Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6
Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5
Từ đó suy ra y = 6x = 216/5
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6
Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5
Từ đó suy ra y = 6x = 216/5
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
;
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của đường thẳng
và
là
Hình vẽ minh họa
Trong gọi
, mà
Tìm tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Cho cấp số cộng (un) có
;
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Cho
với
. Phải bổ sung thêm giá trị
bằng bao nhiêu thì hàm số
liên tục trên
?
Ta có:
Với hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của
(kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại
hay
Ta có:
Để tồn tại thì
.
Suy ra
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho
. Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
Ta có:
Theo bài ra
=>
Phát biểu nào dưới đây sai?
Ta có phát biểu sai là:
Sửa lại là:
Giá trị của
bằng:
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
=> Loại đáp án A
=> Loại đáp án B
=> Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 2
Chọn đáp án C
=> Loại đáp án B
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
Gọi là trung điểm
.
Xét tam giác có:
(do
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và tam giác
)
Cho tổng
. Giá trị S10 là
Cách 1:
Ta có
Suy ra
Vậy .
Cách 2:
Ta có
Suy ra .
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
|
Cân nặng (kg) |
Số học sinh |
|
[45; 50) |
5 |
|
[50; 55) |
12 |
|
[55; 60) |
10 |
|
[60; 65) |
6 |
|
[65; 70) |
5 |
|
[70; 75) |
8 |
a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng
. Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là:
Đúng||Sai
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
|
Cân nặng (kg) |
Số học sinh |
|
[45; 50) |
5 |
|
[50; 55) |
12 |
|
[55; 60) |
10 |
|
[60; 65) |
6 |
|
[65; 70) |
5 |
|
[70; 75) |
8 |
a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng . Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: Đúng||Sai
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai
Ta có:
|
Cân nặng (kg) |
Giá trị đại diện |
Số học sinh |
|
[45; 50) |
47,5 |
5 |
|
[50; 55) |
52,5 |
12 |
|
[55; 60) |
57,5 |
10 |
|
[60; 65) |
62,5 |
6 |
|
[65; 70) |
67,5 |
5 |
|
[70; 75) |
72,5 |
8 |
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:
Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra .
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
|
Cân nặng (kg) |
Số học sinh |
Tần số tích lũy |
|
[45; 50) |
5 |
5 |
|
[50; 55) |
12 |
17 |
|
[55; 60) |
10 |
27 |
|
[60; 65) |
6 |
33 |
|
[65; 70) |
5 |
38 |
|
[70; 75) |
8 |
46 |
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Cho cấp số cộng
có
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Cho dãy số
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
Ta có: nên
đúng.
Do nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.
.
Do nên dãy số không tăng, không giảm.
Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.
Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
là trung điểm của
. Điểm
là ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Cho phương trình
(*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm
Đúng||Sai
b) Trong khoảng
phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
bằng
. Sai||Đúng
d) Trong khoảng
phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Cho phương trình (*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm Đúng||Sai
b) Trong khoảng phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng bằng
. Sai||Đúng
d) Trong khoảng phương trình có nghiệm lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Ta có:
Vì
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng là
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy điểm
, mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giao điểm của mặt phẳng
với các cạnh
lần lượt tại
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Hình chiếu của hình lập phương
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
là:
Phép chiếu song song phương lên mặt phẳng
sẽ biến
thành
, biến
thành
, biến
thành
, biến
thành
.
Nên hình chiếu song song của hình lập phương là hình vuông.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng mỗi tháng là:
5 + 12 + 23 = 40 (cư dân)
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho dãy số (un) xác định bởi
. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
gọi
và
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
Khi đó
song song với đường thẳng
Do là đường trung bình của tam giác
nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa mãn
?
Ta có:
Do đó:
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao | Số cây |
[145; 150) | 25 |
[150; 155) | 50 |
[155; 160) | 200 |
[160; 165) | 175 |
[165; 170) | 50 |
Giá trị đại diện cho nhóm [155; 160) bằng:
Giá trị đại diện của nhóm [155; 160) là
Tính giới hạn
.
Ta có:
Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
Tìm mốt của mẫu dữ liệu trên?
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 17 nằm trong nhóm [60; 70).
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
|
|
|
|
Khi đó ta tính mốt như sau:
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
.
Ta có
.
Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [0; 10] để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2?
Ta có:
y.(cosx + 2) = 1 – m.sinx
=> m.sinx + y.cosx = 1 – 2y
Phương trình có nghiệm khi
Nghiệm của phương trình là
=>
=>
Theo yêu cầu bài toán ta có:
Mặt khác m thuộc đoạn [0; 10] nên m = {5; 6; 7; 8; 9; 10}
Cho dãy số (un) biết
. Các giá trị của a để dãy số (un) tăng là?
Xét hiệu un + 2 − un + 1
= aun + 1 + (1−a)un − un + 1
= (a−1)(un + 1−un)
⇒ u3 − u2 = (a−1)(u2−u1) = (a−1);
⇒ u4 − u3 = (a−1)(u3−u2) = (a−1)2
un + 1 − un = (a−1)n − 1 > 0
Để dãy số (un) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Mức lương (USD) | [60; 70) | [50; 60) | [40; 50) | [30; 40) | [20; 30) |
Nhân viên | 5 | 10 | 20 | 5 | 3 |
Điền đáp án vào ô trống
a) Mức lương trung bình (USD) của nhân viên là: 47,1 USD
(Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)
b) Trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là: 46,75
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Mức lương (USD) | [60; 70) | [50; 60) | [40; 50) | [30; 40) | [20; 30) |
Nhân viên | 5 | 10 | 20 | 5 | 3 |
Điền đáp án vào ô trống
a) Mức lương trung bình (USD) của nhân viên là: 47,1 USD
(Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)
b) Trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là: 46,75
Sắp xếp nhóm dữ liệu theo chiều tăng như sau:
Mức lương (USD) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Mức lương trung bình (USD) | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 |
Nhân viên | 3 | 5 | 20 | 10 | 5 |
Tần số tích lũy | 3 | 8 | 28 | 38 | 43 |
Mức lương trung bình là:
Ta có:
Nên khoảng chứa trung vị là: [40; 50) vì 21,5 nằm giữa hai tần số tích lũy là 8 và 28.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có .
Giải phương trình
?
Ta có và .
Do đó phương trình
Xét nghiệm .
Vậy phương trình có nghiệm .
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
Thực hiện kiểm tra đáp án ta thấy:
Hàm số là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Hàm số không chẵn không lẻ
Hàm số và hàm số
là hàm số chẵn.
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
Sai||Đúng
b)
khi
Đúng||Sai
c) Hàm số
liên tục tại
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Sai||Đúng
b) khi
Đúng||Sai
c) Hàm số liên tục tại
Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
Ta có:
Ta có: Khi thì
Ta có:
Vậy hàm số liên túc tại
Ta có:
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
. Đúng||Sai
b) Phương trình
có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu
thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) . Đúng||Sai
b) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai
c) Nếu thì
bằng
. Sai||Đúng
d) Hàm số gián đoạn tại
. Sai||Đúng
Ta có:
Xét phương trình . Đặt
là hàm số liên tục trên
suy ra hàm số cũng liên tục trên
.
Ta có:
Khi đó: nên phương trình
có ít nhất 3 nghiệm
là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.
Ta có:
Nếu suy ra
Ta có:
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Cho hình chóp
có đáy
là một tứ giác lồi có
và
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng:
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại
?
Xét hàm số có:
Vậy hàm số liên tục tại .
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử CM và DN đồng phẳng.
Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)
=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.
Vậy CM và DN chéo nhau.