Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \sin n - \cos n$ . Dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?
- A.
  0
- B.
  -1
- C.
  $-\sqrt{2}$
- D.
  Không bị chặn dưới.
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = \sin n - \cos n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\sin n - \sin \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow 1 \geqslant \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \geqslant \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Thông hiểu
Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[95; 105)
9
[105; 115)
13
[115; 125)
26
[125; 135)
30
[135; 145)
12
[145; 155)
10
Tìm mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
- A.
  $120,5$
- B.
  $123,4$
- C.
  $126,8$
- D.
  $122,3$
Ta có:
Chiều cao (cm)
Số học sinh

[95; 105)
9

[105; 115)
13

[115; 125)
26
$f_{0}$
[125; 135)
30
$f_{1}$
[135; 145)
12
$f_{2}$
[145; 155)
10

Tổng
N = 100

Ta có: Nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm là: [125; 135)
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 125;f_{0} = 26 \\f_{1} = 30,f_{2} = 12;d = 135 - 125 = 10 \\\end{matrix} ight.$
Mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1}- f_{0} - f_{2}}.d$
$\Rightarrow M_{0} = 125 + \frac{30 -26}{2.30 - 26 - 12}.10 = 126,8$
Câu 3: Thông hiểu
Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d = 3$
- C.
  $d = 4$
- D.
  $d = 5$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}u_{12} = 23 \\S_{12} = 144 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 11d = 23 \\\dfrac{12}{2}.\left( u_{1} + u_{12} ight) = 144 \\\end{matrix} ight.$
=> d = 2
Câu 4: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,17232323...$ được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $m - n > 2^{15}$
- B.
  $m - n > 2^{14}$
- C.
  $m - n > 2^{13}$
- D.
  $m - n > 2^{12}$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,17232323.... \hfill \\ = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\ = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 853 \\ n = 4950 \\ \end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.$
Câu 5: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có công bội âm. Biết $u_{3} = 12;u_{7} = 192$ . Khi đó $u_{10} = ?$
- A.
  $1536$
- B.
  $3072$
- C.
  $- 1536$
- D.
  $- 3072$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16$

$\Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536$

Câu 6: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 7: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 8: Nhận biết
Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt 3 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{{5\pi }}{6} \in S$
- B. $\frac{{11\pi }}{6} \in S$
- C. $\frac{{13\pi }}{6} \in S$
- D. $-\frac{{13\pi }}{6} \in S$
Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Nhận thấy với nghiệm $x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n}=\frac{-n}{n+1}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
- A.
  $-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}$
- B.
  $-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6};-\frac{6}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}$
- D.
  $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ {u_2} = \dfrac{{ - 2}}{{2 + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{3} \hfill \\ {u_3} = \dfrac{{ - 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{4} \hfill \\ {u_4} = \dfrac{{ - 4}}{{4 + 1}} = \dfrac{{ - 4}}{5} \hfill \\ {u_5} = \dfrac{{ - 5}}{{5 + 1}} = \dfrac{{ - 5}}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: $-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}$
Câu 10: Thông hiểu
Tính khoảng biến thiên của mẫu dữ liệu cho dưới đây:
Khoảng thời gian học (phút)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
Tần số
2
3
14
8
3
8
2
- A.
  $70$
- B.
  $10$
- C.
  $60$
- D.
  $50$
Khoảng biến thiên mẫu dữ liệu ghép nhóm được đưa ra bởi công thức:
Khoảng biến thiên = Giới hạn trên của khoảng cao nhất – Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất
Giới hạn trên của khoảng cao nhất là: 80
Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất là: 10
=> Khoảng biến thiên là: $80 – 10 = 70$
Câu 11: Nhận biết
Giá trị đại diện của nhóm $\lbrack 60;80)$ là
- A.
  $40$ .
- B.
  $70$ .
- C.
  $60$ .
- D.
  $30$ .
Ta có giá trị đại diện là $\frac{60 + 80}{2} = 70$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. 3
Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$
$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$
Do đó
$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$
+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .
+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là
$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Với n = 1 ta có − 2 ≤ u₁ ≤ 1 (đúng).

Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ u_k ≤ 1

$\Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.
Câu 14: Nhận biết
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $1; - 3; - 6; - 9; - 12$ .
- B.
  $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ .
- C.
  $1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .
- D.
  $1; - 2; - 4; - 6; - 8$ .
Ta có dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$ .
Câu 15: Nhận biết
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = 2^{n}$
- C.
  $u_{n} = 2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 2n$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}$
Câu 16: Thông hiểu
Nếu $\sin(a + b) = 0$ thì khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \sin a ight|$
- B.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \sin b ight|$
- C.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos a ight|$
- D.
  $\left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos b ight|$
Ta có:

$\sin(a + b) = 0 \Rightarrow a + b = k\pi$

$\Rightarrow a = - b + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta lại có:

$\Rightarrow \left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos( - b + 2b + k\pi) ight|$

$= \left| \cos(b + k\pi) ight| = \left| \cos b ight|$
Câu 17: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).
- B.
  Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.
- C.
  Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D.
  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q).
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Câu 18: Nhận biết
Tìm tập các định D của hàm số $y = \frac{2020}{\sin x}$
- A.
  $D\mathbb{= R}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k\mathbb{\in Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 19: Vận dụng
Cho hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $O,O'$ lần lượt là tâm của $ABCD,A'B'C'D'$ . Trung điểm của $AB,CD$ lần lượt là $M,N$ . Xác định hình chiếu của tam giác $C'MN$ qua phép chiếu song song phương $AO'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ .
- A.
  Đoạn thẳng $MN$
- B.
  Điểm $O$
- C.
  Tam giác $CMN$
- D.
  Đoạn thẳng $DB$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO = C'O' \\ C'O'//AO \\ \end{matrix} ight.$ nên tứ giác $O'C'OA$ là hình bình hành.

$\Rightarrow C'O//AO'$

Do đó hình chiếu của điểm $O'$ qua phép chiếu song song theo phương $O'A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$ .

Mặt khác $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ nên hình chiếu của $M,N$ qua phép chiếu song song $O'A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt là điểm $M$ và $N$ .

Vậy qua phép chiếu song song theo phương $AO'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ thì hình chiếu của tam giác $C'MN$ là đoạn thẳng $MN$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ , biết $AC \cap BD \equiv M$ và $AB \cap CD \equiv N$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .
- A.
  $SB$
- B.
  $SM$
- C.
  $SC$
- D.
  $SN$
Hình vẽ minh họa

Ta có $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Vì $AC \cap BD \equiv M$ nên $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SM$ .
Câu 21: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}$ trong đó a là tham số thực. tìm a để $\lim u_{n} = - 1$
- A.
  $a = 3$
- B.
  $a = 2$
- C.
  $a = - 2$
- D.
  $a = - 3$
Ta có:

$\lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a.n + 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)$

$= \lim\left( \frac{a.n + 4}{\sqrt{n^{2} + a.n + 5} + \sqrt{n^{2} + 1}} ight)$

$= \lim\left( \dfrac{a +\dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 + \dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}} ight) = \dfrac{a}{2}$

Ta có: $\lim u_{n} = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2} = - 1 \Rightarrow a = - 2$
Câu 22: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 0$
- A. $m\in (-2;-1)$
- B.
  $m\leq -2$
- C.
  $m\in [-1;7)$
- D.
  $m\in [7;+\infty ]$
Với mọi $x e 0$ ta có:
$0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0$ khi $x \to 0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Theo giả thiết ta phải có: $\mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Câu 23: Nhận biết
Mỗi ngày, bạn Chi đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường trung bình mà bạn Chi chạy được là?
- A.
  3,41.
- B.
  3,39.
- C.
  3,45.
- D.
  3,36.
Ta có bảng tần số ghép nhóm chứa giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu là: n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{2,85.3 + 3,15.6 + 3,45.5 + 3,75.4 + 4,05.2}{20} = 3,39.$
Câu 24: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Phép chiếu song song theo phương $AB$ lên mặt phẳng $(SBC)$ biến điểm $A$ thành:
- A.
  Điểm $S$
- B.
  Điểm $B$
- C.
  Điểm $C$
- D.
  Trung điểm của $BC$
Do $AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\}$ suy ra hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $AB$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm $B$ .
Câu 25: Nhận biết
Giá trị của $\lim\frac{1 - n^{2}}{n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M}$ thỏa mãn $\frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M$

$\Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}$ .

Ta có:

$\frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty$

Vậy $\lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty$ .
Câu 26: Thông hiểu
Giá trị của $F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  8
- D.
  1
Ta có:

$F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}$

$= \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8$
Câu 27: Nhận biết
Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Ba giao tuyến này đôi một song song
- B.
  Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song
- C.
  Ba giao tuyến này đồng quy
- D.
  Ba giao tuyến này đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác.
Khẳng định đúng: "Ba giao tuyến này hoặc đồng quy hoặc đôi một song song."
Câu 28: Thông hiểu
Biết rằng $\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\mathbb{\in N}$ . Tính $a + b$ .
- A.
  $5$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $0$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$

$= \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 2}{x +3} = \frac{1}{6} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 6$ .

Vậy: $a + b = 7$ .
Câu 29: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có:

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 30: Thông hiểu
Số nghiệm của phương trình: $\sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0$
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Điều kiện xác định: $x \in \left[ { - 1;1} ight]$
$\begin{matrix} \sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - {x^2}} = 0} \\ {\sin x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {x^2} = 0} \\ {x = k\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 1} \\ {x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Với k = 0 => x = 0 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm.
Câu 31: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a \in (0;2025)$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$

Đáp án: 2024

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a \in (0;2025)$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$

Đáp án: 2024

TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có:

$f( - 1) = 2a + 4$

$\lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4$

Để hàm số gián đoạn tại $x = - 1$ thì $\lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)$

$\Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4$

Vậy có $2024$ giá trị nguyên của $a \in (0;2025)$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$
Câu 32: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 33: Nhận biết
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây?
- A.
  $\sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha$
- B.
  $\sin2\alpha =2\sin\alpha$
- C.
  $\sin2\alpha = \sin\alpha +\cos\alpha$
- D.
  $\sin2\alpha = \cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha$
Công thức đúng là: $\sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha$
Câu 34: Thông hiểu
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
- A. $y = \sin x$
- B. $y = x + \sin x$
- C. $y = x\cos x$
- D. $y = \frac{{\sin x}}{x}$
Hàm số $y = x + \sin x$ không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}$ .
Giả sử $f\left( {x + T} ight) = f\left( x ight),{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}$
$\Leftrightarrow \left( {x + T} ight) + \sin \left( {x + T} ight) = x + \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}$
. $\Leftrightarrow T + \sin \left( {x + T} ight) = \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}} (*)$
Cho x = 0 và x = π, ta được
$\left\{ \begin{gathered} T + \sin x = \sin 0 = 0 \hfill \\ T + \sin \left( {\pi + T} ight) = \sin \pi = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\xrightarrow{{}}2T + \sin T + \sin \left( {\pi + T} ight) = 0 \Leftrightarrow T = 0$
Điều này trái với định nghĩa là T > 0
Vậy hàm số $y = x + \sin x$ không phải là hàm số tuần hoàn.
Tương tự chứng minh cho các hàm số $y = x\cos x$ và $y = \frac{{\sin x}}{x}$ không tuần hoàn.
Câu 35: Thông hiểu
Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  MN song song với SA
- B.
  MN và SA cắt nhau
- C.
  MN và SA chéo nhau
- D.
  MN và SA không đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Ta có: $2NC = SN \Rightarrow \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$
M là trọng tâm tam giác BCD => $\frac{{MC}}{{OC}} = \frac{2}{3}$
ABCD là hình bình hành => $AO = OC$
=> $\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MC}}{{2OC}} = \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{3}$
Xét tam giác SAC có:
$\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$
Theo định lí Ta - lét suy ra $MN // SA$
Câu 36: Vận dụng
Với mọi số nguyên dương $n$ , tổng $S_{n}=n^{3}+11n$ chia hết cho:
- A.
  6
- B.
  4
- C.
  9
- D.
  12
Với $n=1$ ta có: ${S_1} = 1 + 11 = 12$ không chia hết cho 9.
Với $n=2$ ta có: ${S_2} = {2^3} + 11.2 = 30$ không chia hết cho 4 và 12
Ta sẽ chứng minh $S_{n}=n^{3}+11n$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương $n$
Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ nghĩa là ${S_k} = {k^3} + 11k$ chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với $n=k+1$ tức là:
${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11.\left( {k + 1} ight)$ cũng chia hết cho 6
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11.\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 11k} ight) + \left( {3{k^2} + 3k} ight) + 12 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 11k} ight) + 3k\left( {k + 1} ight) + 12 \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có: $\left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 11k} ight) \vdots 6 \hfill \\ 12 \vdots 6 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ ta cần chứng minh $3k\left( {k + 1} ight) \vdots 6$
Thật vậy $k\left( {k + 1} ight)$ là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên $k\left( {k + 1} ight) \vdots 2$
Mặt khác $3k\left( {k + 1} ight) \vdots 3$ và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên $3k\left( {k + 1} ight) \vdots 6$
Vậy ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 11k$ chia hết cho 6 hay $S_{n}=n^{3}+11n$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương $n$ .
Câu 37: Vận dụng cao
Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 38: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 39: Vận dụng
Phương trình $\sin 2x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ ?
- A. 18
- B. 16
- C. 14
- D. 12
Ta có: $\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ 2x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
* Trường hợp 1: $x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{89}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 1 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{13\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{25\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{37\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{49\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{61\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{73\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{85\pi }{{12}}$ .
* Trường hợp 2: $x = \frac{5\pi }{{12}} + k\pi$ , $\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Vì $0 < x < \frac{{15\pi }}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi < \frac{{15\pi }}{2}$
$\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{85}}{{12}}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} ight\}$ .
Vậy có tất cả 8 giá trị k tương ứng với trường hợp 2 có 8 nghiệm là:
$x = \frac{5\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{17\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{29\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{41\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{53\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{65\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{77\pi }{{12}}$ ; $x = \frac{89\pi }{{12}}$ .
Vậy trên khoảng $\left( {0;\frac{{15\pi }}{2}} ight)$ phương trình đã cho có tất cả là 16 nghiệm.
Câu 40: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm được ghi trong bảng dưới đây:
Khoảng
Tần số
Nhỏ hơn 10
10
Nhỏ hơn 20
20
Nhỏ hơn 30
30
Nhỏ hơn 40
40
Nhỏ hơn 50
50
Nhỏ hơn 60
30
Tính giá trị tứ phân vị thứ ba.
- A.
  $Q_{3} = 44,83$
- B.
  $Q_{3} = 42,15$
- C.
  $Q_{3} = 46,25$
- D.
  $Q_{3} = 47,3$
Ta có:
Nhóm dữ liệu
Tần số
Tần số tích lũy
(0; 10]
10
10
(10; 20]
20
30
(20; 30]
30
60
(30; 40]
50
110
(40; 50]
40
150
(50; 60]
30
180
Tổng
N = 180

Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.180}{4} =135$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 40;\dfrac{3N}{4} = 135 \\m = 110,f = 40,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 40 + \frac{135 -110}{40}.10 = 46,25$
Câu 41: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$ bằng:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $-\infty$
- D.
  $+\infty$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = - \infty$
Do $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} ight) = 3 \hfill \\ x \to {1^ - } \Rightarrow x - 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 42: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Câu 43: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Biết rằng $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2$ khi đó $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1$ Đúng||Sai

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight)$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty$ Sai||Đúng

d) Cho hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x eq 0$ thỏa mãn $f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Biết rằng $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 2$ khi đó $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = - 1$ Đúng||Sai

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight)$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = + \infty$ Sai||Đúng

d) Cho hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x eq 0$ thỏa mãn $f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{f\left( x ight)}}{{x - \sqrt 2 }} = 0$ Sai||Đúng

a) Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = \lim_{x ightarrow 1}f(x) + \lim_{x ightarrow 1}g(x) = - 1$

b) Ta có:

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là $\lim_{x ightarrow a^{+}}f(x) = f(a);\lim_{x ightarrow b^{-}}f(x) = f(b)$

c) $\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{3x^{4} - 2x}{5x + 1} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} ight)}{x\left( 5 +\dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x^{3}.\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}}}{5 + \dfrac{1}{x}} ight)$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{3 - \frac{2}{{{x^3}}}}}{{5 + \frac{1}{x}}}} ight) = \frac{3}{5} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^4} - 2x}}{{5x + 1}} = - \infty$

d) Ta có:

$f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} ight) = 3x;(x eq 0)(*)$

$\Rightarrow f\left( \frac{1}{x} ight) + 2f(x) = \frac{3}{x};(x eq 0)(**)$

Từ (*) và (**) ta có:

$\left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 2f(x) = \dfrac{3}{x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}f(x) + 2f\left( \dfrac{1}{x} ight) = 3x \\2f\left( \dfrac{1}{x} ight) + 4f(x) = \dfrac{6}{x} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow f(x) = - x + \frac{2}{x}$

Do đó: $\lim_{x ightarrow\sqrt{2}}\dfrac{f(x)}{x - \sqrt{2}} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\left(\dfrac{- x + \dfrac{2}{x}}{x - \sqrt{2}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)\left( x + \sqrt{2} ight)}{x\left( x - \sqrt{2} ight)} = \lim_{x ightarrow \sqrt{2}}\frac{- \left( x - \sqrt{2} ight)}{x} = - 2$
Câu 44: Vận dụng
Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là $125cm^{3}$ và diện tích toàn phần là $175cm^{2}$ . Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.
- A.
  $17,5$
- B.
  $17,25$
- C.
  $18,125$
- D.
  $18,3$
Ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là $\frac{a}{q};q;aq$ .

Thể tích khối hộp chữ nhật: $V = \frac{a}{q}.a.a.q = a^{3} = 125 \Rightarrow a = 5$

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

$S_{tp} = 2.\left( \frac{a}{q}.a + a.a.q + a.q + \frac{a}{q} ight)$

$= 2a^{2}\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight) = 50.\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight)$

Theo giả thiết ta có:

$50.\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight) =175 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}q = 2 \\q = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $q = 2$ hoặc $q = \frac{1}{2}$ thì kích thước của hình hộp chữ nhật là $2,5cm;5cm;10cm$

=> Tổng các kích thước là 17,5cm.
Câu 45: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AB//CD;AB = 2CD$ . Gọi $I;J;H;K$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA;AB;CD;SD$ thỏa mãn $3SI = SA;JA = 2JB;$ $2CD = 3CK;SH = 2DH$ . Biết $AC \cap BD = O$ và $E$ là trung điểm của $SB$ . Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) $(IJK) \cap (ABCD) = OK$ Đúng||Sai
b) $(IJK) \cap (SBD) = OH$ Đúng||Sai
c) $IH//CE$ Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là một hình thang. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AB//CD;AB = 2CD$ . Gọi $I;J;H;K$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA;AB;CD;SD$ thỏa mãn $3SI = SA;JA = 2JB;$ $2CD = 3CK;SH = 2DH$ . Biết $AC \cap BD = O$ và $E$ là trung điểm của $SB$ . Phân tích sự đúng sai của các phát biểu dưới đây?
a) $(IJK) \cap (ABCD) = OK$ Đúng||Sai
b) $(IJK) \cap (SBD) = OH$ Đúng||Sai
c) $IH//CE$ Đúng||Sai
d) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(IJK)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là một hình thang. Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa
Xét tam giác DBC có $\frac{DO}{DB} =\frac{DK}{DC} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//BC$
Xét tam giác ABC có: $\frac{AO}{AC} =\frac{AJ}{AB} = \frac{2}{3} \Rightarrow OJ//BC$
Suy ra ba điểm O; K; J thẳng hàng
Suy ra $(IJK) \cap (ABCD) = OK$ đúng
Tương tự ta cũng chúng minh được $OH//IJ$ (Vì $OH//SB;IJ//SB$ )
Suy ra $H \in (IJO) \Rightarrow (IJO) \cap(SBD) = OH$
Gọi F là trung điểm của SA khi đó $\frac{SI}{SF} = \frac{SH}{SD} = \frac{2}{3}\Rightarrow IH//DF$
Mà tứ giác CDEF là hình bình hành nên CE // DF. Từ đó suy ra IH // CE.
Ta lại có: IJKH là thiết diện của hình chóp S.ABCD và (IJK) và nó không là hình thang.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[95; 105)	9
[105; 115)	13
[115; 125)	26
[125; 135)	30
[135; 145)	12
[145; 155)	10

Khoảng thời gian học (phút)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)
Tần số	2	3	14	8	3	8	2

Khoảng	Tần số
Nhỏ hơn 10	10
Nhỏ hơn 20	20
Nhỏ hơn 30	30
Nhỏ hơn 40	40
Nhỏ hơn 50	50
Nhỏ hơn 60	30

Nhóm dữ liệu	Tần số	Tần số tích lũy
(0; 10]	10	10
(10; 20]	20	30
(20; 30]	30	60
(30; 40]	50	110
(40; 50]	40	150
(50; 60]	30	180
Tổng	N = 180