Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}\ khi\ x eq 0 \\m^{2} - 2m + 2\ khi\ x eq 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại $x = 0$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 3$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = 1$
Ta có: $f(0) = m^{2} - 2m + 2$

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{x\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 1$

Hàm số liên tục tại $x = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0)$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = 1$
Câu 2: Nhận biết
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A. Ba điểm
- B. Một điểm và một đường thẳng
- C. Hai đường thẳng cắt nhau
- D. Bốn điểm
Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.
Câu 3: Thông hiểu
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
- A. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- B. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- C. $\left( {{U_n}} ight):1;3;6;10;15;...$
- D. $\left( {{U_n}} ight): - 1;1; - 1;1; - 1;....$
Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện ${u_{n + 1}} - {u_1} = 2$ với $n \geqslant 1$ là cấp số cộng.
Câu 4: Nhận biết
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Hãy chọn kết luận đúng.
- A.
  Hàm số liên tục phải tại x = 1
- B.
  Hàm số liên tục tại x = 1
- C.
  Hàm số liên tục trái tại x = 1
- D.
  Hàm số liên tục tại $\mathbb{R}$
Ta có: $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3$

=> Hàm số liên tục phải tại x = 1
Câu 5: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để $\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n+ a}}} \leq \dfrac{1}{1024}$
- A.
  $2007$
- B.
  $2008$
- C.
  $2017$
- D.
  $2016$
Ta có:

$\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n +1}}{3^{n} + 4^{n + a}}} = \lim\sqrt[4]{\dfrac{1 + 2\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}{\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n} + 4^{n}}}$

$\begin{matrix} = \sqrt {\dfrac{1}{{{4^a}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\left( {{2^a}} ight)}^2}}}} = \dfrac{1}{{{2^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{1024}} \hfill \\ \Leftrightarrow {2^a} \geqslant 1024 = {2^{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;2018) \\ a\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 10;11;...;2017 ight\}$

Vậy có tất cả 2008 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC (xem hình vẽ bên). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
- A. SF (F là trung điểm CD)
- B. SO
- C. SD
- D. SG (G là trung điểm AB)
Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Ta có $O = AC ∩ BD$ là tâm của hình hình hành
=> $O = AC ∩ MN$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset \left( {SAC} ight) \Rightarrow O \in \left( {SAC} ight)} \\{O \in MN \subset \left( {SMN} ight) \Rightarrow O \in \left( {SMN} ight)}\end{array}} ight.$
=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Vậy $(SMN) ∩ (SAC) = SO$
Câu 7: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $J;K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SB,SC$ . Đường thẳng $JK$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
- A.
  $(SAC)$
- B.
  $(SKA)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)$
Câu 9: Thông hiểu
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
- B.
  Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Câu 10: Vận dụng
Biết $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\ 1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\lbrack 0;6brack$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $m \in ( - \infty;2)$
- B.
  $m \in \lbrack 2;3)$
- C.
  $m \in (3;5)$
- D.
  $m \in \lbrack 5; + \infty)$
Dễ thấy $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $(0;4)$ và $(4;6)$ . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn $\lbrack 0;6brack$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 4;x = 0;x = 6$

Tức là ta cần có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( * ight)$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó (*) trở thành $1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2$
Câu 11: Nhận biết
Trong các dãy số $\left( u_{n} ight)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ , dãy nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{3^{n}} - 1$
- C.
  $u_{n} = n + \frac{1}{3}$
- D.
  $u_{n} = n^{2} - \frac{1}{3}$
Dãy $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Câu 12: Nhận biết
Giải phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0$ ?
- A. $x = k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi$
$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 0,1;d = 0,1$ . Số hạng thứ $7$ của cấp số cộng là
- A.
  $1,6$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $0,5$ .
- D.
  $0,6$
Ta có: $u_{7} = u_{1} + 6d = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5$
Câu 14: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Tất cả các giá trị của a để (u_n) là dãy số tăng là?
- A.
  a < 0
- B.
  a ≤ 0
- C.
  a > 0
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 1 − u_n = (au_n+1) − (au_n − 1+1) = a(u_n−u_n − 1)

Áp dụng, ta có u₂ = au₁ + 1 = a + 1 ⇒ u₂ − 1 = a ⇒ u₂ − u₁ = a

⇒ u₃ − u₂ = a(u₂−u₁) = a²

⇒ u₄ − u₃ = a(u₃−u₂) = a³

⇒ u_n + 1 − u_n = aⁿ > 0

Để dãy số (u_n) tăng thì u_n > u_n − 1 > … > u₂ > u₁ ⇒ a > 0
Câu 15: Nhận biết
Biết $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\alpha < 0$ .
- B.
  $\tan\alpha < 0$ .
- C.
  $\cot\alpha < 0$ .
- D.
  $\cos\alpha < 0$ .
Với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ thì $\cos\alpha < 0$ .
Câu 16: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}$ bằng:
- A.
  $-\infty$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{-2}{5}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 17: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 18: Nhận biết
$\lim(5n-4n^{3})$ bằng
- A.
  $-\infty$
- B.
  -4
- C.
  5
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight)$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight)\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } ight)}}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n + 5 - n - 1}}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\ = \lim \dfrac{4}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Thông hiểu
Phương trình $1 + 2\cos 2x = 0$ có nghiệm là:
- A. $\pm \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k\pi }}{4}$
- B. $\pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$
- C. $\pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi$
- D. $\pm \frac{\pi }{3} + k\pi$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} 1 + 2\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 2x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\ {2x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 21: Thông hiểu
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}$ . Dãy số $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có: $u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1} = 1 - \frac{2}{3n + 1} < 1$

Mặt khác $u_{2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0$

=> Dãy số $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi số $1$ .
Câu 22: Thông hiểu

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính $Q_{3}$ ?
Đáp án: 164,7
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính $Q_{3}$ ?
Đáp án: 164,7
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
Tần số tích lũy
[0; 50)
5
5
[50; 100)
12
17
[100; 150)
23
40
[150; 200)
17
57
[200; 250)
3
60

N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow\frac{3N}{4} = 45$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}l = 150;\dfrac{3N}{4} = 45;m = 40;f = 17 \\c = 200 - 150 = 50 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{3} = 150 + \frac{45 -40}{17}.50 = \frac{2800}{17}$
Câu 23: Vận dụng cao
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1$ .
- A.
  $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{10}}{5}$
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:
$\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1$
$\Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1$
$\Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x$
$\Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Với $tanx = 0$ ta được nghiệm $x=k\pi$
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với $tanx = 3$ ta được $x = acrtan 3 + kπ$
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
$\begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Số học sinh lớp 11H là:
- A.
  48
- B.
  50
- C.
  46
- D.
  50
Số học sinh lớp 11H là:
5 + 12 + 10 + 6 + 5 + 8 = 46 (học sinh)
Câu 25: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 26: Thông hiểu
Điều kiện xác định của hàm số: $y=\frac{{{\sin}^{2}}x+3\cos x+1}{\sin\frac{x}{2}}$
- A. $xe\frac{k\pi}{4}$
- B. $xe k\pi$
- C. $xe\frac{k\pi}{2}$
- D. $xe k2\pi$
Điều kiện xác định của hàm số:
$\sin \frac{x}{2} e 0$
$\Rightarrow \frac{x}{2} e k\pi$
$\Rightarrow x e k2\pi$
Câu 27: Thông hiểu

Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11
23
31
17
24
38
37
7
12
5
8
15
33
19
27
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4

Đáp án là:

Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11
23
31
17
24
38
37
7
12
5
8
15
33
19
27
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4

Ta có:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4
Câu 28: Vận dụng
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(u_n) có ${u_1} = - 3;q = - 2$
- A. ${S_{10}} = - 511$
- B. ${S_{10}} = - 1025$
- C. ${S_{10}} = 1025$
- D. ${S_{10}} = 1023$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3.\frac{{1 - {{\left( { - 2} ight)}^{10}}}}{{1 + 2}} = 1023$
Câu 29: Nhận biết
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Ảnh của $A,B'$ qua phép chiếu song song với phương $CD'$ mặt phẳng chiếu $(ABB'A')$ lần lượt là:
- A.
  $A',B'$
- B.
  $B,B'$
- C.
  $A,C'$
- D.
  Không xác định
Hình vẽ minh họa

Do $CD'//\ BA' = >CD'//(ABB'A')$

Nên phương chiếu $CD'$ không cắt mặt phẳng chiếu $(ABB'A')$ .

Vì vậy ta không xác định được ảnh của A, B’ qua phép chiếu song song phương $CD'$ mặt phẳng chiếu $(ABB'A')$ .
Câu 30: Thông hiểu
Cho $a,b$ là các số thực khác $0$ . Tìm điều kiện của $a,b$ để giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$
- A.
  $\frac{a - 1}{b} = 3$
- B.
  $\frac{a + 1}{b} = 3$
- C.
  $\frac{- a - 1}{b} = 3$
- D.
  $\frac{a - 1}{- b} = 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} = 3$

$\Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} = 3$
Câu 31: Vận dụng cao
Tổng $S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng?
- A.
  $\frac{99}{98}$
- B.
  $\frac{90}{99}$
- C.
  $\frac{98}{99}$
- D.
  1
Ta có $\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots$
Do đó $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}$
Câu 32: Vận dụng cao
Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y =\sqrt{1 + \frac{1}{2}cos^{2}x} + \frac{1}{2}\sqrt{5 +2sin^{2}x}$
- A.
  $\frac{\sqrt{11}}{2}$
- B.
  $1 + \sqrt{5}$
- C.
  $1 +\frac{\sqrt{5}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{22}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix}y = \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5 + 2sin^{2}x}\hfill \\= \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \sqrt{\dfrac{5}{4} +\dfrac{1}{2}sin^{2}x}\hfill \\\end{matrix}$
Áp dụng bất đẳng thức $2\left( a^{2} +b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}$
Do đó
$\begin{matrix} 2\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}x} ight) + \left( {\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} ight)} ight] \geqslant {y^2} \hfill \\ {y^2} \leqslant 2\left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{{11}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Dấu bằng xảy ra khi
$\begin{matrix} 1 + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Nhận biết
Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau.
- B.
  Nếu c // a thì c // b hoặc c ≡ b.
- C.
  Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau.
- D.
  Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Câu 34: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $A'D'$ . Gọi mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $M$ và song song với $AC,BB'$ . Giả sử $BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}$ . Tỉ lệ độ dài của $TB$ và $TC$ là:
- A.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{TB}{TC} = 3$
- C.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{TB}{TC} = 2$
Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của $AD,DC,D'C'$ lần lượt là $N,P,E$ .

Dễ thấy $(MNPE) \in (\gamma)$

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $BC \cap NP = T$

Xét tam giác $\Delta NDP$ và tam giác $\Delta PCT$ ta có:

$\widehat{DPN} = \widehat{TPC}$ (đối đỉnh)

$DP = PC$

$\widehat{NDP} = \widehat{PCT}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT$

$\Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$

Vậy $TB = 3TC$ hay $\frac{TB}{TC} = 3$
Câu 35: Thông hiểu
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là:
- A.
  $70$
- B.
  $75$
- C.
  $60$
- D.
  $65$
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư (hay nhóm [60; 80)) là $\frac{60 + 80}{2} = 70$ .
Câu 36: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , gọi $I = RQ \cap BD$ .

Trong $(ABD)$ , gọi $S = PI \cap AD$ $\Rightarrow S = AD \cap (PQR)$ .

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , dựng $DE//BC$ $\Rightarrow DE$ là đường trung bình của tam giác $IBR$ .

$\Rightarrow \ D$ là trung điểm của $BI$ .

Trong $(ABD)$ , dựng $DF//AB$ $\Rightarrow \frac{DF}{BP} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{DF}{PA} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{SA}{SD} = 2$ .
Câu 37: Vận dụng
Số nghiệm của phương trình $\cos 2x +1=0$ trên đoạn $[0; 1000 \pi]$ là?
- A. 1000
- B. 999
- C. 2000
- D. 1001
Ta có: $\cos 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$
Ta có: $0 \leqslant \frac{\pi }{2} + k\pi \leqslant 1000\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leqslant k \leqslant \frac{{1999}}{2}$ .
Ta được $k \in \left\{ {0;1;2;...999} ight\}$ .
Có 1000 giá trị k, ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên $[0; 1000 \pi]$ .
Câu 38: Nhận biết
Dãy số có các số hạng cho bởi $- 1;1; - 1;1;...$ có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 1$
- B.
  $u_{n} = - 1$
- C.
  $u_{n} = ( - 1)^{n}$
- D.
  $u_{n} = ( - 1)^{n +1}$
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án $u_{n} = 1$ và $u_{n} = - 1$
Ta có: $u_{1} = - 1$ ở các đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n}$ và $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}$
Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1$
Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1$
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là $u_{n} = ( - 1)^{n}$
Câu 39: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AB//CD;AB = 2CD$ . Gọi $I;J;H;K$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA;AB;CD;SD$ thỏa mãn $3SI = SA;JA = 2JB;$ $2CD = 3CK;SH = 2DH$ . Biết $AC \cap BD = O$ và $E$ là trung điểm của $SB$ . Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) $(IJK) \cap (ABCD) = OK$ Đúng||Sai
b) $(IJK) \cap (SBD) = OH$ Đúng||Sai
c) $IH//CE$ Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là một hình thang. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AB//CD;AB = 2CD$ . Gọi $I;J;H;K$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA;AB;CD;SD$ thỏa mãn $3SI = SA;JA = 2JB;$ $2CD = 3CK;SH = 2DH$ . Biết $AC \cap BD = O$ và $E$ là trung điểm của $SB$ . Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) $(IJK) \cap (ABCD) = OK$ Đúng||Sai
b) $(IJK) \cap (SBD) = OH$ Đúng||Sai
c) $IH//CE$ Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là một hình thang. Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa
Xét tam giác DBC có $\frac{DO}{DB} =\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//BC$
Xét tam giác ABC có: $\frac{AO}{AC} =\frac{AJ}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow OJ//BC$
Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng
Suy ra $(IJK) \cap (ABCD) = OK$ đúng
Tương tự ta cũng chúng minh được $OH//IJ$ (Vì $OH//SB;IJ//SB$ )
Suy ra $H \in (IJO) \Rightarrow (IJO) \cap(SBD) = OH$
Gọi F là trung điểm của SA khi đó $\frac{SI}{SF} = \frac{SH}{SD} = \frac{2}{3}\Rightarrow IH//DF$
Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.
Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.
Câu 40: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{m -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = m \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + m}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} m \in (0;20);m\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{m + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 1;6;13 ight\}$
Câu 41: Nhận biết
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)
Số ngày
2
7
7
3
1
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.
- A.
  $\lbrack 9;11)$
- B.
  $\lbrack 7;9)$
- C.
  $\lbrack 11;13)$
- D.
  $\lbrack 13;15)$
Ta có:
Doanh thu
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)

Số ngày
2
7
7
3
1
N = 20
Tần số tích lũy
2
9
16
19
20

Cỡ mẫu $N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} =15$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)
(Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Câu 42: Thông hiểu
Đổi số đo của góc $- \frac{3\pi}{16}rad$ sang đơn vị độ, phút, giây
- A.
  $33^{0}45'$
- B.
  $- 19^{0}30'$
- C.
  $- 33^{0}45'$
- D.
  $- 32^{0}55'$
Cách 1: Từ công thức $\alpha = \frac{m\pi}{180} \Rightarrow m = \left( \frac{\alpha.180}{\pi} ight)^{0}$ khi đó:

$m = \left( \dfrac{\dfrac{-3\pi}{16}.180}{\pi} ight)^{0} = \left( - \dfrac{135}{4} ight)^{0} = -33^{0}45'$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

Bước 2. Bấm (shift -3π ÷16) shift DRG 2 =
Câu 43: Thông hiểu
Dãy số $\left( u_{n} ight)$ có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây xác định một cấp số nhân?
- A.
  $U_{n} = 2020^{n}$
- B.
  $U_{n} = 2020^{n^{3}}$
- C.
  $U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}$
- D.
  $U_{n} = 2020n + 2019$
Xét dãy số $U_{n} = 2020^{n}$ ta có:

$\frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{n + 1}}{2020^{n}} = 2020;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $U_{n} = 2020^{n}$ là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

Xét dãy số $U_{n} = 2020^{n^{3}}$

$\frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{(n + 1)^{3}}}{2020^{n^{3}}} = 2020^{3n^{2} + 3n + 1};\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $U_{n} = 2020^{n^{3}}$ không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

Xét dãy số $U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}$

$\frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{\frac{2020}{n + 1 + 2019}}{\frac{2020}{n + 2019}} = \frac{n + 2019}{n + 2020};\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}$ không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

Xét dãy số $U_{n} = 2020n + 2019$

$\frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020(n + 1) + 2019}{2020n + 2019} = \frac{2020n + 4039}{2020n + 2019};\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $U_{n} = 2020n + 2019$ không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân
Câu 44: Thông hiểu
Tính giới hạn $N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$ .
- A.
  $N = - \frac{2}{3}$
- B.
  $N = \frac{2}{3}$
- C.
  $N = \frac{4}{3}$
- D.
  $N = 0$
Ta có:

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = - \frac{2}{3}$
Câu 45: Nhận biết
Hàm số nào sau đây có chu kì khác $2\pi$ ?
- A.
  $y = \cos^{3}x$
- B.
  $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
- C.
  $y = \sin^{2}(x + 2)$
- D.
  $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight)$
Hàm số $y = \cos^{3}x = \frac{1}{4}(\cos3x +3\cos x)$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin^{2}(x + 2) = \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cos(2x + 4)$ có chu kì $\pi$ .

Hàm số $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(x + 2)$ có chu kì $2\pi$ .