Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> Hàm số gián đoạn tại
Ta lại có:
=> Hàm số liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và
.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
=> Hàm số gián đoạn tại
Ta lại có:
=> Hàm số liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và
.
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.
bằng:
Ta có:
Tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Cho cấp số cộng
có
và
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A | Tần số |
[0; 10) | 6 |
[10; 20) | 24 |
[20; 30) | x |
[30; 40) | 16 |
[40; 50) | 9 |
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng 24.
Ta có:
Đại diện A | Tần số | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 6 | 6 |
[10; 20) | 24 | 30 |
[20; 30) | x | 30 + x |
[30; 40) | 16 | 46 + x |
[40; 50) | 9 | 55 + x |
| N = 55 + x |
|
Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là
Cho hình chóp
có đáy là hình thang có cạnh đáy là
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với AB.
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây?
Công thức đúng là:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức
Do đó
Dấu bằng xảy ra khi
Xét tính tăng, giảm của dãy số
, ta thu được kết quả?
Ta có là dãy số tăng.
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) ![]()
(b) ![]()
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc " sai vì
là tập con thực sự của
nên tồn tại số nguyên dương không thuộc
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc " sai vì số nguyên âm không thuộc
.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Cho cấp số cộng
có
. Tìm công sai
của cấp số cộng?
Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là:
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Cho
cho
. Tính giá trị của
?
Ta có:
Vì nên
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(0; 15] | 4 |
(15; 30] | 12 |
(30; 45] | 17 |
(45; 60] | 7 |
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Cho hình chóp tứ giác
đáy là hình bình hành,
là trung điểm của
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
đồng thời song song với
và
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và các mặt của hình chóp. Hỏi hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
đi qua
và song song với
, với
là trung điểm của
.
nên
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
đi qua
và song song với
, với
là trung điểm của
.
nên
cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
đi qua
và song song với
, với
là trung điểm của
.
Các giao tuyến của mặt phẳng và hình chóp là tứ giác
Lại có nên
là hình thang.
Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Dữ liệu thu được ghi trong bảng dưới đây. Tìm mốt.
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
(120; 125] | 3 |
(125; 130] | 5 |
(130; 135] | 11 |
(135; 140] | 6 |
(140; 145] | 5 |
N = 30 |
Mốt của mẫu dữ liệu thuộc nhóm dữ liệu: (130; 135]
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
|
(120; 125] | 3 |
|
(125; 130] | 5 | |
(130; 135] | 11 | |
(135; 140] | 6 | |
(140; 145] | 5 |
|
N = 30 |
|
Khi đó:
Vậy mốt của dữ liệu là:
Gọi
là nghiệm âm lớn nhất của phương trình
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
TH1. Với
TH2. Với
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Biết rằng
khi đó
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d) Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng
và
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Biết rằng khi đó
Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng
và
Sai||Đúng
a) Hàm số có nghĩa khi
Vậy theo định lí ta có hàm số liên tục trên khoảng
.
b) Ta có:
Khi đó: .
Theo bài ra ta có:
c) Ta có:
s
d) Xét hàm số có tập xác định
Suy ra hàm số cũng liên tục trên các khoảng
và
.
Ta có:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Lại có:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Cho tứ diện
. Trên
,
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
cắt
tại
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng
và
Ta lại có: nên
là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
Cho cấp số nhân
có số hạng đầu
và công bội
. Số hạng thứ sáu của
là:
Ta có:
bằng
Ta có:
Cho cấp số nhân (un) có
. Biết
. Tính
?
Ta có:
Xét (*)
Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
Mẫu số liệu đã cho có 5 nhóm.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn
được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có:
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc
sao cho
là:
Ta có:
Ta có:
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Cho Sn = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 32 + … + n ⋅ 3n − 1.
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
Ta có 3Sn = 3 + 2.32 + 3.33 + … + n.3n
Từ đó 2Sn = − 1 − 3 − 32 − … − 3n − 1 + n.3n
Cho phương trình
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Ta có:
=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
Cho hai dãy số
với
và
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.
Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vậy
Cho dãy số
xác định bởi
với
. Khi đó số hạng
của dãy
là
Ta có:
Tính tứ phân vị thứ nhất cho dữ liệu dưới đây:
Cân nặng (kg) | [32; 35) | [35; 38) | [38; 41) | [41; 44) | [44; 47) |
Số người | 14 | 60 | 95 | 24 | 7 |
Ta có:
Cân nặng (kg) | [32; 35) | [35; 38) | [38; 41) | [41; 44) | [44; 47) |
Số người | 14 | 60 | 95 | 24 | 7 |
Tần số tích lũy | 14 | 74 | 169 | 193 | 200 |
Ta có:
=> Nhóm chứa là [35; 38)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm
và
, G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G
=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).
Cho hộp chữ nhật
. Các điểm
tương ứng trên
sao cho
song song với
. Tính tỉ số
?
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu
.
Ta có: là ảnh của
hay
chính là giao điểm của
và ảnh
qua phép chiếu này.
Do đó ta xác định như sau:
Trên kéo dài lấy điểm
sao cho
suy ra
là ảnh của
trên
qua phép chiếu song song.
Gọi . Đường thẳng qua
và song song với
cắt
tại
. Ta có:
là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales ta có:
Giải phương trình
được nghiệm là:
Ta có
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
Tính ![]()
Ta có:
Tìm tập xác định
của hàm số
?
Hàm số xác định khi:
Vậy
Phương trình lượng giác
có nghiệm là:
Ta có