Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 4

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm, câu hỏi đúng sai và tự luận ngắn thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.

Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Giải phương trình $\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0$ .
- A.
  $x = k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
- B.
  $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
- C.
  $x = \frac{\pi}{3} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
- D.
  $x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
Phương trình

$\sin\left( \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{3} = k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{2x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$

Vậy đáp án cần tìm là: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{k3\pi}{2}\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).$
Câu 2: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight),$ biết $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $u_{4} = \frac{1}{4}$ .
- B.
  $u_{5} = \frac{1}{16}$ .
- C.
  $u_{5} = \frac{1}{32}$ .
- D.
  $u_{3} = \frac{1}{8}$ .
Ta có: $u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Câu 3: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu $u_{1} = - \frac{1}{2},$ công sai $d = \frac{1}{2}.$ Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:
- A.
  $- \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1.$
- B.
  $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}.$
- C.
  $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}.$
- D.
  $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}.$
Ta dùng công thức tổng quát $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}$ , hoặc $u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2}$ để tính các số hạng của một cấp số cộng.

Ta có $u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Câu 4: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 12$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $9$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có $u_{2} = u_{1}.q \Rightarrow q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{12}{3} = 4$ .
Câu 5: Nhận biết
Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt bên?
- A.
  $5$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Hình vẽ minh họa

Quan sát hình vẽ ta thấy hình chóp lục giác đều có $6$ mặt bên.
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 7: Nhận biết
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $a\subset(\alpha)$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu $a$ song song với $(\alpha)$ thì trong mặt phẳng $(\alpha)$ tồn tại đường thẳng $b$ song song với $a$ .
- B.
  Nếu $a$ song song với $(\alpha)$ và đường thẳng $b \subset (\alpha)$ thì $b$ song song với $a$ .
- C.
  Nếu $a$ song song với $b$ và đường thẳng $b \subset (\alpha)$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ cắt mặt phẳng $(\alpha)$ tại $A$ và $b$ là một đường thẳng bất kì nằm trong $(\alpha)$ thì $a$ và $b$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Nếu $a$ song song với $(\alpha)$ và đường thẳng $b \subset (\alpha)$ thì $b$ và $a$ hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P)$ , $(Q)$ và $(R)$ . Xét các mệnh đề sau

1) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

2) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

3) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

4) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

Số mệnh đề đúng là:
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  3.
- D.
  2.
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$

Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Câu 9: Thông hiểu
Giới hạn $\lim_{}\frac{5n^{2} + 6n - 2025}{n^{2}}$ bằng
- A.
  $5$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $- 2025$ .
- D.
  $6$ .
Ta có:

$\lim\frac{5n^{2} + 6n - 2025}{n^{2}}$

$= \lim\dfrac{n^{2}\left( 5 + \dfrac{6}{n}- \dfrac{2025}{n^{2}} ight)}{n^{2}}$

$= \lim\left( 5 + \frac{6}{n} - \frac{2025}{n^{2}} ight) = 5$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x + 1}$ .
- A.
  $\frac{1}{2}$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có: $\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = 2$ .
Câu 11: Thông hiểu
Với $n \in \mathbb{N}^{*}$ , cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi hệ thức truy hồi $u_{1} = 2$ , $u_{n + 1} = 2u_{n} + 3$ . Giá trị của số hạng thứ $4$ bằng
- A.
  $37$ .
- B.
  $17$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $77$ .
Ta có:

$u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7$ ,

$u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17$ ,

$u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37$ .
Câu 12: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(ABCD)$ .
- B.
  $MN//(SAB)$ .
- C.
  $MN//(SCD)$ .
- D.
  $MN//(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN//AC$ mà $AC \in (ABCD) \Rightarrow MN//(ABCD)$ .
Câu 13: Thông hiểu

Cho phương trình lượng giác $2cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{3} ight)$ . Sai||Đúng

b) Trong khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 3 nghiệm. Sai||Đúng

c) Trong khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 1 nghiệm nguyên. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên $( - \pi;\pi)$ bằng $\frac{2\pi}{3}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $2cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{3} ight)$ . Sai||Đúng

b) Trong khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 3 nghiệm. Sai||Đúng

c) Trong khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 1 nghiệm nguyên. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên $( - \pi;\pi)$ bằng $\frac{2\pi}{3}$ . Đúng||Sai

Phương trình $\Leftrightarrow cos(x -\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix} ight.$

Vì $x \in ( - \pi;\pi)$ nên:

Với $x = k2\pi$ ta chỉ chọn được $k = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Với $x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ ta chỉ chọn được $k = 0 \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}$ .

Vậy tổng các nghiệm bằng $\frac{2\pi}{3}$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 14: Thông hiểu

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim\dfrac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} =\lim\dfrac{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{3}} ight)}{n^{3}\left(3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}} ight)}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}}}{3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = \dfrac{0}{3} =0$

b) Ta có:

$\lim\dfrac{n\sqrt{n^{2} +1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = \lim\dfrac{n^{2}\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} +\dfrac{3}{n^{4}}}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{4}}}} =\dfrac{1}{2}$ .

c) Phương trình lượng giác $\cos x = 0$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = 0$ , thì $u_{3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1$

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 15: Thông hiểu

Cho hàm số. $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} & \ \text{khi~}x < 2 \\ \sqrt{x + 2} & \ \text{khi~}x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

a) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = - 8$ Sai||Đúng

b) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 3$ Đúng||Sai

c) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = 2$ Đúng||Sai

d) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = 4$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số. $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} & \ \text{khi~}x < 2 \\ \sqrt{x + 2} & \ \text{khi~}x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

a) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = - 8$ Sai||Đúng

b) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 3$ Đúng||Sai

c) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = 2$ Đúng||Sai

d) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = 4$ Sai||Đúng

a) Ta có $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \sqrt{5}$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < 2$ và $x_{n} ightarrow 2$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = 1 - x_{n}^{2}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = 1 - 2^{2} = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > 2$ và $x_{n} ightarrow 2$ , ta có $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n} + 2}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{2 + 2} = 2$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq 2$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 2}f(x)$ .
Câu 16: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $M\ ,\ \ N$ lần lượt là trung điểm $BD\ ,\ \ AD$ . Các điểm $\ H,\ \ G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD\ \ ;\ \ ACD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $MN$ Sai||Đúng

b) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $CD$ Đúng||Sai

c) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $\mathbf{CN}$ Sai||Đúng

d) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng ${AB}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $M\ ,\ \ N$ lần lượt là trung điểm $BD\ ,\ \ AD$ . Các điểm $\ H,\ \ G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD\ \ ;\ \ ACD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $MN$ Sai||Đúng

b) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $CD$ Đúng||Sai

c) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $\mathbf{CN}$ Sai||Đúng

d) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng ${AB}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Do $\frac{OG}{OA} = \frac{OH}{OB} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow HG//AB$ (Định lý Talet)

Xét tam giác $ABD$ có: $MN//AB$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác) $\Rightarrow HG//MN$

Lại có: $HG \cap CN = G$

Vậy $HG$ và $CD$ chéo nhau.

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai
Câu 17: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm $AB,\ \ J$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $JD = \frac{1}{3}JA$ , gọi $E = IJ \cap BD$ . Tìm giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ . Giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ cắt đoạn $BD$ tại mấy điểm.

Đáp án: 0

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm $AB,\ \ J$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $JD = \frac{1}{3}JA$ , gọi $E = IJ \cap BD$ . Tìm giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ . Giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ cắt đoạn $BD$ tại mấy điểm.

Đáp án: 0

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(ABD)$ , có $E = IJ \cap BD$ .

Suy ra $E$ không thuộc đoạn $BD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} E \in IJ;IJ \subset (CIJ) \\ E \in BD;BD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow E \in (CIJ) \cap (BCD)$

$\Rightarrow CE = (CIJ) \cap (BCD)$

Mà $C,E$ không thuộc đoạn $BD$ nên giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ không cắt đoạn $BD$ .
Câu 18: Vận dụng cao

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Đáp án là:

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}$ .

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 - 2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ightbrack}$ .

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = - \frac{1}{12}$ .

Đồng thời:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $- 106a + b = - 106 + 6 = - 100$ .
Câu 19: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Xét $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}$

$= \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)$

$= \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)$

$= - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - 1$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2$

$f(1) = a + 2$

Hàm số liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow a + 2 = - 1 \Leftrightarrow a = - 3$ .
Câu 20: Vận dụng cao

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Đáp án: 77

Đáp án là:

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Đáp án: 77

Ta thấy:

Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường $S_{1} = 63(m)$ .

Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là $S_{2} = 2S_{1}.\frac{1}{10} = 2.63.\frac{1}{10} = \frac{63}{5}$ (do độ cao lần hai bằng $\frac{1}{10}$ độ cao ban đầu).

Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là $S_{3} = S_{2}\frac{1}{10}$ (do độ cao lần ba bằng $\frac{1}{10}$ độ cao lần hai)...

Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là

$S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ...$

$= S_{1} + S_{2} + S_{2}.\frac{1}{10} + S_{2}.\left( \frac{1}{10} ight)^{2} + ...$

$= S_{1} + S_{2}\dfrac{1}{1 -\dfrac{1}{10}}$

$= 63 + \frac{63}{5}.\frac{10}{9} = 77\ (m)$ .

Vậy quãng đường di chuyển của bóng là $77m$ .
Câu 21: Vận dụng cao

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm cạnh AD

Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.

Dễ thấy $SQ = (IGE) \cap (SBC)$ .

Do đó: $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow GE//SQ$ $\Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS}$ $\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác, tam giác $EIA$ đồng dạng với tam giác $EQC$ nên $\frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}$

Suy ra $EQ = x.EI$ .

$\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}$ .

Từ và $\Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow x = 2$ .
Câu 22: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Gọi $MN = (P) \cap (ABD)$ ( $N \in AD$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N$ là trung điểm của $AD$ .

Gọi $MP = (P) \cap (ABC)$ ( $P \in AC$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ .

Thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là $\Delta MNP$ .

Gọi $I,\ J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $BD$ .

Ta chứng minh được $\Delta MNP = \Delta JDI$ (c – c – c).

Ta có

$S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}$

$= \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4$

Vậy $S_{\Delta MNP} = 4.$

1 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 4

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!