Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$ , công bội q = 2. Biết ${S_n} = 765$ . Tìm n?
- A. n = 7
- B. n = 6
- C. n = 8
- D. n = 9
Ta có:
$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} ight)}}{{1 - 2}} = 765 \hfill \\ \Rightarrow n = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.
- B.
  Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD.
- C.
  Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM.
- D.
  Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC).
Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 3: Vận dụng
Cho hình chóp $S. ABCD$ . Gọi $M, N, P, R, Q, L$ lần lượt là trung điểm $SD, SB, DC, BC, AD, AB$ . Khi đó khẳng định nào sai?
- A.
  $MP//(NLR)$
- B.
  $(NLR)//(MQP)$
- C.
  $AD//(NLR)$
- D.
  $SC//(MQP)$
Hình vẽ minh họa

Qua phép chiếu song song theo phương $SC$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến: M thành P, N thành $R$ .

Do đó $MP// NR$

$=> MP // (NLR)$

Qua phép chiếu song song theo phương $SA$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ biến: $N$ thành $L$ , R thành R, M thành Q, P thành P, L thành L, Q thành Q.

Vậy $(NLR)//(MQP)$

Vậy khẳng định sai là: $AD//(NLR)$
Câu 4: Nhận biết
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Giả sử $(\alpha)$ song song với $(\beta)$ . Một đường thẳng $a$ song song với $(\beta)$ có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 5: Nhận biết
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $3;9;27;81$ . Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{n} = 3^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = 3^{n}$
- C.
  $u_{n} = 3^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 3 + 3^{n}$
Các số hạng lần lượt là $3;9;27;81$ lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}$
Câu 6: Nhận biết
Phương trình lượng giác $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ có nghiệm là ?
- A. $x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi$
- B. $x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
- C. $x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
- D. $x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
Ta có: $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ $\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi$
$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}$
Câu 7: Vận dụng cao
Biết rằng phương trình $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b}$ với $k\mathbb{\in Z}$ và $a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018$ . Tính $S = a - b$ .
- A.
  $S = 2017$
- B.
  $S = 2018$
- C.
  $S = 2019$
- D.
  $S = 2020$
Điều kiện xác định $\sin 2^{2018}x eq 0$

Ta có:

$\cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}$

$= \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}$

=> Phương trình tương đương

$\Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0$

$\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0$

$\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

=> $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018$

Câu 8: Thông hiểu

Dưới đây là bảng biểu diễn điểm của 140 sinh viên của trường đại học. Tìm trung vị.

Khoảng điểm	Số sinh viên
(9,5; 19,5)	7
[19,5; 29,5)	15
[29,5; 39,5)	18
[39,5; 49,5)	25
[49,5; 59,5)	30
[59,5; 69,5)	20
[69,5; 79,5)	16
[79,5; 39,5)	7
[89,5; 39,5)	2

A.
$50,14$
B.
$49,78$
C.
$44,35$
D.
$51,17$

Ta có:

Khoảng điểm	Số sinh viên	Tần số tích lũy
(9,5; 19,5)	7	7
[19,5; 29,5)	15	22
[29,5; 39,5)	18	40
[39,5; 49,5)	25	65
[49,5; 59,5)	30	95
[59,5; 69,5)	20	115
[69,5; 79,5)	16	131
[79,5; 39,5)	7	138
[89,5; 39,5)	2	140
	N = 140

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{140}{2} =70$

=> Trung vị nằm trong nhóm $[49,5; 59,5)$ (vì 70 nằm giữa hai tần số tích lũy là 65 và 95)

$\Rightarrow l = 49,5;\frac{N}{2} = 70;m= 65;f = 30,c = 10$

$\Rightarrow M_{e} = l + \dfrac{\left(\dfrac{N}{2} - m ight)}{f}.c$ $= 49,5 + \frac{70 - 65}{30}.10 =51,17$

Câu 9: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  $\sqrt{\frac{1}{2}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{1}{3}}$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {1^3}}}{{{{3.1}^2} + 1}}} = 0$
Câu 10: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{{ \sin 2x}}{{\cos x - 1}}$
- A. ${\text{D}} = \mathbb{R}$
- B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi
$\cos x - 1 e 0 \Leftrightarrow \cos x e 1 \Leftrightarrow x e k2\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hàm số $y =\tan2x$ . Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?
- A.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
- B.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
- C.
  Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- D.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hàm số $y = \tan2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi}{2}$ , dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} ight\}$

Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = \tan x$ phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số $y = tan2x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .

Câu 12: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 13: Vận dụng cao
Biết $\lim_{xightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x +1} = c$ với $a,b,c\in\mathbb{R}$ . Tập nghiệm của phương trình $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$ trên $\mathbb{R}$ có số phần tử là:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{1 + ax^{2} - (bx + 2)^{2}}{\left( 4x^{3} - 3x + 1 ight)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}$

Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình $\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3 = 0$ phải có nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$ . Tức là:

$\left\{ \begin{matrix}\Delta' = 0 \\\dfrac{2b}{a - b^{2}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4b^{2} + 3\left( a - b^{2} ight) = 0 \\4b = a - b^{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b^{2} + 3b = 0 \\ a = b^{2} + 4b \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(a,b eq 0)$

Khi $a = - 3;b = - 3$ thì

$I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}$

$I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 3}{(x + 1)\left( \sqrt{1 - 3x^{2}} - 3x + 2 ight)}$

$I = \dfrac{- 3}{\dfrac{3}{2}.\left(\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{3}{2} + 2 ight)} = - 2$

Do đó $a = - 3;b = - 3;c = - 2$ nên phương trình $- 3x^{4} - 3x^{2} - 2 = 0$ vô nghiệm.
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a, b, c$ trong đó $a//b$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Nếu $a//c$ thì $b//c$
- B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
- C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a, b, AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.
- D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Câu 15: Thông hiểu

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Khi đó giá trị tứ phân vị thứ ba là: $Q_{3} =$ 71

Đáp án là:

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Khi đó giá trị tứ phân vị thứ ba là: $Q_{3} =$ 71

Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} =31,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
$\Rightarrow l = 60;m = 26,f = 10;c = 80- 60 = 20$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$ $= 60 + \frac{31,5 - 26}{10}.20 =71$
Câu 16: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $\pi rad = 1^{0}$
- B.
  $\pi rad = 60^{0}$
- C.
  $\pi rad = 180^{0}$
- D.
  $\pi rad = \left( \frac{180}{\pi} ight)^{0}$
Ta có: $\pi rad$ tương ứng với $180^{0}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng.
- B.
  Dãy (u_n) giảm.
- C.
  Dãy (u_n) không tăng, không giảm.
- D.
  Dãy số (u_n) là dãy hữu hạn.
Ta có $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}$

Xét tỉ số:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}$

$= \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}$

$= 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.
Câu 18: Thông hiểu
Giải phương trình $\tan x - \sqrt{3} = 0$ ta được nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất lần lượt là:
- A.
  $x = - \frac{5\pi}{6};x = \frac{\pi}{6}$
- B.
  $x = - \frac{2\pi}{3};x = \frac{\pi}{3}$
- C.
  $x = - \frac{5\pi}{3};x = \frac{\pi}{3}$
- D.
  $x = - \frac{2\pi}{3};x = \frac{4\pi}{3}$
Ta có:

$\tan x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Suy ra:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: $x = \frac{- 2\pi}{3}$ ứng với $k = - 1$

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $x = \frac{\pi}{3}$ ứng với $k = 0$
Câu 19: Nhận biết
Cho dãy số có các số hạng đầu là $0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\ldots$ Số hạng tổng quát của dãy số này là
- A.
  $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $u_{n} = \frac{n - 1}{n}$
- D.
  $u_{n} = \frac{n^{2} - n}{n + 1}$
Ta có $0=\frac{0}{0+1};\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1};$

$\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1};\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}$

Suy ra $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$
Câu 20: Nhận biết
Giá trị của $\lim\frac{1 - n^{2}}{n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M}$ thỏa mãn $\frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M$

$\Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}$ .

Ta có:

$\frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty$

Vậy $\lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S₃₀ bằng?
- A.
  900
- B.
  930
- C.
  901
- D.
  830
Ta có S₃₀ = 2 + 4 + 6 + … + 60

⇒ 2S₃₀ = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)

$\Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) \cdot 30}{2} = 930$
Câu 22: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = \frac{{ - 41}}{{20}};{u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1;\left( {n \geqslant 1} ight)$ . Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.
- A. ${u_{2018}} = {2.21^{2018}} - \frac{1}{{20}}$
- B. ${u_{2018}} = {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
- C. ${u_{2018}} = - {2.21^{2018}} - \frac{1}{{20}}$
- D. ${u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
Ta có: ${u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} + \frac{1}{{20}} = 21\left( {{u_n} + \frac{1}{{20}}} ight)$
Đặt ${v_n} = {u_n} + \frac{1}{{20}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = 21{v_n}$
Khi đó (v_n) là một cấp số nhân với và công bội q = 21
Do đó số hạng tổng quát của dãy (v_n) là ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - {2.21^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = - {2.21^{n - 1}} - \frac{1}{{20}}$
=> ${u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
Câu 23: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chứa tứ phân vị thứ ba lần lượt là:
- A.
  $\lbrack 65;70),\lbrack70;75)$
- B.
  $\lbrack 50;55),\lbrack65;70)$
- C.
  $\lbrack 50;55),\lbrack55;60)$
- D.
  $\lbrack 60;65),\lbrack65;70)$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Số học sinh
Tần số tích lũy
[45; 50)
5
5
[50; 55)
12
17
[55; 60)
10
27
[60; 65)
6
33
[65; 70)
5
38
[70; 75)
8
46
Ta có:
$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
Câu 24: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{x^2} - 4}}{\text{ khi }}x > 2} \\ {{x^2} + ax + 3b{\text{ khi }}x < 2} \\ {2x + b - 6{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + b$ .
- A.
  $H = \frac{19}{30}$
- B.
  $H = - \frac{173}{16}$
- C.
  $H = \frac{- 93}{16}$
- D.
  $H = \frac{19}{32}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \frac{3}{{16}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = 2a + 3b + 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ điều kiện hàm số liên tục tại $x = 2$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 3b = - \dfrac{61}{16} \\2a + b = \dfrac{99}{16} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{179}{32} \\b = - 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H = a + b = \frac{19}{32}$
Câu 25: Thông hiểu

