Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Đáp án: “Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau” đúng vì theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đã phân biệt.

Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Đáp án: “Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Ta có:

Hàm số  tuần hoàn với chu kì

Hàm số  tuần hoàn với chu kì

T là chu kì của hàm số  là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂

Suy ra hàm số  tuần hoàn với chu kì

 Phương trình

Do

Suy ra .

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

.

Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của lần lượt là .

Dễ thấy

Xét mặt phẳng , gọi

Xét tam giác và tam giác ta có:

(đối đỉnh)

(so le trong)

Vậy hay

Ta có:

Ta có:

Ta có:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với thì

Với thì  nên (*) đúng với

Giả sử (*) đúng với nghĩa là:

Xét ta có:

Vậy (*) đúng với

Bây giờ ta áp dụng với thì

Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:

Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.

Vì  nên ta có:

Ta có:

=> Phương trình vô nghiêm.

Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.

Vì nên theo định lí Talet, ta có .

Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số .

Vậy .

Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu là số dân của thành phố A sau n năm.

Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu là và công bội

=> Số dân của thành phố A sau 5 năm là: (triệu người).

Ta có:

Ta có:

=> là một cấp số nhân với công bội là q = 5

Số hạng đầu tiên của dãy là:

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra

Từ (*) và (**) suy ra TH

1

Hình vẽ minh họa

Do và là trung điểm của và , nên mà , suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.

Do và là trung điểm của và , nên mà , suy ra IJ / /(CEB) đúng.

Vậy IJ / / ADsai

Ta có:

Ta có:

Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

là đường trung bình của tam giác nên mà .

 Ta có:

Đáp án đúng là:

Ta có:

Xét hàm số liên tục trên

Giả sử phương trình có ba nghiệm thỏa mãn . Khi đó

Ta có:

(do )

Mà nên suy ra

Với ta có:

nên tồn tại sao cho

Do nên

nên tồn tại sao cho

Từ (1) và (2) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng

Từ (2) và (3) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng

Từ (3) và (4) suy ra phương tình có nghiệm thuộc khoảng

Vậy thỏa mãn

Ta có:

Khi đó

Ta có:

Khi đó:

Ta có S₃₀ = 2 + 4 + 6 + … + 60

 ⇒ 2S₃₀ = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)

Ta có:

Mặt khác

=> Dãy số bị chặn trên bởi số .

Ta có:

Mặt khác

Mà

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Vậy nghiệm phương trình là: 

Ta có:

Theo tính chất hàm số liên tục thì

1) Nếu hàm số liên tục trên và thì tồn tại sao cho . Mệnh đề sai.

2) Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình có nghiệm. Mệnh đề đúng.

3) Nếu hàm số đơn điệu trên và thì phương trình có nghiệm duy nhất trên . Mệnh đề đúng.

 Ta có:

Điều kiện xác định

Ta có:

=> Phương trình tương đương

=>