Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ?
Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ?
Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Cho hình chóp
có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Theo dõi kích thước của táo trong một khoảng thời gian nhất định ta được kết quả như sau:
Kích thước (gram) | [410; 420) | [420; 430) | [430; 440) | [440; 450) | [450; 460) | [460; 470) | [470; 480) |
Số lượng táo | 14 | 20 | 42 | 54 | 45 | 18 | 7 |
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có:
Kích thước (gram) | Số lượng táo | Tần số tích lũy |
[410; 420) | 14 | 14 |
[420; 430) | 20 | 34 |
[430; 440) | 42 | 76 |
[440; 450) | 54 | 130 |
[450; 460) | 45 | 175 |
[460; 470) | 18 | 193 |
[470; 480) | 7 | 200 |
Tổng | N = 200 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [430; 440)
Khi đó ta có:
Tứ phân vị thứ nhất được tính như sau:
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề “Nếu và
thì
“ sai vì
và
có thể chéo nhau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
xác định trên tập số thực?
Hàm số đã cho xác định khi
Kết hợp với điều kiện m là số nguyên
=> m = {-4; -3; ... ; 2; 3}
Vậy có 8 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy là mệnh đề đúng.
Hoàn thành mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | 12 |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Ghép nối các nội dung thích hợp với nhau:
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn
. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Giả sử công bội của cấp số nhân là q
Ta có:
=>
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2
Ta có:
Cho bảng thống kê kết quả đo chiều cao một số cây trong vườn như sau:
Chiều cao | [120; 150) | [150; 180) | [180; 210) | [210; 240) |
Số cây | 15 | 20 | 31 | 18 |
Giá trị đại diện của nhóm [150; 180) là bao nhiêu?
Giá trị đại diện của nhóm [150; 180) là:
Tổng
có kết quả bằng?
Ta có
Do đó
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Khẳng định sai: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất”.
Sửa lại: “Hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng chung.”
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: [100; 150)||[200; 250)||[150; 200)||[50; 100)
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: [100; 150)||[200; 250)||[150; 200)||[50; 100)
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa trung vị là [100; 150) (vì 30 nằm giữa hai tần số tích lũy 17 và 40)
Giá trị của giới hạn
bằng:
Ta có:
Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
bằng?
Ta có
TH1. Với
TH2. Với
So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là và nghiệm dương nhỏ nhất là
.
Khi đó tổng hai nghiệm này bằng .
Nghiệm của phương trình 2cos (2x) =-2
Ta có:
.
Tính
.
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Tìm số hạng đầu tiên
.
Ta có:
Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của
. Lấy
sao cho
. Biết
, chọn khẳng định đúng dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Xét mặt phẳng gọi
=>
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(*)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Hàm số 
Ta có: liên tục tại
Tại ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Tại ta có:
Vậy hàm số bị gián đoạn tại
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
Ta có:
Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng có
.
Gọi n là số ô trên bàn cờ thì
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng
qua
, song song với
. Thiết diện tạo bởi
và hình chóp là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.
Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.
Gọi I là giao điểm của a với SD.
Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.
Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.
Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định số nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Mẫu dữ liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm.
Bảng số liệu dưới đây cho biết khoảng chi tiêu hàng tháng của 200 hộ gia đình.
Khoảng chi tiêu (USD) | [0; 1000) | [1000; 2000) | [2000; 3000) | [3000; 4000) | [4000; 5000) |
Số hộ gia đình | 28 | 46 | 54 | 42 | 30 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Ta có:
Khoảng chi tiêu (USD) | [0; 1000) | [1000; 2000) | [2000; 3000) | [3000; 4000) | [4000; 5000) |
|
Số hộ gia đình | 28 | 46 | 54 | 42 | 30 | N = 200 |
Tần số tích lũy | 28 | 74 | 128 | 170 | 200 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là [2000; 3000) (vì 100 nằm giữa hai tần số tích lũy là 74 và 128)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Xác định chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Cho phương trình bậc ba:
(m là tham số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Ta có:
Để ba nghiệm của phương trình lập thành một cấp số nhân
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Phương trình
có nghiệm là:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
là điểm trên cạnh
sao cho
Một mặt phẳng
đi qua
, song song với
và
cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi
là diện tích tứ giác thiết diện và
, với
là phân số tối giản,
. Tính giá trị của biểu thức
?
Đáp án: 110
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng
là điểm trên cạnh
sao cho
Một mặt phẳng
đi qua
, song song với
và
cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi
là diện tích tứ giác thiết diện và
, với
là phân số tối giản,
. Tính giá trị của biểu thức
?
Đáp án: 110
Hình vẽ minh họa
Ta kẻ ,
,
.
Vì mặt phẳng đi qua
, song song với
và
nên
đều thuộc
và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
là tứ giác
.
Khi đó //
Tương tự, ta có được .
Suy ra và
là hình vuông.
Suy ra
Khi đó
Vậy
Cho hình hộp chữ nhật
có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Cho hình hộp chữ nhật có
lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
với đường thẳng
. Khi đó tỉ số
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).
Hình vẽ minh họa
Lấy ,
lần lượt là các cạnh trên
và
sao cho
và
.
Vì nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng
lần lượt với các mặt phẳng
và
sẽ song song với nhau.
Do đó, ta sẽ lấy nằm trên cạnh
sao cho
.
Ta có:
.
Khi đó, .
Kết quả của giới hạn
bằng
Có nếu
.
Vì nên
.
Cho dãy số
xác định bởi
với
. Khi đó số hạng
của dãy
là
Ta có:
Cho hàm số
và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn
. Sai||Đúng
b) Giới hạn
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hàm số và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn . Sai||Đúng
b) Giới hạn . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) .
b) .
c) .
d) .
Chọn kết quả đúng của giới hạn
?
Cho dãy số (un) với un = 2n + 1. Số hạng thứ 2019 của dãy là?
Ta có u2019 = 2.2019 + 1 = 4039
Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách.
Ta có:
=> Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là
Xác định chu kì T của hàm số lượng giác
?
Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì
=> tuần hoàn với chu kì
Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo bằng 750. Điểm N đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ, số đo cung AN là:
Điểm N đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ nên
Cung lượng giác ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung
Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo
được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?
Xét theo chiều dương với ta thấy cung có số đo
được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:
Tập nghiệm của phương trình
là
Ta có
.
Tính tổng
với
.
Với thì
Ta có:
Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..
=>
Ta có: và
là cấp số cộng có n số hạng nên.
Cho các mệnh đề:
1) Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
.
2) Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì phương trình
có nghiệm.
3) Nếu hàm số
đơn điệu trên
và
thì phương trình
có nghiệm duy nhất trên
.
Trong các mệnh đề trên:
Theo tính chất hàm số liên tục thì
1) Nếu hàm số liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
. Mệnh đề sai.
2) Nếu hàm số liên tục trên
và
thì phương trình
có nghiệm. Mệnh đề đúng.
3) Nếu hàm số đơn điệu trên
và
thì phương trình
có nghiệm duy nhất trên
. Mệnh đề đúng.