Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm SA. Tìm mệnh đề sai.

    Do M \in SA;O \in AC nên OM \subset mp\left( {SAC} ight)

    =>  OM//(SAC)  sai.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Tổng S_{n} =\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + \ldots + \frac{1}{(3n -2)(3n + 1)},n \in \mathbb{N}^{*} có công thức thu gọn là?

    S_{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack \left( 1- \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} ight) +\left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ight) + \left( \frac{1}{10} -\frac{1}{13} ight) + \ldots + \left( \frac{1}{3n - 2} - \frac{1}{3n +1} ight) ightbrack

    = \frac{1}{3}\left( 1 - \frac{1}{3n + 1}ight) = \frac{n}{3n + 1}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = {\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} ight)^{2n + 3}}. Tìm số hạng u_{n+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} ight)^{2n + 3}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n + 1 - 1}}{{n + 1 + 1}}} ight)^{2\left( {n + 1} ight) + 3}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} ight)^{2n + 5}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của \Delta ABD và M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB= x.MC. Tìm x để đường thẳng MG song song với mặt phẳng (ACD)

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của \Delta ABD và M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB= x.MC. Tìm x để đường thẳng MG song song với mặt phẳng (ACD)

    Đáp án: 2

    Gọi K là trung điểm đoạn AD, suy ra \frac{BG}{BK} = \frac{2}{3} (G là trọng tâm của tam giác ABD).

    Ta có MG \subset (BCK) và (BCK) \cap (ADC) = KC.

    Do đó MG//(ACD) \LeftrightarrowMG//KC.

    Suy ra \frac{BM}{BC} = \frac{BG}{BK} =\frac{2}{3} \Rightarrow MB = 2MC.

    Vậy x = 2.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{- 2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} bằng:

    Ta có \frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}} mà \lim\frac{1}{n^{2}} = 0

    Suy ra \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} = 0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm x để 2;8;x;128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Cấp số nhân 2;8;x;128 theo thứ tự là u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{u_{3}}{u_{2}} \\\dfrac{u_{3}}{u_{2}} = \dfrac{u_{4}}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8} \\\dfrac{128}{x} = \dfrac{x}{8} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 32 \\x^{2} = 1024 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 32 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 32 \\ x = - 32 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 32

  • Câu 8: Nhận biết

    Tổng các nghiệm thuộc khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight) của phương trình: \cos x = \frac{1}{2}

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \cos x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8. Tính công sai d của cấp số cộng đó:

    Ta có:

    d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9

  • Câu 10: Nhận biết

    Công thức nào sau đây đúng?

    Công thức đúng là: \cos3a = 4\cos^{3}a -3\cos a

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (\alpha) cắt SC tại K. Tính tỉ số \frac{SK}{KC}.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O = AC \cap BD.

    Trong (SAC), kẻ OK//SA\ \ (K \in SC).

    Do đó (\alpha) là mặt phẳng (KBD).

    Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC \Rightarrow \frac{OC}{OA} = 1.

    Do OK//SA \Rightarrow \frac{OC}{OA} = \frac{KC}{KS} = 1 \Rightarrow \frac{SK}{KC} = 1.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng (Un) có {u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26. Công sai d của cấp số cộng là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d \hfill \\ \Rightarrow 26 = \dfrac{1}{3} + 7.d \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{11}}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng

    Số nghiệm thuộc đoạn \left[ {0;15\pi } ight] của phương trình: \tan x - 1 = 0

    Điều kiện xác định x e \dfrac{\pi}{2}+k\pi,(k \in \mathbb{Z})

    \begin{matrix} \tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ x \in \left[ {0;15\pi } ight];k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{\pi }{4} + k\pi \leqslant 15\pi \hfill \\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;...;14} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có tất cả 15 nghiệm.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giá trị \lim\frac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}

    Ta có: \lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}= \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} ight)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n} + 2 ight)}

    = \lim\dfrac{n.\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}}ight)}{\dfrac{1}{n} + 2} = + \infty

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x = 2. Tính giá trị biểu thức H = a + b.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Từ điều kiện hàm số liên tục tại x = 2ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm giá trị k để hàm số y = f(x) liên tục tại x = 1

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}

    = \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3}{x^{2} - 2x + 6}

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{x^2} - 2x + 6}} = 0 vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} - 2x + 6} ight) = + \infty

  • Câu 19: Nhận biết

    Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?

     Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Các điểm A,D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC) ta thu được ảnh lần lượt là M,N. Khi đó tứ giác BCMN là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Theo bài ra ta có: M,N lần lượt là ảnh của A,D qua phép chiếu song song phương SO trên mặt phẳng (SBC).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.

    => SO là đường trung bình của các tam giác CAM,BDN

    => \left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.

    => ADMN là hình bình hành

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight. => BCMN là hình bình hành.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?

    Ta có: \lim {(0,999)^n} = 0

    Do (0,999)^{n} là dãy cấp số nhân có \left| q ight| < 1

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng x. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC

    \Rightarrow AN \cap MC = G

    Ta có: (CDG) \cap AB = M

    Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (CDG) và tứ diện ABCD

    Tam giác ABD đều cạnh bằng x có M là trung điểm của AB

    \Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều cạnh bằng x có M là trung điểm của AB

    \Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}

    Gọi H là trung điểm của CD \Rightarrow MH\bot CD

    \Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD

    Ta có: MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}

    \Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}

    \Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B').

    Hình vẽ minh họa:

    Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B'). Ta có:

    A,B biến thành B

    A',B' biến thành B'

    C,D biến thành D

    C',D' biến thành D'

    Do đó hình hộp ABCD.A'B'C'D' biến thành hình bình hành BDD'B'.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm AB,\ \ J là điểm thuộc cạnh AD sao cho JD = \frac{1}{3}JA, gọi E = IJ \cap BD. Tìm giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD). Giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) cắt đoạn BD tại mấy điểm.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm AB,\ \ J là điểm thuộc cạnh AD sao cho JD = \frac{1}{3}JA, gọi E = IJ \cap BD. Tìm giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD). Giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) cắt đoạn BD tại mấy điểm.

    Đáp án: 0

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (ABD), có E = IJ \cap BD.

    Suy ra E không thuộc đoạn BD.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} E \in IJ;IJ \subset (CIJ) \\ E \in BD;BD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow E \in (CIJ) \cap (BCD)

    \Rightarrow CE = (CIJ) \cap (BCD)

    Mà C,E không thuộc đoạn BD nên giao tuyến của mp(CIJ) và mp(BCD) không cắt đoạnBD.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho một cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 1;q = 2019. Tính u_{2019}?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow u_{2019} = 1.2019^{2018} = 2019^{2018}

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

    Ta thấy ở dãy số 2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2 có u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4} = u_{5} = 2 nên đây là cấp số nhân với công bội q = 1.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 28: Vận dụng

    Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9) với h tính bằng \ ^{0}C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày là:

    Do - 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t nên

    \begin{matrix} - 3 \leqslant 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant 29 + 3\sin \dfrac{\pi }{{12}}(t - 9) \leqslant 32 \hfill \\ \Leftrightarrow 26 \leqslant h(t) \leqslant 32 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26^{0}C.

    Dấu bằng xảy ra\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t -9) = - 1

    \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = - \frac{\pi}{2} + k2\pi

    \Leftrightarrow t = 3 + 24k(k\mathbb{\in Z})

    Do 0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 3 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow \frac{- 3}{24} \leq k \leq \frac{21}{24}.

    Mà k\mathbb{\in Z} nên k = 0.

    Khi đó t = 3.

    Vậy lúc 3h là thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là:

    Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) có hai điểm chung là S và B nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SB.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 có nghiệm:

     Đặt t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)

    => \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

    Phương trình trở thành:

    \begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do  {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy để phương trình có nghiệm

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Biết \lim_{xightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x +1} = c với a,b,c\in\mathbb{R}. Tập nghiệm của phương trình ax^{4} + bx^{2} + c = 0 trên \mathbb{R} có số phần tử là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{1 + ax^{2} - (bx + 2)^{2}}{\left( 4x^{3} - 3x + 1 ight)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình \left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3 = 0phải có nghiệm kép x = \frac{1}{2}. Tức là:

    \left\{ \begin{matrix}\Delta' = 0 \\\dfrac{2b}{a - b^{2}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4b^{2} + 3\left( a - b^{2} ight) = 0 \\4b = a - b^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b^{2} + 3b = 0 \\ a = b^{2} + 4b \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(a,b eq 0)

    Khi a = - 3;b = - 3 thì

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 3}{(x + 1)\left( \sqrt{1 - 3x^{2}} - 3x + 2 ight)}

    I = \dfrac{- 3}{\dfrac{3}{2}.\left(\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{3}{2} + 2 ight)} = - 2

    Do đó a = - 3;b = - 3;c = - 2 nên phương trình - 3x^{4} - 3x^{2} - 2 = 0 vô nghiệm.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho phương trình {\cot ^2}3x - 3\cot 3x + 2 = 0. Đặt t = \cot 3x, ta được phương trình nào sau đây? 

     Ta có: {\cot ^2}3x - 3\cot 3x + 2 = 0  trở thành {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 33: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.

    Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.

    Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.

    Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ

  • Câu 34: Thông hiểu

    Hỏi trên \left[ {0;\frac{\pi }{2}} ight), phương trình 2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

     Phương trình 2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \hfill \\ \sin x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo giả thiết

    0 \leqslant x < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \leqslant \frac{\pi }{2} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{1}{6}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6} \hfill \\ - \frac{5}{{12}} < k < - \frac{1}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \emptyset \hfill \\ - \frac{1}{4} < k < 0\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \emptyset \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên \left[ {0;\frac{\pi }{2}} ight).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Biết \lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R}). Giá trị P = b + c bằng

    Đáp án: -13||- 13

    Đáp án là:

    Biết \lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R}). Giá trị P = b + c bằng

    Đáp án: -13||- 13

    Vì \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = 8 là hữu hạn nên phương trình x^{2} + bx + c = 0 có nghiệm x = 3

    \Leftrightarrow 3b + c + 9 = 0 \Leftrightarrow c = - 9 - 3b

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx - 9 - 3b}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 3)(x + 3 + b)}{x - 3}

    = \lim_{x ightarrow 3}(x + 3 + b) = 8 \Leftrightarrow 6 + b = 8 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow c = - 15

    Vậy P = b + c = - 13.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 37: Vận dụng

    Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n^{2};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = n^{2} + 4n^{2}

    Mặt khác

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{d}{2}.n^{2} + \left( u_{1} - \frac{d}{2} ight).n

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{d}{2} = 1 \\u_{1} - \dfrac{d}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\d = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = 2n + 3

  • Câu 38: Vận dụng

    Tính  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}

    Ta cũng có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1

    Vậy  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong các hàm sau hàm nào là hàm số chẵn?

    Xét hàm số y = -cosx

    Lấy x \in D \Rightarrow - x \in D ta có:

    - \cos \left( { - x} ight) = - \cos x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)

    => Hàm số y = -cosx là hàm số chẵn.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cung tròn có số đo là π. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây:

    Ta có: m = \frac{\alpha.180^{0}}{\pi} = \frac{\pi.180^{0}}{\pi} = 180^{0}

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Điều kiện xác định của hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1} là:

    x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1

    Suy ra tập xác định của hàm số là: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Nên hàm số không liên tục tại các điểm x eq \pm 1.

  • Câu 42: Nhận biết

    Điều kiện để đường thẳng m song song với mặt phẳng (\beta):

    Đường thẳng m song song với mặt phẳng (\beta) khi và chỉ khi m không nằm trong (\beta), đồng thời m song song với một đường thẳng n nằm trong (\beta).

  • Câu 43: Vận dụng

    Giả sử \sin \frac{a}{6};\cos a;\tan a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó \cos 2a bằng:

    Điều kiện \cos a e 0 \Leftrightarrow a e \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} {\cos ^2}a = \dfrac{{\sin a}}{6}.\tan a \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}a = \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{\cos a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a - {\sin ^2}a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a + {\cos ^2}a - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 44: Nhận biết

    Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = sin^{2}\left( \frac{\pi n}{4} ight) + \cos\left( \frac{2\pi n}{3} ight) với \forall n \in \mathbb{N}^{*}?

    Ta có:

    u_{1} = \sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = 0

    u_{2} = \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}

    u_{3} = \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{6\pi}{3} ight) = \frac{3}{2}

    u_{4} = \sin^{2}\left( \frac{4\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{8\pi}{3} ight) = \frac{- 1}{2}

  • Câu 45: Thông hiểu

    Đổi số đo của góc 50^{0}sang đơn vị radian?

    Cách 1: Áp dụng công thức \mu = \frac{m.\pi}{180} với m = 50^{0} ta được:

    \mu = \frac{m.\pi}{180} = \frac{50.\pi}{180} = \frac{5.\pi}{18}

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.

    Bước 2: Bấm 50 SHIFT Ans 1 =

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 58 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập