Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Kết quả của giới hạn $\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}.cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $- 1$
Ta có

$\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$

$= \lim\left\lbrack\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack + \lim\left\lbrack \frac{(- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$

Khi đó ta có:

$\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} =0$

Vậy $\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + (- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \sqrt{3}$
Câu 2: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 3: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Các giá trị của a để dãy số (u_n) tăng là?
- A.
  a > 0
- B.
  0 < a < 1
- C.
  a < 1
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 2 − u_n + 1

= au_n + 1 + (1−a)u_n − u_n + 1

= (a−1)(u_n + 1−u_n)

⇒ u₃ − u₂ = (a−1)(u₂−u₁) = (a−1);

⇒ u₄ − u₃ = (a−1)(u₃−u₂) = (a−1)²

u_n + 1 − u_n = (a−1)^n − 1 > 0

Để dãy số (u_n) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1
Câu 4: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}}$ bằng:
- A.
  $+\infty$
- B.
  1
- C.
  0
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
- A.
  $n = 14$
- B.
  $n = 15$
- C.
  $n = 13$
- D.
  $n = 12$
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có $u_{1} = -3$ và số hạng cuối $u_{k} =23$ .
Khi đó:
$u_{k + 1} = u_{1} + (k -1)d$
$\Leftrightarrow 23 = - 3 + (k -1).2$
$\Leftrightarrow k = 14$
Do đó $n = k - 2 = 12$

Câu 6: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 7: Nhận biết
Cho tứ diện $S.\ ABC$ . Trên $SA$ , $SC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ cắt $AC$ tại $E$ . Điểm $E$ không thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
- A.
  $(ABC)$ .
- B.
  $(SAC)$ .
- C.
  $(BMN)$ .
- D.
  $(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

Do $E \in AC \Rightarrow E \in (SAC)$ và $E \in (ABC)$ .

Do $E \in MN \Rightarrow E \in (BMN)$ .
Câu 8: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 7}}$ bằng
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 7}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{7}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt 4 - 0}}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Vận dụng
Cho tam giác ABC vuông tại C có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số nhân có công bội lớn hơn 1. Xác định công bội của cấp số nhân đó.
- A.
  $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
- B.
  $q = \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$
- C.
  $q = \sqrt{\sqrt{5} - 2}$
- D.
  $q = \sqrt{1 + \sqrt{5}}$
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, $a < b$ .

Do độ lớn ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân, công bội $q > 1$ nên $b = aq;c = aq^{2}$

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}q^{4} = a^{2} + a^{2}q^{2}$

$\Leftrightarrow q^{4} = 1 + q^{2}$

$\Leftrightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
Câu 10: Thông hiểu
Người ta kiểm tra chiều cao của các cây thân gỗ trong rừng (đơn vị: mét), kết quả được ghi trong bảng sau:
7,3
7,8
7,5
6,6
8,5
8,3
8,3
7,5
8,4
8,6
7,4
8,2
8,0
8,1
8,7
8,2
8,8
8,1
7,7
7,8
8,5
7,0
7,9
6,9
9,4
9,0
8,0
8,7
8,9
7,6
8,0
8,2
7,9
7,7
7,2
Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm. Biết mẫu số liệu được chia thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài như nhau. Khi đó nhóm chiếm tỉ lên cao nhất là:
- A.
  $\lbrack 7;7,5)$
- B.
  $\lbrack 7,5;8)$
- C.
  $\lbrack 8,5;9)$
- D.
  $\lbrack8;8,5)$
Khoảng biến thiên: $9,4 – 6,6 = 2,8$
Ta chia thành các nhóm sau:
$\lbrack 6,5;7),\lbrack 7;7,5),\lbrack7,5;8),\lbrack 8;8,5),\lbrack 8,5;9),\lbrack 9;9,5)$
Đếm số giá trị của mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm như sau:
Chiều cao (m)
Số cây
[6,5; 7)
2
[7; 7,5)
4
[7,5; 8)
9
[8; 8,5)
11
[8,5; 9)
7
[9; 9,5)
2
Từ bảng số liệu ta thấy nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất là: [8,0; 8,5).
Câu 11: Nhận biết
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là:
- A.
  [9; 11)
- B.
  [7; 9)
- C.
  [11; 13)
- D.
  [13; 15)
Ta có: $x_{1},x_{2} \in \lbrack 5;7)$ , $x_{3},...,x_{9} \in \lbrack 7;\ 9)$ , $x_{9},...,x_{16} \in \lbrack 9;\ 11)$ , $x_{17},...,x_{19} \in \lbrack 11;\ 13)$ , $x_{20} \in \lbrack 13;\ 15)$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\lbrack 9;11)$
Câu 12: Nhận biết
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm chu kì T của hàm số $y = \cos 2x + \sin \frac{x}{2}$
- A. $T = 4\pi$
- B. $T = \pi$
- C. $T = 2\pi$
- D. $T = \frac{\pi }{2}$
Hàm số $y = \cos 2x$ tuần hoàn với chu kì ${T_1} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$
Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{{2\pi }}{{\dfrac{1}{2}}} = 4\pi$
Suy ra hàm số $y = \cos 2x + \sin \frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T = 4\pi$
Câu 14: Nhận biết
Hàm số $y = 1-2\sin x+\tan x + \cot x$ không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- A. $\left( {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } ight)$ với $k \in \mathbb{Z}$
- B. $\left( {\pi + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } ight)$ với $k \in \mathbb{Z}$
- C. $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\pi + k2\pi } ight)$ với $k \in \mathbb{Z}$
- D. $\left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)$ với $k \in \mathbb{Z}$
Hàm số xác định khi
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin x e 0 \hfill \\ \cos x e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \end{matrix}$
Ta chọn $k = 3 \to x e \frac{{3\pi }}{2}$ nhưng điểm $\frac{{3\pi }}{2}$ thuộc khoảng $\left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)$
Vậy hàm số không xác định trong khoảng $\left( {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } ight)$
Câu 15: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- B. $\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$
- C. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi$
- D. $\sin x = - 1 \Rightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi$
Mệnh đề sai: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k2\pi$
Sửa lại:
$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi ;(k \in \mathbb{Z})$
Câu 16: Vận dụng cao
Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 17: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ nên $BG _ { 1 }$ , $AG_{2}$ và $CD$ đồng qui tại $M$ (là trung điểm của $CD$ ) .

Vì $G_{1}G_{2}//AB$ nên $G_{1}G_{2}//(ABD)$ và $G_{1}G_{2}//(ABC)$ .

Lại có $\frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33$
Câu 18: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB$ , hai điểm $P,Q$ phân biệt thuộc đường thẳng $CD$ . Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng $MP$ và $NQ$ là:
- A.
  chéo nhau
- B.
  trùng nhau
- C.
  cắt nhau
- D.
  song song
Giả sử đường thẳng $MP$ và $NQ$ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó $AB$ và $CD$ cùng thuộc một mặt phẳng hay $ABCD$ là một tứ giác (trái giả thiết).
Vậy đường thẳng $MP$ và $NQ$ chéo nhau.
Câu 19: Vận dụng
Cho hình chóp $S. ABCD$ . Gọi $M, N, P, R, Q, L$ lần lượt là trung điểm $SD, SB, DC, BC, AD, AB$ . Khi đó khẳng định nào sai?
- A.
  $MP//(NLR)$
- B.
  $(NLR)//(MQP)$
- C.
  $AD//(NLR)$
- D.
  $SC//(MQP)$
Hình vẽ minh họa

Qua phép chiếu song song theo phương $SC$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến: M thành P, N thành $R$ .

Do đó $MP// NR$

$=> MP // (NLR)$

Qua phép chiếu song song theo phương $SA$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến: $N$ thành $L$ , R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

Vậy $(NLR)//(MQP)$

Vậy khẳng định sai là: $AD//(NLR)$
Câu 20: Nhận biết
Cho các mệnh đề:

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ .

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ .

Trong các mệnh đề trên:
- A.
  Có đúng hai mệnh đề sai
- B.
  Cả ba mệnh đề đúng
- C.
  Cả ba mệnh đề đều sai
- D.
  Có đúng một mệnh đề sai
Theo tính chất hàm số liên tục thì

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ . Mệnh đề sai.

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Mệnh đề đúng.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ . Mệnh đề đúng.
Câu 21: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi trung điểm của $AB,A'B'$ lần lượt là $I,I'$ . Qua phép chiếu song song phương $AI'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ biến điểm $I$ thành điểm nào?
- A.
  $A$
- B.
  $B'$
- C.
  $A'$
- D.
  $C'$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AI//B'I' \\ AI = B'I' \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $AIB'I'$ là hình bình hành.

Suy ra phép chiếu song song phương $AI'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ biến điểm $I$ thành $B'$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 1$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Theo giả thiết ta có:

$3 + m = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( x^{2} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = 3$

$\Leftrightarrow m = 0$
Câu 23: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{2} = 2001;u_{5} = 1995$ . Khi đó $u_{1001}$ bằng:
- A.
  $u_{1001} = 4005$
- B.
  $u_{1001} = 4003$
- C.
  $u_{1001} = 3$
- D.
  $u_{1001} = 1$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3$
Câu 24: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- C.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
- D.
  Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt $m,n$ cùng song song với $(\alpha)$ thì $m,n$ có thể cắt nhau cùng nằm trong $(\alpha)$ .
Câu 25: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về $''$ đường tròn lượng giác $''$ ?
- A.
  Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
- B.
  Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ là một đường tròn lượng giác.
- C.
  Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
- D.
  Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Câu 26: Vận dụng
Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9)$ với $h$ tính bằng $\ ^{0}C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày là:
- A.
  13 giờ.
- B.
  15 giờ.
- C.
  12 giờ.
- D.
  14 giờ.
Do $- 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t$ nên

$\begin{matrix}- 3 \leq 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 3 \\\Leftrightarrow 26 \leq 29 + 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 32 \\\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32 \\\end{matrix}$

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là $32^{0}C$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow t = 15 + 24k(k\mathbb{\in Z})$

Do $0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow - \frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}$ .

Mà $k\mathbb{\in Z}$ nên $k = 0$ .

Khi đó $t = 15$ .

Vậy lúc 15h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.
Câu 27: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2}{x^2}{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ {\left( {1 - m} ight)x{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $4$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;2);(2; + \infty)$

Khi đó hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

Hay $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)$

Ta lại có:

$f(2) = 4m^{2}$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 - m)$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 28: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n^{2} + 3n + 7}{n + 1}$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $\frac{6}{4};\frac{5}{4};\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2};\frac{1}{5};\frac{1}{7}$
- D.
  $1;\frac{3}{5};\frac{7}{6}$
Ba số hạng đầu tiên của dãy là $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}$
Câu 29: Nhận biết
Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao
Số cây
[145; 150)
25
[150; 155)
50
[155; 160)
200
[160; 165)
175
[165; 170)
50
Các nhóm số liệu trong bảng trên có độ dài là bao nhiêu?
- A.
  $3$
- B.
  $5$
- C.
  $6$
- D.
  $8$
Độ dài các nhóm là 5.
Câu 30: Thông hiểu
Đổi số đo của góc $- 125^{0}45'$ sang đơn vị radian:
- A.
  $- \frac{503\pi}{720}$
- B.
  $\frac{503\pi}{720}$
- C.
  $\frac{251\pi}{360}$
- D.
  $- \frac{251\pi}{360}$
Áp dụng công thức $\mu = \frac{m.\pi}{180}$ với $\mu$ tính bằng rad và $m$ tính bằng độ.

Ta có: $- 125^{0}45' = - \left( 125 + \frac{45}{60} ight)^{0}$ khi đó:

$\mu = \dfrac{- \left( 125 + \dfrac{45}{60}ight)^{0}.\pi}{180} = \dfrac{503.\pi}{720}$
Câu 31: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3}{x^{2} - 2x + 6}$
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{x^2} - 2x + 6}} = 0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} - 2x + 6} ight) = + \infty$
Câu 32: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- B.
  Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
- C.
  Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
- D.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Tính chất của phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Câu 33: Vận dụng cao
Biết rằng phương trình $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b}$ với $k \in \mathbb{Z}$ và $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính $S = a + b$
- A.
  $S = 2017$ .
- B.
  $S = 2019$ .
- C.
  $S = 2020$ .
- D.
  $S = 2018$ .
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}$

$=\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx$

$= cot\frac{x}{2} - cotx$

Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

$\cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x$

${+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}$

${\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}$

${\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}$

Vậy $a = 2019,b = 1$ nên $a + b = 2020$ .
Câu 34: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 35: Thông hiểu
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Chọn đáp án đúng?
- A.
  $Q_{1} = 60,3;Q_{3} =67,6$
- B.
  $Q_{1} = 52,7;Q_{3} = 66,5$
- C.
  $Q_{1} = 50,5;Q_{3} =63,2$
- D.
  $Q_{1} = 52,4;Q_{3} =62,5$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Số học sinh
Tần số tích lũy
[45; 50)
5
5
[50; 55)
12
17
[55; 60)
10
27
[60; 65)
6
33
[65; 70)
5
38
[70; 75)
8
46
Ta có:
$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 -5}{12}.5 \approx 52,7$
$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 65,\dfrac{3N}{4} = 34,5,m = 33,f = 5 \\c = 70 - 65 = 5 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{3} = 65 + \frac{34,5 -33}{5}.5 \approx 66,5$
Câu 36: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Các cạnh $AC,BD,AB,CD,AD,BC$ có trung điểm lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$ . Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $M,N,P,Q$
- B.
  $M,R,S,N$
- C.
  $P,Q,R,S$
- D.
  $M,P,R,S$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$MP // BC // NQ$ , $MP = \frac{1}{2}BC = NQ$

=> MPNQ là hình bình hành

=> $M, N, P, Q$ thuộc một mặt phẳng.

$MR // CD // SN$ , $MR = \frac{1}{2}CD = SN$

=> MRNS là hình bình hành

=> $M, R, S, N$ thuộc một mặt phẳng.

$PS // AC // RQ$ , $PS = \frac{1}{2}AC = RQ$

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy $M,P,R,S$ không thuộc cùng một mặt phẳng.
Câu 37: Vận dụng cao
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.$ . Biết dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tính $\lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4$

$\Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}$

$+ \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$= \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1$
Câu 38: Thông hiểu

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

Tập $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$ là tập xác định của hàm số $y = \cot2x$ . Đúng||Sai

Số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = 0$ trên khoảng $(0;\pi)$ là 3 nghiệm.Sai||Đúng

Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m = 1$ có nghiệm. Đúng||Sai

Số vị trí biểu diễn của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

Đáp án là:

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

Tập $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$ là tập xác định của hàm số $y = \cot2x$ . Đúng||Sai

Số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = 0$ trên khoảng $(0;\pi)$ là 3 nghiệm.Sai||Đúng

Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m = 1$ có nghiệm. Đúng||Sai

Số vị trí biểu diễn của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

a) Điều kiện xác định của hàm số $y = cot2x$ là:

$2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

b) Ta có:

$\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi$

$\Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}$ mà $k\mathbb{\in Z}$ suy ra $k = 1$

Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ .

c) Ta có: $\sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}$

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

$- 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) Ta có:

$\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 2.
Câu 39: Vận dụng cao
Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 40: Thông hiểu
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  7
Ta có:
$\begin{matrix} {u_k} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{{2k + 1}} = \dfrac{8}{{15}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {k + 1} ight) = 8\left( {2k + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15k + 15 = 16k + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 7 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ 7 của dãy số.
Câu 41: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = - 3$ . Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $S_{10} = 115$
- B.
  $S_{10} = - 155$
- C.
  $S_{10} = - 115$
- D.
  $S_{10} = 155$
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

$S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115$
Câu 42: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- C.
  Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.
Câu 43: Nhận biết
Giá trị của $\lim(2n + 1)$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M} > \frac{M - 1}{2}$

Ta có:

$2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}$ .

$= > \lim(2n + 1) = + \infty$
Câu 44: Thông hiểu
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm $10$ ) của $50$ học sinh tham dự kỳ thi giữa kỳ $1$ của lớp $11A$ , ta có bảng số liệu sau:

Điểm

[0; 2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

Số học sinh

5

7

13

18

7

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
- A.
  $6$ .
- B.
  $6,25$ .
- C.
  $6,56$ .
- D.
  $6,63$ .
Từ bảng số liệu, nhóm chứa mốt sẽ là $\lbrack 6\ ;\ 8)$ .

Khi đó mốt là

$M_{0} = 6 + \frac{18 - 13}{(18 - 13) + (18 - 7)}.(8 - 6) = 6,625 \approx 6,63$ .
Câu 45: Thông hiểu
Giới hạn dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\left( 3n - n^{4} ight)}{4n - 5}$ là?
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  0
Ta có:

$\lim u_{n} = \lim\frac{\left( 3n - n^{4} ight)}{4n - 5} = \lim{n^{3}\frac{\frac{3}{n^{3}} - 1}{4 - \frac{5}{n}}} = - \infty$

Vì $\lim n^{3} = + \infty$ nên suy ra:

$\lim\frac{\frac{3}{n^{3}} - 1}{4 - \frac{5}{n}} = - \frac{1}{4}.$