Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $SI//AB$ . Sai||Đúng

b) $SI//AC$ . Sai||Đúng

c) $SI//AD$ . Đúng||Sai

d) $SI//BD$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $SI//AB$ . Sai||Đúng

b) $SI//AC$ . Sai||Đúng

c) $SI//AD$ . Đúng||Sai

d) $SI//BD$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $SI = (SBC) \cap (SAD)$

Do $\left\{ \begin{matrix} SI = (SAD) \cap (SBC)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AD \subset (SAD)\ ;\ \ BC \subset (SBC) \\ AD \parallel BC \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow SI \parallel BC \parallel AD$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai
Câu 2: Nhận biết
Mệnh đề nào dưới đây SAI?
- A.
  Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song vơi đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- B.
  Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
- C.
  Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Câu 3: Vận dụng cao
Hàm số $y = cos^{2}x + 2sinx + 2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $x_{0} = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x_{0} = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x_{0} = \pi + k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
- D.
  $x_{0} = k2\pi,\ \ k\mathbb{\inZ}.$
Ta có: $y = cos^{2}x + 2sinx + 2 = 1 -sin^{2}x + 2sinx + 2$
$= - sin^{2}x + 2sinx + 3 = - \left( \sinx - 1 ight)^{2} + 4.$
Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 2 \leq \sin x - 1 \leq 0 \\\Leftrightarrow 0 \leq \left( \sin x - 1 ight)^{2} \leq 4 \\\end{matrix}$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow 0 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} \geq - 4 \hfill \\\Leftrightarrow 4 \geq - \left( \sin x - 1 ight)^{2} + 4 \geq 0 \hfill \\\end{matrix}$ .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $0$ .
Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = - 1\Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z}ight).$
Câu 4: Vận dụng
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ , tâm của các mặt bên $(ABB'A');(BCC'B');(ACC'A')$ lần lượt là $M,N,P$ . Hình chiếu của điểm $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ , mặt phẳng chiếu $(AB'C)$ là:
- A.
  trung điểm của $AN$
- B.
  trung điểm của $AM$
- C.
  trung điểm của $B'N$
- D.
  trung điểm của $B'M$
Hình vẽ minh họa

Gọi $Q$ là ảnh của $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ lên mặt phẳng $(AB'C)$ .

Ta có $PQ//BC'$ và $PQ \subset (ABC')$ .

Mà $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC')$ và $(AB'C)$ nên $Q \in AN$ .

Lại có $P$ là trung điểm của $AC'$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ANC'$

=> $P$ là trung điểm của $AN$ .
Câu 5: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ với $f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1}$ với mọi $x eq 1$ . Tính $f(1)$ .
- A.
  $f(1) = 2$
- B.
  $f(1) = 1$
- C.
  $f(1) = 0$
- D.
  $f(1) = - 1$
Ta có: $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ nên suy ra

$f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1$

Vậy $f(1) = 1$
Câu 6: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.

Câu 7: Thông hiểu

Bạn Lan trồng 50 cây cà rốt bằng loại đất đặc biệt. Khi thu hoạch Lan đo chiều dài của củ cà rốt (chính xác đến mm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều dài (mm)	Chiều dài đại diện (mm)
(149,5; 154,5]	152
(154,5; 159,5]	157
(159,5; 164,5]	162
(164,5; 169,5]	167
(169,5; 174,5]	172
(174,5; 179,5]	177
(179,5; 184,5]	182
(184,5; 189,5]	187

Tìm chiều dài trung bình của các củ cà rốt Lan trồng được.

