Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Giá trị của giới hạn \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} ightbrack bằng:

    Với mọi giá trị k \in \mathbb{N}^{*} thì \frac{1}{(2k + 1)(2k - 1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} ight)

    Do đó:

    \lim\left\lbrack \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + .. + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} ight) ightbrack

    = \lim\left\lbrack \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{2n - 1} ight) ightbrack = \frac{1}{2}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:

    Nhóm tuổi

    Số lượng người

    [0; 10)

    6

    [10; 20)

    12

    [20; 30)

    10

    [30; 40)

    32

    [40; 50)

    22

    [50; 60)

    18

    [60; 70)

    15

    [70; 80)

    5

    [80; 90)

    4

    [90; 100)

    3

    Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

    Nhóm tuổi

    Số lượng người

    5

    6

    15

    12

    25

    10

    35

    32

    45

    22

    55

    18

    65

    15

    75

    5

    85

    4

    95

    3

     

    N = 127

    Tuổi trung bình là:

    \overline{x} = \frac{5.6 + 15.12 + 25.10+ 35.32 + 45.22 + 55.18 + 65.15 + 75.5 + 85.4 + 95.3}{127}

    \overline{x} = \frac{5535}{127} \approx44

  • Câu 3: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?

    Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:

    Ta có: S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q} mà n = 6;q = 2;S_{n} = 189

    \Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 - 2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{6} = 96

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với số hạng đầu u_{1} và công bội q. Với n \geq 1, khẳng định nào sau đây đúng?

    Do \left( u_{n} ight) là cấp số nhân nên u_{n + 1} = u_{n}.q\ \ ,\ \ (n \geq 1).

  • Câu 7: Nhận biết

    Phương trình \sin x + 1 = 0 có nghiệm là:

    Ta có:

    \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy phương trình có nghiệm là x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 8: Nhận biết

    Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài l = 25\pi(dm). Số đo của cung tròn đó là:

    Độ dài cung tròn là: l = R.\alpha

    => \alpha = \frac{l}{R} = \frac{25\pi}{15} = \frac{5\pi}{3}

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của BC, lấy N \in SA sao cho NA = 2NS. Hình chiếu của điểm N qua phép chiếu song song phương SM, mặt phẳng chiếu (ABC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Do các mặt bên của hình chóp S.ABC là các tam giác đều nên tam giác ABC đều.

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

    Ta có NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow NG//SM

    Nên G là hình chiếu song song theo phương SM của N trên (ABC).

    Lại do tam giác ABC đều nên G vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}}

    Ta có: \lim\sqrt{\dfrac{8n + 2}{2n - 1}} =\lim\sqrt{\dfrac{8 + \dfrac{2}{n}}{2 - \dfrac{1}{n}}} = \sqrt{\dfrac{8 +0}{2 - 0}} = 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là

    Hình vẽ minh họa

    Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD)

    Ta có EG ⊂ (ABF) và AF = (ABF) ∩ (ACD) 

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n+ a}}} \leq \dfrac{1}{1024}

    Ta có:

    \lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n +1}}{3^{n} + 4^{n + a}}} = \lim\sqrt[4]{\dfrac{1 + 2\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}{\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n} + 4^{n}}}

    \begin{matrix} = \sqrt {\dfrac{1}{{{4^a}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\left( {{2^a}} ight)}^2}}}} = \dfrac{1}{{{2^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{1024}} \hfill \\ \Leftrightarrow {2^a} \geqslant 1024 = {2^{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà \left\{ \begin{matrix} a \in (0;2018) \\ a\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 10;11;...;2017 ight\}

    Vậy có tất cả 2008 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?

    Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60

     ⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)

    \Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) \cdot 30}{2} = 930

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1. Mệnh đề nào sai?

    Ta có:

    f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0 có nghiệm trên ( - 2; - 1)

    Mà ( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)

    Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng ( - \infty;1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. có nghiệm trên \left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)

    Vậy mệnh đề sai là “Phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng ( - \infty;1)”

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = tan2x:

    Hàm số xác định khi cos2x eq 0 \Leftrightarrow 2x eq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\ (k \in \mathbb{Z}).

    Tập xác định của hàm số là: D =\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k\in \mathbb{Z} ight\}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) -\cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight).

    Ta có:

    C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) - \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    C = - 2\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4}+ x - \dfrac{\pi}{4}}{2} ight).\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4} - x +\dfrac{\pi}{4}}{2} ight)

    C = - 2\sin x.\sin\frac{\pi}{4} = -\sqrt{2}\sin x

  • Câu 17: Nhận biết

    Một nhóm 11 học sinh tham gia một kỳ thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 10): 0;0;3;6;6;7;7;8;8;8;9. Tìm số trung bình của mẫu số liệu (tính chính xác đến hàng phần trăm).

    Số trung bình của mẫu số liệu là:

    \overline{x} = \frac{0.2 + 3.1 + 6.2 + 7.2 + 8.3 + 9}{11} = 5,64

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 19: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}

    = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty, do \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}.

  • Câu 21: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

    Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k} thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

    Xét đáp án: 2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

    Xét đáp án: 2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{} Chọn

    Xét đáp án: 1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}Loại

    Xét đáp án: 15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

  • Câu 22: Nhận biết

    Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:

    Tuổi

    Số học sinh

    [0; 9]

    20

    [10; 19]

    21

    [20; 29]

    23

    [30; 39]

    16

    [40; 49]

    11

    [50; 59]

    10

    [60; 69]

    7

    [70; 79]

    3

    [80; 89]

    1

    Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?

    Tuổi

    Số đại diện tuổi

    Số học sinh 

    [0; 10)

    5

    20

    [10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20)

    15

    21

    [20; 30)

    25

    23

    [30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40)

    35

    16

    [40; 50)

    45

    11

    [50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60)

    55

    10

    [60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70)

    65

    7

    [70; 80)

    75

    3

    [80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90)

    85

    1

    Đáp án là:

    Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:

    Tuổi

    Số học sinh

    [0; 9]

    20

    [10; 19]

    21

    [20; 29]

    23

    [30; 39]

    16

    [40; 49]

    11

    [50; 59]

    10

    [60; 69]

    7

    [70; 79]

    3

    [80; 89]

    1

    Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?

    Tuổi

    Số đại diện tuổi

    Số học sinh 

    [0; 10)

    5

    20

    [10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20)

    15

    21

    [20; 30)

    25

    23

    [30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40)

    35

    16

    [40; 50)

    45

    11

    [50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60)

    55

    10

    [60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70)

    65

    7

    [70; 80)

    75

    3

    [80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90)

    85

    1

     Ta có:

    Tuổi

    Đại diện tuổi

    Số học sinh

    [0; 10)

    5

    20

    [10; 20)

    15

    21

    [20; 30)

    25

    23

    [30; 40)

    35

    16

    [40; 50)

    45

    11

    [50; 60)

    55

    10

    [60; 70)

    65

    7

    [70; 80)

    75

    3

    [80; 90)

    85

    1

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c song song với a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c song song với a khi đó b và c chéo nhau hoặc cắt nhau.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d//AD//BC và d đi qua S

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \cos x=m+1 có nghiệm?

     Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \cos x =a.

    - Phương trình có nghiệm khi |a| \leq 1.

    - Phương trình vô nghiệm khi |a|>1.

    Do đó, phương trình \cos x=m+1 có nghiệm khi và chỉ khi \left| {m + 1} ight| \leqslant 1

    \Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Phương trình lượng giác \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) có nghiệm là:

     \begin{matrix} \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{3} = - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nghiệm phương trình là: \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

  • Câu 28: Nhận biết

    Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?

    Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.

  • Câu 29: Nhận biết

    Điều kiện xác định của hàm số y = \cot \left( {x - \frac{{2\pi }}{5}} ight) là:

     Ta có: y = \cot \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) = \dfrac{{\cos \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}{{\sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}

    Điều kiện xác định của hàm số

    \begin{matrix} \sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{{2\pi }}{5} e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{2\pi }}{5} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức h = 3cos\left( \frac{\pi t}{8} +\frac{\pi}{4} ight) + 12. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

    Ta có:

    \begin{matrix} h = 3\cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 12 \leqslant 3 + 12 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó mực nước của kênh cao nhất khi \cos\left( \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} ight)= 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Rightarrowt = 16k - 2

    Vì 0 \leq t \leq 24 \Rightarrow k = 1\Rightarrow t = 14

    Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)

  • Câu 31: Nhận biết

    Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh?

    Hình tứ diện có 6 cạnh.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Điểm kiểm tra của 30 học sinh được ghi trong bảng sau:

    Điểm

    Số học sinh

    (20; 30]

    1

    (30; 40]

    1

    (40; 50]

    10

    (50; 60]

    11

    (60; 70]

    5

    (70; 80]

    2

    Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

    Ta có:

    Điểm

    Số học sinh

    Tần số tích lũy

    (20; 30]

    1

    1

    (30; 40]

    1

    2

    (40; 50]

    10

    12

    (50; 60]

    11

    23

    (60; 70]

    5

    28

    (70; 80]

    2

    30

    Ta có: \frac{N}{4} = \frac{30}{4} =7,5

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là (40; 50]

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}l = 40,\dfrac{N}{4} = 7,5 \\m = 2,f = 10,d = 50 - 40 = 10 \\\end{matrix} ight.

    Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

    Q_{1} = L + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d

    \Rightarrow Q_{1} = 40 + \frac{7,5 -2}{10}.10 = 45,5

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho dãy số (an) được xác định bởi \left\{ \begin{matrix} a_{1} = 1;a_{2} = 2 \\ a_{n + 2} - a_{n + 1} - a_{n} = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) là đúng?

    Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.

  • Câu 34: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tìm khoảng biến thiên của dãy dữ liệu sau: 25; 8; 16; 12; 10; 9; 4; 13?

    Ta có:

    Giá trị lớn nhất: 25

    Giá trị nhỏ nhất: 4

    Khoảng biến thiên là: 25 – 4 = 21

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 37: Vận dụng

    Số nghiệm của phương trình 2 \sin^{2}x-5 \sin x+3=0 thuộc \left [ 0;2\pi  ight ] là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} ight)\left( {2\sin x - 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x - 1 = 0} \\ {2\sin x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = 1} \\ {\sin x = \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: x \in \left[ {0;2\pi } ight]

    \begin{matrix} \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \leqslant 2\pi \hfill \\ \Rightarrow - \dfrac{1}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{3}{4} \Rightarrow k = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Vận dụng

    Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.

    Tốc độ

    Tần số

    40 ≤ x < 50

    4

    50 ≤ x < 60

    5

    60 ≤ x < 70

    7

    70 ≤ x < 80

    4

    Xác định giá trị của \Delta = \left|Q_{1} - Q_{3} ight|?

    Ta có:

    Tốc độ

    Tần số

    Tần số tích lũy

    40 ≤ x < 50

    4

    4

    50 ≤ x < 60

    5

    9

    60 ≤ x < 70

    7

    16

    70 ≤ x < 80

    4

    20

    Tổng

    N = 20

     

    Ta có: \frac{N}{4} = \frac{20}{4} =5

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 60)

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}l = 50;\dfrac{N}{4} = 5 \\m = 4,f = 5,d = 10 \\\end{matrix} ight.

    Tứ phân vị thứ nhất là:

    Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d

    \Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{5 -4}{5}.10 = 52

    Ta có: \frac{3N}{4} = \frac{3.20}{4} =15

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [60; 70]

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}l = 60;\dfrac{3N}{4} = 15 \\m = 9,f = 7,d = 10 \\\end{matrix} ight.

    Tứ phân vị thứ nhất là:

    Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d

    \Rightarrow Q_{3} = 60 + \frac{15 -9}{7}.10 = \frac{480}{7}

    \Rightarrow \Delta = \left| Q_{1} -Q_{3} ight| = \left| 52 - \frac{480}{7} ight| \approx16,6

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi hàm số f(x) không liên tục tại điểm nào sau đây?

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow 1}f(x). Do đó hàm số gián đoạn tại x_{0} = 1.

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

    Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.

  • Câu 41: Vận dụng

    Biết tổng ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 16, đồng thời theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng. Công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

    Gọi u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} là bốn số hạng đầu của cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q.

    Gọi \left( v_{n} ight) là cấp số cộng tương ứng với công sai d.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 16 \\ u_{1} = v_{1} \\ u_{2} = v_{4} = v_{1} + 3d \\ u_{3} = v_{8} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}.q + u_{1}.q^{2} = 16 \\ u_{1}.q = v_{1} + 3d \\ u_{1}.q^{2} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.

    \left( u_{1} eq 0 ight) \Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix}q = 1(ktm) \\q = \dfrac{10}{3}(tm) \\\end{matrix} ight.

    q = \frac{10}{3} \Rightarrow u_{1} = \frac{144}{139}

  • Câu 42: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Tập xác định: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}có nghĩa là

    D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...

    Khi đó

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)

  • Câu 43: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Mệnh đề: "Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác." sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

    Mệnh đề: "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung." và "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng." sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

    Vậy mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng."

  • Câu 44: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 45: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. N là điểm trên cạnh SB sao cho 3SN = 2SB. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi S là diện tích tứ giác thiết diện và S = \frac{4a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản, a;b\mathbb{\in N}. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + 1 ?

    Đáp án: 110

    Hình vẽ minh họa

    Ta kẻ MN\ //\ AB\ \ (M \in SA), NP\ //BC\ \ (P \in SC), MQ\ //\ BC\ //\ AD\ \ (Q \in SD).

    Vì mặt phẳng (\alpha) đi qua N, song song với AB và AD nên M,\ \ P,\ \ Q đều thuộc (\alpha) và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\alpha) là tứ giác MNPQ.

    Khi đó MN//AB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{MN}{AB} =\frac{2}{3}.

    Tương tự, ta có được \frac{NP}{BC} = \frac{PQ}{CD} = \frac{QM}{DA} = \frac{2}{3}.

    Suy ra MN = NP = PQ = QM = \frac{2}{3}AB = \frac{20}{3} và MNPQ là hình vuông.

    Suy ra S_{MNPQ} = \left( \frac{20}{3} ight)^{2} = \frac{400}{9}.

    Khi đó a = 100,b = 9

    Vậy P = a + b + 1 = 110.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 55 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập