Cho cấp số cộng
có
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Cho mặt phẳng
và hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét phương án “Nếu và
thì
” ta có:
Nếu thì
hoặc
chéo
, vậy phương án sai.
Xét phương án “Nếu và
thì
.” ta có:
Nếu thì
hoặc
, vậy phương án sai.
Xét phương án “Nếu và
thì
.” ta có:
Nếu , vậy phương án đúng.
Xét phương án “Nếu và
thì
” ta có:
Nếu thì
hoặc
chéo
hoặc
cắt
, vậy phương án sai.
Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là:
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Ta có và
nên loại C và D.
Ta thấy tại thì
. Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa mãn.
Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó:
Tập xác định của hàm số
là:
Ta có: xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Do đó
Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa).
Ta có: , do đó đẳng thức
sai.
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
, lấy
lần lượt là trung điểm của
và
. Giả sử
. Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Xét ba mặt phẳng
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà nên
.
Vậy đường thẳng đi qua
và song song với
.
Cho tứ diện
cạnh bằng 1. Gọi
là trung điểm của
,
đối xứng với
qua
,
đối xứng với
qua
. Xác định các giao điểm của mặt phẳng
với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.
Suy ra . Chứng minh tương tự ta có:
. Do đó ta có:
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:
Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:
Hàm số 
Ta có: liên tục tại
Tại ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Tại ta có:
Vậy hàm số bị gián đoạn tại
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Nhóm số liệu ghép nhóm có dạng
. Khi đó giá trị đại diện của nhóm tính bằng công thức nào sau đây?
Giá trị đại diện của một nhóm số liệu là trung bình cộng giá trị hai đầu mút của nhóm số liệu.
Công thức tính giá trị đại diện của nhóm là
bằng
Ta có:
Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[95; 105) | 9 |
[105; 115) | 13 |
[115; 125) | 26 |
[125; 135) | 30 |
[135; 145) | 12 |
[145; 155) | 10 |
Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm chiều cao nào?
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Tính tổng
.
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.
Điểm | Số học sinh |
[0; 10) | 2 |
[10; 20) | 6 |
[20; 30) | 8 |
[30; 40) | x |
[40; 50) | 30 |
[50; 60) | 22 |
[60; 70) | 18 |
[70; 80) | 8 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100) | 2 |
Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.
Ta có:
Điểm | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 2 | 2 |
[10; 20) | 6 | 8 |
[20; 30) | 8 | 16 |
[30; 40) | x | 16 + x |
[40; 50) | 30 | 46 + x |
[50; 60) | 22 | 68 + x |
[60; 70) | 18 | 86 + x |
[70; 80) | 8 | 94 + x |
[80; 90) | 4 | 98 + x |
[90; 100) | 2 | 100 + x |
| N = 100 + x |
|
Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)
Vậy số học sinh là 126 học sinh.
Với
, cho dãy số
gồm tất cả các số nguyên dương chia
dư
theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là
Các số nguyên dương chia dư
theo thứ tự tăng dần là
,
,
,
,…
Ta có ,
,
,
, …
Vậy
Cho dãy số (un) có
và c > d > 0. Dãy số (un) là dãy số tăng với điều kiện?
Xét hiệu .
Dãy số (un) là dãy số tăng khi ad − bc > 0
Mà c > d > 0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án a > 0, b < 0 để ad − bc > 0.
Cho dãy số
, biết
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
Ta có:
Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là:
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp
là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là
lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số
ở đó
là huyết áp tính theo đơn vị
( milimét thuỷ ngân) và thời gian
tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120
?
Đáp án: 1
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là
lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số
ở đó
là huyết áp tính theo đơn vị
( milimét thuỷ ngân) và thời gian
tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120
?
Đáp án: 1
Huyết áp là 120 khi
Xét
vì .
Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 .
Cho phương trình lượng giác ![]()
a) Với
, phương trình (*) có nghiệm là
Đúng||Sai
b) Với
, phương trình (*) có một nghiệm là
Đúng||Sai
c) Với
thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn
là 3. Sai||Đúng
d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng
Cho phương trình lượng giác
a) Với , phương trình (*) có nghiệm là
Đúng||Sai
b) Với , phương trình (*) có một nghiệm là
Đúng||Sai
c) Với thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn
là 3. Sai||Đúng
d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng
Thay vào (*) ta được:
Thay vào (*) ta được:
Với thì phương trình có nghiệm
.
Thay vào (*) ta được:
Vì xét nghiệm trên đoạn nên ta có:
Mà
Vậy với thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn
là 2.
d) Ta có:
Để phương trình có nghiệm thì
mà
Vậy số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 10.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Đáp án đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC
Đáp án đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD
Đáp án đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC
Đáp án sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.
Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là
. Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
Với số nguyên dương , kí hiệu
là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau
tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:
Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu
với công bội
nên
Số tiền rút được sau 2 năm là:
(đồng)
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điều kiện xác định của hàm số là:
Suy ra tập xác định của hàm số là:
Nên hàm số không liên tục tại các điểm .
Biết rằng hàm số
liên tục tại
(a là tham số. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Tập xác định
Theo giả thiết ta có:
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi
.
Theo bài ra ta có:
bằng
Ta có:
Do
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là
và
. Tìm
biết rằng công bội của cấp số nhân là
?
Ta có:
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là và
có công bội
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song
và
.
Mệnh đề đúng là: "Nếu và
không song song với nhau, điểm
không nằm trên
và
thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua
cắt cả
và
."
Cho hình chóp tứ giác
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên giao tuyến của chúng là đường thẳng
.
Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở. Tìm mốt của mẫu dữ liệu.
Thu nhập (nghìn đồng) | Hộ gia đình |
[0; 100) | 5 |
[100; 200) | 7 |
[200; 300) | 12 |
[300; 400) | 18 |
[400; 500) | 16 |
[500; 600) | 10 |
[600; 700) | 5 |
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 18 nằm trong nhóm
Thu nhập (nghìn đồng) | Hộ gia đình |
|
[0; 100) | 5 |
|
[100; 200) | 7 |
|
[200; 300) | 12 | |
[300; 400) | 18 | |
[400; 500) | 16 | |
[500; 600) | 10 |
|
[600; 700) | 5 |
|
Khi đó ta tính mốt như sau:
Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
Ta có
Vậy
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
, dãy nào là cấp số nhân?
Dãy là cấp số nhân có
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Chọn đáp án đúng?
Ta có:
Cân nặng (kg) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[45; 50) | 5 | 5 |
[50; 55) | 12 | 17 |
[55; 60) | 10 | 27 |
[60; 65) | 6 | 33 |
[65; 70) | 5 | 38 |
[70; 75) | 8 | 46 |
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Đổi số đo của góc
sang đơn vị radian?
Cách 1: Áp dụng công thức với
ta được:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.
Bước 2: Bấm 50 SHIFT Ans 1 =
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm, lấy
sao cho
và
sao cho bốn điểm
đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Vì lần lượt là trung điểm của
do đó
Mà hay
.
Nghiệm của phương trình tan (2x) -1 = 0 là?
Ta có:
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?