Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4
Ta có:
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4
Ta có:
Cho hình lăng trụ
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
Khẳng định sai là:
Trong không gian, cho ba đường thẳng
không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
Giả sử ba đường thẳng đôi một cắt lần lượt
phân biệt và tạo thành mặt phẳng
.
=> cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).
=> trùng nhau, tức là
đồng quy.
Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A | Tần số |
[0; 10) | 6 |
[10; 20) | 24 |
[20; 30) | x |
[30; 40) | 16 |
[40; 50) | 9 |
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là 32.
Ta có:
Đại diện A | Tần số | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 6 | 6 |
[10; 20) | 24 | 30 |
[20; 30) | 25 | 55 |
[30; 40) | x | 55 + x |
[40; 50) | 9 | 64 + x |
Tổng | N = 64 + x |
|
Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)
Cho góc
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Khi đó giá trị biểu thức T là:
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Xét đáp án có
=> Dãy số không phải là cấp số nhân.
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45 | 65 | 72 | 48 | 74 | 67 | 68 | 46 | 56 | 53 |
58 | 68 | 72 | 64 | 62 | 49 | 72 | 55 | 67 | 51 |
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ | Đại diện tốc độ | Tần số |
| 45 | 4 |
50 | 55 | 5 |
60 | 65 | 7 |
| 75 | 4 |
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45 | 65 | 72 | 48 | 74 | 67 | 68 | 46 | 56 | 53 |
58 | 68 | 72 | 64 | 62 | 49 | 72 | 55 | 67 | 51 |
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ | Đại diện tốc độ | Tần số |
| 45 | 4 |
50 | 55 | 5 |
60 | 65 | 7 |
75 | 4 |
Ta có:
Tốc độ | Đại diện tốc độ | Tần số |
40 ≤ x < 50 | 45 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 55 | 5 |
60 ≤ x < 70 | 65 | 7 |
70 ≤ x < 80 | 75 | 4 |
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
.
Ta có
.
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức
. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
Ta có:
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi
Vì
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
Xét dãy (an) có nên dãy số (an) bị chặn dưới.
Xét dãy (bn) có nên dãy số (bn) bị chặn dưới.
Xét dãy (cn) có cn = (−2)n + 3, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số (cn) không bị chặn.
Xét dãy (dn) có .
Ta có
bị chặn.
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: ""
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
Gọi là trung điểm
.
Xét tam giác có:
(do
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và tam giác
)
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh đều bằng
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Trong tam giác ta có:
(theo tính chất trọng tâm tam giác)
Cho dãy số
, biết
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 7 của dãy số.
Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở.
Thu nhập (nghìn đồng) | Hộ gia đình |
[0; 100) | 5 |
[100; 200) | 7 |
[200; 300) | 12 |
[300; 400) | 18 |
[400; 500) | 16 |
[500; 600) | 10 |
[600; 700) | 5 |
Tìm thu nhập trung bình của các hộ gia đình.
Ta có:
Thu nhập đại diện (nghìn đồng) | Hộ gia đình | Tích các giá trị |
50 | 5 | 250 |
150 | 7 | 1050 |
250 | 12 | 3000 |
350 | 18 | 6300 |
450 | 16 | 7200 |
550 | 10 | 5500 |
650 | 5 | 3250 |
Tổng | N = 73 | 26550 |
Thu nhập trung bình của các hộ gia đình là:
Cho hình hộp
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành, ta có
Vì là hình bình hành, ta có
Mặt khác:
Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là:
.
Cho hình chóp
có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Rút gọn biểu thức
với ![]()
Ta có:
Cho dãy số (un) có
và
.
Tất cả các giá trị n để
là?
Ta có
Đặt . Suy ra (vn) là cấp số nhận có công bội
và
.
Ta có
Do vn > 0, ∀n ≥ 1 nên (Tn) là dãy tăng.
Suy ra
Cho tứ diện
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là các điểm
. Giả sử
. Hỏi đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên giao tuyến của hai mặt phẳng
sẽ đi qua điểm
và song song với
.
Do đó giao tuyến sẽ đi qua trung điểm của
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Ta có:
Hàm số là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định
nên hàm số
liên tục trên các khoảng
.
Do đó liên tục trên
.
Tìm giới hạn ![]()
Ta có:
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:
|
Lượng nước (m3) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
[100; 120) |
|
Số hộ gia đỉnh |
6 |
12 |
10 |
7 |
4 |
2 |
Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm nên giá trị đại diện của nhóm này là
.
Tính giới hạn của hàm số
.
Ta có:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là?
Phương trình
- Với không có giá trị thỏa mãn.
- Với
Cho dãy số
biết
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
Tìm khoảng biến thiên của dãy dữ liệu sau: 25; 8; 16; 12; 10; 9; 4; 13?
Ta có:
Giá trị lớn nhất: 25
Giá trị nhỏ nhất: 4
Khoảng biến thiên là: 25 – 4 = 21
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Trung vị của mẫu số liệu có giá trị bằng: 128,26||130,42||129,54||127,73
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Trung vị của mẫu số liệu có giá trị bằng: 128,26||130,42||129,54||127,73
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa trung vị là [100; 150) (vì 30 nằm giữa hai tần số tích lũy 17 va 40)
Khi đó
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c) Cấp số cộng
thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) Cấp số cộng thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
a) Xét dãy số đã cho ta có:
nên dãy số
không tăng không giảm.
b) đúng bằng chứng minh quy nạp.
c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là
d) Từ giả thiết ta có:
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: .
Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu
cùng dấu?
Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì cùng dấu
Giá trị của
bằng:
Với mọi M >0 lớn tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Vậy .
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Ta có f(x) = 5 ⇔ f(x) − 5 = 0. Đặt g(x) = f(x) − 5.
Khi đó
Vậy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) hay phương trình f(x) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4)
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 12;
. Tính ![]()
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Đặt
Khi đó:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
hay phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số y = x.cosx là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số là hàm số chẵn
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Giả sử song song với
. Một đường thẳng
song song với
có thể nằm trên
.
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình
trên đoạn
.
Phương trình