Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.
Vậy đồng quy.
Lại có:
Từ đó suy ra và
.
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.
Vậy đồng quy.
Lại có:
Từ đó suy ra và
.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.
Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.
Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.
=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).
Dãy số
là cấp số nhân với
Cấp số nhân
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Lấy
là trung điểm của
. Tìm hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
.
Giả sử là ảnh của
theo phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng
.
Suy ra
Do là trung điểm của
=>
là trung điểm của
.
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu un = 5.23n − 2 + 33n − 1
Một học sinh chứng minh un luôn chia hết cho 19 như sau:
Bước 1: Khi n = 1, ta có u1 = 5.21 + 32 = 19 ⇒ u1⋮19
Bước 2: Giả sử uk = 5.23k − 2 + 33k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.
Khi đó ta có uk + 1 = 5.23k + 1 + 33k + 2 = 8(5.23k − 2+33k − 1) + 19.33k − 1
Bước 3: Vì 5.23k − 2 + 33k − 1 và 19.33k − 1 chia hết cho 19 nên uk + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*
Vậy un chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ*
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
Lập luận hoàn toàn đúng!
Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.
Điểm | Số học sinh |
[0; 10) | 2 |
[10; 20) | 6 |
[20; 30) | 8 |
[30; 40) | x |
[40; 50) | 30 |
[50; 60) | 22 |
[60; 70) | 18 |
[70; 80) | 8 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100) | 2 |
Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.
Ta có:
Điểm | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[0; 10) | 2 | 2 |
[10; 20) | 6 | 8 |
[20; 30) | 8 | 16 |
[30; 40) | x | 16 + x |
[40; 50) | 30 | 46 + x |
[50; 60) | 22 | 68 + x |
[60; 70) | 18 | 86 + x |
[70; 80) | 8 | 94 + x |
[80; 90) | 4 | 98 + x |
[90; 100) | 2 | 100 + x |
| N = 100 + x |
|
Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)
Vậy số học sinh là 126 học sinh.
Một đường tròn có đường kính bằng 20cm. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo
(lấy 2 chữ số thập phân).
Cung có số đo thì có số đó radian là
Bán kính đường tròn
=>
Khi điểm M thuộc đường thẳng d, mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng .
Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) được cho bởi an = 2n + n là đúng?
Ta có an + 1 − an = 2n + 1 + n + 1 − 2n − n
= 2.2n − 2n + 1 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ*
Vậy (an) là dãy số tăng.
Cho cấp số cộng
có
và
. Tìm
Ta có:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
"Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có: tương ứng với
=>
Biết
liên tục trên
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Dễ thấy liên tục trên mỗi khoảng
và
. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại
Tức là ta cần có:
Ta có:
Khi đó (*) trở thành
Biết rằng phương trình
có nghiệm dạng
với
và
. Tính
.
Điều kiện xác định
Ta có:
=> Phương trình tương đương
=>
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức
. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
Ta có:
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi
Vì
Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".
Cho hình hộp
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó tỉ số độ dài
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành
Vì là hình bình hành nên
Từ đó ta có:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) suy ra hay
Tập nghiệm của phương trình
là?
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a)
Sai||Đúng
b)
khi
Đúng||Sai
c) Hàm số
liên tục tại
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?
a) Sai||Đúng
b) khi
Đúng||Sai
c) Hàm số liên tục tại
Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
Ta có:
Ta có: Khi thì
Ta có:
Vậy hàm số liên túc tại
Ta có:
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sai?
Ta có:
là hàm đa thức nên liên tục trên
.
Ta có: có nghiệm trên
Mà
Vậy phương trình có nghiệm trên khoảng
Ta có: có nghiệm trên
Vậy mệnh đề sai là “Phương trình không có nghiệm trên khoảng
”
Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng thì hàm số
đồng biến.
Cho bảng số liệu thống kê sau: Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần
Số khách hàng | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) |
Số ngày | 5 | 3 | 2 | 4 |
Những ngày có không dưới 40 khách hàng đến mua cà phê chiếm bao nhiêu phần trăm?
Những ngày có không dưới 40 khách hàng đến mua cà phê là: 3 + 2 + 4 = 9 (khách hàng) chiếm
Biết
với
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có:
Vậy
Cho dãy số
biết
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
.
Ta có và
Suy ra dãy số là cấp số nhân với
Do đó
bằng
Tìm số đo góc lớn nhất của một tứ giác, biết số đo các góc đó lập thành một cấp số nhân có số hạng cuối gấp tám lần số hạng đầu tiên?
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu là , công bội
, với
Theo bài ra ta có:
Mà
Vậy góc lớn nhất có số đo
Gọi
là giao tuyến của mặt phẳng
và
. Nếu đường thẳng
song song với cả hai mặt phẳng thì:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
“Mẫu số liệu … là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.”. Cụm từ thích hợp để điền vào “…” là: Ghép nhóm||Không ghép nhóm|| Ghép nhóm và không ghép nhóm
“Mẫu số liệu … là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.”. Cụm từ thích hợp để điền vào “…” là: Ghép nhóm||Không ghép nhóm|| Ghép nhóm và không ghép nhóm
Hoàn thành câu: Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Hàm số
liên tục trên khoảng nào sau đây?
Ta có:
Hàm số là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định
nên hàm số
liên tục trên các khoảng
.
Do đó liên tục trên
.
Tổng Sn = 1.3 + 2.5 + 3.7 + … + n(2n+1) có công thức thu gọn là?
Sn = Σi = 1n i(2i+1) = Σi = 1n (2i2+1)
Gọi
là nghiệm trong khoảng
của phương trình
, nếu biểu diễn
với a, b là hai số nguyên và
là phân số tối giản thì a.b bằng bao nhiêu?
Phương trình .
Với .
Suy ra a =11 và b = 6 .
Vậy a.b=66.
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện A | [15,5; 20,5) | [20,5; 25,5) | [25,5; 30,5) | [30,5; 35,5) | [35,5; 40,5) | [40,5; 45,5) | [45,5; 50,5) | [50,5; 55,5) |
Tần số | 5 | 6 | 12 | 14 | 26 | 12 | 16 | 9 |
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu đã cho?
Ta có:
Đại diện X | Tần số | Tần số tích lũy |
[15,5; 20,5) | 5 | 5 |
[20,5; 25,5) | 6 | 11 |
[25,5; 30,5) | 12 | 23 |
[30,5; 35,5) | 14 | 37 |
[35,5; 40,5) | 26 | 63 |
[40,5; 45,5) | 12 | 75 |
[45,5; 50,5) | 16 | 91 |
[50,5; 55,5) | 9 | 100 |
| N = 100 |
|
Ta lại có:
=> Nhóm chứa là
(vì 25 nằm giữa các tần số tích lũy 23 và 37).
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác (
không song song với
),
. Lấy
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Kết quả của giới hạn
bằng:
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy
Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?
Theo bài ra ta có:
Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 12;
. Tính ![]()
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)
Ta có:
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu đã cho?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Giá trị đại diện | Số người |
[0; 50) | 25 | 5 |
[50; 100) | 75 | 12 |
[100; 150) | 125 | 23 |
[150; 200) | 175 | 17 |
[200; 250) | 225 | 3 |
|
| N = 60 |
Giá trị trung bình cần tìm là:
Tính ![]()
Ta có:
Cho tứ diện
. Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng
chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Cho tứ diện . Các điểm
lần lượt là trung điểm
. Các điểm
lần lượt là trọng tâm các tam giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
b) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Đúng||Sai
c) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
d) Đường thẳng chéo với đường thẳng
Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Do
(Định lý Talet)
Xét tam giác có:
(do
là đường trung bình của tam giác)
Lại có:
Vậy và
chéo nhau.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
Hàm số là hàm số không tuần hoàn
Tập xác định
Giả sử
Cho x = 0 và x = π ta được
Điều này trái với định nghĩa T > 0
Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn
Tương tự chứng minh cho các hàm số và
không tuần hoàn.
Vậy hàm số là hàm số tuần hoàn
Cho dãy số
với
, trong đó
là tham số thực.
a) Khi
thì
Đúng||Sai
b) Khi
thì
. Sai||Đúng
c) Khi
thì
. Đúng||Sai
d) Khi
thì
Đúng||Sai
Cho dãy số với
, trong đó
là tham số thực.
a) Khi thì
Đúng||Sai
b) Khi thì
. Sai||Đúng
c) Khi thì
. Đúng||Sai
d) Khi thì
Đúng||Sai
Ta có
Nhận lượng liên hợp :
Giải phương trình ![]()
Ta có
Giá trị của
bằng:
Ta có: