Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $3sinx + m - 1 = 0$ có nghiệm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  3
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với m thuộc tập số nguyên
Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m
Câu 2: Thông hiểu
Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách.
- A.
  Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
- B.
  Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
- C.
  Tịnh tiến C lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
- D.
  Tịnh tiến C xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
Ta có: $y = \sin x = \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( x - \frac{\pi}{2} ight)$

=> Đồ thị hàm số y = sinx được suy ra từ đồ thị C của hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$
Câu 3: Nhận biết
Nhóm số liệu ghép nhóm có dạng $\lbrack m;n)$ . Khi đó giá trị đại diện của nhóm tính bằng công thức nào sau đây?
- A.
  $\frac{m +n}{2}$
- B.
  $\frac{n - m}{2}$
- C.
  $\frac{m.n}{2}$
- D.
  $m - n$
Giá trị đại diện của một nhóm số liệu là trung bình cộng giá trị hai đầu mút của nhóm số liệu.
Công thức tính giá trị đại diện của nhóm $\lbrack m;n)$ là $\frac{m + n}{2}$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 6$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$f(1) = m + 3$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

$= > m + 3 = 3 = > m = 0$
Câu 5: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BDA'$ và $B'D'C$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{GG'}{AC'}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O,O'$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD,A'B'C'D'$

Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên $A'O//O'C$

Từ đó ta có:

$\Delta AOG\sim\Delta ACG'$

$\Rightarrow \frac{AG}{AG'} = \frac{AO}{AC} = \frac{1}{2} \Rightarrow AG = GG'$ (*)

$\Delta C'A'G\sim\Delta C'O'G'$

$\Rightarrow \frac{C'O'}{C'A'} = \frac{C'G'}{C'G} = \frac{1}{2} \Rightarrow C'G' = GG'$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $GG' = \frac{1}{3}AC'$ hay $\frac{GG'}{AC'} = \frac{1}{3}$
Câu 6: Nhận biết
Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?
- A. 1; -3; -7; -11; -15; …
- B. 1; -3; -6; -9; -12; …
- C. 1; -2; -4; -6; -8; …
- D. 1; -3; -5; -7; -9; …
Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = u₃ – u₂ = u₄ – u₃ = -4 => Chọn đáp án A
Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = -4 ≠ u₃ – u₂ = -3 => Loại đáp án B
Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = -3 ≠ u₃ – u₂ = -2 => Loại đáp án C
Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = -4 ≠ u₃ – u₂ = -2 => Loại đáp án D
Câu 7: Vận dụng
Phương trình $\left( \sqrt{3}\tan x - 1 ight)\left( sin^{2}x + 1 ight) = 0$ có tổng các nghiệm trên $(0;\pi)$ bằng:
- A.
  $- \frac{2\pi}{3}$
- B.
  $- \frac{\pi}{6}$
- C.
  $\frac{\pi}{6}$
- D.
  $\frac{5\pi}{6}$
Điều kiện xác định: $\cos x eq 0 \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $sin^{2}x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho tương đương với

$\sqrt{3}\tan x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $(0;\pi) \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$
Câu 8: Nhận biết
Dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = 7 - 3^{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{7}{3n}$
- C.
  $u_{n} = 7.2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 7 - 3n$
Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)
Câu 9: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
- B. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
- C. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$
- D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$
Câu 10: Nhận biết
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
- A.
  Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
- B.
  Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm đó thẳng hàng.
- C.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 11: Nhận biết
Đổi số đo của góc $70^{0}$ sang đơn vị radian
- A.
  $\frac{70}{\pi}$
- B.
  $\frac{7}{18}$
- C.
  $\frac{7\pi}{18}$
- D.
  $\frac{7}{18\pi}$
Cách 1: Áp dụng công thức $\mu = \frac{m.\pi}{180}$ với $\mu$ tính bằng rad và $m$ tính bằng độ.

Khi đó: $\mu = \frac{70.\pi}{180} = \frac{7.\pi}{18}$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.

Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 =
Câu 12: Vận dụng

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$ ?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$ ?

Đáp án: 4

Giả sử cấp số nhân có công bội là $q$ , khi đó theo bài ra ta có:

$2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) =u_{6} + u_{7} + u_{8}$

$\Leftrightarrow 2\left( u_{3} + u_{3}q +u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}$

$\Leftrightarrow 2u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)$

$\Leftrightarrow 2u_{3} = u_{6}$ do $\ 1 + q + q^{2} > 0$

$\Leftrightarrow 2u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 2 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = \sqrt[3]{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q + u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}$ $= \frac{u_{8}\left( 1 + q + q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} = \frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 4$
Câu 13: Thông hiểu
Tính giới hạn $E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$
- A.
  $E = - \infty$
- B.
  $E = 0$
- C.
  $E = \sqrt{6}$
- D.
  $E = + \infty$
Ta có:

$E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{(x - 3)^{2}}}{\sqrt{(x - 3)(x + 3)}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3}} = 0$
Câu 14: Thông hiểu
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ biết $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = 3u_{n} \\\end{matrix},\forall n \in N^{*} ight.$ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( u_{n}ight)$ .
- A.
  $u_{n} = 3^{n}$ .
- B.
  $u_{n} = n^{n + 1}$ .
- C.
  $u_{n} = 3^{n + 1}$ .
- D.
  $u_{n} = 3^{n - 1}$ .
Ta có $u_{1} = 3$ và $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=3$
Suy ra dãy số $\left( u_{n}ight)$ là cấp số nhân với $\left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.$
Do đó $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n -1} = 3^{n}$
Câu 15: Vận dụng
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0;1)$ ?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ .
- B.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ .
- C.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ .
- D.
  $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ .
Xét phương án $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ có $\Delta = 9 - 32 = - 23$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ : $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$

Đặt $t = x^{2}(t \geq 0)$ , phương trình trở thành: $3t^{2} - 4t + 5 = 0$ .

$\Delta' = 4 - 15 = - 11$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ : $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2$

$\forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ : $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ , xét $f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$

Mặc khác hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ do đó liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ .

Vậy phương trình $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;1)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB$ , hai điểm $P,Q$ phân biệt thuộc đường thẳng $CD$ . Khi đó vị trí tương đối của hai đoạn thẳng $MP$ và $NQ$ là:
- A.
  chéo nhau
- B.
  trùng nhau
- C.
  cắt nhau
- D.
  song song
Giả sử đường thẳng $MP$ và $NQ$ không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó $AB$ và $CD$ cùng thuộc một mặt phẳng hay $ABCD$ là một tứ giác (trái giả thiết).
Vậy đường thẳng $MP$ và $NQ$ chéo nhau.
Câu 17: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để $A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1} > 0$
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a \leq 0 \\ a \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $0 < a < 1$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $0 \leq a < 1$
Ta có:

$A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{5}{n^{2}} - 3a}{(1 -a) + \dfrac{2}{n^{3}} + \dfrac{1}{n^{4}}}$

$= \frac{- 3a}{1 - a} > 0$

Giải bất phương trình ta được kết quả $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB;SCD$ . Cho các khẳng định sau:

i) $GG'//(SBC)$

ii) $GG'//(SAD)$

iii) $GG'//(SAC)$

iv) $GG'//(ABD)$

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên $\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN$

Mà $MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)$

Ta có: $MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 3 khẳng định đúng.
Câu 19: Thông hiểu
Rút gọn biểu thức: $B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a -b)$
- A.
  $B = 1 - 2\sin^{2}b$
- B.
  $B = 1 + 2\sin^{2}b$
- C.
  $B = \cos4b$
- D.
  $B = \sin4b$
Ta có:

$B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a - b)$

$B = \cos\left\lbrack a + b - (a - b) ightbrack$

$B = \cos2b = 1 - 2\sin^{2}b$
Câu 20: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Đường thẳng $IJ$ song song với đường thẳng nào?
- A.
  $BC$ .
- B.
  $BD$ .
- C.
  $SO$ .
- D.
  $AC$ .
Hình vẽ minh họa:

Dễ dàng thấy được: $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ $\Rightarrow IJ // AC$ .
Câu 21: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 22: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm $AB,\ \ J$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $JD = \frac{1}{3}JA$ , gọi $E = IJ \cap BD$ . Tìm giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ . Giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ cắt đoạn $BD$ tại mấy điểm.

Đáp án: 0

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm $AB,\ \ J$ là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho $JD = \frac{1}{3}JA$ , gọi $E = IJ \cap BD$ . Tìm giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ . Giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ cắt đoạn $BD$ tại mấy điểm.

Đáp án: 0

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(ABD)$ , có $E = IJ \cap BD$ .

