Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Hình vẽ minh họa

Vậy $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Câu 2: Nhận biết
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
- A.
  $\sin^{2}x = \frac{1 -\cos2x}{2}$
- B.
  $\cos^{2}x = \frac{1 +\cos2x}{2}$
- C.
  $\sin x =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
- D.
  $\cos3x = \cos^{3}x -\sin^{3}x$
Ta có:

$\cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x$
Câu 3: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
Câu 4: Thông hiểu
Biết rằng $\frac{\sin\dfrac{\pi}{9} +\sin\dfrac{5\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9}} = \tan\left(\dfrac{m\pi}{n} ight)$ với $m,n\in\mathbb{ N}$ và $\frac{m}{n}$ tối giản. Khi đó kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $n - m = 5$
- B.
  $n - m = 4$
- C.
  $n - m = 2$
- D.
  $n - m = 1$
Ta có:

$\frac{\sin\dfrac{\pi}{9} +\sin\dfrac{5\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9}} =\frac{2\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\left( - \dfrac{2\pi}{9}ight)}{2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left( - \dfrac{2\pi}{9} ight)} =\tan\left( \dfrac{\pi}{3} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1 \\ n = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n - m = 2$
Câu 5: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$ . Giả sử $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AB'D')$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình ngũ giác
- B.
  Hình lục giác
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình tứ giác
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy $(BC’D) // (AB’D’)$

$=> (BC’D) // (AB’D’) // (P). (1)$

Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra $(P) ∩ (ABB’A’) ≡ MN$ , kết hợp với $(AB’D’) ∩ (ABB’A’) ≡ AB’$ suy ra $MN // AB’$ , suy ra N thuộc cạnh BB’.

Tương tự, giả sử $(P) ∩ (B’C’) ≡ P$ suy ra $(P) ∩ (BCC’B’) ≡ NP$ .

Kết hợp với (1) suy ra $NP // BC’$

Tương tự, $(P) ∩ (C’D’) ≡ Q$ sao cho $PQ // B’D’$ ; $(P) ∩ DD’≡ G$ sao cho $QG // C’D$ ; $(P) ∩ AD ≡ H$ sao cho $GH // AD’$ .

Từ đó suy ra thiết diện là lục giác $MNPQGH$ .
Câu 6: Nhận biết
$\lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  $+\infty$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{4}{7}$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm a để hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\m^{2} + 3m\ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tìm m để hàm số liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $m = 1;m = - 4$
- B.
  $m = 0;m = 1$
- C.
  $m = - 4;m = - 1$
- D.
  $m = - 4;m = 0$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4$

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $m^{2} + 3m = 4 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 8: Thông hiểu

Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:

Số tiền (nghìn đồng)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 500)

[500; 550)

[550; 600)

Số hộ gia đình

6

14

21

17

2

Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

Đáp án: 471 nghìn đồng.

Đáp án là:

Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:

Số tiền (nghìn đồng)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 500)

[500; 550)

[550; 600)

Số hộ gia đình

6

14

21

17

2

Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

Đáp án: 471 nghìn đồng.

Ta có giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $375;\ \ 425;\ \ 475;\ \ 525;\ \ 575$

Trung bình cộng của bảng số liệu trên là:

$\frac{375 \times 6 + 425 \times 14 + 475 \times 21 + 525 \times 17 + 575 \times 2}{60}$

$= 470,8(3) \simeq 471$ (nghìn đồng).
Câu 9: Thông hiểu
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện X
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
Tần số
8
12
14
10
6
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu đã cho?
- A.
  $27,05$
- B.
  $26,75$
- C.
  $27,8$
- D.
  $26,34$
Đại diện X
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
[25; 30)
[30; 35)
Tần số
8
12
14
10
6
Tần số tích lũy
8
20
34
44
50
Ta có: $\frac{3.N}{4} = \frac{3.50}{4} =37,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [25; 30)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 25;m = 34,f = 10;c =5$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 25 + \dfrac{37,5 - 34}{10}.5 =26,75$
Câu 10: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
- B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
- C. Hai đường thẳng song song với nhau thì có thể chéo nhau.
- D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."
Câu 11: Nhận biết
Điểm kiểm tra của một nhóm học sinh được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
(20; 30]
1
(30; 40]
1
(40; 50]
10
(50; 60]
11
(60; 70]
5
(70; 80]
2
Số phần tử của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
- A.
  35
- B.
  42
- C.
  40
- D.
  30
Ta có:
Điểm
Số học sinh
Tần số tích lũy
(20; 30]
1
1
(30; 40]
1
2
(40; 50]
10
12
(50; 60]
11
23
(60; 70]
5
28
(70; 80]
2
30
Tổng
N = 30

Vậy số phần tử mẫu là N = 30
Câu 12: Thông hiểu

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

a) Xét dãy số đã cho ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$ nên dãy số $\left( u_{n} ight)$ không tăng không giảm.

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ đúng bằng chứng minh quy nạp.

c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng $u_{1} = - 2020$

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

$u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)$

$\Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n$

d) Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: $S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm của các đường thẳng $AD,AB,CD$ lần lượt là $H,K,T$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $T$ .
- A.
  Trung điểm $AH$
- B.
  Trung điểm $BC$
- C.
  Giao điểm của $HT$ và $BC$
- D.
  Giao điểm của $HK$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ .

Ta có: $HT//AC$ (do $HT$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ )

$HT \subset (HKT)$

$AC \subset (ABC)$

$K \in (HKT) \cap (ABC)$

Vậy $(HKT) \cap (ABC) = KO//HT//AC$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính giới hạn $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack$
- A.
  $\frac{11}{8}$
- B.
  $\frac{15}{2}$
- C.
  $5$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

$= \frac{1}{3}\left\lbrack \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} ight) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n + 3} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)$

$= \frac{1}{3}\left( \frac{11}{6} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)$

Do đó $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack = \frac{11}{8}$
Câu 15: Thông hiểu
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
- A.
  $y = \cot x$
- B.
  $y = \frac{\sin x + 1}{\cosx}$
- C.
  $y = tan^{2}x$
- D.
  $y = \left| \cot xight|$
Thực hiện kiểm tra đáp án ta thấy:
Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Hàm số $y = \frac{\sin x + 1}{\cosx}$ không chẵn không lẻ
Hàm số $y = tan^{2}x$ và hàm số $y = \left| \cot x ight|$ là hàm số chẵn.
Câu 16: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{15} = 34.$
- B.
  $u_{15} = 45.$
- C.
  $u_{13} = 31.$
- D.
  $u_{10} = 35.$
Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$
Câu 17: Thông hiểu

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ .

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ (do $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1$ và $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ ).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty$

Do $\lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3$ và $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty$ .

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0$

Câu 18: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 19: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 20: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I\in AD,J \in BC$ sao cho $AI = 2DI;BJ= 2CJ$ . Giả sử $(\beta)$ là mặt phẳng qua $IJ$ song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình chữ nhật
Giả sử $(\beta)$ cắt các mặt của tứ diện $(ABC)$ và $(ABD)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(\beta) \cap (ABC) = JH \\(\beta) \cap (ABD) = IK \\(ABC) \cap (ABD) = AB \\(\beta)//AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow JH//IK//AB$
Theo định lí Ta – lét ta có:
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{HJ}{AB} = \dfrac{CJ}{CB} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HJ =\dfrac{1}{3}AB \\\dfrac{IK}{AB} = \dfrac{DJ}{DA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow KI =\dfrac{1}{3}AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow HJ = KI$
=> $HIKJ$ là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ là hình bình hành $HIKJ$ .
Câu 21: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Tất cả các giá trị của a để (u_n) là dãy số tăng là?
- A.
  a < 0
- B.
  a ≤ 0
- C.
  a > 0
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 1 − u_n = (au_n+1) − (au_n − 1+1) = a(u_n−u_n − 1)

Áp dụng, ta có u₂ = au₁ + 1 = a + 1 ⇒ u₂ − 1 = a ⇒ u₂ − u₁ = a

⇒ u₃ − u₂ = a(u₂−u₁) = a²

⇒ u₄ − u₃ = a(u₃−u₂) = a³

⇒ u_n + 1 − u_n = aⁿ > 0

Để dãy số (u_n) tăng thì u_n > u_n − 1 > … > u₂ > u₁ ⇒ a > 0
Câu 22: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = 9$ . Khi đó số $2018$ là số hạng thứ mấy trong dãy?
- A.
  $223$
- B.
  $225$
- C.
  $224$
- D.
  $226$
Theo bài ra ta có:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 2018 = 2 + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow n = 225$
Câu 23: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của một nhóm học sinh lớp 11 như sau:
Số học sinh có chiều cao không vượt quá 168 cm so với tất cả các học sinh chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $75\%$
- B.
  $33,3\%$
- C.
  $66,7\%$
- D.
  $68\%$
Số học sinh tham gia đo chiều cao là 36 học sinh
Số học sinh cao không quá 168cm là: 9 + 15 = 24 học sinh chiếm $\frac{24.100\%}{36} \approx 66,7\%$
Câu 24: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ . Giá trị của M.n là:
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;2brack$ .

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

Vậy M.n = -3
Câu 25: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2} + ... + \left( \sqrt{2} ight)^{n}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  $\lim u_{n} = - \infty$
- B.
  $\lim u_{n} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$
- C.
  $\lim u_{n} = + \infty$
- D.
  Không tồn tại giới hạn
Ta có:

$\sqrt{2};\left( \sqrt{2} ight)^{2};...;\left( \sqrt{2} ight)^{n}$ lập thành một cấp số nhân có nên

$u_{n} = \sqrt{2}.\frac{1 - \left( \sqrt{2} ight)^{n}}{1 - \sqrt{2}}$

$= \left( 2 - \sqrt{2} ight).\left\lbrack \left( \sqrt{2} ight)^{n} - 1 ightbrack$

$\Rightarrow \lim u_{n} = + \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix} a = 2 - \sqrt{2} > 0 \\ q = \sqrt{2} > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 26: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào sau đây?
- A.
  Điểm A
- B.
  Điểm B
- C.
  Trọng tâm tam giác ABD
- D.
  Trung điểm của đường trung tuyến kẻ từ D của tam giác ABD
Gọi H là trung điểm của tam giác AB.
M, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABD.
Khi đó ta có: $\frac{{HM}}{{HC}} = \frac{{HQ}}{{HD}} = \frac{1}{3}$
Theo định lí Ta - lét ta có: $MQ//CD$
Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.
Câu 27: Nhận biết
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành:
- A.
  Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
- B.
  Một đường thẳng.
- C.
  Thành hai đường thẳng song song.
- D.
  Ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau.
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng đôi một song song.

Vậy các đáp án đúng là:

Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.

Một đường thẳng.

Thành hai đường thẳng song song.
Câu 28: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. 3
Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$
$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$
Do đó
$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$
+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .
+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là
$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn ${u_2} = 6;{u_4} = 24$ . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
- A. ${3.2^{12}} - 3$
- B. ${2^{12}} - 1$
- C. ${3.2^{12}} - 1$
- D. ${3.2^{12}}$
Giả sử công bội của cấp số nhân là q
Ta có:
=> ${u_4} = {u_2}.{q^2} \Rightarrow q = \pm 2$
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2
Ta có: ${S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} ight)$
Câu 30: Nhận biết
Cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}$ . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
- A.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = 2$ .
- B.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = - 2$ .
- C.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = - 2$
- D.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = 2$ .
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra $u_{1} = \frac{3}{5}$ và $q = 2$ .
Câu 31: Vận dụng cao
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{8} +\frac{\pi}{4} ight) + 12$ . Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
- A.
  t = 22 (h)
- B.
  t = 15 (h)
- C.
  t = 14 (h)
- D.
  t = 10 (h)
Ta có:
$\begin{matrix} h = 3\cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 12 \leqslant 3 + 12 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi $\cos\left( \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} ight)= 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Rightarrowt = 16k - 2$
Vì $0 \leq t \leq 24 \Rightarrow k = 1\Rightarrow t = 14$
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Câu 32: Vận dụng
Dân số của thành phố A hiện nay là 4 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 1%. Hỏi dân số của thành phố A sau 5 năm nữa sẽ là bao nhiêu?
- A.
  $4,2$ triệu người
- B.
  $4,1$ triệu người
- C.
  $4,5$ triệu người
- D.
  $4,4$ triệu người
Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu $u_{n}$ là số dân của thành phố A sau n năm.

Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

$u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,01 = u_{n - 1}.1,01;(n \geq 2)$

Ta có: $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu là $u_{1} = 4 + 4.0,01 = 4.1,01$ và công bội $q = 1,01$

$\Rightarrow u_{n} = 4.1,01.(1,01)^{n - 1} = 4.(1,01)^{n};(n \geq 1)$

=> Số dân của thành phố A sau 5 năm là: $\Rightarrow u_{5} = 4.(1,01)^{5} = 4,2$ (triệu người).
Câu 33: Nhận biết
Nghiệm của phương trình $\cos x = \cos\frac{\pi}{4}$ là:
- A.
  $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- D.
  $x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Ta có $\cos x = \cos\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Câu 34: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n), biết $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{2} \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}},n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (u_n) ?
- A.
  Dãy số (u_n) giảm và bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) giảm và không bị chặn
- C.
  Dãy số (u_n) tăng và bị chặn
- D.
  Dãy số (u_n) tăng và không bị chặn
Ta có $u_{1} = \sqrt{2};u_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}};u_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}};$

$\ldots;u_{n} = \sqrt{2+ \sqrt{2} + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}$

Do u_n + 1 − u_n > 0 nên (u_n) là dãy số tăng.

Lại có $\sqrt{2} < u_{n} \leq 2$ suy ra dãy số bị chặn.
Câu 35: Nhận biết
Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A.
  Hai đường thẳng cắt nhau
- B.
  Ba điểm phân biệt
- C.
  Một điểm và một đường thẳng
- D.
  Bốn điểm không đồng phẳng
Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 36: Vận dụng
Tổng các nghiệm của phương trình $\cos\left( \sin x ight) = 1$ trên đoạn $(0;2\pibrack$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $\pi$
- C.
  $2\pi$
- D.
  $3\pi$
Phương trình tương đương với $\sin x = k2\pi;k\mathbb{\in Z}$

Vì $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên k = 0

Khi đó phương trình trở thành $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi;\left( l\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x \in (0;2\pibrack$ nên $x \in \left\{ 0;\pi ight\}$

=> Tổng các nghiệm của phương trình là: $0 + \pi = \pi$
Câu 37: Thông hiểu
Giá trị của $C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 4$
- D.
  1
$C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}$

$= \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}$

$= \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}$
Câu 38: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}$ .
- A.
  $- 4$
- B.
  $5$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{- 2}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(x + 2)^{2}\left( 2x^{2} + x - 1 ight)}{(x + 2)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\left\lbrack 2x^{2} + x - 1 ightbrack = 5$
Câu 39: Nhận biết
Chu kì của hàm số $y = 3\sin2x$ là số nào sau đây?
- A.
  $0$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $4\pi$
- D.
  $\pi$
Chu kì của hàm số là $T = \frac{2\pi}{2} =\pi$
Câu 40: Nhận biết
Cho $c$ là hằng số, $k$ là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = + \infty$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương.
Câu 41: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 42: Nhận biết
Cho dãy số $u_{n} = \frac{n^{2} + 2n - 1}{n + 1}$ . Giá trị u₁₁ là
- A.
  $u_{11} = \frac{182}{12}$
- B.
  $u_{11} = \frac{1142}{12}$
- C.
  $u_{11} = \frac{1422}{12}$
- D.
  $u_{11} = \frac{71}{6}$
Ta có $u_{11} = \frac{11^{2} + 2.11 - 1}{11 + 1} = \frac{71}{6}$
Câu 43: Thông hiểu
Giải phương trình $\cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

PT $\Leftrightarrow \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\frac{5\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = - \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 44: Nhận biết
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:

Lượng nước (m³)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

[100; 120)

Số hộ gia đỉnh

6

12

10

7

4

2

Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
- A.
  $30$ .
- B.
  $40$
- C.
  $50$ .
- D.
  $60$ .
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm $\lbrack 20;40)$ nên giá trị đại diện của nhóm này là $30$ .
Câu 45: Vận dụng
Biết $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\ 1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\lbrack 0;6brack$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $m \in ( - \infty;2)$
- B.
  $m \in \lbrack 2;3)$
- C.
  $m \in (3;5)$
- D.
  $m \in \lbrack 5; + \infty)$
Dễ thấy $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $(0;4)$ và $(4;6)$ . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn $\lbrack 0;6brack$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 4;x = 0;x = 6$

Tức là ta cần có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( * ight)$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó (*) trở thành $1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2$