Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$
- A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
- B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
- C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
- D. Liên tục tại mọi điểm
Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$
Tại $x=0$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x=0$
Tại $x=1$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Câu 2: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in SA$ sao cho $NA = 2NS$ . Hình chiếu của điểm $N$ qua phép chiếu song song phương $SM$ , mặt phẳng chiếu $(ABC)$ là:
- A.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ .
- B.
  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $SBC$ .
- C.
  Trọng tâm tam giác $ABC$
- D.
  Trọng tâm tam giác $SBC$
Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp $S.ABC$ là các tam giác đều nên tam giác $ABC$ đều.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $NA = 2NS \Rightarrow \frac{NS}{NA} = \frac{MG}{GA} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow NG//SM$

Nên $G$ là hình chiếu song song theo phương $SM$ của $N$ trên $(ABC)$ .

Lại do tam giác $ABC$ đều nên $G$ vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ .
Câu 3: Nhận biết
Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:

Thời gian (giây)

8,3

8,4

8,5

8,7

8,8

Tần số

2

3

9

5

1

Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:
- A.
  8,54.
- B.
  4.
- C.
  8,50.
- D.
  8,53.
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:

$\overline{x} = \frac{8,3.2 + 8,4.3 + 8,5.9 + 8,7.5 + 8,8.1}{20} = 8,53.$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số trung bình của mẫu số liệu sau:
Thời gian (s)
Thời gian đại diện (s)
(50,5; 55,5]
53
(55,5; 60,5]
58
(60,5; 65,5]
63
(65,5; 70,5]
68
(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $61,3$
- B.
  $61,4$
- C.
  $61,2$
- D.
  $61,5$
Ta có:
Thời gian (s)
Thời gian đại diện (s)
Số vận động viên (người)
Tích các giá trị
(50,5; 55,5]
53
2
106
(55,5; 60,5]
58
7
406
(60,5; 65,5]
63
8
504
(65,5; 70,5]
68
4
272

Tổng
21
1288
Số trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{1288}{21} \approx61,3$
Câu 5: Vận dụng
Phương trình $\sin x = \frac 1 2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0; 20 \pi]$ ?
- A. 10
- B. 11
- C. 21
- D. 20
Cách 1:
Ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ , với $k \in \mathbb {Z}$
+) $0\leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{119}}{{12}}$ .
Lại có $k \in \mathbb {Z}$ nên $k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
+) $0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{115}}{{12}}$ .
Lại có $k \in \mathbb {Z}$ nên $k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn $[0; 20 \pi]$
Cách 2:
Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình $\sin x = \frac 1 2$ có 2 nghiệm, tương tự với $\left[ {2\pi ;4\pi } ight],\;\left[ {4\pi ;6\pi } ight],...\left[ {18\pi ;20\pi } ight]$ .
Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên $[0; 20 \pi]$ .
Câu 6: Thông hiểu
Cho hai số −3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
- A.
  $n = 14$
- B.
  $n = 15$
- C.
  $n = 13$
- D.
  $n = 12$
Ta có:
Cấp số cộng có k số hạng gồm có $u_{1} = -3$ và số hạng cuối $u_{k} =23$ .
Khi đó:
$u_{k + 1} = u_{1} + (k -1)d$
$\Leftrightarrow 23 = - 3 + (k -1).2$
$\Leftrightarrow k = 14$
Do đó $n = k - 2 = 12$
Câu 7: Thông hiểu
Phương trình nào cùng tập nghiệm với phương trình $\tan x = 1$
- A. $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- B. $\cot x = 1$
- C. ${\cot ^2}x = 1$
- D. $\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cot x.\tan x = 1} \\ {\tan x = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \cot x = \dfrac{1}{{\tan x}} = 1$
Vậy phương trình $\tan x = 1$ có cùng tập nghiệm với phương trình $\cot x = 1$
Câu 8: Nhận biết
Cho hình vẽ:

Trên đường tròn lượng giác, số đo của góc lượng giác $(OA;OB')$ là:
- A.
  $- \frac{\pi}{4}$
- B.
  $- \frac{\pi}{2}$
- C.
  $\frac{\pi}{4}$
- D.
  $\frac{\pi}{2}$
Từ hình vẽ ta có: $(OA;OB') = - \frac{\pi}{2}$

Câu 9: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 10: Thông hiểu
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
- A. $y = \sin x$
- B. $y = x + \sin x$
- C. $y = x\cos x$
- D. $y = \frac{{\sin x}}{x}$
Hàm số $y = x + \sin x$ không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}$ .
Giả sử $f\left( {x + T} ight) = f\left( x ight),{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}$
$\Leftrightarrow \left( {x + T} ight) + \sin \left( {x + T} ight) = x + \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}}$
. $\Leftrightarrow T + \sin \left( {x + T} ight) = \sin x,{\text{ }}\forall x \in {\text{D}} (*)$
Cho x = 0 và x = π, ta được
$\left\{ \begin{gathered} T + \sin x = \sin 0 = 0 \hfill \\ T + \sin \left( {\pi + T} ight) = \sin \pi = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\xrightarrow{{}}2T + \sin T + \sin \left( {\pi + T} ight) = 0 \Leftrightarrow T = 0$
Điều này trái với định nghĩa là T > 0
Vậy hàm số $y = x + \sin x$ không phải là hàm số tuần hoàn.
Tương tự chứng minh cho các hàm số $y = x\cos x$ và $y = \frac{{\sin x}}{x}$ không tuần hoàn.
Câu 11: Nhận biết
Hình nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
- B.
- C.
- D.
Hình biểu diễn của hình chóp đáy là hình bình hành là hình
Câu 12: Nhận biết
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi $u_{1} = - 5;d = 3$ .
- A.
  $14506$
- B.
  $14350$
- C.
  $14600$
- D.
  $14500$
Theo bài ra ta có:

$S_{100} = \frac{\left( 2u_{1} + 99d ight).100}{2} = 14350$
Câu 13: Vận dụng
Xác định giới hạn của dãy số $\lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack$ là:
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim\left\lbrack \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n(n + 1)} ightbrack$

$= \lim\left\lbrack 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ightbrack$

$= \lim\left( 1 - \frac{1}{n + 1} ight) = 1$
Câu 14: Thông hiểu
Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?
- A. $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}$
- B. $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n-1 chữ số 0}}$
- C. $u_n=\frac{1}{10^{n-1}}$
- D. $u_n=\frac{1}{10^{n+1}}$
Ta có:

Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

Suy ra có chữ số 0.

Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}$
Câu 15: Vận dụng
Tính tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n$ ?
- A.
  $S = n + \frac{10}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)$
- B.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n ight)$
- C.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
- D.
  $S = \frac{10}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
Xét dãy số $\left( U_{n} ight)$ là cấp số nhân với $u_{1} = 1;q = 10$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)$

$\Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}$

$= \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)$

$= \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)$
Câu 16: Nhận biết
Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x}$
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $1$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $0$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x + 1} ight) = 7 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ x - 2 < 0,x \mapsto 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x + 1}{2 - x} = + \infty$
Câu 17: Vận dụng cao
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm?
- A. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
- B. $m \in \left( {1; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left[ { - 1;1} ight]$
- D. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight)$
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Phương trình $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$
Do đó, phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .
Câu 18: Nhận biết
Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ liên tục tại điểm nào dưới đây?
- A.
  $x = 0$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = - 2$
Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}$

Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định $D$ .

Khi đó $x = 1 \in D$ suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 1$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.$ . Biết dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tính $\lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4$

$\Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}$

$+ \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$= \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1$
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,CB,SA$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $MN$ . Giao điểm của $SO$ với $(MNK)$ là điểm $E$ . Hãy chọn cách xác định điểm $E$ đúng nhất trong bốn phương án sau.
- A.
  $E$ là giao điểm của $KN$ và $SO$
- B.
  $E$ là giao điểm của $KH$ và $SO$
- C.
  $E$ là giao điểm của $MN$ và $SO$
- D.
  $E$ là giao điểm của $KM$ và $SO$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $E = KH \cap SO$ .

Mà $HK \subset (MNK)$ nên $E = SO \cap (MNK)$
Câu 21: Thông hiểu
Kết quả đúng của $\lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight)$ là:
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  –4
- D.
  $\frac{1}{4}$
Xét: $\frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}$

Ta có: $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1}ight) = \lim( - \frac{1}{n}.\frac{1}{1 + 1:n^{2}}) = 0$

Suy ra $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1} ight) = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 0\ \Rightarrow \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 5$ .
Câu 22: Nhận biết
Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  a, d trùng nhau.
- B.
  a, d chéo nhau.
- C.
  a song song d.
- D.
  a, d cắt nhau.
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d
Câu 23: Thông hiểu
Tính $K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$
- A.
  $K = \frac{1}{2}$
- B.
  $K = + \infty$
- C.
  $K = 0$
- D.
  $K = \frac{3}{4}$
Ta có:

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}$

$K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}$

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}$
Câu 24: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 25: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là:
- A. $x = k2\pi$
- B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x = k\pi$
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}$ . Giá trị $u_{21}$ là
- A.
  $\frac{11}{243}$ .
- B.
  $\frac{10}{243}$ .
- C.
  $\frac{21}{443}$ .
- D.
  $\frac{19}{443}$ .
Ta có: $u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}$ .
Câu 27: Thông hiểu
Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Dữ liệu thu được ghi trong bảng dưới đây.
Chiều cao (cm)
Số học sinh
(120; 125]
3
(125; 130]
5
(130; 135]
11
(135; 140]
6
(140; 145]
5
Tổng
N = 30
Tính tứ phân vị thứ ba. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $137,9$
- B.
  $136,5$
- C.
  $141,3$
- D.
  $134,2$
Ta có:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.30}{4} =22,5$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là (135; 140]
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 135;\dfrac{3N}{4} = 22,5;m = 19 \\f = 6;d = 140 - 135 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 135 + \frac{22,5 -19}{6}.5 \approx 137,9$
Câu 28: Thông hiểu
Tính tổng sau $S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$
- A.
  $S = 19298$
- B.
  $S = 19090$
- C.
  $S = 19920$
- D.
  $S = 19900$
Ta có:

$S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$ là tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có $u_{1} = 1;d = 4$

$\Rightarrow S = S_{100} = \frac{100}{2}.(2.1 + 99.4) = 19900$ .
Câu 29: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo hệ quả Talet, ta có: $\frac{HC}{HB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CE \subset (SBH) \\ CE//(SAD) \\ (SBH) \cap (SAD) = SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE//SH$

$\Rightarrow \frac{SE}{SB} = \frac{HC}{HB} = \frac{2}{5} \Rightarrow SE = \frac{2}{5}SB$

$\Rightarrow \frac{ES}{EB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2m + 3n = 13$ .
Câu 30: Nhận biết
Kết quả của giới hạn $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n}$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $- \infty$ .
Có $\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Vì $\left| \frac{1}{2} ight| < 1$ nên $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0$ .
Câu 31: Thông hiểu
Nếu $\cos(a + b) = 0$ thì khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\left| \sin(a + 2b) ight| = \left| \sin a ight|$
- B.
  $\left| \sin(a + 2b) ight| = \left| \sin b ight|$
- C.
  $\left| \sin(a + 2b) ight| = \left| \cos a ight|$
- D.
  $\left| \sin(a + 2b) ight| = \left| \cos b ight|$
Ta có:

$\cos(a + b) = 0$

$\Leftrightarrow a + b = \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow a = - b + \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Rightarrow \left| \sin(a + 2b) ight| = \left| \sin\left( - b + 2b + \frac{\pi}{2} + k\pi ight) ight| = \left| \cos(b + k\pi) ight| = \left| \cos b ight|$
Câu 32: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M, N, P, Q, R, T$ lần lượt là trung điểm $AC, BD, BC, CD, SA, SD$ . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
- A. M, P, R, T.
- B. M, Q, T, R.
- C. M, N, R, T.
- D. P, Q, R, T.
Hình vẽ minh họa
Ta có: $RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên.
$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MQ{m{//}}AD$ .
=> $RT{m{//}}MQ$
=> $M, Q, R, T$ đồng phẳng.
Câu 33: Nhận biết
Thời gian chạy trung bình cự li $1000m$ (giây) của các bạn học sinh là
- A.
  $130,35$ .
- B.
  $131,03$ .
- C.
  $130,4$ .
- D.
  $132,5$ .
Thời gian chạy trung bình cự li $1000m$ (giây) của các bạn học sinh là:

$\overline{x} = \frac{126.3 + 128.7 + 130.15 + 132.10 + 134.5}{40} = 130,35$ (giây)
Câu 34: Thông hiểu

Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S

b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S

c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S

d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S

Đáp án là:

Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S

b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S

c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S

d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S

Xét từng mệnh đề ta có

a) “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

b) “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.

c) “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).

d) “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).

Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên
Câu 35: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \sqrt{x - 1}$ . Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

i) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 1; + \infty)$

ii) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$

iii) Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$

iv) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Ta có:

i) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 1; + \infty)$ đúng

ii) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$ sai. Vì hàm số gián đoạn tại x = 1

iii) Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$ đúng. Vì hàm số không tồn tại giới hạn trái tại $x = 1$

iv) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ sai vì $0 otin \lbrack 1; + \infty)$
Câu 36: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân với $u_{n} eq 0;n \in\mathbb{N}^{*}$ . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $u_{1};u_{3};u_{5}$
- B.
  $3u_{1};3u_{2};3u_{3}$
- C.
  $\frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}}$
- D.
  $u_{1} + 2;u_{2} + 2;u_{3} +2$
Giả sử $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân công bội $q$ thì:
Dãy $u_{1};u_{3};u_{5}$ là cấp số nhân công bội $q^{2}$ .
Dãy $3u_{1};3u_{2};3u_{3}$ là cấp số nhân với công bội $2q$ .
Dãy $\frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}}$ là cấp số nhân công bội $\frac{1}{q}$ .
Dãy $u_{1} + 2;u_{2} + 2;u_{3} +2$ không là cấp số nhân.
Câu 37: Vận dụng cao
Gọi $M,\ m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y =sin^{2}x - 4sinx + 5$ . Tính $P = M -2m^{2}.$
- A.
  $P = 1.$
- B.
  $P = 7.$
- C.
  $P = 8.$
- D.
  $P =2.$
Ta có:
$y = sin^{2}x - 4sinx + 5 = \left(\sin x - 2 ight)^{2} + 1.$
Do $- 1 \leq \sin x \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 3 \leq \sin x - 2 \leq - 1 \\\Leftrightarrow 1 \leq \left( \sin x - 2 ight)^{2} \leq 9 \\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow 2 \leq \left( \sin x - 2 ight)^{2} + 1 \leq 10 \hfill\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}M = 10 \\m = 2 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Leftrightarrow P = M - 2m^{2} = 2.\hfill \\\end{matrix}$
Câu 38: Vận dụng cao
Cho tổng $S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$ .

Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
- A.
  $S(n) = \frac{n}{n + 2}$
- B.
  $S(n) = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $S(n) = \frac{2n}{n + 1}$
- D.
  $S(n) = \frac{n}{2^{n}}$ .
$S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$
Câu 39: Nhận biết
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P)$ , $(Q)$ và $(R)$ . Xét các mệnh đề sau

1) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

2) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

3) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

4) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

Số mệnh đề đúng là:
- A.
  1.
- B.
  0.
- C.
  3.
- D.
  2.
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$

Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Câu 40: Nhận biết
Hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ có tập xác định là gì?
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ xác định khi

$2x - \frac{\pi}{4} eq \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Rightarrow x eq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ là: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
Câu 41: Thông hiểu
Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao
Số cây
[145; 150)
25
[150; 155)
50
[155; 160)
200
[160; 165)
175
[165; 170)
50
Giá trị đại diện cho nhóm [155; 160) bằng:
- A.
  $155$
- B.
  $157,5$
- C.
  $160$
- D.
  $167,5$
Giá trị đại diện của nhóm [155; 160) là $\frac{155 + 160}{2} = 157,5$
Câu 42: Thông hiểu

Biết $\lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R})$ . Giá trị $P = b + c$ bằng

Đáp án: -13||- 13

Đáp án là:

Biết $\lim_{x ightarrow 3}\dfrac{x^{2} +bx + c}{x - 3} = 8\ (b,c\mathbb{\in R})$ . Giá trị $P = b + c$ bằng

Đáp án: -13||- 13

Vì $\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = 8$ là hữu hạn nên phương trình $x^{2} + bx + c = 0$ có nghiệm $x = 3$

$\Leftrightarrow 3b + c + 9 = 0 \Leftrightarrow c = - 9 - 3b$

Khi đó

$\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx + c}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} + bx - 9 - 3b}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 3)(x + 3 + b)}{x - 3}$

$= \lim_{x ightarrow 3}(x + 3 + b) = 8 \Leftrightarrow 6 + b = 8 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow c = - 15$

Vậy $P = b + c = - 13$ .
Câu 43: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Gọi $A_{1}$ là trung điểm của $SA$ , $B_{1} \in SB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Tam giác hoặc tứ giác
- D.
  Tứ giác hoặc ngũ giác
Trường hợp 1:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu $B_{1} eq S$ . Gọi $O = AC \cap BD,\ I = SO \cap A_{1}C$

Nếu $P = IB_{1} \cap SD$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tứ giác $A_{1}B_{1}CP$

Nếu $P = IB \cap BD$ . Gọi $Q = CP \cap AD$

Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tứ giác $A_{1}B_{1}CQ$

Trường hợp 2:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu $B_{1} \equiv S$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tam giác $SAC$ .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Câu 44: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
- C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.
- D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau."
Câu 45: Vận dụng
Cho dãy số (u_n), biết u_n = n ⋅ cosn. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) (u_n) là dãy số tăng.

(2) (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

(3) ∀n ∈ ℕ^* : u_n ≤ n.
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Vì cos(n) ≤ 1 nên u_n < n. Phát biểu (3) đúng.

Dãy không tăng, không giảm và không bị chặn dưới.

Vậy có 1 phát biểu đúng trong 3 phát biểu đã cho.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian (s)	Thời gian đại diện (s)
(50,5; 55,5]	53
(55,5; 60,5]	58
(60,5; 65,5]	63
(65,5; 70,5]	68

Thời gian (s)	Thời gian đại diện (s)	Số vận động viên (người)	Tích các giá trị
(50,5; 55,5]	53	2	106
(55,5; 60,5]	58	7	406
(60,5; 65,5]	63	8	504
(65,5; 70,5]	68	4	272
	Tổng	21	1288

Chiều cao (cm)	Số học sinh
(120; 125]	3
(125; 130]	5
(130; 135]	11
(135; 140]	6
(140; 145]	5
Tổng	N = 30

Chiều cao	Số cây
[145; 150)	25
[150; 155)	50
[155; 160)	200
[160; 165)	175
[165; 170)	50

Thời gian (giây)	8,3	8,4	8,5	8,7	8,8
Tần số	2	3	9	5	1