Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cos\alpha = - \frac{4}{5} và \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}. Tính H =\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}

    Ta có:

    H = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}

    H = \frac{1}{2}\left( \sin2\alpha -\sin\alpha ight)

    H = \frac{1}{2}\sin\alpha.(2\cos\alpha -1)

    Mặt khác \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1

    \Rightarrow \sin\alpha = \pm \sqrt{1 -\cos^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}

    Do \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \sin\alpha = - \frac{3}{5}

    Khi đó giá trị biểu thức H là: H = \frac{39}{50}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD,M là trung điểm CD,I là điểm ở trên đoạn thẳng AG,BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).

    Do BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB)

    \Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM nên AM = (ACD) \cap (ABG) đúng.

    \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M thẳng hàng nên A,J,M thẳng hàng đúng

    Ta có \left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight. nên DJ = (ACD) \cap (BDJ) đúng.

    Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM

    Nên J là trung điểm của AM sai.

  • Câu 3: Vận dụng

    Biết các số (y + 1)^{2};xy + 1 và (x - 1)^{2} lập thành một cấp số nhân; các số 5x - y;2x + 3y và x + 2y lập thành một cấp số cộng. Tính tổng S = x + y

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} (y + 1)^{2}(x - 1)^{2} = (xy + 1)^{2} \\ (5x - y) + (x + 2y) = 2(2x + 3y) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 2 \\ xy + x + y = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 2x = 5y \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{10}{3} \\y = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.\ \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 0;y = 0 \\x = - \dfrac{3}{4};y = - \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}S = x + 2y = \dfrac{10}{3} + 2.\dfrac{4}{3} = 6 \\S = x + 2y = - \dfrac{3}{4} + 2.\left( - \dfrac{3}{10} ight) = -\dfrac{27}{10} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=2^{n}. Tìm số hạng u_{n+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {2^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

    Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:0,212121\ldots = \frac{a}{b}; 4,333\ldots = \frac{c}{d}. Khi đó:

    a) a + b = 40. Đúng||Sai

    b) Ba số a;b;58 tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

    c) c + d = 15. Sai||Đúng

    d) \lim c = 13. Đúng||Sai

    Ta có: 0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội \frac{1}{100}.

    Vì vậy

    0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}.

    Ta có: 0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là \frac{1}{10}

    Vì vậy

    4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi trung điểm của AB,A'B' lần lượt là I,I'. Qua phép chiếu song song phương AI', mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm I thành điểm nào?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AI//B'I' \\ AI = B'I' \\ \end{matrix} ight. suy ra AIB'I' là hình bình hành.

    Suy ra phép chiếu song song phương AI', mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm I thành B'.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A, \widehat{B} = 60^{0},AB = SB = a. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (P) \cap (ABC) = M \\ (P)//AI \\ AI \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    Do đó giao tuyến của (P) với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

    Tương tự \left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MQ//SB;(M \in SA) \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP//SB;(P \in SC) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy giao tuyến của (P) với hình chóp S.ABC là tứ giác MNPQ.

  • Câu 10: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây?

    Công thức đúng là: \sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho \left( u_{n} ight) là cấp số cộng biết u_{3} + u_{13} = 80. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng

    Ta có:

    u_{3} + u_{13} = 80

    \Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80

    Vậy S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm của BC. Các giao tuyến của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng đi qua điểm M và song song với AC và SB là hình gì?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi mặt phẳng đi qua điểm M và song song với AC và SB là mặt phẳng (\alpha).

    \Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = MN với MN//AC hay MN//AC là trung điểm của AC.

    (\alpha)//SB,N \in (\alpha)

    Suy ra (\alpha) \cap (SAB) = NP với NP//SB hay P là trung điểm của SA.

    (\alpha)//AC,P \in (\alpha)

    Suy ra (\alpha) \cap (SAC) = PQ với PQ//AC hay Q là trung điểm của SC.

    Xét mặt phẳng (ABCD) gọi I = MN \cap CD, trong (SCD) gọi H = QI \cap SD suy ra (\alpha) \cap (SCD) = QH

    Vậy các giao tuyến tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (\alpha) là ngũ giác MNPHQ.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

    Ta có: y = x^{2017} + \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) = x^{2017} + \sin x

    Ta kiểm tra được y = x^{4} + \cos\left( x - \frac{\pi}{3} ight) và y = tan^{2017}x + sin^{2018}x là hàm số không chẵn không lẻ

    y = 2015 + \cos x + sin^{2018}x là hàm số chẵn

    y = x^{2017} + \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) = x^{2017} + \sin x là hàm số lẻ

    Vậy y = x^{2017} + \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight) = x^{2017} + \sin x là hàm số lẻ

  • Câu 14: Nhận biết

    Giá trị của \lim(2n + 1) bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} > \frac{M - 1}{2}

    Ta có:

    2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}.

    = > \lim(2n + 1) = + \infty

  • Câu 15: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.”

  • Câu 16: Nhận biết

    \lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Vận dụng

    Tính tổng A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    Ta có:

    A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    A = 1.(1000 + 999) + 1.(998 + 997) + ... + 1.(2 + 1)

    A = 1999 + 1995 + ... + 3

    Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u_{1} = 1999 và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì

    u_{n} = 3

    \Leftrightarrow u_{1} + (n - 1) = 3

    \Leftrightarrow 1999 + (n - 1)( - 4) = 3

    \Leftrightarrow n = 500

    \Rightarrow T = S_{500} = \frac{\left( u_{1} + u_{500} ight).500}{2} = \frac{(1999 + 3).500}{2} = 500500

  • Câu 18: Thông hiểu

    Kết quả đúng của \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} = \lim\frac{- 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}\ }{\sqrt{3 + \frac{2}{n^{2}}\ }}

    = \frac{- 1 + 0 + 0}{\sqrt{3 + 0}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

    Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 20: Vận dụng

    Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 \leq t \leq 24) cho bởi hàm số h(t) = a\cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + b có đồ thị như hình bên dưới (a,b là các số thực dương). Gọi S là tập hợp tất cả các thời điểm t trong ngày để chiều cao của mực nước biển là 15 mét. Tổng tất cả phần tử của S bằng.

    Đáp án: 36

    Đáp án là:

    Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 \leq t \leq 24) cho bởi hàm số h(t) = a\cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + b có đồ thị như hình bên dưới (a,b là các số thực dương). Gọi S là tập hợp tất cả các thời điểm t trong ngày để chiều cao của mực nước biển là 15 mét. Tổng tất cả phần tử của S bằng.

    Đáp án: 36

    Theo đồ thị ta có: \left\{ \begin{matrix} h(6) = 9 \\ h(24) = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a + b = 9 \\ a + b = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra: h(t) = 3cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + 12.

    Theo đề bài yêu cầu:

    h(t) = 15

    \Leftrightarrow 3cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + 12 = 15

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) = 1

    \Leftrightarrow \frac{\pi}{6}t = k2\pi \Leftrightarrow t = 12k\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì: 0 \leq t \leq 24 nên t = 0,t = 12,t = 24

    Suy ra: S = \left\{ 0;12;24 ight\}

  • Câu 21: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Ta có: \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = \lim_{t ightarrow 10}\frac{45t^{2} - t^{3} - 45 \cdot 10^{2} + 10^{3}}{t - 10}

    \begin{matrix}= \lim_{t ightarrow 10}\dfrac{45(t - 10)(t + 10) - (t - 10)\left( t^{2}+ 10t + 100 ight)}{t - 10} \\\end{matrix}

    = \lim_{t ightarrow 10}\left( - t^{2} + 35t + 350 ight) = 600

    Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 (ngày) là 600 người/ngày.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

    Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng (\alpha) và hai đường thẳng m,n. Khẳng định nào sau đây đúng?

    “Nếu m//(\alpha) và n//(\alpha) thì m,n đồng phẳng.” sai vì có thể chéo nhau.

    “Nếu m \subset (\alpha) và m cắt n thì n cắt (\alpha).” sai vì có thể nằm trên (\alpha) 

    “Nếu m//n và n//(\alpha) thì m//(\alpha).” sai vì có thể nằm trên (\alpha) .

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tất cả các nghiệm của phương trình \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) - \sqrt 3 = 0 là:

    Ta có: \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {x - {{15}^{\text{o}}}} ight) = \sqrt 3

    \Leftrightarrow x - {15^{\text{o}}} = {30^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}

    Vậy suy ra x = {45^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}, k \in \mathbb Z

    Nghiệm của phương trình đã cho là: x = {45^{\text{o}}} + k{180^{\text{o}}}, k \in \mathbb Z.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{a}{b}. Tính tổng Q = a - b.

    Ta có:

    \begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Dãy số \frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{231}{10^{3}}, công sai là q = 10^{- 3}

    \begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Nhận biết

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \left[ { - 2023;\,\,\,2023} ight] để phương trình m\cos x + 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có m\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{m}

    Phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - 1 \leqslant - \frac{1}{m} \leqslant 1

    \Leftrightarrow m \geqslant 1\xrightarrow[{m \in \left[ { - 2023;\,2023} ight]}]{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {1;2;3;...;2023} ight\}.

    Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của tham số m.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi hàm số f(x) không liên tục tại điểm nào sau đây?

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow 1}f(x). Do đó hàm số gián đoạn tại x_{0} = 1.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm giới hạn H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?

    Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = -4 => Chọn đáp án A

    Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -3 => Loại đáp án B

    Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -3 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án C

    Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …

    => u2 – u1 = -4 ≠ u3 – u2 = -2 => Loại đáp án D

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho dãy số =\left( x_{n} ight) thỏa mãn điều kiện x_{1} = 1; x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} với n = 1;2;3;... số hạng x_{2018} bằng:

    Ta có:

    x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    \Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)

    \Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}

    \Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}

    Vậy x_{2018} =\frac{4035}{2018}

  • Câu 34: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.. Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) bằng:

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, biết AC \cap BD \equiv M và AB \cap CD \equiv N. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Vì AC \cap BD \equiv Mnên M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SM.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Chọn câu đúng:

    "Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" đúng.

    Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau => "Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau." sai.

    Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau => "Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song" sai.

    Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau => "Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau" sai.

  • Câu 38: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Tập xác định: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}có nghĩa là

    D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hàm số y =\tan2x. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?

    Tập xác định: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Hàm số y = \tan2x tuần hoàn với chu kì \frac{\pi}{2}, dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight)\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} ight\}

    Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y = \tan x phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số y = tan2x đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{4} ight) và \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight).

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức A =\cos10^{0}.\cos20^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}

    Vì \sin10^{0} eq 0 nên ta có:

    A =\frac{16\sin10^{0}.\cos10^{0}.\cos20^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}

    A =\frac{8\sin20^{0}.\cos20^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}

    A =\frac{4\sin40^{0}.\cos40^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}

    A =\frac{2\sin80^{0}.\cos80^{0}}{16\sin10^{0}}

    A =\frac{\sin160^{0}}{16\sin10^{0}}

    A = \frac{\sin20^{0}}{16\sin10^{0}} =\frac{2.\sin10^{0}.\cos10^{0}}{16\sin10^{0}} =\frac{1}{8}.\cos10^{0}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2)(1)

    f( - 2)f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1)(2)

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty)(3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 43: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \frac{{ \sin 2x}}{{\cos x - 1}}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \cos x - 1 e 0 \Leftrightarrow \cos x e 1 \Leftrightarrow x e k2\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 44: Thông hiểu

    Kết luận nào đúng về tập nghiệm của phương trình \cos\left( \frac{\pi}{3} + \pi x ight) = \sin(\pi x)?

    Ta có:

    \cos\left( \frac{\pi}{3} + \pi x ight) = \sin(\pi x)

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \pi x ight) = \sin(\pi x)

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{6} - \pi x ight) = \sin(\pi x)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\pi x = \dfrac{\pi}{6} - \pi x + k2\pi \\\pi x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + \pi x + k2\pi(L) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x = \frac{1}{12} + k;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \pi x = \frac{\pi}{6} - \pi x + k2\pi.

  • Câu 45: Nhận biết

    Trong các dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n}, dãy nào là cấp số nhân?

    Dãy u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n} là cấp số nhân có \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập