Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Điều kiện xác định của hàm số $y = \cot \left( {x - \frac{{2\pi }}{5}} ight)$ là:
- A. $x e \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi$
- B. $x e - \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi$
- C. $x e \frac{{2\pi }}{5} + k\pi$
- D. $x e -\frac{{2\pi }}{5} + k\pi$
Ta có: $y = \cot \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) = \dfrac{{\cos \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}{{\sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}$
Điều kiện xác định của hàm số
$\begin{matrix} \sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{{2\pi }}{5} e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{2\pi }}{5} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Nhận biết
Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt 3 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{{5\pi }}{6} \in S$
- B. $\frac{{11\pi }}{6} \in S$
- C. $\frac{{13\pi }}{6} \in S$
- D. $-\frac{{13\pi }}{6} \in S$
Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Nhận thấy với nghiệm $x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S$ .
Câu 3: Vận dụng cao
Hàm số $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Áp dụng công thức $\sin a - \sin b =2cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2}$
Ta có
$\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) -\sin x = 2cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight)\sin\frac{\pi}{6} =\cos\left( x + \frac{\pi}{6} ight).$
Ta có $- 1 \leq \cos\left( x +\frac{\pi}{6} ight) \leq 1 ightarrow - 1 \leq y \leq1\overset{y\mathbb{\in Z}}{ightarrow}y \in \left\{ - 1;0;1ight\}.$
Câu 4: Nhận biết
Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 5: Vận dụng cao
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để $\lim\sqrt{\frac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n + a}}} \leq \frac{1}{2187}$ .
- A.
  $2018$
- B.
  $2011$
- C.
  $2012$
- D.
  $2019$
Ta có: $\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} +9^{n + a}} > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên

$\lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} = \sqrt{\lim\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n +a}}}$

$= \sqrt{\lim\dfrac{1 + 3.\left(\dfrac{1}{3} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{9} ight)^{n} + 9^{a}}} =\sqrt{\dfrac{1}{9^{a}}} = \dfrac{1}{3^{a}}$

Theo đề bài ta có

$\lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} \leq \dfrac{1}{2187}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{2187}} \Leftrightarrow {3^a} \geqslant 2187 \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 7 \hfill \\ \end{matrix}$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} a\mathbb{\in Z} \\ a \in (0;2019) \\ \end{matrix} \Rightarrow a \in \left\{ 7;8;9;...;2018 ight\} ight.$

Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau” hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không thể chéo nhau do đó đáp án đúng.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể cắt nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.
Câu 7: Nhận biết
Giá trị của $\lim\sqrt[n]{a}$ với a> 0 bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Với a > 1 thì khi đó: $a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)$
Suy ra: $0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0$ nên $\lim\sqrt[n]{a} = 1$
Với 0 < a < 1 thì khi đó: $\frac{1}{a} >1$ .
Suy ra: $\lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1$
Tóm lại ta luôn có: $\lim\sqrt[n]{a} =1$ với a > 0 .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.$
- A. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. ${\text{D}} = \emptyset$
Hàm số xác định khi và chỉ khi
$1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1 \,\,(*)$
Mà $- 1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ nên $\left( * ight) \Leftrightarrow \sin x e 1 \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Câu 9: Vận dụng
Chọn kết quả đúng của giới hạn $\lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ ?
- A.
  4
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  $\frac{1}{2}$
$\lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$

$= \lim\sqrt{3 + \frac{1 - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 1} - \frac{1}{2^{n}}}$

$= \sqrt{3 + \frac{1}{1} - 0} = 2$
Câu 10: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 11: Thông hiểu
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) $k ∈ \mathbb{ Q}$
(b) $n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.$
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$
- B.
  Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- C.
  Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- D.
  Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì $\mathbb{Q}$ là tập con thực sự của $\mathbb{N^*}$ nên tồn tại số nguyên dương không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k \in \mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì số nguyên âm không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Câu 12: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  $HK//(SBC)$
- B.
  $HK//(SAB)$
- C.
  $HK//(SCD)$
- D.
  $HK//(ABCD)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} HK//BC \\ HK ⊄ (SBC) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow HK//(SBC)$
Câu 13: Nhận biết
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Xác định nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu.
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack 20;40)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{N}{2} =21$
=> Nhóm chứa trung vị là [40; 60)
(Vì 21 nằm giữa hai tần số tích lũy 14 và 26)
Câu 14: Thông hiểu
Bảng số liệu dưới đây cho biết khoảng chi tiêu hàng tháng của 200 hộ gia đình.
Khoảng chi tiêu (USD)
[0; 1000)
[1000; 2000)
[2000; 3000)
[3000; 4000)
[4000; 5000)
Số hộ gia đình
28
46
54
42
30
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
- A.
  $2320,6$
- B.
  $2302,7$
- C.
  $2481,5$
- D.
  $2125,6$
Ta có:
Khoảng chi tiêu (USD)
[0; 1000)
[1000; 2000)
[2000; 3000)
[3000; 4000)
[4000; 5000)

Số hộ gia đình
28
46
54
42
30
N = 200
Tần số tích lũy
28
74
128
170
200

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{200}{2} =100$
=> Nhóm chứa trung vị là [2000; 3000) (vì 100 nằm giữa hai tần số tích lũy là 74 và 128)
Do đó: $l = 2000;\frac{N}{2} =\frac{200}{2} = 100;m = 74;f = 54,c = 1000$
Khi đó trung vị là:
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$ $= 2000 + \dfrac{(100 - 74)}{54}.1000 \approx2481,5$
Câu 15: Vận dụng
Cho dãy số (u_n) biết u_n = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng
- B.
  Dãy số (u_n) giảm
- C.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm
- D.
  Cả A, B, C dều sai
Ta có u_n = 3n + 6 ⇒ u_n + 1 = 3(n+1) + 6 = 3n + 9

Xét hiệu u_n + 1 − u_n = (3n+9) − (3n+6) = 3 > 0, ∀n ∈ N^*

Vậy (u_n) là dãy số tăng.
Câu 16: Thông hiểu
Tính tổng sau $S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$
- A.
  $S = 19298$
- B.
  $S = 19090$
- C.
  $S = 19920$
- D.
  $S = 19900$
Ta có:

$S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$ là tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có $u_{1} = 1;d = 4$

$\Rightarrow S = S_{100} = \frac{100}{2}.(2.1 + 99.4) = 19900$ .
Câu 17: Nhận biết
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ . Với $n \geq 1$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{n + 1} = u_{n} + q$ .
- B.
  $u_{n + 1} = u_{n} + (n - 1)q$ .
- C.
  $u_{n + 1} = u_{n}.q$ .
- D.
  $u_{n + 1} = u_{n}.q^{n - 1}$ .
Do $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân nên $u_{n + 1} = u_{n}.q\ \ ,\ \ (n \geq 1)$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ .
- A.
  $a$ và $b$ là hai đường thẳng song song
- B.
  Nếu điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì không thể coi đường thẳng nào đi qua $M$ và cắt cả $a$ và $b$ .
- C.
  Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ .
- D.
  Cả 3 câu trên đều sai.
Mệnh đề đúng là: "Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ ."
Câu 19: Vận dụng
Cho bảng dữ liệu như sau
Đại diện A
Tần số
[0; 10)
6
[10; 20)
24
[20; 30)
x
[30; 40)
16
[40; 50)
9
Tính giá trị của x. Biết trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng 24.
- A.
  $26$
- B.
  $35$
- C.
  $25$
- D.
  $31$
Ta có:
Đại diện A
Tần số
Tần số tích lũy
[0; 10)
6
6
[10; 20)
24
30
[20; 30)
x
30 + x
[30; 40)
16
46 + x
[40; 50)
9
55 + x

N = 55 + x

Trung vị là 24 => Nhóm chứa trung vị là $[20; 30)$
$\Rightarrow l = 20;\frac{N}{2} =\frac{55 + x}{2};m = 30;f = x,c = 10$
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$
$\Leftrightarrow 24 = 20 + \dfrac{\left(\dfrac{55 + x}{2} - 30 ight)}{x}.10$
$\Leftrightarrow 4 = \frac{5(x -5)}{x}$
$\Leftrightarrow 4x = 5x -25$
$\Leftrightarrow 25 = 5x -4x$
$\Leftrightarrow 25 = x$
Câu 20: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.
- B.
  Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD.
- C.
  Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM.
- D.
  Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC).
Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 21: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ , $P$ là trung điểm cạnh $SA$ . Khi đó:

a) $MN//BC$ Đúng||Sai

b) $PN//SD$ Sai||Đúng

c) $MN//(SAD)$ Đúng||Sai

d) $SC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ , $P$ là trung điểm cạnh $SA$ . Khi đó:

a) $MN//BC$ Đúng||Sai

b) $PN//SD$ Sai||Đúng

c) $MN//(SAD)$ Đúng||Sai

d) $SC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ nên $MNCB$ là hình bình hành nên $MN//BC$ .

b) Sai

Do $PN,\ \ SD$ không đồng phẳng nên $PN$ không thể song song với $SD$

c) Đúng

Do $MN//BC \Rightarrow MN//AD$ mà $AD \subset (SAD) \Rightarrow MN//(SAD)$ .

d) Sai

Do $OP$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $SC//OP$ , mà $OP \subset (MNP)$ nên $SC//(MNP)$ .
Câu 22: Nhận biết
Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}$ ta được kết quả bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}$

$= \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
Câu 23: Vận dụng
Phương trình $\sin x = \frac 1 2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0; 20 \pi]$ ?
- A. 10
- B. 11
- C. 21
- D. 20
Cách 1:
Ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$ , với $k \in \mathbb {Z}$
+) $0\leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{119}}{{12}}$ .
Lại có $k \in \mathbb {Z}$ nên $k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
+) $0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Rightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{115}}{{12}}$ .
Lại có $k \in \mathbb {Z}$ nên $k \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn $[0; 20 \pi]$
Cách 2:
Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình $\sin x = \frac 1 2$ có 2 nghiệm, tương tự với $\left[ {2\pi ;4\pi } ight],\;\left[ {4\pi ;6\pi } ight],...\left[ {18\pi ;20\pi } ight]$ .
Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên $[0; 20 \pi]$ .
Câu 24: Vận dụng
Cho cấp số nhân (u_n) có tổng n số hạng đầu tiên là ${S_n} = {5^n} - 1$ . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó?
- A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = 4} \end{array}} ight.$
- B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 5} \\ {q = 6} \end{array}} ight.$
- C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = 5} \end{array}} ight.$
- D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 6} \\ {q = 5} \end{array}} ight.$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = {S_1} = 5 - 1 = 4} \\ {{u_1} + {u_2} = {S_2} = {5^2} - 1 = 24} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_2} = 24 - {u_1} = 20} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5} \end{array}} ight.$
Câu 25: Nhận biết
Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n}=7-3n$
- B.
  $u_{n}=7-3^{n}$
- C.
  $u_{n}=\frac{7}{3n}$
- D.
  $u_{n}=7.3^{n}$
Xét dãy số $u_{n}=7-3n$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy dãy số $u_{n}=7-3n$ là một cấp số cộng với $u_1=4;d=-3$
Câu 26: Nhận biết
Giá trị đại diện của nhóm $\lbrack 58;60)$
- A.
  $58$ .
- B.
  $59$ .
- C.
  $54$ .
- D.
  $60$ .
Giá trị đại diện của mẫu là: $\frac{58 + 60}{2} = 59$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{2n + 1}{\lbrack n(n + 1)brack^{2}}$ . Giá trị S₁₀ là
- A.
  1
- B.
  $\frac{121}{120}$
- C.
  $\frac{119}{121}$
- D.
  $\frac{120}{121}$
Cách 1:

Ta có $\frac{3}{(1.2)^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4};\frac{5}{(2.3)^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9};\ldots$

Suy ra $S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n(n + 2)}{(n + 1)^{2}}$

Vậy $S_{10} = \frac{10(10 + 2)}{(10 + 1)^{2}} = \frac{120}{121}$ .

Cách 2:

Ta có $S_{10} = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + \frac{7}{(3.4)^{2}} + \ldots + \frac{21}{(10.11)^{2}}$

Suy ra $S_{10} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{10^{2}} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{11^{2}} = \frac{120}{121}$ .
Câu 28: Thông hiểu
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 3;q = - 2$ . Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $S_{10} = - 511$
- B.
  $S_{10} = - 1025$
- C.
  $S_{10} = 1025$
- D.
  $S_{10} = 1023$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 3 \\q = - 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow S_{10} = u_{1}.\frac{1 -q^{10}}{1 - q} = ( - 3).\frac{1 - ( - 2)^{10}}{1 + 2} =1023$

Câu 29: Thông hiểu

Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là: $\frac{6}{40}.100\% = 15\%$

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là: $\frac{4}{39}.100\% \approx 10,3\%$

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là: $\frac{3}{41}.100\% \approx 7,3\%$

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh

=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là: $\frac{3}{43}.100\% \approx 7\%$

Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.

Câu 30: Thông hiểu
Tính giá trị $\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{- \sqrt{2}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có:

$\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack$

$= - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai?
- A.
  $\lim\frac{3}{n + 1} = 0$
- B.
  $\lim( - 2)^{n} = + \infty$
- C.
  $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 2n + 3} - n ight) = 1$
- D.
  $\lim\frac{1}{2^{n}} = 0$
Xét $n = 2k$

$\Rightarrow \lim( - 2)^{n} = \lim( - 2)^{2k}$

$= \lim\left\lbrack ( - 2)^{2} ightbrack^{k} = \lim 4^{k} = + \infty$

Xét $n = 2k + 1$

$\Rightarrow \lim( - 2)^{n} = \lim( - 2)^{2k + 1}$

$= \lim\left\lbrack ( - 2)^{2k}.( - 2) ightbrack = \lim\left\lbrack 4^{k}.( - 2) ightbrack = - \infty$
Câu 32: Vận dụng cao
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết $\widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ$ , E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình $2 \sin x -1 = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
- A. Điểm C và điểm D
- B. Điểm E và điểm F
- C. Điểm C và điểm F
- D. Điểm E và điểm D
Ta có: $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}$
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Câu 33: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $\pi rad = 1^{0}$
- B.
  $\pi rad = 60^{0}$
- C.
  $\pi rad = 180^{0}$
- D.
  $\pi rad = \left( \frac{180}{\pi} ight)^{0}$
Ta có: $\pi rad$ tương ứng với $180^{0}$ .
Câu 34: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(n \geq 0)$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy đó lần lượt là những số nào dưới đây?
- A.
  $- 1;2;5$
- B.
  $1;4;7$
- C.
  $4;7;10$
- D.
  $- 1;3;7$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{2} = u_{1} + 3 = 2 \\ u_{3} = u_{2} + 3 = 5 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 35: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm của các đường thẳng $AD,AB,CD$ lần lượt là $H,K,T$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $T$ .
- A.
  Trung điểm $AH$
- B.
  Trung điểm $BC$
- C.
  Giao điểm của $HT$ và $BC$
- D.
  Giao điểm của $HK$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ .

Ta có: $HT//AC$ (do $HT$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ )

$HT \subset (HKT)$

$AC \subset (ABC)$

$K \in (HKT) \cap (ABC)$

Vậy $(HKT) \cap (ABC) = KO//HT//AC$
Câu 36: Thông hiểu
Hình biểu diễn của một hình thoi là hình nào sau đây?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình thang
- D.
  Hình tứ giác
Hình biểu diễn của một hình thoi là hình bình hành.
Câu 37: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Lấy $M \in AD,N \in CC'$ sao cho $2AM = AD$ và $2CN = CC'$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $MN$ và song song với $(ACB')$ . Xác định các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình lục giác
- B.
  Hình ngũ giác
- C.
  Hình tứ giác
- D.
  Hình tam giác
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp.
Câu 38: Vận dụng
Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$
- A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
- B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
- C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
- D. Liên tục tại mọi điểm
Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$
Tại $x=0$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x=0$
Tại $x=1$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Câu 39: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng $AC$ và $BD$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(NAC)$ .
- A.
  $MN$
- B.
  $MA$
- C.
  $NB$
- D.
  $NC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MBD) \cap (NAC) \\ N \in (MBD) \cap (NAC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MBD) \cap (NAC) = MN$
Câu 40: Thông hiểu
Cho phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Phương trình không có nghiệm trong khoảng $( - 1;1)$
- B.
  Phương trình không có nghiệm trong khoảng $( - 2;0)$
- C.
  Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng $( - 2;1)$
- D.
  Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $(0;2)$
Xét hàm số $f(x) = 2x^{4} - 5x^{2} + x +1$ là đa thực có tập xác định $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f( - 1) = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0$ => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc $( - 1;1)$ .
$\left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f(1) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$ => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc $(0;1)$ .
$\left\{ \begin{matrix}f(1) = - 1 \\f(2) = 15 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(2) < 0$ => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc $(1;2)$ .
Vậy phương trình (*) đã cho có các nghiệm $x_{1};x_{2};x_{3}$ thỏa mãn $- 1 < x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3}< 2$ .
Câu 41: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị $m$ để phương trình $\sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0$ có nghiệm?
- A.
  $\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}$ .
- B.
  $1 \leq m \leq \frac{3}{2}$ .
- C.
  $2 \leq m \leq 6$ .
- D.
  $0 \leq m \leq 2.$
Ta có:

$\sin{2x}.cos2x + m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin4x + m - 1 \Leftrightarrow sin4x = 2 - 2m\ (*)$

Phương trình $(*)$ có nghiêm $\Leftrightarrow - 1 \leq 2 - 2m \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}$ .
Câu 42: Thông hiểu
Tính giới hạn $A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)$ .
- A.
  $A = 0$
- B.
  $A = 3$
- C.
  $A = \frac{3}{5}$
- D.
  $A = + \infty$
Ta có:

$A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)$

$A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}$

$A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}$
Câu 43: Thông hiểu
Giá trị của $A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $- \frac{2}{3}$
- D.
  1
$A = \lim\frac{2n + 1}{1 - 3n} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 3} = - \frac{2}{3}$
Câu 44: Thông hiểu
Tìm số trung bình của mẫu số liệu sau:
Thời gian (s)
Thời gian đại diện (s)
(50,5; 55,5]
53
(55,5; 60,5]
58
(60,5; 65,5]
63
(65,5; 70,5]
68
(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $61,3$
- B.
  $61,4$
- C.
  $61,2$
- D.
  $61,5$
Ta có:
Thời gian (s)
Thời gian đại diện (s)
Số vận động viên (người)
Tích các giá trị
(50,5; 55,5]
53
2
106
(55,5; 60,5]
58
7
406
(60,5; 65,5]
63
8
504
(65,5; 70,5]
68
4
272

Tổng
21
1288
Số trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{1288}{21} \approx61,3$
Câu 45: Nhận biết
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(Q)$ .
- B.
  Mọi đường thẳng đi qua điểm $A \in (P)$ và song song với $(Q)$ đều nằm trong $(P)$ .
- C.
  Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ .
- D.
  Nếu đường thẳng $a \subset (Q)$ thì $a//(P)$ .
Đáp án “Đường thẳng $a \subset (P)$ và đường thẳng $b \subset (Q)$ thì $a\ //\ b$ ” sai vì nếu $(P)//(Q)$ và đường thẳng $a \subset (P);\ b \subset (Q)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

51 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Khoảng chi tiêu (USD)	[0; 1000)	[1000; 2000)	[2000; 3000)	[3000; 4000)	[4000; 5000)
Số hộ gia đình	28	46	54	42	30

Đại diện A	Tần số
[0; 10)	6
[10; 20)	24
[20; 30)	x
[30; 40)	16
[40; 50)	9

Đại diện A	Tần số	Tần số tích lũy
[0; 10)	6	6
[10; 20)	24	30
[20; 30)	x	30 + x
[30; 40)	16	46 + x
[40; 50)	9	55 + x
	N = 55 + x

Thời gian (s)	Thời gian đại diện (s)
(50,5; 55,5]	53
(55,5; 60,5]	58
(60,5; 65,5]	63
(65,5; 70,5]	68

Thời gian (s)	Thời gian đại diện (s)	Số vận động viên (người)	Tích các giá trị
(50,5; 55,5]	53	2	106
(55,5; 60,5]	58	7	406
(60,5; 65,5]	63	8	504
(65,5; 70,5]	68	4	272
	Tổng	21	1288