Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Đáp án là:

    Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

    Đáp án: 8

    Gọi u_{n} là tiền lương anh Nam nhận được vào năm thứ n.

    Tại năm đầu tiên, lương anh Nam nhận được là u_{1} = 35000.

    Vì mỗi năm, anh Nam được tăng lương thêm 1400 đô, nên ta có u_{n} = u_{n - 1} + 1400

    Do đó \left( u_{n} ight) là cấp số cộng với u_{1} = 35000,\ d = 1400.

    Tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

    S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2}

    \Leftrightarrow 319200 = \frac{\left\lbrack 2.35000 + (n - 1).1400 ightbrack.n}{2}

    \Rightarrow n = 8.

    Vậy anh Nam mất 8 năm làm việc để được tổng lương là 319200.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x=1

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số liên tục tại x=-1

    Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \left( { - \infty ; 1} ight) và \left( { 1; + \infty } ight).

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.

    Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1

    u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

    un = 1 − (n−1) = 2 − n.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (\alpha) và điểm H không thuộc mặt phẳng (\alpha). Số đường thẳng đi qua H và song song với (\alpha) là

    Có vô số đường thẳng đi qua H và song song với (\alpha) với điểm H không thuộc mặt phẳng (\alpha).

  • Câu 7: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 8: Nhận biết

    Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hàm số xác định với mọi x\mathbb{\in R}

    Ta có: f(x) liên tục trên ( - \infty;0) và (0; + \infty)

    Mặt khác

    f(0) = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0

    Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho phương trình lượng giác 2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng ( - \pi;\pi) bằng \frac{7\pi}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho phương trình lượng giác 2(\sin x +1)(\sin^{2}2x - 3\sin x + 1) = \sin4x.\cos x, vậy:

    a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0. Đúng||Sai

    b) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai

    d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng ( - \pi;\pi) bằng \frac{7\pi}{6}. Đúng||Sai

    Ta có phương trình đã cho tương đương với

    2\left( \sin x + 1 ight)\left( \frac{1 - cos4x}{2} - 3sinx + 1 ight) = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow \left( \sin x + 1 ight)(3 - 6sinx - cos4x) = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow (sinx + 1)(3 - 6sinx) - sinx.cos4x - cos4x = sin4x.cosx

    \Leftrightarrow 3(1 - 2sin^{2}x) - 3sinx = sin5x + cos4x

    \Leftrightarrow 3cos2x + 3cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( 5x - \frac{\pi}{2} ight) + cos4x

    \Leftrightarrow 3.2.cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 2.cos\left( \frac{9x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)\left\lbrack 3cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) + \cos\left( \frac{9x}{2} + \frac{3\pi}{4} ight) ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight).cos^{3}\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \cos\left( \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight).

    Vì x \in ( - \pi;\pi) nên suy ra x = - \frac{\pi}{2},x = \frac{\pi}{6},x = \frac{3\pi}{2}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng
  • Câu 10: Vận dụng

    Tìm tần số còn thiếu trong mẫu dữ liệu ghép nhóm dưới đây. Biết số trung bình bằng 19,92?

    Đối tượng

    Tần số

    [4; 8)

    11

    [8; 12)

    13

    [12; 16)

    16

    [16; 20)

    14

    [20; 24)

    a

    [24; 28)

    9

    [28; 32)

    17

    [32; 36)

    6

    [36; 40)

    4

    Ta có:

    Giá trị đại diện

    Tần số

    Tích các giá trị

    6

    11

    66

    10

    13

    130

    14

    16

    224

    18

    14

    252

    22

    a

    22a

    26

    9

    234

    30

    17

    510

    34

    6

    204

    38

    4

    152

    Tổng

    90 + a

    1772 + 22a

    Biết số trung bình bằng  19,92  nên ta có:

    \overline{x} = 19,92

    \Leftrightarrow \frac{1772 + 22a}{90 +a} = 19,92

    \Leftrightarrow a = 10

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 1, công bội là q = 2019. Tính u_{2019}?

    Theo công thức cấp số nhân ta có: u_{2019} = u_{1}.q^{n - 1} = 1.2019^{2019 - 1} = 2019^{2018}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khảng định đúng là: "Giao tuyến của (∝), (β) song song với d".

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Các cạnh AC,BD,AB,CD,AD,BC có trung điểm lần lượt là M,N,P,Q,R,S. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    MP // BC // NQ, MP = \frac{1}{2}BC = NQ

    => MPNQ là hình bình hành

    => M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng.

    MR // CD // SN, MR = \frac{1}{2}CD = SN

    => MRNS là hình bình hành

    => M, R, S, N thuộc một mặt phẳng.

    PS // AC // RQ, PS = \frac{1}{2}AC = RQ

    => PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

    Vậy M,P,R,S không thuộc cùng một mặt phẳng.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm giới hạn C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3 - x}{2x + 3} ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{3 - x}{2x + 3} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{3}{x}} = -\dfrac{1}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt là A',B',C',D'. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: A'C'//AC \Rightarrow (A'C'D')//(ABC)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết \lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R}). Giá trị P = b + c bằng

    Đáp án: -13||- 13

    Đáp án là:

    Biết \lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R}). Giá trị P = b + c bằng

    Đáp án: -13||- 13

    Vì \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = 8 là hữu hạn nên phương trình x^{2} + bx + c = 0 có nghiệm x = 3

    \Leftrightarrow 3b + c + 9 = 0 \Leftrightarrow c = - 9 - 3b

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx - 9 - 3b}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 3)(x + 3 + b)}{x - 3}

    = \lim_{x ightarrow 3}(x + 3 + b) = 8 \Leftrightarrow 6 + b = 8 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow c = - 15

    Vậy P = b + c = - 13.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng AB = \frac{2\pi}{3}. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?

    Gọi C(a;cosa) \Rightarrow D\left( a +\frac{2\pi}{3};cos\left( a + \frac{2\pi}{3} ight) ight)

    Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD

    => y_{C} = y_{D} \Rightarrow \cos a =\cos\left( a + \frac{2\pi}{3} ight)

    => a = - a - \frac{2\pi}{3}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow AD = \left| \cos\left( -\frac{\pi}{3} ight) ight| = \frac{1}{2}

    Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng AB.BC =\frac{\pi}{3}

  • Câu 18: Nhận biết

    Có duy nhất một mặt phẳng đi qua

    Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.

    Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.

    Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.

    Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) biết u_{5} = 5, u_{10} = 15 Khi đó u_{7} bằng

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{5} = 5 \\ u_{10} = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 4d = 5 \\ u_{1} + 9d = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 3 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy u_{7} = u_{1} + 6d = - 3 + 6.2 = 9

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC. Mệnh đề
    nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

    Gọi M là trung điểm của AB.

    Ta có: \frac{{GM}}{{MD}} = \frac{{ME}}{{MC}} = \frac{1}{3}

    => GE // CD

     

  • Câu 21: Nhận biết

    Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:

    Điểm

    Số học sinh

    [20; 30)

    4

    [30; 40)

    6

    [40; 50)

    15

    [50; 60)

    12

    [60; 70)

    10

    [70; 80)

    6

    [80; 90)

    4

    [90; 100]

    3

    Ghi các kết quả vào ô trống:

    + Số nhóm của mẫu dữ liệu: 8

    + Độ dài nhóm số liệu: 10

    Đáp án là:

    Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:

    Điểm

    Số học sinh

    [20; 30)

    4

    [30; 40)

    6

    [40; 50)

    15

    [50; 60)

    12

    [60; 70)

    10

    [70; 80)

    6

    [80; 90)

    4

    [90; 100]

    3

    Ghi các kết quả vào ô trống:

    + Số nhóm của mẫu dữ liệu: 8

    + Độ dài nhóm số liệu: 10

    + Mẫu số liệu trên được chia thành 8 nhóm.

    + Độ dài nhóm số liệu là 10

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.. Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

    a)\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2. Sai||Đúng

    b)\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty. Sai||Đúng

    c)\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1. Đúng||Sai

    d) Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.. Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

    a)\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2. Sai||Đúng

    b)\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty. Sai||Đúng

    c)\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1. Đúng||Sai

    d) Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1. Đúng||Sai

    a) Sai

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0.

    b) Sai

    \lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}.

    c) Đúng

    \lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)

    = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1.

    d) Đúng

    Ta có:

    f(1) = - \frac{1}{2} và \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}.

    Vậy f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1.

  • Câu 23: Nhận biết

    Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:

    Doanh thu

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    [11; 13)

    [13; 15)

    Số ngày

    2

    7

    7

    3

    1

    Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.

    Ta có:

    Doanh thu

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    [11; 13)

    [13; 15)

     

    Số ngày

    2

    7

    7

    3

    1

    N = 20

    Tần số tích lũy

    2

    9

    16

    19

    20

     

    Cỡ mẫu N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} =15

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)

    (Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)

  • Câu 24: Nhận biết

    Tính giá trị biểu thức A = \cos^{6}15^{0} - \sin^{6}15^{0}

    Ta có:

    \cos^{6}\alpha -\sin^{6}\alpha

    = \left( \cos^{2}\alpha ight)^{3} -\left( \sin^{2}\alpha ight)^{3}

    = \left( \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alphaight)\left( \cos^{4}\alpha + \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alpha +\sin^{4}\alpha ight)

    = \cos2\alpha.\left\lbrack \left(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ight)^{2} - \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alphaightbrack

    = \cos2\alpha.\left( 1^{2} -\dfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha ight)

    Khi đó:

    A = \cos^{6}15^{0} -\sin^{6}15^{0}

    A = \cos30^{0}.\left( 1 -\dfrac{1}{4}\sin^{2}30^{0} ight)

    A = \frac{\sqrt{3}}{2}.\left( 1 - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} ight) = \frac{15\sqrt{3}}{32}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}. Số \frac{1}{10^{103}} là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

    Ta có:

    u_{n} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561

    Mà n là số chẵn và n - 1 = 103

    \Rightarrow n = 104

  • Câu 26: Thông hiểu

    Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

    Số tiền (nghìn đồng)

    Số người

    [0; 50)

    5

    [50; 100)

    12

    [100; 150)

    23

    [150; 200)

    17

    [200; 250)

    3

    Chọn đáp án đúng?

    Ta có:

    Số tiền (nghìn đồng)

    Số người

    Tần số tích lũy

    [0; 50)

    5

    5

    [50; 100)

    12

    17

    [100; 150)

    23

    40

    [150; 200)

    17

    57

    [200; 250)

    3

    60

     

    N = 60

     

    Cỡ mẫu là: N = 60 \Rightarrow \frac{N}{4}= 15

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 100) (vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 va 17)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}l = 50;\dfrac{N}{4} = 15;m = 5;f = 12 \\c = 100 - 50 = 50 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c

    \Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{15 -5}{12}.50 = \frac{275}{3}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:

    5

    3

    10

    20

    25

    11

    13

    7

    12

    31

    19

    10

    12

    17

    18

    11

    32

    17

    16

    2

    7

    9

    7

    8

    3

    5

    12

    15

    18

    3

    12

    14

    2

    9

    6

    15

    15

    7

    6

    12

    Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

    Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:

    Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5

    Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.

    Ta có bảng ghép nhóm như sau:

    Thời gian

    Số học sinh

    [0; 5)

    6

    [5; 10)

    10

    [10; 15)

    11

    [15; 20)

    9

    [20; 25)

    1

    [25; 30)

    1

    [3; 35)

    2

    Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là: \frac{11 + 9 + 1}{40}.100\% =52,5\%

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Xác định công thức tổng quát của dãy số \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{- 1}{2} \\u_{n + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{n} + 1}{2}};n \geq 1 \\\end{matrix} ight..

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{2} = \sqrt{\dfrac{u_{1} + 1}{2} = \dfrac{1}{2}} \\u_{3} = \sqrt{\dfrac{u_{2} + 1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\end{matrix} ight.

    Nhận thấy \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} ight) \\u_{2} = \dfrac{1}{2} = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} ight) \\u_{3} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6}ight) \\\end{matrix} ight.

    Dự đoán u_{n} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{n}} ight)(*)

    Ta chứng minh bằng quy nạp

    Trước hết u_{1} = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{1}} ight) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng khi n = k;k \in \mathbb{N}^{*}. Khi đó u_{k} = \cos\left( \frac{4\pi}{3.2^{k}} ight)

    Ta có:

    u_{k + 1} = \sqrt{\dfrac{u_{k} + 1}{2}} =\sqrt{\dfrac{\cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k}} ight) +1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{\cos\left(2.\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) + 1}{2}}

    = \sqrt{\dfrac{2.\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2} - 1 +1}{2}}

    = \sqrt{\left\lbrack \cos\left(\dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}} ight) ightbrack^{2}}

    = \left| \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight) ight|

    Mặt khác ta có k \geq 1. Do đó 0 \leq \frac{4\pi}{3.2^{k + 1}} \leq \frac{4\pi}{3.2^{1 + 1}} = \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}

    Vậy \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k + 1}}ight) \geq 0 \Rightarrow u_{k + 1} = \cos\left( \dfrac{4\pi}{3.2^{k +1}} ight)

    Vậy (*) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: \tan x = \tan 3x

    Điều kiện để phương trình có nghĩa:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\text{x}} e 0} \\ {\cos 3{\text{x}} e 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x e \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.\left( * ight)

    Khi đó, phương trình 3{\text{x}} = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} so sánh với đk

    \left[ \begin{gathered} x = k2\pi \hfill \\ x = \pi + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,,\,x = \in \left[ {0;30} ight]

    \Rightarrow k = \left\{ {0;...;4} ight\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;....;9\pi } ight\}

    Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn  [0;30]  của phương trình là: 45\pi.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x - 1 và g(x) = x^{3}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3. Sai||Đúng

    b) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x - 1 và g(x) = x^{3}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3. Sai||Đúng

    b) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1. Sai||Đúng

    a) \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 1 - 1 = 0.

    b) \lim_{x ightarrow 1}g(x) = \lim_{x ightarrow 1}x^{3} = 1^{3} = 1.

    c) \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = 3.0 - 1 = - 1.

    d) \lim_{x ightarrow1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = \frac{0}{1} =0.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Qua S kẻ Sx\ ;\ Sy lần lượt song song với AB\ ,\ \ AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    b) Giao tuyến của (SBD) và (SAC) là đường thẳng Sy. Sai||Đúng

    c) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sx. Đúng||Sai

    d) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD) với Sx \parallel AB \parallel CD.

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 33: Thông hiểu

    Biểu đồ dưới đây thể hiện điểm kiểm tra của 20 học sinh:

    Tính điểm trung bình của 20 học sinh trên?

    Ta có bảng sau:

    Khoảng điểm

    Điểm đại diện

    Tần số

    Tích các giá trị

    (0; 10]

    5

    2

    10

    (10; 20]

    15

    5

    75

    (20; 30]

    25

    6

    150

    (30; 40]

    35

    4

    140

    (40; 50]

    45

    3

    135

    Tổng

     

    N = 20

    510

    Số điểm trung bình:

    \overline{x} = \frac{510}{20} =25,5

  • Câu 34: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình \cos x = - \frac{1}{2} là

    Ta có:

    \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight)

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\ \ \ \ (k \in Ζ)

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho dãy số \frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};... là cấp số cộng với:

    Ta có: \frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};... là một cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d} \end{array}} ight.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

    a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

    b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

    c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)

    Trong (ABCD) có I = EF \cap CD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) suy ra SI = (SEF) \cap (SCD)

    b) Ta có: \left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)

    EF//AC do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

    \left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC

    c) Chọn (SBC) chứa FK

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.

    (SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC

    d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Giải phương trình 2\cos x = - 1 được nghiệm là:

    Ta có

    2cosx = - 1 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}

  • Câu 38: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \cos x - \frac{\pi }{4} đi qua điểm nào sau đây?

     Thay giá trị x = - \frac{\pi }{2};y = \frac{\pi }{4} vào hàm số ta có:

    \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} ight) - \frac{\pi }{4} =- \frac{\pi }{4}

    Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là: y = \cos x - \frac{\pi }{4}

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Rút gọn biểu thức B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... với \sin x eq \pm 1?

    Ta có:

    \begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M \in CD;(M eq C;M eq D). Giả sử mặt phẳng (\alpha) đi qua M và song song với SC;AC. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = M \\ (\alpha)//AC \\ AC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = Mx//AC và Mx \cap AD = N

    Tương tự ta cũng có (\alpha) \cap (SDC) = MP//SC

    Khi đó (\alpha) \cap (SAD) = NP

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2. Tính giá trị biểu thưc P = \tan\left( \alpha + \frac{\pi}{4} ight).

    Theo bài ra ta có:

    \cot\left( \frac{5\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( \pi + \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = 2

    \Leftrightarrow \tan\alpha = 2

    P = \tan\left( \alpha + \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\dfrac{\pi}{4}}{1 -\tan\alpha.\tan\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{2 + 1}{1 - 2} = - 3

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và điểm M nằm giữa A và B. Giả sử (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AB'D'). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?

    Hình vẽ minh họa

    Tìm hình xác định bởi các giao tuyến

    Nhận thấy (BC’D) // (AB’D’)

    => (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)

    Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra (P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN, kết hợp với (AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’ suy ra MN // AB’, suy ra N thuộc cạnh BB’.

    Tương tự, giả sử (P) ∩ (B’C’) ≡ P suy ra (P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP.

    Kết hợp với (1) suy ra NP // BC’

    Tương tự, (P) ∩ (C’D’) ≡ Q sao cho PQ // B’D’; (P) ∩ DD’≡ G sao cho QG // C’D; (P) ∩ AD ≡ H sao cho GH // AD’.

    Từ đó suy ra thiết diện là lục giác MNPQGH.

  • Câu 43: Vận dụng

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) Dãy số được xác định bởi a_{n} = 1 + \frac{1}{n} là một dãy bị chặn.

    (2) Dãy số được xác định bởi an = n2 là một dãy giảm.

    (3) Dãy số được xác định bởi an = 1 − n2 là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

    (4) Dãy số được xác định bởi an = (−1)nn2 là một dãy không tăng, không giảm.

    0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số xác định bởi a_{n} = 1 + \frac{1}{n} là một dãy bị chặn.

    an + 1 − an = (n+1)2 − n2 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = n2 là dãy tăng.

    an + 1 − an = (1−(n+1)2) − (1−n2) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = 1 − n2 là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

    a1 =  − 1 < a2 = 4 > a3 =  − 9 nên dãy số xác định bởi an = (−1)nn2 là dãy không tăng không giảm.

  • Câu 44: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)?

    Hàm số y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) xác định khi:

    \left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \sin2x eq 0

    \Leftrightarrow 2x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}

  • Câu 45: Vận dụng

    Chọn kết quả đúng của giới hạn \lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}?

    \lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}

    = \lim\sqrt{3 + \frac{1 - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 1} - \frac{1}{2^{n}}}

    = \sqrt{3 + \frac{1}{1} - 0} = 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 63 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập