Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;q = - 5$ . Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- A.
  $- 2;10;50; - 250$
- B.
  $- 2;10; - 50;250$
- C.
  $- 2; - 10; - 50; - 250$
- D.
  $- 2;10;50;250$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 2: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I\in AD,J \in BC$ sao cho $AI = 2DI;BJ= 2CJ$ . Giả sử $(\beta)$ là mặt phẳng qua $IJ$ song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình chữ nhật
Giả sử $(\beta)$ cắt các mặt của tứ diện $(ABC)$ và $(ABD)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(\beta) \cap (ABC) = JH \\(\beta) \cap (ABD) = IK \\(ABC) \cap (ABD) = AB \\(\beta)//AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow JH//IK//AB$
Theo định lí Ta – lét ta có:
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{HJ}{AB} = \dfrac{CJ}{CB} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HJ =\dfrac{1}{3}AB \\\dfrac{IK}{AB} = \dfrac{DJ}{DA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow KI =\dfrac{1}{3}AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow HJ = KI$
=> $HIKJ$ là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ là hình bình hành $HIKJ$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính giới hạn $F =\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}}$
- A.
  $F = - 1$
- B.
  $F = 1$
- C.
  $F = 0$
- D.
  $F = \frac{\pi}{2}$
Ta có:

$F = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x ight)}{x -\dfrac{\pi}{2}}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{- \sin\left( x- \dfrac{\pi}{2} ight)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = - 1$
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ . Gọi $M \in CD;(M eq C;M eq D)$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SC;AC$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = M \\ (\alpha)//AC \\ AC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = Mx//AC$ và $Mx \cap AD = N$

Tương tự ta cũng có $(\alpha) \cap (SDC) = MP//SC$

Khi đó $(\alpha) \cap (SAD) = NP$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.
Câu 5: Nhận biết
Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $u_{n} = n^{2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{u_{n}}}$
- C.
  $u_{n} = 3 - 2n$
- D.
  $u_{n} = - 2n^{2} + 3n + 1$
Xét $u_{n} = n^{2}$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $u_{n} = n^{2}$ là dãy số tăng.
Câu 6: Vận dụng
Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:
- A. x = 1; y = 2, z = 3
- B. x = m; y = 2m, z = 3m (với $m e 0$ cho trước)
- C. x = n; y = n²; z = n³ (với $n e 0$ cho trước)
- D. x = y = z
Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + m = xn} \\ {z = x + 2m = x{n^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow m = x{n^2} - xn \hfill \\ \Rightarrow x + x{n^2} - xn = xn \hfill \\ \Rightarrow {n^2} - 2n + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 1 \Rightarrow m = 0 \Rightarrow x = y = z \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Gọi $I, J, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACC’, A’B’C’$ . Mặt phẳng nào sau đây song song với $(IJK)$ ?
- A.
  $(ABC)$
- B.
  $(A’BC’)$
- C.
  $(BB’C’)$
- D.
  $(AA’C)$
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2$ (tính chất trọng tâm tam giác)
=> $IJ//MN(1)$
Xét mặt phẳng $(AA'EM)$ ta có: $\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2$
=> $IK//ME$
Mà $ME //BB'$
=> $IK//BB'(2)$
Từ (1) và (2) => $(IJK)$ và $(BB'C)$ là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {IJK} ight) e \left( {BB'C'} ight)} \\ {IJ,IK \subset \left( {IJK} ight)} \\ {MN,BB' \subset \left( {BB'C'} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left( {IJK} ight)//\left( {BB'C'} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Thông hiểu

Thực hiện đo chiều cao của 100 học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
x
[165; 170)
26
[170; 175)
y
[175; 180)
3
Biết rằng số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm. Xác định giá trị x và y còn thiếu trong bảng?
Đáp án:
$x =$ 40
$y =$ 5

Đáp án là:

Thực hiện đo chiều cao của 100 học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
x
[165; 170)
26
[170; 175)
y
[175; 180)
3
Biết rằng số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm. Xác định giá trị x và y còn thiếu trong bảng?
Đáp án:
$x =$ 40
$y =$ 5

Ta có 100 học sinh tham gia đo chiều cao khi đó:
5 + 18 + x + 26 + y + 3 = 100
=> x + y = 48 (*)
Mặt khác số học sinh của nhóm số liệu thứ ba gập 5 lần số học sinh của nhóm số liệu thứ năm suy ra x = 5y (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}x + y = 48 \\x = 5y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 40 \\y = 5 \\\end{matrix} ight.$
Câu 9: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2}$ (NETA)
- B.
  $0 \leq u_{n} \leq 1$
- C.
  $- \frac{1}{2} \leq u_{n} \leq 1$
- D.
  $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}$
Ta chứng minh $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1$ ta có: $1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}$

Giả sử $1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1$ . Ta cần chứng minh $1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}$ .

Thật vậy $u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}$

Vì $u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1$

Vì $u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Vậy $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ hay dãy $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi $\frac{3}{2}$ và bị chặn dưới bởi $1$ .
Câu 10: Vận dụng
Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ . Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- B.
  $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ight)$
- C.
  $\left( - \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4} ight)$
- D.
  $( - \infty; + \infty)$
Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$ có nghĩa là

$D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...$

Khi đó

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)$
Câu 11: Vận dụng
Phương trình $\sin x = \frac 1 2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0; 20 \pi]$ ?
- A. 10
- B. 11
- C. 21
- D. 20
Cách 1:
Ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ , với $k \in \mathbb {Z}$
+) $0\leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{119}}{{12}}$ .
Lại có $k \in \mathbb {Z}$ nên $k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
+) $0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{115}}{{12}}$ .
Lại có $k \in \mathbb {Z}$ nên $k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn $[0; 20 \pi]$
Cách 2:
Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình $\sin x = \frac 1 2$ có 2 nghiệm, tương tự với $\left[ {2\pi ;4\pi } ight],\;\left[ {4\pi ;6\pi } ight],...\left[ {18\pi ;20\pi } ight]$ .
Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên $[0; 20 \pi]$ .
Câu 12: Nhận biết
Hàm số $f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 4;3brack$
- B.
  $\lbrack - 4;3)$
- C.
  $( - 4;3brack$
- D.
  $( - \infty; - 4brack \cup \lbrack 3; + \infty)$
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Tập xác định $D = ( - 4;3brack$

=> Hàm số liên tục trên $( - 4;3brack$
Câu 13: Nhận biết
Hàm số nào sau đây có chu kì khác $2\pi$ ?
- A.
  $y = \cos^{3}x$
- B.
  $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
- C.
  $y = \sin^{2}(x + 2)$
- D.
  $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight)$
Hàm số $y = \cos^{3}x = \frac{1}{4}(\cos3x +3\cos x)$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin^{2}(x + 2) = \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cos(2x + 4)$ có chu kì $\pi$ .

Hàm số $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(x + 2)$ có chu kì $2\pi$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 15: Thông hiểu
Kết quả đúng của $\lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight)$ là:
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  –4
- D.
  $\frac{1}{4}$
Xét: $\frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}$

Ta có: $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1}ight) = \lim( - \frac{1}{n}.\frac{1}{1 + 1:n^{2}}) = 0$

Suy ra $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1} ight) = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 0\ \Rightarrow \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 5$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?
- A.
  Nếu a // (β) và (β) // b thì a // b.
- B.
  Nếu a // b và b ⊂ (α) thì a // (α).
- C.
  Nếu a // b và b // (α) thì a // (α).
- D.
  Nếu a ∩ (α) = ∅ thì a // (α).
Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Câu 17: Nhận biết
Chọn mệnh sai trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$ . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng $d$ chứa điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ .
- B.
  Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$ . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(\beta)$ chứa điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ .
- C.
  Cho $m,n$ là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $m$ và song song với $n$ .
- D.
  Cho đường thẳng $m$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(\beta)$ chứa $m$ và song song với $(\alpha)$ .
Mệnh đề sai: “Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$ . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng $d$ chứa điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ .”

Sửa lại mệnh đề: “Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$ . Khi đó tồn tại vô số đường thẳng $d$ chứa điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$
- A.
  $P = 3456$
- B.
  $P = 3465$
- C.
  $P = 3645$
- D.
  $P = 3546$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$
Câu 19: Thông hiểu
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu?
- A.
  $\frac{155}{3}$
- B.
  $\frac{105}{3}$
- C.
  $\frac{142}{3}$
- D.
  $\frac{133}{3}$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{N}{2} =21$
=> Nhóm chứa trung vị là [40; 60)
(Vì 21 nằm giữa hai tần số tích lũy 14 và 26)
Do đó: $l = 40;\frac{N}{2} = 21;m = 14;f =12,c = 60 - 40 = 20$
Khi đó trung vị là:
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$ $= 40 + \dfrac{21 - 14}{12}.20 = \frac{155}{3}$
Câu 20: Nhận biết
Khi điểm M thuộc đường thẳng d, mệnh đề nào sau đây đúng:
- A. $M \subset d$
- B. $M otin d$
- C. $M \in d ot\subset (P) \Rightarrow M otin (P)$
- D. $M \in d$
Mệnh đề đúng $M \in d$ .
Câu 21: Nhận biết
Hỏi $x = \frac{{7\pi }}{3}$ là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A. $2\sin x - \sqrt 3 = 0$
- B. $2\sin x + \sqrt 3 = 0$
- C. $2\cos x - \sqrt 3 = 0$
- D. $2\cos x + \sqrt 3 = 0$
Với $x = \frac{{7\pi }}{3}$ , suy ra $\left\{ \begin{gathered} \sin x = \sin \frac{{7\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \cos x = \cos \frac{{7\pi }}{3} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\sin x - \sqrt 3 = 0 \hfill \\ 2\cos x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 22: Nhận biết
Xác định cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm sau?
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
40
[165; 170)
26
[170; 175)
8
[175; 180)
3
- A.
  $90$
- B.
  $150$
- C.
  $40$
- D.
  $100$
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$N = 5 + 18 + 40 + 26 + 8 + 3 =100$
Câu 23: Thông hiểu
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $x;12;y;192$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $x = 3;y = 144$
- B.
  $x = 2;y = 72$
- C.
  $x = 3;y = 48$
- D.
  $x = 4;y = 36$
Cấp số nhân $x;12;y;192$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{12}{x} = \dfrac{y}{12} \\\dfrac{y}{12} = \dfrac{192}{y} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{144}{y} \\y^{2} = 2304 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 3 \\y = \pm 48 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (3;48) \\ (x;y) = ( - 3; - 48) \\ \end{matrix} ight.$
Câu 24: Nhận biết
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Tần số

7

13

9

18

22

6

Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
- A.
  7
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  8
Mẫu số liệu đã cho có 6 nhóm.
Câu 25: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 26: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 27: Nhận biết
Giá trị của $\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight)$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} - 6\pi ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 28: Vận dụng cao
Tổng $S =\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \ldots +\frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng?
- A.
  $\frac{99}{98}$
- B.
  $\frac{90}{99}$
- C.
  $\frac{98}{99}$
- D.
  1
Ta có $\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} -\frac{1}{3};\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5};\ldots$
Do đó $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 -\frac{1}{99} = \frac{98}{99}$
Câu 29: Vận dụng
Giá trị của $\lim\frac{a^{n}}{n!}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1>|a|.
Khi đó với mọi n > m+1.
Ta có: $0 < \left| \frac{a^{n}}{n!}ight| = \left| \frac{a}{1}.\frac{a}{2}\ldots\frac{a}{m} ight|.\left|\frac{a}{m + 1}\ldots\frac{a}{n} ight| < \frac{|a|^{m}}{m!}.\left(\frac{|a|}{m + 1} ight)^{n - m}$
Mà $\lim\left( \frac{|a|}{m + 1}ight)^{n - m} = 0$ .
Từ đó suy ra: $\lim\frac{a^{n}}{n!} =0$ .
Câu 30: Nhận biết
Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?
- A. h = 1; k = 21
- B. h = 2; k = 20
- C. h = 3; k = -19
- D. h = 4; k = 18
Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u₁; u₂; u₃; u₄ lập thành một cấp số cộng nên
$\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}} \\ {{u_4} - {u_3} = {u_2} - {u_1}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 11 = 11 - h} \\ {k - 11 = h + 7} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h + k = 22} \\ {h - k = - 18} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h = 2} \\ {k = 20} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu

Chu kì của hàm số $y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight)$ là $k\pi$ . Giá trị của k là:

Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Chu kì của hàm số $y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight)$ là $k\pi$ . Giá trị của k là:

Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Ta có:

$y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight) = \frac{1}{2}\sin\left( \frac{4}{5}x ight)$

Hàm số trên có chu kì là $T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{\frac{4}{5}} = \frac{5\pi}{2}$

Vậy $k = \frac{5}{2}$ .
Câu 32: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
Câu 33: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , d đi qua S và $d // AD // BC$ .

Câu 34: Thông hiểu

Bạn Lan trồng 50 cây cà rốt bằng loại đất đặc biệt. Khi thu hoạch Lan đo chiều dài của củ cà rốt (chính xác đến mm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều dài (mm)	Chiều dài đại diện (mm)
(149,5; 154,5]	152
(154,5; 159,5]	157
(159,5; 164,5]	162
(164,5; 169,5]	167
(169,5; 174,5]	172
(174,5; 179,5]	177
(179,5; 184,5]	182
(184,5; 189,5]	187

Tìm chiều dài trung bình của các củ cà rốt Lan trồng được.

A.
$170$
B.
$169,5$
C.
$171,8$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều dài (mm)	Chiều dài đại diện (mm)	Số củ cà rốt	Tích các giá trị
(149,5; 154,5]	152	5	760
(154,5; 159,5]	157	2	314
(159,5; 164,5]	162	6	972
(164,5; 169,5]	167	8	1336
(169,5; 174,5]	172	9	1548
(174,5; 179,5]	177	11	1947
(179,5; 184,5]	182	6	1092
(184,5; 189,5]	187	3	561
	Tổng	50	8530

Chiều dài trung bình của cà rốt Lan trồng được là:

$\overline{x} = \frac{8530}{50} \approx170,6(mm)$

Câu 35: Thông hiểu
Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{4} = - 12;u_{14} = 18$ . Giá trị $S_{16}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $S_{16} = - 24$
- B.
  $S_{16} = 24$
- C.
  $S_{16} = 26$
- D.
  $S_{16} = - 26$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24$
Câu 36: Thông hiểu
Xác định nghiệm của phương trình $- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

$- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 37: Thông hiểu
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}$ . Biết rằng $u_{k} = \frac{7}{31}$ . Khi đó $u_{k}$ là số hạng thứ mấy trong dãy số?
- A.
  Thứ bảy
- B.
  Thứ sáu
- C.
  Thứ tư
- D.
  Thứ năm
Ta có:

$u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{k}$ là số hạng thứ tư trong dãy số.
Câu 38: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y =4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} ight).$
- A.
  $M = \sqrt{2}.$
- B.
  $M = \sqrt{2} - 1.$
- C.
  $M = \sqrt{2} + 1.$
- D.
  $M = \sqrt{2} +2.$
Ta có
$\begin{matrix}y = 4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} ight) \\= 4\left( \dfrac{1 - cos2x}{2} ight) + sin2x + cos2x \\\end{matrix}$
$= sin2x - cos2x + 2 = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2.$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{4}ight) \leq 1$
$\Rightarrow - \sqrt{2} + 2 \leq\sqrt{2}\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2 \leq \sqrt{2} +2$ .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2 +\sqrt{2}.$
Câu 39: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung.
- D.
  Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).

Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Câu 40: Nhận biết
Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x + 1}$ .
- A.
  $\frac{1}{2}$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có: $\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = 2$ .
Câu 41: Thông hiểu

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

Đáp án là:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
1 || 1 vị trí || một || một vị trí || Một vị trí

Phương trình $\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = - 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{3}{2}\,\,\,\,\,(VL) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
Câu 42: Thông hiểu

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 43: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
- A.
  $(CB'D')$
- B.
  $(A'BC)$
- C.
  $(AD'C)$
- D.
  $(BA'C')$
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$
Câu 44: Vận dụng cao
Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm?
- A. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
- B. $m \in \left( {1; + \infty } ight)$
- C. $m \in \left[ { - 1;1} ight]$
- D. $m \in \left( { - \infty ; - 1} ight)$
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x = a.
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Phương trình $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$
Do đó, phương trình $\cos x -m =0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left| m ight| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .