Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)?

    Với x \in \left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)

    \begin{matrix}ightarrow 2x \in \left( - \dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{3} ight) \hfill\\ightarrow 2x + \dfrac{\pi}{6} \in \left( - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}ight) \hfill\\\end{matrix}

    Thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight) đồng biến trên khoảng \left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy a song song d

  • Câu 6: Thông hiểu

    Xét đường tròn bán kính 20cm. Cung tròn có số đo 37^{0} có độ dài tương ứng là:

    Độ dài cung tròn góc \alpha (với \alpha có đơn vị là độ):

    l = \frac{R\pi\alpha}{180^{0}} = \frac{20.\pi.37^{0}}{180^{0}} = \frac{37\pi}{9}(cm)

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

    Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + m = xn} \\ {z = x + 2m = x{n^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow m = x{n^2} - xn \hfill \\ \Rightarrow x + x{n^2} - xn = xn \hfill \\ \Rightarrow {n^2} - 2n + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 1 \Rightarrow m = 0 \Rightarrow x = y = z \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

    Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:

    \begin{matrix} 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của AD và ACvà G là trọng tâm của tam giác BCD. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng (IJG) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng đi qua điểm

    Hình vẽ minh họa

    Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

    Gọi d = (GIJ) \cap (BCD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} G \in (GIJ);G \in (BCD) \\ IJ \subset (GIJ);CD \subset (BCD) \\ IJ//CD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

  • Câu 10: Vận dụng

    Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

    Gọi số hàng cây được trồng là x (hàng)

    Số cây các hàng là: 1; 2; 3; 4; ...; x - 1; x

    Số cây của mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng 

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {d = 1} \end{array}} ight.

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {S_x} = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 3003 = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 6006 = 2x + {x^2} - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 77\left( {tm} ight)} \\ {x = - 78\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có tất cả 77 hàng cây được trồng.

  • Câu 11: Nhận biết

    Với x \in \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} ight), mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} ight) = \left( { - \frac{\pi }{4} + 8\pi ;\frac{\pi }{4} + 8\pi } ight) thuộc góc phần tư thứ I và II.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x} với xeq 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}?

     Ta có: 

    Với xeq 0 hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0

    Với x = 0 ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

    \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}

  • Câu 14: Nhận biết

    Với x là góc bất kì và các biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đẳng thức đúng: sin2x = 2sinx\cos x.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho xeq 0 và x+\frac{1}{x} là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}?

    Ta có:

    T\left( {1;x} ight) = x + \frac{1}{x} là một số nguyên

    T\left( {2;x} ight) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)^2} - 2 cũng là một số nguyên

    Ta sẽ chứng minh T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} là một số nguyên.

    Ta có: 

    T\left( {1;x} ight) là một số nguyên 

    Giả sử T(n,x) là số nguyên với n \ge1. Ta sẽ chứng minh T\left( {n + 1;x} ight) cũng là số nguyên.

    Ta có: 

    \begin{matrix} T\left( {n + 1;x} ight) = {x^{n + 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n + 1}}}} \hfill \\ = \left( {x + \dfrac{1}{x}} ight).\left( {{x^n} + \dfrac{1}{{{x^n}}}} ight) - \left( {{x^{n - 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n - 1}}}}} ight) \hfill \\ = T\left( {1;x} ight).T\left( {n;x} ight) - T\left( {n - 1;x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Theo giả thiết quy nạp ta có: 

    \left\{ \begin{gathered} T\left( {1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n - 1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow T\left( {n + 1;x} ight) \in \mathbb{Z}

    Vậy T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}} là một số nguyên.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Biết \lim_{xightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x +1} = c với a,b,c\in\mathbb{R}. Tập nghiệm của phương trình ax^{4} + bx^{2} + c = 0 trên \mathbb{R} có số phần tử là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{1 + ax^{2} - (bx + 2)^{2}}{\left( 4x^{3} - 3x + 1 ight)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình \left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3 = 0phải có nghiệm kép x = \frac{1}{2}. Tức là:

    \left\{ \begin{matrix}\Delta' = 0 \\\dfrac{2b}{a - b^{2}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4b^{2} + 3\left( a - b^{2} ight) = 0 \\4b = a - b^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b^{2} + 3b = 0 \\ a = b^{2} + 4b \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(a,b eq 0)

    Khi a = - 3;b = - 3 thì

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 3}{(x + 1)\left( \sqrt{1 - 3x^{2}} - 3x + 2 ight)}

    I = \dfrac{- 3}{\dfrac{3}{2}.\left(\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{3}{2} + 2 ight)} = - 2

    Do đó a = - 3;b = - 3;c = - 2 nên phương trình - 3x^{4} - 3x^{2} - 2 = 0 vô nghiệm.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi (P) bằng

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC.

    Vì (P)//(ABC) nên theo định lí Talet, ta có \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}.

    Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = \frac{2}{3}.

    Vậy S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4.

  • Câu 18: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).

    Công thức đúng là:

    \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho các giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 3. Tính giá trị biểu thức T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    Ta có:

    T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    \Rightarrow T = 3\lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) - 4\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 6 - 12 = - 6

  • Câu 20: Thông hiểu

    Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt phẳng?

    Theo cách xác định mặt phẳng thì “Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau”.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Xác định \lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}}.

    Ta có: \lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{|x|} = + \infty.

  • Câu 22: Nhận biết

    Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = \sin 3x và y = \sin x bằng nhau?

     Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = x + k2\pi \hfill \\ 3x = \pi - x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_2} = 72} \\ {{u_5} - {u_3} = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72} \\ {{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}q.\left( {{q^2} - 1} ight) = 72} \\ {{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} ight) = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {{u_1} = 12} \end{array}} ight.

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian, cho ba đường thẳng a,\ \ b,\ \ c. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

    Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng.

  • Câu 25: Nhận biết

    Biết ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?

    Để ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân thì m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các giá trị của m là S = - 3

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tìm số nghiệm của phương trình \sin(\cos x) = 0 trên đoạn x \in \lbrack 0;2\pibrack.

    Ta có: sin(cosx) = 0 \Leftrightarrow cosx = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})

    Vì |cosx| \leq 1 nên k = 0. Do đó phương trình \Leftrightarrow cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + m\pi(m \in \mathbb{Z})

    Vì x \in \lbrack 0;2\pibrack nên x = \frac{\pi}{2},x = \frac{3\pi}{2}.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M là trung điểm của A'D'. Gọi mặt phẳng (\gamma) đi qua M và song song với AC,BB'. Giả sử BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}. Tỉ lệ độ dài của TB và TC là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi trung điểm của AD,DC,D'C' lần lượt là N,P,E.

    Dễ thấy (MNPE) \in (\gamma)

    Xét mặt phẳng (ABCD), gọi BC \cap NP = T

    Xét tam giác \Delta NDP và tam giác \Delta PCT ta có:

    \widehat{DPN} = \widehat{TPC} (đối đỉnh)

    DP = PC

    \widehat{NDP} = \widehat{PCT}(so le trong)

    \Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT

    \Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC

    Vậy TB = 3TC hay \frac{TB}{TC} = 3

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong các dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dã số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án u_{n} = 2^{n} ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} > 0

    => Dãy số u_{n} = 2^{n} là dãy tăng.

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Mặt phẳng qua MN cắt AD,BC lần lượt tại P,Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} I \in MP \subset (ABD) \\ I \in NQ \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I \in (BCD) \cap (ABD)

    Mà BD = (BCD) \cap (ABD)

    Vậy ba điểm I,B,D thẳng hàng.

  • Câu 30: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\frac{n + 2}{n^{2} + n + 1}

    Ta có:

    \lim \frac{{n + 2}}{{{n^2} + n + 1}}= \lim \dfrac{{n\left( {1 + \dfrac{2}{n}} ight)}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} ight)}}

    = \lim\left( \dfrac{1}{n}.\dfrac{1 +\dfrac{2}{n}}{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ight) = 0

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).

    Vậy mệnh đề sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) = \cos2x - 4\cos x + 4. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)?

    Ta có:

    y =f(x) = \cos2x - 4\cos x + 4

    = 2\cos^{2}x - 4\cos x + 3

    Đặt \cos x = t,t \in \lbrack - 1;1brack. Xét hàm số f(t) = 2t^{2} - 4t + 3 trên đoạn \lbrack - 1;1brack

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta có: \left\{ \begin{matrix} \max y = \max\underset{t \in \lbrack - 1;1brack}{f(t)} = 9 \\ \min y = \min\underset{t \in \lbrack - 1;1brack}{f(t)} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho dãy số \frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};... là cấp số cộng với:

    Ta có: \frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};... là một cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d} \end{array}} ight.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{5} = 5, u_{10} = 15 Khi đó u_{7} bằng

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{5} = 5 \\ u_{10} = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 4d = 5 \\ u_{1} + 9d = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy u_{7} = u_{1} + 6d = - 3 + 6.2 = 9

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SMQ) và (SNP):

    Hình vẽ minh họa

    Gọi (SMQ) \cap (SNP) = d

    Khi đó d đi qua S.

    Xét ba mặt phẳng (SMQ),(SNP);(MNPQ).

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d;MQ;NP.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d;MQ;NP đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà MQ//NP \Rightarrow d//MQ

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho dãy số\left( {{u_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_{n + 1}} = n{u_n}} \end{array}} ight. với mọi n\geq 1. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 2 \hfill \\ {u_2} = 1{u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} = 2.{u_2} = 2.2 = 4 \hfill \\ {u_4} = 3.{u_3} = 3.4 = 12 \hfill \\ {u_5} = 4.{u_4} = 4.12 = 48 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 39: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    =>  \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,K lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD và M là điểm trên cạnh SB sao cho\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}. Gọi N là gia điểm của MD và mặt phẳng (SIK). Tính tỉ số \frac{ND}{NM}.

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I,K lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD và M là điểm trên cạnh SB sao cho\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}. Gọi N là gia điểm của MD và mặt phẳng (SIK). Tính tỉ số \frac{ND}{NM}.

    Đáp án: 3

    Hình vẽ minh họa

    Ta có M là điểm trên cạnh SB, \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3} nên \frac{MB}{MS} = 2.

    IK//BD nên IK//(SBD) suy ra (SBD) \cap (SIK) = Sx,\ \ Sx//IK//BD.

    Trong (SBD),\ \ DM \cap Sx = N.

    N chính là giao điểm của DM và (SIK).

    Trong (SBD), có Sx//BD nên hai tam giác \Delta SMN và \Delta BMD đồng dạng.

    Do đó \frac{MD}{MN} = 2 \Rightarrow \frac{ND}{NM} = 3.

  • Câu 41: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây sai?

    Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d với công sai d và số hạng đầu u1

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho công thức y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13 biểu thị số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố A, với 1 \leq x \leq 365 là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A đạt giá trị lớn nhất.

    Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13 đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in Z.

    Vì 1 \leq x \leq 365 nên ta có 1 \leq 30 + k360 \leq 365 \Leftrightarrow - 0,08 \leq k \leq 0,93 \Rightarrow k = 0.

    Do đó x = 30 (tháng đầu tiên của năm)

  • Câu 43: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}

  • Câu 44: Vận dụng cao

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Cho các số thực a,\ b,\ c thỏa mãn 4a + c > 8 + 2b và a + b + c < - 1. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 bằng

    Đáp án: 3

    Xét hàm số f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c

    Theo giả thiết 4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0

    a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0

    Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( - \infty; - 2)(1)

    f( - 2)f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( - 2;1)(2)

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1; + \infty)(3)

    Từ (1); (2) và (3) ta có phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

    Mặt khác f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm.

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có:

    f( - 1) = 2a + 4

    \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4

    Để hàm số gián đoạn tại x = - 1 thì \lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)

    \Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4

    Vậy có 2024 giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 3
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập