Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi I là trung điểm của AB. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B'D' \subset (B'D'I) \\ BD \subset (ABCD) \\ BD//B'D' \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra giao tuyến của (B'D'I) và (ABCD) là đường thẳng IE qua I song song với BD; (E \in AD).

    Vì IE//B'D' nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (B'D'I) với hình hộp ABCD.A'B'C'D' là hình thang IED'B'.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Chọn khẳng định đúng

    Gọi E là trung điểm của AB

    Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:

    \frac{{EM}}{{EC}} = \frac{{EN}}{{ED}} = \frac{1}{3} 

    Theo định lí Ta - lét ta có: MN // CD (1)

    Mà CD \subset \left( {BCD} ight);CD \subset \left( {ACD} ight) (2)

    Từ (1) và (2) => MN // (BCD); MN // (ACD)

  • Câu 3: Vận dụng

    Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau: T(x) = \ \left\{ \begin{matrix} 10000 + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0 < x \leq 0,7 \\ 11\ 000 + 15\ 100.(x - 0,7)\ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0,7 < x \leq 30 \\ 453\ 430 + 12\ 000.(x - 30)\ \ \ \ \ \ khi\ \ \ x > 30 \\ \end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số T(x) liên tục tại x = 0,7.

    Đáp án: 1000

    Đáp án là:

    Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau: T(x) = \ \left\{ \begin{matrix} 10000 + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0 < x \leq 0,7 \\ 11\ 000 + 15\ 100.(x - 0,7)\ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ 0,7 < x \leq 30 \\ 453\ 430 + 12\ 000.(x - 30)\ \ \ \ \ \ khi\ \ \ x > 30 \\ \end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số T(x) liên tục tại x = 0,7.

    Đáp án: 1000

    Tại x = 0,7 ta có:

    T(0,7) = 10000 + a.

    \lim_{x ightarrow 0,7^{-}}T(x) = \lim_{x ightarrow 0,7^{-}}10\ 000 + a = 10\ 000 + a

     \lim_{x ightarrow 0,7^{+}}T(x) = \lim_{x ightarrow 0,7^{+}}\left( 11\ 000 + 15100(x - 0,7) ight) = 11\ 000.

    Hàm số liên tục tại x = 0,7 thì \lim_{x ightarrow 0,7^{-}}T(x) = \lim_{x ightarrow 0,7^{+}}T(x) = T(0,7) \Leftrightarrow a = 1000.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho \Delta ABC. Số mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác ABC là:

    Do ba điểm A,B,C không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.

    Ta có: u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} nên u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} đúng.

    Do - 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1 nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.

    u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Do \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số không tăng, không giảm.

    Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.

    Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (ABCD)//(A’B’C’D’) \\ (AA’D’D)//(BCC’B’) \\ (ABB’A’)//(CDD’C’) \\ \end{matrix} ight. luôn đúng

    => Hai mặt phẳng (BDD'B');(ACC'A') không song song với nhau.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: \sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0

     Điều kiện xác định: x \in \left[ { - 1;1} ight]

    \begin{matrix} \sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - {x^2}} = 0} \\ {\sin x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {x^2} = 0} \\ {x = k\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 1} \\ {x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với k = 0 => x = 0 (thỏa mãn)

    Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,17232323.... \hfill \\ = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\ = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 853 \\ n = 4950 \\ \end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ACD. Xét các mệnh đề sau:

    \ (i):MN//(ABC)

    (ii):MN//(BCD)

    (iii):MN//(ACD)

    Các mệnh đề đúng là:

    Gọi E,F lần lượt là trung điểm CD,BD.

    Ta có \frac{AN}{AE} = \frac{AM}{AF} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//EF

    \Rightarrow MN//(BCD)nên mệnh đề (ii):MN//(BCD) đúng.

    Ta lại có:

    EF//BC \Rightarrow MN//BC

    \Rightarrow MN//(ABC)

    => Mệnh đề\ (i):MN//(ABC) đúng

    Mặt khác MN \cap (ACD) = \left\{ N ight\} nên mệnh đề (iii):MN//(ACD) sai.

  • Câu 10: Nhận biết

    Đổi số đo 365^{0} sang số đo theo đơn vị là radian.

    Ta có: 365^{0} = \frac{365\pi}{180}rad = \frac{73\pi}{36}rad

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

    Ta có:

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350

  • Câu 12: Nhận biết

    Chu kì của hàm số y = \tan x là

    Hàm số y = \tan x tuần hoàn với chu kỳ T = \pi.

  • Câu 13: Vận dụng

    Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n?

    Xét dãy số \left( U_{n} ight) là cấp số nhân với u_{1} = 1;q = 10

    \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)

    \Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}

    = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)

    = \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)

  • Câu 14: Nhận biết

    Với giá trị x nào dưới đây thì các số - 4;x; - 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

    Ta có: - 4;x; - 9 lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = ( - 4).( - 9) = 36

    \Rightarrow x = \pm 6

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Ta có \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} -1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có \left\{ \begin{matrix}a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13ight\}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

  • Câu 16: Nhận biết

    Giả sử đường thẳng d cắt mặt phẳng chiếu (\alpha) tại điểm H thì hình chiếu song song của d trên mặt phẳng (\alpha) là:

    Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng d thì hình chiếu là điểm H.

    Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng d thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm H.

  • Câu 17: Nhận biết

    \tan x có nghĩa khi nào?

    Để \tan x có nghĩa thì \cos x e 0

    => x eq \frac{\pi}{2} +k\pi

  • Câu 18: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

    Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k} thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

    Xét đáp án: 2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

    Xét đáp án: 2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{} Chọn

    Xét đáp án: 1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}Loại

    Xét đáp án: 15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

  • Câu 19: Vận dụng

    Phương trình 3\sin^{2}x + m \sin 2 x -4\cos^{2}x=0 có nghiệm khi:

     Xét phương trình:

    \begin{matrix} 3{\sin ^2}x + m.\sin 2x - 4{\cos ^2}x = 0 \hfill \\ \Rightarrow 3{\sin ^2}x + 2m.\sin x.\cos x - 4{\cos ^2}x = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Trường hợp 1: \cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \pm 1

    Phương trình (*) trở thành:

    3 + 3.m - 4.0 = 0 (Vô lí)

    Trường hợp 2: \cos x e 0

    Chia cả hai vế của phương trình (*) cho cos2x

    Phương trình (*) trờ thành: 3{\tan ^2}x + 2m\tan x - 4 = 0 (**)

    Đặt tanx = t, phương trình trở thành: 3{t^2} + 2mt - 4 = 0\left( {***} ight)

    Phương trình đã cho có nghiệm => (***) có nghiệm

    => \Delta ' \geqslant 0 \Rightarrow {m^2} + 12 \geqslant 0 (luôn đúng với mọi m)

    => Phương trình đã cho có nghiệm với mọi 

    • m\in \mathbb{R}
  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Vận dụng

    Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14. Tìm số cạnh của đa giác đáy?

    Một hình chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có n + 1 đỉnh và 2n + 1 cạnh

    Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

    \begin{matrix} \Leftrightarrow n + 1 + 2n + 1 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n + 2 = 14 \hfill \\ \Leftrightarrow 3n = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    => Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.

  • Câu 22: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}}bằng:

    Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn n_{M} > \left( \frac{1}{a} + 3 ight)^{2} - 1

    Ta có:

    \frac{n - 2}{\sqrt{1 + n}} = \sqrt{n + 1} - \frac{3}{\sqrt{n + 1}} > \sqrt{1 + n} - 3 > Mvới mọi n > n_{M}

    Suy ra \lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}} = - \infty

  • Câu 23: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho dãy số vô hạn (un) là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu u1. Hãy chọn khẳng định sai?

     Ta có:

    Công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    \begin{matrix} {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)d}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{12}} = 12{u_1} + \dfrac{{12.11.d}}{2} = 6\left( {2{u_1} + 11d} ight) e \dfrac{n}{2}.\left( {2{u_1} + 11d} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)

    Trong (ABCD) có I = EF \cap CD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SI = (SEF) \cap (SCD)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)

    EF//AC do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

    \left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC

    c) Chọn (SBC) chứa FK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.

    (SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Xác định công thức tổng quát của dãy số \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{- 1}{2} \\u_{n + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{n} + 1}{2}};n \geq 1 \\\end{matrix} ight..

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{2} = \sqrt{\dfrac{u_{1} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}} \\u_{3} = \sqrt{\dfrac{u_{2} + 1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.

    Nhận thấy \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} ight) \\u_{2} = \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} ight) \\u_{3} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6}ight) \\\end{matrix} ight.

    Dự đoán u_{n} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{n}} ight)(*)

    Ta chứng minh bằng quy nạp

    Trước hết u_{1} = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{1}} ight) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng khi n = k;k \in \mathbb{N}^{*}. Khi đó u_{k} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{k}} ight)

    Ta có:

    u_{k + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{k} + 1}{2}} =\sqrt{\dfrac{\cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k}} ight) +1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{\cos\left(2.\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) + 1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{2.\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2} - 1 +1}{2}}

    = \sqrt{\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2}}

    = \left| \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight) ight|

    Mặt khác ta có k \geq 1. Do đó 0 \leq \frac{4\pi}{3.2^{k + 1}} \leq \frac{4\pi}{3.2^{1 + 1}} = \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}

    Vậy \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}}ight) \geq 0 \Rightarrow u_{k + 1} = \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight)

    Vậy (*) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

  • Câu 27: Nhận biết

    Kết quả của giới hạn \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} bằng

    Có \lim q^{n} = 0 nếu |q| < 1.

    Vì \left| \frac{1}{2} ight| < 1 nên \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0.

  • Câu 28: Nhận biết

    Hàm số nào không liên tục tại x = 2?

    Ta có hàm số y = \frac{x^{2}}{x - 2} không xác định tại x = 2 nên hàm số không liên tục tại x = 2

    NB

  • Câu 29: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}

    Ta có:

    \frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}

    = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{\sqrt{2x} - 2} + \frac{x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4}{\sqrt{2x} - 2}

    = \frac{(x - 2)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{(2x - 4)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} + \frac{(x - 2)\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2x - 4}

    = \frac{\sqrt{2x} + 2}{2\left( \sqrt{x - 1} + 2 ight)} + \frac{\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2}

    Do đó \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2} = 1

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b} với k\mathbb{\in Z} và a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018. Tính S = a - b.

    Điều kiện xác định \sin 2^{2018}x eq 0

    Ta có:

    \cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}

    = \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}

    => Phương trình tương đương

    \Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x

    \Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    => \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2)(1)

    f( - 2)f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1)(2)

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty)(3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Chọn đẳng thức đúng.

    Ta có:

    \cos^{2}\left( \frac{\pi}{2} +\frac{a}{2} ight) = \frac{1 + \cos\left( \dfrac{\pi}{2} + aight)}{2}

    = \frac{1 + \sin( - a)}{2} = \frac{1 - \sin a}{2}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J,K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB,BC,CD. Giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} J \in (IJK) \\ J \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    => J là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (BCD).

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} K \in (IJK) \\ K \in CD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    => K là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (BCD).

    Vậy giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng JK.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y = -2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) \leq 1

    \Rightarrow 2 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) \geq - 2

    \Rightarrow 4 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) + 2 \geq 0

    \Rightarrow 4 \geq y \geq 0

    Vậy y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR} là mệnh đề đúng.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho a,b là các số thực khác 0. Tìm điều kiện của a,b để giới hạn \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3

    \Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} = 3

    \Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} = 3

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (u_{n}) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số cộng.

    Theo bài ra ta có:

    Dãy số đã cho là cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {{u_2} = 9} \end{array} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4} ight.

    => {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d = 4n + 1

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=4n+1

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M,N,P,Q,R,T lần lượt là trung điểm AC,BD,BC,CD,SA,SD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) MP không song song RT.Đúng||Sai

    b) MQ song song RT. Đúng||Sai

    c) MN song song RT. Sai||Đúng

    d) PQ song song RT. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M,N,P,Q,R,T lần lượt là trung điểm AC,BD,BC,CD,SA,SD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) MP không song song RT.Đúng||Sai

    b) MQ song song RT. Đúng||Sai

    c) MN song song RT. Sai||Đúng

    d) PQ song song RT. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: M,Q lần lượt là trung điểm của AC,CD

    \Rightarrow MQ là đường trung bình của tam giác CAD

    \Rightarrow MQ \parallel AD\ \ \ \ (1)

    Ta có: R,T lần lượt là trung điểm của SA,SD

    \Rightarrow RT là đường trung bình của tam giác SAD

    \Rightarrow RT \parallel AD\ \ \ (2)

    Từ (1),(2) suy ra: MQ \parallel RT.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Sai
  • Câu 38: Nhận biết

    Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

    Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1

    Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1

    Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

    Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.

    Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".

  • Câu 39: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

     Mệnh đề sai: \sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi

    Sửa lại:

    \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi ;(k \in \mathbb{Z})

  • Câu 40: Vận dụng

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \sqrt{5 + 2cot^{2}x - \sin x} + \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight)

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    5 + 2cot^{2}x - \sin x \geq 0 và \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight) xác định và \cot x xác định

    Ta có: \cot\left( \frac{\pi}{2} + x ight) xác định khi và chỉ khi

    \begin{matrix}\sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{\pi}{2} + x eq k\pi\hfill \\\Rightarrow x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill\\\end{matrix}

    Mà cot x xác định khi

    \begin{matrix}\sin x eq 0 \hfill \\\Rightarrow x eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}

    Do đó hàm số xác định khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq k\pi \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x eq \dfrac{k\pi}{2},k \in\mathbb{Z}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{=R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2},k \in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2\sqrt{1 + x} - 2}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 1} + 1} + \frac{1}{4 + 2\sqrt[3]{8 - x + \sqrt[3]{(8 - x)^{2}}}} ight)

    = 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 42: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 43: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2

    => Dãy số đó là cấp số nhân

  • Câu 44: Nhận biết

    Cho các giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 3. Tính giá trị biểu thức T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    Ta có:

    T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    \Rightarrow T = 3\lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) - 4\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 6 - 12 = - 6

  • Câu 45: Nhận biết

    Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?

    Có 2 hình chóp tứ giác

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 57 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập