Tìm tất cả các giá trị của tham số a để
Ta có:
Giải bất phương trình ta được kết quả
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để
Ta có:
Giải bất phương trình ta được kết quả
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Bảng số liệu dưới đây cho biết khoảng chi tiêu hàng tháng của 200 hộ gia đình.
Khoảng chi tiêu (USD) | [0; 1000) | [1000; 2000) | [2000; 3000) | [3000; 4000) | [4000; 5000) |
Số hộ gia đình | 28 | 46 | 54 | 42 | 30 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Ta có:
Khoảng chi tiêu (USD) | [0; 1000) | [1000; 2000) | [2000; 3000) | [3000; 4000) | [4000; 5000) |
|
Số hộ gia đình | 28 | 46 | 54 | 42 | 30 | N = 200 |
Tần số tích lũy | 28 | 74 | 128 | 170 | 200 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là [2000; 3000) (vì 100 nằm giữa hai tần số tích lũy là 74 và 128)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Trong mẫu dữ liệu ghép nhóm sau có bao nhiêu nhóm?
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Tổng | N = 100 |
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có 6 nhóm.
Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un = n2 + 1?
Ta có 7922 = 7921 + 1 = 892 + 1 ⇒ n = 89
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
Ta có
Ta xét có 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.
Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:
Khoảng điểm | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) |
Số học sinh | 2 | 7 | 15 | 10 | 11 | 5 |
Tính trung vị.
Ta có:
Khoảng điểm | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) |
|
Số học sinh | 2 | 7 | 15 | 10 | 11 | 5 | N = 50 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 24 | 34 | 45 | 50 |
|
Cỡ mẫu: 50
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 24 và 34)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Tính giới hạn
Ta có:
Do đó
Biết liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Dễ thấy liên tục trên mỗi khoảng
và
. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại
Tức là ta cần có:
Ta có:
Khi đó (*) trở thành
Cho phương trình . Đặt
, ta được phương trình nào sau đây?
Ta có: trở thành
.
Giá trị của giới hạn bằng:
Ta có:
Với mọi số nguyên dương , tổng
chia hết cho:
Với ta có:
không chia hết cho 9.
Với ta có:
không chia hết cho 4 và 12
Ta sẽ chứng minh chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
Giả sử khẳng định đúng với nghĩa là
chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với tức là:
cũng chia hết cho 6
Ta có:
Ta lại có: ta cần chứng minh
Thật vậy là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên
Mặt khác và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy chia hết cho 6 hay
chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
.
Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.
Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.
Vậy a và b không có điểm chung nào.
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
|
[45; 50) | 5 | |
[50; 55) | 12 | |
[55; 60) | 10 | |
[60; 65) | 6 |
|
[65; 70) | 5 |
|
[70; 75) | 8 |
|
=> Nhóm chứa mốt là: [50; 55)
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
(1)
Ta có là đường trung bình của tam giác
.
.
Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định
Vậy tập xác định
Cho một cấp số cộng có . Hỏi
bằng bao nhiêu?
Ta có:
bằng
Ta có:
Giá trị nào sau đây của x thỏa mãn ?
Ta có:
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Cho hàm số xác định và liên tục trên
với
với mọi
. Tính
.
Ta có: xác định và liên tục trên
nên suy ra
Vậy
Tìm chu kì T của hàm số
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Tính
Ta có:
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Mặt phẳng
chứa
và song song với
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tìm khẳng định đúng dưới dây?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó:
Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên
Chọn mệnh đề sai.
Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước
Cho hình chóp tứ giác đáy
là hình thang đáy nhỏ
,
,
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (1)
Xét mặt phẳng có:
=> là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng
(2)
Từ (1) và (2)
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Lấy
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
bằng:
Ta có:
Góc đổi sang độ bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Cho dãy số , biết
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 8 của dãy số.
Hàm số có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
Áp dụng công thức
Ta có
Ta có
Cho tứ diện có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[150; 154] | 5 |
[155; 159] | 2 |
[160; 164] | 6 |
[165; 169] | 8 |
[170; 174] | 9 |
[175; 179] | 11 |
[180; 184] | 6 |
[185; 189] | 3 |
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có:
Chiều cao (cm) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(149,5; 154,5] | 5 | 5 |
(154,5; 159,5] | 2 | 7 |
(159,5; 164,5] | 6 | 13 |
(164,5; 169,5] | 8 | 21 |
(169,5; 174,5] | 9 | 30 |
(174,5; 179,5] | 11 | 41 |
(179,5; 184,5] | 6 | 47 |
(184,5; 189,5] | 3 | 50 |
Tổng | N = 50 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là
Khi đó:
Trung vị của mẫu số liệu là:
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Biểu diễn hai nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn lượng giác như sau:
Tính với I là hình chiếu vuông góc của B trên OA bằng:
=>
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Xét đáp án có
=> Dãy số không phải là cấp số nhân.
Biết rằng hàm số liên tục tại
(a là tham số. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Tập xác định
Theo giả thiết ta có:
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
công sai
Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:
Ta dùng công thức tổng quát , hoặc
để tính các số hạng của một cấp số cộng.
Ta có
Tính giới hạn .
Ta có:
Tổng có công thức thu gọn là?
Cho tứ diện . Trên
,
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
cắt
tại
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng
và
Ta lại có: nên
là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
Tính khoảng biến thiên của mẫu dữ liệu cho dưới đây:
Khoảng thời gian học (phút) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
Tần số | 2 | 3 | 14 | 8 | 3 | 8 | 2 |
Khoảng biến thiên mẫu dữ liệu ghép nhóm được đưa ra bởi công thức:
Khoảng biến thiên = Giới hạn trên của khoảng cao nhất – Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất
Giới hạn trên của khoảng cao nhất là: 80
Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất là: 10
=> Khoảng biến thiên là:
Tìm để
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Cấp số nhân theo thứ tự là
ta có: