Giá trị của
bằng:
Ta có mà
Suy ra
Giá trị của
bằng:
Ta có mà
Suy ra
Cho dãy số (un) với
( a là hằng số). Hỏi un + 1 là số hạng nào sau đây?
Ta có
Cho dãy số
biết
. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Dự đoán
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp
Với ta có:
Giả sử , khi đó ta có:
Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.
Ta có:
Mà
Nên ta chọn
Vậy là số hạng cần tìm.
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm dữ liệu thứ ba?
Trong mẫu dữ liệu ghép nhóm, giá trị đại diện là giá trị trung bình cộng của giá trị hai đầu mút.
Nhóm dữ liệu thứ ba là [4; 6)
=> Giá trị đại diện của nhóm dữ liệu thứ ba là:
Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) được cho bởi an = 2n + n là đúng?
Ta có an + 1 − an = 2n + 1 + n + 1 − 2n − n
= 2.2n − 2n + 1 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ*
Vậy (an) là dãy số tăng.
Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là
và công bội
. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d)
cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
.
b) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
Mà
c) Đúng.
Vì .
Vì là đường trung bình của hình bình hành
nên
d) Sai.
Ta có: mà
.
Rút gọn biểu thức ![]()
Ta có:
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Khẳng định sai: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất”.
Sửa lại: “Hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng chung.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là
Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác
Phương trình
có họ nghiệm là
Ta có:
là nghiệm của phương trình.
: Chia 2 vế phương trình cho
ta được:
.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính công sai
của cấp số cộng đó:
Ta có:
Trong các dãy số
cho bởi số hạng tổng quát
sau, dã số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án ta có:
=> Dãy số là dãy tăng.
Phương trình lượng giác
có nghiệm là:
Ta có
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Tính mốt?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
|
[0; 50) | 5 |
|
[50; 100) | 12 | |
[100; 150) | 23 | |
[150; 200) | 17 | |
[200; 250) | 3 |
|
| N = 60 |
|
Ta có:
=> Mốt của dấu hiệu là:
Cho hàm số
. Tìm
để hàm số liên tục tại ![]()
Đáp án: -3||- 3
Cho hàm số . Tìm
để hàm số liên tục tại
Đáp án: -3||- 3
Xét
Hàm số liên tục tại
.
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là:
Khoảng biến thiên giá trị của nam là:
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là:
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Xác định nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu.
Ta có:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
|
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 | N = 42 |
Tần số tích lũy | 5 | 14 | 26 | 36 | 42 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [40; 60)
(Vì 21 nằm giữa hai tần số tích lũy 14 và 26)
Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là
và diện tích toàn phần là
. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.
Ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là .
Thể tích khối hộp chữ nhật:
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là
Theo giả thiết ta có:
Với hoặc
thì kích thước của hình hộp chữ nhật là
=> Tổng các kích thước là 17,5cm.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Ta có f(x) = 5 ⇔ f(x) − 5 = 0. Đặt g(x) = f(x) − 5.
Khi đó
Vậy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) hay phương trình f(x) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4)
bằng:
Ta có:
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
Tốc độ | Tần số |
40 ≤ x < 50 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 5 |
60 ≤ x < 70 | 7 |
70 ≤ x < 80 | 4 |
Xác định giá trị của
?
Ta có:
Tốc độ | Tần số | Tần số tích lũy |
40 ≤ x < 50 | 4 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 5 | 9 |
60 ≤ x < 70 | 7 | 16 |
70 ≤ x < 80 | 4 | 20 |
Tổng | N = 20 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Ta lại có:
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Ta có và
nên loại C và D.
Ta thấy tại thì
. Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa mãn.
Cho
là các số thực khác
. Tìm điều kiện của
để giới hạn ![]()
Ta có:
Từ thời điểm đồng hồ chỉ đúng 12 giờ đến khi kim giờ chỉ 1 giờ đúng thì kim phút quay được góc bao nhiêu độ?
Khi kim giờ chỉ đúng 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng ứng với góc lượng giác là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với
?
Hình vẽ minh họa

Ta có:
là đường trung bình tam giác SAB nên
là hình bình hành nên
=>
là đường trung bình tam giác
=> =>
Vậy không song song với
.
Tính tổng
.
Ta có:
Cho
là hằng số,
là số nguyên dương khác không. Tìm khẳng định sai.
Mệnh đề sai khi
là số chẵn.
Cho tứ diện
cạnh bằng 1. Gọi
là trung điểm của
,
đối xứng với
qua
,
đối xứng với
qua
. Xác định các giao điểm của mặt phẳng
với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.
Suy ra . Chứng minh tương tự ta có:
. Do đó ta có:
Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:
Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:
Cho hàm số
có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt là
,
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Nên .
Suy ra .
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính ![]()
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điều kiện xác định của hàm số là:
Suy ra tập xác định của hàm số là:
Nên hàm số không liên tục tại các điểm .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có .
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho tam giác
có các góc
thỏa mãn biểu thức
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy tam giác cân.
Cho hình lăng trụ
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
là hình bình hành.
Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành
.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề “Nếu và
thì
“ sai vì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình lăng trụ tam giác
có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt phẳng
bất kì song song với mặt phẳng
. Hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng trên là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là giao điểm của
với các cạnh
.
Khi đó ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến giữa hai mặt phẳng là tam giác đều
Tuổi thọ (tính bằng giờ) của 100 bóng đèn được quan sát trong thử nghiệm kiểm tra chất lượng được đưa ra hiển thị trong bảng dưới đây:
Tuổi thọ (giờ) | [600; 650) | [650; 700) | [700; 750) | [750; 800) | [800; 850) |
Số bóng đèn | 6 | 14 | 40 | 34 | 6 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Tuổi thọ (giờ) | [600; 650) | [650; 700) | [700; 750) | [750; 800) | [800; 850) |
Số bóng đèn | 6 | 14 | 40 | 34 | 6 |
Tần số tích lũy | 6 | 20 | 60 | 94 | 100 |
Ta có:
=> Trung vị nằm trong nhóm (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy là 20 và 60)
(giờ)
Cho hình lập phương
cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
. Xác định các giao tuyến của hình lập phương
tạo với mặt phẳng
. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.
Hình vẽ minh họa

Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.
Tứ giác là hình thang có
Ta có:
với
Thay giá trị các cạnh ta có
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính số hạng đầu tiên
và công sai
của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Tìm x để ba số
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Ta có:
Ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân