Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6
- A.
  $y=216$
- B.
  $y=\frac{216}{5}$
- C.
  $y=\frac{1296}{5}$
- D.
  $y=12$
Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5
Từ đó suy ra y = 6x = 216/5
Câu 2: Nhận biết
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
- A.
  Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
- B.
  Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm đó thẳng hàng.
- C.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 3: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD$ và $BC$ ; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó giao điểm của đường thẳng $MG$ và $(ABC)$ là
- A.
  Điểm $C$ .
- B.
  Giao điểm của $MG$ và $CB$ .
- C.
  Giao điểm của $MG$ và $AN$ .
- D.
  Điểm $N$ .
Hình vẽ minh họa

Trong $(ADN)$ gọi $K = AN \cap MG$ , mà $AN \subset (ABC)$

$\Rightarrow K = MG \cap (ABC)$
Câu 4: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + sin2x$
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D = \varnothing$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \hfill \\\Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{4} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z}ight) \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 5: Nhận biết
Cho cấp số cộng (u_n) có $u_1 = -4$ ; $d = \frac{1}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A. ${u_n} = - 3=4 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} ight)$
- B. ${u_n} = -4 + \frac{1}{2}n - 1$
- C. ${u_n} = - 4 + \frac{1}{2}\left( {n - 1} ight)$
- D. ${u_n} = - 4 + \frac{1}{4}\left( {n - 1} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Nhận biết
Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 7: Vận dụng cao
Rút gọn biểu thức $B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ...$ với $\sin x eq \pm 1$ ?
- A.
  $B = \sin^{2}x$
- B.
  $B = \cos^{2}x$
- C.
  $B = \frac{1}{1 +\sin^{2}x}$
- D.
  $B = \tan^{2}x$
Ta có:

$\begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Vận dụng

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Đáp án là:

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x) = \left\{ \begin{matrix} 4,5x & \ khi\ 0 < x \leq 400 \\ 4x + k & \ khi\ x > 400 \\ \end{matrix}\ ight.$ ( $k$ là một hằng số). Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ ?

Đáp án: 200

Để hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0} = 400$ hay $\lim_{xightarrow 400} P(x)=P( 400 )$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 400^{-}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}4,5x = 4,5.400 = 1800$

$\lim_{x ightarrow 400^{+}}P(x) = \lim_{x ightarrow 400^{-}}(4x + k) = 4.400 + k = 1600 + k$

Để tồn tại $\lim_{xightarrow 400} P( x )$ thì $1800 = 1600 + k$ .

Suy ra $k = 200$
Câu 9: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 10: Thông hiểu
Cho $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
- A.
  $\sin(\pi + \alpha)$
- B.
  $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight)$
- C.
  $\cos( - \alpha)$
- D.
  $\tan(\alpha + \pi)$
Ta có:

$\sin(\pi + \alpha) = - \sin\alpha$

$\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = \sin\alpha$

$\cos( - \alpha) = \cos\alpha$

$\tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha$

Theo bài ra $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

=> $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 11: Nhận biết
Phát biểu nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim u_{n} = c;(c = const)$
- B.
  $\lim\frac{1}{n} = 0$
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| > 1 ight)$
- D.
  $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0;(k > 1)$
Ta có phát biểu sai là: $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| > 1 ight)$

Sửa lại là: $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{n} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 12: Nhận biết
Giá trị của $\lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn $n_{M} > \left( \frac{1}{a} + 3 ight)^{2} - 1$

Ta có:

$\frac{n - 2}{\sqrt{1 + n}} = \sqrt{n + 1} - \frac{3}{\sqrt{n + 1}} > \sqrt{1 + n} - 3 > M$ với mọi $n > n_{M}$

Suy ra $\lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}} = - \infty$
Câu 13: Nhận biết
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
- A. ${u_n} = {\left( { - 1} ight)^n}.n$
- B. ${u_n} = {n^2}$
- C. ${u_n} = {2^n}$
- D. ${u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}$
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} ight)}}{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.n}} = - \frac{{n + 1}}{n}$ => Loại đáp án A
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} ight)}^2}}}{{{n^2}}}$ => Loại đáp án B
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2{u_n}$ => Dãy số là cấp số nhân có công bội q = 2
Chọn đáp án C
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}$ => Loại đáp án B
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình chóp $A.BCD$ có $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  $HK$ và $AD$ cắt nhau
- B.
  $HK$ và $CD$ chéo nhau
- C.
  $HK$ và $CD$ song song
- D.
  $HK$ và $BC$ cắt nhau
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ .

Xét tam giác $MCD$ có:

$\frac{IH}{IC} = \frac{IK}{ID} = \frac{1}{3}$ (do $H,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và tam giác $ABC$ )

$\ = > HK//CD$
Câu 15: Vận dụng cao
Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}$ . Giá trị S₁₀ là
- A.
  1
- B.
  $\frac{121}{120}$
- C.
  $\frac{119}{121}$
- D.
  $\frac{120}{121}$
Cách 1:

Ta có $\frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots$

Suy ra $S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}$

Vậy $S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Cách 2:

Ta có $S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Câu 16: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 17: Nhận biết
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)
Số ngày
2
7
7
3
1
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu.
- A.
  $\lbrack 9;11)$
- B.
  $\lbrack 7;9)$
- C.
  $\lbrack 11;13)$
- D.
  $\lbrack 13;15)$
Ta có:
Doanh thu
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)

Số ngày
2
7
7
3
1
N = 20
Tần số tích lũy
2
9
16
19
20

Cỡ mẫu $N = 20 \Rightarrow \frac{N}{4} =5$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Câu 18: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;d = 3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
- A.
  Thứ 15
- B.
  Thứ 20
- C.
  Thứ 35
- D.
  Thứ 36
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 100 = 3n - 8$

$\Leftrightarrow n = 36$
Câu 19: Thông hiểu
Cho dãy số $\left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
- A.
  Dãy số (u_n) tăng
- B.
  $u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1}$
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- D.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm
Ta có: $u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1}$ nên $u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1}$ đúng.

Do $- 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1$ nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (u_n) bị chặn” đúng.

$u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Do $\left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$ nên dãy số không tăng, không giảm.

Vậy “Dãy số (u_n) không tăng, không giảm” đúng.

Do đó “Dãy số (u_n) tăng” sai.
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Điểm $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua phép chiếu song song phương $CC'$ , mặt phẳng chiếu $(A'B'C')$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $M'A' = M'B'$
- B.
  $M'C' = M'B'$
- C.
  $M'A' = M'C'$
- D.
  $M'A = M'B'$
Hình vẽ minh họa

Ta có phép chiếu song song phương $CC'$ , biến $C$ thành $C'$ , biến $B$ thành $B'$ .

Do $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $M'$ là trung điểm của $B'C'$ vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.

Vậy khẳng định đúng là: $M'C' = M'B'$
Câu 21: Thông hiểu

Cho phương trình $\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) = \sin\left( x + \frac{3\pi}{4} ight)$ (*), vậy:

a) Phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \\ \end{matrix}(k\mathbb{\in Z}). ight.$ Đúng||Sai

b) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}{6}$ . Sai||Đúng

d) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{5\pi}{6}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho phương trình $\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) = \sin\left( x + \frac{3\pi}{4} ight)$ (*), vậy:

a) Phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \\ \end{matrix}(k\mathbb{\in Z}). ight.$ Đúng||Sai

b) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có 2 nghiệm. Đúng||Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;\pi)$ bằng $\frac{7\pi}{6}$ . Sai||Đúng

d) Trong khoảng $(0;\pi)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{5\pi}{6}$ . Đúng||Sai

Ta có:

$\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) = \sin\left( x + \frac{3\pi}{4} ight)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - \dfrac{\pi }{4} = x + \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\ {2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} - x + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \\ \end{matrix}(k\mathbb{\in Z})\ ight.\$

Vì $x \in (0;\pi)\ nên\ x \in \left\{ \frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6} ight\}$

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ là $x = \frac{\pi}{6};x = \frac{5\pi}{6}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng
Câu 22: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M \in SA$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SB,AC$ . Giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh $AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $N,E,F,I,J$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(SCD)$
- B.
  $EF//(ASD)$
- C.
  $NF//(SAD)$
- D.
  $JI//(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ = (\alpha) \cap (SBD) \\ (\alpha)//SB \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (SBD) = IJ//SB$

Mà $SB \subset (SAB) \Rightarrow IJ//(SAB)$
Câu 23: Nhận biết
Hình chiếu của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ qua phép chiếu song song phương $AA'$ lên mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là:
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình tam giác
Phép chiếu song song phương $AA'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ sẽ biến $A'$ thành $A$ , biến $B'$ thành $B$ , biến $C'$ thành $C$ , biến $D'$ thành $D$ .

Nên hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ là hình vuông.
Câu 24: Nhận biết

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân

Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng mỗi tháng là:
5 + 12 + 23 = 40 (cư dân)
Câu 25: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}$ . Tìm số hạng $u_{5}$
- A.
  $u_{5}=\frac{1}{4}$
- B.
  $u_{5}=\frac{17}{12}$
- C.
  $u_{5}=\frac{7}{4}$
- D.
  $u_{5}=\frac{71}{39}$
Ta có:
${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}$
Câu 26: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = 2;{u_{n + 1}} = - 2{u_n};\left( {n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}} ight)$ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số?
- A. ${S_{10}} = \frac{{2050}}{3}$
- B. ${S_{10}} = 2046$
- C. ${S_{10}} = - 682$
- D. ${S_{10}} = - \frac{{2050}}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = - 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{{u_1}.\left( {1 - {q^{10}}} ight)}}{{1 - q}} = - 682 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD,$ gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA$ và $SC.$ Khi đó $MN$ song song với đường thẳng
- A.
  $AC.$
- B.
  $BC.$
- C.
  $CD.$
- D.
  $AD.$
Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN//AC.$
Câu 28: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{CN}{CA} = 3$
- C.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{CN}{CA} = 1$
Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
Câu 29: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa mãn $\lim\left( \sqrt{n^{2} - 8n} - n + a^{2} ight) = 0$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Ta có:

$\lim\left( \sqrt{n^{2} - 8n} - n + a^{2} ight)$

$= \lim\left( \frac{- 8n}{\sqrt{n^{2} - 8n} + n} + a^{2} ight)$

$= \lim\left( \dfrac{- 8}{\sqrt{1 -\dfrac{8}{n}} + 1} + a^{2} ight) = a^{2} - 4$

Do đó:

$a^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2$

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 30: Thông hiểu
Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao
Số cây
[145; 150)
25
[150; 155)
50
[155; 160)
200
[160; 165)
175
[165; 170)
50
Giá trị đại diện cho nhóm [155; 160) bằng:
- A.
  $155$
- B.
  $157,5$
- C.
  $160$
- D.
  $167,5$
Giá trị đại diện của nhóm [155; 160) là $\frac{155 + 160}{2} = 157,5$
Câu 31: Thông hiểu
Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( x^{2} - x - 2 ight)^{20}}{\left( x^{3} - 12x + 16 ight)^{10}}$ .
- A.
  $\left( \frac{3}{2} ight)^{10}$
- B.
  $\left( \frac{2}{3} ight)^{10}$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2} ight)^{9}$
- D.
  $\left( \frac{1}{2} ight)^{10}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2}\dfrac{\left( x^{2}- x - 2 ight)^{20}}{\left( x^{3} - 12x + 16 ight)^{10}}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{(x +1)^{20}.(x - 2)^{20}}{(x - 2)^{20}.(x + 4)^{10}}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{(x +1)^{20}}{(x + 4)^{10}} = \frac{3^{20}}{6^{10}} = \left( \frac{3}{2}ight)^{10}$
Câu 32: Thông hiểu
Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:
Sản lượng
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
Số cây
10
15
17
14
12
2
Tìm mốt của mẫu dữ liệu trên?
- A.
  $75$
- B.
  $42$
- C.
  $64$
- D.
  $57$
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 17 nằm trong nhóm [60; 70).
Sản lượng
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
[70; 80)
[80; 90)
[90; 100)
Số cây
10
15
17
14
12
2

$f_{1}$ $f_{1}$ $f_{2}$

$\Rightarrow l = 60;f_{0} = 15;f_{1} =17;f_{2} = 14;c = 70 - 60 = 10$
Khi đó ta tính mốt như sau:
$M_{0} = l + \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1}- f_{0} - f_{2}}.c$
$\Rightarrow M_{0} = 60 + \frac{17 -15}{2.17 - 15 - 14}.10 = 64$
Câu 33: Nhận biết
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) = 1$ .
- A.
  $x = \frac{\pi}{3} + k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- B.
  $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- C.
  $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- D.
  $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Ta có $\sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 34: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = \frac{1 - m\sin x}{\cos x+ 2}$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [0; 10] để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2?
- A.
  1
- B.
  9
- C.
  3
- D.
  6
Ta có:
y.(cosx + 2) = 1 – m.sinx
=> m.sinx + y.cosx = 1 – 2y
Phương trình có nghiệm khi
$\begin{matrix}m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \\\Rightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0 \\\end{matrix}$
Nghiệm của phương trình $3y^{2} - 4y + 1 -m^{2} = 0$ là $x = \frac{2 \pm\sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$
=> $\frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}\leq y \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$
=> $\min y = \frac{2 - \sqrt{3m^{2} +1}}{3}$
Theo yêu cầu bài toán ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} < - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {3{m^2} + 1} > 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \sqrt {21} } \\ {m < - \sqrt {21} } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác m thuộc đoạn [0; 10] nên m = {5; 6; 7; 8; 9; 10}
Câu 35: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Các giá trị của a để dãy số (u_n) tăng là?
- A.
  a > 0
- B.
  0 < a < 1
- C.
  a < 1
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 2 − u_n + 1

= au_n + 1 + (1−a)u_n − u_n + 1

= (a−1)(u_n + 1−u_n)

⇒ u₃ − u₂ = (a−1)(u₂−u₁) = (a−1);

⇒ u₄ − u₃ = (a−1)(u₃−u₂) = (a−1)²

u_n + 1 − u_n = (a−1)^n − 1 > 0

Để dãy số (u_n) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1
Câu 36: Thông hiểu

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Mức lương (USD)
[60; 70)
[50; 60)
[40; 50)
[30; 40)
[20; 30)
Nhân viên
5
10
20
5
3
Điền đáp án vào ô trống
a) Mức lương trung bình (USD) của nhân viên là: 47,1 USD
(Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)
b) Trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là: 46,75

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Mức lương (USD)
[60; 70)
[50; 60)
[40; 50)
[30; 40)
[20; 30)
Nhân viên
5
10
20
5
3
Điền đáp án vào ô trống
a) Mức lương trung bình (USD) của nhân viên là: 47,1 USD
(Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất)
b) Trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là: 46,75

Sắp xếp nhóm dữ liệu theo chiều tăng như sau:
Mức lương (USD)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
[60; 70)
Mức lương trung bình (USD)
25
35
45
55
65
Nhân viên
3
5
20
10
5
Tần số tích lũy
3
8
28
38
43
Mức lương trung bình là:
$\overline{x} = \frac{25.3 + 35.5 + 45.20+ 55.10 + 65.5}{43} \approx 47,1$
Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{43}{2} =21,5$
Nên khoảng chứa trung vị là: [40; 50) vì 21,5 nằm giữa hai tần số tích lũy là 8 và 28.
$\Rightarrow l = 40;\frac{N}{2} = 21,5;m =8;f = 20,c = 10$
$\Rightarrow M_{e} = l + \dfrac{\left(\dfrac{N}{2} - m ight)}{f}.c$
$= 40 + \frac{21,5 - 8}{20}.10 =46,75$
Câu 37: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\cos(a + b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ .
- B.
  $\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left\lbrack \sin(a + b) + \sin(a - b) ightbrack$ .
- C.
  $\sin a + \sin b = 2sin\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}$ .
- D.
  $cos2a = 2cos^{2}a - 1$ .
Ta có $\cos(a + b) = \cos a.cosb - \sin a.sinb$ .
Câu 38: Vận dụng
Giải phương trình $\sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} ight) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) = 2\sin 2x$ ?
- A. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- B. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- C. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- D. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
Ta có $\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} ight) = - \sin x$ và . $\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) = - \cos x$
Do đó phương trình $\Leftrightarrow - \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\sin 2x$
$\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x + \cos x = - 2\sin 2x$
$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = - \sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) = - \sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) = \sin \left( { - 2x} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{6} = \pi + 2x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Xét nghiệm $x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \xrightarrow[{k \in \mathbb{Z},{\text{ }}k' \in \mathbb{Z}}]{{k = - 1 - k'}}x = \frac{{7\pi }}{6} + k'2\pi$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3},{\text{ }}x = \frac{{7\pi }}{6} + k'2\pi {\text{ }}\left( {k,k' \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 39: Thông hiểu
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
- A.
  $y = \cot x$
- B.
  $y = \frac{\sin x + 1}{\cosx}$
- C.
  $y = tan^{2}x$
- D.
  $y = \left| \cot xight|$
Thực hiện kiểm tra đáp án ta thấy:
Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Hàm số $y = \frac{\sin x + 1}{\cosx}$ không chẵn không lẻ
Hàm số $y = tan^{2}x$ và hàm số $y = \left| \cot x ight|$ là hàm số chẵn.
Câu 40: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 41: Thông hiểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5$ . Đúng||Sai

b) Phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

c) Nếu $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5$ thì $\lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack$ bằng $- 15$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$ gián đoạn tại $x = 0$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5$ . Đúng||Sai

b) Phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

c) Nếu $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5$ thì $\lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack$ bằng $- 15$ . Sai||Đúng

d) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$ gián đoạn tại $x = 0$ . Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5$

Xét phương trình $x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0$ . Đặt $x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ suy ra hàm số cũng liên tục trên $\lbrack - 1;3brack$ .

Ta có: $f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm

$f(x) = 0$ là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

Ta có:

Nếu $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5$ suy ra

$\lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1$

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.
Câu 42: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một tứ giác lồi có $AC \cap BD = M$ và $AB \cap CD = N$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng:
- A.
  $SB$
- B.
  $SM$
- C.
  $SN$
- D.
  $SC$
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng $SM$ .
Câu 43: Thông hiểu
Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại $x = 1$ ?
- A.
  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $f(x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 1}$
- C.
  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 3\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $f(x) = \sqrt{1 - 2x}$
Xét hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ có:

$\left\{ \begin{matrix} f(1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$ .
Câu 44: Vận dụng cao
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết $\widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ$ , E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình $2 \sin x -1 = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
- A. Điểm C và điểm D
- B. Điểm E và điểm F
- C. Điểm C và điểm F
- D. Điểm E và điểm D
Ta có: $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}$
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Câu 45: Thông hiểu
Cho tứ diện ABCD có M, N là hai điểm phân biệt trên cạnh AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  CM và DN chéo nhau.
- B.
  CM và DN cắt nhau.
- C.
  CM và DN đồng phẳng.
- D.
  CM và DN song song.
Hình vẽ minh họa

Giả sử CM và DN đồng phẳng.

Khi đó, ta có A, B cùng thuộc mặt phẳng (MNDC)

=> A, B, C, D đồng phẳng, trái giả thiết ABCD là tứ diện.

Vậy CM và DN chéo nhau.