Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho cấp số cộng (U_n) có $u_1=11$ và công sai d = 4. Tính ${u_{99}}$ ?
- A. 401
- B. 403
- C. 402
- D. 404
Ta có: ${u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403$
Câu 2: Vận dụng
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)
- A.
  (AA’B’)
- B.
  (AA’C’)
- C.
  (A’B’C’)
- D.
  (BB’C’)
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2$ (tính chất trọng tâm tam giác)
=> $IJ//MN(1)$
Xét mặt phẳng $(AA'EM)$ ta có: $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2$
=> $IK//ME$
Mà $ME //BB'$
=> $IK//BB'(2)$
Từ (1) và (2) => $(IJK)$ và $(BB'C)$ là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2} + 1}{4},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  (u_n) là dãy số tăng.
- B.
  (u_n) là dãy số giảm.
- C.
  (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.
- D.
  (u_n) là dãy số không đổi.
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh u_n + 1 − u_n < 0 bằng quy nạp toán học.

Từ giả thiết suy ra u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Ta có $u_{2} - u_{1} = \frac{5}{4} - 2 = \frac{- 3}{4} < 0.$

Giả sử: u_k + 1 − u_k < 0, ∀k ≥ 1

Xét hiệu $u_{k + 2} - u_{k + 1} = \frac{u_{k + 1}^{2} + 1}{4} - \frac{u_{k}^{2} + 1}{4}$

$= \frac{1}{4}\left( u_{k + 1} + u_{k} ight)\left( u_{k + 1} - u_{k} ight) < 0$

Theo nguyên lí quy nạp suy ra u_n + 1 − u_n < 0, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) là dãy số giảm.
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ cắt đoạn SA tại $M$ sao cho $SM = 2MA$ . Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi $(P)$ bằng
- A.
  1.
- B.
  $\frac{16}{9}$ .
- C.
  $\frac{4}{81}$ .
- D.
  4.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và các cạnh SB, SC.

Vì $(P)//(ABC)$ nên theo định lí Talet, ta có $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}$ .

Khi đó $(P)$ cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ .

Vậy $S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4$ .
Câu 5: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trên đường tròn lượng giác có bao nhiêu vị trí biểu diện nghiệm của phương trình $\tan3x= \tan x$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix}\cos3x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} \\x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta có:

$\tan3x = \tan x$

$\Leftrightarrow 3x = x + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra phương trình có nghiệm $x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Câu 7: Nhận biết
Phát biểu nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim u_{n} = c;(c = const)$
- B.
  $\lim\frac{1}{n} = 0$
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| > 1 ight)$
- D.
  $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0;(k > 1)$
Ta có phát biểu sai là: $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| > 1 ight)$

Sửa lại là: $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 8: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$
- A.
  $P = 3456$
- B.
  $P = 3465$
- C.
  $P = 3645$
- D.
  $P = 3546$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$
Câu 9: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó.
- B.
  Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
- C.
  Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
- D.
  Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó.
Từ công thức $l = R.\alpha$ nên ta có $l$ và $\alpha$ tỉ lệ với nhau.
Câu 10: Nhận biết
Cho phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)$
- B.
  Phương trình vô nghiệm.
- C.
  Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(0;2)$
- D.
  Phương trình vô nghiệm trên khoảng $( - 1;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(1) = - 1 \\ f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(0;2)$ .

Câu 11: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 12: Vận dụng cao
Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
- A.
  Dãy (a_n), với $a_{n} = \sqrt{n^{3} + n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
- B.
  Dãy (b_n), với $b_{n} = n^{2} + \frac{1}{2}n,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
- C.
  Dãy (c_n), với c_n = (−2)ⁿ + 3, ∀n ∈ ℕ^*
- D.
  Dãy (d_n), với $d_{n} = \frac{3n}{n^{3} + 2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
Xét dãy (a_n) có $a_{n} = \sqrt{n^{3} + n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số (a_n) bị chặn dưới.

Xét dãy (b_n) có $b_{n} = n^{2} + \frac{1}{2n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số (b_n) bị chặn dưới.

Xét dãy (c_n) có c_n = (−2)ⁿ + 3, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số (c_n) không bị chặn.

Xét dãy (d_n) có $d_{n} = \frac{3n}{n^{2} + 2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Ta có

$n^3-3n+2=(n-1)^2 (n+2)≥0,∀n∈N^*$

$⇒n^3+2≥3n⇒0<3n/(n^2+2)≤1$

$⇒(d_n )$ bị chặn.
Câu 13: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight)$ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
- A. ${S_{10}} = \frac{{2050}}{3}$
- B. ${S_{10}} = 2046$
- C. ${S_{10}} = - 682$
- D. ${S_{10}} = - \frac{{2050}}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” sai vì chúng có thể cắt nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Vậy mệnh đề đúng: “Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.”
Câu 15: Nhận biết
Giá trị của $C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

$lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0$
Câu 16: Thông hiểu
Biết $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{5}{4}$ . Khi đó $\sin\alpha.\cos\alpha$ có giá trị bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{9}{32}$
- C.
  $\frac{3}{16}$
- D.
  $\frac{5}{4}$
Ta có:

$\sin\alpha.cos\alpha$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left(\sin\alpha + \cos\alpha ight)^{2} - \left( \sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( \frac{5}{4} ight)^{2} - 1 ightbrack = \frac{9}{32}$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 18: Nhận biết
Trong mẫu dữ liệu ghép nhóm sau có bao nhiêu nhóm?
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
40
[165; 170)
26
[170; 175)
8
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có 6 nhóm.
Câu 19: Thông hiểu
Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
- A.
  $12$
- B.
  $24$
- C.
  $16$
- D.
  $8$
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Câu 20: Thông hiểu
Cho các hàm số $y = \cos x;y = \sin x;y = \tan x;y = \cot x$ . Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \cos x$ là hàm số chẵn vì:

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \cos( - x) = \cos x = f(x)$

$y = \sin x$ là hàm số lẻ vì:

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \sin( - x) = - \sin x = - f(x)$

$y = \tan x$ là hàm số lẻ vì

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \tan( - x) = - \tan x = - f(x)$

$y = \cot x$ là hàm số lẻ vì

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \cot( - x) = \cot( - x) = - f(x)$
Câu 21: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Câu 22: Vận dụng cao
Tập giá trị của hàm số $y = \frac{\cos x +1}{\sin x + 1}$ trên $\left\lbrack0;\frac{\pi}{2} ightbrack$
- A.
  $\left\lbrack \frac{1}{2};2ightbrack$
- B.
  $(0;2brack$
- C.
  $\left\lbrack \frac{1}{2};2ight)$
- D.
  $\left( \frac{1}{2};2ight)$
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}0 \leq \cos x \leq 1 \\0 \leq \sin x \leq 1 \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2}ightbrack ight)$
Nên $\frac{0 + 1}{1 + 1} \leq \frac{\cos x+ 1}{1 + 1} \leq \frac{1 + 1}{0 + 1} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq2$
Câu 23: Thông hiểu
Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:
Sản lượng
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
Số cây
10
15
17
14
12
2
Tìm mốt của mẫu dữ liệu trên?
- A.
  $75$
- B.
  $42$
- C.
  $64$
- D.
  $57$
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 17 nằm trong nhóm [60; 70).
Sản lượng
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
Số cây
10
15
17
14
12
2

$f_{1}$ $f_{1}$ $f_{2}$

$\Rightarrow l = 60;f_{0} = 15;f_{1} =17;f_{2} = 14;c = 70 - 60 = 10$
Khi đó ta tính mốt như sau:
$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1}- f_{0} - f_{2}}.c$
$\Rightarrow M_{0} = 60 + \frac{17 -15}{2.17 - 15 - 14}.10 = 64$
Câu 24: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} - u_{n} = 2n - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Số hạng tổng quát u_n của dãy số là?
- A.
  u_n = n² + 1
- B.
  u_n = 2 + n²
- C.
  u_n = 2 + (n+1)²
- D.
  u_n = 2 − (n−1)²
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = u_{1} + 2.2 - 1 \\ u_{3} = u_{2} + 2.3 - 1 \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + 2.n - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

u_n = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)

= 2 + (n−1)(n+2) − n + 1

= n² + 1
Câu 25: Vận dụng
Tính giới hạn của hàm số $\lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight)$ .
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $1$
Ta có:

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}}$

$= \frac{1}{n^{2}}(1 + 2 + .. + n - 1)$

$= \frac{1}{n^{2}}.\frac{(n - 1)(1 + n - 1)}{2}$

$= \frac{n^{2} - n}{2n^{2}}$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight) = \lim\frac{n^{2} - n}{2n} = \frac{1}{2}$
Câu 26: Nhận biết
Phương án nào sau đây sai với mọi $k\in\mathbb{ Z}$ ?
- A.
  $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi$
- B.
  $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
- C.
  $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$
- D.
  $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} - k2\pi$
Ta có:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy đáp án sai là: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
Câu 27: Thông hiểu
Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)$ là:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
$(I)$ $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b) > 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c ∈ (a;b)$ sao cho $f(c) = 0$ .
$(II)$ $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và trên $[b;c]$ nhưng không liên tục trên $(a;c)$ .
- A. Chỉ $(I)$
- B. Chỉ $(II)$
- C. Chỉ $(I); (II)$ đúng
- D. Cả $(I); (II)$ sai
Khẳng định $(I)$ sai vì $f(a).f(b) >0$ vẫn có thể xảy ra trường hợp $f(x) = 0$ vô nghiệm trên khoảng $(a; b)$ .
Khẳng định $(II)$ sai vì nếu $f(x)$ liên tục trên đoạn $(a; b]$ và trên $[b; c)$ thì liên tục $(a; c)$ .
Vậy cả hai khẳng định đều sai.
Câu 29: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 3$ và công bội $q = 3$ . Số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ là
- A.
  $u_{n} = 3^{n - 1}$ .
- B.
  $u_{ n } = 3.3^{ n }$ .
- C.
  $u_{n} = 3^{n}$ .
- D.
  $u_{n} = 3^{n + 1}$ .
Số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ là

$u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}$ .
Câu 30: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. 3
Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$
$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$
Do đó
$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$
+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .
+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là
$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Câu 31: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ , $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ . Xác định các giao điểm của mặt phẳng $(MEF)$ với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{9}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{12}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = MF \cap AD,H = ME \cap AC$

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra $\frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh tương tự ta có: $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$ . Do đó ta có:

$\frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}$

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

$MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}$

$\Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}$

$\Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH$

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: $S_{MHI} = \frac{1}{6}$
Câu 32: Thông hiểu

Thực hiện đo chiều cao của 100 học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
x
[165; 170)
26
[170; 175)
y
[175; 180)
3
Biết rằng số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm. Xác định giá trị x và y còn thiếu trong bảng?
Đáp án:
$x =$ 40
$y =$ 5

Đáp án là:

Thực hiện đo chiều cao của 100 học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
x
[165; 170)
26
[170; 175)
y
[175; 180)
3
Biết rằng số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm. Xác định giá trị x và y còn thiếu trong bảng?
Đáp án:
$x =$ 40
$y =$ 5

Ta có 100 học sinh tham gia đo chiều cao khi đó:
5 + 18 + x + 26 + y + 3 = 100
=> x + y = 48 (*)
Mặt khác số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm suy ra x = 5y (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}x + y = 48 \\x = 5y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 40 \\y = 5 \\\end{matrix} ight.$
Câu 33: Vận dụng
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3} \cos x + m - 1 = 0$ có nghiệm:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  Vô số
Ta có:
$\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}$
Mặt khác $\cos x \in \left[ { - 1;1} ight]$
Vậy để phương trình lượng giác có nghiệm thì
$\begin{matrix} \Rightarrow 1 - \sqrt 3 \leqslant m \leqslant 1 + \sqrt 3 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 34: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác $ABCD$ . Giả sử $(\alpha)$ là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ không thể tạo thành hình nào dưới đây?
- A.
  Tứ giác
- B.
  Lục giác
- C.
  Tam giác
- D.
  Ngũ giác
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng $(\alpha)$ tùy ý với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ .

Vậy đáp án là hình lục giác.
Câu 35: Thông hiểu
Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở. Tìm mốt của mẫu dữ liệu.
Thu nhập (nghìn đồng)
Hộ gia đình
[0; 100)
5
[100; 200)
7
[200; 300)
12
[300; 400)
18
[400; 500)
16
[500; 600)
10
[600; 700)
5
- A.
  375
- B.
  358
- C.
  398
- D.
  310
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 18 nằm trong nhóm $[300; 400)$
Thu nhập (nghìn đồng)
Hộ gia đình

[0; 100)
5

[100; 200)
7

[200; 300)
12
${f_0}$
[300; 400)
18
${f_1}$
[400; 500)
16
${f_2}$
[500; 600)
10

[600; 700)
5

$\Rightarrow l = 300;f_{0} = 12;f_{1} =18;f_{2} = 16;c = 400 - 300 = 100$
Khi đó ta tính mốt như sau:
$\begin{matrix} {M_0} = l + \dfrac{{{f_1} - {f_0}}}{{2{f_1} - {f_0} - {f_2}}}.c \hfill \\ \Rightarrow {M_0} = 300 + \dfrac{{18 - 12}}{{2.18 - 12 - 16}}.100 = 375 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Nhận biết
Cho các đoạn thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên hai đường thẳng.
- B.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi và chỉ khi hai đoạn thẳng đó cùng nằm trên một đường thẳng.
- C.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi và chỉ khi hai đoạn thẳng đó cùng nằm trên hai đường thẳng song song.
- D.
  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song."
Câu 37: Nhận biết
Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = sin^{2}\left( \frac{\pi n}{4} ight) + \cos\left( \frac{2\pi n}{3} ight)$ với $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ ?
- A.
  $0;\frac{1}{2};\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}$
- B.
  $1;\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}$
- C.
  $1;\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}$
- D.
  $0;\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}$
Ta có:

$u_{1} = \sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = 0$

$u_{2} = \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$

$u_{3} = \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{6\pi}{3} ight) = \frac{3}{2}$

$u_{4} = \sin^{2}\left( \frac{4\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{8\pi}{3} ight) = \frac{- 1}{2}$
Câu 38: Nhận biết
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n} = ( - 1)^{n}.(2n + 1)$
- B.
  $u_{n} = \sin\frac{\pi}{n}$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = u_{n - 1} - 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = 2u_{n - 1} \\ \end{matrix} ight.$
Ta có:

Dãy $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số cộng

$\Leftrightarrow u_{n} = u_{n - 1} + d$ với d là hằng số.

Hay $u_{n} - u_{n - 1} = d$

=> Cấp số cộng cần tìm là: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = u_{n - 1} - 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 39: Thông hiểu
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
- A. 160
- B. 81
- C. 64
- D. 56
Ta có cấp số nhân (u_n) nên khi đó:
$\begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ hàm số f(x) liên tục tại:
- A. $\forall x \in \mathbb{R}$
- B. $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$
- C.
  $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
- D.
  $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;1} ight\}$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$
Hàm số liên tục khi $x<1$
hàm số liên tục khi $x>1$
Tại x = 1 ta có: $f(1)=1$
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số liên tục tại $x=1$
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 41: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 42: Nhận biết
Gọi $d$ là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ . Nếu đường thẳng $d'$ song song với cả hai mặt phẳng thì:
- A.
  $d;d'$ chéo nhau
- B.
  $d;d'$ trùng nhau
- C.
  $d;d'$ song song
- D.
  $d;d'$ cắt nhau
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Câu 43: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) =6$
- B.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) =6$
- C.
  Không tồn tại $\lim_{x ightarrow3}f(x)$
- D.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = -15$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6$
$\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15$
$\Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)$
=> Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.
Vậy chỉ có khẳng định $\lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6$ sai.
Câu 44: Nhận biết
Điều kiện xác định của hàm số: $y = \cos \sqrt {x - 1}$ là:
- A. $x\ge1$
- B. $xe1$
- C. $x>1$
- D. $x-1e0$
Điều kiện xác định của hàm số:
$x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1$
Câu 45: Nhận biết
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên?
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack20;40)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{N}{4} =10,5$
=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là [20; 40)
(Vì 10,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 và 14)