Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \cot x = - \frac{\sqrt{3}}{3} là

    Ta có

    \cot x = - \frac{\sqrt{3}}{3}

    \Leftrightarrow \cot x = \cot\left( - \frac{\pi}{3} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{3} + k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 2: Nhận biết

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

  • Câu 3: Nhận biết

    Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un = 5.23n − 2 + 33n − 1

    Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:

    Bước 1: Khi n = 1, ta có u1 = 5.21 + 32 = 19 ⇒ u1⋮19

    Bước 2: Giả sử uk = 5.23k − 2 + 33k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.

    Khi đó ta có uk + 1 = 5.23k + 1 + 33k + 2 = 8(5.23k − 2+33k − 1) + 19.33k − 1

    Bước 3: Vì 5.23k − 2 + 33k − 1 và 19.33k − 1 chia hết cho 19 nên uk + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy un chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*

    Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

    Lập luận hoàn toàn đúng!

  • Câu 4: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5

    Xét phương trình x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0. Đặt x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x) là hàm số liên tục trên \mathbb{R} suy ra hàm số cũng liên tục trên \lbrack - 1;3brack.

    Ta có: f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

    f(x) = 0 là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

    Ta có:

    Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 suy ra

    \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B').

    Hình vẽ minh họa:

    Qua phép chiếu song song phương AB lên mặt phẳng chiếu (BDD'B'). Ta có:

    A,B biến thành B

    A',B' biến thành B'

    C,D biến thành D

    C',D' biến thành D'

    Do đó hình hộp ABCD.A'B'C'D' biến thành hình bình hành BDD'B'.

  • Câu 7: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SC. Khằng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OM là đường trung bình tam giác SAC nên OM//SA, mà SA \subset (SAD) và OM ⊄ (SAD) suy ra OM//(SAD).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?

    Hàm số có nghĩa khi x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2

    Vậy hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên các khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)

  • Câu 10: Vận dụng

    Giả sử \sin \frac{a}{6};\cos a;\tan a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó \cos 2a bằng:

    Điều kiện \cos a e 0 \Leftrightarrow a e \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

    \begin{matrix} {\cos ^2}a = \dfrac{{\sin a}}{6}.\tan a \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}a = \dfrac{{{{\sin }^2}a}}{{\cos a}} \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a - {\sin ^2}a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}a + {\cos ^2}a - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)^2} - 1 = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Theo công thức cộng

    \cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a và \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b. Khi đó:

    a) \lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a Đúng||Sai

    b) x = b là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x với trục hoành Đúng||Sai

    c) \lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = b, thì u_{3} = 2 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a và \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b. Khi đó:

    a) \lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a Đúng||Sai

    b) x = b là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x với trục hoành Đúng||Sai

    c) \lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = b, thì u_{3} = 2 Sai||Đúng

    Ta có:

    \lim\dfrac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} =\lim\dfrac{n\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight)}{n\left( 2 +\dfrac{5}{n} ight)}

    = \lim\dfrac{- 3n^{2} + \dfrac{1}{n}}{2 +\dfrac{5}{n}} = - \infty

    Do \left\{ \begin{matrix}\lim\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight) = - \infty \\\lim\left( 2 + \dfrac{5}{n} ight) = 2 \\\end{matrix} ight.

    \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 25^{n}}

    = \lim \dfrac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1} ight]}}= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1}} = 0

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 13: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số f(x) = \tan x là:

    Ta có: f(x) = \tan x xác định khi và chỉ khi

    \cos x eq 0

    \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là: \mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (\alpha) có các điểm A \in (\alpha);B otin (\alpha). Đường thẳng t đi qua hai điểm A;B. Khi đó giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng t có:

    Giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng t có đúng một điểm chung.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5 và công sai d = 2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = - 5 + \left( {n - 1} ight).2 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 44 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy 81 là số hạng thứ 44

  • Câu 16: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} = \frac{1}{2}. Hỏi giá trị a thuộc tập hợp nào dưới đây?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\left( \sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} +\dfrac{4}{x} ight)}{x\left( a - \dfrac{2}{x} ight)} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{- 2}{a} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \in \lbrack - 6; - 3brack

  • Câu 17: Vận dụng

    Giải phương trình {\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0

     Ta có: {\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0

       \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sqrt 3 {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0

    \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\tan x + \sqrt 3 \; = 0

             \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 1 \hfill \\ \tan x = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

              \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Lấy M là trung điểm của AC. Xác định hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (AA'B') theo phương chiếu CB là:

    Hình vẽ minh họa

    Luyện tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

    Gọi N là trung điểm của  AB . Ta có: MN//CB

    Vậy hình chiếu song song của điểm  M  lên \left( {AA'B'} ight) theo phương chiếu CB là điểm N.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình \cot (x+ \frac{\pi}{4})+1=0 trên khoảng ( -\pi ;3\pi ) là?

     Ta có:\cot (x+\frac{\pi}{4})+1=0 \Leftrightarrow \cot (x+\frac{\pi}{4})=-1

    \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k \pi \Leftrightarrow x= -\frac{\pi}{2} +k\pi, k \in \mathbb{Z}

    ycbt\Leftrightarrow -\pi< -\frac{\pi}{2} +k \pi <3\pi\Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{7}{2}, k \in \mathbb{Z}

    nên k \in \{0;1;2;3\}.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho dãy số =\left( x_{n} ight) thỏa mãn điều kiện x_{1} = 1; x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} với n = 1;2;3;... số hạng x_{2018} bằng:

    Ta có:

    x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    \Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)

    \Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}

    \Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}

    Vậy x_{2018} =\frac{4035}{2018}

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có:

    f( - 1) = 2a + 4

    \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4

    Để hàm số gián đoạn tại x = - 1 thì \lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)

    \Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4

    Vậy có 2024 giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 22: Thông hiểu

    Số nghiệm trong khoảng ( - \pi\ ;\ \pi) của phương trình 1 - \cos2x =0 là

    Ta có:

    1 - cos2x = 0

    \Leftrightarrow cos2x = 1

    \Leftrightarrow 2x = k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight).

    Với - \pi < x < \pi thì - 1 < k < 1.

    Suy ra k = 0.

    Vậy có 1 nghiệm trong khoảng ( - \pi\ ;\ \pi).

  • Câu 23: Nhận biết

    Khi điểm M thuộc đường thẳng d, mệnh đề nào sau đây đúng:

    Mệnh đề đúng M \in d.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ cthỏa mãn \left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} + ax^{2} + bx + c và trục Ox là

    Đáp án: 3

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{1} \in (2; + \infty)sao cho y\left( x_{1} ight) = 0(1).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ y( - 2) = - 2 + 4a - 2b + c > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{2} \in ( - 2;2)sao cho y\left( x_{2} ight) = 0(2).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \exists x_{3} \in ( - \infty; - 2)sao cho y\left( x_{3} ight) = 0(3).

    Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng 3.

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: \tan x = \tan 3x

    Điều kiện để phương trình có nghĩa:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\text{x}} e 0} \\ {\cos 3{\text{x}} e 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x e \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.\left( * ight)

    Khi đó, phương trình 3{\text{x}} = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} so sánh với đk

    \left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \pi + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,,\,x = \in \left[ {0;30} ight]

    \Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} ight\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;....;9\pi } ight\}

    Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn  [0;30]  của phương trình là: 45\pi.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x không tuần hoàn. Thật vậy:

    Tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}.

    Giả sử f\left( {x + T} ight) = f\left( x ight),{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}

    \Leftrightarrow \left( {x + T} ight) + \sin \left( {x + T} ight) = x + \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}

    .\Leftrightarrow T + \sin \left( {x + T} ight) = \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}} (*)

    Cho x = 0 và x = π, ta được

    \left\{ \begin{gathered} T + \sin x = \sin 0 = 0 \hfill \\ T + \sin \left( {\pi + T} ight) = \sin \pi = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \xrightarrow{{}}2T + \sin T + \sin \left( {\pi + T} ight) = 0 \Leftrightarrow T = 0

    Điều này trái với định nghĩa là T > 0

    Vậy hàm số y = x + \sin x không phải là hàm số tuần hoàn.

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos x và y = \frac{{\sin x}}{x} không tuần hoàn.

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của MA và SD.

    Hình vẽ minh họa:

    Tìm giao tuyến của MA và SD

    Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:

    IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB

    Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung

    => Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

    Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện MNPQ. Gọi I;J theo thứ tự là trọng tâm của tam giác MNP và MNQ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi K;H lần lượt là trung điểm của NP,NQ

    Vì I;J theo thứ tự là trọng tâm của tam giác MNP, và MNQ nên ta có:

    \frac{MI}{MK} = \frac{MJ}{MH} =\frac{2}{3}

    = > \ IJ\ //\ HK. Mà HK//PQ (do KH là đường trung bình của tam giác NPQ).

    = > \ IJ//\ PQ

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S \cdot ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng (\alpha) qua O, song song với SA,CD. Thiết diện tạo bởi (\alpha) và hình chóp là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

    Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

    Gọi I là giao điểm của a với SD.

    Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

    Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

    Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một đường tròn có đường kính bằng 20cm. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 35^{0} (lấy 2 chữ số thập phân).

    Cung có số đo 35^{0} thì có số đó radian là \alpha = \frac{35\pi}{180} = \frac{7\pi}{36}

    Bán kính đường tròn R = \frac{20}{2} = 10cm

    => l = R.\alpha = 10.\frac{7\pi}{36} \approx 6,11cm

  • Câu 31: Nhận biết

    Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?

    Ta có: u_{11} = u_{1} + 10d = - 17

  • Câu 32: Nhận biết

    Đổi số đo của góc - 5rad sang đơn vị độ, phút, giây

    Cách 1: Từ công thức \alpha = \frac{m\pi}{180} \Rightarrow m = \left( \frac{\alpha.180}{\pi} ight)^{0}khi đó:

    m = \left( \frac{- 5.180}{\pi} ight)^{0} = - 286^{0}28'44''

    Cách 2: Bấm máy tính:

    Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

    Bước 2. Bấm -5 shift DRG 2 =

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?

    Ta có: u_{1}.u_{15} = u_{1}.u_{1}.q^{14}= \left( u_{1}.q^{a - 1} ight).\left( u_{1}.q^{b - 1} ight) =u_{a}.u_{b}

    Với a + b = 16

    Đáp án sai u_{1}.u_{15} =u_{6}.u_{9}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}.

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty (do \lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1 và \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty

    Do \lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3 và \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0

  • Câu 35: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{{(\sin n)}^{2}}{n + 2}bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 2

    Suy ra

    \frac{\left( \sin n ight)^{2}}{n + 2} < \frac{1}{n + 2} < \frac{1}{n_{a} + 2} < a\ \forall n > n_{a}

    Vậy:  \lim\frac{{{(sin}n)}^{2}}{n + 2} = 0 .

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Tính \lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}.

    Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với \forall n \geq 1;n\mathbb{\in N} thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)

    Với n = 1 thì \left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP nên (*) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng với n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N} nghĩa là:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}

    Xét n = k + 1 ta có:

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}

    + \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP

    Vậy (*) đúng với n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}

    Bây giờ ta áp dụng với n = 2018 thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}

    = \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 1; u4 = 64. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^{4 - 1}} \hfill \\ \Rightarrow 64 = 1.{q^3} \hfill \\ \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 39: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho dãy (un) xác định bởi u_{1} = \frac{1}{2} và un = un − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u50 bằng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = u_{1} + 2 \\ u_{3} = u_{2} + 4 \\ \ldots \\ u_{49} = u_{48} + 2.49 \\ u_{50} = u_{49} + 2.50 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

    u_{50} = \frac{1}{2} + 2(2 + 3 + \ldots + 50) = \frac{1}{2} + 2(25.51 - 1) = 2548,5.

  • Câu 41: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Các điểm P , Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số \frac{SA}{SD}.

    Đáp án: 2

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Các điểm P , Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số \frac{SA}{SD}.

    Đáp án: 2

    Hình vẽ minh họa

    Trong mặt phẳng (BCD), gọi I = RQ \cap BD.

    Trong (ABD), gọi S = PI \cap AD \Rightarrow S = AD \cap (PQR).

    Trong mặt phẳng (BCD), dựng DE//BC \Rightarrow DE là đường trung bình của tam giác IBR.

    \Rightarrow \ D là trung điểm của BI.

    Trong (ABD), dựng DF//AB \Rightarrow \frac{DF}{BP} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{DF}{PA} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{SA}{SD} = 2.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên các cạnh CD;CB;SA lần lượt lấy các điểm M,N,K làm trung điểm. Biết rằng SO \cap (MNK) = E. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: E = SO \cap KH

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in KH \subset (KMN) \\ E \in SO \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow SO \cap (MNK) = E

  • Câu 43: Thông hiểu

    Tìm x và y để dãy số 9;x; - 1;y là một cấp số cộng?

    Để dãy số 9;x; - 1;y là một cấp số cộng thì \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9 - 1}{2} \\- 1 = \dfrac{x + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = - 6 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 44: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

    Nếu \lim u_{n} = 0, thì \lim{|u_{n}|} = 0

  • Câu 45: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = \tan3x +\cot x

    Hàm số y = \tan3x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = \cot x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \tan3x + \cot x tuần hoàn với chu kì T = \pi

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập