Số nghiệm thuộc đoạn
của phương trình: ![]()
Điều kiện xác định
Vậy có tất cả 15 nghiệm.
Số nghiệm thuộc đoạn
của phương trình: ![]()
Điều kiện xác định
Vậy có tất cả 15 nghiệm.
Với
, mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có thuộc góc phần tư thứ I. Do đó
đồng biến
nghịch biến.
nghịch biến
nghịch biến.
Giá trị của
bằng:
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
với mọi
Suy ra
Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
Ta có:
Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng nên chúng lập thành cấp số cộng
Cho dãy số
có số hạng tổng quát
. Biết rằng
. Khi đó
là số hạng thứ mấy trong dãy số?
Ta có:
Vậy là số hạng thứ tư trong dãy số.
Với
, cho dãy số
gồm các số nguyên dương chia hết cho
:
,
,
,
, …Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
Ta có ,
,
,
,…
Suy ra .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính mức doanh thu trung bình của cửa hàng?
Đáp án: 9,4 (triệu đồng)
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính mức doanh thu trung bình của cửa hàng?
Đáp án: 9,4 (triệu đồng)
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Giá trị đại diện | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Do đó doanh thu trung bình của cửa hàng là:
(triệu đồng)
Vậy doanh thu trung bình của cửa hàng là 9,4 triệu đồng.
Tính
.
Ta có:
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
|
Đối tượng |
Tần số |
|
[150; 155) |
15 |
|
[155; 160) |
10 |
|
[160; 165) |
40 |
|
[165; 170) |
27 |
|
[170; 175) |
5 |
|
[175; 180) |
3 |
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
|
Đối tượng |
Tần số |
|
[150; 155) |
15 |
|
[155; 160) |
10 |
|
[160; 165) |
40 |
|
[165; 170) |
27 |
|
[170; 175) |
5 |
|
[175; 180) |
3 |
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Ta có:
|
Đối tượng |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[150; 155) |
15 |
15 |
|
[155; 160) |
11 |
26 |
|
[160; 165) |
39 |
65 |
|
[165; 170) |
27 |
92 |
|
[170; 175) |
5 |
97 |
|
[175; 180) |
3 |
100 |
Cỡ mẫu là:
=> trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)
=> tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
=> tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
Xét tính bị chặn của dãy số un = 3n − 1, ta thu được kết quả?
Ta có un ≥ 2, ∀n ⇒ (un) bị chặn dưới; dãy (un) không bị chặn trên.
Giá trị của giới hạn
bằng:
Ta có:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a
=>
Tương tự:
là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b
=>
Phương trình lượng giác
có nghiệm là
với
;
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Đáp án: 25
Phương trình lượng giác có nghiệm là
với
;
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Đáp án: 25
Ta có:
Vậy phương trình có họ nghiệm là:.
Do đó
.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
sao cho
. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình
trên đoạn
:
Ta có:
Đặt
Khi đó:
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
hay phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình
vô nghiệm?
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi .
- Phương trình vô nghiệm khi .
Phương trình
Do đó, phương trình vô nghiệm
.
Tìm chu kì T của hàm số ![]()
Hàm số tuần hoàn với chu kì
Hoàn thành bảng số liệu sau:
Đối tượng | Giá trị đại diện | Tần số |
[150; 154) | 152 | 12 |
[154; 158) | 156 | 18 |
[158; 162) | 160 | 30 |
[162; 166) | 164 | 24 |
[166; 170) | 168 | 10 |
Hoàn thành bảng số liệu sau:
Đối tượng | Giá trị đại diện | Tần số |
[150; 154) | 152 | 12 |
[154; 158) | 156 | 18 |
[158; 162) | 160 | 30 |
[162; 166) | 164 | 24 |
[166; 170) | 168 | 10 |
Hoàn thành bảng như sau:
Đối tượng | Giá trị đại diện | Tần số |
[150; 154) | 12 | |
[154; 158) | 18 | |
[158; 162) | 30 | |
[162; 166) | 24 | |
[166; 170) | 10 |
![]()
Ta có:
Tổng
có kết quả bằng?
Ta có
Do đó
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống
thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn
lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là
. Đúng||Sai
b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ
là
. Đúng||Sai
c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ
là
. Sai||Đúng
d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là
. Đúng||Sai
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn
lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là . Đúng||Sai
b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ là
. Đúng||Sai
c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ là
. Sai||Đúng
d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là . Đúng||Sai
a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn , suy ra mệnh đề đúng.
b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
suy ra mệnh đề đúng.
c) Gọi là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ là:
Suy ra mệnh đề sai.
d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:
Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là , suy ra mệnh đề đúng.
Cho hàm số
. Hãy chọn kết luận đúng.
Ta có:
Lại có:
=> Hàm số liên tục phải tại x = 1
Kết quả đúng của
là?
Ta có:
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Tính giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Cho hình lập phương
. Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng
là:

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .
Góc có số đo
đổi sang độ là:
Cách 1:
Cách 2: Bấm máy tính:
Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 3 chuyển về chế độ "độ".
Bước 2: Bấm SHIFT Ans 2 =
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung, khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
Tìm m để hàm số
liên tục trên
.
Ta có:
Dễ thấy hàm số liên tục khi . Hàm số liên tục tại
khi và chỉ khi
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
=> Dãy số là cấp số cộng.
Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng
đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện
với tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của
với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
=> Giao tuyến của
với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Biết rằng
. Tính
?
Ta có:
Khi đó
Quan sát bảng sau và tìm khoảng chứa tứ phân vị thứ ba:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 |
Ta có:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | Tổng |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 | N = 59 |
Tần số tích lũy | 8 | 20 | 42 | 59 |
|
Ta có:
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
là đường trung bình của tam giác
nên
mà
.
Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(120; 125] | 3 | 3 |
(125; 130] | 5 | 8 |
(130; 135] | 11 | 19 |
(135; 140] | 6 | 25 |
(140; 145] | 5 | 30 |
| Tổng | N = 30 |
Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(120; 125] | 3 | 3 |
(125; 130] | 5 | 8 |
(130; 135] | 11 | 19 |
(135; 140] | 6 | 25 |
(140; 145] | 5 | 30 |
| Tổng | N = 30 |
Ta có:
Chiều cao (cm) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(120; 125] | 3 | 3 |
(125; 130] | 5 | 8 |
(130; 135] | 11 | 19 |
(135; 140] | 6 | 25 |
(140; 145] | 5 | 30 |
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Đường thẳng nào song song với
trong các đường thẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> hay
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
song song với đường thẳng
.
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình bình hành. Mặt phẳng
song song với
và
đồng thời cắt các đoạn
lần lượt tại
. Ta có các khẳng định sau:
![]()
![]()
: Tứ giác
là hình bình hành.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Xét
Vì
Vì
Vì nên
đều song song với
điều này suy ra
là hình bình hành.
Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.
Tính giới hạn của hàm số
khi
.
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Mà n là số chẵn và
Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có
Mà
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Đẳng thức xảy ra
Cho dãy số (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Đẳng thức nào sau đây sai?
Từ định nghĩa cấp số nhân ta có các kết quả sau:
Đáp án C sai
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định số nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Mẫu dữ liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm.
Tập nghiệm của phương trình
là?