Cho cấp số cộng
có
. Số hạng thứ
của cấp số cộng là
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Số hạng thứ
của cấp số cộng là
Ta có:
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Số học sinh lớp 11H là:
Số học sinh lớp 11H là:
5 + 12 + 10 + 6 + 5 + 8 = 46 (học sinh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để
.
Ta có:
Vì
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hàm số
. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho liên tục tại
?
Ta có:
Để hàm số liên tục tại thì
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
a) Đúng
Đúng vì theo tính chất thừa nhận: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không
thẳng hàng.
b) Sai
Sai vì điểm cần thêm điều kiện điểm không thuộc đường thẳng.
c) Đúng
Đúng vì theo các cách xác định một mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai
đường thẳng cắt nhau.
d) Sai
Sai vì cần thêm điều kiện hai mặt phẳng phân biệt.
Rút gọn biểu thức
với ![]()
Ta có:
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu ghép nhóm sau:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(10; 20] | 15 |
(20; 30] | 25 |
(30; 40] | 20 |
(40; 50] | 12 |
(50; 60] | 8 |
(60; 70] | 5 |
(70; 80] | 3 |
Ta có:
Nhóm dữ liệu | Tần số | Tần số tích lũy |
(10; 20] | 15 | 15 |
(20; 30] | 25 | 40 |
(30; 40] | 20 | 60 |
(40; 50] | 12 | 72 |
(50; 60] | 8 | 80 |
(60; 70] | 5 | 85 |
(70; 80] | 3 | 88 |
Tổng | N = 88 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó:
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
Giải phương trình
ta được họ nghiệm
. Tính
?
Đáp án: 11
Giải phương trình ta được họ nghiệm
. Tính
?
Đáp án: 11
ĐKXĐ: .
Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là
.
Tìm tập giá trị của hàm số ![]()
Ta có:
bằng:
Ta có:
Tổng
có kết quả bằng?
Đặt
Giá trị của giới hạn
là:
Ta có:
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính ![]()
Điều kiện
Ta có:
Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành
Vậy nên
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(đường trung bình 4SAD)
(đường trung bình 4BAD)
=> O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.
Cho cấp số nhân
có công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng .
Cho dãy số (un) được xác định như sau
. Số hạng u11 là?
Ta có:
Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?

Gọi
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD
=>
=>
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính tổng
của
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
Ta có:
Khi đó:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho hình chóp
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
là đường trung bình của tam giác
nên
mà
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hàm số
. Để hàm số liên tục tại
thì
nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: -14||- 14
Cho hàm số . Để hàm số liên tục tại
thì
nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: -14||- 14
Tập xác định của hàm số là
.
Ta có
Hàm số đã cho liên tục tại
.
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | 12 |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Tính giá trị trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
5 | 8 | 40 |
15 | 14 | 210 |
25 | 12 | 300 |
35 | 9 | 315 |
45 | 7 | 315 |
Tổng | N = 50 | 1180 |
Giá trị trung bình là:
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho
với
. Phải bổ sung thêm giá trị
bằng bao nhiêu thì hàm số
liên tục trên
?
Ta có:
Với hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
"Cho hình hộp ABCD.EFHG, khẳng định nào sau đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Khẳng định sai là "CE song song với FH"
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là:
Khoảng biến thiên giá trị của nam là:
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).
Hình vẽ minh họa
Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.
Tính giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
; điểm
nằm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
và cạnh
. Tính tỉ số
.
Đáp án: 2
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , gọi
.
Trong , gọi
.
Trong mặt phẳng , dựng
là đường trung bình của tam giác
.
là trung điểm của
.
Trong , dựng
.
Xét tính bị chặn của dãy số
, ta thu được kết quả?
Ta có
Dãy (un) bị chặn.
Cho góc
thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thưc
.
Theo bài ra ta có:
Tìm tần số còn thiếu trong mẫu dữ liệu ghép nhóm dưới đây. Biết số trung bình bằng
?
| Đối tượng | Tần số |
[4; 8) | 11 |
[8; 12) | 13 |
[12; 16) | 16 |
[16; 20) | 14 |
[20; 24) | a |
[24; 28) | 9 |
[28; 32) | 17 |
[32; 36) | 6 |
[36; 40) | 4 |
Ta có:
Giá trị đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
6 | 11 | 66 |
10 | 13 | 130 |
14 | 16 | 224 |
18 | 14 | 252 |
22 | a | 22a |
26 | 9 | 234 |
30 | 17 | 510 |
34 | 6 | 204 |
38 | 4 | 152 |
Tổng |
Biết số trung bình bằng nên ta có:
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
.
Ta có
.
Phương trình
có nghiệm khi:
Xét phương trình:
Trường hợp 1:
Phương trình (*) trở thành:
3 + 3.m - 4.0 = 0 (Vô lí)
Trường hợp 2:
Chia cả hai vế của phương trình (*) cho cos2x
Phương trình (*) trờ thành: (**)
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
Phương trình đã cho có nghiệm => (***) có nghiệm
=> (luôn đúng với mọi m)
=> Phương trình đã cho có nghiệm với mọi
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta lại có: suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Lấy một điểm
thuộc cạnh
. Mặt phẳng
qua M song song với SA và BC. Giả sử
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.
Ta lại có: suy ra
Cho cấp số nhân (un) có
. Tìm số hạng đầu tiên của dãy biết số đó không lớn hơn 100.
Ta có:
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Mà n là số chẵn và
bằng:
Ta có:
Cho hình hộp
và điểm
nằm giữa
và
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy
Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra , kết hợp với
suy ra
, suy ra N thuộc cạnh BB’.
Tương tự, giả sử suy ra
.
Kết hợp với (1) suy ra
Tương tự, sao cho
;
sao cho
;
sao cho
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác .
Giá trị của
với a> 0 bằng:
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Suy ra: nên
Suy ra:
Tóm lại ta luôn có: với a > 0 .
Quan sát bảng sau và tìm khoảng chứa tứ phân vị thứ ba:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 |
Ta có:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | Tổng |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 | N = 59 |
Tần số tích lũy | 8 | 20 | 42 | 59 |
|
Ta có:
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
Tìm tập các định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số là