Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:
Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:
Cho hình chóp
có đáy là tứ giác
. Giả sử
là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của
với các mặt của hình chóp
không thể tạo thành hình nào dưới đây?
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt
Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp
.
Vậy đáp án là hình lục giác.
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
,
. Tính tỉ số độ dài hai cạnh
và
.
Hình vẽ minh họa
Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến
và
.
Theo tính chất hình hộp ta có nên
Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.
Vậy hay
.
Cho phương trình
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để phương trình đã cho có nghiệm?
Ta có:
thì phương trình có nghiệm.
Cho cấp số cộng
với
. Khi đó số
là số hạng thứ mấy trong dãy?
Theo bài ra ta có:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Ta có:
=>
Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
Xét dãy (an) có nên dãy số (an) bị chặn dưới.
Xét dãy (bn) có nên dãy số (bn) bị chặn dưới.
Xét dãy (cn) có cn = (−2)n + 3, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số (cn) không bị chặn.
Xét dãy (dn) có .
Ta có
bị chặn.
Từ thời điểm đồng hồ chỉ đúng 12 giờ đến khi kim giờ chỉ 1 giờ đúng thì kim phút quay được góc bao nhiêu độ?
Khi kim giờ chỉ đúng 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng ứng với góc lượng giác là:
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại
?
Xét hàm số hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
và
và
là trọng tâm của tam giác
. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm
Hình vẽ minh họa
Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.
Gọi
Ta có:
Suy ra d đi qua G và song song với CD,.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
,
,
,
lần lượt là trung điểm của các cạnh bên
,
,
,
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Tứ giác là hình bình hành.
Chọn khẳng định đúng?
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
Cho một cấp số nhân
có
. Hỏi
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Cho tứ diện
. Gọi
sao cho
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng
đồng thời song song với đường thẳng
. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
và các mặt của tứ diện
là:
Hình vẽ minh họa:
Xét và (BCD), ta có điểm N chung, CD //
=> ∩ (BCD) = NF // CD, với F ∈ BD.
Xét và (ACD), ta có điểm M chung, CD //
=> ∩ (ACD) = ME // CD, với E ∈ AC.
Từ đó ta được MF = ∩ (ABD) và EN =
∩ (ABC)
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và các mặt của tứ diện
là tứ giác ENFM
Ta lại có ME // CD // NF nên ENFM là hình thang.
Từ giả thiết ta có:
Mà
Vậy hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm. Biết rằng
. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh đều bằng
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Trong tam giác ta có:
(theo tính chất trọng tâm tam giác)
Cho phương trình
(*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm
Đúng||Sai
b) Trong khoảng
phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
bằng
. Sai||Đúng
d) Trong khoảng
phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Cho phương trình (*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm Đúng||Sai
b) Trong khoảng phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng bằng
. Sai||Đúng
d) Trong khoảng phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Ta có:
Vì
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng là
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
Kiểm tra được là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
là hàm số không chẵn không lẻ
là các hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
liên tục trên
?
Ta có:
Hàm số liên tục trên các khoảng
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên
khi và chỉ khi nó liên tục tại
, tức là ta cần có:
Ta lại có:
Khi đó không thỏa mãn với mọi
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Góc
đổi sang độ bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Theo công thức cộng
.
Giá trị của
bằng:
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Suy ra
Vậy: .
Cho cấp số nhân
với
và
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Ta có .
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của
và mặt phẳng
là:
Hình vẽ minh họa:
Trong tam giác ta có:
Vậy
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
,
là trọng tâm tam giác
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì nên
.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số giảm.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Xét phương án , ta có:
nên dãy này là dãy số tăng.
Vậy dãy số là dãy số giảm.
Cho hai dãy số
với
và
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho góc
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Ta có:
Khi đó giá trị biểu thức G là:
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Kết quả của giới hạn
là:
Ta có:
Khi đó:
Vì
Vậy
Cho hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng song song với đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với
".
Giải phương trình: ![]()
Giải phương trình:
Cho
như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

Ta có:
.
Các cung lượng giác ,
lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm F và E.
Biết ba số
lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
Để ba số lập thành một cấp số nhân thì
Vậy tổng các giá trị của m là
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Mặt khác
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Cho hàm số
. Với
và
. Biết
. Hỏi đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Cho hàm số . Với
và
. Biết
. Hỏi đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Đồ thị hàm số
được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
Ta có
=>Đồ thị hàm số được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là