Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.. Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) bằng:

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1

  • Câu 3: Thông hiểu

    Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12. Số đo của góc lượng giác (OG;OP) là:

    Góc lượng giác (OG;OP) chiếm \frac{1}{4} đường tròn

    => Số đo là: \frac{1}{4}.2\pi + k2\pi= \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}. Tính \lim_{x ightarrow 0}f(x).

    Ta có:

    f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8- x}}{x} = 2.\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}= 2A + B

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}A = \lim_{xightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}= \lim_{x ightarrow0}\frac{\left( \sqrt{1 + x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + x} + 1ight)}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}

    Đồng thời

    \lim_{x ightarrow 0}B = \lim_{xightarrow 0}\frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{x\left\lbrack \left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left(\sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2}} = \frac{1}{12}

    Vậy \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 2\lim_{x ightarrow 0}A + \lim_{x ightarrow 0}B = 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0;

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(x^{3} + ax^{2} + bx + c ight) = - \infty \\f( - 2) > 0 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2) (1)

    f( - 2)f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1) (2)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} ight) = + \infty \hfill \\ f\left( 1 ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty) (3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 6: Nhận biết

    Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un = 5.23n − 2 + 33n − 1

    Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:

    Bước 1: Khi n = 1, ta có u1 = 5.21 + 32 = 19 ⇒ u1⋮19

    Bước 2: Giả sử uk = 5.23k − 2 + 33k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.

    Khi đó ta có uk + 1 = 5.23k + 1 + 33k + 2 = 8(5.23k − 2+33k − 1) + 19.33k − 1

    Bước 3: Vì 5.23k − 2 + 33k − 1 và 19.33k − 1 chia hết cho 19 nên uk + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy un chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*

    Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

    Lập luận hoàn toàn đúng!

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M là trung điểm của A'D'. Gọi mặt phẳng (\gamma) đi qua M và song song với AC,BB'. Giả sử BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}. Tỉ lệ độ dài của TB và TC là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi trung điểm của AD,DC,D'C' lần lượt là N,P,E.

    Dễ thấy (MNPE) \in (\gamma)

    Xét mặt phẳng (ABCD), gọi BC \cap NP = T

    Xét tam giác \Delta NDP và tam giác \Delta PCT ta có:

    \widehat{DPN} = \widehat{TPC} (đối đỉnh)

    DP = PC

    \widehat{NDP} = \widehat{PCT}(so le trong)

    \Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT

    \Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC

    Vậy TB = 3TC hay \frac{TB}{TC} = 3

  • Câu 9: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} với - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0} là?

    4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} với - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0} là?

    4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm

     Phương trình \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} ight) = \sin {60^0}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = {100^0} + k{360^0} \hfill \\ 2x = {160^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.\,

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {50^0} + k{180^0} \hfill \\ x = {80^0} + k{180^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    • TH1: Xét nghiệm x = {50^0} + k{180^0}:

    Vì - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {50^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}

    \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \leqslant k \leqslant \frac{{13}}{{18}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {130^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {50^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    • TH2: Xét nghiệm x = {80^0} + k{180^0}:

    Vì - {180^0} \leqslant x \leqslant {180^0}\xrightarrow{{}} - {180^0} \leqslant {80^0} + k{180^0} \leqslant {180^0}

    \Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \leqslant k \leqslant \frac{5}{9}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ \begin{gathered} k = - 1 \to x = - {100^0} \hfill \\ k = 0 \to x = {80^0} \hfill \\ \end{gathered} ight..

    Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

     

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d//AD//BC và d đi qua S

  • Câu 11: Nhận biết

    Đổi số đo 365^{0} sang số đo theo đơn vị là radian.

    Ta có: 365^{0} = \frac{365\pi}{180}rad = \frac{73\pi}{36}rad

  • Câu 12: Thông hiểu

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

    1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

    Đáp án là:

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

    1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

    Phương trình \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = - 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{3}{2}\,\,\,\,\,(VL) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

  • Câu 13: Vận dụng

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=\sqrt{4\sin x+5} lần lượt là:

     Ta có: 

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - 4 \leqslant 4\sin x \leqslant 4 \hfill \\ \Rightarrow - 4 + 5 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 4 + 5 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 9 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant \sqrt {4\sin x + 5} \leqslant 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

    => Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có u_{1} = - 0,1;d = 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng là

    Ta có: u_{7} = u_{1} + 6d = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \cos x=m+1 có nghiệm?

     Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \cos x =a.

    - Phương trình có nghiệm khi |a| \leq 1.

    - Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

    Do đó, phương trình \cos x=m+1 có nghiệm khi và chỉ khi \left| {m + 1} ight| \leqslant 1

    \Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (\alpha) cắt SC tại K. Tính tỉ số \frac{SK}{KC}.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O = AC \cap BD.

    Trong (SAC), kẻ OK//SA\ \ (K \in SC).

    Do đó (\alpha) là mặt phẳng (KBD).

    Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC \Rightarrow \frac{OC}{OA} = 1.

    Do OK//SA \Rightarrow \frac{OC}{OA} = \frac{KC}{KS} = 1 \Rightarrow \frac{SK}{KC} = 1.

  • Câu 19: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Tập xác định: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}có nghĩa là

    D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA,SB lần lượt tại M,N. Khi đó:

    a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD). Đúng||Sai

    b) Ta có SN = \frac{2}{3}SB. Sai||Đúng

    c) Cho AB = a thì MN = \frac{a}{2}. Sai||Đúng

    d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA,SB lần lượt tại M,N. Khi đó:

    a) Điểm M là giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (ICD). Đúng||Sai

    b) Ta có SN = \frac{2}{3}SB. Sai||Đúng

    c) Cho AB = a thì MN = \frac{a}{2}. Sai||Đúng

    d) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Khi đó SK và BC chéo nhau. Sai||Đúng

    - Xác định M,N :

    Trong mặt phẳng (SAC), kẻ CI cắt SA tại M;

    Trong mặt phẳng (SBD), kẻ DI cắt SB tại N.

    Vì \left\{ \begin{matrix} M \in CI,CI \subset (ICD) \\ M \in SA \\ \end{matrix} \Rightarrow M = SA \cap (ICD) ight..

    Tương tự: \left\{ \begin{matrix} N \in DI,DI \subset (ICD) \\ N \in SB \\ \end{matrix} \Rightarrow N = SB \cap (ICD) ight..

    -Tính MN theo a :

    Gọi E là trung điểm BN,OE là đường trung bình của tam giác BDN \Rightarrow OE//DN.

    Trong tam giác SOE, ta có NI qua trung điểm I của SO và NI//OE,N là trung điểm của SE.

    Hình vẽ minh họa

    -Vậy SN = NE = EB hay SN = \frac{1}{3}SB.

    Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được SM = \frac{1}{3}SA.

    Khi đó hai tam giác SMN,SAB đồng dạng vì có góc S chung và \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{1}{3}.

    Xét tam giác SAB, theo định lí Thalès, ta có:

    \frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{AB}{3} = \frac{a}{3}.

    - Chứng minh SK//BC//AD :

    Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in CN,CN \subset (SBC) \\ K \in DM,DM \subset (SAD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (SBC) \cap (SAD) ight..

    Vì vậy SK = (SBC) \cap (SAD).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} SK = (SBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (SBC),AD \subset (SAD) \Rightarrow SK//BC//AD. \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai
  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?

    Hình vẽ minh họa

    Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: AC và BD.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Mặt phẳng qua MN cắt AD,BC lần lượt tại P,Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} I \in MP \subset (ABD) \\ I \in NQ \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I \in (BCD) \cap (ABD)

    Mà BD = (BCD) \cap (ABD)

    Vậy ba điểm I,B,D thẳng hàng.

  • Câu 23: Vận dụng

    Phương trình \cot x=\sqrt 3 có bao nhiêu nghiệm thuộc \left[ { - 2022\pi \,,\,2022\pi } ight]?

     Ta có: \cot x=\sqrt 3

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}, mà - 2022\pi \leqslant x \leqslant 2022\pi.

    \Rightarrow - 2022\pi \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2022\pi

    \Leftrightarrow - 2022 \leqslant \frac{1}{6} + k \leqslant 2022

    \Leftrightarrow - 2022 - \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2022 - \frac{1}{6}.

    Suy ra - 2022\pi \leqslant x \leqslant 2022\pi, k \in Z.

    Vậy \cot x=\sqrt 3 có 4044 nghiệm thuộc \left[ { - 2022\pi \,,\,2022\pi } ight].

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Biết  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}, trong đó a,b là hai số nguyên dương và phân số \frac{a}{b} tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = a^{2} + b^{2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}

    \Rightarrow a = 3;b = 2

    \Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2{\cos ^2}x = 1?

    Ta có 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2} . Mà {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \to {\sin ^2}x = \frac{1}{2}.

    Do đó {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1. Vậy 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Tổng S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99} có kết quả bằng?

    Ta có \frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots

    Do đó S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tính giới hạn A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight).

    Ta có:

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)

    A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

    a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai

    b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng

    c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai

    d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

    a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai

    b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng

    c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai

    d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng

    a) Đúng

    Đúng vì theo tính chất thừa nhận: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không

    thẳng hàng.

    b) Sai

    Sai vì điểm cần thêm điều kiện điểm không thuộc đường thẳng.

    c) Đúng

    Đúng vì theo các cách xác định một mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai

    đường thẳng cắt nhau.

    d) Sai

    Sai vì cần thêm điều kiện hai mặt phẳng phân biệt.

  • Câu 32: Vận dụng

    Số hạng tổng quát của cấp số cộng là {u_n} = 3n + 4,n \in {\mathbb{N}^*}. Gọi {S_n} là tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cấp số cộng {u_n} = an + b \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = a + b} \\ {d = a} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} {u_n} = 3n + 4 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 7} \\ {d = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)d}}{2} = 7n + \dfrac{{3\left( {{n^2} - n} ight)}}{2} = \dfrac{{3{n^2} + 11n}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có {S_2} = 4;{S_3} = 13. Biết {u_2} < 0. Tính {S_5}?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (*)

    \begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Nhận biết

    Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    \cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B').

    Hình vẽ minh họa:

    Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B'). Ta có:

    A,B biến thành B

    A',B' biến thành B'

    C,D biến thành D

    C',D' biến thành D'

    Do đó hình hộp ABCD.A'B'C'D' biến thành hình bình hành BDD'B'.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{12} = 23 \\S_{12} = 144 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 11d = 23 \\\dfrac{12}{2}.\left( u_{1} + u_{12} ight) = 144 \\\end{matrix} ight.

    => d = 2

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là:

    Ta có:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Giá trị của D = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt[3]{3n^{3} + 2}}{\sqrt[4]{2n^{4} + n + 2} - n} bằng:

    Ta có:

    D = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt[3]{3n^{3} + 2}}{\sqrt[4]{2n^{4} + n + 2} - n}  

    = \lim\dfrac{n\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}} - \sqrt[3]{3 +\dfrac{2}{n^{3}}} ight)}{n\left( \sqrt[4]{2 + \dfrac{1}{n^{3}} +\dfrac{2}{n^{4}}} - 1 ight)}

       =\frac{1 - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{2} -1}

  • Câu 39: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1 - n^{2}}{n} bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} thỏa mãn \frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M

    \Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}.

    Ta có:

    \frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty

    Vậy \lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}}

    Ta có: \lim\sqrt{\dfrac{8n + 2}{2n - 1}} =\lim\sqrt{\dfrac{8 + \dfrac{2}{n}}{2 - \dfrac{1}{n}}} = \sqrt{\dfrac{8 +0}{2 - 0}} = 2

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 44: Nhận biết

    Trong các hàm sau hàm nào là hàm số chẵn?

    Xét hàm số y = -cosx

    Lấy x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    - \cos \left( { - x} ight) = - \cos x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    => Hàm số y = -cosx là hàm số chẵn.

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Rút gọn biểu thức A = 1 + \cos^{2}x +\cos^{4}x + ... + \cos^{2n}x + ... với \cos x eq \pm 1

    Ta có:

    \begin{matrix} A = \underbrace {1 + {{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x + ... + {{\cos }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = {{\cos }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập