Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.
- B.
  Qua bốn điểm bất kỳ xác định được duy nhất một mặt phẳng.
- C.
  Qua ba điểm thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.
- D.
  Qua ba điểm bất kỳ xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Mệnh đề đúng: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.”
Câu 2: Vận dụng cao
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{8} +\frac{\pi}{4} ight) + 12$ . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
- A.
  t = 22 (h)
- B.
  t = 15 (h)
- C.
  t = 14 (h)
- D.
  t = 10 (h)
Ta có:
$\begin{matrix} h = 3\cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 12 \leqslant 3 + 12 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi $\cos\left( \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} ight)= 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Rightarrowt = 16k - 2$
Vì $0 \leq t \leq 24 \Rightarrow k = 1\Rightarrow t = 14$
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Câu 3: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 2;u_{2} = - 8$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{6} = 130$
- B.
  $u_{5} = 256$
- C.
  $S_{5} = 256$
- D.
  $q = - 4$
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.$
Câu 4: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Gọi $A_{1}$ là trung điểm của $SA$ , $B_{1} \in SB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Tam giác hoặc tứ giác
- D.
  Tứ giác hoặc ngũ giác
Trường hợp 1:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu $B_{1} eq S$ . Gọi $O = AC \cap BD,\ I = SO \cap A_{1}C$

Nếu $P = IB_{1} \cap SD$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tứ giác $A_{1}B_{1}CP$

Nếu $P = IB \cap BD$ . Gọi $Q = CP \cap AD$

Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tứ giác $A_{1}B_{1}CQ$

Trường hợp 2:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu $B_{1} \equiv S$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tam giác $SAC$ .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Câu 5: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{15} = 34.$
- B.
  $u_{15} = 45.$
- C.
  $u_{13} = 31.$
- D.
  $u_{10} = 35.$
Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$
Câu 6: Thông hiểu
Thời gian lái xe của 25 nhân viên trong công ty được ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
Số nhân viên
(0; 10]
3
(10; 20]
10
(20; 30]
6
(30; 40]
4
(40; 50]
2
Tính thời gian lái xe trung bình của các nhân viên đó.
- A.
  $24,1$
- B.
  $23,5$
- C.
  $22,7$
- D.
  $21,8$
Ta có:
Thời gian đại diện (phút)
Số nhân viên
Tích các giá trị
5
3
15
15
10
150
25
6
150
35
4
140
45
2
90
Tổng
N = 25
545
Thời gian lái xe trung bình là:
$\overline{x} = \frac{545}{25} =21,8$ (phút)
Câu 7: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
- C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
- D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M \in SA$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SB,AC$ . Giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh $AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $N,E,F,I,J$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(SCD)$
- B.
  $EF//(ASD)$
- C.
  $NF//(SAD)$
- D.
  $JI//(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ = (\alpha) \cap (SBD) \\ (\alpha)//SB \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (SBD) = IJ//SB$

Mà $SB \subset (SAB) \Rightarrow IJ//(SAB)$
Câu 9: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n}=3^{n}$ . Tìm số hạng $u_{2n-1}$
- A.
  $u_{2n-1}=3^{2}.3^{n}-1$
- B.
  $u_{2n-1}=3^{n}.3^{n-1}$
- C.
  $u_{2n-1}=3^{2n}-1$
- D.
  $u_{2n-1}=3^{2(n-1)}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {3^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3} ight)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x + 1 - (x - 3)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 -\dfrac{3}{x}} ight)} = 0$
Câu 11: Vận dụng
Cho $\widehat {AOC} = \widehat {AOF} = \frac{\pi }{6}$ như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình $2 \sin x +1 =0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
- A. Điểm E và điểm D
- B. Điểm C và điểm F
- C. Điểm D và điểm C
- D. Điểm E và điểm F
Ta có: $2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{ - 1}}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Các cung lượng giác $x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi$ , $x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi$ lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm F và E.
Câu 12: Thông hiểu

Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:

Số tiền (nghìn đồng)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 500)

[500; 550)

[550; 600)

Số hộ gia đình

6

14

21

17

2

Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

Đáp án: 471 nghìn đồng.

Đáp án là:

Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:

Số tiền (nghìn đồng)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 500)

[500; 550)

[550; 600)

Số hộ gia đình

6

14

21

17

2

Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

Đáp án: 471 nghìn đồng.

Ta có giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $375;\ \ 425;\ \ 475;\ \ 525;\ \ 575$

Trung bình cộng của bảng số liệu trên là:

$\frac{375 \times 6 + 425 \times 14 + 475 \times 21 + 525 \times 17 + 575 \times 2}{60}$

$= 470,8(3) \simeq 471$ (nghìn đồng).
Câu 13: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 14: Nhận biết
Điều kiện xác định của hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}$
- A. $x e k\pi$
- B. $x e \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x e - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x e k2\pi$
Điều kiện xác định của hàm số:
$\begin{matrix} \sin x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x e k\pi ,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm, lấy $P \in BC$ sao cho $\frac{CP}{PD} = 2$ và $Q \in AD$ sao cho bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $QA = QC$
- B.
  $\frac{QD}{AQ} = 2$
- C.
  $\frac{QA}{DQ} =2$
- D.
  $\frac{QA}{QD} = 3$
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng $(BCD)$ ta có: $\frac{CP}{PD} = 2$
=> $E = NP \cap BD$
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ do đó $MN//AC$
$\Rightarrow PQ//AC$
Mà $CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD$ hay $\frac{QA}{DQ} = 2$ .
Câu 16: Thông hiểu
Số nghiệm trong khoảng $( - \pi\ ;\ \pi)$ của phương trình $1 - \cos2x =0$ là
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$1 - cos2x = 0$

$\Leftrightarrow cos2x = 1$

$\Leftrightarrow 2x = k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow x = k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Với $- \pi < x < \pi$ thì $- 1 < k < 1$ .

Suy ra $k = 0$ .

Vậy có 1 nghiệm trong khoảng $( - \pi\ ;\ \pi)$ .
Câu 17: Nhận biết
Nếu hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ thì $\lim_{x ightarrow 1}3f(x)$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $- 3$
- C.
  $9$ .
- D.
  $6$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}3f(x) = 3\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 9$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}$ . Giá trị S₁₀ là
- A.
  1
- B.
  $\frac{121}{120}$
- C.
  $\frac{119}{121}$
- D.
  $\frac{120}{121}$
Cách 1:

Ta có $\frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots$

Suy ra $S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}$

Vậy $S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Cách 2:

Ta có $S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\sin x=0$ là?
- A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- B. $S = \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. $S = \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. $S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Ta có: $\sin x =0 \Leftrightarrow x = k\pi \, , \, k \in \mathbb{Z}$ .
Câu 20: Nhận biết
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?
- A.
  Có
- B.
  Không
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Câu 21: Vận dụng
Tìm tần số còn thiếu trong mẫu dữ liệu ghép nhóm dưới đây. Biết số trung bình bằng $19,92$ ?
Đối tượng
Tần số
[4; 8)
11
[8; 12)
13
[12; 16)
16
[16; 20)
14
[20; 24)
a
[24; 28)
9
[28; 32)
17
[32; 36)
6
[36; 40)
4
- A.
  $a = 10$
- B.
  $a = 8$
- C.
  $a = 16$
- D.
  $a = 22$
Ta có:
Giá trị đại diện
Tần số
Tích các giá trị
6
11
66
10
13
130
14
16
224
18
14
252
22
a
22a
26
9
234
30
17
510
34
6
204
38
4
152
Tổng
$90 + a$
$1772 + 22a$
Biết số trung bình bằng $19,92$ nên ta có:
$\overline{x} = 19,92$
$\Leftrightarrow \frac{1772 + 22a}{90 +a} = 19,92$
$\Leftrightarrow a = 10$
Câu 22: Nhận biết
Giá trị của $\lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Ta có $\frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}}$ mà $\lim\frac{1}{n^{2}} = 0$

Suy ra $\lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} = 0.$
Câu 23: Vận dụng
Cho cấp số nhân (u_n) có tổng n số hạng đầu tiên là ${S_n} = {5^n} - 1$ . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó?
- A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = 4} \end{array}} ight.$
- B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {q = 6} \end{array}} ight.$
- C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = 5} \end{array}} ight.$
- D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 6} \\ {q = 5} \end{array}} ight.$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = {S_1} = 5 - 1 = 4} \\ {{u_1} + {u_2} = {S_2} = {5^2} - 1 = 24} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_2} = 24 - {u_1} = 20} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5} \end{array}} ight.$
Câu 24: Nhận biết
Xác định số nhóm trong mẫu số liệu ghép nhóm sau?
Khoảng thời gian học (phút)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
Tần số
2
3
14
8
3
8
2
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $9$
- D.
  $8$
Mẫu dữ liệu ghép nhóm đã cho có 7 nhóm.
Câu 25: Thông hiểu
Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ 0 \leq x \leq 2 \\ 3x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Dễ thấy hàm số liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;0),(0;2),(2; + \infty)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix} ight.$

=> Hàm số gián đoạn tại $x = 0$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 5 \hfill \\ f\left( 2 ight) = 5 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x - 1} ight) = 5 \hfill \\ \end{matrix} ight.$

=> Hàm số liên tục tại $x = 2$

Vậy có 1 điểm gián đoạn.
Câu 26: Thông hiểu
Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 27: Thông hiểu
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Lục giác
- D.
  Ngũ giác
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 28: Thông hiểu
Tính tổng sau $S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$
- A.
  $S = 19298$
- B.
  $S = 19090$
- C.
  $S = 19920$
- D.
  $S = 19900$
Ta có:

$S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$ là tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có $u_{1} = 1;d = 4$

$\Rightarrow S = S_{100} = \frac{100}{2}.(2.1 + 99.4) = 19900$ .
Câu 29: Nhận biết
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?
- A.
- B.
- C.
- D.
Xét đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$
Câu 30: Thông hiểu
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $y = \tan\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
- B.
  $y = \cot\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
- C.
  $y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
- D.
  $y = \cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
Với $x \in \left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)$

$\begin{matrix}ightarrow 2x \in \left( - \dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{3} ight) \hfill\\ightarrow 2x + \dfrac{\pi}{6} \in \left( - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}ight) \hfill\\\end{matrix}$

Thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)$
Câu 31: Thông hiểu
Rút gọn biểu thức $C = \cos(7\pi - x) + 3\sin\left( \frac{3\pi}{2} + xight) - \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) + \sin x$ ta được:
- A.
  $C = - 5\sin x$
- B.
  $C = - 3\sin x$
- C.
  $C = 2\cos x$
- D.
  $C = - 4\cos x$
Ta có:

$C = \cos(7\pi - x) + 3\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x ight) - \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) + \sin x$

$C = \cos(\pi - x) - 3\sin\left(\frac{\pi}{2} + x ight) - \sin x + \sin x$

$C = - \cos x - 3cosx = - 4cosx$
Câu 32: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $-\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$
Câu 33: Vận dụng
$\lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}$ bằng:
- A.
  $\frac{-1}{5}$
- B.
  $\frac{-1}{6}$
- C.
  -1
- D.
  0
Ta có:
$0 \leqslant \left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}} ight| \leqslant \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}$
Do $\lim \frac{1}{n} = 0$ => $\lim \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{n + 5}} = 0$
Câu 34: Vận dụng cao
Tính tổng $S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...$ :
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...$

$= \left( {\underbrace {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}} + ...}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{2}}} ight) - \left( {\underbrace {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + .... + \dfrac{1}{{{3^n}}}}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{3}}} ight)$

$= \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} -\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = 1 - \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2}$
Câu 35: Nhận biết
Cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}$ . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
- A.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = 2$ .
- B.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = - 2$ .
- C.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = - 2$
- D.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = 2$ .
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra $u_{1} = \frac{3}{5}$ và $q = 2$ .
Câu 36: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. Vô số
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x =a$ .
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Do đó, phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| {m + 1} ight| \leqslant 1$
$\Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Dãy số (u_n) được cho bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
- A.
  ∀n, u_n là số lẻ
- B.
  u₁ + u₂ + … + u_n = n²
- C.
  ∀n, u_n = 2n − 1
- D.
  u_n + u_n + 1 = 4n
$u_1=1$

$u_2=1+2=1+1.2$

$u_3=1+2+2=1+2.2$

$u_4=1+2+2+2=1+3.2$

...

$u_n=1+2+⋯+2=1+(n-1).2$

Áp dụng phương pháp quy nạp ta có u_n = 2n − 1.
Câu 38: Thông hiểu
Khảo sát thời gian học của học sinh trong một ngày được ghi trong bảng sau:
Khoảng thời gian học (phút)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
Tần số
2
3
14
8
3
8
2
Số học sinh có thời gian học nhỏ hơn 40 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $62,5 \%$
- B.
  $42,5\%$
- C.
  $47,5 \%$
- D.
  $55\%$
Số học sinh tham gia khảo sát là: 40 học sinh.
Số học sinh có thời gian học ít hơn 40 phút là: 19 học sinh chiếm $\frac{19.100\%}{40} = 47,5\%$
Câu 39: Thông hiểu
Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  AC và BD cắt nhau
- B.
  AC và BD không có điểm chung
- C.
  Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC
- D.
  AB và CD song song với nhau
Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện
Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.
Câu 40: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in SA$ sao cho $NA = 2NS$ . Hình chiếu của điểm $N$ qua phép chiếu song song phương $SM$ , mặt phẳng chiếu $(ABC)$ là:
- A.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ .
- B.
  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SBC$ .
- C.
  Trọng tâm tam giác $ABC$
- D.
  Trọng tâm tam giác $SBC$
Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp $S.ABC$ là các tam giác đều nên tam giác $ABC$ đều.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow NG//SM$

Nên $G$ là hình chiếu song song theo phương $SM$ của $N$ trên $(ABC)$ .

Lại do tam giác $ABC$ đều nên $G$ vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ .
Câu 41: Nhận biết
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.
Câu 42: Vận dụng
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

(2) Dãy số được xác định bởi a_n = n² là một dãy giảm.

(3) Dãy số được xác định bởi a_n = 1 − n² là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

(4) Dãy số được xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là một dãy không tăng, không giảm.
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
$0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

a_n + 1 − a_n = (n+1)² − n² = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = n² là dãy tăng.

a_n + 1 − a_n = (1−(n+1)²) − (1−n²) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = 1 − n² là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

a₁ = − 1 < a₂ = 4 > a₃ = − 9 nên dãy số xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là dãy không tăng không giảm.
Câu 43: Nhận biết
Khảo sát thời gian tập thể dục của một nhóm học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng thống kê sau:

Thời gian (phút)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

8

9

15

12

6

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là:
- A.
  $\lbrack 20;40)$
- B.
  $\lbrack 40;60)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Nhóm chứa mốt là nhóm có giá trị tần số lớn nhất

Nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: $\lbrack 40;60)$ .
Câu 44: Nhận biết
Với $x$ là góc bất kì và các biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $sin2x = 2sinx\cos x$ .
- B.
  $sin2x = \sin x\cos x$ .
- C.
  $sin2x = 2cosx$ .
- D.
  $sin2x = 2sinx$ .
Đẳng thức đúng: $sin2x = 2sinx\cos x$ .
Câu 45: Vận dụng
Tìm giá trị thực của m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x=2$ .
- A. $m=0$
- B. $m=1$
- C. $m=2$
- D. $m=3$
Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$ chứa $x=2$
Theo giả thiết thì ta phải có:
$\begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $m=3$

Thời gian (phút)	Số nhân viên
(0; 10]	3
(10; 20]	10
(20; 30]	6
(30; 40]	4
(40; 50]	2

Thời gian đại diện (phút)	Số nhân viên	Tích các giá trị
5	3	15
15	10	150
25	6	150
35	4	140
45	2	90
Tổng	N = 25	545

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Số tiền (nghìn đồng)	[350; 400)	[400; 450)	[450; 500)	[500; 550)	[550; 600)
Số hộ gia đình	6	14	21	17	2

Đối tượng	Tần số
[4; 8)	11
[8; 12)	13
[12; 16)	16
[16; 20)	14
[20; 24)	a
[24; 28)	9
[28; 32)	17
[32; 36)	6
[36; 40)	4

Giá trị đại diện	Tần số	Tích các giá trị
6	11	66
10	13	130
14	16	224
18	14	252
22	a	22a
26	9	234
30	17	510
34	6	204
38	4	152
Tổng	$90 + a$	$1772 + 22a$

Khoảng thời gian học (phút)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)
Tần số	2	3	14	8	3	8	2

Thời gian (phút)	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	8	9	15	12	6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!