Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A. Ba điểm
- B. Một điểm và một đường thẳng
- C. Hai đường thẳng cắt nhau
- D. Bốn điểm
Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.
Câu 2: Thông hiểu
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)
Số ngày
2
7
7
3
1
Xác định nhóm chứa mốt và tính giá trị mốt?
- A. Nhóm chứa mốt là [7; 9) và $M_e=9$
- B. Nhóm chứa mốt là [9; 11) và $M_e=9$
- C. Nhóm chứa mốt là [5; 7) và $M_e=6$
- D. Nhóm chứa mốt là [11; 13) và $M_e=10$
Có hai nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là [7; 9) và [9; 11) do đó:
Xét nhóm [7; 9) ta có:
$M_{0} = 7 + \frac{7 - 2}{(7 - 2) + (7 -7)}.(9 - 7) = 9$
Xét nhóm [9; 11) ta có:
$M'_{0} = 9 + \frac{7 - 7}{(7 - 7) +(7 - 3)}.(11 - 9) = 9$
Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9.
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai.
- A.
  Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình bình hành.
- B.
  Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình tam giác.
- C.
  Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một hình vuông.
- D.
  Phép chiếu song song có thể biến một tứ diện thành một đường thẳng.
Qua phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh của tứ diện đều là đoạn thẳng.

Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện nằm trong một mặt phẳng.
Câu 4: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 5: Vận dụng
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
- A.
  $154^{0}$
- B.
  $192^{0}$
- C.
  $160^{0}$
- D.
  $174^{0}$
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là $u_{1}$ , công bội $q$ , với $q >0$
Theo bài ra ta có:
$u_{4} = 8.u_{1} \Leftrightarrowu_{1}q^{3} = u_{1}.8$
$\Leftrightarrow q = 2$
Mà $S_{4} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}= 360^{0}$
$\Leftrightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{4}}{1- q} = 360^{0} \Rightarrow u_{1} = 24^{0}$
$u_{2} = 48^{0};u_{3};96^{0};u_{4} =192^{0}$
Vậy góc lớn nhất có số đo $192^{0}$
Câu 6: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  $\sqrt{\frac{1}{2}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{1}{3}}$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {1^3}}}{{{{3.1}^2} + 1}}} = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Tính giới hạn $A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)$ .
- A.
  $A = 0$
- B.
  $A = 3$
- C.
  $A = \frac{3}{5}$
- D.
  $A = + \infty$
Ta có:

$A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)$

$A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}$

$A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}$
Câu 8: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ . Giá trị của biểu thức $G = \sin\left( \alpha +\frac{\pi}{6} ight).\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{6}ight)$
- A.
  $G = \frac{11}{100}$
- B.
  $G = - \frac{11}{100}$
- C.
  $G = \frac{7}{25}$
- D.
  $G = \frac{10}{11}$
Ta có:

$G = \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6}ight).\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{6} ight)$

$G = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3}- \cos2\alpha ight)$

Ta có:

$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha = 1 -2.\left( \frac{3}{5} ight)^{2} = \frac{7}{25}$

Khi đó giá trị biểu thức G là:

$G = \frac{1}{2}\left( \cos\frac{\pi}{3} - \frac{7}{25} ight) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} - \frac{7}{25} ight) = \frac{11}{100}$

Câu 9: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 10: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Các điểm $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ ta thu được ảnh lần lượt là $M,N$ . Hình chóp $S.ABCD$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $BCMN$ là hình vuông?
- A.
  Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$
- B.
  Tam giác $SBC$ vuông
- C.
  Tam giác $SBC$ cân
- D.
  Tam giác $SBC$ đều
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: $M,N$ lần lượt là ảnh của $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

=> $SO$ là đường trung bình của các tam giác $CAM,BDN$

=> $\left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.$

=> $ADMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight.$ => $BCMN$ là hình bình hành.

Để $BCMN$ là hình vuông thì $\left\{ \begin{matrix} BN = CM \\ BN\bot CM \\ \end{matrix} ight.$ suy ra hình chóp $S.ABCD$ có mặt bên $SBC$ vuông cân tại $S$ .
Câu 11: Thông hiểu
Nghiệm của phương trình $2\sin^{2}x+5 \sin x + 3=0$ là
- A.
  $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$
- B.
  $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$
- C.
  $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$
- D.
  $x=\pi+ k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$
$\begin{matrix} 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} ight).\left( {2\sin x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x + 1 = 0} \\ {2\sin x + 3 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = - 1} \\ {\sin x = - \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \sin x = - 1 \hfill \\ \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}}$ bằng:
- A.
  -3
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $y = \tan x$ nghịch biến trong $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- B.
  $y = \cos x$ đồng biến trong $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- C.
  $y = \sin x$ đồng biến trong $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- D.
  $y = \cot x$ đồng biến trong $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
Trong khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ thì hàm số $y = \sin x$ đồng biến.
Câu 14: Vận dụng cao
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình

$\frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0$

Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử $S$ bằng:
- A.
  $13$
- B.
  $19$
- C.
  $1$
- D.
  $5$
Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Với $m = 2$ bất phương trình trở thành $\frac{- 3x^{3} + x^{2} - x + 2}{2x - 3} \leq 0$ , bất phương trình không đúng với $\frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0$

=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = 3$ bất phương trình trở thành $\frac{x^{2} - 2x + 2}{- x^{2} + 2x - 3} \leq 0$ , tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$

=> Thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m = \frac{1}{2}$ bất phương trình trở thành $\dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{2}x +2}{\dfrac{3}{2}x^{2} + 2x - 3} \leq 0$ , bất phương trình không đúng với $x = 1$

=> Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m eq 2;m eq 3;m eq \frac{1}{2}$ đặt $\left\{\begin{matrix}f(x) = \dfrac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x +2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \\A = 2m^{2} - 7m + 3 \\\end{matrix} ight.$ thì $A eq 0$

Theo giả thiết ta có:

$f(x) \leq 0$ với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)

Nếu $A < 0$ thì $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ mâu thuẫn với (*)

Nếu $A > 0$ thì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ mâu thuẫn với (*)

Vậy $S = \left\{ 3 ight\}$ nên số phần tử của S là 1.
Câu 15: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Đặt $t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)$
=> $\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$
Phương trình trở thành:
$\begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Do ${t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy để phương trình có nghiệm
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Các cạnh $AC,BD,AB,CD,AD,BC$ có trung điểm lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$ . Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $M,N,P,Q$
- B.
  $M,R,S,N$
- C.
  $P,Q,R,S$
- D.
  $M,P,R,S$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$MP // BC // NQ$ , $MP = \frac{1}{2}BC = NQ$

=> MPNQ là hình bình hành

=> $M, N, P, Q$ thuộc một mặt phẳng.

$MR // CD // SN$ , $MR = \frac{1}{2}CD = SN$

=> MRNS là hình bình hành

=> $M, R, S, N$ thuộc một mặt phẳng.

$PS // AC // RQ$ , $PS = \frac{1}{2}AC = RQ$

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy $M,P,R,S$ không thuộc cùng một mặt phẳng.
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $A′,B′,C′,D′$ $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC$ và $SD$ . Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với $A'B'$ ?
- A. $AB.$
- B. $CD.$
- C. $C'D'.$
- D. $SC.$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $A′,B′,C′,D′$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$
$=> A'B', B'C', C'D', A'D'$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $SAB, SBC, SCD, SAD$ .
Và $ABCD$ là hình bình hành
=> $\left\{ \begin{gathered} AB//A\prime B\prime \hfill \\ CD//A\prime B\prime \hfill \\ C'D'//A\prime B\prime \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy $SC$ không song song với $A'B'$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)$
- B.
  Phương trình vô nghiệm.
- C.
  Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(0;2)$
- D.
  Phương trình vô nghiệm trên khoảng $( - 1;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(1) = - 1 \\ f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 19: Nhận biết
Kết quả của giới hạn $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n}$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $- \infty$ .
Có $\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Vì $\left| \frac{1}{2} ight| < 1$ nên $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình thang có đúng một cặp cạnh song song
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình bình hành
Ta có: $(ABB'A') // (CDD'C')$
=> $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến $A'B'$ và $C'D'$
=> $A'B' // C'D' (1)$
Chứng minh tương tự ta có: $(AA'D'D) // (BB'C'C)$
=> $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến $A'D'$ và $B'C'$
=> $A'D' // B'C' (2)$
Từ (1) và (2) => $A'B'C'D'$ là hình bình hành.
Câu 21: Vận dụng cao
Cho dãy số $=\left( x_{n} ight)$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} = 1$ ; $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}$ với $n = 1;2;3;...$ số hạng $x_{2018}$ bằng:
- A.
  $x_{2018} =\frac{4036}{2018}$
- B.
  $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
- C.
  $x_{2018} =\frac{4037}{2018}$
- D.
  $x_{2018} =\frac{4034}{2018}$
Ta có:
$x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
$\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)$
$\Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}$
$\Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}$
Vậy $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
Câu 22: Thông hiểu
Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 23: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nhận giá trị âm nếu $0 < x < \frac{\pi }{2}$
- A. $y = \cot \left( {x + \pi } ight)$
- B. $y = \tan \left( {x + \pi } ight)$
- C. $y = \cos \left( {x + \pi } ight)$
- D. $y = \sin \left( {x + \pi } ight)$
Ta có: $y = \cos \left( {x + \pi } ight) = -\cos x$
Mà $0 < x < \frac{\pi }{2}$
=> $y = \cos \left( {x + \pi } ight)$ mang giá trị âm
Câu 24: Thông hiểu
Bảng số liệu sau đây thể hiện tuổi thọ của các bóng đèn (đơn vị: giờ):
1144
1134
1162
1130
1120
1160
1116
1179
1165
1150
1155
1177
1109
1142
1121
1103
1145
1131
1133
1170
1127
1164
1147
1157
1136
1166
1111
1168
1115
1150
1101
1125
1152
1132
1140
Từ mẫu số liệu trên, nếu ghép các số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau thì độ dài của mỗi nhóm số liệu bằng bao nhiêu?
- A.
  $23$
- B.
  $20$
- C.
  $30$
- D.
  $25$
Khoảng biến thiên là 1179 – 1101 = 78
Để số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia thành các nhóm có độ dài là 20.
Ta chia thành các nhóm sau: [1100; 1120), [1120; 1140), [1140; 1160), [1160; 1180).
Câu 25: Nhận biết
Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài $l = 25\pi(dm)$ . Số đo của cung tròn đó là:
- A.
  $\frac{5\pi}{6}$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{10\pi}{3}$
- D.
  $\frac{5\pi}{3}$
Độ dài cung tròn là: $l = R.\alpha$

=> $\alpha = \frac{l}{R} = \frac{25\pi}{15} = \frac{5\pi}{3}$
Câu 26: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{m -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = m \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + m}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} m \in (0;20);m\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{m + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 1;6;13 ight\}$
Câu 27: Thông hiểu

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1}$ là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra $u_{30} < u_{15}$ . Sai||Đúng
c) Dãy số $6;a; - 2;b$ cấp số cộng khi $a = 2;b = 5$ . Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng $2$ và $189$ . Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là $96$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1}$ là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra $u_{30} < u_{15}$ . Sai||Đúng
c) Dãy số $6;a; - 2;b$ cấp số cộng khi $a = 2;b = 5$ . Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng $2$ và $189$ . Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là $96$ . Đúng||Sai

a) Ta có:
$u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}$
$u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}$
Suy ra:
$u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}$
$= 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên $u_{30} > u_{15}$
c) Ta có: $6;a; - 2;b$ là một cấp số cộng
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.$
d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3$
$\Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96$
Câu 28: Nhận biết
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
- A.
  $2;5;8;11;14...$
- B.
  $2;4;8;10;14...$
- C.
  $1;2;3;4;5;6...$
- D.
  $15;10;5;0; - 5;...$
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: $u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k}$ thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án: $2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại

Xét đáp án: $2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{}$ Chọn

Xét đáp án: $1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ Loại

Xét đáp án: $15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại
Câu 29: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190$ là?
- A.
  n = 2017
- B.
  n = 2019
- C.
  n = 2020
- D.
  n = 2018
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{3} \\ \end{matrix} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{3} \\ \end{matrix} \\ \ldots \\ \end{matrix} \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3} \\ \end{matrix} ight.$

= > u_n = 1 + 1³ + 2³ + … + (n−1)³

Ta lại có 1³ + 2³ + … + (n−1)³

$= (1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^{2} = \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}$

Suy ra $u_{n} = 1 + \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}$

Theo giả thiết ta có $\sqrt{u_{n} - 1} \geq2039190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} \geq 2039190$

$\Leftrightarrow n(n - 1) \geq 4078380 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n \geq 2020 \ \leq - 2019 \\\end{matrix} ight.$

Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.
Câu 30: Vận dụng
Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;15\pi } ight]$ của phương trình: $\tan x - 1 = 0$
- A. 14
- B. 15
- C. 16
- D. 17
Điều kiện xác định $x e \dfrac{\pi}{2}+k\pi,(k \in \mathbb{Z})$
$\begin{matrix} \tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ x \in \left[ {0;15\pi } ight];k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{\pi }{4} + k\pi \leqslant 15\pi \hfill \\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;...;14} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy có tất cả 15 nghiệm.
Câu 31: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là:
- A. $x = k2\pi$
- B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x = k\pi$
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Vận dụng
Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

(2) Dãy số được xác định bởi a_n = n² là một dãy giảm.

(3) Dãy số được xác định bởi a_n = 1 − n² là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

(4) Dãy số được xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là một dãy không tăng, không giảm.
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
$0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

a_n + 1 − a_n = (n+1)² − n² = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = n² là dãy tăng.

a_n + 1 − a_n = (1−(n+1)²) − (1−n²) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = 1 − n² là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

a₁ = − 1 < a₂ = 4 > a₃ = − 9 nên dãy số xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là dãy không tăng không giảm.
Câu 33: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 34: Thông hiểu
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Chọn đáp án đúng?
- A.
  $Q_{1} = 60,3;Q_{3} =67,6$
- B.
  $Q_{1} = 52,7;Q_{3} = 66,5$
- C.
  $Q_{1} = 50,5;Q_{3} =63,2$
- D.
  $Q_{1} = 52,4;Q_{3} =62,5$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Số học sinh
Tần số tích lũy
[45; 50)
5
5
[50; 55)
12
17
[55; 60)
10
27
[60; 65)
6
33
[65; 70)
5
38
[70; 75)
8
46
Ta có:
$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 -5}{12}.5 \approx 52,7$
$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 65,\dfrac{3N}{4} = 34,5,m = 33,f = 5 \\c = 70 - 65 = 5 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{3} = 65 + \frac{34,5 -33}{5}.5 \approx 66,5$
Câu 35: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1) = 2, f(4) = 7$ . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f(x) = 5$ trên đoạn $[-1;4]$ :
- A.
  Vô nghiệm
- B.
  Có ít nhất một nghiệm
- C.
  Có đúng một nghiệm
- D.
  Có đúng hai nghiệm
Ta có: $f(x)=5 =>f(x)−5=0$
Đặt $g(x)=f(x)−5$
Khi đó:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{gathered}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \hfill \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \hfill \\\end{gathered} ight. \hfill \\\Rightarrow g( - 1).g(4) < 0 \hfill \\\end{matrix}$
Vậy phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ hay phương trình $f(x)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ .
Câu 36: Nhận biết
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $A(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n ≥ p$ (p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với $n$ bằng:
- A.
  $n=1$
- B.
  $n=p$
- C.
  $n>p$
- D.
  $n\ge p$
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với $n$ bằng $n=p$
Câu 37: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số $y = f(x) + g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
- B.
  Hàm số $y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
- C.
  Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_{0}$
- D.
  Hàm số $y = f(x) - g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
Xét trường hợp $y = g(x)$ liên tục tại $x_{0}$ và $g\left( x_{0} ight) = 0$ thì hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ không xác định tại $x_{0}$ .
Câu 38: Nhận biết
Biết ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
- A.
  $S = 3$
- B.
  $S = - 3$
- C.
  $S = 4$
- D.
  $S = - 4$
Để ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân thì $m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các giá trị của m là $S = - 3$
Câu 39: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ nên $BG _ { 1 }$ , $AG_{2}$ và $CD$ đồng qui tại $M$ (là trung điểm của $CD$ ) .

Vì $G_{1}G_{2}//AB$ nên $G_{1}G_{2}//(ABD)$ và $G_{1}G_{2}//(ABC)$ .

Lại có $\frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33$
Câu 40: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $u_{3} = 15;d = - 2$ . Tính $u_{n}$
- A.
  $u_{n} = - 2n + 21$
- B.
  $u_{n} = - \frac{3}{2}n +12$
- C.
  $u_{n} = - 3n - 17$
- D.
  $u_{n} = \frac{3}{2}n^{2} -4$
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21$
Câu 41: Nhận biết
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- B.
  Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung.
- C.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia.
- D.
  Hai mặt phẳng luôn có điểm chung.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.
Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.
Câu 42: Nhận biết
Trong mẫu dữ liệu ghép nhóm sau có bao nhiêu nhóm?
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
40
[165; 170)
26
[170; 175)
8
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có 6 nhóm.
Câu 43: Nhận biết
Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Hình vẽ minh họa

Vậy $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Câu 44: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
- A.
  $75$
- B.
  $62$
- C.
  $46$
- D.
  $58$
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
$N = 5 + 12 + 10 + 6 + 5 + 8 = 46$
Câu 45: Vận dụng cao
Hàm số $y = cos^{2}x - \cos x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Ta có:
$y = cos^{2}x - \cos x = \left( \cosx - \frac{1}{2} ight)^{2} - \frac{1}{4}.$
Mà $- 1 \leq \cos x \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} \leq \cos x - \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2}\\\Leftrightarrow 0 \leq \left( \cos x - \dfrac{1}{2} ight)^{2} \leq\dfrac{9}{4} \\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \leq \left( \cos x - \dfrac{1}{2}ight)^{2} - \dfrac{1}{4} \leq 2 \hfill \\\Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \leq y \leq 2\overset{y\in\mathbb{Z}}{\Rightarrow}y \in \left\{ 0;1 ight\} \hfill\\\end{matrix}$
Nên có $3$ giá trị thỏa mãn.