Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ . Giả sử $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AB'D')$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình ngũ giác
- B.
  Hình lục giác
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình tứ giác
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy $(BC’D) // (AB’D’)$

$=> (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)$

Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra $(P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN$ , kết hợp với $(AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’$ suy ra $MN // AB’$ , suy ra N thuộc cạnh BB’.

Tương tự, giả sử $(P) ∩ (B’C’) ≡ P$ suy ra $(P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP$ .

Kết hợp với (1) suy ra $NP // BC’$

Tương tự, $(P) ∩ (C’D’) ≡ Q$ sao cho $PQ // B’D’$ ; $(P) ∩ DD’≡ G$ sao cho $QG // C’D$ ; $(P) ∩ AD ≡ H$ sao cho $GH // AD’$ .

Từ đó suy ra thiết diện là lục giác $MNPQGH$ .

Câu 2: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 3: Thông hiểu
Cho phương trình $\sin x.\cos x = 1$ có nghiệm là:
- A. $x = \frac{{k\pi }}{4}$
- B. $x = k\pi$
- C. $x = \frac{{k2\pi }}{3}$
- D. Vô nghiệm
Giải phương trình như sau:
$\begin{matrix} \sin x.\cos x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = 2\left( L ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vì $\sin 2x \in \left[ { - 1;1} ight]$
vậy phương trình lượng giác đã cho vô nghiệm.
Câu 4: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + b$ .
- A.
  $H = \frac{19}{30}$
- B.
  $H = - \frac{173}{16}$
- C.
  $H = \frac{- 93}{16}$
- D.
  $H = \frac{19}{32}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ điều kiện hàm số liên tục tại $x = 2$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}$
Câu 5: Thông hiểu
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
- A.
  q = 3
- B.
  q = −3
- C.
  q = 2
- D.
  q = −2
Ta có:
Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_6} = 486} \end{array}} ight.$
=> ${{u_1}.{q^5} = 486}$
=> ${{q^5} = 243}$ => ${q = 3}$
Vậy công bội q của cấp số nhân đã cho là q = 3
Câu 6: Vận dụng
Cho dãy số (u_n), biết u_n = n ⋅ cosn. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) (u_n) là dãy số tăng.

(2) (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

(3) ∀n ∈ ℕ^* : u_n ≤ n.
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Vì cos(n) ≤ 1 nên u_n < n. Phát biểu (3) đúng.

Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.

Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.
Câu 7: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = 2MC$ . Đường thẳng $MG$ song song với
- A.
  $(ACD)$
- B.
  $(ABD)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(BCD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho $BM = 2MC$ nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:

$\frac{BG}{BE} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MG//CE \subset (ACD)$

$\Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 8: Thông hiểu

Hoàn thành bảng số liệu sau:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 154)
152
12
[154; 158)
156
18
[158; 162)
160
30
[162; 166)
164
24
[166; 170)
168
10

Đáp án là:

Hoàn thành bảng số liệu sau:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 154)
152
12
[154; 158)
156
18
[158; 162)
160
30
[162; 166)
164
24
[166; 170)
168
10

Hoàn thành bảng như sau:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 154)
$\frac{150 + 154}{2} = 152$
12
[154; 158)
$\frac{154 + 158}{2} = 156$
18
[158; 162)
$\frac{158 + 162}{2} = 160$
30
[162; 166)
$\frac{162 + 166}{2} = 164$
24
[166; 170)
$\frac{166 + 170}{2} = 168$
10
Câu 9: Thông hiểu
Cho $\left( u_{n} ight)$ là cấp số cộng biết $u_{3} + u_{13} = 80$ . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
- A.
  $800$ .
- B.
  $600$ .
- C.
  $570$ .
- D.
  $630$ .
Ta có:

$u_{3} + u_{13} = 80$

$\Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80$

$\Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80$

Vậy $S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600$
Câu 10: Vận dụng
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
- A.
  $154^{0}$
- B.
  $192^{0}$
- C.
  $160^{0}$
- D.
  $174^{0}$
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là $u_{1}$ , công bội $q$ , với $q >0$
Theo bài ra ta có:
$u_{4} = 8.u_{1} \Leftrightarrowu_{1}q^{3} = u_{1}.8$
$\Leftrightarrow q = 2$
Mà $S_{4} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}= 360^{0}$
$\Leftrightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{4}}{1- q} = 360^{0} \Rightarrow u_{1} = 24^{0}$
$u_{2} = 48^{0};u_{3};96^{0};u_{4} =192^{0}$
Vậy góc lớn nhất có số đo $192^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = \frac{x - 2}{3 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 2} ight) = 1 > 0} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {3 - x} ight) = 0 \hfill \\ x \mapsto {3^ + } \Rightarrow \left( {3 - x} ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{x - 2}{3 - x} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{\dfrac{3}{x} - 1} = - 1$

Vậy đáp án đúng là $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n) biết u_n = a sin(n)+b cos(n). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
Xét |u_n| = |a sin(n)+b cos(n)| ≤ |a| + |b| ⇒ − (|a|+|b|) ≤ u_n ≤ |a| + |b|

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.
Câu 13: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Số hạng tổng quát u_n là?
- A.
  u_n = n²
- B.
  u_n = 2n²
- C.
  u_n = n² + 1
- D.
  u_n = 3n² − 1
Ta có u₁ = 1; u₂ = u₁ + 3; u₃ = u₂ + 5; u₄ = u₃ + 7; …; u_n = u_n − 1 + (2n−1)

Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

u_n = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n².
Câu 14: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
- A.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- B.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
- C.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó chứa hai đường thẳng song song.
- D.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.
Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”

Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”
Câu 15: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 16: Thông hiểu
Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 17: Nhận biết
Dãy số nào sau đây không phải là một cấp số cộng?
- A. $- \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....$
- B. $15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...$
- C. $\frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...$
- D. $\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...$
Xét đáp án A: $- \frac{2}{3}; - \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};....$
${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{1}{3}$
=> Loại đáp án A
Xét đáp án B: $15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ;...$
${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = 3\sqrt 2$
=> Loại đáp án B
Xét đáp án C: $\frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5};...$
${u_2} - {u_1} = \frac{1}{5} e {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}$
=> Chọn đáp án C
Xét đáp án D: $\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }};...$
${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ... = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
=> Loại đáp án D
Câu 18: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
- A. $y = \sin x$
- B. $y = x + \sin x$
- C. $y = x\cos x$
- D. $y = \frac{{\sin x}}{x}$
Hàm số $y = x + \sin x$ không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}$ .
Giả sử $f\left( {x + T} ight) = f\left( x ight),{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}$
$\Leftrightarrow \left( {x + T} ight) + \sin \left( {x + T} ight) = x + \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}$
. $\Leftrightarrow T + \sin \left( {x + T} ight) = \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}} (*)$
Cho x = 0 và x = π, ta được
$\left\{ \begin{gathered} T + \sin x = \sin 0 = 0 \hfill \\ T + \sin \left( {\pi + T} ight) = \sin \pi = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\xrightarrow{{}}2T + \sin T + \sin \left( {\pi + T} ight) = 0 \Leftrightarrow T = 0$
Điều này trái với định nghĩa là T > 0
Vậy hàm số $y = x + \sin x$ không phải là hàm số tuần hoàn.
Tương tự chứng minh cho các hàm số $y = x\cos x$ và $y = \frac{{\sin x}}{x}$ không tuần hoàn.
Câu 20: Nhận biết
Cho $\lim_{x ightarrow x_{0}} = L$ và $\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = M$ . Công thức nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = L + M$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack = L - M$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) ightbrack = L.M$
Ta có: $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ chỉ đúng nếu $M eq 0$ .
Câu 21: Nhận biết
Cho các đường thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
- B.
  Phép chiếu song song có thể biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
- C.
  Phép chiếu song song có thể biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng chéo nhau.
- D.
  Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau."
Câu 22: Nhận biết
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
- A.
  Chỉ có bước 2 đúng.
- B.
  Cả hai bước đều đúng.
- C.
  Cả hai bước đều sai.
- D.
  Chỉ có bước 1 đúng.
Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.

Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".
Câu 23: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {m{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ chứa $x = 2$

Theo giả thiết ta có:

$m = f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x)$

$\Rightarrow m = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3$
Câu 24: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy $M \in BC;MC = MB$ . Giả sử $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $BD$ và $SC$ . Xác định giao tuyến của $(\gamma)$ với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có: $MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có $MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của $(\gamma)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 25: Nhận biết
Một chất điểm chuyển động trên một đường tròn đường kính 80cm. Biết chất điểm chạy được 5 vòng. Tính quãng đường chuyển động của chất điểm?
- A.
  $400\pi(cm)$
- B.
  $800\pi(cm)$
- C.
  $80\pi(cm)$
- D.
  $200\pi(cm)$
Ta có: $r = 40cm \Rightarrow l = 40.2\pi.5 = 400\pi(cm)$
Câu 26: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 2sin^{2}x +\sqrt{3}sin2x$ .
- A.
  $m = 2 - \sqrt{3}.$
- B.
  $m = -1.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = - \sqrt{3}.$
Ta có $y = 2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 1 -cos2x + \sqrt{3}sin2x$
$\begin{matrix}= \sqrt{3}sin2x - cos2x + 1 = 2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x -\dfrac{1}{2}cos2x ight) + 1 \\= 2\left( sin2x\cos\dfrac{\pi}{6} - \sin\dfrac{\pi}{6}cos2x ight) + 1 =2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) + 1. \\\end{matrix}$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6}ight) \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 1 \leq 1 + 2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) \leq3 \hfill\\\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \hfill\\\end{matrix}$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1.$
Câu 27: Vận dụng cao
Rút gọn biểu thức $B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ...$ với $\sin x eq \pm 1$ ?
- A.
  $B = \sin^{2}x$
- B.
  $B = \cos^{2}x$
- C.
  $B = \frac{1}{1 +\sin^{2}x}$
- D.
  $B = \tan^{2}x$
Ta có:

$\begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Nhận biết
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là:
- A.
  [9; 11)
- B.
  [7; 9)
- C.
  [11; 13)
- D.
  [13; 15)
Ta có: $x_{1},x_{2} \in \lbrack 5;7)$ , $x_{3},...,x_{9} \in \lbrack 7;\ 9)$ , $x_{9},...,x_{16} \in \lbrack 9;\ 11)$ , $x_{17},...,x_{19} \in \lbrack 11;\ 13)$ , $x_{20} \in \lbrack 13;\ 15)$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm $\lbrack 9;11)$
Câu 29: Nhận biết
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Tần số

7

13

9

18

22

6

Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  8
Mẫu số liệu đã cho có 6 nhóm.
Câu 30: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 31: Vận dụng
Xác định giới hạn của dãy số $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack$

$= \lim\left\lbrack 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ightbrack$

$= \lim\left( 1 - \frac{1}{n + 1} ight) = 1$
Câu 32: Thông hiểu
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Lấy $M$ là trung điểm của $AC$ . Xác định hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(AA'B')$ theo phương chiếu $CB$ là:
- A.
  Trung điểm của $BC$
- B.
  Trung điểm của $AB$
- C.
  Điểm $A$
- D.
  Điểm $B$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ . Ta có: $MN//CB$

Vậy hình chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA'B'} ight)$ theo phương chiếu $CB$ là điểm $N$ .
Câu 33: Nhận biết
Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
- A. GE // CD
- B. GE cắt CD
- C. GE cắt AD
- D. GE và CD chéo nhau
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có: $\frac{{GM}}{{MD}} = \frac{{ME}}{{MC}} = \frac{1}{3}$
=> $GE // CD$
Câu 34: Vận dụng
Số nghiệm của phương trình $\cos 2x +1=0$ trên đoạn $[0; 1000 \pi]$ là?
- A. 1000
- B. 999
- C. 2000
- D. 1001
Ta có: $\cos 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$
Ta có: $0 \leqslant \frac{\pi }{2} + k\pi \leqslant 1000\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leqslant k \leqslant \frac{{1999}}{2}$ .
Ta được $k \in \left\{ {0;1;2;...999} ight\}$ .
Có 1000 giá trị k, ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên $[0; 1000 \pi]$ .
Câu 35: Nhận biết
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A. Tam giác.
- B. Tứ giác.
- C. Lục giác.
- D. Ngũ giác.
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 36: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm?
- A.
  $158,36$
- B.
  $160,47$
- C.
  $161,25$
- D.
  $159,55$
Ta có:
Đối tượng
Tần số
Tần số tích lũy
[150; 155)
15
15
[155; 160)
11
26
[160; 165)
39
65
[165; 170)
27
92
[170; 175)
5
97
[175; 180)
3
100
Cỡ mẫu là: $N = 100$
$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c$ $= 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$
Câu 37: Nhận biết
Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội $q eq 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $\frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{bc}$
- B.
  $\frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{ac}$
- C.
  $\frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{ab}$
- D.
  $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$
Ta có: $ac = b^{2} \Rightarrow \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{ac}$
Câu 38: Nhận biết
Giải phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0$ ?
- A. $x = k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi$
$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 39: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $f(x) = \tan x$ là:
- A.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1)\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Ta có: $f(x) = \tan x$ xác định khi và chỉ khi
$\cos x eq 0$
$\Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Vậy tập xác định của hàm số là: $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính giá trị $\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{- \sqrt{2}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có:

$\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack$

$= - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 41: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. Vô số
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x =a$ .
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Do đó, phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| {m + 1} ight| \leqslant 1$
$\Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}$ .
Câu 42: Nhận biết
Giá trị của $\lim\frac{2}{n + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} = \left\lbrack \frac{2}{a} - 1 ightbrack + 1$

Suy ra $\frac{2}{n + 1} < a\ ,\ \ \forall n > n_{0} = > \lim\frac{2}{n + 1} = 0$
Câu 43: Vận dụng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu $3$ điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có $3$ đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

Đáp án: 216

Đáp án là:

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu $3$ điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có $3$ đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

Đáp án: 216

Hình vẽ minh họa

Không mất tính tổng quát, xét mặt bên $\Delta ABC$ .

Giả sử $MN$ song song với $BC$ . Khi đó, số tam giác có cạnh $MN$ nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm $\Delta PMN$ , $\Delta QMN$ , $\Delta IMN,\Delta JMN$ , $\Delta KMN$ , $\Delta LMN$ .

Trong mặt bên $\Delta ABC$ , nối các điểm chia đều các cạnh $AB,BC,CA$ ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với $AB$ , 3 đoạn thẳng song song với $BC$ và 3 đoạn thẳng song song với $CA$ .

Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.

Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là $6.(3 + 3 + 3).4 = 216$ .
Câu 44: Thông hiểu
Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:
Nhóm tuổi
Số lượng người
[0; 10)
6
[10; 20)
12
[20; 30)
10
[30; 40)
32
[40; 50)
22
[50; 60)
18
[60; 70)
15
[70; 80)
5
[80; 90)
4
[90; 100)
3
- A.
  $31$
- B.
  $28$
- C.
  $35$
- D.
  $44$
Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Nhóm tuổi
Số lượng người
5
6
15
12
25
10
35
32
45
22
55
18
65
15
75
5
85
4
95
3

N = 127
Tuổi trung bình là:
$\overline{x} = \frac{5.6 + 15.12 + 25.10+ 35.32 + 45.22 + 55.18 + 65.15 + 75.5 + 85.4 + 95.3}{127}$
$\overline{x} = \frac{5535}{127} \approx44$
Câu 45: Nhận biết
Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Có 2 hình chóp tứ giác