Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Câu 1: Nhận biết

Tập xác định của hàm số $y = 3tan^{2}\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} ight)$

A.
$D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
B.
$D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
C.
$D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{3\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
D.
$D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\begin{matrix}cos^{2}\left( \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4} eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi;k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$

Câu 2: Thông hiểu

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}$ . Số $\frac{1}{10^{103}}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

A.
Số hạng thứ 103
B.
Số hạng thứ 104
C.
Số hạng thứ 105
D.
Số hạng thứ 102

Ta có:

$u_{n} = \frac{1}{10^{103}}$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}$

$\Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561$

Mà n là số chẵn và $n - 1 = 103$

$\Rightarrow n = 104$

Câu 3: Vận dụng cao

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ $t$ của năm 2022 được cho bởi một hàm số $y = 4sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60)ightbrack + 10$ với $t\mathbb{\inZ}$ và $0 < t \leq 365$ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

A.
28 tháng 5
B.
29 tháng 5
C.
30 tháng 5
D.
31 tháng 5

Vì $\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t -60) ightbrack \leq 1$

$\Leftrightarrow y = 4sin\left\lbrack\frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack + 10 \leq 14.$

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất $\Leftrightarrow y = 14 \Leftrightarrow\sin\left\lbrack \frac{\pi}{178}(t - 60) ightbrack = 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{178}(t - 60)= \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k.$

Do $0 < t \leq 365$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 < 149 + 356k \leqslant 365 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{149}}{{356}} < k \leqslant \dfrac{{54}}{{89}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Với $k = 0 ightarrow t = 149$ rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2022 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện $0 < t\leq 365$ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Câu 4: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M \in SA$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SB,AC$ . Giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh $AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $N,E,F,I,J$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A.
$MN//(SCD)$
B.
$EF//(ASD)$
C.
$NF//(SAD)$
D.
$JI//(SAB)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ = (\alpha) \cap (SBD) \\ (\alpha)//SB \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (SBD) = IJ//SB$

Mà $SB \subset (SAB) \Rightarrow IJ//(SAB)$

Câu 5: Nhận biết

Kí hiệu nào sau đây là tên của mặt phẳng

A. $(P)$
B. $mpQ$
C. $A$ $P$
D. $a$

Kí hiệu tên của mặt phẳng là $(P)$ .

Câu 6: Thông hiểu

Số điểm thi đấu của các đội được biểu diễn trong bảng dưới đây:

Nhóm dữ liệu	Tần số
(0; 2]	5
(2; 4]	16
(4; 6]	13
(6; 8]	7
(8; 10]	5
(10; 12]	4

Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.
$3,31$
B.
$2,35$
C.
$3,15$
D.
$2,94$

Ta có:

Nhóm dữ liệu	Tần số	Tần số tích lũy
(0; 2]	5	5
(2; 4]	16	21
(4; 6]	13	34
(6; 8]	7	41
(8; 10]	5	46
(10; 12]	4	50
Tổng	N = 50

Ta có: $N = 50 \Rightarrow \frac{N}{4} =\frac{50}{4} = 12,5$

=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: (2; 4]

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 2;\dfrac{N}{4} = 12,5;m = 5 \\f = 16;d = 4 - 2 = 2 \\\end{matrix} ight.$

Vậy tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\dfrac{N}{4} -m}{f}.d$

$\Rightarrow Q_{1} = 2 + \frac{12,5 -5}{16}.2 \approx 2,94$

Câu 7: Nhận biết

Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:

Tuổi	Số học sinh
[0; 9]	20
[10; 19]	21
[20; 29]	23
[30; 39]	16
[40; 49]	11
[50; 59]	10
[60; 69]	7
[70; 79]	3
[80; 89]	1

Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?

Tuổi	Số đại diện tuổi	Số học sinh
[0; 10)	5	20
[10; 20)\|\|[10;20)\|\|[10,20)\|\|[10, 20)	15	21
[20; 30)	25	23
[30; 40)\|\|[30;40)\|\|[30,40)\|\|[30, 40)	35	16
[40; 50)	45	11
[50; 60)\|\|[50;60)\|\|[50,60)\|\|[50, 60)	55	10
[60; 70)\|\|[60;70)\|\|[60, 70)\|\|[60,70)	65	7
[70; 80)	75	3
[80; 90)\|\|[80;90)\|\|[80,90)\|\|[80, 90)	85	1

Đáp án là:

Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:

Tuổi	Số học sinh
[0; 9]	20
[10; 19]	21
[20; 29]	23
[30; 39]	16
[40; 49]	11
[50; 59]	10
[60; 69]	7
[70; 79]	3
[80; 89]	1

Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?

Tuổi	Số đại diện tuổi	Số học sinh
[0; 10)	5	20
[10; 20)\|\|[10;20)\|\|[10,20)\|\|[10, 20)	15	21
[20; 30)	25	23
[30; 40)\|\|[30;40)\|\|[30,40)\|\|[30, 40)	35	16
[40; 50)	45	11
[50; 60)\|\|[50;60)\|\|[50,60)\|\|[50, 60)	55	10
[60; 70)\|\|[60;70)\|\|[60, 70)\|\|[60,70)	65	7
[70; 80)	75	3
[80; 90)\|\|[80;90)\|\|[80,90)\|\|[80, 90)	85	1

Ta có:

Tuổi	Đại diện tuổi	Số học sinh
[0; 10)	5	20
[10; 20)	15	21
[20; 30)	25	23
[30; 40)	35	16
[40; 50)	45	11
[50; 60)	55	10
[60; 70)	65	7
[70; 80)	75	3
[80; 90)	85	1

Câu 8: Thông hiểu

Tính tổng S gồm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + x\ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ m^{2}x + 1\ \ \ khi\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .

A.
$S = - 1$
B.
$S = 0$
C.
$S = 1$
D.
$S = 2$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Điều kiện để bài toán trở thành

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ (*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( m^{2}x + 1 ight) = m^{2} + 1 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + x ight) = 2 \\ f(1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$(*) \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1$

$S = - 1 + 1 = 0$

Câu 9: Vận dụng

Cho mảnh bìa như hình vẽ sau, biết $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Các tam giác $S_{1}AB;S_{2}BC;S_{3}CD;S_{4}DA$ là các tam giác cân bằng nhau. Gọi $G;G'$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $S_{1}AB$ và $S_{3}CD$ . Người ta xếp mảnh bìa này thành hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (các điểm $S_{1};S_{2};S_{3};S_{4}$ trùng vào đỉnh $S$ ). Khi đó tính độ dài đoạn thẳng $GG'$ .

A.
$GG' = \frac{2a}{3}$
B.
$GG' = \frac{a}{2}$
C.
$GG' = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$
D.
$GG' = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

$\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{GG'}{MN} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow GG' = \frac{2}{3}MN = \frac{2a}{3}$

Câu 10: Thông hiểu

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$-\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$-\frac{1}{2}$

Ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$

Câu 11: Thông hiểu

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $(m-2).\sin{2x} = m + 1$ nhận $x= \frac{\pi }{12}$ làm nghiệm

A.
$meq 2$
B.
$m=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-2}$
C.
$m=-4$
D.
$m=-1$

Phương trình nhận $x= \frac{\pi }{12}$ làm nghiệm

$\begin{matrix} \Rightarrow(m - 2).\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{{12}}} ight) = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\sin \dfrac{\pi }{6} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\dfrac{1}{2} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow m = - 4 \hfill \\ \end{matrix}$

vậy m = -4

Câu 12: Nhận biết

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $3;9;27;81$ . Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của cấp số nhân đã cho.

A.
$u_{n} = 3^{n - 1}$
B.
$u_{n} = 3^{n}$
C.
$u_{n} = 3^{n + 1}$
D.
$u_{n} = 3 + 3^{n}$

Các số hạng lần lượt là $3;9;27;81$ lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}$

Câu 13: Thông hiểu

Một tổ học sinh gồm 4 nam và 3 nữ. Điểm kiểm tra trung bình của nam và nữ lần lượt là 7 và 8. Tính điểm kiểm tra trung bình của cả tổ.

A.
$7,4$
B.
$7,5$
C.
$7,8$
D.
$7,6$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} {n_1} = 4;\overline {{x_1}} = 7 \hfill \\ {n_2} = 3;\overline {{x_2}} = 8 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó điểm số trung bình của cả tổ là:

$\overline{x_{12}} =\frac{n_{1}\overline{x_{1}} + n_{2}\overline{x_{2}}}{n_{1} + n_{2}} =\frac{4.7 + 3.8}{4 + 3} \approx 7,4$

Câu 14: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $J;K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SB,SC$ . Đường thẳng $JK$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?

A.
$(SAC)$
B.
$(SKA)$
C.
$(ABC)$
D.
$(SAB)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)$

Câu 15: Nhận biết

Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ ?

A.
$2;6;10;14;18$
B.
$2;9;28;83;264$
C.
$2;6;28;82;246$
D.
$2;9;28;83;246$

Ta có:

$u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2$

$u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9$

$u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28$

$u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83$

$u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là $2;9;28;83;246$

Câu 16: Nhận biết

Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.

Câu 17: Vận dụng

Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:

Đáp án: 1

Đáp án là:

Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:

Đáp án: 1

Hàm số $y = f(x)$ có TXĐ $D\mathbb{= R}$ .

Hàm số $f(x) = \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1}$ liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty; - 1)$ , $( - 1;1)$ và $(1; + \infty)$ .

(i) Xét tại $x = - 1$ , ta có $\lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2} = f( - 1)\overset{}{ightarrow}$ Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .

(ii) Xét tại $x = 1$ , ta có

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ Hàm số $y = f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$ .

Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.

Câu 18: Thông hiểu

Xét đường tròn bán kính $20cm$ . Cung tròn có số đo $37^{0}$ có độ dài tương ứng là:

A.
$l = \frac{9\pi}{37}(cm)$
B.
$l = 50(cm)$
C.
$l = \frac{37\pi}{9}(cm)$
D.
$l = \frac{17\pi}{9}(cm)$

Độ dài cung tròn góc $\alpha$ (với $\alpha$ có đơn vị là độ):

$l = \frac{R\pi\alpha}{180^{0}} = \frac{20.\pi.37^{0}}{180^{0}} = \frac{37\pi}{9}(cm)$

Câu 19: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $SI//AB$ . Sai||Đúng

b) $SI//AC$ . Sai||Đúng

c) $SI//AD$ . Đúng||Sai

d) $SI//BD$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ . Gọi $I$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $SI//AB$ . Sai||Đúng

b) $SI//AC$ . Sai||Đúng

c) $SI//AD$ . Đúng||Sai

d) $SI//BD$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $SI = (SBC) \cap (SAD)$

Do $\left\{ \begin{matrix} SI = (SAD) \cap (SBC)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AD \subset (SAD)\ ;\ \ BC \subset (SBC) \\ AD \parallel BC \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow SI \parallel BC \parallel AD$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Câu 20: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
C. Tịnh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
D. Tịnh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$

Nhắc lại lý thuyết:

Cho (C) là đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight)$ và $p > 0$ , ta có:

+ Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight) + p$ .

+ Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight) - p$

+ Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( {x + p} ight)$

+ Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( {x - p} ight)$

Vậy đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$ được suy từ đồ thị hàm số $y = \cos x$ bằng cách tịnh tiến sang phải $\frac{\pi }{2}$ đơn vị.

Câu 21: Thông hiểu

Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\frac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} ight)$ bằng:

A.
-2
B.
3
C.
0
D.
$\frac{5}{3}$

Ta có:

$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \left| {\dfrac{{\sin 5n}}{{3n}}} ight| \leqslant \dfrac{1}{{3n}} \to 0 \hfill \\ \lim \left( { - 2} ight) = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} ight) = - 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 22: Nhận biết

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.
B.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung.
D.
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).

Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.

Câu 23: Thông hiểu

Xác định $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$ .

A.
$0$
B.
$- \infty$
C.
$+ \infty$
D.
$1$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x + 1} ight) = - 1 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} ight)^2} = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = - \infty$

Câu 24: Nhận biết

Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình ${\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 8
B. 10
C. 11
D. 12

Phương trình ${\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

- Với $\cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ có 6 nghiệm.

- Với $\cos 6\pi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ có 6 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.

Câu 25: Thông hiểu

Dãy số (u_n) được cho bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A.
∀n, u_n là số lẻ
B.
u₁ + u₂ + … + u_n = n²
C.
∀n, u_n = 2n − 1
D.
u_n + u_n + 1 = 4n

$u_1=1$

$u_2=1+2=1+1.2$

$u_3=1+2+2=1+2.2$

$u_4=1+2+2+2=1+3.2$

...

$u_n=1+2+⋯+2=1+(n-1).2$

Áp dụng phương pháp quy nạp ta có u_n = 2n − 1.

Câu 26: Vận dụng

Cho bảng dữ liệu như sau

Đại diện A	Tần số
[0; 10)	6
[10; 20)	24
[20; 30)	x
[30; 40)	16
[40; 50)	9

Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm là 32.

A.
$x = 26$
B.
$x = 10$
C.
$x = 16$
D.
$x = 24$

Ta có:

Đại diện A	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 10)	6	6
[10; 20)	24	30
[20; 30)	25	55
[30; 40)	x	55 + x
[40; 50)	9	64 + x
Tổng	N = 64 + x

Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là [20; 30)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 20;\dfrac{N}{2} = \dfrac{64 + x}{2} \\m = 30;f = 25,c = 10 \\\end{matrix} ight.$

$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$

$24 = 20 + \dfrac{\dfrac{64 + x}{2} -30}{25}.10$

$\Leftrightarrow 16 = x$

Câu 27: Vận dụng cao

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$

A.
$P = 3456$
B.
$P = 3465$
C.
$P = 3645$
D.
$P = 3546$

Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$

Câu 28: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .

A.
$16$
B.
$\frac{37}{5}$
C.
$\frac{85}{2}$
D.
$18$

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .

=> $MQ//AC$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .

=> $QP//BD$

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .

=> $NP//AC$

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .

Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$

Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$

Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$

Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$

$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$

Vậy $M'B.M'C = 18$

Câu 29: Vận dụng

Tính giá trị của giới hạn $\lim\dfrac{1^{2}+ 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)}$ .

A.
$4$
B.
$1$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{1}{3}$

Đặt $P(n) = \frac{2n^{3} - 3n^{2} + n}{6} = \frac{n(n - 1)(2n + 1)}{6}$ thì ta có:

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}$

$= \left\lbrack P(2) - P(1) ightbrack + \left\lbrack P(3) - P(2) ightbrack + ... + \left\lbrack P(n + 1) - P(n) ightbrack$

$= P(n + 1) - P(1) = \frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6}$

Do đó: $\lim\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)} = \lim\frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6n\left( n^{2} + 1 ight)} = \frac{1}{3}$

Câu 30: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{CN}{CA} = 3$
C.
$\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
D.
$\frac{CN}{CA} = 1$

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$

Câu 31: Vận dụng

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0 \leq t < 24)$ cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12$ . Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là $15\ m$ ?

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3

Độ sâu của mực nước là $15\ m$ thì h = 15.

Khi đó

$15 = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12n \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = 1$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = cos0 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} + 1 = k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi};k \in Z$

Vì $0 \leq t < 24$ nên

$0 \leq \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi} \leq 24 \Leftrightarrow 0 < k \leq 2$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \left\{ \frac{6(2\pi - 1)}{\pi};\frac{6(4\pi - 1)}{\pi} ight\}$

Câu 32: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?

A. 2
B. 0
C. 1
D. 3

Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$

$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$

Do đó

$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$

+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$

Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .

+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$

Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$

Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .

Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là

$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .

Câu 33: Nhận biết

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}}$ bằng

A.
0
B.
1
C.
2
D.
$+\infty$

Ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 34: Thông hiểu

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $AD//(ABF)$ . Sai||Đúng

b) $(AFD)//(BEC)$ . Đúng||Sai

c) $(ABD)//(EFC)$ . Sai||Đúng

d) Sáu điểm $A,B,C,D,E,F$ là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $AD//(ABF)$ . Sai||Đúng

b) $(AFD)//(BEC)$ . Đúng||Sai

c) $(ABD)//(EFC)$ . Sai||Đúng

d) Sáu điểm $A,B,C,D,E,F$ là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Sai: $AD$ và $(ABF)$ cắt nhau tại $A$ .

b) Đúng.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$ , suy ra $AD \parallel (BEC)$ .

Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $AF \parallel BE$ , suy ra $AF \parallel (BEC)$ .

Mà $AD$ và $AF$ cắt nhau nên $(AFD) \parallel (BEC)$ .

c) Sai: Vì $(ABD)$ và $(EFC)$ có điểm $C$ chung.

d) Đúng:

Vì $ABCD$ và $ABEF$ là hình bình hành nên $AB,\ CD,\ FE$ đôi một song song

Mặt khác $(AFD) \parallel (BEC)$ (theo câu b)

Do đó 6 điểm $A,B,C,D,E,F$ là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác

Câu 35: Nhận biết

Tính giá trị của $\cot135^{0}$

A.
$1$
B.
$\sqrt{3}$
C.
$- \sqrt{3}$
D.
$- 1$

Ta có: $\cot135^{0} = - \tan45^{0} = -1$

Câu 36: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ . Giá trị của M.n là:

A.
$3$
B.
$- 3$
C.
$1$
D.
$- 2$

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;2brack$ .

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

Vậy M.n = -3

Câu 37: Nhận biết

Với $k$ là số nguyên dương, $c$ là hằng số, giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}}$ bằng

A.
$\mathbf{c}$ .
B.
$\mathbf{0}$ .
C.
$\mathbf{- \infty}$ .
D.
$\mathbf{+ \infty}$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ nên $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0$

Câu 38: Vận dụng

Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $\left| {3b - a} ight|$ bằng?

A. 8
B. 5
C. 12
D. 15

Ta có:

Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng

=> a + 3b = 5.2

=> a = 10 – 3b

Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân

=> a.3b = 3²

=> ab = 3

$\begin{matrix} \Rightarrow b\left( {10 - 3b} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 3 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \\ {b = \dfrac{1}{3} \Rightarrow a = 9 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 39: Nhận biết

Độ dài của nhóm dữ liệu 1,5 < x ≤ 2 là:

A.
$1$
B.
$0,5$
C.
$2$
D.
$1,5$

Độ dài của nhóm là: $2 - 1,5 =0,5$

Câu 40: Nhận biết

Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A.
$u_{n}=-4n+9$
B.
$u_{n}=-2n+19$
C.
$u_{n}=-2n-21$
D.
$u_{n}=-2^{n}+15$

Xét dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}$

d không cố định => Dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ không phải là một cấp số cộng.

Câu 41: Vận dụng

Xét tính bị chặn của dãy số u_n = 3n − 1, ta thu được kết quả?

A.
Dãy số bị chặn.
B.
Dãy số không bị chặn.
C.
Dãy số bị chặn trên.
D.
Dãy số bị chặn dưới.

Ta có u_n ≥ 2, ∀n ⇒ (u_n) bị chặn dưới; dãy (u_n) không bị chặn trên.

Câu 42: Thông hiểu

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Đáp án là:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có $u_{1} = 15$ và công sai $d = 3$ .

Giả sử hội trường có $n$ hàng ghế $n\mathbb{\in N}*$ .

Tổng số ghế có trong hội trường là:

$S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2} = \frac{\lbrack 2.15 + (n - 1).3brack n}{2} = \frac{3n^{2} + 27n}{2}.$

Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì $S_{n} \geq 870$

$\Leftrightarrow \frac{3n^{2} + 27n}{2} \geq 870 \Leftrightarrow n^{2} + 9n - 580 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n \geq 20 \\ n \leq - 29 \\ \end{matrix}. ight.$

Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Câu 43: Thông hiểu

Kết quả chạy 50m của học sinh lớp 11A (đơn vị: giây) được liệt kê như sau:

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3

Tính phần trăm số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây?

A.
$30,5\%$
B.
$54,67\%$
C.
$69,69\%$
D.
$48,12\%$

Từ số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp như sau:

Thời gian (giây)	Tần suất (%)
[6,0; 6,5)	6,06
[6,5; 7,0)	15,15
[7,0; 7,5)	30,3
[7,5; 8,0)	27,27
[8,0; 8,5)	12,12
[8,5; 9)	9,1
Tổng	100%

Suy ra số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây chiếm số phần trăm là:

$30,3\% + 27,27\% + 12,12\% =69,69\%$

Câu 44: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có $G;G'$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$GG' = \frac{2}{3}AB$
B.
$GG'//AB$
C.
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(ABG)$ và tứ diện là một tam giác.
D.
$BG;AG';CD$ đồng quy

Hình vẽ minh họa:

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$

Khi đó $\frac{MG}{MB} = \frac{1}{3} = \frac{MG'}{MA}$ (vì $G;G'$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $BCD$ và $ACD$ )

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{GG'}{AB} = \dfrac{1}{3} \\GG'//AB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow GG' = \frac{1}{3}AB$

Vậy khẳng định sai là $GG' = \frac{2}{3}AB$ .

Mặt phẳng $(ABG)$ và tứ diện theo một diện diện là tam giác

Dễ thấy $BG;AG';CD$ đồng quy tại điểm M.

Câu 45: Vận dụng cao

Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Dãy số (u_n) bị chặn dưới
B.
Dãy số (u_n) bị chặn trên
C.
Dãy số (u_n) bị chặn
D.
Dãy số (u_n) không bị chặn

Xét $\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1)k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\forall \geq 2$

Suy ra

$u_n<\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+⋯+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$

$=\frac{3}{2}-\frac{1}{n} < \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 0 < u_n <\frac{3}{2}, \, \, \forall n \in \mathbb{N} ^*$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

7,8	7,7	7,5	7,8	7,7	7,6	8,7
7,6	7,5	7,5	7,3	7,1	8,1	8,4
7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	8,5	8,3
7,2	7,1	7,0	6,7	6,6	8,6	8,2
6,9	6,8	6,5	6,2	6,3