Biết
là các góc của tam giác
, mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì là các góc của tam giác
nên
.
Khi đó .
.
Biết
là các góc của tam giác
, mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì là các góc của tam giác
nên
.
Khi đó .
.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Khẳng định sai: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất”.
Sửa lại: “Hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng chung.”
Cho các đường thẳng
và các mặt phẳng
. Giả thiết nào sau đây đủ để kết luận đường thẳng
song song với đường thẳng
?
Nếu thì a // b hoặc a, b chéo nhau.
Nếu thì a // b hoặc a ≡ b.
Nếu thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.
Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là?
Phương trình
- Với không có giá trị thỏa mãn.
- Với
Tính giới hạn
.
Ta có:
Chọn khẳng định đúng.
Ta có: tương ứng với
.
Cho hình hộp
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành, ta có
Vì là hình bình hành, ta có
Mặt khác:
Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là:
.
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính ![]()
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Cho các số thực
thỏa mãn
. Khi đó số giao điểm của hàm số
với trục
là:
Hàm số xác định và liên tục trên
.
Hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)
Ta có:
suy ra
sao cho
Lại có: suy ra
sao cho
Mặt khác
Từ đó suy ra
Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)
Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.
Với
, cho dãy số
gồm các số nguyên dương chia hết cho
:
,
,
,
, …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Ta có ,
,
,
,…
Suy ra .
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Cho cấp số nhân
với số hạng đầu
và công bội
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Do là cấp số nhân nên
.
Giải phương trình
?
Ta có:
PT
Vậy phương trình có nghiệm
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thuộc
?
Ta có:
, mà
.
.
Suy ra ,
.
Vậy có 4044 nghiệm thuộc
.
Cho dãy số (un) được xác định như sau
. Số hạng u11 là?
Ta có:
Cho số thực m thỏa mãn
. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy C=1.
Cho
là cấp số cộng biết
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
Ta có:
Vậy
Giới hạn
bằng:
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì
bằng?
Ta có:
Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng
=> a + 3b = 5.2
=> a = 10 – 3b
Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân
=> a.3b = 32
=> ab = 3
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đường thẳng
và
có một điểm chung. Sai||Đúng
c) Đường thẳng
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Khi đó, tứ giác
là hình bình hành. Đúng||Sai
Cho hình chóp , có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đường thẳng và
có một điểm chung. Sai||Đúng
c) Đường thẳng song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Khi đó, tứ giác
là hình bình hành. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng
.
b) Sai.
Gọi là trung điểm của
. Ta có:
Trong tam giác , có
là đường trung tuyến và
là trọng tâm, nên
.
Trong tam giác , có
là đường trung tuyến và
là trọng tâm, nên
.
Trong tam giác và từ
,
ta có
, suy ra
.
c) Đúng.
Mặt phẳng không chứa đường thẳng
và theo kết quả câu b) ta có
.
Mà nằm trong mặt phẳng
.
Nên đường thẳng song song với mặt phẳng
d) Đúng.
Gọi mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với mặt phẳng
.
Nên mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo một giao tuyến
song song với
.
Mà mặt phẳng và mặt phẳng
có một điểm chung là
, nên đường thẳng
đi qua
và song song với
.
Theo giả thiết, mặt phẳng cắt
lần lượt tại
nên đường thẳng
cắt
lần lượt tại
. Hay
.
Tương tự, ta có ,
,
.
Do đó, tứ giác có
(vì cùng song song với
) và
(vì cùng song song với
).
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Vì điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có
mặt.
Giá trị của
bằng:
Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn
. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Giả sử công bội của cấp số nhân là q
Ta có:
=>
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2
Ta có:
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Hàm số
liên tục tại điểm nào dưới đây?
Hàm số có tập xác định
Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định .
Khi đó suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: ""
Cho dãy số (un), biết
. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (un) ?
Ta có
Do un + 1 − un > 0 nên (un) là dãy số tăng.
Lại có suy ra dãy số bị chặn.
Tính
.
Ta có:
Do đó
Tính giới hạn
.
Ta có:
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
Ta có

Ta xét có 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.
Cho lăng trụ tam giác
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
,
sao cho
. Mệnh đề nào sai?
Hình vẽ minh họa
sai vì
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là:
Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = 2. Tổng
bằng:
Ta có:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Dãy (un) là một cấp số cộng
=> với a, b là hằng số
=>
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Cho
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
Ta có thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác
=>
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
liên tục trên
?
Tập xác định
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Khi đó hàm số liên tục trên
khi và chỉ khi
liên tục tại
Hay
Ta lại có:
Khi đó
Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
Cường độ dòng điện trong một đoạn mạch là
(A). Tại thời điểm
thì cường độ trong mạch có giá trị bằng.
Thay vào biểu thức cường độ dòng điện ta được:
.
Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?
Ta có:
Các số -7; x; 11 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
=>
Tương tự các số 2; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
=>
Vậy x = 2; y = 20