Trên đoạn
, đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là
Theo bài ra ta có:
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại 5 điểm trên đoạn .
Trên đoạn
, đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là
Theo bài ra ta có:
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại 5 điểm trên đoạn .
Cho dãy số
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
Ta có: nên
đúng.
Do nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.
.
Do nên dãy số không tăng, không giảm.
Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.
Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.
Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.
Điểm | Số học sinh |
[0; 10) | 2 |
[10; 20) | 6 |
[20; 30) | 8 |
[30; 40) | x |
[40; 50) | 30 |
[50; 60) | 22 |
[60; 70) | 18 |
[70; 80) | 8 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100) | 2 |
Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.
Ta có:
Điểm | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 2 | 2 |
[10; 20) | 6 | 8 |
[20; 30) | 8 | 16 |
[30; 40) | x | 16 + x |
[40; 50) | 30 | 46 + x |
[50; 60) | 22 | 68 + x |
[60; 70) | 18 | 86 + x |
[70; 80) | 8 | 94 + x |
[80; 90) | 4 | 98 + x |
[90; 100) | 2 | 100 + x |
| N = 100 + x |
|
Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)
Vậy số học sinh là 126 học sinh.
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết
, E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?


Ta có:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Khảo sát thời gian học của học sinh trong một ngày được ghi trong bảng sau:
Khoảng thời gian học (phút) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
Tần số | 2 | 3 | 14 | 8 | 3 | 8 | 2 |
Số học sinh có thời gian học nhỏ hơn 40 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Số học sinh tham gia khảo sát là: 40 học sinh.
Số học sinh có thời gian học ít hơn 40 phút là: 19 học sinh chiếm
Cho hàm số
liên tục tại
. Tính giá trị biểu thức
.
Ta có:
Từ điều kiện hàm số liên tục tại ta có hệ phương trình:
bằng:
Ta có:
Hàm số
liên tục trên:
Điều kiện
Tập xác định
=> Hàm số liên tục trên
Giới hạn
bằng
Ta có:
.
Vì .
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?
Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60
⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)
Chọn đẳng thức đúng.
Ta có:
Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là
và công bội
. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
Ta có:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là:
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Dưới đây là sự phân bố một nhóm người theo mức thu nhập khác nhau:
Thu nhập (triệu đồng) | [0; 8) | [8; 16) | [16; 24) | [24; 32) | [32; 40) | [40; 48) |
Số người | 8 | 7 | 16 | 24 | 15 | 7 |
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất. (Làm tròn giá trị đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có:
Thu nhập (triệu đồng) | [0; 8) | [8; 16) | [16; 24) | [24; 32) | [32; 40) | [40; 48) |
Số người | 8 | 7 | 16 | 24 | 15 | 7 |
Tần số tích lũy | 8 | 15 | 31 | 55 | 70 | 77 |
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [16; 24)
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Cho hình hộp
có
là trung điểm của
. Gọi mặt phẳng
đi qua
và song song với
. Giả sử
. Tỉ lệ độ dài của
và
là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi trung điểm của lần lượt là
.
Dễ thấy
Xét mặt phẳng , gọi
Xét tam giác và tam giác
ta có:
(đối đỉnh)
(so le trong)
Vậy hay
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
Ta có:
không xác định.
Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có
Mà
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Đẳng thức xảy ra
Điểm kiểm tra của 50 học sinh được thể hiện như sau:
23, 25, 36, 39, 37, 41, 42, 22, 26, 35,
34, 30, 29, 27, 47, 40, 31, 32, 43, 45,
34, 46, 23, 24, 27, 36, 41, 43, 39, 38,
28, 32, 42, 33, 46, 23, 34, 41, 40, 30,
45, 42, 39, 37, 38, 42, 44, 46, 29, 37.
Chuyển mẫu dữ liệu trên thành dạng ghép nhóm. Điền kết quả còn thiếu vào ô trống.
Khoảng điểm | Số học sinh |
| 5 |
| 7 |
| 9 |
| 11 |
| 12 |
| 6 |
Điểm kiểm tra của 50 học sinh được thể hiện như sau:
23, 25, 36, 39, 37, 41, 42, 22, 26, 35,
34, 30, 29, 27, 47, 40, 31, 32, 43, 45,
34, 46, 23, 24, 27, 36, 41, 43, 39, 38,
28, 32, 42, 33, 46, 23, 34, 41, 40, 30,
45, 42, 39, 37, 38, 42, 44, 46, 29, 37.
Chuyển mẫu dữ liệu trên thành dạng ghép nhóm. Điền kết quả còn thiếu vào ô trống.
Khoảng điểm | Số học sinh |
5 | |
7 | |
9 | |
11 | |
12 | |
6 |
Hoàn thành bảng
Khoảng điểm | Số học sinh |
[20; 25) | 5 |
[25; 30) | 7 |
[30; 35) | 9 |
[35; 40) | 11 |
[40; 45) | 12 |
[45; 50) | 6 |
Tổng các nghiệm thuộc khoảng
của phương trình: ![]()
Giải phương trình:
Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.
Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối
của cấp số nhân đã cho.
Theo giả thiết ta có:
Rút gọn
với ![]()
Ta có:
là một dãy cấp số nhân với
nên
Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Ta có:
M là trọng tâm tam giác BCD =>
ABCD là hình bình hành =>
=>
Xét tam giác SAC có:
Theo định lí Ta - lét suy ra
Cho dãy số (un) có
và
.
Tất cả các giá trị n để
là?
Ta có
Đặt . Suy ra (vn) là cấp số nhận có công bội
và
.
Ta có
Do vn > 0, ∀n ≥ 1 nên (Tn) là dãy tăng.
Suy ra
Cho hàm số
. Số nghiệm của phương trình
trên
là:
Hàm số là hàm đa thức có tập xác định là
nên liên tục trên
=> Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Ta có:
=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Vậy phương trình có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng
Mặt khác phương trình là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm
=> Phương trình có đúng ba nghiệm trên
Cho một cấp số cộng (Un) có
. Công sai d của cấp số cộng là:
Ta có:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Ta có:
Mặt khác
Vậy để phương trình lượng giác có nghiệm thì
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tính tổng
.
Ta có:
Cho hình lăng trụ
có đáy
và
là hình bình hành. Lấy trung điểm của các cạnh
lần lượt là các điểm
. Xét các khẳng định sau:
a)
cắt
.
b)
cắt
tại trung điểm của
.
c)
.
Số khẳng định đúng là:
Hình vẽ minh họa
Mặt phẳng cắt
tại trung điểm của
.
Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Ta kiểm tra được và
là hàm số chẵn
Hàm số không chẵn không lẻ
=> Hàm số là hàm số lẻ.
Cho hình hộp
. Lấy
sao cho
và
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.
Giao tuyến của với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.
Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.
=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của với các mặt của hình hộp.
Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:
|
Số tiền (nghìn đồng) |
[350; 400) |
[400; 450) |
[450; 500) |
[500; 550) |
[550; 600) |
|
Số hộ gia đình |
6 |
14 |
21 |
17 |
2 |
Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)
Đáp án: 471 nghìn đồng.
Thống kê tiền điện tháng 12/2024 của các hộ gia đình xóm A cho bởi bảng số liệu sau:
|
Số tiền (nghìn đồng) |
[350; 400) |
[400; 450) |
[450; 500) |
[500; 550) |
[550; 600) |
|
Số hộ gia đình |
6 |
14 |
21 |
17 |
2 |
Tính tiền điện trung bình của các hộ gia đình trong xóm A (kết quả làm tròn đến nghìn đồng)
Đáp án: 471 nghìn đồng.
Ta có giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là:
Trung bình cộng của bảng số liệu trên là:
(nghìn đồng).
Cho cấp số cộng
với
. Tìm số hạng đầu
và công sai
của cấp số cộng trên.
Ta có:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.”
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:
Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.
Ta có:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Xác định cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm sau?
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Cho tứ diện
, lấy điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với
và
. Xác định các giao tuyến của
và các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Mặt phẳng qua
và song song với
=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
song song với
.
Mặt khác, song song với
nên
cắt
và
theo các giao tuyến
và
với
=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .
Mặt khác
=> Tứ giác là hình bình hành.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.
bằng
Tính giới hạn
?
Ta có:
.
Tìm tập các định D của hàm số 
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định