Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Thu gọn biểu thức A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight) thu được kết quả là:

    Áp dụng công thức về cung liên kết ta có:

    \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight) = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = \sin( - x) = - \sin x

    \sin(\pi - x) = \sin x

    \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \pi + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight)

    = - \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = - \sin( - x) = \sin x

    \sin(\pi + x) = - \sin x

    Suy ra:

    A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight)

    A = - \sin x + \sin x + \sin x - \sin x = 0

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight. Thỏa mãn!

    Ta xét đáp án : u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight. Loại

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho \Delta ABC. Số mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác ABC là:

    Do ba điểm A,B,C không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0 có nghiệm?

     Phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 1} ight)\sin x = m - 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{m - 2}}{{m + 1}}

    Để phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - \,1 \leqslant \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \leqslant 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant 1 + \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \hfill \\ \frac{{m - 2}}{{m + 1}} - 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2m - 1}}{{m + 1}} \geqslant 0 \hfill \\ - \frac{3}{{m + 1}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ m < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ m > - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \geqslant \frac{1}{2}

    là giá trị cần tìm.

  • Câu 6: Vận dụng

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Đáp án là:

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Gọi u_{n} là tiền lương anh Nam nhận được vào năm thứ n.

    Tại năm đầu tiên, lương anh Nam nhận được là u_{1} = 35000.

    Vì mỗi năm, anh Nam được tăng lương thêm 1400 đô, nên ta có u_{n} = u_{n - 1} + 1400

    Do đó \left( u_{n} ight) là cấp số cộng với u_{1} = 35000,\ d = 1400.

    Tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

    S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2}

    \Leftrightarrow 319200 = \frac{\left\lbrack 2.35000 + (n - 1).1400 ightbrack.n}{2}

    \Rightarrow n = 8.

    Vậy anh Nam mất 8 năm làm việc để được tổng lương là 319200.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng {u_1} = - 3;d = 4. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

     Ta có: {u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là:

    Ta có:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 9: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm giới hạn H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính được các giới hạn sau, khi đó:

    a) \lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty Sai||Đúng

    b) \lim\pi^{n} = 0 Sai||Đúng

    c) \lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = + \infty Đúng||Sai

    d) \lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = - \infty Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Tính được các giới hạn sau, khi đó:

    a) \lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty Sai||Đúng

    b) \lim\pi^{n} = 0 Sai||Đúng

    c) \lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = + \infty Đúng||Sai

    d) \lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = - \infty Đúng||Sai

    a) \lim(\sqrt{3})^{n} = +\infty (do \sqrt{3} > 1)

    b) \lim\pi^{n} = + \infty( do \pi > 1)

    c) \lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = \lim n^{3}.\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = + \infty.

    Vì \left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.

    d) \lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = \lim n^{4}.\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - \infty.

    Vì \left\{ \begin{matrix} \lim n^{4} = + \infty \\ \lim\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng
  • Câu 12: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 4) = 5

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{n} = 3 - 5n. Tìm công sai của cấp số cộng?

    Theo giả thiết ta có:

    u_{n + 1} = - 2 - 5n

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1

    Vậy d = - 5

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Hàm số liên tục khi x<1

    hàm số liên tục khi x>1

    Tại x = 1 ta có: f(1)=1

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số liên tục tại x=1

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho f(x) là một đa thức thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24. Tính giá trị

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left( \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ight)}

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 16

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = \frac{1}{12}

    Khi đó

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ightbrack}

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1}.\lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = 24.\frac{1}{12} = 2

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp A.BCD có H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD tam giác. Chọn mệnh đề đúng.

    Gọi I là trung điểm AB.

    Xét tam giác MCD có:

    \frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3} (do H,K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC)

    \ = > HK//CD

  • Câu 19: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight] bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,BC lần lượt lấy các điểm K,L là trung điểm, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho \frac{CN}{DN} = 2. Gọi P = AD \cap (NKL), khi đó tỉ số độ dài giữa AP và DP là:

    Hình vẽ minh họa

    Từ giả thiết bài ra suy ra LK // AC mà (KLN) ∩ (DAC) = d

    => d // AC

    Xét mặt phẳng (DAB) qua N dựng d song song AC

    => {P} = AD ∩ d

    Xét tam giác DAC vì PN // AC theo định lý Ta-lét ta có:

    \frac{DP}{DA} = \frac{DN}{DC} = \frac{PN}{AC}

    Ta lại có: \frac{CN}{DN} = 2 \Rightarrow \frac{DN}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{DP}{DA} = \frac{1}{3}

    \Rightarrow \frac{AP}{DP} = 2

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:

    Hình vẽ minh họa

    Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.

  • Câu 22: Nhận biết

    Công thức nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos3a = 4\cos^{3}a - 3\cos a

  • Câu 23: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = tan2x:

    Hàm số xác định khi cos2x eq 0 \Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z}).

    Tập xác định của hàm số là: D =\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}.

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x \sin x, số nghiệm thuộc \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là?

     Ta có: y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x

    y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x

    Do đó

    y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)

    +) Trường hợp 1. Với x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = \frac{\pi }{3}.

    +) Trường hợp 2. Với x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)

    Do x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] nên - \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}

    Suy ra k = 0 ta được x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1 ta được x = \frac{{5\pi }}{3}.

    Vậy có 3 nghiệm thuộc x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight] của phương trình y''+y=1 là

    x = \frac{\pi }{3}; x = -\frac{\pi }{3}; x = \frac{{5\pi }}{3}.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại x_{0} = 1.

    Ta có: f(1) = 15

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x - 1 + x^{2} - 1 + ... + x^{n} - 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack 1 + (x + 1) + \left( x^{2} + x + 1 ight) + ... + \left( x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1 ight) ightbrack}{x - 1}

    = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}

    Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{n(n + 1)}{2} = 15

    \Leftrightarrow n = 5

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).

    Hình vẽ minh họa

    Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

  • Câu 28: Vận dụng

    Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

    Gọi số hàng cây được trồng là x (hàng)

    Số cây các hàng là: 1; 2; 3; 4; ...; x - 1; x

    Số cây của mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng 

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {d = 1} \end{array}} ight.

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {S_x} = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 3003 = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 6006 = 2x + {x^2} - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 77\left( {tm} ight)} \\ {x = - 78\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có tất cả 77 hàng cây được trồng.

  • Câu 29: Nhận biết

    \lim(5n-4n^{3}) bằng

    Ta có: 

    \begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giải phương trình \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}?

    Ta có:

    PT\Leftrightarrow \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\frac{5\pi}{6}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = - \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình có nghiệm \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Tổng S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1 có kết quả bằng?

    Đặt M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)

    = 1 - \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}

    \Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là - 2;0;2;4;6;.... Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?

    Ta có: u_{1} = - 2 loại các đáp án u_{n} = n - 2 và u_{n} = - 2(n + 1). Ta kiểm tra u_{2} = 0

    Xét đáp án u_{n} = - 2n có u_{2} = - 4 eq 0

    Xét đáp án u_{n} = 2n - 4 có u_{2} = 2.2 - 4 = 0 là đáp án đúng.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho \sin x +cosx = \frac{1}{2}. Tính giá trị biểu thức A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x}

    Do \sin x + cosx = \frac{1}{2} nên bình phương hai vế ta được:

    1 + 2sinx\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrowsin2x = - \frac{3}{4}

    Vậy A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x} =\frac{1 - 3/4}{1 + 3/4} = \frac{1}{7}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

    Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải nằm trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu.

    Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.

    Do đó mệnh đề sai là: “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.”.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Hình vẽ minh họa

    Ta kẻ MN\ //\ AB\ \ (M \in SA), NP\ //BC\ \ (P \in SC), MQ\ //\ BC\ //\ AD\ \ (Q \in SD).

    Vì mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD nên M,\ \ P,\ \ Q đều thuộc (\alpha) và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Khi đó MN//AB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} =\frac{2}{3}.

    Tương tự, ta có được \frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{DA} = \frac{2}{3}.

    Suy ra MN = NP = PQ = QM = \frac{2}{3}AB = \frac{20}{3} và MNPQ là hình vuông.

    Suy ra S_{MNPQ} = \left( \frac{20}{3} ight)^{2} = \frac{400}{9}.

    Khi đó a = 100,b = 9

    Vậy P = a + b + 1 = 110.

  • Câu 36: Nhận biết

    Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?

    Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.

    Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.

    Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)

    Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD. Trung điểm của các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt là M,N,P,Q. Chọn khẳng định đúng.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    (MNP)//(ABCD) \Rightarrow (MNP)//(ABD)

    MP//AC mà AC cắt BD nên khẳng định MP//BD sai.

    MN cắt (SAD) tại M nên khẳng định MN//(SAD) sai.

    MP cắt (SBD) tại trung điểm của MP nên khẳng định MP//(SBD) sai.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

    \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} ight)}}{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.n}} = - \frac{{n + 1}}{n}=> Loại đáp án A

    \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} ight)}^2}}}{{{n^2}}}=> Loại đáp án B

    \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2{u_n}=> Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 2

    Chọn đáp án C

    \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}=> Loại đáp án B

  • Câu 39: Vận dụng

    Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} bằng?

    Ta có \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} ight) = \sin \frac{\pi }{3}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. 

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ 3x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ x = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

    TH1. Với

    x = \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\xrightarrow{{{\text{Cho}}}}\left[ \begin{gathered} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{{24}} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \frac{{7\pi }}{{36}} \hfill \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{7}{{24}} \Rightarrow {k_{\max }} = - \,1 \to x = - \frac{{17\pi }}{{36}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    TH2. Với

    x = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\xrightarrow{{{\text{Cho}}}}\left[ \begin{gathered} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{{11}}{{24}} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \frac{{11\pi }}{{36}} \hfill \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{{11}}{{24}} \Rightarrow {k_{\max }} = - \,1 \to x = - \frac{{13\pi }}{{36}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là x = - \frac{{13\pi }}{{36}} và nghiệm dương nhỏ nhất là x = \frac{{7\pi }}{{36}}.

    Khi đó tổng hai nghiệm này bằng - \frac{{13\pi }}{{36}} + \frac{{7\pi }}{{36}} = - \frac{\pi }{6}.

     

  • Câu 40: Thông hiểu

    Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5;x;y;320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có:

    Các số hạng 5;x;y;320 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\\begin{matrix}q = \dfrac{x}{5} \\y = u_{3} = u_{1}q^{2} = \dfrac{x^{2}}{5} \\320 = u_{4} = u_{1}q^{3} = \dfrac{x^{3}}{25} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 80 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 41: Vận dụng

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{1- sin2x} - \sqrt{1 + sin2x}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi -1\leq \sin2x \leq 1

    Vậy tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R}

  • Câu 42: Nhận biết

    Để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b ta cần giả thiết nào dưới đây?

    Ta có tính chất:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b

  • Câu 43: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây sai?

    Trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thì hàm số y = tanx đồng biến.

  • Câu 44: Nhận biết

    Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

    Ta có:

    \cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x

  • Câu 45: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,17232323.... \hfill \\ = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\ = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 853 \\ n = 4950 \\ \end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập