Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).

    Hình vẽ minh họa

    Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

    Đường thẳng y = \frac{1}{2} cắt đồ thị hàm số y = 2sin^{2}x tại 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Giá trị của x_{B} + x_{D} là \frac{a}{b}\pi. Biết \frac{a}{b} là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b là:

    Đáp án: 19

    Đáp án là:

    Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

    Đường thẳng y = \frac{1}{2} cắt đồ thị hàm số y = 2sin^{2}x tại 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ. Giá trị của x_{B} + x_{D} là \frac{a}{b}\pi. Biết \frac{a}{b} là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b là:

    Đáp án: 19

    Phương trình hoành độ giao điểm là:

    2\sin^{2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow1 - \cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos2x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi

    Ta thấy x_{A},x_{B},x_{C},x_{D} là bốn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên.

    Do đó: x_{A} = \frac{\pi}{6};x_{B} = \frac{5\pi}{6};x_{C} = \frac{7\pi}{6};x_{D} = \frac{11\pi}{6} \Rightarrow x_{B} + x_{D} = \frac{8}{3}\pi.

    Vậy 2a + b = 8.2 +3=1 9.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt Ax, By, Cz, Dt tương ứng tại A', B', C', D' sao cho AA' = 3, BB' = 5, CC' = 4. Tính DD'.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía so với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt Ax, By, Cz, Dt tương ứng tại A', B', C', D' sao cho AA' = 3, BB' = 5, CC' = 4. Tính DD'.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Do (P) cắt mặt phẳng (Ax,By) theo giao tuyến A'B'; cắt mặt phẳng (Cz,Dt) theo giao tuyến C'D', mà hai mặt phẳng (Ax,By) và (Cz,Dt) song song nên A'B'//C'D'.

    Tương tự có A'D'//B'C' nên A'B'C'D' là hình bình hành.

    Gọi O, O' lần lượt là tâm ABCD và A'B'C'D'.

    Dễ dàng có OO' là đường trung bình của hai hình thang AA'C'C và BB'D'D nên OO' = \frac{AA' + CC'}{2} = \frac{BB' + DD'}{2}.

    Từ đó ta có DD' = 2.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{2n + 1}{n +2}. Số \frac{167}{84} là số hạng thứ mấy của dãy?

    Ta có u_{n} = \frac{167}{84}\Leftrightarrow \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow84(2 + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250

    Vậy \frac{167}{84} là số hạng thứ 250 của dãy số (un)

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3. Tính giá trị biểu thức S = a + \frac{b}{4}. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

    Đáp án: 1,25

    Đáp án là:

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3. Tính giá trị biểu thức S = a + \frac{b}{4}. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

    Đáp án: 1,25

    Vì \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3 là 1 số hữu hạn và \lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 0 nên \lim_{x ightarrow 1}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0 hay a + b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2 - a.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + (2 - a)x - 2}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(ax + 2)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(ax + 2)

    = a + 2 = 3

    \Rightarrow a = 1 suy ra b = 1.

    Vậy S = 1 + \frac{1}{4} = 1,25.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Các cạnh AC,BD,AB,CD,AD,BC có trung điểm lần lượt là M,N,P,Q,R,S. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    MP // BC // NQ, MP = \frac{1}{2}BC = NQ

    => MPNQ là hình bình hành

    => M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng.

    MR // CD // SN, MR = \frac{1}{2}CD = SN

    => MRNS là hình bình hành

    => M, R, S, N thuộc một mặt phẳng.

    PS // AC // RQ, PS = \frac{1}{2}AC = RQ

    => PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

    Vậy M,P,R,S không thuộc cùng một mặt phẳng.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x + 1}.

    Ta có: \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = 2.

  • Câu 8: Vận dụng

    Biết các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n

    Ta có: 

    Các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3

    \begin{matrix} C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} ight)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} ight)!}} = 2.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} = n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + \left( {{n^2} - n} ight)\left( {n - 2} ight) = 6n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 6{n^2} - 6n \hfill \\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 14n = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 0\left( {ktm} ight)} \\ {n = 2\left( {ktm} ight)} \\ {n = 7\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết un = a sin(n)+b cos(n). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét |un| = |a sin(n)+b cos(n)| ≤ |a| + |b| ⇒  − (|a|+|b|) ≤ un ≤ |a| + |b|

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 11: Nhận biết

    Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

    “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

    “Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

    “Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty, do \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty và \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1.

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty

    Do \lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty và \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2.

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0.

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 13: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác''?

    Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}?

    Ta có: - 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - \sin x \geq 0 \\ 1 + \sin x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số được xác định khi 1 + \sin x eq 0 \Leftrightarrow x eq - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Các số \frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow \left( \sqrt{b} ight)^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}

    \Rightarrow b = 1

  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} bằng:

    Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

    lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0

  • Câu 17: Nhận biết

    Giá trị của \lim\sqrt[n]{a} với a> 0 bằng:

    Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.

    • Với  a > 1 thì khi đó: a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)

    Suy ra: 0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0 nên \lim\sqrt[n]{a} = 1

    • Với 0 < a < 1 thì khi đó:  \frac{1}{a} >1 .

    Suy ra: \lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1

    Tóm lại ta luôn có: \lim\sqrt[n]{a} =1 với a > 0 .

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính tổng T = m + n.

    Ta có:

    0,5111... = 0,5 + 10^{- 2} + 10^{- 3} + ... + 10^{- n} + ...

    Dãy số 10^{- 2};10^{- 3};...;10^{- n};,,, là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = 10^{- 2}, công sai là q = 10^{- 1}

    => S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{10^{- 2}}{1 - 10^{- 1}} = \frac{1}{90}

    Vậy 0,5111... = 0,5 + S = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 23 \\ n = 45 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 68

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

    Ta lấy một phản ví dụ:

    Dãy số (un) với {u_n} = n - 2 là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0

    Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.

    Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thì hàm số y = tanx đồng biến.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ảnh của A,B' qua phép chiếu song song với phương CD mặt phẳng chiếu (BCC'B') lần lượt là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AB//CD nên ảnh của điểm A qua phép chiếu song song phương CD lên mặt phẳng (BCC'B') là điểm B.

    Mặt khác điểm B' \in (BCC'B') nên ảnh của B' qua qua phép chiếu song song phương CD lên mặt phẳng (BCC'B') là điểm B'.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng là: \sin^{2}a + \cos^{2}a =1

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?

    Hình vẽ minh họa

    Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: AC và BD.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Chọn khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AB \cap (SAC) = A nên đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SAC) tại điểm A.

    Vậy khẳng định sai là “AB//(SAC)”

  • Câu 26: Vận dụng

    Tập giá trị của hàm số y = \frac{\sin3x -2\cos3x + 10}{6\cos x\cos2x - 4\cos^{3}x + 3} có bao nhiêu số nguyên?

    Ta có:

    y = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{6cosxcos2x - 4cos^{3}x + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{3(cos3x + \cos x) - (cos3x + 3cosx) + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{2cos3x + 3}

    \Leftrightarrow (2\cos3x + 3)y = \sin3x -2\cos3x + 10

    \Leftrightarrow (2y + 2)cos3x - sin3x = 10 - 3y

    Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

    (2y + 2)^{2} + ( - 1)^{2} \geq (10 - 3y)^{2}

    \Leftrightarrow 4y^{2} + 8y + 4 + 1 \geq 100 - 60y + 9y^{2}

    \Leftrightarrow 5y^{2} - 68y + 95 \leq 0

    \Leftrightarrow \frac{34 - \sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34 + \sqrt{681}}{5}.

    Mà y\mathbb{\in Z} nên y = \{ 2;3;4;\ldots;12\}.

    Vậy tập giá trị của y có 11 số nguyên.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020. Với a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R} và a + 2b + 4c - 8 > 0. Biết \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty. Hỏi đồ thị hàm số y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020. Với a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R} và a + 2b + 4c - 8 > 0. Biết \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty. Hỏi đồ thị hàm số y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD và A'B'C'D' là hình bình hành. Lấy trung điểm của các cạnh AD,BC,CC' lần lượt là các điểm M,N,P. Xét các khẳng định sau:

    a) (MNP) cắt A'D'.

    b) (MNP) cắt DD' tại trung điểm của DD'.

    c) (MNP)//(ABC'D').

    Số khẳng định đúng là:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt phẳng(MNP) cắt DD' tại trung điểm của DD'.

    Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có:

    f( - 1) = 2a + 4

    \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4

    Để hàm số gián đoạn tại x = - 1 thì \lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)

    \Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4

    Vậy có 2024 giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có I,J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD. Chọn kết luận đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

    Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

    Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra \frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow JI//MN(**)

    Từ (*) và (**) suy ra TH

     

    1

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác DBC có \frac{DO}{DB} =\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//BC

    Xét tam giác ABC có: \frac{AO}{AC} =\frac{AJ}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow OJ//BC

    Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng

    Suy ra (IJK) \cap (ABCD) = OK đúng

    Tương tự ta cũng chúng minh được OH//IJ (Vì OH//SB;IJ//SB)

    Suy ra H \in (IJO) \Rightarrow (IJO) \cap(SBD) = OH

    Gọi F là trung điểm của SA khi đó \frac{SI}{SF} = \frac{SH}{SD} = \frac{2}{3}\Rightarrow IH//DF

    Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.

    Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10

    Ta có: {u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = 3n - 8

    \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1;5;16;64. Gọi S_{n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cấp số nhân đã cho có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ q = 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 1.\frac{1 - 4^{n}}{1 - 4} = \frac{4^{n} - 1}{3}

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Công thức đúng là: sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha

  • Câu 36: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình \sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} ight) là? 

     Phương trình \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 5x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x = \sin 7x

    \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin 7x

    \Leftrightarrow \sin 7x = \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 7x = 5x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 7x = \pi - \left( {5x + \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

    Với  0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}

    Với 0 < \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = 0 \to x = \frac{\pi }{{18}} \hfill \\ k = 1 \to x = \frac{{2\pi }}{9} \hfill \\ k = 2 \to x = \frac{{7\pi }}{{18}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm M' là ảnh của điểm M qua phép chiếu song song phương CC', mặt phẳng chiếu (A'B'C'). Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có phép chiếu song song phương CC', biến C thành C', biến B thành B'.

    Do M là trung điểm của BC suy ra M' là trung điểm của B'C' vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

    Vậy khẳng định đúng là: M'C' = M'B'

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} bằng:

    A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 3} = - \frac{2}{3}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_n) với \begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{n\pi }}{3}} ight)}}{{n + 1}} \hfill \\\end{matrix} với mọi n\geq 1. Khi đó số hạng u_{3n} của dãy (u_{n}) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{n\pi }}{3}} ight)}}{{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{3n}} = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{3n\pi }}{3}} ight)}}{{3n + 1}} = \dfrac{{\sin \left( {n\pi } ight)}}{{3n + 1}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 42: Vận dụng

    Giả sử \sin \frac{a}{6};\cos a;\tan a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó \cos 2a bằng:

    Điều kiện \cos a e 0 \Leftrightarrow a e \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} {\cos ^2}a = \dfrac{{\sin a}}{6}.\tan a \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}a = \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{\cos a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a - {\sin ^2}a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a + {\cos ^2}a - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}} bằng:

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Thông hiểu

    Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

     + Phương trình \sin x +3=0 \Leftrightarrow \sin x = -3

    Vậy phương trình \sin x +3=0 vô nghiệm.

    + Phương trình 2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy phương trình 2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 có nghiệm.

    + Phương trình \tan x +3=0 \Leftrightarrow \tan x =-3

    \Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 3} ight) + k\pi

    Vậy phương trình \tan x +3=0 có nghiệm.

    + Phương trình 3 \sin x -2=0 \Leftrightarrow \sin x = \frac {2}{3} mà -1 < \frac 2 3 < 1 nên phương trình 3 \sin x -2=0 có nghiệm.

  • Câu 45: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \cos x = \cos\frac{\pi}{4} là:

    Ta có \cos x = \cos\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập