Giới hạn bằng
Ta có:
.
Giới hạn bằng
Ta có:
.
Biết liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Dễ thấy liên tục trên mỗi khoảng
và
. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại
Tức là ta cần có:
Ta có:
Khi đó (*) trở thành
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
Hàm số không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định .
Giả sử
.
Cho x = 0 và x = π, ta được
Điều này trái với định nghĩa là T > 0
Vậy hàm số không phải là hàm số tuần hoàn.
Tương tự chứng minh cho các hàm số và
không tuần hoàn.
Cho hình lập phương cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho mặt phẳng và đường thẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng: "".
Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?
Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.
Cho phương trình lượng giác , vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình . Đúng||Sai
b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng
c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai
d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng . Sai||Đúng
Cho phương trình lượng giác , vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình . Đúng||Sai
b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng
c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai
d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng . Sai||Đúng
Điều kiện: .
Phương trình
.
Yêu cầu bài toán .
Ta có:
Vì .
Kết hợp điều kiện, ta có là những giá trị cần tìm.
Kết luận:
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Đổi số đo của góc sang đơn vị độ, phút, giây
Cách 1: Từ công thức khi đó:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm -5 shift DRG 2 =
Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn
. Tính giới hạn
?
Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn
. Tính giới hạn
?
Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:
Chọn khẳng định đúng.
Ta có: khi đó:
Cho ba mặt phẳng đôi một song song. Hai đường thẳng
lần lượt cắt ba mặt phẳng tại
và
, (
nằm giữa
và
,
nằm giữa
và
). Biết rằng
. Tính
.
Ta có:
Tìm để
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Cấp số nhân theo thứ tự là
ta có:
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Đáp án: 666
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Đáp án: 666
Gọi là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ
(đơn vị tính: mét).
Ta có và
.
Vậy là cấp số nhân với số hạng đầu
và công bội
.
Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là
bằng
Ta có:
Cho cấp số cộng . Xác định
biết rằng
?
Ta có:
Khi đó:
Suy ra
Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
Xét dãy (an) có nên dãy số (an) bị chặn dưới.
Xét dãy (bn) có nên dãy số (bn) bị chặn dưới.
Xét dãy (cn) có cn = (−2)n + 3, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số (cn) không bị chặn.
Xét dãy (dn) có .
Ta có
bị chặn.
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng . Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Cho dãy số xác định bởi
. Giá trị
là
Ta có: .
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
công sai
Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:
Ta dùng công thức tổng quát , hoặc
để tính các số hạng của một cấp số cộng.
Ta có
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Xét đáp án có
=> Dãy số không phải là cấp số nhân.
Cho hàm số liên tục tại
khi đó giá trị của tham số
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Đáp án: -1/1012
Cho hàm số liên tục tại
khi đó giá trị của tham số
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b).
Đáp án: -1/1012
Hàm số xác định tại .
Ta có . Tính
.
Đặt thì
,
thì
.
.
.
Vậy
.
Để hàm số liên tục tại khi
.
Hàm số nào không liên tục tại ?
Ta có hàm số không xác định tại
nên hàm số không liên tục tại
NB
Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng
là
Ta có .
Do đó là một nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
.
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là . Tìm số hạng đầu tiên
và công sai d của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Mặt khác
Cho hàm số . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
?
Ta có:
Đặt . Xét hàm số
trên đoạn
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Lấy
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
Tính giới hạn .
Ta có:
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là gia điểm của
và mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 3
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là gia điểm của
và mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 3
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm trên cạnh
,
nên
.
nên
suy ra
.
Trong
chính là giao điểm của
và
.
Trong , có
nên hai tam giác
và
đồng dạng.
Do đó .
Gọi S là tập nghiệm của phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có
Nhận thấy với nghiệm .
Cho tứ diện , lấy điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với
và
. Xác định các giao tuyến của
và các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Mặt phẳng qua
và song song với
=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
song song với
.
Mặt khác, song song với
nên
cắt
và
theo các giao tuyến
và
với
=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .
Mặt khác
=> Tứ giác là hình bình hành.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Lấy
; (
). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng giả sử
Do đó là giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Vì nên
là hình thang.
Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng) các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
Ta có:
=> và
có điểm cuối trùng nhau
=> và
có điểm cuối trùng nhau.
Gọi S là tập nghiệm của phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình
Xét nghiệm , với k = 1 ta được
.
Cho hình chóp tứ giác , đáy
là tứ giác lồi. Gọi
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Giá trị của giới hạn là:
Ta có:
Giá trị của bằng:
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn thỏa mãn
.
Ta có:
Vậy .
Tìm giới hạn
Ta có:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
a) Đúng
Đúng vì theo tính chất thừa nhận: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không
thẳng hàng.
b) Sai
Sai vì điểm cần thêm điều kiện điểm không thuộc đường thẳng.
c) Đúng
Đúng vì theo các cách xác định một mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai
đường thẳng cắt nhau.
d) Sai
Sai vì cần thêm điều kiện hai mặt phẳng phân biệt.
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
và công sai
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Cho dãy số (un) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Xét tỉ số:
Vậy (un) là dãy số tăng.
Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
Gọi E là trung điểm của AB
Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:
Theo định lí Ta - lét ta có: (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) =>
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1
Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1
Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2
Biết rằng phương trình có nghiệm dạng
với
và
. Tính
.
Điều kiện xác định
Ta có:
=> Phương trình tương đương
=>
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
Điều kiện các định: