Cho tứ diện
. Trung điểm của các đường thẳng
lần lượt là
. Tìm giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Ta có: (do
là đường trung bình của tam giác
)
Vậy
Cho tứ diện
. Trung điểm của các đường thẳng
lần lượt là
. Tìm giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Ta có: (do
là đường trung bình của tam giác
)
Vậy
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
a) Ta có:
.
b) (do
và
).
c) Ta có:
Do và
.
d) Ta có:
Số nghiệm của phương trình
trên đoạn
là?
Ta có:
Ta có: .
Ta được .
Có 1000 giá trị k, ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."
Tập nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Đổi số đo của góc
sang đơn vị độ, phút, giây
Cách 1: Từ công thức khi đó:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm -5 shift DRG 2 =
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm muộn tháng 10/2023 của các nhân viên trong công ty X như sau:
Thời gian (phút) | Số nhân viên |
[0; 5) | 25 |
[5; 10) | 14 |
[10; 15) | 21 |
[15; 20) | 13 |
[20; 25) | 8 |
[25; 30) | 6 |
Số nhân viên trong công ty đi muộn quá 15 phút là:
Số nhân viên trong công ty đi muộn quá 15 phút là:
13 + 8 + 6 = 27 (nhân viên)
Cho phương trình lượng giác ![]()
a) Phương trình có nghiệm
Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
Đúng||Sai
c) Trên khoảng
phương trình đã cho có 3 nghiệm Sai||Đúng
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
bằng
Đúng||Sai
Cho phương trình lượng giác
a) Phương trình có nghiệm Sai||Đúng
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng Đúng||Sai
c) Trên khoảng phương trình đã cho có 3 nghiệm Sai||Đúng
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng bằng
Đúng||Sai
Ta có:
Vì nên
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho cấp số cộng
có
và
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Xét dãy số
Ta có: => Dãy số là cấp số nhân
Tính giới hạn
?
Ta có:
.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng: "".
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho hàm số
. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
i) Hàm số
có tập xác định ![]()
ii) Hàm số
liên tục trên ![]()
iii) Hàm số
gián đoạn tại ![]()
iv) Hàm số
liên tục tại ![]()
Ta có:
i) Hàm số có tập xác định
đúng
ii) Hàm số liên tục trên
sai. Vì hàm số gián đoạn tại x = 1
iii) Hàm số gián đoạn tại
đúng. Vì hàm số không tồn tại giới hạn trái tại
iv) Hàm số liên tục tại
sai vì
Rút gọn
với ![]()
Ta có:
là một dãy cấp số nhân với
nên
Biết hai đường thẳng
là hai đường thẳng chéo nhau. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
.
Dựa vào lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.
=> Có duy nhất 1 mặt phẳng chứa và song song với
.
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Cấp số nhân
có số hạng tổng quát là
. Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra và
.
Chọn đáp án sai
Trong khoảng
, hàm số
là hàm số:
Ta thấy:
Trên khoảng hàm
đồng biến và hàm
đồng biến
=> Trên hàm số
đồng biến.
Kết quả kiểm tra Toán của 30 học sinh lớp 11 được ghi theo nhóm như sau:
Khoảng điểm | Số học sinh |
[20; 30) | 1 |
[30; 40) | 1 |
[40; 50) | 10 |
[50; 60) | 11 |
[60; 70) | 5 |
[70; 80) | 2 |
Tìm mốt của mẫu dữ liệu. (Làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Ta ghi lại bảng số liệu như sau:
Khoảng điểm | Số học sinh |
|
[20; 30) | 1 |
|
[30; 40) | 1 |
|
[40; 50) | 10 | |
[50; 60) | 11 | |
[60; 70) | 5 | |
[70; 80) | 2 |
|
Quan sát bảng trên ta thấy:
Nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu là nhóm [50; 60).
Do đó:
Khi đó ta tính mốt như sau:
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
. Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
. Đúng||Sai
d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là
. Sai||Đúng
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là . Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: . Đúng||Sai
d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là . Sai||Đúng
a) Điểm trung bình của lớp 11A là:
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
Ta có:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
N = 42 |
|
Tần số tích lũy |
5 |
14 |
26 |
36 |
42 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Mốt thuộc nhóm
Ta có:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
|
|
|
|
Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để ![]()
Ta có:
Giải bất phương trình ta được kết quả
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(un) có ![]()
Ta có:
Giá trị của
bằng:
Ta có:
Cho dãy số (un) với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số là dãy số không bị chặn vì
Tính giới hạn của hàm số ![]()
Ta có: vì
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Đặt
Khi đó:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
hay phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Giá trị tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm số liệu nào?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)
bằng
Ta có:
Cho hình chóp
có các cạnh bên bằng nhau, đáy
là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy
sao cho
. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua điểm
và song song với
. Các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Gọi
lần lượt là các giao điểm của
với
thì
.
Do đó là hình vuông và
Vậy diện tích tứ giác là .
Chọn đẳng thức đúng.
Ta có:
Ta lại có:
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức
. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
Ta có:
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi
Vì
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Cho dãy số (un), biết
. Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (un) ?
Ta có
Do un + 1 − un > 0 nên (un) là dãy số tăng.
Lại có suy ra dãy số bị chặn.
Cho hàm số
xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số
không liên tục tại điểm nào sau đây?
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
Vậy nên không tồn tại
. Do đó hàm số gián đoạn tại
.
Tìm tích các tần số còn thiếu trong bảng dữ liệu dưới đây biết số trung bình là 56.
Khoảng dữ liệu | Tần số |
[0; 20) | 16 |
[20; 40) | x |
[40; 60) | 25 |
[60; 80) | y |
[80; 100) | 12 |
[100; 120) | 10 |
Tổng | N = 90 |
Ta có:
Dữ liệu đại diện | Tần số | Tích các số liệu |
10 | 16 | 160 |
30 | x | 30x |
50 | 25 | 1250 |
70 | y | 70y |
90 | 12 | 1080 |
110 | 10 | 1100 |
Tổng | 63 + x + y | 3590 + 30x + 70y |
Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:
Mặt khác
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
Cho hình chóp
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
là đường trung bình của tam giác
nên
mà
.
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[95; 105) | 9 |
[105; 115) | 13 |
[115; 125) | 26 |
[125; 135) | 30 |
[135; 145) | 12 |
[145; 155) | 10 |
Tìm mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Ta có:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
|
[95; 105) | 9 |
|
[105; 115) | 13 |
|
[115; 125) | 26 | |
[125; 135) | 30 | |
[135; 145) | 12 | |
[145; 155) | 10 |
|
Tổng | N = 100 |
|
Ta có: Nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm là: [125; 135)
Khi đó:
Mốt của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
Cho dãy số
biết
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
.
Ta có và
Suy ra dãy số là cấp số nhân với
Do đó
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Mà nên
Vậy tập xác định
Cho
là cấp số cộng biết
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
Ta có:
Vậy