Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính $Q_{3}$ ?
Đáp án: 164,7
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính $Q_{3}$ ?
Đáp án: 164,7
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
Tần số tích lũy
[0; 50)
5
5
[50; 100)
12
17
[100; 150)
23
40
[150; 200)
17
57
[200; 250)
3
60

N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow\frac{3N}{4} = 45$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}l = 150;\dfrac{3N}{4} = 45;m = 40;f = 17 \\c = 200 - 150 = 50 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{3} = 150 + \frac{45 -40}{17}.50 = \frac{2800}{17}$
Câu 2: Thông hiểu
Cho một cấp số cộng (U_n) có ${u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26$ . Công sai d của cấp số cộng là:
- A. $d = \frac{{11}}{3}$
- B. $d = \frac{{10}}{3}$
- C. $d = \frac{3}{{10}}$
- D. $d = \frac{3}{{11}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d \hfill \\ \Rightarrow 26 = \dfrac{1}{3} + 7.d \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{11}}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Thông hiểu
Giới hạn $\lim_{}\left( n^{3} - 2023n + 2024 ight)$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- \infty$ .
- D.
  $+ \infty$ .
Ta có:

$\lim\left\lbrack n^{3} - 2023n + 2024 ightbrack$

$= \lim\left\{ n^{3}\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) ight\} = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \underset{}{\lim\left( n^{3} ight) = + \infty} \\ \lim\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $M;M'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ . Giao của $AM'$ với $(A'BC)$ là:
- A.
  Giao của $AM'$ với $B'C'$
- B.
  Giao của $AM'$ với $BC$
- C.
  Giao của $AM'$ với $A'C$
- D.
  Giao của $AM'$ với $A'M$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;M'$ là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ nên $MM'//BB'//CC'//AA'$

Suy ra $A;A';M';M$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng $(AA'M'M)$ gọi $T$ là giao điểm của $A'M$ và $AM'$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'M \cap AM' \equiv T \\ A'M \subset (A'BC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AM' \cap (A'BC) = A'M \cap AM' = T$

Vậy giao của $AM'$ với $(A'BC)$ là giao của $AM'$ với $A'M$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: $\tan x = \tan 3x$
- A. $55 \pi$
- B. $\frac {171 \pi}{2}$
- C. $45 \pi$
- D. $\frac{190 \pi}{2}$
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\text{x}} e 0} \\ {\cos 3{\text{x}} e 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x e \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.\left( * ight)$
Khi đó, phương trình $3{\text{x}} = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$ so sánh với đk
$\left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \pi + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,,\,x = \in \left[ {0;30} ight]$
$\Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} ight\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;....;9\pi } ight\}$
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: $45\pi$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {m{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ chứa $x = 2$

Theo giả thiết ta có:

$m = f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x)$

$\Rightarrow m = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 8: Thông hiểu
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Lấy $M$ là trung điểm của $AC$ . Xác định hình chiếu của điểm $M$ lên mặt phẳng $(AA'B')$ theo phương chiếu $CB$ là:
- A.
  Trung điểm của $BC$
- B.
  Trung điểm của $AB$
- C.
  Điểm $A$
- D.
  Điểm $B$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ . Ta có: $MN//CB$

Vậy hình chiếu song song của điểm $M$ lên $\left( {AA'B'} ight)$ theo phương chiếu $CB$ là điểm $N$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SD,AB$ lần lượt là $M,N,P$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(MNO)//(SBC)$
- B.
  $(NPM)//(SBD)$
- C.
  $(OPM)//(SCD)$
- D.
  $(NOP)//(MNP) = NP$
Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng $(MON)$ và $(SBC)$ .

Ta có: $OM//SC$ và $ON//SB$ .

Mà $BS ∩ SC = C$ và $OM ∩ ON = O$ .

Do đó $(MON)//(SBC)$
Câu 10: Nhận biết
Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $AC \cap BD = M$ và $AB \cap CD = N$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng
- A.
  $SN$ .
- B.
  $SC$ .
- C.
  $SB$ .
- D.
  $SM$ .
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng $SM$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.$
- A. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. ${\text{D}} = \emptyset$
Hàm số xác định khi và chỉ khi
$1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1 \,\,(*)$
Mà $- 1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ nên $\left( * ight) \Leftrightarrow \sin x e 1 \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$

Câu 12: Thông hiểu

Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là: $\frac{6}{40}.100\% = 15\%$

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là: $\frac{4}{39}.100\% \approx 10,3\%$

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là: $\frac{3}{41}.100\% \approx 7,3\%$

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là: $\frac{3}{43}.100\% \approx 7\%$

Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.

Câu 13: Thông hiểu
Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở. Tìm mốt của mẫu dữ liệu.
Thu nhập (nghìn đồng)
Hộ gia đình
[0; 100)
5
[100; 200)
7
[200; 300)
12
[300; 400)
18
[400; 500)
16
[500; 600)
10
[600; 700)
5
- A.
  375
- B.
  358
- C.
  398
- D.
  310
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 18 nằm trong nhóm $[300; 400)$
Thu nhập (nghìn đồng)
Hộ gia đình

[0; 100)
5

[100; 200)
7

[200; 300)
12
${f_0}$
[300; 400)
18
${f_1}$
[400; 500)
16
${f_2}$
[500; 600)
10

[600; 700)
5

$\Rightarrow l = 300;f_{0} = 12;f_{1} =18;f_{2} = 16;c = 400 - 300 = 100$
Khi đó ta tính mốt như sau:
$\begin{matrix} {M_0} = l + \dfrac{{{f_1} - {f_0}}}{{2{f_1} - {f_0} - {f_2}}}.c \hfill \\ \Rightarrow {M_0} = 300 + \dfrac{{18 - 12}}{{2.18 - 12 - 16}}.100 = 375 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Vận dụng cao
Gọi T là tập giá trị của hàm số $y =\frac{1}{2}sin^{2}x - \frac{3}{4}cos2x + 3$ . Tìm tổng các giá trị nguyên của T.
- A.
  4
- B.
  6
- C.
  7
- D.
  3
Ta có:
$y = \frac{1 - cos2x}{2} -\frac{3}{4}cos2x + 3 = \frac{7}{2} - \frac{5}{4}cos2x = \frac{14 -5cos2x}{4}$
Vì $- 1 \leq cos2x \leq 1$
$\begin{matrix}\Rightarrow \dfrac{9}{4} \leq \dfrac{14 - 5cos2x}{4} \leq\dfrac{19}{4};y\mathbb{\in Z} \hfill\\\Rightarrow y = \left\{ 3;4 ight\} \hfill\\\end{matrix}$
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7.
Câu 15: Vận dụng cao
Biết $\lim_{xightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x +1} = c$ với $a,b,c\in\mathbb{R}$ . Tập nghiệm của phương trình $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$ trên $\mathbb{R}$ có số phần tử là:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{1 + ax^{2} - (bx + 2)^{2}}{\left( 4x^{3} - 3x + 1 ight)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}$

Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình $\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3 = 0$ phải có nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$ . Tức là:

$\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 0 \\\dfrac{2b}{a - b^{2}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4b^{2} + 3\left( a - b^{2} ight) = 0 \\4b = a - b^{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b^{2} + 3b = 0 \\ a = b^{2} + 4b \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(a,b eq 0)$

Khi $a = - 3;b = - 3$ thì

$I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}$

$I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 3}{(x + 1)\left( \sqrt{1 - 3x^{2}} - 3x + 2 ight)}$

$I = \dfrac{- 3}{\dfrac{3}{2}.\left(\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{3}{2} + 2 ight)} = - 2$

Do đó $a = - 3;b = - 3;c = - 2$ nên phương trình $- 3x^{4} - 3x^{2} - 2 = 0$ vô nghiệm.
Câu 16: Nhận biết
Giá trị của $\lim\sqrt[n]{a}$ với a> 0 bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Với a > 1 thì khi đó: $a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)$
Suy ra: $0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0$ nên $\lim\sqrt[n]{a} = 1$
Với 0 < a < 1 thì khi đó: $\frac{1}{a} >1$ .
Suy ra: $\lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1$
Tóm lại ta luôn có: $\lim\sqrt[n]{a} =1$ với a > 0 .
Câu 17: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu $u_{1} = 5$ và công bội $q = - 2$ . Số hạng thứ sáu của $\left( u_{n} ight)$ là:
- A.
  $u_{6} = 160$ .
- B.
  $u_{6} = - 320$ .
- C.
  $u_{6} = - 160$ .
- D.
  $u_{6} = 320$ .
Ta có: $u_{6} = u_{1}q^{5} = 5.( - 2)^{5} = - 160$
Câu 18: Vận dụng cao
Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau.
- B.
  Nếu c // a thì c // b hoặc c ≡ b.
- C.
  Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau.
- D.
  Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Câu 20: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  $(SAB) \cap (ABCD) = AB$
- B.
  $AB//(SAC)$
- C.
  $SO \cap (ABCD) = \left\{ O ight\}$
- D.
  $(SAC) \cap (SBD) = SO$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB \cap (SAC) = A$ nên đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại điểm $A$ .

Vậy khẳng định sai là “ $AB//(SAC)$ ”
Câu 21: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 22: Nhận biết
Hàm số $f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 1;1brack$
- B.
  $\lbrack 1;5brack$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có: $2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

=> Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 23: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) =6$
- B.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) =6$
- C.
  Không tồn tại $\lim_{x ightarrow3}f(x)$
- D.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = -15$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6$
$\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15$
$\Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)$
=> Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.
Vậy chỉ có khẳng định $\lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6$ sai.
Câu 24: Nhận biết
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
- A. 7; 12; 17
- B. 6; 10; 14
- C. 8; 13; 18
- D. 6; 12; 18
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u₁ = 2; u₅ = 22. Ta cần tìm u₂; u₃; u₄
Ta có:
$\begin{matrix} {u_5} = {u_1} + 4d \Rightarrow d = \dfrac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \dfrac{{22 - 2}}{4} = 5 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 7} \\ {{u_3} = {u_1} + 2d = 12} \\ {{u_4} = {u_1} + 3d = 17} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Nhận biết
Rút gọn biểu thức $A = \cos^{4}15^{0} - \sin^{4}15^{0}$
- A.
  $A = 1$
- B.
  $A = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $A = \frac{1}{4}$
- D.
  $A = 0$
Ta có:

$A = \cos^{4}15^{0} -\sin^{4}15^{0}$

$A = \left( \cos^{2}15^{0} + \sin^{2}15^{0}ight)\left( \cos^{2}15^{0} - \sin^{2}15^{0} ight)$

$A = \cos^{2}15^{0} -\sin^{2}15^{0}$

$A = \cos\left( 2.15^{0} ight) =\cos30^{0} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 26: Vận dụng
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
- A.
  $98$
- B.
  $100$
- C.
  $102$
- D.
  $104$
Ta có:

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 7;d = 5$ .

Gọi n là số ô trên bàn cờ thì $u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = 25450 = S_{n}$

Ta có:

$25450 = S_{n}$

$\Leftrightarrow 25450 = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}.d$

$\Leftrightarrow 25450 = 7n + \frac{n^{2} - n}{2}.5$

$\Leftrightarrow 5n^{2} + 9n - 50900 = 0$

$\Leftrightarrow n = 100$
Câu 27: Nhận biết
Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình ${\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4}$ có bao nhiêu nghiệm?
- A. 8
- B. 10
- C. 11
- D. 12
Phương trình ${\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- Với $\cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi$ .
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ có 6 nghiệm.
- Với $\cos 6\pi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi$ .
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ có 6 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.
Câu 28: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Các giá trị của a để dãy số (u_n) tăng là?
- A.
  a > 0
- B.
  0 < a < 1
- C.
  a < 1
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 2 − u_n + 1

= au_n + 1 + (1−a)u_n − u_n + 1

= (a−1)(u_n + 1−u_n)

⇒ u₃ − u₂ = (a−1)(u₂−u₁) = (a−1);

⇒ u₄ − u₃ = (a−1)(u₃−u₂) = (a−1)²

u_n + 1 − u_n = (a−1)^n − 1 > 0

Để dãy số (u_n) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1
Câu 29: Nhận biết

Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45
65
72
48
74
67
68
46
56
53
58
68
72
64
62
49
72
55
67
51
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ
Đại diện tốc độ
Tần số
$40$ $≤ x <$ 50
45
4
50 $≤ x <$ 60
55
5
60 $≤ x <$ 70
65
7
$70 ≤ x < 80$
75
4

Đáp án là:

Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45
65
72
48
74
67
68
46
56
53
58
68
72
64
62
49
72
55
67
51
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ
Đại diện tốc độ
Tần số
$40$ $≤ x <$ 50
45
4
50 $≤ x <$ 60
55
5
60 $≤ x <$ 70
65
7
$70 ≤ x < 80$
75
4

Ta có:
Tốc độ
Đại diện tốc độ
Tần số
40 ≤ x < 50
45
4
50 ≤ x < 60
55
5
60 ≤ x < 70
65
7
70 ≤ x < 80
75
4
Câu 30: Thông hiểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ liên tục trên khoảng $( - 4; + \infty)$ Sai||Đúng

b) Phương trình $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ khi $x ightarrow 2$ bằng -1. Sai||Đúng

d) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ liên tục trên khoảng $( - 4; + \infty)$ Sai||Đúng

b) Phương trình $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ khi $x ightarrow 2$ bằng -1. Sai||Đúng

d) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

a) Ta có:

$f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ có điều kiện xác định

$( - \infty; - 4) \cup ( - 4; - 3) \cup ( - 3; + \infty)$

Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.

b) Đặt $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = f(x)$

f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên $\lbrack - 2; - 1brack\ \ (*)$

Ta có: $f( - 2) = - 126;f( - 1) = 2$

$\Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0(**)$

Từ (*) và (**) suy ra phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm thuộc $( - 2; - 1)$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( x^{2} - 3x ight) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x - 1) = 1$

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x ightarrow 2$

d) Ta có: với n chẵn

$\lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = + \infty$

Với n lẻ $\lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = - \infty$

Suy ra dãy số không bị chặn.
Câu 31: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \sqrt{2}$ và $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}}$ với mọi n ≥ 1. Số hạng u₂₀₁₈ là
- A.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2017}}$
- B.
  $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
- C.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2018}}$
- D.
  u₂₀₁₈ = 2.
Ta có $u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};$

$u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}$

Dự đoán $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}$

Áp dụng theo quy nạp ta có: $u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$ , công thức (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có $u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}$

Ta có $u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}$

$= \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}$

(vì $0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2}$ với mọi k ≥ 1 ).

Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ . Suy ra $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
Câu 32: Nhận biết
Cho dãy xác định bởi công thức $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát của dãy u_n là?
- A.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n}}$
- C.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n} + 1}$
- D.
  $u_{n} = \frac{3}{2^{n} - 1}$
Ta có $u_{1} = 3;u_{2} = \frac{1}{2}u_{1} = \frac{3}{2};u_{3} = \frac{1}{2}u_{2} = \frac{3}{2^{2}};\ldots$

Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}$

Thật vậy, n = 1 thì u₁ = 3 (đúng).

Giả sử với n = k(k≥1) thì $u_{k} = \frac{3}{2^{k - 1}}$ . Ta đi chứng minh $u_{k + 1} = \frac{3}{2^{k}}$

Ta có $u_{k + 1} = \frac{1}{2}u_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{k - 1}} = \frac{3}{2^{k}}$ (điều phải chứng minh).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}$
Câu 33: Vận dụng
Giải phương trình $\sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} ight) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) = 2\sin 2x$ ?
- A. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- B. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- C. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- D. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
Ta có $\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} ight) = - \sin x$ và . $\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) = - \cos x$
Do đó phương trình $\Leftrightarrow - \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\sin 2x$
$\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x + \cos x = - 2\sin 2x$
$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = - \sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) = - \sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) = \sin \left( { - 2x} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{6} = \pi + 2x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Xét nghiệm $x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \xrightarrow[{k \in \mathbb{Z},{\text{ }}k' \in \mathbb{Z}}]{{k = - 1 - k'}}x = \frac{{7\pi }}{6} + k'2\pi$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3},{\text{ }}x = \frac{{7\pi }}{6} + k'2\pi {\text{ }}\left( {k,k' \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 34: Nhận biết
Nếu hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ thì $\lim_{x ightarrow 1}3f(x)$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $- 3$
- C.
  $9$ .
- D.
  $6$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}3f(x) = 3\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 9$ .
Câu 35: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác $ABCD$ . Giả sử $(\alpha)$ là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ không thể tạo thành hình nào dưới đây?
- A.
  Tứ giác
- B.
  Lục giác
- C.
  Tam giác
- D.
  Ngũ giác
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng $(\alpha)$ tùy ý với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ .

Vậy đáp án là hình lục giác.
Câu 36: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a \in (m;n)$ ( với $m,n$ là hai số nguyên liên tiếp). Tính $100(m + n)$ .

Đáp án: 2500

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x + 30\ \ \ \ khi\ \ x \geq 2 \\ x + 3a + 4\ \ \ \ khi\ \ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $a \in (m;n)$ ( với $m,n$ là hai số nguyên liên tiếp). Tính $100(m + n)$ .

Đáp án: 2500

TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục khi $x eq 2$

Xét tại $x = 2$

Ta có: $f\left( 2 ight) = 44$ ; $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( 2x^{2} + 3x + 30 ight) = 44$ ; $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x + 3a + 4) = 3a + 6$

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow 3a + 6 = 44 \Leftrightarrow a = \frac{38}{3} \in (12;13)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 12 \\ n = 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 100(m + n) = 2500$

Đáp án: $2500$ .
Câu 37: Thông hiểu
Với giá trị nào của $x;y$ thì các số hạng $- 2;x; - 18;y$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = - 54 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 26 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = - 54 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = 54 \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: các số hạng $- 2;x; - 18;y$ lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.$
Câu 38: Thông hiểu
Phương trình $\sqrt{3} \sin 3x+\cos3x=-1$
- A.
  $sin\left ( 3x-\frac{\pi }{6} ight )=-\frac{1}{2}$
- B.
  $sin\left ( 3x+\frac{\pi }{6} ight )=-\frac{\pi }{6}$
- C.
  $sin\left ( 3x+\frac{\pi }{6} ight )=-\frac{1}{2}$
- D.
  $sin\left ( 3x+\frac{\pi }{6} ight )=\frac{1}{2}$
$\begin{matrix} \sqrt 3 \sin 3x + \cos 3x = - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x + \dfrac{1}{2}\cos 3x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}.\sin 3x + \sin \dfrac{\pi }{6}.\cos 3x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} ight) = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức $B = \cos2\alpha.\sin\alpha$ . Biết $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ?.
- A.
  $B = \frac{17\sqrt{5}}{27}$
- B.
  $B = - \frac{17\sqrt{5}}{27}$
- C.
  $B = \frac{\sqrt{5}}{27}$
- D.
  $B = - \frac{\sqrt{5}}{27}$
Ta có:

$B = \cos2\alpha.\sin\alpha$

$= \left( 1 - 2\sin^{2}\alphaight).\sin\alpha$

$= \sin\alpha -2\sin^{3}\alpha$

$\Rightarrow B = \frac{\sqrt{5}}{3} - 2.\left( \frac{\sqrt{5}}{3} ight)^{3} = - \frac{\sqrt{5}}{27}$
Câu 40: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Gọi $MN = (P) \cap (ABD)$ ( $N \in AD$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N$ là trung điểm của $AD$ .

Gọi $MP = (P) \cap (ABC)$ ( $P \in AC$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ .

Thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là $\Delta MNP$ .

Gọi $I,\ J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $BD$ .

Ta chứng minh được $\Delta MNP = \Delta JDI$ (c – c – c).

Ta có

$S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}$

$= \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4$

Vậy $S_{\Delta MNP} = 4.$
Câu 41: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2} + ... + \left( \sqrt{2} ight)^{n}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  $\lim u_{n} = - \infty$
- B.
  $\lim u_{n} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$
- C.
  $\lim u_{n} = + \infty$
- D.
  Không tồn tại giới hạn
Ta có:

$\sqrt{2};\left( \sqrt{2} ight)^{2};...;\left( \sqrt{2} ight)^{n}$ lập thành một cấp số nhân có nên

$u_{n} = \sqrt{2}.\frac{1 - \left( \sqrt{2} ight)^{n}}{1 - \sqrt{2}}$

$= \left( 2 - \sqrt{2} ight).\left\lbrack \left( \sqrt{2} ight)^{n} - 1 ightbrack$

$\Rightarrow \lim u_{n} = + \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix} a = 2 - \sqrt{2} > 0 \\ q = \sqrt{2} > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 42: Nhận biết
Hàm số nào sau đây có chu kì khác $2\pi$ ?
- A.
  $y = \cos^{3}x$
- B.
  $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
- C.
  $y = \sin^{2}(x + 2)$
- D.
  $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight)$
Hàm số $y = \cos^{3}x = \frac{1}{4}(\cos3x +3\cos x)$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin^{2}(x + 2) = \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cos(2x + 4)$ có chu kì $\pi$ .

Hàm số $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(x + 2)$ có chu kì $2\pi$ .
Câu 43: Vận dụng

Hoàn thành mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm
Tần số
(0;10]
8
(10;20]
14
(20;30]
12
(30;40]
9
(40;50]
7
Ghép nối các nội dung thích hợp với nhau:

Trung vị

Tứ phân vị thứ nhất

Tứ phân vị thứ ba

22,5

13,2

33,9

Đáp án đúng là:

Trung vị

Tứ phân vị thứ nhất

Tứ phân vị thứ ba

22,5

13,2

33,9
Câu 44: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Khoảng cân nặng nào có số học sinh chiếm nhiều nhất?
- A.
  [50; 55)
- B.
  [55; 60)
- C.
  [65; 70)
- D.
  [70; 75)
Khoảng cân nặng có số học sinh chiếm nhiều nhất là: [50; 55)
Câu 45: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB;SCD$ . Cho các khẳng định sau:

i) $GG'//(SBC)$

ii) $GG'//(SAD)$

iii) $GG'//(SAC)$

iv) $GG'//(ABD)$

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên $\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN$

Mà $MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)$

Ta có: $MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 3 khẳng định đúng.