là
(người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm
,
là
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Đáp án: 600
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm
,
là
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Đáp án: 600
Ta có:
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm (ngày) là 600 người/ngày.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị tương ứng với hình vẽ?

Ta có:
=> Loại đáp án và
Tại x = 0 => y = 1 ta thấy thỏa mãn
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Phương trình
Để phương trình có nghiệm
là giá trị cần tìm.
Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:
TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.
TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”
Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.
Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.
Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
là trung điểm của
. Điểm
là ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> Hàm số gián đoạn tại
Ta lại có:
=> Hàm số liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và
.
Cho hình hộp
. Ảnh của
qua phép chiếu song song với phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Do
Nên phương chiếu không cắt mặt phẳng chiếu
.
Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương mặt phẳng chiếu
.
Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.
Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho dãy số
. Số hạng thứ 10 của dãy số đó là:
Ta có:
Cho phương trình
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Ta có:
=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.
=> AC và A’C’ cắt nhau.
Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).
Cho hình lăng trụ
, gọi
,
lần lượt là trung điểm của
,
. Qua phép chiếu song song theo phương
, mặt phẳng chiếu
biến
thành điểm nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song theo phương, mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Cho cấp số nhân
có
. Tính
.
Ta có
Vậy .
Cho cấp số cộng
với
. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:
Ta có:
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Cho dãy số
là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
.
Theo công thức số hạng tổng quát ta có ,
.
Cho
và
. Công thức nào sau đây sai?
Ta có: chỉ đúng nếu
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy