Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu

Cho phương trình lượng giác $\sin\left( 3x + \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

a) Phương trình có nghiệm $\left\lbrack\begin{matrix}x = - \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} \\x = \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3} \\\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) ight.$ Sai||Đúng

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{2\pi}{9}$ Đúng||Sai

c) Trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ phương trình đã cho có 3 nghiệm Sai||Đúng

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ bằng $\frac{7\pi}{9}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $\sin\left( 3x + \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

a) Phương trình có nghiệm $\left\lbrack\begin{matrix}x = - \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} \\x = \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3} \\\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) ight.$ Sai||Đúng

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{2\pi}{9}$ Đúng||Sai

c) Trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ phương trình đã cho có 3 nghiệm Sai||Đúng

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ bằng $\frac{7\pi}{9}$ Đúng||Sai

Ta có:

$\sin\left( 3x + \frac{\pi}{3} ight) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3x + \dfrac{\pi}{3} = - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\3x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix}(k\mathbb{\in Z}) ight.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\ {3x = \pi + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z}) } ight.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \dfrac{{2\pi }}{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {x = \dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{{2\pi }}{3}} \end{array}(k \in \mathbb{Z})} ight.$

Vì $x \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ nên $x = \frac{\pi}{3},x = \frac{4\pi}{9}$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng
Câu 2: Thông hiểu

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được: $0,212121\ldots = \frac{a}{b}$ ; $4,333\ldots = \frac{c}{d}$ . Khi đó:

a) $a + b = 40$ . Đúng||Sai

b) Ba số $a;b;58$ tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

c) $c + d = 15$ . Sai||Đúng

d) $\lim c = 13$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được: $0,212121\ldots = \frac{a}{b}$ ; $4,333\ldots = \frac{c}{d}$ . Khi đó:

a) $a + b = 40$ . Đúng||Sai

b) Ba số $a;b;58$ tạo thành một cấp số cộng. Sai||Đúng

c) $c + d = 15$ . Sai||Đúng

d) $\lim c = 13$ . Đúng||Sai

Ta có: $0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội $\frac{1}{100}$ .

Vì vậy

$0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021 +0,000021 + \ldots$ $= \frac{0,21}{1 - \frac{1}{100}} =\frac{7}{33}$ .

Ta có: $0,333\ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là $\frac{1}{10}$

Vì vậy

$4,333\ldots = 4 + 0,3 + 0,03 +0,003 + \ldots$ $= 4 + \frac{0,3}{1 - \frac{1}{10}} =\frac{13}{3}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 3: Thông hiểu
Giới hạn $\lim_{}\left( n^{3} - 2023n + 2024 ight)$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- \infty$ .
- D.
  $+ \infty$ .
Ta có:

$\lim\left\lbrack n^{3} - 2023n + 2024 ightbrack$

$= \lim\left\{ n^{3}\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) ight\} = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \underset{}{\lim\left( n^{3} ight) = + \infty} \\ \lim\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{{ \sin 2x}}{{\cos x - 1}}$
- A. ${\text{D}} = \mathbb{R}$
- B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi
$\cos x - 1 e 0 \Leftrightarrow \cos x e 1 \Leftrightarrow x e k2\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Câu 5: Nhận biết
Tính giá trị $\lim\frac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $1$
- C.
  $- \frac{7}{2}$
- D.
  $- \infty$
Ta có: $\lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}= \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} ight)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n} + 2 ight)}$

$= \lim\dfrac{n.\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}}ight)}{\dfrac{1}{n} + 2} = + \infty$
Câu 6: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $3sinx + m - 1 = 0$ có nghiệm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  3
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m
Câu 7: Thông hiểu
Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}}$
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $- \frac{1}{4}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1 - 2x}{x - 1} = - \frac{1}{2}$
Câu 8: Vận dụng
Phương trình $\sin 2x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ ?
- A. 18
- B. 16
- C. 14
- D. 12
Ta có: $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ 2x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
* Trường hợp 1: $x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{89}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{13\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{25\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{37\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{49\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{61\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{73\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{85\pi }{{12}}$ .
* Trường hợp 2: $x = \frac{5\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{85}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{5\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{17\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{29\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{41\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{53\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{65\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{77\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{89\pi }{{12}}$ .
Vậy trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.
Câu 9: Nhận biết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là
- A. Hình tam giác.
- B. Hình ngũ giác.
- C. Hình lục giác.
- D. Hình tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác
Câu 10: Vận dụng cao
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết $\widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ$ , E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình $2 \sin x -1 = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
- A. Điểm C và điểm D
- B. Điểm E và điểm F
- C. Điểm C và điểm F
- D. Điểm E và điểm D
Ta có: $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}$
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Câu 11: Vận dụng
Kết quả của giới hạn $\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{3}{2}$
- D.
  $- \infty$
Ta có: $2^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}$

$\Rightarrow 2^{n} \geq C_{n}^{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}\sim\frac{n^{3}}{6}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó:

$\lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} -n + 2}$ $= \lim\left\lbrack \dfrac{2^{n}}{n^{2}}.\dfrac{2 + 3\left(\dfrac{n}{2^{n}} ight) + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ightbrack = + \infty$

(vì $\left\{ \begin{matrix}\lim\left\lbrack 2 + 3\left( \dfrac{n}{2^{n}} ight) + 10.\left(\dfrac{1}{2} ight)^{n} ightbrack = \dfrac{2}{3} > 0 \\\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\end{matrix} ight.$ )
Câu 12: Thông hiểu
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin^{2}a + \cos^{2}a =1$
- B.
  $1 + \cot^{2}a = -\frac{1}{\sin^{2}a}$
- C.
  $\tan a.\cot a = - 1$
- D.
  $\cos a = \tan a.\sin a$
Mệnh đề đúng là: $\sin^{2}a + \cos^{2}a =1$
Câu 13: Thông hiểu
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Lục giác
- D.
  Ngũ giác
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 14: Nhận biết
Công thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos3a = 3\cos a -4\cos^{3}a$
- B.
  $\cos3a = 4 \cos^{3}a -3\cos a$
- C.
  $\cos3a = 3\cos^{3}a -4\cos a$
- D.
  $\cos3a = 4\cos a -3\cos^{3}a$
Công thức đúng là: $\cos3a = 4\cos^{3}a -3\cos a$
Câu 15: Thông hiểu
Biết rằng $\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\mathbb{\in N}$ . Tính $a + b$ .
- A.
  $5$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $0$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$

$= \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 2}{x +3} = \frac{1}{6} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 6$ .

Vậy: $a + b = 7$ .
Câu 16: Nhận biết
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong 1 ngày của một số học sinh khối 10 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

3

5

14

15

5

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là:
- A.
  $\lbrack 20;\ 40)$ .
- B.
  $\lbrack 40;\ 60)$ .
- C.
  $\lbrack 60;\ 80)$ .
- D.
  $\ \lbrack 80;\ 100)$ .
Mẫu số liệu trên có $3 + 5 + 14 + 15 + 5 = 42$ (học sinh).

Tứ phân vị thứ nhất là $x_{11} \in \lbrack 40;\ 60)$ .

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là: $\lbrack 40;\ 60)$ .
Câu 17: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:
Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x = 1$ , tức là ta cần có:
$\lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)$
Ta lại có:
$f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1$
$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1$
Khi đó $(*)$ không thỏa mãn với mọi $m\mathbb{\in R}$
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 18: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n) biết u_n = a sin(n)+b cos(n). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
Xét |u_n| = |a sin(n)+b cos(n)| ≤ |a| + |b| ⇒ − (|a|+|b|) ≤ u_n ≤ |a| + |b|

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.
Câu 19: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên $\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ .

b) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên

$\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF$

Mà $\ EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD).$

c) Đúng.

Vì $BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD)$ .

Vì $EF$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$ nên

$BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF).$

d) Sai.

Ta có: $IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ$ mà $IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ)$ .
Câu 20: Nhận biết
Dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = 7 - 3^{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{7}{3n}$
- C.
  $u_{n} = 7.2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 7 - 3n$
Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)
Câu 21: Thông hiểu
Số hạng âm trong dãy số x₁; x₂; x₃; …; x_n với $x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}$ là?
- A.
  x₁; x₂
- B.
  x₁; x₂; x₃
- C.
  x₁; x₂; x₃…x_n
- D.
  x₁; x₂; x₃; x₄
Ta có $c_{n + 5}^{4} = \frac{(n + 5)(n +4)(n + 3)(n + 2)}{24},$

$\frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} = \frac{143(n +5)(n + 4)}{96}$

$x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}$

$= \frac{(n + 5)(n + 4)(2n + 17)(2n - 7)}{96} > 0,\forall n \geq 4,n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy các số hạng âm là x₁; x₂; x₃.
Câu 22: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là:
- A. $x = k2\pi$
- B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x = k\pi$
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Thông hiểu
Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}{\text{ khi }}x < 1} \\ { - 2x{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  $f(x)$ không liên tục trên $(0;2)$
- C.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
- D.
  $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$

Ta có:

$f(1) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}( - 2x) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack - \left( \sqrt{2 - x} + 1 ight) ightbrack = - 2$

=> Hàm số liên tục tại $x = 1$

Vậy hàm số liên tục trên tập số thực.
Câu 24: Nhận biết
Trong không gian, cho tam giác $ABC$ , lấy điểm $I$ trên cạnh $AC$ kéo dài (trong hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $I,A,B,C$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  $A \in (ABC)$
- C.
  $I \in (ABC)$
- D.
  $BI$ không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$
Ta có: $I \in (ABC);B \in (ABC)$

=> $BI \subset (ABC)$

Do đó mệnh đề sai là: “ $BI$ không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ ”.
Câu 25: Nhận biết
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng
- A.
  $+ \infty$ .
- B.
  $- \infty$ .
- C.
  1.
- D.
  0.
Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .
Câu 26: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 27: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 28: Nhận biết
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ theo thứ tự tăng dần?
- A.
  $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- B.
  $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- C.
  $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- D.
  $1$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.

Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ là $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Câu 29: Thông hiểu
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5
3
10
20
25
11
13
7
12
31
19
10
12
17
18
11
32
17
16
2
7
9
7
8
3
5
12
15
18
3
12
14
2
9
6
15
15
7
6
12
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $61,7\%$
- B.
  $60,2\%$
- C.
  $55,5\%$
- D.
  $52,5\%$
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian
Số học sinh
[0; 5)
6
[5; 10)
10
[10; 15)
11
[15; 20)
9
[20; 25)
1
[25; 30)
1
[3; 35)
2
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là: $\frac{11 + 9 + 1}{40}.100\% =52,5\%$
Câu 30: Nhận biết
Khi nào mẫu số liệu ghép nhóm thường được dùng để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu?
- A.
  khi ta có thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu của bài toán.
- B.
  khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc so yêu cầu của bài toán.
Mẫu số liệu ghép nhóm được dùng khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu bài toán mà ta phải biểu diễn mẫu số liệu dưới dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.
Câu 31: Vận dụng cao
Tính $\lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}$ .
- A.
  $2018.2019$
- B.
  $2019$
- C.
  $2018$
- D.
  $1009.2019$
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với $\forall n \geq 1;n\mathbb{\in N}$ thì

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)$

Với $n = 1$ thì $\left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP$ nên (*) đúng với $n = 1$

Giả sử (*) đúng với $n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N}$ nghĩa là:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}$

Xét $n = k + 1$ ta có:

$VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}$

$VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}$

$+ \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}$

$VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack$

$VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP$

Vậy (*) đúng với $n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}$

Bây giờ ta áp dụng với $n = 2018$ thì

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}$

$= \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019$
Câu 32: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD, M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, BD, AC. Phát biểu nào sau đây là sai?
- A.
  MN, SN song song với nhau
- B.
  MN, PQ, RS đồng quy
- C.
  MRNS là hình bình hành
- D.
  6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng
Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD
Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD
=> SN // AD (1)
Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD
=> MR // AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"
Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC
Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"
Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.
Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD
=> Tứ giác MQNP là hình bình hành
=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà G là trung điểm của MN
Do đó G cũng là trung điểm của QP
Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.
Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'
Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.
Câu 33: Nhận biết
Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ nên không liên tục tại $x = 2$ .
Câu 34: Thông hiểu
Thời gian lái xe của 25 nhân viên trong công ty được ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
Số nhân viên
(0; 10]
3
(10; 20]
10
(20; 30]
6
(30; 40]
4
(40; 50]
2
Tính thời gian lái xe trung bình của các nhân viên đó.
- A.
  $24,1$
- B.
  $23,5$
- C.
  $22,7$
- D.
  $21,8$
Ta có:
Thời gian đại diện (phút)
Số nhân viên
Tích các giá trị
5
3
15
15
10
150
25
6
150
35
4
140
45
2
90
Tổng
N = 25
545
Thời gian lái xe trung bình là:
$\overline{x} = \frac{545}{25} =21,8$ (phút)
Câu 35: Vận dụng
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n +n^{2}}}$ , ta thu được kết quả?
- A.
  Dãy số tăng, bị chặn trên.
- B.
  Dãy số tăng, bị chặn dưới.
- C.
  Dãy số giảm, bị chặn.
Ta có u_n > 0, ∀n ≥ 1
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\frac{\sqrt{n^{2} + n + 1}}{\sqrt{(n + 1)^{2} + (n + 1) +1}}$
$= \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3n+ 3}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} <u_{n},\forall n \geq 1$
⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.
Mặt khác 0 < u_n < 1⇒ dãy (u_n) là dãy bị chặn.
Câu 36: Thông hiểu
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = 3cosx + 4$ là
- A.
  7
- B.
  5
- C.
  8
- D.
  6
Do $- 1 \leq cosx \leq 1\forall x \in \mathbb{R}$ nên $1 \leq 3cosx + 4 \leq 7,\forall x \in \mathbb{R}$ .

Nên $\max_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 7$ đạt được khi $cosx = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$ .

$\min_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 1$ đạt được khi $cosx = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi(k \in \mathbb{Z})$ .

Suy ra $\max_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y + \min_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 8$ .
Câu 37: Nhận biết
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $1; - 3; - 6; - 9; - 12$ .
- B.
  $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ .
- C.
  $1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .
- D.
  $1; - 2; - 4; - 6; - 8$ .
Ta có dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$ .
Câu 38: Vận dụng

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng $75\%$ so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666

Đáp án là:

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng $75\%$ so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666

Gọi $u_{n}$ là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ $n$ (đơn vị tính: mét).

Ta có $u_{1} = 0,75 \cdot 100 = 100 \cdot 1,5 = 75\ m$ và $u_{n} = 0,75 \cdot u_{n - 1}$ .

Vậy $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 75$ và công bội $q = 0,75$ .

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là

$S = 100 + 2u_{1} + 2u_{2} + \cdots + 2u_{10}$

$= 100 + 2S_{10} = 100 + 2 \cdot \frac{75\left( 1 - 0,75^{10} ight)}{1 - 0,75} \approx 666\ \ (m)$
Câu 39: Thông hiểu
Tìm x và y để dãy số $9;x; - 1;y$ là một cấp số cộng?
- A.
  $x = 2;y = 5$
- B.
  $x = 4;y = 6$
- C.
  $x = 2;y = - 6$
- D.
  $x = 4;y = - 6$
Để dãy số $9;x; - 1;y$ là một cấp số cộng thì $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9 - 1}{2} \\- 1 = \dfrac{x + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = - 6 \\\end{matrix} ight.$
Câu 40: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Các điểm $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ ta thu được ảnh lần lượt là $M,N$ . Khi đó tứ giác $BCMN$ là hình gì?
- A.
  hình thoi
- B.
  hình bình hành
- C.
  hình vuông
- D.
  hình thang
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: $M,N$ lần lượt là ảnh của $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

=> $SO$ là đường trung bình của các tam giác $CAM,BDN$

=> $\left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.$

=> $ADMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight.$ => $BCMN$ là hình bình hành.
Câu 41: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD);BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , $d$ đi qua $S$ và $d//AD//BC$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 42: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ , biết $AC \cap BD \equiv M$ và $AB \cap CD \equiv N$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .
- A.
  $SB$
- B.
  $SM$
- C.
  $SC$
- D.
  $SN$
Hình vẽ minh họa

Ta có $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Vì $AC \cap BD \equiv M$ nên $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SM$ .
Câu 43: Vận dụng
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

$\Rightarrow \Delta KHI\ \sim\Delta BCD$ theo tỉ số đồng dạng bằng $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow S_{KHI}\ = \frac{4}{9}S_{BCD} = \frac{4}{9}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Câu 44: Thông hiểu

Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11
23
31
17
24
38
37
7
12
5
8
15
33
19
27
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4

Đáp án là:

Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11
23
31
17
24
38
37
7
12
5
8
15
33
19
27
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4

Ta có:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4
Câu 45: Vận dụng
Tìm tích các tần số còn thiếu trong bảng dữ liệu dưới đây biết số trung bình là 56.
Khoảng dữ liệu
Tần số
[0; 20)
16
[20; 40)
x
[40; 60)
25
[60; 80)
y
[80; 100)
12
[100; 120)
10
Tổng
N = 90
- A.
  $125$
- B.
  $131$
- C.
  $176$
- D.
  $165$
Ta có:
Dữ liệu đại diện
Tần số
Tích các số liệu
10
16
160
30
x
30x
50
25
1250
70
y
70y
90
12
1080
110
10
1100
Tổng
63 + x + y
3590 + 30x + 70y
Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:
$\overline{x} = 56$
$\Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56$
$\Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56(*)$
Mặt khác $63 + x + y = 90 \Rightarrow x +y = 27(**)$
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 27 \\3x + 7y = 145 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 11 \\y = 16 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x.y = 176$

Thời gian (phút)	Số nhân viên
(0; 10]	3
(10; 20]	10
(20; 30]	6
(30; 40]	4
(40; 50]	2

Thời gian đại diện (phút)	Số nhân viên	Tích các giá trị
5	3	15
15	10	150
25	6	150
35	4	140
45	2	90
Tổng	N = 25	545

46 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	3	5	14	15	5

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12

Thời gian	Số học sinh
[0; 5)	6
[5; 10)	10
[10; 15)	11
[15; 20)	9
[20; 25)	1
[25; 30)	1
[3; 35)	2

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
(0; 10]	5	3
(10; 20]	15	5
(20; 30]	25	3
(30; 40]	35	4

Khoảng dữ liệu	Tần số
[0; 20)	16
[20; 40)	x
[40; 60)	25
[60; 80)	y
[80; 100)	12
[100; 120)	10
Tổng	N = 90

Dữ liệu đại diện	Tần số	Tích các số liệu
10	16	160
30	x	30x
50	25	1250
70	y	70y
90	12	1080
110	10	1100
Tổng	63 + x + y	3590 + 30x + 70y

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12