Kết quả kiểm tra học kì 1 môn Toán của học sinh lớp 11A được cho bằng biểu đồ tần số ghép nhóm như hình vẽ:

Số học sinh có điểm dưới 7 điểm là:
Quan sát biểu đồ ta thấy số học sinh có điểm dưới 7 điểm là: học sinh.
Kết quả kiểm tra học kì 1 môn Toán của học sinh lớp 11A được cho bằng biểu đồ tần số ghép nhóm như hình vẽ:

Số học sinh có điểm dưới 7 điểm là:
Quan sát biểu đồ ta thấy số học sinh có điểm dưới 7 điểm là: học sinh.
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục tại
. Sai||Đúng
b) Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Khi đó phương trình
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Biết
khi đó
Sai||Đúng
d) Trong các hàm số
, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục tại
. Sai||Đúng
b) Cho hàm số liên tục trên đoạn
và
. Khi đó phương trình
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
. Đúng||Sai
c) Biết khi đó
Sai||Đúng
d) Trong các hàm số , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai
a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.
b) Xét phương trình
Đặt ta có:
Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
c) Ta có:
d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
xác định trên tập số thực?
Hàm số đã cho xác định khi
Kết hợp với điều kiện m là số nguyên
=> m = {-4; -3; ... ; 2; 3}
Vậy có 8 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện.
Hàm số nào không liên tục tại
?
Ta có hàm số không xác định tại
nên hàm số không liên tục tại
NB
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Tính
.
Ta có:
Do đó
Cho tứ diện
. Lấy
sao cho
. Giả sử
là mặt phẳng qua
song song với
. Xác định các giao tuyến của tứ diện
và mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Giả sử cắt các mặt của tứ diện
và
theo hai giao tuyến
và
.
Ta có:
Theo định lí Ta – lét ta có:
=> là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng
là hình bình hành
.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang đáy lớn là
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,
là giao điểm của cạnh
và mặt phẳng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
và
cắt nhau.Sai||Đúng
b)
.Đúng||Sai
c)
và
cắt nhau.Sai||Đúng
d)
và
chéo nhau. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn là
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,
là giao điểm của cạnh
và mặt phẳng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) và
cắt nhau.Sai||Đúng
b) .Đúng||Sai
c) và
cắt nhau.Sai||Đúng
d) và
chéo nhau. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Cho hình hộp
. Lấy
sao cho
và
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.
Giao tuyến của với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.
=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt của hình hộp.
bằng
Ta có:
Dân số của thành phố A hiện nay là 4 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 1%. Hỏi dân số của thành phố A sau 5 năm nữa sẽ là bao nhiêu?
Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu là số dân của thành phố A sau n năm.
Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:
Ta có: là một cấp số nhân với số hạng đầu là
và công bội
=> Số dân của thành phố A sau 5 năm là: (triệu người).
Cho hàm số
. Số nghiệm của phương trình
trên tập số thực là:
Hàm số là hàm đa thức có tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
=> Hàm số liên tục trên các khoảng
Ta có:
vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng . Tuy nhiên phương trình
là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm
Vậy phương trình có đúng ba nghiệm.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Trên cạnh
lấy điểm
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số ![]()
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Trên cạnh
lấy điểm
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính tỉ số
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
+ Cho
Trong mặt phẳng hai đường thẳng
không song song nên gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
. Khi đó
.
+ Ta thấy
+ Trong . Khi đó
.
Xét tam giác , áp dụng định lí Menelaus có:
Xét tam giác , áp dụng định lí Menelaus có:
Vậy .
Tính giá trị biểu thức ![]()
Ta có:
Khi đó:
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c) Cấp số cộng
thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) Cấp số cộng thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
a) Xét dãy số đã cho ta có:
nên dãy số
không tăng không giảm.
b) đúng bằng chứng minh quy nạp.
c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là
d) Từ giả thiết ta có:
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: .
Tìm hiểu thời gian tập thể dục mỗi ngày của học sinh (đơn vị: phút) ta thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Thời gian (phút) | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) |
Số học sinh | 8 | 16 | 4 | 7 | 12 |
Hỏi số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày chiếm bao nhiêu phần trăm?
Số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày là:
(học sinh) chiếm
Cho cấp số cộng (Un) có
và công sai d = 4. Tính
?
Ta có:
Một cuộc khảo sát về chiều cao (tính bằng cm) của 50 nữ sinh lớp X được tiến hành tại một trường học và thu được số liệu sau:
Chiều cao (cm) | [120; 130) | [130; 140) | [140; 150) | [150; 160) | [160; 170) |
Số nữ sinh | 2 | 8 | 12 | 20 | 8 |
Tìm trung vị của dữ liệu ghép nhóm ở trên.
Ta có:
Chiều cao (cm) | [120; 130) | [130; 140) | [140; 150) | [150; 160) | [160; 170) | |
Số nữ sinh | 2 | 8 | 12 | 20 | 8 | N = 50 |
Tần số tích lũy | 2 | 10 | 22 | 42 | 50 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: [150; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 22 và 42)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để
.
Ta có: nên
Theo đề bài ta có
Mặt khác
Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.
Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.
Điểm | Số học sinh |
[0; 10) | 2 |
[10; 20) | 6 |
[20; 30) | 8 |
[30; 40) | x |
[40; 50) | 30 |
[50; 60) | 22 |
[60; 70) | 18 |
[70; 80) | 8 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100) | 2 |
Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.
Ta có:
Điểm | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 2 | 2 |
[10; 20) | 6 | 8 |
[20; 30) | 8 | 16 |
[30; 40) | x | 16 + x |
[40; 50) | 30 | 46 + x |
[50; 60) | 22 | 68 + x |
[60; 70) | 18 | 86 + x |
[70; 80) | 8 | 94 + x |
[80; 90) | 4 | 98 + x |
[90; 100) | 2 | 100 + x |
| N = 100 + x |
|
Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)
Vậy số học sinh là 126 học sinh.
Cho dãy số
thỏa mãn điều kiện
;
với
số hạng
bằng:
Ta có:
Vậy
Cho góc
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thưc
.
Theo bài ra ta có:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Khẳng định đúng là:
Nếu thì tồn tại trong
đường thẳng
để
.
Cho dãy số
với mọi
. Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là:
Ta có:
Khi đó số hạng thứ 5 của dãy là 48
Tính giới hạn: ![]()
Ta có:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số y = x.cosx là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số là hàm số lẻ
Xét hàm số có:
Tập xác định
Khi đó với ta có:
Vậy hàm số là hàm số chẵn
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
, mặt phẳng
đi qua
và song song với mặt phẳng
. Khi đó các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của với
là
.
Giao tuyến của với
là
.
Từ đó suy ra các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của
là hình thang MNPQ.
Thời gian lái xe của 25 nhân viên trong công ty được ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút) | Số nhân viên |
(0; 10] | 3 |
(10; 20] | 10 |
(20; 30] | 6 |
(30; 40] | 4 |
(40; 50] | 2 |
Tính thời gian lái xe trung bình của các nhân viên đó.
Ta có:
Thời gian đại diện (phút) | Số nhân viên | Tích các giá trị |
5 | 3 | 15 |
15 | 10 | 150 |
25 | 6 | 150 |
35 | 4 | 140 |
45 | 2 | 90 |
Tổng | N = 25 | 545 |
Thời gian lái xe trung bình là:
(phút)
Chọn kết quả đúng của giới hạn
?
Xét tính bị chặn của dãy số
, ta thu được kết quả?
Ta có
Dãy (un) bị chặn.
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
Xét dãy số ta có:
Vậy dãy số là cấp số nhân với q = 1/3
Cho
như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?

Ta có:
.
Các cung lượng giác ,
lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm F và E.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”
Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”
Phương trình
có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng
là:
Giải phương trình:
Do =>
thỏa mãn
Tập nghiệm của phương trình
là?
Ta có:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục trên khoảng
Sai||Đúng
b) Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng
. Đúng||Sai
c) Giới hạn của hàm số
khi
bằng -1. Sai||Đúng
d) Dãy số
với
là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai
Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục trên khoảng
Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng
. Đúng||Sai
c) Giới hạn của hàm số khi
bằng -1. Sai||Đúng
d) Dãy số với
là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai
a) Ta có:
có điều kiện xác định
Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.
b) Đặt
f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên
Ta có:
Từ (*) và (**) suy ra phương trình có nghiệm thuộc
.
c) Ta có:
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi
d) Ta có: với n chẵn
Với n lẻ
Suy ra dãy số không bị chặn.
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi
.
Theo bài ra ta có:
Khảo sát thời gian tập thể dục của một nhóm học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng thống kê sau:
|
Thời gian (phút) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
Giá trị đại diện của nhóm
là:
Giá trị đại diện của nhóm là:
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u2 = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).