Kết quả giới hạn
, với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Kết quả giới hạn , với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Ta có
.
Suy ra .
Kết quả giới hạn
, với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Kết quả giới hạn , với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Ta có
.
Suy ra .
Biết
, khẳng định nào sau đây đúng?
Với thì
.
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho mặt phẳng
và điểm
không thuộc mặt phẳng
. Số đường thẳng đi qua
và song song với
là
Có vô số đường thẳng đi qua và song song với
với điểm
không thuộc mặt phẳng
.
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Tập nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?
Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.
Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành tâm
, gọi
lần lượt là trung điểm
và
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của
và
.
Do lần lượt là trung điểm
và
nên ta có
là hình bình hành.
Vì .
Khi đó cắt
theo giao tuyến đi qua
và song song với
là
.
Từ đó ta thấy đáp án
, với
là trung điểm
.
, với
là trung điểm
.
, với
là trung điểm
.
Là các đáp án đúng
Vì là trung điểm
suy ra
.
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và tổng
số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức:
?
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
và tổng
số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức:
?
Gọi d là công sai của cấp số cộng. ta có:
mà
Ta có:
Với
Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;
Suy ra có chữ số 0.
Công thức số hạng tổng quát của dãy số là:
Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:
Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
Ta lấy một phản ví dụ:
Dãy số (un) với là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0
Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.
bằng
Ta có:
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
bằng:
Ta có:
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
Ta thấy ở dãy số có
nên đây là cấp số nhân với công bội
.
Cho các số thực
thỏa mãn
. Khi đó số giao điểm của hàm số
với trục
là:
Hàm số xác định và liên tục trên
.
Hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)
Ta có:
suy ra
sao cho
Lại có: suy ra
sao cho
Mặt khác
Từ đó suy ra
Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)
Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính số hạng đầu tiên
và công sai
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho tứ diện
. Trung điểm của các đường thẳng
lần lượt là
. Tìm giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Ta có: (do
là đường trung bình của tam giác
)
Vậy
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*
Với n = 1 ta có − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).
Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ uk ≤ 1
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*
Vậy (un) là dãy số bị chặn.
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
Biết
với
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Vậy
Với
là số nguyên dương,
là hằng số, giới hạn
bằng
Ta có và
nên
Cho ba mặt phẳng phân biệt
có
. Khi đó ba đường thẳng
:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

Ta có:
Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình là điểm A, điểm B.
Tính ![]()
Ta có:
Công bội nguyên dương của cấp số nhân
thỏa mãn
là:
Ta có:
Cho giới hạn
. Khi đó :
a)
khi
Đúng||Sai
b)
khi
Sai||Đúng
c)
khi
Đúng||Sai
d) Có 3 giá trị nguyên của
thuộc
sao cho
là một số nguyên. Đúng||Sai
Cho giới hạn . Khi đó :
a) khi
Đúng||Sai
b) khi
Sai||Đúng
c) khi
Đúng||Sai
d) Có 3 giá trị nguyên của thuộc
sao cho
là một số nguyên. Đúng||Sai
Ta có
Ta có
Kết luận:
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Hình nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp
với
là hình bình hành?
Hình biểu diễn của hình chóp đáy là hình bình hành là hình
Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong khoảng thì hàm số
đồng biến.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của MA và SD.
Hình vẽ minh họa:

Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:
IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB
Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung
=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.
Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.
Rút gọn biểu thức ![]()
Ta có:
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
(mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian
(giờ) trong một ngày
cho bởi hàm số
có đồ thị như hình bên dưới (
là các số thực dương). Gọi
là tập hợp tất cả các thời điểm
trong ngày để chiều cao của mực nước biển là
mét. Tổng tất cả phần tử của
bằng.

Đáp án: 36
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian
(giờ) trong một ngày
cho bởi hàm số
có đồ thị như hình bên dưới (
là các số thực dương). Gọi
là tập hợp tất cả các thời điểm
trong ngày để chiều cao của mực nước biển là
mét. Tổng tất cả phần tử của
bằng.
Đáp án: 36
Theo đồ thị ta có:
Suy ra: .
Theo đề bài yêu cầu:
Vì: nên
Suy ra:
Cho hai hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét hàm số có tập xác định
Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:
Vậy f(x) là hàm số chẵn
Tương tự xét hàm số
Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:
Vậy g(x) là hàm số chẵn.
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
ĐK:
Ta có .
Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Xét trên đường tròn lượng giác ta thấy thuộc góc phần tư thứ II nên ta có:
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
Hàm số không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định .
Giả sử
.
Cho x = 0 và x = π, ta được
Điều này trái với định nghĩa là T > 0
Vậy hàm số không phải là hàm số tuần hoàn.
Tương tự chứng minh cho các hàm số và
không tuần hoàn.
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Hàm số
liên tục trên:
Điều kiện
Tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
theo thứ tự lấy các điểm
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
chứa
và song song với
. Tìm các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến này.
Hình vẽ minh họa:
Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.
Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.
Khi đó ME // NF // CD và
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang
với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.