Cho dãy số
với mọi
. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:
Ta có:
Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48
Cho dãy số
với mọi
. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:
Ta có:
Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét
Suy ra
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Chọn kết quả đúng của
:
Ta có :
Vì nên suy ra:
Cho điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Kí hiệu nào sau đây đúng?
Kí hiệu đúng là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành,
lần lượt là trung điểm của
. Tìm đặc điểm của giao tuyến
của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta thấy là một điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó đi qua
.
Xét ba mặt phẳng .
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà (do
là đường trung bình của tam giác
) nên
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
đi qua
và song song với
.
Hàm số nào sau đây không liên tục trên
?
Hàm số không xác định tại
nên không liên tục tại
.
Do đó không liên tục trên .
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có
là hình bình hành. Lấy
sao cho
. Giả sử
qua M và song song với hai đường thẳng
. Tìm khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng qua M và song song với BD cắt các cạnh CD, CB lần lượt tại E, F.
Xét mặt phẳng (SBC), kẻ FG // SC (G ∈ SB).
Xét mặt phẳng (SCD), kẻ EK // SC (K ∈ SD).
Gọi I là giao điểm của AC và EF, trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng qua I và song song với SC cắt SA tại điểm H.
Khi đó EFGHK là hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp.
Cho hàm số
có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt là
,
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Nên .
Suy ra .
Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm cạnh
, lấy điểm
trên cạnh
sao cho
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đi qua giao điểm của hai đường nào trong các cặp đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa

Gọi I là giao điểm của MN và BC.
Giao tuyến cần tìm là DI.
Do đó giao tuyến ấy đi qua giao điểm của MN và BC.
Giá trị của giới hạn
là:
Ta có:
Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
Ta thấy ở dãy số có
nên đây là cấp số nhân với công bội
.
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án
(Loại)
Xét đáp án
(Chọn)
Xét đáp án
(Loại)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Đặt
=>
Phương trình trở thành:
Do
Vậy để phương trình có nghiệm
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính
.
Ta có:
Khi đó:
=>
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu và công sai lần lượt là
. Số hạng thứ
bằng:
Ta có:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Công thức đúng là:
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành
hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có:
.
Khi đó, tổng số khúc gỗ là:
(khúc gỗ).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(đường trung bình 4SAD)
(đường trung bình 4BAD)
=> O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.
bằng
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là
Giá trị của
bằng:
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra
Vậy: .
Xác định ![]()
Ta có:
Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức
với
tính bằng
và
là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày là:
Do nên
Do đó nhiệt độ thấp nhất trong ngày là .
Dấu bằng xảy ra
Do .
Mà nên
.
Khi đó .
Vậy lúc 3h là thời gian nhiệt độ thấp nhất trong ngày.
Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S
b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S
c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S
d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S
Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S
b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S
c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S
d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S
Xét từng mệnh đề ta có
a) “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
b) “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
c) “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).
d) “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số
không liên tục tại điểm nào sau đây?
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
Vậy nên không tồn tại
. Do đó hàm số gián đoạn tại
.
Số nghiệm của phương trình
thuộc
là
Giải phương trình:
Do
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD
Ta có: mà
nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Trên cạnh
lấy điểm
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số ![]()
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Trên cạnh
lấy điểm
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
+ Cho
Trong mặt phẳng hai đường thẳng
không song song nên gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
. Khi đó
.
+ Ta thấy
+ Trong . Khi đó
.
Xét tam giác , áp dụng định lí Menelaus có:
Xét tam giác , áp dụng định lí Menelaus có:
Vậy .
Cho hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng song song với đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với
".
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính tổng
.
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Cho hàm số
. Số nghiệm của phương trình
trên tập số thực là:
Hàm số là hàm đa thức có tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
=> Hàm số liên tục trên các khoảng
Ta có:
vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng . Tuy nhiên phương trình
là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm
Vậy phương trình có đúng ba nghiệm.
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.
Vậy đồng quy.
Lại có:
Từ đó suy ra và
.
Cho dãy số (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Đẳng thức nào sau đây sai?
Từ định nghĩa cấp số nhân ta có các kết quả sau:
Đáp án C sai
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Gọi
là tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân đã cho có:
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?
Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.
Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Số nghiệm của phương trình
với
là?
4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm
Số nghiệm của phương trình với
là?
4 || Bốn || bốn || 4 nghiệm
Phương trình
Vì
Vì
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.
Đáp án: 20
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.
Đáp án: 20
Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có và công sai
.
Giả sử hội trường có hàng ghế
.
Tổng số ghế có trong hội trường là:
Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì
Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.
Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
. Tính giới hạn
?
Cho hàm số xác định trên
thỏa mãn
. Tính giới hạn
?
Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là?
Ta có:
nên .
Cho
. Tính giá trị
bằng
Ta có: