Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 11 được biên soạn gồm câu hỏi dạng trắc nghiệm, đúng sai và tự luận ngắn với 4 mức độ giúp học sinh củng cố kiến thức và khả năng giải toán 11 Chân trời sáng tạo

Số câu hỏi: 22 câu
Số điểm tối đa: 22 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về $''$ đường tròn lượng giác $''$ ?
- A.
  Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
- B.
  Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ là một đường tròn lượng giác.
- C.
  Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
- D.
  Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Câu 2: Nhận biết
Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa $a$ và $b$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Câu 3: Nhận biết
Cho tứ diện $S.\ ABC$ . Trên $SA$ , $SC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ cắt $AC$ tại $E$ . Điểm $E$ không thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
- A.
  $(ABC)$ .
- B.
  $(SAC)$ .
- C.
  $(BMN)$ .
- D.
  $(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

Do $E \in AC \Rightarrow E \in (SAC)$ và $E \in (ABC)$ .

Do $E \in MN \Rightarrow E \in (BMN)$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(Q)$ .
- B.
  Mọi đường thẳng đi qua điểm $A \in (P)$ và song song với $(Q)$ đều nằm trong $(P)$ .
- C.
  Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ .
- D.
  Nếu đường thẳng $a \subset (Q)$ thì $a//(P)$ .
Đáp án “Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ ” sai vì nếu $(P)//(Q)$ và đường thẳng $a \subset (P);\ b \subset (Q)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau.
Câu 5: Thông hiểu
Giải phương trình $2\cos x = - 1$ được nghiệm là:
- A.
  $\left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- B.
  $\left\{ \frac{\pi}{3} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- C.
  $\left\{ - \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{3},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
- D.
  $\left\{ \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
Ta có

$2cosx = - 1 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}$
Câu 6: Nhận biết
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $1; - 3; - 6; - 9; - 12$ .
- B.
  $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ .
- C.
  $1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .
- D.
  $1; - 2; - 4; - 6; - 8$ .
Ta có dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$ .
Câu 7: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 5$ . Số $19$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?
- A.
  $12$
- B.
  $19$
- C.
  $5$
- D.
  $7$
Ta có

$u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19$

$\Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7$ .

Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.
Câu 8: Thông hiểu
Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 9: Nhận biết
Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Thời gian (phút)

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Số học sinh

7

13

9

18

22

6

Nhóm chứa trung vị là:
- A.
  [30; 40)
- B.
  [10; 20)
- C.
  [40; 50)
- D.
  [20; 30)
Cỡ mẫu của bảng số liệu này là $n = 75$ , nên nhóm chứa trung vị là nhóm chứa giá trị thứ $38$ , suy ra đó là nhóm $\lbrack 30;40)$
Câu 10: Nhận biết
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:

Lượng nước (m³)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

[100; 120)

Số hộ gia đỉnh

6

12

10

7

4

2

Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
- A.
  $30$ .
- B.
  $40$
- C.
  $50$ .
- D.
  $60$ .
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm $\lbrack 20;40)$ nên giá trị đại diện của nhóm này là $30$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ , $M$ là trung điểm $SC$ . Khằng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $OM//(ABCD)$ .
- B.
  $OM//(SBD)$ .
- C.
  $OM//(SAC)$ .
- D.
  $OM//(SAD)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $OM$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $OM//SA$ , mà $SA \subset (SAD)$ và $OM ⊄ (SAD)$ suy ra $OM//(SAD)$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm giới hạn $\lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3}$ .
- A.
  $- \frac{1}{4}$ .
- B.
  $- \ \infty$ .
- C.
  $+ \ \infty$ .
- D.
  $\frac{7}{4}$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(3 + 2x) = - 3$ , $\lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(x + 3) = 0$ và $x + 3 > 0$ nên $\lim_{x ightarrow ( - \ 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3} = - \infty$ .
Câu 13: Thông hiểu

Cho cấp số cộng có $u_{1} = 5$ , $d = 2$ . Khi đó:

a) $u_{6} = 15$ . Đúng||Sai

b) Số hạng tổng quát thứ $n$ của cấp số cộng là $u_{n} = 2n + 3$ . Đúng||Sai

c) Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{n} = n^{2} + 4n$ . Đúng||Sai

d) Tổng $S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho cấp số cộng có $u_{1} = 5$ , $d = 2$ . Khi đó:

a) $u_{6} = 15$ . Đúng||Sai

b) Số hạng tổng quát thứ $n$ của cấp số cộng là $u_{n} = 2n + 3$ . Đúng||Sai

c) Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{n} = n^{2} + 4n$ . Đúng||Sai

d) Tổng $S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310$ . Sai||Đúng

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ $n$ của cấp số cộng ta có:

$u_{6} = u_{1} + 5d = 5 + 5.2 = 15$ .

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ $n$ của cấp số cộng ta có:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1).2 = 2n + 3$ .

c) Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:

$S_{n} = nu_{1} + \frac{(n - 1)n}{2}d = 5n + \frac{(n - 1)n}{2}.2 = n^{2} + 4n$ .

d) Ta viết lại

$S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20}$

$= \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{20} ight) - \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{9} ight)$

$= S_{20} - S_{9} = 480 - 117 = 363$ .
Câu 14: Vận dụng

Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:

Điểm

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

[60; 70)

Số trường

4

19

6

2

3

1

Các mệnh đề sau đúng hay sai

a) Số liệu đã cho cho có $35$ mẫu số liệu. Đúng||Sai

b) Số trung vị của mẫu số liệu là $M_{e} = 12.$ Sai||Đúng

c) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là $28$ . Sai||Đúng

d) Ngưỡng điểm đề đưa ra danh sách $25\%$ trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là trên 35,42. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:

Điểm

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

[60; 70)

Số trường

4

19

6

2

3

1

Các mệnh đề sau đúng hay sai

a) Số liệu đã cho cho có $35$ mẫu số liệu. Đúng||Sai

b) Số trung vị của mẫu số liệu là $M_{e} = 12.$ Sai||Đúng

c) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là $28$ . Sai||Đúng

d) Ngưỡng điểm đề đưa ra danh sách $25\%$ trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là trên 35,42. Đúng||Sai

a) Ta có cỡ mẫu $n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35$ . Vậy đáp án a) đúng.

b) Gọi $x_{1},x_{2},...,x_{35}$ được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó, trung vị là $x_{18}$ . Do $x_{18}$ thuộc nhóm $\lbrack 20;30)$ nên nhóm này chứa trung vị.

Suy ra $p = 2$ , $a_{2} = 20$ , $a_{3} = 30$ , $m_{2} = 19$ , $m_{1} = 4$ , $a_{3} - a_{2} = 10$ .

$M_{e} = a_{p} + \dfrac{\dfrac{n}{2} -\left( m_{1} + ... + m_{p - 1} ight)}{m_{p}}.\left( a_{p + 1} - a_{p}ight)$

$= 20 + \dfrac{\dfrac{35}{2} - 4}{19}.10 =\frac{515}{19} \approx 27,1$ .

Vậy đáp án b) sai.

c) Số trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x} = \frac{15 \times 4 + 25 \times 19 + 35 \times 6 + 45 \times 2 + 55 \times 3 + 65}{35} = \frac{213}{7} \approx 30,4$ .

Vậy đáp án c) sai.

d) Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách $25\%$ trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân vị thứ ba.

Cỡ mẫu $n = 35$

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là $x_{27}$ mà $x_{27}$ thuộc nhóm [30;40) nên nhóm này chứa $Q_{3}$ .

Do đó, $\left\{ \begin{matrix} p = 3,a_{3} = 30,m_{3} = 6 \\ m_{1} + m_{2} = 4 + 19 = 23 \\ a_{4} - a_{3} = 10 \\ \end{matrix} ight.$ và ta có:

$Q_{3} = 30 + \dfrac{\dfrac{3 \times 35}{4}- 23}{6}.10 = 35,42$ .

Vậy để đưa ra danh sách $25\%$ trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam ta lấy các trường có điểm chuẩn hóa trên 35.42.

Vậy đáp án d) đúng.
Câu 15: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.\ ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$ , $OM$ cắt $AD$ tại $K$ . Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$ . Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) $MD//AC$ . Đúng||Sai

b) Đường $ON$ và $SA$ cắt nhau. Sai||Đúng

c) $GK//ON$ . Đúng||Sai

d) Tỉ số $\frac{GM}{GN} = 3$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.\ ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$ , $OM$ cắt $AD$ tại $K$ . Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$ . Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) $MD//AC$ . Đúng||Sai

b) Đường $ON$ và $SA$ cắt nhau. Sai||Đúng

c) $GK//ON$ . Đúng||Sai

d) Tỉ số $\frac{GM}{GN} = 3$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Xét tứ giác $AMDC$ có $\left\{ \begin{matrix} AM//DC \\ AM = DC( = AB) \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra tứ giác $AMDC$ là hình bình hành

Nên $MD//AC$ . Vậy khẳng định a đúng

b) Vì $O$ là trung điểm $AC$ , $N$ là trung điểm $SC$ nên $ON\ //\ SA$ (tính chất đường trung bình).

Vậy khẳng định b sai.

c) $\left\{ \begin{matrix} ON\ //\ SA \\ ON \subset (OMN) \\ SA \subset (SAD) \\ (OMN) \cap (SAD) = GK \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GK//ON//SA$

Vậy khẳng định c đúng.

d) Áp dụng định lí Talet cho $GK\ //\ ON$ , ta có:

$\frac{GM}{GN} = \frac{KM}{KO}$ (1)

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ , vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên theo tính chất đường trung

bình, $OI\ //\ AD$ , vậy theo định lí Talet:

$\frac{KM}{KO} = \frac{AM}{AI} = \frac{AB}{AI} = 2$ . (2)

Từ (1) và (2), ta có $\frac{GM}{GN} = 2$ .

Vậy khẳng định d sai.
Câu 16: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x + 3 ight) = 9$ . Đúng||Sai

b) Biết rằng $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 2$ , $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = 4$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1$ . Sai||Đúng

d) Biết $\lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b$ (với $a;b\mathbb{\in R}$ ). Khi đó $a^{2} + b^{2} = 40$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x + 3 ight) = 9$ . Đúng||Sai

b) Biết rằng $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 2$ , $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = 4$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1$ . Sai||Đúng

d) Biết $\lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b$ (với $a;b\mathbb{\in R}$ ). Khi đó $a^{2} + b^{2} = 40$ . Đúng||Sai

a) Đúng.

Vì $\lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x + 3 ight) = 3^{2} - 3 + 3 = 9$

b) Sai.

Vì $\lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = 3.2 - 5.4 = - 14$

c) Sai.

Vì $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^{2} - 4} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4x + 1 - 9}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{4x + 1} + 3)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{4}{(x + 2)(\sqrt{4x + 1} + 3)} = \frac{1}{6}$

d) Đúng.

Xét thấy $x = 2$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 3x + 2 = 0$ (mẫu số) nên $x = 2$ cũng là một nghiệm của phương trình $2x^{2} - ax + 4 = 0$ (tử số) $\Rightarrow$ $a = 6$ .

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax +4}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - 6x + 4}{x^{2}- 3x + 2} = 2$ .

Vậy $a = 6;b = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 36 + 4 = 40$ .
Câu 17: Nhận biết

Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được $1$ vòng trong $0,1$ giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 6,28

Đáp án là:

Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được $1$ vòng trong $0,1$ giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 6,28

Số đo góc quay của $1$ vòng là $2\pi$ .
Câu 18: Thông hiểu

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Đáp án là:

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: $u_{1} = 1;d = 1;n = 10$ .

Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

$S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}$

$= \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55$ (khúc gỗ).
Câu 19: Thông hiểu

Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:

Số tiền (nghìn đồng)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 500)

[500; 550)

[550; 600)

Số hộ gia đình

6

14

21

17

2

Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

Đáp án: 471 nghìn đồng.

Đáp án là:

Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:

Số tiền (nghìn đồng)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 500)

[500; 550)

[550; 600)

Số hộ gia đình

6

14

21

17

2

Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

Đáp án: 471 nghìn đồng.

Ta có giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $375;\ \ 425;\ \ 475;\ \ 525;\ \ 575$

Trung bình cộng của bảng số liệu trên là:

$\frac{375 \times 6 + 425 \times 14 + 475 \times 21 + 525 \times 17 + 575 \times 2}{60}$

$= 470,8(3) \simeq 471$ (nghìn đồng).
Câu 20: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$ và $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $N$ là gia điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$ và $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\ \frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $N$ là gia điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{ND}{NM}$ .

Đáp án: 3

Hình vẽ minh họa

Ta có $M$ là điểm trên cạnh $SB$ , $\frac{SM}{SB} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{MB}{MS} = 2$ .

$IK//BD$ nên $IK//(SBD)$ suy ra $(SBD) \cap (SIK) = Sx,\ \ Sx//IK//BD$ .

Trong $(SBD),\ \ DM \cap Sx = N.$

$N$ chính là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ .

Trong $(SBD)$ , có $Sx//BD$ nên hai tam giác $\Delta SMN$ và $\Delta BMD$ đồng dạng.

Do đó $\frac{MD}{MN} = 2 \Rightarrow \frac{ND}{NM} = 3$ .
Câu 21: Thông hiểu

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Phần giải chi tiết

Tập xác định $\mathcal{D} = \mathbb{R}$ .

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;2),(2; + \infty)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = m \\ \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3. \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x) \Leftrightarrow m = 3$ .
Câu 22: Vận dụng

Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi $t$ dần về dương vô cùng?

Đáp án: 30

Đáp án là:

Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi $t$ dần về dương vô cùng?

Đáp án: 30

Sau $t$ phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là $600 + 15t$ (lít) và lượng muối có được là $30.15t$ (gam).

Nồng độ muối của nước là

$C(t) = \frac{30.15t}{600 + 15t} = \frac{30t}{40 + t}$ (gam/lít).

Khi $t$ dần về dương vô cùng, ta có

$\lim_{t ightarrow + \infty}C(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{40 + t} = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{t\left( \frac{40}{t} + 1 ight)}$

$= \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30}{\frac{40}{t} + 1} = 30\ (gam/lít).$