Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
,
đi qua
và
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
song song với đường thẳng
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
,
đi qua
và
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
song song với đường thẳng
.
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng
so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Đáp án: 666
Gọi là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ
(đơn vị tính: mét).
Ta có và
.
Vậy là cấp số nhân với số hạng đầu
và công bội
.
Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là
Cho dãy xác định bởi công thức
. Số hạng tổng quát của dãy un là?
Ta có
Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là
Thật vậy, n = 1 thì u1 = 3 (đúng).
Giả sử với n = k(k≥1) thì . Ta đi chứng minh
Ta có (điều phải chứng minh).
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
=> Loại đáp án A
=> Loại đáp án B
=> Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 2
Chọn đáp án C
=> Loại đáp án B
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
Dãy là một cấp số cộng
với d là hằng số.
Hay
=> Cấp số cộng cần tìm là:
Cho dãy số
với
trong đó a là tham số thực. tìm a để ![]()
Ta có:
Ta có:
Cho dãy số (un) thỏa mãn
và
với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là
Ta có
Dự đoán
Áp dụng theo quy nạp ta có: , công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có
Ta có
(vì với mọi k ≥ 1 ).
Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1
Vậy . Suy ra
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Ta có:
Hàm số là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định
nên hàm số
liên tục trên các khoảng
.
Do đó liên tục trên
.
Bảng dữ liệu dưới đây ghi lại chiều cao (h) của 40 học sinh.
Chiều cao (h) | Số học sinh |
130 < h ≤ 140 | 2 |
140 < h ≤ 150 | 4 |
150 < h ≤ 160 | 9 |
160 < h ≤ 170 | 13 |
170 < h ≤ 180 | 8 |
180 < h ≤ 190 | 3 |
190 < h ≤ 200 | 1 |
Độ lớn chênh lệch giữa tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba bằng bao nhiêu?
Ta có:
Chiều cao (h) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
130 < h ≤ 140 | 2 | 2 |
140 < h ≤ 150 | 4 | 6 |
150 < h ≤ 160 | 9 | 15 |
160 < h ≤ 170 | 13 | 28 |
170 < h ≤ 180 | 8 | 36 |
180 < h ≤ 190 | 3 | 39 |
190 < h ≤ 200 | 1 | 40 |
Tổng | N = 40 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: (150; 160]
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (170; 180]
Khi đó:
Tứ phân vị thứ ba là:
=> Độ lớn chênh lệch giữa tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba là:
bằng
Đặt .
Ta có khi
Vậy .
Phương trình lượng giác
có nghiệm là:
Ta có
Công thức nào sau đây đúng?
Công thức đúng là:
Tìm tập xác định của hàm số 
Hàm số xác định
Vậy tập xác định
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.
Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.
Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.
Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
. Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
. Đúng||Sai
d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là
. Sai||Đúng
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là . Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: . Đúng||Sai
d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là . Sai||Đúng
a) Điểm trung bình của lớp 11A là:
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
Ta có:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
N = 42 |
|
Tần số tích lũy |
5 |
14 |
26 |
36 |
42 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Mốt thuộc nhóm
Ta có:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
|
|
|
|
Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:
Dưới đây là sự phân bố một nhóm người theo mức thu nhập khác nhau:
Thu nhập (triệu đồng) | [0; 8) | [8; 16) | [16; 24) | [24; 32) | [32; 40) | [40; 48) |
Số người | 8 | 7 | 16 | 24 | 15 | 7 |
Tính mức thu nhập trung bình của nhóm người.
Mức thu nhập | |||
[0; 8) | 8 | 4 | 32 |
[8; 16) | 7 | 12 | 84 |
[16; 24) | 16 | 20 | 320 |
[24; 32) | 24 | 28 | 672 |
[32; 40) | 15 | 36 | 540 |
[40; 48) | 7 | 44 | 308 |
| N = 77 | 1956 | |
Mức thu nhập trung bình của nhóm người là:
Một cấp số nhân có số hạng đầu
, công bội q = 2. Biết
. Tìm n?
Ta có:
Kết quả kiểm tra cân nặng của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Cân nặng | Số học sinh |
[40,5; 45,5) | 7 |
[45,5; 50,5) | 16 |
[50,5; 55,5) | 10 |
[55,5; 60,5) | 5 |
[60,5; 65,5) | 4 |
[65,5; 70,5) | 2 |
Số học sinh lớp 11A kiểm tra cân nặng là: 44||50||52||48
Kết quả kiểm tra cân nặng của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Cân nặng | Số học sinh |
[40,5; 45,5) | 7 |
[45,5; 50,5) | 16 |
[50,5; 55,5) | 10 |
[55,5; 60,5) | 5 |
[60,5; 65,5) | 4 |
[65,5; 70,5) | 2 |
Số học sinh lớp 11A kiểm tra cân nặng là: 44||50||52||48
Số học sinh lớp 11A kiểm tra cân nặng là
7 + 16 + 10 + 5 + 4 + 2 = 44 (học sinh)
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày
cho bởi công thức
. Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là
?
Độ sâu của mực nước là thì h = 15.
Khi đó
Vì nên
Lại do
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với:
Hình vẽ minh họa
Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng đi qua S lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD tức song song với BI.
Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Trong không gian, cho ba đường thẳng
. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Nếu và
chéo nhau thì
và
không cùng thuộc một mặt phẳng.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính ![]()
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Cho tứ diện
có độ dài tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và tứ diện
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
Ta có:
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện
Tam giác ABD đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Tam giác ABC đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Gọi H là trung điểm của CD
Ta có:
Chiều cao một số cây được ghi lại trong bảng số liệu dưới đây:
Chiều cao h (cm) | Số cây |
130 < h ≤ 140 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 |
150 < h ≤ 160 | 5 |
Nhóm chứa trung vị là:
Ta có:
Chiều cao h (cm) | Số cây | Tần số tích lũy |
130 < h ≤ 140 | 3 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 | 10 |
150 < h ≤ 160 | 5 | 15 |
Tổng | N = 15 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: 140 < h ≤ 150
Tính giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức
Do đó
Dấu bằng xảy ra khi
Cho hình chóp
có các cạnh bên bằng nhau, đáy
là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua điểm
và song song với
. Các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Gọi
lần lượt là các giao điểm của
với
thì
.
Do đó là hình vuông và
Vậy diện tích tứ giác là .
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy A=2.
Tính giới hạn của hàm số
.
Ta có:
Một hãng taxi đưa ra giá cước
(đồng) khi đi quãng đường
(km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
. Tìm
để hàm số
liên tục tại
.
Đáp án: 1000
Một hãng taxi đưa ra giá cước (đồng) khi đi quãng đường
(km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
. Tìm
để hàm số
liên tục tại
.
Đáp án: 1000
Tại ta có:
.
.
Hàm số liên tục tại thì
.
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
a) Ta có:
.
b) (do
và
).
c) Ta có:
Do và
.
d) Ta có:
Nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 là:
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
và
. Giao điểm của
với
là điểm
. Hãy chọn cách xác định điểm
đúng nhất trong bốn phương án sau.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
.
Mà nên
Cho
với
. Phải bổ sung thêm giá trị
bằng bao nhiêu thì hàm số
liên tục trên
?
Ta có:
Để hàm số liên tục trên thì
Cho hai dãy số
với
và
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.
Ta có:
=>
=> Mx cắt SC tại N.
Ta có:
=>
=> Qx cắt SD tại P
Tứ giác BCDE là hình bình hành
=> CD // BE // MQ
=> CD // (α).
Ta có:
=>
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.
Cho dãy số (un) với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số là dãy số không bị chặn vì
Cho cấp số cộng
. Tính ![]()
Ta có:
Cho hàm số
. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?
Tập xác định:
Hàm số tuần hoàn với chu kì
, dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên
Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số
đồng biến trên khoảng
và
.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Tính mốt?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
|
[0; 50) | 5 |
|
[50; 100) | 12 | |
[100; 150) | 23 | |
[150; 200) | 17 | |
[200; 250) | 3 |
|
| N = 60 |
|
Ta có:
=> Mốt của dấu hiệu là:
Cho
và
là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương
, có kết luận gì về
?
Ta có:
là một số nguyên
cũng là một số nguyên
Ta sẽ chứng minh là một số nguyên.
Ta có:
là một số nguyên
Giả sử là số nguyên với
. Ta sẽ chứng minh
cũng là số nguyên.
Ta có:
Theo giả thiết quy nạp ta có:
Vậy là một số nguyên.