Tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Mà n là số chẵn và
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ
của năm 2022 được cho bởi một hàm số
với
và
. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất
Do
Với rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện
thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy điểm
, mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giao điểm của mặt phẳng
với các cạnh
lần lượt tại
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng
Kí hiệu tên của mặt phẳng là .
Số điểm thi đấu của các đội được biểu diễn trong bảng dưới đây:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(0; 2] | 5 |
(2; 4] | 16 |
(4; 6] | 13 |
(6; 8] | 7 |
(8; 10] | 5 |
(10; 12] | 4 |
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Ta có:
Nhóm dữ liệu | Tần số | Tần số tích lũy |
(0; 2] | 5 | 5 |
(2; 4] | 16 | 21 |
(4; 6] | 13 | 34 |
(6; 8] | 7 | 41 |
(8; 10] | 5 | 46 |
(10; 12] | 4 | 50 |
Tổng | N = 50 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: (2; 4]
Khi đó:
Vậy tứ phân vị thứ nhất là:
Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:
Tuổi | Số học sinh |
[0; 9] | 20 |
[10; 19] | 21 |
[20; 29] | 23 |
[30; 39] | 16 |
[40; 49] | 11 |
[50; 59] | 10 |
[60; 69] | 7 |
[70; 79] | 3 |
[80; 89] | 1 |
Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?
Tuổi | Số đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60) | 55 | 10 |
[60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90) | 85 | 1 |
Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:
Tuổi | Số học sinh |
[0; 9] | 20 |
[10; 19] | 21 |
[20; 29] | 23 |
[30; 39] | 16 |
[40; 49] | 11 |
[50; 59] | 10 |
[60; 69] | 7 |
[70; 79] | 3 |
[80; 89] | 1 |
Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?
Tuổi | Số đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60) | 55 | 10 |
[60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90) | 85 | 1 |
Ta có:
Tuổi | Đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60) | 55 | 10 |
[60; 70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90) | 85 | 1 |
Tính tổng S gồm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
liên tục tại
.
Tập xác định
Điều kiện để bài toán trở thành
Ta có:
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết
là hình vuông cạnh
. Các tam giác
là các tam giác cân bằng nhau. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác
(các điểm
trùng vào đỉnh
). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng
.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:
Từ giả thiết ta có:
bằng
Ta có:
Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
nhận
làm nghiệm
Phương trình nhận làm nghiệm
vậy m = -4
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số nhân đã cho.
Các số hạng lần lượt là lập thành cấp số nhân
Một tổ học sinh gồm 4 nam và 3 nữ. Điểm kiểm tra trung bình của nam và nữ lần lượt là 7 và 8. Tính điểm kiểm tra trung bình của cả tổ.
Ta có:
Khi đó điểm số trung bình của cả tổ là:
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số
có số hạng tổng quát
?
Ta có:
Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?
Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.
Số điểm gián đoạn của hàm số
là:
Đáp án: 1
Số điểm gián đoạn của hàm số là:
Đáp án: 1
Hàm số có TXĐ
.
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
,
và
.
(i) Xét tại , ta có
Hàm số liên tục tại
.
(ii) Xét tại , ta có
Hàm số
gián đoạn tại
.
Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.
Xét đường tròn bán kính
. Cung tròn có số đo
có độ dài tương ứng là:
Độ dài cung tròn góc (với
có đơn vị là độ):
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Đồ thị hàm số
được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
Nhắc lại lý thuyết:
Cho (C) là đồ thị của hàm số và
, ta có:
+ Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số .
+ Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số
+ Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số
+ Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số
Vậy đồ thị hàm số được suy từ đồ thị hàm số
bằng cách tịnh tiến sang phải
đơn vị.
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Xác định
.
Ta có:
Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
Phương trình
- Với .
có 6 nghiệm.
- Với .
có 6 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.
Dãy số (un) được cho bởi
. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
...
Áp dụng phương pháp quy nạp ta có un = 2n − 1.
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A | Tần số |
[0; 10) | 6 |
[10; 20) | 24 |
[20; 30) | x |
[30; 40) | 16 |
[40; 50) | 9 |
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là 32.
Ta có:
Đại diện A | Tần số | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 6 | 6 |
[10; 20) | 24 | 30 |
[20; 30) | 25 | 55 |
[30; 40) | x | 55 + x |
[40; 50) | 9 | 64 + x |
Tổng | N = 64 + x |
|
Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính ![]()
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Tính giá trị của giới hạn
.
Đặt thì ta có:
Do đó:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày
cho bởi công thức
. Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là
?
Độ sâu của mực nước là thì h = 15.
Khi đó
Vì nên
Lại do
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
bằng
Ta có:
Cho hai hình bình hành
và
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d) Sáu điểm
là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai
Cho hai hình bình hành và
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) Sáu điểm là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: và
cắt nhau tại
.
b) Đúng.
Vì là hình bình hành nên
, suy ra
.
Vì là hình bình hành nên
, suy ra
.
Mà và
cắt nhau nên
.
c) Sai: Vì và
có điểm
chung.
d) Đúng:
Vì và
là hình bình hành nên
đôi một song song
Mặt khác (theo câu b)
Do đó 6 điểm là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác
Tính giá trị của ![]()
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Giá trị của M.n là:

Hàm số liên tục trên
.
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1
Vậy M.n = -3
Với
là số nguyên dương,
là hằng số, giới hạn
bằng
Ta có và
nên
Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì
bằng?
Ta có:
Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng
=> a + 3b = 5.2
=> a = 10 – 3b
Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân
=> a.3b = 32
=> ab = 3
Độ dài của nhóm dữ liệu 1,5 < x ≤ 2 là:
Độ dài của nhóm là:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả?
Ta có un ≥ 2, ∀n ⇒ (un) bị chặn dưới; dãy (un) không bị chặn trên.
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.
Đáp án: 20
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.
Đáp án: 20
Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có và công sai
.
Giả sử hội trường có hàng ghế
.
Tổng số ghế có trong hội trường là:
Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì
Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.
Kết quả chạy 50m của học sinh lớp 11A (đơn vị: giây) được liệt kê như sau:
7,8 | 7,7 | 7,5 | 7,8 | 7,7 | 7,6 | 8,7 |
7,6 | 7,5 | 7,5 | 7,3 | 7,1 | 8,1 | 8,4 |
7,0 | 7,1 | 7,2 | 7,3 | 7,4 | 8,5 | 8,3 |
7,2 | 7,1 | 7,0 | 6,7 | 6,6 | 8,6 | 8,2 |
6,9 | 6,8 | 6,5 | 6,2 | 6,3 |
Tính phần trăm số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây?
Từ số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp như sau:
Thời gian (giây) | Tần suất (%) |
[6,0; 6,5) | 6,06 |
[6,5; 7,0) | 15,15 |
[7,0; 7,5) | 30,3 |
[7,5; 8,0) | 27,27 |
[8,0; 8,5) | 12,12 |
[8,5; 9) | 9,1 |
Tổng | 100% |
Suy ra số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây chiếm số phần trăm là:
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
Khi đó (vì
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
)
Suy ra
Vậy khẳng định sai là .
Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác
Dễ thấy đồng quy tại điểm M.
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét
Suy ra
Vậy dãy số (un) bị chặn.