Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 11 được biên soạn gồm câu hỏi dạng trắc nghiệm, đúng sai và tự luận ngắn với 4 mức độ giúp học sinh củng cố kiến thức và khả năng giải toán 11 Chân trời sáng tạo

Số câu hỏi: 23 câu
Số điểm tối đa: 23 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Mua gói để Làm bài

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

Tần số

2

7

7

3

1

Đáp án là:

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

Tần số

2

7

7

3

1
Câu 2: Nhận biết
Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  8
Mẫu số liệu đã cho có 5 nhóm.
Câu 3: Nhận biết
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là:
- A.
  [9; 11)
- B.
  [7; 9)
- C.
  [11; 13)
- D.
  [13; 15)
Ta có: $x_{1},x_{2} \in \lbrack 5;7)$ , $x_{3},...,x_{9} \in \lbrack 7;\ 9)$ , $x_{9},...,x_{16} \in \lbrack 9;\ 11)$ , $x_{17},...,x_{19} \in \lbrack 11;\ 13)$ , $x_{20} \in \lbrack 13;\ 15)$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\lbrack 9;11)$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
- A.
  $6$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Vì $4$ điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có $4$ mặt.
Câu 5: Thông hiểu
Giải phương trình $\cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

PT $\Leftrightarrow \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\frac{5\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = - \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 6: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n} = \frac{1}{2 - u_{n - 1}},\ \forall n \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $u_{3}$ có giá trị bằng
- A.
  $\frac{3}{4}$ .
- B.
  $\frac{4}{3}$ .
- C.
  $\frac{2}{3}$ .
- D.
  $\frac{3}{2}$ .
Theo công thức truy hồi ta có

$u_{2} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{4}$ .
Câu 7: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{15} = 34.$
- B.
  $u_{15} = 45.$
- C.
  $u_{13} = 31.$
- D.
  $u_{10} = 35.$
Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$
Câu 8: Nhận biết
Cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}$ . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
- A.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = 2$ .
- B.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = - 2$ .
- C.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = - 2$
- D.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = 2$ .
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra $u_{1} = \frac{3}{5}$ và $q = 2$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?
- A.
  $AB$ và $CD$ .
- B.
  $AC$ và $BD$ .
- C.
  $SB$ và $CD$ .
- D.
  $SD$ và $BC$ .
Hình vẽ minh họa

Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: $AC$ và BD.
Câu 10: Nhận biết
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$ . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ ?
- A.
  Một mặt phẳng.
- B.
  Hai mặt phẳng.
- C.
  Vô số mặt phẳng.
- D.
  Không có mặt phẳng nào.
Có vô số mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ (đó là tất cả các mặt phẳng chứa $a$ nhưng không chứa $b$ ).
Câu 11: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Câu 12: Thông hiểu
Giới hạn $\lim_{}\frac{3n - 7}{2n^{2} + 3n - 1}$ bằng
- A.
  $\frac{3}{2}$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $\frac{- 3}{2}$ .
Ta có $\lim\dfrac{3n - 7}{2n^{2} + 3n -1} = \lim\dfrac{\dfrac{3}{n} - \dfrac{7}{n^{2}}}{2 + \dfrac{3}{n} -\dfrac{1}{n^{2}}} = 0$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho $c$ là hằng số, $k$ là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = + \infty$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương.
Câu 14: Vận dụng

Cho phương trình lượng giác $2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0$ . Đúng||Sai

b) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng $( - \pi;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}{6}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0$ . Đúng||Sai

b) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng $( - \pi;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}{6}$ . Đúng||Sai

Ta có phương trình đã cho tương đương với

$2\left( \sin x + 1 ight)\left( \frac{1 - cos4x}{2} - 3sinx + 1 ight) = sin4x.cosx$

$\Leftrightarrow \left( \sin x + 1 ight)(3 - 6sinx - cos4x) = sin4x.cosx$

$\Leftrightarrow (sinx + 1)(3 - 6sinx) - sinx.cos4x - cos4x = sin4x.cosx$

$\Leftrightarrow 3(1 - 2sin^{2}x) - 3sinx = sin5x + cos4x$

$\Leftrightarrow 3cos2x + 3cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} ight) + cos4x$

$\Leftrightarrow 3.2.cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 2.cos\left( \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)\left\lbrack 3cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) + \cos\left( \frac{9x}{2} + \frac{3\pi}{4} ight) ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Vì $x \in ( - \pi;\pi)$ nên suy ra $x = - \frac{\pi}{2},x = \frac{\pi}{6},x = \frac{3\pi}{2}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 15: Thông hiểu

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được: $0,212121\ldots = \frac{a}{b}$ ; $4,333\ldots = \frac{c}{d}$ . Khi đó:

a) $a + b = 40$ . Đúng||Sai

b) Ba số $a;b;58$ tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

c) $c + d = 15$ . Sai||Đúng

d) $\lim c = 13$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được: $0,212121\ldots = \frac{a}{b}$ ; $4,333\ldots = \frac{c}{d}$ . Khi đó:

a) $a + b = 40$ . Đúng||Sai

b) Ba số $a;b;58$ tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

c) $c + d = 15$ . Sai||Đúng

d) $\lim c = 13$ . Đúng||Sai

Ta có: $0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội $\frac{1}{100}$ .

Vì vậy

$0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots$ $= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}$ .

Ta có: $0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là $\frac{1}{10}$

Vì vậy

$4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots$ $= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 16: Thông hiểu

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2$ . Sai||Đúng

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty$ , do $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1$ .

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty$

Do $\lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2$ .

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0$ .

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 17: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$ , $N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $(MCD)$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $MN$ và $SD$ cắt nhau.Sai||Đúng

b) $MN\ \parallel \ CD$ .Đúng||Sai

c) $MN$ và $SC$ cắt nhau.Sai||Đúng

d) $MN$ và $CD$ chéo nhau. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SA$ , $N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $(MCD)$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $MN$ và $SD$ cắt nhau.Sai||Đúng

b) $MN\ \parallel \ CD$ .Đúng||Sai

c) $MN$ và $SC$ cắt nhau.Sai||Đúng

d) $MN$ và $CD$ chéo nhau. Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN = (MCD) \cap (SAB)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} CD \subset (MCD)\ \ ;\ \ AB \subset (SAB) \\ CD \parallel AB \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow MN//CD//AB$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai
Câu 18: Vận dụng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu $3$ điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có $3$ đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

Đáp án: 216

Đáp án là:

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu $3$ điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có $3$ đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

Đáp án: 216

Hình vẽ minh họa

Không mất tính tổng quát, xét mặt bên $\Delta ABC$ .

Giả sử $MN$ song song với $BC$ . Khi đó, số tam giác có cạnh $MN$ nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm $\Delta PMN$ , $\Delta QMN$ , $\Delta IMN,\Delta JMN$ , $\Delta KMN$ , $\Delta LMN$ .

Trong mặt bên $\Delta ABC$ , nối các điểm chia đều các cạnh $AB,BC,CA$ ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với $AB$ , 3 đoạn thẳng song song với $BC$ và 3 đoạn thẳng song song với $CA$ .

Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.

Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là $6.(3 + 3 + 3).4 = 216$ .
Câu 19: Vận dụng cao

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$

$= \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack$

$= \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}$

Khi $n ightarrow \infty$ thì $\ lim\frac{1}{n} = 0$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1$

$\Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1$
Câu 20: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DM$ và $(SIK)$ . Tính tỉ số $\frac{MF}{MD}$ .

Đáp án: 1

Hình vẽ minh họa

-Ta có $S \in (SIK) \cap (SAC)$ .

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $E = IK \cap AC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in IK \subset (SIK) \\ E \in AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow E \in (SIK) \cap (SAC)$

Suy ra $SE = (SIK) \cap (SAC)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} S \in (SIK) \cap (SBD) \\ BD \subset (SBD),IK \subset (SIK) \\ BD//IK \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SIK) \cap (SBD) = Sx,(\ Sx//BD//IK)$

-Trong mp $(SBD)$ , gọi $F = Sx \cap DM$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} S \in DM \\ S \in Sx \subset (SIK) \\ \end{matrix} \Rightarrow F = DM \cap (SIK) ight.$ .

Ta có $SF//BD \Rightarrow \frac{MF}{MD} = \frac{MS}{MB} = 1$ .
Câu 21: Vận dụng

Cho hình bình hành $ABCD$ . Qua $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lần lượt vẽ các nửa đường thẳng $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ ở cùng phía so với mặt phẳng $(ABCD)$ , song song với nhau và không nằm trong $(ABCD)$ . Một mặt phẳng $(P)$ cắt $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ tương ứng tại $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ sao cho $AA' = 3$ , $BB' = 5$ , $CC' = 4$ . Tính $DD'$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ . Qua $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lần lượt vẽ các nửa đường thẳng $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ ở cùng phía so với mặt phẳng $(ABCD)$ , song song với nhau và không nằm trong $(ABCD)$ . Một mặt phẳng $(P)$ cắt $Ax$ , $By$ , $Cz$ , $Dt$ tương ứng tại $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ sao cho $AA' = 3$ , $BB' = 5$ , $CC' = 4$ . Tính $DD'$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Do $(P)$ cắt mặt phẳng $(Ax,By)$ theo giao tuyến $A'B'$ ; cắt mặt phẳng $(Cz,Dt)$ theo giao tuyến $C'D'$ , mà hai mặt phẳng $(Ax,By)$ và $(Cz,Dt)$ song song nên $A'B'//C'D'$ .

Tương tự có $A'D'//B'C'$ nên $A'B'C'D'$ là hình bình hành.

Gọi $O$ , $O'$ lần lượt là tâm $ABCD$ và $A'B'C'D'$ .

Dễ dàng có $OO'$ là đường trung bình của hai hình thang $AA'C'C$ và $BB'D'D$ nên $OO' = \frac{AA' + CC'}{2} = \frac{BB' + DD'}{2}$ .

Từ đó ta có $DD' = 2$ .
Câu 22: Vận dụng cao

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao $5\ \ m$ so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{4}{5}$ độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

Đáp án: 45

Đáp án là:

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao $5\ \ m$ so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{4}{5}$ độ cao lần rơi trước đó. Tổng quãng đường quả bóng đi được gần bằng bao nhiêu?

Đáp án: 45

Quãng đường bóng đi được từ khi thả đến chạm đất lần 1 là $5\ \ m$ .

Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 1đến chạm đất lần 2 là $\frac{4}{5}.5.2$ .

Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần 2 đến chạm đất lần 3 là $\left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2$ ……

Quãng đường bóng đi được từ khi chạm đất lần n đến chạm đất lần $n + 1$ là $\left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2$

Tổng quãng đường bóng đi được từ lúc thả đến không nảy lên nữa là:

$S = 5 + \frac{4}{5}.5.2 + \left( \frac{4}{5} ight)^{2}.5.2 + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.5.2 + ...$

$= 5 + 5.2.\left( \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5} ight)^{2} + ... + \left( \frac{4}{5} ight)^{n} + ...ight)$ $= 5 + 5.2.\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1 - \dfrac{4}{5}} = 45$ .
Câu 23: Vận dụng cao

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + c > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + c > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Xét hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$

Theo giả thiết $4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0$

$a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0$

Ta có $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $( - \infty; - 2)(1)$

$f( - 2)f(1) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)(2)$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; + \infty)(3)$

Từ $(1)$ ; $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm.