Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào sau đây?

    Gọi H là trung điểm của tam giác AB.

    M, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABD.

    Khi đó ta có: \frac{{HM}}{{HC}} = \frac{{HQ}}{{HD}} = \frac{1}{3}

    Theo định lí Ta - lét ta có: MQ//CD

    Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng d ⊄ (\alpha). Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có khẳng định sai là: “Nếu d//(\alpha) và b \subset (\alpha) thì b//d."

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1;4)

  • Câu 4: Vận dụng

    Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)ở đó P(t)là huyết áp tính theo đơn vị mmHg( milimét thuỷ ngân) và thời gian ttính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg?

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)ở đó P(t)là huyết áp tính theo đơn vị mmHg( milimét thuỷ ngân) và thời gian ttính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg?

    Đáp án: 1

    Huyết áp là 120 mmHgkhi

    P(t) = 120 \Leftrightarrow 100 +20sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 120

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 1

    \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t =\frac{\pi}{2} + k2\pi

    \Leftrightarrow t = \frac{3}{14} + \frac{6k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Xét 0 < t < 1

    \Leftrightarrow 0 < \frac{3}{14} + \frac{6k}{7} < 1\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{{12}} \Leftrightarrow k = 0

     vì k\mathbb{\in Z}.

    Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có cạnh đáy là AB,CD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD;BC, điểm P \in SA;(P eq S;P eq A). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB);(MNP).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} P = (SAB) \cap (MNP) \\ MN \subset (MNP) \\ AB \subset (SAB) \\ MN//AB \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SAB) \cap (MNP) = PQ với Px//AB//MN,Q \in SB.

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB);(MNP) là đường thẳng qua P và song song với AB.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho điểm A thuộc mặt phẳng (P), mệnh đề nào sau đây đúng:

    Mệnh đề đúng A \in (P).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho x= \frac{\pi}{2} +k\pi (k \in \mathbb{Z}) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

     Ta có:

    \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 8: Nhận biết

    Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định số hạng tổng quát của dãy số dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight..

    Từ công thức \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} - 2 = \dfrac{1}{2} - 2 = - \dfrac{3}{2} \\u_{3} = u_{2} - 2 = \dfrac{- 3}{2} - 2 = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} + 2(n - 1) với n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} + 2(2 - 1) = \frac{5}{2} (loại)

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} - 2(n - 1) ta thấy thỏa mãn

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} - 2n với n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} - 2.2 = - \frac{7}{2} (loại)

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} + 2n với n = 1 \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2} + 2.1 = \frac{5}{2} (loại)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \sin x được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

    Ta có

    y = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)

    =>Đồ thị hàm số y = \sin x được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là \frac{\pi }{2}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim(\sqrt{n^{2}-1}-\sqrt{3n^{2}+2}) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } ight) \hfill \\ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \lim n = + \infty \hfill \\ \lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } ight) = 1 - \sqrt 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Lấy M \in AB sao cho \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{BM}. Giả sử (\alpha)qua M và song song với hai đường thẳng SC,BD. Tìm khẳng định đúng.

    Hình vẽ minh họa:

    Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua M và song song với BD cắt các cạnh CD, CB lần lượt tại E, F.

    Xét mặt phẳng (SBC), kẻ FG // SC (G ∈ SB).

    Xét mặt phẳng (SCD), kẻ EK // SC (K ∈ SD).

    Gọi I là giao điểm của AC và EF, trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng qua I và song song với SC cắt SA tại điểm H.

    Khi đó EFGHK là hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.

  • Câu 14: Nhận biết

    Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có:

    \sin( - a) = - \sin a

    \cos(a - \pi) = - \cos a

    \cot(a - \pi) = - \cot a

    \tan(\pi + a) = \tan a

  • Câu 15: Vận dụng

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{5 + 2cot^{2}x - \sin x} + \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight)

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    5 + 2cot^{2}x - \sin x \geq 0 và \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight) xác định và \cot x xác định

    Ta có: \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight) xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + x eq k\pi\hfill \\\Rightarrow x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill\\\end{matrix}

    Mà cot x xác định khi

    \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\Rightarrow x eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Do đó hàm số xác định khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq k\pi \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2},k \in\mathbb{Z}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{=R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2},k \in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Phương trình lượng giác \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) có nghiệm là:

     \begin{matrix} \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{3} = - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nghiệm phương trình là: \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x = 2. Tính giá trị biểu thức H = a + b.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Từ điều kiện hàm số liên tục tại x = 2ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u_1=11 và công sai d = 4. Tính {u_{99}}?

    Ta có: {u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403

  • Câu 20: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 21: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f(x) = \tan x là:

    Ta có: f(x) = \tan x xác định khi và chỉ khi

    \cos x eq 0

    \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là: \mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi J;K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB,SC. Đường thẳng JK song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)

  • Câu 23: Vận dụng

    Tính tổng S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n với n \geq 1;n\mathbb{\in N}.

    Với \forall n \in \mathbb{N}^{*} thì (2n - 1) - 2n = - 1

    Ta có:

    S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n

    S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + \left\lbrack (2n - 1) - 2n ightbrack

    Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..

    => S = - 1

    Ta có: 1;3;5;...;2n - 1 và 2;4;6;...;2n là cấp số cộng có n số hạng nên.

    S = (1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n)

    S = \frac{n}{2}.(1 + 2n - 1) - \frac{n}{2}.(2 + 2n)

    S = n^{2} - \left( n^{2} + n ight) = - n

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2

    => u_n=2^n là cấp số nhân

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1} :

     

    Ta có u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1};u_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 2}. Khi đó:

    u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} - \frac{n - 3}{n + 1} = \frac{4}{(n + 1)(n + 1)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n}{2}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{n}{2};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2}. Khi đó u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{2}{n^{2}}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{2}{n^{2}};u_{n + 1} = \frac{2}{(n + 1)^{2}} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} < \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số giảm.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}:

     

    Ta có u_{1} = \frac{- 1}{3};u_{2} = \frac{1}{9};u_{3} = \frac{- 1}{27}

    Vậy (un) là dãy số không tăng, không giảm.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}} = - \infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +1}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = 0

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}} = 0

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight) không xác định.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tính giới hạn A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight).

    Ta có:

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)

    A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (ABCD)//(A’B’C’D’) \\ (AA’D’D)//(BCC’B’) \\ (ABB’A’)//(CDD’C’) \\ \end{matrix} ight. luôn đúng

    => Hai mặt phẳng (BDD'B');(ACC'A') không song song với nhau.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cung tròn có số đo là π. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây:

    Ta có: m = \frac{\alpha.180^{0}}{\pi} = \frac{\pi.180^{0}}{\pi} = 180^{0}

  • Câu 32: Vận dụng

    Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu bác Hoa muốn trả hết nợ trong 3 năm và phải trả lãi mức 6% trên năm thì mỗi tháng bác phải trả bao nhiêu tiền?

    Gọi x (đồng) là số tiền bác Hoa phải trả mỗi năm. (Điều kiện x > 0)

    Ta có:

    x = \frac{900.10^{6}.0,06.1,06^{3}}{1,06^{3} - 1}

    x = 336698831,5 (đồng)

    Vậy số tiền bác Hoa phải trả mỗi tháng là T = \frac{336698831,5}{12} \approx 28058236(đồng).

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có G,K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Gọi E là trung điểm cạnh AC. Mặt phẳng (GEK) cắt SC tại M. Tỉ số \frac{MS}{MC} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC và E là trung điểm của AC.

    => B,G,E thẳng hàng hay (GKE) \equiv (EBK)

    Ta lại có K là trọng tâm tam giác SBC nên BK kéo dài cắt SC tại trung điểm của SC.

    Vậy M là trung điểm của SC suy ra \frac{MS}{MC} = 1

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{3} \\u_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{3n}.u_{n} \\\end{matrix} ight. và dãy số (vn) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}v_{1} = u_{1} \\v_{n + 1} = v_{n} + \dfrac{u_{n}}{n} \\\end{matrix} ight.. Tính \lim v_{n}.

    Ta có:

    u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3n}.u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3}.\frac{u_{n}}{3n} nên dãy \left( \frac{u_{n}}{n} ight)là cấp số nhân với công bội q = \frac{1}{3}

    Lại có: v_{n + 1} = v_{n} + \frac{u_{n}}{n} \Leftrightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n}}{n}, khi đó ta có:

    \begin{matrix} {v_2} - {v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} \hfill \\ {v_3} - {v_2} = \dfrac{{{u_2}}}{2} \hfill \\ ..... \hfill \\ {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ \end{matrix}

    Cộng vế theo vế ta được

    \begin{matrix} {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{1} + \dfrac{{{u_2}}}{2} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} ight]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: v_{n + 1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + v_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3}

    => \lim v_{n} = \lim\left\{ \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3} ight\} = \frac{5}{6}

  • Câu 35: Nhận biết

    Hỏi trên đoạn [0; 2023 \pi], phương trình \sqrt 3 \cot x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? 

     Ta có \cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6}

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo giả thiết, ta có

    0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2023\pi \xrightarrow{{{\text{xap xi}}}} - \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2022,833

    \xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ {0;1;...;2022} ight\}.

    Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2023 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{1} \in (2; + \infty)sao cho y\left( x_{1} ight) = 0(1).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ y( - 2) = - 2 + 4a - 2b + c > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{2} \in ( - 2;2)sao cho y\left( x_{2} ight) = 0(2).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{3} \in ( - \infty; - 2)sao cho y\left( x_{3} ight) = 0(3).

    Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng 3.

  • Câu 37: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} bằng

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty

    Do \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\ x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho các đường thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau."

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1)k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\forall \geq 2

    Suy ra 

    u_n<\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+⋯+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})

    =\frac{3}{2}-\frac{1}{n} < \frac{3}{2}

    \Rightarrow 0 < u_n <\frac{3}{2}, \, \, \forall n \in \mathbb{N} ^*

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cos\alpha = - \frac{4}{5} và \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}. Tính H =\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}

    Ta có:

    H = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}

    H = \frac{1}{2}\left( \sin2\alpha -\sin\alpha ight)

    H = \frac{1}{2}\sin\alpha.(2\cos\alpha -1)

    Mặt khác \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1

    \Rightarrow \sin\alpha = \pm \sqrt{1 -\cos^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}

    Do \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha = - \frac{3}{5}

    Khi đó giá trị biểu thức H là: H = \frac{39}{50}

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{n} = 3 - 5n. Tìm công sai của cấp số cộng?

    Theo giả thiết ta có:

    u_{n + 1} = - 2 - 5n

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1

    Vậy d = - 5

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;S_{23} = 483. Tìm công sai d của cấp số cộng?

    Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:

    S_{23} = 483 \Leftrightarrow \frac{23\left( 2u_{1} + 22d ight)}{2} = 483

    \Leftrightarrow \frac{23.( - 2 + 22d)}{2} = 483

    \Leftrightarrow d = 2

  • Câu 45: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Ta có: \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = \lim_{t ightarrow 10}\frac{45t^{2} - t^{3} - 45 \cdot 10^{2} + 10^{3}}{t - 10}

    \begin{matrix}= \lim_{t ightarrow 10}\dfrac{45(t - 10)(t + 10) - (t - 10)\left( t^{2}+ 10t + 100 ight)}{t - 10} \\\end{matrix}

    = \lim_{t ightarrow 10}\left( - t^{2} + 35t + 350 ight) = 600

    Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 (ngày) là 600 người/ngày.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập