Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Câu 1: Nhận biết

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có công bội $q$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$u_{k} = u_{1}q^{k - 1}$
B.
$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$
C.
$S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...99$
D.
$S = \frac{10^{n} - 1}{9}$

Mệnh đề đúng $u_{k} = u_{1}q^{k - 1}$ .

Câu 2: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A.
$\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$
B.
$\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$
C.
$\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$
D.
$\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ a \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$

Đáp án $\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$ sai: Trường hợp $a \subset (\alpha)$ .

Đáp án $\left\{ \begin{matrix} a//b \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//(\alpha)$ sai: Trường hợp $a \subset (\alpha)$ .

Đáp án $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$ sai: Trường hợp $a,b$ chéo nhau.

Câu 3: Nhận biết

Giá trị của $\lim\sqrt[n]{a}$ với a> 0 bằng:

A.
$+ \infty$
B.
$- \infty$
C.
0
D.
1

Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.

Với a > 1 thì khi đó: $a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)$

Suy ra: $0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0$ nên $\lim\sqrt[n]{a} = 1$

Với 0 < a < 1 thì khi đó: $\frac{1}{a} >1$ .

Suy ra: $\lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1$

Tóm lại ta luôn có: $\lim\sqrt[n]{a} =1$ với a > 0 .

Câu 4: Vận dụng

Gọi $\alpha$ là nghiệm trong khoảng $(\pi ; 2 \pi)$ của phương trình $\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ , nếu biểu diễn $\alpha = \frac{{a\pi }}{b}$ với a, b là hai số nguyên và $\frac {a}{b}$ là phân số tối giản thì a.b bằng bao nhiêu?

A. a.b = 42
B. a.b = 6
C. a.b = 66
D. a.b = 30

Phương trình $\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$ .

Với $x \in \left( {\pi ;2\pi } ight) \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}$ .

Suy ra a =11 và b = 6 .

Vậy a.b=66.

Câu 5: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 6: Nhận biết

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ .

A.
$3$
B.
$- 3$
C.
$1$
D.
$- 2$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3$

Câu 7: Thông hiểu

Kết quả chạy 50m của học sinh lớp 11A (đơn vị: giây) được liệt kê như sau:

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3

Tính phần trăm số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây?

A.
$30,5\%$
B.
$54,67\%$
C.
$69,69\%$
D.
$48,12\%$

Từ số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp như sau:

Thời gian (giây)	Tần suất (%)
[6,0; 6,5)	6,06
[6,5; 7,0)	15,15
[7,0; 7,5)	30,3
[7,5; 8,0)	27,27
[8,0; 8,5)	12,12
[8,5; 9)	9,1
Tổng	100%

Suy ra số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây chiếm số phần trăm là:

$30,3\% + 27,27\% + 12,12\% =69,69\%$

Câu 8: Nhận biết

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
(P) và (Q) cắt nhau
B.
(P) và (Q) song song với nhau
C.
(P) và (Q) trùng nhau
D.
(P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.

Hình vẽ minh họa

Chọn phát biểu đúng

Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.

Câu 9: Nhận biết

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng song song với nhau thì có thể chéo nhau.
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."

Câu 10: Nhận biết

Giải phương trình: $\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0$

A. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi$
B. $x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}$
C. $x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}$
D. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi$

Giải phương trình:

$\begin{matrix} \sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 11: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:

A.
$\frac{2a}{3}$
B.
$\frac{a}{3}$
C.
$\frac{a}{4}$
D.
$\frac{3a}{2}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$

Câu 12: Nhận biết

Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

Tìm mệnh đề sai

A. I, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng.
B. A ∈ (ABC).
C. I ∈ (ABC).
D. BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).

Ta có $I ∈ (ABC), B ∈ (ABC)$

=> BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).

Câu 13: Thông hiểu

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}}$ bằng:

A.
0
B.
1
C.
$\sqrt{\frac{1}{2}}$
D.
$\sqrt{\frac{1}{3}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {1^3}}}{{{{3.1}^2} + 1}}} = 0$

Câu 14: Nhận biết

Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?

A.
7
B.
6
C.
5
D.
8

Mẫu số liệu đã cho có 5 nhóm.

Câu 15: Nhận biết

Đồ thị hàm số đi qua điểm nào sau đây?

A. $(0,2)$
B. $(1,0)$
C. $\left(\pi,1ight)$
D. $\left(2,\piight)$

Xét điểm (0; 2) => x = 0; y = 2

Thay vào hàm số ta có:

cos0 + 1 = 1 + 1 = 2 (thỏa mãn)

Vậy đồ thị hàm số y = cosx + 1 đi qua điểm (0; 2)

Câu 16: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .

A.
$16$
B.
$\frac{37}{5}$
C.
$\frac{85}{2}$
D.
$18$

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .

=> $MQ//AC$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .

=> $QP//BD$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .

=> $NP//AC$

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .

Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$

Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$

Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$

Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$

$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$

Vậy $M'B.M'C = 18$

Câu 17: Thông hiểu

Cho dãy số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + n} \end{array}} ight.$ . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số:

A. 16
B. 12
C. 15
D. 14

Ta có:

$\begin{matrix} {u_2} = {u_1} + 1 = 5 \hfill \\ {u_3} = {u_2} + 2 = 7 \hfill \\ {u_4} = {u_3} + 3 = 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là Sử dụng công thức: ${u_5} = {u_4} + 4 = 14$

Câu 18: Nhận biết

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Xác định nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu.

A.
$\lbrack 40;60)$
B.
$\lbrack 20;40)$
C.
$\lbrack 60;80)$
D.
$\lbrack 80;100)$

Ta có:

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6	N = 42
Tần số tích lũy	5	14	26	36	42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{N}{2} =21$

=> Nhóm chứa trung vị là [40; 60)

(Vì 21 nằm giữa hai tần số tích lũy 14 và 26)

Câu 19: Thông hiểu

Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:

Mức giá (triệu đồng/m²)	[10; 14)	[14; 18)	[18; 22)	[22; 26)	[26; 30)
Số khách hàng	54	78	120	45	12

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào sau đây?

A.
20,4.
B.
19,4.
C.
21,4.
D.
18,4.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [18;22).

Do đó: $u_{m} = 84;n_{m} = 24;n_{m - 1} = 20;n_{m + 1} = 15;u_{m + 1} = 86$ .

Vậy mốt của mẫu số liệu là:

$M_{0} = 18 + \frac{120 - 78}{(120 - 78) + (120 - 45)}.(22 - 18) \approx 19,4.$

Câu 20: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?

A.
$SO;AD$
B.
$MN;SC$
C.
$SA,BC$
D.
$MN,SO$

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 21: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .

Câu 22: Thông hiểu

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{1 + n}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
Số hạng thứ 10 của dãy số bằng $- \frac{1}{11}$
B.
Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy giảm
C.
Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số bị chặn trên
D.
Số hạng thứ 9 của dãy số bằng $\frac{1}{10}$

Ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy dãy số đã cho không tăng không giảm.

Khẳng định sai là: “Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy giảm”

Câu 23: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + b$ .

A.
$H = \frac{19}{30}$
B.
$H = - \frac{173}{16}$
C.
$H = \frac{- 93}{16}$
D.
$H = \frac{19}{32}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ điều kiện hàm số liên tục tại $x = 2$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}$

Câu 24: Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về $''$ đường tròn lượng giác $''$ ?

A.
Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B.
Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ là một đường tròn lượng giác.
C.
Mỗi đường tròn có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R = 1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Câu 25: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
C. Tịnh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
D. Tịnh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$

Ta có

$y = \sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} ight) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$

=>Đồ thị hàm số $y = \sin x$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$

Câu 26: Nhận biết

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 5$ . Số $19$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

A.
$12$
B.
$19$
C.
$5$
D.
$7$

Ta có

$u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19$

$\Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7$ .

Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

Câu 27: Vận dụng cao

Kết quả của giới hạn $\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2}$ là:

A.
$+ \infty$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{3}{2}$
D.
$- \infty$

Ta có:

$\begin{matrix} {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \hfill \\ \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$\begin{matrix} \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì $\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $\lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty$

Câu 28: Thông hiểu

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3
Tổng	N = 100

Sắp xếp các nhóm theo thứ tự lần lượt là nhóm chứa trung vị, tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu:

[160; 165)
[155; 160)
[165; 170)

Thứ tự là:

[160; 165)
[155; 160)
[165; 170)

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Câu 29: Thông hiểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ liên tục trên khoảng $( - 4; + \infty)$ Sai||Đúng

b) Phương trình $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ khi $x ightarrow 2$ bằng -1. Sai||Đúng

d) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ liên tục trên khoảng $( - 4; + \infty)$ Sai||Đúng

b) Phương trình $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ khi $x ightarrow 2$ bằng -1. Sai||Đúng

d) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

a) Ta có:

$f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ có điều kiện xác định

$( - \infty; - 4) \cup ( - 4; - 3) \cup ( - 3; + \infty)$

Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.

b) Đặt $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = f(x)$

f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên $\lbrack - 2; - 1brack\ \ (*)$

Ta có: $f( - 2) = - 126;f( - 1) = 2$

$\Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0(**)$

Từ (*) và (**) suy ra phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm thuộc $( - 2; - 1)$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( x^{2} - 3x ight) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x - 1) = 1$

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x ightarrow 2$

d) Ta có: với n chẵn

$\lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = + \infty$

Với n lẻ $\lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = - \infty$

Suy ra dãy số không bị chặn.

Câu 30: Thông hiểu

Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\sin^{2}a + \cos^{2}a =1$
B.
$1 + \cot^{2}a = -\frac{1}{\sin^{2}a}$
C.
$\tan a.\cot a = - 1$
D.
$\cos a = \tan a.\sin a$

Mệnh đề đúng là: $\sin^{2}a + \cos^{2}a =1$

Câu 31: Thông hiểu

Phương trình có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng $\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight)$ là:

A. $x = \frac{{ - 7\pi }}{6} + k2\pi$
B. $x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi$
C. $x = \frac{{ 7\pi }}{6} + k2\pi$
D. $x = \frac{{ \pi }}{6} + k2\pi$

Giải phương trình:

$\begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Do $x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight)$ => ${x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }$ thỏa mãn

Câu 32: Vận dụng cao

Biết rằng phương trình $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b}$ với $k \in \mathbb{Z}$ và $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính $S = a + b$

A.
$S = 2017$ .
B.
$S = 2019$ .
C.
$S = 2020$ .
D.
$S = 2018$ .

Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}$

$=\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx$

$= cot\frac{x}{2} - cotx$

Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

$\cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x$

${+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}$

${\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}$

${\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}$

Vậy $a = 2019,b = 1$ nên $a + b = 2020$ .

Câu 33: Vận dụng

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Các giá trị của a để dãy số (u_n) tăng là?

A.
a > 0
B.
0 < a < 1
C.
a < 1
D.
a > 1

Xét hiệu u_n + 2 − u_n + 1

= au_n + 1 + (1−a)u_n − u_n + 1

= (a−1)(u_n + 1−u_n)

⇒ u₃ − u₂ = (a−1)(u₂−u₁) = (a−1);

⇒ u₄ − u₃ = (a−1)(u₃−u₂) = (a−1)²

u_n + 1 − u_n = (a−1)^n − 1 > 0

Để dãy số (u_n) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1

Câu 34: Vận dụng

Số lượng từ trong mỗi câu trong N câu đầu tiên của một cuốn sách được đếm và kết quả được ghi trong bảng sau:

Khoảng số từ	Số câu
[1; 5)	2
[5; 9)	5
[9; 13)	$x$
[13; 17)	23
[17; 21)	21
[21; 25)	13
[25; 29)	4
[29; 33)	1

Biết mốt của mẫu dữ liệu có giá trị là 16. Giá trị của N là:

A.
$N = 86$
B.
$N = 84$
C.
$N = 80$
D.
$N = 82$

Ta có: Mốt của mẫu dữ liệu nằm trong nhóm [13; 17)

Khoảng số từ	Số câu
[1; 5)	2
[5; 9)	5
[9; 13)	$x$	$f_{0}$
[13; 17)	23	$f_{1}$
[17; 21)	21	$f_{2}$
[21; 25)	13
[25; 29)	4
[29; 33)	1

Do đó:

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 13;f_{0} = x;f_{1} = 23;f_{2} = 21 \\c = 17 - 13 = 4,M_{0} = 16 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó ta có:

$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1}- f_{0} - f_{2}}.c$

$\Leftrightarrow 16 = 13 + \frac{23 -x}{2.23 - x - 21}.4$

$\Leftrightarrow x = 17$

Vậy cỡ mẫu N = 86.

Câu 35: Nhận biết

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

A.
$2;5;8;11;14...$
B.
$2;4;8;10;14...$
C.
$1;2;3;4;5;6...$
D.
$15;10;5;0; - 5;...$

Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: $u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k}$ thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án: $2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại

Xét đáp án: $2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{}$ Chọn

Xét đáp án: $1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ Loại

Xét đáp án: $15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại

Câu 36: Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $3sinx + m - 1 = 0$ có nghiệm?

A.
7
B.
6
C.
3
D.
5

Ta có:

$\begin{matrix} \sin x = \dfrac{{1 - m}}{3} \in \left[ { - 1;1} ight] \hfill \\ \Rightarrow - 3 \leqslant - m \leqslant \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với m thuộc tập số nguyên

Suy ra 4 – (-2) + 1 = 7 giá trị nguyên của m

Câu 37: Nhận biết

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?

A.
B.
C.
D.

Xét đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$

Câu 38: Vận dụng cao

Tổng $S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng?

A.
$\frac{99}{98}$
B.
$\frac{90}{99}$
C.
$\frac{98}{99}$
D.
1

Ta có $\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots$

Do đó $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}$

Câu 39: Thông hiểu

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)$ bằng:

A.
$\sqrt{5}$
B.
$\frac{5}{\sqrt{2}}$
C.
$\frac{5}{2}$
D.
$+\infty$

Ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 40: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ là đáy lớn. Biết $AB = 5a,\ CD = 2a$ . Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ thỏa mãn $\frac{ES}{EB} = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ . Giá trị của $2m + 3n$ bằng

Đáp án: 13

Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo hệ quả Talet, ta có: $\frac{HC}{HB} = \frac{CD}{AB} = \frac{2}{5}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CE \subset (SBH) \\ CE//(SAD) \\ (SBH) \cap (SAD) = SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE//SH$

$\Rightarrow \frac{SE}{SB} = \frac{HC}{HB} = \frac{2}{5} \Rightarrow SE = \frac{2}{5}SB$

$\Rightarrow \frac{ES}{EB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2m + 3n = 13$ .

Câu 41: Vận dụng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn $\frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn $\frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 42: Vận dụng

Kết quả của giới hạn $\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}.cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$ bằng:

A.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.
$\sqrt{3}$
C.
$\sqrt{5}$
D.
$- 1$

Ta có

$\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$

$= \lim\left\lbrack\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack + \lim\left\lbrack \frac{(- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$

Khi đó ta có:

$\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} =0$

Vậy $\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + (- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \sqrt{3}$

Câu 43: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J, E, F$ lần lượt là trung điểm $SA, SB, SC, SD$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với $IJ$ ?

A. EF
B. DC
C. AD
D. AB

Hình vẽ minh họa

Tìm đường thẳng không song song với IJ

Ta có:

$IJ$ là đường trung bình tam giác SAB nên $IJ{m{//}}AB$

$ABCD$ là hình bình hành nên $AB{m{//}}CD$

=> $IJ{m{//}}CD$

$EF$ là đường trung bình tam giác $SCD$

=> $EF{m{//}}CD$ => $IJ{m{//}}EF$

Vậy $AD$ không song song với $IJ$ .

Câu 44: Thông hiểu

Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?

A.
Có
B.
Không

Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.

Câu 45: Thông hiểu

Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:

A.
$32$
B.
$96$
C.
$104$
D.
$48$

Ta có: $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ mà $n = 6;q = 2;S_{n} = 189$

$\Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 - 2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3$

$\Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{6} = 96$

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3