Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Đồ thị hàm số $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A. $\left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
- B. $\left( { - \frac{\pi }{4};0} ight)$
- C. $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} ight)$
- D. $\left( { - \frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{4}} ight)$
Thay giá trị $x = - \frac{\pi }{2};y = \frac{\pi }{4}$ vào hàm số ta có:
$\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} ight) - \frac{\pi }{4} =- \frac{\pi }{4}$
Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là: $y = \cos x - \frac{\pi }{4}$
Câu 2: Nhận biết
Cho tứ diện $MNPQ$ . Gọi $G$ và $E$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $MNQ$ và $MNP$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $GE//PQ$ .
- B.
  $GE$ cắt $PQ$ .
- C.
  $GE$ cắt $MQ$ .
- D.
  $GE$ và $PQ$ chéo nhau.
Hình vẽ minh họa

Giả sử $O$ là trung điểm của $MN$ .

Ta có: $\frac{GO}{OQ} = \frac{OE}{OC} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow GE//PQ$
Câu 3: Nhận biết
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Nhóm nào chứa mốt của mẫu số liệu?
- A.
  [200; 250)
- B.
  [150; 200)
- C.
  [100; 150)
- D.
  [50; 100)
Nhóm chứa mốt của dấu hiệu là: [100; 150)
Câu 4: Vận dụng
Tổng các nghiệm của phương trình $\cos 2x - \sin 2x = 1$ trong khoảng $\left ( 0;2\pi ight )$ là:
- A.
  $\frac{7\pi}{4}$
- B.
  $\frac{14\pi}{4}$
- C.
  $\frac{15\pi}{4}$
- D.
  $\frac{13\pi}{4}$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \cos 2x - \sin 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Xét nghiệm $x = k\pi$
Do $x \in \left ( 0;2\pi ight )$ => $0 < k\pi < 2\pi \Rightarrow k = 1$
=> $x = \pi$
Xét nghiệm ${x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }$
Do $x \in \left ( 0;2\pi ight )$
$\begin{matrix} 0 < - \dfrac{\pi }{4} + k\pi < 2\pi \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} ight\} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}} \\ {k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{4}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: $\frac{14\pi}{4}$
Câu 5: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 6: Vận dụng
Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$
- A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
- B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
- C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
- D. Liên tục tại mọi điểm
Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$
Tại $x=0$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x=0$
Tại $x=1$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Câu 7: Vận dụng
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A
Tần số
[0; 10)
6
[10; 20)
24
[20; 30)
x
[30; 40)
16
[40; 50)
9
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là 32.
- A.
  $x = 26$
- B.
  $x = 10$
- C.
  $x = 16$
- D.
  $x = 24$
Ta có:
Đại diện A
Tần số
Tần số tích lũy
[0; 10)
6
6
[10; 20)
24
30
[20; 30)
25
55
[30; 40)
x
55 + x
[40; 50)
9
64 + x
Tổng
N = 64 + x

Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 20;\dfrac{N}{2} = \dfrac{64 + x}{2} \\m = 30;f = 25,c = 10 \\\end{matrix} ight.$
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$
$24 = 20 + \dfrac{\dfrac{64 + x}{2} -30}{25}.10$
$\Leftrightarrow 16 = x$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng $(AB'D')$ .
- A.
  $(BA'C')$
- B.
  $(C'BD)$
- C.
  $(BDA')$
- D.
  $(ACD')$
Hình vẽ minh họa

Ta có $BDB'D'$ là hình bình hành nên $BD//B'D'$

Tương tự ta có $AD'//BC'$ . Từ đó suy ra $BD//\left( {AB'D'} ight)$ và $BC'//\left( {AB'D'} ight)$ .

Vậy $\left( {C'BD} ight)//\left( {AB'D'} ight)$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang có cạnh đáy là $AB,CD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ , điểm $P \in SA;(P eq S;P eq A)$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB);(MNP)$ .
- A.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AB
- B.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AD
- C.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với AC
- D.
  Đường thẳng qua điểm P và song song với BC
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P = (SAB) \cap (MNP) \\ MN \subset (MNP) \\ AB \subset (SAB) \\ MN//AB \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAB) \cap (MNP) = PQ$ với $Px//AB//MN,Q \in SB$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB);(MNP)$ là đường thẳng qua P và song song với AB.
Câu 10: Vận dụng cao
Tổng $S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng?
- A.
  $\frac{99}{98}$
- B.
  $\frac{90}{99}$
- C.
  $\frac{98}{99}$
- D.
  1
Ta có $\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots$
Do đó $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}$
Câu 11: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu $0 < x < \frac{\pi }{2}$
- A. $y = \cot \left( {x + \pi } ight)$
- B. $y = \tan \left( {x + \pi } ight)$
- C. $y = \cos \left( {x + \pi } ight)$
- D. $y = \sin \left( {x + \pi } ight)$
Ta có: $y = \cos \left( {x + \pi } ight) = -\cos x$
Mà $0 < x < \frac{\pi }{2}$
=> $y = \cos \left( {x + \pi } ight)$ mang giá trị âm
Câu 12: Thông hiểu
Kết quả của giới hạn $\lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}$ bằng:
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  2
- D.
  3
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}} + \dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight) + \lim \left( {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant \left| {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \\ {0 \leqslant \left| {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 13: Thông hiểu

Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là: $\frac{6}{40}.100\% = 15\%$

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là: $\frac{4}{39}.100\% \approx 10,3\%$

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là: $\frac{3}{41}.100\% \approx 7,3\%$

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là: $\frac{3}{43}.100\% \approx 7\%$

Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.

Câu 14: Thông hiểu
Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$ , công bội q = 2. Biết ${S_n} = 765$ . Tìm n?
- A. n = 7
- B. n = 6
- C. n = 8
- D. n = 9
Ta có:
$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} ight)}}{{1 - 2}} = 765 \hfill \\ \Rightarrow n = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Thông hiểu
Biết hai đường thẳng $a,b$ là hai đường thẳng chéo nhau. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ .
- A.
  2
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  4
Dựa vào lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.

=> Có duy nhất 1 mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?
- A. $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}$
- B. $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n-1 chữ số 0}}$
- C. $u_n=\frac{1}{10^{n-1}}$
- D. $u_n=\frac{1}{10^{n+1}}$
Ta có:

Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

Suy ra có chữ số 0.

Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = \frac{x - 2}{3 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 2} ight) = 1 > 0} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {3 - x} ight) = 0 \hfill \\ x \mapsto {3^ + } \Rightarrow \left( {3 - x} ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{x - 2}{3 - x} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{\dfrac{3}{x} - 1} = - 1$

Vậy đáp án đúng là $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 18: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}}$ bằng:
- A.
  -3
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. 3
Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$
$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$
Do đó
$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$
+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .
+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là
$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Câu 20: Nhận biết
Tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ của phương trình: $\cos x = \frac{1}{2}$
- A. $0$
- B. $\pi$
- C. ${\frac{\pi }{2}}$
- D. $2\pi$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \cos x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.
Câu 21: Nhận biết
Giá trị của $\lim(2n + 1)$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M} > \frac{M - 1}{2}$

Ta có:

$2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}$ .

$= > \lim(2n + 1) = + \infty$
Câu 22: Thông hiểu

Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Đáp án là:

Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Ta có:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Câu 23: Thông hiểu

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ .

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ (do $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1$ và $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ ).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty$

Do $\lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3$ và $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty$ .

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0$
Câu 24: Nhận biết
Cho tứ diện $S.\ ABC$ . Trên $SA$ , $SC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ cắt $AC$ tại $E$ . Điểm $E$ không thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
- A.
  $(ABC)$ .
- B.
  $(SAC)$ .
- C.
  $(BMN)$ .
- D.
  $(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

Do $E \in AC \Rightarrow E \in (SAC)$ và $E \in (ABC)$ .

Do $E \in MN \Rightarrow E \in (BMN)$ .
Câu 25: Thông hiểu

Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11
23
31
17
24
38
37
7
12
5
8
15
33
19
27
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4

Đáp án là:

Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11
23
31
17
24
38
37
7
12
5
8
15
33
19
27
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4

Ta có:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
(0; 10]
5
3
(10; 20]
15
5
(20; 30]
25
3
(30; 40]
35
4
Câu 26: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để $A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1} > 0$
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a \leq 0 \\ a \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $0 < a < 1$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $0 \leq a < 1$
Ta có:

$A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{5}{n^{2}} - 3a}{(1 -a) + \dfrac{2}{n^{3}} + \dfrac{1}{n^{4}}}$

$= \frac{- 3a}{1 - a} > 0$

Giải bất phương trình ta được kết quả $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 27: Nhận biết
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi $u_{1} = - 5;d = 3$ .
- A.
  $14506$
- B.
  $14350$
- C.
  $14600$
- D.
  $14500$
Theo bài ra ta có:

$S_{100} = \frac{\left( 2u_{1} + 99d ight).100}{2} = 14350$
Câu 28: Nhận biết
Một nhà thực vật học khảo sát chiều cao của một số cây trong khu rừng, kết quả đo được cho bằng biểu đồ tần số ghép nhóm như hình vẽ:

Trong biểu đồ, trục hoành biểu thị chiều cao của cây (đơn vị: mét), trục tung biểu thị số lượng cây tương ứng. Số cây có chiều cao không nhỏ hơn 9,1m là:
- A.
  $85$
- B.
  $145$
- C.
  $115$
- D.
  $150$
Quan sát biểu đồ dữ liệu ta thấy:

Số lượng cây có chiều cao không nhỏ hơn 9,1m là: $60 + 55 + 30 = 145$ (cây)
Câu 29: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in SA$ sao cho $NA = 2NS$ . Hình chiếu của điểm $N$ qua phép chiếu song song phương $SM$ , mặt phẳng chiếu $(ABC)$ là:
- A.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ .
- B.
  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SBC$ .
- C.
  Trọng tâm tam giác $ABC$
- D.
  Trọng tâm tam giác $SBC$
Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp $S.ABC$ là các tam giác đều nên tam giác $ABC$ đều.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow NG//SM$

Nên $G$ là hình chiếu song song theo phương $SM$ của $N$ trên $(ABC)$ .

Lại do tam giác $ABC$ đều nên $G$ vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ .
Câu 30: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác'' ?
- A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
- B. Mỗi đường tròn có bán kính là một đường tròn lượng giác.
- C. Mỗi đường tròn có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
- D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R =1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Câu 31: Nhận biết
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A. 1; 2; 3; 4; 5
- B. 1; 2; 4; 8; 16
- C. 1; -1; 1; -1; 1
- D. 1; -2; 4; -8; 16
Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1
Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1
Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2
Câu 32: Vận dụng

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn $150 \times 6\%= 9(mg)$ , suy ra mệnh đề đúng.

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là: $150 \times 6\% + 150 = 159(mg)$ suy ra mệnh đề đúng.

c) Gọi $u_{n}$ là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $1$ là: $u_{1} = 150(mg)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là:

$u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $3$ là:

$u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $4$ là:

$u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)$

Suy ra mệnh đề sai.

d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

$S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)$

$= 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}$

$= \frac{7500}{47} \approx 159,57mg$

Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là $159,57mg$ , suy ra mệnh đề đúng.
Câu 33: Thông hiểu
Cho $\cos a = \frac{3}{5}$ cho $0^{0} < a < 90^{0}$ . Tính giá trị của $\sin a$ ?
- A.
  $\sin a = - \frac{4}{5}$
- B.
  $\sin a = - \frac{16}{25}$
- C.
  $\sin a = \frac{16}{25}$
- D.
  $\sin a = \frac{4}{5}$
Ta có:

$\sin^{2}a + \cos^{2}a = 1$

$\Leftrightarrow \sin^{2}a = 1 -\cos^{2}a$

$\Leftrightarrow \sin^{2}a = 1 - \left(\frac{3}{5} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow \sin^{2}a =\frac{16}{25}$

$\Leftrightarrow \sin a = \pm \frac{4}{5}$

Vì $0^{0} < a < 90^{0}$ nên $\sin a > 0 \Rightarrow \sin a = \frac{4}{5}$
Câu 34: Vận dụng
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{2^{n}}{n!}$ , ta thu được kết quả?
- A.
  Dãy số tăng, bị chặn trên.
- B.
  Dãy số tăng, bị chặn dưới.
- C.
  Dãy số giảm, bị chặn.
- D.
  Cả A, B, C đều sai.
Ta có $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!}:\frac{2^{n}}{n!} = \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n + 1} < 1,\forall n \geq 1$

Mà u_n > 0, ∀n nên u_n + 1 < u_n, ∀n ≥ 1⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.

Vì 0 < u_n ≤ u₁ = 2, ∀n ≥ 1 nên dãy (u_n) là dãy bị chặn trên.
Câu 35: Vận dụng cao
Hàm số $y = cos^{2}x + 2sinx + 2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $x_{0} = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x_{0} = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x_{0} = \pi + k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
- D.
  $x_{0} = k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
Ta có: $y = cos^{2}x + 2sinx + 2 = 1 -sin^{2}x + 2sinx + 2$
$= - sin^{2}x + 2sinx + 3 = - \left( \sinx - 1 ight)^{2} + 4.$
Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 2 \leq \sin x - 1 \leq 0 \\\Leftrightarrow 0 \leq \left( \sin x - 1 ight)^{2} \leq 4 \\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow 0 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} \geq - 4 \hfill \\\Leftrightarrow 4 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} + 4 \geq 0 \hfill \\\end{matrix}$ .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $0$ .
Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = - 1\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z}ight).$
Câu 36: Nhận biết
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ theo thứ tự tăng dần?
- A.
  $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- B.
  $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- C.
  $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
- D.
  $1$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.

Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ là $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
Câu 37: Vận dụng cao
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình

$\frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0$

Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử $S$ bằng:
- A.
  $13$
- B.
  $19$
- C.
  $1$
- D.
  $5$
Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Với $m = 2$ bất phương trình trở thành $\frac{- 3x^{3} + x^{2} - x + 2}{2x - 3} \leq 0$ , bất phương trình không đúng với $\frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0$

=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = 3$ bất phương trình trở thành $\frac{x^{2} - 2x + 2}{- x^{2} + 2x - 3} \leq 0$ , tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$

=> Thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = \frac{1}{2}$ bất phương trình trở thành $\dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{2}x +2}{\dfrac{3}{2}x^{2} + 2x - 3} \leq 0$ , bất phương trình không đúng với $x = 1$

=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m eq 2;m eq 3;m eq \frac{1}{2}$ đặt $\left\{\begin{matrix}f(x) = \dfrac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x +2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \\A = 2m^{2} - 7m + 3 \\\end{matrix} ight.$ thì $A eq 0$

Theo giả thiết ta có:

$f(x) \leq 0$ với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)

Nếu $A < 0$ thì $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ mâu thuẫn với (*)

Nếu $A > 0$ thì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ mâu thuẫn với (*)

Vậy $S = \left\{ 3 ight\}$ nên số phần tử của S là 1.
Câu 38: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.
- B.
  Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.
- C.
  Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.
- D.
  Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."
Câu 39: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên $AB$ , $AC$ lần lượt lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN$ cắt $BC$ tại $I$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MND)$ và $(BCD)$ .
- A.
  $MN$
- B.
  $CI$
- C.
  $CD$
- D.
  $DI$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $D$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(MND)$ và $(BCD)$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} I \in MN \subset (MND) \\ I \in BC \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$ nên $I$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(MND)$ và $(BCD)$ là $DI$
Câu 40: Nhận biết
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Hãy chọn kết luận đúng.
- A.
  Hàm số liên tục phải tại x = 1
- B.
  Hàm số liên tục tại x = 1
- C.
  Hàm số liên tục trái tại x = 1
- D.
  Hàm số liên tục tại $\mathbb{R}$
Ta có: $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3$

=> Hàm số liên tục phải tại x = 1
Câu 41: Thông hiểu
Cho một cấp số cộng (U_n) có ${u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26$ . Công sai d của cấp số cộng là:
- A. $d = \frac{{11}}{3}$
- B. $d = \frac{{10}}{3}$
- C. $d = \frac{3}{{10}}$
- D. $d = \frac{3}{{11}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d \hfill \\ \Rightarrow 26 = \dfrac{1}{3} + 7.d \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{11}}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 42: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 1$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Theo giả thiết ta có:

$3 + m = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 3 + m = \lim_{x ightarrow 1}\left( x^{2} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 3 + m = 3$

$\Leftrightarrow m = 0$
Câu 43: Thông hiểu

Cho phương trình lượng giác $4cos2x = m - 1\ \ (*)$

a) Với $m = 5$ , phương trình (*) có nghiệm là $x = k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ Đúng||Sai

b) Với $m = 3$ , phương trình (*) có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{6}$ Đúng||Sai

c) Với $m = - 3$ thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ là 3. Sai||Đúng

d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $4cos2x = m - 1\ \ (*)$

a) Với $m = 5$ , phương trình (*) có nghiệm là $x = k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ Đúng||Sai

b) Với $m = 3$ , phương trình (*) có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{6}$ Đúng||Sai

c) Với $m = - 3$ thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ là 3. Sai||Đúng

d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng

Thay $m = 5$ vào (*) ta được:

$4cos2x = 4 \Leftrightarrow cos2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Thay $m = 3$ vào (*) ta được:

$4cos2x = 2 \Leftrightarrow cos2x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = - \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Với $k = 0$ thì phương trình có nghiệm $x = \frac{\pi}{6}$ .

Thay $m = - 3$ vào (*) ta được:

$4cos2x = - 4 \Leftrightarrow cos2x = - 1$

$\Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì xét nghiệm trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ nên ta có:

$0 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$

Mà $k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = \left\{ 0;1 ight\}$

Vậy với $m = - 3$ thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ là 2.

d) Ta có: $4cos2x = m - 1 \Leftrightarrow cos2x = \frac{m - 1}{4}$

Để phương trình có nghiệm thì $- 1 \leq \frac{m - 1}{4} \leq 1 \Leftrightarrow - 4 \leq m - 1 \leq 4$

$\Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 5$ mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5 ight\}$

Vậy số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 10.
Câu 44: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 45: Nhận biết
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.