Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
liên tục tại
.
Tập xác định chứa
Theo giả thiết ta có:
Giá trị của giới hạn
bằng:
Ta có:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a
=>
Tương tự:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b
=>
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính
.
Điều kiện xác định
Ta có:
=> Phương trình tương đương
=>
Người ta kiểm tra chiều cao của các cây thân gỗ trong rừng (đơn vị: mét), kết quả được ghi trong bảng sau:
7,3 | 7,8 | 7,5 | 6,6 | 8,5 | 8,3 | 8,3 |
7,5 | 8,4 | 8,6 | 7,4 | 8,2 | 8,0 | 8,1 |
8,7 | 8,2 | 8,8 | 8,1 | 7,7 | 7,8 | 8,5 |
7,0 | 7,9 | 6,9 | 9,4 | 9,0 | 8,0 | 8,7 |
8,9 | 7,6 | 8,0 | 8,2 | 7,9 | 7,7 | 7,2 |
Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm. Biết mẫu số liệu được chia thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài như nhau. Khi đó nhóm chiếm tỉ lên cao nhất là:
Khoảng biến thiên:
Ta chia thành các nhóm sau:
Đếm số giá trị của mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm như sau:
Chiều cao (m) | Số cây |
[6,5; 7) | 2 |
[7; 7,5) | 4 |
[7,5; 8) | 9 |
[8; 8,5) | 11 |
[8,5; 9) | 7 |
[9; 9,5) | 2 |
Từ bảng số liệu ta thấy nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất là: [8,0; 8,5).
Tìm giới hạn ![]()
Ta có:
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
Cho hình hộp
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành, ta có
Vì là hình bình hành, ta có
Mặt khác:
Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là:
.
Cho hình lăng trụ
có đáy
và
là hình bình hành. Lấy trung điểm của các cạnh
lần lượt là các điểm
. Xét các khẳng định sau:
a)
cắt
.
b)
cắt
tại trung điểm của
.
c)
.
Số khẳng định đúng là:
Hình vẽ minh họa
Mặt phẳng cắt
tại trung điểm của
.
Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là:
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại
?
Xét hàm số hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.
Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?
Theo bài ra ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
làm trung điểm. Biết rằng
. Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Giới hạn
bằng
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
,
,
,
lần lượt là trung điểm của các cạnh bên
,
,
,
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Tứ giác là hình bình hành.
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Ta có:
M là trọng tâm tam giác BCD =>
ABCD là hình bình hành =>
=>
Xét tam giác SAC có:
Theo định lí Ta - lét suy ra
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết
, ta thu được kết quả?
Ta có un > 0, ∀n ≥ 1
⇒ dãy (un) là dãy số giảm.
Mặt khác 0 < un < 1⇒ dãy (un) là dãy bị chặn.
Với
là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Biết rằng
khi
và
. Tính
.
Ta có:
Vì nên
Khi đó =>
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy
là hình thang cân với cạnh bên
, đáy
. Mặt phẳng
song song với
và cắt các cạnh
tại M sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình chóp
?
Xác định công thức tổng quát của dãy số
.
Ta có:
Nhận thấy
Dự đoán
Ta chứng minh bằng quy nạp
Trước hết đúng với
Giả sử đúng khi
. Khi đó
Ta có:
Mặt khác ta có . Do đó
Vậy
Vậy (*) đúng với . Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
a) Mức doanh thu trung bình của cửa hàng là 8,4 (triệu đồng) Sai||Đúng
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là:
Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
(đúng)
d) Có hai nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu và giá trị của mốt đó bằng 8. Sai||Đúng
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
a) Mức doanh thu trung bình của cửa hàng là 8,4 (triệu đồng) Sai||Đúng
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là (đúng)
d) Có hai nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu và giá trị của mốt đó bằng 8. Sai||Đúng
Ta có:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
|
Giá trị đại diện |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
Do đó doanh thu trung bình của cửa hàng là:
(triệu đồng)
Vậy doanh thu trung bình của cửa hàng là 9,4 triệu đồng.
Ta có:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
16 |
19 |
20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Có hai nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là [7; 9) và [9; 11) do đó:
Xét nhóm [7; 9) ta có:
Xét nhóm [9; 11) ta có:
Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9.
Tính tổng
.
Ta có:
Cho tứ diện
có độ dài tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và tứ diện
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
Ta có:
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện
Tam giác ABD đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Tam giác ABC đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Gọi H là trung điểm của CD
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) ![]()
(b) ![]()
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc " sai vì
là tập con thực sự của
nên tồn tại số nguyên dương không thuộc
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc " sai vì số nguyên âm không thuộc
.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số
thỏa mãn điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng
?
Ta có:
Hàm số y = tan x đồng biến và nhận giá trị âm trên khoảng
=> sai
Trên khoảng hàm số y = sin x đồng biến và nhận giá trị âm.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Vì hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π
Nên đáp án: “Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2π” là đáp án sai.
Lượng nước tiêu thụ trong một tháng của các hộ gia đình trong một khu chung cư được ghi lại như sau:
|
Lượng nước (m3) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
[100; 120) |
|
Số hộ gia đỉnh |
6 |
12 |
10 |
7 |
4 |
2 |
Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là.
Vì nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm nên giá trị đại diện của nhóm này là
.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
là:
Ta có:
=> M = 12; m = 4
Cho tứ diện
. Trung điểm các cạnh
lần lượt là các điểm
. Giả sử
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> là đường thẳng song song với
và
.
=> song song với
Giải phương trình
?
Phương trình
.
Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Xét dãy số
Ta có:
Vậy dãy số là một cấp số cộng với
Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:
Ta có: mà
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 11
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 11
Goi là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó: ,
,
,
,
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm
Đổi số đo của góc
sang radian được kết quả là:
Ta có:
Với giá trị nào của m thì phương trình
có nghiệm:
Ta có:
Do
Vậy
bằng
Ta có:
Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là
và diện tích toàn phần là
. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.
Ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là .
Thể tích khối hộp chữ nhật:
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là
Theo giả thiết ta có:
Với hoặc
thì kích thước của hình hộp chữ nhật là
=> Tổng các kích thước là 17,5cm.