Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b} với k \in \mathbb{Z} và a,b \in \mathbb{N}^{*}. Tính S = a + b

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0

    \Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}

    Ta có:

    \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}

    =\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx

    = cot\frac{x}{2} - cotx

    Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

    \cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x

    {+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}

    {\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}

    {\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}

    Vậy a = 2019,b = 1 nên a + b = 2020.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Tính \lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}.

    Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với \forall n \geq 1;n\mathbb{\in N} thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)

    Với n = 1 thì \left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP nên (*) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng với n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N} nghĩa là:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}

    Xét n = k + 1 ta có:

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}

    + \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP

    Vậy (*) đúng với n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}

    Bây giờ ta áp dụng với n = 2018 thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}

    = \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0

  • Câu 4: Thông hiểu

    Biết  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}, trong đó a,b là hai số nguyên dương và phân số \frac{a}{b} tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = a^{2} + b^{2}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}

    \Rightarrow a = 3;b = 2

    \Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13

  • Câu 5: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

    Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k} thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

    Xét đáp án: 2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

    Xét đáp án: 2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{} Chọn

    Xét đáp án: 1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}Loại

    Xét đáp án: 15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trung điểm của các cạnh AB,BC,CD lần lượt là các điểm P,Q,R. Giả sử (ACD) \cap (PQR) = d. Hỏi đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: PQ//AC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD);(PQR) sẽ đi qua điểm R và song song với AC.

    Do đó giao tuyến d sẽ đi qua trung điểm của AD.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho tổng S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}.

    Khi đó công thức tính tổng S(n) là?

    S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}

    = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (Q), khi đó mệnh đề nào sau đây sai?

     Mệnh đề sai: "a //(Q)".

  • Câu 10: Nhận biết

    Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?

    Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

    Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.

  • Câu 11: Nhận biết

    Với giá trị x nào dưới đây thì các số - 4;x; - 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

    Ta có: - 4;x; - 9 lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = ( - 4).( - 9) = 36

    \Rightarrow x = \pm 6

  • Câu 12: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2} là V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left( t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Ta có: \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t - 10} = \lim_{t ightarrow 10}\frac{45t^{2} - t^{3} - 45 \cdot 10^{2} + 10^{3}}{t - 10}

    \begin{matrix}= \lim_{t ightarrow 10}\dfrac{45(t - 10)(t + 10) - (t - 10)\left( t^{2}+ 10t + 100 ight)}{t - 10} \\\end{matrix}

    = \lim_{t ightarrow 10}\left( - t^{2} + 35t + 350 ight) = 600

    Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 (ngày) là 600 người/ngày.

  • Câu 13: Nhận biết

    Giá trị của \lim(2n + 1) bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} > \frac{M - 1}{2}

    Ta có:

    2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}.

    = > \lim(2n + 1) = + \infty

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong hình học không gian

    Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.

  • Câu 15: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = \tan3x +\cot x

    Hàm số y = \tan3x tuần hoàn với chu kì T_{1} = \frac{\pi}{3}

    Hàm số y = \cot x tuần hoàn với chu kì T_{2} = \pi

    T là chu kì của hàm số y = \tan3x + \cot{x} là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

    Suy ra hàm số y = \tan3x + \cot x tuần hoàn với chu kì T = \pi

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

     Xác định giao tuyến

    Xét (SAD) và (SBC) có:

    S là điểm chung

    AD // BC

    => Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD

  • Câu 17: Thông hiểu

    Giải phương trình \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}.

    Ta có

    \cot(3x - 1) = - \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \cot(3x - 1) = \cot\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \cot\left( \frac{5\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow 3x - 1 = \frac{5\pi}{6} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{5\pi}{18} + k\frac{\pi}{3},k\mathbb{\in Z}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính giá trị của giới hạn sau \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} = \lim\frac{10}{n^{2}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}

    Nhưng{\ \lim}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}} = 1 và \lim\frac{10}{n^{2}\ } = 0

    Nên \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} = 0

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = -2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) \leq 1

    \Rightarrow 2 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) \geq - 2

    \Rightarrow 4 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) + 2 \geq 0

    \Rightarrow 4 \geq y \geq 0

    Vậy y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR} là mệnh đề đúng.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 

    Ta có: \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1

    Vậy công sai của cấp số nhân là 2x - 1

    Vậy số hạng tiếp theo sẽ là: \left( {4{x^2} - 1} ight)\left( {2x - 1} ight) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1

  • Câu 22: Nhận biết

    Để kết luận đường thẳng a song song với đường thẳng b ta cần giả thiết nào dưới đây?

    Ta có tính chất:

    Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = 2x^{3} + ax^{2} + bx + c;(a,b,c \in R) thỏa mãn 9a + 3b + c < −54 và a − b + c > 2. Gọi S là số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hàm số đã cho xác định trên \mathbb{R}.

    Ta có: a − b + c > 2 ⇔ a − b + c − 2 > 0 mà f(−1) = −2 + a − b + c nên f(−1) > 0.

    Mặt khác 9a + 3b + c < −54 ⇔ 9a + 3b + c + 54 < 0 mà f(3) = 54 + 9a + 3b + c nên f(3) < 0.

    Ta lại có \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty nên tồn tại số m < −1 sao cho f(m) < 0 và \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty nên tồn tại số k > 0 sao cho f(3) > 0.

    Vậy f(m) . f(−1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (m; −1).

    Và f(−1) . f(3) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 3).

    Vàf(3) . f(k) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (3; k).

    Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm chung với trục hoành.

  • Câu 24: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \sin150^{0} = \sin30^{0}

    \Rightarrow \sin60^{0} >\sin150^{0}

    \cos30^{0} > \cos60^{0}

    \cot60^{0} =\cot240^{0}

    Vậy \tan45^{0} < \tan60^{0} đúng.

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x=1

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số liên tục tại x=-1

    Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \left( { - \infty ; 1} ight) và \left( { 1; + \infty } ight).

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho \frac{\pi}{2} < x < \pi. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \frac{\pi}{2} < x < \pi \Leftrightarrow - \pi < - x < - \frac{\pi}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - x < \pi

    Do đó điểm cuối của cung có số đo \frac{3\pi}{2} - x thuộc góc phần tư thứ II

    Vậy \sin\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) > 0

  • Câu 27: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ?

    Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.

  • Câu 28: Vận dụng

    Biết các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n

    Ta có: 

    Các số C_{n}^{1};C_{n}^{2};C_{n}^{3} theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3

    \begin{matrix} C_n^1 + C_n^3 = 2C_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} ight)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} ight)!}} = 2.\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} = n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + \left( {{n^2} - n} ight)\left( {n - 2} ight) = 6n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 6{n^2} - 6n \hfill \\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 14n = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 0\left( {ktm} ight)} \\ {n = 2\left( {ktm} ight)} \\ {n = 7\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?

    Ta có:

    Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

    Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

    Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

    Suy ra có chữ số 0.

    Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}

  • Câu 30: Nhận biết

    Hàm số nào không liên tục tại x = 2?

    Ta có hàm số y = \frac{x^{2}}{x - 2} không xác định tại x = 2 nên hàm số không liên tục tại x = 2

    NB

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến của MA và SD.

    Hình vẽ minh họa:

    Tìm giao tuyến của MA và SD

    Xét hình thang ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AD; BC nên:

    IJ là đường trung bình hình thang ABCD => IJ // AB

    Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB): lần lượt chứa hai đường thẳng song song (là IJ và AB) và có điểm G chung

    => Giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

    Đường thẳng này cắt SA tại M và cắt SB tại N.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S \in (SAC) \cap (SBD)(*)

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} O \in AC \subset (SAC) \\ O \in BD \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)(**)

    Từ (*) và (**) ta suy ra SO = (SAC) \cap (SBD)

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;d = 3. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

    Ta có:

    S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ảnh của A,B' qua phép chiếu song song với phương CD mặt phẳng chiếu (BCC'B') lần lượt là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AB//CD nên ảnh của điểm A qua phép chiếu song song phương CD lên mặt phẳng (BCC'B') là điểm B.

    Mặt khác điểm B' \in (BCC'B') nên ảnh của B' qua qua phép chiếu song song phương CD lên mặt phẳng (BCC'B') là điểm B'.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD, lấy M là trung điểm của AD. Qua phép chiếu song song theo phương AC lên mặt phẳng (BCD) biến điểm M thành điểm nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi N là trung điểm của CD. Khi đó MN là đường trung bình của tam giác ACD

    \Rightarrow MN//AC.

    Do đó hình chiếu của điểm M qua phép chiếu song song theo phương AC lên mặt phẳng (BCD) là điểm N.

  • Câu 37: Vận dụng

    Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(un) có {u_1} = - 3;q = - 2

     Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3.\frac{{1 - {{\left( { - 2} ight)}^{10}}}}{{1 + 2}} = 1023

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi G_{1};G_{2} lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và ACD. Khi đó độ dài đoạn thẳng G_{1}G_{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là trung điểm của CD.

    Trong tam giác IAB ta có:

    \frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3} (theo tính chất trọng tâm tam giác)

    \Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số y = \cos x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

  • Câu 40: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho phương trình {\cot ^2}3x - 3\cot 3x + 2 = 0. Đặt t = \cot 3x, ta được phương trình nào sau đây? 

     Ta có: {\cot ^2}3x - 3\cot 3x + 2 = 0  trở thành {t^2} - 3t + 2 = 0.

  • Câu 42: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 43: Vận dụng

    Phương trình \frac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 có nghiệm là:

     Điều kiện xác định: 1 + \sin x.\cos x e 0

    \begin{matrix} \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Kiểm tra điều kiện ta thấy x = \frac{3\pi }{4} + k\pi thỏa mãn

    Vậy nghiệm của phương trình là: x = \frac{3\pi }{4} + k\pi

  • Câu 44: Nhận biết

    Gọi x_0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Điều kiện: 1 - \sin 2x e 0 \Leftrightarrow \sin 2x e 1

    Phương trình \frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0

    \Leftrightarrow \cos 2x = 0\xrightarrow{{{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x = 1}}\left[ \begin{gathered} \sin 2x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L) \hfill \\ \sin 2x = - 1\,\,\,\,\,(TM) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Cho - \frac{\pi }{4} + k\pi > 0\xrightarrow{{}}k > \frac{1}{4}.

    Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với  k = 1 \to x = \frac{{3\pi }}{4} \in \left[ {\frac{{3\pi }}{4};\pi } ight].

  • Câu 45: Nhận biết

    Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét u_{n} = n^{2} ta có: u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy u_{n} = n^{2} là dãy số tăng.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập