Nghiệm của phương trình
là
Ta có:
Nghiệm của phương trình
là
Ta có:
Cho dãy số
xác định bởi
với
. Khi đó số hạng
của dãy
là
Ta có:
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
;
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của đường thẳng
và
là
Hình vẽ minh họa
Trong gọi
, mà
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính
.
Điều kiện xác định
Ta có:
=> Phương trình tương đương
=>
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
Hình vẽ minh họa
Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.
Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI
Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.
Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)
(1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).
(2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).
Trong hai phát biểu trên.
Theo định lý, nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q), do đó nếu lấy mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì tồn tại hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn định lý, vậy phát biểu (2) đúng.
Phát biểu (1) sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
với công sai
và số hạng đầu
.”
Cho cấp số nhân
có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng
. Đúng||Sai
b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai
c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng
d) Gọi dãy số
, với
. Khi đó tổng
. Sai||Đúng
Cho cấp số nhân có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng . Đúng||Sai
b) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599. Đúng||Sai
c) Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân. Sai||Đúng
d) Gọi dãy số , với
. Khi đó tổng
. Sai||Đúng
a) Đúng
Ta có:
.
b) Đúng.
Ta có:
Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599 nên mệnh đề đúng.
c) Sai.
Ta có:
Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân nên mệnh đề sai.
d) Sai.
Ta có , nên
là cấp số nhân với
và công bội
.
Nên .
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).
Công thức đúng là:
Hàm số
có chu kì bằng bao nhiêu?
Chu kì của hàm số là:
Tính giá trị ![]()
Ta có:
Hàm số 
Ta có: liên tục tại
Tại ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Tại ta có:
Vậy hàm số bị gián đoạn tại
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của
và mặt phẳng
là:
Hình vẽ minh họa:
Trong tam giác ta có:
Vậy
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Biết rằng
khi đó
Đúng||Sai
b) Cho hàm số
liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là
. Sai||Đúng
c)
Sai||Đúng
d) Cho hàm số
xác định với mọi
thỏa mãn
. Khi đó
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Biết rằng khi đó
Đúng||Sai
b) Cho hàm số liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là
. Sai||Đúng
c) Sai||Đúng
d) Cho hàm số xác định với mọi
thỏa mãn
. Khi đó
Sai||Đúng
a) Ta có:
b) Ta có:
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên là
c)
d) Ta có:
Từ (*) và (**) ta có:
Do đó:
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét
Suy ra
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Tính giới hạn của hàm số
khi
.
Ta có:
Kết quả của giới hạn
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Ta lại có:
Giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Khi đó:
Cho hai đường thẳng
và
chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Số lượng người đi xem một bộ phim mới theo độ tuổi trong một rạp chiếu phim (sau
đầu công chiếu) được ghi lại theo bảng phân phối ghép nhóm sau:
|
Độ tuổi |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
|
Số người |
30 |
48 |
11 |
9 |
2 |
Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là
Ta có mốt là:
.
Vậy độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 23 tuổi.
Cho dãy số
biết
. Dãy số
bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
Ta có:
Mặt khác
=> Dãy số bị chặn trên bởi số
.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
a) Mức doanh thu trung bình của cửa hàng là 8,4 (triệu đồng) Sai||Đúng
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là:
Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
(đúng)
d) Có hai nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu và giá trị của mốt đó bằng 8. Sai||Đúng
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
a) Mức doanh thu trung bình của cửa hàng là 8,4 (triệu đồng) Sai||Đúng
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là (đúng)
d) Có hai nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu và giá trị của mốt đó bằng 8. Sai||Đúng
Ta có:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
|
Giá trị đại diện |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
Do đó doanh thu trung bình của cửa hàng là:
(triệu đồng)
Vậy doanh thu trung bình của cửa hàng là 9,4 triệu đồng.
Ta có:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
16 |
19 |
20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Có hai nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là [7; 9) và [9; 11) do đó:
Xét nhóm [7; 9) ta có:
Xét nhóm [9; 11) ta có:
Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9.
Hàm số
xác định khi và chỉ khi:
Điều kiện các định:
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
Ta có: là cấp số nhân
Dãy số lập thành cấp số nhân là
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ
của năm 2022 được cho bởi một hàm số
với
và
. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất
Do
Với rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện
thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Ta có:
Vậy công sai của cấp số nhân là
Vậy số hạng tiếp theo sẽ là:
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.
Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính tổng
của
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Khi đó:
Cho phương trình
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Ta có:
=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 11
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 11
Goi là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó: ,
,
,
,
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là
Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục trên khoảng
Sai||Đúng
b) Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng
. Đúng||Sai
c) Giới hạn của hàm số
khi
bằng -1. Sai||Đúng
d) Dãy số
với
là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục trên khoảng
Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng
. Đúng||Sai
c) Giới hạn của hàm số khi
bằng -1. Sai||Đúng
d) Dãy số với
là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai
a) Ta có:
có điều kiện xác định
Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.
b) Đặt
f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên
Ta có:
Từ (*) và (**) suy ra phương trình có nghiệm thuộc
.
c) Ta có:
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi
d) Ta có: với n chẵn
Với n lẻ
Suy ra dãy số không bị chặn.
Giá trị đại diện của nhóm ![]()
Giá trị đại diện của mẫu là: .
Phương trình
có nghiệm khi:
Xét phương trình:
Trường hợp 1:
Phương trình (*) trở thành:
3 + 3.m - 4.0 = 0 (Vô lí)
Trường hợp 2:
Chia cả hai vế của phương trình (*) cho cos2x
Phương trình (*) trờ thành: (**)
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
Phương trình đã cho có nghiệm => (***) có nghiệm
=> (luôn đúng với mọi m)
=> Phương trình đã cho có nghiệm với mọi
Giải phương trình ![]()
Ta có
Cho tứ diện
. Gọi
là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
, hai điểm
phân biệt thuộc đường thẳng
. Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng
và
là:
Giả sử đường thẳng và
không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó và
cùng thuộc một mặt phẳng hay
là một tứ giác (trái giả thiết).
Vậy đường thẳng và
chéo nhau.
Giá trị của giới hạn
là:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 6
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 6
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
,
là giao điểm của
và
trong mặt phẳng
.
Theo định lý Talet, ta có: là trung điểm của
Ta có:
.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: [100; 150)||[200; 250)||[150; 200)||[50; 100)
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: [100; 150)||[200; 250)||[150; 200)||[50; 100)
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa trung vị là [100; 150) (vì 30 nằm giữa hai tần số tích lũy 17 và 40)
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho bảng số liệu thống kê sau:
Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần
69 | 37 | 39 | 65 | 31 | 33 | 63 |
51 | 44 | 62 | 33 | 47 | 55 | 42 |
Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?
Bảng M | Số khách hàng | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Số ngày | 5 | 3 | 2 | 4 | |
Bảng N | Số khách hàng | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Số ngày | 5 | 3 | 4 | 2 | |
Bảng P | Số khách hàng | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Số ngày | 5 | 2 | 3 | 4 | |
Bảng Q | Số khách hàng | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Số ngày | 3 | 5 | 2 | 4 |
Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38
Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)
Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm
Số khách hàng | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Số ngày | 5 | 3 | 2 | 4 |
Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là
đô la mỗi năm và được tăng thêm
đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là
đô la?
Đáp án: 8
Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là đô la mỗi năm và được tăng thêm
đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là
đô la?
Đáp án: 8
Gọi là tiền lương anh Nam nhận được vào năm thứ
.
Tại năm đầu tiên, lương anh Nam nhận được là .
Vì mỗi năm, anh Nam được tăng lương thêm đô, nên ta có
Do đó là cấp số cộng với
.
Tổng lương mà anh Nam nhận được là đô, áp dụng công thức tính tổng
số hạng đầu của cấp số cộng:
.
Vậy anh Nam mất 8 năm làm việc để được tổng lương là .
Cho dãy số
thỏa mãn
. Biết dãy số
là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt
. Tính ![]()
Ta có: