Trong không gian, đường thẳng
song song với mặt phẳng
nếu
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Trong không gian, đường thẳng
song song với mặt phẳng
nếu
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 => loại đáp án ,
Tại thì y = 1 thay vào hai đáp án
và
thì chỉ có
thỏa mãn
Vậy đồ thị ở hình vẽ đã cho là đồ thị của hàm số
Cho tứ diện
. Trên
,
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
cắt
tại
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng
và
Ta lại có: nên
là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Do đó
Đổi số đo của góc
sang đơn vị radian?
Cách 1: Áp dụng công thức với
ta được:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.
Bước 2: Bấm 120 SHIFT Ans 1 =
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.
Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.
Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.
Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ
Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
là?
Ta có:
= > un = 1 + 13 + 23 + … + (n−1)3
Ta lại có 13 + 23 + … + (n−1)3
Suy ra
Theo giả thiết ta có
Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).
Công thức đúng là:
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
là:
Ta có:
=> M = 12; m = 4
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình
trên đoạn
.
Phương trình
Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số
xác định bởi công thức
với
?
Ta có:
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.
Xét đáp án: loại
Xét đáp án: Chọn
Xét đáp án: Loại
Xét đáp án: loại
Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?
Theo bài ra ta có:
Tính giới hạn của hàm số
khi
.
Ta có:
Tìm giới hạn ![]()
Ta có:
Hàm số
liên tục trên:
Điều kiện
Tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
Cho cấp số nhân (un) có tổng n số hạng đầu tiên là
. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó?
Ta có:
Nếu
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành một cấp số cộng.
Theo giả thiết ta có:
Cho hình lăng trụ
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
là hình bình hành.
Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho tổng
.
Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
bằng:
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Các điểm
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
ta thu được ảnh lần lượt là
. Khi đó tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Vậy suy ra ,
Nghiệm của phương trình đã cho là: ,
.
Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có thể hiểu như sau:
“ Hàm số y = sinx đồng biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ II và III”.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Cho hàm số
hàm số f(x) liên tục tại:
Tập xác định:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục khi
hàm số liên tục khi
Tại x = 1 ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục trên
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho cấp số cộng
có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát
của cấp số cộng.
Theo bài ra ta có:
Dãy số đã cho là cấp số cộng
=>
=>
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
Hỏi trên đoạn
, phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
Ta có
Theo giả thiết, ta có
.
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2023 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho tam giác
. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác
?
Có duy nhất một mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác .
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Gọi S là số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có:
mà
nên
.
Mặt khác
mà
nên
.
Ta lại có nên tồn tại số
sao cho f(m) < 0 và
nên tồn tại số
sao cho
.
Vậy nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Và nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Và nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm chung với trục hoành.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là gia điểm của
và mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 3
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là gia điểm của
và mặt phẳng
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 3
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm trên cạnh
,
nên
.
nên
suy ra
.
Trong
chính là giao điểm của
và
.
Trong , có
nên hai tam giác
và
đồng dạng.
Do đó .
Cho lăng trụ tam giác
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
,
sao cho
. Mệnh đề nào sai?
Hình vẽ minh họa
sai vì
Biết
, khẳng định nào sau đây đúng?
Với thì
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Đường thẳng nào song song với
trong các đường thẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> hay
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
song song với đường thẳng
.
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trọng tâm của tam giác
. Giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
là giao điểm của đường thẳng
và
.
Điều kiện để phương trình
có nghiệm là:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Vậy thì phương trình đã cho có nghiệm.
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Xét dãy số ta có:
=> Dãy số là một cấp số nhân
bằng
Ta có:
Cho
. Biết
(với
tối giản). Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c) Bộ ba số
tạo thành một cấp số cộng có công sai
Đúng||Sai
d) Bộ ba số
tạo thành một cấp số nhân có công bội
Đúng||Sai
Cho . Biết
(với
tối giản). Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Bộ ba số tạo thành một cấp số cộng có công sai
Đúng||Sai
d) Bộ ba số tạo thành một cấp số nhân có công bội
Đúng||Sai
Ta có
.
Do đó suy ra .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đ |
d) Đúng |