Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Tổng các nghiệm của phương trình $\cos\left( \sin x ight) = 1$ trên đoạn $(0;2\pibrack$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $\pi$
- C.
  $2\pi$
- D.
  $3\pi$
Phương trình tương đương với $\sin x = k2\pi;k\mathbb{\in Z}$

Vì $- 1 \leq \sin x \leq 1$ nên k = 0

Khi đó phương trình trở thành $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi;\left( l\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x \in (0;2\pibrack$ nên $x \in \left\{ 0;\pi ight\}$

=> Tổng các nghiệm của phương trình là: $0 + \pi = \pi$
Câu 2: Thông hiểu
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight]$ bằng:
- A.
  $\sqrt{5}$
- B.
  $\frac{5}{\sqrt{2}}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ . Mặt phẳng qua $MN$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $P,Q$ . Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
- A.
  $I,C,D$
- B.
  $I,C,A$
- C.
  $I,B,D$
- D.
  $I,A,B$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} I \in MP \subset (ABD) \\ I \in NQ \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in (BCD) \cap (ABD)$

Mà $BD = (BCD) \cap (ABD)$

Vậy ba điểm $I,B,D$ thẳng hàng.
Câu 4: Thông hiểu
Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 2;u_{8} = 16$ . Tìm $d;S_{10}$ ?
- A.
  $d = 2;S_{10} = 80$
- B.
  $d = 2;S_{10} = 120$
- C.
  $d = 2;S_{10} = 110$
- D.
  $d = 2;S_{10} = 100$
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110$
Câu 5: Nhận biết
Nghiệm của phương trình $\cos x = \cos\frac{\pi}{4}$ là:
- A.
  $x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- B.
  $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
- D.
  $x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Ta có $\cos x = \cos\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi,k\mathbb{\in Z}.$
Câu 6: Nhận biết
Đổi số đo của góc $72^{0}$ sang radian được kết quả là:
- A.
  $\frac{3\pi}{5}$
- B.
  $\frac{2\pi}{5}$
- C.
  $\frac{2\pi}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi}{5}$
Ta có: $1^{0} = \frac{\pi}{180}rad \Rightarrow 72^{0} = 72.\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}rad$
Câu 7: Vận dụng cao
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Tính tổng $Q = a - b$ .
- A.
  $Q = 1409$
- B.
  $Q = 1490$
- C.
  $Q = 1049$
- D.
  $Q = 1904$
Ta có:

$\begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{231}{10^{3}}$ , công sai là $q = 10^{- 3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Thông hiểu
Cho $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
- A.
  $\sin(\pi + \alpha)$
- B.
  $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight)$
- C.
  $\cos( - \alpha)$
- D.
  $\tan(\alpha + \pi)$
Ta có:

$\sin(\pi + \alpha) = - \sin\alpha$

$\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha ight) = \sin\alpha$

$\cos( - \alpha) = \cos\alpha$

$\tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha$

Theo bài ra $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

=> $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 9: Nhận biết
Hàm số nào sau đây có chu kì khác $2\pi$ ?
- A.
  $y = \cos^{3}x$
- B.
  $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
- C.
  $y = \sin^{2}(x + 2)$
- D.
  $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight)$
Hàm số $y = \cos^{3}x = \frac{1}{4}(\cos3x +3\cos x)$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ có chu kì $2\pi$ .

Hàm số $y = \sin^{2}(x + 2) = \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cos(2x + 4)$ có chu kì $\pi$ .

Hàm số $y = \cos^{2}\left( \frac{x}{2} + 1ight) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(x + 2)$ có chu kì $2\pi$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $2;8;32$
- B.
  $3;7;11;16$
- C.
  $\left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n$
- D.
  $\left( v_{n} ight):v_{n} = n^{3}$
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n}$

$= \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)$

$= 3$

=> Dãy số $\left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n$ là cấp số cộng.
Câu 11: Nhận biết
Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.
- A.
  a và b có một điểm chúng duy nhất
- B.
  a và b không có điểm chung nào
- C.
  a và b trùng nhau
- D.
  a và b song song hoặc trùng nhau
Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.
Vậy a và b không có điểm chung nào.
Câu 12: Thông hiểu
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Điểm trung bình môn của lớp 11A thuộc nhóm nào?
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack 20;40)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Giá trị đại diện
10
30
50
70
90
Số học sinh
5
9
12
10
6
Điểm trung bình của lớp 11A là:
$\overline{x} = \frac{5.10 + 9.30 + 12.50+ 10.70 + 6.90}{42} \approx 51,43$
$\Rightarrow \overline{x} \in \lbrack40;60)$
Câu 13: Thông hiểu
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0; 1)?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$
- B.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$
- C.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$
- D.
  $3x^{2017} - 8x + 4 = 0$
Xét hàm số $f(x) = 3x^{2017} - 8x + 4$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) = - 4 < 0$

=> Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 15: Vận dụng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
- A.
  Chỉ có (1) đúng
- B.
  Chỉ có (1) và (2) đúng
- C.
  (I), (II), (III) đúng
- D.
  Chỉ có (1) và (IV) đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Câu 16: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Qua $S$ kẻ $Sx\ ;\ Sy$ lần lượt song song với $AB\ ,\ \ AD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

b) Giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $Sy$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $Sx$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Qua $S$ kẻ $Sx\ ;\ Sy$ lần lượt song song với $AB\ ,\ \ AD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

b) Giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $Sy$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $Sx$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD)$ với $Sx \parallel AB \parallel CD$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai
Câu 17: Nhận biết
Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:

Thời gian (giây)

8,3

8,4

8,5

8,7

8,8

Tần số

2

3

9

5

1

Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:
- A.
  8,54.
- B.
  4.
- C.
  8,50.
- D.
  8,53.
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:

$\overline{x} = \frac{8,3.2 + 8,4.3 + 8,5.9 + 8,7.5 + 8,8.1}{20} = 8,53.$
Câu 18: Nhận biết
Cho tứ diện $MNPQ$ . Gọi $G$ và $E$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $MNQ$ và $MNP$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $GE//PQ$ .
- B.
  $GE$ cắt $PQ$ .
- C.
  $GE$ cắt $MQ$ .
- D.
  $GE$ và $PQ$ chéo nhau.
Hình vẽ minh họa

Giả sử $O$ là trung điểm của $MN$ .

Ta có: $\frac{GO}{OQ} = \frac{OE}{OC} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow GE//PQ$
Câu 19: Nhận biết
Cho bốn điểm không đồng phẳng trong không gian. Hỏi từ các điểm đã cho có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt?
- A.
  $5$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.
Câu 20: Vận dụng
Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\begin{matrix} \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} }}{{\sqrt n - 1}} + \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Ta lại có:

$\lim\left( \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ight) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}\Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}cos3n}{rn} - 1 ight) = \sqrt{3}$
Câu 21: Thông hiểu

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim\dfrac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} =\lim\dfrac{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{3}} ight)}{n^{3}\left(3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}} ight)}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}}}{3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = \dfrac{0}{3} =0$

b) Ta có:

$\lim\dfrac{n\sqrt{n^{2} +1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = \lim\dfrac{n^{2}\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} +\dfrac{3}{n^{4}}}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{4}}}} =\dfrac{1}{2}$ .

c) Phương trình lượng giác $\cos x = 0$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = 0$ , thì $u_{3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1$

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 22: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt là $A',B',C',D'$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $A'B'//(SBD)$
- B.
  $A'B'//(SAD)$
- C.
  $(A'C'D')//(ABC)$
- D.
  $A'C'//BD$
Ta có: $A'C'//AC \Rightarrow (A'C'D')//(ABC)$
Câu 23: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $A′,B′,C′,D′$ $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC$ và $SD$ . Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với $A'B'$ ?
- A. $AB.$
- B. $CD.$
- C. $C'D'.$
- D. $SC.$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $A′,B′,C′,D′$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$
$=> A'B', B'C', C'D', A'D'$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $SAB, SBC, SCD, SAD$ .
Và $ABCD$ là hình bình hành
=> $\left\{ \begin{gathered} AB//A\prime B\prime \hfill \\ CD//A\prime B\prime \hfill \\ C'D'//A\prime B\prime \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy $SC$ không song song với $A'B'$ .
Câu 24: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:
- A.
  $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}$
- B.
  $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$
- C.
  $\ \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{16}$
- D.
  $\ \frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_1} = \dfrac{1}{{{3^1} - 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ {u_2} = \dfrac{2}{{{3^2} - 1}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ {u_3} = \dfrac{3}{{{3^3} - 1}} = \dfrac{3}{{26}} \hfill \\ \end{matrix}$
Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là: $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$
Câu 25: Nhận biết
$\lim(5n-4n^{3})$ bằng
- A.
  $-\infty$
- B.
  -4
- C.
  5
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Thông hiểu
Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?
- A.
  $y = \sin x.\cos3x$
- B.
  $y = \cos2x$
- C.
  $y = \sin x$
- D.
  $y = \sin x + \cos x$
Ta có:

Hàm số $y = \sin x.cos3x$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ nên $\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R}$ và

$y( - x) = \sin( - x).\cos( -3x) = - \sin x.\cos3x = - y(x)$

Suy ra hàm số $y = \sin x.\cos3x$ là hàm số lẻ.

Hàm số $y = \cos2x$ là hàm số chẵn vì tập xác định $D\mathbb{= R}$ nên $\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R}$ và

$y( - x) = \cos( - 2x) = cos2x = y(x)$

Tương tự ta có hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ, hàm số $y = \sin x + \cos x$ không chẵn cũng không lẻ.
Câu 27: Thông hiểu
Giải phương trình $\cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

PT $\Leftrightarrow \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} ight) = \cos\frac{5\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = - \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \\ x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} ight.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 28: Nhận biết
Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ .
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3$

Câu 29: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 30: Thông hiểu
Tìm z để 2; 8; z; 128 lập thành một cấp số nhân.
- A. z = 14
- B. z = 32
- C. z = 64
- D. z = 68
Dãy số 2; 8; z; 128 theo thứ tự là u₁; u₂; u₃; u₄ ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \\ {\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{8}{2} = \dfrac{z}{8}} \\ {\dfrac{{128}}{z} = \dfrac{z}{8}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = 32} \\ {{z^2} = 1024} \end{array}} ight. \Rightarrow z = 32$
Câu 31: Vận dụng

Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:

Đáp án: 1

Đáp án là:

Số điểm gián đoạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,5 & khi\ \ x = - 1 \\ \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} & khi\ \ \ x eq - 1,x eq 1 \\ 1 & khi\ \ \ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:

Đáp án: 1

Hàm số $y = f(x)$ có TXĐ $D\mathbb{= R}$ .

Hàm số $f(x) = \frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1}$ liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty; - 1)$ , $( - 1;1)$ và $(1; + \infty)$ .

(i) Xét tại $x = - 1$ , ta có $\lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x(x + 1)}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2} = f( - 1)\overset{}{ightarrow}$ Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .

(ii) Xét tại $x = 1$ , ta có

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} ight)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. \to$ Hàm số $y = f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$ .

Vậy số điểm gián đoạn cần tìm là 1.
Câu 32: Nhận biết
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{n} = u_{1} + (n - 1)q$ , $(n \geq 2)$ .
- B.
  $u_{n} = u_{1}q^{n - 1}$ , $(n \geq 2)$ .
- C.
  $u_{n} = q.\left( u_{1} ight)^{n - 1}$ , $(n \geq 2)$ .
- D.
  $u_{n} = \frac{u_{1}}{q^{n - 1}}$ , $(k \geq 2)$ .
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ .

Theo công thức số hạng tổng quát ta có $u_{n} = u_{1}q^{n - 1}$ , $(n \geq 2)$ .
Câu 33: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. Vô số
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x =a$ .
- Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .
- Phương trình vô nghiệm khi $|a|>1$ .
Do đó, phương trình $\cos x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| {m + 1} ight| \leqslant 1$
$\Leftrightarrow - 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 0\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { - 2; - 1;0} ight\}$ .
Câu 34: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm nào sau đây?
- A.
  $x_{0} = 0$
- B.
  $x_{0} = 2$
- C.
  $x_{0} = 3$
- D.
  $x_{0} = 1$
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 1}f(x)$ . Do đó hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 1$ .
Câu 35: Thông hiểu
Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$
- A.
  $- 2$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 2x - 1} - x - 1 ight)}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{- 2}{\sqrt{x^{2} + 2x - 1} + x + 1} = 0$
Câu 36: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Khoảng cân nặng nào có số học sinh chiếm nhiều nhất?
- A.
  [50; 55)
- B.
  [55; 60)
- C.
  [65; 70)
- D.
  [70; 75)
Khoảng cân nặng có số học sinh chiếm nhiều nhất là: [50; 55)
Câu 37: Thông hiểu
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
[20; 30)
4
[30; 40)
6
[40; 50)
15
[50; 60)
12
[60; 70)
10
[70; 80)
6
[80; 90)
4
[90; 100]
3
Biết rằng nếu học sinh có ít nhất 60 điểm và không vượt quá 80 điểm sẽ đạt điểm B. Hỏi phần trăm số học sinh đạt điểm B trong lớp 11A chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $54,3\%$
- B.
  $26,7\%$
- C.
  $38,5\%$
- D.
  $42,5\%$
Quan sát bảng số liệu ghép nhóm ta thấy:
Số học sinh lớp 11A là 60 học sinh
Nhóm [60; 70) có 10 học sinh
Nhóm [70; 80) có 6 học sinh
=> Số học sinh đạt điểm B là 10 + 6 = 16 (học sinh)
Vậy số học sinh đạt điểm B chiếm $\frac{16}{60}.100\% \approx 26,7\%$
Câu 38: Thông hiểu
Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Dữ liệu thu được ghi trong bảng dưới đây.
Chiều cao (cm)
Số học sinh
(120; 125]
3
(125; 130]
5
(130; 135]
11
(135; 140]
6
(140; 145]
5
Tổng
N = 30
Tính tứ phân vị thứ ba. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $137,9$
- B.
  $136,5$
- C.
  $141,3$
- D.
  $134,2$
Ta có:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.30}{4} =22,5$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là (135; 140]
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 135;\dfrac{3N}{4} = 22,5;m = 19 \\f = 6;d = 140 - 135 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 135 + \frac{22,5 -19}{6}.5 \approx 137,9$
Câu 39: Vận dụng cao
Cho tổng S(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n. Khi đó S₃₀ bằng?
- A.
  900
- B.
  930
- C.
  901
- D.
  830
Ta có S₃₀ = 2 + 4 + 6 + … + 60

⇒ 2S₃₀ = (2+60) + (4+58) + (6+56) + … + (60+2) (có 30 ngoặc đơn)

$\Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) \cdot 30}{2} = 930$
Câu 40: Nhận biết
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  Không
- D.
  Vô số
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Câu 41: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $F$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo định lý Talet, ta có: $\frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M$ là trung điểm của $AF$

$\Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF$

$\Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS$

$\Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6$ .
Câu 42: Vận dụng
Cho tập hợp $M = \left\{ 2^{1};2^{2};2^{3};...;2^{2020} ight\}$ . Số tập hợp con của tập hợp $M$ gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:
- A.
  $1044044$
- B.
  $2086068$
- C.
  $2020202$
- D.
  $1019090$
Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là $2^{a} < 2^{b} < 2^{c}$ với $a,b,c \in \left\{ 1;2;...;2020 ight\}$

$2^{a};2^{b};2^{c}$ lập thành một cấp số nhân

Suy ra $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng

$\Rightarrow a + b = 2c$

Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.

Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{1010}^{2} + C_{1010}^{2} = 1019090$
Câu 43: Thông hiểu
Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)$
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  n
- D.
  n + 1
Ta có:
Với $n=0=>S=1$
Với $n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2$
Với $n = 2$ $\Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3$
Dự đoán $S = n + 1\left( * ight)$ ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.
Với $n = 0$ đương nhiên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với $n=k$ tức là:
$\begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là $S=n+1$
Câu 44: Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \sqrt{5 - m\sin x - (m + 1)\cos x}$ xác định trên tập số thực?
- A.
  5
- B.
  8
- C.
  7
- D.
  6
Hàm số đã cho xác định khi
$5 - m\sin x - (m + 1)\cos x \geq0;\forall x\mathbb{\in R}$
$\begin{matrix} \Rightarrow 5 \geqslant \max \left\{ {m\sin x - \left( {m + 1} ight)\cos x} ight\} \hfill \\ \Leftrightarrow 5 \geqslant \sqrt {{m^2} + {{\left( {m + 1} ight)}^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 12 \leqslant 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 4;3} ight] \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với điều kiện m là số nguyên
=> m = {-4; -3; ... ; 2; 3}
Vậy có 8 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện.
Câu 45: Vận dụng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2}$ (NETA)
- B.
  $0 \leq u_{n} \leq 1$
- C.
  $- \frac{1}{2} \leq u_{n} \leq 1$
- D.
  $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}$
Ta chứng minh $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1$ ta có: $1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}$

Giả sử $1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1$ . Ta cần chứng minh $1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}$ .

Thật vậy $u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}$

Vì $u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1$

Vì $u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Vậy $1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1$ hay dãy $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi $\frac{3}{2}$ và bị chặn dưới bởi $1$ .