Cho giới hạn $L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ . Khi đó :
a) $L = 2$ khi $a = 1$ Đúng||Sai
b) $L = 3$ khi $a = 3$ Sai||Đúng
c) $L > 3$ khi $a > 6$ Đúng||Sai
d) Có 3 giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho giới hạn $L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ . Khi đó :
a) $L = 2$ khi $a = 1$ Đúng||Sai
b) $L = 3$ khi $a = 3$ Sai||Đúng
c) $L > 3$ khi $a > 6$ Đúng||Sai
d) Có 3 giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên. Đúng||Sai

Ta có $\left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} -1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13ight\}.$
Kết luận:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Câu 26: Thông hiểu
Đổi số đo của góc $- \frac{3\pi}{16}rad$ sang đơn vị độ, phút, giây
- A.
  $33^{0}45'$
- B.
  $- 19^{0}30'$
- C.
  $- 33^{0}45'$
- D.
  $- 32^{0}55'$
Cách 1: Từ công thức $\alpha = \frac{m\pi}{180} \Rightarrow m = \left( \frac{\alpha.180}{\pi} ight)^{0}$ khi đó:

$m = \left( \dfrac{\dfrac{-3\pi}{16}.180}{\pi} ight)^{0} = \left( - \dfrac{135}{4} ight)^{0} = -33^{0}45'$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

Bước 2. Bấm (shift -3π ÷16) shift DRG 2 =
Câu 27: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2}$ (NETA)
- B.
  $0 \leq u_{n} \leq 1$
- C.
  $- \frac{1}{2} \leq u_{n} \leq 1$
- D.
  $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}$
Ta chứng minh $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1$ ta có: $1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}$

Giả sử $1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1$ . Ta cần chứng minh $1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}$ .

Thật vậy $u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}$

Vì $u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1$

Vì $u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Vậy $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ hay dãy $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi $\frac{3}{2}$ và bị chặn dưới bởi $1$ .
Câu 28: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 29: Thông hiểu
Cho cấp số cộng (U_n) có $u_1=11$ và công sai d = 4. Tính ${u_{99}}$ ?
- A. 401
- B. 403
- C. 402
- D. 404
Ta có: ${u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403$
Câu 30: Nhận biết
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- B.
  Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc nó xác định duy nhất một mặt phẳng.
- C.
  Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- D.
  Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.
Câu 31: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để $\lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  Vô số
Ta có:
$\frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}$
Bài toán trở thành $\lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0$
Ta có: $\lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1$ nên bài toán trở thành tìm k sao cho
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Mà $k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l$
=> Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).

Câu 32: Thông hiểu

Cho bảng số liệu thống kê sau:

Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần

69	37	39	65	31	33	63
51	44	62	33	47	55	42

Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?

Bảng M	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng M	Số ngày	5	3	2	4
Bảng N	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng N	Số ngày	5	3	4	2
Bảng P	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng P	Số ngày	5	2	3	4
Bảng Q	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng Q	Số ngày	3	5	2	4

A.
Bảng M
B.
Bảng N
C.
Bảng P
D.
Bảng Q

Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38

Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)

Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Câu 33: Nhận biết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x)$ bằng
- A.
  $+\infty$
- B.
  $0$
- C.
  $\sqrt{\frac{1}{2}}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 0$
- A. $m\in (-2;-1)$
- B.
  $m\leq -2$
- C.
  $m\in [-1;7)$
- D.
  $m\in [7;+\infty ]$
Với mọi $x e 0$ ta có:
$0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0$ khi $x \to 0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Theo giả thiết ta phải có: $\mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Câu 35: Thông hiểu
Tính $H = \lim_{xightarrow 2}\frac{2 - x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
- A.
  $H = 6$
- B.
  $H = - 4$
- C.
  $H = 4$
- D.
  $H = - 6$
Ta có:
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2 -x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x + 7} - 3 ight)\left(\sqrt{x + 7} + 3 ight)}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{x + 7 - 9}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{- (2 - x)} = - 6$
Câu 36: Vận dụng cao
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ $t$ của năm 2022 được cho bởi một hàm số $y = 4sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60)ightbrack + 10$ với $t\mathbb{\inZ}$ và $0 < t \leq 365$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
- A.
  28 tháng 5
- B.
  29 tháng 5
- C.
  30 tháng 5
- D.
  31 tháng 5
Vì $\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t -60) ightbrack \leq 1$
$\Leftrightarrow y = 4sin\left\lbrack\frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack + 10 \leq 14.$
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất $\Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack = 1$
$\Leftrightarrow \frac{\pi}{178}(t - 60)= \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.$
Do $0 < t \leq 365$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 < 149 + 356k \leqslant 365 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{149}}{{356}} < k \leqslant \dfrac{{54}}{{89}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Với $k = 0 ightarrow t = 149$ rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện $0 < t\leq 365$ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Câu 37: Nhận biết
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n}=-4n+9$
- B.
  $u_{n}=-2n+19$
- C.
  $u_{n}=-2n-21$
- D.
  $u_{n}=-2^{n}+15$
Xét dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ ta có:
$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}$
d không cố định => Dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ không phải là một cấp số cộng.
Câu 38: Vận dụng
Cho công thức $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ biểu thị số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố A, với $1 \leq x \leq 365$ là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A đạt giá trị lớn nhất.
- A.
  $30/01$ .
- B.
  $29/01$ .
- C.
  $31/01$ .
- D.
  $30/03$ .
Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó $sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in Z$ .

Vì $1 \leq x \leq 365$ nên ta có $1 \leq 30 + k360 \leq 365 \Leftrightarrow - 0,08 \leq k \leq 0,93 \Rightarrow k = 0$ .

Do đó $x = 30$ (tháng đầu tiên của năm)
Câu 39: Nhận biết
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
- A.
  Hình thang có hai đáy không bằng nhau.
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình thoi
Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:

Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.
Câu 40: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là $CC',DD',C'B',D'A'$ .
Câu 41: Nhận biết
Kết quả kiểm tra chiều cao của 500 cây trong một khu vườn cây giống ghi lại trong bảng sau:
Chiều cao
Số cây
[145; 150)
25
[150; 155)
50
[155; 160)
200
[160; 165)
175
[165; 170)
50
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả bao nhiêu nhóm?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $7$
- D.
  $4$
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả 5 nhóm.
Câu 42: Nhận biết
Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ nên không liên tục tại $x = 2$ .
Câu 43: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $SAB$ và $SCD;\ \ E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Khi đó:

a) $\frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

b) $IJ//\ (ABCD)$ . Đúng||Sai

c) $BC$ song song với mặt phẳng $(SAD),(SEF)$ . Đúng||Sai

d) $BC$ cắt mặt phẳng $(AIJ)$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên $\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3}$ .

b) Đúng.

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $SCD$ nên

$\frac{SI}{SE} = \frac{SJ}{SF} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//EF$

Mà $\ EF \subset (ABCD) \Rightarrow IJ//(ABCD).$

c) Đúng.

Vì $BC//AD,AD \subset (SAD) \Rightarrow BC//(SAD)$ .

Vì $EF$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$ nên

$BC//EF,EF \subset (SEF) \Rightarrow BC//(SEF).$

d) Sai.

Ta có: $IJ//EF,EF//BC \Rightarrow BC//IJ$ mà $IJ \subset (AIJ) \Rightarrow BC//(AIJ)$ .
Câu 44: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD);BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , $d$ đi qua $S$ và $d//AD//BC$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ song song với đường thẳng $AD$ .
Câu 45: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A.
  Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 ⊂ (∝)$ ; $d_2 ⊂ (β)$ thì $d_1 // d_2$
- B.
  Nếu $d_1 // (∝)$ và $d_2 // (β)$ thì $d_1 // d_2$
- C.
  Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 // (∝)$ , thì $d_1 // (β)$
- D.
  Nếu $d_1 // d_2$ và $d_1⊂(∝)$ , $d_2⊂(β)$ thì $(∝) //(β)$
Đáp án: "Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 ⊂ (∝)$ ; $d_2 ⊂ (β)$ thì $d_1 // d_2$ " và "Nếu $d_1 // (∝)$ và $d_2 // (β)$ thì $d_1 // d_2$ " sai vì hai đường thẳng $d_1,d_2$ có thể chéo nhau.
Đáp án: "Nếu $d_1 // d_2$ và $d_1⊂(∝)$ , $d_2⊂(β)$ thì $(∝) //(β)$ " sai vì hai mặt phẳng $(∝), (β)$ có thể cắt nhau.