Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy
![]()
Ta có:
Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12. Số đo của góc lượng giác
là:
Góc lượng giác chiếm
đường tròn
=> Số đo là: .
Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn SA tại
sao cho
. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi
bằng
Hình vẽ minh họa:
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.
Vì nên theo định lí Talet, ta có
.
Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số
.
Vậy .
Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề sai:
Sửa lại:
Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Đường thẳng a song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Khẳng định nào sau đây đúng?
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Vậy a song song d
Xác định công thức tổng quát của dãy số
.
Ta có:
Nhận thấy
Dự đoán
Ta chứng minh bằng quy nạp
Trước hết đúng với
Giả sử đúng khi
. Khi đó
Ta có:
Mặt khác ta có . Do đó
Vậy
Vậy (*) đúng với . Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
bằng
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Đường thẳng nào song song với
trong các đường thẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> hay
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
song song với đường thẳng
.
Giới hạn
bằng
Ta có:
.
Vì .
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số
liên tục trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Biết rằng
khi đó
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d) Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng
và
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Hàm số liên tục trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Biết rằng khi đó
Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Phương trình có nghiệm thuộc khoảng
và
Sai||Đúng
a) Hàm số có nghĩa khi
Vậy theo định lí ta có hàm số liên tục trên khoảng
.
b) Ta có:
Khi đó: .
Theo bài ra ta có:
c) Ta có:
s
d) Xét hàm số có tập xác định
Suy ra hàm số cũng liên tục trên các khoảng
và
.
Ta có:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Lại có:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Biết rằng
khi đó
Đúng||Sai
b) Cho hàm số
liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là
. Sai||Đúng
c)
Sai||Đúng
d) Cho hàm số
xác định với mọi
thỏa mãn
. Khi đó
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Biết rằng khi đó
Đúng||Sai
b) Cho hàm số liên tục trên
. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
là
. Sai||Đúng
c) Sai||Đúng
d) Cho hàm số xác định với mọi
thỏa mãn
. Khi đó
Sai||Đúng
a) Ta có:
b) Ta có:
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên là
c)
d) Ta có:
Từ (*) và (**) ta có:
Do đó:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Tính
.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với thì
Với thì
nên (*) đúng với
Giả sử (*) đúng với nghĩa là:
Xét ta có:
Vậy (*) đúng với
Bây giờ ta áp dụng với thì
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên
?
Hàm số có tập xác định
nên hàm số không liên tục trên
.
Cho hình vẽ:

Trên đường tròn lượng giác, số đo của góc lượng giác
là:
Từ hình vẽ ta có:
Dữ liệu được cho dưới đây biểu hiện thu nhập hàng ngày của các gia đình trong khu vực ở.
Thu nhập (nghìn đồng) | Hộ gia đình |
[0; 100) | 5 |
[100; 200) | 7 |
[200; 300) | 12 |
[300; 400) | 18 |
[400; 500) | 16 |
[500; 600) | 10 |
[600; 700) | 5 |
Tìm thu nhập trung bình của các hộ gia đình.
Ta có:
Thu nhập đại diện (nghìn đồng) | Hộ gia đình | Tích các giá trị |
50 | 5 | 250 |
150 | 7 | 1050 |
250 | 12 | 3000 |
350 | 18 | 6300 |
450 | 16 | 7200 |
550 | 10 | 5500 |
650 | 5 | 3250 |
Tổng | N = 73 | 26550 |
Thu nhập trung bình của các hộ gia đình là:
Số nghiệm của phương trình
trên đoạn
là?
Ta có:
Ta có: .
Ta được .
Có 1000 giá trị k, ứng với 1000 nghiệm của phương trình trên .
Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Mà
.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Dấu xảy ra
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành
tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
Ta có .
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
|
Đối tượng |
Tần số |
|
[150; 155) |
15 |
|
[155; 160) |
10 |
|
[160; 165) |
40 |
|
[165; 170) |
27 |
|
[170; 175) |
5 |
|
[175; 180) |
3 |
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
|
Đối tượng |
Tần số |
|
[150; 155) |
15 |
|
[155; 160) |
10 |
|
[160; 165) |
40 |
|
[165; 170) |
27 |
|
[170; 175) |
5 |
|
[175; 180) |
3 |
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Ta có:
|
Đối tượng |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[150; 155) |
15 |
15 |
|
[155; 160) |
11 |
26 |
|
[160; 165) |
39 |
65 |
|
[165; 170) |
27 |
92 |
|
[170; 175) |
5 |
97 |
|
[175; 180) |
3 |
100 |
Cỡ mẫu là:
=> trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)
=> tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
=> tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Cho hình chóp
có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
liên tục trên
?
Ta có:
Hàm số liên tục trên các khoảng
. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên
khi và chỉ khi nó liên tục tại
, tức là ta cần có:
Ta lại có:
Khi đó không thỏa mãn với mọi
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Kết quả kiểm tra cân nặng của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Cân nặng | Số học sinh |
[40,5; 45,5) | 7 |
[45,5; 50,5) | 16 |
[50,5; 55,5) | 10 |
[55,5; 60,5) | 5 |
[60,5; 65,5) | 4 |
[65,5; 70,5) | 2 |
Mẫu dữ liệu đã cho có bao nhiêu nhóm?
Mẫu dữ liệu ghép nhóm đã cho có 6 nhóm.
Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
Xét đáp án dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án
(Loại)
Xét đáp án
(Chọn)
Xét đáp án
(Loại)
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Khi đó giá trị tứ phân vị thứ ba là:
71
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Khi đó giá trị tứ phân vị thứ ba là: 71
Ta có:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
|
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 | N = 42 |
Tần số tích lũy | 5 | 14 | 26 | 36 | 42 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Biết các số
và
lập thành một cấp số nhân; các số
và
lập thành một cấp số cộng. Tính tổng ![]()
Theo bài ra ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm
và
, G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng phân biệt (GMN) và (BCD) chứa hai đường thẳng song song MN và CD, đồng thời có điểm chung là G
=> Giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua G và song song với CD (cắt BC, BD lần lượt tại P và Q).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có dãy số là một cấp số cộng có công sai
.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c) Cấp số cộng
thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số giảm. Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) Cấp số cộng thỏa mãn
có số hạng tổng quát là
. Sai||Đúng
d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng
a) Xét dãy số đã cho ta có:
nên dãy số
không tăng không giảm.
b) đúng bằng chứng minh quy nạp.
c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là
d) Từ giả thiết ta có:
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: .
Cho dãy số
. Giá trị u11 là
Ta có
Cho dãy số
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta chứng minh quy nạp
Cách khác:
Ta có: nên loại các đáp án
;
;
Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên?
Ta có:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
|
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 | N = 42 |
Tần số tích lũy | 5 | 14 | 26 | 36 | 42 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa là [20; 40)
(Vì 10,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 và 14)
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Xét có
lần lượt là trung điểm
=> là đường trung bình của
=> mà
Cho phương trình
có nghiệm là:
Giải phương trình như sau:
Vì
vậy phương trình lượng giác đã cho vô nghiệm.
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Do dãy số là cấp số nhân
=>
=> Số hạng tiếp theo là:
Hàm số
có chu kì bằng bao nhiêu?
Chu kì của hàm số là:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là:
Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao | Số cây |
[145; 150) | 25 |
[150; 155) | 50 |
[155; 160) | 200 |
[160; 165) | 175 |
[165; 170) | 50 |
Giá trị đại diện cho nhóm [155; 160) bằng:
Giá trị đại diện của nhóm [155; 160) là
Giới hạn
bằng
Ta có: