Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Câu 1: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định mệnh đề sai?

A.
$(BC'A')//(ACD')$
B.
$(ADD'A')//(BCC'B')$
C.
$(BA'D)//(CB'D')$
D.
$(ABA')//(CB'D')$

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BA'//CD' \\ A'C'//AC \\ \end{matrix} \Rightarrow (BA'C')//(ACD') ight.$

$\left\{ \begin{matrix} AD//BC \\ AA'//BB' \\ \end{matrix} \Rightarrow (ADD'A')//(BCC'B') ight.$

$\left\{ \begin{matrix} BD//B'D' \\ A'D//B'C \\ \end{matrix} \Rightarrow (BA'D)//(CB'D') ight.$

Mặt khác $B' \in (ABA') \cap (CB'D)$

=> $(ABA')//(CB'D')$ là mệnh đề sai.

Câu 2: Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về "góc lượng giác"?

A.
Trên đường tròn tâm $O$ , bán kính $R = 1$ , góc hình học $AOB$ là góc lượng giác.
B.
Trên đường tròn tâm $O$ , bán kính $R = 1$ , góc hình học $AOB$ có phân biệt điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ là góc lượng giác.
C.
Trên đường tròn định hướng, góc hình học $AOB$ là góc lượng giác.
D.
Trên đường tròn định hướng, góc hình học $AOB$ có phân biệt điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ là góc lượng giác.

Trên đường tròn định hướng, góc hình học $AOB$ có phân biệt điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ là góc lượng giác.

Câu 3: Nhận biết

Dãy số có các số hạng cho bởi $- 1;1; - 1;1;...$ có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

A.
$u_{n} = 1$
B.
$u_{n} = - 1$
C.
$u_{n} = ( - 1)^{n}$
D.
$u_{n} = ( - 1)^{n +1}$

Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án $u_{n} = 1$ và $u_{n} = - 1$

Ta có: $u_{1} = - 1$ ở các đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n}$ và $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}$

Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1$

Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1$

Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là $u_{n} = ( - 1)^{n}$

Câu 4: Vận dụng cao

Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}$ . Giá trị S₁₀ là

A.
1
B.
$\frac{121}{120}$
C.
$\frac{119}{121}$
D.
$\frac{120}{121}$

Cách 1:

Ta có $\frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots$

Suy ra $S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}$

Vậy $S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Cách 2:

Ta có $S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Câu 5: Vận dụng cao

Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết $\widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ$ , E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình $2 \sin x -1 = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

A. Điểm C và điểm D
B. Điểm E và điểm F
C. Điểm C và điểm F
D. Điểm E và điểm D

Ta có: $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}$

Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

Câu 6: Nhận biết

Đồ thị hàm số $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $\left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
B. $\left( { - \frac{\pi }{4};0} ight)$
C. $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} ight)$
D. $\left( { - \frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{4}} ight)$

Thay giá trị $x = - \frac{\pi }{2};y = \frac{\pi }{4}$ vào hàm số ta có:

$\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} ight) - \frac{\pi }{4} =- \frac{\pi }{4}$

Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là: $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$

Câu 7: Thông hiểu

Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn ${u_2} = 6;{u_4} = 24$ . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

A. ${3.2^{12}} - 3$
B. ${2^{12}} - 1$
C. ${3.2^{12}} - 1$
D. ${3.2^{12}}$

Giả sử công bội của cấp số nhân là q

Ta có:

=> ${u_4} = {u_2}.{q^2} \Rightarrow q = \pm 2$

Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2

Ta có: ${S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} ight)$

Câu 8: Nhận biết

Giá trị của $\lim\frac{3n^{3} + n}{n^{2}}$ bằng:

A.
$+ \infty$
B.
$- \infty$
C.
0
D.
1

Với mọi M >0 lớn tùy ý, ta chọn $n_{M} = \left\lbrack \frac{M}{3} ightbrack + 1$

Ta có:

$\frac{3n^{3} + n}{n^{2}} = 3n + \frac{1}{n} > M$ với mọi $n > n_{M}$

Vậy $\lim\frac{3n^{3} + n}{n^{2}} = + \infty$ .

Câu 9: Nhận biết

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?

A.
Ba điểm mà nó đi qua
B.
Một điểm và một đường thẳng thuộc nó
C.
Ba điểm không thẳng hàng
D.
Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng

Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.

Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)

Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

Câu 10: Nhận biết

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3}$ .

A.
$- \frac{1}{2}$ .
B.
$\frac{2}{3}$ .
C.
$3$ .
D.
$\frac{1}{5}$ .

Ta có :

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1^{2} + 3.1 + 2}{- 2.1^{2} + 1 + 3} = 3$ .

Câu 11: Thông hiểu

Nghiệm của phương trình là:

A. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$
B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi$
C. $x = - \frac{{\pi }}{3} + k2\pi$
D. $x = - \frac{{\pi }}{3} + k\pi$

Giải phương trình ta có:

$\begin{matrix} \sqrt 3 \tan x = - 3 \Rightarrow \tan x = - \sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{{\pi }}{3} + k\pi$

Câu 12: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A.
$AC$
B.
$DC$
C.
$AD$
D.
$BD$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , d đi qua S và $d // AD // BC$ .

Câu 13: Vận dụng

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $c^{2} + a = 18$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight) = - 2$ . Tính giá trị biểu thức $P = a + b + 5c$ .

A.
$P = 18$
B.
$P = 12$
C.
$P = 9$
D.
$P = 5$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left(\sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight)$ $= \lim_{x ightarrow +\infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x^{2} + bx}{\sqrt{ax^{2} + bx} +cx}$ $= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x +b}{\sqrt{a + \frac{b}{x}} + c} = - 2$

Khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{matrix}a - c^{2} = 0 \\\dfrac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = c^{2} \\b = - 2\sqrt{a} - 2c \\\end{matrix} ight.\ ight.$ .

Kết hợp với $c^{2} + a = 18$

Khi đó $2c^{2} = 18 \Leftrightarrow c^{2} = 9 ightarrow a = 9$ và $c= 3$ (vì $c eq - \sqrt{a})$

Vậy $b = - 2\sqrt{a} - 2c = - 2\sqrt{9} - 2.3 = - 12$ nên $a + b + 5c = 9 - 12 + 5.3 = 12$ .

Câu 14: Nhận biết

Cho $\alpha \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\sin(\alpha - \pi) \geq 0$
B.
$\sin(\alpha - \pi) \leq 0$
C.
$\sin(\alpha - \pi) < 0$
D.
$\sin(\alpha - \pi) > 0$

Ta có:

$\alpha \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) \Rightarrow \alpha - \pi \in \left( - \pi; - \frac{\pi}{2} ight)$

$\Rightarrow \sin(\alpha - \pi) < 0$

Câu 15: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .

Câu 16: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ . Lấy $I \in AB,M \in AD$ sao cho $AI = IB;AD = 3AM$ . Đường thẳng qua $M$ và song song với $AB$ cắt $CI$ tại $J$ . Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng $GJ$ ?

A.
$(SCD)$
B.
$(SAD)$
C.
$(SBC)$
D.
$(SAC)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\frac{IJ}{IC} = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{2} = \frac{IG}{IS}$

$\Rightarrow JG//SC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}JG\bot(SCD) \\JG\bot(SAC) \\SBC \\\end{matrix} ight.$

Câu 17: Thông hiểu

Rút gọn biểu thức $C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) -\cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$ .

A.
$C = \sqrt{2}\sin x$
B.
$C = - \sqrt{2}\sin x$
C.
$C = \sqrt{2}\cos x$
D.
$C = - \sqrt{2}\cos x$

Ta có:

$C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) - \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$

$C = - 2\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4}+ x - \dfrac{\pi}{4}}{2} ight).\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4} - x +\dfrac{\pi}{4}}{2} ight)$

$C = - 2\sin x.\sin\frac{\pi}{4} = -\sqrt{2}\sin x$

Câu 18: Vận dụng cao

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + c > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + c > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Xét hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$

Theo giả thiết $4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0$

$a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0$

Ta có $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $( - \infty; - 2)(1)$

$f( - 2)f(1) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)(2)$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; + \infty)(3)$

Từ $(1)$ ; $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm.

Câu 19: Thông hiểu

Số nghiệm của phương trình $\sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = \sqrt 3$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ là?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}.$

- Với $0 < k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}$ không có giá trị thỏa mãn.

- Với $0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6}$

Câu 20: Nhận biết

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$\frac{5}{7}$
B.
$\frac{1}{7}$
C.
$0$
D.
$\frac{-5}{7}$

Ta có:

Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0

Với x = 0 ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$

Câu 21: Thông hiểu

Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

A.
m = 2
B.
m = 3
C.
m = 4
D.
m = 5

Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:

$\begin{matrix} 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4

Câu 22: Thông hiểu

Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)$

A.
1
B.
0
C.
n
D.
n + 1

Ta có:

Với $n=0=>S=1$

Với $n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2$

Với $n = 2$ $\Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3$

Dự đoán $S = n + 1\left( * ight)$ ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.

Với $n = 0$ đương nhiên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với $n=k$ tức là:

$\begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$

Ta có:

$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là $S=n+1$

Câu 23: Nhận biết

Tìm $b > 0$ để các số $\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A.
$b = - 1$
B.
$b = 1$
C.
$b = 2$
D.
$b = - 2$

Các số $\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

$\Rightarrow \left( \sqrt{b} ight)^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}$

$\Rightarrow b = 1$

Câu 24: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:

A.
$\frac{2a}{3}$
B.
$\frac{a}{3}$
C.
$\frac{a}{4}$
D.
$\frac{3a}{2}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$

Câu 25: Thông hiểu

Một cấp số cộng gồm $5$ số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng $20$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng đã cho?

A.
$d = - 5$ .
B.
$d = 4$ .
C.
$d = - 4$ .
D.
$d = 5$ .

Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: $u_{1}^{};u_{2}^{};u_{3}^{};u_{4}^{};u_{5}^{}.$

Theo đề bài ta có:

$u_{1} - u_{5} = 20$

$\Leftrightarrow u_{1} - (u_{1} + 4d) = 20$

$\Leftrightarrow d = - 5$

Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là $d = - 5$

Câu 26: Nhận biết

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.
Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B.
Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C.
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
D.
Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Câu 27: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M \in AD,N \in BC$ sao cho $AD = 3MA;CB = 3NC$ . Mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $MN$ đồng thời song song với đường thẳng $CD$ . Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ và các mặt của tứ diện $ABCD$ là:

A.
Hình thoi.
B.
Hình thang có đáy lớn bằng 2 lần đáy nhỏ.
C.
Hình bình hành.
D.
Hình thang có đáy lớn bằng 3 lần đáy nhỏ.

Hình vẽ minh họa:

Xét $(\beta)$ và (BCD), ta có điểm N chung, CD // $(\beta)$

=> $(\beta)$ ∩ (BCD) = NF // CD, với F ∈ BD.

Xét $(\beta)$ và (ACD), ta có điểm M chung, CD // $(\beta)$

=> $(\beta)$ ∩ (ACD) = ME // CD, với E ∈ AC.

Từ đó ta được MF = $(\beta)$ ∩ (ABD) và EN = $(\beta)$ ∩ (ABC)

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ và các mặt của tứ diện $ABCD$ là tứ giác ENFM

Ta lại có ME // CD // NF nên ENFM là hình thang.

Từ giả thiết ta có: $\frac{{EM}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}$

Mà $\frac{{FN}}{{CD}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{{BC - NC}}{{BC}} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{{EM}}{{FN}} = \frac{1}{2}$

Vậy hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Câu 28: Nhận biết

Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?

A.
Ba điểm phân biệt
B.
Một điểm và một đường thẳng
C.
Hai đường thẳng cắt nhau
D.
Bốn điểm phân biệt

Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.

Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp

Câu 29: Thông hiểu

Tính giới hạn $F =\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}}$

A.
$F = - 1$
B.
$F = 1$
C.
$F = 0$
D.
$F = \frac{\pi}{2}$

Ta có:

$F = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x ight)}{x -\dfrac{\pi}{2}}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{- \sin\left( x- \dfrac{\pi}{2} ight)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = - 1$

Câu 30: Vận dụng cao

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{a^{2}}{3}$
B.
$\frac{2a^{2}}{3}$
C.
$\frac{a^{2}}{2}$
D.
$\frac{3a^{2}}{4}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 31: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Ảnh của $A,B'$ qua phép chiếu song song với phương $CD$ mặt phẳng chiếu $(BCC'B')$ lần lượt là:

A.
$A',B'$
B.
$B,B'$
C.
$A,C'$
D.
$B',A'$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//CD$ nên ảnh của điểm $A$ qua phép chiếu song song phương $CD$ lên mặt phẳng $(BCC'B')$ là điểm $B$ .

Mặt khác điểm $B' \in (BCC'B')$ nên ảnh của $B'$ qua qua phép chiếu song song phương $CD$ lên mặt phẳng $(BCC'B')$ là điểm $B'$ .

Câu 32: Thông hiểu

Hàm số $y = \sin \frac{x}{5}$ có chu kì bằng bao nhiêu?

A. $7 \pi$
B. $5 \pi$
C. $2\pi$
D. $10\pi$

Chu kì của hàm số $y = \sin \frac{x}{5}$ là: $T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| {\dfrac{1}{5}} ight|}} = 10\pi$

Câu 33: Vận dụng

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là $70$ lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)$ ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị $mmHg$ ( milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 $mmHg$ ?

Đáp án: 1

Đáp án là:

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là $70$ lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)$ ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị $mmHg$ ( milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 $mmHg$ ?

Đáp án: 1

Huyết áp là 120 $mmHg$ khi

$P(t) = 120 \Leftrightarrow 100 +20sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 120$

$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t =\frac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{3}{14} + \frac{6k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Xét $0 < t < 1$

$\Leftrightarrow 0 < \frac{3}{14} + \frac{6k}{7} < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{{12}} \Leftrightarrow k = 0$

vì $k\mathbb{\in Z}$ .

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 $mmHg$ .

Câu 34: Nhận biết

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A.
$1;2;4;8;...$
B.
$3;3^{2};3^{3};3^{4};...$
C.
$4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$
D.
$\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};...$

Xét đáp án $\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};...$ có $\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\pi} eq \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

=> Dãy số $\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};...$ không phải là cấp số nhân.

Câu 35: Nhận biết

Giới hạn $\lim\frac{2}{n - 3}$ bằng

A.
+∞.
B.
2.
C.
$- \frac{2}{3}$ .
D.
0.

Ta có:

$\lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0$

Câu 36: Vận dụng cao

Biết $\lim\left( \frac{\left( \sqrt{5} ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} - 3} + \frac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{b} + c$ với $a,b,c \mathbb{\in Z}$ . Tính giá trị của biểu thức $S = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

A.
$S = 26$
B.
$S = 30$
C.
$S = 21$
D.
$S = 31$

Ta có:

$\lim\left( \dfrac{\left( \sqrt{5}ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} -3} + \dfrac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight)$

$= \lim\left( \dfrac{1 - 2.\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}ight)^{n}}{5.\left( d\frac{2}{\sqrt{5}} ight)^{2} + \sqrt{5} -3.\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} ight)^{n}} + \dfrac{2 + \dfrac{3}{n^{2}}}{1- \dfrac{1}{n^{2}}} ight)$

$= \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}}{5} + 2$

Vậy $S = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1^{2} + 5^{2} + 2^{2} = 30$

Câu 37: Vận dụng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn $\frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn $\frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 38: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x - 1$ . Số nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ trên tập số thực là:

A.
$2$
B.
$1$
C.
$3$
D.
$0$

Hàm số $f(x) = x^{3} - 3x - 1$ là hàm đa thức có tập xác định $\mathbb{R}$

=> Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

=> Hàm số liên tục trên các khoảng $( - 2; - 1),( - 1;0),(0;2)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 3 < 0 \\ f( - 1) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $( - 2; - 1)$

$\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 1 > 0 \\ f(0) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $( - 1;0)$

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = - 1 < 0 \\ f(2) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(2) < 0$ vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên $(0;2)$

Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng $( - 2;2)$ . Tuy nhiên phương trình $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng ba nghiệm.

Câu 39: Vận dụng

Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?

A.
$137,5$ triệu đồng
B.
$670$ triệu đồng
C.
$570$ triệu đồng
D.
$610$ triệu đồng

Ta có:

Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: $u_{1} = 7$ (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

Từ đó ta có

$S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670$ (triệu đồng)

Câu 40: Thông hiểu

Cho hàm số. $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} & \ \text{khi~}x < 2 \\ \sqrt{x + 2} & \ \text{khi~}x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

a) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = - 8$ Sai||Đúng

b) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 3$ Đúng||Sai

c) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = 2$ Đúng||Sai

d) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = 4$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số. $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} & \ \text{khi~}x < 2 \\ \sqrt{x + 2} & \ \text{khi~}x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

a) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = - 8$ Sai||Đúng

b) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 3$ Đúng||Sai

c) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = 2$ Đúng||Sai

d) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = 4$ Sai||Đúng

a) Ta có $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \sqrt{5}$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < 2$ và $x_{n} ightarrow 2$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = 1 - x_{n}^{2}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = 1 - 2^{2} = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > 2$ và $x_{n} ightarrow 2$ , ta có $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n} + 2}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{2 + 2} = 2$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq 2$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 2}f(x)$ .

Câu 41: Thông hiểu

Cho hình chóp $A.BCD$ có $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ tam giác. Chọn mệnh đề đúng.

A.
$HK$ và $AD$ cắt nhau
B.
$HK$ và $CD$ chéo nhau
C.
$HK$ và $CD$ song song
D.
$HK$ và $BC$ cắt nhau

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ .

Xét tam giác $MCD$ có:

$\frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3}$ (do $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và tam giác $ABC$ )

$\ = > HK//CD$

Câu 42: Nhận biết

Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?

A.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
B.
Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm đó thẳng hàng.
C.
Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
D.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.