Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
Dãy là một cấp số cộng
với d là hằng số.
Hay
=> Cấp số cộng cần tìm là:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
Dãy là một cấp số cộng
với d là hằng số.
Hay
=> Cấp số cộng cần tìm là:
Cho dãy số (un) với
( a là hằng số). Hỏi un + 1 là số hạng nào sau đây?
Ta có
Giải phương trình ![]()
Ta có:
Kết quả của giới hạn
bằng
Có nếu
.
Vì nên
.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành
. Gọi
. Giả sử mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và
Tương tự ta cũng có
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.
Tìm giá trị thực của m để hàm số
liên tục tại
.
Tập xác định của hàm số: chứa
Theo giả thiết thì ta phải có:
Vậy
Cho dãy số (un) với ![]()
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1
u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:
un = 1 − (n−1) = 2 − n.
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là , công bội
, với
Theo bài ra ta có:
Mà
Vậy góc lớn nhất có số đo
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
Ta có:
không xác định.
Cho các giới hạn
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Giới hạn
bằng:
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho các mệnh đề:
1) Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
.
2) Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì phương trình
có nghiệm.
3) Nếu hàm số
đơn điệu trên
và
thì phương trình
có nghiệm duy nhất trên
.
Trong các mệnh đề trên:
Theo tính chất hàm số liên tục thì
1) Nếu hàm số liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
. Mệnh đề sai.
2) Nếu hàm số liên tục trên
và
thì phương trình
có nghiệm. Mệnh đề đúng.
3) Nếu hàm số đơn điệu trên
và
thì phương trình
có nghiệm duy nhất trên
. Mệnh đề đúng.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta lại có: suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*
Với n = 1 ta có − 2 ≤ u1 ≤ 1 (đúng).
Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ uk ≤ 1
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*
Vậy (un) là dãy số bị chặn.
Nghiệm dương bé nhất của phương trình
là
Giải phương trình
Với k = 0 => (Thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để
.
Ta có: nên
Theo đề bài ta có
Mặt khác
Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.
Cho cấp số nhân
có
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo bài ra ta có:
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
là trung điểm, trên cạnh
lấy điểm
sao cho
. Gọi
, khi đó tỉ số độ dài giữa
và
là:
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết bài ra suy ra LK // AC mà (KLN) ∩ (DAC) = d
=> d // AC
Xét mặt phẳng (DAB) qua N dựng d song song AC
=> {P} = AD ∩ d
Xét tam giác DAC vì PN // AC theo định lý Ta-lét ta có:
Ta lại có:
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Tập nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
![]()
Do y = sin (x) có tập giá trị là [-1;1] nên các phương trình có nghiệm;
phương trình vô nghiệm do
Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = 2. Tổng
bằng:
Ta có:
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là
(người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm
,
là
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Đáp án: 600
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm
,
là
. Tính
và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Đáp án: 600
Ta có:
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm (ngày) là 600 người/ngày.
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.
Giá trị của
bằng:
Chia cả tử và mẫu cho ta có được.
Cho hàm số
. Với
và
. Biết
. Hỏi đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Cho hàm số . Với
và
. Biết
. Hỏi đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Cho hình hộp
. Ảnh của
qua phép chiếu song song với phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác điểm nên ảnh của
qua qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.
Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.
Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.
=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).
Cho hình chóp tứ giác
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
(như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

Ta có:
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là:
Cho hình vẽ:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là và giá trị nhỏ nhất là
=> loại hàm số
và
Tại ta thấy chỉ có
thỏa mãn
Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?
Theo bài ra ta có:
Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tính giới hạn của hàm số
khi
.
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Cấp số nhân
có số hạng tổng quát là
. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra và
.
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số cộng với công sai
.
Cho điểm A thuộc mặt phẳng (P), mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng .
Cho hình chóp
có các cạnh bên bằng nhau, đáy
là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua điểm
và song song với
. Các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Gọi
lần lượt là các giao điểm của
với
thì
.
Do đó là hình vuông và
Vậy diện tích tứ giác là .
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)
Ta có: (vì
lần lượt là các đường trung bình của
.
Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là:
Cho hàm số
và
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Hàm số
là hàm số chẵn. Sai||Đúng
b) Trong khoảng
đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai
c) Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất khi
. Đúng||Sai
Cho hàm số và
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Hàm số là hàm số chẵn. Sai||Đúng
b) Trong khoảng đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi
. Đúng||Sai
a) Sai
TXĐ: . Do đó
Ta có là hàm số lẻ.
b) Đúng
Phương trình trong khoảng
có hai nghiệm
và
c) Sai
Ta có: , mà
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
, khi
.
d) Đúng
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
, khi
Cho góc lượng giác
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.