Cho dãy số (un), biết
. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (un) ?
Ta có
Do un + 1 − un > 0 nên (un) là dãy số tăng.
Lại có suy ra dãy số bị chặn.
Cho dãy số (un), biết
. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (un) ?
Ta có
Do un + 1 − un > 0 nên (un) là dãy số tăng.
Lại có suy ra dãy số bị chặn.
Cho hình lập phương
cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
. Xác định các giao tuyến của hình lập phương
tạo với mặt phẳng
. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.
Hình vẽ minh họa

Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.
Tứ giác là hình thang có
Ta có:
với
Thay giá trị các cạnh ta có
Cho dãy số
xác định bởi
với
. Khi đó số hạng
của dãy
là
Ta có:
Tập các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là?
(*)
Điều kiện để đường thẳng
song song với mặt phẳng
:
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Giao của
với
là:
Hình vẽ minh họa
Vì là trung điểm của
và
nên
Suy ra cùng thuộc một mặt phẳng.
Trong mặt phẳng gọi
là giao điểm của
và
.
Ta có:
Vậy giao của với
là giao của
với
.
Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?
Số học sinh lớp 11A là:
4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là:
Số học sinh lớp 11B là:
5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là:
Số học sinh lớp 11C là:
4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là:
Số học sinh lớp 11D là:
4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là:
Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
=> Dãy số là cấp số cộng.
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số: ![]()
Ta có:
Ta có:
Phương trình có nghiệm:
Cho dãy số (un) biết
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh un + 1 − un < 0 bằng quy nạp toán học.
Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ∈ ℕ*.
Ta có
Giả sử: uk + 1 − uk < 0, ∀k ≥ 1
Xét hiệu
Theo nguyên lí quy nạp suy ra un + 1 − un < 0, ∀n ∈ ℕ*
Vậy dãy số (un) là dãy số giảm.
Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
là?
Ta có:
= > un = 1 + 13 + 23 + … + (n−1)3
Ta lại có 13 + 23 + … + (n−1)3
Suy ra
Theo giả thiết ta có
Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.
Cho tứ diện
. Gọi
tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu ![]()
Ta có:
Mà
=> mang giá trị âm
Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:
Tuổi | Số học sinh |
[0; 9] | 20 |
[10; 19] | 21 |
[20; 29] | 23 |
[30; 39] | 16 |
[40; 49] | 11 |
[50; 59] | 10 |
[60; 69] | 7 |
[70; 79] | 3 |
[80; 89] | 1 |
Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?
Tuổi | Số đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60) | 55 | 10 |
[60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90) | 85 | 1 |
Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:
Tuổi | Số học sinh |
[0; 9] | 20 |
[10; 19] | 21 |
[20; 29] | 23 |
[30; 39] | 16 |
[40; 49] | 11 |
[50; 59] | 10 |
[60; 69] | 7 |
[70; 79] | 3 |
[80; 89] | 1 |
Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?
Tuổi | Số đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60) | 55 | 10 |
[60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90) | 85 | 1 |
Ta có:
Tuổi | Đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60) | 55 | 10 |
[60; 70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90) | 85 | 1 |
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng
qua
, song song với
. Thiết diện tạo bởi
và hình chóp là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.
Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.
Gọi I là giao điểm của a với SD.
Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.
Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.
Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Cho phương trình
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét hàm số là đa thực có tập xác định
nên liên tục trên
.
Ta có:
=> Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc
.
=> Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc
.
=> Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Vậy phương trình (*) đã cho có các nghiệm thỏa mãn
.
Dưới đây là bảng biểu diễn điểm của 140 sinh viên của trường đại học. Tìm trung vị.
Khoảng điểm | Số sinh viên |
(9,5; 19,5) | 7 |
[19,5; 29,5) | 15 |
[29,5; 39,5) | 18 |
[39,5; 49,5) | 25 |
[49,5; 59,5) | 30 |
[59,5; 69,5) | 20 |
[69,5; 79,5) | 16 |
[79,5; 39,5) | 7 |
[89,5; 39,5) | 2 |
Ta có:
Khoảng điểm | Số sinh viên | Tần số tích lũy |
(9,5; 19,5) | 7 | 7 |
[19,5; 29,5) | 15 | 22 |
[29,5; 39,5) | 18 | 40 |
[39,5; 49,5) | 25 | 65 |
[49,5; 59,5) | 30 | 95 |
[59,5; 69,5) | 20 | 115 |
[69,5; 79,5) | 16 | 131 |
[79,5; 39,5) | 7 | 138 |
[89,5; 39,5) | 2 | 140 |
| N = 140 |
|
Ta có:
=> Trung vị nằm trong nhóm (vì 70 nằm giữa hai tần số tích lũy là 65 và 95)
Phương trình
có một nghiệm thuộc khoảng
là
Ta có .
Do đó là một nghiệm của phương trình
thuộc khoảng
.
Cho cấp số cộng
. Xác định
biết rằng
?
Ta có:
Khi đó:
Suy ra
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là
. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:
Đáp án: 6 m2
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:
Đáp án: 6 m2
Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là .
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là luôn ngược chiều quay kim đồng hồ
Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
. Các điểm
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
ta thu được ảnh lần lượt là
. Khi đó tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Rút gọn biểu thức
với
?
Ta có:
Cho các mệnh đề:
1) Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
.
2) Nếu hàm số
liên tục trên
và
thì phương trình
có nghiệm.
3) Nếu hàm số
đơn điệu trên
và
thì phương trình
có nghiệm duy nhất trên
.
Trong các mệnh đề trên:
Theo tính chất hàm số liên tục thì
1) Nếu hàm số liên tục trên
và
thì tồn tại
sao cho
. Mệnh đề sai.
2) Nếu hàm số liên tục trên
và
thì phương trình
có nghiệm. Mệnh đề đúng.
3) Nếu hàm số đơn điệu trên
và
thì phương trình
có nghiệm duy nhất trên
. Mệnh đề đúng.
Tính
.
Ta có :
.
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật
=> Dãy số đó là cấp số nhân
Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:
Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là tứ giác
. Giả sử
là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của
với các mặt của hình chóp
không thể tạo thành hình nào dưới đây?
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt
Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp
.
Vậy đáp án là hình lục giác.
Kết quả của giới hạn ![]()
Ta có:
. Khi đó:
(vì )
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình .
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Chọn kết quả đúng của
:
Ta có :
Vì nên suy ra:
Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở. Tìm mốt của mẫu dữ liệu.
Thu nhập (nghìn đồng) | Hộ gia đình |
[0; 100) | 5 |
[100; 200) | 7 |
[200; 300) | 12 |
[300; 400) | 18 |
[400; 500) | 16 |
[500; 600) | 10 |
[600; 700) | 5 |
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 18 nằm trong nhóm
Thu nhập (nghìn đồng) | Hộ gia đình |
|
[0; 100) | 5 |
|
[100; 200) | 7 |
|
[200; 300) | 12 | |
[300; 400) | 18 | |
[400; 500) | 16 | |
[500; 600) | 10 |
|
[600; 700) | 5 |
|
Khi đó ta tính mốt như sau:
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
?
Ta có
Vậy .
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Tìm tần số còn thiếu trong mẫu dữ liệu ghép nhóm dưới đây. Biết số trung bình bằng
?
| Đối tượng | Tần số |
[4; 8) | 11 |
[8; 12) | 13 |
[12; 16) | 16 |
[16; 20) | 14 |
[20; 24) | a |
[24; 28) | 9 |
[28; 32) | 17 |
[32; 36) | 6 |
[36; 40) | 4 |
Ta có:
Giá trị đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
6 | 11 | 66 |
10 | 13 | 130 |
14 | 16 | 224 |
18 | 14 | 252 |
22 | a | 22a |
26 | 9 | 234 |
30 | 17 | 510 |
34 | 6 | 204 |
38 | 4 | 152 |
Tổng |
Biết số trung bình bằng nên ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm
,
. Đường thẳng
song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
Hình vẽ minh họa
Do là đường trung bình của tam giác
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Một hãng taxi đưa ra giá cước
(đồng) khi đi quãng đường
(km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
. Tìm
để hàm số
liên tục tại
.
Đáp án: 1000
Một hãng taxi đưa ra giá cước (đồng) khi đi quãng đường
(km) cho loại xe 4 chỗ như sau:
. Tìm
để hàm số
liên tục tại
.
Đáp án: 1000
Tại ta có:
.
.
Hàm số liên tục tại thì
.
Kết quả kiểm tra cân nặng của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Cân nặng | Số học sinh |
[40,5; 45,5) | 7 |
[45,5; 50,5) | 16 |
[50,5; 55,5) | 10 |
[55,5; 60,5) | 5 |
[60,5; 65,5) | 4 |
[65,5; 70,5) | 2 |
Số học sinh lớp 11A kiểm tra cân nặng là: 44||50||52||48
Kết quả kiểm tra cân nặng của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Cân nặng | Số học sinh |
[40,5; 45,5) | 7 |
[45,5; 50,5) | 16 |
[50,5; 55,5) | 10 |
[55,5; 60,5) | 5 |
[60,5; 65,5) | 4 |
[65,5; 70,5) | 2 |
Số học sinh lớp 11A kiểm tra cân nặng là: 44||50||52||48
Số học sinh lớp 11A kiểm tra cân nặng là
7 + 16 + 10 + 5 + 4 + 2 = 44 (học sinh)
bằng:
Ta có:
Hàm số
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Hàm số xác định khi
Ta chọn nhưng điểm
thuộc khoảng
Vậy hàm số không xác định trong khoảng