Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 7

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm, câu hỏi đúng sai và tự luận ngắn thuộc 4 chuyên đề trọng tâm Toán 11 sách Cánh Diều giúp bạn tổng hợp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài kiểm tra học kì sắp tới.

Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$ là
- A.
  $SO$ .
- B.
  $SD$ .
- C.
  $SA$ .
- D.
  $SB$ .
Ta có $(SAC) \cap (SAD) = SA$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q eq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
- B.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n - 1} ight)}{1 - q}$ .
- C.
  $S_{n} = u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)$ .
- D.
  $S_{n} = \frac{u_{1}(1 - q)}{1 - q^{n}}$ .
Theo công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của CSN ta được $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) = 1$ .
- A.
  $x = \frac{\pi}{3} + k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- B.
  $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- C.
  $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- D.
  $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Ta có $\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?
- A.
  $SA$ và $BC.$
- B.
  $SB$ và $SC.$
- C.
  $AC$ và $BD.$
- D.
  $AB$ và $CD.$
Ta có $AB$ song song với $CD$ theo tính chất hình bình hành.
Câu 5: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n - 1$ . Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số
- A.
  Giảm.
- B.
  Bị chặn dưới bởi $2$ .
- C.
  Bị chặn trên bởi $1$ .
- D.
  Tăng.
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \left\lbrack 2(n + 1) - 1 ightbrack - (2n - 1)$

$= 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2 > 0$

Vậy dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số tăng.
Câu 6: Thông hiểu
Cho $\left( u_{n} ight)$ là cấp số cộng biết $u_{3} + u_{13} = 80$ . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
- A.
  $800$ .
- B.
  $600$ .
- C.
  $570$ .
- D.
  $630$ .
Ta có:

$u_{3} + u_{13} = 80$

$\Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80$

$\Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80$

Vậy $S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600$
Câu 7: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_{n} = 5^{n} - 1$ với $n = 1,2,...$ . Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ của cấp số nhân đó?
- A.
  $u_{1} = 5$ , $q = 4$ .
- B.
  $u_{1} = 5$ , $q = 6$ .
- C.
  $u_{1} = 4$ , $q = 5$ .
- D.
  $u_{1} = 6$ , $q = 5$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = S_{1} = 5 - 1 = 4 \\ u_{1} + u_{2} = S_{2} = 5^{2} - 1 = 24 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 4 \\ u_{2} = 24 - u_{1} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{1} = 4$ , $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 5$ .
Câu 8: Vận dụng
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0 \leq t < 24)$ cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12$ . Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là $15\ m$ ?
- A.
  0.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  3
Độ sâu của mực nước là $15\ m$ thì h = 15.

Khi đó

$15 = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12n \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = 1$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = cos0 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} + 1 = k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi};k \in Z$

Vì $0 \leq t < 24$ nên

$0 \leq \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi} \leq 24 \Leftrightarrow 0 < k \leq 2$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \left\{ \frac{6(2\pi - 1)}{\pi};\frac{6(4\pi - 1)}{\pi} ight\}$
Câu 9: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là:
- A.
  $SA$ .
- B.
  $SB$ .
- C.
  $SC$ .
- D.
  $AC$ .
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ có hai điểm chung là $S$ và $B$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SB$ .
Câu 11: Nhận biết
Kết quả của giới hạn $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n}$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $- \infty$ .
Có $\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Vì $\left| \frac{1}{2} ight| < 1$ nên $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0$ .
Câu 12: Nhận biết
Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3}$ .
- A.
  $- \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{2}{3}$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $\frac{1}{5}$ .
Ta có :

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1^{2} + 3.1 + 2}{- 2.1^{2} + 1 + 3} = 3$ .
Câu 13: Thông hiểu

Cho phương trình lượng giác $\cot3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Khi đó:

a) Phương trình (*) tương đương $cot3x = \cot\left( \frac{- \pi}{6} ight)$ . Sai||Đúng

b) Phương trình (*) có nghiệm $x = \frac{\pi}{9} + k\frac{\pi}{3}(k\mathbb{\in Z})$ . Sai||Đúng

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$ bằng $\frac{- 5\pi}{9}$ . Đúng||Sai

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{2\pi}{9}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $\cot3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Khi đó:

a) Phương trình (*) tương đương $cot3x = \cot\left( \frac{- \pi}{6} ight)$ . Sai||Đúng

b) Phương trình (*) có nghiệm $x = \frac{\pi}{9} + k\frac{\pi}{3}(k\mathbb{\in Z})$ . Sai||Đúng

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$ bằng $\frac{- 5\pi}{9}$ . Đúng||Sai

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{2\pi}{9}$ . Đúng||Sai

Ta có:

$\cot3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow cot3x = \cot\left( \frac{- \pi}{3} ight)$

$\Leftrightarrow 3x = \frac{- \pi}{3} + k\pi(k\mathbb{\in Z})$

$\Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{9} + k\frac{\pi}{3}(k\mathbb{\in Z})$ .

Vì $- \frac{\pi}{2} < \frac{- \pi}{9} + k\frac{\pi}{3} < 0;(k\mathbb{\in Z}) \Leftrightarrow \frac{- 7}{6} < k < \frac{1}{3}$

$\Rightarrow k = \{ - 1;0\} \Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- \pi}{9} \\x = \dfrac{- 4\pi}{9} \\\end{matrix} ight.$

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 14: Thông hiểu

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0. Sai||Đúng

b) Ba số $- \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ lớn hơn 0. Sai||Đúng

b) Ba số $- \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 3 nghiệm. Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$ . Đúng||Sai

a) Ta có: $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}$

b) Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 2 nghiệm

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = - 6$

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 15: Thông hiểu

Cho $L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight)$ . Khi đó:

a) Khi $L = 3$ thì $a = - 6$ . Đúng||Sai

b) Khi $L > 0$ thì $a > 0$ . Sai||Đúng

c) Khi $L = 2$ thì $a = 4$ . Sai||Đúng

d) $L = - 6$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho $L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight)$ . Khi đó:

a) Khi $L = 3$ thì $a = - 6$ . Đúng||Sai

b) Khi $L > 0$ thì $a > 0$ . Sai||Đúng

c) Khi $L = 2$ thì $a = 4$ . Sai||Đúng

d) $L = - 6$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ . Đúng||Sai

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} + ax + 5 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{ax + 5}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\left( \dfrac{a + \dfrac{5}{x}}{- \sqrt{1 + \dfrac{a}{x} +\dfrac{5}{x^{2}}} - 1} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \frac{a}{- 2} = - 6 \Leftrightarrow a = 12$ .

Vì vậy giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 16: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Gọi $I$ là trung điểm $SO$ . Mặt phẳng $(ICD)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$ . Khi đó:

a) Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(ICD)$ . Đúng||Sai

b) Ta có $SN = \frac{2}{3}SB$ . Sai||Đúng

c) Cho $AB = a$ thì $MN = \frac{a}{2}$ . Sai||Đúng

d) Trong mặt phẳng $(CDMN)$ , gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$ . Khi đó $SK$ và $BC$ chéo nhau. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Gọi $I$ là trung điểm $SO$ . Mặt phẳng $(ICD)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$ . Khi đó:

a) Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(ICD)$ . Đúng||Sai

b) Ta có $SN = \frac{2}{3}SB$ . Sai||Đúng

c) Cho $AB = a$ thì $MN = \frac{a}{2}$ . Sai||Đúng

d) Trong mặt phẳng $(CDMN)$ , gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$ . Khi đó $SK$ và $BC$ chéo nhau. Sai||Đúng

- Xác định $M,N$ :

Trong mặt phẳng $(SAC)$ , kẻ $CI$ cắt $SA$ tại $M$ ;

Trong mặt phẳng $(SBD)$ , kẻ $DI$ cắt $SB$ tại $N$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} M \in CI,CI \subset (ICD) \\ M \in SA \\ \end{matrix} \Rightarrow M = SA \cap (ICD) ight.$ .

Tương tự: $\left\{ \begin{matrix} N \in DI,DI \subset (ICD) \\ N \in SB \\ \end{matrix} \Rightarrow N = SB \cap (ICD) ight.$ .

-Tính $MN$ theo $a$ :

Gọi $E$ là trung điểm $BN,OE$ là đường trung bình của tam giác $BDN$ $\Rightarrow OE//DN$ .

Trong tam giác $SOE$ , ta có $NI$ qua trung điểm $I$ của $SO$ và $NI//OE,N$ là trung điểm của $SE$ .

Hình vẽ minh họa

-Vậy $SN = NE = EB$ hay $SN = \frac{1}{3}SB$ .

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $SM = \frac{1}{3}SA$ .

Khi đó hai tam giác $SMN,SAB$ đồng dạng vì có góc $S$ chung và $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác $SAB$ , theo định lí Thalès, ta có:

$\frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{AB}{3} = \frac{a}{3}.$

- Chứng minh $SK//BC//AD$ :

Dễ thấy $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in CN,CN \subset (SBC) \\ K \in DM,DM \subset (SAD) \\ \end{matrix} \Rightarrow K \in (SBC) \cap (SAD) ight.$ .

Vì vậy $SK = (SBC) \cap (SAD)$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} SK = (SBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (SBC),AD \subset (SAD) \Rightarrow SK//BC//AD. \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.$

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai
Câu 17: Thông hiểu

Giới hạn $\lim\left( \sqrt{an^{2} + bn + 1} - n ight) = \frac{3}{2}\left( a;b\mathbb{\in Z} ight)$ . Khi đó $a^{2} + b^{2}$ bằng:

Đáp án: 10

Đáp án là:

Giới hạn $\lim\left( \sqrt{an^{2} + bn + 1} - n ight) = \frac{3}{2}\left( a;b\mathbb{\in Z} ight)$ . Khi đó $a^{2} + b^{2}$ bằng:

Đáp án: 10

Ta có :

$\lim\ \left( \sqrt{an^{2} + bn + 1} - n ight)$

$= \lim\frac{\left( \sqrt{an^{2} + bn + 1} - n ight)\left( \sqrt{an^{2} + bn + 1} + n ight)}{\sqrt{an^{2} + bn + 1} + n}$

$= \lim\frac{an^{2} + bn + 1 - n^{2}}{\sqrt{an^{2} + bn + 1} + n} = \lim\frac{n^{2}(a - 1) + bn + 1}{\sqrt{an^{2} + bn + 1} + n}$ .

Vì $\lim\ \sqrt{an^{2} + bn + 1} - n = \frac{3}{2}\ \ \left( a\ ;\ b\mathbb{\ \in Z} ight)$

nên $\lim\frac{n^{2}(a - 1) + bn + 1}{\sqrt{an^{2} + bn + 1} + n} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a - 1 = 0 \\\dfrac{b}{\sqrt{a} + 1} = \ \dfrac{3}{2}\ \\\end{matrix} ight.\ \ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = 3\ \\\end{matrix} ight.$ .

Khi đó $a^{2} + b^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$ .
Câu 18: Vận dụng

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + \frac{b}{4}$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 1,25

Đáp án là:

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + \frac{b}{4}$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

Đáp án: 1,25

Vì $\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3$ là 1 số hữu hạn và $\lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 0$ nên $\lim_{x ightarrow 1}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0$ hay $a + b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2 - a$ .

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + (2 - a)x - 2}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(ax + 2)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(ax + 2)$

$= a + 2 = 3$

$\Rightarrow a = 1$ suy ra $b = 1$ .

Vậy $S = 1 + \frac{1}{4} = 1,25$ .
Câu 19: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , gọi $I = RQ \cap BD$ .

Trong $(ABD)$ , gọi $S = PI \cap AD$ $\Rightarrow S = AD \cap (PQR)$ .

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , dựng $DE//BC$ $\Rightarrow DE$ là đường trung bình của tam giác $IBR$ .

$\Rightarrow \ D$ là trung điểm của $BI$ .

Trong $(ABD)$ , dựng $DF//AB$ $\Rightarrow \frac{DF}{BP} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{DF}{PA} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{SA}{SD} = 2$ .
Câu 20: Vận dụng

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50000 + 105x$ . Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Đáp án: 105

Đáp án là:

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50000 + 105x$ . Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Đáp án: 105

Ta có:

${\lim}_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x) = \lim_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\frac{50000 + 105x}{x}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\dfrac{x\left( \dfrac{50000}{x} + 105ight)}{x}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\left( \frac{50000}{x} + 105 ight) = 105$
Câu 21: Vận dụng cao

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ (ở đây $t$ là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hoá bởi hàm số

$L(t) = 12 + 2,83sin\left\lbrack \frac{2\pi}{365}(t - 80) ightbrack\ ;\left( t \in \mathbb{Z}\ và\ 0 < t \leq 365 ight)$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Đáp án: Ngày 4 Tháng 11

Đáp án là:

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ (ở đây $t$ là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hoá bởi hàm số

$L(t) = 12 + 2,83sin\left\lbrack \frac{2\pi}{365}(t - 80) ightbrack\ ;\left( t \in \mathbb{Z}\ và\ 0 < t \leq 365 ight)$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Đáp án: Ngày 4 Tháng 11

Vì $- 1 \leq \sin\left( \frac{2\pi}{365}(t - 80) ight) \leq 1$ nên $- 2,83 \leq 2,83.sin\left( \frac{2\pi}{365}(t - 80) ight) \leq 2,83$ .

Do đó $9,17 = 12 - 2,83 \leq 12 +2,83\sin\left( \frac{2\pi}{365}(t - 80) ight)$ $\leq 12 + 2,83 =14,83\forall t \in \mathbb{R.}$

Thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

$12 + 2,83\sin\left\lbrack\frac{2\pi}{365}(t - 80) ightbrack = 10$

$\Leftrightarrow \sin\left\lbrack \frac{2\pi}{365}(t - 80) ightbrack = - \frac{200}{283}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\dfrac{2\pi}{365}(t - 80) \approx - 0,78 + k2\pi \\\dfrac{2\pi}{365}(t - 80) \approx 3,93 + k2\pi \\\end{matrix} ight.$

Từ đó ta được $\left\lbrack \begin{matrix} t \approx 34,69 + 365k, \\ t \approx 308,30 + 365k \\ \end{matrix} ight.\ (k \in Z)$ .

Vì $0 < t \leq 365$ nên $k = 0$ suy ra $t \approx 34,69$ hoặc $t \approx 308,30$ .

Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố $A$ sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.
Câu 22: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang; $AB = 2CD,\ \ AB \parallel CD$ . $M$ là trung điểm của cạnh $AD$ ; mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với mp $(SAB)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo một thiết diện là hình $(H)$ . Biết $S_{(H)} = xS_{\Delta SAB}$ . Giá trị của $x$ là:

Đáp án: 0,5 (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Hình vẽ minh họa

Gọi $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SD,SC,BC$ .

Gọi $E = AD \cap BC,I = MN \cap PQ$ ta có $S,I,E$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ .

Thiết diện là hình thang $MNPQ$ (vì $NP \parallel AB \parallel MQ$ ).

Ta có $S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - S_{\Delta INP}$ , mà $\frac{NP}{DC} = \frac{1}{2},\frac{DC}{MQ} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{NP}{MQ} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta INP} = \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = S_{\Delta IMQ} - \frac{1}{9}S_{\Delta IMQ} = \frac{8}{9}S_{\Delta IMQ}$ .

Ta có $M$ là trung điểm $AD$ , $D$ là trung điểm của $AE$ nên $\frac{MI}{SA} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta IMQ} = \frac{9}{16}S_{\Delta SAB}$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = \frac{8}{9}.\frac{9}{16}S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2}S_{\Delta SAB}$ .

2 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh Diều Đề 7

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!