Giá trị của giới hạn
bằng:
Ta có:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a
=>
Tương tự:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b
=>
Giá trị của giới hạn
bằng:
Ta có:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a
=>
Tương tự:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b
=>
Cho dãy số (un) được xác định như sau
. Số hạng u11 là?
Ta có:
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Giá trị tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm số liệu nào?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có và số hạng cuối
.
Khi đó:
Do đó
Số điểm gián đoạn của hàm số
là:
Hàm số xác định trên
Dễ thấy hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Ta có:
=> Hàm số gián đoạn tại
Ta lại có:
=> Hàm số liên tục tại
Vậy có 1 điểm gián đoạn.
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?
(1) Dãy số được xác định bởi
là một dãy bị chặn.
(2) Dãy số được xác định bởi an = n2 là một dãy giảm.
(3) Dãy số được xác định bởi an = 1 − n2 là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
(4) Dãy số được xác định bởi an = (−1)nn2 là một dãy không tăng, không giảm.
nên dãy số xác định bởi
là một dãy bị chặn.
an + 1 − an = (n+1)2 − n2 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = n2 là dãy tăng.
an + 1 − an = (1−(n+1)2) − (1−n2) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = 1 − n2 là dãy số giảm và không bị chặn dưới.
a1 = − 1 < a2 = 4 > a3 = − 9 nên dãy số xác định bởi an = (−1)nn2 là dãy không tăng không giảm.
Cho dãy số
. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số:
Ta có:
Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là Sử dụng công thức:
Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.
Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.
Vậy a và b không có điểm chung nào.
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là , công bội
, với
Theo bài ra ta có:
Mà
Vậy góc lớn nhất có số đo
Bảng sau đây cho thấy sự phân bố tuổi của những người trong một khu vực (đơn vị: nghìn người) cụ thể như sau:
Tuổi | Nhỏ hơn 10 | Nhỏ hơn 20 | Nhỏ hơn 30 | Nhỏ hơn 40 | Nhỏ hơn 50 | Nhỏ hơn 60 | Nhỏ hơn 70 | Nhỏ hơn 80 |
Tần số tích lũy | 2 | 5 | 9 | 12 | 14 | 15 | 15,5 | 15,6 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Tuổi (năm) | (0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
|
Số người (nghìn người) | 2 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0,5 | 0,1 | N = 15,6 |
Tần số tích lũy | 2 | 5 | 9 | 12 | 14 | 15 | 15,5 | 15,6 |
|
Ta có:
=> Trung vị nằm trong nhóm (vì 7,8 nằm giữa hai tần số tích lũy là 5 và 9)
Cho hàm số
và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn
. Sai||Đúng
b) Giới hạn
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hàm số và
. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Giới hạn . Sai||Đúng
b) Giới hạn . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) .
b) .
c) .
d) .
Chu kì của hàm số
là
Hàm số tuần hoàn với chu kỳ
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: luôn đúng
=> Hai mặt phẳng không song song với nhau.
Một công ty xây dựng khảo sát 300 khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát ghi lại ở bảng sau:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là
Ta có:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Giá trị đại diện |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là:
.
Vậy mức giá mua nhà trung bình là: (triệu đồng/
).
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
, dãy nào là cấp số nhân?
Dãy là cấp số nhân có
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình có 642 nghiệm.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.
Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."
Cho dãy số
là cấp số cộng với:
Ta có: là một cấp số cộng
=>
Cho tứ diện
, biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Cho tứ diện , biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
là
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Ta chứng minh được (c – c – c).
Ta có
Vậy
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình .
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?
Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa a và b là:
a cắt b
a song song với b
a chéo nhau với b
Điều kiện xác định của hàm số: 
Điều kiện xác định của hàm số:
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là:
Ta có:
Hàm số liên tục trên
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên là:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Với
mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
=>
Phương trình
có nghiệm là
Giải phương trình:
Tính độ cao trung bình của một số cây trong bảng số liệu dưới đây:
Chiều cao h (cm) | Số cây |
130 < h ≤ 140 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 |
150 < h ≤ 160 | 5 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Ta có:
Chiều cao h (cm) | Số cây | Tần số tích lũy |
130 < h ≤ 140 | 3 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 | 10 |
150 < h ≤ 160 | 5 | 15 |
Tổng | 15 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: 140 < h ≤ 150
Khi đó:
Trung vị là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét (SAD) và (SBC) có:
S là điểm chung
=> Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm
,
. Đường thẳng
song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa
Do là đường trung bình của tam giác
.
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:
|
Lượng nước (m3) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
[100; 120) |
|
Số hộ gia đỉnh |
6 |
12 |
10 |
7 |
4 |
2 |
Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm nên giá trị đại diện của nhóm này là
.
Cho tứ diện đều
. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu
điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có
đỉnh lấy từ
điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?
Đáp án: 216
Cho tứ diện đều . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu
điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có
đỉnh lấy từ
điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?
Đáp án: 216
Hình vẽ minh họa
Không mất tính tổng quát, xét mặt bên .
Giả sử song song với
. Khi đó, số tam giác có cạnh
nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm
,
,
,
,
.
Trong mặt bên , nối các điểm chia đều các cạnh
ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với
, 3 đoạn thẳng song song với
và 3 đoạn thẳng song song với
.
Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.
Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là .
Tập nghiệm của phương trình
là?
Ta có:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
=> OO' // (ADF)
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Chuyển mẫu dữ liệu trên sang mẫu dữ liệu ghép nhóm gồm 4 nhóm số liệu theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau. Khi đó mốt của dấu hiệu thuộc nhóm số liệu nào?
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là:
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Quan sát bảng dữ liệu ghép nhóm ta thấy mốt của dấu hiệu thuộc nhóm số liệu .
Số điểm gián đoạn của hàm số
là:
Đáp án: 1
Số điểm gián đoạn của hàm số là:
Đáp án: 1
Hàm số có TXĐ
.
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
,
và
.
(i) Xét tại , ta có
Hàm số liên tục tại
.
(ii) Xét tại , ta có
Hàm số
gián đoạn tại
.
Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.
Gọi T là tập giá trị của hàm số
. Tìm tổng các giá trị nguyên của T.
Ta có:
Vì
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7.
Cho dãy số
với
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Ta có:
lập thành một cấp số nhân có nên
vì