Cho ba mặt phẳng phân biệt
có
. Khi đó ba đường thẳng
:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Cho ba mặt phẳng phân biệt
có
. Khi đó ba đường thẳng
:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Cho cấp số cộng
có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát
của cấp số cộng.
Theo bài ra ta có:
Dãy số đã cho là cấp số cộng
=>
=>
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Giá trị của
bằng:
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
Một cấp số nhân có số hạng đầu
, công bội q = 2. Biết
. Tìm n?
Ta có:
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Lấy
là trung điểm của
. Tìm hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
.
Giả sử là ảnh của
theo phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Suy ra
Do là trung điểm của
=>
là trung điểm của
.
Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Xét dãy số
Ta có:
Vậy dãy số là một cấp số cộng với
Dãy số có các số hạng cho bởi
có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án và
Ta có: ở các đáp án
và
Xét đáp án
Xét đáp án
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là
![]()
Ta có:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số
là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O
Xét hàm số ta có:
Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Cho hình chóp
có
và
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có:
Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1,5 và bán kính bằng 20 cm.
Ta có:
Cho phương trình
. Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.
Điều kiện xác định
Nếu n là số lẻ thì
Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình
Vì không là nghiệm nên ta xét phương trình với
(do
nên dấu bằng không xảy ra)
Hơn nữa
Do đó phương trình không có nghiệm với
Khi ta có phương trình
Giả sử khi đó
liên tục trên
.
Ta có:
=> có nghiệm
Vậy .
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Từ công thức nên ta có
và
tỉ lệ với nhau.
bằng:
Ta có:
Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Ta có:
Hàm số là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định
nên hàm số
liên tục trên các khoảng
.
Do đó liên tục trên
.
Cho cấp số nhân
có công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng .
Cho cấp số cộng
có
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng:
Ta gọi là công sai của cấp số cộng.
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là -24 đạt được khi khi
.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết
là hình vuông cạnh
. Các tam giác
là các tam giác cân bằng nhau. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác
(các điểm
trùng vào đỉnh
). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng
.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:
Từ giả thiết ta có:
Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?
Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)
Tìm tập các định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn
?
Cách 1:
Ta có , với
+) .
Lại có nên
+).
Lại có nên
Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn
Cách 2:

Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn phương trình
có 2 nghiệm, tương tự với
.
Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên .
Cấp số nhân
có số hạng tổng quát là
. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra và
.
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Tìm tập nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Vậy phương trình có tập nghiệm là:
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt phẳng?
Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.
Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?

Có 2 hình chóp tứ giác
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Ta có:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.
=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là
bằng
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn thỏa mãn:
Ta có:
Suy ra .
Cho hình hộp
. Xác định mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có:
Mặt khác
=> là mệnh đề sai.
Cho hình bình hành
tâm
và
tâm
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi điểm
là trung điểm của CD. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Gọi
Theo giả thiết ta có:
Ta có
Vậy khẳng định sai là: “ cắt
”
Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa).
Ta có: , do đó đẳng thức
sai.
Cho khai triển
. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.
Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại
Vậy tổng các hệ số của khai triển là:
Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì
Cho
. Giới hạn
bằng
Đáp án: 1
Cho . Giới hạn
bằng
Đáp án: 1
Ta có:
nên
hay
Do đó
.
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Mặt khác
Cho hàm số
. Khi hàm số liên tục trên
thì
( với
là hai số nguyên liên tiếp). Tính
.
Đáp án: 2500
Cho hàm số . Khi hàm số liên tục trên
thì
( với
là hai số nguyên liên tiếp). Tính
.
Đáp án: 2500
TXĐ:
Hàm số liên tục khi
Xét tại
Ta có: ;
;
Để hàm số liên tục trên thì
Đáp án: .
Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

Đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Giá trị của
là
. Biết
là phân số tối giản. Giá trị của
là:
Đáp án: 19
Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Giá trị của
là
. Biết
là phân số tối giản. Giá trị của
là:
Đáp án: 19
Phương trình hoành độ giao điểm là:
Ta thấy là bốn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên.
Do đó: .
Vậy .
Cho hình vẽ:

Trên đường tròn lượng giác, số đo của góc lượng giác
là:
Từ hình vẽ ta có: