Cho tổng
.
Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
Cho tổng
.
Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Giả sử
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó
bằng:
Điều kiện
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh đều bằng
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Trong tam giác ta có:
(theo tính chất trọng tâm tam giác)
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:
Nếu , thì
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy
Giải phương trình
?
Ta có và .
Do đó phương trình
Xét nghiệm .
Vậy phương trình có nghiệm .
Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[150; 154] | 5 |
[155; 159] | 2 |
[160; 164] | 6 |
[165; 169] | 8 |
[170; 174] | 9 |
[175; 179] | 11 |
[180; 184] | 6 |
[185; 189] | 3 |
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có:
Chiều cao (cm) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(149,5; 154,5] | 5 | 5 |
(154,5; 159,5] | 2 | 7 |
(159,5; 164,5] | 6 | 13 |
(164,5; 169,5] | 8 | 21 |
(169,5; 174,5] | 9 | 30 |
(174,5; 179,5] | 11 | 41 |
(179,5; 184,5] | 6 | 47 |
(184,5; 189,5] | 3 | 50 |
Tổng | N = 50 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là
Khi đó:
Trung vị của mẫu số liệu là:
Với
mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
=>
Đồ thị hàm số
đi qua điểm nào sau đây?
Thay giá trị vào hàm số ta có:
Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là:
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
. Đúng||Sai
b) Phương trình
có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu
thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) . Đúng||Sai
b) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Ta có:
Xét phương trình . Đặt
là hàm số liên tục trên
suy ra hàm số cũng liên tục trên
.
Ta có:
Khi đó: nên phương trình
có ít nhất 3 nghiệm
là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.
Ta có:
Nếu suy ra
Ta có:
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số ![]()
Ta có
Mà
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?
Số học sinh lớp 11A là:
4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là:
Số học sinh lớp 11B là:
5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là:
Số học sinh lớp 11C là:
4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là:
Số học sinh lớp 11D là:
4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là:
Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.
Cho tứ diện
, biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Cho tứ diện , biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
là
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Ta chứng minh được (c – c – c).
Ta có
Vậy
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Cho dãy số
, biết
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
Ta có:
Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là:
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
Các bước để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm là:
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.
=> AC và A’C’ cắt nhau.
Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).
Cho cấp số nhân
có công bội âm. Biết
. Khi đó ![]()
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử CM và DN đồng phẳng.
Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)
=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.
Vậy CM và DN chéo nhau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Đặt
=>
Phương trình trở thành:
Do
Vậy để phương trình có nghiệm
Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình
?
Ta có . Chi hai vế phương trình cho
, ta được
.
Cho hàm số
và
là hai hàm số liên tục tại điểm
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Xét trường hợp liên tục tại
và
thì hàm số
không xác định tại
.
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho dãy số
có số hạng tổng quát
. Biết rằng
. Khi đó
là số hạng thứ mấy trong dãy số?
Ta có:
Vậy là số hạng thứ tư trong dãy số.
Cho hàm số
liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là:
Ta có:
Hàm số liên tục trên
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên là:
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính giá trị
của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)
(Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là
và công bội
. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
Ta có:
Xác định giới hạn ![]()
Ta có:
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Chọn đáp án đúng?
Ta có:
Cân nặng (kg) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[45; 50) | 5 | 5 |
[50; 55) | 12 | 17 |
[55; 60) | 10 | 27 |
[60; 65) | 6 | 33 |
[65; 70) | 5 | 38 |
[70; 75) | 8 | 46 |
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
Cho cấp số nhân
có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng
. Đúng||Sai
b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai
c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng
d) Gọi dãy số
, với
. Khi đó tổng
. Sai||Đúng
Cho cấp số nhân có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng . Đúng||Sai
b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai
c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng
d) Gọi dãy số , với
. Khi đó tổng
. Sai||Đúng
a) Đúng
Ta có:
.
b) Đúng.
Ta có:
Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599 nên mệnh đề đúng.
c) Sai.
Ta có:
Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân nên mệnh đề sai.
d) Sai.
Ta có , nên
là cấp số nhân với
và công bội
.
Nên .
Cho hình hộp
, gọi
là trung điểm của
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình hộp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra giao tuyến của và
là đường thẳng
qua
song song với
;
.
Vì nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình hộp
là hình thang
.
Cho cấp số cộng
có
và công sai
. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng:
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho
. Đơn giản biểu thức P ta được:
Ta có:
Cho phương trình
(*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm
Đúng||Sai
b) Trong khoảng
phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
bằng
. Sai||Đúng
d) Trong khoảng
phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Cho phương trình (*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm Đúng||Sai
b) Trong khoảng phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng bằng
. Sai||Đúng
d) Trong khoảng phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Ta có:
Vì
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng là
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
Ta có:
không xác định.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.
Khảo sát thời gian tập thể dục của một nhóm học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng thống kê sau:
|
Thời gian (phút) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
8 |
9 |
15 |
12 |
6 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là:
Nhóm chứa mốt là nhóm có giá trị tần số lớn nhất
Nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: .
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?
![]()
![]()
![]()
![]()
Ta có:
Vậy có hai đồng nhất thức.
Cho ba mặt phẳng phân biệt
có
. Khi đó ba đường thẳng
:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.