Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính giới hạn N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}.

    Ta có:

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}

    N = - \frac{2}{3}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm giá trị k để hàm số y = f(x) liên tục tại x = 1

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}

    = \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}

  • Câu 3: Nhận biết

    Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được 1 vòng trong 0,1giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 6,28

    Đáp án là:

    Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được 1 vòng trong 0,1giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 6,28

    Số đo góc quay của 1 vòng là 2\pi.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho phương trình lượng giác 2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng ( - \pi;\pi) bằng \frac{7\pi}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác 2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng ( - \pi;\pi) bằng \frac{7\pi}{6}. Đúng||Sai

    Ta có phương trình đã cho tương đương với

    2\left( \sin x + 1 ight)\left( \frac{1 - cos4x}{2} - 3sinx + 1 ight) = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow \left( \sin x + 1 ight)(3 - 6sinx - cos4x) = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow (sinx + 1)(3 - 6sinx) - sinx.cos4x - cos4x = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow 3(1 - 2sin^{2}x) - 3sinx = sin5x + cos4x

    \Leftrightarrow 3cos2x + 3cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} ight) + cos4x

    \Leftrightarrow 3.2.cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 2.cos\left( \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)\left\lbrack 3cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) + \cos\left( \frac{9x}{2} + \frac{3\pi}{4} ight) ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

    Vì x \in ( - \pi;\pi) nên suy ra x = - \frac{\pi}{2},x = \frac{\pi}{6},x = \frac{3\pi}{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng
  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3

  • Câu 7: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = 3\cos(2x+ 1) - 2\sin\left( \dfrac{x}{2} - 3 ight)

    Hàm số y = 3\cos(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T_{1} = \pi

    Hàm số y = - 2\sin\left( \frac{x}{2} - 3ight) tuần hoàn với chu kì T_{2} = 4\pi

    Suy ra hàm số y = 3\cos(2x + 1) -2\sin\left( \frac{x}{2} - 3 ight) tuần hoàn với chu kì T = 4\pi

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi I là trung điểm của AB. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B'D' \subset (B'D'I) \\ BD \subset (ABCD) \\ BD//B'D' \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra giao tuyến của (B'D'I) và (ABCD) là đường thẳng IE qua I song song với BD; (E \in AD).

    Vì IE//B'D' nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình thang IED'B'.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5 và công sai d = 2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = - 5 + \left( {n - 1} ight).2 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 44 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy 81 là số hạng thứ 44

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B').

    Hình vẽ minh họa:

    Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B'). Ta có:

    A,B biến thành B

    A',B' biến thành B'

    C,D biến thành D

    C',D' biến thành D'

    Do đó hình hộp ABCD.A'B'C'D' biến thành hình bình hành BDD'B'.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Biết \lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R}). Giá trị P = b + c bằng

    Đáp án: -13||- 13

    Đáp án là:

    Biết \lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R}). Giá trị P = b + c bằng

    Đáp án: -13||- 13

    Vì \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = 8 là hữu hạn nên phương trình x^{2} + bx + c = 0 có nghiệm x = 3

    \Leftrightarrow 3b + c + 9 = 0 \Leftrightarrow c = - 9 - 3b

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx - 9 - 3b}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 3)(x + 3 + b)}{x - 3}

    = \lim_{x ightarrow 3}(x + 3 + b) = 8 \Leftrightarrow 6 + b = 8 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow c = - 15

    Vậy P = b + c = - 13.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Biết \lim\left( \frac{\left( \sqrt{5} ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} - 3} + \frac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{b} + cvới a,b,c \mathbb{\in Z}. Tính giá trị của biểu thức S = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có:

    \lim\left( \dfrac{\left( \sqrt{5}ight)^{n} - 2^{n + 1} + 1}{5.2^{n} + \left( \sqrt{5} ight)^{n + 1} -3} + \dfrac{2n^{2} + 3}{n^{2} - 1} ight)

    = \lim\left( \dfrac{1 - 2.\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}ight)^{n}}{5.\left( d\frac{2}{\sqrt{5}} ight)^{2} + \sqrt{5} -3.\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} ight)^{n}} + \dfrac{2 + \dfrac{3}{n^{2}}}{1- \dfrac{1}{n^{2}}} ight)

    = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}}{5} + 2

    Vậy S = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1^{2} + 5^{2} + 2^{2} = 30

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) với f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} với x eq 0. Tính f(0).

    Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( - 4; + \infty) nên suy ra

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi M là trung điểm của SB. Gọi F là giao điểm của DM và (SIK). Tính tỉ số \frac{MF}{MD}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi M là trung điểm của SB. Gọi F là giao điểm của DM và (SIK). Tính tỉ số \frac{MF}{MD}.

    Đáp án: 1

    Hình vẽ minh họa

    -Ta có S \in (SIK) \cap (SAC).

    Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = IK \cap AC

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in IK \subset (SIK) \\ E \in AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow E \in (SIK) \cap (SAC)

    Suy ra SE = (SIK) \cap (SAC).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} S \in (SIK) \cap (SBD) \\ BD \subset (SBD),IK \subset (SIK) \\ BD//IK \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SIK) \cap (SBD) = Sx,(\ Sx//BD//IK)

    -Trong mp (SBD), gọi F = Sx \cap DM

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} S \in DM \\ S \in Sx \subset (SIK) \\ \end{matrix} \Rightarrow F = DM \cap (SIK) ight..

    Ta có SF//BD \Rightarrow \frac{MF}{MD} = \frac{MS}{MB} = 1.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giới hạn B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight).

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3 + 2x} ight) = - 1 < 0

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {x + 2} ight) = 0} \\ {x \mapsto {{\left( { - 2} ight)}^ - } \Rightarrow x + 2 < 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight) = + \infty

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

    Hai đường thẳng phân biệt m,n cùng song song với (\alpha) thì m,n có thể cắt nhau cùng nằm trong (\alpha).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC; G là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó giao điểm của đường thẳng MG và (ABC) là

    Hình vẽ minh họa

    Trong (ADN) gọi K = AN \cap MG, mà AN \subset (ABC)

    \Rightarrow K = MG \cap (ABC)

  • Câu 18: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình {\tan ^2}x = 3?

     Ta có {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x

    \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 3{\cos ^2}x \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1

    Vậy {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu 0 < x < \frac{\pi }{2}

     Ta có:  y = \cos \left( {x + \pi } ight) = -\cos x

    Mà 0 < x < \frac{\pi }{2} 

    => y = \cos \left( {x + \pi } ight) mang giá trị âm

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có u_{n} = 5 + 1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1 = 5 + \frac{n(n - 1)}{2}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)

    Ta có:

    \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    = \sqrt{2}\cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} - x ight) ightbrack

    = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)

    Vậy có hai đồng nhất thức.

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O = AC \cap BD;M = AB \cap CD; N = AD \cap BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?

    Hình vẽ minh họa

    Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

  • Câu 25: Nhận biết

    Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?

    Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.

  • Câu 26: Vận dụng

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Đáp án là:

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Gọi u_{n} là tiền lương anh Nam nhận được vào năm thứ n.

    Tại năm đầu tiên, lương anh Nam nhận được là u_{1} = 35000.

    Vì mỗi năm, anh Nam được tăng lương thêm 1400 đô, nên ta có u_{n} = u_{n - 1} + 1400

    Do đó \left( u_{n} ight) là cấp số cộng với u_{1} = 35000,\ d = 1400.

    Tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

    S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2}

    \Leftrightarrow 319200 = \frac{\left\lbrack 2.35000 + (n - 1).1400 ightbrack.n}{2}

    \Rightarrow n = 8.

    Vậy anh Nam mất 8 năm làm việc để được tổng lương là 319200.

  • Câu 27: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} bằng:

    Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1

    Ta có:

    \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a  với mọi n > n_{a}

    Suy ra \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0

  • Câu 28: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

    TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

    TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

    Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

    Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

    Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giải phương trình 4{\sin ^2}x = 3.

    Ta có 4{\sin ^2}x = 3 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

    Với \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Với \sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

    Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là x = k\frac{\pi }{3}.

    Suy ra nghiệm của phương trình \left\{ \begin{gathered} x = k\frac{\pi }{3} \hfill \\ k\frac{\pi }{3} e l\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{k\pi }}{3} \hfill \\ k e 3\ell \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k,\ell \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 31: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Mệnh đề: “Hình biểu diễn của ba điểm thẳng hàng là một tam giác” sai vì hình biểu diễn phải giữ nguyên tính chất thẳng hàng của 3 điểm.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Với n = 1 ta có  − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).

    Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là  − 2 ≤ uk ≤ 1

    \Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1

    Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được  − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy (un) là dãy số bị chặn.

  • Câu 33: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \frac{{ \sin 2x}}{{\cos x - 1}}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \cos x - 1 e 0 \Leftrightarrow \cos x e 1 \Leftrightarrow x e k2\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x = 2. Tính giá trị biểu thức H = a + b.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Từ điều kiện hàm số liên tục tại x = 2ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}

  • Câu 37: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\frac{n + 2}{n^{2} + n + 1}

    Ta có:

    \lim \frac{{n + 2}}{{{n^2} + n + 1}}= \lim \dfrac{{n\left( {1 + \dfrac{2}{n}} ight)}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} ight)}}

    = \lim\left( \dfrac{1}{n}.\dfrac{1 +\dfrac{2}{n}}{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ight) = 0

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho x= \frac{\pi}{2} +k\pi (k \in \mathbb{Z}) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

     Ta có:

    \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 39: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 40: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức A = \cos^{6}15^{0} - \sin^{6}15^{0}

    Ta có:

    \cos^{6}\alpha -\sin^{6}\alpha

    = \left( \cos^{2}\alpha ight)^{3} -\left( \sin^{2}\alpha ight)^{3}

    = \left( \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alphaight)\left( \cos^{4}\alpha + \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alpha +\sin^{4}\alpha ight)

    = \cos2\alpha.\left\lbrack \left(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ight)^{2} - \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alphaightbrack

    = \cos2\alpha.\left( 1^{2} -\dfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha ight)

    Khi đó:

    A = \cos^{6}15^{0} -\sin^{6}15^{0}

    A = \cos30^{0}.\left( 1 -\dfrac{1}{4}\sin^{2}30^{0} ight)

    A = \frac{\sqrt{3}}{2}.\left( 1 - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} ight) = \frac{15\sqrt{3}}{32}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho các đường thẳng a,b,c và các mặt phẳng (\alpha);(\beta). Giả thiết nào sau đây đủ để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b?

    Nếu a \cap b = \varnothing thì a // b hoặc a, b chéo nhau.

    Nếu \left\{ \begin{matrix} a//c \\ b//c \\ \end{matrix} ight. thì a // b hoặc a ≡ b.

    Nếu \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight. thì không kết luận được quan hệ giữa a và b.

  • Câu 42: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Giá trị u10 là?

    Từ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight. ta có un + 1 − un = 5

    ⇒ dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên

    u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47

  • Câu 43: Thông hiểu

    Giới hạn \lim_{}\left( n^{3} - 2023n + 2024 ight) bằng

    Ta có:

    \lim\left\lbrack n^{3} - 2023n + 2024 ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) ight\} = + \infty.

    Vì \left\{ \begin{matrix} \underset{}{\lim\left( n^{3} ight) = + \infty} \\ \lim\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 44: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Mệnh đề: "Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác." sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

    Mệnh đề: "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung." và "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng." sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

    Vậy mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng."

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: \tan x = \tan 3x

    Điều kiện để phương trình có nghĩa:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\text{x}} e 0} \\ {\cos 3{\text{x}} e 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x e \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.\left( * ight)

    Khi đó, phương trình 3{\text{x}} = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} so sánh với đk

    \left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \pi + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,,\,x = \in \left[ {0;30} ight]

    \Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} ight\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;....;9\pi } ight\}

    Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn  [0;30]  của phương trình là: 45\pi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 60 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập