Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
có nghiệm?
Ta có:
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
có nghiệm?
Ta có:
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là
và
. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Công bội của cấp số nhân là:
Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Cho cung lượng giác
trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của cung
bằng bao nhiêu?

Ta có:
Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có hướng theo chiều dương.
Vậy số đo cung AM là
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Chọn mệnh đề sai. Trong không gian:
Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.
Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?
Tập
là tập xác định của hàm số
. Đúng||Sai
Số nghiệm của phương trình
trên khoảng
là 3 nghiệm.Sai||Đúng
Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm. Đúng||Sai
Số vị trí biểu diễn của phương trình
trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng
Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?
Tập là tập xác định của hàm số
. Đúng||Sai
Số nghiệm của phương trình trên khoảng
là 3 nghiệm.Sai||Đúng
Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm. Đúng||Sai
Số vị trí biểu diễn của phương trình trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng
a) Điều kiện xác định của hàm số là:
b) Ta có:
Vì
mà
suy ra
Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng .
c) Ta có:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Mà
Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.
d) Ta có:
Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 2.
Hoàn thành mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | 12 |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Ghép nối các nội dung thích hợp với nhau:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng
cắt SC tại
. Tính tỉ số
.
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Trong , kẻ
.
Do đó là mặt phẳng
.
Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của
.
Do .
Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?
Theo bài ra ta có:
Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.
=>
=> Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:
Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.
bằng:
Ta có:
Gọi S là tập nghiệm của phương trình
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có
Nhận thấy với nghiệm .
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có:
Suy ra , với
là đường thẳng qua
và
.
Hình vẽ minh họa
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có: .
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có .
Xét tam giác , ta có
là đường trung bình
.
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại
?
Xét hàm số có:
Vậy hàm số liên tục tại .
Cho dãy số
, biết
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
Ta có:
Vậy số là số hạng thứ 7 của dãy số.
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(0; 15] | 4 |
(15; 30] | 12 |
(30; 45] | 17 |
(45; 60] | 7 |
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Cho dãy số liệu thống kê:
,
,
,
,
,
. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đã cho là
Số trung bình là:
Cho hình lập phương
cạnh bằng
. Lấy các điểm
sao cho
. Khi giá trị
thay đổi, đường thẳng
luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho và
. Từ tỉ lệ
Ta suy ra cùng song song với một mặt phẳng
nào đó.
Ta chọn mặt phẳng chứa
và song song với
.
Mặt phẳng chính là mặt phẳng
và là mặt phẳng cố định.
Hay
Cho tam giác ABC vuông tại C có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số nhân có công bội lớn hơn 1. Xác định công bội của cấp số nhân đó.
Giả sử là độ dài ba cạnh của tam giác ABC,
.
Do độ lớn ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân, công bội nên
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số nhân đã cho.
Các số hạng lần lượt là lập thành cấp số nhân
Cho hình lăng trụ tam giác
có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt phẳng
bất kì song song với mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng trên là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là giao điểm của
với các cạnh
.
Khi đó ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều
Trong không gian, đường thẳng
song song với mặt phẳng
nếu
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
Thực hiện kiểm tra đáp án ta thấy:
Hàm số là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Hàm số không chẵn không lẻ
Hàm số và hàm số
là hàm số chẵn.
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau đây:
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | x |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Biết
. Tìm cỡ mẫu?
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
5 | 8 | 40 |
15 | 14 | 210 |
25 | x | 25x |
35 | 9 | 315 |
45 | 7 | 315 |
Tổng | N = 38 + x | 880 + 25x |
Theo bài ra ta có giá trị trung bình là:
Vậy số phần tử của mẫu dữ liệu là N = 38 + 12 = 50
Biết
. Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Tập xác định: có nghĩa là
Khi đó
Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.
Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với mọi số tự nhiên
(p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với
bằng:
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Chuyển đổi dữ liệu sau:
thành dạng ghép nhóm, chia thành 5 nhóm có độ dài bằng nhau:
Đại diện X | Tần số |
[0; 2) | 2 |
[2; 4) | 7 |
| 2 |
[6; 8) | 1 |
[8; 10) | 2 |
Chuyển đổi dữ liệu sau: thành dạng ghép nhóm, chia thành 5 nhóm có độ dài bằng nhau:
Đại diện X | Tần số |
[0; 2) | 2 |
[2; 4) | 7 |
2 | |
[6; 8) | 1 |
[8; 10) | 2 |
Để chia thành 5 nhóm với độ dài bằng nhau ta lấy điểm đầu mút phải trái của nhóm đầu tiên là 0 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 10 với độ dài mỗi nhóm là 6 – 4 = 2.
Ta được mẫu số ghép nhóm như sau:
Đại diện X | Tần số |
Cho dãy số (un) biết un = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có un = 3n + 6 ⇒ un + 1 = 3(n+1) + 6 = 3n + 9
Xét hiệu un + 1 − un = (3n+9) − (3n+6) = 3 > 0, ∀n ∈ N*
Vậy (un) là dãy số tăng.
Tính giới hạn của hàm số
.
Ta có:
Cho các giới hạn
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
?
Ta có:
* Trường hợp 1: ,
Vì
.
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:
;
;
;
;
;
;
;
.
* Trường hợp 2: ,
Vì
.
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là:
;
;
;
;
;
;
;
.
Vậy trên khoảng phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.
Hàm số nào không liên tục tại
?
Ta có hàm số không xác định tại
nên hàm số không liên tục tại
NB
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu ghép nhóm sau:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(10; 20] | 15 |
(20; 30] | 25 |
(30; 40] | 20 |
(40; 50] | 12 |
(50; 60] | 8 |
(60; 70] | 5 |
(70; 80] | 3 |
Ta có:
Nhóm dữ liệu | Tần số | Tần số tích lũy |
(10; 20] | 15 | 15 |
(20; 30] | 25 | 40 |
(30; 40] | 20 | 60 |
(40; 50] | 12 | 72 |
(50; 60] | 8 | 80 |
(60; 70] | 5 | 85 |
(70; 80] | 3 | 88 |
Tổng | N = 88 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó:
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
Chọn khẳng định đúng.
Ta có: tương ứng với
.
Cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy => "
chéo nhau" sai.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để
.
Ta có:
Vì
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Xác định chu kì T của hàm số lượng giác
?
Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì
=> tuần hoàn với chu kì
Cho tổng
.
Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
Mệnh đề nào dưới đây SAI?
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính
.
Điều kiện xác định
Ta có:
=> Phương trình tương đương
=>
Giá trị của
bằng:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Từ (*) và (**) ta suy ra