Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

    Vậy a song song d

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

    Ta có 2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}

    = \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}

    = cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x

    Vậy S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0 có nghiệm?

     Phương trình \left( {m + 1} ight)\sin x + 2 - m = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 1} ight)\sin x = m - 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{m - 2}}{{m + 1}}

    Để phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - \,1 \leqslant \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \leqslant 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant 1 + \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \hfill \\ \frac{{m - 2}}{{m + 1}} - 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2m - 1}}{{m + 1}} \geqslant 0 \hfill \\ - \frac{3}{{m + 1}} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ m < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ m > - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \geqslant \frac{1}{2}

    là giá trị cần tìm.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}. Giá trị u_{21} là

    Ta có: u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính giá trị của biểu thức B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5} +\sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5} là:

    Ta có:

    B = \cos\frac{\pi}{30}.\cos\frac{\pi}{5}+ \sin\frac{\pi}{30}.\sin\frac{\pi}{5}

    B = \cos\left( \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{5} ight) = \cos\left( - \frac{\pi}{6} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}

  • Câu 7: Nhận biết

    Chiều cao một số cây được ghi lại trong bảng số liệu dưới đây:

    Chiều cao h (cm)

    Số cây

    130 < h ≤ 140

    3

    140 < h ≤ 150

    7

    150 < h ≤ 160

    5

    Nhóm chứa trung vị là:

    Ta có:

    Chiều cao h (cm)

    Số cây

    Tần số tích lũy

    130 < h ≤ 140

    3

    3

    140 < h ≤ 150

    7

    10

    150 < h ≤ 160

    5

    15

    Tổng

    N = 15

     

    Ta có: \frac{N}{2} = \frac{15}{2} =7,5

    => Nhóm chứa trung vị là: 140 < h ≤ 150

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b} với k\mathbb{\in Z} và a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018. Tính S = a - b.

    Điều kiện xác định \sin 2^{2018}x eq 0

    Ta có:

    \cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}

    = \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}

    => Phương trình tương đương

    \Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x

    \Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    => \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = \lim_{x ightarrow- \infty}\dfrac{- x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{- \sqrt{4}}{1} = -2

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}) với u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1

    => (u_{n}) là một cấp số nhân với công bội là q = 5

    Số hạng đầu tiên của dãy là: {u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Khảng định đúng là: "Giao tuyến của (∝), (β) song song với d".

  • Câu 12: Thông hiểu

    Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

    Điểm

    [0; 20)

    [20; 40)

    [40; 60)

    [60; 80)

    [80; 100)

    Số học sinh

    5

    9

    12

    10

    6

    a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

    b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là \lbrack 60;80). Sai||Đúng

    c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \lbrack 20;40). Đúng||Sai

    d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là 52;71. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

    Điểm

    [0; 20)

    [20; 40)

    [40; 60)

    [60; 80)

    [80; 100)

    Số học sinh

    5

    9

    12

    10

    6

    a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

    b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là \lbrack 60;80). Sai||Đúng

    c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \lbrack 20;40). Đúng||Sai

    d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là 52;71. Sai||Đúng

    a) Điểm trung bình của lớp 11A là:

    \overline{x} = \frac{5.10 + 9.30 + 12.50 + 10.70 + 6.90}{42} \approx 51,43

    b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là \lbrack 40;60)

    c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \lbrack 20;40)

    Ta có:

    Điểm

    [0; 20)

    [20; 40)

    [40; 60)

    [60; 80)

    [80; 100)

     

    Số học sinh

    5

    9

    12

    10

    6

    N = 42

    Tần số tích lũy

    5

    14

    26

    36

    42

     

    Cỡ mẫu N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 31,5

    => Nhóm chứa Q_{3} là [60; 80)

    (Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)

    Khi đó ta tìm được các giá trị:

    \Rightarrow l = 60;m = 26,f = 10;c = 80 - 60 = 20

    \Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 =71

    Mốt M_{0} thuộc nhóm \lbrack 40;60)

    Ta có:

    Điểm

    [0; 20)

    [20; 40)

    [40; 60)

    [60; 80)

    [80; 100)

    Số học sinh

    5

    9

    12

    10

    6

     

    		 f_{0} f_{1} f_{2}

     

    \Rightarrow l = 40;f_{0} = 9;f_{1} = 12;f_{2} = 10;c = 60 - 40 = 20

    Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:

    M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{\left( f_{1} - f_{0} ight) + \left( f_{1} - f_{2} ight)}.c

    \Rightarrow M_{0} = 40 + \frac{12 - 9}{12 - 9 + 12 - 10}.20 = 52

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

    Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

    Ta có y = 1 + \left| \cos x ight| \geq1 và y = 1 + \left| \sin x ight|\geq 1 nên loại C và D.

    Ta thấy tại x = \pi thì y = 0. Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa mãn.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Mặt phẳng (\alpha) đi qua tâm của hình lập phương và song song với (ABC). Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD'. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là tâm của hình lập phương

    => I là trung điểm của AC’.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

    Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    => Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) và tứ diện AB'CD' là hình thoi MNPQ cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Mặt khác NQ = MP = BC = a

    Diện tích hình thoi MNPQ là S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Phương trình lượng giác \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) có nghiệm là:

     \begin{matrix} \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} ight) = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{3} = - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nghiệm phương trình là: \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} ight.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}};\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} \geq 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \geq \sqrt{6} \\ \end{matrix} ight.

    Ta chứng minh quy nạp u_{n} \leq 2\sqrt{3};u_{1} \leq 2\sqrt{3};u_{k} \leq 2\sqrt{3}

    u_{k + 1} = \sqrt{6 + u_{k + 1}} \leq \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} \leq \sqrt{6 + 6} = 2\sqrt{3}

    Cách khác:

    Ta có: u_{2} = \sqrt{12} > 3 > \frac{5}{2} > 2 nên loại các đáp án \sqrt{6} \leq u_{n} < \frac{5}{2}; \sqrt{6} \leq u_{n} < 3; \sqrt{6} \leq u_{n} < 2

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho bảng dữ liệu dưới đây:

    Khoảng dữ liệu

    Tần số

    [0; 20)

    16

    [20; 40)

    x

    [40; 60)

    25

    [60; 80)

    y

    [80; 100)

    12

    [100; 120)

    10

    Tổng

    N = 90

    Biết số trung bình là 56. Tính giá trị biểu thức T = 2x – y.

    Ta có:

    Dữ liệu đại diện

    Tần số

    Tích các số liệu

    10

    16

    160

    30

    x

    30x

    50

    25

    1250

    70

    y

    70y

    90

    12

    1080

    110

    10

    1100

    Tổng

    63 + x + y

    3590 + 30x + 70y

    Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:

    \overline{x} = 56

    \Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56

    \Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56(*)

    Mặt khác 63 + x + y = 90 \Rightarrow x +y = 27(**)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 27 \\3x + 7y = 145 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 11 \\y = 16 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2x - y = 6

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Giả sử (\alpha) là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình chóp S.ABCD không thể tạo thành hình nào dưới đây?

    Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

    Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng (\alpha) tùy ý với các mặt của hình chóp S.ABCD.

    Vậy đáp án là hình lục giác.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:

    Doanh thu

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    [11; 13)

    [13; 15)

    Số ngày

    2

    7

    7

    3

    1

    Tính giá trị Q_{3} của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?

    Ta có:

    Doanh thu

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    [11; 13)

    [13; 15)

     

    Số ngày

    2

    7

    7

    3

    1

    N = 20

    Tần số tích lũy

    2

    9

    16

    19

    20

     

    Cỡ mẫu N = 20 \Rightarrow \frac{3N}{4} =15

    => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)

    (Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)

    Do đó: l = 9;m = 9,f = 7;c = 11 - 9 =2

    Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

    \Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 9 + \frac{15 - 9}{7}.2 = \frac{75}{7}\approx 10,7

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.

    Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Có bao nhiêu đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng chứa đường chéo AC_{1} của hình lập phương?

    Hình vẽ minh họa

    Có 6 đường thẳng là BB_{1},DD_{1},A_{1}D_{1},A_{1}B_{1},CB,CD.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\k + 1\ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.liên tục tại x = 1. Xác định giá trị thực của tham số k.

    Tập xác định D = \lbrack 0; + \infty)

    Theo giả thiết ta có:

    k + 1 = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)

    \Rightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)

    \Leftrightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} ight)

    \Leftrightarrow k + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}

  • Câu 23: Nhận biết

    Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.

    Khoảng chiều cao (cm)

    [150; 155)

    [155; 160)

    [160; 165)

    [165; 170)

    Số học sinh

    12

    13

    9

    10

    Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?

    Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 4 nhóm.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}. Hỏi số \frac{1}{4096} là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

    Ta có: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096} là cấp số nhân với \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}

    \Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M là trung điểm của AB, BC \cap (MA'C') = \left\{ N ight\}. Tính tỉ số độ dài hai cạnh MN và A'C'.

    Hình vẽ minh họa

    Ba mặt phẳng phân biệt (ABCD), (ACC’A’), (MA’C’) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến AC, A’C’ và MN.

    Theo tính chất hình hộp ta có AC // A’C’ nên MN // AC // A’C’

    Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

    Vậy MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C' hay \frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cường độ dòng điện trong một đoạn mạch là i = \sqrt{2}sin(100\pi t + \alpha) (A). Tại thời điểm t = \frac{1}{100}s thì cường độ trong mạch có giá trị bằng.

    Thay t = \frac{1}{100}s vào biểu thức cường độ dòng điện ta được:

    i = \sqrt{2}sin\left( 100\pi \cdot \frac{1}{100} + \alpha ight) = \sqrt{2}sin(\pi + \alpha) = - \sqrt{2}sin(\alpha)(A).

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho dãy số (un) xác định bởi {u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight). Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?

     Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 28: Vận dụng

    Biểu diễn hai nghiệm của phương trình \sqrt{3}\cos x - \sin x = - 1 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác như sau:

    Tính AB - OI với I là hình chiếu vuông góc của B trên OA bằng:

    \sqrt{3}\cos x - \sin x = - 1

    \Rightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    => AB = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = 3

    \Rightarrow AB - OI = \frac{3}{2}

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông AA'D'D. Xác định các giao tuyến của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' tạo với mặt phẳng (CMN). Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.

    Hình vẽ minh họa

    Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

    Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.

    Tứ giác CQPM là hình thang có

    CM = \frac{a\sqrt{5}}{2};OM =\frac{a\sqrt{13}}{6};PQ = \frac{a\sqrt{10}}{3};CQ =\frac{a\sqrt{13}}{3}

    \Rightarrow MF = PQ =\frac{a\sqrt{10}}{3};CF = PM = \frac{a\sqrt{13}}{6}

    Ta có: S_{CMPQ} = 3S_{CMF}

    S_{CMF} = \sqrt{p(p - CM)(p - CF)(p -MF)} với p = \frac{CM + MF +FC}{2}

    Thay giá trị các cạnh ta có S_{CMF} =\sqrt{\frac{7}{72}}a^{2} \Rightarrow S_{CMPQ} =\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm tập xác định D của hàm số y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.

    Hàm số xác định khi và chỉ khi 

    1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1 \,\,(*)

    Mà - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 nên \left( * ight) \Leftrightarrow \sin x e 1 \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2\sqrt{1 + x} - 2}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 1} + 1} + \frac{1}{4 + 2\sqrt[3]{8 - x + \sqrt[3]{(8 - x)^{2}}}} ight)

    = 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức B = \cos2\alpha.\sin\alpha. Biết \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}?.

    Ta có:

    B = \cos2\alpha.\sin\alpha

    = \left( 1 - 2\sin^{2}\alphaight).\sin\alpha

    = \sin\alpha -2\sin^{3}\alpha

    \Rightarrow B = \frac{\sqrt{5}}{3} - 2.\left( \frac{\sqrt{5}}{3} ight)^{3} = - \frac{\sqrt{5}}{27}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_n=\frac{2n+5}{5n-4}. Số \frac{7}{12} là số hạng thứ mấy của dãy số?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_k} = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2k + 5}}{{5k - 4}} = \dfrac{7}{{12}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 12\left( {2k + 5} ight) = 7\left( {5k - 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 24k + 60 = 35k - 28 \hfill \\ \Leftrightarrow 11k = 88 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 8 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số \frac{7}{12} là số hạng thứ 8 của dãy số.

  • Câu 34: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 1, tức là ta cần có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1

    Khi đó (*) không thỏa mãn với mọi m\mathbb{\in R}

    Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:

    Doanh thu

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    [11; 13)

    [13; 15)

    Số ngày

    2

    7

    7

    3

    1

    Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?

    Ta có:

    Doanh thu

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    [11; 13)

    [13; 15)

     

    Số ngày

    2

    7

    7

    3

    1

    N = 20

    Tần số tích lũy

    2

    9

    16

    19

    20

     

    Cỡ mẫu N = 20 \Rightarrow \frac{N}{2} =10

    => Nhóm chứa trung vị là [9; 11)

    (Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)

    Do đó: l = 9;\frac{N}{2} = 10;m = 9;f =7,c = 11 - 9 = 2

    Khi đó trung vị là:

    {M_e} = l + \frac{{\left( {\frac{N}{2} - m} ight)}}{f}.c = 9 + \frac{{10 - 9}}{7}.2 = \frac{{65}}{7}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi K,L lần lượt là trung điểm của AB và BC,N là điểm thuộc đoạn CD sao cho CN = 2ND. Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN). Tính tỉ số \frac{PA}{PD}.

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử LN \cap BD = I. Nối K với I cắt AD tại P Suy ra (KLN) \cap AD = P
    Ta có: KL//AC \Rightarrow PN//AC. Suy ra \frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2.

  • Câu 38: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để \lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}

    Bài toán trở thành \lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0

    Ta có: \lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l

    => Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính tổng T = m + n.

    Ta có:

    0,5111... = 0,5 + 10^{- 2} + 10^{- 3} + ... + 10^{- n} + ...

    Dãy số 10^{- 2};10^{- 3};...;10^{- n};,,, là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = 10^{- 2}, công sai là q = 10^{- 1}

    => S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{10^{- 2}}{1 - 10^{- 1}} = \frac{1}{90}

    Vậy 0,5111... = 0,5 + S = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 23 \\ n = 45 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 68

  • Câu 40: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Tính giới hạn của \lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n + 1)}{3n^{2} + 4}

    Ta có:

    \lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n +1)}{3n^{2} + 4}

    = \lim\dfrac{n^{2}}{3n^{2} + 4}

    = \lim\dfrac{1}{3 +\dfrac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{3}

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M;M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Giao của AM' với (A'BC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;M' là trung điểm của BC và B'C' nên MM'//BB'//CC'//AA'

    Suy ra A;A';M';M cùng thuộc một mặt phẳng.

    Trong mặt phẳng (AA'M'M) gọi T là giao điểm của A'M và AM'.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} A'M \cap AM' \equiv T \\ A'M \subset (A'BC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AM' \cap (A'BC) = A'M \cap AM' = T

    Vậy giao của AM' với (A'BC) là giao của AM' với A'M.

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J. Chọn

    khẳng định sai.

    Hình vẽ minh họa

    Do I và J là trung điểm của BD và BF, nên IJ//DF mà DF \subset (ADF) \Rightarrow IJ//(ADF), suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.

    Do I và J là trung điểm của AC và AE, nên IJ//EC mà EC \subset (CBE) \Rightarrow IJ//(CEB), suy ra IJ / /(CEB) đúng.

    Vậy IJ / / ADsai

  • Câu 44: Nhận biết

    Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?

    Có 2 hình chóp tứ giác

  • Câu 45: Nhận biết

    Tìm giới hạn C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3 - x}{2x + 3} ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{3 - x}{2x + 3} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{3}{x} - 1}{2 + \dfrac{3}{x}} = -\dfrac{1}{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập