Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Câu 1: Thông hiểu

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;d = 3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

A.
Thứ 15
B.
Thứ 20
C.
Thứ 35
D.
Thứ 36

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 100 = 3n - 8$

$\Leftrightarrow n = 36$

Câu 2: Thông hiểu

Cho mặt phẳng $(P)$ và hai đường thẳng $a,\ \ b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Nếu $a\ //\ (P)$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ b$ .
B.
Nếu $a\ //\ b$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ (P)$ .
C.
Nếu $a\ //\ b$ và $\left\{ \begin{matrix} b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight.$ thì $a\ //\ (P)$ .
D.
Nếu $a\ //\ (P)$ và $b// (P)$ thì $a\ //\ b$ .

Xét phương án “Nếu $a\ //\ (P)$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ b$ ” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} a//(P) \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight\}$ thì $a//b$ hoặc $a$ chéo $b$ , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu $a\ //\ b$ và $b \subset (P)$ thì $a\ //\ (P)$ .” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} \ \ \ \ a//b \\ b \subset (P) \\ \end{matrix} ight\}$ thì $a//(P)$ hoặc $a \subset (P)$ , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu $a\ //\ b$ và $\left\{ \begin{matrix} b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight.$ thì $a\ //\ (P)$ .” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} \ \ \ \ a//b \\ b \subset (P) \\ a ⊄ (P) \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow a//(P)$ , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu $a\ //\ (P)$ và $b // (P)$ thì $a\ //\ b$ ” ta có:

Nếu $\left. \ \begin{matrix} a//(P) \\ b//(P) \\ \end{matrix} ight\}$ thì $a//b$ hoặc $a$ chéo $b$ hoặc $a$ cắt $b$ , vậy phương án sai.

Câu 3: Thông hiểu

Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:

A.
$12$
B.
$24$
C.
$16$
D.
$8$

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Câu 4: Thông hiểu

Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12

Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

A.
$61,7\%$
B.
$60,2\%$
C.
$55,5\%$
D.
$52,5\%$

Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:

Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5

Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.

Ta có bảng ghép nhóm như sau:

Thời gian	Số học sinh
[0; 5)	6
[5; 10)	10
[10; 15)	11
[15; 20)	9
[20; 25)	1
[25; 30)	1
[3; 35)	2

Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là: $\frac{11 + 9 + 1}{40}.100\% =52,5\%$

Câu 5: Vận dụng cao

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.
$y = 1 + \sin|x|.$
B.
$y = \left| \sin xight|$
C.
$y = 1 + \left| \cos xight|$
D.
$y = 1 + \left| \sin xight|$

Ta có $y = 1 + \left| \cos x ight| \geq1$ và $y = 1 + \left| \sin x ight|\geq 1$ nên loại C và D.

Ta thấy tại $x = \pi$ thì $y = 0$ . Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa mãn.

Câu 6: Nhận biết

Tính giá trị biểu thức $A = \cos^{6}15^{0} - \sin^{6}15^{0}$

A.
$A = 1$
B.
$A = \frac{15\sqrt{3}}{4}$
C.
$A = \frac{1}{4}$
D.
$A = \frac{15\sqrt{3}}{32}$

Ta có:

$\cos^{6}\alpha -\sin^{6}\alpha$

$= \left( \cos^{2}\alpha ight)^{3} -\left( \sin^{2}\alpha ight)^{3}$

$= \left( \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alphaight)\left( \cos^{4}\alpha + \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alpha +\sin^{4}\alpha ight)$

$= \cos2\alpha.\left\lbrack \left(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ight)^{2} - \cos^{2}\alpha.\sin^{2}\alphaightbrack$

$= \cos2\alpha.\left( 1^{2} -\dfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha ight)$

Khi đó:

$A = \cos^{6}15^{0} -\sin^{6}15^{0}$

$A = \cos30^{0}.\left( 1 -\dfrac{1}{4}\sin^{2}30^{0} ight)$

$A = \frac{\sqrt{3}}{2}.\left( 1 - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} ight) = \frac{15\sqrt{3}}{32}$

Câu 7: Nhận biết

Tập xác định của hàm số $f(x) = \tan x$ là:

A.
$\mathbb{R}\backslash\left\{k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
B.
$\mathbb{R}\backslash\left\{k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
C.
$\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1)\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
D.
$\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Ta có: $f(x) = \tan x$ xác định khi và chỉ khi

$\cos x eq 0$

$\Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy tập xác định của hàm số là: $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Câu 8: Vận dụng cao

Tính giới hạn $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack$

A.
$\frac{11}{8}$
B.
$\frac{15}{2}$
C.
$5$
D.
$\frac{1}{3}$

Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

$= \frac{1}{3}\left\lbrack \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} ight) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n + 3} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)$

$= \frac{1}{3}\left( \frac{11}{6} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)$

Do đó $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack = \frac{11}{8}$

Câu 9: Thông hiểu

Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa).

A.
$tan(a - \pi) = tana$ .
B.
$sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2} \cdot sin\frac{a - b}{2}$ .
C.
$sina = tana \cdot cosa$ .
D.
$cos(a - b) = sinasinb + cosacosb$ .

Ta có: $sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2}cos\frac{a - b}{2}$ , do đó đẳng thức $sina + sinb = 2sin\frac{a + b}{2} \cdot sin\frac{a - b}{2}$ sai.

Câu 10: Thông hiểu

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$

A.
$2$
B.
$- 1$
C.
$- 2$
D.
$0$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0$

Câu 11: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ , lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Giả sử $d = (MNA) \cap (ABD)$ . Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng $d$ ?

A.
$d$ đi qua $A$ và song song với $BD$
B.
$d$ đi qua $A$ và song song với $DM$
C.
$d$ đi qua $A$ và song song với $BN$
D.
$d$ đi qua $A$ và song song với $BC$

Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(AMN),(ABD),(BCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,BD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,BD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $BD//MN$ nên $d//BD$ .

Vậy đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$ .

Câu 12: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ , $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ . Xác định các giao điểm của mặt phẳng $(MEF)$ với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{\sqrt{3}}{9}$
D.
$\frac{\sqrt{3}}{12}$

Hình vẽ minh họa

Gọi $I = MF \cap AD,H = ME \cap AC$

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra $\frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh tương tự ta có: $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$ . Do đó ta có:

$\frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}$

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

$MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}$

$\Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}$

$\Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH$

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: $S_{MHI} = \frac{1}{6}$

Câu 13: Vận dụng

Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$

A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
D. Liên tục tại mọi điểm

Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$

Tại $x=0$ ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$

Vậy hàm số liên tục tại $x=0$

Tại $x=1$ ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

Câu 14: Nhận biết

Nhóm số liệu ghép nhóm có dạng $\lbrack m;n)$ . Khi đó giá trị đại diện của nhóm tính bằng công thức nào sau đây?

A.
$\frac{m +n}{2}$
B.
$\frac{n - m}{2}$
C.
$\frac{m.n}{2}$
D.
$m - n$

Giá trị đại diện của một nhóm số liệu là trung bình cộng giá trị hai đầu mút của nhóm số liệu.

Công thức tính giá trị đại diện của nhóm $\lbrack m;n)$ là $\frac{m + n}{2}$

Câu 15: Nhận biết

$\lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight)$ bằng

A.
$- \infty$ .
B.
$+ \infty$ .
C.
$1$ .
D.
$- 1$ .

Ta có:

$\lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight)$

$= \lim\left\lbrack n^{4}\left( - 1 - \frac{50}{n^{3}} + \frac{11}{n^{4}} ight) ightbrack = - \infty$

Câu 16: Nhận biết

Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[95; 105)	9
[105; 115)	13
[115; 125)	26
[125; 135)	30
[135; 145)	12
[145; 155)	10

Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm chiều cao nào?

A.
[105; 115)
B.
[125; 135)
C.
[115; 125)
D.
[145; 155)

Ta có: $N = 100$

$=>N/4=100/4=25$

=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: $[115; 125)$

Câu 17: Vận dụng cao

Biết rằng phương trình $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b}$ với $k \in \mathbb{Z}$ và $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính $S = a + b$

A.
$S = 2017$ .
B.
$S = 2019$ .
C.
$S = 2020$ .
D.
$S = 2018$ .

Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}$

$=\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx$

$= cot\frac{x}{2} - cotx$

Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

$\cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x$

${+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}$

${\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}$

${\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}$

Vậy $a = 2019,b = 1$ nên $a + b = 2020$ .

Câu 18: Vận dụng

Tính tổng $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...$ .

A.
$S = 3$
B.
$S = 4$
C.
$S = 5$
D.
$S = 6$

Ta có:

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...$

$= \underbrace {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} ight)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} ight)}^n} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{2}{3}}$

$= \dfrac{1}{1 - \dfrac{2}{3}} =3$

Câu 19: Thông hiểu

Giá trị của $C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}}$ bằng:

A.
$+ \infty$
B.
$- \infty$
C.
$\frac 1 4$
D.
1

$C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}$

$= \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}$

$= \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}$

Câu 20: Vận dụng

Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.

Điểm	Số học sinh
[0; 10)	2
[10; 20)	6
[20; 30)	8
[30; 40)	x
[40; 50)	30
[50; 60)	22
[60; 70)	18
[70; 80)	8
[80; 90)	4
[90; 100)	2

Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.

A.
$150$
B.
$135$
C.
$126$
D.
$143$

Ta có:

Điểm	Số học sinh	Tần số tích lũy
[0; 10)	2	2
[10; 20)	6	8
[20; 30)	8	16
[30; 40)	x	16 + x
[40; 50)	30	46 + x
[50; 60)	22	68 + x
[60; 70)	18	86 + x
[70; 80)	8	94 + x
[80; 90)	4	98 + x
[90; 100)	2	100 + x
	N = 100 + x

Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 40;\dfrac{N}{2} = \dfrac{100 + x}{2} \\m = 16 + x;f = 30,c = 50 - 40 = 10 \\\end{matrix} ight.$

$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$

$\Leftrightarrow 47 = 40 + \dfrac{\left(\dfrac{100 + x}{2} - 16 - x ight)}{30}.10$

$\Leftrightarrow 21 = \frac{100 + x - 32- 2x}{2}$

$\Leftrightarrow x = 26$

Vậy số học sinh là 126 học sinh.

Câu 21: Thông hiểu

Với $n \in \mathbb{N}^{*}$ , cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia $3$ dư $2$ theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là

A.
$u_{n} = \frac{3n}{2}$ .
B.
$u_{n} = 1 + \frac{2}{n}$ .
C.
$u_{n} = 3n - 2$ .
D.
$u_{n} = 3n + 2$ .

Các số nguyên dương chia $3$ dư $2$ theo thứ tự tăng dần là $5$ , $8$ , $11$ , $14$ ,…

Ta có $5 = 3.1 + 2$ , $8 = 3.2 + 2$ , $11 = 3.3 + 2$ , $14 = 3.4 + 2$ , …

Vậy $u_{n} = 3n + 2$

Câu 22: Vận dụng

Cho dãy số (u_n) có $u_{n} = \frac{an + b}{cn + d}$ và c > d > 0. Dãy số (u_n) là dãy số tăng với điều kiện?

A.
a < 0, b < 0.
B.
b > a > 0.
C.
a > 0, b < 0
D.
a < 0, b > 0.

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{ad - bc}{\lbrack c(n + 1) + d(cn + d)brack}$ .

Dãy số (u_n) là dãy số tăng khi ad − bc > 0

Mà c > d > 0 nên chỉ có điều kiện ở đáp án a > 0, b < 0 để ad − bc > 0.

Câu 23: Nhận biết

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n}=\frac{-n}{n+1}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

A.
$-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}$
B.
$-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6};-\frac{6}{7}$
C.
$\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}$
D.
$\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}$

Ta có:

$\begin{matrix} {u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ {u_2} = \dfrac{{ - 2}}{{2 + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{3} \hfill \\ {u_3} = \dfrac{{ - 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{4} \hfill \\ {u_4} = \dfrac{{ - 4}}{{4 + 1}} = \dfrac{{ - 4}}{5} \hfill \\ {u_5} = \dfrac{{ - 5}}{{5 + 1}} = \dfrac{{ - 5}}{6} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: $-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}$

Câu 24: Vận dụng

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là $70$ lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)$ ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị $mmHg$ ( milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 $mmHg$ ?

Đáp án: 1

Đáp án là:

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là $70$ lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t) = 100 + 20\sin\left( \frac{7\pi}{3}tight)$ ở đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị $mmHg$ ( milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo giây. Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 $mmHg$ ?

Đáp án: 1

Huyết áp là 120 $mmHg$ khi

$P(t) = 120 \Leftrightarrow 100 +20sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 120$

$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t ight) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t =\frac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{3}{14} + \frac{6k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Xét $0 < t < 1$

$\Leftrightarrow 0 < \frac{3}{14} + \frac{6k}{7} < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{{12}} \Leftrightarrow k = 0$

vì $k\mathbb{\in Z}$ .

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 $mmHg$ .

Câu 25: Thông hiểu

Cho phương trình lượng giác $4cos2x = m - 1\ \ (*)$

a) Với $m = 5$ , phương trình (*) có nghiệm là $x = k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ Đúng||Sai

b) Với $m = 3$ , phương trình (*) có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{6}$ Đúng||Sai

c) Với $m = - 3$ thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ là 3. Sai||Đúng

d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $4cos2x = m - 1\ \ (*)$

a) Với $m = 5$ , phương trình (*) có nghiệm là $x = k\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ Đúng||Sai

b) Với $m = 3$ , phương trình (*) có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{6}$ Đúng||Sai

c) Với $m = - 3$ thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ là 3. Sai||Đúng

d) Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 8. Sai||Đúng

Thay $m = 5$ vào (*) ta được:

$4cos2x = 4 \Leftrightarrow cos2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Thay $m = 3$ vào (*) ta được:

$4cos2x = 2 \Leftrightarrow cos2x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = - \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Với $k = 0$ thì phương trình có nghiệm $x = \frac{\pi}{6}$ .

Thay $m = - 3$ vào (*) ta được:

$4cos2x = - 4 \Leftrightarrow cos2x = - 1$

$\Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì xét nghiệm trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ nên ta có:

$0 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$

Mà $k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = \left\{ 0;1 ight\}$

Vậy với $m = - 3$ thì số nghiệm của phương trình (*) trên đoạn $\lbrack 0;2\pibrack$ là 2.

d) Ta có: $4cos2x = m - 1 \Leftrightarrow cos2x = \frac{m - 1}{4}$

Để phương trình có nghiệm thì $- 1 \leq \frac{m - 1}{4} \leq 1 \Leftrightarrow - 4 \leq m - 1 \leq 4$

$\Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 5$ mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5 ight\}$

Vậy số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (*) có nghiệm là 10.

Câu 26: Nhận biết

Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
$MN//BC$ .
B.
$ON//SC$ .
C.
$ON//SB$ .
D.
$OM//SC$ .

Đáp án $MN//BC$ đúng vì MN // AD do trong tam giác SAD có MN là đường trung bình mà BC// AD nên MN // BC

Đáp án $ON//SB$ đúng vì ON là đường trung bình của tam giác SBD

Đáp án $OM//SC$ đúng vì OM là đường trung bình của tam giác SAC

Đáp án $ON//SC$ sai vì giả sử ON //SC mà OM //SC nên M ≡ N vô lí.

Câu 27: Vận dụng

Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là $0,5\%$ . Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

A.
$67874500$ đồng
B.
$67745123$ đồng
C.
$67542015$ đồng
D.
$67629587$ đồng

Với số nguyên dương $n$ , kí hiệu $u_{n}$ là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau $n$ tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

$u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,005 = u_{n - 1}.1,005;(\forall n \geq 2)$

Ta có: $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 6.10^{7} + 6.10^{7}.0,005 = 6.10^{7}.1,005$ với công bội $q = 1,005$ nên $u_{n} = 6.10^{7}.1,005.(1,005)^{n - 1} = 6.10^{7}.(1,005)^{n};(n \geq 1)$

Số tiền rút được sau 2 năm là:

$u_{24} = 6.10^{7}.1,005^{24} \approx 67629587$ (đồng)

Câu 28: Nhận biết

Cho hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Hàm số liên tục tại $x = 1$ .
B.
Hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$ .
C.
Hàm số liên tục tại mọi $x\mathbb{\in R}$ .
D.
Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .

Điều kiện xác định của hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}$ là:

$x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1$

Suy ra tập xác định của hàm số là: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}$

Nên hàm số không liên tục tại các điểm $x eq \pm 1$ .

Câu 29: Thông hiểu

Biết rằng hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}\ khi\ x eq 3 \\a\ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 3$ (a là tham số. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
$a \in ( - 3;0)$
B.
$a \leq - 3$
C.
$a \in \lbrack 0;5)$
D.
$a \in \lbrack 5; + \infty)$

Tập xác định $D = ( - 1; + \infty)$

Theo giả thiết ta có:

$a = f(3) = \lim_{x ightarrow 3}f(x)$

$\Rightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\left( \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} ight)$

$\Leftrightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(3 - x)\left( \sqrt{x + 1} + 2 ight)}{x - 3}$

$\Leftrightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\left( \sqrt{x + 1} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \leq - 3$

Câu 30: Nhận biết

Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi $u_{1} = - 5;d = 3$ .

A.
$14506$
B.
$14350$
C.
$14600$
D.
$14500$

Theo bài ra ta có:

$S_{100} = \frac{\left( 2u_{1} + 99d ight).100}{2} = 14350$

Câu 31: Nhận biết

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}$ bằng

A.
$+\infty$
B.
2
C.
1
D.
$-\infty$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty$

Do $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\ x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Câu 32: Thông hiểu

Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là $x - 6;x$ và $y$ . Tìm $y$ biết rằng công bội của cấp số nhân là $6$ ?

A.
$y = 216$
B.
$y = \frac{324}{5}$
C.
$y = \frac{1296}{5}$
D.
$y = 12$

Ta có:

Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là $x - 6;x$ và $y$ có công bội $q = 6$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.$

Câu 33: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ .

A.
$a$ và $b$ là hai đường thẳng song song
B.
Nếu điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì không thể coi đường thẳng nào đi qua $M$ và cắt cả $a$ và $b$ .
C.
Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ .
D.
Cả 3 câu trên đều sai.

Mệnh đề đúng là: "Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ ."

Câu 34: Nhận biết

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là:

A.
$SA$ .
B.
$SB$ .
C.
$SC$ .
D.
$AC$ .

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ có hai điểm chung là $S$ và $B$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SB$ .

Câu 35: Thông hiểu

Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở. Tìm mốt của mẫu dữ liệu.

Thu nhập (nghìn đồng)	Hộ gia đình
[0; 100)	5
[100; 200)	7
[200; 300)	12
[300; 400)	18
[400; 500)	16
[500; 600)	10
[600; 700)	5

A.
375
B.
358
C.
398
D.
310

Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 18 nằm trong nhóm $[300; 400)$

Thu nhập (nghìn đồng)	Hộ gia đình
[0; 100)	5
[100; 200)	7
[200; 300)	12	${f_0}$
[300; 400)	18	${f_1}$
[400; 500)	16	${f_2}$
[500; 600)	10
[600; 700)	5

$\Rightarrow l = 300;f_{0} = 12;f_{1} =18;f_{2} = 16;c = 400 - 300 = 100$

Khi đó ta tính mốt như sau:

$\begin{matrix} {M_0} = l + \dfrac{{{f_1} - {f_0}}}{{2{f_1} - {f_0} - {f_2}}}.c \hfill \\ \Rightarrow {M_0} = 300 + \dfrac{{18 - 12}}{{2.18 - 12 - 16}}.100 = 375 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 36: Vận dụng cao

Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

A.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
B.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
C.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
D.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$

Ta có $2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}$

$= \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}$

$= cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x$

Vậy $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$

Câu 37: Nhận biết

Trong các dãy số $\left( u_{n} ight)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ , dãy nào là cấp số nhân?

A.
$u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}}$
B.
$u_{n} = \frac{1}{3^{n}} - 1$
C.
$u_{n} = n + \frac{1}{3}$
D.
$u_{n} = n^{2} - \frac{1}{3}$

Dãy $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Câu 38: Thông hiểu

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

Chọn đáp án đúng?

A.
$Q_{1} = 60,3;Q_{3} =67,6$
B.
$Q_{1} = 52,7;Q_{3} = 66,5$
C.
$Q_{1} = 50,5;Q_{3} =63,2$
D.
$Q_{1} = 52,4;Q_{3} =62,5$

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 -5}{12}.5 \approx 52,7$

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 65,\dfrac{3N}{4} = 34,5,m = 33,f = 5 \\c = 70 - 65 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{3} = 65 + \frac{34,5 -33}{5}.5 \approx 66,5$

Câu 39: Nhận biết

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?

A.
1
B.
2
C.
Không
D.
Vô số

Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 40: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}$ . Tính $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$ .

A.
$- \frac{1}{3}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$- \frac{2}{3}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}$

$= \frac{- 2 + 1}{3} = - \frac{1}{3}$

Câu 41: Thông hiểu

Đổi số đo của góc $50^{0}$ sang đơn vị radian?

A.
$\frac{50}{\pi}$
B.
$\frac{5}{18}$
C.
$\frac{5\pi}{18}$
D.
$\frac{5}{18\pi}$

Cách 1: Áp dụng công thức $\mu = \frac{m.\pi}{180}$ với $m = 50^{0}$ ta được:

$\mu = \frac{m.\pi}{180} = \frac{50.\pi}{180} = \frac{5.\pi}{18}$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.

Bước 2: Bấm 50 SHIFT Ans 1 =

Câu 42: Vận dụng cao

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{a^{2}}{3}$
B.
$\frac{2a^{2}}{3}$
C.
$\frac{a^{2}}{2}$
D.
$\frac{3a^{2}}{4}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 43: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm, lấy $P \in BC$ sao cho $\frac{CP}{PD} = 2$ và $Q \in AD$ sao cho bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A.
$QA = QC$
B.
$\frac{QD}{AQ} = 2$
C.
$\frac{QA}{DQ} =2$
D.
$\frac{QA}{QD} = 3$

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng $(BCD)$ ta có: $\frac{CP}{PD} = 2$

=> $E = NP \cap BD$

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ do đó $MN//AC$

$\Rightarrow PQ//AC$

Mà $CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD$ hay $\frac{QA}{DQ} = 2$ .

Câu 44: Nhận biết

Nghiệm của phương trình tan (2x) -1 = 0 là?

A. $x = \frac{\pi }{8} + k\pi$
B. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$
C. $x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}$
D. $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$

Ta có: $\tan 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}$ .

Câu 45: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12