Tổng các nghiệm của phương trình
trong khoảng
là:
Giải phương trình:
Xét nghiệm
Do =>
=>
Xét nghiệm
Do
vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:
Tổng các nghiệm của phương trình
trong khoảng
là:
Giải phương trình:
Xét nghiệm
Do =>
=>
Xét nghiệm
Do
vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:
Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.
Cho hình chóp
. Điểm
nằm trên cạnh
.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
Đáp án: 4 cạnh.
Cho hình chóp . Điểm
nằm trên cạnh
.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
Đáp án: 4 cạnh.
Hình vẽ minh họa
Xét và
ta có:
là điểm chung thứ nhất.
Gọi
Có là điểm chung thứ hai.
Gọi . Ta có:
Thiết diện là tứ giác .
Vậy thiết diện là đa giác có 4 cạnh.
Gọi
là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Điều kiện:
Phương trình
Cho .
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với .
Phương trình ![]()
Chu kì của hàm số
là số nào sau đây?
Chu kì của hàm số là
Chọn đẳng thức đúng.
Ta có:
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để 
Ta có:
Bài toán trở thành
Ta có: nên bài toán trở thành tìm k sao cho
Mà
=> Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).
Cho hình chóp
có đáy là hình thang
,
. Gọi
là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là giao điểm của
và
. Khi đó:
.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng
so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Đáp án: 666
Gọi là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ
(đơn vị tính: mét).
Ta có và
.
Vậy là cấp số nhân với số hạng đầu
và công bội
.
Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là
Cho hình lăng trụ
. Gọi
là trung điểm của
. Điểm
là ảnh của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Tính cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H?
Ta có:
Cân nặng (kg) | Giá trị đại diện | Số học sinh |
[45; 50) | 47,5 | 5 |
[50; 55) | 52,5 | 12 |
[55; 60) | 57,5 | 10 |
[60; 65) | 62,5 | 6 |
[65; 70) | 67,5 | 5 |
[70; 75) | 72,5 | 8 |
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:
Cho dãy số
là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho dãy số là một cấp số nhân có số hạng đầu
và công bội
.
Theo công thức số hạng tổng quát ta có ,
.
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại A,
. Gọi I là trung điểm của BC, SB ⊥ AI. Giả sử mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua M và song song với SB, AI. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.
Tương tự
Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có nghiệm:
Đặt
=>
Phương trình trở thành:
Do
Vậy để phương trình có nghiệm
Nếu các dãy số
thỏa mãn
và
thì
bằng:
Ta có .
Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
"Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau." sai vì hai mặt phẳng có thể trùng nhau.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính tổng
.
Ta có:
Dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là
, công sai là
=>
Vậy
bằng:
Ta có:
Do
Tính giới hạn
.
Ta có:
Cho dãy số có các số hạng đầu là
. Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?
Ta có: loại các đáp án
và
. Ta kiểm tra
Xét đáp án có
Xét đáp án có
là đáp án đúng.
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) ![]()
(b) ![]()
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc " sai vì
là tập con thực sự của
nên tồn tại số nguyên dương không thuộc
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn
.
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc " sai vì số nguyên âm không thuộc
.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
là
Do nên
.
Nên đạt được khi
.
đạt được khi
.
Suy ra .
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của
(kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:
(
là một hằng số). Với giá trị nào của
thì hàm số
liên tục trên
?
Đáp án: 200
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại
hay
Ta có:
Để tồn tại thì
.
Suy ra
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
|
Cân nặng (kg) |
Số học sinh |
|
[45; 50) |
5 |
|
[50; 55) |
12 |
|
[55; 60) |
10 |
|
[60; 65) |
6 |
|
[65; 70) |
5 |
|
[70; 75) |
8 |
a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng
. Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là:
Đúng||Sai
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
|
Cân nặng (kg) |
Số học sinh |
|
[45; 50) |
5 |
|
[50; 55) |
12 |
|
[55; 60) |
10 |
|
[60; 65) |
6 |
|
[65; 70) |
5 |
|
[70; 75) |
8 |
a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng . Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: Đúng||Sai
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai
Ta có:
|
Cân nặng (kg) |
Giá trị đại diện |
Số học sinh |
|
[45; 50) |
47,5 |
5 |
|
[50; 55) |
52,5 |
12 |
|
[55; 60) |
57,5 |
10 |
|
[60; 65) |
62,5 |
6 |
|
[65; 70) |
67,5 |
5 |
|
[70; 75) |
72,5 |
8 |
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:
Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra .
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
|
Cân nặng (kg) |
Số học sinh |
Tần số tích lũy |
|
[45; 50) |
5 |
5 |
|
[50; 55) |
12 |
17 |
|
[55; 60) |
10 |
27 |
|
[60; 65) |
6 |
33 |
|
[65; 70) |
5 |
38 |
|
[70; 75) |
8 |
46 |
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
Chọn mệnh đề sai.
Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm) | [145; 150) | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) |
Số học sinh | 6 | 12 | 13 | 9 | 10 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 5 nhóm.
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau đây:
Thời gian (s) | Số vận động viên (người) |
(50,5; 55,5] | 2 |
(55,5; 60,5] | 7 |
(60,5; 65,5] | 8 |
(65,5; 70,5] | 4 |
Ta có:
Thời gian (s) | Số vận động viên (người) | Tần số tích lũy |
(50,5; 55,5] | 2 | 2 |
(55,5; 60,5] | 7 | 9 |
(60,5; 65,5] | 8 | 17 |
(65,5; 70,5] | 4 | 21 |
Tổng | N = 21 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là
Khi đó:
Trung vị của mẫu số liệu là:
Cho dãy số (un) biết un = 3n + 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có un = 3n + 6 ⇒ un + 1 = 3(n+1) + 6 = 3n + 9
Xét hiệu un + 1 − un = (3n+9) − (3n+6) = 3 > 0, ∀n ∈ N*
Vậy (un) là dãy số tăng.
Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ta có:
Mà
.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
Dấu xảy ra
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là:
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Cho dãy số
. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số:
Ta có:
Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là Sử dụng công thức:
Cho cấp số cộng có số hạng đầu
công sai
. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
Ta có:
Cho góc lượng giác
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Cho hàm số
. Số nghiệm của phương trình
trên
là:
Hàm số là hàm đa thức có tập xác định là
nên liên tục trên
=> Hàm số liên tục trên mỗi khoảng
Ta có:
=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Vậy phương trình có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng
Mặt khác phương trình là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm
=> Phương trình có đúng ba nghiệm trên
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Giá trị của M.n là:

Hàm số liên tục trên
.
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1
Vậy M.n = -3
Cho dãy số
thỏa mãn điều kiện
;
với
số hạng
bằng:
Ta có:
Vậy
Chiều cao một số cây được ghi lại trong bảng số liệu dưới đây:
Chiều cao h (cm) | Số cây |
130 < h ≤ 140 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 |
150 < h ≤ 160 | 5 |
Nhóm chứa trung vị là:
Ta có:
Chiều cao h (cm) | Số cây | Tần số tích lũy |
130 < h ≤ 140 | 3 | 3 |
140 < h ≤ 150 | 7 | 10 |
150 < h ≤ 160 | 5 | 15 |
Tổng | N = 15 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: 140 < h ≤ 150
Cho tứ diện
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
và
và
là trọng tâm của tam giác
. Khi đó giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm
Hình vẽ minh họa
Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.
Gọi
Ta có:
Suy ra d đi qua G và song song với CD,.
Tính giới hạn
.
Ta có:
Tính
được kết quả là:
Ta có
.
Cho hình chóp
có các mặt bên là tam giác đều. Gọi
là trung điểm của
, lấy
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
, mặt phẳng chiếu
là:
Hình vẽ minh họa
Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác
đều.
Gọi là trọng tâm tam giác
.
Ta có
Nên là hình chiếu song song theo phương
của
trên
.
Lại do tam giác đều nên
vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
.
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số nhân
Vậy