Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 2: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
5
[155; 160)
18
[160; 165)
40
[165; 170)
26
[170; 175)
8
[175; 180)
3
Tổng
N = 100
Xác định giá trị đại diện của nhóm thứ tư?
- A.
  $167,5$
- B.
  $162,5$
- C.
  $177,5$
- D.
  $172,5$
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là $\frac{165 + 170}{2} = 167,5$
Câu 3: Thông hiểu
Dãy số (u_n) được cho bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
- A.
  ∀n, u_n là số lẻ
- B.
  u₁ + u₂ + … + u_n = n²
- C.
  ∀n, u_n = 2n − 1
- D.
  u_n + u_n + 1 = 4n
$u_1=1$

$u_2=1+2=1+1.2$

$u_3=1+2+2=1+2.2$

$u_4=1+2+2+2=1+3.2$

...

$u_n=1+2+⋯+2=1+(n-1).2$

Áp dụng phương pháp quy nạp ta có u_n = 2n − 1.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 0$
- A. $m\in (-2;-1)$
- B.
  $m\leq -2$
- C.
  $m\in [-1;7)$
- D.
  $m\in [7;+\infty ]$
Với mọi $x e 0$ ta có:
$0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0$ khi $x \to 0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Theo giả thiết ta phải có: $\mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Câu 5: Nhận biết
Cho các số -4; 1; 6; a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm a?
- A. a = 7
- B. a = 10
- C. a = 11
- D. a = 12
Đặt u₁ = -4; u₂ = 1; u₃ = 6; u₄ = a
Theo bài ra ta có:
Các số -4; 1; 6; a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> u₃ – u₂ = u₄ – u₃
=> 6 – 1 = a – 6
=> a = 11
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ bất kì. Biểu thức $T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}$ không thể nhận giá trị nào sau đây?
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}$
- D.
  $- \frac{1}{\sqrt{2}}$
Ta có:

$T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}$

$= 2\left( \sin\widehat{A}.\frac{1}{2} + \cos\widehat{A}.\frac{\sqrt{3}}{2} ight)$

$= 2\left( \sin\widehat{A}\cos\frac{\pi}{3} + \cos\widehat{A}.sin\frac{\pi}{3} ight)$

$= 2sin\left( \widehat{A} + \frac{\pi}{3} ight)$

Với tam giác ABC bất kì ta luôn có:

$0 < \widehat{A} < \pi \Rightarrow \frac{\pi}{3} < \widehat{A} + \frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3}$

$\Rightarrow - \sqrt{3} < T \leq 2$

Vậy biểu thức $T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}$ không thể nhận giá trị $2\sqrt{3}$ .
Câu 7: Thông hiểu

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $AD//(ABF)$ . Sai||Đúng

b) $(AFD)//(BEC)$ . Đúng||Sai

c) $(ABD)//(EFC)$ . Sai||Đúng

d) Sáu điểm $A,B,C,D,E,F$ là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $AD//(ABF)$ . Sai||Đúng

b) $(AFD)//(BEC)$ . Đúng||Sai

c) $(ABD)//(EFC)$ . Sai||Đúng

d) Sáu điểm $A,B,C,D,E,F$ là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Sai: $AD$ và $(ABF)$ cắt nhau tại $A$ .

b) Đúng.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$ , suy ra $AD \parallel (BEC)$ .

Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $AF \parallel BE$ , suy ra $AF \parallel (BEC)$ .

Mà $AD$ và $AF$ cắt nhau nên $(AFD) \parallel (BEC)$ .

c) Sai: Vì $(ABD)$ và $(EFC)$ có điểm $C$ chung.

d) Đúng:

Vì $ABCD$ và $ABEF$ là hình bình hành nên $AB,\ CD,\ FE$ đôi một song song

Mặt khác $(AFD) \parallel (BEC)$ (theo câu b)

Do đó 6 điểm $A,B,C,D,E,F$ là 6 đỉnh của một hình lăng trụ tam giác
Câu 8: Vận dụng
$\lim \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}$ bằng:
- A.
  $\frac{-1}{5}$
- B.
  $\frac{-1}{6}$
- C.
  -1
- D.
  0
Ta có:
$0 \leqslant \left| {\frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 5}}} ight| \leqslant \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}$
Do $\lim \frac{1}{n} = 0$ => $\lim \frac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{n + 5}} = 0$
Câu 9: Vận dụng cao
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết $\widehat {AOC} = \widehat {AOF} = 30^\circ$ , E và D lần lượt là các điểm đối xứng của C và F qua gốc O. Nghiệm của phương trình $2 \sin x -1 = 0$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
- A. Điểm C và điểm D
- B. Điểm E và điểm F
- C. Điểm C và điểm F
- D. Điểm E và điểm D
Ta có: $2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\,,\,k \in \mathbb{Z}$
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm C và điểm D.
Câu 10: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Điểm $A'$ nằm trên cạnh $SC$ $(A' eq S)$ .Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(ABA')$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 4 cạnh.

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Điểm $A'$ nằm trên cạnh $SC$ $(A' eq S)$ .Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(ABA')$ là một đa giác có bao nhiêu cạnh?

Đáp án: 4 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Xét $(ABA')$ và $(SCD)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A' \in SC,SC \subset (SCD) \\ A' \in (ABA') \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'$ là điểm chung thứ nhất.

Gọi $I = AB \cap CD$

Có $\left\{ \begin{matrix} I \in AB,AB \subset (ABA') \\ I \in CD,CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai.

$\Rightarrow (ABA') \cap (SCD) = IA'$

Gọi $M = IA' \cap SD$ . Ta có:

$(ABA') \cap (SCD) = A'M$

$(ABA')\cap (SAD)=AM$

$(ABA') \cap (ABCD) = AB$

$(ABA') \cap (SBC) = BA'$

Thiết diện là tứ giác $ABA'M$ .

Vậy thiết diện là đa giác có 4 cạnh.
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 12: Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Xét $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}$

$= \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)$

$= \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)$

$= - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - 1$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2$

$f(1) = a + 2$

Hàm số liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow a + 2 = - 1 \Leftrightarrow a = - 3$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}$ . Tìm số hạng $u_{5}$
- A.
  $u_{5}=\frac{1}{4}$
- B.
  $u_{5}=\frac{17}{12}$
- C.
  $u_{5}=\frac{7}{4}$
- D.
  $u_{5}=\frac{71}{39}$
Ta có:
${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}$
Câu 14: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân với $u_{n} eq 0;n \in\mathbb{N}^{*}$ . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $u_{1};u_{3};u_{5}$
- B.
  $3u_{1};3u_{2};3u_{3}$
- C.
  $\frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}}$
- D.
  $u_{1} + 2;u_{2} + 2;u_{3} +2$
Giả sử $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân công bội $q$ thì:
Dãy $u_{1};u_{3};u_{5}$ là cấp số nhân công bội $q^{2}$ .
Dãy $3u_{1};3u_{2};3u_{3}$ là cấp số nhân với công bội $2q$ .
Dãy $\frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}}$ là cấp số nhân công bội $\frac{1}{q}$ .
Dãy $u_{1} + 2;u_{2} + 2;u_{3} +2$ không là cấp số nhân.
Câu 15: Nhận biết
Giá trị của $\lim\frac{1}{n^{k}}$ với $k \in \mathbb{N^*}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  5
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}$

Suy ra:

$\frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu
Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 0$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 10$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{3x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x + 1 - 1}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{3x}{x\left( \sqrt{3x + 1} + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a = 3;b = 2$

$\Rightarrow T = 3^{2} + 2^{2} = 13$
Câu 17: Vận dụng cao
Dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{3} \\u_{n + 1} = \dfrac{n + 1}{3n}.u_{n} \\\end{matrix} ight.$ và dãy số (v_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix}v_{1} = u_{1} \\v_{n + 1} = v_{n} + \dfrac{u_{n}}{n} \\\end{matrix} ight.$ . Tính $\lim v_{n}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{5}{6}$
- C.
  $\frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{1}{3}$
Ta có:

$u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3n}.u_{n} \Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = \frac{1}{3}.\frac{u_{n}}{3n}$ nên dãy $\left( \frac{u_{n}}{n} ight)$ là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{3}$

Lại có: $v_{n + 1} = v_{n} + \frac{u_{n}}{n} \Leftrightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n}}{n}$ , khi đó ta có:

$\begin{matrix} {v_2} - {v_1} = \dfrac{{{u_1}}}{1} \hfill \\ {v_3} - {v_2} = \dfrac{{{u_2}}}{2} \hfill \\ ..... \hfill \\ {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ \end{matrix}$

Cộng vế theo vế ta được

$\begin{matrix} {v_{n + 1}} - {v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{1} + \dfrac{{{u_2}}}{2} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{n} \hfill \\ = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} ight]}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Do đó: $v_{n + 1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + v_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3}$

=> $\lim v_{n} = \lim\left\{ \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack + \frac{1}{3} ight\} = \frac{5}{6}$
Câu 18: Thông hiểu
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Chọn đáp án đúng?
- A.
  $Q_{1} =\frac{275}{3}$
- B.
  $Q_{1} =\frac{1000}{17}$
- C.
  $Q_{1} =\frac{248}{3}$
- D.
  $Q_{1} =\frac{383}{6}$
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
Tần số tích lũy
[0; 50)
5
5
[50; 100)
12
17
[100; 150)
23
40
[150; 200)
17
57
[200; 250)
3
60

N = 60

Cỡ mẫu là: $N = 60 \Rightarrow \frac{N}{4}= 15$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 100) (vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 va 17)
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}l = 50;\dfrac{N}{4} = 15;m = 5;f = 12 \\c = 100 - 50 = 50 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$
$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{15 -5}{12}.50 = \frac{275}{3}$
Câu 19: Thông hiểu

Cho hàm số. $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} & \ \text{khi~}x < 2 \\ \sqrt{x + 2} & \ \text{khi~}x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

a) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = - 8$ Sai||Đúng

b) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 3$ Đúng||Sai

c) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = 2$ Đúng||Sai

d) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = 4$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số. $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} & \ \text{khi~}x < 2 \\ \sqrt{x + 2} & \ \text{khi~}x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

a) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = - 8$ Sai||Đúng

b) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 3$ Đúng||Sai

c) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = 2$ Đúng||Sai

d) Giới hạn: $\lim_{x ightarrow 2}f(x) = 4$ Sai||Đúng

a) Ta có $\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \sqrt{5}$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < 2$ và $x_{n} ightarrow 2$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = 1 - x_{n}^{2}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = 1 - 2^{2} = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > 2$ và $x_{n} ightarrow 2$ , ta có $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n} + 2}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{2 + 2} = 2$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq 2$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 2}f(x)$ .
Câu 20: Nhận biết
Từ thời điểm đồng hồ chỉ đúng 12 giờ đến khi kim giờ chỉ 1 giờ đúng thì kim phút quay được góc bao nhiêu độ?
- A.
  $- 360^{0}$
- B.
  $360^{0}$
- C.
  $- 180^{0}$
- D.
  $180^{0}$
Khi kim giờ chỉ đúng 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng ứng với góc lượng giác là: $- 360^{0}$
Câu 21: Nhận biết
Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ .
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3$
Câu 22: Thông hiểu
Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 5;q = \frac{1}{3}$ . Hỏi $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
- A.
  $9$
- B.
  $10$
- C.
  $11$
- D.
  $12$
Ta có: $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow \frac{5}{59049} = 5.\left( \frac{1}{3} ight)^{n - 1} \Rightarrow n = 11$

Vậy số $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Câu 23: Vận dụng cao
Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 24: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y =4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} ight).$
- A.
  $M = \sqrt{2}.$
- B.
  $M = \sqrt{2} - 1.$
- C.
  $M = \sqrt{2} + 1.$
- D.
  $M = \sqrt{2} +2.$
Ta có
$\begin{matrix}y = 4sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{4} ight) \\= 4\left( \dfrac{1 - cos2x}{2} ight) + sin2x + cos2x \\\end{matrix}$
$= sin2x - cos2x + 2 = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2.$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{4}ight) \leq 1$
$\Rightarrow - \sqrt{2} + 2 \leq\sqrt{2}\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight) + 2 \leq \sqrt{2} +2$ .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2 +\sqrt{2}.$
Câu 25: Nhận biết
Tập nghiệm của phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ là?
- A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\,\frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \,|\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- B. $S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\, - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \,|\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. $S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\,\frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \,|\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. $S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\, - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \,|\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Ta có: $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Câu 26: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 27: Nhận biết
$\tan x$ có nghĩa khi nào?
- A.
  $x = \pm\frac{\pi}{2}$
- B.
  $x = 0$
- C.
  $x eq \frac{\pi}{2} +k\pi$
- D.
  $x eq k\pi$
Để $\tan x$ có nghĩa thì $\cos x e 0$
=> $x eq \frac{\pi}{2} +k\pi$
Câu 28: Thông hiểu

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

Tập $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$ là tập xác định của hàm số $y = \cot2x$ . Đúng||Sai

Số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = 0$ trên khoảng $(0;\pi)$ là 3 nghiệm.Sai||Đúng

Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m = 1$ có nghiệm. Đúng||Sai

Số vị trí biểu diễn của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

Đáp án là:

Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau?

Tập $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{k\pi}{2};k\mathbb{\in Z} ight\}$ là tập xác định của hàm số $y = \cot2x$ . Đúng||Sai

Số nghiệm của phương trình $\sin x + \cos x = 0$ trên khoảng $(0;\pi)$ là 3 nghiệm.Sai||Đúng

Có 5 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{3}\cos x + m = 1$ có nghiệm. Đúng||Sai

Số vị trí biểu diễn của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 3.Sai||Đúng

a) Điều kiện xác định của hàm số $y = cot2x$ là:

$2x eq k\pi \Rightarrow x eq \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

b) Ta có:

$\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x \in (0;\pi) \Rightarrow 0 < - \frac{\pi}{4} + k\pi < \pi$

$\Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}$ mà $k\mathbb{\in Z}$ suy ra $k = 1$

Vậy phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ .

c) Ta có: $\sqrt{3}\cos x + m = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1 - m}{\sqrt{3}}$

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

$- 1 \leq \frac{1 - m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow - \sqrt{3} \leq 1 - m \leq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} \leq m \leq 1 + \sqrt{3}$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán.

d) Ta có:

$\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{6} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x - \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Số điểm biểu diễn mỗi họ nghiệm là số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình $\sin\left( x - \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 2.
Câu 29: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2}$ (NETA)
- B.
  $0 \leq u_{n} \leq 1$
- C.
  $- \frac{1}{2} \leq u_{n} \leq 1$
- D.
  $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}$
Ta chứng minh $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1$ ta có: $1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}$

Giả sử $1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1$ . Ta cần chứng minh $1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}$ .

Thật vậy $u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}$

Vì $u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1$

Vì $u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Vậy $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ hay dãy $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi $\frac{3}{2}$ và bị chặn dưới bởi $1$ .
Câu 30: Nhận biết
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?
- A.
- B.
- C.
- D.
Xét đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$

Câu 31: Nhận biết

Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:

Lớp 11A	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11A	Số học sinh	4	8	12	10	6
Lớp 11B	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11B	Số học sinh	5	12	10	8	4
Lớp 11C	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11C	Số học sinh	4	10	15	9	3
Lớp 11D	Điểm	(0; 5]	(5; 6]	(6; 7]	(7; 8]	(8; 10]
Lớp 11D	Số học sinh	4	9	16	11	3

Lớp nào có nhiều học sinh nhất?

A.
11A
B.
11B
C.
11C
D.
11D

Số học sinh lớp 11A là:

4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)

Số học sinh lớp 11B là:

5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)

Số học sinh lớp 11C là:

4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)

Số học sinh lớp 11D là:

4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)

Vậy lớp 11C có nhiều học sinh nhất.

Câu 32: Thông hiểu
Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng $(\alpha)$ qua $O$ , song song với $SA,CD$ . Thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình chóp là hình gì?
- A.
  Hình thang.
- B.
  Hình thang cân.
- C.
  Hình tam giác.
- D.
  Ngũ giác.
Hình vẽ minh họa

Do (a) // CD nên giao tuyến d = (a) ∩ (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với CD. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của d với BC,AD.

Do (a) // SA nên giao tuyến a = (a) ∩ (SAB) là đường thẳng qua H và song song với SA.

Gọi I là giao điểm của a với SD.

Do (a) // CD nên giao tuyến b = (a) ∩ (SCD) là đường thẳng qua I và song song với CD.

Gọi J lần lượt là giao điểm của b với SC.

Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp là hình thang GHIJ vì GH // IJ //CD.
Câu 33: Nhận biết

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án là:

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án đúng là: 5.
Câu 34: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- C.
  Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.
Câu 35: Vận dụng
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0 \leq t < 24)$ cho bởi công thức $h = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12$ . Có bao nhiêu giá trị của t thỏa mãn để độ sâu của mực nước là $15\ m$ ?
- A.
  0.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  3
Độ sâu của mực nước là $15\ m$ thì h = 15.

Khi đó

$15 = 3cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) + 12n \Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = 1$

$\Leftrightarrow \cos\left( \frac{\pi t}{6} + 1 ight) = cos0 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} + 1 = k2\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi};k \in Z$

Vì $0 \leq t < 24$ nên

$0 \leq \frac{6(k2\pi - 1)}{\pi} \leq 24 \Leftrightarrow 0 < k \leq 2$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \left\{ \frac{6(2\pi - 1)}{\pi};\frac{6(4\pi - 1)}{\pi} ight\}$
Câu 36: Thông hiểu
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 1$ và công sai $d = 2$ . Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng:
- A.
  $S_{10} = 110$ .
- B.
  $S_{10} = 100$ .
- C.
  $S_{10} = 21$ .
- D.
  $S_{10} = 19$ .
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là

$S_{n} = \frac{n}{2}\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}\left\lbrack 2.1 + (10 - 1)2 ightbrack = 100$
Câu 37: Nhận biết
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.
Câu 38: Vận dụng
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
- A.
  $98$
- B.
  $100$
- C.
  $102$
- D.
  $104$
Ta có:

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 7;d = 5$ .

Gọi n là số ô trên bàn cờ thì $u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = 25450 = S_{n}$

Ta có:

$25450 = S_{n}$

$\Leftrightarrow 25450 = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}.d$

$\Leftrightarrow 25450 = 7n + \frac{n^{2} - n}{2}.5$

$\Leftrightarrow 5n^{2} + 9n - 50900 = 0$

$\Leftrightarrow n = 100$
Câu 39: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 40: Thông hiểu
Tính giá trị $\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$
- A.
  $- \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{- \sqrt{2}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có:

$\cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack$

$= \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack$

$= - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 41: Thông hiểu
Theo dõi kích thước của táo trong một khoảng thời gian nhất định ta được kết quả như sau:
Kích thước (gram)
[410; 420)
[420; 430)
[430; 440)
[440; 450)
[450; 460)
[460; 470)
[470; 480)
Số lượng táo
14
20
42
54
45
18
7
Tính trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên.
- A.
  $450,12$
- B.
  $432,6$
- C.
  $444,44$
- D.
  $411,24$
Ta có:
Kích thước (gram)
Số lượng táo
Tần số tích lũy
[410; 420)
14
14
[420; 430)
20
34
[430; 440)
42
76
[440; 450)
54
130
[450; 460)
45
175
[460; 470)
18
193
[470; 480)
7
200

N = 200

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{200}{2} =100$
=> Trung vị nằm trong nhóm $\lbrack440;450)$ (vì 100 nằm giữa hai tần số tịc lũy là 76 và 130)
$\Rightarrow l = 440;\frac{N}{2} = 100;m= 76;f = 54,c = 10$
$\Rightarrow M_{e} = l + \dfrac{\left(\dfrac{N}{2} - m ight)}{f}.c$ $= 440 + \dfrac{100 - 76}{54}.10 =444,44$

Câu 42: Vận dụng

Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[150; 154]	5
[155; 159]	2
[160; 164]	6
[165; 169]	8
[170; 174]	9
[175; 179]	11
[180; 184]	6
[185; 189]	3

Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A.
$177,5$
B.
$169,5$
C.
$171,7$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều cao (cm)	Số học sinh	Tần số tích lũy
(149,5; 154,5]	5	5
(154,5; 159,5]	2	7
(159,5; 164,5]	6	13
(164,5; 169,5]	8	21
(169,5; 174,5]	9	30
(174,5; 179,5]	11	41
(179,5; 184,5]	6	47
(184,5; 189,5]	3	50
Tổng	N = 50

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} =25$

=> Nhóm chứa trung vị là $(169,5; 174,5]$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 169,5,\dfrac{N}{2} = 25 \\m = 21,f = 9,d = 174,5 - 169,5 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Trung vị của mẫu số liệu là:

$M_{e} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} -m}{f}.d$

$\Rightarrow M_{e} = 169,5 + \frac{25 -21}{9}.5 \approx 171,7$

Câu 43: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy là hình bình hành tâm $O$ , gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC$ và $SD$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $MP$ .
- B.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $NQ$ .
- C.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $SB$ .
- D.
  $NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $SD$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $N$ là điểm chung của $(SBD)$ và $(MNP)$ .

Do $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC$ và $SD$ nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = PQ \\MN//AB//CD//PQ \\\end{matrix} \Rightarrow MNPQ ight.$ là hình bình hành.

Vì $BD//NQ \Rightarrow BD//(MNPQ)$ .

Khi đó $(SBD)$ cắt $(MNP)$ theo giao tuyến đi qua $N$ và song song với $BD$ là $NQ$ .

Từ đó ta thấy đáp án

$NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $MP$ .

$NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $NQ$ .

$NT = (SBD) \cap (MNP)$ , với $T$ là trung điểm $SD$ .

Là các đáp án đúng

Vì $T$ là trung điểm $SB$ suy ra $T \equiv N \Rightarrow (SBD) \cap (MNP) = N$ .
Câu 44: Thông hiểu
Giá trị của $D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
$D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^{2}} +\dfrac{2}{n^{4}}}{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{4}}} = \dfrac{0}{1} =0$
Câu 45: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $ABD$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $IJ//CD$
- B.
  $IJ;CD$ chéo nhau
- C.
  $IJ//AB$
- D.
  $IJ;AB$ cắt nhau
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra $\frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow JI//MN(**)$

Từ (*) và (**) suy ra TH

1