Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Câu 1: Thông hiểu

Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:

Điểm	Số học sinh
[20; 30)	4
[30; 40)	6
[40; 50)	15
[50; 60)	12
[60; 70)	10
[70; 80)	6
[80; 90)	4
[90; 100]	3

Biết rằng nếu học sinh có ít nhất 60 điểm và không vượt quá 80 điểm sẽ đạt điểm B. Hỏi phần trăm số học sinh đạt điểm B trong lớp 11A chiếm bao nhiêu phần trăm?

A.
$54,3\%$
B.
$26,7\%$
C.
$38,5\%$
D.
$42,5\%$

Quan sát bảng số liệu ghép nhóm ta thấy:

Số học sinh lớp 11A là 60 học sinh

Nhóm [60; 70) có 10 học sinh

Nhóm [70; 80) có 6 học sinh

=> Số học sinh đạt điểm B là 10 + 6 = 16 (học sinh)

Vậy số học sinh đạt điểm B chiếm $\frac{16}{60}.100\% \approx 26,7\%$

Câu 2: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước.
C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
D. Ba điểm không thẳng hàng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất.

Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."

Câu 3: Nhận biết

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
a, d trùng nhau.
B.
a, d chéo nhau.
C.
a song song d.
D.
a, d cắt nhau.

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d

Câu 4: Nhận biết

Giá trị của ${D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}$ bằng:

A.
$+ \infty$
B.
$- \infty$
C.
0
D.
4

Ta có:

$\lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4$

Câu 5: Nhận biết

Giải phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0$ ?

A. $x = k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
D. $x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$

Phương trình $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} ight) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{k3\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .

Câu 6: Vận dụng

Phát biểu nào dưới đây về dãy số (a_n) được cho bởi a_n = 2ⁿ + n là đúng?

A.
Dãy số (a_n) là dãy số giảm.
B.
Dãy số (a_n) là dãy số tăng.
C.
Dãy số (a_n) là dãy không tăng.
D.
Dãy số (a_n) là dãy không tăng và không giảm.

Ta có a_n + 1 − a_n = 2^n + 1 + n + 1 − 2ⁿ − n

= 2.2ⁿ − 2ⁿ + 1 = 2ⁿ + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (a_n) là dãy số tăng.

Câu 7: Nhận biết

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Có bao nhiêu cư dân phải thanh toán cước phí từ 50 đến 200 nghìn đồng trong tháng?

Đáp án: 52 cư dân

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Có bao nhiêu cư dân phải thanh toán cước phí từ 50 đến 200 nghìn đồng trong tháng?

Đáp án: 52 cư dân

Số cư dân phải thanh toán cước phí từ 50 đến 200 nghìn đồng trong tháng là:

12 + 23 + 17 = 52 (cư dân)

Câu 8: Nhận biết

Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ ?

A.
$2;6;10;14;18$
B.
$2;9;28;83;264$
C.
$2;6;28;82;246$
D.
$2;9;28;83;246$

Ta có:

$u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2$

$u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9$

$u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28$

$u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83$

$u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là $2;9;28;83;246$

Câu 9: Thông hiểu

Tính $H = \lim_{xightarrow 2}\frac{2 - x}{\sqrt{x + 7} - 3}$

A.
$H = 6$
B.
$H = - 4$
C.
$H = 4$
D.
$H = - 6$

Ta có:

$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2 -x}{\sqrt{x + 7} - 3}$

$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x + 7} - 3 ight)\left(\sqrt{x + 7} + 3 ight)}$

$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{x + 7 - 9}$

$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{- (2 - x)} = - 6$

Câu 10: Thông hiểu

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A.
$u_{n} = 1 + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
B.
$u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(n + 2)}{6}$
C.
$u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(2n - 1)}{6}$
D.
$u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

$u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$

Câu 11: Vận dụng

$\lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}$ bằng:

A.
$\frac{-1}{5}$
B.
$\frac{-1}{6}$
C.
-1
D.
0

Ta có:

$0 \leqslant \left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}} ight| \leqslant \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}$

Do $\lim \frac{1}{n} = 0$ => $\lim \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{n + 5}} = 0$

Câu 12: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có đáy nhỏ là $BC$ , lấy điểm $P \in SD$ , sao cho $PD = 2SP$ . Gọi $Q = SA \cap (PBC)$ . Tính tỉ số giữa hai cạnh $SQ$ và $SA$ .

A.
$\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{3}$
B.
$\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{2}$
C.
$\frac{SQ}{SA} = \frac{1}{4}$
D.
$\frac{SQ}{SA} = 2$

Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(PBC);(SAD);(ABCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $PQ;AD;BC$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $PQ;AD;BC$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $AD//BC \Rightarrow PQ//AD$

Do đó $\frac{SQ}{SA} = \frac{SP}{SD} = \frac{1}{3}$

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt $(P)$ , $(Q)$ và $(R)$ . Xét các mệnh đề sau

1) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

2) Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

3) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

4) Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt $(R)$ với thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

Số mệnh đề đúng là:

A.
1.
B.
0.
C.
3.
D.
2.

Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$

Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng

Mệnh đề 4 là mệnh đề sai

Câu 14: Nhận biết

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại $x = 1$ ?

A.
$y = \frac{2x + 1}{x^{2} + 1}$
B.
$y = x^{3} + x + 1$
C.
$y = \frac{x}{x^{2} - 1}$
D.
$y = \sin x$

Xét hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

Câu 15: Vận dụng cao

Cho dãy số (u_n), biết $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{2} \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}},n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (u_n) ?

A.
Dãy số (u_n) giảm và bị chặn
B.
Dãy số (u_n) giảm và không bị chặn
C.
Dãy số (u_n) tăng và bị chặn
D.
Dãy số (u_n) tăng và không bị chặn

Ta có $u_{1} = \sqrt{2};u_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}};u_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}};$

$\ldots;u_{n} = \sqrt{2+ \sqrt{2} + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}$

Do u_n + 1 − u_n > 0 nên (u_n) là dãy số tăng.

Lại có $\sqrt{2} < u_{n} \leq 2$ suy ra dãy số bị chặn.

Câu 16: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .

A.
$16$
B.
$\frac{37}{5}$
C.
$\frac{85}{2}$
D.
$18$

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .

=> $MQ//AC$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .

=> $QP//BD$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .

=> $NP//AC$

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .

Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$

Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$

Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$

Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$

$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$

Vậy $M'B.M'C = 18$

Câu 17: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?

A. 2
B. 0
C. 1
D. 3

Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$

$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$

Do đó

$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$

+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$

Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .

+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$

Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .

Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là

$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .

Câu 18: Thông hiểu

Số lượng người đi xem một bộ phim mới theo độ tuổi trong một rạp chiếu phim (sau $1\ h$ đầu công chiếu) được ghi lại theo bảng phân phối ghép nhóm sau:

Độ tuổi	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số người	30	48	11	9	2

Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là

A.
22.
B.
24.
C.
23.
D.
25.

Ta có mốt là:

$M_{0} = 20 + \frac{48 - 30}{(48 - 30) + (48 - 11)} \cdot 10 = \frac{256}{11} \approx 23,27$ .

Vậy độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 23 tuổi.

Câu 19: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?

A.
$AB$ và $CD$ .
B.
$AC$ và $BD$ .
C.
$SB$ và $CD$ .
D.
$SD$ và $BC$ .

Hình vẽ minh họa

Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: $AC$ và BD.

Câu 20: Nhận biết

Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha;cos\alpha$ cùng dấu?

A.
Thứ II
B.
Thứ IV
C.
Thứ II hoặc IV
D.
Thứ I hoặc III

Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì $\sin\alpha;cos\alpha$ cùng dấu

Câu 21: Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1) = 2, f(4) = 7$ . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f(x) = 5$ trên đoạn $[-1;4]$ :

A.
Vô nghiệm
B.
Có ít nhất một nghiệm
C.
Có đúng một nghiệm
D.
Có đúng hai nghiệm

Ta có: $f(x)=5 =>f(x)−5=0$

Đặt $g(x)=f(x)−5$

Khi đó:

$\begin{matrix}\left\{ \begin{gathered}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \hfill \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \hfill \\\end{gathered} ight. \hfill \\\Rightarrow g( - 1).g(4) < 0 \hfill \\\end{matrix}$

Vậy phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ hay phương trình $f(x)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ .

Câu 22: Vận dụng

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0 \leq t \leq 24)$ cho bởi hàm số $h(t) = a\cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + b$ có đồ thị như hình bên dưới ( $a,b$ là các số thực dương). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các thời điểm $t$ trong ngày để chiều cao của mực nước biển là $15$ mét. Tổng tất cả phần tử của $S$ bằng.

Đáp án: 36

Đáp án là:

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $(0 \leq t \leq 24)$ cho bởi hàm số $h(t) = a\cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + b$ có đồ thị như hình bên dưới ( $a,b$ là các số thực dương). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các thời điểm $t$ trong ngày để chiều cao của mực nước biển là $15$ mét. Tổng tất cả phần tử của $S$ bằng.

Đáp án: 36

Theo đồ thị ta có: $\left\{ \begin{matrix} h(6) = 9 \\ h(24) = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a + b = 9 \\ a + b = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra: $h(t) = 3cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + 12$ .

Theo đề bài yêu cầu:

$h(t) = 15$

$\Leftrightarrow 3cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) + 12 = 15$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi}{6}t ight) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{6}t = k2\pi \Leftrightarrow t = 12k\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì: $0 \leq t \leq 24$ nên $t = 0,t = 12,t = 24$

Suy ra: $S = \left\{ 0;12;24 ight\}$

Câu 23: Thông hiểu

Tìm giá trị của a để hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .

A.
$a = \frac{5}{4}$
B.
$a = - \frac{15}{4}$
C.
$a = \frac{1}{4}$
D.
$a = 1$

Ta có:

$f(2) = a + 4$

$\lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = a + 4$

$\Leftrightarrow a = - \frac{15}{4}$

Câu 24: Thông hiểu

Với giá trị nào của $x;y$ thì các số hạng $- 2;x; - 18;y$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

A.
$\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = - 54 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 26 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = - 54 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = 54 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: các số hạng $- 2;x; - 18;y$ lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.$

Câu 25: Thông hiểu

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;d = 3$ . Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

A.
$S_{100} = 24350$
B.
$S_{100} = - 24350$
C.
$S_{100} = 24600$
D.
$S_{100} = - 24600$

Ta có:

$S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350$

Câu 26: Nhận biết

Điều kiện xác định của hàm số $y = \cot \left( {x - \frac{{2\pi }}{5}} ight)$ là:

A. $x e \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi$
B. $x e - \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi$
C. $x e \frac{{2\pi }}{5} + k\pi$
D. $x e -\frac{{2\pi }}{5} + k\pi$

Ta có: $y = \cot \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) = \dfrac{{\cos \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}{{\sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}$

Điều kiện xác định của hàm số

$\begin{matrix} \sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{{2\pi }}{5} e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{2\pi }}{5} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 27: Vận dụng

Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Các tam giác $S_{1}AB;S_{2}BC;S_{3}CD;S_{4}DA$ là các tam giác cân bằng nhau. Gọi $G;G'$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $S_{1}AB$ và $S_{3}CD$ . Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (các điểm $S_{1};S_{2};S_{3};S_{4}$ trùng vào đỉnh $S$ ). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng $GG'$ .

A.
$GG' = \frac{2a}{3}$
B.
$GG' = \frac{a}{2}$
C.
$GG' = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$
D.
$GG' = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

$\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{GG'}{MN} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow GG' = \frac{2}{3}MN = \frac{2a}{3}$

Câu 28: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,\ CB,\ SA$ , $H = AC \cap MN$ . Giao điểm của đường thẳng $SO$ với mặt phẳng $(MNK)$ là giao điểm của hai đường thẳng nào?

A.
$SO;MN$
B.
$SO;KN$
C.
$SO;HK$
D.
$SO;KM$

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng $(SAC)$ ta có:

$KH \cap SO \equiv E$

$\Rightarrow SO \cap (MNK) \equivE$

Câu 29: Thông hiểu

Phương trình $cos2x = 1$ có một nghiệm thuộc khoảng $(\pi;3\pi)$ là

A.
$x = \frac{3\pi}{4}$ .
B.
$x = \frac{3\pi}{2}$ .
C.
$x = 2\pi$ .
D.
$x = 3\pi$ .

Ta có $cos2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi(k \in \mathbb{Z})$ .

Do đó $x = 2\pi$ là một nghiệm của phương trình $cos2x = 1$ thuộc khoảng $(\pi;3\pi)$ .

Câu 30: Thông hiểu

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A.
Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
B.
Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
C.
Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
D.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

Câu 31: Nhận biết

Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:

Thời gian (giây)	8,3	8,4	8,5	8,7	8,8
Tần số	2	3	9	5	1

Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:

A.
8,54.
B.
4.
C.
8,50.
D.
8,53.

Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:

$\overline{x} = \frac{8,3.2 + 8,4.3 + 8,5.9 + 8,7.5 + 8,8.1}{20} = 8,53.$

Câu 32: Thông hiểu

Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)$

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Ta có:

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

$= \sqrt{2}\cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} - x ight) ightbrack$

$= \sqrt{2}\sin\left( \frac{\pi}{4} - x ight)$

Vậy có hai đồng nhất thức.

Câu 33: Vận dụng cao

Giá trị của giới hạn $\lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}};\left( |a| < 1,|b| < 1 ight)$ bằng:

A.
$0$
B.
$\frac{1 - b}{1 - a}$
C.
$\frac{1 - a}{1 - b}$
D.
$\frac{a}{b}$

Ta có:

$1 + a + a^{2} + ... + a^{n}$ là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a

=> $1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1.\left( 1 - a^{n + 1} ight)}{1 - a} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}$

Tương tự:

$1 + b + b^{2} + ... + b^{n}$ là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b

=> $1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1.\left( 1 - b^{n + 1} ight)}{1 - b} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}$

$\Rightarrow \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$

$\begin{matrix} = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}} = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 34: Nhận biết

Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

A.
$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 1;n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = - 3u_{n};n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n} + 3;n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{\pi}{2} \\u_{n + 1} = \sin\left( \dfrac{\pi}{n - 1} ight);n \geq 1 \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow u_{n + 1} = q.u_{n}$

Dãy số lập thành cấp số nhân là $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = - 3u_{n};n \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$

Câu 35: Thông hiểu

Cho hàm số $y = -2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 2$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$y \geq - 4;\forall x\mathbb{\inR}$
B.
$y \geq 4;\forall x\mathbb{\inR}$
C.
$y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR}$
D.
$y \geq 2;\forall x\mathbb{\inR}$

Ta có:

$- 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) \leq 1$

$\Rightarrow 2 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) \geq - 2$

$\Rightarrow 4 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) + 2 \geq 0$

$\Rightarrow 4 \geq y \geq 0$

Vậy $y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR}$ là mệnh đề đúng.

Câu 36: Thông hiểu

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$

A.
$2$
B.
$- 1$
C.
$- 2$
D.
$0$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0$

Câu 37: Vận dụng

Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $\left| {3b - a} ight|$ bằng?

A. 8
B. 5
C. 12
D. 15

Ta có:

Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng

=> a + 3b = 5.2

=> a = 10 – 3b

Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân

=> a.3b = 3²

=> ab = 3

$\begin{matrix} \Rightarrow b\left( {10 - 3b} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 3 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \\ {b = \dfrac{1}{3} \Rightarrow a = 9 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 38: Vận dụng

Tìm số trung bình của mẫu dữ liệu cho trong bảng sau:

Khoảng	Tần số
Nhỏ hơn 20	6
Nhỏ hơn 40	28
Nhỏ hơn 60	65
Nhỏ hơn 80	90
Nhỏ hơn 100	111

A.
$\overline{x} \approx66,34$
B.
$\overline{x} \approx67,45$
C.
$\overline{x} \approx 68,13$
D.
$\overline{x} \approx62,47$

Ta có:

Khoảng	Đại diện khoảng	Tần số	Tích
[0; 20)	10	6	60
[20; 40)	30	28	840
[40; 60)	50	65	3250
[60; 80)	70	90	6300
[80; 100)	90	111	9990
Tổng		N = 300	20440

Số trung bình là:

$\overline{x} = \frac{20440}{300} \approx68,13$

Câu 39: Thông hiểu

Cho bảng dữ liệu như sau:

Đại diện A	[15,5; 20,5)	[20,5; 25,5)	[25,5; 30,5)	[30,5; 35,5)	[35,5; 40,5)	[40,5; 45,5)	[45,5; 50,5)	[50,5; 55,5)
Tần số	5	6	12	14	26	12	16	9

Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu đã cho?

A.
$30,1$
B.
$31,2$
C.
$32,5$
D.
$31,8$

Ta có:

Đại diện X	Tần số	Tần số tích lũy
[15,5; 20,5)	5	5
[20,5; 25,5)	6	11
[25,5; 30,5)	12	23
[30,5; 35,5)	14	37
[35,5; 40,5)	26	63
[40,5; 45,5)	12	75
[45,5; 50,5)	16	91
[50,5; 55,5)	9	100
	N = 100

Ta lại có: $\frac{N}{4} = \frac{100}{4} =25$

=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là $[30,5; 35,5)$ (vì 25 nằm giữa các tần số tích lũy 23 và 37).

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 30,5;m = 23,f = 14;c =35,5 - 30,5 = 5$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 30,5 + \dfrac{25 - 23}{14}.5 \approx31,2$

Câu 40: Vận dụng cao

Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y =\sqrt{1 + \frac{1}{2}cos^{2}x} + \frac{1}{2}\sqrt{5 +2sin^{2}x}$

A.
$\frac{\sqrt{11}}{2}$
B.
$1 + \sqrt{5}$
C.
$1 +\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.
$\frac{\sqrt{22}}{2}$

Ta có:

$\begin{matrix}y = \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5 + 2sin^{2}x}\hfill \\= \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \sqrt{\dfrac{5}{4} +\dfrac{1}{2}sin^{2}x}\hfill \\\end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức $2\left( a^{2} +b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}$

Do đó

$\begin{matrix} 2\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}x} ight) + \left( {\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} ight)} ight] \geqslant {y^2} \hfill \\ {y^2} \leqslant 2\left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{{11}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu bằng xảy ra khi

$\begin{matrix} 1 + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 41: Nhận biết

Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng $u_{1} = 5;u_{2} = 9$ .

A.
$230$
B.
$410$
C.
$275$
D.
$41$

Theo bài ra ta có:

$d = u_{2} - u_{1} = 4$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230$

Câu 42: Nhận biết

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x)$ bằng

A.
$+\infty$
B.
$0$
C.
$\sqrt{\frac{1}{2}}$
D.
$\frac{1}{2}$

Ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 43: Thông hiểu

Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:

A.
$0$
B.
$2$
C.
$- 2$
D.
$+ \infty$

Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$

Câu 44: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 45: Thông hiểu

Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?

(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.

(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.

(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.

A.
Chỉ có (1) sai.
B.
Chỉ có (2) sai
C.
Chỉ có (3) sai
D.
(1), (2) và (3) đều sai

Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song

Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c

Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!