Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Do k là số nguyên =>
Vậy tập xác định
Cho dãy số
xác định bởi công thức
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Với ta thấy
Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.
Cho hàm số
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
Hàm số có nghĩa khi
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng
Cho hàm số
. Tính
.
Hàm số đã cho xác định trên và
Giả sử là một dãy số bất kì, thỏa mãn
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Lấy một điểm
thuộc cạnh
. Mặt phẳng
qua M song song với SA và BC. Giả sử
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.
Ta lại có: suy ra
Biết rằng
với
và
tối giản. Khi đó kết quả nào sau đây đúng?
Ta có:
Tính giá trị biểu thức ![]()
Vì nên ta có:
Cho hàm số
. Tìm
để hàm số liên tục tại ![]()
Đáp án: -3||- 3
Cho hàm số . Tìm
để hàm số liên tục tại
Đáp án: -3||- 3
Xét
Hàm số liên tục tại
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Đặt
=>
Phương trình trở thành:
Do
Vậy để phương trình có nghiệm
Cho cấp số nhân
với
và
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Ta có .
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Lấy điểm
thuộc
sao cho
. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Lấy điểm
thuộc
sao cho
. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD
Ta có:
Xét tứ giác BFDC có: suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành
=> BF // DC
Ta có:
Ta có:
Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có:
Mặt khác
Xét tam giác SAC có
Ta có:
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có và số hạng cuối
.
Khi đó:
Do đó
Với giá trị
nào dưới đây thì các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Ta có: lập thành một cấp số nhân
Cho cấp số cộng (Un) có
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và
với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?
Chứng minh
Ta có
Mặt khác nên (1) đúng với n = 1 Giả sử
, ta có
Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1
Ta có
Do đó ta suy ra:
Tổng
có công thức thu gọn là?
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho dãy số vô hạn (un) là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu u1. Hãy chọn khẳng định sai?
Ta có:
Công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Nếu các dãy số
thỏa mãn
và
thì
bằng:
Ta có .
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Các điểm
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
ta thu được ảnh lần lượt là
. Khi đó tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:
Nếu , thì
Tìm tập xác định của hàm số 
Hàm số xác định
Vậy tập xác định
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Tính giá trị giới hạn ![]()
Ta có:
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:
Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Hỏi trên đoạn [-2023; 2023], phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Ta xét phương trình
Theo giả thiết
Vậy có tất cả 644 giá trị nguyên của k tương úng có 644 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho cấp số cộng
với
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
Tính
.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với thì
Với thì
nên (*) đúng với
Giả sử (*) đúng với nghĩa là:
Xét ta có:
Vậy (*) đúng với
Bây giờ ta áp dụng với thì
Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau?
Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó đi qua 3 điểm." đúng
Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một đường thẳng." đúng
Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau." đúng.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Tất cả các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Vậy suy ra ,
Nghiệm của phương trình đã cho là: ,
.
Hỏi trên
, phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
Phương trình
Theo giả thiết
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên .
Cung tròn có số đo là
. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây:
Ta có:
Tìm tập xác định
của hàm số
:
Hàm số xác định khi .
Tập xác định của hàm số là: .
Cho hai số thực
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 1,25
Cho hai số thực thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 1,25
Vì là 1 số hữu hạn và
nên
hay
.
Khi đó:
suy ra
.
Vậy .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của MA và SD.
Hình vẽ minh họa:

Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:
IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB
Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung
=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.
Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.
Cho khai triển
. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.
Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại
Vậy tổng các hệ số của khai triển là:
Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.
Cho các số thực
thỏa mãn
và
. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình
bằng
Đáp án: 3
Cho các số thực thỏa mãn
và
. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình
bằng
Đáp án: 3
Xét hàm số
Theo giả thiết ;
Ta có là hàm đa thức nên liên tục trên
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên
nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng
Từ ;
và
ta có phương trình
có ít nhất 3 nghiệm.
Mặt khác là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm.
Phương án nào sau đây sai với mọi
?
Ta có:
Vậy đáp án sai là: