Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 3

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề với 4 mức độ giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức và khả năng giải toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ . Tính giá trị $\sin2x$ bằng
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \left( \sin x + \cos x ight)^{2} = 2$

$\Rightarrow 1 + 2\sin x.\cos x =2$

$\Rightarrow \sin2x = 1$
Câu 2: Nhận biết
Tìm tập các định D của hàm số $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x - 1}$
- A.
  $D=\mathbb{ R}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\cos x - 1 eq 0 \hfill \\\Rightarrow \cos x eq 1 \hfill \\\Rightarrow x eq k2\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 3: Nhận biết
Có bao nhiêu đẳng thức luôn đúng trong các đẳng thức sau đây (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa)?

i) $\cos^{2}\alpha = \frac{1}{\tan^{2}\alpha + 1}$ .

iii) $\sqrt{2}\cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight) = \cos\alpha + \sin\alpha.$

ii) $sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) = - cos\alpha$ .

iv) $cot2\alpha = 2\cot^{2}\alpha - 1$ .
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  1
i) Ta có: $\frac{1}{\cos^{2}\alpha} = 1 + \tan^{2}\alpha \Leftrightarrow \cos^{2}\alpha = \frac{1}{1 + \tan^{2}\alpha}$

Vậy i) đúng.

ii) $sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) = - sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = - cos\alpha$ .

Vậy ii) đúng.

iii) $\sqrt{2}cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight) = \sqrt{2}\left( cos\alpha cos\frac{\pi}{4} - sin\alpha sin\frac{\pi}{4} ight) = cos\alpha - sin\alpha$ .

Vậy iii) sai.

iv) Ta lấy $\alpha = \frac{\pi}{3}$ . Ta có $VP = cot2\alpha = cot2 \cdot \frac{\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3},VT = 2\cot^{2}\left( \frac{\pi}{3} ight) - 1 = - \frac{1}{3}$ .

Ta có VP $eq$ VT.

Do đó iv) sai.

Vậy có 2 đẳng thức đúng.
Câu 4: Vận dụng cao
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.$ . Biết dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tính $\lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4$

$\Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}$

$+ \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$= \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1$
Câu 5: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có công bội âm. Biết $u_{3} = 12;u_{7} = 192$ . Khi đó $u_{10} = ?$
- A.
  $1536$
- B.
  $3072$
- C.
  $- 1536$
- D.
  $- 3072$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16$

$\Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536$
Câu 6: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$ .

Đáp án: 1

Hình vẽ minh họa

-Ta có $S \in (SIK) \cap (SAC)$ .

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $E = IK \cap AC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in IK \subset (SIK) \\ E \in AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow E \in (SIK) \cap (SAC)$

Suy ra $SE = (SIK) \cap (SAC)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} S \in (SIK) \cap (SBD) \\ BD \subset (SBD),IK \subset (SIK) \\ BD//IK \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SIK) \cap (SBD) = Sx,(\ Sx//BD//IK)$

-Trong mp $(SBD)$ , gọi $F = Sx \cap DM$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} S \in DM \\ S \in Sx \subset (SIK) \\ \end{matrix} \Rightarrow F = DM \cap (SIK) ight.$ .

Ta có $SF//BD \Rightarrow \frac{MF}{MD} = \frac{MS}{MB} = 1$ .
Câu 7: Vận dụng cao

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình chóp $MQ//AD$ có đáy là hình thang với $MN//AB$ . Gọi $NP//BC$ là trọng tâm của tam giác $PQ//CD$ ; $(\alpha) \equiv (MNPQ)$ là điểm thuộc đoạn $SAB$ sao cho $MN$ . Tìm $x$ để $AB$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm cạnh AD

Trong mặt phẳng (ABCD) giả sử IE và BC cắt nhau tại điểm Q.

Dễ thấy $SQ = (IGE) \cap (SBC)$ .

Do đó: $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow GE//SQ$ $\Leftrightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IG}{IS}$ $\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{1}{3}$ .

Mặt khác, tam giác $EIA$ đồng dạng với tam giác $EQC$ nên $\frac{EI}{EQ} = \frac{EA}{EC} = \frac{EA}{xEA} =\frac{1}{x}$

Suy ra $EQ = x.EI$ .

$\Rightarrow \frac{IE}{IQ} = \frac{IE}{IE + EQ} = \frac{IE}{IE + x.IE} = \frac{1}{1 + x}$ .

Từ và $\Rightarrow \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy $GE//(SBC)$ $\Leftrightarrow x = 2$ .
Câu 8: Vận dụng

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} ight)$ có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và tổng $100$ số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} ight)$ có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và tổng $100$ số hạng đầu tiên của dãy bằng . Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Gọi d là công sai của cấp số cộng. ta có:
$S_{100} = 50\left( 2u_{1} + 99d ight) =14950$ mà $u_{1} = 1 \Rightarrow d =3$
Ta có:
$P = \frac{1}{u_{1}u_{2}} +\frac{1}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{49}.u_{50}}$
$\Rightarrow P.d = \frac{d}{u_{1}u_{2}} +\frac{d}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{d}{u_{49}.u_{50}}$
$= \frac{u_{2} - u_{1}}{u_{1}u_{2}} +\frac{u_{3} - u_{2}}{u_{2}u_{3}} + ... + \frac{u_{50} -u_{49}}{u_{49}.u_{50}}$
$= \frac{1}{u_{1}} - \frac{1}{u_{50}} =\frac{1}{1 + 49.3} = \frac{147}{148}$
Với $d = 3 \Rightarrow P =\frac{49}{148}$

Câu 9: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 10: Thông hiểu
Cho $m,n$ là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng $(\alpha)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} m ⊄ (\alpha) \\ m\bot n \\ n \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ n\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} m \cap (\alpha) = H \\ n \cap (\alpha) = H \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \cap n = H$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ m \cap (\alpha) = P \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n \cap (\alpha) = P$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} m ⊄ (\alpha) \\ m\bot n \\ n \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$ sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

$\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ n\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m\bot(\alpha)$ sai trong trường hợp

$\left\{ \begin{matrix} m \cap (\alpha) = H \\ n \cap (\alpha) = H \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \cap n = H$ đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.

$\left\{ \begin{matrix} m\bot n \\ m \cap (\alpha) = P \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n \cap (\alpha) = P$ sai vì đường thẳng hoặc
Câu 11: Thông hiểu
Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}{\text{ khi }}x < 1} \\ { - 2x{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  $f(x)$ không liên tục trên $(0;2)$
- C.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
- D.
  $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$

Ta có:

$f(1) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}( - 2x) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack - \left( \sqrt{2 - x} + 1 ight) ightbrack = - 2$

=> Hàm số liên tục tại $x = 1$

Vậy hàm số liên tục trên tập số thực.
Câu 12: Nhận biết
Nếu các dãy số $\left( u_{n} ight),\left( v_{n} ight)$ thỏa mãn $\lim u_{n} = 4$ và $\lim v_{n} = 3$ thì $\lim\left( u_{n} + v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $12$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $\frac{4}{3}$ .
Ta có $\lim\left( u_{n} + v_{n} ight) = \lim u_{n} + \lim v_{n} = 7$ .
Câu 13: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Lấy $M \in AD,N \in CC'$ sao cho $2AM = AD$ và $2CN = CC'$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $MN$ và song song với $(ACB')$ . Xác định các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình lục giác
- B.
  Hình ngũ giác
- C.
  Hình tứ giác
- D.
  Hình tam giác
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp.
Câu 14: Nhận biết
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , gọi $I$ , $I'$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $A'B'$ . Qua phép chiếu song song theo phương $AI'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ biến $I$ thành điểm nào?
- A.
  $A^{'}$ .
- B.
  $B^{'}$ .
- C.
  $C^{'}$ .
- D.
  $I ^ { ' }$ .
Hình vẽ minh họa
Ta có $\left. \ \begin{matrix}AI//B'I' \\AI = B'I' \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow AIB'I'$ là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song theo phương $AI'$ , mặt phẳng chiếu $\left( A^{'}B^{'}C^{'}ight)$ biến điểm $I$ thành điểm $B'$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  u_n = 1 + n
- B.
  u_n = 1 − n
- C.
  u_n = 1 + (−1)²ⁿ
- D.
  u_n = n
Ta có u_n + 1 = u_n + (−1)²ⁿ = u_n + 1 ⇒ u₂ = 2; u₃ = 3; u₄ = 4; …

Dễ dàng dự đoán được u_n = n.

Thật vậy, ta chứng minh được u_n = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Với n = 1 ⇒ u₁ = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ^*), ta có u_k = k

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_k + 1 = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có u_k + 1 = u_k + (−1)^2k = k + 1

Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = n.
Câu 16: Vận dụng
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;...;2048$ . Tính tổng $S$ của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $S = 2047,75$
- B.
  $S = 2049,75$
- C.
  $S = 4095,75$
- D.
  $S = 4096,75$
Cấp số nhân đã cho có $\left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\q = 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow 2048 = 2^{11} = u_{1}.q^{n -1} = \frac{1}{2}.2^{n - 1} = 2^{n - 2}$
$\Rightarrow n = 13$
=> $S = 2047,75$
Câu 17: Thông hiểu

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Đáp án là:

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: $u_{1} = 1;d = 1;n = 10$ .

Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

$S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}$

$= \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55$ (khúc gỗ).
Câu 18: Thông hiểu

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1$ .

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty$ , do $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.$

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}$ .
Câu 19: Vận dụng
Biết $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} = \frac{1}{2}$ . Hỏi giá trị a thuộc tập hợp nào dưới đây?
- A.
  $a \in \lbrack - 3;0brack$
- B.
  $a \in \lbrack - 6; - 3brack$
- C.
  $a \in \lbrack 1;3brack$
- D.
  $a \in \lbrack 3;6brack$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} =\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\left( \sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} +\dfrac{4}{x} ight)}{x\left( a - \dfrac{2}{x} ight)} =\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{- 2}{a} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \in \lbrack - 6; - 3brack$
Câu 20: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = 9$ . Khi đó số $2018$ là số hạng thứ mấy trong dãy?
- A.
  $223$
- B.
  $225$
- C.
  $224$
- D.
  $226$
Theo bài ra ta có:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 2018 = 2 + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow n = 225$
Câu 21: Vận dụng cao

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + b > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + b > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Xét hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$

Theo giả thiết $4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0$ ;

$a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0$

Ta có $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$

$\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(x^{3} + ax^{2} + bx + c ight) = - \infty \\f( - 2) > 0 \\\end{matrix} ight.$

Suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $( - \infty; - 2)$ $(1)$

$f( - 2)f(1) < 0$ nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)$ $(2)$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} ight) = + \infty \hfill \\ f\left( 1 ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; + \infty)$ $(3)$

Từ $(1)$ ; $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm.
Câu 22: Vận dụng cao
Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ thì $P = cos^{2}(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta).cos(\alpha + \beta) + qsin^{2}(\alpha + \beta)$ bằng:
- A.
  $p$
- B.
  $q$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{p}{q}$
Ta có: $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(q eq 0)$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha + \tan\beta = p \\ \tan\alpha.tan\beta = q \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha.tan\beta} = \frac{p}{1 - q}$

Khi đó:

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta) +p\sin(\alpha + \beta).\cos(\alpha + \beta) + q\sin^{2}(\alpha +\beta)$

$P = \cos^{2}(\alpha + \beta).\left\lbrack1 + p\tan(\alpha + \beta) + q\tan^{2}(\alpha + \beta)ightbrack$

$P = \frac{1 + p\tan(\alpha + \beta) +q\tan^{2}(\alpha + \beta)}{1 + \tan^{2}(\alpha + \beta)}$

$P = \dfrac{1 + p.\dfrac{p}{1 - q} +q.\left( \dfrac{p}{1 - q} ight)^{2}}{1 + \left( \dfrac{p}{1 - q}ight)^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2}(1 - q) +q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = \dfrac{(1 - q)^{2} + p^{2} - p^{2}.q+ q.p^{2}}{(1 - q)^{2} + p^{2}}$

$P = 1$
Câu 23: Vận dụng
Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ bằng?
- A. $\frac {\pi}{9}$
- B. $-\frac {\pi}{6}$
- C. $\frac {\pi}{6}$
- D. $-\frac {\pi}{9}$
Ta có $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} ight) = \sin \frac{\pi }{3}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ 3x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ x = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
TH1. Với
$x = \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\xrightarrow{{{\text{Cho}}}}\left[ \begin{gathered} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{7}{{24}} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \frac{{7\pi }}{{36}} \hfill \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{7}{{24}} \Rightarrow {k_{\max }} = - \,1 \to x = - \frac{{17\pi }}{{36}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
TH2. Với
$x = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\xrightarrow{{{\text{Cho}}}}\left[ \begin{gathered} x > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{{11}}{{24}} \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \to x = \frac{{11\pi }}{{36}} \hfill \\ x < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{{11}}{{24}} \Rightarrow {k_{\max }} = - \,1 \to x = - \frac{{13\pi }}{{36}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{{13\pi }}{{36}}$ và nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{{7\pi }}{{36}}$ .
Khi đó tổng hai nghiệm này bằng $- \frac{{13\pi }}{{36}} + \frac{{7\pi }}{{36}} = - \frac{\pi }{6}$ .
Câu 24: Vận dụng cao
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{8} +\frac{\pi}{4} ight) + 12$ . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
- A.
  t = 22 (h)
- B.
  t = 15 (h)
- C.
  t = 14 (h)
- D.
  t = 10 (h)
Ta có:
$\begin{matrix} h = 3\cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 12 \leqslant 3 + 12 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi $\cos\left( \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} ight)= 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Rightarrowt = 16k - 2$
Vì $0 \leq t \leq 24 \Rightarrow k = 1\Rightarrow t = 14$
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Câu 25: Nhận biết
Cho dãy số $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};...$ là cấp số cộng với:
- A. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $\frac{1}{2}$
- B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $- \frac{1}{2}$
- C. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $\frac{1}{2}$
- D. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $-\frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};...$ là một cấp số cộng
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d} \end{array}} ight.$

Câu 26: Thông hiểu

Cho bảng số liệu thống kê sau:

Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần

69	37	39	65	31	33	63
51	44	62	33	47	55	42

Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?

Bảng M	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng M	Số ngày	5	3	2	4
Bảng N	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng N	Số ngày	5	3	4	2
Bảng P	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng P	Số ngày	5	2	3	4
Bảng Q	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng Q	Số ngày	3	5	2	4

A.
Bảng M
B.
Bảng N
C.
Bảng P
D.
Bảng Q

Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38

Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)

Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Câu 27: Thông hiểu
Tính độ cao trung bình của một số cây trong bảng số liệu dưới đây:
Chiều cao h (cm)
Số cây
130 < h ≤ 140
3
140 < h ≤ 150
7
150 < h ≤ 160
5
- A.
  $145$
- B.
  $132,5$
- C.
  $146,3$
- D.
  $140,8$
Ta có:
Chiều cao h đại diện (cm)
Số cây
Tích các giá trị
135
3
405
145
7
1015
155
5
775
Tổng
15
2195
Độ cao trung bình là:
$\overline{x} = \frac{2195}{15} =146,3(cm)$
Câu 28: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD);BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , $d$ đi qua $S$ và $d//AD//BC$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 29: Thông hiểu
Với $n \in \mathbb{N}^{*}$ , cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia $3$ dư $2$ theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là
- A.
  $u_{n} = \frac{3n}{2}$ .
- B.
  $u_{n} = 1 + \frac{2}{n}$ .
- C.
  $u_{n} = 3n - 2$ .
- D.
  $u_{n} = 3n + 2$ .
Các số nguyên dương chia $3$ dư $2$ theo thứ tự tăng dần là $5$ , $8$ , $11$ , $14$ ,…

Ta có $5 = 3.1 + 2$ , $8 = 3.2 + 2$ , $11 = 3.3 + 2$ , $14 = 3.4 + 2$ , …

Vậy $u_{n} = 3n + 2$
Câu 30: Vận dụng
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
- A.
  $y = \cot4x$
- B.
  $y = \frac{\sin x + 1}{\cosx}$
- C.
  $y = \tan^{2}x$
- D.
  $y = \left| \cot xight|$
Kiểm tra được $y = \cot4x$ là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
$y = \frac{\sin x + 1}{\cos x}$ là hàm số không chẵn không lẻ
$y = \tan^{2}x,y = \left| \cot xight|$ là các hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 31: Vận dụng
Tính giới hạn $\lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\begin{matrix} \lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \hfill \\ = \lim \sqrt {{3^n}} \sqrt {2 - \dfrac{n}{{{3^n}}} + 2.{{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì $\left\{ \begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\0 \leq \dfrac{n}{3^{n}} \leq \dfrac{n}{C_{2}^{n}} = \dfrac{2}{n - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\dfrac{n}{3^{n}} = 0 \\\lim\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên $\left\{\begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\\lim\sqrt{2 - \dfrac{n}{3^{n}} + 2\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n}} =\sqrt{2} > 0 \\\end{matrix} ight.$

Do đó $\lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2} = + \infty$
Câu 32: Nhận biết
Điểm kiểm tra của một nhóm học sinh được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
(20; 30]
1
(30; 40]
1
(40; 50]
10
(50; 60]
11
(60; 70]
5
(70; 80]
2
Số phần tử của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
- A.
  35
- B.
  42
- C.
  40
- D.
  30
Ta có:
Điểm
Số học sinh
Tần số tích lũy
(20; 30]
1
1
(30; 40]
1
2
(40; 50]
10
12
(50; 60]
11
23
(60; 70]
5
28
(70; 80]
2
30
Tổng
N = 30

Vậy số phần tử mẫu là N = 30
Câu 33: Thông hiểu
Trên đoạn $\left\lbrack - 2\pi;\frac{5\pi}{2} ightbrack$ , đồ thị hai hàm số $y = \tan x$ và $y = 1$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
- A.
  $2$
- B.
  $5$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

$\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Theo bài ra ta có: $x \in \left\lbrack - 2\pi;\frac{5\pi}{2} ightbrack$

$\Rightarrow - 2\pi \leq \frac{\pi}{4} + k\pi \leq \frac{5\pi}{2}$

$\Rightarrow - \frac{9}{4} \leq k \leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow k \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại 5 điểm trên đoạn $\left\lbrack - 2\pi;\frac{5\pi}{2} ightbrack$ .
Câu 34: Nhận biết
Hàm số $f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 1;1brack$
- B.
  $\lbrack 1;5brack$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có: $2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

=> Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 35: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 36: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Câu 37: Nhận biết
Nghiệm của phương trình $\cos x = - \frac{1}{2}$ là
- A.
  $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$
- B.
  $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$
- D.
  $x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi$
Ta có:

$\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight)$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\ \ \ \ (k \in Ζ)$
Câu 38: Vận dụng cao
Cho $xeq 0$ và $x+\frac{1}{x}$ là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương $n$ , có kết luận gì về $T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ ?
- A.
  $T(n,x)$ là số vô tỉ
- B.
  $T(n,x)$ là số không nguyên
- C.
  $T(n,x)$ là số nguyên
- D.
  Các kết luận trên đều sai
Ta có:
$T\left( {1;x} ight) = x + \frac{1}{x}$ là một số nguyên
$T\left( {2;x} ight) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} ight)^2} - 2$ cũng là một số nguyên
Ta sẽ chứng minh $T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ là một số nguyên.
Ta có:
$T\left( {1;x} ight)$ là một số nguyên
Giả sử $T(n,x)$ là số nguyên với $n \ge1$ . Ta sẽ chứng minh $T\left( {n + 1;x} ight)$ cũng là số nguyên.
Ta có:
$\begin{matrix} T\left( {n + 1;x} ight) = {x^{n + 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n + 1}}}} \hfill \\ = \left( {x + \dfrac{1}{x}} ight).\left( {{x^n} + \dfrac{1}{{{x^n}}}} ight) - \left( {{x^{n - 1}} + \dfrac{1}{{{x^{n - 1}}}}} ight) \hfill \\ = T\left( {1;x} ight).T\left( {n;x} ight) - T\left( {n - 1;x} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Theo giả thiết quy nạp ta có:
$\left\{ \begin{gathered} T\left( {1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ T\left( {n - 1;x} ight) \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow T\left( {n + 1;x} ight) \in \mathbb{Z}$
Vậy $T(n,x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ là một số nguyên.
Câu 39: Thông hiểu
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = tan2x$ :
- A.
  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} ight\}$ .
- B.
  $D = \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} ight\}$ .
- C.
  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} ight\}$ .
- D.
  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}ight\}$ .
Hàm số xác định khi $cos2x eq 0 \Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z})$ .

Tập xác định của hàm số là: $D =\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ .
Câu 40: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD$ và $BC$ ; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó giao điểm của đường thẳng $MG$ và $(ABC)$ là
- A.
  Điểm $C$ .
- B.
  Giao điểm của $MG$ và $CB$ .
- C.
  Giao điểm của $MG$ và $AN$ .
- D.
  Điểm $N$ .
Hình vẽ minh họa

Trong $(ADN)$ gọi $K = AN \cap MG$ , mà $AN \subset (ABC)$

$\Rightarrow K = MG \cap (ABC)$
Câu 41: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và phương $l$ . Biết hình chiếu (theo phương $l$ ) của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(\beta)$ là một đoạn thẳng. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(\alpha)//(\beta)$
- B.
  $(\alpha) \equiv (\beta)$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} (\alpha)//l \\ (\alpha) \supset l \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $(\alpha)//l$
Hình vẽ minh họa

Phương án $(\alpha)//(\beta)$ : Hình chiếu của tam giác $ABC$ vẫn là một tam giác trên mặt phẳng .

Phương án $(\alpha) \equiv (\beta)$ : Hình chiếu của tam giác $ABC$ vẫn là tam giác $ABC$ .

Phương án $\left\lbrack \begin{matrix} (\alpha)//l \\ (\alpha) \supset l \\ \end{matrix} ight.$ : Khi phương chiếu $l$ song song với $(\alpha)$ hoặc chứa trong mặt phẳng $(\alpha)$ . Thì hình chiếu của tam giác $ABC$ là một đoạn thẳng trên mặt phẳng $(\alpha)$ .
Câu 42: Nhận biết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là
- A. Hình tam giác.
- B. Hình ngũ giác.
- C. Hình lục giác.
- D. Hình tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác
Câu 43: Thông hiểu

Thực hiện đo chiều cao của 100 học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
x
[165; 170)
26
[170; 175)
y
[175; 180)
3
Biết rằng số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm. Xác định giá trị x và y còn thiếu trong bảng?
Đáp án:
$x =$ 40
$y =$ 5

Đáp án là:

Thực hiện đo chiều cao của 100 học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
x
[165; 170)
26
[170; 175)
y
[175; 180)
3
Biết rằng số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm. Xác định giá trị x và y còn thiếu trong bảng?
Đáp án:
$x =$ 40
$y =$ 5

Ta có 100 học sinh tham gia đo chiều cao khi đó:
5 + 18 + x + 26 + y + 3 = 100
=> x + y = 48 (*)
Mặt khác số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm suy ra x = 5y (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}x + y = 48 \\x = 5y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 40 \\y = 5 \\\end{matrix} ight.$
Câu 44: Nhận biết
Cho cấp số nhân (u_n) có ${u_1} = 2$ và công bội q = 3. Số hạng u₂ là:
- A. u₂ = -6
- B. u₂ = 6
- C. u₂ = 1
- D. u₂ = -18
Ta có: u₂ = u₁ . q = -2 . 3 = -6
Câu 45: Nhận biết
Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin(\alpha - \pi) \geq 0$
- B.
  $\sin(\alpha - \pi) \leq 0$
- C.
  $\sin(\alpha - \pi) > 0$
- D.
  $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Ta có: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

=> $0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$

=> $- \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi}{2}$

Điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ ba

=> $\sin(\alpha - \pi) < 0$