Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho phương trình x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{n} + 1}. Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.

    Điều kiện xác định x^{n} \geq1

    Nếu n là số lẻ thì x^{n} \geq 1\Rightarrow x \geq 1

    Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình

    Vì x = 1 không là nghiệm nên ta xét phương trình với x > 1

    \left\{ \begin{matrix}x^{12} + 1 \geq 2x^{2} \\x^{4}\left( x^{4} - 1 ight) + 1 \geq 2\sqrt{x^{4}\left( x^{4} - 1ight)} = 2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow x^{12} + 1 \geq2x^{2}.2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} = 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} (do x^{12} + 1 \geq 2x^{2} nên dấu bằng không xảy ra)

    Hơn nữa 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} >4x^{4}\sqrt{x^{3} - 1} > 4x^{4}\sqrt{x^{2} - 1};(\forall x >1)

    Do đó phương trình không có nghiệm x >1 với n = 1,2,3,4

    Khi n = 5 ta có phương trình x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{5} +1}

    Giả sử f(x) = x^{12} + 1 -4x^{4}.\sqrt{x^{5} + 1} khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 1; + \infty).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}f(1) = 2 \\f\left( \frac{6}{5} ight) < 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f\left( \frac{6}{5} ight) <0

    => f(x) = 0 có nghiệm

    Vậy n = 5.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 3: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \cos x = \cos 3x là

     \begin{matrix} \cos x = \cos 3x \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x = x + k2\pi } \\ {3x = - x + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{2}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho dãy (un) xác định bởi u_{1} = \frac{1}{2} và un = un − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u50 bằng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = u_{1} + 2 \\ u_{3} = u_{2} + 4 \\ \ldots \\ u_{49} = u_{48} + 2.49 \\ u_{50} = u_{49} + 2.50 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

    u_{50} = \frac{1}{2} + 2(2 + 3 + \ldots + 50) = \frac{1}{2} + 2(25.51 - 1) = 2548,5.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm giới hạn H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 7: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 1, tức là ta cần có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1

    Khi đó (*) không thỏa mãn với mọi m\mathbb{\in R}

    Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. LấyM \in BC sao cho BM = 2MC, G là trọng tâm tam giác ABD. Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng MG?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi N là trung điểm của AD.

    Xét tam giác BCN ta có:

    \frac{BG}{BN} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow MG//NC \Rightarrow MG//(ACD)

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight)thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.. Biết dãy số \left( u_{n} ight) là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tính \lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)

    Ta có: u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4

    \Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}

    + \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1

  • Câu 10: Vận dụng

    Tìm chu kì T của hàm số y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x

    Ta có:

    \begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}

    Hàm số y = 3.\cos6x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = - 2\cos2x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5) tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho ba mặt phẳng (\alpha);(\beta);(\gamma) đôi một song song. Hai đường thẳng m,n lần lượt cắt ba mặt phẳng tại  A,B,C và A',B',C', (B nằm giữa A và C, B' nằm giữa A'và C'). Biết rằng AB = 5;BC = 4;A'C' = 8. Tính A'B'.B'C'.

    Ta có: \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AB + BC}{A'B' + B'C'} = \frac{AC}{A'C}

    \Rightarrow A'B' = 10;B'C' = 8

    \Rightarrow A'B'.B'C' = 80

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8. Tính công sai d của cấp số cộng đó:

    Ta có:

    d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?

    Xét dãy (an) có a_{n} = \sqrt{n^{3} + n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số (an) bị chặn dưới.

    Xét dãy (bn) có b_{n} = n^{2} + \frac{1}{2n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số (bn) bị chặn dưới.

    Xét dãy (cn) có cn = (−2)n + 3, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số (cn) không bị chặn.

    Xét dãy (dn) có d_{n} = \frac{3n}{n^{2} + 2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Ta có

    n^3-3n+2=(n-1)^2 (n+2)≥0,∀n∈N^*

    ⇒n^3+2≥3n⇒0<3n/(n^2+2)≤1

    ⇒(d_n ) bị chặn.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA,SB lần lượt tại M,N. Khi đó:

    a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD). Đúng||Sai

    b) Ta có SN = \frac{2}{3}SB. Sai||Đúng

    c) Cho AB = a thì MN = \frac{a}{2}. Sai||Đúng

    d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA,SB lần lượt tại M,N. Khi đó:

    a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD). Đúng||Sai

    b) Ta có SN = \frac{2}{3}SB. Sai||Đúng

    c) Cho AB = a thì MN = \frac{a}{2}. Sai||Đúng

    d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau. Sai||Đúng

    - Xác định M,N :

    Trong mặt phẳng (SAC), kẻ CI cắt SA tại M;

    Trong mặt phẳng (SBD), kẻ DI cắt SB tại N.

    Vì \left\{ \begin{matrix} M \in CI,CI \subset (ICD) \\ M \in SA \\ \end{matrix} \Rightarrow M = SA \cap (ICD) ight..

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} N \in DI,DI \subset (ICD) \\ N \in SB \\ \end{matrix} \Rightarrow N = SB \cap (ICD) ight..

    -Tính MN theo a :

    Gọi E là trung điểm BN,OE là đường trung bình của tam giác BDN \Rightarrow OE//DN.

    Trong tam giác SOE, ta có NI qua trung điểm I của SO và NI//OE,N là trung điểm của SE.

    Hình vẽ minh họa

    -Vậy SN = NE = EB hay SN = \frac{1}{3}SB.

    Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được SM = \frac{1}{3}SA.

    Khi đó hai tam giác SMN,SAB đồng dạng vì có góc S chung và \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{1}{3}.

    Xét tam giác SAB, theo định lí Thalès, ta có:

    \frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{AB}{3} = \frac{a}{3}.

    - Chứng minh SK//BC//AD :

    Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in CN,CN \subset (SBC) \\ K \in DM,DM \subset (SAD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (SBC) \cap (SAD) ight..

    Vì vậy SK = (SBC) \cap (SAD).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} SK = (SBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (SBC),AD \subset (SAD) \Rightarrow SK//BC//AD. \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai
  • Câu 16: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15; u20 = 60. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

    Gọi u1, d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_5} = - 15} \\ {{u_{20}} = 60} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 4d = - 15} \\ {{u_1} + 19d = 60} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 35} \\ {d = 5} \end{array}} ight.

    => Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

    {S_{10}} = \frac{{10}}{2}.\left( {2{u_1} + 9d} ight) = 5.\left[ {2.\left( { - 35} ight) + 9.5} ight] = - 125

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn phát biểu đúng

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD

    Ta có: 2NC = SN \Rightarrow \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}

    M là trọng tâm tam giác BCD => \frac{{MC}}{{OC}} = \frac{2}{3}

    ABCD là hình bình hành => AO = OC

    => \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MC}}{{2OC}} = \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{3}

    Xét tam giác SAC có:

    \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}

    Theo định lí Ta - lét suy ra MN // SA

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}?

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) thỏa mãn 2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}. Tính \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}?

    Đáp án: 4

    Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:

    2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) =u_{6} + u_{7} + u_{8}

    \Leftrightarrow 2\left( u_{3} + u_{3}q +u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}

    \Leftrightarrow 2u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)

    \Leftrightarrow 2u_{3} = u_{6} do \ 1 + q + q^{2} > 0

    \Leftrightarrow 2u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 2 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = \sqrt[3]{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q + u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}= \frac{u_{8}\left( 1 + q + q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} = \frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 4

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (A'BD) song song với mặt phẳng

    Hình vẽ minh họa

    Vì BCD'A' là hình bình hành, ta có BA'\ //\ CD' (1)

    Vì BDD'B' là hình bình hành, ta cóBD\ //\ B'D' (2)

    Mặt khác: BA' \cap BD = B,\ \ \ CD' \cap B'D' = D' (3)

    Từ (1); (2); (3) \Rightarrow(A'BD)//(CB'D'), suy ra phương án cần tìm là: (CB'D').

  • Câu 21: Vận dụng

    Gọi \alpha là nghiệm trong khoảng (\pi ; 2 \pi) của phương trình \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}, nếu biểu diễn \alpha = \frac{{a\pi }}{b} với a, b là hai số nguyên và \frac {a}{b} là phân số tối giản thì a.b bằng bao nhiêu?

    Phương trình \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

    Với x \in \left( {\pi ;2\pi } ight) \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}.

    Suy ra a =11 và b = 6 .

    Vậy a.b=66.

  • Câu 22: Nhận biết

    Tìm giới hạn C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) =2

  • Câu 23: Nhận biết

    Giá trị của B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} bằng:

    Ta có:

    B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} = \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3

  • Câu 24: Nhận biết

    Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:

    Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

    Vậy hình chóp có 16 cạnh.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = 3n - 8

    \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 26: Vận dụng

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Vì \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( \sqrt{3x + 3} + a ight) = 0.

    Suy ra a = - 3.

    Với a = - 3 ta được

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{3x + 3} - 3 ight)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} = \frac{1}{2}.

    Vậy b = 1;c = 2.

    Suy ra a + b + c = 0.

  • Câu 27: Nhận biết

    Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = sin^{2}\left( \frac{\pi n}{4} ight) + \cos\left( \frac{2\pi n}{3} ight) với \forall n \in \mathbb{N}^{*}?

    Ta có:

    u_{1} = \sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = 0

    u_{2} = \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}

    u_{3} = \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{6\pi}{3} ight) = \frac{3}{2}

    u_{4} = \sin^{2}\left( \frac{4\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{8\pi}{3} ight) = \frac{- 1}{2}

  • Câu 28: Nhận biết

    Công thức nào sau đây sai?

    Ta có:

    \sin a\cos b - \cos a\sin b = \sin(a - b)

    \cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a - b)

    \sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b

    \cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \sin\alpha = \frac{3}{5}. Giá trị của biểu thức G = \sin\left( \alpha +\frac{\pi}{6} ight).\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{6}ight)

    Ta có:

    G = \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6}ight).\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{6} ight)

    G = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3}- \cos2\alpha ight)

    Ta có:

    \cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha = 1 -2.\left( \frac{3}{5} ight)^{2} = \frac{7}{25}

    Khi đó giá trị biểu thức G là:

    G = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3} - \frac{7}{25} ight) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} - \frac{7}{25} ight) = \frac{11}{100}

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có \cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Giải phương trình \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}?

    Ta có:

    PT\Leftrightarrow \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\frac{5\pi}{6}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = - \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình có nghiệm \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho các mệnh đề:

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b).

    Trong các mệnh đề trên:

    Theo tính chất hàm số liên tục thì

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0. Mệnh đề sai.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Mệnh đề đúng.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b). Mệnh đề đúng.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là

    Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra u_{1} = \frac{3}{5} và q = 2.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng x. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC

    \Rightarrow AN \cap MC = G

    Ta có: (CDG) \cap AB = M

    Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD

    Tam giác ABD đều cạnh bằng x có M là trung điểm của AB

    \Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều cạnh bằng x có M là trung điểm của AB

    \Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}

    Gọi H là trung điểm của CD \Rightarrow MH\bot CD

    \Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD

    Ta có: MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}

    \Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}

    \Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tính giới hạn  \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{\left( \sqrt{x + 2} - 2 ight)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

    Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).

  • Câu 38: Nhận biết

    Giá trị của {D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}} bằng:

    Ta có:

    \lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4

  • Câu 39: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

    TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

    TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

    Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

    Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Đáp án là:

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}.

  • Câu 41: Nhận biết

    Hàm số y = 1-2\sin x+\tan x + \cot x không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hàm số xác định khi 

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chọn k = 3 \to x e \frac{{3\pi }}{2} nhưng điểm \frac{{3\pi }}{2} thuộc khoảng \left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)

    Vậy hàm số không xác định trong khoảng \left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)

  • Câu 42: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 43: Thông hiểu

    Hàm số y = \sin \frac{x}{5} có chu kì bằng bao nhiêu?

     Chu kì của hàm số y = \sin \frac{x}{5} là: T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| {\dfrac{1}{5}} ight|}} = 10\pi

  • Câu 44: Thông hiểu

    Tính giới hạn: \lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1} +n}

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1}+ n}

    = \lim\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^{2}}} - \dfrac{4}{n}}{\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} +1} = \dfrac{0}{1} = 0

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 58 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập