Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Nhận biết

    Giới hạn \lim\frac{2}{n - 3} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính giới hạn E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    Ta có:

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)}{x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{(x + 1)^{2} - \left( x^{2} - x - 2 ight)^{2}}{x + 1 +\sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\left( 3 + \dfrac{3}{x} ight)}{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} +\sqrt{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^{2}}} ight)}

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} -\dfrac{2}{x^{2}}}} = \dfrac{3}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Dãy số \left( u_{n} ight) có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây xác định một cấp số nhân?

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n} ta có:

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{n + 1}}{2020^{n}} = 2020;\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n} là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n^{3}}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{(n + 1)^{3}}}{2020^{n^{3}}} = 2020^{3n^{2} + 3n + 1};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n^{3}} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{\frac{2020}{n + 1 + 2019}}{\frac{2020}{n + 2019}} = \frac{n + 2019}{n + 2020};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = \frac{2020}{n + 2019} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020n + 2019

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020(n + 1) + 2019}{2020n + 2019} = \frac{2020n + 4039}{2020n + 2019};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020n + 2019 không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x \sin x, số nghiệm thuộc \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là?

     Ta có: y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x

    y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x

    Do đó

    y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)

    +) Trường hợp 1. Với x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = \frac{\pi }{3}.

    +) Trường hợp 2. Với x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1 ta được x = \frac{{5\pi }}{3}.

    Vậy có 3 nghiệm thuộc x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là

    x = \frac{\pi }{3}; x = -\frac{\pi }{3}; x = \frac{{5\pi }}{3}.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Ta có \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} -1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có \left\{ \begin{matrix}a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13ight\}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

  • Câu 9: Nhận biết

    Đổi số đo của góc 72^{0} sang radian được kết quả là:

    Ta có: 1^{0} = \frac{\pi}{180}rad \Rightarrow 72^{0} = 72.\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}rad

  • Câu 10: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.”

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1

    Đáp án: -3||- 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1

    Đáp án: -3||- 3

    Xét \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}

    = \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)

    = \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)

    = - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2

    f(1) = a + 2

    Hàm số liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow a + 2 = - 1 \Leftrightarrow a = - 3.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=3^{n}. Tìm số hạng u_{2n-1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Ta có:

    Độ cao của quả bóng sau mỗi lần nảy lên là một cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u1 = 55,8m, q = \frac{1}{10}

    Sau khi nảy lên, qua bóng rơi xuống một quãng đường đúng bằng chiều cao.

    Từ đó tổng quãng đường mà quả bóng đã di chuyển là

    \begin{matrix} {u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + .... \hfill \\ = {u_1} + 2{u_1}q + 2{u_1}{q^2} + ... \hfill \\ = {u_1} + \dfrac{{2{u_1}q}}{{1 - q}} = \dfrac{{11}}{9}{u_1} = 68,2m \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển nằm trong khoảng (67m;69m).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho phương trình \cos^{2}2x = m + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

    Ta có:

    0 \leq \cos^{2}2x \leq 1 \Leftrightarrow0 \leq m + 1 \leq 1

    \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0 thì phương trình có nghiệm.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hình chóp S \cdot ABCD có AC \cap BD = M và AB \cap CD = N. Giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng

    Hình vẽ minh họa

    Giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) là đường thẳng SM.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Xác định công thức tổng quát của dãy số \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{- 1}{2} \\u_{n + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{n} + 1}{2}};n \geq 1 \\\end{matrix} ight..

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{2} = \sqrt{\dfrac{u_{1} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}} \\u_{3} = \sqrt{\dfrac{u_{2} + 1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.

    Nhận thấy \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} ight) \\u_{2} = \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} ight) \\u_{3} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6}ight) \\\end{matrix} ight.

    Dự đoán u_{n} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{n}} ight)(*)

    Ta chứng minh bằng quy nạp

    Trước hết u_{1} = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{1}} ight) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng khi n = k;k \in \mathbb{N}^{*}. Khi đó u_{k} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{k}} ight)

    Ta có:

    u_{k + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{k} + 1}{2}} =\sqrt{\dfrac{\cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k}} ight) +1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{\cos\left(2.\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) + 1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{2.\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2} - 1 +1}{2}}

    = \sqrt{\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2}}

    = \left| \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight) ight|

    Mặt khác ta có k \geq 1. Do đó 0 \leq \frac{4\pi}{3.2^{k + 1}} \leq \frac{4\pi}{3.2^{1 + 1}} = \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}

    Vậy \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}}ight) \geq 0 \Rightarrow u_{k + 1} = \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight)

    Vậy (*) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

  • Câu 18: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1 - n^{2}}{n} bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} thỏa mãn \frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M

    \Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}.

    Ta có:

    \frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty

    Vậy \lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình bình hành ABCD tâm O và ABEF tâm O' không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi điểm M là trung điểm của CD. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi K = AM \cap BC

    Theo giả thiết ta có:

    \begin{matrix} OO'//EC,\ OO'//DF\ \\ \Rightarrow \ \left\{ \begin{matrix} OO'//(BCE) \\ OO'//(AFD) \\ OO'//(EFM)\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    Ta có O'M//KE \Rightarrow O'M//(EBC)

    Vậy khẳng định sai là: “MO' cắt (ECB)”

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho \alpha thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:

    Ta có \alpha thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác

    => \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng d ⊄ (\alpha). Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có khẳng định sai là: “Nếu d//(\alpha) và b \subset (\alpha) thì b//d."

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;S_{23} = 483. Tìm công sai d của cấp số cộng?

    Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:

    S_{23} = 483 \Leftrightarrow \frac{23\left( 2u_{1} + 22d ight)}{2} = 483

    \Leftrightarrow \frac{23.( - 2 + 22d)}{2} = 483

    \Leftrightarrow d = 2

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình chóp S\ ABCDEFcó đáy ABCDEF là lục giác đều tâm O. Có bao nhiêu mặt phẳng qua các điểm là đỉnh của hình chóp có chung giao tuyến là SO

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S\ ABCDEFcó đáy ABCDEF là lục giác đều tâm O. Có bao nhiêu mặt phẳng qua các điểm là đỉnh của hình chóp có chung giao tuyến là SO

    Đáp án: 3

    Hình vẽ minh họa

    (SAD),(SCF),(SBE)có chung giao tuyến SO.

  • Câu 24: Vận dụng

    Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9) với h tính bằng \ ^{0}C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày là:

    Do - 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t nên

    \begin{matrix} - 3 \leqslant 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant 29 + 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 32 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant h(t) \leqslant 32 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26^{0}C.

    Dấu bằng xảy ra\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t -9) = - 1

    \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = - \frac{\pi}{2} + k2\pi

    \Leftrightarrow t = 3 + 24k(k\mathbb{\in Z})

    Do 0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 3 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow \frac{- 3}{24} \leq k \leq \frac{21}{24}.

    Mà k\mathbb{\in Z} nên k = 0.

    Khi đó t = 3.

    Vậy lúc 3h là thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (\alpha) song song với AC và SB đồng thời cắt các đoạn SA,AB,BC,SC,SD,BD lần lượt tại M,N,E,F,I,J. Ta có các khẳng định sau:

    (i):IJ//AB

    (ii):MF//AC

    (iii): Tứ giác MNEF là hình bình hành.

    Có bao nhiêu khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Xét (\alpha) \equiv (MNEFI)

    Vì (\alpha)//AC \Rightarrow MF//AC

    Vì (\alpha)//SB \Rightarrow IJ//SB

    Vì (\alpha)//SB nên MN,EF đều song song với SB điều này suy ra MNEF là hình bình hành.

    Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 1; u4 = 64. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^{4 - 1}} \hfill \\ \Rightarrow 64 = 1.{q^3} \hfill \\ \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

     Xác định giao tuyến

    Xét (SAD) và (SBC) có:

    S là điểm chung

    AD // BC

    => Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (AB'D').

    Hình vẽ minh họa

    Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

    Ta có BDB'D' là hình bình hành nên BD//B'D'

    Tương tự ta có AD'//BC'. Từ đó suy ra BD//\left( {AB'D'} ight) và BC'//\left( {AB'D'} ight).

    Vậy \left( {C'BD} ight)//\left( {AB'D'} ight)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \sin\alpha = \frac{3}{5}. Giá trị của biểu thức G = \sin\left( \alpha +\frac{\pi}{6} ight).\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{6}ight)

    Ta có:

    G = \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6}ight).\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{6} ight)

    G = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3}- \cos2\alpha ight)

    Ta có:

    \cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha = 1 -2.\left( \frac{3}{5} ight)^{2} = \frac{7}{25}

    Khi đó giá trị biểu thức G là:

    G = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3} - \frac{7}{25} ight) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} - \frac{7}{25} ight) = \frac{11}{100}

  • Câu 30: Vận dụng

    Phương trình \frac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 có nghiệm là:

     Điều kiện xác định: 1 + \sin x.\cos x e 0

    \begin{matrix} \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Kiểm tra điều kiện ta thấy x = \frac{3\pi }{4} + k\pi thỏa mãn

    Vậy nghiệm của phương trình là: x = \frac{3\pi }{4} + k\pi

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Xác định \lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}}.

    Ta có: \lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{|x|} = + \infty.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0 có nghiệm?

     Phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 1} ight)\sin x = m - 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{m - 2}}{{m + 1}}

    Để phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - \,1 \leqslant \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \leqslant 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant 1 + \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \hfill \\ \frac{{m - 2}}{{m + 1}} - 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2m - 1}}{{m + 1}} \geqslant 0 \hfill \\ - \frac{3}{{m + 1}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ m < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ m > - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \geqslant \frac{1}{2}

    là giá trị cần tìm.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2)(1)

    f( - 2)f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1)(2)

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty)(3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án 1;1;1;1;1;1... dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

    Xét đáp án 1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};... \Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3} (Loại)

    Xét đáp án 1;3;5;7;9;.... \Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*} (Chọn)

    Xét đáp án 1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};... Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ... (Loại)

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Hình vẽ minh họa

    Ta kẻ MN\ //\ AB\ \ (M \in SA), NP\ //BC\ \ (P \in SC), MQ\ //\ BC\ //\ AD\ \ (Q \in SD).

    Vì mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD nên M,\ \ P,\ \ Q đều thuộc (\alpha) và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Khi đó MN//AB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} =\frac{2}{3}.

    Tương tự, ta có được \frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{DA} = \frac{2}{3}.

    Suy ra MN = NP = PQ = QM = \frac{2}{3}AB = \frac{20}{3} và MNPQ là hình vuông.

    Suy ra S_{MNPQ} = \left( \frac{20}{3} ight)^{2} = \frac{400}{9}.

    Khi đó a = 100,b = 9

    Vậy P = a + b + 1 = 110.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

    Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 40: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x) bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có {S_2} = 4;{S_3} = 13. Biết {u_2} < 0. Tính {S_5}?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (*)

    \begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 42: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Trong khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thì hàm số y = \sin x đồng biến.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m-2).\sin{2x} = m + 1 nhận x= \frac{\pi }{12} làm nghiệm

     Phương trình nhận x= \frac{\pi }{12} làm nghiệm

    \begin{matrix} \Rightarrow(m - 2).\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{{12}}} ight) = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\sin \dfrac{\pi }{6} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\dfrac{1}{2} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow m = - 4 \hfill \\ \end{matrix}

    vậy m = -4

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho các hàm số y = \cos x;y = \sin x;y = \tan x;y = \cot x. Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?

    Ta có:

    y = \cos x là hàm số chẵn vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cos( - x) = \cos x = f(x)

    y = \sin x là hàm số lẻ vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \sin( - x) = - \sin x = - f(x)

    y = \tan x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \tan( - x) = - \tan x = - f(x)

    y = \cot x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cot( - x) = \cot( - x) = - f(x)

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15; u20 = 60. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

    Gọi u1, d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_5} = - 15} \\ {{u_{20}} = 60} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 4d = - 15} \\ {{u_1} + 19d = 60} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 35} \\ {d = 5} \end{array}} ight.

    => Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

    {S_{10}} = \frac{{10}}{2}.\left( {2{u_1} + 9d} ight) = 5.\left[ {2.\left( { - 35} ight) + 9.5} ight] = - 125

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập