Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) thỏa mãn u_{1} = \sqrt{2} và u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}} với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là

    Ta có u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};

    u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}

    Dự đoán u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}

    Áp dụng theo quy nạp ta có: u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, công thức (1) đúng với n = 1.

    Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}

    Ta có u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}

    = \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}

    = \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}

    = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}

    (vì 0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2} với mọi k ≥ 1 ).

    Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

    Vậy u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}. Suy ra u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Khẳng định đúng là “SA và CD là hai đường thẳng chéo nhau.”

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;q = - 5. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 4: Vận dụng

    Số điểm gián đoạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight. là:

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Số điểm gián đoạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight. là:

    Đáp án: 1

    Hàm số y = f(x) có TXĐ D\mathbb{= R}.

    Hàm số f(x) = \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty; - 1), ( - 1;1) và (1; + \infty).

    (i) Xét tại x = - 1, ta có \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2} = f( - 1)\overset{}{ightarrow} Hàm số liên tục tại x = - 1.

    (ii) Xét tại x = 1, ta có 

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. \toHàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 1.

    Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.

  • Câu 5: Vận dụng

    Tính tổng S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n với n \geq 1;n\mathbb{\in N}.

    Với \forall n \in \mathbb{N}^{*} thì (2n - 1) - 2n = - 1

    Ta có:

    S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n

    S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + \left\lbrack (2n - 1) - 2n ightbrack

    Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..

    => S = - 1

    Ta có: 1;3;5;...;2n - 1 và 2;4;6;...;2n là cấp số cộng có n số hạng nên.

    S = (1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n)

    S = \frac{n}{2}.(1 + 2n - 1) - \frac{n}{2}.(2 + 2n)

    S = n^{2} - \left( n^{2} + n ight) = - n

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.

    Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.

    Vậy a và b không có điểm chung nào.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài l = 25\pi(dm). Số đo của cung tròn đó là:

    Độ dài cung tròn là: l = R.\alpha

    => \alpha = \frac{l}{R} = \frac{25\pi}{15} = \frac{5\pi}{3}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}) với u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1

    => (u_{n}) là một cấp số nhân với công bội là q = 5

    Số hạng đầu tiên của dãy là: {u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 10: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} = \frac{1}{2}. Hỏi giá trị a thuộc tập hợp nào dưới đây?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\left( \sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} +\dfrac{4}{x} ight)}{x\left( a - \dfrac{2}{x} ight)} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{- 2}{a} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \in \lbrack - 6; - 3brack

  • Câu 11: Nhận biết

    Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2y bằng

    Ta có:

    x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20

    \Rightarrow 3x + 2y = 70

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

    Giả sử (\alpha) song song với (\beta). Một đường thẳng a song song với (\beta) có thể nằm trên (\alpha).

  • Câu 13: Vận dụng

    Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2\cos 2x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0 trên đoạn \left[ {0;3\pi } ight].

    Phương trình 2\cos 2x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0

    \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} ight) + 2\cos x - \sqrt 2 = 0

    \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x + 2\cos x - 2 - \sqrt 2 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(TM) \hfill \\ \cos x = - \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\,\,\,\,\,\,(L) \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\, \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

     \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \xrightarrow{{x \in \left[ {0;3\pi } ight]}}x = \frac{\pi }{4};x = \frac{{9\pi }}{4} \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{4} + k2\pi \xrightarrow{{x \in \left[ {0;3\pi } ight]}}x = \frac{{7\pi }}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \xrightarrow{{}}T = \frac{\pi }{4} + \frac{{9\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{17\pi }}{4}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Xác định \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3} ight)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x + 1 - (x - 3)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 -\dfrac{3}{x}} ight)} = 0

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, biết AC \cap BD \equiv M và AB \cap CD \equiv N. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Vì AC \cap BD \equiv Mnên M là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

    Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SM.

  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của  \lim\frac{1}{n^{k}} với k \in \mathbb{N^*}bằng:

    Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}

    Suy ra:

    \frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}

    Vậy \lim\frac{1}{n^{k}} = 0.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …

    Dễ dàng dự đoán được un = n.

    Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

    Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

    Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k

    Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1

    Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1

    Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, đáy AB = 6;DC = 4. Mặt phẳng (P) song song với \left( {ABCD} ight) và cắt các cạnh SA tại M sao cho \frac{{SA}}{{SM}} = 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, đáy AB = 6;DC = 4. Mặt phẳng (P) song song với \left( {ABCD} ight) và cắt các cạnh SA tại M sao cho \frac{{SA}}{{SM}} = 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho dãy số \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + n} \end{array}} ight.. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_2} = {u_1} + 1 = 5 \hfill \\ {u_3} = {u_2} + 2 = 7 \hfill \\ {u_4} = {u_3} + 3 = 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là Sử dụng công thức: {u_5} = {u_4} + 4 = 14

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

    Kiểm tra được y = 1 - sin^{2}x; y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x; y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight| là các hàm số chẵn.

    y = x^{2}tan2x - \cot x là hàm số lẻ.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB > CD). Lấy một điểm M thuộc cạnh CD. Mặt phẳng (\alpha) qua M song song với SA và BC. Giả sử (\alpha) \cap (SAD) = d. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} M \in (\alpha) \cap (ABCD) \\ (\alpha)//BC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = MN//BC;(N \in AB)

    Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} E \in (\alpha) \cap (SAD) \\ (\alpha)//SA \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight. suy ra (\alpha) \cap (SAD) = d//SA

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.. Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) bằng:

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J,K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB,BC,CD. Giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} J \in (IJK) \\ J \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    => J là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (BCD).

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} K \in (IJK) \\ K \in CD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    => K là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (BCD).

    Vậy giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng JK.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0 có nghiệm:

     Đặt t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)

    => \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}

    Phương trình trở thành:

    \begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do  {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy để phương trình có nghiệm

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (AB'D').

    Hình vẽ minh họa

    Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

    Ta có BDB'D' là hình bình hành nên BD//B'D'

    Tương tự ta có AD'//BC'. Từ đó suy ra BD//\left( {AB'D'} ight) và BC'//\left( {AB'D'} ight).

    Vậy \left( {C'BD} ight)//\left( {AB'D'} ight)

  • Câu 26: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Biết \sin\alpha = - \frac{4}{5};\left( 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} ight). Tính \tan\alpha?

    Ta có: 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1

    \Rightarrow \cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha = \frac{9}{25}

    \Rightarrow \cos\alpha = \pm \frac{3}{5}

    Vì \cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = - \frac{3}{5}

    \Rightarrow \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Phương trình \sin \left( {\frac{\pi }{6} + x} ight) = \cos 2x có nghiệm là

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} ight) = \cos 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} ight) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\pi }{6} + x = \dfrac{\pi }{2} - 2x + k2\pi } \\ {\dfrac{\pi }{6} + x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} ight) + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ { - x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \\ {x = - \dfrac{\pi }{3} + k'2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AB và BC,N là điểm thuộc đoạn CD sao cho CN = 2ND. Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN). Tính tỉ số \frac{PA}{PD}.

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử LN \cap BD = I. Nối K với I cắt AD tại P Suy ra (KLN) \cap AD = P
    Ta có: KL//AC \Rightarrow PN//AC. Suy ra \frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi I là trung điểm của AB. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B'D' \subset (B'D'I) \\ BD \subset (ABCD) \\ BD//B'D' \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra giao tuyến của (B'D'I) và (ABCD) là đường thẳng IE qua I song song với BD; (E \in AD).

    Vì IE//B'D' nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình thang IED'B'.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) biết un = a sin(n)+b cos(n). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét |un| = |a sin(n)+b cos(n)| ≤ |a| + |b| ⇒  − (|a|+|b|) ≤ un ≤ |a| + |b|

    Vậy dãy số (un) bị chặn.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,17232323.... \hfill \\ = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\ = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 853 \\ n = 4950 \\ \end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}

  • Câu 34: Nhận biết

    Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = \sin 3x và y = \sin x bằng nhau?

     Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = x + k2\pi \hfill \\ 3x = \pi - x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2)(1)

    f( - 2)f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1)(2)

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty)(3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Các số \frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    \Rightarrow {\left( {\sqrt b } ight)^2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} ight).\left( {\sqrt 2 } ight)

    \Rightarrow b = 1 (Vì b > 0)

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm chu kì T của hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)

    Hàm số y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.

  • Câu 39: Vận dụng

    Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10^{22} tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

    Ban đầu có 10^{22} tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u_{1} = 10^{22} và công bội q = 2.

    Theo bài ra ta có:

    Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.

    Ta có: u_{7} là số tế bào nhận được sau 2 giờ.

    Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là u_{7} = u_{1}.q^{6} = 10^{22}.2^{6} = 64.10^{22}

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x} với xeq 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}?

     Ta có: 

    Với xeq 0 hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0

    Với x = 0 ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

    \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}

  • Câu 41: Nhận biết

    Tính giá trị của \cot135^{0}

    Ta có: \cot135^{0} = - \tan45^{0} = -1

  • Câu 42: Thông hiểu

    Trên đường tròn lượng giác có bao nhiêu vị trí biểu diện nghiệm của phương trình \tan3x= \tan x?

    Điều kiện xác định:

    \left\{ \begin{matrix}\cos3x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} \\x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan3x = \tan x

    \Leftrightarrow 3x = x + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Kết hợp với điều kiện xác định suy ra phương trình có nghiệm x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight) nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    a) Ta có: \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}

    b) Ba số - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 2 nghiệm

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 44: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y=\cos x+1 đi qua điểm nào sau đây?

     Xét điểm (0; 2) => x = 0; y = 2

    Thay vào hàm số ta có:

    cos0 + 1 = 1 + 1 = 2 (thỏa mãn)

    Vậy đồ thị hàm số y = cosx + 1 đi qua điểm (0; 2)

  • Câu 45: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là:

    Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) có hai điểm chung là S và B nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SB.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 12 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập