Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm giới hạn H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 2: Vận dụng

    Tìm các giá trị nguyên của a thuộc (0;20)sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \dfrac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} ight) = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\left( \dfrac{1}{2^{n}} ight) = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}= 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} a \in (0;20),a\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 1;6;13 ight\}

    Vậy có ba giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

  • Câu 4: Vận dụng

    Hoàn thành mẫu dữ liệu ghép nhóm sau. 

    Nhóm

    Tần số

    (0;10]

    8

    (10;20]

    14

    (20;30]

    12

    (30;40]

    9

    (40;50]

    7

    Ghép nối các nội dung thích hợp với nhau:

    Trung vị
    Tứ phân vị thứ nhất
    Tứ phân vị thứ ba
    22,5
    13,2
    33,9
    Đáp án đúng là:
    Trung vị
    Tứ phân vị thứ nhất
    Tứ phân vị thứ ba
    22,5
    13,2
    33,9
  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:

    Chiều cao

    Số cây

    [145; 150)

    25

    [150; 155)

    50

    [155; 160)

    200

    [160; 165)

    175

    [165; 170)

    50

    Giá trị đại diện cho nhóm [155; 160) bằng:

    Giá trị đại diện của nhóm [155; 160) là \frac{155 + 160}{2} = 157,5

  • Câu 7: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số: y = \frac{1}{{\sin x}} + 3\tan x

     Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x e 0} \\ {\cos x e 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \sin x.\cos x e 0 \hfill \\ \Rightarrow \sin 2x e 0 \Rightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

    Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

    Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

    Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 9: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về "góc lượng giác"?

    Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác.

  • Câu 10: Nhận biết

    Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng

     Kí hiệu tên của mặt phẳng là (P).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

     

    a) Xét hàm số \cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x) có tập xác định D = \lbrack 0; + \infty)

     

    Hàm số liên tục trên \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack ta có: f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}

    Vì f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight).

    b) Ta có:

    x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0

    d) Ta có: D = \mathbb{R}

    với x eq 0 thì f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x} là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi x eq 0. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng ( - \infty;0),(0; + \infty)

    Tại x = 0 ta có: \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2

    Để hàm số liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2.

    Vậy để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị là 2.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng d ⊄ (\alpha). Khẳng định nào sau đây là sai?

    Mệnh đề “Nếu d\ //\ (\alpha) và b \subset (\alpha) thì b\ //\ d“ sai vì b và d có thể chéo nhau.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Giá trị của D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1} bằng:

    D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1}

    = \dfrac{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^{2}} +\dfrac{2}{n^{4}}}{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{4}}} = \dfrac{0}{1} =0

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.

    Hàm số xác định khi và chỉ khi 

    1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1 \,\,(*)

    Mà - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 nên \left( * ight) \Leftrightarrow \sin x e 1 \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=\frac{-n}{n+1}. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ {u_2} = \dfrac{{ - 2}}{{2 + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{3} \hfill \\ {u_3} = \dfrac{{ - 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{4} \hfill \\ {u_4} = \dfrac{{ - 4}}{{4 + 1}} = \dfrac{{ - 4}}{5} \hfill \\ {u_5} = \dfrac{{ - 5}}{{5 + 1}} = \dfrac{{ - 5}}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: -\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q . Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) SI//AB. Sai||Đúng

    b) SI//AC. Sai||Đúng

    c) SI//AD. Đúng||Sai

    d) SI//BD. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q . Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) SI//AB. Sai||Đúng

    b) SI//AC. Sai||Đúng

    c) SI//AD. Đúng||Sai

    d) SI//BD. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:SI = (SBC) \cap (SAD)

    Do \left\{ \begin{matrix} SI = (SAD) \cap (SBC)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AD \subset (SAD)\ ;\ \ BC \subset (SBC) \\ AD \parallel BC \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow SI \parallel BC \parallel AD .

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho tổng S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}.

    Khi đó công thức tính tổng S(n) là?

    S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}

    = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

    = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm giới hạn C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) =2

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm 10) của 50 học sinh tham dự kỳ thi giữa kỳ 1 của lớp 11A, ta có bảng số liệu sau:

    Điểm

    [0; 2)

    [2; 4)

    [4; 6)

    [6; 8)

    [8; 10)

    Số học sinh

    5

    7

    13

    18

    7

    Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Từ bảng số liệu, nhóm chứa mốt sẽ là \lbrack 6\ ;\ 8).

    Khi đó mốt là

    M_{0} = 6 + \frac{18 - 13}{(18 - 13) + (18 - 7)}.(8 - 6) = 6,625 \approx 6,63.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

    Số tiền (nghìn đồng)

    Số người

    [0; 50)

    5

    [50; 100)

    12

    [100; 150)

    23

    [150; 200)

    17

    [200; 250)

    3

    Chọn đáp án đúng?

    Ta có:

    Số tiền (nghìn đồng)

    Số người

    Tần số tích lũy

    [0; 50)

    5

    5

    [50; 100)

    12

    17

    [100; 150)

    23

    40

    [150; 200)

    17

    57

    [200; 250)

    3

    60

     

    N = 60

     

    Cỡ mẫu là: N = 60 \Rightarrow \frac{N}{4}= 15

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 100) (vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 va 17)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}l = 50;\dfrac{N}{4} = 15;m = 5;f = 12 \\c = 100 - 50 = 50 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c

    \Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{15 -5}{12}.50 = \frac{275}{3}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{12} = 23 \\S_{12} = 144 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 11d = 23 \\\dfrac{12}{2}.\left( u_{1} + u_{12} ight) = 144 \\\end{matrix} ight.

    => d = 2

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: S \in (SAC) \cap (SBD)(*)

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} O \in AC \subset (SAC) \\ O \in BD \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)(**)

    Từ (*) và (**) ta suy ra SO = (SAC) \cap (SBD)

  • Câu 24: Nhận biết

    Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:

    Chiều cao (cm)

    Số học sinh

    [95; 105)

    9

    [105; 115)

    13

    [115; 125)

    26

    [125; 135)

    30

    [135; 145)

    12

    [145; 155)

    10

    Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm chiều cao nào?

    Ta có: N = 100

    =>N/4=100/4=25

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [115; 125)

  • Câu 25: Thông hiểu

    Nếu \sin(a + b) = 0 thì khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \sin(a + b) = 0 \Rightarrow a + b = k\pi

    \Rightarrow a = - b + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta lại có:

    \Rightarrow \left| \cos(a + 2b) ight| = \left| \cos( - b + 2b + k\pi) ight|

    = \left| \cos(b + k\pi) ight| = \left| \cos b ight|

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54. Tính u_{8}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.

    Vậy u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm SA. Tìm mệnh đề sai.

    Do M \in SA;O \in AC nên OM \subset mp\left( {SAC} ight)

    =>  OM//(SAC)  sai.

  • Câu 28: Vận dụng

    Xét tính tăng, giảm của dãy số \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \sqrt[3]{u_{n}^{3} + 1},n \geq 1 \\ \end{matrix} ight., ta thu được kết quả?

    Ta có u_{n + 1} = \sqrt[3]{u_{n}^{3} + 1} \Rightarrow u_{n + 1} > \sqrt[3]{u_{n}^{3}} = u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \left( u_{n} ight) là dãy số tăng.

  • Câu 29: Nhận biết

    Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?

    Mẫu số liệu đã cho có 5 nhóm.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1;4)

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: \tan x = \tan 3x

    Điều kiện để phương trình có nghĩa:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\text{x}} e 0} \\ {\cos 3{\text{x}} e 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x e \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.\left( * ight)

    Khi đó, phương trình 3{\text{x}} = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} so sánh với đk

    \left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \pi + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,,\,x = \in \left[ {0;30} ight]

    \Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} ight\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;....;9\pi } ight\}

    Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn  [0;30]  của phương trình là: 45\pi.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Hàm số liên tục khi x<1

    hàm số liên tục khi x>1

    Tại x = 1 ta có: f(1)=1

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số liên tục tại x=1

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho MN cắt BC tại I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MND) và (BCD).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: D là điểm chung của hai mặt phẳng (MND) và (BCD)

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} I \in MN \subset (MND) \\ I \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight. nên I là điểm chung thứ hai.

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MND) và (BCD) là DI

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho phương trình \sin x.\cos x = 1 có nghiệm là:

     Giải phương trình như sau:

    \begin{matrix} \sin x.\cos x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin 2x = 2\left( L ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \sin 2x \in \left[ { - 1;1} ight]

    vậy phương trình lượng giác đã cho vô nghiệm.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3sinx + m - 1 = 0 có nghiệm?

    Ta có:

    \begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với m thuộc tập số nguyên

    Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m

  • Câu 37: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 1;2;4;8;16;32;...

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight)thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.. Biết dãy số \left( u_{n} ight) là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tính \lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)

    Ta có: u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4

    \Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}

    + \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1

  • Câu 39: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."

  • Câu 40: Vận dụng

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 10250m^{2}, tính diện tích mặt trên cùng gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Gọi u_{0} là diện tích đế tháp và u_{n} là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n, với 1 \leq n \leq11.

    Theo giả thiết ta có: u_{n + 1} =\frac{1}{2}u_{n};\left( n \in \lbrack 0;10brack ight)

    Dãy số \left( u_{n} ight) lập thành sấp số nhân với số hạng đầu tiên là u_{0} = 10250, công sai q = \frac{1}{2}.

    Diện tích mặt trên cùng của tháp là:

    u_{11} = u_{0}.q^{11} = 10250.\left(\frac{1}{2} ight)^{11} \approx 5m^{2}

  • Câu 41: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} bằng:

    Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1

    Ta có:

    \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a  với mọi n > n_{a}

    Suy ra \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0

  • Câu 42: Nhận biết

    Giải phương trình \cot x = - 1 thu được kết quả là:

    Điều kiện x eq k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 43: Vận dụng

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.

    (I) (ADF) // (BCE)

    (II) (MOO’) // (ADF)

    (III) (MOO’) // (BCE)

    (IV) (AEC) // (BDF)

    Khẳng định nào sau đây là đúng

    Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)

    => BC // (ADF); BE // (ADF)

    Mà BC ∩∩ BE = B

    =. (ADF) // (BEC).

    O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD

    Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF

    MO’ // (ADF) (1)

    Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD

    MO // (ADF) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)

    Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).

    Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:

    AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’

    Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.

    Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}

    Ta có: Khi a = - 2 thì \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. liên túc tại x = \sqrt{3}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0

  • Câu 45: Vận dụng

    Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)ở đó P(t)là huyết áp tính theo đơn vị mmHg( milimét thuỷ ngân) và thời gian ttính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg?

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)ở đó P(t)là huyết áp tính theo đơn vị mmHg( milimét thuỷ ngân) và thời gian ttính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg?

    Đáp án: 1

    Huyết áp là 120 mmHgkhi

    P(t) = 120 \Leftrightarrow 100 +20sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 120

    \Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 1

    \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t =\frac{\pi}{2} + k2\pi

    \Leftrightarrow t = \frac{3}{14} + \frac{6k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Xét 0 < t < 1

    \Leftrightarrow 0 < \frac{3}{14} + \frac{6k}{7} < 1\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{{12}} \Leftrightarrow k = 0

     vì k\mathbb{\in Z}.

    Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập