Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 90 phút
  • Số câu hỏi: 45 câu
  • Số điểm tối đa: 45 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức h = 3cos\left( \frac{\pi t}{8} +\frac{\pi}{4} ight) + 12. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

    Ta có:

    \begin{matrix} h = 3\cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 12 \leqslant 3 + 12 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó mực nước của kênh cao nhất khi \cos\left( \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} ight)= 1 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{8} + \frac{\pi}{4} = k2\pi \Rightarrowt = 16k - 2

    Vì 0 \leq t \leq 24 \Rightarrow k = 1\Rightarrow t = 14

    Vậy mực nước của kênh là cao nhất khi t = 14 (h)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Phương trình \sin x = - \frac{1}{2} có nghiệm thỏa mãn x nằm trong khoảng \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{6}} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \pi + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} ight) => {x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi } thỏa mãn

  • Câu 3: Thông hiểu

    Giá trị của D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1} bằng:

    D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1}

    = \dfrac{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^{2}} +\dfrac{2}{n^{4}}}{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{4}}} = \dfrac{0}{1} =0

  • Câu 4: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5

    Xét phương trình x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0. Đặt x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x) là hàm số liên tục trên \mathbb{R} suy ra hàm số cũng liên tục trên \lbrack - 1;3brack.

    Ta có: f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

    f(x) = 0 là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

    Ta có:

    Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 suy ra

    \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm giới hạn C = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) =2

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} EG \subset (ABF) \\ AF = (ABF) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    => Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Giá trị của giới hạn \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}};\left( |a| < 1,|b| < 1 ight) bằng:

    Ta có:

    1 + a + a^{2} + ... + a^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a

    => 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1.\left( 1 - a^{n + 1} ight)}{1 - a} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}

    Tương tự:

    1 + b + b^{2} + ... + b^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b

    => 1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1.\left( 1 - b^{n + 1} ight)}{1 - b} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}

    \Rightarrow \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}} = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính giá trị \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    Ta có:

    \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack

    = - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 9: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình {\tan ^2}x = 3?

     Ta có {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 3{\cos ^2}x

    \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 3{\cos ^2}x \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1

    Vậy {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = 1.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có thể hiểu như sau:

    “ Hàm số y = sinx đồng biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ II và III”.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Chọn khẳng định đúng

    Gọi E là trung điểm của AB

    Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:

    \frac{{EM}}{{EC}} = \frac{{EN}}{{ED}} = \frac{1}{3} 

    Theo định lí Ta - lét ta có: MN // CD (1)

    Mà CD \subset \left( {BCD} ight);CD \subset \left( {ACD} ight) (2)

    Từ (1) và (2) => MN // (BCD); MN // (ACD)

  • Câu 12: Nhận biết

    Giá trị của B = \lim\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn \ \ n_{a} thỏa mãn:

    \frac{2n_{a} + 3}{n_{a}^{2} + 1} < a

    \Leftrightarrow n_{a} > \frac{1 + \sqrt{a^{2} - 4a + 13}}{a}

    Ta có: \frac{2n + 3}{n^{2} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Suy ra  B =\lim\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} =0 .

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Giả sử (\alpha) là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của (\alpha) với các mặt của hình chóp S.ABCD không thể tạo thành hình nào dưới đây?

    Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

    Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng (\alpha) tùy ý với các mặt của hình chóp S.ABCD.

    Vậy đáp án là hình lục giác.

  • Câu 14: Vận dụng

    Tổng các nghiệm của phương trình \cos 2x - \sin 2x = 1 trong khoảng \left ( 0;2\pi  ight ) là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} \cos 2x - \sin 2x = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} ight) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Xét nghiệm x = k\pi

    Do x \in \left ( 0;2\pi ight ) => 0 < k\pi < 2\pi \Rightarrow k = 1

    => x = \pi

    Xét nghiệm {x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }

    Do x \in \left ( 0;2\pi ight )

    \begin{matrix} 0 < - \dfrac{\pi }{4} + k\pi < 2\pi \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} ight\} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}} \\ {k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{4}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: \frac{14\pi}{4}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) được xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} - u_{n} = 2n - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un của dãy số là?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = u_{1} + 2.2 - 1 \\ u_{3} = u_{2} + 2.3 - 1 \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + 2.n - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

    un = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)

     = 2 + (n−1)(n+2) − n + 1

     = n2 + 1

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 1, công bội là q = 2019. Tính u_{2019}?

    Theo công thức cấp số nhân ta có: u_{2019} = u_{1}.q^{n - 1} = 1.2019^{2019 - 1} = 2019^{2018}

  • Câu 17: Vận dụng

    Tính giá trị của giới hạn \lim\dfrac{1^{2}+ 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)}.

    Đặt P(n) = \frac{2n^{3} - 3n^{2} + n}{6} = \frac{n(n - 1)(2n + 1)}{6}thì ta có:

    1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}

    = \left\lbrack P(2) - P(1) ightbrack + \left\lbrack P(3) - P(2) ightbrack + ... + \left\lbrack P(n + 1) - P(n) ightbrack

    = P(n + 1) - P(1) = \frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6}

    Do đó: \lim\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{n\left( n^{2} + 1 ight)} = \lim\frac{n(n + 1)(2n + 3)}{6n\left( n^{2} + 1 ight)} = \frac{1}{3}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và \left\{ \begin{matrix} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2u_{n} \cdot v_{n} \\ \end{matrix} ight. với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?

    Chứng minh u_{n} - \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} - 1)^{2n}

    Ta có u_{n} = \sqrt{2}v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2v_{n - 1}^{2} - 2\sqrt{2}u_{n - 1}v_{n - 1} = \left( u_{n - 1} - \sqrt{2}v_{n - 1} ight)^{2}

    Mặt khác u_{1} - \sqrt{2}v_{1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2} nên (1) đúng với n = 1 Giả sử u_{k} - \sqrt{2}v_{k} = (\sqrt{2} - 1)^{2k}, ta có u_{k - 1} - \sqrt{2}v_{k + 1} = \left( u - \sqrt{2}v_{k} ight)^{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2k + 1}

    Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1

    Ta có u_{n} + \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}}

    Do đó ta suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} 2u_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ 2\sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{n} = \frac{1}{2}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ v_{n} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho.

     Cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; …

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {q = \dfrac{9}{3} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Đơn giản biểu thức A = cos\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) + sin(\alpha + \pi), ta có

    Ta có:

    A = cos\left( \alpha - \frac{\pi}{2} ight) + sin(\alpha + \pi)

    = cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) - sin\alpha = sin\alpha - sin\alpha = 0

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho khai triển {\left( {x - 2y + m} ight)^4}. Tìm m để tổng các hệ số của khai triển bằng 0.

    Tổng các hệ số của khai triển là giá trị của biểu thức tại x=y=1

    Vậy tổng các hệ số của khai triển là: {\left( {1 - 2.1 + m} ight)^4} = {\left( {m - 1} ight)^4}

    Để tổng các hệ số khai triển bằng 0 thì {\left( {m - 1} ight)^4} = 0 \Leftrightarrow m = 1

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Tổng S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1 có kết quả bằng?

    Đặt M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)

    = 1 - \frac{1}{5^{100}}

    \Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}

    \Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=x^{3}-3x-1. Số nghiệm của phương trình f(x)  =0 trên \mathbb{R} là:

    Hàm số f(x)=x^{3}-3x-1 là hàm đa thức có tập xác định là \mathbb{R} nên liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên mỗi khoảng \left( { - 2; - 1} ight),\left( { - 1;0} ight),\left( {0;2} ight)

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 2} ight) = - 3} \\ {f\left( { - 1} ight) = 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 2} ight).f\left( { - 1} ight) < 0 => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { - 2; - 1} ight)

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 1} ight).f\left( 0 ight) < 0=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { - 1; 0} ight)

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 2 ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( 2 ight).f\left( 0 ight) < 0=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { 0; 2} ight)

    Vậy phương trình f(x) =0 có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng \left( { -2; 2} ight)

    Mặt khác phương trình f(x) =0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

    => Phương trình f(x) =0 có đúng ba nghiệm trên \mathbb{R}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:

    Số tiền (nghìn đồng)

    Số người

    [0; 50)

    5

    [50; 100)

    12

    [100; 150)

    23

    [150; 200)

    17

    [200; 250)

    3

    Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu đã cho?

    Ta có:

    Số tiền (nghìn đồng)

    Giá trị đại diện

    Số người

    [0; 50)

    25

    5

    [50; 100)

    75

    12

    [100; 150)

    125

    23

    [150; 200)

    175

    17

    [200; 250)

    225

    3

     

     

    N = 60

    Giá trị trung bình cần tìm là:

    \overline{x} = \frac{25.5 + 75.12 +125.23 + 175.17 + 225.3}{60} = 125,83

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Biết rằng phương trình \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{sin2x} + ... + \frac{1}{\sin 2^{2018}x} = 0 có nghiệm dạng x = \frac{k2\pi}{2^{a} - b} với k\mathbb{\in Z} và a,b \in \mathbb{Z}^{+};b < 2018. Tính S = a - b.

    Điều kiện xác định \sin 2^{2018}x eq 0

    Ta có:

    \cot a - \cot2a = \frac{\cos a}{\sin a} -\frac{\cos2a}{\sin2a}

    = \frac{2\cos^{2}a - \cos2a}{\sin2a} =\frac{1}{\sin2a}

    => Phương trình tương đương

    \Leftrightarrow \left( \cot\frac{x}{2} -\cot x ight) + \left( \cot x - \cot2x ight) + ... + \left( \cot2^{2017}x - \cot 2^{2018}x ight) = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot 2^{2018}x = 0

    \Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} = \cot 2^{2018}x

    \Leftrightarrow 2^{2018}x = \frac{x}{2} + k\pi

    \Leftrightarrow x = \frac{k2\pi}{2^{2019} - 1};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    => \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a - b = 2018

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:

    Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.

    Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác ABC.

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Nếu (\alpha)//(\beta) thì ngoài trường hợp a//b thì a,b có thể chéo nhau.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có H là trung điểm của đoạn thẳng SC. Tìm khẳng định sai dưới đây.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: BH và AC không đồng phẳng nên khẳng định BH và AC cắt nhau là sai.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho bảng số liệu:

    Đại diện X

    16 – 20

    21 – 25

    26 – 30

    31 – 35

    36 – 40

    41 – 45

    46 – 50

    51 – 55

    Tần số

    5

    6

    12

    14

    26

    12

    16

    9

    Cho biết bảng số liệu trên có phải bảng phân phối tần số liên tục không?

    Dữ liệu đã cho không phải là phân phối tần số liên tục.

    Bây giờ, chúng ta phải chuyển đổi dữ liệu đã cho thành phân phối tần số liên tục bằng cách trừ 0,5 từ giới hạn dưới và thêm 0,5 vào giới hạn trên của mỗi khoảng thời gian của nhóm.

    Đại diện X

    [15,5; 20,5)

    [20,5; 25,5)

    [25,5; 30,5)

    [30,5; 35,5)

    [35,5; 40,5)

    [40,5; 45,5)

    [45,5; 50,5)

    [50,5; 55,5)

    Tần số

    5

    6

    12

    14

    26

    12

    16

    9

    Ở đây

    Giới hạn trên của khoảng cao nhất là 55,5

    Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất là 15,5

    => Khoảng biến thiên là 55,5 – 15,5 = 40

  • Câu 31: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác''?

    Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

  • Câu 32: Nhận biết

    Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho là:

    Ta có: x_{1},x_{2} \in \lbrack 5;7), x_{3},...,x_{9} \in \lbrack 7;\ 9), x_{9},...,x_{16} \in \lbrack 9;\ 11), x_{17},...,x_{19} \in \lbrack 11;\ 13), x_{20} \in \lbrack 13;\ 15)

    Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \lbrack 9;11)

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy các điểm M \in AD',N \in DB sao cho AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight). Khi giá trị x thay đổi, đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho D,N,B \in DB và A,M,D' \in AD'. Từ tỉ lệ

    \frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)

    Ta suy ra AD,MN,BD' cùng song song với một mặt phẳng (\alpha) nào đó.

    Ta chọn mặt phẳng (\beta) chứa BD' và song song với AD.

    Mặt phẳng (\beta) chính là mặt phẳng (BCD'A') và là mặt phẳng cố định.

    \Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')

    Hay MN//(A'BC)

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AC =6;BD = 3;BC = 9. Lấy một điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi mặt phẳng (\alpha) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD. Biết các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm M di chuyển đến vị trí M' hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức M'B.M'C.

    Hình vẽ minh họa:

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt AB tại Q.

    => MQ//AC

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng qua Q và song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại P.

    => QP//BD

    Giao tuyến của (\alpha) với mặt phẳng (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại N.

    => NP//AC

    Vậy các giao tuyến của mặt phẳng (\alpha) với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành MNPQ.

    Do đó \Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}

    Chứng minh tương tự ta được \frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}

    Do đó: \frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1

    Khi M trùng với M' ta có: M'N = M'Q

    Suy ra \frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2

    \Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3

    Vậy M'B.M'C = 18

  • Câu 35: Vận dụng

    Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0;1)?

    Xét phương án 2x^{2} - 3x + 4 = 0: 2x^{2} - 3x + 4 = 0 có \Delta = 9 - 32 = - 23

    => Phương trình vô nghiệm.

    Xét phương án 3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0

    Đặt t = x^{2}(t \geq 0), phương trình trở thành: 3t^{2} - 4t + 5 = 0.

    \Delta' = 4 - 15 = - 11

    => Phương trình vô nghiệm.

    Xét phương án (x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0: (x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2

    \forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow Phương trình vô nghiệm.

    Xét phương án 3x^{2024} - 8x + 4 = 0: 3x^{2024} - 8x + 4 = 0, xét f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4.

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0

    Mặc khác hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} do đó liên tục trên \lbrack 0;1brack.

    Vậy phương trình 3x^{2024} - 8x + 4 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;1).

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?

    Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M;M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Giao của AM' với (A'BC) là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;M' là trung điểm của BC và B'C' nên MM'//BB'//CC'//AA'

    Suy ra A;A';M';M cùng thuộc một mặt phẳng.

    Trong mặt phẳng (AA'M'M) gọi T là giao điểm của A'M và AM'.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} A'M \cap AM' \equiv T \\ A'M \subset (A'BC) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AM' \cap (A'BC) = A'M \cap AM' = T

    Vậy giao của AM' với (A'BC) là giao của AM' với A'M.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

    Đối tượng

    Tần số

    [150; 155)

    15

    [155; 160)

    10

    [160; 165)

    40

    [165; 170)

    27

    [170; 175)

    5

    [175; 180)

    3

    Giá trị trung bình của đối tượng bằng 162,75||163,14||164,02||160,58

    Đáp án là:

    Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

    Đối tượng

    Tần số

    [150; 155)

    15

    [155; 160)

    10

    [160; 165)

    40

    [165; 170)

    27

    [170; 175)

    5

    [175; 180)

    3

    Giá trị trung bình của đối tượng bằng 162,75||163,14||164,02||160,58

    Ta có:

    Đối tượng

    Giá trị đại diện

    Tần số

    [150; 155)

    152,5

    15

    [155; 160)

    157,5

    11

    [160; 165)

    162,5

    39

    [165; 170)

    167,5

    27

    [170; 175)

    172,5

    5

    [175; 180)

    177,5

    3

    Giá trị trung bình của đối tượng là:

    \overline{x} = \frac{152,5.15 + 157,5.11+ 162,5.39 + 167,5.27 + 172,5.5 + 177,5.3}{100} = 162,75

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.

    Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (un) nên:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính giới hạn E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    Ta có:

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)}{x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{(x + 1)^{2} - \left( x^{2} - x - 2 ight)^{2}}{x + 1 +\sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\left( 3 + \dfrac{3}{x} ight)}{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} +\sqrt{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^{2}}} ight)}

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} -\dfrac{2}{x^{2}}}} = \dfrac{3}{2}

  • Câu 41: Thông hiểu

    Tìm hiểu thời gian tập thể dục mỗi ngày của học sinh (đơn vị: phút) ta thu được kết quả ghi trong bảng sau:

    Thời gian (phút)

    [0; 5)

    [5; 10)

    [10; 15)

    [15; 20)

    [20; 25)

    Số học sinh

    8

    16

    4

    7

    12

    Hỏi số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày chiếm bao nhiêu phần trăm?

    Số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày là:

    4 + 7 + 12 = 23 (học sinh) chiếm \frac{23.100\%}{47} \approx49\%

  • Câu 42: Vận dụng

    Cho bảng dữ liệu dưới đây:

    Khoảng dữ liệu

    Tần số

    [0; 20)

    16

    [20; 40)

    x

    [40; 60)

    25

    [60; 80)

    y

    [80; 100)

    12

    [100; 120)

    10

    Tổng

    N = 90

    Biết số trung bình là 56. Tính giá trị biểu thức T = 2x – y.

    Ta có:

    Dữ liệu đại diện

    Tần số

    Tích các số liệu

    10

    16

    160

    30

    x

    30x

    50

    25

    1250

    70

    y

    70y

    90

    12

    1080

    110

    10

    1100

    Tổng

    63 + x + y

    3590 + 30x + 70y

    Theo bài ra ta có số trung bình bằng 56 nghĩa là:

    \overline{x} = 56

    \Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56

    \Leftrightarrow \frac{3590 + 30x +70y}{90} = 56(*)

    Mặt khác 63 + x + y = 90 \Rightarrow x +y = 27(**)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 27 \\3x + 7y = 145 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 11 \\y = 16 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2x - y = 6

  • Câu 43: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Lấy I;J lần lượt là trung điểm của AD và ACvà G là trọng tâm của tam giác BCD. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng (IJG) và mặt phẳng (BCD) là đường thẳng đi qua điểm

    Hình vẽ minh họa

    Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

    Gọi d = (GIJ) \cap (BCD)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} G \in (GIJ);G \in (BCD) \\ IJ \subset (GIJ);CD \subset (BCD) \\ IJ//CD \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

  • Câu 44: Vận dụng

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) Dãy số được xác định bởi a_{n} = 1 + \frac{1}{n} là một dãy bị chặn.

    (2) Dãy số được xác định bởi an = n2 là một dãy giảm.

    (3) Dãy số được xác định bởi an = 1 − n2 là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.

    (4) Dãy số được xác định bởi an = (−1)nn2 là một dãy không tăng, không giảm.

    0 < 1 + \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy số xác định bởi a_{n} = 1 + \frac{1}{n} là một dãy bị chặn.

    an + 1 − an = (n+1)2 − n2 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = n2 là dãy tăng.

    an + 1 − an = (1−(n+1)2) − (1−n2) = 2n − 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên dãy số xác định bởi an = 1 − n2 là dãy số giảm và không bị chặn dưới.

    a1 =  − 1 < a2 = 4 > a3 =  − 9 nên dãy số xác định bởi an = (−1)nn2 là dãy không tăng không giảm.

  • Câu 45: Nhận biết

    Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại x = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. nên hàm số y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1} gián đoạn tại điểm x = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 50 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1
Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập