Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng có {u_4} = 2;{u_2} = 4. Hỏi {u_1} bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} = 2} \\ {{u_2} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 3d = 2} \\ {{u_1} + d = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {d = - 1} \end{array}} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành:

    Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

    Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng đôi một song song.

    Vậy các đáp án đúng là:

    Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.

    Một đường thẳng.

    Thành hai đường thẳng song song.

  • Câu 4: Vận dụng

    Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 \leq t < 24) cho bởi công thức h = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12. Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là 15\ m?

    Độ sâu của mực nước là 15\ m thì h = 15.

    Khi đó

    15 = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12n \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = 1

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = cos0 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} + 1 = k2\pi

    \Leftrightarrow t = \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi};k \in Z

    Vì 0 \leq t < 24 nên

    0 \leq \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi} \leq 24 \Leftrightarrow 0 < k \leq 2

    Lại do k \in Z \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \left\{ \frac{6(2\pi - 1)}{\pi};\frac{6(4\pi - 1)}{\pi} ight\}

  • Câu 5: Vận dụng

    Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là:

    Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó (A < B < C) lập thành một cấp số cộng nên

    \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\A + B + C = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\3B = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\A = 30^{0} \\B = 60^{0} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 6: Nhận biết

    Với \pi < x< \frac{3\pi}{2} mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: \pi < x <\frac{3\pi}{2}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin < 0} \\ {\tan a > 0} \\ {\cos a < 0} \\ {\cot a > 0} \end{array}} ight.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M,N,P,Q,R,T lần lượt là trung điểm AC,BD,BC,CD,SA,SD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) MP không song song RT.Đúng||Sai

    b) MQ song song RT. Đúng||Sai

    c) MN song song RT. Sai||Đúng

    d) PQ song song RT. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M,N,P,Q,R,T lần lượt là trung điểm AC,BD,BC,CD,SA,SD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) MP không song song RT.Đúng||Sai

    b) MQ song song RT. Đúng||Sai

    c) MN song song RT. Sai||Đúng

    d) PQ song song RT. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: M,Q lần lượt là trung điểm của AC,CD

    \Rightarrow MQ là đường trung bình của tam giác CAD

    \Rightarrow MQ \parallel AD\ \ \ \ (1)

    Ta có: R,T lần lượt là trung điểm của SA,SD

    \Rightarrow RT là đường trung bình của tam giác SAD

    \Rightarrow RT \parallel AD\ \ \ (2)

    Từ (1),(2) suy ra: MQ \parallel RT.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Sai
  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?

    Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

    Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

    Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xác định nghiệm của phương trình - \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)?

    Ta có:

    - \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)

    \Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 4) = 5

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Tứ giác MNPQ là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;u_{2} = 2. Khi đó số hạng 2018 là số nào?

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 2 - ( - 2) = 4

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Rightarrow u_{2018} = u_{1} + 2017d = - 2 + 2017.4 = 8066.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}. Biết rằng u_{k} = \frac{7}{31}. Khi đó u_{k} là số hạng thứ mấy trong dãy số?

    Ta có:

    u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}

    \Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93

    \Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{k} là số hạng thứ tư trong dãy số.

  • Câu 15: Vận dụng

    Tập giá trị của hàm số y = \frac{\sin3x -2\cos3x + 10}{6\cos x\cos2x - 4\cos^{3}x + 3} có bao nhiêu số nguyên?

    Ta có:

    y = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{6cosxcos2x - 4cos^{3}x + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{3(cos3x + \cos x) - (cos3x + 3cosx) + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{2cos3x + 3}

    \Leftrightarrow (2\cos3x + 3)y = \sin3x -2\cos3x + 10

    \Leftrightarrow (2y + 2)cos3x - sin3x = 10 - 3y

    Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

    (2y + 2)^{2} + ( - 1)^{2} \geq (10 - 3y)^{2}

    \Leftrightarrow 4y^{2} + 8y + 4 + 1 \geq 100 - 60y + 9y^{2}

    \Leftrightarrow 5y^{2} - 68y + 95 \leq 0

    \Leftrightarrow \frac{34 - \sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34 + \sqrt{681}}{5}.

    Mà y\mathbb{\in Z} nên y = \{ 2;3;4;\ldots;12\}.

    Vậy tập giá trị của y có 11 số nguyên.

  • Câu 16: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Hỏi giá trị giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5

    \Rightarrow f(1) = 10

    Khi đó: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \frac{5.\left( \sqrt{1} + 1 ight)}{\left\lbrack \sqrt{4f(1) + 9} + 3 ightbrack} = 1

  • Câu 17: Nhận biết

    Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} có bao nhiêu nghiệm?

     Phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    - Với \cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to có 6 nghiệm.

    - Với \cos 6\pi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \tocó 6 nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M là trung điểm của AB, BC \cap (MA'C') = \left\{ N ight\}. Tính tỉ số độ dài hai cạnh MN và A'C'.

    Hình vẽ minh họa

    Ba mặt phẳng phân biệt (ABCD), (ACC’A’), (MA’C’) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến AC, A’C’ và MN.

    Theo tính chất hình hộp ta có AC // A’C’ nên MN // AC // A’C’

    Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

    Vậy MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C' hay \frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim(\sqrt{n^{2}-1}-\sqrt{3n^{2}+2}) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } ight) \hfill \\ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \lim n = + \infty \hfill \\ \lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } ight) = 1 - \sqrt 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{3} \\u_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{3n}.u_{n} \\\end{matrix} ight. và dãy số (vn) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}v_{1} = u_{1} \\v_{n + 1} = v_{n} + \dfrac{u_{n}}{n} \\\end{matrix} ight.. Tính \lim v_{n}.

    Ta có:

    u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3n}.u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3}.\frac{u_{n}}{3n} nên dãy \left( \frac{u_{n}}{n} ight)là cấp số nhân với công bội q = \frac{1}{3}

    Lại có: v_{n + 1} = v_{n} + \frac{u_{n}}{n} \Leftrightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n}}{n}, khi đó ta có:

    \begin{matrix} {v_2} - {v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} \hfill \\ {v_3} - {v_2} = \dfrac{{{u_2}}}{2} \hfill \\ ..... \hfill \\ {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ \end{matrix}

    Cộng vế theo vế ta được

    \begin{matrix} {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{1} + \dfrac{{{u_2}}}{2} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} ight]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: v_{n + 1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + v_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3}

    => \lim v_{n} = \lim\left\{ \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3} ight\} = \frac{5}{6}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020. Với a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R} và a + 2b + 4c - 8 > 0. Biết \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty. Hỏi đồ thị hàm số y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020. Với a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R} và a + 2b + 4c - 8 > 0. Biết \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty. Hỏi đồ thị hàm số y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …

    Dễ dàng dự đoán được un = n.

    Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

    Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

    Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k

    Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1

    Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1

    Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AB và BC,N là điểm thuộc đoạn CD sao cho CN = 2ND. Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN). Tính tỉ số \frac{PA}{PD}.

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử LN \cap BD = I. Nối K với I cắt AD tại P Suy ra (KLN) \cap AD = P
    Ta có: KL//AC \Rightarrow PN//AC. Suy ra \frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', gọi I, I' lần lượt là trung điểm của AB, A'B'. Qua phép chiếu song song theo phương AI', mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến I thành điểm nào?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left. \ \begin{matrix}AI//B'I' \\AI = B'I' \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow AIB'I' là hình bình hành.

    Suy ra qua phép chiếu song song theo phươngAI', mặt phẳng chiếu \left( A^{'}B^{'}C^{'}ight) biến điểm I thành điểm B'.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có {S_2} = 4;{S_3} = 13. Biết {u_2} < 0. Tính {S_5}?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (*)

    \begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tập nghiệm của phương trình \tan^{2}x + 3 = 0 là:

    Ta có: \tan^{2}x + 3 \geq 3

    => Phương trình vô nghiêm.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD’. Nếu ABCD là một hình vuông, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

    Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.

    Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.

  • Câu 31: Nhận biết

    Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cot\alpha = - 3\sqrt{2} và \alpha \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight). Tính giá trị của biểu thức P = \tan\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\alpha}{2}.

    Ta có:

    P = \tan\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\alpha}{2}

    P =\dfrac{\sin\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}} +\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}{2}}{\sin\dfrac{\alpha}{2}}

    P = \dfrac{\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2} +\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}.\sin\dfrac{\alpha}{2}}

    P = \dfrac{1}{\dfrac{\sin\alpha}{2}} =\dfrac{2}{\sin\alpha}

    Mặt khác \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\pi ight) \Rightarrow \sin\alpha > 0

    Mà 1 + \cot^{2}\alpha =\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}

    \Rightarrow \sin^{2}\alpha =\dfrac{1}{19}

    \Rightarrow \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{19}}

    \Rightarrow P = 2\sqrt{19}

  • Câu 33: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} bằng:

    Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1

    Ta có:

    \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a  với mọi n > n_{a}

    Suy ra \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, biết AC \cap BD \equiv M và AB \cap CD \equiv N. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Vì AC \cap BD \equiv Mnên M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SM.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi E;F;G lần lượt là trung điểm của SA;SB;SC. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: (EFG)//(ACD) \Rightarrow (EFG)\cap (ACD) = \varnothing

    Ta có: EG là đường trung bình trong tam giác SAC

    EG//AC

    Ta có: EF là đường trung bình trong tam giác SAB

    => EF//AB

    => EF//CD

    Dễ thấy SD cắt (EFG) tại trung điểm H của SD.

    Do đó mệnh đề SD \cap (EFG) =\varnothing là mệnh đề sai.

  • Câu 36: Nhận biết

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} liên tục tại điểm nào dưới đây?

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}

    Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định D.

    Khi đó x = 1 \in D suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.

  • Câu 37: Nhận biết

    Giá trị của B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} bằng:

    Ta có:

    B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} = \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho đường tròn đường kính 12cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ dài 3cm ?

    d = 12 \Rightarrow R = 6 mà \alpha = \frac{l}{R} vậy số đo (rad) cần tìm là \frac{1}{2}.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Tập xác định của hàm số f(x)là \mathbb{R}.

    Ta có f(1) = \frac{a + 15}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}

    Hàm số đã cho liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối u_{6} của cấp số nhân đã cho.

    Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} = 3.2^{6} = 96

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?

    Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)

    = 2\Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i^{2} + \Sigma_{i = 1}^{n}\mspace{2mu} i = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}

    = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12} liên tục trên khoảng ( - 4; + \infty) Sai||Đúng

    b) Phương trình 3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 2; - 1). Đúng||Sai

    c) Giới hạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight. khi x ightarrow 2 bằng -1. Sai||Đúng

    d) Dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12} liên tục trên khoảng ( - 4; + \infty) Sai||Đúng

    b) Phương trình 3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 2; - 1). Đúng||Sai

    c) Giới hạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight. khi x ightarrow 2 bằng -1. Sai||Đúng

    d) Dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12} có điều kiện xác định

    ( - \infty; - 4) \cup ( - 4; - 3) \cup ( - 3; + \infty)

    Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.

    b) Đặt 3x^{4} + 5x^{3} + 10 = f(x)

    f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên \lbrack - 2; - 1brack\ \ (*)

    Ta có: f( - 2) = - 126;f( - 1) = 2

    \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0(**)

    Từ (*) và (**) suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( - 2; - 1).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( x^{2} - 3x ight) = - 2

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x - 1) = 1

    Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x ightarrow 2

    d) Ta có: với n chẵn

    \lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = + \infty

    Với n lẻ \lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = - \infty

    Suy ra dãy số không bị chặn.

  • Câu 43: Nhận biết

    Hàm số y = 3\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - mxight) tuần hoàn có chu kì T = 3\pi khi

    Hàm số y = 3\cos\left( \dfrac{\pi}{4} - mxight) có nghĩa \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}D\mathbb{= R}.

    Chu kì của hàm số T = \frac{2\pi}{| - m|} = 3\pi \Leftrightarrow m = \pm \frac{2}{3}.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Giải phương trình \sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0.

    Phương trình

    \sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi

    \Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

    Vậy đáp án cần tìm là: x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 45: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2

    => u_n=2^n là cấp số nhân

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập