Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là:
Hàm số
liên tục trên:
Điều kiện
Tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."
Tìm
để các số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?
Ta có
Vậy
Cho dãy số
xác định bởi công thức
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Với ta thấy
Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> Hàm số gián đoạn tại
Ta lại có:
=> Hàm số liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và
.
Cho các bảng số liệu sau:
Bảng A | Số khách hàng | [35; 40) | [40; 45) | [45; 50) | [50; 55) |
Số ngày | 5 | 3 | 2 | 4 | |
Bảng B | Điểm | [0; 2,5) | [2,5; 5) | [5; 7,5) | [7,5; 10) |
Số học sinh | 4 | 6 | 10 | 12 | |
Bảng C | Chiều cao | [120; 150) | [150; 180) | [180; 210) | [210; 240) |
Số cây | 15 | 20 | 31 | 18 | |
Bảng D | Số sách | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) |
Số khách hàng | 12 | 5 | 7 | 10 |
Chọn bảng số liệu có độ dài nhóm số liệu bằng 10?
Bảng A có độ dài nhóm số liệu là: 5
Bảng B có độ dài nhóm số liệu là: 2,5
Bảng C có độ dài nhóm số liệu là: 30
Bảng D có độ dài nhóm số liệu là: 10
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
.
Ta có
.
Tìm tham số
để hàm số
liên tục tại
.
Hàm số xác định trên .
Ta có .
và
.
Hàm số đã cho liên tục tại khi và chỉ khi
.
Phương trình
có tổng các nghiệm trên
bằng:
Điều kiện xác định:
Do nên phương trình đã cho tương đương với
Vì
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
Ta có:
Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486
=>
=>
=> =>
Vậy công bội q của cấp số nhân đã cho là q = 3
Rút gọn biểu thức
với ![]()
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.
Ta có:
=>
=> Mx cắt SC tại N.
Ta có:
=>
=> Qx cắt SD tại P
Tứ giác BCDE là hình bình hành
=> CD // BE // MQ
=> CD // (α).
Ta có:
=>
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.
bằng:
Ta có:
Tính giới hạn của hàm số
.
Ta có:
Quan sát bảng sau và tìm khoảng chứa tứ phân vị thứ ba:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 |
Ta có:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | Tổng |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 | N = 59 |
Tần số tích lũy | 8 | 20 | 42 | 59 |
|
Ta có:
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức
Do đó
Dấu bằng xảy ra khi
Tìm tứ phân vị thứ nhất trong bảng dữ liệu dưới đây:
Nhóm | Tần số |
[0; 20) | 16 |
[20; 40) | 12 |
[40; 60) | 25 |
[60; 80) | 15 |
[80; 100) | 12 |
[100; 120) | 10 |
Tổng | N = 90 |
Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
Ta có:
Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
[0; 20) | 16 | 16 |
[20; 40) | 12 | 28 |
[40; 60) | 25 | 53 |
[60; 80) | 15 | 68 |
[80; 100) | 12 | 80 |
[100; 120) | 10 | 90 |
Tổng | N = 90 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Khi đó ta có:
Tứ phân vị thứ nhất được tính như sau:
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được
vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Một bánh xe của người đi xe ô tô quay được vòng trong
giây. Hỏi trong thời gian đó, bánh xe quay được góc có số đo (rad) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 6,28
Số đo góc quay của vòng là
.
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 15 |
[155; 160) | 10 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 27 |
[170; 175) | 5 |
[175; 180) | 3 |
Giá trị trung bình của đối tượng bằng 162,75||163,14||164,02||160,58
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 15 |
[155; 160) | 10 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 27 |
[170; 175) | 5 |
[175; 180) | 3 |
Giá trị trung bình của đối tượng bằng 162,75||163,14||164,02||160,58
Ta có:
Đối tượng | Giá trị đại diện | Tần số |
[150; 155) | 152,5 | 15 |
[155; 160) | 157,5 | 11 |
[160; 165) | 162,5 | 39 |
[165; 170) | 167,5 | 27 |
[170; 175) | 172,5 | 5 |
[175; 180) | 177,5 | 3 |
Giá trị trung bình của đối tượng là:
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho cấp số cộng
có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát
của cấp số cộng.
Theo bài ra ta có:
Dãy số đã cho là cấp số cộng
=>
=>
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A | Tần số |
[0; 10) | 6 |
[10; 20) | 24 |
[20; 30) | x |
[30; 40) | 16 |
[40; 50) | 9 |
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng 24.
Ta có:
Đại diện A | Tần số | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 6 | 6 |
[10; 20) | 24 | 30 |
[20; 30) | x | 30 + x |
[30; 40) | 16 | 46 + x |
[40; 50) | 9 | 55 + x |
| N = 55 + x |
|
Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là
Cho tứ diện
. Gọi
tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
“Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
“Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ra chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
“Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì sẽ không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang có cạnh đáy là
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với AB.
Xét tính bị chặn của dãy số
, ta thu được kết quả?
Ta có
Dãy (un) bị chặn.
Cho mặt phẳng
và hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét phương án “Nếu và
thì
” ta có:
Nếu thì
hoặc
chéo
, vậy phương án sai.
Xét phương án “Nếu và
thì
.” ta có:
Nếu thì
hoặc
, vậy phương án sai.
Xét phương án “Nếu và
thì
.” ta có:
Nếu , vậy phương án đúng.
Xét phương án “Nếu và
thì
” ta có:
Nếu thì
hoặc
chéo
hoặc
cắt
, vậy phương án sai.
Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa).
Ta có: , do đó đẳng thức
sai.
Cho hình chóp tứ giác
,
. Giả sử mặt phẳng
bất kì cắt các cạnh
lần lượt tại
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hình vẽ minh hoạ
Ta thấy:
=> Các đường thẳng đồng quy.
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
=> Dãy số là cấp số cộng.
Tính giới hạn: ![]()
Ta có:
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa mãn
?
Ta có:
Do đó:
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cường độ dòng điện trong một đoạn mạch là
(A). Tại thời điểm
thì cường độ trong mạch có giá trị bằng.
Thay vào biểu thức cường độ dòng điện ta được:
.
Dãy số có các số hạng cho bởi
có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án và
Ta có: ở các đáp án
và
Xét đáp án
Xét đáp án
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm
thuộc cạnh
, điểm
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng qua
và song song với
. Đúng||Sai
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có:
Suy ra , với
là đường thẳng qua
và
.
Hình vẽ minh họa
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có: .
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và
:
Ta có .
Xét tam giác , ta có
là đường trung bình
.
Khi đó:
Suy ra là đường thẳng qua
và
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Tập nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
=> Phương trình vô nghiêm.
Giả sử
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó
bằng:
Điều kiện
Theo tính chất của cấp số nhân ta có: