Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x + 1} ight) = 7 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ x - 2 < 0,x \mapsto 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x} = + \infty

  • Câu 3: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Tổng S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1 có kết quả bằng?

    Đặt M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)

    = 1 - \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}

    \Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Phương trình nào sau đây luôn vô nghiệm.

    Ta có:

    2019\sin x = 2020

    \Rightarrow \sin x = \frac{2020}{2019} > 1

    => Phương trình vô nghiệm.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB//CD;AB = 2CD. Gọi I;J;H;K lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA;AB;CD;SD thỏa mãn 3SI = SA;JA = 2JB;2CD = 3CK;SH = 2DH. Biết AC \cap BD = O và E là trung điểm của SB. Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?

    a) (IJK) \cap (ABCD) = OK Đúng||Sai

    b) (IJK) \cap (SBD) = OH Đúng||Sai

    c) IH//CE Đúng||Sai

    d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (ABCD) là một hình thang. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác DBC có \frac{DO}{DB} =\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//BC

    Xét tam giác ABC có: \frac{AO}{AC} =\frac{AJ}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow OJ//BC

    Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng

    Suy ra (IJK) \cap (ABCD) = OK đúng

    Tương tự ta cũng chúng minh được OH//IJ (Vì OH//SB;IJ//SB)

    Suy ra H \in (IJO) \Rightarrow (IJO) \cap(SBD) = OH

    Gọi F là trung điểm của SA khi đó \frac{SI}{SF} = \frac{SH}{SD} = \frac{2}{3}\Rightarrow IH//DF

    Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.

    Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.

  • Câu 7: Nhận biết

    Rút gọn biểu thức A = \cos^{4}15^{0} - \sin^{4}15^{0}

    Ta có:

    A = \cos^{4}15^{0} -\sin^{4}15^{0}

    A = \left( \cos^{2}15^{0} + \sin^{2}15^{0}ight)\left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0} ight)

    A = \cos^{2}15^{0} -\sin^{2}15^{0}

    A = \cos\left( 2.15^{0} ight) =\cos30^{0} = \frac{\sqrt{3}}{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp S \cdot ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng (\alpha) qua O, song song với SA,CD. Thiết diện tạo bởi (\alpha) và hình chóp là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

    Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

    Gọi I là giao điểm của a với SD.

    Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

    Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

    Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.

  • Câu 11: Vận dụng

    Biết tổng ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 16, đồng thời theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng. Công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

    Gọi u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} là bốn số hạng đầu của cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q.

    Gọi \left( v_{n} ight) là cấp số cộng tương ứng với công sai d.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 16 \\ u_{1} = v_{1} \\ u_{2} = v_{4} = v_{1} + 3d \\ u_{3} = v_{8} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}.q + u_{1}.q^{2} = 16 \\ u_{1}.q = v_{1} + 3d \\ u_{1}.q^{2} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.

    \left( u_{1} eq 0 ight) \Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix}q = 1(ktm) \\q = \dfrac{10}{3}(tm) \\\end{matrix} ight.

    q = \frac{10}{3} \Rightarrow u_{1} = \frac{144}{139}

  • Câu 12: Nhận biết

    Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 theo thứ tự tăng dần?

    Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

    Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Phương trình 2\cos^{2}x - 3\sqrt{3}\sin2x - 4\sin^{2}x = -4 có họ nghiệm là

    Ta có:

    \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

    \Rightarrow \sin^{2}x = 1 là nghiệm của phương trình.

    \cos x eq 0 : Chia 2 vế phương trình cho \cos^{2}x ta được:

    2 - 6\sqrt{3}\tan x - 4\tan^{2}x = -4\left( 1 + \tan^{2}x ight)

    \Leftrightarrow tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân với u_{n} eq 0;n \in\mathbb{N}^{*}. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Giả sử \left( u_{n} ight) là cấp số nhân công bội q thì:

    Dãy u_{1};u_{3};u_{5} là cấp số nhân công bội q^{2}.

    Dãy 3u_{1};3u_{2};3u_{3} là cấp số nhân với công bội 2q.

    Dãy \frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}} là cấp số nhân công bội \frac{1}{q}.

    Dãy u_{1} + 2;u_{2} + 2;u_{3} +2 không là cấp số nhân.

  • Câu 15: Nhận biết

    Để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b ta cần giả thiết nào dưới đây?

    Ta có tính chất:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b

  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2 khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1 Đúng||Sai

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight). Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty Sai||Đúng

    d) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x eq 0 thỏa mãn f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0). Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0 Sai||Đúng

    a) Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = \lim_{x ightarrow 1}f(x) + \lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 1

    b) Ta có:

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là \lim_{x ightarrow a^{+}}f(x) = f(a);\lim_{x ightarrow b^{-}}f(x) = f(b)

    c) \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} ight)}{x\left( 5 +\dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x^{3}.\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}}}{5 + \dfrac{1}{x}} ight)

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{3 - \frac{2}{{{x^3}}}}}{{5 + \frac{1}{x}}}} ight) = \frac{3}{5} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^4} - 2x}}{{5x + 1}} = - \infty

    d) Ta có:

    f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)(*)

    \Rightarrow f\left( \frac{1}{x} ight) + 2f(x) = \frac{3}{x};(x eq 0)(**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 2f(x) = \dfrac{3}{x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\2f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 4f(x) = \dfrac{6}{x} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow f(x) = - x + \frac{2}{x}

    Do đó: \lim_{x ightarrow\sqrt{2}}\dfrac{f(x)}{x - \sqrt{2}} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\left(\dfrac{- x + \dfrac{2}{x}}{x - \sqrt{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)\left( x + \sqrt{2} ight)}{x\left( x - \sqrt{2} ight)} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)}{x} = - 2

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2. Sai||Đúng

    a) \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty, do \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty và \lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1.

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty

    Do \lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty và \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2.

    c) \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0.

    d) \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì a \in (m;n) ( với m,n là hai số nguyên liên tiếp). Tính 100(m + n).

    Đáp án: 2500

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì a \in (m;n) ( với m,n là hai số nguyên liên tiếp). Tính 100(m + n).

    Đáp án: 2500

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục khi x eq 2

    Xét tại x = 2

    Ta có: f\left( 2 ight) = 44; \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( 2x^{2} + 3x + 30 ight) = 44;\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x + 3a + 4) = 3a + 6

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)

    \Leftrightarrow 3a + 6 = 44 \Leftrightarrow a = \frac{38}{3} \in (12;13)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 12 \\ n = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 100(m + n) = 2500

    Đáp án: 2500.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB, hai điểm P,Q phân biệt thuộc đường thẳng CD. Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng MP và NQ là:

    Giả sử đường thẳng MP và NQ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

    Khi đó AB và CD cùng thuộc một mặt phẳng hay ABCD là một tứ giác (trái giả thiết).

    Vậy đường thẳng MP và NQ chéo nhau.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?

    Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính giá trị \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    Ta có:

    \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack

    = - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}bằng

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Cho \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}bằng

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5nên f(x) - 10\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5(x - 1)hay f(x)\overset{x ightarrow 1}{ightarrow}5x + 5

    Do đó

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{5x + 5 - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{4(5x + 5) + 9} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{5(x - 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{5\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{20x + 29} + 3 ight)} = 1.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Xác định nghiệm của phương trình - \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)?

    Ta có:

    - \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)

    \Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 25: Vận dụng

    Tính tổng S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n với n \geq 1;n\mathbb{\in N}.

    Với \forall n \in \mathbb{N}^{*} thì (2n - 1) - 2n = - 1

    Ta có:

    S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n

    S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + \left\lbrack (2n - 1) - 2n ightbrack

    Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..

    => S = - 1

    Ta có: 1;3;5;...;2n - 1 và 2;4;6;...;2n là cấp số cộng có n số hạng nên.

    S = (1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n)

    S = \frac{n}{2}.(1 + 2n - 1) - \frac{n}{2}.(2 + 2n)

    S = n^{2} - \left( n^{2} + n ight) = - n

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khảng định đúng là: "Giao tuyến của (∝), (β) song song với d".

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số \frac{FA}{FD}

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,\ \ J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số \frac{FA}{FD}

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    + Cho AD \subset (ACD)

    Trong mặt phẳng (BCD) hai đường thẳng IK,\ \ CD không song song nên gọi E là giao điểm của hai đường thẳng IK và CD. Khi đó E \in (ACD).

    + Ta thấy (ACD) \cap (IJK) = EJ

    + Trong (ACD):\ \ EJ \cap AD = F. Khi đó (IJK) \cap AD = F.

    Xét tam giác BCD, áp dụng định lí Menelaus có:

    \frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2

    Xét tam giác ACD, áp dụng định lí Menelaus có:

    \frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}

    Vậy \frac{FA}{FD} = 2.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy một điểm M trên cạnh SB;(M eq S;M eq B). Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (ADM) với hình chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    Sử dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có giao tuyến của ( ADM ) với (SBC) là MN sao cho MN // BC.

    Ta có: MN // BC // AD nên thiết diện AMND là hình thang.

  • Câu 29: Nhận biết

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} liên tục tại điểm nào dưới đây?

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}

    Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định D.

    Khi đó x = 1 \in D suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khẳng định đúng: "Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip."

  • Câu 31: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} bằng:

    Ta có \frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}} mà \lim\frac{1}{n^{2}} = 0

    Suy ra \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} = 0.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{1} \in (2; + \infty)sao cho y\left( x_{1} ight) = 0(1).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ y( - 2) = - 2 + 4a - 2b + c > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{2} \in ( - 2;2)sao cho y\left( x_{2} ight) = 0(2).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{3} \in ( - \infty; - 2)sao cho y\left( x_{3} ight) = 0(3).

    Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng 3.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Giá trị của giới hạn \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}};\left( |a| < 1,|b| < 1 ight) bằng:

    Ta có:

    1 + a + a^{2} + ... + a^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a

    => 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1.\left( 1 - a^{n + 1} ight)}{1 - a} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}

    Tương tự:

    1 + b + b^{2} + ... + b^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b

    => 1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1.\left( 1 - b^{n + 1} ight)}{1 - b} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}

    \Rightarrow \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}} = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 34: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = \tan3x +\cot x

    Hàm số y = \tan3x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = \cot x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \tan3x + \cot x tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng GK và AC có một điểm chung. Sai||Đúng

    c) Đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD). Đúng||Sai

    d) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEFlà hình bình hành. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng GK và AC có một điểm chung. Sai||Đúng

    c) Đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD). Đúng||Sai

    d) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEFlà hình bình hành. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng.

    Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) có hai điểm chung là A và B nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB.

    b) Sai.

    Gọi H là trung điểm của SD. Ta có:

    Trong tam giác SAD, có AH là đường trung tuyến và G là trọng tâm, nên \frac{HG}{HA} = \frac{1}{3}\ \ (1).

    Trong tam giác SCD, có CH là đường trung tuyến và K là trọng tâm, nên \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}\ \ (2).

    Trong tam giác HAC và từ (1), (2) ta có \frac{HG}{HA} = \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}, suy ra GK//AC.

    c) Đúng.

    Mặt phẳng (ABCD) không chứa đường thẳng GK và theo kết quả câu b) ta có GK//AC.

    Mà AC nằm trong mặt phẳng (ABCD).

    Nên đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD).

    d) Đúng.

    Gọi mặt phẳng (P) chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD).

    Nên mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (SAD) theo một giao tuyến d_{1} song song với AD.

    Mà mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAD) có một điểm chung là G, nên đường thẳng d_{1} đi qua G và song song với AD.

    Theo giả thiết, mặt phẳng (P) cắt SA,SD lần lượt tại M,F nên đường thẳng d_{1} cắt SA,SD lần lượt tại M , F. Hay MF//AD.

    Tương tự, ta có FE//CD, EN//BC, NM//AB.

    Do đó, tứ giác MNEF có FE//MN (vì cùng song song với AB,CD) và EN//MF (vì cùng song song với AD,BC).

    Vậy tứ giác MNEFlà hình bình hành.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 37: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2m\sin^{2}x + 4\sin x\cos x - 4\cos^{2}x = 0 vô nghiệm?

    Ta có:

    2m\sin^{2}x + 4\sin x\cos x -4\cos^{2}x = 0

    \Leftrightarrow m(1 - \cos2x) + 2\sin2x -2(1 + \cos2x) = 0

    \Leftrightarrow 2\sin2x - (m + 2)\cos2x = 2- m
    Phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow 4 +(m + 2)^{2} < (2 - m)^{2}

    \Leftrightarrow 4 + m^{2} + 4m + 4 <4 - 4m + m^{2}

    \Leftrightarrow 8m + 4 < 0\Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 

    Ta có: \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1

    Vậy công sai của cấp số nhân là 2x - 1

    Vậy số hạng tiếp theo sẽ là: \left( {4{x^2} - 1} ight)\left( {2x - 1} ight) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1

  • Câu 39: Nhận biết

    Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng

     Kí hiệu tên của mặt phẳng là (P).

  • Câu 40: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f(x) = \tan x là:

    Ta có: f(x) = \tan x xác định khi và chỉ khi

    \cos x eq 0

    \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là: \mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 41: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

     Mệnh đề sai: \sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi

    Sửa lại:

    \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi ;(k \in \mathbb{Z})

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 có nghiệm:

     Đặt t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)

    => \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

    Phương trình trở thành:

    \begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do  {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy để phương trình có nghiệm

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 43: Thông hiểu

    Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)

    Ta có:

    Với n=0=>S=1

    Với n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2

    Với n = 2 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3

    Dự đoán S = n + 1\left( * ight) ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.

    Với n = 0 đương nhiên (*) đúng.

    Giả sử (*) đúng với n=k tức là:

    \begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là S=n+1

  • Câu 44: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Đáp án đúng là: \sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a

  • Câu 45: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 31 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập