Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: ![]()
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Khi đó, phương trình so sánh với đk
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: .
Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: ![]()
Điều kiện để phương trình có nghĩa:
Khi đó, phương trình so sánh với đk
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình là: .
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại
?
Ta có: nên hàm số
gián đoạn tại điểm
Cho hình vẽ:

Trên đường tròn lượng giác, số đo của góc lượng giác
là:
Từ hình vẽ ta có:
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy
Cho hình chóp tứ giác
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
Hai mặt phẳng và
có hai điểm chung là
và
nên giao tuyến của chúng là đường thẳng
.
Cho
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Do nên bình phương hai vế ta được:
Vậy
Cho hình chóp
, biết
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Vì nên
là điểm chung của hai mặt phẳng
và
.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Đáp án sai: Trường hợp
.
Đáp án sai: Trường hợp
.
Đáp án sai: Trường hợp
chéo nhau.
Bạn Lan trồng 50 cây cà rốt bằng loại đất đặc biệt. Khi thu hoạch Lan đo chiều dài của củ cà rốt (chính xác đến mm) và nhóm được các kết quả như sau:
Chiều dài (mm) | Chiều dài đại diện (mm) |
(149,5; 154,5] | 152 |
(154,5; 159,5] | 157 |
(159,5; 164,5] | 162 |
(164,5; 169,5] | 167 |
(169,5; 174,5] | 172 |
(174,5; 179,5] | 177 |
(179,5; 184,5] | 182 |
(184,5; 189,5] | 187 |
Tìm chiều dài trung bình của các củ cà rốt Lan trồng được.
Ta có:
Chiều dài (mm) | Chiều dài đại diện (mm) | Số củ cà rốt |
|
(149,5; 154,5] | 152 | 5 | 760 |
(154,5; 159,5] | 157 | 2 | 314 |
(159,5; 164,5] | 162 | 6 | 972 |
(164,5; 169,5] | 167 | 8 | 1336 |
(169,5; 174,5] | 172 | 9 | 1548 |
(174,5; 179,5] | 177 | 11 | 1947 |
(179,5; 184,5] | 182 | 6 | 1092 |
(184,5; 189,5] | 187 | 3 | 561 |
| Tổng | 50 | 8530 |
Chiều dài trung bình của cà rốt Lan trồng được là:
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC
Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)
Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra
Từ (*) và (**) suy ra TH
1
Cho hình hộp
và điểm
nằm giữa
và
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy
Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra , kết hợp với
suy ra
, suy ra N thuộc cạnh BB’.
Tương tự, giả sử suy ra
.
Kết hợp với (1) suy ra
Tương tự, sao cho
;
sao cho
;
sao cho
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác .
Cho dãy số
biết
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Mốt của dữ liệu bằng bao nhiêu?
Mốt thuộc nhóm
Ta có:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
|
|
|
Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau:
Cho hàm số
hàm số f(x) liên tục tại:
Tập xác định:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục khi
hàm số liên tục khi
Tại x = 1 ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục trên
Tính
.
Ta có:
Do đó
bằng số nào sau đây?
Ta có:
Gọi
là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Điều kiện:
Phương trình
Cho .
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với .
Đồ thị hàm số
đi qua điểm nào sau đây?
Thay giá trị vào hàm số ta có:
Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Mặt phẳng
chứa
và song song với
cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tìm khẳng định đúng dưới dây?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó:
Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số
liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c) Phương trình
có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số
. Khi đó
. Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Có hai trong ba hàm số liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.Đúng||Sai
d) Biết hàm số . Khi đó
. Sai||Đúng
a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên
Hàm số xác định trên
Hàm số xác định trên
Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.
b) Ta có:
c) Xét hàm số liên tục trên
Ta có:
Vì nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
.
d) Ta có: . Khi
.
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định số nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Mẫu dữ liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm.
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
Ta có: là cấp số nhân
Dãy số lập thành cấp số nhân là
Một cấp số nhân có số hạng đầu
, công bội q = 2. Biết
. Tìm n?
Ta có:
Tính tổng
?
Xét dãy số là cấp số nhân với
Cho
. Xác định k để
.
Ta có:
Tập giá trị của hàm số
trên ![]()
Ta có:
Nên
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
Ta có:
Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng nên chúng lập thành cấp số cộng
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Ta kiểm tra được và
là hàm số chẵn
Hàm số không chẵn không lẻ
=> Hàm số là hàm số lẻ.
Cho hình chóp
, gọi
là trung điểm của
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: là điểm chung của mặt phẳng
và
(*)
Ta có:
=> là điểm chung của mặt phẳng
và
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A | Tần số |
[0; 10) | 6 |
[10; 20) | 24 |
[20; 30) | x |
[30; 40) | 16 |
[40; 50) | 9 |
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng 24.
Ta có:
Đại diện A | Tần số | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 6 | 6 |
[10; 20) | 24 | 30 |
[20; 30) | x | 30 + x |
[30; 40) | 16 | 46 + x |
[40; 50) | 9 | 55 + x |
| N = 55 + x |
|
Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
Dãy (un) là một cấp số cộng
=> với a, b là hằng số
=>
Cho dãy số (un) có
và
.
Tất cả các giá trị n để
là?
Ta có
Đặt . Suy ra (vn) là cấp số nhận có công bội
và
.
Ta có
Do vn > 0, ∀n ≥ 1 nên (Tn) là dãy tăng.
Suy ra
bằng:
Ta có:
Cho hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: luôn đúng
=> Hai mặt phẳng không song song với nhau.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính tổng
.
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
Cho dãy số
với
. Tính
.
Ta có:
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?
Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là:
Khoảng biến thiên giá trị của nam là:
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là:
Cho dãy số
xác định bởi công thức
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Với ta thấy
Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.
Cho
là các số thực khác
. Tìm điều kiện của
để giới hạn ![]()
Ta có:
Xác định cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm sau?
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S30 bằng?
Ta có S30 = 2 + 4 + 6 + … + 60
⇒ 2S30 = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Khẳng định đúng là:
Nếu thì tồn tại trong
đường thẳng
để
.
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
(mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian
(giờ) trong một ngày
cho bởi hàm số
có đồ thị như hình bên dưới (
là các số thực dương). Gọi
là tập hợp tất cả các thời điểm
trong ngày để chiều cao của mực nước biển là
mét. Tổng tất cả phần tử của
bằng.

Đáp án: 36
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian
(giờ) trong một ngày
cho bởi hàm số
có đồ thị như hình bên dưới (
là các số thực dương). Gọi
là tập hợp tất cả các thời điểm
trong ngày để chiều cao của mực nước biển là
mét. Tổng tất cả phần tử của
bằng.
Đáp án: 36
Theo đồ thị ta có:
Suy ra: .
Theo đề bài yêu cầu:
Vì: nên
Suy ra: