Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$
- A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
- B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
- C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
- D. Liên tục tại mọi điểm
Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$
Tại $x=0$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x=0$
Tại $x=1$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Câu 2: Thông hiểu
Cho $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A. $2\cos x - \sqrt 3 = 0$
- B. $\cos 2x = -1$
- C. $2\sin x - \sqrt 3 = 0$
- D. $2\cos x + \sqrt 3 = 0$
Giải PT, ta có: $2 \sin x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \frac{\pi }{3}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm hiểu thời gian tập thể dục mỗi ngày của học sinh (đơn vị: phút) ta thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[0; 5)
[5; 10)
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
Số học sinh
8
16
4
7
12
Hỏi số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $45\%$
- B.
  $49\%$
- C.
  $51\%$
- D.
  $53\%$
Số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày là:
$4 + 7 + 12 = 23$ (học sinh) chiếm $\frac{23.100\%}{47} \approx49\%$
Câu 4: Thông hiểu
Giá trị của giới hạn $\lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là:
- A.
  $\frac{5}{6}$
- B.
  $\frac{13}{12}$
- C.
  $\frac{11}{12}$
- D.
  $\frac{- 13}{12}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2\sqrt{1 + x} - 2}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 1} + 1} + \frac{1}{4 + 2\sqrt[3]{8 - x + \sqrt[3]{(8 - x)^{2}}}} ight)$

$= 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$
- A.
  $- 2$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{- 2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0$
Câu 6: Nhận biết
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Tần số

7

13

9

18

22

6

Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  8
Mẫu số liệu đã cho có 6 nhóm.
Câu 7: Nhận biết
Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt?
- A.
  $10$
- B.
  $6$
- C.
  $8$
- D.
  $7$
Hình chóp có 7 mặt trong đó có 6 mặt bên và 1 mặt đáy.
Câu 8: Vận dụng cao
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn $\lbrack0;\pibrack$ . Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và $CD = \frac{2\pi}{3}$ . Tính độ dài cạnh BC.
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Gọi $A\left( {a;\sin a} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} = a + \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {{y_B} = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight)} \end{array}} ight.$
Mặt khác
$\begin{matrix} {y_A} = {y_B} \Rightarrow \sin a = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight) \hfill \\ \Rightarrow a = \pi - a - \dfrac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó $BC = AD = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}$
Câu 9: Thông hiểu

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là $12288 m^{ 2 }$ . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

Đáp án: 6 m²

Đáp án là:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là $12288 m^{ 2 }$ . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

Đáp án: 6 m²

Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là $S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 11: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $y = 3tan^{2}\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)$
- A.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{3\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}cos^{2}\left( \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi;k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 12: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Hàm số liên tục trên $( - \infty;4)$
- B.
  Hàm số liên tục trên $(1;4)$
- C.
  Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  Hàm số liên tục trên $(1; + \infty)$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên $(1;4)$
Câu 13: Nhận biết
Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin(\alpha - \pi) \geq 0$
- B.
  $\sin(\alpha - \pi) \leq 0$
- C.
  $\sin(\alpha - \pi) > 0$
- D.
  $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Ta có: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

=> $0 - \pi < \alpha - \pi < \frac{\pi}{2} - \pi$

=> $- \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi}{2}$

Điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ ba

=> $\sin(\alpha - \pi) < 0$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1$ .
- A.
  $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{10}}{5}$
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:
$\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1$
$\Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1$
$\Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x$
$\Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Với $tanx = 0$ ta được nghiệm $x=k\pi$
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với $tanx = 3$ ta được $x = acrtan 3 + kπ$
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
$\begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Nhận biết
Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa $a$ và $b$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Câu 16: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $d = - 2;S_{8} = 72$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ .
- A.
  $u_{1} = 16$
- B.
  $u_{1} = - 16$
- C.
  $u_{1} = \frac{1}{16}$
- D.
  $u_{1} = - \frac{1}{16}$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}d = - 2 \\S_{8} = 72 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = - 2 \\8u_{1} + \dfrac{8.7.d}{2} = 72 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow 8u_{1} + 28.( - 2) = 72$

$\Rightarrow u_{1} = 16$
Câu 17: Thông hiểu
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) $k ∈ \mathbb{ Q}$
(b) $n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.$
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$
- B.
  Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- C.
  Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- D.
  Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì $\mathbb{Q}$ là tập con thực sự của $\mathbb{N^*}$ nên tồn tại số nguyên dương không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k \in \mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì số nguyên âm không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 19: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có công bội $q$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{k} = u_{1}q^{k - 1}$
- B.
  $u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$
- C.
  $S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...99$
- D.
  $S = \frac{10^{n} - 1}{9}$
Mệnh đề đúng $u_{k} = u_{1}q^{k - 1}$ .

Câu 20: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 21: Nhận biết
Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{3}=15$ và $d=-2$ . Tìm $u_{n}$
- A.
  $u_{n}=-2n+21$
- B.
  $u_{n}=-\frac{3}{2}n+12$
- C.
  $u_{n}=-3n-17$
- D.
  $u_{n}=\frac{3}{2}n^{2}-4$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_3} = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 19 \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ = 19 + \left( {n - 1} ight).\left( { - 2} ight) \hfill \\ = 21 - 2n \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 2n + 21 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 22: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 23: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A. Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.
- B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.
- C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
- D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Mệnh đề: "Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác." sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.
Mệnh đề: "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung." và "Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng." sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Vậy mệnh đề đúng là: "Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng."
Câu 24: Thông hiểu
Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ 0 \leq x \leq 2 \\ 3x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Dễ thấy hàm số liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty;0),(0;2),(2; + \infty)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix} ight.$

=> Hàm số gián đoạn tại $x = 0$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 5 \hfill \\ f\left( 2 ight) = 5 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x - 1} ight) = 5 \hfill \\ \end{matrix} ight.$

=> Hàm số liên tục tại $x = 2$

Vậy có 1 điểm gián đoạn.
Câu 25: Nhận biết
Điều kiện để đường thẳng $m$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ :
- A.
  $m ⊄ (\beta)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m//n \\ n \subset (\beta) \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} m//n \\ n ⊄ (\beta) \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} m//n \\ n \subset (\beta) \\ m ⊄ (\beta) \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng $m$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ khi và chỉ khi $m$ không nằm trong $(\beta)$ , đồng thời $m$ song song với một đường thẳng $n$ nằm trong $(\beta)$ .
Câu 26: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.
- B.
  Dãy số (u_n) là dãy số giảm.
- C.
  Dãy số (u_n) là dãy số tăng.
- D.
  Dãy số (u_n) là dãy số không bị chặn.
Dãy số $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn vì

$\lim\left| u_{n} ight| = lim\sqrt{n} = + \infty$
Câu 27: Vận dụng cao
Dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{3} \\u_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{3n}.u_{n} \\\end{matrix} ight.$ và dãy số (v_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix}v_{1} = u_{1} \\v_{n + 1} = v_{n} + \dfrac{u_{n}}{n} \\\end{matrix} ight.$ . Tính $\lim v_{n}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{5}{6}$
- C.
  $\frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Ta có:

$u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3n}.u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3}.\frac{u_{n}}{3n}$ nên dãy $\left( \frac{u_{n}}{n} ight)$ là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{3}$

Lại có: $v_{n + 1} = v_{n} + \frac{u_{n}}{n} \Leftrightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n}}{n}$ , khi đó ta có:

$\begin{matrix} {v_2} - {v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} \hfill \\ {v_3} - {v_2} = \dfrac{{{u_2}}}{2} \hfill \\ ..... \hfill \\ {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ \end{matrix}$

Cộng vế theo vế ta được

$\begin{matrix} {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{1} + \dfrac{{{u_2}}}{2} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} ight]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Do đó: $v_{n + 1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + v_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3}$

=> $\lim v_{n} = \lim\left\{ \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3} ight\} = \frac{5}{6}$

Câu 28: Thông hiểu

Dưới đây là bảng biểu diễn điểm của 140 sinh viên của trường đại học. Tìm trung vị.

Khoảng điểm	Số sinh viên
(9,5; 19,5)	7
[19,5; 29,5)	15
[29,5; 39,5)	18
[39,5; 49,5)	25
[49,5; 59,5)	30
[59,5; 69,5)	20
[69,5; 79,5)	16
[79,5; 39,5)	7
[89,5; 39,5)	2

A.
$50,14$
B.
$49,78$
C.
$44,35$
D.
$51,17$

Ta có:

Khoảng điểm	Số sinh viên	Tần số tích lũy
(9,5; 19,5)	7	7
[19,5; 29,5)	15	22
[29,5; 39,5)	18	40
[39,5; 49,5)	25	65
[49,5; 59,5)	30	95
[59,5; 69,5)	20	115
[69,5; 79,5)	16	131
[79,5; 39,5)	7	138
[89,5; 39,5)	2	140
	N = 140

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{140}{2} =70$

=> Trung vị nằm trong nhóm $[49,5; 59,5)$ (vì 70 nằm giữa hai tần số tích lũy là 65 và 95)

$\Rightarrow l = 49,5;\frac{N}{2} = 70;m= 65;f = 30,c = 10$

$\Rightarrow M_{e} = l + \dfrac{\left(\dfrac{N}{2} - m ight)}{f}.c$ $= 49,5 + \frac{70 - 65}{30}.10 =51,17$

Câu 29: Thông hiểu
Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?
- A.
  $\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}}$
- B.
  $\lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{2}-1}$
- C.
  $\lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}+2n^{2}}$
- D.
  $\lim\frac{2n^{3}-3}{-2n^{2}-1}$
Ta có:
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{4}{{{n^3}}}}} = 0$
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \frac{1}{{{n^2}}}}} = - 1$
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{2}{n}}} = 0$
$\lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{3}{{{n^3}}}} ight)}}{{ - {n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} ight)}} = - \infty$
Câu 30: Nhận biết
Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $2{\cos ^2}x = 1$ ?
- A. $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- B. $2\sin x + \sqrt 2 = 0$
- C. $\tan x =1$
- D. ${\tan ^2}x = 1$
Ta có $2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2}$ . Mà ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \to {\sin ^2}x = \frac{1}{2}$ .
Do đó ${\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1$ . Vậy $2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tìm chu kì T của hàm số $y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)$
- A. $T = \frac{1}{{50}}$
- B. $T = \frac{1}{{100}}$
- C. $T = \frac{\pi }{{50}}$
- D. $T = 200{\pi ^2}$
Hàm số $y = - \frac{1}{2}\sin \left( {100\pi x + 50\pi } ight)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{100\pi }} = \frac{1}{{50}}.$
Câu 32: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Tìm tỉ số $\frac{G_{1}G_{2}}{AB}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ nên $BG _ { 1 }$ , $AG_{2}$ và $CD$ đồng qui tại $M$ (là trung điểm của $CD$ ) .

Vì $G_{1}G_{2}//AB$ nên $G_{1}G_{2}//(ABD)$ và $G_{1}G_{2}//(ABC)$ .

Lại có $\frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{MG_{1}}{MB} = \frac{1}{3} = 0,33$
Câu 33: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2} + ... + \left( \sqrt{2} ight)^{n}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  $\lim u_{n} = - \infty$
- B.
  $\lim u_{n} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$
- C.
  $\lim u_{n} = + \infty$
- D.
  Không tồn tại giới hạn
Ta có:

$\sqrt{2};\left( \sqrt{2} ight)^{2};...;\left( \sqrt{2} ight)^{n}$ lập thành một cấp số nhân có nên

$u_{n} = \sqrt{2}.\frac{1 - \left( \sqrt{2} ight)^{n}}{1 - \sqrt{2}}$

$= \left( 2 - \sqrt{2} ight).\left\lbrack \left( \sqrt{2} ight)^{n} - 1 ightbrack$

$\Rightarrow \lim u_{n} = + \infty$ vì $\left\{ \begin{matrix} a = 2 - \sqrt{2} > 0 \\ q = \sqrt{2} > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 34: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tam giác A’B’C’.
- B.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD.
- C.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác SA’B’C’.
- D.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D.
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Câu 35: Vận dụng
Số nghiệm của phương trình $\cos 2x +1=0$ trên đoạn $[0; 1000 \pi]$ là?
- A. 1000
- B. 999
- C. 2000
- D. 1001
Ta có: $\cos 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$
Ta có: $0 \leqslant \frac{\pi }{2} + k\pi \leqslant 1000\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leqslant k \leqslant \frac{{1999}}{2}$ .
Ta được $k \in \left\{ {0;1;2;...999} ight\}$ .
Có 1000 giá trị k, ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên $[0; 1000 \pi]$ .
Câu 36: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
- D.
  Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C nằm ngoài (P) lúc đó, nếu 3 đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì ba giao điểm đó thẳng hàng.
Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.
Câu 37: Vận dụng
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
- A.
  $154^{0}$
- B.
  $192^{0}$
- C.
  $160^{0}$
- D.
  $174^{0}$
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là $u_{1}$ , công bội $q$ , với $q >0$
Theo bài ra ta có:
$u_{4} = 8.u_{1} \Leftrightarrowu_{1}q^{3} = u_{1}.8$
$\Leftrightarrow q = 2$
Mà $S_{4} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}= 360^{0}$
$\Leftrightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{4}}{1- q} = 360^{0} \Rightarrow u_{1} = 24^{0}$
$u_{2} = 48^{0};u_{3};96^{0};u_{4} =192^{0}$
Vậy góc lớn nhất có số đo $192^{0}$
Câu 38: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.\ ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$ , $OM$ cắt $AD$ tại $K$ . Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$ . Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) $MD//AC$ . Đúng||Sai

b) Đường $ON$ và $SA$ cắt nhau. Sai||Đúng

c) $GK//ON$ . Đúng||Sai

d) Tỉ số $\frac{GM}{GN} = 3$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.\ ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$ , $OM$ cắt $AD$ tại $K$ . Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$ . Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) $MD//AC$ . Đúng||Sai

b) Đường $ON$ và $SA$ cắt nhau. Sai||Đúng

c) $GK//ON$ . Đúng||Sai

d) Tỉ số $\frac{GM}{GN} = 3$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Xét tứ giác $AMDC$ có $\left\{ \begin{matrix} AM//DC \\ AM = DC( = AB) \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra tứ giác $AMDC$ là hình bình hành

Nên $MD//AC$ . Vậy khẳng định a đúng

b) Vì $O$ là trung điểm $AC$ , $N$ là trung điểm $SC$ nên $ON\ //\ SA$ (tính chất đường trung bình).

Vậy khẳng định b sai.

c) $\left\{ \begin{matrix} ON\ //\ SA \\ ON \subset (OMN) \\ SA \subset (SAD) \\ (OMN) \cap (SAD) = GK \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GK//ON//SA$

Vậy khẳng định c đúng.

d) Áp dụng định lí Talet cho $GK\ //\ ON$ , ta có:

$\frac{GM}{GN} = \frac{KM}{KO}$ (1)

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ , vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên theo tính chất đường trung

bình, $OI\ //\ AD$ , vậy theo định lí Talet:

$\frac{KM}{KO} = \frac{AM}{AI} = \frac{AB}{AI} = 2$ . (2)

Từ (1) và (2), ta có $\frac{GM}{GN} = 2$ .

Vậy khẳng định d sai.
Câu 39: Thông hiểu
Đổi số đo của góc $50^{0}$ sang đơn vị radian?
- A.
  $\frac{50}{\pi}$
- B.
  $\frac{5}{18}$
- C.
  $\frac{5\pi}{18}$
- D.
  $\frac{5}{18\pi}$
Cách 1: Áp dụng công thức $\mu = \frac{m.\pi}{180}$ với $m = 50^{0}$ ta được:

$\mu = \frac{m.\pi}{180} = \frac{50.\pi}{180} = \frac{5.\pi}{18}$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.

Bước 2: Bấm 50 SHIFT Ans 1 =
Câu 40: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$ bằng:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $-\infty$
- D.
  $+\infty$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = - \infty$
Do $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} ight) = 3 \hfill \\ x \to {1^ - } \Rightarrow x - 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 41: Thông hiểu
Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:
Nhóm tuổi
Số lượng người
[0; 10)
6
[10; 20)
12
[20; 30)
10
[30; 40)
32
[40; 50)
22
[50; 60)
18
[60; 70)
15
[70; 80)
5
[80; 90)
4
[90; 100)
3
- A.
  $31$
- B.
  $28$
- C.
  $35$
- D.
  $44$
Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Nhóm tuổi
Số lượng người
5
6
15
12
25
10
35
32
45
22
55
18
65
15
75
5
85
4
95
3

N = 127
Tuổi trung bình là:
$\overline{x} = \frac{5.6 + 15.12 + 25.10+ 35.32 + 45.22 + 55.18 + 65.15 + 75.5 + 85.4 + 95.3}{127}$
$\overline{x} = \frac{5535}{127} \approx44$
Câu 42: Nhận biết
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong 1 ngày của một số học sinh khối 10 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)

[0; 20)

[20; 40)

[40; 60)

[60; 80)

[80; 100)

Số học sinh

3

5

14

15

5

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là:
- A.
  $\lbrack 20;\ 40)$ .
- B.
  $\lbrack 40;\ 60)$ .
- C.
  $\lbrack 60;\ 80)$ .
- D.
  $\ \lbrack 80;\ 100)$ .
Mẫu số liệu trên có $3 + 5 + 14 + 15 + 5 = 42$ (học sinh).

Tứ phân vị thứ nhất là $x_{11} \in \lbrack 40;\ 60)$ .

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là: $\lbrack 40;\ 60)$ .
Câu 43: Nhận biết
Xác định số hạng tổng quát của dãy số dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight.$ .
- A.
  $u_{n} = \frac{1}{2} + 2(n - 1)$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{2} - 2(n - 1)$
- C.
  $u_{n} = \frac{1}{2} - 2n$
- D.
  $u_{n} = \frac{1}{2} + 2n$
Từ công thức $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = u_{n} - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} - 2 = \dfrac{1}{2} - 2 = - \dfrac{3}{2} \\u_{3} = u_{2} - 2 = \dfrac{- 3}{2} - 2 = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét đáp án $u_{n} = \frac{1}{2} + 2(n - 1)$ với $n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} + 2(2 - 1) = \frac{5}{2}$ (loại)

Xét đáp án $u_{n} = \frac{1}{2} - 2(n - 1)$ ta thấy thỏa mãn

Xét đáp án $u_{n} = \frac{1}{2} - 2n$ với $n = 2 \Rightarrow u_{2} = \frac{1}{2} - 2.2 = - \frac{7}{2}$ (loại)

Xét đáp án $u_{n} = \frac{1}{2} + 2n$ với $n = 1 \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2} + 2.1 = \frac{5}{2}$ (loại)
Câu 44: Vận dụng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
- A.
  Chỉ có (1) đúng
- B.
  Chỉ có (1) và (2) đúng
- C.
  (I), (II), (III) đúng
- D.
  Chỉ có (1) và (IV) đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Câu 45: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E;F$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:
- A.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AC$
- B.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$
- C.
  Điểm $F$
- D.
  Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

=> Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$ .