Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Số điểm thi đấu của các đội được biểu diễn trong bảng dưới đây:

    Nhóm dữ liệu

    Tần số

    (0; 2]

    5

    (2; 4]

    16

    (4; 6]

    13

    (6; 8]

    7

    (8; 10]

    5

    (10; 12]

    4

    Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Ta có:

    Nhóm dữ liệu

    Tần số

    Tần số tích lũy

    (0; 2]

    5

    5

    (2; 4]

    16

    21

    (4; 6]

    13

    34

    (6; 8]

    7

    41

    (8; 10]

    5

    46

    (10; 12]

    4

    50

    Tổng

    N = 50

     

    Ta có: N = 50 \Rightarrow \frac{N}{4} =\frac{50}{4} = 12,5

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: (2; 4]

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}l = 2;\dfrac{N}{4} = 12,5;m = 5 \\f = 16;d = 4 - 2 = 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy tứ phân vị thứ nhất là:

    Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d

    \Rightarrow Q_{1} = 2 + \frac{12,5 -5}{16}.2 \approx 2,94

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

     Phát biểu nào sau đây là đúng

    Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.

    Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.

    Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.

    => H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

     Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2

    => u_n=2^n là cấp số nhân

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian, đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu

    Đường thẳng  a  song song với mặt phẳng  (P)  khi và chỉ khi  a  không nằm trong (P), đồng thời  a  song song với một đường thẳng b nằm trong  (P) .

  • Câu 5: Nhận biết

    \lim(5n-4n^{3}) bằng

    Ta có: 

    \begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n - 1} + 3;(n \geq 2) \\ \end{matrix} ight.. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:

    Tìm số hạng tổng quát của dãy số

    Dự đoán u_{n} = 5.2^{n - 1} - 3;(n \geq 2)

    Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp

    Với n = 1 ta có: u_{2} = 5.2 - 3 = 7(tm)

    Giả sử u_{k} = 5.2^{k - 1} - 3, khi đó ta có:

    u_{k + 1} = 2u_{k} + 3

    = 2\left( 5.2^{k - 1} - 3 ight) + 3

    = 5.2^{k} - 3

    Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

    Ta có: u_{n} < 1000 \Rightarrow 2^{n - 1} < \frac{1003}{5} = 200,6

    Mà 2^{7} = 128;2^{8} = 256

    Nên ta chọn 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n = 8

    Vậy u_{8} là số hạng cần tìm.

  • Câu 8: Nhận biết

    Đổi số đo 365^{0} sang số đo theo đơn vị là radian.

    Ta có: 365^{0} = \frac{365\pi}{180}rad = \frac{73\pi}{36}rad

  • Câu 9: Vận dụng

    Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ... .

    Ta có:

    S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...

    = 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)

    = 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}

  • Câu 10: Nhận biết

    Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét u_{n} = n^{2} ta có: u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy u_{n} = n^{2} là dãy số tăng.

  • Câu 11: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} có nghiệm là ?

     Ta có: \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính \lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}.

    Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với \forall n \geq 1;n\mathbb{\in N} thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)

    Với n = 1 thì \left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP nên (*) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng với n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N} nghĩa là:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}

    Xét n = k + 1 ta có:

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}

    + \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP

    Vậy (*) đúng với n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}

    Bây giờ ta áp dụng với n = 2018 thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}

    = \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019

  • Câu 13: Nhận biết

    Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm học sinh được thể hiện trong bảng dưới đây:

    Điểm số

    [0; 2)

    [2; 4)

    [4; 6)

    [6; 8)

    [8; 10)

    Số học sinh

    3

    7

    8

    12

    9

    Mẫu dữ liệu trên có bao nhiêu nhóm?

    Quan sát bảng dữ liệu ta thấy mẫu dữ liệu được chia thành 5 nhóm:

    Nhóm có điểm số [0; 2) có 3 học sinh

    Nhóm có điểm số [2; 4) có 7 học sinh

    Nhóm có điểm số [4; 6) có 8 học sinh

    Nhóm có điểm số [6; 8) có 12 học sinh

    Nhóm có điểm số [8; 10) có 9 học sinh

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1} là một dãy số tăng. Đúng||Sai

    b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra u_{30} < u_{15}. Sai||Đúng

    c) Dãy số 6;a; - 2;b cấp số cộng khi a = 2;b = 5. Sai||Đúng

    d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng 2 và 189. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là 96. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}

    u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}

    Suy ra:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}

    = 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên u_{30} > u_{15}

    c) Ta có: 6;a; - 2;b là một cấp số cộng

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?

    Ta có AB song song với CD theo tính chất hình bình hành.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight)?

    Ta có:

    x \in \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight) \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} \in \left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2} ight) \subset \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Nên hàm số y = \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight) .

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{x - 2}{3 - x}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 2} ight) = 1 > 0} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {3 - x} ight) = 0 \hfill \\ x \mapsto {3^ + } \Rightarrow \left( {3 - x} ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{x - 2}{3 - x} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{\dfrac{3}{x} - 1} = - 1

    Vậy đáp án đúng là \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho góc \alpha thỏa mãn \sin2\alpha = - \frac{4}{5} và \frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi. Tính giá trị của biểu thức P = \sin a - \cos\alpha?

    Do \frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi => \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P > 0

    Ta lại có:

    P^{2} = \left( \sin\alpha - \cos\alpha ight)^{2}

    = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha

    = 1 - \sin2\alpha =\frac{9}{5}

    \Rightarrow P = \frac{3}{\sqrt{5}}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi hệ thức truy hồi u_{1} = 2, u_{n + 1} = 2u_{n} + 3. Giá trị của số hạng thứ 4 bằng

    Ta có:

    u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7,

    u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17,

    u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u1 = 1 và u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) (un) là dãy số bị chặn trên.

    Ta có \forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0} nên dãy số tăng.

    Vậy phát biểu (1) đúng.

    Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.

    Vậy phát biểu (2) đúng.

    Ta lại có u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

    Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

    u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}

    Mặt khác \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

  • Câu 21: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Giá trị của C = \lim\frac{\left( 2n^{2} + 1 ight)^{4}(n + 2)^{9}}{n^{17} + 1} bằng:

    Ta có:

    C = \lim\frac{n^{8}\left( 2 + \frac{1}{n^{2}} ight)^{4}.n^{9}.\left( 1 + \frac{2}{n} ight)^{9}}{n^{17}.\left( 1 + \frac{1}{n^{17}} ight)} = \lim\frac{\left( 2 + \frac{1}{n^{2}} ight)^{4}.\left( 1 + \frac{2}{n} ight)^{9}}{1 + \frac{1}{n^{17}}} = 16

  • Câu 23: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2}{x^2}{\text{ khi }}x \leqslant 2} \\ {\left( {1 - m} ight)x{\text{ khi }}x > 2} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;2);(2; + \infty)

    Khi đó hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f(x) liên tục tại x = 2

    Hay \lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(2) = 4m^{2}

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x ightbrack = 2(1 - m)

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} ight) = 4m^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 - m)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho ba mặt phẳng phân biệt \left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight) có \left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2}; \left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}. Khi đó ba đường thẳng {d_1},\;{d_2},\;{d_3}:

    Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 

  • Câu 25: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên khoảng ( - 2; + \infty). Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 khi đó 2a + 1 = - 15 Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1 Sai||Đúng

    d) Phương trình x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0) và (0;1) Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên khoảng ( - 2; + \infty). Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 khi đó 2a + 1 = - 15 Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1 Sai||Đúng

    d) Phương trình x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0) và (0;1) Sai||Đúng

    a) Hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} có nghĩa khi x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq - 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy theo định lí ta có hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; - 2),( - 2; + \infty).

    b) Ta có: \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = \lim\frac{a + \frac{4}{n}}{4 + \frac{3}{n}} = \frac{a}{4}

    Khi đó: 2a + 1 = - 15.

    Theo bài ra ta có:

    \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 \Leftrightarrow \frac{a}{4} = - 2 \Leftrightarrow a = - 8

    c) Ta có: x ightarrow 1^{+} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}(x - 1)}}{\sqrt{x - 1} - (x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}\left( 1 - \sqrt{x - 1} ight)} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{1 - \sqrt{x - 1}} = 1s

    d) Xét hàm số x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = f(x) có tập xác định D\mathbb{= R}

    Suy ra hàm số f(x) cũng liên tục trên các khoảng ( - 1;0) và (0;1).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1000,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0

    Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0).

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 999,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(0) < 0

    Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \sqrt{5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} xác định trên tập số thực?

    Hàm số đã cho xác định khi

    5 - m\sin x - (m + 1)\cos x \geq0;\forall x\mathbb{\in R}

    \begin{matrix} \Rightarrow 5 \geqslant \max \left\{ {m\sin x - \left( {m + 1} ight)\cos x} ight\} \hfill \\ \Leftrightarrow 5 \geqslant \sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} ight)}^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 12 \leqslant 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 4;3} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện m là số nguyên

    => m = {-4; -3; ... ; 2; 3}

    Vậy có 8 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Phương trình nào cùng tập nghiệm với phương trình \tan x = 1

     Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cot x.\tan x = 1} \\ {\tan x = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \cot x = \dfrac{1}{{\tan x}} = 1

    Vậy phương trình \tan x = 1 có cùng tập nghiệm với phương trình \cot x = 1

  • Câu 28: Nhận biết

    Tập xác định của hàm số: y = \frac{1}{{\sin x}} + 3\tan x

     Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x e 0} \\ {\cos x e 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \sin x.\cos x e 0 \hfill \\ \Rightarrow \sin 2x e 0 \Rightarrow x e \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

    Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

    Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

    Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M, N, P, R, Q, L lần lượt là trung điểm SD, SB, DC, BC, AD, AB. Khi đó khẳng định nào sai?

    Hình vẽ minh họa

    Qua phép chiếu song song theo phương SC lên mặt phẳng (ABCD) biến: M thành P, N thành R.

    Do đó MP// NR

    => MP // (NLR)

    Qua phép chiếu song song theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) biến: N thành L, R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

    Vậy (NLR)//(MQP)

    Vậy khẳng định sai là: AD//(NLR)

  • Câu 31: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình 2 \sin^{2}x-5 \sin x+3=0 thuộc \left [ 0;2\pi  ight ] là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} ight)\left( {2\sin x - 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x - 1 = 0} \\ {2\sin x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = 1} \\ {\sin x = \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: x \in \left[ {0;2\pi } ight]

    \begin{matrix} \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \leqslant 2\pi \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{1}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{3}{4} \Rightarrow k = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

    Điểm

    [0; 20)

    [20; 40)

    [40; 60)

    [60; 80)

    [80; 100)

    Số học sinh

    5

    9

    12

    10

    6

    Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là:

    Giá trị đại diện của nhóm thứ tư (hay nhóm [60; 80)) là \frac{60 + 80}{2} = 70.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi d = (GMN) \cap (BCD)

    Khi đó d đi qua G. Xét ba mặt phẳng (GMN),(BCD),(ACD)

    Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là d,CD,MN.

    Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì d,CD,MN đồng quy hoặc đôi một song song.

    Mà MN//CD\ = > \ d//CD

    Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông tại C có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số nhân có công bội lớn hơn 1. Xác định công bội của cấp số nhân đó.

    Giả sử a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, a < b.

    Do độ lớn ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân, công bội q > 1 nên b = aq;c = aq^{2}

    c^{2} = a^{2} + b^{2}

    \Leftrightarrow a^{2}q^{4} = a^{2} + a^{2}q^{2}

    \Leftrightarrow q^{4} = 1 + q^{2}

    \Leftrightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

    \Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

  • Câu 36: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết \widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình 2 \sin x -1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

     

    Ta có: 2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}

    Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:

    Sản lượng

    [40; 50)

    [50; 60)

    [60; 70)

    [70; 80)

    [80; 90)

    [90; 100)

    Số cây

    10

    15

    17

    14

    12

    2

    Tính trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm.

    Ta có:

    Sản lượng

    [40; 50)

    [50; 60)

    [60; 70)

    [70; 80)

    [80; 90)

    [90; 100)

     

    Số cây

    10

    15

    17

    14

    12

    2

    N = 70

    Tần số tích lũy

    10

    25

    42

    56

    68

    70

     

    Ta có: \frac{N}{2} = \frac{70}{2} =35

    => Nhóm chứa trung vị là: [60; 70) (vì 35 nằm giữa hai tần số tích lũy là 25 và 56)

    \Rightarrow l = 60;\frac{N}{2} =\frac{70}{2} = 35;m = 25;f = 17,c = 10

    M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c

    = 60 + \dfrac{(35 - 25)}{17}.10 \approx 66

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 40: Nhận biết

    Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.

    45

    65

    72

    48

    74

    67

    68

    46

    56

    53

    58

    68

    72

    64

    62

    49

    72

    55

    67

    51

    Điền số thích hợp vào bảng sau:

    Tốc độ

    Đại diện tốc độ

    Tần số

    40≤ x <50

    45

    4

    50≤ x < 60

    55

    5

    60≤ x < 70

    65

    7

    70 ≤ x < 80

    75

    4

    Đáp án là:

    Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.

    45

    65

    72

    48

    74

    67

    68

    46

    56

    53

    58

    68

    72

    64

    62

    49

    72

    55

    67

    51

    Điền số thích hợp vào bảng sau:

    Tốc độ

    Đại diện tốc độ

    Tần số

    40≤ x <50

    45

    4

    50≤ x < 60

    55

    5

    60≤ x < 70

    65

    7

    70 ≤ x < 80

    75

    4

    Ta có:

    Tốc độ

    Đại diện tốc độ

    Tần số

    40 ≤ x < 50

    45

    4

    50 ≤ x < 60

    55

    5

    60 ≤ x < 70

    65

    7

    70 ≤ x < 80

    75

    4

  • Câu 41: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \lbrack - 3;3brack với f(x) = \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 - x}}{x} với x eq 0. Tính giá trị f(0)

    Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên \lbrack - 3;3brack nên suy ra

    f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 - x}}{x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 - x}} ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}

  • Câu 42: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 43: Nhận biết

    Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua

    Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."

  • Câu 44: Vận dụng

    Cho bảng dữ liệu như sau

    Đại diện A

    Tần số

    [0; 10)

    6

    [10; 20)

    24

    [20; 30)

    x

    [30; 40)

    16

    [40; 50)

    9

    Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng 24.

    Ta có:

    Đại diện A

    Tần số

    Tần số tích lũy

    [0; 10)

    6

    6

    [10; 20)

    24

    30

    [20; 30)

    x

    30 + x

    [30; 40)

    16

    46 + x

    [40; 50)

    9

    55 + x

     

    N = 55 + x

     

    Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)

    \Rightarrow l = 20;\frac{N}{2} =\frac{55 + x}{2};m = 30;f = x,c = 10

    M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c

    \Leftrightarrow 24 = 20 + \dfrac{\left(\dfrac{55 + x}{2} - 30 ight)}{x}.10

    \Leftrightarrow 4 = \frac{5(x -5)}{x}

    \Leftrightarrow 4x = 5x -25

    \Leftrightarrow 25 = 5x -4x

    \Leftrightarrow 25 = x

  • Câu 45: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác (AB không song song với CD), O = AC \cap BD. Lấy M là trung điểm của SD, lấy N \in SB sao cho SN = 2SB. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

    Hình vẽ minh hoạ

    Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

    Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 55 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập