Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = 2^{n}$
- C.
  $u_{n} = 2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 2n$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}$
Câu 2: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 3: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng quy.
- C.
  Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
- D.
  Có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.
Câu 4: Vận dụng
Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là $0,5\%$ . Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
- A.
  $67874500$ đồng
- B.
  $67745123$ đồng
- C.
  $67542015$ đồng
- D.
  $67629587$ đồng
Với số nguyên dương $n$ , kí hiệu $u_{n}$ là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau $n$ tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

$u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,005 = u_{n - 1}.1,005;(\forall n \geq 2)$

Ta có: $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 6.10^{7} + 6.10^{7}.0,005 = 6.10^{7}.1,005$ với công bội $q = 1,005$ nên $u_{n} = 6.10^{7}.1,005.(1,005)^{n - 1} = 6.10^{7}.(1,005)^{n};(n \geq 1)$

Số tiền rút được sau 2 năm là:

$u_{24} = 6.10^{7}.1,005^{24} \approx 67629587$ (đồng)
Câu 5: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Nhận biết
Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $3{\sin ^2}x = {\cos ^2}x$ ?
- A. $\sin x = \frac{1}{2}$
- B. $\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- C. ${\sin ^2}x = \frac{3}{4}$
- D. ${\cot ^2}x = 3$
Ta có $3{\sin ^2}x = {\cos ^2}x$ . Chi hai vế phương trình cho ${\sin ^2}x$ , ta được ${\cot ^2}x = 3$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Gọi $M,\ m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y =sin^{2}x - 4sinx + 5$ . Tính $P = M -2m^{2}.$
- A.
  $P = 1.$
- B.
  $P = 7.$
- C.
  $P = 8.$
- D.
  $P =2.$
Ta có:
$y = sin^{2}x - 4sinx + 5 = \left(\sin x - 2 ight)^{2} + 1.$
Do $- 1 \leq \sin x \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 3 \leq \sin x - 2 \leq - 1 \\\Leftrightarrow 1 \leq \left( \sin x - 2 ight)^{2} \leq 9 \\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow 2 \leq \left( \sin x - 2 ight)^{2} + 1 \leq 10 \hfill\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}M = 10 \\m = 2 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Leftrightarrow P = M - 2m^{2} = 2.\hfill \\\end{matrix}$
Câu 8: Vận dụng
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
Tốc độ
Tần số
40 ≤ x < 50
4
50 ≤ x < 60
5
60 ≤ x < 70
7
70 ≤ x < 80
4
Xác định giá trị của $\Delta = \left|Q_{1} - Q_{3} ight|$ ?
- A.
  $\Delta \approx 18,2$
- B.
  $\Delta \approx 15,7$
- C.
  $\Delta \approx16,6$
- D.
  $\Delta \approx 14,8$
Ta có:
Tốc độ
Tần số
Tần số tích lũy
40 ≤ x < 50
4
4
50 ≤ x < 60
5
9
60 ≤ x < 70
7
16
70 ≤ x < 80
4
20
Tổng
N = 20

Ta có: $\frac{N}{4} = \frac{20}{4} =5$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: $[50; 60)$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 50;\dfrac{N}{4} = 5 \\m = 4,f = 5,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{5 -4}{5}.10 = 52$
Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.20}{4} =15$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: $[60; 70]$
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 60;\dfrac{3N}{4} = 15 \\m = 9,f = 7,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ nhất là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 60 + \frac{15 -9}{7}.10 = \frac{480}{7}$
$\Rightarrow \Delta = \left| Q_{1} -Q_{3} ight| = \left| 52 - \frac{480}{7} ight| \approx16,6$
Câu 9: Thông hiểu
Cho $\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ . Xác định k để $10\pi < \alpha < 11\pi$ .
- A.
  $k = 7$
- B.
  $k = 5$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = 6$
Ta có:

$10\pi < \alpha < 11\pi$

$\Rightarrow 10\pi < \frac{\pi}{2} + k2\pi < 11\pi$

$\Rightarrow \frac{19\pi}{2} < k2\pi < \frac{21\pi}{2}$

$\Rightarrow k = 5$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
- A.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- B.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
- C.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó chứa hai đường thẳng song song.
- D.
  Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.
Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”

Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm nào sau đây?
- A.
  $x_{0} = 0$
- B.
  $x_{0} = 2$
- C.
  $x_{0} = 3$
- D.
  $x_{0} = 1$
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 1}f(x)$ . Do đó hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 1$ .
Câu 12: Vận dụng
Tổng các nghiệm của phương trình $\cos 2x - \sin 2x = 1$ trong khoảng $\left ( 0;2\pi ight )$ là:
- A.
  $\frac{7\pi}{4}$
- B.
  $\frac{14\pi}{4}$
- C.
  $\frac{15\pi}{4}$
- D.
  $\frac{13\pi}{4}$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \cos 2x - \sin 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Xét nghiệm $x = k\pi$
Do $x \in \left ( 0;2\pi ight )$ => $0 < k\pi < 2\pi \Rightarrow k = 1$
=> $x = \pi$
Xét nghiệm ${x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }$
Do $x \in \left ( 0;2\pi ight )$
$\begin{matrix} 0 < - \dfrac{\pi }{4} + k\pi < 2\pi \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} ight\} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}} \\ {k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{4}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: $\frac{14\pi}{4}$
Câu 13: Nhận biết
Tính $\lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3}$ .
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( { - {x^2} + 5} ight) = - 4 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ x - 3 > 0,\forall x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó $\lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3} = - \infty$
Câu 14: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:
- A.
  $\frac{2a}{3}$
- B.
  $\frac{a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{4}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Các điểm $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ ta thu được ảnh lần lượt là $M,N$ . Khi đó tứ giác $BCMN$ là hình gì?
- A.
  hình thoi
- B.
  hình bình hành
- C.
  hình vuông
- D.
  hình thang
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: $M,N$ lần lượt là ảnh của $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

=> $SO$ là đường trung bình của các tam giác $CAM,BDN$

=> $\left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.$

=> $ADMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight.$ => $BCMN$ là hình bình hành.
Câu 16: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2}{x^2}{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ {\left( {1 - m} ight)x{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $4$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;2);(2; + \infty)$

Khi đó hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(x)$ liên tục tại $x = 2$

Hay $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)$

Ta lại có:

$f(2) = 4m^{2}$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 - m)$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 17: Thông hiểu
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Tính cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H?
- A.
  $58,64kg$
- B.
  $58,23kg$
- C.
  $59,46kg$
- D.
  $60,03kg$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Giá trị đại diện
Số học sinh
[45; 50)
47,5
5
[50; 55)
52,5
12
[55; 60)
57,5
10
[60; 65)
62,5
6
[65; 70)
67,5
5
[70; 75)
72,5
8
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:
$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 +57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$
Câu 18: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Mốt của mẫu số liệu gần với giá trị nào nhất trong các giá trị dưới đây?
- A.
  165
- B.
  164
- C.
  166
- D.
  167
Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm [160; 165).
Đối tượng
Tần số

[150; 155)
15

[155; 160)
10
$f_{0}$
[160; 165)
40
$f_{1}$
[165; 170)
27
$f_{2}$
[170; 175)
5

[175; 180)
3

Tổng
N = 100

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}l = 160;f_{0} = 10;f_{1} = 40;f_{2} = 27 \\c = 165 - 160 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó ta tính mốt như sau:
$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1}- f_{0} - f_{2}}.c$
$\Rightarrow M_{0} = 160 + \frac{40 -10}{2.40 - 10 - 27}.5 \approx 163,5$
Vậy mốt của mẫu số liệu gần với giá trị 164 nhất.

Câu 19: Thông hiểu

Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là: $\frac{6}{40}.100\% = 15\%$

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là: $\frac{4}{39}.100\% \approx 10,3\%$

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là: $\frac{3}{41}.100\% \approx 7,3\%$

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là: $\frac{3}{43}.100\% \approx 7\%$

Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.

Câu 20: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SD,AB$ lần lượt là $M,N,P$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(MNO)//(SBC)$
- B.
  $(NPM)//(SBD)$
- C.
  $(OPM)//(SCD)$
- D.
  $(NOP)//(MNP) = NP$
Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng $(MON)$ và $(SBC)$ .

Ta có: $OM//SC$ và $ON//SB$ .

Mà $BS ∩ SC = C$ và $OM ∩ ON = O$ .

Do đó $(MON)//(SBC)$
Câu 21: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của cấp số cộng.
- A.
  $u_n=5n+1$
- B.
  $u_n=5m-1$
- C.
  $u_n=4n+1$
- D.
  $u_n=4n-1$
Theo bài ra ta có:
Dãy số đã cho là cấp số cộng
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {{u_2} = 9} \end{array} \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 4} ight.$
=> ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d = 4n + 1$
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: $u_n=4n+1$
Câu 22: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng $( - 1;1)$ ?
- A.
  $y = \cos x$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \tan x$
- D.
  $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Xét hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ với $x \in ( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \cos x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại x = 0

Vậy hàm số không liên tục trên $( - 1;1)$ .
Câu 23: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
- A.
  $(CB'D')$
- B.
  $(A'BC)$
- C.
  $(AD'C)$
- D.
  $(BA'C')$
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$
Câu 24: Vận dụng
Cho dãy số (u_n), biết u_n = n ⋅ cosn. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) (u_n) là dãy số tăng.

(2) (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

(3) ∀n ∈ ℕ^* : u_n ≤ n.
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Vì cos(n) ≤ 1 nên u_n < n. Phát biểu (3) đúng.

Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.

Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.
Câu 25: Thông hiểu
Cho phương trình $\cos^{2}2x = m + 1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm?
- A.
  $m \in ( - 1;1)$
- B.
  $m \in ( - \infty;1brack$
- C.
  $m \in \lbrack - 1;0brack$
- D.
  $m \in \lbrack 0; + \infty)$
Ta có:

$0 \leq \cos^{2}2x \leq 1 \Leftrightarrow0 \leq m + 1 \leq 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0$ thì phương trình có nghiệm.
Câu 26: Nhận biết
Giá trị của $C = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{1}{a} - 1$

Ta có:

$\left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Vậy C=1.
Câu 27: Thông hiểu
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{1 + n}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Số hạng thứ 10 của dãy số bằng $- \frac{1}{11}$
- B.
  Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy giảm
- C.
  Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số bị chặn trên
- D.
  Số hạng thứ 9 của dãy số bằng $\frac{1}{10}$
Ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy dãy số đã cho không tăng không giảm.

Khẳng định sai là: “Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy giảm”
Câu 28: Nhận biết
Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?
- A.
  4
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  1
Có 3 mặt phẳng gồm $(a,b),(A,a),(B,b).$
Câu 29: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}}$ bằng:
- A.
  $+\infty$
- B.
  1
- C.
  0
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ . Gọi $M \in CD;(M eq C;M eq D)$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SC;AC$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = M \\ (\alpha)//AC \\ AC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = Mx//AC$ và $Mx \cap AD = N$

Tương tự ta cũng có $(\alpha) \cap (SDC) = MP//SC$

Khi đó $(\alpha) \cap (SAD) = NP$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.
Câu 31: Vận dụng cao
Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

$\begin{matrix} P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\ Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\ H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $H = \frac{PQ}{P + Q - 1}$
- B.
  $H = \frac{PQ}{P + Q + 1}$
- C.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} - \frac{1}{PQ}$
- D.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{PQ}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$\begin{matrix} H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Nhận biết

Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45
65
72
48
74
67
68
46
56
53
58
68
72
64
62
49
72
55
67
51
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ
Đại diện tốc độ
Tần số
$40$ $≤ x <$ 50
45
4
50 $≤ x <$ 60
55
5
60 $≤ x <$ 70
65
7
$70 ≤ x < 80$
75
4

Đáp án là:

Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45
65
72
48
74
67
68
46
56
53
58
68
72
64
62
49
72
55
67
51
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ
Đại diện tốc độ
Tần số
$40$ $≤ x <$ 50
45
4
50 $≤ x <$ 60
55
5
60 $≤ x <$ 70
65
7
$70 ≤ x < 80$
75
4

Ta có:
Tốc độ
Đại diện tốc độ
Tần số
40 ≤ x < 50
45
4
50 ≤ x < 60
55
5
60 ≤ x < 70
65
7
70 ≤ x < 80
75
4
Câu 33: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Tính độ dài nhóm số liệu trong mẫu số liệu ghép nhóm trên.
- A.
  $2,5$
- B.
  $5$
- C.
  $4$
- D.
  $6$
Độ dài nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 5.
Câu 34: Thông hiểu
Một dãy số được xác định bởi $u_{1} = - 4;u_{n} = - \frac{1}{2}u_{n - 1};(n \geq 2)$ . Số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số đó là:
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = ( - 2)^{n - 1}$
- C.
  $u_{n} = - 4.2^{- n + 1}$
- D.
  $u_{n} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ u_{n + 1} = - \frac{1}{2}u_{n} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ q = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}$
Câu 35: Nhận biết

Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được $1$ vòng trong $0,1$ giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 6,28

Đáp án là:

Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được $1$ vòng trong $0,1$ giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 6,28

Số đo góc quay của $1$ vòng là $2\pi$ .
Câu 36: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Đặt $t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)$
=> $\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$
Phương trình trở thành:
$\begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Do ${t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy để phương trình có nghiệm
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
- A.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
- B.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
- C.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
- D.
  $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
Ta có $2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}$
$= \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}$
$= cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x$
Vậy $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
Câu 38: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB \Rightarrow MN//AB$ mà $AB//CD$ nên $MN//CD$

b) Sai

Ta có $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB//CD \\ AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d = (SAB) \cap (SCD) \\ S \in d \\ d//AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $I = AN \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in AN \\ I \in d,d \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = AN \cap (SCD)$

Ta có $SI//BA \Rightarrow \frac{SI}{AB} = \frac{SN}{NB} = 1$

$\Rightarrow SI = AB \Rightarrow SI = CD$

Vậy $SICD$ là hình bình hành

c) Đúng

Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $BC$ trong $(ABCD)$ , ta có

$AD//CF \Rightarrow \frac{AE}{EF} = \frac{ED}{CE} = 1$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $AF$

Vậy $ME$ là đường trung bình của tam giác $SAF$

$\Rightarrow EM//SF$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} ME//SF \\ ME ⊄ (SCD) \\ SF \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ME//(SCD)$

d) Đúng

Gọi $E$ là trung điểm $CD$ ta có

$\frac{EH}{ES} = \frac{EG}{EB}\left( = \frac{1}{3} ight) \Rightarrow GH//SB$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} GH//SB \\ SB \subset (SBD) \\ GH ⊄ (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GH//(SBD)$
Câu 39: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
- B. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
- C. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$
- D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$
Câu 40: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD);BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , $d$ đi qua $S$ và $d//AD//BC$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 41: Thông hiểu
Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
- A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- C. Tịnh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- D. Tịnh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
Ta có
$y = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$
=>Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
Câu 42: Vận dụng
Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\begin{matrix} \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} }}{{\sqrt n - 1}} + \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Ta lại có:

$\lim\left( \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ight) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}\Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}cos3n}{rn} - 1 ight) = \sqrt{3}$
Câu 43: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
- A.
  Số hạng tổng quát của CSN $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ với công bội $q$ và số hạng đầu $u_{1}$ .
- B.
  Nếu dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân thì ${u^{2}}_{n + 1} = u_{1}.u_{n + 2};(\forall n \geq 2)$ .
- C.
  Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1} + nd$ với công sai $d$ và số hạng đầu $u_{1}$ .
- D.
  Nếu dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số cộng thì $u_{n + 1} = \frac{u_{1} + u_{n + 2}}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ .
Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1} + nd$ với công sai $d$ và số hạng đầu $u_{1}$ .”
Câu 44: Thông hiểu

Cho giới hạn $L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ . Khi đó :
a) $L = 2$ khi $a = 1$ Đúng||Sai
b) $L = 3$ khi $a = 3$ Sai||Đúng
c) $L > 3$ khi $a > 6$ Đúng||Sai
d) Có 3 giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho giới hạn $L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ . Khi đó :
a) $L = 2$ khi $a = 1$ Đúng||Sai
b) $L = 3$ khi $a = 3$ Sai||Đúng
c) $L > 3$ khi $a > 6$ Đúng||Sai
d) Có 3 giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên. Đúng||Sai

Ta có $\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} -1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13ight\}.$
Kết luận:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Câu 45: Nhận biết
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ theo thứ tự tăng dần?
- A.
  $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- B.
  $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- C.
  $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- D.
  $1$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.

Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ là $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .