Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?
- A.
  $d = 4$
- B.
  $d = 5$
- C.
  $d = 6$
- D.
  $d = 7$
Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ d = 5 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 2: Nhận biết
Cho các đoạn thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên hai đường thẳng.
- B.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi và chỉ khi hai đoạn thẳng đó cùng nằm trên một đường thẳng.
- C.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi và chỉ khi hai đoạn thẳng đó cùng nằm trên hai đường thẳng song song.
- D.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song."
Câu 3: Thông hiểu
Số nghiệm trong khoảng $( - \pi\ ;\ \pi)$ của phương trình $1 - \cos2x =0$ là
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$1 - cos2x = 0$

$\Leftrightarrow cos2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Với $- \pi < x < \pi$ thì $- 1 < k < 1$ .

Suy ra $k = 0$ .

Vậy có 1 nghiệm trong khoảng $( - \pi\ ;\ \pi)$ .
Câu 4: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}}$ bằng:
- A.
  -3
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Nhận biết
Khẳng định nào dưới đây sai?
- A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) là ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với công bội q và số hạng đầu u₁
- B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d$ với công sai d và số hạng đầu u₁
- C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + nd$ với công sai d và số hạng đầu u₁
- D. Nếu dãy số (u_n) là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {u_{n + 2}}}}{2};\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} ight)$
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d$ với công sai d và số hạng đầu u₁
Câu 6: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB$ , hai điểm $P,Q$ phân biệt thuộc đường thẳng $CD$ . Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng $MP$ và $NQ$ là:
- A.
  chéo nhau
- B.
  trùng nhau
- C.
  cắt nhau
- D.
  song song
Giả sử đường thẳng $MP$ và $NQ$ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó $AB$ và $CD$ cùng thuộc một mặt phẳng hay $ABCD$ là một tứ giác (trái giả thiết).
Vậy đường thẳng $MP$ và $NQ$ chéo nhau.
Câu 7: Nhận biết
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
[20; 30)
4
[30; 40)
6
[40; 50)
15
[50; 60)
12
[60; 70)
10
[70; 80)
6
[80; 90)
4
[90; 100]
3
Số học sinh lớp 11A là:
- A.
  60
- B.
  54
- C.
  56
- D.
  58
Số học sinh lớp 11A là:
4 + 6 + 15 + 12 + 10 + 6 + 4 + 3 = 60 (học sinh)
Câu 8: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 9: Nhận biết
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
- A.
  Ba điểm
- B.
  Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
- C.
  Hai điểm
- D.
  Bốn điểm
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Câu 10: Thông hiểu
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Điểm trung bình môn của lớp 11A thuộc nhóm nào?
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack 20;40)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Giá trị đại diện
10
30
50
70
90
Số học sinh
5
9
12
10
6
Điểm trung bình của lớp 11A là:
$\overline{x} = \frac{5.10 + 9.30 + 12.50+ 10.70 + 6.90}{42} \approx 51,43$
$\Rightarrow \overline{x} \in \lbrack40;60)$
Câu 11: Vận dụng
Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ . Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- B.
  $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ight)$
- C.
  $\left( - \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4} ight)$
- D.
  $( - \infty; + \infty)$
Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$ có nghĩa là

$D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...$

Khi đó

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn công thức đúng trong các công thức dưới đây.
- A.
  $\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left\lbrack \cos(a + b) - \cos(a - b) ightbrack$
- B.
  $\sin a - \sin b = 2\sin\frac{a +b}{2}.\cos\frac{a - b}{2}$
- C.
  $\tan2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan a}$
- D.
  $\cos2a = \sin^{2}a -\cos^{2}a$
Công thức đúng là $\sin a - \sin b =2\sin\frac{a + b}{2}.\cos\frac{a - b}{2}$
Câu 13: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = {( - 1)^n}.\frac{{{2^n}}}{n}$ . Tìm số hạng $u_{3}$
- A.
  $\frac{8}{3}$
- B.
  $2$
- C.
  $-2$
- D.
  $\frac{-8}{3}$
Ta có:
${u_3} = {( - 1)^3}.\frac{{{2^3}}}{3} = - \frac{8}{3}$
Câu 14: Nhận biết
Nghiệm của phương trình $\sin x. \cos x = \frac{1}{2}$ là?
- A. $x = k2\pi ; k \in \mathbb{Z}$
- B. $x = \frac{{k\pi }}{4} , \, k \in \mathbb{Z}$
- C. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
- D. $x=k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
Ta có: $\sin x.cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = 1$
$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ .
Câu 15: Thông hiểu

Hoàn thành bảng số liệu sau:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 154)
152
12
[154; 158)
156
18
[158; 162)
160
30
[162; 166)
164
24
[166; 170)
168
10

Đáp án là:

Hoàn thành bảng số liệu sau:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 154)
152
12
[154; 158)
156
18
[158; 162)
160
30
[162; 166)
164
24
[166; 170)
168
10

Hoàn thành bảng như sau:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 154)
$\frac{150 + 154}{2} = 152$
12
[154; 158)
$\frac{154 + 158}{2} = 156$
18
[158; 162)
$\frac{158 + 162}{2} = 160$
30
[162; 166)
$\frac{162 + 166}{2} = 164$
24
[166; 170)
$\frac{166 + 170}{2} = 168$
10
Câu 16: Thông hiểu
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  d qua S và song song với AB.
- B.
  d qua S và song song với BC.
- C.
  d qua S và song song với DC.
- D.
  d qua S và song song với BD.
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d//AD//BC$ và d đi qua S
Câu 17: Vận dụng cao
Biết rằng phương trình $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b}$ với $k\mathbb{\in Z}$ và $a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018$ . Tính $S = a - b$ .
- A.
  $S = 2017$
- B.
  $S = 2018$
- C.
  $S = 2019$
- D.
  $S = 2020$
Điều kiện xác định $\sin 2^{2018}x eq 0$

Ta có:

$\cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}$

$= \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}$

=> Phương trình tương đương

$\Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0$

$\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0$

$\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

=> $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018$
Câu 18: Nhận biết
Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa $a$ và $b$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Câu 19: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Với n = 1 ta có − 2 ≤ u₁ ≤ 1 (đúng).

Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ u_k ≤ 1

$\Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.
Câu 20: Vận dụng
Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\begin{matrix} \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} }}{{\sqrt n - 1}} + \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Ta lại có:

$\lim\left( \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ight) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}\Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}cos3n}{rn} - 1 ight) = \sqrt{3}$
Câu 21: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $3sinx + m - 1 = 0$ có nghiệm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  3
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m

Câu 22: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 23: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight)$ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
- A. ${S_{10}} = \frac{{2050}}{3}$
- B. ${S_{10}} = 2046$
- C. ${S_{10}} = - 682$
- D. ${S_{10}} = - \frac{{2050}}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = tan2x$ :
- A.
  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} ight\}$ .
- B.
  $D = \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} ight\}$ .
- C.
  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} ight\}$ .
- D.
  $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}ight\}$ .
Hàm số xác định khi $cos2x eq 0 \Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z})$ .

Tập xác định của hàm số là: $D =\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ .
Câu 25: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + sin2x$
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D = \varnothing$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \hfill \\\Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{4} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z}ight) \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 26: Nhận biết
Bảng dữ liệu dưới đây ghi lại chiều cao (h) của 40 học sinh.
Chiều cao (h)
Số học sinh
130 < h ≤ 140
2
140 < h ≤ 150
4
150 < h ≤ 160
9
160 < h ≤ 170
13
170 < h ≤ 180
8
180 < h ≤ 190
3
190 < h ≤ 200
1
Tìm khoảng chứa trung vị?
- A.
  $(150;160brack$
- B.
  $(160;170brack$
- C.
  $(170;180brack$
- D.
  $(140;150brack$
Ta có:
Chiều cao (h)
Số học sinh
Tần số tích lũy
130 < h ≤ 140
2
2
140 < h ≤ 150
4
6
150 < h ≤ 160
9
15
160 < h ≤ 170
13
28
170 < h ≤ 180
8
36
180 < h ≤ 190
3
39
190 < h ≤ 200
1
40
Ta lại có: $N = 40 \Rightarrow \frac{N}{2}= 20$
=> Nhóm chứa trung vị là: $(160; 170]$
Câu 27: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $(MNP) \cap (SAB) = MN$
- B.
  Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
- C.
  Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
- D.
  $MN//(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$ .
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $2$
- D.
  $- \frac{5}{4}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( 2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1 ight)}{(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = 2$
Câu 29: Thông hiểu
Giới hạn $\lim_{}\frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1}$ bằng
- A.
  $- \infty$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $+ \infty$ .
- D.
  $\frac{3}{2}$ .
Ta có:

$\lim\dfrac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} =\lim\dfrac{1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}}{1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}$

$= \dfrac{\lim\left( 1 - \left(\dfrac{3}{2} ight)^{n} ight)}{\lim\left( 1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} ight)} = \lim\left( 1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}ight) = - \infty$
Câu 30: Nhận biết
Tính giá trị $\lim\frac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $1$
- C.
  $- \frac{7}{2}$
- D.
  $- \infty$
Ta có: $\lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}= \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} ight)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n} + 2 ight)}$

$= \lim\dfrac{n.\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}}ight)}{\dfrac{1}{n} + 2} = + \infty$
Câu 31: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Tất cả các giá trị của a để (u_n) là dãy số tăng là?
- A.
  a < 0
- B.
  a ≤ 0
- C.
  a > 0
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 1 − u_n = (au_n+1) − (au_n − 1+1) = a(u_n−u_n − 1)

Áp dụng, ta có u₂ = au₁ + 1 = a + 1 ⇒ u₂ − 1 = a ⇒ u₂ − u₁ = a

⇒ u₃ − u₂ = a(u₂−u₁) = a²

⇒ u₄ − u₃ = a(u₃−u₂) = a³

⇒ u_n + 1 − u_n = aⁿ > 0

Để dãy số (u_n) tăng thì u_n > u_n − 1 > … > u₂ > u₁ ⇒ a > 0
Câu 32: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}\sqrt{6-2x}+1 & \text{ với } x\leq 3 \\ ax & \text{ với } x> 3 \end{cases}$ . Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại $x = 3$ ?
- A.
  a = 3
- B.
  $a=\frac{1}{3}$
- C.
  $a=\frac{-1}{3}$
- D.
  $a=-2$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = 3a} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ f\left( 3 ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.$
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi và chỉ khi
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 1$
$\Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$
Câu 33: Nhận biết
Biết bốn số $5;x;15;y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng
- A.
  $50$
- B.
  $70$
- C.
  $30$
- D.
  $62$
Ta có:
$x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20$
$\Rightarrow 3x + 2y = 70$
Câu 34: Thông hiểu
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện X
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
Tần số
8
12
14
10
6
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu đã cho?
- A.
  $27,05$
- B.
  $26,75$
- C.
  $27,8$
- D.
  $26,34$
Đại diện X
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
Tần số
8
12
14
10
6
Tần số tích lũy
8
20
34
44
50
Ta có: $\frac{3.N}{4} = \frac{3.50}{4} =37,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [25; 30)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 25;m = 34,f = 10;c =5$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 25 + \dfrac{37,5 - 34}{10}.5 =26,75$
Câu 35: Vận dụng cao
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.$ . Biết dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tính $\lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4$

$\Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}$

$+ \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$= \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1$
Câu 36: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{2} = - 6,u_{5} = 48$ . Tính $S_{5}$ .
- A.
  33.
- B.
  -31.
- C.
  93.
- D.
  11.
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ u_{1}.q^{4} = 48 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ q^{3} = - 8 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $S_{5} = \frac{3\left( 1 - ( - 2)^{5} ight)}{1 - ( - 2)} = 33$ .
Câu 37: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ . Mặt phẳng qua $MN$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $P,Q$ . Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
- A.
  $I,C,D$
- B.
  $I,C,A$
- C.
  $I,B,D$
- D.
  $I,A,B$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} I \in MP \subset (ABD) \\ I \in NQ \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in (BCD) \cap (ABD)$

Mà $BD = (BCD) \cap (ABD)$

Vậy ba điểm $I,B,D$ thẳng hàng.
Câu 38: Thông hiểu
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  7
Ta có:
$\begin{matrix} {u_k} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{{2k + 1}} = \dfrac{8}{{15}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {k + 1} ight) = 8\left( {2k + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15k + 15 = 16k + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 7 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ 7 của dãy số.
Câu 39: Thông hiểu
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
- A.
  Có
- B.
  Không
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Câu 40: Nhận biết
Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ liên tục tại điểm nào dưới đây?
- A.
  $x = 0$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = - 2$
Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}$

Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định $D$ .

Khi đó $x = 1 \in D$ suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 1$ .
Câu 41: Thông hiểu
Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ tùy ý thể là:
- A.
  Lục giác
- B.
  Tam giác
- C.
  Ngũ giác
- D.
  Tứ giác
Vì số mặt của hình chóp $S.ABCD$ là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.
Câu 42: Vận dụng

Cho phương trình lượng giác $2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0$ . Đúng||Sai

b) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng $( - \pi;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}{6}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0$ . Đúng||Sai

b) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

c) Trên khoảng $( - \pi;\pi)$ phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng $( - \pi;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}{6}$ . Đúng||Sai

Ta có phương trình đã cho tương đương với

$2\left( \sin x + 1 ight)\left( \frac{1 - cos4x}{2} - 3sinx + 1 ight) = sin4x.cosx$

$\Leftrightarrow \left( \sin x + 1 ight)(3 - 6sinx - cos4x) = sin4x.cosx$

$\Leftrightarrow (sinx + 1)(3 - 6sinx) - sinx.cos4x - cos4x = sin4x.cosx$

$\Leftrightarrow 3(1 - 2sin^{2}x) - 3sinx = sin5x + cos4x$

$\Leftrightarrow 3cos2x + 3cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} ight) + cos4x$

$\Leftrightarrow 3.2.cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 2.cos\left( \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)\left\lbrack 3cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) + \cos\left( \frac{9x}{2} + \frac{3\pi}{4} ight) ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Vì $x \in ( - \pi;\pi)$ nên suy ra $x = - \frac{\pi}{2},x = \frac{\pi}{6},x = \frac{3\pi}{2}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 43: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Các điểm $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ ta thu được ảnh lần lượt là $M,N$ . Hình chóp $S.ABCD$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $BCMN$ là hình vuông?
- A.
  Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$
- B.
  Tam giác $SBC$ vuông
- C.
  Tam giác $SBC$ cân
- D.
  Tam giác $SBC$ đều
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: $M,N$ lần lượt là ảnh của $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

=> $SO$ là đường trung bình của các tam giác $CAM,BDN$

=> $\left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.$

=> $ADMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight.$ => $BCMN$ là hình bình hành.

Để $BCMN$ là hình vuông thì $\left\{ \begin{matrix} BN = CM \\ BN\bot CM \\ \end{matrix} ight.$ suy ra hình chóp $S.ABCD$ có mặt bên $SBC$ vuông cân tại $S$ .
Câu 44: Nhận biết
Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left(k\in\mathbb{ Z} ight)$ được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Xét theo chiều dương với $k = 0,1,2,3$ ta thấy cung có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:
Câu 45: Thông hiểu
Cho $a,b$ là các số thực khác $0$ . Tìm điều kiện của $a,b$ để giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$
- A.
  $\frac{a - 1}{b} = 3$
- B.
  $\frac{a + 1}{b} = 3$
- C.
  $\frac{- a - 1}{b} = 3$
- D.
  $\frac{a - 1}{- b} = 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} = 3$

$\Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} = 3$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

26 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Điểm	Số học sinh
[20; 30)	4
[30; 40)	6
[40; 50)	15
[50; 60)	12
[60; 70)	10
[70; 80)	6
[80; 90)	4
[90; 100]	3

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Đối tượng	Giá trị đại diện	Tần số
[150; 154)	152	12
[154; 158)	156	18
[158; 162)	160	30
[162; 166)	164	24
[166; 170)	168	10

Chiều cao (h)	Số học sinh
130 < h ≤ 140	2
140 < h ≤ 150	4
150 < h ≤ 160	9
160 < h ≤ 170	13
170 < h ≤ 180	8
180 < h ≤ 190	3
190 < h ≤ 200	1

Đại diện X	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)
Tần số	8	12	14	10	6