Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2}{x^2}{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ {\left( {1 - m} ight)x{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;2);(2; + \infty)

    Khi đó hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f(x) liên tục tại x = 2

    Hay \lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(2) = 4m^{2}

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 - m)

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 5; công bội q = -2. Số hạng thứ sáu của (un) là:

    Ta có: {u_6} = {u_1}.{q^{6 - 1}} = 5.{\left( { - 2} ight)^5} = - 160

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong hình học không gian

    Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.

  • Câu 4: Vận dụng

    Gọi x_0 là nghiệm âm lớn nhất của phương trình \cos \left( {5x - {{45}^0}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

     Ta có:

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 5x = {75^0} + k{360^0} \hfill \\ 5x = {15^0} + k{360^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {15^0} + k{72^0} \hfill \\ x = {3^0} + k{72^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    TH1. Với x = {15^0} + k{72^0} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{{24}}

    \Rightarrow {k_{\max }} = - \,1 \to x = - \,{57^0}

    TH2. Với x = {3^0} + k{72^0} < 0 \Leftrightarrow k < - \,\frac{1}{{24}}

    \Rightarrow {k_{\max }} = - \,1 \Rightarrow x = - \,{69^0}

    So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x=-57^0

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

    \frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0

    Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử S bằng:

    Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:

    Với m = 2 bất phương trình trở thành \frac{- 3x^{3} + x^{2} - x + 2}{2x - 3} \leq 0, bất phương trình không đúng với \frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0

    => Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m = 3 bất phương trình trở thành \frac{x^{2} - 2x + 2}{- x^{2} + 2x - 3} \leq 0, tập nghiệm của bất phương trình là \mathbb{R}

    => Thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m = \frac{1}{2} bất phương trình trở thành \dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{2}x +2}{\dfrac{3}{2}x^{2} + 2x - 3} \leq 0, bất phương trình không đúng với x = 1

    => Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m eq 2;m eq 3;m eq \frac{1}{2} đặt \left\{\begin{matrix}f(x) = \dfrac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x +2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \\A = 2m^{2} - 7m + 3 \\\end{matrix} ight. thì A eq 0

    Theo giả thiết ta có:

    f(x) \leq 0 với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)

    Nếu A < 0 thì \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty mâu thuẫn với (*)

    Nếu A > 0 thì \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty mâu thuẫn với (*)

    Vậy S = \left\{ 3 ight\} nên số phần tử của S là 1.

  • Câu 6: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} bằng

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty

    Do \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\ x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy nhỏ DC và M là trung điểm của BC. Giả sử (\alpha) là mặt phẳng qua M và song song với BC và SA, cắt AB tại E và cắt SB tại F. Hình tạo bởi các giao tuyến của (\alpha) với các mặt bên của hình chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt phẳng (\alpha) qua M, song song với BC nên (\alpha) cắt (ABCD) và (SBC) theo giao tuyến a, qua M và song song BC.

    Gọi E = a ∩ AB. Lúc đó (\alpha) qua E và song song SA nên (\alpha) cắt (SAB) theo giao tuyến b, qua E và song song SA.

    Gọi F = b ∩ SB.

    Tương tự, (\alpha) ∩ (SBC) = c, với c qua F và song song BC.

    Gọi Q = c ∩ SC.

    Hình tạo bởi các giao tuyến của (\alpha) với các mặt bên của hình chóp là hình thang MEFQ.

    Vì ME = CD > QF nên hình thang MEFQ có đáy lớn là FQ.

  • Câu 8: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:

     Hàm số sinx là hàm số lẻ

    => Hàm số y = sin5x, y = 3sin2x, y = 4sinx là hàm số lẻ

    Xét hàm số y = |sinx| ta có:

    Hàm số có tập xác định D = R; ∀x ∈ D thì -x ∈ D

    Ta có: f(-x) = |sin⁡( -x)| = |- sinx| = |sinx|

    => f(x)= f(-x) nên hàm số y= |sinx| là hàm số chẵn

    Vậy hàm số y = |sinx| là hàm số chẵn

  • Câu 9: Thông hiểu

    Phương trình lượng giác \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) có nghiệm là:

     \begin{matrix} \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{3} = - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nghiệm phương trình là: \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1)k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\forall \geq 2

    Suy ra 

    u_n<\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+⋯+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})

    =\frac{3}{2}-\frac{1}{n} < \frac{3}{2}

    \Rightarrow 0 < u_n <\frac{3}{2}, \, \, \forall n \in \mathbb{N} ^*

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho đường tròn đường kính 12cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ dài 3cm ?

    d = 12 \Rightarrow R = 6 mà \alpha = \frac{l}{R} vậy số đo (rad) cần tìm là \frac{1}{2}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình 2cos (2x) =-2

    Ta có: 2 \cos 2x = -2 \Leftrightarrow \cos 2x=-1 \Leftrightarrow 2 x= \pi + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} +k \pi , \, k \in \mathbb{Z}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xét đường tròn bán kính 20cm. Cung tròn có số đo 37^{0} có độ dài tương ứng là:

    Độ dài cung tròn góc \alpha (với \alpha có đơn vị là độ):

    l = \frac{R\pi\alpha}{180^{0}} = \frac{20.\pi.37^{0}}{180^{0}} = \frac{37\pi}{9}(cm)

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

    Tìm mệnh đề sai

    Ta có I ∈ (ABC), B ∈ (ABC)

    => BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có u1 = 7; un + 1 = 2un + 3. Khi đó u3 bằng?

    Ta có u3 = 2u2 + 3 = 2 ⋅ (2u1+3) + 3 = 4u1 + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = 2u_{n} \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \frac{1}{2} \\u_{2} = 2u_{1} \\u_{3} = 2u_{2} \\\cdots \\u_{n} = 2u_{n - 1} \\\end{matrix} ight.

    Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots u_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n - 1} \cdot u_{1} \cdot u_{2}\ldots u_{n - 1} \Leftrightarrow u_{n} = 2^{n - 2}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} bằng:

    Ta có \frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}} mà \lim\frac{1}{n^{2}} = 0

    Suy ra \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} = 0.

  • Câu 18: Vận dụng

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Vì \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( \sqrt{3x + 3} + a ight) = 0.

    Suy ra a = - 3.

    Với a = - 3 ta được

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{3x + 3} - 3 ight)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} = \frac{1}{2}.

    Vậy b = 1;c = 2.

    Suy ra a + b + c = 0.

  • Câu 19: Vận dụng

    Biết các số (y + 1)^{2};xy + 1 và (x - 1)^{2} lập thành một cấp số nhân; các số 5x - y;2x + 3y và x + 2y lập thành một cấp số cộng. Tính tổng S = x + y

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} (y + 1)^{2}(x - 1)^{2} = (xy + 1)^{2} \\ (5x - y) + (x + 2y) = 2(2x + 3y) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 2 \\ xy + x + y = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ 2x = 5y \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{10}{3} \\y = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.\ \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 0;y = 0 \\x = - \dfrac{3}{4};y = - \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}S = x + 2y = \dfrac{10}{3} + 2.\dfrac{4}{3} = 6 \\S = x + 2y = - \dfrac{3}{4} + 2.\left( - \dfrac{3}{10} ight) = -\dfrac{27}{10} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a và \lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b. Khi đó:

    a) Giá trị a nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

    b) Giá trị b lớn hơn 0. Đúng||Sai

    c) Phương trình lượng giác \cos x = a có một nghiệm là x = \frac{\pi}{2}. Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = b và u_{1} = a, thì u_{3} = \frac{3}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a và \lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b. Khi đó:

    a) Giá trị a nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

    b) Giá trị b lớn hơn 0. Đúng||Sai

    c) Phương trình lượng giác \cos x = a có một nghiệm là x = \frac{\pi}{2}. Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = b và u_{1} = a, thì u_{3} = \frac{3}{2}. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim\dfrac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} =\lim\dfrac{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{3}} ight)}{n^{3}\left(3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}} ight)}

    = \lim\dfrac{\dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}}}{3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = \dfrac{0}{3} =0

    b) Ta có:

    \lim\dfrac{n\sqrt{n^{2} +1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = \lim\dfrac{n^{2}\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} +\dfrac{3}{n^{4}}}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{4}}}} =\dfrac{1}{2}.

    c) Phương trình lượng giác \cos x = 0 có một nghiệm là x = \frac{\pi}{2}

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = 0, thì u_{3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 21: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của AB, E đối xứng với B qua C, F đối xứng với B qua D. Xác định các giao điểm của mặt phẳng (MEF) với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I = MF \cap AD,H = ME \cap AC

    Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

    Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

    Suy ra \frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}. Chứng minh tương tự ta có: \frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}. Do đó ta có:

    \frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}

    Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên \left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

    MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}

    \Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}

    \Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH

    Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: S_{MHI} = \frac{1}{6}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x \sin x, số nghiệm thuộc \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là?

     Ta có: y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x

    y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x

    Do đó

    y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)

    +) Trường hợp 1. Với x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = \frac{\pi }{3}.

    +) Trường hợp 2. Với x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1 ta được x = \frac{{5\pi }}{3}.

    Vậy có 3 nghiệm thuộc x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là

    x = \frac{\pi }{3}; x = -\frac{\pi }{3}; x = \frac{{5\pi }}{3}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

     Xác định giao tuyến

    Xét (SAD) và (SBC) có:

    S là điểm chung

    AD // BC

    => Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng (P)và hai đường thẳng a,\ \ b. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Xét phương án “Nếu a\ //\ (P) và b \subset (P) thì a\ //\ b” ta có:

    Nếu \left. \ \begin{matrix} a//(P) \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight\} thì a//b hoặc a chéo b, vậy phương án sai.

    Xét phương án “Nếu a\ //\ b và b \subset (P) thì a\ //\ (P).” ta có:

    Nếu \left. \ \begin{matrix} \ \ \ \ a//b \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight\} thì a//(P) hoặc a \subset (P), vậy phương án sai.

    Xét phương án “Nếu a\ //\ b và \left\{ \begin{matrix} b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight. thì a\ //\ (P).” ta có:

    Nếu \left. \ \begin{matrix} \ \ \ \ a//b \\ b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow a//(P), vậy phương án đúng.

    Xét phương án “Nếu a\ //\ (P) và b // (P) thì a\ //\ b” ta có:

    Nếu \left. \ \begin{matrix} a//(P) \\ b//(P) \\ \end{matrix} ight\} thì a//b hoặc a chéo b hoặc a cắt b, vậy phương án sai.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Khẳng định nào sau đây là sai?

    Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."

  • Câu 27: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 2?

    Hàm số y = \frac{x^{2}}{x - 2} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\} nên không liên tục tại x = 2.

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n}

    = \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)

    = 3

    => Dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n là cấp số cộng.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 30: Vận dụng

    Tập giá trị của hàm số y = \frac{\sin3x -2\cos3x + 10}{6\cos x\cos2x - 4\cos^{3}x + 3} có bao nhiêu số nguyên?

    Ta có:

    y = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{6cosxcos2x - 4cos^{3}x + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{3(cos3x + \cos x) - (cos3x + 3cosx) + 3}

    = \frac{sin3x - 2cos3x + 10}{2cos3x + 3}

    \Leftrightarrow (2\cos3x + 3)y = \sin3x -2\cos3x + 10

    \Leftrightarrow (2y + 2)cos3x - sin3x = 10 - 3y

    Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

    (2y + 2)^{2} + ( - 1)^{2} \geq (10 - 3y)^{2}

    \Leftrightarrow 4y^{2} + 8y + 4 + 1 \geq 100 - 60y + 9y^{2}

    \Leftrightarrow 5y^{2} - 68y + 95 \leq 0

    \Leftrightarrow \frac{34 - \sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34 + \sqrt{681}}{5}.

    Mà y\mathbb{\in Z} nên y = \{ 2;3;4;\ldots;12\}.

    Vậy tập giá trị của y có 11 số nguyên.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}

    => 0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi

    => - \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi}{2}

    Điểm cuối cung \alpha - \pi thuộc góc phần tư thứ ba

    => \sin(\alpha - \pi) < 0

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{7} = 26 \\ {u_{2}}^{2} + {u_{6}}^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{7} = 26 \\ {u_{2}}^{2} + {u_{6}}^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 6d = 26 \\ \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 5d ight)^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 13 - 3d \\ \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 5d ight)^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \Rightarrow (13 - 2d)^{2} + (13 + 2d)^{2} = 466

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 4 \Rightarrow u_{1} = 1 \\ d = - 4 \Rightarrow u_{1} = 25 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 33: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình tan (2x) -1 = 0 là?

     Ta có: \tan 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Kết quả của giới hạn \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} bằng

    Có \lim q^{n} = 0 nếu |q| < 1.

    Vì \left| \frac{1}{2} ight| < 1 nên \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = \lim_{x ightarrow- \infty}\dfrac{- x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{- \sqrt{4}}{1} = -2

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành ABCD tâm O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) là

    Ta có (SAC) \cap (SAD) = SA.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để phương trình x^{3} - 3x^{2} + (2m - 2)x + m - 3 = 0 có ba nghiệm phân biệt x_{1},x_{2},x_{3} thỏa mãn x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}?

    Xét hàm số f(x) = x^{3} - 3x^{2} + (2m - 2)x + m - 3 liên tục trên \mathbb{R}

    Giả sử phương trình có ba nghiệm x_{1},x_{2},x_{3} thỏa mãn x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}. Khi đó f(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight)

    Ta có:

    f( - 1) = \left( - 1 - x_{1} ight)\left( - 1 - x_{2} ight)\left( - 1 - x_{3} ight) > 0 (do x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3})

    Mà f( - 1) = - m - 5 nên suy ra - m - 5 > 0 \Rightarrow m < - 5

    Với m < - 5 ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty nên tồn tại a < - 1 sao cho f(x) < 0\ \ (1)

    Do m < - 5 nên f( - 1) = - m - 5 > 0\ \ \ (2)

    f(0) = m - 3 < 0;\ \ \ \ (3)

    \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty nên tồn tại b > 0 sao cho f(b) > 0\ \ (4)

    Từ (1) và (2) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng ( - \infty; - 1)

    Từ (2) và (3) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0)

    Từ (3) và (4) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng (0; + \infty)

    Vậy m < - 5 thỏa mãn m \in ( - 10;10);m\mathbb{\in Z}

    \Rightarrow m \in \left\{ - 9; - 8; - 7; - 6 ight\}

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (\alpha) và phương l. Biết hình chiếu (theo phương l) của tam giác ABC lên mặt phẳng (\beta) là một đoạn thẳng. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Luyện tập Phép chiếu song song KNTT

    Phương án (\alpha)//(\beta): Hình chiếu của tam giác  ABC  vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .

    Phương án (\alpha) \equiv (\beta): Hình chiếu của tam giác  ABC  vẫn là tam giác  ABC .

    Phương án \left\lbrack \begin{matrix} (\alpha)//l \\ (\alpha) \supset l \\ \end{matrix} ight. : Khi phương chiếu  l  song song với  (\alpha)  hoặc chứa trong mặt phẳng  (\alpha) . Thì hình chiếu của tam giác  ABC  là một đoạn thẳng trên mặt phẳng (\alpha) .

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{6} = u_{1} + 5d = 5 + 5.2 = 15.

    b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1).2 = 2n + 3.

    c) Áp dụng công thức tính tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{(n - 1)n}{2}d = 5n + \frac{(n - 1)n}{2}.2 = n^{2} + 4n.

    d) Ta viết lại

    S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20}

    = \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{20} ight) - \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{9} ight)

    = S_{20} - S_{9} = 480 - 117 = 363.

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54. Tính u_{8}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Hàm số y = \sin \frac{x}{5} có chu kì bằng bao nhiêu?

     Chu kì của hàm số y = \sin \frac{x}{5} là: T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| {\dfrac{1}{5}} ight|}} = 10\pi

  • Câu 44: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (P) và điểm A không thuộc mặt phẳng (P). Số đường thẳng đi qua A và song song với (P) là:

    Có vô số đường thẳng đi qua  A  và song song với  (P)  với điểm  A  không thuộc mặt phẳng  (P).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 38 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập