Phương trình
có nghiệm là:
Điều kiện xác định:
Kiểm tra điều kiện ta thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là:
Phương trình
có nghiệm là:
Điều kiện xác định:
Kiểm tra điều kiện ta thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là:
Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết
là hình vuông cạnh
. Các tam giác
là các tam giác cân bằng nhau. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
. Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác
(các điểm
trùng vào đỉnh
). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng
.

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:
Từ giả thiết ta có:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm muộn tháng 10/2023 của 100 nhân viên trong công ty X như sau:
Thời gian (phút) | Số nhân viên |
[0; 5) | 25 |
[5; 10) | 14 |
[10; 15) | x |
[15; 20) | 13 |
[20; 25) | 12 |
[25; 30) | y |
Biết trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5. Xác định giá trị x và y?
Ta có:
Lại có:
Thời gian (phút) | Số nhân viên | Tần số tích lũy |
[0; 5) | 25 | 25 |
[5; 10) | 14 | 39 |
[10; 15) | x | 39 + x |
[15; 20) | 13 | 52 + x |
[20; 25) | 12 | 64 + x |
[25; 30) | y | 64 + x + y |
Ta có: trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5 nên nhóm chứa trung vị là [10; 15)
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
(như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

Ta có:
Cho dãy số (un) xác định bởi
.
Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?
Do 0 < α < π nên
Vậy với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).
Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có .
Ta chứng minh
Thật vậy,
Từ đó ta có
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
bằng:
Ta có:
Do
Cho
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
Ta có thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác
=>
Cho hàm số
. Để hàm số liên tục tại
thì
nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: -14||- 14
Cho hàm số . Để hàm số liên tục tại
thì
nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: -14||- 14
Tập xác định của hàm số là
.
Ta có
Hàm số đã cho liên tục tại
.
Tính giá trị ![]()
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Cho hàm số
. Hàm số
liên tục tại:
Tập xác định
Dễ thấy hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Ta có:
Vậy hàm số liên tục tại x = 0
Tương tự ta có:
Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập số thực.
Cho dãy số (un) với
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Ta có
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được
Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[95; 105) | 9 |
[105; 115) | 13 |
[115; 125) | 26 |
[125; 135) | 30 |
[135; 145) | 12 |
[145; 155) | 10 |
Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm chiều cao nào?
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:
|
Lượng nước (m3) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
[100; 120) |
|
Số hộ gia đỉnh |
6 |
12 |
10 |
7 |
4 |
2 |
Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm nên giá trị đại diện của nhóm này là
.
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u1 = 2; u5 = 22. Ta cần tìm u2; u3; u4
Ta có:
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính giá trị
của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)
(Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có số học sinh đạt điểm (6; 8] nhiều nhất?
Số học sinh lớp 11A đạt điểm từ (6; 8] là:
12 + 10 = 22 (học sinh)
Số học sinh lớp 11B đạt điểm từ (6; 8] là:
10 + 8 = 18 (học sinh)
Số học sinh lớp 11C đạt điểm từ (6; 8] là:
15 + 9 = 24 (học sinh)
Số học sinh lớp 11D đạt điểm từ (6; 8] là:
16 + 11 = 27 (học sinh)
Vậy lớp 11D có nhiều học sinh đạt điểm từ (6; 8] nhất.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính tổng
.
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.
Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điều kiện xác định của hàm số là:
Suy ra tập xác định của hàm số là:
Nên hàm số không liên tục tại các điểm .
Cho tứ diện
. Gọi
tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Một cấp số nhân có
số hạng, công bội q bằng
số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng
. Xác định cấp số nhân?
Theo bài ra ta có:
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.
Tìm chu kì T của hàm số lượng giác ![]()
Hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì
Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì
=> Hàm số tuần hoàn với chu kì là
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang với
là đáy lớn. Biết
. Gọi
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 13
Cho hình chóp có đáy
là hình thang với
là đáy lớn. Biết
. Gọi
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 13
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của
và
trong mặt phẳng
.
Theo hệ quả Talet, ta có:
Ta có:
.
Cho hình bình hành
tâm
. Gọi
lần lượt là các đường thẳng đi qua
và song song với nhau. Mặt phẳng
đi qua điểm
cắt các đường
lần lượt tại
sao cho
. Độ dài cạnh
là: 2
Cho hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là các đường thẳng đi qua
và song song với nhau. Mặt phẳng
đi qua điểm
cắt các đường
lần lượt tại
sao cho
. Độ dài cạnh
là: 2
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
. Mà
nên
Hình thang có
là đường trung bình nên
Tính giới hạn ![]()
Khi ta có:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết
, ta thu được kết quả?
Ta có
Mà un > 0, ∀n nên un + 1 < un, ∀n ≥ 1⇒ dãy (un) là dãy số giảm.
Vì 0 < un ≤ u1 = 2, ∀n ≥ 1 nên dãy (un) là dãy bị chặn trên.
Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.
Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì
Do m > 0 =>
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau đây:
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | x |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Biết
. Tìm cỡ mẫu?
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
5 | 8 | 40 |
15 | 14 | 210 |
25 | x | 25x |
35 | 9 | 315 |
45 | 7 | 315 |
Tổng | N = 38 + x | 880 + 25x |
Theo bài ra ta có giá trị trung bình là:
Vậy số phần tử của mẫu dữ liệu là N = 38 + 12 = 50
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
Vậy A=2.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ
của năm 2022 được cho bởi một hàm số
với
và
. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất
Do
Với rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện
thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình:
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?
Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60
⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)
Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
"Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.
Cho hộp chữ nhật
có
lần lượt là tâm của
. Trung điểm của
lần lượt là
. Xác định hình chiếu của tam giác
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên tứ giác
là hình bình hành.
Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.
Mặt khác thuộc mặt phẳng
nên hình chiếu của
qua phép chiếu song song
lên mặt phẳng
lần lượt là điểm
và
.
Vậy qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng
thì hình chiếu của tam giác
là đoạn thẳng
.
Cho
là các số thực khác
. Tìm điều kiện của
để giới hạn ![]()
Ta có:
Cho hình chóp S.MNP Q có đáy MNP Q là hình chữ nhật. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SMN) và (SPQ) song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét (SMN) và (SPQ) có:
S là điểm chung
Mà
=> với d là đường thẳng đi qua S và song song với
Trong mặt phẳng
, cho tứ giác
có
cắt
tại
,
cắt
tại
,
là điểm không thuộc
. Giao tuyến của
và
là
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên có giao tuyến là đường thẳng
.
Tính tổng sau ![]()
Ta có:
là tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có
.
Nghiệm của phương trình
là
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy