Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có
Mà
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Đẳng thức xảy ra
Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có
Mà
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Đẳng thức xảy ra
Cho hàm số
, số nghiệm thuộc
của phương trình
là?
Ta có:
Do đó
+) Trường hợp 1. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được .
+) Trường hợp 2. Với
Do nên
Suy ra k = 0 ta được ta được
.
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình
là
;
;
.
Tính giới hạn ![]()
Ta có:
Cho các hàm số
. Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?
Ta có:
là hàm số chẵn vì:
Tập xác định của hàm số
Với
là hàm số lẻ vì:
Tập xác định của hàm số
Với
là hàm số lẻ vì
Tập xác định của hàm số
Với
là hàm số lẻ vì
Tập xác định của hàm số
Với
Cho phương trình lượng giác
, vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
. Đúng||Sai
b) Trên khoảng
phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng
c) Trên khoảng
phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai
d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng
bằng
. Đúng||Sai
Cho phương trình lượng giác , vậy:
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình . Đúng||Sai
b) Trên khoảng phương trình có 2 nghiệm. Sai||Đúng
c) Trên khoảng phương trình có 3 nghiệm. Đúng||Sai
d) Tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng bằng
. Đúng||Sai
Ta có phương trình đã cho tương đương với
.
Vì nên suy ra
.
Kết luận:
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Đúng |
Cho dãy số
với
trong đó a là tham số thực. tìm a để ![]()
Ta có:
Ta có:
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Ta có:
Với
Đáp án sai
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
Ta có:
Theo dõi kích thước của táo trong một khoảng thời gian nhất định ta được kết quả như sau:
Kích thước (gram) | [410; 420) | [420; 430) | [430; 440) | [440; 450) | [450; 460) | [460; 470) | [470; 480) |
Số lượng táo | 14 | 20 | 42 | 54 | 45 | 18 | 7 |
Tính trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Kích thước (gram) | Số lượng táo | Tần số tích lũy |
[410; 420) | 14 | 14 |
[420; 430) | 20 | 34 |
[430; 440) | 42 | 76 |
[440; 450) | 54 | 130 |
[450; 460) | 45 | 175 |
[460; 470) | 18 | 193 |
[470; 480) | 7 | 200 |
| N = 200 |
|
Ta có:
=> Trung vị nằm trong nhóm (vì 100 nằm giữa hai tần số tịc lũy là 76 và 130)
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?
Ta xét đáp án Loại
Ta xét đáp án Loại
Ta xét đáp án Thỏa mãn!
Ta xét đáp án : Loại
Tính ![]()
Ta có:
Quan sát bảng sau và tìm khoảng chứa tứ phân vị thứ ba:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 |
Ta có:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | Tổng |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 | N = 59 |
Tần số tích lũy | 8 | 20 | 42 | 59 |
|
Ta có:
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu ghép nhóm sau:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(10; 20] | 15 |
(20; 30] | 25 |
(30; 40] | 20 |
(40; 50] | 12 |
(50; 60] | 8 |
(60; 70] | 5 |
(70; 80] | 3 |
Ta có:
Nhóm dữ liệu | Tần số | Tần số tích lũy |
(10; 20] | 15 | 15 |
(20; 30] | 25 | 40 |
(30; 40] | 20 | 60 |
(40; 50] | 12 | 72 |
(50; 60] | 8 | 80 |
(60; 70] | 5 | 85 |
(70; 80] | 3 | 88 |
Tổng | N = 88 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó:
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
Chọn khẳng định đúng?
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có:
Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả?
Ta có un ≥ 2, ∀n ⇒ (un) bị chặn dưới; dãy (un) không bị chặn trên.
Hàm số nào không liên tục tại
?
Ta có hàm số không xác định tại
nên hàm số không liên tục tại
NB
Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

Ta có
=> BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Biết
với
. Tập nghiệm của phương trình
trên
có số phần tử là:
Ta có:
Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình phải có nghiệm kép
. Tức là:
Khi thì
Do đó nên phương trình
vô nghiệm.
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
?
Ta có:
Mà
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng .
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
a) Mức doanh thu trung bình của cửa hàng là 8,4 (triệu đồng) Sai||Đúng
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là:
Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là
(đúng)
d) Có hai nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu và giá trị của mốt đó bằng 8. Sai||Đúng
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
a) Mức doanh thu trung bình của cửa hàng là 8,4 (triệu đồng) Sai||Đúng
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là: Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là (đúng)
d) Có hai nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu và giá trị của mốt đó bằng 8. Sai||Đúng
Ta có:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
|
Giá trị đại diện |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
Do đó doanh thu trung bình của cửa hàng là:
(triệu đồng)
Vậy doanh thu trung bình của cửa hàng là 9,4 triệu đồng.
Ta có:
|
Doanh thu |
[5; 7) |
[7; 9) |
[9; 11) |
[11; 13) |
[13; 15) |
|
|
Số ngày |
2 |
7 |
7 |
3 |
1 |
N = 20 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
16 |
19 |
20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Có hai nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là [7; 9) và [9; 11) do đó:
Xét nhóm [7; 9) ta có:
Xét nhóm [9; 11) ta có:
Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Phương trình
vô nghiệm. Sai||Đúng
b) Hàm số
có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Để hàm số
liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Phương trình vô nghiệm. Sai||Đúng
b) Hàm số có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Để hàm số liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai
a) Xét hàm số có tập xác định
Hàm số liên tục trên ta có:
Vì nên phương trình
có ít nhất một nghiệm trên
.
b) Ta có:
Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.
c) Ta có:
d) Ta có:
với thì
là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi
. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng
Tại ta có:
Để hàm số liên tục trên khoảng thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:
.
Vậy để hàm số liên tục trên khoảng
thì
nhận giá trị là
.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: ""
Cho dãy số
thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho hàm số
hàm số f(x) liên tục tại:
Tập xác định:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục khi
hàm số liên tục khi
Tại x = 1 ta có:
Vậy hàm số liên tục tại
Hàm số liên tục trên
Tính giá trị ![]()
Ta có:
Tính
biết
và
.
Ta có
.
Mà nên
.
Vậy .
Nếu [0; 5), [5; 10); [10; 15), … là các nhóm số liệu của mẫu dữ liệu ghép nhóm thì độ dài của nhóm là:
Độ dài của nhóm là 4
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vậy
Xác định công thức tổng quát của dãy số
.
Ta có:
Nhận thấy
Dự đoán
Ta chứng minh bằng quy nạp
Trước hết đúng với
Giả sử đúng khi
. Khi đó
Ta có:
Mặt khác ta có . Do đó
Vậy
Vậy (*) đúng với . Theo nguyên lí quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ:
Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính công sai
của cấp số cộng đó:
Ta có:
Dãy số có các số hạng cho bởi
có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án và
Ta có: ở các đáp án
và
Xét đáp án
Xét đáp án
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là
Cho hình chóp tứ giác
gọi
và
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
Khi đó
song song với đường thẳng
Do là đường trung bình của tam giác
nên
Kết quả chạy 50m của học sinh lớp 11A (đơn vị: giây) được liệt kê như sau:
7,8 | 7,7 | 7,5 | 7,8 | 7,7 | 7,6 | 8,7 |
7,6 | 7,5 | 7,5 | 7,3 | 7,1 | 8,1 | 8,4 |
7,0 | 7,1 | 7,2 | 7,3 | 7,4 | 8,5 | 8,3 |
7,2 | 7,1 | 7,0 | 6,7 | 6,6 | 8,6 | 8,2 |
6,9 | 6,8 | 6,5 | 6,2 | 6,3 |
Tính phần trăm số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây?
Từ số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp như sau:
Thời gian (giây) | Tần suất (%) |
[6,0; 6,5) | 6,06 |
[6,5; 7,0) | 15,15 |
[7,0; 7,5) | 30,3 |
[7,5; 8,0) | 27,27 |
[8,0; 8,5) | 12,12 |
[8,5; 9) | 9,1 |
Tổng | 100% |
Suy ra số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây chiếm số phần trăm là:
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
?
Ta có
Vậy .
Tính ![]()
Ta có:
Cho cấp số cộng
có
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng:
Ta gọi là công sai của cấp số cộng.
Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là -24 đạt được khi khi
.
Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng thì hàm số
đồng biến.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có khẳng định sai là: “Nếu và
thì
."