Tìm
để các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân
Tìm
để các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân
bằng:
Ta có:
Do
Hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng
?
Xét hàm số với
Ta có:
Suy ra không tồn tại nên hàm số không liên tục tại x = 0
Vậy hàm số không liên tục trên .
Tập các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là?
(*)
Cho dãy số
, biết
. Dãy số
bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
Ta có:
Với mọi n ta có:
Vậy dãy số bị chặn trên bởi
Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành
tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
Ta có .
Cho dãy số (un) biết
. Các giá trị của a để dãy số (un) tăng là?
Xét hiệu un + 2 − un + 1
= aun + 1 + (1−a)un − un + 1
= (a−1)(un + 1−un)
⇒ u3 − u2 = (a−1)(u2−u1) = (a−1);
⇒ u4 − u3 = (a−1)(u3−u2) = (a−1)2
un + 1 − un = (a−1)n − 1 > 0
Để dãy số (un) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1
Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un = n2 + 1?
Ta có 7922 = 7921 + 1 = 892 + 1 ⇒ n = 89
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm | Số học sinh |
[20; 30) | 4 |
[30; 40) | 6 |
[40; 50) | 15 |
[50; 60) | 12 |
[60; 70) | 10 |
[70; 80) | 6 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100] | 3 |
Ghi các kết quả vào ô trống:
+ Số nhóm của mẫu dữ liệu: 8
+ Độ dài nhóm số liệu: 10
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm | Số học sinh |
[20; 30) | 4 |
[30; 40) | 6 |
[40; 50) | 15 |
[50; 60) | 12 |
[60; 70) | 10 |
[70; 80) | 6 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100] | 3 |
Ghi các kết quả vào ô trống:
+ Số nhóm của mẫu dữ liệu: 8
+ Độ dài nhóm số liệu: 10
+ Mẫu số liệu trên được chia thành 8 nhóm.
+ Độ dài nhóm số liệu là 10
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho hình chóp
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
là đường trung bình của tam giác
nên
mà
.
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy các điểm
sao cho
. Hình chiếu của
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
lần lượt là
. Tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh hoạ
Do là hình chiếu song song của
qua phép chiếu song song phương
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.
Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.
Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.
Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”
Cho cấp số cộng
có
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn
. Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và
. Tính độ dài cạnh BC.

Gọi
Mặt khác
Do đó
Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng
tùy ý thể là:
Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.
=> Không thể là lục giác.
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

Kí hiệu
là chu vi của hình vuông thứ
và
là tổng chu vi của
hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính
và
và tìm lim
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Đáp án: 13,66
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
Kí hiệu là chu vi của hình vuông thứ
và
là tổng chu vi của
hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính
và
và tìm lim
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Đáp án: 13,66
Ta có:
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Phương trình
vô nghiệm. Sai||Đúng
b) Hàm số
có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Để hàm số
liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Phương trình vô nghiệm. Sai||Đúng
b) Hàm số có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Để hàm số liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai
a) Xét hàm số có tập xác định
Hàm số liên tục trên ta có:
Vì nên phương trình
có ít nhất một nghiệm trên
.
b) Ta có:
Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.
c) Ta có:
d) Ta có:
với thì
là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi
. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng
Tại ta có:
Để hàm số liên tục trên khoảng thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:
.
Vậy để hàm số liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị là
.
Cho bảng dữ liệu dưới đây:
Khoảng dữ liệu | Tần số |
[0; 20) | 16 |
[20; 40) | x |
[40; 60) | 25 |
[60; 80) | y |
[80; 100) | 12 |
[100; 120) | 10 |
Tổng | N = 90 |
Biết số trung bình là 56. Tính giá trị biểu thức T = 2x – y.
Ta có:
Dữ liệu đại diện | Tần số | Tích các số liệu |
10 | 16 | 160 |
30 | x | 30x |
50 | 25 | 1250 |
70 | y | 70y |
90 | 12 | 1080 |
110 | 10 | 1100 |
Tổng | 63 + x + y | 3590 + 30x + 70y |
Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:
Mặt khác
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Điểm trung bình môn của lớp 11A thuộc nhóm nào?
Ta có:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Giá trị đại diện | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Điểm trung bình của lớp 11A là:
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
là:
Ta có:
=> M = 12; m = 4
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d)
cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
.
b) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
Mà
c) Đúng.
Vì .
Vì là đường trung bình của hình bình hành
nên
d) Sai.
Ta có: mà
.
Kết quả của giới hạn ![]()
Ta có:
. Khi đó:
(vì )
Cho dãy số
là cấp số cộng với:
Ta có: là một cấp số cộng
=>
Cho hộp chữ nhật
có
lần lượt là tâm của
. Trung điểm của
lần lượt là
. Xác định hình chiếu của tam giác
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên tứ giác
là hình bình hành.
Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác thuộc mặt phẳng
nên hình chiếu của
qua phép chiếu song song
lên mặt phẳng
lần lượt là điểm
và
.
Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
thì hình chiếu của tam giác
là đoạn thẳng
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy một điểm
trên cạnh
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
với hình chóp là:
Hình vẽ minh họa
Sử dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có giao tuyến của ( ADM ) với (SBC) là MN sao cho MN // BC.
Ta có: MN // BC // AD nên thiết diện AMND là hình thang.
Biết giới hạn
. Khi đó:
a) Giá trị
lớn hơn 0. Sai||Đúng
b) Ba số
tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng
. Sai||Đúng
c) Trên khoảng
phương trình lượng giác
có 3 nghiệm. Sai||Đúng
d) Cho cấp số nhân
với công bội
và
, thì
. Đúng||Sai
Biết giới hạn . Khi đó:
a) Giá trị lớn hơn 0. Sai||Đúng
b) Ba số tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng
. Sai||Đúng
c) Trên khoảng phương trình lượng giác
có 3 nghiệm. Sai||Đúng
d) Cho cấp số nhân với công bội
và
, thì
. Đúng||Sai
a) Ta có:
b) Ba số tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1
c) Trên khoảng phương trình lượng giác
có 2 nghiệm
d) Cho cấp số nhân với công bội
và
, thì
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Hàm số
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Hàm số xác định khi
Ta chọn nhưng điểm
thuộc khoảng
Vậy hàm số không xác định trong khoảng
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 15 |
[155; 160) | 10 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 27 |
[170; 175) | 5 |
[175; 180) | 3 |
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm?
Ta có:
Đối tượng | Tần số | Tần số tích lũy |
[150; 155) | 15 | 15 |
[155; 160) | 11 | 26 |
[160; 165) | 39 | 65 |
[165; 170) | 27 | 92 |
[170; 175) | 5 | 97 |
[175; 180) | 3 | 100 |
Cỡ mẫu là:
=> tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân
Vậy
Hàm số nào sau đây không liên tục tại
?
Hàm số có tập xác định
nên không liên tục tại
.
Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
nhận
làm nghiệm.
Vì là một nghiệm của phương trình
nên ta có:
.
Vậy m = - 4 là giá trị cần tìm.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."
Nghiệm của phương trình
là:
Ta có
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?
Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60
⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)
Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là:
Ta có: ,
,
,
,
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Đặt
Khi đó:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
hay phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
bằng:
Ta có:
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng
. Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để
.
Ta có: nên
Theo đề bài ta có
Mặt khác
Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.