Cho cấp số nhân (un) có
và công bội q = 3. Số hạng u2 là:
Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6
Cho cấp số nhân (un) có
và công bội q = 3. Số hạng u2 là:
Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6
Cho tứ diện
. Lấy
sao cho
. Giả sử
là mặt phẳng qua
song song với
. Xác định các giao tuyến của tứ diện
và mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Giả sử cắt các mặt của tứ diện
và
theo hai giao tuyến
và
.
Ta có:
Theo định lí Ta – lét ta có:
=> là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng
là hình bình hành
.
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Tính giới hạn
.
Ta có:
Tính ![]()
Ta có:
Biết giới hạn
. Khi đó:
a) Giá trị
lớn hơn 0. Sai||Đúng
b) Ba số
tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng
. Sai||Đúng
c) Trên khoảng
phương trình lượng giác
có 3 nghiệm. Sai||Đúng
d) Cho cấp số nhân
với công bội
và
, thì
. Đúng||Sai
Biết giới hạn . Khi đó:
a) Giá trị lớn hơn 0. Sai||Đúng
b) Ba số tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng
. Sai||Đúng
c) Trên khoảng phương trình lượng giác
có 3 nghiệm. Sai||Đúng
d) Cho cấp số nhân với công bội
và
, thì
. Đúng||Sai
a) Ta có:
b) Ba số tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1
c) Trên khoảng phương trình lượng giác
có 2 nghiệm
d) Cho cấp số nhân với công bội
và
, thì
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dã số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho
. Khi đó:
a) Khi
thì
. Đúng||Sai
b) Khi
thì
. Sai||Đúng
c) Khi
thì
. Sai||Đúng
d)
thì giá trị của
là một nghiệm của phương trình
. Đúng||Sai
Cho . Khi đó:
a) Khi thì
. Đúng||Sai
b) Khi thì
. Sai||Đúng
c) Khi thì
. Sai||Đúng
d) thì giá trị của
là một nghiệm của phương trình
. Đúng||Sai
Ta có:
.
Vì vậy giá trị của là một nghiệm của phương trình
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Tổng
có công thức thu gọn là?
Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính
.
Điều kiện xác định
Ta có:
=> Phương trình tương đương
=>
Cho hình hộp
. Xác định mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có:
Mặt khác
=> là mệnh đề sai.
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số
không liên tục tại điểm nào sau đây?
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
Vậy nên không tồn tại
. Do đó hàm số gián đoạn tại
.
Cho dãy số có các số hạng đầu là
Số hạng tổng quát của dãy số này là
Ta có
Suy ra
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đường thẳng
và
có một điểm chung. Sai||Đúng
c) Đường thẳng
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Khi đó, tứ giác
là hình bình hành. Đúng||Sai
Cho hình chóp , có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
b) Đường thẳng và
có một điểm chung. Sai||Đúng
c) Đường thẳng song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) Mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Khi đó, tứ giác
là hình bình hành. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng
.
b) Sai.
Gọi là trung điểm của
. Ta có:
Trong tam giác , có
là đường trung tuyến và
là trọng tâm, nên
.
Trong tam giác , có
là đường trung tuyến và
là trọng tâm, nên
.
Trong tam giác và từ
,
ta có
, suy ra
.
c) Đúng.
Mặt phẳng không chứa đường thẳng
và theo kết quả câu b) ta có
.
Mà nằm trong mặt phẳng
.
Nên đường thẳng song song với mặt phẳng
d) Đúng.
Gọi mặt phẳng chứa đường thẳng
và song song với mặt phẳng
.
Nên mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo một giao tuyến
song song với
.
Mà mặt phẳng và mặt phẳng
có một điểm chung là
, nên đường thẳng
đi qua
và song song với
.
Theo giả thiết, mặt phẳng cắt
lần lượt tại
nên đường thẳng
cắt
lần lượt tại
. Hay
.
Tương tự, ta có ,
,
.
Do đó, tứ giác có
(vì cùng song song với
) và
(vì cùng song song với
).
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Tập nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:
Cho hàm số
. Khi hàm số liên tục trên
thì
( với
là hai số nguyên liên tiếp). Tính
.
Đáp án: 2500
Cho hàm số . Khi hàm số liên tục trên
thì
( với
là hai số nguyên liên tiếp). Tính
.
Đáp án: 2500
TXĐ:
Hàm số liên tục khi
Xét tại
Ta có: ;
;
Để hàm số liên tục trên thì
Đáp án: .
Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Ta có:
Độ cao của quả bóng sau mỗi lần nảy lên là một cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u1 = 55,8m,
Sau khi nảy lên, qua bóng rơi xuống một quãng đường đúng bằng chiều cao.
Từ đó tổng quãng đường mà quả bóng đã di chuyển là
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển nằm trong khoảng .
Cho một cấp số cộng
có
. Tìm
?
Theo bài ra ta có:
Cho
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Do nên bình phương hai vế ta được:
Vậy
Tìm x và y để dãy số
là một cấp số cộng?
Để dãy số là một cấp số cộng thì
Cho
là một đa thức thỏa mãn
. Tính giá trị

Ta có:
Khi đó
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được
vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Số đo góc quay của vòng là
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Gọi S là số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có:
mà
nên
.
Mặt khác
mà
nên
.
Ta lại có nên tồn tại số
sao cho f(m) < 0 và
nên tồn tại số
sao cho
.
Vậy nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Và nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Và nên phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm chung với trục hoành.
Hàm số
tuần hoàn có chu kì
khi
Hàm số có nghĩa
.
Chu kì của hàm số .
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Cho phương trình
, nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Cho hình chóp
, gọi
là trung điểm của
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: là điểm chung của mặt phẳng
và
(*)
Ta có:
=> là điểm chung của mặt phẳng
và
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu và công sai lần lượt là
. Số hạng thứ
bằng:
Ta có:
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về "góc lượng giác"?
Trên đường tròn định hướng, góc hình học có phân biệt điểm đầu
và điểm cuối
là góc lượng giác.
Cho tứ diện
,
là trọng tâm tam giác
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì nên
.
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Mà nên
Vậy tập xác định
Cho dãy số
là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
.
Theo công thức số hạng tổng quát ta có ,
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Nếu
thì khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta lại có:
Giá trị của
bằng:
Ta có mà
Suy ra
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
là trung điểm của
,
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
Trường hợp 1:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Gọi
Nếu
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Nếu . Gọi
Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Trường hợp 2:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp là tam giác
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?
Ta có:
Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: (triệu), công sai là 0,5 (triệu).
Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.
Từ đó ta có
(triệu đồng)
Số nghiệm thuộc đoạn
của phương trình: ![]()
Điều kiện xác định
Vậy có tất cả 15 nghiệm.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
Kiểm tra được là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
là hàm số không chẵn không lẻ
là các hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành:
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng đôi một song song.
Vậy các đáp án đúng là:
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Thành hai đường thẳng song song.