Suy ra $E$ không thuộc đoạn $BD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} E \in IJ;IJ \subset (CIJ) \\ E \in BD;BD \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow E \in (CIJ) \cap (BCD)$

$\Rightarrow CE = (CIJ) \cap (BCD)$

Mà $C,E$ không thuộc đoạn $BD$ nên giao tuyến của $mp(CIJ)$ và $mp(BCD)$ không cắt đoạn $BD$ .
Câu 23: Nhận biết
Điểm kiểm tra của một nhóm học sinh được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
(20; 30]
1
(30; 40]
1
(40; 50]
10
(50; 60]
11
(60; 70]
5
(70; 80]
2
Số phần tử của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
- A.
  35
- B.
  42
- C.
  40
- D.
  30
Ta có:
Điểm
Số học sinh
Tần số tích lũy
(20; 30]
1
1
(30; 40]
1
2
(40; 50]
10
12
(50; 60]
11
23
(60; 70]
5
28
(70; 80]
2
30
Tổng
N = 30

Vậy số phần tử mẫu là N = 30
Câu 24: Thông hiểu
Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
- A.
  88
- B.
  92
- C.
  128
- D.
  132
Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng
Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6
Theo bài ra ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.$
${u_1} + 5.d = 40$
$\begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy công sai của cấp số cộng là $d = \frac{{36}}{5}$
Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: $\frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}$
Tổng bốn số hạng ở trên là: $\frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88$
Câu 25: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 26: Thông hiểu
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6
- A.
  $y=216$
- B.
  $y=\frac{216}{5}$
- C.
  $y=\frac{1296}{5}$
- D.
  $y=12$
Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5
Từ đó suy ra y = 6x = 216/5
Câu 27: Vận dụng cao
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm?
- A. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
- B. $m \in \left( {1; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left[ { - 1;1} ight]$
- D. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight)$
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Phương trình $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$
Do đó, phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .
Câu 28: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm nào sau đây?
- A.
  $x_{0} = 0$
- B.
  $x_{0} = 2$
- C.
  $x_{0} = 3$
- D.
  $x_{0} = 1$
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 1}f(x)$ . Do đó hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 1$ .
Câu 29: Nhận biết
Giới hạn $L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

$L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3$
Câu 30: Nhận biết
Mệnh đề nào dưới đây SAI?
- A.
  Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song vơi đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- B.
  Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
- C.
  Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Câu 31: Nhận biết
Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  u_n = 1 + n
- B.
  u_n = 1 − n
- C.
  u_n = 1 + (−1)²ⁿ
- D.
  u_n = n
Ta có u_n + 1 = u_n + (−1)²ⁿ = u_n + 1 ⇒ u₂ = 2; u₃ = 3; u₄ = 4; …

Dễ dàng dự đoán được u_n = n.

Thật vậy, ta chứng minh được u_n = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Với n = 1 ⇒ u₁ = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ^*), ta có u_k = k

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_k + 1 = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có u_k + 1 = u_k + (−1)^2k = k + 1

Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = n.
Câu 32: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = x - 1$ và $g(x) = x^{3}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x - 1$ và $g(x) = x^{3}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1$ . Sai||Đúng

a) $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 1 - 1 = 0$ .

b) $\lim_{x ightarrow 1}g(x) = \lim_{x ightarrow 1}x^{3} = 1^{3} = 1$ .

c) $\lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = 3.0 - 1 = - 1$ .

d) $\lim_{x ightarrow1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = \frac{0}{1} =0$ .
Câu 33: Thông hiểu
Người ta kiểm tra chiều cao của các cây thân gỗ trong rừng (đơn vị: mét), kết quả được ghi trong bảng sau:
7,3
7,8
7,5
6,6
8,5
8,3
8,3
7,5
8,4
8,6
7,4
8,2
8,0
8,1
8,7
8,2
8,8
8,1
7,7
7,8
8,5
7,0
7,9
6,9
9,4
9,0
8,0
8,7
8,9
7,6
8,0
8,2
7,9
7,7
7,2
Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm. Biết mẫu số liệu được chia thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài như nhau. Khi đó nhóm chiếm tỉ lên cao nhất là:
- A.
  $\lbrack 7;7,5)$
- B.
  $\lbrack 7,5;8)$
- C.
  $\lbrack 8,5;9)$
- D.
  $\lbrack8;8,5)$
Khoảng biến thiên: $9,4 – 6,6 = 2,8$
Ta chia thành các nhóm sau:
$\lbrack 6,5;7),\lbrack 7;7,5),\lbrack7,5;8),\lbrack 8;8,5),\lbrack 8,5;9),\lbrack 9;9,5)$
Đếm số giá trị của mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm như sau:
Chiều cao (m)
Số cây
[6,5; 7)
2
[7; 7,5)
4
[7,5; 8)
9
[8; 8,5)
11
[8,5; 9)
7
[9; 9,5)
2
Từ bảng số liệu ta thấy nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất là: [8,0; 8,5).
Câu 34: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm?
- A.
  $167,52$
- B.
  $166,34$
- C.
  $167,97$
- D.
  $166,85$
Ta có:
Đối tượng
Tần số
Tần số tích lũy
[150; 155)
15
15
[155; 160)
11
26
[160; 165)
39
65
[165; 170)
27
92
[170; 175)
5
97
[175; 180)
3
100
Cỡ mẫu là: $N = 100$
$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c$ $= 165 + \frac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$
Câu 35: Nhận biết
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$ và $(\beta)$ , điều kiện nào sau đây không đủ để kết luận rằng mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ ?
- A.
  $(\alpha)$ và $(\beta)$ cùng song song với mặt phẳng $(\gamma)$ .
- B.
  $(\alpha)$ chứa vô số đường thẳng song song với $(\beta)$ .
- C.
  $(\alpha)$ và $(\beta)$ không có điểm chung.
- D.
  $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và chúng cùng song song với $(\beta)$ .
Mệnh đề: " $(\alpha)$ chứa vô số đường thẳng song song với $(\beta)$ ." không đủ để chỉ ra hai mặt phẳng song song (khi các đường thẳng đó song song với nhau).
Câu 36: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- D.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
Xét $\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1)k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\forall \geq 2$

Suy ra

$u_n<\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+⋯+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{n} < \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 0 < u_n <\frac{3}{2}, \, \, \forall n \in \mathbb{N} ^*$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.
Câu 37: Thông hiểu
Cho bảng dữ liệu như sau:
Khoảng thời gian học (giờ)
[8; 18)
[18; 28)
[28; 38)
[38; 48)
[48; 58)
[58; 68)
[68; 78)
Số học sinh
2
3
14
8
7
8
2
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu đã cho?
- A.
  $56,6$
- B.
  $50,8$
- C.
  $54,7$
- D.
  $53,3$
Ta có:
Khoảng thời gian học (giờ)
[8; 18)
[18; 28)
[28; 38)
[38; 48)
[48; 58)
[58; 68)
[68; 78)
Số học sinh
2
3
14
8
7
8
2
Tần số tích lũy
2
5
19
27
34
42
44
Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.44}{4} =33$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là $[48; 58)$ (vì 33 nằm giữa các tần số tích lũy 27 và 34).
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 48;m = 27,f = 7;c = 58 -48 = 10$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 48 + \dfrac{33 - 27}{7}.10 \approx56,6$
Câu 38: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Trọng tâm các tam giác $ABC,ACC',A'B'C'$ lần lượt là $I,J,K$ . Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng $(IJK)$ .
- A.
  $(BC'A)$
- B.
  $(AA'B)$
- C.
  $(BB'C')$
- D.
  $(CC'A)$
Theo bài ra ta có:

Các điểm $I,J,K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,ACC',A'B'C'$ .

$\Rightarrow \frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN$ .

$\Rightarrow IJ//(BCC'B')$

Chứng minh tương tự $IK//(BCC'B') \Rightarrow (IJK)//(BCC'B')$

$\Rightarrow (IJK)//(BC'B')$
Câu 39: Nhận biết
Phương trình lượng giác $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ có nghiệm là ?
- A. $x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi$
- B. $x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
- C. $x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
- D. $x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
Ta có: $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ $\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
Câu 40: Thông hiểu

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

Đáp án là:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

Phương trình $\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = - 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{3}{2}\,\,\,\,\,(VL) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
Câu 41: Vận dụng cao
Rút gọn $S = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x$ $+ ... + {( - 1)^n}.{\sin ^{2n}}x + ...$ với $\sin x e \pm 1$
- A.
  $S=\sin^{2}x$
- B.
  $S=\cos^{2}x$
- C.
  $S=\frac{1}{1+sin^{2}x}$
- D.
  $S=\tan^{2}x$
Ta có:
$S = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x$ $+ ... + {( - 1)^n}.{\sin ^{2n}}x + ...$ là một dãy cấp số nhân với ${u_1} = 1,q = - {\sin ^2}x$ nên
$S = \frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}$

Câu 42: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 43: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x)$ bằng
- A.
  $+\infty$
- B.
  $0$
- C.
  $\sqrt{\frac{1}{2}}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 44: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:
- A.
  $\frac{2a}{3}$
- B.
  $\frac{a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{4}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$
Câu 45: Vận dụng
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

(2) Dãy số được xác định bởi a_n = n² là một dãy giảm.

(3) Dãy số được xác định bởi a_n = 1 − n² là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

(4) Dãy số được xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là một dãy không tăng, không giảm.
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
$0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

a_n + 1 − a_n = (n+1)² − n² = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = n² là dãy tăng.

a_n + 1 − a_n = (1−(n+1)²) − (1−n²) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = 1 − n² là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

a₁ = − 1 < a₂ = 4 > a₃ = − 9 nên dãy số xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là dãy không tăng không giảm.