Cho vòng tròn lượng giác được kí hiệu như sau:

Điểm nào biểu diễn nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Vậy chỉ có hai điểm C và điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho vòng tròn lượng giác được kí hiệu như sau:

Điểm nào biểu diễn nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Vậy chỉ có hai điểm C và điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho dãy số
có số hạng tổng quát
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Vậy dãy số đã cho không tăng không giảm.
Khẳng định sai là: “Dãy số là dãy giảm”
Cho dãy số
, biết
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
Ta có:
Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là:
Cho phương trình
. Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.
Điều kiện xác định
Nếu n là số lẻ thì
Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình
Vì không là nghiệm nên ta xét phương trình với
(do
nên dấu bằng không xảy ra)
Hơn nữa
Do đó phương trình không có nghiệm với
Khi ta có phương trình
Giả sử khi đó
liên tục trên
.
Ta có:
=> có nghiệm
Vậy .
Cho các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Ta có:
Ta kiểm tra được và
là hàm số không chẵn không lẻ
là hàm số chẵn
là hàm số lẻ
Vậy là hàm số lẻ
Biết
với
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Vậy
Phương trình
có nghiệm là:
Điều kiện xác định:
Kiểm tra điều kiện ta thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cường độ dòng điện trong một đoạn mạch là
(A). Tại thời điểm
thì cường độ trong mạch có giá trị bằng.
Thay vào biểu thức cường độ dòng điện ta được:
.
Tìm được các giới hạn sau:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn sau:
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) , do
và
.
b)
Do và
.
c) .
d) .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
Cho cung lượng giác
trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của cung
bằng bao nhiêu?

Ta có:
Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có hướng theo chiều dương.
Vậy số đo cung AM là
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Mặt phẳng nào sau đây song song với
?
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Đặt
=>
Phương trình trở thành:
Do
Vậy để phương trình có nghiệm
Một cấp số cộng gồm
số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng
. Tìm công sai
của cấp số cộng đã cho?
Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là:
Theo đề bài ta có:
Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là
Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:
TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.
TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”
Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.
Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.
Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Cho cấp số nhân
có
. Tính
.
Ta có
Vậy .
Hàm số
liên tục tại điểm nào dưới đây?
Hàm số có tập xác định
Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định .
Khi đó suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm
.
Cho ba mặt phẳng
đôi một song song. Hai đường thẳng
lần lượt cắt ba mặt phẳng tại
và
, (
nằm giữa
và
,
nằm giữa
và
). Biết rằng
. Tính
.
Ta có:
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số nhân với công bội
.
Dãy là cấp số cộng với công sai
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Phương trình
Để phương trình có nghiệm
là giá trị cần tìm.
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Do
(Định lý Talet)
Xét tam giác có:
(do
là đường trung bình của tam giác)
Lại có:
Vậy và
chéo nhau.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
là
Do nên
.
Nên đạt được khi
.
đạt được khi
.
Suy ra .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Cho hình chóp
có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
không song song
Đúng||Sai
b)
song song
Đúng||Sai
c)
song song
Sai||Đúng
d)
song song
Sai||Đúng
Cho hình chóp có
không song song với
Gọi
lần lượt là trung điểm
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) không song song
Đúng||Sai
b) song song
Đúng||Sai
c) song song
Sai||Đúng
d) song song
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Ta có: lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
Từ suy ra:
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Cho góc lượng giác
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Cho
là hằng số,
là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?
Ta có với
là một số nguyên dương.
Biết
. Hỏi giá trị a thuộc tập hợp nào dưới đây?
Ta có:
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là , công bội
, với
Theo bài ra ta có:
Mà
Vậy góc lớn nhất có số đo
bằng:
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn
Ta có:
.
Với giá trị
nào dưới đây thì các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Ta có: lập thành một cấp số nhân
Tính tổng ![]()
Ta có:
Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì
Tính giới hạn
.
Ta có:
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính số hạng đầu tiên
và công sai
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
, d đi qua S và
.
Giải phương trình
.
Ta có .
Với
Với
Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là .
Suy ra nghiệm của phương trình
Cho hình lăng trụ tam giác
có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt phẳng
bất kì song song với mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng trên là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là giao điểm của
với các cạnh
.
Khi đó ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , gọi
.
Trong , gọi
.
Trong mặt phẳng , dựng
là đường trung bình của tam giác
.
là trung điểm của
.
Trong , dựng
.
Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu
cùng dấu?
Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì cùng dấu