Đổi số đo
sang số đo theo đơn vị là radian.
Ta có:
Đổi số đo
sang số đo theo đơn vị là radian.
Ta có:
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
Nên hàm số đồng biến trên khoảng
.
Tìm các giá trị nguyên của a thuộc
sao cho
là một số nguyên?
Ta có:
Ta có:
Vậy có ba giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?
Ta có song song với
theo tính chất hình bình hành.
Cho dãy số (un) biết
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh un + 1 − un < 0 bằng quy nạp toán học.
Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ∈ ℕ*.
Ta có
Giả sử: uk + 1 − uk < 0, ∀k ≥ 1
Xét hiệu
Theo nguyên lí quy nạp suy ra un + 1 − un < 0, ∀n ∈ ℕ*
Vậy dãy số (un) là dãy số giảm.
Biết rằng
, với
là phân số tối giản và
. Tính
.
Ta có:
.
Vậy: .
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi
.
Theo bài ra ta có:
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
biến điểm
thành:
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó
là đường thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)
Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).
Vậy P là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy A=2.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Tính mốt?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
|
[0; 50) | 5 |
|
[50; 100) | 12 | |
[100; 150) | 23 | |
[150; 200) | 17 | |
[200; 250) | 3 |
|
| N = 60 |
|
Ta có:
=> Mốt của dấu hiệu là:
Giải phương trình ![]()
Ta có
Xác định
.
Ta có: .
Nghiệm của phương trình
là
Ta có:
Cho các bảng số liệu sau:
Bảng A | Số khách hàng | [35; 40) | [40; 45) | [45; 50) | [50; 55) |
Số ngày | 5 | 3 | 2 | 4 | |
Bảng B | Điểm | [0; 2,5) | [2,5; 5) | [5; 7,5) | [7,5; 10) |
Số học sinh | 4 | 6 | 10 | 12 | |
Bảng C | Chiều cao | [120; 150) | [150; 180) | [180; 210) | [210; 240) |
Số cây | 15 | 20 | 31 | 18 | |
Bảng D | Số sách | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) |
Số khách hàng | 12 | 5 | 7 | 10 |
Chọn bảng số liệu có độ dài nhóm số liệu bằng 10?
Bảng A có độ dài nhóm số liệu là: 5
Bảng B có độ dài nhóm số liệu là: 2,5
Bảng C có độ dài nhóm số liệu là: 30
Bảng D có độ dài nhóm số liệu là: 10
Cho mặt phẳng
có các điểm
. Đường thẳng
đi qua hai điểm
. Khi đó giữa mặt phẳng
và đường thẳng
có:
Giữa mặt phẳng và đường thẳng
có đúng một điểm chung.
Cho
như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

Ta có:
.
Các cung lượng giác ,
lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm F và E.
Cho tứ diện
. Trên
,
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
cắt
tại
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng
và
Ta lại có: nên
là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
Xét tính liên tục của hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số xác định với mọi
Ta có: liên tục trên
và
Mặt khác
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Dãy số (un) xác định bởi
và dãy số (vn) xác định bởi
. Tính
.
Ta có:
nên dãy
là cấp số nhân với công bội
Lại có: , khi đó ta có:
Cộng vế theo vế ta được
Do đó:
=>
Cho một cấp số cộng (Un) có
. Công sai d của cấp số cộng là:
Ta có:
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm được ghi trong bảng dưới đây:
Khoảng | Tần số |
Nhỏ hơn 10 | 10 |
Nhỏ hơn 20 | 20 |
Nhỏ hơn 30 | 30 |
Nhỏ hơn 40 | 40 |
Nhỏ hơn 50 | 50 |
Nhỏ hơn 60 | 30 |
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất.
Ta có:
Nhóm dữ liệu | Tần số | Tần số tích lũy |
(0; 10] | 10 | 10 |
(10; 20] | 20 | 30 |
(20; 30] | 30 | 60 |
(30; 40] | 50 | 110 |
(40; 50] | 40 | 150 |
(50; 60] | 30 | 180 |
Tổng | N = 180 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt
trong đó
. Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Số điểm gián đoạn của hàm số
là:
Đáp án: 1
Số điểm gián đoạn của hàm số là:
Đáp án: 1
Hàm số có TXĐ
.
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
,
và
.
(i) Xét tại , ta có
Hàm số liên tục tại
.
(ii) Xét tại , ta có
Hàm số
gián đoạn tại
.
Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số ![]()
Ta có
Mà
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
Cho dãy số
xác định bởi
. Giá trị
là
Ta có: .
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho tứ diện
. Trung điểm các cạnh
lần lượt là các điểm
. Giả sử
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> là đường thẳng song song với
và
.
=> song song với
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | [160; 164) | [164; 168) | [168; 172) | [172; 174) |
Tần số | 8 |
| 12 | 6 |
Biết rằng nhóm dữ liệu có giá trị đại diện là 166 chiếm 60% tổng tần số của mẫu dữ liệu. Tìm giá trị của
?
Nhóm số liệu có độ dài 166 là: [164; 168)
Theo bài ra ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
và
. Giao điểm của
với
là điểm
. Hãy chọn cách xác định điểm
đúng nhất trong bốn phương án sau.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
.
Mà nên
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số y = x.cosx là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số là hàm số chẵn
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Xét dãy số ta có:
Vậy dãy số là cấp số nhân với q = 1/3
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Tính giá trị biểu thức ![]()
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Biết các số
và
lập thành một cấp số nhân; các số
và
lập thành một cấp số cộng. Tính tổng ![]()
Theo bài ra ta có:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình .
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.
Điểm | Số học sinh |
[0; 10) | 2 |
[10; 20) | 6 |
[20; 30) | 8 |
[30; 40) | x |
[40; 50) | 30 |
[50; 60) | 22 |
[60; 70) | 18 |
[70; 80) | 8 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100) | 2 |
Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.
Ta có:
Điểm | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 2 | 2 |
[10; 20) | 6 | 8 |
[20; 30) | 8 | 16 |
[30; 40) | x | 16 + x |
[40; 50) | 30 | 46 + x |
[50; 60) | 22 | 68 + x |
[60; 70) | 18 | 86 + x |
[70; 80) | 8 | 94 + x |
[80; 90) | 4 | 98 + x |
[90; 100) | 2 | 100 + x |
| N = 100 + x |
|
Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)
Vậy số học sinh là 126 học sinh.
Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[95; 105) | 9 |
[105; 115) | 13 |
[115; 125) | 26 |
[125; 135) | 30 |
[135; 145) | 12 |
[145; 155) | 10 |
Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm chiều cao nào?
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: