Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}bằng

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Cho \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}bằng

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5nên f(x) - 10\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5(x - 1)hay f(x)\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5x + 5

    Do đó

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{5x + 5 - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4(5x + 5) + 9} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{5(x - 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{5\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)} = 1.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.

    Ta có: u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} nên u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} đúng.

    Do - 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1 nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.

    u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Do \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số không tăng, không giảm.

    Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.

    Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho MN cắt BC tại I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MND) và (BCD).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: D là điểm chung của hai mặt phẳng (MND) và (BCD)

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} I \in MN \subset (MND) \\ I \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight. nên I là điểm chung thứ hai.

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MND) và (BCD) là DI

  • Câu 5: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \pi rad tương ứng với 180^{0}.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho phương trình x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{n} + 1}. Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.

    Điều kiện xác định x^{n} \geq1

    Nếu n là số lẻ thì x^{n} \geq 1\Rightarrow x \geq 1

    Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình

    Vì x = 1 không là nghiệm nên ta xét phương trình với x > 1

    \left\{ \begin{matrix}x^{12} + 1 \geq 2x^{2} \\x^{4}\left( x^{4} - 1 ight) + 1 \geq 2\sqrt{x^{4}\left( x^{4} - 1ight)} = 2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow x^{12} + 1 \geq2x^{2}.2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} = 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} (do x^{12} + 1 \geq 2x^{2} nên dấu bằng không xảy ra)

    Hơn nữa 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} >4x^{4}\sqrt{x^{3} - 1} > 4x^{4}\sqrt{x^{2} - 1};(\forall x >1)

    Do đó phương trình không có nghiệm x >1 với n = 1,2,3,4

    Khi n = 5 ta có phương trình x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{5} +1}

    Giả sử f(x) = x^{12} + 1 -4x^{4}.\sqrt{x^{5} + 1} khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 1; + \infty).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}f(1) = 2 \\f\left( \frac{6}{5} ight) < 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f\left( \frac{6}{5} ight) <0

    => f(x) = 0 có nghiệm

    Vậy n = 5.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)

    Hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight] bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Vận dụng

    Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

    Giả sử trồng được n hàng cây (n \geq 1,n \in N)

    Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u_{1} = 1 và công sai d = 1

    Theo giả thiết ta có:

    S_{n} = 3240

    \Leftrightarrow \frac{n}{2}.\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack = 3240

    \Leftrightarrow n(n + 1) = 6480

    \Leftrightarrow n^{2} + n - 6480 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 80(tm) \\ n = - 81(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có tất cả 80 hàng cây.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Biết \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{5}{4}. Khi đó \sin\alpha.\cos\alpha có giá trị bằng:

    Ta có:

    \sin\alpha.cos\alpha

    = \frac{1}{2}\left\lbrack \left(\sin\alpha + \cos\alpha ight)^{2} - \left( \sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha ight) ightbrack

    = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( \frac{5}{4} ight)^{2} - 1 ightbrack = \frac{9}{32}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Lấy M là trung điểm của AC. Xác định hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (AA'B') theo phương chiếu CB là:

    Hình vẽ minh họa

    Luyện tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

    Gọi N là trung điểm của  AB . Ta có: MN//CB

    Vậy hình chiếu song song của điểm  M  lên \left( {AA'B'} ight) theo phương chiếu CB là điểm N.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính giới hạn: \lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1} +n}

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1}+ n}

    = \lim\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^{2}}} - \dfrac{4}{n}}{\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} +1} = \dfrac{0}{1} = 0

  • Câu 14: Nhận biết

    Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?

    Hai hàm số \left\{ \begin{matrix}y = \cos x \\y = \cot\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight. có cùng chu kì 2π

    Hai hàm số \left\{ \begin{matrix}y = \sin\dfrac{x}{2} \\y = \cos\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight. có cùng chu kì 4π

    Hai hàm số \left\{ \begin{matrix}y = tan2x \\y = cot2x \\\end{matrix} ight. có cùng chu kì \frac{\pi}{2}

    Hàm số y = sinx có chu kì 2π, hàm số y = tanx có chu kì \frac{\pi}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.

    Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.

    Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.

    Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”

  • Câu 16: Thông hiểu

    Phương trình \cos^{2}2x+ \cos 2x-\frac{3}{4}=0 có nghiệm là:

     \begin{matrix} {\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - \dfrac{1}{2}} ight).\left( {\cos 2x + \dfrac{3}{2}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x - \dfrac{1}{2} = 0} \\ {\cos 2x + \dfrac{3}{2} = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {tm} ight)} \\ {\cos 2x = - \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {2x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1}{n + 1} bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Suy ra:

    \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ \forall n > n_{0}

    Vậy \lim\frac{1}{n + 1} = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng u_{3} = 15;d = - 2. Tính u_{n}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.

    Ta có:

    Cấp số cộng có k số hạng gồm có u_{1} = -3 và số hạng cuối u_{k} =23.

    Khi đó:

    u_{k + 1} = u_{1} + (k -1)d

    \Leftrightarrow 23 = - 3 + (k -1).2

    \Leftrightarrow k = 14

    Do đó n = k - 2 = 12

  • Câu 21: Nhận biết

    Giá trị của \lim\sqrt[n]{a} với a> 0 bằng:

    Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.

    • Với  a > 1 thì khi đó: a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)

    Suy ra: 0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0 nên \lim\sqrt[n]{a} = 1

    • Với 0 < a < 1 thì khi đó:  \frac{1}{a} >1 .

    Suy ra: \lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1

    Tóm lại ta luôn có: \lim\sqrt[n]{a} =1 với a > 0 .

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

    Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.

  • Câu 23: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} có nghiệm là ?

     Ta có: \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi, AC \cap BD = O. Gọi (\alpha) là mặt phẳng qua O song song với các đường thẳng AB,SC. Xác định các giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

    Hình vẽ minh hoạ

    Xét mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua O và song song với AB, cắt BC;AD lần lượt tại E,F.

    Trong mặt phẳng (SBC), kẻ đường thẳng song song với SC, cắt SB tại I.

    Trong mặt phẳng (SAB), kẻ đường thẳng song song với AB, cắt SA tại K.

    Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang EFKI với IK//EF.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên các cạnh AB,CD lần lượt lấy các điểm M,N làm trung điểm. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SMN)?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AM//NC;(AB//CD) \\AM = NC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{DC}{2} \\\end{matrix} ight. suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

    Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

    Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

    Ta có: S \in (SAC) \cap (SMN)(*)

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} O \in (SAC);AC \subset (SAC) \\ O \in (SMN);MN \subset (SMN) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow O \in (SAC) \cap (SMN)(**)

    Từ (*) và (**) \Rightarrow (SAC) \cap (SMN) = SO

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho điểm A, đường thẳng d và mặt phẳng (P). Kí hiệu nào sau đây đúng?

    Kí hiệu đúng là: d \subset (P)

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho phương trình lượng giác \left(\sqrt{3} - 1 ight)\sin x + \left( \sqrt{3} + 1 ight)\cos x =2\sqrt{2}\sin2x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với \sin(x + \dfrac{7\pi}{12}) = \sin 2x. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng (0;2\pi) phương trình có 4 nghiệm. Đúng||Sai

    c) Trên khoảng (0;2\pi) thì x = \frac{5\pi}{36} là nghiệm nhỏ nhất. Sai||Đúng

    d) Tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0;2\pi) của phương trình bằng 3\pi. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác \left(\sqrt{3} - 1 ight)\sin x + \left( \sqrt{3} + 1 ight)\cos x =2\sqrt{2}\sin2x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với \sin(x + \dfrac{7\pi}{12}) = \sin 2x. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng (0;2\pi) phương trình có 4 nghiệm. Đúng||Sai

    c) Trên khoảng (0;2\pi) thì x = \frac{5\pi}{36} là nghiệm nhỏ nhất. Sai||Đúng

    d) Tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0;2\pi) của phương trình bằng 3\pi. Đúng||Sai

    Phương trình \Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x + \cos x + \sqrt{3}\cos x - \sin x = 2\sqrt{2}\sin2x

    \Leftrightarrow sin(x + \frac{\pi}{6}) + cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}sin2x

    \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{7\pi}{12} ight) = sin2x

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2x = x + \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi \\2x = \pi - x - \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi \\x = \dfrac{5\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\\end{matrix} ight..

