Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Khi đó:
Đồng thời
Vậy
Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Khi đó:
Đồng thời
Vậy
Cho cấp số cộng
. Tính ![]()
Ta có:
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Do hàm số nghịch biến trên
=> Hàm số nghịch biến khi
Vậy đáp án đúng là
Cho dãy số
thỏa mãn
. Biết dãy số
là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt
. Tính ![]()
Ta có:
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
.
Ta có
.
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
,
. Tính tỉ số độ dài hai cạnh
và
.
Hình vẽ minh họa
Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến
và
.
Theo tính chất hình hộp ta có nên
Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.
Vậy hay
.
Nghiệm dương bé nhất của phương trình
là
Giải phương trình
Với k = 0 => (Thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là
Phương trình
có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng
là:
Giải phương trình:
Do =>
thỏa mãn
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho cấp số nhân
thỏa mãn
. Tính
?
Đáp án: 4
Cho cấp số nhân thỏa mãn
. Tính
?
Đáp án: 4
Giả sử cấp số nhân có công bội là , khi đó theo bài ra ta có:
do
Ta có:
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
bằng
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình bình hành. Mặt phẳng
song song với
và
đồng thời cắt các đoạn
lần lượt tại
. Ta có các khẳng định sau:
![]()
![]()
: Tứ giác
là hình bình hành.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Xét
Vì
Vì
Vì nên
đều song song với
điều này suy ra
là hình bình hành.
Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.
Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?
Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
và
,
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
, lấy
. Giả sử hình
tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt bên của hình chóp. Tính chu vi của hình
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: => Giao tuyến của
và
cũng song song với
.
Xét mặt phẳng kẻ
=> Hình là hình thang
.
Ta có: là đường trung bình của tam giác
=>
Ta có: nên tam giác
vuông tại
Lại có:
Vì
Chứng minh tương tự ta tính được
=> Chu vi hình là:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , gọi
.
Trong , gọi
.
Trong mặt phẳng , dựng
là đường trung bình của tam giác
.
là trung điểm của
.
Trong , dựng
.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số giảm.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Vậy dãy số là dãy số giảm.
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính tổng
của
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Khi đó:
Tập giá trị của hàm số
có bao nhiêu số nguyên?
Ta có:
Điều kiện có nghiệm của phương trình là:
Mà nên
.
Vậy tập giá trị của có 11 số nguyên.
Giá trị của
bằng:
Chia cả tử và mẫu cho ta có được.
Giải phương trình
.
Phương trình
Vậy đáp án cần tìm là:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d”.
Cho cấp số nhân
với công bội
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo công thức tính tổng số hạng đầu của CSN ta được
.
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được
vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Số đo góc quay của vòng là
.
Cho dãy số
. Giá trị u11 là
Ta có
Tìm tập các định D của hàm số 
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định
Cho cấp số nhân (un) có
và công bội q = 3. Số hạng u2 là:
Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại
?
Ta có: nên hàm số
gián đoạn tại điểm
Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (Q), khi đó mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề sai: "".
Cho phương trình
. Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.
Điều kiện xác định
Nếu n là số lẻ thì
Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình
Vì không là nghiệm nên ta xét phương trình với
(do
nên dấu bằng không xảy ra)
Hơn nữa
Do đó phương trình không có nghiệm với
Khi ta có phương trình
Giả sử khi đó
liên tục trên
.
Ta có:
=> có nghiệm
Vậy .
Cho cấp số cộng
có
và
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Vậy mệnh đề sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."
Cho cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có: Cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192
Đổi số đo của góc
sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.
Áp dụng công thức với
tính bằng rad và
tính bằng độ.
Ta có: khi đó:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.
=> AC và A’C’ cắt nhau.
Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).
Tính tổng ![]()
Ta có:
Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì
Tính giá trị của ![]()
Ta có:
Biết
. Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Tập xác định: có nghĩa là
Khi đó
Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
=> OO' // (ADF)
Giá trị của
bằng:
Ta có theo tính chất giới hạn, ta có: