Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Hàm số liên tục trên $( - \infty;4)$
- B.
  Hàm số liên tục trên $(1;4)$
- C.
  Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  Hàm số liên tục trên $(1; + \infty)$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên $(1;4)$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giới hạn $N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$ .
- A.
  $N = - \frac{2}{3}$
- B.
  $N = \frac{2}{3}$
- C.
  $N = \frac{4}{3}$
- D.
  $N = 0$
Ta có:

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = - \frac{2}{3}$
Câu 3: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{2} = - 6,u_{5} = 48$ . Tính $S_{5}$ .
- A.
  33.
- B.
  -31.
- C.
  93.
- D.
  11.
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ u_{1}.q^{4} = 48 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ q^{3} = - 8 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $S_{5} = \frac{3\left( 1 - ( - 2)^{5} ight)}{1 - ( - 2)} = 33$ .
Câu 4: Vận dụng
Tính tổng $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...$ .
- A.
  $S = 3$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = 5$
- D.
  $S = 6$
Ta có:

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...$

$= \underbrace {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} ight)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} ight)}^n} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{2}{3}}$

$= \dfrac{1}{1 - \dfrac{2}{3}} =3$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm hiểu thời gian tập thể dục mỗi ngày của học sinh (đơn vị: phút) ta thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[0; 5)
[5; 10)
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
Số học sinh
8
16
4
7
12
Hỏi số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $45\%$
- B.
  $49\%$
- C.
  $51\%$
- D.
  $53\%$
Số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày là:
$4 + 7 + 12 = 23$ (học sinh) chiếm $\frac{23.100\%}{47} \approx49\%$
Câu 6: Vận dụng
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{2^{n}}{n!}$ , ta thu được kết quả?
- A.
  Dãy số tăng, bị chặn trên.
- B.
  Dãy số tăng, bị chặn dưới.
- C.
  Dãy số giảm, bị chặn.
- D.
  Cả A, B, C đều sai.
Ta có $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!}:\frac{2^{n}}{n!} = \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n + 1} < 1,\forall n \geq 1$

Mà u_n > 0, ∀n nên u_n + 1 < u_n, ∀n ≥ 1⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.

Vì 0 < u_n ≤ u₁ = 2, ∀n ≥ 1 nên dãy (u_n) là dãy bị chặn trên.
Câu 7: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ?
- A.
  Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
- B.
  Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
- C.
  Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
- D.
  Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Câu 8: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x) = \sqrt{x - 1}$ . Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

i) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 1; + \infty)$

ii) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$

iii) Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$

iv) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Ta có:

i) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 1; + \infty)$ đúng

ii) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$ sai. Vì hàm số gián đoạn tại x = 1

iii) Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$ đúng. Vì hàm số không tồn tại giới hạn trái tại $x = 1$

iv) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ sai vì $0 otin \lbrack 1; + \infty)$
Câu 9: Thông hiểu
Giới hạn $\lim_{}\left( n^{3} - 2023n + 2024 ight)$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- \infty$ .
- D.
  $+ \infty$ .
Ta có:

$\lim\left\lbrack n^{3} - 2023n + 2024 ightbrack$

$= \lim\left\{ n^{3}\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) ight\} = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \underset{}{\lim\left( n^{3} ight) = + \infty} \\ \lim\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ , điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khi đó:

a) $EF//AC$ Đúng||Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ , điểm $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khi đó:

a) $EF//AC$ Đúng||Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AC$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ . Đúng||Sai

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ :

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD). \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $Sx = (SAB) \cap (SCD)$ , với $Sx$ là đường thẳng qua $S$ và $Sx//AB//CD$ .

Hình vẽ minh họa

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAD)$ :

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAD) \\ M \in (MBC) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD) ight.$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MBC) \cap (SAD) \\ BC \subset (MBC);AD \subset (SAD).\ \\ BC//AD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $My = (MBC) \cap (SAD),My$ là đường thẳng qua $M$ và $My//BC//AD$ .

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(MEF)$ và $(SAC)$ :

Ta có $:\left\{ \begin{matrix} M \in SA,SA \subset (SAC) \\ M \in (MEF) \\ \end{matrix} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC) ight.$ .

Xét tam giác $ABC$ , ta có $EF$ là đường trung bình $\Rightarrow EF//AC$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MEF) \cap (SAC) \\ EF \subset (MEF);AC \subset (SAC).\ \\ EF//AC \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $Mt=( M EF )\cap( SAC ), Mt$ là đường thẳng qua $M$ và $Mt//EF//AC$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 11: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{5\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $y = \sin x$
- B.
  $y = \cos x$
- C.
  $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight)$
- D.
  $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight)$
Ta có:

$x \in \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight) \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} \in \left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2} ight) \subset \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$

Nên hàm số $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{5\pi}{6} ight)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Sắp xếp các nhóm theo thứ tự lần lượt là nhóm chứa trung vị, tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu:
- [160; 165)
- [155; 160)
- [165; 170)
Thứ tự là:

[160; 165)

[155; 160)

[165; 170)

Ta có:
Đối tượng
Tần số
Tần số tích lũy
[150; 155)
15
15
[155; 160)
11
26
[160; 165)
39
65
[165; 170)
27
92
[170; 175)
5
97
[175; 180)
3
100
Cỡ mẫu là: $N = 100$
$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)
$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)
$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)
Câu 13: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 14: Thông hiểu
Cho phương trình ${\cot ^2}3x - 3\cot 3x + 2 = 0$ . Đặt $t = \cot 3x$ , ta được phương trình nào sau đây?
- A. ${t^2} - 3t + 2 = 0$
- B. $3{t^2} - 9t + 2 = 0$
- C. ${t^2} - 9t + 2 = 0$
- D. ${t^2} - 6t + 2 = 0$
Ta có: ${\cot ^2}3x - 3\cot 3x + 2 = 0$ trở thành ${t^2} - 3t + 2 = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 16: Thông hiểu
Cho dãy số $\left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
- A.
  Dãy số (u_n) tăng
- B.
  $u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1}$
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- D.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm
Ta có: $u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1}$ nên $u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1}$ đúng.

Do $- 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1$ nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (u_n) bị chặn” đúng.

$u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Do $\left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$ nên dãy số không tăng, không giảm.

Vậy “Dãy số (u_n) không tăng, không giảm” đúng.

Do đó “Dãy số (u_n) tăng” sai.
Câu 17: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$
- A.
  $P = 3456$
- B.
  $P = 3465$
- C.
  $P = 3645$
- D.
  $P = 3546$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$
Câu 18: Vận dụng
Biến đổi phương trình $\cos 3x - \sin x = \sqrt 3 \left( {\cos x - \sin 3x} ight)$ về dạng $\sin \left( {ax + b} ight) = \sin \left( {cx + d} ight)$ với b, d thuộc khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ . Tính b+d?
- A. $b + d = \frac{\pi }{{12}}$
- B. $b + d = \frac{\pi }{{4}}$
- C. $b + d = -\frac{\pi }{{3}}$
- D. $b + d = \frac{\pi }{{2}}$
Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 3x + \cos 3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x$
$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x + \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} ight) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} ight)$
Suy ra $b + d = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}$ .
Câu 19: Nhận biết
Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?
- A.
  Tam giác đều
- B.
  Tam giác cân
- C.
  Tam giác vuông
- D.
  Tam giác
Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.
Câu 20: Nhận biết
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A. Tam giác.
- B. Tứ giác.
- C. Lục giác.
- D. Ngũ giác.
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 21: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Gọi $MN = (P) \cap (ABD)$ ( $N \in AD$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N$ là trung điểm của $AD$ .

Gọi $MP = (P) \cap (ABC)$ ( $P \in AC$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ .

Thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là $\Delta MNP$ .

Gọi $I,\ J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $BD$ .

Ta chứng minh được $\Delta MNP = \Delta JDI$ (c – c – c).

Ta có

$S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}$

$= \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4$

Vậy $S_{\Delta MNP} = 4.$
Câu 22: Vận dụng cao
Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y =\sqrt{1 + \frac{1}{2}cos^{2}x} + \frac{1}{2}\sqrt{5 +2sin^{2}x}$
- A.
  $\frac{\sqrt{11}}{2}$
- B.
  $1 + \sqrt{5}$
- C.
  $1 +\frac{\sqrt{5}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{22}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix}y = \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5 + 2sin^{2}x}\hfill \\= \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \sqrt{\dfrac{5}{4} +\dfrac{1}{2}sin^{2}x}\hfill \\\end{matrix}$
Áp dụng bất đẳng thức $2\left( a^{2} +b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}$
Do đó
$\begin{matrix} 2\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}x} ight) + \left( {\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} ight)} ight] \geqslant {y^2} \hfill \\ {y^2} \leqslant 2\left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{{11}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Dấu bằng xảy ra khi
$\begin{matrix} 1 + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Thông hiểu
Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
- A.
  Chỉ có (1) sai.
- B.
  Chỉ có (2) sai
- C.
  Chỉ có (3) sai
- D.
  (1), (2) và (3) đều sai
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Câu 24: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = \frac{{ - 41}}{{20}};{u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1;\left( {n \geqslant 1} ight)$ . Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.
- A. ${u_{2018}} = {2.21^{2018}} - \frac{1}{{20}}$
- B. ${u_{2018}} = {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
- C. ${u_{2018}} = - {2.21^{2018}} - \frac{1}{{20}}$
- D. ${u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
Ta có: ${u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} + \frac{1}{{20}} = 21\left( {{u_n} + \frac{1}{{20}}} ight)$
Đặt ${v_n} = {u_n} + \frac{1}{{20}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = 21{v_n}$
Khi đó (v_n) là một cấp số nhân với và công bội q = 21
Do đó số hạng tổng quát của dãy (v_n) là ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - {2.21^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = - {2.21^{n - 1}} - \frac{1}{{20}}$
=> ${u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
Câu 25: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
- A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong (β).
- B. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) thì (α) và (β) song song với nhau.
- C. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
- D. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β).
Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "

Câu 26: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 27: Vận dụng
Tìm giá trị thực của m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x=2$ .
- A. $m=0$
- B. $m=1$
- C. $m=2$
- D. $m=3$
Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$ chứa $x=2$
Theo giả thiết thì ta phải có:
$\begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $m=3$
Câu 28: Thông hiểu

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính $Q_{3}$ ?
Đáp án: 164,7
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Tính $Q_{3}$ ?
Đáp án: 164,7
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
Tần số tích lũy
[0; 50)
5
5
[50; 100)
12
17
[100; 150)
23
40
[150; 200)
17
57
[200; 250)
3
60

N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow\frac{3N}{4} = 45$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [150; 200) (vì 45 nằm giữa hai tần số tích lũy 40 va 57)
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}l = 150;\dfrac{3N}{4} = 45;m = 40;f = 17 \\c = 200 - 150 = 50 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{3} = 150 + \frac{45 -40}{17}.50 = \frac{2800}{17}$
Câu 29: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau” hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không thể chéo nhau do đó đáp án đúng.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể cắt nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.
Câu 30: Nhận biết
Giải phương trình $\cot x = - 1$ thu được kết quả là:
- A.
  $x = - \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $x = - \frac{\pi}{3} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $x = - \frac{\pi}{4} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Điều kiện $x eq k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 31: Nhận biết
Mỗi ngày, bạn Chi đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường trung bình mà bạn Chi chạy được là?
- A.
  3,41.
- B.
  3,39.
- C.
  3,45.
- D.
  3,36.
Ta có bảng tần số ghép nhóm chứa giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu là: n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{2,85.3 + 3,15.6 + 3,45.5 + 3,75.4 + 4,05.2}{20} = 3,39.$
Câu 32: Nhận biết
Cho cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - \frac{1}{2}$ công sai $d = \frac{1}{2}$ . Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
- A. $- \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$
- B. $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}$
- C. $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}$
- D. $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ . Gọi $M \in CD;(M eq C;M eq D)$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SC;AC$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = M \\ (\alpha)//AC \\ AC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = Mx//AC$ và $Mx \cap AD = N$

Tương tự ta cũng có $(\alpha) \cap (SDC) = MP//SC$

Khi đó $(\alpha) \cap (SAD) = NP$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.
Câu 34: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q eq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
- B.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n - 1} ight)}{1 - q}$ .
- C.
  $S_{n} = u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)$ .
- D.
  $S_{n} = \frac{u_{1}(1 - q)}{1 - q^{n}}$ .
Theo công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của CSN ta được $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
Câu 35: Vận dụng cao
Biết rằng phương trình $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b}$ với $k \in \mathbb{Z}$ và $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính $S = a + b$
- A.
  $S = 2017$ .
- B.
  $S = 2019$ .
- C.
  $S = 2020$ .
- D.
  $S = 2018$ .
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}$

$=\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx$

$= cot\frac{x}{2} - cotx$

Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

$\cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x$

${+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}$

${\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}$

${\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}$

Vậy $a = 2019,b = 1$ nên $a + b = 2020$ .

Câu 36: Nhận biết

Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có nhiều học sinh nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Vậy lớp 11C có nhiều học sinh nhất.

Câu 37: Thông hiểu
Biết $\sin\alpha = - \frac{4}{5};\left( 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} ight)$ . Tính $\tan\alpha$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{3}{4}$
- C.
  $- \frac{3}{5}$
- D.
  $- \frac{5}{3}$
Ta có: $3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1$

$\Rightarrow \cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha = \frac{9}{25}$

$\Rightarrow \cos\alpha = \pm \frac{3}{5}$

Vì $\cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = - \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}$
Câu 38: Thông hiểu
Cho cấp số cộng (U_n) có số hạng tổng quát là ${u_n} = 3n - 2$ . Xác định công sai của cấp số cộng.
- A. d = 3
- B. d = 2
- C. d = -2
- D. d = -3
Ta có: $\begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = - \infty$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| \geq 1 ight)$
$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = + \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$

$\lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| < 1 ight)$
Câu 40: Nhận biết
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu u_n = 5.2^3n − 2 + 3^3n − 1

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n = 1, ta có u₁ = 5.2¹ + 3² = 19 ⇒ u₁⋮19

Bước 2: Giả sử u_k = 5.2^3k − 2 + 3^3k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.

Khi đó ta có u_k + 1 = 5.2^3k + 1 + 3^3k + 2 = 8(5.2^3k − 2+3^3k − 1) + 19.3^3k − 1

Bước 3: Vì 5.2^3k − 2 + 3^3k − 1 và 19.3^3k − 1 chia hết cho 19 nên u_k + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy u_n chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ^*

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?
- A.
  Sai từ bước 1
- B.
  Sai từ bước 3
- C.
  Sai từ bước 2
- D.
  Lập luận hoàn toàn đúng
Lập luận hoàn toàn đúng!
Câu 41: Thông hiểu
Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
- A.
  $12$
- B.
  $24$
- C.
  $16$
- D.
  $8$
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Câu 42: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Xác định mệnh đề sai?
- A.
  $(BC'A')//(ACD')$
- B.
  $(ADD'A')//(BCC'B')$
- C.
  $(BA'D)//(CB'D')$
- D.
  $(ABA')//(CB'D')$
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BA'//CD' \\ A'C'//AC \\ \end{matrix} \Rightarrow (BA'C')//(ACD') ight.$

$\left\{ \begin{matrix} AD//BC \\ AA'//BB' \\ \end{matrix} \Rightarrow (ADD'A')//(BCC'B') ight.$

$\left\{ \begin{matrix} BD//B'D' \\ A'D//B'C \\ \end{matrix} \Rightarrow (BA'D)//(CB'D') ight.$

Mặt khác $B' \in (ABA') \cap (CB'D)$

=> $(ABA')//(CB'D')$ là mệnh đề sai.
Câu 43: Nhận biết
Tìm tập các định D của hàm số $y = \frac{2020}{\sin x}$
- A.
  $D\mathbb{= R}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k\mathbb{\in Z}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 44: Thông hiểu
Biết rằng $\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\mathbb{\in N}$ . Tính $a + b$ .
- A.
  $5$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $0$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$

$= \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 2}{x +3} = \frac{1}{6} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 6$ .

Vậy: $a + b = 7$ .
Câu 45: Vận dụng cao
Cho dãy số $=\left( x_{n} ight)$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} = 1$ ; $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}$ với $n = 1;2;3;...$ số hạng $x_{2018}$ bằng:
- A.
  $x_{2018} =\frac{4036}{2018}$
- B.
  $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
- C.
  $x_{2018} =\frac{4037}{2018}$
- D.
  $x_{2018} =\frac{4034}{2018}$
Ta có:
$x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
$\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)$
$\Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}$
$\Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}$
Vậy $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$