Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Câu 1: Nhận biết

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$
B.
$\cos(a + b) = \cos a\cos b + \sina\sin b$
C.
$\sin(a - b) = \sin b\cos a - \sina\cos b$
D.
$\cos(a - b) = \sin a\sin b - \cosa\cos b$

Đáp án đúng là: $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$

Câu 2: Thông hiểu

Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.

A.
$d = 2$
B.
$d = - 3$
C.
$d = 4$
D.
$d = 5$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Câu 3: Thông hiểu

Tính giới hạn của hàm số $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$ .

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$- \infty$
C.
$2$
D.
$- \frac{5}{4}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( 2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1 ight)}{(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = 2$

Câu 4: Nhận biết

Khi nào mẫu số liệu ghép nhóm thường được dùng để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu?

A.
khi ta có thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu của bài toán.
B.
khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc so yêu cầu của bài toán.

Mẫu số liệu ghép nhóm được dùng khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu bài toán mà ta phải biểu diễn mẫu số liệu dưới dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.

Câu 5: Thông hiểu

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54$ . Tính $u_{8}$ .

A.
$u_{8} = 4374$ .
B.
$u_{8} = 13122$ .
C.
$u_{8} = - 13122$ .
D.
$u_{8} = - 4374$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374$ .

Câu 6: Vận dụng

Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) Dãy số được xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

(2) Dãy số được xác định bởi a_n = n² là một dãy giảm.

(3) Dãy số được xác định bởi a_n = 1 − n² là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

(4) Dãy số được xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là một dãy không tăng, không giảm.

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

$0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số xác định bởi $a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ là một dãy bị chặn.

a_n + 1 − a_n = (n+1)² − n² = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = n² là dãy tăng.

a_n + 1 − a_n = (1−(n+1)²) − (1−n²) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số xác định bởi a_n = 1 − n² là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

a₁ = − 1 < a₂ = 4 > a₃ = − 9 nên dãy số xác định bởi a_n = (−1)ⁿn² là dãy không tăng không giảm.

Câu 7: Nhận biết

Với $x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight)$ , mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Hàm số y = cotx nghịch biến
B.
Hàm số y = tanx nghịch biến
C.
Hàm số y = sinx đồng biến
D.
Hàm số y = cosx nghịch biến

Ta có: $x \in \left( \frac{31\pi}{4};\frac{33\pi}{4} ight) = \left( - \frac{\pi}{4} + 8\pi;\frac{\pi}{4} + 8\pi ight)$ thuộc góc phần tư thứ I và thứ II.

Câu 8: Nhận biết

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$(u_{n})$ không phải là cấp số nhân
B.
$(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu $u_{1}=\frac{3}{2}$ .
C.
$(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội q = 5 và số hạng đầu $u_{1}=\frac{15}{2}$ .
D.
$(u_{n})$ là cấp số nhân có công bội $q=\frac{5}{2}$ và số hạng đầu $u_{1}=3$ .

Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1$

=> $(u_{n})$ là một cấp số nhân với công bội là q = 5

Số hạng đầu tiên của dãy là: ${u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}$

Câu 9: Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm?

A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x =a$ .

- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .

- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .

Do đó, phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| {m + 1} ight| \leqslant 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}$ .

Câu 10: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M, N, P, Q, R, T$ lần lượt là trung điểm $AC, BD, BC, CD, SA, SD$ . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

A. M, P, R, T.
B. M, Q, T, R.
C. M, N, R, T.
D. P, Q, R, T.

Hình vẽ minh họa

Tìm bốn điểm đồng phẳng

Ta có: $RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên.

$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MQ{m{//}}AD$ .

=> $RT{m{//}}MQ$

=> $M, Q, R, T$ đồng phẳng.

Câu 11: Nhận biết

Tính giới hạn $L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}$ ?

A.
$L = - \infty$
B.
$L = 0$
C.
$L = + \infty$
D.
$L = 1$

Ta có:

$L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0$

Câu 12: Nhận biết

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A.
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d.
B.
Nếu đường thẳng d song song mặt phẳng (P), đường thẳng a bất kỳ nằm trong (P) thì a và d chéo nhau.
C.
Nếu đường thẳng d song song mặt phẳng (P) thì trong (P) có duy nhất một đường thẳng a song song với d.
D.
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì d song song với mọi đường thẳng nằm trong (P).

Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d”.

Câu 13: Nhận biết

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$\frac{5}{7}$
B.
$\frac{1}{7}$
C.
$0$
D.
$\frac{-5}{7}$

Ta có:

Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0

Với x = 0 ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$

Câu 14: Vận dụng

Tính tổng $S = - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - ... + ( - 2)^{n - 1} + ( - 2)^{n}$ với $n \geq 1,n\mathbb{\in N}$ .

A.
$S = 2n$
B.
$S = 2^{n}$
C.
$S = \frac{- 2\left( 1 - 2^{n} ight)}{1 - 2}$
D.
$S = ( - 2).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{3}$

Các số hạng $- 2;4; - 8;16; - 32;64;...;( - 2)^{n - 1};( - 2)^{n}$ có tổng S gồm có n số hạng theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có $u_{1} = - 2;q = - 2$

$\Rightarrow S = S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

$\Rightarrow S = ( - 2).\frac{1 - ( - 2)^{n}}{3}$

Câu 15: Thông hiểu

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3
Tổng	N = 100

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm?

A.
$162,94$
B.
$163,87$
C.
$162,14$
D.
$163,08$

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 160;\dfrac{N}{2} = 50;m = 26;f = 39 \\c = 165 - 160 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó trung vị là:

$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$ $= 160 + \frac{50 - 26}{39}.5 \approx 163,08$

Câu 16: Vận dụng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Lấy $M \in AD,N \in CC'$ sao cho $2AM = AD$ và $2CN = CC'$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $MN$ và song song với $(ACB')$ . Xác định các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?

A.
Hình lục giác
B.
Hình ngũ giác
C.
Hình tứ giác
D.
Hình tam giác

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp.

Câu 17: Nhận biết

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$u_{15} = 34.$
B.
$u_{15} = 45.$
C.
$u_{13} = 31.$
D.
$u_{10} = 35.$

Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$

Câu 18: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là

A. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
B. Điểm F.
C. Giao điểm của đường thẳng EG và AF.
D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD)

Ta có $EG ⊂ (ABF)$ và $AF = (ABF) ∩ (ACD)$

=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

Câu 19: Nhận biết

Cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d ∈ (P)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. Nếu $A ∈ d$ thì $A ∈ (P)$
B. Nếu $A ∈ (P)$ thì $A ∈ d$
C. $\forall A,A \in d \Rightarrow A \in (P)$
D. Nếu 3 điểm $A,B,C ∈ (P)$ và $A,B,C$ thẳng hàng thì $A,B,C ∈ d$

Mệnh đề đúng: " $\forall A,A \in d \Rightarrow A \in (P)$ ".

Câu 20: Thông hiểu

Rút gọn biểu thức $C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) -\cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$ .

A.
$C = \sqrt{2}\sin x$
B.
$C = - \sqrt{2}\sin x$
C.
$C = \sqrt{2}\cos x$
D.
$C = - \sqrt{2}\cos x$

Ta có:

$C = \cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight) - \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$

$C = - 2\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4}+ x - \dfrac{\pi}{4}}{2} ight).\sin\left( \dfrac{x + \dfrac{\pi}{4} - x +\dfrac{\pi}{4}}{2} ight)$

$C = - 2\sin x.\sin\frac{\pi}{4} = -\sqrt{2}\sin x$

Câu 21: Vận dụng cao

Kết quả của giới hạn $\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2}$ là:

A.
$+ \infty$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{3}{2}$
D.
$- \infty$

Ta có:

$\begin{matrix} {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \hfill \\ \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$\begin{matrix} \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì $\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $\lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty$

Câu 22: Nhận biết

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Giá trị tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm số liệu nào?

A.
[200; 250)
B.
[150; 200)
C.
[100; 150)
D.
[50; 100)

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)	Số người	Tần số tích lũy
[0; 50)	5	5
[50; 100)	12	17
[100; 150)	23	40
[150; 200)	17	57
[200; 250)	3	60
	N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow\frac{3N}{4} = 45$

=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)

Câu 23: Thông hiểu

Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:

Doanh thu	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)	[13; 15)
Số ngày	2	7	7	3	1

Xác định nhóm chứa mốt và tính giá trị mốt?

A. Nhóm chứa mốt là [7; 9) và $M_e=9$
B. Nhóm chứa mốt là [9; 11) và $M_e=9$
C. Nhóm chứa mốt là [5; 7) và $M_e=6$
D. Nhóm chứa mốt là [11; 13) và $M_e=10$

Có hai nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là [7; 9) và [9; 11) do đó:

Xét nhóm [7; 9) ta có:

$M_{0} = 7 + \frac{7 - 2}{(7 - 2) + (7 -7)}.(9 - 7) = 9$

Xét nhóm [9; 11) ta có:

$M'_{0} = 9 + \frac{7 - 7}{(7 - 7) +(7 - 3)}.(11 - 9) = 9$

Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9.

Câu 24: Thông hiểu

Khảo sát thời gian học của học sinh trong một ngày được ghi trong bảng sau:

Khoảng thời gian học (phút)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)
Tần số	2	3	14	8	3	8	2

Số học sinh có thời gian học nhỏ hơn 40 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

A.
$62,5 \%$
B.
$42,5\%$
C.
$47,5 \%$
D.
$55\%$

Số học sinh tham gia khảo sát là: 40 học sinh.

Số học sinh có thời gian học ít hơn 40 phút là: 19 học sinh chiếm $\frac{19.100\%}{40} = 47,5\%$

Câu 25: Nhận biết

Tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ của phương trình: $\cos x = \frac{1}{2}$

A. $0$
B. $\pi$
C. ${\frac{\pi }{2}}$
D. $2\pi$

Giải phương trình:

$\begin{matrix} \cos x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Tổng nghiệm của phương trình bằng 0.

Câu 26: Thông hiểu

Tính tổng S gồm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + x\ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ m^{2}x + 1\ \ \ khi\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .

A.
$S = - 1$
B.
$S = 0$
C.
$S = 1$
D.
$S = 2$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Điều kiện để bài toán trở thành

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ (*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( m^{2}x + 1 ight) = m^{2} + 1 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + x ight) = 2 \\ f(1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$(*) \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1$

$S = - 1 + 1 = 0$

Câu 27: Vận dụng

Cho công thức $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ biểu thị số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố A, với $1 \leq x \leq 365$ là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A đạt giá trị lớn nhất.

A.
$30/01$ .
B.
$29/01$ .
C.
$31/01$ .
D.
$30/03$ .

Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó $sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in Z$ .

Vì $1 \leq x \leq 365$ nên ta có $1 \leq 30 + k360 \leq 365 \Leftrightarrow - 0,08 \leq k \leq 0,93 \Rightarrow k = 0$ .

Do đó $x = 30$ (tháng đầu tiên của năm)

Câu 28: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với $AC$ và $SB$ đồng thời cắt các đoạn $SA,AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $M,N,E,F,I,J$ . Ta có các khẳng định sau:

$(i):IJ//AB$

$(ii):MF//AC$

$(iii)$ : Tứ giác $MNEF$ là hình bình hành.

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A.
$1$
B.
$0$
C.
$3$
D.
$2$

Hình vẽ minh họa

Xét $(\alpha) \equiv (MNEFI)$

Vì $(\alpha)//AC \Rightarrow MF//AC$

Vì $(\alpha)//SB \Rightarrow IJ//SB$

Vì $(\alpha)//SB$ nên $MN,EF$ đều song song với $SB$ điều này suy ra $MNEF$ là hình bình hành.

Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.

Câu 29: Thông hiểu

Cho vòng tròn lượng giác được kí hiệu như sau:

Điểm nào biểu diễn nghiệm của phương trình $2sinx - 1 = 0$ ?

A.
Điểm E và điểm D
B.
Điểm C và điểm F
C.
Điểm D và điểm C
D.
Điểm E và điểm F

Ta có:

$2sinx - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy chỉ có hai điểm C và điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30: Thông hiểu

Tính $\lim\frac{2n + 1}{1 + n}$ được kết quả là:

A.
$2$ .
B.
$0$ .
C.
$\frac{1}{2}$ .
D.
$1$ .

Ta có

$\lim\frac{2n + 1}{1 + n} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( \frac{1}{n} + 1 ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} = \frac{2 + 0}{0 + 1} = 2$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \frac{x - 2}{3 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
B.
$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
C.
$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
D.
$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 2} ight) = 1 > 0} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {3 - x} ight) = 0 \hfill \\ x \mapsto {3^ + } \Rightarrow \left( {3 - x} ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{x - 2}{3 - x} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{\dfrac{3}{x} - 1} = - 1$

Vậy đáp án đúng là $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Câu 32: Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là sai?

A.
Phép chiếu song song biến trung điểm của đoạn thẳng thành trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.
B.
Phép chiếu song song biến trọng tâm tam giác thành trọng tâm tam giác hình chiếu.
C.
Phép chiếu song song biến tam của hình bình hành thành tâm của hình bình hành.
D.
Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu.

Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.

Câu 33: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để

$A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack = - \infty$ .

A.
$15$
B.
$3$
C.
$8$
D.
$2$

Ta có:

$A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack$

$= \lim\left\{ n^{3}\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack ight\} = - \infty$

$\Rightarrow \lim\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack = a^{2} - 2 < 0$

$\Leftrightarrow - \sqrt{2} < a < \sqrt{2}$

Vì $a\mathbb{\in Z},a \in ( - 10;10) \Rightarrow a = \left\{ - 1;0;1 ight\}$

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 34: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB;SCD$ . Cho các khẳng định sau:

i) $GG'//(SBC)$

ii) $GG'//(SAD)$

iii) $GG'//(SAC)$

iv) $GG'//(ABD)$

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên $\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN$

Mà $MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)$

Ta có: $MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Câu 35: Nhận biết

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

A.
Chỉ có bước 2 đúng.
B.
Cả hai bước đều đúng.
C.
Cả hai bước đều sai.
D.
Chỉ có bước 1 đúng.

Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.

Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".

Câu 36: Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \sqrt{5 - m\sin x - (m + 1)\cos x}$ xác định trên tập số thực?

A.
5
B.
8
C.
7
D.
6

Hàm số đã cho xác định khi

$5 - m\sin x - (m + 1)\cos x \geq0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 5 \geqslant \max \left\{ {m\sin x - \left( {m + 1} ight)\cos x} ight\} \hfill \\ \Leftrightarrow 5 \geqslant \sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} ight)}^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 12 \leqslant 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 4;3} ight] \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện m là số nguyên

=> m = {-4; -3; ... ; 2; 3}

Vậy có 8 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện.

Câu 37: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
C. Tịnh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
D. Tịnh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$

Nhắc lại lý thuyết:

Cho (C) là đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight)$ và $p > 0$ , ta có:

+ Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight) + p$ .

+ Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight) - p$

+ Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( {x + p} ight)$

+ Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( {x - p} ight)$

Vậy đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$ được suy từ đồ thị hàm số $y = \cos x$ bằng cách tịnh tiến sang phải $\frac{\pi }{2}$ đơn vị.

Câu 38: Vận dụng cao

Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S₃₀ bằng?

A.
900
B.
930
C.
901
D.
830

Ta có S₃₀ = 2 + 4 + 6 + … + 60

⇒ 2S₃₀ = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)

$\Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) \cdot 30}{2} = 930$

Câu 39: Nhận biết

Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(Q)$ .
B.
Mọi đường thẳng đi qua điểm $A \in (P)$ và song song với $(Q)$ đều nằm trong $(P)$ .
C.
Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ .
D.
Nếu đường thẳng $a \subset (Q)$ thì $a//(P)$ .

Đáp án “Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ ” sai vì nếu $(P)//(Q)$ và đường thẳng $a \subset (P);\ b \subset (Q)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau.

Câu 40: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .

A.
$16$
B.
$\frac{37}{5}$
C.
$\frac{85}{2}$
D.
$18$

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .

=> $MQ//AC$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .

=> $QP//BD$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .

=> $NP//AC$

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .

Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$

Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$

Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$

Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$

$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$

Vậy $M'B.M'C = 18$

Câu 41: Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
Giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với BD.
B.
Đường thẳng MN không cắt mặt phẳng (SBD).
C.
Giao điểm của MN với (SBD) là giao điểm của MN với SI, trong đó I là giao điểm của CM với BD.
D.
Giao điểm của MN với (SBD) là M.

Hình vẽ minh họa

Phát biểu nào sau đây là đúng

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.

Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.

Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.

=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).

Câu 42: Thông hiểu

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \cos n + \sin n$ . Dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A.
0
B.
1
C.
$\sqrt{2}$
D.
Không bị chặn trên.

Ta có:

$\begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Với mọi n ta có:

$\begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi $\sqrt{2}$

Câu 43: Nhận biết

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.
Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = +\infty$
B.
Nếu $\lim\left| u_{n} ight| = + \infty$ , thì $\lim u_{n} = -\infty$
C.
Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$
D.
Nếu $\lim u_{n} = - a$ , thì $\lim{|u_{n}|} = a$

Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

Nếu $\lim u_{n} = 0$ , thì $\lim{|u_{n}|} = 0$

Câu 44: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $\mathbb{R}$ .

Ta có $f(1) = \frac{a + 15}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}$

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14$ .

Câu 45: Vận dụng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm muộn tháng 10/2023 của 100 nhân viên trong công ty X như sau:

Thời gian (phút)	Số nhân viên
[0; 5)	25
[5; 10)	14
[10; 15)	x
[15; 20)	13
[20; 25)	12
[25; 30)	y

Biết trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5. Xác định giá trị x và y?

A.
$x=26;y=10$
B.
$x=22;y=14$
C.
$x=14;y=22$
D. $x=10;y=26$

Ta có: $N = 100 \Rightarrow x + y =36$

Lại có:

Thời gian (phút)	Số nhân viên	Tần số tích lũy
[0; 5)	25	25
[5; 10)	14	39
[10; 15)	x	39 + x
[15; 20)	13	52 + x
[20; 25)	12	64 + x
[25; 30)	y	64 + x + y

Ta có: trung vị của mẫu dữ liệu bằng 12,5 nên nhóm chứa trung vị là [10; 15)

Khi đó:

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 10;\dfrac{N}{2} = 50,m = 39,f = x \\c = 15 - 10 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M_{e} = l +\frac{\frac{N}{2} - m}{f}.c$

$\Leftrightarrow 12,5 = 10 + \frac{50 -39}{x}.5 \Leftrightarrow x = 22$

$\Rightarrow y = 36 - 22 =14$

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!