Phương trình lượng giác
có nghiệm là ?
Ta có:
Phương trình lượng giác
có nghiệm là ?
Ta có:
Tính giá trị biểu thức ![]()
Vì nên ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
,
. Giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
là giao điểm của hai đường thẳng nào?

Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng ta có:
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
với
với
. Tính giá trị ![]()
Ta có hàm số xác định và liên tục trên
nên suy ra
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho cấp số cộng
có
. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
Ta có:
Tính giá trị giới hạn ![]()
Ta có:
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy là mệnh đề đúng.
Tìm khẳng định đúng.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.
ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.
=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.
Tìm được các giới hạn sau:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Tìm được các giới hạn sau:
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) , do
và
.
b)
Do và
.
c) .
d) .
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Bảng dữ liệu dưới đây ghi lại chiều cao (h) của 40 học sinh.
Chiều cao (h) | Số học sinh |
130 < h ≤ 140 | 2 |
140 < h ≤ 150 | 4 |
150 < h ≤ 160 | 9 |
160 < h ≤ 170 | 13 |
170 < h ≤ 180 | 8 |
180 < h ≤ 190 | 3 |
190 < h ≤ 200 | 1 |
Chiều cao trung bình của học sinh trong bảng trên:
Ta có:
Chiều cao đại diện (h) | Số học sinh | Tích các giá trị |
135 | 2 | 270 |
145 | 4 | 580 |
155 | 9 | 1395 |
165 | 13 | 2145 |
175 | 8 | 1400 |
185 | 3 | 555 |
195 | 1 | 195 |
Tổng | N = 40 | 6540 |
Chiều cao trung bình là:
Cho dãy số
xác định bởi công thức
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Với ta thấy
Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
(1)
Ta có là đường trung bình của tam giác
.
.
Cho tập hợp
. Số tập hợp con của tập hợp
gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:
Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là với
lập thành một cấp số nhân
Suy ra lập thành một cấp số cộng
Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.
Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Cho
. Xác định k để
.
Ta có:
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
với
với
. Tính
.
Ta có hàm số xác định và liên tục trên
nên suy ra
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Hình tứ diện có 4 mặt, 6 cạnh và 4 đỉnh.
Vậy phát biểu đúng: "Hình tứ diện có 4 mặt."
Rút gọn
với ![]()
Ta có:
là một dãy cấp số nhân với
nên
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
+ Phương trình
Vậy phương trình vô nghiệm.
+ Phương trình
Vậy phương trình có nghiệm.
+ Phương trình
Vậy phương trình có nghiệm.
+ Phương trình
mà
nên phương trình
có nghiệm.
Cho dãy số
xác định bởi
. Tính
.
Giả sử khi đó ta có:
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:
Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.
Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì
Do m > 0 =>
Giá trị của
bằng:
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
“Mẫu số liệu … là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.”. Cụm từ thích hợp để điền vào “…” là: Ghép nhóm||Không ghép nhóm|| Ghép nhóm và không ghép nhóm
“Mẫu số liệu … là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.”. Cụm từ thích hợp để điền vào “…” là: Ghép nhóm||Không ghép nhóm|| Ghép nhóm và không ghép nhóm
Hoàn thành câu: Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu
và công sai
. Giá trị
bằng
Áp dụng công thức số hạng tổng quát
.
Hoàn thành mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | 12 |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Ghép nối các nội dung thích hợp với nhau:
Giá trị lớn nhất của hàm số: ![]()
Ta có:
Ta có:
Phương trình có nghiệm:
Biết
, trong đó
là hai số nguyên dương và phân số
tối giản. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Cho hình chóp
có đáy
tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh hoạ
Ta dựng thiết diến của mặt phẳng (OMN) và hình chóp SABCD như sau
Qua M kẻ PQ // NO với Q ∈ SC.
Kéo dài NO cắt CD tại P.
=> Hình tạo bởi các giao tuyến đó là tứ giác MNPQ.
Tứ giác MNPQ có MN // NP
=> Tứ giác MNPQ là hình thang.
Tập xác định của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của
(kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại
hay
Ta có:
Để tồn tại thì
.
Suy ra
Tính giới hạn của hàm số ![]()
Ta có: vì
Cho dãy số (un) biết
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh un + 1 − un < 0 bằng quy nạp toán học.
Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ∈ ℕ*.
Ta có
Giả sử: uk + 1 − uk < 0, ∀k ≥ 1
Xét hiệu
Theo nguyên lí quy nạp suy ra un + 1 − un < 0, ∀n ∈ ℕ*
Vậy dãy số (un) là dãy số giảm.
Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có số học sinh đạt điểm (6; 8] nhiều nhất?
Số học sinh lớp 11A đạt điểm từ (6; 8] là:
12 + 10 = 22 (học sinh)
Số học sinh lớp 11B đạt điểm từ (6; 8] là:
10 + 8 = 18 (học sinh)
Số học sinh lớp 11C đạt điểm từ (6; 8] là:
15 + 9 = 24 (học sinh)
Số học sinh lớp 11D đạt điểm từ (6; 8] là:
16 + 11 = 27 (học sinh)
Vậy lớp 11D có nhiều học sinh đạt điểm từ (6; 8] nhất.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD
Ta có: mà
nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).
Tính độ cao trung bình của một số cây trong bảng số liệu dưới đây:
Chiều cao h (cm) | Số cây |
130 < h ≤ 140 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 |
150 < h ≤ 160 | 5 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Ta có:
Chiều cao h (cm) | Số cây | Tần số tích lũy |
130 < h ≤ 140 | 3 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 | 10 |
150 < h ≤ 160 | 5 | 15 |
Tổng | 15 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: 140 < h ≤ 150
Khi đó:
Trung vị là:
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thuộc
?
Ta có:
, mà
.
.
Suy ra ,
.
Vậy có 4044 nghiệm thuộc
.
Tổng
có kết quả bằng?
Ta có
Do đó
Cho dãy số có các số hạng đầu là
Số hạng tổng quát của dãy số này là
Ta có
Suy ra
Khẳng định nào sau đây là đúng.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |