Tìm tập các định D của hàm số 
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định
Tìm tập các định D của hàm số 
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định
Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có số học sinh đạt điểm (6; 8] nhiều nhất?
Số học sinh lớp 11A đạt điểm từ (6; 8] là:
12 + 10 = 22 (học sinh)
Số học sinh lớp 11B đạt điểm từ (6; 8] là:
10 + 8 = 18 (học sinh)
Số học sinh lớp 11C đạt điểm từ (6; 8] là:
15 + 9 = 24 (học sinh)
Số học sinh lớp 11D đạt điểm từ (6; 8] là:
16 + 11 = 27 (học sinh)
Vậy lớp 11D có nhiều học sinh đạt điểm từ (6; 8] nhất.
bằng
Ta có:
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
,
là trung điểm cạnh
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d)
cắt mặt phẳng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
,
là trung điểm cạnh
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Đúng
Vì lần lượt là trung điểm các cạnh
và
nên
là hình bình hành nên
.
b) Sai
Do không đồng phẳng nên
không thể song song với
c) Đúng
Do mà
.
d) Sai
Do là đường trung bình của tam giác
nên
, mà
nên
.
Cho dãy số
là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
.
Theo công thức số hạng tổng quát ta có ,
.
Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[150; 154] | 5 |
[155; 159] | 2 |
[160; 164] | 6 |
[165; 169] | 8 |
[170; 174] | 9 |
[175; 179] | 11 |
[180; 184] | 6 |
[185; 189] | 3 |
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có:
Chiều cao (cm) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(149,5; 154,5] | 5 | 5 |
(154,5; 159,5] | 2 | 7 |
(159,5; 164,5] | 6 | 13 |
(164,5; 169,5] | 8 | 21 |
(169,5; 174,5] | 9 | 30 |
(174,5; 179,5] | 11 | 41 |
(179,5; 184,5] | 6 | 47 |
(184,5; 189,5] | 3 | 50 |
Tổng | N = 50 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là
Khi đó:
Trung vị của mẫu số liệu là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
:
Hình vẽ minh họa
Gọi
Khi đó đi qua
.
Xét ba mặt phẳng .
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm | Số học sinh |
[20; 30) | 4 |
[30; 40) | 6 |
[40; 50) | 15 |
[50; 60) | 12 |
[60; 70) | 10 |
[70; 80) | 6 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100] | 3 |
Biết rằng nếu học sinh có điểm thi dưới 40 điểm sẽ không đạt yêu cầu vượt qua kì thi. Hỏi số học sinh không đạt yêu cầu là bao nhiêu?
Quan sát bảng số liệu ghép nhóm ta thấy:
Nhóm [20; 30) có 4 học sinh
Nhóm [30; 40) có 6 học sinh
=> Số học sinh không đạt yêu cầu là 6 + 4 = 10 (học sinh)
Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?
![]()
![]()
![]()
![]()
Ta có:
Vậy có hai đồng nhất thức.
Cho hình hộp
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Ta có là hình bình hành nên
Tương tự ta có . Từ đó suy ra
và
.
Vậy
Cho hộp chữ nhật
. Các điểm
tương ứng trên
sao cho
song song với
. Tính tỉ số
?
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu
.
Ta có: là ảnh của
hay
chính là giao điểm của
và ảnh
qua phép chiếu này.
Do đó ta xác định như sau:
Trên kéo dài lấy điểm
sao cho
suy ra
là ảnh của
trên
qua phép chiếu song song.
Gọi . Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Ta có:
là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales ta có:
Một cuộc khảo sát về chiều cao (tính bằng cm) của 50 nữ sinh lớp X được tiến hành tại một trường học và thu được số liệu sau:
Chiều cao (cm) | [120; 130) | [130; 140) | [140; 150) | [150; 160) | [160; 170) |
Số nữ sinh | 2 | 8 | 12 | 20 | 8 |
Tìm trung vị của dữ liệu ghép nhóm ở trên.
Ta có:
Chiều cao (cm) | [120; 130) | [130; 140) | [140; 150) | [150; 160) | [160; 170) | |
Số nữ sinh | 2 | 8 | 12 | 20 | 8 | N = 50 |
Tần số tích lũy | 2 | 10 | 22 | 42 | 50 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: [150; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 22 và 42)
Giải phương trình
thu được kết quả là:
Điều kiện
.
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
là trung điểm của
,
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
Trường hợp 1:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Gọi
Nếu
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Nếu . Gọi
Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Trường hợp 2:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp là tam giác
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và công sai
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …
Dễ dàng dự đoán được un = n.
Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:
Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1
Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.
Quan sát bảng sau và tìm mốt.
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 |
Quan sát bảng dữ liệu ta thấy mốt của mẫu dữ liệu nằm trong khoảng [30; 40)
Khi đó:
Vậy mốt của dữ liệu là:
Tính được các giới hạn sau, khi đó:
a)
Sai||Đúng
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d)
Đúng||Sai
Tính được các giới hạn sau, khi đó:
a) Sai||Đúng
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Đúng||Sai
a) (do
b) do
c) .
Vì
d) .
Vì
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
=>
=>
Điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ ba
=>
Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?

Gọi
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD
=>
=>
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
Cho hàm số
. Tìm
để hàm số liên tục tại ![]()
Đáp án: -3||- 3
Cho hàm số . Tìm
để hàm số liên tục tại
Đáp án: -3||- 3
Xét
Hàm số liên tục tại
.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Tìm tập xác định
của hàm số
?
Hàm số xác định khi:
Vậy
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".
Xét tính liên tục của hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số xác định với mọi
Ta có: liên tục trên
và
Mặt khác
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Nếu các dãy số
thỏa mãn
và
thì
bằng:
Ta có .
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Biết bốn số
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức
bằng
Ta có:
Trong dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Vì là các dãy dương và tăng nên
là các dãy giảm
=> Loại các đáp án
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số không phải dãy tăng.
Xét đáp án
=> Dãy số là dãy tăng.
Cho hàm số
xác định và liên tục tại
với
. Xác định giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với mọi ta có:
Theo giả thiết ta phải có
Nghiệm của phương trình
là
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.
Xác định
.
Ta có: .
Cho phương trình lượng giác
, vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với
. Đúng||Sai
b) Trên khoảng
phương trình có 4 nghiệm. Đúng||Sai
c) Trên khoảng
thì
là nghiệm nhỏ nhất. Sai||Đúng
d) Tổng các nghiệm nằm trong khoảng
của phương trình bằng
. Đúng||Sai
Cho phương trình lượng giác , vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với . Đúng||Sai
b) Trên khoảng phương trình có 4 nghiệm. Đúng||Sai
c) Trên khoảng thì
là nghiệm nhỏ nhất. Sai||Đúng
d) Tổng các nghiệm nằm trong khoảng của phương trình bằng
. Đúng||Sai
Phương trình
.
Do nên phương trình có các nghiệm là:
.
Vậy tổng các nghiệm cần tính là: .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho tứ diện
,
là trọng tâm tam giác
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì nên
.
Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm
là điểm thuộc cạnh
sao cho
, gọi
. Tìm giao tuyến của
và
. Giao tuyến của
và
cắt đoạn
tại mấy điểm.
Đáp án: 0
Cho tứ diện . Gọi
là trung điểm
là điểm thuộc cạnh
sao cho
, gọi
. Tìm giao tuyến của
và
. Giao tuyến của
và
cắt đoạn
tại mấy điểm.
Đáp án: 0
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , có
.
Suy ra không thuộc đoạn
.
Ta có:
Mà không thuộc đoạn
nên giao tuyến của
và
không cắt đoạn
.
bằng:
Ta có:
Do =>
Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là .
Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
Với ta có:
(đúng)
Giả sử sau k bước, Mạnh thu được số mảnh giấy là:
Tiếp tục đến bước . Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước cắt trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong
mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra.
Vậy tổng số mảnh giấy ở bước là:
Vậy công thức đúng với mọi số nguyên dương
. Theo công thức trên chỉ có phương án
thỏa mãn.
Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân:
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.