Số nghiệm trong khoảng
của phương trình
là
Ta có:
.
Với thì
.
Suy ra .
Vậy có 1 nghiệm trong khoảng .
Số nghiệm trong khoảng
của phương trình
là
Ta có:
.
Với thì
.
Suy ra .
Vậy có 1 nghiệm trong khoảng .
Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó
là đường thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)
Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).
Vậy P là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Cho cấp số cộng
. Tính ![]()
Ta có:
Với mọi số nguyên dương
, tổng
chia hết cho:
Với ta có:
không chia hết cho 9.
Với ta có:
không chia hết cho 4 và 12
Ta sẽ chứng minh chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
Giả sử khẳng định đúng với nghĩa là
chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với tức là:
cũng chia hết cho 6
Ta có:
Ta lại có: ta cần chứng minh
Thật vậy là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên
Mặt khác và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy chia hết cho 6 hay
chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Cho hàm số
. Tính
.
Ta có:
Một nhóm
học sinh tham gia một kỳ thi. Số điểm thi của
học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 10):
. Tìm số trung bình của mẫu số liệu (tính chính xác đến hàng phần trăm).
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Cho dãy số
thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số (un) biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có
Xét tỉ số:
Vậy (un) là dãy số tăng.
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
Gọi là trung điểm
.
Xét tam giác có:
(do
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và tam giác
)
Hàm số
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
Ta có:
Mà
Nên có giá trị thỏa mãn.
Bảng số liệu sau đây thể hiện tuổi thọ của các bóng đèn (đơn vị: giờ):
1144 | 1134 | 1162 | 1130 | 1120 | 1160 | 1116 |
1179 | 1165 | 1150 | 1155 | 1177 | 1109 | 1142 |
1121 | 1103 | 1145 | 1131 | 1133 | 1170 | 1127 |
1164 | 1147 | 1157 | 1136 | 1166 | 1111 | 1168 |
1115 | 1150 | 1101 | 1125 | 1152 | 1132 | 1140 |
Từ mẫu số liệu trên, nếu ghép các số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau thì độ dài của mỗi nhóm số liệu bằng bao nhiêu?
Khoảng biến thiên là 1179 – 1101 = 78
Để số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia thành các nhóm có độ dài là 20.
Ta chia thành các nhóm sau: [1100; 1120), [1120; 1140), [1140; 1160), [1160; 1180).
Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình
.
Hình vẽ minh họa
Điều kiện
Ta có:
Với ta được nghiệm
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với ta được
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Tính
.
Ta có:
Cho phương trình
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Ta có:
=> Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
Nghiệm dương bé nhất của phương trình
là
Giải phương trình
Với k = 0 => (Thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của
(kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại
hay
Ta có:
Để tồn tại thì
.
Suy ra
Biết giới hạn
và
. Khi đó:
a) Tích
. Sai||Đúng
b) Hàm số
có tập xác định là
. Đúng||Sai
c) Giá trị
là số lớn hơn
. Đúng||Sai
d) Phương trình lượng giác
vô nghiệm. Sai||Đúng
Biết giới hạn và
. Khi đó:
a) Tích . Sai||Đúng
b) Hàm số có tập xác định là
. Đúng||Sai
c) Giá trị là số lớn hơn
. Đúng||Sai
d) Phương trình lượng giác vô nghiệm. Sai||Đúng
Ta có: ,
Do
a) Tích
b) Hàm số có tập xác định là
c) Giá trị là số lớn hơn
d) Phương trình lượng giác có nghiệm
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Cho cấp số nhân
với công bội
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo công thức tính tổng số hạng đầu của CSN ta được
.
bằng
Ta có:
Tìm tích các tần số còn thiếu trong bảng dữ liệu dưới đây biết số trung bình là 56.
Khoảng dữ liệu | Tần số |
[0; 20) | 16 |
[20; 40) | x |
[40; 60) | 25 |
[60; 80) | y |
[80; 100) | 12 |
[100; 120) | 10 |
Tổng | N = 90 |
Ta có:
Dữ liệu đại diện | Tần số | Tích các số liệu |
10 | 16 | 160 |
30 | x | 30x |
50 | 25 | 1250 |
70 | y | 70y |
90 | 12 | 1080 |
110 | 10 | 1100 |
Tổng | 63 + x + y | 3590 + 30x + 70y |
Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:
Mặt khác
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm
là điểm thuộc cạnh
sao cho
, gọi
. Tìm giao tuyến của
và
. Giao tuyến của
và
cắt đoạn
tại mấy điểm.
Đáp án: 0
Cho tứ diện . Gọi
là trung điểm
là điểm thuộc cạnh
sao cho
, gọi
. Tìm giao tuyến của
và
. Giao tuyến của
và
cắt đoạn
tại mấy điểm.
Đáp án: 0
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng , có
.
Suy ra không thuộc đoạn
.
Ta có:
Mà không thuộc đoạn
nên giao tuyến của
và
không cắt đoạn
.
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là
và
. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Công bội của cấp số nhân là:
Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
Theo dõi kích thước của táo trong một khoảng thời gian nhất định ta được kết quả như sau:
Kích thước (gram) | [410; 420) | [420; 430) | [430; 440) | [440; 450) | [450; 460) | [460; 470) | [470; 480) |
Số lượng táo | 14 | 20 | 42 | 54 | 45 | 18 | 7 |
Tính giá trị tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có:
Kích thước (gram) | Số lượng táo | Tần số tích lũy |
[410; 420) | 14 | 14 |
[420; 430) | 20 | 34 |
[430; 440) | 42 | 76 |
[440; 450) | 54 | 130 |
[450; 460) | 45 | 175 |
[460; 470) | 18 | 193 |
[470; 480) | 7 | 200 |
Tổng | N = 200 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [430; 440)
Khi đó ta có:
Tứ phân vị thứ nhất được tính như sau:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 6
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 6
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
,
là giao điểm của
và
trong mặt phẳng
.
Theo định lý Talet, ta có: là trung điểm của
Ta có:
.
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
Tốc độ | Tần số |
40 ≤ x < 50 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 5 |
60 ≤ x < 70 | 7 |
70 ≤ x < 80 | 4 |
Xác định giá trị của
?
Ta có:
Tốc độ | Tần số | Tần số tích lũy |
40 ≤ x < 50 | 4 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 5 | 9 |
60 ≤ x < 70 | 7 | 16 |
70 ≤ x < 80 | 4 | 20 |
Tổng | N = 20 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 60)
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?
Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)
Hàm số
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Hàm số xác định khi
Ta chọn nhưng điểm
thuộc khoảng
Vậy hàm số không xác định trong khoảng
Cho hình hộp
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Vì và
.
Tính giá trị đúng của biểu thức ![]()
Ta có:
Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho
. Đơn giản biểu thức P ta được:
Ta có:
Kết quả của giới hạn ![]()
Ta có:
. Khi đó:
(vì )
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?
Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.
Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp
bằng:
Ta có:
Cho dãy số
, biết
. Tìm số hạng ![]()
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Phương trình
vô nghiệm. Sai||Đúng
b) Hàm số
có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Để hàm số
liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Phương trình vô nghiệm. Sai||Đúng
b) Hàm số có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Để hàm số liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai
a) Xét hàm số có tập xác định
Hàm số liên tục trên ta có:
Vì nên phương trình
có ít nhất một nghiệm trên
.
b) Ta có:
Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.
c) Ta có:
d) Ta có:
với thì
là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi
. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng
Tại ta có:
Để hàm số liên tục trên khoảng thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:
.
Vậy để hàm số liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị là
.
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là:
Ta có: ,
,
,
,
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm
Tập nghiệm của phương trình
là?
Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?
Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 lập thành một cấp số cộng nên
Kết quả của giới hạn
là:
Ta có:
Khi đó:
Vì
Vậy