Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
ĐK:
Ta có .
Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
ĐK:
Ta có .
Kết hợp điều kiện (*) suy ra nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Biết
với
. Tập nghiệm của phương trình
trên
có số phần tử là:
Ta có:
Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình phải có nghiệm kép
. Tức là:
Khi thì
Do đó nên phương trình
vô nghiệm.
Cho cấp số cộng
có
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Cho hàm số
. Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại
.
Ta có:
Hàm số f(x) liên tục tại khi và chỉ khi
Tìm tập giá trị của hàm số ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
, lấy
lần lượt là trung điểm của
và
. Giả sử
. Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà nên
.
Vậy đường thẳng đi qua
và song song với
.
Chọn khẳng định đúng?
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Mặt phẳng nào sau đây song song với
?
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Cho cấp số nhân
với
và
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Ta có .
Giải phương trình
thu được kết quả là:
Điều kiện
.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành,
và
cắt nhau tại
. Gọi
là trung điểm
. Mặt phẳng
cắt
lần lượt tại
. Khi đó:
a) Điểm
là giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
. Đúng||Sai
b) Ta có
. Sai||Đúng
c) Cho
thì
. Sai||Đúng
d) Trong mặt phẳng
, gọi
là giao điểm của
và
. Khi đó
và
chéo nhau. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành,
và
cắt nhau tại
. Gọi
là trung điểm
. Mặt phẳng
cắt
lần lượt tại
. Khi đó:
a) Điểm là giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
. Đúng||Sai
b) Ta có . Sai||Đúng
c) Cho thì
. Sai||Đúng
d) Trong mặt phẳng , gọi
là giao điểm của
và
. Khi đó
và
chéo nhau. Sai||Đúng
- Xác định :
Trong mặt phẳng , kẻ
cắt
tại
;
Trong mặt phẳng , kẻ
cắt
tại
.
Vì .
Tương tự: .
-Tính theo
:
Gọi là trung điểm
là đường trung bình của tam giác
.
Trong tam giác , ta có
qua trung điểm
của
và
là trung điểm của
.
Hình vẽ minh họa
-Vậy hay
.
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được .
Khi đó hai tam giác đồng dạng vì có góc
chung và
.
Xét tam giác , theo định lí Thalès, ta có:
- Chứng minh :
Dễ thấy là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Ta có: .
Vì vậy .
Khi đó:
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Sai |
Cho dãy số
với
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> là một cấp số nhân với công bội là q = 5
Số hạng đầu tiên của dãy là:
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Tập các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là?
(*)
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm tam giác
là trung điểm
là điểm ở trên đoạn thẳng
cắt mặt phẳng
tại
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng
và
.
Do
là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng
và
nên
đúng.
thẳng hàng nên
thẳng hàng đúng
Ta có nên
đúng.
Điểm di động trên
nên
có thể không phải là trung điểm của
Nên là trung điểm của
sai.
Nếu
theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành một cấp số cộng.
Theo giả thiết ta có:
Cho góc lượng giác
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Biết
, trong đó
là hai số nguyên dương và phân số
tối giản. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un = n2 + 1?
Ta có 7922 = 7921 + 1 = 892 + 1 ⇒ n = 89
Biết
. Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Tập xác định: có nghĩa là
Khi đó
Cho hình vẽ:

Trên đường tròn lượng giác, số đo của góc lượng giác
là:
Từ hình vẽ ta có:
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
. Đúng||Sai
b) Phương trình
có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu
thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) . Đúng||Sai
b) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Ta có:
Xét phương trình . Đặt
là hàm số liên tục trên
suy ra hàm số cũng liên tục trên
.
Ta có:
Khi đó: nên phương trình
có ít nhất 3 nghiệm
là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.
Ta có:
Nếu suy ra
Ta có:
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Hàm số nào sau đây không liên tục tại
?
Hàm số có tập xác định
nên không liên tục tại
.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Tìm tất cả các giá trị của x để ba số
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
Số nghiệm của phương trình: ![]()
Điều kiện xác định:
Với k = 0 => x = 0 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Xét các mệnh đề sau:
![]()
![]()
![]()
Các mệnh đề đúng là:
Gọi lần lượt là trung điểm
.
Ta có
nên mệnh đề
đúng.
Ta lại có:
=> Mệnh đề đúng
Mặt khác nên mệnh đề
sai.
Cho dãy số (un) với
.
Số hạng tổng quát un là?
Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)
Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được
un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Khẳng định sai: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất”.
Sửa lại: “Hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng chung.”
Hàm số nào sau đây có chu kì khác
?
Hàm số có chu kì
.
Hàm số có chu kì
.
Hàm số có chu kì
.
Hàm số có chu kì
.
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Kết quả giới hạn
, với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Kết quả giới hạn , với
là phân số tối giản
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Ta có
.
Suy ra .
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng: "".
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Tính giới hạn 
Ta có:
Cho cấp số cộng
. Tính ![]()
Ta có:
Cho
là cấp số cộng biết
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
Ta có:
Vậy
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:
Nếu , thì
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Công bội nguyên dương của cấp số nhân
thỏa mãn
là:
Ta có:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
Kiểm tra được là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
là hàm số không chẵn không lẻ
là các hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.