Cho hình chóp tam giác
. Trên các cạnh
và
lần lượt lấy các điểm
sao cho
và
. Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
Xét tam giác ta có:
mà
Cho hình chóp tam giác
. Trên các cạnh
và
lần lượt lấy các điểm
sao cho
và
. Khi đó mặt phẳng nào song song với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
Xét tam giác ta có:
mà
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho phương trình
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình đã cho có nghiệm?
Ta có:
thì phương trình có nghiệm.
Trong hình học không gian
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật
=> Dãy số đó là cấp số nhân
Tổng
có công thức thu gọn là?
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.
Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.
Cho dãy số (un) với ![]()
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1
u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:
un = 1 − (n−1) = 2 − n.
Biết các số
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n
Ta có:
Các số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng
?
Xét phương án :
có
=> Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
Đặt , phương trình trở thành:
.
=> Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
Phương trình vô nghiệm.
Xét phương án :
, xét
.
Mặc khác hàm số liên tục trên
do đó liên tục trên
.
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để phương trình
có ba nghiệm phân biệt
thỏa mãn
?
Xét hàm số liên tục trên
Giả sử phương trình có ba nghiệm thỏa mãn
. Khi đó
Ta có:
(do
)
Mà nên suy ra
Với ta có:
nên tồn tại
sao cho
Do nên
nên tồn tại
sao cho
Từ (1) và (2) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng
Từ (2) và (3) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng
Từ (3) và (4) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng
Vậy thỏa mãn
Cho dãy số
, biết
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
Ta có:
Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có: tương ứng với
=>
Cho cấp số cộng
có
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có:
Suy ra , với
là đường thẳng qua
và
.
Hình vẽ minh họa
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có: .
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có .
Xét tam giác , ta có
là đường trung bình
.
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
bằng
Ta có:
Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:
Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.
Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.
…
Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.
Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.
Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:
Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.
Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.
…
Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.
Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
,
lần lượt là các điểm thuộc cạnh
và đoạn
sao cho
và
,
. Tìm tỷ số
để
.
Đáp án: 1
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi
,
lần lượt là các điểm thuộc cạnh
và đoạn
sao cho
và
,
. Tìm tỷ số
để
.
Đáp án: 1
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng giả sử
và
cắt nhau tại điểm
.
Dễ thấy .
Do đó :
(1)
Mặt khác tam giác đồng dạng với tam giác
(2).
Từ (1) và (2)
.
Vậy
. Khi đó
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
để phương trình
có nghiệm?
Ta có
Phương trình có nghiệm
.
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của tham số m.
Cho cấp số nhân
có
. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
Ta có:
Hàm số
liên tục trên:
Ta có:
=> Tập xác định
Vậy hàm số liên tục trên
Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
![]()
Do y = sin (x) có tập giá trị là [-1;1] nên các phương trình có nghiệm;
phương trình vô nghiệm do
Rút gọn biểu thức ![]()
Ta có:
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Tìm giới hạn ![]()
Ta có:
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Ta có:
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
T là chu kì của hàm số là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Xét dãy số ta có:
Vậy dãy số là cấp số nhân với q = 1/3
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
=>
=>
Điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ ba
=>
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
. Đúng||Sai
b) Biết rằng
,
. Khi đó
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Biết
(với
). Khi đó
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) . Đúng||Sai
b) Biết rằng ,
. Khi đó
. Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Biết (với
). Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng.
Vì
b) Sai.
Vì
c) Sai.
Vì
d) Đúng.
Xét thấy là nghiệm của phương trình
(mẫu số) nên
cũng là một nghiệm của phương trình
(tử số)
.
Khi đó:
.
Vậy .
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Rút gọn
với ![]()
Ta có:
là một dãy cấp số nhân với
nên
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Hàm số
có chu kì bằng bao nhiêu?
Chu kì của hàm số là:
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Do
(Định lý Talet)
Xét tam giác có:
(do
là đường trung bình của tam giác)
Lại có:
Vậy và
chéo nhau.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn
?
Cách 1:
Ta có , với
+) .
Lại có nên
+).
Lại có nên
Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn
Cách 2:

Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn phương trình
có 2 nghiệm, tương tự với
.
Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên .
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho một cấp số cộng (Un) có
. Công sai d của cấp số cộng là:
Ta có:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có thể hiểu như sau:
“ Hàm số y = sinx đồng biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ II và III”.
Cho cấp số cộng
có
. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có:
Cho tam giác
nằm trong mặt phẳng
và phương
. Biết hình chiếu (theo phương
) của tam giác
lên mặt phẳng
là một đoạn thẳng. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa

Phương án : Hình chiếu của tam giác
vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .
Phương án : Hình chiếu của tam giác
vẫn là tam giác
.
Phương án : Khi phương chiếu
song song với
hoặc chứa trong mặt phẳng
. Thì hình chiếu của tam giác
là một đoạn thẳng trên mặt phẳng
.
Biết giới hạn
và
. Khi đó:
a) Giá trị
nhỏ hơn 0. Sai||Đúng
b) Giá trị
lớn hơn 0. Đúng||Sai
c) Phương trình lượng giác
có một nghiệm là
. Đúng||Sai
d) Cho cấp số cộng
với công sai
và
, thì
. Sai||Đúng
Biết giới hạn và
. Khi đó:
a) Giá trị nhỏ hơn 0. Sai||Đúng
b) Giá trị lớn hơn 0. Đúng||Sai
c) Phương trình lượng giác có một nghiệm là
. Đúng||Sai
d) Cho cấp số cộng với công sai
và
, thì
. Sai||Đúng
a) Ta có:
b) Ta có:
.
c) Phương trình lượng giác có một nghiệm là
d) Cho cấp số cộng với công sai
và
, thì
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
Hình chóp ngũ giác có 10 cạnh.