A.
$170$
B.
$169,5$
C.
$171,8$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều dài (mm)	Chiều dài đại diện (mm)	Số củ cà rốt	Tích các giá trị
(149,5; 154,5]	152	5	760
(154,5; 159,5]	157	2	314
(159,5; 164,5]	162	6	972
(164,5; 169,5]	167	8	1336
(169,5; 174,5]	172	9	1548
(174,5; 179,5]	177	11	1947
(179,5; 184,5]	182	6	1092
(184,5; 189,5]	187	3	561
	Tổng	50	8530

Chiều dài trung bình của cà rốt Lan trồng được là:

$\overline{x} = \frac{8530}{50} \approx170,6(mm)$

Câu 8: Vận dụng
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0 \leq t < 24)$ cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12$ . Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là $15\ m$ ?
- A.
  0.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  3
Độ sâu của mực nước là $15\ m$ thì h = 15.

Khi đó

$15 = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12n \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = 1$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = cos0 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} + 1 = k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi};k \in Z$

Vì $0 \leq t < 24$ nên

$0 \leq \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi} \leq 24 \Leftrightarrow 0 < k \leq 2$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \left\{ \frac{6(2\pi - 1)}{\pi};\frac{6(4\pi - 1)}{\pi} ight\}$
Câu 9: Thông hiểu
Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
- A.
  $S_{50} = 7650$
- B.
  $S_{50} = 7500$
- C.
  $S_{50} = 3900$
- D.
  $S_{50} = 3825$
Ta có:

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng $3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ nên chúng lập thành cấp số cộng $u_{n} = n$

$ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.$

$S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm chu kì T của hàm số $y = \cos 3x + \cos 5x.$
- A. $T = \pi$
- B. $T = 3\pi$
- C. $T = 2\pi$
- D. $T = 5\pi$
Hàm số $y = \cos 3x$ tuần hoàn với chu kì ${T_1} = \frac{{2\pi }}{3}$
Hàm số $y = \cos 5x$ tuần hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{{2\pi }}{5}$
Suy ra hàm số $y = \cos 3x + \cos 5x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$
Câu 11: Nhận biết
Với $x \in \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} ight)$ , mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến
- B. Hàm số $y = \tan x$ nghịch biến.
- C. Hàm số $y = \sin x$ đồng biến.
- D.
  Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến.
Ta có $\left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} ight) = \left( { - \frac{\pi }{4} + 8\pi ;\frac{\pi }{4} + 8\pi } ight)$ thuộc góc phần tư thứ I và II.
Câu 12: Thông hiểu

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = 1$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = + \infty$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight) = - \infty$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}(\sqrt{x + 2} - 1) = \sqrt{2 + 2} - 1 = 1$ .

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{4x - 3}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (4x - 3) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(4x - 3) = 1,\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 2 - 1}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left\lbrack \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{1}{(x - 2)} ightbrack = - \infty$ , do $\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{x + 1}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \\\lim_{x ightarrow 2^{-}}\dfrac{1}{x - 2} = - \infty \\\end{matrix} ight.$

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{|x + 1|}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}$ .
Câu 13: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Xét $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}$

$= \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)$

$= \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)$

$= - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - 1$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2$

$f(1) = a + 2$

Hàm số liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow a + 2 = - 1 \Leftrightarrow a = - 3$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. Vô số
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x =a$ .
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Do đó, phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| {m + 1} ight| \leqslant 1$
$\Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho $c$ là hằng số, $k$ là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = + \infty$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương.
Câu 16: Thông hiểu
Biết $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{5}{4}$ . Khi đó $\sin\alpha.\cos\alpha$ có giá trị bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{9}{32}$
- C.
  $\frac{3}{16}$
- D.
  $\frac{5}{4}$
Ta có:

$\sin\alpha.cos\alpha$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left(\sin\alpha + \cos\alpha ight)^{2} - \left( \sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( \frac{5}{4} ight)^{2} - 1 ightbrack = \frac{9}{32}$
Câu 17: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ . Với $n \geq 1$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{n + 1} = u_{n} + q$ .
- B.
  $u_{n + 1} = u_{n} + (n - 1)q$ .
- C.
  $u_{n + 1} = u_{n}.q$ .
- D.
  $u_{n + 1} = u_{n}.q^{n - 1}$ .
Do $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân nên $u_{n + 1} = u_{n}.q\ \ ,\ \ (n \geq 1)$ .
Câu 18: Nhận biết
Nếu các dãy số $\left( u_{n} ight),\left( v_{n} ight)$ thỏa mãn $\lim u_{n} = 4$ và $\lim v_{n} = 3$ thì $\lim\left( u_{n} + v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $12$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $\frac{4}{3}$ .
Ta có $\lim\left( u_{n} + v_{n} ight) = \lim u_{n} + \lim v_{n} = 7$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
- C.
  Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.
Câu 20: Thông hiểu

Cho $L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight)$ . Khi đó:

a) Khi $L = 3$ thì $a = - 6$ . Đúng||Sai

b) Khi $L > 0$ thì $a > 0$ . Sai||Đúng

c) Khi $L = 2$ thì $a = 4$ . Sai||Đúng

d) $L = - 6$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho $L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight)$ . Khi đó:

a) Khi $L = 3$ thì $a = - 6$ . Đúng||Sai

b) Khi $L > 0$ thì $a > 0$ . Sai||Đúng

c) Khi $L = 2$ thì $a = 4$ . Sai||Đúng

d) $L = - 6$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ . Đúng||Sai

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} + ax + 5 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{ax + 5}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\left( \dfrac{a + \dfrac{5}{x}}{- \sqrt{1 + \dfrac{a}{x} +\dfrac{5}{x^{2}}} - 1} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \frac{a}{- 2} = - 6 \Leftrightarrow a = 12$ .

Vì vậy giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 21: Thông hiểu
Hỏi trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ , phương trình $2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Phương trình $2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \hfill \\ \sin x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Theo giả thiết
$0 \leqslant x < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \leqslant \frac{\pi }{2} + k2\pi < \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{1}{6}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \to x = \frac{\pi }{6} \hfill \\ - \frac{5}{{12}} < k < - \frac{1}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \emptyset \hfill \\ - \frac{1}{4} < k < 0\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \emptyset \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} ight)$ .
Câu 22: Nhận biết
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ${\tan ^2}x = 3$ ?
- A. $\cos x = - \frac{1}{2}$
- B. $4{\cos ^2}x = 1$
- C. $\cot x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
- D. $\cot x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Ta có ${\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x$
$\Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 3{\cos ^2}x \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1$
Vậy ${\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1$ .
Câu 23: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.
- B.
  Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD.
- C.
  Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM.
- D.
  Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC).
Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 24: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 25: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm
Tần số
(0;10]
8
(10;20]
14
(20;30]
12
(30;40]
9
(40;50]
7
Tính giá trị trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên.
- A.
  $\overline{x} =23,6$
- B.
  $\overline{x} = 25$
- C.
  $\overline{x} = 21,3$
- D.
  $\overline{x} = 20,8$
Ta có:
Đại diện
Tần số
Tích các giá trị
5
8
40
15
14
210
25
12
300
35
9
315
45
7
315
Tổng
N = 50
1180
Giá trị trung bình là: $\overline{x} =\frac{1180}{50} = 23,6$
Câu 26: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $70 \leq M_{e} <75$
- B.
  $50 \leq M_{e} < 55$
- C.
  $60 \leq M_{e} <65$
- D.
  $65 \leq M_{e} <70$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Số học sinh

[45; 50)
5
$f_{0}$
[50; 55)
12
$f_{1}$
[55; 60)
10
$f_{2}$
[60; 65)
6

[65; 70)
5

[70; 75)
8

=> Nhóm chứa mốt là: [50; 55)
Câu 27: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để $A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1} > 0$
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a \leq 0 \\ a \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $0 < a < 1$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $0 \leq a < 1$
Ta có:

$A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{5}{n^{2}} - 3a}{(1 -a) + \dfrac{2}{n^{3}} + \dfrac{1}{n^{4}}}$

$= \frac{- 3a}{1 - a} > 0$

Giải bất phương trình ta được kết quả $\left\lbrack \begin{matrix} a < 0 \\ a > 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 28: Nhận biết
Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)
(1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).
(2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).
Trong hai phát biểu trên.
- A.
  Chỉ có một phát biểu đúng.
- B.
  Chỉ có phát biểu (2) đúng.
- C.
  Cả hai phát biểu đều đúng.
- D.
  Cả hai phát biểu đều sai.
Theo định lý, nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q), do đó nếu lấy mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì tồn tại hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn định lý, vậy phát biểu (2) đúng.
Phát biểu (1) sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Câu 29: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
- A.
  Số hạng tổng quát của CSN $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ với công bội $q$ và số hạng đầu $u_{1}$ .
- B.
  Nếu dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân thì ${u^{2}}_{n + 1} = u_{1}.u_{n + 2};(\forall n \geq 2)$ .
- C.
  Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1} + nd$ với công sai $d$ và số hạng đầu $u_{1}$ .
- D.
  Nếu dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số cộng thì $u_{n + 1} = \frac{u_{1} + u_{n + 2}}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ .
Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1} + nd$ với công sai $d$ và số hạng đầu $u_{1}$ .”
Câu 30: Nhận biết
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  Không
- D.
  Vô số
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Câu 31: Nhận biết
Đổi số đo của góc $- 5rad$ sang đơn vị độ, phút, giây
- A.
  $- 286^{0}44'28''$
- B.
  $- 286^{0}28'44''$
- C.
  $- 286^{0}$
- D.
  $286^{0}28'44''$
Cách 1: Từ công thức $\alpha = \frac{m\pi}{180} \Rightarrow m = \left( \frac{\alpha.180}{\pi} ight)^{0}$ khi đó:

$m = \left( \frac{- 5.180}{\pi} ight)^{0} = - 286^{0}28'44''$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

Bước 2. Bấm -5 shift DRG 2 =
Câu 32: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số $y = f(x) + g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
- B.
  Hàm số $y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
- C.
  Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_{0}$
- D.
  Hàm số $y = f(x) - g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
Xét trường hợp $y = g(x)$ liên tục tại $x_{0}$ và $g\left( x_{0} ight) = 0$ thì hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ không xác định tại $x_{0}$ .
Câu 33: Vận dụng cao
Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- A.
  $(67m;69m)$
- B.
  $(60m;63m)$
- C.
  $(64m;66m)$
- D.
  $(69m;72m)$
Ta có:

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần nảy lên là một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u₁ = 55,8m, $q = \frac{1}{10}$

Sau khi nảy lên, qua bóng rơi xuống một quãng đường đúng bằng chiều cao.

Từ đó tổng quãng đường mà quả bóng đã di chuyển là

$\begin{matrix} {u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + .... \hfill \\ = {u_1} + 2{u_1}q + 2{u_1}{q^2} + ... \hfill \\ = {u_1} + \dfrac{{2{u_1}q}}{{1 - q}} = \dfrac{{11}}{9}{u_1} = 68,2m \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển nằm trong khoảng $(67m;69m)$ .
Câu 34: Thông hiểu

Chuyển đổi dữ liệu sau: $3; 5; 1; 2; 3; 2; 2; 1; 6; 9; 5; 3; 9; 2$ thành dạng ghép nhóm, chia thành 5 nhóm có độ dài bằng nhau:
Đại diện X
Tần số
[0; 2)
2
[2; 4)
7
$[4; 6)$
2
[6; 8)
1
[8; 10)
2

Đáp án là:

Chuyển đổi dữ liệu sau: $3; 5; 1; 2; 3; 2; 2; 1; 6; 9; 5; 3; 9; 2$ thành dạng ghép nhóm, chia thành 5 nhóm có độ dài bằng nhau:
Đại diện X
Tần số
[0; 2)
2
[2; 4)
7
$[4; 6)$
2
[6; 8)
1
[8; 10)
2

Để chia thành 5 nhóm với độ dài bằng nhau ta lấy điểm đầu mút phải trái của nhóm đầu tiên là 0 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 10 với độ dài mỗi nhóm là 6 – 4 = 2.
Ta được mẫu số ghép nhóm như sau:
Đại diện X
Tần số
$[0; 2)$
$2$
$[2; 4)$
$7$
$[4; 6)$
$2$
$[6; 8)$
$1$
$[8; 10)$
$2$
Câu 35: Vận dụng
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;...;2048$ . Tính tổng $S$ của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $S = 2047,75$
- B.
  $S = 2049,75$
- C.
  $S = 4095,75$
- D.
  $S = 4096,75$
Cấp số nhân đã cho có $\left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\q = 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow 2048 = 2^{11} = u_{1}.q^{n -1} = \frac{1}{2}.2^{n - 1} = 2^{n - 2}$
$\Rightarrow n = 13$
=> $S = 2047,75$
Câu 36: Thông hiểu
Kết quả của giới hạn $\lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}$ bằng:
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  2
- D.
  3
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}} + \dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight) + \lim \left( {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant \left| {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \\ {0 \leqslant \left| {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 37: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai. Trong không gian:
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung.
- B.
  Hai đường thẳng cắt nhau thì không song song với nhau.
- C.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
- D.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.
Câu 39: Thông hiểu
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
- A.
  $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n}{2}$
- C.
  $u_{n} = \frac{2}{n^{2}}$
- D.
  $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}$
Xét đáp án $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1}$ :

Ta có $u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1};u_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 2}$ . Khi đó:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} - \frac{n - 3}{n + 1} = \frac{4}{(n + 1)(n + 1)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

Xét đáp án $u_{n} = \frac{n}{2}$ :

Ta có $u_{n} = \frac{n}{2};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2}$ . Khi đó $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

Xét đáp án $u_{n} = \frac{2}{n^{2}}$ :

Ta có $u_{n} = \frac{2}{n^{2}};u_{n + 1} = \frac{2}{(n + 1)^{2}} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} < \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Xét đáp án $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}$ :

Ta có $u_{1} = \frac{- 1}{3};u_{2} = \frac{1}{9};u_{3} = \frac{- 1}{27}$

Vậy (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 40: Vận dụng cao
Cho tổng $S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$ .

Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
- A.
  $S(n) = \frac{n}{n + 2}$
- B.
  $S(n) = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $S(n) = \frac{2n}{n + 1}$
- D.
  $S(n) = \frac{n}{2^{n}}$ .
$S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$
Câu 41: Thông hiểu

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

a) Xét dãy số đã cho ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$ nên dãy số $\left( u_{n} ight)$ không tăng không giảm.

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ đúng bằng chứng minh quy nạp.

c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng $u_{1} = - 2020$

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

$u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)$

$\Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n$

d) Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: $S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315$ .

Câu 42: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 43: Nhận biết
Cho dãy số có các số hạng đầu là $- 2;0;2;4;6;...$ . Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = - 2n$
- B.
  $u_{n} = n - 2$
- C.
  $u_{n} = - 2(n + 1)$
- D.
  $u_{n} = 2n - 4$
Ta có: $u_{1} = - 2$ loại các đáp án $u_{n} = n - 2$ và $u_{n} = - 2(n + 1)$ . Ta kiểm tra $u_{2} = 0$

Xét đáp án $u_{n} = - 2n$ có $u_{2} = - 4 eq 0$

Xét đáp án $u_{n} = 2n - 4$ có $u_{2} = 2.2 - 4 = 0$ là đáp án đúng.
Câu 44: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) có u₁ = 1 và $u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) (u_n) là dãy số tăng.

(2) (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

(3) (u_n) là dãy số bị chặn trên.
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có $\forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0}$ nên dãy số tăng.

Vậy phát biểu (1) đúng.

Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u₁.

Vậy phát biểu (2) đúng.

Ta lại có $u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}$

Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

$u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}$

Mặt khác $\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.
Câu 45: Nhận biết
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Tần số

7

13

9

18

22

6

Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  8
Mẫu số liệu đã cho có 6 nhóm.