    Do x \in (0;2\pi) nên phương trình có các nghiệm là: \frac{7\pi}{12};\ \frac{5\pi}{36};\ \frac{29\pi}{36};\ \frac{53\pi}{36}.

    Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3\pi.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 28: Nhận biết

    Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?

    Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, các điểm I;Jlần lượt là trung điểm của AD,BC. Biết các giao tuyến của hình chóp và mặt phẳng (IGJ)tạo thành một hình bình hành. Khi đó tìm mối liên hệ độ dài của AB và CD.

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết bài toán ta suy ra được: \left\{ \begin{matrix}IJ//AB//CD \\JI = \dfrac{AB + CD}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét hai mặt phẳng (IGJ), (SAB) có G là điểm chung nên giao tuyến của chúng là đường thẳng EF qua G, EF//AB//CD//IJ\ ;(E \in SA,\ F \in SB)

    Nối các đoạn thẳng EI, FJ ta được hình tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng (IGJ) và các mặt hình chóp là tứ giác EFJI, tứ giác này là hình thang vì EF // IJ.

    Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lý Tha-lét ta có: EF = \frac{2}{3}AB

    Nên để EFJI là hình bình hành ta cần

    EF = IJ \Rightarrow \frac{AB + CD}{2} = \frac{2AB}{3}

    \Leftrightarrow AB = 3CD

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1;4)

  • Câu 31: Vận dụng

    Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=\sqrt{4\sin x+5} lần lượt là:

     Ta có: 

    \begin{matrix} - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - 4 \leqslant 4\sin x \leqslant 4 \hfill \\ \Rightarrow - 4 + 5 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 4 + 5 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant 4\sin x + 5 \leqslant 9 \hfill \\ \Rightarrow 1 \leqslant \sqrt {4\sin x + 5} \leqslant 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} bằng

    Đặt f(x) = x + 1;g(x) = x - 1.

    Ta có \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0 khi x ightarrow 1^{+}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình \cos x -m =0 vô nghiệm?

     Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.

    - Phương trình có nghiệm khi |a| \leq 1.

    - Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

    Phương trình \cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m

    Do đó, phương trình \cos x -m =0 vô nghiệm \Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight..

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Tập xác định của hàm số f(x)là \mathbb{R}.

    Ta có f(1) = \frac{a + 15}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}

    Hàm số đã cho liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC. Gọi J;K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB,SC. Đường thẳng JK song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(n \geq 0). Ba số hạng đầu tiên của dãy đó lần lượt là những số nào dưới đây?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{2} = u_{1} + 3 = 2 \\ u_{3} = u_{2} + 3 = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Rút gọn biểu thức B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... với \sin x eq \pm 1?

    Ta có:

    \begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Vận dụng

    Một cấp số nhân có 5 số hạng, công bội q bằng \frac{1}{4} số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng 24. Xác định cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    u_{1} + u_{2} = u_{1} + u_{1}.q = 24

    \Rightarrow u_{1} + \frac{1}{4}{u_{1}}^{2} = 24

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{1} = - 12;q = - 3 \\ u_{1} = 8;q = 2 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm M' là ảnh của điểm M qua phép chiếu song song phương CC', mặt phẳng chiếu (A'B'C'). Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có phép chiếu song song phương CC', biến C thành C', biến B thành B'.

    Do M là trung điểm của BC suy ra M' là trung điểm của B'C' vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

    Vậy khẳng định đúng là: M'C' = M'B'

  • Câu 41: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

    Ta có 2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}

    = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}

    = cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x

    Vậy S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}

  • Câu 43: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;u_{2} = 2. Khi đó số hạng 2018 là số nào?

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 2 - ( - 2) = 4

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Rightarrow u_{2018} = u_{1} + 2017d = - 2 + 2017.4 = 8066.

  • Câu 44: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây?

    Công thức đúng là: \sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha

  • Câu 45: Thông hiểu

    Tìm tập nghiệm của phương trình \left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0?

    Ta có:

    \left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x + 1 = 0 \\ \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = \sqrt{2}(L) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 12 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập