Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu là $u_{1} = 3;d = 5$ . Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?
- A.
  $u_{4} = 18$
- B.
  $u_{4} = 8$
- C.
  $u_{4} = 23$
- D.
  $u_{4} = 14$
Ta có: $u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18$

Vậy $u_{4} = 18$
Câu 2: Thông hiểu
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_n=\frac{2n+5}{5n-4}$ . Số $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  9
- D.
  10
Ta có:
$\begin{matrix} {u_k} = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2k + 5}}{{5k - 4}} = \dfrac{7}{{12}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 12\left( {2k + 5} ight) = 7\left( {5k - 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 24k + 60 = 35k - 28 \hfill \\ \Leftrightarrow 11k = 88 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy số $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ 8 của dãy số.
Câu 3: Nhận biết
$\lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight)$ bằng
- A.
  $- \infty$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có:

$\lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight)$

$= \lim\left\lbrack n^{4}\left( - 1 - \frac{50}{n^{3}} + \frac{11}{n^{4}} ight) ightbrack = - \infty$
Câu 4: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n - 1$ . Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số
- A.
  Giảm.
- B.
  Bị chặn dưới bởi $2$ .
- C.
  Bị chặn trên bởi $1$ .
- D.
  Tăng.
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \left\lbrack 2(n + 1) - 1 ightbrack - (2n - 1)$

$= 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2 > 0$

Vậy dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số tăng.
Câu 5: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5$
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4x + 5}{x - 2} = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow +}\left( \sqrt{x^{2} + 2x + 5} - x ight) = 1$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x + 2}{x - 1} = + \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3x +2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 -\dfrac{1}{x}} = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3$
Câu 6: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Thông hiểu

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 60;80)$ . Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là $52;71$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 60;80)$ . Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là $52;71$ . Sai||Đúng

a) Điểm trung bình của lớp 11A là:

$\overline{x} = \frac{5.10 + 9.30 + 12.50 + 10.70 + 6.90}{42} \approx 51,43$

b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là $\lbrack 40;60)$

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: $\lbrack 20;40)$

Ta có:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

N = 42

Tần số tích lũy

5

14

26

36

42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 31,5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)

(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 60;m = 26,f = 10;c = 80 - 60 = 20$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 =71$

Mốt $M_{0}$ thuộc nhóm $\lbrack 40;60)$

Ta có:

Điểm

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

5

9

12

10

6

$f_{0}$ $f_{1}$ $f_{2}$

$\Rightarrow l = 40;f_{0} = 9;f_{1} = 12;f_{2} = 10;c = 60 - 40 = 20$

Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:

$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{\left( f_{1} - f_{0} ight) + \left( f_{1} - f_{2} ight)}.c$

$\Rightarrow M_{0} = 40 + \frac{12 - 9}{12 - 9 + 12 - 10}.20 = 52$
Câu 8: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}}$ bằng:
- A.
  -3
- B.
  -1
- C.
  0
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} - x + 1} ight)}}{{x\left( {x + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{x} = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
- A.
  $2$
- B.
  $6$
- C.
  $4$
- D.
  $4$
Hình vẽ minh họa

Với 4 điểm không đồng phẳng $A,B,C,D$ có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là $(ABC),(BCD),(ACD),(ABD)$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung, khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai đường thẳng song song
- B.
  Hai đường thẳng chéo nhau
- C.
  Hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
- D.
  Hai đường thẳng không đồng phẳng
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
Câu 11: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 12: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
Câu 13: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(ABCD)$ .
- B.
  $MN//(SAB)$ .
- C.
  $MN//(SCD)$ .
- D.
  $MN//(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN//AC$ mà $AC \in (ABCD) \Rightarrow MN//(ABCD)$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 15: Nhận biết
Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
- A.
  Cung có độ dài bằng 1.
- B.
  Cung tương ứng với góc ở tâm $60^{0}$ .
- C.
  Cung có độ dài bằng đường kính.
- D.
  Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Câu 16: Thông hiểu
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $y = \tan\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
- B.
  $y = \cot\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
- C.
  $y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
- D.
  $y = \cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$
Với $x \in \left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)$

$\begin{matrix}ightarrow 2x \in \left( - \dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{3} ight) \hfill\\ightarrow 2x + \dfrac{\pi}{6} \in \left( - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}ight) \hfill\\\end{matrix}$

Thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{6} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{6} ight)$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị đúng của biểu thức $D = \dfrac{\tan225^{0} -\cot81^{0}.\cot69^{0}}{\cot261^{0} + \tan201^{0}}$
- A.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
- B.
  $- \frac{1}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $- \sqrt{3}$
Ta có:

$D = \dfrac{\tan225^{0} -\cot81^{0}.\cot69^{0}}{\cot261^{0} + \tan201^{0}}$

$D = \dfrac{\tan\left( 180^{0} + 45^{0}ight) - \tan 9^{0}.\cot69^{0}}{\cot\left( 180^{0} + 81^{0} ight) +\tan\left( 180^{0} + 21^{0} ight)}$

$D = \dfrac{1 - \tan 9^{0}.\tan21^{0}}{\tan9^{0} + \tan21^{0}}$

$D = \dfrac{1}{\tan\left( 9^{0} + 21^{0}ight)} = \frac{1}{\tan30^{0}} = \sqrt{3}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
- C.
  Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
- A. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
- B. Điểm F.
- C. Giao điểm của đường thẳng EG và AF.
- D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.
Hình vẽ minh họa
Ta có $EG ⊂ (ABF)$ và $AF = (ABF) ∩ (ACD)$
=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.
Câu 20: Nhận biết
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?
- A.
  Có
- B.
  Không
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Câu 21: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q eq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
- B.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n - 1} ight)}{1 - q}$ .
- C.
  $S_{n} = u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)$ .
- D.
  $S_{n} = \frac{u_{1}(1 - q)}{1 - q^{n}}$ .
Theo công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của CSN ta được $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
Câu 22: Thông hiểu
Phương trình $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm là:
- A.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ .
- B.
  $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ .
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \\\end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix} ight.$ .
Ta có $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix} ight.$ , với $k\mathbb{\in Z}$ .
Câu 23: Nhận biết
Tìm chu kì T của hàm số $y = \sin\left( 5x- \frac{\pi}{4} ight)$
- A.
  $T =\frac{2\pi}{5}$
- B.
  $T = \frac{5\pi}{2}$
- C.
  $T = \frac{\pi}{2}$
- D.
  $T = \frac{\pi}{8}$
Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2\pi}{|a|}$
=> $y = \sin\left( 5x- \frac{\pi}{4} ight)$ tuần hoàn với chu kì $T =\frac{2\pi}{5}$
Câu 24: Vận dụng

Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

…

Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

…

Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 25: Thông hiểu
Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?
- A.
  $\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}}$
- B.
  $\lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{2}-1}$
- C.
  $\lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}+2n^{2}}$
- D.
  $\lim\frac{2n^{3}-3}{-2n^{2}-1}$
Ta có:
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{4}{{{n^3}}}}} = 0$
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \frac{1}{{{n^2}}}}} = - 1$
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{2}{n}}} = 0$
$\lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{3}{{{n^3}}}} ight)}}{{ - {n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} ight)}} = - \infty$
Câu 26: Thông hiểu
Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:
Nhóm tuổi
Số lượng người
[0; 10)
6
[10; 20)
12
[20; 30)
10
[30; 40)
32
[40; 50)
22
[50; 60)
18
[60; 70)
15
[70; 80)
5
[80; 90)
4
[90; 100)
3
- A.
  $31$
- B.
  $28$
- C.
  $35$
- D.
  $44$
Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Nhóm tuổi
Số lượng người
5
6
15
12
25
10
35
32
45
22
55
18
65
15
75
5
85
4
95
3

N = 127
Tuổi trung bình là:
$\overline{x} = \frac{5.6 + 15.12 + 25.10+ 35.32 + 45.22 + 55.18 + 65.15 + 75.5 + 85.4 + 95.3}{127}$
$\overline{x} = \frac{5535}{127} \approx44$
Câu 27: Nhận biết

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: [100; 150)||[200; 250)||[150; 200)||[50; 100)

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: [100; 150)||[200; 250)||[150; 200)||[50; 100)

Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
Tần số tích lũy
[0; 50)
5
5
[50; 100)
12
17
[100; 150)
23
40
[150; 200)
17
57
[200; 250)
3
60

N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow \frac{N}{2}= 30$
=> Nhóm chứa trung vị là [100; 150) (vì 30 nằm giữa hai tần số tích lũy 17 và 40)
Câu 28: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 3;q = - 2$ . Số $192$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
- A.
  Số hạng thứ 5
- B.
  Số hạng thứ 6
- C.
  Số hạng thứ 7
- D.
  Số hạng thứ 8
Ta có:

$u_{n} = 192$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 192$

$\Rightarrow 3.2^{n - 1} = 192$

$\Rightarrow ( - 1)^{n - 1}.2^{n - 1} = 64$

$\Rightarrow n = 7$
Câu 29: Nhận biết
Gọi $x_0$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. ${x_0} \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} ight)$
- B. ${x_0} \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} ight]$
- C. ${x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} ight)$
- D. ${x_0} \in \left[ {\frac{{3\pi }}{4};\pi } ight]$
Điều kiện: $1 - \sin 2x e 0 \Leftrightarrow \sin 2x e 1$
Phương trình $\frac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0$
$\Leftrightarrow \cos 2x = 0\xrightarrow{{{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x = 1}}\left[ \begin{gathered} \sin 2x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(L) \hfill \\ \sin 2x = - 1\,\,\,\,\,(TM) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Cho $- \frac{\pi }{4} + k\pi > 0\xrightarrow{{}}k > \frac{1}{4}$ .
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k = 1 \to x = \frac{{3\pi }}{4} \in \left[ {\frac{{3\pi }}{4};\pi } ight]$ .
Câu 30: Vận dụng

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Đáp án là:

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0} = 400$ hay $\lim_{xightarrow 400} P(x)=P( 400 )$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 400^{-}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}4,5x = 4,5.400 = 1800$

$\lim_{x ightarrow 400^{+}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}(4x + k) = 4.400 + k = 1600 + k$

Để tồn tại $\lim_{xightarrow 400} P( x )$ thì $1800 = 1600 + k$ .

Suy ra $k = 200$
Câu 31: Vận dụng cao
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Với n = 1 ta có − 2 ≤ u₁ ≤ 1 (đúng).

Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ u_k ≤ 1

$\Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.
Câu 32: Vận dụng

Cho phương trình lượng giác $\sin\left\lbrack \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) ightbrack = 0$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}$ . Đúng||Sai

b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng

c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng $14$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho phương trình lượng giác $\sin\left\lbrack \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) ightbrack = 0$ , vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}$ . Đúng||Sai

b) Phương trình có 3 nghiệm nguyên dương. Sai||Đúng

c) Phương trình có 2 nghiệm nguyên dương. Đúng||Sai

d) Tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình bằng $14$ . Sai||Đúng

Điều kiện: $9x^{2} - 16x - 80 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4$ .

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}\left( 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} ight) = k\pi,\ k\mathbb{\in Z}$

$\Leftrightarrow 3x - \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} = 4k$

$\Leftrightarrow \sqrt{9x^{2} - 16x - 80} = 3x - 4k$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{4k}{3} \\9x^{2} - 16x - 80 = (3x - 4k)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{4k}{3} \\x = \dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \\\end{matrix} ight.$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \geq \dfrac{4k}{3} \\x = \dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2} \geq 4 \\\dfrac{2k^{2} + 10}{3k - 2}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.$ .

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \geqslant \frac{{4k}}{3} \hfill \\ x = \frac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{ - 6{k^2} + 8k + 30}}{{3k - 2}} \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{2{k^2} - 12k + 18}}{{3k - 2}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < k \leqslant 3$

Vì $k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = 1,2,3$ .

$k = 1 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = 12\mathbb{\in Z}$

$k = 2 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = \frac{9}{2}\mathbb{otin Z}$

$k = 3 \Rightarrow \frac{2k^{2} + 10}{3k - 2} = 4\mathbb{\in Z}$

Kết hợp điều kiện, ta có $x=4, x= 12$ là những giá trị cần tìm.

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai
Câu 33: Thông hiểu
Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
- A.
  Chỉ có (1) sai.
- B.
  Chỉ có (2) sai
- C.
  Chỉ có (3) sai
- D.
  (1), (2) và (3) đều sai
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Câu 34: Nhận biết
Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- B.
  $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;1)$
- C.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$

Mặt khác

$f(0) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Câu 35: Vận dụng
Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n},}$ ta được kết quả?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng.
- B.
  Dãy số (u_n) giảm.
- C.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm.
- D.
  Dãy số (u_n) khi tăng khi giảm.
Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3^{n + 1}- 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}}$

$= \frac{3^{n + 1} - 1 -{2.3}^{n} + 2}{2^{n + 1}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} >0$

⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.
Câu 36: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y =4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} ight).$
- A.
  $M = \sqrt{2}.$
- B.
  $M = \sqrt{2} - 1.$
- C.
  $M = \sqrt{2} + 1.$
- D.
  $M = \sqrt{2} +2.$
Ta có
$\begin{matrix}y = 4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} ight) \\= 4\left( \dfrac{1 - cos2x}{2} ight) + sin2x + cos2x \\\end{matrix}$
$= sin2x - cos2x + 2 = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2.$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{4}ight) \leq 1$
$\Rightarrow - \sqrt{2} + 2 \leq\sqrt{2}\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2 \leq \sqrt{2} +2$ .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2 +\sqrt{2}.$
Câu 37: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$
- A.
  $P = 3456$
- B.
  $P = 3465$
- C.
  $P = 3645$
- D.
  $P = 3546$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$
Câu 38: Nhận biết
Độ dài của nhóm dữ liệu 1,5 < x ≤ 2 là:
- A.
  $1$
- B.
  $0,5$
- C.
  $2$
- D.
  $1,5$
Độ dài của nhóm là: $2 - 1,5 =0,5$
Câu 39: Thông hiểu
Quan sát bảng sau và tìm mốt.
Khoảng dữ liệu
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
Tần số
8
12
22
17
- A.
  $31,4$
- B.
  $30,7$
- C.
  $32,5$
- D.
  $30,4$
Quan sát bảng dữ liệu ta thấy mốt của mẫu dữ liệu nằm trong khoảng [30; 40)
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 30;f_{0} = 12;f_{1} = 22;f_{2} = 17 \\c = 40 - 30 = 10 \\\end{matrix} ight.$
Vậy mốt của dữ liệu là: $M_{0} = 30 +\frac{22 - 12}{2.22 - 12 - 17}.10 \approx 30,7$

Câu 40: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 41: Vận dụng cao
Biết rằng phương trình $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b}$ với $k \in \mathbb{Z}$ và $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính $S = a + b$
- A.
  $S = 2017$ .
- B.
  $S = 2019$ .
- C.
  $S = 2020$ .
- D.
  $S = 2018$ .
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}$

$=\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx$

$= cot\frac{x}{2} - cotx$

Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

$\cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x$

${+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}$

${\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}$

${\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}$

Vậy $a = 2019,b = 1$ nên $a + b = 2020$ .
Câu 42: Thông hiểu
Cho cấp số cộng (U_n) có số hạng tổng quát là ${u_n} = 3n - 2$ . Xác định công sai của cấp số cộng.
- A. d = 3
- B. d = 2
- C. d = -2
- D. d = -3
Ta có: $\begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 43: Thông hiểu
Cho $a,b$ là các số thực khác $0$ . Tìm điều kiện của $a,b$ để giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$
- A.
  $\frac{a - 1}{b} = 3$
- B.
  $\frac{a + 1}{b} = 3$
- C.
  $\frac{- a - 1}{b} = 3$
- D.
  $\frac{a - 1}{- b} = 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} = 3$

$\Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} = 3$
Câu 44: Thông hiểu
Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a, b, c$ , biết $a//b$ , a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:
- A. Trùng nhau hoặc chéo nhau.
- B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.
- C. Chéo nhau hoặc song song.
- D. Song song hoặc trùng nhau.
Giả sử $b//c$
$=> c // a$ (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 45: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{m -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = m \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + m}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} m \in (0;20);m\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{m + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 1;6;13 ight\}$