Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
[160; 164)
[164; 168)
[168; 172)
[172; 174)
Tần số
8
$x$
12
6
Biết rằng nhóm dữ liệu có giá trị đại diện là 166 chiếm 60% tổng tần số của mẫu dữ liệu. Tìm giá trị của $x$ ?
- A.
  39
- B.
  45
- C.
  40
- D. 32
Nhóm số liệu có độ dài 166 là: [164; 168)
Theo bài ra ta có:
$\frac{x.100\%}{8 + 12 + x + 6} = 60\%\Rightarrow x = 39$
Câu 2: Nhận biết
Số cạnh của hình chóp tam giác là:
- A.
  5
- B.
  4
- C.
  6
- D.
  3
Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $(SAD) \cap (SBC) = d$ . Đường thẳng nào song song với $d$ trong các đường thẳng dưới đây?
- A.
  $BD$
- B.
  $AC$
- C.
  $AD$
- D.
  $SC$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AD//BC \\AD \subset (SAD) \\BC \subset (SBC) \\S \in (SAD) \cap (SBC) \\\end{matrix} ight.$
$= > (SAD) \cap (SBC) =St//AD//BC$
=> $(SAD) \cap (SBC) = St$ hay $St \equiv d$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $St$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 4: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $sin60^{0} <sin150^{0}$
- B.
  $cos30^{0} <cos60^{0}$
- C.
  $tan45^{0} <tan60^{0}$
- D.
  $cot60^{0} >cot240^{0}$
Ta có:
$\sin150^{0} = \sin30^{0}$
$\Rightarrow \sin60^{0} >\sin150^{0}$
$\cos30^{0} > \cos60^{0}$
$\cot60^{0} =\cot240^{0}$
Vậy $\tan45^{0} < \tan60^{0}$ đúng.
Câu 5: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 6: Vận dụng
Biết rằng $\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = b\sqrt{3} + c$ với $a,b,c$ là các tham số. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + c}{b^{3}}$ .
- A.
  $P = 3$
- B.
  $P = \frac{1}{3}$
- C.
  $P = 2$
- D.
  $P = \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt[3]{a + \dfrac{5}{n} -\dfrac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}}} =\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt[3]{a}}{3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt[3]{a}}}{3} = b\sqrt 3 + c \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt[3]{a} = \dfrac{b}{3}} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow P = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Nhận biết
Với $k$ là số nguyên dương, $c$ là hằng số, giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}}$ bằng
- A.
  $\mathbf{c}$ .
- B.
  $\mathbf{0}$ .
- C.
  $\mathbf{- \infty}$ .
- D.
  $\mathbf{+ \infty}$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ nên $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0$
Câu 8: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
Câu 9: Vận dụng

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn $150 \times 6\%= 9(mg)$ , suy ra mệnh đề đúng.

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là: $150 \times 6\% + 150 = 159(mg)$ suy ra mệnh đề đúng.

c) Gọi $u_{n}$ là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $1$ là: $u_{1} = 150(mg)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là:

$u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $3$ là:

$u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $4$ là:

$u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)$

Suy ra mệnh đề sai.

d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

$S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)$

$= 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}$

$= \frac{7500}{47} \approx 159,57mg$

Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là $159,57mg$ , suy ra mệnh đề đúng.
Câu 10: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 11: Thông hiểu
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện A
[15,5; 20,5)
[20,5; 25,5)
[25,5; 30,5)
[30,5; 35,5)
[35,5; 40,5)
[40,5; 45,5)
[45,5; 50,5)
[50,5; 55,5)
Tần số
5
6
12
14
26
12
16
9
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu đã cho?
- A.
  $30,1$
- B.
  $31,2$
- C.
  $32,5$
- D.
  $31,8$
Ta có:
Đại diện X
Tần số
Tần số tích lũy
[15,5; 20,5)
5
5
[20,5; 25,5)
6
11
[25,5; 30,5)
12
23
[30,5; 35,5)
14
37
[35,5; 40,5)
26
63
[40,5; 45,5)
12
75
[45,5; 50,5)
16
91
[50,5; 55,5)
9
100

N = 100

Ta lại có: $\frac{N}{4} = \frac{100}{4} =25$
=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là $[30,5; 35,5)$ (vì 25 nằm giữa các tần số tích lũy 23 và 37).
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 30,5;m = 23,f = 14;c =35,5 - 30,5 = 5$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 30,5 + \dfrac{25 - 23}{14}.5 \approx31,2$
Câu 12: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Đặt $t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)$
=> $\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$
Phương trình trở thành:
$\begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Do ${t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy để phương trình có nghiệm
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Vận dụng cao
Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 14: Nhận biết
Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 1; u₄ = 64. Tính công bội q của cấp số nhân đó.
- A. q = 21
- B. q = -5
- C. q = 4
- D. q = -10
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^{4 - 1}} \hfill \\ \Rightarrow 64 = 1.{q^3} \hfill \\ \Rightarrow {q^3} = 64 \Rightarrow q = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
- B.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(n + 2)}{6}$
- C.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(2n - 1)}{6}$
- D.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

$u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$
Câu 16: Thông hiểu
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ \begin{gathered} {\text{0 khi }}x = 0 \hfill \\ \sqrt x {\text{ khi }}x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.$ . Hàm số $f(x)$ liên tục tại:
- A.
  Mọi điểm thuộc $\mathbb{R}$
- B.
  Mọi điểm trừ $x = 0$
- C.
  Mọi điểm trừ $x = 1$
- D.
  Mọi điểm trừ $x = 0,x = 1$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Dễ thấy hàm số $y = f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;0),(0;1);(1; + \infty)$

Ta có:

$f(0) = 0$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(x) = 0$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x) = 0$

Vậy hàm số liên tục tại x = 0

Tương tự ta có:

$f(1) = 1$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(x) = 1$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\sqrt{x} = 1$

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập số thực.
Câu 17: Nhận biết
Cho hai đường thẳng $m$ và $n$ chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $m$ và song song với $n$ ?
- A.
  $2$
- B.
  Vô số
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Câu 18: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).
- A.
  Điểm C.
- B.
  Điểm N.
- C.
  Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.
- D.
  Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC.
Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.
Câu 19: Vận dụng
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0;1)$ ?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ .
- B.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ .
- C.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ .
- D.
  $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ .
Xét phương án $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ có $\Delta = 9 - 32 = - 23$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ : $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$

Đặt $t = x^{2}(t \geq 0)$ , phương trình trở thành: $3t^{2} - 4t + 5 = 0$ .

$\Delta' = 4 - 15 = - 11$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ : $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2$

$\forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ : $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ , xét $f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$

Mặc khác hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ do đó liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ .

Vậy phương trình $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;1)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Đơn giản biểu thức $A = cos\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) + sin(\alpha + \pi)$ , ta có
- A.
  $A = cos\alpha + sin\alpha$ .
- B.
  $A = 2sin\alpha$ .
- C.
  $A = sin\alpha - cos\alpha$ .
- D.
  $A = 0$ .
Ta có:

$A = cos\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) + sin(\alpha + \pi)$

$= cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) - sin\alpha = sin\alpha - sin\alpha = 0$
Câu 21: Thông hiểu
Một dãy số được xác định bởi $u_{1} = - 4;u_{n} = - \frac{1}{2}u_{n - 1};(n \geq 2)$ . Số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số đó là:
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = ( - 2)^{n - 1}$
- C.
  $u_{n} = - 4.2^{- n + 1}$
- D.
  $u_{n} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ u_{n + 1} = - \frac{1}{2}u_{n} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ q = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giới hạn $B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight)$ .
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $2$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $- 3$
Ta có:

$B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight)$

$B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left\lbrack x^{3}\left( 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} ight) ightbrack$

Ta lại có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{3}{{{x^3}}}} ight) = 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight) = - \infty$
Câu 23: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\sin x=0$ là?
- A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- B. $S = \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. $S = \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. $S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Ta có: $\sin x =0 \Leftrightarrow x = k\pi \, , \, k \in \mathbb{Z}$ .
Câu 24: Nhận biết
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A.
  Ba điểm phân biệt.
- B.
  Một điểm và một đường thẳng.
- C.
  Hai đường thẳng cắt nhau.
- D.
  Bốn điểm phân biệt.
“Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

“Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

“Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Câu 25: Nhận biết
Tìm tập các định D của hàm số $y = \frac{2020}{\sin x}$
- A.
  $D\mathbb{= R}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k\mathbb{\in Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 26: Thông hiểu
Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB//CD)$ . Gọi $M;N;Q$ lần lượt là trung điểm của $BC;AD;SB$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là:
- A.
  Đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ .
- B.
  Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SB$ .
- C.
  Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $SC$ .
- D.
  Đường thẳng đi qua $Q$ và song song với $AB$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $Q \in SB;SB \subset (SAB)$

$Q \in (MNQ)$ nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$

Mặt khác $MN//AB$

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(MNQ)$ là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Câu 27: Thông hiểu
Bảng số liệu dưới đây cho biết lương của 113 nhân viên trong một nhà máy trong một tháng (đơn vị: triệu đồng):
Lương
[0; 10)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
Số nhân viên
18
23
30
20
12
10
Tính mức lương trung bình của các nhân viên trên đây. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
- A.
  $25,12$
- B.
  $27,05$
- C.
  $26,33$
- D.
  $24,87$
Ta có:
Lương
${f_i}$ ${x_i}$ ${f_i}{x_i}$
[0; 10)
18
5
90
[10; 20)
23
15
345
[20; 30)
30
25
750
[30; 40)
20
35
700
[40; 50)
12
45
540
[50; 60)
10
55
550

N = 113

T = 2975
Mức lương trung bình của nhân viên là:
$\overline{x} = \frac{\sum_{i =1}^{n}{f_{i}x_{i}}}{N} = \frac{2975}{113} \approx 26,33$ (triệu đồng)
Câu 28: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 29: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Điểm $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua phép chiếu song song phương $CC'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $M'A' = M'B'$
- B.
  $M'C' = M'B'$
- C.
  $M'A' = M'C'$
- D.
  $M'A = M'B'$
Hình vẽ minh họa

Ta có phép chiếu song song phương $CC'$ , biến $C$ thành $C'$ , biến $B$ thành $B'$ .

Do $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $M'$ là trung điểm của $B'C'$ vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

Vậy khẳng định đúng là: $M'C' = M'B'$
Câu 30: Thông hiểu
Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?
- A.
  200000 đồng
- B.
  255000 đồng
- C.
  285000 đồng
- D.
  315000 đồng
Theo bài ra ta có:
Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 8000} \\ {d = 500} \end{array}} ight.$
=> Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:
$\begin{matrix} {S_{20}} = \dfrac{{20.\left( {2{u_1} + 19.d} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{20}} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} ight) = 255000 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.
Câu 31: Thông hiểu
Giải phương trình $\cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

PT $\Leftrightarrow \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\frac{5\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = - \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 32: Nhận biết
Cho cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - \frac{1}{2}$ công sai $d = \frac{1}{2}$ . Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
- A. $- \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$
- B. $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}$
- C. $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}$
- D. $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Nhận biết

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án là:

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án đúng là: 5.
Câu 34: Vận dụng
Phương trình $\cot x=\sqrt 3$ có bao nhiêu nghiệm thuộc $\left[ { - 2022\pi \,,\,2022\pi } ight]$ ?
- A. 2022
- B. 4045
- C. 4044
- D. 4043
Ta có: $\cot x=\sqrt 3$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}$ , mà $- 2022\pi \leqslant x \leqslant 2022\pi$ .
$\Rightarrow - 2022\pi \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2022\pi$
$\Leftrightarrow - 2022 \leqslant \frac{1}{6} + k \leqslant 2022$
$\Leftrightarrow - 2022 - \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2022 - \frac{1}{6}$ .
Suy ra $- 2022\pi \leqslant x \leqslant 2022\pi$ , $k \in Z$ .
Vậy $\cot x=\sqrt 3$ có 4044 nghiệm thuộc $\left[ { - 2022\pi \,,\,2022\pi } ight]$ .

Câu 35: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 36: Nhận biết
Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ .
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3$
Câu 37: Nhận biết
Với mọi n ∈ ℕ^*, khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
- B.
  1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²
- C.
  $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$
- D.
  $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
Thử với n = 1, n = 2, n = 3 ta kết luận được đáp án:

$2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ sai.

Suy ra

$2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + \ldots + (2n)^{2} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ mới là kết quả đúng!
Câu 38: Thông hiểu

Chu kì của hàm số $y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight)$ là $k\pi$ . Giá trị của k là:

Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Chu kì của hàm số $y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight)$ là $k\pi$ . Giá trị của k là:

Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Ta có:

$y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight) = \frac{1}{2}\sin\left( \frac{4}{5}x ight)$

Hàm số trên có chu kì là $T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{\frac{4}{5}} = \frac{5\pi}{2}$

Vậy $k = \frac{5}{2}$ .
Câu 39: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{CN}{CA} = 3$
- C.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{CN}{CA} = 1$
Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
Câu 40: Nhận biết
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:

Lượng nước (m³)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

[100; 120)

Số hộ gia đỉnh

6

12

10

7

4

2

Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
- A.
  $30$ .
- B.
  $40$
- C.
  $50$ .
- D.
  $60$ .
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm $\lbrack 20;40)$ nên giá trị đại diện của nhóm này là $30$ .
Câu 41: Vận dụng cao
Cho tổng $S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$ .

Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
- A.
  $S(n) = \frac{n}{n + 2}$
- B.
  $S(n) = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $S(n) = \frac{2n}{n + 1}$
- D.
  $S(n) = \frac{n}{2^{n}}$ .
$S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$
Câu 42: Nhận biết
Trong không gian cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song. Số giao điểm chung của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  Vô số.
- D.
  2.
Theo định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Đáp án cần tìm là: 0
Câu 43: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) có u₁ = 1 và $u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) (u_n) là dãy số tăng.

(2) (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

(3) (u_n) là dãy số bị chặn trên.
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có $\forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0}$ nên dãy số tăng.

Vậy phát biểu (1) đúng.

Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u₁.

Vậy phát biểu (2) đúng.

Ta lại có $u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}$

Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

$u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}$

Mặt khác $\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.
Câu 44: Thông hiểu
Tính $K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$
- A.
  $K = \frac{1}{2}$
- B.
  $K = + \infty$
- C.
  $K = 0$
- D.
  $K = \frac{3}{4}$
Ta có:

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}$

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}$
Câu 45: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính tổng $T = m + n$ .
- A.
  $T = 17$
- B.
  $T = 68$
- C.
  $T = 133$
- D.
  $T = 137$
Ta có:

$0,5111... = 0,5 + 10^{- 2} + 10^{- 3} + ... + 10^{- n} + ...$

Dãy số $10^{- 2};10^{- 3};...;10^{- n};,,,$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = 10^{- 2}$ , công sai là $q = 10^{- 1}$

=> $S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{10^{- 2}}{1 - 10^{- 1}} = \frac{1}{90}$

Vậy $0,5111... = 0,5 + S = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 23 \\ n = 45 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 68$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đối tượng	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 174)
Tần số	8	$x$	12	6

Đại diện A	[15,5; 20,5)	[20,5; 25,5)	[25,5; 30,5)	[30,5; 35,5)	[35,5; 40,5)	[40,5; 45,5)	[45,5; 50,5)	[50,5; 55,5)
Tần số	5	6	12	14	26	12	16	9

Đại diện X	Tần số	Tần số tích lũy
[15,5; 20,5)	5	5
[20,5; 25,5)	6	11
[25,5; 30,5)	12	23
[30,5; 35,5)	14	37
[35,5; 40,5)	26	63
[40,5; 45,5)	12	75
[45,5; 50,5)	16	91
[50,5; 55,5)	9	100
	N = 100

Lương	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số nhân viên	18	23	30	20	12	10

Lương	${f_i}$	${x_i}$	${f_i}{x_i}$
[0; 10)	18	5	90
[10; 20)	23	15	345
[20; 30)	30	25	750
[30; 40)	20	35	700
[40; 50)	12	45	540
[50; 60)	10	55	550
	N = 113		T = 2975

Chiều cao (tính bằng cm)	Tần số
[150; 155)	12
[155; 160)	9
[160; 165)	14
[165; 170)	10
[170; 175)	5

Lượng nước (m³)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)	[100; 120)
Số hộ gia đỉnh	6	12	10	7	4	2