Cho hình chóp
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho khai triển
. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.
Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại
Vậy tổng các hệ số của khai triển là:
Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.
Vậy đồng quy.
Lại có:
Từ đó suy ra và
.
Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
Ta có
Vậy
Tìm chu kì T của hàm số lượng giác ![]()
Hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì
Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì
=> Hàm số tuần hoàn với chu kì là
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Phương trình lượng giác
có nghiệm là ?
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy C=1.
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại
?
Ta có: nên hàm số
gián đoạn tại điểm
Chu kì của hàm số
là số nào sau đây?
Chu kì của hàm số là
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17. Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư là 14. Tính công sai d của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có và số hạng cuối
.
Khi đó:
Do đó
Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?
Ta có:
bằng:
Ta có:
Giải phương trình ![]()
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó
là đường thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)
Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).
Vậy P là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Cho
là một đa thức thỏa mãn
. Tính giá trị

Ta có:
Khi đó
Xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai mặt phẳng và
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong
đều song song với
.”.
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Biết ba số
lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
Để ba số lập thành một cấp số nhân thì
Vậy tổng các giá trị của m là
Phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình:
Cho hình hộp
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Ta có là hình bình hành nên
Tương tự ta có . Từ đó suy ra
và
.
Vậy
Giá trị của
bằng:
Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra
Cho dãy số
là một cấp số nhân với
. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Giả sử là cấp số nhân công bội
thì:
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân công bội
.
Dãy không là cấp số nhân.
Cho
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
Ta có thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác
=>
Cho tam giác
nằm trong mặt phẳng
và phương
. Biết hình chiếu (theo phương
) của tam giác
lên mặt phẳng
là một đoạn thẳng. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa

Phương án : Hình chiếu của tam giác
vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .
Phương án : Hình chiếu của tam giác
vẫn là tam giác
.
Phương án : Khi phương chiếu
song song với
hoặc chứa trong mặt phẳng
. Thì hình chiếu của tam giác
là một đoạn thẳng trên mặt phẳng
.
Phương trình
có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng
là:
Giải phương trình:
Do =>
thỏa mãn
Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây sai?
Ta có:
=> Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.
Vậy chỉ có khẳng định sai.
Cho tứ diện
cạnh bằng 1. Gọi
là trung điểm của
,
đối xứng với
qua
,
đối xứng với
qua
. Xác định các giao điểm của mặt phẳng
với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.
Suy ra . Chứng minh tương tự ta có:
. Do đó ta có:
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:
Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:
Cho hàm số
và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn
. Sai||Đúng
b) Giới hạn
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hàm số và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn . Sai||Đúng
b) Giới hạn . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) .
b) .
c) .
d) .
có nghĩa khi nào?
Để có nghĩa thì
=>
Dãy số (un) xác định bởi
và dãy số (vn) xác định bởi
. Tính
.
Ta có:
nên dãy
là cấp số nhân với công bội
Lại có: , khi đó ta có:
Cộng vế theo vế ta được
Do đó:
=>
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Biết
liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Dễ thấy liên tục trên mỗi khoảng
và
. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại
Tức là ta cần có:
Ta có:
Khi đó (*) trở thành
Đổi số đo của góc
sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.
Áp dụng công thức với
tính bằng rad và
tính bằng độ.
Ta có: khi đó:
Giá trị của
bằng:
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện với
là cấp số cộng.
Cho hàm số
. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
?
Ta có:
Đặt . Xét hàm số
trên đoạn
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.
Cho hình hộp
. Mặt phẳng
qua
cắt hình hộp theo là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Giả sử qua
cắt
theo giao tuyến
, khi đó thiết diện là tứ giác
.
Vì nên MN // AB.
Mặt khác nên
là hình bình hành.
Lập luận tương tự cho trường hợp qua
cắt
theo giao tuyến
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
là trung điểm của
và
là giao điểm của
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
mà
và
là trọng tâm tam giác
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng
?
Vì nên
.
Tứ diện
có thể xem là hình chóp tam giác bằng bao nhiêu cách?
Có 4 cách là: .
Cho dãy số (un) với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?
Ta có
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: .
Cho hàm số
. Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại
.
Ta có:
Hàm số f(x) liên tục tại khi và chỉ khi