Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 2: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây?

    Công thức đúng là: \sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm M' là ảnh của điểm M qua phép chiếu song song phương CC', mặt phẳng chiếu (A'B'C'). Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có phép chiếu song song phương CC', biến C thành C', biến B thành B'.

    Do M là trung điểm của BC suy ra M' là trung điểm của B'C' vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

    Vậy khẳng định đúng là: M'C' = M'B'

  • Câu 4: Nhận biết

    Giới hạn L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} bằng:

    Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

    L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3

  • Câu 5: Vận dụng

    Phương trình \cot x=\sqrt 3 có bao nhiêu nghiệm thuộc \left[ { - 2022\pi \,,\,2022\pi } ight]?

     Ta có: \cot x=\sqrt 3

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}, mà - 2022\pi \leqslant x \leqslant 2022\pi.

    \Rightarrow - 2022\pi \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2022\pi

    \Leftrightarrow - 2022 \leqslant \frac{1}{6} + k \leqslant 2022

    \Leftrightarrow - 2022 - \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2022 - \frac{1}{6}.

    Suy ra - 2022\pi \leqslant x \leqslant 2022\pi, k \in Z.

    Vậy \cot x=\sqrt 3 có 4044 nghiệm thuộc \left[ { - 2022\pi \,,\,2022\pi } ight].

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty, do \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}ta được kết quả bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}

    = \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2.

  • Câu 8: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 9: Thông hiểu

    Biết  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}, trong đó a,b là hai số nguyên dương và phân số \frac{a}{b} tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = a^{2} + b^{2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}

    \Rightarrow a = 3;b = 2

    \Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13

  • Câu 10: Vận dụng

    Tìm chu kì T của hàm số y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x

    Ta có:

    \begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}

    Hàm số y = 3.\cos6x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = - 2\cos2x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5) tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 11: Thông hiểu

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

    1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

    Đáp án là:

    Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

    1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

    Phương trình \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = - 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{3}{2}\,\,\,\,\,(VL) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

  • Câu 12: Nhận biết

    Phương trình \tan x = \tan 3x có nghiệm là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \tan x = \tan 3x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan x \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

    u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng GK và AC có một điểm chung. Sai||Đúng

    c) Đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD). Đúng||Sai

    d) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEFlà hình bình hành. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng GK và AC có một điểm chung. Sai||Đúng

    c) Đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD). Đúng||Sai

    d) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA,SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Khi đó, tứ giác MNEFlà hình bình hành. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng.

    Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) có hai điểm chung là A và B nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là đường thẳng AB.

    b) Sai.

    Gọi H là trung điểm của SD. Ta có:

    Trong tam giác SAD, có AH là đường trung tuyến và G là trọng tâm, nên \frac{HG}{HA} = \frac{1}{3}\ \ (1).

    Trong tam giác SCD, có CH là đường trung tuyến và K là trọng tâm, nên \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}\ \ (2).

    Trong tam giác HAC và từ (1), (2) ta có \frac{HG}{HA} = \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}, suy ra GK//AC.

    c) Đúng.

    Mặt phẳng (ABCD) không chứa đường thẳng GK và theo kết quả câu b) ta có GK//AC.

    Mà AC nằm trong mặt phẳng (ABCD).

    Nên đường thẳng GK song song với mặt phẳng (ABCD).

    d) Đúng.

    Gọi mặt phẳng (P) chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD).

    Nên mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (SAD) theo một giao tuyến d_{1} song song với AD.

    Mà mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAD) có một điểm chung là G, nên đường thẳng d_{1} đi qua G và song song với AD.

    Theo giả thiết, mặt phẳng (P) cắt SA,SD lần lượt tại M,F nên đường thẳng d_{1} cắt SA,SD lần lượt tại M , F. Hay MF//AD.

    Tương tự, ta có FE//CD, EN//BC, NM//AB.

    Do đó, tứ giác MNEF có FE//MN (vì cùng song song với AB,CD) và EN//MF (vì cùng song song với AD,BC).

    Vậy tứ giác MNEFlà hình bình hành.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight). Xác định u_{15} biết rằng u_{2} = 3;u_{4} = 7?

    Ta có:

    u_{4} - u_{2} = u_{1} + 3d - \left( u_{1} + d ight) = 2d = 4 \Rightarrow d = 2

    Khi đó: u_{1} = u_{2} - d = 3 - 2 = 1

    Suy ra u_{15} = u_{1} + 17d = 1 + 17.2 = 35

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SC. Khằng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OM là đường trung bình tam giác SAC nên OM//SA, mà SA \subset (SAD) và OM ⊄ (SAD) suy ra OM//(SAD).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a và \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b. Khi đó:

    a) Tích a.b = 3. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D(a;1brack. Đúng||Sai

    c) Giá trị b là số lớn hơn 0. Đúng||Sai

    d) Phương trình lượng giác \cos x = b vô nghiệm. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a và \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b. Khi đó:

    a) Tích a.b = 3. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D(a;1brack. Đúng||Sai

    c) Giá trị b là số lớn hơn 0. Đúng||Sai

    d) Phương trình lượng giác \cos x = b vô nghiệm. Sai||Đúng

    Ta có: \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = \lim n^{3}\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - \infty,

    Do \left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 12 \cdot 4^{n}}

    = \lim\frac{4^{n}\left( 1 + \frac{3}{4^{n}} ight)}{4^{n}\left( \frac{1}{4^{n}} + 12 ight)} = \lim\frac{1 + \frac{3}{4^{n}}}{\frac{1}{4^{n}} + 12} = \frac{1}{12}

    a) Tích a.b = - \infty

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D( - \infty;1brack

    c) Giá trị \frac{1}{12} là số lớn hơn 0

    d) Phương trình lượng giác \cos x = \frac{1}{12} có nghiệm

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 18: Vận dụng

    Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết ABCD là hình vuông cạnh a. Các tam giác S_{1}AB;S_{2}BC;S_{3}CD;S_{4}DA là các tam giác cân bằng nhau. Gọi G;G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác S_{1}AB và S_{3}CD. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác S.ABCD (các điểm S_{1};S_{2};S_{3};S_{4}trùng vào đỉnh S). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng GG'.

    Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

    Từ giả thiết ta có:

    \frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{GG'}{MN} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow GG' = \frac{2}{3}MN = \frac{2a}{3}

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong mặt phẳng (\alpha), cho tứ giác ABCDcó ABcắt CDtại E, ACcắt BD tại F, S là điểm không thuộc (\alpha). Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là

    Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai điểm chung là S và E nên có giao tuyến là đường thẳng SE.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cung tròn bán kính bằng 8,43cm có số đo 3,85 rad có độ dài là?

    Độ dài cung tròn là l = R.\alpha =8,43.3,85 = 32,4555(cm)

  • Câu 21: Nhận biết

    Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hàm số xác định với mọi x\mathbb{\in R}

    Ta có: f(x) liên tục trên ( - \infty;0) và (0; + \infty)

    Mặt khác

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0

    Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 22: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \cot (x+ \frac{\pi}{4})+1=0 trên khoảng ( -\pi ;3\pi ) là?

     Ta có:\cot (x+\frac{\pi}{4})+1=0 \Leftrightarrow \cot (x+\frac{\pi}{4})=-1

    \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k \pi \Leftrightarrow x= -\frac{\pi}{2} +k\pi, k \in \mathbb{Z}

    ycbt\Leftrightarrow -\pi< -\frac{\pi}{2} +k \pi <3\pi\Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{7}{2}, k \in \mathbb{Z}

    nên k \in \{0;1;2;3\}.

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Tứ giác MNPQ là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \frac{m}{n}.SA với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và E là điểm thuộc cạnh SA thỏa mãn SE = \frac{m}{n}.SA với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Biết rằng GE song song với mặt phẳng (SCD). Giá trị của m.n bằng

    Đáp án: 6

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC, F là giao điểm của AM và CD trong mặt phẳng (ABCD).

    Theo định lý Talet, ta có: \frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M là trung điểm của AF

    \Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF

    \Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS

    \Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khảng định đúng là: "Giao tuyến của (∝), (β) song song với d".

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với số hạng đầu u_{1} và công bội q. Với n \geq 1, khẳng định nào sau đây đúng?

    Do \left( u_{n} ight) là cấp số nhân nên u_{n + 1} = u_{n}.q\ \ ,\ \ (n \geq 1).

  • Câu 27: Vận dụng

    Tìm giá trị thực của m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x=2.

    Tập xác định của hàm số: D = \mathbb{R} chứa x=2

    Theo giả thiết thì ta phải có:

    \begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy m=3

  • Câu 28: Thông hiểu

    Dãy số \left( u_{n} ight) có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây xác định một cấp số nhân?

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n} ta có:

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{n + 1}}{2020^{n}} = 2020;\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n} là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n^{3}}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{(n + 1)^{3}}}{2020^{n^{3}}} = 2020^{3n^{2} + 3n + 1};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n^{3}} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{\frac{2020}{n + 1 + 2019}}{\frac{2020}{n + 2019}} = \frac{n + 2019}{n + 2020};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = \frac{2020}{n + 2019} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020n + 2019

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020(n + 1) + 2019}{2020n + 2019} = \frac{2020n + 4039}{2020n + 2019};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020n + 2019 không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân

  • Câu 29: Nhận biết

    Tìm tập các định D của hàm số y = \frac{2020}{\sin x}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi \sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k\mathbb{\in Z}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 31: Thông hiểu

    Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD’. Nếu ABCD là một hình vuông, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

    Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.

    Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.

  • Câu 32: Nhận biết

    \lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SMQ) và (SNP):

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (SMQ) \cap (SNP) = d

    Khi đó d đi qua S.

    Xét ba mặt phẳng (SMQ),(SNP);(MNPQ).

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d;MQ;NP.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d;MQ;NP đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà MQ//NP \Rightarrow d//MQ

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un), biết \left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{2} \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}},n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (un) ?

    Ta có u_{1} = \sqrt{2};u_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}};u_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}};

    \ldots;u_{n} = \sqrt{2+ \sqrt{2} + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}

    Do un + 1 − un > 0 nên (un) là dãy số tăng.

    Lại có \sqrt{2} < u_{n} \leq 2 suy ra dãy số bị chặn.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó số giao điểm của hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c với trục Ox là:

    Hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c xác định và liên tục trên \mathbb{R}.

    Hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty suy ra \exists\alpha < - 2 sao cho f(\alpha) < 0

    Lại có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty suy ra \exists\beta > 2 sao cho f(\beta) > 0

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} y(\alpha).y( - 2) < 0 \\ y( - 2).y(2) < 0 \\ y(2).y(\beta) < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)

    Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.

  • Câu 37: Vận dụng

    Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 125cm^{3} và diện tích toàn phần là 175cm^{2}. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

    Ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là \frac{a}{q};q;aq.

    Thể tích khối hộp chữ nhật: V = \frac{a}{q}.a.a.q = a^{3} = 125 \Rightarrow a = 5

    Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

    S_{tp} = 2.\left( \frac{a}{q}.a + a.a.q + a.q + \frac{a}{q} ight)

    = 2a^{2}\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight) = 50.\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight)

    Theo giả thiết ta có:

    50.\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight) =175 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}q = 2 \\q = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với q = 2 hoặc q = \frac{1}{2} thì kích thước của hình hộp chữ nhật là 2,5cm;5cm;10cm

    => Tổng các kích thước là 17,5cm.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD) với Sx \parallel AB \parallel CD.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 39: Vận dụng

    Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?

    Ta có:

    Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: u_{1} = 7 (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

    Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

    Từ đó ta có

    S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670 (triệu đồng)

  • Câu 40: Nhận biết

    Xác định số hạng tổng quát của dãy số dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight..

    Từ công thức \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} - 2 = \dfrac{1}{2} - 2 = - \dfrac{3}{2} \\u_{3} = u_{2} - 2 = \dfrac{- 3}{2} - 2 = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} + 2(n - 1) với n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} + 2(2 - 1) = \frac{5}{2} (loại)

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} - 2(n - 1) ta thấy thỏa mãn

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} - 2n với n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} - 2.2 = - \frac{7}{2} (loại)

    Xét đáp án u_{n} = \frac{1}{2} + 2n với n = 1 \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2} + 2.1 = \frac{5}{2} (loại)

  • Câu 41: Vận dụng cao

    Dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{3} \\u_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{3n}.u_{n} \\\end{matrix} ight. và dãy số (vn) xác định bởi \left\{ \begin{matrix}v_{1} = u_{1} \\v_{n + 1} = v_{n} + \dfrac{u_{n}}{n} \\\end{matrix} ight.. Tính \lim v_{n}.

    Ta có:

    u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3n}.u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3}.\frac{u_{n}}{3n} nên dãy \left( \frac{u_{n}}{n} ight)là cấp số nhân với công bội q = \frac{1}{3}

    Lại có: v_{n + 1} = v_{n} + \frac{u_{n}}{n} \Leftrightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n}}{n}, khi đó ta có:

    \begin{matrix} {v_2} - {v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} \hfill \\ {v_3} - {v_2} = \dfrac{{{u_2}}}{2} \hfill \\ ..... \hfill \\ {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ \end{matrix}

    Cộng vế theo vế ta được

    \begin{matrix} {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{1} + \dfrac{{{u_2}}}{2} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} ight]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: v_{n + 1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + v_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3}

    => \lim v_{n} = \lim\left\{ \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3} ight\} = \frac{5}{6}

  • Câu 42: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)

    Hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.

  • Câu 43: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b} với k \in \mathbb{Z} và a,b \in \mathbb{N}^{*}. Tính S = a + b

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0

    \Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}

    Ta có:

    \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}

    =\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx

    = cot\frac{x}{2} - cotx

    Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

    \cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x

    {+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}

    {\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}

    {\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}

    Vậy a = 2019,b = 1 nên a + b = 2020.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \sin\alpha = \frac{4}{5} và \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Tính giá trị của biểu thức P = \sin2(\alpha +\pi).

    Ta có:

    P = \sin2(\alpha + \pi) = \sin(2\alpha +2\pi) = \sin2\alpha = 2\sin\alpha.\cos\alpha

    Theo bài ra ta có:

    \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos\alpha < 0

    \cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha =\frac{9}{25}

    \Rightarrow \cos\alpha = - \frac{3}{5}

    => P = 2.\frac{4}{5}.\left( - \frac{3}{5} ight) = - \frac{24}{25}

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 60 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập