Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ thỏa mãn biểu thức $\sin\frac{\widehat{A}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Tam giác $ABC$ đều
- B.
  Tam giác $ABC$ cân
- C.
  Tam giác $ABC$ vuông
- D.
  Tam giác $ABC$ vuông cân
Ta có:

$\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2}- \sin\frac{\widehat{B}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} =0$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{A}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{A}}{2}} =\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{B}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{B}}{2}}$

$\Leftrightarrow\tan\frac{\widehat{A}}{2}\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{A}}{2} ight)= \tan\frac{\widehat{B}}{2}.\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{B}}{2}ight)$

$\Leftrightarrow \tan\frac{\widehat{A}}{2} = \tan\frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B}$

Vậy tam giác $ABC$ cân.
Câu 2: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Mặt phẳng $(A'BD)$ song song với mặt phẳng
- A.
  $(BDD'B')$ .
- B.
  $(B'C'D')$ .
- C.
  $(DCC'D')$ .
- D.
  $(CB'D')$ .
Hình vẽ minh họa

Vì $BCD'A'$ là hình bình hành, ta có $BA'\ //\ CD'$ $(1)$

Vì $BDD'B'$ là hình bình hành, ta có $BD\ //\ B'D'$ $(2)$

Mặt khác: $BA' \cap BD = B,\ \ \ CD' \cap B'D' = D'$ $(3)$

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow(A'BD)//(CB'D')$ , suy ra phương án cần tìm là: $(CB'D')$ .
Câu 3: Nhận biết
Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số u_n = n² + 1?
- A.
  79
- B.
  89
- C.
  69
- D.
  99
Ta có 7922 = 7921 + 1 = 89² + 1 ⇒ n = 89
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)$ ?
- A.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k\pi|k\in \mathbb{Z} ight\}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- C.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2} + k\pi|k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- D.
  $D= \mathbb{R}$
Hàm số $y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)$ xác định khi:

$\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \sin2x eq 0$

$\Leftrightarrow 2x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Câu 5: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm
Tần số
(0;10]
8
(10;20]
14
(20;30]
12
(30;40]
9
(40;50]
7
Tính giá trị trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên.
- A.
  $\overline{x} =23,6$
- B.
  $\overline{x} = 25$
- C.
  $\overline{x} = 21,3$
- D.
  $\overline{x} = 20,8$
Ta có:
Đại diện
Tần số
Tích các giá trị
5
8
40
15
14
210
25
12
300
35
9
315
45
7
315
Tổng
N = 50
1180
Giá trị trung bình là: $\overline{x} =\frac{1180}{50} = 23,6$
Câu 6: Vận dụng
Giá trị của $\lim\frac{a^{n}}{n!}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1>|a|.
Khi đó với mọi n > m+1.
Ta có: $0 < \left| \frac{a^{n}}{n!}ight| = \left| \frac{a}{1}.\frac{a}{2}\ldots\frac{a}{m} ight|.\left|\frac{a}{m + 1}\ldots\frac{a}{n} ight| < \frac{|a|^{m}}{m!}.\left(\frac{|a|}{m + 1} ight)^{n - m}$
Mà $\lim\left( \frac{|a|}{m + 1}ight)^{n - m} = 0$ .
Từ đó suy ra: $\lim\frac{a^{n}}{n!} =0$ .
Câu 7: Nhận biết
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) + \sqrt 3 = 0$ trên đường tròn lượng giác là?
- A. 4
- B. 3
- C. 2
- D. 1
Ta có $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) + \sqrt 3 = 0$ $\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = - \sqrt 3$
$\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} ight)$
$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \,\frac{\pi }{3} + k\pi$
$\Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Ta xét có 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.
Câu 8: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}}$ khi $x \mapsto - \infty$ .
- A.
  $- \frac{1}{\sqrt{2}}$
- B.
  $\sqrt{2}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
- D.
  $- \sqrt{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}$
Câu 9: Nhận biết
Tìm chu kì T của hàm số $y = \sin\left( 5x- \frac{\pi}{4} ight)$
- A.
  $T =\frac{2\pi}{5}$
- B.
  $T = \frac{5\pi}{2}$
- C.
  $T = \frac{\pi}{2}$
- D.
  $T = \frac{\pi}{8}$
Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2\pi}{|a|}$
=> $y = \sin\left( 5x- \frac{\pi}{4} ight)$ tuần hoàn với chu kì $T =\frac{2\pi}{5}$
Câu 10: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $(MNP) \cap (SAB) = MN$
- B.
  Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
- C.
  Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
- D.
  $MN//(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1$ vô nghiệm.
- A. $m \in \left[ {\frac{1}{2};2} ight]$
- B. $m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left( {\frac{1}{2};2} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$
TH1. Với m = 2, phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow 0 = 3$ : vô lý.
Suy ra m=2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
TH2. Với $m eq 2$ , phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{m + 1}}{{m - 2}}$
Để phương trình vô nghiệm
$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m - 2}} otin \left[ { - \,1;1} ight] \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \frac{{m + 1}}{{m - 2}} > 1 \hfill \\ \frac{{m + 1}}{{m - 2}} < - \,1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ \frac{1}{2} < m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Kết hợp hai trường hợp, ta được $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } ight)$ là giá trị cần tìm.
Câu 12: Thông hiểu
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}}$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x^{2} + 1}$
- C.
  $\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight)$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +1}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = 0$

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}} = 0$

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight)$ không xác định.
Câu 13: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục tại $x = 0$ với $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\sin\frac{1}{x}\ khi\ x eq 0 \\ m\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Xác định giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
- A.
  $m \in ( - 2; - 1)$
- B.
  $m \leq - 2$
- C.
  $m \in \lbrack - 1;7)$
- D.
  $m \in \lbrack 7; + \infty)$
Với mọi $x eq 0$ ta có:

$0 \leq \left| f(x) ight| = \left| x^{2}\sin\frac{1}{x} ight| \leq x^{2} \mapsto 0$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 0$

Theo giả thiết ta phải có $m = f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 0$
Câu 14: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ , điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khi đó:

a) $EF//AC$ Đúng||Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ , điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khi đó:

a) $EF//AC$ Đúng||Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ . Đúng||Sai

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ :

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD). \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $Sx = (SAB) \cap (SCD)$ , với $Sx$ là đường thẳng qua $S$ và $Sx//AB//CD$ .

Hình vẽ minh họa

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ :

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAD) \\ M \in (MBC) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD) ight.$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (MBC);AD \subset (SAD).\ \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $My = (MBC) \cap (SAD),My$ là đường thẳng qua $M$ và $My//BC//AD$ .

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ :

Ta có $:\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAC) \\ M \in (MEF) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC) ight.$ .

Xét tam giác $ABC$ , ta có $EF$ là đường trung bình $\Rightarrow EF//AC$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MEF) \cap (SAC) \\ EF \subset (MEF);AC \subset (SAC).\ \\ EF//AC \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $Mt=( M EF )\cap( SAC ), Mt$ là đường thẳng qua $M$ và $Mt//EF//AC$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 15: Thông hiểu

Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Đáp án là:

Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Ta có:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Câu 16: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = - \infty$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| \geq 1 ight)$
$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = + \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$

$\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 17: Thông hiểu
Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ và $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ . Tính $F = \sin2(\alpha + \pi)$
- A.
  $F = - \frac{24}{25}$
- B.
  $F = \frac{24}{25}$
- C.
  $F = - \frac{12}{25}$
- D.
  $F = \frac{12}{25}$
Ta có:

$F = \sin2(\alpha + \pi)$

$= \sin(2\alpha + 2\pi)$

$= \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha$

Từ hệ thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha= 1$

$\Rightarrow \cos\alpha = \pm \sqrt{1 -\sin^{2}\alpha} = \pm \frac{3}{5}$

Do $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos\alpha = - \frac{3}{5}$

Thay $\sin\alpha = \frac{4}{5};\cos\alpha =- \frac{3}{5}$ vào biểu thức ta được:

$F = 2.\frac{4}{5}.\left( - \frac{3}{5} ight) = - \frac{24}{25}$
Câu 18: Vận dụng cao
Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}$ . Giá trị S₁₀ là
- A.
  1
- B.
  $\frac{121}{120}$
- C.
  $\frac{119}{121}$
- D.
  $\frac{120}{121}$
Cách 1:

Ta có $\frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots$

Suy ra $S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}$

Vậy $S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Cách 2:

Ta có $S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}$ .
Câu 19: Nhận biết
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = 2^{n}$
- C.
  $u_{n} = 2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 2n$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}$
Câu 20: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng.
- B.
  Dãy (u_n) giảm.
- C.
  Dãy (u_n) không tăng, không giảm.
- D.
  Dãy số (u_n) là dãy hữu hạn.
Ta có $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}$

Xét tỉ số:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}$

$= \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}$

$= 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.
Câu 21: Nhận biết
Cho $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
- A.
  $\sin\alpha > 0$
- B.
  $\cos\alpha < 0$
- C.
  $\tan\alpha < 0$
- D.
  $\cot\alpha < 0$
Ta có $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác

=> $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 22: Thông hiểu
Tính khoảng biến thiên của mẫu dữ liệu cho dưới đây:
Khoảng thời gian học (phút)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
Tần số
2
3
14
8
3
8
2
- A.
  $70$
- B.
  $10$
- C.
  $60$
- D.
  $50$
Khoảng biến thiên mẫu dữ liệu ghép nhóm được đưa ra bởi công thức:
Khoảng biến thiên = Giới hạn trên của khoảng cao nhất – Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất
Giới hạn trên của khoảng cao nhất là: 80
Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất là: 10
=> Khoảng biến thiên là: $80 – 10 = 70$
Câu 23: Vận dụng cao
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm?
- A. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
- B. $m \in \left( {1; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left[ { - 1;1} ight]$
- D. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight)$
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Phương trình $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$
Do đó, phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .
Câu 24: Nhận biết
Giá trị đại diện của nhóm $\lbrack 58;60)$
- A.
  $58$ .
- B.
  $59$ .
- C.
  $54$ .
- D.
  $60$ .
Giá trị đại diện của mẫu là: $\frac{58 + 60}{2} = 59$ .
Câu 25: Nhận biết
$\lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{6}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{\sqrt[3]{2}}{6}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} ight)}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} = \dfrac{1}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng.
- B.
  Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng.
- C.
  Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- D.
  Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.

Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.

Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.

Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ
Câu 27: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $\mathbb{R}$ .

Ta có $f(1) = \frac{a + 15}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}$

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

$\begin{matrix} P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\ Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\ H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $H = \frac{PQ}{P + Q - 1}$
- B.
  $H = \frac{PQ}{P + Q + 1}$
- C.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} - \frac{1}{PQ}$
- D.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{PQ}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$\begin{matrix} H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 29: Nhận biết
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 30: Thông hiểu
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d = - 3$
- C.
  $d = 4$
- D.
  $d = 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 31: Nhận biết
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là
- A.
  chéo nhau.
- B.
  cắt nhau.
- C.
  song song.
- D.
  trùng nhau.
Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.
Câu 32: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $AC$ , G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng $(GMN)$ và $(BCD)$ .
- A.
  d qua M và song song với AB.
- B.
  d qua N và song song với BD.
- C.
  d qua G và song song với CD.
- D.
  d qua G và song song với BC.
Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G

=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).
Câu 33: Vận dụng cao
Tập giá trị của hàm số $y = \frac{\cos x +1}{\sin x + 1}$ trên $\left\lbrack0;\frac{\pi}{2} ightbrack$
- A.
  $\left\lbrack \frac{1}{2};2ightbrack$
- B.
  $(0;2brack$
- C.
  $\left\lbrack \frac{1}{2};2ight)$
- D.
  $\left( \frac{1}{2};2ight)$
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}0 \leq \cos x \leq 1 \\0 \leq \sin x \leq 1 \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2}ightbrack ight)$
Nên $\frac{0 + 1}{1 + 1} \leq \frac{\cos x+ 1}{1 + 1} \leq \frac{1 + 1}{0 + 1} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq y \leq2$
Câu 34: Thông hiểu
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và hai đường thẳng $m,n$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $m//(\alpha)$ và $n//(\alpha)$ thì $m,n$ đồng phẳng.
- B.
  Nếu $m \subset (\alpha)$ và $m$ cắt $n$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .
- C.
  Nếu $m//n$ và $n//(\alpha)$ thì $m//(\alpha)$ .
- D.
  Nếu $m//n$ và $(\alpha)$ cắt $m$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .
“Nếu $m//(\alpha)$ và $n//(\alpha)$ thì $m,n$ đồng phẳng.” sai vì có thể chéo nhau.

“Nếu $m \subset (\alpha)$ và $m$ cắt $n$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .” sai vì có thể nằm trên $(\alpha)$

“Nếu $m//n$ và $n//(\alpha)$ thì $m//(\alpha)$ .” sai vì có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 35: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$

Câu 36: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 37: Nhận biết
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.
Câu 38: Thông hiểu
Cho dãy số ${(u}_{n})$ với $u_{n} = (n - 1)\sqrt{\frac{2n + 2}{n^{4} + n^{2} -1}}$ . Chọn kết quả đúng của $\lim(u_{n}\ )$ là:
- A.
  $- \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  $+ \infty$
Ta có: $\lim\left( u_{n}\ ight) =\lim(n - 1)\sqrt{\frac{2n + 2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$
$= \lim\sqrt{\frac{(n - 1)^{2}(2n +2)}{n^{4} + n^{2} - 1}}$
$= \lim\sqrt{\frac{2n^{3} - 2n^{2} - 2n +2}{n^{4} + n^{2} - 1}}$
$= \lim\sqrt{\frac{\frac{2}{n} -\frac{2}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}}{1 + \frac{1}{n^{2}}- \frac{1}{n^{4}}}}$
= 0
Câu 39: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Lấy $M \in AD,N \in CC'$ sao cho $2AM = AD$ và $2CN = CC'$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $MN$ và song song với $(ACB')$ . Xác định các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình lục giác
- B.
  Hình ngũ giác
- C.
  Hình tứ giác
- D.
  Hình tam giác
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp.
Câu 40: Nhận biết
Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?
- A.
  $- 21$
- B.
  $23$
- C.
  $- 17$
- D.
  $- 19$
Ta có: $u_{11} = u_{1} + 10d = - 17$
Câu 41: Vận dụng

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn $150 \times 6\%= 9(mg)$ , suy ra mệnh đề đúng.

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là: $150 \times 6\% + 150 = 159(mg)$ suy ra mệnh đề đúng.

c) Gọi $u_{n}$ là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $1$ là: $u_{1} = 150(mg)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là:

$u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $3$ là:

$u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $4$ là:

$u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)$

Suy ra mệnh đề sai.

d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

$S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)$

$= 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}$

$= \frac{7500}{47} \approx 159,57mg$

Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là $159,57mg$ , suy ra mệnh đề đúng.
Câu 42: Nhận biết
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu
Tần số
(0; 15]
4
(15; 30]
12
(30; 45]
17
(45; 60]
7
- A.
  (15; 30]
- B.
  (0; 15]
- C.
  (45; 60]
- D.
  (30; 45]
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Câu 43: Thông hiểu
Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = -1; u₆ = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:
- A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = \dfrac{1}{{10}}} \\ {{u_n} = \dfrac{{ - 1}}{{{{10}^{n - 1}}}}} \end{array}} ight.$
- B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = - \dfrac{1}{{10}}} \\ {{u_n} = - {{10}^{n - 1}}} \end{array}} ight.$
- C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = - \dfrac{1}{{10}}} \\ {{u_n} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}}} \end{array}} ight.$
- D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = \dfrac{1}{{10}}} \\ {{u_n} = \dfrac{1}{{{{10}^{n - 1}}}}} \end{array}} ight.$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 44: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.
- B.
  Dãy số (u_n) là dãy số giảm.
- C.
  Dãy số (u_n) là dãy số tăng.
- D.
  Dãy số (u_n) là dãy số không bị chặn.
Dãy số $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn vì

$\lim\left| u_{n} ight| = lim\sqrt{n} = + \infty$
Câu 45: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD và AC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là
- A.
  đường thẳng đi qua M và song song với AB.
- B.
  đường thẳng đi qua N và song song với BD.
- C.
  đường thẳng đi qua G và song song với CD.
- D.
  đường thẳng đi qua G và song song với BC.
Hình vẽ minh họa
Gọi $d = (GMN) \cap (BCD)$
Khi đó $d$ đi qua $G$ . Xét ba mặt phẳng $(GMN),(BCD),(ACD)$
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,CD,MN$ .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,CD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.
Mà $MN//CD\ = > \ d//CD$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (GMN) và (BCD) là đường thẳng đi qua G và song song với CD.