Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A′,B′,C′,D′lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,SC và SD. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A'B'?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm đường thẳng không song song với A'B'

    Ta có: A′,B′,C′,D′ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,SC,SD

    => A'B', B'C', C'D', A'D' lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB, SBC, SCD, SAD.

    Và ABCD là hình bình hành

    => \left\{ \begin{gathered} AB//A\prime B\prime \hfill \\ CD//A\prime B\prime \hfill \\ C'D'//A\prime B\prime \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy SC không song song với A'B'.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng GK và AC có một điểm chung. Sai||Đúng

    c) Đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD). Đúng||Sai

    d) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEFlà hình bình hành. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng GK và AC có một điểm chung. Sai||Đúng

    c) Đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD). Đúng||Sai

    d) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEFlà hình bình hành. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng.

    Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) có hai điểm chung là A và B nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB.

    b) Sai.

    Gọi H là trung điểm của SD. Ta có:

    Trong tam giác SAD, có AH là đường trung tuyến và G là trọng tâm, nên \frac{HG}{HA} = \frac{1}{3}\ \ (1).

    Trong tam giác SCD, có CH là đường trung tuyến và K là trọng tâm, nên \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}\ \ (2).

    Trong tam giác HAC và từ (1), (2) ta có \frac{HG}{HA} = \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}, suy ra GK//AC.

    c) Đúng.

    Mặt phẳng (ABCD) không chứa đường thẳng GK và theo kết quả câu b) ta có GK//AC.

    Mà AC nằm trong mặt phẳng (ABCD).

    Nên đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD).

    d) Đúng.

    Gọi mặt phẳng (P) chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD).

    Nên mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (SAD) theo một giao tuyến d_{1} song song với AD.

    Mà mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAD) có một điểm chung là G, nên đường thẳng d_{1} đi qua G và song song với AD.

    Theo giả thiết, mặt phẳng (P) cắt SA,SD lần lượt tại M,F nên đường thẳng d_{1} cắt SA,SD lần lượt tại M , F. Hay MF//AD.

    Tương tự, ta có FE//CD, EN//BC, NM//AB.

    Do đó, tứ giác MNEF có FE//MN (vì cùng song song với AB,CD) và EN//MF (vì cùng song song với AD,BC).

    Vậy tứ giác MNEFlà hình bình hành.

  • Câu 3: Nhận biết

    Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos3a = 4\cos^{3}a - 3\cos a

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi (P) bằng

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC.

    Vì (P)//(ABC) nên theo định lí Talet, ta có \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}.

    Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = \frac{2}{3}.

    Vậy S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm SA,SB,SC và SD. Chọn khẳng định sai.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có N là điểm chung của (SBD) và (MNP).

    Do M,N,P,Q lần lượt là trung điểm SA,SB,SC và SD nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = PQ \\MN//AB//CD//PQ \\\end{matrix} \Rightarrow MNPQ ight. là hình bình hành.

    Vì BD//NQ \Rightarrow BD//(MNPQ).

    Khi đó (SBD) cắt (MNP) theo giao tuyến đi qua N và song song với BD là NQ.

    Từ đó ta thấy đáp án

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm MP.

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm NQ.

    NT = (SBD) \cap (MNP), với T là trung điểm SD.

    Là các đáp án đúng

    Vì T là trung điểm SB suy ra T \equiv N \Rightarrow (SBD) \cap (MNP) = N.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của AD và ACvà G là trọng tâm của tam giác BCD. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng (IJG) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng đi qua điểm

    Hình vẽ minh họa

    Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

    Gọi d = (GIJ) \cap (BCD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} G \in (GIJ);G \in (BCD) \\ IJ \subset (GIJ);CD \subset (BCD) \\ IJ//CD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

  • Câu 7: Nhận biết

    Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua

    Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."

  • Câu 8: Vận dụng

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{5 + 2cot^{2}x - \sin x} + \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight)

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    5 + 2cot^{2}x - \sin x \geq 0 và \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight) xác định và \cot x xác định

    Ta có: \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight) xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + x eq k\pi\hfill \\\Rightarrow x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill\\\end{matrix}

    Mà cot x xác định khi

    \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\Rightarrow x eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Do đó hàm số xác định khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq k\pi \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2},k \in\mathbb{Z}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{=R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2},k \in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

    Xét hàm số y = f(x) = sin2x có:

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Khi đó với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    \begin{matrix}f( - x) = \sin( - 2x) = - sin2x = - f(x) \hfill \\\Rightarrow f( - x) = - f(x) \hfill\\\end{matrix}

    Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ

    Xét hàm số y = f(x) = x\cos x có:

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Khi đó với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    \begin{matrix}f( - x) = ( - x).cos( - x) = - x\cos x = - f(x) \hfill \\\Rightarrow f( - x) = - f(x) \hfill \\\end{matrix}

    Vậy hàm số y = x.cosx là hàm số lẻ

    Xét hàm số y = f(x) = \cos x.cotx có:

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Khi đó với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    \begin{matrix}f( - x) = \cos( - x).cot( - x) = - \cos x.cotx = - f(x) \hfill \\\Rightarrow f( - x) = - f(x) \hfill \\\end{matrix}

    Vậy hàm số y = \cos x.cotx là hàm số lẻ

    Xét hàm số y = f(x) = \frac{\tan x}{\sin x} có:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\frac{\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}

    Khi đó với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    \begin{matrix}f( - x) = \dfrac{\tan( - x)}{\sin( - x)} = \dfrac{- \tan x}{- \sin x} =f(x) \hfill\\\Rightarrow f( - x) = f(x) \hfill \\\end{matrix}

    Vậy hàm số y = \frac{\tan x}{\sin x}là hàm số chẵn

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm giới hạn H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3} liên tục trên:

    Ta có: 2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}

    => Tập xác định D\mathbb{= R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng {u_1} = - 3;d = 4. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

     Ta có: {u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5

  • Câu 13: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} bằng:

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = - \infty

    Do \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} ight) = 3 \hfill \\ x \to {1^ - } \Rightarrow x - 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 14: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 5} - x) bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?

    Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

  • Câu 16: Vận dụng

    Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất bác Hoa trả 8 000 000 và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,6% mỗi tháng thì sau bao lâu bác Hoa trả hết số tiền trên?

    Ta có:

    8000000 = \frac{900.10^{6}.0,006.1,006^{n}}{1,006^{n} - 1}

    \Leftrightarrow 1,006^{n} = 3,077

    \Leftrightarrow n \approx 187,887

    Vậy sau khoảng 188 tháng thì bác Hoa sẽ trả hết số tiền đó.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm số nghiệm của phương trình \sin(\cos x) = 0 trên đoạn x \in \lbrack 0;2\pibrack.

    Ta có: sin(cosx) = 0 \Leftrightarrow cosx = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})

    Vì |cosx| \leq 1 nên k = 0. Do đó phương trình \Leftrightarrow cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + m\pi(m \in \mathbb{Z})

    Vì x \in \lbrack 0;2\pibrack nên x = \frac{\pi}{2},x = \frac{3\pi}{2}.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0;

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(x^{3} + ax^{2} + bx + c ight) = - \infty \\f( - 2) > 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2) (1)

    f( - 2)f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1) (2)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} ight) = + \infty \hfill \\ f\left( 1 ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty) (3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Rút gọn biểu thức B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... với \sin x eq \pm 1?

    Ta có:

    \begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Hàm số liên tục khi x<1

    hàm số liên tục khi x>1

    Tại x = 1 ta có: f(1)=1

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số liên tục tại x=1

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?

     Theo bài ra ta có:

    Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 8000} \\ {d = 500} \end{array}} ight.

    => Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:

    \begin{matrix} {S_{20}} = \dfrac{{20.\left( {2{u_1} + 19.d} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{20}} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} ight) = 255000 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m-2).\sin{2x} = m + 1 nhận x= \frac{\pi }{12} làm nghiệm

     Phương trình nhận x= \frac{\pi }{12} làm nghiệm

    \begin{matrix} \Rightarrow(m - 2).\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{{12}}} ight) = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\sin \dfrac{\pi }{6} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\dfrac{1}{2} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow m = - 4 \hfill \\ \end{matrix}

    vậy m = -4

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số \frac{FA}{FD}

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số \frac{FA}{FD}

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    + Cho AD \subset (ACD)

    Trong mặt phẳng (BCD) hai đường thẳng IK,\ \ CD không song song nên gọi E là giao điểm của hai đường thẳng IK và CD. Khi đó E \in (ACD).

    + Ta thấy (ACD) \cap (IJK) = EJ

    + Trong (ACD):\ \ EJ \cap AD = F. Khi đó (IJK) \cap AD = F.

    Xét tam giác BCD, áp dụng định lí Menelaus có:

    \frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2

    Xét tam giác ACD, áp dụng định lí Menelaus có:

    \frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}

    Vậy \frac{FA}{FD} = 2.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Với mọi số nguyên dương n thì S_{n}=n^{3}+2n chia hết cho 

    Với n = 1\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3 chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh S_n chia hết cho 3 với mọi n.

    Giả sử khẳng định đúng với n=k tức là {S_k} = {k^3} + 2k chia hết cho 3, ta chứng minh {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) cũng chia hết cho 3.

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy với mọi số nguyên dương thì S_{n}=n^{3}+2n chia hết cho 3.

  • Câu 26: Nhận biết

    Giới hạn \lim\frac{2}{n - 3} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây?

    Do mặt phẳng (MAB) chứa AB // CD nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

    Giả sử đường thẳng này cắt SD tại điểm I.

    Khi đó MI là đường trung bình của tam giác SCD

    => I là trung điểm của SD.

    Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)

    Ta có: \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tổng S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1 có kết quả bằng?

    Đặt M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)

    = 1 - \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}

    \Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n}}{2} + 2 \\\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có:

    u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

    u_{3} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4}

    u_{4} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{15}{8} + 2 = \frac{31}{8}

    u_{5} = \frac{u_{4}}{2} + 2 = \frac{31}{16} + 2 = \frac{63}{16}

  • Câu 31: Nhận biết

    Dãy số nào là cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}} (loại)

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}(loại)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2(thỏa mãn)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n} (loại)

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Tứ giác MNPQ là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

  • Câu 33: Nhận biết

    Giá trị của \sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) là:

    Ta có:

    \sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} - 6\pi ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 34: Nhận biết

    Hỏi x = \frac{{7\pi }}{3} là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

     Với x = \frac{{7\pi }}{3}, suy ra \left\{ \begin{gathered} \sin x = \sin \frac{{7\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \cos x = \cos \frac{{7\pi }}{3} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\sin x - \sqrt 3 = 0 \hfill \\ 2\cos x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 35: Vận dụng

    Tính  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}

    Ta cũng có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1

    Vậy  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Giá trị của C =\lim\frac{\sqrt[4]{3n^{3} + 1} - n}{\sqrt{2n^{4} + 3n + 1} + n} bằng:

    Chia cả tử và mẫu cho n^{2} ta có được.

    C = \lim\frac{\sqrt[4]{\dfrac{3}{n^{5}} +\dfrac{1}{n^{8}}} - \dfrac{1}{n}}{\sqrt{2 + \dfrac{3}{n^{3}} +\dfrac{1}{n^{4}}} + \dfrac{1}{n}} = 0

  • Câu 37: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có u_{3}=15 và d=-2 . Tìm u_{n} 

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_3} = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 19 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ = 19 + \left( {n - 1} ight).\left( { - 2} ight) \hfill \\ = 21 - 2n \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 2n + 21 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho phương trình lượng giác \sin\left\lbrack \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) ightbrack = 0, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}. Đúng||Sai

    b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng

    c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng 14. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác \sin\left\lbrack \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) ightbrack = 0, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}. Đúng||Sai

    b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng

    c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng 14. Sai||Đúng

    Điều kiện: 9x^{2} - 16x - 80 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4.

    Phương trình \Leftrightarrow \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}

    \Leftrightarrow 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} = 4k

    \Leftrightarrow \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} = 3x - 4k

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{4k}{3} \\9x^{2} - 16x - 80 = (3x - 4k)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{4k}{3} \\x = \dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \\\end{matrix} ight..

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \geq \dfrac{4k}{3} \\x = \dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \geq 4 \\\dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight..

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \frac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \geqslant \frac{{4k}}{3} \hfill \\ x = \frac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{ - 6{k^2} + 8k + 30}}{{3k - 2}} \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{2{k^2} - 12k + 18}}{{3k - 2}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < k \leqslant 3

    Vì k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = 1,2,3.

    k = 1 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = 12\mathbb{\in Z}

    k = 2 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = \frac{9}{2}\mathbb{otin Z}

    k = 3 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = 4\mathbb{\in Z}

    Kết hợp điều kiện, ta có x=4, x= 12 là những giá trị cần tìm.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 40: Thông hiểu

    Hàm số y = \tan x + \cot x + \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hàm số xác định khi và chỉ khi:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\cos x eq 0 \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow sin2x eq 0 \\\Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z}\hfill \\\end{matrix}

    Chọn k = 3 => x eq \frac{3\pi}{2}

    Nhưng điểm \frac{3\pi}{2} thuộc khoảng (\pi + k2\pi;2\pi + k2\pi)

    Vậy hàm số không xác định trên (\pi + k2\pi;2\pi + k2\pi);k\mathbb{\in Z}

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Tính giá trị của biểu thức C = \dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{18}.\cos\dfrac{\pi}{9} -\sin\dfrac{\pi}{9}.\cos\dfrac{5\pi}{18}}{\cos\dfrac{\pi}{4}.\cos\dfrac{\pi}{12}- \sin\dfrac{\pi}{4}.\sin\dfrac{\pi}{12}} là:

    Ta có:

    \sin\dfrac{5\pi}{18}.\cos\dfrac{\pi}{9} -\sin\dfrac{\pi}{9}.\cos\dfrac{5\pi}{18}

    = \sin\left( \frac{5\pi}{18} -\frac{\pi}{9} ight)

    = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}

    \cos\dfrac{\pi}{4}.\cos\dfrac{\pi}{12} -\sin\dfrac{\pi}{4}.\sin\frac{\pi}{12}

    = \cos\left( \frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{12} ight)

    = \cos\frac{\pi}{3} =\frac{1}{2}

    Vậy C=1

  • Câu 43: Vận dụng

    Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

    Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u_{1} = 1, công sai d = 1.

    => Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

    \Rightarrow S = S_{24} = \frac{24}{2}.\left( u_{1} + u_{24} ight)

    \Rightarrow S_{24} = 12.(1 + 24) = 300

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (AB'D').

     Hình vẽ minh họa

    Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước

    Mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng (BDC’).

    Vì AB’//DC’ và AD’// BC’.

  • Câu 45: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6

    Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5

    Từ đó suy ra y = 6x = 216/5

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập